Seuraavaksi tarkastellaan ensimmäisen kertaluvun lineaarista, vakiokertoimista differentiaaliyhtälösysteemiä

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Seuraavaksi tarkastellaan ensimmäisen kertaluvun lineaarista, vakiokertoimista differentiaaliyhtälösysteemiä"

Transkriptio

1 Differentiaaliyhtälösysteemit 1 (Kreyszig 40-2 Mat-11132/1332, 8/2013, Kari Eloranta Seuraavaksi tarkastellaan ensimmäisen kertaluvun lineaarista, vakiokertoimista differentiaaliyhtälösysteemiä dx 1 dt = a 11x 1 +a 12 x 2 + +a 1n x n +b 1 dx 2 dt = a 21x 1 +a 22 x 2 + +a 2n x n +b 2 dx n dt = a n1x 1 +a n2 x 2 + +a nn x n +b n alkuarvoilla x i (0 = a i, i = 1,,n Mikäli ohjaustermit häviävät eli b i (t 0 jokaiselle i, on systeemi homogeeninen, jos taas ei-triviaaleja ohjaustermejä on mukana, on systeemi epähomogeeninen

2 Differentiaaliyhtälösysteemit (Dys 2 (Kreyszig 46 Matriisimuodossa homogeeninen yhtälö on x (t = Ax(t, x(0 = a, jossa x(t = x 1 (t x 2 (t x n (t, A = a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a n1 a n2 a nn jaa = a 1 a 2 a n Epähomogeeninen yhtälö saa muodon x (t = Ax(t+b(t, x(0 = a, jossa siis b on (mahdollisesti t-riippuva n-ulotteinen pystyvektori Myös merkintää ẋ käytetään t-derivaatalle (fluxio

3 Differentiaaliyhtälösysteemit 3 Samoin kuin vektorin derivaatta on komponentittainen derivaatta, on matriiisin derivaatta alkioittainen derivaatta Lemma Neliömatriisille A pätee: d dt eta = Ae ta = e ta A t R Tod Erotusosamäärään palauttaen saadaan d e (t+ha e ta dt eta = lim h 0 h = e ta e ha I lim h 0 h = lim h 0 e ta e ha e ta h = e ta A, jossa on käytetty matriisieksponentin aina suppenevaa sarjakehitelmää e ha = I +ha+ h2 A 2 2! + h3 A 3 3! + QED

4 Homogeeninen dys (Kreyszig 42 Lause Alkuarvoprobleeman x = Ax, x(0 = a yksikäsitteinen ratkaisu on x(t = e ta a ( Tod Lemman nojalla d ( dt e ta a = Ae ta a ja koska e 0A a = a, niin ( on homogeenisen yhtälön ratkaisu Olkoon x(t toinen ratkaisu Määritellään y(t = e ta x Silloin y = Ae ta x +e ta A x 0, joten y on vakio Koska y(0 = x(0 = a, niin x = e ta a QED Matriisieksponenttiratkaisu on lineaarisen yhtälöryhmän ratkaisutavoista lyhin ja selkein Se kuitenkin edellyttää matriisieksponentin tuntemusta Muitakin ratkaisumenetelmiä on, katso Kreyszig jne

5 Epähomogeeninen dys 1 (Kreyszig 46 Myös epähomogeeninen systeemi x = Ax +b, x(0 = a saadaan ratkaistua matriisieksponentilla Menetelmä on kuten vakion variointi skalaariteoriassa: etsitään ratkaisua muodossa x(t = e ta f(t, f tuntematon funktio Tällä yritteellä x = Ae ta f(t+e ta f = Ax +e ta f = Ax +b Siten f (t = e ta b(t, josta f(t = t 0 e sa b(sds +a ja ratkaisuksi saadaan x(t = e ta a+e ta t 0 e sa b(sds (1 (Tämän voi myös arvata ja derivoimalla todeta alkuperäisen tehtävän ratkaisuksi Lauseke (1 on myös ainoa ratkaisu, sillä jos y on toinen ratkaisu, niin x y = A(x y, jolla on homogeenisena yhtälönä yksikäsitteinen ratkaisu e ta k Siispä y on muotoa (1 jollekin vakiolle Mutta vakio on alkuehdon määräämä, joten y x

6 Epähomogeeninen dys 2 Lause Epähomogeenisen alkuarvoprobleeman x = Ax +b, x(0 = a yksikäsitteinen ratkaisu on t t x(t = e ta a+e ta e sa b(sds = e ta a+ e (t sa b(sds ( 0 0 Viimeinen muoto ( on merkillepantava; se on ohjausfunktion b(t ja matriisieksponentin e ta konvoluutiotulo Esimerkki 1: Tarkastellaan epähomogeenista systeemiä, jossa ( ( A =, b = 1 0 t Aiemmin on laskettu matriisieksponentti (ilman s tekijää ( e sa coss sins =, josta sins coss t ( ( coss sins 0 t ( ( s sins sint tcost ds = ds = 0 sins coss s 0 s coss cost +tsint 1

7 Epähomogeeninen dys 3 Koska niin alkuehdolla a = (a 1,a 2 T lopulta ( e ta cost sint = sint cost { t ( ( x(t = e ta coss sins 0 0 sins coss s ( t +a1 cost +(1 a = 2 sint 1 (1 a 2 cost +a 1 sint ( 0+a1 cos0+(1 a Tarkistus: x(0 = 2 sin0 1 (1 a 2 cos0+a 1 sin0, ( ( } a1 ds + = a 2 ( a1 = = a, täsmää! a 2 Vastaavan homogeenisen yhtälöryhmän ratkaisu saadaan sivutuotteena: ( e ta a1 cost a a = 2 sint a 1 sint +a 2 cost Mitä merkitsee homogeenisen ratkaisun kannalta se, että ( näyttää olevan aiemmin nähty kiertomatriisi K(t?

8 Dys kvalitatiivisesti 1 (Kreyszig 43 Differentiaaliyhtälösysteemin määrittelemiä pisteitä, joille x = 0, kutsutaan kriittisiksi pisteiksi Lineaaristen, vakiokertoimisten, homogeenisten systeemien ainoa kriittinen piste on origo Tutkitaan seuraavaksi yksinkertaisimman tälläisen systeemin ratkaisujen käyttäytymistä faasitasossa kriittisen pisteen ympäristössä Määritelmä Olkoon A reaalinen 2 2 matriisi spektrillä {λ 1,λ 2 } Systeemin x = Ax, kriittinen piste, origo, on 1 satulapiste, jos λ 1,λ 2 R ja λ 1 < 0 < λ 2, 2 nielu, jos λ 1,λ 2 R ja λ 1 λ 2 < 0, 3 lähde, jos λ 1,λ 2 R ja 0 < λ 1 λ 2, 4 spiraalinielu (spiraalilähde, jos λ 1,2 = a±ib, b 0 ja a < 0 (a > 0 Jos a = 0 on origo keskus

9 Dys kvalitatiivisesti 2 (Kreyszig 43 Huomioita: Puretaan Määritelmän tapaukset 1 A diagonalisoituu eli A = TDT 1 Siten muunnoksella x = Ty voidaan siirtyä y-koordinaatteihin, joissa yhtälö on muotoa y = T 1 ATy = Dy Tämä vastaa kahta riippumatonta differentiaaliyhtälöä! Niiden analyysi on siis skalaariteoriaa ja välittömästi ratkaisu y = ( c 1 e λ 1t,c 2 e λ 2t T (, josta ominaisarvojen merkkien mukaan t y 1 0 ja y 2, ja t y 1 ja y 2 0 Tälläinen satulapiste on kaoottisen dynamiikan arkkityyppi; systeemi on yhteen ominaissuuntaan kontraktio ja toiseen ekspansio Tästä seuraa äärimmäinen herkkyys alkudatalle 2 Jos A diagonalisoituu, niin ratkaisukaava on kuten ( yllä Jos t, lähestyvät kaikki ratkaisut asymptoottisesti origoa, siitä termi nielu Toisinaan erotellaan vielä alatyypit polttopiste, jos λ 1 = λ 2 ja solmu, jos ominaisarvot ovat erilliset Jos A ei diagonalisoidu, ( niin voidaan osoittaa, että välttamättä ( λ 1 = λ 2 = λ ja λ b 1 bt A B, B =, b 0 Edeltävän nojalla e 0 λ tb = e λt, joten 0 1 ( ( ( y = e tb a = e λt a1 +a 2 bt = e a λt a1 +te 2 a λt a2 b 2 0 Tämä tapaus on degeneroitunut nielu, jossa mielenkiintoista on viimeisen termin lisäkontribuutio dynamiikkaan

