Esimerkki: Tarkastellaan korkeudella h ht () putoavaa kappaletta, jonka massa on m (ks. kuva).

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Esimerkki: Tarkastellaan korkeudella h ht () putoavaa kappaletta, jonka massa on m (ks. kuva)."

Transkriptio

1 6 DIFFERENTIAALIYHTÄLÖISTÄ Esimerkki: Tarkastellaan korkeudella h ht () putoavaa kappaletta, jonka massa on m (ks. kuva). Newtonin II:n lain (ma missä Yhtälö dh dt m dh dt F) mukaan mg, on kiihtyvyys ja mg gravitatiovoima. dh g dt on korkeutta h hallitseva ns. differentiaaliyhtälö ts. siinä esiintyy tuntemattoman funktion (siis h:n) derivaattoja. Yhtälön ratkaiseminen on h:n etsimistä. Tässä esimerkissä se on helppoa: Integroidaan molemmat puolet t:n suhteen: dh gt c dt ja edelleen integroimalla saadaan tulos h gt ct c missä c ja c ovat integroimisvakioita. 09

2 0 Terminologiaa: Alkuehdot: Määrittävät integroimisvakioiden arvot. Esimerkissä edellä tieto kappaleen korkeudesta ja nopeudesta ajanhetkellä t 0 riittää Muuttujat: (h ja t) - riippumattomat (vapaat): t - riippuvat: h Differentiaaliyhtälö: (tavallinen) - vain yksi riippumaton muuttuja (t) Osittaisdifferentiaaliyhtälö: - useita riippumattomia muuttujia Esimerkiksi d d a k 0 dt dt on tavallinen differentiaaliyhtälö, jossa riippuva muuttuja riippuu vain yhdestä riippumattomasta muuttujasta t.

3 Esimerkiksi u u 3y y on osittaisdifferentiaaliyhtälö, jossa riippuva muuttuja u riippuu riippumattomista muuttujista ja y. Kertaluku: - on korkein derivaattojen kertaluku Esimerkiksi differentiaaliyhtälön d d a k 0 dt dt kertaluku on ja niin on myös yhtälön dh g dt Lineaarinen differentiaaliyhtälö n n d y d y dy n n n 0 an( ) a ( ) a ( ) a ( ) y F( ) d d d - riippuva muuttuja ja sen derivaatat esiintyvät korkeintaan ensimmäisessä potenssissa - jos yhtälö ei ole lineaarinen, se on ns. epälineaarinen differentiaaliyhtälö

4 Esimerkiksi d y 4 y d on lineaarinen, mutta d y sin y 0 d on epälineaarinen. Jälkimmäisen yhtälön epälineaarisuus paljastuu esimerkiksi kehittämällä sini sarjaksi 3 y sin y y... 3! Kertaluvun n tavallinen differentiaaliyhtälö voidaan aina kirjoittaa muodossa n F y dy d y,,,, 0 d d n. Jos yhtälö n F y dy d y,,,, 0 d d n toteutuu, kun siihen kirjoitetaan y ( ), missä väliin I, niin ( ) on yhtälön (eksplisiittinen) ratkaisu välillä I.

5 Esimerkki: Osoita, että y( ) on differentiaaliyhtälön y'' y 0 ratkaisu. Ratkaisu: 3 Derivaatat '( ) ja ''( ) on määritelty, kun 0, ja sijoitus alkuperäiseen yhtälöön antaa ( ) ( ) 0, ts. yhtälö toteutuu (kun 0). Siis: y( ) on ratkaisu alueissa (,0) ja (0, ) Esimerkki: Osoita, että ( ) ce ce on yhtälön y'' y' y 0 ratkaisu. Ratkaisu: Derivaatat '( ) ce ce ''( ) ce 4ce sijoitettuna antaa ja ce 4ce ce ce ce ce 0 eli yhtälö toteutuu. Siis ( ) ce ce on ratkaisu välillä (, ) ja c ja c ovat mitä tahansa vakioita. 3

6 Esimerkki: osoita, että differentiaaliyhtälön y dy y ( e ) ye 0 d ratkaisu määräytyy yhtälöstä y ye 0 Ratkaisu: y Derivoidaan yhtälö f(, y) ye 0 implisiittisesti: f y f ye, y e y joiden avulla f y dy ye, f y d y e josta y dy y ( e ) ( ye ). d Kun tämä sijoitetaan alkuperäiseen differentiaaliyhtälöön, havaitaan, että se toteutuu. y Sanotaan, että yhtälö ye 0 antaa ratkaisun implisiittisesti. 4

7 Alkuarvoprobleema: - n:nnen kertaluvun differentiaaliyhtälön ratkaisuun liittyy aina n kpl mielivaltaisia vakioita (c) - vakiot määräytyvät, jos tunnetaan mm. ratkaisufunktion ja sen n ensimmäisen derivaatan arvot jossakin ratkaisuvälin I pisteessä. - Alkuarvoprobleema kuuluu: Etsi välillä I se differentiaaliyhtälön ratkaisu y, joka pisteessä 0 I toteuttaa n kpl ehtoja: y( 0) y0 y'( 0) y ( n) y ( 0) y n, missä y0, y,, yn ovat vakioita. Esimerkki: Määritä yhtälön y'' y' y 0 se ratkaisu, joka toteuttaa alkuehdot y(0) ja y'(0) 3 Ratkaisu: ( ) ce ce (katso edeltä) '( ) ce ce Nyt (0) cc ja näistä c 7/3 '(0) cc 3 c /3 7 joten ( ) e e 3 3 5

8 6 6. ENSIMMÄISEN KERTALUVUN YHTÄLÖT Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö voidaan kirjoittaa muodossa dy f( y, ) d ja sen yleinen ratkaisu on funktio y ( ), joka sisältää yhden mielivaltaisen vakion C. Tietyllä C:n arvolla ratkaisu on siis y-tason käyrä. Esimerkiksi yhtälön dy y d 5 /5 ratkaisu on y Ce ja oheisessa kuvassa on piirretty ratkaisukäyriä eri C:n arvoilla. Alkuarvoprobleemassa vakion C arvo määräytyy annetusta alkuarvosta. Esimerkiksi jos edellisessä esimerkissä vaaditaan, että ratkaisun pitää toteuttaa ehto y(0), ratkaisuksi valikoituu käyrä, joka kulkee pisteen (0, ) kautta. Ns. olemassaolo- ja yksikäsitteisyyslauseen perusteella (ei todisteta nyt) sillä alueella missä ratkaisuja löytyy

9 7 jokaisen pisteen kautta kulkee jokin ratkaisukäyrä ja ratkaisut ovat yksikäsitteisiä. Yksikäsitteisyys tarkoittaa sitä, että jos ratkaisu löydetään, niin ei tarvitse etsiä muita ratkaisuja, koska niitä ei ole olemassa. Kunkin pisteen ( 0, y 0) kautta kulkee täsmälleen yksi ratkaisu ja tästä johtuen ratkaisujen kuvaajat eivät koskaan leikkaa toisiaan. Esimerkiksi yhtälön dy ratkaisu on y C, d y eli joukko hyperbelejä, jossa vakiota C säätämällä mikä tahansa piste saadaan ratkaisuksi ja eri ratkaisukäyrät eivät leikkaa toisiaan. Fysiikan mallintamisessa alkuarvotehtävän ratkaisun olemassaolo ja yksikäsitteisyys ovat ensiarvoisen tärkeitä. Ensinnäkin todellisessa maailmassa "jotakin tapahtuu", joten mallinnettaessa maailmaa alkuarvoprobleemoina olisi ratkaisujen syytä olla olemassa. Toiseksi, jos saman kokeen toisto samoilla ehdoilla johtaa aina samaan tulokseen, täytyy kokeeseen liittyvän mallinkin olla yksikäsitteinen. Klassillinen mekaniikka on hyvä esimerkki deterministisestä mallista: tulevaisuus määräytyy tarkasti, jos alkutila tunnetaan tarkasti

