Kertymäfunktio. Kertymäfunktio. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 2/2. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 1/2. Kertymäfunktio: Esitiedot

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Kertymäfunktio. Kertymäfunktio. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 2/2. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 1/2. Kertymäfunktio: Esitiedot"

Transkriptio

1 TKK (c) Ilkk Mellin (24) 1 Johdtus todennäköisyyslskentn TKK (c) Ilkk Mellin (24) 2 : Mitä opimme? 1/2 Jos stunnisilmiötä hlutn mllint mtemttisesti, on ilmiön tulosvihtoehdot kuvttv numeerisess muodoss. Tämä tphtuu liittämällä stunnisilmiön tulosvihtoehtoihin relirvoinen funktio, jot kutsutn stunnismuuttujksi. Stunnismuuttujn rvoihin liitetään todennäköisyydet määrittelemällä stunnismuuttujn todennäköisyysjkum. Stunnismuuttujn todennäköisyysjkumn määrää täysin sen kertymäfunktio. Jos stunnismuuttujn kertymäfunktio tunnetn, tunnetn stunnismuuttujn jkum j smll hllitn kikkien ko. stunnisilmiöön liittyvien tphtumien todennäköisyydet. : Mitä opimme? 2/2 Todennäköisyyslskennss j mtemttisess tilstotieteessä todennäköisyysjkumi trkstelln teoreettisesti tvllisesti kertymäfunktioiden kutt. Tämä johtuu siitä, että sm määritelmä kertymäfunktiolle sopii kikille stunnismuuttujille olivtp ne diskreettejä, jtkuvi ti jotkin muut tyyppiä j teoreettist trkstelu ei trvitse jk osiin stunnismuuttujien tyypin mukn. Tässä esityksessä trkstelemme kertymäfunktioit kuitenkin myös seurviss erikoistpuksiss: (i) Diskreetit stunnismuuttujt j niiden kertymäfunktiot. (ii) Jtkuvt stunnismuuttujt j niiden jkumt. TKK (c) Ilkk Mellin (24) 3 TKK (c) Ilkk Mellin (24) 4 : Esitiedot Esitiedot: ks. seurv luku: Stunnismuuttujt j todennäköisyysjkumt : Lisätiedot Tilstotieteessä pljon käytettyjen jkumien (normli-, χ 2 -, F-j t- jkumien) tilstolliset tulukot liittyvät ko. jkumien kertymäfunktioiden rvoihin; ks. seurvi lukuj: Jtkuvi jkumi Normlijkumst johdettuj jkumi TKK (c) Ilkk Mellin (24) 5 TKK (c) Ilkk Mellin (24) 6

2 TKK (c) Ilkk Mellin (24) 7 >> Avinsnt Stunnismuuttuj Todennäköisyysjkum Todennäköisyysmss TKK (c) Ilkk Mellin (24) 8 n määritelmä Olkoon ξ stunnismuuttuj. Stunnismuuttujn ξ kertymäfunktio F on relirvoinen funktio n määritelmä: Kommenttej 1/2 Stunnismuuttujn ξ kertymäfunktion F määritelmässä on ξ = stunnismuuttuj x = reliluku, kertymäfunktion F rgumentti n F rvo pisteessä x on todennäköisyys sille, että stunnismuuttuj ξ s rvoj, jotk ovt x. Piste x erott vsemmlle puolelleen stunnismuuttujn ξ todennäköisyysmssn, jonk koko on Pr(ξ x) = F(x) TKK (c) Ilkk Mellin (24) 9 TKK (c) Ilkk Mellin (24) 1 n määritelmä: Kommenttej 2/2 Stunnismuuttujn ξ kertymäfunktio kuv stunnismuuttujn ξ todennäköisyysmssn kertymistä, kun kertymäfunktion rgumentti xksv. Stunnismuuttujn ξ kertymäfunktio määrää kikkien ko. stunnisilmiöön liittyvien tphtumien todennäköisyydet. n määritelmä sopii kikille stunnismuuttujille olivtp ne diskreettejä, jtkuvi ti jotkin muut tyyppiä. on keskeinen työväline mtemttisess tilstotieteessä. j tphtumien todennäköisyydet Jos stunnismuuttujn ξ kertymäfunktio F tunnetn, kikkien ko. stunnisilmiöön liittyvien tphtumien todennäköisyydet hllitn. Tämä johtuu seurvist seikoist: (i) Jokist tphtum vst jokin relilukujen joukon R osjoukko, jok voidn muodost muoto (, x] olevist relikselin väleistä tvnomisten joukko-opin opertioiden vull. (ii) Jokisen tphtumn todennäköisyys sdn tyyppiä (, x] olevien relikselin välien todennäköisyyksistä todennäköisyyslskennn lskusääntöjen vull. TKK (c) Ilkk Mellin (24) 11 TKK (c) Ilkk Mellin (24) 12

3 TKK (c) Ilkk Mellin (24) 13 n ominisuudet 1/2 Funktio F : R,1 on kertymäfunktio, jos j vin jos se toteutt seurvt ehdot: (1) lim x F( x) = (2) lim x + F( x) = 1 (3) F on ei - vähenevä: F( x ) F( x ), jos x x (4) F on jtkuv oikelt: lim F( x+ h) = F( x) h + [ ] n ominisuudet 2/2 [ ] Jos funktio F : R,1 on kertymäfunktio, niin: (5) Pr( ξ > x) = 1 F( x) (6) Pr( < ξ ) = F( ) F( ) TKK (c) Ilkk Mellin (24) 14 n ominisuuksien perustelu Käytämme kertymäfunktioiden ominisuuksien perusteluss mm. seurvi todennäköisyyslskennn luseit (ks. trkemmin luku Todennäköisyyden ksioomt): Luse 1: Olkoon ( S, F,Pr) todennäköisyyskenttä j A1, A2, A3, F. (i) Jos A A A, niin Pr ( A ) lim Pr( ) i 1 i = A = n (ii) Jos A A A, niin Pr ( A ) lim Pr( ) i 1 i = A = n Luse 2: Olkoon ( S, F,Pr) todennäköisyyskenttä j A. 1, A2, A3, F Jos A1 A2 A3, niin lim Pr ( An ) = n ominisuus (1): (1) lim x F( x) = Olkoon x 1 > x 2 > x 3 > lenev lukujono j lisäksi lim n + x n = { ξ x1} { ξ x2} { ξ x3} Luseen 2 mukn lim F( xn) = lim Pr ( ξ xn) = TKK (c) Ilkk Mellin (24) 15 TKK (c) Ilkk Mellin (24) 16 n ominisuus (2): 1/2 (2) lim x + F( x) = 1 Olkoon x 1 < x 2 < x 3 < ksvv lukujono j lisäksi lim n + x n =+ { ξ x1} { ξ x2} { ξ x3} j { ξ > x} { ξ > x } { ξ > x } n ominisuus (2): 2/2 Luseen 2 mukn lim Pr ( ξ xn ) = joten lim F( xn) = lim Pr ( ξ xn) = 1 lim Pr( ξ > xn ) = 1 TKK (c) Ilkk Mellin (24) 17 TKK (c) Ilkk Mellin (24) 18

