ANALYYSI 3. Tero Kilpeläinen

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "ANALYYSI 3. Tero Kilpeläinen"

Transkriptio

1 ANALYYSI 3 Tero Kilpeläinen Luentomuistiinpnoj syksyltä lokkuut 2005

2 Sisältö 1. Esitietoj Riemnn-integrli Derivtt Anlyysin perusluse Tylor-polynomit Tylorin luse Jäännöstermin luseke j rvioit Funktiojonot Lukusrjt Srjn suppeneminen j itseinen suppeneminen Suppenemistestejä Srjn ehdollinen suppeneminen Potenssisrjt Funktiosrjt j niiden suppeneminen Potenssisrjt

3 Anlyysi 3 1 Teksti sisältää muistiinpnoj syksyllä Tämän pketin trkoitus on tuke omien muistiinpnojen teko, ei korvt niitä. Mtemtiikk oppii prhiten itse kirjoitten j ongelmi rtkoen.

4 Anlyysi Esitietoj Muistelln Anlyysi 1 j 2 -kurssien tärkeitä määritelmiä j tuloksi: Funktio f : I R, I R, on jtkuv pisteessä x 0 I, jos jokisell ε > 0 on olemss δ > 0 siten, että f(x) f(x 0 ) < ε, kun x x 0 < δ (x, x 0 I). Edelleen f : I R on jtkuv välillä I, jos f on jtkuv jokisess pisteessä x 0 I. Jtkuvuus voidn krkterisoid myös rj-rvojen vull: muist, että luku R on funktion f rj-rvo pisteessä x 0, merkitään lim x x 0 f(x) =, jos jokisell ε > 0 on olemss δ > 0 siten, että f(x) < ε in, kun 0 < x x 0 < δ. Nyt pätee luse: Tällöin f on jtkuv pisteessä x 0, jos j vin, jos f:llä on rj-rvo f(x 0 ) pisteessä x 0, ts. lim x x 0 f(x) = f(x 0 ) Riemnn-integrli Integrointi j differentiointi (derivointi) ovt kksi nlyysin keskeisintä rjprosessi. Anlyysin perusluse ilmisee, että derivointi j integrointi ovt toistens käänteisprosessej. Olkoon I rjoitettu väli, jonk päätepisteet ovt, b R, < b. Välin I jon muodostvt luvut (äärellisen mont) = x 0 < x 1 < x 2 < < x n = b. Funktio g : I R on porrsfunktio, jos on olemss välin I jko P = (x 0, x 1, x 2,..., x n )

5 Anlyysi 3 3 j luvut j R, j = 1, 2,..., n, joille g(x) = j kikill x ]x j 1, x j [. Porrsfunktion g : [, b] R integrli (yli välin [, b]) on b g := n j (x j x j 1 ), missä P = (x 0, x 1, x 2,..., x n ) on välin [, b] jko siten, että g(x) = j kikill x I j =]x j 1, x j [. Rjoitettu funktio f : [, b] R on (Riemnn-)integroituv, jos b l b f = ylä f. Tällöin f:n (Riemnn-)integrli yli välin [, b] on b f := b b f(x) dx := l b f = ylä f. Tässä b l b f := sup{ g : g porrsfunktio j g f välillä [, b]} j f:n yläintegrli yli välin [, b] b ylä b f := inf{ h : g porrsfunktio j h f välillä [, b]}. Jtkuvt funktiot ovt integroituvi. Riemnnin ehto nt erään keinon trkstell integroituvuutt: (Anlyysi 2, Luse 1.1)

6 Anlyysi Luse. (Riemnnin ehto) Rjoitettu funktio f : [, b] R on Riemnnintegroituv, välillä [, b], jos j vin jos jokisell ε > 0 on olemss porrsfunktiot g j h siten, että g f h välillä [, b] j b h dx b g dx < ε. Jtkuv funktio s keskirvons välillä [, b] (Anlyysi 2, Luse 1.14): 1.2. Luse. (Integrlilskennn välirvoluse (IVAL)) Olkoon f jtkuv välillä [, b]. Tällöin on olemss ξ [, b], jolle b f(x) dx = f(ξ)(b ). Trvitsemme tästä myös yleistetyn version (Anlyysi 2, Luse 1.16): 1.3. Luse. (Yleistetty integrlilskennn välirvoluse) Olkoon f jtkuv j p ei-negtiivinen, Riemnn-integroituv välillä [, b]. Tällöin on olemss ξ [, b], jolle b b fp dx = f(ξ) p dx Derivtt Olkoon f ], b[ R j x ], b[. Snotn, että f on derivoituv j f (x) f:n derivtt pisteeessä x, jos rj-rvo on olemss (j reliluku!). f(x + h) f(x) lim h 0 h = f (x) Edelleen, jos f on derivoituv välillä ], b[, niin sen derivtt f määrittelee myös funktion f ], b[ R: mikäli derivttfunktio f on derivoituv, niin f on khdesti derivoituv j f:n toinen derivtt on f (x) = (f ) (x).

