Matriisin eksponenttifunktio ja differentiaaliyhtälöryhmät

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Matriisin eksponenttifunktio ja differentiaaliyhtälöryhmät"

Transkriptio

1 Matriisin eksponenttifunktio ja differentiaaliyhtälöryhmät Petra Maaskola Matematiikan pro gradu Jyväskylän yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Kevät 203

2 Tiivistelmä: Petra Maaskola, Matriisin eksponenttifunktio ja differentiaaliyhtälöryhmät (engl. The matrix exponential function and differential equations), matematiikan pro gradu -tutkielma, 45. s., Jyväskylän yliopisto, Matematiikan ja tilastotieteen laitos, kevät 203. Tämän tutkielman tarkoituksena on rakentaa tarvittavat tiedot lineaaristen vakiokertoimisten differentiaaliyhtälöryhmien x (t) = Ax(t) ratkaisemiseen matriisin eksponenttifunktion avulla. Lisäksi tarkastellaan miten matriisin A ominaisuudet liittyvät differentiaaliyhtälön ratkaisujen ominaisuuksiin. Matriisin eksponenttifunktio määritellään sarjakehitelmän avulla siten, että e A = n=0 n! An kaikille neliömatriiseille A. Sarjan suppenemista varten tarvitaan matriisinormi, joka saadaan vektorinormin avulla. Koska sarja suppenee, niin määritelmä on hyvin asetettu. Vakiokertoimiseen differentiaaliyhtälöön x (t) = Ax(t) liittyvä alkuarvotehtävä saadaan, kun annetaan lisäehdoksi ratkaisun lähtöpiste x(t 0 ) = x 0. Alkuarvotehtävän ratkaisu on yksikäsitteinen ja muotoa x(t) = e ta x 0. Eksponenttifunktion e ta laskeminen riippuu matriisin A tyypistä. Jos matriisi on diagonalisoituva, laskeminen on suoraviivaista. Riittää ratkaista matriisin ominaisarvot ja -vektorit. Jos taas matriisi A ei ole diagonalisoituva, tarvitaan sen Jordanin matriisia J A. Matriisin A ominaisarvot ja -vektorit ratkaistaan sen karakteristisen polynomin p A (λ) = det(λi A) avulla. Jos matriisi A on diagonalisoituva, sen jokaisen ominaisarvon kertaluku yhtälön p A (λ) = 0 juurena on yhtä suuri kuin sitä vastaavien lineaarisesti riippumattomien ominaisvektoreiden lukumäärä. Tällöin matriisin A eksponenttifunktio lasketaan siten, että e A = V e D V, missä matriisin D diagonaalilla on matriisin A ominaisarvot ja matriisi V muodostuu matriisin A ominaisvektoreista. Jos matriisi A taas ei ole diagonalisoituva, sillä ei ole tarpeeksi ominaisvektoreita. Kun kasvatetaan lineaarisesti riippumattomien vektoreiden määrää sopivasti, saadaan matriisi V. Tällöin ominaisarvosta koostuvan matriisin ja nilpotentin matriisin summa muodostaa Jordanin lohkon J(λ, r). Nilpotentti N on sellainen matriisi, jolle N k on jostain luvusta k alkaen nolla. Jordanin matriisi J A taas muodostuu Jordanin lohkoista. Nyt matriisi A on similaarinen sen Jordanin matriisin kanssa eli A = V J A V, jolloin matriisin A eksponenttifunktio ratkaistaan yhtälöstä e A = V e J A V. Differentiaaliyhtälöiden x (t) = Ax(t) ratkaisujen ominaisuudet riippuvat matriisin A ominaisarvoista λ i. Kun kirjoitetaan ratkaisu ominaisvektorikannassa {x,..., x n }, sen termit ovat muotoa e tλ i x i, joten ratkaisukäyrän käyttäytyminen, kun t, nähdään suoraan ominaisarvojen reaaliosien merkeistä. Differentiaaliyhtälön x (t) = f(x(t)) tasapainopisteeksi kutsutaan pistettä p, jos funktio x(t) = p kaikilla t on ratkaisu. Näin on erityisesti silloin, kun f(p) = 0. Differentiaaliyhtälön tasapainopistettä kutsutaan stabiiliksi, jos ratkaisukäyrät ovat rajoitetulla etäisyydellä tasapainopisteestä. Jos taas kaikki ratkaisut lähestyvät tasapainopistettä, se on asymptoottisesti stabiili. Myös stabiilisuutta voidaan siis tarkastella ominaisarvojen avulla. Avainsanat: Matriisin eksponenttifunktio, diagonalisoituva, Jordanin matriisi, differentiaaliyhtälö, stabiilisuus. i

3 Sisältö Johdanto Luku. Lineaarialgebraa 3.. Vektorin ja matriisin normi 3.2. Ominaisarvoteoriaa 7 Luku 2. Matriisin eksponenttifunktio 4 Luku 3. Matriisin eksponenttifunktion laskeminen Diagonalisoituvan matriisin eksponenttifunktio Matriisin eksponenttifunktio Jordanin muodon avulla 2 Luku 4. Differentiaaliyhtälöryhmät Peruskäsitteitä Lineaarinen vakiokertoiminen differentiaaliyhtälö 28 Luku 5. Differentiaaliyhtälöryhmien tasapainopisteiden stabiilisuus 40 Liite A. Merkintöjä 44 Kirjallisuutta 45 ii

4 Johdanto Monia fysiikan, kemian, biologian ja muiden alojen ongelmia voidaan käsitellä matemaattisilla malleilla, jotka sisältävät lineaarisia vakiokertoimisia differentiaaliyhtälöryhmiä x (t) = Ax(t). Näitä yhtälöitä ratkaistaan matriisin eksponenttifunktion avulla. Tämän kirjoitelman tavoitteena onkin määritellä matriisin eksponenttifunktio ja differentiaaliyhtälöiden ratkaiseminen sen avulla. Lisäksi tarkastellaan miten matriisin A ominaisuudet liittyvät differentiaaliyhtälön ratkaisujen ominaisuuksiin. Lukijan oletetaan tuntevan lineaarialgebran perusteet, kuten yleisimmät laskusäännöt vektoreille ja matriiseille, sekä yleisen eksponenttifunktion määritelmän sarjakehitelmän avulla. Lisäksi differentiaaliyhtälöiden perusteet oletetaan tunnetuiksi. Erityisesti luvuissa ja 4. tulee kuitenkin myös kertausta näistä asioista, jotta kirjoitelmassa tarvittavat lähtötiedot muistuvat lukijan mieleen. Matriisin eksponenttifunktio määritellään sarjakehitelmän avulla siten, että e A = n=0 n! An kaikille neliömatriiseille A. Sarjan suppenemista varten tarvitaan matriisinormi, joka saadaan vektorinormin avulla. Koska sarja suppenee, niin määritelmä on hyvin asetettu. Vakiokertoimiseen differentiaaliyhtälöön x (t) = Ax(t) liittyvä alkuarvotehtävä saadaan, kun annetaan lisäehdoksi ratkaisun lähtöpiste x(t 0 ) = x 0. Alkuarvotehtävän ratkaisu on yksikäsitteinen ja muotoa x(t) = e ta x 0. Eksponenttifunktion e ta laskeminen riippuu matriisin A tyypistä. Jos se on diagonalisoituva, laskeminen on suoraviivaista. Riittää ratkaista matriisin ominaisarvot ja -vektorit. Jos taas matriisi A ei ole diagonalisoituva, tarvitaan sen Jordanin matriisia J A. Matriisin A ominaisarvot ja -vektorit ratkaistaan sen karakteristisen polynomin p A (λ) = det(λi A) avulla. Jos matriisi A on diagonalisoituva, sen jokaisen ominaisarvon kertaluku yhtälön p A (λ) = 0 juurena on yhtä suuri kuin sitä vastaavien lineaarisesti riippumattomien

5 JOHDANTO 2 ominaisvektoreiden lukumäärä. Tällöin matriisin A eksponenttifunktio lasketaan siten, että e A = V e D V, missä matriisin D diagonaalilla on matriisin A ominaisarvot ja matriisi V muodostuu matriisin A ominaisvektoreista. Jos matriisi A taas ei ole diagonalisoituva, sillä ei ole tarpeeksi ominaisvektoreita. Kun kasvatetaan lineaarisesti riippumattomien vektoreiden määrää sopivasti, saadaan matriisi V. Tällöin ominaisarvoista koostuvan matriisin ja nilpotentin matriisin N summasta voidaan muodostaa Jordanin lohkoja J(λ, r). Nilpotentti N on sellainen matriisi, jolle N k on jostain luvusta k alkaen nolla. Jordanin matriisi J A taas muodostuu Jordanin lohkoista. Nyt matriisi A on similaarinen sen Jordanin matriisin kanssa eli A = V J A V, jolloin matriisin A eksponenttifunktio ratkaistaan seuraavasti: e A = V e J A V. Differentiaaliyhtälöiden x (t) = Ax(t) ratkaisujen ominaisuudet riippuvat matriisin A ominaisarvoista λ i. Kun kirjoitetaan ratkaisu ominaisvektorikannassa {x,..., x n }, sen termit ovat muotoa e tλ i x i, joten ratkaisukäyrän käyttäytyminen, kun t, nähdään suoraan ominaisarvojen reaaliosien merkeistä. Differentiaaliyhtälön x (t) = f(x(t)) tasapainopisteeksi kutsutaan pistettä p, jos funktio x(t) = p on ratkaisu kaikilla t. Näin on erityisesti silloin, kun f(p) = 0. Origo on aina differentiaaliyhtälön x (t) = Ax(t) tasapainopiste. Differentiaaliyhtälön tasapainopistettä kutsutaan stabiiliksi, jos ratkaisukäyrät ovat rajoitetulla etäisyydellä tasapainopisteestä. Jos taas kaikki ratkaisut lähestyvät tasapainopistettä, se on asymptoottisesti stabiili. Myös stabiilisuutta voidaan siis tarkastella ominaisarvojen avulla. Kirjoitelman ensimmäisessä luvussa käsitellään välttämättömät lineaarialgebran tiedot, joihin kuuluvat matriisin normin käsite sekä ominaisarvoteoriaa. Toisessa luvussa annetaan matriisin eksponenttifunktion määritelmä ja näytetään, että se on hyvin asetettu. Luvussa 3 tarkastellaan miten eksponenttifunktio lasketaan diagonalisoituville ja ei-diagonalisoituville matriiseille. Luvussa 4 määritellään differentiaaliyhtälöryhmät ja päästään ratkaisemaan niitä matriisin eksponenttifunktion avulla. Viimeisessä luvussa 5 käsitellään vielä differentiaaliyhtälöiden tasapainopisteiden stabiilisuutta. Työ perustuu pääosin lähteisiin [2], [3] ja [4]. Muita esityksiä aiheesta löytyy esimerkiksi lähteistä [8], [9] ja [0]. Kirjassa [] ja luentomateriaalissa [5] on asiaa käsitelty pidemmälle. Lineaarialgebran perustiedot löytyvät lähteistä [6] ja [7].

6 LUKU Lineaarialgebraa.. Vektorin ja matriisin normi Vektoriavaruudessa on määritelty yhteenlasku ja skalaarilla kertominen sekä myös muita laskutoimituksia, kuten vektoreiden pituuksien laskeminen. Oletetaan yleisimmät vektoriavaruuden laskutoimitukset tunnetuiksi. Normiavaruus on vektoriavaruus, jossa on määritelty jokin vektorin pituusfunktio eli normi. Sisätulolla varustettua vektoriavaruutta taas kutsutaan sisätuloavaruudeksi ja sisätulon avulla voidaan myös määritellä normi sekä lisäksi vektorien välisiä kulmia. Annetaan seuraavaksi tarkempi määritelmä normille. Määritelmä.. Olkoon V K-kertoiminen vektoriavaruus, missä K on R tai C. Kuvaus : V R on normi, jos se toteuttaa (i) v 0 kaikilla v V. (ii) v = 0 v = 0. (iii) v + u v + u kaikilla v, u V. (iv) αv = α v kaikilla α K, v V. Tunnetuin vektoriavaruuden normi esitellään seuraavassa esimerkissä. Esimerkki.2. Euklidinen normi vektoriavaruudessa R n on ( n ) 2 x 2 = x i 2 = (x x) 2, i= missä (x x) on vektorin x sisätulo itsensä kanssa. Vektorin x normi toteuttaa selvästi normille määritelmässä. määritetyt ehdot (i), (ii) ja (iv). Myös ehto (iii) eli vektorinormin kolmioepäyhtälö toteutuu, sillä sisätulon ominaisuuksien ja Cauchyn- Schwarzin epäyhtälön (x y) x y nojalla joten x + y 2 = (x + y x + y) = (x x) + (x y) + (y x) + (y y) = x 2 +2 (x y) + y 2 x 2 +2 x y + y 2 = ( x + y ) 2, x + y x + y kaikilla x, y V. Yleisimpiin vektorinormeihin kuuluu myös esimerkiksi niin sanottu ykkösnormi ja ääretön-normi eli n x = x ja x = max x i. i n i= 3

7 .. VEKTORIN JA MATRIISIN NORMI 4 Normiavaruudessa voidaan siis mitata vektoreiden pituuksia. Normin avulla voidaan määrittää myös alkioiden välinen etäisyys, joka on d(v, u) = v u. Siten voidaan määrittää vektorijonojen suppeneminen seuraavasti: Vektorijono (x i ) i= suppenee kohti vektoria x, jos lim x i x = 0. i Nyt kun tunnetaan vektorijonojen ominaisuuksia, niin jatkossa pystytään niiden avulla määrittämään matriisijonojen ja -normien ominaisuuksia. Määritetään seuraavaksi siis matriisinormi. Olkoon jokin vektorinormi. Mitataan matriisin kokoa sillä, kuinka pitkiksi vektoreiksi yksikkövektorit kuvautuvat matriisilla kerrottaessa. Näin ollen matriisille A R m n asetetaan (.) A = max x = Ax Kuva.. Yksikkövektorin kuvautuminen matriisilla kerrottaessa Näytetään, että myös matriisinormi toteuttaa normille asetetut neljä ehtoa määritelmän. antamien vektorinormin ominaisuuksien avulla: (i) Selvästi A = max x = Ax 0 kaikilla A Rm n. (ii) Jos A 0, niin sillä on olemassa elementti a ij 0. Valitaan x = e j, jolloin a ij Ax =. 0 ja A Ax > 0. a mj Siten jos A = 0, niin A = 0 kaikilla A R m n.

