Määritelmä Olkoon T i L (V i, W i ), 1 i m. Yksikäsitteisen lineaarikuvauksen h L (V 1 V 2 V m, W 1 W 2 W m )
|
|
- Ilmari Korpela
- 7 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Määritelmä 519 Olkoon T i L V i, W i, 1 i m Yksikäsitteisen lineaarikuvauksen h L V 1 V 2 V m, W 1 W 2 W m h v 1 v 2 v m T 1 v 1 T 2 v 2 T m v m 514 sanotaan olevan kuvausten T 1,, T m indusoima ja sitä merkitään h T 1 T 2 T m 51 Jos I k, 1 k m, on avaruuden V k identiteettioperaattori, niin yhtälön 514 nojalla I 1 I 2 I m on avaruuden V 1 V 2 V m identiteettioperaattori Lause 520 Olkoon S i L U i, V i ja T i L V i, W i, missä 1 i m Tällöin T 1 T 2 T m S 1 S 2 S m 515 T 1 S 1 T 2 S 2 T m S m Seuraus 521 Olkoon T i L V i, W i, 1 i m Tällöin T 1 T 2 T m on kääntyvä, jos ja vain jos T i on kääntyvä kaikille 1 i m Todistus Jos jokainen kuvauksista T i on kääntyvä, niin jos yhtälössä 515 merkitään U i W i ja S i T 1 i, niin saadaan T 1 1 T 1 2 T 1 m T1 T 2 T m Kääntäen, oletetaan, että kuvaus T 1 T 2 T m L V 1 V 2 V m, W 1 W 2 W m on bijektio Tällöin, jos v i 0, kun 1 i m, niin Lauseen 515 nojalla T 1 v 1 T 2 v 2 T m v m T 1 T 2 T m v 1 v 2 v m 0, joten T i v i 0 ja kuvaus T i on ei-singulaarinen kaikilla 1 i m Vertaamalla dimensioita nähdään, että T i on surjektio ja Ongelmana on, miten erotetaan toisistaan T 1 T 2 T m L V 1 V 2 V m, W 1 W 2 W m T 1 T 2 T m L V 1, W 1 L V 2, W 2 L V m, W m 1
2 Lause 522 Vektoriavaruus on malli tensoritulolle L V 1 V 2 V m, W 1 W 2 W m L V 1, W 1 L V 2, W 2 L V m, W m, missä {T 1 T 2 T m T i L V i, W i } on hajottavien tensorien jukko Todistus Olkoon T 1 T 2 T m kuvausten T i indusoima kuvaus ja merkitään väliaikaisesti avaruuden L V 1, W 1 L V 2, W 2 L V m, W m hajottavaa tensoria T 1 T 2 T m Tarkastellaan kuvaa 55 L 1 L 2 L m L 1 L 2 L m ψ KUVA 55 h L missä L i L V i, W i, 1 i m, L L V 1 V 2 V m, W 1 W 2 W m ja ψ T 1, T 2,, T m T 1 T 2 T m Koska ei voida olettaa, että T 1 T 2 T m on hajottava tensori, niin on näytettävä että kuvaus ψ on multilineaarinen: Nyt koska T 1 ct i + dt i T m v 1 v 2 v m T 1 v 1 ct i v i + dt i v i T m v m, ja koska vektoreiden T k v k tensoritulo on multilineaarinen, on myös yhtälön vasen puoli multilineaarinen Koska ψ on multilineaarinen on UFP:n nojalla olemassa yksikäsitteinen lineaarikuvaus h jolle pätee h : L 1 L 2 L m L, h T 1 T 2 T m T 1 T 2 T m On vielä näytettävä, että h on kääntyvä Olkoot n i dim V i ja k i dim W i, 1 i m Tällöin dim L i n i k i, joten dim L 1 L 2 L m ni k i Koska myös dim L n i k i, niin riittää osoittaa, että h on surjektio Olkoon {v ij 1 j n i } avaruuden V i ja vastaavasti {w ij 1 j k i } avaruuden W i kanta, missä 1 i m Jos S on mielivaltainen, mutta kiinteä avaruuden L lineaarikuvaus, niin Lauseen 512 nojalla on olemassa kompleksiset kertoimet siten, että S v 1j1 v 2j2 v mjm i c i1,,i m,j 1,,j m w 1i1 w 2i2 w mim, 2
3 missä 1 j i n i ja 1 i m, missä i k 1 k 2 i 1 1 i 2 1 k m i m 1 Määritellään Tjr i : V i W i asettamalla kantavektoreille Tjr i v it δ j,t w ir, missä 1 j, t n i, 1 r k i, 1 i m ja laajentamalla kuvaus lineaarisesti koko avaruuteen Tällöin S c i1,,i m,t 1,,t m Tt 1 1 i 1 Tt 2 2 i 2 Tt m m i m, 517 i t missä t n 1 n 2 t 1 1 t 2 1 n m t m 1 Yhtälö 517 nähdään oikeaksi, kun sovelletaan molempia puolia tuloon v 1j1 v 2j2 v mjm Koska S on muotoa T 1 T 2 T m olevien termien lineaarikombinaatio, S on kuvauksen h arvojoukossa ja h on surjektio Seuraavassa tarkastellaan indusoitujen lineaarikuvausten esittämistä matriisien avulla Määritelmä 523 Olkoon B i {e ij 1 j n i } avaruuden V i järjestetty kanta, 1 i m Sanotaan, että avaruuden V 1 V 2 V m kanta B {e 1j1 e 2j2 e mjm 1 j i n i, 1 i m} 518 on kantojen B 1,, B m indusoima kanta Indusoidussa kannassa B on sanakirjajärjestys, eli alkio e 1i1 e 2i2 e mim edeltää alkiota e 1j1 e 2j2 e mjm, jos ensimmäinen nollasta eroava erotus j t i t on positiivinen sanakir- Esimerkki 524 e 1r e 2s e 3t edeltää termiä e 1i e 2j e 3k jajärjestyksessä, jos 1 r < i; tai jos 2 r i ja s < j; tai jos 3 r i, s j ja t < k Lause 525 Olkoon {v ij 1 j n i } avaruuden V i järjestetty kanta ja {w ij 1 j k i } avaruuden W i järjestetty kanta, kun 1 i m Olkoon E {v 1j1 v 2j2 v mjm 1 j i n i, 1 i m} ja F {w 1j1 w 2j2 w mjm 1 j i k i, 1 i m} 3