7 Anlyysi 3 5 Jtkmll näin, f:n kolms derivtt f = f (3) on f:n toisen derivtn f derivtt, mikäli sellinen on olemss jne. Seurv välirvoluse (Anlyysi 2, luse 2.7) on lkeisdifferentililskennn ehkä tärkein j hyödyllisin luse Luse. (Välirvoluse, VAL) Olkoon f [, b] R jtkuv suljetull välillä [, b] j derivoituv voimell välillä ], b[. Tällöin on olemss ξ ], b[ siten, että f (ξ) = f(b) f() b. Trvitsemme jtkoss myös sen yleistettyä muoto (Anlyysi 2, luse 2.13): 1.5. Luse. (Yleistetty välirvoluse) Olkoon f j g jtkuvi suljetull välillä [, b] j derivoituvi voimell välillä ], b[. Jos niin on olemss ξ ], b[ siten, että g (x) 0 kikill x ], b[, f(b) f() g(b) g() = f (ξ) g (ξ) Anlyysin perusluse Anlyysin perusluse sitoo integroinnin j derivoinnin toisiins (ks Anlyysi 2, luku 3): 1.6. Luse. (Anlyysin perusluse) Olkoon f :], b[ R jtkuvsti derivoituv j x 0 ], b[. Tällöin f(x) = f(x 0 ) + x x 0 f (t) dt kikill x ], b[. Kääntäen, jos g on jtkuv funktio välillä [, b] j x 0 [, b], niin integrlifunktio G(x) = x x 0 g(t) dt, on jtkuvsti derivoituv välillä ], b[ j G (x) = g(x) kikill x ], b[.

8 Anlyysi Tylor-polynomit 2.1. Tylorin luse Anlyysi 1 -kurssill opittiin, että jos funktio f on jtkuv pisteesä x 0, niin sen käyttäytymistä voidn (lähellä pistettä x 0 ) pproksimoid vkiofunktioll (y = f(x 0 )), sillä f(x) f(x 0 ) = o(1) = o( x x 0 0 ) kun x x 0, toisin snoen 1 f(x) = f(x 0 ) + ɛ(x), missä lim x x 0 ɛ(x) x x 0 0 = lim x x 0 ɛ(x) = 0. Vkiopolynomi p 0 (x) = f(x 0 ) on siis jtkuvn funktion f prs pproksimointi 0. steen polynomill pisteen x 0 lähistöllä. Jos f on hiemn sileämpi, pproksimointikin sujuu premmin: olkoon f derivoituv pisteessä x 0. Tällöin (yhtäpitävästi) f(x) (f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 )) = o( x x 0 ) kun x x 0, toisin snoen derivoituv funktiot voidn pproksimoid pisteen x 0 ympäristössä ffiinill funktioll eli ensimmäisen steen polynomill niin, että virhetermi on pienempi kuin linerinen. Siten tämä polynomi p 1 (x) = f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) 1 Muist: pikku-o j iso-o merkinnät (Anlyysi 2): mikä trkoitt, että j f(x) = o(g(x)), kun x x 0, f(x) lim x x 0 g(x) = 0, f(x) = O(g(x)), kun x x 0, mikä trkoitt, että on olemss vkio C > 0 siten, että kunhn x on trpeeksi lähellä pistettä x 0. f(x) C g(x),

9 Anlyysi 3 7 nt ensimmäiseen steen polynomeist prhn pproksimoinnin f:lle pisteen x 0 lähellä. Nyt voisi rvt, että khdesti derivoituv funktioit voisi pproksimoid toisen steen polynomill niin, että virhetermi olisi muoto o((x x 0 ) 2 ). Lsketn tämä ensin 2. steen polynomille: p 2 (x) = 2 x x + 0, jolloin p 2 (x) p 2 (x 0 ) = 2 (x 2 x 2 0) + 1 (x x 0 ) = 2 (x x 0 ) x 0 (x x 0 ) + 1 (x x 0 ) = 1 2 p 2(x 0 )(x x 0 ) 2 + p 2(x 0 )(x x 0 ). Tämän opstmn rvmme, että khdesti derivoituv funktiot f voidn prhiten pproksimoid polynomill Näin onkin sin lit: q 2 (x) = f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) f (x 0 )(x x 0 ) Luse. Olkoon funktioll f jtkuv toinen derivtt f välillä ], b[. Jos x 0 ], b[ j q 2 (x) = f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) f (x 0 )(x x 0 ) 2, niin f(x) q 2 (x) = o( x x 0 2 ), kun x x 0, ts. kikill ε > 0 on δ > 0, jolle f(x) q 2 (x) ε x x 0 2, kun x x 0 < δ. Todistus: Olkoon F = f g 2. Tällöin F :llä on jtkuv toinen derivtt j F (x 0 ) = F (x 0 ) = F (x 0 ) = 0. Väite todistetn soveltmll välirvolusett 1.4 khdesti: Ensiksi, löydetään sellinen piste x 1 pisteiden x 0 j x välistä, jolle F (x) = F (x) F (x 0 ) = F (x 1 )(x x 0 )

