Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 8. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 8 () Numeeriset menetelmät / 35
|
|
- Santeri Kapulainen
- 7 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 8 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 8 () Numeeriset menetelmät / 35
2 Luennon 8 sisältö Interpolointi ja approksimointi Funktion approksimointi Tasainen polynomiapproksimaatio Pienimmän neliön approksimointi Pienimmän neliösumman approksimointi Luento 8 () Numeeriset menetelmät / 35
3 Tavoitteena funktion approksimoinnissa on etsiä annettua funktiota f yksinkertaisempi funktio p siten, että p f jossakin mielessä. Olkoon annettu normiavaruus V - esimerkiksi jatkuvat funktiot välillä [a, b], ts. V = C([a, b]) ja sen (äärellisulotteinen) aliavaruus Ṽ - esimerkiksi n-asteiset polynomit. Tavoitteena on etsiä annetulle f V approksimaatio p Ṽ siten, että f p f q kaikilla q Ṽ. Luento 8 () Numeeriset menetelmät / 35
4 Lause 5.9 Luku 5: Interpolointi ja approksimointi Olkoon V normiavaruus ja Ṽ sen äärellisulotteinen aliavaruus. Tällöin jokaiselle alkiolle f V on olemassa ainakin yksi paras approksimaatio p Ṽ. Luento 8 () Numeeriset menetelmät / 35
5 Tasainen polynomiapproksimaatio Tarkastellaan polynomiapproksimaation p konstruointia jatkuvalle funktiolle f siten, että virheen maksiminormi on mahdollisimman pieni. f p = max f (x) p(x) a x b tasainen approksimaatio tai minimax-approksimaatio tarvitaan tilanteissa, joissa on tärkeää, että appr.virhe saadaan pidettyä pienenä koko välillä [a, b]. Luento 8 () Numeeriset menetelmät / 35
6 Tasainen polynomiapproksimaatio jatkuu Parasta tasaista polynomiapproksimaatiota karakterisoi maksimivirheen alternointi: Lause 5.10 Funktiolla f C([a, b]) on täsmälleen yksi minimax polynomi p n P n. Polynomi p n P n on f :n tasainen approksimaatio välillä [a, b] jos ja vain jos on olemassa n + 2 pistettä a x 0 <... < x n+1 b siten, että ( 1) i [f (x i ) p n (x i )] = σ f p n, i = 0,..., n + 1, missä σ = sign(f (x 0 ) p n (x 0 )). Jos f C (n+1) ([a, b]) ja f (n+1) ei vaihda merkkiä välillä [a, b], niin a = x 0 ja b = x n+1. Luento 8 () Numeeriset menetelmät / 35
7 Esimerkki 5.13 Luku 5: Interpolointi ja approksimointi Muodostetaan funktiolle f (x) = cos x ensimmäisen asteen minimaxpolynomiapproksimaatio p 1 (x) = c 0 + c 1 x välille [0, π 2 ]. Lausetta 5.10 soveltamalla saadaan epälineaarinen yhtälöryhmä c 0 + c 1 0 cos 0 = d c 0 + c 1 x 1 cos x 1 = d c 0 + c 1 π 2 cos π 2 = d c 1 + sin x 1 = 0. Tämä ratkaisemalla saadaan arvot tuntemattomille c 0, c 1, x 1 ja d ja minmax-polynomiksi p 1 (x) = x. Luento 8 () Numeeriset menetelmät / 35
8 Esimerkki 5.13 jatkuu Funktio f (x) = cos x ja polynomi p 1 on esitetty ao. kuvassa. Maksimivirhe d = saavutetaan välin päätepisteissä ja pisteessä x 1 = cos(x) *x Luento 8 () Numeeriset menetelmät / 35
9 Tasainen polynomiapproksimaatio jatkuu Yleisessä tapauksessa minimax-polynomia ei voi muodostaa analyyttisesti kuten edellä Tarvitaan iteratiivisia menetelmiä ( esim. Remezin algoritmi ) Melkein minimax-polynomi saadaan helposti muodostamalla välille [a, b] interpolaatiopolynomi Tšebyševin interpolaatiopisteitä käyttäen. Luento 8 () Numeeriset menetelmät / 35
10 Pienimmän neliön approksimointi Yleinen approksimaatiotehtävä johtaa epälineaarisen yhtälöryhmän ratkaisemiseen pienimmän neliön approksimointi palautuu lineaarisen yhtälöryhmän ratkaisemiseen Olkoon funktioavaruus V varustettu sisätulolla,. Pienimmän neliön approksimaatiossa etsitään funktiota p aliavaruudesta Ṽ siten, että normi on mahdollisimman pieni. f p := f p, f p 1 2 Luento 8 () Numeeriset menetelmät / 35
11 Lause 5.11 Luku 5: Interpolointi ja approksimointi Olkoon V sisätuloavaruus, Ṽ sen aliavaruus ja f V. Tällöin funktio p Ṽ on funktion f pienimmän neliön approksimaatio jos ja vain jos f p, v = 0 kaikille v Ṽ. Luento 8 () Numeeriset menetelmät / 35
12 Lauseen 5.11 todistus Olkoon funktio p Ṽ funktion f V paras approksimaatio (ts. f p f q kaikilla q Ṽ.). Olkoon q Ṽ ja λ > 0 mielivaltaiset. Tällöin p λq Ṽ ja f p 2 f (p λq) 2 = f p + λq 2. Edelleen (käyt. a + b 2 = a a, b + b 2 ) 0 (f p) + λq 2 f p 2 = f p 2 + 2λ f p, q + λ 2 q 2 f p 2 = λ[2 f p, q + λ q 2 ]. Luento 8 () Numeeriset menetelmät / 35
13 Lauseen 5.11 todistus jatkuu Edellä saatiin 0 λ[2 f p, q + λ q 2 ] : λ(> 0) 0 2 f p, q + λ q 2 : 2 λ 2 q 2 f p, q pätee λ > 0, myös mv. pienelle 0 f p, q pätee q Ṽ, myös q:lle 0 f p, q = f p, q ( 1) 0 f p, q 0 f p, q 0 f p, q = 0 q Ṽ Luento 8 () Numeeriset menetelmät / 35
