Insinöörimatematiikka D, laskuharjoituksien esimerkkiratkaisut
|
|
- Hilkka Nurminen
- 7 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Insinöörimatematiikka D, laskuharjoituksien esimerkkiratkaisut. Etsitään homogeenisen vakiokertoimisen lineaarisen differentiaaliyhtälön kaikki ratkaisut (reaalisessa muodossa). y (5) +4y (4) +8y (3) 0 () Koska tarvitaan kaikki ratkaisut, aloitetaan hakemalla karakteristinen yhtälö homogeeniselle vakiokertoimiselle differentiaaliyhtälölle. Vaihtoehto: Käytetään yritettä y e λx, jolloin y (n) λ n e λx. Sijoittamalla saadaan yhtälö () muotoon λ 5 e λx + 4λ 4 e λx + 8λ 3 e λx 0. Edelleen, jakamalla puolittain termillä e λx saadaan karakteristinen yhtälö λ 3 (λ +4λ+8) 0. Vaihtoehto: Yhtälö () on vakiokertoiminen homogeeninen differentiaaliyhtälö, joten sen karakteristinen yhtälö on λ 5 +4λ 4 +8λ 3 λ 3 (λ +4λ+8) 0. Saadun yhtälön erisuuret juuret ovat λ 0, λ +i ja λ 3 i, joista c on kolminkertainen ratkaisu. Kompleksisista juurista (reaaliratkaisuilla korvaamalla) saadaan yleisen ratkaisun kantaan funktiot e x sin(x) ja e x cos(x) sekä kolminkertaisesta juuresta c 0 funktiot, x ja x. Yhtälön () kertaluku 5 on sama kuin saatujen riippumattomien funktioiden joukon koko. Täten saadaan kaikkien ratkaisujen avaruuden kannaksi {,x,x,e x sin(x),e x cos(x)} eli yleinen ratkaisu on y(x) c +c x+c 3 x +c 4 e x sin(x)+c 5 e x cos(x).. Etsitään homogeenisen vakiokertoimisen lineaarisen differentiaaliyhtälön y (5) +y (4) +y (3) 0 () sellainen yksittäisratkaisu, että y(0) a 0, y (0) a, y (0) a, y (0) a 3, y (4) (0) a 4 (a 0, a, a, a 3 ja a 4 vakioita). Ensin haetaan homogeenisen vakiokertoimisen differentiaaliyhtälön karakteristinen yhtälö: Vaihtoehto: Yritteellä y e λx saadaan yhtälö () muotoon λ 5 e λx +λ 4 e λx +λ 3 e λx 0. Edelleen, jakamalla puolittain termillä e λx saadaan karakteristinen yhtälö λ 3 (λ + λ+) 0. Vaihtoehto: Homogeenisen vakiokertoimisen differentiaaliyhtälön () karakteristiseksi yhtälöksi saadaan λ 5 +λ 4 +λ 3 λ 3 (λ +λ+) 0. Saadun karakterisen yhtälön erisuuret juuret ovat λ 0 ja λ, joista c on kolminkertainen ratkaisu ja c kaksinkertainen ratkaisu. Kolminkertaisesta juuresta c 0 saadaan ratkaisun kantaan funktiot, x ja x ja juuresta c funktiot e x ja xe x. Yhtälön () kertaluku ja saatujen riippumattomien funktioiden määrä täsmää, joten yleisen ratkaisun kannaksi käy {,x,x,e x,xe x }. Yleinen ratkaisu on siis y(x) c +c x+c 3 x +c 4 e x +c 5 xe x. (3) Yksittäisratkaisun määrittämiseksi lasketaan funktion y derivaatat yhtälöstä (3): y (x) c +c 3 x+(c 5 c 4 )e x c 5 xe x ; y (x) c 3 +(c 4 c 5 )e x +c 5 xe x ; y (x) (3c 5 c 4 )e x c 5 xe x ; y (4) (x) (c 4 4c 5 )e x +c 5 xe x.
2 Ja sijoittamalla x 0 saadaan näistä yhtälöistä alkuehtojen avulla yhtälöryhmä a 0 c +c 4 c 5 (a 3 +a 4 ) a c +c 5 c 4 c 4 (4a 3 +3a 4 ) a c 3 +c 4 c 5 c 3 a +a 3 +a 4 a 3 3c 5 c 4 c a 3a 3 a 4 a 4 c 4 4c 5 c a 0 +4a 3 +3a 4. Haluttu yksittäisratkaisu y 0 on siis y 0 (x) (a 0 +4a 3 +3a 4 )+(a 3a 3 a 4 )x+ a +a 3 +a 4 x (4a 3 +3a 4 )e x (a 3 +a 4 )xe x 3. Etsitään vakiokertoimisen lineaarisen differentiaaliyhtälön y +3y 4y e 3x (4) kaikki ratkaisut sekä sellainen yksittäisratkaisu, että y(0) y (0). Yhtälön (4) homogenisoitu vakiokertoiminen differentiaaliyhtälö on y +3y 4y 0 (5) Yhtälön (4) yleinen ratkaisu on muotoa y(x) y H (x)+y 0 (x), jossay H (x) on homogeenisoidun differentiaaliyhtälön (5) yleinen ratkaisu ja y 0 (x) on yhtälön (4) jokin yksittäisratkaisu. Koska tarvitaan kaikki ratkaisut, määritetään ensin homogeenisen vakiokertoimisen differentiaaliyhtälön (5) kaikki ratkaisut. Määritetään ensin karakteristinen yhtälö: Vaihtoehto: Yritteellä y e λx saadaan yhtälö (5) muotoon λ 5 e λx +λ 4 e λx +λ 3 e λx 0. Edelleen, jakamalla puolittain termillä e λx saadaan karakteristinen yhtälö λ +3λ 4 (λ+4)(λ ) 0. Vaihtoehto: Vakiokertoimisen ja homogeenisen differentiaaliyhtälön (5) karakteristiseksi yhtälöksi saadaan λ +3λ 4 (λ+4)(λ ) 0. Saadun karakterisen yhtälön erisuuret juuret ovatλ jaλ 4. Näitä juuria vastaavat funktiot muodostavat joukon B {e λ x e x,e λ x e 4x } ja, koska yhtälön (5) kertaluku on sama kuin saadun joukon koko, on joukko B kaikkien ratkaisujen avaruuden kanta. Siis yleinen ratkaisu yhtälölle (5) on y H (x) c e x +c e 4x (6) Löytääkseen kaikki ratkaisut yhtälölle (4) tarvitaan myös yksi (mielivaltaisen) yksittäisratkaisu. Toisaalta tarvitaan yksittäisratkaisu myös alkuehdoilla y(0) y (0), joten ratkaistaan tämä yksittäisratkaisu (saadaan kaksi kärpästä samalla iskulla). Sovelletaan Laplace-muunnosta yhtälöön (4), jolloin saadaan L[y +3y 4y](s) (s Y(s) y(0)s y (0))+3(sY(s) y(0)) 4Y(s) (s Y(s) s )+3(sY(s) ) 4Y(s) Y(s)(s +3s 4) (s+4) s 3 L[e3x ](s). Edellisestä saadaan Y(s)(s +3s 4) Y(s)(s+4)(s ) s 3 +(s+4) eli (s 3)(s+4)(s ) + s ()