10 Anlyysi 3 8 j edelleen piste x 2 pisteiden x 0 j x 1 välistä, jolle F (x 1 ) = F (x 1 ) F (x 0 ) = F (x 2 )(x 1 x 0 ). Siten yhdistämällä nämä F (x) = F (x 2 )(x 1 x 0 )(x x 0 ) F (x 2 ) (x x 0 ) 2. Kosk F on jtkuv j F (x 0 ) = 0, on jokist ε > 0 kohden sellinen δ > 0, jolle F (x) < ε kikill x, joille x x 0 < δ. Kosk piste x 2 pisteiden x 0 j x välissä, sdn tästä f(x) g 2 (x) = F (x) F (x 2 ) (x x 0 ) 2 ε(x x 0 ) 2 kikill x, joille x x 0 < δ. Seurvksi hvitsemme, että n. steen polynomille pätee p(x) = n x n + n 1 x n x + 0, (2.1) p(x) = p(x 0 ) + p (x 0 )(x x 0 ) p (x 0 )(x x 0 ) p(n) (x 0 ) (x x 0 ) n. n! Tämän totemiseksi kirjoitetn (x = x 0 + h j) p(x 0 + h) = n j (x 0 + h) j = j=0 n b j h j, j=0 jolloin b 0 = p(x 0 ). Muut kertoimet b j sdn lskemll eo. lusekkeen derivtt h:n suhteen pisteessä h = 0: ensiksi p (x 0 + h) = n jb j h j 1, mistä p (x 0 ) = b 1. Lskemll smoin kikki n derivtt smoin päädytään kvn (2.1). Jos f on n kert derivoituv, niin kvn (2.1) oiken puolen polynomi voidn muodost (kun p korvtn f:llä). Sitä kutsutn f:n Tylorin polynomiksi:

11 Anlyysi Määritelmä. Olkoon f n kert derivoituv välillä ], b[. Funktion f n. Tylorin polynomi pisteessä x 0 ], b[ on T n,x0 f(x) = f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) f (x 0 )(x x 0 ) f (n) (x 0 ) (x x 0 ) n. n! Kvn (2.1) mukn korkeintn n. steen polynomille p pätee: T n,x0 p(x) = p(x) kikill x R. Yleiselle funktiolle f sen Tylorin polynomi on tietysti eri kuin funktio itse. Funktiot R n,x0 f, jok ilmisee kuink pljon n. Tylorin polynomi ero f:stä snotn f:n n. jäännöstermiksi. Siis R n,x0 f(x) = f(x) T n,x0 f(x). Seurv Tylorin luse kertoo, että jäännöstermi on vrsin pieni sileälle funktiolle: 2.3. Luse. (Tylorin luse/kv) Olkoon funktio f n kert jtkuvsti derivoituv välillä ], b[ j x 0 ], b[. Tällöin f(x) = T n,x0 f(x) + R n,x0 f(x) kikill x ], b[, missä R n,x0 f(x) = o( x x 0 n ), kun x x 0. Todistus: (vrt Luseen 2.1 todistus.) Osoitetn välirvoluseen vull, että Ensiksi hvitn, että R n,x0 (x) = R n,x0 f(x) = o( x x 0 n ), kun x x 0. R n,x0 (x 0 ) = R n,x 0 (x 0 ) = R n,x 0 (x 0 ) = = R (n) n,x 0 (x 0 ) = 0, jolloin soveltmll välirvolusett jäännöstermiin j sen derivttoihin löydetään pisteet x 1, x 2,..., x n pisteiden x j x 0 välistä, joille R n,x0 (x) = R n,x 0 (x 1 )(x x 0 ) R n,x 0 (x 1 ) = R n,x 0 (x 2 )(x 1 x 0 )... R n,x (n 1) 0 (x n 1 ) = R n,x (n) 0 (x n )(x n 1 x 0 ).

