Esimerkki 8.1 Määritellään operaattori A = x + d/dx. Laske Af, kun f = asin(bx). Tässä a ja b ovat vakioita.

Transkriptio

1 8. Operttorit, mtriisit j ryhmäteori Mtemttinen operttori määrittelee opertion, jonk mukn sille nnettu funktiot muoktn. Operttorit ovt erityisen tärkeitä kvnttimekniikss, kosk siinä jokist suurett vst jokin operttori esim. liikemääräoperttori. Operttorien vull voidn suoritt symbolist lskent, mutt lskentsäännöt poikkevt normlist muuttujill tehtävästä lskennst. Erityisen tärkeää on muist, että operttorit eivät yleensä kommutoi ts. niiden keskinäistä järjestystä ei s viht. Jos A j B ovt operttoreit, ovt AB j BA yleensä eri si sm pätee mtriiseille. Mtriisi on kokoelm lukuj ti muuttuji, jotk on järjestetty tulukkoon rivit j srkkeet. Myös mtriiseille pätee omt lskusääntönsä. Ryhmä on kokoelm elementtejä, joille on määritelty tietyt ominisuudet j opertiot. Ryhmän elementit voivt edust esim. symmetriopertioit, joit käytetään pun mm. spektroskopiss Ryhmä koostuu elementeistä, joille on määritelty kertolsku, joss ryhmän khden lkion kertominen keskenään tuott tulokseksi kolmnnen ryhmään kuuluvn lkion. Kertolsku ei yleensä kommutoi. 9. Symmetrisen olion esim. molekyylit symmetrioperttorit muodostvt ryhmän. 10. Mtriisit, jotk noudttvt jonkin ryhmän kertotulu, ovt ryhmän esitys. 11. Ryhmäteorin vull voidn käsitellä molekyylien symmetriominisuuksi kvnttikemiss. Tvoitteet: 1. Ost suoritt perusopertiot operttorilgebrn mukn. 2. Ost määrittää j käyttää symmetriopertioit molekyyleille. 3. Ost suoritt perusopertiot mtriisilgebrss mm. mtriisien kertolsku j käänteismtriisin lskeminen. 4. Tunnist symmetriopertiot j lti niille kertotulu. 3 Perusidet: 1. Operttori on symboli, jok trkoitt jotin tiettyä mtemttist opertiot. Jos operttori A usein merkitään myös A, johon on kirjoitetty ^ -merkki yläpuolelle operoi funktioon f, tuott se tulokseksi jonkin toisen funktion g: Af = g. 2. Operttorilgebr määrää lskentsäännöt operttoreille. Säännöt poikkevt jossin määrin tvllisen lgebrn säännöistä. 3. Ominisrvoyhtälö on muoto Af = f, missä f on ominisfunktio engl. eigenfunction j on ominisrvo engl. eigenvlue. 4. Symmetrioperttori siirtää pisteen pikst toiseen symmetrielementin engl. symmetry element suhteen. 5. Symmetrioperttorit voivt operoid funktioihin ti yksittäisiin vruuden pisteisiin. Niillä voi oll ominisrvoj +1 ti Mtriisej voidn muokt mtriisilgebrn vull, jok on smntyyppinen kuin tvllinen lgebr. Erityisenä poikkeuksen on se, että mtriisien kertolsku ei välttämättä kommutoi: AB BA. 7. Mtriisin A käänteismtriisille A -1 pätee AA -1 = E, missä E on identiteettimtriisi ykkösmtriisi. Käänteismtriisi voidn lske esim. Gussin-Jordnin eliminointimenetelmällä Operttorit j operttorilgebr Operttorill trkoitetn opertiot ti opertioit, jotk suoritetn nnetulle funktiolle. Esimerkki operttorist on d/dx, jok derivoi sille nnetun funktion riippumttomn muuttujn x suhteen. Opertion