10 Dys kvalitatiivisesti 3 (Kreyszig 43 3 Lähde alatapauksineen on analoginen nielun kanssa ja analysoidaan täsmälleen samoin kuin kohta 2 Nyt ratkaisut etääntyvät origosta kun t kasvaa Voidaankin ajatella, että kohdat 2 ja 3 saadaan toisistaan kääntämallä ajan suunta: t t kaavoissa 4 Kun realisella matriisilla on kompleksinen ominaisarvo, on myös tämän liittoluku aina ominaisarvo Nyt λ 1,2 = a±ib ja 2 2 systeemi voidaan kannanvaihdolla saattaa muotoon ( y a b = By = y, b a josta edelleen ( e tb = e at cos(bt sin(bt sin(bt cos(bt Matriisi yllä on selvästi kierto, ortogonaalinen matriisi, joka ei siis muuta kertomiensa vektorien pituutta Siten tekijä e at yksin määrää, kulkeeko dysin ratkaisu kohti origoa (a < 0 vai etääntyykö se origosta (a > 0 Tämä yhdistettynä kiertoon, joka on mukana täsmälleen silloin kun b 0, johtaa siis spiraalidynamiikkaan Näiden rajalla saadaan keskustapaus, a = 0, joka on siis puhdas kierto origon ympäri

11 Dys kvalitatiivisesti 4 (Kreyszig 43 ( 1 1 Esimerkki 1: Olkoon y = 1 1 matriisieksponentin avulla saadaan spiraalinieluratkaisu y Kerroinmatriisin spektri on 1±i, joten ( y = e t cos(t sin(t sin(t cos(t Alla ratkaisukäyrät origon ympäristössä neljästä eri alkupisteestä Huomaa kiertosuunta! Se on nyt myötäpäivään, koska b < Out[31]= Systeemi on ratkaistu Kreyszigissä vaihtoehtoisella menetelmällä

12 Dys kvalitatiivisesti 5 (Kreyszig 43 Esimerkki 2: Olkoon ( y 4 1 = 1 2 y Kerroinmatriisin ainoa ominaisarvo on 3, joten kyseessä on jonkinlainen lähde Matriisille löytyy vain yksi ominaisvektori, joten diagonalisoiminen ei onnistu Se on kuitenkin similaari Jordan matriisin kanssa: A = TJT 1, jossa T = ( ja J = ( Systeemin z = Jz (koordinaatistonmuunnos on siis y = Tz ratkaisu on z(t = e tj a Matriisieksponentiksi saadaan idempotenttimenetelmällä ( ( ( 3t t 0 1 e tj 3tI+t =e 0 3t = e 0 0 ( ( =e (I 3t 0 1 +t = e 0 0 3t 1 t, joten 0 1 ( e ta =Te tj T 1 = = e 3t 1+t t t 1 t Tämä tapaus on esimerkki degeneroituneesta lähteestä

13 Dys kvalitatiivisesti 6 (Kreyszig 43 Alkuperäisen systeemin (siis y-koordinaateissa kahdeksan ratkaisukäyrää: Out[23]= Kuvan epäsymmetrialla on syynsä: ominaisarvoa 3 vastaava ominaisvektori on (1, 1 T, jonka suuntaisiksi kaikkien ratkaisujen on taivuttava origon läheisyydessä Ymmärrätkö miksi? Tämäkin on ratkaistu Kreyszigissä, (sekavalla vaihtoehtoisella menetelmällä

14 Dys kvalitatiivisesti 7 Esimerkki, 3d: Tarkastellaan homogeenista systeemiä x = Ax, jossa A = Tämä voidaan saattaa ominaiskannan avulla huomattavasti helpommin ymmärrettävään muotoon Mathematicalla: In[73]:= In[74]:= Out[74]= In[75]:= Out[75]= In[76]:= Out[76]= In[79]:= a 14, 160, 40, 181, 5, 2, 96, 84, 18 ; Eigensystem a 6 180, 6 180, 3, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 4 e 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 4 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 4 p Transpose Re e 1, Im e 1, e 3 1, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 0, 4 MatrixForm Inverse p ap Out[79]//MatrixForm=

15 Dys kvalitatiivisesti 8 Siten uusissa koordinaateissa y = y, josta nähdään, että viimeinen komponentti on nyt riippumaton kahdesta ensimmäisestä Nämä taas käyttäytyvät selvästi 2d spiraalidynamiikan mukaisesti parametreilla a = 6 ja b = 180 Radat ovat 3d laajenevia spiraaleja, jotka litistyvät kahden ensimmäisen komponentin määräämään tasoon kolmannen komponentin lähestyessä eksponentiaalisesti nollaa Out[6]=

16 Dys kvalitatiivisesti 9

17 Stabiilisuus 1 (Kreyszig 44 Yleisen n-ulotteisen homogeenisen differentiaaliyhtälösysteemin x = f(x, x R kriittiset pisteet x ovat täsmälleen yhtälön f(x = 0 ratkaisut Määritelmä Kriittinen piste x on stabiili, jos jokainen ratkaisu x(t, joka saapuu (t:n kasvaessa johonkin x :n avoimeen ympäristöön, pysyy sellaisessa kaikkina myöhempinä aikoina Jos x ei ole stabiili on se epästabiili kriittinen piste Jos pätee, että jokainen ratkaisu, joka saapuu x :n johonkin avoimeen ympäristöön, itse asiassa lähestyy x :aa, sanotaan, että tämä kriittinen piste on asymptoottisesti stabiili Avoimen ympäristön sijaan voidaan usemmiten ajatella avointa, x -keskistä kiekkoa Asymptoottinen stabiilisuus on huomattavasti vahvempi ominaisuus kuin stabiilisuus

18 Stabiilisuus 2 (Kreyszig 44 Esimerkki: Lineaarisen vakiokertoimisen systeemin ainoa kriittinen piste on origo Kaikki nielut spiraalilla tai ilman ovat asymptoottisesti stabiileja, kun taas kaikki lähteet ovat epästabiileja Satulapisteet ovat epästabiileja, koska ratkaisu pakenee äärettömyyteen ekspansiivisessa suunnassa Keskusdynamiikka on esimerkki stabiilista dynamiikasta, joka ei ole asymptoottisesti stabiilia Edelläkuvattu 3d esimerkki on epästabiili

19 2d dys synteesi 1 (Kreyszig 44 Edellä olevat kvalitatiiviset luokat 2d systeemille x = Ax saadaan hahmotettua käyttökelpoisella uudelleenparametrisoinnilla Kun huomataan, että det(a λi = a 11 λ a 12 a 22 λ a 21 = λ 2 (a 11 +a 22 λ+(a 11 a 22 a 12 a 21 = λ 2 Tr(Aλ+detA, jossa Tr on matriisin jälki, niin karakteristisen yhtälön det(a λi = 0 ratkaisu on Huomaa, että λ ± = Tr(A± (Tr(A 2 4detA 2 deta = λ + λ ja Tr(A = λ + +λ

20 2d dys synteesi 2 (Kreyszig 44 Jäljellä ja determinantilla parametrisoituna edeltävät dynamiikan tyypit sijoittuvat seuraavasti: Det Nielu (2 neljannes Lahde (1 neljannes Keskus 2 Diskr = Tr 4Det = 0 + Spiraali Spiraali Satula Tr Stabiileja ovat täsmälleen toisen neljänneksen systeemit

