ANALYYSI I, kevät 2009

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "ANALYYSI I, kevät 2009"

Transkriptio

1 ANALYYSI I, kevät 009 Sisältö Relilukujen peruskäsitteitä Lukujonoist 4. Lukujonon rj-rvo Monotoniset jonot Osjonot Cuchyn jono Funktion rj-rvo j jtkuvuus Peruskäsitteitä Funktion rj-rvo Funktion jtkuvuus Funktion tsinen jtkuvuus Srjt 6 4. Srjn suppeneminen Suppenemistestejä positiivitermisille srjoille Itseisesti suppenevt srjt Vuorottelevt srjt

2 5 Riemnnin integrli Integrlin perusominisuuksi Anlyysin perusluse Epäoleelliset integrlit 6 7 Funktiojonot j -srjt 7 7. Pisteittäinen j tsinen suppeneminen Jonon j srjn derivoiminen j integroiminen Potenssisrjt Potenssisrjn suppeneminen Potenssisrjn summfunktion ominisuuksi

3 Relilukujen peruskäsitteitä Usein trkstelun kohteen ovt nnetun joukon A R, A, mksimi j minimi sekä ylä- j lrjt, erityisesti pienin ylärj (supremum) j suurin lrj (infimum). Määritelmä.. Olkoon A R, A. Reliluku M R snotn joukon A mksimiksi (eli suurimmksi rvoksi), jos (i) x M kikill x A j (ii) M A. Merkitään M = mx A. Vstvsti reliluku m R snotn joukon A minimiksi (eli pienimmäksi rvoksi), jos (i) x m kikill x A j (ii) m A. Merkitään m = min A. Esimerkki.. A = [3, 7]. min A = 3, sillä x 3 in, kun x A, j 3 A. mx A = 7, sillä x 7 in, kun x A, j 7 A. Esimerkki.3. Osoit, että joukoll A = ]0, [ = {x R 0 < x < } ei ole minimiä eikä mksimi. Todistus: Osoitetn ensin, että joukoll A ei ole minimiä. Vstoletus: joukoll A on minimi m. Tällöin m A = ]0, [, joten m A j m < m. Täten m ei ole joukon A minimi j sdn ristiriit. Siis vstoletus on väärä j min A ei ole olemss. Osoitetn sitten, että joukoll A ei ole mksimi. Vstoletus: joukoll A on mksimi M.

4 Tällöin M A eli 0 < M <. Tällöin M + < j M = M + M < M +, ts. M < M+ <. Siis M + A j M + > M. Täten M ei ole joukon A mksimi j sdn ristiriit. Siis vstoletus on väärä j mx A ei ole olemss. Esimerkki.4. Osoit, että joukoll A = [0, [ on minimi 0, mutt ei mksimi. Todistus: min A = 0, sillä x 0 kikill x A, j 0 A. Osoitetn sitten, että joukoll A ei ole mksimi. Tehdään vstoletus: joukoll A on mksimi M. Jos M < 0, niin M / A j M ei voi oll joukon A mksimi. Jos M 0, niin M + A j M + > M, joten M ei voi oll joukon A mksimi. Ristiriit. Siis vstoletus on väärä j joukoll A ei ole mksimi. Huomutus.5. Mksimi j minimi ovt yksikäsitteisiä, mikäli ne ovt olemss. Perustelu: Olkoot M = mx A j M = mx A. Nyt x M kikill x A. Tällöin M M, sillä M A. Toislt x M kikill x A j siten M M, kosk M A. Siis M = M. Minimi todistetn smll tvll (hrjoitustehtävä). Määritelmä.6. Olkoon A R, A. (i) Joukko A snotn ylhäältä rjoitetuksi, jos on olemss sellinen M R, että x M kikill x A. Tällist luku M snotn joukon A ylärjksi. (ii) Joukko A snotn lhlt rjoitetuksi, jos on olemss sellinen m R, että x m kikill x A. Tällist luku m snotn joukon A lrjksi. (iii) Joukko A snotn rjoitetuksi, jos se on sekä ylhäältä että lhlt rjoitettu.

5 Huomutus.7. () Jos joukoll on mksimi ti minimi, niin se on vstvsti joukon ylä- ti lrj. () Toisin kuin mksimi j minimi, joukon ylä- j lrjt eivät ole yksikäsitteisiä. Esimerkki.8. Osoit, että joukko A = ]0, [ on rjoitettu. Rtkisu: Mikä thns luku m 0 kelp joukon A lrjksi, sillä tällöin x m kikill x A. Siis A on lhlt rjoitettu. Toislt mikä thns luku M kelp joukon A ylärjksi, sillä tällöin x M kikill x A. Siten A on ylhäältä rjoitettu. Siis A on rjoitettu. Esimerkki.9. Joukko A = [0, [ on lhlt rjoitettu, mutt se ei ole ylhäältä rjoitettu. Perustelu: Mikä thns luku m 0 kelp lrjksi, joten A on lhlt rjoitettu. Vstoletus: A on ylhäältä rjoitettu j olkoon M joukon A (eräs) ylärj. Kosk 0 A, niin M 0. Silloin M + A j M + > M, joten M ei voi oll joukon A ylärj. Ristiriit. Siis A ei ole ylhäältä rjoitettu. Esimerkki.0. Määritellään joukko A = {x n } induktiivisesti n= x =, x n+ = x n + x n, n =,,... Tutkitn joukon A rjoittuneisuutt. Nyt x = j siten x = + = 3 =,5 x 3 =,5 +,5,47 x 4 =,47 +,47,44. Näyttäisi siltä, että lkiot x lukuunottmtt joukon A jokinen lkio on vähintään j että x n+ x n, kun n. Todistetn nämä väitteet oikeiksi. 3

6 Väite : x n, n =, 3,... (x = ) Todistus: Selvästi x n+ = xn + x n > 0 kikill n =,,... (x = ). Lisäksi x n+ = x n + = x n + ( ) x n = x n x n x n sillä x n 0, kun n =,,... Edellä on käytetty ekvivlenssiin + b b ( b) 0 perustuv rviot x n + ( ) x n. Stiin siis, että x n, kun n =, 3,..., joten x n = x kikill n =,,... Näin ollen A on lhlt rjoitettu j min A =. Väite : x n+ x n, n =, 3,... Todistus: Väite voidn yhtäpitävästi muutt seurvn muotoon: x n+ x n x n + x n x n x n + x n (x n > 0) x n x n (x n > 0). Kosk x n > 0, kun n =, 3,..., niin myös x n+ x n, n =, 3,... Tästä seur, että x n x = 3 kikill n =,,..., joten A on ylhäältä rjoitettu j mx A = 3. Siis = x x n x = 3 kikill n =,,..., joten A on rjoitettu. Vroitus: Ei ole olemss yleistä menetelmää todist, että nnettu joukko on rjoitettu. Ain sitä ei ole helppo nähdä. Huomutus: Käytännössä joukon rjoittuneisuus knntt usein todist seurvn kriteerin vull: Joukko A R, A, on rjoitettu jos j vin jos on olemss sellinen K 0, että x K kikill x A. Perustelu: : Oletetn, että m x M kikill x A. Kosk m mx{ m, M }, niin x m m mx{ m, M } kikill x A j x M M mx{ m, M } kikill x A. 4

7 Siten mx{ m, M } x mx{ m, M } kikill x A, eli x mx{ m, M }. Täten esimerkiksi vlint K = mx{ m, M } kelp. : Jos x K jokisell x A (K 0), niin K x K jokisell x A. Siten K on joukon A lrj j K sen ylärj. Siis A on rjoitettu. Määritelmä.. Olkoon A R, A. Luku M R snotn joukon A pienimmäksi ylärjksi eli supremumiksi, jos (i) x M kikill x A j (ii) jos x M kikill x A, niin M M. (Koht (i) kertoo sen, että M on ylärj j (ii) sen, että M on ylärjoist pienin.) Merkitään M = sup A. Vstvsti luku m R snotn joukon A suurimmksi lrjksi eli infimumiksi, jos (i) x m kikill x A j (ii) jos x m kikill x A, niin m m. (Koht (i) kertoo sen, että m on lrj j (ii) sen, että m on lrjoist suurin.) Merkitään m = inf A. Määritelmän merkitys: Kosk ylä- j lrjt eivät ole yksikäsitteisiä, pyritään vlitsemn niille prs mhdollinen edustj. Huomutus.. () Jos joukoll A on mksimi, niin mx A = sup A. Vstvsti jos joukoll A on minimi, niin min A = inf A. Supremun j infimum ovt mksimin j minimin korvikkeit. Perustelu: Olkoon M = mx A. Silloin x M kikill x A, joten M on ylärj. Oletetn, että x M kikill x A. Kosk M A, niin M M, joten M on pienin ylärj. Infimum todistetn smn tpn (hrjoitustehtävä). 5

8 () Mikäli supremum ti infimum on olemss, niin se on yksikäsitteinen. Perustelu: Olkoot M = sup A j M = sup A. Kosk M on ylärj j M on pienin ylärj, niin M M. Toislt M on ylärj j M on pienin ylärj, joten M M. Siis M = M. Infimumin yksikäsitteisyys todistetn smn tpn (hrjoitustehtävä). Esimerkki.3. Olkoon A = ]0, [. Määrätään sup A j inf A. Rtkisu: Olkoon M =. Osoitetn, että sup A = M =. (i) x M kikill x A, joten M on joukon A ylärj. (ii) Olkoon M R sellinen, että x M kikill x A. Kosk A, niin M > 0. Osoitetn, että M M. Vstoletus: M < M. Tällöin 0 < M <, joten M + < j M = M + M < M +, ts. M < M + <. Siis M + M A j M + M > M, joten M ei voi oll joukon A ylärj. Tämä on ristiriit, joten vstoletus on väärä j M M. Kohtien (i) j (ii) nojll M = sup A. Olkoon m = 0. Osoitetn, että inf A = m =. (i) x m kikill x A, joten m on joukon A lrj. (ii) Olkoon m R sellinen, että x m kikill x A. Kosk A, niin m. Osoitetn, että m m. Vstoletus: m > m. Nyt 0 = m < m, joten m A j m < m, joten m ei voi oll joukon A lrj. Tämä on ristiriit, joten vstoletus on väärä j m m. Kohtien (i) j (ii) nojll m = inf A. 6

9 Yleensä sup A ei kuulu joukkoon A. Seurvn luseen nojll se kuuluu joukkoon A täsmälleen silloin kun se on joukon A mksimi. Vstvt väitteet pätevät myös infimumille j minimille. Luse.4. Olkoon A R, A j M = sup A. Silloin joukoll A on mksimi (jok on M) jos j vin jos M A. Olkoon m = inf A. Silloin joukoll A on minimi (jok on m) jos j vin jos m A. Todistus. : Oletn, että Q = mx A on olemss. Tällöin x Q in, kun x A (ts. Q toteutt supremumin ehdon (i)), j Q A. Olkoon M joukon A mikä thns ylärj, jolloin x M in, kun x A. Kosk Q A, niin erityisesti Q M j Q toteutt supremumin ehdon (ii). Siis Q on joukon A pienin ylärj eli Q = M = sup A. : Oletetn, että M A. Tällöin lisäksi x M kikill x A, joten M on joukon A mksimi. Infimumi j minimiä koskev väite todistetn vstvsti. Esimerkki.5. Määrää sup A j inf A, kun A = { } n n =,,.... Osoitetn, että m = = inf A. (i) n, kun n =,,..., joten m = on joukon A lrj. (ii) Jos m on joukon A lrj, niin m =, joten m m. Siis inf A =. (Kosk A, niin min A = = inf A.) Osoitetn seurvksi, että M = = sup A. (i) n, kun n =,,..., joten M = on joukon A ylärj. (ii) Jos M on joukon A ylärj, niin on osoitettv, että M M =. Vstoletus: M <. Vlitn n N niin, että n > M n > M. Silloin n A j n > M, joten M ei ole joukon A ylärj. Ristiriit. Siten sup A = M =. ( / A, joten joukoll A ei ole mksimi.) 7

10 Täydellisyysksioom. Olkoon A R, A. Jos A on ylhäältä rjoitettu, niin joukoll A on pienin ylärj (eli sup A on olemss). Jos A on lhlt rjoitettu, niin joukoll A on suurin lrj (eli inf A on olemss). Täydellisyysksioomn merkitys on siinä, että vikk rjoitetull joukoll ei yleensä ole mksimi eikä minimiä, niin sillä kuitenkin on pienin ylärj j suurin lrj. Huomutus.6. Täydellisyysksioom on erittäin tärkeä relilukujen ominisuus, jot esimerkiksi rtionliluvuill ei ole: Joukoll A = {x Q x 0, x < } ei ole supremumi joukoss Q. Todistuksen ide: Kosk A j A on ylhäältä rjoitettu, niin täydellisyysksioomn nojll on olemss M = sup A R. Lisäksi M = (hrjoitustehtävä). Kosk M / Q j supremum on yksikäsitteinen, niin joukoll A ei ole pienintä ylärj joukoss Q. Siten Q ei toteut täydellisyysksioom. Intuition mukn täydellisyysksioom tk, ettei relikseliss ole reikiä. Reliluvut R voidn määritellä järjestettynä kuntn, jok sisältää rtionliluvut Q j toteutt täydellisyysksioomn. Krkesti snottun relilukujen kikki täydellisyysksioomn liittyvät ominisuudet ovt nlyysiä, muut lgebr. Ongelmn täydellisyysksioomn käytössä on kuitenkin, ettei se nn mitään keino löytää supremumi ti infimumi. Käytännössä ensin on tehtävä (hyvä) rvus j sitten todistettv se oikeksi. Jos joukko ei ole ylhäältä rjoitettu, sillä ei ole supremumi (vstvsti lhlt rjoittmton joukko j infimum). Myöskään tyhjällä joukoll ei ole supremumi eikä infimumi. Usein kuitenkin käytetään seurvi merkintöjä: sup A = A ei ole ylhäältä rjoitettu, inf A = A ei ole lhlt rjoitettu, sup =, inf = (mikä thns luku on tyhjän joukon ylä- j lrj). Käytännössä supremum knntt yrittää määrittää seurvn luseen vull. 8

