6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset"

Transkriptio

1 SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt Määritelmä 6.1. Olkoon I R avoin väli. Olkoot p i : I R, i = 0, 1, 2,..., n, ja q : I R jatkuvia funktioita. Differentiaaliyhtälö n (6.1) p k (x)y (k) (x) = q(x) x I k=0 on n. kertaluvun lineaarinen differentiaaliyhtälö. Jos q = 0, niin differentiaaliyhtälö on homogeeninen. Esimerkki 6.2. Muistamme, että D 2 sin(x) = sin(x) ja D 2 cos(x) = cos(x). Siis sin ja cos ovat DY:n (6.2) u (x) + u(x) = 0 ratkaisuja. Kuten Esimerkissä 5.1 huomaamme, että funktiot g a,b : R R, (6.3) g a,b (x) = a cos(x) + b sin(x) ovat DY:n (6.2) ratkaisuja. Ratkaisu g a,b toteuttaa lisäehdot g a,b (0) = a ja g a,b (0) = b. Tehtävää u (x) + u(x) = 0 (6.4) u(0) = a u (0) = b kutsutaan alkuarvotehtäväksi (AAT). Osoitamme seuraavaksi, että alkuarvot määräävät DY:n (6.2) ratkaisut yksikäsitteisesti. Differentiaaliyhtälön (6.2) ratkaisut toteuttavat DY:n (6.5) 0 = 2u u + 2u u = ( (u ) 2 + u 2), joka saadaan (6.2):stä kertomalla 2u :lla. DY (6.5) on siis muotoa f = 0, joka ratkeaa integroimalla (f = (u ) 2 + u 2 ): (6.6) (u ) 2 + u 2 = C, C R. Alkuarvot määräävät vakion C: (6.7) C = u (0) 2 + u(0) 2. Olkoot funktiot u 1 ja u 2 alkuarvotehtävän (6.4) ratkaisuja. Tällöin funktio w = u 1 u 2 on AAT:n u (x) + u(x) = 0 (6.8) u(0) = 0 u (0) = 0 ratkaisu. Se siis toteuttaa DY:n (6.9) (w ) 2 + w 2 = 0, joten w = 0. Siis u 1 = u 2, joten g a,b on AAT:n (6.4) ainoa ratkaisu. Yleistämme Lauseen 5.3: Lause 6.3. Olkoon I R avoin väli. Olkoot p k : I R, k = 0, 1, 2,..., n, ja q j : I R, j = 1, 2,..., m jatkuvia funktioita. Olkoon f j differentiaaliyhtälön n (6.10) p k (x)y (k) (x) = q j (x) x I k=0

2 52 JOUNI PARKKONEN ratkaisu. Tällöin m j=1 f j on DY:n (6.11) ratkaisu. n m p k (x)y (k) (x) = q j (x) k=0 Todistus. Kuten Lause 5.3. j=1 x I Esimerkki 6.4. (a) Ratkaisemme epähomogeenisen differentiaaliyhtälön (6.12) y (x) = q(x) integroimalla. APL:n nojalla (6.12) on yhtäpitävä seuraavien kanssa: (6.13) y (x) = q(t)dt + C, C 1 R ( s ) y(x) = q(t)dt + C 1 + C 2, C 1, C 2 R ( s ) = q(t)dt + C 1 x + C 2, C 1, C 2 R. Korkeamman asteen DY:t (6.14) y (n) (x) = q(x) ratkaistaan samalla tavalla integroimalla n kertaa. (b) Olkoon A R ja f : R R, (6.15) f(x) = e Ax. Tällöin (6.16) f (x) = Ae Ax = Af(x) ja (6.17) f (x) = A 2 e Ax = A 2 f(x). Siis funktiot f 1, f 2 : R R, (6.18) f 1 (x) = e kx ja f 2 (x) = e kx ovat differentiaaliyhtälön (6.19) y (x) k 2 y(x) = 0 ratkaisuja, k R. Lauseen 6.3 nojalla kaikki funktiot (6.20) C 1 f 1 + C 2 f 2, C 1, C 2 R ovat DY:n (6.19) ratkaisuja. (c) Vastaavasti kaikki funktiot f : R R, (6.21) f(x) = C 1 cos(kx) + C 2 sin(kx) ovat DY:n (6.22) y (x) + k 2 y(x) = 0 ratkaisuja. Tarkastelemme toisen kertaluvun vakiokertoimisia lineaarisia differentiaaliyhtälöitä lähemmin.

3 SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT Määritelmä 6.5. Olkoot a, b R. Differentiaaliyhtälön (6.23) y (x) + ay (x) + by(x) = 0, karakteristinen polynomi on (6.24) r 2 + ar + b. Lause 6.6 (OY-lause). Alkuarvotehtävällä y (x) + ay (x) + by(x) = 0 (6.25) y(x 0 ) = A y (x 0 ) = B on täsmälleen yksi ratkaisu. Ratkaisu saadaan kaavalla (a) f(x) = C 1 e r1x +C 2 e r2x, jos r 1 R ja r 2 R ovat karakteristisen polynomin juuria, r 1 r 2. (b) f(x) = C 1 e rx + C 2 xe rx, jos r R on karakteristisen polynomin kaksinkertainen juuri. (c) f(x) = e a 2 x (C 1 cos(ωx)+c 2 sin(ωx)), ω = 1 2 4b a2, jos karakteristisella polynomilla ei ole reaalisia juuria. Huomautus 6.7. Kaikki DY:n (6.25) ratkaisut ovat lineaarikombinaatioita (VeMa, LA) kahdesta sopivasta perusratkaisusta u 1 ja u 2 : (a) u i (x) = e r ix, i = 1, 2. (b) u 1 (x) = e rx, u 2 (x) = xe rx. (c) u 1 (x) = e a 2 x cos(ωx), u 2 (x) = e a 2 x sin(ωx). Eri tapaukset tunnistetaan karakteristisen polynomin diskriminantin a 2 4b avulla: (a) a 2 4b > 0. (b) a 2 4b = 0. (c) a 2 4b < 0. Todistus. (1) Sijoittamalla toteamme, että Huomautuksessa 6.7 annetut perusratkaisut ovat DY:n (6.25) ratkaisuja: (a)-kohdassa (6.26) u i (x) + au i(x) + bu i (x) =r 2 i u i (x) + ar i u i (x) + bu i (x) =(r 2 i + ar i + b)u i (x) = 0, koska r i on karakteristisen polynomin juuri, i {1, 2}. Väite seuraa Lauseesta 6.3. Kohdat (b) ja (c) todistetaan samaan tapaan (Harjoitus). (2) Alkuarvot. (a)-kohdassa on ratkaistava C 1 ja C 2 yhtälöparista { C 1 e r1x0 + C 2 e r2x0 = A (6.27) C 1 r 1 e r 1x 0 + C 2 r 2 e r 2x 0 = B. Yhtälöparin determinantti on (6.28) e r1x0 r 2 e r2x0 r 1 e r1x0 e r2x0 = (r 2 r 1 )e (r1+r2)x0 0, joten sillä on täsmälleen yksi ratkaisu. (b) ja (c) todistetaan samaan tapaan. (3) Yksikäsitteisyys. Yksinkertaistamme tarkasteltavaa differentiaaliyhtälöä seuraavalla havainnolla: Olkoon (6.29) y(x) = u(x)e a 2 x. Tällöin y on DY:n (6.30) y (x) + ay (x) + by(x) = 0 ratkaisu, jos ja vain jos u on DY:n (6.31) u (x) + 4b a2 u(x) = 0 4

