ANALYYSI I, kevät 2009

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "ANALYYSI I, kevät 2009"

Transkriptio

1 ANALYYSI I, kevät 009 Sisältö Relilukujen peruskäsitteitä Lukujonoist 4. Lukujonon rj-rvo Monotoniset jonot Osjonot Cuchyn jono Funktion rj-rvo j jtkuvuus Peruskäsitteitä Funktion rj-rvo Funktion jtkuvuus Funktion tsinen jtkuvuus Srjt 6 4. Srjn suppeneminen Suppenemistestejä positiivitermisille srjoille Itseisesti suppenevt srjt Vuorottelevt srjt

2 5 Riemnnin integrli Integrlin perusominisuuksi Anlyysin perusluse Epäoleelliset integrlit 6 7 Funktiojonot j -srjt 7 7. Pisteittäinen j tsinen suppeneminen Jonon j srjn derivoiminen j integroiminen Potenssisrjt Potenssisrjn suppeneminen Potenssisrjn summfunktion ominisuuksi

3 Relilukujen peruskäsitteitä Usein trkstelun kohteen ovt nnetun joukon A R, A, mksimi j minimi sekä ylä- j lrjt, erityisesti pienin ylärj (supremum) j suurin lrj (infimum). Määritelmä.. Olkoon A R, A. Reliluku M R snotn joukon A mksimiksi (eli suurimmksi rvoksi), jos (i) x M kikill x A j (ii) M A. Merkitään M = mx A. Vstvsti reliluku m R snotn joukon A minimiksi (eli pienimmäksi rvoksi), jos (i) x m kikill x A j (ii) m A. Merkitään m = min A. Esimerkki.. A = [3, 7]. min A = 3, sillä x 3 in, kun x A, j 3 A. mx A = 7, sillä x 7 in, kun x A, j 7 A. Esimerkki.3. Osoit, että joukoll A = ]0, [ = {x R 0 < x < } ei ole minimiä eikä mksimi. Todistus: Osoitetn ensin, että joukoll A ei ole minimiä. Vstoletus: joukoll A on minimi m. Tällöin m A = ]0, [, joten m A j m < m. Täten m ei ole joukon A minimi j sdn ristiriit. Siis vstoletus on väärä j min A ei ole olemss. Osoitetn sitten, että joukoll A ei ole mksimi. Vstoletus: joukoll A on mksimi M.

4 Tällöin M A eli 0 < M <. Tällöin M + < j M = M + M < M +, ts. M < M+ <. Siis M + A j M + > M. Täten M ei ole joukon A mksimi j sdn ristiriit. Siis vstoletus on väärä j mx A ei ole olemss. Esimerkki.4. Osoit, että joukoll A = [0, [ on minimi 0, mutt ei mksimi. Todistus: min A = 0, sillä x 0 kikill x A, j 0 A. Osoitetn sitten, että joukoll A ei ole mksimi. Tehdään vstoletus: joukoll A on mksimi M. Jos M < 0, niin M / A j M ei voi oll joukon A mksimi. Jos M 0, niin M + A j M + > M, joten M ei voi oll joukon A mksimi. Ristiriit. Siis vstoletus on väärä j joukoll A ei ole mksimi. Huomutus.5. Mksimi j minimi ovt yksikäsitteisiä, mikäli ne ovt olemss. Perustelu: Olkoot M = mx A j M = mx A. Nyt x M kikill x A. Tällöin M M, sillä M A. Toislt x M kikill x A j siten M M, kosk M A. Siis M = M. Minimi todistetn smll tvll (hrjoitustehtävä). Määritelmä.6. Olkoon A R, A. (i) Joukko A snotn ylhäältä rjoitetuksi, jos on olemss sellinen M R, että x M kikill x A. Tällist luku M snotn joukon A ylärjksi. (ii) Joukko A snotn lhlt rjoitetuksi, jos on olemss sellinen m R, että x m kikill x A. Tällist luku m snotn joukon A lrjksi. (iii) Joukko A snotn rjoitetuksi, jos se on sekä ylhäältä että lhlt rjoitettu.

5 Huomutus.7. () Jos joukoll on mksimi ti minimi, niin se on vstvsti joukon ylä- ti lrj. () Toisin kuin mksimi j minimi, joukon ylä- j lrjt eivät ole yksikäsitteisiä. Esimerkki.8. Osoit, että joukko A = ]0, [ on rjoitettu. Rtkisu: Mikä thns luku m 0 kelp joukon A lrjksi, sillä tällöin x m kikill x A. Siis A on lhlt rjoitettu. Toislt mikä thns luku M kelp joukon A ylärjksi, sillä tällöin x M kikill x A. Siten A on ylhäältä rjoitettu. Siis A on rjoitettu. Esimerkki.9. Joukko A = [0, [ on lhlt rjoitettu, mutt se ei ole ylhäältä rjoitettu. Perustelu: Mikä thns luku m 0 kelp lrjksi, joten A on lhlt rjoitettu. Vstoletus: A on ylhäältä rjoitettu j olkoon M joukon A (eräs) ylärj. Kosk 0 A, niin M 0. Silloin M + A j M + > M, joten M ei voi oll joukon A ylärj. Ristiriit. Siis A ei ole ylhäältä rjoitettu. Esimerkki.0. Määritellään joukko A = {x n } induktiivisesti n= x =, x n+ = x n + x n, n =,,... Tutkitn joukon A rjoittuneisuutt. Nyt x = j siten x = + = 3 =,5 x 3 =,5 +,5,47 x 4 =,47 +,47,44. Näyttäisi siltä, että lkiot x lukuunottmtt joukon A jokinen lkio on vähintään j että x n+ x n, kun n. Todistetn nämä väitteet oikeiksi. 3

6 Väite : x n, n =, 3,... (x = ) Todistus: Selvästi x n+ = xn + x n > 0 kikill n =,,... (x = ). Lisäksi x n+ = x n + = x n + ( ) x n = x n x n x n sillä x n 0, kun n =,,... Edellä on käytetty ekvivlenssiin + b b ( b) 0 perustuv rviot x n + ( ) x n. Stiin siis, että x n, kun n =, 3,..., joten x n = x kikill n =,,... Näin ollen A on lhlt rjoitettu j min A =. Väite : x n+ x n, n =, 3,... Todistus: Väite voidn yhtäpitävästi muutt seurvn muotoon: x n+ x n x n + x n x n x n + x n (x n > 0) x n x n (x n > 0). Kosk x n > 0, kun n =, 3,..., niin myös x n+ x n, n =, 3,... Tästä seur, että x n x = 3 kikill n =,,..., joten A on ylhäältä rjoitettu j mx A = 3. Siis = x x n x = 3 kikill n =,,..., joten A on rjoitettu. Vroitus: Ei ole olemss yleistä menetelmää todist, että nnettu joukko on rjoitettu. Ain sitä ei ole helppo nähdä. Huomutus: Käytännössä joukon rjoittuneisuus knntt usein todist seurvn kriteerin vull: Joukko A R, A, on rjoitettu jos j vin jos on olemss sellinen K 0, että x K kikill x A. Perustelu: : Oletetn, että m x M kikill x A. Kosk m mx{ m, M }, niin x m m mx{ m, M } kikill x A j x M M mx{ m, M } kikill x A. 4

7 Siten mx{ m, M } x mx{ m, M } kikill x A, eli x mx{ m, M }. Täten esimerkiksi vlint K = mx{ m, M } kelp. : Jos x K jokisell x A (K 0), niin K x K jokisell x A. Siten K on joukon A lrj j K sen ylärj. Siis A on rjoitettu. Määritelmä.. Olkoon A R, A. Luku M R snotn joukon A pienimmäksi ylärjksi eli supremumiksi, jos (i) x M kikill x A j (ii) jos x M kikill x A, niin M M. (Koht (i) kertoo sen, että M on ylärj j (ii) sen, että M on ylärjoist pienin.) Merkitään M = sup A. Vstvsti luku m R snotn joukon A suurimmksi lrjksi eli infimumiksi, jos (i) x m kikill x A j (ii) jos x m kikill x A, niin m m. (Koht (i) kertoo sen, että m on lrj j (ii) sen, että m on lrjoist suurin.) Merkitään m = inf A. Määritelmän merkitys: Kosk ylä- j lrjt eivät ole yksikäsitteisiä, pyritään vlitsemn niille prs mhdollinen edustj. Huomutus.. () Jos joukoll A on mksimi, niin mx A = sup A. Vstvsti jos joukoll A on minimi, niin min A = inf A. Supremun j infimum ovt mksimin j minimin korvikkeit. Perustelu: Olkoon M = mx A. Silloin x M kikill x A, joten M on ylärj. Oletetn, että x M kikill x A. Kosk M A, niin M M, joten M on pienin ylärj. Infimum todistetn smn tpn (hrjoitustehtävä). 5

8 () Mikäli supremum ti infimum on olemss, niin se on yksikäsitteinen. Perustelu: Olkoot M = sup A j M = sup A. Kosk M on ylärj j M on pienin ylärj, niin M M. Toislt M on ylärj j M on pienin ylärj, joten M M. Siis M = M. Infimumin yksikäsitteisyys todistetn smn tpn (hrjoitustehtävä). Esimerkki.3. Olkoon A = ]0, [. Määrätään sup A j inf A. Rtkisu: Olkoon M =. Osoitetn, että sup A = M =. (i) x M kikill x A, joten M on joukon A ylärj. (ii) Olkoon M R sellinen, että x M kikill x A. Kosk A, niin M > 0. Osoitetn, että M M. Vstoletus: M < M. Tällöin 0 < M <, joten M + < j M = M + M < M +, ts. M < M + <. Siis M + M A j M + M > M, joten M ei voi oll joukon A ylärj. Tämä on ristiriit, joten vstoletus on väärä j M M. Kohtien (i) j (ii) nojll M = sup A. Olkoon m = 0. Osoitetn, että inf A = m =. (i) x m kikill x A, joten m on joukon A lrj. (ii) Olkoon m R sellinen, että x m kikill x A. Kosk A, niin m. Osoitetn, että m m. Vstoletus: m > m. Nyt 0 = m < m, joten m A j m < m, joten m ei voi oll joukon A lrj. Tämä on ristiriit, joten vstoletus on väärä j m m. Kohtien (i) j (ii) nojll m = inf A. 6

9 Yleensä sup A ei kuulu joukkoon A. Seurvn luseen nojll se kuuluu joukkoon A täsmälleen silloin kun se on joukon A mksimi. Vstvt väitteet pätevät myös infimumille j minimille. Luse.4. Olkoon A R, A j M = sup A. Silloin joukoll A on mksimi (jok on M) jos j vin jos M A. Olkoon m = inf A. Silloin joukoll A on minimi (jok on m) jos j vin jos m A. Todistus. : Oletn, että Q = mx A on olemss. Tällöin x Q in, kun x A (ts. Q toteutt supremumin ehdon (i)), j Q A. Olkoon M joukon A mikä thns ylärj, jolloin x M in, kun x A. Kosk Q A, niin erityisesti Q M j Q toteutt supremumin ehdon (ii). Siis Q on joukon A pienin ylärj eli Q = M = sup A. : Oletetn, että M A. Tällöin lisäksi x M kikill x A, joten M on joukon A mksimi. Infimumi j minimiä koskev väite todistetn vstvsti. Esimerkki.5. Määrää sup A j inf A, kun A = { } n n =,,.... Osoitetn, että m = = inf A. (i) n, kun n =,,..., joten m = on joukon A lrj. (ii) Jos m on joukon A lrj, niin m =, joten m m. Siis inf A =. (Kosk A, niin min A = = inf A.) Osoitetn seurvksi, että M = = sup A. (i) n, kun n =,,..., joten M = on joukon A ylärj. (ii) Jos M on joukon A ylärj, niin on osoitettv, että M M =. Vstoletus: M <. Vlitn n N niin, että n > M n > M. Silloin n A j n > M, joten M ei ole joukon A ylärj. Ristiriit. Siten sup A = M =. ( / A, joten joukoll A ei ole mksimi.) 7

10 Täydellisyysksioom. Olkoon A R, A. Jos A on ylhäältä rjoitettu, niin joukoll A on pienin ylärj (eli sup A on olemss). Jos A on lhlt rjoitettu, niin joukoll A on suurin lrj (eli inf A on olemss). Täydellisyysksioomn merkitys on siinä, että vikk rjoitetull joukoll ei yleensä ole mksimi eikä minimiä, niin sillä kuitenkin on pienin ylärj j suurin lrj. Huomutus.6. Täydellisyysksioom on erittäin tärkeä relilukujen ominisuus, jot esimerkiksi rtionliluvuill ei ole: Joukoll A = {x Q x 0, x < } ei ole supremumi joukoss Q. Todistuksen ide: Kosk A j A on ylhäältä rjoitettu, niin täydellisyysksioomn nojll on olemss M = sup A R. Lisäksi M = (hrjoitustehtävä). Kosk M / Q j supremum on yksikäsitteinen, niin joukoll A ei ole pienintä ylärj joukoss Q. Siten Q ei toteut täydellisyysksioom. Intuition mukn täydellisyysksioom tk, ettei relikseliss ole reikiä. Reliluvut R voidn määritellä järjestettynä kuntn, jok sisältää rtionliluvut Q j toteutt täydellisyysksioomn. Krkesti snottun relilukujen kikki täydellisyysksioomn liittyvät ominisuudet ovt nlyysiä, muut lgebr. Ongelmn täydellisyysksioomn käytössä on kuitenkin, ettei se nn mitään keino löytää supremumi ti infimumi. Käytännössä ensin on tehtävä (hyvä) rvus j sitten todistettv se oikeksi. Jos joukko ei ole ylhäältä rjoitettu, sillä ei ole supremumi (vstvsti lhlt rjoittmton joukko j infimum). Myöskään tyhjällä joukoll ei ole supremumi eikä infimumi. Usein kuitenkin käytetään seurvi merkintöjä: sup A = A ei ole ylhäältä rjoitettu, inf A = A ei ole lhlt rjoitettu, sup =, inf = (mikä thns luku on tyhjän joukon ylä- j lrj). Käytännössä supremum knntt yrittää määrittää seurvn luseen vull. 8