4 TKK (c) Ilkk Mellin (24) 19 n ominisuus (3): (3) F( x1) F( x2), jos x1 x2 Olkoon x 1 x 2 { ξ x1} { ξ x2} F( x ) = Pr( ξ x ) Pr( ξ x ) = F( x ) n ominisuus (4): (4) lim h + F( x+ h) = F( x) Olkoon h 1 > h 2 > h 3 > lenev lukujono j lisäksi lim n + h n = x { ξ h1} { ξ h2} { ξ h3} { ξ x} Luseen 1 kohdn (ii) mukn lim F( hn) = lim Pr ( ξ hn) = Pr( ξ x) = F( x) TKK (c) Ilkk Mellin (24) 2 n ominisuus (5): (5) Pr( ξ > x) = 1 F( x) Komplementtitphtumn todennäköisyyden kvn nojll Pr( ξ > x) = 1 Pr( ξ x) = 1 F( x) n ominisuus (6): (6) Pr( < ξ ) = F( ) F( ) Kosk { ξ } = { ξ } { < ξ } j { ξ } { < ξ } = niin toisens poissulkevien tphtumien yhteenlskusäännön nojll F( ) = Pr( ξ } = Pr( ξ ) + Pr( < ξ ) = F( ) + Pr( < ξ ) TKK (c) Ilkk Mellin (24) 21 TKK (c) Ilkk Mellin (24) 22 n tulkint Tilstolliset tulukot j kertymäfunktio 1/2 n määritelmän j kertymäfunktion ominisuuden (3) F( x ) F( x ), jos x x perusteell kertymäfunktiolle voidn nt seurv tulkint: F kuv miten stunnismuuttujn ξ todennäköisyysmss kumuloituu eli kertyy lisää, kun kertymäfunktion rgumentti x ksv. Tvnomisimpien jkumien (normli-, χ 2 -, F-j t- jkumien) tilstolliset tulukot liittyvät jkumien kertymäfunktion rvoihin. Normlijkumn tulukoiss on yleensä tulukoitu todennäköisyyksiä (kertymäfunktion rvoj) Pr( ξ x) = F( x) useille rgumentin x rvoille (ks. luku Jtkuvi jkumi). TKK (c) Ilkk Mellin (24) 23 TKK (c) Ilkk Mellin (24) 24

5 TKK (c) Ilkk Mellin (24) 25 Tilstolliset tulukot j kertymäfunktio 2/2 Diskrettien j jtkuvien jkumien kertymäfunktiot Tvnomisimpien jkumien (normli-, χ 2 -, F-j t- jkumien) tilstolliset tulukot liittyvät jkumien kertymäfunktion rvoihin. Normlijkumn tulukoiss on yleensä tulukoitu todennäköisyyksiä (kertymäfunktion rvoj) Pr( ξ x) = F( x) useille rgumentin x rvoille (ks. luku Jtkuvi jkumi). χ 2 -, F-j t-jkumien tulukoiss on yleensä tulukoitu rgumentin x rvoj muutmille todennäköisyyksille Pr( ξ x) = 1 F( x) (ks. luku Normlijkumst johdettuj jkumi). Trkstelemme seurvss kertymäfunktioit khdess erikoistpuksess: (i) (ii) TKK (c) Ilkk Mellin (24) 26 >> Avinsnt Diskreetti stunnismuuttuj Pistetodennäköisyysfunktio Porrsfunktio Stunnismuuttuj Todennäköisyysjkum TKK (c) Ilkk Mellin (24) 27 TKK (c) Ilkk Mellin (24) 28 Diskreetin jkumn kertymäfunktion määritelmä Olkoon ξ diskreetti stunnismuuttuj j {x 1, x 2, x 3, } sen tulosvihtoehtojen eli rvojen joukko. Olkoon stunnismuuttujn ξ pistetodennäköisyysfunktio f( x ) = Pr( ξ = x ) = p, i= 1,2,3, i i i Määritellään funktio F : R,1 kvll = f( xi ) ixi x [ ] F on diskreetin Diskreetin stunnismuuttujn kertymäfunktio F on epäjtkuv ei-vähenevä funktio. TKK (c) Ilkk Mellin (24) 29 Diskreetin jkumn kertymäfunktion määritelmä: Kommenttej Diskreetin jkumn kertymäfunktion F määritelmän = f( xi ) ixi x mukn kertymäfunktion F rvo pisteessä x eli todennäköisyys tphtumlle ξ x sdn lskemll yhteen kikki pistetodennäköisyydet f(x i ) = Pr(ξ = x i ) = p i joit vstvt stunnismuuttujn ξ rvot x i x. Kikkien stunnismuuttujn ξ liittyvien tphtumien todennäköisyydet voidn määrätä sen kertymäfunktion vull. TKK (c) Ilkk Mellin (24) 3

6 TKK (c) Ilkk Mellin (24) 31 Diskreetin jkumn kertymäfunktion j pistetodennäköisyysfunktion yhteys Olkoon ξ diskreetti stunnismuuttuj j {x 1, x 2, x 3, } sen tulosvihtoehtojen eli rvojen joukko. Olkoon stunnismuuttujn ξ pistetodennäköisyysfunktio Olkoon stunnismuuttujn ξ kertymäfunktio = pi f( x ) = Pr( ξ = x ) = p, i= 1,2,3, i i i ixi x f( x ) = Pr( ξ = x ) = p = F( x ) F( x ) i i i i i 1 Onnenpyörä 1/7 Luvun Stunnismuuttujt j todennäköisyysjkumt kppleen Diskreetit stunnismuuttujt j niiden todennäköisyysjkumt johdttelevss esimerkissä käsitellään viereen kuvtun onnenpyörän käyttäytymistä stunnisilmiönä. E 1 % D 15 % C 2 % B 25 % A 3 % TKK (c) Ilkk Mellin (24) 32 Onnenpyörä 2/7 Onnenpyörä 3/7 Onnenpyörän pint on jettu viiteen sektoriin A, B, C, D, E Sektoreiden pint-lojen osuudet onnenpyörän kokonispint-lst on esitetty ll: Sektori % A 3 B 25 C 2 D 15 E 1 Summ 1 E 1 % D 15 % C 2 % B 25 % A 3 % Esimerkissä määriteltiin diskreetti stunnismuuttuj ξ, jok liittää tulosvihtoehtoihin A, B, C, D, E reliluvut seurvll tvll: A 1 B 2 C 3 D 4 E 5 E 1 % D 15 % C 2 % B 25 % A 3 % TKK (c) Ilkk Mellin (24) 33 TKK (c) Ilkk Mellin (24) 34 Onnenpyörä 4/7 Onnenpyörä 5/7 Diskreetin stunnismuuttujn ξ pistetodennäköisyysfunktio f voidn yleisesti määritellä kvll f( xi) = Pr( ξ = xi) = pi, i= 1,2,3, joss {x 1, x 2, x 3, } on stunnismuuttujn ξ smien rvojen joukko Pistetotodennäköisyysfunktio (1, p 1 ) (2, p 2 ) (3, p 3 ) (4, p 4 ) (5, p 5 ) Esimerkin tpuksess stunnismuuttujn ξ pistetodennäköisyysfunktio f voidn määritellä seurvsti: f(1) = Pr(ξ = 1) =.3 = Pr(A) f(2) = Pr(ξ = 2) = 5 = Pr(B) f(3) = Pr(ξ = 3) = = Pr(C) f(4) = Pr(ξ = 4) =.15 = Pr(D) f(5) = Pr(ξ = 5) =.1 = Pr(E) Pistetotodennäköisyysfunktio.4 (1, p 1 ).3 (2, p 2 ) (3, p 3 ) (4, p 4 ) (5, p 5 ) TKK (c) Ilkk Mellin (24) 35 TKK (c) Ilkk Mellin (24) 36

