MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt

Transkriptio

1 MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Differentiaaliyhtälöt, osa 1 Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto / 20 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista

2 DY-teoriaa Käsitellään seuraavaksi differentiaaliyhtälösysteemeitä, eli lyhyesti differentiaaliyhtälöitä. Olkoon F jatkuva kuvaus R R n R n. Tällöin yhtälöä x (t) = F (t, x(t)), x(t) R n kutsutaan n dimensioiseksi differentiaaliyhtälösysteemiksi. Komponenttimuodossa kirjoitettuna tämä on x 1 (t) = f 1(t, x 1 (t), x 2 (t),..., x n (t)) x 2 (t) = f 2(t, x 1 (t), x 2 (t),..., x n (t)) x n(t). = f n (t, x 1 (t), x 2 (t),..., x n (t)). 2 / 20 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista

3 DY-teoriaa Jos F ei eksplisiittisesti riipu t :stä eli yhtälö on muotoa x (t) = F (x(t)), niin yhtälöä kutsutaan autonomiseksi. Differentiaaliyhtälön ratkaisulla tarkoitetaan jollakin välillä (α, β) R määriteltyä jatkuvasti derivoituvaa funktiota x : R R n, joka toteuttaa yhtälön kaikilla t (α, β). Differentiaaliyhtälöllä on yleensä paljon ratkaisuja: esimerkiksi yhtälöllä x = x on ratkaisut x(t) = c e t, vakion c C kaikilla arvoilla. Tällä kurssilla tarkastellaan pääasiassa alkuarvotehtäviä, millä tarkoitetaan differentiaaliyhtälöä lisäehdolla x(t 0 ) = x 0, eli kiinnitetään ratkaisun lähtöpiste. Sopivin oletuksin tämä yleensä määrää ratkaisun yksikäsitteisesti. 3 / 20 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista

4 DY-teoriaa Esimerkki 1 (Heiluri) Tasapainoasemastaan kulman θ verran poikkeutetulle, L-pituiselle ja m-massaiselle heilurille voidaan Newtonin lain mukaan kirjoittaa yhtälö mv (t) = mg sin(θ(t)) ja heilurin geometriasta saadaan yhtälö v(t) = Lθ (t). Täten heiluri toteuttaa yhtälöparin { θ (t) = 1 L v(t) v (t) = g sin(θ(t)). [ ] [ θ(t) 1 Merkitään x(t) = ja F (x(t)) = L x ] 2(t). Näin v(t) g sin(x 1 (t)) systeemi voidaan kirjoittaa lyhyesti x (t) = F (x(t)). 4 / 20 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista

5 DY-teoriaa Korkeamman kertaluvun differentiaaliyhtälöt voidaan palauttaa 1. kertaluvun systeemiksi: Yhtälölle asetetaan y (t) = g(t, y(t), y (t), y (t)) x 1 (t) = y(t), x 2 (t) = y (t), x 3 (t) = y (t), jolloin saadaan x 1 (t) x 2 (t) x 3 (t) = x 2(t) = x 3(t) = g(t, x 1(t), x 2 (t), x 3 (t)). 5 / 20 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista

6 DY-teoriaa Määritellään sitten vektorifunktio ( F (t, x(t)) = x 2 (t), x 3 (t), g ( t, x 1 (t), x 2 (t), x 3 (t) )), jolloin alkuperäinen 3. kertaluvun yhtälö voidaan kirjoittaa 1. kertaluvun muodossa x (t) = F (x(t)). Esimerkki 2 Esitä toisen asteen differentiaaliyhtälö y (t) + y(t) = 0, y(0) = a, y (0) = b, 1. kertaluvun differentiaaliyhtälöryhmänä. 6 / 20 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista

7 DY-teoriaa Ratkaisu: Asetetaan x 1 (t) = y(t) ja x 2 (t) = y (t). Tällöin yhtälö y (t) + y(t) = 0 voidaan yhtäpitävästi esittää yhtälöparina { x 1 (t) = x 2(t) x 2 (t) = x 1(t) ja alkuehdot ovat nyt x 1 (0) = a, x 2 (0) = b. Matriisimuodossa yhtälöpari voidaan kirjoittaa [ ] x 0 1 (t) = x, 1 0 kun x(t) = [ ] x1 (t) x 2. Alkuehto on tietenkin x(0) = [ a (t) b ]. 7 / 20 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista

8 DY-teoriaa Huom: Äsken tarkastellun differentiaaliyhtälön y (t) + y(t) = 0, y(0) = a, y (0) = b, kaikki ratkaisut ovat muotoa y(t) = b sin(t) + a cos(t). Vastaavan matriisimuotoisen yhtälön x (t) = [ ] x, x(0) = [ a b ] ratkaisu kirjoitetaan tällöin [ ] b sin(t) + a cos(t) x(t) =. b cos(t) a sin(t) 8 / 20 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista

9 DY-teoriaa Olkoon U R n avoin joukko ja F : R U R n jatkuvasti derivoituva vektorikenttä. Tällöin differentiaaliyhtälösysteemin x (t) = F (t, x(t)) ratkaisuita x : R U kutsutaan sen integraalikäyriksi. Jos DY-systeemi on autonominen, eli x (t) = F (x(t)), integraalikäyriä on helppo visualisoida: ne ovat käyriä, jotka ovat joka pisteessä tangentiaalisia vektorikentälle F. 9 / 20 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista

10 DY-teoriaa Lause 3 Jos vektorikenttä F : R U R n on jatkuvasti derivoituva, niin jokaisella s R ja u U on olemassa ɛ > 0 siten, että alkuarvotehtävällä x (t) = F (t, x(t)), x(s) = u on olemassa yksikäsitteinen ratkaisu x : [s ɛ, s + ɛ] U. Lause sanoo siis, että DY-systeemeitä voidaan (ei-patologisessa tapauksessa) aina ratkaista jonkin matkaa eteen- ja taaksepäin. Ratkaisu on yksikäsitteinen, kun se on olemassa. Mutta miltä ratkaisut oikein näyttävät? 10 / 20 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista

11 Tarkastellaan homogeenista vakiokertoimista yhtälöä: x (t) = A x(t), missä A R n n. Osoitetaan, että tällaisen yhtälön ratkaisu on eksponenttifunktion muodossa, ja että se on yksikäsitteinen. Lause 4 Olkoon A R n n. Alkuarvotehtävän x (t) = A x(t), x(0) = x 0, ainoa ratkaisu on x(t) = e ta x / 20 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista

12 Todistus. Suppenevia potenssisarjoja voidaan derivoida termeittäin, joten eksponenttifunktionkin derivaatta tunnetaan. Voidaankin kirjoittaa x (t) = d dt (eta x 0 ) = Ae ta x 0 = Ax(t), joten x(t) = e ta x 0 on differentiaaliyhtälön x (t) = A x(t) ratkaisu. Oletetaan, että y(t) on DY:n toinen ratkaisu. Asetetaan z(t) = e ta y(t). Tällöin z (t) = Ae ta y(t) + e ta Ay(t) = 0, joten z(t) on vakio, z(t) = x 0. Näin ollen y(t) = e ta z(t) = e ta x 0, joten x(t) = e ta x 0 on ainoa ratkaisu. 12 / 20 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista

13 Esimerkki 5 Ratkaise alkuarvotehtävä x (t) = [ ] x(t), x(0) = [ 1 1 ]. Ratkaisu: Matriisilla A = [ ] on diagonaalihajotelma [ ] [ ] [ ] [ ] =, joten e ta = DY:n ratkaisu on siis [ ] [ ] [ ] 1 1 e t e 2t = 0 1 x(t) = e ta x(0) = [ e t e 2t e t 0 e 2t ] [ ] 1 = 1 [ e t e 2t e t 0 e 2t [ 2e t e 2t e 2t ]. ]. 13 / 20 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista

14 Määritelmä 6 Differentiaaliyhtälöä x (t) = A(t)x(t) + b(t) kutsutaan lineaariseksi epähomogeeniseksi yhtälöksi, ja systeemiä x (t) = A(t)x(t) lineaariseksi homogeeniseksi yhtälöksi. Jos A ei riipu ajasta, on kyseessä vakiokertoiminen yhtälö. Jos systeemiä ei voi esittää muodossa x (t) = A(t)x(t) + b(t), niin sitä kutsutaan epälineaariseksi. 14 / 20 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista

15 Lineaarisille differentiaaliyhtälöille pätee: Lause 7 a) Jos x ja y ovat homogeenisen yhtälön x (t) = A(t)x(t) ratkaisuja ja α, β R, niin αx + βy on myös homogeenisen yhtälön ratkaisu. b) Olkoon x p jokin epähomogeenisen yhtälön x (t) = A(t)x(t) + b(t) ratkaisu. Tällöin x p + y on saman yhtälön ratkaisu täsmälleen silloin, kun y on vastaavan homogeenisen yhtälön ratkaisu. 15 / 20 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista

16 Määritelmä 8 Olkoon F : R U R n on jatkuvasti derivoituva ja W R R U suurin mahdollinen osajoukko, jossa alkuarvotehtävällä x (t) = F (t, x(t)), x(s) = u on olemassa ratkaisu välillä a < t < b, kun (a, s, u) W ja (b, s, u) W. Tällöin systeemin ratkaisukuvaus on ψ : W U ψ(t, s, u) = x(t), missä x(t) on ko. alkuarvotehtävän ratkaisu. 16 / 20 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista

17 Esimerkki 9 Aiemmin todettiin, että tehtävän x (t) = Ax(t), x(0) = x 0, ratkaisu on x(t) = e At x 0. Jos alkuarvo onkin annettu jollakin muulla ajanhetkellä, eli esim. x(s) = u, niin ratkaisu on (Kokeile vaikka!) x(t) = e A(t s) u. Tehtävän x (t) = Ax(t), x(s) = u, ratkaisukuvaus on siis ψ(t, s, u) = e A(t s) u. Sijoittamalla tähän kulloinkin käytettävä alkuarvohetki ja alkuarvo, saadaan ratkaisu. 17 / 20 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista

18 Lause 10 (Häiriön lisääminen) Olkoon ψ(t, s, u) lineaarisen homogeenisen systeemin x (t) = A(t)x(t) ratkaisukuvaus. Tällöin epähomogeenisen alkuarvotehtävän x (t) = A(t)x(t) + b(t), x(t 0 ) = u, ratkaisu on t x(t) = ψ(t, t 0, u) + ψ(t, s, b(s))ds. t 0 Erityisesti, kun A R n n on vakiokertoiminen, niin t x(t) = e A(t t0) u + e A(t s) b(s)ds. t 0 18 / 20 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista

19 Esimerkki 11 Ratkaise alkuarvotehtävä x (t) = A x(t) + b(t) = [ ] x(t) + [ 65 cos t 0 ], x(0) = [ ] Ratkaisu: Ominaisarvojen ja vektoreiden avulla saadaan [ ] [ ] [ ] A = V ΛV =, joten t x(t) = V e Λt V 1 x(0) + e A(t s) b(s)ds 0 [ ] = 1 3 V et Λ 5 t [ ] + V e (t s) Λ cos(s) ds / 20 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista 0

20 ja edelleen [ ] [ x(t) = 1 5e 3 V 2t 65 25e 5t + 13 V 1+4 (sin t + 2 cos t ] 2e 2t ) (sin t + 5 cos t 5e 5t ) [ ] = 1 13 sin t + 26 cos t 21e 3 V 2t 5 sin t + 25 cos t [ ] = 7e 2t [ 6 sin t + 17 cos t 7 sin t + 9 cos t Integraalin laskemisessa on käytetty kaavaa t 0 eas cos(s) ds = 1 (e at (sin t + a cos t) a). Käytännössä 1+a 2 integraalit joudutaan usein laskemaan numeerisesti. ]. = 20 / 20 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista