Määritelmä Olkoon T i L (V i, W i ), 1 i m. Yksikäsitteisen lineaarikuvauksen h L (V 1 V 2 V m, W 1 W 2 W m )

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Määritelmä Olkoon T i L (V i, W i ), 1 i m. Yksikäsitteisen lineaarikuvauksen h L (V 1 V 2 V m, W 1 W 2 W m )"

Transkriptio

1 Määritelmä 519 Olkoon T i L V i, W i, 1 i m Yksikäsitteisen lineaarikuvauksen h L V 1 V 2 V m, W 1 W 2 W m h v 1 v 2 v m T 1 v 1 T 2 v 2 T m v m 514 sanotaan olevan kuvausten T 1,, T m indusoima ja sitä merkitään h T 1 T 2 T m 51 Jos I k, 1 k m, on avaruuden V k identiteettioperaattori, niin yhtälön 514 nojalla I 1 I 2 I m on avaruuden V 1 V 2 V m identiteettioperaattori Lause 520 Olkoon S i L U i, V i ja T i L V i, W i, missä 1 i m Tällöin T 1 T 2 T m S 1 S 2 S m 515 T 1 S 1 T 2 S 2 T m S m Seuraus 521 Olkoon T i L V i, W i, 1 i m Tällöin T 1 T 2 T m on kääntyvä, jos ja vain jos T i on kääntyvä kaikille 1 i m Todistus Jos jokainen kuvauksista T i on kääntyvä, niin jos yhtälössä 515 merkitään U i W i ja S i T 1 i, niin saadaan T 1 1 T 1 2 T 1 m T1 T 2 T m Kääntäen, oletetaan, että kuvaus T 1 T 2 T m L V 1 V 2 V m, W 1 W 2 W m on bijektio Tällöin, jos v i 0, kun 1 i m, niin Lauseen 515 nojalla T 1 v 1 T 2 v 2 T m v m T 1 T 2 T m v 1 v 2 v m 0, joten T i v i 0 ja kuvaus T i on ei-singulaarinen kaikilla 1 i m Vertaamalla dimensioita nähdään, että T i on surjektio ja Ongelmana on, miten erotetaan toisistaan T 1 T 2 T m L V 1 V 2 V m, W 1 W 2 W m T 1 T 2 T m L V 1, W 1 L V 2, W 2 L V m, W m 1

2 Lause 522 Vektoriavaruus on malli tensoritulolle L V 1 V 2 V m, W 1 W 2 W m L V 1, W 1 L V 2, W 2 L V m, W m, missä {T 1 T 2 T m T i L V i, W i } on hajottavien tensorien jukko Todistus Olkoon T 1 T 2 T m kuvausten T i indusoima kuvaus ja merkitään väliaikaisesti avaruuden L V 1, W 1 L V 2, W 2 L V m, W m hajottavaa tensoria T 1 T 2 T m Tarkastellaan kuvaa 55 L 1 L 2 L m L 1 L 2 L m ψ KUVA 55 h L missä L i L V i, W i, 1 i m, L L V 1 V 2 V m, W 1 W 2 W m ja ψ T 1, T 2,, T m T 1 T 2 T m Koska ei voida olettaa, että T 1 T 2 T m on hajottava tensori, niin on näytettävä että kuvaus ψ on multilineaarinen: Nyt koska T 1 ct i + dt i T m v 1 v 2 v m T 1 v 1 ct i v i + dt i v i T m v m, ja koska vektoreiden T k v k tensoritulo on multilineaarinen, on myös yhtälön vasen puoli multilineaarinen Koska ψ on multilineaarinen on UFP:n nojalla olemassa yksikäsitteinen lineaarikuvaus h jolle pätee h : L 1 L 2 L m L, h T 1 T 2 T m T 1 T 2 T m On vielä näytettävä, että h on kääntyvä Olkoot n i dim V i ja k i dim W i, 1 i m Tällöin dim L i n i k i, joten dim L 1 L 2 L m ni k i Koska myös dim L n i k i, niin riittää osoittaa, että h on surjektio Olkoon {v ij 1 j n i } avaruuden V i ja vastaavasti {w ij 1 j k i } avaruuden W i kanta, missä 1 i m Jos S on mielivaltainen, mutta kiinteä avaruuden L lineaarikuvaus, niin Lauseen 512 nojalla on olemassa kompleksiset kertoimet siten, että S v 1j1 v 2j2 v mjm i c i1,,i m,j 1,,j m w 1i1 w 2i2 w mim, 2

3 missä 1 j i n i ja 1 i m, missä i k 1 k 2 i 1 1 i 2 1 k m i m 1 Määritellään Tjr i : V i W i asettamalla kantavektoreille Tjr i v it δ j,t w ir, missä 1 j, t n i, 1 r k i, 1 i m ja laajentamalla kuvaus lineaarisesti koko avaruuteen Tällöin S c i1,,i m,t 1,,t m Tt 1 1 i 1 Tt 2 2 i 2 Tt m m i m, 517 i t missä t n 1 n 2 t 1 1 t 2 1 n m t m 1 Yhtälö 517 nähdään oikeaksi, kun sovelletaan molempia puolia tuloon v 1j1 v 2j2 v mjm Koska S on muotoa T 1 T 2 T m olevien termien lineaarikombinaatio, S on kuvauksen h arvojoukossa ja h on surjektio Seuraavassa tarkastellaan indusoitujen lineaarikuvausten esittämistä matriisien avulla Määritelmä 523 Olkoon B i {e ij 1 j n i } avaruuden V i järjestetty kanta, 1 i m Sanotaan, että avaruuden V 1 V 2 V m kanta B {e 1j1 e 2j2 e mjm 1 j i n i, 1 i m} 518 on kantojen B 1,, B m indusoima kanta Indusoidussa kannassa B on sanakirjajärjestys, eli alkio e 1i1 e 2i2 e mim edeltää alkiota e 1j1 e 2j2 e mjm, jos ensimmäinen nollasta eroava erotus j t i t on positiivinen sanakir- Esimerkki 524 e 1r e 2s e 3t edeltää termiä e 1i e 2j e 3k jajärjestyksessä, jos 1 r < i; tai jos 2 r i ja s < j; tai jos 3 r i, s j ja t < k Lause 525 Olkoon {v ij 1 j n i } avaruuden V i järjestetty kanta ja {w ij 1 j k i } avaruuden W i järjestetty kanta, kun 1 i m Olkoon E {v 1j1 v 2j2 v mjm 1 j i n i, 1 i m} ja F {w 1j1 w 2j2 w mjm 1 j i k i, 1 i m} 3

