Esimerkki 8.1 Määritellään operaattori A = x + d/dx. Laske Af, kun f = asin(bx). Tässä a ja b ovat vakioita.

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Esimerkki 8.1 Määritellään operaattori A = x + d/dx. Laske Af, kun f = asin(bx). Tässä a ja b ovat vakioita."

Transkriptio

1 8. Operttorit, mtriisit j ryhmäteori Mtemttinen operttori määrittelee opertion, jonk mukn sille nnettu funktiot muoktn. Operttorit ovt erityisen tärkeitä kvnttimekniikss, kosk siinä jokist suurett vst jokin operttori esim. liikemääräoperttori. Operttorien vull voidn suoritt symbolist lskent, mutt lskentsäännöt poikkevt normlist muuttujill tehtävästä lskennst. Erityisen tärkeää on muist, että operttorit eivät yleensä kommutoi ts. niiden keskinäistä järjestystä ei s viht. Jos A j B ovt operttoreit, ovt AB j BA yleensä eri si sm pätee mtriiseille. Mtriisi on kokoelm lukuj ti muuttuji, jotk on järjestetty tulukkoon rivit j srkkeet. Myös mtriiseille pätee omt lskusääntönsä. Ryhmä on kokoelm elementtejä, joille on määritelty tietyt ominisuudet j opertiot. Ryhmän elementit voivt edust esim. symmetriopertioit, joit käytetään pun mm. spektroskopiss Ryhmä koostuu elementeistä, joille on määritelty kertolsku, joss ryhmän khden lkion kertominen keskenään tuott tulokseksi kolmnnen ryhmään kuuluvn lkion. Kertolsku ei yleensä kommutoi. 9. Symmetrisen olion esim. molekyylit symmetrioperttorit muodostvt ryhmän. 10. Mtriisit, jotk noudttvt jonkin ryhmän kertotulu, ovt ryhmän esitys. 11. Ryhmäteorin vull voidn käsitellä molekyylien symmetriominisuuksi kvnttikemiss. Tvoitteet: 1. Ost suoritt perusopertiot operttorilgebrn mukn. 2. Ost määrittää j käyttää symmetriopertioit molekyyleille. 3. Ost suoritt perusopertiot mtriisilgebrss mm. mtriisien kertolsku j käänteismtriisin lskeminen. 4. Tunnist symmetriopertiot j lti niille kertotulu. 3 Perusidet: 1. Operttori on symboli, jok trkoitt jotin tiettyä mtemttist opertiot. Jos operttori A usein merkitään myös A, johon on kirjoitetty ^ -merkki yläpuolelle operoi funktioon f, tuott se tulokseksi jonkin toisen funktion g: Af = g. 2. Operttorilgebr määrää lskentsäännöt operttoreille. Säännöt poikkevt jossin määrin tvllisen lgebrn säännöistä. 3. Ominisrvoyhtälö on muoto Af = f, missä f on ominisfunktio engl. eigenfunction j on ominisrvo engl. eigenvlue. 4. Symmetrioperttori siirtää pisteen pikst toiseen symmetrielementin engl. symmetry element suhteen. 5. Symmetrioperttorit voivt operoid funktioihin ti yksittäisiin vruuden pisteisiin. Niillä voi oll ominisrvoj +1 ti Mtriisej voidn muokt mtriisilgebrn vull, jok on smntyyppinen kuin tvllinen lgebr. Erityisenä poikkeuksen on se, että mtriisien kertolsku ei välttämättä kommutoi: AB BA. 7. Mtriisin A käänteismtriisille A -1 pätee AA -1 = E, missä E on identiteettimtriisi ykkösmtriisi. Käänteismtriisi voidn lske esim. Gussin-Jordnin eliminointimenetelmällä Operttorit j operttorilgebr Operttorill trkoitetn opertiot ti opertioit, jotk suoritetn nnetulle funktiolle. Esimerkki operttorist on d/dx, jok derivoi sille nnetun funktion riippumttomn muuttujn x suhteen. Opertion tuloksen sdn jokin toinen funktio. Myös vkioll kertominen on esimerkki operttorist ts. operttori voisi oll 2, jok tuott sille nnetust funktiost f, tuloksen 2f. Identiteettioperttori tuott in sille nnetun funktion sellisenn ts. se ei tee sille mitään, ykkösellä kertominen. Operttori voi myös sisältää useit eri opertioit. Esimerkki 8.1 Määritellään operttori A = x + d/dx. Lske Af, kun f = sinbx. Tässä j b ovt vkioit. Rtkisu. Af = A sinbx = xsinbx + bcosbx. 4

2 Jos operoinnin tulos on muoto vkio lkuperäinen funktio, on kyseessä operttorin ominisfunktio j vkiot kutsutn ominisrvoksi Af = f. Tälläistä yhtälöä kutsutn ominisrvoyhtälöksi. Ajst riippumton Schrödingerin yhtälö on esimerkki ominisrvoyhtälöstä kvnttimekniikk. Operttorill voi oll useit ominisrvoj j funktioit. Esimerkki 8.2 Etsi operttorin d 2 /dx 2 ominisfunktiot j -rvot. Rtkisu. Tässä tulee siis löytää funktio f, jok toteutt seurvn ominisrvoyhtälön: d 2 f dx = f 2 Kyseessä on differentiliyhtälö ts. yhtälö, joss funktio f on tuntemton; kts. kpple 7. Tälle differentiliyhtälölle on olemss yleinen rtkisu, jok on muoto: f x = Ae x + Be x A j B ovt vkioit Kosk nämä kikki ovt rtkisuj, voi siten sd minkä rvon thns. Tehtävä 8.1 Etsi operttorin i d/dx ominisfunktiot. 5 Khden operttorin erotus on määritelty: A B = A + EB. Lskusääntöjä: ABC = ABC AB + C = AB + AC AB BA Khden operttorin kommutttorill trkoitetn: [A, B] = AB BA kertolskun ssositiivisuus distributiivisuus ei välttämättä kommutoi Kksi operttori kommutoi, jos niiden välinen kommutttori on nolloperttori. Jos kommutttori on noll, operttorien järjestystä s viht. 7 Mtemttiset opertiot operttoreill: Khden operttorin summ määritellään seurvsti: A + Bf = Af + Bf f on jokin funktio Khden operttorin tulo määritellään: ABf = ABf. Operttoriyhtälöllä trkoitn tpust, missä yhtäläisyysmerkin molemmill puolill on operttoreit esim. AB = CD. Esim. 8.3 Etsi tulomuotoiselle operttorille d/dxx toinen muoto. Rtk. Vlitn mielivltinen derivoituv funktio f j operoidn. d # dx x f = d df xf = x dx dx + f dx dx = x d # dx + 1 f Siten hettu toinen identtinen muoto on xd/dx + 1. Usein 1:tä merkitään E:llä identiteettioperttori. 6 Esimerkki 8.4 Lske seurv kommutttori: [d/dx, x]. Rtkisu. Operoidn johonkin derivoituvn funktioon f j lsketn kommutttori: d # dx,x f = d dx xf x df dx = x df dx + f x df dx = f Siten hluttu kommutttori on 1, eli identiteettioperttori E. Tehtävä 8.3 Lske kommutttori [x 2, d 2 /dx 2 ]. 8

3 Tässä muutmi sääntöjä, joiden vull voidn päätellä, kommutoivtko kksi nnettu operttori keskenään: 1. Jos toinen operttori sisältää kertomisen jollin x:stä riippuvll funktioll j toinen on d/dx, eivät ne yleensä kommutoi. 2. Jos operttorit A j B molemmt sisältävät vin kertomisen jollin funktioll, ne kommutoivt. 3. Operttorit, jotk sisältävät eri riippumttomi muuttuji, kommutoivt. Esim. [x d/dx, d/dy] = Jos toinen operttoreist sisältää inostn kertomisen jollin vkioll, kommutoi se minkä thns toisen operttorin knss. Tehtävä 8.5. Lske A 3 f käyttäen yllä olev operttori A, kun f = sinx. b. Lske B 2 kun B = x d 2 /dx 2 j määritä se kun f = bx 4. Emme vrsinisesti määrittele operttoreiden jkolsku. Sen sijn operttorin käänteisoperttori määritellään: A 1 A = E. Käänteisoperttori siis poist operttorin A tekemän muutoksen. Siis: A 1 Af = f. Kikilll operttoreill ei ole käänteisoperttori esim. nollll kertomisell. Operttorill, jok on vkioll kertominen, on käänteisoperttori, jok on 1 jettun tällä vkioll. Tehtävä 8.4 Osoit kohdt 3 j koht 4 pikknspitäviksi Operttorin potenssiin korotus määritellään: A n = AAA... A n kert. Esimerkki 8.5 Määritellään operttori A = x + d/dx. Lske A 3. Rtkisu. A 3 = x + d # dx x + d # dx x + d # dx = x + d x 2 + d # dx dx x + x d dx + d 2 # dx 2 = x 3 + x d dx x + x 2 d dx + x d 2 dx 2 + d dx x 2 + d 2 dx 2 x + d dx x d dx + d 3 dx 3 Tässä on huomttv, että 1 opertioiden järjestys on säilytettävä, jott sdn oike tulos; 2 derivointej ei voi suoritt, kosk operoitv funktio ei ole mukn esim. xd/dxx yllä EI ole x vn siitä tulee operoitess f:ään: xd/dx x f = x f + x df/dx. 10 Operttorilgebrn vull voidn esimerkiksi rtkist differentiliyhtälöitä. Trkstelln seurv differentiliyhtälöä: Tässä tehtävänä on siis löytää funktiot yx, jotk toteuttvt tämän yhtälön. Yhtälö voidn rtkist operttorilgebrn vull settmll D x = d/dx j kirjoittmll yhtälö uuteen muotoon: [D x 2 3D x + 2]y = 0 Operttoriyhtälönä se voidn kirjoitt muotoon: [D x 2 3D x + 2] = 0 Operttorilgebrn vull tätä voidn muokt seurvsti: d 2 yx dx 2 3 dyx dx D x 2D x 1 = 0 + 2yx = 0 12

