KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012
|
|
- Olivia Jurkka
- 7 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 RITVA HURRI-SYRJÄNEN 2. Kompleksitason topologiaa Kompleksianalyysi on kompleksiarvoisten kompleksimuuttujien funktioiden teoriaa. Tällä kurssilla käsittelemme vain yhden kompleksimuuttujan kompleksiarvoisia funktioita. Siis meillä f : A C, missä A on kompleksitason osajoukko, ellemme erityisesti toisin mainitse. Tällaisten funktioiden käyttäytymisen tutkimiseen voidaan käyttää ainakin kolmea eri lähestymistapaa. (1) Yksi tapa perustuu kompleksiseen derivoitumiseen ja sisältää Cauchyn-Riemannin yhtälöt. Tämä tapa yleensä liitetään Riemanniin. (2) Toinen tapa perustuu integroimiseen ja silloin peruslause on Cauchyn integraaliteoreema. Tämä tapa yleensä liitetään Cauchy iin. (3) Kolmas tapa perustuu potenssisarjojen käyttöön ja se yleensä liitetään Weierstrassiin. Ensin kuitenkin kompleksitason topologiaa Avoimista ja suljetuista joukoista. Määritellään kuvaus asettamalla d : C C [0, ) (2.1) d(z 1, z 2 ) := z 1 z 2. Tämä kuvaus on metriikka, sillä kaikilla z, w, u C pätee (1) d(z, w) d(z, u) + d(u, w) (2) d(z, w) = d(w, z) (3) d(z, w) = 0, jos ja vain jos z = w. Date:
2 2 Kompleksianalyysin kurssi/rhs Luku d(z 1, z 2 ) on pisteiden z 1 C ja z 2 C välinen etäisyys. Olkoot a C ja r R +. Joukko D(a, r) = {z C : z a < r} on kiekko, jonka keskipiste on a ja säde on r. Kompleksitason epätyhjä osajoukko A on avoin, jos jokaisella a A on olemassa positiivinen reaaliluku r a siten, että D(a, r a ) A. Sovimme, että tyhjä joukko on avoin. Erityisesti jokainen kiekko D(a, r) on avoin. Joukko B C on suljettu kompleksitasossa, jos sen komplementti C\B on avoin. Esimerkiksi, joukko D(a, r) = {z C : z a r} on suljettu, ja se on a-keskinen, r-säteinen suljettu kiekko. Lisäksi, koko kompleksitaso C ja tyhjä joukko ovat sekä suljettuja että avoimia kompleksitasossa Esimerkki. (1) D(z 0, r) on avoin. (2) D(z 0, r)\{0} on avoin. (3) C\D(z 0, r) on avoin. (4) H + = {z C : Im(z) > 0} on avoin. (5) n N {z C : z n < 1/3} on avoin Esimerkki. (1) D(z 0, r) on suljettu kompleksitasossa C. (2) Kiekon kehä D(z 0, r) on suljettu kompleksitasossa C. (3) R on suljettu kompleksitasossa C. (4) H + = {z C : Im(z) 0} on suljettu kompleksitasossa C. (5] Olkoon n 1. Leikkaus n N D(0, 1/n) = {0} on suljettu Kasautumispiste. Luku z 0 on kompleksitason joukon S kasautumispiste, jos jokaisella ɛ > 0 on olemassa piste p ɛ z 0 siten, että p ɛ S D(z 0, ɛ) Huomautus. Siis luku z 0 on kompleksitason joukon S kasautumispiste, jos jokaisessa kiekossa D(z 0, ɛ), ɛ > 0 on joukon S jokin piste, joka ei ole z 0. Huomaa, että luku z 0 ei itse ole välttämättä joukon S piste. Oleellista on, että joukon S kasautumispisteellä z 0 on joukon S pisteitä mielivaltaisen lähellä sitä. Itse asiassa jokaisessa kiekossa D(z 0, ɛ) on oltava äärettömän monta joukon S pistettä Lause. Kompleksitason joukko B on suljettu, jos ja vain jos se sisältää kaikki kasautumispisteensä Huomautus. Suljettujen joukkojen mielivaltainen leikkaus on suljettu.
3 Kompleksianalyysin kurssi/rhs Määritelmä. (1) Kompleksitason joukon A sulkeuma on A = {F : A F ja F on suljettu}. (2) Piste z 0 on kompleksitason joukon A sisäpiste, jos on olemassa luku δ > 0 siten, että D(z 0, δ) A. Sisäpisteiden joukon merkintä on int A. (3) Kompleksitason joukon A reuna on A = Ā\ int A. (4) Joukko U on pisteen z 0 ympäristö (eli ystö), jos piste z 0 on joukon U sisäpiste. Tässä määrittelyssä ystön ei tarvitse olla avoin. Huomaa: Väisälän Topologia I kirjassa ympäristö (eli ystö) on aina avoin joukko. Ystön määrittely Väisälän Topologia I kirjassa: Joukko U X on pisteen z 0 X ystö, jos z 0 U ja U on X :n avoin osajoukko Esimerkki. (1) H + = R. (2) D(z 0, r) = {z C : z z o = r} on kiekon D(z 0, r) kehä. (3) (D(z 0, r)\{0}) = D(z 0, r) {z 0 }. (4) A on suljettu. (5) int A on avoin. Joskus merkitään int A = A Huomautus. Pisteet, jotka eivät ole joukon S kasautumispisteitä, ovat joukon S erillisiä pisteitä. Olkoon S = {z C z = 0 tai z = 1/n positiivisella kokonaisluvulla n}. Joukon S ainoa kasautumispiste on 0 ja 0 S, siis S on suljettu. Kaikki muut joukon S pisteet ovat erillisiä pisteitä. Erillisellä pisteellä z 0 on avoin ystö D(z 0, ɛ), missä ei ole muita joukon S pisteitä: Valitaan nyt ɛ = 1/n 1/(n + 1) = 1/n(n + 1). Silloin D(1/n, 1/n(n + 1)) ei sisällä muita joukon S pisteitä kuin 1/n Huomautus. (1) Avoimen joukon jokainen piste on sen kasautumispiste. (2) Piste z A, jos ja vain jos z on joukon A erillinen piste tai joukon A kasautumispiste Lukujonon raja-arvosta Määritelmä. Olkoon (z n ) = (z n ) n=1 jono kompleksilukuja. Luku z on jonon (z n ) raja-arvo, jos jokaisella ɛ > 0 on olemassa luku N(ɛ) siten, että kun n > N(ɛ), niin z z n < ɛ. Jos raja-arvo on olemassa, niin se on yksikäsitteinen. Merkitsemme z n = z ja lyhyesti z n = z ja käytämme myös merkintää z n z, kun n.
