MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1

Transkriptio

1 MS-A0102 Differentili- j integrlilskent 1 Riikk Korte (Pekk Alestlon klvojen pohjlt) Alto-yliopisto

2 Sisältö Pint-l Integrli

3 1.1 Pint-l: Suorkulmio Seurvss trkstelln umpinisten tsokäyrien rjmi joukkoj. Tsojoukon pint-l määritellään pluttmll se yksinkertisemmn joukon pint-ln. Joukon pint-l ei voi lske, ellei pint-l ole ensin yleisesti määritelty (vikk koulumtemtiikss näin yleensä menetelläänkin). Lähtökoht: Suorkulmion pint-l on (määritelmän mukn) knt korkeus: A = b. b

4 1.1 Suunniks Suunnikkn pint-l on (määritelmän mukn) knt korkeus: A = h. h

5 1.1 Kolmio Kolmion pint-l on (määritelmän mukn) A = 1 2 h. h

6 1.1 Monikulmio Monikulmio on tsolue, jot rj umpininen (j itseään leikkmton) murtoviiv. Murtoviiv koostuu peräkkäisistä jnoist, joille edellisen päätepiste = seurvn lkupiste. Se on umpininen, jos viimeisen päätepiste = ensimmäisen lkupiste.

7 1.1 Monikulmion pint-l Monikulmion pint-l sdn jkmll monikulmio kolmioihin (= monikulmion kolmiointi) j lskemll kolmioiden pint-lojen summ. Luse: Kolmioiden pint-lojen summ ei riipu kolmioinnin vlinnst.

8 1.1 Yleinen tsojoukko Muodostetn rjoitetulle tsolueelle D sisämonikulmioit M s j ulkomonikulmioit M u : M s D M u. Ain pätee: A(M s ) A(M u ).

9 1.1 Pint-ln määritelmä Määritelmä 1 Rjoitetull tsojoukoll D on pint-l, jos jokist ε > 0 vst sisämonikulmio M s j ulkomonikulmio M u, joiden pint-lojen erotus on pienempi kuin ε: A(M u ) A(M s ) < ε. Tällöin kikkien lukujen A(M s ) j A(M u ) välissä on yksikäsitteinen luku A(D), jok on (määritelmän mukn) joukon D pint-l. Yllätys: Vikk joukko D rjoittisi jtkuv umpininen tsokäyrä, ei sillä in ole pint-l! Syy: Reunkäyrä voi oll niin kiemurtelev, että sen pint-l > 0. Ensimmäinen esimerkki [W.F. Osgood, 1903].

10 1.1 Ympyrän pint-l Esimerkki 2 Johd R-säteisen ympyrän pint-ln kv A = πr 2 trkstelemll sen sisä- j ulkopuolelle setettujen säännöllisten n-kulmioiden pint-lojen rj-rvoj, kun n. Rtkisu jätetään (vpehtoiseksi) hrjoitustehtäväksi.

11 2.1 Määrätty integrli Geometrinen tulkint: Funktiolle f : [, b] R pätee f (x) 0 kikill x [, b]. Kuink suuren pint-ln käyrä y = f (x) rj yhdessä x-kselin knss välillä [, b]? Vstuksen tähän kysymykseen nt määrätty integrli f (x) dx, jonk määritelmässä ehto f (x) 0 ei tosin trvit linkn.

12 2.1 Määrätty integrli (cont.) y y = f (x) A = b f(x) dx b x Tällä kurssill integrli määritellään kikille ploittin jtkuville funktioille; yleisemmin sitä voidn tutki myös rjoitettujen funktioiden tpuksess, jolloin puhutn Riemnn-integrlist.

13 2.1 Määrätty integrli (cont.) Ploittin jtkuvt funktiot ovt Riemnn-integroituvi, mutt toislt kikki rjoitetut funktiot eivät ole. Tämä hnkloitt yleisen tpuksen käsittelyä. Vielä yleisempi integrlin käsite on Lebesgue-integrli, jot käsitellään kurssill MS-E1280 Mesure nd integrl. Sen vull voidn mm. systemttisesti selvittää, millisille tsojoukoille pint-l voidn järkevällä tvll määritellä.

