Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 12. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 12 () Numeeriset menetelmät / 33
|
|
- Paavo Leppänen
- 7 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 12 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 12 () Numeeriset menetelmät / 33
2 Luennon 2 sisältö Tavallisten differentiaaliyhtälöiden numeriikasta Rungen ja Kuttan menetelmät Lineaariset moniaskelmenetelmät Luento 12 () Numeeriset menetelmät / 33
3 Luku 7: Tavallisten diff.yhtälöiden numeriikasta Tavalliset differentiaaliyhtälöt ovat usein käytetty matemaattinen malli fysikaalisia ilmiöitä tutkittaessa. tarkastellaan eräitä klassisia ja/tai yleisesti käytettyjä menetelmiä tavallisten differentiaaliyhtälöiden ja differentiaaliyhtälösysteemien ratkaisemiseen. Yhden tuntemattoman funktion ensimmäisen kertaluvun tavallinen differentiaaliyhtälö on muotoa y (t) = f (t, y(t)) (1) eli etsitään funktiota y : R R, jolle (1) on voimassa. Kertaluku kertoo yhtälössä esiintyvän korkeimman y:n derivaatan kertaluvun. Luento 12 () Numeeriset menetelmät / 33
4 Tavallisten diff.yht. numeriikasta jatkuu Yhtälöllä y (t) = f (t, y(t)) on yleensä parvi ratkaisuja, jolloin alkuehdolla y(t 0 ) = y 0 kiinnitetään yksikäsitteinen ratkaisu. y 0 y(t) t 0 t Luento 12 () Numeeriset menetelmät / 33
5 Tavallisten diff.yht. numeriikasta jatkuu Tarkastellaan ensimmäisen kertaluvun tavallista differentiaaliyhtälöryhmää y ( 1(t) = f 1 t, y1 (t), y 2 (t),..., y m (t) ), y 2(t) ( = f 2 t, y1 (t), y 2 (t),..., y m (t) ),. y m(t) ( = f m t, y1 (t), y 2 (t),..., y m (t) ), missä - t R on riippumaton muuttuja, - funktiot y 1, y 2,..., y m : R R ovat tuntemattomia ja - funktiot f 1, f 2,..., f m : R m+1 R ovat annettuja. (2) Luento 12 () Numeeriset menetelmät / 33
6 Tavallisten diff.yht. numeriikasta jatkuu Yhtälöryhmän (2) ratkaisu saadaan yksikäsitteiseksi, kun asetetaan alkuehdot y 1 (a) = ŷ1 0, y 2 (a) = ŷ2 0,. y m (a) = ŷm, 0 missä a R ja ŷ 0 1, ŷ 0 2,..., ŷ 0 m R ovat annettuja. (3) Luento 12 () Numeeriset menetelmät / 33
7 Tavallisten diff.yht. numeriikasta jatkuu Ottamalla käyttöön vektorimerkinnät voidaan (2) ja (3) kirjoittaa lyhyesti ja y (t) = f ( t, y(t) ), (4) y(a) = ŷy 0, (5) missä y = (y 1, y 2,..., y m ), f = (f 1, f 2,..., f m ) ja ŷy 0 = (ŷ 0 1, ŷ 0 2,..., ŷ 0 m). Differentiaaliyhtälön (4) ja alkuehdon (5) muodostamaa systeemiä kutsutaan alkuarvotehtäväksi. Luento 12 () Numeeriset menetelmät / 33
8 Esimerkki 7.1 Lenkkeilijän (tunnettu) paikka hetkellä t on x(t) = (x 1 (t), x 2 (t)). Hetkellä t = 0 koira on paikassa ŷy 0 ja hetkellä t > 0 paikassa y(t) = (y 1 (t), y 2 (t)). Koira juoksee vakiovauhdilla w = y (t) kohti lenkkeilijää eli koiran nopeusvektori on muotoa josta saadaan vakiolle λ lauseke v(t) = y (t) = λ(x(t) y(t)), λ = w x(t) y(t). Luento 12 () Numeeriset menetelmät / 33
9 Esimerkki 7.1 jatkuu Koiran kulkema reitti (s.o. funktiot y 1 ja y 2 ) saadaan ratkaisemalla differentiaaliyhtälöryhmä y x(t) y(t) (t) = w x(t) y(t) y(0) = ŷy 0. Luento 12 () Numeeriset menetelmät / 33
10 Tavallisten diff.yht. numeriikasta jatkuu Tarkoituksena on nyt etsiä sellainen funktio y, joka toteuttaa yhtälön y (t) = f ( t, y(t) ), (4) ja ehdon y(a) = ŷy 0. (5) Voidaan todistaa seuraava tulos: Luento 12 () Numeeriset menetelmät / 33
11 Lause 7.1 Luku 7: Tavallisten diff.yhtälöiden numeriikasta Oletetaan, että alueessa D R m+1 funktio f on jatkuva ja toteuttaa Lipschitz-ehdon f (t, y) f (t,ȳy) L y ȳy, L 0. Olkoon alkuarvo (a,ŷy 0 ) D annettu. Silloin tehtävällä (4) (5) on yksikäsitteinen, jatkuvasti differentioituva ratkaisu y. Luento 12 () Numeeriset menetelmät / 33
12 Huomautus 7.1 Jatkossa ei tehdä eroa differentiaaliyhtälön (m = 1) ja differentiaaliyhtälöryhmän (m > 1) välillä, vaan käytetään aina alkuarvotehtävän lyhyempää muotoa (4) (5). Se, että tarkastellaan vain ensimmäisen kertaluvun yhtälöitä, ei ole mikään rajoitus, sillä korkeamman kertaluvun tavalliset differentiaaliyhtälöt voidaan aina palauttaa edellä esitettyyn muotoon sijoittamalla y 1 = y, y 2 = y, y 3 = y, jne. Luento 12 () Numeeriset menetelmät / 33
13 Huomautus 7.1 jatkuu Esimerkiksi tavallinen differentiaaliyhtälö y (m) = f (t, y, y, y, y,..., y (m1) ) voidaan palauttaa differentiaaliyhtälöryhmäksi y 1 = y 2 y 2 = y 3. y m 1 = y m y m = f (t, y 1, y 2,..., y m ). Luento 12 () Numeeriset menetelmät / 33