11 Luse.7. Oletetn, että A R, A, A on ylhäältä rjoitettu j että M on joukon A ylärj. Silloin M = sup A jos j vin jos jokist ε > 0 kohti on olemss sellinen x A, että x > M ε. Todistus. : Oletetn, että M = sup A j tehdään vstoletus: On olemss sellinen ε > 0, että x M ε kikill x A = M ε on joukon A ylärj j M ε < M = M ei ole pienin ylärj. Ristiriit. : Oletetn, että M on joukon A ylärj, jolle luseen ehto pätee. Jos M < M, niin vlitn ε = M M > 0. Nyt on olemss sellinen x A, että x > M ε = M (M M ) = M. Siis M ei ole joukon A ylärj, joten M on joukon A pienin ylärj. Vstv tulos pätee myös infimumille: Luse.8. Oletetn, että A R, A, A on lhlt rjoitettu j että m on joukon A lrj. Silloin m = inf A, jos j vin jos jokist ε > 0 kohti on olemss sellinen x A, että x < m + ε. Esimerkki.9. Olkoon A = { } n n =,,.... Osoit, että sup A =. Rtkisu: Merkitään M =. Nyt n joukon A ylärj., n =,,..., joten M = on Olkoon ε > 0. Vlitn n niin, että n > ε n > ε. Silloin n A j n > M ε. Siten M = sup A. Huom, että tässä ei käytetty vstoletust (toisin kuin edellä). Vstoletus sisältyy luseeseen.7. 9

12 Todistetn seurvksi ilmeiseltä tuntuv väite, että luonnollisten lukujen joukko N ei ole rjoitettu. Tätä ominisuutt on jo käytetty esimerkeissä. Väite ei seur joukon R lgebrllisist (ts. sen lskutoimitusten) ominisuuksist vn todistuksess käytetään täydellisyysksioom. Luse.0 (Arkhimedeen ominisuus). Jokist x R kohti on olemss sellinen n N, että x < n. Todistus. Vstoletus: On olemss sellinen x R, että n x kikill n N. Selvästi voidn olett, että x. = x on joukon N ylärj, joten N on ylhäältä rjoitettu = on olemss M = sup N R (täydellisyysksioom) = M ei ole joukon N ylärj, kosk M on pienin ylärj = on olemss sellinen m N, että m > M (M ei ole ylärj) = m + > M j m + N = M ei voi oll joukon N ylärj. Ristiriit. Kolmnnen j neljännen viheen voi perustell myös vlitsemll A = N j ε = luseess.7. Huomutus.. Arkhimedeen ominisuudest seur, että jokist x > 0 kohti on olemss sellinen n N että n < x (eli n > x ). Arkhimedeen ominisuutt käyttämällä voidn todist seurv luse. Luse.. Khden erisuuren reliluvun välissä on in rtionliluku, ts. rtionliluvut ovt tiheässä joukoss R. Todistus. Olkoot x, y R sellisi, että y x > 0. Osoitetn, että on olemss sellnen m Q, että x < m < y. Todistuksen iden on etsiä niin n n suuri luku n N, että väli ]nx, ny[ sisältää inkin yhden kokonisluvun m. Nyt y x > 0, joten Arkhimedeen ominisuuden nojll löytyy sellinen n N, että n > y x. Kosk y x > 0, niin n < y x. 0

13 Olkoon A = {k Z k > x} = {k Z k > xn} (n > 0). Arkhimedeen ominisuuden nojll A. Nyt n( x) R, joten Arkhimedeen n ominisuuden nojll löytyy sellinen p N, että p > n( x) = p n < x = p, (p + ), (p + ),... / A. Siten A on lhlt rjoitettu kokonislukujen joukko, joten inf A on olemss. Vlitn ε = luseess.8. Tällöin on olemss sellinen m A, että m < inf A + eli m < inf A. Siis m A j m / A, eli m > x j n (m ) x. Näin ollen n m n = m + n n x + < x + (y x) = y, n joten x < m < y. n Seurus.3. Khden erisuuren reliluvun välissä on in irrtionliluku. Todistus. Olkoot luvut x j y sekä y > x. Luseen. nojll välillä ]x, y [ on rtionliluku m n, ts. x < m n < y = x < m n + < y. Lisäksi m n + R\Q, sillä R\Q. Seurus.4. Khden erisuuren reliluvun välissä on äärettömän mont rtionli- j irrtionliluku. Todistus. Olkoot luvut x j y, y > x. Tehdään vstoletus: Lukujen x j y välissä on n kpplett rtionlilukuj. Väli ]x, y[ voidn jk osväleihin, joit on (n + ) kpplett. Luseen. nojll jokisell osvälillä on inkin yksi rtionliluku, joten väliltä ]x, y[ löytyy n + rtionliluku. Tämä on ristiriidss vstoletuksen knss, joten lukujen x j y välissä on ääretön määrä rtionlilukuj. Irrtionlilukuj koskev väite todistetn smll tvll käyttämällä seurust.3. Luse.5 (sisäkkäisten välien perite). Jos [, b ] [, b ] ovt sisäkkäisiä suljettuj välejä ( n, b n R, n =,,...), niin [ n, b n ] n= On siis olemss sellinen x R, että x [ n, b n ] kikill n =,,...

14 Huomutus.6. () Sisäkkäisten välien perite kertoo smn kuin täydellisyysksioomkin eli ettei relikselill ole reikiä. Voidn todist, että sisäkkäisten välien perite on yhtäpitävä täydellisyysksioomn knss. () Luseen knnlt on olennist, että välit ovt suljettuj, esimerkiksi ] [ 0, =. n n= Perustelu: Vstoletus: ] n= 0, n[. Tällöin on olemss sellinen x R, että x ] 0, n[ in, kun n =,,... Tälle luvulle x pätee siis 0 < x < eli n < in, kun n =,,... Tämä on ristiriidss n x Arkhimedeen ominisuuden knss. Huom, että n= [0, ] = {0} (hrjoitustehtävä). n (3) Luseen knnlt on olennist, että välit ovt rjoitettuj: (hrjoitustehtävä). [n, [ = n= Luseen.5 todistus. Merkitään I n = [ n, b n ]. Tällöin I n I kikill n =,,... = n b n b n =,,... = A = { n n =,,...} on ylhäältä rjoitettu j A = on olemss M = sup A R (täydellisyysksioom) Kosk M = sup A on joukon A ylärj, niin n M kikill n =,,... Väite: M b n kikill n =,,... Perustelu: Todistetn, että jokinen b n, n =,,..., on joukon A ylärj. Oletetn, että n on kiinnitetty. k n = I k I n = k b k b n k < n = I n I k = k n b n.

15 Siten k b n jokisell k =,,... = b n on joukon A ylärj = M b n, kosk M on pienin ylärj = n M b n kikill n =,,... = M [ n, b n ]. n= Esimerkki.7. Olkoon x R. Vlitn, b Q, < b niin, että x [, b ]. Jetn väli [, b ] khteen osn keskipisteestä + b j vlitn näistä väli [, b ] niin, että, b Q, < b j x [, b ]. Jtketn näin. Kun [ n, b n ] on vlittu, niin jetn se khteen osn keskipisteestä n + b n j vlitn näistä seurv väli [ n+, b n+ ], n+, b n+ Q, n+ < b n+ niin, että x [ n+, b n+ ]. Siis n+ x b n+ b b. Näin sdn jono suljettuj sisäkkäisiä välejä joiden pituudet [, b ] [, b ], b n n = b n n = = b 0, n kun n. Lisäksi {x} = [ n, b n ]. n= Näin jokinen reliluku sdn määriteltyä rtionlipäätepisteisten välien vull. 3

16 Lukujonoist. Lukujonon rj-rvo Määritelmä.. Relilukujono (x n ) = x, x, x 3,... on kuvus x: Z + R, missä x(n) = x n. Määritelmän trkoitus: Jokist luku n =,,... setetn vstmn reliluku x n. Määritelmää käytetään myös joukon Z + äärettömille osjoukoille numeroimll niiden lkiot uudelleen. Vroitus: Jono (x n ) ei s smist joukkoon Esimerkiksi ovt eri jonoj vikk {x n n =,,...}. (x n ) = 0,, 0,,... (y n ) =, 0,, 0,... {x n n =,,...} = {y n n =,,...} = {0, }. Jonoiss esimerkiksi termien järjestystä ei s muutt! Määritelmä.. Jonon (x n ) snotn suppenevn kohti luku R, jos jokist ε > 0 kohti on olemss sellinen n ε Z +, että x n < ε in, kun n n ε. Tällöin snotn, että on jonon (x n ) rj-rvo j merkitään lim x n = ti x n, kun n. Jos jono ei suppene kohti mitään luku, niin snotn, että se hjntuu. Määritelmän trkoitus: Kikki termit x n ovt mielivltisen lähellä pistettä, kun n on riittävän suuri. 4

17 Huomutus.3. () Suppenevn jonon rj-rvo on yksikäsitteinen luku. Jono ei siis voi supet kohti kht eri luku. Perustelu: Tehdään vstoletus: = lim x n j b = lim x n sekä b. Vlitn ε = b > 0. Tällöin määritelmän. nojll on olemss selliset n ε, n ε Z +, että x n < ε, kun n n ε, j x n b < ε, kun n n ε. Kolmioepäyhtälön nojll on voimss rvio b = b x n + x n b x n + x n < ε + ε = ε = b, kun n mx{n ε, n ε}. Tämä on ristiriit, joten = b. () Rj-rvon määritelmä ei nn keino määrittää rj-rvo. Käytännössä ensin on tehtävä rvus siitä, mikä rj-rvo on, j sitten todistettv rvus oikeksi. Tässä on sm vikeus kuin täydellisyysksioomn käytössä. Joskus rj-rvon snotn olevn (ti ), jolloin käytetään seurv määritelmää. Määritelmä. Jonon (x n ) snotn hjntuvn kohti ääretöntä, merkitään lim n = + (vstvsti ), jos j vin jos jokist M R kohti on olemss sellinen n 0 Z +, että x n > M (vstvsti x n < M) kikill n n 0. Esimerkki.4. (x n ), x n =, n =,,... n Väite: lim x n = 0. Perustelu: Olkoon ε > 0. Silloin x n 0 = n 0 = n < ε, kun n > ε. Vlitn n ε pienimmäksi kokonisluvuksi, jok on suurempi kuin ε (vlint mhdollist Arkhimedeen ominisuuden nojll). 5

18 Esimerkki.5. Jono (x n ) = 0,, 0,,... hjntuu. Perustelu: Vstoletus: Jono (x n ) suppenee. Tällöin rj-rvo = lim x n R on olemss. Siis jokist ε > 0 kohti on olemss sellinen n ε Z +, että x n < ε in, kun n n ε. Erityisesti, luku ε = kohti on olemss sellinen n Z +, että x n < in, kun n n. Täten = x n x n+ x n + x n+ < + = jokisell n n, mikä on ristiriit. Siis jono (x n ) hjntuu. Esimerkki.6. Jono (x n ), x n = ( ) n( n), n =,,... hjntuu (vikk kuvst ktsottun näyttäisikin suppenevn kohti sekä luku että luku ) (hrjoitustehtävä). Esimerkki.7. Tutkitn jono (x n ), x n = 3n +, n =,,..., suppenemist. 5n + 3 Arvuksen tekeminen: Kun n on suuri, niin Väite: lim x n = n + 5n + 3 = 3 + n n 3 5. Perustelu: Olkoon ε > 0. Silloin x n 3 5 = 3n + 5n = 5n + 0 5n 9 5(5n + 3) = 5(5n + 3) < 5n < ε, kun n > 5ε. Siten n ε voidn vlit pienimmäksi kokonisluvuksi, jok on suurempi kuin 5ε. n + Esimerkki.8. (x n ), x n =, n =,,... n Arvuksen tekeminen: Kun n on suuri, niin n + = + n n. 6

19 Väite: lim x n =. Perustelu: Olkoon ε > 0. Silloin x n n + = n = < n < ε, n+ n n+ n + = ( n + + ) n kun n > ε. Siten n ε voidn vlit pienimmäksi kokonisluvuksi, jok on suurempi kuin ε. Määritelmä.9. Jono (x n ) snotn rjoitetuksi, jos sitä vstv joukko {x n } on rjoitettu eli on olemss sellinen reliluku M > 0, että x n M kikill n =,,... Lemm.0. Suppenev jono (x n ) on rjoitettu. Todistus. Olkoon = lim x n. Tällöin ε > 0 n ε Z + siten, että x n < ε, kun n n ε. Vlitn ε =, jolloin Toislt Siis n Z + siten, että x n <, kun n n = x n x n + x n + < +, kun n n. x n mx{ x, x,..., x n }, kun n n. x n mx{ +, x,..., x n } kikill n =,,..., j väite pätee, kun vlitn siinä M = mx{ +, x,..., x n }. Huomutus.. Käänteinen väite ei päde. Siitä, että jono on rjoitettu, ei seur, että se suppenee. Esimerkiksi jono (x n ) = 0,, 0,,... hjntuu vikk se on rjoitettu. Lemm.0 voidn kuitenkin käyttää jonon hjntumisen näyttämiseen. Esimerkiksi jono (x n ), x n = n, n =,,..., ei ole rjoitettu, joten se ei suppene. 7

20 Esimerkki.. Olkoon (x n ), x n = {, n n priton, n, n prillinen. Jono (x n ) ei ole rjoitettu, joten se ei suppene (vikk kuvst ktsottun näyttäisikin suppenevn kohti noll). Esimerkki.3. Trkstelln jono (s n ), missä s n = n Osoit, että jono (s n ) hjntuu., n =,,... k Perustelu: Osoitetn, että (s n ) ei ole rjoitettu. Nyt s =, s = +, s 4 = + ( ) > = +, s 8 = + ( ) ( ) 8 > = + 3. Induktioll luvun n suhteen voidn todist, että s n + n = + n, n = 0,,,..., j + n, kun n. Siis (s n) ei ole rjoitettu, eikä siten suppene. (Hrmoninen srj hjntuu.) Huom, että (s n ) hjntuu todell hitsti: s n, kun n = Lskimest ti tietokoneest ei juurikn ole pu suppenemisen totemisess. Huomutus.4. Rj-rvoille pätevät seurvt lgebrlliset ominisuudet (hrjoitustehtävä): Jos jonot (x n ) j (y n ) suppenevt sekä lim x n = j lim y n = b, niin myös jonot (x n + y n ), (x n y n ) j (x n y n ) suppenevt. Jos y n 0 kikill n =,,..., j b 0, niin myös jono ( xn y n ) suppenee. Näiden jonojen rj-rvot ovt tällöin 8

