Esimerkki 8.1 Määritellään operaattori A = x + d/dx. Laske Af, kun f = asin(bx). Tässä a ja b ovat vakioita.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Esimerkki 8.1 Määritellään operaattori A = x + d/dx. Laske Af, kun f = asin(bx). Tässä a ja b ovat vakioita."

Transkriptio

1 8. Operttorit, mtriisit j ryhmäteori Mtemttinen operttori määrittelee opertion, jonk mukn sille nnettu funktiot muoktn. Operttorit ovt erityisen tärkeitä kvnttimekniikss, kosk siinä jokist suurett vst jokin operttori esim. liikemääräoperttori. Operttorien vull voidn suoritt symbolist lskent, mutt lskentsäännöt poikkevt normlist muuttujill tehtävästä lskennst. Erityisen tärkeää on muist, että operttorit eivät yleensä kommutoi ts. niiden keskinäistä järjestystä ei s viht. Jos A j B ovt operttoreit, ovt AB j BA yleensä eri si sm pätee mtriiseille. Mtriisi on kokoelm lukuj ti muuttuji, jotk on järjestetty tulukkoon rivit j srkkeet. Myös mtriiseille pätee omt lskusääntönsä. Ryhmä on kokoelm elementtejä, joille on määritelty tietyt ominisuudet j opertiot. Ryhmän elementit voivt edust esim. symmetriopertioit, joit käytetään pun mm. spektroskopiss Ryhmä koostuu elementeistä, joille on määritelty kertolsku, joss ryhmän khden lkion kertominen keskenään tuott tulokseksi kolmnnen ryhmään kuuluvn lkion. Kertolsku ei yleensä kommutoi. 9. Symmetrisen olion esim. molekyylit symmetrioperttorit muodostvt ryhmän. 10. Mtriisit, jotk noudttvt jonkin ryhmän kertotulu, ovt ryhmän esitys. 11. Ryhmäteorin vull voidn käsitellä molekyylien symmetriominisuuksi kvnttikemiss. Tvoitteet: 1. Ost suoritt perusopertiot operttorilgebrn mukn. 2. Ost määrittää j käyttää symmetriopertioit molekyyleille. 3. Ost suoritt perusopertiot mtriisilgebrss mm. mtriisien kertolsku j käänteismtriisin lskeminen. 4. Tunnist symmetriopertiot j lti niille kertotulu. 3 Perusidet: 1. Operttori on symboli, jok trkoitt jotin tiettyä mtemttist opertiot. Jos operttori A usein merkitään myös A, johon on kirjoitetty ^ -merkki yläpuolelle operoi funktioon f, tuott se tulokseksi jonkin toisen funktion g: Af = g. 2. Operttorilgebr määrää lskentsäännöt operttoreille. Säännöt poikkevt jossin määrin tvllisen lgebrn säännöistä. 3. Ominisrvoyhtälö on muoto Af = f, missä f on ominisfunktio engl. eigenfunction j on ominisrvo engl. eigenvlue. 4. Symmetrioperttori siirtää pisteen pikst toiseen symmetrielementin engl. symmetry element suhteen. 5. Symmetrioperttorit voivt operoid funktioihin ti yksittäisiin vruuden pisteisiin. Niillä voi oll ominisrvoj +1 ti Mtriisej voidn muokt mtriisilgebrn vull, jok on smntyyppinen kuin tvllinen lgebr. Erityisenä poikkeuksen on se, että mtriisien kertolsku ei välttämättä kommutoi: AB BA. 7. Mtriisin A käänteismtriisille A -1 pätee AA -1 = E, missä E on identiteettimtriisi ykkösmtriisi. Käänteismtriisi voidn lske esim. Gussin-Jordnin eliminointimenetelmällä Operttorit j operttorilgebr Operttorill trkoitetn opertiot ti opertioit, jotk suoritetn nnetulle funktiolle. Esimerkki operttorist on d/dx, jok derivoi sille nnetun funktion riippumttomn muuttujn x suhteen. Opertion tuloksen sdn jokin toinen funktio. Myös vkioll kertominen on esimerkki operttorist ts. operttori voisi oll 2, jok tuott sille nnetust funktiost f, tuloksen 2f. Identiteettioperttori tuott in sille nnetun funktion sellisenn ts. se ei tee sille mitään, ykkösellä kertominen. Operttori voi myös sisältää useit eri opertioit. Esimerkki 8.1 Määritellään operttori A = x + d/dx. Lske Af, kun f = sinbx. Tässä j b ovt vkioit. Rtkisu. Af = A sinbx = xsinbx + bcosbx. 4

2 Jos operoinnin tulos on muoto vkio lkuperäinen funktio, on kyseessä operttorin ominisfunktio j vkiot kutsutn ominisrvoksi Af = f. Tälläistä yhtälöä kutsutn ominisrvoyhtälöksi. Ajst riippumton Schrödingerin yhtälö on esimerkki ominisrvoyhtälöstä kvnttimekniikk. Operttorill voi oll useit ominisrvoj j funktioit. Esimerkki 8.2 Etsi operttorin d 2 /dx 2 ominisfunktiot j -rvot. Rtkisu. Tässä tulee siis löytää funktio f, jok toteutt seurvn ominisrvoyhtälön: d 2 f dx = f 2 Kyseessä on differentiliyhtälö ts. yhtälö, joss funktio f on tuntemton; kts. kpple 7. Tälle differentiliyhtälölle on olemss yleinen rtkisu, jok on muoto: f x = Ae x + Be x A j B ovt vkioit Kosk nämä kikki ovt rtkisuj, voi siten sd minkä rvon thns. Tehtävä 8.1 Etsi operttorin i d/dx ominisfunktiot. 5 Khden operttorin erotus on määritelty: A B = A + EB. Lskusääntöjä: ABC = ABC AB + C = AB + AC AB BA Khden operttorin kommutttorill trkoitetn: [A, B] = AB BA kertolskun ssositiivisuus distributiivisuus ei välttämättä kommutoi Kksi operttori kommutoi, jos niiden välinen kommutttori on nolloperttori. Jos kommutttori on noll, operttorien järjestystä s viht. 7 Mtemttiset opertiot operttoreill: Khden operttorin summ määritellään seurvsti: A + Bf = Af + Bf f on jokin funktio Khden operttorin tulo määritellään: ABf = ABf. Operttoriyhtälöllä trkoitn tpust, missä yhtäläisyysmerkin molemmill puolill on operttoreit esim. AB = CD. Esim. 8.3 Etsi tulomuotoiselle operttorille d/dxx toinen muoto. Rtk. Vlitn mielivltinen derivoituv funktio f j operoidn. d # dx x f = d df xf = x dx dx + f dx dx = x d # dx + 1 f Siten hettu toinen identtinen muoto on xd/dx + 1. Usein 1:tä merkitään E:llä identiteettioperttori. 6 Esimerkki 8.4 Lske seurv kommutttori: [d/dx, x]. Rtkisu. Operoidn johonkin derivoituvn funktioon f j lsketn kommutttori: d # dx,x f = d dx xf x df dx = x df dx + f x df dx = f Siten hluttu kommutttori on 1, eli identiteettioperttori E. Tehtävä 8.3 Lske kommutttori [x 2, d 2 /dx 2 ]. 8

3 Tässä muutmi sääntöjä, joiden vull voidn päätellä, kommutoivtko kksi nnettu operttori keskenään: 1. Jos toinen operttori sisältää kertomisen jollin x:stä riippuvll funktioll j toinen on d/dx, eivät ne yleensä kommutoi. 2. Jos operttorit A j B molemmt sisältävät vin kertomisen jollin funktioll, ne kommutoivt. 3. Operttorit, jotk sisältävät eri riippumttomi muuttuji, kommutoivt. Esim. [x d/dx, d/dy] = Jos toinen operttoreist sisältää inostn kertomisen jollin vkioll, kommutoi se minkä thns toisen operttorin knss. Tehtävä 8.5. Lske A 3 f käyttäen yllä olev operttori A, kun f = sinx. b. Lske B 2 kun B = x d 2 /dx 2 j määritä se kun f = bx 4. Emme vrsinisesti määrittele operttoreiden jkolsku. Sen sijn operttorin käänteisoperttori määritellään: A 1 A = E. Käänteisoperttori siis poist operttorin A tekemän muutoksen. Siis: A 1 Af = f. Kikilll operttoreill ei ole käänteisoperttori esim. nollll kertomisell. Operttorill, jok on vkioll kertominen, on käänteisoperttori, jok on 1 jettun tällä vkioll. Tehtävä 8.4 Osoit kohdt 3 j koht 4 pikknspitäviksi Operttorin potenssiin korotus määritellään: A n = AAA... A n kert. Esimerkki 8.5 Määritellään operttori A = x + d/dx. Lske A 3. Rtkisu. A 3 = x + d # dx x + d # dx x + d # dx = x + d x 2 + d # dx dx x + x d dx + d 2 # dx 2 = x 3 + x d dx x + x 2 d dx + x d 2 dx 2 + d dx x 2 + d 2 dx 2 x + d dx x d dx + d 3 dx 3 Tässä on huomttv, että 1 opertioiden järjestys on säilytettävä, jott sdn oike tulos; 2 derivointej ei voi suoritt, kosk operoitv funktio ei ole mukn esim. xd/dxx yllä EI ole x vn siitä tulee operoitess f:ään: xd/dx x f = x f + x df/dx. 10 Operttorilgebrn vull voidn esimerkiksi rtkist differentiliyhtälöitä. Trkstelln seurv differentiliyhtälöä: Tässä tehtävänä on siis löytää funktiot yx, jotk toteuttvt tämän yhtälön. Yhtälö voidn rtkist operttorilgebrn vull settmll D x = d/dx j kirjoittmll yhtälö uuteen muotoon: [D x 2 3D x + 2]y = 0 Operttoriyhtälönä se voidn kirjoitt muotoon: [D x 2 3D x + 2] = 0 Operttorilgebrn vull tätä voidn muokt seurvsti: d 2 yx dx 2 3 dyx dx D x 2D x 1 = 0 + 2yx = 0 12

