Määritelmä Olkoon T i L (V i, W i ), 1 i m. Yksikäsitteisen lineaarikuvauksen h L (V 1 V 2 V m, W 1 W 2 W m )

Transkriptio

1 Määritelmä 519 Olkoon T i L V i, W i, 1 i m Yksikäsitteisen lineaarikuvauksen h L V 1 V 2 V m, W 1 W 2 W m h v 1 v 2 v m T 1 v 1 T 2 v 2 T m v m 514 sanotaan olevan kuvausten T 1,, T m indusoima ja sitä merkitään h T 1 T 2 T m 51 Jos I k, 1 k m, on avaruuden V k identiteettioperaattori, niin yhtälön 514 nojalla I 1 I 2 I m on avaruuden V 1 V 2 V m identiteettioperaattori Lause 520 Olkoon S i L U i, V i ja T i L V i, W i, missä 1 i m Tällöin T 1 T 2 T m S 1 S 2 S m 515 T 1 S 1 T 2 S 2 T m S m Seuraus 521 Olkoon T i L V i, W i, 1 i m Tällöin T 1 T 2 T m on kääntyvä, jos ja vain jos T i on kääntyvä kaikille 1 i m Todistus Jos jokainen kuvauksista T i on kääntyvä, niin jos yhtälössä 515 merkitään U i W i ja S i T 1 i, niin saadaan T 1 1 T 1 2 T 1 m T1 T 2 T m Kääntäen, oletetaan, että kuvaus T 1 T 2 T m L V 1 V 2 V m, W 1 W 2 W m on bijektio Tällöin, jos v i 0, kun 1 i m, niin Lauseen 515 nojalla T 1 v 1 T 2 v 2 T m v m T 1 T 2 T m v 1 v 2 v m 0, joten T i v i 0 ja kuvaus T i on ei-singulaarinen kaikilla 1 i m Vertaamalla dimensioita nähdään, että T i on surjektio ja Ongelmana on, miten erotetaan toisistaan T 1 T 2 T m L V 1 V 2 V m, W 1 W 2 W m T 1 T 2 T m L V 1, W 1 L V 2, W 2 L V m, W m 1

2 Lause 522 Vektoriavaruus on malli tensoritulolle L V 1 V 2 V m, W 1 W 2 W m L V 1, W 1 L V 2, W 2 L V m, W m, missä {T 1 T 2 T m T i L V i, W i } on hajottavien tensorien jukko Todistus Olkoon T 1 T 2 T m kuvausten T i indusoima kuvaus ja merkitään väliaikaisesti avaruuden L V 1, W 1 L V 2, W 2 L V m, W m hajottavaa tensoria T 1 T 2 T m Tarkastellaan kuvaa 55 L 1 L 2 L m L 1 L 2 L m ψ KUVA 55 h L missä L i L V i, W i, 1 i m, L L V 1 V 2 V m, W 1 W 2 W m ja ψ T 1, T 2,, T m T 1 T 2 T m Koska ei voida olettaa, että T 1 T 2 T m on hajottava tensori, niin on näytettävä että kuvaus ψ on multilineaarinen: Nyt koska T 1 ct i + dt i T m v 1 v 2 v m T 1 v 1 ct i v i + dt i v i T m v m, ja koska vektoreiden T k v k tensoritulo on multilineaarinen, on myös yhtälön vasen puoli multilineaarinen Koska ψ on multilineaarinen on UFP:n nojalla olemassa yksikäsitteinen lineaarikuvaus h jolle pätee h : L 1 L 2 L m L, h T 1 T 2 T m T 1 T 2 T m On vielä näytettävä, että h on kääntyvä Olkoot n i dim V i ja k i dim W i, 1 i m Tällöin dim L i n i k i, joten dim L 1 L 2 L m ni k i Koska myös dim L n i k i, niin riittää osoittaa, että h on surjektio Olkoon {v ij 1 j n i } avaruuden V i ja vastaavasti {w ij 1 j k i } avaruuden W i kanta, missä 1 i m Jos S on mielivaltainen, mutta kiinteä avaruuden L lineaarikuvaus, niin Lauseen 512 nojalla on olemassa kompleksiset kertoimet siten, että S v 1j1 v 2j2 v mjm i c i1,,i m,j 1,,j m w 1i1 w 2i2 w mim, 2