12 Anlyysi 3 10 Yhdistämällä nämä sdn jost R n,x0 (x) = R (n) n,x 0 (x n )(x x 0 )(x 1 x 0 )(x 2 x 0 ) (x n 1 x 0 ), R n,x0 (x) R (n) n,x 0 (x n ) x x 0 n, joten väite seur, kosk jtkuvuuden nojll lim R n,x (n) x x 0 (x n ) = lim R n,x (n) 0 (y) = R n,x (n) 0 (x 0 ) = 0. 0 y x0 Esimerkki. Eksponenttifunktion Tylor-pproksimointi origoss on e x = 1 + x + x2 2! + x3 3! + + xn n! + xn ɛ(x), missä ɛ(x) 0. Smll tvll sdn suorn derivoimll, että missä ɛ 2k+1 (x) 0 j sin x = x x3 3! + x5 5! + + ( 1)k x 2k+1 (2k + 1)! + x2k+1 ɛ 2k+1 (x), missä ɛ 2k (x) 0. cos x = 1 x2 2! + x4 x2k + + ( 1)k 4! (2k)! + x2k ɛ 2k (x), Näiden vull voidn lske esimerkiksi lim x 0 sin x x x(cos x 1) = lim x 0 = lim x x3 3! + x 3 ɛ 3 (x) x x(1 x2 2! + x 2 ɛ 2 (x) 1) x3 x 0 x3 3! + x 3 ɛ 3 (x) 2! + x 3 ɛ 2 (x) = lim x 0 1 3! + ɛ 3(x) 1 2! + ɛ 2(x) = 1 3.

13 Anlyysi 3 11 Huom, että Tylorin luse kertoo, että n. Tylorin polynomi pproksimoi funktiot hyvin pisteen x 0 lähellä, muttei mitään siitä, mitä tphtuu kuempn. Huom myös, että Tylorin polynomit voivt muuttu pljonkin, kun pistettä x 0 muutetn. Myöhemmin tutkimme lähemmin, miten funktiot voidn pproksimoid pisteittäin ti globlimmin. Tylorin polynomi voidn in lske derivoimll f riittävän mont kert. Tämä on kuitenkin usein kohtuuttomn työlästä. Siksi on hyvä hvit seurv yksikäsitteisyystulos: 2.4. Luse. Olkoon f n kert jtkuvsti derivoituv välillä ], b[ j x 0 ], b[. Jos p on n. steen polynomi, jolle f(x) p(x) = o( x x 0 n ), kun x x 0, niin p(x) = T n,x0 f(x) kikill x. Todistus: Kosk Tylorin luseen 2.3 mukn f(x) p(x) = o( x x 0 n ) j f(x) T n,x0 f(x) = o( x x 0 n ) niin p(x) T n,x0 f(x) x x 0 n 0, kun x x 0. Siten kirjoittmll p(x) T n,x0 f(x) = n j (x x 0 ) j j=0 j ntmll x x 0 nähdään, että 0 = 0 j edelleeen 1 = 0, 2 = 0... j n = 0. Edelläolevn yksikäsitteisyysluseen (eräs) hyöty on se, että riittää löytää millä thns keinoll ti konstill n. steen polynomi p, jolle f(x) p(x) = o( x x 0 n ), sillä tämän polynomin täytyy oll f:n n. Tylorin polynomi. Esimerkiksi khden funktion f j g Tylorin polynomien tulost sdn tulofunktiolle f g Tylorin polynomi, kun tulopolynomist otetn mukn vin termit joiden ste on korkeintn n (sillä korkemmille potensseille k > n pätee x x 0 k = o( x x 0 n )). Hetken päästä muitkin esimerkkejä.

14 Anlyysi 3 12 Esimerkki. (Geometrinen srj) Olkoon n 1 S n = 1 + q + q q n 1 = n termin geometrinen summ. Induktioll todetn, että kunhn q 1 (jos q = 1 on S n = n). S n = 1 qn 1 q, Trkstelln nyt funktiot g :], 1[ R, g(t) = 1 1 t. Nyt ylläolevst geometrisestä srjst smme (kikill n N) jost integroimll (x < 1) log(1 x) = g(t) = 1 + t + t t n 1 + = x 0 x 0 dt 1 t k=0 q k tn 1 t, (1 + t + t t n 1 ) dt + = x + x xn n R n(x) n x j = j R n(x), x 0 t n 1 t dt missä Nyt x R n (x) = 0 t n 1 t dt. x t n dt = x n+1 0 n + 1, kun x 0, R n (x) 1 x t n dt x n+1 =, kun x [0, 1[, 1 x (1 x)(n + 1) 0

