TEHTÄVÄ 1. Olkoon (f n ) jono jatkuvia funktioita f n : [a, b] R, joka suppenee välillä [a, b] tasaisesti kohti funktiota f : [a, b] R.

Transkriptio

1 Topologi I Hrjoitus 10, rtkisuj AP TEHTÄVÄ 1. Olkoon (f n ) jono jtkuvi funktioit f n : [, b] R, jok suppenee välillä [, b] tsisesti kohti funktiot f : [, b] R. Osoit, että tällöin f n (x) dx f(x) dx. Päteekö vstv tulos derivtoille? Lyhyt vstus. RATKAISU 1. Olkoon ɛ > 0 j N N sellinen indeksi että kunhn n > N. Nyt f n (x)dx sup f n (x) f(x) < ɛ/(b ) x [,b] f(x)dx f n (x) f(x) dx ɛ/(b ) dx = ɛ. Näin ollen relilukujen f n muodostm jono suppenee lukuun f. Vstv tulos ei päde derivtoille: Jos määritellään f n : [0, 1] R kvll f n (x) = n 1 sin(nx), niin on helppo nähdä, että f n 0 tsisesti. Kuitenkn derivttojen jono f n(x) = cos(nx) ei suppene edes pisteittäin mihinkään funktioon. Ei ole myöskään tott että jtkuvsti derivoituvien funktioiden tsinen rj olisi jtkuvsti derivoituv: Trkstelln väliä [ 1, 1] j siinä määriteltyjä funktioit f n (x) = x 1+(1/n). Nämä ovt jtkuvsti derivoituvi, mutt jono (f n ) suppenee tsisesti funktioon x, jok ei ole derivoituv. TEHTÄVÄ 2. (12:3) Todist, että metrisen vruuden täydellinen osjoukko on suljettu. Tästä seur luseen 12.6 käänteinen puoli. RATKAISU 2. Olkoon A metrisen vruuden X täydellinen osjoukko j Ā. Olkoon (x n) sellinen A:n jono, että x n (vruudess X). Luseen 12.3 nojll (x n ) on Cuchy jono (metrisessä vruudess A), joten x n x A. Mutt rj-rvon yksikäsitteisyyden nojll x =, joten A j siis Ā A. Siten A on suljettu. 1

2 TEHTÄVÄ 3. (12:4) Olkoon (X, d) täydellinen metrinen vruus j (x n ) sellinen jono X:ssä, että d ( x n, x n+1 ) 10 2 n kikill n N. Osoit, että jono suppenee kohti jotkin pistettä X. Osoit lisäksi, että d(x 5, ) < 1. RATKAISU 3. Olkoot x k j x m tehtävän jonon jäseniä j oletetn että n k m. Erityisesti m = k + p jollin p N. Nyt kolmioepäyhtälöstä sdn d(x k, x m ) d(x k, x k+1 ) + d(x k+1, x k+2 ) d(x k+p 1, x m ) p n i 10 2 n i 10 2 n+1. Tämä sdn mielivltisen pieneksi kun nnetn n:n lähestyä ääretöntä. Siten (x n ) on Cuchy j suppeneminen seur täydellisyydestä. Kosk x n, on olemss N > 5, joll d(x N, ) < 1/4. Toislt yllä olev estimtti käyttämällä nähdään että d(x 5, x N ) i = = 5/8. Kolmioepäyhtälö nt d(x 5, ) d(x 5, x N ) + d(x N, ) 1/4 + 5/8 = 7/8 < 1, joten väite on tosi. TEHTÄVÄ 4. (12:6, muunnos) Trkstelln jtkuvien funktioden vruutt E = C([0, 1], R) vrustettun supnormill. () Osoit, että normivruuden (E, ) Cuchy-jono (f n ) suppenee pisteittäin välin [0, 1] pisteissä kohti erästä funktiot f : [0, 1] R. (b) Osoit, että suppeneminen f n f on tsist välillä [0, 1]. (c) Osoit edellisiin kohtiin j luseeseen nojten, että normivruus (E, ) on täydellinen. Ohje. (b) Olkoon ɛ > 0. Vlitse sellinen n ɛ, että f k f n < ɛ/2, kun k, n n ɛ, j nn n:n mennä äärettömään. RATKAISU 4. () Jos (f n ) on Cuchy j x [0, 1], niin f k (x) f m (x) f k f m, 2