3 missä 1 j i n i ja 1 i m, missä i k 1 k 2 i 1 1 i 2 1 k m i m 1 Määritellään Tjr i : V i W i asettamalla kantavektoreille Tjr i v it δ j,t w ir, missä 1 j, t n i, 1 r k i, 1 i m ja laajentamalla kuvaus lineaarisesti koko avaruuteen Tällöin S c i1,,i m,t 1,,t m Tt 1 1 i 1 Tt 2 2 i 2 Tt m m i m, 517 i t missä t n 1 n 2 t 1 1 t 2 1 n m t m 1 Yhtälö 517 nähdään oikeaksi, kun sovelletaan molempia puolia tuloon v 1j1 v 2j2 v mjm Koska S on muotoa T 1 T 2 T m olevien termien lineaarikombinaatio, S on kuvauksen h arvojoukossa ja h on surjektio Seuraavassa tarkastellaan indusoitujen lineaarikuvausten esittämistä matriisien avulla Määritelmä 523 Olkoon B i {e ij 1 j n i } avaruuden V i järjestetty kanta, 1 i m Sanotaan, että avaruuden V 1 V 2 V m kanta B {e 1j1 e 2j2 e mjm 1 j i n i, 1 i m} 518 on kantojen B 1,, B m indusoima kanta Indusoidussa kannassa B on sanakirjajärjestys, eli alkio e 1i1 e 2i2 e mim edeltää alkiota e 1j1 e 2j2 e mjm, jos ensimmäinen nollasta eroava erotus j t i t on positiivinen sanakir- Esimerkki 524 e 1r e 2s e 3t edeltää termiä e 1i e 2j e 3k jajärjestyksessä, jos 1 r < i; tai jos 2 r i ja s < j; tai jos 3 r i, s j ja t < k Lause 525 Olkoon {v ij 1 j n i } avaruuden V i järjestetty kanta ja {w ij 1 j k i } avaruuden W i järjestetty kanta, kun 1 i m Olkoon E {v 1j1 v 2j2 v mjm 1 j i n i, 1 i m} ja F {w 1j1 w 2j2 w mjm 1 j i k i, 1 i m} 3

4 avaruuksien V 1 V 2 V m ja W 1 W 2 W m järjestetyt indusoidut kannat Olkoon T p L V p, W p lineaarikuvaus, jolle k p T p v pj a p ij wpi, 1 j n p, jolloin kuvauksen T p matriisiesitys kantojen {v pr 1 r n p } ja {w pr 1 r k pi } suhteen on A p a p ij Tällöin indusoidun kuvauksen T1 T 2 T m matriisiesityksessä kantojen E ja F suhteen i 1, i 2,, i m, j 1, j 2,, j m - alkio on a p i p j p 519 Todistus p1 T 1 T 2 T m v 1j1 v 2j2 v mjm T 1 v 1j1 T 2 v 2j2 T m v mjm i a 1 i 1 j 1 a 2 i 2 j 2 a m i m j m w 1i1 w 2i2 w mim Määritelmä 526 Olkoon A p a p ij kp n p -matriisi, 1 p m Matriisien A p Kroneckerin tulo A 1 A 2 A m on k p n p -matriisi, jonka rivit indeksoidaan joukon {i 1, i 2,, i m 1 i p k p } sanakirjajärjestyksen ja sarakkeet joukon {j 1, j 2,, j m 1 j p n p } sanakirjajärjestyksen mukaan Tämän matriisin i 1, i 2,, i m, j 1, j 2,, j m -alkio on a p i p j p p1 Avaruudet L V i, W i ja C ki,n i ovat isomorfiset, joten Lauseen 522 avulla nähdään, etetä C Q k i, Q n i Ck1,n 1 C k2,n 2 C km,n m 520 Seuraus 527 Olkoon kuvauksen T i matriisiesitys vastaavien indusoitujen kantojen suhteen A i Tällöin kuvauksen T 1 T 2 T m matriisi on A 1 A 2 A m Todistus Kirjoitetaan Lause 525 Määritelmän 528 merkintöjä käyttäen Esimerkki 528 Olkoon A 1 A a ij C p,q ja A 2 B b rs C m,n Määritelmän 526 nojalla matriisin A B C pm,qn i, r, j, s-alkio on a ij b rs Sanakirjajärjestyksessä i 1, r 1 edeltää alkiota i 2, r 2, jos i 1 < i 2 tai jos i 1 i 2 ja r 1 < r 2 Siispä matriisin A B m ensimmäisen rivin indeksit ovat 1, 1, 1, 2,, 1, m Vastaavasti ensimmäisillä n sarakkeella on indekseinä 1, 1, 1, 2,, 1, n Olkoon L matriisin A B m ensimmäisestä 4