14 Tavallisten diff.yht. numeriikasta jatkuu Olemme siis ratkaisemassa tehtävää y (t) = f ( t, y(t) ), y(a) = ŷ 0. Alkuarvotehtävien numeerisessa ratkaisemisessa määrätään funktiolle y likiarvot pisteissä t j = a + jh (j = 0, 1, 2,... ), missä h on sopiva askelpituus. Jatkossa käytetään merkintöjä y j = y(t j ) ja f j = f (t j, y j ). Luento 12 () Numeeriset menetelmät / 33
15 7.1 Rungen ja Kuttan menetelmät 7.1 Rungen ja Kuttan menetelmät Tunnetaan funktion y arvo pisteessä t n eli y n. Määrätään sen arvo pisteessä t n+1 kaavalla missä y n+1 = y n + k 1 = hf (t n, y n ), r w i k i, i=1 i 1 k i = hf (t n + c i h, y n + a ij k j ), 1 < i r. j=1 Määräämällä arvot kertoimille w i, c i ja a ij saadaan erilaisia Rungen ja Kuttan menetelmiä. Luento 12 () Numeeriset menetelmät / 33
16 7.1 Rungen ja Kuttan menetelmät Rungen ja Kuttan menetelmät jatkuu Tavoitteena on määrätä kertoimet siten, että virhetermi olisi suuruusluokkaa h p+1 jollain kokonaisluvulla p. Yhdellä askeleella tehdään siis suuruusluokkaa O(h p+1 ) oleva paikallinen virhe. Jotta päästään pisteestä t = a pisteeseen t = b, niin tarvitaan (b a)/h askelta. Pahimmassa tapauksessa kokonaisvirhe on kertaluokkaa O ( (h p+1 ) (b a)/h ) = O(h p ). Sanotaan, että menetelmän kertaluku on p. Luento 12 () Numeeriset menetelmät / 33
17 7.1 Rungen ja Kuttan menetelmät Rungen ja Kuttan menetelmät jatkuu + Rungen ja Kuttan menetelmät ovat melko yksinkertaisia ja helppoja ohjelmoida. + ne ovat ns. yksiaskelmenetelmiä, ts. niissä voidaan lähteä liikkeelle suoraan alkuarvosta y 0 = y(a) toisin kuin ns. moniaskelmenetelmissä, jotka täytyy käynnistää. Funktion f arvoja joudutaan laskemaan myös muualla kuin vain pisteissä t j. Funktion arvon laskuja tarvitaan varsinkin korkeamman kertaluvun menetelmissä melko runsaasti. Luento 12 () Numeeriset menetelmät / 33
18 7.1 Rungen ja Kuttan menetelmät Rungen ja Kuttan menetelmät jatkuu Yleinen Rungen ja Kuttan menetelmä oli siis muotoa missä r y n+1 = y n + w i k i, i=1 k 1 = hf (t n, y n ), i 1 k i = hf (t n + c i h, y n + a ij k j ), 1 < i r. j=1 Luento 12 () Numeeriset menetelmät / 33
19 7.1 Rungen ja Kuttan menetelmät Rungen ja Kuttan menetelmät jatkuu Ehkä tunnetuin Rungen ja Kuttan menetelmä on klassinen neljännen kertaluvun menetelmä, joka on muotoa k 1 = h f (t n, y n ), k 2 = h f (t n + h 2, y n + k 1 2 ) k 3 = h f (t n + h 2, y n + k 2 2 ), k 4 = h f (t n + h, y n + k 3 ) y n+1 = y n + k k k k O(h5 ). Missä siis valittiin w 1 = 1 6, w 2 = w 3 = 1 3, w 4 = 1 6 c 2 = c 3 = 1 2, c 4 = 1, a 21 = 1 2, a 31 = 0, a 32 = 1 2, a 41 = a 42 = 0, a 43 = 1. Luento 12 () Numeeriset menetelmät / 33
20 Esimerkki Rungen ja Kuttan menetelmät Ratkaistaan alkuarvotehtävä y (t) = sin(y(t)), y(0) = 1 neljännen kertaluvun Rungen ja Kuttan menetelmällä pisteessä t = 2 eri askelpituuksilla h. Virhe pienenee 1/16 osaan, kun askelpituus puolitetaan (taulukko). h y (h) (2) y (h) (2) y(2) Luento 12 () Numeeriset menetelmät / 33
21 7.1.1 Askelpituuden säätämisestä 7.1 Rungen ja Kuttan menetelmät a b Oletetaan, että tarkasteltavan differentiaaliyhtälön ratkaisu on kuvassa esitetyn muotoinen. Voisi luulla, että Kaukana pisteestä t = a, missä ratk. on lähes vakio, voisi käyttää pitkää askelpituutta virheen oleellisesti kasvamatta. y(t) Toisaalta pisteen t = a lähellä saatetaan tarvita hyvinkin pientä askelpituutta. Miten askelpituus olisi valittava? Voisiko sen ehkä määrätä adaptiivisesti? Luento 12 () Numeeriset menetelmät / 33
22 7.1 Rungen ja Kuttan menetelmät Askelpituuden säätämisestä jatkuu Yksinkertainen tapa arvioida Rungen ja Kuttan menetelmän paikallista virhettä: Olkoon menetelmän kertaluku p Yhden askeleen menetelmävirhe on T (t, h) Ch p+1. Olkoon y = y(t) tarkka ratkaisu. Oletetaan, että arvo y n on tarkka. - Jos y n+1 = y (h) n+1 on laskettu käyttäen askelpituutta h ja y n+1 = y (h/2) n+1 suorittamalla kaksi askelta askelpituudella h/2, voidaan paikallista menetelmävirhettä arvioida kaavalla T (t n, h) y (h/2) n+1 y (h) n p. Luento 12 () Numeeriset menetelmät / 33
23 7.1 Rungen ja Kuttan menetelmät Askelpituuden säätämisestä jatkuu Jotta pisteestä t n päästään pisteeseen t = b, tarvitaan (b t n )/h askelta. Virhe y (h) (b) y(b) on alle toleranssin ε, jos T (t n, h) εh/(b t n ). Mikäli yo. ehto ei ole voimassa, pitää askelpituutta pienentää. Vastaavasti askelpituutta voidaan kasvattaa, mikäli paikallinen virhe on liian pieni Luento 12 () Numeeriset menetelmät / 33
