4. Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä

Transkriptio

1 1 Laaja matematiikka 5 Kevät Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä Yksi tavallisimmista luonnontieteissä ja tekniikassa esiintyvistä matemaattisista malleista on differentiaaliyhtälö. Se on yleisessä muodossaan yhtälö, jossa esiintyy tuntemattomia funktioita ja niiden derivaattoja. Jos derivaatoissa on osittaisderivaattoja, kyseessä on osittaisdifferentiaaliyhtälö, jos vain tavallisia derivaattoja, tavallinen differentiaaliyhtälö. Tällä kurssilla käsittelemme vain jälkimmäisiä, ja niitäkin lyhyesti. Differentiaaliyhtälön kertaluku on siinä esiintyvän korkeimman derivaatan kertaluku. Differentiaaliyhtälö on lineaarinen, jos tuntematon funktio ja sen yhtälössä esiintyvät derivaatat esiintyvät siinä lineaarisesti eli asteluvulla 1. Jos silloin tuntemattoman funktion ja derivaattojen kertoimet ovat vakioita, kyseessä on vakiokertoiminen lineaarinen differentiaaliyhtälö. Tuntematon funktio ja sen derivaatat laitetaan pääsääntöisesti yhtälön vasemmalle puolelle. Jos silloin oikealle puolelle jää 0, kyseessä on homogeeninen yhtälö, muuten yhtälö on epähomogeeninen. Esim. 1 Tarkastellaan seuraavia differentiaaliyhtälöitä: a) y '''( x) + x y''( x) + y( x) = sin x (4) b) ( y ( x)) + y( x) = x c) x''( t) + x'( t) + 4 x( t) = 0 Näistä a ja c ovat lineaarisia, b on epälineaarinen. Yhtälön a kertaluku on 3, yhtälön b kertaluku on 4 ja c on toisen kertaluvun vakiokertoiminen lineaarinen homogeeninen yhtälö. Yhtälöt a ja b ovat epähomogeenisia.

2 Differentiaaliyhtälön ratkaisuja ovat funktiot, jotka sijoitettuna yhtälöön toteuttavat sen jollakin avoimella välillä. Yleiseen ratkaisuun sisältyy kertaluvun ilmoittama määrä toisistaan riippumattomia vakioita eli parametreja. Parametrit tai osa niistä voidaan kiinnittää alkuehdoilla tai reunaehdoilla, jolloin kyseessä on alkuarvoprobleema tai reunaarvoprobleema. Esim. Yhtälön y''( x) + y( x) = 0 yleinen ratkaisu on y( x) = c1sinx+ ccosx, missä c1, c ovat parametreja. Alkuarvoprobleeman y''( x) + y( x) = 0, y(0) = 0, y'(0) = ratkaisu (yksikäsitteinen) on yx ( ) = sinx. Reuna-arvoprobleeman y''( x) + y( x) = 0, y(0) = 0, y( π ) = 0 ratkaisuja ovat kaikki funktiot yx ( ) = csin x, c. Reuna-arvoprobleemalla y''( x) + y( x) = 0, y(0) = 0, y( π ) = 1 taas ei ole ratkaisua lainkaan. Kuten esimerkistä näkyy, differentiaaliyhtälöllä ei välttämättä tarvitse olla olemassa ratkaisua, ja jos sellaisia on, niiden ei tarvitse olla yksikäsitteisiä. Tähän kysymykseen palaamme myöhemmin differentiaaliyhtälösysteemien yhteydessä. Käymme seuraavassa läpi yksinkertaisimpia perustapauksia 1. ja. kertaluvun differentiaaliyhtälöistä. Yleisempi teoria esitetään sitten myöhemmin. Totuttelemme kuitenkin yleiseen differentiaalisysteemien merkintätapaan jo nyt merkitsemällä tuntematonta funktiota useimmiten x:llä ja muuttujaa t:llä ("aika").