4 54 JOUNI PARKKONEN ratkaisu (Harjoitus). Yksinkertaistamalla merkintöjä määrittelemällä 4b a2 (6.32) V = 4 päädymme tarkastelemaan differentiaaliyhtälöä (6.33) u (x) + V u(x) = 0. Osoitamme, että differentiaaliyhtälön (6.33) alkuarvotehtävällä on yksikäsitteinen ratkaisu. (Alkuarvot eivät ole samat kuin tehtävässä (6.25), mutta ne riippuvat alkuperäisistä bijektiivisesti: u(x 0 ) = Ae a 2 x0, u (x 0 ) = (B + a 2 )e a 2 x0.) Olkoot f ja g kaksi DY:n (6.33) ratkaisua, joille f(x 0 ) = g(x 0 ) ja f (x 0 ) = g (x 0 ). Olkoon h = f g. Tällön h on Lauseen 6.3 nojalla AAT:n u (x) + V u(x) = 0 (6.34) u(x 0 ) = 0 u (x 0 ) = 0 ratkaisu. Osoitamme, että h(x) = 0 kaikilla x R. Koska h toteuttaa DY:n (6.35) h (x) = V h(x), niin myös h on jatkuvasti derivoituva. Induktiolla saamme, että h C (R), ja kaikki derivaatat saadaan DY:stä (6.35) derivoimalla. Niinpä (6.36) h (3) (x) = V h (x) h (4) (x) =( V ) 2 h (x). h (2n 1) (x) =( V ) n 1 h (x) h (2n) (x) =( V ) n h(x). Erityisesti, koska h(x 0 ) = 0 = h (x 0 ), kaikki h:n derivaatat ovat nollia pisteessä x 0. Siis h:n Taylorin sarja x 0 :ssa on (6.37) T,x0 h(x) = 0. Pitää vielä osoittaa, että Taylorin sarja suppenee kohti h:ta kaikilla x. Taylorin kaavan (Lause 2.5) mukaan (6.38) h(x) = T 2n 1,x0 h(x) + R 2n 1,x0 h(x) = R 2n 1,x0 h(x). Olkoon s > 0. Koska h on jatkuva, on M > 0 siten, että h(x) < M kaikilla x [x 0 s, x 0 + s]. Siis (6.36):n nojalla (6.39) h (2n) (x) < ( V ) n h(x) V n M x [x 0 s, x 0 + s]. Lauseen 4.22 todistusta kopioiden (6.40) h(x) = R 2n 1,x0 h(x) (2.26) = h (2n) (ξ) (x x 0 ) 2n V n Ms 2n n 0. (2n)! (2n)! Siis h(x) = 0 kaikilla x [x 0 s, x 0 +s]. Koska s voi olla miten suuri vain, h(x) = 0 kaikilla x R. Siis f = g. Tämä osoittaa, että AAT:llä (6.25) on täsmälleen yksi ratkaisu. Esimerkki 6.8. Ratkaisemme alkuarvotehtävän y (x) + 2y (x) + 2y(x) = 0 (6.41) y(0) = 0 y (0) = 1.

5 SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT Kuva 14. Sinifunktion, funktion x e x ja Esimerkin 6.8 ratkaisun y kuvaajat välillä ] 5, 10[. Karakteristinen polynomi on r 2 + 2r + 2 = (r + 1) kaikilla x R, joten sillä ei ole reaalisia juuria. Siis perusratkaisut ovat u 1 (x) = e x cos(x) ja u 2 (x) = e x sin(x). Alkuarvot: y(0) = C 1 e 0 cos 0 + C 2 e 0 sin 0 = C 1 = 0 (6.42) y ( (0) =C 1 e 0 cos 0 e 0 sin 0 ) ( + C 2 e 0 sin 0 + e 0 cos 0 ) =C 1 + C 2 = 1. Siis C 1 = 0 ja C 2 = 1. Alkuarvotehtävän ratkaisu on (6.43) y(x) = e x sin(x). Seuraavaksi todistamme, että epähomogeenisella toisen kertaluvun lineaarisella vakiokertoimisella differentiaaliyhtälöllä on ainakin yksi ratkaisu. Tämän tuloksen ja Lauseen 6.6 avulla todistamme OY-lauseen epähomogeenisessa tapauksessa. Lause 6.9. Olkoon q :]c, d[ R jatkuva. Olkoot u 1 ja u 2 DY:n (6.44) y (x) + ay (x) + by(x) = 0 perusratkaisut. Olkoot (6.45) W = u 1 u 2 u 1u 2 ja (6.46) Funktio t 1 (x) = u 2 (t) q(t) W (t) dt t 2 (x) = u 1 (t) q(t) W (t) dt. (6.47) y 0 = t 1 u 1 + t 2 u 2 on DY:n (6.48) y (x) + ay (x) + by(x) = q(x) ratkaisu.

6 56 JOUNI PARKKONEN Todistus. y 0 + ay 0 + by 0 =t 1 u 1 + t 2 u 2 + (t 1u 1 + t 2u 2) + (t 1u 1 + t 2u 2 ) + a ((t 1 u 1 + t 2 u 2) + (t 1u 1 + t 2u 2 )) + b(t 1 u 1 + t 2 u 2 ) (6.49) =t 1u 1 + t 2u 2 = u 2 q W u 1 + u 1 q W u 2 = u 1u 2 u 2 u 1 q = q, W koska u 1 ja u 2 ovat homogeeniyhtälön ratkaisuja ja (6.50) t 1u 1 + t q 2u 2 = u 2 W u q 1 + u 1 W u 2 = 0. Lause 6.10 (OY-lause). Olkoon q :]c, d[ R jatkuva, ja olkoon x 0 ]c, d[. Alkuarvotehtävällä y (x) + ay (x) + by(x) = q(x) (6.51) y(x 0 ) = A y (x 0 ) = B on täsmälleen yksi ratkaisu. Ratkaisu on muotoa (6.52) y = C 1 u 1 + C 2 u 2 + y 0, missä u 1 ja u 2 ovat DY:n (6.53) y (x) + ay (x) + by(x) = 0 perusratkaisut ja y 0 on jokin DY:n (6.51) ratkaisu. Todistus. (1) Lauseen 6.9 mukaan DY:llä (6.51) on ratkaisu y 0. (2) Alkuarvotehtävällä y (x) + ay (x) + by(x) = 0 (6.54) y(x 0 ) = A y 0 (x 0 ) y (x 0 ) = B y 0(x 0 ) on Lauseen 6.6 nojalla ratkaisu y 1. Lauseen 6.3 nojalla ja laskemalla alkuarvot yhteen huomaamme, että funktio y = y 0 + y 1 on AAT:n (6.51) ratkaisu. (3) Olkoot h ja g kaksi AAT:n (6.51) ratkaisua. Tällöin funktio h = f g on AAT:n y (x) + ay (x) + by(x) = 0 (6.55) y(x 0 ) = 0 y (x 0 ) = 0 ratkaisu. Lauseen 6.6 todistus osoittaa, että h = 0, joten f = g. Esimerkki (a) Ratkaisemme DY:n (6.56) y (x) + y(x) = 1 cos(x), π 2 < x < π 2 Lauseiden 6.9 ja 6.10 avulla. Vastaavan homogeenisen DY:n perusratkaisut ovat u 1, u 2 : R R, u 1 (x) = cos(x) ja u 2 (x) = sin(x). Tässä tapauksessa W (x) = 1 kaikilla x, joten 1 (6.57) t 1 (x) = sin(t) dt = log(cos(x)) cos(t)

7 SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT ja 1 (6.58) t 2 (x) = cos(t) dt = x. cos(t) DY:n (6.56) kaikki ratkaisut ovat siis muotoa (6.59) y(x) = C 1 cos(x) + C 2 sin(x) + cos(x) log(cos(x)) + x sin(x). Etsimme vielä ratkaisun, joka toteuttaa ehdot y(0) = 1 ja y (0) = 0. Nyt (6.60) y (x) = C 1 sin(x)+c 2 cos(x) sin(x) log(cos(x)) sin(x)+x cos(x)+sin(x). Saamme siis (6.61) Alkuehdot toteuttava ratkaisu on y(0) = C 1 = 1 y (0) = C 2 = 0. (6.62) y(x) = cos(x) + cos(x) log(cos(x)) + x sin(x). (b) Tämä esimerkki osoittaa, että alkuarvotehtävästä yleistetyllä tehtävällä, jossa ratkaisun ja sen derivaatan arvo kiinnitetään eri pisteissä, ei aina ole ratkaisua: Tarkastelemme tehtävää y (x) + y(x) = 0 (6.63) y(0) = 0 y ( π 2 ) = 1. Differentiaaliyhtälön (6.63) ratkaisut ovat muotoa y(x) = C 1 cos(x) + C 2 sin(x). Alkuarvoista saamme y(0) = C 1, joten C 1 = 0. Siis y (x) = C 2 cos(x), joten y ( π 2 ) = 0 kaikilla C 2. Siis tehtävällä (6.63) ei ole ratkaisua. Kokeilu on joskus hyvä tapa etsiä ratkaisua toisen kertaluvun vakiokertoimiselle epähomogeeniselle lineariselle DY:lle kuten ensimmäisen kertaluvun tapauksessakin. Seuraava tulos antaa joukon reseptejä Lause (a) Jos q(x) on polynomi, niin DY:llä (6.25) on polynomiratkaisu. (b) Jos q(x) = Ae cx ja (1) c ei ole karakteristisen polynomin juuri, niin (6.64) y 0 (x) = Ke cx on DY:n (6.25) ratkaisu. (2) c on karakteristisen polynomin yksinkertainen juuri, niin (6.65) y 0 (x) = Kxe cx on DY:n (6.25) ratkaisu. (3) c on karakteristisen polynomin kaksinkertainen juuri, niin (6.66) y 0 (x) = Kx 2 e cx on DY:n (6.25) ratkaisu. (c)jos q(x) = A sin(kx) (tai q(x) = B cos(kx)) ja (1) (a 0 tai b k 2 ), niin (6.67) y 0 (x) = K cos(kx) + L sin(kx) on DY:n (6.25) ratkaisu.