4 avaruuksien V 1 V 2 V m ja W 1 W 2 W m järjestetyt indusoidut kannat Olkoon T p L V p, W p lineaarikuvaus, jolle k p T p v pj a p ij wpi, 1 j n p, jolloin kuvauksen T p matriisiesitys kantojen {v pr 1 r n p } ja {w pr 1 r k pi } suhteen on A p a p ij Tällöin indusoidun kuvauksen T1 T 2 T m matriisiesityksessä kantojen E ja F suhteen i 1, i 2,, i m, j 1, j 2,, j m - alkio on a p i p j p 519 Todistus p1 T 1 T 2 T m v 1j1 v 2j2 v mjm T 1 v 1j1 T 2 v 2j2 T m v mjm i a 1 i 1 j 1 a 2 i 2 j 2 a m i m j m w 1i1 w 2i2 w mim Määritelmä 526 Olkoon A p a p ij kp n p -matriisi, 1 p m Matriisien A p Kroneckerin tulo A 1 A 2 A m on k p n p -matriisi, jonka rivit indeksoidaan joukon {i 1, i 2,, i m 1 i p k p } sanakirjajärjestyksen ja sarakkeet joukon {j 1, j 2,, j m 1 j p n p } sanakirjajärjestyksen mukaan Tämän matriisin i 1, i 2,, i m, j 1, j 2,, j m -alkio on a p i p j p p1 Avaruudet L V i, W i ja C ki,n i ovat isomorfiset, joten Lauseen 522 avulla nähdään, etetä C Q k i, Q n i Ck1,n 1 C k2,n 2 C km,n m 520 Seuraus 527 Olkoon kuvauksen T i matriisiesitys vastaavien indusoitujen kantojen suhteen A i Tällöin kuvauksen T 1 T 2 T m matriisi on A 1 A 2 A m Todistus Kirjoitetaan Lause 525 Määritelmän 528 merkintöjä käyttäen Esimerkki 528 Olkoon A 1 A a ij C p,q ja A 2 B b rs C m,n Määritelmän 526 nojalla matriisin A B C pm,qn i, r, j, s-alkio on a ij b rs Sanakirjajärjestyksessä i 1, r 1 edeltää alkiota i 2, r 2, jos i 1 < i 2 tai jos i 1 i 2 ja r 1 < r 2 Siispä matriisin A B m ensimmäisen rivin indeksit ovat 1, 1, 1, 2,, 1, m Vastaavasti ensimmäisillä n sarakkeella on indekseinä 1, 1, 1, 2,, 1, n Olkoon L matriisin A B m ensimmäisestä 4
5 rivistä ja n ensimmäisestä sarakkeesta koostuva alimatriisi Tällöin matriisin L r, s-alkio on matriisin A B 1, r, 1, s-alkio eli a 11 b rs Siispä L a 11 B Toisaalta, jos M on alimatriisi, jossa on matriisin A B m ensimmäisen rivin sarkakkeet sarakkeesta n + 1 sarakkeeseen 2n, niin matriisin M r, s-alkio on matriisin A B 1, r, 2, s-alkio eli a 12 b rs ja M a 12 B Yleisesti A B on ositettu matriisi a 11 B a 12 B a 1q B a 21 B a 22 B a 2q B A B 521 a p1 B a p2 B a pq B Esimerkki 529 Olkoon edellisessä esimerkissä m p ja n q, jolloin A, B C p,q Matriisien A ja B Hadamarin tulo tai Schurin tulo on A B a ij b ij, eli p q-matriisi, jonka i, j-alkio on a ij b ij Erityisesti A B on matriisin A B pääalimatriisi, joka on riveillä 1, 1, 2, 2,, p, p ja sarakkeilla 1, 1, 2, 2,, q, q Esimerkki 530 Olkoot P p ij ja Q q ij kompleksisia n n- matriiseja Määritellään T L C n,n, C n,n, T A P AQ ja lasketaan kuvauksen T matriisiesitys kannan B {E ij 1 i, j n} suhteen, missä E ij on n n-matriisi, jossa ainoa nollasta eroava alkio on 1 paikassa i, j Määritelmän nojalla saadaan T E rs P E rs Q n p ir E is Q n n i,j1 p ir n q sj E ij j1 p ir q sj E ij, joten kuvauksen T matriisin kannan B suhteen i, j, r, s-alkio on p ir q sj, eli täsmälleen i, j, r, s-alkio tulossa P Q T Olkoon B i {e ij 1 j n i } sisätuloavaruuden V i, 1 i m ortonormaali kanta Tällöin on olemassa yksikäsitteinen sisätulo avaruudessa V 1 V 2 V m, siten että indusoitu kanta B {e 1j1 e 2j2 e mjm 1 j i n i, 1 i m} on ortonormaali kyseisen sisätulon suhteen Vektoreiden v n 1 n 2 j 1 1 j 2 1 n m j m 1 a j 1, j 2,, j m e 1j1 e 2j2 e mjm 5
6 ja w sisätulo on n 1 u, v n 2 j 1 1 j 2 1 n 1 n 2 j 1 1 j 2 1 n m j m 1 b j 1, j 2,, j m e 1j1 e 2j2 e mjm n m j m 1 a j 1, j 2,, j m b j 1, j 2,, j m 522 Kaavan 522 määrittelemä sisätulo näyttää riippuvan ortonormaalien kantojen B 1, B 2,,B m valinnasta Seuraavaksi osoitetaan, ettei näin ole Lause 531 Olkoon, i avaruudn V i sisätulo, 1 i m Jos, on yhtälön 522 määräämä sisätulo, niin tällöin v 1 v 2 v m, w 1 w 2 w m v i, w i V i ja 1 i m v i, w i i, 523 Todistus Olkoon B i {e ij 1 j n i } kaavan 522 johdossa käytetty avaruuden V i ortonormaali kanta Olkoon n i n i v i a ij e ij ja w i b ij e ij, j1 1 i m Lauseen 514 nojalla j1 ja v 1 v 2 v m n 1 n 2 j 1 1 j 2 1 n m j m 1 m a tjt e 1j1 e 2j2 e mjm t1 w 1 w 2 w m n 1 n 2 n m m b tjt e 1j1 e 2j2 e mjm, j 1 1 j 2 1 j m 1 t1 6
7 joten yhtälön 522 nojalla v 1 v 2 v m, w 1 w 2 w m m m a tjt b tjt j t1 t1 m a tjt b tjt j t1 n i a ij b ij j1 n i a ij b ij e ij, e ij i j1 n i n i a ij e ij, b ik e ij j1 v i, w i i k1 Koska hajottavat tensorit virittävät avaruuden V 1 V 2 V m, kaavan 522 määrittelemä sisätulo määräytyy täysin ja yksikäsitteisesti kaavasta 523 Erityisesti se ei riipu valitusta kannasta Koska yhtälö 523 on yhtälöä 522 yksinkertaisempi otetaan se määritelmäksi Määritelmä 532 Olkoot V 1, V 2,,V m sisätuloavaruuksia ja merkitään niissä määriteltyjä sisätuloja, i lyhyesti,, 1 i m Avaruuden V 1 V 2 V m yksikäsitteistä sisätuloa, joka toteuttaa yhtälön v 1 v 2 v m, w 1 w 2 w m i v i, w i, v i, w i V i ja 1 i m kutsutaan indusoiduksi sisätuloksi Seuraus 533 Olkoot V 1, V 2,, V m sisätuloavaruuksia ja olkoon T i L V i, V i, 1 i m Tällöin indusoidun sisätulon suhteen pätee T 1 T 2 T m T 1 T 2 T m 524 Todistus Koska hajottavat tensorit virittävät avaruuden V 1 V 2 V m ja koska adjungaatti on yksikäsitteinen, riittää todistaa tulos hajottaville 7