11 Luse.7. Oletetn, että A R, A, A on ylhäältä rjoitettu j että M on joukon A ylärj. Silloin M = sup A jos j vin jos jokist ε > 0 kohti on olemss sellinen x A, että x > M ε. Todistus. : Oletetn, että M = sup A j tehdään vstoletus: On olemss sellinen ε > 0, että x M ε kikill x A = M ε on joukon A ylärj j M ε < M = M ei ole pienin ylärj. Ristiriit. : Oletetn, että M on joukon A ylärj, jolle luseen ehto pätee. Jos M < M, niin vlitn ε = M M > 0. Nyt on olemss sellinen x A, että x > M ε = M (M M ) = M. Siis M ei ole joukon A ylärj, joten M on joukon A pienin ylärj. Vstv tulos pätee myös infimumille: Luse.8. Oletetn, että A R, A, A on lhlt rjoitettu j että m on joukon A lrj. Silloin m = inf A, jos j vin jos jokist ε > 0 kohti on olemss sellinen x A, että x < m + ε. Esimerkki.9. Olkoon A = { } n n =,,.... Osoit, että sup A =. Rtkisu: Merkitään M =. Nyt n joukon A ylärj., n =,,..., joten M = on Olkoon ε > 0. Vlitn n niin, että n > ε n > ε. Silloin n A j n > M ε. Siten M = sup A. Huom, että tässä ei käytetty vstoletust (toisin kuin edellä). Vstoletus sisältyy luseeseen.7. 9

12 Todistetn seurvksi ilmeiseltä tuntuv väite, että luonnollisten lukujen joukko N ei ole rjoitettu. Tätä ominisuutt on jo käytetty esimerkeissä. Väite ei seur joukon R lgebrllisist (ts. sen lskutoimitusten) ominisuuksist vn todistuksess käytetään täydellisyysksioom. Luse.0 (Arkhimedeen ominisuus). Jokist x R kohti on olemss sellinen n N, että x < n. Todistus. Vstoletus: On olemss sellinen x R, että n x kikill n N. Selvästi voidn olett, että x. = x on joukon N ylärj, joten N on ylhäältä rjoitettu = on olemss M = sup N R (täydellisyysksioom) = M ei ole joukon N ylärj, kosk M on pienin ylärj = on olemss sellinen m N, että m > M (M ei ole ylärj) = m + > M j m + N = M ei voi oll joukon N ylärj. Ristiriit. Kolmnnen j neljännen viheen voi perustell myös vlitsemll A = N j ε = luseess.7. Huomutus.. Arkhimedeen ominisuudest seur, että jokist x > 0 kohti on olemss sellinen n N että n < x (eli n > x ). Arkhimedeen ominisuutt käyttämällä voidn todist seurv luse. Luse.. Khden erisuuren reliluvun välissä on in rtionliluku, ts. rtionliluvut ovt tiheässä joukoss R. Todistus. Olkoot x, y R sellisi, että y x > 0. Osoitetn, että on olemss sellnen m Q, että x < m < y. Todistuksen iden on etsiä niin n n suuri luku n N, että väli ]nx, ny[ sisältää inkin yhden kokonisluvun m. Nyt y x > 0, joten Arkhimedeen ominisuuden nojll löytyy sellinen n N, että n > y x. Kosk y x > 0, niin n < y x. 0

13 Olkoon A = {k Z k > x} = {k Z k > xn} (n > 0). Arkhimedeen ominisuuden nojll A. Nyt n( x) R, joten Arkhimedeen n ominisuuden nojll löytyy sellinen p N, että p > n( x) = p n < x = p, (p + ), (p + ),... / A. Siten A on lhlt rjoitettu kokonislukujen joukko, joten inf A on olemss. Vlitn ε = luseess.8. Tällöin on olemss sellinen m A, että m < inf A + eli m < inf A. Siis m A j m / A, eli m > x j n (m ) x. Näin ollen n m n = m + n n x + < x + (y x) = y, n joten x < m < y. n Seurus.3. Khden erisuuren reliluvun välissä on in irrtionliluku. Todistus. Olkoot luvut x j y sekä y > x. Luseen. nojll välillä ]x, y [ on rtionliluku m n, ts. x < m n < y = x < m n + < y. Lisäksi m n + R\Q, sillä R\Q. Seurus.4. Khden erisuuren reliluvun välissä on äärettömän mont rtionli- j irrtionliluku. Todistus. Olkoot luvut x j y, y > x. Tehdään vstoletus: Lukujen x j y välissä on n kpplett rtionlilukuj. Väli ]x, y[ voidn jk osväleihin, joit on (n + ) kpplett. Luseen. nojll jokisell osvälillä on inkin yksi rtionliluku, joten väliltä ]x, y[ löytyy n + rtionliluku. Tämä on ristiriidss vstoletuksen knss, joten lukujen x j y välissä on ääretön määrä rtionlilukuj. Irrtionlilukuj koskev väite todistetn smll tvll käyttämällä seurust.3. Luse.5 (sisäkkäisten välien perite). Jos [, b ] [, b ] ovt sisäkkäisiä suljettuj välejä ( n, b n R, n =,,...), niin [ n, b n ] n= On siis olemss sellinen x R, että x [ n, b n ] kikill n =,,...

14 Huomutus.6. () Sisäkkäisten välien perite kertoo smn kuin täydellisyysksioomkin eli ettei relikselill ole reikiä. Voidn todist, että sisäkkäisten välien perite on yhtäpitävä täydellisyysksioomn knss. () Luseen knnlt on olennist, että välit ovt suljettuj, esimerkiksi ] [ 0, =. n n= Perustelu: Vstoletus: ] n= 0, n[. Tällöin on olemss sellinen x R, että x ] 0, n[ in, kun n =,,... Tälle luvulle x pätee siis 0 < x < eli n < in, kun n =,,... Tämä on ristiriidss n x Arkhimedeen ominisuuden knss. Huom, että n= [0, ] = {0} (hrjoitustehtävä). n (3) Luseen knnlt on olennist, että välit ovt rjoitettuj: (hrjoitustehtävä). [n, [ = n= Luseen.5 todistus. Merkitään I n = [ n, b n ]. Tällöin I n I kikill n =,,... = n b n b n =,,... = A = { n n =,,...} on ylhäältä rjoitettu j A = on olemss M = sup A R (täydellisyysksioom) Kosk M = sup A on joukon A ylärj, niin n M kikill n =,,... Väite: M b n kikill n =,,... Perustelu: Todistetn, että jokinen b n, n =,,..., on joukon A ylärj. Oletetn, että n on kiinnitetty. k n = I k I n = k b k b n k < n = I n I k = k n b n.

15 Siten k b n jokisell k =,,... = b n on joukon A ylärj = M b n, kosk M on pienin ylärj = n M b n kikill n =,,... = M [ n, b n ]. n= Esimerkki.7. Olkoon x R. Vlitn, b Q, < b niin, että x [, b ]. Jetn väli [, b ] khteen osn keskipisteestä + b j vlitn näistä väli [, b ] niin, että, b Q, < b j x [, b ]. Jtketn näin. Kun [ n, b n ] on vlittu, niin jetn se khteen osn keskipisteestä n + b n j vlitn näistä seurv väli [ n+, b n+ ], n+, b n+ Q, n+ < b n+ niin, että x [ n+, b n+ ]. Siis n+ x b n+ b b. Näin sdn jono suljettuj sisäkkäisiä välejä joiden pituudet [, b ] [, b ], b n n = b n n = = b 0, n kun n. Lisäksi {x} = [ n, b n ]. n= Näin jokinen reliluku sdn määriteltyä rtionlipäätepisteisten välien vull. 3

16 Lukujonoist. Lukujonon rj-rvo Määritelmä.. Relilukujono (x n ) = x, x, x 3,... on kuvus x: Z + R, missä x(n) = x n. Määritelmän trkoitus: Jokist luku n =,,... setetn vstmn reliluku x n. Määritelmää käytetään myös joukon Z + äärettömille osjoukoille numeroimll niiden lkiot uudelleen. Vroitus: Jono (x n ) ei s smist joukkoon Esimerkiksi ovt eri jonoj vikk {x n n =,,...}. (x n ) = 0,, 0,,... (y n ) =, 0,, 0,... {x n n =,,...} = {y n n =,,...} = {0, }. Jonoiss esimerkiksi termien järjestystä ei s muutt! Määritelmä.. Jonon (x n ) snotn suppenevn kohti luku R, jos jokist ε > 0 kohti on olemss sellinen n ε Z +, että x n < ε in, kun n n ε. Tällöin snotn, että on jonon (x n ) rj-rvo j merkitään lim x n = ti x n, kun n. Jos jono ei suppene kohti mitään luku, niin snotn, että se hjntuu. Määritelmän trkoitus: Kikki termit x n ovt mielivltisen lähellä pistettä, kun n on riittävän suuri. 4

17 Huomutus.3. () Suppenevn jonon rj-rvo on yksikäsitteinen luku. Jono ei siis voi supet kohti kht eri luku. Perustelu: Tehdään vstoletus: = lim x n j b = lim x n sekä b. Vlitn ε = b > 0. Tällöin määritelmän. nojll on olemss selliset n ε, n ε Z +, että x n < ε, kun n n ε, j x n b < ε, kun n n ε. Kolmioepäyhtälön nojll on voimss rvio b = b x n + x n b x n + x n < ε + ε = ε = b, kun n mx{n ε, n ε}. Tämä on ristiriit, joten = b. () Rj-rvon määritelmä ei nn keino määrittää rj-rvo. Käytännössä ensin on tehtävä rvus siitä, mikä rj-rvo on, j sitten todistettv rvus oikeksi. Tässä on sm vikeus kuin täydellisyysksioomn käytössä. Joskus rj-rvon snotn olevn (ti ), jolloin käytetään seurv määritelmää. Määritelmä. Jonon (x n ) snotn hjntuvn kohti ääretöntä, merkitään lim n = + (vstvsti ), jos j vin jos jokist M R kohti on olemss sellinen n 0 Z +, että x n > M (vstvsti x n < M) kikill n n 0. Esimerkki.4. (x n ), x n =, n =,,... n Väite: lim x n = 0. Perustelu: Olkoon ε > 0. Silloin x n 0 = n 0 = n < ε, kun n > ε. Vlitn n ε pienimmäksi kokonisluvuksi, jok on suurempi kuin ε (vlint mhdollist Arkhimedeen ominisuuden nojll). 5

18 Esimerkki.5. Jono (x n ) = 0,, 0,,... hjntuu. Perustelu: Vstoletus: Jono (x n ) suppenee. Tällöin rj-rvo = lim x n R on olemss. Siis jokist ε > 0 kohti on olemss sellinen n ε Z +, että x n < ε in, kun n n ε. Erityisesti, luku ε = kohti on olemss sellinen n Z +, että x n < in, kun n n. Täten = x n x n+ x n + x n+ < + = jokisell n n, mikä on ristiriit. Siis jono (x n ) hjntuu. Esimerkki.6. Jono (x n ), x n = ( ) n( n), n =,,... hjntuu (vikk kuvst ktsottun näyttäisikin suppenevn kohti sekä luku että luku ) (hrjoitustehtävä). Esimerkki.7. Tutkitn jono (x n ), x n = 3n +, n =,,..., suppenemist. 5n + 3 Arvuksen tekeminen: Kun n on suuri, niin Väite: lim x n = n + 5n + 3 = 3 + n n 3 5. Perustelu: Olkoon ε > 0. Silloin x n 3 5 = 3n + 5n = 5n + 0 5n 9 5(5n + 3) = 5(5n + 3) < 5n < ε, kun n > 5ε. Siten n ε voidn vlit pienimmäksi kokonisluvuksi, jok on suurempi kuin 5ε. n + Esimerkki.8. (x n ), x n =, n =,,... n Arvuksen tekeminen: Kun n on suuri, niin n + = + n n. 6

19 Väite: lim x n =. Perustelu: Olkoon ε > 0. Silloin x n n + = n = < n < ε, n+ n n+ n + = ( n + + ) n kun n > ε. Siten n ε voidn vlit pienimmäksi kokonisluvuksi, jok on suurempi kuin ε. Määritelmä.9. Jono (x n ) snotn rjoitetuksi, jos sitä vstv joukko {x n } on rjoitettu eli on olemss sellinen reliluku M > 0, että x n M kikill n =,,... Lemm.0. Suppenev jono (x n ) on rjoitettu. Todistus. Olkoon = lim x n. Tällöin ε > 0 n ε Z + siten, että x n < ε, kun n n ε. Vlitn ε =, jolloin Toislt Siis n Z + siten, että x n <, kun n n = x n x n + x n + < +, kun n n. x n mx{ x, x,..., x n }, kun n n. x n mx{ +, x,..., x n } kikill n =,,..., j väite pätee, kun vlitn siinä M = mx{ +, x,..., x n }. Huomutus.. Käänteinen väite ei päde. Siitä, että jono on rjoitettu, ei seur, että se suppenee. Esimerkiksi jono (x n ) = 0,, 0,,... hjntuu vikk se on rjoitettu. Lemm.0 voidn kuitenkin käyttää jonon hjntumisen näyttämiseen. Esimerkiksi jono (x n ), x n = n, n =,,..., ei ole rjoitettu, joten se ei suppene. 7

20 Esimerkki.. Olkoon (x n ), x n = {, n n priton, n, n prillinen. Jono (x n ) ei ole rjoitettu, joten se ei suppene (vikk kuvst ktsottun näyttäisikin suppenevn kohti noll). Esimerkki.3. Trkstelln jono (s n ), missä s n = n Osoit, että jono (s n ) hjntuu., n =,,... k Perustelu: Osoitetn, että (s n ) ei ole rjoitettu. Nyt s =, s = +, s 4 = + ( ) > = +, s 8 = + ( ) ( ) 8 > = + 3. Induktioll luvun n suhteen voidn todist, että s n + n = + n, n = 0,,,..., j + n, kun n. Siis (s n) ei ole rjoitettu, eikä siten suppene. (Hrmoninen srj hjntuu.) Huom, että (s n ) hjntuu todell hitsti: s n, kun n = Lskimest ti tietokoneest ei juurikn ole pu suppenemisen totemisess. Huomutus.4. Rj-rvoille pätevät seurvt lgebrlliset ominisuudet (hrjoitustehtävä): Jos jonot (x n ) j (y n ) suppenevt sekä lim x n = j lim y n = b, niin myös jonot (x n + y n ), (x n y n ) j (x n y n ) suppenevt. Jos y n 0 kikill n =,,..., j b 0, niin myös jono ( xn y n ) suppenee. Näiden jonojen rj-rvot ovt tällöin 8