21 Linearisointi 1 (Kreyszig 45 Epälineaarisen systeemin x = f(x, x R n autonomisuus tarkoittaa sitä, että f ei riipu eksplisiittisesti ajasta Systeemin analyysissä on apua erään lineaarisen systeemin tuntemuksesta Määritelmä Tason epälineaarisen systeemin x = f(x linearisointi kriittisessä pisteessä x on systeemi x = Ax, jossa kertoimena on Jacobin matriisi ( f1 f 1 A = x 1 x 2 f 2 x 1 f 2 x 2 x=x Linearisointi perustuu siihen, että riittävän säännöllinen (vähintään differentioituva vektorifunktio f = (f 1,f 2 voidaan Taylor-kehittää kriittisessä pisteessä f(x = f(x +Df(x (x x + = Df(x (x x +o(x x,

22 Linearisointi 2 (Kreyszig 45 jossa Df on Jacobin matriisi ja viimeisin termi on häviävän pieni riittävän lähellä x :ää (g(t = o(t k tarkoittaa, että g(t 0 kun t k t menee rajalleen Ax on siis se lineaarisista funktioista, joka muistuttaa eniten kuvausta f pisteen x ympäristössä Lause Mikäli systeemin x = f(x kriittinen piste x on eristynyt, f riittävän säännöllinen, det A 0, A:n ominaisarvot erilliset, eivätkä puhtaan imaginaariset, on linearisoinnin x = Ax tyyppi origossa sama kuin alkuperäisen systeemin pisteessa x Todistus ei ole aivan yksinkertainen, löytyy kirjallisuudesta

23 Epälineaarista dynamiikkaa 1 (Kreyszig 45 Esimerkki 1: Lotka-Volterra-malli on klassinen esimerkki epälineaarisesta systeemistä Se on alunperin populaatiomalli, ns saalis-saalistaja-malli, mutta sovellutuksia on moneen muuhunkin yhteyteen, jossa muuttujien yhteenkombinoituminen on oleellista Alkuperäisessä muodossan y 1 ja y 2 ovat kanien ja kettujen määrät jollakin laajalla, mutta suljetulla alueella (ei populaatioden nettovirtausta ulos, eikä sisään Tällöin voidaan keskinäiset riippuvuudet perusmuodossaan kuvata yhtälöin { y 1 = f 1 (y 1,y 2 = ay 1 by 1 y 2 y 2 = f 2(y 1,y 2 = ky 1 y 2 ly 2 jossa a,b,k ja l ovat posittiivisia vakioita Ristitermi y 1 y 2 kuvaa kettujen ja kanien kohtaamisten määrää, joissa siis kanikanta kärsii ja kettukanta saa kasvuvoimaa Oletuksena on, että kaneilla on rajattomasti kasviksia, muita petoja ei ole ja ketut syövät vain kaneja Systeemin kriittiset pisteet ovat (0, 0 ja matriisiin A 0 = ( f1 f 1 y 1 y 2 f 2 f 2 y 1 y 2 y1 =y 2 =0 ( l k, a b Origion kohdalla linearisointi johtaa ( a ky2 by = 1 ky 2 ky 1 l ( a 0 = 0 l y1 =y 2 =0

24 Epälineaarista dynamiikkaa 2 (Kreyszig 45 Tämän ominaisarvoille pätee selvästi λ = l < 0 < a = λ +, joten kyseessä on satulapiste Aiemmin esitetyn teorian nojalla (Lause Linearisointi 2 -kalvolla tämä päätelmä pätee myös epälineaarisen systeemin kriittiselle pisteelle Onko tulos järkeenkäypä? Systeemi voidaan häiritä pois origosta kahdella kvalitatiivisesti hyvin erilaisella tavalla Jos alkutila y 1 (0 on positiivinen, mutta pieni ja y 2 (0 = 0, on seurauksena on kanien väestöräjähdys, koska harventavaa kettupopulaatiota ei ole Tämä on faasiavaruuden ekspansiivinen suunta Jos taas y 1 (0 = 0 eli kaneja ei ole ja y 2 (0 on positiivinen luku, kuolee kettupopulaatio nälkäänsä pois Tämä on faasiavaruuden kontraktiivinen suunta Origon läheisyydessä dynamiikka on siis äärimmäisen herkka pienille populaationvaihteluille Toinen kriittinen piste kannattaa ensin siirtää origoon siirtymällä uusiin muuttujiin: y 1 = u 1 + l k, y 2 = u 2 + a Systeemi on silloin b ( u 1 = u 1 + l ( bu 2 k ( u 2 = u 2 + a ku 1 b Linearisoimalla tämä nyt origossa saadaan systeemin u = A 1 u kerroinmatriisiksi ( 0 bl A 1 = k ak 0 b

25 Epälineaarista dynamiikkaa 3 (Kreyszig 45 jonka spektri on ±i al Lineaarisella systeemilla on siis keskusdynamiikka, mutta edeltävä teoria (Lause Linearisointi 2 -kalvolla ei implikoi tätä päätelmää alkuperäiselle systeemille Tämä on kuitenkin osoitettavissa todeksi systeemin tarkemmalla analyysilla Huomaa, että systeemin u = A 1 u yhtälöt voidaan kertoa ristiin, jolloin saadaan josta edelleen integroimalla ak b u 1u 1 = bl k u 2u 2, ak b u2 1 + bl k u2 2 = vakio Nämä käyrät, ellipsit, ovat populaatioiden syklistä vaihtelua kuvaavia jaksollisia ratoja Kiertosuunta on vastapäivään, miksi? Tässä esimerkissä populaatioiden dynaaminen tasapaino edellyttää, että pysytään kauhun tasapainossa eli keskusdynamiikassa Jos systeemi poikkeaa siitä, lineaarinen teoria viittaa siihen, että joudutaan joko spiraalinieluun ( kaikkien lajien sukupuutto tai spiraalilähteeseen ( rajaton kasvu, epärealistinen skenaario maailmassa, jossa on vain äärellinen määrä resursseja

26 Epälineaarista dynamiikkaa 4 Esimerkki 2: Tarkastellaan tason epälineaarista systeemiä { x = f 1 (x,y = x +4y x 3 xy 2 y = f 2 (x,y = 4x +y x 2 y y 3 Pienellä päättelyllä voi todeta, että ainoa kriittinen piste on origo Jacobin matriisi origossa on ( f1 x f 2 x f 1 y f 2 y x=y=0 = ( 1 3x 2 y 2 4 2xy ( xy 1 x 2 3y x=y=0 2 = 4 1 Tämän ominaisarvot ovat 1 ± 4i, joten kyseessä on spiraalilähde Huomaamalla, että f 1 (x,y = (1 x 2 y 2 x +4y ja f 2 (x,y = 4x +(1 x 2 y 2 y saattaa alkaa epäillä, että yksikköympyrällä x 2 +y 2 = 1 on jotain erityistä merkitystä Sillä alkuperäinen systeemi yksinkertaistuu muotoon ( ( x 0 4 y = 4 0 ( x y, jossa kerroinmatriisin spektri on ±4i Siten on pääteltävissä, että yksikköympyrä on systeemin jaksollinen rata

27 Epälineaarista dynamiikkaa 5 Origo on siis lähde ja osoittautuukin, että jaksollinen rata x 2 +y 2 = 1 on itse asiassa attraktiivinen sisältä Lisäargumentilla voidaan osoittaa, että samoin on ulkopuolelta, joten yksikköympyrä on itse asiassa rajasykli Out[152]= Neljä myötäpäivään (b = 4 < 0 kiertävää spiraalirataa, jotka lähestyvät rajasykliä Kuuluisa van der Polin yhtälö, y µ(1 y 2 y +y = 0, µ > 0 vakio, saatettuna kahden epälineaarisen (kolmannen asteen polynomeja differentiaaliyhtälön muotoon, on lähisukulainen Silläkin systeemillä on rajasykli (joka liittyy elektronisten piirien värähtelyihin; analyysiä näistä löytyy Kreyszigistä & erikoisteoksista

