Matematiikka B3 - Avoin yliopisto

Transkriptio

1 2. heinäkuuta 2009

2 Opetusjärjestelyt Luennot 9:15-11:30 Harjoitukset 12:30-15:00 Tentti Lisäharjoitustehtävä

3 Kurssin sisältö (1/2) 1. asteen Differentiaali yhtälöt (1.DY) Separoituva Ratkaisukaava Bernoyulli Eksakti Kohtisuorat leikkaajat

4 Kurssin sisältö 2/2 2. asteen Differentiaali yhtälöt (2.DY) Homogeeninen Vakiokertoiminen Euler-Cauchy Kertaluvun pudotus Epähomogeeninen Yrite Parametrin variointi Korkeamman asteen Differentiaali yhtälö Differentiaaliyhtälö-ryhmät

5

6 Sisältö 1 1. asteen Differentiaali yhtälöt (1.DY) 2 3

7 Sisältö 1 1. asteen Differentiaali yhtälöt (1.DY) 2 3

8 Tavalliset Differentiaaliyhtälöt Yhtälö, jossa on yksi tai useampia yhden muuttujan derivaattoja, on nimeltään tavallinen differentiaaliyhtälö Kertaluku tarkoittaa korkeimman derivaatan astelukua DY on lineaarinen, jos kullakin termillä on korkeintaan yksi tekijä, joka on joko tuntematon funktio tai yksi sen tekijöistä y + 4y = 0 (1 + x 2 )y + sinxy 4y + y = e x cos x

9 Tavalliset Differentiaaliyhtälöt DY:n yleisessä ratkaisussa esiintyy yhtämonta parametria kuin on yhtälön kertaluku Alkuarvotehtävässä n. kertaluvun DY:n ratkaisufunktiolta f ja derivaatoilta y,...,y (n 1) edellytettään annettuja arvoja yhdessä pisteessä, jolloin ratkaisuna on yksi funktio, yksityisratkaisu y = cos x y = sinx + C y = sinx + 1.2, y = sinx, y = sinx 0.5

10 1. Kertaluvun separoituva DY 1. kertaluvun DY on separoituva, jos se voidaan esittään muodossa Määritelmä y = g(x)h(y), h(y) 0 DY:n ratkaisun vaiheet Merkitään dy dx = g(x)h(y) Kerrotaan DY dx:llä ja jaetaan h(y):llä Integroidaan puolittain 1 h(y) dy = g(x)dx

11 1. Kertaluvun lineaarinen DY Lineaarinen DY on muotoa: y + f (x)y = g(x) Yleinen ratkaisu on muotoa: y = y h + y p y h on homogeenisen DY:n ratkaisu y p on DY:n yksityisratkaisu Yksityisratkaisun muodostaminen Määrämättömien kertoimien menetelmä Vakion variointi Yleinen ratkaisu kaavalla y(x) = e F(x) ( ) e F(x) g(x)dx + C

12 Bernoullin DY DY on muotoa: y + f (x)y = y a g(x), a 0, a 1 Yhtälö jaetaan y a :lla ja sijoitetaan: z = y 1 a, z = (1 a)y a y z + (1 a)f (x)z = (1 a)g(x) Sijoituksen jälkeen DY on lineaarinen

13 Muita 1. asteen muotoja DY muotoa y = f ( y x ) sijoitus z = y x y = xz, Separoituva DY dz f (z) z = dx x y = xz + z DY:t muotoa y = f (ax + by) ja y = f ( ) ax + by + c px + qy + r

14 Eksaktit DY:t ja integroivat tekijät DY P(x, y)dx + Q(x, y)dy = 0 on eksakti, jos P y = Q x Tällöin on olemassa F(x, y) siten, että F x = P ja F y = Q Täten DY:n yleinen ratkaisu on: F(x, y) = C Muotoa Pdx + Qdy = 0 oleva DY ei ole yleensä eksakti. Yhtälö voidaan saada eksaktiksi kertomalla se integroivalla tekijällä F(x, y) FPdx + FQdy = 0