4 avaruuksien V 1 V 2 V m ja W 1 W 2 W m järjestetyt indusoidut kannat Olkoon T p L V p, W p lineaarikuvaus, jolle k p T p v pj a p ij wpi, 1 j n p, jolloin kuvauksen T p matriisiesitys kantojen {v pr 1 r n p } ja {w pr 1 r k pi } suhteen on A p a p ij Tällöin indusoidun kuvauksen T1 T 2 T m matriisiesityksessä kantojen E ja F suhteen i 1, i 2,, i m, j 1, j 2,, j m - alkio on a p i p j p 519 Todistus p1 T 1 T 2 T m v 1j1 v 2j2 v mjm T 1 v 1j1 T 2 v 2j2 T m v mjm i a 1 i 1 j 1 a 2 i 2 j 2 a m i m j m w 1i1 w 2i2 w mim Määritelmä 526 Olkoon A p a p ij kp n p -matriisi, 1 p m Matriisien A p Kroneckerin tulo A 1 A 2 A m on k p n p -matriisi, jonka rivit indeksoidaan joukon {i 1, i 2,, i m 1 i p k p } sanakirjajärjestyksen ja sarakkeet joukon {j 1, j 2,, j m 1 j p n p } sanakirjajärjestyksen mukaan Tämän matriisin i 1, i 2,, i m, j 1, j 2,, j m -alkio on a p i p j p p1 Avaruudet L V i, W i ja C ki,n i ovat isomorfiset, joten Lauseen 522 avulla nähdään, etetä C Q k i, Q n i Ck1,n 1 C k2,n 2 C km,n m 520 Seuraus 527 Olkoon kuvauksen T i matriisiesitys vastaavien indusoitujen kantojen suhteen A i Tällöin kuvauksen T 1 T 2 T m matriisi on A 1 A 2 A m Todistus Kirjoitetaan Lause 525 Määritelmän 528 merkintöjä käyttäen Esimerkki 528 Olkoon A 1 A a ij C p,q ja A 2 B b rs C m,n Määritelmän 526 nojalla matriisin A B C pm,qn i, r, j, s-alkio on a ij b rs Sanakirjajärjestyksessä i 1, r 1 edeltää alkiota i 2, r 2, jos i 1 < i 2 tai jos i 1 i 2 ja r 1 < r 2 Siispä matriisin A B m ensimmäisen rivin indeksit ovat 1, 1, 1, 2,, 1, m Vastaavasti ensimmäisillä n sarakkeella on indekseinä 1, 1, 1, 2,, 1, n Olkoon L matriisin A B m ensimmäisestä 4

5 rivistä ja n ensimmäisestä sarakkeesta koostuva alimatriisi Tällöin matriisin L r, s-alkio on matriisin A B 1, r, 1, s-alkio eli a 11 b rs Siispä L a 11 B Toisaalta, jos M on alimatriisi, jossa on matriisin A B m ensimmäisen rivin sarkakkeet sarakkeesta n + 1 sarakkeeseen 2n, niin matriisin M r, s-alkio on matriisin A B 1, r, 2, s-alkio eli a 12 b rs ja M a 12 B Yleisesti A B on ositettu matriisi a 11 B a 12 B a 1q B a 21 B a 22 B a 2q B A B 521 a p1 B a p2 B a pq B Esimerkki 529 Olkoon edellisessä esimerkissä m p ja n q, jolloin A, B C p,q Matriisien A ja B Hadamarin tulo tai Schurin tulo on A B a ij b ij, eli p q-matriisi, jonka i, j-alkio on a ij b ij Erityisesti A B on matriisin A B pääalimatriisi, joka on riveillä 1, 1, 2, 2,, p, p ja sarakkeilla 1, 1, 2, 2,, q, q Esimerkki 530 Olkoot P p ij ja Q q ij kompleksisia n n- matriiseja Määritellään T L C n,n, C n,n, T A P AQ ja lasketaan kuvauksen T matriisiesitys kannan B {E ij 1 i, j n} suhteen, missä E ij on n n-matriisi, jossa ainoa nollasta eroava alkio on 1 paikassa i, j Määritelmän nojalla saadaan T E rs P E rs Q n p ir E is Q n n i,j1 p ir n q sj E ij j1 p ir q sj E ij, joten kuvauksen T matriisin kannan B suhteen i, j, r, s-alkio on p ir q sj, eli täsmälleen i, j, r, s-alkio tulossa P Q T Olkoon B i {e ij 1 j n i } sisätuloavaruuden V i, 1 i m ortonormaali kanta Tällöin on olemassa yksikäsitteinen sisätulo avaruudessa V 1 V 2 V m, siten että indusoitu kanta B {e 1j1 e 2j2 e mjm 1 j i n i, 1 i m} on ortonormaali kyseisen sisätulon suhteen Vektoreiden v n 1 n 2 j 1 1 j 2 1 n m j m 1 a j 1, j 2,, j m e 1j1 e 2j2 e mjm 5

6 ja w sisätulo on n 1 u, v n 2 j 1 1 j 2 1 n 1 n 2 j 1 1 j 2 1 n m j m 1 b j 1, j 2,, j m e 1j1 e 2j2 e mjm n m j m 1 a j 1, j 2,, j m b j 1, j 2,, j m 522 Kaavan 522 määrittelemä sisätulo näyttää riippuvan ortonormaalien kantojen B 1, B 2,,B m valinnasta Seuraavaksi osoitetaan, ettei näin ole Lause 531 Olkoon, i avaruudn V i sisätulo, 1 i m Jos, on yhtälön 522 määräämä sisätulo, niin tällöin v 1 v 2 v m, w 1 w 2 w m v i, w i V i ja 1 i m v i, w i i, 523 Todistus Olkoon B i {e ij 1 j n i } kaavan 522 johdossa käytetty avaruuden V i ortonormaali kanta Olkoon n i n i v i a ij e ij ja w i b ij e ij, j1 1 i m Lauseen 514 nojalla j1 ja v 1 v 2 v m n 1 n 2 j 1 1 j 2 1 n m j m 1 m a tjt e 1j1 e 2j2 e mjm t1 w 1 w 2 w m n 1 n 2 n m m b tjt e 1j1 e 2j2 e mjm, j 1 1 j 2 1 j m 1 t1 6

7 joten yhtälön 522 nojalla v 1 v 2 v m, w 1 w 2 w m m m a tjt b tjt j t1 t1 m a tjt b tjt j t1 n i a ij b ij j1 n i a ij b ij e ij, e ij i j1 n i n i a ij e ij, b ik e ij j1 v i, w i i k1 Koska hajottavat tensorit virittävät avaruuden V 1 V 2 V m, kaavan 522 määrittelemä sisätulo määräytyy täysin ja yksikäsitteisesti kaavasta 523 Erityisesti se ei riipu valitusta kannasta Koska yhtälö 523 on yhtälöä 522 yksinkertaisempi otetaan se määritelmäksi Määritelmä 532 Olkoot V 1, V 2,,V m sisätuloavaruuksia ja merkitään niissä määriteltyjä sisätuloja, i lyhyesti,, 1 i m Avaruuden V 1 V 2 V m yksikäsitteistä sisätuloa, joka toteuttaa yhtälön v 1 v 2 v m, w 1 w 2 w m i v i, w i, v i, w i V i ja 1 i m kutsutaan indusoiduksi sisätuloksi Seuraus 533 Olkoot V 1, V 2,, V m sisätuloavaruuksia ja olkoon T i L V i, V i, 1 i m Tällöin indusoidun sisätulon suhteen pätee T 1 T 2 T m T 1 T 2 T m 524 Todistus Koska hajottavat tensorit virittävät avaruuden V 1 V 2 V m ja koska adjungaatti on yksikäsitteinen, riittää todistaa tulos hajottaville 7

8 tensoreille T 1 T 2 T m v 1 v 2 v m, w 1 w 2 w m T 1 v 1 T 2 v 2 T m v m, w 1 w 2 w m T i v i, w i i v i, Ti w i i v 1 v 2 v m, T1 w 1 T2 w 2 Tm w m v 1 v 2 v m, T1 T2 Tm w 1 w 2 w m Tarkastellaan vielä tilannetta, jossa V 1 V 2 V m Otetaan käyttöön lyhennysmerkintä Määritelmä 534 Avaruuden V m:s tensoripotenssi jossa tekijöinä on m kappaletta avaruuksia V Siis V m on tensoritulo, V 0 C V 1 V V m V 1 V 2 V m, missä V 1 V 2 V m V Koska avaruuksilla V i on sama kanta, tarvitaan yksi indeksi vähemmän Merkitään avaruuden V kantaa B {e 1,, e n } Tällöin {e j1 e j2 e jm 1 j i n, 1 i m} on avaruuden V m kanta ja avaruuden V m yleinen alkio on v n n j 1 1 j 2 1 n j m 1 c j 1, j 2,, j m e j1 e j2 e jm 525 Määritelmässä 120 merkittiin funktioita joukosta {1, 2,, m} joukkoon {1, 2,, n} tunnuksella Γ m,n Jos samaistetaan j 1, j 2,, j m funktion α Γ m,n α i j i, 1 i m kanssa, voidaan yhtälö 525 kirjoittaa yksinkertaisemmassa muodossa v c α e α1 e α2 e αm 526 α Γ m,n Määritelmä 535 Jos v 1, v 2,, v m V ja α Γ m,n, niin määritellään v α v α1 v α2 v αm 8