10 8 6.. SEPAROITUVAT YHTÄLÖT Yhtälö on separoituva (muuttujat erotettavissa), jos dy f( y, ) qpy ( ) ( ). d Tällöin nimittäin dy q( ) d, py ( ) joka ratkeaa integroimalla dy q( ) d p( y) Esimerkki: Ratkaise differentiaaliyhtälö dy 5 d y Ratkaisu: Erotetaan muuttujat y dy ( 5) d ja integroidaan y dy ( 5) d, josta 3 y 5 C 3 ja edelleen /3 3 y 5K, missä K 3C

11 Esimerkki: Ratkaise dy d alkuarvolla y( ) 0. y 3 9 Ratkaisu: Erotetaan muuttujat ja integroidaan dy d y, 3 josta ln y ln 3 Cln 3 e C. C Saadaan y 3e K 3, missä siis K C e. Niinpä ja lopulta Alkuarvo y K( 3) y K( 3) y( ) K( 3) K 0 K Näin siis lopullinen vastaus on y ( 3) ( )

12 0 6.. EKSAKTIT YHTÄLÖT Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö dy f( y, ) d voidaan aina kirjoittaa muodossa M (, y) d N(, y) dy 0. 3 Esimerkiksi: d saadaan helposti muotoon tai myös dy y (3 y) d ( ) dy 0 y3 d dy 0 Eksaktisuus Muoto M (, y) d N(, y) dy on eksakti, jos on olemassa funktio Fy (, ) siten, että Fy (, ) M( y, ) ja Fy (, ) y Tällöin differentiaaliyhtälön M (, y) d N(, y) dy 0 sanotaan olevan eksaktin. Ny (, )

13 Ratkaiseminen Funktion Fy (, ) kokonaisdifferentiaali on F F df d dy M (, y) d N(, y) dy 0 y josta seuraa, että F(, y) C (vakio). Tämä määrää implisiittisesti muuttujan y riippuvuuden :stä. Testi eksaktisuudelle Voidaan osoittaa, että M (, y) d N(, y) dy 0 on eksakti yhtälö silloin ja vain silloin kun My (, ) Ny (, ) y Esimerkki: Osoita, että yhtälö ( y 3 ) d ( ) dy 0 on eksakti ja etsi sen ratkaisut. Ratkaisu: Tässä M ( y 3 ) ja N ( ) ja pätee M N ja myös, y joten yhtälö on eksakti.

14 Ratkaistaan yhtälö etsimällä funktio Fy: (, ) Koska F M y 3 saadaan integroimalla 3 F y g y ( ),, missä integroimisvakio on nyt g( y ), joka on mielivaltainen y:n funktio. Tästä tuloksesta voidaan laskea derivaatta y:n suhteen: F d g( y), y dy joka toisaalta on N. Saadaan siis tulos d g ( y ) eli g( y) y vakio. dy Lopulta siis 3 F(, y) y y C, joka on alkuperäisen differentiaaliyhtälön implisiittinen ratkaisu.

15 3 Yleinen ratkaisumenetelmä Olkoon M (, y) d N(, y) dy 0 eksakti.. F M, josta integroidaan Fy: (, ) F(, y) M(, y) dg( y).. Derivoidaan näin saatu Fy (, ) y:n suhteen ja asetetaan F N, y jolloin saadaan g( y ):n derivaatta g'( y ) 3. Integroidaan g( y) g '( y) dy ja näin saadaan Fy (, ) kokonaan. 4. Implisiittinen ratkaisu on F(, y) C, missä C on mielivaltainen vakio. Proseduuri voidaan aloittaa myös kirjoittamalla kohdassa F. N... jne... y

16 Esimerkki: Ratkaise e ( e y e y) d ( ) dy 0. Ratkaisu: Tässä Mey ey N e M N ja koska e e yhtälö on eksakti. y 4 Askel : F N, josta Fy (, ) Ndy ey yh ( ) y Askel : F ey ey h '( ) M, joten h'( ) Askel 3: h( ) h'( ) d vakio, joten Fy (, ) ey y vakio Askel 4: e yy C on implisiittinen ratkaisu.

17 LINEAARISET YHTÄLÖT Ensimmäisen kertaluvun lineaarinen yhtälö on dy a( ) a0( y ) b ( ). d Se ratkaistaan kirjoittamalla ensin ns. standardimuoto dy Py ( ) Q ( ), d ja sitten integroimalla y ( ) Q( ) dc ( ), missä ( ) ep P( ) d on ns. integroiva tekijä. Esimerkki: Etsi differentiaaliyhtälön dy y cos d yleinen ratkaisu. Ratkaisu: Ensin on tunnistettava yhtälön tyyppi. Selvästi yhtälö on. kl:n lineaarinen, missä a( ), a0( ) ja b( ) cos. Seuraavaksi se on saatettava standardimuotoon. Tämä toteutuu, kun yhtälö kerrotaan :llä (joka on 0):

18 dy y cos d Tästä poimitaan P ( ) ja Q( ) cos. Sitten lasketaan integroiva tekijä ( ) ep P( ) d ep d epln epln ja lopuksi integroidaan tulos y ( ) Q( ) d C cos d C ( ) cos dc (sin C) = sin C 6 Tarkistus: Tulos y sin C ja derivaatta y' sin cos C sijoitettuna alkuperäiseen yhtälöön antaa sin cos C ( sin C ) sin cos C sin C cos eli sama kuin alkuperäisen oikea puoli.

19 MUUTTUJAN VAIHTO Kun yhtälö M (, y) d N (, y) dy 0 ei ole - separoituva - eksakti - lineaarinen niin muuttujan vaihto saattaa auttaa. Esimerkkinä. kl:n ns. homogeeninen yhtälö dy f(, y) G( ) d v, missä y v. Testi homogeenisyydelle dy Yhtälö f( y, ) on homogeeninen, jos d f ( t, ty) f (, y) kaikilla t 0 Ratkaiseminen y Sijoitetaan v, josta y v ja dy d v v. d d Alkuperäinen yhtälö saa muodon dv v G( v ), d joka separoituu dv d G( v) v

20 Esimerkki: Ratkaise differentiaaliyhtälö ( y) d dy 0. Ratkaisu: Onko yhtälö separoituva? dy y Ei, koska qpy ( ) ( ) d Onko yhtälö eksakti? Ei, koska M(, y) y ja N(, y) M N y ja Onko yhtälö. kl:n lineaarinen? Kyllä, koska se saadaan muotoon dy y, d joka toteuttaa sivun 5 vaatimuksen, kun a ( ) a ( ) 0 ja b ( ). Ratkaistaan: Kirjoitetaan ensin standardimuoto dy y, josta P ( ) ja Q ( ). d Sitten integroiva tekijä ( ) ep P( ) d ep d, 8

21 9 Lopuksi integroidaan ratkaisu: y ( ) Q( ) d C d C ( ) Tässä d d ln, kun 0 ja d d ln, kun 0, joten lopputulos voidaan kirjoittaa muodossa y ln C. Toinenkin tapa on, jos kysytään: Onko yhtälö homogeeninen? Kyllä on, koska se voidaan kirjoittaa muodossa dy y. d Ratkaistaan sijoittamalla v y/ y v, jolloin dv v v dv d ja integroimalla d dv dv ln C ja kun palautetaan v y/ tulee y ln C

22 Esimerkki: Ratkaise differentiaaliyhtälö ( y y ) d dy 0. Ratkaisu: Selvästi yhtälö ei ole separoituva. Onko se eksakti? Kokeillaan: M y y ja N ja M y N y, ts. ei ole eksakti. Se ei myöskään ole. kl:n lineaarinen, mutta homogeeninen se on, sillä dy y y y f d. Ratkaistaan sijoittamalla v y/ y v, jolloin dv v vv d dv d v josta edelleen arctanv ln C ja y v tan(ln C) ja lopulta y tan(ln C) 30

23 3 6. LINEAARISET TOISEN KERTALUVUN YHTÄLÖT Yleinen muoto: d y dy a( ) a ( ) a0( ) y b( ) d d Jos kertoimet a, a ja a 0 ovat vakioita, yhtälö on ns. vakiokertoiminen. Standardimuoto on d y dy p ( ) qy ( ) g ( ) d d ja tähän liittyvä ns. homogeeninen yhtälö on d y dy p ( ) qy ( ) 0 d d Jos standardimuotoisessa yhtälössä g ( ) 0, niin yhtälöä sanotaan ei-homogeeniseksi tai täydelliseksi. Huom!. kl:n yhtälöiden homogeenisuudella ei ole mitään tekemistä. kl:n yhtälöiden homogeenisuuden kanssa.