4 Yhtälön juuret ovt D x 2 = 0 j D x 1 = 0. Siten olemme sneet lkuperäisen tehtävän jettu khteen osn: # dy dx 2y = 0 dy dx y = 0 Nämä yksittäiset yhtälöt on helpompi rtkist kuin lkuperäinen yhtälö. Ensimmäisen yhtälön rtkisu on y = e 2x j toisen y = e x. Kosk molemmt ovt lkuperäisen tehtävän rtkisuj, on rtkisun kokonisuudessn oltv summ näistä khdest: y = c 1 e 2x + c 2 e x, missä c 1 j c 2 ovt joitin mv. vkioit. Tehtävä 8.6 Osoit, että edellinen rtkisu todell toteutt nnetun differentiliyhtälön ts. sijoit edellinen rtkisu yhtälöön j tote, että yhtälö on voimss Mtriisilskent sivuutetn 8.2 Symmetriop. Mtriisi on tulukko lukuj, jotk on järjestetty riveihin j srkkeisiin. Jos mtriisill A on m riviä j n srkett, se kirjoitetn: n A = n # m1 m2... mn Tätä kutsutn m n mtriisiksi. Yksittäisiä tekijöitä ij kutsutn mtriisin elementeiksi. Indeksit kirjoitetn siten, että ensimmäinen indeksi ilmoitt rivin j toinen indeksi srkkeen. Jos m = n, on kyseessä neliömtriisi. Kksi mtriisi ovt yhtäsuuret, jos niiden jokinen elementti on yhtäsuuri. Mtriisien on oltv smn kokoisi, jott vertilu voidn suoritt. Khden mtriisin A j B summ C = A + B sdn, kun setetn c ij = ij + b ij. 15 Operttorit kvnttimekniikss: Kvnttimekniikss jokiselle suurelle määritellään om operttorins esim. liikemäärä, energi, jne.. Näiden operttoreiden ominisfunktiot j ominisrvot kertovt kvnttimeknisen systeemin käytöksestä kyseisen suureen suhteen. Ajst riippumton Schrödingerin yhtälö on esimerkki ominisrvoyhtälöstä. x ˆ = x pikkoperttori p ˆ = ih # #x liikemääräoperttori [ p ˆ, x ˆ ] = ih näiden kommutttori H ˆ = p ˆ 2 2m + V x ˆ energioperttori Hmilton ih #x,t = H ˆ x,t epäreltivistisen kvnttimekniikn perusyhtälö #t H ˆ x = Ex jst riippumton muoto. 14 Mtriisin A kertominen jollin vkioll sdn B = ca, kun setetn b ij = c ij. Edelleen khden mtriisin kertominen, C = AB, sdn kun setetn: c ij = n k=1 ik b kj Tässä n on srkkeiden lukumäärä mtriisiss A, jonk täytyy oll yhtäsuuri kuin rivien lukumäärä mtriisiss B. Mtriisill C tulee olemn sm määrä rivejä kuin A:ll j srkkeit sm määrä kuin B:ll. Trkstelln esimerkkitpust, missä A on 2 3 mtriisi j B on 3 3 mtriisi. Tällöin kertolsku nt: b b 12 b 13 b # 21 b 22 b = b + b + b b + b + b b + b + b # b 11 + b 21 + b 31 b 12 + b 22 + b 32 b 13 + b 23 + b 33 # b 31 b 32 b 33 Huom siis, että tulo EI SAADA KERTOMALLA VASTAAVIA ALKIOITA KESKENÄÄN 16

5 Esimerkki 8.9 Mtriisien kertolsku: # # # = Tehtävä 8.14 Lske seurvt mtriisien tulot: # # # # j Tässä siis mtriisien kertomisjärjestys on vihdettu. Tuottvtko kertolskut smn vi eri tuloksen? 17 Yleisesti mtriisit noudttvt hyvin smn tyyppisiä lskusääntöjä kuin operttorit operttorit voidn mieltää ääretönulotteisiksi mtriiseiksi. Yksikkömtriisi määritellään siten, että sillä kerrottess sdn lkuperäinen mtriisi tulokseksi: EA = AE = A. Yksikkömtriisi määritellään siten, että siinä on digonlill ykköstä: ts. lkiot, joill i = j E = # Tehtävä 8.16 Osoit mtriisien kertolskun määritelmää käyttäen, että kertominen yksikkömtriisill tuott lkuperäisen mtriisin. Toisin snoen on osoitettv, että: = # # # Neliömtriisit voidn siis kerto keskenään khdess eri järjestyksessä, mutt lopputulos on yleensä eri. Toisin snoen yleensä ABBA. Tässä yhteydessä vrt. operttorit puhutn myös kommutoinnist. Mtriisien kertolsku on ssositiivinen, eli ABC=ABC. Lisäksi kertolskun j yhteenlskun suhteen pätee distributiivisuus: AB + C = AB + AC. Tehtävä 8.15 Osoit, että ll oleville mtriiseille pätee ssositiivisuus j distributiivisuus: A = B = C = # # # Mtriiseille ei määritellä vrsinisesti jkolsku vn käänteismtriisi vrt. operttorit. Mtriisin A käänteismtriisi merkitään A -1 :ll j se määritellään: A -1 A = AA -1 = E. Mtriisin A käänteismtriisi voidn määrittää ns. Gussin-Jordnin eliminoinnill. Siinä pyritään muokkmn mtriisiyhtälö AA -1 = E muotoon, jok on EA -1 = A -1. Tämä voidn tehdä suorittmll lkuperäiselle mtriisiyhtälölle opertioit, jotk eivät riko yhtäläisyyttä. Käytännössä nämä opertiot ovt rivien vähentäminen toisistn sekä rivien kertominen vkioll. Prhiten menettely selviää ll olevn esimerkin vull. Esimerkki 8.10 Etsi seurvn mtriisin käänteismtriisi: A = #

6 Gussin-Jordnin eliminoinnill pyritään muokkmn mtriisiyhtälö AA -1 = E muotoon EA -1 = A -1 suorittmll mtriisiyhtälölle opertioit, jotk eivät riko yhtäläisyyttä. Käytännössä opertiot ovt rivien vähentäminen toisistn sekä rivien kertominen vkioll E 8.10 Etsi seurvn mtriisin käänteismtriisi: A = # A 1 11 A 1 12 A A 1 21 A 1 22 A 1 23 = # #A 1 31 A 1 32 A 1 33 # Yksinkertistetn merkintöjä j kirjoitetn yllä olev muotoon: Pyritään ensin smn noll 21 :n piklle. Tämä voidn tehdä siten, että # ensimmäinen rivi kerrotn 1/2:ll j vähennetään ensimmäinen rivi toisest: 1 1/2 01/ # # 1 1/2 0 1/ /2 1 1/ Vin neliömtriiseill voi oll käänteismtriisi, joskn ei kikill, esim. jos mtriisin determinntti on noll. Tällöin mtriisi on singulrinen. A -1 on prs lske mtemttisell ohjelmistoll. Pienille n voi käyttää kv A -1 = à T /deta, joss à T on trnspoosist määritetty ns. cofctor-mtriisi. Trkstelln seurvksi tyypillisiä opertioit, joit käytetään n neliömtriiseille. Mtriisin jälki määritellään: TrA = Yläkolmiomtriisiss digonlin ll olevt lkiot ovt nolli, lkolmiomtriisiss digonlin yläpuolell olevt lkiot ovt nolli. Digonlimtriisiss kikki nollst poikkevt lkiot ovt digonlill. Mtriisi, joss kikki lkiot ovt nolli, kutsutn nollmtriisiksi. Symmetriselle mtriisille A = A T. Mtriisin Hermiten konjugtti määritellään: A * ij = ji Reliselle mtriisille Hermiten konjugointi on yhtä kuin trnspoosi. Hermiittiselle mtriisille pätee A = A. Ortogonlinen mtriisi määritellään A -1 = A T. Jos mtriisi on unitrinen, pätee sille: A -1 = A = A T *. i=1 ii 23 Edellä lkiot 11 käytettiin pivot -elementtinä, kosk sen vull nollttiin. Vsen srke on nyt hlutuss muodoss, joten siirrytään seurvn srkkeeseen oikelle. Nyt on pivot -lkion, joten kerrotn ko. rivi 1/3:ll j vähennetään toinen rivi ensimmäisestä, jolloin sdn nollttu: # 1 0 1/3 2/3 1/ /2 1/3 1/6 1/ # 1 0 1/ 3 2/3 1/ /3 1/3 2 / /3 1/3 2/3 1 # 1 0 1/ 3 2 /3 1/ /2 1 1/ /3 1/6 1/ 3 1/2 # /4 1/2 1/ /2 1 1/ /3 1/12 1/6 1/4 3 Kerrotn seurvksi toinen rivi 2:ll j vähennetään toinen rivi kolmnnest: Kerrotn seurvksi kolms rivi 1/2:ll, jott voidn käyttää pivot -lkion. Vähennetään sitten kolms rivi toisest: Kerrotn sitten kolms rivi 1/2:ll j lisätään se ensimmäiseen: # /4 1/2 1/ /2 1 1/ /4 1/2 3/ DETERMINANTIT Jokiselle neliömtriisille voidn lske determinntti, jok nt tulokseksi yhden symbolin. Jos mtriisin kikki elementit ovt lukuj, nt determinntti yksittäisen luvun. Determinntti on siis opertio, jok tuott tietyllä tvll mtriisin lkioist yksittäisen luvun ti muuttujn. Isojen determinnttien rvon lskeminen voi oll työlästä. Seurvss on kuvttu peruside miten lsku suoritetn: 1. Vlitse ylimmän rivin ensimmäinen lkio Lske tätä vstvn lideterminntin rvo, jok sijitsee oikell lviistoon tämän elementin ll. Merkitään tätä b 11 :llä. 3. Determinntin kokonisrvoon tämä nt osuuden: 11 b Suorit vstv lsku seurvlle 1. rivin lkiolle. 5. Determinntin kokonisrvoon tämä nt osuuden: - b 12. Jok toinen kert sdn siis + j jok toinen Jtketn proseduuri kikille rivin lkioille, jolloin tulokseksi sdn determinntin rvo. E = = 11 + =