7 TKK (c) Ilkk Mellin (24) 37 Onnenpyörä 6/7 Stunnismuuttujn ξ kertymäfunktio on F(x) = Pr(ξ x) Diskreetin stunnismuuttujn pistetodennäköisyys- j kertymäfunktioiden välillä on seurv yhteys: Pr( ξ = x ) = p = F( x ) F( x ) i i i i p 5.8 p 4.6 p 3.4 p 2 p Onnenpyörä 7/7 Esimerkin tpuksess stunnismuuttujn ξ kertymäfunktio F voidn määritellä ll olevn tulukon vull. Kuv oikell esittää esimerkin kertymäfunktion kuvj. F(x) = Pr(ξ x) x < 1 1 x < 2 p 1 =.3 2 x < 3 p 1 + p 2 =.55 3 x < 4 p 1 + p 2 + p 3 =.75 4 x < 5 p 1 + p 2 + p 3 + p 4 =.9 5 x p 1 + p 2 + p 3 + p 4 + p 5 = p 1 p 2 p 3 p 4 p TKK (c) Ilkk Mellin (24) 38 Diskreetin jkumn kertymäfunktio on porrsfunktio Diskreetin stunnismuuttujn kertymäfunktio F on epäjtkuv ei-vähenevä funktio, joll on epäjtkuvuuskoht eli hyppäys jokisess pisteessä x i, johon liittyy positiivinen todennäköisyys Pr(ξ = x i ) = p i Hyppäyksen suuruus pisteessä x i on p i. s vkiorvon peräkkäisten pisteiden x i 1 j x i välissä. Diskreetin stunnismuuttujn kertymäfunktio on siten porrsfunktio, joss todennäköisyydet p i määräävät skelmien korkeudet j erotukset x i x i 1 määräävät skelmien syvyydet. TKK (c) Ilkk Mellin (24) 39 Välien todennäköisyydet 1/2 Diskreetin jkumn tpuksess välin todennäköisyys on Pr( < ξ ) = F( ) F( ) = Pr( ξ = x ) = i ix (, ] p i ixi (, ] TKK (c) Ilkk Mellin (24) 4 i (, ] R Välien todennäköisyydet 2/2 Kvn Pr( < ξ ) = F( ) F( ) = pi ix (, ] mukn välin (, ] R todennäköisyys voidn määrätä khdell eri tvll: (i) Jos jkumn pistetodennäköisyysfunktio tunnetn, sdn välin (, ] todennäköisyys lskemll yhteen pistetodennäköisyydet p i, joit vstvt x i (, ]. (ii) Jos jkumn kertymäfunktio F tunnetn, sdn välin (, ] todennäköisyys lskemll kertymäfunktion F rvojen F() j F() erotus. i >> TKK (c) Ilkk Mellin (24) 41 TKK (c) Ilkk Mellin (24) 42

8 TKK (c) Ilkk Mellin (24) 43 Jtkuvn jkumn kertymäfunktion määritelmä Avinsnt Jtkuv stunnismuuttuj Stunnismuuttuj Tiheysfunktio Todennäköisyysjkum Olkoon ξ jtkuv stunnismuuttuj. Olkoon stunnismuuttujn ξ tiheysfunktio f(x). Määritellään funktio F : R,1 kvll = f( t) dt x [ ] F on jtkuvn Jtkuvn stunnismuuttujn kertymäfunktio F on jtkuv ei-vähenevä funktio. TKK (c) Ilkk Mellin (24) 44 Jtkuvn jkumn kertymäfunktion määritelmä: Kommenttej Jtkuvn jkumn kertymäfunktion F määritelmän x = f( t) dt mukn kertymäfunktion F rvo pisteessä x eli todennäköisyys tphtumlle ξ x määrätään integroimll tiheysfunktio f välillä (, x]. Kikkien stunnismuuttujn ξ liittyvien tphtumien todennäköisyydet voidn määrätä sen kertymäfunktion vull. Jtkuvn jkumn kertymäfunktion j tiheysfunktion yhteys Olkoon ξ jtkuv stunnismuuttuj. Olkoon stunnismuuttujn ξ tiheysfunktio f(x). Olkoon stunnismuuttujn ξ kertymäfunktio x = f( t) dt d f( x) = F( x) = F ( x) dx TKK (c) Ilkk Mellin (24) 45 TKK (c) Ilkk Mellin (24) 46 Välien todennäköisyydet 1/2 Välien todennäköisyydet 2/2 Jtkuvn jkumn tpuksess välin todennäköisyys on Pr( ξ ) = F( ) F( ) = f( x) dx (, ] R Kvn Pr( ξ ) = F( ) F( ) = f( x) dx mukn välin (, ] R todennäköisyys voidn määrätä khdell eri tvll: (i) Jos jkumn tiheysfunktio f tunnetn, sdn välin [, ] todennäköisyys integroimll tiheysfunktio välillä [, ]. (ii) Jos jkumn kertymäfunktio F tunnetn, sdn välin [, ] todennäköisyys lskemll kertymäfunktion rvojen F() j F() erotus. TKK (c) Ilkk Mellin (24) 47 TKK (c) Ilkk Mellin (24) 48

9 TKK (c) Ilkk Mellin (24) 49 Jtkuvn jkumn tiheysfunktio j välien todennäköisyydet: Hvinnollistus Jtkuvn jkumn kertymäfunktio j välien todennäköisyydet: Hvinnollistus Olkoon f(x) jtkuvn stunnismuuttujn ξ tiheysfunktio. : Pr( ξ ) = f( x) dx = Alueen A pint-l Kuv oikell esittää normlijkumn tiheysfunktiot (ks. luku Jtkuvi jkumi). Tiheysfunktio f(x) A Olkoon F(x) jtkuvn stunnismuuttujn ξ 1.2 kertymäfunktio j f(x) sen 1 tiheysfunktio..8 : F().6 Pr( ξ ).4 = F( ) F( ) = f ( xdx ) F() Kuv oikell esittää normlijkumn kertymäfunktiot (ks. luku Jtkuvi jkumi). F(x) TKK (c) Ilkk Mellin (24) 5

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Kertymäfunktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Kertymäfunktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Kertymäfunktio TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Kertymäfunktio Kertymäfunktio: Määritelmä Diskreettien jakaumien kertymäfunktiot Jatkuvien jakaumien kertymäfunktiot TKK (c)

Lisätiedot

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Kertymäfunktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Kertymäfunktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Kertymäfunktio TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Kertymäfunktio >> Kertymäfunktio: Määritelmä Diskreettien jakaumien

Lisätiedot

10. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA

10. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA MAA0 0. Määrätyn integrlin käyttö eräiden pint-lojen lskemisess 0. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA Edellä on todettu, että f (x)dx nt x-kselin j suorien x =, x = sekä funktion

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Mtemtiikn tukikurssi Kurssikert 4 Tilvuuden j vipn ln lskeminen Kuten iemmin käsittelimme, määrätyn integrlin vull voi lske pintloj j tilvuuksi. Tyypillisenä sovelluksen tilvuuden lskemisest on tpus, joss

Lisätiedot

VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 3.6.2014 Ratkaisut ja arvostelu

VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 3.6.2014 Ratkaisut ja arvostelu VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 3.6.4 Rtkisut j rvostelu. Koululisen todistuksen keskirvo x on lskettu ) b) c) d) kymmenen ineen perusteell. Jos koululinen nostisi neljän ineen

Lisätiedot

Riemannin integraalista

Riemannin integraalista Lebesguen integrliin sl. 2007 Ari Lehtonen Riemnnin integrlist Johdnto Tämän luentomonisteen trkoituksen on tutustutt lukij Lebesgue n integrliin j sen perusominisuuksiin mhdollisimmn yksinkertisess tpuksess:

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 20. syyskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 20. syyskuuta 2007 1 / 17 1 Kolmogorovin aksioomat σ-algebra Tapahtuman todennäköisyys 2 Satunnaismuuttujat Todennäköisyysjakauma

Lisätiedot

ABHELSINKI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY

ABHELSINKI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Mitä tänään? Jos satunnaisilmiötä halutaan mallintaa matemaattisesti, on ilmiön tulosvaihtoehdot kuvattava numeerisessa muodossa. Tämä tapahtuu liittämällä

Lisätiedot

Integraalilaskentaa. 1. Mihin integraalilaskentaa tarvitaan? MÄNTÄN LUKIO

Integraalilaskentaa. 1. Mihin integraalilaskentaa tarvitaan? MÄNTÄN LUKIO Integrlilskent Tämä on lukion oppimterileist hiemn poikkev yksinkertistettu selvitys määrätyn integrlin lskemisest. Kerromme miksi integroidn, mitä integroiminen trkoitt, miten integrli lsketn j miten