24 7.2 Lineaariset moniaskelmenetelmät 7.2 Lineaariset moniaskelmenetelmät Oletetaan, että tunnetaan funktion y arvot y n, y n+1,..., y n+k 1, missä k on menetelmän askelluku. Määrätään arvo y n+k ratkaisemalla se yhtälöstä k α j y n+j + h j=0 k β j f n+j = 0, (α k 0), (6) j=0 missä α j ja β j ovat tunnettuja kertoimia. (Jatkossa oletetaan yksinkertaisuuden vuoksi, että kerroin α k = 1.) Luento 12 () Numeeriset menetelmät / 33
25 7.2 Lineaariset moniaskelmenetelmät Lineaariset moniaskelmenetelmät jatkuu Voidaan erotella kaksi eri tapausta: Jos β k = 0, sanotaan menetelmää eksplisiittiseksi. Tällöin y n+k voidaan laskea suoraan yhtälöstä (6): k α j y n+j + h j=0 k 1 k 1 α j y n+j + α }{{} k y n+k + h j=0 1 j=0 j=0 k β j f n+j = 0 j=0 β j f n+j + h β k }{{} =0 k 1 k 1 y n+k = α j y n+j + h β j f n+j. j=0 f n+k = 0 Luento 12 () Numeeriset menetelmät / 33
26 7.2 Lineaariset moniaskelmenetelmät Lineaariset moniaskelmenetelmät jatkuu Jos taas β k 0, sanotaan menetelmää implisiittiseksi. Tällöin y n+k joudutaan ratkaisemaan epälineaarisesta yhtälöstä k 1 k 1 y n+k = α j y n+j + h β j f n+j + hβ k f (t n+k, y n+k ). j=0 j=0 Luento 12 () Numeeriset menetelmät / 33
27 7.2 Lineaariset moniaskelmenetelmät Lineaariset moniaskelmenetelmät jatkuu Eri α j, β j, k arvoilla saadaan erilaisia moniaskelmenetelmiä. + Nyt funktion f arvoja tarvitaan vain pisteissä t j. Siten funktionkehitysten määrä jää pienemmäksi. alkuarvon y 0 lisäksi tarvitaan k 1 muuta arvoa y 1, y 2,..., y k 1, jotka täytyy määrätä jollain toisella tavalla (esim. Rungen ja Kuttan menetelmällä). Sanotaan, että moniaskelmenetelmät pitää käynnistää. Luento 12 () Numeeriset menetelmät / 33
28 Eulerin menetelmä 7.2 Lineaariset moniaskelmenetelmät Esimerkki eksplisiittisestä menetelmästä: Eulerin menetelmä (k = 1, α 0 = β 0 = 1) 0 0 y n+1 = α j y n+j + h β j f n+j. eli lyhyesti j=0 j=0 y n+1 = y n + hf n. Luento 12 () Numeeriset menetelmät / 33
29 7.2 Lineaariset moniaskelmenetelmät Moniaskelmenetelmien johto Numeerisia integrointikaavoja käyttäen Avoimet Newtonin ja Cotesin kaavat antavat eksplisiittisiä menetelmiä: Olkoon laskettavana integraali b a u(x) dx. Eräs avoin Newtonin ja Cotesin kaava on b a u(x) dx = 4h 3 (2u 0 u 1 + 2u 2 ) h5 u (ξ), missä h = (b a)/4, u j = u(x j ), x j = a + (j + 1)h ja ξ ]a, b[. Luento 12 () Numeeriset menetelmät / 33
30 7.2 Lineaariset moniaskelmenetelmät Moniaskelmenetelmien johto jatkuu Sovelletaan tätä välillä [t n, t n+4 ] funktioon y = f, jolloin saadaan y n+4 y n = tn+4 t n y (t) dt 4h 3 (2f n+1 f n+2 + 2f n+3 ). Näin on johdettu moniaskelmenetelmä (k = 4) y n+4 = y n + 4h 3 (2f n+1 f n+2 + 2f n+3 ). Luento 12 () Numeeriset menetelmät / 33
31 7.2 Lineaariset moniaskelmenetelmät Moniaskelmenetelmien johto jatkuu Suljetut Newtonin Cotesin kaavat antavat implisiittisiä menetelmiä: Esimerkkinä tarkastellaan integrointikaavaa (Simpsonin sääntö) b a u(x) dx = h 3 (u 0 + 4u 1 + u 2 ) h5 90 u (ξ), missä h = (b a)/2, u j = u(x j ), x j = a + jh ja ξ ]a, b[. Luento 12 () Numeeriset menetelmät / 33
32 7.2 Lineaariset moniaskelmenetelmät Moniaskelmenetelmien johto jatkuu Soveltamalla tätä vastaavasti välillä [t n, t n+2 ] funktioon y = f saadaan y n+2 y n = tn+2 t n y (t) dt h 3 (f n + 4f n+1 + f n+2 ). eli moniaskelmenetelmä (k = 2) y n+2 = y n + h 3 (f n + 4f n+1 + f n+2 ). Luento 12 () Numeeriset menetelmät / 33
33 7.2 Lineaariset moniaskelmenetelmät Moniaskelmenetelmien johto jatkuu Numeerisia integrointikaavoja käyttäen Avoimet Newtonin ja Cotesin kaavat antavat eksplisiittisiä menetelmiä Suljetut Newtonin Cotesin kaavat antavat implisiittisiä menetelmiä Luento 12 () Numeeriset menetelmät / 33
Numeeriset menetelmät
Numeeriset menetelmät Luento 12 To 13.10.2011 Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 12 To 13.10.2011 p. 1/38 p. 1/38 Tavalliset differentiaaliyhtälöt Yhtälöissä tuntematon funktio Tavalliset
Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 11. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 11 () Numeeriset menetelmät / 37
Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 11 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 11 () Numeeriset menetelmät 24.4.2013 1 / 37 Luennon 11 sisältö Numeerisesta integroinnista ja derivoinnista Adaptiiviset
Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 13. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 13 () Numeeriset menetelmät / 42
Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 13 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 13 () Numeeriset menetelmät 8.5.2013 1 / 42 Luennon 13 sisältö Tavallisten differentiaaliyhtälöiden numeriikasta Moniaskelmenetelmien
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Differentiaaliyhtälöt, osa 1 Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 20 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista
2v 1 = v 2, 2v 1 + 3v 2 = 4v 2.. Vastaavasti ominaisarvoa λ 2 = 4 vastaavat ominaisvektorit toteuttavat. v 2 =
TKK, Matematiikan laitos Pikkarainen/Tikanmäki Mat-1.1320 Matematiikan peruskurssi K2 Harjoitus 12, A=alku-, L=loppuviikko, T= taulutehtävä, P= palautettava tehtävä, W= verkkotehtävä 21. 25.4.2008, viikko
Numeeriset menetelmät
Numeeriset menetelmät Luento 11 Ti 11.10.2011 Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 11 Ti 11.10.2011 p. 1/34 p. 1/34 Automaattiset integrointialgoritmit Numeerisen integroinnin tarkkuuteen
Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 7. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 7 () Numeeriset menetelmät / 43
Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 7 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 7 () Numeeriset menetelmät 10.4.2013 1 / 43 Luennon 7 sisältö Interpolointi ja approksimointi Interpolaatiovirheestä Paloittainen
Normaaliryhmä. Toisen kertaluvun normaaliryhmä on yleistä muotoa
Normaaliryhmä Toisen kertaluvun normaaliryhmä on yleistä muotoa x = u(t,x,y), y t I, = v(t,x,y), Funktiot u = u(t,x,y), t I ja v = v(t,x,y), t I ovat tunnettuja Toisen kertaluvun normaaliryhmän ratkaisu
Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 8. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 8 () Numeeriset menetelmät / 35
Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 8 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 8 () Numeeriset menetelmät 11.4.2013 1 / 35 Luennon 8 sisältö Interpolointi ja approksimointi Funktion approksimointi Tasainen
BM20A0900, Matematiikka KoTiB3
BM20A0900, Matematiikka KoTiB3 Luennot: Matti Alatalo Oppikirja: Kreyszig, E.: Advanced Engineering Mathematics, 8th Edition, John Wiley & Sons, 1999, luvut 1 4. 1 Sisältö Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälöt
y = 3x2 y 2 + sin(2x). x = ex y + e y2 y = ex y + 2xye y2
Matematiikan ja tilastotieteen osasto/hy Differentiaaliyhtälöt I Laskuharjoitus 2 mallit Kevät 219 Tehtävä 1. Laske osittaisderivaatat f x = f/x ja f y = f/, kun f = f(x, y) on funktio a) x 2 y 3 + y sin(2x),
Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 6. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 6 () Numeeriset menetelmät / 33
Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 6 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 6 () Numeeriset menetelmät 4.4.2013 1 / 33 Luennon 6 sisältö Interpolointi ja approksimointi Polynomi-interpolaatio: Vandermonden
Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä
1 MAT-1345 LAAJA MATEMATIIKKA 5 Tampereen teknillinen yliopisto Risto Silvennoinen Kevät 9 Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä Yksi tavallisimmista luonnontieteissä ja tekniikassa
Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 5. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 5 () Numeeriset menetelmät / 28
Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 5 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 5 () Numeeriset menetelmät 3.4.2013 1 / 28 Luennon 5 sisältö Luku 4: Ominaisarvotehtävistä Potenssiinkorotusmenetelmä QR-menetelmä
Yhtälöryhmät 1/6 Sisältö ESITIEDOT: yhtälöt
Yhtälöryhmät 1/6 Sisältö Yhtälöryhmä Yhtälöryhmässä on useita yhtälöitä ja yleensä myös useita tuntemattomia. Tavoitteena on löytää tuntemattomille sellaiset arvot, että kaikki yhtälöt toteutuvat samanaikaisesti.
Harjoitus Tarkastellaan luentojen Esimerkin mukaista työttömyysmallinnusta. Merkitään. p(t) = hintaindeksi, π(t) = odotettu inflaatio,
Differentiaaliyhtälöt, Kesä 06 Harjoitus 3 Kaikissa tehtävissä, joissa pitää tarkastella kriittisten pisteiden stabiliteettia, jos kyseessä on satulapiste, ilmoita myös satulauraratkaisun (tai kriittisessä
Luku 4. Derivoituvien funktioiden ominaisuuksia.