8 .. VEKTORIN JA MATRIISIN NORMI 5 (iii) Matriisinormin määritelmän perusteella A + B = max (A + B)x = max Ax + Bx x = x = max ( Ax + Bx ) x = max Ax + max Bx = A + B, x = x = missä käytettiin vektorinormin kolmioepäyhtälöä. (iv) Edelleen matriisinormin määritelmän ja määritelmän. kohdan (iv) perusteella αa = max αax = max α Ax = α A. x = x = Matriisinormi siis toteuttaa normille asetetut ehdot ja sillä on vastaavat ominaisuudet kuin vektorinormilla. Näytetään matriisinormille lemman muodossa vielä kaksi hyödyllistä ominaisuutta. Ensimmäinen kertoo, että vektori- ja matriisinormi ovat yhteensopivat. Lemma.3. Matriisinormille pätee (i) Ax A x (ii) AB A B kaikilla matriiseilla A ja B sekä vektoreilla x R n. Todistus. (i) Olkoon y = x, kun x 0. Tällöin y = x x joten A Ay = Ax x, ja saadaan Kun x = 0, niin Ax A x. Ax = 0 = A x, joten väite on selvä. (ii) Käyttämällä kohtaa (i) ja matriisinormin määritelmää saadaan joten väite pätee. AB = max (AB)x = max A(Bx) x = x = max A Bx = A max Bx x = x = = A B, x =, Tarkastellaan seuraavaksi normia A = (a ij ). Varustetaan siis reaalisten n n -matriisien vektoriavaruus M n myös normilla (.2) A = (a ij ) = max i,j n a ij.

9 .. VEKTORIN JA MATRIISIN NORMI 6 Normit A = max x = Ax ja A = max i,j n a ij eivät aina ole yhtäsuuria matriisille A, mutta ne ovat kuitenkin ekvivalentteja keskenään. Todistetaan se seuraavaksi. Lause.4. Normit A a = max x = Ax ja A b = max i,j n a ij ovat ekvivalentteja eli on olemassa positiiviset reaaliluvut c ja c 2 siten, että kaikilla matriiseilla A R m n. c A a A b c 2 A a Todistus. Todistetaan ensin ensimmäinen epäyhtälö: Olkoon x mielivaltainen vektori, jolle x =. Tällöin vektorin Ax j:nnen alkion neliötä voidaan arvioida seuraavasti: ( n (Ax) 2 j = i= a ji x i ) 2 max i,j n a ij 2 max i,j n a ij 2 ( n ) 2 x i i= ( n ) ( 2 n 2 i= ( = max a ij 2 n 2 2 i,j n = n max i,j n a ij 2, missä käytettiin Cauchyn-Schwarzin epäyhtälöä. Nyt kun j =,..., n, niin edellisen nojalla n Ax 2 = (Ax) 2 j n 2 max a ij i,j n j= ja väite seuraa tästä, kun valitaan c = n. Todistetaan vielä jälkimmäinen epäyhtälö: ( aij 2) 2 ( n j= a ij 2 ) 2 Tämä pätee mille tahansa matriisin A alkiolle, joten eli väite pätee vakiolla c 2 =. ) 2 i= x 2 i ) 2 = Ae j A e j = A. max a ij max Ax i,j n x = Annetaan nyt määritelmä matriisijonojen suppenemiselle. 2

10 .2. OMINAISARVOTEORIAA 7 Määritelmä.5. Matriisijono (A i ) i= suppenee kohti matriisia A, jos pätee: lim A i A = 0. i Näytetään seuraavaksi, että lauseen.4 ekvivalenteilla normeilla on samat suppenevat jonot eli kun A i A, niin A i A 0. Oletetaan ensin, että A a = max x = Ax. Tällöin A i x Ax ja x A i x Ax = (A i A)x = x (A i A) x x A i A 0. Kun taas niin nyt lauseen.4 nojalla A b = max i,j n a ij, c A i A b A i A a 0, ja siten A i A b 0. Näin ollen jono suppenee molempien normien mielessä, joten voidaan tilanteen mukaan käyttää kumpaa tahansa normia. Näytetään matriisinormille vielä seuraava ominaisuus, jota tullaan tarvitsemaan myöhemmin matriisin eksponenttifunktiota laskettaessa. niin Lemma.6. Jos lim A i A = 0, i lim CA ic CAC = 0. i Todistus. Koska matriiseille A ja B pätee AB A B, niin voidaan kirjoittaa CA i C CAC = C(A i C AC ) = C(A i A)C kun i eli väite pätee. C A i A C 0,.2. Ominaisarvoteoriaa Tarkastellaan ominaisarvoja ja -vektoreita, joita tullaan myöhemmin tarvitsemaan matriisin diagonalisoinnissa sekä Jordanin muodon määrittämisessä. Määritelmä.7. Olkoon V K-kertoiminen lineaariavaruus ja L sen lineaarikuvaus siten, että L : V V, missä K on R tai C. Tällöin, jos on olemassa λ K ja vektori v V \{0} siten, että (.3) Lv = λv,

11 .2. OMINAISARVOTEORIAA 8 niin λ on kuvauksen L ominaisarvo ja vektori v on sitä vastaava kuvauksen L ominaisvektori. Ominaisarvoon λ liittyvät ominaisvektorit taas muodostavat nollan kanssa ominaisavaruuden E L (λ) = {v V Lv = λv}. Esimerkki.8. Olkoon matriisi A = ja vektori v = [ ] T. Tällöin lineaarikuvaukselle LA : R 2 R 2 : L A x = Ax voidaan kirjoittaa yhtälö: [ [ [ 4 5 L A v = = = 5 = 5v, 2 3] 5] ] joten vektori v on kuvauksen L A ominaisvektori ja 5 sitä vastaava ominaisarvo. Neliömatriisin A K n n ominaisarvoilla ja -vektoreilla tarkoitetaan kuvauksen, jossa kerrotaan matriisilla A eli L A : K n K n : L A x = Ax, ominaisarvoja ja - vektoreita. Täten lineaarikuvauksen L A ominaisarvoyhtälö (.3) voidaan kirjoittaa muodossa Av = λv eli (λi A)v = 0. Tällä on ratkaisuja v 0 täsmälleen silloin, kun (.4) det(λi A) = 0. Näin ollen matriisin A ominaisarvot saadaan ratkaistua yhtälön (.4) avulla ja voidaan antaa seuraava määritelmä. Määritelmä.9. Matriisin A ominaisarvot λ ovat karakteristisen polynomin nollakohtia. p A (λ) = det(λi A) Algebran peruslauseen nojalla n-asteisella polynomilla on kertaluvut mukaan lukien n kompleksista juurta, joten n n-matriisilla on n ominaisarvoa, joista osa voi siis olla moninkertaisia. Sanotaan, että jos matriisin A ominaisarvo λ on matriisin A karakteristisen polynomin k-kertainen juuri, niin m a (λ) = k on ominaisarvon λ algebrallinen kertaluku. Ominaisarvon λ geometrinen kertaluku m g (λ) on ominaisarvoon λ liittyvien lineaarisesti riippumattomien ominaisvektoreiden lukumäärä eli sen ominaisavaruuden dimensio, joista lisää myöhemmin tässä luvussa. Esimerkki.0. Olkoon matriisi A = 3. 3 Määritetään karakteristisen polynomin p A (λ) = det(λi A) nollakohdat. p A (λ) = det(λi A) = λ 3 3 λ = (λ )2 3 ( 3) =λ 2 2λ + 0 = 0,

12 joten.2. OMINAISARVOTEORIAA 9 λ = 2 ± 36 = ± 3i. 2 Siis matriisin A ominaisarvot ovat λ = 3i ja λ 2 = + 3i. Määritetään vielä ominaisarvoja λ ja λ 2 vastaavat ominaisvektorit. λ = 3i : [ A λ I 0 ] 3i 3 0 i 0 = 3 3i 0 i 0 v =(, i) λ 2 = + 3i : [ A λ 2 I 0 ] = v 2 =(, i). 3i i 0 [ i ] 0 i 0 Huomataan, että reaalisen matriisin A kompleksiset ominaisarvot λ esiintyvät aina konjugaattipareina eli λ,2 = α ± βi ja siten myös ominaisvektorit ovat konjugaattipareja. Esimerkki.. Olkoon matriisi A = Matriisilla A on siis kertaluvut huomioonottaen kolme ominaisarvoa, jotka voidaan selvittää seuraavasti: λ p A (λ) = det(λi A) = 0 λ 0 = (λ ) λ λ + 2 λ + =(λ )(λ 2 + 2λ 3) = (λ )(λ )(λ + 3) = 0, kun λ = 3 tai λ =. Matriisilla A on siis ominaisarvo λ = 3 ja kahden kertaluvun ominaisarvo λ 2 =. Ratkaistaan vielä vastaavat ominaisvektorit: λ = 3 : [ A λ I 0 ] = v =(, 0, ) λ 2 = : [ A λ 2 I 0 ] = v 2, =(, 0, ), v 2,2 = (0,, 0). Tarkastellaan seuraavaksi muun muassa vektorien lineaarista riippumattomuutta, vektoriavaruuden kantoja ja matriisien similaarimuunnoksia, jotta myöhemmin voidaan määritellä diagonalisoituvat matriisit. Määritelmä.2. Vektoriavaruuden V epätyhjä osajoukko S = {v,..., v n } on lineaarisesti riippumaton, jos nollavektori voidaan voidaan esittää näiden lineaarikombinaationa vain siten, että kaikki kertoimet ovat nollia, eli jos ehdosta (.5) c v + c 2 v c n v n = 0

13 .2. OMINAISARVOTEORIAA 0 seuraa, että c = c 2 = = c n = 0. Muulloin, eli jos on muitakin ratkaisuja, joukkoa S kutsutaan lineaarisesti riippuvaksi. Silloin joukon S vektorien välillä on siis keskinäistä riippuvuutta ja jokin vektori voidaan esittää muiden vektoreiden lineaarikombinaationa. Vektorin v lineaarikombinaation c i -kertoimia kutsutaan vektorin koordinaateiksi. Yhtälö (.5) voidaan kirjoittaa matriisimuotoon (.6) Ac = 0, missä A = [ v v 2... v n ], eli vektorit vk muodostavat matriisin A sarakkeet ja c = (c,..., c n ). Jokainen äärellinen lineaarikuvaus L : U V voidaankin esittää matriisin avulla, kunhan avaruuksiin U ja V on kiinnitetty kannat. Lineaarikuvauksen L matriisiesitys riippuu siten valituista kannoista, jotka määritellään seuraavaksi. Määritelmä.3. Vektoriavaruuden V äärellistä osajoukkoa B = {b, b 2,..., b n } kutsutaan avaruuden V kannaksi, jos se on lineaarisesti riippumaton ja virittää koko vektoriavaruuden V. Jokaisella vektoriavaruudella V on kanta ja jokaisella avaruuden V kannalla on sama määrä vektoreita. Vektoriavaruuden V dimensio dim(v ) on avaruuden V kantavektoreiden lukumäärä. Tästä seuraa, että jos dim(v ) = n ja S = {v,..., v n } V on lineaarisesti riippumaton joukko, niin S on avaruuden V kanta. R n :n luonnolliseksi kannaksi kutsutaan vektorijoukkoa E n = {e, e 2,..., e n }, missä vektori e i on sellainen, jossa i:nnes alkio on ja muut nollia. Esimerkki.4. Joukko {, x, x 2,..., x n } on polynomiavaruuden P n kanta, joten dim(p n ) = n +. Vastaavasti m n-matriisien muodostaman vektoriavaruuden dimensio on dim(r m n ) = mn, koska kannaksi käy joukko matriiseja, joista jokaisella on yksi, mutta eri alkio ykkönen ja loput nollia. Näin ollen kannan matriisien lukumääräksi tulee mn. Määritellään seuraavaksi vektorin kannanvaihto. Halutaan vaihtaa vektorin v esitys kannasta B = {b, b 2,..., b n } kantaan U = {u, u 2,..., u n } ja selvitetään miten uudet koordinaatit voidaan lausua vanhojen avulla. Merkitään vektorin v koordinaatteja näissä kannoissa [v] B = (β,..., β n ) ja [v] U = (η,..., η n ). Oletetaan, että vanhat kantavektorit b j voidaan lausua uusien kantavektoreiden u i avulla seuraavasti: n b j = s ij u i, j =,..., n. Tällöin saadaan n v = η i u i = joten on oltava i= i= n β j b j = j= (.7) η i = n j= β j n s ij u i = i= ( n n ) s ij β j u i, i= n s ij β j, i =,..., n. j= j=