14 2.1 Jtkuvn funktion integrli Olkoon f : [, b] R jtkuv. Välin [, b] jkoon = x 0 < x 1 < x 2 < < x n = b liittyy sitä vstv funktion f yläsumm S = n M k (x k x k 1 ), M k = mx{f (x) x k 1 x x k }, k=1 j lsumm s = n m k (x k x k 1 ), m k = min{f (x) x k 1 x x k }. k=1 Nämä ovt positiivisen funktion tpuksess erään ulko- j sisämonikulmion (= pylväsdigrmmit) pint-loj.

15 2.1 Jtkuvn funktion integrli (cont.) y y y = f ( x) y = f (x) b x b x Punisten pylväiden pint-lojen summ on (tsvälistä jko vstv) yläsumm S vsemmnpuoleisess kuvss j lsumm s oikenpuoleisess kuvss.

16 2.1 Ominisuuksi Ain pätee: (i) Kun jkopisteitä lisätään (snotn: jko tihennetään), niin s ksv j S pienenee; (ii) s S, vikk ne lskettisiin eri jkopisteillä. Perustelu: (i) Kuviost (ti muull tvoin) nähdään, miten l- j yläsumm muuttuvt, kun lisätään yksi jkopiste. (ii) Jos ylä- j lsummn lskemiseen käytetään smoj jkopisteitä, niin väite on selvä, kosk m k M k kikill k. Jos jkopisteet eivät ole smt, niin trkstelln tihennettyä jko ottmll mukn molempien jkojen kikki pisteet. Tämän jälkeen väite seur kohdst (i).

17 2.1 Integrlin määritelmä Määritelmä 3 Funktio f on integroituv välillä [, b], jos jokist ε > 0 vst sellinen jko, joss S s < ε. Funktion f integrli I R on tällöin se yksikäsitteinen luku, jolle s I S kikiss joiss; merkitään f (x) dx = I. Positiivisen funktion tpuksess tämä vst täsmälleen sitä vtimust, että jkoihin liittyvien pylväsdigrmmien vull lsketut ulko- j sisämonikulmioiden pint-lt sdn mielivltisen lähelle toisin, kun vlitn riittävän tiheä jko.

18 2.1 Integroituvuus Luse 4 Integrli on määritelty kikille jtkuville funktioille j se voidn lske rj-rvon f (x) dx = lim n k=1 n f (x k ) x käyttämällä tsvälisiä jkopisteitä x k = + k x, joss x = (b )/n on skelpituus j 0 k n. Yleisemmin: Edellisessä summss rvon f (x k ) tilll voi oll mikä thns rvo f (z k ), kun x k 1 z k x k, eikä jon trvitse oll tsvälinen. Aino vtimus: Jkovälien mx-pituus 0, kun n. Tässä tpuksess puhutn integrlin lskemisest Riemnnin summien vull. Moniss sovelluksiss integrliin päädytään juuri Riemnnin summien kutt.

19 2.1 Sopimuksi Sopimus: Tällöin pätee b f (x) dx = 0, f (x) dx = f (x) dx. f (x) dx = c f (x) dx + f (x) dx c kikill, b, c järjestyksestä riippumtt (Piirrä kuvio!).

20 2.1 Ploittin jtkuv funktio Määritelmä 5 Funktio f : [, b] R on ploittin jtkuv, jos sillä on vin äärellinen määrä epäjtkuvuuskohti c 1 < c 2 < < c m b, joiss kikiss toispuoliset rj-rvot ovt olemss j äärellisiä (ts. ± ei sllit). Määritelmästä seur, että jokisell yksittäisellä välillä [c k 1, c k ] funktio f voidn muokt jtkuvksi muuttmll päätepistervoiksi ko. toispuoliset rj-rvot.

