Mat Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros Vaimennetun heilurin tilanyhtälöt on esitetty luennolla: θ = g sin θ r θ

Transkriptio

1 Mat-48 Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros Vaimennetun heilurin tilanyhtälöt on esitetty luennolla: θ = g sin θ r θ L ẋ = x ẋ = g L sin x rx Epälineaarisen systeemin tasapainotiloja voidaan etsiä asettamalla tilojen derivaatat nolliksi ja ratkaisemalla saatu yhtälö: x =, g L sin x = x = ±nπ, n Z Saadaan kaksi eri tasapainotilaa: (x, x ) = (, ), (x, x ) = (π, ) Tasapainotilojen laatua voidaan tarkastella linearisoimalla systeemi niiden ympäristössä Jakobin matriisiksi saadaan J f = g cos x L r Tasapainopisteessä (x, x ) = (, ) Jakobin matriisin ominaisarvot ovat λ = r ± r 4g/L <, eli systeemi on stabiili ainakin jossain origon pienessä ympäristössä Toisaalta tasapainopisteessä (x, x ) = (π, ) Jakobin matriisin ominaisarvot ovat λ = r ± r + 4g/L, jolloin toinen ominaisarvo on positiivinen ja toinen negatiivinen Tällöin tasapainopiste on epästabiili satulapiste Heilurisysteemin kokonaisenergiaa tasapainopisteen (, ) ympäristössä esittää Lyapunovin funktio V (x, x ) = x + g }{{} l ( cos x ) }{{} kineettinen energia potentiaalienergia

2 Kun rajoitutaan välille x ( π, π), niin tämän yksikäsitteinen minimi on piste (x, x ) = (, ) Lisäksi V on jatkuvasti derivoituva ja V (x, x ) = x ẋ + g L sin(x )ẋ = x (ẋ + g L sin x ) = rx <, (x, x ) (, ), joten origo on systeemin asymptoottisesti stabiili tasapainopiste Peruskursseilta muistetaan, että systeemin sanotaan olevan stabiili jonkin tasapainopisteen x s ympäristössä jos kaikille palloille B(x s, δ) pätee, että mikäli valitaan tarpeeksi pieni säde ε niin pallosta B(x s, ε) lähdettäessä ei voida koskaan päätyä B(x s, δ):n ulkopuolelle, ts δ > ε > se x() B(x s, ε) x(t) Ω, t, ) Asymptoottinen stabiilius on voimakkaampi käsite, ja sille pätee x() B(x s, ε) lim t x(t) = x s Lyapunovin funktio antaa samantien joukon B(x s, ε), jossa asymptoottinen stabiilius pätee, eli heiluritehtävälle origon ympäristössä ε = π Yläasennossa (x, x ) = (π, ) heiluri ei ole stabiili, mutta se voidaan ohjauksella siellä pitää Olkoon heilurin kantapisteeseen kohdistuva voima F = mẅ, ja tilayhtälöissä merkitään kulmaa pystyasennosta φ:llä, ts φ = π θ Kun nyt valitaan tilamuuttujiksi x = φ ja x = φ, niin tilanyhtälöt muuttuvat muotoon = x ja valitaan ohjaukseksi kiihtyvyys = ẅ L cos x + g L sin x rx, v := F m

3 Etsitään ohjausta v lineaarikombinaationa tilamuuttujista v(t) = c x (t) + c x (t) ẅ = c x c x Silloin ohjattu systeemi voidaan kirjoittaa muodossa = x = c x L cos x + c x L cos x + g L sin x rx Linearisoidaan systeemi tasapainotilassa Jakobin matriisi tilassa (x, x ) = (, ) on J f = c L r ja tämän ominaisarvot ovat c L + g L λ = (r c /L) ± (r c /L) + 4(c /L + g/l) Vakiot c, c tulee valita siten, että ominaisarvot ovat vasemmassa puolitasossa Valitaan esimerkiksi c = (L + g) ja c = rl L, jolloin λ = ± i 3 Sekotussäiliöiden tilayhtälömalli: ẋ k ẋ = rk k ẋ 3 ( r)k k 3 x x x 3 + u(t) Valitaan k =, k =, k 3 = Virtaus säiliöihin ja 3 voidaan jakaa suuttimella, jonka (kiinteä) asento on r, Simuloimalla systeemiä havaitaan, että tankkien pinnankorkeus vaihtelee lähes samassa vaiheessa ja r säätelee tankkien ja 3 keskinäistä pinnankorkeutta skaalaustekijän verran Onko systeemi täysin ohjattava? Systeemimatriiseilla A = r, B = ( r) 3

4 saadaan ohjattavuusmatriisiksi mutta nyt huomataan, että E = B AB A B, A B + 3AB + B =, r,, eli ohjattavuusmatriisin sarakkeet ovat lineaarisesti riippuvia ja siten systeemi ei ole täysin ohjattava Riippumatta ohjauksesta u(t) on siis olemassa tiloja, joihin säiliösysteemiä ei voida ohjata Tämä olikin jo selvää kokeellisesta havainnosta, jonka mukaan säiliöiden pinnankorkeudet muuttuivat samassa vaiheessa 3 Jousisysteemi kitkaparametrilla K: ẋ ẋ Ominaisarvoiksi saadaan = K x x λ = K ± K 4 Havaintoja: ominaisarvot puhtaasti reaaliset, jos K Systeemillä omainaisarvo oikeassa puolitasossa, jos K < Jos K =, ominaisarvot puhtaasti imaginääriset Simuloimalla vahvistetaan seuraava: K = keskus (R(λ) = ) K = stabiili polttopiste (R(λ) < ) K = stabiili polttopiste (R(λ) < ) K = stabiili napa (R(λ) <, I(λ) = ) K = epästabiili polttopiste (R(λ) > ) Oletetaan, että systeemiä voidaan ohjata vaikuttamalla toiseen muuttujaan x, eli B = Silloin ohjattavuusmatriisiksi saadaan E = K 4,

5 joka on täyttä rangia ja siten systeemi on täysin ohjattava Kun systeemi on täysin ohjattava, niin löytyy takaisinkytketty ohjauslaki u(t) = K(t)x(t), siten, että matriisin A BK ominaisarvot ovat mielivaltaisessa paikassa kompleksitasoa takaisinkytkennällä saadaan ohjatulle systeemille mielivaltainen dynamiikka Kuva : Jousisysteemin gradienttikenttä vaihetasossa Kuvaan piirretty ratkaisuja, jotka tangeeraavat kussakin pisteessä gradienttikenttää Kitkaparametrin arvo on K = 5 5