21 (i) lim (x n + y n ) = + b, (ii) lim (x n y n ) = b, (iii) lim (x n y n ) = b, x n (iv) lim = y n b, kun y n 0, n =,,..., j b 0. Vroitus: Siitä, että summjono (x n + y n ) suppenee, ei voi päätellä, että lkuperäiset jonot (x n ) j (y n ) suppenevt. Vstv tulos pätee muillekin lskutoimuksille. Jos esimerkiksi x n = ( ) n j y n = ( ) n+, n =,,..., niin x n + y n = 0 kikill n =,,... Näin ollen lim (x n + y n ) = 0, mutt jonot (x n ) j (y n ) eivät suppene. Luse.5 (epäyhtälön säilymisen perite). Olkoot (x n ) j (y n ) sellisi suppenevi jonoj, että x n y n kikill n =,,.... Silloin lim x n lim y n. Todistus. Merkitään = lim x n olemss selliset n ε j n ε, että j b = lim y n. Olkoon ε > 0, jolloin on x n < ε, kikill n n ε, j y n b < ε, kikill n n ε. Kosk x n x n j y n b y n b, niin x n < ε j y n b < ε, kun n mx{n ε, n ε} = n ε = b = ( x n ) + (y n b) + (x n y n ) < ε }{{} + ε = ε, kun n n ε 0 = b < ε kikill ε > 0. Täten b 0, eli lim x n = b = lim y n. 9

22 Vroitus: Aito epäyhtälö ei välttämättä säily rjnkäynnissä: x n < y n = / lim x n < lim y n. Esimerkiksi x n = 0, y n =, n =,,... Tällöin n x n < y n, n =,,..., mutt lim x n = 0 = lim y n. Lusett.5 vstv tulos pätee myös silloin, kun rj-rvo on ±. Todistus jätetään hrjoitukseksi. Luse.6. Olkoot (x n ) j (y n ) jonoj. Oletetn, että on olemss sellinen n 0 Z +, että x n y n kikill n n 0. Jos lim x n = +, niin myös lim y n = +. Jos lim y n =, niin myös lim x n =. Jos nnetun jonon lkioille tiedetään sm luku kohti suppenev ylä- j lrj, niin smn tpn kuin epäyhtälön säilymisen perite sdn seurv, käyttökelpoinen tulos. Luse.7 (suppiloperite). Oletetn, että (x n ), (y n ) j (z n ) ovt sellisi jonoj, että x n y n z n kikill n =,,... Jos (x n ) j (z n ) suppenevt kohti sm luku eli lim x n = = lim z n, niin myös (y n ) suppenee j lim y n =. Todistus. Olkoon ε > 0 mielivltinen, jolloin on olemss selliset n ε j n ε, että Kosk x n < ε kikill n n ε, j z n < ε kikill n n ε. x n x n < ε, kun n n ε, j z n z n < ε, kun n n ε, 0

23 niin Siis ε < x n y n z n < + ε, kun n mx{n ε, n ε} = n ε. joten lim y n =. y n < ε, kikill n n ε, Huomutus.8. Suppiloperittess on tärkeää, että jonot (x n ) j (z n ) suppenevt kohti sm luku. Esimerkiksi jonoille x n =, y n = ( ) n j z n =, kun n =,,..., on voimss lim x n = = lim z n j x n y n z n, mutt (y n ) hjntuu. Esimerkki.9. Osoit, että lim sin n n = 0. Rtkisu: Kosk sin n kikill n =,,..., niin n sin n n, n =,,... n Vlitn suppiloperitteess Tällöin x n = n, joten myös lim sin n n = 0. Vroitus: sin n lim n y n = sin n n, z n =, n =,,... n lim x n = lim z n = 0, lim sin n lim n (jälkimmäinen ei ole olemss) Esimerkki.0. Osoit, että lim 5n + 4 5n + 4n + 3 = 0. Rtkisu: Arvioidn lusekett ylöspäin j lspäin (esimerkiksi) seurvsti: 5 n = 5n n = 5n + 4 5n + 4n + 3 5n 5n + 4n + 3n 5n + 4 5n + 4n + 3 5n n 5n + 4n + 3 = n,

24 kun n =,,... Vlitn suppiloperitteess x n = 5 n, y n = jolloin lim x n = lim z n = 0 j siten myös 5n + 4 5n + 4n + 3, z n =, n =,,..., n lim 5n + 4 5n + 4n + 3 = 0. Huom, että nämä esimerkit voidn myös käsitellä suorn suppenevn jonon määritelmän vull.. Monotoniset jonot Määritelmä.. Jono (x n ) snotn (i) ksvvksi, jos x n+ x n kikill n =,,..., idosti ksvvksi, jos x n+ > x n kikill n =,,..., (ii) väheneväksi, jos x n+ x n kikill n =,,..., idosti väheneväksi, jos x n+ < x n kikill n =,,..., (iii) monotoniseksi, jos se on ksvv ti vähenevä, idosti monotoniseksi, jos se on idosti ksvv ti idosti vähenevä. Esimerkki.. () x n = n, n =,,... (x n ) on idosti ksvv. () x n = n, n =,,... (x n) on idosti vähenevä. (3) x n =, n =,,... (x n ) on vkiojonon sekä ksvv että vähenevä. (4) x n = ( ) n, n =,,... (x n ) ei ole ksvv eikä vähenevä. Luse.3 (monotonisen suppenemisen luse). Monotoninen jono suppenee jos j vin jos se on rjoitettu. Lisäksi pätee: (i) Jos (x n ) on ksvv j ylhäältä rjoitettu, niin lim x n = sup{x n n =,,...}.

25 (ii) Jos (x n ) on vähenevä j lhlt rjoitettu, niin lim x n = inf{x n n =,,...}. Todistus. : Jos jono (x n ) suppenee, niin lemmn.0 nojll se on rjoitettu. : Todistetn koht (i). Tällöin erityisesti ksvv j rjoitettu jono suppenee, eli kohdst (i) seur ensimmäisen väitteen toinen suunt ksvville jonoille. Olkoon (x n ) ksvv j ylhäältä rjoitettu. Tällöin on olemss sellinen M R, että Täydellisyysksioomn nojll x n M kikill n =,,... sup{x n n =,,...} = R on olemss. Osoitetn, että = lim x n. Olkoon ε > 0 mielivltinen. Luseen.7 nojll on olemss sellinen n ε, että x nε > ε. Kosk jono (x n ) on ksvv, niin x n x nε > ε kikill n n ε = ε < x n < + ε kikill n n ε ( on ylärj) = ε < x n < ε kikill n n ε = x n < ε n n ε = = lim x n. Koht (ii) todistetn vstvll tvll (hrjoitustehtävä). Huomutus.4. () Edellä monotonisuusoletus on olenninen. Esimerkiksi jono x n = ( ) n, n =,,..., on rjoitettu, mutt se ei suppene. () Voidn osoitt, että monotonisen suppenemisen luse on yhtäpitävä täydellisyysksioomn knss (hrjoitustehtävä). Esimerkki.5 (Newtonin menetelmä). Jtko esimerkkiin.0. Olkoon f(x) = x. Silloin f(x) = 0 x = ±. 3

26 Asetetn x =. Käyrän y = f(x) pisteeseen (x, f(x )) piirretyn tngentin yhtälö on y = f(x ) + f (x )(x x ). Tngentti leikk x-kselin, kun y = 0, eli kohdss x = x f(x ) f (x ) = x x x = x + x. Merkitään x = x + x. Vstvsti käyrän pisteeseen (x, f(x )) piirretty tngentti leikk x-kselin kohdss x 3 = x + x, jne. Iteroidn tätä: Olkoon x =, x n+ = x n + x n, n =,,... Väite : Jos (x n ) suppenee, niin lim x n =. Perustelu: Olkoon = lim x n. Kosk x n, n =,,... (esimerkki.6), niin epäyhtälön säilymisperitteen nojll > 0. = = lim x n+ = lim x n + x n = = = + ( > 0) = = = = ± Kosk > 0, niin =. Väite : Jono (x n ) suppenee (tämä ei ole selvää!). ( ) lim x n + ( ) = lim x n + Perustelu: Esimerkissä.6 on jo osoitettu, että x n+ x n, n =, 3,... j että x n, n =, 3,... Siten jono x, x 3,... on vähenevänä j rjoitettun jonon suppenev. Siis = lim x n on olemss j Väitteen nojll =. Vroitus: Rj-rvon olemssolo on todistettv erikseen rekursiivisesti määritellyille jonoille. Esimerkki.6. Olkoon x =, x n+ = x n +, n =,,... 4

27 Jos = lim x n olisi olemss, niin x n + = lim x n+ = lim = + = 0 = ( ) = 0 = =. = + Tässä tpuksess rj-rvo ei ole olemss, ts. (x n ) ei suppene. Perustelu: sillä x n+ = x n + = x n + x n +, n =,,..., x n x n x n ( xn ) 0 x n, n =,,... Todistetn induktioll, että x n, n =,,... ) x =. ) Tehdään induktio-oletus: x k jollkin k Z +. Tällöin induktiooletuksen nojll x k+ = x k + + = 5. Induktioperitteen nojll x n, n =,,... Tästä seur (induktioll), että x n x n + x n + x + (n ) = + n, kun n =,,... Siten jono (x n ) ei ole rjoitettu eikä se suppene. Esimerkki.7. Olkoon s n = +! +! + + n! = n, n =,,... k! Osoit, että jono (s n ) suppenee. 5

28 Rtkisu: Selvästi (s n ) on (idosti) ksvv, sillä s n+ = s n + (n+)! > s n, kun n =,,.... Lisäksi s n (n )n ( = + + ) ( + ) ( n ) n = 3 n 3, n =,,... Edellä on käytetty ensin rviot k! (k )k j sitten osmurtohjotelm (k )k = k (k ) (k )k = k k, kun k =,..., n. Jono (s n ) siis suppenee, kosk se on ksvv j rjoitettu. Voidn osoitt (tosin ei helposti), että rj-rvo on Neperin luku e =, , toisin snoen e = lim s n = Esimerkki.8. Olkoon x = j x n+ = 6 (x n + 9), n =,,... Osoit, että lukujono (x n ) suppenee j määrää lim x n. Rtkisu: Väite : Jos (x n ) suppenee, niin lim x n = 3. Todistus: Jos = lim x n on olemss, niin k!. = lim x n+ = lim 6 (x n + 9) = (( lim 6 x n) + 9) = = = 0 = ( 3) = 0 = = 3. Väite : 0 < x n < 3 kikill n =,,.... Todistus: Todistetn väite induktioll luvun n suhteen. ) Väite on tosi, kun n =, sillä 0 < x = < 3. 6

29 ) Induktio-oletus: Väite on tosi, kun n = k, toisin snoen 0 < x k < 3. Induktioväite: Väite on tosi, kun n = k +, toisin snoen 0 < x k+ < 3. Induktiotodistus: Kosk x k > 0, niin x k+ = 6 (x k + 9) > 0 j induktiooletuksen nojll x k+ = (x k + 9) < = (kosk 0 < x k < 3, niin x k < 9). Siis 0 < x k+ < 3. Induktioperitteen nojll Väite on tosi kikill n Z +. Väite 3: x n+ > x n kikill n =,,... Todistus: Väitteen nojll x n+ x n = 6 (x n + 9) x n = (x n 3) joten x n+ > x n kikill n Z +. 6 > 0, Täten jono (x n ) on ksvv j (ylhäältä) rjoitettu, joten monotonisen suppenemisen luseen nojll (x n ) suppenee. Väitteen nojll lim x n = 3..3 Osjonot Määritelmä.9. Jono (y k ) snotn jonon (x n ) osjonoksi, jos on olemss selliset luvut n < n <..., että y k = x nk kikill k =,,... Määritelmän trkoitus: Osjono sdn lkuperäisestä jonost jättämällä pois tämän lkioit j numeroimll sdun jonon lkiot uudelleen smss järjestyksessä. Huomutus.30. () Jono (x n ) on sellinen kuvus x: Z + R, että x(n) = x n. Olkoot n k Z + sellisi, että n < n <... Tällöin on olemss kuvus Osjono (x nk ) on yhdistetty kuvus σ : Z + {n, n,...}, σ(k) = n k. x σ : Z + R, (x σ)(k) = x(σ(k)) = x(n k ) = x nk. 7

30 () Huom, että in n k k. Esimerkki.3. Olkoot x n =, n =,,... Seurvss on eräitä jonon n (x n ) osjonoj: ( ) (y k ) = (x k ) = = k, 4, 6,... ( ) (y k ) = (x k ) = =, k 3, 5, 7,... ( ) (y k ) = (x k) = = k, 4, 8, 6,... ( (y k ) = (x k! ) = =, k!)!, 3!,... Seurvt jonot eivät ole jonon (x n ) osjonoj:,, 4, 3, 6, 5,..., 0, 3, 0, 5, 0,...,,,, 3, 3,... Luse.3. Jos jono (x n ) suppenee kohti luku, niin sen jokinen osjono suppenee kohti luku. Kääntäen jos jonon (x n ) jokinen osjono suppenee, niin myös (x n ) suppenee. Todistus. Oletetn, että lim x n =. Olkoon (y k ) jonon (x n ) osjono j y k = x nk, n k k. Kosk lim x n =, niin jokist ε > 0 kohti on olemss sellinen n ε, että Jos k n ε, niin n k k n ε j Siten lim k y k =. x n < ε kikill n n ε. y k = x nk < ε, kun k n ε. Käänteinen väite on selvä, sillä (x n ) on itsensä osjono. 8

31 Huomutus.33. Luse.3 nt keinon todist, että jono hjntuu. Riittää löytää osjono, jok ei suppene, ti kksi osjnono, jotk suppenevt eri lukuj kohti. Muist kuitenkin, että yhden osjonon suppeneminen ei tk lkuperäisen jonon suppenemist. ( Esimerkki.34. Jono x n = ( ) n ), n =,,..., hjntuu. n Perustelu: x n = 0,,, 3, 4, 5, 6,... Jonoll (x n) on suppenevt osjonot (y k ) = (x k ), ( x k = ( ) k ), kun k (prilliset indeksit) k j (y k ) = (x k ), ( x k = ( ) k ), kun k k (prittomt indeksit). Kosk osjonot suppenevt kohti eri lukuj, niin lkuperäinen jono ei suppene. Esimerkki.35. Jono x n = n, n prillinen, n, n priton hjntuu. Perustelu: (x n ) =,, 3, 4, 5, 6, 7,... Osjono (y k) = (x k ) = ( k) suppenee j osjono (y k ) = (x k ) = (k ) ei ole rjoitettu, joten se hjntuu. Siis (x n ) hjntuu. Luse.36 (Bolznon Weierstrssin luse). Rjoitetull jonoll on suppenev osjono. Todistus. Olkoon jono (x n ) rjoitettu. Tällöin on olemss selliset m, M R, että m x n M kikill n =,,... Merkitään = m j b = M. Silloin x n [, b ] kikill n =,,... Jetn väli [, b ] khteen osn keskipisteestään c = + b. 9