Seuraavaksi tarkastellaan ensimmäisen kertaluvun lineaarista, vakiokertoimista differentiaaliyhtälösysteemiä

Seuraavaksi tarkastellaan ensimmäisen kertaluvun lineaarista, vakiokertoimista differentiaaliyhtälösysteemiä Differentiaaliyhtälösysteemit 1 (Kreyszig 4.0-2) MS-C1340, 2014, Kari Eloranta Seuraavaksi tarkastellaan ensimmäisen kertaluvun lineaarista, vakiokertoimista differentiaaliyhtälösysteemiä dx 1 dt = a 11x

Lisätiedot

5 Differentiaaliyhtälöryhmät

5 Differentiaaliyhtälöryhmät 5 Differentiaaliyhtälöryhmät 5.1 Taustaa ja teoriaa Differentiaaliyhtälöryhmiä tarvitaan useissa sovelluksissa. Toinen motivaatio yhtälöryhmien käytölle: Korkeamman asteen differentiaaliyhtälöt y (n) =

Lisätiedot

17. Differentiaaliyhtälösysteemien laadullista teoriaa.

17. Differentiaaliyhtälösysteemien laadullista teoriaa. 99 17. Differentiaaliyhtälösysteemien laadullista teoriaa. Differentiaaliyhtälön x'(t) = f(x(t),t), x(t) n määrittelemän systeemin sanotaan olevan autonominen, jos oikea puoli ei eksplisiittisesti riipu

Lisätiedot

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Differentiaaliyhtälöt, osa 1 Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 20 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista

Lisätiedot

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Differentiaaliyhtälöt. osa 2 Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 1 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista

Lisätiedot

5 DIFFERENTIAALIYHTÄLÖRYHMÄT

5 DIFFERENTIAALIYHTÄLÖRYHMÄT 5 DIFFERENTIAALIYHTÄLÖRYHMÄT 5. Ensimmäisen kl:n DY-ryhmät Differentiaaliyhtälöryhmiä tarvitaan useissa sovelluksissa. Useimmat voidaan mallintaa ensimmäisen kertaluvun DY-ryhmien avulla. Ensimmäisen kl:n

Lisätiedot

MS-C1340 Lineaarialgebra ja

MS-C1340 Lineaarialgebra ja MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Differentiaaliyhtälöt, osa 1 Riikka Kangaslampi Kevät 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto DY-teoriaa DY-teoriaa Käsitellään seuraavaksi

Lisätiedot

6. Differentiaaliyhtälösysteemien laadullista teoriaa.

6. Differentiaaliyhtälösysteemien laadullista teoriaa. 1 MAT-13450 LAAJA MATEMATIIKKA 5 Tampereen teknillinen yliopisto Risto Silvennoinen Kevät 2010 6. Differentiaaliyhtälösysteemien laadullista teoriaa. Olemme keskittyneet tässä kurssissa ensimmäisen kertaluvun

Lisätiedot

Differentiaaliyhtälöt II, kevät 2017 Harjoitus 5

Differentiaaliyhtälöt II, kevät 2017 Harjoitus 5 Differentiaaliyhtälöt II, kevät 27 Harjoitus 5 Heikki Korpela 26. huhtikuuta 27 Tehtävä 2. Määrää seuraavan autonomisen systeemin kriittiset pisteet, ratakäyrät ja luonnostele systeemin aikakehitys: (t)

Lisätiedot

Differentiaaliyhtälösysteemit sekä niiden tasapainopisteiden stabiilisuus

Differentiaaliyhtälösysteemit sekä niiden tasapainopisteiden stabiilisuus TAMPEREEN YLIOPISTO Luonnontieteiden Pro gradu -tutkielma Ilkka Niemi-Nikkola Differentiaaliyhtälösysteemit sekä niiden tasapainopisteiden stabiilisuus Luonnontieteiden tiedekunta Matematiikka Tammikuu

Lisätiedot

Harjoitus Etsi seuraavien autonomisten yhtälöiden kriittiset pisteet ja tutki niiden stabiliteettia:

Harjoitus Etsi seuraavien autonomisten yhtälöiden kriittiset pisteet ja tutki niiden stabiliteettia: Differentiaaliyhtälöt, Kesä 216 Harjoitus 2 1. Etsi seuraavien autonomisten yhtälöiden kriittiset pisteet ja tutki niiden stabiliteettia: (a) y = (2 y) 3, (b) y = (y 1) 2, (c) y = 2y y 2. 2. Etsi seuraavien

Lisätiedot

Vakiokertoiminen lineaarinen normaaliryhmä

Vakiokertoiminen lineaarinen normaaliryhmä 1 MAT-1345 LAAJA MATEMATIIKKA 5 Tampereen teknillinen yliopisto Risto Silvennoinen Kevät 29 Vakiokertoiminen lineaarinen normaaliryhmä Todetaan ensin ilman todistuksia (tulos on syvällinen) ratkaisujen

Lisätiedot

1 Di erentiaaliyhtälöt

1 Di erentiaaliyhtälöt Taloustieteen mat.menetelmät syksy 2017 materiaali II-5 1 Di erentiaaliyhtälöt 1.1 Skalaariyhtälöt Määritelmä: ensimmäisen kertaluvun di erentiaaliyhtälö on muotoa _y = F (y; t) oleva yhtälö, missä _y

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

4 Korkeamman kertaluvun differentiaaliyhtälöt

4 Korkeamman kertaluvun differentiaaliyhtälöt Differentiaaliyhtälöt c Pekka Alestalo 2015 Tässä monisteessa käydään läpi tavallisiin differentiaaliyhtälöihin liittyviä peruskäsitteitä ja ratkaisuperiaatteita. Luennolla lasketaan esimerkkitehtäviä

Lisätiedot

6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset

6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 51 6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt Määritelmä 6.1. Olkoon I R avoin väli. Olkoot p i : I R, i = 0, 1, 2,..., n, ja q : I R jatkuvia

Lisätiedot

Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä

Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä 1 MAT-1345 LAAJA MATEMATIIKKA 5 Tampereen teknillinen yliopisto Risto Silvennoinen Kevät 9 Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä Yksi tavallisimmista luonnontieteissä ja tekniikassa

Lisätiedot

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Differentiaaliyhtälöt, osa 3 Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 28 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista

Lisätiedot

Matematiikka B3 - Avoin yliopisto

Matematiikka B3 - Avoin yliopisto 2. heinäkuuta 2009 Opetusjärjestelyt Luennot 9:15-11:30 Harjoitukset 12:30-15:00 Tentti Lisäharjoitustehtävä Kurssin sisältö (1/2) 1. asteen Differentiaali yhtälöt (1.DY) Separoituva Ratkaisukaava Bernoyulli

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

Harjoitus Tarkastellaan luentojen Esimerkin mukaista työttömyysmallinnusta. Merkitään. p(t) = hintaindeksi, π(t) = odotettu inflaatio,

Harjoitus Tarkastellaan luentojen Esimerkin mukaista työttömyysmallinnusta. Merkitään. p(t) = hintaindeksi, π(t) = odotettu inflaatio, Differentiaaliyhtälöt, Kesä 06 Harjoitus 3 Kaikissa tehtävissä, joissa pitää tarkastella kriittisten pisteiden stabiliteettia, jos kyseessä on satulapiste, ilmoita myös satulauraratkaisun (tai kriittisessä

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö

Lisätiedot

4. Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä

4. Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä 1 Laaja matematiikka 5 Kevät 010 4. Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä Yksi tavallisimmista luonnontieteissä ja tekniikassa esiintyvistä matemaattisista malleista on differentiaaliyhtälö.

