Johdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Johdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1"

Transkriptio

1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio TKK (c) Ilkka Mellin (5) 1

2 Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio Momenttiemäfunktio Diskreettien jakaumien momenttiemäfunktioita Jatkuvien jakaumien momenttiemäfunktioita Karakteristinen funktio TKK (c) Ilkka Mellin (5)

3 Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio: Mitä opimme? 1/ Tässä luvussa tarkastellaan satunnaismuuttujien momenttiemäfunktioita eli momentit generoivia funktioita ja karakteristisia funktioita, jotka ovat paljon käytettyjä työvälineinä todennäköisyyslaskennassa ja matemaattisessa tilastotieteessä. Satunnaismuuttujan momenttiemäfunktion tai karakteristisen funktion avulla voidaan helposti johtaa satunnaismuuttujan momentit; ks. lukua Jakaumien tunnusluvut. Monet tärkeät todennäköisyyslaskennan ja matemaattisen tilastotieteen teoreemat voidaan todistaa kätevästi momenttiemäfunktion tai karakteristisen funktion avulla; ks. lukuja Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat ja Konvergenssikäsitteet ja rajaarvolauseet. TKK (c) Ilkka Mellin (5) 3

4 Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio: Mitä opimme? / Johdamme tässä luvussa tavallisimpien diskreettien ja jatkuvien todennäköisyysjakaumien (ks. lukuja Diskreettejä jakaumia ja Jatkuvia jakaumia) momenttiemäfunktiot. Lisäksi näytämme, miten käsiteltyjen jakaumien odotusarvot ja varianssit (ks. lukua Jakaumien tunnusluvut) johdetaan momenttiemäfunktion avulla. On syytä huomata, että kaikilla todennäköisyysjakaumilla ei ole momenttiemäfunktiota, mutta kaikille jakaumille voidaan määrätä karakteristinen funktio ja siksi kaikissa pitemmälle menevissä todennäköisyyslaskennan ja matemaattisen tilastotieteen esityksissä sovelletaan karakteristista funktiota. Tässä luvussa esitellään myös tärkeimmät karakteristisen funktion ominaisuudet. TKK (c) Ilkka Mellin (5) 4

5 Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio: Esitiedot Esitiedot: ks. seuraavia lukuja: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Jakaumien tunnusluvut Diskreettejä jakaumia Jatkuvia jakaumia Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (5) 5

6 Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio: Lisätiedot Momenttiemäfunktiota sovelletaan riippumattomien satunnaismuuttujien summien jakaumien määräämiseen luvussa Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat Momenttiemäfunktiota sovelletaan keskeisen raja-arvolauseen todistamiseen luvussa Konvergenssikäsitteet ja raja-arvolauseet TKK (c) Ilkka Mellin (5) 6

7 Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio >> Momenttiemäfunktio Diskreettien jakaumien momenttiemäfunktioita Jatkuvien jakaumien momenttiemäfunktioita Karakteristinen funktio TKK (c) Ilkka Mellin (5) 7

8 Momenttiemäfunktio Avainsanat Momentit generoiva funktio Momentti Momenttiemäfunktio Odotusarvo Riippumattomien satunnaismuuttujien summan jakauma Taylorin sarja TKK (c) Ilkka Mellin (5) 8

9 Momenttiemäfunktio Momenttiemäfunktion määritelmä Olkoon X satunnaismuuttuja. Oletetaan, että odotusarvo m X (t) = E(e tx ) on olemassa kaikille t ( h, +h) jossa h > on vakio. Tällöin funktiota m X (t) kutsutaan satunnaismuuttujan X ja sen jakauman momenttiemäfunktioksi eli momentit generoivaksi funktioksi. TKK (c) Ilkka Mellin (5) 9

10 Momenttiemäfunktio Momenttiemäfunktion määritelmä: Kommentteja 1/ Satunnaismuuttujan momenttiemäfunktio eli momentit generoiva funktio ei välttämättä ole olemassa. Momenttiemäfunktion m X (t) = E(e tx ) olemassaolo tarkoittaa sitä, että odotusarvo E(e tx ) on äärellinen. TKK (c) Ilkka Mellin (5) 1

11 Momenttiemäfunktio Momenttiemäfunktion määritelmä: Kommentteja / Satunnaismuuttujan X momenttiemäfunktio m X (t) = E(e tx ) riippuu vain argumentista t. Jos satunnaismuuttujan X momenttiemäfunktio m X (t) on olemassa, niin m X () = E(e ) = E(1) = 1 TKK (c) Ilkka Mellin (5) 11

12 Momenttiemäfunktio Diskreettien satunnaismuuttujien momenttiemäfunktio Olkoon X diskreetti satunnaismuuttuja, jonka pistetodennäköisyysfunktio on f(x) =Pr(X = x) Jos satunnaismuuttujan X momenttiemäfunktio on olemassa, niin se saadaan kaavalla tx tx m () t E( e ) e f( x) X = = x TKK (c) Ilkka Mellin (5) 1

13 Momenttiemäfunktio Jatkuvien satunnaismuuttujien momenttiemäfunktio Olkoon X jatkuva satunnaismuuttuja, jonka tiheysfunktio on f(x) Jos satunnaismuuttujan X momenttiemäfunktio on olemassa, niin se saadaan kaavalla + () E( tx tx mx t = e ) = e f( x) dx TKK (c) Ilkka Mellin (5) 13

14 Momenttiemäfunktio Momenttiemäfunktion yksikäsitteisyys Jos satunnaismuuttujan X momenttiemäfunktio m X (t) = E(e tx ) on olemassa jossakin pisteen t = ympäristössä, se on yksikäsitteinen ja määrää täysin satunnaismuuttujan X todennäköisyysjakauman. Tämä merkitsee seuraavaa: Jos satunnaismuuttujilla U ja V on sama momenttiemäfunktio, satunnaismuuttujat U ja V noudattavat samaa todennäköisyysjakaumaa. TKK (c) Ilkka Mellin (5) 14

15 Momenttiemäfunktio Momenttiemäfunktion yksikäsitteisyys: Seuraus 1/ Momenttiemäfunktion yksikäsitteisyyttä käytetään usein hyväksi todennäköisyyslaskennan ja matemaattisen tilastotieteen lauseiden todistuksissa seuraavalla kalvolla esitettävässä tilanteessa. TKK (c) Ilkka Mellin (5) 15

16 Momenttiemäfunktio Momenttiemäfunktion yksikäsitteisyys: Seuraus / Tehtävänä on selvittää, mikä on satunnaismuuttujan U jakauma. Oletetaan, että satunnaismuuttujan U momenttiemäfunktio m U (t) yhtyy pisteen t = ympäristössä satunnaismuuttujan V momenttiemäfunktioon m V (t) jonka todennäköisyysjakauma tunnetaan. Tällöin momenttiemäfunktion yksikäsitteisyydestä seuraa, että satunnaismuuttuja U noudattaa samaa jakaumaa kuin satunnaismuuttuja V. TKK (c) Ilkka Mellin (5) 16

17 Momenttiemäfunktio Momenttiemäfunktio ja satunnaismuuttujan momentit Olkoon m X (t) = E(e tx ) satunnaismuuttujan X momenttiemäfunktio eli momentit generoiva funktio. Momentit generoivalla funktiolla m X (t) on kaikkien kertalukujen derivaatat pisteessä t = ja k dmx() t k = E( X ) = αk, k = 1,,3, k dt jossa α k = E(X k ) on satunnaismuuttujan X k. (origo-) momentti. TKK (c) Ilkka Mellin (5) 17

18 Momenttiemäfunktio Momenttiemäfunktio ja satunnaismuuttujan momentit: Perustelu Olkoon m X (t) = E(e tx ) satunnaismuuttujan X momentit generoiva funktio. Tällöin k d mx () t d = k dt dt k k tx E( e ) k d tx = E k e dt k tx = E( X e ) k = E( X ) = α k TKK (c) Ilkka Mellin (5) 18

19 Momenttiemäfunktio Momenttiemäfunktio ja satunnaismuuttujan momenttien määrääminen Satunnaismuuttujan ja sen jakauman momentit voidaan johtaa kätevästi käyttämällä hyväksi jakauman momentit generoivan funktion derivaattoja; ks. edellisiä kalvoja. TKK (c) Ilkka Mellin (5) 19

20 Momenttiemäfunktio Momenttiemäfunktio ja satunnaismuuttujan odotusarvo ja varianssi Satunnaismuuttujan X odotusarvo µ,. momentti α ja varianssi σ saadaan seuraavilla kaavoilla: dmx () t µ = α1 = E( X ) = dt α () dmx t = E( X ) = dt = Var( X) = E[( X ) ] = 1 σ µ α α TKK (c) Ilkka Mellin (5)

21 Momenttiemäfunktio Momenttiemäfunktion Taylorin sarjakehitelmä Olkoon m X (t) = E(e tx ) satunnaismuuttujan X momenttiemäfunktio. Momenttiemäfunktio m X (t) voidaan kehittää Taylorin sarjaksi k k t k t mx() t = E( X ) = k k k! k k! α = = jossa k α k = E( X ) on satunnaismuuttujan Xk.momentti. TKK (c) Ilkka Mellin (5) 1

22 Momenttiemäfunktio Momenttiemäfunktion Taylorin sarjakehitelmä: Johto Olkoon m X (t) = E(e tx ) satunnaismuuttujan X momenttiemäfunktio. Kehitetään eksponenttifunktio e tx Taylorin sarjaksi: k tx ( tx ) e = k! k= Ottamalla tästä sarjakehitelmästä odotusarvo saadaan: k tx ( tx ) mx () t = E( e ) = E k= k! k t k = E( X ) k= k! k t = k k! α k= TKK (c) Ilkka Mellin (5)

23 Momenttiemäfunktio Momenttiemäfunktion Taylorin sarjakehitelmä ja satunnaismuuttujan momentit Olkoon j j tx t j t mx () t = E( e ) = E( X ) = j j j! j j! α = = satunnaismuuttujan X momenttiemäfunktion Taylorin sarjakehitelmä. Derivoidaan tämä sarjakehitelmä termeittäin t:n suhteen: k j j dmx() t t j+ k t = E( X ) = j k, k 1,,3, k dt j! j! α + = j= j= Valitsemalla tässä t =, saadaan edellä esitetty tulos: k d mx () t k = E( X ) = αk, k = 1,,3, k dt TKK (c) Ilkka Mellin (5) 3