32 Tällöin inkin toinen väleistä [, c ], [c, b ] sisältää äärettömän mont jonon (x n ) lkiot, sillä jos molemmt sisältäisivät vin äärellisen mont jonon lkiot, niin koko jonoss olisi vin äärellisen mont lkiot. (Huom, että {x n n =,,...} voi oll äärellinen joukko, mutt sitä ei s smist jonoon (x n ). Esimerkiksi jonon (x n ) =,,,,... lkiot muodostvt joukon {x n n =,,... } = {, }.) Vlitn näistä väli, joss on äärettömän mont jonon lkiot j merkitään sitä [, b ]. Jtketn näin. Olkoon c k = k + b k välin [ k, b k ] keskipiste j vlitn väleistä [ k, c k ], [c k, b k ] se, jok sisältää äärettömän mont jonon lkiot. Merkitään vlittu väliä [ k+, b k+ ]. Kosk välit [ k, b k ], k =,,..., ovt sisäkkäisiä suljettuj välejä, niin sisäkkäisten välien peritteen (luse.5) nojll on olemss sellinen x 0 R, että x 0 [ k, b k ]. Toislt, kosk välien [ k, b k ] pituus niin b k k = b k k = = b k 0, kun k, [ k, b k ] = {x 0 }. Konstruoidn sitten suppenev osjono. Vlitn n =, jolloin x n [, b ]. Vlitn sitten luvut n k+ induktiivisesti niin, että n k+ > n k j x nk+ [ k+, b k+ ]. Tämä on mhdollist, sillä jokinen väli [ k+, b k+ ] sisältää äärettömän mont jonon (x n ) lkiot. Nyt x nk, x 0 [ k, b k ], joten Siis x nk x 0 b k k = b k 0, kun k. x 0 = lim k x nk j (x nk ) kelp suppenevksi osjonoksi. 30

33 Huomutus.37. () Suppenev osjono ei ole yksikäsitteinen. Esimerkiksi jonoll x n = ( ) n, n =,,... on suppenevt osjonot (x k ) =,,... j (x k ) =,,... () Bolznon Weierstrssin luse yleistää monotonisen suppenemisen luseen. Bolznon Weierstrssin luseen nojll erityisesti jokisell rjoitetull monotonisell jonoll on suppenev osjono j monotonisuudest seur, että lkuperäinenkin jono suppenee. (3) Bolznon Weierstrssin luse voidn todist myös monotonisen suppenemisen luseen vull, sillä jokisell jonoll (ilmn mitään ehtoj!) on in monotoninen osjono (hrjoitustehtävä). (4) Voidn todist, että Bolznon Weierstrssin luse on yhtäpitävä täydellisyysksioomn knss (hrjoitustehtävä). Esimerkki.38. Osoitetn, että jokist [0, ] kohti on olemss sellinen jonon (x n ) =, 3, 3, 4, 4, 3 4, 5, 5, 3 5, 4 5,... osjono, jok suppenee kohti luku. Jonon (x n ) lkiot ovt muoto m, missä k =,,... j m =,,..., k, k + olevi rtionlilukuj. Nämä luvut on järjestetty ryhmiin, joill on sm nimittäjä k +, kun k =,,... Selvästi jono (x n ) käy lävitse (numeroi) kikki välin ]0, [ rtionlipisteet, toisin snoen {x n n =,,...} = Q ]0, [. Olkoon [0, ]. Hluttu, luku kohti suppenev, osjono löytyy, kun todistetn seurv väite: Jokist k =,,... kohti on olemss sellinen x nk Q ]0, [, että x nk < k j n k > n k. Todistus: Vlitn n =, jolloin x n = j x n <. 3

34 Oletetn sitten, että indeksit n < n < < n k on vlittu niin, että x nj <, j =,,..., k. j Väli ] k +, + [ ]0, [ k + on epätyhjä, joten seuruksen.4 nojll se sisältää äärettömän mont rtionliluku. Siten on olemss sellinen n k+ > n k, että x nk+ < k +. Näin jono (x nk ) sdn määriteltyä induktiivisesti. Jokist k =,,... kohti on siis olemss sellinen x nk, että x nk < k. Tästä seur, että lim x n k =. k Seurvt käsitteet ovt tärkeitä nlyysin jtkokursseill. Olkoon (x n ) rjoitettu jono, ts. on olemss sellinen M > 0, että x n M kikill n N. (i) Määritellään uusi jono ( n ) settmll Tällöin n = sup{x k k n} = sup x k. k n n+ = sup{x k k n + } = sup x k n k n+ (jos A B, niin sup A sup B), joten jono ( n ) on vähenevä. Lisäksi M x k M kikill k = M n = sup x k M k n = n M kikill n, kikill n joten jono ( n ) on rjoitettu. Luseen.3 nojll ( n ) suppenee j lim n = inf{ n n =,,... }. Tälle rj-rvolle (ns. limes superior) käytetään merkintää lim n = lim sup k n 3 x k = lim sup x n.

35 (ii) Muodostetn vstvsti jono (b n ), jolle b n = inf k n x k, n =,,... Jono (b n ) on ksvv j kuten edellä nähdään, että b n M kikill n. Siten luseen.3 nojll (b n ) suppenee j lim b n = sup{b n n =,,... }. Tälle rj-rvolle (ns. limes inferior) käytetään merkintää lim b n = lim inf x k = lim inf x n. k n Huomutus.39. Olkoon (x n ) rjoitettu jono sekä U = lim sup x n j L = lim inf x n. Todistukset sivuutten minitn, että tällöin (i) L U, (ii) on olemss sellinen osjono (x nk ), että lim k x nk = U, (iii) on olemss sellinen osjono (x nl ), että lim l x nl = L, (iv) Jono (x n ) suppenee jos j vin jos L = U. Esimerkki.40. Merkitään U = lim sup x n j L = lim inf x n. () Olkoon x n = ( ) n, n =,,... Tällöin U = j L =. j jono (x n ) hjntuu (vert huomutuksen.39 kohtn (iv)). () Olkoon x n = n, n =,,... Tällöin U = L =, joten huomutuksen n+.39 kohdn (iv) mukn myös lim x n = (hrjoitustehtävä). (3) Olkoon x n = n(+( ) n ), n =,,... Tällöin L = 0 j U ei ole olemss (hrjoitustehtävä)..4 Cuchyn jono Määritelmä.4. Jono (x n ) snotn Cuchyn jonoksi, jos jokist ε > 0 kohti on olemss sellinen n ε Z +, että x n x m < ε in, kun n, m n ε. 33

36 Määritelmän trkoitus: Kikki jonon termit x n ovt mielivltisen lähellä toisin, kun n on riittävän suuri. Huomutus.4. () Vikk Cuchyn jonon määritelmä näyttää melkein smlt kuin jonon rj-rvon määritelmä, siinä on vin jonon termejä eikä mhdollist rj-rvo. () Ehto voidn kirjoitt muodoss: x n x n+p < ε in, kun n n ε j p Z +. Vroitus: Cuchyn ehto ei voi kirjoitt seurvsti: jokist ε > 0 kohti on olemss sellinen n ε Z +, että eli Esimerkiksi käy jono x n x n+ < ε in, kun n n ε lim (x n x n+ ) = 0. (x n ) =,,, 3, 3, 3, 3 4, 3 4, 33 4,... Silloin lim (x n x n+ ) = 0, mutt (x n ) ei ole Cuchyn jono (jono (x n ) ei myöskään suppene). Esimerkki.43. Osoitetn, että jono (x n ), x n =, n =,,..., on Cuchyn n jono. Olkoon ε > 0 mielivltinen. Tällöin kolmioepäyhtälön nojll x n x m = n m n + m < ε + ε = ε, kun n, m > ε. Siten n ε voidn vlit (esimerkiksi) pienimmäksi kokonisluvuksi, jok on suurempi kuin ε. Esimerkki.44. Osoitetn, että (x n ), x n = n+, n =,,..., on Cuchyn n jono. Olkoon ε > 0 mielivltinen. Tällöin kolmioepäyhtälön nojll x n x m = n + n m + m = mn + m (mn + n) nm = m n nm n + m < ε + ε = ε, kun n, m > 4 ε. Siten n ε voidn vlit (esimerkiksi) pienimmäksi kokonisluvuksi, jok on suurempi kuin 4 ε. 34

37 Esimerkki.45. Osoitetn, että jono (x n ), x n = + ( ) n, n =,,..., ei ole Cuchyn jono. On siis osoitettv, että löytyy sellinen ε > 0, että jokist N N kohti on olemss selliset n, m N, että x n x m ε. Kosk x n x n+ =, niin edellä voidn vlit ε = j nähdään, että (x n ) ei ole Cuchyn jono. Huom, että kksi peräkkäistä termiä riittävät vstesimerkkiin. Luse.46 (Cuchyn suppenemiskriteeri). Relilukujono (x n ) suppenee jos j vin jos se on Cuchyn jono. Todistus. : Oletetn, että jono (x n ) suppenee j = lim x n. Olkoon ε > 0 mielivltinen. Tällöin on olemss sellinen n ε, että x n < ε kikill n n ε. Siten x n x m x n + x m < ε + ε = ε kikill n, m n ε, eli (x n ) on Cuchyn jono. : Olkoon (x n ) Cuchyn jono. Osoitetn ensin, että jono (x n ) on rjoitettu. Kosk (x n ) on Cuchyn jono, niin luku ε = kohti on olemss sellinen n, että x n x m <, kun n, m n = x n x n + x n x n x n +, kun n n. Lisäksi x n mx{ x,..., x n }, kun n < n. Täten x n mx{ x,..., x n, x n + } = M kikill n =,,... eli jono (x n ) on rjoitettu. Bolznon Weierstrssin luseen (luse.36) nojll jonoll (x n ) on suppenev osjono (x nk ). Merkitään = lim k x nk 35

38 j osoitetn, että tämä on myös jonon (x n ) rj-rvo. Kolmioepäyhtälön nojll x n x n x nk + x nk. jokisell n, k Z. Olkoon ε > 0 mielivltinen. Kosk (x n ) on Cuchyn jono, niin on olemss sellinen n ε, että x n x nk < ε, kun n, n k n ε. Kosk jono (x nk ) suppenee, niin on olemss sellinen n ε, että x nk < ε, kun n k n ε. Vlitn kiinteä n k mx{n ε, n ε}. Silloin eli = lim x n. x n < ε + ε = ε, kikill n n ε, Huomutus.47. () Todistuksest nähdään, että Cuchyn jono suppenee jos j vin jos sillä on yksikin suppenev osjono. Sm ominisuus pätee monotonisille rjoitetuille jonoille, mutt ei mielivltisille (rjoitetuille) jonoille. () Cuchyn suppenemiskriteeri on yhtäpitävä täydellisyysksioomn knss (hrjoitustehtävä). (3) Luseen.46 mukn relilukujonon rj-rvo ei trvitse tietää, kun osoitetn, että jono suppenee. Pelkkien jonon lkioiden trkstelu riittää. Esimerkki.48. Osoitetn, että jono (s n ), s n =, n =,,..., sup- k penee eli rj-rvo on olemss. lim s n = lim n n k = k 36

39 Tehdään tämä osoittmll, että (s n ) on Cuchyn jono. Olkoon ε > 0. Jos m > n, niin s n s m = = = m k m k(k ) k=n+ k=n+ m k + k k(k ) = m ( k ) k k=n+ k=n+ ( n ) ( + n + n + ) ( + + n + m ) m = n m < n < ε, kun n > ε. Jos n m, niin vihtmll edellä lukujen n j m roolit nähdään, että Tästä seur, että s n s m < m < ε, kun m > ε. s n s m < ε kikill n, m > ε, joten (s n ) on Cuchyn jono j se suppenee Cuchyn kriteerin nojll. On mhdollist todist, että lim s n = π 6. Esimerkki.49. Osoitetn, että jono (s n ), s n =, n =,,..., h- k jntuu. Nyt n s n s n = n + + n n n n =. Vlitn ε =. Tällöin jokist N N kohti on olemss selliset n N j m = n N, että s n s n = ε, joten (s n ) ei ole Cuchyn jono eikä siten suppene. Esimerkki.50. Osoitetn, että jono (s n ), s n = n ( ) k+ k = ( )n+ n, 37

40 suppenee, toisin snoen että lim s n = ( ) k+ k on olemss. Tehdään tämä osoittmll, että (s n ) on Cuchyn jono. Olkoon ε > 0. Olkoon luksi m > n j osoitetn, että s m s n < kikill n =,,... n+ Trkstelu on prs jk khteen osn sen mukn, onko m n prillinen vi priton:. Jos m = n + p (eli m n on prillinen luonnollinen luku), niin n+p s m s n = s n+p s n = ( ) k+ k k=n+ = n + n m m = n + n m m = ( n + n + ) n + 3 < n + kikill n =,,... ( m ) m m. Jos m = n + p + (eli m n on priton luonnollinen luku), niin n+p+ s m s n = s n+p+ s n = ( ) k+ k k=n+ = n + n m m + m = n + n m m + m = ( n + n + ) ( n + 3 m ) m < kikill n =,,... n + Näiden khden kohdn nojll s m s n < n + < n < ε, kun n > ε. 38

41 Jos toislt n m, niin vihtmll edellä lukujen n j m roolit nähdään, että s n s m < m + < m < ε, kun m > ε. Tästä seur, että s n s m < ε, kun n, m > ε, joten (s n ) on Cuchyn jono j suppenee Cuchyn kriteerin nojll. Lisätieto: Jonon (s n ) rj-rvo on ns. lternoiv hrmoninen srj, johon pltn myöhemmin srjoj trkstelevss luvuss. Voidn osoitt, että tämä rj-rvo on ( ) k+ = ln. k Huomutus.5. () Kurssill Anlyysi III tutkitn täydellisiä vruuksi, jotk määritelmänsä nojll ovt sellisi, että jokinen Cuchyn jono suppenee. () Reliluvut voidn konstruoid käyttämällä rtionlilukujen Cuchyn jonoj: Olkoot (x n ), (y n ) Cuchyn jonoj, missä x n, y n Q, n =,,... Määritellään ekvivlenssireltio Cuchyn jonoille settmll (x n ) (y n ) lim (x n y n ) = 0. Reliluvut voidn nyt määritellä tämän ekvivlenssin ekvivlenssiluokkin. 39