3 3 1) Ensimmäisen kertaluvun lineaarinen homogeeninen vakiokertoiminen yhtälö: (1) x'( t) ax( t) = 0 eli x'( t) = ax( t), joka voidaan esittää muodossa () x'( t) = a. xt () Kun tämä integroidaan puolittain, saadaan ln x( t) = at + d, missä d on integroimisvakio. Ottamalla tästä edelleen eksponenttifunktio exp puolittain tullaan muotoon at d at d x( t) = exp( at+ d) = e + = e e Koska jokainen luku c on esitettävissä lausekkeena ±e d jollakin d, saadaan itseisarvomerkit poistettua ja yleinen ratkaisu on at (3) x() t = e c missä c on mielivaltainen vakio. Alkuehdon x(0)=x 0 toteuttavassa ratkaisussa on silloin c=x 0 : (4) x() t = e at x0.

4 4 ) Ensimmäisen kertaluvun lineaarinen epähomogeeninen vakiokertoiminen yhtälö: (5) x'( t) ax( t) = b( t) eli x'( t) = ax( t) + b( t) Yhtälön x'(t)=ax(t) eli homogeenisen yhtälön yleinen ratkaisu on edellisen nojalla (6) x h (t)=e at c. Epähomogeenisen yhtälön x'(t)=ax(t)+b(t) yksityisratkaisu saadaan ns. vakion varioinnilla eli etsimällä ratkaisua muodossa (7) x(t)=e at c(t). Silloin saadaan derivoimalla ja sijoittamalla epähomogeeniseen yhtälöön: josta sievenee yhtälö ae at c(t)+e at c'(t)=ae at c(t) + b(t) c'(t)=e -at b(t), eli eräs yksityisratkaisu on (8) x p (t)=e at e at b(t)dt. Silloin yleinen ratkaisu epähomogeeniselle yhtälölle on homogeenisen yhtälön yleinen ratkaisu plus epähomogeenisen yksityisratkaisu: (9) x(t)=e at c + e at e -at b(t)dt Alkuehdon x(0)=x 0 toteuttava ratkaisu on silloin (10) x(t)=e at a( t s) x 0 + e b() s ds. t 0 Jos edellä vakio a vaihtuu funktioksi a(t), niin ratkaisujen johto menee lähes samalla tavalla, kun termi at korvataan integraalilla atdt () :

5 5 3) Ensimmäisen kertaluvun lineaarinen homogeeninen yhtälö: (11) x'( t) a( t) x( t) = 0 eli x'( t) = a( t) x( t). Yleinen ratkaisu on (1) () xt () = e atdt c ja alkuehdon x(0)=x 0 toteuttava ratkaisu () 0 (13) xt () = e atdt x. t 0 4) Ensimmäisen kertaluvun lineaarinen epähomogeeninen yhtälö: (14) x'( t) a( t) x( t) = b( t) eli x'( t) = a( t) x( t) + b( t). Yleinen ratkaisu on (15) atdt () atdt () atdt () x() t = e c+ e e b() t dt. π π Esim. 3 x '( t) + (tan t) x( t) = cos t, < t <. sin t Koska atdt ( ) = ( tan tdt ) = dt= ln(cos t) cost yleinen ratkaisu on, niin e a() t dt = cost, joten 1 x( t) = (cos t) c+ cost cos tdt = (cos t) c+ costsin t. cost