24 3 6.. SUPERPOSITIO-OMINAISUUS Jos y ja y ovat homogeenisen toisen kertaluvun lineaarisen differentiaaliyhtälön ratkaisuja, niin myös niiden mielivaltainen lineaarikombinaatio cy cy on yhtälön ratkaisu. Esimerkki: Funktiot y( ) e cos3 ja y( ) e sin3 ratkaisevat homogeenisen yhtälön y'' 4 y' 3y 0. Etsi ratkaisu, joka toteuttaa alkuehdot y(0) ja y'(0) 5. Ratkaisu: Kirjoitetaan superpositio ( ) y ce cos3 ce sin3 ja tämän derivaatta y'( ) c (e cos33e sin3 ) c(e sin 33e cos3 ) ja sijoitetaan alkuehdot y(0) cc0c ja y'(0) c ( 0) c (0 3) c 3c 5. Näistä saadaan c ja c 3. Alkuehdot toteuttava ratkaisu on siten ( ) y e cos3 3e sin3

25 HOMOGEENISEN YHTÄLÖN RATKAISUT Toisen kertaluvun lineaarisella homogeenisella differentiaaliyhtälöllä on täsmälleen kaksi lineaarisesti riippumatonta ratkaisua. Jos siis y ja y ovat kaksi lineaarisesti riippumatonta ratkaisua, niin yhtälön jokainen ratkaisu on muotoa cy cy. Kaksi funktiota riippuvat lineaarisesti toisistaan, jos ja vain jos tarkasteluvälillä toinen on vakio kertaa toinen. 3 Esimerkki: Tutki funktioiden e ja lineaarista riippuvuutta välillä (,). Ratkaisu: Ei ole olemassa vakiota c siten, että e 3 c ( ) koko välillä (,), joten funktiot ovat lineaarisesti riippumattomia kyseisellä välillä. Huom! Yksittäisissä pisteissä funktioita toisiinsa kytkevä vakio aina löydetään 3 e c, mutta vakion arvo muuttuu kun siirrytään pisteestä toiseen.

26 6..3 VAKIOKERTOIMISET HOMOGEENISET YHTÄLÖT Yhtälö ay '' by ' cy 0, missä a, b ja c ovat vakioita, ratkaistaan yritteellä y r e, missä r on vakio. On siis r y e r y' re y'' re ja kun nämä sijoitetaan alkuperäiseen yhtälöön, tulee r missä aina e 0. Kun karakteristinen yhtälö r r r r ar e bre ce 0, ar br c 0. Karakteristisen yhtälön ratkaisut ovat r r e jaetaan pois, saadaan ns. b b 4ac a b b 4ac r. a r r Funktiot e ja e ratkaisevat siten annetun differentiaaliyhtälön. 34

27 Riippuen karakteristisen yhtälön juurista, yhtälön yleiselle ratkaisulle saadaan kolme eri tapausta:. Reaaliset juuret r r. Kompleksiset juuret r y( ) ce ce r r i ja r i r r y( ) Ae Be c e cos c e sin 3. Yksi reaalinen juuri r 0 r r y( ) c e c e r r 0 0 Näissä c, c, A ja B ovat vakioita. 35 r r Esimerkki: Totea, että funktiot e ja e ovat lineaarisesti riippumattomia, kun r r. r r Ratkaisu: Kirjoitetaan e Ae, josta r e r r r r ( rr) A e e e e. r e Jos nyt r r, niin A ei ole vakio ja funktiot ovat lineaarisesti riippumattomia.

28 36 Esimerkki: Ratkaise differentiaaliyhtälö y'' 5 y' 6y 0. Ratkaisu: Yhtälö on vakiokertoiminen homogeeninen toisen kertaluvun lineaarinen differentiaaliyhtälö. Karakteristinen yhtälö on r 5r6 0 ja sen ratkaisut ovat r r. 6 r Kohta. pätee, joten 6 y( ) ce ce Esimerkki: Ratkaise alkuarvotehtävä y'' y' y 0, kun y(0) 0 ja y'(0) Ratkaisu: Karakteristinen yhtälö on r r 0, josta 44 r r. r Yleinen ratkaisu on ( ) ( ) y( ) ce ce ja lasketaan alkuarvoa varten myös derivaatta y'( ) ( ) ce ( ) ce. ( ) ( )

29 Alkuarvoista saadaan y(0) c c 0 y'(0) ( ) c ( ) c joiden ratkaisuina saadaan c ja c 4 Alkuarvot toteuttava ratkaisu on siten ( ) ( ) y( ) e e 4 4 Esimerkki: Osoita, että ( i) ( i) Ae Be ce cos ce sin Ratkaisu: c i i c ( i) ( i) ce cos e e e e e c i i c ( i) ( i) ce sin e e e e e i i ja näiden summaksi tulee c c ( i) c c ( i) ( i) ( i) e e Ae Be i i kun valitaan c c A i ja c c B i 4 37

30 Esimerkki: Etsi differentiaaliyhtälön y'' y' 4y 0 yleinen ratkaisu. Ratkaisu: Karakteristinen yhtälö on r r4 0, josta 46 i 3 r i 3. Kohdan. menettely pätee. Tässä ja 3. Yleinen ratkaisu on y( ) ce cos 3 c e sin 3 Esimerkki: Ratkaise y'' y 0 ja tarkista, että tulos toteuttaa alkuperäisen yhtälön. Ratkaisu: Karakteristisen yhtälön juuret: 0, ts. 0 ja. r r i Ratkaisuksi tulee: y( ) ccos csin. Tarkistus: y'( ) c sin c cos ja y''( ) c cos c sin y Nähdään suoraan, että yhtälö toteutuu. 38

31 r 0 r 0 Esimerkki: Osoita, että y( ) ce ce on toisen kertaluvun vakiokertoimisen lineaarisen differentiaaliyhtälön ratkaisu, jos karakterisella yhtälöllä on vain yksi juuri. Ratkaisu: Huomataan ensin, että yhden juuren tapauksessa b 4ac 0 ja juuri on r 0 b/a. Lasketaan derivaatat: r 0 r 0 y( ) ce ce r 0 r 0 r 0 y'( ) cre 0 ce cr0e r 0 r 0 r 0 r 0 y''( ) cre 0 cre 0 cre 0 cr 0e ja kun nämä sijoitetaan yhtälöön ay '' by ' cy 0 r 0 tulee, kun vielä e jaetaan pois: acr ( 0 cr 0cr 0cr 0) bcr ( 0 c cr 0 ) cc ( c ) 0. Tämä toteutuu, jos kaksi ehtoa on voimassa (vakio-osa on nolla ja :n kerroin on nolla) Vakio-osa: ac0 r ac0 r bc0 r bc cc ( ar0 br0 c) c( ar0 b) c 0c0c 0 :n kerroin: acr0 bcr0 cc ( ar0 br0 c) c 0c 0. r 0 r 0 Näin siis y( ) ce ce on ratkaisu. 39

32 Esimerkki: Ratkaise yhtälö y'' 4 y' 4y 0. Ratkaisu: Karakteristinen yhtälö on r 4r4 0, jonka ratkaisu on r r0. Ratkaisu on y( ) c e c e 40

33 TÄYDELLISET LINEAARISET YHTÄLÖT Täydellisen toisen kertaluvun lineaarisen yhtälön y'' py ( ) ' qy ( ) g ( ) ratkaisun etsimisessä auttaa lause: Olkoon y ( ) jokin ei-homogeenisen yhtälön p y'' py ( ) ' qy ( ) g ( ) yksittäinen ratkaisu välillä ( ab, ) ja olkoot y( ) ja y( ) samalla välillä kaksi homogeenisen yhtälön y'' py ( ) ' qy ( ) 0 lineaarisesti riippumatonta ratkaisua. Silloin jokainen ei-homogeenisen yhtälön ratkaisu välillä ( abon, ) muotoa y( ) y ( ) c y ( ) c y ( ) p Edellä opimme miten vakiokertoiminen homogeeninen yhtälö ratkaistaan. Ei-homogeenisen (täydellisen) yhtälön yksittäisratkaisun etsimisessä voidaan käyttää ns. määräämättömien kertoimien menetelmää: Käytetään yritettä, joka muistuttaa, tuntemattomia kertoimia vailla, alkuperäisen yhtälön epähomogeenisyystermiä g. ( ) Käyttökelpoisia koottu taulukkoon:

34 4 Ja vielä: Jos yriteratkaisussa yp( ) jokin termi ratkaisee vastaavan homogeenisen yhtälön, valitaan uudeksi yritteeksi s yp( ), missä s on pienin sellainen positiivinen kokonaisluku, s että yp( ) ei sisällä homogeenisen yhtälön ratkaisua.