8 58 JOUNI PARKKONEN (2) (a = 0 ja b = k 2 ), niin (6.68) y 0 (x) = A 2k x cos(kx) (tai (6.69) y 0 (x) = B x sin(kx) ). 2k on DY:n (6.25) ratkaisu. Todistus. Todistamme ainoastaan kohdan (c)(2) tapauksen, jossa q(x) = A sin(kx). Olkoon (6.70) y(x) = Cx cos(kx). Tällöin (6.71) y (x) = C ( k 2 x cos(kx) 2k sin(kx) ). Siis (6.72) y (x) + k 2 y(x) = 2Ck sin(kx) = A sin(kx) C = A 2k. Muut tapaukset todistetaan samaan tapaan (Harjoitus). Esimerkki (a) Differentiaaliyhtälöä (6.73) y (x) + y(x) = cos(x) vastaavan homogeeniyhtälön perusratkaisut ovat u 1 (x) = cos(x) ja u 2 (x) = sin(x). Lauseen 6.12 mukaisesti kokeilemme ratkaisuksi funktiota y 0 : R R, (6.74) y 0 (x) = Cx sin(x). Nyt (6.75) y 0(x) = C(sin(x) + x cos(x)) ja (6.76) y 0 (x) = C(2 cos(x) x sin(x)). Siis (6.77) y 0 (x) + y 0 (x) = 2C cos(x) Cx sin(x) + Cx sin(x) = 2C cos(x) = cos(x), jos ja vain jos C = 1 2. Siis DY:n yleinen ratkaisu on (6.78) y(x) = C 1 cos(x) + C 2 sin(x) + x 2 sin(x). Etsimme vielä alkuarvotehtävän y (x) + y(x) = cos(x) (6.79) y(0) = 0 y (0) = 1 ratkaisun. Alkuehdosta y(0) = 0 saamme C 1 = 0. Kun otamme tämän huomioon, saamme (6.80) y (x) = C 2 cos(x) + x 2 cos(x) sin(x), joten ehdosta y (0) = 1 saamme C 2 = 1. Siis alkuehdot toteuttava ratkaisu on (6.81) y(x) = sin(x) + x 2 sin(x). (b) Selvästi funktio y 1 : R R, y 1 (x) = x on DY:n (6.82) y (x) + y(x) = x

9 SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT Kuva 15. Esimerkin 6.13(a) alkuarvotehtävän ratkaisu välillä [ 5π, 5π]. ratkaisu. Lauseen 6.3 nojalla funktio y 2 = y 0 + y 1, siis (6.83) y 2 (x) = x + x 2 sin(x), on DY:n (6.84) y (x) + y(x) = x + cos(x) ratkaisu. Kaikki ratkaisut ovat muotoa (6.85) y(x) = C 1 cos(x) + C 2 sin(x) + x + x 2 sin(x). Emme käsittele jatkuvakertoimisia lineaarisia differentiaaliyhtälöitä kovin laajasti. Seuraava tulos on kuitenkin hyvä osata: Lause Olkoon y 1 0 differentiaaliyhtälön (6.86) y (x) + p(x)y (x) + q(x)y(x) = 0 ratkaisu. Jos v on differentiaaliyhtälön (6.87) y 1 (x)v (x) + (2y 1(x) + p(x)y 1 (x))v (x) = 0 ratkaisu, niin y 2 = vy 1 on differentiaaliyhtälön (6.86) ratkaisu. Todistus. Sijoitamme funktion y 2 = vy 1 differentiaaliyhtälöön (6.86): (6.88) Väite seuraa tästä. y 2 + py 2 + qy 2 =v(y 1 + py 1 + qy 1 ) + v (2y 1 + py 1 ) + v y 1 =v y 1 + (2y 1 + py 1 )v. Jos tunnemme yhden DY:n (6.86) ratkaisun, saamme aina toisen ratkaisemalla DY:n (6.87). DY (6.87) on helppo ratkaista: Se on ensimmäisen kertaluvun lineaarinen DY v :lle. v saadaan siis Lauseen 5.5 kaavalla, ja kun se tunnetaan, v saadaan integroimalla. Lauseen 6.14 menetelmää kutsutaankin kertaluvun pudottamiseksi (d Alembert 1700-luvulla). Esimerkki Arvaamalla tai kokeilemalla huomaamme, että funktio y 1 (x) = x on DY:n (6.89) x 2 y (x) + 2xy (x) 2y(x) = 0

10 60 JOUNI PARKKONEN ratkaisu. Etsimme toisen ratkaisun muodossa (6.90) y 2 (x) = v(x)y 1 (x) = xv(x) Lauseen 6.14 mukaisesti. Rajoitumme ensin tarkastelemaan DY:tä (6.89) joukossa ]0, [, jolloin se on ekvivalentti DY:n (6.91) y (x) + 2 x y (x) 2 x 2 y(x) = 0 kanssa. On siis ratkaistava v DY:stä (6.92) xv (x) + 4v (x) = 0. Lause 5.5 antaa ratkaisut v (x) = Cx 4, C R. Tästä saamme v:n integroimalla. Koska yksi ratkaisu riittää, valitsemme v(x) = x 3. Siis funktio (6.93) y 2 (x) = xv(x) = x 2 on DY:n (6.89) ratkaisu, kun x > 0. Lauseen 6.3 nojalla tiedämme, että kaikki funktiot (6.94) y(x) = C 1 x + C 2 x 2, ovat DY:n (6.89) ratkaisuja, kun x > 0. C,C 2 R Huomautus Lauseen 6.14 kaavaa ei tarvitse muistaa. Riittää muistaa, että ratkaisua etsitään muodossa y 2 = y 1 v, DY (6.92) seuraa sijoittamalla tämä lauseke alkuperäiseen yhtälöön. Lauseiden 5.5 ja 6.9 kaavat voi johtaa Lauseen 6.14 tyyliin. Menetelmää kutsutaan vakion varioinniksi: DY:n (6.95) y (x) + p(x)y(x) = q(x) ratkaisu saadaan kokeilemalla funktiota (6.96) y 0 (x) = u(x)c(x), missä u(x) = e P (x) on vastaavan homogeeniyhtälön ratkaisu. DY:n (6.97) y (x) + ay (x) + by(x) = q(x) ratkaisu saadaan kokeilemalla funktiota (6.98) y 0 (x) = u 1 (x)c 1 (x) + u 2 (x)c 2 (x), missä u 1 ja u 2 ovat vastaavan homogeeniyhtälön perusratkaisut. Kun nämä lausekkeet sijoitetaan tarkasteltavaan differentiaaliyhtälöön, saadaan ensimmäisen kertaluvun tapauksessa DY (6.99) C (x)u(x) = q(x), joka on helppo ratkaista integroimalla, ja toisen kertaluvun tapauksessa DY-pari { C (6.100) 1(x)u 1 (x) + C 2(x)u 2 (x) = 0 C 1(x)u 1(x) + C 2(x)u 2(x) = q(x), josta ratkaisemalla saadaan Lauseen 6.9 kaavat. Department of Mathematics and Statistics, P.O. Box 35, University of Jyväskylä, Finland address:

SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT

SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 43 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Kuva 12. Esimerkin 4.26(c kuvauksen

Lisätiedot

y (0) = 0 y h (x) = C 1 e 2x +C 2 e x e10x e 3 e8x dx + e x 1 3 e9x dx = e 2x 1 3 e8x 1 8 = 1 24 e10x 1 27 e10x = e 10x e10x

y (0) = 0 y h (x) = C 1 e 2x +C 2 e x e10x e 3 e8x dx + e x 1 3 e9x dx = e 2x 1 3 e8x 1 8 = 1 24 e10x 1 27 e10x = e 10x e10x BM0A5830 Differentiaaliyhtälöiden peruskurssi Harjoitus 4, Kevät 017 Päivityksiä: 1. Ratkaise differentiaaliyhtälöt 3y + 4y = 0 ja 3y + 4y = e x.. Ratkaise DY (a) 3y 9y + 6y = e 10x (b) Mikä on edellisen

Lisätiedot

3 TOISEN KERTALUVUN LINEAARISET DY:T

3 TOISEN KERTALUVUN LINEAARISET DY:T 3 TOISEN KERTALUVUN LINEAARISET DY:T Huomautus epälineaarisista. kertaluvun differentiaaliyhtälöistä Epälineaarisen DY:n ratkaisemiseen ei ole yleismenetelmää. Seuraavat erikoistapaukset voidaan ratkaista

Lisätiedot

3 Toisen kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt

3 Toisen kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt 3 Toisen kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt 3.1 Homogeeniset lineaariset differentiaaliyhtälöt Toisen kertaluvun differentiaaliyhtälö on lineaarinen, jos se voidaan kirjoittaa muotoon Jos r(x)

Lisätiedot

Harjoitus Etsi seuraavien autonomisten yhtälöiden kriittiset pisteet ja tutki niiden stabiliteettia:

Harjoitus Etsi seuraavien autonomisten yhtälöiden kriittiset pisteet ja tutki niiden stabiliteettia: Differentiaaliyhtälöt, Kesä 216 Harjoitus 2 1. Etsi seuraavien autonomisten yhtälöiden kriittiset pisteet ja tutki niiden stabiliteettia: (a) y = (2 y) 3, (b) y = (y 1) 2, (c) y = 2y y 2. 2. Etsi seuraavien

Lisätiedot

Matematiikka B3 - Avoin yliopisto

Matematiikka B3 - Avoin yliopisto 2. heinäkuuta 2009 Opetusjärjestelyt Luennot 9:15-11:30 Harjoitukset 12:30-15:00 Tentti Lisäharjoitustehtävä Kurssin sisältö (1/2) 1. asteen Differentiaali yhtälöt (1.DY) Separoituva Ratkaisukaava Bernoyulli

Lisätiedot

Lineaarinen toisen kertaluvun yhtälö

Lineaarinen toisen kertaluvun yhtälö Lineaarinen toisen kertaluvun yhtälö Keijo Ruotsalainen Mathematics Division Lineaarinen toisen kertaluvun differentiaaliyhtälö Toisen kertaluvun täydellinen lineaarinen yhtälö muotoa p 2 (x)y + p 1 (x)y

Lisätiedot

4 Korkeamman kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt

4 Korkeamman kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt 4 Korkeamman kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt 4.1 Homogeeniset lineaariset differentiaaliyhtälöt Homogeeninen yhtälö on muotoa F(x, y,, y (n) ) = 0. (1) Yhtälö on lineaarinen, jos se voidaan

Lisätiedot

MS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 11: Lineaarinen differentiaaliyhtälö

MS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 11: Lineaarinen differentiaaliyhtälö MS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 11: Lineaarinen differentiaaliyhtälö Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos

Lisätiedot

y = 3x2 y 2 + sin(2x). x = ex y + e y2 y = ex y + 2xye y2

y = 3x2 y 2 + sin(2x). x = ex y + e y2 y = ex y + 2xye y2 Matematiikan ja tilastotieteen osasto/hy Differentiaaliyhtälöt I Laskuharjoitus 2 mallit Kevät 219 Tehtävä 1. Laske osittaisderivaatat f x = f/x ja f y = f/, kun f = f(x, y) on funktio a) x 2 y 3 + y sin(2x),

Lisätiedot

y + 4y = 0 (1) λ = 0

y + 4y = 0 (1) λ = 0 Matematiikan ja tilastotieteen osasto/hy Differentiaaliyhtälöt I Laskuharjoitus 6 mallit Kevät 2019 Tehtävä 1. Ratkaise yhtälöt a) y + 4y = x 2, b) y + 4y = 3e x. Ratkaisu: a) Differentiaaliyhtälön yleinen

Lisätiedot

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Differentiaaliyhtälöt, osa 1 Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 20 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 6. viikolle /

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 6. viikolle / Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 6. viikolle / 16. 18.5. Lineaariset differentiaaliyhtälöt, homogeeniset differentiaaliyhtälöt Tehtävä 1: a) Määritä differentiaaliyhtälön y 3y = 14e 4x

Lisätiedot

a 1 y 1 (x) + a 2 y 2 (x) = 0 vain jos a 1 = a 2 = 0

a 1 y 1 (x) + a 2 y 2 (x) = 0 vain jos a 1 = a 2 = 0 6. Lineaariset toisen kertaluvun yhtälöt Toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöt ovat tuntuvasti hankalampia ratkaista kuin ensimmäinen. Käsittelemmekin tässä vain tärkeintä erikoistapausta, toisen kertaluvun

Lisätiedot

Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä

Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä 1 MAT-1345 LAAJA MATEMATIIKKA 5 Tampereen teknillinen yliopisto Risto Silvennoinen Kevät 9 Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä Yksi tavallisimmista luonnontieteissä ja tekniikassa

Lisätiedot

4 Korkeamman kertaluvun differentiaaliyhtälöt

4 Korkeamman kertaluvun differentiaaliyhtälöt Differentiaaliyhtälöt c Pekka Alestalo 2015 Tässä monisteessa käydään läpi tavallisiin differentiaaliyhtälöihin liittyviä peruskäsitteitä ja ratkaisuperiaatteita. Luennolla lasketaan esimerkkitehtäviä

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D, laskuharjoituksien esimerkkiratkaisut

Insinöörimatematiikka D, laskuharjoituksien esimerkkiratkaisut Insinöörimatematiikka D, 5.4.06 5. laskuharjoituksien esimerkkiratkaisut. Etsitään homogeenisen vakiokertoimisen lineaarisen differentiaaliyhtälön kaikki ratkaisut (reaalisessa muodossa). y (5) +4y (4)

Lisätiedot

Dierentiaaliyhtälöistä

Dierentiaaliyhtälöistä Dierentiaaliyhtälöistä Markus Kettunen 17. maaliskuuta 2009 1 SISÄLTÖ 1 Sisältö 1 Dierentiaaliyhtälöistä 2 1.1 Johdanto................................. 2 1.2 Ratkaisun yksikäsitteisyydestä.....................

Lisätiedot

Mat Matematiikan peruskurssi K2

Mat Matematiikan peruskurssi K2 Mat-.3 Matematiikan peruskurssi K Heikkinen/Tikanmäki Kolmas välikoe 6.5. Kokeessa saa käyttää ylioppilaskirjoituksiin hyväksyttyä laskinta. Sivun kääntöpuolelta löytyy integrointikaavoja.. Olkoon F(x,

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö

Lisätiedot

Osoita, että eksponenttifunktio ja logaritmifunktio ovat differentiaaliyhtälön

Osoita, että eksponenttifunktio ja logaritmifunktio ovat differentiaaliyhtälön 3. Lineaariset differentiaaliyhtälöt 3.1. Lineaariyhtälöiden teoriaa 99. Onko differentiaaliyhtälö y + x(y y )=y + 1 a) lineaarinen, b) homogeeninen? 100. Olkoot funktiot f (x) ja g(x) jatkuvasti derivoituvia

Lisätiedot

2. kl:n DY:t. Lause. Yleisesti yhtälöllä ẍ = f(ẋ, x, t) on (sopivin oletuksin) aina olemassa 1-käs. ratkaisu. (ẋ dx/dt, ẍ d 2 x/dt 2.