Lisätiedot

1. Derivaatan Testi. Jos funktio f on jatkuva avoimella välillä ]a, b[ ja x 0 ]a, b[ on kriit. tai singul. piste niin. { f (x) > 0, x ]a, x 0 [

1. Derivaatan Testi. Jos funktio f on jatkuva avoimella välillä ]a, b[ ja x 0 ]a, b[ on kriit. tai singul. piste niin. { f (x) > 0, x ]a, x 0 [ 1. Derivtn Testi Jos funktio f on jtkuv voimell välillä ], b[ j x 0 ], b[ on kriit. ti singul. piste niin { f (x) < 0, x ], x 0 [ f x (x) > 0, x ]x 0, b[ 0 on lokli minimipiste (1) { f (x) > 0, x ], x

Lisätiedot

11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS

11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS 11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS Tilvuus on sen verrn rkielämässä viljelty käsite, että useimmiten sen syvemmin edes miettimättä ymmärretään, mitä juomlsin ti pikkuvuvn kylpymmeen tilvuudell trkoitetn.

Lisätiedot

II.1. Suppeneminen., kun x > 0. Tavallinen lasku

II.1. Suppeneminen., kun x > 0. Tavallinen lasku II. EPÄOLEELLISET INTEGRAALIT nt II.. Suppeneminen Esim. Olkoon f() =, kun >. Tvllinen lsku = / =. Kuitenkn tätä integrli ei ole ikisemmss mielessä määritelty, kosk f ei ole rjoitettu välillä [, ] (eikä

Lisätiedot

SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT Funktiojonot 1

SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT Funktiojonot 1 SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 JOUNI PARKKONEN Sisältö 0. Tästä tekstistä. Funktiojonot 0. Tästä tekstistä Tämä moniste on trkoitettu käytettäväksi kurssin Srjt j differentiliyhtälöt luentomterilin.

Lisätiedot

Analyysi 2. Harjoituksia lukuihin 1 3 / Kevät Anna sellainen välillä ] 2, 2[ jatkuva ja rajoitettu funktio f, että

Analyysi 2. Harjoituksia lukuihin 1 3 / Kevät Anna sellainen välillä ] 2, 2[ jatkuva ja rajoitettu funktio f, että Anlyysi Hrjoituksi lukuihin 3 / Kevät 5. Ann sellinen välillä ], [ jtkuv j rjoitettu funktio f, että () sup A m A j inf A min A, (b) sup A m A j inf A = min A, (c) sup A = m A j inf A min A, (d) sup A

Lisätiedot

Reaalinen lukualue. Millainen on luku, jossa on päättymätön ja jaksoton desimaalikehitelmä?

Reaalinen lukualue. Millainen on luku, jossa on päättymätön ja jaksoton desimaalikehitelmä? Relinen lukulue POLYNOMIFUNKTIOT JA -YHTÄLÖT, MAA Millinen on luku, joss on päättymätön j jksoton desimlikehitelmä? Onko sellisi? Trkstelln Pythgorn luseest stv yksikköneliön lävistäjää, luku + = x x =.

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali MS-A1{3,4} (ELEC*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 8: Integrlifunktio j epäoleellinen integrli Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos 5.1.216 Pekk Alestlo,

Lisätiedot

x k 1 Riemannin summien käyttö integraalin approksimointiin ei ole erityisen tehokasta; jatkuvasti derivoituvalle funktiolle f virhe b

x k 1 Riemannin summien käyttö integraalin approksimointiin ei ole erityisen tehokasta; jatkuvasti derivoituvalle funktiolle f virhe b 5 Integrlien lskemisest 51 Riemnnin summt [A2], [4, 61] Rjoitetun funktion f : [, b] R Riemnn-integroituvuudelle ytäpitäväksi on kurssill Anlyysi 2 osoitettu, että Riemnnin summill S P := f(ξ k ) ( ),

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Satunnaismuuttujat ja niiden todennäköisyysjakaumat

Lisätiedot

MS-A010{2,3,4,5} (SCI, ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali

MS-A010{2,3,4,5} (SCI, ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali MS-A1{2,3,4,5} (SC, ELEC*, ENG*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 8: ntegrlifunktio j epäoleellinen integrli Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos November

Lisätiedot

Painopiste. josta edelleen. x i m i. (1) m L A TEX 1 ( ) x 1... x k µ x k+1... x n. m 1 g... m n g. Kuva 1. i=1. i=k+1. i=1

Painopiste. josta edelleen. x i m i. (1) m L A TEX 1 ( ) x 1... x k µ x k+1... x n. m 1 g... m n g. Kuva 1. i=1. i=k+1. i=1 Pinopiste Snomme ts-ineiseksi kpplett, jonk mteriliss ei ole sisäisiä tiheyden vihteluj. Tällisen kppleen pinopisteen sijinti voidn joskus päätellä kppleen muodon perusteell. Esimerkiksi ts-ineisen pllon

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 7: Integraali ja analyysin peruslause

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 7: Integraali ja analyysin peruslause MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 7: Integrli j nlyysin perusluse Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos 3.10.2016 Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia Johdanto χ 2 -jakauma F-jakauma t-jakauma TKK (c) Ilkka Mellin

Lisätiedot

TEHTÄVÄ 1. Olkoon (f n ) jono jatkuvia funktioita f n : [a, b] R, joka suppenee välillä [a, b] tasaisesti kohti funktiota f : [a, b] R.

TEHTÄVÄ 1. Olkoon (f n ) jono jatkuvia funktioita f n : [a, b] R, joka suppenee välillä [a, b] tasaisesti kohti funktiota f : [a, b] R. Topologi I Hrjoitus 10, rtkisuj AP TEHTÄVÄ 1. Olkoon (f n ) jono jtkuvi funktioit f n : [, b] R, jok suppenee välillä [, b] tsisesti kohti funktiot f : [, b] R. Osoit, että tällöin f n (x) dx f(x) dx.

Lisätiedot

5 Epäoleellinen integraali

5 Epäoleellinen integraali 5 Epäoleellinen integrli 5. Integrlin suppeneminen Olkoon f sellinen välillä [, b[ (ei siis välttämättä pisteessä b) määritelty funktio, että f on Riemnn-integroituv välillä [, ] kikill ], b[ eli on olemss

Lisätiedot

2.4 Pienimmän neliösumman menetelmä

2.4 Pienimmän neliösumman menetelmä 2.4 Pienimmän neliösummn menetelmä Optimointimenetelmiä trvitn usein kokeellisen dtn nlysoinniss. Mittuksiin liittyy virhettä, joten mittus on toistettv useit kertoj. Oletetn, että mittn suurett c j toistetn

Lisätiedot

Jatkuvia jakaumia. Jatkuvia jakaumia. Jatkuvia jakaumia Mitä opimme? 2/3. Jatkuvia jakaumia Mitä opimme? 1/3. Jatkuvia jakaumia Mitä opimme?

Jatkuvia jakaumia. Jatkuvia jakaumia. Jatkuvia jakaumia Mitä opimme? 2/3. Jatkuvia jakaumia Mitä opimme? 1/3. Jatkuvia jakaumia Mitä opimme? TKK (c) Ilkk Melli (4) Jtkuvi jkumi Jtkuv tsie jkum Johdtus todeäköisyyslsket Jtkuvi jkumi TKK (c) Ilkk Melli (4) Jtkuvi jkumi Mitä opimme? /3 Tutustumme tässä luvuss seurvii jtkuvii todeäköisyysjkumii:

Lisätiedot

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 5.2.2013

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 5.2.2013 Preliminäärikoe Pitkä Mtemtiikk 5..0 Kokeess s vstt enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä ( * ) merkittyjen tehtävien mksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien mksimipistemäärä on 6.. ) Rtkise yhtälö b)

Lisätiedot

7 Funktiosarjoista. 7.1 Funktiosarjojen suppeneminen

7 Funktiosarjoista. 7.1 Funktiosarjojen suppeneminen 7 Funktiosrjoist 7. Funktiosrjojen suppeneminen Seurvksi trkstelln srjoj, joiden termit ovt (lukujen sijst) jollkin välillä I määriteltyjä funktioit. Täsmällisemmin funktiosrjll (ti lyhyemmin srjll) trkoitetn

Lisätiedot

Verkot ja todennäköisyyslaskenta Verkko Verkko eli graafi muodostuu pisteiden joukosta V, särmien joukosta A ja insidenssikuvauksesta : A V V jossa

Verkot ja todennäköisyyslaskenta Verkko Verkko eli graafi muodostuu pisteiden joukosta V, särmien joukosta A ja insidenssikuvauksesta : A V V jossa Mat-.6 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Mat-.6 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B / Ratkaisut Aiheet: Verkot ja todennäköisyyslaskenta Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Kertymäfunktio Jakaumien

Lisätiedot

1.3 Toispuoleiset ja epäoleelliset raja-arvot

1.3 Toispuoleiset ja epäoleelliset raja-arvot . Toisuoleiset j eäoleelliset rj-rvot Rj-rvo lim f () A olemssolo edellyttää että muuttuj täytyy void lähestyä rvo kummst suust hyväsä. Jos > ii sot että lähestyy rvo oikelt ositiivisest suust. Jos ts

Lisätiedot

LINSSI- JA PEILITYÖ TEORIAA. I Geometrisen optiikan perusaksioomat

LINSSI- JA PEILITYÖ TEORIAA. I Geometrisen optiikan perusaksioomat (0) LINSSI- JA PEILITYÖ MOTIVOINTI Tutustutn linsseihin j peileihin geometrisen optiikn mittuksiss Tutkitn vlon käyttäytymistä linsseissä j peileissä Määritetään linssien j peilien polttopisteet Optiset

Lisätiedot

OSA 1: POLYNOMILASKENNAN KERTAUSTA, BINOMIN LASKUSÄÄNTÖJÄ JA YHTÄLÖNRATKAISUA

OSA 1: POLYNOMILASKENNAN KERTAUSTA, BINOMIN LASKUSÄÄNTÖJÄ JA YHTÄLÖNRATKAISUA OSA 1: POLYNOMILASKENNAN KERTAUSTA, BINOMIN LASKUSÄÄNTÖJÄ JA YHTÄLÖNRATKAISUA Tekijät: Ari Heimonen, Hellevi Kupil, Ktj Leinonen, Tuomo Tll, Hnn Tuhknen, Pekk Vrniemi Alkupl Tiedekeskus Tietomn torninvrtij

Lisätiedot

3 Integraali ja derivaatta

3 Integraali ja derivaatta 3 Integrli j erivtt 3.1 Integrli ylärjns funktion Olkoon funktio f Riemnn-integroituv välin I jokisell suljetull osvälillä j välin I jokin kiinteä luku. Tällöin integrli määrittelee funktion G(): I R,

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Mtemtiikn tukikurssi Kurssikert 5 1 Jtkuvuus Trkstelln funktiot fx) josskin tietyssä pisteessä x 0. Tämä funktio on tässä pisteessä joko jtkuv ti epäjtkuv. Jtkuvuuden ymmärtää prhiten trkstelemll epäjtkuv

Lisätiedot

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat

Lisätiedot

Viikon aiheet. Pinta-ala

Viikon aiheet. Pinta-ala info Viikon iheet Mpu I:sen voit suoritt: Kurssin loppukokeess 23.10. Arvosn: koe + lskrit Mikäli yo. ik ei sovi, voit suoritt loppukokeen yleistenttitilisuudess 24.11. Arvosn: koe + lskrit. Ilmoittudu

Lisätiedot

Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia

Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia >> Johdanto χ 2 -jakauma F-jakauma

Lisätiedot

2 Riemann-integraali. 2.1 Porrasfunktion integraali. Aloitetaan integraalin täsmällinen määrittely tutkimalla porrasfunktion integraalia.

2 Riemann-integraali. 2.1 Porrasfunktion integraali. Aloitetaan integraalin täsmällinen määrittely tutkimalla porrasfunktion integraalia. 2 Riemnn-integrli 2.1 Porrsfunktion integrli Aloitetn integrlin täsmällinen määrittely tutkimll porrsfunktion integrli. Määritelmä 2.1 (Porrsfunktion integrli). Olkoon f : [, b] R porrsfunktio j P = {x

Lisätiedot

4 Taso- ja avaruuskäyrät

4 Taso- ja avaruuskäyrät P2-luentoj kevät 2008, Pekk Alestlo 4 Tso- j vruuskäyrät Tässä luvuss tutustutn tso- j vruuskäyriin, niiden krenpituuteen j krevuuteen. Konkreettisin sovelluksin trkstelln nnettu rt pitkin liikkuvn hiukksen

Lisätiedot

3.3 KIELIOPPIEN JÄSENNYSONGELMA Ratkaistava tehtävä: Annettu yhteydetön kielioppi G ja merkkijono x. Onko

3.3 KIELIOPPIEN JÄSENNYSONGELMA Ratkaistava tehtävä: Annettu yhteydetön kielioppi G ja merkkijono x. Onko 3.3 KILIOPPIN JÄSNNYSONGLMA Rtkistv tehtävä: Annettu yhteydetön kielioppi G j merkkijono x. Onko x L(G)? Rtkisumenetelmä = jäsennyslgoritmi. Useit vihtoehtoisi menetelmiä, erityisesti kun G on jotin rjoitettu

Lisätiedot

Lebesguen integraali - Rieszin määritelmä

Lebesguen integraali - Rieszin määritelmä Lebesguen integrli - Rieszin määritelmä Tru Lehtonen Mtemtiikn pro grdu-tutkielm Jyväskylän yliopisto Mtemtiikn j tilstotieteen litos Kevät 216 Tiivistelmä Jyväskylän Yliopisto Lehtonen, Tru Puliin: Lebesguen

Lisätiedot

Syksyn 2015 Pitkän matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut

Syksyn 2015 Pitkän matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut Sksn 0 Pitkän mtemtiikn YO-kokeen TI-Nspire CAS -rtkisut Tekijät: Olli Krkkulinen Rtkisut on ldittu TI-Nspire CAS -tietokoneohjelmll kättäen Muistiinpnot -sovellust. Kvt j lskut on kirjoitettu Mth -ruutuihin.

