4. Differentiaaliyhtälöryhmät 4.1. Ryhmän palauttaminen yhteen yhtälöön

Transkriptio

1 4 Differentiaaliyhtälöryhmät 41 Ryhmän palauttaminen yhteen yhtälöön 176 Ratkaise differentiaaliyhtälöryhmät a) dt = y +t, b) = y z + sinx x 2 dt = x +t, c) + z = x2 = y + z + cosx + 2y = x a)x = C 1 e t +C 2 e t t 1, y = C 1 e t C 2 e t t 1; b) y = e x (C 1 sinx +C 2 cosx) 1 5 sinx 2 5 cosx, z = ex ( C 1 cosx +C 2 sinx)+ 2 5 sinx 1 5 cosx; c) y = C 1 x +C 2 /x xln x, z =(2 3 C 1)x 2 + 2C 2 /x 1 3 x2 ln x 177 Etsi yleinen ratkaisu differentiaaliyhtälöryhmälle { x = x + y, y = x y + e t x = C 1 e 2t +C 2 e 2t e t, y = C 1 ( 2 1)e 2t C 2 ( 2 + 1)e 2t 178 Ratkaise alkuarvoprobleemat { y = 7y z a) z = y + 7z, y(0)=1, z(0)=2, { 3y 5y + z + 5z = 0 b) y, y(0)=1, z(0)=0 y + 2z = 0 a)y = 1 2 e2x e6x, z = 1 2 e2x e6x ; b) y = e x cos2x, z = e x sin2x 179 Olkoot x ja y muuttujan t funktioita Ratkaise alkuarvoprobleema { x = y +t 2 y = x t 3, x(0)=y(0)=0 x = 2e t + 2e t +t 3 + 4t, y = 2e t 2e t + 2t Ratkaise differentiaaliyhtälösysteemi { x = y +t, y = x +t, m-treeni versio 201, ; TKK, matematiikan laitos

2 kun alkuehtona on x(1)=y(1)=2(e 1) Piirrä ratkaisukäyrät x = y = 2e t t Ratkaise kaikilla arvoilla a R yhtälöryhmät a) dt = ay + 1, b) dt = 2y + ax dt + a2 y = cosat dt + a2 x = sinat a) Jos a 0, niin x = C 1 e (1+ 1+a 2 )t +C 2 e 1+a (1 2 )t + 2/a 2, y = C 1 ( a 2 )/ae (1+ 1+a 2 )t +C 2 (1 1+a 1 + a 2 )/ae (1 2 )t 1/a; jos a = 0, niin x = t +C 1, y = C 2 e 2t ; b) jos a 0, niin x = C 1 e a2t + C 2 e a2t +(a + 1)/(a(a 2 + 1)) sinat, y = C 1 e a2t + C 2 e a2t +(a 1)/(a(a 2 + 1)) cosat; jos a = 0, niin x = t +C 1, y = C Etsi differentiaaliyhtälöryhmän x +y = y +z = z +x = 0 yleinen ratkaisu sekä alkuehdon x(0)=y(0)=z(0)=1 toteuttava yksityisratkaisu 183 Olkoot x(t), y(t), z(t) ja u(t) tuntemattomia funktioita Etsi differentiaaliyhtälöryhmän x = y y = z z = u u = x yleinen ratkaisu x = C 1 e t +C 2 e t +C 3 sint +C 4 cost, y = C 1 e t C 2 e t +C 3 cost C 4 sint, z = C 1 e t +C 2 e t C 3 sint C 4 cost, u = C 1 e t C 2 e t C 3 cost +C 4 sint 184 Olkoot x(t), y(t) ja z(t) tuntemattomat funktiot Ratkaise differentiaaliyhtälöryhmä x = y z y = z 2x z = 2x y alkuehdolla x(0)=1, y(0)=2, z(0)=3 185 Ratkaise: x = x = u = du z y = x +C 1, z = C 2 sinln x +C 3 cosln x, u = C 2 cosln x C 3 sinln x m-treeni versio 201, ; TKK, matematiikan laitos