4 Yhtälön juuret ovt D x 2 = 0 j D x 1 = 0. Siten olemme sneet lkuperäisen tehtävän jettu khteen osn: # dy dx 2y = 0 dy dx y = 0 Nämä yksittäiset yhtälöt on helpompi rtkist kuin lkuperäinen yhtälö. Ensimmäisen yhtälön rtkisu on y = e 2x j toisen y = e x. Kosk molemmt ovt lkuperäisen tehtävän rtkisuj, on rtkisun kokonisuudessn oltv summ näistä khdest: y = c 1 e 2x + c 2 e x, missä c 1 j c 2 ovt joitin mv. vkioit. Tehtävä 8.6 Osoit, että edellinen rtkisu todell toteutt nnetun differentiliyhtälön ts. sijoit edellinen rtkisu yhtälöön j tote, että yhtälö on voimss Mtriisilskent sivuutetn 8.2 Symmetriop. Mtriisi on tulukko lukuj, jotk on järjestetty riveihin j srkkeisiin. Jos mtriisill A on m riviä j n srkett, se kirjoitetn: n A = n # m1 m2... mn Tätä kutsutn m n mtriisiksi. Yksittäisiä tekijöitä ij kutsutn mtriisin elementeiksi. Indeksit kirjoitetn siten, että ensimmäinen indeksi ilmoitt rivin j toinen indeksi srkkeen. Jos m = n, on kyseessä neliömtriisi. Kksi mtriisi ovt yhtäsuuret, jos niiden jokinen elementti on yhtäsuuri. Mtriisien on oltv smn kokoisi, jott vertilu voidn suoritt. Khden mtriisin A j B summ C = A + B sdn, kun setetn c ij = ij + b ij. 15 Operttorit kvnttimekniikss: Kvnttimekniikss jokiselle suurelle määritellään om operttorins esim. liikemäärä, energi, jne.. Näiden operttoreiden ominisfunktiot j ominisrvot kertovt kvnttimeknisen systeemin käytöksestä kyseisen suureen suhteen. Ajst riippumton Schrödingerin yhtälö on esimerkki ominisrvoyhtälöstä. x ˆ = x pikkoperttori p ˆ = ih # #x liikemääräoperttori [ p ˆ, x ˆ ] = ih näiden kommutttori H ˆ = p ˆ 2 2m + V x ˆ energioperttori Hmilton ih #x,t = H ˆ x,t epäreltivistisen kvnttimekniikn perusyhtälö #t H ˆ x = Ex jst riippumton muoto. 14 Mtriisin A kertominen jollin vkioll sdn B = ca, kun setetn b ij = c ij. Edelleen khden mtriisin kertominen, C = AB, sdn kun setetn: c ij = n k=1 ik b kj Tässä n on srkkeiden lukumäärä mtriisiss A, jonk täytyy oll yhtäsuuri kuin rivien lukumäärä mtriisiss B. Mtriisill C tulee olemn sm määrä rivejä kuin A:ll j srkkeit sm määrä kuin B:ll. Trkstelln esimerkkitpust, missä A on 2 3 mtriisi j B on 3 3 mtriisi. Tällöin kertolsku nt: b b 12 b 13 b # 21 b 22 b = b + b + b b + b + b b + b + b # b 11 + b 21 + b 31 b 12 + b 22 + b 32 b 13 + b 23 + b 33 # b 31 b 32 b 33 Huom siis, että tulo EI SAADA KERTOMALLA VASTAAVIA ALKIOITA KESKENÄÄN 16

5 Esimerkki 8.9 Mtriisien kertolsku: # # # = Tehtävä 8.14 Lske seurvt mtriisien tulot: # # # # j Tässä siis mtriisien kertomisjärjestys on vihdettu. Tuottvtko kertolskut smn vi eri tuloksen? 17 Yleisesti mtriisit noudttvt hyvin smn tyyppisiä lskusääntöjä kuin operttorit operttorit voidn mieltää ääretönulotteisiksi mtriiseiksi. Yksikkömtriisi määritellään siten, että sillä kerrottess sdn lkuperäinen mtriisi tulokseksi: EA = AE = A. Yksikkömtriisi määritellään siten, että siinä on digonlill ykköstä: ts. lkiot, joill i = j E = # Tehtävä 8.16 Osoit mtriisien kertolskun määritelmää käyttäen, että kertominen yksikkömtriisill tuott lkuperäisen mtriisin. Toisin snoen on osoitettv, että: = # # # Neliömtriisit voidn siis kerto keskenään khdess eri järjestyksessä, mutt lopputulos on yleensä eri. Toisin snoen yleensä ABBA. Tässä yhteydessä vrt. operttorit puhutn myös kommutoinnist. Mtriisien kertolsku on ssositiivinen, eli ABC=ABC. Lisäksi kertolskun j yhteenlskun suhteen pätee distributiivisuus: AB + C = AB + AC. Tehtävä 8.15 Osoit, että ll oleville mtriiseille pätee ssositiivisuus j distributiivisuus: A = B = C = # # # Mtriiseille ei määritellä vrsinisesti jkolsku vn käänteismtriisi vrt. operttorit. Mtriisin A käänteismtriisi merkitään A -1 :ll j se määritellään: A -1 A = AA -1 = E. Mtriisin A käänteismtriisi voidn määrittää ns. Gussin-Jordnin eliminoinnill. Siinä pyritään muokkmn mtriisiyhtälö AA -1 = E muotoon, jok on EA -1 = A -1. Tämä voidn tehdä suorittmll lkuperäiselle mtriisiyhtälölle opertioit, jotk eivät riko yhtäläisyyttä. Käytännössä nämä opertiot ovt rivien vähentäminen toisistn sekä rivien kertominen vkioll. Prhiten menettely selviää ll olevn esimerkin vull. Esimerkki 8.10 Etsi seurvn mtriisin käänteismtriisi: A = #