24 Momenttiemäfunktio Riippumattomien satunnaismuuttujien summan momenttiemäfunktio Olkoot X 1, X,, X n riippumattomia satunnaismuuttujia, joiden momenttiemäfunktiot ovat m 1 (t), m (t),, m n (t) Tällöin summan X = X 1 + X + + X n momenttiemäfunktio on satunnaismuuttujien X 1, X,, X n momenttiemäfunktioiden tulo: m X (t) = m 1 (t)m (t) m n (t) TKK (c) Ilkka Mellin (5) 4

25 Momenttiemäfunktio Riippumattomien satunnaismuuttujien summan momenttiemäfunktio: Perustelu 1/ Olkoot X 1, X,, X n riippumattomia satunnaismuuttujia, joiden momenttiemäfunktiot ovat m 1 (t), m (t),, m n (t) Määritellään satunnaismuuttuja X = X 1 + X + + X n Käytämme hyväksi sitä, että riippumattomien satunnaismuuttujien tulon odotusarvo on tulon tekijöiden odotusarvojen tulo (ks. lukua Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat). TKK (c) Ilkka Mellin (5) 5

26 Momenttiemäfunktio Riippumattomien satunnaismuuttujien summan momenttiemäfunktio: Perustelu / Siten m ( t) = E[exp( tx)] X = E[exp( t( X + X + + X ))] 1 1 = E[exp( tx + tx + + tx )] 1 = E[exp( tx )exp( tx ) exp( tx )] 1 = E[exp( tx )]E[exp( tx )] E[exp( tx )] 1 = m () t m () t m () t X X X n n n n n TKK (c) Ilkka Mellin (5) 6

27 Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio Momenttiemäfunktio >> Diskreettien jakaumien momenttiemäfunktioita Jatkuvien jakaumien momenttiemäfunktioita Karakteristinen funktio TKK (c) Ilkka Mellin (5) 7

28 Diskreettien jakaumien momenttiemäfunktioita Avainsanat Diskreettejä jakaumia: Bernoulli-jakauma Binomijakauma Diskreetti tasainen jakauma Geometrinen jakauma Negatiivinen binomijakauma Poisson-jakauma Momentit generoiva funktio Momentti Momenttiemäfunktio Odotusarvo Varianssi TKK (c) Ilkka Mellin (5) 8

29 Diskreettien jakaumien momenttiemäfunktioita Diskreettejä todennäköisyysjakaumia 1/ Tarkastelemme seuraavien diskreettien todennäköisyysjakaumien momenttiemäfunktioita eli momentit generoivia funktioita: Diskreetti tasainen jakauma Bernoulli-jakauma Binomijakauma Geometrinen jakauma Negatiivinen binomijakauma Poisson-jakauma Lisätietoja diskreeteistä todennäköisyysjakaumista: ks. lukua Diskreettejä jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (5) 9

30 Diskreettien jakaumien momenttiemäfunktioita Diskreettejä todennäköisyysjakaumia / Jokaisen tarkasteltavan jakauman momenttiemäfunktiolle esitetään johto. Johdettua momenttiemäfunktioita sovelletaan jakauman odotusarvon,. momentin ja varianssin määräämiseen. TKK (c) Ilkka Mellin (5) 3

31 Diskreettien jakaumien momenttiemäfunktioita Diskreetti tasainen jakauma Oletetaan, että satunnaismuuttuja X noudattaa diskreettiä tasaista jakaumaa. Tällöin sen pistetodennäköisyysfunktio on 1 f ( x) = Pr( X = x) =, x= x k n k = 1,,, n jossa {x 1, x,, x n } on reaaliakselin erillisten pisteiden muodostama joukko. Diskreetin tasaisen jakauman momenttiemäfunktio on n 1 txk mx () t = e n k = 1 TKK (c) Ilkka Mellin (5) 31

32 Diskreettien jakaumien momenttiemäfunktioita Diskreetti tasainen jakauma: Momenttiemäfunktion johto Jos satunnaismuuttuja X noudattaa diskreettiä tasaista jakaumaa, niin sen momenttiemäfunktio on tx tx m () t = E( e ) = e f( x) X = = x n k= 1 n 1 = n e e k= 1 n tx tx k= 1 k k e f( x ) 1 n tx k k TKK (c) Ilkka Mellin (5) 3

33 Diskreettien jakaumien momenttiemäfunktioita Diskreetti tasainen jakauma: Odotusarvo ja varianssi 1/ Diskreetin tasaisen jakauman momenttiemäfunktio on n 1 txk mx () t = e n k = 1 1. derivaatta pisteessä t = : n dmx () t 1 tx 1 k = xke = dt n k n. derivaatta pisteessä t = : dmx = 1 k= 1 () t 1 1 = = dt n n n x n n txk xke xk k= 1 k= 1 k TKK (c) Ilkka Mellin (5) 33

34 Diskreettien jakaumien momenttiemäfunktioita Diskreetti tasainen jakauma: Odotusarvo ja varianssi / Siten diskreetin tasaisen jakauman odotusarvo µ,. momentti α ja varianssi σ saadaan seuraavilla kaavoilla: n dmx () t 1 µ = E( X) = α1 = = xk = x dt n α dm () t 1 k= 1 n X = E( X ) = = xk dt n k= 1 n n 1 1 σ = Var( X ) = α α1 = xk xk n k 1 n = k= 1 n 1 = ( xk x) n k= 1 TKK (c) Ilkka Mellin (5) 34

35 Diskreettien jakaumien momenttiemäfunktioita Bernoulli-jakauma Oletetaan, että satunnaismuuttuja X noudattaa Bernoullijakaumaa Ber(p). Tällöin sen pistetodennäköisyysfunktio on x 1 x f ( x) = Pr( X = x) = p q,< p< 1, q= 1 p Bernoulli-jakauman momenttiemäfunktio on m () t = q+ pe X x =,1 t TKK (c) Ilkka Mellin (5) 35

36 Diskreettien jakaumien momenttiemäfunktioita Bernoulli-jakauma: Momenttiemäfunktion johto Jos satunnaismuuttuja X noudattaa Bernoulli-jakaumaa Ber(p), niin sen momenttiemäfunktio on tx tx m () t = E( e ) = e f( x) X x = Pr( = ) + Pr( = 1) t t 1 e X e X t = q+ pe TKK (c) Ilkka Mellin (5) 36

37 Diskreettien jakaumien momenttiemäfunktioita Bernoulli-jakauma: Odotusarvo ja varianssi 1/ Bernoulli-jakauman Ber(p) momenttiemäfunktio on t mx () t = q+ pe 1. derivaatta pisteessä t = : dmx () t t = pe = dt. derivaatta pisteessä t = : dmx() t t = pe = p dt p TKK (c) Ilkka Mellin (5) 37

38 Diskreettien jakaumien momenttiemäfunktioita Bernoulli-jakauma: Odotusarvo ja varianssi / Siten Bernoulli-jakauman Ber(p) odotusarvo µ,. momentti α ja varianssi σ saadaan seuraavilla kaavoilla: dmx () t µ = E( X ) = α1 = = p dt α dmx() t = E( X ) = = p dt = Var( X ) = 1 = p p σ α α = pq TKK (c) Ilkka Mellin (5) 38

39 Diskreettien jakaumien momenttiemäfunktioita Binomijakauma Oletetaan, että satunnaismuuttuja X noudattaa binomijakaumaa Bin(n, p). Tällöin sen pistetodennäköisyysfunktio on n x n x f ( x) = Pr( X = x) = p q, p 1, q 1 p x < < = x=,1,,, n Binomijakauman momenttiemäfunktio on m () t = ( q+ pe t ) X n TKK (c) Ilkka Mellin (5) 39

40 Diskreettien jakaumien momenttiemäfunktioita Binomijakauma: Momenttiemäfunktion johto 1 Jos satunnaismuuttuja X noudattaa binomijakaumaa Bin(n, p), niin sen momenttiemäfunktio on tx tx m () t = E( e ) = e f( x) X x n n = e p q x x = n n = ( pe ) q x= x t n = ( q+ pe ) tx x n x t x n x TKK (c) Ilkka Mellin (5) 4

41 Diskreettien jakaumien momenttiemäfunktioita Binomijakauma: Momenttiemäfunktion johto Jos satunnaismuuttuja X noudattaa binomijakaumaa Bin(n, p), niin se voidaan esittää riippumattomien, samaa Bernoulli-jakaumaa Ber(p) noudattavien satunnaismuuttujien X 1, X,, X n summana: X = X 1 + X + + X n Koska riippumattomien satunnaismuuttujien summan momenttiemäfunktio on summan tekijöiden momenttiemäfunktioiden tulo (ks. kappaletta Momenttiemäfunktio), niin tx m () t = E( e ) = m () t m () t m () t X 1 n t t t = ( q+ pe ) ( q+ pe ) ( q+ pe ) t = ( q+ pe ) n TKK (c) Ilkka Mellin (5) 41

42 Diskreettien jakaumien momenttiemäfunktioita Binomijakauma: Odotusarvo ja varianssi 1/ Binomijakauman Bin(n, p) momenttiemäfunktio on m () ( t ) n X t = q+ pe 1. derivaatta pisteessä t = : dmx () t 1 ( t ) n = n q + pe pe t = np dt. derivaatta pisteessä t = : dmx() t 1 = n( n 1)( q+ pe ) pe pe + n( q+ pe ) pe dt t n t t t n t = npe q+ pe n pe + q+ pe = np + n( n 1) p t t n t t ( ) ( 1) ( ) TKK (c) Ilkka Mellin (5) 4

43 Diskreettien jakaumien momenttiemäfunktioita Binomijakauma: Odotusarvo ja varianssi / Siten binomijakauman Bin(n, p) odotusarvo µ,. momentti α ja varianssi σ saadaan seuraavilla kaavoilla: dmx () t µ = E( X) = α1 = = np dt α dm () t X = E( X ) = = np+ n( n 1) p dt = Var( X ) = 1 = np + n( n 1) p n p σ α α = npq TKK (c) Ilkka Mellin (5) 43