21 (i) lim (x n + y n ) = + b, (ii) lim (x n y n ) = b, (iii) lim (x n y n ) = b, x n (iv) lim = y n b, kun y n 0, n =,,..., j b 0. Vroitus: Siitä, että summjono (x n + y n ) suppenee, ei voi päätellä, että lkuperäiset jonot (x n ) j (y n ) suppenevt. Vstv tulos pätee muillekin lskutoimuksille. Jos esimerkiksi x n = ( ) n j y n = ( ) n+, n =,,..., niin x n + y n = 0 kikill n =,,... Näin ollen lim (x n + y n ) = 0, mutt jonot (x n ) j (y n ) eivät suppene. Luse.5 (epäyhtälön säilymisen perite). Olkoot (x n ) j (y n ) sellisi suppenevi jonoj, että x n y n kikill n =,,.... Silloin lim x n lim y n. Todistus. Merkitään = lim x n olemss selliset n ε j n ε, että j b = lim y n. Olkoon ε > 0, jolloin on x n < ε, kikill n n ε, j y n b < ε, kikill n n ε. Kosk x n x n j y n b y n b, niin x n < ε j y n b < ε, kun n mx{n ε, n ε} = n ε = b = ( x n ) + (y n b) + (x n y n ) < ε }{{} + ε = ε, kun n n ε 0 = b < ε kikill ε > 0. Täten b 0, eli lim x n = b = lim y n. 9

22 Vroitus: Aito epäyhtälö ei välttämättä säily rjnkäynnissä: x n < y n = / lim x n < lim y n. Esimerkiksi x n = 0, y n =, n =,,... Tällöin n x n < y n, n =,,..., mutt lim x n = 0 = lim y n. Lusett.5 vstv tulos pätee myös silloin, kun rj-rvo on ±. Todistus jätetään hrjoitukseksi. Luse.6. Olkoot (x n ) j (y n ) jonoj. Oletetn, että on olemss sellinen n 0 Z +, että x n y n kikill n n 0. Jos lim x n = +, niin myös lim y n = +. Jos lim y n =, niin myös lim x n =. Jos nnetun jonon lkioille tiedetään sm luku kohti suppenev ylä- j lrj, niin smn tpn kuin epäyhtälön säilymisen perite sdn seurv, käyttökelpoinen tulos. Luse.7 (suppiloperite). Oletetn, että (x n ), (y n ) j (z n ) ovt sellisi jonoj, että x n y n z n kikill n =,,... Jos (x n ) j (z n ) suppenevt kohti sm luku eli lim x n = = lim z n, niin myös (y n ) suppenee j lim y n =. Todistus. Olkoon ε > 0 mielivltinen, jolloin on olemss selliset n ε j n ε, että Kosk x n < ε kikill n n ε, j z n < ε kikill n n ε. x n x n < ε, kun n n ε, j z n z n < ε, kun n n ε, 0

23 niin Siis ε < x n y n z n < + ε, kun n mx{n ε, n ε} = n ε. joten lim y n =. y n < ε, kikill n n ε, Huomutus.8. Suppiloperittess on tärkeää, että jonot (x n ) j (z n ) suppenevt kohti sm luku. Esimerkiksi jonoille x n =, y n = ( ) n j z n =, kun n =,,..., on voimss lim x n = = lim z n j x n y n z n, mutt (y n ) hjntuu. Esimerkki.9. Osoit, että lim sin n n = 0. Rtkisu: Kosk sin n kikill n =,,..., niin n sin n n, n =,,... n Vlitn suppiloperitteess Tällöin x n = n, joten myös lim sin n n = 0. Vroitus: sin n lim n y n = sin n n, z n =, n =,,... n lim x n = lim z n = 0, lim sin n lim n (jälkimmäinen ei ole olemss) Esimerkki.0. Osoit, että lim 5n + 4 5n + 4n + 3 = 0. Rtkisu: Arvioidn lusekett ylöspäin j lspäin (esimerkiksi) seurvsti: 5 n = 5n n = 5n + 4 5n + 4n + 3 5n 5n + 4n + 3n 5n + 4 5n + 4n + 3 5n n 5n + 4n + 3 = n,

24 kun n =,,... Vlitn suppiloperitteess x n = 5 n, y n = jolloin lim x n = lim z n = 0 j siten myös 5n + 4 5n + 4n + 3, z n =, n =,,..., n lim 5n + 4 5n + 4n + 3 = 0. Huom, että nämä esimerkit voidn myös käsitellä suorn suppenevn jonon määritelmän vull.. Monotoniset jonot Määritelmä.. Jono (x n ) snotn (i) ksvvksi, jos x n+ x n kikill n =,,..., idosti ksvvksi, jos x n+ > x n kikill n =,,..., (ii) väheneväksi, jos x n+ x n kikill n =,,..., idosti väheneväksi, jos x n+ < x n kikill n =,,..., (iii) monotoniseksi, jos se on ksvv ti vähenevä, idosti monotoniseksi, jos se on idosti ksvv ti idosti vähenevä. Esimerkki.. () x n = n, n =,,... (x n ) on idosti ksvv. () x n = n, n =,,... (x n) on idosti vähenevä. (3) x n =, n =,,... (x n ) on vkiojonon sekä ksvv että vähenevä. (4) x n = ( ) n, n =,,... (x n ) ei ole ksvv eikä vähenevä. Luse.3 (monotonisen suppenemisen luse). Monotoninen jono suppenee jos j vin jos se on rjoitettu. Lisäksi pätee: (i) Jos (x n ) on ksvv j ylhäältä rjoitettu, niin lim x n = sup{x n n =,,...}.

25 (ii) Jos (x n ) on vähenevä j lhlt rjoitettu, niin lim x n = inf{x n n =,,...}. Todistus. : Jos jono (x n ) suppenee, niin lemmn.0 nojll se on rjoitettu. : Todistetn koht (i). Tällöin erityisesti ksvv j rjoitettu jono suppenee, eli kohdst (i) seur ensimmäisen väitteen toinen suunt ksvville jonoille. Olkoon (x n ) ksvv j ylhäältä rjoitettu. Tällöin on olemss sellinen M R, että Täydellisyysksioomn nojll x n M kikill n =,,... sup{x n n =,,...} = R on olemss. Osoitetn, että = lim x n. Olkoon ε > 0 mielivltinen. Luseen.7 nojll on olemss sellinen n ε, että x nε > ε. Kosk jono (x n ) on ksvv, niin x n x nε > ε kikill n n ε = ε < x n < + ε kikill n n ε ( on ylärj) = ε < x n < ε kikill n n ε = x n < ε n n ε = = lim x n. Koht (ii) todistetn vstvll tvll (hrjoitustehtävä). Huomutus.4. () Edellä monotonisuusoletus on olenninen. Esimerkiksi jono x n = ( ) n, n =,,..., on rjoitettu, mutt se ei suppene. () Voidn osoitt, että monotonisen suppenemisen luse on yhtäpitävä täydellisyysksioomn knss (hrjoitustehtävä). Esimerkki.5 (Newtonin menetelmä). Jtko esimerkkiin.0. Olkoon f(x) = x. Silloin f(x) = 0 x = ±. 3

26 Asetetn x =. Käyrän y = f(x) pisteeseen (x, f(x )) piirretyn tngentin yhtälö on y = f(x ) + f (x )(x x ). Tngentti leikk x-kselin, kun y = 0, eli kohdss x = x f(x ) f (x ) = x x x = x + x. Merkitään x = x + x. Vstvsti käyrän pisteeseen (x, f(x )) piirretty tngentti leikk x-kselin kohdss x 3 = x + x, jne. Iteroidn tätä: Olkoon x =, x n+ = x n + x n, n =,,... Väite : Jos (x n ) suppenee, niin lim x n =. Perustelu: Olkoon = lim x n. Kosk x n, n =,,... (esimerkki.6), niin epäyhtälön säilymisperitteen nojll > 0. = = lim x n+ = lim x n + x n = = = + ( > 0) = = = = ± Kosk > 0, niin =. Väite : Jono (x n ) suppenee (tämä ei ole selvää!). ( ) lim x n + ( ) = lim x n + Perustelu: Esimerkissä.6 on jo osoitettu, että x n+ x n, n =, 3,... j että x n, n =, 3,... Siten jono x, x 3,... on vähenevänä j rjoitettun jonon suppenev. Siis = lim x n on olemss j Väitteen nojll =. Vroitus: Rj-rvon olemssolo on todistettv erikseen rekursiivisesti määritellyille jonoille. Esimerkki.6. Olkoon x =, x n+ = x n +, n =,,... 4

27 Jos = lim x n olisi olemss, niin x n + = lim x n+ = lim = + = 0 = ( ) = 0 = =. = + Tässä tpuksess rj-rvo ei ole olemss, ts. (x n ) ei suppene. Perustelu: sillä x n+ = x n + = x n + x n +, n =,,..., x n x n x n ( xn ) 0 x n, n =,,... Todistetn induktioll, että x n, n =,,... ) x =. ) Tehdään induktio-oletus: x k jollkin k Z +. Tällöin induktiooletuksen nojll x k+ = x k + + = 5. Induktioperitteen nojll x n, n =,,... Tästä seur (induktioll), että x n x n + x n + x + (n ) = + n, kun n =,,... Siten jono (x n ) ei ole rjoitettu eikä se suppene. Esimerkki.7. Olkoon s n = +! +! + + n! = n, n =,,... k! Osoit, että jono (s n ) suppenee. 5

28 Rtkisu: Selvästi (s n ) on (idosti) ksvv, sillä s n+ = s n + (n+)! > s n, kun n =,,.... Lisäksi s n (n )n ( = + + ) ( + ) ( n ) n = 3 n 3, n =,,... Edellä on käytetty ensin rviot k! (k )k j sitten osmurtohjotelm (k )k = k (k ) (k )k = k k, kun k =,..., n. Jono (s n ) siis suppenee, kosk se on ksvv j rjoitettu. Voidn osoitt (tosin ei helposti), että rj-rvo on Neperin luku e =, , toisin snoen e = lim s n = Esimerkki.8. Olkoon x = j x n+ = 6 (x n + 9), n =,,... Osoit, että lukujono (x n ) suppenee j määrää lim x n. Rtkisu: Väite : Jos (x n ) suppenee, niin lim x n = 3. Todistus: Jos = lim x n on olemss, niin k!. = lim x n+ = lim 6 (x n + 9) = (( lim 6 x n) + 9) = = = 0 = ( 3) = 0 = = 3. Väite : 0 < x n < 3 kikill n =,,.... Todistus: Todistetn väite induktioll luvun n suhteen. ) Väite on tosi, kun n =, sillä 0 < x = < 3. 6

29 ) Induktio-oletus: Väite on tosi, kun n = k, toisin snoen 0 < x k < 3. Induktioväite: Väite on tosi, kun n = k +, toisin snoen 0 < x k+ < 3. Induktiotodistus: Kosk x k > 0, niin x k+ = 6 (x k + 9) > 0 j induktiooletuksen nojll x k+ = (x k + 9) < = (kosk 0 < x k < 3, niin x k < 9). Siis 0 < x k+ < 3. Induktioperitteen nojll Väite on tosi kikill n Z +. Väite 3: x n+ > x n kikill n =,,... Todistus: Väitteen nojll x n+ x n = 6 (x n + 9) x n = (x n 3) joten x n+ > x n kikill n Z +. 6 > 0, Täten jono (x n ) on ksvv j (ylhäältä) rjoitettu, joten monotonisen suppenemisen luseen nojll (x n ) suppenee. Väitteen nojll lim x n = 3..3 Osjonot Määritelmä.9. Jono (y k ) snotn jonon (x n ) osjonoksi, jos on olemss selliset luvut n < n <..., että y k = x nk kikill k =,,... Määritelmän trkoitus: Osjono sdn lkuperäisestä jonost jättämällä pois tämän lkioit j numeroimll sdun jonon lkiot uudelleen smss järjestyksessä. Huomutus.30. () Jono (x n ) on sellinen kuvus x: Z + R, että x(n) = x n. Olkoot n k Z + sellisi, että n < n <... Tällöin on olemss kuvus Osjono (x nk ) on yhdistetty kuvus σ : Z + {n, n,...}, σ(k) = n k. x σ : Z + R, (x σ)(k) = x(σ(k)) = x(n k ) = x nk. 7

30 () Huom, että in n k k. Esimerkki.3. Olkoot x n =, n =,,... Seurvss on eräitä jonon n (x n ) osjonoj: ( ) (y k ) = (x k ) = = k, 4, 6,... ( ) (y k ) = (x k ) = =, k 3, 5, 7,... ( ) (y k ) = (x k) = = k, 4, 8, 6,... ( (y k ) = (x k! ) = =, k!)!, 3!,... Seurvt jonot eivät ole jonon (x n ) osjonoj:,, 4, 3, 6, 5,..., 0, 3, 0, 5, 0,...,,,, 3, 3,... Luse.3. Jos jono (x n ) suppenee kohti luku, niin sen jokinen osjono suppenee kohti luku. Kääntäen jos jonon (x n ) jokinen osjono suppenee, niin myös (x n ) suppenee. Todistus. Oletetn, että lim x n =. Olkoon (y k ) jonon (x n ) osjono j y k = x nk, n k k. Kosk lim x n =, niin jokist ε > 0 kohti on olemss sellinen n ε, että Jos k n ε, niin n k k n ε j Siten lim k y k =. x n < ε kikill n n ε. y k = x nk < ε, kun k n ε. Käänteinen väite on selvä, sillä (x n ) on itsensä osjono. 8