Lisätiedot

4 Korkeamman kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt

4 Korkeamman kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt 4 Korkeamman kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt 4.1 Homogeeniset lineaariset differentiaaliyhtälöt Homogeeninen yhtälö on muotoa F(x, y,, y (n) ) = 0. (1) Yhtälö on lineaarinen, jos se voidaan

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö

Lisätiedot

DI matematiikan opettajaksi: Täydennyskurssi, kevät 2010 Luentorunkoa ja harjoituksia viikolle 13: ti klo 13:00-15:30 ja to 1.4.

DI matematiikan opettajaksi: Täydennyskurssi, kevät 2010 Luentorunkoa ja harjoituksia viikolle 13: ti klo 13:00-15:30 ja to 1.4. DI matematiikan opettajaksi: Täydennyskurssi, kevät Luentorunkoa ja harjoituksia viikolle 3: ti 33 klo 3:-5:3 ja to 4 klo 9:5-: Käydään läpi differentiaaliyhtälöitä Määritelmä Olkoon A R n n (MatLab:ssa

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

2. kl:n DY:t. Lause. Yleisesti yhtälöllä ẍ = f(ẋ, x, t) on (sopivin oletuksin) aina olemassa 1-käs. ratkaisu. (ẋ dx/dt, ẍ d 2 x/dt 2.

2. kl:n DY:t. Lause. Yleisesti yhtälöllä ẍ = f(ẋ, x, t) on (sopivin oletuksin) aina olemassa 1-käs. ratkaisu. (ẋ dx/dt, ẍ d 2 x/dt 2. 2. kl:n DY:t Yleisesti yhtälöllä ẍ = f(ẋ, x, t) on (sopivin oletuksin) aina olemassa 1-käs. ratkaisu. (ẋ dx/dt, ẍ d 2 x/dt 2.) Lause Olkoon f(x 2, x 1, t) funktio, ja oletetaan, että f, f/ x 1 ja f/ x

Lisätiedot

Ominaisarvo-hajoitelma ja diagonalisointi

Ominaisarvo-hajoitelma ja diagonalisointi Ominaisarvo-hajoitelma ja a 1 Lause 1: Jos reaalisella n n matriisilla A on n eri suurta reaalista ominaisarvoa λ 1,λ 2,...,λ n, λ i λ j, kun i j, niin vastaavat ominaisvektorit x 1, x 2,..., x n muodostavat

Lisätiedot

4. Differentiaaliyhtälöryhmät 4.1. Ryhmän palauttaminen yhteen yhtälöön

4. Differentiaaliyhtälöryhmät 4.1. Ryhmän palauttaminen yhteen yhtälöön 4 Differentiaaliyhtälöryhmät 41 Ryhmän palauttaminen yhteen yhtälöön 176 Ratkaise differentiaaliyhtälöryhmät a) dt = y +t, b) = y z + sinx x 2 dt = x +t, c) + z = x2 = y + z + cosx + 2y = x a)x = C 1 e

Lisätiedot

Dynaamisten systeemien teoriaa. Systeemianalyysilaboratorio II

Dynaamisten systeemien teoriaa. Systeemianalyysilaboratorio II Dynaamisten systeemien teoriaa Systeemianalyysilaboratorio II 15.11.2017 Vakiot, sisäänmenot, ulostulot ja häiriöt Mallin vakiot Systeemiparametrit annettuja vakioita, joita ei muuteta; esim. painovoiman

Lisätiedot

13. Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä

13. Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä 187 13. Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä Yksi tavallisimmista luonnontieteissä ja tekniikassa esiintyvistä matemaattisista malleista on differentiaaliyhtälö. Se on yleisessä muodossaan

Lisätiedot

Matemaattinen Analyysi

Matemaattinen Analyysi Vaasan yliopisto, kevät 01 / ORMS1010 Matemaattinen Analyysi. harjoitus, viikko 1 R1 ke 1 16 D11 (..) R to 10 1 D11 (..) 1. Määritä funktion y(x) MacLaurinin sarjan kertoimet, kun y(0) = ja y (x) = (x

Lisätiedot

y (0) = 0 y h (x) = C 1 e 2x +C 2 e x e10x e 3 e8x dx + e x 1 3 e9x dx = e 2x 1 3 e8x 1 8 = 1 24 e10x 1 27 e10x = e 10x e10x

y (0) = 0 y h (x) = C 1 e 2x +C 2 e x e10x e 3 e8x dx + e x 1 3 e9x dx = e 2x 1 3 e8x 1 8 = 1 24 e10x 1 27 e10x = e 10x e10x BM0A5830 Differentiaaliyhtälöiden peruskurssi Harjoitus 4, Kevät 017 Päivityksiä: 1. Ratkaise differentiaaliyhtälöt 3y + 4y = 0 ja 3y + 4y = e x.. Ratkaise DY (a) 3y 9y + 6y = e 10x (b) Mikä on edellisen

Lisätiedot

9. Lineaaristen differentiaaliyhtälöiden ratkaisuavaruuksista

9. Lineaaristen differentiaaliyhtälöiden ratkaisuavaruuksista 29 9 Lineaaristen differentiaaliyhtälöiden ratkaisuavaruuksista Tarkastelemme kertalukua n olevia lineaarisia differentiaaliyhtälöitä y ( x) + a ( x) y ( x) + + a ( x) y( x) + a ( x) y= b( x) ( n) ( n

Lisätiedot

Kuva 1: Funktion f tasa-arvokäyriä. Ratkaisu. Suurin kasvunopeus on gradientin suuntaan. 6x 0,2

Kuva 1: Funktion f tasa-arvokäyriä. Ratkaisu. Suurin kasvunopeus on gradientin suuntaan. 6x 0,2 HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi I, syksy 018 Harjoitus Ratkaisuehdotukset Tehtävä 1. Olkoon f : R R f(x 1, x ) = x 1 + x Olkoon C R. Määritä tasa-arvojoukko Sf(C) = {(x 1, x

Lisätiedot

6 MATRIISIN DIAGONALISOINTI

6 MATRIISIN DIAGONALISOINTI 6 MATRIISIN DIAGONALISOINTI Ortogonaaliset matriisit Neliömatriisi A on ortogonaalinen (eli ortogonaalimatriisi), jos sen alkiot ovat reaalisia ja A - = A T Muistutus: vektorien a ja b pistetulo (skalaaritulo,

Lisätiedot

1 Peruskäsitteet. Dierentiaaliyhtälöt

1 Peruskäsitteet. Dierentiaaliyhtälöt Teknillinen korkeakoulu Matematiikka Dierentiaaliyhtälöt Alestalo Tässä monisteessa käydään läpi tavallisiin dierentiaaliyhtälöihin liittyviä peruskäsitteitä ja ratkaisuperiaatteita. Esimerkkejä luennoilla

Lisätiedot

Osoita, että täsmälleen yksi vektoriavaruuden ehto ei ole voimassa.