21 2.1 Integrlin yleistys Määritelmä 6 Jos f : [, b] R on ploittin jtkuv, niin f (x) dx = m+1 k=1 ck c k 1 f (x) dx, kun käytetään edellisen sivun merkintöjä, c 0 =, c m+1 = b j f tulkitn jtkuvksi jokisell välillä [c k 1, c k ] erikseen. Käytännössä integrlin lskeminen täytyy tehdä usemmss osss yllä olevn kvn tpn myös silloin, kun funktio f on määritelty ploittin (jtkuvuudest riippumtt).

22 2.2 Integrlin ominisuuksi Ploittin jtkuvien funktioiden integrlille pätee Linerisuus: Jos c 1, c 2 R, niin ( c1 f (x) + c 2 g(x) ) dx = c 1 f (x) dx + c 2 g(x) dx. Positiivisuus: Jos h(x) 0 kikill x, niin Seurus: f (x) g(x) f (x) dx h(x) dx 0. g(x) dx Erityisesti: Kosk ±f (x) f (x), niin ± f (x) dx f (x) dx f (x) dx f (x) dx.

23 2.2 Diff-int-lskennn perusluse Luse 7 Keskirvoperite: Jos f : [, b] R on jtkuv, niin f (x) dx = f (c)(b ) jollkin c [, b], ts. f (c) = 1 f (x) dx = f = funktion f keskirvo välillä [, b]. b Luse 8 Anlyysin perusluse: Jos f : [, b] R on jtkuv, niin d x f (t) dt = f (x) dx kikill x ], b[.

24 2.2 Integrlifunktio Määritelmä 9 Jos F (x) = f (x) jollkin voimell välillä, niin F on funktion f integrlifunktio. Perusluseen mukn kikill jtkuvill funktioill f on integrlifunktio F (x) = x f (t) dt. Sitä ei in void esittää lkeisfunktioiden vull, vikk f olisi lkeisfunktio; esim. f (x) = e x 2. Tällisi integrlifunktioit (j muit vstvi) kutsutn erikoisfunktioiksi.

25 2.2 Integrlifunktio (cont.) Integrlifunktio ei ole yksikäsitteinen, mutt eri integrlifunktiot poikkevt toisistn vin vkioll; merkitään f (x) dx = F(x) + C, C R vkio, jos F (x) = f (x). Perustelu: Jos F 1 (x) = F 2 (x) = f (x) kikill x, niin funktion F 1 (x) F 2 (x) derivtt on identtisesti noll, joten se on vkio.

26 2.2 Integrlifunktio (cont.) Luse 10 Jos f : [, b] R on jtkuv, niin sen määrätty integrli voidn lske (päätepisteissäkin jtkuvn) integrlifunktion F vull: f (x) dx = / b x=b F(x) = F(x) = F(b) F(). x= Tärkeimmät integrlifunktiot sdn suorn derivoimissäännöistä:

27 2.2 Integrlifunktio (cont.) x r 1 dx = r + 1 x r+1 + C, r 1 x 1 dx = ln x + C e x dx = e x + C sin x dx = cos x + C cos x dx = sin x + C dx 1 + x 2 = rctn x + C

28 2.2 Integrlifunktio (cont.) Esimerkki 11 Lske integrlit 1 1 e x dx j 1 0 sin(πx) dx. Rtkisu: Ensimmäinen integrlifunktio on e x, joten integrlin rvo on 1 1 e x dx = e 1 + e 1 = 2 sinh 1. Toinen integrlifunktio on 1 π cos(πx), joten integrlin rvo on 1 sin(πx) dx = 1 π (cos π cos 0) = 2 π. 0

29 2.2 Integrlifunktio (cont.) Esimerkki 12 Lske integrli 1 0 x 25 9x 2 dx. Rtkisu: Integrlifunktion oike muoto voisi oll F (x) = (25 9x 2 ) 1/2 ; trkistetn kerroin derivoimll: D ( (25 9x 2 ) 1/2) = 1 2 ( 18x)(25 9x 2 ) 1/2 = 9x 25 9x 2, joten vlinnll = 1/9 sdn oike integrlifunktio. Näin ollen 1 0 x dx = 1 1 / 25 9x 2 9 0(25 9x 2 ) 1/2 = 1 ( ) = 9 9. Toinen tp: Käytetään myöhemmin käsiteltävää sijoitusmenetelmää.