Lisätiedot

6 Integraalilaskentaa

6 Integraalilaskentaa 6 Integrlilskent 6. Integrlifunktio Funktion f integrlifunktioksi snotn funktiot F, jonk derivtt on f. Siis F (x) = f (x) määrittelyjoukon jokisell muuttujn rvoll x. Merkitään F(x) = f (x) dx. Integrlifunktion

Lisätiedot

5/11 6/11 Vaihe 1. 6/10 4/10 6/10 4/10 Vaihe 2. 5/11 6/11 4/11 7/11 6/11 5/11 5/11 6/11 Vaihe 3

5/11 6/11 Vaihe 1. 6/10 4/10 6/10 4/10 Vaihe 2. 5/11 6/11 4/11 7/11 6/11 5/11 5/11 6/11 Vaihe 3 Mat-.9 Sovellettu todennäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Verkot todennäköisyyslaskennassa Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Jakaumien tunnusluvut Kertymäfunktio, Momentit, Odotusarvo,

Lisätiedot

Sisältö. Integraali 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 20

Sisältö. Integraali 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 20 Integrli 10. syyskuut 2005 sivu 1 / 20 Sisältö 1 Määrätty integrli j integrlifunktio 2 1.1 Integroituvist funktioit 3 1.2 Määrätyn integrlin ominisuuksi 4 1.3 Integrlifunktio 5 1.4 Integrlilskennn tärkeimmät

Lisätiedot

Ristitulo ja skalaarikolmitulo

Ristitulo ja skalaarikolmitulo Ristitulo j sklrikolmitulo Opetussuunnitelmn 00 mukinen kurssi Vektorit (MAA) sisältää vektoreiden lskutoimituksist keskeisenä ineksen yhteenlskun, vähennyslskun, vektorin kertomisen luvull j vektoreiden

Lisätiedot

Riemannin integraalista

Riemannin integraalista TAMPEREEN YLIOPISTO Pro grdu -tutkielm Aij Stenberg Riemnnin integrlist Mtemtiikn j tilstotieteen litos Mtemtiikk Syyskuu 2010 2 Tmpereen yliopisto Mtemtiikn j tilstotieteen litos STENBERG, AIJA: Riemnnin

Lisätiedot

Harjoitus 2: Matlab - Statistical Toolbox

Harjoitus 2: Matlab - Statistical Toolbox Harjoitus 2: Matlab - Statistical Toolbox Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt Syksy 2006 Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen tavoitteet Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat

Lisätiedot

lim + 3 = lim = lim (1p.) (3p.) b) Lausekkeen täytyy supistua (x-2):lla, joten osoittajan nollakohta on 2.

lim + 3 = lim = lim (1p.) (3p.) b) Lausekkeen täytyy supistua (x-2):lla, joten osoittajan nollakohta on 2. Mtemtiikk III 0600 Kurssi / Differetili- j itegrlilske jtkokurssi Tee 7 tehtävää ) Määritä lim ( ) ) + b) Määritä vkio site, että luseke ( ) + + ( )( ) ( + + ) + + + + + lim + lim lim (p) o jtkuv myös

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 4. lokakuuta 2007 Antti Rasila () TodB 4. lokakuuta 2007 1 / 17 1 Moniulotteiset todennäköisyysjakaumat Johdanto Kaksiulotteiset satunnaismuuttujat Kaksiulotteisen

Lisätiedot

Esimerkki 8.1 Määritellään operaattori A = x + d/dx. Laske Af, kun f = asin(bx). Tässä a ja b ovat vakioita.

Esimerkki 8.1 Määritellään operaattori A = x + d/dx. Laske Af, kun f = asin(bx). Tässä a ja b ovat vakioita. 8. Operttorit, mtriisit j ryhmäteori Mtemttinen operttori määrittelee opertion, jonk mukn sille nnettu funktiot muoktn. Operttorit ovt erityisen tärkeitä kvnttimekniikss, kosk siinä jokist suurett vst

Lisätiedot

Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Kertymäfunktio

Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Kertymäfunktio Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Kertymäfunktio KE (2014) 1 Satunnaismuuttujat ja niiden todennäköisyysjakaumat Satunnaismuuttujat

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio TKK (c) Ilkka Mellin (5) 1 Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio Momenttiemäfunktio Diskreettien jakaumien momenttiemäfunktioita

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Mtemtiikn tukikurssi Kurssikert 3 Määrätyn integrlin lskeminen Aiemmin määrittelimme määrätyn integrlin f (x)dx funktion f (x) l- j yläsummien rj-rvon. Määrätyllä integrlill on kksi intuitiivist tulkint:.

Lisätiedot

Lisää Diskreettejä jakaumia Lisää Jatkuvia jakaumia Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia

Lisää Diskreettejä jakaumia Lisää Jatkuvia jakaumia Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Lisää Diskreettejä jakaumia Lisää Jatkuvia jakaumia Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia KE (2014) 1 Hypergeometrinen jakauma Hypergeometrinen jakauma

Lisätiedot

Polynomien laskutoimitukset

Polynomien laskutoimitukset Polyomie lskutoimitukset Polyomi o summluseke, joss jokie yhteelskettv (termi) sisältää vi vkio j muuttuj välisiä kertolskuj. Esimerkki 0. Mm., 6 j ovt polyomej. Polyomist, joss o vi yksi termi, käytetää

Lisätiedot

Säännöllisten operaattoreiden täydentäviä muistiinpanoja

Säännöllisten operaattoreiden täydentäviä muistiinpanoja Säännöllisten operttoreiden täydentäviä muistiinpnoj Antti-Juhni Kijnho 1. huhtikuut 2011 Vnht määritelmät Määritelmä 1. Äärellinen epätyhjä joukko on merkistö, j sen lkioit kutsutn merkeiksi. Määritelmä

Lisätiedot

Sisältö. Funktiojonot ja -sarjat 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 15

Sisältö. Funktiojonot ja -sarjat 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 15 Funktiojonot j -srjt 10. syyskuut 2005 sivu 1 / 15 Sisältö 1 Funktiojonoist 2 2 Funktiosrjoist 5 3 Funktiojonojen j -srjojen derivointi j integrointi 7 4 Potenssisrjt 9 5 Tylorin polynomit j srjt 12 5.1

Lisätiedot

sin θ θ θ r 2 sin 2 θ φ 2 = 0.

sin θ θ θ r 2 sin 2 θ φ 2 = 0. Mtemtiikn j tilstotieteen litos Osittisdifferentiliyhtälöt Kevät 21 Hrjoitus 9 Rtkisuj Jussi Mrtin 1. Osoit, että Lplce-yhtälö pllokoordinteiss on 2 u 1 r 2 2 u r r 1 r 2 sin θ u 1 2 u sin θ θ θ r 2 sin

Lisätiedot

2.2 Monotoniset jonot

2.2 Monotoniset jonot Mtemtiik tito 9, RATKAISUT Mootoiset joot ) Kosk,,,, ii 0 Lukujoo ( ) o siis lhlt rjoitettu Toislt 0 Lukujoo (

Lisätiedot

Vastaa tehtäviin 1-4 ja valitse toinen tehtävistä 5 ja 6. Vastaat siis enintään viiteen tehtävään.

Vastaa tehtäviin 1-4 ja valitse toinen tehtävistä 5 ja 6. Vastaat siis enintään viiteen tehtävään. S-8. Sähkönsiirtoärstlmät Tntti 8..7 Vst thtäviin -4 vlits toinn thtävistä 5 6. Vstt siis nintään viitn thtävään.. Tutkitn ll piirrttyä PV-käyrää, ok kuv sllist vrkko, oss on tuotntolu kuormituslu niidn

Lisätiedot

Mikrotalousteoria 2, 2008, osa III

Mikrotalousteoria 2, 2008, osa III Sisältö Mikrotlousteori 2, 2008, os III Yrityksen tuotntofunktiost 2 Pnosten substituoitvuus 2 3 Yrityksen teori 3 4 Mittkvedut tuotnnoss 5 5 Yksikkökustnnusten j skltuottojen steen välinen yhteys 5 6

Lisätiedot

Sarjat ja integraalit

Sarjat ja integraalit Srjt j integrlit c Mtemttisten tieteiden litos, Oulun yliopisto Versio: 9.3.0 Viimeksi muoknnut: Peter Hästö Sisältö Funktion rj-rvo j jtkuvuus. Peruskäsitteitä........................................