44 Diskreettien jakaumien momenttiemäfunktioita Geometrinen jakauma Oletetaan, että satunnaismuuttuja X noudattaa geometrista jakaumaa Geom(p). Tällöin sen pistetodennäköisyysfunktio on x 1 f ( x) = Pr( X = x) = q p,< p< 1, q= 1 p x = 1,,3, Geometrisen jakauman momenttiemäfunktio on t pe mx () t = t 1 qe TKK (c) Ilkka Mellin (5) 44

45 Diskreettien jakaumien momenttiemäfunktioita Geometrinen jakauma: Momenttiemäfunktion johto Jos satunnaismuuttuja X noudattaa geometrista jakaumaa Geom(p), niin sen momenttiemäfunktio on tx tx m () t = E( e ) = e f( x) X = = = x tx x 1 e pq x= 1 t tx t x 1 pe e q pe x= 1 t t x 1 x= 1 t pe = 1 qe t ( qe ) TKK (c) Ilkka Mellin (5) 45

46 Diskreettien jakaumien momenttiemäfunktioita Geometrinen jakauma: Odotusarvo ja varianssi 1/3 Geometrisen jakauman Geom(p) momenttiemäfunktio on t pe mx () t = 1 qe t 1. derivaatta pisteessä t = : t t t t dmx () t pe (1 qe ) pe ( qe ) = t dt (1 qe ) t pe = t (1 qe ) 1 = p TKK (c) Ilkka Mellin (5) 46

47 Diskreettien jakaumien momenttiemäfunktioita Geometrinen jakauma: Odotusarvo ja varianssi /3 Geometrisen jakauman Geom(p) momenttiemäfunktio on t pe mx () t = 1 qe t. derivaatta pisteessä t = : t t t t t dmx() t pe (1 qe ) pe (1 qe )( qe ) = t 4 dt (1 qe ) = t t pe (1 + qe ) t 3 (1 qe ) 1+ q = p TKK (c) Ilkka Mellin (5) 47

48 Diskreettien jakaumien momenttiemäfunktioita Geometrinen jakauma: Odotusarvo ja varianssi 3/3 Siten geometrisen jakauman Geom(p) odotusarvo µ,. momentti α ja varianssi σ saadaan seuraavilla kaavoilla: dmx () t 1 µ = E( X ) = α1 = = dt p α dmx() t 1+ q = E( X ) = = dt p 1+ q 1 σ = Var( X ) = α α = p p q = p 1 TKK (c) Ilkka Mellin (5) 48

49 Diskreettien jakaumien momenttiemäfunktioita Negatiivinen binomijakauma Oletetaan, että satunnaismuuttuja X noudattaa negatiivista binomijakaumaa NegBin(r, p). Tällöin sen pistetodennäköisyysfunktio on x 1 x r r f ( x) = Pr( X = x) = q p, p 1, q 1 p r 1 < < = r = 1,,3, ; x= r, r+ 1, r+, Negatiivisen binomijakauman momenttiemäfunktio on m () t = t r ( pe ) (1 qe ) X t r TKK (c) Ilkka Mellin (5) 49

50 Diskreettien jakaumien momenttiemäfunktioita Negatiivinen binomijakauma: Momenttiemäfunktion johto Jos satunnaismuuttuja X noudattaa negatiivista binomijakaumaa NegBin(r, p), niin sen momenttiemäfunktio on tx tx m () t = E( e ) = e f( x) X x tx x 1 x r r = e q p x r r 1 = r+ x 1 = ( pe ) e q x r 1 = t r t r = ( pe ) (1 qe ) t r ( pe ) = t r (1 qe ) t r tx x TKK (c) Ilkka Mellin (5) 5

51 Diskreettien jakaumien momenttiemäfunktioita Negatiivinen binomijakauma: Odotusarvo ja varianssi 1/3 Negatiivisen binomijakauman NegBin(r, p) momenttiemäfunktio on t r ( pe ) mx () t = t r (1 qe ) 1. derivaatta pisteessä t = : t r 1 t t r t r t r 1 t dmx () t r( pe ) pe (1 qe ) ( pe ) r(1 qe ) ( qe ) = t r dt (1 qe ) t r( pe ) = t (1 qe ) = r p r r+ 1 TKK (c) Ilkka Mellin (5) 51

52 Diskreettien jakaumien momenttiemäfunktioita Negatiivinen binomijakauma: Odotusarvo ja varianssi /3 Negatiivisen binomijakauman NegBin(r, p) momenttiemäfunktio on t r ( pe ) mx () t = t r (1 qe ). derivaatta pisteessä t = : dmx() t dt r = + rq p t r 1 t t r+ 1 t r t r t r ( pe ) pe (1 qe ) r( pe ) ( r+ 1)(1 qe ) ( qe ) = t r+ (1 qe ) t r t r( pe ) ( r+ qe ) = t r+ (1 qe ) TKK (c) Ilkka Mellin (5) 5

53 Diskreettien jakaumien momenttiemäfunktioita Negatiivinen binomijakauma: Odotusarvo ja varianssi 3/3 Siten negatiivisen binomijakauman NegBin(r, p) odotusarvo µ,. momentti α ja varianssi σ saadaan seuraavilla kaavoilla: dmx () t r µ = E( X ) = α1 = = dt p α dm() t r + rq X = E( X ) = = dt p r + rq r = Var( X ) = 1 = σ α α p rq = p p TKK (c) Ilkka Mellin (5) 53

54 Diskreettien jakaumien momenttiemäfunktioita Poisson-jakauma Oletetaan, että satunnaismuuttuja X noudattaa Poissonjakaumaa Poisson(λ). Tällöin sen pistetodennäköisyysfunktio on x e λ λ f( x) = Pr( X = x) =, λ > x! x =,1,, Poisson-jakauman momenttiemäfunktio on m () t = e λ X t ( e 1) TKK (c) Ilkka Mellin (5) 54

55 Diskreettien jakaumien momenttiemäfunktioita Poisson-jakauma: Momenttiemäfunktion johto Jos satunnaismuuttuja X noudattaa Poisson-jakaumaa Poisson(λ), niin sen momenttiemäfunktio on tx tx m () t = E( e ) = e f( x) X = = e = e = e x λ e x= e t tx x= λ λ ( e 1) λ x e λ x! t ( λe ) x! t λe x TKK (c) Ilkka Mellin (5) 55

56 Diskreettien jakaumien momenttiemäfunktioita Poisson-jakauma: Odotusarvo ja varianssi 1/ Poisson-jakauman Poisson(λ) momenttiemäfunktio on t ( e 1) mx () t = e λ 1. derivaatta pisteessä t = : dm X dt () t t t. derivaatta pisteessä t = : dmx dt () t λ λ λ λ( e 1) t t+ λ( e 1) = e e = e = t = t = t = λe (1 + λe ) = λ+ λ t+ λ ( e 1) t t = TKK (c) Ilkka Mellin (5) 56

57 Diskreettien jakaumien momenttiemäfunktioita Poisson-jakauma: Odotusarvo ja varianssi / Siten Poisson-jakauman Poisson(λ) odotusarvo µ,. momentti α ja varianssi σ saadaan seuraavilla kaavoilla: dmx () t µ = E( X ) = α1 = = λ dt α dmx() t = E( X ) = = λ dt = Var( X ) = 1 = + σ α α λ λ λ = λ TKK (c) Ilkka Mellin (5) 57

58 Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio Momenttiemäfunktio Diskreettien jakaumien momenttiemäfunktioita >> Jatkuvien jakaumien momenttiemäfunktioita Karakteristinen funktio TKK (c) Ilkka Mellin (5) 58

59 Jatkuvien jakaumien momenttiemäfunktioita Avainsanat Jatkuvia jakaumia: Eksponenttijakauma Jatkuva tasainen jakauma Normaalijakauma Momentit generoiva funktio Momentti Momenttiemäfunktio Odotusarvo Varianssi TKK (c) Ilkka Mellin (5) 59

60 Jatkuvien jakaumien momenttiemäfunktioita Jatkuvia todennäköisyysjakaumia 1/ Tarkastelemme seuraavien jatkuvien todennäköisyysjakaumien momenttiemäfunktioita eli momentit generoivia funktioita: Jatkuva tasainen jakauma Eksponenttijakauma Normaalijakauma Lisätietoja jatkuvista todennäköisyysjakaumista: ks. lukua Jatkuvia jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (5) 6

61 Jatkuvien jakaumien momenttiemäfunktioita Jatkuvia todennäköisyysjakaumia / Jokaisen tarkasteltavan jakauman momenttiemäfunktiolle esitetään johto. Johdettua momenttiemäfunktioita sovelletaan jakauman odotusarvon,. momentin ja varianssin määräämiseen. TKK (c) Ilkka Mellin (5) 61

62 Jatkuvien jakaumien momenttiemäfunktioita Jatkuva tasainen jakauma Oletetaan, että satunnaismuuttuja X noudattaa jatkuvaa tasaista jakaumaa Uniform(a, b). Tällöin sen tiheysfunktio on 1 f ( x) =, a x b b a Jatkuvan tasaisen jakauman momenttiemäfunktio on bt at e e mx () t = tb ( a) TKK (c) Ilkka Mellin (5) 6

63 Jatkuvien jakaumien momenttiemäfunktioita Jatkuva tasainen jakauma: Momenttiemäfunktion johto Jos satunnaismuuttuja X noudattaa jatkuva tasaista jakaumaa Uniform(a, b), niin sen momenttiemäfunktio on tx tx m () t = E( e ) = e f( x) dx X = + b a e tx 1 dx b a tx 1 e = b a t bt at e e = tb ( a) b a TKK (c) Ilkka Mellin (5) 63

64 Jatkuvien jakaumien momenttiemäfunktioita Jatkuva tasainen jakauma: Odotusarvo ja varianssi 1/3 Jatkuvan tasaisen jakauman Uniform(a, b) momenttiemäfunktio on bt at e e mx () t = tb ( a) 1. derivaatta pisteessä t = : bt at bt at dmx () t ( be ae ) t( b a) ( e e )( b a) = dt t ( b a) bt at bt at ( be ae ) t ( e e ) = t ( b a) a+ b = TKK (c) Ilkka Mellin (5) 64