14 Lauseen 5.11 todistus jatkuu Oletetaan, että f p, q = 0 kaikille q Ṽ. Silloin f q 2 = (f p) + (p q) 2 = f p f p, p q + p q 2 f p 2. }{{} =0 ) (p Ṽ, q Ṽ p q Ṽ f p, p q = 0 Siten funktio p on funktion f paras approksimaatio. Koska yo. päättely pätee q Ṽ, on p lisäksi yksikäsitteinen. Luento 8 () Numeeriset menetelmät / 35
15 Pienimmän neliön approksimointi jatkuu Funktion f pienimmän neliön approksimaation konstruointi: Jos {ϕ 1,..., ϕ n } on aliavaruuden Ṽ kanta, niin n p = c j ϕ j. j=1 Nyt riittää vaatia, että ehto f p, v = 0 on voimassa kantafunktioille {ϕ i }: n f c j ϕ j, ϕ i = 0, i = 1,..., n. f, ϕ i j=1 n c j ϕ j, ϕ i = 0, i = 1,..., n. j=1 Luento 8 () Numeeriset menetelmät / 35
16 Pienimmän neliön approksimointi jatkuu Tuntemattomien kertoimien {c j } määräämiseksi saadaan lineaarinen yhtälöryhmä n c j ϕ j, ϕ i = f, ϕ i, i = 1,..., n, j=1 joka voidaan kirjoittaa lyhyesti matriisimuodossa Ac = f, missä a ij = ϕ i, ϕ j ja f i = f, ϕ i. Matriisia A sanotaan Gramin matriisiksi. Luento 8 () Numeeriset menetelmät / 35
17 Esimerkki Muodostetaan funktiolle f (x) = sin x muotoa p(x) = c 1 x + c 2 x 3 + c 3 x 5 oleva pienimmän neliön approksimaatio välillä [ 1, 1] sisätulon u, v = 1 1 u(x)v(x) dx määräämän normin v = v, v 1/2 mielessä. Avaruuden Ṽ kanta: ϕ 1 = x, ϕ 2 = x 3, ϕ 3 = x 5, ts ϕ i = x 2i 1, i = 1, 2, 3. Luento 8 () Numeeriset menetelmät / 35
18 Esimerkki jatkuu Gramin matriisin ja vastaavan oikean puolen vektorin alkiot saadaan nyt laskettua kaavoilla (i, j = 1, 2, 3) jolloin a ij = ϕ i, ϕ j = f i = f, ϕ i = A = x 2i 1 x 2j 1 dx = x 2i 1 sin x dx, , f = 1 x 2i+2j 2 dx = 2 sin 1 2 cos 1 10 cos 1 6 sin sin cos 1 2 2i + 2j 1,. Luento 8 () Numeeriset menetelmät / 35
19 Esimerkki jatkuu Yhtälöryhmän Ac = f ratkaisuna saadaan kertoimet c , c , c approksimaatiolle p(x) = c 1 x + c 2 x 3 + c 3 x 5. Luento 8 () Numeeriset menetelmät / 35
20 Pienimmän neliön approksimointi jatkuu Joukko {ϕ 1,..., ϕ n } on kantana lineaarisesti riippumaton Gramin matriisi on kääntyvä. Tämä ei kuitenkaan takaa numeerisesti stabiilia laskentaa: Esimerkiksi edellisen esimerkin matriisin häiriölttius on κ(a) 850. Kun tehtävän koko kasvaa ( ts. kehitelmään p(x) = c 1 x + c 2 x 3 + c 3 x 5 otetaan enemmän termejä ), niin hyvin pian vastaava Gramin matriisi olisi numeerisesti singulaarinen. Luento 8 () Numeeriset menetelmät / 35
21 Pienimmän neliön approksimointi jatkuu Paremmin käyttäytyvä Gramin matriisi saadaan, jos kannaksi valitaan ortonormaali systeemi {ϕ 1,..., ϕ n }, jolle { 1, i = j ϕ i, ϕ j = δ ij = ja ϕ i 1 i. 0, i j Tällöin Gramin matriisi A on identtinen matriisi ja lineaariseksi yhtälöryhmäksi Ac = f tulee siten pelkkä c = f eli c i = f, ϕ i, i = 1,..., n. Luento 8 () Numeeriset menetelmät / 35
22 Pienimmän neliön approksimointi jatkuu Sisätuloavaruuden äärellisulott. aliavaruudelle Ṽ voidaan tuottaa ortonorm. kanta Gramin ja Schmidtin algoritmilla: Jos {v 1, v 2,..., v n } on aliavaruuden Ṽ kanta, määritellään i 1 ũ i = v i v i, u j u j, u i = ũi, i = 1, 2,..., n. ũ i j=1 Tällöin {u 1,..., u n } on aliavaruuden Ṽ ortonormaali kanta. Monomeista ϕ i = x i, saadaan Gramin ja Schmidtin ortogonalisointialgoritmilla muodostettua ortonormaali kanta. Saatuja polynomeja kutsutaan normeeratuiksi Legendren polynomeiksi. Luento 8 () Numeeriset menetelmät / 35
23 Esimerkki 5.15 Luku 5: Interpolointi ja approksimointi Ratkaistaan esimerkin 5.14 approksimaatiotehtävä normeerattujen Legendren polynomien avulla. ˆϕ 1 (x) = 1 2/3 x, ˆϕ 2 (x) = 1 8/7 (5x 3 3x), ˆϕ 3 (x) = 1 128/11 (63x 5 70x x) Luento 8 () Numeeriset menetelmät / 35
24 Esimerkki 5.15 Luku 5: Interpolointi ja approksimointi Paras approksimaatio on nyt muotoa ˆp(x) = ĉ 1 ˆϕ 1 + ĉ 2 ˆϕ 2 + ĉ 3 ˆϕ 3, missä ĉ 1 = sin x, ˆϕ 1 = ĉ 2 = sin x, ˆϕ 2 = ĉ 3 = sin x, ˆϕ 3 = ˆϕ 1 sin x dx = , ˆϕ 2 sin x dx = , ˆϕ 3 sin x dx = Lineaarikombinaation kertoimet riippuvat kantafunktioiden valinnasta. Polynomit p ja ˆp ovat kuitenkin samat. Luento 8 () Numeeriset menetelmät / 35
25 Pienimmän neliösumman approksimaatio Oletetaan, että funktio f tunnetaan vain etukäteen kiinnitetyissä havaintopisteissä x k, k = 1,..., m, jolloin funktio f samaistetaan vektoriin ˆf R m. Luento 8 () Numeeriset menetelmät / 35