6 6 Epälineaariset differentiaaliyhtälöt ovat yleensä ratkaistavissa korkeintaan numeerisesti. Mutta dimensiossa 1 eli 1. kertaluvun differentiaaliyhtälöissä tietyt erityistapaukset ratkeavat periaatteessa helposti. Erikoistemppuihin perehtyminen ei nykyisin kuitenkaan enää ole tarpeellista (ohjelmistot Maple etc.), paitsi seuraavaa, joka on niin tavallinen, että esiintyy eri alojen oppikirjoissa "luonnonlakien" yms. johtamisissa: 5) Ensimmäisen kertaluvun separoituva differentiaaliyhtälö: (16) x'( t) = h( t) g( x( t)), Tämä on siis muotoa, missä oikealla puolella muuttujat t ja x ovat "separoituneet". Silloin yhtälö voidaan kirjoittaa muotoon (vasemmalle separoituneet x, oikealle pelkästään t:stä riippuvat.) (17) x'( t) / g( x( t)) = h( t), josta puolittain integroituna. (18) x'( t) / g( x( t)) dt = h( t) dt Tämä integrointi onnistuessaan antaa yhtälön yleisen ratkaisun. Edellä olemme jo käyttäneetkin tätä menettelyä ensimmäisen kertaluvun lineaarisen homogeenisen differentiaaliyhtälön ratkaisujen johtamisessa. Esim. 4 x '( t) t x( t) = t (epälineaarinen, epähomogeeninen) x'( t) x'( t) x '( t) = t (1 + x( t) ) = t dt = t dt 1 + xt ( ) 1 + xt ( ) Sijoitetaan vasempaan integraaliin u = x(), t du = x'() t dt, jolloin saadaan du 1 3 tdt arctan u 3 t c 1+ u = = x( t) = tan( t + c).. Siis yleinen ratkaisu on 3

7 7 Esim. 5 x '( t) = x( t)(1- sin( t)) x'( t) x'( t) = 1 sin( t) dt = (1 sin( t)) dt xt () xt () puolille yhtälöä) (eli x ja t separoitiin eri ln xt ( ) t cos( t) d xt ( ) e ee xt () ce + t+ cos( t) + d d t+ cos( t) = + + = =, merk. t cos( t) =, c on mielivaltainen vakio. c d =± e : Siirrytään seuraavaksi toisen kertaluvun lineaarisiin yhtälöihin (19) y''( t) + a( t) y'( t) + b( t) y( t) = f( t) ja vastaaviin homogeenisiin yhtälöihin (0) y''() t + a() t y'() t + b() t y() t = 0. Lineaarisuudesta seuraa, että jos y1(), t y() t ovat homogeenisen yhtälön ratkaisuja, niin niiden lineaariset kombinaatiot (1) yt () = cy 1 1() t + cy () t ovat myös. Funktiot y1(), t y() t ovat lineaarisesti riippumattomia tarkasteluvälillä I, jos niiden suhde ei ole välillä I identtisesti vakio. Voidaan osoittaa, että jos y1(), t y() t ovat homogeenisen yhtälön kaksi lineaarisesti riippumatonta ratkaisua, niin yhtälön kaikki ratkaisut saadaan niiden lineaarisista kombinaatioista joillakin vakioiden c 1, c arvoilla. Silloin sanotaan, että () yt () = cy 1 1() t + cy (), t c1, c on homogeenisen yhtälön yleinen ratkaisu.

8 8 6) Toisen kertaluvun lineaarinen homogeeninen vakiokertoiminen yhtälö: (3) y''( t) + ay'( t) + by( t) = 0 Koska eksponenttifunktio on ainoa funktio, joka derivoitaessa antaa takaisin saman funktion vakiolla kerrottuna, voidaan ratkaisua hakea rt sijoittamalla yt ( ) = e. Jakamalla sijoituksen jälkeen nollasta rt poikkeavalla lausekkeella e saadaan, että yhtälö toteutuu, jos r on karakteristisen yhtälön (4) r + ar+ b= 0 juuri. Tilanne jakaantuu juurten ominaisuuksien mukaan kolmeen tapaukseen (ei todistetta tässä tarkemmin, koska seuraa myöhemmästä differentiaaliyhtälöryhmien teoriasta): Olkoot karakteristisen yhtälön r + ar+ b= 0 juuret λ ja μ. Silloin yllä olevan differentiaaliyhtälön yleinen ratkaisu on 1. yt () t t ce 1 ce μ. yt () λt λt ce 1 cte 3. αt 1 β = +, jos juuret ovat reaalisia ja λ μ = +, jos λ=μ yt () = ce sin( αt t) + ce cos( βt), jos λ=α+iβ, μ=α-iβ, β 0. Esim. 6 Hae differentiaaliyhtälön y''- y'- y = 0 yleinen ratkaisu Karakteristinen yhtälö r r = 0, juuret ja -1. Siis tapaus 1. Yleinen t t ratkaisu yt () = ce + ce. 1 Esim. 7 Ratkaise alkuarvoprobleema y '' + y' + 5y = 0, y( π) = e π, y '( π) = 3e π Karakteristinen yhtälö r + r+ 5= 0, juuret kompleksiset: -1+i ja -1-i. Siis tapaus 3. Yleinen ratkaisu