7 Ominisuuksi: 1. Jos khden rivin ti srkkeen pikk vihdetn, muuttuu determinntin rvo tekijällä Jos determinntin kksi riviä ti srkett ovt yhtäsuuri, on determinntin rvo noll. 3. Jos jokin determinntin rivi ti srke kerrotn jollin vkioll, tulee determinntin rvokin kerrotuksi tällä kyseisellä vkioll. 4. Jos determinntin jokin rivi ti srke on puhtsti noll, on determinntin rvo noll. 5. Jos johonkin riviin ti srkkeeseen lisätään jokin toinen rivi/srke kerrottun jollin vkioll, ei determinntin rvo muutu. Esim c 11 + c = + c 6. Kolmiodeterminntin rvo lsketn kertomll digonlielementit keskenään. Esim = Mtriisin A j sen trnspoosin A T determinnttien rvot ovt smt. Ts. DetA = deta T MATRIISIT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT Lineriset yhtälöryhmät Ax=c voidn rtkist sijoitus- ti eliminointimenettelyillä, jotk systemtisoituvt Crmerin säännöksi ti Guss-Jordn elimintioksi. Ongelmn voi rtkist myös mtriisin kääntämisellä: x = A -1 c. Kuten operttorilgebrll edellä 8.1, voidn mtriisien vull yksinkertist n:nnen kertluvun differentiliyhtälö n kpl:ksi 1. kertluvun yhtälöitä: y n = Ft, y, y,k, y n1 voidn redusoid kirjoittmll y 1 = y, y 2 = y, y 3 = y,k, y n = y n1 # y 1 = y 2, y 2 = y 3,K, y n1 = y n # y n = Ft, y 1,y 2,K, y n y 1 = f 1 t, y 1,L,y n y 2 = f 2 t, y 1,L,y n M y n = f n t, y 1,L,y n Käsiteltävänä on siis vektoriyhtälö y = Ay + g. Homogeenisen yhtälön g = 0 rtkisu sdn yritteen y = xe #t vull ominisrvo-ongelmst Ax = #x deta-#1=0, mistä tuloksen on digonlinen ominisrvomtriisi D = X -1 AX, missä mtriisi X sisältää ominisvektorit x 1,..., x n srkkein. 27 Sovellus löytyy kvnttikemist. Monen elektronin ltofunktion, joss elektronit merkitään pikkkoordinteill r 1, r 2,..., r n, tulee oll ntisymmetrinen elektroni-indeksin vihdon suhteen. Esim. vihdolle elektronien 1 j 2 suhteen tulee oll: r 1,r 2,...,r n = #r 2,r 1,...,r n Monet likimääräiset menetelmät muodostvt em. ltofunktion yksihiukksltofunktioist orbitlit tulomuodoss: r 1,r 2,...r n = # 1 r 1 # 2 r 2...# n r n Ongelmn on kuitenkin ettei tämä muoto toteut symmetrisyysvtimust. Eräs rtkisu tähän ongelmn on kirjoitt tulomuotoinen ltofunktio käyttäen ns. Slterin determinntti: # 1 r 1 # 1 r 2... # 1 r n r 1,r 2,...,r n = 1 # 2 r 1 # 2 r 2... # 2 r n n # n r 1 # n r 2... # n r n Vkiotekijä determinntin edessä on normitustekijä. Slterin determinntist seur mm. Pulin kieltosääntö, jonk mukn khdell elektronill ei voi oll täsmälleen smoj kvnttilukuj. 26 Nyt kirjoitetn y = Xz eli määritellään tuntemton funktio z = X -1 y j sijoitetn: Xz = AXz + g, kerrotn vsemmlt X -1 :llä: z = X -1 AX z + X -1 g = Dz + h, missä h = X -1 g. Tällöin komponentit ovt z j = j z j + h j, jotk ostn rtkist: z j t = e j t e # j [ t h j tdt + c j ]. Nämä ovt vektorin zt komponentit, joist sdn lskettu rtkisu y = Xz. Esim. Etsitään yleinen rtkisu o. yhtälölle mtriisin digonlisointimenetelmällä. # y= Ay + g = 3 1 # y + 6 e 2t

Neliömatriisin A determinantti on luku, jota merkitään det(a) tai A. Se lasketaan seuraavasti: determinantti on

Neliömatriisin A determinantti on luku, jota merkitään det(a) tai A. Se lasketaan seuraavasti: determinantti on 4. DETERINANTTI JA KÄÄNTEISATRIISI 6 4. Neliömtriisi determitti Neliömtriisi A determitti o luku, jot merkitää det(a) ti A. Se lsket seurvsti: -mtriisi A determitti o det(a) () -mtriisi A determitti void

Lisätiedot

OSA 1: POLYNOMILASKENNAN KERTAUSTA, BINOMIN LASKUSÄÄNTÖJÄ JA YHTÄLÖNRATKAISUA

OSA 1: POLYNOMILASKENNAN KERTAUSTA, BINOMIN LASKUSÄÄNTÖJÄ JA YHTÄLÖNRATKAISUA OSA 1: POLYNOMILASKENNAN KERTAUSTA, BINOMIN LASKUSÄÄNTÖJÄ JA YHTÄLÖNRATKAISUA Tekijät: Ari Heimonen, Hellevi Kupil, Ktj Leinonen, Tuomo Tll, Hnn Tuhknen, Pekk Vrniemi Alkupl Tiedekeskus Tietomn torninvrtij

Lisätiedot

Riemannin integraalista

Riemannin integraalista Lebesguen integrliin sl. 2007 Ari Lehtonen Riemnnin integrlist Johdnto Tämän luentomonisteen trkoituksen on tutustutt lukij Lebesgue n integrliin j sen perusominisuuksiin mhdollisimmn yksinkertisess tpuksess:

Lisätiedot

2.4 Pienimmän neliösumman menetelmä

2.4 Pienimmän neliösumman menetelmä 2.4 Pienimmän neliösummn menetelmä Optimointimenetelmiä trvitn usein kokeellisen dtn nlysoinniss. Mittuksiin liittyy virhettä, joten mittus on toistettv useit kertoj. Oletetn, että mittn suurett c j toistetn

Lisätiedot

Painopiste. josta edelleen. x i m i. (1) m L A TEX 1 ( ) x 1... x k µ x k+1... x n. m 1 g... m n g. Kuva 1. i=1. i=k+1. i=1

Painopiste. josta edelleen. x i m i. (1) m L A TEX 1 ( ) x 1... x k µ x k+1... x n. m 1 g... m n g. Kuva 1. i=1. i=k+1. i=1 Pinopiste Snomme ts-ineiseksi kpplett, jonk mteriliss ei ole sisäisiä tiheyden vihteluj. Tällisen kppleen pinopisteen sijinti voidn joskus päätellä kppleen muodon perusteell. Esimerkiksi ts-ineisen pllon

Lisätiedot

Syksyn 2015 Pitkän matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut

Syksyn 2015 Pitkän matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut Sksn 0 Pitkän mtemtiikn YO-kokeen TI-Nspire CAS -rtkisut Tekijät: Olli Krkkulinen Rtkisut on ldittu TI-Nspire CAS -tietokoneohjelmll kättäen Muistiinpnot -sovellust. Kvt j lskut on kirjoitettu Mth -ruutuihin.