42 3 Funktion rj-rvo j jtkuvuus 3. Peruskäsitteitä Kerrtn luksi peruskäsitteitä kurssist PM I. Funktio f : A B on sääntö, jok liittää jokiseen määritysjoukon eli lähtöjoukon A = D f lkioon x yksikäsitteisesti jonkin mlijoukon B lkion y, merkitään y = f(x). Joukko R f = {y B y = f(x), x A} on funktion f kuv- eli rvojoukko. Tätä merkitään usein myös f(a). Funktiot f : A B snotn () surjektioksi, jos R f = B, () injektioksi, jos on voimss ehto x x = f(x ) f(x ), (3) bijektioksi, jos se on injektio j surjektio. Injektion ehdon voi ilmist myös muodoss f(x ) = f(x ) = x = x. Esimerkki 3.. Olkoon f : A B, f(x) = x. () Jos A = B = R eli f : R R, niin f ei ole injektio (f( x) = f(x)) eikä surjektio ( / R f )). () Jos A = R j B = {x R x 0} eli f : R {x R x 0}, niin f on surjektio, mutt ei ole injektio. (3) Jos A = B = {x R x 0} eli f : {x R x 0} {x R x 0}, niin f on surjektio j injektio (f(x ) = f(x ) = x = x = x = x, sillä x, x 0), joten f on bijektio. Huomutus 3.. Ellei toisin minit, niin tällä kurssill käytetään seurv sopimust: Kun funktio f on nnettu lusekkeen, niin sen määritysjoukko D f on ljin mhdollinen relilukujen osjoukko, joss luseke on mielekäs. Esimerkiksi funktion f(x) = + x 3 x+5 määritysjoukko on D f = {x R x > 5 j x 3}. 40

43 Olkoon E perusjoukko j A, B E. Tällöin (i) A = {x E x / A} on joukon A komplementti, (ii) A B = {x E x A ti x B} on joukkojen A j B unioni eli yhdiste, (iii) A B = {x E x A j x B} on joukkojen A j B leikkus, (iv) A\B = {x E x A j x / B} on joukkojen A j B (joukkoopillinen) erotus. Unionille, leikkukselle j komplementille pätevät De Morgnin lit: (A B) = A B, (A B) = A B. Näiden todistus jätetään hrjoitustehtäväksi. Määritelmä 3.3. Pisteen x 0 R (ε-säteiseksi) ympäristöksi snotn väliä ]x 0 ε, x 0 + ε[ (ts. siinä ovt ne x R, joiden etäisyys pisteestä x 0 on (idosti) pienempi kuin ε). Joukko A R snotn voimeksi, jos jokisell joukon A pisteellä on ympäristö, jok sisältyy joukkoon A. Joukko A R snotn suljetuksi, jos sen komplementti on voin. A = R\A = {x R x / A} Esimerkki 3.4. Väli ]0, [ on voin joukko. Väli A = [0, ] on suljettu, sillä A = {x R x < 0 ti x > } on voin. Jokinen äärellinen pistejoukko A = {x, x,..., x n } on suljettu. Erityisesti yksiö {x } on suljettu. Relilukujen joukko R sekä tyhjä joukko ovt sekä voimi että suljettuj (nämä ovt inot joukon R osjoukot, joill on tämä ominisuus). Määritelmä 3.5. Pistettä x 0 R snotn joukon A R ksutumispisteeksi, jos jokist ε > 0 kohti on olemss sellinen piste x A, että x x 0 j x x 0 < ε. Määritelmän trkoitus: x 0 on joukon A R ksutumispiste, jos jokinen pisteen x 0 ympäristö ]x 0 ε, x 0 + ε[ sisältää joukon A pisteen, jok ei ole x 0. 4

44 Esimerkki 3.6. () Joukon ]0, [ ksutumispisteiden joukko on [0, ]. () Joukon ]0, [ {} ksutumispisteiden joukko on [0, ]. (3) Joukoll {0, } ei ole ksutumispisteitä. (4) Joukon { n n =,,...} ksutumispisteiden joukko on {0}. (5) Joukon Q [0, ] ksutumispisteiden joukko on [0, ]. Vroitus: Ksutumispiste ei välttämättä kuulu joukkoon. Luse 3.7. Piste x 0 R on joukon A R ksutumispiste jos j vin jos on olemss sellinen jono (x n ), että x n A, x n x 0 kikill n =,,... j lim x n = x 0. Todistus. : Olkoon x 0 R joukon A ksutumispiste. Tällöin jokist n =,,... kohti on olemss sellinen x n A, x n x 0, että Jonolle (x n ) pätee nyt lim x n = x 0. x n x 0 < n. : Oletetn, että x n A, x n x 0 kikill n =,,... j lim x n = x 0 = ε > 0 n ε siten, että x n x 0 < ε, kun n n ε = ε > 0 pätee x nε A, x nε x 0 j x nε x 0 < ε = x 0 on joukon A ksutumispiste. Suljettu joukko voidn luonnehti myös seurvll tvll (tulost ei todistet tällä kurssill). Seurus 3.8. Joukko A R on suljettu jos j vin jos A sisältää kikkien suppenevien jonojens rj-lkiot. Huomutus 3.9. () Topologiss seurus 3.8 on myös suljetun joukon määritelmä. () Luseen 3.7 nojll seurus 3.8 sdn seurvn muotoon: Joukko A R on suljettu jos j vin jos A sisältää kikki ksutumispisteensä. 4

45 3. Funktion rj-rvo Määritelmä 3.0. Olkoon A R, f : A R funktio j x 0 R joukon A ksutumispiste. Luku R snotn funktion f rj-rvoksi pisteessä x 0, jos jokist ε > 0 kohti on olemss sellinen δ > 0, että f(x) < ε in, kun 0 < x x 0 < δ j x A. Tällöin merkitään f(x), kun x x 0, ti lim f(x) =. x x 0 Huomutus 3.. () Määritelmässä δ riippuu vin luvust ε j pisteestä x 0. () Rj-rvo on lokli ominisuus: vin se, mitä tphtuu pisteen x 0 mielivltisen pienessä ympäristössä vikutt funktion f rj-rvoon pisteessä x 0. (3) Funktion ei trvitse oll määritelty pisteessä x 0 j vikk se olisikin määritelty, niin sen rvo pisteessä x 0 ei vikut rj-rvoon. Tämä on tärkeää myös derivtn määritelmässä (ks. PM I): f : R R on derivoituv pisteessä x 0 R, jos f(x) f(x 0 ) lim x x 0 x x 0 on olemss. Huom, että erotusosmäärää ei ole määritelty pisteessä x = x 0. (4) Jos rj-rvo on olemss, se on yksikäsitteinen (todistus hrjoituksen). Esimerkki 3.. Olkoon f : R R, f(x) = 5x +. Osoitetn, että f(x) =. lim x Olkoon ε > 0. Tutkitn, miten δ > 0 on vlittv, jott f(x) < ε, kun 0 < x < δ. Nyt f(x) = 5x + = 5x 0 = 5 x < ε, kun 0 < x < ε, joten voidn vlit δ = ε. Täten lim f(x) =. 5 5 x Esimerkiksi f(x) < 000 = ε, kun 0 < x <

46 Esimerkki 3.3. Olkoon f : R\{0} R, f(x) = x x f(x) = 0 (vikk funktiot f ei ole määritelty pisteessä x = 0). lim x 0 Olkoon ε > 0. Tällöin f(x) 0 = x x 0 = x < ε,. Osoitetn, että kun 0 < x 0 < ε, joten voidn vlit δ = ε määritelmässä 3.0. Esimerkki 3.4. Olkoon f : R R, f(x) = x j x 0 R mielivltinen. Osoitetn, että lim x x0 f(x) = x 0. Olkoon ε > 0 mielivltinen j x 0 R. Selvästi Jos x x 0, niin Tästä seur, että f(x) x 0 = x x 0 = x x 0 x + x 0. x + x 0 x x 0 + x 0 x 0 +. x x 0 ( x 0 + ) x x 0 < ε, kun { Vlitn δ = min, x x 0 < ε x 0 + ε x 0 + }, jolloin j x x 0 <. Jos esimerkiksi x 0 = j ε = f(x) f(x 0 ) < ε kun 0 < x x 0 < δ. 000, niin f(x) 4 <, kun 0 < x < 000 Luse 3.5 (funktion rj-rvon jonokrkteristio). Jos f : A R, x 0 on joukon A ksutumispiste j R, niin seurvt väitteet ovt yhtäpitäviä: (i) lim x x0 f(x) =, (ii) Jokiselle jonolle (x n ), jolle x n A, x n x 0 kikill n =,,... j lim x n = x 0, pätee lim f(x n) =. 44

47 Todistus. (i) (ii) : Olkoon lim f(x) =. Olkoot lisäksi x n A, x n x 0 x x0 kikill n =,,... j lim x n = x 0. Osoitetn, että lim f(x n ) =. Olkoon ε > 0. Kosk lim x x0 f(x) =, niin on olemss sellinen δ > 0, että f(x) < ε in, kun 0 < x x 0 < δ j x A. Kosk lim x n = x 0, niin on olemss sellinen n δ, että Siten 0 < x n x 0 < δ, kun n n δ (oletetuksen mukn x n x 0 ). joten lim f(x n ) =. f(x n ) < ε, kikill n n δ, (ii) (i) : Tehdään vstoletus: (i) ei toteudu eli on olemss sellinen ε > 0, että jokist δ > 0 kohti on olemss x A, jolle 0 < x x 0 < δ j f(x) ε. Vlitn δ n = n, n =,,... Tällöin jokist n Z + kohti on olemss sellinen x n A, että 0 < x n x 0 < n j f(x n) ε. Täten lim x n = x 0, mutt jono (f(x n )) ei suppene kohti luku. Tämä on ristiriit. Esimerkki 3.6. Osoitetn, että funktioll f : R R,, x > 0, f(x) = 0, x = 0,, x < 0. ei ole rj-rvo pisteessä 0. Olkoot x n =, y n n =, n =,,... Silloin n mutt lim x n = lim y n = 0, lim f(x n) = lim = j lim f(y n ) = lim =. Luseen 3.5 nojll lim x 0 f(x) ei ole olemss. 45

48 Esimerkki 3.7. Osoitetn, että funktioll f : ]0, [ R, f(x) = x ei ole rj-rvo pisteessä 0. Olkoon x n =, n =,,... n Silloin lim x n = 0, mutt jono (f(x n )) = (n) hjntuu. Luseen 3.5 nojll lim f(x) ei ole x 0 olemss. Esimerkki 3.8. Osoitetn, että funktioll f : R \ {0} R, f(x) = sin x ei ole rj-rvo pisteessä 0. Olkoot x n = πn, y n = πn + π, n =,,... Silloin lim x n = lim y n = 0, mutt lim f(x n) = lim sin(πn) = lim 0 = 0 j ( lim f(y n) = lim sin πn + π ) = lim sin π =. Luseen 3.5 nojll lim f(x) ei ole olemss. x 0 Edelliset esimerkit (joiss rj-rvo ei ole olemss) voidn todist myös muodollisesti rj-rvon määritelmän 3.0 vull tekemällä vstoletus j johtmll ristiriit. 3.3 Funktion jtkuvuus Määritelmä 3.9. Olkoon A R, f : A R j x 0 A. Funktiot f snotn jtkuvksi pisteessä x 0, jos jokist ε > 0 kohti on olemss sellinen δ > 0, että f(x) f(x 0 ) < ε, kun x x 0 < δ j x A. Funktiot f snotn jtkuvksi joukoss A, jos se on jtkuv joukon A jokisess pisteessä. Jos funktio ei ole jtkuv, sitä snotn epäjtkuvksi. 46

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Mtemtiikn tukikurssi Kurssikert 4 Tilvuuden j vipn ln lskeminen Kuten iemmin käsittelimme, määrätyn integrlin vull voi lske pintloj j tilvuuksi. Tyypillisenä sovelluksen tilvuuden lskemisest on tpus, joss

Lisätiedot

Riemannin integraalista

Riemannin integraalista TAMPEREEN YLIOPISTO Pro grdu -tutkielm Aij Stenberg Riemnnin integrlist Mtemtiikn j tilstotieteen litos Mtemtiikk Syyskuu 2010 2 Tmpereen yliopisto Mtemtiikn j tilstotieteen litos STENBERG, AIJA: Riemnnin

Lisätiedot

Riemannin integraalista

Riemannin integraalista Lebesguen integrliin sl. 2007 Ari Lehtonen Riemnnin integrlist Johdnto Tämän luentomonisteen trkoituksen on tutustutt lukij Lebesgue n integrliin j sen perusominisuuksiin mhdollisimmn yksinkertisess tpuksess:

Lisätiedot

Sisältö. Integraali 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 20

Sisältö. Integraali 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 20 Integrli 10. syyskuut 2005 sivu 1 / 20 Sisältö 1 Määrätty integrli j integrlifunktio 2 1.1 Integroituvist funktioit 3 1.2 Määrätyn integrlin ominisuuksi 4 1.3 Integrlifunktio 5 1.4 Integrlilskennn tärkeimmät

Lisätiedot

Matematiikan peruskurssi. Seppo Hassi

Matematiikan peruskurssi. Seppo Hassi Mtemtiikn peruskurssi Seppo Hssi Syksy 2014 iii Esipuhe Tämä on 1. versio Mtemtiikn peruskurssin opetusmonisteest, jonk sisältö noudttelee pitkälti Vsn yliopistoss iemmin luennoimni Mtemttiset menetelmät

Lisätiedot

Matemaattiset menetelmät I. Seppo Hassi

Matemaattiset menetelmät I. Seppo Hassi Mtemttiset menetelmät I Seppo Hssi Syksy 2011 iii Esipuhe Tämä on 1. versio Mtemttiset menetelmät I-kurssin opetusmonisteest, jok perustuu Vsn yliopistoss luennoimni vstvn nimiseen kurssiin. Sisältö noudtt

Lisätiedot

2.4 Pienimmän neliösumman menetelmä

2.4 Pienimmän neliösumman menetelmä 2.4 Pienimmän neliösummn menetelmä Optimointimenetelmiä trvitn usein kokeellisen dtn nlysoinniss. Mittuksiin liittyy virhettä, joten mittus on toistettv useit kertoj. Oletetn, että mittn suurett c j toistetn

Lisätiedot

10. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA

10. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA MAA0 0. Määrätyn integrlin käyttö eräiden pint-lojen lskemisess 0. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA Edellä on todettu, että f (x)dx nt x-kselin j suorien x =, x = sekä funktion

Lisätiedot

Mika Hirvensalo. Insinöörimatematiikka B 2014

Mika Hirvensalo. Insinöörimatematiikka B 2014 Mik Hirvenslo Insinöörimtemtiikk B 4 Sisältö Rj-rvo j jtkuvuus....................................................... 5. Differentili- j integrlilskennn kehityksestä............................. 5. Relilukujen

Lisätiedot

3.3 KIELIOPPIEN JÄSENNYSONGELMA Ratkaistava tehtävä: Annettu yhteydetön kielioppi G ja merkkijono x. Onko

3.3 KIELIOPPIEN JÄSENNYSONGELMA Ratkaistava tehtävä: Annettu yhteydetön kielioppi G ja merkkijono x. Onko 3.3 KILIOPPIN JÄSNNYSONGLMA Rtkistv tehtävä: Annettu yhteydetön kielioppi G j merkkijono x. Onko x L(G)? Rtkisumenetelmä = jäsennyslgoritmi. Useit vihtoehtoisi menetelmiä, erityisesti kun G on jotin rjoitettu

Lisätiedot

11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS

11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS 11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS Tilvuus on sen verrn rkielämässä viljelty käsite, että useimmiten sen syvemmin edes miettimättä ymmärretään, mitä juomlsin ti pikkuvuvn kylpymmeen tilvuudell trkoitetn.

