DI matematiikan opettajaksi: Täydennyskurssi, kevät 2010 Luentorunkoa ja harjoituksia viikolle 13: ti klo 13:00-15:30 ja to 1.4.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "DI matematiikan opettajaksi: Täydennyskurssi, kevät 2010 Luentorunkoa ja harjoituksia viikolle 13: ti klo 13:00-15:30 ja to 1.4."

Transkriptio

1 DI matematiikan opettajaksi: Täydennyskurssi, kevät Luentorunkoa ja harjoituksia viikolle 3: ti 33 klo 3:-5:3 ja to 4 klo 9:5-: Käydään läpi differentiaaliyhtälöitä Määritelmä Olkoon A R n n (MatLab:ssa expm) (tai C n n ), määritellään exp(a) k Ak k! Olkoon A, B ja T matriiseja, nyt Jos A TBT, niin exp(a) Texp(B)T Jos AB BA, niin exp(a+b) exp(a)exp(b) exp(b)exp(a) 3 (exp(a)) exp( A) 4 d dt exp(at) Aexp(At) exp(at)a Lause (Homogeenisen differentiaaliyhtälön(/systeemin) ratkaisu) Olkoon A C n n matriisi Alkuarvo-tehtävän x Ax ja x() x ratkaisu on x(t) exp(at)x Lisäksi tämä on tehtävän ainoa ratkaisu (Huom! kaikki seuraavat merkinnät tarkoittavat samaa asiaa x, x (t) ja d dt x(t)) Todistus Olkoon x(t) exp(at)x Nyt x d dt x(t) d dt (exp(at)x ) d dt (exp(at))x Aexp(At)x Ax ja x()exp(a)x x, joten x(t)exp(at)x on ko alkuarvo-tehtävän eräs ratkaisu Oletetaan, että alkuarvo-tehtävällä on olemassa myös toinen ratkaisu y(t) Olkoon z(t) exp( At)y(t), nyt ( ) d d dt z(t) dt exp( At) y(t)+exp( At)y (t) exp( At)( A)y(t)+exp( At)y (t) exp( At)( A)y(t) + exp( At)Ay(t) exp( At)( A+A)y(t), joten z(t) on vakio ja koska z() x niin z(t) x Joten z(t) exp( At)y(t) x y(t) exp(at)x x(t) Siis x(t) exp(at)x on tehtävän ainoa ratkaisu

2 Esimerkki Olkoon A µλ µ+ λ, missä µ λ tällöin (MatLab:lla) >> syms mu lambda t >> A ; -(mu*lambda) (mu+lambda); >> expm(a*t) >> latex(ans) % viimeisellä komennolla matriisi saadaan sellaiseen muotoon, % että LaTeX tekstinkäsittelyohjelma ymmärtää sen saadaan exp(at) λexp(µt) µexp(λt) λ µ µλ(exp(µt) exp(λt)) λ µ Ratkaistaan tämän avulla differentiaaliyhtälön exp(λt) exp(µt) λ µ λexp(λt) µexp(µt) λ µ x (t) (λ+µ)x (t)+λµx(t) () x(t) yleinen ratkaisu Olkoon x(t) x, tällöin (t) x x (t) (t) x x (t) (t) (λ+µ)x x(t) (t) λµx(t) λµ λ+µ x (t) Ax(t), missä A µλ µ+ λ ratkaisu on x(t) c exp(at) c, joten lauseen mukaan differentiaaliyhtälön () yleinen c λexp(µt) µexp(λt) λ µ + c exp(λt) exp(µt) λ µ c λ c λ µ exp(µt)+ c c µ λ µ exp(λt) c c Otetaan käyttöön uudet (mielivaltaiset) parametrit Näin c µ λ c voidaan tehdä koska ko kuvaus on bijektio (ko matriisi on kääntyvä, sillä determinantti on λ µ ) Nyt x(t) c λ c λ µ exp(µt)+ c c µ λ µ exp(λt) ( c + c )λ (µ c + λ c ) λ µ c exp(µt)+ c exp(λt) Joten differentiaaliyhtälön () yleinen ratkaisu on exp(µt)+ (µ c + λ c ) ( c + c )µ exp(λt) λ µ x(t) c exp(µt)+ c exp(λt), missä c ja c ovat mielivaltaisia vakioita (ratkaistaan alku- tai reunaehdoista)

3 Esimerkki Tutkitaan vaimennettua harmonista värähtelijää Värähtelijän paikkaa kuvaa differentiaaliyhtälö x (t)+cx (t)+kx(t), () missä c R (c ) (kakkonen on otettu kertoimeksi ihan mukavuus syistä) on vaimennuskerroin ja k R + on jousen jousivakio Vaimennuskerroin johtuu esim ilmanvastuksesta ja on näin ollen pieni Pieni tarkoittaa tässä sitä, että c < k Olkoon λ c+ c k ja µ c c k, nyt differentiaaliyhtälö () tulee muotoon x (t) (λ+µ)x (t)+λµx(t), (3) joka on siis yhtälön () muotoa Tällöin ko yhtälön yleinen ratkaisu on x(t) c exp(µt)+ c exp(λt) Koska λ / R ja µ / R niin nämä voidaan kirjoittaa muotoon λ c+i k c c+iβ ja µ c i k c c iβ, missä β k c R + Nyt yleinen ratkaisu voidaan kirjoittaa muotoon x(t) c exp(µt)+ c exp(λt) c exp( ct iβt)+ c exp( ct + iβt) c exp( ct)exp( iβt)+ c exp( ct)exp(iβt) c exp( ct)(cos( βt)+isin( βt))+ c exp( ct)(cos(βt)+isin(βt)) ( c + c )exp( ct)cos(βt)+i( c c )exp( ct)sin(βt) Otetaan käyttöön uudet (mielivaltaiset) parametrit c i i c Näin c c voidaan tehdä koska ko kuvaus on bijektio (ko matriisin käänteismatriisi lasketaan tehtävässä 5) Nyt x(t) ( c + c )exp( ct)cos(βt)+i( c c )exp( ct)sin(βt) c exp( ct)cos(βt)+c exp( ct)sin(βt) Joten differentiaaliyhtälön () yleinen ratkaisu on x(t) c exp( ct)cos(βt)+c exp( ct)sin(βt) missä c ja c ovat mielivaltaisia vakioita