3 186 Olkoot x(t) ja y(t) tuntemattomat funktiot Etsi yleinen ratkaisu differentiaaliyhtälöryhmälle { x 3x 4y + 3 = 0 y + x + y + 5 = 0 x = e t (C 1 +C 2 t)+e t (C 3 +C 4 t) 23, y = 1 2 et (C 2 C 1 C 2 t) 1 2 e t (C 3 +C 4 +C 4 t) Olkoot x(t) ja y(t) tuntemattomat funktiot, m R Etsi yleinen ratkaisu differentiaaliyhtälöryhmälle { x + 2m 2 y = 0 y 2m 2 x = 0 Jos m 0, niin x = e mt (C 1 sinmt +C 2 cosmt)+e mt (C 3 sinmt +C 4 cosmt), y = e mt ( C 1 cosmt +C 2 sinmt)+e mt (C 3 cosmt C 4 sinmt); jos m = 0, niin x = C 1 +C 2 t, y = C 3 +C 4 t 188 Palauta Jacobi n differentiaaliyhtälö d Alembertin systeemiksi = (a 2x + b 2 y + c 2 ) y(a 3 x + b 3 y + c 3 ) (a 1 x + b 1 y + c 1 ) x(a 3 x + b 3 y + c 3 ) asettamalla k dt = a k x 1 + b k x 2 + c k x 3, k = 1, 2, 3, x(t)= x 1(t) x 3 (t), y(t)= x 2(t) x 3 (t) Lausu x, y ja muuttujan t avulla ja totea, että d Alembertin systeemin ratkaisut toteuttavat tämän 42 Autonomiset ryhmät 189 Ratkaise autonomiset normaaliryhmät a) + 3y + z = 0, b) = 3z y y + z = 0 = z + y Ovatko ratkaisujen kuvaajat faasitasossa rajoitettuja? a)y = e 2x (C 1 +C 2 x), z = e 2x ( C 1 C 2 C 2 x); b) y = C 1 e 2x + 3C 2 e 2x, z = C 1 e 2x C 2 e 2x m-treeni versio 201, ; TKK, matematiikan laitos

4 190 Ratkaise differentiaaliyhtälöryhmä du = v + w + 1 dv = w + u + 2 dw = u + v + 3 u = C 1 e 2x +C 2 e x 2, v = C 1 e 2x +C 3 e x 1, w = C 1 e 2x (C 2 +C 3 )e x 191 Olkoot x ja y muuttujan t funktioita, joille pätee { x = y y = 2x Millaisia ovat ratkaisukäyrät faasitasossa? Johda näiden yhtälöt 192 Johda välttämätön ja riittävä ehto sille, että differentiaaliyhtälöryhmän { x = ax + by, y = cx + ratkaisussa esiintyy trigonometrisia funktioita Totea, että ehto bc < 0 on kylläkin välttämätön, mutta ei riittävä (a d) 2 + 4bc < 0; jos a = 2, b = 1, c = 1, d = 0, nähdään, että ehto bc < 0 ei ole riittävä 193 Heiluri, joka muodostuu painottoman varren (pituus L) päässä olevasta massasta m, saatetaan heilahtelemaan pystysuorassa tasossa Heilahduskulma olkoon ϑ Muodosta Newtonin lakien mukainen liikeyhtälö, johda vastaava normaaliryhmä ja totea se autonomiseksi Muodosta normaaliryhmästä faasitasokäyrien differentiaaliyhtälö ja ratkaise se Piirrä ratkaisukäyrien kuvaajia ϑ +(g/l)sinϑ = 0; y 1 = y 2, y 2 = (g/l)siny 1; 1 = Ly 2 ; y gsiny = 2(g/L)cosy 1 + 2C 1 43 Lineaarisen vakiokertoimisen ryhmän matriisimuoto 194 Kirjoita differentiaaliyhtälöryhmä (muuttujana t) x = y z, y = z 2x, z = 2x y matriisimuotoon ja ratkaise se diagonalisoimalla matriisi m-treeni versio 201, ; TKK, matematiikan laitos

5 x = C 1 +C 2 ( 1 + i 5)e i 5t C 3 (1 + i 5)e i 5t, y = 2C 1 C 2 (2 + i 5)e i 5t +C 3 ( 2 + i 5)e i 5t, z = 2C 1 + 3C 2 e i 5t + 3C 3 e i 5t 195 Ratkaise ominaisarvoteoriaa käyttäen differentiaaliyhtälöryhmä = 3z y = z + y 196 Ratkaise ominaisarvoteoriaa käyttäen x = y y = z z = u u = x x = C 1 e t +C 2 e t +C 3 sint +C 4 cost, y = C 1 e t C 2 e t +C 3 cost C 4 sint, z = C 1 e t +C 2 e t C 3 sint C 4 cost, u = C 1 e t C 2 e t C 3 cost +C 4 sint 197 Etsi differentiaaliyhtälöryhmän x x y + 2z = 0 y 2x + 2z = 0 z + 2x 2y z = 0 yleinen ratkaisu sekä alkuehdon x(0)=y(0)=z(0)=1toteuttava yksityisratkaisu ominaisarvoteoriaa käyttäen x = C 1 e t + 2C 2 e t +C 3 e 2t, y = 2C 2 e t +C 3 e 2t, z = C 1 e t +C 2 e t ; x = 2e t e 2t, y = 2e t e 2t, z = e t m-treeni versio 201, ; TKK, matematiikan laitos