2. kl:n DY:t. Lause. Yleisesti yhtälöllä ẍ = f(ẋ, x, t) on (sopivin oletuksin) aina olemassa 1-käs. ratkaisu. (ẋ dx/dt, ẍ d 2 x/dt 2.
|
|
- Maarit Hakala
- 7 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 2. kl:n DY:t Yleisesti yhtälöllä ẍ = f(ẋ, x, t) on (sopivin oletuksin) aina olemassa 1-käs. ratkaisu. (ẋ dx/dt, ẍ d 2 x/dt 2.) Lause Olkoon f(x 2, x 1, t) funktio, ja oletetaan, että f, f/ x 1 ja f/ x 2 ovat jatkuvia alueessa a 1 < x 1 < a 2, b 1 < x 2 < b 2 ja t 1 < t < t 2. Silloin kaikilla alkuehdoilla x(t 0 ) = x 0, ẋ(t 0 ) = y 0 joille a 1 < x 0 < a 2, b 1 < y 0 < b 2 ja t 1 < t 0 < t 2 yhtälöllä ẍ = f(ẋ, x, t) on olemassa yksikäsitteinen ratkaisu jollakin välillä I johon t 0 sisältyy. 1 / K. Tuominen kimmo.i.tuominen@helsinki.fi MApu II 1/22 22
2 Lineaarisuus (superpositioperiaate) Tarkastellaan toisen kertaluvun lineaarisia ja homogeenisia yhtälöitä d 2 x dt + p(t)dx + q(t)x = 0. 2 dt Olkoot x 1 (t) ja x 2 (t) ratkaisuja. Silloin lineaarikombinaatio x(t) = αx 1 (t) + βx 2 (t), αβ R on myös ratkaisu. 2 / K. Tuominen kimmo.i.tuominen@helsinki.fi MApu II 2/22 22
3 Lineaarinen riippumattomuus Yleisesti Määritelmä Funktiot x 1 (t),..., x n (t) ovat lineaarisesti riippumattomat välillä I, jos ja vain jos yhtälön α 1 x 1 (t) + + α n x n (t) = 0, kaikilla t I ainoa ratkaisu on α 1 = = α n = 0. Kahdelle funktiolle x 1 ja x 2 lineaarinen riippumattomuus tarkoittaa, että funktiot eivät ole suoraan verrannollisia: missä c on jokin vakio. x 2 cx 1, 3 / K. Tuominen kimmo.i.tuominen@helsinki.fi MApu II 3/22 22
4 Ratkaisukanta Yhtälön d 2 x dt + p(t)dx 2 dt + q(t)x = 0 kaikki ratkaisut eivät ole verrannollisia: Esim. x 1 (t 0 ) = 1, ẋ 1 (t 0 ) = 0 ja x 2 (t 0 ) = 0, ẋ 2 (t 0 ) = 1. Selvästi kumpikaan näistä ei voi olla toisen monikerta. Siis 2. kl:n lin. homog. yhtälöllä on ainakin kaksi ratkaisua. 4 / K. Tuominen kimmo.i.tuominen@helsinki.fi MApu II 4/22 22
5 Ratkaisukanta Oletetaan, että ratkaisut x 1 ja x 2 ovat lineaarisesti riippumattomat (LI). Silloin niiden lineaarikombinaatio x(t) = αx 1 (t) + βx 2 (t), α, β R toteuttaa (sopivilla α ja β) minkä tahansa alkuehdon: Siis: kaksi LI ratkaisua riittää. x(t 0 ) = x 0, ẋ(t 0 ) = v 0. 5 / K. Tuominen kimmo.i.tuominen@helsinki.fi MApu II 5/22 22
6 Ratkaisukanta Ratkaistaan α ja β: v 0 x(t 0 ) ẋ 2 (t 0 )x 0 α = ẋ 2 (t 0 )x 1 (t 0 ) x 1 (t 0 )x 2 (t 0 ), v 0 x 1 (t 0 ) ẋ 1 (t 0 )x 0 β = x 1 (t 0 )x 2 (t 0 ) ẋ 2 (t 0 )x 1 (t 0 ). OK, kun x 1 (t 0 )x 2 (t 0 ) ẋ 2 (t 0 )x 1 (t 0 ) 0. Tutkitaan vielä, voisiko olla x 1 (t 0 )x 2 (t 0 ) ẋ 2 (t 0 )x 1 (t 0 ) = 0. Silloin x 1 (t 0 ) x 2 (t 0 ) = ẋ1(t 0 ) ẋ 2 (t 0 ) c. Koska yhtälö on lineaarinen, niin y(t) = cx 2 (t) on ratkaisu jos x 2 (t) on. Tällöin y(t) toteuttaa alkuehdon y(t 0 ) = cx 2 (t 0 ) = x 1 (t 0 ), ẏ(t 0 ) = cx 2 (t 0 ) = ẋ 1 (t 0 ). Ratkaisun yksikäsitteisyyden perusteella x 1 (t) = y(t) = cx 2 (t) kaikilla t. Tämä on absurdia, koska oletimme, että x 1 ja x 2 ovat lineaarisesti riippumattomat. Tällöin x 1 (t 0 ) = cx 2 (t 0 ), ẋ 1 (t 0 ) = cẋ 2 (t 0 ). 6 / K. Tuominen kimmo.i.tuominen@helsinki.fi MApu II 6/22 22
7 2. kl:n DY:t Rajoitetaan tarkastelu vakiokertoimisiin yhtälöihin: a d2 x dt + bdx + cx = f(t) 2 dt Keskeiset asiat: Homogeenisen yhtälön ratkaisu x h (t) : Ratkaisukanta: 2 LI ratkaisua. Karakteristinen yhtälö ak 2 + bk + c = 0. Ratkaisujen luokittelu: b 2 4ac >, =, < 0. Epähomogeenisen yhtälön ratkaisu x(t) Yleinen ratkaisu x(t) = x h (t) + x p (t). Yksittäisratkaisun x p (t) laskeminen yriteen avulla. Yritteen konstruointi f(t):n muodon perusteella. CDH: Luku 19.5 (sivut ). 7 / K. Tuominen kimmo.i.tuominen@helsinki.fi MApu II 7/22 22
8 Homog. vakiokertoiminen yhtälö Ratkaisu a dx2 dt + bdx 2 dt + cx = 0 Yleinen ratkaisu on muotoa x(t) = Ax 1 (t) + Bx 2 (t), missä x 1 (t) ja x 2 (t) ovat LI ratkaisut. Miten ne löydetään? Arvataan: x(t) = e kt Sijoittamalla DY:öön saadaan karakteristinen yhtälö ak 2 + bk + c = 0. Ratkaisu: k = b ± b 2 4ac. 2a 8 / K. Tuominen kimmo.i.tuominen@helsinki.fi MApu II 8/22 22
