Analyysi B. Derivaatta ja integraali. Pertti Koivisto

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Analyysi B. Derivaatta ja integraali. Pertti Koivisto"

Transkriptio

1 Anlyysi B Derivtt j integrli Pertti Koivisto Kevät 7

2 Alkusnt Tämä moniste on trkoitettu oheislukemistoksi Tmpereen yliopistoss pidettävälle kurssille Anlyysi B. Monisteen tvoitteen on tuke luentojen seurmist, hrjoitustehtävien rtkisemist j tentteihin vlmistutumist. Moniste sisältää melko kttvsti kurssill käsiteltävät sit, mutt pikoitellen lisäselitykset j mhdollinen lisämterili helpottnevt tekstin seurmist j esitettyjen sioiden ymmärtämistä. Moniste ei vrsinisesti ole trkoitettu kttvksi itseopiskelupketiksi. Monisteen rkenne j sisältö pohjutuvt Riemnn-integrlin määrittelyä lukuun ottmtt suurelt osin jo edesmenneen Seppo Vepsäläisen ikoinn Tmpereen yliopistoss pitämiin luentoihin. Sisältöä on jonkin verrn muokttu kevyempään suuntn j myös rkenteess on tehty muutoksi. Kurssin menestyksellinen seurminen edellyttää Tmpereen yliopiston opintojksoll Anlyysi A (j sen esitietoin olevill opintojksoill) esitettyjen sioiden hyvää hllint. Jos kurssill trvittvt esitiedot ovt päässeet unohtumn ti niiden hllinnss on muust syystä puutteit, myös esitietojen kertmiseen pitää vrt riittävästi ik (kurssin Anlyysi B seurmisen ohess). Kosk moniste on suor jtko kurssin Anlyysi A vstvlle monisteelle, mtemtiikn opiskelun luonnett koskevien huomutusten oslt näissä lkusnoiss tyydytään viittmn kurssin Anlyysi A monisteen lkusnoihin. Lopuksi esitän kiitokset kikille, jotk ovt kommenteilln, ehdotuksilln j neuvoilln uttneet minu tämän monisteen teoss. Pertti Koivisto

3 Sisältö Esitietoj. Supremum j infimum Rj-rvo j jtkuvuus Funktion derivtt 7. Määritelmiä j perusominisuuksi Yhdistetyn funktion derivtt Käänteisfunktion derivtt Rollen luse j välirvoluse Integrlilskennn perusluse Derivoituvn funktion ominisuuksi 4 3. l Hospitlin sääntö Funktion monotonisuus Funktion äärirvot Pint-lt j porrsfunktiot Al- j yläsumm Porrsfunktio Porrsfunktion integrli Riemnn-integrli Al- j yläintegrli Riemnn-integrli j Riemnn-integroituvuus Integroituvi funktioit Perusominisuuksi Integrlien rviointi Integrlilskennn välirvoluse * Riemnnin summ Integrli j derivtt 4 6. Integrli ylärjns funktion Integrlifunktio * Integrointimenetelmiä 6 7. Määräämätön integrli

4 7. Osittisintegrointi Sijoitusmenetelmä eli muuttujnvihto Rtionlifunktiot Trigonometriset funktiot * Algebrlliset funktiot

5 Esitietoj. Supremum j infimum Joukon pienintä ylärj (supremum) j suurint lrj (infimum) on käsitelty jo kurssill Anlyysi A. Kerrtn vielä luksi supremumin j infimumin määritelmät j perusominisuuksi sekä esitetään muutmi myöhemmissä todistuksiss trvittvi putuloksi. Määritelmä.. Olkoon A R, A. Jos joukon A ylärjojen joukoss on pienin, niin se on joukon A pienin ylärj eli supremum (merkitään sup A). Määritelmä.. Olkoon A R, A. Jos joukon A lrjojen joukoss on suurin, niin se on joukon A suurin lrj eli infimum (merkitään inf A). Täydellisyysksioomn nojll jokisell epätyhjällä ylhäältä rjoitetull joukon R osjoukoll on pienin ylärj. Vstvsti jokisell epätyhjällä lhlt rjoitetull joukon R osjoukoll on suurin lrj. Seurv luse kuv infimumin j supremumin suhdett yksinkertisess erikoistpuksess. Luse.. Olkoot A j B epätyhjiä joukon R osjoukkoj. Jos A B, niin inf B inf A sup A sup B. Todistus. Hrjoitustehtävä. Yleisesti joukon A supremumin ti infimumin ei trvitse kuulu joukkoon A. Jos ne kuitenkin kuuluvt joukkoon A, niin joukon A ylä- j lrjoin ne ovt vstvsti joukon A suurin lkio mx A j pienin lkio min A. Tulos on voimss myös kääntäen, mikä nähdään seurvst luseest.

6 Luse.. Olkoon A epätyhjä joukon R osjoukko. () Jos joukoss A on suurin luku M, niin sup A M. (b) Jos joukoss A on pienin luku m, niin inf A m. Todistus. Ks. Anlyysi A. Huomutus. Weierstrssin min-mx-luseen nojll suljetull välillä [, b] jtkuvn funktion f kuvjoukoss f([, b]) on suurin j pienin lkio. Seurv luse nt vihtoehtoisen tvn tutki joukon supremumin j infimumin olemssolo. Luse on hyödyllinen puväline todistettess täsmällisesti supremumin j infimumin ominisuuksi. Luse.3. Olkoon A epätyhjä joukon R osjoukko. Tällöin () sup A G (i) x A: x G, (ii) ε > : x A: x > G ε, (b) inf A g (i) x A: x g, (ii) ε > : x A: x < g + ε. Todistus. Ks. Anlyysi A. Riemnn-integrlin määrittelyssä erityistä merkitystä on tilnteell, joss yhden joukon kikki lkiot ovt pienempiä ti yhtäsuuri kuin jonkin toisen joukon lkiot. Tällöin trkstelln sellisi epätyhjiä joukkoj A R j B R, että b A j b B. Seurvksi esitetään luseiden muodoss muutm tällisi joukkoj koskev tulos. Tuloksi hyödynnetään myöhemmissä todistuksiss. Intuitiivisesti tulokset tuntuvt luonnollisilt, j ne voidn suhteellisen helposti todist täsmällisesti esimerkiksi luseen.3 vull. Itse täsmälliset todistukset jätetään hrjoitustehtäväksi.

7 Luse.4. Olkoot A R j B R sellisi epätyhjiä joukkoj, että b kikill A j kikill b B. Tällöin sup A inf B. Todistus. Hrjoitustehtävä. Luse.5. Olkoot A R j B R sellisi epätyhjiä joukkoj, että b kikill A j kikill b B. Tällöin sup A inf B täsmälleen silloin, kun jokist positiiviluku ε > kohti on olemss selliset lkiot A j b B, että b < ε. Todistus. Hrjoitustehtävä. Hyödyntämällä lukujonon rj-rvon perusominisuuksi sdn luseen.5 seuruksen välittömästi seurv tulos. Seurus.6. Olkoot A R j B R sellisi epätyhjiä joukkoj, että b kikill A j kikill b B. Tällöin sup A inf B täsmälleen silloin, kun on olemss selliset lukujonot ( n ) j (b n ), että n A, b n B j lim n lim b n. n n Lisäksi tällöin sup A inf B lim n ( lim b n ). n n Todistus. Hrjoitustehtävä. 3

8 . Rj-rvo j jtkuvuus Kurssill Anlyysi A esitetyt lukujonon rj-rvo sekä funktion rj-rvo j jtkuvuutt koskevt tulokset oletetn jtkoss tunnetuksi. Tvnomisten lskusääntöjen ohell trvitn esimerkiksi suljetull välillä jtkuvien funktioiden ominisuuksi (mm. Bolznon luse j Weierstrssin min-mx luse). Lisäksi hyödynnetään polynomi- j juurifunktioiden, eksponentti- j logritmifunktioiden sekä trigonometristen funktioiden j niiden käänteisfunktioiden jtkuvuustuloksi sekä joitkin kurssill Anlyysi A johdettuj rj-rvotuloksi. Tällisi ovt esimerkiksi rj-rvot (.) lim x x sin x j lim x sin x x. Eksponentti- j logritmifunktioiden oslt on syytä plutt mieleen myös logritmin normlit lskusäännöt sekä kv (.) log x log x log (x >, >, ), joll -kntinen logritmi sdn plutetuksi (luonnolliseksi) logritmiksi, j yleinen muunnoskv f(x) g(x) e log f(x)g(x) e g(x) log f(x) (f(x) > ). Muunnoskvn erikoistpuksin tulevt käyttöön myös yleisen eksponenttifunktion määritelmä (.3) x e x log (x R, > ) j yleisen potenssifunktion määritelmä (.4) x e log x (x >, R). Lisäksi trvitn rj-rvo (.5) lim x e x x. 4

9 Seurvksi esitetään vielä kertuksen muutm tulos, joihin tulln viittmn myöhemmin. Tulokset on todistettu kurssill Anlyysi A. Aluksi pri funktion rj-rvo koskev lusett. Luse.7. Olkoon lim f(x) A. Jos tällöin on olemss sellinen δ M >, x että f(x) M x U δ M (), niin A M, j jos on olemss sellinen δ m >, että f(x) m x U δ m (), niin A m. Luse.8. Olkoon lim f(x) A. Jos A >, niin on olemss sellinen δ >, x että f(x) > x U δ(), j jos A <, niin on olemss sellinen δ >, että f(x) < x U δ(). Käänteisfunktioit tutkittess joudutn nytkin rjoittumn tietyn tyyppisiin funktioihin. Täsmällisesti otten hyödynnetään tieto, että jos funktio on jollkin välillä idosti monotoninen j jtkuv, niin funktioll on käänteisfunktio, jok myös on idosti monotoninen j jtkuv. Luse.9. Olkoon f : [, b] R sellinen idosti ksvv j jtkuv funktio, että f() A j f(b) B. Tällöin funktioll f : [, b] [A, B] on käänteisfunktio f : [A, B] [, b], jok on välillä [A, B] idosti ksvv j jtkuv. Luse.. Olkoon f : [, b] R sellinen idosti vähenevä j jtkuv funktio, että f() A j f(b) B. Tällöin funktioll f : [, b] [B, A] on käänteisfunktio f : [B, A] [, b], jok on välillä [B, A] idosti vähenevä j jtkuv. 5

10 Huomutus.. Luseet.9 j. voidn yleistää koskemn minkä thns tyyppistä väliä I. Lopuksi kerrtn vielä tsisen jtkuvuuden määritelmä j suljetull välillä jtkuvien funktioiden tsist jtkuvuutt koskev perustulos. Tulost hyödynnetään jtkuvien funktioiden Riemnn-integroituvuuden todistmisess. Määritelmä.3. Funktio f on tsisesti jtkuv välillä I, jos jokist positiiviluku ε > kohti on olemss sellinen δ >, että f(x ) f(x ) < ε in, kun x, x I j x x < δ. Luse.. Suljetull välillä [, b] jtkuv funktio on tällä välillä tsisesti jtkuv. 6

11 Funktion derivtt. Määritelmiä j perusominisuuksi.. Määrittelyjä Määritellään luksi, mitä funktion derivtll j derivoituvuudell trkoitetn. Määritelmä.. Funktio f on derivoituv pisteessä x, jos rj-rvo lim h f(x + h) f(x) h on äärellisenä olemss. Kyseistä rj-rvo snotn tällöin funktion f derivtksi pisteessä x j merkitään f (x). Huomutus. Derivtn määritelmä tässä muodoss esitettynä sisältää oletuksen, että funktio f on määritelty pisteen x josskin ympäristössä (piste x mukn luettun). Huomutus. Muit mhdollisi derivtn merkitsemistpoj ovt esimerkiksi d dx f(x), Df(x), D xf(x). Huomutus. Osmäärää f(x + h) f(x) h snotn funktion f erotusosmääräksi pisteessä x. Huomutus.. Derivtn määritelmässä esiintyvä rj-rvo voidn esittää myös muodoss f(y) f(x) lim. y x y x 7

12 Esimerkki.. Olkoon f(x) x (x ). Määritetään f () j f ( ). Olkoon < h <. Tällöin f( + h) f() h +h h h +h h + h, kun h, j f( + h) f( ) h ( ) +h h h +h h + h, kun h. Siis f () f ( ). Esimerkki.. Osoitetn, että funktio f(x) x ei ole derivoituv pisteessä x. Olkoon h. Tällöin f( + h) f() h + h h h h, jos h >,, jos h <. Siis rj-rvo lim h f( + h) f() h ei ole olemss j f ei ole derivoituv pisteessä x. Esimerkki.3. Osoitetn, että vkiofunktion derivtt on in noll eli D(c) kikill c R. Olkoon f(x) c (c R). Jos nyt h, niin erotusosmäärä f(x + h) f(x) h c c h kikill x R. Tällöin myös erotusosmäärän rj-rvo on, kun h, eli f (x) kikill x R. 8

13 Esimerkki.4. Olkoon f(x) x n (n Z + ). Osoitetn, että kikill x R j kikill n Z +. Kosk f (x) n x n y n x n (y x)(y n + y n x + + yx n + x n ) kikill x, y R j kikill n Z + (hrjoitustehtävä), niin huomutuksen. j polynomifunktion jtkuvuuden nojll f (x) lim y x f(y) f(x) y x y n x n y x lim y x lim y x (y n + y n x + + yx n + x n ) x n + x n x + + xx n + x n n x n kikill x R j kikill n Z +. Esimerkki.5. Osoitetn, että kikill x R. D(sin x) cos x Plutetn luksi trigonometrist mieleen kv (.) sin x sin y cos x + y sin x y x, y R. Käyttämällä kv (.) sekä hyödyntämällä kosinin jtkuvuutt j rj-rvo sin x lim x x (ks. (.), s. 4) sdn (kikill x R) lim h sin(x + h) sin x h cos x+h lim h h sin h sin h lim h h cos(x + h ) }{{}}{{} x cos x cos x. 9

14 Käyttämällä kvn (.) sijst kv cos x cos y sin x + y sin x y voidn vstvll tvll osoitt (hrjoitustehtävä), että kikill x R. D(cos x) sin x Esimerkki.6. Osoitetn, että lim x cos x x. Olkoon f(z) cos z. Tällöin lim x cos x x lim x cos( + x) cos x f () sin. Esimerkki.7. Osoitetn, että kikill x R. D(e x ) e x Hyödyntämällä potenssin lskusääntöjä j rj-rvo (ks. (.5), s. 4) sdn lim h kikill x R. e x+h e x h lim x lim h e x e h e x h e x x ( e lim e x h ) h }{{ h } e x e x.. Toispuoleiset derivtt Erotusosmäärän rj-rvon sijst voidn trkstell vin erotusosmäärän oikenpuoleist ti vsemmnpuoleist rj-rvo. Tällöin sdn vstvsti vin oikenpuoleinen ti vsemmnpuoleinen derivtt.

15 Määritelmä.. Mikäli rj-rvo f (x+) lim h + f(x + h) f(x) h on äärellisenä olemss, snotn sitä funktion f oikenpuoleiseksi derivtksi pisteessä x. Vstvsti mikäli rj-rvo f (x ) lim h f(x + h) f(x) h on äärellisenä olemss, snotn sitä funktion f vsemmnpuoleiseksi derivtksi pisteessä x. Esimerkki.8. Funktiolle f(x) x (ks. esimerkki., s. 8) f (+) j f ( ). Esimerkki.9. Olkoon >. Määritetään funktion f(x) x (x ) oikenpuoleinen derivtt pisteessä x. Jos h +, niin f( + h) f() h ( + h) h h h h, kun >,, kun,, kun < <. Täten f, kun >, (+), kun. Kun < <, niin f (+) ei ole olemss. Huomutus.. Kosk erotusosmäärän rj-rvo plutuu erotusosmäärän toispuoleisiin rj-rvoihin, funktio f on derivoituv pisteessä x täsmälleen silloin, kun f (x ) j f (x+) ovt äärellisenä olemss j yhtä suuret.

16 Määritelmä.3. Funktio f on derivoituv voimell välillä ], b[, jos f on derivoituv välin jokisess pisteessä. Määritelmä.4. Funktio f on derivoituv suljetull välillä [, b], jos f on derivoituv välin jokisess sisäpisteessä j lisäksi f (+) j f (b ) ovt äärellisenä olemss. Määritelmä.5. Funktio f on derivoituv välillä [, b[, jos f on derivoituv välillä ], b[ j f (+) on äärellisenä olemss, j f on derivoituv välillä ], b], jos f on derivoituv välillä ], b[ j f (b ) on äärellisenä olemss. Huomutus. Jos f on derivoituv välillä I, snotn kuvust f : I R (jonk smt rvot välillä I ovt derivtt f (x)) funktion f derivttfunktioksi (ti lyhyesti derivtksi) välillä I. Huomutus. Derivtt f (x) j derivttfunktion (eli derivtn) rj-rvo lim f (y) y x ovt kksi eri käsitettä (ks. esimerkki.). Esimerkki.. Olkoon 3, jos x, f(x), jos x <. Funktio f ei ole derivoituv pisteessä x, sillä f ( ) lim h f( + h) f() h lim h 3 h lim h h ei ole äärellisenä olemss. Toislt f (x) kikill x, joten lim f (x) x lim f (x) x + lim f (x). x

17 Huomutus. Jos derivttfunktio f on jtkuv välillä I, snotn, että funktio f on jtkuvsti derivoituv välillä I...3 Perusominisuuksi Luse.3. Jos funktio f on derivoituv pisteessä x, niin f on jtkuv pisteessä x. Todistus. Jos f on derivoituv pisteessä x, niin Olkoon h. Tällöin lim h f(x + h) f(x) h f (x). f(x + h) (f(x + h) f(x)) + f(x) h f(x + h) f(x) h + f(x) f (x) + f(x) f(x), kun h. Siis f on jtkuv pisteessä x. Huomutus. Jos funktio f ei ole jtkuv pisteessä x, niin f ei ole myöskään derivoituv pisteessä x. Huomutus. Jos funktio on derivoituv jollkin välillä I, on se tällä välillä myös jtkuv (hrjoitustehtävä). 3

18 Huomutus. Luse.3 ei ole kääntäen voimss. Esimerkiksi funktio f(x) x on jtkuv pisteessä x, mutt ei ole derivoituv pisteessä x (ks. esimerkki., s. 8). Luse.4. Olkoot funktiot f j g derivoituvi pisteessä x. Tällöin myös funktiot f + g, f g, fg, kf (k R) j f g ovt derivoituvi pisteessä x j (kun g(x) ) (i) (ii) (iii) (iv) (v) (f + g) (x) f (x) + g (x), (f g) (x) f (x) g (x), (kf) (x) k f (x), (fg) (x) f (x)g(x) + g (x)f(x), ( f g ) (x) f (x)g(x) g (x)f(x) g(x). Todistus. (i) Lskemll sdn (f + g) (x) lim h (f + g)(x + h) (f + g)(x) h lim h [f(x + h) + g(x + h)] [f(x) + g(x)] h lim h [f(x + h) f(x)] + [g(x + h) g(x)] h f (x) + g (x). (ii) Tulos seur kohdist (i) j (iii), kun funktioksi g vlitn g. (iii) Kosk vkiofunktion derivtt on noll, tulos sdn kohdst (iv) vlitsemll funktioksi g vkiofunktio k. 4

19 (iv) Lskemll sdn (fg) (x) lim h f(x + h)g(x + h) f(x)g(x) h lim h f(x + h)g(x + h) f(x + h)g(x) + f(x + h)g(x) f(x)g(x) h lim h f(x + h) [g(x + h) g(x)] + g(x) [f(x + h) f(x)] h [ lim f(x + h) h }{{} f(x) f(x)g (x) + g(x)f (x). g(x + h) g(x) h + g(x) (v) Oletetn, että g(x). Osoitetn, että ( ) (x) g (x) g g(x). Tällöin väite seur kohdst (iv), sillä ( ) f (x) ( f ) (x) g g Lskemll sdn nyt ( g ] f(x + h) f(x) h ( ) f (x) g(x) + g (x) f(x) g(x) f (x)g(x) g (x)f(x) g(x). ) (x) ( lim h h g(x + h) ) g(x) lim h g(x) g(x + h) h g(x + h) g(x) g(x + h) g(x) lim h h g(x + h) g(x) }{{} g(x) g (x) g(x). 5

20 Esimerkki.. Luseen.4 sekä esimerkkien.3 (s. 8) j.4 (s. 9) perusteell polynomifunktio on derivoituv j p(x) n x n + n x n + + x + x + p (x) n n x n + (n ) n x n + + x + kikill x R. Esimerkki.. Käyttämällä tulon derivointisääntöä sekä polynomin (esimerkki.) j sinin (esimerkki.5, s. 9) derivointikvoj sdn kikill x R. D(x 5 sin x) 5x 4 sin x + x 5 cos x Esimerkki.3. Käyttämällä tulon derivointisääntöä j eksponenttifunktion (esimerkki.7, s. ) sekä sinin j kosinin (esimerkki.5, s. 9) derivointikvoj sdn D(e x sin x cos x) D(e x ) sin x cos x + e x D(sin x cos x) e x sin x cos x + e x( D(sin x) cos x + sin x D(cos x) ) kikill x R. e x sin x cos x + e x (cos x cos x + sin x ( sin x)) e x (cos x + sin x cos x sin x) Esimerkki.4. Jos x, niin käyttämällä polynomin derivointikv j osmäärän derivointisääntöä sdn ( D x) x x x j ( ) x D x x x(x ) x + x (x ) x 4 x x 3. 6

21 Esimerkki.5. Osoitetn, että D(tn x) cos x + tn x kikill x π + nπ (n Z) j D(cot x) sin x cot x kikill x nπ (n Z). Kosk sin x + cos x kikill x R, niin sinin j kosinin derivointikvojen (esimerkki.5, s. 9) sekä osmäärän derivoimissäännön vull sdn ( ) sin x D(tn x) D cos x cos x cos x ( sin x) sin x cos x cos x + sin x cos x kikill x π + nπ (n Z) j ( ) cos x D(cot x) D sin x cos x + tn x ( sin x) sin x cos x cos x sin x sin x cos x sin x sin x cot x kikill x nπ (n Z). 7

22 ..4 Korkempien kertlukujen derivtt Määritelmä.6. Jos funktion f derivttfunktio f on derivoituv pisteessä x, snotn funktion f derivtt tässä pisteessä funktion f toisen kertluvun derivtksi pisteessä x j merkitään f (x). Yleisesti funktion f n:nnen kertluvun derivtt pisteessä x on mikäli derivtt ovt olemss. f (n) (x) D ( f (n ) (x) ) (n, 3,...), Huomutus. Funktion f(x) n:nnen kertluvun derivtlle käytetään myös merkintöjä D n d n f(x) j dx f(x). n Huomutus. Lisäksi voidn määritellä, että f () f, jolloin määritelmä.6 on merkinnän luonteisen voimss myös, kun n. Esimerkki.6. Olkoon f(x) x n (n Z + ). Tällöin polynomin derivointikvn (esimerkki.) perusteell f (x) nx n, f (x) n (n )x n,. f (n ) (x) n (n ) x, f (n) (x) n!, f (n+) (x) kikill x R. Esimerkki.7. Kosk D(e x ) e x, niin D n (e x ) e x kikill n Z + j kikill x R. 8

23 Esimerkki.8. Olkoon f(x) sin x. Tällöin sinin j kosinin derivointikvojen (esimerkki.5, s. 9) sekä luseen.4 (s. 4) perusteell kikill x R. f (x) cos x, f (x) sin x, f (x) cos x, f (4) (x) sin x,. 9

24 . Yhdistetyn funktion derivtt Trkstelln seurvksi yhdistetyn funktion derivointikv eli ketjusääntöä. Luseess.5 oletetn tietenkin, että funktion f kuvjoukko sisältyy funktion g määrittelyjoukkoon, jolloin voidn puhu yhdistetystä funktiost g f. Luse.5. Jos funktio f on derivoituv pisteessä x j funktio g on derivoituv pisteessä f(x), niin funktio g f on derivoituv pisteessä x j (g f) (x) g (f(x))f (x). Todistus. Olkoon f derivoituv pisteessä x j g derivoituv pisteessä f(x). Tvoitteen on nyt osoitt, että lim h (g f)(x + h) (g f)(x) h Olkoon h. Merkitään lim h g(f(x + h)) g(f(x)) h g (f(x))f (x). y f(x) j k f(x + h) f(x). Kosk f on derivoituvn funktion jtkuv pisteessä x, niin k, jos h. Lisäksi f(x + h) f(x) + k y + k j edelleen (.) g(f(x + h)) g(f(x)) h g(y + k) g(y). h Olkoon g(y + t) g(y) g (y), kun t, u(t) t, kun t. Kosk g on derivoituv pisteessä y, niin u(t) on jtkuv pisteessä t. Lisäksi g(y + t) g(y) t (u(t) + g (y)) t R, joten myös g(y + k) g(y) h k (u(k) + g (y)) h (u(k) + g (y)) k h k R.

25 Jos nyt h, niin u(k) (sillä myös k j u on jtkuv pisteessä k ) j Täten lim h k h g(y + k) g(y) h f(x + h) f(x) h mistä väite seurn yhtälön (.) perusteell. f (x). g (y)f (x) g (f(x))f (x), Huomutus. Luseen.5 tulos voidn esittää myös muodoss (g f) (x) dg df df dx. Vstvsti jos f f... f n on yhdistetty funktio j ll esiintyvät derivtt ovt olemss, niin voidn yleistää d dx (f f f n ) df df df df 3 df n dx. Esimerkki.9. Käyttämällä polynomin j sinin derivointikvoj sekä yhdistetyn funktion derivoimissääntöä sdn kikill x R. D(sin (x)) sin x D(sin x) sin x cos x D(x) sin x cos x sin x cos x sin 4x Esimerkki.. Vstvsti kuin esimerkissä.9 sdn D ( sin(sin(x )) ) cos(sin(x )) D(sin(x )) cos(sin(x )) cos(x ) D(x ) cos(sin(x )) cos(x ) x x cos(x ) cos(sin(x )) kikill x R. Yhtälöketjun viimeinen yhtäsuuruus seur trigonometrin kvst sin x sin x cos x.

26 Esimerkki.. Käyttämällä polynomin derivointikv j yhdistetyn funktion derivoimissääntöä sdn kikill x R. D ( (x 3 + x) 5) 5(x 3 + x) 4 (3x + ) (5x + )(x 3 + x) 4 Esimerkki.. Esimerkin.4 (s. 9) perusteell D(x n ) nx n n Z + j x R. Osoitetn, että jos x, niin potenssin derivointikv pätee kikille n Z. Olkoon siis x. Todetn luksi, että tällöin D(x ) D() x. Olkoon sitten n Z +. Käyttämällä kv x n ( x) n j soveltmll yhdistetyn funktion derivointisääntöä sekä potenssin derivointikv j esimerkin.4 (s. 6) tulost ( D x) x sdn (( n ) D(x n ) D x) ( ) n ( n D x x) ( n n ( x) ) x ( ) n ( n x x) ( n+ n x) nx (n+) nx n. Siis potenssin derivointikv pätee kikille n Z (kun x ) eli D(x n ) nx n n Z, x.

27 Esimerkki.3. Olkoon x sin, kun x, f(x) x, kun x. Osoitetn, että f (x) on olemss kikill x R j derivttfunktio f (x) ei ole jtkuv pisteessä x. : Olkoon x. Tällöin f (x) x sin x + x cos ( x ) x x sin x cos x tvnomisten derivointisääntöjen nojll. : Funktio f(x) on derivoituv pisteessä x j f (), sillä hyödyntämällä rj-rvo (.) (s. 4) sdn lim h f( + h) f() h lim h h sin(/h) h lim h h sin h. Siis kohtien j nojll funktio f(x) on derivoituv kikill x R. 3 : Osoitetn derivttfunktion f (x) epäjtkuvuus pisteessä x osoittmll, että rj-rvo lim f (x) ei ole olemss. Rj-rvost (.) (s. 4) seur, x että lim x sin x x. Toislt rj-rvo lim x cos x ei ole olemss (hrjoitustehtävä), joten funktion rj-rvon lskusääntöjen nojll myöskään rj-rvo ( lim x sin x x cos ) x lim x f (x) ei voi oll olemss. Siis f (x) ei ole jtkuv pisteessä x. Huomutus. Kosk esimerkin.3 derivttfunktio f (x) ei ole jtkuv pisteessä x, niin f (x) ei ole myöskään derivoituv pisteessä x (eli f () ei ole olemss). 3

28 Esimerkki.4. Olkoon >. Osoitetn, että D( x ) x log kikill x R. Käyttämällä muunnoskv x e x log (ks. (.3), s. 4) sekä eksponenttifunktion derivointikv j yhdistetyn funktion derivoimissääntöä sdn kikill x R. D( x ) D(e x log ) e x log D(x log ) e x log log x log 4

29 .3 Käänteisfunktion derivtt Kosk derivoituvll funktioll ei välttämättä ole käänteisfunktiot, on käänteisfunktion derivoituvuutt tutkittess rjoituttv esimerkiksi idosti monotonisiin funktioihin (jolloin käänteisfunktio on olemss). Lisäksi funktion derivtn rvolle on setettv rjoituksi. Luse.6. Oletetn, että funktio f on jtkuv j idosti monotoninen josskin pisteen x ympäristössä j että f on derivoituv pisteessä x j f (x). Tällöin käänteisfunktio f on derivoituv pisteessä y f(x) j (f ) (y) f (x) f (f (y)). Todistus. Oletetn, että luseen oletukset ovt voimss pisteessä x. Olkoon lisäksi y f(x) j erityisesti y f(x ). Kosk f on jtkuv j idosti monotoninen josskin pisteen x ympäristössä, on funktioll f rjoitettun tähän väliin käänteisfunktio f (jok on jtkuv j idosti monotoninen josskin pisteen y ympäristössä, ks. luseet.9 j. sekä huomutus., s. 5 6). Lisäksi tällöin x x täsmälleen silloin, kun f(x) f(x ) eli y y, j f(x) f(x ), kun x x. Siis lim h f (y + h) f (y ) h lim y y f (y) f (y ) y y lim x x f (f(x)) f (f(x )) f(x) f(x ) lim x x x x f(x) f(x ) lim x x f(x) f(x ) x x f (x ), sillä f on derivoituv pisteessä x j f (x ). Täten f on derivoituv pisteessä y j (f ) (y ) f (x ) f (f (y )). 5

30 Huomutus. Oletus f (x) luseess.6 on oleellinen (ks. esimerkki.5). Esimerkki.5. Esimerkiksi funktio f(x) x 3 on jtkuv, idosti ksvv j derivoituv kikill x R. Lisäksi sillä on käänteiskuvus, jok on jtkuv j idosti ksvv kikill x R. Käänteiskuvus ei kuitenkn ole derivoituv pisteessä x (hrjoitustehtävä). Esimerkki.6. Osoitetn, että D(rc sin x) x x ], [. Funktio f(x) sin x on jtkuv j idosti ksvv välillä [ π, π ]. Lisäksi f on derivoituv tällä välillä j f (x) cos x > x ] π, π[ (esimerkki.5, s. 9). Täten sinin käänteisfunktio rc sin x on luseen.6 nojll derivoituv kikill x ], [. Määritetään sitten rkussinin derivtt välillä ], [. Olkoon y rc sin x. Kosk sin y + cos y, niin (.3) cos(rc sin x) ± sin (rc sin x) x x ], [. Kvss (.3) on vlittv merkki +, sillä rc sin x ] π, π [ j kosini on tällä välillä positiivinen. Täten käänteisfunktion derivoimiskvn perusteell D(rc sin x) kikill x ], [. D(sin y) cos y cos(rc sin x) x Täsmällinen todistus, ks. esimerkki 3.4, s

31 Esimerkki.7. Vstvvll tvll kuin esimerkissä.6 voidn osoitt (hrjoitustehtävä), että kosinin käänteisfunktio rc cos x on derivoituv kikill x ], [, tngentin käänteisfunktio rc tn x on derivoituv kikill x R j kotngentin käänteisfunktio rc cot x on derivoituv kikill x R. Lisäksi käänteisfunktion derivoimiskvn perusteell (kun y rc cos x, y rc tn x ti y rc cot x) D(rc cos x) D(cos y) sin y sin(rc cos x) x kikill x ], [, D(rc tn x) D(tn y) + tn y + tn (rc tn x) + x kikill x R j D(rc cot x) D(cot y) cot y + cot (rc cot x) + x kikill x R (hrjoitustehtävä). Siis D(rc cos x) x x ], [, D(rc tn x) + x x R, D(rc cot x) + x x R. Esimerkki.8. Osoitetn, että D(log x) x x > Eksponenttifunktio e x on jtkuv j idosti ksvv kikill x R. Lisäksi D(e x ) e x (esimerkki.7, s. ) j e x > kikill x R. Täten eksponenttifunktion käänteisfunktio log x on luseen.6 nojll derivoituv kikill x > j (y log x) D(log x) D(e y ) e y e log x x. 7

32 Esimerkki.9. Olkoon >, j x >. Kosk (ks. (.), s. 4) niin esimerkin.8 nojll log x log x log, ( ) log x D(log x) D log log x x log. Esimerkki.3. Osoitetn, että lim x log( + x) x. Olkoon f(z) log z (z > ). Tällöin lim x log( + x) x lim x log( + x) log x f (). Huomutus. Jos f(x) >, niin käyttämällä muunnoskv (ks. s. 4) f(x) g(x) e log f(x)g(x) g(x) log f(x) e funktion f(x) g(x) ominisuudet voidn plutt funktion g(x) log f(x) ominisuuksiin. Jos esimerkiksi f j g ovt derivoituvi, niin funktion f(x) g(x) derivtt voidn lske käyttämällä eksponenttifunktion derivointikv j yhdistetyn funktion derivointisääntöä, jolloin D(f(x) g(x) ) e g(x) log f(x) D ( g(x) log f(x) ) f(x) g(x) D ( g(x) log f(x) ). Esimerkki.3. Olkoon f(x) x x e log xx e x log x (x > ). Tällöin f (x) e x log x D(x log x) e x log x ( log x + x ) (log x + ) x x. 8

33 Esimerkki.3. Osoitetn, että D(x ) x R, x > (eli jos x >, niin potenssin derivointikv pätee kikille R). Olkoon siis x > j R. Hyödyntämällä yleisen potenssifunktion määrittelyä x e log x (ks. (.4), s. 4) sekä yhdistetyn funktion derivoimissääntöä j eksponentti- j logritmifunktioiden derivointikvoj sdn D(x ) D(e log x ) e log x D( log x) e log x x x x x. Huomutus.7. Esimerkkien.9 (s. ) j.3 nojll funktio x on derivoituv välillä [, [, jos. 9

34 .4 Rollen luse j välirvoluse Tutkitn luksi ennen Rollen lusett j välirvolusett funktion käyttäytymistä yhdessä yksittäisessä pisteessä. Luse.8. Oletetn, että funktio f on derivoituv pisteessä. (i) Jos f () >, niin on olemss sellinen δ >, että f(x) < f() x ] δ, [ j f(x) > f() x ], + δ[. (ii) Jos f () <, niin on olemss sellinen δ >, että f(x) > f() x ] δ, [ j f(x) < f() x ], + δ[. Todistus. Todistetn koht (i). Koht (ii) todistetn vstvsti (hrjoitustehtävä). Kosk f(x) f() lim f () >, x x niin luseen.8 (s. 5) nojll on olemss sellinen δ >, että f(x) f() x > x U δ(). Jos nyt x ] δ, [, niin x <, joten myös f(x) f() < eli f(x) < f(). Jos ts x ], + δ[, niin x >, joten myös f(x) f() > eli f(x) > f(). Huomutus. Ehdost f () > ei voi päätellä, että funktio f olisi ksvv millään välillä ] δ, + δ[, j ehdost f () < ei voi päätellä, että funktio f olisi vähenevä millään välillä ] δ, + δ[. Seurus.9. Jos funktio f svutt suurimmn ti pienimmän rvons pisteessä j f on derivoituv pisteessä, niin f (). Huomutus. Seurus.9 ei ole voimss kääntäen. 3

35 .4. Rollen luse Seuruksen.9 vull voidn todist Rollen luse. Luse. (Rollen luse). Jos (i) f on jtkuv suljetull välillä [, b], (ii) f on derivoituv voimell välillä ], b[, (iii) f() f(b), niin on olemss sellinen ξ ], b[, että f (ξ). Todistus. : Jos f on vkiofunktio, niin f (x) x ], b[. Täten mikä thns välin ], b[ piste kelp vdituksi pisteeksi. : Jos f ei ole vkiofunktio, niin on olemss sellinen c ], b[, että Oletetn nyt, että f(c) > f() ti f(c) < f(). f(c) > f() f(b) (tpus f(c) < f() todistetn täysin vstvsti). Kosk f on suljetull välillä [, b] jtkuv, niin f svutt Weierstrssin min-mx-luseen nojll suurimmn rvons josskin välin [, b] pisteessä ξ. Tällöin f(ξ) f(c) > f() f(b), joten ξ ], b[. Siis f on derivoituv pisteessä ξ. Lisäksi seuruksen.9 nojll f (ξ). Siis ξ on vdittu piste. Seurus.. Jos f on derivoituv välillä I j on olemss selliset x, x I, että x < x j f(x ) f(x ), niin on olemss sellinen ξ ]x, x [, että f (ξ). 3

36 Huomutus.. Seuruksen. nojll välillä I derivoituvll funktioll on tällä välillä in khden nollkohtns välissä vähintään yksi derivtn nollkoht. Esimerkki.33. Olkoon Tällöin f(x) x 3 + 3x. f (x) 3x + 3 3(x + ) > x R, joten derivttfunktioll f ei ole yhtään relist nollkoht. Siis huomutuksen. nojll funktioll f voi oll korkeintn yksi relinen nollkoht. Toislt selvästi f(), joten funktioll f on täsmälleen yksi relinen nollkoht (pisteessä x ). Huomutus.3. Käyttämällä huomutust. j Bolznon lusett sdn joskus määritettyä funktion nollkohtien täsmällinen määrä. Esimerkki.34. Funktioll f(x) x 4 + 4x 7x 5 on täsmälleen kksi relist nollkoht (hrjoitustehtävä)..4. Välirvoluse Todistetn luksi Rollen lusett käyttäen kht funktiot koskev välirvoluseen yleistys. Luse.4 (Yleistetty välirvoluse). Jos funktiot f j g ovt jtkuvi suljetull välillä [, b] j derivoituvi voimell välillä ], b[, niin on olemss sellinen piste ξ ], b[, että (.4) g (ξ) [f(b) f()] f (ξ) [g(b) g()]. 3

37 Todistus. Olkoon h(x) f(x) [g(b) g()] g(x) [f(b) f()]. Tällöin h on jtkuv välillä [, b] j derivoituv välillä ], b[, sillä f j g ovt jtkuvi välillä [, b] j derivoituvi välillä ], b[. Lisäksi j joten h() f()g(b) f()g() g()f(b) + g()f() f()g(b) f(b)g() h(b) f(b)g(b) f(b)g() g(b)f(b) + g(b)f() f()g(b) f(b)g(), h() h(b). Siis h toteutt Rollen luseen edellytykset, joten on olemss sellinen ξ ], b[, että h (ξ) eli f (ξ) [g(b) g()] g (ξ) [f(b) f()]. Huomutus.5. Jos luseess.4 tehdään funktiolle g lisäoletus, että g (x) kikill x ], b[, sdn (.5) f (ξ) g (ξ) f(b) f() g(b) g() (Cuchyn välirvokv). Todistus. Jos olisi g() g(b), niin Rollen lusett voitisiin sovelt funktioon g välillä [, b], jolloin olisi olemss sellinen ξ ], b[, että g (ξ ), mikä on vstoin huomutuksen oletuksi. Siis on oltv g() g(b), jolloin kvss (.4) voidn jk puolittin lusekkeill g(b) g() j g (ξ). Jos luseess.4 vlitn g(x) x (kikill x [, b]), sdn vrsininen differentililskennn välirvoluse. 33

38 f(b) f(b) f() f() ξ ξ b b Kuv.: Funktion f kuvjn pisteisiin (ξ, f(ξ )) j (ξ, f(ξ )) piirretyt tngentit ovt pisteiden (, f()) j (b, f(b)) kutt kulkevn suorn suuntisi, joten tngenteill j kyseisellä suorll on sm kulmkerroin. Luse.6 (Differentililskennn välirvoluse). Jos funktio f on jtkuv suljetull välillä [, b] j derivoituv voimell välillä ], b[, niin on olemss sellinen ξ ], b[, että f(b) f() f (ξ)(b ). Huomutus. Luseest.6 käytetään usein lyhyesti pelkästään nimitystä välirvoluse. Siitä käytetään myös lyhennettä VAL. Huomutus. Välirvoluseen tulos voidn esittää myös muodoss (vrt. kuv.) f f(b) f() (ξ). b Huomutus. Piste ξ riippuu pitsi funktiost f myös välistä [, b] (vrt. kuv. j esimerkki.35). 34

39 Esimerkki.35. Olkoon f(x) x 3. Trkstelln väliä [, b], missä b >, j määritetään välirvoluseess esiintyvä piste ξ. Funktio f on polynomin jtkuv j derivoituv välillä [, b], joten välirvoluseen nojll on olemss sellinen ξ ], b[, että b 3 3ξ (b ). Siis ξ b 3 ], b[. Siis ξ todellkin riippuu koko jn välin päätepisteistä. Esimerkki.36. Osoitetn välirvoluseen vull, että cos x x x R. Trkstelln funktiot f(t) cos t. Esimerkin.5 (s. 9) nojll f on jtkuv j derivoituv kikill t R j f (t) sin t t R. : Olkoon x >. Sovelletn välirvolusett funktioon f välillä [, x] (f on jtkuv j derivoituv välillä [, x]). On siis olemss sellinen ξ ], x[, että cos x cos sin ξ (x ). Kosk cos j sin ξ kikill ξ R, niin cos x sin ξ x sin ξ x x. : Olkoon x <. Sovelletn välirvolusett funktioon f välillä [x, ] (f on jtkuv j derivoituv välillä [x, ]). On siis olemss sellinen ξ ]x, [, että eli cos cos x sin ξ ( x) cos x cos sin ξ (x ). Väite seur nyt vstvsti kuin kohdss. Kosk väite on tosi, kun x, niin kohdist j seur, että väite pätee kikill x R. 35

40 Esimerkki.37. Osoitetn välirvoluseen vull, että j Trkstelln funktiot x < x + x > x + x <, kun < x <. f(t) t (t ) j sovelletn välirvolusett funktioon f väleillä [, x] sekä [x, ]. Yksityskohdt jätetään hrjoitustehtäväksi. Huomutus. Jos esimerkiksi x > j funktio f toteutt välirvoluseen oletukset välillä [, x], niin funktion f rvolle pisteessä x sdn rvio missä ξ ], x[. f(x) f() + f (ξ)(x ), 36

41 .5 Integrlilskennn perusluse Osoitetn vielä funktion derivtt käsittelevän luvun lopuksi, että inostn vkiofunktion derivtt voi oll identtisesti noll jollkin välillä. Lusett kutsutn joskus integrlilskennn perusluseeksi, kosk luseen tulos mhdollist osltn Riemnn-integrlin rvon määrittämisen derivtt hyödyntäen. Luse.7 (Integrlilskennn perusluse). Jos f välillä I, niin f on vkio välillä I. Todistus. Oletetn, että x, y I j x < y. Kosk f on derivoituv välillä I, on f myös jtkuv välillä I (j siis myös välillä [x, y]). Siis välirvolusett voidn sovelt funktioon f välillä [x, y]. On siis olemss sellinen ξ ]x, y[, että f(y) f(x) {}}{ f (ξ)(y x). Siis Täten f on vkio kikill x I. f(y) f(x). Seurus.8. Jos f (x) g (x) x I, niin on olemss sellinen vkio C R, että f(x) g(x) + C x I. Seurus.9. Jos f (x) g (x) x I j on olemss sellinen x I, että f(x) g(x), niin f(x) g(x) x I. Merkintä f välillä I trkoitt, että f (x) kikill x I. 37

42 Esimerkki.38. Määritetään funktio f, kun tiedetään, että f() j Kosk f (x) x + x R. ( x ) D + x x +, niin seuruksen.8 perusteell on olemss sellinen C R, että Kosk niin C. Siis f(x) x + x + C. f() + + C, f(x) x + x + x R. Esimerkki.39. Osoitetn, että Välin päätepisteissä väite pätee, sillä rc sin x + rc cos x π x [, ]. rc sin( ) + rc cos( ) π + π π j rc sin + rc cos π + π. Trkstelln siis väliä ], [. Kosk D(rc sin x + rc cos x) x x x ], [, niin integrlilskennn perusluseen nojll on olemss sellinen vkio C R, että rc sin x + rc cos x C x ], [. Kosk niin Siis rc sin + rc cos + π π, C π. rc sin x + rc cos x π x ], [. 38

43 Esimerkki.4. Osoitetn, että rc tn x + rc tn x, kun x >, π π, kun x <. Olkoon f(x) rc tn x + rc tn x (x ). Tällöin f on derivoituv väleillä ], [ j ], [. Lisäksi f (x) + x + + ( ( x ) x ) + x x + x. Täten integrlilskennn perusluseen nojll on olemss selliset C, C R, että C, kun x >, f(x) C, kun x <. Kosk f() rc tn + rc tn π + π 4 4 π j f( ) rc tn( ) + rc tn( ) ( π) + ( π) π, 4 4 niin C π j C π, mistä esimerkin tulos seur. 39

44 3 Derivoituvn funktion ominisuuksi Trkstelln sitten muutmi derivtn sovelluksi. Aluksi tutkitn, miten derivtt voidn hyödyntää funktion rj-rvon määrittämisessä. 3. l Hospitlin sääntö Cuchyn välirvokv käyttämällä voidn todist l Hospitlin sääntö, jonk vull sdn kätevästi lskettu tiettyjä rj-rvoj. Säännnöstä käytetään myös nimeä l Hôpitlin sääntö. Luse 3. (l Hospitlin sääntö). Oletetn, että (i) lim x f(x) j lim x g(x), f (x) (ii) lim x g (x) on olemss. Tällöin myös funktioll f/g on rj-rvo pisteessä x j lim x f(x) g(x) lim x f (x) g (x). Todistus. Kosk rj-rvo lim x f (x) g (x) on olemss, niin on olemss sellinen δ >, että f (x) j g (x) ovt olemss puhkistuss ympäristössä U δ() sekä lisäksi g (x) tässä ympäristössä. Määritellään nyt f() g(), jolloin f j g tulevt jtkuviksi pisteessä. Vlitn nyt x U δ(). Tällöin f j g ovt jtkuvi välillä [, x] (ti [x, ]) j derivoituvi välillä ], x[ (ti ]x, [ ). Siis Cuchyn välirvokvn (s. 33) nojll on Myös l Hôpitlin sääntö. Luseen oletusten perusteell ei tiedetä, ovtko funktiot f j g määriteltyjä pisteessä. Jos niitä ei ole määritelty, niin määritellään ne nyt. Jos ne on määritelty, mutt f() ti g(), niin muutetn kyseisten funktioiden määrittelyä. Tämä voidn tehdä, sillä funktioiden rvoll pisteessä ei ole vikutust etsittyyn rj-rvoon. 4

45 olemss sellinen ξ ], x[ (ti ξ ]x, [ ), että f (ξ) g (ξ) Jos nyt x, myös ξ. Siis lim x f(x) f() g(x) g() f(x) g(x). f(x) g(x) lim ξ f (ξ) g (ξ) lim x f (x) g (x). L Hospitlin sääntöä voidn sovelt myös toispuoleisiin rj-rvoihin sekä tpuksiin, joiss trkstelln rj-rvo äärettömyydessä ti joiss rj-rvo on ääretön (huomutukset , todistukset jätetään hrjoitustehtäväksi). Huomutus 3.. Luseen 3. lskusääntöä voidn sovelt myös -muotoisille rj-rvoille (ts. x lim f(x) x lim g(x) (ti )). Edelleen lskusääntöä voidn sovelt myös toispuoleisiin rj-rvoihin. Huomutus 3.3. Luseess 3. voi oll myös ±. f (x) Huomutus 3.4. Luseess 3. voi rj-rvo x lim g (x) oll myös ±. Esimerkki 3.. Määritetään x lim x tn x. Kosk funktiot x j tn x ovt derivoituvi pisteen josskin ympäristössä sekä niin l Hospitlin säännön nojll lim x j lim tn x, x x lim x x tn x H lim x + tn x. Yhtälöketju on tässä luettv ikään kuin lopust lkuun. Kosk lim x + tn x (eli rj-rvo on olemss j ), niin l Hospitlin sääntöä voidn sovelt j sdn yllä olev tulos. 4

46 Esimerkki 3.. Jos si on ilmeistä, l Hospitlin sääntöä käytettäessä ei in erikseen korostet, että trksteltvt funktiot toteuttvt vdittvt ehdot. Esimerkiksi voidn kirjoitt yksinkertisesti lim x x 5 + x x 3x + H lim x 5x 4 + x Vdittvien ehtojen toteutuminen on kuitenkin in trkistettv. Erityisesti on syytä huomt, että sääntöä ei voi käyttää, jos kyseessä ei ole mikään yllä olev epämääräinen muoto (ks. kuitenkin huomutus 3.5, s. 45). Esimerkiksi lim x 5x 4 + x 3 lim x 4 5x 3 lim x 9 x x4. Esimerkki 3.3. Olkoon > j s R. Osoitetn, että lim x x j lim xs x x s x. : Olkoon s. Tällöin lim x x x s lim x x. : Olkoon s <. Tällöin lim x x x s lim x x s x. 3 : Olkoon s >. Käyttämällä l Hospitlin sääntöä sdn (tpus s ) lim x x x H lim x x log. Kosk myös s lim x >, niin x x s lim x (( ) s ) x s x s lim x (( ) x ) s s x s lim x ( ) x s s x. Siis kohtien 3 perusteell j edelleen lim x lim x x x s x s x. 4

47 Esimerkki 3.4. Esimerkin 3.3 perusteell kikill s R, joten lim x (log x) s x (log x) s lim x e log x lim x (log x) s x s R. Esimerkki 3.5. Olkoon s >. Käyttämällä l Hospitlin sääntöä sdn lim x log x x s H lim x x lim sxs x sx s. Siis lim x log x x s s >. Esimerkki 3.6. Osoitetn, että lim x log x. x + Logritmin lskusääntöjen j esimerkin 3.5 perusteell ) lim x log x lim x( log x + x + x lim x + log x x lim z log z z. Esimerkki 3.7. Esimerkin 3.6 seuruksen hvitn, että funktio, kun x, g(x) x log x, kun x >, on jtkuv, kun x. 43

48 Esimerkki 3.8. Määritetään rj-rvo ( lim x x ). e x Muunnetn luseke ensin sopivn muotoon, j sovelletn sitten l Hospitlin sääntöä kksi kert peräkkäin. Siis ( lim x x ) e x lim x e x x x(e x ) H lim x e x e x + xe x H lim x e x e x + e x + xe x lim x + x. Esimerkki 3.9. Määritetään rj-rvo lim x + e x x. Käyttämällä suorn l Hospitlin sääntöä sdn lim x + e x x H lim x + ( x ) e x lim x + e x x? olevst lusekkeest muo- eli luseke vin monimutkistuu. Siirtymällä muoto toon sdn lim x + e x x lim x + x e x H lim x + x x e x lim x + e x. Yksinkertisemmill lskuill selvitään tekemällä muuttujnvihdos (z ), jolloin x lim x + e x x lim e z z z lim z z e z H lim z e z. 44

49 Huomutus 3.5. Jos trksteltv luseke ei ole suorn l Hospitlin säännön vtimss muodoss, luseke voidn joskus muunt sopivn muotoon. Esimerkissä 3.8 trksteltiin jo tpust. Muoto olevt lusekkeet sdn myös helposti muotoon ti. Muoto, j olevt lusekkeet ts voidn muunt (+) e log(+) e log(+) e ( ), e log e log e j e log e log e, jotk plutuvt muoto ti olevn rj-rvon määrittämiseen. Esimerkki 3.. Muuunnetn muoto ( ) olev luseke ensin muotoon j käytetään sitten (kksi kert) l Hospitlin sääntöä. Siis ( lim x log log ) x x lim x log( log x) x log( log x) lim x ( x) H lim x lim x lim x ( log x ) ( ) x ( ) ( x) 3 ( ) x log x ( x) 3 x lim ( x) 3 x log x H 3 lim ( x) ( ) x x lim x 3 x ( x). 45

50 Esimerkki 3.. Määritetään rj-rvo lim x + (ex ) x. Rj-rvo on muoto, mutt muunnoksell lim x + (ex ) x ) lim x x + elog(ex lim x + ex log(ex ) se voidn plutt muoto ( ) (j edelleen ) olevn rj-rvon määrittämiseen. Hyödyntämällä rj-rvo (.5) (s. 4) sdn lim x log(e x ) x + log(ex ) lim x + x H lim x + e x ex x lim x x x + ex e x. Siis lim x + (ex ) x lim x + ex log(ex ) e. Esimerkki 3.. Osoitetn, että ( lim + ) x e x x ( R). Rj-rvo on muoto, mutt muunnoksell ( + ) x e log(+ x) x e x log(+ x) x tehtävä plutuu muoto j edelleen muoto olevn rj-rvon määrittämiseen. Kosk ( ) lim (+ x log ) log + ( ) x H + lim x x x lim x x x lim x +, x x niin x ( lim + x lim e x x) x log(+ x) e. x 46

51 3. Funktion monotonisuus Kosk funktion derivtt ilmisee funktion muutosnopeuden, on luonnollist, että derivtn vull voidn tutki funktion monotonisuutt. Luse 3.6. Oletetn, että funktio f on jtkuv välillä I j derivoituv välin I sisäpisteissä. Tällöin f on ksvv välillä I täsmälleen silloin, kun välin I sisäpisteissä. f (x) Todistus. : Oletetn ensin, että f on ksvv välillä I. Olkoon x jokin välin I sisäpiste. Kosk f on ksvv välillä I, niin Siis f(x + h) f(x), kun h < j x + h I, f(x + h) f(x), kun h > j x + h I. f(x + h) f(x) h, kun h j x + h I. Täten luseen.7 (s. 5) perusteell (rj-rvo on olemss, kosk f on derivoituv pisteessä x) f f(x + h) f(x) (x) lim. h h : Oletetn toiseksi, että f (x) in, kun x on välin I sisäpiste. Olkoot x j x sellisi välin I pisteitä, että x < x. Kosk f on jtkuv välillä I j derivoituv välin I sisäpisteissä, niin f on jtkuv välillä [x, x ] j derivoituv välillä ]x, x [. Täten välirvolusett voidn sovelt funktioon f välillä [x, x ]. On siis olemss sellinen ξ ]x, x [, että f(x ) f(x ) > {}}{{}}{ f (ξ) (x x ). Siis joten f on ksvv välillä I. f(x ) f(x ), 47

52 Luse 3.7. Oletetn, että funktio f on jtkuv välillä I j derivoituv välin I sisäpisteissä. Tällöin f on idosti ksvv välillä I täsmälleen silloin, kun f (x) välin I sisäpisteissä j epäyhtälössä yhtäsuuruus ei ole voimss millään välin I osvälillä (vn korkeintn yksittäisissä pisteissä). Todistus. : Oletetn ensin, että funktio f on idosti ksvv välillä I. Tällöin luseen 3.6 nojll f (x) x I. Jos nyt olisi olemss sellinen I I, että f (x) x I, niin f olisi integrlilskennn perusluseen (luse.7, s. 37) nojll vkio kikill x I. Siis f ei olisi idosti ksvv, mikä on vstoin oletust. : Oletetn toiseksi, että f (x) in, kun x on välin I sisäpiste, j että yhtäsuuruus ei ole voimss millään välin I osvälillä. Tällöin f on luseen 3.6 nojll ksvv välillä I. Tehdään vstoletus, että f ei ole idosti ksvv. Tällöin on olemss selliset pisteet x, x I, että x < x j f(x ) f(x ). Ksvvn funktion f on tällöin vkio välillä [x, x ], joten mikä on vstoin oletust. f (x) x ]x, x [, Luse 3.8. Oletetn, että funktio f on jtkuv välillä I j derivoituv välin I sisäpisteissä. Tällöin f on vähenevä välillä I täsmälleen silloin, kun välin I sisäpisteissä. f (x) Todistus. Hrjoitustehtävä. 48

53 Luse 3.9. Oletetn, että funktio f on jtkuv välillä I j derivoituv välin I sisäpisteissä. Tällöin f on idosti vähenevä välillä I täsmälleen silloin, kun f (x) välin I sisäpisteissä j epäyhtälössä yhtäsuuruus ei ole voimss millään välin I osvälillä (vn korkeintn yksittäisissä pisteissä). Todistus. Hrjoitustehtävä. Esimerkki 3.3. Funktio f(x) tn x on jtkuv j derivoituv välillä ] π, π [. Kosk (esimerkki.5, s. 7) f (x) cos x > x ] π, π[, niin f on luseen 3.7 nojll idosti ksvv välillä ] π, π[. Esimerkki 3.4. Funktio f(x) sin x on jtkuv j derivoituv kikill x R j f (x) cos x x [ π, π ]. Lisäksi yhtäsuuruus on välillä [ π, π ] voimss vin, kun x π j x π. Täten f(x) on luseen 3.7 nojll idosti ksvv välillä [ π, π ]. Esimerkki 3.5. Osoitetn, että funktio on idosti ksvv, kun x e. Kosk f(x) x +log x (x > ) f(x) x +log x e log x+log x e (+log x) log x e log x+log x, niin f on selvästi jtkuv, kun x >. Lisäksi f (x) e log x+log x D ( log x + log x ) e log x+log x ( x + log x ) x ( + log x) x 49 x +log x.

54 Nyt log x, kun x e eli x e. Täten f (x) x e. Lisäksi yhtäsuuruus on voimss vin pisteessä x. Siis f(x) on luseen 3.7 e nojll idosti ksvv, kun x. e Esimerkki 3.6. Olkoon f(x) x + cos x. Selvästi f on jtkuv j derivoituv kikill x R j f (x) sin x. Edelleen f (x) vin, jos x π + n π (n Z). Siis f(x) on idosti ksvv koko joukoss R. Esimerkki 3.7. Olkoon f(x) x n (n Z + ). Tutkimll funktion f derivtt sdn seurvt tulokset (hrjoitustehtävä). Jos n on priton, niin f on idosti ksvv koko relilukujen joukoss. Jos n on prillinen, niin f on idosti vähenevä välillä ], ] j idosti ksvv välillä [, [. Esimerkki 3.8. Olkoon f(x) x n (x, n Z ). Tutkimll funktion f derivtt sdn seurvt tulokset (hrjoitustehtävä). Jos n on priton, niin f on idosti vähenevä väleillä ], [ j ], [. Jos n on prillinen, niin f on idosti ksvv välillä ], [ j idosti vähenevä välillä ], [. Esimerkki 3.9. Olkoon I ], [ j f(x) x ( R). Tutkimll funktion f derivtt sdn seurvt tulokset (hrjoitustehtävä). Jos <, niin f on idosti vähenevä välillä I. Jos, niin f on sekä ksvv että vähenevä välillä I. Jos >, niin f on idosti ksvv välillä I (j myös välillä [, [ ). 5

55 3.3 Funktion äärirvot Tutkitn vielä lopuksi funktion pikllisi äärirvokohti j äärirvojen luonnett hyödyntämällä funktion derivtt. Aluksi määritellään, mitä pikllisill äärirvoill trkoitetn. Määritelmä 3.. Funktioll f on pisteessä pikllinen mksimi, jos on olemss sellinen δ >, että f(x) f() x U δ (). Jos yhtäsuuruus on voimss vin, kun x, kyseessä on ito pikllinen mksimi. Määritelmä 3.. Funktioll f on pisteessä pikllinen minimi, jos on olemss sellinen δ >, että f(x) f() x U δ (). Jos yhtäsuuruus on voimss vin, kun x, kyseessä on ito pikllinen minimi. Esimerkki 3.. Olkoon, kun x, f(x), kun x. Tällöin funktioll f on pisteessä x ito pikllinen mksimi. Myös jokinen muu relilukukselin piste on pikllinen äärirvokoht (mutt ei ito). Esimerkki 3.. Kosk funktio f(x) x + cos x. on idosti ksvv koko relilukujoukoss (ks. esimerkki 3.6, s. 5), niin funktioll f ei ole pikllisi äärirvoj. 5

56 Luse 3.. Funktioll f on pisteessä ito pikllinen mksimi, jos on olemss sellinen δ >, että f on jtkuv ympäristössä U δ () j f (x) > x ] δ, [ j f (x) < x ], + δ[. Todistus. Oletuksen nojll f on jtkuv välillä ] δ, + δ[. Kosk f (x) > kikill x ] δ, [, niin f on luseen 3.7 (s. 48) nojll idosti ksvv välillä ] δ, ]. Siis f(x) < f() x ] δ, [. Toislt f (x) < kikill x ], + δ[, joten f on luseen 3.9 (s. 49) nojll idosti vähenevä välillä [, + δ[. Siis f(x) < f() x ], + δ[. Täten f(x) < f() x U δ(), joten funktioll f on pisteessä ito pikllinen mksimi. Luse 3.. Funktioll f on pisteessä ito pikllinen minimi, jos on olemss sellinen δ >, että f on jtkuv ympäristössä U δ () j f (x) < x ] δ, [ j f (x) > x ], + δ[. Todistus. Hrjoitustehtävä. Huomutus. Luseet 3. j 3. eivät ole kääntäen voimss. Huomutus. Luseiss 3. j 3. ei vdit, että derivtt f () olisi olemss. Sen sijn jtkuvuus pisteessä on oleellinen vtimus. Huomutus. Aiemmin on osoitettu (seurus.9, s. 3), että jos on pikllinen äärirvokoht j f () on olemss, niin f (). Siis pikllinen äärirvo svutetn joko derivtn nollkohdss ti pisteessä, joss funktio ei ole derivoituv. 5

57 Huomutus 3.. Jos funktio f on jtkuv pisteessä j f on smnmerkkinen pisteen kummllkin puolell, niin ei ole funktion f pikllinen äärirvokoht (hrjoitustehtävä). Esimerkki 3.. Etsitään funktion f(x) x x piklliset äärirvokohdt, j määritetään mhdollisten äärirvojen ltu. Kosk f on jtkuv j derivoituv kikill x R, niin mhdolliset piklliset äärirvokohdt ovt derivtn nollkohti. Nyt j f (x) x x f (x) >, kun x <, f (x) <, kun x >. Siis funktioll f on pisteessä x ito pikllinen mksimi (j vstv mksimirvo on f( ) ). 4 4 Esimerkki 3.3. Osoitetn, että funktioll f(x) x 3 ei ole pikllisi äärirvokohti. Kosk f on jtkuv j derivoituv kikill x R, niin funktion f mhdolliset piklliset äärirvokohdt ovt derivtn nollkohti. Nyt f (x) 3x x. Kuitenkin f (x) > kikill x, joten f ei vihd merkkiään pisteessä x. Siis piste x ei ole funktion f äärirvokoht, mistä tulos seur. Esimerkki 3.4. Etsitään funktion x, kun x, f(x) x, kun x, piklliset äärirvokohdt, j määritetään mhdollisten äärirvojen ltu. 53

58 Kuv 3.: Esimerkin 3.4 funktion kuvj välillä [ 6, 6]. : Olkoon x >. Tällöin f(x) x, x joten f on jtkuv sekä derivoituv j Siis f (x) x x(x ) x 4 x x + x x 4 f (x) >, kun < x <, f (x), kun x, f (x) <, kun x >, x x x 4 x x 3. joten funktioll f on ito pikllinen mksimi pisteessä x (mksimirvo f() 4 ). : Olkoon x. Kosk f() j f(x) > kikill x, niin piste x on funktion f ito pikllinen minimikoht. 3 : Olkoon x < j x. Tällöin f(x) x x, joten f on jtkuv sekä derivoituv j f (x) x x( x) x x + x x 4 x 4 x x x 4 x x 3. Kosk f (x) kikill x < (x ), niin funktioll f ei ole pikllisi äärirvokohti, kun x < j x. 54

59 4 : Olkoon x. Kosk lim f(x) lim x x niin on olemss sellinen δ >, että x x, f(x) > f() x U δ(). Siis piste x on funktion f ito pikllinen minimikoht. Kohdist 4 seur, että funktioll f on ito pikllinen minimi pisteissä x j x sekä ito pikllinen mksimi pisteessä x. Luse 3.3. Oletetn, että funktio f on khdesti derivoituv pisteessä j f (). Tällöin (i) jos f () <, niin on funktion f ito pikllinen mksimikoht, (ii) jos f () >, niin on funktion f ito pikllinen minimikoht. Todistus. Todistetn koht (i), j jätetään kohdn (ii) todistus hrjoitustehtäväksi. Jos f () <, niin luseen.8 (s. 3) nojll on olemss sellinen δ >, että j f (x) > f () x ] δ, [ f (x) < f () x ], + δ[. Derivoituv funktion f on jtkuv ympäristössä U δ (), joten luseen 3. nojll funktioll f on ito pikllinen mksimi pisteessä. Esimerkki 3.5. Osoitetn, että piste x on funktion ito pikllinen minimikoht. Nyt Kosk f(x) e x + sin x x f (x) e x + cos x j f (x) e x sin x. f () + j f () >, niin piste x on funktion f ito pikllinen minimikoht. 55

60 4 b b b Kuv 3.: Funktion bx + cos x kuvj, kun b 4, b j b. Esimerkki 3.6. Tutkitn, onko funktioll f(x) bx + cos x (b R) pikllist äärirvo pisteessä x, j määritetään mhdollisen pikllisen äärirvon ltu. Nyt f (x) bx sin x j f (x) b cos x. Siis f () kikill b R. Kosk f () b, niin f () >, kun b >, j f () <, kun b <. Täten piste x on funktion f ito pikllinen minimikoht, kun b >, j ito pikllinen mksimikoht, kun b <. Olkoon sitten b. Tällöin f (), joten lusett 3.3 ei void hyödyntää. Kosk f (x) cos x cos x > x U π (), niin f on idosti ksvv pisteen x ympäristössä. Siis f (x) <, kun π < x <, f (x), kun x, f (x) >, kun < x < π, joten piste x on funktion f ito pikllinen minimikoht (kun b ). 56

61 Huomutus 3.4. Jos funktioll f on välillä I suurin (pienin) rvo, niin se svutetn joko (i) välin sisäpisteessä pikllisess äärirvokohdss, ti (ii) väliin mhdollisesti kuuluvss päätepisteessä. Huomutus 3.5. Jos funktio f on jtkuv j I on suljettu väli, niin suurin (pienin) rvo svutetn in. Muulloin svuttminen on epävrm. Esimerkki 3.7. Olkoon >. Osoitetn, että x + ( x) x [, ]. Olkoon f(x) x + ( x). Tällöin f on jtkuv sekä derivoituv välillä [, ] j f (x) x + ( x) ( ) ( x ( x) ). 3/4 / 3 /4 / Kuv 3.3: Funktion x + ( x) kuvj välillä [, ], kun (ktkoviiv) j 3 (yhtenäinen viiv). 57

62 Kosk yleinen potenssifunktio ( > ) on välillä [, ] idosti ksvv, niin Nyt f (x) x ( x) x ( x) x x x. f() f() j f( ) ( ( ) ) +. Lisäksi <, kun >. Siis välillä [, ] funktion f suurin rvo on j pienin rvo on, mistä väite seur. Esimerkki 3.8. Osoitetn, että e x + x kikill x R j e x + x täsmälleen silloin, kun x. jolloin Trkstelln pufunktiot g(x) e x x, g (x) e x kikill x R. Kosk e, niin g (). Lisäksi e x on idosti ksvv kikill x R, joten g (x) < x < j g (x) > x > eli g on idosti vähenevä, kun x (luse 3.9, s. 49), j idosti ksvv, kun x (luse 3.7, s. 48). Siis funktion g pienin rvo g() svutetn pisteessä x, mistä väite seur. Esimerkki 3.9. Osoitetn, että log x x kikill x > j log x x täsmälleen silloin, kun x. Tulos on esimerkin 3.8 suor seurus, sillä x e log x + log x x > j x e log x + log x täsmälleen silloin, kun log x eli x. 58

3 Integraali ja derivaatta

3 Integraali ja derivaatta 3 Integrli j erivtt 3.1 Integrli ylärjns funktion Olkoon funktio f Riemnn-integroituv välin I jokisell suljetull osvälillä j välin I jokin kiinteä luku. Tällöin integrli määrittelee funktion G(): I R,

Lisätiedot

Analyysi 2. Harjoituksia lukuihin 1 3 / Kevät Anna sellainen välillä ] 2, 2[ jatkuva ja rajoitettu funktio f, että

Analyysi 2. Harjoituksia lukuihin 1 3 / Kevät Anna sellainen välillä ] 2, 2[ jatkuva ja rajoitettu funktio f, että Anlyysi Hrjoituksi lukuihin 3 / Kevät 5. Ann sellinen välillä ], [ jtkuv j rjoitettu funktio f, että () sup A m A j inf A min A, (b) sup A m A j inf A = min A, (c) sup A = m A j inf A min A, (d) sup A

Lisätiedot

5 Epäoleellinen integraali

5 Epäoleellinen integraali 5 Epäoleellinen integrli 5. Integrlin suppeneminen Olkoon f sellinen välillä [, b[ (ei siis välttämättä pisteessä b) määritelty funktio, että f on Riemnn-integroituv välillä [, ] kikill ], b[ eli on olemss

Lisätiedot

2 Riemann-integraali. 2.1 Porrasfunktion integraali. Aloitetaan integraalin täsmällinen määrittely tutkimalla porrasfunktion integraalia.

2 Riemann-integraali. 2.1 Porrasfunktion integraali. Aloitetaan integraalin täsmällinen määrittely tutkimalla porrasfunktion integraalia. 2 Riemnn-integrli 2.1 Porrsfunktion integrli Aloitetn integrlin täsmällinen määrittely tutkimll porrsfunktion integrli. Määritelmä 2.1 (Porrsfunktion integrli). Olkoon f : [, b] R porrsfunktio j P = {x

Lisätiedot

7 Funktiosarjoista. 7.1 Funktiosarjojen suppeneminen

7 Funktiosarjoista. 7.1 Funktiosarjojen suppeneminen 7 Funktiosrjoist 7. Funktiosrjojen suppeneminen Seurvksi trkstelln srjoj, joiden termit ovt (lukujen sijst) jollkin välillä I määriteltyjä funktioit. Täsmällisemmin funktiosrjll (ti lyhyemmin srjll) trkoitetn

Lisätiedot

SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT Funktiojonot 1

SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT Funktiojonot 1 SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 JOUNI PARKKONEN Sisältö 0. Tästä tekstistä. Funktiojonot 0. Tästä tekstistä Tämä moniste on trkoitettu käytettäväksi kurssin Srjt j differentiliyhtälöt luentomterilin.

Lisätiedot

II.1. Suppeneminen., kun x > 0. Tavallinen lasku

II.1. Suppeneminen., kun x > 0. Tavallinen lasku II. EPÄOLEELLISET INTEGRAALIT nt II.. Suppeneminen Esim. Olkoon f() =, kun >. Tvllinen lsku = / =. Kuitenkn tätä integrli ei ole ikisemmss mielessä määritelty, kosk f ei ole rjoitettu välillä [, ] (eikä

Lisätiedot

Kertausta ja täydennystä

Kertausta ja täydennystä LUKU 1 Kertust j täydennystä 1.1. Merkintöjä N = {k Z k 0} = {0, 1, 2,... }, luonnollisten lukujen joukko. Z + = {k Z k > 0} = {1, 2,... }, positiivisten kokonislukujen joukko. (, b) on relikselin voin

Lisätiedot

i 2 n 3 ( (n 1)a (i + 1) 3 = 1 +

i 2 n 3 ( (n 1)a (i + 1) 3 = 1 + I. INTEGRAALILASKENTA Arkhimedes (287 22 e.kr.) prbelin segmentin pint-l Newton (642 727) j Leibniz (646 76) keksivät diff.- j int.-lskennn Cuhy (789 857) ε, δ Riemnn (826 866) Riemnnin integrli Lebesgue

Lisätiedot

1. Derivaatan Testi. Jos funktio f on jatkuva avoimella välillä ]a, b[ ja x 0 ]a, b[ on kriit. tai singul. piste niin. { f (x) > 0, x ]a, x 0 [

1. Derivaatan Testi. Jos funktio f on jatkuva avoimella välillä ]a, b[ ja x 0 ]a, b[ on kriit. tai singul. piste niin. { f (x) > 0, x ]a, x 0 [ 1. Derivtn Testi Jos funktio f on jtkuv voimell välillä ], b[ j x 0 ], b[ on kriit. ti singul. piste niin { f (x) < 0, x ], x 0 [ f x (x) > 0, x ]x 0, b[ 0 on lokli minimipiste (1) { f (x) > 0, x ], x

Lisätiedot

Matematiikan peruskurssi. Seppo Hassi

Matematiikan peruskurssi. Seppo Hassi Mtemtiikn peruskurssi Seppo Hssi Syksy 2014 iii Esipuhe Tämä on 1. versio Mtemtiikn peruskurssin opetusmonisteest, jonk sisältö noudttelee pitkälti Vsn yliopistoss iemmin luennoimni Mtemttiset menetelmät

Lisätiedot

Matemaattiset menetelmät I. Seppo Hassi

Matemaattiset menetelmät I. Seppo Hassi Mtemttiset menetelmät I Seppo Hssi Syksy 2011 iii Esipuhe Tämä on 1. versio Mtemttiset menetelmät I-kurssin opetusmonisteest, jok perustuu Vsn yliopistoss luennoimni vstvn nimiseen kurssiin. Sisältö noudtt

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Mtemtiikn tukikurssi Kurssikert 5 1 Jtkuvuus Trkstelln funktiot fx) josskin tietyssä pisteessä x 0. Tämä funktio on tässä pisteessä joko jtkuv ti epäjtkuv. Jtkuvuuden ymmärtää prhiten trkstelemll epäjtkuv

Lisätiedot

ANALYYSI I, kevät 2009

ANALYYSI I, kevät 2009 ANALYYSI I, kevät 2009 Sisältö Relilukujen peruskäsitteitä 2 Lukujonoist 3 2. Lukujonon rj-rvo....................... 3 2.2 Monotoniset jonot......................... 7 2.3 Osjonot..............................

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali MS-A1{3,4} (ELEC*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 8: Integrlifunktio j epäoleellinen integrli Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos 5.1.216 Pekk Alestlo,

Lisätiedot

ANALYYSI I, kevät 2009

ANALYYSI I, kevät 2009 5 Riemnnin integrli 7 ANALYYSI I, kevät 9 5. Integrlin perusominisuuksi................. 76 5. Anlyysin perusluse....................... 8 Sisältö Relilukujen peruskäsitteitä Lukujonoist 3. Lukujonon rj-rvo.......................

Lisätiedot

Sisältö. Integraali 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 20

Sisältö. Integraali 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 20 Integrli 10. syyskuut 2005 sivu 1 / 20 Sisältö 1 Määrätty integrli j integrlifunktio 2 1.1 Integroituvist funktioit 3 1.2 Määrätyn integrlin ominisuuksi 4 1.3 Integrlifunktio 5 1.4 Integrlilskennn tärkeimmät

Lisätiedot

MS-A010{2,3,4,5} (SCI, ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali

MS-A010{2,3,4,5} (SCI, ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali MS-A1{2,3,4,5} (SC, ELEC*, ENG*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 8: ntegrlifunktio j epäoleellinen integrli Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos November

Lisätiedot

TEHTÄVÄ 1. Olkoon (f n ) jono jatkuvia funktioita f n : [a, b] R, joka suppenee välillä [a, b] tasaisesti kohti funktiota f : [a, b] R.

TEHTÄVÄ 1. Olkoon (f n ) jono jatkuvia funktioita f n : [a, b] R, joka suppenee välillä [a, b] tasaisesti kohti funktiota f : [a, b] R. Topologi I Hrjoitus 10, rtkisuj AP TEHTÄVÄ 1. Olkoon (f n ) jono jtkuvi funktioit f n : [, b] R, jok suppenee välillä [, b] tsisesti kohti funktiot f : [, b] R. Osoit, että tällöin f n (x) dx f(x) dx.

Lisätiedot

Riemannin integraalista

Riemannin integraalista TAMPEREEN YLIOPISTO Pro grdu -tutkielm Aij Stenberg Riemnnin integrlist Mtemtiikn j tilstotieteen litos Mtemtiikk Syyskuu 2010 2 Tmpereen yliopisto Mtemtiikn j tilstotieteen litos STENBERG, AIJA: Riemnnin

Lisätiedot

6 Integraalilaskentaa

6 Integraalilaskentaa 6 Integrlilskent 6. Integrlifunktio Funktion f integrlifunktioksi snotn funktiot F, jonk derivtt on f. Siis F (x) = f (x) määrittelyjoukon jokisell muuttujn rvoll x. Merkitään F(x) = f (x) dx. Integrlifunktion

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 7: Integraali ja analyysin peruslause

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 7: Integraali ja analyysin peruslause MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 7: Integrli j nlyysin perusluse Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos 3.10.2016 Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen

Lisätiedot

Sarjat ja integraalit

Sarjat ja integraalit Srjt j integrlit c Mtemttisten tieteiden litos, Oulun yliopisto Versio: 9.3.0 Viimeksi muoknnut: Peter Hästö Sisältö Funktion rj-rvo j jtkuvuus. Peruskäsitteitä........................................

Lisätiedot

x k 1 Riemannin summien käyttö integraalin approksimointiin ei ole erityisen tehokasta; jatkuvasti derivoituvalle funktiolle f virhe b

x k 1 Riemannin summien käyttö integraalin approksimointiin ei ole erityisen tehokasta; jatkuvasti derivoituvalle funktiolle f virhe b 5 Integrlien lskemisest 51 Riemnnin summt [A2], [4, 61] Rjoitetun funktion f : [, b] R Riemnn-integroituvuudelle ytäpitäväksi on kurssill Anlyysi 2 osoitettu, että Riemnnin summill S P := f(ξ k ) ( ),

Lisätiedot

MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 7: Integraali ja analyysin peruslause

MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 7: Integraali ja analyysin peruslause MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 7: Integrli j nlyysin perusluse Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos November 20, 2017

Lisätiedot

Lebesguen integraali - Rieszin määritelmä

Lebesguen integraali - Rieszin määritelmä Lebesguen integrli - Rieszin määritelmä Tru Lehtonen Mtemtiikn pro grdu-tutkielm Jyväskylän yliopisto Mtemtiikn j tilstotieteen litos Kevät 216 Tiivistelmä Jyväskylän Yliopisto Lehtonen, Tru Puliin: Lebesguen

Lisätiedot

a = x 0 < x 1 < x 2 < < x n = b f(x) dx = I. lim f(x k ) x k=1

a = x 0 < x 1 < x 2 < < x n = b f(x) dx = I. lim f(x k ) x k=1 5 Integrli 5.1 Määritelmä j ominisuudet Olkoon f : [, b] R jtkuv. Muodostetn välin [, b] jko = x 0 < x 1 < x 2 < < x n = b j siihen liittyvä yläsumm S = n M k (x k x k 1 ), M k = mx{f(x) x k 1 x x k },

Lisätiedot

ANALYYSI I, kevät 2009

ANALYYSI I, kevät 2009 ANALYYSI I, kevät 009 Sisältö Relilukujen peruskäsitteitä Lukujonoist 4. Lukujonon rj-rvo....................... 4. Monotoniset jonot..........................3 Osjonot.............................. 7.4

Lisätiedot

Sisältö. Funktiojonot ja -sarjat 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 15

Sisältö. Funktiojonot ja -sarjat 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 15 Funktiojonot j -srjt 10. syyskuut 2005 sivu 1 / 15 Sisältö 1 Funktiojonoist 2 2 Funktiosrjoist 5 3 Funktiojonojen j -srjojen derivointi j integrointi 7 4 Potenssisrjt 9 5 Tylorin polynomit j srjt 12 5.1

Lisätiedot

Riemannin integraalista

Riemannin integraalista Lebesguen integrliin sl. 2007 Ari Lehtonen Riemnnin integrlist Johdnto Tämän luentomonisteen trkoituksen on tutustutt lukij Lebesgue n integrliin j sen perusominisuuksiin mhdollisimmn yksinkertisess tpuksess:

Lisätiedot

Integroimistehtävät, 10. syyskuuta 2005, sivu 1 / 29. Perustehtäviä. Tehtävä 1. Osoita, että vakiofunktio f(x) c on Riemann-integroituva välillä

Integroimistehtävät, 10. syyskuuta 2005, sivu 1 / 29. Perustehtäviä. Tehtävä 1. Osoita, että vakiofunktio f(x) c on Riemann-integroituva välillä Integroimistehtävät,. syyskuut 5, sivu / 9 Perustehtäviä Tehtävä. Osoit, että vkiofunktio f(x) c on Riemnn-integroituv välillä [, b] j lske suorn määritelmän perusteell b f(x). Tehtävä. Osoit, että funktio,

Lisätiedot

ANALYYSI 2. Tero Kilpeläinen

ANALYYSI 2. Tero Kilpeläinen ANALYYSI Tero Kilpeläinen 3 Teksti sisältää muistiinpnoj vuosin j 3 pidetystä kurssist. Tämän pketin trkoitus on tuke omien muistiinpnojen teko, ei korvt niitä. Mtemtiikk oppii prhiten itse kirjoitten

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Mtemtiikn tukikurssi Kurssikert 4 Tilvuuden j vipn ln lskeminen Kuten iemmin käsittelimme, määrätyn integrlin vull voi lske pintloj j tilvuuksi. Tyypillisenä sovelluksen tilvuuden lskemisest on tpus, joss

Lisätiedot

Analyysin perusteet kauppatieteilijöille 800118P

Analyysin perusteet kauppatieteilijöille 800118P Anlyysin perusteet kupptieteilijöille 800118P Luentomoniste Kri Myllylä Niin Korteslhti Topi Törmä Oulun yliopisto Mtemttisten tieteiden litos Kevät 2015 Sisältö 1 Derivtt 3 1.1 Määritelmä..............................

Lisätiedot

5 ( 1 3 )k, c) AB 3AC ja AB AC sekä vektoreiden AB ja

5 ( 1 3 )k, c) AB 3AC ja AB AC sekä vektoreiden AB ja MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Hrjoitustehtäviä syksy 4. Millä reliluvun rvoill ) 9 =, b) + +, e) 5?. Kirjoit Σ-merkkiä käyttäen summt 4, ) + 4 + 6 + +, b) 8 + 4 6 + + n n, c) + + + 4 + + 99, d)

Lisätiedot

Mika Hirvensalo. Insinöörimatematiikka B 2014

Mika Hirvensalo. Insinöörimatematiikka B 2014 Mik Hirvenslo Insinöörimtemtiikk B 4 Sisältö Rj-rvo j jtkuvuus....................................................... 5. Differentili- j integrlilskennn kehityksestä............................. 5. Relilukujen

Lisätiedot

Määritelmä Olkoon C R m yksinkertainen kaari ja γ : [a, b] R m sen yksinkertainen parametriesitys, joka on paloittain C 1 -polku.

Määritelmä Olkoon C R m yksinkertainen kaari ja γ : [a, b] R m sen yksinkertainen parametriesitys, joka on paloittain C 1 -polku. Muodostetn vektorikentän kri-integrli yksinkertisen kren tpuksess. Plutetn mieleen, että joukko C R m on yksinkertinen kri, jos löytyy sellinen jtkuv bijektio γ : [, b] C, jok on ploittin C 1 -funktio

Lisätiedot

Kertymäfunktio. Kertymäfunktio. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 2/2. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 1/2. Kertymäfunktio: Esitiedot

Kertymäfunktio. Kertymäfunktio. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 2/2. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 1/2. Kertymäfunktio: Esitiedot TKK (c) Ilkk Mellin (24) 1 Johdtus todennäköisyyslskentn TKK (c) Ilkk Mellin (24) 2 : Mitä opimme? 1/2 Jos stunnisilmiötä hlutn mllint mtemttisesti, on ilmiön tulosvihtoehdot kuvttv numeerisess muodoss.

Lisätiedot

2.4 Pienimmän neliösumman menetelmä

2.4 Pienimmän neliösumman menetelmä 2.4 Pienimmän neliösummn menetelmä Optimointimenetelmiä trvitn usein kokeellisen dtn nlysoinniss. Mittuksiin liittyy virhettä, joten mittus on toistettv useit kertoj. Oletetn, että mittn suurett c j toistetn

Lisätiedot

Kuvausta f sanotaan tällöin isomorfismiksi.

Kuvausta f sanotaan tällöin isomorfismiksi. Määritelmä..12. Oletetn, että 1 =(V 1,E 1 ) j 2 =(V 2,E 2 ) ovt yksinkertisi verkkoj. Verkot 1 j 2 ovt isomorfiset, jos seurvt ehdot toteutuvt: (1) on olemss bijektio f : V 1 V 2 (2) kikill, b V 1 pätee,

Lisätiedot

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 5.2.2013

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 5.2.2013 Preliminäärikoe Pitkä Mtemtiikk 5..0 Kokeess s vstt enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä ( * ) merkittyjen tehtävien mksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien mksimipistemäärä on 6.. ) Rtkise yhtälö b)

Lisätiedot

ANALYYSIN TEORIA A JA B

ANALYYSIN TEORIA A JA B ANALYYSIN TEORIA A JA B Kikki luseit ei ole muotoiltu smll tvll kuin luennoill. Ilmoit virheistä yms osoitteeseen mikko.kngsmki@ut. (jos et ole vrm, onko kyseessä virhe, niin ilmoit mieluummin). 1. Yleistä,

Lisätiedot

Reaalinen lukualue. Millainen on luku, jossa on päättymätön ja jaksoton desimaalikehitelmä?

Reaalinen lukualue. Millainen on luku, jossa on päättymätön ja jaksoton desimaalikehitelmä? Relinen lukulue POLYNOMIFUNKTIOT JA -YHTÄLÖT, MAA Millinen on luku, joss on päättymätön j jksoton desimlikehitelmä? Onko sellisi? Trkstelln Pythgorn luseest stv yksikköneliön lävistäjää, luku + = x x =.

Lisätiedot

Newtonin, Riemannin ja Henstock-Kurzweilin integraalit

Newtonin, Riemannin ja Henstock-Kurzweilin integraalit TAMPEREEN YLIOPISTO Pro grdu -tutkielm Annik Heinonen Newtonin, Riemnnin j Henstock-Kurzweilin integrlit Informtiotieteiden yksikkö Mtemtiikk Helmikuu 2013 Sisältö 1 Johdnto 1 2 Newtonin integrli 2 2.1

Lisätiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1: tiivistelmä ja oheislukemista

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1: tiivistelmä ja oheislukemista Differentili- j integrlilskent 1: tiivistelmä j oheislukemist Pekk Alestlo 4. syyskuut 2014 Tähdellä merkityt kohdt on trkoitettu lähinnä oheislukemistoksi. Lisäksi mukn on joitkin lukiot kertvi kohti,

Lisätiedot

HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY OF HELSINKI

HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY OF HELSINKI HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY OF HELSINKI Tiedekunt/Ossto Fkultet/Sektion Fculty Litos Institution Deprtment Mtemttis-luonnontieteellinen Tekijä Förfttre Author Antti Khri Työn

Lisätiedot

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2017 Harjoitus 6, ratkaisuista. 1. Onko jokin demojen 5 tehtävän 3 relaatioista

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2017 Harjoitus 6, ratkaisuista. 1. Onko jokin demojen 5 tehtävän 3 relaatioista Mtemtiikn johntokurssi, syksy 07 Hrjoitus 6, rtkisuist. Onko jokin emojen 5 tehtävän reltioist ) R := {(, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, )}, ) S := {(, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ),

Lisätiedot

ANALYYSI 2. Camilla Hollanti. Tampereen yliopisto x 3. a x 1. x 4 x 11. x 2

ANALYYSI 2. Camilla Hollanti. Tampereen yliopisto x 3. a x 1. x 4 x 11. x 2 ANALYYSI 2 Cmill Hollnti _ M M x x 2 x 3 x 4 x b Tmpereen yliopisto 200 2 Sisältö. Preliminäärejä 3 2. Riemnn-integrli 5 2.. Pint-lt j porrsfunktiot....................... 5 2... Pint-l rj-rvon.......................

Lisätiedot

10. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA

10. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA MAA0 0. Määrätyn integrlin käyttö eräiden pint-lojen lskemisess 0. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA Edellä on todettu, että f (x)dx nt x-kselin j suorien x =, x = sekä funktion

Lisätiedot

2.2 Monotoniset jonot

2.2 Monotoniset jonot Mtemtiik tito 9, RATKAISUT Mootoiset joot ) Kosk,,,, ii 0 Lukujoo ( ) o siis lhlt rjoitettu Toislt 0 Lukujoo (

Lisätiedot

ANALYYSI 3. Tero Kilpeläinen

ANALYYSI 3. Tero Kilpeläinen ANALYYSI 3 Tero Kilpeläinen Luentomuistiinpnoj syksyltä 2005 20. lokkuut 2005 Sisältö 1. Esitietoj 2 1.1. Riemnn-integrli............................ 2 1.2. Derivtt................................. 4 1.3.

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 9: Integroimismenetelmät

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 9: Integroimismenetelmät MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 9: Integroimismenetelmät Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos 10.10.2016 Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen (Alto-yliopisto,

Lisätiedot

521. 522. 523. 524. 525. 526. 527. 12. Lisää määrätystä integraalista. 12.1. Integraalin arvioimisesta. Osoita: VASTAUS: Osoita: Osoita:

521. 522. 523. 524. 525. 526. 527. 12. Lisää määrätystä integraalista. 12.1. Integraalin arvioimisesta. Osoita: VASTAUS: Osoita: Osoita: 12. Lisää määrätystä integrlist 12.1. Integrlin rvioimisest 521. Osoit: 1 + x 2 22 1 < < 1 + x21 21. 522. Osoit: x 3 < 5 x 6 + 8x + 9 < 15 1 5. 523. Osoit: 2 2 < e x2 x < 2e 2. e 524. Olkoon k >. Osoit:

Lisätiedot

Funktiot. funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina.

Funktiot. funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina. Funktiot Tässä luvussa käsitellään reaaliakselin osajoukoissa määriteltyjä funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina. Avoin väli: ]a, b[ tai ]a, [ tai ],

Lisätiedot

MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 9: Integroimismenetelmät

MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 9: Integroimismenetelmät MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 9: Integroimismenetelmät Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos November 27, 2017 Pekk Alestlo,

Lisätiedot

1 Jonot. 2 Sarjat. 3 Jatkuvuus. 4 Derivaatta. 5 Taylor-polynomit ja -sarjat. 1.2 Jonot. jossa

1 Jonot. 2 Sarjat. 3 Jatkuvuus. 4 Derivaatta. 5 Taylor-polynomit ja -sarjat. 1.2 Jonot. jossa Sisältö MS-AX Differentili- j integrlilskent Nämä klvot sisältävät otsikoss minitun kurssin keskeisen mterilin, mutt myös pljon oheislukemist. Luennoill voidn käsitellä myös täydentäviä esimerkkejä, kosk

Lisätiedot

1 Määrittelyjä ja aputuloksia

1 Määrittelyjä ja aputuloksia 1 Määrittelyjä ja aputuloksia 1.1 Supremum ja infimum Aluksi kerrataan pienimmän ylärajan (supremum) ja suurimman alarajan (infimum) perusominaisuuksia ja esitetään muutamia myöhemmissä todistuksissa tarvittavia

Lisätiedot

Sarjojen tasainen suppeneminen

Sarjojen tasainen suppeneminen Srjojen tsinen suppeneminen Pro grdu -tutkielm Krist Mikkonen 165274 Itä-Suomen yliopisto Fysiikn j mtemtiikn litos 19. mrrskuut 2013 Sisältö 1 Johdnto 1 2 Lukujonoist j srjoist 2 2.1 Lukujoukoist...........................

Lisätiedot

4. Reaalifunktioiden määrätty integraali

4. Reaalifunktioiden määrätty integraali 6 4. Relifunktioiden määrätt integrli Vrsinisesti termi "integrli" tulee seurvss esitettävästä määrätstä integrlist, jok on läheistä suku summmiselle. Yhtes derivttn on sitten perustv ltu olev tulos, jot

Lisätiedot

Numeerinen integrointi.

Numeerinen integrointi. Numeerinen integrointi. Differentili- j integrlilskent 1, syksy 2015 Hrri Vrpnen Mtemtiikn j systeeminlyysin litos Alto-yliopisto Tiisti 6.10.2015 Sisältö Tylor-menetelmä. Käyttökelpoinen silloin, kun

Lisätiedot

Matematiikan perusteet taloustieteilijöille 2 800118P

Matematiikan perusteet taloustieteilijöille 2 800118P Mtemtiikn perusteet tloustieteilijöille 2 800118P Luentomoniste Kri Myllylä Niin Korteslhti Oulun yliopisto Mtemttisten tieteiden litos Kevät 2014 Sisältö 1 Mtriisilgebr j optimointi 4 11 Määritelmä 4

Lisätiedot

Ville Turunen: Mat Matematiikan peruskurssi P1 3. välikokeen alueen teoriatiivistelmä 2007

Ville Turunen: Mat Matematiikan peruskurssi P1 3. välikokeen alueen teoriatiivistelmä 2007 Ville Turunen: Mt-.4 Mtemtiikn peruskurssi P 3. välikokeen lueen teoritiivistelmä 27 Mterili: kirjt [Adms] R. A. Adms: Clculus, complete course (6th edition), [Ly] D. C. Ly: Liner lgebr nd its pplictions

Lisätiedot

Vektoriarvoisten funktioiden analyysiä

Vektoriarvoisten funktioiden analyysiä Vektorirvoisten funktioiden nlyysiä LuK-tutkielm Arttu Hrtikk 2330325 Mtemttisten tieteiden litos Oulun yliopisto Syksy 2016 Sisältö Johdnto 2 1 Vektorivruus 3 1.1 Normi j normivruus......................

Lisätiedot

lim + 3 = lim = lim (1p.) (3p.) b) Lausekkeen täytyy supistua (x-2):lla, joten osoittajan nollakohta on 2.

lim + 3 = lim = lim (1p.) (3p.) b) Lausekkeen täytyy supistua (x-2):lla, joten osoittajan nollakohta on 2. Mtemtiikk III 0600 Kurssi / Differetili- j itegrlilske jtkokurssi Tee 7 tehtävää ) Määritä lim ( ) ) + b) Määritä vkio site, että luseke ( ) + + ( )( ) ( + + ) + + + + + lim + lim lim (p) o jtkuv myös

Lisätiedot

1.3 Toispuoleiset ja epäoleelliset raja-arvot

1.3 Toispuoleiset ja epäoleelliset raja-arvot . Toisuoleiset j eäoleelliset rj-rvot Rj-rvo lim f () A olemssolo edellyttää että muuttuj täytyy void lähestyä rvo kummst suust hyväsä. Jos > ii sot että lähestyy rvo oikelt ositiivisest suust. Jos ts

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi. Hannu Kivimäki

Matematiikan tukikurssi. Hannu Kivimäki Mtemtiikn tukikurssi Hnnu Kivimäki Sisältö I Ensimmäinen välikoe Integrointi 2 Osittisintegrointi 5 3 Osmurtohjotelm 4 Lisää osmurtoj 4 5 Sijoituskeino 9 6 Määrätty integrli 2 7 Ylä- j lsumm 22 8 Määrätyn

Lisätiedot

Analyyttinen lukuteoria

Analyyttinen lukuteoria Anlyyttinen lukuteori Johdnto Kuten yltä näkyy, tämän luentomonisteen kttm luentosrj on nimeltään Anlyyttinen lukuteori, vikkkin opintorekisteribyrokrttisist syistä opintojkso knt nimeä Lukuteori 3. Näin

Lisätiedot

Analyysi 1. Harjoituksia lukuihin 4 7 / Syksy Tutki funktion f(x) = x 2 + x 2 jatkuvuutta pisteissä x = 0 ja x = 1.

Analyysi 1. Harjoituksia lukuihin 4 7 / Syksy Tutki funktion f(x) = x 2 + x 2 jatkuvuutta pisteissä x = 0 ja x = 1. Analyysi 1 Harjoituksia lukuihin 4 7 / Syksy 014 1. Tutki funktion x + x jatkuvuutta pisteissä x = 0 ja x = 1.. Määritä vakiot a ja b siten, että funktio a x cos x + b x + b sin x, kun x 0, x 4, kun x

Lisätiedot

8 Potenssisarjoista. 8.1 Määritelmä. Olkoot a 0, a 1, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.1. Muotoa

8 Potenssisarjoista. 8.1 Määritelmä. Olkoot a 0, a 1, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.1. Muotoa 8 Potenssisarjoista 8. Määritelmä Olkoot a 0, a, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.. Muotoa a 0 + a (x c) + a 2 (x c) 2 + olevaa sarjaa sanotaan c-keskiseksi potenssisarjaksi. Selvästi jokainen

Lisätiedot

Oletetaan, että funktio f on määritelty jollakin välillä ]x 0 δ, x 0 + δ[. Sen derivaatta pisteessä x 0 on

Oletetaan, että funktio f on määritelty jollakin välillä ]x 0 δ, x 0 + δ[. Sen derivaatta pisteessä x 0 on Derivaatta Erilaisia lähestymistapoja: geometrinen (käyrän tangentti sekanttien raja-asentona) fysikaalinen (ajasta riippuvan funktion hetkellinen muutosnopeus) 1 / 19 Derivaatan määritelmä Määritelmä

Lisätiedot

Analyysi III S

Analyysi III S Anlyysi III 800624S Sisältö sitietoj 5 Riemnn integroinnin rjt 6 Luku 1. Mittteori 7 1. Algebr j σ-lgebr 7 2. Mitt 8 3. Ulkomitt j mitlliset joukot 11 4. Ulkomitn konstruointi 14 5. Lebesguen ulkomitt

Lisätiedot

VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 3.6.2014 Ratkaisut ja arvostelu

VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 3.6.2014 Ratkaisut ja arvostelu VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 3.6.4 Rtkisut j rvostelu. Koululisen todistuksen keskirvo x on lskettu ) b) c) d) kymmenen ineen perusteell. Jos koululinen nostisi neljän ineen

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Mtemtiikn tukikurssi Kurssikert 3 Määrätyn integrlin lskeminen Aiemmin määrittelimme määrätyn integrlin f (x)dx funktion f (x) l- j yläsummien rj-rvon. Määrätyllä integrlill on kksi intuitiivist tulkint:.

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 19.9.2016 Pekka Alestalo, Jarmo

Lisätiedot

Sinilause ja kosinilause

Sinilause ja kosinilause Siniluse j kosiniluse GEOMETRI M3 Mikäli kolmion korkeus j knt tiedetään, voidn pint-l lske. Esimerkki: Lske kolmion l, kun 38 kulmn viereiset sivut ovt 8, j 6,8. Nyt knt tiedetään, korkeutt ei! 38 8,

Lisätiedot

1 Jonot. 2 Sarjat. 3 Jatkuvuus. 4 Derivaatta. 5 Taylor-polynomit ja -sarjat. 1.2 Jonot. jossa

1 Jonot. 2 Sarjat. 3 Jatkuvuus. 4 Derivaatta. 5 Taylor-polynomit ja -sarjat. 1.2 Jonot. jossa Sisältö MS-AX Differentili- j integrlilskent Pekk Alestlo Alto-yliopisto.9.26 Nämä klvot sisältävät otsikoss minitun kurssin keskeisen mterilin, mutt myös pljon oheislukemist. Luennoill voidn käsitellä

Lisätiedot

Syksyn 2015 Pitkän matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut

Syksyn 2015 Pitkän matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut Sksn 0 Pitkän mtemtiikn YO-kokeen TI-Nspire CAS -rtkisut Tekijät: Olli Krkkulinen Rtkisut on ldittu TI-Nspire CAS -tietokoneohjelmll kättäen Muistiinpnot -sovellust. Kvt j lskut on kirjoitettu Mth -ruutuihin.

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ PISTEYTYSKOKOUS

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ PISTEYTYSKOKOUS 0 MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 30 PISTEYTYSKOKOUS 0 ) Sijoitetn x 0 Rtkistn = 0/04,0000 b) Jos neliön sivu on s, niin lävistäjä on s Ehto: s 6 s + s = 6, s 6 3 4s 6,70, joten piiri ) Suorn yhtälö

Lisätiedot

Laudatur 10 MAA10 ratkaisut kertausharjoituksiin

Laudatur 10 MAA10 ratkaisut kertausharjoituksiin Ludtur MAA rtkisut kertushrjoituksiin Integrlifunktio. ) Jokin integrli funktio on esimerkiksi F( ) b) Kikki integrlifunktiot F( ) + C, missä C on vkio Vstus: ) F( ) b) F( ) + C, C on vkio. Kikki integrlifunktiot

Lisätiedot

1 Jonot. 2 Sarjat. 3 Jatkuvuus. 4 Derivaatta. 5 Taylor-polynomit ja -sarjat / Jonot / 200. jossa / 200

1 Jonot. 2 Sarjat. 3 Jatkuvuus. 4 Derivaatta. 5 Taylor-polynomit ja -sarjat / Jonot / 200. jossa / 200 MS-AX Differentili- j integrlilskent Pekk Alestlo Alto-yliopisto 24..26 Kiitokset Riikk Kortteelle, Jrmo Mliselle j kurssien opiskelijoille pinovirheiden korjuksist. 24..26 Kiitokset Riikk Kortteelle,

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 4: Derivaatta

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 4: Derivaatta MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 4: Derivaatta Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 21.9.2016 Pekka Alestalo, Jarmo

Lisätiedot

MITEN MÄÄRITÄN ASYMPTOOTIT?

MITEN MÄÄRITÄN ASYMPTOOTIT? MITEN MÄÄRITÄN ASYMPTOOTIT? Asmptootti Asmptootti on suor ti muu kärä, jot funktion kuvj f() rjtt lähest, kun muuttujn rvot lähestvät tiettä luku ti ääretöntä. Rjoitutn luksi niihin tpuksiin, joiss smptootti

Lisätiedot

Viikon aiheet. Pinta-ala

Viikon aiheet. Pinta-ala info Viikon iheet Mpu I:sen voit suoritt: Kurssin loppukokeess 23.10. Arvosn: koe + lskrit Mikäli yo. ik ei sovi, voit suoritt loppukokeen yleistenttitilisuudess 24.11. Arvosn: koe + lskrit. Ilmoittudu

Lisätiedot

Luku 4. Derivoituvien funktioiden ominaisuuksia.

Luku 4. Derivoituvien funktioiden ominaisuuksia. 1 MAT-1343 Laaja matematiikka 3 TTY 1 Risto Silvennoinen Luku 4 Derivoituvien funktioiden ominaisuuksia Derivaatan olemassaolosta seuraa funktioille eräitä säännöllisyyksiä Näistä on jo edellisessä luvussa

Lisätiedot

MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1

MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 MS-A0102 Differentili- j integrlilskent 1 Riikk Korte (Pekk Alestlon klvojen pohjlt) Alto-yliopisto 22.11.2016 Sisältö Pint-l Integrli 1.1 Pint-l: Suorkulmio Seurvss trkstelln umpinisten tsokäyrien rjmi

Lisätiedot

OSA 1: POLYNOMILASKENNAN KERTAUSTA, BINOMIN LASKUSÄÄNTÖJÄ JA YHTÄLÖNRATKAISUA

OSA 1: POLYNOMILASKENNAN KERTAUSTA, BINOMIN LASKUSÄÄNTÖJÄ JA YHTÄLÖNRATKAISUA OSA 1: POLYNOMILASKENNAN KERTAUSTA, BINOMIN LASKUSÄÄNTÖJÄ JA YHTÄLÖNRATKAISUA Tekijät: Ari Heimonen, Hellevi Kupil, Ktj Leinonen, Tuomo Tll, Hnn Tuhknen, Pekk Vrniemi Alkupl Tiedekeskus Tietomn torninvrtij

Lisätiedot

4 Taso- ja avaruuskäyrät

4 Taso- ja avaruuskäyrät P2-luentoj kevät 2008, Pekk Alestlo 4 Tso- j vruuskäyrät Tässä luvuss tutustutn tso- j vruuskäyriin, niiden krenpituuteen j krevuuteen. Konkreettisin sovelluksin trkstelln nnettu rt pitkin liikkuvn hiukksen

Lisätiedot

Painopiste. josta edelleen. x i m i. (1) m L A TEX 1 ( ) x 1... x k µ x k+1... x n. m 1 g... m n g. Kuva 1. i=1. i=k+1. i=1

Painopiste. josta edelleen. x i m i. (1) m L A TEX 1 ( ) x 1... x k µ x k+1... x n. m 1 g... m n g. Kuva 1. i=1. i=k+1. i=1 Pinopiste Snomme ts-ineiseksi kpplett, jonk mteriliss ei ole sisäisiä tiheyden vihteluj. Tällisen kppleen pinopisteen sijinti voidn joskus päätellä kppleen muodon perusteell. Esimerkiksi ts-ineisen pllon

Lisätiedot

Tee B-osion konseptiin etusivulle pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Välivaiheet perustelevat vastauksesi!

Tee B-osion konseptiin etusivulle pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Välivaiheet perustelevat vastauksesi! MAA8 Koe 4.4.016 Jussi Tyni Tee B-osion konseptiin etusivulle pisteytysruudukko! Muist kirjt nimesi j ryhmäsi. Väliviheet perustelevt vstuksesi! A-osio. Ilmn lskint. MAOLi s käyttää. Mksimissn 1h ik. Lske

Lisätiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 2. viikolle /

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 2. viikolle / MS-A008 Differentiaali- ja integraalilaskenta, V/207 Differentiaali- ja integraalilaskenta Ratkaisut 2. viikolle / 8. 2.4. Jatkuvuus ja raja-arvo Tehtävä : Määritä raja-arvot a) 3 + x, x Vihje: c)-kohdassa

Lisätiedot

sin θ θ θ r 2 sin 2 θ φ 2 = 0.

sin θ θ θ r 2 sin 2 θ φ 2 = 0. Mtemtiikn j tilstotieteen litos Osittisdifferentiliyhtälöt Kevät 21 Hrjoitus 9 Rtkisuj Jussi Mrtin 1. Osoit, että Lplce-yhtälö pllokoordinteiss on 2 u 1 r 2 2 u r r 1 r 2 sin θ u 1 2 u sin θ θ θ r 2 sin

Lisätiedot

funktion voi tarkistaa derivoimalla. Sijoitusmenettely perustuu ketjusääntöön.

funktion voi tarkistaa derivoimalla. Sijoitusmenettely perustuu ketjusääntöön. I.6. Sijoitusmenettely A. Integrlifunktiot Integrlifunktiot etsittäessä on sopiv derivoimissääntö luettv tkperin. funktion voi trkist derivoimll. Sijoitusmenettely perustuu ketjusääntöön. Löydetyn 6..

Lisätiedot

Riemann-integraalin ja mittaintegraalin vertailua

Riemann-integraalin ja mittaintegraalin vertailua Riemnn-integrlin j mittintegrlin vertilu Pro grdu -tutkielm Pii Tskinen Mtemttisten tieteiden litos Oulun yliopisto Kevät 216 Sisältö Johdnto 3 1 Esitietoj 5 1.1 Välijost............................. 5

Lisätiedot

11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS

11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS 11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS Tilvuus on sen verrn rkielämässä viljelty käsite, että useimmiten sen syvemmin edes miettimättä ymmärretään, mitä juomlsin ti pikkuvuvn kylpymmeen tilvuudell trkoitetn.

Lisätiedot

Numeerinen integrointi

Numeerinen integrointi Pitkärnt: Lj mtemtiikk IX9 Numeerinen integrointi IX9 Numeerinen integrointi Numeerisell integroinnill trkoitetn määrätyn integrlin, eli reliluvun I(f,,b) = f(x)dx lskemist numeerisin keinoin (likimäärin)

Lisätiedot

Matematiikan peruskurssi 2

Matematiikan peruskurssi 2 Matematiikan peruskurssi Tentti, 9..06 Tentin kesto: h. Sallitut apuvälineet: kaavakokoelma ja laskin, joka ei kykene graaseen/symboliseen laskentaan Vastaa seuraavista viidestä tehtävästä neljään. Saat

Lisätiedot

MS-A010X Di erentiaali- ja integraalilaskenta Lukujoukot. 1.2 Jonot. 1.2 Perusongelmat. 1.3 Suppeneminen I. 1.2 Jonojen ominaisuuksia

MS-A010X Di erentiaali- ja integraalilaskenta Lukujoukot. 1.2 Jonot. 1.2 Perusongelmat. 1.3 Suppeneminen I. 1.2 Jonojen ominaisuuksia MS-AX Di erentili- j integrlilskent Pekk Alestlo Alto-yliopisto 24..26 Kiitokset Riikk Kortteelle, Jrmo Mliselle j kurssien opiskelijoille pinovirheiden korjuksist. Sisältö Nämä klvot sisältävät otsikoss

Lisätiedot

Integraalilaskentaa. 1. Mihin integraalilaskentaa tarvitaan? MÄNTÄN LUKIO

Integraalilaskentaa. 1. Mihin integraalilaskentaa tarvitaan? MÄNTÄN LUKIO Integrlilskent Tämä on lukion oppimterileist hiemn poikkev yksinkertistettu selvitys määrätyn integrlin lskemisest. Kerromme miksi integroidn, mitä integroiminen trkoitt, miten integrli lsketn j miten

Lisätiedot

MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1

MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Riikka Korte (Pekka Alestalon kalvojen pohjalta) Aalto-yliopisto 24.10.2016 Sisältö Derivaatta 1.1 Derivaatta Erilaisia lähestymistapoja: I geometrinen

Lisätiedot