14 .2. OMINAISARVOTEORIAA Merkitään s... s n S (B,U) =... s n s nn Tällöin koordinaattien välinen yhtälö (.7) voidaan kirjoittaa muodossa (.8) [v] U = S (B,U) [v] B. Siis uudet koordinaatit saadaan kertomalla vanhat matriisilla S (B,U). Matriisia S kutsutaan kannanvaihtomatriisiksi. Esimerkki.5. Olkoon kannat B = {v, v 2 } ja E = {e, e 2 } ja merkitään vektorin x koordinaatteja näissä kannoissa [x] B = (α, α 2 ) ja [x] E = (β, β 2 ). Oletetaan, että vanhat kantavektorit x j voidaan lausua uusien kantavektoreiden e i avulla seuraavasti: 2 v j = s ij e i, j =, 2, joten β i = i= 2 s ij α j, i =, 2. j= Tällöin vektorin x esitys voidaan kirjoittaa seuraavasti: x =α v + α 2 v 2 = α (s e + s 2 e 2 ) + α 2 (s 2 e + s 22 e 2 ) =(s α + s 2 α 2 )e + (s 2 α + s 22 α 2 )e 2, joten s s [x] E = 2 [x] s 2 s B. 22 Merkitään s s S (B,E) = 2 s 2 s 22 ja se on siis vektorin x kannanvaihtomatriisi kannasta B kantaan E. Kuva.2. Vektorin x kannanvaihto

15 .2. OMINAISARVOTEORIAA 2 Nyt on määritelty kannanvaihto ja kannanvaihtomatriisi, niin voidaan muodostaa seuraava tärkeä tulos. Olkoon avaruuksilla U ja V kannat B U ja B V sekä uudet kannat ˆB U ja ˆB V. Lisäksi, olkoon S ja R kannanvaihtomatriisit, joten kaikille u U ja v V pätee (.9) [u] ˆBU = S[u] BU ja [v] ˆBV = R[v] BV. Tällöin [u] BU = S [u] ˆBU ja [v] BV = S [v] ˆBV. Oletetaan vielä, että A = [T ] BU,B V on lineaarikuvauksen T : U V matriisi kantojen B U ja B V suhteen, joten vektorin u lineaarikuvaus T (u) kannassa B V on vektori u kannassa B U kerrottuna matriisilla A eli [T (u)] BU = A[u] BU kaikilla u U. Kun käytetään yhtälöitä (.9), niin saadaan (.0) [T (u)] ˆBV = R[T (u)] BV = R(A[u] BU ) = R(A(S [u] ˆBV )) = (RAS )[u] ˆBV. Siis lineaarikuvauksen T matriisi  uusissa kannoissa voidaan kirjoittaa muodossa  = [T ] ˆBU, ˆB V = RAS. Erityisesti, jos U = V, B U = B V ja ˆB U = ˆB V, niin S = R ja lineaarikuvauksen T matriisi  uudessas kannassa ˆB U = ˆB V voidaan kirjoittaa muodossa  = SAS.  kutsutaan matriisin A similaarimuunnokseksi. Annetaan seuraava mää- Matriisia ritelmä. Määritelmä.6. Neliömatriisi A on similaarinen matriisin B kanssa, jos on olemassa säännöllinen matriisi S siten, että B = SAS. Muotoa SAS olevaa matriisia kutsutaan matriisin A similaarimuunnokseksi. Keskenään similaarisilla matriiseilla on muun muassa seuraava ominaisuus. Lause.7. Keskenään similaarisilla matriiseilla on sama karakteristinen polynomi ja siten myös samat ominaisarvot samoine algebrallisine kertalukuineen. Todistus. Olkoon matriisit A ja B similaarisia keskenään eli B = SAS jollekin kääntyvälle matriisille S. Tällöin joten λi B = λsis SAS = S(λI A)S, det(λi B) = det(s) det(λi A) det(s ) = det(s) det(λi A)(det(S)) = det(λi A), eli matriisien A ja B karakteristiset polynomit p A (λ) = p B (λ) ovat samat ja niillä on siten samat polynomin p A (λ) juuret eli samat ominaisarvot samoine algebrallisine kertalukuineen.

16 .2. OMINAISARVOTEORIAA 3 Olkoon matriisilla A K n n ominaisarvot λ,..., λ n ja näitä vastaavat ominaisvektorit x,..., x n. Muodostetaan matriisi X = [x... x n ]. Tällöin saadaan AX = [Ax... Ax n ] = [λ x... λ n x n ] = [x... x n ] λ... = XΛ, missä Λ = λ.... λ n Jos nyt ominaisvektorit x,..., x n ovat lineaarisesti riippumattomia, niin saadaan λ n A = AXX = XΛX. Matriisi A on siis similaarinen diagonaalimatriisin Λ kanssa. Matriisia A kutsutaan siten diagonalisoituvaksi. Voidaan siis päätellä, että jos A = SDS, missä D on diagonaalimatriisi, niin sen diagonaalilla on matriisin A ominaisarvot ja matriisin S sarakkeet ovat matriisin A ominaisvektoreita. Lisäksi nämä ominaisvektorit muodostavat kannan. Tilannetta, jossa matriisin A ominaisvektoreista ei voi muodostaa kantaa, käsitellään myöhemmin.

17 LUKU 2 Matriisin eksponenttifunktio Neliömatriiseja A M n voidaan korottaa potenssiin ja niitä voidaan laskea yhteen. Näin neliömatriisille on mahdollista muodostaa sarjakehitelmä. Eksponenttifunktio on tunnetusti eräs sarjakehitelmä. Nyt voidaan siis määritellä neliömatriisin eksponenttifunktio. Määritelmä 2.. Matriisien eksponenttifunktio on exp : M n M n, e A = k! Ak kaikille neliömatriiseille A M n. k=0 Näytetään seuraavan lauseen avulla, että määritelmä 2. on hyvin asetettu. Lause 2.2. Sarja A k k=0 suppenee kaikille neliömatriiseille A M k! n. Todistus. Olkoon a k ij matriisin A k -kerroin. Tällöin a 2 ij = n a ik a kj n (max a ij ) 2 = n A 2 k= ja näytetään induktiolla, että a N ij n N A N. Alkuaskel, jossa k =, pätee, sillä a ij n 0 max i,j n a ij = n A. Oletetaan nyt, että väite pätee, kun k = N ja osoitetaan, että väite pätee, kun k = N + : n a N+ ij = a N ika kj n N A N+ = n (N+) A N+. k= Siis väite pätee induktion nojalla. Nyt voidaan muodostaa epäyhtälö: a N ij N! ja koska sarja (n A ) N k= nn A N N! suppenee reaalisena eksponenttifunktiona, niin Weier- N! A k suppenee alkioittain tasaisesti. k! strassin M-testin nojalla sarja k=0 nn A N N! = (n A )N N! Matriisin eksponenttifunktion sarjakehitelmä on siis suppeneva. Eksponenttifunktion e A laskemista yleiselle neliömatriisille A käsitellään luvussa 3, mutta tarkastellaan ensin kuitenkin muutamaa erikoistapausta esimerkkien avulla. 4,

18 2. MATRIISIN EKSPONENTTIFUNKTIO 5 Esimerkki 2.3. Olkoon D = diag(d, d 2,..., d n ) diagonaalimatriisi, jolloin sen potenssit ovat D k = diag(d k, d k 2,..., d k n). Tällöin määritelmän 2. nojalla matriisin D eksponenttifunktio on e D = k=0 D k k! = diag ( k=0 Esimerkki 2.4. Olkoon Tällöin d k k!,..., k=0 A = d k n k! ) = diag ( e d,..., e dn) = 0 α. α 0 0 α 0 α α A = = α 0 α 0 0 α 2 = α 2 I 2, α A α 0 α 3 = 0 α 2 = α 0 α 3 = α 0 2 A, 0 α A α α 4 0 = α 3 = 0 α 0 0 α 4 = α 4 I 2, α A α 0 α 5 = 0 α 4 = α 0 α 5 = α 0 4 A, A 6 = α 6 I 2, A 7 = α 6 A,... e d... e dn Induktion ja sini- ja kosinifunktioiden sarjakehitelmien nojalla saadaan nyt seuraavaa: [ e A A i α 2 + = = α4 α6 α +... ] α3 + α5... 2! 4! 6!! 3! 5! i! α + α3 α α2 + α4 α i=0! 3! 5! 2! 4! 6! [ ( ) k α 2k ] ( ) k α (2k+) k=0 (2k)! k=0 (2k+)! = ( ) k α (2k+) ( ) k α 2k k=0 (2k+)! k=0 (2k)! cos α sin α =. sin α cos α Seuraavaksi määritellään nilpotentti matriisi, sillä sitä tullaan käyttämään myöhemmin käsiteltäessä matriisin Jordanin muotoa. Matriisia N sanotaan nilpotentiksi, jos N l = 0, jollekin l 0. Selvästi tällöin myös kaikki korkeammat potenssit ovat nollia. Määritelmän 2. nojalla voidaan siis muodostaa nilpotentin N eksponenttifunktio seuraavasti: e N = l k=0 k! N k = I + N + 2 N (l )! N l..

19 2. MATRIISIN EKSPONENTTIFUNKTIO 6 Esimerkki 2.5. Matriisi N = on nilpotentti, sillä N 2 = ja N 3 = Siten nilpotentin N eksponenttifunktio on e N = I + N + 2 N 2 = Matriisin eksponenttifunktiolla on seuraavat ominaisuudet: Lause 2.6. Olkoot A, B ja P M n neliömatriiseja ja P kääntyvä. Tällöin (i) Jos C = P AP, niin e C = P e A P. (ii) Jos AB = BA, niin e A+B = e A e B. (iii) e A = (e A ). Todistus. (i) Nyt e P AP = k=0 k! (P AP ) k, jossa (P AP ) k = (P AP )(P AP ) (P AP ) = P A k P, sillä välissä olevat termit P P supistuvat pois ja lemman.6 nojalla lim (P A kp ) = P ( lim A k )P. k k Siten k=0 k! (P AP ) k = P k=0 k! Ak P = P e A P. (ii) Koska AB = BA, eli matriisit A ja B kommutoivat, niin binomikaavan nojalla voidaan määrittää (A + B) n = n k=0 n! k!(n k)! Ak B n k.

20 2. MATRIISIN EKSPONENTTIFUNKTIO 7 Edelleen matriiseille A ja B pätee ( e A+B n ) = n! (A + n! B)n = n! k!(n k)! Ak B n k n=0 n=0 k=0 ( n ) A k B n k = k! (n k)! n=0 k=0 ( ) ( A k ) B n = = e A e B, k! n! k=0 n=0 jossa viimeiselle riville siirryttäessä on käytetty Cauchyn tuloa ( n ) ( ) a k b n k = a k b n, n=0 k=0 joka pätee siis myös matriisisarjoille, sillä A ja B kommutoivat. (iii) Kohdan (ii) nojalla joten e A = (e A ). k=0 n=0 I = e 0 = e A A = e A e A,

21 LUKU 3 Matriisin eksponenttifunktion laskeminen Tässä luvussa tarkastellaan miten eksponenttifunktio voidaan laskea eri matriiseille. Jos matriisi on diagonalisoituva, eksponenttifunktion laskeminen on suoraviivaista. Jos taas matriisi ei ole diagonalisoituva, niin tarvitaan Jordanin muotoa, jota käsitellään myöhemmin luvussa Diagonalisoituvan matriisin eksponenttifunktio Jos matriisi A on diagonalisoituva, eli löytyy P siten, että A = P ΛP, jossa Λ on lävistäjämatriisi, niin lauseen 2.6 mukaan (3.) e A = P e Λ P. Nyt kun tiedetään, että matriisi Λ on diagonaalinen, niin sen eksponenttifunktio lasketaan kuten esimerkissä 2.3. Esimerkki 3.. Olkoon matriisi A =. 0 2 Tällöin A voidaan kirjoittaa muodossa A = P ΛP, jossa 0 P =, Λ = ja P =. 0 Siten vakiolla t kerrotun matriisin A eksponenttifunktio on e e ta = P e tλ P t 0 e t e = 0 0 e 2t = 2t e t 0 0 e 2t. Lävistäjämatriisin eksponenttifunktio osataan siis ratkaista, joten matriisien eksponenttifunktion e A laskeminen kaikille diagonalisoituville matriiseille A on ratkaistu. Erityisesti kun matriisin A ominaisarvot ovat erisuuret, niin yhtälössä (3.) matriisin P sarakkeet ovat siis matriisin A ominaisvektoreita ja matriisi Λ on diagonaalimatriisi, jonka lävistäjäalkiot ovat matriisin A ominaisarvoja kuten nähtiin luvussa.2. Näytetään vielä tulevia esimerkkejä varten käänteismatriisin eräs ratkaisutapa 2 2-matriisille. Matriisin a b P = c d 8