9 Kaksi reaalista juurta b 2 4ac > 0 Reaaliset juuret k 1 ja k 2. Yleinen ratkaisu on x(t) = Ae k 1t + Be k 2t. Esimerkki 1 Etsi yhtälön ẍ + ẋ 6x = 0 yleinen ratkaisu, ja erityisratkaisu joka toteuttaa alkuehdot x(0) = 1 ja ẋ(0) = 2. Esimerkki 2 Etsi yhtälön ẍ 2ẋ = 0 yleinen ratkaisu. 9 / K. Tuominen kimmo.i.tuominen@helsinki.fi MApu II 9/22 22
10 Esimerkkien 1 ja 2 ratkaisut Esimerkki 1: Karakteristinen yhtälö (KY) on k 2 + k 6 = 0. KY:n Ratkaisut: k = 1 2 ( 1 ± ) = 2 tai 3. Yleinen ratkaisu: x(t) = Ae 2t + Be 3t. Erikoisratkaisu, jolle x(0) = 1 ja ẋ(0) = 2: A + B = 1 ja 2A 3B = 2 A = 1 ja B = 0, x(t) = e 2t. Esimerkki 2: KY: k 2 2k = 0. KY:n ratkaisut: k = 0 ja k = 2. Yleinen ratkaisu: x(t) = A + Be 2t. 10 / K. Tuominen kimmo.i.tuominen@helsinki.fi MApu II 10/22 22
11 Kaksinkertainen reaalinen juuri b 2 = 4ac Nyt ratkaisut ovat x(t) = e kt ja x(t) = te kt. Osoitetaan, että te kt on ratkaisu. Muokataan aluksi yhtälöä: Sijoitetaan tähän k = b/2a: ẍ + b aẋ + c a x = 0 ẍ + b aẋ + b2 4a 2 x = 0 ẍ 2kẋ + k 2 x = 0. Nyt suoraan laskemalla todetaan, että x = te kt toteuttaa yhtälön. Esimerkki 3 Etsi yhtälön ẍ 4ẋ + 4x = 0 ratkaisu, joka toteuttaa alkuehdon x(0) = 0 ja ẋ(0) = / K. Tuominen kimmo.i.tuominen@helsinki.fi MApu II 11/22 22
12 Esimerkin 3 ratkaisu KY: k 2 4k + 4 = (k 2) 2 = 0. KY:n ratkaisu: k = 2. Yleinen ratkaisu: x(t) = (A + Bt)e 2t. Erikoisratkaisu, jolle x(0) = 0 ja ẋ(0) = 1: A = 0 ja B + 2A = 1, joten x(t) = te 2t. 12 / K. Tuominen kimmo.i.tuominen@helsinki.fi MApu II 12/22 22
13 Kaksi ei-reaalista juurta b 2 4ac < 0 Nyt karakteristisen yhtälön juuret: k ± = b 4ac b 2a ± i 2 ρ ± iω. 2a Ja yleinen reaalinen ratkaisu on x(t) = e ρt (A cos(ωt) + B sin(ωt)). Sijoittamalla kompleksiset juuret yleisen ratkaisun lausekkeeseen x(t) = C exp(k + t) + D exp(k t) saadaan x(t) = e ρt ( Ce iωt + D iωt). C, D C Koska halutaan reaalinen ratkaisu, on oltava D = C, (C = a + ib) x(t) = 2Re(Ce (ρ+iω)t ) = 2e ρt (a cos(ωt) β sin(ωt)) = e ρt (A cos(ωt) + B sin(ωt)). 13 / K. Tuominen kimmo.i.tuominen@helsinki.fi MApu II 13/22 22
14 Kaksi ei-reaalista juurta Esimerkki 4 Ratkaise alkuarvo-ongelma Esimerkin 4 ratkaisu: KY: k 2 + 2k + 2 = 0. ẍ + 2ẋ + 2x = 0, x(0) = 1, ẋ(0) = 0. KY:n ratkaisu: k = 1 2 ( 2 ± 4 8) = 1 ± i. Yleinen ratkaisu: x(t) = e t (A cos(t) + B sin(t)). Erikoisratkaisu, jolle x(0) = 1 ja ẋ(0) = 0: A = 1 ja B A = 0, ts. A = 1 ja B = 1. x(t) = e t (cos(t) + sin(t)). 14 / K. Tuominen kimmo.i.tuominen@helsinki.fi MApu II 14/22 22
15 Epähomogeeninen yhtälö Kun olemme löytäneet homogeenisen yhtälön yleisen ratkaisun, x h (t) = Ax 1 (t) + Bx 2 (t), on epähomogeenisen yhtälön ratkaisu muotoa x(t) = x h (t) + x p (t), missä x p on jokin epähomogeenisen yhtälön yksittäisratkaisu. Huom: Vastaavalla tavalla voidaan ratkaista myös epähomogeeninen 1. kl:n yhtälö. Esim. dx + px = q. dt Miten yksittäisratkaisu löydetään? 15 / K. Tuominen kimmo.i.tuominen@helsinki.fi MApu II 15/22 22
16 1) f(t) on polynomi Jos f(t) on n-asteen polynomi, niin arvataan, että yksittäisratkaisu on samaa astetta oleva polynomi, x p (t) = c n t n + c n 1 t n c 0. Huom: Poikkeus Jos x(t) = c (vakio) toteuttaa homogeenisen yhtälön, niin yritefunktio on kerrottava t:llä. Esimerkki 5 Etsi yhtälön ẍ + ẋ 6x = 12 yleinen ratkaisu. Esimerkki 6 Etsi yhtälön ẍ 2ẋ = 4 yleinen ratkaisu. 16 / K. Tuominen kimmo.i.tuominen@helsinki.fi MApu II 16/22 22
17 Esimerkkien 5 ja 6 ratkaisut Esimerkki 5 Homogeenisen yhtälön (HY) ratkaisu: x h (t) = Ae 2t + Be 3t. Yrite: x p (t) = C. Sijoitetaan DY:öön: -6C=12, joten C = 2. Yleinen ratkaisu: x(t) = Ae 2t + B 3t 2. Esimerkki 6: HY:n ratkaisu: x h (t) = A + Be 2t. Yrite: Ct. Sijoitetaan DY:öön: 2C = 4, joten C = 2. Yleinen ratkaisu: x(t) = A + Be 2t 2t. 17 / K. Tuominen kimmo.i.tuominen@helsinki.fi MApu II 17/22 22