2. kl:n DY:t. Lause. Yleisesti yhtälöllä ẍ = f(ẋ, x, t) on (sopivin oletuksin) aina olemassa 1-käs. ratkaisu. (ẋ dx/dt, ẍ d 2 x/dt 2. 2. kl:n DY:t Yleisesti yhtälöllä ẍ = f(ẋ, x, t) on (sopivin oletuksin) aina olemassa 1-käs. ratkaisu. (ẋ dx/dt, ẍ d 2 x/dt 2.) Lause Olkoon f(x 2, x 1, t) funktio, ja oletetaan, että f, f/ x 1 ja f/ x

Lisätiedot

4. Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä

4. Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä 1 Laaja matematiikka 5 Kevät 010 4. Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä Yksi tavallisimmista luonnontieteissä ja tekniikassa esiintyvistä matemaattisista malleista on differentiaaliyhtälö.

Lisätiedot

Matemaattinen Analyysi

Matemaattinen Analyysi Vaasan yliopisto, syksy 2016 / ORMS1010 Matemaattinen Analyysi 8. harjoitus, viikko 49 R1 to 12 14 F453 (8.12.) R2 to 14 16 F345 (8.12.) R3 ke 8 10 F345 (7.11.) 1. Määritä funktion f (x) = 1 Taylorin sarja

Lisätiedot

Esimerkki: Tarkastellaan korkeudella h ht () putoavaa kappaletta, jonka massa on m (ks. kuva).

Esimerkki: Tarkastellaan korkeudella h ht () putoavaa kappaletta, jonka massa on m (ks. kuva). 6 DIFFERENTIAALIYHTÄLÖISTÄ Esimerkki: Tarkastellaan korkeudella h ht () putoavaa kappaletta, jonka massa on m (ks. kuva). Newtonin II:n lain (ma missä Yhtälö dh dt m dh dt F) mukaan mg, on kiihtyvyys ja

Lisätiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 5. viikolle /

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 5. viikolle / MS-A8 Differentiaali- ja integraalilaskenta, V/7 Differentiaali- ja integraalilaskenta Ratkaisut 5. viikolle / 9..5. Integroimismenetelmät Tehtävä : Laske osittaisintegroinnin avulla a) π x sin(x) dx,

Lisätiedot

10. Toisen kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt

10. Toisen kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt 37. Toisen kertaluvun lineaariset differentiaalihtälöt Tarkastelemme muotoa () ( x) + a( x) ( x) + a( x) ( x) = b( x) olevia htälöitä, missä kerroinfunktiot ja oikea puoli ovat välillä I jatkuvia. Edellisen

Lisätiedot

Normaaliryhmä. Toisen kertaluvun normaaliryhmä on yleistä muotoa

Normaaliryhmä. Toisen kertaluvun normaaliryhmä on yleistä muotoa Normaaliryhmä Toisen kertaluvun normaaliryhmä on yleistä muotoa x = u(t,x,y), y t I, = v(t,x,y), Funktiot u = u(t,x,y), t I ja v = v(t,x,y), t I ovat tunnettuja Toisen kertaluvun normaaliryhmän ratkaisu

Lisätiedot

Dierentiaaliyhtälöistä

Dierentiaaliyhtälöistä Dierentiaaliyhtälöistä Markus Kettunen 14. helmikuuta 2011 1 SISÄLTÖ 1 Sisältö 1 Dierentiaaliyhtälöistä 2 1.1 Johdanto................................. 2 1.2 Ratkaisun olemassaolosta ja yksikäsitteisyydestä...........

Lisätiedot

Dierentiaaliyhtälöistä

Dierentiaaliyhtälöistä Dierentiaaliyhtälöistä Markus Kettunen 4. maaliskuuta 2009 1 SISÄLTÖ 1 Sisältö 1 Dierentiaaliyhtälöistä 2 1.1 Johdanto................................. 2 1.2 Ratkaisun yksikäsitteisyydestä.....................

Lisätiedot

MS-A Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (CHEM) Harjoitus 6 loppuviikko

MS-A Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (CHEM) Harjoitus 6 loppuviikko MS-A0107 - Differentiaali- integraalilaskenta 1 (CHEM) Harjoitus 6 loppuviikko 1 Tehtävä Etsi seuraavien yhtälöiden yleiset ratkaisut: Ratkaisu: a) y y 2y = 4x, b) y + 4y = sin 3x, c) y + 2y + 5y = e x

Lisätiedot

Kompleksiluvun logaritmi: Jos nyt z = re iθ = re iθ e in2π, missä n Z, niin saadaan. ja siihen vaikuttava

Kompleksiluvun logaritmi: Jos nyt z = re iθ = re iθ e in2π, missä n Z, niin saadaan. ja siihen vaikuttava Kompleksiluvun logaritmi: ln z = w z = e w Jos nyt z = re iθ = re iθ e inπ, missä n Z, niin saadaan w = ln z = ln r + iθ + inπ, n Z Logaritmi on siis äärettömän moniarvoinen funktio. Helposti nähdään että

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

13. Ratkaisu. Kirjoitetaan tehtävän DY hieman eri muodossa: = 1 + y x + ( y ) 2 (y )

13. Ratkaisu. Kirjoitetaan tehtävän DY hieman eri muodossa: = 1 + y x + ( y ) 2 (y ) MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Differentiaaliyhtälöt, kesä 00 Tehtävät 3-8 / Ratkaisuehdotuksia (RT).6.00 3. Ratkaisu. Kirjoitetaan tehtävän DY hieman eri muodossa: y = + y + y = + y + ( y ) (y

Lisätiedot

a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. 8 3 + 4 2 0 = 16 3 = 3 1 3.

a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. 8 3 + 4 2 0 = 16 3 = 3 1 3. Integraalilaskenta. a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. b) Mitä määrätty integraali tietyllä välillä x tarkoittaa? Vihje: * Integraali * Määrätyn integraalin

Lisätiedot

Matemaattinen Analyysi

Matemaattinen Analyysi Vaasan yliopisto, kevät 01 / ORMS1010 Matemaattinen Analyysi. harjoitus, viikko 1 R1 ke 1 16 D11 (..) R to 10 1 D11 (..) 1. Määritä funktion y(x) MacLaurinin sarjan kertoimet, kun y(0) = ja y (x) = (x

Lisätiedot

1 Peruskäsitteet. Dierentiaaliyhtälöt

1 Peruskäsitteet. Dierentiaaliyhtälöt Teknillinen korkeakoulu Matematiikka Dierentiaaliyhtälöt Alestalo Tässä monisteessa käydään läpi tavallisiin dierentiaaliyhtälöihin liittyviä peruskäsitteitä ja ratkaisuperiaatteita. Esimerkkejä luennoilla

Lisätiedot

MATP153 Approbatur 1B Harjoitus 5 Maanantai

MATP153 Approbatur 1B Harjoitus 5 Maanantai MATP153 Approbatur 1B Harjoitus 5 Maanantai 30.11.015 1. (Opiskelutet. 0 s. 81.) Selvitä, miten lauseke sin(4x 3 + cos x ) muodostuu perusfunktioista (polynomeista, trigonometrisistä funktioista jne).

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö

Lisätiedot

Osa 11. Differen-aaliyhtälöt

Osa 11. Differen-aaliyhtälöt Osa 11. Differen-aaliyhtälöt Differen-aaliyhtälö = yhtälö jossa esiintyy jonkin funk-on derivaa

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kertausluento 2. välikokeeseen Toisessa välikokeessa on syytä osata ainakin seuraavat asiat:. Potenssisarjojen suppenemissäde, suppenemisväli ja suppenemisjoukko. 2. Derivaatan

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 10: Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 10: Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 10: Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos

Lisätiedot

Ratkaisu: Tutkitaan derivoituvuutta Cauchy-Riemannin yhtälöillä: f(x, y) = u(x, y) + iv(x, y) = 2x + ixy 2. 2 = 2xy xy = 1

Ratkaisu: Tutkitaan derivoituvuutta Cauchy-Riemannin yhtälöillä: f(x, y) = u(x, y) + iv(x, y) = 2x + ixy 2. 2 = 2xy xy = 1 1. Selvitä missä tason pisteissä annetut funktiot ovat derivoituvia/analyyttisiä. Määrää funktion derivaatta niissä pisteissä, joissa se on olemassa. (a) (x, y) 2x + ixy 2 (b) (x, y) cos x cosh y i sin

Lisätiedot

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1.

