17. Differentiaaliyhtälösysteemien laadullista teoriaa.

Transkriptio

1 Differentiaaliyhtälösysteemien laadullista teoriaa. Differentiaaliyhtälön x'(t) = f(x(t),t), x(t) n määrittelemän systeemin sanotaan olevan autonominen, jos oikea puoli ei eksplisiittisesti riipu ajasta t: (1) x'(t) = f(x(t)). Jos vakiotila x(t) x toteuttaa yhtälön, niin silloin vakiona sen derivaatta x'(t) ja sanomme, että systeemi on tasapainotilassa ja x on systeemin tasapainopiste. Tasapainopistettä karakterisoi siis yhtälö (2) f(x ) =, josta systeemin tasapainopisteet voidaan ratkaista. Esim.1 Systeemin x'(t) = f(x(t)), f(x) = [sin(x 1 +x 2 ) exp(x 1 )-1] T tasapainopisteet ovat (, nπ), n =, ± 1, ± 2,. Esim. 2 Systeemillä, jossa fx ( ), on koko avaruus tasapainopistettä. n pelkkää Systeemin tasapainopiste x on erillinen, jos on olemassa pisteen n B( x, r) = x x x < r, jossa ei ole muita x ympäristö { } tasapainopisteitä kuin x. Edellisissä esimerkeissä ensimmäisen tasapainopisteet ovat erillisiä, toisen eivät. Usein on kätevää olettaa, että tutkittava erillinen tasapainopiste on. Ellei näin ole, voidaan muunnoksella y = x x siirtyä systeemiin (3) y = f( y + x ), jonka tasapainopiste on x :n sijasta.

2 1 Systeemi (1) pysyy tasapainotilassaan, ellei sitä häiritä siitä pois. Stabiilisuusteoria tutkii systeemin käyttäytymistä tällaisen häiriön jälkeen. Systeemi on tasapainopisteessä x stabiili, jos sen tila x(t) eroaa ajan kuluessa tasapainostaan hallitun vähän, kun poikkeama tasapainopisteestä on riittävän pieni. Eli jos systeemi lähtee poikkeutetusta alkutilasta x * ja etenee alkuarvoprobleeman (4) x' = f(x), = x * ratkaisuna x(t), niin jokaista ε > kohti on olemassa δ > siten,että x * - x < δ x(t) - x < ε kaikilla t>. Tällöin sanotaan myös, että kyseinen tasapainopiste on stabiili. Voimakkaampi ominaisuus on asymptoottinen stabiilius: Systeemi on stabiili ja on olemassa sellainen vakio K >, että alkuarvoprobleeman (4) ratkaisulle pätee * x x < K x(t) x, kun t. Eli kun poikkeutus tasapainopisteestä on riittävän pieni, niin systeemi palaa ajan kuluessa lopulta takaisin tasapainotilaansa raja-arvona. Globaalissa asymptoottisessa stabiiliudessa poikkeaman suuruus * x x saa olla kuinka suuri hyvänsä. Jos systeemi ei ole stabiili, se on epästabiili. Silloin poikkeutuksen vähäisyys ei riitä takaamaan systeemin tilan pysymistä hallituissa rajoissa. Oheinen kuva havainnollistaa stabiilin, asymptoottisesti stabiilin ja epästabiilin tasapainopisteen käsitteitä:

3 11 Avaruuden n lineaarisille systeemeille x' = Ax stabiiliuskysymykset voidaan selvittää ominaisarvojen avulla. Olkoon det(a), jolloin ainoa tasapainopiste on origo. Origo on systeemin stabiili tasapainotila täsmälleen silloin, kun sen ominaisarvojen reaaliosat ovat ja lisäksi niiden ominaisarvojen, joilla geometrinen kertaluku on pienempi kuin algebrallinen, reaaliosa on <. Jos lisäksi kaikkien ominaisarvojen reaaliosat ovat <, niin origo on globaalisti asymptoottisesti stabiili tasapainotila. (Todistukset sivuutetaan, mutta myöhemmin tarkastellaan lähemmin tason lineaarisia systeemejä, jolloin syyt ominaisarvojen vaikutuksiin tulevat näkyviin.)

4 12 Yleisemmän lineaarisen systeemin x' = Ax + b tasapainotila on (A:n ollessa kääntyvä) yhtälön ratkaisu Ax + b = x = -A -1 b. Sen stabiiliusominaisuudet määräytyvät A:n ominaisarvoista täsmälleen kuten origon tapauksessa yllä. Siis lineaarisen systeemin x' = Ax + b (det(a) ) tasapainotila on globaalisti asymptoottisesti stabiili, jos A:n ominaisarvot λ C ovat aidosti vasemmassa puolitasossa (ei imaginääriakselilla). Jos ne ovat vasemmassa puolitasossa, mutta jokin on imaginääriakselilla, systeemi on silti stabiili. Jos jokin ominaisarvoista on aidosti oikeassa puolitasossa (Reλ>), systeemi on tasapainotilassaan epästabiili.

5 13 Epälineaarisen systeemin x' = f(x) tasapainotilan x stabiilius selvitetään tutkimalla pisteen x ympäristössä linearisoitua systeemiä f(x) = f(x ) + f '(x )(x-x ). Koska tasapainopisteessä x on f(x ) =, on linearisoitu systeemi x' = Ax +b, missä A = f '(x ) on f:n derivaatta eli Jacobin matriisi pisteessä x ja b = - f '(x )x. Jos Jacobin matriisin ominaisarvojen reaaliosat ovat <, niin tasapainotila x on epälineaariselle systeemille asymptoottisesti stabiili. Jos yksikin ominaisarvoista on reaaliosaltaan positiivinen, tasapainotila on epästabiili.

