DI matematiikan opettajaksi: Täydennyskurssi, kevät 2010 Luentorunkoa ja harjoituksia viikolle 13: ti klo 13:00-15:30 ja to 1.4.

Transkriptio

1 DI matematiikan opettajaksi: Täydennyskurssi, kevät Luentorunkoa ja harjoituksia viikolle 3: ti 33 klo 3:-5:3 ja to 4 klo 9:5-: Käydään läpi differentiaaliyhtälöitä Määritelmä Olkoon A R n n (MatLab:ssa expm) (tai C n n ), määritellään exp(a) k Ak k! Olkoon A, B ja T matriiseja, nyt Jos A TBT, niin exp(a) Texp(B)T Jos AB BA, niin exp(a+b) exp(a)exp(b) exp(b)exp(a) 3 (exp(a)) exp( A) 4 d dt exp(at) Aexp(At) exp(at)a Lause (Homogeenisen differentiaaliyhtälön(/systeemin) ratkaisu) Olkoon A C n n matriisi Alkuarvo-tehtävän x Ax ja x() x ratkaisu on x(t) exp(at)x Lisäksi tämä on tehtävän ainoa ratkaisu (Huom! kaikki seuraavat merkinnät tarkoittavat samaa asiaa x, x (t) ja d dt x(t)) Todistus Olkoon x(t) exp(at)x Nyt x d dt x(t) d dt (exp(at)x ) d dt (exp(at))x Aexp(At)x Ax ja x()exp(a)x x, joten x(t)exp(at)x on ko alkuarvo-tehtävän eräs ratkaisu Oletetaan, että alkuarvo-tehtävällä on olemassa myös toinen ratkaisu y(t) Olkoon z(t) exp( At)y(t), nyt ( ) d d dt z(t) dt exp( At) y(t)+exp( At)y (t) exp( At)( A)y(t)+exp( At)y (t) exp( At)( A)y(t) + exp( At)Ay(t) exp( At)( A+A)y(t), joten z(t) on vakio ja koska z() x niin z(t) x Joten z(t) exp( At)y(t) x y(t) exp(at)x x(t) Siis x(t) exp(at)x on tehtävän ainoa ratkaisu

2 Esimerkki Olkoon A µλ µ+ λ, missä µ λ tällöin (MatLab:lla) >> syms mu lambda t >> A ; -(mu*lambda) (mu+lambda); >> expm(a*t) >> latex(ans) % viimeisellä komennolla matriisi saadaan sellaiseen muotoon, % että LaTeX tekstinkäsittelyohjelma ymmärtää sen saadaan exp(at) λexp(µt) µexp(λt) λ µ µλ(exp(µt) exp(λt)) λ µ Ratkaistaan tämän avulla differentiaaliyhtälön exp(λt) exp(µt) λ µ λexp(λt) µexp(µt) λ µ x (t) (λ+µ)x (t)+λµx(t) () x(t) yleinen ratkaisu Olkoon x(t) x, tällöin (t) x x (t) (t) x x (t) (t) (λ+µ)x x(t) (t) λµx(t) λµ λ+µ x (t) Ax(t), missä A µλ µ+ λ ratkaisu on x(t) c exp(at) c, joten lauseen mukaan differentiaaliyhtälön () yleinen c λexp(µt) µexp(λt) λ µ + c exp(λt) exp(µt) λ µ c λ c λ µ exp(µt)+ c c µ λ µ exp(λt) c c Otetaan käyttöön uudet (mielivaltaiset) parametrit Näin c µ λ c voidaan tehdä koska ko kuvaus on bijektio (ko matriisi on kääntyvä, sillä determinantti on λ µ ) Nyt x(t) c λ c λ µ exp(µt)+ c c µ λ µ exp(λt) ( c + c )λ (µ c + λ c ) λ µ c exp(µt)+ c exp(λt) Joten differentiaaliyhtälön () yleinen ratkaisu on exp(µt)+ (µ c + λ c ) ( c + c )µ exp(λt) λ µ x(t) c exp(µt)+ c exp(λt), missä c ja c ovat mielivaltaisia vakioita (ratkaistaan alku- tai reunaehdoista)