15 Anlyysi 3 13 Siten kikill x [ 1, 1[ f(x) = log(1 x) = missä R n (x) 0, kun n. Kosk lisäksi n x j j + R n(x), R n (x) = o( x x 0 n ), kun x 0, on Tylorin polynomin yksikäsitteisyystuloksen 2.4 nojll funktion n. Tylorin polynomi nollss f(x) = log(1 x) T n,x0 f(x) = Huom, että yo. lskun vull smme n x j j. log 2 = , minkä trkk merkitys selviää myöhemmin srjoj käsittelevässä luvuss Jäännöstermin luseke j rvioit Tylorin kvn sovellutuksiss on usein trpeen tietää enemmän jäännöstermistä kuin, mitä luseest 2.3 käy ilmi. Ensin todistmme sille trkn integrlimuodon: 2.5. Luse. (Tylorin kv, integroitu muoto) Olkoon funktio f n + 1 kert jtkuvsti derivoituv välillä ], b[ j x 0 ], b[. Tällöin missä jäännöstermi on f(x) = T n,x0 f(x) + R n,x0 f(x) kikill x ], b[, x R n,x0 f(x) = 1 (x t) n f (n+1) (t) dt. n! x 0

16 Anlyysi 3 14 Todistus: Tämä voidn todist myös suorn osittisintegroimll j induktioll, mikä tehtäneen hrjoituksiss. Seurvss todistuksess käytetään Luseen 2.3 kv: kikill x, y ], b[ R n,y f(x) = f(x) T n,y f(x) = f(x) f(y) f (y)(x y) 1 2 f (y)(x y) 2 f (n) (y) (x y) n, n! mistä lskemll derivtt y:n suhteen sdn tulon derivoimissäännön vull d dy R n,yf(x) =0 f (y) (f (y)(x y) f (y)) ( 1 2 f (y)(x y) 2 f (y)(x y))... ( f (n+1) (y) (x y) n f (n) (y) n! (n 1)! (x y)n 1 ) = f (n+1) (y) (x y) n, n! kosk summss jok toinen termi kumo toisens. Kosk R n,x f(x) = 0, sdn nlyysin perusluseen nojll j väite on todistettu. R n,x0 f(x) = R n,x0 f(x) R n,x f(x) = = x 0 x x x 0 d dy R n,yf(x) dy = x x 0 f (n+1) (y) (x y) n dy, n! d dy R n,yf(x) dy Integrlilskennn välirvoluseest 1.2 sdn seurv rvio jäännöstermille: 2.6. Luse. (Cuchyn muoto jäännöstermille) Olkoon funktio f n + 1 kert jtkuvsti derivoituv välillä ], b[ j x 0 ], b[. Tylorin polynomin n. jäännöstermille pätee: kikill x ], b[ on olemss ξ pisteiden x j x 0 välissä, jolle R n,x0 f(x) = f (n+1) (ξ) (x ξ) n (x x 0 ). n!

17 Anlyysi 3 15 Todistus: Seur suorn jäännöstermin integrlimuodost j integrlilskennn välirvoluseest 1.2 sillä R n,x0 f(x) = 1 n! missä ξ on eräs piste pisteiden x j x 0 välissä. x x 0 (x t) n f (n+1) (t) dt = 1 n! f (n+1) (ξ)(x ξ) n (x x 0 ), Yleistetystä integrlilskennn välirvoluseest 1.3 sdn seurv rvio jäännöstermille: 2.7. Luse. (Lgrngen muoto jäännöstermille) Olkoon funktio f n + 1 kert jtkuvsti derivoituv välillä ], b[ j x 0 ], b[. Tylorin polynomin n. jäännöstermille pätee: kikill x ], b[ on olemss ξ pisteiden x j x 0 välissä, jolle R n,x0 f(x) = f (n+1) (ξ) (n + 1)! (x x 0) n+1. Todistus: Seur suorn jäännöstermin integrlimuodost j yleistetystä integrlilskennn välirvoluseest 1.3 sillä R n,x0 f(x) = 1 n! x x 0 = 1 n! f (n+1) (ξ) missä ξ on eräs piste pisteiden x j x 0 välissä. (x t) n f (n+1) (t) dt x x 0 (x t) n dt = 1 n! f (n+1) 1 (ξ) n + 1 (x x 0) n+1, Seurvss eräs esimerkki Tylorin kvn sovellutuksest: 2.8. Luse. Olkoon funktio f n kert jtkuvsti derivoituv välillä ], b[ j x 0 ], b[. Jos f (x 0 ) = f (x 0 ) = f (3) (x 0 ) = = f (n 1) (x 0 ) = 0 j f (n) (x 0 ) > 0, niin f:llä on lokli minimi pisteessä x 0, jos n 2 on prillinen. Piste x 0 ei ole f:n äärirvokoht jos n on priton.