3 Tarvitaan termin (s 3)(s+4)(s ) osamurtohajotelma: A s 3 + B s+4 + C s (s 3)(s+4)(s ). Saadaan yhtälö A(s + 4)(s ) + B(s 3)(s ) + C(s 3)(s + 4), josta edelleen saadaan (polynomien yhtäsuuruudella) yhtälöryhmä A+ B + C 0 3A 4B + C 0 4A+3B C A+ B + C 0 3A 4B + C 0 0C 0 A+ B 0 B 0 C 0 A+ B 0 3A 4B 0 C 0 A 5 0 B 0. C 0 3 Siis yhtälö () saadaan muotoon josta edelleen saadaan yksittäisratkaisu Siis yleinen ratkaisu yhtälölle (4) on 4(s 3) + 35(s+4) 0(s ) + s, y 0 (x) 4 e3x + 35 e 4x ex. y(x) y H (x)+y 0 (x) c e x +c e 4x + 4 e3x + 35 e 4x ex c e x +c e 4x + 4 e3x ja alkuehdoilla y(0) y (0) yhtälön (4) yksittäisratkaisu on y 0 (x) 4 e3x + 35 e 4x ex. Huomautus: Ratkaisu voidaan tehdä vähän toisin seuraavasti. Etsitään yksittäisratkaisu y 0 (x) alukehdoille y(0) y (0) 0. Tällöin Laplace-muunnoksen soveltaminen yhtälöön (4), antaa L[y +3y 4y](s) s Y(s)+3sY(s) 4Y(s) Edellisestä saadaan Y(s)(s +3s 4) s 3 eli Y(s)(s +3s 4) s 3 L[e3x ](s). (s 3)(s+4)(s ) Aivan kuten yllä saataisiin osamurtohajotelmalla y 0(x) 4 e3x + 35 e 4x 0 ex. 3
4 ja siitä edelleen yhtälön (4) yleinen ratkaisu y(x) y H (x)+y 0 (x) c e x +c e 4x + 4 e3x + 35 e 4x 0 ex c e x +c e 4x + 4 e3x. Tämän jälkeen tarvitsee vielä määrittää yhtälön (4) yksittäisratkaisu alkuehdoilla y(0) y (0) eli pitää valitac jac funktiolley(x) täyttäen annetut alkuehdot. Elic +c + 4 jac 4c + 3 4, jotka toteutuvat arvoillac 9 0 jac 35. Lopputuloksena alkuehdot toteuttava yksittäisratkaisu y 0 (x) 4 e3x + 35 e 4x ex. Tämä tapa olisi siis ollut vähän työläämpi. 4. Etsitään vakiokertoimisen lineaarisen differentiaaliyhtälön sellainen yksittäisratkaisu, että y(0) y (0). y +y 3y e x (8) Koska tarvitaan vain tämä yksi yksittäisratkaisu, sovelletaan suoraan Laplace-muunnosta yhtälöön (8), jolloin saadaan L[y +y 3y](s) (s Y(s) y(0)s y (0))+(sY(s) y(0)) 3Y(s) (s Y(s) s )+(sy(s) ) 3Y(s) Y(s)(s +s 3) (s+3) s L[ex ](s). Edellisestä saadaan Y(s)(s +s 3) Y(s)(s+3)(s ) s +(s+3) eli (s )(s+3)(s ) + s Tarvitaan termin (s )(s+3)(s ) osamurtohajotelma: A s + B s+3 + C s (s )(s+3)(s ). Saadaan yhtälö A(s + 3)(s ) + B(s )(s ) + C(s )(s + 3), josta edelleen saadaan yhtälöryhmä A+ B + C 0 A+ B + C 0 A+ B 4 A 3B + C 0 A 3B + C 0 A 3B 4 3A+B 6C 4C 4 C 4 A+ B 4 A 4 5B 4 0 C 5 B 0. 4 C 4 Siis yhtälö (9) saadaan muotoon 5(s ) + 0(s+3) 4(s ) + s, josta edelleen saadaan yhtälön (4) alkuehtojen y(0) y (0) yksittäisratkaisu y 0 (x) 5 ex + 0 e 3x ex. 4 (9)
5 5. Etsitään vakiokertoimisen lineaarisen differentiaaliyhtälön kaikki ratkaisut. y +3y +4y 8y e 3t (0) Koska tarvitaan kaikki ratkaisut, määritetään ensin homogeenisen vakiokertoimisen differentiaaliyhtälön y +3y +4y 8y 0 () kaikki ratkaisut. Määritetään karakteristinen yhtälö: Vaihtoehto: Yritteellä y e λt saadaan yhtälö () muotoon λ 3 e λt +3λ e λt +4λe λt 8e λt 0. Edelleen, jakamalla puolittain termillä e λt saadaan karakteristinen yhtälö λ 3 +3λ +4λ 8 0. Vaihtoehto: Vakiokertoimisen ja homogeenisen differentiaaliyhtälön () karakteristiseksi yhtälöksi saadaan λ 3 +3λ +4λ 8 0. Huomataan, että etukertoimien summa on 0 eli λ on yksi juuri. Saadaan λ 3 +3λ + 4λ 8 (λ )(λ +4λ+8), joten karakteristisen yhtälön erisuuret juuret ovat λ, λ +i ja λ 3 i. Kompleksisista juurista (reaaliratkaisuilla korvaamalla) saadaan yleisen ratkaisun kantaan funktiot e t sin(t) ja e t cos(t) sekä juuresta c funktio e t. Yhtälön () kertaluku 3 on sama kuin saatujen riippumattomien funktioiden joukon koko. Täten saadaan kaikkien ratkaisujen avaruuden kannaksi {e t,e t sin(t),e t cos(t)} eli yhtälön () yleinen ratkaisu on y H (t) c e t +c e t sin(t)+c 3 e t cos(t). Jotta saadaan kaikki ratkaisut yhtälölle (0) tarvitaan myös yksi (mielivaltaisen) yksittäisratkaisu. Koska mitään muuta rajoitetta ei ole alkuehdoille, valitaan y(0) y (0) y (0) 0 (alkuehtoja pitää olla yhtä monta kuin yhtälön kertaluku) ja ratkaistaan yksittäisratkaisu näille alkuehdoille. Yksittäisratkaisun brute force -menetelmä: Sovelletaan Laplace-muunnosta yhtälöön (0), jolloin saadaan L[y +3y +4y 8y](s) (s 3 Y(s) y(0)s y (0)s y (0))+3(s Y(s) y(0)s y (0))+4(Y (s) y(0)) 8Y (s) Edellisestä saadaan s 3 Y(s)+3s Y(s)+4Y(s) 8Y(s) Y(s)(s 3 +3s +4s 8) s 3 L[e3t ](s). (s 3)(s )(s +4s+8) Tarvitaan termin (s 3)(s )(s +4s+8) osamurtohajotelma: A s 3 + B s + Cs+D s +4s+8 (s 3)(s )(s +4s+8). () 5