5 rivistä ja n ensimmäisestä sarakkeesta koostuva alimatriisi Tällöin matriisin L r, s-alkio on matriisin A B 1, r, 1, s-alkio eli a 11 b rs Siispä L a 11 B Toisaalta, jos M on alimatriisi, jossa on matriisin A B m ensimmäisen rivin sarkakkeet sarakkeesta n + 1 sarakkeeseen 2n, niin matriisin M r, s-alkio on matriisin A B 1, r, 2, s-alkio eli a 12 b rs ja M a 12 B Yleisesti A B on ositettu matriisi a 11 B a 12 B a 1q B a 21 B a 22 B a 2q B A B 521 a p1 B a p2 B a pq B Esimerkki 529 Olkoon edellisessä esimerkissä m p ja n q, jolloin A, B C p,q Matriisien A ja B Hadamarin tulo tai Schurin tulo on A B a ij b ij, eli p q-matriisi, jonka i, j-alkio on a ij b ij Erityisesti A B on matriisin A B pääalimatriisi, joka on riveillä 1, 1, 2, 2,, p, p ja sarakkeilla 1, 1, 2, 2,, q, q Esimerkki 530 Olkoot P p ij ja Q q ij kompleksisia n n- matriiseja Määritellään T L C n,n, C n,n, T A P AQ ja lasketaan kuvauksen T matriisiesitys kannan B {E ij 1 i, j n} suhteen, missä E ij on n n-matriisi, jossa ainoa nollasta eroava alkio on 1 paikassa i, j Määritelmän nojalla saadaan T E rs P E rs Q n p ir E is Q n n i,j1 p ir n q sj E ij j1 p ir q sj E ij, joten kuvauksen T matriisin kannan B suhteen i, j, r, s-alkio on p ir q sj, eli täsmälleen i, j, r, s-alkio tulossa P Q T Olkoon B i {e ij 1 j n i } sisätuloavaruuden V i, 1 i m ortonormaali kanta Tällöin on olemassa yksikäsitteinen sisätulo avaruudessa V 1 V 2 V m, siten että indusoitu kanta B {e 1j1 e 2j2 e mjm 1 j i n i, 1 i m} on ortonormaali kyseisen sisätulon suhteen Vektoreiden v n 1 n 2 j 1 1 j 2 1 n m j m 1 a j 1, j 2,, j m e 1j1 e 2j2 e mjm 5

6 ja w sisätulo on n 1 u, v n 2 j 1 1 j 2 1 n 1 n 2 j 1 1 j 2 1 n m j m 1 b j 1, j 2,, j m e 1j1 e 2j2 e mjm n m j m 1 a j 1, j 2,, j m b j 1, j 2,, j m 522 Kaavan 522 määrittelemä sisätulo näyttää riippuvan ortonormaalien kantojen B 1, B 2,,B m valinnasta Seuraavaksi osoitetaan, ettei näin ole Lause 531 Olkoon, i avaruudn V i sisätulo, 1 i m Jos, on yhtälön 522 määräämä sisätulo, niin tällöin v 1 v 2 v m, w 1 w 2 w m v i, w i V i ja 1 i m v i, w i i, 523 Todistus Olkoon B i {e ij 1 j n i } kaavan 522 johdossa käytetty avaruuden V i ortonormaali kanta Olkoon n i n i v i a ij e ij ja w i b ij e ij, j1 1 i m Lauseen 514 nojalla j1 ja v 1 v 2 v m n 1 n 2 j 1 1 j 2 1 n m j m 1 m a tjt e 1j1 e 2j2 e mjm t1 w 1 w 2 w m n 1 n 2 n m m b tjt e 1j1 e 2j2 e mjm, j 1 1 j 2 1 j m 1 t1 6