6 Gussin-Jordnin eliminoinnill pyritään muokkmn mtriisiyhtälö AA -1 = E muotoon EA -1 = A -1 suorittmll mtriisiyhtälölle opertioit, jotk eivät riko yhtäläisyyttä. Käytännössä opertiot ovt rivien vähentäminen toisistn sekä rivien kertominen vkioll E 8.10 Etsi seurvn mtriisin käänteismtriisi: A = # A 1 11 A 1 12 A A 1 21 A 1 22 A 1 23 = # #A 1 31 A 1 32 A 1 33 # Yksinkertistetn merkintöjä j kirjoitetn yllä olev muotoon: Pyritään ensin smn noll 21 :n piklle. Tämä voidn tehdä siten, että # ensimmäinen rivi kerrotn 1/2:ll j vähennetään ensimmäinen rivi toisest: 1 1/2 01/ # # 1 1/2 0 1/ /2 1 1/ Vin neliömtriiseill voi oll käänteismtriisi, joskn ei kikill, esim. jos mtriisin determinntti on noll. Tällöin mtriisi on singulrinen. A -1 on prs lske mtemttisell ohjelmistoll. Pienille n voi käyttää kv A -1 = à T /deta, joss à T on trnspoosist määritetty ns. cofctor-mtriisi. Trkstelln seurvksi tyypillisiä opertioit, joit käytetään n neliömtriiseille. Mtriisin jälki määritellään: TrA = Yläkolmiomtriisiss digonlin ll olevt lkiot ovt nolli, lkolmiomtriisiss digonlin yläpuolell olevt lkiot ovt nolli. Digonlimtriisiss kikki nollst poikkevt lkiot ovt digonlill. Mtriisi, joss kikki lkiot ovt nolli, kutsutn nollmtriisiksi. Symmetriselle mtriisille A = A T. Mtriisin Hermiten konjugtti määritellään: A * ij = ji Reliselle mtriisille Hermiten konjugointi on yhtä kuin trnspoosi. Hermiittiselle mtriisille pätee A = A. Ortogonlinen mtriisi määritellään A -1 = A T. Jos mtriisi on unitrinen, pätee sille: A -1 = A = A T *. i=1 ii 23 Edellä lkiot 11 käytettiin pivot -elementtinä, kosk sen vull nollttiin. Vsen srke on nyt hlutuss muodoss, joten siirrytään seurvn srkkeeseen oikelle. Nyt on pivot -lkion, joten kerrotn ko. rivi 1/3:ll j vähennetään toinen rivi ensimmäisestä, jolloin sdn nollttu: # 1 0 1/3 2/3 1/ /2 1/3 1/6 1/ # 1 0 1/ 3 2/3 1/ /3 1/3 2 / /3 1/3 2/3 1 # 1 0 1/ 3 2 /3 1/ /2 1 1/ /3 1/6 1/ 3 1/2 # /4 1/2 1/ /2 1 1/ /3 1/12 1/6 1/4 3 Kerrotn seurvksi toinen rivi 2:ll j vähennetään toinen rivi kolmnnest: Kerrotn seurvksi kolms rivi 1/2:ll, jott voidn käyttää pivot -lkion. Vähennetään sitten kolms rivi toisest: Kerrotn sitten kolms rivi 1/2:ll j lisätään se ensimmäiseen: # /4 1/2 1/ /2 1 1/ /4 1/2 3/ DETERMINANTIT Jokiselle neliömtriisille voidn lske determinntti, jok nt tulokseksi yhden symbolin. Jos mtriisin kikki elementit ovt lukuj, nt determinntti yksittäisen luvun. Determinntti on siis opertio, jok tuott tietyllä tvll mtriisin lkioist yksittäisen luvun ti muuttujn. Isojen determinnttien rvon lskeminen voi oll työlästä. Seurvss on kuvttu peruside miten lsku suoritetn: 1. Vlitse ylimmän rivin ensimmäinen lkio Lske tätä vstvn lideterminntin rvo, jok sijitsee oikell lviistoon tämän elementin ll. Merkitään tätä b 11 :llä. 3. Determinntin kokonisrvoon tämä nt osuuden: 11 b Suorit vstv lsku seurvlle 1. rivin lkiolle. 5. Determinntin kokonisrvoon tämä nt osuuden: - b 12. Jok toinen kert sdn siis + j jok toinen Jtketn proseduuri kikille rivin lkioille, jolloin tulokseksi sdn determinntin rvo. E = = 11 + =

7 Ominisuuksi: 1. Jos khden rivin ti srkkeen pikk vihdetn, muuttuu determinntin rvo tekijällä Jos determinntin kksi riviä ti srkett ovt yhtäsuuri, on determinntin rvo noll. 3. Jos jokin determinntin rivi ti srke kerrotn jollin vkioll, tulee determinntin rvokin kerrotuksi tällä kyseisellä vkioll. 4. Jos determinntin jokin rivi ti srke on puhtsti noll, on determinntin rvo noll. 5. Jos johonkin riviin ti srkkeeseen lisätään jokin toinen rivi/srke kerrottun jollin vkioll, ei determinntin rvo muutu. Esim c 11 + c = + c 6. Kolmiodeterminntin rvo lsketn kertomll digonlielementit keskenään. Esim = Mtriisin A j sen trnspoosin A T determinnttien rvot ovt smt. Ts. DetA = deta T MATRIISIT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT Lineriset yhtälöryhmät Ax=c voidn rtkist sijoitus- ti eliminointimenettelyillä, jotk systemtisoituvt Crmerin säännöksi ti Guss-Jordn elimintioksi. Ongelmn voi rtkist myös mtriisin kääntämisellä: x = A -1 c. Kuten operttorilgebrll edellä 8.1, voidn mtriisien vull yksinkertist n:nnen kertluvun differentiliyhtälö n kpl:ksi 1. kertluvun yhtälöitä: y n = Ft, y, y,k, y n1 voidn redusoid kirjoittmll y 1 = y, y 2 = y, y 3 = y,k, y n = y n1 # y 1 = y 2, y 2 = y 3,K, y n1 = y n # y n = Ft, y 1,y 2,K, y n y 1 = f 1 t, y 1,L,y n y 2 = f 2 t, y 1,L,y n M y n = f n t, y 1,L,y n Käsiteltävänä on siis vektoriyhtälö y = Ay + g. Homogeenisen yhtälön g = 0 rtkisu sdn yritteen y = xe #t vull ominisrvo-ongelmst Ax = #x deta-#1=0, mistä tuloksen on digonlinen ominisrvomtriisi D = X -1 AX, missä mtriisi X sisältää ominisvektorit x 1,..., x n srkkein. 27 Sovellus löytyy kvnttikemist. Monen elektronin ltofunktion, joss elektronit merkitään pikkkoordinteill r 1, r 2,..., r n, tulee oll ntisymmetrinen elektroni-indeksin vihdon suhteen. Esim. vihdolle elektronien 1 j 2 suhteen tulee oll: r 1,r 2,...,r n = #r 2,r 1,...,r n Monet likimääräiset menetelmät muodostvt em. ltofunktion yksihiukksltofunktioist orbitlit tulomuodoss: r 1,r 2,...r n = # 1 r 1 # 2 r 2...# n r n Ongelmn on kuitenkin ettei tämä muoto toteut symmetrisyysvtimust. Eräs rtkisu tähän ongelmn on kirjoitt tulomuotoinen ltofunktio käyttäen ns. Slterin determinntti: # 1 r 1 # 1 r 2... # 1 r n r 1,r 2,...,r n = 1 # 2 r 1 # 2 r 2... # 2 r n n # n r 1 # n r 2... # n r n Vkiotekijä determinntin edessä on normitustekijä. Slterin determinntist seur mm. Pulin kieltosääntö, jonk mukn khdell elektronill ei voi oll täsmälleen smoj kvnttilukuj. 26 Nyt kirjoitetn y = Xz eli määritellään tuntemton funktio z = X -1 y j sijoitetn: Xz = AXz + g, kerrotn vsemmlt X -1 :llä: z = X -1 AX z + X -1 g = Dz + h, missä h = X -1 g. Tällöin komponentit ovt z j = j z j + h j, jotk ostn rtkist: z j t = e j t e # j [ t h j tdt + c j ]. Nämä ovt vektorin zt komponentit, joist sdn lskettu rtkisu y = Xz. Esim. Etsitään yleinen rtkisu o. yhtälölle mtriisin digonlisointimenetelmällä. # y= Ay + g = 3 1 # y + 6 e 2t

Neliömatriisin A determinantti on luku, jota merkitään det(a) tai A. Se lasketaan seuraavasti: determinantti on

Neliömatriisin A determinantti on luku, jota merkitään det(a) tai A. Se lasketaan seuraavasti: determinantti on 4. DETERINANTTI JA KÄÄNTEISATRIISI 6 4. Neliömtriisi determitti Neliömtriisi A determitti o luku, jot merkitää det(a) ti A. Se lsket seurvsti: -mtriisi A determitti o det(a) () -mtriisi A determitti void

Lisätiedot

4 DETERMINANTTI JA KÄÄNTEISMATRIISI

4 DETERMINANTTI JA KÄÄNTEISMATRIISI 4 DETERMINANTTI JA KÄÄNTEISMATRIISI Neliömtriisin determinntti Neliömtriisin A determinntti on luku, jot merkitään det(a) ti A. Lskeminen: -mtriisin A determinntti: det(a) -mtriisin A determinntti esim.

Lisätiedot

OSA 1: POLYNOMILASKENNAN KERTAUSTA, BINOMIN LASKUSÄÄNTÖJÄ JA YHTÄLÖNRATKAISUA

OSA 1: POLYNOMILASKENNAN KERTAUSTA, BINOMIN LASKUSÄÄNTÖJÄ JA YHTÄLÖNRATKAISUA OSA 1: POLYNOMILASKENNAN KERTAUSTA, BINOMIN LASKUSÄÄNTÖJÄ JA YHTÄLÖNRATKAISUA Tekijät: Ari Heimonen, Hellevi Kupil, Ktj Leinonen, Tuomo Tll, Hnn Tuhknen, Pekk Vrniemi Alkupl Tiedekeskus Tietomn torninvrtij

Lisätiedot

Riemannin integraalista

Riemannin integraalista Lebesguen integrliin sl. 2007 Ari Lehtonen Riemnnin integrlist Johdnto Tämän luentomonisteen trkoituksen on tutustutt lukij Lebesgue n integrliin j sen perusominisuuksiin mhdollisimmn yksinkertisess tpuksess:

Lisätiedot

2.4 Pienimmän neliösumman menetelmä

2.4 Pienimmän neliösumman menetelmä 2.4 Pienimmän neliösummn menetelmä Optimointimenetelmiä trvitn usein kokeellisen dtn nlysoinniss. Mittuksiin liittyy virhettä, joten mittus on toistettv useit kertoj. Oletetn, että mittn suurett c j toistetn

Lisätiedot

Painopiste. josta edelleen. x i m i. (1) m L A TEX 1 ( ) x 1... x k µ x k+1... x n. m 1 g... m n g. Kuva 1. i=1. i=k+1. i=1

Painopiste. josta edelleen. x i m i. (1) m L A TEX 1 ( ) x 1... x k µ x k+1... x n. m 1 g... m n g. Kuva 1. i=1. i=k+1. i=1 Pinopiste Snomme ts-ineiseksi kpplett, jonk mteriliss ei ole sisäisiä tiheyden vihteluj. Tällisen kppleen pinopisteen sijinti voidn joskus päätellä kppleen muodon perusteell. Esimerkiksi ts-ineisen pllon

Lisätiedot

Syksyn 2015 Pitkän matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut

Syksyn 2015 Pitkän matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut Sksn 0 Pitkän mtemtiikn YO-kokeen TI-Nspire CAS -rtkisut Tekijät: Olli Krkkulinen Rtkisut on ldittu TI-Nspire CAS -tietokoneohjelmll kättäen Muistiinpnot -sovellust. Kvt j lskut on kirjoitettu Mth -ruutuihin.