8 tensoreille T 1 T 2 T m v 1 v 2 v m, w 1 w 2 w m T 1 v 1 T 2 v 2 T m v m, w 1 w 2 w m T i v i, w i i v i, Ti w i i v 1 v 2 v m, T1 w 1 T2 w 2 Tm w m v 1 v 2 v m, T1 T2 Tm w 1 w 2 w m Tarkastellaan vielä tilannetta, jossa V 1 V 2 V m Otetaan käyttöön lyhennysmerkintä Määritelmä 534 Avaruuden V m:s tensoripotenssi jossa tekijöinä on m kappaletta avaruuksia V Siis V m on tensoritulo, V 0 C V 1 V V m V 1 V 2 V m, missä V 1 V 2 V m V Koska avaruuksilla V i on sama kanta, tarvitaan yksi indeksi vähemmän Merkitään avaruuden V kantaa B {e 1,, e n } Tällöin {e j1 e j2 e jm 1 j i n, 1 i m} on avaruuden V m kanta ja avaruuden V m yleinen alkio on v n n j 1 1 j 2 1 n j m 1 c j 1, j 2,, j m e j1 e j2 e jm 525 Määritelmässä 120 merkittiin funktioita joukosta {1, 2,, m} joukkoon {1, 2,, n} tunnuksella Γ m,n Jos samaistetaan j 1, j 2,, j m funktion α Γ m,n α i j i, 1 i m kanssa, voidaan yhtälö 525 kirjoittaa yksinkertaisemmassa muodossa v c α e α1 e α2 e αm 526 α Γ m,n Määritelmä 535 Jos v 1, v 2,, v m V ja α Γ m,n, niin määritellään v α v α1 v α2 v αm 8
9 Jos B {e 1,, e n } on avaruuden V järjestetty kanta, niin Määritelmän 535 mukaista avaruuden V m indusoitua kantaa merkitään { e α α Γ m,n } 527 ja kanta on järjestetty sanakirjajärjestykseen alkioiden α Γ m,n indeksien mukaan Yhtälön 526 avaruuden V m yleisen tensorin merkintä yksinkertaistuu edellen muotoon v c α e α 528 α Γ m,n Esimerkki 536 Olkoot A r a r ij ja Br b r ij kompleksisia n n- matriiseja 1 r m Lauseen 520 ja Seurauksen 527 nojalla saadaan A 1 A 2 A m B 1 B 2 B m A 1 B 1 A 2 B 2 A m B m Todistetaan väite myös suoraan, ilman edellä mainittuja tuloksia Matriisin A 1 A 2 A m B 1 B 2 B m α, β-alkio on matriisitulon määritelmän nojalla m m γ Γ m,n γ Γ m,n r1 n r1 m j1 a r αrγr r1 r1 a r αrγr br γrβr a r αrj br jβr A r B r αrβr, r1 b r γrβr mikä on matriisitulon A 1 B 1 A 2 B 2 A m B m α, β-alkio Lause 537 Olkoon A i C n n, 1 i m Jos A i 0, kun 1 i m, niin A 1 A 2 A m 0 Todistus Olkoon A i B i B i, 1 i m Tällöin A 1 A 2 A m B 1B 1 B 2B 2 B mb m B 1 B 2 B m B 1 B 2 B m B 1 B 2 B m B 1 B 2 B m 9
10 Seuraus 538 Olkoot B i ja C i positiivisesti semidefiniittejä hermiittisiä matriiseja Oletetaan, että A i B i + C i, 1 i m Tällöin A 1 A 2 A m B 1 B 2 B m + C 1 C 2 C m Todistus Koska Kroneckerin tulo on multilineaarinen, niin A 1 A 2 A m B 1 + C 1 B 2 + C 2 B m + C m B 1 B 2 B m + +C 1 C 2 C m, missä merkintä tarkoittaa muiden muotoa X 1 X 2 X m, missä X i on joko B i tai C i olevien termien summaa Summassa on 2 m 2 termiä Lauseen 537 nojalla jokainen näistä termeistä on positiivisesti semidefiniitti ja hermiittinen Seuraus 539 Olkoon V sisätuloavaruus Jos S i, T i L V, V ovat positiivisesti semidefiniittejä, kun 1 i m, niin S 1 S 2 S m ja T 1 T 2 T m ovat positiivisesti semidefiniittejä ja lisäksi S 1 + T 1 S 2 + T 2 S m + T m S 1 S 2 S m + T 1 T 2 T m Seuraus 539 on Seurauksen 538 operaattorimuotoinen versio Tulos voidaan muotoilla myös seuraavasti: Olkoon V sisätuloavaruus, jonka dimenso on n Olkoon T L V, V positiivisesti semidefiniitti Spektraalilauseen nojalla avaruudella V on ortonormaali kanta {u 1,, u n }, joka koostuu operaattorin T ominaisvektoreista, joille pätee T u i λ i u i ja λ i 0, 1 i n Jos r on positiivinen reaaliluku, määritellään T r 0 asettamalla kantavektoreille T r u i λ r i u i, 1 i n ja laajentamalla määrittely lineaarisesti koko avaruuteen Vertaa tätä yhtälöön 216 Seuraava on erikoistapaus yleisemmästä tuloksesta, joka on todistettu lähteissä [Lieb 1973] ja [Ando 1979]: Lause 540 Olkoon V sisätuloavaruus, jonka dimensio on n Olkoot S i ja T i positiivisesti semidefiniittejä hermiittisiä operaattoreita avaruudessa V, 1 i n ja olkoon 0 θ 1 Tällöin θs θ T 1 1/n θs θ T 2 1/n θs n + 1 θ T n 1/n θ S 1/n 1 S 1/n 2 Sn 1/n + 1 θ T 1/n 1 T 1/n 2 Tn 1/n Määritelmä 541 Olkoon T L V, V Tällöin merkinnällä T m L V m, V m tarkoitetaan operaattoria T T T Vastaavasti matriisin A a ij 10
11 C n n m:s Kroneckerin potenssi on matriisi A m A A A m kertaa Toisin sanoen A m on n m n m -matriisi, jonka rivien ja sarakkeiden indekseinä ovat Γ m,n Matriisin A m α, β-alkio on A m m a α,β αtβt 530 Kun yhdistetään Lause 540 ja Määritelmä 541 saadaan: Jos A ja B ovat positiivisesti semidefiniitttejä hermiittisiä n n-matriiseja ja 0 θ 1, niin θa + 1 θ B 1/n n θ A 1/n n + 1 θ B 1/n n t1 11
Sisätuloavaruudet. 4. lokakuuta 2006
Sisätuloavaruudet 4. lokakuuta 2006 Tässä esityksessä vektoriavaruudet V ja W ovat kompleksisia ja äärellisulotteisia. Käydään ensin lyhyesti läpi määritelmiä ja perustuloksia. Merkitään L(V, W ) :llä
Lisätiedot1 Tensoriavaruuksista..
