8. Avoimen kuvauksen lause

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "8. Avoimen kuvauksen lause"

Transkriptio

1 116 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 8. Avoimen kuvauksen lause Palautamme aluksi mieleen Topologian kursseilta ehkä tutut perusasiat yleisestä avoimen kuvauksen käsitteestä. Määrittelemme ensin avoimen kuvauksen pisteittäin Määritelmä. Olkoon X ja Y ovat topologia avaruuksia, f : X Y kuvaus sekä a X. Tällöin sanomme, että f on avoin pisteessä a, jos f(u) on pisteen f(a) ympäristö aina, kun U on pisteen a ympäristö Esimerkki. a) Jos X ja Y ovat metrisiä avaruuksia, niin f on avoin pisteessä a joss jokaista r > 0 vastaa sellainen r > 0, että B(f(a), r ) f(b(a, r)). b) Kuvaus f : R R, f(x) = x ei ole avoin nollassa, sillä f( ε, ε) = [0, ε), mikä ei ole pisteen 0 = f(0) ympäristö. c) Projektio P : R 2 R, P (x, y) = x, on avoin jokaisessa tason R 2 pisteessä. d) Kuvaus T : R 2 R 2, T (x, y) = (x, 0), ei ole avoin missään pisteessä; itse asiassa T (R 2 ) = R {0} ei sisällä yhtään avointa joukkoa. e) Olkoon X = (R, τ 1 ), missä τ 1 on tavallinen euklidinen topologia ja Y = (R, τ 2 ), missä τ 2 on diskreetti topologia. Tällöin identtinen kuvaus id : X Y on avoin jokaisessa R:n pisteessä. Kuten jatkuvien kuvausten tapauksessa, avoimet kuvauksetkin voidaan määritellä globaalisti. Esitämmekin seuraavaksi globaalin määritelmän avoimelle kuvaukselle, joka liittyy läheisesti pisteittäiseen määritelmään kuten pian huomaamme Määritelmä. Jos X ja Y ovat topologisia avaruuksia, niin kuvaus f : X Y on avoin, jos f(u) on avoin avaruudessa Y aina, kun U on avoin avaruudessa X. Nyt voimmekin välittömästi yhdistää nämä kaksi käsitettä. On hyvä huomata, että tulos on täysin analoginen vastaavan yhteyden pisteittäisen ja globaalin jatkuvuuden kanssa Lause. Kuvaus f : X Y on avoin jos ja vain jos f on avoin jokaisessa pisteessä a X. Todistus. Oletetaan, että f on avoin, ja olkoon x X ja V on pisteen x ympäristö. Tällöin löytyy sellainen avoin joukko U, että x U V, joten oletuksen 13 tulkitsemme tässä, että V on pisteen x ympäristö, jos löytyy sellainen avoin joukko U, että x U V

2 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 117 nojalla f(u) on avoin ja koska f(x) f(u) f(v ), niin f(v ) on pisteen f(x) ympäristö. Kääntäen, jos U X on avoin ja x U sen mielivaltainen piste, niin f(u) on pisteen f(x) ympäristö. Siispä löytyy sellainen avoin joukko V Y, että f(x) V f(u). Erityisesti siis f(x) on joukon f(u) sisäpiste. Koska tämä on voimassa jokaisella x U, niin jokainen piste f(x) f(u) on joukon f(u) sisäpiste. Siispä f(u) on avoin Huomautus. Jatkuva kuvaus ei aina ole avoin, kuten Esimerkin 8.2 kohta b) osoittaa. Myöskään avoin kuvaus ei ole aina jatkuva; katso saman Esimerkin 8.2 kohta e). Kuinka avoimen kuvauksen käsite toimii lineaaristen kuvausten yhteydessä? Seuraava tulos näyttää, että lineaarisille kuvauksille avoimuus jo yhdessä pisteessä takaa avoimuuden joka pisteessä. (Vrt. Lause 2.26 sivulla 22) 8.6. Lause. Olkoot E ja F normiavaruuksia ja T : E F lineaarinen. Tällöin T on avoin kuvaus jos ja vain jos T on avoin pisteessä 0. Todistus. Tämä suunta seuraa suoraan Lauseesta 8.4. Oletetaan, että T on avoin pisteessä 0. Olkoon x E ja r > 0. Silloin löytyy sellainen r > 0, että T (B( 0, r)) B( 0, r ). Täten T (B(x, r)) = T (x + B( 0, r)) = T x + T (B( 0, r)) T x + B( 0, r ) = B(T x, r ), eli T on avoin myös pisteessä x. Lauseen 8.4 nojalla T on avoin. Havaitsemme, että jos E ja F ovat normiavaruuksia ja T : E F on avoin lineaarikuvaus, niin T on surjektio. (HT 11/2006). Tämä havainto tarkoittaa, että topologinen lisäoletus (avoimuus) implikoi algebrallisen tiedon (surjektiivisuus). Tavoitteenamme on nyt osoittaa, että Banachin avaruuksien jatkuville lineaarikuvauksille T myös kääteinen väite pätee: surjektiivisuudesta (joka on pelkkä algebrallinen ehto) seuraa, että T on avoin (joka on topologinen ehto!) Ennen kuin todistamme tämän väitteen, muotoilemme tuloksen tarkasti. Seuraava lause on peräisin Stefan Banachilta ( ) Lause (Avoimen kuvauksen lause). Jos E ja F ovat Banachin avaruuksia ja T L (E, F ) on surjektio, niin silloin T on avoin kuvaus. Kuten tasaisen rajoituksen periaatteen kanssa, ennen kuin ryhdymme todistamaan väitettä, tarkastelemme hieman väitteen seurauksia.

3 118 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 8.8. Seuraus. Jos T on jatkuva lineaarinen bijektio Banachin avaruudesta E Banachin avaruuteen F, niin T on homeomorfismi. Todistus. Lauseen 8.7 nojalla T on avoin kuvaus, joten T (U) on avoin avaruudessa F aina, kun U on avoin avaruudessa E. Jos V F on avoin, niin T 1 (V ) on avoin, koska T on oletuksen mukaan jatkuva. Siis T on homeomorfismi. (Kts. Topologia I, 12.2) 8.9. Esimerkki. Olkoot x x 1 ja x x 2 normeja vektoriavaruudessa E ja x 2 β x 1 kaikilla x E, missä β > 0. Tällöin identtinen kuvaus (E, 1 ) (E, 2 ) on jatkuva lineaarinen bijektio. Jos sekä (E, 1 ) että (E, 2 ) ovat Banachin avaruuksia, niin identtinen kuvaus on Lauseen 8.7 nojalla homeomorfismi, joten normit 1 ja 2 ovat ekvivalentteja. Toisin sanoen on olemassa sellainen α > 0, että α x 1 x 2 β x 1, kun x E. (Katso Lause 2.10 sivulla 12). Erikoistapauksena tarkastelemme avaruudessa C = C([0, 1], R) normeja x x = sup x(t), x x 1 = 0 t x(t) dt. Tällöin x 1 x, kun x C, joten identtinen kuvaus id : (C, ) (C, 1 ) on jatkuva lineaarinen bijektio. Mutta tiedämme, että normit 1 ja eivät ole ekvivalentteja. Voidaan siis päätellä, että 1. identtinen kuvaus id : (C, ) (C, 1 ) ei ole avoin kuvaus, sillä se on jatkuva, mutta ei homeomorfismi. Siispä täydellisyys on olennainen avoimen kuvauksen lauseessa. 2. Tästä nähdään myös, että (C, 1 ) ei ole Banachin avaruus, sillä muuten avoimen kuvauksen lauseen nojalla id : (C, ) (C, 1 ) olisi homeomorfismi. Toinen konkreettisempi tapa nähdä, että (C, 1 ) ei ole Banachin avaruus on käytää Lemmaa 5.6, jonka nojalla (C, 1 ) on tiheä Banachin avaruudessa L 1 (0, 1). Jos (C, 1 ) olisi Banachin avaruus, niin se olisi Lauseen 3.13 sivulla 29 nojalla suljettu avaruudessa L 1 (0, 1), mutta tiheyden nojalla tällöin olisi C(0, 1) = L 1 (0, 1), mikä osoittaa ristiriidan. Nyt olemme valmiita aloittamaan avoimen kuvauksen lauseen todistamisen. Tarvitsemme ensin tärkeän aputuloksen, jonka todistamiseen tarvitsemme Bairen lausetta. Ennen kuin ryhdymme tämän apulauseen todistukseen, toteamme, että A+B A + B, aina kun A ja B ovat normiavaruuden E osajoukkoja.

4 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 119 Tämän havaitsemiseen valitsemme x A, y B ja ε > 0. Tällöin on olemassa sellaiset x 0 A ja y 0 B, että x x 0 < ε 2 ja y y 0 < ε 2, joten (x + y) (x 0 + y 0 ) x x 0 + y y 0 < ε. Siispä x + y A + B. Huomattakoon, että sisältyvyys voi olla aito (Harjoitustehtävä) Lemma. Olkoon E normiavaruus, F Banachin avaruus ja T lineaarinen surjektio E F. Jos V on jokin pisteen 0 E ympäristö avaruudessa E, niin T (V ) on pisteen 0 F ympäristö avaruudessa F. Todistus. Koska V on pisteen 0 E ympäristö, on olemassa sellainen B = B( 0, r), että B + B V. Jos y F, niin y = T x jollakin x E, koska oletimme, että T on surjektio. Valitaan sellainen n N, että x < nr, eli x nb. Siis y T (nb) = nt (B) nt (B). Koska y F on mielivaltainen, olemme siis osoittaneet, että F = nt (B). n=1 Tässä nt (B) = nt (B), sillä kuvaus x nx on homeomorfismi F F. Koska F on Banachin avaruus, voimme soveltaa Bairen lausetta, Seurauksen 7.2 muodossa: Siis ainakin yksi suljetuista joukoista nt (B) sisältää avoimen pallon. Merkitsemme jatkossa selvyyden vuoksi avaruuden F palloja notaatiolla B F. Jos nyt B F (x 0, ρ 0 ) nt B, niin B F ( x 0 n, ρ 0 n ) = 1 n B F (x 0, ρ 0 ) T (B), eli myös joukko T (B) sisältää avoimen pallon. Merkitään x = 1 n x 0 ja ρ = ρ 0 /n, jolloin siis B F (x, ρ) T (B). Lisäksi pätee, että x T (B). Nimittäin jos x T (B), niin löytyy sellainen approksimoiva jono (y n ) T (B), että x = lim y n. Nyt y n T (B) = T (B( 0, r)) = y n T (B) = x = lim( y n ) T (B). Tämän avulla saamme, että B F ( 0, ρ) = x + B F (x, ρ) T (B) + T (B) T (B) + T (B) = T (B + B) T (V ).

5 120 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI Siis T (V ) on 0 F ympäristöavaruudessa F. Avoimen kuvauksen lauseen todistus: Osoitamme, että T on avoin pisteessä 0. Huomautamme, että Lemma 8.10 osoittaa melkein tämän, kunhan vain voisimme korvata joukon T (V ) joukolla T (V ). Todistus perustuukin tämän osoittamiseen. Olkoon r > 0, r 0 = 1 2 r ja r k = 2 k r 0, kun k N. Siis r k > 0 ja r 0 = r k. k=1 Lemman 8.10 nojalla löydämme luvut s k > 0, joille B F ( 0, s k ) T (B E ( 0, r k )), k N. Jos y T (B E ( 0, r k )), niin y T r k 0 ja siksi lim s k = 0. k Väitämme, että B F ( 0, s 0 ) T (B E ( 0, r)). Tätä varten olkoon y F ja y < s 0. Siispä y T (B E ( 0, r 0 )). Löytyy siis x 0 B E ( 0, r 0 ), jolle y T x 0 < s 1 eli y T x 0 B F ( 0, s 1 ) T (B E ( 0, r 1 )). Vastaavasti jatkamalla havaitsemme, että on olemassa sellainen x 1 B E ( 0, r 1 ), että y T x 0 T x 1 < s2, eli (y T x 0 T x 1 ) B F ( 0, s 2 ) T (B E ( 0, r k )). Induktioaskel: jos x k B E ( 0, r k ), 0 k n 1, ja n 1 y T x k B F ( 0, s n ) T (B E ( 0, r n )), niin on olemassa sellainen x n B E ( 0, r n ), että n y T x k < s n+1. Saamme siten konstruoitua jonon (x n ) n=1 avaruudessa E, jolle x k < r k kaikilla k N ja x k < r k = 2r 0 = r <,

6 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 121 eli sarja x k on normisuppeneva avaruudessa E. Koska oletimme, että E on täydellinen, niin Lauseen 3.22 sivulla 33 nojalla tiedämme, että sarja x k suppenee avaruudessa E. Merkitsemme tätä rajaa x = x k. Tällöin x x k < r 0 + r k = 2r 0 = r, joten x B E ( 0, r). Koska edelleen n n y T x k = y T x k < sn+1 0, kun n, niin y = lim n T ( n ) ( x k = T k=1 lim n n ) x k = T x. Olemme siis osoittanee seuraavan: Jos y F ja y < s 0, niin y = T x, missä x E ja x < r. Toisin sanoen, T (B E ( 0, r)) B F ( 0, s 0 ). Koska r > 0 oli mielivaltaisesti valittu, on siis T avoin kuvaus pisteessä 0, joten T on Lauseen 8.6 nojalla avoin kuvaus Huomautus. Avoimen kuvauksen lause voidaan formuloida myös seuraavalla yhtäpitävällä tavalla: Jos E ja F ovat Banachin avaruuksia ja T L (E, F ) on surjektio, niin on olemassa sellainen M <, että jokaista y F kohti on olemassa x E, jolle T x = y ja x M y. Todistus. Avoimen kuvauksen lauseen nojalla löytyy sellainen B F ( 0, 1/M) T (B E ( 0, 1)) jollakin M <. Jos nyt y F, niin y ŷ = M y B F ( 0, 1/M) ja siten ŷ = T x, missä x < 1 eli y = T (M y x) =: T x, ja x = M y x M y Seuraus. Olkoot E ja F Banachin avaruuksia ja T L (G, F ) jatkuva lineaarinen injektio. Tällöin kuva-avaruus T (E) on avaruuden F suljettu aliavaruus jos ja vain jos löytyy sellainen β > 0, että (8.13) T x β x jokaisella x E.

7 122 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI Huomautus. Jos yllä oleva ehto (8.13) pätee, sanomme että T on alhaalta rajoitettu. Todistus. Oletetaan, että T (E) on suljettu. Koska T (E) F on Banachin avaruuden suljettu aliavaruus, niin se on myös Banachin avaruus (Lause 3.13 sivulla 29). Nyt siis T : E T (E) on jatkuva bijektio, joten väite seuraa suoraan avoimen kuvauksen lauseesta (kun käytetään edellisen sivun muotoilua). Jos ehto (8.13) pätee, niin β x T x α x jokaisella x E, koska T on myös jatkuva. Siispä T : E T (E) on lineaarinen isomorfismi ja Lauseen 6.13 sivulla 102 nojalla T (E) on täydellinen. Nyt Lause 3.13 sivulla 29 mukaan T (E) on suljettu. Huomautus. Yleensä jatkuva lineaarinen injektio T L (G, F ) ei ole alhaalta rajoitettu. Esimerkiksi operaattori T : l 2 l 2, T (x k ) = ( 1 k x k), kun (x k ) l 2, on jatkuva lineaarinen injektio. Mutta joten T ei ole alhaalta rajoitettu. T (0, 0,..., 1, 0,... ) 2 = 1 k 0, Sovellus Fourier-analyysiin Muistamme, että jos f L 2 (0, 2π), niin sen Fourier-kertoimet ( f(k)) k l 2 (Z) Besselin epäyhtälön nojalla. Kääntäen, Riesz Fisherin lauseen mukaan, jos (a k ) k l 2, niin on olemassa f L 2 (0, 2π), jolle Tästä herää seuraavat kysymykset: f(k) = a k jokaisella k Z. 1. Onko L 1 -funktioille olemassa vastaava jonoavaruus X, jolle ( ˆf(k)) k X kaikilla f L 1 (0, 2π)? 2. Onko Riesz Fischerin lauseella vastinetta avaruudessa L 1? Ensimmäiseen kysymykseen saadaan valoa nk. Riemann Lebesguen lemmasta: Lause (Riemann Lebesguen lemma). Jos f L 1 (0, 2π), niin ( f(n)) n c 0 (Z). Todistus. HT 12/2006.

8 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 123 Siis X = c 0 (Z) kelpaa hyvin vastaukseksi kysymykseen 1. Seuraavaksi vastataan kysymykseen 2. eli tarkastellaan onko Riemann Lebesguen lemman 8.14 käänteinen tulos voimassa (eli onko kysymykseen 2. vastaus myönteinen). Avoimen kuvauksen lauseen avulla osoitamme, että käänteinen tulos ei ole voimassa Lause. Kuvaus T : f ( ˆf(n)) n on jatkuva lineaarinen injektio avaruudelta L 1 (0, 2π) avaruuteen c 0 (Z). Kuva-avaruus T (L 1 (0, 2π)) on tiheä avaruudessa c 0 (Z), mutta T ei ole surjektio. Todistus. Selvästi T on lineaarinen. Edellisen lauseen todistus näyttää, että T on jatkuva kuvaus T : L 1 c 0 ja T (2π) 1. (Itse asiassa: T = (2π) 1, sillä jos f(t) 1 kun t [0, 2π], niin f 1 = 2π ja T f = 1, koska f(0) = 1 ja f(k) = 0, kun k 0). Näytetään seuraavaksi, että T on injektio. On siis osoitettava, että jos T f = 0, eli f(n) = 0 kaikilla n Z, niin itse asiassa f = 0. Oletamme siis, että T f = 0, joten 2π m (8.16) f(t) g(t) dt = 0, aina kun g = a k e ikt, 0 k= m eli aina kun g on trigonometrinen polynomi. Lauseen 5.4 sivulla 76 ja Lebesguen dominoidun suppenemisen lauseen avulla kaava (8.16) pätee myös kaikilla g C(0, 2π) (mieti yksityiskohdat tarkasti). Jos nyt A [0, 2π] on mitallinen joukko, niin Lauseen 5.6 sivulla 78 todistuksen nojalla löytyy sellainen jono (g n ) n C(0, 2π), että g n (t) 1 t [0, 2π], n N ja lim g n (t) = n χ A (t) m.k. t [0, 2π]. Soveltamalla taas Lebesguen dominoidun suppenemisen lausetta, niin saamme, että kaava (8.16) pätee myös funktioille g = χ A. Olkoon nyt f L 1 (0, 2π) positiivinen funktio eli f 0. Olkoon n > 0 ja olkoon A n = { t [0, 2π] : f(t) > 1/n }. Joukko A on mitallinen joukko, sillä f on mitallinen funktio. Nyt soveltamalla kaavaa (8.16) joukon A n karakteristiseen funktioon χ An, jolloin havaitaan että 0 = 2π 0 f(t)χ An (t) dt 1 n m(a). Siispä m(a n ) = 0 jokaisella n N, joten päättelemme, että myös joukon A = A n mitta m(a) = 0. Koska A = { t [0, 2π] : f(t) 1/n } = { t [0, 2π] : f(t) > 0 }, n=1

9 124 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI niin olemme osoittaneet, että 0 f(t) 0 m.k t [0, 2π], joten f(t) = 0 m.k. t [0, 2π]. Olkoon nyt f L 1 (0, 2π) mielivaltainen. Tällöin funktio f voidaan esittää muodossa f = (u + u ) + i(v + v ), u +, u, v +, v 0. Edellisen päättelyn nojalla u + = u = v + = v = 0 melkein kaikkialla, joten f(t) = 0 m.k. t [0, 2π]. Olemme siis osoittaneet, että Ker (T ) = {0} ja T on injektio. Kuva T (L 1 ) on tiheä: Olkoon (a k ) k c 00 (Z) c 0 (Z) äärellinen jono, ts. a k = 0, kun k > m (jollakin m N). Tällöin trigonometrinen polynomi on L 1 -funktio, ja P (n) = 1 2π m k= m P (t) = m k= m { 2π a k e ikt e int dt = 0 a k e ikt a k, jos n = m, m + 1,..., m 0, jos n > m Siis T P = ( P (k)) k = (a k ) k, joten päättelemme, että c 00 (Z) T (L 1 ). Koska äärelliset jonot c 00 ovat tiheässä avaruudessa c 0 (Z), joten kuva T (L 1 ) on tiheä avaruudessa c 0 (Z). Lopuksi osoitamme, että T (L 1 ) c 0 (Z) eli T ei ole surjektio. Jos T olisi surjektio, eli T (L 1 ) = c 0, niin silloin T : L 1 c 0 olisi bijektio. Tällöin avoimen kuvauksen lauseen nojalla T olisi isomorfismi, joten erityisesti (8.17) T f β f 1 jokaisella f L 1 (0, 2π). Toisaalta tiedämme, että Dirichlet n ydin D n (x) L 1 (0, 2π) jokaisella n N ja lisäksi ( D n (k)) = 1. Toisaalta Lauseen 7.9 sivulla 112 todistuksessa osoitimme (kaava (7.12)), että D n 1. Tämä johtaa ristiriitaan arvion (8.17) kanssa, joten T ei ole surjektio. Esitämme vielä suljetun kuvaajan lauseen (Lause 8.20 alla), joka on avoimen kuvauksen lauseen sovellus (itse asiassa sen yhtäpitävä versio). Tämän keskeisen tuloksen avulla voidaan usein helpommin todistaa, että annettu lineaarikuvaus on jatkuva Määritelmä. Kuvauksen f : X Y kuvaaja on joukko G(f) = { (x, f(x)) X Y : x X } X Y.

10 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 125 Jos E ja F ovat normiavaruuksia, niin varustetaan seuraavassa E F normilla (x, y) = x + y, (x, y) E F. Tällöin (E F, ) on Banachin avaruus, jos E ja F ovat Banachin avaruuksia (tarkista!). Seuraavaksi yleinen topologinen tieto: Lause. Olkoon E ja F normiavaruuksia sekä f : X Y jatkuva kuvaus. Tällöin funktion f kuvaaja G(f) E F on suljettu joukko. Todistus. Jos (x, y) G(f) E F, niin jokaisella n N on olemassa sellainen jono (x n, y n ) G(f), että (x n, y n ) (x, y) E F 0, kun n. Määritelmän nojalla (x n, y n ) G(f) tarkoittaa, että y n = f(x n ) kaikilla n N. Lisäksi x n x (x n, y n ) (x, y) E F 0, kun n, joten lisäksi x n x avaruudessa E. Koska oletimme, että f on jatkuva, niin f(x n ) f(x) avaruudessa F. Toisaalta f(x n ) = y n ja vastaavasti kuin jonolle (x n ) voidaan osoittaa, että f(x n ) = y n y avaruudessa F, joten raja-arvon yksikäsitteisyyden nojalla y = f(x) eli (x, y) = (x, f(x)) G(f). Siispä G(f) on suljettu avaruudessa E F. Huomautus. Jos T : E F on lineaarinen, niin sen kuvaaja G(T ) on avaruuden E F vektorialiavaruus. Jos E ja F on Banachin avaruuksia, niin edellisen lauseen nojalla ja sitä edeltäneen huomautuksen nojalla G(T ) on myös Banachin avaruus. Suljetun kuvaajan lause kertoo, että käänteinen tulos pätee lineaarikuvauksille T : E F, missä E, F ovat Banachin avaruuksia Lause (Suljetun kuvaajan lause). Olkoot E ja F Banachin avaruuksia, ja T : E F sellainen lineaarikuvaus, että kuvaaja G(T ) = { (x, T x) : x E } E F on suljettu joukko. Tällöin T on jatkuva, eli T L (E, F ). Todistus. Koska E F on Banachin avaruus ja kuvaaja G = G(T ) on suljettu vektorialiavaruus, niin G on Banachin avaruus Lauseen 3.12 sivulla 29 nojalla. Määritellään kuvaus ψ : G(T ) E asettamalla ψ ( (x, T x) ) = x, (x, T x) G(T ).

11 126 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI Koska kuvaus T on lineaarinen, niin ψ lineaarinen. Lisäksi ψ on bijektio, sillä selvästi ψ on surjektio ja ψ on myös injektio, sillä Lisäksi ψ on rajoitettu, sillä ψ ( (x, T x) ) = 0 = x = 0 = (x, T x) = ( 0, 0). ψ ( (x, T x) ) = x x + T x = (x, T x), (x, T x) G(T ). Siispä ψ on jatkuva lineaarinen bijektio G(T ) E. Nyt avoimen kuvauksen lauseen 8.7 (tai sen muotoilun Seuraus 8.8) nojalla myös käänteiskuvaus ψ 1 on jatkuva, joten ψ on homeomorfismi. Nyt Seurauksen 6.11 sivulla 102 nojalla on olemassa vakio sellainen β > 0, että β (x, T x) ψ ( (x, T x) ) = x kaikilla (x, T x) G(T ). Tämän avulla saadaan arvio β T x β( x + T x ) = β (x, T x) x kaikilla x E. Siis T x (1/β) x, joten T on jatkuva Huomautus. Edellisessä lauseessa lineaarisuus on oleellinen oletus, sillä on olemassa epäjatkuva (ja epälineaarinen) f : R R, jonka kuvaaja G(f) R R on suljettu (Harjoitustehtävä) Huomautus. Suljetun kuvaajan lause antaa uuden laskennallisen menetelmän lineaarisen kuvauksen T jatkuvuuden toteamiseen. Lauseen nojalla riittää osoittaa, että G(T ) = G(T ), mikä on yhtäpitävää sen kanssa, että jos jokaisella x E seuraava ehto toteutuu: } x n x avaruudessa E (*) = y = T x. T x n y avaruudessa F Seuraavassa tarkastellaan tyypillistä suljetun kuvaajan lauseen sovelluta Esimerkki. Olkoon (a ij ) i,j ääretön matriisi, joka toteuttaa ehdot: (1) Matriisi (a ij ) on rajoitettu, eli M := sup i,j a ij <. (2) Jos s = (s j ) l 1 on mielivaltainen jono, niin (t i ) l 1, kun t i = a ij s j j=1 kaikilla i N.

12 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 127 Ehto (2) sanoo, että matriisi (a ij ) määrittelee lineaarikuvauksen A : l 1 l 1, jolle ( ) As = a ij s j, kun s = (s j ) l 1. j=1 Intuitiivisesti tämä voidaan ajatella seuraavasti: a 11 a 12 a s 1 a As = 21 a 22 a s 2 a 31 a 32 a s 3, s = (s j) l i Harjoitustehtävänä (HT 12/2006) osoitamme, että A on jatkuva käyttämällä suljetun kuvauksen lausetta.

8. Avoimen kuvauksen lause

8. Avoimen kuvauksen lause FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 125 8. Avoimen kuvauksen lause Palautamme aluksi mieleen Topologian kursseilta ehkä tutut perusasiat yleisestä avoimen kuvauksen käsitteestä. Määrittelemme ensin avoimen

Lisätiedot

7. Tasaisen rajoituksen periaate

7. Tasaisen rajoituksen periaate 18 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 7. Tasaisen rajoituksen periaate Täydellisyydestä puristetaan maksimaalinen hyöty seuraavan Bairen lauseen avulla. Bairen lause on keskeinen todistettaessa kahta funktionaalianalyysin

Lisätiedot

Seuraava topologisluonteinen lause on nk. Bairen lause tai Bairen kategorialause, n=1

Seuraava topologisluonteinen lause on nk. Bairen lause tai Bairen kategorialause, n=1 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 115 7. Tasaisen rajoituksen periaate Täydellisyydestä puristetaan maksimaalinen hyöty seuraavan Bairen lauseen avulla. Bairen lause on keskeinen todistettaessa kahta funktionaalianalyysin

Lisätiedot

6. Lineaariset operaattorit

6. Lineaariset operaattorit 96 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 6. Lineaariset operaattorit Luvussa 5 osoitimme, että Fourier-sarjat suppenevat L 2 -normissa (kts. Seuraus 5.8 sivulla 80). Osoitimme myös, että kun f on jatkuva ja

Lisätiedot

f(k)e ikx = lim S n (f; x) kaikilla x?

f(k)e ikx = lim S n (f; x) kaikilla x? 102 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 6. Lineaariset operaattorit Luvussa 5 osoitimme, että jos f L 2, niin vastaavan Fourier-sarjan osasummat suppenevat kohti f:ää L 2 -normissa (kts. Seuraus 5.8 sivulla

Lisätiedot

MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS

MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS f ( n) JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS n Funktionaalianalyysi Ei harjoituksia 1.4.2015 Funktionaalista viihdettä pääsiäistauolle: viikolla 14 (ma 30.3., ti 31.3. ja ke 1.4.)

Lisätiedot

Konvergenssilauseita

Konvergenssilauseita LUKU 4 Konvergenssilauseita Lause 4.1 (Monotonisen konvergenssin lause). Olkoon (f n ) kasvava jono Lebesgueintegroituvia funktioita. Asetetaan f(x) := f n (x). Jos f n

Lisätiedot

Määritelmä 2.5. Lause 2.6.

Määritelmä 2.5. Lause 2.6. Määritelmä 2.5. Olkoon X joukko ja F joukko funktioita f : X R. Joukkoa F sanotaan pisteittäin rajoitetuksi, jos jokaiselle x X on olemassa sellainen C x R, että f x C x jokaiselle f F. Joukkoa F sanotaan

Lisätiedot

=p(x) + p(y), joten ehto (N1) on voimassa. Jos lisäksi λ on skalaari, niin

=p(x) + p(y), joten ehto (N1) on voimassa. Jos lisäksi λ on skalaari, niin FUNKTIONAALIANALYYSI, RATKAISUT 1 KEVÄT 211, (AP) 1. Ovatko seuraavat reaaliarvoiset funktiot p : R 3 R normeja? Ovatko ne seminormeja? ( x = (x 1, x 2, x 3 ) R 3 ) a) p(x) := x 2 1 + x 2 2 + x 2 3, b)

Lisätiedot

Lebesguen mitta ja integraali

Lebesguen mitta ja integraali Lebesguen mitta ja integraali Olkoon m Lebesguen mitta R n :ssä. R 1 :ssä vastaa pituutta, R 2 :ssa pinta-alaa, R 3 :ssa tilavuutta. Mitallinen joukko E R n = joukko jolla on järkevästi määrätty mitta

Lisätiedot

Ortogonaaliprojektio äärellisulotteiselle aliavaruudelle

Ortogonaaliprojektio äärellisulotteiselle aliavaruudelle Ortogonaaliprojektio äärellisulotteiselle aliavaruudelle Olkoon X sisätuloavaruus ja Y X äärellisulotteinen aliavaruus. Tällöin on olemassa lineaarisesti riippumattomat vektorit y 1, y 2,..., yn, jotka

Lisätiedot

Bijektio. Voidaan päätellä, että kuvaus on bijektio, jos ja vain jos maalin jokaiselle alkiolle kuvautuu tasan yksi lähdön alkio.

Bijektio. Voidaan päätellä, että kuvaus on bijektio, jos ja vain jos maalin jokaiselle alkiolle kuvautuu tasan yksi lähdön alkio. Määritelmä Bijektio Oletetaan, että f : X Y on kuvaus. Sanotaan, että kuvaus f on bijektio, jos se on sekä injektio että surjektio. Huom. Voidaan päätellä, että kuvaus on bijektio, jos ja vain jos maalin

Lisätiedot

DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1. Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS

DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1. Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1 Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS Huomautus. Analyysin yksi keskeisimmistä käsitteistä on jatkuvuus! Olkoon A R mielivaltainen joukko

Lisätiedot

FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. 0. Johdanto

FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. 0. Johdanto FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. Johdanto Funktionaalianalyysissa tutkitaan muun muassa ääretönulotteisten vektoriavaruuksien, ja erityisesti täydellisten normiavaruuksien eli Banach avaruuksien ominaisuuksia.

Lisätiedot

Analyysin peruslause

Analyysin peruslause LUKU 10 Analyysin peruslause 10.1. Peruslause I Aiemmin Cantorin funktion ψ kohdalla todettiin, että analyysin peruslause II ei päde: [0,1] ψ (x) dm(x) < ψ(1) ψ(0). Kasvavalle funktiolle analyysin peruslauseesta

Lisätiedot

e int) dt = 1 ( 2π 1 ) (0 ein0 ein2π

e int) dt = 1 ( 2π 1 ) (0 ein0 ein2π Matematiikan ja tilastotieteen laitos Funktionaalianalyysin peruskurssi Kevät 9) Harjoitus 7 Ratkaisuja Jussi Martin). E Hilbert avaruus L [, π]) ja gt) := t, t [, π]. Määrää funktion g Fourier kertoimet

Lisätiedot

Metriset avaruudet. Erno Kauranen. 1 Versio: 10. lokakuuta 2016, 00:00

Metriset avaruudet. Erno Kauranen. 1 Versio: 10. lokakuuta 2016, 00:00 1 Metriset avaruudet Erno Kauranen 1 Versio: 10. lokakuuta 2016, 00:00 1. Sisätulo ja normiavaruus................................................. 3 2. Metrinen avaruus........................................................

Lisätiedot

Matematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus Malliratkaisut (Sauli Lindberg)

Matematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus Malliratkaisut (Sauli Lindberg) Matematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus 4 9.4.-23.4.200 Malliratkaisut (Sauli Lindberg). Näytä, että Lusinin lauseessa voidaan luopua oletuksesta m(a)

Lisätiedot

LUKU 6. Mitalliset funktiot

LUKU 6. Mitalliset funktiot LUKU 6 Mitalliset funktiot Määritelmistä 3. ja 3.0 seuraa, että jokainen Lebesgue-integroituva funktio on porrasfunktiojonon raja-arvo melkein kaikkialla. Kuitenkin moni tuttu funktio ei ole Lebesgue-integroituva.

Lisätiedot

IV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n

IV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n IV. TASAINEN SUPPENEMINEN IV.. Funktiojonon tasainen suppeneminen Olkoon A R joukko ja f n : A R funktio, n =, 2, 3,..., jolloin jokaisella x A muodostuu lukujono f x, f 2 x,.... Jos tämä jono suppenee

Lisätiedot

U β T. (1) U β T. (2) {,X} T. (3)

U β T. (1) U β T. (2) {,X} T. (3) 1.1 a) Joukkoperhe T = α I T α P(X) on topologia. Todistus. Osoitetaan, että topologian määritelmän 1.1 ehdot (1), (2) ja (3) toteutuvat. Ehtoa (1) varten olkoon {U β β J} T. Pitää osoittaa, että U β T.

Lisätiedot

FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 7

FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 7 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 7 2. Normi ja normiavaruus Olkoon E vektoriavaruus (eli lineaariavaruus) skalaarikuntana K = R tai K = C. Kurssilla Lineaarialgebra I määriteltiin vain R-kertoimiset vektoriavaruudet,

Lisätiedot

Kantavektorien kuvavektorit määräävät lineaarikuvauksen

Kantavektorien kuvavektorit määräävät lineaarikuvauksen Kantavektorien kuvavektorit määräävät lineaarikuvauksen Lause 18 Oletetaan, että V ja W ovat vektoriavaruuksia. Oletetaan lisäksi, että ( v 1,..., v n ) on avaruuden V kanta ja w 1,..., w n W. Tällöin

Lisätiedot

2. Normi ja normiavaruus

2. Normi ja normiavaruus 8 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 2. Normi ja normiavaruus Olkoon E vektoriavaruus (eli lineaariavaruus) skalaarikuntana K = R tai K = C. Kurssilla Lineaarialgebra I määriteltiin vain R-kertoimiset vektoriavaruudet,

Lisätiedot

4. Martingaalit ja lokaalit martingaalit

4. Martingaalit ja lokaalit martingaalit STOKASTISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 45 4. Martingaalit ja lokaalit martingaalit Lähestymme nyt jo kovaa vauhtia hetkeä, jolloin voimme aloittaa stokastisen integroinnin. Ennen sitä käymme vielä läpi yhtä

Lisätiedot

Topologia I Harjoitus 6, kevät 2010 Ratkaisuehdotus

Topologia I Harjoitus 6, kevät 2010 Ratkaisuehdotus Topologia I Harjoitus 6, kevät 2010 Ratkaisuehdotus 1. (5:7) Olkoon E normiavaruus, I = [0, 1] ja f, g : I E jatkuvia. Osoita, että yhtälön h(s, t) = (1 t)f(s) + tg(s) määrittelemä kuvaus h : I 2 E on

Lisätiedot

Johdatus matemaattiseen päättelyyn

Johdatus matemaattiseen päättelyyn Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä 2 Todistamisesta 3 Joukko-oppia 4 Funktioista Funktio eli kuvaus on matematiikan

Lisätiedot

Määritelmä 1. Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V. Termejä: Lineaarikuvaus, Lineaarinen kuvaus.

Määritelmä 1. Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V. Termejä: Lineaarikuvaus, Lineaarinen kuvaus. 1 Lineaarikuvaus 1.1 Määritelmä Määritelmä 1. Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V W on lineaarinen, jos (a) L(v + w) = L(v) + L(w); (b) L(λv) = λl(v) aina, kun v, w V ja λ K. Termejä:

Lisätiedot

1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus

1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1.1 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä V epätyhjä joukko. Oletetaan, että joukossa V on määritelty laskutoimitus

Lisätiedot

802320A LINEAARIALGEBRA OSA III

802320A LINEAARIALGEBRA OSA III 802320A LINEAARIALGEBRA OSA III Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 56 Määritelmä Määritelmä 1 Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V

Lisätiedot

Kompaktisuus ja filtterit

Kompaktisuus ja filtterit Kompaktisuus ja filtterit Joukkoperheellä L on äärellinen leikkausominaisuus, mikäli jokaisella äärellisellä L L on voimassa L. Nähdään helposti, että perheellä L on äärellinen leikkausominaisuus ja L

Lisätiedot

Metriset avaruudet 2017

Metriset avaruudet 2017 Metriset avaruudet 2017 Jouni Parkkonen Merkintöjä N = {0, 1, 2,... } luonnolliset luvut #(A) N { } joukon A alkioiden lukumäärä A B = {a A : a / B} joukkojen A ja B erotus. A B on joukkojen A ja B erillinen

Lisätiedot

f(x) sin k x dx, c k = 1

f(x) sin k x dx, c k = 1 f ( n) n 3. Fourier n sarjoista I [1, 8.16, luku 11], [, luku 15], [3, luku IX, 8 9]. [5, luku I], [6, luku XII, 3], [7, luku 8], [8, luku 4], [9, luku 8] Trigonometrinen polynomi on muotoa a + ( ak cos

Lisätiedot

Topologia Syksy 2010 Harjoitus 4. (1) Keksi funktio f ja suljetut välit A i R 1, i = 1, 2,... siten, että f : R 1 R 1, f Ai on jatkuva jokaisella i N,

Topologia Syksy 2010 Harjoitus 4. (1) Keksi funktio f ja suljetut välit A i R 1, i = 1, 2,... siten, että f : R 1 R 1, f Ai on jatkuva jokaisella i N, Topologia Syksy 2010 Harjoitus 4 (1) Keksi funktio f ja suljetut välit A i R 1, i = 1, 2,... siten, että f : R 1 R 1, f Ai on jatkuva jokaisella i N, i=1 A i = R 1, ja f : R 1 R 1 ei ole jatkuva. Lause

Lisätiedot

4. Hilbertin avaruudet

4. Hilbertin avaruudet FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 51 4. Hilbertin avaruudet Hilbertin avaruudet ovat ääretönulotteisista normiavaruuksista ominaisuuksiltaan kaikkein lähinnä kotiavaruutta R n tai C n. Tästä syystä niiden

Lisätiedot

Topologia Syksy 2010 Harjoitus 9

Topologia Syksy 2010 Harjoitus 9 Topologia Syksy 2010 Harjoitus 9 (1) Avaruuden X osajoukko A on G δ -joukko, jos se on numeroituva leikkaus avoimista joukoista ja F σ -joukko, jos se on numeroituva yhdiste suljetuista joukoista. Osoita,

Lisätiedot

Kuvaus. Määritelmä. LM2, Kesä /160

Kuvaus. Määritelmä. LM2, Kesä /160 Kuvaus Määritelmä Oletetaan, että X ja Y ovat joukkoja. Kuvaus eli funktio joukosta X joukkoon Y on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon X alkioon täsmälleen yhden alkion, joka kuuluu joukkoon Y. Merkintä

Lisätiedot

HY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina klo

HY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina klo HY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina 10.8.2015 klo 16.15. Tehtäväsarja I Tutustu lukuun 15, jossa vektoriavaruuden

Lisätiedot

5. Fourier-sarjat. f(x) e inx dx. c n (cos(nx) + i sin(nx)), n= N. f(x) e inx dx = f(n)

5. Fourier-sarjat. f(x) e inx dx. c n (cos(nx) + i sin(nx)), n= N. f(x) e inx dx = f(n) FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 73 5. Fourier-sarjat Fourier esitti vuonna 1822 lämmönjohtamista koskevien tutkimusten yhteydessä kuuluisan menetelmänsä esittää mielivaltainen -jaksollinen funktio kehitelmänä

Lisätiedot

Johdatus matemaattiseen päättelyyn

Johdatus matemaattiseen päättelyyn Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä 2 Todistamisesta 2 3 Joukko-oppia Tässä luvussa tarkastellaan joukko-opin

Lisätiedot

Laskutoimitusten operaattorinormeista

Laskutoimitusten operaattorinormeista Laskutoimitusten operaattorinormeista Rami Luisto 27. tammikuuta 2012 Tiivistelmä Tässä kirjoitelmassa määrittelemme vektoriavaruuksien väliselle lineaarikuvaukselle normin ja laskemme sen eksplisiittisesti

Lisätiedot

1 sup- ja inf-esimerkkejä

1 sup- ja inf-esimerkkejä Alla olevat kohdat (erityisesti todistukset) ovat lähinnä oheislukemista reaaliluvuista, mutta joihinkin niistä palataan myöhemmin kurssilla. 1 sup- ja inf-esimerkkejä Nollakohdan olemassaolo. Kaikki tuntevat

Lisätiedot

Reaalianalyysin perusteita

Reaalianalyysin perusteita Reaalianalyysin perusteita Heikki Orelma 16. marraskuuta 2008 Sisältö 1 Johdanto 3 2 Mitallisuus 3 3 Yksinkertaiset funktiot 6 4 Mitat ja integrointi 7 5 Kompleksisten funktioiden integrointi 10 6 Nolla-mittaisten

Lisätiedot

Luku 2. Jatkuvien funktioiden ominaisuuksia.

Luku 2. Jatkuvien funktioiden ominaisuuksia. 1 MAT-1343 Laaja matematiikka 3 TTY 21 Risto Silvennoinen Luku 2. Jatkuvien funktioiden ominaisuuksia. Jatkossa väli I tarkoittaa jotakin seuraavista reaalilukuväleistä: ( ab, ) = { x a< x< b} = { x a

Lisätiedot

1 Sisätulo- ja normiavaruudet

1 Sisätulo- ja normiavaruudet 1 Sisätulo- ja normiavaruudet 1.1 Sisätuloavaruus Määritelmä 1. Olkoon V reaalinen vektoriavaruus. Kuvaus : V V R on reaalinen sisätulo eli pistetulo, jos (a) v w = w v (symmetrisyys); (b) v + u w = v

Lisätiedot

Joukot metrisissä avaruuksissa

Joukot metrisissä avaruuksissa TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Saara Lahtinen Joukot metrisissä avaruuksissa Informaatiotieteiden yksikkö Matematiikka Elokuu 2013 Sisältö 1 Johdanto 1 2 Metriset avaruudet 1 2.1 Tarvittavia

Lisätiedot

x = y x i = y i i = 1, 2; x + y = (x 1 + y 1, x 2 + y 2 ); x y = (x 1 y 1, x 2 + y 2 );

x = y x i = y i i = 1, 2; x + y = (x 1 + y 1, x 2 + y 2 ); x y = (x 1 y 1, x 2 + y 2 ); LINEAARIALGEBRA Harjoituksia, Syksy 2016 1. Olkoon n Z +. Osoita, että (R n, +, ) on lineaariavaruus, kun vektoreiden x = (x 1,..., x n ), y = (y 1,..., y n ) identtisyys, yhteenlasku ja reaaliluvulla

Lisätiedot

Karteesinen tulo. Olkoot A = {1, 2, 3, 5} ja B = {a, b, c}. Näiden karteesista tuloa A B voidaan havainnollistaa kuvalla 1 / 21

Karteesinen tulo. Olkoot A = {1, 2, 3, 5} ja B = {a, b, c}. Näiden karteesista tuloa A B voidaan havainnollistaa kuvalla 1 / 21 säilyy Olkoot A = {1, 2, 3, 5} ja B = {a, b, c}. Näiden karteesista tuloa A B voidaan havainnollistaa kuvalla c b a 1 2 3 5 1 / 21 säilyy Esimerkkirelaatio R = {(1, b), (3, a), (5, a), (5, c)} c b a 1

Lisätiedot

Ratkaisu: (i) Joukko A X on avoin jos kaikilla x A on olemassa r > 0 siten että B(x, r) A. Joukko B X on suljettu jos komplementti B c on avoin.

Ratkaisu: (i) Joukko A X on avoin jos kaikilla x A on olemassa r > 0 siten että B(x, r) A. Joukko B X on suljettu jos komplementti B c on avoin. Matematiikan ja tilastotieteen laitos Topologia I 1. kurssikoe 26.2.2013 Malliratkaisut ja tehtävien tarkastamiset Tehtävät 1 ja 2 Henrik Wirzenius Tehtävät 3 ja 4 Teemu Saksala Jos sinulla on kysyttävää

Lisätiedot

Johdanto Lassi Kurittu

Johdanto Lassi Kurittu Johdanto Tämä luentomoniste on kirjoitettu syksyn 2012 topologian kurssin jälkimmäisen osan luentomateriaaliksi. Kurssin ensimmäisellä puoliskolla käsiteltiin metrisiä avaruuksia, mutta nyt siirrytään

Lisätiedot

Cantorin joukko LUKU 8

Cantorin joukko LUKU 8 LUKU 8 Cantorin joukko 8.. Cantorin 3 -joukko Merkitään J = J 0, = [0, ]. Poistetaan välin J keskeltä avoin väli I,, jonka pituus on /3; siis I, = (, 2). Olkoot jäljelle jäävät suljetut välit J 3 3, ja

Lisätiedot

FUNKTIONAALIANALYYSI 2017

FUNKTIONAALIANALYYSI 2017 FUNKTIONAALIANALYYSI 2017 JOUNI PARKKONEN Nämä ovat muistiinpanoni funktionaalianalyysin kurssille kevätlukukaudella 2017. Tekstiä ei ole luettu äärimmäisen huolella puhtaaksi eikä sitä ole viilattu julkaisemista

Lisätiedot

Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 2, Osoita että A on hyvin määritelty. Tee tämä osoittamalla

Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 2, Osoita että A on hyvin määritelty. Tee tämä osoittamalla Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 2, 23.9.2015 1. Osoita että A on hyvin määritelty. Tee tämä osoittamalla a) että ei ole olemassa surjektiota f : {1,, n} {1,, m}, kun n < m. b) että a) kohdasta

Lisätiedot

Johdatus diskreettiin matematiikkaan (syksy 2009) Harjoitus 3, ratkaisuja Janne Korhonen

Johdatus diskreettiin matematiikkaan (syksy 2009) Harjoitus 3, ratkaisuja Janne Korhonen Johdatus diskreettiin matematiikkaan (syksy 009) Harjoitus 3, ratkaisuja Janne Korhonen 1. Väite: Funktio f : [, ) [1, ), missä on bijektio. f(x) = x + 4x + 5, Todistus: Luentomateriaalissa todistettujen

Lisätiedot

1 sup- ja inf-esimerkkejä

1 sup- ja inf-esimerkkejä Alla olevat kohdat (erityisesti todistukset) ovat lähinnä oheislukemista reaaliluvuista, mutta joihinkin niistä palataan myöhemmin kurssilla. 1 sup- ja inf-esimerkkejä Kaarenpituus. Olkoon r: [a, b] R

Lisätiedot

Funktiot. funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina.

Funktiot. funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina. Funktiot Tässä luvussa käsitellään reaaliakselin osajoukoissa määriteltyjä funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina. Avoin väli: ]a, b[ tai ]a, [ tai ],

Lisätiedot

Johdatus topologiaan (4 op)

Johdatus topologiaan (4 op) 180305 Johdatus topologiaan (4 op) Kevät 2009 1. Alkusanat Sana topologia on johdettu kreikan kielen sanoista topos ja logos, jotka merkitsevät paikkaa ja tietoa. Jo 1700-luvun alussa käytettiin latinan

Lisätiedot

1 Tensoriavaruuksista..

1 Tensoriavaruuksista.. 1 Tensoriavaruuksista.. Käydään läpi kirjan (1) sivut 126-133. 19.02.2007 Palautetaaieleen viime kerran tärkeä määritelmä: (kirja, Määr. 5.12). Määritelmä 1.1 Olkoon T vektoriavaruus ja Φ : V 1 V 2 V m

Lisätiedot

Matriisiteoria Harjoitus 1, kevät Olkoon. cos α sin α A(α) = . sin α cos α. Osoita, että A(α + β) = A(α)A(β). Mikä matriisi A(α)A( α) on?

Matriisiteoria Harjoitus 1, kevät Olkoon. cos α sin α A(α) = . sin α cos α. Osoita, että A(α + β) = A(α)A(β). Mikä matriisi A(α)A( α) on? Harjoitus 1, kevät 007 1. Olkoon [ ] cos α sin α A(α) =. sin α cos α Osoita, että A(α + β) = A(α)A(β). Mikä matriisi A(α)A( α) on?. Olkoon a x y A = 0 b z, 0 0 c missä a, b, c 0. Määrää käänteismatriisi

Lisätiedot

Onko kuvaukset injektioita? Ovatko ne surjektioita? Bijektioita?

Onko kuvaukset injektioita? Ovatko ne surjektioita? Bijektioita? Matematiikkaa kaikille, kesä 2017 Avoin yliopisto Luentojen 2,4 ja 6 tehtäviä Päivittyy kurssin aikana 1. Olkoon A = {0, 1, 2}, B = {1, 2, 3} ja C = {2, 3, 4}. Luettele joukkojen A B, A B, A B ja (A B)

Lisätiedot

Määritelmä Olkoon T i L (V i, W i ), 1 i m. Yksikäsitteisen lineaarikuvauksen h L (V 1 V 2 V m, W 1 W 2 W m )

Määritelmä Olkoon T i L (V i, W i ), 1 i m. Yksikäsitteisen lineaarikuvauksen h L (V 1 V 2 V m, W 1 W 2 W m ) Määritelmä 519 Olkoon T i L V i, W i, 1 i m Yksikäsitteisen lineaarikuvauksen h L V 1 V 2 V m, W 1 W 2 W m h v 1 v 2 v m T 1 v 1 T 2 v 2 T m v m 514 sanotaan olevan kuvausten T 1,, T m indusoima ja sitä

Lisätiedot

Topologian demotehtäviä

Topologian demotehtäviä Topologian demotehtäviä 31.10.2012 1.1 Olkoon X joukko ja {T α } α I epätyhjä (eli I ) perhe X:n topologioita. Ovatko joukot T α P(X) ja/tai T α P(X) α I välttämättä X:n topologioita? Tässä on ehkä syytä

Lisätiedot

1 Määrittelyjä ja aputuloksia

1 Määrittelyjä ja aputuloksia 1 Määrittelyjä ja aputuloksia 1.1 Supremum ja infimum Aluksi kerrataan pienimmän ylärajan (supremum) ja suurimman alarajan (infimum) perusominaisuuksia ja esitetään muutamia myöhemmissä todistuksissa tarvittavia

Lisätiedot

b) Olkoon G vähintään kaksi solmua sisältävä puu. Sallitaan verkon G olevan

b) Olkoon G vähintään kaksi solmua sisältävä puu. Sallitaan verkon G olevan Tehtävä 7 : 1 a) Olkoon G jokin epäyhtenäinen verkko. Tällöin väittämä V (G) 2 pätee jo epäyhtenäisyyden nojalla. Jokaisella joukolla X on ehto X 0 voimassa, joten ehdot A < 0 ja F < 0 toteuttavilla joukoilla

Lisätiedot

Tenttiin valmentavia harjoituksia

Tenttiin valmentavia harjoituksia Tenttiin valmentavia harjoituksia Alla olevissa harjoituksissa suluissa oleva sivunumero viittaa Juha Partasen kurssimonisteen siihen sivuun, jolta löytyy apua tehtävän ratkaisuun. Funktiot Harjoitus.

Lisätiedot

Esko Turunen MAT Algebra1(s)

Esko Turunen MAT Algebra1(s) Määritelmä (4.1) Olkoon G ryhmä. Olkoon H G, H. Jos joukko H varustettuna indusoidulla laskutoimituksella on ryhmä, se on ryhmän G aliryhmä. Jos H G on ryhmän G aliryhmä, merkitään usein H G, ja jos H

Lisätiedot

[E : F ]=[E : K][K : F ].

[E : F ]=[E : K][K : F ]. ALGEBRA II 35 Lause 4.4 (Astelukulause). Olkoot E/K/Fäärellisiä kuntalaajennuksia. Silloin [E : F ]=[E : K][K : F ]. Todistus. Olkoon {α 1,...,α n } kanta laajennukselle E/K ja {β 1,...,β m } kanta laajennukselle

Lisätiedot

Päättelyn voisi aloittaa myös edellisen loppupuolelta ja näyttää kuten alkupuolella, että välttämättä dim W < R 1 R 1

Päättelyn voisi aloittaa myös edellisen loppupuolelta ja näyttää kuten alkupuolella, että välttämättä dim W < R 1 R 1 Lineaarialgebran kertaustehtävien b ratkaisuista. Määritä jokin kanta sille reaalikertoimisten polynomien lineaariavaruuden P aliavaruudelle, jonka virittää polynomijoukko {x, x+, x x }. Ratkaisu. Olkoon

Lisätiedot

= 5! 2 2!3! = = 10. Edelleen tästä joukosta voidaan valita kolme särmää yhteensä = 10! 3 3!7! = = 120

= 5! 2 2!3! = = 10. Edelleen tästä joukosta voidaan valita kolme särmää yhteensä = 10! 3 3!7! = = 120 Tehtävä 1 : 1 Merkitään jatkossa kirjaimella H kaikkien solmujoukon V sellaisten verkkojen kokoelmaa, joissa on tasan kolme särmää. a) Jokainen verkko G H toteuttaa väitteen E(G) [V]. Toisaalta jokainen

Lisätiedot

9. Dualiteetti. Todistus. Väite seuraa suoraan Lauseesta 6.6, koska skalaarikunta K on täydellinen.

9. Dualiteetti. Todistus. Väite seuraa suoraan Lauseesta 6.6, koska skalaarikunta K on täydellinen. 128 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 9. Dualiteetti Jos E on vektoriavaruus, niin merkintä E = L(E, K) tarkoittaa avaruuden E algebrallista duaalia. Duaalin E ovat avaruuden E lineaarisia muotoja. Jos

Lisätiedot

1 Reaaliset lukujonot

1 Reaaliset lukujonot Jonot 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 5 1 Reaaliset lukujonot Reaaliset lukujonot ovat funktioita f : Z + R. Lukujonosta käytetään merkintää (a k ) k=1 tai lyhyemmin vain (a k). missä a k = f(k). Täten lukujonot

Lisätiedot

5. Fourier-sarjat. f(x)e inx dx. c n (cos(nx) + i sin(nx)), n= N. 2π f(x)e inx dx = 1 2π. k= N. e inx, n Z. 2π f(x)e inx dx = 1 (f e n ) 2π

5. Fourier-sarjat. f(x)e inx dx. c n (cos(nx) + i sin(nx)), n= N. 2π f(x)e inx dx = 1 2π. k= N. e inx, n Z. 2π f(x)e inx dx = 1 (f e n ) 2π 78 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 5. Fourier-sarjat Fourier esitti vuonna 1822 lämmönjohtamista koskevien tutkimusten yhteydessä kuuluisan menetelmänsä esittää mielivaltainen -jaksollinen funktio kehitelmänä

Lisätiedot

TAMPEREEN YLIOPISTO Informaatiotieteiden yksikkö TOPOLOGIA

TAMPEREEN YLIOPISTO Informaatiotieteiden yksikkö TOPOLOGIA TAMPEREEN YLIOPISTO Informaatiotieteiden yksikkö TOPOLOGIA Arttu Ojanperä (Eero Hyryn luentojen mukaan) 2013 Sisältö 1 Johdanto 4 1 Jatkuvat kuvaukset........................ 4 2 Avoimet joukot..........................

Lisätiedot

Reaaliluvut. tapauksessa metrisen avaruuden täydellisyyden kohdalla. 1 fi.wikipedia.org/wiki/reaaliluku 1 / 13

Reaaliluvut. tapauksessa metrisen avaruuden täydellisyyden kohdalla. 1 fi.wikipedia.org/wiki/reaaliluku 1 / 13 Reaaliluvut Reaalilukujen joukko R. Täsmällinen konstruointi palautuu rationaalilukuihin, jossa eri mahdollisuuksia: - Dedekindin leikkaukset - rationaaliset Cauchy-jonot - desimaaliapproksimaatiot. Reaalilukujen

Lisätiedot

Cantorin joukon suoristuvuus tasossa

Cantorin joukon suoristuvuus tasossa Cantorin joukon suoristuvuus tasossa LuK-tutkielma Miika Savolainen 2380207 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Syksy 2016 Sisältö Johdanto 2 1 Cantorin joukon esittely 2 2 Suoristuvuus ja

Lisätiedot

Derivaattaluvut ja Dini derivaatat

Derivaattaluvut ja Dini derivaatat Derivaattaluvut Dini derivaatat LuK-tutkielma Helmi Glumo 2434483 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Syksy 2016 Sisältö Johdanto 2 1 Taustaa 2 2 Määritelmät 4 3 Esimerkkejä lauseita 7 Lähdeluettelo

Lisätiedot

1. Normi ja sisätulo

1. Normi ja sisätulo Kurssimateriaalia K3/P3-kursille syksyllä 3 83 Heikki Apiola Sisältää otteita Timo Eirolan L3-kurssin lineaarialgebramonisteesta, jonka lähdekoodin Timo on ystävällisesti antanut käyttööni Normi ja sisätulo

Lisätiedot

KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012

KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 RITVA HURRI-SYRJÄNEN 2. Kompleksitason topologiaa Kompleksianalyysi on kompleksiarvoisten kompleksimuuttujien funktioiden teoriaa. Tällä kurssilla käsittelemme vain

Lisätiedot

Mathematicians are like Frenchmen: whatever you say to them they translate into their own language and forthwith it is something entirely

Mathematicians are like Frenchmen: whatever you say to them they translate into their own language and forthwith it is something entirely f ( n) JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO Funktionaalianalyysi Sekalaisia harjoituksia MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS n Jatkuu... Mathematicians are like Frenchmen: whatever you say to them they translate into

Lisätiedot

Todista raja-arvon määritelmään perustuen seuraava lause: Jos lukujonolle a n pätee lima n = a ja lima n = b, niin a = b.

Todista raja-arvon määritelmään perustuen seuraava lause: Jos lukujonolle a n pätee lima n = a ja lima n = b, niin a = b. 2 Lukujonot 21 Lukujonon määritelmä 16 Fibonacci n luvut määritellään ehdoilla Osoita: 17 a 1 = a 2 = 1; a n+2 = a n+1 + a n, n N a n = 1 [( 1 + ) n ( 2 1 ) n ] 2 Olkoon a 1 = 3, a 2 = 6, a n+1 = 1 n (na

Lisätiedot

LUKU 4. Pinnat. (u 1, u 2 ) ja E ϕ 2 (u 1, u 2 ) := ϕ u 2

LUKU 4. Pinnat. (u 1, u 2 ) ja E ϕ 2 (u 1, u 2 ) := ϕ u 2 LUKU 4 Pinnat 4.. Määritelmiä ja esimerkkejä Määritelmä 4.. Epätyhjä osajoukko M R 3 on sileä (kaksiulotteinen) pinta, jos jokaiselle pisteelle p M on olemassa ympäristö V p R 3, avoin joukko U p R 2 ja

Lisätiedot

5.6 Yhdistetty kuvaus

5.6 Yhdistetty kuvaus 5.6 Yhdistetty kuvaus Määritelmä 5.6.1. Oletetaan, että f : æ Y ja g : Y æ Z ovat kuvauksia. Yhdistetty kuvaus g f : æ Z määritellään asettamalla kaikilla x œ. (g f)(x) =g(f(x)) Huomaa, että yhdistetty

Lisätiedot

Helsingin Yliopisto, Matematiikan ja tilastotieteen laitos. Luennot, kevät 2006 ja kevät Kari Astala ja Petteri Piiroinen (v.

Helsingin Yliopisto, Matematiikan ja tilastotieteen laitos. Luennot, kevät 2006 ja kevät Kari Astala ja Petteri Piiroinen (v. FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI Helsingin Yliopisto, Matematiikan ja tilastotieteen laitos Luennot, kevät 2006 ja kevät 2008 Kari Astala ja Petteri Piiroinen (v. 2006) Hans-Olav Tylli (v. 2008 hienosäätöä)

Lisätiedot

MS-C1540 Euklidiset avaruudet

MS-C1540 Euklidiset avaruudet MS-C1540 Euklidiset avaruudet MS-C1540 Euklidiset avaruudet III-periodi, kevät 2016 Pekka Alestalo Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu 1 / 30 Euklidiset

Lisätiedot

Matriisilaskenta, LH4, 2004, ratkaisut 1. Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot, jotka sisältävät vain

Matriisilaskenta, LH4, 2004, ratkaisut 1. Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot, jotka sisältävät vain Matriisilaskenta LH4 24 ratkaisut 1 Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot jotka sisältävät vain a) Kaikki muotoa (a b c d) olevat vektorit joilla d a + b b) Kaikki muotoa (a b c d) olevat vektorit

Lisätiedot

Kurssikoe on maanantaina Muista ilmoittautua kokeeseen viimeistään 10 päivää ennen koetta! Ilmoittautumisohjeet löytyvät kurssin kotisivuilla.

Kurssikoe on maanantaina Muista ilmoittautua kokeeseen viimeistään 10 päivää ennen koetta! Ilmoittautumisohjeet löytyvät kurssin kotisivuilla. HY / Avoin ylioisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 05 Harjoitus 6 Ratkaisut palautettava viimeistään tiistaina.6.05 klo 6.5. Huom! Luennot ovat salissa CK maanantaista 5.6. lähtien. Kurssikoe on

Lisätiedot

Taustatietoja ja perusteita

Taustatietoja ja perusteita Taustatietoja ja perusteita Vektorit: x R n pystyvektoreita, transpoosi x T Sisätulo: x T y = n i=1 x i y i Normi: x = x T x = ni=1 x 2 i Etäisyys: Kahden R n :n vektorin välinen etäisyys x y 1 Avoin pallo:

Lisätiedot

3.3 Funktion raja-arvo

3.3 Funktion raja-arvo 3.3 Funktion raja-arvo Olkoot A ja B kompleksitason joukkoja ja f : A B kuvaus. Kuvauksella f on pisteessä z 0 A raja-arvo c, jos jokaista ε > 0 vastaa δ > 0 siten, että 0 < z z 0 < δ ja z A f(z) c < ε.

Lisätiedot

Tasainen suppeneminen ja sen sovellukset

Tasainen suppeneminen ja sen sovellukset Tasainen suppeneminen ja sen sovellukset Tuomas Hentunen Matematiikan pro gradu tutkielma Kesäkuu 2014 Tiivistelmä: Tuomas Hentunen, Tasainen suppeneminen ja sen sovellukset (engl. Uniform convergence

Lisätiedot

Johdatus matemaattiseen päättelyyn

Johdatus matemaattiseen päättelyyn Johdatus matemaattiseen päättelyyn Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos 2011 Maarit Järvenpää 1 Todistamisesta Matematiikassa väitelauseet ovat usein muotoa: jos P on totta, niin Q on totta.

Lisätiedot

p-laplacen operaattorin ominaisarvo-ongelmasta

p-laplacen operaattorin ominaisarvo-ongelmasta p-laplacen operaattorin ominaisarvo-ongelmasta Jarkko Siltakoski Pro gradu -tutkielma Jyväskylän yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Kevät 2016 R N x alue B(x 0, r) E E E int E E U E Merkintöjä

Lisätiedot

Selvästi. F (a) F (y) < r x d aina, kun a y < δ. Kolmioepäyhtälön nojalla x F (y) x F (a) + F (a) F (y) < d + r x d = r x

Selvästi. F (a) F (y) < r x d aina, kun a y < δ. Kolmioepäyhtälön nojalla x F (y) x F (a) + F (a) F (y) < d + r x d = r x Seuraavaksi tarkastellaan C 1 -sileiden pintojen eräitä ominaisuuksia. Lemma 2.7.1. Olkoon S R m sellainen C 1 -sileä pinta, että S on C 1 -funktion F : R m R eräs tasa-arvojoukko. Tällöin S on avaruuden

Lisätiedot

Seurauksia. Seuraus. Seuraus. Jos asteen n polynomilla P on n erisuurta nollakohtaa x 1, x 2,..., x n, niin P on muotoa

Seurauksia. Seuraus. Seuraus. Jos asteen n polynomilla P on n erisuurta nollakohtaa x 1, x 2,..., x n, niin P on muotoa Seurauksia Seuraus Jos asteen n polynomilla P on n erisuurta nollakohtaa x 1, x 2,..., x n, niin P on muotoa P(x) = a n (x x 1 )(x x 2 )... (x x n ). Seuraus Astetta n olevalla polynomilla voi olla enintään

Lisätiedot

4. LINEAARIKUVAUKSET

4. LINEAARIKUVAUKSET 86 4 LINEAARIKUVAUKSET 41 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoot V ja V vektoriavaruuksia Tarkastellaan kuvausta L : V V Tällöin jokaiseen vektoriin v V liittyy tietty, L:n ja v:n yksikäsitteisesti määräämä

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 19.9.2016 Pekka Alestalo, Jarmo

Lisätiedot

Luento 8: Epälineaarinen optimointi

Luento 8: Epälineaarinen optimointi Luento 8: Epälineaarinen optimointi Vektoriavaruus R n R n on kaikkien n-jonojen x := (x,..., x n ) joukko. Siis R n := Määritellään nollavektori 0 = (0,..., 0). Reaalisten m n-matriisien joukkoa merkitään

Lisätiedot

Pysähtymisongelman ratkeavuus [Sipser luku 4.2]

Pysähtymisongelman ratkeavuus [Sipser luku 4.2] Pysähtymisongelman ratkeavuus [Sipser luku 4.2] Osoitamme nyt vihdoin, että jotkin Turing-tunnistettavat kielet ovat ratkeamattomia ja jotkin kielet eivät ole edes Turing-tunnistettavia. Lisäksi toteamme,

Lisätiedot

Näin ollen saadaan tulos rad(g) diam(g). Toisaalta huomataan, että verkon G kaikilla solmuilla x ja y pätee kolmioepäyhtälön nojalla havainto

Näin ollen saadaan tulos rad(g) diam(g). Toisaalta huomataan, että verkon G kaikilla solmuilla x ja y pätee kolmioepäyhtälön nojalla havainto Tehtävä 3 : 1 Olkoon G mielivaltainen epätyhjä verkko. Erityisesti siltä ei vaadita äärellisyyttä. Polut ovat verkon G koosta riippumatta määritelmän mukaan aina äärellisiä, joten kahden solmun välisen

Lisätiedot

Esko Turunen Luku 3. Ryhmät

Esko Turunen Luku 3. Ryhmät 3. Ryhmät Monoidia rikkaampi algebrallinen struktuuri on ryhmä: Määritelmä (3.1) Olkoon joukon G laskutoimitus. Joukko G varustettuna tällä laskutoimituksella on ryhmä, jos laskutoimitus on assosiatiivinen,

Lisätiedot

Ville Turunen: Mat Matematiikan peruskurssi P1 1. välikokeen alueen teoriatiivistelmä 2007

Ville Turunen: Mat Matematiikan peruskurssi P1 1. välikokeen alueen teoriatiivistelmä 2007 Ville Turunen: Mat-1.1410 Matematiikan peruskurssi P1 1. välikokeen alueen teoriatiivistelmä 2007 Materiaali: kirjat [Adams R. A. Adams: Calculus, a complete course (6th edition), [Lay D. C. Lay: Linear

Lisätiedot