1 MAT-1343 Laaja matematiikka 3 TTY 1 Risto Silvennoinen Luku 4 Derivoituvien funktioiden ominaisuuksia Derivaatan olemassaolosta seuraa funktioille eräitä säännöllisyyksiä Näistä on jo edellisessä luvussa
5 Differentiaaliyhtälöryhmät
5 Differentiaaliyhtälöryhmät 5.1 Taustaa ja teoriaa Differentiaaliyhtälöryhmiä tarvitaan useissa sovelluksissa. Toinen motivaatio yhtälöryhmien käytölle: Korkeamman asteen differentiaaliyhtälöt y (n) =
MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 10: Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö
MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 10: Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos
Insinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
[4A] DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 1. Alkuarvotehtävät
[4A] DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 1. Alkuarvotehtävät Numeerisen integroinnin yhteydessä ratkoimme jo tavallisia ensimmäisen kertaluvun alkuarvotehtäviä integroimalla eli t y (t) =f(t, y(t)) y(t) =y(t a )+ f(t,
6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset
SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 51 6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt Määritelmä 6.1. Olkoon I R avoin väli. Olkoot p i : I R, i = 0, 1, 2,..., n, ja q : I R jatkuvia
Lineaarinen toisen kertaluvun yhtälö
Lineaarinen toisen kertaluvun yhtälö Keijo Ruotsalainen Mathematics Division Lineaarinen toisen kertaluvun differentiaaliyhtälö Toisen kertaluvun täydellinen lineaarinen yhtälö muotoa p 2 (x)y + p 1 (x)y
Luento 9: Yhtälörajoitukset optimoinnissa
Luento 9: Yhtälörajoitukset optimoinnissa Lagrangen kerroin Oletetaan aluksi, että f, g : R R. Merkitään (x 1, x ) := (x, y) ja johdetaan Lagrangen kerroin λ tehtävälle min f(x, y) s.t. g(x, y) = 0 Olkoon
Matematiikka B3 - Avoin yliopisto
2. heinäkuuta 2009 Opetusjärjestelyt Luennot 9:15-11:30 Harjoitukset 12:30-15:00 Tentti Lisäharjoitustehtävä Kurssin sisältö (1/2) 1. asteen Differentiaali yhtälöt (1.DY) Separoituva Ratkaisukaava Bernoyulli
MS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 10: Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö
MS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 10: Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin
13. Ratkaisu. Kirjoitetaan tehtävän DY hieman eri muodossa: = 1 + y x + ( y ) 2 (y )
MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Differentiaaliyhtälöt, kesä 00 Tehtävät 3-8 / Ratkaisuehdotuksia (RT).6.00 3. Ratkaisu. Kirjoitetaan tehtävän DY hieman eri muodossa: y = + y + y = + y + ( y ) (y
x j x k Tällöin L j (x k ) = 0, kun k j, ja L j (x j ) = 1. Alkuperäiselle interpolaatio-ongelmalle saadaan nyt ratkaisu
2 Interpolointi Olkoon annettuna n+1 eri pistettä x 0, x 1, x n R ja n+1 lukua y 0, y 1,, y n Interpoloinnissa etsitään funktiota P, joka annetuissa pisteissä x 0,, x n saa annetut arvot y 0,, y n, (21)
Numeeriset menetelmät
Numeeriset menetelmät Luento 10 To 6.10.2011 Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 10 To 6.10.2011 p. 1/35 p. 1/35 Numeerinen integrointi Puolisuunnikassääntö b a f(x)dx = h 2 (f 0 + f
4. Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä
1 Laaja matematiikka 5 Kevät 010 4. Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä Yksi tavallisimmista luonnontieteissä ja tekniikassa esiintyvistä matemaattisista malleista on differentiaaliyhtälö.
6. Differentiaaliyhtälösysteemien laadullista teoriaa.
1 MAT-13450 LAAJA MATEMATIIKKA 5 Tampereen teknillinen yliopisto Risto Silvennoinen Kevät 2010 6. Differentiaaliyhtälösysteemien laadullista teoriaa. Olemme keskittyneet tässä kurssissa ensimmäisen kertaluvun
Kanta ja Kannan-vaihto
ja Kannan-vaihto 1 Olkoon L vektoriavaruus. Äärellinen joukko L:n vektoreita V = { v 1, v 2,..., v n } on kanta, jos (1) Jokainen L:n vektori voidaan lausua v-vektoreiden lineaarikombinaationa. (Ts. Span(V
y (0) = 0 y h (x) = C 1 e 2x +C 2 e x e10x e 3 e8x dx + e x 1 3 e9x dx = e 2x 1 3 e8x 1 8 = 1 24 e10x 1 27 e10x = e 10x e10x
BM0A5830 Differentiaaliyhtälöiden peruskurssi Harjoitus 4, Kevät 017 Päivityksiä: 1. Ratkaise differentiaaliyhtälöt 3y + 4y = 0 ja 3y + 4y = e x.. Ratkaise DY (a) 3y 9y + 6y = e 10x (b) Mikä on edellisen
Juuri 12 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty
Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 7.5.08 Kertaus K. a) Polynomi P() = + 8 on jaollinen polynomilla Q() =, jos = on polynomin P nollakohta, eli P() = 0. P() = + 8 = 54 08 +
k=0 saanto jokaisen kolmannen asteen polynomin. Tukipisteet on talloin valittu
LIS AYKSI A kirjaan Reaalimuuttujan analyysi 1.6. Numeerinen integrointi: Gaussin kaavat Edella kasitellyt numeerisen integroinnin kaavat eli kvadratuurikaavat Riemannin summa, puolisuunnikassaanto ja
4 Korkeamman kertaluvun differentiaaliyhtälöt
Differentiaaliyhtälöt c Pekka Alestalo 2015 Tässä monisteessa käydään läpi tavallisiin differentiaaliyhtälöihin liittyviä peruskäsitteitä ja ratkaisuperiaatteita. Luennolla lasketaan esimerkkitehtäviä
Differentiaaliyhtälöiden numeerinen ratkaiseminen
Differentiaaliyhtälöiden numeerinen ratkaiseminen Keijo Ruotsalainen Division of Mathematics Alkuarvotehtävä Tavallisen differentiaaliyhtälön alkuarvotehtävä: Määrää reaaliarvoinen funktio y C 1 (I) siten,
1 Perusteita lineaarisista differentiaaliyhtälöistä
1 Perusteita lineaarisista differentiaaliyhtälöistä Johdetaan lineaarisen aikavariantin systeemin ẋ(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t), x(t 0 ) = x 0 yleinen ratkaisu. Tarkastellaan ensin homogeenistä yhtälöä. Lause
2. Viikko. CDH: luvut (s ). Matematiikka on fysiikan kieli ja differentiaaliyhtälöt sen yleisin murre.
2. Viikko Keskeiset asiat ja tavoitteet: 1. Peruskäsitteet: kertaluku, lineaarisuus, homogeenisuus. 2. Separoituvan diff. yhtälön ratkaisu, 3. Lineaarisen 1. kl yhtälön ratkaisu, CDH: luvut 19.1.-19.4.