Osoita, että täsmälleen yksi vektoriavaruuden ehto ei ole voimassa. LINEAARIALGEBRA Harjoituksia 2016 1. Olkoon V = R 2 varustettuna tavallisella yhteenlaskulla. Määritellään reaaliluvulla kertominen seuraavasti: λ (x 1, x 2 ) = (λx 1, 0) (x 1, x 2 ) R 2 ja λ R. Osoita,

Lisätiedot

Lineaarikuvauksen R n R m matriisi

Lineaarikuvauksen R n R m matriisi Lineaarikuvauksen R n R m matriisi Lauseessa 21 osoitettiin, että jokaista m n -matriisia A vastaa lineaarikuvaus L A : R n R m, jolla L A ( v) = A v kaikilla v R n. Osoitetaan seuraavaksi käänteinen tulos:

Lisätiedot

Ominaisarvo ja ominaisvektori

Ominaisarvo ja ominaisvektori Määritelmä Ominaisarvo ja ominaisvektori Oletetaan, että A on n n -neliömatriisi. Reaaliluku λ on matriisin ominaisarvo, jos on olemassa sellainen vektori v R n, että v 0 ja A v = λ v. Vektoria v, joka

Lisätiedot

Normaaliryhmä. Toisen kertaluvun normaaliryhmä on yleistä muotoa

Normaaliryhmä. Toisen kertaluvun normaaliryhmä on yleistä muotoa Normaaliryhmä Toisen kertaluvun normaaliryhmä on yleistä muotoa x = u(t,x,y), y t I, = v(t,x,y), Funktiot u = u(t,x,y), t I ja v = v(t,x,y), t I ovat tunnettuja Toisen kertaluvun normaaliryhmän ratkaisu

Lisätiedot

Kanta ja Kannan-vaihto

Kanta ja Kannan-vaihto ja Kannan-vaihto 1 Olkoon L vektoriavaruus. Äärellinen joukko L:n vektoreita V = { v 1, v 2,..., v n } on kanta, jos (1) Jokainen L:n vektori voidaan lausua v-vektoreiden lineaarikombinaationa. (Ts. Span(V

Lisätiedot

3 Toisen kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt

3 Toisen kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt 3 Toisen kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt 3.1 Homogeeniset lineaariset differentiaaliyhtälöt Toisen kertaluvun differentiaaliyhtälö on lineaarinen, jos se voidaan kirjoittaa muotoon Jos r(x)

Lisätiedot

2. Viikko. CDH: luvut (s ). Matematiikka on fysiikan kieli ja differentiaaliyhtälöt sen yleisin murre.

2. Viikko. CDH: luvut (s ). Matematiikka on fysiikan kieli ja differentiaaliyhtälöt sen yleisin murre. 2. Viikko Keskeiset asiat ja tavoitteet: 1. Peruskäsitteet: kertaluku, lineaarisuus, homogeenisuus. 2. Separoituvan diff. yhtälön ratkaisu, 3. Lineaarisen 1. kl yhtälön ratkaisu, CDH: luvut 19.1.-19.4.

Lisätiedot

Lineaarikombinaatio, lineaarinen riippuvuus/riippumattomuus

Lineaarikombinaatio, lineaarinen riippuvuus/riippumattomuus Lineaarikombinaatio, lineaarinen riippuvuus/riippumattomuus 1 / 51 Lineaarikombinaatio Johdattelua seuraavaan asiaan (ei tarkkoja määritelmiä): Millaisen kuvan muodostaa joukko {λv λ R, v R 3 }? Millaisen

Lisätiedot

MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta

MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta 4. MS-A4/A6 Matriisilaskenta 4. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto..25 Tarkastellaan neliömatriiseja. Kun matriisilla kerrotaan vektoria, vektorin

Lisätiedot

Ominaisarvo ja ominaisvektori

Ominaisarvo ja ominaisvektori Ominaisarvo ja ominaisvektori Määritelmä Oletetaan, että A on n n -neliömatriisi. Reaaliluku λ on matriisin ominaisarvo, jos on olemassa sellainen vektori v R n, että v 0 ja A v = λ v. Vektoria v, joka

Lisätiedot

1 Komparatiivinen statiikka ja implisiittifunktiolause

1 Komparatiivinen statiikka ja implisiittifunktiolause Taloustieteen matemaattiset menetelmät 27 materiaali 4 Komparatiivinen statiikka ja implisiittifunktiolause. Johdanto Jo opiskeltu antaa nyt valmiu tutkia taloudellisia malleja Kiinnostava malli voi olla

Lisätiedot

Värähdysliikkeet. q + f (q, q, t) = 0. q + f (q, q) = F (t) missä nopeusriippuvuus kuvaa vaimenemista ja F (t) on ulkoinen pakkovoima.

Värähdysliikkeet. q + f (q, q, t) = 0. q + f (q, q) = F (t) missä nopeusriippuvuus kuvaa vaimenemista ja F (t) on ulkoinen pakkovoima. Torstai 18.9.2014 1/17 Värähdysliikkeet Värähdysliikkeet ovat tyypillisiä fysiikassa: Häiriö oskillaatio Jaksollinen liike oskillaatio Yleisesti värähdysliikettä voidaan kuvata yhtälöllä q + f (q, q, t)

Lisätiedot

Mat Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros Vaimennetun heilurin tilanyhtälöt on esitetty luennolla: θ = g sin θ r θ

Mat Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros Vaimennetun heilurin tilanyhtälöt on esitetty luennolla: θ = g sin θ r θ Mat-48 Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros Vaimennetun heilurin tilanyhtälöt on esitetty luennolla: θ = g sin θ r θ L ẋ = x ẋ = g L sin x rx Epälineaarisen systeemin tasapainotiloja voidaan

Lisätiedot

Esimerkki 4.4. Esimerkki jatkoa. Määrää matriisin ominaisarvot ja -vektorit. Ratk. Nyt

Esimerkki 4.4. Esimerkki jatkoa. Määrää matriisin ominaisarvot ja -vektorit. Ratk. Nyt Esimerkki 4.4. Määrää matriisin 2 2 1 A = 1 3 1 2 4 3 ominaisarvot ja -vektorit. Ratk. Nyt det(a λi ) = 1 + 2 λ 2 1 + 1 λ 1 λ 1 3 λ 1 = 1 3 λ 1 2 4 3 λ 2 4 3 λ 1 λ = 1 4 λ 1 = (1 λ)( 1)1+1 4 λ 1 2 6 3

Lisätiedot

Neliömatriisi A on ortogonaalinen (eli ortogonaalimatriisi), jos sen alkiot ovat reaalisia ja

Neliömatriisi A on ortogonaalinen (eli ortogonaalimatriisi), jos sen alkiot ovat reaalisia ja 7 NELIÖMATRIISIN DIAGONALISOINTI. Ortogonaaliset matriisit Neliömatriisi A on ortogonaalinen (eli ortogonaalimatriisi), jos sen alkiot ovat reaalisia ja A - = A T () Muistutus: Kokoa n olevien vektorien

Lisätiedot

Ominaisarvot ja ominaisvektorit 140 / 170

Ominaisarvot ja ominaisvektorit 140 / 170 Ominaisarvot ja ominaisvektorit 140 / 170 Seuraavissa luvuissa matriisit ja vektori ajatellaan kompleksisiksi, ts. kertojakuntana oletetaan olevan aina kompleksilukujoukko C Huomaa, että reaalilukujoukko

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Harjoitus 4 / Ratkaisut

Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Harjoitus 4 / Ratkaisut MS-C34 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt, IV/26 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Harjoitus 4 / t Alkuviikon tuntitehtävä Hahmottele matriisia A ( 2 6 3 vastaava vektorikenttä Matriisia A

Lisätiedot

a 1 y 1 (x) + a 2 y 2 (x) = 0 vain jos a 1 = a 2 = 0

a 1 y 1 (x) + a 2 y 2 (x) = 0 vain jos a 1 = a 2 = 0 6. Lineaariset toisen kertaluvun yhtälöt Toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöt ovat tuntuvasti hankalampia ratkaista kuin ensimmäinen. Käsittelemmekin tässä vain tärkeintä erikoistapausta, toisen kertaluvun

Lisätiedot

1 Rajoittamaton optimointi

1 Rajoittamaton optimointi Taloustieteen matemaattiset menetelmät 7 materiaali 5 Rajoittamaton optimointi Yhden muuttujan tapaus f R! R Muistutetaan mieleen maksimin määritelmä. Funktiolla f on maksimi pisteessä x jos kaikille y

Lisätiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 6. viikolle /

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 6. viikolle / Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 6. viikolle / 16. 18.5. Lineaariset differentiaaliyhtälöt, homogeeniset differentiaaliyhtälöt Tehtävä 1: a) Määritä differentiaaliyhtälön y 3y = 14e 4x

Lisätiedot

Neliömatriisit A ja B ovat similaareja toistensa suhteen, A B, jos on olemassa kääntyvä matriisi P, jolle pätee A = PBP 1.