31 Huomutus.33. Luse.3 nt keinon todist, että jono hjntuu. Riittää löytää osjono, jok ei suppene, ti kksi osjnono, jotk suppenevt eri lukuj kohti. Muist kuitenkin, että yhden osjonon suppeneminen ei tk lkuperäisen jonon suppenemist. ( Esimerkki.34. Jono x n = ( ) n ), n =,,..., hjntuu. n Perustelu: x n = 0,,, 3, 4, 5, 6,... Jonoll (x n) on suppenevt osjonot (y k ) = (x k ), ( x k = ( ) k ), kun k (prilliset indeksit) k j (y k ) = (x k ), ( x k = ( ) k ), kun k k (prittomt indeksit). Kosk osjonot suppenevt kohti eri lukuj, niin lkuperäinen jono ei suppene. Esimerkki.35. Jono x n = n, n prillinen, n, n priton hjntuu. Perustelu: (x n ) =,, 3, 4, 5, 6, 7,... Osjono (y k) = (x k ) = ( k) suppenee j osjono (y k ) = (x k ) = (k ) ei ole rjoitettu, joten se hjntuu. Siis (x n ) hjntuu. Luse.36 (Bolznon Weierstrssin luse). Rjoitetull jonoll on suppenev osjono. Todistus. Olkoon jono (x n ) rjoitettu. Tällöin on olemss selliset m, M R, että m x n M kikill n =,,... Merkitään = m j b = M. Silloin x n [, b ] kikill n =,,... Jetn väli [, b ] khteen osn keskipisteestään c = + b. 9

32 Tällöin inkin toinen väleistä [, c ], [c, b ] sisältää äärettömän mont jonon (x n ) lkiot, sillä jos molemmt sisältäisivät vin äärellisen mont jonon lkiot, niin koko jonoss olisi vin äärellisen mont lkiot. (Huom, että {x n n =,,...} voi oll äärellinen joukko, mutt sitä ei s smist jonoon (x n ). Esimerkiksi jonon (x n ) =,,,,... lkiot muodostvt joukon {x n n =,,... } = {, }.) Vlitn näistä väli, joss on äärettömän mont jonon lkiot j merkitään sitä [, b ]. Jtketn näin. Olkoon c k = k + b k välin [ k, b k ] keskipiste j vlitn väleistä [ k, c k ], [c k, b k ] se, jok sisältää äärettömän mont jonon lkiot. Merkitään vlittu väliä [ k+, b k+ ]. Kosk välit [ k, b k ], k =,,..., ovt sisäkkäisiä suljettuj välejä, niin sisäkkäisten välien peritteen (luse.5) nojll on olemss sellinen x 0 R, että x 0 [ k, b k ]. Toislt, kosk välien [ k, b k ] pituus niin b k k = b k k = = b k 0, kun k, [ k, b k ] = {x 0 }. Konstruoidn sitten suppenev osjono. Vlitn n =, jolloin x n [, b ]. Vlitn sitten luvut n k+ induktiivisesti niin, että n k+ > n k j x nk+ [ k+, b k+ ]. Tämä on mhdollist, sillä jokinen väli [ k+, b k+ ] sisältää äärettömän mont jonon (x n ) lkiot. Nyt x nk, x 0 [ k, b k ], joten Siis x nk x 0 b k k = b k 0, kun k. x 0 = lim k x nk j (x nk ) kelp suppenevksi osjonoksi. 30

33 Huomutus.37. () Suppenev osjono ei ole yksikäsitteinen. Esimerkiksi jonoll x n = ( ) n, n =,,... on suppenevt osjonot (x k ) =,,... j (x k ) =,,... () Bolznon Weierstrssin luse yleistää monotonisen suppenemisen luseen. Bolznon Weierstrssin luseen nojll erityisesti jokisell rjoitetull monotonisell jonoll on suppenev osjono j monotonisuudest seur, että lkuperäinenkin jono suppenee. (3) Bolznon Weierstrssin luse voidn todist myös monotonisen suppenemisen luseen vull, sillä jokisell jonoll (ilmn mitään ehtoj!) on in monotoninen osjono (hrjoitustehtävä). (4) Voidn todist, että Bolznon Weierstrssin luse on yhtäpitävä täydellisyysksioomn knss (hrjoitustehtävä). Esimerkki.38. Osoitetn, että jokist [0, ] kohti on olemss sellinen jonon (x n ) =, 3, 3, 4, 4, 3 4, 5, 5, 3 5, 4 5,... osjono, jok suppenee kohti luku. Jonon (x n ) lkiot ovt muoto m, missä k =,,... j m =,,..., k, k + olevi rtionlilukuj. Nämä luvut on järjestetty ryhmiin, joill on sm nimittäjä k +, kun k =,,... Selvästi jono (x n ) käy lävitse (numeroi) kikki välin ]0, [ rtionlipisteet, toisin snoen {x n n =,,...} = Q ]0, [. Olkoon [0, ]. Hluttu, luku kohti suppenev, osjono löytyy, kun todistetn seurv väite: Jokist k =,,... kohti on olemss sellinen x nk Q ]0, [, että x nk < k j n k > n k. Todistus: Vlitn n =, jolloin x n = j x n <. 3

34 Oletetn sitten, että indeksit n < n < < n k on vlittu niin, että x nj <, j =,,..., k. j Väli ] k +, + [ ]0, [ k + on epätyhjä, joten seuruksen.4 nojll se sisältää äärettömän mont rtionliluku. Siten on olemss sellinen n k+ > n k, että x nk+ < k +. Näin jono (x nk ) sdn määriteltyä induktiivisesti. Jokist k =,,... kohti on siis olemss sellinen x nk, että x nk < k. Tästä seur, että lim x n k =. k Seurvt käsitteet ovt tärkeitä nlyysin jtkokursseill. Olkoon (x n ) rjoitettu jono, ts. on olemss sellinen M > 0, että x n M kikill n N. (i) Määritellään uusi jono ( n ) settmll Tällöin n = sup{x k k n} = sup x k. k n n+ = sup{x k k n + } = sup x k n k n+ (jos A B, niin sup A sup B), joten jono ( n ) on vähenevä. Lisäksi M x k M kikill k = M n = sup x k M k n = n M kikill n, kikill n joten jono ( n ) on rjoitettu. Luseen.3 nojll ( n ) suppenee j lim n = inf{ n n =,,... }. Tälle rj-rvolle (ns. limes superior) käytetään merkintää lim n = lim sup k n 3 x k = lim sup x n.

35 (ii) Muodostetn vstvsti jono (b n ), jolle b n = inf k n x k, n =,,... Jono (b n ) on ksvv j kuten edellä nähdään, että b n M kikill n. Siten luseen.3 nojll (b n ) suppenee j lim b n = sup{b n n =,,... }. Tälle rj-rvolle (ns. limes inferior) käytetään merkintää lim b n = lim inf x k = lim inf x n. k n Huomutus.39. Olkoon (x n ) rjoitettu jono sekä U = lim sup x n j L = lim inf x n. Todistukset sivuutten minitn, että tällöin (i) L U, (ii) on olemss sellinen osjono (x nk ), että lim k x nk = U, (iii) on olemss sellinen osjono (x nl ), että lim l x nl = L, (iv) Jono (x n ) suppenee jos j vin jos L = U. Esimerkki.40. Merkitään U = lim sup x n j L = lim inf x n. () Olkoon x n = ( ) n, n =,,... Tällöin U = j L =. j jono (x n ) hjntuu (vert huomutuksen.39 kohtn (iv)). () Olkoon x n = n, n =,,... Tällöin U = L =, joten huomutuksen n+.39 kohdn (iv) mukn myös lim x n = (hrjoitustehtävä). (3) Olkoon x n = n(+( ) n ), n =,,... Tällöin L = 0 j U ei ole olemss (hrjoitustehtävä)..4 Cuchyn jono Määritelmä.4. Jono (x n ) snotn Cuchyn jonoksi, jos jokist ε > 0 kohti on olemss sellinen n ε Z +, että x n x m < ε in, kun n, m n ε. 33

36 Määritelmän trkoitus: Kikki jonon termit x n ovt mielivltisen lähellä toisin, kun n on riittävän suuri. Huomutus.4. () Vikk Cuchyn jonon määritelmä näyttää melkein smlt kuin jonon rj-rvon määritelmä, siinä on vin jonon termejä eikä mhdollist rj-rvo. () Ehto voidn kirjoitt muodoss: x n x n+p < ε in, kun n n ε j p Z +. Vroitus: Cuchyn ehto ei voi kirjoitt seurvsti: jokist ε > 0 kohti on olemss sellinen n ε Z +, että eli Esimerkiksi käy jono x n x n+ < ε in, kun n n ε lim (x n x n+ ) = 0. (x n ) =,,, 3, 3, 3, 3 4, 3 4, 33 4,... Silloin lim (x n x n+ ) = 0, mutt (x n ) ei ole Cuchyn jono (jono (x n ) ei myöskään suppene). Esimerkki.43. Osoitetn, että jono (x n ), x n =, n =,,..., on Cuchyn n jono. Olkoon ε > 0 mielivltinen. Tällöin kolmioepäyhtälön nojll x n x m = n m n + m < ε + ε = ε, kun n, m > ε. Siten n ε voidn vlit (esimerkiksi) pienimmäksi kokonisluvuksi, jok on suurempi kuin ε. Esimerkki.44. Osoitetn, että (x n ), x n = n+, n =,,..., on Cuchyn n jono. Olkoon ε > 0 mielivltinen. Tällöin kolmioepäyhtälön nojll x n x m = n + n m + m = mn + m (mn + n) nm = m n nm n + m < ε + ε = ε, kun n, m > 4 ε. Siten n ε voidn vlit (esimerkiksi) pienimmäksi kokonisluvuksi, jok on suurempi kuin 4 ε. 34

37 Esimerkki.45. Osoitetn, että jono (x n ), x n = + ( ) n, n =,,..., ei ole Cuchyn jono. On siis osoitettv, että löytyy sellinen ε > 0, että jokist N N kohti on olemss selliset n, m N, että x n x m ε. Kosk x n x n+ =, niin edellä voidn vlit ε = j nähdään, että (x n ) ei ole Cuchyn jono. Huom, että kksi peräkkäistä termiä riittävät vstesimerkkiin. Luse.46 (Cuchyn suppenemiskriteeri). Relilukujono (x n ) suppenee jos j vin jos se on Cuchyn jono. Todistus. : Oletetn, että jono (x n ) suppenee j = lim x n. Olkoon ε > 0 mielivltinen. Tällöin on olemss sellinen n ε, että x n < ε kikill n n ε. Siten x n x m x n + x m < ε + ε = ε kikill n, m n ε, eli (x n ) on Cuchyn jono. : Olkoon (x n ) Cuchyn jono. Osoitetn ensin, että jono (x n ) on rjoitettu. Kosk (x n ) on Cuchyn jono, niin luku ε = kohti on olemss sellinen n, että x n x m <, kun n, m n = x n x n + x n x n x n +, kun n n. Lisäksi x n mx{ x,..., x n }, kun n < n. Täten x n mx{ x,..., x n, x n + } = M kikill n =,,... eli jono (x n ) on rjoitettu. Bolznon Weierstrssin luseen (luse.36) nojll jonoll (x n ) on suppenev osjono (x nk ). Merkitään = lim k x nk 35

38 j osoitetn, että tämä on myös jonon (x n ) rj-rvo. Kolmioepäyhtälön nojll x n x n x nk + x nk. jokisell n, k Z. Olkoon ε > 0 mielivltinen. Kosk (x n ) on Cuchyn jono, niin on olemss sellinen n ε, että x n x nk < ε, kun n, n k n ε. Kosk jono (x nk ) suppenee, niin on olemss sellinen n ε, että x nk < ε, kun n k n ε. Vlitn kiinteä n k mx{n ε, n ε}. Silloin eli = lim x n. x n < ε + ε = ε, kikill n n ε, Huomutus.47. () Todistuksest nähdään, että Cuchyn jono suppenee jos j vin jos sillä on yksikin suppenev osjono. Sm ominisuus pätee monotonisille rjoitetuille jonoille, mutt ei mielivltisille (rjoitetuille) jonoille. () Cuchyn suppenemiskriteeri on yhtäpitävä täydellisyysksioomn knss (hrjoitustehtävä). (3) Luseen.46 mukn relilukujonon rj-rvo ei trvitse tietää, kun osoitetn, että jono suppenee. Pelkkien jonon lkioiden trkstelu riittää. Esimerkki.48. Osoitetn, että jono (s n ), s n =, n =,,..., sup- k penee eli rj-rvo on olemss. lim s n = lim n n k = k 36

39 Tehdään tämä osoittmll, että (s n ) on Cuchyn jono. Olkoon ε > 0. Jos m > n, niin s n s m = = = m k m k(k ) k=n+ k=n+ m k + k k(k ) = m ( k ) k k=n+ k=n+ ( n ) ( + n + n + ) ( + + n + m ) m = n m < n < ε, kun n > ε. Jos n m, niin vihtmll edellä lukujen n j m roolit nähdään, että Tästä seur, että s n s m < m < ε, kun m > ε. s n s m < ε kikill n, m > ε, joten (s n ) on Cuchyn jono j se suppenee Cuchyn kriteerin nojll. On mhdollist todist, että lim s n = π 6. Esimerkki.49. Osoitetn, että jono (s n ), s n =, n =,,..., h- k jntuu. Nyt n s n s n = n + + n n n n =. Vlitn ε =. Tällöin jokist N N kohti on olemss selliset n N j m = n N, että s n s n = ε, joten (s n ) ei ole Cuchyn jono eikä siten suppene. Esimerkki.50. Osoitetn, että jono (s n ), s n = n ( ) k+ k = ( )n+ n, 37

40 suppenee, toisin snoen että lim s n = ( ) k+ k on olemss. Tehdään tämä osoittmll, että (s n ) on Cuchyn jono. Olkoon ε > 0. Olkoon luksi m > n j osoitetn, että s m s n < kikill n =,,... n+ Trkstelu on prs jk khteen osn sen mukn, onko m n prillinen vi priton:. Jos m = n + p (eli m n on prillinen luonnollinen luku), niin n+p s m s n = s n+p s n = ( ) k+ k k=n+ = n + n m m = n + n m m = ( n + n + ) n + 3 < n + kikill n =,,... ( m ) m m. Jos m = n + p + (eli m n on priton luonnollinen luku), niin n+p+ s m s n = s n+p+ s n = ( ) k+ k k=n+ = n + n m m + m = n + n m m + m = ( n + n + ) ( n + 3 m ) m < kikill n =,,... n + Näiden khden kohdn nojll s m s n < n + < n < ε, kun n > ε. 38