Lisätiedot

3.3 KIELIOPPIEN JÄSENNYSONGELMA Ratkaistava tehtävä: Annettu yhteydetön kielioppi G ja merkkijono x. Onko

3.3 KIELIOPPIEN JÄSENNYSONGELMA Ratkaistava tehtävä: Annettu yhteydetön kielioppi G ja merkkijono x. Onko 3.3 KILIOPPIN JÄSNNYSONGLMA Rtkistv tehtävä: Annettu yhteydetön kielioppi G j merkkijono x. Onko x L(G)? Rtkisumenetelmä = jäsennyslgoritmi. Useit vihtoehtoisi menetelmiä, erityisesti kun G on jotin rjoitettu

Lisätiedot

Matematiikan perusteet taloustieteilijöille 2 800118P

Matematiikan perusteet taloustieteilijöille 2 800118P Mtemtiikn perusteet tloustieteilijöille 2 800118P Luentomoniste Kri Myllylä Niin Korteslhti Oulun yliopisto Mtemttisten tieteiden litos Kevät 2014 Sisältö 1 Mtriisilgebr j optimointi 4 11 Määritelmä 4

Lisätiedot

Ristitulo ja skalaarikolmitulo

Ristitulo ja skalaarikolmitulo Ristitulo j sklrikolmitulo Opetussuunnitelmn 00 mukinen kurssi Vektorit (MAA) sisältää vektoreiden lskutoimituksist keskeisenä ineksen yhteenlskun, vähennyslskun, vektorin kertomisen luvull j vektoreiden

Lisätiedot

Tehtävä 1. Jatka loogisesti oheisia jonoja kahdella seuraavaksi tulevalla termillä. Perustele vastauksesi

Tehtävä 1. Jatka loogisesti oheisia jonoja kahdella seuraavaksi tulevalla termillä. Perustele vastauksesi Tehtävä. Jtk loogisesti oheisi jonoj khdell seurvksi tulevll termillä. Perustele vstuksesi lyhyesti. ), c, e, g, b),,, 7,, Rtkisut: ) i j k - oike perustelu j oiket kirjimet, nnetn p - oike perustelu,

Lisätiedot

LINSSI- JA PEILITYÖ TEORIAA. I Geometrisen optiikan perusaksioomat

LINSSI- JA PEILITYÖ TEORIAA. I Geometrisen optiikan perusaksioomat (0) LINSSI- JA PEILITYÖ MOTIVOINTI Tutustutn linsseihin j peileihin geometrisen optiikn mittuksiss Tutkitn vlon käyttäytymistä linsseissä j peileissä Määritetään linssien j peilien polttopisteet Optiset

Lisätiedot

θ 1 θ 2 γ γ = β ( n 2 α + n 2 β = l R α l s γ l s 22 LINSSIT JA LINSSIJÄRJESTELMÄT 22.1 Linssien kuvausyhtälö

θ 1 θ 2 γ γ = β ( n 2 α + n 2 β = l R α l s γ l s 22 LINSSIT JA LINSSIJÄRJESTELMÄT 22.1 Linssien kuvausyhtälö 22 LINSSIT JA LINSSIJÄRJSTLMÄT 22. Linssien kuvusyhtälö Trkstelln luksi vlon tittumist pllopinnll (krevuussäde R j krevuuskeskipiste C) kuvn mukisess geometriss. Tässä vlo siis tulee ineest ineeseen 2

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Mtemtiikn tukikurssi Kurssikert 4 Tilvuuden j vipn ln lskeminen Kuten iemmin käsittelimme, määrätyn integrlin vull voi lske pintloj j tilvuuksi. Tyypillisenä sovelluksen tilvuuden lskemisest on tpus, joss

Lisätiedot

Integraalilaskentaa. 1. Mihin integraalilaskentaa tarvitaan? MÄNTÄN LUKIO

Integraalilaskentaa. 1. Mihin integraalilaskentaa tarvitaan? MÄNTÄN LUKIO Integrlilskent Tämä on lukion oppimterileist hiemn poikkev yksinkertistettu selvitys määrätyn integrlin lskemisest. Kerromme miksi integroidn, mitä integroiminen trkoitt, miten integrli lsketn j miten

Lisätiedot

11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS

11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS 11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS Tilvuus on sen verrn rkielämässä viljelty käsite, että useimmiten sen syvemmin edes miettimättä ymmärretään, mitä juomlsin ti pikkuvuvn kylpymmeen tilvuudell trkoitetn.

Lisätiedot

10. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA

10. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA MAA0 0. Määrätyn integrlin käyttö eräiden pint-lojen lskemisess 0. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA Edellä on todettu, että f (x)dx nt x-kselin j suorien x =, x = sekä funktion

Lisätiedot

VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 3.6.2014 Ratkaisut ja arvostelu

VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 3.6.2014 Ratkaisut ja arvostelu VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 3.6.4 Rtkisut j rvostelu. Koululisen todistuksen keskirvo x on lskettu ) b) c) d) kymmenen ineen perusteell. Jos koululinen nostisi neljän ineen

Lisätiedot

Sisältö. Integraali 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 20

Sisältö. Integraali 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 20 Integrli 10. syyskuut 2005 sivu 1 / 20 Sisältö 1 Määrätty integrli j integrlifunktio 2 1.1 Integroituvist funktioit 3 1.2 Määrätyn integrlin ominisuuksi 4 1.3 Integrlifunktio 5 1.4 Integrlilskennn tärkeimmät

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi. Hannu Kivimäki

Matematiikan tukikurssi. Hannu Kivimäki Mtemtiikn tukikurssi Hnnu Kivimäki Sisältö I Ensimmäinen välikoe Integrointi 2 Osittisintegrointi 5 3 Osmurtohjotelm 4 Lisää osmurtoj 4 5 Sijoituskeino 9 6 Määrätty integrli 2 7 Ylä- j lsumm 22 8 Määrätyn

Lisätiedot

ICS-C2000 Tietojenkäsittelyteoria Kevät 2015

ICS-C2000 Tietojenkäsittelyteoria Kevät 2015 ICS-C2 Tietojenkäsittelyteori Kevät 25 Kierros 3, 26. 3. tmmikuut Demonstrtiotehtävien rtkisut D: Ldi epädeterministinen äärellinen utomtti, jok test onko nnetun inäärijonon kolmnneksi viimeinen merkki,

Lisätiedot

( ) Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 321 Päivitetty 19.2.2006. Saadaan yhtälö. 801 Paraabeli on niiden pisteiden ( x,

( ) Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 321 Päivitetty 19.2.2006. Saadaan yhtälö. 801 Paraabeli on niiden pisteiden ( x, Pyrmidi Anlyyttinen geometri tehtävien rtkisut sivu Päivitetty 9..6 8 Prbeli on niiden pisteiden (, y) joukko, jotk ovt yhtä kukn johtosuorst j polttopisteestä. Pisteen (, y ) etäisyys suorst y = on d

Lisätiedot

1.3 Toispuoleiset ja epäoleelliset raja-arvot

1.3 Toispuoleiset ja epäoleelliset raja-arvot . Toisuoleiset j eäoleelliset rj-rvot Rj-rvo lim f () A olemssolo edellyttää että muuttuj täytyy void lähestyä rvo kummst suust hyväsä. Jos > ii sot että lähestyy rvo oikelt ositiivisest suust. Jos ts

Lisätiedot

Pythagoraan lause. Pythagoras Samoslainen. Pythagoraan lause

Pythagoraan lause. Pythagoras Samoslainen. Pythagoraan lause Pythgorn luse Pythgors Smoslinen Pythgors on legendrinen kreikklinen mtemtiikko j filosofi. Tiedot hänen elämästään ovt epävrmoj j ristiriitisi. Tärkein Pythgorst j pythgorlisi koskev lähde on Lmlihosin

Lisätiedot

Mikrotalousteoria 2, 2008, osa III

Mikrotalousteoria 2, 2008, osa III Sisältö Mikrotlousteori 2, 2008, os III Yrityksen tuotntofunktiost 2 Pnosten substituoitvuus 2 3 Yrityksen teori 3 4 Mittkvedut tuotnnoss 5 5 Yksikkökustnnusten j skltuottojen steen välinen yhteys 5 6

Lisätiedot

4 Taso- ja avaruuskäyrät

4 Taso- ja avaruuskäyrät P2-luentoj kevät 2008, Pekk Alestlo 4 Tso- j vruuskäyrät Tässä luvuss tutustutn tso- j vruuskäyriin, niiden krenpituuteen j krevuuteen. Konkreettisin sovelluksin trkstelln nnettu rt pitkin liikkuvn hiukksen

Lisätiedot

Suorat, käyrät ja kaarevuus

Suorat, käyrät ja kaarevuus Suort, käyrät j krevuus Jukk Tuomel Professori Mtemtiikn litos, Joensuun yliopisto Suor? Tämä kirjoitus on eräänlinen jtko Timo Tossvisen suorn määritelmää koskevn kirjoitukseen Solmun numeross 2/2002.

Lisätiedot

MATEMATIIKAN HARJOITTELUMATERIAALI

MATEMATIIKAN HARJOITTELUMATERIAALI SAVONIA-AMMATTIKORKEAKOULU Tekniikk Infrrkentmisen j kivnnisln työnjohdon koulutus (ESR) MATEMATIIKAN HARJOITTELUMATERIAALI Ari Tuomenlehto - 0 - Lusekkeen käsittelyä Luseke j lusekkeen rvo Näkyviin merkittyä

Lisätiedot

Polynomien laskutoimitukset

Polynomien laskutoimitukset Polyomie lskutoimitukset Polyomi o summluseke, joss jokie yhteelskettv (termi) sisältää vi vkio j muuttuj välisiä kertolskuj. Esimerkki 0. Mm., 6 j ovt polyomej. Polyomist, joss o vi yksi termi, käytetää

Lisätiedot

Riemannin integraalista

Riemannin integraalista TAMPEREEN YLIOPISTO Pro grdu -tutkielm Aij Stenberg Riemnnin integrlist Mtemtiikn j tilstotieteen litos Mtemtiikk Syyskuu 2010 2 Tmpereen yliopisto Mtemtiikn j tilstotieteen litos STENBERG, AIJA: Riemnnin

Lisätiedot

TYÖ 30. JÄÄN TIHEYDEN MÄÄRITYS. Tehtävänä on määrittää jään tiheys.