22 3.. DIAGONALISOITUVAN MATRIISIN EKSPONENTTIFUNKTIO 9 käänteismatriisi P voidaan ratkaista seuraavasti: (3.2) P d b =. det(p ) c a Siis vaihdetaan päälävistäjän alkiot keskenään, muutetaan sivulävistäjän alkiot vastaluvuikseen ja jaetaan matriisin P determinantilla det(p ). Esimerkki 3.2. Olkoon matriisi A = [ ] 3 3 kuten esimerkissä.0, jolloin ominaisarvot ovat λ = 3i ja λ 2 = + 3i sekä niitä vastaavat ominaisvektorit [ [ v = ja v i] 2 =. i] Matriisille A on siis voimassa A = P ΛP, jossa 3i 0 Λ = ja P = i i i Lasketaan ensin matriisin P determinantti: det(p ) = i i = i ( i) = 2i. Nyt voidaan määrittää käänteismatriisi P seuraavasti: P = [ i ] [ = 2 2i = 2 2i i 2 2i i 2 2 i 2 Tällöin lauseen 2.6 ja trigonometristen funktioiden määritelmien nojalla [ e e ta ( 3i)t 0 ] [ i = i i 0 e (+3i)t 2 2 e ( 3i)t e i = (+3i)t ] i 2 2 ie ( 3i)t e i(+3i)t 2 2 i 2 2 [ ] = 2 e( 3i)t + 2 e(+3i)t i 2 e( 3i)t i 2 e(+3i)t i 2 e( 3i)t + i 2 e(+3i)t i2 2 e( 3i)t i2 2 [ e(+3i)t ] = 2 et (e 3it + e 3it ) 2i et (e 3it e 3it ) e 2i et (e 3it e 3it ) 2 et (e 3it + e 3it = t cos(3t) e t sin(3t) ) e t sin(3t) e t. cos(3t) Vaikka reaalisen matriisin A ominaisarvot ja -vektorit olisivat siis kompleksisia, niin matriisin A eksponenttifunktio e A on reaalinen, sillä kaikki sarjakehitelmän potenssit A k ovat reaalisia matriiseja. Myös kompleksisessa tapauksessa saadaan siis reaalinen ratkaisukanta. ]. Diagonalisoituvassa tapauksessa A = P λ... P λ n

23 3.. DIAGONALISOITUVAN MATRIISIN EKSPONENTTIFUNKTIO 20 matriisin A potenssit A k lasketaan siten, että A k = P λ k... P, kuten jo nähtiin lauseen 2.6 todistuksen kohdassa (i) yleiselle neliömatriisille. Esitetään vielä yksi esimerkki diagonalisoituvista matriiseista. Esimerkki 3.3. Olkoon matriisi A = λ k n kuten esimerkissä., jolloin sen ominaisarvot ovat λ = 3 ja kaksinkertainen ominaisarvo λ 2 =. Vastaavat ominaisvektorit ovat v = (, 0, ), v 2, = (, 0, ) ja v 2,2 = (0,, 0). Nyt matriisi A on similaarinen ominaisarvoista koostuvan matriisin Λ = kanssa. Tällöin on voimassa yhtälö A = V ΛV, jossa matriisi V = koostuu matriisin A ominaisvektoreista ja sen käänteismatriisi 0 V 2 2 = voidaan ratkaista käyttäen apuna esimerkiksi Gaussin-Jordanin eliminointimenetelmää. Nyt matriisin A eksponenttifunktio on e A =V e Λ V = e e = e 3 e e e e 3 e = (e 3 + e) 0 2 ( e 3 + e) 0 e 0. 2 ( e 3 + e) 0 2 (e 3 + e)

24 3.2. MATRIISIN EKSPONENTTIFUNKTIO JORDANIN MUODON AVULLA Matriisin eksponenttifunktio Jordanin muodon avulla Jos matriisi A ei kuitenkaan ole diagonalisoituva, niin se voidaan muuntaa Jordanin muotoon J A, joka muodostetaan niin sanottujen yleistettyjen ominaisvektoreiden avulla. Jokainen neliömatriisi A on similaarinen lohkolävistäjämatriisin J J J = diag[j,..., J p ] = 2... J p kanssa, missä J i, i =,..., p, on r i r i -matriisi. Matriisia J kutsutaan matriisin A Jordanin muodoksi ja matriiseja J i kutsutaan Jordanin lohkoiksi. Matriisit A ja B ovat similaarisia keskenään täsmälleen silloin, kun niillä on sama Jordanin muoto. Selvitetään seuraavaksi miten Jordanin matriisit löydetään. Jos matriisin A ominaisarvon λ geometrinen kertaluku m g (λ) ja algebrallinen kertaluku m a (λ) ovat samat eli m g (λ) = m a (λ) = k, niin ominaisavaruudessa E A (λ) = {v C n : (A λi)v = 0} on ominaisarvoon λ liittyvien ominaisvektoreiden muodostama kanta {x,..., x k }, jolloin A [ λ ] x... x k = x... x k.... λ Olkoon λ,..., λ q matriisin A erisuuret ominaisarvot ja k,..., k q näiden algebralliset kertaluvut. Nyt jos ominaisarvon λ j, missä j =,..., q, geometrinen kertaluku on pienempi kuin algebrallinen eli sen ominaisvektoreiden määrä on pienempi kuin ominaisarvon λ j kertaluku k j eli m g (λ j ) < m a (λ j ) = k j, niin Jordanin muotoa varten tarvitaan lisää vektoreita. Lisäksi näiden vektorien tulee olla lineaarisesti riippumattomia, jotta niistä muodostuva matriisi olisi kääntyvä. Kasvatetaan siis ominaisavaruutta E A (λ j ). Määritetään ominaisarvolle λ j invariantti aliavaruus Ê A (λ j ) = {v C n : (A λ j I) k j v = 0}. Siten E A (λ j ) ÊA(λ j ). Tarkastellaan nyt tilannetta, jossa matriisilla A on ominaisarvo λ siten, että E A (λ) ÊA(λ). Tällöin on olemassa κ 2 ja w κ ÊA(λ) siten, että (A λi) κ w κ = 0, mutta (A λi) κ w κ 0. Asetetaan w j = (A λi) κ j w κ. Tällöin { Aw = λw ja Aw j = λw j + w j, j = 2,..., κ.

25 3.2. MATRIISIN EKSPONENTTIFUNKTIO JORDANIN MUODON AVULLA 22 Matriisimuodossa saadaan λ A λ... w w 2... w κ = w w 2... w κ.... λ Vektorijonoa (w,..., w κ ) kutsutaan ominaisarvoon λ liittyväksi ja ominaisvektorista w lähteväksi Jordanin ketjuksi. Similaarimuunnoksen A = V JV muunnosmatriisi V saadaan siis selvitettyä käyttämällä seuraavia yhtälöitä: { (A λi)w 2 = w (A λi)w i = w i, i = 2,..., r i. Siis täydennetään matriisin A similaarimuunnoksen A = V JV matriisin V mahdollisesti puuttuvat ominaisvektorit Jordanin ketjujen vektoreilla. Lisäksi saatiin selvitettyä miten Jordanin lohko J(λ, r) löydetään eli se voidaan kirjoittaa muodossa λ λ... J(λ, r) =... Cr r. λ Jordanin matriisi on tällöin lohkodiagonaalinen yläkolmiomatriisi J(λ, r ) J =... J(λ p, r p ) jonka lävistäjä koostuu siis r i r i kokoisista Jordanin lohkoista. Esimerkki 3.4. Olkoon matriisi A = ja ratkaistaan sen ominaisarvot: λ p A (λ) = det(λi A) = λ = (λ 2) λ λ 3 λ =(λ 2)(λ 2 3λ + 2) = (λ )(λ 2)(λ 2) = 0, kun λ = tai λ = 2. Matriisilla A on siis ominaisarvo λ = ja kahden kertaluvun ominaisarvo λ 2 = 2. Ratkaistaan vielä vastaavat ominaisvektorit:,

26 3.2. MATRIISIN EKSPONENTTIFUNKTIO JORDANIN MUODON AVULLA 23 λ = : [ A λ I 0 ] = v =(, 0, ) λ 2 =2 : [ A λ 2 I 0 ] = v 2 =(0,, 0). Löytyy siis vain kaksi ominaisvektoria v ja v 2 ja tarvitaan kolme, joten etsitään ominaisarvoon λ 2 liittyvä ja ominaisvektorista v 2 lähtevä Jordanin ketju {v 2, v 3 }. Nyt koska { Av 2 = λ 2 v 2 Av 3 = v 2 + λ 2 v 3 (A λ 2 I)v 3 = v 2, niin vektori v 3 löydetään yhtälön avulla. Siis v 3 = (, 0, ). Matriisi A on similaarinen sen Jordanin matriisin J A kanssa ja Jordanin lohkot ovat J(λ, r ) = J(, ) = [ ] 2 ja J(λ 2, r 2 ) = J(2, 2) =, 0 2 joten J A = Tällöin on voimassa yhtälö A = V J A V, jossa matriisi V = koostuu vektoreista v, v 2 ja v 3 ja sen käänteismatriisi V = voidaan ratkaista käyttäen apuna esimerkiksi Gaussin-Jordanin eliminointimenetelmää.

27 3.2. MATRIISIN EKSPONENTTIFUNKTIO JORDANIN MUODON AVULLA 24 Jordanin muodon J A eksponenttifunktio e J A on lohkolävistäjämatriisi, jonka lohkot koostuvat muotoa e J(λ,r) olevista matriiseista. Ne voidaan laskea seuraavasti: Jordanin lohko kirjoitetaan lävistäjämatriisin ja nilpotentin matriisin summana λ λ. λ.. J(λ, r) = λi + N =... = λ λ λ Nyt koska λi ja N kommutoivat, eksponenttifunktio e J(λ,r) voidaan kirjoittaa muodossa r (3.3) e J(λ,r) = e λi+n = e λ j! N j, sillä nilpotentin N eksponenttifunktio e N tunnetaan jo esimerkistä 2.5. Näytetään vielä kaksi esimerkkiä Jordanin matriisin eksponenttifunktioista. j=0 Esimerkki 3.5. Olkoon Jordanin matriisi J = J(4, 2) J(3, 3). J(2, ) Tällöin sen eksponenttifunktio on e J = ej(4,2) e J(3,3) e J(2,) e 4 e 4 e 4 e = 3 e 3 2 e3 e 3 e 3. e 3 e 2 e 4 0 = e e 2 Esimerkki 3.6. Esimerkissä 3.4 määritettiin matriisille A =

28 3.2. MATRIISIN EKSPONENTTIFUNKTIO JORDANIN MUODON AVULLA 25 similaarimuunnos A = V J A V. Nyt matriisin A eksponenttifunktio on e A =V e J A e V J(,) = V e J(2,2) V = V e e 2 V 0 = e e 2 e = e 0 e2 0 0 e 2 e e 2 0 e 0 e = (e + e2 ) 0 (e 2 e2 ) 0 e 2 2 e2. (e 2 e2 ) 0 (e + 2 e2 ) Myös Jordanin matriiseille sekä Jordanin lohkoille voidaan laskea potensseja, mutta niitä ei tarvita tässä työssä, joten jätetään ne väliin. Nyt osataan ratkaista eksponenttifunktio kaikille neliömatriiseille, joten siirrytään tutkielman toiseen osaan eli differentiaaliyhtälöihin.

29 LUKU 4 Differentiaaliyhtälöryhmät 4.. Peruskäsitteitä Tässä luvussa tarkastellaan differentiaaliyhtälöryhmiä (4.) x (t) = f(t, x(t)), kun f : R R n R n on jatkuva kuvaus. Komponenteittain kirjoitettuna differentiaaliyhtälöryhmä (4.) on x (t) = f (t, (x (t),..., x n (t))) x 2(t) = f 2 (t, (x (t),..., x n (t))) (4.2). x n(t) = f n (t, (x (t),..., x n (t))). Kutsutaan differentiaaliyhtälöryhmää lyhyesti differentiaaliyhtälöksi. Differentiaaliyhtälöllä on yleensä paljon ratkaisuja, mutta voidaan saada yksikäsitteinen ratkaisu, kun annetaan lisäehtoja. Siten puhutaan alkuarvotehtävistä, joilla on lisäehto x(t 0 ) = x 0 eli on kiinnitetty ratkaisun lähtöpiste. Differentiaaliyhtälön (4.) ratkaisu alkuarvolla x(t 0 ) = x 0 on differentioituva kuvaus x : U R n joltain avoimelta väliltä U R, jolle pätee x (t) = f(t, x(t)) kaikilla t U ja x(t 0 ) = x 0. Jos differentiaaliyhtälön (4.) oikean puolen kuvauksen arvo ei riipu muuttujan t arvosta, niin tämä riippuvuus voidaan jättää pois ja tarkastellaan kuvauksen f : U R n määräämää differentiaaliyhtälöä (4.3) x (t) = f(x(t)), jota kutsutaan autonomiseksi differentiaaliyhtälöksi. Yhtälön (4.3) ratkaisu alkuarvolla x(t 0 ) = x 0 on niin ikään differentioituva kuvaus x : U R n joltain avoimelta väliltä U R, jolle pätee x (t) = f(x(t)) kaikilla t U ja x(t 0 ) = x 0. Esimerkki 4.. Tasapainoasemasta kulman θ verran poikkeutetulle, L-pituiselle ja m-massaiselle heilurille voidaan Newtonin lain mukaan kirjoittaa yhtälö ja geometrian avulla saadaan yhtälö mv (t) = mg sin(θ(t)) v(t) = Lθ (t). 26

30 Siten heiluri toteuttaa yhtälöparin { θ (t) = L v(t) v (t) = g sin(θ(t)). Merkitään nyt x(t) = θ(t) v(t) 4.. PERUSKÄSITTEITÄ 27 [ ja f(x(t)) = x ] L 2(t). g sin(x (t)) Näin ollen differentiaaliyhtälö voidaan kirjoittaa muodossa x (t) = f(x(t)). Esimerkki 4.2. Olkoon λ, a R. Alkuarvotehtävän { x = λx x(0) = a ratkaisu on x(t) = ae λt. Esimerkki 4.3. Olkoon λ, λ 2, a, b R. Alkuarvotehtävän { { x = λ x x (0) = a x 2 = λ 2 x 2 x 2 (0) = b ratkaisu on { x (t) = ae λ t x 2 (t) = ae λ 2t. Differentiaaliyhtälö voidaan esittää myös matriisimuodossa, jolloin x (t) = Ax(t), missä λ 0 A = diag(λ, λ 2 ) = ja x = 0 λ 2 Tällöin ratkaisu x on vektorimuodossa ae λ t x(t) =. ae λ 2t [ x x 2 ]. Korkeamman kertaluvun differentiaaliyhtälöt voidaan muuntaa ensimmäisen kertaluvun ryhmiksi. Esimerkiksi kolmannen kertaluvun differentiaaliyhtälö muunnetaan seuraavasti: Asetetaan jolloin saadaan y (t) = g(t, y(t), y (t), y (t)) x (t) = y(t), x 2 (t) = y (t), x 3 (t) = y (t), x (t) = x 2 (t) x 2(t) = x 3 (t) x 3(t) = g(t, x (t), x 2 (t), x 3 (t)). Muut kuin kolmannen asteen differentiaaliyhtälöt ratkaistaan vastaavasti. Tässä työssä riittää siis tarkastella ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälöitä, sillä muut voidaan aina palauttaa siihen.