7 joten yhtälön 522 nojalla v 1 v 2 v m, w 1 w 2 w m m m a tjt b tjt j t1 t1 m a tjt b tjt j t1 n i a ij b ij j1 n i a ij b ij e ij, e ij i j1 n i n i a ij e ij, b ik e ij j1 v i, w i i k1 Koska hajottavat tensorit virittävät avaruuden V 1 V 2 V m, kaavan 522 määrittelemä sisätulo määräytyy täysin ja yksikäsitteisesti kaavasta 523 Erityisesti se ei riipu valitusta kannasta Koska yhtälö 523 on yhtälöä 522 yksinkertaisempi otetaan se määritelmäksi Määritelmä 532 Olkoot V 1, V 2,,V m sisätuloavaruuksia ja merkitään niissä määriteltyjä sisätuloja, i lyhyesti,, 1 i m Avaruuden V 1 V 2 V m yksikäsitteistä sisätuloa, joka toteuttaa yhtälön v 1 v 2 v m, w 1 w 2 w m i v i, w i, v i, w i V i ja 1 i m kutsutaan indusoiduksi sisätuloksi Seuraus 533 Olkoot V 1, V 2,, V m sisätuloavaruuksia ja olkoon T i L V i, V i, 1 i m Tällöin indusoidun sisätulon suhteen pätee T 1 T 2 T m T 1 T 2 T m 524 Todistus Koska hajottavat tensorit virittävät avaruuden V 1 V 2 V m ja koska adjungaatti on yksikäsitteinen, riittää todistaa tulos hajottaville 7

8 tensoreille T 1 T 2 T m v 1 v 2 v m, w 1 w 2 w m T 1 v 1 T 2 v 2 T m v m, w 1 w 2 w m T i v i, w i i v i, Ti w i i v 1 v 2 v m, T1 w 1 T2 w 2 Tm w m v 1 v 2 v m, T1 T2 Tm w 1 w 2 w m Tarkastellaan vielä tilannetta, jossa V 1 V 2 V m Otetaan käyttöön lyhennysmerkintä Määritelmä 534 Avaruuden V m:s tensoripotenssi jossa tekijöinä on m kappaletta avaruuksia V Siis V m on tensoritulo, V 0 C V 1 V V m V 1 V 2 V m, missä V 1 V 2 V m V Koska avaruuksilla V i on sama kanta, tarvitaan yksi indeksi vähemmän Merkitään avaruuden V kantaa B {e 1,, e n } Tällöin {e j1 e j2 e jm 1 j i n, 1 i m} on avaruuden V m kanta ja avaruuden V m yleinen alkio on v n n j 1 1 j 2 1 n j m 1 c j 1, j 2,, j m e j1 e j2 e jm 525 Määritelmässä 120 merkittiin funktioita joukosta {1, 2,, m} joukkoon {1, 2,, n} tunnuksella Γ m,n Jos samaistetaan j 1, j 2,, j m funktion α Γ m,n α i j i, 1 i m kanssa, voidaan yhtälö 525 kirjoittaa yksinkertaisemmassa muodossa v c α e α1 e α2 e αm 526 α Γ m,n Määritelmä 535 Jos v 1, v 2,, v m V ja α Γ m,n, niin määritellään v α v α1 v α2 v αm 8