Harjoitus Etsi seuraavien autonomisten yhtälöiden kriittiset pisteet ja tutki niiden stabiliteettia:
Differentiaaliyhtälöt, Kesä 216 Harjoitus 2 1. Etsi seuraavien autonomisten yhtälöiden kriittiset pisteet ja tutki niiden stabiliteettia: (a) y = (2 y) 3, (b) y = (y 1) 2, (c) y = 2y y 2. 2. Etsi seuraavien
13. Taylorin polynomi; funktioiden approksimoinnista. Muodosta viidennen asteen Taylorin polynomi kehityskeskuksena origo funktiolle
13. Taylorin polynomi; funktioiden approksimoinnista 13.1. Taylorin polynomi 552. Muodosta funktion f (x) = x 4 + 3x 3 + x 2 + 2x + 8 kaikki Taylorin polynomit T k (x, 2), k = 0,1,2,... (jolloin siis potenssien
Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 9. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 9 () Numeeriset menetelmät / 29
Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 9 Kirsi Vljus Jyväskylän yliopisto Luento 9 () Numeeriset menetelmät 17.4.2013 1 / 29 Luennon 9 sisältö Numeerisest integroinnist Newtonin j Cotesin kvt Luento 9 ()
4. Differentiaaliyhtälöryhmät 4.1. Ryhmän palauttaminen yhteen yhtälöön
4 Differentiaaliyhtälöryhmät 41 Ryhmän palauttaminen yhteen yhtälöön 176 Ratkaise differentiaaliyhtälöryhmät a) dt = y +t, b) = y z + sinx x 2 dt = x +t, c) + z = x2 = y + z + cosx + 2y = x a)x = C 1 e
1 Peruskäsitteet. Dierentiaaliyhtälöt
Teknillinen korkeakoulu Matematiikka Dierentiaaliyhtälöt Alestalo Tässä monisteessa käydään läpi tavallisiin dierentiaaliyhtälöihin liittyviä peruskäsitteitä ja ratkaisuperiaatteita. Esimerkkejä luennoilla
y + 4y = 0 (1) λ = 0
Matematiikan ja tilastotieteen osasto/hy Differentiaaliyhtälöt I Laskuharjoitus 6 mallit Kevät 2019 Tehtävä 1. Ratkaise yhtälöt a) y + 4y = x 2, b) y + 4y = 3e x. Ratkaisu: a) Differentiaaliyhtälön yleinen
Differentiaaliyhtälöryhmä
Differentiaaliyhtälöryhmä Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälöryhmä vaikkapa korkeamman kertaluvun yhtälöä vastaava normaaliryhmä voidaan ratkaista numeerisesti täsmälleen samanlaisilla kaavoilla
Muutoksen arviointi differentiaalin avulla
Muutoksen arviointi differentiaalin avulla y y = f (x) y = f (x + x) f (x) dy y dy = f (x) x x x x x + x Luento 7 1 of 15 Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto Muutoksen arviointi differentiaalin
MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 7: Pienimmän neliösumman menetelmä ja Newtonin menetelmä.
MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 7: Pienimmän neliösumman menetelmä ja Newtonin menetelmä. Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Kevät 2016
12. Differentiaaliyhtälöt
1. Differentiaaliyhtälöt 1.1 Johdanto Differentiaaliyhtälöitä voidaan käyttää monilla alueilla esimerkiksi tarkasteltaessa jonkin kohteen lämpötilan vaihtelua, eksponentiaalista kasvua, sähkölatauksen
Insinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö
Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 5. viikolle /
MS-A8 Differentiaali- ja integraalilaskenta, V/7 Differentiaali- ja integraalilaskenta Ratkaisut 5. viikolle / 9..5. Integroimismenetelmät Tehtävä : Laske osittaisintegroinnin avulla a) π x sin(x) dx,
MS-C1340 Lineaarialgebra ja
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Matriisinormi, häiriöalttius Riikka Kangaslampi Kevät 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Matriisinormi Matriisinormi Matriiseille
Esimerkki: Tarkastellaan korkeudella h ht () putoavaa kappaletta, jonka massa on m (ks. kuva).
6 DIFFERENTIAALIYHTÄLÖISTÄ Esimerkki: Tarkastellaan korkeudella h ht () putoavaa kappaletta, jonka massa on m (ks. kuva). Newtonin II:n lain (ma missä Yhtälö dh dt m dh dt F) mukaan mg, on kiihtyvyys ja
Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 4. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 4 () Numeeriset menetelmät / 44
Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 4 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 4 () Numeeriset menetelmät 21.3.2013 1 / 44 Luennon 4 sisältö Lineaarisen yhtälöryhmän ratkaisemisesta: Choleskyn menetelmä
Matemaattinen Analyysi
Vaasan yliopisto, syksy 2016 / ORMS1010 Matemaattinen Analyysi 8. harjoitus, viikko 49 R1 to 12 14 F453 (8.12.) R2 to 14 16 F345 (8.12.) R3 ke 8 10 F345 (7.11.) 1. Määritä funktion f (x) = 1 Taylorin sarja
Kompleksiluvun logaritmi: Jos nyt z = re iθ = re iθ e in2π, missä n Z, niin saadaan. ja siihen vaikuttava
Kompleksiluvun logaritmi: ln z = w z = e w Jos nyt z = re iθ = re iθ e inπ, missä n Z, niin saadaan w = ln z = ln r + iθ + inπ, n Z Logaritmi on siis äärettömän moniarvoinen funktio. Helposti nähdään että
Luento 2: Liikkeen kuvausta
Luento 2: Liikkeen kuvausta Suoraviivainen liike integrointi Kinematiikkaa yhdessä dimensiossa Luennon sisältö Suoraviivainen liike integrointi Kinematiikkaa yhdessä dimensiossa Liikkeen ratkaisu kiihtyvyydestä
3.4 Käänteiskuvauslause ja implisiittifunktiolause
3.4 Käänteiskuvauslause ja implisiittifunktiolause Tässä luvussa käsitellään kahta keskeistä vektorianalyysin lausetta. Esitellään aluksi kyseiset lauseet ja tutustutaan niiden käyttötapoihin. Lause 3.4.1
Numeerinen integrointi ja derivointi