18 Anlyysi 3 16 Todistus: Seur Tylorin kvst. Yksityiskohdt: HT.

19 Anlyysi Funktiojonot Muistetn Anlyysi 1 -kurssilt suppenevn pistejonon määritelmä: 3.1. Määritelmä. Olkoon x 1, x 2,... jono relilukuj. Snotn, että jono (x n ) suppenee kohti reliluku, jos jokisell ε > 0 on olemss luku N = N(ε, jono) N siten, että x n < ε kikill n N. Tällöin on jonon (x n ) rj-rvo j sitä merkitään lim x n = ti x n kun n. n Esimerkki. Olkoon x [0, 1]. Tällöin jono (x n ) suppenee j lim n xn = { 0, jos 0 x < 1, 1, jos x = 1, Jos x = 0 ti x = 1, on si selvä. Jos 0 < x < 1, tämä nähdään esimerkiksi Bernoullin epäyhtälön 2 vull ( ) n x n 1 = 1 + ( 1 1) x n( 1 1) x n(1 x) 0. x Tästä huomtn, että jonon suppenemisvuhti riippuu pisteestä x, ts. se koht (indeksi n), mistä jonon loppuos on nnettu luku ε lähempänä rj-rvo, riippuu x:n rvost. Jono voidn myös kirjoitt funktioiden vull: f n : [0, 1] R, f n (x) = x n, n N. Tällöin jono (f n ) kutsutn funktiojonoksi. Jos A R j f n : A R, n N, ovt funktioit, niin (f n ) n = (f n ) n N = (f n ) = f 1, f 2, f 3,..., 2 Bernoullin epäyhtälö: jos y > 1, niin (1 + y) n 1 + ny kikill n N.

20 Anlyysi 3 18 on funktiojono. Funktiojono (f n ) tuott jokisell x A lukujonon (f n (x)). Snotn, että funktiojono (f n ) suppenee (pisteittäin) joukoss A, jos lukujonot (f n (x)) suppenevt jokisell x A, ts. jokisell x A on olemss reliluku f(x), jolle lim f n(x) = f(x). n Nämä rj-rvot f(x) määrittelevät uuden funktion f : A R j snotn, että funktiojono (f n ) suppenee (pisteittäin) kohti funktiot f, tätä merkitään f n f ti lim f n = f. n Huom, että suppenemisvuhti f n (x) f(x) riippuu yleensä pisteestä x, vrt. esimerkki edellä. Edelläolevn määritelmän mukn siis funktiojono f n suppenee pisteittäin (joukoss A) kohti funktiot f, jos jokisell x j jokisell ε > 0 on olemss luku N = N(x, ε, jono) N siten, että f n (x) f(x) < ε kikill n N. Lukujono suppenee, jos se täyttää Cuchyn kriteerion; funktiojonolle tämä kertoo seurv: funktiojono (f n ) suppenee pisteittäin joukoss A (kohti jotin funktiot f : A R), jos jokisell x j jokisell ε > 0 on olemss luku N = N(x, ε, jono) N siten, että f n (x) f m (x) < ε kikill n, m N. Pisteittäisessä suppenemisess jokist luku ε > 0 kohti on luku N, jot suuremmille indekseillä jonon funktioiden rvot pisteessä x poikkevt rjfunktion rvost pisteessä x vähemmän kuin ε. Se kuink suuri luvun N tulee oll, riipuu yleensä pisteestä x. Esimerkki. Olkoon f n : R R, n N, f n (x) = { sin(πx), jos x [n, 2n] 0, muutoin. Tällöin f n on jono jtkuvi funktioit f n : R R j f n 0, kosk kiinteällä x f n (x) = 0 kunhn n > x. Siten vlitsemll N > x (N N) smme (kikill ε > 0) f n (x) 0 < ε, kunhn n N.