41 Jos toislt n m, niin vihtmll edellä lukujen n j m roolit nähdään, että s n s m < m + < m < ε, kun m > ε. Tästä seur, että s n s m < ε, kun n, m > ε, joten (s n ) on Cuchyn jono j suppenee Cuchyn kriteerin nojll. Lisätieto: Jonon (s n ) rj-rvo on ns. lternoiv hrmoninen srj, johon pltn myöhemmin srjoj trkstelevss luvuss. Voidn osoitt, että tämä rj-rvo on ( ) k+ = ln. k Huomutus.5. () Kurssill Anlyysi III tutkitn täydellisiä vruuksi, jotk määritelmänsä nojll ovt sellisi, että jokinen Cuchyn jono suppenee. () Reliluvut voidn konstruoid käyttämällä rtionlilukujen Cuchyn jonoj: Olkoot (x n ), (y n ) Cuchyn jonoj, missä x n, y n Q, n =,,... Määritellään ekvivlenssireltio Cuchyn jonoille settmll (x n ) (y n ) lim (x n y n ) = 0. Reliluvut voidn nyt määritellä tämän ekvivlenssin ekvivlenssiluokkin. 39

42 3 Funktion rj-rvo j jtkuvuus 3. Peruskäsitteitä Kerrtn luksi peruskäsitteitä kurssist PM I. Funktio f : A B on sääntö, jok liittää jokiseen määritysjoukon eli lähtöjoukon A = D f lkioon x yksikäsitteisesti jonkin mlijoukon B lkion y, merkitään y = f(x). Joukko R f = {y B y = f(x), x A} on funktion f kuv- eli rvojoukko. Tätä merkitään usein myös f(a). Funktiot f : A B snotn () surjektioksi, jos R f = B, () injektioksi, jos on voimss ehto x x = f(x ) f(x ), (3) bijektioksi, jos se on injektio j surjektio. Injektion ehdon voi ilmist myös muodoss f(x ) = f(x ) = x = x. Esimerkki 3.. Olkoon f : A B, f(x) = x. () Jos A = B = R eli f : R R, niin f ei ole injektio (f( x) = f(x)) eikä surjektio ( / R f )). () Jos A = R j B = {x R x 0} eli f : R {x R x 0}, niin f on surjektio, mutt ei ole injektio. (3) Jos A = B = {x R x 0} eli f : {x R x 0} {x R x 0}, niin f on surjektio j injektio (f(x ) = f(x ) = x = x = x = x, sillä x, x 0), joten f on bijektio. Huomutus 3.. Ellei toisin minit, niin tällä kurssill käytetään seurv sopimust: Kun funktio f on nnettu lusekkeen, niin sen määritysjoukko D f on ljin mhdollinen relilukujen osjoukko, joss luseke on mielekäs. Esimerkiksi funktion f(x) = + x 3 x+5 määritysjoukko on D f = {x R x > 5 j x 3}. 40

43 Olkoon E perusjoukko j A, B E. Tällöin (i) A = {x E x / A} on joukon A komplementti, (ii) A B = {x E x A ti x B} on joukkojen A j B unioni eli yhdiste, (iii) A B = {x E x A j x B} on joukkojen A j B leikkus, (iv) A\B = {x E x A j x / B} on joukkojen A j B (joukkoopillinen) erotus. Unionille, leikkukselle j komplementille pätevät De Morgnin lit: (A B) = A B, (A B) = A B. Näiden todistus jätetään hrjoitustehtäväksi. Määritelmä 3.3. Pisteen x 0 R (ε-säteiseksi) ympäristöksi snotn väliä ]x 0 ε, x 0 + ε[ (ts. siinä ovt ne x R, joiden etäisyys pisteestä x 0 on (idosti) pienempi kuin ε). Joukko A R snotn voimeksi, jos jokisell joukon A pisteellä on ympäristö, jok sisältyy joukkoon A. Joukko A R snotn suljetuksi, jos sen komplementti on voin. A = R\A = {x R x / A} Esimerkki 3.4. Väli ]0, [ on voin joukko. Väli A = [0, ] on suljettu, sillä A = {x R x < 0 ti x > } on voin. Jokinen äärellinen pistejoukko A = {x, x,..., x n } on suljettu. Erityisesti yksiö {x } on suljettu. Relilukujen joukko R sekä tyhjä joukko ovt sekä voimi että suljettuj (nämä ovt inot joukon R osjoukot, joill on tämä ominisuus). Määritelmä 3.5. Pistettä x 0 R snotn joukon A R ksutumispisteeksi, jos jokist ε > 0 kohti on olemss sellinen piste x A, että x x 0 j x x 0 < ε. Määritelmän trkoitus: x 0 on joukon A R ksutumispiste, jos jokinen pisteen x 0 ympäristö ]x 0 ε, x 0 + ε[ sisältää joukon A pisteen, jok ei ole x 0. 4

44 Esimerkki 3.6. () Joukon ]0, [ ksutumispisteiden joukko on [0, ]. () Joukon ]0, [ {} ksutumispisteiden joukko on [0, ]. (3) Joukoll {0, } ei ole ksutumispisteitä. (4) Joukon { n n =,,...} ksutumispisteiden joukko on {0}. (5) Joukon Q [0, ] ksutumispisteiden joukko on [0, ]. Vroitus: Ksutumispiste ei välttämättä kuulu joukkoon. Luse 3.7. Piste x 0 R on joukon A R ksutumispiste jos j vin jos on olemss sellinen jono (x n ), että x n A, x n x 0 kikill n =,,... j lim x n = x 0. Todistus. : Olkoon x 0 R joukon A ksutumispiste. Tällöin jokist n =,,... kohti on olemss sellinen x n A, x n x 0, että Jonolle (x n ) pätee nyt lim x n = x 0. x n x 0 < n. : Oletetn, että x n A, x n x 0 kikill n =,,... j lim x n = x 0 = ε > 0 n ε siten, että x n x 0 < ε, kun n n ε = ε > 0 pätee x nε A, x nε x 0 j x nε x 0 < ε = x 0 on joukon A ksutumispiste. Suljettu joukko voidn luonnehti myös seurvll tvll (tulost ei todistet tällä kurssill). Seurus 3.8. Joukko A R on suljettu jos j vin jos A sisältää kikkien suppenevien jonojens rj-lkiot. Huomutus 3.9. () Topologiss seurus 3.8 on myös suljetun joukon määritelmä. () Luseen 3.7 nojll seurus 3.8 sdn seurvn muotoon: Joukko A R on suljettu jos j vin jos A sisältää kikki ksutumispisteensä. 4

45 3. Funktion rj-rvo Määritelmä 3.0. Olkoon A R, f : A R funktio j x 0 R joukon A ksutumispiste. Luku R snotn funktion f rj-rvoksi pisteessä x 0, jos jokist ε > 0 kohti on olemss sellinen δ > 0, että f(x) < ε in, kun 0 < x x 0 < δ j x A. Tällöin merkitään f(x), kun x x 0, ti lim f(x) =. x x 0 Huomutus 3.. () Määritelmässä δ riippuu vin luvust ε j pisteestä x 0. () Rj-rvo on lokli ominisuus: vin se, mitä tphtuu pisteen x 0 mielivltisen pienessä ympäristössä vikutt funktion f rj-rvoon pisteessä x 0. (3) Funktion ei trvitse oll määritelty pisteessä x 0 j vikk se olisikin määritelty, niin sen rvo pisteessä x 0 ei vikut rj-rvoon. Tämä on tärkeää myös derivtn määritelmässä (ks. PM I): f : R R on derivoituv pisteessä x 0 R, jos f(x) f(x 0 ) lim x x 0 x x 0 on olemss. Huom, että erotusosmäärää ei ole määritelty pisteessä x = x 0. (4) Jos rj-rvo on olemss, se on yksikäsitteinen (todistus hrjoituksen). Esimerkki 3.. Olkoon f : R R, f(x) = 5x +. Osoitetn, että f(x) =. lim x Olkoon ε > 0. Tutkitn, miten δ > 0 on vlittv, jott f(x) < ε, kun 0 < x < δ. Nyt f(x) = 5x + = 5x 0 = 5 x < ε, kun 0 < x < ε, joten voidn vlit δ = ε. Täten lim f(x) =. 5 5 x Esimerkiksi f(x) < 000 = ε, kun 0 < x <

46 Esimerkki 3.3. Olkoon f : R\{0} R, f(x) = x x f(x) = 0 (vikk funktiot f ei ole määritelty pisteessä x = 0). lim x 0 Olkoon ε > 0. Tällöin f(x) 0 = x x 0 = x < ε,. Osoitetn, että kun 0 < x 0 < ε, joten voidn vlit δ = ε määritelmässä 3.0. Esimerkki 3.4. Olkoon f : R R, f(x) = x j x 0 R mielivltinen. Osoitetn, että lim x x0 f(x) = x 0. Olkoon ε > 0 mielivltinen j x 0 R. Selvästi Jos x x 0, niin Tästä seur, että f(x) x 0 = x x 0 = x x 0 x + x 0. x + x 0 x x 0 + x 0 x 0 +. x x 0 ( x 0 + ) x x 0 < ε, kun { Vlitn δ = min, x x 0 < ε x 0 + ε x 0 + }, jolloin j x x 0 <. Jos esimerkiksi x 0 = j ε = f(x) f(x 0 ) < ε kun 0 < x x 0 < δ. 000, niin f(x) 4 <, kun 0 < x < 000 Luse 3.5 (funktion rj-rvon jonokrkteristio). Jos f : A R, x 0 on joukon A ksutumispiste j R, niin seurvt väitteet ovt yhtäpitäviä: (i) lim x x0 f(x) =, (ii) Jokiselle jonolle (x n ), jolle x n A, x n x 0 kikill n =,,... j lim x n = x 0, pätee lim f(x n) =. 44

47 Todistus. (i) (ii) : Olkoon lim f(x) =. Olkoot lisäksi x n A, x n x 0 x x0 kikill n =,,... j lim x n = x 0. Osoitetn, että lim f(x n ) =. Olkoon ε > 0. Kosk lim x x0 f(x) =, niin on olemss sellinen δ > 0, että f(x) < ε in, kun 0 < x x 0 < δ j x A. Kosk lim x n = x 0, niin on olemss sellinen n δ, että Siten 0 < x n x 0 < δ, kun n n δ (oletetuksen mukn x n x 0 ). joten lim f(x n ) =. f(x n ) < ε, kikill n n δ, (ii) (i) : Tehdään vstoletus: (i) ei toteudu eli on olemss sellinen ε > 0, että jokist δ > 0 kohti on olemss x A, jolle 0 < x x 0 < δ j f(x) ε. Vlitn δ n = n, n =,,... Tällöin jokist n Z + kohti on olemss sellinen x n A, että 0 < x n x 0 < n j f(x n) ε. Täten lim x n = x 0, mutt jono (f(x n )) ei suppene kohti luku. Tämä on ristiriit. Esimerkki 3.6. Osoitetn, että funktioll f : R R,, x > 0, f(x) = 0, x = 0,, x < 0. ei ole rj-rvo pisteessä 0. Olkoot x n =, y n n =, n =,,... Silloin n mutt lim x n = lim y n = 0, lim f(x n) = lim = j lim f(y n ) = lim =. Luseen 3.5 nojll lim x 0 f(x) ei ole olemss. 45

48 Esimerkki 3.7. Osoitetn, että funktioll f : ]0, [ R, f(x) = x ei ole rj-rvo pisteessä 0. Olkoon x n =, n =,,... n Silloin lim x n = 0, mutt jono (f(x n )) = (n) hjntuu. Luseen 3.5 nojll lim f(x) ei ole x 0 olemss. Esimerkki 3.8. Osoitetn, että funktioll f : R \ {0} R, f(x) = sin x ei ole rj-rvo pisteessä 0. Olkoot x n = πn, y n = πn + π, n =,,... Silloin lim x n = lim y n = 0, mutt lim f(x n) = lim sin(πn) = lim 0 = 0 j ( lim f(y n) = lim sin πn + π ) = lim sin π =. Luseen 3.5 nojll lim f(x) ei ole olemss. x 0 Edelliset esimerkit (joiss rj-rvo ei ole olemss) voidn todist myös muodollisesti rj-rvon määritelmän 3.0 vull tekemällä vstoletus j johtmll ristiriit. 3.3 Funktion jtkuvuus Määritelmä 3.9. Olkoon A R, f : A R j x 0 A. Funktiot f snotn jtkuvksi pisteessä x 0, jos jokist ε > 0 kohti on olemss sellinen δ > 0, että f(x) f(x 0 ) < ε, kun x x 0 < δ j x A. Funktiot f snotn jtkuvksi joukoss A, jos se on jtkuv joukon A jokisess pisteessä. Jos funktio ei ole jtkuv, sitä snotn epäjtkuvksi. 46

ANALYYSI I, kevät 2009

ANALYYSI I, kevät 2009 ANALYYSI I, kevät 2009 Sisältö Relilukujen peruskäsitteitä 2 Lukujonoist 3 2. Lukujonon rj-rvo....................... 3 2.2 Monotoniset jonot......................... 7 2.3 Osjonot..............................

Lisätiedot

ANALYYSI I, kevät 2009

ANALYYSI I, kevät 2009 5 Riemnnin integrli 7 ANALYYSI I, kevät 9 5. Integrlin perusominisuuksi................. 76 5. Anlyysin perusluse....................... 8 Sisältö Relilukujen peruskäsitteitä Lukujonoist 3. Lukujonon rj-rvo.......................

Lisätiedot

Sarjat ja integraalit

Sarjat ja integraalit Srjt j integrlit c Mtemttisten tieteiden litos, Oulun yliopisto Versio: 9.3.0 Viimeksi muoknnut: Peter Hästö Sisältö Funktion rj-rvo j jtkuvuus. Peruskäsitteitä........................................