Numeerinen integrointi ja derivointi Keijo Ruotsalainen Division of Mathematics Interpolaatiokaavat Approksimoitava integraali I = b a f(x)dx. Tasavälinen hila: x i = a+ (b a)i n, i = 0,...,n Funktion
Luento 11: Rajoitusehdot. Ulkopistemenetelmät
Luento 11: Rajoitusehdot. Ulkopistemenetelmät ja sisäpistemenetelmät Lagrangen välttämättömien ehtojen ratkaiseminen Newtonin menetelmällä Jos tehtävässä on vain yhtälörajoituksia, voidaan minimipistekandidaatteja
Differentiaaliyhtälöryhmän numeerinen ratkaiseminen
numryh.nb Differentiaaliyhtälöryhmän numeerinen ratkaiseminen Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälöryhmä vaikkapa korkeamman kertaluvun yhtälöä vastaava normaaliryhmä voidaan ratkaista numeerisesti
1 Di erentiaaliyhtälöt
Taloustieteen mat.menetelmät syksy 2017 materiaali II-5 1 Di erentiaaliyhtälöt 1.1 Skalaariyhtälöt Määritelmä: ensimmäisen kertaluvun di erentiaaliyhtälö on muotoa _y = F (y; t) oleva yhtälö, missä _y
Osa IX. Z muunnos. Johdanto Diskreetit funktiot
Osa IX Z muunnos A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-.33 Matematiikan peruskurssi KP3-i 9. lokakuuta 2007 298 / 322 A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-.33 Matematiikan peruskurssi KP3-i 9. lokakuuta 2007 299 / 322 Johdanto
8 Differentiaaliyhtälöiden ratkaisemisesta
8 Differentiaaliyhtälöiden ratkaisemisesta 8.1 Johdanto Tavalliset diffirentiaaliyhtälöt (TDY) ovat usein käytetty matemaattinen malli fysikaalisia ilmiöitä tutkittaessa. Tässä luvussa käsitellään Cauchy
min x x2 2 x 1 + x 2 1 = 0 (1) 2x1 1, h = f = 4x 2 2x1 + v = 0 4x 2 + v = 0 min x x3 2 x1 = ± v/3 = ±a x 2 = ± v/3 = ±a, a > 0 0 6x 2
TEKNILLINEN KORKEAKOULU Systeemianalyysin laboratorio Mat-39 Optimointioppi Kimmo Berg 6 harjoitus - ratkaisut min x + x x + x = () x f = 4x, h = x 4x + v = { { x + v = 4x + v = x = v/ x = v/4 () v/ v/4
. Kun p = 1, jono suppenee raja-arvoon 1. Jos p = 2, jono hajaantuu. Jono suppenee siis lineaarisesti. Vastaavasti jonolle r k+1 = r k, suhde on r k+1
TEKNILLINEN KORKEAKOULU Systeemianalyysin laboratorio Mat-.39 Optimointioppi Kimmo Berg 8. harjoitus - ratkaisut. a)huomataan ensinnäkin että kummankin jonon raja-arvo r on nolla. Oletetaan lisäksi että
Luento 3: Liikkeen kuvausta, differentiaaliyhtälöt
Luento 3: Liikkeen kuvausta, differentiaaliyhtälöt Suoraviivainen liike integrointi Digress: vakio- vs. muuttuva kiihtyvyys käytännössä Kinematiikkaa yhdessä dimensiossa taustatietoa ELEC-A3110 Mekaniikka
5 DIFFERENTIAALIYHTÄLÖRYHMÄT
5 DIFFERENTIAALIYHTÄLÖRYHMÄT 5. Ensimmäisen kl:n DY-ryhmät Differentiaaliyhtälöryhmiä tarvitaan useissa sovelluksissa. Useimmat voidaan mallintaa ensimmäisen kertaluvun DY-ryhmien avulla. Ensimmäisen kl:n
Insinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi
MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0202 Syksy 2015 1
Harjoitus 5 -- Ratkaisut
Harjoitus -- Ratkaisut 1 Ei kommenttia. Tutkittava funktio oskilloi äärettömän tiheään nollan lähellä. PlotPoints-asetus määrää, kuinka tiheästi Plot-funktio ottaa piirrettävästä funktiosta "näytteitä"
Yhden muuttujan funktion minimointi
Yhden muuttujan funktion minimointi Aloitetaan yhden muuttujan tapauksesta Tarpeellinen myös useamman muuttujan tapauksessa Tehtävä on muotoa min kun f(x) x S R 1 Sallittu alue on muotoa S = [a, b] tai
Numeeriset menetelmät
Numeeriset menetelmät Luento 9 Ti 4.10.2011 Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 9 Ti 4.10.2011 p. 1/44 p. 1/44 Funktion approksimointi Etsitään p siten, että p f, mutta ei vaadita, että
Insinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
Dierentiaaliyhtälöistä
Dierentiaaliyhtälöistä Markus Kettunen 4. maaliskuuta 2009 1 SISÄLTÖ 1 Sisältö 1 Dierentiaaliyhtälöistä 2 1.1 Johdanto................................. 2 1.2 Ratkaisun yksikäsitteisyydestä.....................
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Differentiaaliyhtälöt. osa 2 Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 1 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista
Numeeriset menetelmät
Numeeriset menetelmät Luento 8 To 29.9.2011 Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 8 To 29.9.2011 p. 1/36 p. 1/36 Interpolointi kuutiosplinillä Osavälit: I i = [t i 1,t i ], i = 1,2,...,n
Osittaisdifferentiaaliyhtälöt
Osittaisdifferentiaaliyhtälöt Harjoituskokoelmat 4 ja 5, kevät 2011 Palautus Eemeli Blåstenille to 23.6. klo 16.00 mennessä 1. Ratkaise Dirichlet ongelma u(x, y) = 0, x 2 + y 2 < 1, u(x, y) = y + x 2,
Numeeriset menetelmät
Numeeriset menetelmät Luento 5 Ti 20.9.2011 Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 5 Ti 20.9.2011 p. 1/40 p. 1/40 Choleskyn menetelmä Positiivisesti definiiteillä matriiseilla kolmiohajotelma
Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 5, Ratkaise rekursioyhtälö
Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 5, 14.10.2015 1. Ratkaise rekursioyhtälö x n+4 2x n+2 + x n 16( 1) n, n N, alkuarvoilla x 1 2, x 2 14, x 3 18 ja x 4 42. Ratkaisu. Vastaavan homogeenisen
Numeeriset menetelmät
Numeeriset menetelmät Luento 3 Ti 13.9.2011 Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 3 Ti 13.9.2011 p. 1/37 p. 1/37 Epälineaariset yhtälöt Newtonin menetelmä: x n+1 = x n f(x n) f (x n ) Sekanttimenetelmä:
Mat-2.3114 Investointiteoria Laskuharjoitus 3/2008, Ratkaisut 05.02.2008