3 Esimerkki Tutkitaan vaimennettua harmonista värähtelijää Värähtelijän paikkaa kuvaa differentiaaliyhtälö x (t)+cx (t)+kx(t), () missä c R (c ) (kakkonen on otettu kertoimeksi ihan mukavuus syistä) on vaimennuskerroin ja k R + on jousen jousivakio Vaimennuskerroin johtuu esim ilmanvastuksesta ja on näin ollen pieni Pieni tarkoittaa tässä sitä, että c < k Olkoon λ c+ c k ja µ c c k, nyt differentiaaliyhtälö () tulee muotoon x (t) (λ+µ)x (t)+λµx(t), (3) joka on siis yhtälön () muotoa Tällöin ko yhtälön yleinen ratkaisu on x(t) c exp(µt)+ c exp(λt) Koska λ / R ja µ / R niin nämä voidaan kirjoittaa muotoon λ c+i k c c+iβ ja µ c i k c c iβ, missä β k c R + Nyt yleinen ratkaisu voidaan kirjoittaa muotoon x(t) c exp(µt)+ c exp(λt) c exp( ct iβt)+ c exp( ct + iβt) c exp( ct)exp( iβt)+ c exp( ct)exp(iβt) c exp( ct)(cos( βt)+isin( βt))+ c exp( ct)(cos(βt)+isin(βt)) ( c + c )exp( ct)cos(βt)+i( c c )exp( ct)sin(βt) Otetaan käyttöön uudet (mielivaltaiset) parametrit c i i c Näin c c voidaan tehdä koska ko kuvaus on bijektio (ko matriisin käänteismatriisi lasketaan tehtävässä 5) Nyt x(t) ( c + c )exp( ct)cos(βt)+i( c c )exp( ct)sin(βt) c exp( ct)cos(βt)+c exp( ct)sin(βt) Joten differentiaaliyhtälön () yleinen ratkaisu on x(t) c exp( ct)cos(βt)+c exp( ct)sin(βt) missä c ja c ovat mielivaltaisia vakioita

4 Lause (Epähomogeenisen differentiaaliyhtälön(/systeemin) ratkaisu) Olkoon A vakiomatriisi ja b(t) jatkuva funktio Epähomogeenisen yhtälön alkuarvo-tehtävän x (t) Ax(t)+b(t) ja x() x ratkaisu on Lisäksi tämä on tehtävän ainoa ratkaisu Z t x(t) exp(at)x + exp(a(t s))b(s)ds Huom! Epähomogeenisen differentiaaliyhtälön yleinen ratkaisu on vastaavan homogeenisen yhtälön yleinen ratkaisu plus epähomogeenisen yhtälön jokin ratkaisu Lause 3 (Ensimmäisen kertaluvun separoituva differentiaaliyhtälö) Ensimmäisen kertaluvun separoituva differentiaaliyhtälö on muotoa x (t) h(t)g(x(t)), jos g(x(t)), niin ratkaisu saadaan muotoon Z x Z (t) g(x(t)) dt Z g(y) dy h(t)dt +C Esimerkki 3 Ratkaistaan alkuarvo-tehtävä x t x ja x() x Kyseessä on separoituva differentiaaliyhtälö, jossa h(t) t ja g(x) x Seuraavassa eräs muistisääntö johtaa ratkaisukaava (oletetaan, että g(x) ) dx dt t x Z x dx t dt x dx Z t dt +C x 3 t3 +C x(t) 3 t3 +C, lisäksi mikäli g(x(t )) jollakin ajanhetkellä t niin x(t )niin silloin myös x (t ) joten x(t) kaikilla ajan hetkillä t Tätä kutsutaan ko yhtälön erikoisratkaisuksi Nyt alkuarvo-tehtävän ratkaisu on x(t), x 3 t3 kun x < ja t, kun x ja t, 3 t3 x kun x > ja t < 3 3x x(t) 3 4 t - -