4 Lause (Epähomogeenisen differentiaaliyhtälön(/systeemin) ratkaisu) Olkoon A vakiomatriisi ja b(t) jatkuva funktio Epähomogeenisen yhtälön alkuarvo-tehtävän x (t) Ax(t)+b(t) ja x() x ratkaisu on Lisäksi tämä on tehtävän ainoa ratkaisu Z t x(t) exp(at)x + exp(a(t s))b(s)ds Huom! Epähomogeenisen differentiaaliyhtälön yleinen ratkaisu on vastaavan homogeenisen yhtälön yleinen ratkaisu plus epähomogeenisen yhtälön jokin ratkaisu Lause 3 (Ensimmäisen kertaluvun separoituva differentiaaliyhtälö) Ensimmäisen kertaluvun separoituva differentiaaliyhtälö on muotoa x (t) h(t)g(x(t)), jos g(x(t)), niin ratkaisu saadaan muotoon Z x Z (t) g(x(t)) dt Z g(y) dy h(t)dt +C Esimerkki 3 Ratkaistaan alkuarvo-tehtävä x t x ja x() x Kyseessä on separoituva differentiaaliyhtälö, jossa h(t) t ja g(x) x Seuraavassa eräs muistisääntö johtaa ratkaisukaava (oletetaan, että g(x) ) dx dt t x Z x dx t dt x dx Z t dt +C x 3 t3 +C x(t) 3 t3 +C, lisäksi mikäli g(x(t )) jollakin ajanhetkellä t niin x(t )niin silloin myös x (t ) joten x(t) kaikilla ajan hetkillä t Tätä kutsutaan ko yhtälön erikoisratkaisuksi Nyt alkuarvo-tehtävän ratkaisu on x(t), x 3 t3 kun x < ja t, kun x ja t, 3 t3 x kun x > ja t < 3 3x x(t) 3 4 t - -

5 Tehtäviä µ Olkoon A µ 4 6 Esitä matriisi A 6 3 Laske tämän avulla exp(a), laske exp(a) muodossa A T BT, missä B on diagonaalimatriisi 3 Radioaktiivisen aineen hajoamisnopeus on suoraan verrannollinen radioaktiivisuuden määrään x(t) eli x (t) kx(t), missä k on vakio Oletetaan, että radioaktiivisen aineen määrä on vähentynyt % ensimmäisten vuoden aikana Mikä on ko aineen puoliintumisaika? (milloin aineen määrä on vähentynyt puoleen alkuperäisestä) 4 * Olkoon A α, todista että exp(at) sin(αt) cos(αt) α α sin(αt) cos(αt) 5 Olkoon λ a+ a 4b ja µ a a 4b Mihin muotoon tällöin yhtälö () muuttuu? Ratkaise tämän avulla differentiaaliyhtälön x (t)+5x (t)+4x(t), yleinen ratkaisu 6 Laske matriisin i i käänteismatriisi Vihje: i i 7 Tiedetään: >> syms t mu >> A ;-mu^ *mu; >> latex(expm(a*t)) missä A yleinen ratkaisu µ µ exp(at) e tµ tµe tµ te tµ tµ e tµ e tµ +tµe tµ Ratkaise tämän avulla differentiaaliyhtälön x (t) µx (t)+µ x(t), 8 Tutkitaan vaimennetun värähtelijää, jolla c 5 ja k, olkoon annetut alkuarvot x() h ja x () Ratkaise vaimennetun värähtelijän paikka ajan funktiona 9 Ratkaise alkuarvo-tehtävä x (t) exp( t)(x(t)+) ja x() x,

6 µ Ratkaisu tehtävään : Koska A k k µ k exp(a) k µ k k! k µ k k!, missä k N, niin exp(µ ) exp(µ ) 4 6 Ratkaisu tehtävään : Matriisi A on symmetrinen reaalimatriisi, 6 3 joten se on ortogonaalisesti diagonalisoituva (Lause 45, s 44 Lama ) Lasketaan ensimmäiseksi matriisin ominaisarvot (lasketaan polynomin det(a λi) nollakohdat) ( ) 4 λ 6 det(a λi) det (4 λ)(3 λ) λ λ 7λ+6 (λ 7 ) λ 7 ± 5 λ tai λ 6, lasketaan näitä ominaisarvoja vastaavat ominaisvektorit ( ) ( ) ( ) 3 6 N (A I) N N span 5 6 ( ) ( ) 6 N (A 6 I) N N span( ) Olkoon T 5 T 5 T T T Ominaisarvohajotelman mukaan 4 6 A missä B 6, joten 6 exp(a) Texp(B)T exp() T exp() exp(6) 5 exp() exp(6) 4exp()+exp(6) 5 exp()+exp(6) 5 exp(6) T TBT, exp()+exp(6) exp()+4exp(6)

7 Ratkaisu tehtävään 3: Olkoon ainetta aluksi x verran Tällöin lauseen mukaan aineen määrä ajanhetkellä t on x(t) exp(kt)x Tiedetään, että x() exp(k)x 9 x joten k yhtälö x(t) x exp(kt)x x kt ln ln( 9 ( ) t ln ( ) ln 9 ) Ratkaistaan ( ) 658, joten kysytty puoliintumisaika on noin 658 vuotta Ratkaisu tehtävään 4: Lasketaan aluksi mitä on A k, kun k N A, A α, A α α, A 3 α α 4, A 4 α 4 α 4, A 5 α 4 α 6, A 6 α 6 α 6, A 7 α 6 α 8, A 8 α 8 α 8, A 9 α 8 α, A α α, A α α, Tästä voidaan päätellä yleinen muoto { A k ( ) k α k I, kun k on parillinen ( ) k α k A, kun k on pariton Asian voi todistaa induktiolla, alku-askel on selvä yllä olevien laskujen nojalla, lisäksi kun huomataan että A α I niin sen avulla voi tehdä induktio-askeleen erikseen parillisille ja parittomille k:n arvoille (jätetään lukijalle) Yllä olevan perusteella ja määritelmän mukaan saadaan exp(at) ( ) k α k t k k k ( ) k! k ( ) k α k ( α )t k k! k ( ) n (αt) n n (n)! α ( ) n (αt) n+ n (n+)! n cos(αt) α sin(αt) α sin(αt) cos(αt) k α k t k k! ( ) k α k t k k! α ( ) n (αt) n+ n (n+)! ( ) n (αt) n (n)! Sinin ja kosinin sarjakehitelmät on annettu esim Lama prujun "sivulla"49 Ratkaisu tehtävään 5: Olkoon λ a+ a 4b ja µ a a 4b Nyt (λ+µ) a ja λµ b, joten yhtälö () muuttuu muotoon x (t)+ax (t)+b Ratkaise tämän avulla differentiaaliyhtälön x (t)+5x (t)+4x(t), yleinen ratkaisu Nyt λ a+ a 4b µ a a 4b ja 4

8 Joten esimerkin mukaan yleinen ratkaisu on x(t) c exp( 4t)+c exp( t), missä c ja c ovat mielivaltaisia vakioita MatLab:ssa tehtävän voi ratkaista seuraavasti: >> syms x >> dsolve( Dx+5*Dx+4*x ) ans C*exp(-t)+C*exp(-4*t) Ratkaisu tehtävään 6: Koska i R ( i) i i i R ( ) R () i i, i i R (i) i i i joten i i i i Ratkaisu tehtävään 7: Tiedetään: e tµ tµe tµ te tµ missä A µ µ exp(at) yleinen ratkaisu Olkoon x(t) x (t) x (t) x (t) x (t) Ax(t), tµ e tµ e tµ +tµe tµ Ratkaistaan tämän avulla differentiaaliyhtälön x (t) µx (t)+µ x(t), x(t) x (t), tällöin x (t) µx (t) µ x(t), µ x(t) µ joten lauseen mukaan differentiaaliyhtälön () yleinen ratkaisu on x(t) c exp(at) c c (exp(tµ) tµexp(tµ))+c t exp(tµ) c exp(tµ)+( c µ+ c )t exp(tµ)