9 Jos B {e 1,, e n } on avaruuden V järjestetty kanta, niin Määritelmän 535 mukaista avaruuden V m indusoitua kantaa merkitään { e α α Γ m,n } 527 ja kanta on järjestetty sanakirjajärjestykseen alkioiden α Γ m,n indeksien mukaan Yhtälön 526 avaruuden V m yleisen tensorin merkintä yksinkertaistuu edellen muotoon v c α e α 528 α Γ m,n Esimerkki 536 Olkoot A r a r ij ja Br b r ij kompleksisia n n- matriiseja 1 r m Lauseen 520 ja Seurauksen 527 nojalla saadaan A 1 A 2 A m B 1 B 2 B m A 1 B 1 A 2 B 2 A m B m Todistetaan väite myös suoraan, ilman edellä mainittuja tuloksia Matriisin A 1 A 2 A m B 1 B 2 B m α, β-alkio on matriisitulon määritelmän nojalla m m γ Γ m,n γ Γ m,n r1 n r1 m j1 a r αrγr r1 r1 a r αrγr br γrβr a r αrj br jβr A r B r αrβr, r1 b r γrβr mikä on matriisitulon A 1 B 1 A 2 B 2 A m B m α, β-alkio Lause 537 Olkoon A i C n n, 1 i m Jos A i 0, kun 1 i m, niin A 1 A 2 A m 0 Todistus Olkoon A i B i B i, 1 i m Tällöin A 1 A 2 A m B 1B 1 B 2B 2 B mb m B 1 B 2 B m B 1 B 2 B m B 1 B 2 B m B 1 B 2 B m 9

10 Seuraus 538 Olkoot B i ja C i positiivisesti semidefiniittejä hermiittisiä matriiseja Oletetaan, että A i B i + C i, 1 i m Tällöin A 1 A 2 A m B 1 B 2 B m + C 1 C 2 C m Todistus Koska Kroneckerin tulo on multilineaarinen, niin A 1 A 2 A m B 1 + C 1 B 2 + C 2 B m + C m B 1 B 2 B m + +C 1 C 2 C m, missä merkintä tarkoittaa muiden muotoa X 1 X 2 X m, missä X i on joko B i tai C i olevien termien summaa Summassa on 2 m 2 termiä Lauseen 537 nojalla jokainen näistä termeistä on positiivisesti semidefiniitti ja hermiittinen Seuraus 539 Olkoon V sisätuloavaruus Jos S i, T i L V, V ovat positiivisesti semidefiniittejä, kun 1 i m, niin S 1 S 2 S m ja T 1 T 2 T m ovat positiivisesti semidefiniittejä ja lisäksi S 1 + T 1 S 2 + T 2 S m + T m S 1 S 2 S m + T 1 T 2 T m Seuraus 539 on Seurauksen 538 operaattorimuotoinen versio Tulos voidaan muotoilla myös seuraavasti: Olkoon V sisätuloavaruus, jonka dimenso on n Olkoon T L V, V positiivisesti semidefiniitti Spektraalilauseen nojalla avaruudella V on ortonormaali kanta {u 1,, u n }, joka koostuu operaattorin T ominaisvektoreista, joille pätee T u i λ i u i ja λ i 0, 1 i n Jos r on positiivinen reaaliluku, määritellään T r 0 asettamalla kantavektoreille T r u i λ r i u i, 1 i n ja laajentamalla määrittely lineaarisesti koko avaruuteen Vertaa tätä yhtälöön 216 Seuraava on erikoistapaus yleisemmästä tuloksesta, joka on todistettu lähteissä [Lieb 1973] ja [Ando 1979]: Lause 540 Olkoon V sisätuloavaruus, jonka dimensio on n Olkoot S i ja T i positiivisesti semidefiniittejä hermiittisiä operaattoreita avaruudessa V, 1 i n ja olkoon 0 θ 1 Tällöin θs θ T 1 1/n θs θ T 2 1/n θs n + 1 θ T n 1/n θ S 1/n 1 S 1/n 2 Sn 1/n + 1 θ T 1/n 1 T 1/n 2 Tn 1/n Määritelmä 541 Olkoon T L V, V Tällöin merkinnällä T m L V m, V m tarkoitetaan operaattoria T T T Vastaavasti matriisin A a ij 10

11 C n n m:s Kroneckerin potenssi on matriisi A m A A A m kertaa Toisin sanoen A m on n m n m -matriisi, jonka rivien ja sarakkeiden indekseinä ovat Γ m,n Matriisin A m α, β-alkio on A m m a α,β αtβt 530 Kun yhdistetään Lause 540 ja Määritelmä 541 saadaan: Jos A ja B ovat positiivisesti semidefiniitttejä hermiittisiä n n-matriiseja ja 0 θ 1, niin θa + 1 θ B 1/n n θ A 1/n n + 1 θ B 1/n n t1 11

Sisätuloavaruudet. 4. lokakuuta 2006

Sisätuloavaruudet. 4. lokakuuta 2006 Sisätuloavaruudet 4. lokakuuta 2006 Tässä esityksessä vektoriavaruudet V ja W ovat kompleksisia ja äärellisulotteisia. Käydään ensin lyhyesti läpi määritelmiä ja perustuloksia. Merkitään L(V, W ) :llä

Lisätiedot

1 Tensoriavaruuksista..

1 Tensoriavaruuksista.. 1 Tensoriavaruuksista.. Käydään läpi kirjan (1) sivut 126-133. 19.02.2007 Palautetaaieleen viime kerran tärkeä määritelmä: (kirja, Määr. 5.12). Määritelmä 1.1 Olkoon T vektoriavaruus ja Φ : V 1 V 2 V m

Lisätiedot

Määritelmä 1. Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V. Termejä: Lineaarikuvaus, Lineaarinen kuvaus.

Määritelmä 1. Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V. Termejä: Lineaarikuvaus, Lineaarinen kuvaus. 1 Lineaarikuvaus 1.1 Määritelmä Määritelmä 1. Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V W on lineaarinen, jos (a) L(v + w) = L(v) + L(w); (b) L(λv) = λl(v) aina, kun v, w V ja λ K. Termejä:

Lisätiedot

802320A LINEAARIALGEBRA OSA III

802320A LINEAARIALGEBRA OSA III 802320A LINEAARIALGEBRA OSA III Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 56 Määritelmä Määritelmä 1 Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V

Lisätiedot

Osoita, että täsmälleen yksi vektoriavaruuden ehto ei ole voimassa.