30 2.2 Integrlifunktio (cont.) Perusluseen vull sdn seurv yleisempi derivoimiskv: Luse 13 Jos f on jtkuv j funktiot j b ovt derivoituvi, niin d dx (x) (x) f (t) dt = f ( b(x) ) b (x) f ( (x) ) (x). Perustelu: Olkoon F funktion f integrlifunktio. Tällöin (x) (x) f (t) dt = F ( b(x) ) F ( (x) ). Väite seur tästä käyttämällä yhdistetyn funktion derivoimissääntöä, kosk F = f.

31 2.3 Geometrisi sovelluksi Jos f (x) 0, niin f (x) dx on funktion kuvjn j x-kselin rjoittmn tsolueen pint-l välillä [, b]. Yleisemmin: f (x) g(x) dx on kuvjien y = f (x) j y = g(x) väliin jäävän lueen pint-l välillä [, b]. Funktion kuvjn y = f (x) krenpituus välillä [, b] on l = 1 + f (x) 2 dx. Kun funktion f kuvj y = f (x) pyörähtää x-kselin ympäri välillä [, b], niin syntyvän pyörähdyspinnn pint-l on A = 2π f (x) 1 + f (x) 2 dx.

32 2.3 Geometrisi sovelluksi (cont.) Jos kpplett leiktn yz-tson suuntisell tsoll kohdss x j poikkileikkuksen pint-l on A(x), kun x [, b], niin kppleen tilvuus on V = A(x) dx. Kun funktion f kuvj y = f (x) pyörähtää x-kselin ympäri välillä [, b], niin se rj pyörähdyskppleen, jonk tilvuus on V = π f (x) 2 dx Syy: Poikkileikkus kohdss x on f (x)-säteinen ympyrä, joten A(x) = πf (x) 2.

33 2.3 Geometrisi sovelluksi (cont.) Yleisemmin: Jos 0 g(x) f (x) j kuvjien y = g(x) j y = f (x) välinen lue pyörähtää x-kselin ympäri välillä [, b], niin sdun kppleen tilvuus on V = π Huom: Tulos ei ole sm kuin π ( f (x) 2 g(x) 2) dx. ( f (x) g(x) ) 2 dx. Kun käyrä y = f (x), x b, pyörähtää y-kselin ympäri, niin vstvn pyörähdyskppleen tilvuus on V = 2π xf (x) dx.

34 2.4 Epäoleellinen integrli Kksi eri perustyyppiä: Tyyppi I: Integroimisvälinä [, [ ti ], b] ti koko R Tyyppi II: Funktio f : ], b[ R ei ole rjoitettu ti sillä ei ole toispuoleisi rj-rvoj päätepisteissä Jos ongelmi on molemmiss päätepisteissä ti integroimisvälin sisällä, niin integroimisväli jetn niin moneen osn, että kusskin osss vin yksi ongelmkoht: vditn, että jokinen erikseen nt äärellisen tuloksen, jolloin koko integrli = osien summ Esimerkki 14 0 dx 1 = x(1 + x) 0 dx + x(1 + x) 1 dx x(1 + x), jos molemmt oiken puolen integrlit suppenevt (kuten myöhemmissä esimerkeissä osoitetn).