Neliömatriisit A ja B ovat similaareja toistensa suhteen, A B, jos on olemassa kääntyvä matriisi P, jolle pätee A = PBP 1. Similaarisuus 1 (Kreyszig 8.4, Lay 5.2) Aalto MS-C1340, 2014, Kari Eloranta Määritelmä Neliömatriisit A ja B ovat similaareja toistensa suhteen, A B, jos on olemassa kääntyvä matriisi P, jolle pätee A

Lisätiedot

Esimerkki: Tarkastellaan korkeudella h ht () putoavaa kappaletta, jonka massa on m (ks. kuva).

Esimerkki: Tarkastellaan korkeudella h ht () putoavaa kappaletta, jonka massa on m (ks. kuva). 6 DIFFERENTIAALIYHTÄLÖISTÄ Esimerkki: Tarkastellaan korkeudella h ht () putoavaa kappaletta, jonka massa on m (ks. kuva). Newtonin II:n lain (ma missä Yhtälö dh dt m dh dt F) mukaan mg, on kiihtyvyys ja

Lisätiedot

10. Toisen kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt

10. Toisen kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt 37. Toisen kertaluvun lineaariset differentiaalihtälöt Tarkastelemme muotoa () ( x) + a( x) ( x) + a( x) ( x) = b( x) olevia htälöitä, missä kerroinfunktiot ja oikea puoli ovat välillä I jatkuvia. Edellisen

Lisätiedot

MS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 11: Lineaarinen differentiaaliyhtälö

MS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 11: Lineaarinen differentiaaliyhtälö MS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 11: Lineaarinen differentiaaliyhtälö Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

5 OMINAISARVOT JA OMINAISVEKTORIT

5 OMINAISARVOT JA OMINAISVEKTORIT 5 OMINAISARVOT JA OMINAISVEKTORIT Ominaisarvo-ongelma Käsitellään neliömatriiseja: olkoon A n n-matriisi. Luku on matriisin A ominaisarvo (eigenvalue), jos on olemassa vektori x siten, että Ax = x () Yhtälön

Lisätiedot

5 Ominaisarvot ja ominaisvektorit

5 Ominaisarvot ja ominaisvektorit 5 Ominaisarvot ja ominaisvektorit Olkoon A = [a jk ] n n matriisi. Tarkastellaan vektoriyhtälöä Ax = λx, (1) missä λ on luku. Sellaista λ:n arvoa, jolla yhtälöllä on ratkaisu x 0, kutsutaan matriisin A

Lisätiedot

y + 4y = 0 (1) λ = 0

y + 4y = 0 (1) λ = 0 Matematiikan ja tilastotieteen osasto/hy Differentiaaliyhtälöt I Laskuharjoitus 6 mallit Kevät 2019 Tehtävä 1. Ratkaise yhtälöt a) y + 4y = x 2, b) y + 4y = 3e x. Ratkaisu: a) Differentiaaliyhtälön yleinen

Lisätiedot

13. Ratkaisu. Kirjoitetaan tehtävän DY hieman eri muodossa: = 1 + y x + ( y ) 2 (y )

13. Ratkaisu. Kirjoitetaan tehtävän DY hieman eri muodossa: = 1 + y x + ( y ) 2 (y ) MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Differentiaaliyhtälöt, kesä 00 Tehtävät 3-8 / Ratkaisuehdotuksia (RT).6.00 3. Ratkaisu. Kirjoitetaan tehtävän DY hieman eri muodossa: y = + y + y = + y + ( y ) (y

Lisätiedot

MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 5: Gradientti ja suunnattu derivaatta. Vektoriarvoiset funktiot. Taylor-approksimaatio.

MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 5: Gradientti ja suunnattu derivaatta. Vektoriarvoiset funktiot. Taylor-approksimaatio. MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 5: Gradientti ja suunnattu derivaatta. Vektoriarvoiset funktiot. Taylor-approksimaatio. Riikka Korte Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 1 Aalto-yliopisto

Lisätiedot

(1.1) Ae j = a k,j e k.

(1.1) Ae j = a k,j e k. Lineaarikuvauksen determinantti ja jälki 1. Lineaarikuvauksen matriisi. Palautetaan mieleen, mikä lineaarikuvauksen matriisi annetun kannan suhteen on. Olkoot V äärellisulotteinen vektoriavaruus, n = dim

Lisätiedot

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 1: Parametrisoidut käyrät ja kaarenpituus

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 1: Parametrisoidut käyrät ja kaarenpituus MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 1: Parametrisoidut käyrät ja kaarenpituus Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0202 Syksy 2015 1 / 18

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö

Lisätiedot

3.4 Käänteiskuvauslause ja implisiittifunktiolause

3.4 Käänteiskuvauslause ja implisiittifunktiolause 3.4 Käänteiskuvauslause ja implisiittifunktiolause Tässä luvussa käsitellään kahta keskeistä vektorianalyysin lausetta. Esitellään aluksi kyseiset lauseet ja tutustutaan niiden käyttötapoihin. Lause 3.4.1

Lisätiedot

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä 3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä Lineaarinen m:n yhtälön yhtälöryhmä, jossa on n tuntematonta x 1,, x n on joukko yhtälöitä, jotka ovat muotoa a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a 21

Lisätiedot

Similaarisuus. Määritelmä. Huom.

Similaarisuus. Määritelmä. Huom. Similaarisuus Määritelmä Neliömatriisi A M n n on similaarinen neliömatriisin B M n n kanssa, jos on olemassa kääntyvä matriisi P M n n, jolle pätee Tällöin merkitään A B. Huom. Havaitaan, että P 1 AP

Lisätiedot

Matemaattinen Analyysi

Matemaattinen Analyysi Vaasan yliopisto, syksy 2016 / ORMS1010 Matemaattinen Analyysi 8. harjoitus, viikko 49 R1 to 12 14 F453 (8.12.) R2 to 14 16 F345 (8.12.) R3 ke 8 10 F345 (7.11.) 1. Määritä funktion f (x) = 1 Taylorin sarja

Lisätiedot

1 Matriisit ja lineaariset yhtälöryhmät

1 Matriisit ja lineaariset yhtälöryhmät 1 Matriisit ja lineaariset yhtälöryhmät 11 Yhtälöryhmä matriisimuodossa m n-matriisi sisältää mn kpl reaali- tai kompleksilukuja, jotka on asetetettu suorakaiteen muotoiseksi kaavioksi: a 11 a 12 a 1n

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä 1 3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä Lineaarinen m:n yhtälön yhtälöryhmä, jossa on n tuntematonta x 1,, x n on joukko yhtälöitä, jotka ovat muotoa a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a

Lisätiedot

Lineaarialgebra II, MATH.1240 Matti laaksonen, Lassi Lilleberg

Lineaarialgebra II, MATH.1240 Matti laaksonen, Lassi Lilleberg Vaasan yliopisto, syksy 218 Lineaarialgebra II, MATH124 Matti laaksonen, Lassi Lilleberg Tentti T1, 284218 Ratkaise 4 tehtävää Kokeessa saa käyttää laskinta (myös graafista ja CAS-laskinta), mutta ei taulukkokirjaa

Lisätiedot

2v 1 = v 2, 2v 1 + 3v 2 = 4v 2.. Vastaavasti ominaisarvoa λ 2 = 4 vastaavat ominaisvektorit toteuttavat. v 2 =

2v 1 = v 2, 2v 1 + 3v 2 = 4v 2.. Vastaavasti ominaisarvoa λ 2 = 4 vastaavat ominaisvektorit toteuttavat. v 2 = TKK, Matematiikan laitos Pikkarainen/Tikanmäki Mat-1.1320 Matematiikan peruskurssi K2 Harjoitus 12, A=alku-, L=loppuviikko, T= taulutehtävä, P= palautettava tehtävä, W= verkkotehtävä 21. 25.4.2008, viikko