tuloksen sdn jokin toinen funktio. Myös vkioll kertominen on esimerkki operttorist ts. operttori voisi oll 2, jok tuott sille nnetust funktiost f, tuloksen 2f. Identiteettioperttori tuott in sille nnetun funktion sellisenn ts. se ei tee sille mitään, ykkösellä kertominen. Operttori voi myös sisältää useit eri opertioit. Esimerkki 8.1 Määritellään operttori A = x + d/dx. Lske Af, kun f = sinbx. Tässä j b ovt vkioit. Rtkisu. Af = A sinbx = xsinbx + bcosbx. 4

2 Jos operoinnin tulos on muoto vkio lkuperäinen funktio, on kyseessä operttorin ominisfunktio j vkiot kutsutn ominisrvoksi Af = f. Tälläistä yhtälöä kutsutn ominisrvoyhtälöksi. Ajst riippumton Schrödingerin yhtälö on esimerkki ominisrvoyhtälöstä kvnttimekniikk. Operttorill voi oll useit ominisrvoj j funktioit. Esimerkki 8.2 Etsi operttorin d 2 /dx 2 ominisfunktiot j -rvot. Rtkisu. Tässä tulee siis löytää funktio f, jok toteutt seurvn ominisrvoyhtälön: d 2 f dx = f 2 Kyseessä on differentiliyhtälö ts. yhtälö, joss funktio f on tuntemton; kts. kpple 7. Tälle differentiliyhtälölle on olemss yleinen rtkisu, jok on muoto: f x = Ae x + Be x A j B ovt vkioit Kosk nämä kikki ovt rtkisuj, voi siten sd minkä rvon thns. Tehtävä 8.1 Etsi operttorin i d/dx ominisfunktiot. 5 Khden operttorin erotus on määritelty: A B = A + EB. Lskusääntöjä: ABC = ABC AB + C = AB + AC AB BA Khden operttorin kommutttorill trkoitetn: [A, B] = AB BA kertolskun ssositiivisuus distributiivisuus ei välttämättä kommutoi Kksi operttori kommutoi, jos niiden välinen kommutttori on nolloperttori. Jos kommutttori on noll, operttorien järjestystä s viht. 7 Mtemttiset opertiot operttoreill: Khden operttorin summ määritellään seurvsti: A + Bf = Af + Bf f on jokin funktio Khden operttorin tulo määritellään: ABf = ABf. Operttoriyhtälöllä trkoitn tpust, missä yhtäläisyysmerkin molemmill puolill on operttoreit esim. AB = CD. Esim. 8.3 Etsi tulomuotoiselle operttorille d/dxx toinen muoto. Rtk. Vlitn mielivltinen derivoituv funktio f j operoidn. d # dx x f = d df xf = x dx dx + f dx dx = x d # dx + 1 f Siten hettu toinen identtinen muoto on xd/dx + 1. Usein 1:tä merkitään E:llä identiteettioperttori. 6 Esimerkki 8.4 Lske seurv kommutttori: [d/dx, x]. Rtkisu. Operoidn johonkin derivoituvn funktioon f j lsketn kommutttori: d # dx,x f = d dx xf x df dx = x df dx + f x df dx = f Siten hluttu kommutttori on 1, eli identiteettioperttori E. Tehtävä 8.3 Lske kommutttori [x 2, d 2 /dx 2 ]. 8

3 Tässä muutmi sääntöjä, joiden vull voidn päätellä, kommutoivtko kksi nnettu operttori keskenään: 1. Jos toinen operttori sisältää kertomisen jollin x:stä riippuvll funktioll j toinen on d/dx, eivät ne yleensä kommutoi. 2. Jos operttorit A j B molemmt sisältävät vin kertomisen jollin funktioll, ne kommutoivt. 