65 Jatkuvien jakaumien momenttiemäfunktioita Jatkuva tasainen jakauma: Odotusarvo ja varianssi /3 Jatkuvan tasaisen jakauman Uniform(a, b) momenttiemäfunktio on bt at e e mx () t = tb ( a). derivaatta pisteessä t = : dmx() t dt bt [( be at ae ) t bt ( be at ae ) bt ( be at ae )] t ( b a) 4 + = t ( b a) bt at bt at [( be ae ) t ( e e )] t( b a) 4 t ( b a) ( be ae ) t ( be ae ) t+ ( e e ) a + ab+ b = = 3 t ( b a) 3 bt at bt at bt at TKK (c) Ilkka Mellin (5) 65

66 Jatkuvien jakaumien momenttiemäfunktioita Jatkuva tasainen jakauma: Odotusarvo ja varianssi 3/3 Siten jatkuvan tasaisen jakauman Uniform(a, b) odotusarvo µ,. momentti α ja varianssi σ saadaan seuraavilla kaavoilla: dmx () t a+ b µ = E( X ) = α1 = = dt α dm() t a + ab+ b X = E( X ) = = dt 3 a + ab+ b ( a+ b) = Var( X ) = 1 = σ α α 3 4 ( b a) = 1 TKK (c) Ilkka Mellin (5) 66

67 Jatkuvien jakaumien momenttiemäfunktioita Eksponenttijakauma Oletetaan, että satunnaismuuttuja X noudattaa eksponenttijakaumaa Exp(λ). Tällöin sen tiheysfunktio on λx f ( x) = λe, λ >, x Eksponenttijakauman momenttiemäfunktio on mx () t λ = λ t TKK (c) Ilkka Mellin (5) 67

68 Jatkuvien jakaumien momenttiemäfunktioita Eksponenttijakauma: Momenttiemäfunktion johto Jos satunnaismuuttuja X noudattaa eksponenttijakaumaa Exp(λ), niin sen momenttiemäfunktio on () E( tx tx m t = e ) = e f( x) dx X = + tx λx e λe dx = λ e ( t λ ) x dx ( t λ ) x e = λ t λ λ = λ t TKK (c) Ilkka Mellin (5) 68

69 Jatkuvien jakaumien momenttiemäfunktioita Eksponenttijakauma: Odotusarvo ja varianssi 1/ Eksponenttijakauman Exp(λ) momenttiemäfunktio on λ mx () t = λ t 1. derivaatta pisteessä t = : dmx () t λ 1 = = dt ( λ t) λ. derivaatta pisteessä t = : dmx() t λ = = 3 dt ( λ t) λ TKK (c) Ilkka Mellin (5) 69

70 Jatkuvien jakaumien momenttiemäfunktioita Eksponenttijakauma: Odotusarvo ja varianssi / Siten eksponenttijakauman Exp(λ) odotusarvo µ,. momentti α ja varianssi σ saadaan seuraavilla kaavoilla: dmx () t 1 µ = E( X ) = α1 = = dt λ α dmx() t = E( X ) = = dt λ 1 σ = Var( X ) = α α = λ λ 1 = λ 1 TKK (c) Ilkka Mellin (5) 7

71 Jatkuvien jakaumien momenttiemäfunktioita Normaalijakauma Oletetaan, että satunnaismuuttuja X noudattaa normaalijakaumaa N(µ, σ ). Tällöin sen tiheysfunktio on 1 1 x µ f( x) = exp, < µ <+, σ > σ π σ < x < + Normaalijakauman momenttiemäfunktio on m t µ t σ t 1 X ( ) = exp( + ) TKK (c) Ilkka Mellin (5) 71

72 Jatkuvien jakaumien momenttiemäfunktioita Normaalijakauma: Momenttiemäfunktion johto Jos satunnaismuuttuja X noudattaa normaalijakaumaa N(µ, σ ), niin sen momenttiemäfunktio on tx tx m () t = E( e ) = e f( x) dx X exp( tx) exp ( x µ ) dx σ σ π 1 exp( µ t σ t ) = = + = t e µ exp [ ( µ + σ )] σ π σ σ t + x t dx TKK (c) Ilkka Mellin (5) 7

73 Jatkuvien jakaumien momenttiemäfunktioita Normaalijakauma: Odotusarvo ja varianssi 1/ Normaalijakauman N(µ, σ ) momenttiemäfunktio on 1 mx ( t) = exp( µ t+ σ t ) 1. derivaatta pisteessä t = : dmx () t dt µ t+ σ 1 t = e ( µ + σ t) = µ. derivaatta pisteessä t = : dm 1 1 X () t µ t+ σ t µ t+ σ t = e ( µ + σ t) + e σ dt = µ + σ TKK (c) Ilkka Mellin (5) 73

74 Jatkuvien jakaumien momenttiemäfunktioita Normaalijakauma: Odotusarvo ja varianssi / Siten normaalijakauman N(µ, σ ) odotusarvo µ,. momentti α ja varianssi σ saadaan seuraavilla kaavoilla: dmx () t µ = E( X ) = α 1 = = µ dt dm() t α µ σ X = E( X ) = = + dt = Var( X ) = 1 = + σ α α µ σ µ = σ TKK (c) Ilkka Mellin (5) 74

75 Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio Momenttiemäfunktio Diskreettien jakaumien momenttiemäfunktioita Jatkuvien jakaumien momenttiemäfunktioita >> Karakteristinen funktio TKK (c) Ilkka Mellin (5) 75

76 Karakteristinen funktio Avainsanat Fourier-muunnos Karakteristinen funktio Odotusarvo Riippumattomien satunnaismuuttujien summan jakauma Taylorin sarja TKK (c) Ilkka Mellin (5) 76

77 Karakteristinen funktio Karakteristisen funktion määritelmä Olkoon X satunnaismuuttuja. Tällöin odotusarvo ϕ () t = E( e itx ), i = X 1 on satunnaismuuttujan X ja sen jakauman karakteristinen funktio. TKK (c) Ilkka Mellin (5) 77

78 Karakteristinen funktio Karakteristisen funktion määritelmä: Kommentteja Satunnaismuuttujan karakteristinen funktio on toisin kuin sen momenttiemäfunktio aina olemassa. Karakteristisen funktion ϕ () t = E( e itx ), i = X 1 olemassaolo tarkoittaa sitä, että odotusarvo E(e itx ) on äärellinen. Satunnaismuuttujan X karakteristinen funktio ϕ () t = E( e itx ), i = X 1 riippuu vain argumentista t. TKK (c) Ilkka Mellin (5) 78

79 Karakteristinen funktio Karakteristinen funktio ja momenttiemäfunktio Jos satunnaismuuttujan X momenttiemäfunktio m X (t) = E(e tx ) tunnetaan, saadaan sen karakteristinen funktio ϕ () t = E( e itx ), i = X 1 momenttiemäfunktiosta sijoituksella t it, i = 1 TKK (c) Ilkka Mellin (5) 79

80 Karakteristinen funktio Karakteristisen funktion ominaisuuksia Olkoon ϕ () t = E( e itx ), i = X 1 satunnaismuuttujan X karakteristinen funktio. Aina pätee: (i) ϕ X () = E(e ) = E(1) = 1 (ii) ϕ X (t) 1 kaikille t (, + ). (iii) ϕx( t) = ϕx( t) jossa merkintä z tarkoittaa kompleksiluvun z konjugaattia. (iv) ϕ X (t) on tasaisesti jatkuva kaikille t (, + ). TKK (c) Ilkka Mellin (5) 8

81 Karakteristinen funktio Diskreettien satunnaismuuttujien karakteristinen funktio Olkoon X diskreetti satunnaismuuttuja, jonka pistetodennäköisyysfunktio on f X (x) =Pr(X = x) Satunnaismuuttujan X karakteristinen funktio saadaan kaavalla itx itx ϕ X() t = E( e ) = e fx( x), i = 1 x TKK (c) Ilkka Mellin (5) 81

82 Karakteristinen funktio Jatkuvien satunnaismuuttujien karakteristinen funktio Olkoon X jatkuva satunnaismuuttuja, jonka tiheysfunktio on f X (x) Satunnaismuuttujan X karakteristinen funktio saadaan kaavalla ϕ X + itx itx () t = E( e ) = e fx( x) dx, i = 1 TKK (c) Ilkka Mellin (5) 8

83 Karakteristinen funktio Inversioteoreema 1/ Olkoon F X (x) = Pr(X x) satunnaismuuttujan X kertymäfunktio ja ϕ () t = E( e itx ), i = X 1 sen karakteristinen funktio. Oletetaan, että (a h, a + h) sellainen reaaliakselin väli, että kertymäfunktio F X (x) on jatkuva välin päätepisteissä. TKK (c) Ilkka Mellin (5) 83

84 Karakteristinen funktio Inversioteoreema / Tällöin F ( a+ h) F ( a h) X X + T 1 sin( ht) ita = lim e ϕx ( t) dt T + π t T TKK (c) Ilkka Mellin (5) 84

85 Karakteristinen funktio Inversioteoreema: Kommentteja Jos jakauman karakteristinen funktio tunnetaan, voidaan jakauman kertymäfunktio määrätä inversioteoreemassa määritellyn rajaprosessin avulla. Myös karakteristisen funktion yksikäsitteisyys voidaan todistaa inversioteoreeman avulla. TKK (c) Ilkka Mellin (5) 85

86 Karakteristinen funktio Inversioteoreema ja jatkuvat jakaumat 1/ Olkoon ϕ () t = E( e itx ), i = X 1 satunnaismuuttujan X karakteristinen funktio. Oletetaan, että ϕ X (t) on integroituva kaikille t (, + ). Tällöin satunnaismuuttuja X on jatkuva ja sen tiheysfunktio f X (x) saadaan kaavalla + 1 itx fx( x) = e ϕ X( t) dt, i = 1 π TKK (c) Ilkka Mellin (5) 86

87 Karakteristinen funktio Inversioteoreema ja jatkuvat jakaumat / Huomaa, että jatkuvan satunnaismuuttujan X karakteristinen funktio ϕ X + itx () t = e fx( x) dx, i = 1 on satunnaismuuttujan X tiheysfunktion Fouriermuunnos ja + 1 itx fx( x) = e ϕ X( t) dt, i = 1 π on sen käänteinen Fourier-muunnos. TKK (c) Ilkka Mellin (5) 87