26 Pienimmän neliösumman appr. jatkuu Tehtävänä on löytää kertoimet {c j } kehitelmään n p(x) = c j ϕ j (x) j=1 siten, että f p on mahdollisimman pieni, kun normi on diskreetin sisätulon m u, v := u(x k )v(x k ) määräämä, ts f p = f p, f p 1 2 k=1 = { m k=1 [ f (x k ) p(x k ) ] 2 } 1 2. Luento 8 () Numeeriset menetelmät / 35
27 Pienimmän neliösumman appr. jatkuu Paras appr. saadaan jälleen laskettua ortogonaalisuusehdon m f p, ϕ i = [f (x k ) p(x k )]ϕ i (x k ) = 0, i = 1,..., n k=1 avulla. Yo. yhtälöryhmä voidaan esittää lyhyesti matriisimuodossa Ac = f, missä Gramin matriisin ja oikean puolen vektorin alkiot ovat m a ij = ϕ i, ϕ j = ϕ i (x k )ϕ j (x k ), i, j = 1,..., n f i = f, ϕ i = k=1 m f (x k )ϕ i (x k ), i = 1,..., n. k=1 Luento 8 () Numeeriset menetelmät / 35
28 Pienimmän neliösumman appr. jatkuu m [f (x k ) p(x k )]ϕ i (x k ) = 0, i = 1,..., n k=1 m f (x k )ϕ i (x k ) k=1 k=1 m p(x k )ϕ i (x k ) = 0, k=1 m p(x k )ϕ i (x k ) = k=1 m n c j ϕ j (x k ) ϕ i (x k ) = j=1 n m c j j=1 k=1 ϕ j (x k )ϕ i (x k ) = } {{ } a ij i = 1,..., n m f (x k )ϕ i (x k ) k=1 m f (x k )ϕ i (x k ) k=1 m f (x k )ϕ i (x k ) k=1 } {{ } f i Luento 8 () Numeeriset menetelmät / 35
29 Pienimmän neliösumman appr. jatkuu Kerroinmatriisi A R n n ja oikea puoli f R n voidaan esittää myös muodossa A = B T B, f = B Tˆf, missä matriisin B R m n ja vektorin ˆf R n alkiot ovat b ij = ϕ j (x i ), ˆf i = f (x i ). Luento 8 () Numeeriset menetelmät / 35
30 Pienimmän neliösumman appr. jatkuu Jos havaintopisteitä on yhtä monta kuin tuntemattomia parametreja (m = n), niin tehtävä palautuu interpolaatiotehtäväksi. Yleensä pienimmän neliösumman approksimaatiota käytetään tilanteissa joissa funktion arvot sisältävät epävarmuutta, kuten normaalijakautuneita mittausvirheitä. Tällöin halutaan sovittaa yksinkertainen malli suureen määrään mittaustuloksia, eli m > n. Luento 8 () Numeeriset menetelmät / 35
31 Esimerkki 5.16 Sovitetaan pienimmän neliösumman mielessä toisen asteen polynomi p 2 (x) = c 1 + c 2 x + c 3 x 2 pisteistöön Nyt x k f (x k ) m = 5 n = 3 ja kantafunktiot ovat (havaintopisteiden lukumäärä) (kantafunktioiden lukumäärä) ϕ 1 = 1, ϕ 2 = x, ϕ 3 = x 2. Luento 8 () Numeeriset menetelmät / 35
32 Esimerkki 5.15 Luku 5: Interpolointi ja approksimointi Matriisiksi B R m n ja vektoriksi ˆf R m saadaan: b ij = ϕ j (x i ), ϕ 1 = 1, ϕ 2 = x, ϕ 3 = x 2 ˆf i = f (x i ) ϕ 1 (x 1 ) ϕ 2 (x 1 ) ϕ 3 (x 1 ) ϕ 1 (x 2 ) ϕ 2 (x 2 ) ϕ 3 (x 2 ) B = ϕ 1 (x 3 ) ϕ 2 (x 3 ) ϕ 3 (x 3 ) ϕ 1 (x 4 ) ϕ 2 (x 4 ) ϕ 3 (x 4 ) = , 2 ˆf = 3 5. ϕ 1 (x 5 ) ϕ 2 (x 5 ) ϕ 3 (x 5 ) Luento 8 () Numeeriset menetelmät / 35
33 Esimerkki 5.16 jatkuu Siten tuntemattomat kertoimet {c j } polynomille p 2 (x) = c 1 + c 2 x + c 3 x 2 voidaan ratkaista yhtälöryhmästä B T Bc = B T ˆf c 1 c 2 c 3 = Pienimmän neliösumman polynomiksi saadaan siten (viiden numeron tarkkuudella) p 2 (x) = x x 2. Luento 8 () Numeeriset menetelmät / 35
34 Esimerkki 5.16 jatkuu Datapisteet ja 2. asteen pienimmän neliösumman polynomi Luento 8 () Numeeriset menetelmät / 35
35 Approksimointi min f p Tasainen polynomiapproksimaatio f p = max f (x) p(x) a x b Pienimmän neliön approksimointi f p = f p, f p 1 2 ( b ) 1 = (f p) 2 2 a Pienimmän neliösumman appr. f p = f p, f p 1 2 = { m k=1 [ f (x k ) p(x k ) ] 2 } 1 2. Luento 8 () Numeeriset menetelmät / 35
Numeeriset menetelmät
Numeeriset menetelmät Luento 8 To 29.9.2011 Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 8 To 29.9.2011 p. 1/36 p. 1/36 Interpolointi kuutiosplinillä Osavälit: I i = [t i 1,t i ], i = 1,2,...,n
LisätiedotNumeeriset menetelmät TIEA381. Luento 6. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 6 () Numeeriset menetelmät / 33
Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 6 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 6 () Numeeriset menetelmät 4.4.2013 1 / 33 Luennon 6 sisältö Interpolointi ja approksimointi Polynomi-interpolaatio: Vandermonden
LisätiedotNumeeriset menetelmät
Numeeriset menetelmät Luento 9 Ti 4.10.2011 Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 9 Ti 4.10.2011 p. 1/44 p. 1/44 Funktion approksimointi Etsitään p siten, että p f, mutta ei vaadita, että
LisätiedotNumeeriset menetelmät
Numeeriset menetelmät Luento 6 To 22.9.2011 Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 6 To 22.9.2011 p. 1/38 p. 1/38 Ominaisarvotehtävät Monet sovellukset johtavat ominaisarvotehtäviin Yksi
LisätiedotOsoita, että täsmälleen yksi vektoriavaruuden ehto ei ole voimassa.