1 Tensoriavaruuksista.. Käydään läpi kirjan (1) sivut 126-133. 19.02.2007 Palautetaaieleen viime kerran tärkeä määritelmä: (kirja, Määr. 5.12). Määritelmä 1.1 Olkoon T vektoriavaruus ja Φ : V 1 V 2 V m
LisätiedotMääritelmä 1. Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V. Termejä: Lineaarikuvaus, Lineaarinen kuvaus.
1 Lineaarikuvaus 1.1 Määritelmä Määritelmä 1. Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V W on lineaarinen, jos (a) L(v + w) = L(v) + L(w); (b) L(λv) = λl(v) aina, kun v, w V ja λ K. Termejä:
Lisätiedot802320A LINEAARIALGEBRA OSA III
802320A LINEAARIALGEBRA OSA III Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 56 Määritelmä Määritelmä 1 Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V
LisätiedotOsoita, että täsmälleen yksi vektoriavaruuden ehto ei ole voimassa.
LINEAARIALGEBRA Harjoituksia 2016 1. Olkoon V = R 2 varustettuna tavallisella yhteenlaskulla. Määritellään reaaliluvulla kertominen seuraavasti: λ (x 1, x 2 ) = (λx 1, 0) (x 1, x 2 ) R 2 ja λ R. Osoita,
Lisätiedot3.1 Lineaarikuvaukset. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. 3.1 Lineaarikuvaukset. 3.1 Lineaarikuvaukset
31 MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta 3 Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2292015 Lineaariset yhtälöt ovat vektoreille luonnollisia yhtälöitä, joita
LisätiedotKannan vektorit siis virittävät aliavaruuden, ja lisäksi kanta on vapaa. Lauseesta 7.6 saadaan seuraava hyvin käyttökelpoinen tulos:
8 Kanta Tässä luvussa tarkastellaan aliavaruuden virittäjävektoreita, jotka muodostavat lineaarisesti riippumattoman jonon. Merkintöjen helpottamiseksi oletetaan luvussa koko ajan, että W on vektoreiden
LisätiedotKantavektorien kuvavektorit määräävät lineaarikuvauksen
Kantavektorien kuvavektorit määräävät lineaarikuvauksen Lause 18 Oletetaan, että V ja W ovat vektoriavaruuksia. Oletetaan lisäksi, että ( v 1,..., v n ) on avaruuden V kanta ja w 1,..., w n W. Tällöin
LisätiedotLineaarikombinaatio, lineaarinen riippuvuus/riippumattomuus
Lineaarikombinaatio, lineaarinen riippuvuus/riippumattomuus 1 / 51 Lineaarikombinaatio Johdattelua seuraavaan asiaan (ei tarkkoja määritelmiä): Millaisen kuvan muodostaa joukko {λv λ R, v R 3 }? Millaisen
LisätiedotLiittomatriisi. Liittomatriisi. Määritelmä 16 Olkoon A 2 M(n, n). Matriisin A liittomatriisi on cof A 2 M(n, n), missä. 1) i+j det A ij.
Liittomatriisi Määritelmä 16 Olkoon A 2 M(n, n). Matriisin A liittomatriisi on cof A 2 M(n, n), missä (cof A) ij =( 1) i+j det A ij kaikilla i, j = 1,...,n. Huomautus 8 Olkoon A 2 M(n, n). Tällöin kaikilla
Lisätiedot1 Sisätulo- ja normiavaruudet
1 Sisätulo- ja normiavaruudet 1.1 Sisätuloavaruus Määritelmä 1. Olkoon V reaalinen vektoriavaruus. Kuvaus : V V R on reaalinen sisätulo eli pistetulo, jos (a) v w = w v (symmetrisyys); (b) v + u w = v
Lisätiedot802320A LINEAARIALGEBRA OSA II
802320A LINEAARIALGEBRA OSA II Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 64 Sisätuloavaruus Määritelmä 1 Olkoon V reaalinen vektoriavaruus. Kuvaus on reaalinen
LisätiedotOrtogonaaliprojektio äärellisulotteiselle aliavaruudelle
Ortogonaaliprojektio äärellisulotteiselle aliavaruudelle Olkoon X sisätuloavaruus ja Y X äärellisulotteinen aliavaruus. Tällöin on olemassa lineaarisesti riippumattomat vektorit y 1, y 2,..., yn, jotka
Lisätiedot(1.1) Ae j = a k,j e k.
Lineaarikuvauksen determinantti ja jälki 1. Lineaarikuvauksen matriisi. Palautetaan mieleen, mikä lineaarikuvauksen matriisi annetun kannan suhteen on. Olkoot V äärellisulotteinen vektoriavaruus, n = dim
Lisätiedot1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus
1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1.1 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä V epätyhjä joukko. Oletetaan, että joukossa V on määritelty laskutoimitus
LisätiedotMatriisilaskenta, LH4, 2004, ratkaisut 1. Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot, jotka sisältävät vain
Matriisilaskenta LH4 24 ratkaisut 1 Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot jotka sisältävät vain a) Kaikki muotoa (a b c d) olevat vektorit joilla d a + b b) Kaikki muotoa (a b c d) olevat vektorit
LisätiedotLineaarikuvauksen R n R m matriisi
Lineaarikuvauksen R n R m matriisi Lauseessa 21 osoitettiin, että jokaista m n -matriisia A vastaa lineaarikuvaus L A : R n R m, jolla L A ( v) = A v kaikilla v R n. Osoitetaan seuraavaksi käänteinen tulos:
Lisätiedot802320A LINEAARIALGEBRA OSA I
802320A LINEAARIALGEBRA OSA I Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 72 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä
LisätiedotBijektio. Voidaan päätellä, että kuvaus on bijektio, jos ja vain jos maalin jokaiselle alkiolle kuvautuu tasan yksi lähdön alkio.