18 2) f(t) on eksponenttifunktio Jos f(t) = ce kt, niin otetaan yrite x p (t) = Ce kt. Huom: poikkeukset Jos e kt on homogeenisen yhtälön ratkaisu, niin x p (t) = Cte kt. Jos k on kaksinkertainen juuri, niin x p (t) = Ct 2 e kt. Esimerkki 7 Etsi yhtälön yleinen ratkaisu. ẍ + 6ẋ + 9 = 12e 3t 18 / K. Tuominen kimmo.i.tuominen@helsinki.fi MApu II 18/22 22
19 Esimerkin 7 ratkaisu HY:n ratkaisu: x h (t) = (A + Bt)e 3t. Yrite: x p (t) = Ct 2 e 3t. Sijoitetaan DY:öön: ẋ p (t) = (2Ct 3Ct 2 )e 3t, ẍ p (t) = (2C 12Ct + 9Ct 2 )e 3t. ẍ p (t) + 6ẋ + 9x = 2Ce 3t, joten C = 6 ja yleinen ratkaisu on x(t) = (A + Bt)e 3t 6t 2 e 3t. 19 / K. Tuominen kimmo.i.tuominen@helsinki.fi MApu II 19/22 22
20 3) f(t) on sin(σt) tai cos(σt) Otetaan yritteeksi x p (t) = C sin(σt) + D cos(σt). Jos sin(σt) ja cos(σt) toteuttavat homogeenisen yhtälön, otetaan yritteeksi x p (t) = Ct sin(σt) + Dt cos(σt). Esimerkki 8 Etsi yhtälön yleinen ratkaisu. ẍ + x = 8 cos(t) 20 / K. Tuominen kimmo.i.tuominen@helsinki.fi MApu II 20/22 22
21 Esimerkin 8 ratkaisu HY:n ratkaisu: x h (t) = A sin t + B cos t. Yrite: x p (t) = Ct sin t + Dt cos t. Sijoitetaan DY:öön: ẋ p (t) = C sin t + Ct cos t + D cos t Dt sin t, ẍ p (t) = 2C cos t Ct sin t 2D sin t Dt cos t, joten Eli C = 4 ja D = 0. Yleinen ratkaisu: ẍ p + x p = 2C cos t 2D sin t. x(t) = A sin t + B cos t + 4t sin t. 21 / K. Tuominen kimmo.i.tuominen@helsinki.fi MApu II 21/22 22
22 Sääntökirja Toisen kertaluvun yhtälön a d2 x dt + bdx + cx = f(t) 2 dt yleinen ratkaisu x(t) = x h (t) + x p (t), missä x h on homogeenisen yhtälön yleinen ratkaisu ja x p on epähomogeenisen yhtälön yksittäisratkaisu, joka löydetään seuraavasti: Standardiarvaukseksi otetaan epähomogeenisen termin kanssa samaa muotoa oleva funktio. Jos standardiarvauksen jokin termi toteuttaa homogeenisen yhtälön, niin arvausta kerrotaan tekijällä t. Tätä toistetaan kunnes saadaan arvaus, joka ei sisällä homogeenisen yhtälön toteuttavia termejä. Menetelmä toimii myös kun f(t) on tässä käsiteltyjen erikoistapausten (polynomi, eksponentti, trigonomentrinen) summa tai tulo. 22 / K. Tuominen kimmo.i.tuominen@helsinki.fi MApu II 22/22 22
Esimerkki 1 Ratkaise differentiaaliyhtälö
Esimerkki 1 Ratkaise differentiaaliyhtälö x 2 y xy =1/x. 1 / K. Tuominen kimmo.i.tuominen@helsinki.fi MApu II 1/20 20 Esimerkki 2 Ratkaise differentiaaliyhtälö x(ln y)y y ln x =0. 2 / K. Tuominen kimmo.i.tuominen@helsinki.fi
3 Toisen kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt
3 Toisen kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt 3.1 Homogeeniset lineaariset differentiaaliyhtälöt Toisen kertaluvun differentiaaliyhtälö on lineaarinen, jos se voidaan kirjoittaa muotoon Jos r(x)
a 1 y 1 (x) + a 2 y 2 (x) = 0 vain jos a 1 = a 2 = 0
6. Lineaariset toisen kertaluvun yhtälöt Toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöt ovat tuntuvasti hankalampia ratkaista kuin ensimmäinen. Käsittelemmekin tässä vain tärkeintä erikoistapausta, toisen kertaluvun
3 TOISEN KERTALUVUN LINEAARISET DY:T
3 TOISEN KERTALUVUN LINEAARISET DY:T Huomautus epälineaarisista. kertaluvun differentiaaliyhtälöistä Epälineaarisen DY:n ratkaisemiseen ei ole yleismenetelmää. Seuraavat erikoistapaukset voidaan ratkaista
Matematiikka B3 - Avoin yliopisto
2. heinäkuuta 2009 Opetusjärjestelyt Luennot 9:15-11:30 Harjoitukset 12:30-15:00 Tentti Lisäharjoitustehtävä Kurssin sisältö (1/2) 1. asteen Differentiaali yhtälöt (1.DY) Separoituva Ratkaisukaava Bernoyulli
Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä
1 MAT-1345 LAAJA MATEMATIIKKA 5 Tampereen teknillinen yliopisto Risto Silvennoinen Kevät 9 Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä Yksi tavallisimmista luonnontieteissä ja tekniikassa
4. Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä
1 Laaja matematiikka 5 Kevät 010 4. Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä Yksi tavallisimmista luonnontieteissä ja tekniikassa esiintyvistä matemaattisista malleista on differentiaaliyhtälö.