9 c c Otetaan käyttöön uudet (mielivaltaiset) parametrit c µ c Näin voidaan tehdä koska ko kuvaus on bijektio (ko matriisi on kääntyvä, sillä determinantti on ) Joten differentiaaliyhtälön yleinen ratkaisu on x(t) c exp(tµ)+ c t exp(tµ), missä c ja c ovat mielivaltaisia vakioita Vertaa ratkaisua lisälukemistoon sivuun 7 kohtaan Ratkaisu tehtävään 8: Vaimennetun värähtelijän yleinen ratkaisu on muotoa x(t) c exp( ct)cos(βt)+c exp( ct)sin(βt) x (t) cc exp( ct)cos(βt) βc exp( ct)sin(βt) x() c h cc exp( ct)sin(βt)+βc exp( ct)cos(βt) x () cc + βc c ch k c Joten vaimennetun värähtelijän paikka ajan funktiona on x(t) hexp( ct)cos(βt)+ missä β k c 5 ja c 5 ch k c exp( ct)sin(βt), Ratkaisu tehtävään 9: Ratkaistaan alkuarvo-tehtävä x (t) exp( t)(x(t)+) ja x() x Kyseessä on separoituva differentiaaliyhtälö, jossa h(t) exp( t) ja g(x) (x+) (oletetaan, että g(x) ) dx dt exp( t)(x+) dx exp( t)dt (x+) Z Z (x+) dx exp( t) dt +C x+ exp( t)+c x(t) exp( t) C x(t) exp( t)+c exp( t) C lisäksi mikäli g(x(t )) jollakin ajanhetkellä t niin x(t ) niin silloin myös x (t ) joten x(t) kaikilla ajan hetkillä t Nyt alkuarvo-tehtävän ratkaisu on exp( t)+ x, kun x < ja t +x, kun x ja t x(t) exp( t)+ x, kun < x ja t +x ( ) exp( t)+ x, kun < x ja t < ln x + x +x

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Differentiaaliyhtälöt, osa 1 Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 20 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

Ominaisarvoon 4 liittyvät ominaisvektorit ovat yhtälön Ax = 4x eli yhtälöryhmän x 1 + 2x 2 + x 3 = 4x 1 3x 2 + x 3 = 4x 2 5x 2 x 3 = 4x 3.

Ominaisarvoon 4 liittyvät ominaisvektorit ovat yhtälön Ax = 4x eli yhtälöryhmän x 1 + 2x 2 + x 3 = 4x 1 3x 2 + x 3 = 4x 2 5x 2 x 3 = 4x 3. Matematiikan ja tilastotieteen laitos Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II Ylimääräinen harjoitus 6 Ratkaisut A:n karakteristinen funktio p A on λ p A (λ) det(a λi ) 0 λ ( λ) 0 5 λ λ 5 λ ( λ) (( λ) (

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

Ominaisarvo ja ominaisvektori

Ominaisarvo ja ominaisvektori Määritelmä Ominaisarvo ja ominaisvektori Oletetaan, että A on n n -neliömatriisi. Reaaliluku λ on matriisin ominaisarvo, jos on olemassa sellainen vektori v R n, että v 0 ja A v = λ v. Vektoria v, joka

Lisätiedot

5 Differentiaaliyhtälöryhmät

5 Differentiaaliyhtälöryhmät 5 Differentiaaliyhtälöryhmät 5.1 Taustaa ja teoriaa Differentiaaliyhtälöryhmiä tarvitaan useissa sovelluksissa. Toinen motivaatio yhtälöryhmien käytölle: Korkeamman asteen differentiaaliyhtälöt y (n) =

Lisätiedot

Similaarisuus. Määritelmä. Huom.

Similaarisuus. Määritelmä. Huom. Similaarisuus Määritelmä Neliömatriisi A M n n on similaarinen neliömatriisin B M n n kanssa, jos on olemassa kääntyvä matriisi P M n n, jolle pätee Tällöin merkitään A B. Huom. Havaitaan, että P 1 AP

Lisätiedot

Ominaisarvo ja ominaisvektori

Ominaisarvo ja ominaisvektori Ominaisarvo ja ominaisvektori Määritelmä Oletetaan, että A on n n -neliömatriisi. Reaaliluku λ on matriisin ominaisarvo, jos on olemassa sellainen vektori v R n, että v 0 ja A v = λ v. Vektoria v, joka

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Harjoitus 4 / Ratkaisut

Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Harjoitus 4 / Ratkaisut MS-C34 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt, IV/26 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Harjoitus 4 / t Alkuviikon tuntitehtävä Hahmottele matriisia A ( 2 6 3 vastaava vektorikenttä Matriisia A

Lisätiedot

4. Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä

4. Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä 1 Laaja matematiikka 5 Kevät 010 4. Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä Yksi tavallisimmista luonnontieteissä ja tekniikassa esiintyvistä matemaattisista malleista on differentiaaliyhtälö.

Lisätiedot

Mat Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros 1

Mat Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros 1 Mat-214 Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros 1 1 a) Sekoitussäiliöön A virtaa puhdasta vettä virtauksella v A, säiliöstä A säiliöön B täysin sekoittunutta liuosta virtauksella v AB ja säiliöstä

Lisätiedot

Matriisiteoria Harjoitus 1, kevät Olkoon. cos α sin α A(α) = . sin α cos α. Osoita, että A(α + β) = A(α)A(β). Mikä matriisi A(α)A( α) on?