Määritelmä Bijektio Oletetaan, että f : X Y on kuvaus. Sanotaan, että kuvaus f on bijektio, jos se on sekä injektio että surjektio. Huom. Voidaan päätellä, että kuvaus on bijektio, jos ja vain jos maalin
Lisätiedot802320A LINEAARIALGEBRA OSA III
802320A LINEAARIALGEBRA OSA III Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO Syksy 2017 LINEAARIALGEBRA 1 / 59 Määritelmä Määritelmä 1 Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V
Lisätiedot802320A LINEAARIALGEBRA OSA III LINEAR ALGEBRA PART III
802320A LINEAARIALGEBRA OSA III LINEAR ALGEBRA PART III Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2017 Contents 1 Lineaarikuvaus 2 1.1 Määritelmä............................ 2 1.2 Matriisiesitys/Matrix
Lisätiedot802320A LINEAARIALGEBRA OSA III
802320A LINEAARIALGEBRA OSA III Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO KEVÄT 2019 LINEAARIALGEBRA 1 / 60 Määritelmä Määritelmä 1 Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V
LisätiedotOrtogonaalisen kannan etsiminen
Ortogonaalisen kannan etsiminen Lause 94 (Gramin-Schmidtin menetelmä) Oletetaan, että B = ( v 1,..., v n ) on sisätuloavaruuden V kanta. Merkitään V k = span( v 1,..., v k ) ja w 1 = v 1 w 2 = v 2 v 2,
Lisätiedotx = y x i = y i i = 1, 2; x + y = (x 1 + y 1, x 2 + y 2 ); x y = (x 1 y 1, x 2 + y 2 );
LINEAARIALGEBRA Harjoituksia, Syksy 2016 1. Olkoon n Z +. Osoita, että (R n, +, ) on lineaariavaruus, kun vektoreiden x = (x 1,..., x n ), y = (y 1,..., y n ) identtisyys, yhteenlasku ja reaaliluvulla
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Lineaarikuvaukset Riikka Kangaslampi Kevät 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Lineaarikuvaukset Lineaarikuvaus Olkoot U ja V
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Lineaarikuvaukset Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 16 R. Kangaslampi Vektoriavaruudet Lineaarikuvaus
LisätiedotMatriisit. Määritelmä 1 Reaaliluvuista a ij, missä i = 1,..., k ja j = 1,..., n, muodostettua kaaviota a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A =
1 / 21 Määritelmä 1 Reaaliluvuista a ij, missä i 1,..., k ja j 1,..., n, muodostettua kaaviota a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A... a k1 a k2 a kn sanotaan k n matriisiksi. Usein merkitään A [a ij ]. Lukuja
LisätiedotLineaarialgebra II P
Lineaarialgebra II 89P Sisältö Vektoriavaruus Sisätuloavaruus 8 3 Lineaarikuvaus 5 4 Ominaisarvo 5 Luku Vektoriavaruus Määritelmä.. Epätyhjä joukko V on vektoriavaruus, jos seuraavat ehdot ovat voimassa:.
Lisätiedot2.8. Kannanvaihto R n :ssä
28 Kannanvaihto R n :ssä Seuraavassa kantavektoreiden { x, x 2,, x n } järjestystä ei saa vaihtaa Vektorit ovat pystyvektoreita ( x x 2 x n ) on vektoreiden x, x 2,, x n muodostama matriisi, missä vektorit
LisätiedotKoodausteoria, Kesä 2014
Koodausteoria, Kesä 2014 Topi Törmä Matemaattisten tieteiden laitos 3.5 Reedin-Mullerin koodit Olkoon tässä kappaleessa F = F2 = Z2 ja n = 2 m. Määritellään avaruuteen F n kertolasku koordinaateittain:
Lisätiedot1 Kannat ja kannanvaihto
1 Kannat ja kannanvaihto 1.1 Koordinaattivektori Oletetaan, että V on K-vektoriavaruus, jolla on kanta S = (v 1, v 2,..., v n ). Avaruuden V vektori v voidaan kirjoittaa kannan vektorien lineaarikombinaationa:
Lisätiedot5 Ominaisarvot ja ominaisvektorit
5 Ominaisarvot ja ominaisvektorit Olkoon A = [a jk ] n n matriisi. Tarkastellaan vektoriyhtälöä Ax = λx, (1) missä λ on luku. Sellaista λ:n arvoa, jolla yhtälöllä on ratkaisu x 0, kutsutaan matriisin A
LisätiedotPäättelyn voisi aloittaa myös edellisen loppupuolelta ja näyttää kuten alkupuolella, että välttämättä dim W < R 1 R 1
Lineaarialgebran kertaustehtävien b ratkaisuista. Määritä jokin kanta sille reaalikertoimisten polynomien lineaariavaruuden P aliavaruudelle, jonka virittää polynomijoukko {x, x+, x x }. Ratkaisu. Olkoon
LisätiedotKäänteismatriisi 1 / 14
1 / 14 Jokaisella nollasta eroavalla reaaliluvulla on käänteisluku, jolla kerrottaessa tuloksena on 1. Seuraavaksi tarkastellaan vastaavaa ominaisuutta matriiseille ja määritellään käänteismatriisi. Jokaisella
LisätiedotDeterminantti 1 / 30
1 / 30 on reaaliluku, joka on määritelty neliömatriiseille Determinantin avulla voidaan esimerkiksi selvittää, onko matriisi kääntyvä a voidaan käyttää käänteismatriisin määräämisessä ja siten lineaarisen
Lisätiedotx = y x i = y i i = 1, 2; x + y = (x 1 + y 1, x 2 + y 2 ); x y = (x 1 y 1, x 2 + y 2 );
LINEAARIALGEBRA Ratkaisuluonnoksia, Syksy 2016 1. Olkoon n Z +. Osoita, että (R n, +, ) on lineaariavaruus, kun vektoreiden x = (x 1,..., x n ), y = (y 1,..., y n ) identtisyys, yhteenlasku ja reaaliluvulla
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Vektoriavaruudet Riikka Kangaslampi kevät 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Idea Lineaarisen systeemin ratkaiseminen Olkoon
Lisätiedot1 Ominaisarvot ja ominaisvektorit
1 Ominaisarvot ja ominaisvektorit Olkoon A = [a jk ] n n matriisi. Tarkastellaan vektoriyhtälöä Ax = λx, (1) 1 missä λ on luku. Sellaista λ:n arvoa, jolla yhtälöllä on ratkaisu x 0, kutsutaan matriisin
LisätiedotYleiset lineaarimuunnokset
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Kari Tuominen Yleiset lineaarimuunnokset Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka Toukokuu 29 Tampereen yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Ominaisarvoteoriaa Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 22 R. Kangaslampi matriisiteoriaa Kertaus: ominaisarvot
LisätiedotLineaariset Lien ryhmät / Ratkaisut 6 D 381 klo