35 2.4 Tyyppi I Määritelmä 15 Olkoon f : [, [ R ploittin jtkuv. Tällöin R f (x) dx = lim f (x) dx, R jos rj-rvo olemss j äärellinen. Snotn: Funktion f epäoleellinen integrli suppenee välillä [, [. Vstvsti funktiolle f : ], b] R määritellään f (x) dx = lim f (x) dx, R R jos rj-rvo olemss j äärellinen.

36 2.4 Tyyppi I (cont.) Esimerkki 16 Lske epäoleellinen integrli Rtkisu: Kosk R 0 0 e x dx. e x dx = / R e x = 1 e R 1, 0 kun R, niin epäoleellinen integrli suppenee j 0 e x dx = 1.

37 2.4 Integrli koko relikselin yli Esimerkki 17 Funktiolle f (x) = x pätee R lim f (x) dx = 0, R R kosk kikki integrlit ovt nolli. Yleisemmin sm pätee kikille prittomille funktioille f (x). Integrlin määritelmä koko relikselin yli yllä olev rj-rvo käyttämällä on peritteess mhdollinen, mutt joht hiemn kummllisiin tuloksiin. Sille (j muille smntpisille vritioille) käytetään nimitystä Cuchyn päärvointegrli, mutt se ei ole integrlin virllinen määritelmä.

38 2.4 Integrli koko relikselin yli (cont.) Määritelmä 18 Jos f : R R ploittin jtkuv, niin f (x) dx = 0 f (x) dx + 0 f (x) dx, jos molemmt oiken puolen integrlit suppenevt. Kuitenkin pätee: Jos f (x) 0 kikill x R, niin R f (x) dx = lim f (x) dx R R Syy: Positiivisen funktion tpuksess ei voi tphtu esimerkin tpist ± kumoutumist, jok voi muuten sekoitt si. Tämä kv ei siis päde yleisesti, vrt. tpus f (x) = x.

39 2.4 Tyyppi II Perustpus f : ], b] R jtkuv, mutt sillä ei äärellistä rj-rvo, kun x +. Tällöin määritellään f (x) dx = lim ε 0+ +ε jos rj-rvo on olemss j äärellinen. Esimerkki 19 Lske epäoleellinen integrli 1 0 dx x. f (x) dx, Rtkisu: Kosk 1 ε dx 1 = 2/ x = 2 2 ε 2, x kun ε 0+, niin integrli suppenee j sen rvo on 2. ε

40 2.4 Mjornttiperite Epäoleellisen integrlin suppenemist voidn tutki mjornttiperitteen vull, jost seurvss eräs versio. Luse 20 Olkoon f (x) g(x) välillä < x b. Jos epäoleellinen integrli suppenee, niin myös I = g(x) dx f (x) dx suppenee j sen itseisrvo on korkeintn I.

41 2.4 Mjornttiperite (cont.) Esimerkki 21 Kosk j välillä 0 < x 1 x(1 + x) x 1 0 dx x = 2 suppenee, niin mjornttiperitteen mukn 1 suppenee j sen rvo on < 2. 0 dx x(1 + x)

42 2.4 Mjornttiperite (cont.) Esimerkki 22 Vstvsti Kosk mukn x(1 + x) < 1 = 1, kun x 1. x(0 + x) x 3/2 x 3/2 dx = 2 suppenee, niin mjornttiperitteen suppenee j sen rvo on < 2. 1 dx x(1 + x) Huomtn: Sopivn mjorntin vlint riippuu sekä funktiost että integroimisvälistä!

43 2.5 Integroimismenetelmiä Helpoimmt integrlit voi lske suorn peruskvoj käyttämällä. Os hnklmmist tpuksist plutuu näihin, jos integrlist onnistuu tunnistmn sisäfunktion derivtn. Systemttisempi menetelmiä ovt Osittisintegointi Sijoitusmenetelmä Osmurtohjotelmt Numeerinen integrointi 1 Näitä käsitellään seurvill sivuill. 1 Oheislukemist tällä kurssill.