4 4 Kompleksianalyysin kurssi/rhs Lause. Olkoon (z n ) jono kompleksilukuja. Silloin jos ja vain jos z n = z, Re(z n) = Re(z) ja Im(z n ) = Im(z) Esimerkki. Määrää z n, kun z n = ( n + i 1 1 ). n Ratkaisu: kun n. z n 1 + i, Esimerkki. Lukujonolla (z n ), missä ( ) n 1 + i z n =, 1 i ei ole raja-arvoa, kun n. Nimittäin, 1, jos n = 0 mod 4, ( ) n 1 + i i, jos n = 1 mod 4, = 1 i 1, jos n = 2 mod 4, i, jos n = 3 mod Lause. Kompleksitaso C varustettuna metriikalla (2.1) on täydellinen metrinen avaruus. Todistus. Olkoon (z n ) n=1 Cauchy-jono kompleksitasossa C. Siis kaikilla ɛ > 0 on olemassa n ɛ N siten, että z n z m < ɛ. kunhan n, m n ɛ. Jos z n = x n + iy n kaikilla n N, missä x n R ja y n R, niin Siis z n z m = x n + iy n x m iy m = x n x m + i(y n y m ). z n z m 2 = x n x m 2 + y n y m 2. Näin ollen (x n ) ja (y n ) ovat reaalisia Cauchy-jonoja ja siten ne suppenevat reaalilukujen joukossa R. Siis on olemassa x R ja y R siten, että x = x n ja y = y n.
5 Kompleksianalyysin kurssi/rhs 5 Siis z n = x + iy eli kompleksilukujono (z n ) suppenee kohti kompleksilukua x+iy, missä x R ja y R, kompleksitason metriikan suhteen. Siis kompleksitaso on täydellinen metriikan (2.1) suhteen Lause. Olkoot (z n ) ja (w n ) kompleksilukujen muodostamia lukujonoja ja olkoon λ C. Olkoot z n = z 0 ja w n = w 0. Silloin Jos lisäksi w 0 0, niin z n = z 0, z n = z 0, (λz n) = λz 0, (z n + w n ) = z 0 + w 0, (z nw n ) = z 0 w 0. (z n/w n ) = z 0 /w Huomautus. Viimeisessä kohdassa w 0 0, joten silloin vain äärellisen monella n voi olla w n = 0. Jätetään nämä luvut w n pois, kun muodostetaan osamäärä (z n /w n ) Esimerkki. Olkoon u n = i n /n, n = 1, 2,. Onko raja-arvo u n olemassa? Jos raja-arvo on olemassa, niin määrää se. Ratkaisu: Lukujono i, 1/2, i/3, 1/4, i/5,. Tällöin u n = 0. Nimittäin: Olkoon ɛ > 0 annettu. Silloin in n 0 i n = n kunhan luku n > 1/ɛ Funktion raja-arvosta. = i n n = 1 n < ɛ, Olkoon A kompleksitason osajoukko. Funktiolle f : A C määritellään reaaliosa Re f : A R ja imaginaariosa Im f : A R asettamalla (Re f)(z) = Re(f(z)) ja (Im f)(z) = Im(f(z)), z A Määritelmä. Olkoot A kompleksitason osajoukko, z 0 joukon A kasautumispiste ja f : A C kuvaus. Silloin funktiolla f on olemassa
6 6 Kompleksianalyysin kurssi/rhs raja-arvo w pisteessä z 0 joukon A suhteen, jos jokaisella annetulla ɛ > 0 on olemassa δ ɛ > 0 siten, että (2.2) z A, 0 < z z 0 < δ ɛ pätee f(z) w < ɛ. Merkitsemme w = z z0,z A f(z) tai w = z z0 f(z) Lause. Jos z 0 on joukon A kasautumispiste ja raja-arvo w = z z0,z A f(z) on olemassa, niin raja-arvo on yksikäsitteinen Huomautus. Luku z 0 ei ole välttämättä joukon A piste, joten f(z 0 ) ei ole välttämättä määritelty. Jos taas z 0 A, niin voi olla, että f(z 0 ) w. Esimerkki 1: Tyypillinen tilanne on, että A on avoin ja z 0 A. funktio f(z) = ei ole määritelty origossa, f : C\{0} C. z 2 z z ) z 0,z 0 sillä 1 z(z 1) + 1 z kun z 0. Esimerkki 2: ( 1 z 2 z + 1 z = 1 + (z 1) z(z 1) f(z) = Siis z 0 f(z) = 0 f(0). Esimerkki 3: g(z) = Siis z i g(z) = 1 g(i). { 0, z 0, 1, z = 0. { z 2, z i, 0, z = i. = 1, = 1 z 1 1, Esimerkki. Onko seuraava raja-arvo olemassa 1 z z 1 1 z? Ratkaisu: Ei ole. Nimittäin, kun z = 1 x, missä x R\{0}, 1 z z 1 1 z = 1. Toisaalta, kun z = 1 + iy, missä y R\{0}, 1 z z 1 1 z = 1.