3. Operttorit, jotk sisältävät eri riippumttomi muuttuji, kommutoivt. Esim. [x d/dx, d/dy] = Jos toinen operttoreist sisältää inostn kertomisen jollin vkioll, kommutoi se minkä thns toisen operttorin knss. Tehtävä 8.5. Lske A 3 f käyttäen yllä olev operttori A, kun f = sinx. b. Lske B 2 kun B = x d 2 /dx 2 j määritä se kun f = bx 4. Emme vrsinisesti määrittele operttoreiden jkolsku. Sen sijn operttorin käänteisoperttori määritellään: A 1 A = E. Käänteisoperttori siis poist operttorin A tekemän muutoksen. Siis: A 1 Af = f. Kikilll operttoreill ei ole käänteisoperttori esim. nollll kertomisell. Operttorill, jok on vkioll kertominen, on käänteisoperttori, jok on 1 jettun tällä vkioll. Tehtävä 8.4 Osoit kohdt 3 j koht 4 pikknspitäviksi Operttorin potenssiin korotus määritellään: A n = AAA... A n kert. Esimerkki 8.5 Määritellään operttori A = x + d/dx. Lske A 3. Rtkisu. A 3 = x + d # dx x + d # dx x + d # dx = x + d x 2 + d # dx dx x + x d dx + d 2 # dx 2 = x 3 + x d dx x + x 2 d dx + x d 2 dx 2 + d dx x 2 + d 2 dx 2 x + d dx x d dx + d 3 dx 3 Tässä on huomttv, että 1 opertioiden järjestys on säilytettävä, jott sdn oike tulos; 2 derivointej ei voi suoritt, kosk operoitv funktio ei ole mukn esim. xd/dxx yllä EI ole x vn siitä tulee operoitess f:ään: xd/dx x f = x f + x df/dx. 10 Operttorilgebrn vull voidn esimerkiksi rtkist differentiliyhtälöitä. Trkstelln seurv differentiliyhtälöä: Tässä tehtävänä on siis löytää funktiot yx, jotk toteuttvt tämän yhtälön. Yhtälö voidn rtkist operttorilgebrn vull settmll D x = d/dx j kirjoittmll yhtälö uuteen muotoon: [D x 2 3D x + 2]y = 0 Operttoriyhtälönä se voidn kirjoitt muotoon: [D x 2 3D x + 2] = 0 Operttorilgebrn vull tätä voidn muokt seurvsti: d 2 yx dx 2 3 dyx dx D x 2D x 1 = 0 + 2yx = 0 12

4 Yhtälön juuret ovt D x 2 = 0 j D x 1 = 0. Siten olemme sneet lkuperäisen tehtävän jettu khteen osn: # dy dx 2y = 0 dy dx y = 0 Nämä yksittäiset yhtälöt on helpompi rtkist kuin lkuperäinen yhtälö. Ensimmäisen yhtälön rtkisu on y = e 2x j toisen y = e x. Kosk molemmt ovt lkuperäisen tehtävän rtkisuj, on rtkisun kokonisuudessn oltv summ näistä khdest: y = c 1 e 2x + c 2 e x, missä c 1 j c 2 ovt joitin mv. vkioit. Tehtävä 8.6 Osoit, että edellinen rtkisu todell toteutt nnetun differentiliyhtälön ts. sijoit edellinen rtkisu yhtälöön j tote, että yhtälö on voimss Mtriisilskent sivuutetn 8.2 Symmetriop. Mtriisi on tulukko lukuj, jotk on järjestetty riveihin j srkkeisiin. Jos mtriisill A on m riviä j n srkett, se kirjoitetn: n A = n # m1 m2... mn Tätä kutsutn m n mtriisiksi. Yksittäisiä tekijöitä ij kutsutn mtriisin elementeiksi. Indeksit kirjoitetn siten, että ensimmäinen indeksi ilmoitt rivin j toinen indeksi srkkeen. Jos m = n, on kyseessä neliömtriisi. Kksi mtriisi ovt yhtäsuuret, jos niiden jokinen elementti on yhtäsuuri. Mtriisien on oltv smn kokoisi, jott vertilu voidn suoritt. Khden mtriisin A j B summ C = A + B sdn, kun setetn c ij = ij + b ij. 15 Operttorit kvnttimekniikss: Kvnttimekniikss jokiselle suurelle määritellään om operttorins esim. liikemäärä, energi, jne.. Näiden operttoreiden ominisfunktiot j ominisrvot kertovt kvnttimeknisen systeemin käytöksestä kyseisen suureen suhteen. Ajst riippumton Schrödingerin yhtälö on esimerkki ominisrvoyhtälöstä. x ˆ = x pikkoperttori p ˆ = ih # #x liikemääräoperttori [ p ˆ, x ˆ ] = ih näiden kommutttori H ˆ = p ˆ 2 2m + V x ˆ energioperttori Hmilton ih #x,t = H ˆ x,t epäreltivistisen kvnttimekniikn perusyhtälö #t H ˆ x = Ex jst riippumton muoto. 