Lisätiedot

Tampereen teknillinen yliopisto hum Konstruktiotekniikan laitos. MEC-2430 Elementtimenetelmän perusteet. Luento vk 1 Syksy 2012.

Tampereen teknillinen yliopisto hum Konstruktiotekniikan laitos. MEC-2430 Elementtimenetelmän perusteet. Luento vk 1 Syksy 2012. mpereen teknillinen yliopisto hum 3.8. Konstruktiotekniikn litos MEC-430 Elementtimenetelmän perusteet. Luento vk Syksy 0. Mtemtiikn j mtriisilskennn kertust Yleistä Kirjoittelen tänne joitin kurssin keskeisiä

Lisätiedot

Matematiikan perusteet taloustieteilijöille 2 800118P

Matematiikan perusteet taloustieteilijöille 2 800118P Mtemtiikn perusteet tloustieteilijöille 2 800118P Luentomoniste Kri Myllylä Niin Korteslhti Oulun yliopisto Mtemttisten tieteiden litos Kevät 2014 Sisältö 1 Mtriisilgebr j optimointi 4 11 Määritelmä 4

Lisätiedot

3.3 KIELIOPPIEN JÄSENNYSONGELMA Ratkaistava tehtävä: Annettu yhteydetön kielioppi G ja merkkijono x. Onko

3.3 KIELIOPPIEN JÄSENNYSONGELMA Ratkaistava tehtävä: Annettu yhteydetön kielioppi G ja merkkijono x. Onko 3.3 KILIOPPIN JÄSNNYSONGLMA Rtkistv tehtävä: Annettu yhteydetön kielioppi G j merkkijono x. Onko x L(G)? Rtkisumenetelmä = jäsennyslgoritmi. Useit vihtoehtoisi menetelmiä, erityisesti kun G on jotin rjoitettu

Lisätiedot

Reaalinen lukualue. Millainen on luku, jossa on päättymätön ja jaksoton desimaalikehitelmä?

Reaalinen lukualue. Millainen on luku, jossa on päättymätön ja jaksoton desimaalikehitelmä? Relinen lukulue POLYNOMIFUNKTIOT JA -YHTÄLÖT, MAA Millinen on luku, joss on päättymätön j jksoton desimlikehitelmä? Onko sellisi? Trkstelln Pythgorn luseest stv yksikköneliön lävistäjää, luku + = x x =.

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Mtemtiikn tukikurssi Kurssikert 5 1 Jtkuvuus Trkstelln funktiot fx) josskin tietyssä pisteessä x 0. Tämä funktio on tässä pisteessä joko jtkuv ti epäjtkuv. Jtkuvuuden ymmärtää prhiten trkstelemll epäjtkuv

Lisätiedot

Ristitulo ja skalaarikolmitulo

Ristitulo ja skalaarikolmitulo Ristitulo j sklrikolmitulo Opetussuunnitelmn 00 mukinen kurssi Vektorit (MAA) sisältää vektoreiden lskutoimituksist keskeisenä ineksen yhteenlskun, vähennyslskun, vektorin kertomisen luvull j vektoreiden

Lisätiedot

Sarjaratkaisun etsiminen Maplella

Sarjaratkaisun etsiminen Maplella Srjrtkisun etsiminen Mplell Olkoon trksteltvn ensimmäisen kertluvun differentiliyhtälö: > diffyht:= diff(y(x, x=1y(x^; d diffyht := = dx y( x 1 y( x Tälle pyritään etsimään srjrtkisu origokeskisenä potenssisrjn.

Lisätiedot

Tehtävä 1. Jatka loogisesti oheisia jonoja kahdella seuraavaksi tulevalla termillä. Perustele vastauksesi

Tehtävä 1. Jatka loogisesti oheisia jonoja kahdella seuraavaksi tulevalla termillä. Perustele vastauksesi Tehtävä. Jtk loogisesti oheisi jonoj khdell seurvksi tulevll termillä. Perustele vstuksesi lyhyesti. ), c, e, g, b),,, 7,, Rtkisut: ) i j k - oike perustelu j oiket kirjimet, nnetn p - oike perustelu,

Lisätiedot

LINSSI- JA PEILITYÖ TEORIAA. I Geometrisen optiikan perusaksioomat

LINSSI- JA PEILITYÖ TEORIAA. I Geometrisen optiikan perusaksioomat (0) LINSSI- JA PEILITYÖ MOTIVOINTI Tutustutn linsseihin j peileihin geometrisen optiikn mittuksiss Tutkitn vlon käyttäytymistä linsseissä j peileissä Määritetään linssien j peilien polttopisteet Optiset

Lisätiedot

1. Derivaatan Testi. Jos funktio f on jatkuva avoimella välillä ]a, b[ ja x 0 ]a, b[ on kriit. tai singul. piste niin. { f (x) > 0, x ]a, x 0 [

1. Derivaatan Testi. Jos funktio f on jatkuva avoimella välillä ]a, b[ ja x 0 ]a, b[ on kriit. tai singul. piste niin. { f (x) > 0, x ]a, x 0 [ 1. Derivtn Testi Jos funktio f on jtkuv voimell välillä ], b[ j x 0 ], b[ on kriit. ti singul. piste niin { f (x) < 0, x ], x 0 [ f x (x) > 0, x ]x 0, b[ 0 on lokli minimipiste (1) { f (x) > 0, x ], x

Lisätiedot

II.1. Suppeneminen., kun x > 0. Tavallinen lasku

II.1. Suppeneminen., kun x > 0. Tavallinen lasku II. EPÄOLEELLISET INTEGRAALIT nt II.. Suppeneminen Esim. Olkoon f() =, kun >. Tvllinen lsku = / =. Kuitenkn tätä integrli ei ole ikisemmss mielessä määritelty, kosk f ei ole rjoitettu välillä [, ] (eikä

Lisätiedot

θ 1 θ 2 γ γ = β ( n 2 α + n 2 β = l R α l s γ l s 22 LINSSIT JA LINSSIJÄRJESTELMÄT 22.1 Linssien kuvausyhtälö

θ 1 θ 2 γ γ = β ( n 2 α + n 2 β = l R α l s γ l s 22 LINSSIT JA LINSSIJÄRJESTELMÄT 22.1 Linssien kuvausyhtälö 22 LINSSIT JA LINSSIJÄRJSTLMÄT 22. Linssien kuvusyhtälö Trkstelln luksi vlon tittumist pllopinnll (krevuussäde R j krevuuskeskipiste C) kuvn mukisess geometriss. Tässä vlo siis tulee ineest ineeseen 2

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali MS-A1{3,4} (ELEC*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 8: Integrlifunktio j epäoleellinen integrli Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos 5.1.216 Pekk Alestlo,

Lisätiedot

6 Integraalilaskentaa

6 Integraalilaskentaa 6 Integrlilskent 6. Integrlifunktio Funktion f integrlifunktioksi snotn funktiot F, jonk derivtt on f. Siis F (x) = f (x) määrittelyjoukon jokisell muuttujn rvoll x. Merkitään F(x) = f (x) dx. Integrlifunktion

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Mtemtiikn tukikurssi Kurssikert 4 Tilvuuden j vipn ln lskeminen Kuten iemmin käsittelimme, määrätyn integrlin vull voi lske pintloj j tilvuuksi. Tyypillisenä sovelluksen tilvuuden lskemisest on tpus, joss

Lisätiedot

MS-A010{2,3,4,5} (SCI, ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali

MS-A010{2,3,4,5} (SCI, ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali MS-A1{2,3,4,5} (SC, ELEC*, ENG*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 8: ntegrlifunktio j epäoleellinen integrli Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos November

Lisätiedot

10. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA

10. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA MAA0 0. Määrätyn integrlin käyttö eräiden pint-lojen lskemisess 0. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA Edellä on todettu, että f (x)dx nt x-kselin j suorien x =, x = sekä funktion

Lisätiedot

VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 3.6.2014 Ratkaisut ja arvostelu

VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 3.6.2014 Ratkaisut ja arvostelu VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 3.6.4 Rtkisut j rvostelu. Koululisen todistuksen keskirvo x on lskettu ) b) c) d) kymmenen ineen perusteell. Jos koululinen nostisi neljän ineen

Lisätiedot

Kuvausta f sanotaan tällöin isomorfismiksi.