7 Kompleksianalyysin kurssi/rhs Esimerkki. Olkoon f(z) = z. Funktiolla f ei ole raja-arvoa z origossa, nimittäin, kun x R ja y R, x 0+ x 0 y 0+ x x = x 0+ x x = x 0 iy iy = y 0+ x x = 1 x x = 1 iy y = i Huomautus. Oleellista on, että z 0 on joukon A kasautumispiste. Muutoin olisi tilanne, että on olemassa δ > 0 siten, että punkteerattu avoin kiekko {z C 0 < z z 0 < δ} ei sisällä joukon A pisteitä Funktion jatkuvuudesta Määritelmä. Olkoon A kompleksitason osajoukko. Olkoon a A. Funktio f : A C on jatkuva pisteessä z 0 A, jos jokaisella annetulla ɛ > 0 on olemassa δ ɛ > 0 siten, että f(z) f(z 0 ) < ɛ, kunhan z A ja z z 0 < δ ɛ. Funktio f on jatkuva joukossa A, jos f on jatkuva jokaisessa joukon A pisteessä Lause. Olkoon A kompleksitason osajoukko ja olkoon z 0 A. Funktio f : A C on jatkuva pisteessä z 0 A, jos ja vain jos funktion f reaaliosa Re f ja imaginaariosa Im fovat jatkuvia pisteessä z Huomautus. Jos piste z 0 on joukon A kasautumispiste, niin f on jatkuva pisteessä z 0, jos ja vain jos z z 0,z A f(z) ja f(z) = f(z 0). z z 0,z A Jos z 0 on joukon A erillinen piste, niin on olemassa ystö D(z 0, δ), jossa ei ole muita joukon A pisteitä kuin z 0, joten z A, z z 0 < δ implikoi z = z 0, mistä seuraa f(z) f(z 0 ) = 0. Siis kompleksifunktio on aina jatkuva erillisessä pisteessä tämän määritelmän nojalla Huomautus. Olkoon f : A C. Funktio f voi olla jatkuva pisteessä a tai f voi olla epäjatkuva pisteessä a vain jos a A. Siis, jos esimerkiksi f(z) = 1/z, niin ei käytetä termiä epäjatkuva origossa, koska tätä funktiota f ei edes ole määritelty origossa Lause. Olkoon A kompleksitason osajoukko. Seuraavat väitteet ovat yhtäpitävät funktiolle f : A C.
8 8 Kompleksianalyysin kurssi/rhs (1) Funktio f on jatkuva pisteessä a A. (2) Jokaisella avoimella kompleksitason osajoukolla V, jolle f(a) V, on olemassa kompleksitason avoin osajoukko U siten, että a U ja A U f 1 (V ). (3) Joukon A jokaiselle jonolle (z n ), jolle z n a, kun n, pätee f(z n) = f(a) Huomautus. Topologin määritelmä jatkuvuudelle: kompleksifunktio f : A C on jatkuva, jos ja vain jos jokaiselle avoimelle joukolle U alkukuva f 1 (U) on avoin joukossa A. (Erityisen hyödyllinen, kun A on avoin.) Esimerkki. Olkoon f(z) = z, kun z 0 ja f(0) = 1. Funktio z f ei ole jatkuva origossa: jos valitaan z 2n = 1/n ja z 2n+1 = i/n, niin z n 0, kun n, mutta jono (f(z n )) n=1 ei suppene, sillä f(z 2n ) = 1 ja f(z 2n+1 ) = 1. Siis f ei voi olla jatkuva origossa Lause. Olkoot funktiot f : A C ja g : A C jatkuvia pisteessä a A. Silloin (1) Summafunktio f + g on jatkuva pisteessä a. (2) Tulofunktio fg on jatkuva pisteessä a. (3) Jos g(a) 0, niin osamääräfunktio f on määritelty ja jatkuva g jossakin pisteen a ympäristössä Lause. Olkoot A C ja B C. Olkoot f : A C ja g : B C ja f(a) B. Jos funktio f on jatkuva pisteessä a A ja funktio g on jatkuva pisteessä f(a) B, niin silloin yhdistetty funktio g f on jatkuva pisteessä a Korollaari. (1) Kompleksiset polynomit P : C C, P (z) = a 0 + a 1 z + + a n 1 z n 1 + a n z n, a 0, a 1,, a n 1, a n C, ovat jatkuvia koko kompleksitasossa. (2) Rationaalifunktiot R(z) = P (z) Q(z), missä P ja Q ovat kompleksisia polynomeja, ovat jatkuvia kaikissa niissä kompleksitason pisteissä z, joissa Q(z) 0. Viitteet [Väisälä] Jussi Väisälä, Topologia I. Limes ry.
KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012
KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 RITVA HURRI-SYRJÄNEN 8. Integraalilauseiden sovelluksia 1. Analyyttisen funktion sarjaesitys. (eli jokainen analyyttinen funktio on lokaalisti suppenevan potenssisarjan
LisätiedotKOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012
KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 RITVA HURRI-SYRJÄNEN 3. Kompleksinen derivointi 3.1. Määritelmä. Olkoon G kompleksitason C epätyjä osajoukko. Olkoon z 0 joukon G sisäpiste. Funktio f : G C on kompleksisesti
LisätiedotKOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012
KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 212 RITVA HURRI-SYRJÄNEN 6.1. Poluista. 6. Kompleksinen integrointi Olkoon [α, β] suljettu reaaliakselin väli, α < β, ja olkoon A kompleksitason avoin joukko. Polku on
Lisätiedot1 Kompleksitason geometriaa ja topologiaa
1 Kompleksitason geometriaa ja topologiaa Tavallisessa analyyttisessä geometriassa käyrien yhtälöt esitetään x-koordinaattien ja y-koordinaattien avulla, esimerkiksi y = 1 x esittää tasasivuista hyperbeliä,
Lisätiedot3.3 Funktion raja-arvo
3.3 Funktion raja-arvo Olkoot A ja B kompleksitason joukkoja ja f : A B kuvaus. Kuvauksella f on pisteessä z 0 A raja-arvo c, jos jokaista ε > 0 vastaa δ > 0 siten, että 0 < z z 0 < δ ja z A f(z) c < ε.
LisätiedotTäydellisyysaksiooman kertaus
Täydellisyysaksiooman kertaus Luku M R on joukon A R yläraja, jos a M kaikille a A. Luku M R on joukon A R alaraja, jos a M kaikille a A. A on ylhäältä (vast. alhaalta) rajoitettu, jos sillä on jokin yläraja
LisätiedotKOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY exp z., k = 1, 2,... Eksponenttifunktion z exp(z) Laurent-sarjan avulla
KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 RITVA HURRI-SYRJÄNEN 11. Integrointi erillisen erikoispisteen ympäri Olkoot f analyyttinen punkteeratussa kiekossa D(z 0.r\{z 0 }. Funktiolla f on erikoispiste z 0.
LisätiedotKOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012
KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 RITVA HURRI-SYRJÄNEN 7. Integaalilauseita 7.1. Gousatin lemma. (Edouad Jean-Baptiste Gousat, 1858-1936, anskalainen matemaatikko) Olkoon R tason suljettu suoakaide,
LisätiedotKompleksianalyysi, viikko 5
Kompleksianalyysi, viikko 5 Jukka Kemppainen Mathematics Division Kompleksiset jonot Aloitetaan jonon suppenemisesta. Määr. 1 Kompleksiluvuista z 1,z 2,...,z n,... koostuva jono suppenee kohti raja-arvoa
LisätiedotDIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1. Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS
DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1 Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS Huomautus. Analyysin yksi keskeisimmistä käsitteistä on jatkuvuus! Olkoon A R mielivaltainen joukko
Lisätiedot1. Viikko. K. Tuominen MApu II 1/17 17
1. Viikko Keskeiset asiat ja tavoitteet: 1. Kompleksiluvut, kompleksitaso, polaariesitys, 2. Kompleksilukujen peruslaskutoimitukset, 3. Eulerin ja De Moivren kaavat, 4. Potenssi ja juuret, kompleksinen
LisätiedotJoukot metrisissä avaruuksissa
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Saara Lahtinen Joukot metrisissä avaruuksissa Informaatiotieteiden yksikkö Matematiikka Elokuu 2013 Sisältö 1 Johdanto 1 2 Metriset avaruudet 1 2.1 Tarvittavia
Lisätiedot(a) avoin, yhtenäinen, rajoitettu, alue.
1. Hahmottele seuraavat tasojoukot. Mitkä niistä ovat avoimia, suljettuja, kompakteja, rajoitettuja, yhtenäisiä, alueita? (a) {z C 1 < 2z + 1 < 2} (b) {z C z i + z + i = 4} (c) {z C z + Im z < 1} (d) {z
LisätiedotVektorianalyysi I MAT Luennoitsija: Ritva Hurri-Syrjänen Luentoajat: ti: 14:15-16:00, to: 12:15-14:00 Helsingin yliopisto 21.
Vektorianalyysi I MAT21003 Luennoitsija: Ritva Hurri-Syrjänen Luentoajat: ti: 14:15-16:00, to: 12:15-14:00 Helsingin yliopisto 21. syyskuuta 2017 1 Sisältö 1 Euklidinen avaruus 3 1.1 Euklidinen avaruus
LisätiedotMATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS
f ( n JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS n Harjoitusten 8 ratkaisut Topologiset vektoriavaruudet 2010 8.1. Olkoon P n = {f : K K p on enintään asteen n 1 polynomi} varustettuna
Lisätiedot1 Reaaliset lukujonot
Jonot 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 5 1 Reaaliset lukujonot Reaaliset lukujonot ovat funktioita f : Z + R. Lukujonosta käytetään merkintää (a k ) k=1 tai lyhyemmin vain (a k). missä a k = f(k). Täten lukujonot
LisätiedotFunktioteoria I. Helsingin yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Syyslukukausi 2009
Funktioteoria I Helsingin yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Syyslukukausi 2009 Kari Astalan muistiinpanoista (2005) muokannut Pekka Nieminen Kuvat: Martti Nikunen Funktioteorian eli kompleksianalyysin
LisätiedotKompleksianalyysi I. Helsingin yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Syyslukukausi Kari Astala
Kompleksianalyysi I Helsingin yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Syyslukukausi 2016 Kari Astala Teksti hyödyntää myös Pekka Niemisen ja Ritva Hurri-Syrjäsen aikaisempia muistiinpanoja. Kuvat:
LisätiedotKompleksianalyysi viikko 3
Kompleksianalyysi viikko 3 Jukka Kemppainen Mathematics Division Derivaatta Oletetaan seuraavassa, että joukko A C on avoin, eli jokaista z 0 A kohti on olemassa sellainen ǫ > 0, että z z 0 < ǫ z A. f
LisätiedotKompleksianalyysi, viikko 6
Kompleksianalyysi, viikko 6 Jukka Kemppainen Mathematics Division Funktion erikoispisteet Määr. 1 Jos f on analyyttinen pisteen z 0 aidossa ympäristössä 0 < z z 0 < r jollakin r > 0, niin sanotaan, että
LisätiedotKompleksitermiset jonot ja sarjat
Kompleksitermiset jonot ja sarjat Aalto MS-C300, 205, v., Kari Eloranta Tutkitaan kompleksitermisten jonojen ja sarjojen ominaisuuksia. Päätavoite on kompleksifunktioiden sarjakehitelmien ymmärrys. Määritelmä
Lisätiedot1 Analyyttiset funktiot
Analyyttiset funktiot. Kompleksimuuttujan kompleksiarvoinen funktio Olkoot A ja B kompleksitason C osajoukkoja. Kuvausta f : A B sanotaan kompleksimuuttujan kompleksiarvoiseksi funktioksi. Usein on B C..Vakiokuvaus.
LisätiedotKompleksianalyysi Funktiot
Kompleksianalyysi Funktiot Jukka Kemppainen Mathematics Division Kompleksimuuttujan funktio Aloitetaan funktion määritelmällä. Määr. 1 Kompleksimuuttujan funktio f : C C on sääntö, joka liittää joukkoon
LisätiedotTopologia I Harjoitus 6, kevät 2010 Ratkaisuehdotus
Topologia I Harjoitus 6, kevät 2010 Ratkaisuehdotus 1. (5:7) Olkoon E normiavaruus, I = [0, 1] ja f, g : I E jatkuvia. Osoita, että yhtälön h(s, t) = (1 t)f(s) + tg(s) määrittelemä kuvaus h : I 2 E on
Lisätiedotx > y : y < x x y : x < y tai x = y x y : x > y tai x = y.
ANALYYSIN TEORIA A Kaikki lauseet eivät ole muotoiltu samalla tavalla kuin luennolla. Ilmoita virheistä yms osoitteeseen mikko.kangasmaki@uta. (jos et ole varma, onko kyseessä virhe, niin ilmoita mieluummin).
Lisätiedot1 Kompleksiluvut. Kompleksiluvut 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 7
Kompleksiluvut 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 7 1 Kompleksiluvut Lukualueiden laajennuksia voi lähestyä polynomiyhtälöiden ratkaisemisen kautta. Yhtälön x+1 = 0 ratkaisemiseksi tarvitaan negatiivisia lukuja.
Lisätiedot1. Piirrä kompleksitasoon seuraavat matemaattiset objektit/alueet.