31 4.2. LINEAARINEN VAKIOKERTOIMINEN DIFFERENTIAALIYHTÄLÖ 28 Esimerkki 4.4. Ratkaistaan toisen asteen differentiaaliyhtälö (4.4) y (t) + y(t) = 0, jonka kaikki ratkaisut ovat muotoa y(t) = a cos t + b sin t, kun tiedetään alkuarvot y(0) = a ja y (0) = b. Asetetaan x (t) = y(t) ja x 2 (t) = y (t). Tällöin yhtälö (4.4) on muotoa { x (4.5) (t) = x 2 (t) x 2(t) = x (t). Matriisimuodossa kirjoitettuna yhtälö (4.5) on siis x (t) = Ax(t), missä 0 A =. 0 Nyt koska x (t) = Ax(t), niin yhtälöparin (4.5) yleinen ratkaisu saadaan yhtälöstä x(t) = A x (t) eli a cos t + b sin t x(t) =. a sin t + b cos t Olkoon nyt A(t) n n-matriisi ja b(t) vektori siten, että kaikki niiden komponentit a ij (t) ja b i (t) ovat jatkuvia funktioita, kun i, j =,..., n. Tällöin differentiaaliyhtälöä (4.6) x (t) = A(t)x(t) kutsutaan lineaariseksi homogeeniseksi yhtälöksi ja differentiaaliyhtälöä (4.7) x (t) = A(t)x(t) + b(t) kutsutaan lineaariseksi epähomogeeniseksi yhtälöksi. Jos A ei riipu muuttujasta t, on kyseessä vakiokertoiminen yhtälö ja jos differentiaaliyhtälöä ei voi esittää muodossa (4.7), niin sitä kutsutaan epälineaariseksi. Tässä työssä tarkastellaan vain lineaarisia vakiokertoimisia differentiaaliyhtälöitä Lineaarinen vakiokertoiminen differentiaaliyhtälö Todistetaan ensin, että alkuarvotehtävän, jossa differentiaaliyhtälö on vakiokertoiminen ja homogeeninen, ratkaisu on eksponenttifunktion muodossa kuten nähtiin jo esimerkissä 4.2. Näytetään myös, että ratkaisu on yksikäsitteinen. Lause 4.5. Olkoon A M n. Alkuarvotehtävän x (t) = Ax(t), x(0) = x 0 ainoa ratkaisu on x : R R n, x(t) = e ta x 0. Todistus. Koska suppenevia potenssisarjoja saa derivoida termeittäin, niin eksponenttifunktion derivaatta tunnetaan ja voidaan kirjoittaa yhtälö x (t) = d ( ) e ta x 0 = Ae ta x 0 = Ax(t) dt kaikilla t R, joten x(t) on differentiaaliyhtälön ratkaisu.

32 4.2. LINEAARINEN VAKIOKERTOIMINEN DIFFERENTIAALIYHTÄLÖ 29 Jos y : R R n on alkuarvotehtävän ratkaisu, niin voidaan määrittää kuvaus z : R R n asettamalla z(t) = e ta y(t). Nyt z (t) = Ae ta y(t) + Ae ta y(t) = (A A)e ta y(t) = 0, joten z on vakiokuvaus z(t) x 0. Siispä kuvauksen z määritelmän nojalla y(t) = e ta x 0 ja näin ollen differentiaaliyhtälön ratkaisu on yksikäsitteinen. Edellisen lauseen 4.5 alkuarvotehtävän ratkaisun voi kuitenkin kirjoittaa myös toisella tavalla. Tarkastellaan vielä sitä, sillä sen avulla nähdään selvemmin ratkaisukäyrien käyttäytymisen perusteet. Olkoon matriisilla A ominaisarvot λ, λ 2,..., λ n ja niitä vastaavat lineaarisesti riippumattomat ominaisvektorit v, v 2,..., v n. Nyt koska matriisi A ja sen eksponenttifunktio e A diagonalisoituvat samassa kannassa, niin niillä on samat ominaisvektorit. Ominaisvektorille v voidaan siis kirjoittaa, että e ta v = e tλ v. Vastaavasti muille ominaisvektoreille, joten lineaarisuuden perusteella differentiaaliyhtälön x (t) = Ax(t) ratkaisu ominaisvektorikannassa on (4.8) x(t) = c e λ t v + c 2 e λ 2t v c n e λnt v n. Tällöin alkuehdosta x(0) = x 0 saadaan c v + + c n v n = x 0 eli V c = x 0 jolloin c = V x 0, missä c = (c,..., c n ) ja V = v v 2... v n. Näin saadaan ratkaisu x(t) = V e λ t... e λnt V x 0, joka taas on standardikannassa. Tästä voidaan päätellä, että V on ratkaisun kannanvaihtomatriisi ominaisvektorikannasta standardikantaan ja V taas päinvastaiseen kannanvaihtoon. Nyt ratkaisun (4.8) etuna on se, että siitä nähdään selvästi ratkaisun kulkusuunta, kun ominaisarvot λ ovat positiivisia tai negatiivisia ja kun t. Seuraavaksi tarkastellaan tason lineaarisia differentiaaliyhtälöitä, joissa A on 2 2- matriisi. Ratkaisuja on nyt ominaisarvojen merkeistä riippuen eri tyyppejä. Jos matriisilla A on kaksi positiivista ominaisarvoa, ratkaisukäyrät lähtevät origosta ja origoa kutsutaan lähteeksi. Jos matriisilla A on kaksi negatiivista ominaisarvoa, ratkaisukäyrät lähestyvät origoa ja origoa kutsutaan nieluksi. Jos taas matriisilla A on kaksi erimerkkistä ominaisarvoa, origoa kutsutaan satulaksi. Tarkastellaan tapauksia esimerkkien avulla. Esimerkki 4.6. Matriisilla A = 0 2 on ominaisarvot λ = ja λ 2 = 2 sekä ominaisvektorit v = (, 0) ja v 2 = (, ). Matriisi A on siis diagonalisoituva ja voimme kirjoittaa yhtälön A = V ΛV, missä 0 Λ = ja V =, 0 2 0

33 jolloin 4.2. LINEAARINEN VAKIOKERTOIMINEN DIFFERENTIAALIYHTÄLÖ 30 e ta = V e Λt V = e t 0 e t e 0 0 e 2t = 2t e t 0 0 e 2t. Alkuarvotehtävän x (t) = Ax(t), x(0) = x 0 ratkaisu standardikannassa on siten e x(t) = e ta t e x 0 = 2t e t a (a a 0 e 2t = 2 )e t + a 2 e 2t a 2 a 2 e 2t, kun x 0 = (a, a 2 ). Toisaalta ominaisvektorikannassa ratkaisu on x(t) = c e t + c 0 2 e 2t, kun x 0 = c + c 0 2, mistä nähdään, että ratkaisut x(t), kun t. Kuvassa 4. on joitakin ratkaisukäyriä eri alkuarvoilla x 0. Kaikki ratkaisut kulkevat siis origosta poispäin ja origoa kutsutaan lähteeksi. Kuva 4.. Lähde (Eirola & Nevanlinna, 2004, s. 0) Esimerkki 4.7. Matriisilla 2 A = 2

34 4.2. LINEAARINEN VAKIOKERTOIMINEN DIFFERENTIAALIYHTÄLÖ 3 on ominaisarvot λ = 3 ja λ 2 = sekä ominaisvektorit v = (, ) ja v 2 = (, ). Kuten esimerkissä 4.6 saamme [ e e ta 3t 0 ] = 0 e t 2 2 = e t + e 3t e t + e 3t 2 e t + e 3t e t + e 3t. 2 2 Alkuarvotehtävän x (t) = Ax(t), x(0) = x 0 ratkaisu standardikannassa on siten x(t) = e ta x 0 = (a a 2 )e t + (a + a 2 )e 3t 2 (a a 2 )e t + (a + a 2 )e 3t kun x 0 = (a, a 2 ). Nyt ratkaisu ominaisvektorikannassa on x(t) = c e 3t + c 2 e t, josta nähdään, että ratkaisut x(t) 0, kun t. Kuvassa 4.2 on joitakin ratkaisukäyriä eri alkuarvoilla x 0. Kaikki ratkaisut kulkevat siis origoa kohti ja origoa kutsutaan nieluksi. Kuva 4.2. Nielu (Eirola & Nevanlinna, 2004, s. 0) Esimerkki 4.8. Matriisilla 2 A = 4 on erimerkkiset ominaisarvot λ = 2 ja λ 2 = 3 sekä ominaisvektorit v = (, 4) ja v 2 = (, ). Kuten esimerkeissä 4.6 ja 4.7 saamme e ta = e 2t + 4e 3t e 2t e 3t 5 4e 2t e 3t 4e 2t + e 3t.

35 4.2. LINEAARINEN VAKIOKERTOIMINEN DIFFERENTIAALIYHTÄLÖ 32 Alkuarvotehtävän x (t) = Ax(t), x(0) = x 0 ratkaisu standardikannassa on siten x(t) = e ta x 0 = (a + a 2 )e 2t + (4a a 2 )e 3t 5 (4a + 4a 2 )e 2t + ( 4a + a 2 )e 3t kun x 0 = (a, a 2 ). Kuvassa 4.3 on joitakin ratkaisukäyriä eri alkuarvoilla x 0. Ominaisvektorikannassa ratkaisu on x(t) = c e 2t + c 4 2 e 3t, josta nähdään, että kaikki ratkaisut kulkevat origoon päin ominaisvektorin v suuntaista suoraa pitkin ja etääntyvät asymptoottisesti ominaisvektorin v 2 suuntaan, kuten kuvasta 4.3 myös nähdään. Tätä kutsutaan satulaksi. Kuva 4.3. Satula (Eirola & Nevanlinna, 2004, s. ) Edellä tarkasteltiin differentiaaliyhtälöiden x (t) = Ax(t) ratkaisuja, kun matriisi A oli reaalinen. Seuraavaksi käsitellään kaikki kompleksiset tapaukset. Jos reaalisella matriisilla B on kompleksisia ominaisarvoja, jotka ovat siis muotoa α ± iβ, niin 2 2-matriisi B on similaarinen matriisin α β A = β α kanssa, kun α, β R, β 0. Tällöin alkuarvotehtävän { x = Ax x(0) = (a, b)

36 4.2. LINEAARINEN VAKIOKERTOIMINEN DIFFERENTIAALIYHTÄLÖ 33 ratkaisu on kuvaus x : R R 2, x(t) = e αt (a ) cos(βt) sin(βt) + b. sin(βt) cos(βt) Kun tiedetään ominaisarvoa λ = α + iβ vastaava ominaisvektori w = u + iv, niin ominaisarvoa λ = α iβ vastaava ominaisvektori w saadaan yhtälöstä A w = λ w, joten w = u iv. Ratkaistaan nyt differentiaaliyhtälö x = Ax. Yhtälön Aw = λw eli A(u + iv) = (α + iβ)(u + iv) = (αu βv) + i(βu + αv) reaali- ja imaginaariosista saadaan { Au = αu βv Av = βu + αv eli A [ u v ] = [ u v ] α β. β α Eksponenttifunktio saadaan nyt laskettua vastaavasti sini- ja kosinifunktioiden sarjakehitelmien avulla kuten esimerkissä 2.4, sillä matriisit 0 0 I = ja 0 0 kommutoivat, joten voidaan käyttää lausetta 2.6: e α t β β α =e t αi+β 0 0 = e tαi e ]. [ cos(βt) sin(βt) =e αt sin(βt) cos(βt) tβ 0 0 Näin ollen differentiaaliyhtälön ratkaisu alkuarvolla x 0 = c = (c, c 2 ) on (4.9) x(t) = e [ αt u v ] cos(βt) sin(βt) c, sin(βt) cos(βt) missä c on koordinaattivektori vektorien u ja v muodostamassa kannassa. Ratkaisu voidaan kuitenkin muuntaa standardikantaan kuten seuraavissa esimerkeissä tehdään. Esimerkki 4.9. Matriisilla A = [ 9 ] on kompleksinen ominaisarvopari λ,2 = ± 8i. Vektorit [ u = ja v = 0] 2 toteuttavat yhtälön (4.9), joten differentiaaliyhtälön x (t) = Ax(t) ratkaisu vektorien u ja v muodostamassa kannassa saadaan seuraavasti, kun alkuarvo x(0) = c u + c 2 v: cos(8t) sin(8t) x(t) =e t c 0 2 sin(8t) cos(8t) c 2 =e t (c c 2 ) cos(8t) + (c + c 2 ) sin(8t). 2c 2 cos(8t) + 2c sin(8t)