Kuvausta f sanotaan tällöin isomorfismiksi. Määritelmä..12. Oletetn, että 1 =(V 1,E 1 ) j 2 =(V 2,E 2 ) ovt yksinkertisi verkkoj. Verkot 1 j 2 ovt isomorfiset, jos seurvt ehdot toteutuvt: (1) on olemss bijektio f : V 1 V 2 (2) kikill, b V 1 pätee,

Lisätiedot

x k 1 Riemannin summien käyttö integraalin approksimointiin ei ole erityisen tehokasta; jatkuvasti derivoituvalle funktiolle f virhe b

x k 1 Riemannin summien käyttö integraalin approksimointiin ei ole erityisen tehokasta; jatkuvasti derivoituvalle funktiolle f virhe b 5 Integrlien lskemisest 51 Riemnnin summt [A2], [4, 61] Rjoitetun funktion f : [, b] R Riemnn-integroituvuudelle ytäpitäväksi on kurssill Anlyysi 2 osoitettu, että Riemnnin summill S P := f(ξ k ) ( ),

Lisätiedot

11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS

11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS 11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS Tilvuus on sen verrn rkielämässä viljelty käsite, että useimmiten sen syvemmin edes miettimättä ymmärretään, mitä juomlsin ti pikkuvuvn kylpymmeen tilvuudell trkoitetn.

Lisätiedot

Integraalilaskentaa. 1. Mihin integraalilaskentaa tarvitaan? MÄNTÄN LUKIO

Integraalilaskentaa. 1. Mihin integraalilaskentaa tarvitaan? MÄNTÄN LUKIO Integrlilskent Tämä on lukion oppimterileist hiemn poikkev yksinkertistettu selvitys määrätyn integrlin lskemisest. Kerromme miksi integroidn, mitä integroiminen trkoitt, miten integrli lsketn j miten

Lisätiedot

Kertymäfunktio. Kertymäfunktio. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 2/2. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 1/2. Kertymäfunktio: Esitiedot

Kertymäfunktio. Kertymäfunktio. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 2/2. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 1/2. Kertymäfunktio: Esitiedot TKK (c) Ilkk Mellin (24) 1 Johdtus todennäköisyyslskentn TKK (c) Ilkk Mellin (24) 2 : Mitä opimme? 1/2 Jos stunnisilmiötä hlutn mllint mtemttisesti, on ilmiön tulosvihtoehdot kuvttv numeerisess muodoss.

Lisätiedot

Sinilause ja kosinilause

Sinilause ja kosinilause Siniluse j kosiniluse GEOMETRI M3 Mikäli kolmion korkeus j knt tiedetään, voidn pint-l lske. Esimerkki: Lske kolmion l, kun 38 kulmn viereiset sivut ovt 8, j 6,8. Nyt knt tiedetään, korkeutt ei! 38 8,

Lisätiedot

Sisältö. Integraali 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 20

Sisältö. Integraali 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 20 Integrli 10. syyskuut 2005 sivu 1 / 20 Sisältö 1 Määrätty integrli j integrlifunktio 2 1.1 Integroituvist funktioit 3 1.2 Määrätyn integrlin ominisuuksi 4 1.3 Integrlifunktio 5 1.4 Integrlilskennn tärkeimmät

Lisätiedot

Pythagoraan lause. Pythagoras Samoslainen. Pythagoraan lause

Pythagoraan lause. Pythagoras Samoslainen. Pythagoraan lause Pythgorn luse Pythgors Smoslinen Pythgors on legendrinen kreikklinen mtemtiikko j filosofi. Tiedot hänen elämästään ovt epävrmoj j ristiriitisi. Tärkein Pythgorst j pythgorlisi koskev lähde on Lmlihosin

Lisätiedot

ICS-C2000 Tietojenkäsittelyteoria Kevät 2016

ICS-C2000 Tietojenkäsittelyteoria Kevät 2016 ICS-C2 Tietojenkäsittelyteori Kevät 2 Kierros,. 5. helmikuut Demonstrtiotehtävien rtkisut D: Sievennä seurvi säännöllisiä lusekkeit (so. konstruoi yksinkertisemmt lusekkeet smojen kielten kuvmiseen): ()

Lisätiedot

sin θ θ θ r 2 sin 2 θ φ 2 = 0.

sin θ θ θ r 2 sin 2 θ φ 2 = 0. Mtemtiikn j tilstotieteen litos Osittisdifferentiliyhtälöt Kevät 21 Hrjoitus 9 Rtkisuj Jussi Mrtin 1. Osoit, että Lplce-yhtälö pllokoordinteiss on 2 u 1 r 2 2 u r r 1 r 2 sin θ u 1 2 u sin θ θ θ r 2 sin

Lisätiedot

Määritelmä Olkoon C R m yksinkertainen kaari ja γ : [a, b] R m sen yksinkertainen parametriesitys, joka on paloittain C 1 -polku.

Määritelmä Olkoon C R m yksinkertainen kaari ja γ : [a, b] R m sen yksinkertainen parametriesitys, joka on paloittain C 1 -polku. Muodostetn vektorikentän kri-integrli yksinkertisen kren tpuksess. Plutetn mieleen, että joukko C R m on yksinkertinen kri, jos löytyy sellinen jtkuv bijektio γ : [, b] C, jok on ploittin C 1 -funktio

Lisätiedot

1.3 Toispuoleiset ja epäoleelliset raja-arvot

1.3 Toispuoleiset ja epäoleelliset raja-arvot . Toisuoleiset j eäoleelliset rj-rvot Rj-rvo lim f () A olemssolo edellyttää että muuttuj täytyy void lähestyä rvo kummst suust hyväsä. Jos > ii sot että lähestyy rvo oikelt ositiivisest suust. Jos ts

Lisätiedot

2.1 Vaillinaiset yhtälöt

2.1 Vaillinaiset yhtälöt .1 Villiniset yhtälöt Yhtälö, jok sievenee muotoon x + bx + c = 0 (*) on yleistä normlimuoto olev toisen steen yhtälö. Tämän rtkiseminen ei olekn enää yhtä meknist kuin normlimuotoisen ensisteen yhtälön

Lisätiedot

( ) Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 321 Päivitetty 19.2.2006. Saadaan yhtälö. 801 Paraabeli on niiden pisteiden ( x,

( ) Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 321 Päivitetty 19.2.2006. Saadaan yhtälö. 801 Paraabeli on niiden pisteiden ( x, Pyrmidi Anlyyttinen geometri tehtävien rtkisut sivu Päivitetty 9..6 8 Prbeli on niiden pisteiden (, y) joukko, jotk ovt yhtä kukn johtosuorst j polttopisteestä. Pisteen (, y ) etäisyys suorst y = on d

Lisätiedot

ICS-C2000 Tietojenkäsittelyteoria Kevät 2015

ICS-C2000 Tietojenkäsittelyteoria Kevät 2015 ICS-C2 Tietojenkäsittelyteori Kevät 25 Kierros 3, 26. 3. tmmikuut Demonstrtiotehtävien rtkisut D: Ldi epädeterministinen äärellinen utomtti, jok test onko nnetun inäärijonon kolmnneksi viimeinen merkki,

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi. Hannu Kivimäki

Matematiikan tukikurssi. Hannu Kivimäki Mtemtiikn tukikurssi Hnnu Kivimäki Sisältö I Ensimmäinen välikoe Integrointi 2 Osittisintegrointi 5 3 Osmurtohjotelm 4 Lisää osmurtoj 4 5 Sijoituskeino 9 6 Määrätty integrli 2 7 Ylä- j lsumm 22 8 Määrätyn

Lisätiedot

TEHTÄVÄ 1. Olkoon (f n ) jono jatkuvia funktioita f n : [a, b] R, joka suppenee välillä [a, b] tasaisesti kohti funktiota f : [a, b] R.

TEHTÄVÄ 1. Olkoon (f n ) jono jatkuvia funktioita f n : [a, b] R, joka suppenee välillä [a, b] tasaisesti kohti funktiota f : [a, b] R. Topologi I Hrjoitus 10, rtkisuj AP TEHTÄVÄ 1. Olkoon (f n ) jono jtkuvi funktioit f n : [, b] R, jok suppenee välillä [, b] tsisesti kohti funktiot f : [, b] R. Osoit, että tällöin f n (x) dx f(x) dx.