Lisätiedot

766328A Termofysiikka Harjoitus no. 12, ratkaisut (syyslukukausi 2014)

766328A Termofysiikka Harjoitus no. 12, ratkaisut (syyslukukausi 2014) 7668A Termofysiikk Hrjoitus no 1, rtkisut (syyslukukusi 14) 1 Lämpötilss T K elektronien energit eivät ylitä Fermin energi (ɛ i ɛ F ), lämpötilprmetri β j kemillinen potentili vst Fermin energi (µ() ɛ

Lisätiedot

3. laskuharjoituskierros, vko 6, ratkaisut

3. laskuharjoituskierros, vko 6, ratkaisut Mat-.9 Sovellettu todennäköisyyslasku, kevät - eliövaara, Palo, Mellin. laskuharjoituskierros, vko 6, ratkaisut D. Uurnassa A on 4 valkoista ja 6 mustaa kuulaa ja uurnassa B on 6 valkoista ja 4 mustaa

Lisätiedot

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2017 Harjoitus 6, ratkaisuista. 1. Onko jokin demojen 5 tehtävän 3 relaatioista

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2017 Harjoitus 6, ratkaisuista. 1. Onko jokin demojen 5 tehtävän 3 relaatioista Mtemtiikn johntokurssi, syksy 07 Hrjoitus 6, rtkisuist. Onko jokin emojen 5 tehtävän reltioist ) R := {(, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, )}, ) S := {(, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ),

Lisätiedot

a = x 0 < x 1 < x 2 < < x n = b f(x) dx = I. lim f(x k ) x k=1

a = x 0 < x 1 < x 2 < < x n = b f(x) dx = I. lim f(x k ) x k=1 5 Integrli 5.1 Määritelmä j ominisuudet Olkoon f : [, b] R jtkuv. Muodostetn välin [, b] jko = x 0 < x 1 < x 2 < < x n = b j siihen liittyvä yläsumm S = n M k (x k x k 1 ), M k = mx{f(x) x k 1 x x k },

Lisätiedot

Todennäköisyyslaskun kertaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1

Todennäköisyyslaskun kertaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1 Todennäköisyyslaskun kertaus Vilkkumaa / Kuusinen 1 Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Vilkkumaa / Kuusinen 2 Motivointi Kokeellisessa tutkimuksessa tutkittaviin ilmiöihin liittyvien havaintojen

Lisätiedot

MITEN MÄÄRITÄN ASYMPTOOTIT?

MITEN MÄÄRITÄN ASYMPTOOTIT? MITEN MÄÄRITÄN ASYMPTOOTIT? Asmptootti Asmptootti on suor ti muu kärä, jot funktion kuvj f() rjtt lähest, kun muuttujn rvot lähestvät tiettä luku ti ääretöntä. Rjoitutn luksi niihin tpuksiin, joiss smptootti

Lisätiedot

TYÖ 30. JÄÄN TIHEYDEN MÄÄRITYS. Tehtävänä on määrittää jään tiheys.

TYÖ 30. JÄÄN TIHEYDEN MÄÄRITYS. Tehtävänä on määrittää jään tiheys. TYÖ 30 JÄÄN TIHEYDEN MÄÄRITYS Tehtävä älineet Tusttietoj Tehtävänä on äärittää jään tiheys Byretti (51010) ti esi 100 l ittlsi (50016) j siihen sopivi jääploj, lkoholi (sopii jäähdytinneste lsol), nlyysivk

Lisätiedot

ANALYYSI I, kevät 2009

ANALYYSI I, kevät 2009 ANALYYSI I, kevät 2009 Sisältö Relilukujen peruskäsitteitä 2 Lukujonoist 3 2. Lukujonon rj-rvo....................... 3 2.2 Monotoniset jonot......................... 7 2.3 Osjonot..............................

Lisätiedot

Kuvausta f sanotaan tällöin isomorfismiksi.

Kuvausta f sanotaan tällöin isomorfismiksi. Määritelmä..12. Oletetn, että 1 =(V 1,E 1 ) j 2 =(V 2,E 2 ) ovt yksinkertisi verkkoj. Verkot 1 j 2 ovt isomorfiset, jos seurvt ehdot toteutuvt: (1) on olemss bijektio f : V 1 V 2 (2) kikill, b V 1 pätee,

Lisätiedot

Sinilause ja kosinilause

Sinilause ja kosinilause Siniluse j kosiniluse GEOMETRI M3 Mikäli kolmion korkeus j knt tiedetään, voidn pint-l lske. Esimerkki: Lske kolmion l, kun 38 kulmn viereiset sivut ovt 8, j 6,8. Nyt knt tiedetään, korkeutt ei! 38 8,

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 9: Integroimismenetelmät

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 9: Integroimismenetelmät MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 9: Integroimismenetelmät Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos 10.10.2016 Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen (Alto-yliopisto,

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Jatkuvia jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Jatkuvia jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Jatkuvia jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Jatkuvia jakaumia Jatkuva tasainen jakauma Eksponenttijakauma Normaalijakauma Keskeinen raja-arvolause TKK (c) Ilkka Mellin

Lisätiedot

Analyysin perusteet kauppatieteilijöille 800118P

Analyysin perusteet kauppatieteilijöille 800118P Anlyysin perusteet kupptieteilijöille 800118P Luentomoniste Kri Myllylä Niin Korteslhti Topi Törmä Oulun yliopisto Mtemttisten tieteiden litos Kevät 2015 Sisältö 1 Derivtt 3 1.1 Määritelmä..............................

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Kaksiulotteiset todennäköisyysjakaumat

Lisätiedot

Laudatur 10 MAA10 ratkaisut kertausharjoituksiin

Laudatur 10 MAA10 ratkaisut kertausharjoituksiin Ludtur MAA rtkisut kertushrjoituksiin Integrlifunktio. ) Jokin integrli funktio on esimerkiksi F( ) b) Kikki integrlifunktiot F( ) + C, missä C on vkio Vstus: ) F( ) b) F( ) + C, C on vkio. Kikki integrlifunktiot

Lisätiedot

Analyyttiset funktiot ja integrointiteorian alkeita

Analyyttiset funktiot ja integrointiteorian alkeita Anlyyttiset funktiot j integrointiteorin lkeit 6. helmikuut 2006 isältö 1 Kertust 1 2 Anlyyttiset funktiot 2 2.1 Anlyyttiset funktiot tsoll................... 2 2.2 Monogeeniset funktiot vruudess R n.............

Lisätiedot

Sarjaratkaisun etsiminen Maplella

Sarjaratkaisun etsiminen Maplella Srjrtkisun etsiminen Mplell Olkoon trksteltvn ensimmäisen kertluvun differentiliyhtälö: > diffyht:= diff(y(x, x=1y(x^; d diffyht := = dx y( x 1 y( x Tälle pyritään etsimään srjrtkisu origokeskisenä potenssisrjn.

Lisätiedot

A-Osio. Valitse seuraavista kolmesta tehtävästä kaksi, joihin vastaat. A-osiossa ei saa käyttää laskinta.

A-Osio. Valitse seuraavista kolmesta tehtävästä kaksi, joihin vastaat. A-osiossa ei saa käyttää laskinta. MAA Loppukoe 5.. Jussi Tyni Tee pisteytysruudukko konseptin yläreunn! Vstuksiin väliviheet, jotk perustelevt vstuksesi! Lue ohjeet huolellisesti! A-Osio. Vlitse seurvist kolmest tehtävästä kksi, joihin

Lisätiedot

MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1

MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 MS-A0102 Differentili- j integrlilskent 1 Riikk Korte (Pekk Alestlon klvojen pohjlt) Alto-yliopisto 22.11.2016 Sisältö Pint-l Integrli 1.1 Pint-l: Suorkulmio Seurvss trkstelln umpinisten tsokäyrien rjmi

Lisätiedot

Matematiikan perusteet taloustieteilijöille 2 800118P

Matematiikan perusteet taloustieteilijöille 2 800118P Mtemtiikn perusteet tloustieteilijöille 2 800118P Luentomoniste Kri Myllylä Niin Korteslhti Oulun yliopisto Mtemttisten tieteiden litos Kevät 2014 Sisältö 1 Mtriisilgebr j optimointi 4 11 Määritelmä 4