Matriisiteoria Harjoitus 1, kevät Olkoon. cos α sin α A(α) = . sin α cos α. Osoita, että A(α + β) = A(α)A(β). Mikä matriisi A(α)A( α) on? Harjoitus 1, kevät 007 1. Olkoon [ ] cos α sin α A(α) =. sin α cos α Osoita, että A(α + β) = A(α)A(β). Mikä matriisi A(α)A( α) on?. Olkoon a x y A = 0 b z, 0 0 c missä a, b, c 0. Määrää käänteismatriisi

Lisätiedot

Matriisialgebra harjoitukset, syksy 2016

Matriisialgebra harjoitukset, syksy 2016 Matriisialgebra harjoitukset, syksy 6 MATRIISIALGEBRA, s. 6, Ratkaisuja/ M.Hamina & M. Peltola 8. Olkoon 4 A 6. 4 Tutki, onko A diagonalisoituva. Jos on, niin määrää matriisi D T AT ja siihen liittyvä

Lisätiedot

Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä

Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä 1 MAT-1345 LAAJA MATEMATIIKKA 5 Tampereen teknillinen yliopisto Risto Silvennoinen Kevät 9 Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä Yksi tavallisimmista luonnontieteissä ja tekniikassa

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

Esimerkki 4.4. Esimerkki jatkoa. Määrää matriisin ominaisarvot ja -vektorit. Ratk. Nyt

Esimerkki 4.4. Esimerkki jatkoa. Määrää matriisin ominaisarvot ja -vektorit. Ratk. Nyt Esimerkki 4.4. Määrää matriisin 2 2 1 A = 1 3 1 2 4 3 ominaisarvot ja -vektorit. Ratk. Nyt det(a λi ) = 1 + 2 λ 2 1 + 1 λ 1 λ 1 3 λ 1 = 1 3 λ 1 2 4 3 λ 2 4 3 λ 1 λ = 1 4 λ 1 = (1 λ)( 1)1+1 4 λ 1 2 6 3

Lisätiedot

Osoita, että täsmälleen yksi vektoriavaruuden ehto ei ole voimassa.

Osoita, että täsmälleen yksi vektoriavaruuden ehto ei ole voimassa. LINEAARIALGEBRA Harjoituksia 2016 1. Olkoon V = R 2 varustettuna tavallisella yhteenlaskulla. Määritellään reaaliluvulla kertominen seuraavasti: λ (x 1, x 2 ) = (λx 1, 0) (x 1, x 2 ) R 2 ja λ R. Osoita,

Lisätiedot

Esimerkki 1 Ratkaise differentiaaliyhtälö

Esimerkki 1 Ratkaise differentiaaliyhtälö Esimerkki 1 Ratkaise differentiaaliyhtälö x 2 y xy =1/x. 1 / K. Tuominen kimmo.i.tuominen@helsinki.fi MApu II 1/20 20 Esimerkki 2 Ratkaise differentiaaliyhtälö x(ln y)y y ln x =0. 2 / K. Tuominen kimmo.i.tuominen@helsinki.fi

Lisätiedot

v AB q(t) = q(t) v AB p(t) v B V B ṗ(t) = q(t) v AB Φ(t, τ) = e A(t τ). e A = I + A + A2 2! + A3 = exp(a D (t τ)) (I + A N (t τ)), A N = =

v AB q(t) = q(t) v AB p(t) v B V B ṗ(t) = q(t) v AB Φ(t, τ) = e A(t τ). e A = I + A + A2 2! + A3 = exp(a D (t τ)) (I + A N (t τ)), A N = = Mat-214 Dynaaminen optimointi Mitri Kitti Mallivastaukset kierros 1 1 a) Sekoitussäiliöön A virtaa puhdasta vettä virtauksella v A säiliöstä A säiliöön B täysin sekoittunutta liuosta virtauksella v AB

Lisätiedot

MS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 11: Lineaarinen differentiaaliyhtälö

MS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 11: Lineaarinen differentiaaliyhtälö MS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 11: Lineaarinen differentiaaliyhtälö Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos

Lisätiedot

y (0) = 0 y h (x) = C 1 e 2x +C 2 e x e10x e 3 e8x dx + e x 1 3 e9x dx = e 2x 1 3 e8x 1 8 = 1 24 e10x 1 27 e10x = e 10x e10x

y (0) = 0 y h (x) = C 1 e 2x +C 2 e x e10x e 3 e8x dx + e x 1 3 e9x dx = e 2x 1 3 e8x 1 8 = 1 24 e10x 1 27 e10x = e 10x e10x BM0A5830 Differentiaaliyhtälöiden peruskurssi Harjoitus 4, Kevät 017 Päivityksiä: 1. Ratkaise differentiaaliyhtälöt 3y + 4y = 0 ja 3y + 4y = e x.. Ratkaise DY (a) 3y 9y + 6y = e 10x (b) Mikä on edellisen

Lisätiedot

Ortogonaalisen kannan etsiminen

Ortogonaalisen kannan etsiminen Ortogonaalisen kannan etsiminen Lause 94 (Gramin-Schmidtin menetelmä) Oletetaan, että B = ( v 1,..., v n ) on sisätuloavaruuden V kanta. Merkitään V k = span( v 1,..., v k ) ja w 1 = v 1 w 2 = v 2 v 2,

Lisätiedot

1 Di erentiaaliyhtälöt

1 Di erentiaaliyhtälöt Taloustieteen mat.menetelmät syksy 2017 materiaali II-5 1 Di erentiaaliyhtälöt 1.1 Skalaariyhtälöt Määritelmä: ensimmäisen kertaluvun di erentiaaliyhtälö on muotoa _y = F (y; t) oleva yhtälö, missä _y

Lisätiedot

Matematiikka B3 - Avoin yliopisto

Matematiikka B3 - Avoin yliopisto 2. heinäkuuta 2009 Opetusjärjestelyt Luennot 9:15-11:30 Harjoitukset 12:30-15:00 Tentti Lisäharjoitustehtävä Kurssin sisältö (1/2) 1. asteen Differentiaali yhtälöt (1.DY) Separoituva Ratkaisukaava Bernoyulli

Lisätiedot

Matematiikka B2 - Avoin yliopisto

Matematiikka B2 - Avoin yliopisto 6. elokuuta 2012 Opetusjärjestelyt Luennot 9:15-11:30 Harjoitukset 12:30-15:00 Tentti Kurssin sisältö (1/2) Matriisit Laskutoimitukset Lineaariset yhtälöryhmät Gaussin eliminointi Lineaarinen riippumattomuus

Lisätiedot

Harjoitus Etsi seuraavien autonomisten yhtälöiden kriittiset pisteet ja tutki niiden stabiliteettia:

Harjoitus Etsi seuraavien autonomisten yhtälöiden kriittiset pisteet ja tutki niiden stabiliteettia: Differentiaaliyhtälöt, Kesä 216 Harjoitus 2 1. Etsi seuraavien autonomisten yhtälöiden kriittiset pisteet ja tutki niiden stabiliteettia: (a) y = (2 y) 3, (b) y = (y 1) 2, (c) y = 2y y 2. 2. Etsi seuraavien

Lisätiedot

2. kl:n DY:t. Lause. Yleisesti yhtälöllä ẍ = f(ẋ, x, t) on (sopivin oletuksin) aina olemassa 1-käs. ratkaisu. (ẋ dx/dt, ẍ d 2 x/dt 2.