Lisätiedot

x > y : y < x x y : x < y tai x = y x y : x > y tai x = y.

x > y : y < x x y : x < y tai x = y x y : x > y tai x = y. ANALYYSIN TEORIA A Kaikki lauseet eivät ole muotoiltu samalla tavalla kuin luennolla. Ilmoita virheistä yms osoitteeseen mikko.kangasmaki@uta. (jos et ole varma, onko kyseessä virhe, niin ilmoita mieluummin).

Lisätiedot

Integraalilaskentaa. 1. Mihin integraalilaskentaa tarvitaan? MÄNTÄN LUKIO

Integraalilaskentaa. 1. Mihin integraalilaskentaa tarvitaan? MÄNTÄN LUKIO Integrlilskent Tämä on lukion oppimterileist hiemn poikkev yksinkertistettu selvitys määrätyn integrlin lskemisest. Kerromme miksi integroidn, mitä integroiminen trkoitt, miten integrli lsketn j miten

Lisätiedot

Matematiikkaolympialaiset 2008 kuusi vaikeaa tehtävää

Matematiikkaolympialaiset 2008 kuusi vaikeaa tehtävää Solmu 3/2008 Mtemtiikkolympiliset 2008 kuusi vike tehtävää Mtti Lehtinen Mnpuolustuskorkekoulu 49. Knsinväliset mtemtiikkolympiliset pidettiin Mdridiss 4. 22. heinäkuut 2008. Kilpilijoit oli 535 j he edustivt

Lisätiedot

ICS-C2000 Tietojenkäsittelyteoria Kevät 2015

ICS-C2000 Tietojenkäsittelyteoria Kevät 2015 ICS-C2 Tietojenkäsittelyteori Kevät 25 Kierros 3, 26. 3. tmmikuut Demonstrtiotehtävien rtkisut D: Ldi epädeterministinen äärellinen utomtti, jok test onko nnetun inäärijonon kolmnneksi viimeinen merkki,

Lisätiedot

1.3 Toispuoleiset ja epäoleelliset raja-arvot

1.3 Toispuoleiset ja epäoleelliset raja-arvot . Toisuoleiset j eäoleelliset rj-rvot Rj-rvo lim f () A olemssolo edellyttää että muuttuj täytyy void lähestyä rvo kummst suust hyväsä. Jos > ii sot että lähestyy rvo oikelt ositiivisest suust. Jos ts

Lisätiedot

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 5.2.2013

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 5.2.2013 Preliminäärikoe Pitkä Mtemtiikk 5..0 Kokeess s vstt enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä ( * ) merkittyjen tehtävien mksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien mksimipistemäärä on 6.. ) Rtkise yhtälö b)

Lisätiedot

OSA 1: POLYNOMILASKENNAN KERTAUSTA, BINOMIN LASKUSÄÄNTÖJÄ JA YHTÄLÖNRATKAISUA

OSA 1: POLYNOMILASKENNAN KERTAUSTA, BINOMIN LASKUSÄÄNTÖJÄ JA YHTÄLÖNRATKAISUA OSA 1: POLYNOMILASKENNAN KERTAUSTA, BINOMIN LASKUSÄÄNTÖJÄ JA YHTÄLÖNRATKAISUA Tekijät: Ari Heimonen, Hellevi Kupil, Ktj Leinonen, Tuomo Tll, Hnn Tuhknen, Pekk Vrniemi Alkupl Tiedekeskus Tietomn torninvrtij

Lisätiedot

Syksyn 2015 Pitkän matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut

Syksyn 2015 Pitkän matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut Sksn 0 Pitkän mtemtiikn YO-kokeen TI-Nspire CAS -rtkisut Tekijät: Olli Krkkulinen Rtkisut on ldittu TI-Nspire CAS -tietokoneohjelmll kättäen Muistiinpnot -sovellust. Kvt j lskut on kirjoitettu Mth -ruutuihin.

Lisätiedot

VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 3.6.2014 Ratkaisut ja arvostelu

VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 3.6.2014 Ratkaisut ja arvostelu VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 3.6.4 Rtkisut j rvostelu. Koululisen todistuksen keskirvo x on lskettu ) b) c) d) kymmenen ineen perusteell. Jos koululinen nostisi neljän ineen

Lisätiedot

4 Taso- ja avaruuskäyrät

4 Taso- ja avaruuskäyrät P2-luentoj kevät 2008, Pekk Alestlo 4 Tso- j vruuskäyrät Tässä luvuss tutustutn tso- j vruuskäyriin, niiden krenpituuteen j krevuuteen. Konkreettisin sovelluksin trkstelln nnettu rt pitkin liikkuvn hiukksen

Lisätiedot

Analyysin perusteet kauppatieteilijöille 800118P

Analyysin perusteet kauppatieteilijöille 800118P Anlyysin perusteet kupptieteilijöille 800118P Luentomoniste Kri Myllylä Niin Korteslhti Topi Törmä Oulun yliopisto Mtemttisten tieteiden litos Kevät 2015 Sisältö 1 Derivtt 3 1.1 Määritelmä..............................

Lisätiedot

Esimerkki 8.1 Määritellään operaattori A = x + d/dx. Laske Af, kun f = asin(bx). Tässä a ja b ovat vakioita.

Esimerkki 8.1 Määritellään operaattori A = x + d/dx. Laske Af, kun f = asin(bx). Tässä a ja b ovat vakioita. 8. Operttorit, mtriisit j ryhmäteori Mtemttinen operttori määrittelee opertion, jonk mukn sille nnettu funktiot muoktn. Operttorit ovt erityisen tärkeitä kvnttimekniikss, kosk siinä jokist suurett vst

Lisätiedot

Painopiste. josta edelleen. x i m i. (1) m L A TEX 1 ( ) x 1... x k µ x k+1... x n. m 1 g... m n g. Kuva 1. i=1. i=k+1. i=1

Painopiste. josta edelleen. x i m i. (1) m L A TEX 1 ( ) x 1... x k µ x k+1... x n. m 1 g... m n g. Kuva 1. i=1. i=k+1. i=1 Pinopiste Snomme ts-ineiseksi kpplett, jonk mteriliss ei ole sisäisiä tiheyden vihteluj. Tällisen kppleen pinopisteen sijinti voidn joskus päätellä kppleen muodon perusteell. Esimerkiksi ts-ineisen pllon

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi. Hannu Kivimäki

Matematiikan tukikurssi. Hannu Kivimäki Mtemtiikn tukikurssi Hnnu Kivimäki Sisältö I Ensimmäinen välikoe Integrointi 2 Osittisintegrointi 5 3 Osmurtohjotelm 4 Lisää osmurtoj 4 5 Sijoituskeino 9 6 Määrätty integrli 2 7 Ylä- j lsumm 22 8 Määrätyn

Lisätiedot

AUTOMAATTIEN SYNKRONISAATIOSTA

AUTOMAATTIEN SYNKRONISAATIOSTA AUTOMAATTIEN SYNKRONISAATIOSTA John Kopr Pro grdu -tutkielm Huhtikuu 015 MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS TURUN YLIOPISTO TURUN YLIOPISTO Mtemtiikn j tilstotieteen litos KOPRA, JOHAN: Automttien synkronistiost

Lisätiedot

Jouni Sampo. 28. marraskuuta 2012

Jouni Sampo. 28. marraskuuta 2012 A2 Jouni Smpo 28. mrrskuut 2012 Sisältö 1 Integrointitekniikoit 2 1.1 Osittisintegrointi (Integrtion by prts)...................... 2 1.2 Sijoitus (Method of Substitution).......................... 2 1.3

Lisätiedot

Pythagoraan lause. Pythagoras Samoslainen. Pythagoraan lause

Pythagoraan lause. Pythagoras Samoslainen. Pythagoraan lause Pythgorn luse Pythgors Smoslinen Pythgors on legendrinen kreikklinen mtemtiikko j filosofi. Tiedot hänen elämästään ovt epävrmoj j ristiriitisi. Tärkein Pythgorst j pythgorlisi koskev lähde on Lmlihosin

Lisätiedot

Matematiikan perusteet taloustieteilijöille 2 800118P

Matematiikan perusteet taloustieteilijöille 2 800118P Mtemtiikn perusteet tloustieteilijöille 2 800118P Luentomoniste Kri Myllylä Niin Korteslhti Oulun yliopisto Mtemttisten tieteiden litos Kevät 2014 Sisältö 1 Mtriisilgebr j optimointi 4 11 Määritelmä 4

Lisätiedot

Ristitulo ja skalaarikolmitulo

Ristitulo ja skalaarikolmitulo Ristitulo j sklrikolmitulo Opetussuunnitelmn 00 mukinen kurssi Vektorit (MAA) sisältää vektoreiden lskutoimituksist keskeisenä ineksen yhteenlskun, vähennyslskun, vektorin kertomisen luvull j vektoreiden

Lisätiedot

521. 522. 523. 524. 525. 526. 527. 12. Lisää määrätystä integraalista. 12.1. Integraalin arvioimisesta. Osoita: VASTAUS: Osoita: Osoita:

521. 522. 523. 524. 525. 526. 527. 12. Lisää määrätystä integraalista. 12.1. Integraalin arvioimisesta. Osoita: VASTAUS: Osoita: Osoita: 12. Lisää määrätystä integrlist 12.1. Integrlin rvioimisest 521. Osoit: 1 + x 2 22 1 < < 1 + x21 21. 522. Osoit: x 3 < 5 x 6 + 8x + 9 < 15 1 5. 523. Osoit: 2 2 < e x2 x < 2e 2. e 524. Olkoon k >. Osoit:

Lisätiedot

7303045 Laaja matematiikka 2 Kevät 2005 Risto Silvennoinen

7303045 Laaja matematiikka 2 Kevät 2005 Risto Silvennoinen 7303045 Lj mtemtii 2 Kevät 2005 Risto Silveoie. Luusrjt Kos srjt ovt summie jooj, ertmme esi jooje teori. Joot Joo o mtemtii iei perustvimpi äsitteitä j se vull ohdt äärettömyys esimmäistä ert. Luulueit

Lisätiedot

Numeerinen integrointi

Numeerinen integrointi Pitkärnt: Lj mtemtiikk IX9 Numeerinen integrointi IX9 Numeerinen integrointi Numeerisell integroinnill trkoitetn määrätyn integrlin, eli reliluvun I(f,,b) = f(x)dx lskemist numeerisin keinoin (likimäärin)

Lisätiedot

Suorat, käyrät ja kaarevuus

Suorat, käyrät ja kaarevuus Suort, käyrät j krevuus Jukk Tuomel Professori Mtemtiikn litos, Joensuun yliopisto Suor? Tämä kirjoitus on eräänlinen jtko Timo Tossvisen suorn määritelmää koskevn kirjoitukseen Solmun numeross 2/2002.

Lisätiedot

Johdatus fraktaaliderivaattoihin ja niiden sovelluksiin

Johdatus fraktaaliderivaattoihin ja niiden sovelluksiin Jodtus frktliderivttoiin j niiden sovelluksiin Hnn Hlinen Mtemtiikn pro grdu Jyväskylän yliopisto Mtemtiikn j tilstotieteen litos Kesä 4 Tiivistelmä: Hnn Hlinen, Jodtus frktliderivttoiin j niiden sovelluksiin

Lisätiedot

LINSSI- JA PEILITYÖ TEORIAA. I Geometrisen optiikan perusaksioomat

LINSSI- JA PEILITYÖ TEORIAA. I Geometrisen optiikan perusaksioomat (0) LINSSI- JA PEILITYÖ MOTIVOINTI Tutustutn linsseihin j peileihin geometrisen optiikn mittuksiss Tutkitn vlon käyttäytymistä linsseissä j peileissä Määritetään linssien j peilien polttopisteet Optiset

Lisätiedot

( ) Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 321 Päivitetty 19.2.2006. Saadaan yhtälö. 801 Paraabeli on niiden pisteiden ( x,

( ) Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 321 Päivitetty 19.2.2006. Saadaan yhtälö. 801 Paraabeli on niiden pisteiden ( x, Pyrmidi Anlyyttinen geometri tehtävien rtkisut sivu Päivitetty 9..6 8 Prbeli on niiden pisteiden (, y) joukko, jotk ovt yhtä kukn johtosuorst j polttopisteestä. Pisteen (, y ) etäisyys suorst y = on d

Lisätiedot

Mikrotalousteoria 2, 2008, osa III

Mikrotalousteoria 2, 2008, osa III Sisältö Mikrotlousteori 2, 2008, os III Yrityksen tuotntofunktiost 2 Pnosten substituoitvuus 2 3 Yrityksen teori 3 4 Mittkvedut tuotnnoss 5 5 Yksikkökustnnusten j skltuottojen steen välinen yhteys 5 6

Lisätiedot

Neliömatriisin A determinantti on luku, jota merkitään det(a) tai A. Se lasketaan seuraavasti: determinantti on

Neliömatriisin A determinantti on luku, jota merkitään det(a) tai A. Se lasketaan seuraavasti: determinantti on 4. DETERINANTTI JA KÄÄNTEISATRIISI 6 4. Neliömtriisi determitti Neliömtriisi A determitti o luku, jot merkitää det(a) ti A. Se lsket seurvsti: -mtriisi A determitti o det(a) () -mtriisi A determitti void

Lisätiedot

SUORAKULMAINEN KOLMIO

SUORAKULMAINEN KOLMIO Clulus Lukion Täydentävä ineisto 45 0 45 60 ( - ) + SUORKULMINEN KOLMIO Pvo Jäppinen lpo Kupiinen Mtti Räsänen Suorkulminen kolmio Suorkulminen kolmio Käsillä olev Lukion Clulus -srjn täydennysmterili

Lisätiedot

Laudatur 10 MAA10 ratkaisut kertausharjoituksiin

Laudatur 10 MAA10 ratkaisut kertausharjoituksiin Ludtur MAA rtkisut kertushrjoituksiin Integrlifunktio. ) Jokin integrli funktio on esimerkiksi F( ) b) Kikki integrlifunktiot F( ) + C, missä C on vkio Vstus: ) F( ) b) F( ) + C, C on vkio. Kikki integrlifunktiot

Lisätiedot

Polynomien laskutoimitukset

Polynomien laskutoimitukset Polyomie lskutoimitukset Polyomi o summluseke, joss jokie yhteelskettv (termi) sisältää vi vkio j muuttuj välisiä kertolskuj. Esimerkki 0. Mm., 6 j ovt polyomej. Polyomist, joss o vi yksi termi, käytetää

Lisätiedot

VEKTORILASKENTA. Timo Mäkelä SISÄLTÖ: 1 VEKTORIN KÄSITE...1

VEKTORILASKENTA. Timo Mäkelä SISÄLTÖ: 1 VEKTORIN KÄSITE...1 VEKTORILASKENTA Timo Mäkelä SISÄLTÖ: VEKTORIN KÄSITE VEKTOREIDEN ERUSLASKUTOIMITUKSET VEKTOREIDEN YHTEENLASKU VEKTOREIDEN VÄHENNYSLASKU 4 VEKTORIN KERTOMINEN LUVULLA6 4 VEKTORILAUSEKKEIDEN KÄSITTELY7 TASON

Lisätiedot

Sarjat ja differentiaaliyhtälöt

Sarjat ja differentiaaliyhtälöt Sarjat ja differentiaaliyhtälöt Johdanto Tämä luentomoniste on tarkoitettu korvaamaan luentomuistiinpanoja Sarjat ja differentiaaliyhtälöt-kurssilla. Tämä ei kuitenkaan ole oppikirja, mikä tarkoittaa sitä,

Lisätiedot

5.4 Ellipsi ja hyperbeli (ei kuulu kurssivaatimuksiin, lisätietoa)

5.4 Ellipsi ja hyperbeli (ei kuulu kurssivaatimuksiin, lisätietoa) 5.4 Ellipsi j hypereli (ei kuulu kurssivtimuksiin, lisätieto) Aurinkokuntmme plneett kiertävät Aurinko ellipsin (=litistyneen ympyrän) muotoist rt, jonk toisess polttopisteessä Aurinko on. Smoin Mt kiertävät

Lisätiedot

Näytä tai jätä tarkistettavaksi tämän jakson tehtävät viimeistään tiistaina 18.6. ylimääräisessä tapaamisessa.