35 Esimerkki: Ratkaise yhtälö y'' y. Ratkaisu: Ensin homogeeninen y'' y 0. Karakteristisen yhtälön juuret ovat r 0r, joten homogeenisen osan ratkaisu on y( ) ce ce. h Epähomogeenisuustermi on g( ), joka on toisen asteen polynomi. Valitaan siis yksittäisratkaisun yritteeksi toisen asteen polynomi yp( ) A A A0, josta yp '( ) A A yp ''( ) A jotka sijoitettuna takaisin täydelliseen yhtälöön antaa A A A A0, josta poimimme A, A 0 ja AA0 eli A0 0. yksittäisratkaisu on siis yp( ) ja yleiseksi ratkaisuksi kirjoitamme summan y( ) yp( ) yh( ) ce ce 43

36 Esimerkki: Ratkaise yhtälö y'' y' y sin. Ratkaisu: Ensin homogeeninen y'' y' y 0. Karakteristinen yhtälö 5 4 r r r0r, 5 r r r joten y( ) ce ce. h Epähomogeenisyystermi on g( ) sin 0cos( ) sin( ), joten yritteeksi valitaan yp ( ) Acos Bsin, josta yp '( ) Asin Bcos yp ''( ) Acos Bsin ja takaisinsijoitus antaa AcosBsin AsinBcos Acos Bsin sin josta AB0 B/5. AB A/5 On siis yp( ) cos sin 5 5 Yleinen ratkaisu on y( ) yp( ) yh( ) 44

37 Esimerkki: Ratkaise differentiaaliyhtälö 4 y'' y' y e. Ratkaisu: Homogeeninen yhtälö ensin. Karakteristisen yhtälön juuret: 48 4 r r r0r 3 r 4 3 joten yh( ) ce ce 4 Epähomogeenisyystermi on g( ) e, joka johtaa 4 yritteeseen Ae, joka kuitenkin ratkaisee jo homogeenisen yhtälön. Kokeillan sen vuoksi yritettä 4 y ( ) Ae, josta p y '( ) Ae 4Ae p y p ''( ) 4Ae 4Ae 6Ae ja takaisinsijoituksella Ae 4Ae 6Ae 4 4 Ae 4Ae 4 4 Ae e josta 7A A /7, jolloin 4 y p( ) e 7 ja täydellisen yhtälön yleinen ratkaisu on y( ) e ce ce 7 45

Kompleksiluvun logaritmi: Jos nyt z = re iθ = re iθ e in2π, missä n Z, niin saadaan. ja siihen vaikuttava

Kompleksiluvun logaritmi: Jos nyt z = re iθ = re iθ e in2π, missä n Z, niin saadaan. ja siihen vaikuttava Kompleksiluvun logaritmi: ln z = w z = e w Jos nyt z = re iθ = re iθ e inπ, missä n Z, niin saadaan w = ln z = ln r + iθ + inπ, n Z Logaritmi on siis äärettömän moniarvoinen funktio. Helposti nähdään että

Lisätiedot

Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä

Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä 1 MAT-1345 LAAJA MATEMATIIKKA 5 Tampereen teknillinen yliopisto Risto Silvennoinen Kevät 9 Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä Yksi tavallisimmista luonnontieteissä ja tekniikassa

Lisätiedot

3 TOISEN KERTALUVUN LINEAARISET DY:T

3 TOISEN KERTALUVUN LINEAARISET DY:T 3 TOISEN KERTALUVUN LINEAARISET DY:T Huomautus epälineaarisista. kertaluvun differentiaaliyhtälöistä Epälineaarisen DY:n ratkaisemiseen ei ole yleismenetelmää. Seuraavat erikoistapaukset voidaan ratkaista

Lisätiedot

13. Ratkaisu. Kirjoitetaan tehtävän DY hieman eri muodossa: = 1 + y x + ( y ) 2 (y )

13. Ratkaisu. Kirjoitetaan tehtävän DY hieman eri muodossa: = 1 + y x + ( y ) 2 (y ) MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Differentiaaliyhtälöt, kesä 00 Tehtävät 3-8 / Ratkaisuehdotuksia (RT).6.00 3. Ratkaisu. Kirjoitetaan tehtävän DY hieman eri muodossa: y = + y + y = + y + ( y ) (y

Lisätiedot

Matematiikka B3 - Avoin yliopisto

Matematiikka B3 - Avoin yliopisto 2. heinäkuuta 2009 Opetusjärjestelyt Luennot 9:15-11:30 Harjoitukset 12:30-15:00 Tentti Lisäharjoitustehtävä Kurssin sisältö (1/2) 1. asteen Differentiaali yhtälöt (1.DY) Separoituva Ratkaisukaava Bernoyulli

Lisätiedot

a 1 y 1 (x) + a 2 y 2 (x) = 0 vain jos a 1 = a 2 = 0

a 1 y 1 (x) + a 2 y 2 (x) = 0 vain jos a 1 = a 2 = 0 6. Lineaariset toisen kertaluvun yhtälöt Toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöt ovat tuntuvasti hankalampia ratkaista kuin ensimmäinen. Käsittelemmekin tässä vain tärkeintä erikoistapausta, toisen kertaluvun

Lisätiedot

4. Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä

4. Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä 1 Laaja matematiikka 5 Kevät 010 4. Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä Yksi tavallisimmista luonnontieteissä ja tekniikassa esiintyvistä matemaattisista malleista on differentiaaliyhtälö.

Lisätiedot

6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset

6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 51 6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt Määritelmä 6.1. Olkoon I R avoin väli. Olkoot p i : I R, i = 0, 1, 2,..., n, ja q : I R jatkuvia

Lisätiedot

4 Korkeamman kertaluvun differentiaaliyhtälöt

4 Korkeamman kertaluvun differentiaaliyhtälöt Differentiaaliyhtälöt c Pekka Alestalo 2015 Tässä monisteessa käydään läpi tavallisiin differentiaaliyhtälöihin liittyviä peruskäsitteitä ja ratkaisuperiaatteita. Luennolla lasketaan esimerkkitehtäviä

Lisätiedot

BM20A0900, Matematiikka KoTiB3

BM20A0900, Matematiikka KoTiB3 BM20A0900, Matematiikka KoTiB3 Luennot: Matti Alatalo Oppikirja: Kreyszig, E.: Advanced Engineering Mathematics, 8th Edition, John Wiley & Sons, 1999, luvut 1 4. 1 Sisältö Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälöt

Lisätiedot

1 Peruskäsitteet. Dierentiaaliyhtälöt

1 Peruskäsitteet. Dierentiaaliyhtälöt Teknillinen korkeakoulu Matematiikka Dierentiaaliyhtälöt Alestalo Tässä monisteessa käydään läpi tavallisiin dierentiaaliyhtälöihin liittyviä peruskäsitteitä ja ratkaisuperiaatteita. Esimerkkejä luennoilla

Lisätiedot

MS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 11: Lineaarinen differentiaaliyhtälö

MS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 11: Lineaarinen differentiaaliyhtälö MS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 11: Lineaarinen differentiaaliyhtälö Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos

Lisätiedot

2. Viikko. CDH: luvut (s ). Matematiikka on fysiikan kieli ja differentiaaliyhtälöt sen yleisin murre.

2. Viikko. CDH: luvut (s ). Matematiikka on fysiikan kieli ja differentiaaliyhtälöt sen yleisin murre. 2. Viikko Keskeiset asiat ja tavoitteet: 1. Peruskäsitteet: kertaluku, lineaarisuus, homogeenisuus. 2. Separoituvan diff. yhtälön ratkaisu, 3. Lineaarisen 1. kl yhtälön ratkaisu, CDH: luvut 19.1.-19.4.