2. kl:n DY:t. Lause. Yleisesti yhtälöllä ẍ = f(ẋ, x, t) on (sopivin oletuksin) aina olemassa 1-käs. ratkaisu. (ẋ dx/dt, ẍ d 2 x/dt 2. 2. kl:n DY:t Yleisesti yhtälöllä ẍ = f(ẋ, x, t) on (sopivin oletuksin) aina olemassa 1-käs. ratkaisu. (ẋ dx/dt, ẍ d 2 x/dt 2.) Lause Olkoon f(x 2, x 1, t) funktio, ja oletetaan, että f, f/ x 1 ja f/ x

Lisätiedot

Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 5, Ratkaise rekursioyhtälö

Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 5, Ratkaise rekursioyhtälö Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 5, 14.10.2015 1. Ratkaise rekursioyhtälö x n+4 2x n+2 + x n 16( 1) n, n N, alkuarvoilla x 1 2, x 2 14, x 3 18 ja x 4 42. Ratkaisu. Vastaavan homogeenisen

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D, laskuharjoituksien esimerkkiratkaisut

Insinöörimatematiikka D, laskuharjoituksien esimerkkiratkaisut Insinöörimatematiikka D, 406 6 laskuharjoituksien esimerkkiratkaisut Ratkaistaan differentiaaliyhtälö y = y () Tässä = d dy eli kyseessä on lineaarinen kertaluvun differentiaaliyhtälö: Yhtälön () homogenisoidulle

Lisätiedot

(1.1) Ae j = a k,j e k.

(1.1) Ae j = a k,j e k. Lineaarikuvauksen determinantti ja jälki 1. Lineaarikuvauksen matriisi. Palautetaan mieleen, mikä lineaarikuvauksen matriisi annetun kannan suhteen on. Olkoot V äärellisulotteinen vektoriavaruus, n = dim

Lisätiedot

Lineaarikuvauksen R n R m matriisi

Lineaarikuvauksen R n R m matriisi Lineaarikuvauksen R n R m matriisi Lauseessa 21 osoitettiin, että jokaista m n -matriisia A vastaa lineaarikuvaus L A : R n R m, jolla L A ( v) = A v kaikilla v R n. Osoitetaan seuraavaksi käänteinen tulos:

Lisätiedot

Matematiikka B2 - TUDI

Matematiikka B2 - TUDI Matematiikka B2 - TUDI Miika Tolonen 3. syyskuuta 2012 Miika Tolonen Matematiikka B2 - TUDI 1 Kurssin sisältö (1/2) Matriisit Laskutoimitukset Lineaariset yhtälöryhmät Gaussin eliminointi Lineaarinen riippumattomuus

Lisätiedot

13. Ratkaisu. Kirjoitetaan tehtävän DY hieman eri muodossa: = 1 + y x + ( y ) 2 (y )

13. Ratkaisu. Kirjoitetaan tehtävän DY hieman eri muodossa: = 1 + y x + ( y ) 2 (y ) MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Differentiaaliyhtälöt, kesä 00 Tehtävät 3-8 / Ratkaisuehdotuksia (RT).6.00 3. Ratkaisu. Kirjoitetaan tehtävän DY hieman eri muodossa: y = + y + y = + y + ( y ) (y

Lisätiedot

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Differentiaaliyhtälöt. osa 2 Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 1 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista

Lisätiedot

6 MATRIISIN DIAGONALISOINTI

6 MATRIISIN DIAGONALISOINTI 6 MATRIISIN DIAGONALISOINTI Ortogonaaliset matriisit Neliömatriisi A on ortogonaalinen (eli ortogonaalimatriisi), jos sen alkiot ovat reaalisia ja A - = A T Muistutus: vektorien a ja b pistetulo (skalaaritulo,

Lisätiedot

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Ominaisarvoteoriaa Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 22 R. Kangaslampi matriisiteoriaa Kertaus: ominaisarvot

Lisätiedot

MS-C1340 Lineaarialgebra ja

MS-C1340 Lineaarialgebra ja MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Ominaisarvoteoriaa Riikka Kangaslampi Kevät 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Ominaisarvot Kertaus: ominaisarvot Määritelmä

Lisätiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 5. viikolle /

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 5. viikolle / MS-A8 Differentiaali- ja integraalilaskenta, V/7 Differentiaali- ja integraalilaskenta Ratkaisut 5. viikolle / 9..5. Integroimismenetelmät Tehtävä : Laske osittaisintegroinnin avulla a) π x sin(x) dx,

Lisätiedot

Neliömatriisi A on ortogonaalinen (eli ortogonaalimatriisi), jos sen alkiot ovat reaalisia ja

Neliömatriisi A on ortogonaalinen (eli ortogonaalimatriisi), jos sen alkiot ovat reaalisia ja 7 NELIÖMATRIISIN DIAGONALISOINTI. Ortogonaaliset matriisit Neliömatriisi A on ortogonaalinen (eli ortogonaalimatriisi), jos sen alkiot ovat reaalisia ja A - = A T () Muistutus: Kokoa n olevien vektorien

Lisätiedot

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt MS-C340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 205 / 3 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista Differentiaaliyhtälöitä ratkaistaessa

Lisätiedot

(0 desimaalia, 2 merkitsevää numeroa).

(0 desimaalia, 2 merkitsevää numeroa). NUMEERISET MENETELMÄT DEMOVASTAUKSET SYKSY 20.. (a) Absoluuttinen virhe: ε x x ˆx /7 0.4 /7 4/00 /700 0.004286. Suhteellinen virhe: ρ x x ˆx x /700 /7 /00 0.00 0.%. (b) Kahden desimaalin tarkkuus x ˆx

Lisätiedot

Ominaisvektoreiden lineaarinen riippumattomuus

Ominaisvektoreiden lineaarinen riippumattomuus Ominaisvektoreiden lineaarinen riippumattomuus Lause 17 Oletetaan, että A on n n -matriisi. Oletetaan, että λ 1,..., λ m ovat matriisin A eri ominaisarvoja, ja oletetaan, että v 1,..., v m ovat jotkin

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

Harjoitus Tarkastellaan luentojen Esimerkin mukaista työttömyysmallinnusta. Merkitään. p(t) = hintaindeksi, π(t) = odotettu inflaatio,

Harjoitus Tarkastellaan luentojen Esimerkin mukaista työttömyysmallinnusta. Merkitään. p(t) = hintaindeksi, π(t) = odotettu inflaatio, Differentiaaliyhtälöt, Kesä 06 Harjoitus 3 Kaikissa tehtävissä, joissa pitää tarkastella kriittisten pisteiden stabiliteettia, jos kyseessä on satulapiste, ilmoita myös satulauraratkaisun (tai kriittisessä

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

(a) Järjestellään yhtälöitä siten, että vasemmalle puolelle jää vain y i ja oikealle puolelle muut

(a) Järjestellään yhtälöitä siten, että vasemmalle puolelle jää vain y i ja oikealle puolelle muut BM0A5830 Differentiaalihtälöiden peruskurssi Harjoitus 7, Kevät 07 Päivitksiä: Tehtävän b tehtävänantoa korjattu, tehtävän 5 vastaus korjattu. b tehtävänantoa sujuvoitettu. Vastauksia lisätt.. Monasti

Lisätiedot

Dierentiaaliyhtälöistä

Dierentiaaliyhtälöistä Dierentiaaliyhtälöistä Markus Kettunen 4. maaliskuuta 2009 1 SISÄLTÖ 1 Sisältö 1 Dierentiaaliyhtälöistä 2 1.1 Johdanto................................. 2 1.2 Ratkaisun yksikäsitteisyydestä.....................