BM0A5700 - Integraalimuunnokset Harjoitus 1 1. Piirrä kompleksitasoon seuraavat matemaattiset objektit/alueet. a Piste z 1 i. Ympyrä z 1 i. Avoin kiekko z 1 i
LisätiedotFunktiot. funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina.
Funktiot Tässä luvussa käsitellään reaaliakselin osajoukoissa määriteltyjä funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina. Avoin väli: ]a, b[ tai ]a, [ tai ],
LisätiedotTopologia Syksy 2010 Harjoitus 4. (1) Keksi funktio f ja suljetut välit A i R 1, i = 1, 2,... siten, että f : R 1 R 1, f Ai on jatkuva jokaisella i N,
Topologia Syksy 2010 Harjoitus 4 (1) Keksi funktio f ja suljetut välit A i R 1, i = 1, 2,... siten, että f : R 1 R 1, f Ai on jatkuva jokaisella i N, i=1 A i = R 1, ja f : R 1 R 1 ei ole jatkuva. Lause
LisätiedotTopologia Syksy 2010 Harjoitus 9
Topologia Syksy 2010 Harjoitus 9 (1) Avaruuden X osajoukko A on G δ -joukko, jos se on numeroituva leikkaus avoimista joukoista ja F σ -joukko, jos se on numeroituva yhdiste suljetuista joukoista. Osoita,
Lisätiedot1 Määritelmä ja perusominaisuuksia. 2 Laskutoimitukset kompleksiluvuilla. 3 Reaaliluvut ja kompleksiluvut. 4 Kompleksilukujen algebraa
1 ja perusominaisuuksia 2 Laskutoimitukset kompleksiluvuilla 3 Reaaliluvut ja kompleksiluvut Matematiikan peruskurssi KP3 I OSA 1: Johdatus kompleksilukuihin 4 Kompleksilukujen algebraa 5 Kompleksitaso
LisätiedotKuinka määritellään 2 3?
Kuinka määritellään 2 3? y Nyt 3 = 1,7320508.... Luvut 3 2 x x 3 2 x 2 1 = 2, 2 1,7 3,2490, 2 1,73 3,3173, 2 1,732 3,3219,... ovat hyvin määriteltyjä koska näihin tarvitaan vain rationaalilukupotenssin
LisätiedotMS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus
MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 19.9.2016 Pekka Alestalo, Jarmo
LisätiedotMetriset avaruudet. Erno Kauranen. 1 Versio: 10. lokakuuta 2016, 00:00
1 Metriset avaruudet Erno Kauranen 1 Versio: 10. lokakuuta 2016, 00:00 1. Sisätulo ja normiavaruus................................................. 3 2. Metrinen avaruus........................................................
LisätiedotSelvästi. F (a) F (y) < r x d aina, kun a y < δ. Kolmioepäyhtälön nojalla x F (y) x F (a) + F (a) F (y) < d + r x d = r x
Seuraavaksi tarkastellaan C 1 -sileiden pintojen eräitä ominaisuuksia. Lemma 2.7.1. Olkoon S R m sellainen C 1 -sileä pinta, että S on C 1 -funktion F : R m R eräs tasa-arvojoukko. Tällöin S on avaruuden
LisätiedotToispuoleiset raja-arvot
Toispuoleiset raja-arvot Määritelmä Funktiolla f on oikeanpuoleinen raja-arvo a R pisteessä x 0 mikäli kaikilla ɛ > 0 löytyy sellainen δ > 0 että f (x) a < ɛ aina kun x 0 < x < x 0 + δ; ja vasemmanpuoleinen
Lisätiedot=p(x) + p(y), joten ehto (N1) on voimassa. Jos lisäksi λ on skalaari, niin
FUNKTIONAALIANALYYSI, RATKAISUT 1 KEVÄT 211, (AP) 1. Ovatko seuraavat reaaliarvoiset funktiot p : R 3 R normeja? Ovatko ne seminormeja? ( x = (x 1, x 2, x 3 ) R 3 ) a) p(x) := x 2 1 + x 2 2 + x 2 3, b)
LisätiedotKOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012
KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 01 RITVA HURRI-SYRJÄNEN 5. Eksponenttifunktio ja sini- ja kosinifunktiot Kertausta. (1 Reaaliselle eksponenttifunktiolle e x : R R + pätee e x x k = kaikilla x R. k! (
LisätiedotDiskreetin LTI-systeemin stabiilisuus
Diskreetin LTI-systeemin stabiilisuus LuK-tutkielma Johannes Ylitalo 2372956 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Kevät 2016 Sisältö Johdanto 2 Merkintöjä 2 1 Kompleksifunktiot 3 2 Signaalianalyysi
LisätiedotReaalisten funktioiden integrointia kompleksianalyysin keinoin
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Mervi Paavola Reaalisten funktioiden integrointia kompleksianalyysin keinoin Informaatiotieteiden yksikkö Matematiikka Tampereen yliopisto Informaatiotieteiden
Lisätiedota) z 1 + z 2, b) z 1 z 2, c) z 1 z 2, d) z 1 z 2 = 4+10i 4 = 10i 5 = 2i. 4 ( 1)
Matematiikan johdantokurssi, syksy 06 Harjoitus, ratkaisuista. Osoita, että kompleksilukujen yhteenlasku määriteltynä tasopisteiden kautta koordinaateittain on liitännäinen, so. z + (z + z ) = (z + z )
LisätiedotJATKUVUUS. Funktio on jatkuva jos sen kuvaaja voidaan piirtää nostamatta kynää paperista.
JATKUVAT FUNKTIOT JATKUVUUS Jatkuva funktio Epäjatkuva funktio Funktio on jatkuva jos sen kuvaaja voidaan piirtää nostamatta kynää paperista., suomennos Matti Pauna JATKUVUUS Jatkuva funktio Epäjatkuva
LisätiedotVastauksia. Topologia Syksy 2010 Harjoitus 1
Topologia Syksy 2010 Harjoitus 1 (1) Olkoon X joukko ja (T j ) j J perhe X:n topologioita. Osoita, että T = {T j : j J} on X:n topologia. (2) Todista: Välit [a, b) muodostavat R 1 :n erään topologian kannan.