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Kotitehtävät, tammikuu 2011 Vaikeampi sarja 1. Ratkaise yhtälöryhmä w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Ratkaisu. Yhtälöryhmän ratkaisut (w, x, y, z)

Lisätiedot

Matematiikan peruskurssi (MATY020) Harjoitus 10 to

Matematiikan peruskurssi (MATY020) Harjoitus 10 to Matematiikan peruskurssi (MATY00) Harjoitus 10 to 6.3.009 1. Määrää funktion f(x, y) = x 3 y (x + 1) kaikki ensimmäisen ja toisen kertaluvun osittaisderivaatat. Ratkaisu. Koska f(x, y) = x 3 y x x 1, niin

Lisätiedot

x j x k Tällöin L j (x k ) = 0, kun k j, ja L j (x j ) = 1. Alkuperäiselle interpolaatio-ongelmalle saadaan nyt ratkaisu

x j x k Tällöin L j (x k ) = 0, kun k j, ja L j (x j ) = 1. Alkuperäiselle interpolaatio-ongelmalle saadaan nyt ratkaisu 2 Interpolointi Olkoon annettuna n+1 eri pistettä x 0, x 1, x n R ja n+1 lukua y 0, y 1,, y n Interpoloinnissa etsitään funktiota P, joka annetuissa pisteissä x 0,, x n saa annetut arvot y 0,, y n, (21)

Lisätiedot

MATP153 Approbatur 1B Ohjaus 2 Keskiviikko torstai

MATP153 Approbatur 1B Ohjaus 2 Keskiviikko torstai MATP15 Approbatur 1B Ohjaus Keskiviikko 4.11. torstai 5.11.015 1. (Opiskeluteht. 6 s. 0.) Määritä sellainen vakio a, että polynomilla x + (a 1)x 4x a on juurena luku x = 1. Mitkä ovat tällöin muut juuret?.

Lisätiedot

BM20A0900, Matematiikka KoTiB3

BM20A0900, Matematiikka KoTiB3 BM20A0900, Matematiikka KoTiB3 Luennot: Matti Alatalo Oppikirja: Kreyszig, E.: Advanced Engineering Mathematics, 8th Edition, John Wiley & Sons, 1999, luvut 1 4. 1 Sisältö Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälöt

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö

Lisätiedot

Matemaattinen Analyysi

Matemaattinen Analyysi Vaasan yliopisto, 009-010 / ORMS1010 Matemaattinen Analyysi 7 harjoitus 1 Määritä seuraavien potenssisarjojen suppenemissäteet a) k k x 5)k b) k=1 k x 5)k = k k 1) k ) 1) Suppenemissäteen R käänteisarvo

Lisätiedot

3 = Lisäksi z(4, 9) = = 21, joten kysytty lineaarinen approksimaatio on. L(x,y) =

3 = Lisäksi z(4, 9) = = 21, joten kysytty lineaarinen approksimaatio on. L(x,y) = BM20A5810 Differentiaalilaskenta ja sovellukset Harjoitus 6, Syksy 2016 1. (a) Olkoon z = z(x,y) = yx 1/2 + y 1/2. Muodosta z:lle lineaarinen approksimaatio L(x,y) siten että approksimaation ja z:n arvot

Lisätiedot

5 DIFFERENTIAALIYHTÄLÖRYHMÄT

5 DIFFERENTIAALIYHTÄLÖRYHMÄT 5 DIFFERENTIAALIYHTÄLÖRYHMÄT 5. Ensimmäisen kl:n DY-ryhmät Differentiaaliyhtälöryhmiä tarvitaan useissa sovelluksissa. Useimmat voidaan mallintaa ensimmäisen kertaluvun DY-ryhmien avulla. Ensimmäisen kl:n

Lisätiedot

Epähomogeenisen yhtälön ratkaisu

Epähomogeenisen yhtälön ratkaisu Epähomogeenisen yhtälön ratkaisu Lause Olkoot a = a(x), b = b(x) ja f = f(x) jatkuvia funktioita välillä I R ja olkoot y 1 = y 1 (x) ja y 2 = y 2 (x) eräs homogeeniyhtälön y + a(x)y + b(x)y = 0 ratkaisujen

Lisätiedot

Luku 4. Derivoituvien funktioiden ominaisuuksia.

Luku 4. Derivoituvien funktioiden ominaisuuksia. 1 MAT-1343 Laaja matematiikka 3 TTY 1 Risto Silvennoinen Luku 4 Derivoituvien funktioiden ominaisuuksia Derivaatan olemassaolosta seuraa funktioille eräitä säännöllisyyksiä Näistä on jo edellisessä luvussa

Lisätiedot

Differentiaaliyhtälöt I Ratkaisuehdotuksia, 2. harjoitus, kevät Etsi seuraavien yhtälöiden yleiset ratkaisut (Tässä = d

Differentiaaliyhtälöt I Ratkaisuehdotuksia, 2. harjoitus, kevät Etsi seuraavien yhtälöiden yleiset ratkaisut (Tässä = d Differentiaaliyhtälöt I Ratkaisuehdotuksia,. harjoitus, kevät 016 1. Etsi seuraavien yhtälöiden yleiset ratkaisut (Tässä = d dx ): (a) y + xy = xe x, (b) (1 + x ) y xy = (1 + x ), (c) y sin x y = 1 cos

Lisätiedot

MS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 10: Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö

MS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 10: Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö MS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 10: Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin

Lisätiedot

Matemaattinen Analyysi

Matemaattinen Analyysi Vaasan yliopisto, 009-010 / ORMS1010 Matemaattinen Analyysi 8. harjoitus 1. Ratkaise y + y + y = x. Kommentti: Yleinen työlista ratkaistaessa lineaarista, vakiokertoimista toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöä

Lisätiedot

Diskreetti derivaatta

Diskreetti derivaatta Diskreetti derivaatta LuK-tutkielma Saara Sadinmaa 43571 Matemaattisten tieteiden koulutusohjelma Oulun yliopisto Syksy 017 Sisältö Johdanto 1 Peruskäsitteitä 3 Ominaisuuksia 4 3 Esimerkkejä 8 4 Potenssifunktioita

Lisätiedot

Derivaatat lasketaan komponenteittain, esimerkiksi E 1 E 2

Derivaatat lasketaan komponenteittain, esimerkiksi E 1 E 2 MS-C50 Osittaisdifferentiaaliyhtälöt Harjoitukset syksy 07. Oletetaan että vektorikenttä E E E E : R R on kaksi kertaa jatkuvasti derivoituva E C R. Näytä että E E. Derivaatat lasketaan komponenteittain

Lisätiedot

dy dx = y x + 1 dy dx = u+xdu dx, u = y/x, u+x du dx = u+ 1 sinu eli du dx = 1 1 Erotetaan muuttujat ja integroidaan puolittain: y = xln(ln(cx 2 )).

dy dx = y x + 1 dy dx = u+xdu dx, u = y/x, u+x du dx = u+ 1 sinu eli du dx = 1 1 Erotetaan muuttujat ja integroidaan puolittain: y = xln(ln(cx 2 )). Harjoitus Tehtävä 5. d) Jakamalla annettu yhtälö puolittain xsin(y/x):llä saadaan Sijoitetaan taas jolloin saadaan dy dx = y x + 1 sin ( y). u = y/x, x dy dx = u+xdu dx, u+x du dx = u+ 1 sinu du dx = 1

Lisätiedot

9. Lineaaristen differentiaaliyhtälöiden ratkaisuavaruuksista

9. Lineaaristen differentiaaliyhtälöiden ratkaisuavaruuksista 29 9 Lineaaristen differentiaaliyhtälöiden ratkaisuavaruuksista Tarkastelemme kertalukua n olevia lineaarisia differentiaaliyhtälöitä y ( x) + a ( x) y ( x) + + a ( x) y( x) + a ( x) y= b( x) ( n) ( n

Lisätiedot

Differentiaaliyhtälöt. Petri Juutinen

Differentiaaliyhtälöt. Petri Juutinen Differentiaaliyhtälöt Petri Juutinen 2. syyskuuta 2008 Sisältö Johdanto 3 2 Ensimmäisen kertaluvun yhtälöistä 6 2. Olemassaolo ja yksikäsitteisyys..................... 6 2.2 Separoituvat yhtälöt...........................