Näytä tai jätä tarkistettavaksi tämän jakson tehtävät viimeistään tiistaina 18.6. ylimääräisessä tapaamisessa. Jkso 12. Sähkömgneettinen induktio Tässä jksoss käsitellään sähkömgneettist induktiot, jok on tärkeimpiä sioit sähkömgnetismiss. Tätä tphtuu koko jn rkisess ympäristössämme, vikk emme sitä välttämättä

Lisätiedot

θ 1 θ 2 γ γ = β ( n 2 α + n 2 β = l R α l s γ l s 22 LINSSIT JA LINSSIJÄRJESTELMÄT 22.1 Linssien kuvausyhtälö

θ 1 θ 2 γ γ = β ( n 2 α + n 2 β = l R α l s γ l s 22 LINSSIT JA LINSSIJÄRJESTELMÄT 22.1 Linssien kuvausyhtälö 22 LINSSIT JA LINSSIJÄRJSTLMÄT 22. Linssien kuvusyhtälö Trkstelln luksi vlon tittumist pllopinnll (krevuussäde R j krevuuskeskipiste C) kuvn mukisess geometriss. Tässä vlo siis tulee ineest ineeseen 2

Lisätiedot

Monikulmio on suljettu, yhtenäinen tasokuvio, jonka muodostavat pisteet ja näitä yhdistävät janat

Monikulmio on suljettu, yhtenäinen tasokuvio, jonka muodostavat pisteet ja näitä yhdistävät janat MAB: Monikulmiot Aluksi Tässä luvuss käsitellään pljon monikulmioit sekä muutmi tärkeimpiä esimerkkejä monikulmioiin liittyvistä leist. Näistä leist edottomsti tärkein ti inkin kuskntoisin on Pytgorn luse.

Lisätiedot

Outoja funktioita. 0 < x x 0 < δ ε f(x) a < ε.

Outoja funktioita. 0 < x x 0 < δ ε f(x) a < ε. Outoja funktioita Differentiaalilaskentaa harjoitettiin miltei 200 vuotta ennen kuin sen perustana olevat reaaliluvut sekä funktio ja sen raja-arvo määriteltiin täsmällisesti turvautumatta geometriseen

Lisätiedot

6.2 Algoritmin määritelmä

6.2 Algoritmin määritelmä 6.2 Algoritmin määritelmä Mitä lgoritmill yleensä trkoitetn? Peritteess: Yksiselitteisesti kuvttu jono (tietojenkäsittely)opertioit, jotk voidn toteutt meknisesti. Käytännössä: luonnollist kieltä, pseudokoodi

Lisätiedot

9 A I N. Alkuperäinen piiri. Nortonin ekvivalentti R T = R N + - U T = I N R N. Théveninin ekvivalentti DEE-11110 SÄHKÖTEKNIIKAN PERUSTEET

9 A I N. Alkuperäinen piiri. Nortonin ekvivalentti R T = R N + - U T = I N R N. Théveninin ekvivalentti DEE-11110 SÄHKÖTEKNIIKAN PERUSTEET DEE11110 SÄHKÖTEKNIIKAN PERUSTEET http://www.tut.fi/smg/course.php?id=57 Rtkisut Hrjoitukset 3, 2014 Tehtävä 1. Pyydetään muodostmn nnetun piirin Nortonin ekvivlentti. Nortonin, smoin kuin Theveninin,

Lisätiedot

8.4 Gaussin lause Edellä laskettiin vektorikentän v = rf(r) vuo R-säteisen pallon pinnan läpi, tuloksella

8.4 Gaussin lause Edellä laskettiin vektorikentän v = rf(r) vuo R-säteisen pallon pinnan läpi, tuloksella H 8.3.2 uontegrlt: vektoreden pntntegrlt Tvllsn tpus pntntegrlest on lske vektorkentän vuo pnnn läp: Trkstelln pnt j sllä psteessä P (x, y, z olev pnt-lkot d. Määrtellään vektorlnen pnt-lko d sten, että

Lisätiedot

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Liite 1: Joukko-oppi

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Liite 1: Joukko-oppi Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Liite 1: Joukko-oppi TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Joukko-oppi >> Joukko-opin peruskäsitteet Joukko-opin perusoperaatiot Joukko-opin laskusäännöt Funktiot Tulojoukot

Lisätiedot

Äärellisesti generoitujen Abelin ryhmien peruslause

Äärellisesti generoitujen Abelin ryhmien peruslause Tero Harju (2008/2010) Äärellisesti generoitujen Abelin ryhmien peruslause Merkintä X on joukon koko ( eli #X). Vapaat Abelin ryhmät Tässä kappaleessa käytetään Abelin ryhmille additiivista merkintää.

Lisätiedot

Vastaa tehtäviin 1-4 ja valitse toinen tehtävistä 5 ja 6. Vastaat siis enintään viiteen tehtävään.

Vastaa tehtäviin 1-4 ja valitse toinen tehtävistä 5 ja 6. Vastaat siis enintään viiteen tehtävään. S-8. Sähkönsiirtoärstlmät Tntti 8..7 Vst thtäviin -4 vlits toinn thtävistä 5 6. Vstt siis nintään viitn thtävään.. Tutkitn ll piirrttyä PV-käyrää, ok kuv sllist vrkko, oss on tuotntolu kuormituslu niidn

Lisätiedot

MATEMATIIKAN HARJOITTELUMATERIAALI

MATEMATIIKAN HARJOITTELUMATERIAALI SAVONIA-AMMATTIKORKEAKOULU Tekniikk Infrrkentmisen j kivnnisln työnjohdon koulutus (ESR) MATEMATIIKAN HARJOITTELUMATERIAALI Ari Tuomenlehto - 0 - Lusekkeen käsittelyä Luseke j lusekkeen rvo Näkyviin merkittyä

Lisätiedot

Karteesinen tulo. Olkoot A = {1, 2, 3, 5} ja B = {a, b, c}. Näiden karteesista tuloa A B voidaan havainnollistaa kuvalla 1 / 21

Karteesinen tulo. Olkoot A = {1, 2, 3, 5} ja B = {a, b, c}. Näiden karteesista tuloa A B voidaan havainnollistaa kuvalla 1 / 21 säilyy Olkoot A = {1, 2, 3, 5} ja B = {a, b, c}. Näiden karteesista tuloa A B voidaan havainnollistaa kuvalla c b a 1 2 3 5 1 / 21 säilyy Esimerkkirelaatio R = {(1, b), (3, a), (5, a), (5, c)} c b a 1

Lisätiedot

ANALYYSI 2. Camilla Hollanti. Tampereen yliopisto 2010. x 3. a x 1. x 4 x 11. x 2

ANALYYSI 2. Camilla Hollanti. Tampereen yliopisto 2010. x 3. a x 1. x 4 x 11. x 2 ANALYYSI 2 Camilla Hollanti _ M M a x x 2 x 3 x 4 x b Tampereen yliopisto 200 Sisältö. Preliminäärejä 3 2. Riemann-integraali 5 2.. Pinta-alat ja porrasfunktiot....................... 5 2... Pinta-ala

Lisätiedot

Viivaintegraali: "Pac- Man" - tulkinta. Viivaintegraali: "Pac- Man" - tulkinta. "Perinteisempi" tulkinta: 1D 3/19/13

Viivaintegraali: Pac- Man - tulkinta. Viivaintegraali: Pac- Man - tulkinta. Perinteisempi tulkinta: 1D 3/19/13 Viivintegrli: "Pc- Mn" - tulkint Otetn funk:o f(,), jok riippuu muudujist j. Jokiselle, tson pisteellä funk:oll on siis joku rvo. Tpillisiä fsiklis- kemillisi esimerkkejä voisivt oll esimerkiksi mss:hes

Lisätiedot

Kaikkia alla olevia kohtia ei käsitellä luennoilla kokonaan, koska osa on ennestään lukiosta tuttua.

Kaikkia alla olevia kohtia ei käsitellä luennoilla kokonaan, koska osa on ennestään lukiosta tuttua. 6 Alkeisfunktiot Kaikkia alla olevia kohtia ei käsitellä luennoilla kokonaan, koska osa on ennestään lukiosta tuttua. 6. Funktion määrittely Funktio f : A B on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon A alkioon

Lisätiedot

nyky-ymmärryksemme mukaan hajaantuvaan sarjaan luvun 1 2 kun n > N Huom! Määritelmä on aivan sama C:ssä ja R:ssä. (Kuva vain on erilainen.

nyky-ymmärryksemme mukaan hajaantuvaan sarjaan luvun 1 2 kun n > N Huom! Määritelmä on aivan sama C:ssä ja R:ssä. (Kuva vain on erilainen. Sarjaoppia Käsitellään kompleksi- ja reaalisarjat yhdessä. Reaalilukujen ominaisuuksista (kuten järjestys) riippuvat asiat tulevat lisämausteena mukaan. Kirjallisuutta: 1. [KRE] Kreyszig: Advanced Engineering

Lisätiedot

Sähkömagneettinen induktio

Sähkömagneettinen induktio ähkömgneettinen inuktio Kun johinsilmukn läpi menevä mgneettikentän vuo muuttuu, silmukkn inusoituu jännite j silmukss lk kulke sähkövit. Mgneettikentässä liikkuvn johtimeen syntyy myös jännite. Näitä

Lisätiedot

Hieman joukko-oppia. A X(A a A b A a b).

Hieman joukko-oppia. A X(A a A b A a b). Hieman joukko-oppia Seuraavassa esittelen hieman alkeellista joukko-oppia. Päämääränäni on saada käyttöön hyvinjärjestyslause, jota tarvitsemme myöhemmin eräissä todistuksissa. Esitykseni on aika, vaikkei

Lisätiedot

6 Kertausosa. 6 Kertausosa

6 Kertausosa. 6 Kertausosa Kertusos Kertusos. ) b). ) b). ) ( ( ) : ) ( : ) b) { : [ ( ) ]} { :[ - ]} { : } -{ - } -{} c) ( ) : - ( ) ( ) ( ) ( 9) 9 9 Kertusos. ) ( ) b) ( ). ) ) ) b) / / c) : 7 7. ) ) ) b) Kertusos c) : 7 ( 9)

Lisätiedot

Johdatus matemaattiseen päättelyyn

Johdatus matemaattiseen päättelyyn Johdatus matemaattiseen päättelyyn Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos 2011 Maarit Järvenpää 1 Todistamisesta Matematiikassa väitelauseet ovat usein muotoa: jos P on totta, niin Q on totta.

Lisätiedot

1.4 Funktion jatkuvuus

1.4 Funktion jatkuvuus 1.4 Funktion jatkuvuus Kun arkikielessä puhutaan jonkin asian jatkuvuudesta, mielletään asiassa olevan jonkinlaista yhtäjaksoisuutta, katkeamattomuutta. Tässä ei kuitenkaan käsitellä työasioita eikä ihmissuhteita,

Lisätiedot

Esimerkki kaikkialla jatkuvasta muttei missään derivoituvasta funktiosta

Esimerkki kaikkialla jatkuvasta muttei missään derivoituvasta funktiosta Esimerkki kaikkialla jatkuvasta muttei missään derivoituvasta funktiosta Seminaariaine Miikka Rytty Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2004 Matemaattista ja historiallista taustaa Tämän kappaleen

Lisätiedot

4.7.2 Testerit. Test ok. virhe vast.ota. lähetä τ. virhe. virhe. vast.ota. τ τ. vast.ota. lähetä. lähetä. lähetä ok

4.7.2 Testerit. Test ok. virhe vast.ota. lähetä τ. virhe. virhe. vast.ota. τ τ. vast.ota. lähetä. lähetä. lähetä ok OHJ-2600 Tilkoneet 204 6. Tämän tehtävän tvoite on kuvn LTS:ää vstesimerkkinä käyttäen osoitt, että nnetun LTS:n knss minimlinen CFFD-smnlinen LTS ei in ole yksikäsitteinen. P Q AG(P) = AG(Q) f, {{}} f,

Lisätiedot

Laskennan perusmallit (LAP)

Laskennan perusmallit (LAP) Lskennn perusmllit (LAP) Kimmo Fredrikssonin j Mtti Nykäsen mterileist muoknnut Pekk Kilpeläinen Tietojenkäsittelytieteen litos, Itä-Suomen yliopisto sähköposti: pekk.t.kilpelinen@uef.fi Lukuvuoden 2014

Lisätiedot

Tehtävä 1. Jatka loogisesti oheisia jonoja kahdella seuraavaksi tulevalla termillä. Perustele vastauksesi

Tehtävä 1. Jatka loogisesti oheisia jonoja kahdella seuraavaksi tulevalla termillä. Perustele vastauksesi Tehtävä. Jtk loogisesti oheisi jonoj khdell seurvksi tulevll termillä. Perustele vstuksesi lyhyesti. ), c, e, g, b),,, 7,, Rtkisut: ) i j k - oike perustelu j oiket kirjimet, nnetn p - oike perustelu,