Lisätiedot

Avaruuden R n aliavaruus

Avaruuden R n aliavaruus Avaruuden R n aliavaruus 1 / 41 Aliavaruus Esimerkki 1 Kuva: Suora on suljettu yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen suhteen. 2 / 41 Esimerkki 2 Kuva: Suora ei ole suljettu yhteenlaskun ja skalaarilla

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

Antti Rasila. Kevät Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto. Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0204 Kevät / 16

Antti Rasila. Kevät Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto. Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0204 Kevät / 16 MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 5: Gradientti ja suunnattu derivaatta. Vektoriarvoiset funktiot. Taylor-approksimaatio. Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos

Lisätiedot

JAKSO 2 KANTA JA KOORDINAATIT

JAKSO 2 KANTA JA KOORDINAATIT JAKSO 2 KANTA JA KOORDINAATIT Kanta ja dimensio Tehtävä Esittele vektoriavaruuden kannan määritelmä vapauden ja virittämisen käsitteiden avulla ja anna vektoriavaruuden dimension määritelmä Esittele Lause

Lisätiedot

6. OMINAISARVOT JA DIAGONALISOINTI

6. OMINAISARVOT JA DIAGONALISOINTI 0 6 OMINAISARVOT JA DIAGONALISOINTI 6 Ominaisarvot ja ominaisvektorit Olkoon V äärellisulotteinen vektoriavaruus, dim(v ) = n ja L : V V lineaarikuvaus Määritelmä 6 Skalaari λ R on L:n ominaisarvo, jos

Lisätiedot

(a) Järjestellään yhtälöitä siten, että vasemmalle puolelle jää vain y i ja oikealle puolelle muut

(a) Järjestellään yhtälöitä siten, että vasemmalle puolelle jää vain y i ja oikealle puolelle muut BM0A5830 Differentiaalihtälöiden peruskurssi Harjoitus 7, Kevät 07 Päivitksiä: Tehtävän b tehtävänantoa korjattu, tehtävän 5 vastaus korjattu. b tehtävänantoa sujuvoitettu. Vastauksia lisätt.. Monasti

Lisätiedot

, on säännöllinen 2-ulotteinen pinta. Määrää T x0 pisteessä x 0 = (0, 1, 1).

, on säännöllinen 2-ulotteinen pinta. Määrää T x0 pisteessä x 0 = (0, 1, 1). HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi II, syksy 017 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotukset 4.1. Osoita, että tasa-arvojoukko S F (0), F : R 3 R, F (x) = 3x 1 x 3 + e x + x e x 3, on säännöllinen

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D, laskuharjoituksien esimerkkiratkaisut

Insinöörimatematiikka D, laskuharjoituksien esimerkkiratkaisut Insinöörimatematiikka D, 5.4.06 5. laskuharjoituksien esimerkkiratkaisut. Etsitään homogeenisen vakiokertoimisen lineaarisen differentiaaliyhtälön kaikki ratkaisut (reaalisessa muodossa). y (5) +4y (4)

Lisätiedot

Ominaisarvoon 4 liittyvät ominaisvektorit ovat yhtälön Ax = 4x eli yhtälöryhmän x 1 + 2x 2 + x 3 = 4x 1 3x 2 + x 3 = 4x 2 5x 2 x 3 = 4x 3.

Ominaisarvoon 4 liittyvät ominaisvektorit ovat yhtälön Ax = 4x eli yhtälöryhmän x 1 + 2x 2 + x 3 = 4x 1 3x 2 + x 3 = 4x 2 5x 2 x 3 = 4x 3. Matematiikan ja tilastotieteen laitos Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II Ylimääräinen harjoitus 6 Ratkaisut A:n karakteristinen funktio p A on λ p A (λ) det(a λi ) 0 λ ( λ) 0 5 λ λ 5 λ ( λ) (( λ) (

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät

Numeeriset menetelmät Numeeriset menetelmät Luento 6 To 22.9.2011 Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 6 To 22.9.2011 p. 1/38 p. 1/38 Ominaisarvotehtävät Monet sovellukset johtavat ominaisarvotehtäviin Yksi

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet: Luento 13. Rajoittamaton optimointi Hessen matriisi Ominaisarvot ja vektorit Ääriarvon laadun tarkastelu

Talousmatematiikan perusteet: Luento 13. Rajoittamaton optimointi Hessen matriisi Ominaisarvot ja vektorit Ääriarvon laadun tarkastelu Talousmatematiikan perusteet: Luento 13 Rajoittamaton optimointi Hessen matriisi Ominaisarvot ja vektorit Ääriarvon laadun tarkastelu Viime luennolla Aloimme tarkastella yleisiä, usean muuttujan funktioita

Lisätiedot

SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT

SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 43 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Kuva 12. Esimerkin 4.26(c kuvauksen

Lisätiedot

1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus

1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1.1 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä V epätyhjä joukko. Oletetaan, että joukossa V on määritelty laskutoimitus

Lisätiedot

1 Ominaisarvot ja ominaisvektorit

1 Ominaisarvot ja ominaisvektorit 1 Ominaisarvot ja ominaisvektorit Olkoon A = [a jk ] n n matriisi. Tarkastellaan vektoriyhtälöä Ax = λx, (1) 1 missä λ on luku. Sellaista λ:n arvoa, jolla yhtälöllä on ratkaisu x 0, kutsutaan matriisin

Lisätiedot

PRO GRADU -TUTKIELMA. Samuli Koskinen. Differentiaaliyhtälöryhmät ja matriisieksponenttifunktiot

PRO GRADU -TUTKIELMA. Samuli Koskinen. Differentiaaliyhtälöryhmät ja matriisieksponenttifunktiot PRO GRADU -TUTKIELMA Samuli Koskinen Differentiaaliyhtälöryhmät ja matriisieksponenttifunktiot TAMPEREEN YLIOPISTO Informaatiotieteiden yksikkö Matematiikka Joulukuu 2014 2 Tampereen yliopisto Informaatiotieteiden

Lisätiedot

Lineaarinen toisen kertaluvun yhtälö

Lineaarinen toisen kertaluvun yhtälö Lineaarinen toisen kertaluvun yhtälö Keijo Ruotsalainen Mathematics Division Lineaarinen toisen kertaluvun differentiaaliyhtälö Toisen kertaluvun täydellinen lineaarinen yhtälö muotoa p 2 (x)y + p 1 (x)y

Lisätiedot

f(x) f(y) x y f f(x) f(y) (x) = lim

f(x) f(y) x y f f(x) f(y) (x) = lim Y1 (Matematiikka I) Haastavampia lisätehtäviä Syksy 1 1. Funktio h määritellään seuraavasti. Kuvan astiaan lasketaan vettä tasaisella nopeudella 1 l/min. Astia on muodoltaan katkaistu suora ympyräkartio,

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 5. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 5 () Numeeriset menetelmät / 28

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 5. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 5 () Numeeriset menetelmät / 28 Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 5 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 5 () Numeeriset menetelmät 3.4.2013 1 / 28 Luennon 5 sisältö Luku 4: Ominaisarvotehtävistä Potenssiinkorotusmenetelmä QR-menetelmä

Lisätiedot

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Ominaisarvoteoriaa Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 22 R. Kangaslampi matriisiteoriaa Kertaus: ominaisarvot

Lisätiedot

Oletetaan ensin, että tangenttitaso on olemassa. Nyt pinnalla S on koordinaattiesitys ψ, jolle pätee että kaikilla x V U

Oletetaan ensin, että tangenttitaso on olemassa. Nyt pinnalla S on koordinaattiesitys ψ, jolle pätee että kaikilla x V U HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi II, syksy 018 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotukset Tehtävä 1. Olkoon U R avoin joukko ja ϕ = (ϕ 1, ϕ, ϕ 3 ) : U R 3 kaksiulotteisen C 1 -alkeispinnan

Lisätiedot