LisätiedotKOMPLEKSILUVUT C. Rationaaliluvut Q. Irrationaaliluvut
KOMPLEKSILUVUT C Luonnolliset luvut N Kokonaisluvut Z Rationaaliluvut Q Reaaliluvut R Kompleksi luvut C Negat kokonaisluvut Murtoluvut Irrationaaliluvut Imaginaariluvut Erilaisten yhtälöiden ratkaiseminen
LisätiedotTopologisten avaruuksien metristyvyys. Toni Annala
Topologisten avaruuksien metristyvyys Toni Annala Sisältö 1 Johdanto 2 2 Topologiset avaruudet 3 3 Erotteluaksioomat 8 4 Metristyvät avaruudet 13 5 Metristyvyys 17 1 Luku 1 Johdanto Topologia on matematiikan
LisätiedotRIEMANNIN KUVAUSLAUSE. Sirpa Patteri
RIEMANNIN KUVAUSLAUSE Sirpa Patteri 2 RIEMANNIN KUVAUSLAUSE Johdanto Georg Bernhard Riemann (826-866) esitti kuvauslauseen väitöskirjassaan vuonna 85. Hän käytti todistuksessaan Dirichlet n periaatetta,
LisätiedotDerivaattaluvut ja Dini derivaatat
Derivaattaluvut Dini derivaatat LuK-tutkielma Helmi Glumo 2434483 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Syksy 2016 Sisältö Johdanto 2 1 Taustaa 2 2 Määritelmät 4 3 Esimerkkejä lauseita 7 Lähdeluettelo
LisätiedotHarjoitusten 4 ratkaisut Topologiset vektoriavaruudet 2010
f ( n) JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS n Harjoitusten 4 ratkaisut Topologiset vektoriavaruudet 2010 4.1. Viime kerralta. Esimerkki lokaalikonveksin avaruuden osajoukosta, joka
LisätiedotKompleksiluvut 1/6 Sisältö ESITIEDOT: reaaliluvut
Kompleksiluvut 1/6 Sisältö Kompleksitaso Lukukäsitteen vaiheittainen laajennus johtaa luonnollisista luvuista kokonaislukujen ja rationaalilukujen kautta reaalilukuihin. Jokaisessa vaiheessa ratkeavien
Lisätiedot2. Funktiot. Keijo Ruotsalainen. Mathematics Division
2. Funktiot Keijo Ruotsalainen Mathematics Division Kompleksimuuttujan funktio Kompleksimuuttujan z kompleksiarvoinen funktio f(z) voi olla yksiarvoinen tai moniarvoinen, esimerkiksi f(z) = e z f(z) =
LisätiedotLuku 2. Jatkuvien funktioiden ominaisuuksia.
1 MAT-1343 Laaja matematiikka 3 TTY 21 Risto Silvennoinen Luku 2. Jatkuvien funktioiden ominaisuuksia. Jatkossa väli I tarkoittaa jotakin seuraavista reaalilukuväleistä: ( ab, ) = { x a< x< b} = { x a
Lisätiedotmissä on myös käytetty monisteen kaavaa 12. Pistä perustelut kohdilleen!
Matematiikan johdantokurssi Kertausharjoitustehtävien ratkaisuja/vastauksia/vihjeitä. Osoita todeksi logiikan lauseille seuraava: P Q (P Q). Ratkaisuohje. Väite tarkoittaa, että johdetut lauseet P Q ja
Lisätiedot5 Funktion jatkuvuus ANALYYSI A, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT Määritelmä ja perustuloksia
ANALYYSI A, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT 2018 5 Funktion jatkuvuus 5.1 Määritelmä ja perustuloksia 1. Tarkastellaan väitettä a > 0: b > 0: c > 0: d U c (a): f(d) / U b (f(a)), missä a, b, c, d R. Mitä funktion
LisätiedotKompaktisuus ja filtterit
Kompaktisuus ja filtterit Joukkoperheellä L on äärellinen leikkausominaisuus, mikäli jokaisella äärellisellä L L on voimassa L. Nähdään helposti, että perheellä L on äärellinen leikkausominaisuus ja L
Lisätiedotz 1+i (a) f (z) = 3z 4 5z 3 + 2z (b) f (z) = z 4z + 1 f (z) = 12z 3 15z 2 + 2
BM20A5700 - Integraauunnokset Harjoitus 2 1. Laske seuraavat raja-arvot. -kohta ratkeaa, kun pistät sekä yläkerran että alakerran muotoon (z z 1 )(z z 2 ), missä siis z 1 ja z 2 ovat näiden lausekkeiden
LisätiedotKompleksianalyysi, viikko 4
Kompleksianalyysi, viikko 4 Jukka Kemppainen Mathematics Division Reaalimuuttujan kompleksiarvoisen funktion integraali Aloitetaan reaalimuuttujan kompleksiarvoisen funktion integraalin määrittelyllä,
LisätiedotTasainen suppeneminen ja sen sovellukset
Tasainen suppeneminen ja sen sovellukset Tuomas Hentunen Matematiikan pro gradu tutkielma Kesäkuu 2014 Tiivistelmä: Tuomas Hentunen, Tasainen suppeneminen ja sen sovellukset (engl. Uniform convergence
LisätiedotKompleksianalyysin luentomoniste; johdanto
Kompleksianalyysin luentomoniste; johdanto Tässä luentomonisteessa on esitetty kompleksianalyysin kursseilla käsiteltävät asiat yhtenä tekstinä Vaikka näitä kursseja on nimellisesti kaksi (eli ykkönen
LisätiedotSeuraava topologisluonteinen lause on nk. Bairen lause tai Bairen kategorialause, n=1
FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 115 7. Tasaisen rajoituksen periaate Täydellisyydestä puristetaan maksimaalinen hyöty seuraavan Bairen lauseen avulla. Bairen lause on keskeinen todistettaessa kahta funktionaalianalyysin
Lisätiedot7. Tasaisen rajoituksen periaate
18 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 7. Tasaisen rajoituksen periaate Täydellisyydestä puristetaan maksimaalinen hyöty seuraavan Bairen lauseen avulla. Bairen lause on keskeinen todistettaessa kahta funktionaalianalyysin
LisätiedotFUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. 0. Johdanto
FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. Johdanto Funktionaalianalyysissa tutkitaan muun muassa ääretönulotteisten vektoriavaruuksien, ja erityisesti täydellisten normiavaruuksien eli Banach avaruuksien ominaisuuksia.