LINEAARIALGEBRA Harjoituksia 2016 1. Olkoon V = R 2 varustettuna tavallisella yhteenlaskulla. Määritellään reaaliluvulla kertominen seuraavasti: λ (x 1, x 2 ) = (λx 1, 0) (x 1, x 2 ) R 2 ja λ R. Osoita,
LisätiedotNumeeriset menetelmät TIEA381. Luento 7. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 7 () Numeeriset menetelmät / 43
Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 7 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 7 () Numeeriset menetelmät 10.4.2013 1 / 43 Luennon 7 sisältö Interpolointi ja approksimointi Interpolaatiovirheestä Paloittainen
LisätiedotNumeeriset menetelmät
Numeeriset menetelmät Luento 7 Ti 27.9.2011 Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 7 Ti 27.9.2011 p. 1/39 p. 1/39 Interpolointi Ei tunneta funktion f : R R lauseketta, mutta tiedetään funktion
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt QR-hajotelma ja pienimmän neliösumman menetelmä Riikka Kangaslampi Kevät 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto PNS-ongelma PNS-ongelma
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt ja pienimmän neliösumman menetelmä Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 18 R. Kangaslampi QR ja PNS PNS-ongelma
LisätiedotPienimmän neliösumman menetelmä
Pienimmän neliösumman menetelmä Keijo Ruotsalainen Division of Mathematics Funktion sovitus Datapisteet (x 1,...,x n ) Annettu data y i = f(x i )+η i, missä f(x) on tuntematon funktio ja η i mittaukseen
Lisätiedotx = y x i = y i i = 1, 2; x + y = (x 1 + y 1, x 2 + y 2 ); x y = (x 1 y 1, x 2 + y 2 );
LINEAARIALGEBRA Harjoituksia, Syksy 2016 1. Olkoon n Z +. Osoita, että (R n, +, ) on lineaariavaruus, kun vektoreiden x = (x 1,..., x n ), y = (y 1,..., y n ) identtisyys, yhteenlasku ja reaaliluvulla
LisätiedotOrtogonaaliprojektio äärellisulotteiselle aliavaruudelle
Ortogonaaliprojektio äärellisulotteiselle aliavaruudelle Olkoon X sisätuloavaruus ja Y X äärellisulotteinen aliavaruus. Tällöin on olemassa lineaarisesti riippumattomat vektorit y 1, y 2,..., yn, jotka
Lisätiedotx = y x i = y i i = 1, 2; x + y = (x 1 + y 1, x 2 + y 2 ); x y = (x 1 y 1, x 2 + y 2 );
LINEAARIALGEBRA Ratkaisuluonnoksia, Syksy 2016 1. Olkoon n Z +. Osoita, että (R n, +, ) on lineaariavaruus, kun vektoreiden x = (x 1,..., x n ), y = (y 1,..., y n ) identtisyys, yhteenlasku ja reaaliluvulla
LisätiedotOrtogonaalisen kannan etsiminen
Ortogonaalisen kannan etsiminen Lause 94 (Gramin-Schmidtin menetelmä) Oletetaan, että B = ( v 1,..., v n ) on sisätuloavaruuden V kanta. Merkitään V k = span( v 1,..., v k ) ja w 1 = v 1 w 2 = v 2 v 2,
LisätiedotVapaus. Määritelmä. jos c 1 v 1 + c 2 v c k v k = 0 joillakin c 1,..., c k R, niin c 1 = 0, c 2 = 0,..., c k = 0.
Vapaus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,..., v k R n, missä n {1, 2,... }. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee: jos c 1 v 1 + c 2 v 2 +
LisätiedotEsimerkki 19. Esimerkissä 16 miniminormiratkaisu on (ˆx 1, ˆx 2 ) = (1, 0).
Esimerkki 9 Esimerkissä 6 miniminormiratkaisu on (ˆx, ˆx (, 0 Seuraavaksi näytetään, että miniminormiratkaisuun siirtyminen poistaa likimääräisongelman epäyksikäsitteisyyden (mutta lisääntyvän ratkaisun
LisätiedotNumeeriset menetelmät TIEA381. Luento 12. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 12 () Numeeriset menetelmät / 33
Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 12 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 12 () Numeeriset menetelmät 25.4.2013 1 / 33 Luennon 2 sisältö Tavallisten differentiaaliyhtälöiden numeriikasta Rungen
LisätiedotKanta ja Kannan-vaihto
ja Kannan-vaihto 1 Olkoon L vektoriavaruus. Äärellinen joukko L:n vektoreita V = { v 1, v 2,..., v n } on kanta, jos (1) Jokainen L:n vektori voidaan lausua v-vektoreiden lineaarikombinaationa. (Ts. Span(V
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Matriisinormi, häiriöalttius Riikka Kangaslampi Kevät 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Matriisinormi Matriisinormi Matriiseille
LisätiedotInversio-ongelmien laskennallinen peruskurssi Luento 2
Inversio-ongelmien laskennallinen peruskurssi Luento 2 Kevät 2012 1 Lineaarinen inversio-ongelma Määritelmä 1.1. Yleinen (reaaliarvoinen) lineaarinen inversio-ongelma voidaan esittää muodossa m = Ax +
LisätiedotNumeeriset menetelmät TIEA381. Luento 5. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 5 () Numeeriset menetelmät / 28
Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 5 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 5 () Numeeriset menetelmät 3.4.2013 1 / 28 Luennon 5 sisältö Luku 4: Ominaisarvotehtävistä Potenssiinkorotusmenetelmä QR-menetelmä
LisätiedotKannan vektorit siis virittävät aliavaruuden, ja lisäksi kanta on vapaa. Lauseesta 7.6 saadaan seuraava hyvin käyttökelpoinen tulos:
8 Kanta Tässä luvussa tarkastellaan aliavaruuden virittäjävektoreita, jotka muodostavat lineaarisesti riippumattoman jonon. Merkintöjen helpottamiseksi oletetaan luvussa koko ajan, että W on vektoreiden
LisätiedotLineaarikombinaatio, lineaarinen riippuvuus/riippumattomuus
Lineaarikombinaatio, lineaarinen riippuvuus/riippumattomuus 1 / 51 Lineaarikombinaatio Johdattelua seuraavaan asiaan (ei tarkkoja määritelmiä): Millaisen kuvan muodostaa joukko {λv λ R, v R 3 }? Millaisen
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Vektoriavaruudet Riikka Kangaslampi kevät 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Idea Lineaarisen systeemin ratkaiseminen Olkoon
LisätiedotVapaus. Määritelmä. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee:
Vapaus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,..., v k R n, missä n {1, 2,... }. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee: jos c 1 v 1 + c 2 v 2 +
LisätiedotKanta ja dimensio 1 / 23
1 / 23 Kuten ollaan huomattu, saman aliavaruuden voi virittää eri määrä vektoreita. Seuraavaksi määritellään mahdollisimman pieni vektorijoukko, joka virittää aliavaruuden. Jokainen aliavaruuden alkio
Lisätiedot1 Sisätulo- ja normiavaruudet
1 Sisätulo- ja normiavaruudet 1.1 Sisätuloavaruus Määritelmä 1. Olkoon V reaalinen vektoriavaruus. Kuvaus : V V R on reaalinen sisätulo eli pistetulo, jos (a) v w = w v (symmetrisyys); (b) v + u w = v
Lisätiedot802320A LINEAARIALGEBRA OSA II
802320A LINEAARIALGEBRA OSA II Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 64 Sisätuloavaruus Määritelmä 1 Olkoon V reaalinen vektoriavaruus. Kuvaus on reaalinen
LisätiedotVapaus. Määritelmä. jos c 1 v 1 + c 2 v c k v k = 0 joillakin c 1,..., c k R, niin c 1 = 0, c 2 = 0,..., c k = 0.