5 Tehtäviä µ Olkoon A µ 4 6 Esitä matriisi A 6 3 Laske tämän avulla exp(a), laske exp(a) muodossa A T BT, missä B on diagonaalimatriisi 3 Radioaktiivisen aineen hajoamisnopeus on suoraan verrannollinen radioaktiivisuuden määrään x(t) eli x (t) kx(t), missä k on vakio Oletetaan, että radioaktiivisen aineen määrä on vähentynyt % ensimmäisten vuoden aikana Mikä on ko aineen puoliintumisaika? (milloin aineen määrä on vähentynyt puoleen alkuperäisestä) 4 * Olkoon A α, todista että exp(at) sin(αt) cos(αt) α α sin(αt) cos(αt) 5 Olkoon λ a+ a 4b ja µ a a 4b Mihin muotoon tällöin yhtälö () muuttuu? Ratkaise tämän avulla differentiaaliyhtälön x (t)+5x (t)+4x(t), yleinen ratkaisu 6 Laske matriisin i i käänteismatriisi Vihje: i i 7 Tiedetään: >> syms t mu >> A ;-mu^ *mu; >> latex(expm(a*t)) missä A yleinen ratkaisu µ µ exp(at) e tµ tµe tµ te tµ tµ e tµ e tµ +tµe tµ Ratkaise tämän avulla differentiaaliyhtälön x (t) µx (t)+µ x(t), 8 Tutkitaan vaimennetun värähtelijää, jolla c 5 ja k, olkoon annetut alkuarvot x() h ja x () Ratkaise vaimennetun värähtelijän paikka ajan funktiona 9 Ratkaise alkuarvo-tehtävä x (t) exp( t)(x(t)+) ja x() x,

6 µ Ratkaisu tehtävään : Koska A k k µ k exp(a) k µ k k! k µ k k!, missä k N, niin exp(µ ) exp(µ ) 4 6 Ratkaisu tehtävään : Matriisi A on symmetrinen reaalimatriisi, 6 3 joten se on ortogonaalisesti diagonalisoituva (Lause 45, s 44 Lama ) Lasketaan ensimmäiseksi matriisin ominaisarvot (lasketaan polynomin det(a λi) nollakohdat) ( ) 4 λ 6 det(a λi) det (4 λ)(3 λ) λ λ 7λ+6 (λ 7 ) λ 7 ± 5 λ tai λ 6, lasketaan näitä ominaisarvoja vastaavat ominaisvektorit ( ) ( ) ( ) 3 6 N (A I) N N span 5 6 ( ) ( ) 6 N (A 6 I) N N span( ) Olkoon T 5 T 5 T T T Ominaisarvohajotelman mukaan 4 6 A missä B 6, joten 6 exp(a) Texp(B)T exp() T exp() exp(6) 5 exp() exp(6) 4exp()+exp(6) 5 exp()+exp(6) 5 exp(6) T TBT, exp()+exp(6) exp()+4exp(6)

7 Ratkaisu tehtävään 3: Olkoon ainetta aluksi x verran Tällöin lauseen mukaan aineen määrä ajanhetkellä t on x(t) exp(kt)x Tiedetään, että x() exp(k)x 9 x joten k yhtälö x(t) x exp(kt)x x kt ln ln( 9 ( ) t ln ( ) ln 9 ) Ratkaistaan ( ) 658, joten kysytty puoliintumisaika on noin 658 vuotta Ratkaisu tehtävään 4: Lasketaan aluksi mitä on A k, kun k N A, A α, A α α, A 3 α α 4, A 4 α 4 α 4, A 5 α 4 α 6, A 6 α 6 α 6, A 7 α 6 α 8, A 8 α 8 α 8, A 9 α 8 α, A α α, A α α, Tästä voidaan päätellä yleinen muoto { A k ( ) k α k I, kun k on parillinen ( ) k α k A, kun k on pariton Asian voi todistaa induktiolla, alku-askel on selvä yllä olevien laskujen nojalla, lisäksi kun huomataan että A α I niin sen avulla voi tehdä induktio-askeleen erikseen parillisille ja parittomille k:n arvoille (jätetään lukijalle) Yllä olevan perusteella ja määritelmän mukaan saadaan exp(at) ( ) k α k t k k k ( ) k! k ( ) k α k ( α )t k k! k ( ) n (αt) n n (n)! α ( ) n (αt) n+ n (n+)! n cos(αt) α sin(αt) α sin(αt) cos(αt) k α k t k k! ( ) k α k t k k! α ( ) n (αt) n+ n (n+)! ( ) n (αt) n (n)! Sinin ja kosinin sarjakehitelmät on annettu esim Lama prujun "sivulla"49 Ratkaisu tehtävään 5: Olkoon λ a+ a 4b ja µ a a 4b Nyt (λ+µ) a ja λµ b, joten yhtälö () muuttuu muotoon x (t)+ax (t)+b Ratkaise tämän avulla differentiaaliyhtälön x (t)+5x (t)+4x(t), yleinen ratkaisu Nyt λ a+ a 4b µ a a 4b ja 4