Osoita, että täsmälleen yksi vektoriavaruuden ehto ei ole voimassa. LINEAARIALGEBRA Harjoituksia 2016 1. Olkoon V = R 2 varustettuna tavallisella yhteenlaskulla. Määritellään reaaliluvulla kertominen seuraavasti: λ (x 1, x 2 ) = (λx 1, 0) (x 1, x 2 ) R 2 ja λ R. Osoita,

Lisätiedot

Kannan vektorit siis virittävät aliavaruuden, ja lisäksi kanta on vapaa. Lauseesta 7.6 saadaan seuraava hyvin käyttökelpoinen tulos:

Kannan vektorit siis virittävät aliavaruuden, ja lisäksi kanta on vapaa. Lauseesta 7.6 saadaan seuraava hyvin käyttökelpoinen tulos: 8 Kanta Tässä luvussa tarkastellaan aliavaruuden virittäjävektoreita, jotka muodostavat lineaarisesti riippumattoman jonon. Merkintöjen helpottamiseksi oletetaan luvussa koko ajan, että W on vektoreiden

Lisätiedot

Kantavektorien kuvavektorit määräävät lineaarikuvauksen

Kantavektorien kuvavektorit määräävät lineaarikuvauksen Kantavektorien kuvavektorit määräävät lineaarikuvauksen Lause 18 Oletetaan, että V ja W ovat vektoriavaruuksia. Oletetaan lisäksi, että ( v 1,..., v n ) on avaruuden V kanta ja w 1,..., w n W. Tällöin

Lisätiedot

Liittomatriisi. Liittomatriisi. Määritelmä 16 Olkoon A 2 M(n, n). Matriisin A liittomatriisi on cof A 2 M(n, n), missä. 1) i+j det A ij.

Liittomatriisi. Liittomatriisi. Määritelmä 16 Olkoon A 2 M(n, n). Matriisin A liittomatriisi on cof A 2 M(n, n), missä. 1) i+j det A ij. Liittomatriisi Määritelmä 16 Olkoon A 2 M(n, n). Matriisin A liittomatriisi on cof A 2 M(n, n), missä (cof A) ij =( 1) i+j det A ij kaikilla i, j = 1,...,n. Huomautus 8 Olkoon A 2 M(n, n). Tällöin kaikilla

Lisätiedot

1 Sisätulo- ja normiavaruudet

1 Sisätulo- ja normiavaruudet 1 Sisätulo- ja normiavaruudet 1.1 Sisätuloavaruus Määritelmä 1. Olkoon V reaalinen vektoriavaruus. Kuvaus : V V R on reaalinen sisätulo eli pistetulo, jos (a) v w = w v (symmetrisyys); (b) v + u w = v

Lisätiedot

Ortogonaaliprojektio äärellisulotteiselle aliavaruudelle

Ortogonaaliprojektio äärellisulotteiselle aliavaruudelle Ortogonaaliprojektio äärellisulotteiselle aliavaruudelle Olkoon X sisätuloavaruus ja Y X äärellisulotteinen aliavaruus. Tällöin on olemassa lineaarisesti riippumattomat vektorit y 1, y 2,..., yn, jotka

Lisätiedot

(1.1) Ae j = a k,j e k.

(1.1) Ae j = a k,j e k. Lineaarikuvauksen determinantti ja jälki 1. Lineaarikuvauksen matriisi. Palautetaan mieleen, mikä lineaarikuvauksen matriisi annetun kannan suhteen on. Olkoot V äärellisulotteinen vektoriavaruus, n = dim

Lisätiedot

1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus

1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1.1 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä V epätyhjä joukko. Oletetaan, että joukossa V on määritelty laskutoimitus

Lisätiedot

Matriisilaskenta, LH4, 2004, ratkaisut 1. Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot, jotka sisältävät vain

Matriisilaskenta, LH4, 2004, ratkaisut 1. Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot, jotka sisältävät vain Matriisilaskenta LH4 24 ratkaisut 1 Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot jotka sisältävät vain a) Kaikki muotoa (a b c d) olevat vektorit joilla d a + b b) Kaikki muotoa (a b c d) olevat vektorit

Lisätiedot

802320A LINEAARIALGEBRA OSA I

802320A LINEAARIALGEBRA OSA I 802320A LINEAARIALGEBRA OSA I Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 72 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä

Lisätiedot

Lineaarikuvauksen R n R m matriisi

Lineaarikuvauksen R n R m matriisi Lineaarikuvauksen R n R m matriisi Lauseessa 21 osoitettiin, että jokaista m n -matriisia A vastaa lineaarikuvaus L A : R n R m, jolla L A ( v) = A v kaikilla v R n. Osoitetaan seuraavaksi käänteinen tulos:

Lisätiedot

Bijektio. Voidaan päätellä, että kuvaus on bijektio, jos ja vain jos maalin jokaiselle alkiolle kuvautuu tasan yksi lähdön alkio.

Bijektio. Voidaan päätellä, että kuvaus on bijektio, jos ja vain jos maalin jokaiselle alkiolle kuvautuu tasan yksi lähdön alkio. Määritelmä Bijektio Oletetaan, että f : X Y on kuvaus. Sanotaan, että kuvaus f on bijektio, jos se on sekä injektio että surjektio. Huom. Voidaan päätellä, että kuvaus on bijektio, jos ja vain jos maalin

Lisätiedot

Ortogonaalisen kannan etsiminen

Ortogonaalisen kannan etsiminen Ortogonaalisen kannan etsiminen Lause 94 (Gramin-Schmidtin menetelmä) Oletetaan, että B = ( v 1,..., v n ) on sisätuloavaruuden V kanta. Merkitään V k = span( v 1,..., v k ) ja w 1 = v 1 w 2 = v 2 v 2,

Lisätiedot

x = y x i = y i i = 1, 2; x + y = (x 1 + y 1, x 2 + y 2 ); x y = (x 1 y 1, x 2 + y 2 );

x = y x i = y i i = 1, 2; x + y = (x 1 + y 1, x 2 + y 2 ); x y = (x 1 y 1, x 2 + y 2 ); LINEAARIALGEBRA Harjoituksia, Syksy 2016 1. Olkoon n Z +. Osoita, että (R n, +, ) on lineaariavaruus, kun vektoreiden x = (x 1,..., x n ), y = (y 1,..., y n ) identtisyys, yhteenlasku ja reaaliluvulla

Lisätiedot

MS-C1340 Lineaarialgebra ja

MS-C1340 Lineaarialgebra ja MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Lineaarikuvaukset Riikka Kangaslampi Kevät 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Lineaarikuvaukset Lineaarikuvaus Olkoot U ja V

Lisätiedot

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Lineaarikuvaukset Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 16 R. Kangaslampi Vektoriavaruudet Lineaarikuvaus

Lisätiedot

Lineaarialgebra II P

Lineaarialgebra II P Lineaarialgebra II 89P Sisältö Vektoriavaruus Sisätuloavaruus 8 3 Lineaarikuvaus 5 4 Ominaisarvo 5 Luku Vektoriavaruus Määritelmä.. Epätyhjä joukko V on vektoriavaruus, jos seuraavat ehdot ovat voimassa:.