Vapaus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,..., v k R n, missä n {1, 2,... }. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee: jos c 1 v 1 + c 2 v 2 +
LisätiedotVektorien virittämä aliavaruus
Vektorien virittämä aliavaruus Esimerkki 13 Mikä ehto vektorin w = (w 1, w 2, w 3 ) komponenttien on toteutettava, jotta w kuuluu vektoreiden v 1 = (3, 2, 1), v 2 = (2, 2, 6) ja v 3 = (3, 4, 5) virittämään
Lisätiedot1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus
1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1.1 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä V epätyhjä joukko. Oletetaan, että joukossa V on määritelty laskutoimitus
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Vektoriavaruudet Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 17 R. Kangaslampi Vektoriavaruudet Vektoriavaruus
Lisätiedot802320A LINEAARIALGEBRA OSA I
802320A LINEAARIALGEBRA OSA I Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 72 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä
Lisätiedotk=0 saanto jokaisen kolmannen asteen polynomin. Tukipisteet on talloin valittu
LIS AYKSI A kirjaan Reaalimuuttujan analyysi 1.6. Numeerinen integrointi: Gaussin kaavat Edella kasitellyt numeerisen integroinnin kaavat eli kvadratuurikaavat Riemannin summa, puolisuunnikassaanto ja
LisätiedotNumeeriset menetelmät TIEA381. Luento 4. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 4 () Numeeriset menetelmät / 44
Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 4 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 4 () Numeeriset menetelmät 21.3.2013 1 / 44 Luennon 4 sisältö Lineaarisen yhtälöryhmän ratkaisemisesta: Choleskyn menetelmä
LisätiedotLineaarialgebra ja matriisilaskenta II. LM2, Kesä /141
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II LM2, Kesä 2012 1/141 Kertausta: avaruuden R n vektorit Määritelmä Oletetaan, että n {1, 2, 3,...}. Avaruuden R n alkiot ovat jonoja, joissa on n kappaletta reaalilukuja.
LisätiedotMääritelmä Olkoon T i L (V i, W i ), 1 i m. Yksikäsitteisen lineaarikuvauksen h L (V 1 V 2 V m, W 1 W 2 W m )
Määritelmä 519 Olkoon T i L V i, W i, 1 i m Yksikäsitteisen lineaarikuvauksen h L V 1 V 2 V m, W 1 W 2 W m h v 1 v 2 v m T 1 v 1 T 2 v 2 T m v m 514 sanotaan olevan kuvausten T 1,, T m indusoima ja sitä
LisätiedotLineaarikuvauksen R n R m matriisi
Lineaarikuvauksen R n R m matriisi Lauseessa 21 osoitettiin, että jokaista m n -matriisia A vastaa lineaarikuvaus L A : R n R m, jolla L A ( v) = A v kaikilla v R n. Osoitetaan seuraavaksi käänteinen tulos:
LisätiedotAvaruuden R n aliavaruus
Avaruuden R n aliavaruus 1 / 41 Aliavaruus Esimerkki 1 Kuva: Suora on suljettu yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen suhteen. 2 / 41 Esimerkki 2 Kuva: Suora ei ole suljettu yhteenlaskun ja skalaarilla
LisätiedotMatriisilaskenta, LH4, 2004, ratkaisut 1. Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot, jotka sisältävät vain
Matriisilaskenta LH4 24 ratkaisut 1 Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot jotka sisältävät vain a) Kaikki muotoa (a b c d) olevat vektorit joilla d a + b b) Kaikki muotoa (a b c d) olevat vektorit
LisätiedotKertausta: avaruuden R n vektoreiden pistetulo
Kertausta: avaruuden R n vektoreiden pistetulo Määritelmä Vektoreiden v R n ja w R n pistetulo on v w = v 1 w 1 + v 2 w 2 + + v n w n. Huom. Pistetulo v w on reaaliluku! LM2, Kesä 2012 227/310 Kertausta:
Lisätiedot1. Normi ja sisätulo
Kurssimateriaalia K3/P3-kursille syksyllä 3 83 Heikki Apiola Sisältää otteita Timo Eirolan L3-kurssin lineaarialgebramonisteesta, jonka lähdekoodin Timo on ystävällisesti antanut käyttööni Normi ja sisätulo
Lisätiedot5 Differentiaaliyhtälöryhmät
5 Differentiaaliyhtälöryhmät 5.1 Taustaa ja teoriaa Differentiaaliyhtälöryhmiä tarvitaan useissa sovelluksissa. Toinen motivaatio yhtälöryhmien käytölle: Korkeamman asteen differentiaaliyhtälöt y (n) =
LisätiedotKuvaus. Määritelmä. LM2, Kesä /160
Kuvaus Määritelmä Oletetaan, että X ja Y ovat joukkoja. Kuvaus eli funktio joukosta X joukkoon Y on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon X alkioon täsmälleen yhden alkion, joka kuuluu joukkoon Y. Merkintä
LisätiedotYhtälöryhmä matriisimuodossa. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia. 2x1 x 2 = 1 x 1 + x 2 = 5.
2. MS-A4/A6 Matriisilaskenta 2. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 5.9.25 Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia { 2x x 2 = x + x 2
LisätiedotAiheet. Kvadraattinen yhtälöryhmä. Kvadraattinen homogeeninen YR. Vapaa tai sidottu matriisi. Vapauden tutkiminen. Yhteenvetoa.