9 9 t yt () = ce sint+ ce cost. t 1 π π π Alkuehdot: y( π ) = e ce = e c = 1; t t t t y'( t) = ce sin t+ ce cost e cost e sin t, 1 1 π π π π y'( π ) = 3e ce 1 e = 3e c1 =. Siis alkuarvoprobleeman ratkaisu on t t y() t = e sint+ e cost. Tapauksessa 3 ratkaisu on usein hyödyllistä esittää yhtenä sinilausekkeena (tai kosini-). Siihen päästään käyttämällä ns. harmonisia identiteettejä acosωt+ bsinωt= Asin( ωt+ φ) b a missä A = a + b ja cos φ =, sinφ =, sekä A A acosωt+ bsinωt= Acos( ωt δ), a b missä A = a + b ja cos δ =, sinδ =. A A

10 10 Esim. 8 Edellisen esimerkin ratkaisufunktiolle saadaan muoto ( ) t (cos sin ) t yt = e t+ t = e 1+ 4 cos( t δ ) = 5e t cos( t δ ), missä 1 π cos δ =, sinδ =, joten 0 < δ < eli δ = arctan ) Toisen kertaluvun lineaarinen epähomogeeninen vakiokertoiminen yhtälö: (5) y''( t) + ay'( t) + by( t) = f( t) Lineaarisuudesta seuraa, että jos y h on homogeenisen yhtälön (3) yleinen ratkaisu ja y p epähomogeenisen yhtälön (5) jokin yksityisratkaisu, niin (6) yt () = cy 1 1() t + cy () t + yp(t) = yh(t)+ yp(t), c1, c on epähomogeenisen yhtälön yleinen ratkaisu. Kohdan 6 nojalla riittää siis etsiä jokin epähomogeenisen yhtälön (5) yksityisratkaisu. Tämä on usein pääteltävissä oikean puolen funktion f ( t ) tyypistä. Seuraavassa on lueteltu, minkä tyyppisiä yritteitä kannattaa tavallisimmissa tapauksissa koettaa. Ajatuksena on, että yrite sijoitetaan yhtälöön ja määritetään siinä olevat parametrit tai tuntemattomat funktiot. 7.1 Olkoon f ( t ) astetta n oleva polynomi. Jos b 0, niin yrite on samanasteinen polynomi, jos b= 0, a 0 yrite on ( n + 1) -asteinen polynomi. 7. Jos f ( t) = p( t) e at, niin yrite on muotoa yt ( ) = ute ( ) at. at at 7.3 Jos f ( t) = ce, missä c on vakio, niin yt ( ) = Ke, mikäli a ei ole j at karakteristisen yhtälön (4) juuri, ja muuten yt () = Kte ( j= 1,) sen mukaan, onko a karakteristisen yhtälön yksin- vai kaksinkertainen juuri. 7.4 Olkoon f ( t) = pcosωt+ qsinωt. Jos ± iω eivät ole karakteristisen yhtälön juuria, niin yritteeksi käy yt ( ) = Acosωt+ Bsinωt, muuten yt () = Atcosωt+ Btsinωt.

11 11