6 Saadaan yhtälö A(s )(s +4s+8)+B(s 3)(s +4s+8)+(Cs+D)(s )(s 3), josta saadaan (polynomien yhtäsuuruudella) yhtälöryhmä A+ B+ C 0 3A+ B 4C+ D 0, 4A 4B+ 3C 4D 0 8A 4B + 3D josta saadaan Gaussin-Jordanin menetelmällä A 9 B 3 C 6 3 D 54 3 Siis yhtälö () saadaan muotoon (s 3) 3(s ) + 6s 3((s+) +4) ((s+) +4). (3) Toisaalta Laplace-muunnokselle on voimassa yhtälö (kalvoissa) L[e λt f](s) L[f](s λ). Siis funktiolle f(t) sinat saadaan L[f](s) a s +a ja edelleen L[e λt sinat](s) L[sinat](s λ) a (s λ) +a (4) ja vastaavasti funktiolle f(t) cosat saadaan L[f](s) s s +a ja edelleen L[e λt cosat](s) L[cosat](s λ) s λ (s λ) +a. (5) Ryhmitellään yhtälön (3) termejä yhtälöille (4) ja (5) sopivaksi, jolloin saadaan 9(s 3) 3(s ) s+ (s+) Yhtälöiden (6), (4) ja (5) avulla saadaan yksittäisratkaisu y 0 (t) 9 e3t 3 et + 3 e t sint+ 6 3 e t cost. (s+) +4. (6) 6
7 Siis yleinen ratkaisu yhtälölle (0) on y(t) y H (t)+y 0 (t) (c 3 )et +(c + 3 )e t sin(t)+(c )e t cos(t)+ 9 e3t c et +c e t sin(t)+c 3 e t cos(t)+ 9 e3t. Yksittäisratkaisun educated guess -menetelmä: Yleisesti differentiaaliyhtälön oikean puolen (epähomogeenisuuden aiheuttava) termi on läheisesti kytköksissä erityisratkaisun kanssa. Siis kokeillaan yritettä y (t) Ce 3t. Tällöin saadaan y (t) 3Ce 3t, y (t) 9Ce3t ja y (t) Ce3t. Sijoittamalla nämä alkuperäiseen yhtälöön (0) saadaan (++ 8)Ce 3t e 3t, josta voidaan ratkaista C 9 ja edelleen saadaan yksittäisratkaisu y 9 e3t. Siis yleinen ratkaisu yhtälölle (0) on y(t) y H (t)+y (t) 6. Etsi lineaarisen differentiaaliyhtälön kaikki ratkaisut. c e t +c e t sin(t)+c 3 e t cos(t)+ 9 e3t. xy y x +x+ () Käytetään. kertaluvun lineaarisen differentiaaliyhtälön ratkaisumenetelmää, joten muotoillaan yhtälö muotoon y x y x + + (8) x ja edelleen tämän homogenisoitu muoto on y x y 0 (9) Vaihtoehto: Haetaan ensin tämän homogenisoidun yhtälön kaikki ratkaisut. Yhtälö 9 saadaan muotoon y y x, josta edelleen saadaan lny lnx + C ja lopulta yleinen ratkaisu on y (x) e C x C x. Vakion variointivaihetta varten voidaan valita C, joten valitaan y H x ja olkoon y(x) C(x)y H (x). Tällöin y (x) C (x)y H (x)+c(x)y H (x) ja y H (x) x y H(x) 0, joten yhtälö sijoittamalla yhtälöön (8) saadaan C (x)y H (x)+c(x)y H(x) x C(x)y H(x) x }{{} + + x 0
8 ja edelleen jakamalla puolittain ja sijoittamalla valittu y H x saadaan Integroimalla puolittain saadaan C (x) x y H (x) + y H (x) + xy H (x) x + x + x x. C(x) x x 3 Yleinen ratkaisu yhtälölle () on siis + x x +B. y(x) y H (x)c(x) x 3 +x +B x. Yhtälön (9) kertaluku on yksi kuten sen ratkaisun kannan koko, joten kaikki ratkaisut on löydetty. Vaihtoehto: Käytetään valmiita ratkaisukaavoja. Yhtälöstä 9 saadaan yksittäisratkaisu y H (x) e x dx e lnx x. Vakion variointivaiheesta saadaan differentiaaliyhtälö josta edelleen saadaan C(x) C (x)y H (x) x + + x, [ x y H (x) + y H (x) + ] dx xy H (x) [ x + x + ] x x x x 3 Yleinen ratkaisu yhtälölle () on siis + x x +B. y(x) y H (x)c(x) x 3 +x +B x. Yhtälön (9) kertaluku on yksi kuten sen ratkaisun kannan koko, joten kaikki ratkaisut on löydetty.. Etsitään lineaarisen differentiaaliyhtälön y 3x y x e x3 (0) kaikki ratkaisut sekä sellainen yksittäisratkaisu, että y(0). Haetaan ensin homogenisoidun yhtälön kaikki ratkaisut. y 3x y 0 () 8
9 Valitaan edellisen tehtävän vaihtoehto ratkaisumetodiksi ja käytetään valmiita ratkaisukaavoja. Yhtälöstä saadaan yksittäisratkaisu y H (x) e ( 3x )dx e x3. Vakion variointivaiheesta saadaan differentiaaliyhtälö C (x)y H (x) x e x3, josta edelleen saadaan C(x) [ ] x e x3 dx y H (x) [ ] x e x3 e x3 [ x e x3] 6 e x3 +B. Yleinen ratkaisu yhtälölle (0) on siis y H (x)c(x) 6 e x3 e x3 +Be x3 Be x3 6 e x3. Yhtälön () kertaluku on yksi kuten sen ratkaisujen avaruuden kannan koko. 8. Todetaan. kertaluvun homogeenisen lineaarisen differentiaaliyhtälön x y xy +y 0 () erään ratkaisun olevan y H x suoraan kokeilemalla: x () x(x)+(x ) 0. Seuraavaksi etsitään tämän tiedon avulla muuotoillun differentiaaliyhtälön kaikki ratkaisut. Muotoillaan ensin yhtälöä (3) sopivampaan muotoon: x y xy +y x (3) y x y + xy. (4) Valitaan vakion variointia varten y(x) y H (x)v(x), jolloin tämän yhtälön ja sen derivaattojen sijoittaminen yhtälöön (4) tuottaa yhtälön y H (x)w (x)+( x y H(x)+y H (x))w(x), missä w(x) v (x), ja edelleen sijoittamalla y H (x) x ja puolittain jakamalla saadaan yhtälö w (x)+( x +x x )w(x) x ja sieventämällä tämä saadaan muotoon w (x)+ x w(x) x. (5) 9