88 Karakteristinen funktio Karakteristisen funktion yksikäsitteisyys Satunnaismuuttujan X karakteristinen funktio ϕ () t = E( e itx ), i = X 1 on yksikäsitteinen ja määrää täysin satunnaismuuttujan X todennäköisyysjakauman. Tämä merkitsee seuraavaa: Jos satunnaismuuttujilla U ja V on sama karakteristinen funktio, satunnaismuuttujat U ja V noudattavat samaa todennäköisyysjakaumaa. TKK (c) Ilkka Mellin (5) 88

89 Karakteristinen funktio Karakteristisen funktion yksikäsitteisyys: Seuraus 1/ Karakteristisen funktion yksikäsitteisyyttä käytetään usein hyväksi todennäköisyyslaskennan ja matemaattisen tilastotieteen lauseiden todistuksissa seuraavalla kalvolla esitettävässä tilanteessa. TKK (c) Ilkka Mellin (5) 89

90 Karakteristinen funktio Karakteristisen funktion yksikäsitteisyys: Seuraus / Tehtävänä on selvittää, mikä on satunnaismuuttujan U jakauma. Oletetaan, että satunnaismuuttujan U karakteristinen funktio ϕ U (t) yhtyy satunnaismuuttujan V karakteristiseen funktioon ϕ V (t) jonka todennäköisyysjakauma tunnetaan. Tällöin karakteristisen funktion yksikäsitteisyydestä seuraa, että satunnaismuuttuja U noudattaa samaa jakaumaa kuin satunnaismuuttuja V. TKK (c) Ilkka Mellin (5) 9

91 Karakteristinen funktio Satunnaismuuttujan momentit ja karakteristisen funktion derivaatat 1/ Olkoon ϕ () t = E( e itx ), i = X 1 satunnaismuuttujan X karakteristinen funktio. Oletetaan, että satunnaismuuttujan X r. (origo-) momentti r α = E( X ) r on olemassa. Tällöin karakteristinen funktio ϕ X (t) on differentioituva kertalukuun r ja k k 1 d ϕ X () t αk = E( X ) =, i = 1, k = 1,,, r k k i dt TKK (c) Ilkka Mellin (5) 91

92 Karakteristinen funktio Satunnaismuuttujan momentit ja karakteristisen funktion derivaatat / Olkoon ϕ () t = E( e itx ), i = X 1 satunnaismuuttujan X karakteristinen funktio. Oletetaan, että satunnaismuuttujan X karakteristinen funktio ϕ X (t) on differentioituva kertalukuun r. Tällöin kaikki momentit k α k = E( X ), k = 1,,, r ovat olemassa, jos r on parillinen ja kaikki momentit k α k = E( X ), k = 1,,, r 1 ovat olemassa, jos r on pariton. TKK (c) Ilkka Mellin (5) 9

93 Karakteristinen funktio Karakteristisen funktion derivaatat ja satunnaismuuttujan momentit: Johto Olkoon ϕ () t = E( e itx ), i= X 1 satunnaismuuttujan X karakteristinen funktio. Jos E(X k ) on olemassa, niin k k d ϕ X () t d itx = E( e ) k k dt dt k d itx = E k e dt k k tx = E( ixe ) = i k k = i α k E( X ) k TKK (c) Ilkka Mellin (5) 93

94 Karakteristinen funktio Karakteristisen funktion derivaatat ja satunnaismuuttujan momentit 1/ Jos satunnaismuuttujan momentit ovat olemassa, niin ne voidaan johtaa kätevästi käyttämällä hyväksi jakauman karakteristisen funktion derivaattoja; ks. edellisiä kalvoja. TKK (c) Ilkka Mellin (5) 94

95 Karakteristinen funktio Karakteristisen funktion derivaatat ja satunnaismuuttujan momentit / Satunnaismuuttujan X odotusarvo µ,. momentti α ja varianssi σ saadaan seuraavista kaavoista: dϕx () t = ie( X) = iα 1 = iµ dt jossa d ϕ () t X = i E( X ) = α dt = Var( X) = E[( X ) ] = 1 σ µ α α i = 1 TKK (c) Ilkka Mellin (5) 95

96 Karakteristinen funktio Karakteristisen funktion Taylorin sarjakehitelmä Olkoon ϕ () t = E( e itx ), i = X 1 satunnaismuuttujan X karakteristinen funktio. Oletetaan, että satunnaismuuttujan X r. (origo-) momentti r α = E( X ) r on olemassa. Tällöin karakteristinen funktio ϕ X (t) voidaan kehittää Taylorin sarjaksi r k r k ( it) k r ( it) r ϕx() t = E( X ) + ot ( ) = αk + ot ( ) k= k! k= k! jossa o(t r )/t r, kun t. TKK (c) Ilkka Mellin (5) 96

97 Karakteristinen funktio Riippumattomien satunnaismuuttujien summan karakteristinen funktio Olkoot X 1, X,, X n riippumattomia satunnaismuuttujia, joiden karakteristiset funktiot ovat ϕ 1 (t), ϕ (t),, ϕ n (t) Tällöin summan X = X 1 + X + + X n karakteristinen funktio on satunnaismuuttujien X 1, X,, X n karakterististen funktioiden tulo: ϕ X (t) = ϕ 1 (t)ϕ (t) ϕ n (t) TKK (c) Ilkka Mellin (5) 97

98 Karakteristinen funktio Riippumattomien satunnaismuuttujien summan karakteristinen funktio: Perustelu 1/ Olkoot X 1, X,, X n riippumattomia satunnaismuuttujia, joiden momenttiemäfunktiot ovat ϕ 1 (t), ϕ (t),, ϕ n (t) Määritellään satunnaismuuttuja X = X 1 + X + + X n Käytämme hyväksi sitä, että riippumattomien satunnaismuuttujien tulon odotusarvo on tulon tekijöiden odotusarvojen tulo (ks. lukua Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat). TKK (c) Ilkka Mellin (5) 98

99 Karakteristinen funktio Riippumattomien satunnaismuuttujien summan karakteristinen funktio: Perustelu / Siten ϕ X ( t) = E[exp( itx )] = E[exp( it( X + X + + X ))] 1 1 = E[exp( itx + itx + + itx )] 1 = E[exp( itx )exp( itx ) exp( itx )] 1 = E[exp( itx )]E[exp( itx )] E[exp( itx )] 1 = ϕ () t ϕ () t ϕ () t X X X n n n n n TKK (c) Ilkka Mellin (5) 99

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa : Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio TKK (c) Ilkka Mellin (7) 1 Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio

Lisätiedot

Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat

Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Satunnaismuuttujien muunnokset ja

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Jatkuvia jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Jatkuvia jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Jatkuvia jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Jatkuvia jakaumia Jatkuva tasainen jakauma Eksponenttijakauma Normaalijakauma Keskeinen raja-arvolause TKK (c) Ilkka Mellin

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat Satunnaismuuttujien muunnosten jakaumat

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Diskreettejä jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Diskreettejä jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Diskreettejä jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Diskreettejä jakaumia Diskreetti tasainen jakauma Bernoulli-jakauma Binomijakauma Geometrinen jakauma Negatiivinen

Lisätiedot

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Viikko 2 Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Lasse Leskelä, Heikki Seppälä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden

Lisätiedot

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Jatkuvia jakaumia

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Jatkuvia jakaumia Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Jatkuvia jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 1 Jatkuvia jakaumia >> Jatkuva tasainen jakauma Eksponenttijakauma Normaalijakauma Keskeinen

Lisätiedot

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 3: Todennäköisyysjakaumia. Diskreettejä jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 3: Todennäköisyysjakaumia. Diskreettejä jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Diskreettejä jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Diskreettejä jakaumia >> Diskreetti tasainen jakauma Bernoulli-jakauma Binomijakauma

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 28. syyskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 28. syyskuuta 2007 1 / 20 1 Jatkoa diskreeteille jakaumille Negatiivinen binomijakauma Poisson-jakauma Diskreettien

Lisätiedot

Lisää Diskreettejä jakaumia Lisää Jatkuvia jakaumia Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia

Lisää Diskreettejä jakaumia Lisää Jatkuvia jakaumia Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Lisää Diskreettejä jakaumia Lisää Jatkuvia jakaumia Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia KE (2014) 1 Hypergeometrinen jakauma Hypergeometrinen jakauma

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia Johdanto χ 2 -jakauma F-jakauma t-jakauma TKK (c) Ilkka Mellin

Lisätiedot

4.1. Olkoon X mielivaltainen positiivinen satunnaismuuttuja, jonka odotusarvo on

4.1. Olkoon X mielivaltainen positiivinen satunnaismuuttuja, jonka odotusarvo on Mat-2.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Otanta Poisson- Jakaumien tunnusluvut Diskreetit jakaumat Binomijakauma, Diskreetti tasainen jakauma, Geometrinen jakauma, Hypergeometrinen

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Kertymäfunktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Kertymäfunktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Kertymäfunktio TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Kertymäfunktio Kertymäfunktio: Määritelmä Diskreettien jakaumien kertymäfunktiot Jatkuvien jakaumien kertymäfunktiot TKK (c)

Lisätiedot

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Kertymäfunktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Kertymäfunktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Kertymäfunktio TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Kertymäfunktio >> Kertymäfunktio: Määritelmä Diskreettien jakaumien

Lisätiedot

5. laskuharjoituskierros, vko 8, ratkaisut

5. laskuharjoituskierros, vko 8, ratkaisut Mat-.09 Sovellettu todennäköisyyslasku, kevät -05 5. laskuharjoituskierros, vko 8, ratkaisut D. Eräässä maata kiertävällä radalla olevassa satelliitissa on ilmaisin, jonka elinikä X yksikkönä vuosi noudattaa

Lisätiedot

Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia

Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (007) 1 Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia >> Multinomijakauma Kaksiulotteinen

Lisätiedot

D ( ) E( ) E( ) 2.917

D ( ) E( ) E( ) 2.917 Mat-2.091 Sovellettu todennäköisyyslasku 4. harjoitukset/ratkaisut Aiheet: Diskreetit jakaumat Avainsanat: Binomijakauma, Diskreetti tasainen jakauma, Geometrinen jakauma, Hypergeometrinen jakauma, Kertymäfunktio,