Lisätiedot

2. kl:n DY:t. Lause. Yleisesti yhtälöllä ẍ = f(ẋ, x, t) on (sopivin oletuksin) aina olemassa 1-käs. ratkaisu. (ẋ dx/dt, ẍ d 2 x/dt 2.

2. kl:n DY:t. Lause. Yleisesti yhtälöllä ẍ = f(ẋ, x, t) on (sopivin oletuksin) aina olemassa 1-käs. ratkaisu. (ẋ dx/dt, ẍ d 2 x/dt 2. 2. kl:n DY:t Yleisesti yhtälöllä ẍ = f(ẋ, x, t) on (sopivin oletuksin) aina olemassa 1-käs. ratkaisu. (ẋ dx/dt, ẍ d 2 x/dt 2.) Lause Olkoon f(x 2, x 1, t) funktio, ja oletetaan, että f, f/ x 1 ja f/ x

Lisätiedot

3 Toisen kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt

3 Toisen kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt 3 Toisen kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt 3.1 Homogeeniset lineaariset differentiaaliyhtälöt Toisen kertaluvun differentiaaliyhtälö on lineaarinen, jos se voidaan kirjoittaa muotoon Jos r(x)

Lisätiedot

4 Korkeamman kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt

4 Korkeamman kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt 4 Korkeamman kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt 4.1 Homogeeniset lineaariset differentiaaliyhtälöt Homogeeninen yhtälö on muotoa F(x, y,, y (n) ) = 0. (1) Yhtälö on lineaarinen, jos se voidaan

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

10. Toisen kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt

10. Toisen kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt 37. Toisen kertaluvun lineaariset differentiaalihtälöt Tarkastelemme muotoa () ( x) + a( x) ( x) + a( x) ( x) = b( x) olevia htälöitä, missä kerroinfunktiot ja oikea puoli ovat välillä I jatkuvia. Edellisen

Lisätiedot

Dierentiaaliyhtälöistä

Dierentiaaliyhtälöistä Dierentiaaliyhtälöistä Markus Kettunen 17. maaliskuuta 2009 1 SISÄLTÖ 1 Sisältö 1 Dierentiaaliyhtälöistä 2 1.1 Johdanto................................. 2 1.2 Ratkaisun yksikäsitteisyydestä.....................

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D, laskuharjoituksien esimerkkiratkaisut

Insinöörimatematiikka D, laskuharjoituksien esimerkkiratkaisut Insinöörimatematiikka D, 5.4.06 5. laskuharjoituksien esimerkkiratkaisut. Etsitään homogeenisen vakiokertoimisen lineaarisen differentiaaliyhtälön kaikki ratkaisut (reaalisessa muodossa). y (5) +4y (4)

Lisätiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 6. viikolle /

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 6. viikolle / Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 6. viikolle / 16. 18.5. Lineaariset differentiaaliyhtälöt, homogeeniset differentiaaliyhtälöt Tehtävä 1: a) Määritä differentiaaliyhtälön y 3y = 14e 4x

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö

Lisätiedot

9. Lineaaristen differentiaaliyhtälöiden ratkaisuavaruuksista

9. Lineaaristen differentiaaliyhtälöiden ratkaisuavaruuksista 29 9 Lineaaristen differentiaaliyhtälöiden ratkaisuavaruuksista Tarkastelemme kertalukua n olevia lineaarisia differentiaaliyhtälöitä y ( x) + a ( x) y ( x) + + a ( x) y( x) + a ( x) y= b( x) ( n) ( n

Lisätiedot

Dierentiaaliyhtälöistä

Dierentiaaliyhtälöistä Dierentiaaliyhtälöistä Markus Kettunen 4. maaliskuuta 2009 1 SISÄLTÖ 1 Sisältö 1 Dierentiaaliyhtälöistä 2 1.1 Johdanto................................. 2 1.2 Ratkaisun yksikäsitteisyydestä.....................

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 10: Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 10: Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 10: Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos

Lisätiedot

12. Differentiaaliyhtälöt

12. Differentiaaliyhtälöt 1. Differentiaaliyhtälöt 1.1 Johdanto Differentiaaliyhtälöitä voidaan käyttää monilla alueilla esimerkiksi tarkasteltaessa jonkin kohteen lämpötilan vaihtelua, eksponentiaalista kasvua, sähkölatauksen

Lisätiedot

Mat Matematiikan peruskurssi K2

Mat Matematiikan peruskurssi K2 Mat-.3 Matematiikan peruskurssi K Heikkinen/Tikanmäki Kolmas välikoe 6.5. Kokeessa saa käyttää ylioppilaskirjoituksiin hyväksyttyä laskinta. Sivun kääntöpuolelta löytyy integrointikaavoja.. Olkoon F(x,

Lisätiedot

MS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 10: Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö

MS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 10: Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö MS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 10: Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin

Lisätiedot

y (0) = 0 y h (x) = C 1 e 2x +C 2 e x e10x e 3 e8x dx + e x 1 3 e9x dx = e 2x 1 3 e8x 1 8 = 1 24 e10x 1 27 e10x = e 10x e10x

y (0) = 0 y h (x) = C 1 e 2x +C 2 e x e10x e 3 e8x dx + e x 1 3 e9x dx = e 2x 1 3 e8x 1 8 = 1 24 e10x 1 27 e10x = e 10x e10x BM0A5830 Differentiaaliyhtälöiden peruskurssi Harjoitus 4, Kevät 017 Päivityksiä: 1. Ratkaise differentiaaliyhtälöt 3y + 4y = 0 ja 3y + 4y = e x.. Ratkaise DY (a) 3y 9y + 6y = e 10x (b) Mikä on edellisen

Lisätiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 5. viikolle /

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 5. viikolle / MS-A8 Differentiaali- ja integraalilaskenta, V/7 Differentiaali- ja integraalilaskenta Ratkaisut 5. viikolle / 9..5. Integroimismenetelmät Tehtävä : Laske osittaisintegroinnin avulla a) π x sin(x) dx,

Lisätiedot

5 DIFFERENTIAALIYHTÄLÖRYHMÄT

5 DIFFERENTIAALIYHTÄLÖRYHMÄT 5 DIFFERENTIAALIYHTÄLÖRYHMÄT 5. Ensimmäisen kl:n DY-ryhmät Differentiaaliyhtälöryhmiä tarvitaan useissa sovelluksissa. Useimmat voidaan mallintaa ensimmäisen kertaluvun DY-ryhmien avulla. Ensimmäisen kl:n

Lisätiedot

5 Differentiaaliyhtälöryhmät

5 Differentiaaliyhtälöryhmät 5 Differentiaaliyhtälöryhmät 5.1 Taustaa ja teoriaa Differentiaaliyhtälöryhmiä tarvitaan useissa sovelluksissa. Toinen motivaatio yhtälöryhmien käytölle: Korkeamman asteen differentiaaliyhtälöt y (n) =

Lisätiedot

Differentiaaliyhtälöt

Differentiaaliyhtälöt Differentiaaliyhtälöt Differentiaaliyhtälöksi (lyh. DY) sanotaan yhtälöä, jossa on tuntemattomana jokin funktio y(x) ja jossa esiintyy sen derivaattoja y, y, y, y (4),... Esimerkiksi y + y = x, y y + y

Lisätiedot

1 Di erentiaaliyhtälöt

1 Di erentiaaliyhtälöt Taloustieteen mat.menetelmät syksy 2017 materiaali II-5 1 Di erentiaaliyhtälöt 1.1 Skalaariyhtälöt Määritelmä: ensimmäisen kertaluvun di erentiaaliyhtälö on muotoa _y = F (y; t) oleva yhtälö, missä _y

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

Osa 11. Differen-aaliyhtälöt

Osa 11. Differen-aaliyhtälöt Osa 11. Differen-aaliyhtälöt Differen-aaliyhtälö = yhtälö jossa esiintyy jonkin funk-on derivaa