Lisätiedot

Funktion raja-arvo ja jatkuvuus Reaali- ja kompleksifunktiot

Funktion raja-arvo ja jatkuvuus Reaali- ja kompleksifunktiot 3. Funktion raja-arvo ja jatkuvuus 3.1. Reaali- ja kompleksifunktiot 43. Olkoon f monotoninen ja rajoitettu välillä ]a,b[. Todista, että raja-arvot lim + f (x) ja lim x b f (x) ovat olemassa. Todista myös,

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

5 Differentiaaliyhtälöryhmät

5 Differentiaaliyhtälöryhmät 5 Differentiaaliyhtälöryhmät 5.1 Taustaa ja teoriaa Differentiaaliyhtälöryhmiä tarvitaan useissa sovelluksissa. Toinen motivaatio yhtälöryhmien käytölle: Korkeamman asteen differentiaaliyhtälöt y (n) =

Lisätiedot

Kuva 1: Funktion f tasa-arvokäyriä. Ratkaisu. Suurin kasvunopeus on gradientin suuntaan. 6x 0,2

Kuva 1: Funktion f tasa-arvokäyriä. Ratkaisu. Suurin kasvunopeus on gradientin suuntaan. 6x 0,2 HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi I, syksy 018 Harjoitus Ratkaisuehdotukset Tehtävä 1. Olkoon f : R R f(x 1, x ) = x 1 + x Olkoon C R. Määritä tasa-arvojoukko Sf(C) = {(x 1, x

Lisätiedot

Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaarisista differentiaaliyhtälöistä

Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaarisista differentiaaliyhtälöistä TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Riikka Sjögren Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaarisista differentiaaliyhtälöistä Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka Toukokuu 2010 Tampereen

Lisätiedot

2 dy dx 1. x = y2 e x2 2 1 y 2 dy = e x2 xdx. 2 y 1 1. = ex2 2 +C 2 1. y =

2 dy dx 1. x = y2 e x2 2 1 y 2 dy = e x2 xdx. 2 y 1 1. = ex2 2 +C 2 1. y = BM20A5830 Differentiaaliyhtälöiden peruskurssi Harjoitus 2, Kevät 207 Päivityksiä: Tehtävän 4b tehtävänanto korjattu ja vastauksia lisätty.. Ratkaise y, kun 2y x = y 2 e x2. Jos y () = 0 niin mikä on ratkaisu

Lisätiedot

HY, MTO / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIa, syksy 2018 Harjoitus 3 Ratkaisuehdotuksia.

HY, MTO / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIa, syksy 2018 Harjoitus 3 Ratkaisuehdotuksia. HY, MTO / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIa, syksy 8 Harjoitus Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I. Mitkä seuraavista funktioista F, F, F ja F 4 ovat kertymäfunktioita? Mitkä

Lisätiedot

Differentiaaliyhtälöt I, kevät 2017 Harjoitus 3

Differentiaaliyhtälöt I, kevät 2017 Harjoitus 3 Differentiaaliyhtälöt I, kevät 07 Harjoitus 3 Heikki Korpela. helmikuuta 07 Tehtävä. Ratkaise alkuarvo-ongelmat a) y + 4y e x = 0, y0) = 4 3 b) Vastaus: xy + y = x 3, y) =.. a) Valitaan integroivaksi tekijäksi

Lisätiedot

2. Viikko. CDH: luvut (s ). Matematiikka on fysiikan kieli ja differentiaaliyhtälöt sen yleisin murre.

2. Viikko. CDH: luvut (s ). Matematiikka on fysiikan kieli ja differentiaaliyhtälöt sen yleisin murre. 2. Viikko Keskeiset asiat ja tavoitteet: 1. Peruskäsitteet: kertaluku, lineaarisuus, homogeenisuus. 2. Separoituvan diff. yhtälön ratkaisu, 3. Lineaarisen 1. kl yhtälön ratkaisu, CDH: luvut 19.1.-19.4.

Lisätiedot

0 kun x < 0, 1/3 kun 0 x < 1/4, 7/11 kun 1/4 x < 6/7, 1 kun x 1, 1 kun x 6/7,

0 kun x < 0, 1/3 kun 0 x < 1/4, 7/11 kun 1/4 x < 6/7, 1 kun x 1, 1 kun x 6/7, HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Todennäköisyyslaskenta II, syksy 07 Harjoitus Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I. Mitkä seuraavista funktioista F, F, F ja F 4 ovat kertymäfunktioita? Mitkä niistä

Lisätiedot

BM20A5830 Differentiaaliyhtälöiden peruskurssi

BM20A5830 Differentiaaliyhtälöiden peruskurssi BM20A5830 Differentiaaliyhtälöiden peruskurssi Jouni Sampo 30. maaliskuuta 2015 Sisältö 1 Johdanto 2 1.1 Peruskäsitteitä.................................... 2 1.2 Differentiaaliyhtälöiden ratkaisuista.........................

Lisätiedot

Differentiaaliyhtälöt

Differentiaaliyhtälöt Differentiaaliyhtälöt Differentiaaliyhtälöksi (lyh. DY) sanotaan yhtälöä, jossa on tuntemattomana jokin funktio y(x) ja jossa esiintyy sen derivaattoja y, y, y, y (4),... Esimerkiksi y + y = x, y y + y

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 1 Epäyhtälöitä Aivan aluksi lienee syytä esittää luvun itseisarvon määritelmä: { x kun x 0 x = x kun x < 0 Siispä esimerkiksi 10 = 10 ja 10 = 10. Seuraavaksi listaus

Lisätiedot

8 Potenssisarjoista. 8.1 Määritelmä. Olkoot a 0, a 1, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.1. Muotoa

8 Potenssisarjoista. 8.1 Määritelmä. Olkoot a 0, a 1, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.1. Muotoa 8 Potenssisarjoista 8. Määritelmä Olkoot a 0, a, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.. Muotoa a 0 + a (x c) + a 2 (x c) 2 + olevaa sarjaa sanotaan c-keskiseksi potenssisarjaksi. Selvästi jokainen

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 12. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 12 () Numeeriset menetelmät / 33

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 12. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 12 () Numeeriset menetelmät / 33 Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 12 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 12 () Numeeriset menetelmät 25.4.2013 1 / 33 Luennon 2 sisältö Tavallisten differentiaaliyhtälöiden numeriikasta Rungen

Lisätiedot

1 Di erentiaaliyhtälöt

1 Di erentiaaliyhtälöt Taloustieteen mat.menetelmät syksy 2017 materiaali II-5 1 Di erentiaaliyhtälöt 1.1 Skalaariyhtälöt Määritelmä: ensimmäisen kertaluvun di erentiaaliyhtälö on muotoa _y = F (y; t) oleva yhtälö, missä _y

Lisätiedot

Tenttiin valmentavia harjoituksia

Tenttiin valmentavia harjoituksia Tenttiin valmentavia harjoituksia Alla olevissa harjoituksissa suluissa oleva sivunumero viittaa Juha Partasen kurssimonisteen siihen sivuun, jolta löytyy apua tehtävän ratkaisuun. Funktiot Harjoitus.