Lisätiedot

5 Epäoleellinen integraali

5 Epäoleellinen integraali 5 Epäoleellinen integrli 5. Integrlin suppeneminen Olkoon f sellinen välillä [, b[ (ei siis välttämättä pisteessä b) määritelty funktio, että f on Riemnn-integroituv välillä [, ] kikill ], b[ eli on olemss

Lisätiedot

II.1. Suppeneminen., kun x > 0. Tavallinen lasku

II.1. Suppeneminen., kun x > 0. Tavallinen lasku II. EPÄOLEELLISET INTEGRAALIT nt II.. Suppeneminen Esim. Olkoon f() =, kun >. Tvllinen lsku = / =. Kuitenkn tätä integrli ei ole ikisemmss mielessä määritelty, kosk f ei ole rjoitettu välillä [, ] (eikä

Lisätiedot

7 Funktiosarjoista. 7.1 Funktiosarjojen suppeneminen

7 Funktiosarjoista. 7.1 Funktiosarjojen suppeneminen 7 Funktiosrjoist 7. Funktiosrjojen suppeneminen Seurvksi trkstelln srjoj, joiden termit ovt (lukujen sijst) jollkin välillä I määriteltyjä funktioit. Täsmällisemmin funktiosrjll (ti lyhyemmin srjll) trkoitetn

Lisätiedot

SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT Funktiojonot 1

SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT Funktiojonot 1 SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 JOUNI PARKKONEN Sisältö 0. Tästä tekstistä. Funktiojonot 0. Tästä tekstistä Tämä moniste on trkoitettu käytettäväksi kurssin Srjt j differentiliyhtälöt luentomterilin.

Lisätiedot

ANALYYSIN TEORIA A JA B

ANALYYSIN TEORIA A JA B ANALYYSIN TEORIA A JA B Kikki luseit ei ole muotoiltu smll tvll kuin luennoill. Ilmoit virheistä yms osoitteeseen mikko.kngsmki@ut. (jos et ole vrm, onko kyseessä virhe, niin ilmoit mieluummin). 1. Yleistä,

Lisätiedot

TEHTÄVÄ 1. Olkoon (f n ) jono jatkuvia funktioita f n : [a, b] R, joka suppenee välillä [a, b] tasaisesti kohti funktiota f : [a, b] R.

TEHTÄVÄ 1. Olkoon (f n ) jono jatkuvia funktioita f n : [a, b] R, joka suppenee välillä [a, b] tasaisesti kohti funktiota f : [a, b] R. Topologi I Hrjoitus 10, rtkisuj AP TEHTÄVÄ 1. Olkoon (f n ) jono jtkuvi funktioit f n : [, b] R, jok suppenee välillä [, b] tsisesti kohti funktiot f : [, b] R. Osoit, että tällöin f n (x) dx f(x) dx.

Lisätiedot

3 Integraali ja derivaatta

3 Integraali ja derivaatta 3 Integrli j erivtt 3.1 Integrli ylärjns funktion Olkoon funktio f Riemnn-integroituv välin I jokisell suljetull osvälillä j välin I jokin kiinteä luku. Tällöin integrli määrittelee funktion G(): I R,

Lisätiedot

Analyysi 2. Harjoituksia lukuihin 1 3 / Kevät Anna sellainen välillä ] 2, 2[ jatkuva ja rajoitettu funktio f, että

Analyysi 2. Harjoituksia lukuihin 1 3 / Kevät Anna sellainen välillä ] 2, 2[ jatkuva ja rajoitettu funktio f, että Anlyysi Hrjoituksi lukuihin 3 / Kevät 5. Ann sellinen välillä ], [ jtkuv j rjoitettu funktio f, että () sup A m A j inf A min A, (b) sup A m A j inf A = min A, (c) sup A = m A j inf A min A, (d) sup A

Lisätiedot

Kertausta ja täydennystä

Kertausta ja täydennystä LUKU 1 Kertust j täydennystä 1.1. Merkintöjä N = {k Z k 0} = {0, 1, 2,... }, luonnollisten lukujen joukko. Z + = {k Z k > 0} = {1, 2,... }, positiivisten kokonislukujen joukko. (, b) on relikselin voin

Lisätiedot

Sisältö. Funktiojonot ja -sarjat 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 15

Sisältö. Funktiojonot ja -sarjat 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 15 Funktiojonot j -srjt 10. syyskuut 2005 sivu 1 / 15 Sisältö 1 Funktiojonoist 2 2 Funktiosrjoist 5 3 Funktiojonojen j -srjojen derivointi j integrointi 7 4 Potenssisrjt 9 5 Tylorin polynomit j srjt 12 5.1

Lisätiedot

Kuvausta f sanotaan tällöin isomorfismiksi.

Kuvausta f sanotaan tällöin isomorfismiksi. Määritelmä..12. Oletetn, että 1 =(V 1,E 1 ) j 2 =(V 2,E 2 ) ovt yksinkertisi verkkoj. Verkot 1 j 2 ovt isomorfiset, jos seurvt ehdot toteutuvt: (1) on olemss bijektio f : V 1 V 2 (2) kikill, b V 1 pätee,

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Mtemtiikn tukikurssi Kurssikert 5 1 Jtkuvuus Trkstelln funktiot fx) josskin tietyssä pisteessä x 0. Tämä funktio on tässä pisteessä joko jtkuv ti epäjtkuv. Jtkuvuuden ymmärtää prhiten trkstelemll epäjtkuv

Lisätiedot

Lebesguen integraali - Rieszin määritelmä

Lebesguen integraali - Rieszin määritelmä Lebesguen integrli - Rieszin määritelmä Tru Lehtonen Mtemtiikn pro grdu-tutkielm Jyväskylän yliopisto Mtemtiikn j tilstotieteen litos Kevät 216 Tiivistelmä Jyväskylän Yliopisto Lehtonen, Tru Puliin: Lebesguen

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Mtemtiikn tukikurssi Kurssikert 4 Tilvuuden j vipn ln lskeminen Kuten iemmin käsittelimme, määrätyn integrlin vull voi lske pintloj j tilvuuksi. Tyypillisenä sovelluksen tilvuuden lskemisest on tpus, joss

Lisätiedot

1. Derivaatan Testi. Jos funktio f on jatkuva avoimella välillä ]a, b[ ja x 0 ]a, b[ on kriit. tai singul. piste niin. { f (x) > 0, x ]a, x 0 [

1. Derivaatan Testi. Jos funktio f on jatkuva avoimella välillä ]a, b[ ja x 0 ]a, b[ on kriit. tai singul. piste niin. { f (x) > 0, x ]a, x 0 [ 1. Derivtn Testi Jos funktio f on jtkuv voimell välillä ], b[ j x 0 ], b[ on kriit. ti singul. piste niin { f (x) < 0, x ], x 0 [ f x (x) > 0, x ]x 0, b[ 0 on lokli minimipiste (1) { f (x) > 0, x ], x

Lisätiedot

Analyysi B. Derivaatta ja integraali. Pertti Koivisto

Analyysi B. Derivaatta ja integraali. Pertti Koivisto Anlyysi B Derivtt j integrli Pertti Koivisto Kevät 7 Alkusnt Tämä moniste on trkoitettu oheislukemistoksi Tmpereen yliopistoss pidettävälle kurssille Anlyysi B. Monisteen tvoitteen on tuke luentojen seurmist,

Lisätiedot

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2017 Harjoitus 6, ratkaisuista. 1. Onko jokin demojen 5 tehtävän 3 relaatioista

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2017 Harjoitus 6, ratkaisuista. 1. Onko jokin demojen 5 tehtävän 3 relaatioista Mtemtiikn johntokurssi, syksy 07 Hrjoitus 6, rtkisuist. Onko jokin emojen 5 tehtävän reltioist ) R := {(, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, )}, ) S := {(, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ),

Lisätiedot

Reaalinen lukualue. Millainen on luku, jossa on päättymätön ja jaksoton desimaalikehitelmä?

Reaalinen lukualue. Millainen on luku, jossa on päättymätön ja jaksoton desimaalikehitelmä? Relinen lukulue POLYNOMIFUNKTIOT JA -YHTÄLÖT, MAA Millinen on luku, joss on päättymätön j jksoton desimlikehitelmä? Onko sellisi? Trkstelln Pythgorn luseest stv yksikköneliön lävistäjää, luku + = x x =.

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 7: Integraali ja analyysin peruslause

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 7: Integraali ja analyysin peruslause MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 7: Integrli j nlyysin perusluse Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos 3.10.2016 Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen

Lisätiedot

Riemannin integraalista

Riemannin integraalista TAMPEREEN YLIOPISTO Pro grdu -tutkielm Aij Stenberg Riemnnin integrlist Mtemtiikn j tilstotieteen litos Mtemtiikk Syyskuu 2010 2 Tmpereen yliopisto Mtemtiikn j tilstotieteen litos STENBERG, AIJA: Riemnnin

Lisätiedot

Määritelmä Olkoon C R m yksinkertainen kaari ja γ : [a, b] R m sen yksinkertainen parametriesitys, joka on paloittain C 1 -polku.

Määritelmä Olkoon C R m yksinkertainen kaari ja γ : [a, b] R m sen yksinkertainen parametriesitys, joka on paloittain C 1 -polku. Muodostetn vektorikentän kri-integrli yksinkertisen kren tpuksess. Plutetn mieleen, että joukko C R m on yksinkertinen kri, jos löytyy sellinen jtkuv bijektio γ : [, b] C, jok on ploittin C 1 -funktio

Lisätiedot

2 Riemann-integraali. 2.1 Porrasfunktion integraali. Aloitetaan integraalin täsmällinen määrittely tutkimalla porrasfunktion integraalia.

2 Riemann-integraali. 2.1 Porrasfunktion integraali. Aloitetaan integraalin täsmällinen määrittely tutkimalla porrasfunktion integraalia. 2 Riemnn-integrli 2.1 Porrsfunktion integrli Aloitetn integrlin täsmällinen määrittely tutkimll porrsfunktion integrli. Määritelmä 2.1 (Porrsfunktion integrli). Olkoon f : [, b] R porrsfunktio j P = {x

Lisätiedot

Riemannin integraalista

Riemannin integraalista Lebesguen integrliin sl. 2007 Ari Lehtonen Riemnnin integrlist Johdnto Tämän luentomonisteen trkoituksen on tutustutt lukij Lebesgue n integrliin j sen perusominisuuksiin mhdollisimmn yksinkertisess tpuksess:

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali MS-A1{3,4} (ELEC*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 8: Integrlifunktio j epäoleellinen integrli Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos 5.1.216 Pekk Alestlo,

Lisätiedot

MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 7: Integraali ja analyysin peruslause

MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 7: Integraali ja analyysin peruslause MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 7: Integrli j nlyysin perusluse Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos November 20, 2017

Lisätiedot

i 2 n 3 ( (n 1)a (i + 1) 3 = 1 +

i 2 n 3 ( (n 1)a (i + 1) 3 = 1 + I. INTEGRAALILASKENTA Arkhimedes (287 22 e.kr.) prbelin segmentin pint-l Newton (642 727) j Leibniz (646 76) keksivät diff.- j int.-lskennn Cuhy (789 857) ε, δ Riemnn (826 866) Riemnnin integrli Lebesgue

Lisätiedot

Matematiikan peruskurssi. Seppo Hassi

Matematiikan peruskurssi. Seppo Hassi Mtemtiikn peruskurssi Seppo Hssi Syksy 2014 iii Esipuhe Tämä on 1. versio Mtemtiikn peruskurssin opetusmonisteest, jonk sisältö noudttelee pitkälti Vsn yliopistoss iemmin luennoimni Mtemttiset menetelmät

Lisätiedot

Sisältö. Integraali 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 20

Sisältö. Integraali 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 20 Integrli 10. syyskuut 2005 sivu 1 / 20 Sisältö 1 Määrätty integrli j integrlifunktio 2 1.1 Integroituvist funktioit 3 1.2 Määrätyn integrlin ominisuuksi 4 1.3 Integrlifunktio 5 1.4 Integrlilskennn tärkeimmät

Lisätiedot

a = x 0 < x 1 < x 2 < < x n = b f(x) dx = I. lim f(x k ) x k=1

a = x 0 < x 1 < x 2 < < x n = b f(x) dx = I. lim f(x k ) x k=1 5 Integrli 5.1 Määritelmä j ominisuudet Olkoon f : [, b] R jtkuv. Muodostetn välin [, b] jko = x 0 < x 1 < x 2 < < x n = b j siihen liittyvä yläsumm S = n M k (x k x k 1 ), M k = mx{f(x) x k 1 x x k },

Lisätiedot

MS-A010{2,3,4,5} (SCI, ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali

MS-A010{2,3,4,5} (SCI, ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali MS-A1{2,3,4,5} (SC, ELEC*, ENG*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 8: ntegrlifunktio j epäoleellinen integrli Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos November

Lisätiedot

Matemaattiset menetelmät I. Seppo Hassi

Matemaattiset menetelmät I. Seppo Hassi Mtemttiset menetelmät I Seppo Hssi Syksy 2011 iii Esipuhe Tämä on 1. versio Mtemttiset menetelmät I-kurssin opetusmonisteest, jok perustuu Vsn yliopistoss luennoimni vstvn nimiseen kurssiin. Sisältö noudtt

Lisätiedot

ANALYYSI 3. Tero Kilpeläinen

ANALYYSI 3. Tero Kilpeläinen ANALYYSI 3 Tero Kilpeläinen Luentomuistiinpnoj syksyltä 2005 20. lokkuut 2005 Sisältö 1. Esitietoj 2 1.1. Riemnn-integrli............................ 2 1.2. Derivtt................................. 4 1.3.

Lisätiedot

1 Reaaliset lukujonot

1 Reaaliset lukujonot Jonot 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 5 1 Reaaliset lukujonot Reaaliset lukujonot ovat funktioita f : Z + R. Lukujonosta käytetään merkintää (a k ) k=1 tai lyhyemmin vain (a k). missä a k = f(k). Täten lukujonot

Lisätiedot

Integroimistehtävät, 10. syyskuuta 2005, sivu 1 / 29. Perustehtäviä. Tehtävä 1. Osoita, että vakiofunktio f(x) c on Riemann-integroituva välillä

Integroimistehtävät, 10. syyskuuta 2005, sivu 1 / 29. Perustehtäviä. Tehtävä 1. Osoita, että vakiofunktio f(x) c on Riemann-integroituva välillä Integroimistehtävät,. syyskuut 5, sivu / 9 Perustehtäviä Tehtävä. Osoit, että vkiofunktio f(x) c on Riemnn-integroituv välillä [, b] j lske suorn määritelmän perusteell b f(x). Tehtävä. Osoit, että funktio,

Lisätiedot

Säännöllisten operaattoreiden täydentäviä muistiinpanoja

Säännöllisten operaattoreiden täydentäviä muistiinpanoja Säännöllisten operttoreiden täydentäviä muistiinpnoj Antti-Juhni Kijnho 1. huhtikuut 2011 Vnht määritelmät Määritelmä 1. Äärellinen epätyhjä joukko on merkistö, j sen lkioit kutsutn merkeiksi. Määritelmä

Lisätiedot

2.4 Pienimmän neliösumman menetelmä

2.4 Pienimmän neliösumman menetelmä 2.4 Pienimmän neliösummn menetelmä Optimointimenetelmiä trvitn usein kokeellisen dtn nlysoinniss. Mittuksiin liittyy virhettä, joten mittus on toistettv useit kertoj. Oletetn, että mittn suurett c j toistetn

Lisätiedot

Sarjojen tasainen suppeneminen

Sarjojen tasainen suppeneminen Srjojen tsinen suppeneminen Pro grdu -tutkielm Krist Mikkonen 165274 Itä-Suomen yliopisto Fysiikn j mtemtiikn litos 19. mrrskuut 2013 Sisältö 1 Johdnto 1 2 Lukujonoist j srjoist 2 2.1 Lukujoukoist...........................