4 Korkeamman kertaluvun differentiaaliyhtälöt
Differentiaaliyhtälöt c Pekka Alestalo 2015 Tässä monisteessa käydään läpi tavallisiin differentiaaliyhtälöihin liittyviä peruskäsitteitä ja ratkaisuperiaatteita. Luennolla lasketaan esimerkkitehtäviä
2. Viikko. CDH: luvut (s ). Matematiikka on fysiikan kieli ja differentiaaliyhtälöt sen yleisin murre.
2. Viikko Keskeiset asiat ja tavoitteet: 1. Peruskäsitteet: kertaluku, lineaarisuus, homogeenisuus. 2. Separoituvan diff. yhtälön ratkaisu, 3. Lineaarisen 1. kl yhtälön ratkaisu, CDH: luvut 19.1.-19.4.
Matemaattiset apuneuvot II, harjoitus 3
Matemaattiset apuneuvot II, harjoitus 3 K. Tuominen 16. marraskuuta 2017 Palauta ratkaisusi Moodlessa.pdf tiedostona maanantaina 20.11. kello 10:15 mennessä. Merkitse vastauspaperiin laskuharjoitusryhmäsi
Insinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
Insinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 6. viikolle /
Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 6. viikolle / 16. 18.5. Lineaariset differentiaaliyhtälöt, homogeeniset differentiaaliyhtälöt Tehtävä 1: a) Määritä differentiaaliyhtälön y 3y = 14e 4x
1 Peruskäsitteet. Dierentiaaliyhtälöt
Teknillinen korkeakoulu Matematiikka Dierentiaaliyhtälöt Alestalo Tässä monisteessa käydään läpi tavallisiin dierentiaaliyhtälöihin liittyviä peruskäsitteitä ja ratkaisuperiaatteita. Esimerkkejä luennoilla
4 Korkeamman kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt
4 Korkeamman kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt 4.1 Homogeeniset lineaariset differentiaaliyhtälöt Homogeeninen yhtälö on muotoa F(x, y,, y (n) ) = 0. (1) Yhtälö on lineaarinen, jos se voidaan
MS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 11: Lineaarinen differentiaaliyhtälö
MS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 11: Lineaarinen differentiaaliyhtälö Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos
MS-A Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (CHEM) Harjoitus 6 loppuviikko
MS-A0107 - Differentiaali- integraalilaskenta 1 (CHEM) Harjoitus 6 loppuviikko 1 Tehtävä Etsi seuraavien yhtälöiden yleiset ratkaisut: Ratkaisu: a) y y 2y = 4x, b) y + 4y = sin 3x, c) y + 2y + 5y = e x
6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset
SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 51 6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt Määritelmä 6.1. Olkoon I R avoin väli. Olkoot p i : I R, i = 0, 1, 2,..., n, ja q : I R jatkuvia
y (0) = 0 y h (x) = C 1 e 2x +C 2 e x e10x e 3 e8x dx + e x 1 3 e9x dx = e 2x 1 3 e8x 1 8 = 1 24 e10x 1 27 e10x = e 10x e10x
BM0A5830 Differentiaaliyhtälöiden peruskurssi Harjoitus 4, Kevät 017 Päivityksiä: 1. Ratkaise differentiaaliyhtälöt 3y + 4y = 0 ja 3y + 4y = e x.. Ratkaise DY (a) 3y 9y + 6y = e 10x (b) Mikä on edellisen
Insinöörimatematiikka D, laskuharjoituksien esimerkkiratkaisut
Insinöörimatematiikka D, 5.4.06 5. laskuharjoituksien esimerkkiratkaisut. Etsitään homogeenisen vakiokertoimisen lineaarisen differentiaaliyhtälön kaikki ratkaisut (reaalisessa muodossa). y (5) +4y (4)
Insinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Differentiaaliyhtälöt, osa 1 Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 20 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista
Esimerkki: Tarkastellaan korkeudella h ht () putoavaa kappaletta, jonka massa on m (ks. kuva).
6 DIFFERENTIAALIYHTÄLÖISTÄ Esimerkki: Tarkastellaan korkeudella h ht () putoavaa kappaletta, jonka massa on m (ks. kuva). Newtonin II:n lain (ma missä Yhtälö dh dt m dh dt F) mukaan mg, on kiihtyvyys ja
Dierentiaaliyhtälöistä
Dierentiaaliyhtälöistä Markus Kettunen 17. maaliskuuta 2009 1 SISÄLTÖ 1 Sisältö 1 Dierentiaaliyhtälöistä 2 1.1 Johdanto................................. 2 1.2 Ratkaisun yksikäsitteisyydestä.....................
5 Differentiaaliyhtälöryhmät
5 Differentiaaliyhtälöryhmät 5.1 Taustaa ja teoriaa Differentiaaliyhtälöryhmiä tarvitaan useissa sovelluksissa. Toinen motivaatio yhtälöryhmien käytölle: Korkeamman asteen differentiaaliyhtälöt y (n) =
10. Toisen kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt
37. Toisen kertaluvun lineaariset differentiaalihtälöt Tarkastelemme muotoa () ( x) + a( x) ( x) + a( x) ( x) = b( x) olevia htälöitä, missä kerroinfunktiot ja oikea puoli ovat välillä I jatkuvia. Edellisen
Matemaattinen Analyysi
Vaasan yliopisto, kevät 01 / ORMS1010 Matemaattinen Analyysi. harjoitus, viikko 1 R1 ke 1 16 D11 (..) R to 10 1 D11 (..) 1. Määritä funktion y(x) MacLaurinin sarjan kertoimet, kun y(0) = ja y (x) = (x
Insinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö
Insinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
Insinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
Dierentiaaliyhtälöistä
Dierentiaaliyhtälöistä Markus Kettunen 14. helmikuuta 2011 1 SISÄLTÖ 1 Sisältö 1 Dierentiaaliyhtälöistä 2 1.1 Johdanto................................. 2 1.2 Ratkaisun olemassaolosta ja yksikäsitteisyydestä...........