21 Anlyysi 3 19 Kuitenkn luku N ei void vlit pisteestä x riippumttomksi (mikäli ε < 1) kosk kikill n pätee f n (x) 0 = f n (n ) = 1 > ε. Seurvss määritellään pisteittäistä konvergenssi vhvempi konvergenssin käsite funktiojonoille: 3.2. Määritelmä. Snotn, että jono funktioit f n : A R suppenee tsisesti joukoss A kohti funktiot f : A R, jos kikill ε > 0 on olemss luku N = N(ε, jono) N siten, että f n (x) f(x) < ε kikill x A, kunhn n N. Tätä merkitään joskus f n f tsisesti A:ss. Tsisesti suppenev funktiojono suppenee tietysti pisteittäin, mutt käänteinen väite ei ole tosi, kuten yllä oleviss esimerkeissä näimme. Huom, että tsisess suppenemisess luku ε vstv luku N pitää void vlit pisteestä x riippumttomll tvll. Tämä trkoitt sitä, että funktiot f n ovt jostin indeksistä lken lähellä funktiot f, ns. ε-putkess. f + ε 6 f f ε ε-putki

22 Anlyysi 3 20 Tsist suppenemist voi hhmott niin, että siinä mittn funktioiden välisiä etäisyyksiä; tässä tietysti pitää käyttää soveltuv mitt ( metriikk ): jos f j g ovt joukoss A määriteltyjä funktioit, niin d(f, g) = sup f(x) g(x) x A on niiden välinen etäisyys. Tämän etäisyyden vull funktiojonon tsinen suppeeminen vst relilukujonon suppenemist, kun vin objektien välisiä etäisyyksiä mittn oikell tvll: 3.3. Luse. Olkoot f n, f : A R funktioit. Tällöin f n f tsisesti A:ss, jos j vin, jos lim n d(f n, f) = 0, ts. kikill ε > 0 on olemss luku N N siten, että sup f n (x) f(x) < ε, kikill n N. x A Todistus: Olkoon ε > 0. Jos f n f tsisesti A:ss, niin on N N, jolle (kun n N) f n (x) f(x) < ε kikill x A, 2 joten Kääntäen, jos kun n N, niin joten f n f tsisesti A:ss. sup f n (x) f(x) ε x A 2 < ε. sup f n (x) f(x) < ε, x A f n (x) f(x) < ε kikill x A, Seurv Cuchyn ehto kertoo, milloin funktiojono suppenee tsisesti kohti jotin funktiot, mistä ei trvitse oll mitään tieto Luse. (Tsinen Cuchyn kriteerio) Olkoot f n : A R funktioit. Tällöin funktiojono (f n ) suppenee tsisesti joukoss A (kohti jotin funktiot f : A R), jos j vin, jos jokisell ε > 0 on olemss luku N N siten, että f n (x) f m (x) < ε kikill n, m N j kikill x A.

23 Anlyysi 3 21 Todistus: Se, että tsisest suppenemisest seur tsinen Cuchyn ehto menee ivn smoin kuin lukujonon Cuchyn ehdon todistuksess (ks Anlyysi 1, Luse 4.9) yksityiskohdt hrjoituksiss. Jos ts jono toteutt tsisen Cuchyn ehdon, niin jokisell x lukujono f n (x) on Cuchy-jono j siten suppenee kohti reliluku f(x). Näin sdn rjfunktioehdoks f : A R. Se on jonon f n tsinen rj: Olkoon ε > 0 j vlitn tsisen Cuchyn ehdon ntm N, jolle f n (x) f m (x) < ε 2 kikill n, m N j kikill x A. Kun x A, f n (x) f(x), joten voimme vlit luvun m x N, jolle m x > N j f(x) f mx (x) < ε 2. Näin ollen f n (x) f(x) f n (x) f mx (x) + f mx (x) f(x) < ε 2 + ε 2 = ε ; erityisesti, f n (x) f(x) < ε kikill x, kunhn n N, ts. jono f n suppenee tsisesti A:ss (kohti funktiot f). Pisteittäinen konvergenssi on lokli ominisuus: se ott huomioon jonon funktioiden rvot vin trksteltvss pisteessä. Tsisen konvergenssi on luonteeltn globlimpi: tsisesti suppenevn jonon funktiot tulevt kuttltn lähelle rjfunktiot. Täten jonon funktioiden ominisuudet heijstuvt myös rjfunktioon premmin, mm. jtkuvuus säilyy tsisess konvergenssiss: 3.5. Luse. Olkoot f n : A R funktioit, jotk ovt jtkuvi pisteessä x 0 A. Jos f n f tsisesti A:ss, on rjfunktio f myös jtkuv pisteessä x 0. Todistus: Olkoon ε > 0. Vlitn n N, jolle sup f n (x) f(x) < ε x A 3. Kosk f n on jtkuv pisteessä x 0, on δ > 0, jolle f n (x) f n (x 0 ) < ε 3 kikill x A, joill x x 0 < δ. Siten sellisell x f(x) f(x 0 ) f(x) f n (x) + f n (x) f n (x 0 ) + f n (x 0 ) f(x 0 ) < ε 3 + ε 3 + ε 3 = ε.