TYÖ 30. JÄÄN TIHEYDEN MÄÄRITYS. Tehtävänä on määrittää jään tiheys. TYÖ 30 JÄÄN TIHEYDEN MÄÄRITYS Tehtävä älineet Tusttietoj Tehtävänä on äärittää jään tiheys Byretti (51010) ti esi 100 l ittlsi (50016) j siihen sopivi jääploj, lkoholi (sopii jäähdytinneste lsol), nlyysivk

Lisätiedot

Geometrinen algebra: kun vektorien maailma ei riitä

Geometrinen algebra: kun vektorien maailma ei riitä Geometrinen lgebr: kun vektorien milm ei riitä Risto A. Pju 4. huhtikuut 2003 Tiivistelmä Geometrinen lgebr on viime vuosin ksvttnut suosiotn luonnontieteiden mtemttisen menetelmänä. Sen juuret ovt vektori-

Lisätiedot

Viivaintegraali: "Pac- Man" - tulkinta. Viivaintegraali: "Pac- Man" - tulkinta. "Perinteisempi" tulkinta: 1D 3/19/13

Viivaintegraali: Pac- Man - tulkinta. Viivaintegraali: Pac- Man - tulkinta. Perinteisempi tulkinta: 1D 3/19/13 Viivintegrli: "Pc- Mn" - tulkint Otetn funk:o f(,), jok riippuu muudujist j. Jokiselle, tson pisteellä funk:oll on siis joku rvo. Tpillisiä fsiklis- kemillisi esimerkkejä voisivt oll esimerkiksi mss:hes

Lisätiedot

Numeerinen integrointi

Numeerinen integrointi Pitkärnt: Lj mtemtiikk IX9 Numeerinen integrointi IX9 Numeerinen integrointi Numeerisell integroinnill trkoitetn määrätyn integrlin, eli reliluvun I(f,,b) = f(x)dx lskemist numeerisin keinoin (likimäärin)

Lisätiedot

Analyysin perusteet kauppatieteilijöille 800118P

Analyysin perusteet kauppatieteilijöille 800118P Anlyysin perusteet kupptieteilijöille 800118P Luentomoniste Kri Myllylä Niin Korteslhti Topi Törmä Oulun yliopisto Mtemttisten tieteiden litos Kevät 2015 Sisältö 1 Derivtt 3 1.1 Määritelmä..............................

Lisätiedot

5.4 Ellipsi ja hyperbeli (ei kuulu kurssivaatimuksiin, lisätietoa)

5.4 Ellipsi ja hyperbeli (ei kuulu kurssivaatimuksiin, lisätietoa) 5.4 Ellipsi j hypereli (ei kuulu kurssivtimuksiin, lisätieto) Aurinkokuntmme plneett kiertävät Aurinko ellipsin (=litistyneen ympyrän) muotoist rt, jonk toisess polttopisteessä Aurinko on. Smoin Mt kiertävät

Lisätiedot

AUTOMAATTIEN SYNKRONISAATIOSTA

AUTOMAATTIEN SYNKRONISAATIOSTA AUTOMAATTIEN SYNKRONISAATIOSTA John Kopr Pro grdu -tutkielm Huhtikuu 015 MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS TURUN YLIOPISTO TURUN YLIOPISTO Mtemtiikn j tilstotieteen litos KOPRA, JOHAN: Automttien synkronistiost

Lisätiedot

SUORAKULMAINEN KOLMIO

SUORAKULMAINEN KOLMIO Clulus Lukion Täydentävä ineisto 45 0 45 60 ( - ) + SUORKULMINEN KOLMIO Pvo Jäppinen lpo Kupiinen Mtti Räsänen Suorkulminen kolmio Suorkulminen kolmio Käsillä olev Lukion Clulus -srjn täydennysmterili

Lisätiedot

Matemaattiset menetelmät I. Seppo Hassi

Matemaattiset menetelmät I. Seppo Hassi Mtemttiset menetelmät I Seppo Hssi Syksy 2011 iii Esipuhe Tämä on 1. versio Mtemttiset menetelmät I-kurssin opetusmonisteest, jok perustuu Vsn yliopistoss luennoimni vstvn nimiseen kurssiin. Sisältö noudtt

Lisätiedot

9 A I N. Alkuperäinen piiri. Nortonin ekvivalentti R T = R N + - U T = I N R N. Théveninin ekvivalentti DEE-11110 SÄHKÖTEKNIIKAN PERUSTEET

9 A I N. Alkuperäinen piiri. Nortonin ekvivalentti R T = R N + - U T = I N R N. Théveninin ekvivalentti DEE-11110 SÄHKÖTEKNIIKAN PERUSTEET DEE11110 SÄHKÖTEKNIIKAN PERUSTEET http://www.tut.fi/smg/course.php?id=57 Rtkisut Hrjoitukset 3, 2014 Tehtävä 1. Pyydetään muodostmn nnetun piirin Nortonin ekvivlentti. Nortonin, smoin kuin Theveninin,

Lisätiedot

1.1. Laske taskulaskimella seuraavan lausekkeen arvo ja anna tulos kolmen numeron tarkkuudella: tan 60,0 = 2,950... 2,95

1.1. Laske taskulaskimella seuraavan lausekkeen arvo ja anna tulos kolmen numeron tarkkuudella: tan 60,0 = 2,950... 2,95 9..008 (9). Lskime käyttö.. Lske tskulskimell seurv lusekkee rvo j tulos kolme umero trkkuudell: 4 + 7 t 60,0 + Rtkisu: 4 + 7 =,950...,95 t 60,0 + Huom: Lskimiss o yleesä kolme eri kulmyksikköjärjestelmää:

Lisätiedot

8.4 Gaussin lause Edellä laskettiin vektorikentän v = rf(r) vuo R-säteisen pallon pinnan läpi, tuloksella

8.4 Gaussin lause Edellä laskettiin vektorikentän v = rf(r) vuo R-säteisen pallon pinnan läpi, tuloksella H 8.3.2 uontegrlt: vektoreden pntntegrlt Tvllsn tpus pntntegrlest on lske vektorkentän vuo pnnn läp: Trkstelln pnt j sllä psteessä P (x, y, z olev pnt-lkot d. Määrtellään vektorlnen pnt-lko d sten, että

Lisätiedot

AVOIN MATEMATIIKKA 7 lk. Osio 3: Potensseja ja polynomeja

AVOIN MATEMATIIKKA 7 lk. Osio 3: Potensseja ja polynomeja Mrik Toivol j Tiin Härkönen AVOIN MATEMATIIKKA lk. Osio : Potenssej j polynomej Sisältö on lisensoitu voimell CC BY.0 -lisenssillä. Osio : Potenssej j polynomej. Smnkntisten potenssien tulo.... Smnkntisten

Lisätiedot

VEKTORILASKENTA. Timo Mäkelä SISÄLTÖ: 1 VEKTORIN KÄSITE...1

VEKTORILASKENTA. Timo Mäkelä SISÄLTÖ: 1 VEKTORIN KÄSITE...1 VEKTORILASKENTA Timo Mäkelä SISÄLTÖ: VEKTORIN KÄSITE VEKTOREIDEN ERUSLASKUTOIMITUKSET VEKTOREIDEN YHTEENLASKU VEKTOREIDEN VÄHENNYSLASKU 4 VEKTORIN KERTOMINEN LUVULLA6 4 VEKTORILAUSEKKEIDEN KÄSITTELY7 TASON

Lisätiedot

Kertaustehtävien ratkaisut

Kertaustehtävien ratkaisut Rtkisuist Nämä Trigoometriset fuktiot j lukujoot kurssi kertustehtävie j -srjoje rtkisut perustuvt oppikirj tietoihi j meetelmii. Kustki tehtävästä o yleesä vi yksi rtkisu, mikä ei kuitek trkoit sitä,

Lisätiedot

3.7. Rekursiivisista lukujonoista

3.7. Rekursiivisista lukujonoista .7 Rekursiivisist lukujooist.7. Rekursiivisist lukujooist Kerrt vielä, että lukujoo void määritellä khdell eri tvll, joko käyttämällä lyyttistä säätöä ti rekursiivist säätöä. Joo määrittelemie rekursiivisesti

Lisätiedot

Runkovesijohtoputket

Runkovesijohtoputket Runkovesijohtoputket PUTKET JA PUTKEN OSAT SSAB:n vlmistmi pinnoitettuj putki j putken osi käytetään lähinnä runkovesijohtolinjoihin, joiden hlkisij on DN 400-1200. Ost vlmistetn teräksisistä pineputkist

Lisätiedot

Matematiikan peruskurssi. Seppo Hassi

Matematiikan peruskurssi. Seppo Hassi Mtemtiikn peruskurssi Seppo Hssi Syksy 2014 iii Esipuhe Tämä on 1. versio Mtemtiikn peruskurssin opetusmonisteest, jonk sisältö noudttelee pitkälti Vsn yliopistoss iemmin luennoimni Mtemttiset menetelmät

Lisätiedot

Laudatur 10 MAA10 ratkaisut kertausharjoituksiin

Laudatur 10 MAA10 ratkaisut kertausharjoituksiin Ludtur MAA rtkisut kertushrjoituksiin Integrlifunktio. ) Jokin integrli funktio on esimerkiksi F( ) b) Kikki integrlifunktiot F( ) + C, missä C on vkio Vstus: ) F( ) b) F( ) + C, C on vkio. Kikki integrlifunktiot

Lisätiedot

MATRIISILASKENNAN PERUSTEET. Timo Mäkelä

MATRIISILASKENNAN PERUSTEET. Timo Mäkelä MTRIISILSKENNN PERUSTEET Tmo Mäkelä Mtrslske perusteet SISÄLLYS:. PERUSSIOIT.... MÄÄRITELMIÄ.... MTRIISITYYPPEJÄ.... LSKUTOIMITUKSET.... MTRIISIN KERTOMINEN LUVULL.... YHTEEN- J VÄHENNYSLSKU.... KERTOLSKU....