15 Käyräparven kohtisuorat leikkaajat Sovelluksia Sähkökentät Virtaustekniikka Lämmönsiirtyminen Fysiikan ilmiöt Kohtisuorien leikkaajien määrittäminen y = f (x,c) y k = 1 f (x,c) Ratkaise separoituva DY

16 Sisältö 1 1. asteen Differentiaali yhtälöt (1.DY) 2 3

17 2. Kertaluvun Differentiaali yhtälö Muoto y = f (x, y ) Ei sisällä funktiota y Sijoitus: z = y z = f (x,z) 1. kertaluvun DY Muoto y = f (y, y ) Ei sisällä muuttujaa x Sijoitus: 1. kertaluvun DY p = dy dx d2 y dx 2 = pdp dy p dp dy f (y,p) = 0

18 2. kertaluvun homogeeninen ja lineaarinen DY 2. asteen homogeeninen ja lineaarinen DY on muotoa: y + f (x)y + g(x)y = 0 Jos y 1 ja y 2 ovat lineaarisesti riippumattomia DY:n ratkaisuja, niin DY:n yleinen ratkaisu on muotoa: y h = C 1 y 1 (x) + C 2 y 2 (x) y 1 ja y 2 ovat lineaarisesti riippumattomia jos ja vain jos: C 1 y 1 (x) + C 2 y 2 (x) = 0, x C 1 = C 2 = 0 Kertaluvun pudotus Merk y 2 (x) = u(x)y 1 (x) ja haetaan u(x) alkuperäisestä DY:stä

19 Euler-Cauchy n yhtälö Euler-Cauchy n DY on muotoa: x 2 y + axy + by = 0 Etsitään ratkaisu muodossa: y = x m Sijoittamalla DY:hyn, saadaan m 2 + (a 1)m + b = 0 jos m 1 m 2 y 1 = x m1,y 2 = x m2 jos m 1 = m 2 = m y 1 = x m,y 2 = u(x)x m (yleensä u(x) = ln x)

20 2. Kertaluvun homogeeninen vakiokertoiminen DY Yleinen muoto: y + ay + by = 0 Muodostetaan homogeenisen DY:n karakteristinen yhtälö r 2 + ar + b = 0 Olkoon r 1 ja r 2 karakteristisen yhtälön juuret. Tällöin homogeenisen DY:n yleinen ratkaisu on: y h = C 1 e r1x + C 2 e r 2x, r 1, r 2 R, r 1 r 2 y h = (C 1 x + C 2 )e rx, r 1, r 2 R, r = r 1 = r 2 y h = e αx (C 1 cos βx + C 2 sinβx), r 1,2 = α ± iβ

21 2. Kertaluvun epähomogeeninen DY Yleinen muoto: y + p(x)y + q(x)y = r(x) Ratkaisu muotoa: y = y h + y p y h on homogeenisen yhtälön ratkaisu (yleinen ratkaisu) y p on yksittäisratkaisu (eritysratkaisu) Homogeeniyhtälö ratkaistaan edellä mainituilla menetelmillä Yksittäisratkaisu saadaan yritteellä tai parametrin varioinnilla

22 2. Kertaluvun DY:n yritteet Funktiosta r(x) voidaan päätellä, minkä tyyppinen yksittäisratkaisu toteuttaa DY:n Yrite sijoitetaan DY:öön ja määrätään yritteen määräämättömät kertoimet siten, että DY toteutuu Yriteestä tulee yksityisratkaisu Yritteen valinta: r(x) Polynomi e kx Yrite Samanasteinen polynomi Ae kx sinx, cos x Asinx + B cos x e kx sinx, e kx cos x e kx (Asinx + B cos x) Jos y h = yrite yrite kerrotaan x:llä

23 2. Kertaluvun DY:n parametrin variointi Yksittäisratkaisun yleinen ratkaisutapa (kompleksisempi) Parametrin variointi tarkoittaa y p :n etsimistä Wronskian determinantin avulla W1 r(x) y p = y 1 W dx + y W2 r(x) 2 W dx W = y 1 y 2 y 1 y 2, W 1 = 0 y 2 1 y 2, W 2 = y 1 0 y 1 1 y 1 ja y 2 ovat DY:n homogeenisenyhtälön kantaratkaisut!