Lisätiedot

OUML7421B3003. Jänniteohjattu venttiilimoottori KÄYTTÖKOHTEET TEKNISET TIEDOT OMINAISUUDET SOPIVAT VENTTIILIT TUOTETIEDOT. i OUV5049 i OUV5050

OUML7421B3003. Jänniteohjattu venttiilimoottori KÄYTTÖKOHTEET TEKNISET TIEDOT OMINAISUUDET SOPIVAT VENTTIILIT TUOTETIEDOT. i OUV5049 i OUV5050 OUML7421B3003 Jänniteohjttu venttiilimoottori TUOTETIEDOT OMINAISUUDET Helppo j nope sent Ei trvitse erillistä sennustelinettä Ei trvitse liikepituuden säätöä Momenttirjkytkimet Käsikäyttömhdollisuus Mikroprosessorin

Lisätiedot

Geometrinen algebra: kun vektorien maailma ei riitä

Geometrinen algebra: kun vektorien maailma ei riitä Geometrinen lgebr: kun vektorien milm ei riitä Risto A. Pju 4. huhtikuut 2003 Tiivistelmä Geometrinen lgebr on viime vuosin ksvttnut suosiotn luonnontieteiden mtemttisen menetelmänä. Sen juuret ovt vektori-

Lisätiedot

Yläkoulun geometriaa. Yläkoulun geometriaa

Yläkoulun geometriaa. Yläkoulun geometriaa Yläkoulun geometri Tämä tehtäväkokoelm nt yläkoulun oppillle mhdollisuuden syventää kouluss opittv geometrin oppimäärää. Se on erityisen hyödyllinen niille, jotk ikovt lukioss vlit pitkän mtemtiikn. Kokoelmn

Lisätiedot

3.7. Rekursiivisista lukujonoista

3.7. Rekursiivisista lukujonoista .7 Rekursiivisist lukujooist.7. Rekursiivisist lukujooist Kerrt vielä, että lukujoo void määritellä khdell eri tvll, joko käyttämällä lyyttistä säätöä ti rekursiivist säätöä. Joo määrittelemie rekursiivisesti

Lisätiedot

TYÖ 30. JÄÄN TIHEYDEN MÄÄRITYS. Tehtävänä on määrittää jään tiheys.

TYÖ 30. JÄÄN TIHEYDEN MÄÄRITYS. Tehtävänä on määrittää jään tiheys. TYÖ 30 JÄÄN TIHEYDEN MÄÄRITYS Tehtävä älineet Tusttietoj Tehtävänä on äärittää jään tiheys Byretti (51010) ti esi 100 l ittlsi (50016) j siihen sopivi jääploj, lkoholi (sopii jäähdytinneste lsol), nlyysivk

Lisätiedot

2. Digitaalisten kuvien peruskäsitteet 2.1. Visuaalinen havaitseminen

2. Digitaalisten kuvien peruskäsitteet 2.1. Visuaalinen havaitseminen 2. Digitlisten kuvien peruskäsitteet 2.1. Visulinen hvitseminen Tässä luvuss käsitellään digitlisten kuvien perussioist, in kuvien näkemisestä pikseleihin j trvittviin lskentmenetelmiin sti. Vikk kuvnprosessointi

Lisätiedot

Weierstrassin funktiosta

Weierstrassin funktiosta TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Riikka Tervaskangas Weierstrassin funktiosta Informaatiotieteiden yksikkö Matematiikka Toukokuu 2013 Tampereen yliopisto Informaatiotieteiden yksikkö TERVASKANGAS,

Lisätiedot

Kertaustehtävien ratkaisut

Kertaustehtävien ratkaisut Rtkisuist Nämä Trigoometriset fuktiot j lukujoot kurssi kertustehtävie j -srjoje rtkisut perustuvt oppikirj tietoihi j meetelmii. Kustki tehtävästä o yleesä vi yksi rtkisu, mikä ei kuitek trkoit sitä,

Lisätiedot

a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. 8 3 + 4 2 0 = 16 3 = 3 1 3.

a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. 8 3 + 4 2 0 = 16 3 = 3 1 3. Integraalilaskenta. a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. b) Mitä määrätty integraali tietyllä välillä x tarkoittaa? Vihje: * Integraali * Määrätyn integraalin

Lisätiedot

k=1 b kx k K-kertoimisia polynomeja, P (X)+Q(X) = (a k + b k )X k n+m a i b j X k. i+j=k k=0

k=1 b kx k K-kertoimisia polynomeja, P (X)+Q(X) = (a k + b k )X k n+m a i b j X k. i+j=k k=0 1. Polynomit Tässä luvussa tarkastelemme polynomien muodostamia renkaita polynomien ollisuutta käsitteleviä perustuloksia. Teemme luvun alkuun kaksi sopimusta: Tässä luvussa X on muodollinen symboli, jota

Lisätiedot

rm + sn = d. Siispä Proposition 9.5(4) nojalla e d.

rm + sn = d. Siispä Proposition 9.5(4) nojalla e d. 9. Renkaat Z ja Z/qZ Tarkastelemme tässä luvussa jaollisuutta kokonaislukujen renkaassa Z ja todistamme tuloksia, joita käytetään jäännösluokkarenkaan Z/qZ ominaisuuksien tarkastelussa. Jos a, b, c Z ovat

Lisätiedot

OUML6421B3004. 3-tilaohjattu venttiilimoottori KÄYTTÖKOHTEET TEKNISET TIEDOT OMINAISUUDET SOPIVAT VENTTIILIT TUOTETIEDOT

OUML6421B3004. 3-tilaohjattu venttiilimoottori KÄYTTÖKOHTEET TEKNISET TIEDOT OMINAISUUDET SOPIVAT VENTTIILIT TUOTETIEDOT OUML6421B3004 3-tilohjttu venttiilimoottori KÄYTTÖKOHTEET i Lämmityksen säätö i Ilmnvihtojärjestelmät TUOTETIEDOT OMINAISUUDET Helppo j nope sent Ei trvitse erillistä sennustelinettä Ei trvitse liikepituuden

Lisätiedot

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1.

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Kotitehtävät, tammikuu 2011 Vaikeampi sarja 1. Ratkaise yhtälöryhmä w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Ratkaisu. Yhtälöryhmän ratkaisut (w, x, y, z)

Lisätiedot

AVOIN MATEMATIIKKA 7 lk. Osio 3: Potensseja ja polynomeja

AVOIN MATEMATIIKKA 7 lk. Osio 3: Potensseja ja polynomeja Mrik Toivol j Tiin Härkönen AVOIN MATEMATIIKKA lk. Osio : Potenssej j polynomej Sisältö on lisensoitu voimell CC BY.0 -lisenssillä. Osio : Potenssej j polynomej. Smnkntisten potenssien tulo.... Smnkntisten

Lisätiedot

Jarkko Peltomäki. Järjestetyt joukot ja hilat

Jarkko Peltomäki. Järjestetyt joukot ja hilat Jarkko Peltomäki Järjestetyt joukot ja hilat Luonnontieteiden kandidaatin tutkielma Turun yliopisto Syyskuu 2010 Sisältö 1 Johdanto 2 2 Järjestetty joukko 3 2.1 Määritelmiä ja perusominaisuuksia...............

Lisätiedot

Lukion. Calculus. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN

Lukion. Calculus. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Calculus Lukion MAA7 Derivaatta Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Derivaatta (MAA7) Pikatesti ja kertauskokeet Tehtävien ratkaisut Pikatesti

Lisätiedot

Matematiikan ja tilastotieteen laitos Algebra I - Kesä 2009 Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8 -Tehtävät 3-6 4 sivua Heikki Koivupalo ja Rami Luisto

Matematiikan ja tilastotieteen laitos Algebra I - Kesä 2009 Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8 -Tehtävät 3-6 4 sivua Heikki Koivupalo ja Rami Luisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Algebra I - Kesä 2009 Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8 -Tehtävät 3-6 4 sivua Heikki Koivupalo ja Rami Luisto 3. Oletetaan, että kunnan K karakteristika on 3. Tutki,

Lisätiedot

MAT-13510 Laaja Matematiikka 1U. Hyviä tenttikysymyksiä T3 Matemaattinen induktio

MAT-13510 Laaja Matematiikka 1U. Hyviä tenttikysymyksiä T3 Matemaattinen induktio MAT-13510 Laaja Matematiikka 1U. Hyviä tenttikysymyksiä T3 Matemaattinen induktio Olkoon a 1 = a 2 = 5 ja a n+1 = a n + 6a n 1 kun n 2. Todista induktiolla, että a n = 3 n ( 2) n, kun n on positiivinen

Lisätiedot

Kirjallinen teoriakoe

Kirjallinen teoriakoe 11 Kirjllinen teorikoe Päivämäärä: Osllistujn nimi: Kirjllinen teorikoe Arviointi koostuu khdest osst: "yleiset kysymykset "j lskutehtävät" Kokeen hyväksytty rj on 51% molemmist osioist erikseen. St 1

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka A

Insinöörimatematiikka A Insinöörimatematiikka A Demonstraatio 3, 3.9.04 Tehtävissä 4 tulee käyttää Gentzenin järjestelmää kaavojen johtamiseen. Johda kaava φ (φ ) tyhjästä oletusjoukosta. ) φ ) φ φ 3) φ 4) φ (E ) (E ) (I, ) (I,

Lisätiedot

Kuvaus eli funktio f joukolta X joukkoon Y tarkoittaa havainnollisesti vastaavuutta, joka liittää joukon X jokaiseen alkioon joukon Y tietyn alkion.

Kuvaus eli funktio f joukolta X joukkoon Y tarkoittaa havainnollisesti vastaavuutta, joka liittää joukon X jokaiseen alkioon joukon Y tietyn alkion. Kuvaus eli funktio f joukolta X joukkoon Y tarkoittaa havainnollisesti vastaavuutta, joka liittää joukon X jokaiseen alkioon joukon Y tietyn alkion. Vastaavuus puolestaan on erikoistapaus relaatiosta.

Lisätiedot

Laskennan perusmallit (LAP)

Laskennan perusmallit (LAP) Lskennn perusmllit (LAP) Kimmo Fredrikssonin j Mtti Nykäsen luentomonisteest krsien muoknnut Pekk Kilpeläinen Tietojenkäsittelytieteen litos, Itä-Suomen yliopisto sähköposti: pekk.t.kilpelinen@uef.fi Lukuvuoden

Lisätiedot

1.1. Laske taskulaskimella seuraavan lausekkeen arvo ja anna tulos kolmen numeron tarkkuudella: tan 60,0 = 2,950... 2,95

1.1. Laske taskulaskimella seuraavan lausekkeen arvo ja anna tulos kolmen numeron tarkkuudella: tan 60,0 = 2,950... 2,95 9..008 (9). Lskime käyttö.. Lske tskulskimell seurv lusekkee rvo j tulos kolme umero trkkuudell: 4 + 7 t 60,0 + Rtkisu: 4 + 7 =,950...,95 t 60,0 + Huom: Lskimiss o yleesä kolme eri kulmyksikköjärjestelmää:

Lisätiedot

x = π 3 + nπ, x + 1 f (x) = 2x (x + 1) x2 1 (x + 1) 2 = 2x2 + 2x x 2 = x2 + 2x f ( 3) = ( 3)2 + 2 ( 3) ( 3) + 1 3 1 + 4 2 + 5 2 = 21 21 = 21 tosi

x = π 3 + nπ, x + 1 f (x) = 2x (x + 1) x2 1 (x + 1) 2 = 2x2 + 2x x 2 = x2 + 2x f ( 3) = ( 3)2 + 2 ( 3) ( 3) + 1 3 1 + 4 2 + 5 2 = 21 21 = 21 tosi Mallivastaukset - Harjoituskoe F F1 a) (a + b) 2 (a b) 2 a 2 + 2ab + b 2 (a 2 2ab + b 2 ) a 2 + 2ab + b 2 a 2 + 2ab b 2 4ab b) tan x 3 x π 3 + nπ, n Z c) f(x) x2 x + 1 f (x) 2x (x + 1) x2 1 (x + 1) 2 2x2

Lisätiedot

Runkovesijohtoputket

Runkovesijohtoputket Runkovesijohtoputket PUTKET JA PUTKEN OSAT SSAB:n vlmistmi pinnoitettuj putki j putken osi käytetään lähinnä runkovesijohtolinjoihin, joiden hlkisij on DN 400-1200. Ost vlmistetn teräksisistä pineputkist

Lisätiedot

jakokulmassa x 4 x 8 x 3x

jakokulmassa x 4 x 8 x 3x Laudatur MAA ratkaisut kertausarjoituksiin. Polynomifunktion nollakodat 6 + 7. Suoritetaan jakolasku jakokulmassa 5 4 + + 4 8 6 6 5 4 + 0 + 0 + 0 + 0+ 6 5 ± 5 5 4 ± 4 4 ± 4 4 ± 4 8 8 ± 8 6 6 + ± 6 Vastaus:

Lisätiedot

Teema 4. Homomorfismeista Ihanne ja tekijärengas. Teema 4 1 / 32

Teema 4. Homomorfismeista Ihanne ja tekijärengas. Teema 4 1 / 32 1 / 32 Esimerkki 4A.1 Esimerkki 4A.2 Esimerkki 4B.1 Esimerkki 4B.2 Esimerkki 4B.3 Esimerkki 4C.1 Esimerkki 4C.2 Esimerkki 4C.3 2 / 32 Esimerkki 4A.1 Esimerkki 4A.1 Esimerkki 4A.2 Esimerkki 4B.1 Esimerkki

Lisätiedot

Kansainväliset matematiikkaolympialaiset 2008

Kansainväliset matematiikkaolympialaiset 2008 Kansainväliset matematiikkaolympialaiset 2008 Tehtävät ja ratkaisuhahmotelmat 1. Teräväkulmaisen kolmion ABC korkeusjanojen leikkauspiste on H. Pisteen H kautta kulkeva ympyrä, jonka keskipiste on sivun

Lisätiedot

http://www.math.helsinki.fi/solmu/

http://www.math.helsinki.fi/solmu/ 1/2000 2001 http://www.mth.helsinki.fi/solmu/ Solmu Solmu Solmu 1/2000 2001 Mtemtiikn litos PL 4 (Yliopistonktu 5) 00014 Helsingin yliopisto http://www.mth.helsinki.fi/solmu/ Päätoimittj Pekk Alestlo Toimitussihteerit

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta Eksponenttifuntio Palautetaan mieliin, että Neperin luvulle e pätee: e ) n n n ) n n n n n ) n. Tästä määritelmästä seuraa, että eksponenttifunktio e x voidaan määrittää

Lisätiedot