JYVÄSKYLÄN YLIOPISO MAEMAIIKAN JA ILASOIEEEN LAIOS Lineaariset Lien ryhmät 27.2.2012 / t 6 D 381 klo. 16-18. 1. Matriisiryhmällä U(n) on epätriviaali normaali aliryhmä SU(n), joka on homomorfismin det
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt QR-hajotelma ja pienimmän neliösumman menetelmä Riikka Kangaslampi Kevät 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto PNS-ongelma PNS-ongelma
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Ominaisarvoteoriaa Riikka Kangaslampi Kevät 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Ominaisarvot Kertaus: ominaisarvot Määritelmä
LisätiedotAvaruuden R n aliavaruus
Avaruuden R n aliavaruus 1 / 41 Aliavaruus Esimerkki 1 Kuva: Suora on suljettu yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen suhteen. 2 / 41 Esimerkki 2 Kuva: Suora ei ole suljettu yhteenlaskun ja skalaarilla
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt ja pienimmän neliösumman menetelmä Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 18 R. Kangaslampi QR ja PNS PNS-ongelma
LisätiedotLineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Laskuharjoitus 1 / vko 44
Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Laskuharjoitus 1 / vko 44 Tehtävät 1-3 lasketaan alkuviikon harjoituksissa, verkkotehtävien dl on lauantaina aamuyöllä. Tehtävät 4 ja 5 lasketaan loppuviikon harjoituksissa.
LisätiedotMatriisiteoria Harjoitus 1, kevät Olkoon. cos α sin α A(α) = . sin α cos α. Osoita, että A(α + β) = A(α)A(β). Mikä matriisi A(α)A( α) on?
Harjoitus 1, kevät 007 1. Olkoon [ ] cos α sin α A(α) =. sin α cos α Osoita, että A(α + β) = A(α)A(β). Mikä matriisi A(α)A( α) on?. Olkoon a x y A = 0 b z, 0 0 c missä a, b, c 0. Määrää käänteismatriisi
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
LisätiedotMatriisilaskenta Luento 16: Matriisin ominaisarvot ja ominaisvektorit
Matriisilaskenta Luento 16: Matriisin ominaisarvot ja ominaisvektorit Antti Rasila 2016 Ominaisarvot ja ominaisvektorit 1/5 Määritelmä Skalaari λ C on matriisin A C n n ominaisarvo ja vektori v C n sitä
LisätiedotNumeeriset menetelmät TIEA381. Luento 8. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 8 () Numeeriset menetelmät / 35
Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 8 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 8 () Numeeriset menetelmät 11.4.2013 1 / 35 Luennon 8 sisältö Interpolointi ja approksimointi Funktion approksimointi Tasainen
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
Lisätiedot2.5. Matriisin avaruudet ja tunnusluvut
2.5. Matriisin avaruudet ja tunnusluvut m n-matriisi A Lineaarikuvaus A : V Z, missä V ja Z ovat sopivasti valittuja, dim V = n, dim Z = m (yleensä V = R n tai C n ja Z = R m tai C m ) Kuva-avaruus ja
LisätiedotKanta ja dimensio 1 / 23
1 / 23 Kuten ollaan huomattu, saman aliavaruuden voi virittää eri määrä vektoreita. Seuraavaksi määritellään mahdollisimman pieni vektorijoukko, joka virittää aliavaruuden. Jokainen aliavaruuden alkio
LisätiedotLineaarialgebra ja matriisilaskenta II Syksy 2009 Laskuharjoitus 1 ( ) Ratkaisuehdotuksia Vesa Ala-Mattila
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II Syksy 29 Laskuharjoitus (9. - 3..29) Ratkaisuehdotuksia Vesa Ala-Mattila Tehtävä. Olkoon V vektoriavaruus. Todistettava: jos U V ja W V ovat V :n aliavaruuksia, niin
LisätiedotMatriisilaskenta Luento 12: Vektoriavaruuden kannan olemassaolo
Matriisilaskenta Luento 12: Vektoriavaruuden kannan olemassaolo Antti Rasila 2016 Vektoriavaruuden kannan olemassaolo Jos {v 1, v 2,..., v k } on äärellisulotteisen vektoriavaruuden V lineaarisesti riippumaton
LisätiedotKuvaus. Määritelmä. LM2, Kesä /160
Kuvaus Määritelmä Oletetaan, että X ja Y ovat joukkoja. Kuvaus eli funktio joukosta X joukkoon Y on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon X alkioon täsmälleen yhden alkion, joka kuuluu joukkoon Y. Merkintä
LisätiedotEnnakkotehtävän ratkaisu
Ennakkotehtävän ratkaisu Ratkaisu [ ] [ ] 1 3 4 3 A = ja B =. 1 4 1 1 [ ] [ ] 4 3 12 12 1 0 a) BA = =. 1 + 1 3 + 4 0 1 [ ] [ ] [ ] 1 0 x1 x1 b) (BA)x = =. 0 1 x 2 x [ ] [ ] [ 2 ] [ ] 4 3 1 4 9 5 c) Bb
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Vektoriavaruudet Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 17 R. Kangaslampi Vektoriavaruudet Vektoriavaruus
LisätiedotAlternoivat multilineaarimuodot
LUKU 1 Alternoivat multilineaarimuodot Vektoriavaruudesta R n käytetään seuraavassa merkintää V. Sen k-kertainen karteesinen tulo on tällöin V V = V k. Määritelmä 1.1. Kuvaus T : V k R on multilineaarinen,
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2014 Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentokalvot 3 1 of 16 Kertausta Lineaarinen riippuvuus
Lisätiedot3.2 Matriisien laskutoimitukset. 3.2 Matriisien laskutoimitukset. 3.2 Matriisien laskutoimitukset. 3.2 Matriisien laskutoimitukset
32 Idea: Lineaarikuvausten laskutoimitusten avulla määritellään vastaavat matriisien laskutoimitukset Vakiolla kertominen ja summa Olkoon t R ja A, B R n m Silloin ta, A + B R n m ja määritellään ta ta
LisätiedotMS-A0004/A0006 Matriisilaskenta
4. MS-A4/A6 Matriisilaskenta 4. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto..25 Tarkastellaan neliömatriiseja. Kun matriisilla kerrotaan vektoria, vektorin
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
Lisätiedot1 Avaruuksien ja lineaarikuvausten suora summa
MAT-33500 Differentiaaliyhtälöt, kevät 2006 Luennot 27.-28.2.2006 Samuli Siltanen 1 Avaruuksien ja lineaarikuvausten suora summa Tämä asialöytyy myös Hirschin ja Smalen kirjasta, luku 3, pykälä 1F. Olkoon
LisätiedotKertausta: avaruuden R n vektoreiden pistetulo
