y = 3x2 y 2 + sin(2x). x = ex y + e y2 y = ex y + 2xye y2

Transkriptio

1 Matematiikan ja tilastotieteen osasto/hy Differentiaaliyhtälöt I Laskuharjoitus 2 mallit Kevät 219 Tehtävä 1. Laske osittaisderivaatat f x = f/x ja f y = f/, kun f = f(x, y) on funktio a) x 2 y 3 + y sin(2x), b) e x y + xe y2 3e 2xy, c) cos(y sin(xy)). Ratkaisu. a) f(x, y) = x 2 y 3 + y sin(2x). b) f(x, y) = e x y + xe y2 3e 2xy. c) f(x, y) = cos(y sin(xy)). f x (x, y) = f x = 2xy3 + 2y cos(2x). f y (x, y) = f = 3x2 y 2 + sin(2x). f x (x, y) = f x = ex y + e y2 6ye 2xy. f y (x, y) = f = ex y + 2xye y2 6xe 2xy. f x (x, y) = f x = sin(y sin(xy)) y y cos(xy) = y2 sin(y sin(xy)) cos(xy). f y (x, y) = f = sin(y sin(xy)) (sin(xy) + yx cos(xy)). Tehtävä 2. Takaako OY-lause yksikäsitteisen ratkaisun seuraaville alkuarvotehtäville: a) y + e x = cos y, y(π) = 2, b) y = (1 y 2 ) 1/4 + 3x, y(1) =, c) yy = x 2, y(1) =, d) y = (y 1) 1/3, y(4) =? Ratkaisu. Kirjoitetaan differentiaaliyhtälöt muotoon y = f(x, y) ja tutkitaan osittaisderivaatan f(x, y)/ olemassaoloa ja jatkuvuutta. a) y + e x = cos y y = cos y e x = f(x, y) f(x, y) = sin y. 1

2 Funktio f/ on hyvin määritelty ja jatkuva kaikilla (x, y) R 2. Tällöin OY-lause takaa ratkaisujen olemassaolon ja yksikäsitteisyyden jossakin alueessa D R 2, johon piste (π, 2) kuuluu. b) y = (1 y 2 ) 1/4 + 3x = f(x, y) f(x, y) = 1 4 (1 y2 ) 3/4 ( 2y) = y 2(1 y 2 ) 3/4. Funktio f/ on määritelty ja jatkuva täsmälleen silloin, kun y ±1. Pisteessä (1, ) funktio f/ on jatkuva, joten OY-lause takaa ratkaisujen olemassaolon ja yksikäsitteisyyden jossakin alueessa D R 2, johon piste (1, ) kuuluu. c) yy = x 2 y = x2 = f(x, y) y f(x, y) = x2 y. 2 Funktio f/ on määritelty ja jatkuva, kun y. Alkupiste on (1, ), mutta tässä pisteessä f/ ei ole määritelty. OY-lause ei takaa ratkaisujen olemassaoloa tällä alkuarvolla. d) y = (y 1) 1/3 = f(x, y) f(x, y) = 1 3 (y 1) 2/3, Funktio f/ on määritelty ja jatkuva, kun y 1. Alkupiste on (4, ) ja f/ on tässä pisteessä jatkuva, joten OY-lause takaa ratkaisujen olemassaolon ja yksikäsitteisyyden jossakin alueessa D R 2, johon piste (4, ) kuuluu. Tehtävä 3. Käytä lineaarisen yhtälön ratkaisumenetelmää seuraavan alkuarvotehtävän ratkaisemiseen: y (x) + 2 cos x y(x) =, y(π) = 1. x x2 Ratkaisu. Tämän yhtälön integroiva tekijä on e 2 x dx = e ln x2 = x 2. 2