10 Tämä yhtälö on. kertaluvun lineaarinen differentiaaliyhtälö, joka voidaan nyt ratkaista. Yhtälön (5) homogenisoidulle versiolle saadaan nyt yksittäisratkaisu w H (x) e x dx x ja edelleen vakion varioinnilla yhtälölle (5) saadaan yleinen ratkaisu [ ] x w(x) w H (x) x dx+b x [x+b ] x + B x Yhtälön (3) yleiseksi ratkaisuksi saadaan nyt y(x) y H (x) w(x)dx x (lnx B x +B ) x lnx B x+b x. Yhtälön () kertaluku on kaksi ja sen ratkaisujen avaruuden kannassa on kaksi funktiota, joten kaikki ratkaisut ovat tässä. 9. Etsi seuraavien differentiaaliyhtälöiden kaikki ratkaisut: (a) y y(x ). Yhtälö saadaan separoituvan differentiaaliyhtälön muotoon y x, josta puolittain integroimalla saadaan lny x x+c ja edelleen y(x) C e x e /x. Yhtälön kertaluku on yksi ja ratkaisu avaruuden kannan koko sama. (b) y e x 3y. Yhtälö saadaan separoituvan differentiaaliyhtälön muotoon e 3y y e x, josta puolittain integroimalla saadaan e3y 3 ex +C ja edelleen 3y ln(3 ex +C ), josta edelleen y 3 ln(3 ex + C ) Yhtälön kertaluku on yksi ja ratkaisu avaruuden kannan koko sama. 0. Etsi seuraavien differentiaaliyhtälöiden kaikki ratkaisut: (a) y y (x 6). Yhtälö saadaan separoituvan differentiaaliyhtälön muotoon y y y (x 6), josta puolittain integroimalla saadaan y(x) ln(x 6) + C ja edelleen y(x) C ln(x 6). Yhtälön kertaluku on yksi ja ratkaisu avaruuden kannan koko sama. (b) y e y/ sinx. Yhtälö saadaan separoituvan differentiaaliyhtälön muotoon e y/ y sinx, josta puolittain integroimalla saadaan e y/ cosx+c ja edelleen y(x) ln( cosx C ). Yhtälön kertaluku on yksi ja ratkaisu avaruuden kannan koko sama. 0
Insinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
Lisätiedot4 Korkeamman kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt
4 Korkeamman kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt 4.1 Homogeeniset lineaariset differentiaaliyhtälöt Homogeeninen yhtälö on muotoa F(x, y,, y (n) ) = 0. (1) Yhtälö on lineaarinen, jos se voidaan
Lisätiedot3 Toisen kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt
3 Toisen kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt 3.1 Homogeeniset lineaariset differentiaaliyhtälöt Toisen kertaluvun differentiaaliyhtälö on lineaarinen, jos se voidaan kirjoittaa muotoon Jos r(x)
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
LisätiedotMatematiikka B3 - Avoin yliopisto
2. heinäkuuta 2009 Opetusjärjestelyt Luennot 9:15-11:30 Harjoitukset 12:30-15:00 Tentti Lisäharjoitustehtävä Kurssin sisältö (1/2) 1. asteen Differentiaali yhtälöt (1.DY) Separoituva Ratkaisukaava Bernoyulli
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
LisätiedotInsinöörimatematiikka D, laskuharjoituksien esimerkkiratkaisut
Insinöörimatematiikka D, 406 6 laskuharjoituksien esimerkkiratkaisut Ratkaistaan differentiaaliyhtälö y = y () Tässä = d dy eli kyseessä on lineaarinen kertaluvun differentiaaliyhtälö: Yhtälön () homogenisoidulle
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö
Lisätiedot3 TOISEN KERTALUVUN LINEAARISET DY:T
3 TOISEN KERTALUVUN LINEAARISET DY:T Huomautus epälineaarisista. kertaluvun differentiaaliyhtälöistä Epälineaarisen DY:n ratkaisemiseen ei ole yleismenetelmää. Seuraavat erikoistapaukset voidaan ratkaista
Lisätiedoty + 4y = 0 (1) λ = 0
Matematiikan ja tilastotieteen osasto/hy Differentiaaliyhtälöt I Laskuharjoitus 6 mallit Kevät 2019 Tehtävä 1. Ratkaise yhtälöt a) y + 4y = x 2, b) y + 4y = 3e x. Ratkaisu: a) Differentiaaliyhtälön yleinen
Lisätiedot6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset
SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 51 6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt Määritelmä 6.1. Olkoon I R avoin väli. Olkoot p i : I R, i = 0, 1, 2,..., n, ja q : I R jatkuvia
LisätiedotDierentiaaliyhtälöistä
Dierentiaaliyhtälöistä Markus Kettunen 17. maaliskuuta 2009 1 SISÄLTÖ 1 Sisältö 1 Dierentiaaliyhtälöistä 2 1.1 Johdanto................................. 2 1.2 Ratkaisun yksikäsitteisyydestä.....................
Lisätiedoty (0) = 0 y h (x) = C 1 e 2x +C 2 e x e10x e 3 e8x dx + e x 1 3 e9x dx = e 2x 1 3 e8x 1 8 = 1 24 e10x 1 27 e10x = e 10x e10x
BM0A5830 Differentiaaliyhtälöiden peruskurssi Harjoitus 4, Kevät 017 Päivityksiä: 1. Ratkaise differentiaaliyhtälöt 3y + 4y = 0 ja 3y + 4y = e x.. Ratkaise DY (a) 3y 9y + 6y = e 10x (b) Mikä on edellisen
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 6. viikolle /
Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 6. viikolle / 16. 18.5. Lineaariset differentiaaliyhtälöt, homogeeniset differentiaaliyhtälöt Tehtävä 1: a) Määritä differentiaaliyhtälön y 3y = 14e 4x
Lisätiedot2. kl:n DY:t. Lause. Yleisesti yhtälöllä ẍ = f(ẋ, x, t) on (sopivin oletuksin) aina olemassa 1-käs. ratkaisu. (ẋ dx/dt, ẍ d 2 x/dt 2.
2. kl:n DY:t Yleisesti yhtälöllä ẍ = f(ẋ, x, t) on (sopivin oletuksin) aina olemassa 1-käs. ratkaisu. (ẋ dx/dt, ẍ d 2 x/dt 2.) Lause Olkoon f(x 2, x 1, t) funktio, ja oletetaan, että f, f/ x 1 ja f/ x
LisätiedotDierentiaaliyhtälöistä
Dierentiaaliyhtälöistä Markus Kettunen 14. helmikuuta 2011 1 SISÄLTÖ 1 Sisältö 1 Dierentiaaliyhtälöistä 2 1.1 Johdanto................................. 2 1.2 Ratkaisun olemassaolosta ja yksikäsitteisyydestä...........