Lisätiedot

Todennäköisyyslaskun kertaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1

Todennäköisyyslaskun kertaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1 Todennäköisyyslaskun kertaus Vilkkumaa / Kuusinen 1 Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Vilkkumaa / Kuusinen 2 Motivointi Kokeellisessa tutkimuksessa tutkittaviin ilmiöihin liittyvien havaintojen

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (005) 1 Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia Multinomijakauma Kaksiulotteinen normaalijakauma TKK (c) Ilkka

Lisätiedot

Tilastomatematiikka Kevät 2008

Tilastomatematiikka Kevät 2008 Tilastomatematiikka Kevät 2008 Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto, Teknillinen tiedekunta Matematiikan jaos Tilastomatematiikka p.1/19 4.3 Varianssi Satunnaismuuttuja on neliöintegroituva, jos odotusarvo

Lisätiedot

D ( ) Var( ) ( ) E( ) [E( )]

D ( ) Var( ) ( ) E( ) [E( )] Mat-.2620 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B / Ratkaisut Aiheet: Diskreettejä jakaumia Avainsanat: Binomijakauma, Diskreetti tasainen jakauma, Eksponenttijakauma, Geometrinen jakauma, Hypergeometrinen

Lisätiedot

Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi

Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Estimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Estimointi >> Todennäköisyysjakaumien parametrit ja niiden estimointi Hyvän estimaattorin

Lisätiedot

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Jakaumien tunnusluvut. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Jakaumien tunnusluvut. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Jakaumien tunnusluvut TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Jakaumien tunnusluvut >> Odotusarvo Varianssi Markovin ja Tshebyshevin

Lisätiedot

Todennäköisyysjakaumia

Todennäköisyysjakaumia 8.9.26 Kimmo Vattulainen Todennäköisyysjakaumia Seuraavassa esitellään kurssilla MAT-25 Todennäköisyyslaskenta esille tulleita diskreettejä todennäköisyysjakaumia Diskreetti tasajakauma Bernoullijakauma

Lisätiedot

Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia. Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia. Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia: Mitä opimme?

Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia. Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia. Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia: Mitä opimme? TKK (c) Ilkka Mellin (4) Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (4) Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia: Mitä

Lisätiedot

Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Kertymäfunktio

Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Kertymäfunktio Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Kertymäfunktio KE (2014) 1 Satunnaismuuttujat ja niiden todennäköisyysjakaumat Satunnaismuuttujat

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Jakaumien tunnusluvut. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Jakaumien tunnusluvut. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Jakaumien tunnusluvut TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Jakaumien tunnusluvut Odotusarvo Varianssi Markovin ja Tshebyshevin epäyhtälöt Momentit Vinous ja huipukkuus Kvantiilit

Lisätiedot

Johdatus tilastotieteeseen Estimointi. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus tilastotieteeseen Estimointi. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus tilastotieteeseen Estimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Estimointi Todennäköisyysjakaumien parametrit ja niiden estimointi Hyvän estimaattorin ominaisuudet TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 2 Estimointi:

Lisätiedot

Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia

Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia >> Johdanto χ 2 -jakauma F-jakauma

Lisätiedot

JATKUVAT JAKAUMAT Laplace-muunnos (Laplace-Stieltjes-muunnos)

JATKUVAT JAKAUMAT Laplace-muunnos (Laplace-Stieltjes-muunnos) J. Virtamo 38.3143 Jonoteoria / Jatkuvat jakaumat 1 JATKUVAT JAKAUMAT Laplace-muunnos (Laplace-Stieltjes-muunnos) Määritelmä Ei-negatiivisen satunnaismuuttujan X 0, jonka tiheysfunktio on f(x), Laplace-muunnos

Lisätiedot

Estimointi. Estimointi. Estimointi: Mitä opimme? 2/4. Estimointi: Mitä opimme? 1/4. Estimointi: Mitä opimme? 3/4. Estimointi: Mitä opimme?

Estimointi. Estimointi. Estimointi: Mitä opimme? 2/4. Estimointi: Mitä opimme? 1/4. Estimointi: Mitä opimme? 3/4. Estimointi: Mitä opimme? TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Johdatus tilastotieteeseen TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 2 Mitä opimme? 1/4 Tilastollisen tutkimuksen tavoitteena on tehdä johtopäätöksiä prosesseista, jotka generoivat reaalimaailman

Lisätiedot

ABHELSINKI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY

ABHELSINKI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Mitä tänään? Jos satunnaisilmiötä halutaan mallintaa matemaattisesti, on ilmiön tulosvaihtoehdot kuvattava numeerisessa muodossa. Tämä tapahtuu liittämällä

Lisätiedot

Johdatus tilastotieteeseen Testit laatueroasteikollisille muuttujille. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1

Johdatus tilastotieteeseen Testit laatueroasteikollisille muuttujille. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Johdatus tilastotieteeseen Testit laatueroasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Testit laatueroasteikollisille muuttujille Laatueroasteikollisten muuttujien testit Testi suhteelliselle

Lisätiedot

Harjoitus 2: Matlab - Statistical Toolbox

Harjoitus 2: Matlab - Statistical Toolbox Harjoitus 2: Matlab - Statistical Toolbox Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt Syksy 2006 Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen tavoitteet Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat

Lisätiedot

2. Jatkoa HT 4.5:teen ja edelliseen tehtavään: Määrää X:n kertymäfunktio F (x) ja laske sen avulla todennäköisyydet

2. Jatkoa HT 4.5:teen ja edelliseen tehtavään: Määrää X:n kertymäfunktio F (x) ja laske sen avulla todennäköisyydet Tilastotieteen jatkokurssi Sosiaalitieteiden laitos Harjoitus 5 (viikko 9) Ratkaisuehdotuksia (Laura Tuohilampi). Jatkoa HT 4.5:teen. Määrää E(X) ja D (X). E(X) = 5X p i x i =0.8 0+0.39 +0.4 +0.4 3+0.04

Lisätiedot

Johdatus tilastotieteeseen Väliestimointi. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus tilastotieteeseen Väliestimointi. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus tilastotieteeseen Väliestimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Väliestimointi Todennäköisyysjakaumien parametrien estimointi Luottamusväli Normaalijakauman odotusarvon luottamusväli Normaalijakauman

Lisätiedot

Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Estimointi

Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Estimointi Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Estimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 1 Estimointi >> Todennäköisyysjakaumien parametrit ja niiden estimointi Hyvän estimaattorin

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Kaksiulotteiset todennäköisyysjakaumat

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 20. syyskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 20. syyskuuta 2007 1 / 17 1 Kolmogorovin aksioomat σ-algebra Tapahtuman todennäköisyys 2 Satunnaismuuttujat Todennäköisyysjakauma

Lisätiedot

Otosavaruus ja todennäköisyys Otosavaruus Ë on joukko, jonka alkiot ovat kokeen tulokset Tapahtuma on otosavaruuden osajoukko

Otosavaruus ja todennäköisyys Otosavaruus Ë on joukko, jonka alkiot ovat kokeen tulokset Tapahtuma on otosavaruuden osajoukko ÌÓÒÒĐĐÓ ÝÝ ÔÖÙ ØØ Naiiveja määritelmiä Suhteellinen frekvenssi kun ilmiö toistuu Jos tehdas on valmistanut 1000000 kpl erästä tuotetta, joista 5013 ovat viallisia, niin todennäköisyys, että tuote on viallinen

Lisätiedot

Mat-2.091 Sovellettu todennäköisyyslasku 5. harjoitukset/ratkaisut. Jatkuvat jakaumat

Mat-2.091 Sovellettu todennäköisyyslasku 5. harjoitukset/ratkaisut. Jatkuvat jakaumat Mat-2.09 Sovellettu todennäköisyyslasku /Ratkaisut Aiheet: Jatkuvat jakaumat Avainsanat: Binomijakauma, Eksponenttijakauma, Jatkuva tasainen jakauma, Kertymäfunktio, Mediaani, Normaaliapproksimaatio, Normaalijakauma,

Lisätiedot

Todennäköisyyden ominaisuuksia

Todennäköisyyden ominaisuuksia Todennäköisyyden ominaisuuksia 0 P(A) 1 (1) P(S) = 1 (2) A B = P(A B) = P(A) + P(B) (3) P(A) = 1 P(A) (4) P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) (5) Tapahtuman todennäköisyys S = {e 1,..., e N }. N A = A. Kun alkeistapaukset

Lisätiedot

TKK @ Ilkka Mellin (2008) 1/5

TKK @ Ilkka Mellin (2008) 1/5 Mat-1.2620 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B / Tehtävät Demo-tehtävät: 1, 3, 6, 7 Pistetehtävät: 2, 4, 5, 9 Ylimääräiset tehtävät: 8, 10, 11 Aiheet: Moniulotteiset jakaumat Avainsanat: Diskreetti jakauma,

Lisätiedot

3. laskuharjoituskierros, vko 6, ratkaisut

3. laskuharjoituskierros, vko 6, ratkaisut Mat-.9 Sovellettu todennäköisyyslasku, kevät - eliövaara, Palo, Mellin. laskuharjoituskierros, vko 6, ratkaisut D. Uurnassa A on 4 valkoista ja 6 mustaa kuulaa ja uurnassa B on 6 valkoista ja 4 mustaa

Lisätiedot

Epäyhtälöt ovat yksi matemaatikon voimakkaimmista

Epäyhtälöt ovat yksi matemaatikon voimakkaimmista 6 Epäyhtälöitä Epäyhtälöt ovat yksi matemaatikon voimakkaimmista työvälineistä. Yhtälö a = b kertoo sen, että kaksi ehkä näennäisesti erilaista asiaa ovat samoja. Epäyhtälö a b saattaa antaa keinon analysoida

Lisätiedot

OPETUSSUUNNITELMALOMAKE

OPETUSSUUNNITELMALOMAKE OPETUSSUUNNITELMALOMAKE Tällä lomakkeella dokumentoit opintojaksoasi koskevaa opetussuunnitelmatyötä. Lomake on suunniteltu niin, että se palvelisi myös Oodia varten tehtävää tiedonkeruuta. Voit siis dokumentoida