Lisätiedot

Mikrotalousteoria 2, 2008, osa III

Mikrotalousteoria 2, 2008, osa III Sisältö Mikrotlousteori 2, 2008, os III Yrityksen tuotntofunktiost 2 Pnosten substituoitvuus 2 3 Yrityksen teori 3 4 Mittkvedut tuotnnoss 5 5 Yksikkökustnnusten j skltuottojen steen välinen yhteys 5 6

Lisätiedot

Polynomien laskutoimitukset

Polynomien laskutoimitukset Polyomie lskutoimitukset Polyomi o summluseke, joss jokie yhteelskettv (termi) sisältää vi vkio j muuttuj välisiä kertolskuj. Esimerkki 0. Mm., 6 j ovt polyomej. Polyomist, joss o vi yksi termi, käytetää

Lisätiedot

Q = {q 1, q 2, q 3, q 4 } Σ = {a, b} F = {q 4 },

Q = {q 1, q 2, q 3, q 4 } Σ = {a, b} F = {q 4 }, T-79.48 Syksy 22 Tietojenkäsittelyteorin perusteet Hrjoitus 4 Demonstrtiotehtävien rtkisut 4. Tehtävä: Ldi epädeterministinen äärellinen utomtti, jok test onko nnetun inäärijonon kolmnneksi viimeinen merkki,

Lisätiedot

4 Taso- ja avaruuskäyrät

4 Taso- ja avaruuskäyrät P2-luentoj kevät 2008, Pekk Alestlo 4 Tso- j vruuskäyrät Tässä luvuss tutustutn tso- j vruuskäyriin, niiden krenpituuteen j krevuuteen. Konkreettisin sovelluksin trkstelln nnettu rt pitkin liikkuvn hiukksen

Lisätiedot

Suorat, käyrät ja kaarevuus

Suorat, käyrät ja kaarevuus Suort, käyrät j krevuus Jukk Tuomel Professori Mtemtiikn litos, Joensuun yliopisto Suor? Tämä kirjoitus on eräänlinen jtko Timo Tossvisen suorn määritelmää koskevn kirjoitukseen Solmun numeross 2/2002.

Lisätiedot

a = x 0 < x 1 < x 2 < < x n = b f(x) dx = I. lim f(x k ) x k=1

a = x 0 < x 1 < x 2 < < x n = b f(x) dx = I. lim f(x k ) x k=1 5 Integrli 5.1 Määritelmä j ominisuudet Olkoon f : [, b] R jtkuv. Muodostetn välin [, b] jko = x 0 < x 1 < x 2 < < x n = b j siihen liittyvä yläsumm S = n M k (x k x k 1 ), M k = mx{f(x) x k 1 x x k },

Lisätiedot

5 Epäoleellinen integraali

5 Epäoleellinen integraali 5 Epäoleellinen integrli 5. Integrlin suppeneminen Olkoon f sellinen välillä [, b[ (ei siis välttämättä pisteessä b) määritelty funktio, että f on Riemnn-integroituv välillä [, ] kikill ], b[ eli on olemss

Lisätiedot

.) (b) Vertaa p :tä vastaavaa kineettistä energiaa perustilan kokonaisenergiaan. ( ) ( ) = = Ek

.) (b) Vertaa p :tä vastaavaa kineettistä energiaa perustilan kokonaisenergiaan. ( ) ( ) = = Ek S-446, FYSIIKKA IV (Sf) Kevät 5, HSf Rtkisut HSf- Kvnttimekninen hrmoninen värähtelijä on perustillln (mss m) Värähtelyn mplitudi on A () ske p (Värähtelijä sijitsee välillä A ) (b) Vert p :tä vstv kineettistä

Lisätiedot

T Syksy 2002 Tietojenkäsittelyteorian perusteet Harjoitus 5 Demonstraatiotehtävien ratkaisut. ja kaikki a Σ ovat säännöllisiä lausekkeita.

T Syksy 2002 Tietojenkäsittelyteorian perusteet Harjoitus 5 Demonstraatiotehtävien ratkaisut. ja kaikki a Σ ovat säännöllisiä lausekkeita. T-79.8 Syksy 22 Tietojenkäsittelyteorin perusteet Hrjoitus 5 Demonstrtiotehtävien rtkisut Säännölliset lusekkeet määritellään induktiivisesti: j kikki Σ ovt säännöllisiä lusekkeit. Mikäli α j β ovt säännöllisiä

Lisätiedot

Tee B-osion konseptiin etusivulle pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Välivaiheet perustelevat vastauksesi!

Tee B-osion konseptiin etusivulle pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Välivaiheet perustelevat vastauksesi! MAA8 Koe 4.4.016 Jussi Tyni Tee B-osion konseptiin etusivulle pisteytysruudukko! Muist kirjt nimesi j ryhmäsi. Väliviheet perustelevt vstuksesi! A-osio. Ilmn lskint. MAOLi s käyttää. Mksimissn 1h ik. Lske

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Mtemtiikn tukikurssi Kurssikert 3 Määrätyn integrlin lskeminen Aiemmin määrittelimme määrätyn integrlin f (x)dx funktion f (x) l- j yläsummien rj-rvon. Määrätyllä integrlill on kksi intuitiivist tulkint:.

Lisätiedot

MATEMATIIKAN HARJOITTELUMATERIAALI

MATEMATIIKAN HARJOITTELUMATERIAALI SAVONIA-AMMATTIKORKEAKOULU Tekniikk Infrrkentmisen j kivnnisln työnjohdon koulutus (ESR) MATEMATIIKAN HARJOITTELUMATERIAALI Ari Tuomenlehto - 0 - Lusekkeen käsittelyä Luseke j lusekkeen rvo Näkyviin merkittyä

Lisätiedot

BM20A0700, Matematiikka KoTiB2

BM20A0700, Matematiikka KoTiB2 BM20A0700, Matematiikka KoTiB2 Luennot: Matti Alatalo, Harjoitukset: Oppikirja: Kreyszig, E.: Advanced Engineering Mathematics, 8th Edition, John Wiley & Sons, 1999, luku 7. 1 Kurssin sisältö Matriiseihin

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ PISTEYTYSKOKOUS

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ PISTEYTYSKOKOUS 0 MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 30 PISTEYTYSKOKOUS 0 ) Sijoitetn x 0 Rtkistn = 0/04,0000 b) Jos neliön sivu on s, niin lävistäjä on s Ehto: s 6 s + s = 6, s 6 3 4s 6,70, joten piiri ) Suorn yhtälö

Lisätiedot

Riemannin integraalista

Riemannin integraalista TAMPEREEN YLIOPISTO Pro grdu -tutkielm Aij Stenberg Riemnnin integrlist Mtemtiikn j tilstotieteen litos Mtemtiikk Syyskuu 2010 2 Tmpereen yliopisto Mtemtiikn j tilstotieteen litos STENBERG, AIJA: Riemnnin

Lisätiedot

missä t on matkaan raosta varjostimelle kuluva aika. Jos suihkun elektronien liikemäärä x- sunnassa on p x,on min y0min 0min

missä t on matkaan raosta varjostimelle kuluva aika. Jos suihkun elektronien liikemäärä x- sunnassa on p x,on min y0min 0min S-11446 Fysiikk IV (Sf), I Välikoe 154 1 Elektronisuihku, joss elektronien noeus on v, suu kohtisuorsti rkoon, jonk leveys on d Ron läi kuljettun elektronit osuvt etäisyydellä D olevn vrjostimeen Mikä

Lisätiedot

SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT Funktiojonot 1

SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT Funktiojonot 1 SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 JOUNI PARKKONEN Sisältö 0. Tästä tekstistä. Funktiojonot 0. Tästä tekstistä Tämä moniste on trkoitettu käytettäväksi kurssin Srjt j differentiliyhtälöt luentomterilin.

Lisätiedot

TYÖ 30. JÄÄN TIHEYDEN MÄÄRITYS. Tehtävänä on määrittää jään tiheys.

TYÖ 30. JÄÄN TIHEYDEN MÄÄRITYS. Tehtävänä on määrittää jään tiheys. TYÖ 30 JÄÄN TIHEYDEN MÄÄRITYS Tehtävä älineet Tusttietoj Tehtävänä on äärittää jään tiheys Byretti (51010) ti esi 100 l ittlsi (50016) j siihen sopivi jääploj, lkoholi (sopii jäähdytinneste lsol), nlyysivk

Lisätiedot

Paraabelikin on sellainen pistejoukko, joka määritellään urakäsitteen avulla. Paraabelin jokainen piste toteuttaa erään etäisyysehdon.