14 Mtriisin A kertominen jollin vkioll sdn B = ca, kun setetn b ij = c ij. Edelleen khden mtriisin kertominen, C = AB, sdn kun setetn: c ij = n k=1 ik b kj Tässä n on srkkeiden lukumäärä mtriisiss A, jonk täytyy oll yhtäsuuri kuin rivien lukumäärä mtriisiss B. Mtriisill C tulee olemn sm määrä rivejä kuin A:ll j srkkeit sm määrä kuin B:ll. Trkstelln esimerkkitpust, missä A on 2 3 mtriisi j B on 3 3 mtriisi. Tällöin kertolsku nt: b b 12 b 13 b # 21 b 22 b = b + b + b b + b + b b + b + b # b 11 + b 21 + b 31 b 12 + b 22 + b 32 b 13 + b 23 + b 33 # b 31 b 32 b 33 Huom siis, että tulo EI SAADA KERTOMALLA VASTAAVIA ALKIOITA KESKENÄÄN 16

5 Esimerkki 8.9 Mtriisien kertolsku: # # # = Tehtävä 8.14 Lske seurvt mtriisien tulot: # # # # j Tässä siis mtriisien kertomisjärjestys on vihdettu. Tuottvtko kertolskut smn vi eri tuloksen? 17 Yleisesti mtriisit noudttvt hyvin smn tyyppisiä lskusääntöjä kuin operttorit operttorit voidn mieltää ääretönulotteisiksi mtriiseiksi. Yksikkömtriisi määritellään siten, että sillä kerrottess sdn lkuperäinen mtriisi tulokseksi: EA = AE = A. Yksikkömtriisi määritellään siten, että siinä on digonlill ykköstä: ts. lkiot, joill i = j E = # Tehtävä 8.16 Osoit mtriisien kertolskun määritelmää käyttäen, että kertominen yksikkömtriisill tuott lkuperäisen mtriisin. Toisin snoen on osoitettv, että: = # # # Neliömtriisit voidn siis kerto keskenään khdess eri järjestyksessä, mutt lopputulos on yleensä eri. Toisin snoen yleensä ABBA. Tässä yhteydessä vrt. operttorit puhutn myös kommutoinnist. Mtriisien kertolsku on ssositiivinen, eli ABC=ABC. Lisäksi kertolskun j yhteenlskun suhteen pätee distributiivisuus: AB + C = AB + AC. Tehtävä 8.15 Osoit, että ll oleville mtriiseille pätee ssositiivisuus j distributiivisuus: A = B = C = # # # Mtriiseille ei määritellä vrsinisesti jkolsku vn käänteismtriisi vrt. operttorit. Mtriisin A käänteismtriisi merkitään A -1 :ll j se määritellään: A -1 A = AA -1 = E. Mtriisin A käänteismtriisi voidn määrittää ns. Gussin-Jordnin eliminoinnill. Siinä pyritään muokkmn mtriisiyhtälö AA -1 = E muotoon, jok on EA -1 = A -1. Tämä voidn tehdä suorittmll lkuperäiselle mtriisiyhtälölle opertioit, jotk eivät riko yhtäläisyyttä. Käytännössä nämä opertiot ovt rivien vähentäminen toisistn sekä rivien kertominen vkioll. Prhiten menettely selviää ll olevn esimerkin vull. Esimerkki 8.10 Etsi seurvn mtriisin käänteismtriisi: A = #