Lisätiedot

DI matematiikan opettajaksi: Täydennyskurssi, kevät 2010 Luentorunkoa ja harjoituksia viikolle 11: ti klo 13:00-15:30

DI matematiikan opettajaksi: Täydennyskurssi, kevät 2010 Luentorunkoa ja harjoituksia viikolle 11: ti klo 13:00-15:30 DI matematiikan opettajaksi: Tädennskurssi, kevät Luentorunkoa ja harjoituksia viikolle : ti 6 klo :-5: Kädään läpi: funktioita f : D f R n R m ja integrointia R n :ssä Oletetaan, että, R n ovat mielivaltaisia

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö

Lisätiedot

1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus

1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1.1 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä V epätyhjä joukko. Oletetaan, että joukossa V on määritelty laskutoimitus

Lisätiedot

5 OMINAISARVOT JA OMINAISVEKTORIT

5 OMINAISARVOT JA OMINAISVEKTORIT 5 OMINAISARVOT JA OMINAISVEKTORIT Ominaisarvo-ongelma Käsitellään neliömatriiseja: olkoon A n n-matriisi. Luku on matriisin A ominaisarvo (eigenvalue), jos on olemassa vektori x siten, että Ax = x () Yhtälön

Lisätiedot

Dierentiaaliyhtälöistä

Dierentiaaliyhtälöistä Dierentiaaliyhtälöistä Markus Kettunen 17. maaliskuuta 2009 1 SISÄLTÖ 1 Sisältö 1 Dierentiaaliyhtälöistä 2 1.1 Johdanto................................. 2 1.2 Ratkaisun yksikäsitteisyydestä.....................

Lisätiedot

1 Matriisit ja lineaariset yhtälöryhmät

1 Matriisit ja lineaariset yhtälöryhmät 1 Matriisit ja lineaariset yhtälöryhmät 11 Yhtälöryhmä matriisimuodossa m n-matriisi sisältää mn kpl reaali- tai kompleksilukuja, jotka on asetetettu suorakaiteen muotoiseksi kaavioksi: a 11 a 12 a 1n

Lisätiedot

802320A LINEAARIALGEBRA OSA I

802320A LINEAARIALGEBRA OSA I 802320A LINEAARIALGEBRA OSA I Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 72 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä

Lisätiedot

2 dy dx 1. x = y2 e x2 2 1 y 2 dy = e x2 xdx. 2 y 1 1. = ex2 2 +C 2 1. y =

2 dy dx 1. x = y2 e x2 2 1 y 2 dy = e x2 xdx. 2 y 1 1. = ex2 2 +C 2 1. y = BM20A5830 Differentiaaliyhtälöiden peruskurssi Harjoitus 2, Kevät 207 Päivityksiä: Tehtävän 4b tehtävänanto korjattu ja vastauksia lisätty.. Ratkaise y, kun 2y x = y 2 e x2. Jos y () = 0 niin mikä on ratkaisu

Lisätiedot

Matematiikan perusteet taloustieteilijöille II Harjoituksia kevät ja B = Olkoon A = a) A + B b) AB c) BA d) A 2 e) A T f) A T B g) 3A

Matematiikan perusteet taloustieteilijöille II Harjoituksia kevät ja B = Olkoon A = a) A + B b) AB c) BA d) A 2 e) A T f) A T B g) 3A Matematiikan perusteet taloustieteilijöille II Harjoituksia kevät 28 1. Olkoon A = Määrää ( 2 1 ) 3 4 1 a) A + B b) AB BA d) A 2 e) A T f) A T B g) 3A ja B = 2 1 6 3 1 2. Laske seuraavat determinantit

Lisätiedot

2v 1 = v 2, 2v 1 + 3v 2 = 4v 2.. Vastaavasti ominaisarvoa λ 2 = 4 vastaavat ominaisvektorit toteuttavat. v 2 =

2v 1 = v 2, 2v 1 + 3v 2 = 4v 2.. Vastaavasti ominaisarvoa λ 2 = 4 vastaavat ominaisvektorit toteuttavat. v 2 = TKK, Matematiikan laitos Pikkarainen/Tikanmäki Mat-1.1320 Matematiikan peruskurssi K2 Harjoitus 12, A=alku-, L=loppuviikko, T= taulutehtävä, P= palautettava tehtävä, W= verkkotehtävä 21. 25.4.2008, viikko

Lisätiedot

MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta

MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta 4. MS-A4/A6 Matriisilaskenta 4. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto..25 Tarkastellaan neliömatriiseja. Kun matriisilla kerrotaan vektoria, vektorin

Lisätiedot

6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset

6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 51 6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt Määritelmä 6.1. Olkoon I R avoin väli. Olkoot p i : I R, i = 0, 1, 2,..., n, ja q : I R jatkuvia

Lisätiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 6. viikolle /

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 6. viikolle / Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 6. viikolle / 16. 18.5. Lineaariset differentiaaliyhtälöt, homogeeniset differentiaaliyhtälöt Tehtävä 1: a) Määritä differentiaaliyhtälön y 3y = 14e 4x

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I 6.6.2013 HY / Avoin yliopisto Jokke Häsä, 1/22 Kertausta: Kääntyvien matriisien lause Lause 1 Oletetaan, että A on n n -neliömatriisi. Seuraavat ehdot ovat yhtäpitäviä.

Lisätiedot

Differentiaaliyhtälöt II, kevät 2017 Harjoitus 5

Differentiaaliyhtälöt II, kevät 2017 Harjoitus 5 Differentiaaliyhtälöt II, kevät 27 Harjoitus 5 Heikki Korpela 26. huhtikuuta 27 Tehtävä 2. Määrää seuraavan autonomisen systeemin kriittiset pisteet, ratakäyrät ja luonnostele systeemin aikakehitys: (t)

Lisätiedot

Tehtäväsarja I Seuraavat tehtävät liittyvät kurssimateriaalin lukuun 7 eli vapauden käsitteeseen ja homogeenisiin

Tehtäväsarja I Seuraavat tehtävät liittyvät kurssimateriaalin lukuun 7 eli vapauden käsitteeseen ja homogeenisiin HY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I, kesä 2015 Harjoitus 4 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina 862015 klo 1615 Tehtäväsarja I Seuraavat tehtävät liittyvät kurssimateriaalin

Lisätiedot

[xk r k ] T Q[x k r k ] + u T k Ru k. }.