37 4.2. LINEAARINEN VAKIOKERTOIMINEN DIFFERENTIAALIYHTÄLÖ 34 Alkuarvon x(0) = a toteuttava ratkaisu standardikannassa taas saadaan ratkaisemalla seuraava yhtälö x(0) = [ u v ] c c c = 2 a = c 2 2c 2 a 2 ja sijoittamalla saadut arvot c = a a 2 2 ja c 2 = a 2 2, jolloin saadaan ratkaisu x(t) = e t a cos(8t) + (a a 2 ) sin(8t). a 2 cos(8t) + (2a a 2 ) sin(8t) Ratkaisukäyrät kulkevat spiraalimaisesti origosta poispäin kuten kuvassa 4.4, jossa on kahdesta eri alkuarvosta lähtevät käyrät. Huomataan siis, että koska matriisin A ominaisarvojen reaaliosat ovat positiiviset, niin Tätä kutsutaan epästabiiliksi fokukseksi. x(t), kun t. Kuva 4.4. Epästabiili fokus (Eirola & Nevanlinna, 2004, s. 2) Esimerkki 4.0. Matriisilla 3 2 A = on kompleksinen ominaisarvopari λ,2 = 2 ± i. Vektorit [ [ u = ja v = ] 0] toteuttavat yhtälön (4.9), joten differentiaaliyhtälön x (t) = Ax(t) ratkaisu saadaan kuten esimerkissä 4.9: x(t) = e 2t (c + c 2 ) cos t + ( c + c 2 ) sin t. c cos t + c 2 sin t

38 4.2. LINEAARINEN VAKIOKERTOIMINEN DIFFERENTIAALIYHTÄLÖ 35 Alkuarvolla x(0) = a ratkaisu standardikannassa on x(t) = e 2t a cos t + ( a + 2a 2 ) sin t. a 2 cos t + ( a + a 2 ) sin t Nyt ratkaisukäyrät kulkevat spiraalimaisesti kohti origoa kuten kuvassa 4.5, jossa on eri alkuarvosta lähtevät käyrät. Nyt huomataan, että koska matriisin A ominaisarvojen reaaliosat ovat negativiiset, niin Tätä kutsutaan stabiiliksi fokukseksi. x(t) 0, kun t. Kuva 4.5. Stabiili fokus (Eirola & Nevanlinna, 2004, s. 2) Esimerkeistä 4.9 ja 4.0 huomataan vielä, että ominaisarvojen reaali- ja imaginaariosien suhde vaikuttaa siihen kuinka paljon ratkaisukäyrät kiertävät. Stabiilisuus taas edelleen tarkoittaa sitä, että ratkaisut eivät pakene origosta. Palataan siihen myöhemmin. Nyt tarkastellaan muuttujanvaihtoa, jota käytetään seuraavassa esimerkissä. Jos n n-matriisi A on similaarinen n n-matriisin B kanssa, niin differentiaaliyhtälö x = Bx alkuarvolla x(0) = x 0 voidaan ratkaista muuttujanvaihdolla. Pätee siis A = CBC jollain kääntyvällä matriisilla C. Tällöin differentiaaliyhtälön y = Ay ratkaisu alkuarvolla y(0) = Cx 0 on y = Cx. Matriisi C on siis muuttujanvaihtomatriisi, joka liittää alkuarvotehtävät toisiinsa. Muodostetaan nyt 3-ulotteinen esimerkki, jossa käytetään myös muuttujanvaihtoa.

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Differentiaaliyhtälöt. osa 2 Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 1 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista

Lisätiedot

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Differentiaaliyhtälöt, osa 1 Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 20 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista

Lisätiedot

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt MS-C340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 205 / 3 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista Differentiaaliyhtälöitä ratkaistaessa

Lisätiedot

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Ominaisarvoteoriaa Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 22 R. Kangaslampi matriisiteoriaa Kertaus: ominaisarvot

Lisätiedot

MS-C1340 Lineaarialgebra ja

MS-C1340 Lineaarialgebra ja MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Ominaisarvoteoriaa Riikka Kangaslampi Kevät 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Ominaisarvot Kertaus: ominaisarvot Määritelmä

Lisätiedot

MS-C1340 Lineaarialgebra ja

MS-C1340 Lineaarialgebra ja MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Differentiaaliyhtälöt, osa 1 Riikka Kangaslampi Kevät 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto DY-teoriaa DY-teoriaa Käsitellään seuraavaksi

Lisätiedot

Lineaarikuvauksen R n R m matriisi

Lineaarikuvauksen R n R m matriisi Lineaarikuvauksen R n R m matriisi Lauseessa 21 osoitettiin, että jokaista m n -matriisia A vastaa lineaarikuvaus L A : R n R m, jolla L A ( v) = A v kaikilla v R n. Osoitetaan seuraavaksi käänteinen tulos:

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Laskuharjoitus 1 / vko 44

Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Laskuharjoitus 1 / vko 44 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Laskuharjoitus 1 / vko 44 Tehtävät 1-3 lasketaan alkuviikon harjoituksissa, verkkotehtävien dl on lauantaina aamuyöllä. Tehtävät 4 ja 5 lasketaan loppuviikon harjoituksissa.

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta

MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta 4. MS-A4/A6 Matriisilaskenta 4. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto..25 Tarkastellaan neliömatriiseja. Kun matriisilla kerrotaan vektoria, vektorin

Lisätiedot

Osoita, että täsmälleen yksi vektoriavaruuden ehto ei ole voimassa.

Osoita, että täsmälleen yksi vektoriavaruuden ehto ei ole voimassa. LINEAARIALGEBRA Harjoituksia 2016 1. Olkoon V = R 2 varustettuna tavallisella yhteenlaskulla. Määritellään reaaliluvulla kertominen seuraavasti: λ (x 1, x 2 ) = (λx 1, 0) (x 1, x 2 ) R 2 ja λ R. Osoita,

Lisätiedot

1 Sisätulo- ja normiavaruudet

1 Sisätulo- ja normiavaruudet 1 Sisätulo- ja normiavaruudet 1.1 Sisätuloavaruus Määritelmä 1. Olkoon V reaalinen vektoriavaruus. Kuvaus : V V R on reaalinen sisätulo eli pistetulo, jos (a) v w = w v (symmetrisyys); (b) v + u w = v

Lisätiedot

Similaarisuus. Määritelmä. Huom.

Similaarisuus. Määritelmä. Huom. Similaarisuus Määritelmä Neliömatriisi A M n n on similaarinen neliömatriisin B M n n kanssa, jos on olemassa kääntyvä matriisi P M n n, jolle pätee Tällöin merkitään A B. Huom. Havaitaan, että P 1 AP

Lisätiedot

1. Normi ja sisätulo

1. Normi ja sisätulo Kurssimateriaalia K3/P3-kursille syksyllä 3 83 Heikki Apiola Sisältää otteita Timo Eirolan L3-kurssin lineaarialgebramonisteesta, jonka lähdekoodin Timo on ystävällisesti antanut käyttööni Normi ja sisätulo

Lisätiedot

1 Ominaisarvot ja ominaisvektorit

1 Ominaisarvot ja ominaisvektorit 1 Ominaisarvot ja ominaisvektorit Olkoon A = [a jk ] n n matriisi. Tarkastellaan vektoriyhtälöä Ax = λx, (1) 1 missä λ on luku. Sellaista λ:n arvoa, jolla yhtälöllä on ratkaisu x 0, kutsutaan matriisin

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö

Lisätiedot

Ortogonaalisen kannan etsiminen

Ortogonaalisen kannan etsiminen Ortogonaalisen kannan etsiminen Lause 94 (Gramin-Schmidtin menetelmä) Oletetaan, että B = ( v 1,..., v n ) on sisätuloavaruuden V kanta. Merkitään V k = span( v 1,..., v k ) ja w 1 = v 1 w 2 = v 2 v 2,

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

5 Ominaisarvot ja ominaisvektorit

5 Ominaisarvot ja ominaisvektorit 5 Ominaisarvot ja ominaisvektorit Olkoon A = [a jk ] n n matriisi. Tarkastellaan vektoriyhtälöä Ax = λx, (1) missä λ on luku. Sellaista λ:n arvoa, jolla yhtälöllä on ratkaisu x 0, kutsutaan matriisin A

Lisätiedot

JAKSO 2 KANTA JA KOORDINAATIT

JAKSO 2 KANTA JA KOORDINAATIT JAKSO 2 KANTA JA KOORDINAATIT Kanta ja dimensio Tehtävä Esittele vektoriavaruuden kannan määritelmä vapauden ja virittämisen käsitteiden avulla ja anna vektoriavaruuden dimension määritelmä Esittele Lause

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

802320A LINEAARIALGEBRA OSA I

802320A LINEAARIALGEBRA OSA I 802320A LINEAARIALGEBRA OSA I Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 72 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä

Lisätiedot

Ominaisarvo ja ominaisvektori

Ominaisarvo ja ominaisvektori Ominaisarvo ja ominaisvektori Määritelmä Oletetaan, että A on n n -neliömatriisi. Reaaliluku λ on matriisin ominaisarvo, jos on olemassa sellainen vektori v R n, että v 0 ja A v = λ v. Vektoria v, joka

Lisätiedot

1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus

1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1.1 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä V epätyhjä joukko. Oletetaan, että joukossa V on määritelty laskutoimitus

Lisätiedot

Ominaisarvoon 4 liittyvät ominaisvektorit ovat yhtälön Ax = 4x eli yhtälöryhmän x 1 + 2x 2 + x 3 = 4x 1 3x 2 + x 3 = 4x 2 5x 2 x 3 = 4x 3.

Ominaisarvoon 4 liittyvät ominaisvektorit ovat yhtälön Ax = 4x eli yhtälöryhmän x 1 + 2x 2 + x 3 = 4x 1 3x 2 + x 3 = 4x 2 5x 2 x 3 = 4x 3. Matematiikan ja tilastotieteen laitos Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II Ylimääräinen harjoitus 6 Ratkaisut A:n karakteristinen funktio p A on λ p A (λ) det(a λi ) 0 λ ( λ) 0 5 λ λ 5 λ ( λ) (( λ) (

Lisätiedot

Sisätuloavaruudet. 4. lokakuuta 2006

Sisätuloavaruudet. 4. lokakuuta 2006 Sisätuloavaruudet 4. lokakuuta 2006 Tässä esityksessä vektoriavaruudet V ja W ovat kompleksisia ja äärellisulotteisia. Käydään ensin lyhyesti läpi määritelmiä ja perustuloksia. Merkitään L(V, W ) :llä

Lisätiedot

5 OMINAISARVOT JA OMINAISVEKTORIT

5 OMINAISARVOT JA OMINAISVEKTORIT 5 OMINAISARVOT JA OMINAISVEKTORIT Ominaisarvo-ongelma Käsitellään neliömatriiseja: olkoon A n n-matriisi. Luku on matriisin A ominaisarvo (eigenvalue), jos on olemassa vektori x siten, että Ax = x () Yhtälön

Lisätiedot

1 Matriisit ja lineaariset yhtälöryhmät

1 Matriisit ja lineaariset yhtälöryhmät 1 Matriisit ja lineaariset yhtälöryhmät 11 Yhtälöryhmä matriisimuodossa m n-matriisi sisältää mn kpl reaali- tai kompleksilukuja, jotka on asetetettu suorakaiteen muotoiseksi kaavioksi: a 11 a 12 a 1n

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö

Lisätiedot

5 Differentiaaliyhtälöryhmät

5 Differentiaaliyhtälöryhmät 5 Differentiaaliyhtälöryhmät 5.1 Taustaa ja teoriaa Differentiaaliyhtälöryhmiä tarvitaan useissa sovelluksissa. Toinen motivaatio yhtälöryhmien käytölle: Korkeamman asteen differentiaaliyhtälöt y (n) =

Lisätiedot

Vakiokertoiminen lineaarinen normaaliryhmä

Vakiokertoiminen lineaarinen normaaliryhmä 1 MAT-1345 LAAJA MATEMATIIKKA 5 Tampereen teknillinen yliopisto Risto Silvennoinen Kevät 29 Vakiokertoiminen lineaarinen normaaliryhmä Todetaan ensin ilman todistuksia (tulos on syvällinen) ratkaisujen

Lisätiedot

9. Lineaaristen differentiaaliyhtälöiden ratkaisuavaruuksista

9. Lineaaristen differentiaaliyhtälöiden ratkaisuavaruuksista 29 9 Lineaaristen differentiaaliyhtälöiden ratkaisuavaruuksista Tarkastelemme kertalukua n olevia lineaarisia differentiaaliyhtälöitä y ( x) + a ( x) y ( x) + + a ( x) y( x) + a ( x) y= b( x) ( n) ( n

Lisätiedot

Matriisiteoria Harjoitus 1, kevät Olkoon. cos α sin α A(α) = . sin α cos α. Osoita, että A(α + β) = A(α)A(β). Mikä matriisi A(α)A( α) on?