Lisätiedot

031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikko 3

031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikko 3 031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikko 3 Jukka Kemppainen Mathematics Division Jakauman tunnusluvut Jakauman tärkeimmät tunnusluvut ovat odotusarvo ja varianssi. Odotusarvo ilmoittaa jakauman keskikohdan

Lisätiedot

Yleistä tietoa kokeesta

Yleistä tietoa kokeesta Yleistä tietoa kokeesta Kurssikoe on pe 27.10. klo 12.00-14.30 (jossakin auditorioista). Huomaa tasatunti! Seuraava erilliskoe on ke 1.11 klo 16-20, johon ilmoittaudutaan Oodissa (ilmoittautumisaika erilliskokeeseen

Lisätiedot

4.1 Diskreetin satunnaismuuttujan odotusarvo

4.1 Diskreetin satunnaismuuttujan odotusarvo 4 Odotusarvo Seuraavaksi kertaamme, miten satunnaismuuttujan odotusarvo (sv. väntevärde) määritellään diskreetissä ja jatkuvassa tapauksessa. Odotusarvolle käytetään englannikielisessä kirjallisuudessa

Lisätiedot

4. Todennäköisyyslaskennan kertausta

4. Todennäköisyyslaskennan kertausta luento04.ppt S-38.1145 - Liikenneteorian perusteet - Kevät 2006 1 Sisältö eruskäsitteet Diskreetit satunnaismuuttujat Diskreetit jakaumat lkm-jakaumat Jatkuvat satunnaismuuttujat Jatkuvat jakaumat aikajakaumat

Lisätiedot

8 Potenssisarjoista. 8.1 Määritelmä. Olkoot a 0, a 1, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.1. Muotoa

8 Potenssisarjoista. 8.1 Määritelmä. Olkoot a 0, a 1, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.1. Muotoa 8 Potenssisarjoista 8. Määritelmä Olkoot a 0, a, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.. Muotoa a 0 + a (x c) + a 2 (x c) 2 + olevaa sarjaa sanotaan c-keskiseksi potenssisarjaksi. Selvästi jokainen

Lisätiedot

1. Kuusisivuista noppaa heitetään, kunnes saadaan silmäluku 5 tai 6. Olkoon X niiden heittojen lukumäärä, joilla tuli 1, 2, 3 tai 4.

1. Kuusisivuista noppaa heitetään, kunnes saadaan silmäluku 5 tai 6. Olkoon X niiden heittojen lukumäärä, joilla tuli 1, 2, 3 tai 4. HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Todennäköisyyslaskenta II, syksy 206 Kurssikoe 28.0.206 Ratkaisuehdotuksia. Kuusisivuista noppaa heitetään, kunnes saadaan silmäluku 5 tai 6. Olkoon X niiden

Lisätiedot

OPETUSSUUNNITELMALOMAKE

OPETUSSUUNNITELMALOMAKE OPETUSSUUNNITELMALOMAKE Tällä lomakkeella dokumentoit opintojaksoasi koskevaa opetussuunnitelmatyötä. Lomake on suunniteltu niin, että se palvelisi myös Oodia varten tehtävää tiedonkeruuta. Voit siis dokumentoida

Lisätiedot

4. laskuharjoituskierros, vko 7, ratkaisut

4. laskuharjoituskierros, vko 7, ratkaisut 4. laskuharjoituskierros, vko 7, ratkaisut D1. Kone valmistaa kuulalaakerin kuulia, joiden halkaisija vaihtelee satunnaisesti. Halkaisijan on oltava tiettyjen rajojen sisällä, jotta kuula olisi käyttökelpoinen.

Lisätiedot

5/11 6/11 Vaihe 1. 6/10 4/10 6/10 4/10 Vaihe 2. 5/11 6/11 4/11 7/11 6/11 5/11 5/11 6/11 Vaihe 3

5/11 6/11 Vaihe 1. 6/10 4/10 6/10 4/10 Vaihe 2. 5/11 6/11 4/11 7/11 6/11 5/11 5/11 6/11 Vaihe 3 Mat-.9 Sovellettu todennäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Verkot todennäköisyyslaskennassa Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Jakaumien tunnusluvut Kertymäfunktio, Momentit, Odotusarvo,

Lisätiedot

Verkot ja todennäköisyyslaskenta Verkko Verkko eli graafi muodostuu pisteiden joukosta V, särmien joukosta A ja insidenssikuvauksesta : A V V jossa

Verkot ja todennäköisyyslaskenta Verkko Verkko eli graafi muodostuu pisteiden joukosta V, särmien joukosta A ja insidenssikuvauksesta : A V V jossa Mat-.6 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Mat-.6 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B / Ratkaisut Aiheet: Verkot ja todennäköisyyslaskenta Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Kertymäfunktio Jakaumien

Lisätiedot

Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Esimerkkikokoelma 3

Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Esimerkkikokoelma 3 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Esimerkkikokoelma 3 Aiheet: Satunnaisvektorit ja moniulotteiset jakaumat Tilastollinen riippuvuus ja lineaarinen korrelaatio Satunnaisvektorit ja moniulotteiset

Lisätiedot

Gripenberg. MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Tentti ja välikoeuusinta

Gripenberg. MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Tentti ja välikoeuusinta MS-A00 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Tentti ja välikoeuusinta 7.. Gripenberg Kirjoita jokaiseen koepaperiin nimesi, opiskelijanumerosi ym. tiedot ja minkä kokeen suoritat! Laskin,

Lisätiedot

Todennäköisyyslaskenta. β versio. Todennäköisyyslaskenta. Ilkka Mellin. Teknillinen korkeakoulu, Matematiikan laboratorio. Ilkka Mellin (2006) I

Todennäköisyyslaskenta. β versio. Todennäköisyyslaskenta. Ilkka Mellin. Teknillinen korkeakoulu, Matematiikan laboratorio. Ilkka Mellin (2006) I β versio Todennäköisyyslaskenta Ilkka Mellin Teknillinen korkeakoulu, Matematiikan laboratorio TKK @ Ilkka Mellin (2006) I TKK @ Ilkka Mellin (2006) II Esipuhe Tämä moniste antaa perustiedot todennäköisyyslaskennasta.

Lisätiedot

(b) Tarkista integroimalla, että kyseessä on todella tiheysfunktio.

(b) Tarkista integroimalla, että kyseessä on todella tiheysfunktio. Todennäköisyyslaskenta I, kesä 7 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotuksia. Satunnaismuuttujalla X on ns. kaksipuolinen eksponenttijakauma eli Laplacen jakauma: sen tiheysfunktio on fx = e x. a Piirrä tiheysfunktio.

Lisätiedot

MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 4A Parametrien estimointi Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2016, periodi

Lisätiedot

IV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n

IV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n IV. TASAINEN SUPPENEMINEN IV.. Funktiojonon tasainen suppeneminen Olkoon A R joukko ja f n : A R funktio, n =, 2, 3,..., jolloin jokaisella x A muodostuu lukujono f x, f 2 x,.... Jos tämä jono suppenee

Lisätiedot

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A TKK / Systeemianalyysin laboratorio Nordlund Mat-.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A Harjoitus 7 (vko 44/003) (Aihe: odotusarvon ja varianssin ominaisuuksia, satunnaismuuttujien lineaarikombinaatioita,

Lisätiedot

Johdatus tn-laskentaan torstai 16.2.2012

Johdatus tn-laskentaan torstai 16.2.2012 Johdatus tn-laskentaan torstai 16.2.2012 Muunnoksen jakauma (ei pelkkä odotusarvo ja hajonta) Satunnaismuuttujien summa; Tas ja N Vakiokerroin (ax) ja vakiolisäys (X+b) Yleinen muunnos: neulanheittoesimerkki

Lisätiedot

Olkoot X ja Y riippumattomia satunnaismuuttujia, joiden odotusarvot, varianssit ja kovarianssi ovat

Olkoot X ja Y riippumattomia satunnaismuuttujia, joiden odotusarvot, varianssit ja kovarianssi ovat Mat-.3 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit. harjoituset Mat-.3 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit. harjoituset / Rataisut Aiheet: Avainsanat: Satunnaismuuttujat ja todennäöisyysjaaumat Kertymäfuntio

Lisätiedot

Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat. Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat

Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat. Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat TKK (c) Ilkka Melli (4) Satuaismuuttujie muuokset ja iide jakaumat Satuaismuuttujie muuoste jakaumat Kaksiulotteiste satuaismuuttujie muuoste jakaumat Riippumattomie satuaismuuttujie summa jakauma Riippumattomie

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 27. syyskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 27. syyskuuta 2007 1 / 15 1 Diskreetit jakaumat Diskreetti tasainen jakauma Bernoulli-jakauma Binomijakauma Geometrinen

Lisätiedot

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A TKK / Systeemianalyysin laboratorio Nordlund Mat-.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A Harjoitus 5 (vko 4/003) (Aihe: jatkuvia satunnaismuuttujia ja jakaumia, sekamalli, Laininen luvut 5.1 5.7, 6.1 6.3)

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 30. lokakuuta 2007 Antti Rasila () TodB 30. lokakuuta 2007 1 / 23 1 Otos ja otosjakaumat (jatkoa) Frekvenssi ja suhteellinen frekvenssi Frekvenssien odotusarvo

Lisätiedot

MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 3A Satunnaismuuttujien summa ja keskihajonta Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto

Lisätiedot

Käytetään satunnaismuuttujaa samoin kuin tilastotieteen puolella:

Käytetään satunnaismuuttujaa samoin kuin tilastotieteen puolella: 8.1 Satunnaismuuttuja Käytetään satunnaismuuttujaa samoin kuin tilastotieteen puolella: Esim. Nopanheitossa (d6) satunnaismuuttuja X kertoo silmäluvun arvon. a) listaa kaikki satunnaismuuttujan arvot b)

Lisätiedot

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A TKK / Systeemianalyysin laboratorio Nordlund Mat-2.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A Harjoitus 4 (vko 41/2003) (Aihe: diskreettejä satunnaismuuttujia ja jakaumia, Laininen luvut 4.1 4.7) 1. Kone tekee