5 DIFFERENTIAALIYHTÄLÖRYHMÄT
5 DIFFERENTIAALIYHTÄLÖRYHMÄT 5. Ensimmäisen kl:n DY-ryhmät Differentiaaliyhtälöryhmiä tarvitaan useissa sovelluksissa. Useimmat voidaan mallintaa ensimmäisen kertaluvun DY-ryhmien avulla. Ensimmäisen kl:n
Mat Matematiikan peruskurssi K2
Mat-.3 Matematiikan peruskurssi K Heikkinen/Tikanmäki Kolmas välikoe 6.5. Kokeessa saa käyttää ylioppilaskirjoituksiin hyväksyttyä laskinta. Sivun kääntöpuolelta löytyy integrointikaavoja.. Olkoon F(x,
Epähomogeenisen yhtälön ratkaisu
Epähomogeenisen yhtälön ratkaisu Lause Olkoot a = a(x), b = b(x) ja f = f(x) jatkuvia funktioita välillä I R ja olkoot y 1 = y 1 (x) ja y 2 = y 2 (x) eräs homogeeniyhtälön y + a(x)y + b(x)y = 0 ratkaisujen
Dierentiaaliyhtälöistä
Dierentiaaliyhtälöistä Markus Kettunen 4. maaliskuuta 2009 1 SISÄLTÖ 1 Sisältö 1 Dierentiaaliyhtälöistä 2 1.1 Johdanto................................. 2 1.2 Ratkaisun yksikäsitteisyydestä.....................
Osa 11. Differen-aaliyhtälöt
Osa 11. Differen-aaliyhtälöt Differen-aaliyhtälö = yhtälö jossa esiintyy jonkin funk-on derivaa
y = 3x2 y 2 + sin(2x). x = ex y + e y2 y = ex y + 2xye y2
Matematiikan ja tilastotieteen osasto/hy Differentiaaliyhtälöt I Laskuharjoitus 2 mallit Kevät 219 Tehtävä 1. Laske osittaisderivaatat f x = f/x ja f y = f/, kun f = f(x, y) on funktio a) x 2 y 3 + y sin(2x),
Luoki?elua: tavallinen vs osi?ais. Osa 11. Differen0aaliyhtälöt. Luoki?elua: kertaluku. Luoki?elua: lineaarisuus 4/13/13
4/3/3 Osa. Differen0aaliyhtälöt Differen0aaliyhtälö = yhtälö jossa esiintyy jonkin funk0on derivaa?a. Esim: dx = x2 f x + f xy 2 2m d 2 ψ = Eψ dx 2 Luoki?elua: tavallinen vs osi?ais Differen0aaliyhtälöt
Matemaattinen Analyysi
Vaasan yliopisto, syksy 2016 / ORMS1010 Matemaattinen Analyysi 8. harjoitus, viikko 49 R1 to 12 14 F453 (8.12.) R2 to 14 16 F345 (8.12.) R3 ke 8 10 F345 (7.11.) 1. Määritä funktion f (x) = 1 Taylorin sarja
y + 4y = 0 (1) λ = 0
Matematiikan ja tilastotieteen osasto/hy Differentiaaliyhtälöt I Laskuharjoitus 6 mallit Kevät 2019 Tehtävä 1. Ratkaise yhtälöt a) y + 4y = x 2, b) y + 4y = 3e x. Ratkaisu: a) Differentiaaliyhtälön yleinen
Insinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö
Differentiaaliyhtälöt
Differentiaaliyhtälöt Differentiaaliyhtälöksi (lyh. DY) sanotaan yhtälöä, jossa on tuntemattomana jokin funktio y(x) ja jossa esiintyy sen derivaattoja y, y, y, y (4),... Esimerkiksi y + y = x, y y + y
Ominaisarvot ja ominaisvektorit 140 / 170
Ominaisarvot ja ominaisvektorit 140 / 170 Seuraavissa luvuissa matriisit ja vektori ajatellaan kompleksisiksi, ts. kertojakuntana oletetaan olevan aina kompleksilukujoukko C Huomaa, että reaalilukujoukko
Matemaattinen Analyysi
Vaasan yliopisto, 009-010 / ORMS1010 Matemaattinen Analyysi 8. harjoitus 1. Ratkaise y + y + y = x. Kommentti: Yleinen työlista ratkaistaessa lineaarista, vakiokertoimista toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöä
Harjoitus Etsi seuraavien autonomisten yhtälöiden kriittiset pisteet ja tutki niiden stabiliteettia:
Differentiaaliyhtälöt, Kesä 216 Harjoitus 2 1. Etsi seuraavien autonomisten yhtälöiden kriittiset pisteet ja tutki niiden stabiliteettia: (a) y = (2 y) 3, (b) y = (y 1) 2, (c) y = 2y y 2. 2. Etsi seuraavien
Lineaarinen toisen kertaluvun yhtälö
Lineaarinen toisen kertaluvun yhtälö Keijo Ruotsalainen Mathematics Division Lineaarinen toisen kertaluvun differentiaaliyhtälö Toisen kertaluvun täydellinen lineaarinen yhtälö muotoa p 2 (x)y + p 1 (x)y
w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1.