LisätiedotMS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 11: Lineaarinen differentiaaliyhtälö
MS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 11: Lineaarinen differentiaaliyhtälö Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos
Lisätiedota 1 y 1 (x) + a 2 y 2 (x) = 0 vain jos a 1 = a 2 = 0
6. Lineaariset toisen kertaluvun yhtälöt Toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöt ovat tuntuvasti hankalampia ratkaista kuin ensimmäinen. Käsittelemmekin tässä vain tärkeintä erikoistapausta, toisen kertaluvun
LisätiedotEnsimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä
1 MAT-1345 LAAJA MATEMATIIKKA 5 Tampereen teknillinen yliopisto Risto Silvennoinen Kevät 9 Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä Yksi tavallisimmista luonnontieteissä ja tekniikassa
LisätiedotDierentiaaliyhtälöistä
Dierentiaaliyhtälöistä Markus Kettunen 4. maaliskuuta 2009 1 SISÄLTÖ 1 Sisältö 1 Dierentiaaliyhtälöistä 2 1.1 Johdanto................................. 2 1.2 Ratkaisun yksikäsitteisyydestä.....................
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö
Lisätiedot4 Korkeamman kertaluvun differentiaaliyhtälöt
Differentiaaliyhtälöt c Pekka Alestalo 2015 Tässä monisteessa käydään läpi tavallisiin differentiaaliyhtälöihin liittyviä peruskäsitteitä ja ratkaisuperiaatteita. Luennolla lasketaan esimerkkitehtäviä
Lisätiedot4. Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä
1 Laaja matematiikka 5 Kevät 010 4. Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä Yksi tavallisimmista luonnontieteissä ja tekniikassa esiintyvistä matemaattisista malleista on differentiaaliyhtälö.
LisätiedotNormaaliryhmä. Toisen kertaluvun normaaliryhmä on yleistä muotoa
Normaaliryhmä Toisen kertaluvun normaaliryhmä on yleistä muotoa x = u(t,x,y), y t I, = v(t,x,y), Funktiot u = u(t,x,y), t I ja v = v(t,x,y), t I ovat tunnettuja Toisen kertaluvun normaaliryhmän ratkaisu
LisätiedotEsimerkki: Tarkastellaan korkeudella h ht () putoavaa kappaletta, jonka massa on m (ks. kuva).
6 DIFFERENTIAALIYHTÄLÖISTÄ Esimerkki: Tarkastellaan korkeudella h ht () putoavaa kappaletta, jonka massa on m (ks. kuva). Newtonin II:n lain (ma missä Yhtälö dh dt m dh dt F) mukaan mg, on kiihtyvyys ja
Lisätiedot10. Toisen kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt
37. Toisen kertaluvun lineaariset differentiaalihtälöt Tarkastelemme muotoa () ( x) + a( x) ( x) + a( x) ( x) = b( x) olevia htälöitä, missä kerroinfunktiot ja oikea puoli ovat välillä I jatkuvia. Edellisen
LisätiedotMat Matematiikan peruskurssi K2
Mat-.3 Matematiikan peruskurssi K Heikkinen/Tikanmäki Kolmas välikoe 6.5. Kokeessa saa käyttää ylioppilaskirjoituksiin hyväksyttyä laskinta. Sivun kääntöpuolelta löytyy integrointikaavoja.. Olkoon F(x,
LisätiedotHarjoitus Etsi seuraavien autonomisten yhtälöiden kriittiset pisteet ja tutki niiden stabiliteettia:
Differentiaaliyhtälöt, Kesä 216 Harjoitus 2 1. Etsi seuraavien autonomisten yhtälöiden kriittiset pisteet ja tutki niiden stabiliteettia: (a) y = (2 y) 3, (b) y = (y 1) 2, (c) y = 2y y 2. 2. Etsi seuraavien
Lisätiedot1 Peruskäsitteet. Dierentiaaliyhtälöt
Teknillinen korkeakoulu Matematiikka Dierentiaaliyhtälöt Alestalo Tässä monisteessa käydään läpi tavallisiin dierentiaaliyhtälöihin liittyviä peruskäsitteitä ja ratkaisuperiaatteita. Esimerkkejä luennoilla
Lisätiedotdy dx = y x + 1 dy dx = u+xdu dx, u = y/x, u+x du dx = u+ 1 sinu eli du dx = 1 1 Erotetaan muuttujat ja integroidaan puolittain: y = xln(ln(cx 2 )).
Harjoitus Tehtävä 5. d) Jakamalla annettu yhtälö puolittain xsin(y/x):llä saadaan Sijoitetaan taas jolloin saadaan dy dx = y x + 1 sin ( y). u = y/x, x dy dx = u+xdu dx, u+x du dx = u+ 1 sinu du dx = 1
LisätiedotMatemaattinen Analyysi
Vaasan yliopisto, kevät 01 / ORMS1010 Matemaattinen Analyysi. harjoitus, viikko 1 R1 ke 1 16 D11 (..) R to 10 1 D11 (..) 1. Määritä funktion y(x) MacLaurinin sarjan kertoimet, kun y(0) = ja y (x) = (x
LisätiedotMS-A Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (CHEM) Harjoitus 6 loppuviikko
MS-A0107 - Differentiaali- integraalilaskenta 1 (CHEM) Harjoitus 6 loppuviikko 1 Tehtävä Etsi seuraavien yhtälöiden yleiset ratkaisut: Ratkaisu: a) y y 2y = 4x, b) y + 4y = sin 3x, c) y + 2y + 5y = e x
LisätiedotOsa 11. Differen-aaliyhtälöt
Osa 11. Differen-aaliyhtälöt Differen-aaliyhtälö = yhtälö jossa esiintyy jonkin funk-on derivaa
Lisätiedot4. Differentiaaliyhtälöryhmät 4.1. Ryhmän palauttaminen yhteen yhtälöön
4 Differentiaaliyhtälöryhmät 41 Ryhmän palauttaminen yhteen yhtälöön 176 Ratkaise differentiaaliyhtälöryhmät a) dt = y +t, b) = y z + sinx x 2 dt = x +t, c) + z = x2 = y + z + cosx + 2y = x a)x = C 1 e
Lisätiedot5 Differentiaaliyhtälöryhmät
5 Differentiaaliyhtälöryhmät 5.1 Taustaa ja teoriaa Differentiaaliyhtälöryhmiä tarvitaan useissa sovelluksissa. Toinen motivaatio yhtälöryhmien käytölle: Korkeamman asteen differentiaaliyhtälöt y (n) =
LisätiedotKompleksiluvun logaritmi: Jos nyt z = re iθ = re iθ e in2π, missä n Z, niin saadaan. ja siihen vaikuttava
Kompleksiluvun logaritmi: ln z = w z = e w Jos nyt z = re iθ = re iθ e inπ, missä n Z, niin saadaan w = ln z = ln r + iθ + inπ, n Z Logaritmi on siis äärettömän moniarvoinen funktio. Helposti nähdään että
Lisätiedot5 DIFFERENTIAALIYHTÄLÖRYHMÄT
5 DIFFERENTIAALIYHTÄLÖRYHMÄT 5. Ensimmäisen kl:n DY-ryhmät Differentiaaliyhtälöryhmiä tarvitaan useissa sovelluksissa. Useimmat voidaan mallintaa ensimmäisen kertaluvun DY-ryhmien avulla. Ensimmäisen kl:n
LisätiedotLuoki?elua: tavallinen vs osi?ais. Osa 11. Differen0aaliyhtälöt. Luoki?elua: kertaluku. Luoki?elua: lineaarisuus 4/13/13
4/3/3 Osa. Differen0aaliyhtälöt Differen0aaliyhtälö = yhtälö jossa esiintyy jonkin funk0on derivaa?a. Esim: dx = x2 f x + f xy 2 2m d 2 ψ = Eψ dx 2 Luoki?elua: tavallinen vs osi?ais Differen0aaliyhtälöt
Lisätiedot2. Viikko. CDH: luvut (s ). Matematiikka on fysiikan kieli ja differentiaaliyhtälöt sen yleisin murre.