Lisätiedot

MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Luennot, osa I

MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Luennot, osa I MS-A050 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Luennot, osa I G. Gripenberg 1 Todennäköisyys Satunnaismuuttujat Keskeinen raja-arvolause Aalto-yliopisto. tammikuuta 015 Kaksiulotteiset satunnaismuuttujat

Lisätiedot

MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Luennot, osa I

MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Luennot, osa I MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Luennot, osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 2. tammikuuta 2015 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen

Lisätiedot

Olkoon R S otosavaruuksien R ja S karteesinen tulo: Satunnaismuuttujien X ja Y järjestetty pari (X, Y) määrittelee kaksiulotteisen satunnaismuuttujan:

Olkoon R S otosavaruuksien R ja S karteesinen tulo: Satunnaismuuttujien X ja Y järjestetty pari (X, Y) määrittelee kaksiulotteisen satunnaismuuttujan: Mat-.6 Sovellettu todennäköisslaskenta B Mat-.6 Sovellettu todennäköisslaskenta B / Ratkaisut Aiheet: Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköissjakaumat Moniulotteisia jakaumia Avainsanat: Diskreetti

Lisätiedot

Sallitut apuvälineet: MAOL-taulukot, kirjoitusvälineet, laskin sekä itse laadittu, A4-kokoinen lunttilappu. f(x, y) = k x y, kun 0 < y < x < 1,

Sallitut apuvälineet: MAOL-taulukot, kirjoitusvälineet, laskin sekä itse laadittu, A4-kokoinen lunttilappu. f(x, y) = k x y, kun 0 < y < x < 1, Todennäköisyyslaskenta, 2. kurssikoe 7.2.22 Sallitut apuvälineet: MAOL-taulukot, kirjoitusvälineet, laskin sekä itse laadittu, A4-kokoinen lunttilappu.. Satunnaismuuttujien X ja Y yhteistiheysfunktio on

Lisätiedot

3. Teoriaharjoitukset

3. Teoriaharjoitukset 3. Teoriaharjoitukset Demotehtävät 3.1 a Olkoot u ja v satunnaumuuttujia, joilla on seuraavat ominaisuudet: E(u = E(v = 0 Var(u = Var(v = σ 2 Cov(u, v = E(uv = 0 Näytä että deterministinen prosessi. x

Lisätiedot

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A050 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi B Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto

Lisätiedot

Tilastotieteen kertaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1

Tilastotieteen kertaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1 Tilastotieteen kertaus Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Reaalimaailman ilmiöihin liittyy tyypillisesti satunnaisuutta ja epävarmuutta Ilmiöihin liittyvien havaintojen ajatellaan usein olevan peräisin

Lisätiedot

Väliestimointi (jatkoa) Heliövaara 1

Väliestimointi (jatkoa) Heliövaara 1 Väliestimointi (jatkoa) Heliövaara 1 Bernoulli-jakauman odotusarvon luottamusväli 1/2 Olkoon havainnot X 1,..., X n yksinkertainen satunnaisotos Bernoulli-jakaumasta parametrilla p. Eli X Bernoulli(p).

Lisätiedot

MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 3A Normaaliapproksimaatio Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Lukuvuosi 2016

Lisätiedot

Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat

Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (4) todennäköisyysjakaumat Johdatus todennäköisyyslaskentaan todennäköisyysjakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (4) todennäköisyysjakaumat: Mitä opimme? /5 hden satunnaismuuttujan todennäköisyysjakaumat

Lisätiedot

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A050 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi B Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto

Lisätiedot

Matemaattinen tilastotiede. Erkki Liski Matematiikan, Tilastotieteen ja Filosofian Laitos Tampereen Yliopisto

Matemaattinen tilastotiede. Erkki Liski Matematiikan, Tilastotieteen ja Filosofian Laitos Tampereen Yliopisto Matemaattinen tilastotiede Erkki Liski Matematiikan, Tilastotieteen ja Filosofian Laitos Tampereen Yliopisto Alkusanat Tämä moniste perustuu vuosina 2002-2004 pitämiini matemaattisen tilastotieteen luentoihin

Lisätiedot

Estimointi. Vilkkumaa / Kuusinen 1

Estimointi. Vilkkumaa / Kuusinen 1 Estimointi Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Tilastollisessa tutkimuksessa oletetaan jonkin jakauman generoineen tutkimuksen kohteena olevaa ilmiötä koskevat havainnot Tämän mallina käytettävän todennäköisyysjakauman

Lisätiedot

031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikot 5 6

031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikot 5 6 031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikot 5 6 Jukka Kemppainen Mathematics Division Jakauman tunnusluvut Jakauman tärkeimmät tunnusluvut ovat odotusarvo ja varianssi. Odotusarvo ilmoittaa jakauman keskikohdan

Lisätiedot

Momentit generoiva funktio

Momentit generoiva funktio TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Jessica Glassar Momentit generoiva funktio Informaatiotieteiden yksikkö Matematiikka Joulukuu 212 Tampereen yliopisto Informaatiotieteiden yksikkö GLASSAR, JESSICA:

Lisätiedot

Tilastollinen päättely II, kevät 2017 Harjoitus 1A

Tilastollinen päättely II, kevät 2017 Harjoitus 1A Tilastollinen päättely II, kevät 207 Harjoitus A Heikki Korpela 23. tammikuuta 207 Tehtävä. Kertausta todennäköisyyslaskennasta. Ilmoita satunnaismuuttujan Y jakauman nimi ja pistetodennäköisyys- tai tiheysfunktio

Lisätiedot

Testit laatueroasteikollisille muuttujille

Testit laatueroasteikollisille muuttujille Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testit laatueroasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Testit laatueroasteikollisille muuttujille >> Laatueroasteikollisten

Lisätiedot

Poisson-prosessien ominaisuuksia ja esimerkkilaskuja

Poisson-prosessien ominaisuuksia ja esimerkkilaskuja 4B Poisson-prosessien ominaisuuksia ja esimerkkilaskuja Tuntitehtävät 4B1 Eksponentiaalisten odotusaikojen toistuva odottaminen. Satunnaisluvun X sanotaan noudattavan Gamma-jakaumaa parametrein k ja λ,

Lisätiedot

Todennäköisyyslaskenta

Todennäköisyyslaskenta Todennäköisyyslaskenta Ilkka Mellin 1. korjattu painos Ilkka Mellin I Ilkka Mellin II Esipuhe Tämä moniste pyrkii antamaan perustiedot todennäköisyyslaskennasta. Monisteen ensisijaisena tavoitteena on

Lisätiedot

MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Luennot, osa I

MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Luennot, osa I MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Luennot, osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 2. tammikuuta 2015 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen

Lisätiedot

1. Jatketaan luentojen esimerkkiä 8.3. Oletetaan kuten esimerkissä X Y Bin(Y, θ) Y Poi(λ) λ y. f X (x) (λθ)x

1. Jatketaan luentojen esimerkkiä 8.3. Oletetaan kuten esimerkissä X Y Bin(Y, θ) Y Poi(λ) λ y. f X (x) (λθ)x HY, MTL / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIb, syksy 017 Harjoitus 5 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I 1. Jatketaan luentojen esimerkkiä 8.3. Oletetaan kuten esimerkissä X

Lisätiedot

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A. Moniulotteiset jakaumat. Avainsanat:

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A. Moniulotteiset jakaumat. Avainsanat: Mat-.9 Sovellettu todennäköisyyslasku A Mat-.9 Sovellettu todennäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Moniulotteiset jakaumat Diskreetti jakauma, Ehdollinen jakauma, Ehdollinen odotusarvo, Jatkuva

Lisätiedot

031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikko 2

031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikko 2 031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikko 2 Jukka Kemppainen Mathematics Division Satunnaismuuttuja Useissa luonnon- tai teknistieteellisissä sovellutuksissa satunnaiskokeen lopputulos on numeerinen lukuarvo.

Lisätiedot

Tilastollinen testaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1

Tilastollinen testaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1 Tilastollinen testaus Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Viime luennolla: havainnot generoineen jakauman muoto on usein tunnettu, mutta parametrit tulee estimoida Joskus parametreista on perusteltua esittää

Lisätiedot

PURSKETASON TARKASTELUT Ylivuototodennäköisyys puskurittomassa systeemissä

PURSKETASON TARKASTELUT Ylivuototodennäköisyys puskurittomassa systeemissä J. Virtamo 38.3141 Teleliikenneteoria / Pursketaso 1 PURSKETASON TARKASTELUT Ylivuototodennäköisyys puskurittomassa systeemissä Tarkastellaan ATM-kytkimen lähtöporttia Oletetaan: puskuri riittää vain solutason

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet: Luento 17. Integraalin sovelluksia kassavirta-analyysissa Integraalin sovelluksia todennäköisyyslaskennassa

Talousmatematiikan perusteet: Luento 17. Integraalin sovelluksia kassavirta-analyysissa Integraalin sovelluksia todennäköisyyslaskennassa Talousmatematiikan perusteet: Luento 17 Integraalin sovelluksia kassavirta-analyysissa Integraalin sovelluksia todennäköisyyslaskennassa Motivointi Kahdella edellisellä luennolla olemme oppineet integrointisääntöjä

Lisätiedot

LUKU 3. Ulkoinen derivaatta. dx i 1. dx i 2. ω i1,i 2,...,i k

LUKU 3. Ulkoinen derivaatta. dx i 1. dx i 2. ω i1,i 2,...,i k LUKU 3 Ulkoinen derivaatta Olkoot A R n alue k n ja ω jatkuvasti derivoituva k-muoto alueessa A Muoto ω voidaan esittää summana ω = ω i1 i 2 i k dx i 1 dx i 2 1 i 1

Lisätiedot

(b) Onko hyvä idea laske pinta-alan odotusarvo lähetmällä oletuksesta, että keppi katkeaa katkaisukohdan odotusarvon kohdalla?

(b) Onko hyvä idea laske pinta-alan odotusarvo lähetmällä oletuksesta, että keppi katkeaa katkaisukohdan odotusarvon kohdalla? 6.10.2006 1. Keppi, jonka pituus on m, taitetaan kahtia täysin satunnaisesti valitusta kohdasta ja muodostetaan kolmio, jonka kateetteina ovat syntyneet palaset. Kolmion pinta-ala on satunnaismuuttuja.

Lisätiedot