Kotitehtävät, tammikuu 2011 Vaikeampi sarja 1. Ratkaise yhtälöryhmä w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Ratkaisu. Yhtälöryhmän ratkaisut (w, x, y, z)
5 OMINAISARVOT JA OMINAISVEKTORIT
5 OMINAISARVOT JA OMINAISVEKTORIT Ominaisarvo-ongelma Käsitellään neliömatriiseja: olkoon A n n-matriisi. Luku on matriisin A ominaisarvo (eigenvalue), jos on olemassa vektori x siten, että Ax = x () Yhtälön
Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 5, Ratkaise rekursioyhtälö
Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 5, 14.10.2015 1. Ratkaise rekursioyhtälö x n+4 2x n+2 + x n 16( 1) n, n N, alkuarvoilla x 1 2, x 2 14, x 3 18 ja x 4 42. Ratkaisu. Vastaavan homogeenisen
Numeeriset menetelmät
Numeeriset menetelmät Luento 6 To 22.9.2011 Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 6 To 22.9.2011 p. 1/38 p. 1/38 Ominaisarvotehtävät Monet sovellukset johtavat ominaisarvotehtäviin Yksi
Kompleksiluvun logaritmi: Jos nyt z = re iθ = re iθ e in2π, missä n Z, niin saadaan. ja siihen vaikuttava
Kompleksiluvun logaritmi: ln z = w z = e w Jos nyt z = re iθ = re iθ e inπ, missä n Z, niin saadaan w = ln z = ln r + iθ + inπ, n Z Logaritmi on siis äärettömän moniarvoinen funktio. Helposti nähdään että
Värähdysliikkeet. q + f (q, q, t) = 0. q + f (q, q) = F (t) missä nopeusriippuvuus kuvaa vaimenemista ja F (t) on ulkoinen pakkovoima.
Torstai 18.9.2014 1/17 Värähdysliikkeet Värähdysliikkeet ovat tyypillisiä fysiikassa: Häiriö oskillaatio Jaksollinen liike oskillaatio Yleisesti värähdysliikettä voidaan kuvata yhtälöllä q + f (q, q, t)
SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT
SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 43 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Kuva 12. Esimerkin 4.26(c kuvauksen
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Differentiaaliyhtälöt. osa 2 Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 1 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista
Osittaisdifferentiaaliyhtälöt
Osittaisdifferentiaaliyhtälöt Harjoituskokoelmat 4 ja 5, kevät 2011 Palautus Eemeli Blåstenille to 23.6. klo 16.00 mennessä 1. Ratkaise Dirichlet ongelma u(x, y) = 0, x 2 + y 2 < 1, u(x, y) = y + x 2,
Normaaliryhmä. Toisen kertaluvun normaaliryhmä on yleistä muotoa
Normaaliryhmä Toisen kertaluvun normaaliryhmä on yleistä muotoa x = u(t,x,y), y t I, = v(t,x,y), Funktiot u = u(t,x,y), t I ja v = v(t,x,y), t I ovat tunnettuja Toisen kertaluvun normaaliryhmän ratkaisu
Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 5. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 5 () Numeeriset menetelmät / 28
Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 5 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 5 () Numeeriset menetelmät 3.4.2013 1 / 28 Luennon 5 sisältö Luku 4: Ominaisarvotehtävistä Potenssiinkorotusmenetelmä QR-menetelmä
Osoita, että eksponenttifunktio ja logaritmifunktio ovat differentiaaliyhtälön
3. Lineaariset differentiaaliyhtälöt 3.1. Lineaariyhtälöiden teoriaa 99. Onko differentiaaliyhtälö y + x(y y )=y + 1 a) lineaarinen, b) homogeeninen? 100. Olkoot funktiot f (x) ja g(x) jatkuvasti derivoituvia
Matemaattinen Analyysi
Vaasan liopisto, kevät 2015 / ORMS1010 Matemaattinen Analsi 8. harjoitus, viikko 18 R1 ma 16 18 D115 (27.4.) R2 ke 12 14 B209 (29.4.) 1. Määritä funktion (x) MacLaurinin sarjan kertoimet, kun (0) = 2 ja
Lukujonot Z-muunnos Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt. Z-muunnos. 5. joulukuuta Z-muunnos
Lukujonot Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt 5. joulukuuta 2016 Lukujonot Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt Lukujonot Lukujonot Z-muunnoksen ominaisuuksia
k = 1,...,r. L(x 1 (t), x
Mat-2.148 Dynaaminen optimointi Mitri Kitti/Ilkka Leppänen Mallivastaukset, kierros 6 1. Johdetaan välttämättömät ehdot funktionaalin J(y) = t g(y(t), ẏ(t),..., dr y(t), t) dt dt r ekstremaalille, kun
Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 5. viikolle /
MS-A8 Differentiaali- ja integraalilaskenta, V/7 Differentiaali- ja integraalilaskenta Ratkaisut 5. viikolle / 9..5. Integroimismenetelmät Tehtävä : Laske osittaisintegroinnin avulla a) π x sin(x) dx,
H5 Malliratkaisut - Tehtävä 1
H5 Malliratkaisut - Tehtävä Eelis Mielonen 30. syyskuuta 07 a) 3a (ax + b)3/ + C b) a cos(ax + b) + C a) Tässä tehtävässä päästään harjoittelemaan lukiosta tuttua integrointimenetelmää. Ensimmäisessä kohdassa
Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaarisista differentiaaliyhtälöistä
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Riikka Sjögren Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaarisista differentiaaliyhtälöistä Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka Toukokuu 2010 Tampereen
Lukujonot Z-muunnos Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt. Z-muunnos. 1. joulukuuta Z-muunnos
Lukujonot Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt 1. joulukuuta 2015 Lukujonot Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt Lukujono Lukujono on diskreetti funktio
2 Johdanto Tassa esityksessa funktiot ovat - ellei muuta sanota - yhden tai useamman reaalimuuttujan reaaliarvoisia funktioita. Funktion kasitteen tas
Dierentiaaliyhtalot/217 I. Ensimmaisen kertaluvun DY I.1. Lineaarinen DY I.2. Separoituva DY I.3. Eksakti DY I.4. Muita DY:ita I.5. Ratkaisun olemassaolo II. Toisen kertaluvun lineaarinen DY II.1. Perusjarjestelma
DI matematiikan opettajaksi: Täydennyskurssi, kevät 2010 Luentorunkoa ja harjoituksia viikolle 13: ti klo 13:00-15:30 ja to 1.4.