LisätiedotAnalyysi I. Visa Latvala. 3. joulukuuta 2004
Analyysi I Visa Latvala 3. joulukuuta 004 95 Sisältö 6 Kompleksiluvut 96 6.1 Yhteen- ja kertolasku.............................. 96 6. Napakoordinaattiesitys............................. 10 96 6 Kompleksiluvut
LisätiedotPositiivitermisten sarjojen suppeneminen
Positiivitermisten sarjojen suppeneminen Jono (b n ) n= on kasvava, jos b n+ b n kaikilla n =, 2,... Lemma Jokainen ylhäältä rajoitettu kasvava jono (b n ) n= raja-arvo on lim n b n = sup n Z+ b n. suppenee
LisätiedotPoistumislause Kandidaatintutkielma
Poistumislause Kandidaatintutkielma Mikko Nikkilä 013618832 26. helmikuuta 2011 Sisältö 1 Johdanto................................... 2 2 Olemassaolon ja yksikäsitteisyyden historiaa............ 3 3 Esitietoja..................................
LisätiedotHY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 2015 Harjoitus 5 Ratkaisuehdotuksia
HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 015 Harjoitus 5 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan väitteiden todistamista tai kumoamista vastaesimerkin
LisätiedotTopologia Syksy 2010 Harjoitus 11
Topologia Syksy 2010 Harjoitus 11 (1) Tarkastellaan tason (a, )-topologiaa. (Tässä topologiassa A R 2 on avoin jos ja vain jos A =, A = R 2 tai A = {(x, y) R 2 x > a ja y > b} joillekin a, b R.) Jokaiselle
LisätiedotMS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45
MS-A3/A5 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45 Tehtävä (L): Hahmottele kompleksitasoon ne pisteet, jotka toteuttavat a) z 2i = 2, b) z 2i < 2, c) /z
LisätiedotRaja arvokäsitteen laajennuksia
Raja arvokäsitteen laajennuksia Näitä ei ole oppikirjassa! Raja arvo äärettömyydessä: Raja arvo äärettömyydessä on luku, jota funktion arvot lähestyvät, kun muuttujan arvot kasvavat tai vähenevät rajatta.
LisätiedotTodista raja-arvon määritelmään perustuen seuraava lause: Jos lukujonolle a n pätee lima n = a ja lima n = b, niin a = b.
2 Lukujonot 21 Lukujonon määritelmä 16 Fibonacci n luvut määritellään ehdoilla Osoita: 17 a 1 = a 2 = 1; a n+2 = a n+1 + a n, n N a n = 1 [( 1 + ) n ( 2 1 ) n ] 2 Olkoon a 1 = 3, a 2 = 6, a n+1 = 1 n (na
LisätiedotMetriset avaruudet 2017
Metriset avaruudet 2017 Jouni Parkkonen Lukijalle Nämä ovat muistiinpanoni metristen avaruuksien kurssille syyslukukaudella 2017. Kurssi on johdatus metristen avaruuksien teoriaan. Peruskäsitteiden (metriikka,
LisätiedotSisältö. Sarjat 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 17
Sarjat 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 17 Sisältö 1 Peruskäsitteistöä 2 1.1 Määritelmiä 2 1.2 Perustuloksia 4 2 Suppenemistestejä positiivitermisille sarjoille 5 3 Itseinen ja ehdollinen suppeneminen 8 4 Alternoivat
LisätiedotKOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 RITVA HURRI-SYRJÄNEN
KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 RITVA HURRI-SYRJÄNEN 1. Möbius-kuvauksista 13. Konformikuvauksista 13.1. Johdantoa. Seuraavassa α ja β ovat annettuja kompleksilukuja ja k ja t 0 ovat reaalisia vakioita.
LisätiedotDerivaatta. Joukko A C on avoin, jos jokaista z 0 A kohti on olemassa ǫ > 0: jos z z 0 < ǫ, niin z A. f : A C on yksiarvoinen.
Derivaatta Joukko A C on avoin, jos jokaista z 0 A kohti on olemassa ǫ > 0: jos z z 0 < ǫ, niin z A. f : A C on yksiarvoinen. Määritelmä Funktio f : A C on derivoituva pisteessä z 0 A jos raja-arvo (riippumatta
LisätiedotMatematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus Malliratkaisut (Sauli Lindberg)
Matematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus 4 9.4.-23.4.200 Malliratkaisut (Sauli Lindberg). Näytä, että Lusinin lauseessa voidaan luopua oletuksesta m(a)
LisätiedotDIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1 1. ALUKSI. Joukko-oppia
DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1 Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 1. ALUKSI Joukko-oppia Lyhenteitä ja merkintöjä. A = B A:sta seuraa B. Implikaatio. A B A ja B yhtäpitävät. Ekvivalenssi.
LisätiedotJohdatus topologiaan (4 op)
180305 Johdatus topologiaan (4 op) Kevät 2009 1. Alkusanat Sana topologia on johdettu kreikan kielen sanoista topos ja logos, jotka merkitsevät paikkaa ja tietoa. Jo 1700-luvun alussa käytettiin latinan
LisätiedotMatematiikan johdantokurssi, syksy 2016 Harjoitus 11, ratkaisuista
Matematiikan johdantokurssi, syksy 06 Harjoitus, ratkaisuista. Valitse seuraaville säännöille mahdollisimman laajat lähtöjoukot ja sopivat maalijoukot niin, että syntyy kahden muuttujan funktiot (ks. monisteen
Lisätiedot8. Avoimen kuvauksen lause
FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 125 8. Avoimen kuvauksen lause Palautamme aluksi mieleen Topologian kursseilta ehkä tutut perusasiat yleisestä avoimen kuvauksen käsitteestä. Määrittelemme ensin avoimen
LisätiedotFunktiojonon tasainen suppeneminen
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Taina Saari Funktiojonon tasainen suppeneminen Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka Elokuu 2009 Tampereen yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen
LisätiedotMääritelmä 2.5. Lause 2.6.
Määritelmä 2.5. Olkoon X joukko ja F joukko funktioita f : X R. Joukkoa F sanotaan pisteittäin rajoitetuksi, jos jokaiselle x X on olemassa sellainen C x R, että f x C x jokaiselle f F. Joukkoa F sanotaan
Lisätiedot14. Juurikunnat Määritelmä ja olemassaolo.