Lisätiedot

2.8. Kannanvaihto R n :ssä

2.8. Kannanvaihto R n :ssä 28 Kannanvaihto R n :ssä Seuraavassa kantavektoreiden { x, x 2,, x n } järjestystä ei saa vaihtaa Vektorit ovat pystyvektoreita ( x x 2 x n ) on vektoreiden x, x 2,, x n muodostama matriisi, missä vektorit

Lisätiedot

1 Kannat ja kannanvaihto

1 Kannat ja kannanvaihto 1 Kannat ja kannanvaihto 1.1 Koordinaattivektori Oletetaan, että V on K-vektoriavaruus, jolla on kanta S = (v 1, v 2,..., v n ). Avaruuden V vektori v voidaan kirjoittaa kannan vektorien lineaarikombinaationa:

Lisätiedot

5 Ominaisarvot ja ominaisvektorit

5 Ominaisarvot ja ominaisvektorit 5 Ominaisarvot ja ominaisvektorit Olkoon A = [a jk ] n n matriisi. Tarkastellaan vektoriyhtälöä Ax = λx, (1) missä λ on luku. Sellaista λ:n arvoa, jolla yhtälöllä on ratkaisu x 0, kutsutaan matriisin A

Lisätiedot

Päättelyn voisi aloittaa myös edellisen loppupuolelta ja näyttää kuten alkupuolella, että välttämättä dim W < R 1 R 1

Päättelyn voisi aloittaa myös edellisen loppupuolelta ja näyttää kuten alkupuolella, että välttämättä dim W < R 1 R 1 Lineaarialgebran kertaustehtävien b ratkaisuista. Määritä jokin kanta sille reaalikertoimisten polynomien lineaariavaruuden P aliavaruudelle, jonka virittää polynomijoukko {x, x+, x x }. Ratkaisu. Olkoon

Lisätiedot

x = y x i = y i i = 1, 2; x + y = (x 1 + y 1, x 2 + y 2 ); x y = (x 1 y 1, x 2 + y 2 );

x = y x i = y i i = 1, 2; x + y = (x 1 + y 1, x 2 + y 2 ); x y = (x 1 y 1, x 2 + y 2 ); LINEAARIALGEBRA Ratkaisuluonnoksia, Syksy 2016 1. Olkoon n Z +. Osoita, että (R n, +, ) on lineaariavaruus, kun vektoreiden x = (x 1,..., x n ), y = (y 1,..., y n ) identtisyys, yhteenlasku ja reaaliluvulla

Lisätiedot

1 Ominaisarvot ja ominaisvektorit

1 Ominaisarvot ja ominaisvektorit 1 Ominaisarvot ja ominaisvektorit Olkoon A = [a jk ] n n matriisi. Tarkastellaan vektoriyhtälöä Ax = λx, (1) 1 missä λ on luku. Sellaista λ:n arvoa, jolla yhtälöllä on ratkaisu x 0, kutsutaan matriisin

Lisätiedot

Yleiset lineaarimuunnokset

Yleiset lineaarimuunnokset TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Kari Tuominen Yleiset lineaarimuunnokset Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka Toukokuu 29 Tampereen yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos

Lisätiedot

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Ominaisarvoteoriaa Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 22 R. Kangaslampi matriisiteoriaa Kertaus: ominaisarvot

Lisätiedot

Lineaariset Lien ryhmät / Ratkaisut 6 D 381 klo

Lineaariset Lien ryhmät / Ratkaisut 6 D 381 klo JYVÄSKYLÄN YLIOPISO MAEMAIIKAN JA ILASOIEEEN LAIOS Lineaariset Lien ryhmät 27.2.2012 / t 6 D 381 klo. 16-18. 1. Matriisiryhmällä U(n) on epätriviaali normaali aliryhmä SU(n), joka on homomorfismin det

Lisätiedot

MS-C1340 Lineaarialgebra ja

MS-C1340 Lineaarialgebra ja MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt QR-hajotelma ja pienimmän neliösumman menetelmä Riikka Kangaslampi Kevät 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto PNS-ongelma PNS-ongelma

Lisätiedot

MS-C1340 Lineaarialgebra ja

MS-C1340 Lineaarialgebra ja MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Ominaisarvoteoriaa Riikka Kangaslampi Kevät 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Ominaisarvot Kertaus: ominaisarvot Määritelmä

Lisätiedot

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt ja pienimmän neliösumman menetelmä Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 18 R. Kangaslampi QR ja PNS PNS-ongelma

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Laskuharjoitus 1 / vko 44

Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Laskuharjoitus 1 / vko 44 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Laskuharjoitus 1 / vko 44 Tehtävät 1-3 lasketaan alkuviikon harjoituksissa, verkkotehtävien dl on lauantaina aamuyöllä. Tehtävät 4 ja 5 lasketaan loppuviikon harjoituksissa.

Lisätiedot

Matriisiteoria Harjoitus 1, kevät Olkoon. cos α sin α A(α) = . sin α cos α. Osoita, että A(α + β) = A(α)A(β). Mikä matriisi A(α)A( α) on?

Matriisiteoria Harjoitus 1, kevät Olkoon. cos α sin α A(α) = . sin α cos α. Osoita, että A(α + β) = A(α)A(β). Mikä matriisi A(α)A( α) on? Harjoitus 1, kevät 007 1. Olkoon [ ] cos α sin α A(α) =. sin α cos α Osoita, että A(α + β) = A(α)A(β). Mikä matriisi A(α)A( α) on?. Olkoon a x y A = 0 b z, 0 0 c missä a, b, c 0. Määrää käänteismatriisi

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 8. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 8 () Numeeriset menetelmät / 35

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 8. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 8 () Numeeriset menetelmät / 35 Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 8 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 8 () Numeeriset menetelmät 11.4.2013 1 / 35 Luennon 8 sisältö Interpolointi ja approksimointi Funktion approksimointi Tasainen

Lisätiedot

Matriisilaskenta Luento 12: Vektoriavaruuden kannan olemassaolo

Matriisilaskenta Luento 12: Vektoriavaruuden kannan olemassaolo Matriisilaskenta Luento 12: Vektoriavaruuden kannan olemassaolo Antti Rasila 2016 Vektoriavaruuden kannan olemassaolo Jos {v 1, v 2,..., v k } on äärellisulotteisen vektoriavaruuden V lineaarisesti riippumaton

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II Syksy 2009 Laskuharjoitus 1 ( ) Ratkaisuehdotuksia Vesa Ala-Mattila

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II Syksy 2009 Laskuharjoitus 1 ( ) Ratkaisuehdotuksia Vesa Ala-Mattila Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II Syksy 29 Laskuharjoitus (9. - 3..29) Ratkaisuehdotuksia Vesa Ala-Mattila Tehtävä. Olkoon V vektoriavaruus. Todistettava: jos U V ja W V ovat V :n aliavaruuksia, niin

Lisätiedot

2.5. Matriisin avaruudet ja tunnusluvut

2.5. Matriisin avaruudet ja tunnusluvut 2.5. Matriisin avaruudet ja tunnusluvut m n-matriisi A Lineaarikuvaus A : V Z, missä V ja Z ovat sopivasti valittuja, dim V = n, dim Z = m (yleensä V = R n tai C n ja Z = R m tai C m ) Kuva-avaruus ja

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

Alternoivat multilineaarimuodot

Alternoivat multilineaarimuodot LUKU 1 Alternoivat multilineaarimuodot Vektoriavaruudesta R n käytetään seuraavassa merkintää V. Sen k-kertainen karteesinen tulo on tällöin V V = V k. Määritelmä 1.1. Kuvaus T : V k R on multilineaarinen,

Lisätiedot

Kuvaus. Määritelmä. LM2, Kesä /160

Kuvaus. Määritelmä. LM2, Kesä /160 Kuvaus Määritelmä Oletetaan, että X ja Y ovat joukkoja. Kuvaus eli funktio joukosta X joukkoon Y on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon X alkioon täsmälleen yhden alkion, joka kuuluu joukkoon Y. Merkintä

Lisätiedot

MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta

MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta 4. MS-A4/A6 Matriisilaskenta 4. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto..25 Tarkastellaan neliömatriiseja. Kun matriisilla kerrotaan vektoria, vektorin

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

Kertausta: avaruuden R n vektoreiden pistetulo

Kertausta: avaruuden R n vektoreiden pistetulo Kertausta: avaruuden R n vektoreiden pistetulo Määritelmä Vektoreiden v R n ja w R n pistetulo on v w = v 1 w 1 + v 2 w 2 + + v n w n. Huom. Pistetulo v w on reaaliluku! LM2, Kesä 2012 227/310 Kertausta:

Lisätiedot

1 Avaruuksien ja lineaarikuvausten suora summa

1 Avaruuksien ja lineaarikuvausten suora summa MAT-33500 Differentiaaliyhtälöt, kevät 2006 Luennot 27.-28.2.2006 Samuli Siltanen 1 Avaruuksien ja lineaarikuvausten suora summa Tämä asialöytyy myös Hirschin ja Smalen kirjasta, luku 3, pykälä 1F. Olkoon

Lisätiedot

4. LINEAARIKUVAUKSET

4. LINEAARIKUVAUKSET 86 4 LINEAARIKUVAUKSET 41 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoot V ja V vektoriavaruuksia Tarkastellaan kuvausta L : V V Tällöin jokaiseen vektoriin v V liittyy tietty, L:n ja v:n yksikäsitteisesti määräämä

Lisätiedot

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä 3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä Lineaarinen m:n yhtälön yhtälöryhmä, jossa on n tuntematonta x 1,, x n on joukko yhtälöitä, jotka ovat muotoa a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a 21

Lisätiedot

7 Vapaus. 7.1 Vapauden määritelmä

7 Vapaus. 7.1 Vapauden määritelmä 7 Vapaus Kuten edellisen luvun lopussa mainittiin, seuraavaksi pyritään ratkaisemaan, onko annetussa aliavaruuden virittäjäjoukossa tarpeettomia vektoreita Jos tällaisia ei ole, virittäjäjoukkoa kutsutaan

Lisätiedot

sitä vastaava Cliffordin algebran kannan alkio. Merkitään I = e 1 e 2 e n

sitä vastaava Cliffordin algebran kannan alkio. Merkitään I = e 1 e 2 e n Määritelmä 1.1 Algebran A keskus C on joukko C (A) = {a A ax = xa x A}. Lause 1. Olkoon Cl n Cliffordin algebra, jonka generoi joukko {e 1,..., e n }. Jos n on parillinen, niin C (Cl n ) = {λ λ R}. Jos

Lisätiedot

6. OMINAISARVOT JA DIAGONALISOINTI

6. OMINAISARVOT JA DIAGONALISOINTI 0 6 OMINAISARVOT JA DIAGONALISOINTI 6 Ominaisarvot ja ominaisvektorit Olkoon V äärellisulotteinen vektoriavaruus, dim(v ) = n ja L : V V lineaarikuvaus Määritelmä 6 Skalaari λ R on L:n ominaisarvo, jos

Lisätiedot

Differentiaalimuodot

Differentiaalimuodot LUKU 2 Differentiaalimuodot Olkoot A R n ja p A. Vektori pisteessä p on pari (p; v), missä v R n. Pisteeseen p kiinnitetyn vektorin v p := (p; v) ensimmäinen komponentti p on vektorin v p paikkaosa ja

Lisätiedot

Kertausta: avaruuden R n vektoreiden pistetulo

Kertausta: avaruuden R n vektoreiden pistetulo Kertausta: avaruuden R n vektoreiden pistetulo Määritelmä Vektoreiden v R n ja w R n pistetulo on v w = v 1 w 1 + v 2 w 2 + + v n w n. Huom. Pistetulo v w on reaaliluku! LM2, Kesä 2014 164/246 Kertausta:

Lisätiedot

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä 1 3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä Lineaarinen m:n yhtälön yhtälöryhmä, jossa on n tuntematonta x 1,, x n on joukko yhtälöitä, jotka ovat muotoa a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a

Lisätiedot

Singulaariarvohajotelma ja pseudoinverssi

Singulaariarvohajotelma ja pseudoinverssi HELSINGIN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Niko Kaitarinne Singulaariarvohajotelma ja pseudoinverssi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka Helmikuu 01 Helsingin yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M Hirvensalo mikhirve@utufi V Junnila viljun@utufi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M Hirvensalo mikhirve@utufi V Junnila viljun@utufi Luentokalvot 5 1

Lisätiedot

Johdatus lineaarialgebraan

Johdatus lineaarialgebraan Johdatus lineaarialgebraan Osa II Lotta Oinonen, Johanna Rämö 28. lokakuuta 2014 Helsingin yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Sisältö 15 Vektoriavaruus....................................

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö

Lisätiedot

Ominaisarvo ja ominaisvektori

Ominaisarvo ja ominaisvektori Ominaisarvo ja ominaisvektori Määritelmä Oletetaan, että A on n n -neliömatriisi. Reaaliluku λ on matriisin ominaisarvo, jos on olemassa sellainen vektori v R n, että v 0 ja A v = λ v. Vektoria v, joka

Lisätiedot

A = a b B = c d. d e f. g h i determinantti on det(c) = a(ei fh) b(di fg) + c(dh eg). Matriisin determinanttia voi merkitä myös pystyviivojen avulla:

A = a b B = c d. d e f. g h i determinantti on det(c) = a(ei fh) b(di fg) + c(dh eg). Matriisin determinanttia voi merkitä myös pystyviivojen avulla: 11 Determinantti Neliömatriisille voidaan laskea luku, joka kertoo muun muassa, onko matriisi kääntyvä vai ei Tätä lukua kutsutaan matriisin determinantiksi Determinantilla on muitakin sovelluksia, mutta

Lisätiedot

1. Normi ja sisätulo

1. Normi ja sisätulo Kurssimateriaalia K3/P3-kursille syksyllä 3 83 Heikki Apiola Sisältää otteita Timo Eirolan L3-kurssin lineaarialgebramonisteesta, jonka lähdekoodin Timo on ystävällisesti antanut käyttööni Normi ja sisätulo

Lisätiedot

2 Konveksisuus ja ratkaisun olemassaolo

2 Konveksisuus ja ratkaisun olemassaolo 2 Konveksisuus ja ratkaisun olemassaolo Ratkaisun olemassaolon tutkimiseen tarvitaan perustietoja konvekseista joukoista ja lineaarialgebrasta. Niitä tarvitaan myös ratkaisualgoritmin ymmärtämiseen. Tutkitaan

Lisätiedot

Ensi viikon luennot salissa X. Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/66

Ensi viikon luennot salissa X. Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/66 Ensi viikon luennot salissa X Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/66 Lineaarialgebra (muut ko) p. 2/66 Redusoitu porrasmuoto 1 1 2 4 1 1 4 6 2 2 5 9 1 1 0 2 0 0 1 1 0 0 0 0 Eli aste r(a) = 2 ja vaakariviavaruuden

Lisätiedot

Tehtäväsarja I Kerrataan lineaarikuvauksiin liittyviä todistuksia ja lineaarikuvauksen muodostamista. Sarjaan liittyvät Stack-tehtävät: 1 ja 2.

Tehtäväsarja I Kerrataan lineaarikuvauksiin liittyviä todistuksia ja lineaarikuvauksen muodostamista. Sarjaan liittyvät Stack-tehtävät: 1 ja 2. HY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II, kesä 2016 Harjoitus 3 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina 29.8.2016 klo 13.15. Tehtäväsarja I Kerrataan lineaarikuvauksiin liittyviä

Lisätiedot

2 / :03

2 / :03 file:///c:/users/joonas/desktop/linis II Syksy /Ratkaisuehdotukse / 8 76 3:3 Kysymys Pisteet,, Määritellään positiivisten reaalilukujen joukossa R + = {x R x > } yhteenlasku ja skalaarikertolasku seuraavasti:

Lisätiedot

i=1 Näistä on helppo näyttää ominaisuudet (1)-(4). Ellei toisin mainita, käytetään R n :ssä

i=1 Näistä on helppo näyttää ominaisuudet (1)-(4). Ellei toisin mainita, käytetään R n :ssä Kurssimateriaalia K3/P3-kursille syksyllä 003. 8.0.003 Heikki Apiola Sisältää otteita Timo Eirolan L3-kurssin lineaarialgebramonisteesta, jonka lähdekoodin Timo on ystävällisesti antanut käyttööni.. Normi

Lisätiedot

Esimerkki 19. Esimerkissä 16 miniminormiratkaisu on (ˆx 1, ˆx 2 ) = (1, 0).