3 Ratkaistaan differentiaaliyhtälö ratkaisumenetelmän mukaan. y (x) + 2 cos x y(x) = x2 x x 2 x 2 y (x) + 2xy(x) = cos x d ( ) x 2 y(x) = cos x dx Alkuehdolla saadaan vakion C arvo: x 2 y(x) = sin x + C y(x) = sin x x 2 + C x 2. y(π) = C π 2 = 1 C = π2. dx : x 2 Koska alkuehdon piste x = π (, ) ja differentiaaliyhtälö ei ole pisteessä x = hyvin määritelty, niin ratkaisut on määritelty alueessa (, ). Ratkaisu on siis y(x) = sin x x 2 + π2 x 2, x >. Tehtävä 4. Samoin: y (x) = y(x), y( 1) = 1. 3 x Ratkaisu. Ratkaisumenetelmä on sama kuin tehtävässä 3. Differentiaaliyhtälö voidaan kirjoittaa muodossa jonka integroiva tekijä on y (x) y(x) 3 x =, e 1 3 x dx = e ln 3 x = 3 x. Itseisarvon sisäfunktion nollakohta on pisteessä x = 3. Koska alkuarvon piste x = 1 kuuluu joukkoon x < 3, tutkitaan itseisarvo tässä joukossa. Tällöin itseisarvo 3 x = 3 x. Ratkaisumenetelmää hyödyntämällä voidaan differentiaaliyhtälö nyt ratkaista joukossa x < 3. Ratkaisemalla differentiaaliyhtälö saadaan 3

4 y (x) = y(x) 3 x y (x) y(x) 3 x = 3 x (3 x)y (x) y(x) = d dx Alkuehdosta saadaan ( y(x) (3 x) ) = y(x) (3 x) = C y(x) = C 3 x. y( 1) = C 4 = 1 C = 4. dx : 3 x Ratkaisu on siis y(x) = 4 3 x, x < 3. Tehtävä 5. Olkoot funktiot p : R R ja q : R R jatkuvia, ja oletetaan lisäksi, että lim x q(x) = ja että on olemassa c >, jolle pätee p(x) c kaikilla x R. Osoita että kaikille lineaarisen yhtälön y (x) + p(x)y(x) = q(x) ratkaisuille pätee lim y(x) =. x Neuvo. Tarkastele ratkaisua, jolle y() = α R ja käytä ratkaisukaavaa. Ratkaisu. Funktiot p ja q ovat hyvin määriteltyjä ja jatkuvia kaikilla x R, joten myös yhtälön ratkaisu on hyvin määritelty joukossa R. Olkoon α R sellainen piste, jolle y() = α. Ensimmäisen kertaluvun lineaarisen differentiaaliyhtälön y (x) + p(x)y(x) = q(x) ratkaisu on tällöin y(x) = e q(t) p(s)ds dt + αe p(t)dt. 4

5 Olkoon ɛ >. Halutaan löytää x > siten, että y(x) = y(x) < kaikilla x > x. Koska tutkitaan raja-arvoa lim x y(x), voidaan tilannetta tutkia postiivisilla muuttujan x arvoilla eli x >. Kolmioepäyhtälön ja integraalin ominaisuuksien perusteella saadaan arvio y(x) = e e e q(t) p(s)ds dt + αe p(t)dt q(t) p(s)ds dt + αe p(t)dt p(s)ds dt + α e p(t)dt kaikilla x >. Oletuksen mukaan lim x q(x) =, joten määritelmän nojalla on olemassa > siten, että kaikilla x > pätee q(x) = q(x) < cɛ 3, missä c > on se vakio, jolle p(x) c. Nyt kaikilla x > pätee p(s)ds dt = 1 1 M + cɛ 3 p(s)ds dt + p(s)ds dt + cɛ 3 p(s)ds dt, p(s)ds dt p(s)ds dt missä M = sup{ p(s)ds : t [, ]}. Tämä supremum on olemassa, sillä funktio, josta se otetaan, on jatkuva ja näin ollen saavuttaa suurimman ja pienimmän arvonsa. Lisäksi havaitaan, että e p(t)dt p(s)ds dt = = = p(s)ds e p(t)dt dt p(s)ds e t e t e t p(s)ds dt. p(t)dt dt 5

6 Oletuksesta p(x) c > saadaan p(x) c, jota hyödyntämällä e t p(s)ds dt = = e t p(s)ds dt e cx e ct dt = e cx = 1 c ecx e c e cx e c (x t) dt e ct dt 1 c ecx e cx = 1 c. Kootaan kaikki arviot ja päätelmät yhteen, jolloin lausekkeelle y(x) saadaan arvio y(x) e e (M + cɛ 3 = M e p(t)dt + cɛ 3 e p(s)ds dt + α e p(t)dt p(s)ds dt) + α e p(t)dt p(t)dt M e c (x ) + cɛ 3 1 c + α e c (x ) = M e cx + ɛ 3 + α e cx. p(s)ds dt + α e p(t)dt Koska M α lim = ja lim =, x e cx x ecx niin on olemassa luvut x 2, x 3 R siten, että kaikilla x > x 2, x 3 pätee M e cx < ɛ 3 ja α e cx < ɛ 3. Valitaan x = max{, x 2, x 3 }, jolloin kaikilla x > x pätee y(x) M e cx Määritelmän mukaan tällöin + ɛ 3 + α e cx < ɛ 3 + ɛ 3 + ɛ 3 = ɛ. lim y(x) =. x Tehtävä 6. Ratkaise seuraavista differentiaaliyhtälöistä ne, jotka ovat eksakteja: 6

7 a) 4xy 1 + (4 + 2x 2 )y =, b) sin x sin y (cos x cos y)y =, c) x 3 y 2 + y 3 x 2 y =. Ratkaisu. Tarkastetaan eksaktisuus hyödyntämällä eksaktisuuslausetta. a) (4xy 1) x (4 + 2x2 ) = 4x 4x =. Koska lausekkeen arvo on identtisesti nolla, on differentiaaliyhtälö on eksaktisuuslauseen nojalla eksakti suorakaiteessa R = R 2. Ratkaistaan tämä kyseinen differentiaaliyhtälö. Eksaktisuudesta seuraa, että ratkaisulle on pädettävä F (x, y) x = 4xy 1 ja F (x, y) = 4 + 2x 2. Ensimmäisen yhtälön perusteella saadaan F (x, y) = (4xy 1)dx = 2x 2 y x + g(y). Hyödyntämällä toista yhtälöä saadaan funktion g(y) lauseke selville. F (x, y) = 2x 2 + g (y) = 4 + 2x 2 g (y) = 4 g(y) = 4y. Implisiittiratkaisu on siis F (x, y) = 2x 2 y x + 4y = C, C R ja eksplisiittisesti ilmoitettuna y(x) = x + C 2x 2 + 4, C R b) (sin x sin y) ( cos x cos y) = sin x cos y sin x cos y =. x 7

8 Koska lausekkeen arvo on identtisesti nolla, on differentiaaliyhtälö on eksaktisuuslauseen nojalla eksakti suorakaiteessa R = R 2. Eksaktisuuden perusteella tulee päteä F (x, y) x = sin x sin y ja F (x, y) = cos x cos y. Saadaan F (x, y) = sin x sin ydx = cos x sin y + g(y) ja toisen ehdon perusteella F (x, y) = cos x cos y + g (y) = cos x cos y g (y) = g(y) = C. Implisiittiratkaisu on siis F (x, y) = cos x sin y = C, C R. Eksplisiittiratkaisu on tässä tapauksessa hankala määrittää määrittelyjoukkojen vuoksi. Lisäksi ratkaisussa itseasiassa vakio C [ 1/2, 1/2], sillä pätee 1/2 cos x sin y 1/2. c) (x3 y 2 ) x (y3 x 2 ) = 2x 3 y 2y 3 x. Koska lauseke ei ole identtisesti nolla, eksaktisuuslauseen nojalla tämä differentiaaliyhtälö ei ole eksakti. 8