Matriisiteoria Harjoitus 1, kevät Olkoon. cos α sin α A(α) = . sin α cos α. Osoita, että A(α + β) = A(α)A(β). Mikä matriisi A(α)A( α) on? Harjoitus 1, kevät 007 1. Olkoon [ ] cos α sin α A(α) =. sin α cos α Osoita, että A(α + β) = A(α)A(β). Mikä matriisi A(α)A( α) on?. Olkoon a x y A = 0 b z, 0 0 c missä a, b, c 0. Määrää käänteismatriisi

Lisätiedot

x = y x i = y i i = 1, 2; x + y = (x 1 + y 1, x 2 + y 2 ); x y = (x 1 y 1, x 2 + y 2 );

x = y x i = y i i = 1, 2; x + y = (x 1 + y 1, x 2 + y 2 ); x y = (x 1 y 1, x 2 + y 2 ); LINEAARIALGEBRA Harjoituksia, Syksy 2016 1. Olkoon n Z +. Osoita, että (R n, +, ) on lineaariavaruus, kun vektoreiden x = (x 1,..., x n ), y = (y 1,..., y n ) identtisyys, yhteenlasku ja reaaliluvulla

Lisätiedot

Päättelyn voisi aloittaa myös edellisen loppupuolelta ja näyttää kuten alkupuolella, että välttämättä dim W < R 1 R 1

Päättelyn voisi aloittaa myös edellisen loppupuolelta ja näyttää kuten alkupuolella, että välttämättä dim W < R 1 R 1 Lineaarialgebran kertaustehtävien b ratkaisuista. Määritä jokin kanta sille reaalikertoimisten polynomien lineaariavaruuden P aliavaruudelle, jonka virittää polynomijoukko {x, x+, x x }. Ratkaisu. Olkoon

Lisätiedot

Matematiikka B2 - TUDI

Matematiikka B2 - TUDI Matematiikka B2 - TUDI Miika Tolonen 3. syyskuuta 2012 Miika Tolonen Matematiikka B2 - TUDI 1 Kurssin sisältö (1/2) Matriisit Laskutoimitukset Lineaariset yhtälöryhmät Gaussin eliminointi Lineaarinen riippumattomuus

Lisätiedot

6. OMINAISARVOT JA DIAGONALISOINTI

6. OMINAISARVOT JA DIAGONALISOINTI 0 6 OMINAISARVOT JA DIAGONALISOINTI 6 Ominaisarvot ja ominaisvektorit Olkoon V äärellisulotteinen vektoriavaruus, dim(v ) = n ja L : V V lineaarikuvaus Määritelmä 6 Skalaari λ R on L:n ominaisarvo, jos

Lisätiedot

(1.1) Ae j = a k,j e k.

(1.1) Ae j = a k,j e k. Lineaarikuvauksen determinantti ja jälki 1. Lineaarikuvauksen matriisi. Palautetaan mieleen, mikä lineaarikuvauksen matriisi annetun kannan suhteen on. Olkoot V äärellisulotteinen vektoriavaruus, n = dim

Lisätiedot

6 MATRIISIN DIAGONALISOINTI

6 MATRIISIN DIAGONALISOINTI 6 MATRIISIN DIAGONALISOINTI Ortogonaaliset matriisit Neliömatriisi A on ortogonaalinen (eli ortogonaalimatriisi), jos sen alkiot ovat reaalisia ja A - = A T Muistutus: vektorien a ja b pistetulo (skalaaritulo,

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I 13.6.2013 HY / Avoin yliopisto Jokke Häsä, 1/12 Käytännön asioita Kesäkuun tentti: ke 19.6. klo 17-20, päärakennuksen sali 1. Anna palautetta kurssisivulle ilmestyvällä

Lisätiedot

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Lineaarikuvaukset Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 16 R. Kangaslampi Vektoriavaruudet Lineaarikuvaus

Lisätiedot

x = y x i = y i i = 1, 2; x + y = (x 1 + y 1, x 2 + y 2 ); x y = (x 1 y 1, x 2 + y 2 );

x = y x i = y i i = 1, 2; x + y = (x 1 + y 1, x 2 + y 2 ); x y = (x 1 y 1, x 2 + y 2 ); LINEAARIALGEBRA Ratkaisuluonnoksia, Syksy 2016 1. Olkoon n Z +. Osoita, että (R n, +, ) on lineaariavaruus, kun vektoreiden x = (x 1,..., x n ), y = (y 1,..., y n ) identtisyys, yhteenlasku ja reaaliluvulla

Lisätiedot

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä 3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä Lineaarinen m:n yhtälön yhtälöryhmä, jossa on n tuntematonta x 1,, x n on joukko yhtälöitä, jotka ovat muotoa a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a 21

Lisätiedot

Matriisi-vektori-kertolasku, lineaariset yhtälöryhmät

Matriisi-vektori-kertolasku, lineaariset yhtälöryhmät Matematiikan peruskurssi K3/P3, syksy 25 Kenrick Bingham 825 Toisen välikokeen alueen ydinasioita Alla on lueteltu joitakin koealueen ydinkäsitteitä, joiden on hyvä olla ensiksi selvillä kokeeseen valmistauduttaessa

Lisätiedot

Kannan vektorit siis virittävät aliavaruuden, ja lisäksi kanta on vapaa. Lauseesta 7.6 saadaan seuraava hyvin käyttökelpoinen tulos:

Kannan vektorit siis virittävät aliavaruuden, ja lisäksi kanta on vapaa. Lauseesta 7.6 saadaan seuraava hyvin käyttökelpoinen tulos: 8 Kanta Tässä luvussa tarkastellaan aliavaruuden virittäjävektoreita, jotka muodostavat lineaarisesti riippumattoman jonon. Merkintöjen helpottamiseksi oletetaan luvussa koko ajan, että W on vektoreiden

Lisätiedot

Esimerkki 4.4. Esimerkki jatkoa. Määrää matriisin ominaisarvot ja -vektorit. Ratk. Nyt

Esimerkki 4.4. Esimerkki jatkoa. Määrää matriisin ominaisarvot ja -vektorit. Ratk. Nyt Esimerkki 4.4. Määrää matriisin 2 2 1 A = 1 3 1 2 4 3 ominaisarvot ja -vektorit. Ratk. Nyt det(a λi ) = 1 + 2 λ 2 1 + 1 λ 1 λ 1 3 λ 1 = 1 3 λ 1 2 4 3 λ 2 4 3 λ 1 λ = 1 4 λ 1 = (1 λ)( 1)1+1 4 λ 1 2 6 3

Lisätiedot

i=1 Näistä on helppo näyttää ominaisuudet (1)-(4). Ellei toisin mainita, käytetään R n :ssä

i=1 Näistä on helppo näyttää ominaisuudet (1)-(4). Ellei toisin mainita, käytetään R n :ssä Kurssimateriaalia K3/P3-kursille syksyllä 003. 8.0.003 Heikki Apiola Sisältää otteita Timo Eirolan L3-kurssin lineaarialgebramonisteesta, jonka lähdekoodin Timo on ystävällisesti antanut käyttööni.. Normi

Lisätiedot

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä 1 3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä Lineaarinen m:n yhtälön yhtälöryhmä, jossa on n tuntematonta x 1,, x n on joukko yhtälöitä, jotka ovat muotoa a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a

Lisätiedot

MS-C1340 Lineaarialgebra ja

MS-C1340 Lineaarialgebra ja MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Lineaarikuvaukset Riikka Kangaslampi Kevät 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Lineaarikuvaukset Lineaarikuvaus Olkoot U ja V

Lisätiedot

Vapaus. Määritelmä. jos c 1 v 1 + c 2 v c k v k = 0 joillakin c 1,..., c k R, niin c 1 = 0, c 2 = 0,..., c k = 0.

Vapaus. Määritelmä. jos c 1 v 1 + c 2 v c k v k = 0 joillakin c 1,..., c k R, niin c 1 = 0, c 2 = 0,..., c k = 0. Vapaus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,..., v k R n, missä n {1, 2,... }. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee: jos c 1 v 1 + c 2 v 2 +

Lisätiedot

Neliömatriisi A on ortogonaalinen (eli ortogonaalimatriisi), jos sen alkiot ovat reaalisia ja

Neliömatriisi A on ortogonaalinen (eli ortogonaalimatriisi), jos sen alkiot ovat reaalisia ja 7 NELIÖMATRIISIN DIAGONALISOINTI. Ortogonaaliset matriisit Neliömatriisi A on ortogonaalinen (eli ortogonaalimatriisi), jos sen alkiot ovat reaalisia ja A - = A T () Muistutus: Kokoa n olevien vektorien

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

HY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina klo

HY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina klo HY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina 10.8.2015 klo 16.15. Tehtäväsarja I Tutustu lukuun 15, jossa vektoriavaruuden

Lisätiedot

Tyyppi metalli puu lasi työ I 2 8 6 6 II 3 7 4 7 III 3 10 3 5

Tyyppi metalli puu lasi työ I 2 8 6 6 II 3 7 4 7 III 3 10 3 5 MATRIISIALGEBRA Harjoitustehtäviä syksy 2014 Tehtävissä 1-3 käytetään seuraavia matriiseja: ( ) 6 2 3, B = 7 1 2 2 3, C = 4 4 2 5 3, E = ( 1 2 4 3 ) 1 1 2 3 ja F = 1 2 3 0 3 0 1 1. 6 2 1 4 2 3 2 1. Määrää

Lisätiedot

17. Differentiaaliyhtälösysteemien laadullista teoriaa.

17. Differentiaaliyhtälösysteemien laadullista teoriaa. 99 17. Differentiaaliyhtälösysteemien laadullista teoriaa. Differentiaaliyhtälön x'(t) = f(x(t),t), x(t) n määrittelemän systeemin sanotaan olevan autonominen, jos oikea puoli ei eksplisiittisesti riipu

Lisätiedot

3x + y + 2z = 5 e) 2x + 3y 2z = 3 x 2y + 4z = 1. x + y 2z + u + 3v = 1 b) 2x y + 2z + 2u + 6v = 2 3x + 2y 4z 3u 9v = 3. { 2x y = k 4x + 2y = h

3x + y + 2z = 5 e) 2x + 3y 2z = 3 x 2y + 4z = 1. x + y 2z + u + 3v = 1 b) 2x y + 2z + 2u + 6v = 2 3x + 2y 4z 3u 9v = 3. { 2x y = k 4x + 2y = h HARJOITUSTEHTÄVIÄ 1. Anna seuraavien yhtälöryhmien kerroinmatriisit ja täydennetyt kerroinmatriisit sekä ratkaise yhtälöryhmät Gaussin eliminointimenetelmällä. { 2x + y = 11 2x y = 5 2x y + z = 2 a) b)

Lisätiedot

Matriisilaskenta, LH4, 2004, ratkaisut 1. Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot, jotka sisältävät vain

Matriisilaskenta, LH4, 2004, ratkaisut 1. Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot, jotka sisältävät vain Matriisilaskenta LH4 24 ratkaisut 1 Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot jotka sisältävät vain a) Kaikki muotoa (a b c d) olevat vektorit joilla d a + b b) Kaikki muotoa (a b c d) olevat vektorit

Lisätiedot

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Vektoriavaruudet MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Vektoriavaruudet Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 17 R. Kangaslampi Vektoriavaruudet

Lisätiedot

1 Avaruuksien ja lineaarikuvausten suora summa

1 Avaruuksien ja lineaarikuvausten suora summa MAT-33500 Differentiaaliyhtälöt, kevät 2006 Luennot 27.-28.2.2006 Samuli Siltanen 1 Avaruuksien ja lineaarikuvausten suora summa Tämä asialöytyy myös Hirschin ja Smalen kirjasta, luku 3, pykälä 1F. Olkoon

Lisätiedot

802320A LINEAARIALGEBRA OSA III

802320A LINEAARIALGEBRA OSA III 802320A LINEAARIALGEBRA OSA III Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 56 Määritelmä Määritelmä 1 Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V

Lisätiedot

2. kl:n DY:t. Lause. Yleisesti yhtälöllä ẍ = f(ẋ, x, t) on (sopivin oletuksin) aina olemassa 1-käs. ratkaisu. (ẋ dx/dt, ẍ d 2 x/dt 2.