14. Juurikunnat Mielivaltaisella polynomilla ei välttämättä ole juuria tarkasteltavassa kunnassa. Tässä luvussa tutkitaan sellaisia algebrallisia laajennoksia, jotka saadaan lisäämällä polynomeille juuria.
Lisätiedotmissä on myös käytetty monisteen kaavaa 12. Pistä perustelut kohdilleen!
Matematiikan johdantokurssi Kertausharjoitustehtävien ratkaisuja/vastauksia/vihjeitä. Osoita todeksi logiikan lauseille seuraava: P Q (P Q). Ratkaisuohje. Väite tarkoittaa, että johdetut lauseet P Q ja
LisätiedotSarjojen suppenemisesta
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Terhi Mattila Sarjojen suppenemisesta Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka Huhtikuu 008 Tampereen yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos
LisätiedotRiemannin kuvauslause
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Veli-Matti Ek Riemannin kuvauslause Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka Tammikuu 2008 Tampereen yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ek,
LisätiedotKompleksiluvut Kompleksitaso
. Kompleksiluvut.. Kompleksitaso 8. Todista kompleksilukujen yhteen- ja kertolaskun (lukuparien avulla annettuihin) määritelmiin perustuen osittelulaki: z (z + z ) = z z + z z. 8. Todista kompleksilukujen
LisätiedotSinin jatkuvuus. Lemma. Seuraus. Seuraus. Kaikilla x, y R, sin x sin y x y. Sini on jatkuva funktio.
Sinin jatkuvuus Lemma Kaikilla x, y R, sin x sin y x y. Seuraus Sini on jatkuva funktio. Seuraus Kosini, tangentti ja kotangentti ovat jatkuvia funktioita. Pekka Salmi FUNK 19. syyskuuta 2016 22 / 53 Yhdistetyn
LisätiedotMS-C1540 Euklidiset avaruudet
MS-C1540 Euklidiset avaruudet MS-C1540 Euklidiset avaruudet III-periodi, kevät 2016 Pekka Alestalo Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu 1 / 30 Euklidiset
LisätiedotJohdatus matemaattisen analyysin teoriaan
Kirjan Johdatus matemaattisen analyysin teoriaan harjoitustehtävien ratkaisuja 18. maaliskuuta 2005 Ratkaisut ovat laatineet Jukka Ilmonen ja Ismo Korkee. Ratkaisuissa olevista mahdollisista virheistä
LisätiedotTopologia IA, kesä 2017 Harjoitus 1
Topologia IA, kesä 07 Harjoitus Heikki Korpela 5. toukokuuta 07 Tehtävä. Todista ( luonnollisin oletuksin, kirjoita ne!) kaava 0.8., so. että f j J B j = j J f B j, huolellisesti tarkastellen yksittäisiä
Lisätiedot8. Avoimen kuvauksen lause
116 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 8. Avoimen kuvauksen lause Palautamme aluksi mieleen Topologian kursseilta ehkä tutut perusasiat yleisestä avoimen kuvauksen käsitteestä. Määrittelemme ensin avoimen
LisätiedotIV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n
IV. TASAINEN SUPPENEMINEN IV.. Funktiojonon tasainen suppeneminen Olkoon A R joukko ja f n : A R funktio, n =, 2, 3,..., jolloin jokaisella x A muodostuu lukujono f x, f 2 x,.... Jos tämä jono suppenee
Lisätiedot3 Lukujonon raja-arvo
ANALYYSI A, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT 209 3 Lukujonon raja-arvo 3 Määritelmä Osoita, että 6n + 2n + 3 3 < 4 n ja määritä jokin sellainen n 0 Z +, että 6n + 2n + 3 3 < 0 87 aina, kun n > n 0 2 Olkoon x n
Lisätiedoty z = (x, y) Kuva 1: Euklidinen taso R 2
Kompleksiluvut. Määritelmä Tarkastellaan euklidista tasoa R = {(, y), y R}. y y z = (, y) R Kuva : Euklidinen taso R Suorakulmaisessa koordinaatistossa on -akseli ja y-akseli. Luvut ja y ovat pisteen z
Lisätiedot1 sup- ja inf-esimerkkejä
Alla olevat kohdat (erityisesti todistukset) ovat lähinnä oheislukemista reaaliluvuista, mutta joihinkin niistä palataan myöhemmin kurssilla. 1 sup- ja inf-esimerkkejä Nollakohdan olemassaolo. Kaikki tuntevat
LisätiedotMetriset avaruudet 2017
Metriset avaruudet 2017 Jouni Parkkonen Merkintöjä N = {0, 1, 2,... } luonnolliset luvut #(A) N { } joukon A alkioiden lukumäärä A B = {a A : a / B} joukkojen A ja B erotus. A B on joukkojen A ja B erillinen
LisätiedotJohdatus matemaattiseen päättelyyn
Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä 2 Todistamisesta 2 3 Joukko-oppia Tässä luvussa tarkastellaan joukko-opin
LisätiedotJohdatus reaalifunktioihin P, 5op
Johdatus reaalifunktioihin 802161P, 5op Osa 2 Pekka Salmi 1. lokakuuta 2015 Pekka Salmi FUNK 1. lokakuuta 2015 1 / 55 Jatkuvuus ja raja-arvo Tavoitteet: ymmärtää raja-arvon ja jatkuvuuden määritelmät intuitiivisesti
LisätiedotTenttiin valmentavia harjoituksia
Tenttiin valmentavia harjoituksia Alla olevissa harjoituksissa suluissa oleva sivunumero viittaa Juha Partasen kurssimonisteen siihen sivuun, jolta löytyy apua tehtävän ratkaisuun. Funktiot Harjoitus.
Lisätiedot3. Kirjoita seuraavat joukot luettelemalla niiden alkiot, jos mahdollista. Onko jokin joukoista tyhjä joukko?
HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Seuraavat tehtävät liittyvät luentokalvoihin 1 14. Erityisesti esimerkistä 4 ja esimerkin
LisätiedotLuento 8: Epälineaarinen optimointi
Luento 8: Epälineaarinen optimointi Vektoriavaruus R n R n on kaikkien n-jonojen x := (x,..., x n ) joukko. Siis R n := Määritellään nollavektori 0 = (0,..., 0). Reaalisten m n-matriisien joukkoa merkitään
Lisätiedot