Paraabelikin on sellainen pistejoukko, joka määritellään urakäsitteen avulla. Paraabelin jokainen piste toteuttaa erään etäisyysehdon. 5. Prbeli Prbelikin on sellinen pistejoukko, jok määritellään urkäsitteen vull. Prbelin jokinen piste toteutt erään etäissehdon. ********************************************** MÄÄRITELMÄ : Prbeli on tson

Lisätiedot

Viivaintegraali: "Pac- Man" - tulkinta. Viivaintegraali: "Pac- Man" - tulkinta. "Perinteisempi" tulkinta: 1D 3/19/13

Viivaintegraali: Pac- Man - tulkinta. Viivaintegraali: Pac- Man - tulkinta. Perinteisempi tulkinta: 1D 3/19/13 Viivintegrli: "Pc- Mn" - tulkint Otetn funk:o f(,), jok riippuu muudujist j. Jokiselle, tson pisteellä funk:oll on siis joku rvo. Tpillisiä fsiklis- kemillisi esimerkkejä voisivt oll esimerkiksi mss:hes

Lisätiedot

5 ( 1 3 )k, c) AB 3AC ja AB AC sekä vektoreiden AB ja

5 ( 1 3 )k, c) AB 3AC ja AB AC sekä vektoreiden AB ja MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Hrjoitustehtäviä syksy 4. Millä reliluvun rvoill ) 9 =, b) + +, e) 5?. Kirjoit Σ-merkkiä käyttäen summt 4, ) + 4 + 6 + +, b) 8 + 4 6 + + n n, c) + + + 4 + + 99, d)

Lisätiedot

ICS-C2000 Tietojenkäsittelyteoria Kevät 2016

ICS-C2000 Tietojenkäsittelyteoria Kevät 2016 ICS-C2000 Tietojenkäsittelyteori Kevät 2016 Kierros 5, 8. 12. helmikuut Demonstrtiotehtävien rtkisut D1: Hhmolusekkeet ovt esimerkiksi UN*X-järjestelmien tekstityökluiss käytetty säännöllisten lusekkeiden

Lisätiedot

Analyysin perusteet kauppatieteilijöille 800118P

Analyysin perusteet kauppatieteilijöille 800118P Anlyysin perusteet kupptieteilijöille 800118P Luentomoniste Kri Myllylä Niin Korteslhti Topi Törmä Oulun yliopisto Mtemttisten tieteiden litos Kevät 2015 Sisältö 1 Derivtt 3 1.1 Määritelmä..............................

Lisätiedot

Numeerinen integrointi.

Numeerinen integrointi. Numeerinen integrointi. Differentili- j integrlilskent 1, syksy 2015 Hrri Vrpnen Mtemtiikn j systeeminlyysin litos Alto-yliopisto Tiisti 6.10.2015 Sisältö Tylor-menetelmä. Käyttökelpoinen silloin, kun

Lisätiedot

763333A KIINTEÄN AINEEN FYSIIKKA Ratkaisut 1 Kevät 2014

763333A KIINTEÄN AINEEN FYSIIKKA Ratkaisut 1 Kevät 2014 763333A KIINTEÄN AINEEN FYSIIKKA Rtkisut 1 Kevät 014 1. Tehtävä: Lske, kuink mont hilpistettä on yksikkökopiss ) yksinkertisess kuutiollisess, b) tkk:ss j c) pkk:ss. (Ot huomioon, että esimerkiksi yksikkökopin

Lisätiedot

5.4 Ellipsi ja hyperbeli (ei kuulu kurssivaatimuksiin, lisätietoa)

5.4 Ellipsi ja hyperbeli (ei kuulu kurssivaatimuksiin, lisätietoa) 5.4 Ellipsi j hypereli (ei kuulu kurssivtimuksiin, lisätieto) Aurinkokuntmme plneett kiertävät Aurinko ellipsin (=litistyneen ympyrän) muotoist rt, jonk toisess polttopisteessä Aurinko on. Smoin Mt kiertävät

Lisätiedot

ICS-C2000 Tietojenkäsittelyteoria Kevät 2016

ICS-C2000 Tietojenkäsittelyteoria Kevät 2016 ICS-C Tietojenkäsittelyteori Kevät 6 Kierros 8, 7.. mliskuut Demonstrtiotehtävien rtkisut D: Määrittele Turingin koneen stndrdimllin muunnelm, joss koneen työnuh on molempiin suuntiin ääretön, j osoit

Lisätiedot

Analyyttiset funktiot ja integrointiteorian alkeita

Analyyttiset funktiot ja integrointiteorian alkeita Anlyyttiset funktiot j integrointiteorin lkeit 6. helmikuut 2006 isältö 1 Kertust 1 2 Anlyyttiset funktiot 2 2.1 Anlyyttiset funktiot tsoll................... 2 2.2 Monogeeniset funktiot vruudess R n.............

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 9: Integroimismenetelmät

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 9: Integroimismenetelmät MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 9: Integroimismenetelmät Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos 10.10.2016 Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen (Alto-yliopisto,

Lisätiedot

Geometrinen algebra: kun vektorien maailma ei riitä

Geometrinen algebra: kun vektorien maailma ei riitä Geometrinen lgebr: kun vektorien milm ei riitä Risto A. Pju 4. huhtikuut 2003 Tiivistelmä Geometrinen lgebr on viime vuosin ksvttnut suosiotn luonnontieteiden mtemttisen menetelmänä. Sen juuret ovt vektori-

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 7: Integraali ja analyysin peruslause

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 7: Integraali ja analyysin peruslause MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 7: Integrli j nlyysin perusluse Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos 3.10.2016 Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen

Lisätiedot

766328A Termofysiikka Harjoitus no. 12, ratkaisut (syyslukukausi 2014)

766328A Termofysiikka Harjoitus no. 12, ratkaisut (syyslukukausi 2014) 7668A Termofysiikk Hrjoitus no 1, rtkisut (syyslukukusi 14) 1 Lämpötilss T K elektronien energit eivät ylitä Fermin energi (ɛ i ɛ F ), lämpötilprmetri β j kemillinen potentili vst Fermin energi (µ() ɛ

Lisätiedot

Digitaalinen videonkäsittely Harjoitus 5, vastaukset tehtäviin 25-30

Digitaalinen videonkäsittely Harjoitus 5, vastaukset tehtäviin 25-30 Digitlinen videonkäsittely Hrjoitus 5, vstukset tehtäviin 5-30 Tehtävä 5. ) D DCT sdn tekemällä ensin D DCT kullekin riville, j toistmll D DCT tuloksen sdun kuvn srkkeill. -D N-pisteen DCT:, k 0 N ( k),

Lisätiedot

MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 9: Integroimismenetelmät

MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 9: Integroimismenetelmät MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 9: Integroimismenetelmät Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos November 27, 2017 Pekk Alestlo,

Lisätiedot

AUTOMAATTIEN SYNKRONISAATIOSTA

AUTOMAATTIEN SYNKRONISAATIOSTA AUTOMAATTIEN SYNKRONISAATIOSTA John Kopr Pro grdu -tutkielm Huhtikuu 015 MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS TURUN YLIOPISTO TURUN YLIOPISTO Mtemtiikn j tilstotieteen litos KOPRA, JOHAN: Automttien synkronistiost

Lisätiedot

VEKTOREILLA LASKEMINEN

VEKTOREILLA LASKEMINEN ..07 VEKTOREILL LSKEMINEN YHTEENLSKU VEKTORIT, M4 Vektoreiden j summ on vektori +. Tämän summvektorin + lkupiste on vektorin lkupiste j loppupiste vektorin loppupiste, kun vektorin lkupisteenä on vektorin

Lisätiedot

SUORAKULMAINEN KOLMIO

SUORAKULMAINEN KOLMIO Clulus Lukion Täydentävä ineisto 45 0 45 60 ( - ) + SUORKULMINEN KOLMIO Pvo Jäppinen lpo Kupiinen Mtti Räsänen Suorkulminen kolmio Suorkulminen kolmio Käsillä olev Lukion Clulus -srjn täydennysmterili

Lisätiedot

9 A I N. Alkuperäinen piiri. Nortonin ekvivalentti R T = R N + - U T = I N R N. Théveninin ekvivalentti DEE-11110 SÄHKÖTEKNIIKAN PERUSTEET

9 A I N. Alkuperäinen piiri. Nortonin ekvivalentti R T = R N + - U T = I N R N. Théveninin ekvivalentti DEE-11110 SÄHKÖTEKNIIKAN PERUSTEET DEE11110 SÄHKÖTEKNIIKAN PERUSTEET http://www.tut.fi/smg/course.php?id=57 Rtkisut Hrjoitukset 3, 2014 Tehtävä 1. Pyydetään muodostmn nnetun piirin Nortonin ekvivlentti. Nortonin, smoin kuin Theveninin,

Lisätiedot

Matemaattiset menetelmät I. Seppo Hassi

Matemaattiset menetelmät I. Seppo Hassi Mtemttiset menetelmät I Seppo Hssi Syksy 2011 iii Esipuhe Tämä on 1. versio Mtemttiset menetelmät I-kurssin opetusmonisteest, jok perustuu Vsn yliopistoss luennoimni vstvn nimiseen kurssiin. Sisältö noudtt

Lisätiedot

MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 7: Integraali ja analyysin peruslause

MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 7: Integraali ja analyysin peruslause MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 7: Integrli j nlyysin perusluse Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos November 20, 2017