DI matematiikan opettajaksi: Täydennyskurssi, kevät Luentorunkoa ja harjoituksia viikolle 3: ti 33 klo 3:-5:3 ja to 4 klo 9:5-: Käydään läpi differentiaaliyhtälöitä Määritelmä Olkoon A R n n (MatLab:ssa
5 Ominaisarvot ja ominaisvektorit
5 Ominaisarvot ja ominaisvektorit Olkoon A = [a jk ] n n matriisi. Tarkastellaan vektoriyhtälöä Ax = λx, (1) missä λ on luku. Sellaista λ:n arvoa, jolla yhtälöllä on ratkaisu x 0, kutsutaan matriisin A
13. Ratkaisu. Kirjoitetaan tehtävän DY hieman eri muodossa: = 1 + y x + ( y ) 2 (y )
MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Differentiaaliyhtälöt, kesä 00 Tehtävät 3-8 / Ratkaisuehdotuksia (RT).6.00 3. Ratkaisu. Kirjoitetaan tehtävän DY hieman eri muodossa: y = + y + y = + y + ( y ) (y
ja λ 2 = 2x 1r 0 x 2 + 2x 1r 0 x 2
Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 4, 7.10.2015 1. Olkoot c 0, c 1 R siten, että polynomilla r 2 c 1 r c 0 on kaksinkertainen juuri. Määritä rekursioyhtälön x n+2 = c 1 x n+1 + c 0 x n, n N,
2.2.1 Ratkaiseminen arvausta sovittamalla
2.2.1 Ratkaiseminen arvausta sovittamalla Esimerkki: lomitusjärjestäminen (edellä) Yleistys: Ratkaistava T (1) c T (n) g(t (1),..., T (n 1), n) missä g on n ensimmäisen parametrin suhteen kasvava. (Ratkaisu
Matriisiteoria Harjoitus 1, kevät Olkoon. cos α sin α A(α) = . sin α cos α. Osoita, että A(α + β) = A(α)A(β). Mikä matriisi A(α)A( α) on?
Harjoitus 1, kevät 007 1. Olkoon [ ] cos α sin α A(α) =. sin α cos α Osoita, että A(α + β) = A(α)A(β). Mikä matriisi A(α)A( α) on?. Olkoon a x y A = 0 b z, 0 0 c missä a, b, c 0. Määrää käänteismatriisi
1. Viikko. K. Tuominen MApu II 1/17 17
1. Viikko Keskeiset asiat ja tavoitteet: 1. Kompleksiluvut, kompleksitaso, polaariesitys, 2. Kompleksilukujen peruslaskutoimitukset, 3. Eulerin ja De Moivren kaavat, 4. Potenssi ja juuret, kompleksinen
Matemaattinen Analyysi
Vaasan yliopisto, 009-010 / ORMS1010 Matemaattinen Analyysi 7 harjoitus 1 Määritä seuraavien potenssisarjojen suppenemissäteet a) k k x 5)k b) k=1 k x 5)k = k k 1) k ) 1) Suppenemissäteen R käänteisarvo
1 Di erentiaaliyhtälöt
Taloustieteen mat.menetelmät syksy 2017 materiaali II-5 1 Di erentiaaliyhtälöt 1.1 Skalaariyhtälöt Määritelmä: ensimmäisen kertaluvun di erentiaaliyhtälö on muotoa _y = F (y; t) oleva yhtälö, missä _y
Matematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 2 Lisää osamurtoja Tutkitaan jälleen rationaalifunktion P(x)/Q(x) integrointia. Aiemmin käsittelimme tapauksen, jossa nimittäjä voidaan esittää muodossa Q(x) = a(x x
Matriisilaskenta Luento 16: Matriisin ominaisarvot ja ominaisvektorit
Matriisilaskenta Luento 16: Matriisin ominaisarvot ja ominaisvektorit Antti Rasila 2016 Ominaisarvot ja ominaisvektorit 1/5 Määritelmä Skalaari λ C on matriisin A C n n ominaisarvo ja vektori v C n sitä
1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus
1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1.1 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä V epätyhjä joukko. Oletetaan, että joukossa V on määritelty laskutoimitus
Laplace-muunnos: määritelmä
Laplace-muunnos: määritelmä Olkoon f : [, [ R funktio. Funktion f Laplacen muunnos määritellään yhtälöllä F(s) = L(f) := f(t)e st dt edellyttäen, että integraali f(t)e st dt suppenee. Riittävä ehto integraalin
Vakiokertoiminen lineaarinen normaaliryhmä
1 MAT-1345 LAAJA MATEMATIIKKA 5 Tampereen teknillinen yliopisto Risto Silvennoinen Kevät 29 Vakiokertoiminen lineaarinen normaaliryhmä Todetaan ensin ilman todistuksia (tulos on syvällinen) ratkaisujen
FyMM IIa Kertausta loppukoetta varten
Tiistai 27.2.2018 1/11 FyMM IIa Kertausta loppukoetta varten 2018 Tiistai 27.2.2018 2/11 1 Kokeesta yleisesti 2 3 4 5 6 Koealue jakaantuu neljään pääalueeseen: 1 Ensimmäisen kertaluvun ODY:t 2 Toisen kertaluvun
min x x2 2 x 1 + x 2 1 = 0 (1) 2x1 1, h = f = 4x 2 2x1 + v = 0 4x 2 + v = 0 min x x3 2 x1 = ± v/3 = ±a x 2 = ± v/3 = ±a, a > 0 0 6x 2
TEKNILLINEN KORKEAKOULU Systeemianalyysin laboratorio Mat-39 Optimointioppi Kimmo Berg 6 harjoitus - ratkaisut min x + x x + x = () x f = 4x, h = x 4x + v = { { x + v = 4x + v = x = v/ x = v/4 () v/ v/4
Derivaatta: funktion approksimaatio lineaarikuvauksella.