6 Gussin-Jordnin eliminoinnill pyritään muokkmn mtriisiyhtälö AA -1 = E muotoon EA -1 = A -1 suorittmll mtriisiyhtälölle opertioit, jotk eivät riko yhtäläisyyttä. Käytännössä opertiot ovt rivien vähentäminen toisistn sekä rivien kertominen vkioll E 8.10 Etsi seurvn mtriisin käänteismtriisi: A = # A 1 11 A 1 12 A A 1 21 A 1 22 A 1 23 = # #A 1 31 A 1 32 A 1 33 # Yksinkertistetn merkintöjä j kirjoitetn yllä olev muotoon: Pyritään ensin smn noll 21 :n piklle. Tämä voidn tehdä siten, että # ensimmäinen rivi kerrotn 1/2:ll j vähennetään ensimmäinen rivi toisest: 1 1/2 01/ # # 1 1/2 0 1/ /2 1 1/ Vin neliömtriiseill voi oll käänteismtriisi, joskn ei kikill, esim. jos mtriisin determinntti on noll. Tällöin mtriisi on singulrinen. A -1 on prs lske mtemttisell ohjelmistoll. Pienille n voi käyttää kv A -1 = à T /deta, joss à T on trnspoosist määritetty ns. cofctor-mtriisi. Trkstelln seurvksi tyypillisiä opertioit, joit käytetään n neliömtriiseille. Mtriisin jälki määritellään: TrA = Yläkolmiomtriisiss digonlin ll olevt lkiot ovt nolli, lkolmiomtriisiss digonlin yläpuolell olevt lkiot ovt nolli. Digonlimtriisiss kikki nollst poikkevt lkiot ovt digonlill. Mtriisi, joss kikki lkiot ovt nolli, kutsutn nollmtriisiksi. Symmetriselle mtriisille A = A T. Mtriisin Hermiten konjugtti määritellään: A * ij = ji Reliselle mtriisille Hermiten konjugointi on yhtä kuin trnspoosi. Hermiittiselle mtriisille pätee A = A. Ortogonlinen mtriisi määritellään A -1 = A T. Jos mtriisi on unitrinen, pätee sille: A -1 = A = A T *. i=1 ii 23 Edellä lkiot 11 käytettiin pivot -elementtinä, kosk sen vull nollttiin. Vsen srke on nyt hlutuss muodoss, joten siirrytään seurvn srkkeeseen oikelle. Nyt on pivot -lkion, joten kerrotn ko. rivi 1/3:ll j vähennetään toinen rivi ensimmäisestä, jolloin sdn nollttu: # 1 0 1/3 2/3 1/ /2 1/3 1/6 1/ # 1 0 1/ 3 2/3 1/ /3 1/3 2 / /3 1/3 2/3 1 # 1 0 1/ 3 2 /3 1/ /2 1 1/ /3 1/6 1/ 3 1/2 # /4 1/2 1/ /2 1 1/ /3 1/12 1/6 1/4 3 Kerrotn seurvksi toinen rivi 2:ll j vähennetään toinen rivi kolmnnest: Kerrotn seurvksi kolms rivi 1/2:ll, jott voidn käyttää pivot -lkion. Vähennetään sitten kolms rivi toisest: Kerrotn sitten kolms rivi 1/2:ll j lisätään se ensimmäiseen: # /4 1/2 1/ /2 1 1/ /4 1/2 3/ DETERMINANTIT Jokiselle neliömtriisille voidn lske determinntti, jok nt tulokseksi yhden symbolin. Jos mtriisin kikki elementit ovt lukuj, nt determinntti yksittäisen luvun. Determinntti on siis opertio, jok tuott tietyllä tvll mtriisin lkioist yksittäisen luvun ti muuttujn. Isojen determinnttien rvon lskeminen voi oll työlästä. Seurvss on kuvttu peruside miten lsku suoritetn: 1. Vlitse ylimmän rivin ensimmäinen lkio Lske tätä vstvn lideterminntin rvo, jok sijitsee oikell lviistoon tämän elementin ll. Merkitään tätä b 11 :llä. 3. Determinntin kokonisrvoon tämä nt osuuden: 11 b Suorit vstv lsku seurvlle 1. rivin lkiolle. 5. Determinntin kokonisrvoon tämä nt osuuden: - b 12. Jok toinen kert sdn siis + j jok toinen Jtketn proseduuri kikille rivin lkioille, jolloin tulokseksi sdn determinntin rvo. E = = 11 + =