2. kl:n DY:t. Lause. Yleisesti yhtälöllä ẍ = f(ẋ, x, t) on (sopivin oletuksin) aina olemassa 1-käs. ratkaisu. (ẋ dx/dt, ẍ d 2 x/dt 2. 2. kl:n DY:t Yleisesti yhtälöllä ẍ = f(ẋ, x, t) on (sopivin oletuksin) aina olemassa 1-käs. ratkaisu. (ẋ dx/dt, ẍ d 2 x/dt 2.) Lause Olkoon f(x 2, x 1, t) funktio, ja oletetaan, että f, f/ x 1 ja f/ x

Lisätiedot

Matemaattinen Analyysi / kertaus

Matemaattinen Analyysi / kertaus Matemaattinen Analyysi / kertaus Ensimmäinen välikoe o { 2x + 3y 4z = 2 5x 2y + 5z = 7 ( ) x 2 3 4 y = 5 2 5 z ) ( 3 + y 2 ( 2 x 5 ( 2 7 ) ) ( 4 + z 5 ) = ( 2 7 ) yhteys determinanttiin Yhtälöryhmän ratkaiseminen

Lisätiedot

Matematiikka B2 - Avoin yliopisto

Matematiikka B2 - Avoin yliopisto 6. elokuuta 2012 Opetusjärjestelyt Luennot 9:15-11:30 Harjoitukset 12:30-15:00 Tentti Kurssin sisältö (1/2) Matriisit Laskutoimitukset Lineaariset yhtälöryhmät Gaussin eliminointi Lineaarinen riippumattomuus

Lisätiedot

DIFFERENTIAALIYHTÄLÖIDEN JATKOKURSSI SYKSY 2014

DIFFERENTIAALIYHTÄLÖIDEN JATKOKURSSI SYKSY 2014 DIFFERENTIAALIYHTÄLÖIDEN JATKOKURSSI SYKSY 2014 JOUNI PARKKONEN Tämä teksti sisältää syksyn 2014 kurssien Differentiaaliyhtälöiden jatkokurssi 1 ja 2 materiaalin. Ensimmäisellä jatkokurssilla tutustutaan

Lisätiedot

Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä

Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä 1 MAT-1345 LAAJA MATEMATIIKKA 5 Tampereen teknillinen yliopisto Risto Silvennoinen Kevät 9 Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä Yksi tavallisimmista luonnontieteissä ja tekniikassa

Lisätiedot

Määritelmä Olkoon T i L (V i, W i ), 1 i m. Yksikäsitteisen lineaarikuvauksen h L (V 1 V 2 V m, W 1 W 2 W m )

Määritelmä Olkoon T i L (V i, W i ), 1 i m. Yksikäsitteisen lineaarikuvauksen h L (V 1 V 2 V m, W 1 W 2 W m ) Määritelmä 519 Olkoon T i L V i, W i, 1 i m Yksikäsitteisen lineaarikuvauksen h L V 1 V 2 V m, W 1 W 2 W m h v 1 v 2 v m T 1 v 1 T 2 v 2 T m v m 514 sanotaan olevan kuvausten T 1,, T m indusoima ja sitä

Lisätiedot

Alkeismuunnokset matriisille, sivu 57

Alkeismuunnokset matriisille, sivu 57 Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/88 Alkeismuunnokset matriisille, sivu 57 AM1: Kahden vaakarivin vaihto AM2: Vaakarivin kertominen skalaarilla c 0 AM3: Vaakarivin lisääminen toiseen skalaarilla c kerrottuna

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö

Lisätiedot

1.1. Määritelmiä ja nimityksiä

1.1. Määritelmiä ja nimityksiä 1.1. Määritelmiä ja nimityksiä Luku joko reaali- tai kompleksiluku. R = {reaaliluvut}, C = {kompleksiluvut} R n = {(x 1, x 2,..., x n ) x 1, x 2,..., x n R} C n = {(x 1, x 2,..., x n ) x 1, x 2,..., x

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät

Numeeriset menetelmät Numeeriset menetelmät Luento 6 To 22.9.2011 Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 6 To 22.9.2011 p. 1/38 p. 1/38 Ominaisarvotehtävät Monet sovellukset johtavat ominaisarvotehtäviin Yksi

Lisätiedot

Määritelmä 1. Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V. Termejä: Lineaarikuvaus, Lineaarinen kuvaus.

Määritelmä 1. Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V. Termejä: Lineaarikuvaus, Lineaarinen kuvaus. 1 Lineaarikuvaus 1.1 Määritelmä Määritelmä 1. Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V W on lineaarinen, jos (a) L(v + w) = L(v) + L(w); (b) L(λv) = λl(v) aina, kun v, w V ja λ K. Termejä:

Lisätiedot

6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset

6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 51 6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt Määritelmä 6.1. Olkoon I R avoin väli. Olkoot p i : I R, i = 0, 1, 2,..., n, ja q : I R jatkuvia

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45

MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45 MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus / vko 5 Tehtävä 1 (L): Hahmottele kompleksitasoon ne pisteet, jotka toteuttavat a) z 3 =, b) z + 3 i < 3, c) 1/z >. Yleisesti: ehto z = R, z C muodostaa kompleksitasoon

Lisätiedot

Lineaarialgebra II P

Lineaarialgebra II P Lineaarialgebra II 89P Sisältö Vektoriavaruus Sisätuloavaruus 8 3 Lineaarikuvaus 5 4 Ominaisarvo 5 Luku Vektoriavaruus Määritelmä.. Epätyhjä joukko V on vektoriavaruus, jos seuraavat ehdot ovat voimassa:.

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II. LM2, Kesä /141

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II. LM2, Kesä /141 Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II LM2, Kesä 2012 1/141 Kertausta: avaruuden R n vektorit Määritelmä Oletetaan, että n {1, 2, 3,...}. Avaruuden R n alkiot ovat jonoja, joissa on n kappaletta reaalilukuja.

Lisätiedot

2.8. Kannanvaihto R n :ssä

2.8. Kannanvaihto R n :ssä 28 Kannanvaihto R n :ssä Seuraavassa kantavektoreiden { x, x 2,, x n } järjestystä ei saa vaihtaa Vektorit ovat pystyvektoreita ( x x 2 x n ) on vektoreiden x, x 2,, x n muodostama matriisi, missä vektorit

Lisätiedot

1 Kannat ja kannanvaihto

1 Kannat ja kannanvaihto 1 Kannat ja kannanvaihto 1.1 Koordinaattivektori Oletetaan, että V on K-vektoriavaruus, jolla on kanta S = (v 1, v 2,..., v n ). Avaruuden V vektori v voidaan kirjoittaa kannan vektorien lineaarikombinaationa:

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D, laskuharjoituksien esimerkkiratkaisut

Insinöörimatematiikka D, laskuharjoituksien esimerkkiratkaisut Insinöörimatematiikka D, 06 laskuharjoituksien esimerkkiratkaisut Alla olevat esimerkkiratkaisut ovat melko ksitiskohtaisia Tenttivastauksissa ei leensä tarvitse muistaa lauseiden, määritelmien, esimerkkien

Lisätiedot

Demorastitiedot saat demonstraattori Markus Niskaselta Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/104

Demorastitiedot saat demonstraattori Markus Niskaselta Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/104 Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/104 Ensi viikolla luennot salissa X Torstaina 7.12. viimeiset demot (12.12. ja 13.12. viimeiset luennot). Torstaina 14.12 on välikoe 2, muista ilmoittautua! Demorastitiedot

Lisätiedot

Matriisilaskenta Luento 12: Vektoriavaruuden kannan olemassaolo

Matriisilaskenta Luento 12: Vektoriavaruuden kannan olemassaolo Matriisilaskenta Luento 12: Vektoriavaruuden kannan olemassaolo Antti Rasila 2016 Vektoriavaruuden kannan olemassaolo Jos {v 1, v 2,..., v k } on äärellisulotteisen vektoriavaruuden V lineaarisesti riippumaton

Lisätiedot

Bijektio. Voidaan päätellä, että kuvaus on bijektio, jos ja vain jos maalin jokaiselle alkiolle kuvautuu tasan yksi lähdön alkio.

Bijektio. Voidaan päätellä, että kuvaus on bijektio, jos ja vain jos maalin jokaiselle alkiolle kuvautuu tasan yksi lähdön alkio. Määritelmä Bijektio Oletetaan, että f : X Y on kuvaus. Sanotaan, että kuvaus f on bijektio, jos se on sekä injektio että surjektio. Huom. Voidaan päätellä, että kuvaus on bijektio, jos ja vain jos maalin

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M Hirvensalo mikhirve@utufi V Junnila viljun@utufi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M Hirvensalo mikhirve@utufi V Junnila viljun@utufi Luentokalvot 5 1

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 5. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 5 () Numeeriset menetelmät / 28

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 5. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 5 () Numeeriset menetelmät / 28 Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 5 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 5 () Numeeriset menetelmät 3.4.2013 1 / 28 Luennon 5 sisältö Luku 4: Ominaisarvotehtävistä Potenssiinkorotusmenetelmä QR-menetelmä

Lisätiedot

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on 13 Pistetulo Avaruuksissa R 2 ja R 3 on totuttu puhumaan vektorien pituuksista ja vektoreiden välisistä kulmista. Kuten tavallista, näiden käsitteiden yleistäminen korkeampiulotteisiin avaruuksiin ei onnistu

Lisätiedot

4 Korkeamman kertaluvun differentiaaliyhtälöt

4 Korkeamman kertaluvun differentiaaliyhtälöt Differentiaaliyhtälöt c Pekka Alestalo 2015 Tässä monisteessa käydään läpi tavallisiin differentiaaliyhtälöihin liittyviä peruskäsitteitä ja ratkaisuperiaatteita. Luennolla lasketaan esimerkkitehtäviä

Lisätiedot

6. Differentiaaliyhtälösysteemien laadullista teoriaa.

6. Differentiaaliyhtälösysteemien laadullista teoriaa. 1 MAT-13450 LAAJA MATEMATIIKKA 5 Tampereen teknillinen yliopisto Risto Silvennoinen Kevät 2010 6. Differentiaaliyhtälösysteemien laadullista teoriaa. Olemme keskittyneet tässä kurssissa ensimmäisen kertaluvun

Lisätiedot

OMINAISARVOISTA JA OMINAISVEKTOREISTA

OMINAISARVOISTA JA OMINAISVEKTOREISTA 1 OMINAISARVOISTA JA OMINAISVEKTOREISTA Olkoon x = (x 1,..., x n ) avaruuden R n piste (l. vektori). Vektori x samaistetaan n 1-matriisin (x 1 x 2... x n ) T kanssa, ts. voidaan yhtä hyvin kirjoittaa x1

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Harjoitus 4 / Ratkaisut

Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Harjoitus 4 / Ratkaisut MS-C34 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt, IV/26 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Harjoitus 4 / t Alkuviikon tuntitehtävä Hahmottele matriisia A ( 2 6 3 vastaava vektorikenttä Matriisia A

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

Luento 8: Epälineaarinen optimointi

Luento 8: Epälineaarinen optimointi Luento 8: Epälineaarinen optimointi Vektoriavaruus R n R n on kaikkien n-jonojen x := (x,..., x n ) joukko. Siis R n := Määritellään nollavektori 0 = (0,..., 0). Reaalisten m n-matriisien joukkoa merkitään

Lisätiedot

Luento 8: Epälineaarinen optimointi

Luento 8: Epälineaarinen optimointi Luento 8: Epälineaarinen optimointi Vektoriavaruus R n R n on kaikkien n-jonojen x := (x,..., x n ) joukko. Siis R n := Määritellään nollavektori = (,..., ). Reaalisten m n-matriisien joukkoa merkitään

Lisätiedot

Lineaariset differentiaaliyhtälöryhmät

Lineaariset differentiaaliyhtälöryhmät Lineaariset differentiaaliyhtälöryhmät Antti Kosonen Matematiikan kandidaatintutkielma Jyväskylän yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Kevät 204 Sisältö Johdanto 2 Differentiaaliyhtälöryhmät

Lisätiedot

Liittomatriisi. Liittomatriisi. Määritelmä 16 Olkoon A 2 M(n, n). Matriisin A liittomatriisi on cof A 2 M(n, n), missä. 1) i+j det A ij.

Liittomatriisi. Liittomatriisi. Määritelmä 16 Olkoon A 2 M(n, n). Matriisin A liittomatriisi on cof A 2 M(n, n), missä. 1) i+j det A ij. Liittomatriisi Määritelmä 16 Olkoon A 2 M(n, n). Matriisin A liittomatriisi on cof A 2 M(n, n), missä (cof A) ij =( 1) i+j det A ij kaikilla i, j = 1,...,n. Huomautus 8 Olkoon A 2 M(n, n). Tällöin kaikilla

Lisätiedot

Differentiaaliyhtälösysteemit sekä niiden tasapainopisteiden stabiilisuus

Differentiaaliyhtälösysteemit sekä niiden tasapainopisteiden stabiilisuus TAMPEREEN YLIOPISTO Luonnontieteiden Pro gradu -tutkielma Ilkka Niemi-Nikkola Differentiaaliyhtälösysteemit sekä niiden tasapainopisteiden stabiilisuus Luonnontieteiden tiedekunta Matematiikka Tammikuu

Lisätiedot

7 Vapaus. 7.1 Vapauden määritelmä

7 Vapaus. 7.1 Vapauden määritelmä 7 Vapaus Kuten edellisen luvun lopussa mainittiin, seuraavaksi pyritään ratkaisemaan, onko annetussa aliavaruuden virittäjäjoukossa tarpeettomia vektoreita Jos tällaisia ei ole, virittäjäjoukkoa kutsutaan

Lisätiedot

Ville Turunen: Mat Matematiikan peruskurssi P1 1. välikokeen alueen teoriatiivistelmä 2007

Ville Turunen: Mat Matematiikan peruskurssi P1 1. välikokeen alueen teoriatiivistelmä 2007 Ville Turunen: Mat-1.1410 Matematiikan peruskurssi P1 1. välikokeen alueen teoriatiivistelmä 2007 Materiaali: kirjat [Adams R. A. Adams: Calculus, a complete course (6th edition), [Lay D. C. Lay: Linear

Lisätiedot

Matematiikka B3 - Avoin yliopisto

Matematiikka B3 - Avoin yliopisto 2. heinäkuuta 2009 Opetusjärjestelyt Luennot 9:15-11:30 Harjoitukset 12:30-15:00 Tentti Lisäharjoitustehtävä Kurssin sisältö (1/2) 1. asteen Differentiaali yhtälöt (1.DY) Separoituva Ratkaisukaava Bernoyulli

Lisätiedot

1 Di erentiaaliyhtälöt

1 Di erentiaaliyhtälöt Taloustieteen mat.menetelmät syksy 2017 materiaali II-5 1 Di erentiaaliyhtälöt 1.1 Skalaariyhtälöt Määritelmä: ensimmäisen kertaluvun di erentiaaliyhtälö on muotoa _y = F (y; t) oleva yhtälö, missä _y

Lisätiedot