Yhtälöryhmän ratkaisujen lukumäärä, L8 Esimerkki kvadraattinen Haluamme ratkaista n 4x + y z = x + y + z = 5 x + y + z = 4 4 x 4 + y x y z = + z 5 4 = 5 4 Esimerkki kvadraattinen Yhtälöryhmä on kvadraattinen,
Lisätiedot5 Ominaisarvot ja ominaisvektorit
5 Ominaisarvot ja ominaisvektorit Olkoon A = [a jk ] n n matriisi. Tarkastellaan vektoriyhtälöä Ax = λx, (1) missä λ on luku. Sellaista λ:n arvoa, jolla yhtälöllä on ratkaisu x 0, kutsutaan matriisin A
LisätiedotLineaarikuvausten. Lineaarikuvaus. Lineaarikuvauksia. Ydin. Matriisin ydin. aiheita. Aiheet. Lineaarikuvaus. Lineaarikuvauksen matriisi
Lineaarikuvaukset aiheita ten ten 1 Matematiikassa sana lineaarinen liitetään kahden lineaariavaruuden väliseen kuvaukseen. ten Määritelmä Olkoon (L, +, ) ja (M, ˆ+, ˆ ) reaalisia lineaariavaruuksia, ja
Lisätiedotx = y x i = y i i = 1, 2; x + y = (x 1 + y 1, x 2 + y 2 ); x y = (x 1 y 1, x 2 + y 2 );
LINEAARIALGEBRA Harjoituksia/Exercises 2017 1. Olkoon n Z +. Osoita, että (R n, +, ) on lineaariavaruus, kun vektoreiden x = (x 1,..., x n ), y = (y 1,..., y n ) identtisyys, yhteenlasku ja reaaliluvulla
Lisätiedot7 Vapaus. 7.1 Vapauden määritelmä
7 Vapaus Kuten edellisen luvun lopussa mainittiin, seuraavaksi pyritään ratkaisemaan, onko annetussa aliavaruuden virittäjäjoukossa tarpeettomia vektoreita Jos tällaisia ei ole, virittäjäjoukkoa kutsutaan
LisätiedotSisätuloavaruudet. 4. lokakuuta 2006
Sisätuloavaruudet 4. lokakuuta 2006 Tässä esityksessä vektoriavaruudet V ja W ovat kompleksisia ja äärellisulotteisia. Käydään ensin lyhyesti läpi määritelmiä ja perustuloksia. Merkitään L(V, W ) :llä
LisätiedotVektoreiden virittämä aliavaruus
Vektoreiden virittämä aliavaruus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,... v k R n. Näiden vektoreiden virittämä aliavaruus span( v 1, v 2,... v k ) tarkoittaa kyseisten vektoreiden kaikkien lineaarikombinaatioiden
LisätiedotBM20A5840 Usean muuttujan funktiot ja sarjat Harjoitus 7, Kevät 2018
BM20A5840 Usean muuttujan funktiot ja sarjat Harjoitus 7, Kevät 2018 Tehtävä 8 on tällä kertaa pakollinen. Aloittakaapa siitä. 1. Kun tässä tehtävässä sanotaan sopii mahdollisimman hyvin, sillä tarkoitetaan
LisätiedotYhtälöryhmä matriisimuodossa. MS-A0007 Matriisilaskenta. Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia. 2x1 x 2 = 1 x 1 + x 2 = 5.
2. MS-A000 Matriisilaskenta 2. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2..205 Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia { 2x x 2 = x x 2 =
LisätiedotFunktioiden approksimointi ja interpolointi
Funktioiden approksimointi ja interpolointi Keijo Ruotsalainen Division of Mathematics interpolaatio-ongelma 8 Eksponenttifunktion exp(x) interpolointi 3.5 Funktion e^{0.25x} \sin(x) interpolointi 7 3
Lisätiedot(1.1) Ae j = a k,j e k.
Lineaarikuvauksen determinantti ja jälki 1. Lineaarikuvauksen matriisi. Palautetaan mieleen, mikä lineaarikuvauksen matriisi annetun kannan suhteen on. Olkoot V äärellisulotteinen vektoriavaruus, n = dim
LisätiedotPäättelyn voisi aloittaa myös edellisen loppupuolelta ja näyttää kuten alkupuolella, että välttämättä dim W < R 1 R 1
Lineaarialgebran kertaustehtävien b ratkaisuista. Määritä jokin kanta sille reaalikertoimisten polynomien lineaariavaruuden P aliavaruudelle, jonka virittää polynomijoukko {x, x+, x x }. Ratkaisu. Olkoon
LisätiedotRatkaisuehdotukset LH 7 / vko 47
MS-C34 Lineaarialgebra, II/7 Ratkaisuehdotukset LH 7 / vko 47 Tehtävä : Olkoot M R symmetrinen ja positiividefiniitti matriisi (i) Näytä, että m > ja m > (ii) Etsi Eliminaatiomatriisi E R siten, että [
LisätiedotMatriisilaskenta Luento 12: Vektoriavaruuden kannan olemassaolo
Matriisilaskenta Luento 12: Vektoriavaruuden kannan olemassaolo Antti Rasila 2016 Vektoriavaruuden kannan olemassaolo Jos {v 1, v 2,..., v k } on äärellisulotteisen vektoriavaruuden V lineaarisesti riippumaton
Lisätiedot3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä
3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä Lineaarinen m:n yhtälön yhtälöryhmä, jossa on n tuntematonta x 1,, x n on joukko yhtälöitä, jotka ovat muotoa a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a 21
LisätiedotLineaarialgebra ja matriisilaskenta I
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I 29.5.2013 HY / Avoin yliopisto Jokke Häsä, 1/26 Kertausta: Kanta Määritelmä Oletetaan, että w 1, w 2,..., w k W. Vektorijono ( w 1, w 2,..., w k ) on aliavaruuden
Lisätiedot2.5. Matriisin avaruudet ja tunnusluvut
2.5. Matriisin avaruudet ja tunnusluvut m n-matriisi A Lineaarikuvaus A : V Z, missä V ja Z ovat sopivasti valittuja, dim V = n, dim Z = m (yleensä V = R n tai C n ja Z = R m tai C m ) Kuva-avaruus ja
LisätiedotNumeeriset menetelmät
Numeeriset menetelmät Luento 5 Ti 20.9.2011 Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 5 Ti 20.9.2011 p. 1/40 p. 1/40 Choleskyn menetelmä Positiivisesti definiiteillä matriiseilla kolmiohajotelma
LisätiedotKertausta: avaruuden R n vektoreiden pistetulo
Kertausta: avaruuden R n vektoreiden pistetulo Määritelmä Vektoreiden v R n ja w R n pistetulo on v w = v 1 w 1 + v 2 w 2 + + v n w n. Huom. Pistetulo v w on reaaliluku! LM2, Kesä 2014 164/246 Kertausta:
LisätiedotAiheet. Kvadraattinen yhtälöryhmä. Kvadraattinen homogeeninen YR. Vapaa tai sidottu matriisi. Vapauden tutkiminen. Yhteenvetoa.