7 Ominisuuksi: 1. Jos khden rivin ti srkkeen pikk vihdetn, muuttuu determinntin rvo tekijällä Jos determinntin kksi riviä ti srkett ovt yhtäsuuri, on determinntin rvo noll. 3. Jos jokin determinntin rivi ti srke kerrotn jollin vkioll, tulee determinntin rvokin kerrotuksi tällä kyseisellä vkioll. 4. Jos determinntin jokin rivi ti srke on puhtsti noll, on determinntin rvo noll. 5. Jos johonkin riviin ti srkkeeseen lisätään jokin toinen rivi/srke kerrottun jollin vkioll, ei determinntin rvo muutu. Esim c 11 + c = + c 6. Kolmiodeterminntin rvo lsketn kertomll digonlielementit keskenään. Esim = Mtriisin A j sen trnspoosin A T determinnttien rvot ovt smt. Ts. DetA = deta T MATRIISIT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT Lineriset yhtälöryhmät Ax=c voidn rtkist sijoitus- ti eliminointimenettelyillä, jotk systemtisoituvt Crmerin säännöksi ti Guss-Jordn elimintioksi. Ongelmn voi rtkist myös mtriisin kääntämisellä: x = A -1 c. Kuten operttorilgebrll edellä 8.1, voidn mtriisien vull yksinkertist n:nnen kertluvun differentiliyhtälö n kpl:ksi 1. kertluvun yhtälöitä: y n = Ft, y, y,k, y n1 voidn redusoid kirjoittmll y 1 = y, y 2 = y, y 3 = y,k, y n = y n1 # y 1 = y 2, y 2 = y 3,K, y n1 = y n # y n = Ft, y 1,y 2,K, y n y 1 = f 1 t, y 1,L,y n y 2 = f 2 t, y 1,L,y n M y n = f n t, y 1,L,y n Käsiteltävänä on siis vektoriyhtälö y = Ay + g. Homogeenisen yhtälön g = 0 rtkisu sdn yritteen y = xe #t vull ominisrvo-ongelmst Ax = #x deta-#1=0, mistä tuloksen on digonlinen ominisrvomtriisi D = X -1 AX, missä mtriisi X sisältää ominisvektorit x 1,..., x n srkkein. 27 Sovellus löytyy kvnttikemist. Monen elektronin ltofunktion, joss elektronit merkitään pikkkoordinteill r 1, r 2,..., r n, tulee oll ntisymmetrinen elektroni-indeksin vihdon suhteen. Esim. vihdolle elektronien 1 j 2 suhteen tulee oll: r 1,r 2,...,r n = #r 2,r 1,...,r n Monet likimääräiset menetelmät muodostvt em. ltofunktion yksihiukksltofunktioist orbitlit tulomuodoss: r 1,r 2,...r n = # 1 r 1 # 2 r 2...# n r n Ongelmn on kuitenkin ettei tämä muoto toteut symmetrisyysvtimust. Eräs rtkisu tähän ongelmn on kirjoitt tulomuotoinen ltofunktio käyttäen ns. Slterin determinntti: # 1 r 1 # 1 r 2... # 1 r n r 1,r 2,...,r n = 1 # 2 r 1 # 2 r 2... # 2 r n n # n r 1 # n r 2... # n r n Vkiotekijä determinntin edessä on normitustekijä. Slterin determinntist seur mm. Pulin kieltosääntö, jonk mukn khdell elektronill ei voi oll täsmälleen smoj kvnttilukuj. 26 Nyt kirjoitetn y = Xz eli määritellään tuntemton funktio z = X -1 y j sijoitetn: Xz = AXz + g, kerrotn vsemmlt X -1 :llä: z = X -1 AX z + X -1 g = Dz + h, missä h = X -1 g. Tällöin komponentit ovt z j = j z j + h j, jotk ostn rtkist: z j t = e j t e # j [ t h j tdt + c j ]. Nämä ovt vektorin zt komponentit, joist sdn lskettu rtkisu y = Xz. Esim. Etsitään yleinen rtkisu o. yhtälölle mtriisin digonlisointimenetelmällä. # y= Ay + g = 3 1 # y + 6 e 2t