Lisätiedot

SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT

SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 43 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Kuva 12. Esimerkin 4.26(c kuvauksen

Lisätiedot

Luoki?elua: tavallinen vs osi?ais. Osa 11. Differen0aaliyhtälöt. Luoki?elua: kertaluku. Luoki?elua: lineaarisuus 4/13/13

Luoki?elua: tavallinen vs osi?ais. Osa 11. Differen0aaliyhtälöt. Luoki?elua: kertaluku. Luoki?elua: lineaarisuus 4/13/13 4/3/3 Osa. Differen0aaliyhtälöt Differen0aaliyhtälö = yhtälö jossa esiintyy jonkin funk0on derivaa?a. Esim: dx = x2 f x + f xy 2 2m d 2 ψ = Eψ dx 2 Luoki?elua: tavallinen vs osi?ais Differen0aaliyhtälöt

Lisätiedot

Harjoitus Etsi seuraavien autonomisten yhtälöiden kriittiset pisteet ja tutki niiden stabiliteettia:

Harjoitus Etsi seuraavien autonomisten yhtälöiden kriittiset pisteet ja tutki niiden stabiliteettia: Differentiaaliyhtälöt, Kesä 216 Harjoitus 2 1. Etsi seuraavien autonomisten yhtälöiden kriittiset pisteet ja tutki niiden stabiliteettia: (a) y = (2 y) 3, (b) y = (y 1) 2, (c) y = 2y y 2. 2. Etsi seuraavien

Lisätiedot

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Differentiaaliyhtälöt, osa 1 Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 20 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

Matemaattinen Analyysi

Matemaattinen Analyysi Vaasan yliopisto, syksy 2016 / ORMS1010 Matemaattinen Analyysi 8. harjoitus, viikko 49 R1 to 12 14 F453 (8.12.) R2 to 14 16 F345 (8.12.) R3 ke 8 10 F345 (7.11.) 1. Määritä funktion f (x) = 1 Taylorin sarja

Lisätiedot

Dierentiaaliyhtälöistä

Dierentiaaliyhtälöistä Dierentiaaliyhtälöistä Markus Kettunen 14. helmikuuta 2011 1 SISÄLTÖ 1 Sisältö 1 Dierentiaaliyhtälöistä 2 1.1 Johdanto................................. 2 1.2 Ratkaisun olemassaolosta ja yksikäsitteisyydestä...........

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D, laskuharjoituksien esimerkkiratkaisut

Insinöörimatematiikka D, laskuharjoituksien esimerkkiratkaisut Insinöörimatematiikka D, 406 6 laskuharjoituksien esimerkkiratkaisut Ratkaistaan differentiaaliyhtälö y = y () Tässä = d dy eli kyseessä on lineaarinen kertaluvun differentiaaliyhtälö: Yhtälön () homogenisoidulle

Lisätiedot

Matemaattinen Analyysi

Matemaattinen Analyysi Vaasan yliopisto, 009-010 / ORMS1010 Matemaattinen Analyysi 8. harjoitus 1. Ratkaise y + y + y = x. Kommentti: Yleinen työlista ratkaistaessa lineaarista, vakiokertoimista toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöä

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö

Lisätiedot

Normaaliryhmä. Toisen kertaluvun normaaliryhmä on yleistä muotoa

Normaaliryhmä. Toisen kertaluvun normaaliryhmä on yleistä muotoa Normaaliryhmä Toisen kertaluvun normaaliryhmä on yleistä muotoa x = u(t,x,y), y t I, = v(t,x,y), Funktiot u = u(t,x,y), t I ja v = v(t,x,y), t I ovat tunnettuja Toisen kertaluvun normaaliryhmän ratkaisu

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 12. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 12 () Numeeriset menetelmät / 33

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 12. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 12 () Numeeriset menetelmät / 33 Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 12 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 12 () Numeeriset menetelmät 25.4.2013 1 / 33 Luennon 2 sisältö Tavallisten differentiaaliyhtälöiden numeriikasta Rungen

Lisätiedot

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1.

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Kotitehtävät, tammikuu 2011 Vaikeampi sarja 1. Ratkaise yhtälöryhmä w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Ratkaisu. Yhtälöryhmän ratkaisut (w, x, y, z)

Lisätiedot

Matemaattinen Analyysi

Matemaattinen Analyysi Vaasan yliopisto, 009-010 / ORMS1010 Matemaattinen Analyysi 7 harjoitus 1 Määritä seuraavien potenssisarjojen suppenemissäteet a) k k x 5)k b) k=1 k x 5)k = k k 1) k ) 1) Suppenemissäteen R käänteisarvo

Lisätiedot

Yhtälöryhmät 1/6 Sisältö ESITIEDOT: yhtälöt

Yhtälöryhmät 1/6 Sisältö ESITIEDOT: yhtälöt Yhtälöryhmät 1/6 Sisältö Yhtälöryhmä Yhtälöryhmässä on useita yhtälöitä ja yleensä myös useita tuntemattomia. Tavoitteena on löytää tuntemattomille sellaiset arvot, että kaikki yhtälöt toteutuvat samanaikaisesti.

Lisätiedot

Differentiaaliyhtälöt II, kevät 2017 Harjoitus 5

Differentiaaliyhtälöt II, kevät 2017 Harjoitus 5 Differentiaaliyhtälöt II, kevät 27 Harjoitus 5 Heikki Korpela 26. huhtikuuta 27 Tehtävä 2. Määrää seuraavan autonomisen systeemin kriittiset pisteet, ratakäyrät ja luonnostele systeemin aikakehitys: (t)

Lisätiedot

Luku 4. Derivoituvien funktioiden ominaisuuksia.

Luku 4. Derivoituvien funktioiden ominaisuuksia. 1 MAT-1343 Laaja matematiikka 3 TTY 1 Risto Silvennoinen Luku 4 Derivoituvien funktioiden ominaisuuksia Derivaatan olemassaolosta seuraa funktioille eräitä säännöllisyyksiä Näistä on jo edellisessä luvussa

Lisätiedot

f(x) f(y) x y f f(x) f(y) (x) = lim

f(x) f(y) x y f f(x) f(y) (x) = lim Y1 (Matematiikka I) Haastavampia lisätehtäviä Syksy 1 1. Funktio h määritellään seuraavasti. Kuvan astiaan lasketaan vettä tasaisella nopeudella 1 l/min. Astia on muodoltaan katkaistu suora ympyräkartio,

Lisätiedot

MS-A0104 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (ELEC2) MS-A0106 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (ENG2)

MS-A0104 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (ELEC2) MS-A0106 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (ENG2) MS-A4 Differentiaali- ja integraalilaskenta (ELEC2) MS-A6 Differentiaali- ja integraalilaskenta (ENG2) Harjoitukset 3L, syksy 27 Tehtävä. a) Määritä luvun π likiarvo käyttämällä Newtonin menetelmää yhtälölle

Lisätiedot

Vapaus. Määritelmä. jos c 1 v 1 + c 2 v c k v k = 0 joillakin c 1,..., c k R, niin c 1 = 0, c 2 = 0,..., c k = 0.

Vapaus. Määritelmä. jos c 1 v 1 + c 2 v c k v k = 0 joillakin c 1,..., c k R, niin c 1 = 0, c 2 = 0,..., c k = 0. Vapaus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,..., v k R n, missä n {1, 2,... }. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee: jos c 1 v 1 + c 2 v 2 +

Lisätiedot

d Todista: dx xn = nx n 1 kaikilla x R, n N Derivaatta Derivaatta ja differentiaali

d Todista: dx xn = nx n 1 kaikilla x R, n N Derivaatta Derivaatta ja differentiaali 6. Derivaatta 6.. Derivaatta ja differentiaali 72. Olkoon f () = 4. Etsi derivaatan määritelmän avulla f ( 3). f ( 3) = 08. 73. Muodosta funktion f () = derivaatta suoraan määritelmän mukaan, so. tarkastelemalla

Lisätiedot

4. Differentiaaliyhtälöryhmät 4.1. Ryhmän palauttaminen yhteen yhtälöön

4. Differentiaaliyhtälöryhmät 4.1. Ryhmän palauttaminen yhteen yhtälöön 4 Differentiaaliyhtälöryhmät 41 Ryhmän palauttaminen yhteen yhtälöön 176 Ratkaise differentiaaliyhtälöryhmät a) dt = y +t, b) = y z + sinx x 2 dt = x +t, c) + z = x2 = y + z + cosx + 2y = x a)x = C 1 e

Lisätiedot

infoa Viikon aiheet Potenssisarja a n = c n (x x 0 ) n < 1

infoa Viikon aiheet Potenssisarja a n = c n (x x 0 ) n < 1 infoa Viikon aiheet Tentti ensi viikolla ma 23.0. klo 9.00-3.00 Huomaa, alkaa tasalta! D0 (Sukunimet A-) E204 (Sukunimet S-Ö) Mukaan kynä ja kumi. Ei muuta materiaalia. Tentissä kaavakokoelma valmiina.