Lisätiedot

Näytä tai jätä tarkistettavaksi tämän jakson tehtävät viimeistään tiistaina 18.6. ylimääräisessä tapaamisessa.

Näytä tai jätä tarkistettavaksi tämän jakson tehtävät viimeistään tiistaina 18.6. ylimääräisessä tapaamisessa. Jkso 12. Sähkömgneettinen induktio Tässä jksoss käsitellään sähkömgneettist induktiot, jok on tärkeimpiä sioit sähkömgnetismiss. Tätä tphtuu koko jn rkisess ympäristössämme, vikk emme sitä välttämättä

Lisätiedot

Matematiikkaolympialaiset 2008 kuusi vaikeaa tehtävää

Matematiikkaolympialaiset 2008 kuusi vaikeaa tehtävää Solmu 3/2008 Mtemtiikkolympiliset 2008 kuusi vike tehtävää Mtti Lehtinen Mnpuolustuskorkekoulu 49. Knsinväliset mtemtiikkolympiliset pidettiin Mdridiss 4. 22. heinäkuut 2008. Kilpilijoit oli 535 j he edustivt

Lisätiedot

Monikulmio on suljettu, yhtenäinen tasokuvio, jonka muodostavat pisteet ja näitä yhdistävät janat

Monikulmio on suljettu, yhtenäinen tasokuvio, jonka muodostavat pisteet ja näitä yhdistävät janat MAB: Monikulmiot Aluksi Tässä luvuss käsitellään pljon monikulmioit sekä muutmi tärkeimpiä esimerkkejä monikulmioiin liittyvistä leist. Näistä leist edottomsti tärkein ti inkin kuskntoisin on Pytgorn luse.

Lisätiedot

Mika Hirvensalo. Insinöörimatematiikka B 2014

Mika Hirvensalo. Insinöörimatematiikka B 2014 Mik Hirvenslo Insinöörimtemtiikk B 4 Sisältö Rj-rvo j jtkuvuus....................................................... 5. Differentili- j integrlilskennn kehityksestä............................. 5. Relilukujen

Lisätiedot

Vastaa tehtäviin 1-4 ja valitse toinen tehtävistä 5 ja 6. Vastaat siis enintään viiteen tehtävään.

Vastaa tehtäviin 1-4 ja valitse toinen tehtävistä 5 ja 6. Vastaat siis enintään viiteen tehtävään. S-8. Sähkönsiirtoärstlmät Tntti 8..7 Vst thtäviin -4 vlits toinn thtävistä 5 6. Vstt siis nintään viitn thtävään.. Tutkitn ll piirrttyä PV-käyrää, ok kuv sllist vrkko, oss on tuotntolu kuormituslu niidn

Lisätiedot

Kirjallinen teoriakoe

Kirjallinen teoriakoe 11 Kirjllinen teorikoe Päivämäärä: Osllistujn nimi: Kirjllinen teorikoe Arviointi koostuu khdest osst: "yleiset kysymykset "j lskutehtävät" Kokeen hyväksytty rj on 51% molemmist osioist erikseen. St 1

Lisätiedot

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 5.2.2013

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 5.2.2013 Preliminäärikoe Pitkä Mtemtiikk 5..0 Kokeess s vstt enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä ( * ) merkittyjen tehtävien mksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien mksimipistemäärä on 6.. ) Rtkise yhtälö b)

Lisätiedot

Laskennan perusmallit (LAP)

Laskennan perusmallit (LAP) Lskennn perusmllit (LAP) Kimmo Fredrikssonin j Mtti Nykäsen mterileist muoknnut Pekk Kilpeläinen Tietojenkäsittelytieteen litos, Itä-Suomen yliopisto sähköposti: pekk.t.kilpelinen@uef.fi Lukuvuoden 2014

Lisätiedot

521. 522. 523. 524. 525. 526. 527. 12. Lisää määrätystä integraalista. 12.1. Integraalin arvioimisesta. Osoita: VASTAUS: Osoita: Osoita:

521. 522. 523. 524. 525. 526. 527. 12. Lisää määrätystä integraalista. 12.1. Integraalin arvioimisesta. Osoita: VASTAUS: Osoita: Osoita: 12. Lisää määrätystä integrlist 12.1. Integrlin rvioimisest 521. Osoit: 1 + x 2 22 1 < < 1 + x21 21. 522. Osoit: x 3 < 5 x 6 + 8x + 9 < 15 1 5. 523. Osoit: 2 2 < e x2 x < 2e 2. e 524. Olkoon k >. Osoit:

Lisätiedot

110. 111. 112. 113. 114. 4. Matriisit ja vektorit. 4.1. Matriisin käsite. 4.2. Matriisialgebra. Olkoon A = , B = Laske A + B, 5 14 9, 1 3 3

110. 111. 112. 113. 114. 4. Matriisit ja vektorit. 4.1. Matriisin käsite. 4.2. Matriisialgebra. Olkoon A = , B = Laske A + B, 5 14 9, 1 3 3 4 Matriisit ja vektorit 4 Matriisin käsite 42 Matriisialgebra 0 2 2 0, B = 2 2 4 6 2 Laske A + B, 2 A + B, AB ja BA A + B = 2 4 6 5, 2 A + B = 5 9 6 5 4 9, 4 7 6 AB = 0 0 0 6 0 0 0, B 22 2 2 0 0 0 6 5

Lisätiedot

Kertausosa. Kertausosa. 3. Merkitään. Vastaus: 2. a) b) 600 g. 4. a)

Kertausosa. Kertausosa. 3. Merkitään. Vastaus: 2. a) b) 600 g. 4. a) Kertusos Kertusos ). ) : j 7 0 7 ) 0 :( ) c) :( ). Merkitää merirosvorht (kg) sukltrffelit (kg) ) 7, 0 hit: /kg hit: 7 /kg ) 00 g 0,kg 7 0,,0,,0, 0, (kg) :. ) Vstus: ) 7, 0 ( ) ) 00 g. ) 0 7 9 7 0 0 Kertusos

Lisätiedot

6 Kertausosa. 6 Kertausosa

6 Kertausosa. 6 Kertausosa Kertusos Kertusos. ) b). ) b). ) ( ( ) : ) ( : ) b) { : [ ( ) ]} { :[ - ]} { : } -{ - } -{} c) ( ) : - ( ) ( ) ( ) ( 9) 9 9 Kertusos. ) ( ) b) ( ). ) ) ) b) / / c) : 7 7. ) ) ) b) Kertusos c) : 7 ( 9)

Lisätiedot

Johdatus fraktaaliderivaattoihin ja niiden sovelluksiin

Johdatus fraktaaliderivaattoihin ja niiden sovelluksiin Jodtus frktliderivttoiin j niiden sovelluksiin Hnn Hlinen Mtemtiikn pro grdu Jyväskylän yliopisto Mtemtiikn j tilstotieteen litos Kesä 4 Tiivistelmä: Hnn Hlinen, Jodtus frktliderivttoiin j niiden sovelluksiin

Lisätiedot

Kuva 1. n i n v. (2 p.) b) Laske avaimiesi etäisyys x altaan seinämästä. (4 p.) c) Kuinka paljon lunta voi sulaa enintään Lassen suksien alla?

Kuva 1. n i n v. (2 p.) b) Laske avaimiesi etäisyys x altaan seinämästä. (4 p.) c) Kuinka paljon lunta voi sulaa enintään Lassen suksien alla? TKK, TTY, LTY, OY, ÅA, TY j VY insinööriosstojen vlintkuulustelujen fysiikn koe 26.5.2004 Merkitse jokiseen koepperiin nimesi, hkijnumerosi j tehtäväsrjn kirjin. Lske jokinen tehtävä siististi omlle sivulleen.