6 14 2 Tason lineaarisille systeemeille x' = Ax voidaan eri tilanteet tasapainotilalle luokitella ominaisarvojen λ 1, λ 2 avulla. 1. Kaksi erisuurta reaalista ominaisarvoa λ2 < λ1 Tällöin matriisilla on lineaarisesti riippumattomia ominaisvektoreita täysi määrä, olkoot v1, v 2 sellaisia. Ratkaisut λ1t λ2t x1() t = e v1, x2() t = e v 2 muodostavat perusjärjestelmän, joiden lineaarikombinaationa saadaan yleinen ratkaisu. Ratkaisu x 1 () t liikkuu suoralla s = sv 1 tasapainopistettä kohti ( λ 1 < ) tai siitä poispäin ( λ 1 > ). Vastaavasti x 2 () t. 1a λ2 < λ 1< λ1t λ2t Yleinen ratkaisu t = ce 1 v1+ c2e v2, kun t. Jos häiritty tila * (systeemin alkutila häiriön jälkeen) x on suoralla s = sv 1 ( c 2 = ) tai s = sv 2 ( c 1 = ), niin ratakäyrän piste konvergoi kyseistä suoraa pitkin * kohti origoa. Jos x on jossain muualla, niin 1 ( 2 1) () t t t e λ ( c1 1 c2e λ x = v + λ v 2), c1 & c2 josta nähdään, että x () t lopulta lähestyy origoa asymptoottisesti vektorin v 1 määräämästä suunnasta. Tasapainopiste on gobaalisti asymptoottisesti stabiili nielu sivulla olevan kuvan 2 mukaisesti. 1b λ2 < λ1 = Koska A x= x= kaikilla ominaisarvoon liittyvillä ominaisvektoreilla x, on tasapainopisteitä nyt :n lisäksi kokonainen origon kautta kulkeva suorallinen. Yleinen ratkaisu on λ2t t = cv + c e v cv, joten mielivaltaisesta pisteestä lähtevä ratakäyrä lähestyy tasapainopisteiden suoran pistettä c1v1 suunnasta v 2.

7 15 1c λ2 < < λ1 Yleinen ratkaisu on λ1t λ2t t = ce v + c e v, joten suoralla s = sv 1 pisteet loittonevat origosta rajattoman kauas, kun taas suoralla s = sv 2 lähestytään origoa. Piste on tästä syystä satulapiste. Muualta lähtevä ratakäyrä lähestyy ensin origoa, suoran s = sv 2 suunnasta, mutta kääntyy sitten suoran s = sv 1 suuntaiseksi ja loittonee sitä asymptoottisesti lähestyen. Tasapainopiste on satulapisteenä epästabiili. 1d = λ2 < λ1 Nytkin tasapainopisteitä on suoran verran. Yleinen ratkaisu on λ1t t = ce 1 v1+ c2v 2, missä äärettömyyttä lähestyminen tarkoittaa, että x () t. Siis suoran s = sv pisteet ovat epästabiileja lähteitä. 2 1e < λ2 < λ1 Tilanne on kuten 1a, mutta nyt on epästabiili lähde, kuvan 4 mukaisesti. 2. Kaksinkertainen ominaisarvo λ2 = λ1 2a λ2 = λ1< Nyt kaksinkertaisen ominaisarvon tapauksessa on kaksi mahdollisuutta. Jos ominaisvektoreita on täydet kaksi lineaarisesti riippumattomia, yleinen ratkaisu on () ( ) 1t x t = cv + c v e λ, ja ratoina ovat kaikki origon kautta kulkevat suorat. Tilanne on kuvan 1 mukainen. Toinen mahdollisuus on, että ominaisavaruus on vain yksiulotteinen, jolloin yleinen ratkaisu saadaan yleistetyn ominaisvektorin v avulla 1t t = (( c1 + c2t) v1 + c2v ) e λ. Silloin ratkaisut lähestyvät origoa asymptoottisesti vektorin v 1 määräämän suoran suunnasta.

8 16 2b λ2 = λ1 = Tasapainopisteet muodostavat koko tason. 2c < λ2 = λ1 Kuten 2a, paitsi että nyt on epästabiili lähde. 3. Ominaisarvot kompleksisia λ = α± iβ, β 3a α = Nyt yleinen ratkaisu on x( t) = c1(cos βta sin βtb) + c2(sin βta+ cos βtb ), eli i t i t ( t) c Re( e β β x = v) + c Im( e v), missä v= a+ ib. 1 2 Ratkaisukäyrät ovat origokeskisiä ellipsejä (todistus harjoitustehtäväksi) Origo on stabiili keskus, kuva 8 (erikoistapauksesta, jossa ellipsit ympyröitä). 3b α < Yleinen ratkaisu on t t = e α ( c1(cosβ ta sin βtb) + c2(sinβta+ cos βtb )), t jossa kerroin e α. Kyseessä logaritmisten spiraalien muodostamat ratakäyrät, on globaalisti asymptoottisesti stabiili fokus (kuva 6). 3c α > Kuten 3a, mutta nyt virtaus on poispäin, kyseessä epästabiili fokus (kuva 7).

9 17

10 18