Kertausta: avaruuden R n vektoreiden pistetulo Määritelmä Vektoreiden v R n ja w R n pistetulo on v w = v 1 w 1 + v 2 w 2 + + v n w n. Huom. Pistetulo v w on reaaliluku! LM2, Kesä 2012 227/310 Kertausta:
Lisätiedot4. LINEAARIKUVAUKSET
86 4 LINEAARIKUVAUKSET 41 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoot V ja V vektoriavaruuksia Tarkastellaan kuvausta L : V V Tällöin jokaiseen vektoriin v V liittyy tietty, L:n ja v:n yksikäsitteisesti määräämä
Lisätiedot7 Vapaus. 7.1 Vapauden määritelmä
7 Vapaus Kuten edellisen luvun lopussa mainittiin, seuraavaksi pyritään ratkaisemaan, onko annetussa aliavaruuden virittäjäjoukossa tarpeettomia vektoreita Jos tällaisia ei ole, virittäjäjoukkoa kutsutaan
Lisätiedot6 Vektoriavaruus R n. 6.1 Lineaarikombinaatio
6 Vektoriavaruus R n 6.1 Lineaarikombinaatio Määritelmä 19. Vektori x œ R n on vektorien v 1,...,v k œ R n lineaarikombinaatio, jos on olemassa sellaiset 1,..., k œ R, että x = i v i. i=1 Esimerkki 30.
LisätiedotJohdatus lineaarialgebraan
Johdatus lineaarialgebraan Osa II Lotta Oinonen, Johanna Rämö 28. lokakuuta 2014 Helsingin yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Sisältö 15 Vektoriavaruus....................................
Lisätiedot3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä
3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä Lineaarinen m:n yhtälön yhtälöryhmä, jossa on n tuntematonta x 1,, x n on joukko yhtälöitä, jotka ovat muotoa a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a 21
Lisätiedot6. OMINAISARVOT JA DIAGONALISOINTI
0 6 OMINAISARVOT JA DIAGONALISOINTI 6 Ominaisarvot ja ominaisvektorit Olkoon V äärellisulotteinen vektoriavaruus, dim(v ) = n ja L : V V lineaarikuvaus Määritelmä 6 Skalaari λ R on L:n ominaisarvo, jos
Lisätiedotsitä vastaava Cliffordin algebran kannan alkio. Merkitään I = e 1 e 2 e n
Määritelmä 1.1 Algebran A keskus C on joukko C (A) = {a A ax = xa x A}. Lause 1. Olkoon Cl n Cliffordin algebra, jonka generoi joukko {e 1,..., e n }. Jos n on parillinen, niin C (Cl n ) = {λ λ R}. Jos
LisätiedotDifferentiaalimuodot
LUKU 2 Differentiaalimuodot Olkoot A R n ja p A. Vektori pisteessä p on pari (p; v), missä v R n. Pisteeseen p kiinnitetyn vektorin v p := (p; v) ensimmäinen komponentti p on vektorin v p paikkaosa ja
Lisätiedot3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä
1 3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä Lineaarinen m:n yhtälön yhtälöryhmä, jossa on n tuntematonta x 1,, x n on joukko yhtälöitä, jotka ovat muotoa a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a
LisätiedotKertausta: avaruuden R n vektoreiden pistetulo
Kertausta: avaruuden R n vektoreiden pistetulo Määritelmä Vektoreiden v R n ja w R n pistetulo on v w = v 1 w 1 + v 2 w 2 + + v n w n. Huom. Pistetulo v w on reaaliluku! LM2, Kesä 2014 164/246 Kertausta:
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M Hirvensalo mikhirve@utufi V Junnila viljun@utufi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M Hirvensalo mikhirve@utufi V Junnila viljun@utufi Luentokalvot 5 1
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö
LisätiedotSingulaariarvohajotelma ja pseudoinverssi
HELSINGIN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Niko Kaitarinne Singulaariarvohajotelma ja pseudoinverssi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka Helmikuu 01 Helsingin yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen
LisätiedotKanta ja Kannan-vaihto
ja Kannan-vaihto 1 Olkoon L vektoriavaruus. Äärellinen joukko L:n vektoreita V = { v 1, v 2,..., v n } on kanta, jos (1) Jokainen L:n vektori voidaan lausua v-vektoreiden lineaarikombinaationa. (Ts. Span(V
LisätiedotOminaisarvo ja ominaisvektori
Ominaisarvo ja ominaisvektori Määritelmä Oletetaan, että A on n n -neliömatriisi. Reaaliluku λ on matriisin ominaisarvo, jos on olemassa sellainen vektori v R n, että v 0 ja A v = λ v. Vektoria v, joka
LisätiedotOletetaan ensin, että tangenttitaso on olemassa. Nyt pinnalla S on koordinaattiesitys ψ, jolle pätee että kaikilla x V U
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi II, syksy 018 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotukset Tehtävä 1. Olkoon U R avoin joukko ja ϕ = (ϕ 1, ϕ, ϕ 3 ) : U R 3 kaksiulotteisen C 1 -alkeispinnan
LisätiedotA = a b B = c d. d e f. g h i determinantti on det(c) = a(ei fh) b(di fg) + c(dh eg). Matriisin determinanttia voi merkitä myös pystyviivojen avulla:
11 Determinantti Neliömatriisille voidaan laskea luku, joka kertoo muun muassa, onko matriisi kääntyvä vai ei Tätä lukua kutsutaan matriisin determinantiksi Determinantilla on muitakin sovelluksia, mutta
Lisätiedot1. Normi ja sisätulo
Kurssimateriaalia K3/P3-kursille syksyllä 3 83 Heikki Apiola Sisältää otteita Timo Eirolan L3-kurssin lineaarialgebramonisteesta, jonka lähdekoodin Timo on ystävällisesti antanut käyttööni Normi ja sisätulo
Lisätiedot2 Konveksisuus ja ratkaisun olemassaolo
2 Konveksisuus ja ratkaisun olemassaolo Ratkaisun olemassaolon tutkimiseen tarvitaan perustietoja konvekseista joukoista ja lineaarialgebrasta. Niitä tarvitaan myös ratkaisualgoritmin ymmärtämiseen. Tutkitaan
LisätiedotEnsi viikon luennot salissa X. Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/66
Ensi viikon luennot salissa X Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/66 Lineaarialgebra (muut ko) p. 2/66 Redusoitu porrasmuoto 1 1 2 4 1 1 4 6 2 2 5 9 1 1 0 2 0 0 1 1 0 0 0 0 Eli aste r(a) = 2 ja vaakariviavaruuden
LisätiedotTehtäväsarja I Kerrataan lineaarikuvauksiin liittyviä todistuksia ja lineaarikuvauksen muodostamista. Sarjaan liittyvät Stack-tehtävät: 1 ja 2.