Esimerkki 19. Esimerkissä 16 miniminormiratkaisu on (ˆx 1, ˆx 2 ) = (1, 0). Esimerkki 9 Esimerkissä 6 miniminormiratkaisu on (ˆx, ˆx (, 0 Seuraavaksi näytetään, että miniminormiratkaisuun siirtyminen poistaa likimääräisongelman epäyksikäsitteisyyden (mutta lisääntyvän ratkaisun

Lisätiedot

Vapaus. Määritelmä. jos c 1 v 1 + c 2 v c k v k = 0 joillakin c 1,..., c k R, niin c 1 = 0, c 2 = 0,..., c k = 0.

Vapaus. Määritelmä. jos c 1 v 1 + c 2 v c k v k = 0 joillakin c 1,..., c k R, niin c 1 = 0, c 2 = 0,..., c k = 0. Vapaus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,..., v k R n, missä n {1, 2,... }. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee: jos c 1 v 1 + c 2 v 2 +

Lisätiedot

Matemaattinen Analyysi / kertaus

Matemaattinen Analyysi / kertaus Matemaattinen Analyysi / kertaus Ensimmäinen välikoe o { 2x + 3y 4z = 2 5x 2y + 5z = 7 ( ) x 2 3 4 y = 5 2 5 z ) ( 3 + y 2 ( 2 x 5 ( 2 7 ) ) ( 4 + z 5 ) = ( 2 7 ) yhteys determinanttiin Yhtälöryhmän ratkaiseminen

Lisätiedot

Ominaisvektoreiden lineaarinen riippumattomuus

Ominaisvektoreiden lineaarinen riippumattomuus Ominaisvektoreiden lineaarinen riippumattomuus Lause 17 Oletetaan, että A on n n -matriisi. Oletetaan, että λ 1,..., λ m ovat matriisin A eri ominaisarvoja, ja oletetaan, että v 1,..., v m ovat jotkin

Lisätiedot

Demorastitiedot saat demonstraattori Markus Niskaselta Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/104

Demorastitiedot saat demonstraattori Markus Niskaselta Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/104 Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/104 Ensi viikolla luennot salissa X Torstaina 7.12. viimeiset demot (12.12. ja 13.12. viimeiset luennot). Torstaina 14.12 on välikoe 2, muista ilmoittautua! Demorastitiedot

Lisätiedot

Ortogonaalinen ja ortonormaali kanta

Ortogonaalinen ja ortonormaali kanta Ortogonaalinen ja ortonormaali kanta Määritelmä Kantaa ( w 1,..., w k ) kutsutaan ortogonaaliseksi, jos sen vektorit ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan eli w i w j = 0 kaikilla i, j {1, 2,..., k}, missä

Lisätiedot

Esko Turunen Luku 3. Ryhmät

Esko Turunen Luku 3. Ryhmät 3. Ryhmät Monoidia rikkaampi algebrallinen struktuuri on ryhmä: Määritelmä (3.1) Olkoon joukon G laskutoimitus. Joukko G varustettuna tällä laskutoimituksella on ryhmä, jos laskutoimitus on assosiatiivinen,

Lisätiedot

5 OMINAISARVOT JA OMINAISVEKTORIT

5 OMINAISARVOT JA OMINAISVEKTORIT 5 OMINAISARVOT JA OMINAISVEKTORIT Ominaisarvo-ongelma Käsitellään neliömatriiseja: olkoon A n n-matriisi. Luku on matriisin A ominaisarvo (eigenvalue), jos on olemassa vektori x siten, että Ax = x () Yhtälön

Lisätiedot

9.2 Lineaarikuvaus Olkoon A kuvaus (funktio) vektoriavaruudesta V vektoriavaruuteen U: jos nyt

9.2 Lineaarikuvaus Olkoon A kuvaus (funktio) vektoriavaruudesta V vektoriavaruuteen U: jos nyt 9 Lineaarikuvaukset, matriisit 9 Vektoriavaruudet Aiemmin olemmme puhuneet tason (R 2 ja kotiavaruuden (R 3 vektoreista Nämä (kuten mös pelkkä R ovat esimerkkejä reaalisista vektoriavaruuksista Yleisesti

Lisätiedot

Ratkaisuehdotukset LH 7 / vko 47

Ratkaisuehdotukset LH 7 / vko 47 MS-C34 Lineaarialgebra, II/7 Ratkaisuehdotukset LH 7 / vko 47 Tehtävä : Olkoot M R symmetrinen ja positiividefiniitti matriisi (i) Näytä, että m > ja m > (ii) Etsi Eliminaatiomatriisi E R siten, että [

Lisätiedot

Tehtävä 2. Osoita, että seuraavat luvut ovat algebrallisia etsimällä jokin kokonaislukukertoiminen yhtälö jonka ne toteuttavat.

Tehtävä 2. Osoita, että seuraavat luvut ovat algebrallisia etsimällä jokin kokonaislukukertoiminen yhtälö jonka ne toteuttavat. JOHDATUS LUKUTEORIAAN syksy 017) HARJOITUS 6, MALLIRATKAISUT Tehtävä 1. Etsi Pellin yhtälön x Dy = 1 pienin positiivinen ratkaisu kun D {,, 5, 6, 7, 8, 10}. Ratkaisu 1. Tehtävässä annetuilla D:n arvoilla

Lisätiedot

Jatkoa lineaarialgebrasta

Jatkoa lineaarialgebrasta Jatkoa lineaarialgebrasta 16. tammikuuta 2006 Sisältö 1 Singulaariarvohajotelma 1 2 Tensorit ja lineaarikuvausten komponentit 2 2.1 Karteesiset tensorit........................ 3 2.2 Determinantti, osa

Lisätiedot

Yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen ominaisuuksia

Yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen ominaisuuksia Yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen ominaisuuksia Voidaan osoittaa, että avaruuden R n vektoreilla voidaan laskea tuttujen laskusääntöjen mukaan. Huom. Lause tarkoittaa väitettä, joka voidaan perustella

Lisätiedot

8. Avoimen kuvauksen lause

8. Avoimen kuvauksen lause 116 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 8. Avoimen kuvauksen lause Palautamme aluksi mieleen Topologian kursseilta ehkä tutut perusasiat yleisestä avoimen kuvauksen käsitteestä. Määrittelemme ensin avoimen

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I 29.5.2013 HY / Avoin yliopisto Jokke Häsä, 1/26 Kertausta: Kanta Määritelmä Oletetaan, että w 1, w 2,..., w k W. Vektorijono ( w 1, w 2,..., w k ) on aliavaruuden

Lisätiedot

ja jäännösluokkien joukkoa

ja jäännösluokkien joukkoa 3. Polynomien jäännösluokkarenkaat Olkoon F kunta, ja olkoon m F[x]. Polynomeille f, g F [x] määritellään kongruenssi(-relaatio) asettamalla g f mod m : m g f g = f + m h jollekin h F [x]. Kongruenssi

Lisätiedot

{I n } < { I n,i n } < GL n (Q) < GL n (R) < GL n (C) kaikilla n 2 ja

{I n } < { I n,i n } < GL n (Q) < GL n (R) < GL n (C) kaikilla n 2 ja 5. Aliryhmät Luvun 4 esimerkeissä esiintyy usein ryhmä (G, ) ja jokin vakaa osajoukko B G siten, että (B, B ) on ryhmä. Määrittelemme seuraavassa käsitteitä, jotka auttavat tällaisten tilanteiden käsittelyssä.