44 2.5 Osittisintegrointi Luse 23 Olkoot f j g jtkuvsti derivoituvi funktioit välillä [, b] (eli käytännössä hiemn suuremmll voimell välillä). Tällöin f (x)g(x) dx = / b f (x)g(x) f (x)g (x) dx. Vstvsti integrlifunktioille pätee f (x)g(x) dx = f (x)g(x) f (x)g (x) dx. Perustelu: Tulon derivoimissääntö, integrointi j termien ryhmittely.

45 2.5 Osittisintegrointi (cont.) Ide: Toimii silloin, kun funktion f (x)g (x) integrointi on helpomp kuin lkuperäisen funktion f (x)g(x). Esimerkki 24 Lske integrli π 0 x sin x dx. Rtkisu: Kokeilln osittisintegrointi j vlitn f (x) = sin x j g(x) = x, jolloin f (x) = cos x (vkiot ei tässä trvit, mutt ei se väärinkään ole) j g (x) = 1. Näin sdn π 0 x sin x dx = / π ( cos x) x 0 π 0 ( cos x) 1 dx = π cos π / π sin x = π. 0

46 2.5 Osittisintegrointi (cont.) Huom: Jos f j g vlitn esimerkissä toisin päin, niin osittisintegrointi joht entistä hnklmpn integrliin.

47 2.5 Sijoitusmenetelmä Luse 25 Jos f on jtkuv j g jtkuvsti derivoituv suljetull välillä [, b], niin kun A = g(), B = g(b). f (g(x))g (x) dx = Käytännössä: Sijoitus u = g(x), jolloin B A f (u) du, du dx = g (x) du = g (x) dx Rjojen muutos: x = u = g() = A, x = b u = g(b) = B. Perustelu: Seur yhdistetyn funktion derivoimissäännöstä integroimll.

48 2.5 Sijoitusmenetelmä (cont.) Huom, että sijoituksen jälkeen ei trvitse enää plt lkuperäiseen muuttujn x (pitsi integrlifunktiot lskettess; kts. ll). Muunnos u = g(x) voidn (usein) kirjoitt myös käänteisfunktion vull: x = g 1 (u) dx = (g 1 ) (u) du = 1 g ( g 1 (u) ) du = 1 g (x) du, joten tulos on sm kuin ikisemmin. On suositeltv kirjoitt muunnos in molempiin suuntiin, kosk rjojen lskeminen on helpomp lkuperäistä muoto käyttämällä, mutt differentilin muuttuminen on (yleensä) helpompi lske käänteisen muodon vull. (Adms & Essex -kirjss nämä

49 2.5 Sijoitusmenetelmä (cont.) käsitellään erikseen kohdiss 5.6 j 6.3, mikä on tvlln turh.)

50 2.5 Sijoitusmenetelmä (cont.) Esimerkki 26 Lske integrli π 2 0 sin x dx. Rtkisu: Neliöjuuri hnkloitt integroimist, joten sijoitetn x = t 2, kun t 0. Tällöin dx = 2t dt j käänteisestä muodost t = x sdn (hiemn helpommin): kun x = 0, niin t = 0 = 0; kun x = π 2, niin t = π 2 = π. Näin ollen π 2 0 sin x dx = π 0 π 2t sin t dt = 2 t sin t dt = 2π. 0 (Viimeinen integrli lskettiin ikisemmin osittisintegroimll)

51 2.5 Sijoitusmenetelmä (cont.) Myös integrlifunktio voidn usein lske sijoitusmenetelmän vull, jolloin sijoituksen j integroinnin jälkeen pltn tkisin lkuperäiseen muuttujn x, toisin kuin määrätyn integrlin kohdll. Menetelmän ide tulee prhiten esille konkreettisess esimerkissä. Esimerkki 27 Määritä integrlifunktio dx x(1 + x). Rtkisu: Sijoitetn x = t 2, t > 0, eli t = x, jolloin sdn dx 2t = x(1 + x) t(1 + t 2 ) dt = 2 rctn t+c = 2 rctn x+c.