2. Viikko Keskeiset asiat ja tavoitteet: 1. Peruskäsitteet: kertaluku, lineaarisuus, homogeenisuus. 2. Separoituvan diff. yhtälön ratkaisu, 3. Lineaarisen 1. kl yhtälön ratkaisu, CDH: luvut 19.1.-19.4.
LisätiedotBM20A0900, Matematiikka KoTiB3
BM20A0900, Matematiikka KoTiB3 Luennot: Matti Alatalo Oppikirja: Kreyszig, E.: Advanced Engineering Mathematics, 8th Edition, John Wiley & Sons, 1999, luvut 1 4. 1 Sisältö Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälöt
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 5. viikolle /
MS-A8 Differentiaali- ja integraalilaskenta, V/7 Differentiaali- ja integraalilaskenta Ratkaisut 5. viikolle / 9..5. Integroimismenetelmät Tehtävä : Laske osittaisintegroinnin avulla a) π x sin(x) dx,
LisätiedotOsoita, että eksponenttifunktio ja logaritmifunktio ovat differentiaaliyhtälön
3. Lineaariset differentiaaliyhtälöt 3.1. Lineaariyhtälöiden teoriaa 99. Onko differentiaaliyhtälö y + x(y y )=y + 1 a) lineaarinen, b) homogeeninen? 100. Olkoot funktiot f (x) ja g(x) jatkuvasti derivoituvia
LisätiedotDifferentiaaliyhtälöt
Differentiaaliyhtälöt Differentiaaliyhtälöksi (lyh. DY) sanotaan yhtälöä, jossa on tuntemattomana jokin funktio y(x) ja jossa esiintyy sen derivaattoja y, y, y, y (4),... Esimerkiksi y + y = x, y y + y
LisätiedotOminaisarvot ja ominaisvektorit 140 / 170
Ominaisarvot ja ominaisvektorit 140 / 170 Seuraavissa luvuissa matriisit ja vektori ajatellaan kompleksisiksi, ts. kertojakuntana oletetaan olevan aina kompleksilukujoukko C Huomaa, että reaalilukujoukko
LisätiedotLineaarinen toisen kertaluvun yhtälö
Lineaarinen toisen kertaluvun yhtälö Keijo Ruotsalainen Mathematics Division Lineaarinen toisen kertaluvun differentiaaliyhtälö Toisen kertaluvun täydellinen lineaarinen yhtälö muotoa p 2 (x)y + p 1 (x)y
LisätiedotDifferentiaaliyhtälöt I Ratkaisuehdotuksia, 2. harjoitus, kevät Etsi seuraavien yhtälöiden yleiset ratkaisut (Tässä = d
Differentiaaliyhtälöt I Ratkaisuehdotuksia,. harjoitus, kevät 016 1. Etsi seuraavien yhtälöiden yleiset ratkaisut (Tässä = d dx ): (a) y + xy = xe x, (b) (1 + x ) y xy = (1 + x ), (c) y sin x y = 1 cos
LisätiedotMatemaattinen Analyysi
Vaasan yliopisto, syksy 2016 / ORMS1010 Matemaattinen Analyysi 8. harjoitus, viikko 49 R1 to 12 14 F453 (8.12.) R2 to 14 16 F345 (8.12.) R3 ke 8 10 F345 (7.11.) 1. Määritä funktion f (x) = 1 Taylorin sarja
LisätiedotToisen ja korkeamman kertaluvun lineaarisista differentiaaliyhtälöistä
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Riikka Sjögren Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaarisista differentiaaliyhtälöistä Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka Toukokuu 2010 Tampereen
Lisätiedot5 OMINAISARVOT JA OMINAISVEKTORIT
5 OMINAISARVOT JA OMINAISVEKTORIT Ominaisarvo-ongelma Käsitellään neliömatriiseja: olkoon A n n-matriisi. Luku on matriisin A ominaisarvo (eigenvalue), jos on olemassa vektori x siten, että Ax = x () Yhtälön
Lisätiedoty = 3x2 y 2 + sin(2x). x = ex y + e y2 y = ex y + 2xye y2
Matematiikan ja tilastotieteen osasto/hy Differentiaaliyhtälöt I Laskuharjoitus 2 mallit Kevät 219 Tehtävä 1. Laske osittaisderivaatat f x = f/x ja f y = f/, kun f = f(x, y) on funktio a) x 2 y 3 + y sin(2x),
LisätiedotMS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 10: Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö
MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 10: Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos
LisätiedotMatemaattinen Analyysi
Vaasan yliopisto, 009-010 / ORMS1010 Matemaattinen Analyysi 8. harjoitus 1. Ratkaise y + y + y = x. Kommentti: Yleinen työlista ratkaistaessa lineaarista, vakiokertoimista toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöä
Lisätiedot3 = Lisäksi z(4, 9) = = 21, joten kysytty lineaarinen approksimaatio on. L(x,y) =
BM20A5810 Differentiaalilaskenta ja sovellukset Harjoitus 6, Syksy 2016 1. (a) Olkoon z = z(x,y) = yx 1/2 + y 1/2. Muodosta z:lle lineaarinen approksimaatio L(x,y) siten että approksimaation ja z:n arvot
LisätiedotEpähomogeenisen yhtälön ratkaisu
Epähomogeenisen yhtälön ratkaisu Lause Olkoot a = a(x), b = b(x) ja f = f(x) jatkuvia funktioita välillä I R ja olkoot y 1 = y 1 (x) ja y 2 = y 2 (x) eräs homogeeniyhtälön y + a(x)y + b(x)y = 0 ratkaisujen
LisätiedotMatemaattiset apuneuvot II, harjoitus 2
Matemaattiset apuneuvot II, harjoitus 2 K. Tuominen 9. marraskuuta 2017 Palauta ratkaisusi Moodlessa.pdf tiedostona maanantaina 13.11. kello 10:15 mennessä. Merkitse vastauspaperiin laskuharjoitusryhmäsi
Lisätiedot2 dy dx 1. x = y2 e x2 2 1 y 2 dy = e x2 xdx. 2 y 1 1. = ex2 2 +C 2 1. y =
BM20A5830 Differentiaaliyhtälöiden peruskurssi Harjoitus 2, Kevät 207 Päivityksiä: Tehtävän 4b tehtävänanto korjattu ja vastauksia lisätty.. Ratkaise y, kun 2y x = y 2 e x2. Jos y () = 0 niin mikä on ratkaisu
Lisätiedot4 KORKEAMMAN KERTALUVUN LINEAARISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT. Kertaluvun n lineaarinen differentiaaliyhtälö ns. standardimuodossa on
4 4 KORKEAAN KERTAUVUN INEAARISET DIFFERENTIAAIYHTÄÖT Kertalukua olevassa differetiaalihtälössä F(x,,,, () ) = 0 esiit :e kertaluvu derivaatta () = d /dx ja mahdollisesti alempia derivaattoja, :tä ja x:ää.