Lisätiedot

Taloustieteen matemaattiset menetelmät 2017 materiaali 2. esimerkin valossa perustellaan menetelmiä yhtälöryhmän analysointiin ja ratkaisuun

Taloustieteen matemaattiset menetelmät 2017 materiaali 2. esimerkin valossa perustellaan menetelmiä yhtälöryhmän analysointiin ja ratkaisuun Tloustieteen mtemttiset menetelmät 7 mterili Linerilgebr Johdnto Seurvill luennoill esimerkin vloss perustelln menetelmiä yhtälöryhmän nlysointiin j rtkisuun tärkeä rtkisumenetelmä mtriisien yleisiä ominisuuksi

Lisätiedot

S Fysiikka IV (ES) Tentti RATKAISUT. 1,0*10 m. Kineettinen energia saadaan kun tästä vähennetään lepoenergia: 2

S Fysiikka IV (ES) Tentti RATKAISUT. 1,0*10 m. Kineettinen energia saadaan kun tästä vähennetään lepoenergia: 2 S-11436 ysiikk V (ES) Tentti 175001 RATKASUT 1 Tutkittess pieniä kohteit on tutkimukseen käytettävien ltojen llonpituuden oltv yleensä enintään 1/10 os kohteen ulottuvuudest (esim hlkisijst) Lske trvittv

Lisätiedot

Laskennan mallit (syksy 2010) 1. kurssikoe, ratkaisuja

Laskennan mallit (syksy 2010) 1. kurssikoe, ratkaisuja 582206 Lskennn mllit (syksy 2010) 1. kurssikoe, rtkisuj 1. [2+2+2 pistettä] Säännöllisissä lusekkeiss on käytetty tuttu lyhennysmerkintää Σ = ( ). () merkkijonot, joiden kksi ensimmäistä merkkiä ovt joko

Lisätiedot

8.4 Gaussin lause Edellä laskettiin vektorikentän v = rf(r) vuo R-säteisen pallon pinnan läpi, tuloksella

8.4 Gaussin lause Edellä laskettiin vektorikentän v = rf(r) vuo R-säteisen pallon pinnan läpi, tuloksella H 8.3.2 uontegrlt: vektoreden pntntegrlt Tvllsn tpus pntntegrlest on lske vektorkentän vuo pnnn läp: Trkstelln pnt j sllä psteessä P (x, y, z olev pnt-lkot d. Määrtellään vektorlnen pnt-lko d sten, että

Lisätiedot

MATEMATIIKKA. Matematiikkaa pintakäsittelijöille. Peruslaskutoimitukset. Isto Jokinen 2015

MATEMATIIKKA. Matematiikkaa pintakäsittelijöille. Peruslaskutoimitukset. Isto Jokinen 2015 MATEMATIIKKA Mtemtiikk pintkäsittelijöille Peruslskutoimitukset Isto Jokinen 01 SISÄLTÖ 1. Lskujärjestys 1. Murtoluvuill lskeminen. Suureet j mittyksiköt. Potenssi. Juuri 6. Tekijäyhtälöiden rtkiseminen

Lisätiedot

Numeerinen integrointi

Numeerinen integrointi Pitkärnt: Lj mtemtiikk IX9 Numeerinen integrointi IX9 Numeerinen integrointi Numeerisell integroinnill trkoitetn määrätyn integrlin, eli reliluvun I(f,,b) = f(x)dx lskemist numeerisin keinoin (likimäärin)

Lisätiedot

Olkoon. M = (Q, Σ, δ, q 0, F)

Olkoon. M = (Q, Σ, δ, q 0, F) T 79.148 Tietojenkäsittelyteorin perusteet 2.4 Äärellisten utomttien minimointi Voidn osoitt, että jokisell äärellisellä utomtill on yksikäsitteinen ekvivlentti (so. smn kielen tunnistv) tilmäärältään

Lisätiedot

T Kevät 2009 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 7 (Predikaattilogiikka )

T Kevät 2009 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 7 (Predikaattilogiikka ) T-79.3001 Kevät 2009 Logiikk tietotekniikss: perusteet Lskuhrjoitus 7 (Predikttilogiikk 9.1 10.2) 19.3. 23.3. 2009 Rtkisuj demotehtäviin Tehtävä 9.1 Rtkisuss on käytetty usen otteeseen rjoitettuj universli-

Lisätiedot

1.1. Laske taskulaskimella seuraavan lausekkeen arvo ja anna tulos kolmen numeron tarkkuudella: tan 60,0 = 2,950... 2,95

1.1. Laske taskulaskimella seuraavan lausekkeen arvo ja anna tulos kolmen numeron tarkkuudella: tan 60,0 = 2,950... 2,95 9..008 (9). Lskime käyttö.. Lske tskulskimell seurv lusekkee rvo j tulos kolme umero trkkuudell: 4 + 7 t 60,0 + Rtkisu: 4 + 7 =,950...,95 t 60,0 + Huom: Lskimiss o yleesä kolme eri kulmyksikköjärjestelmää:

Lisätiedot

3 Integraali ja derivaatta

3 Integraali ja derivaatta 3 Integrli j erivtt 3.1 Integrli ylärjns funktion Olkoon funktio f Riemnn-integroituv välin I jokisell suljetull osvälillä j välin I jokin kiinteä luku. Tällöin integrli määrittelee funktion G(): I R,

Lisätiedot

Olkoon. äärellinen automaatti. Laajennetaan M:n siirtymäfunktio yksittäisistä syötemerkeistä merkkijonoihin: jos q Q, x Σ, merkitään

Olkoon. äärellinen automaatti. Laajennetaan M:n siirtymäfunktio yksittäisistä syötemerkeistä merkkijonoihin: jos q Q, x Σ, merkitään T 79.00/002 Tietojenkäsittelyteorin perusteet 2. Äärellisten utomttien minimointi Voidn osoitt, että jokisell äärellisellä utomtill on yksikäsitteinen ekvivlentti (so. smn kielen tunnistv) tilmäärältään

Lisätiedot

Kertaustehtävien ratkaisut

Kertaustehtävien ratkaisut Rtkisuist Nämä Trigoometriset fuktiot j lukujoot kurssi kertustehtävie j -srjoje rtkisut perustuvt oppikirj tietoihi j meetelmii. Kustki tehtävästä o yleesä vi yksi rtkisu, mikä ei kuitek trkoit sitä,

Lisätiedot

Mat Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros 8

Mat Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros 8 Mt-.148 Dynminen optimointi, mllivstukset, kierros 8 1. Idelisess tsvirtmoottoriss vääntömomentti on suorn verrnnollinen virtn. Moottori pyörittää ikiliikkuj (ei kitk- ti sähkömgneettisi vstusvoimi). Moottorin

Lisätiedot

VEKTOREILLA LASKEMINEN

VEKTOREILLA LASKEMINEN 3..07 VEKTOREILLA LASKEMINEN YHTEENLASKU VEKTORIT, MAA Vektoreiden j summ on vektori +. Tämän summvektorin + lkupiste on vektorin lkupiste j loppupiste vektorin loppupiste, kun vektorin lkupisteenä on

Lisätiedot

R4 Harjoitustehtävien ratkaisut

R4 Harjoitustehtävien ratkaisut . Mitkä seurvist lusekkeist eivät ole polynomej? Miksi eivät? Polynomin termine eksponentti on luonnollinen luku, ne lusekkeet, joiss eksponentti ei ole luonnollinen luku ei ole myöskään polynomi.. x x

Lisätiedot

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2017 Harjoitus 6, ratkaisuista. 1. Onko jokin demojen 5 tehtävän 3 relaatioista

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2017 Harjoitus 6, ratkaisuista. 1. Onko jokin demojen 5 tehtävän 3 relaatioista Mtemtiikn johntokurssi, syksy 07 Hrjoitus 6, rtkisuist. Onko jokin emojen 5 tehtävän reltioist ) R := {(, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, )}, ) S := {(, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ),

Lisätiedot

lim + 3 = lim = lim (1p.) (3p.) b) Lausekkeen täytyy supistua (x-2):lla, joten osoittajan nollakohta on 2.

lim + 3 = lim = lim (1p.) (3p.) b) Lausekkeen täytyy supistua (x-2):lla, joten osoittajan nollakohta on 2. Mtemtiikk III 0600 Kurssi / Differetili- j itegrlilske jtkokurssi Tee 7 tehtävää ) Määritä lim ( ) ) + b) Määritä vkio site, että luseke ( ) + + ( )( ) ( + + ) + + + + + lim + lim lim (p) o jtkuv myös

Lisätiedot

Viikon aiheet. Pinta-ala

Viikon aiheet. Pinta-ala info Viikon iheet Mpu I:sen voit suoritt: Kurssin loppukokeess 23.10. Arvosn: koe + lskrit Mikäli yo. ik ei sovi, voit suoritt loppukokeen yleistenttitilisuudess 24.11. Arvosn: koe + lskrit. Ilmoittudu

Lisätiedot