Lisätiedot

10. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA

10. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA MAA0 0. Määrätyn integrlin käyttö eräiden pint-lojen lskemisess 0. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA Edellä on todettu, että f (x)dx nt x-kselin j suorien x =, x = sekä funktion

Lisätiedot

Viikon aiheet. Pinta-ala

Viikon aiheet. Pinta-ala info Viikon iheet Mpu I:sen voit suoritt: Kurssin loppukokeess 23.10. Arvosn: koe + lskrit Mikäli yo. ik ei sovi, voit suoritt loppukokeen yleistenttitilisuudess 24.11. Arvosn: koe + lskrit. Ilmoittudu

Lisätiedot

IV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n

IV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n IV. TASAINEN SUPPENEMINEN IV.. Funktiojonon tasainen suppeneminen Olkoon A R joukko ja f n : A R funktio, n =, 2, 3,..., jolloin jokaisella x A muodostuu lukujono f x, f 2 x,.... Jos tämä jono suppenee

Lisätiedot

6 Integraalilaskentaa

6 Integraalilaskentaa 6 Integrlilskent 6. Integrlifunktio Funktion f integrlifunktioksi snotn funktiot F, jonk derivtt on f. Siis F (x) = f (x) määrittelyjoukon jokisell muuttujn rvoll x. Merkitään F(x) = f (x) dx. Integrlifunktion

Lisätiedot

Kertymäfunktio. Kertymäfunktio. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 2/2. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 1/2. Kertymäfunktio: Esitiedot

Kertymäfunktio. Kertymäfunktio. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 2/2. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 1/2. Kertymäfunktio: Esitiedot TKK (c) Ilkk Mellin (24) 1 Johdtus todennäköisyyslskentn TKK (c) Ilkk Mellin (24) 2 : Mitä opimme? 1/2 Jos stunnisilmiötä hlutn mllint mtemttisesti, on ilmiön tulosvihtoehdot kuvttv numeerisess muodoss.

Lisätiedot

2.2 Monotoniset jonot

2.2 Monotoniset jonot Mtemtiik tito 9, RATKAISUT Mootoiset joot ) Kosk,,,, ii 0 Lukujoo ( ) o siis lhlt rjoitettu Toislt 0 Lukujoo (

Lisätiedot

4. Reaalifunktioiden määrätty integraali

4. Reaalifunktioiden määrätty integraali 6 4. Relifunktioiden määrätt integrli Vrsinisesti termi "integrli" tulee seurvss esitettävästä määrätstä integrlist, jok on läheistä suku summmiselle. Yhtes derivttn on sitten perustv ltu olev tulos, jot

Lisätiedot

1 Jonot. 2 Sarjat. 3 Jatkuvuus. 4 Derivaatta. 5 Taylor-polynomit ja -sarjat. 1.2 Jonot. jossa

1 Jonot. 2 Sarjat. 3 Jatkuvuus. 4 Derivaatta. 5 Taylor-polynomit ja -sarjat. 1.2 Jonot. jossa Sisältö MS-AX Differentili- j integrlilskent Nämä klvot sisältävät otsikoss minitun kurssin keskeisen mterilin, mutt myös pljon oheislukemist. Luennoill voidn käsitellä myös täydentäviä esimerkkejä, kosk

Lisätiedot

Todista raja-arvon määritelmään perustuen seuraava lause: Jos lukujonolle a n pätee lima n = a ja lima n = b, niin a = b.

Todista raja-arvon määritelmään perustuen seuraava lause: Jos lukujonolle a n pätee lima n = a ja lima n = b, niin a = b. 2 Lukujonot 21 Lukujonon määritelmä 16 Fibonacci n luvut määritellään ehdoilla Osoita: 17 a 1 = a 2 = 1; a n+2 = a n+1 + a n, n N a n = 1 [( 1 + ) n ( 2 1 ) n ] 2 Olkoon a 1 = 3, a 2 = 6, a n+1 = 1 n (na

Lisätiedot

Newtonin, Riemannin ja Henstock-Kurzweilin integraalit

Newtonin, Riemannin ja Henstock-Kurzweilin integraalit TAMPEREEN YLIOPISTO Pro grdu -tutkielm Annik Heinonen Newtonin, Riemnnin j Henstock-Kurzweilin integrlit Informtiotieteiden yksikkö Mtemtiikk Helmikuu 2013 Sisältö 1 Johdnto 1 2 Newtonin integrli 2 2.1

Lisätiedot

1 sup- ja inf-esimerkkejä

1 sup- ja inf-esimerkkejä Alla olevat kohdat (erityisesti todistukset) ovat lähinnä oheislukemista reaaliluvuista, mutta joihinkin niistä palataan myöhemmin kurssilla. 1 sup- ja inf-esimerkkejä Nollakohdan olemassaolo. Kaikki tuntevat

Lisätiedot

Reaaliluvut. tapauksessa metrisen avaruuden täydellisyyden kohdalla. 1 fi.wikipedia.org/wiki/reaaliluku 1 / 13

Reaaliluvut. tapauksessa metrisen avaruuden täydellisyyden kohdalla. 1 fi.wikipedia.org/wiki/reaaliluku 1 / 13 Reaaliluvut Reaalilukujen joukko R. Täsmällinen konstruointi palautuu rationaalilukuihin, jossa eri mahdollisuuksia: - Dedekindin leikkaukset - rationaaliset Cauchy-jonot - desimaaliapproksimaatiot. Reaalilukujen

Lisätiedot

ICS-C2000 Tietojenkäsittelyteoria Kevät 2016

ICS-C2000 Tietojenkäsittelyteoria Kevät 2016 ICS-C2 Tietojenkäsittelyteori Kevät 2 Kierros,. 5. helmikuut Demonstrtiotehtävien rtkisut D: Sievennä seurvi säännöllisiä lusekkeit (so. konstruoi yksinkertisemmt lusekkeet smojen kielten kuvmiseen): ()

Lisätiedot

Analyysi III S

Analyysi III S Anlyysi III 800624S Sisältö sitietoj 5 Riemnn integroinnin rjt 6 Luku 1. Mittteori 7 1. Algebr j σ-lgebr 7 2. Mitt 8 3. Ulkomitt j mitlliset joukot 11 4. Ulkomitn konstruointi 14 5. Lebesguen ulkomitt

Lisätiedot

3.3 KIELIOPPIEN JÄSENNYSONGELMA Ratkaistava tehtävä: Annettu yhteydetön kielioppi G ja merkkijono x. Onko

3.3 KIELIOPPIEN JÄSENNYSONGELMA Ratkaistava tehtävä: Annettu yhteydetön kielioppi G ja merkkijono x. Onko 3.3 KILIOPPIN JÄSNNYSONGLMA Rtkistv tehtävä: Annettu yhteydetön kielioppi G j merkkijono x. Onko x L(G)? Rtkisumenetelmä = jäsennyslgoritmi. Useit vihtoehtoisi menetelmiä, erityisesti kun G on jotin rjoitettu

Lisätiedot

Mika Hirvensalo. Insinöörimatematiikka B 2014

Mika Hirvensalo. Insinöörimatematiikka B 2014 Mik Hirvenslo Insinöörimtemtiikk B 4 Sisältö Rj-rvo j jtkuvuus....................................................... 5. Differentili- j integrlilskennn kehityksestä............................. 5. Relilukujen

Lisätiedot

T Syksy 2002 Tietojenkäsittelyteorian perusteet Harjoitus 5 Demonstraatiotehtävien ratkaisut. ja kaikki a Σ ovat säännöllisiä lausekkeita.

T Syksy 2002 Tietojenkäsittelyteorian perusteet Harjoitus 5 Demonstraatiotehtävien ratkaisut. ja kaikki a Σ ovat säännöllisiä lausekkeita. T-79.8 Syksy 22 Tietojenkäsittelyteorin perusteet Hrjoitus 5 Demonstrtiotehtävien rtkisut Säännölliset lusekkeet määritellään induktiivisesti: j kikki Σ ovt säännöllisiä lusekkeit. Mikäli α j β ovt säännöllisiä

Lisätiedot

Analyysi 1. Harjoituksia lukuihin 1 3 / Syksy Osoita täsmällisesti perustellen, että joukko A = x 4 ei ole ylhäältä rajoitettu.

Analyysi 1. Harjoituksia lukuihin 1 3 / Syksy Osoita täsmällisesti perustellen, että joukko A = x 4 ei ole ylhäältä rajoitettu. Analyysi Harjoituksia lukuihin 3 / Syksy 204. Osoita täsmällisesti perustellen, että joukko { 2x A = x ]4, [. x 4 ei ole ylhäältä rajoitettu. 2. Anna jokin ylä- ja alaraja joukoille { x( x) A = x ], [,

Lisätiedot

Laskennan mallit (syksy 2010) 1. kurssikoe, ratkaisuja

Laskennan mallit (syksy 2010) 1. kurssikoe, ratkaisuja 582206 Lskennn mllit (syksy 2010) 1. kurssikoe, rtkisuj 1. [2+2+2 pistettä] Säännöllisissä lusekkeiss on käytetty tuttu lyhennysmerkintää Σ = ( ). () merkkijonot, joiden kksi ensimmäistä merkkiä ovt joko

Lisätiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1: tiivistelmä ja oheislukemista

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1: tiivistelmä ja oheislukemista Differentili- j integrlilskent 1: tiivistelmä j oheislukemist Pekk Alestlo 4. syyskuut 2014 Tähdellä merkityt kohdt on trkoitettu lähinnä oheislukemistoksi. Lisäksi mukn on joitkin lukiot kertvi kohti,

Lisätiedot

11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS

11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS 11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS Tilvuus on sen verrn rkielämässä viljelty käsite, että useimmiten sen syvemmin edes miettimättä ymmärretään, mitä juomlsin ti pikkuvuvn kylpymmeen tilvuudell trkoitetn.

Lisätiedot

1 Jonot. 2 Sarjat. 3 Jatkuvuus. 4 Derivaatta. 5 Taylor-polynomit ja -sarjat. 1.2 Jonot. jossa

1 Jonot. 2 Sarjat. 3 Jatkuvuus. 4 Derivaatta. 5 Taylor-polynomit ja -sarjat. 1.2 Jonot. jossa Sisältö MS-AX Differentili- j integrlilskent Pekk Alestlo Alto-yliopisto.9.26 Nämä klvot sisältävät otsikoss minitun kurssin keskeisen mterilin, mutt myös pljon oheislukemist. Luennoill voidn käsitellä

Lisätiedot

x k 1 Riemannin summien käyttö integraalin approksimointiin ei ole erityisen tehokasta; jatkuvasti derivoituvalle funktiolle f virhe b

x k 1 Riemannin summien käyttö integraalin approksimointiin ei ole erityisen tehokasta; jatkuvasti derivoituvalle funktiolle f virhe b 5 Integrlien lskemisest 51 Riemnnin summt [A2], [4, 61] Rjoitetun funktion f : [, b] R Riemnn-integroituvuudelle ytäpitäväksi on kurssill Anlyysi 2 osoitettu, että Riemnnin summill S P := f(ξ k ) ( ),

Lisätiedot

x > y : y < x x y : x < y tai x = y x y : x > y tai x = y.

x > y : y < x x y : x < y tai x = y x y : x > y tai x = y. ANALYYSIN TEORIA A Kaikki lauseet eivät ole muotoiltu samalla tavalla kuin luennolla. Ilmoita virheistä yms osoitteeseen mikko.kangasmaki@uta. (jos et ole varma, onko kyseessä virhe, niin ilmoita mieluummin).

Lisätiedot

1+kx 2, x [0, 1] 4. f k (x) = (sin x) k, x R Tehtävä 2. Osoita suoraan määritelmään perustuen, että funktiojono (f k ), missä

1+kx 2, x [0, 1] 4. f k (x) = (sin x) k, x R Tehtävä 2. Osoita suoraan määritelmään perustuen, että funktiojono (f k ), missä Funtiojonojen j -srjojen tehtävät, 11. syysuut 5, sivu 1 / 19 Perustehtäviä Tehtävä 1. Tuti seurvien funtiojonojen (f (x)) suppenemist. pisteittäistä j tsist 1. f (x) = cos x, x R. f (x) = 1 1+x, x R 3.