Lisätiedot

Matematiikka B2 - Avoin yliopisto

Matematiikka B2 - Avoin yliopisto 6. elokuuta 2012 Opetusjärjestelyt Luennot 9:15-11:30 Harjoitukset 12:30-15:00 Tentti Kurssin sisältö (1/2) Matriisit Laskutoimitukset Lineaariset yhtälöryhmät Gaussin eliminointi Lineaarinen riippumattomuus

Lisätiedot

Jouni Sampo. 28. marraskuuta 2012

Jouni Sampo. 28. marraskuuta 2012 A2 Jouni Smpo 28. mrrskuut 2012 Sisältö 1 Integrointitekniikoit 2 1.1 Osittisintegrointi (Integrtion by prts)...................... 2 1.2 Sijoitus (Method of Substitution).......................... 2 1.3

Lisätiedot

http://www.math.helsinki.fi/solmu/

http://www.math.helsinki.fi/solmu/ 1/2000 2001 http://www.mth.helsinki.fi/solmu/ Solmu Solmu Solmu 1/2000 2001 Mtemtiikn litos PL 4 (Yliopistonktu 5) 00014 Helsingin yliopisto http://www.mth.helsinki.fi/solmu/ Päätoimittj Pekk Alestlo Toimitussihteerit

Lisätiedot

ja differenssi jokin d. Merkitään tämän jonon n:n ensimmäisen jäsenen summaa kirjaimella S

ja differenssi jokin d. Merkitään tämän jonon n:n ensimmäisen jäsenen summaa kirjaimella S 3.3. Aritmeettie summ 3.3. Aritmeettie summ Mikä olisi helpoi tp lske 0 esimmäistä luoollist luku yhtee? Olisiko r voim käyttö 0 + + + 3 + + 00 hyvä jtus? Tekiik vull se iki toimii. Fiksumpiki tp kuiteki

Lisätiedot

Suorakaidekanavat. lindab suorakaidekanavat

Suorakaidekanavat. lindab suorakaidekanavat Suorkideknvt lind suorkideknvt lind suorkideknvt Sisällysluettelo Suorkideknvt Knv LKR... Liitosost Liitoslist LS... Liitoslist LS-... Kulmyhde LBR... Liitoslist LS... S-mutk LBXR... LBSR... Liitoslist

Lisätiedot

Vuokrahuoneistojen välitystä tukeva tietojärjestelmä.

Vuokrahuoneistojen välitystä tukeva tietojärjestelmä. Kertusesimerkki: Vuokrhuoneistojen välitystä tukev tietojärjestelmä. Esimerkin trkoituksen on on hvinnollist mllinnustekniikoiden käyttöä j suunnitteluprosessin etenemistä tietojärjestelmän kehityksessä.

Lisätiedot

Sähkömagneettinen induktio

Sähkömagneettinen induktio ähkömgneettinen inuktio Kun johinsilmukn läpi menevä mgneettikentän vuo muuttuu, silmukkn inusoituu jännite j silmukss lk kulke sähkövit. Mgneettikentässä liikkuvn johtimeen syntyy myös jännite. Näitä

Lisätiedot

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä 3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä Lineaarinen m:n yhtälön yhtälöryhmä, jossa on n tuntematonta x 1,, x n on joukko yhtälöitä, jotka ovat muotoa a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a 21

Lisätiedot

7303045 Laaja matematiikka 2 Kevät 2005 Risto Silvennoinen

7303045 Laaja matematiikka 2 Kevät 2005 Risto Silvennoinen 7303045 Lj mtemtii 2 Kevät 2005 Risto Silveoie. Luusrjt Kos srjt ovt summie jooj, ertmme esi jooje teori. Joot Joo o mtemtii iei perustvimpi äsitteitä j se vull ohdt äärettömyys esimmäistä ert. Luulueit

Lisätiedot

Säännöt 2 7. Regler 8 13. Regler. Regler. Rules 26 31

Säännöt 2 7. Regler 8 13. Regler. Regler. Rules 26 31 Säännöt 8 9 Rules B tyhjä suositusruutu krtt rhmittri vesiruutu viinitrhruutu utio viinitrhruutu Sisällys C pelilut Viiniyhdistyksen suositus -ltt hintmerkkiä Ltikoit: punviiniltikko vlkoviiniltikko smppnjltikko

Lisätiedot

Yläkoulun geometriaa. Yläkoulun geometriaa

Yläkoulun geometriaa. Yläkoulun geometriaa Yläkoulun geometri Tämä tehtäväkokoelm nt yläkoulun oppillle mhdollisuuden syventää kouluss opittv geometrin oppimäärää. Se on erityisen hyödyllinen niille, jotk ikovt lukioss vlit pitkän mtemtiikn. Kokoelmn

Lisätiedot

Valmennuksen ja arvioinnin tukijärjestemä (VAT)

Valmennuksen ja arvioinnin tukijärjestemä (VAT) Vlmennuksen j rvioinnin tukijärjestemä (VAT) Työhön kuntoutuksen trkoitus on utt sikst kuntoutumn siten, että siirtyminen koulutukseen ti työelämään on mhdollist. VAT -järjestelmä on kehitetty kuntoutumisen

Lisätiedot

Gillespie A.: Foundations of Economics., 2011, luvut 6-8, 17, 21 ja 29. ISBN 978-0-19-958654-7. Oxford University Press.

Gillespie A.: Foundations of Economics., 2011, luvut 6-8, 17, 21 ja 29. ISBN 978-0-19-958654-7. Oxford University Press. Vltiotieteellinen tiedekunt Tloustieteen vlintkoe Arvosteluperusteet Kesä 0 Vlintkoekirjt Gillespie A.: Foundtions of Economics., 0, luvut 6-8, 7, j 9. ISBN 978-0-9-958654-7. Oxford University Press. sekä

Lisätiedot

Kiertomatriisi Erikoistyö. Petri Rönnholm

Kiertomatriisi Erikoistyö. Petri Rönnholm Kietomtiisi Eikoistö Peti önnholm isälls JOHDANO KEOUUNNA 3 OMEGA-, PH- JA KAPPA-KEO 3 ALPHA-, N- JA KAPPA-KEO 5 5 KOLMULOEEN KEOMAN OMNAUUKA 7 6 KEOMAN KOVAAMNEN MLLÄ AHANA OOGONAALELLA MALLA 9 7 KEOMAN

Lisätiedot

Laskennan perusmallit (LAP)

Laskennan perusmallit (LAP) Lskennn perusmllit (LAP) Kimmo Fredrikssonin j Mtti Nykäsen luentomonisteest krsien muoknnut Pekk Kilpeläinen Tietojenkäsittelytieteen litos, Itä-Suomen yliopisto sähköposti: pekk.t.kilpelinen@uef.fi Lukuvuoden

Lisätiedot

6.2 Algoritmin määritelmä

6.2 Algoritmin määritelmä 6.2 Algoritmin määritelmä Mitä lgoritmill yleensä trkoitetn? Peritteess: Yksiselitteisesti kuvttu jono (tietojenkäsittely)opertioit, jotk voidn toteutt meknisesti. Käytännössä: luonnollist kieltä, pseudokoodi

Lisätiedot

Jalkapallokentältä kaupankäynnin kentälle. Newbodyn tarina

Jalkapallokentältä kaupankäynnin kentälle. Newbodyn tarina Jlkpllokentältä kupnkäynnin kentälle Newbodyn trin Autmme kouluj j seuroj vrinkeruuss kisoj, hrjoitusleirejä j luokkretkiä vrten. Seurt sekä koululiset voivt nsit tuntuvsti rh tvoitteidens svuttmiseksi

Lisätiedot

HAVAINNOINTI JA TUTKIMINEN

HAVAINNOINTI JA TUTKIMINEN ilumuoto st ksvtu luun ou perusk Tuntikehyksen os-lue: HAVAINNOINTI JA TUTKIMINEN A2 Aivomyrsky j unelmien leikkipuisto Kesto: 1 kksoistunti, 45 min + 45 min Aihe: Syvennetään jtuksi ympäristöstä liittyvästä

Lisätiedot

Tasogeometriassa käsiteltiin kuvioita vain yhdessä tasossa. Avaruusgeometriassa tasoon tulee kolmas ulottuvuus, jolloin saadaan kappaleen tilavuus.

Tasogeometriassa käsiteltiin kuvioita vain yhdessä tasossa. Avaruusgeometriassa tasoon tulee kolmas ulottuvuus, jolloin saadaan kappaleen tilavuus. KOLMIULOTTEISI KPPLEIT Tsogeometriss käsiteltiin kuvioit vin ydessä tsoss. vruusgeometriss tsoon tulee kolms ulottuvuus, jolloin sdn kppleen tilvuus. SUORKULMINEN SÄRMIÖ Suorkulmisess särmiössä kikki kulmt

Lisätiedot

Euroopan neuvoston puiteyleissopimus kulttuuriperinnön yhteiskunnallisesta merkityksestä

Euroopan neuvoston puiteyleissopimus kulttuuriperinnön yhteiskunnallisesta merkityksestä Sopimustekstin käännös 30.03.2015 (epävirllinen) Counil of Europe Trety Series - No. 199 Euroopn neuvoston puiteyleissopimus kulttuuriperinnön yhteiskunnllisest merkityksestä Fro, 27.10.2005 Johnto Euroopn

Lisätiedot

Asennus- ja käyttöohje ROBA -liukunavoille Koot 0 12 (B.1.0.FIN)

Asennus- ja käyttöohje ROBA -liukunavoille Koot 0 12 (B.1.0.FIN) Pyydämme lukemn käyttöohjeen huolellisesti läpi j noudttmn sitä! Ohjeiden liminlyönti voi joht kytkimen toiminthäiriöihin j siitä johtuviin vurioihin. Nämä käyttöohjeet (B.1.0.FIN) ovt os kytkintoimitust.