24 Sisältö 1 1. asteen Differentiaali yhtälöt (1.DY) 2 3

25 Korkeamman Kertaluvun DY:t Korkeamman kertaluvun DY:n ratkaisemiseen pätevät 2. kertaluvun säännöt muunneltuina Muoto: y (n) + p n 1 (x)y (n 1) p 1 (x)y + p 0 (x)y = r(x) Homogeeniyhtälön ratkaisu: y(x) = c 1 y 1 (x) c n y n (x) missä y 1,...,y n muodostavat ratkaisujen kannan (kanta on lineaarisesti riippumaton) Erityisratkaisu: Yritteellä tai Parametrien varioinnilla

26 Vakiokertoimiset homogeeniset yhtälöt Muoto: y (n) + a n 1 y (n 1) a 1 y + a 0 y = 0 Karakteristinen yhtälö: r (n) + a n 1 r (n 1) a 1 r + a 0 = 0 n erisuurta reaalista juurta r 1,r 2,...,r n y = c 1 e r1x + c 2 e r2x c n e rnx m moninkertaista reaalijuurta lineaarisesti riippumatonta vastaavaa ratkaisua ovat y = c 1 e rx + c 2 xe rx c m x m 1 e rx Kompleksinen juuri r = a ± bi y = c 1 e ax cos bx + c 2 e ax sin bx

27 Epähomogeeniset yhtälöt Määräämättömien kertoimien menetelmä Yritteen y p valintaan pätevät samat säännöt ja vaihtoehdot kuin toisen kertaluvun tapauksessa Parametrin variointi DY:n erityisratkaisu saadaan kaavalla: W = W1 r(x) y p = y 1 W dx +y W2 r(x) 2 W dx +...+y Wn r(x) n W dx y 1 y 2... y n y 1 y 2... y n 0 y 2... y n 0 y 2... y n..... W. 1 =. y (n 1) 1 y (n 1) 2... y n (n 1) y (n 1) 2... y n (n 1)

28 Lineaarinen DY-ryhmä Muoto: y 1 = a 11 (t)y a 1n (t)y n + g 1 (t). y n = a n1 (t)y a nn (t)y n + g n (t) Vektorimuodossa: ȳ = Aȳ + ḡ, missä: a a 1n A =.....,ȳ = a n1... a nn y 1. y n,ḡ = g 1. g n

29 Homogeeninen vakiokertoiminen DY-ryhmä Muoto: ȳ = Aȳ Kantaratkaisut muotoa ȳ = ve λt, missä λ on matriisin A ominaisarvo ja v vastaava ominaisvektori Jos A:lla on n lineaarisesti riippumatonta ominaisvektoria v 1,..., v n vastaten ominaisarvoja λ 1,...,λ n, niin yleinen ratkaisu on ȳ(t) = C 1 v 1 e λ 1t C n v n e λnt Jos λ on kaksoisjuuri, jolla on yksi lineaarisesti riippumaton ominaisvektori, niin ve λt ja (ū + t v)e λt ovat lineaarisesti riippumattomia ratkaisuja, missä v on ominaisarvoa λ vastaava ominaisvektori ja vektori ū toteuttaa yhtälön (A λi)ū = v

30 n. kertaluvun DY:n muuttaminen DY-ryhmäksi Muoto y (n) = f (t, y, y,...,y (n 1) ) Merkitään y 1 = y, y 2 = y,..., y n = y (n 1), joka derivoidaan y 1 = y 2 y 2 = y 3. y n 1 = y n y n = f (t, y 1, y 2,...,y n ) Yhtälöryhmä on lineaarinen DY-ryhmä