[xk r k ] T Q[x k r k ] + u T k Ru k. }. Mat-2.48 Dynaaminen optimointi Mitri Kitti/Ilkka Leppänen Mallivastaukset, kierros 3. Johdetaan lineaarisen aikainvariantin seurantatehtävän yleinen ratkaisu neliöllisellä kustannuksella. Systeemi: x k+

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D, laskuharjoituksien esimerkkiratkaisut

Insinöörimatematiikka D, laskuharjoituksien esimerkkiratkaisut Insinöörimatematiikka D, 06 laskuharjoituksien esimerkkiratkaisut Alla olevat esimerkkiratkaisut ovat melko ksitiskohtaisia Tenttivastauksissa ei leensä tarvitse muistaa lauseiden, määritelmien, esimerkkien

Lisätiedot

10. Toisen kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt

10. Toisen kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt 37. Toisen kertaluvun lineaariset differentiaalihtälöt Tarkastelemme muotoa () ( x) + a( x) ( x) + a( x) ( x) = b( x) olevia htälöitä, missä kerroinfunktiot ja oikea puoli ovat välillä I jatkuvia. Edellisen

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö

Lisätiedot

ja B = 2 1 a) A + B, b) AB, c) BA, d) A 2, e) A T, f) A T B, g) 3A (e) A =

ja B = 2 1 a) A + B, b) AB, c) BA, d) A 2, e) A T, f) A T B, g) 3A (e) A = Matematiikan perusteet taloustieteilijöille II Harjoituksia kevät 211 1. Olkoon A = Määrää ( 2 1 ) 3 4 1 ja B = 2 1 6 3 1 a) A + B, b) AB, c) BA, d) A 2, e) A T, f) A T B, g) 3A. 2. Laske seuraavat determinantit

Lisätiedot

MS-C1340 Lineaarialgebra ja

MS-C1340 Lineaarialgebra ja MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Matriisinormi, häiriöalttius Riikka Kangaslampi Kevät 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Matriisinormi Matriisinormi Matriiseille

Lisätiedot

Vakiokertoiminen lineaarinen normaaliryhmä

Vakiokertoiminen lineaarinen normaaliryhmä 1 MAT-1345 LAAJA MATEMATIIKKA 5 Tampereen teknillinen yliopisto Risto Silvennoinen Kevät 29 Vakiokertoiminen lineaarinen normaaliryhmä Todetaan ensin ilman todistuksia (tulos on syvällinen) ratkaisujen

Lisätiedot

Matemaattinen Analyysi / kertaus

Matemaattinen Analyysi / kertaus Matemaattinen Analyysi / kertaus Ensimmäinen välikoe o { 2x + 3y 4z = 2 5x 2y + 5z = 7 ( ) x 2 3 4 y = 5 2 5 z ) ( 3 + y 2 ( 2 x 5 ( 2 7 ) ) ( 4 + z 5 ) = ( 2 7 ) yhteys determinanttiin Yhtälöryhmän ratkaiseminen

Lisätiedot

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Differentiaaliyhtälöt, osa 3 Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 28 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista

Lisätiedot

Konjugaattigradienttimenetelmä

Konjugaattigradienttimenetelmä Konjugaattigradienttimenetelmä Keijo Ruotsalainen Division of Mathematics Konjugaattigradienttimenetelmä Oletukset Matriisi A on symmetrinen: A T = A Positiivisesti definiitti: x T Ax > 0 kaikille x 0

Lisätiedot

ja B = 2 1 a) A + B, b) AB, c) BA, d) A 2, e) A T, f) A T B, g) 3A (e)

ja B = 2 1 a) A + B, b) AB, c) BA, d) A 2, e) A T, f) A T B, g) 3A (e) Matematiikan perusteet taloustieteilijöille II Harjoituksia kevät 214 1. Tutki seuraavia jonoja a) (a n )=(3n 1) ( ) 2 b) (a n )= 3 n ( ) 1 c) (a n )= (n + 1)(n +2) 2. Tutki seuraavia sarjoja a) (3k 1)

Lisätiedot

Ratkaisuehdotukset LH 10 / vko 48

Ratkaisuehdotukset LH 10 / vko 48 MS-C134 Lineaarialgebra, II/017 Ratkaisuehdotukset LH 10 / vko 48 Tehtävä 1: Olkoot A R n n symmetrinen ja positiividefiniitti matriisi. Näytä, että (i T A n (λ iα i (ii A n (λ i α i jossa α i on siten,

Lisätiedot

2. Viikko. CDH: luvut (s ). Matematiikka on fysiikan kieli ja differentiaaliyhtälöt sen yleisin murre.

2. Viikko. CDH: luvut (s ). Matematiikka on fysiikan kieli ja differentiaaliyhtälöt sen yleisin murre. 2. Viikko Keskeiset asiat ja tavoitteet: 1. Peruskäsitteet: kertaluku, lineaarisuus, homogeenisuus. 2. Separoituvan diff. yhtälön ratkaisu, 3. Lineaarisen 1. kl yhtälön ratkaisu, CDH: luvut 19.1.-19.4.

Lisätiedot

MS-C1340 Lineaarialgebra ja

MS-C1340 Lineaarialgebra ja MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Differentiaaliyhtälöt, osa 1 Riikka Kangaslampi Kevät 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto DY-teoriaa DY-teoriaa Käsitellään seuraavaksi

Lisätiedot

f(x) f(y) x y f f(x) f(y) (x) = lim

f(x) f(y) x y f f(x) f(y) (x) = lim Y1 (Matematiikka I) Haastavampia lisätehtäviä Syksy 1 1. Funktio h määritellään seuraavasti. Kuvan astiaan lasketaan vettä tasaisella nopeudella 1 l/min. Astia on muodoltaan katkaistu suora ympyräkartio,

Lisätiedot

HY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina klo

HY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina klo HY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina 10.8.2015 klo 16.15. Tehtäväsarja I Tutustu lukuun 15, jossa vektoriavaruuden

Lisätiedot

MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 6: Ääriarvojen luokittelu. Lagrangen kertojat.

MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 6: Ääriarvojen luokittelu. Lagrangen kertojat. MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 6: Ääriarvojen luokittelu. Lagrangen kertojat. Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Kevät 2016 Antti Rasila

Lisätiedot

Luento 8: Epälineaarinen optimointi

Luento 8: Epälineaarinen optimointi Luento 8: Epälineaarinen optimointi Vektoriavaruus R n R n on kaikkien n-jonojen x := (x,..., x n ) joukko. Siis R n := Määritellään nollavektori 0 = (0,..., 0). Reaalisten m n-matriisien joukkoa merkitään

Lisätiedot

6. OMINAISARVOT JA DIAGONALISOINTI

6. OMINAISARVOT JA DIAGONALISOINTI 0 6 OMINAISARVOT JA DIAGONALISOINTI 6 Ominaisarvot ja ominaisvektorit Olkoon V äärellisulotteinen vektoriavaruus, dim(v ) = n ja L : V V lineaarikuvaus Määritelmä 6 Skalaari λ R on L:n ominaisarvo, jos