Korko riippuu usein laina-ajan pituudesta ja pitkille talletuksille maksetaan korkeampaa korkoa. Spot-korko s t on se korko, joka kertyy lainatulle pääomalle hetkeen t (=kokonaisluku) mennessä. Spot-korot
MS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 11: Lineaarinen differentiaaliyhtälö
MS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 11: Lineaarinen differentiaaliyhtälö Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos
ja λ 2 = 2x 1r 0 x 2 + 2x 1r 0 x 2
Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 4, 7.10.2015 1. Olkoot c 0, c 1 R siten, että polynomilla r 2 c 1 r c 0 on kaksinkertainen juuri. Määritä rekursioyhtälön x n+2 = c 1 x n+1 + c 0 x n, n N,
Numeeriset menetelmät
Numeeriset menetelmät Luento 6 To 22.9.2011 Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 6 To 22.9.2011 p. 1/38 p. 1/38 Ominaisarvotehtävät Monet sovellukset johtavat ominaisarvotehtäviin Yksi
Epälineaaristen yhtälöiden ratkaisumenetelmät
Epälineaaristen yhtälöiden ratkaisumenetelmät Keijo Ruotsalainen Division of Mathematics Perusoletus Lause 3.1 Olkoon f : [a, b] R jatkuva funktio siten, että f(a)f(b) < 0. Tällöin funktiolla on ainakin
Laplace-muunnos: määritelmä
Laplace-muunnos: määritelmä Olkoon f : [, [ R funktio. Funktion f Laplacen muunnos määritellään yhtälöllä F(s) = L(f) := f(t)e st dt edellyttäen, että integraali f(t)e st dt suppenee. Riittävä ehto integraalin
Luoki?elua: tavallinen vs osi?ais. Osa 11. Differen0aaliyhtälöt. Luoki?elua: kertaluku. Luoki?elua: lineaarisuus 4/13/13
4/3/3 Osa. Differen0aaliyhtälöt Differen0aaliyhtälö = yhtälö jossa esiintyy jonkin funk0on derivaa?a. Esim: dx = x2 f x + f xy 2 2m d 2 ψ = Eψ dx 2 Luoki?elua: tavallinen vs osi?ais Differen0aaliyhtälöt
Lukujonot Z-muunnos Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt. Z-muunnos. 5. joulukuuta Z-muunnos
Lukujonot Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt 5. joulukuuta 2016 Lukujonot Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt Lukujonot Lukujonot Z-muunnoksen ominaisuuksia
Mat Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros Johdetaan välttämättömät ehdot funktionaalin. g(y(t), ẏ(t),...
Mat-2.148 Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros 6 1. Johdetaan välttämättömät ehdot funktionaalin J(y) = g(y(t), ẏ(t),..., dr y(t), t) dt dt r ekstremaalille, kun ja t f ovat kiinteitä ja tiedetään
KKT: log p i v 1 + v 2 x i = 0, i = 1,...,n.
TEKNILLINEN KORKEAKOULU Systeemianalyysin laboratorio Mat-2.139 Optimointioppi Kimmo Berg 7. harjoitus - ratkaisut 1. Oletetaan aluksi, että epäyhtälöt eivät ole aktiivisia p i > 0. Tässä tapauksess KKTehdot
FYSA2031 Potentiaalikuoppa
FYSA2031 Potentiaalikuoppa Työselostus Laura Laulumaa JYFL YK216 laura.e.laulumaa@student.jyu.fi 16.10-2.11. 2017 Ohjaus Työn ja ohjelman esittely ( 30 min) Harjoitellaan ohjelman käyttöä Harmoninen potentiaali
Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 3. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 3 () Numeeriset menetelmät / 45
Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 3 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 3 () Numeeriset menetelmät 20.3.2013 1 / 45 Luennon 3 sisältö Luku 2: Epälineaarisen yhtälön ratkaiseminen Polynomin reaaliset
2. kl:n DY:t. Lause. Yleisesti yhtälöllä ẍ = f(ẋ, x, t) on (sopivin oletuksin) aina olemassa 1-käs. ratkaisu. (ẋ dx/dt, ẍ d 2 x/dt 2.
2. kl:n DY:t Yleisesti yhtälöllä ẍ = f(ẋ, x, t) on (sopivin oletuksin) aina olemassa 1-käs. ratkaisu. (ẋ dx/dt, ẍ d 2 x/dt 2.) Lause Olkoon f(x 2, x 1, t) funktio, ja oletetaan, että f, f/ x 1 ja f/ x
SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT
SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 43 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Kuva 12. Esimerkin 4.26(c kuvauksen
Keskipisteen lisääminen 2 k -faktorikokeeseen (ks. Montgomery 9-6)
Mat-.3 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit kevät Keskipisteen lisääminen k -faktorikokeeseen (ks. Montgomery 9-6) Esim (Montg. ex. 9-, 6-): Tutkitaan kemiallisen prosessin saannon Y riippuvuutta faktoreista
a) Sievennä lauseke 1+x , kun x 0jax 1. b) Aseta luvut 2, 5 suuruusjärjestykseen ja perustele vastauksesi. 3 3 ja
1 YLIOPPILASTUTKINTO- LAUTAKUNTA 1.10.2018 MATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ A-osa Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät 1 4. Tehtävät arvostellaan pistein 0 6. Kunkin tehtävän ratkaisu kirjoitetaan tehtävän
4.0.2 Kuinka hyvä ennuste on?
Luonteva ennuste on käyttää yhtälöä (4.0.1), jolloin estimaattori on muotoa X t = c + φ 1 X t 1 + + φ p X t p ja estimointivirheen varianssi on σ 2. X t }{{} todellinen arvo Xt }{{} esimaattori = ε t Esimerkki
Matemaattinen Analyysi
Vaasan yliopisto, kevät 01 / ORMS1010 Matemaattinen Analyysi. harjoitus, viikko 1 R1 ke 1 16 D11 (..) R to 10 1 D11 (..) 1. Määritä funktion y(x) MacLaurinin sarjan kertoimet, kun y(0) = ja y (x) = (x
Cantorin joukon suoristuvuus tasossa
Cantorin joukon suoristuvuus tasossa LuK-tutkielma Miika Savolainen 2380207 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Syksy 2016 Sisältö Johdanto 2 1 Cantorin joukon esittely 2 2 Suoristuvuus ja