LisätiedotMS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 10: Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö
MS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 10: Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin
LisätiedotEsimerkki 1 Ratkaise differentiaaliyhtälö
Esimerkki 1 Ratkaise differentiaaliyhtälö x 2 y xy =1/x. 1 / K. Tuominen kimmo.i.tuominen@helsinki.fi MApu II 1/20 20 Esimerkki 2 Ratkaise differentiaaliyhtälö x(ln y)y y ln x =0. 2 / K. Tuominen kimmo.i.tuominen@helsinki.fi
Lisätiedot2v 1 = v 2, 2v 1 + 3v 2 = 4v 2.. Vastaavasti ominaisarvoa λ 2 = 4 vastaavat ominaisvektorit toteuttavat. v 2 =
TKK, Matematiikan laitos Pikkarainen/Tikanmäki Mat-1.1320 Matematiikan peruskurssi K2 Harjoitus 12, A=alku-, L=loppuviikko, T= taulutehtävä, P= palautettava tehtävä, W= verkkotehtävä 21. 25.4.2008, viikko
LisätiedotLaplace-muunnos: määritelmä
Laplace-muunnos: määritelmä Olkoon f : [, [ R funktio. Funktion f Laplacen muunnos määritellään yhtälöllä F(s) = L(f) := f(t)e st dt edellyttäen, että integraali f(t)e st dt suppenee. Riittävä ehto integraalin
LisätiedotBM20A5830 Differentiaaliyhtälöiden peruskurssi
BM20A5830 Differentiaaliyhtälöiden peruskurssi Jouni Sampo 30. maaliskuuta 2015 Sisältö 1 Johdanto 2 1.1 Peruskäsitteitä.................................... 2 1.2 Differentiaaliyhtälöiden ratkaisuista.........................
LisätiedotJohdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 5, Ratkaise rekursioyhtälö
Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 5, 14.10.2015 1. Ratkaise rekursioyhtälö x n+4 2x n+2 + x n 16( 1) n, n N, alkuarvoilla x 1 2, x 2 14, x 3 18 ja x 4 42. Ratkaisu. Vastaavan homogeenisen
LisätiedotLineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Harjoitus 4 / Ratkaisut
MS-C34 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt, IV/26 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Harjoitus 4 / t Alkuviikon tuntitehtävä Hahmottele matriisia A ( 2 6 3 vastaava vektorikenttä Matriisia A
LisätiedotInsinöörimatematiikka D, laskuharjoituksien esimerkkiratkaisut
Insinöörimatematiikka D, 06 laskuharjoituksien esimerkkiratkaisut Alla olevat esimerkkiratkaisut ovat melko ksitiskohtaisia Tenttivastauksissa ei leensä tarvitse muistaa lauseiden, määritelmien, esimerkkien
LisätiedotNumeeriset menetelmät TIEA381. Luento 5. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 5 () Numeeriset menetelmät / 28
Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 5 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 5 () Numeeriset menetelmät 3.4.2013 1 / 28 Luennon 5 sisältö Luku 4: Ominaisarvotehtävistä Potenssiinkorotusmenetelmä QR-menetelmä
LisätiedotPisteessä (1,2,0) osittaisderivaatoilla on arvot 4,1 ja 1. Täten f(1, 2, 0) = 4i + j + k. b) Mihin suuntaan pallo lähtee vierimään kohdasta
Laskukarnevaali Matematiikka B. fx, y, z) = x sin z + x y, etsi f,, ) Osittaisderivaatat ovat f f x = sin z + xy, y = x, f z = x cos z Pisteessä,,) osittaisderivaatoilla on arvot 4, ja. Täten f,, ) = 4i
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Differentiaaliyhtälöt, osa 1 Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 20 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista
Lisätiedot, on säännöllinen 2-ulotteinen pinta. Määrää T x0 pisteessä x 0 = (0, 1, 1).
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi II, syksy 017 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotukset 4.1. Osoita, että tasa-arvojoukko S F (0), F : R 3 R, F (x) = 3x 1 x 3 + e x + x e x 3, on säännöllinen
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
Lisätiedot12. Differentiaaliyhtälöt
1. Differentiaaliyhtälöt 1.1 Johdanto Differentiaaliyhtälöitä voidaan käyttää monilla alueilla esimerkiksi tarkasteltaessa jonkin kohteen lämpötilan vaihtelua, eksponentiaalista kasvua, sähkölatauksen
LisätiedotJouni Sampo. 15. huhtikuuta 2013
B3 Jouni Sampo 15. huhtikuuta 2013 Sisältö 1 Johdanto 2 1.1 Peruskäsitteitä.................................... 2 1.2 Differentiaaliyhtälöiden ratkaisuista......................... 2 2 Ensimmäisen kertaluvun
Lisätiedotw + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1.
Kotitehtävät, tammikuu 2011 Vaikeampi sarja 1. Ratkaise yhtälöryhmä w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Ratkaisu. Yhtälöryhmän ratkaisut (w, x, y, z)
LisätiedotMatemaattiset apuneuvot II, harjoitus 3
Matemaattiset apuneuvot II, harjoitus 3 K. Tuominen 16. marraskuuta 2017 Palauta ratkaisusi Moodlessa.pdf tiedostona maanantaina 20.11. kello 10:15 mennessä. Merkitse vastauspaperiin laskuharjoitusryhmäsi
LisätiedotTAVALLISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT
MAT-33500 Differentiaaliyhtälöt Kesä 00 Risto Silvennoinen TAVALLISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT Peruskäsitteitä Yksi tavallisimmista luonnontieteissä ja tekniikassa esiintyvistä matemaattisista malleista on
Lisätiedotja B = 2 1 a) A + B, b) AB, c) BA, d) A 2, e) A T, f) A T B, g) 3A (e) A =
Matematiikan perusteet taloustieteilijöille II Harjoituksia kevät 211 1. Olkoon A = Määrää ( 2 1 ) 3 4 1 ja B = 2 1 6 3 1 a) A + B, b) AB, c) BA, d) A 2, e) A T, f) A T B, g) 3A. 2. Laske seuraavat determinantit
LisätiedotVakiokertoiminen lineaarinen normaaliryhmä
1 MAT-1345 LAAJA MATEMATIIKKA 5 Tampereen teknillinen yliopisto Risto Silvennoinen Kevät 29 Vakiokertoiminen lineaarinen normaaliryhmä Todetaan ensin ilman todistuksia (tulos on syvällinen) ratkaisujen
LisätiedotPeruskäsitteet 1. Mitkä ovat seuraavien funktiota y = y(x) koskevien differentiaaliyhtälöiden kertaluvut? Ovatko yhtälöt normaalimuotoisia?