Lisätiedot

SALAINEN KIRJASTO. Harjoitusvihkon. Eija Lehtiniemi OPETTAJAN OHJEET. Erityisopetus

SALAINEN KIRJASTO. Harjoitusvihkon. Eija Lehtiniemi OPETTAJAN OHJEET. Erityisopetus E i j L e h t i n i e m i M e r v i Wä r e S L I N E N P I N E N H R J O I T U S V I H K O SLINEN KIRJSTO Hrjoitusvihkon Eij Lehtiniemi OPETTJN OHJEET Erityisopetus HRJOITUSVIHKON SISÄLTÖ Vlmiushrjoitukset

Lisätiedot

SYDÄNKATETRISAATIOLABORATORION RÖNTGENLAITTEISTON JA SYDÄNKATETRISAATION MITTAUSLAITTEISTON HANKINTA MEILAHDEN TORNISAIRAALAN SYDÄNTUTKIMUSOSASTOLLE

SYDÄNKATETRISAATIOLABORATORION RÖNTGENLAITTEISTON JA SYDÄNKATETRISAATION MITTAUSLAITTEISTON HANKINTA MEILAHDEN TORNISAIRAALAN SYDÄNTUTKIMUSOSASTOLLE HYKS-SAIRAANHOITOALUEEN LAUTAKUNTA 33 09.06.2015 SYDÄNKATETRISAATIOLABORATORION RÖNTGENLAITTEISTON JA SYDÄNKATETRISAATION MITTAUSLAITTEISTON HANKINTA MEILAHDEN TORNISAIRAALAN SYDÄNTUTKIMUSOSASTOLLE HYKS

Lisätiedot

ELE-3600 Elektroniikan erikoistyö 24.05.2007 tomi.kettunen@biaspiste.fi. Putkitekniikan perusteet

ELE-3600 Elektroniikan erikoistyö 24.05.2007 tomi.kettunen@biaspiste.fi. Putkitekniikan perusteet Putkitekniikn perusteet 1 Sisällysluettelo 1. Historist nykypäivään...3 2. Putkitekniikn perusteet...4 3. Putken eri ost...8 4. Diodi...12 5. Triodi...18 6. Tetrodi...31 7. Pentodi...33 8. Lähdeluettelo...39

Lisätiedot

Kustaankartanon vanhustenkeskus Vanhainkoti Päivätoiminta Palvelukeskus

Kustaankartanon vanhustenkeskus Vanhainkoti Päivätoiminta Palvelukeskus Kustnkrtnon vnhustenkeskus Vnhinkoti Päivätoimint Plvelukeskus 1 Kustnkrtnoss tärkeinä pidettyjä sioit: sukkn hyvä olo hyvä elämä hyvä yhteistyö omisten knss gerontologisen hoidon osminen työntekijöiden

Lisätiedot

33 VALON LUONNE JA ETENEMINEN (The Nature and Propagation of Light)

33 VALON LUONNE JA ETENEMINEN (The Nature and Propagation of Light) 68 33 VALON LUONNE JA ETENEMINEN (The Nture nd Propgtion of Light) Toinen ihmiselle tärkeä luonnon ltoliike, meknisten ääniltojen lisäksi, liittyy näkemiseen j on tietysti vlo. Vlo on sähkömgneettist ltoliikettä

Lisätiedot

Teknillinen korkeakoulu Mat-5.187 Epälineaarisen elementtimenetelmän perusteet (Mikkola/Ärölä) 4. harjoituksen ratkaisut

Teknillinen korkeakoulu Mat-5.187 Epälineaarisen elementtimenetelmän perusteet (Mikkola/Ärölä) 4. harjoituksen ratkaisut Teknillinen korkeakoulu Mat-5.187 Epälineaarisen elementtimenetelmän perusteet Mikkola/Ärölä 4. harjoituksen ratkaisut Teht. 1 Jacobin determinantin J det F materiaalisen aikaderivaatan laskemiseksi lasketaan

Lisätiedot

4.7.2 Testerit. Test ok. virhe vast.ota. lähetä τ. virhe. virhe. vast.ota. τ τ. vast.ota. lähetä. lähetä. lähetä ok

4.7.2 Testerit. Test ok. virhe vast.ota. lähetä τ. virhe. virhe. vast.ota. τ τ. vast.ota. lähetä. lähetä. lähetä ok OHJ-2600 Tilkoneet 204 6. Tämän tehtävän tvoite on kuvn LTS:ää vstesimerkkinä käyttäen osoitt, että nnetun LTS:n knss minimlinen CFFD-smnlinen LTS ei in ole yksikäsitteinen. P Q AG(P) = AG(Q) f, {{}} f,

Lisätiedot

HAVAINNOINTI JA TUTKIMINEN

HAVAINNOINTI JA TUTKIMINEN ilumuoto st ksvtu luun ou perusk d Tuntikehyksen os-lue: HAVAINNOINTI JA TUTKIMINEN A1 Muotoilun milm j muotoilusuunnistus Kesto: 1 kksoistunti, 45 min + 45 min Aihe: Etsitään j löydetään muotoilu ympäristöstä.

Lisätiedot

Tutkimusasetelmien tilastollisista menetelmistä

Tutkimusasetelmien tilastollisista menetelmistä Tutkimussetelmien tilstollisist menetelmistä Jnne Pitkäniemi VTM, MS (iometry HY, Knsnterveystieteen litos 1 Kohorttitutkimuksen siruen j ltisteen välinen ssositio Tpusverrokki tutkimus Poikkileikkustutkimus

Lisätiedot

Nelikanavainen vahvistin aktiivisella jakosuotimella

Nelikanavainen vahvistin aktiivisella jakosuotimella Mrkku Kuppinen Neliknvinen vhvistin ktiivisell jkosuotimell Vhvistimen yleisselostus Suunnittelun lähtökohtn on ollut toteutt edullinen mutt kuitenkin lduks ktiivisell jkosuotimell vrustettu stereovhvistin

Lisätiedot

Sisältö. Piirikytkentäisen verkon malli (2) Piirikytkentäisen verkon mallinnus estoverkkona Pakettikytkentäisen verkon mallinnus jonoverkkona

Sisältö. Piirikytkentäisen verkon malli (2) Piirikytkentäisen verkon mallinnus estoverkkona Pakettikytkentäisen verkon mallinnus jonoverkkona 0. Verkkotson mllej Sisältö Piirikytkentäisen verkon mllinnus estoverkkon Pkettikytkentäisen verkon mllinnus jonoverkkon 0. Verkkotson mllej luento0.ppt S-8. Liikenneteorin perusteet Kevät 00 0. Verkkotson

Lisätiedot

Maa-57.290, Fotogrammetrian erikoistyö. Monoplotting. Anna Erving 58394J

Maa-57.290, Fotogrammetrian erikoistyö. Monoplotting. Anna Erving 58394J M-57.29, Fotogrmmetrin erikoistyö Monoplotting Ann Erving 58394J Sisällysluettelo Sisällysluettelo... 2 1. Johdnto... 3 2. Perusperite j histori... 3 3. Trvittvt ineistot... 4 3.1 Vlokuv kohteest... 4

Lisätiedot

2. Digitaalisten kuvien peruskäsitteet 2.1. Visuaalinen havaitseminen

2. Digitaalisten kuvien peruskäsitteet 2.1. Visuaalinen havaitseminen 2. Digitlisten kuvien peruskäsitteet 2.1. Visulinen hvitseminen Tässä luvuss käsitellään digitlisten kuvien perussioist, in kuvien näkemisestä pikseleihin j trvittviin lskentmenetelmiin sti. Vikk kuvnprosessointi

Lisätiedot

ystävät LUONNON LAHJA Kaneli & appelsiini Minun valintani 1). Tuemme yhteisöjä, joista eteeriset öljymme ovat per

ystävät LUONNON LAHJA Kaneli & appelsiini Minun valintani 1). Tuemme yhteisöjä, joista eteeriset öljymme ovat per LUONNON Lhj LUONNOSTA ystävät Brighter Home -kokoelmmme on luotu ympäristöystävällisiä j sosilisesti vstuullisi käytäntöjä noudtten. Tästä kokoelmst löydät oiket lhjt kikille, jotk vlivt mpllomme. Kneli

Lisätiedot

kaikille a R. 1 (R, +) on kommutatiivinen ryhmä, 2 a(b + c) = ab + ac ja (b + c)a = ba + ca kaikilla a, b, c R, ja

kaikille a R. 1 (R, +) on kommutatiivinen ryhmä, 2 a(b + c) = ab + ac ja (b + c)a = ba + ca kaikilla a, b, c R, ja Renkaat Tarkastelemme seuraavaksi rakenteita, joissa on määritelty kaksi binääristä assosiatiivista laskutoimitusta, joista toinen on kommutatiivinen. Vaadimme muuten samat ominaisuudet kuin kokonaisluvuilta,

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Harjoitus 4 / Ratkaisut

Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Harjoitus 4 / Ratkaisut MS-C34 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt, IV/26 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Harjoitus 4 / t Alkuviikon tuntitehtävä Hahmottele matriisia A ( 2 6 3 vastaava vektorikenttä Matriisia A

Lisätiedot