Yhtälöryhmän ratkaisujen lukumäärä, L26 Esimerkki 1 kvadraattinen 1 Haluamme ratkaista n 4x + y z = 2 x + 2y + z = 5 2x + 2y + 2z = 4 4 1 1 1 2 1 2 2 2 x 4 1 2 + y x y z 1 2 2 = + z 2 5 4 1 1 2 = 2 5 4
Lisätiedot6. OMINAISARVOT JA DIAGONALISOINTI
0 6 OMINAISARVOT JA DIAGONALISOINTI 6 Ominaisarvot ja ominaisvektorit Olkoon V äärellisulotteinen vektoriavaruus, dim(v ) = n ja L : V V lineaarikuvaus Määritelmä 6 Skalaari λ R on L:n ominaisarvo, jos
LisätiedotMatriisialgebra harjoitukset, syksy x 1 + x 2 = a 0
MATRIISIALGEBRA, s, Ratkaisuja/ MHamina & M Peltola 22 Virittääkö vektorijoukko S vektoriavaruuden V, kun a V = R 3 ja S = {(1,0, 1,(2,0,4,( 5,0,2,(0,0,1} b V = P 2 (R ja S = {t1,t 2 1,t 2 t} ( ( 1 0 c
Lisätiedot1 Ominaisarvot ja ominaisvektorit
1 Ominaisarvot ja ominaisvektorit Olkoon A = [a jk ] n n matriisi. Tarkastellaan vektoriyhtälöä Ax = λx, (1) 1 missä λ on luku. Sellaista λ:n arvoa, jolla yhtälöllä on ratkaisu x 0, kutsutaan matriisin
LisätiedotLiittomatriisi. Liittomatriisi. Määritelmä 16 Olkoon A 2 M(n, n). Matriisin A liittomatriisi on cof A 2 M(n, n), missä. 1) i+j det A ij.
Liittomatriisi Määritelmä 16 Olkoon A 2 M(n, n). Matriisin A liittomatriisi on cof A 2 M(n, n), missä (cof A) ij =( 1) i+j det A ij kaikilla i, j = 1,...,n. Huomautus 8 Olkoon A 2 M(n, n). Tällöin kaikilla
LisätiedotOminaisvektoreiden lineaarinen riippumattomuus
Ominaisvektoreiden lineaarinen riippumattomuus Lause 17 Oletetaan, että A on n n -matriisi. Oletetaan, että λ 1,..., λ m ovat matriisin A eri ominaisarvoja, ja oletetaan, että v 1,..., v m ovat jotkin
LisätiedotLikimääräisratkaisut ja regularisaatio
Luku 3 Likimääräisratkaisut ja regularisaatio Käytännön inversio-ongelmissa annettu data y ei aina ole tarkkaa, vaan sisältää häiriöitä. Tuntemattomasta x on annettu häiriöinen data y F (x + }{{}}{{} ε.
Lisätiedot5.1. Normi ja suppeneminen Vektoriavaruus V on normiavaruus, jos siinä on määritelty normi : V R + = [0, ) jolla on ominaisuudet:
5.. Normi ja suppeneminen Vektoriavaruus V on normiavaruus, jos siinä on määritelty normi : V R + = [, ) jolla on ominaisuudet: x = x = x + y x + y, x, y V a x = a x, x V, a K (= R tai C) Esimerkki 5..
Lisätiedot802320A LINEAARIALGEBRA OSA III
802320A LINEAARIALGEBRA OSA III Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 56 Määritelmä Määritelmä 1 Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V
LisätiedotMääritelmä 1. Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V. Termejä: Lineaarikuvaus, Lineaarinen kuvaus.
1 Lineaarikuvaus 1.1 Määritelmä Määritelmä 1. Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V W on lineaarinen, jos (a) L(v + w) = L(v) + L(w); (b) L(λv) = λl(v) aina, kun v, w V ja λ K. Termejä:
Lisätiedot13. Taylorin polynomi; funktioiden approksimoinnista. Muodosta viidennen asteen Taylorin polynomi kehityskeskuksena origo funktiolle
13. Taylorin polynomi; funktioiden approksimoinnista 13.1. Taylorin polynomi 552. Muodosta funktion f (x) = x 4 + 3x 3 + x 2 + 2x + 8 kaikki Taylorin polynomit T k (x, 2), k = 0,1,2,... (jolloin siis potenssien
LisätiedotLineaarialgebra, kertausta aiheita
Lineaarialgebra, kertausta aiheita Matriisitulo käänteismatriisi determinantin kehittäminen determinantin ominaisuudet adjungaatti ja Cramerin kaavat yhtälöryhmän eri esitystavat Gauss-Jordan -algoritmi
LisätiedotNumeeriset menetelmät TIEA381. Luento 3. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 3 () Numeeriset menetelmät / 45
Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 3 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 3 () Numeeriset menetelmät 20.3.2013 1 / 45 Luennon 3 sisältö Luku 2: Epälineaarisen yhtälön ratkaiseminen Polynomin reaaliset
LisätiedotEnnakkotehtävän ratkaisu
Ennakkotehtävän ratkaisu Ratkaisu [ ] [ ] 1 3 4 3 A = ja B =. 1 4 1 1 [ ] [ ] 4 3 12 12 1 0 a) BA = =. 1 + 1 3 + 4 0 1 [ ] [ ] [ ] 1 0 x1 x1 b) (BA)x = =. 0 1 x 2 x [ ] [ ] [ 2 ] [ ] 4 3 1 4 9 5 c) Bb
Lisätiedot3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä
1 3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä Lineaarinen m:n yhtälön yhtälöryhmä, jossa on n tuntematonta x 1,, x n on joukko yhtälöitä, jotka ovat muotoa a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a
LisätiedotNumeeriset menetelmät
Numeeriset menetelmät Luento 10 To 6.10.2011 Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 10 To 6.10.2011 p. 1/35 p. 1/35 Numeerinen integrointi Puolisuunnikassääntö b a f(x)dx = h 2 (f 0 + f
LisätiedotNumeeriset menetelmät
Numeeriset menetelmät Luento 3 Ti 13.9.2011 Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 3 Ti 13.9.2011 p. 1/37 p. 1/37 Epälineaariset yhtälöt Newtonin menetelmä: x n+1 = x n f(x n) f (x n ) Sekanttimenetelmä:
LisätiedotMatikkapaja keskiviikkoisin klo Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/210
Matikkapaja keskiviikkoisin klo 14-16 Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/210 Lineaarialgebra (muut ko) p. 2/210 Operaatiot Vektoreille u = (u 1,u 2 ) ja v = (v 1,v 2 ) Yhteenlasku: u+v = (u 1 +v 1,u 2 +v 2
LisätiedotKantavektorien kuvavektorit määräävät lineaarikuvauksen
Kantavektorien kuvavektorit määräävät lineaarikuvauksen Lause 18 Oletetaan, että V ja W ovat vektoriavaruuksia. Oletetaan lisäksi, että ( v 1,..., v n ) on avaruuden V kanta ja w 1,..., w n W. Tällöin
LisätiedotPienimmän Neliösumman menetelmä (PNS)
neliösumman Perusongelman kuvaus 1 Tarkastellaan neljää pitkää aikasarjaa q 1 = (q 11,q 21,...,q 10,1 ) T, q 2 = (q 12,q 22,...,q 10,2 ) T, q 3 = (q 13,q 23,...,q 10,3 ) T, ja p 1 = (p 11,p 21,...,p 10,1
LisätiedotLineaarialgebra ja matriisilaskenta I, HY Kurssikoe Ratkaisuehdotus. 1. (35 pistettä)
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I, HY Kurssikoe 26.10.2017 Ratkaisuehdotus 1. (35 pistettä) (a) Seuraavat matriisit on saatu eräistä yhtälöryhmistä alkeisrivitoimituksilla. Kuinka monta ratkaisua yhtälöryhmällä
LisätiedotGaussin ja Jordanin eliminointimenetelmä
1 / 25 : Se on menetelmä lineaarisen yhtälöryhmän ratkaisemiseksi. Sitä käytetään myöhemmin myös käänteismatriisin määräämisessä. Ideana on tiettyjä rivioperaatioita käyttäen muokata yhtälöryhmää niin,
LisätiedotOminaisarvoon 4 liittyvät ominaisvektorit ovat yhtälön Ax = 4x eli yhtälöryhmän x 1 + 2x 2 + x 3 = 4x 1 3x 2 + x 3 = 4x 2 5x 2 x 3 = 4x 3.