Peruskäsitteet 1. Mitkä ovat seuraavien funktiota y = y(x) koskevien differentiaaliyhtälöiden kertaluvut? Ovatko yhtälöt normaalimuotoisia? a) xy + 2y sinx + y = e x b) y + sin(x + y) = 0 c) y = xy y y
LisätiedotMatemaattinen Analyysi
Vaasan yliopisto, 009-010 / ORMS1010 Matemaattinen Analyysi 7 harjoitus 1 Määritä seuraavien potenssisarjojen suppenemissäteet a) k k x 5)k b) k=1 k x 5)k = k k 1) k ) 1) Suppenemissäteen R käänteisarvo
Lisätiedot800345A Differentiaaliyhtälöt I. Seppo Heikkilä, Martti Kumpulainen, Janne Oinas
800345A Differentiaaliyhtälöt I Seppo Heikkilä, Martti Kumpulainen, Janne Oinas 2. maaliskuuta 2009 Sisältö 1 Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälöt 2 1.1 Merkintöjä ja nimityksiä...........................
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Differentiaaliyhtälöt. osa 2 Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 1 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista
Lisätiedotja B = 2 1 a) A + B, b) AB, c) BA, d) A 2, e) A T, f) A T B, g) 3A (e)
Matematiikan perusteet taloustieteilijöille II Harjoituksia kevät 214 1. Tutki seuraavia jonoja a) (a n )=(3n 1) ( ) 2 b) (a n )= 3 n ( ) 1 c) (a n )= (n + 1)(n +2) 2. Tutki seuraavia sarjoja a) (3k 1)
LisätiedotYhtälöryhmät 1/6 Sisältö ESITIEDOT: yhtälöt
Yhtälöryhmät 1/6 Sisältö Yhtälöryhmä Yhtälöryhmässä on useita yhtälöitä ja yleensä myös useita tuntemattomia. Tavoitteena on löytää tuntemattomille sellaiset arvot, että kaikki yhtälöt toteutuvat samanaikaisesti.
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D Demonstraatio 7, 6.7... Ratkaise dierentiaalihtälöpari = = Vastaus: DY-pari voidaan esittää muodossa ( = Matriisin ominaisarvot ovat i ja i ja näihin kuuluvat ominaisvektorit (
LisätiedotDifferentiaaliyhtälöt I, kevät 2017 Harjoitus 3
Differentiaaliyhtälöt I, kevät 07 Harjoitus 3 Heikki Korpela. helmikuuta 07 Tehtävä. Ratkaise alkuarvo-ongelmat a) y + 4y e x = 0, y0) = 4 3 b) Vastaus: xy + y = x 3, y) =.. a) Valitaan integroivaksi tekijäksi
Lisätiedota) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. 8 3 + 4 2 0 = 16 3 = 3 1 3.
Integraalilaskenta. a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. b) Mitä määrätty integraali tietyllä välillä x tarkoittaa? Vihje: * Integraali * Määrätyn integraalin
Lisätiedot2 Johdanto Tassa esityksessa funktiot ovat - ellei muuta sanota - yhden tai useamman reaalimuuttujan reaaliarvoisia funktioita. Funktion kasitteen tas
Dierentiaaliyhtalot/217 I. Ensimmaisen kertaluvun DY I.1. Lineaarinen DY I.2. Separoituva DY I.3. Eksakti DY I.4. Muita DY:ita I.5. Ratkaisun olemassaolo II. Toisen kertaluvun lineaarinen DY II.1. Perusjarjestelma
Lisätiedot7. DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT
7. DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT Tavallinen differentiaalihtälö koostuu tuntemattoman hden muuttujan funktion derivaatoista sekä funktiosta riippumattomista termeistä. Esimerkki differentiaalihtälöstä on Newtonin
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
Lisätiedot13. Ratkaisu. Kirjoitetaan tehtävän DY hieman eri muodossa: = 1 + y x + ( y ) 2 (y )
MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Differentiaaliyhtälöt, kesä 00 Tehtävät 3-8 / Ratkaisuehdotuksia (RT).6.00 3. Ratkaisu. Kirjoitetaan tehtävän DY hieman eri muodossa: y = + y + y = + y + ( y ) (y
LisätiedotDYNAAMISET SYSTEEMIT 1998
1. harjoitus, viikko 3 1. Määritä seuraavien differentiaaliyhtälöiden tyyppi (kertaluku, lineaarinen eilineaarinen, jos lineaarinen, niin vakiokertoiminen ei-vakiokertoiminen): a) y + y - x 2 = 0 b) y
Lisätiedot13. Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä
187 13. Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä Yksi tavallisimmista luonnontieteissä ja tekniikassa esiintyvistä matemaattisista malleista on differentiaaliyhtälö. Se on yleisessä muodossaan
LisätiedotMS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1
MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Riikka Korte (Pekka Alestalon kalvojen pohjalta) Aalto-yliopisto 15.11.2016 Sisältö Alkeisfunktiot 1.1 Funktio I Funktio f : A! B on sääntö, joka liittää
LisätiedotH5 Malliratkaisut - Tehtävä 1
H5 Malliratkaisut - Tehtävä Eelis Mielonen 30. syyskuuta 07 a) 3a (ax + b)3/ + C b) a cos(ax + b) + C a) Tässä tehtävässä päästään harjoittelemaan lukiosta tuttua integrointimenetelmää. Ensimmäisessä kohdassa
LisätiedotMS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45
MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus / vko 5 Tehtävä 1 (L): Hahmottele kompleksitasoon ne pisteet, jotka toteuttavat a) z 3 =, b) z + 3 i < 3, c) 1/z >. Yleisesti: ehto z = R, z C muodostaa kompleksitasoon
Lisätiedot12. Hessen matriisi. Ääriarvoteoriaa
179 12. Hessen matriisi. Ääriarvoteoriaa Tarkastelemme tässä luvussa useamman muuttujan (eli vektorimuuttujan) n reaaliarvoisia unktioita : R R. Edellisessä luvussa todettiin, että riittävän säännöllisellä
Lisätiedot(s 2 + 9)(s 2 + 2s + 5) ] + s + 1. s 2 + 2s + 5. Tästä saadaan tehtävälle ratkaisu käänteismuuntamalla takaisin aikatasoon:
TEKNILLINEN KORKEAKOULU Systeemianalyysin laboratorio Mat-2429 Systeemien Identifiointi 2 harjoituksen ratkaisut Yhtälö voitaisiin ratkaista suoraankin, mutta käytetään Laplace-muunnosta tehtävän ratkaisemisessa
Lisätiedotvakiokertoimisen toisen kertaluvun lineaarisen homogeeniyhtälön yleinen muoto on p 2 y +p 1 y +p 0 y = 0. (1)
Toisen kertaluvun yhtälöt Yleinen muoto Φ(x,y,y,y ) =, jossa Φ on neljän muuttujan funktio. Toisen kertaluvun differentiaaliyhtälö on normaalimuotoinen, jos toinen derivaatta y on ratkaistu muuttujan x,
Lisätiedot