8 Joten esimerkin mukaan yleinen ratkaisu on x(t) c exp( 4t)+c exp( t), missä c ja c ovat mielivaltaisia vakioita MatLab:ssa tehtävän voi ratkaista seuraavasti: >> syms x >> dsolve( Dx+5*Dx+4*x ) ans C*exp(-t)+C*exp(-4*t) Ratkaisu tehtävään 6: Koska i R ( i) i i i R ( ) R () i i, i i R (i) i i i joten i i i i Ratkaisu tehtävään 7: Tiedetään: e tµ tµe tµ te tµ missä A µ µ exp(at) yleinen ratkaisu Olkoon x(t) x (t) x (t) x (t) x (t) Ax(t), tµ e tµ e tµ +tµe tµ Ratkaistaan tämän avulla differentiaaliyhtälön x (t) µx (t)+µ x(t), x(t) x (t), tällöin x (t) µx (t) µ x(t), µ x(t) µ joten lauseen mukaan differentiaaliyhtälön () yleinen ratkaisu on x(t) c exp(at) c c (exp(tµ) tµexp(tµ))+c t exp(tµ) c exp(tµ)+( c µ+ c )t exp(tµ)

9 c c Otetaan käyttöön uudet (mielivaltaiset) parametrit c µ c Näin voidaan tehdä koska ko kuvaus on bijektio (ko matriisi on kääntyvä, sillä determinantti on ) Joten differentiaaliyhtälön yleinen ratkaisu on x(t) c exp(tµ)+ c t exp(tµ), missä c ja c ovat mielivaltaisia vakioita Vertaa ratkaisua lisälukemistoon sivuun 7 kohtaan Ratkaisu tehtävään 8: Vaimennetun värähtelijän yleinen ratkaisu on muotoa x(t) c exp( ct)cos(βt)+c exp( ct)sin(βt) x (t) cc exp( ct)cos(βt) βc exp( ct)sin(βt) x() c h cc exp( ct)sin(βt)+βc exp( ct)cos(βt) x () cc + βc c ch k c Joten vaimennetun värähtelijän paikka ajan funktiona on x(t) hexp( ct)cos(βt)+ missä β k c 5 ja c 5 ch k c exp( ct)sin(βt), Ratkaisu tehtävään 9: Ratkaistaan alkuarvo-tehtävä x (t) exp( t)(x(t)+) ja x() x Kyseessä on separoituva differentiaaliyhtälö, jossa h(t) exp( t) ja g(x) (x+) (oletetaan, että g(x) ) dx dt exp( t)(x+) dx exp( t)dt (x+) Z Z (x+) dx exp( t) dt +C x+ exp( t)+c x(t) exp( t) C x(t) exp( t)+c exp( t) C lisäksi mikäli g(x(t )) jollakin ajanhetkellä t niin x(t ) niin silloin myös x (t ) joten x(t) kaikilla ajan hetkillä t Nyt alkuarvo-tehtävän ratkaisu on exp( t)+ x, kun x < ja t +x, kun x ja t x(t) exp( t)+ x, kun < x ja t +x ( ) exp( t)+ x, kun < x ja t < ln x + x +x