Lisätiedot

Matematiikan peruskurssi 2

Matematiikan peruskurssi 2 Matematiikan peruskurssi Demonstraatiot III, 4.5..06. Mikä on funktion f suurin mahdollinen määrittelyjoukko, kun f(x) x? Mikä on silloin f:n arvojoukko? Etsi f:n käänteisfunktio f ja tarkista, että löytämäsi

Lisätiedot

saadaan kvanttorien järjestystä vaihtamalla ehto Tarkoittaako tämä ehto mitään järkevää ja jos, niin mitä?

saadaan kvanttorien järjestystä vaihtamalla ehto Tarkoittaako tämä ehto mitään järkevää ja jos, niin mitä? ANALYYSI A, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT 208 4 Funktion raja-arvo 4 Määritelmä Funktion raja-arvon määritelmän ehdosta ε > 0: δ > 0: fx) A < ε aina, kun 0 < x a < δ, saadaan kvanttorien järjestystä vaihtamalla

Lisätiedot

funktiojono. Funktiosarja f k a k (x x 0 ) k

funktiojono. Funktiosarja f k a k (x x 0 ) k SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 3 4. Funtiosarjat Tässä luvussa esitettävissä funtiosarjojen tulosissa yhdistämme luujen 3 teoriaa. Esimeri 4.. Geometrinen sarja x suppenee aiilla x ], [ ja hajaantuu

Lisätiedot

MATP153 Approbatur 1B Harjoitus 3, ratkaisut Maanantai

MATP153 Approbatur 1B Harjoitus 3, ratkaisut Maanantai MATP53 Approbatur B Harjoitus 3, ratkaisut Maanantai 6..5. (Teht. 5 ja s. 4.) Olkoot z = + y i ja z = + y i. Osoita, että (a) z + z = z +z, (b) z z = z z, (c) z z = z ja (d) z = z z, kun z. (a) z + z =

Lisätiedot

BM20A5840 Usean muuttujan funktiot ja sarjat Harjoitus 7, Kevät 2018

BM20A5840 Usean muuttujan funktiot ja sarjat Harjoitus 7, Kevät 2018 BM20A5840 Usean muuttujan funktiot ja sarjat Harjoitus 7, Kevät 2018 Tehtävä 8 on tällä kertaa pakollinen. Aloittakaapa siitä. 1. Kun tässä tehtävässä sanotaan sopii mahdollisimman hyvin, sillä tarkoitetaan

Lisätiedot

4. Differentiaaliyhtälöryhmät 4.1. Ryhmän palauttaminen yhteen yhtälöön

4. Differentiaaliyhtälöryhmät 4.1. Ryhmän palauttaminen yhteen yhtälöön 4 Differentiaaliyhtälöryhmät 41 Ryhmän palauttaminen yhteen yhtälöön 176 Ratkaise differentiaaliyhtälöryhmät a) dt = y +t, b) = y z + sinx x 2 dt = x +t, c) + z = x2 = y + z + cosx + 2y = x a)x = C 1 e

Lisätiedot

Toispuoleiset raja-arvot

Toispuoleiset raja-arvot Toispuoleiset raja-arvot Määritelmä Funktiolla f on oikeanpuoleinen raja-arvo a R pisteessä x 0 mikäli kaikilla ɛ > 0 löytyy sellainen δ > 0 että f (x) a < ɛ aina kun x 0 < x < x 0 + δ; ja vasemmanpuoleinen

Lisätiedot

4 KORKEAMMAN KERTALUVUN LINEAARISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT. Kertaluvun n lineaarinen differentiaaliyhtälö ns. standardimuodossa on

4 KORKEAMMAN KERTALUVUN LINEAARISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT. Kertaluvun n lineaarinen differentiaaliyhtälö ns. standardimuodossa on 4 4 KORKEAAN KERTAUVUN INEAARISET DIFFERENTIAAIYHTÄÖT Kertalukua olevassa differetiaalihtälössä F(x,,,, () ) = 0 esiit :e kertaluvu derivaatta () = d /dx ja mahdollisesti alempia derivaattoja, :tä ja x:ää.

Lisätiedot

Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 5, Ratkaise rekursioyhtälö

Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 5, Ratkaise rekursioyhtälö Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 5, 14.10.2015 1. Ratkaise rekursioyhtälö x n+4 2x n+2 + x n 16( 1) n, n N, alkuarvoilla x 1 2, x 2 14, x 3 18 ja x 4 42. Ratkaisu. Vastaavan homogeenisen

Lisätiedot

Sarjat ja differentiaaliyhtälöt, harjoitustehtäviä

Sarjat ja differentiaaliyhtälöt, harjoitustehtäviä Sarjat ja differentiaaliyhtälöt, harjoitustehtäviä. L Hospitalin sääntö on tuttu Analyysi :n kurssilta. Se on näppärä keino laskea tiettyjä raja-arvoja, mutta sen käytössä on oltava kuitenkin varovainen.

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 9 Korkeamman asteen derivaatat Tutkitaan nyt funktiota f, jonka kaikki derivaatat on olemassa. Kuten tunnettua, funktion toista derivaattaa pisteessä x merkitään f (x).

Lisätiedot

Analyysi 1. Harjoituksia lukuihin 4 7 / Syksy Tutki funktion f(x) = x 2 + x 2 jatkuvuutta pisteissä x = 0 ja x = 1.

Analyysi 1. Harjoituksia lukuihin 4 7 / Syksy Tutki funktion f(x) = x 2 + x 2 jatkuvuutta pisteissä x = 0 ja x = 1. Analyysi 1 Harjoituksia lukuihin 4 7 / Syksy 014 1. Tutki funktion x + x jatkuvuutta pisteissä x = 0 ja x = 1.. Määritä vakiot a ja b siten, että funktio a x cos x + b x + b sin x, kun x 0, x 4, kun x

Lisätiedot

Luoki?elua: tavallinen vs osi?ais. Osa 11. Differen0aaliyhtälöt. Luoki?elua: kertaluku. Luoki?elua: lineaarisuus 4/13/13

Luoki?elua: tavallinen vs osi?ais. Osa 11. Differen0aaliyhtälöt. Luoki?elua: kertaluku. Luoki?elua: lineaarisuus 4/13/13 4/3/3 Osa. Differen0aaliyhtälöt Differen0aaliyhtälö = yhtälö jossa esiintyy jonkin funk0on derivaa?a. Esim: dx = x2 f x + f xy 2 2m d 2 ψ = Eψ dx 2 Luoki?elua: tavallinen vs osi?ais Differen0aaliyhtälöt

Lisätiedot

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Differentiaaliyhtälöt. osa 2 Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 1 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista

Lisätiedot

min x x2 2 x 1 + x 2 1 = 0 (1) 2x1 1, h = f = 4x 2 2x1 + v = 0 4x 2 + v = 0 min x x3 2 x1 = ± v/3 = ±a x 2 = ± v/3 = ±a, a > 0 0 6x 2

min x x2 2 x 1 + x 2 1 = 0 (1) 2x1 1, h = f = 4x 2 2x1 + v = 0 4x 2 + v = 0 min x x3 2 x1 = ± v/3 = ±a x 2 = ± v/3 = ±a, a > 0 0 6x 2 TEKNILLINEN KORKEAKOULU Systeemianalyysin laboratorio Mat-39 Optimointioppi Kimmo Berg 6 harjoitus - ratkaisut min x + x x + x = () x f = 4x, h = x 4x + v = { { x + v = 4x + v = x = v/ x = v/4 () v/ v/4

Lisätiedot

MS-A0104 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (ELEC2) MS-A0106 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (ENG2)

MS-A0104 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (ELEC2) MS-A0106 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (ENG2) MS-A4 Differentiaali- ja integraalilaskenta (ELEC2) MS-A6 Differentiaali- ja integraalilaskenta (ENG2) Harjoitukset 3L, syksy 27 Tehtävä. a) Määritä luvun π likiarvo käyttämällä Newtonin menetelmää yhtälölle

Lisätiedot

Johdatus matemaattiseen päättelyyn

Johdatus matemaattiseen päättelyyn Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä 2 Todistamisesta 3 Joukko-oppia 4 Funktioista Funktio eli kuvaus on matematiikan

Lisätiedot

Peruskäsitteet 1. Mitkä ovat seuraavien funktiota y = y(x) koskevien differentiaaliyhtälöiden kertaluvut? Ovatko yhtälöt normaalimuotoisia?

Peruskäsitteet 1. Mitkä ovat seuraavien funktiota y = y(x) koskevien differentiaaliyhtälöiden kertaluvut? Ovatko yhtälöt normaalimuotoisia? Peruskäsitteet 1. Mitkä ovat seuraavien funktiota y = y(x) koskevien differentiaaliyhtälöiden kertaluvut? Ovatko yhtälöt normaalimuotoisia? a) xy + 2y sinx + y = e x b) y + sin(x + y) = 0 c) y = xy y y

Lisätiedot

IV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n

IV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n IV. TASAINEN SUPPENEMINEN IV.. Funktiojonon tasainen suppeneminen Olkoon A R joukko ja f n : A R funktio, n =, 2, 3,..., jolloin jokaisella x A muodostuu lukujono f x, f 2 x,.... Jos tämä jono suppenee

Lisätiedot