HY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II, kesä 2016 Harjoitus 3 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina 29.8.2016 klo 13.15. Tehtäväsarja I Kerrataan lineaarikuvauksiin liittyviä
LisätiedotEsimerkki 19. Esimerkissä 16 miniminormiratkaisu on (ˆx 1, ˆx 2 ) = (1, 0).
Esimerkki 9 Esimerkissä 6 miniminormiratkaisu on (ˆx, ˆx (, 0 Seuraavaksi näytetään, että miniminormiratkaisuun siirtyminen poistaa likimääräisongelman epäyksikäsitteisyyden (mutta lisääntyvän ratkaisun
Lisätiedot2 / :03
file:///c:/users/joonas/desktop/linis II Syksy /Ratkaisuehdotukse / 8 76 3:3 Kysymys Pisteet,, Määritellään positiivisten reaalilukujen joukossa R + = {x R x > } yhteenlasku ja skalaarikertolasku seuraavasti:
Lisätiedotx = y x i = y i i = 1, 2; x + y = (x 1 + y 1, x 2 + y 2 ); x y = (x 1 y 1, x 2 + y 2 );
LINEAARIALGEBRA Harjoituksia/Exercises 2017 1. Olkoon n Z +. Osoita, että (R n, +, ) on lineaariavaruus, kun vektoreiden x = (x 1,..., x n ), y = (y 1,..., y n ) identtisyys, yhteenlasku ja reaaliluvulla
LisätiedotVapaus. Määritelmä. jos c 1 v 1 + c 2 v c k v k = 0 joillakin c 1,..., c k R, niin c 1 = 0, c 2 = 0,..., c k = 0.
Vapaus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,..., v k R n, missä n {1, 2,... }. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee: jos c 1 v 1 + c 2 v 2 +
LisätiedotLineaarikuvausten. Lineaarikuvaus. Lineaarikuvauksia. Ydin. Matriisin ydin. aiheita. Aiheet. Lineaarikuvaus. Lineaarikuvauksen matriisi
Lineaarikuvaukset aiheita ten ten 1 Matematiikassa sana lineaarinen liitetään kahden lineaariavaruuden väliseen kuvaukseen. ten Määritelmä Olkoon (L, +, ) ja (M, ˆ+, ˆ ) reaalisia lineaariavaruuksia, ja
LisätiedotMatemaattinen Analyysi / kertaus
Matemaattinen Analyysi / kertaus Ensimmäinen välikoe o { 2x + 3y 4z = 2 5x 2y + 5z = 7 ( ) x 2 3 4 y = 5 2 5 z ) ( 3 + y 2 ( 2 x 5 ( 2 7 ) ) ( 4 + z 5 ) = ( 2 7 ) yhteys determinanttiin Yhtälöryhmän ratkaiseminen
LisätiedotOminaisvektoreiden lineaarinen riippumattomuus
Ominaisvektoreiden lineaarinen riippumattomuus Lause 17 Oletetaan, että A on n n -matriisi. Oletetaan, että λ 1,..., λ m ovat matriisin A eri ominaisarvoja, ja oletetaan, että v 1,..., v m ovat jotkin
LisätiedotOrtogonaalinen ja ortonormaali kanta
Ortogonaalinen ja ortonormaali kanta Määritelmä Kantaa ( w 1,..., w k ) kutsutaan ortogonaaliseksi, jos sen vektorit ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan eli w i w j = 0 kaikilla i, j {1, 2,..., k}, missä
LisätiedotDemorastitiedot saat demonstraattori Markus Niskaselta Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/104
Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/104 Ensi viikolla luennot salissa X Torstaina 7.12. viimeiset demot (12.12. ja 13.12. viimeiset luennot). Torstaina 14.12 on välikoe 2, muista ilmoittautua! Demorastitiedot
LisätiedotMatriisilaskenta. Harjoitusten 3 ratkaisut (Kevät 2019) 1. Olkoot AB = ja 2. Osoitetaan, että matriisi B on matriisin A käänteismatriisi.
Matriisilaskenta Harjoitusten ratkaisut (Kevät 9). Olkoot ja A = B = 5. Osoitetaan, että matriisi B on matriisin A käänteismatriisi. Tapa Käänteismatriisin määritelmän nojalla riittää osoittaa, että AB
LisätiedotRatkaisuehdotukset LH 7 / vko 47
MS-C34 Lineaarialgebra, II/7 Ratkaisuehdotukset LH 7 / vko 47 Tehtävä : Olkoot M R symmetrinen ja positiividefiniitti matriisi (i) Näytä, että m > ja m > (ii) Etsi Eliminaatiomatriisi E R siten, että [
LisätiedotEsko Turunen Luku 3. Ryhmät
3. Ryhmät Monoidia rikkaampi algebrallinen struktuuri on ryhmä: Määritelmä (3.1) Olkoon joukon G laskutoimitus. Joukko G varustettuna tällä laskutoimituksella on ryhmä, jos laskutoimitus on assosiatiivinen,
Lisätiedot5 OMINAISARVOT JA OMINAISVEKTORIT
5 OMINAISARVOT JA OMINAISVEKTORIT Ominaisarvo-ongelma Käsitellään neliömatriiseja: olkoon A n n-matriisi. Luku on matriisin A ominaisarvo (eigenvalue), jos on olemassa vektori x siten, että Ax = x () Yhtälön
LisätiedotYhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen ominaisuuksia
Yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen ominaisuuksia Voidaan osoittaa, että avaruuden R n vektoreilla voidaan laskea tuttujen laskusääntöjen mukaan. Huom. Lause tarkoittaa väitettä, joka voidaan perustella
Lisätiedot