3 joten (f n (x)) on Cuchy jono relikselill. Relikselin täydellisyydestä seur että f n (x) y x R. Asettmll f(x) = y x sdn hluttu pisteittäinen rjfunktio. (b) Tehdää kuten ohjeess. Otetn ɛ > 0 j n ɛ siten että f k f n < ɛ/2 kunhn k, n > n ɛ. Jos nyt x [0, 1], niin f k (x) f(x) f k (x) f n (x) + f n (x) f(x) f k f n + f n (x) f(x) kikill n. Vlitn nyt n(x) > n ɛ siten että jolloin jos k > n ɛ, niin sdn f n(x) (x) f(x) < ɛ/2, f k (x) f(x) f k f n(x) + f n(x) (x) f(x) < ɛ. Tämä pätee kikille x [0, 1], siis todetn että f k f = sup f k (x) f(x) ɛ, x [0,1] joten suppeneminen on tsist. (c) Kosk jtkuvien funktioiden jono (f n ) suppenee tsisesti funktioon f, niin luseen nojll f on jtkuv. Toisin snoen f E, joten E on täydellinen. TEHTÄVÄ 5. (12:11) Olkoon X täydellinen j f : X Y bilipschitz. Osoit, että kuvjoukko f X on täydellinen j siis suljettu Y :ssä. RATKAISU 5. Ensinnäkin hvitn että bilipschitz funktiot ovt in injektioit; Jos f(x) = f(y), niin 0 = d(f(x), f(y)) cd(x, y) 0, joten x = y (c > 0 on tässä se pienempi bilipschitz-vkio). Siten jokist fx:n pistettä y vst yksikäsitteinen x X. Jos nyt (y n ) on Cuchy jono fx:ssä, niin sitä vst yksikäsitteinen X:n jono (x n ) siten että f(x n ) = y n. Nyt, kosk (y n ) on Cuchy, niin jos ɛ > 0, niin on olemss n ɛ siten että d(y k, y m ) < cɛ, kunhn k, m > n ɛ. Mutt nyt d(x k, x m ) (1/c)d(f(x k ), f(x m )) = (1/c)d(y k, y m ) < ɛ, 3

4 in kun k, m > n ɛ. Siten (x n ) on Cuchy X:ssä. Kosk X on täydellinen, niin x n x X. Väitämme lopuksi että y n y = f(x), mutt tämä seur siitä että f on jtkuv j luseest Kosk mielivltinen Cuchy jono (y n ) suppenee, niin fx on täydellinen. TEHTÄVÄ 6. (12:14) Olkoon (E, ) täydellinen normivruus eli Bnchin vruus, j olkoon f : E E kontrktio. Osoit, että yhtälö F (x) = x+f(x) määrittelee homeomorfismin F : E E, jok on bilipschitz. Ohje. Kiinnitetään y E j merkitään g y (x) = y f(x). Osoit, että kuvuksell g y : E E on täsmälleen yksi kiintopiste G(y), jolloin sdn kuvus G : E E, y G(y). Osoit, että F G = G F = id E, j että F on bilipschitz. Kiinnitä erityistä huomiot epäyhtälöketjun puoleen m x z F (x) F (z), kikill x, z E, missä m > 0. RATKAISU 6. Osoitetn ensin että F : E E on bilipschitz. Jos x, y E, niin F (x) F (y) = x+f(x) y f(y) x y + f(x) f(y) (q+1) x y, missä 0 < q < 1 on f:ään liittyvä kontrktiovkio. Toislt x + f(x) y f(y) x y f(x) f(y) (1 q) x y, joten F on bilipschitz. Edetään seurvksi niinkuin ohjeess; Jos y E, niin x g y (x) = y f(x) määrittelee kontrktion E E. Tämä on selvää sillä g y (x) g y (z) = y f(x) y + f(z) = f(x) f(z) q x z jollin 0 < q < 1, onhn f kontrktio. Kosk E on täydellinen, niin Bnchin kiintopisteluseen nojll g y :llä on täsmälleen yksi kiintopiste, G(y), jok siis toteutt g y (G(y)) = y f(g(y)) = G(y). (1) On selvää että G määrittää kuvuksen E E. Jos y E, niin (1):n mukn F (G(y)) = G(y) + f(g(y)) = y f(g(y)) + f(g(y)) = y = id E (y). Jos y E, niin G(F (y)) on määritelmänsä mukn kuvuksen g F (y) kiintopiste. Toislt g F (y) (y) = F (y) f(y) = y + f(y) f(y) = y, 4

5 joten myös y on kiintopiste. Yksikäsitteisyyden nojll tällöin G(F (y)) = y. Näin ollen F G = G F = id E. Siis f on bijektio j G sen käänteiskuvus. Kosk F on bijektio j bilipschitz, se on homeomorfismi. 5