Matematiikan ja tilastotieteen laitos Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II Ylimääräinen harjoitus 6 Ratkaisut A:n karakteristinen funktio p A on λ p A (λ) det(a λi ) 0 λ ( λ) 0 5 λ λ 5 λ ( λ) (( λ) (
LisätiedotMatikkapaja keskiviikkoisin klo Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/81
Matikkapaja keskiviikkoisin klo 14-16 Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/81 Lineaarialgebra (muut ko) p. 2/81 Operaatiot Vektoreille u = (u 1,u 2 ) ja v = (v 1,v 2 ) Yhteenlasku: u+v = (u 1 +v 1,u 2 +v 2 )
LisätiedotNumeerinen analyysi Harjoitus 3 / Kevät 2017
Numeerinen analyysi Harjoitus 3 / Kevät 2017 Palautus viimeistään perjantaina 17.3. Tehtävä 1: Tarkastellaan funktion f(x) = x evaluoimista välillä x [2.0, 2.3]. Muodosta interpoloiva polynomi p 3 (x),
LisätiedotNumeeriset menetelmät TIEA381. Luento 14. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 14 () Numeeriset menetelmät / 55
Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 14 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 14 () Numeeriset menetelmät 15.5.2013 1 / 55 Luennon 14 sisältö Nopeat Fourier-muunnokset (FFT) Yleinen algoritmi 2-kantainen
LisätiedotLineaarialgebra ja matriisilaskenta I
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I 23.5.2013 HY / Avoin yliopisto Jokke Häsä, 1/22 Käytännön asioita Ensimmäiset tehtävät olivat sujuneet hyvin. Kansilehdet on oltava mukana tehtäviä palautettaessa,
LisätiedotKäänteismatriisi 1 / 14
1 / 14 Jokaisella nollasta eroavalla reaaliluvulla on käänteisluku, jolla kerrottaessa tuloksena on 1. Seuraavaksi tarkastellaan vastaavaa ominaisuutta matriiseille ja määritellään käänteismatriisi. Jokaisella
LisätiedotInversio-ongelmien laskennallinen peruskurssi Luento 7 8
Inversio-ongelmien laskennallinen peruskurssi Luento 7 8 Kevät 2011 1 Iteratiivisista menetelmistä Tähän mennessä on tarkasteltu niin sanottuja suoria menetelmiä, joissa (likimääräinen) ratkaisu saadaan
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
LisätiedotLineaarialgebra ja matriisilaskenta I
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I 30.5.2013 HY / Avoin yliopisto Jokke Häsä, 1/19 Käytännön asioita Kurssi on suunnilleen puolessa välissä. Kannattaa tarkistaa tavoitetaulukosta, mitä on oppinut ja
LisätiedotPienimmän neliösumman menetelmä (PNS)
neliösumman Perusongelman kuvaus 1 Tarkastellaan neljää pitkää aikasarjaa q 1 = (q 11,q 21,...,q 10,1 ) T, q 2 = (q 12,q 22,...,q 10,2 ) T, q 3 = (q 13,q 23,...,q 10,3 ) T, ja p 1 = (p 11,p 21,...,p 10,1
LisätiedotMatriisiteoria Harjoitus 1, kevät Olkoon. cos α sin α A(α) = . sin α cos α. Osoita, että A(α + β) = A(α)A(β). Mikä matriisi A(α)A( α) on?
Harjoitus 1, kevät 007 1. Olkoon [ ] cos α sin α A(α) =. sin α cos α Osoita, että A(α + β) = A(α)A(β). Mikä matriisi A(α)A( α) on?. Olkoon a x y A = 0 b z, 0 0 c missä a, b, c 0. Määrää käänteismatriisi
LisätiedotPienimmän neliösumman menetelmä (PNS)
neliösumman Perusongelman kuvaus 1 Tarkastellaan neljää pitkää aikasarjaa q 1 = (q 11,q 21,...,q 10,1 ) T, q 2 = (q 12,q 22,...,q 10,2 ) T, q 3 = (q 13,q 23,...,q 10,3 ) T, ja p 1 = (p 11,p 21,...,p 10,1
LisätiedotLuento 8: Epälineaarinen optimointi
Luento 8: Epälineaarinen optimointi Vektoriavaruus R n R n on kaikkien n-jonojen x := (x,..., x n ) joukko. Siis R n := Määritellään nollavektori 0 = (0,..., 0). Reaalisten m n-matriisien joukkoa merkitään
Lisätiedot6 Vektoriavaruus R n. 6.1 Lineaarikombinaatio
6 Vektoriavaruus R n 6.1 Lineaarikombinaatio Määritelmä 19. Vektori x œ R n on vektorien v 1,...,v k œ R n lineaarikombinaatio, jos on olemassa sellaiset 1,..., k œ R, että x = i v i. i=1 Esimerkki 30.
Lisätiedot