Lisätiedot

Luento 8: Epälineaarinen optimointi

Luento 8: Epälineaarinen optimointi Luento 8: Epälineaarinen optimointi Vektoriavaruus R n R n on kaikkien n-jonojen x := (x,..., x n ) joukko. Siis R n := Määritellään nollavektori = (,..., ). Reaalisten m n-matriisien joukkoa merkitään

Lisätiedot

Luento 9: Yhtälörajoitukset optimoinnissa

Luento 9: Yhtälörajoitukset optimoinnissa Luento 9: Yhtälörajoitukset optimoinnissa Lagrangen kerroin Oletetaan aluksi, että f, g : R R. Merkitään (x 1, x ) := (x, y) ja johdetaan Lagrangen kerroin λ tehtävälle min f(x, y) s.t. g(x, y) = 0 Olkoon

Lisätiedot

Differentiaaliyhtälöt

Differentiaaliyhtälöt Differentiaaliyhtälöt Differentiaaliyhtälöksi (lyh. DY) sanotaan yhtälöä, jossa on tuntemattomana jokin funktio y(x) ja jossa esiintyy sen derivaattoja y, y, y, y (4),... Esimerkiksi y + y = x, y y + y

Lisätiedot

SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT

SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 43 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Kuva 12. Esimerkin 4.26(c kuvauksen

Lisätiedot

Matemaattinen Analyysi

Matemaattinen Analyysi Vaasan yliopisto, 009-010 / ORMS1010 Matemaattinen Analyysi 7 harjoitus 1 Määritä seuraavien potenssisarjojen suppenemissäteet a) k k x 5)k b) k=1 k x 5)k = k k 1) k ) 1) Suppenemissäteen R käänteisarvo

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät

Numeeriset menetelmät Numeeriset menetelmät Luento 6 To 22.9.2011 Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 6 To 22.9.2011 p. 1/38 p. 1/38 Ominaisarvotehtävät Monet sovellukset johtavat ominaisarvotehtäviin Yksi

Lisätiedot

Harjoitus 4: Differentiaaliyhtälöt (Matlab) MS-C2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1

Harjoitus 4: Differentiaaliyhtälöt (Matlab) MS-C2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoitus 4: Differentiaaliyhtälöt (Matlab) MS-C2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt MS-C2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen aiheita Matlab:n solver komento differentiaaliyhtöiden

Lisätiedot

OMINAISARVOISTA JA OMINAISVEKTOREISTA

OMINAISARVOISTA JA OMINAISVEKTOREISTA 1 OMINAISARVOISTA JA OMINAISVEKTOREISTA Olkoon x = (x 1,..., x n ) avaruuden R n piste (l. vektori). Vektori x samaistetaan n 1-matriisin (x 1 x 2... x n ) T kanssa, ts. voidaan yhtä hyvin kirjoittaa x1

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I, HY Kurssikoe Ratkaisuehdotus. 1. (35 pistettä)

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I, HY Kurssikoe Ratkaisuehdotus. 1. (35 pistettä) Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I, HY Kurssikoe 26.10.2017 Ratkaisuehdotus 1. (35 pistettä) (a) Seuraavat matriisit on saatu eräistä yhtälöryhmistä alkeisrivitoimituksilla. Kuinka monta ratkaisua yhtälöryhmällä

Lisätiedot

Milloin A diagonalisoituva?

Milloin A diagonalisoituva? Milloin A diagonalisoituva? ) Oletus: A on diagonalisoituva eli D = TAT, jollakin D = diag(λ, λ 2,..., λ n ). A:n ja D:n ominaisarvot ovat samat λ, λ 2,..., λ n ovat myös A:n ominaisarvot... D e i = D

Lisätiedot

Tehtävä 2. Osoita, että seuraavat luvut ovat algebrallisia etsimällä jokin kokonaislukukertoiminen yhtälö jonka ne toteuttavat.

Tehtävä 2. Osoita, että seuraavat luvut ovat algebrallisia etsimällä jokin kokonaislukukertoiminen yhtälö jonka ne toteuttavat. JOHDATUS LUKUTEORIAAN syksy 017) HARJOITUS 6, MALLIRATKAISUT Tehtävä 1. Etsi Pellin yhtälön x Dy = 1 pienin positiivinen ratkaisu kun D {,, 5, 6, 7, 8, 10}. Ratkaisu 1. Tehtävässä annetuilla D:n arvoilla

Lisätiedot

x = ( θ θ ia y = ( ) x.

x = ( θ θ ia y = ( ) x. Aalto-yliopiston Perustieteiden korkeakoulu Matematiikan systeemianalyysin laitos Mat-2429 Systeemien Identifiointi 5 harjoituksen ratkaisut Esitetään ensin systeemi tilayhtälömuodossa Tiloiksi valitaan

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet: Luento 13. Rajoittamaton optimointi Hessen matriisi Ominaisarvot ja vektorit Ääriarvon laadun tarkastelu

Talousmatematiikan perusteet: Luento 13. Rajoittamaton optimointi Hessen matriisi Ominaisarvot ja vektorit Ääriarvon laadun tarkastelu Talousmatematiikan perusteet: Luento 13 Rajoittamaton optimointi Hessen matriisi Ominaisarvot ja vektorit Ääriarvon laadun tarkastelu Viime luennolla Aloimme tarkastella yleisiä, usean muuttujan funktioita

Lisätiedot

Ville Turunen: Mat Matematiikan peruskurssi P1 1. välikokeen alueen teoriatiivistelmä 2007

Ville Turunen: Mat Matematiikan peruskurssi P1 1. välikokeen alueen teoriatiivistelmä 2007 Ville Turunen: Mat-1.1410 Matematiikan peruskurssi P1 1. välikokeen alueen teoriatiivistelmä 2007 Materiaali: kirjat [Adams R. A. Adams: Calculus, a complete course (6th edition), [Lay D. C. Lay: Linear

Lisätiedot

Epähomogeenisen yhtälön ratkaisu

Epähomogeenisen yhtälön ratkaisu Epähomogeenisen yhtälön ratkaisu Lause Olkoot a = a(x), b = b(x) ja f = f(x) jatkuvia funktioita välillä I R ja olkoot y 1 = y 1 (x) ja y 2 = y 2 (x) eräs homogeeniyhtälön y + a(x)y + b(x)y = 0 ratkaisujen

Lisätiedot

Päättelyn voisi aloittaa myös edellisen loppupuolelta ja näyttää kuten alkupuolella, että välttämättä dim W < R 1 R 1

Päättelyn voisi aloittaa myös edellisen loppupuolelta ja näyttää kuten alkupuolella, että välttämättä dim W < R 1 R 1 Lineaarialgebran kertaustehtävien b ratkaisuista. Määritä jokin kanta sille reaalikertoimisten polynomien lineaariavaruuden P aliavaruudelle, jonka virittää polynomijoukko {x, x+, x x }. Ratkaisu. Olkoon

Lisätiedot