Lisätiedot

Muita määrätyn integraalin sovelluksia

Muita määrätyn integraalin sovelluksia Muit määrätyn integrlin sovelluksi Ekstr Pohint Auto kiihyttää tsisesti viiessä sekunniss vuhist 4 km/h vuhtiin 76 km/h. ) Muoost funktio, jok ilmisee uton vuhin v(t), kun on kulunut t sekunti kiihytyksen

Lisätiedot

HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY OF HELSINKI

HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY OF HELSINKI HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY OF HELSINKI Tiedekunt/Ossto Fkultet/Sektion Fculty Litos Institution Deprtment Mtemttis-luonnontieteellinen Tekijä Förfttre Author Antti Khri Työn

Lisätiedot

521. 522. 523. 524. 525. 526. 527. 12. Lisää määrätystä integraalista. 12.1. Integraalin arvioimisesta. Osoita: VASTAUS: Osoita: Osoita:

521. 522. 523. 524. 525. 526. 527. 12. Lisää määrätystä integraalista. 12.1. Integraalin arvioimisesta. Osoita: VASTAUS: Osoita: Osoita: 12. Lisää määrätystä integrlist 12.1. Integrlin rvioimisest 521. Osoit: 1 + x 2 22 1 < < 1 + x21 21. 522. Osoit: x 3 < 5 x 6 + 8x + 9 < 15 1 5. 523. Osoit: 2 2 < e x2 x < 2e 2. e 524. Olkoon k >. Osoit:

Lisätiedot

Digitaalinen videonkäsittely Harjoitus 5, vastaukset tehtäviin 25-30

Digitaalinen videonkäsittely Harjoitus 5, vastaukset tehtäviin 25-30 Digitlinen videonkäsittely Hrjoitus 5, vstukset tehtäviin 5-30 Tehtävä 5. ) D DCT sdn tekemällä ensin D DCT kullekin riville, j toistmll D DCT tuloksen sdun kuvn srkkeill. -D N-pisteen DCT:, k 0 N ( k),

Lisätiedot

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa : Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio TKK (c) Ilkka Mellin (7) 1 Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio

Lisätiedot

ANALYYSI I, kevät 2009

ANALYYSI I, kevät 2009 5 Riemnnin integrli 7 ANALYYSI I, kevät 9 5. Integrlin perusominisuuksi................. 76 5. Anlyysin perusluse....................... 8 Sisältö Relilukujen peruskäsitteitä Lukujonoist 3. Lukujonon rj-rvo.......................

Lisätiedot

T Kevät 2009 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 7 (Predikaattilogiikka )

T Kevät 2009 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 7 (Predikaattilogiikka ) T-79.3001 Kevät 2009 Logiikk tietotekniikss: perusteet Lskuhrjoitus 7 (Predikttilogiikk 9.1 10.2) 19.3. 23.3. 2009 Rtkisuj demotehtäviin Tehtävä 9.1 Rtkisuss on käytetty usen otteeseen rjoitettuj universli-

Lisätiedot

Newtonin, Riemannin ja Henstock-Kurzweilin integraalit

Newtonin, Riemannin ja Henstock-Kurzweilin integraalit TAMPEREEN YLIOPISTO Pro grdu -tutkielm Annik Heinonen Newtonin, Riemnnin j Henstock-Kurzweilin integrlit Informtiotieteiden yksikkö Mtemtiikk Helmikuu 2013 Sisältö 1 Johdnto 1 2 Newtonin integrli 2 2.1

Lisätiedot

Numeerinen integrointi

Numeerinen integrointi Pitkärnt: Lj mtemtiikk IX9 Numeerinen integrointi IX9 Numeerinen integrointi Numeerisell integroinnill trkoitetn määrätyn integrlin, eli reliluvun I(f,,b) = f(x)dx lskemist numeerisin keinoin (likimäärin)

Lisätiedot

R4 Harjoitustehtävien ratkaisut

R4 Harjoitustehtävien ratkaisut . Mitkä seurvist lusekkeist eivät ole polynomej? Miksi eivät? Polynomin termine eksponentti on luonnollinen luku, ne lusekkeet, joiss eksponentti ei ole luonnollinen luku ei ole myöskään polynomi.. x x

Lisätiedot

Analyysi B. Derivaatta ja integraali. Pertti Koivisto

Analyysi B. Derivaatta ja integraali. Pertti Koivisto Anlyysi B Derivtt j integrli Pertti Koivisto Kevät 7 Alkusnt Tämä moniste on trkoitettu oheislukemistoksi Tmpereen yliopistoss pidettävälle kurssille Anlyysi B. Monisteen tvoitteen on tuke luentojen seurmist,

Lisätiedot

Pythagoraan lause. Pythagoras Samoslainen. Pythagoraan lause

Pythagoraan lause. Pythagoras Samoslainen. Pythagoraan lause Pythgorn luse Pythgors Smoslinen Pythgors on legendrinen kreikklinen mtemtiikko j filosofi. Tiedot hänen elämästään ovt epävrmoj j ristiriitisi. Tärkein Pythgorst j pythgorlisi koskev lähde on Lmlihosin

Lisätiedot

Määritelmä Olkoon C R m yksinkertainen kaari ja γ : [a, b] R m sen yksinkertainen parametriesitys, joka on paloittain C 1 -polku.

Määritelmä Olkoon C R m yksinkertainen kaari ja γ : [a, b] R m sen yksinkertainen parametriesitys, joka on paloittain C 1 -polku. Muodostetn vektorikentän kri-integrli yksinkertisen kren tpuksess. Plutetn mieleen, että joukko C R m on yksinkertinen kri, jos löytyy sellinen jtkuv bijektio γ : [, b] C, jok on ploittin C 1 -funktio

Lisätiedot

Automaattimalleista poikkeava tapa kuvata yksinkertaisia kieliä. Olkoot A ja B aakkoston Σ kieliä. Perusoperaatioita:

Automaattimalleista poikkeava tapa kuvata yksinkertaisia kieliä. Olkoot A ja B aakkoston Σ kieliä. Perusoperaatioita: 2.6 SÄÄNNÖLLISET LAUSEKKEET Automttimlleist poikkev tp kuvt yksinkertisi kieliä. Olkoot A j B kkoston Σ kieliä. Perusopertioit: Yhdiste: A B = {x Σ x A ti x B}; Ktentio: AB = {xy Σ x A, y B}; Potenssit:

Lisätiedot

Luku 15. Integraali. Esimerkki Suoraan edellisen luvun derivointikaavojen perusteella on voimassa

Luku 15. Integraali. Esimerkki Suoraan edellisen luvun derivointikaavojen perusteella on voimassa Luku 5. Integrli Merkitsemme seurvss [, b]:llä lukusuorn suljettu väliä { R : b}. Olkoon f välillä [, b] määritelty funktio. Snomme, että välillä [, b] määritelty funktio g on funktion f integrlifunktio

Lisätiedot

8.4 Gaussin lause Edellä laskettiin vektorikentän v = rf(r) vuo R-säteisen pallon pinnan läpi, tuloksella

8.4 Gaussin lause Edellä laskettiin vektorikentän v = rf(r) vuo R-säteisen pallon pinnan läpi, tuloksella H 8.3.2 uontegrlt: vektoreden pntntegrlt Tvllsn tpus pntntegrlest on lske vektorkentän vuo pnnn läp: Trkstelln pnt j sllä psteessä P (x, y, z olev pnt-lkot d. Määrtellään vektorlnen pnt-lko d sten, että

Lisätiedot

Matematiikan peruskurssi. Seppo Hassi

Matematiikan peruskurssi. Seppo Hassi Mtemtiikn peruskurssi Seppo Hssi Syksy 2014 iii Esipuhe Tämä on 1. versio Mtemtiikn peruskurssin opetusmonisteest, jonk sisältö noudttelee pitkälti Vsn yliopistoss iemmin luennoimni Mtemttiset menetelmät

Lisätiedot