Lisätiedot

Lineaarinen toisen kertaluvun yhtälö

Lineaarinen toisen kertaluvun yhtälö Lineaarinen toisen kertaluvun yhtälö Keijo Ruotsalainen Mathematics Division Lineaarinen toisen kertaluvun differentiaaliyhtälö Toisen kertaluvun täydellinen lineaarinen yhtälö muotoa p 2 (x)y + p 1 (x)y

Lisätiedot

Osoita, että eksponenttifunktio ja logaritmifunktio ovat differentiaaliyhtälön

Osoita, että eksponenttifunktio ja logaritmifunktio ovat differentiaaliyhtälön 3. Lineaariset differentiaaliyhtälöt 3.1. Lineaariyhtälöiden teoriaa 99. Onko differentiaaliyhtälö y + x(y y )=y + 1 a) lineaarinen, b) homogeeninen? 100. Olkoot funktiot f (x) ja g(x) jatkuvasti derivoituvia

Lisätiedot

7. DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT

7. DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 7. DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT Tavallinen differentiaalihtälö koostuu tuntemattoman hden muuttujan funktion derivaatoista sekä funktiosta riippumattomista termeistä. Esimerkki differentiaalihtälöstä on Newtonin

Lisätiedot

MS-A Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (CHEM) Harjoitus 6 loppuviikko

MS-A Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (CHEM) Harjoitus 6 loppuviikko MS-A0107 - Differentiaali- integraalilaskenta 1 (CHEM) Harjoitus 6 loppuviikko 1 Tehtävä Etsi seuraavien yhtälöiden yleiset ratkaisut: Ratkaisu: a) y y 2y = 4x, b) y + 4y = sin 3x, c) y + 2y + 5y = e x

Lisätiedot

Differentiaaliyhtälöt I, kevät 2017 Harjoitus 3

Differentiaaliyhtälöt I, kevät 2017 Harjoitus 3 Differentiaaliyhtälöt I, kevät 07 Harjoitus 3 Heikki Korpela. helmikuuta 07 Tehtävä. Ratkaise alkuarvo-ongelmat a) y + 4y e x = 0, y0) = 4 3 b) Vastaus: xy + y = x 3, y) =.. a) Valitaan integroivaksi tekijäksi

Lisätiedot

MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta

MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta 4. MS-A4/A6 Matriisilaskenta 4. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto..25 Tarkastellaan neliömatriiseja. Kun matriisilla kerrotaan vektoria, vektorin

Lisätiedot

DYNAAMISET SYSTEEMIT 1998

DYNAAMISET SYSTEEMIT 1998 1. harjoitus, viikko 3 1. Määritä seuraavien differentiaaliyhtälöiden tyyppi (kertaluku, lineaarinen eilineaarinen, jos lineaarinen, niin vakiokertoiminen ei-vakiokertoiminen): a) y + y - x 2 = 0 b) y

Lisätiedot

Esimerkki 1 Ratkaise differentiaaliyhtälö

Esimerkki 1 Ratkaise differentiaaliyhtälö Esimerkki 1 Ratkaise differentiaaliyhtälö x 2 y xy =1/x. 1 / K. Tuominen kimmo.i.tuominen@helsinki.fi MApu II 1/20 20 Esimerkki 2 Ratkaise differentiaaliyhtälö x(ln y)y y ln x =0. 2 / K. Tuominen kimmo.i.tuominen@helsinki.fi

Lisätiedot

1. Kuinka monta erilaista tapaa on 10 hengen seurueella istuutua pyöreän pöydän ympärille?

1. Kuinka monta erilaista tapaa on 10 hengen seurueella istuutua pyöreän pöydän ympärille? Diskreetti matematiikka, syksy 00 Harjoitus -, ratkaisuista. Kuinka monta erilaista tapaa on 0 hengen seurueella istuutua pyöreän pöydän ympärille? Ratkaisu. Paikat identtisiä, istumajärjestys oleellinen,

Lisätiedot

l 1 2l + 1, c) 100 l=0

l 1 2l + 1, c) 100 l=0 MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 5. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) 5 + 5 +, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + + 5 + + 99, b) 5 + 4 65 + + n 5 n, c)

Lisätiedot

Integroimistekniikkaa Integraalifunktio

Integroimistekniikkaa Integraalifunktio . Integroimistekniikkaa.. Integraalifunktio 388. Vertaa funktioiden ln ja ln, b) arctan ja arctan + k k, c) ln( + 2 ja ln( 2, missä a >, derivaattoja toisiinsa. Tutki funktioiden erotusta muuttujan eri

Lisätiedot

Laudatur 2 MAA2 ratkaisut kertausharjoituksiin. 1. Polynomit 332.

Laudatur 2 MAA2 ratkaisut kertausharjoituksiin. 1. Polynomit 332. Laudatur MAA ratkaisut kertausharjoituksiin. Polynomit. Vakiotermi 8 Kolmannen asteen termin kerroin, 5 8 = 9, Neljännen asteen termi n kerroin, 8 9, = 7,6 Kysytty polynomi P(a) = 7,6a + 9,a +a + ya +

Lisätiedot

VEKTORIANALYYSIN HARJOITUKSET: VIIKKO 4

VEKTORIANALYYSIN HARJOITUKSET: VIIKKO 4 VEKTORIANALYYSIN HARJOITUKSET: VIIKKO 4 Jokaisen tehtävän jälkeen on pieni kommentti tehtävään liittyen Nämä eivät sisällä mitään kovin kriittistä tietoa tehtävään liittyen, joten niistä ei tarvitse välittää

Lisätiedot

l 1 2l + 1, c) 100 l=0 AB 3AC ja AB AC sekä vektoreiden AB ja

l 1 2l + 1, c) 100 l=0 AB 3AC ja AB AC sekä vektoreiden AB ja MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 7. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) + 5 + +, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + + 5 + + 99, b) 5 + 4 65 + + n 5 n, c) +

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka 3.2.2015

PRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka 3.2.2015 PRELIMINÄÄRIKOE Pitkä Matematiikka..5 Vastaa enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä merkittyjen (*) tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6.. a) Ratkaise epäyhtälö >.