Viikko 5 Tällä viikolla yleistetään R 2 :n ja R 3 :n vektorialgebran peruskäsitteet n-ulotteiseen avaruuteen R n, ja määritellään lineaarikuvaus. Tarkastellaan funktioita, joiden määrittelyjoukko on n-ulotteisen
Ominaisarvo-hajoitelma ja diagonalisointi
Ominaisarvo-hajoitelma ja a 1 Lause 1: Jos reaalisella n n matriisilla A on n eri suurta reaalista ominaisarvoa λ 1,λ 2,...,λ n, λ i λ j, kun i j, niin vastaavat ominaisvektorit x 1, x 2,..., x n muodostavat
7. Olemassaolo ja yksikäsitteisyys Galois n kunta GF(q) = F q, jossa on q alkiota, määriteltiin jäännösluokkarenkaaksi
7. Olemassaolo ja yksikäsitteisyys Galois n kunta GF(q) = F q, jossa on q alkiota, määriteltiin jäännösluokkarenkaaksi Z p [x]/(m), missä m on polynomirenkaan Z p [x] jaoton polynomi (ks. määritelmä 3.19).
HY, MTO / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIa, syksy 2018 Harjoitus 3 Ratkaisuehdotuksia.
HY, MTO / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIa, syksy 8 Harjoitus Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I. Mitkä seuraavista funktioista F, F, F ja F 4 ovat kertymäfunktioita? Mitkä
Rollen lause polynomeille
Rollen lause polynomeille LuK-tutkielma Anna-Helena Hietamäki 7193766 Matemaattisten tieteiden tutkinto-ohjelma Oulun yliopisto Kevät 015 Sisältö 1 Johdanto 1.1 Rollen lause analyysissä.......................
Mat-2.148 Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros 5
Mat-2.148 Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros 5 1. Kotitehtävä. 2. Lasketaan aluksi korkoa korolle. Jos korkoprosentti on r, ja korko maksetaan n kertaa vuodessa t vuoden ajan, niin kokonaisvuosikorko
3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä
1 3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä Lineaarinen m:n yhtälön yhtälöryhmä, jossa on n tuntematonta x 1,, x n on joukko yhtälöitä, jotka ovat muotoa a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a
k=0 saanto jokaisen kolmannen asteen polynomin. Tukipisteet on talloin valittu
LIS AYKSI A kirjaan Reaalimuuttujan analyysi 1.6. Numeerinen integrointi: Gaussin kaavat Edella kasitellyt numeerisen integroinnin kaavat eli kvadratuurikaavat Riemannin summa, puolisuunnikassaanto ja
3x + y + 2z = 5 e) 2x + 3y 2z = 3 x 2y + 4z = 1. x + y 2z + u + 3v = 1 b) 2x y + 2z + 2u + 6v = 2 3x + 2y 4z 3u 9v = 3. { 2x y = k 4x + 2y = h
HARJOITUSTEHTÄVIÄ 1. Anna seuraavien yhtälöryhmien kerroinmatriisit ja täydennetyt kerroinmatriisit sekä ratkaise yhtälöryhmät Gaussin eliminointimenetelmällä. { 2x + y = 11 2x y = 5 2x y + z = 2 a) b)
[xk r k ] T Q[x k r k ] + u T k Ru k. }.
Mat-2.48 Dynaaminen optimointi Mitri Kitti/Ilkka Leppänen Mallivastaukset, kierros 3. Johdetaan lineaarisen aikainvariantin seurantatehtävän yleinen ratkaisu neliöllisellä kustannuksella. Systeemi: x k+
13. Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä
187 13. Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä Yksi tavallisimmista luonnontieteissä ja tekniikassa esiintyvistä matemaattisista malleista on differentiaaliyhtälö. Se on yleisessä muodossaan
1. Murtoluvut, murtolausekkeet, murtopotenssit ja itseisarvo
1. Murtoluvut, murtolausekkeet, murtopotenssit ja itseisarvo Olkoot a, b, c mielivaltaisesti valittuja reaalilukuja eli reaaliakselin pisteitä. Ne toteuttavat seuraavat laskulait (ns. kunta-aksioomat):
Yhtälöryhmät 1/6 Sisältö ESITIEDOT: yhtälöt
Yhtälöryhmät 1/6 Sisältö Yhtälöryhmä Yhtälöryhmässä on useita yhtälöitä ja yleensä myös useita tuntemattomia. Tavoitteena on löytää tuntemattomille sellaiset arvot, että kaikki yhtälöt toteutuvat samanaikaisesti.
5.2.1 Separoituva DY. 5.2 I kertaluvun differentiaaliyhtälöistä
5.2. I kertaluvun differentiaaliyhtälöistä 125 Differentiaaliyhtälön kertaluku on yhtälössä esiintyvän korkeimman derivaatan kertaluku. (Esim. y +x 3 y = 0 on toisen kertaluvun differentiaaliyhtälö ja
Mat Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros Johdetaan välttämättömät ehdot funktionaalin. g(y(t), ẏ(t),...
Mat-2.148 Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros 6 1. Johdetaan välttämättömät ehdot funktionaalin J(y) = g(y(t), ẏ(t),..., dr y(t), t) dt dt r ekstremaalille, kun ja t f ovat kiinteitä ja tiedetään
4 KORKEAMMAN KERTALUVUN LINEAARISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT. Kertaluvun n lineaarinen differentiaaliyhtälö ns. standardimuodossa on
4 4 KORKEAAN KERTAUVUN INEAARISET DIFFERENTIAAIYHTÄÖT Kertalukua olevassa differetiaalihtälössä F(x,,,, () ) = 0 esiit :e kertaluvu derivaatta () = d /dx ja mahdollisesti alempia derivaattoja, :tä ja x:ää.
MS-C1340 Lineaarialgebra ja
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Differentiaaliyhtälöt, osa 1 Riikka Kangaslampi Kevät 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto DY-teoriaa DY-teoriaa Käsitellään seuraavaksi
Useita oskillaattoreita yleinen tarkastelu
Useita oskillaattoreita yleinen tarkastelu Useita riippumattomia vapausasteita q i, i =,..., n ja potentiaali vastaavasti U(q, q 2,..., q n). Tasapainoasema {q 0, q0 2,..., q0 n} q 0 Käytetään merkintää