9 Jos B {e 1,, e n } on avaruuden V järjestetty kanta, niin Määritelmän 535 mukaista avaruuden V m indusoitua kantaa merkitään { e α α Γ m,n } 527 ja kanta on järjestetty sanakirjajärjestykseen alkioiden α Γ m,n indeksien mukaan Yhtälön 526 avaruuden V m yleisen tensorin merkintä yksinkertaistuu edellen muotoon v c α e α 528 α Γ m,n Esimerkki 536 Olkoot A r a r ij ja Br b r ij kompleksisia n n- matriiseja 1 r m Lauseen 520 ja Seurauksen 527 nojalla saadaan A 1 A 2 A m B 1 B 2 B m A 1 B 1 A 2 B 2 A m B m Todistetaan väite myös suoraan, ilman edellä mainittuja tuloksia Matriisin A 1 A 2 A m B 1 B 2 B m α, β-alkio on matriisitulon määritelmän nojalla m m γ Γ m,n γ Γ m,n r1 n r1 m j1 a r αrγr r1 r1 a r αrγr br γrβr a r αrj br jβr A r B r αrβr, r1 b r γrβr mikä on matriisitulon A 1 B 1 A 2 B 2 A m B m α, β-alkio Lause 537 Olkoon A i C n n, 1 i m Jos A i 0, kun 1 i m, niin A 1 A 2 A m 0 Todistus Olkoon A i B i B i, 1 i m Tällöin A 1 A 2 A m B 1B 1 B 2B 2 B mb m B 1 B 2 B m B 1 B 2 B m B 1 B 2 B m B 1 B 2 B m 9

10 Seuraus 538 Olkoot B i ja C i positiivisesti semidefiniittejä hermiittisiä matriiseja Oletetaan, että A i B i + C i, 1 i m Tällöin A 1 A 2 A m B 1 B 2 B m + C 1 C 2 C m Todistus Koska Kroneckerin tulo on multilineaarinen, niin A 1 A 2 A m B 1 + C 1 B 2 + C 2 B m + C m B 1 B 2 B m + +C 1 C 2 C m, missä merkintä tarkoittaa muiden muotoa X 1 X 2 X m, missä X i on joko B i tai C i olevien termien summaa Summassa on 2 m 2 termiä Lauseen 537 nojalla jokainen näistä termeistä on positiivisesti semidefiniitti ja hermiittinen Seuraus 539 Olkoon V sisätuloavaruus Jos S i, T i L V, V ovat positiivisesti semidefiniittejä, kun 1 i m, niin S 1 S 2 S m ja T 1 T 2 T m ovat positiivisesti semidefiniittejä ja lisäksi S 1 + T 1 S 2 + T 2 S m + T m S 1 S 2 S m + T 1 T 2 T m Seuraus 539 on Seurauksen 538 operaattorimuotoinen versio Tulos voidaan muotoilla myös seuraavasti: Olkoon V sisätuloavaruus, jonka dimenso on n Olkoon T L V, V positiivisesti semidefiniitti Spektraalilauseen nojalla avaruudella V on ortonormaali kanta {u 1,, u n }, joka koostuu operaattorin T ominaisvektoreista, joille pätee T u i λ i u i ja λ i 0, 1 i n Jos r on positiivinen reaaliluku, määritellään T r 0 asettamalla kantavektoreille T r u i λ r i u i, 1 i n ja laajentamalla määrittely lineaarisesti koko avaruuteen Vertaa tätä yhtälöön 216 Seuraava on erikoistapaus yleisemmästä tuloksesta, joka on todistettu lähteissä [Lieb 1973] ja [Ando 1979]: Lause 540 Olkoon V sisätuloavaruus, jonka dimensio on n Olkoot S i ja T i positiivisesti semidefiniittejä hermiittisiä operaattoreita avaruudessa V, 1 i n ja olkoon 0 θ 1 Tällöin θs θ T 1 1/n θs θ T 2 1/n θs n + 1 θ T n 1/n θ S 1/n 1 S 1/n 2 Sn 1/n + 1 θ T 1/n 1 T 1/n 2 Tn 1/n Määritelmä 541 Olkoon T L V, V Tällöin merkinnällä T m L V m, V m tarkoitetaan operaattoria T T T Vastaavasti matriisin A a ij 10

11 C n n m:s Kroneckerin potenssi on matriisi A m A A A m kertaa Toisin sanoen A m on n m n m -matriisi, jonka rivien ja sarakkeiden indekseinä ovat Γ m,n Matriisin A m α, β-alkio on A m m a α,β αtβt 530 Kun yhdistetään Lause 540 ja Määritelmä 541 saadaan: Jos A ja B ovat positiivisesti semidefiniitttejä hermiittisiä n n-matriiseja ja 0 θ 1, niin θa + 1 θ B 1/n n θ A 1/n n + 1 θ B 1/n n t1 11