Lisätiedot

1 Jonot. 2 Sarjat. 3 Jatkuvuus. 4 Derivaatta. 5 Taylor-polynomit ja -sarjat / Jonot / 200. jossa / 200

1 Jonot. 2 Sarjat. 3 Jatkuvuus. 4 Derivaatta. 5 Taylor-polynomit ja -sarjat / Jonot / 200. jossa / 200 MS-AX Differentili- j integrlilskent Pekk Alestlo Alto-yliopisto 24..26 Kiitokset Riikk Kortteelle, Jrmo Mliselle j kurssien opiskelijoille pinovirheiden korjuksist. 24..26 Kiitokset Riikk Kortteelle,

Lisätiedot

Olkoon. M = (Q, Σ, δ, q 0, F)

Olkoon. M = (Q, Σ, δ, q 0, F) T 79.148 Tietojenkäsittelyteorin perusteet 2.4 Äärellisten utomttien minimointi Voidn osoitt, että jokisell äärellisellä utomtill on yksikäsitteinen ekvivlentti (so. smn kielen tunnistv) tilmäärältään

Lisätiedot

Integraalilaskentaa. 1. Mihin integraalilaskentaa tarvitaan? MÄNTÄN LUKIO

Integraalilaskentaa. 1. Mihin integraalilaskentaa tarvitaan? MÄNTÄN LUKIO Integrlilskent Tämä on lukion oppimterileist hiemn poikkev yksinkertistettu selvitys määrätyn integrlin lskemisest. Kerromme miksi integroidn, mitä integroiminen trkoitt, miten integrli lsketn j miten

Lisätiedot

Matematiikkaolympialaiset 2008 kuusi vaikeaa tehtävää

Matematiikkaolympialaiset 2008 kuusi vaikeaa tehtävää Solmu 3/2008 Mtemtiikkolympiliset 2008 kuusi vike tehtävää Mtti Lehtinen Mnpuolustuskorkekoulu 49. Knsinväliset mtemtiikkolympiliset pidettiin Mdridiss 4. 22. heinäkuut 2008. Kilpilijoit oli 535 j he edustivt

Lisätiedot

Sinilause ja kosinilause

Sinilause ja kosinilause Siniluse j kosiniluse GEOMETRI M3 Mikäli kolmion korkeus j knt tiedetään, voidn pint-l lske. Esimerkki: Lske kolmion l, kun 38 kulmn viereiset sivut ovt 8, j 6,8. Nyt knt tiedetään, korkeutt ei! 38 8,

Lisätiedot

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 5.2.2013

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 5.2.2013 Preliminäärikoe Pitkä Mtemtiikk 5..0 Kokeess s vstt enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä ( * ) merkittyjen tehtävien mksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien mksimipistemäärä on 6.. ) Rtkise yhtälö b)

Lisätiedot

ICS-C2000 Tietojenkäsittelyteoria Kevät 2015

ICS-C2000 Tietojenkäsittelyteoria Kevät 2015 ICS-C2 Tietojenkäsittelyteori Kevät 25 Kierros 3, 26. 3. tmmikuut Demonstrtiotehtävien rtkisut D: Ldi epädeterministinen äärellinen utomtti, jok test onko nnetun inäärijonon kolmnneksi viimeinen merkki,

Lisätiedot

1.3 Toispuoleiset ja epäoleelliset raja-arvot

1.3 Toispuoleiset ja epäoleelliset raja-arvot . Toisuoleiset j eäoleelliset rj-rvot Rj-rvo lim f () A olemssolo edellyttää että muuttuj täytyy void lähestyä rvo kummst suust hyväsä. Jos > ii sot että lähestyy rvo oikelt ositiivisest suust. Jos ts

Lisätiedot

HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY OF HELSINKI

HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY OF HELSINKI HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY OF HELSINKI Tiedekunt/Ossto Fkultet/Sektion Fculty Litos Institution Deprtment Mtemttis-luonnontieteellinen Tekijä Förfttre Author Antti Khri Työn

Lisätiedot

Olkoon. äärellinen automaatti. Laajennetaan M:n siirtymäfunktio yksittäisistä syötemerkeistä merkkijonoihin: jos q Q, x Σ, merkitään

Olkoon. äärellinen automaatti. Laajennetaan M:n siirtymäfunktio yksittäisistä syötemerkeistä merkkijonoihin: jos q Q, x Σ, merkitään T 79.00/002 Tietojenkäsittelyteorin perusteet 2. Äärellisten utomttien minimointi Voidn osoitt, että jokisell äärellisellä utomtill on yksikäsitteinen ekvivlentti (so. smn kielen tunnistv) tilmäärältään

Lisätiedot

Ville Turunen: Mat Matematiikan peruskurssi P1 3. välikokeen alueen teoriatiivistelmä 2007

Ville Turunen: Mat Matematiikan peruskurssi P1 3. välikokeen alueen teoriatiivistelmä 2007 Ville Turunen: Mt-.4 Mtemtiikn peruskurssi P 3. välikokeen lueen teoritiivistelmä 27 Mterili: kirjt [Adms] R. A. Adms: Clculus, complete course (6th edition), [Ly] D. C. Ly: Liner lgebr nd its pplictions

Lisätiedot

MITEN MÄÄRITÄN ASYMPTOOTIT?

MITEN MÄÄRITÄN ASYMPTOOTIT? MITEN MÄÄRITÄN ASYMPTOOTIT? Asmptootti Asmptootti on suor ti muu kärä, jot funktion kuvj f() rjtt lähest, kun muuttujn rvot lähestvät tiettä luku ti ääretöntä. Rjoitutn luksi niihin tpuksiin, joiss smptootti

Lisätiedot

VEKTOREILLA LASKEMINEN

VEKTOREILLA LASKEMINEN ..07 VEKTOREILL LSKEMINEN YHTEENLSKU VEKTORIT, M4 Vektoreiden j summ on vektori +. Tämän summvektorin + lkupiste on vektorin lkupiste j loppupiste vektorin loppupiste, kun vektorin lkupisteenä on vektorin

Lisätiedot

1 sup- ja inf-esimerkkejä

1 sup- ja inf-esimerkkejä Alla olevat kohdat (erityisesti todistukset) ovat lähinnä oheislukemista reaaliluvuista, mutta joihinkin niistä palataan myöhemmin kurssilla. 1 sup- ja inf-esimerkkejä Kaarenpituus. Olkoon r: [a, b] R

Lisätiedot

Sarjojen suppenemisesta

Sarjojen suppenemisesta TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Terhi Mattila Sarjojen suppenemisesta Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka Huhtikuu 008 Tampereen yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos

Lisätiedot

reaalifunktioiden ominaisuutta, joiden perusteleminen on muita perustuloksia hankalampaa. Kalvoja täydentää erillinen moniste,

reaalifunktioiden ominaisuutta, joiden perusteleminen on muita perustuloksia hankalampaa. Kalvoja täydentää erillinen moniste, Reaaliluvuista Pekka Alestalo Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Nämä kalvot sisältävät tiivistelmän reaaliluvuista ja niihin liittyvistä käsitteistä.

Lisätiedot

TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy Antti-Juhani Kaijanaho. 22. syyskuuta 2016

TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy Antti-Juhani Kaijanaho. 22. syyskuuta 2016 lusekkeet, lusekkeet, TIEA241 Automtit j kieliopit, syksy 2016 Antti-Juhni Kijnho lusekkeet j smuus TIETOTEKNIIKAN LAITOS 22. syyskuut 2016 Sisällys lusekkeet, lusekkeet lusekkeet j smuus j smuus lusekkeet

Lisätiedot

Konvergenssilauseita

Konvergenssilauseita LUKU 4 Konvergenssilauseita Lause 4.1 (Monotonisen konvergenssin lause). Olkoon (f n ) kasvava jono Lebesgueintegroituvia funktioita. Asetetaan f(x) := f n (x). Jos f n

Lisätiedot

Riemann-integraalin ja mittaintegraalin vertailua

Riemann-integraalin ja mittaintegraalin vertailua Riemnn-integrlin j mittintegrlin vertilu Pro grdu -tutkielm Pii Tskinen Mtemttisten tieteiden litos Oulun yliopisto Kevät 216 Sisältö Johdnto 3 1 Esitietoj 5 1.1 Välijost............................. 5

Lisätiedot

TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma. Harri Lehtinen. Kongruenssista

TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma. Harri Lehtinen. Kongruenssista TAMPEREEN YLIOPISTO Pro grdu -tutkielm Hrri Lehtinen Kongruenssist Mtemtiikn, tilstotieteen j filosofin litos Mtemtiikk Helmikuu 006 Tmpereen yliopisto Mtemtiikn, tilstotieteen j filosofin litos LEHTINEN,

Lisätiedot

Lebesguen integraali

Lebesguen integraali LUKU 3 Lebesguen integrli Seurvss esitettävä määritelmä Lebesguen integrlille ei ole Lebesguen lkuperäinen. Vuoden 1904 luennoissn [23] hän kuitenkin setti tvoitteeksi, että integrlill olisi ominisuus:

Lisätiedot

OSA 1: POLYNOMILASKENNAN KERTAUSTA, BINOMIN LASKUSÄÄNTÖJÄ JA YHTÄLÖNRATKAISUA

OSA 1: POLYNOMILASKENNAN KERTAUSTA, BINOMIN LASKUSÄÄNTÖJÄ JA YHTÄLÖNRATKAISUA OSA 1: POLYNOMILASKENNAN KERTAUSTA, BINOMIN LASKUSÄÄNTÖJÄ JA YHTÄLÖNRATKAISUA Tekijät: Ari Heimonen, Hellevi Kupil, Ktj Leinonen, Tuomo Tll, Hnn Tuhknen, Pekk Vrniemi Alkupl Tiedekeskus Tietomn torninvrtij

Lisätiedot

MS-A010X Di erentiaali- ja integraalilaskenta Lukujoukot. 1.2 Jonot. 1.2 Perusongelmat. 1.3 Suppeneminen I. 1.2 Jonojen ominaisuuksia

MS-A010X Di erentiaali- ja integraalilaskenta Lukujoukot. 1.2 Jonot. 1.2 Perusongelmat. 1.3 Suppeneminen I. 1.2 Jonojen ominaisuuksia MS-AX Di erentili- j integrlilskent Pekk Alestlo Alto-yliopisto 24..26 Kiitokset Riikk Kortteelle, Jrmo Mliselle j kurssien opiskelijoille pinovirheiden korjuksist. Sisältö Nämä klvot sisältävät otsikoss

Lisätiedot

Syksyn 2015 Pitkän matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut

Syksyn 2015 Pitkän matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut Sksn 0 Pitkän mtemtiikn YO-kokeen TI-Nspire CAS -rtkisut Tekijät: Olli Krkkulinen Rtkisut on ldittu TI-Nspire CAS -tietokoneohjelmll kättäen Muistiinpnot -sovellust. Kvt j lskut on kirjoitettu Mth -ruutuihin.

Lisätiedot

Analyysi III. Jari Taskinen. 28. syyskuuta Luku 1

Analyysi III. Jari Taskinen. 28. syyskuuta Luku 1 Analyysi III Jari Taskinen 28. syyskuuta 2002 Luku Sisältö Sarjat 2. Lukujonoista........................... 2.2 Rekursiivisesti määritellyt lukujonot.............. 8.3 Sarja ja sen suppenminen....................

Lisätiedot

PRO GRADU -TUTKIELMA. Eeva Mäkelä. Hiloista ja Boolen algebroista

PRO GRADU -TUTKIELMA. Eeva Mäkelä. Hiloista ja Boolen algebroista PRO GRADU -TUTKIELMA Eev Mäkelä Hiloist j Boolen lgeroist TAMPEREEN YLIOPISTO Luonnontieteiden tiedekunt Mtemtiikk Mrrskuu 2017 Tmpereen yliopisto Luonnontieteiden tiedekunt MÄKELÄ, EEVA: Hiloist j Boolen

Lisätiedot

Q = {q 1, q 2, q 3, q 4 } Σ = {a, b} F = {q 4 },

Q = {q 1, q 2, q 3, q 4 } Σ = {a, b} F = {q 4 }, T-79.48 Syksy 22 Tietojenkäsittelyteorin perusteet Hrjoitus 4 Demonstrtiotehtävien rtkisut 4. Tehtävä: Ldi epädeterministinen äärellinen utomtti, jok test onko nnetun inäärijonon kolmnneksi viimeinen merkki,

Lisätiedot

Cantorin joukon suoristuvuus tasossa

Cantorin joukon suoristuvuus tasossa Cantorin joukon suoristuvuus tasossa LuK-tutkielma Miika Savolainen 2380207 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Syksy 2016 Sisältö Johdanto 2 1 Cantorin joukon esittely 2 2 Suoristuvuus ja

Lisätiedot

Numeerinen integrointi.

Numeerinen integrointi. Numeerinen integrointi. Differentili- j integrlilskent 1, syksy 2015 Hrri Vrpnen Mtemtiikn j systeeminlyysin litos Alto-yliopisto Tiisti 6.10.2015 Sisältö Tylor-menetelmä. Käyttökelpoinen silloin, kun

Lisätiedot

5 ( 1 3 )k, c) AB 3AC ja AB AC sekä vektoreiden AB ja

5 ( 1 3 )k, c) AB 3AC ja AB AC sekä vektoreiden AB ja MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Hrjoitustehtäviä syksy 4. Millä reliluvun rvoill ) 9 =, b) + +, e) 5?. Kirjoit Σ-merkkiä käyttäen summt 4, ) + 4 + 6 + +, b) 8 + 4 6 + + n n, c) + + + 4 + + 99, d)

Lisätiedot

Tenttiin valmentavia harjoituksia

Tenttiin valmentavia harjoituksia Tenttiin valmentavia harjoituksia Alla olevissa harjoituksissa suluissa oleva sivunumero viittaa Juha Partasen kurssimonisteen siihen sivuun, jolta löytyy apua tehtävän ratkaisuun. Funktiot Harjoitus.

Lisätiedot

A-Osio. Valitse seuraavista kolmesta tehtävästä kaksi, joihin vastaat. A-osiossa ei saa käyttää laskinta.

A-Osio. Valitse seuraavista kolmesta tehtävästä kaksi, joihin vastaat. A-osiossa ei saa käyttää laskinta. MAA Loppukoe 5.. Jussi Tyni Tee pisteytysruudukko konseptin yläreunn! Vstuksiin väliviheet, jotk perustelevt vstuksesi! Lue ohjeet huolellisesti! A-Osio. Vlitse seurvist kolmest tehtävästä kksi, joihin

Lisätiedot

VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 3.6.2014 Ratkaisut ja arvostelu

VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 3.6.2014 Ratkaisut ja arvostelu VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 3.6.4 Rtkisut j rvostelu. Koululisen todistuksen keskirvo x on lskettu ) b) c) d) kymmenen ineen perusteell. Jos koululinen nostisi neljän ineen

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ PISTEYTYSKOKOUS

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ PISTEYTYSKOKOUS 0 MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 30 PISTEYTYSKOKOUS 0 ) Sijoitetn x 0 Rtkistn = 0/04,0000 b) Jos neliön sivu on s, niin lävistäjä on s Ehto: s 6 s + s = 6, s 6 3 4s 6,70, joten piiri ) Suorn yhtälö

Lisätiedot