Lisätiedot

Luento 8: Epälineaarinen optimointi

Luento 8: Epälineaarinen optimointi Luento 8: Epälineaarinen optimointi Vektoriavaruus R n R n on kaikkien n-jonojen x := (x,..., x n ) joukko. Siis R n := Määritellään nollavektori = (,..., ). Reaalisten m n-matriisien joukkoa merkitään

Lisätiedot

pdfmark=/pages, Raw=/Rotate 90 1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus Sisätuloavaruus Lineaarikuvaus Ominaisarvo 0-68

pdfmark=/pages, Raw=/Rotate 90 1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus Sisätuloavaruus Lineaarikuvaus Ominaisarvo 0-68 SISÄLTÖ Sisältö pdfmark=/pages, Raw=/Rotate 90 1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 0-1 2 Sisätuloavaruus 0-20 3 Lineaarikuvaus 0-41 4 Ominaisarvo 0-68 5 Esimerkkejä 0-88 1. Lineaariavaruus eli V 1 Lineaariavaruus

Lisätiedot

7. Olemassaolo ja yksikäsitteisyys Galois n kunta GF(q) = F q, jossa on q alkiota, määriteltiin jäännösluokkarenkaaksi

7. Olemassaolo ja yksikäsitteisyys Galois n kunta GF(q) = F q, jossa on q alkiota, määriteltiin jäännösluokkarenkaaksi 7. Olemassaolo ja yksikäsitteisyys Galois n kunta GF(q) = F q, jossa on q alkiota, määriteltiin jäännösluokkarenkaaksi Z p [x]/(m), missä m on polynomirenkaan Z p [x] jaoton polynomi (ks. määritelmä 3.19).

Lisätiedot

BM20A0700, Matematiikka KoTiB2

BM20A0700, Matematiikka KoTiB2 BM20A0700, Matematiikka KoTiB2 Luennot: Matti Alatalo, Harjoitukset: Oppikirja: Kreyszig, E.: Advanced Engineering Mathematics, 8th Edition, John Wiley & Sons, 1999, luku 7. 1 Kurssin sisältö Matriiseihin

Lisätiedot

HILBERTIN AVARUUKSISTA

HILBERTIN AVARUUKSISTA HILBERTIN AVARUUKSISTA Pro gradu -tutkielma Hannariikka Lehtiniemi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Jyväskylän yliopisto syksy 2014 TIIVISTELMÄ Ääretönulotteiset avaruudet ovat monilta ominaisuuksiltaan

Lisätiedot

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on 13 Pistetulo Avaruuksissa R 2 ja R 3 on totuttu puhumaan vektorien pituuksista ja vektoreiden välisistä kulmista. Kuten tavallista, näiden käsitteiden yleistäminen korkeampiulotteisiin avaruuksiin ei onnistu

Lisätiedot

Taustatietoja ja perusteita

Taustatietoja ja perusteita Taustatietoja ja perusteita Vektorit: x R n pystyvektoreita, transpoosi x T Sisätulo: x T y = n i=1 x i y i Normi: x = x T x = ni=1 x 2 i Etäisyys: Kahden R n :n vektorin välinen etäisyys x y 1 Avoin pallo:

Lisätiedot

Alkeismuunnokset matriisille, sivu 57

Alkeismuunnokset matriisille, sivu 57 Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/88 Alkeismuunnokset matriisille, sivu 57 AM1: Kahden vaakarivin vaihto AM2: Vaakarivin kertominen skalaarilla c 0 AM3: Vaakarivin lisääminen toiseen skalaarilla c kerrottuna

Lisätiedot

jonka laskutoimitus on matriisien kertolasku. Vastaavasti saadaan K-kertoiminen erityinen lineaarinen ryhmä

jonka laskutoimitus on matriisien kertolasku. Vastaavasti saadaan K-kertoiminen erityinen lineaarinen ryhmä 4. Ryhmät Tässä luvussa tarkastelemme laskutoimituksella varustettuja joukkoja, joiden laskutoimitukselta oletamme muutamia yksinkertaisia ominaisuuksia: Määritelmä 4.1. Laskutoimituksella varustettu joukko

Lisätiedot

Matriisialgebra harjoitukset, syksy x 1 + x 2 = a 0

Matriisialgebra harjoitukset, syksy x 1 + x 2 = a 0 MATRIISIALGEBRA, s, Ratkaisuja/ MHamina & M Peltola 22 Virittääkö vektorijoukko S vektoriavaruuden V, kun a V = R 3 ja S = {(1,0, 1,(2,0,4,( 5,0,2,(0,0,1} b V = P 2 (R ja S = {t1,t 2 1,t 2 t} ( ( 1 0 c

Lisätiedot

Matriisien tulo. Matriisit ja lineaarinen yhtälöryhmä

Matriisien tulo. Matriisit ja lineaarinen yhtälöryhmä Matriisien tulo Lause Olkoot A, B ja C matriiseja ja R Tällöin (a) A(B + C) =AB + AC, (b) (A + B)C = AC + BC, (c) A(BC) =(AB)C, (d) ( A)B = A( B) = (AB), aina, kun kyseiset laskutoimitukset on määritelty

Lisätiedot

LINEAARIALGEBRA A 2016 TOMI ALASTE EDITED BY T.M. FROM THE NOTES OF

LINEAARIALGEBRA A 2016 TOMI ALASTE EDITED BY T.M. FROM THE NOTES OF LINEAARIALGEBRA 83A 6 EDITED BY T.M. FROM THE NOTES OF TOMI ALASTE SISÄLTÖ Sisältö Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus Sisätuloavaruus 3 Lineaarikuvaus 4 Ominaisarvo 34 5 Esimerkkejä 44 . Lineaariavaruus

Lisätiedot

=p(x) + p(y), joten ehto (N1) on voimassa. Jos lisäksi λ on skalaari, niin

=p(x) + p(y), joten ehto (N1) on voimassa. Jos lisäksi λ on skalaari, niin FUNKTIONAALIANALYYSI, RATKAISUT 1 KEVÄT 211, (AP) 1. Ovatko seuraavat reaaliarvoiset funktiot p : R 3 R normeja? Ovatko ne seminormeja? ( x = (x 1, x 2, x 3 ) R 3 ) a) p(x) := x 2 1 + x 2 2 + x 2 3, b)

Lisätiedot

Vapaus. Määritelmä. jos c 1 v 1 + c 2 v c k v k = 0 joillakin c 1,..., c k R, niin c 1 = 0, c 2 = 0,..., c k = 0.

Vapaus. Määritelmä. jos c 1 v 1 + c 2 v c k v k = 0 joillakin c 1,..., c k R, niin c 1 = 0, c 2 = 0,..., c k = 0. Vapaus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,..., v k R n, missä n {1, 2,... }. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee: jos c 1 v 1 + c 2 v 2 +

Lisätiedot

Ville Turunen: Mat Matematiikan peruskurssi P1 1. välikokeen alueen teoriatiivistelmä 2007

Ville Turunen: Mat Matematiikan peruskurssi P1 1. välikokeen alueen teoriatiivistelmä 2007 Ville Turunen: Mat-1.1410 Matematiikan peruskurssi P1 1. välikokeen alueen teoriatiivistelmä 2007 Materiaali: kirjat [Adams R. A. Adams: Calculus, a complete course (6th edition), [Lay D. C. Lay: Linear

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II. LM2, Kesä /310

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II. LM2, Kesä /310 Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II LM2, Kesä 2012 1/310 Kertausta: avaruuden R n vektorit Määritelmä Oletetaan, että n {1, 2, 3,...}. Avaruuden R n alkiot ovat jonoja, joissa on n kappaletta reaalilukuja.

Lisätiedot