Lisätiedot

1 Komparatiivinen statiikka ja implisiittifunktiolause

1 Komparatiivinen statiikka ja implisiittifunktiolause Taloustieteen matemaattiset menetelmät 27 materiaali 4 Komparatiivinen statiikka ja implisiittifunktiolause. Johdanto Jo opiskeltu antaa nyt valmiu tutkia taloudellisia malleja Kiinnostava malli voi olla

Lisätiedot

Derivaatat lasketaan komponenteittain, esimerkiksi E 1 E 2

Derivaatat lasketaan komponenteittain, esimerkiksi E 1 E 2 MS-C50 Osittaisdifferentiaaliyhtälöt Harjoitukset syksy 07. Oletetaan että vektorikenttä E E E E : R R on kaksi kertaa jatkuvasti derivoituva E C R. Näytä että E E. Derivaatat lasketaan komponenteittain

Lisätiedot

Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaarisista differentiaaliyhtälöistä

Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaarisista differentiaaliyhtälöistä TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Riikka Sjögren Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaarisista differentiaaliyhtälöistä Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka Toukokuu 2010 Tampereen

Lisätiedot

2 Johdanto Tassa esityksessa funktiot ovat - ellei muuta sanota - yhden tai useamman reaalimuuttujan reaaliarvoisia funktioita. Funktion kasitteen tas

2 Johdanto Tassa esityksessa funktiot ovat - ellei muuta sanota - yhden tai useamman reaalimuuttujan reaaliarvoisia funktioita. Funktion kasitteen tas Dierentiaaliyhtalot/217 I. Ensimmaisen kertaluvun DY I.1. Lineaarinen DY I.2. Separoituva DY I.3. Eksakti DY I.4. Muita DY:ita I.5. Ratkaisun olemassaolo II. Toisen kertaluvun lineaarinen DY II.1. Perusjarjestelma

Lisätiedot

MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy Millä reaaliluvun x arvoilla. 3 4 x 2,

MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy Millä reaaliluvun x arvoilla. 3 4 x 2, MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 6. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) + + + 4, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + 4 + 6 + +, b) 8 + 4 6 + + n n, c) + + +

Lisätiedot

Luento 3: Liikkeen kuvausta, differentiaaliyhtälöt

Luento 3: Liikkeen kuvausta, differentiaaliyhtälöt Luento 3: Liikkeen kuvausta, differentiaaliyhtälöt Suoraviivainen liike integrointi Digress: vakio- vs. muuttuva kiihtyvyys käytännössä Kinematiikkaa yhdessä dimensiossa taustatietoa ELEC-A3110 Mekaniikka

Lisätiedot

5 OMINAISARVOT JA OMINAISVEKTORIT

5 OMINAISARVOT JA OMINAISVEKTORIT 5 OMINAISARVOT JA OMINAISVEKTORIT Ominaisarvo-ongelma Käsitellään neliömatriiseja: olkoon A n n-matriisi. Luku on matriisin A ominaisarvo (eigenvalue), jos on olemassa vektori x siten, että Ax = x () Yhtälön

Lisätiedot

Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 5, Ratkaise rekursioyhtälö

Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 5, Ratkaise rekursioyhtälö Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 5, 14.10.2015 1. Ratkaise rekursioyhtälö x n+4 2x n+2 + x n 16( 1) n, n N, alkuarvoilla x 1 2, x 2 14, x 3 18 ja x 4 42. Ratkaisu. Vastaavan homogeenisen

Lisätiedot

Mat-2.148 Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros 5

Mat-2.148 Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros 5 Mat-2.148 Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros 5 1. Kotitehtävä. 2. Lasketaan aluksi korkoa korolle. Jos korkoprosentti on r, ja korko maksetaan n kertaa vuodessa t vuoden ajan, niin kokonaisvuosikorko

Lisätiedot

6 MATRIISIN DIAGONALISOINTI

6 MATRIISIN DIAGONALISOINTI 6 MATRIISIN DIAGONALISOINTI Ortogonaaliset matriisit Neliömatriisi A on ortogonaalinen (eli ortogonaalimatriisi), jos sen alkiot ovat reaalisia ja A - = A T Muistutus: vektorien a ja b pistetulo (skalaaritulo,

Lisätiedot

Luento 2: Liikkeen kuvausta

Luento 2: Liikkeen kuvausta Luento 2: Liikkeen kuvausta Suoraviivainen liike integrointi Kinematiikkaa yhdessä dimensiossa Luennon sisältö Suoraviivainen liike integrointi Kinematiikkaa yhdessä dimensiossa Liikkeen ratkaisu kiihtyvyydestä

Lisätiedot

TAVALLISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT

TAVALLISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT MAT-33500 Differentiaaliyhtälöt Kesä 00 Risto Silvennoinen TAVALLISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT Peruskäsitteitä Yksi tavallisimmista luonnontieteissä ja tekniikassa esiintyvistä matemaattisista malleista on

Lisätiedot

6. Differentiaaliyhtälösysteemien laadullista teoriaa.

6. Differentiaaliyhtälösysteemien laadullista teoriaa. 1 MAT-13450 LAAJA MATEMATIIKKA 5 Tampereen teknillinen yliopisto Risto Silvennoinen Kevät 2010 6. Differentiaaliyhtälösysteemien laadullista teoriaa. Olemme keskittyneet tässä kurssissa ensimmäisen kertaluvun

Lisätiedot

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Differentiaaliyhtälöt. osa 2 Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 1 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 5: Taylor-polynomi ja sarja

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 5: Taylor-polynomi ja sarja MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 5: Taylor-polynomi ja sarja Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 26.9.2016 Pekka Alestalo,

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011 PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9..0 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. Sievennä a) 9 x x 6x + 9, b) 5 9 009 a a, c) log 7 + lne 7. Muovailuvahasta tehty säännöllinen tetraedri muovataan

Lisätiedot

Vakiokertoiminen lineaarinen normaaliryhmä

Vakiokertoiminen lineaarinen normaaliryhmä 1 MAT-1345 LAAJA MATEMATIIKKA 5 Tampereen teknillinen yliopisto Risto Silvennoinen Kevät 29 Vakiokertoiminen lineaarinen normaaliryhmä Todetaan ensin ilman todistuksia (tulos on syvällinen) ratkaisujen

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 6. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 6 () Numeeriset menetelmät / 33

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 6. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 6 () Numeeriset menetelmät / 33 Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 6 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 6 () Numeeriset menetelmät 4.4.2013 1 / 33 Luennon 6 sisältö Interpolointi ja approksimointi Polynomi-interpolaatio: Vandermonden

Lisätiedot

4 KORKEAMMAN KERTALUVUN LINEAARISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT. Kertaluvun n lineaarinen differentiaaliyhtälö ns. standardimuodossa on

4 KORKEAMMAN KERTALUVUN LINEAARISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT. Kertaluvun n lineaarinen differentiaaliyhtälö ns. standardimuodossa on 4 4 KORKEAAN KERTAUVUN INEAARISET DIFFERENTIAAIYHTÄÖT Kertalukua olevassa differetiaalihtälössä F(x,,,, () ) = 0 esiit :e kertaluvu derivaatta () = d /dx ja mahdollisesti alempia derivaattoja, :tä ja x:ää.

Lisätiedot

BM20A5830 Differentiaaliyhtälöiden peruskurssi

BM20A5830 Differentiaaliyhtälöiden peruskurssi BM20A5830 Differentiaaliyhtälöiden peruskurssi Jouni Sampo 30. maaliskuuta 2015 Sisältö 1 Johdanto 2 1.1 Peruskäsitteitä.................................... 2 1.2 Differentiaaliyhtälöiden ratkaisuista.........................

Lisätiedot

2.3 Juurien laatu. Juurien ja kertoimien väliset yhtälöt. Jako tekijöihin. b b 4ac = 2

2.3 Juurien laatu. Juurien ja kertoimien väliset yhtälöt. Jako tekijöihin. b b 4ac = 2 .3 Juurien laatu. Juurien ja kertoimien väliset yhtälöt. Jako tekijöihin. Toisen asteen yhtälön a + b + c 0 ratkaisukaavassa neliöjuuren alla olevaa lauseketta b b 4ac + a b b 4ac a D b 4 ac sanotaan yhtälön

Lisätiedot

ja λ 2 = 2x 1r 0 x 2 + 2x 1r 0 x 2

ja λ 2 = 2x 1r 0 x 2 + 2x 1r 0 x 2 Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 4, 7.10.2015 1. Olkoot c 0, c 1 R siten, että polynomilla r 2 c 1 r c 0 on kaksinkertainen juuri. Määritä rekursioyhtälön x n+2 = c 1 x n+1 + c 0 x n, n N,

Lisätiedot

Muista tutkia ihan aluksi määrittelyjoukot, kun törmäät seuraaviin funktioihin:

Muista tutkia ihan aluksi määrittelyjoukot, kun törmäät seuraaviin funktioihin: Määrittelyjoukot Muista tutkia ihan aluksi määrittelyjoukot, kun törmäät seuraaviin funktioihin:, 0 ; log, > 0 ;, 0 (parilliset juuret) ; tan, π + nπ Potenssisäännöt Ole tarkkana kantaluvun kanssa 3 3

Lisätiedot