52 2.5 Osmurtohjotelm Kikki rtionlifunktiot R(x) = P(x)/Q(x) voidn integroid osmurtohjotelmien vull. Ensimmäinen vihe: Jkokulmss jkmll (ti muuten) plutetn tilnne siihen, että deg P(x) < deg Q(x). Esimerkki 28 x x + 1 x 2 x 2 1 = (x 2 1) + 1 x 2 1 = (x + 1) 1 x + 1 x 3 x 2 1 = x 3 x x = x + 1 x x + 1 = 1 1 x + 1 = x 2 1 x x 2 1 = x 2 1 x x 2 1 = x(x 2 1) x x x 2 1 = x + x x 2 1

53 2.5 Osmurtohjotelm (cont.) Osmurtohjotelm voidn käyttää integroinniss seurvll tvll. Esimerkki 29 ( x x + 1 dx = 1 1 ) dx = x ln x C. x + 1 Toinen vihe: Jetn nimittäjässä olev polynomi Q(x) joko 1. ti 2. steen relisiin tekijöihin. Näin voidn in tehdä (inkin peritteess); kts. Kompleksiluvut-moniste. Suurimmss osss käytännön sovelluksi trvitn vin helpoint tulost x + b (x x 1 )(x x 2 ) = A + B, x x 1 x x 2 kun kertoimet A, B vlitn sopivll tvll.

54 2.5 Osmurtohjotelm (cont.) Esimerkki 30 Muodost lusekkeen Rtkisu: Hjotelm on muoto 2x + 3 (x 4)(x + 5) osmurtohjotelm. 2x + 3 (x 4)(x + 5) = A x 4 + B x + 5. Kerrotn yhtälö puolittin lusekkeell (x 4)(x + 5), jolloin sdn 2x + 3 = A(x + 5) + B(x 4). Kertoimet A j B sdn tästä khdell eri tvll: Tp 1: Sijoitetn vuorotellen x = 4 ti x = 5. Tp 2: Verrtn x:n potenssien kertoimi yhtälön eri puolill. Molempien tpojen tuloksen sdn A = 11/9 j B = 7/9.

55 2.5 Numeerinen integrointi Hnklien integrlien likirvoj voidn joskus lske Tylor-polynomien vull. Tämä edellyttää kuitenkin sitä, että integroitv funktio on nnettu jonkin lusekkeen vull. Joisskin sovelluksiss funktiost tunnetn vin sen rvot tietyissä pisteissä: y k = f (k x) (esim. mittusdt). Tällöin integrlill ei ole mitään yksiselitteistä oike rvo, mutt sitä voidn pproksimoid seurvill menetelmillä. Niitä voidn tietysti käyttää myös hnklien integrlien likirvon lskemisess.

56 2.5 Numeerinen integrointi (cont.) Yksinkertisin tp on puolisuunniks- eli trpetsisääntö, joss funktion kuvj pproksimoidn murtoviivll: ( 1 f (x) dx T n = h 2 y 0 + y 1 + y y n ) 2 y n, joss h = (b )/n on skelpituus, n N jkovälien lukumäärä, x k = + kh, 0 k n, ovt jkopisteet j y k = f (x k ).

57 2.5 Numeerinen integrointi (cont.) y y = f (x) b x Muit pproksimtioit ovt mm. Keskipistesääntö ( pylväsdigrmmi-pproksimtio ) f (x) dx M n = h(f (m 1 ) + f (m 2 ) + + f (m n )), m k = (x k 1 + x k )/2,

58 2.5 Numeerinen integrointi (cont.) y y = f (x) Simpsonin sääntö b x f (x) dx S n = h 3 (y 0+4y 1 +2y 2 +4y 3 +2y y n 1 +y n ),

59 2.5 Numeerinen integrointi (cont.) joss funktiot interpoloidn 2. steen polynomill khdell peräkkäisellä jkovälillä; jkovälien lukumäärän n täytyy oll prillinen. y y = f (x) b x