24 Anlyysi 3 22 Löysästi puhuen edellinen luse on os peritett jos suppeneminen on tsist, khden peräkkäisen rjnkäynnin järjestys voidn viht. Seurv luse nt tästä integrliversion: 3.6. Luse. Olkoot f n : [, b] R Riemnn-integroituvi funktioit. Jos f n f tsisesti välillä [, b], on rjfunktio f myös Riemnn-integroituv j b b lim f n dx = f dx. n Todistus: Käytetään Riemnnin ehto 1.1. Olkoon ε > 0. Vlitn sellinen n N, jolle ε sup f n (x) f(x) < x A 3(b ). Sitten vlitn Riemnnin ehdon mukiset porrsfunktiot g n j h n, joille g n f n h n j jolloin myös Asettmll g = g n sdn porrsfunktiot, joille g = g n ε 3(b ) f n b b h n dx h n dx ε 3(b ) b b g n dx < ε 3 f n dx < ε 3. j h = h n + ε 3(b ) f f n + ε 3(b ) ε 3(b ) h n + ε 3(b ) = h j b b b b hdx gdx = h n dx g n dx + 2 ε 3 < ε, joten f on Riemnn-integroituv j b fdx b f n dx b hdx b gdx < ε 3.

25 Anlyysi 3 23 Derivoituvuus ei yleensä säily tsisess konvergenssiss, mikä näkyy llolevst kuvst. Derivoituvuus ei säily tsisess konvergenssiss. Kuitenkin, jos funktioiden jtkuvt derivtt myös suppenevt tsisesti, niin rjfunktiokin on derivoituv: 3.7. Luse. Olkoot f n :], b[ R jtkuvsti derivoituvi funktioit. Jos f n f tsisesti välillä ], b[ j jos derivttojen f n jono suppenee myös tsisesti välillä ], b[ kohti funktiot g, niin f on (jtkuvsti) derivoituv j f = g. Todistus: Riittää osoitt, että f on derivoituv j f = g; derivtn jtkuvuus seur Luseest 3.5. Tp 1. Käytetään nlyysin peruslusett 1.6: Kiinnitetään x 0 ], b[. Anlyysin perusluseen nojll f n (x) = f n (x 0 ) + x x 0 f n(t) dt. Antmll n yhtälön vsen puoli suppenee kohti luku f(x), oiken puolen integrlin hoit edeltävä integrlien konvergenssiluse 3.6: f(x) = lim f n (x) = lim f n (x 0 ) + lim n n n = f(x 0 ) + x x 0 g(t) dt, joten väite seur nlyysin perusluseen nojll. x x 0 f n(t) dt

26 Anlyysi 3 24 Tp 2. Käytetään välirvolusett 1.4: Kiinnitetään x 0 ], b[. Olkoon h R sellinen, että x 0 ± h ], b[. Välirvoluseen nojll jokisell n N on piste ξ n, jolle x 0 h ξ n x 0 + h j f n (x 0 + h) f n (x 0 ) h = f n(ξ n ). Bolzno-Weierstrssin luseen (Anlyysi 1) nojll on piste z h [x 0 h, x 0 + h ], jot kohti eräs ξ n :n osjono (jot merkitään edelleen ξ n :llä) suppenee. Nyt derivttojen tsisest konvergenssist j jtkuvuudest seur (HT), että joten lim f n(ξ n ) = g(z h ), n f(x 0 + h) f(x 0 ) h = lim n f n (x 0 + h) f n (x 0 ) h = lim n f n(ξ n ) = g(z h ). Kosk z h [x 0 h, x 0 + h ] j kosk g on jtkuv (Luse 3.5), erotusosmäärällä on rj-rvo: f(x 0 + h) f(x 0 ) lim = lim g(z h ) = g(x 0 ). h 0 h h 0 Tylorin polynomej käsiteltäessä opimme, että sileätä funktiot voidn loklisti pproksimoid hyvin polynomill. Seurv luse (jot emme todist tällä kurssill) kertoo, että jtkuv funktiot voidn in pproksimoid polynomeill tsisesti suljetull välillä Luse. (Weierstrssin pproksimointiluse) Olkoon f jtkuv välillä [, b]. Tällöin on olemss jono polynomej p j, jok suppenee kohti f:ää tsisesti välillä [, b]. Seurv Dinin konvergenssiluse on hyödyllistä tietää; huom, että oletus suljetust j rjoitetust välistä on siinä oleellinen (HT) Luse. (Dini) Olkoon f n vähenevä jono jtkuvi funktioit suljetull välillä [, b]. Jos f n f pisteittäin j jos f on myös jtkuv, niin f n f tsisesti välillä [, b].

27 Anlyysi 3 25 Todistus: Trkstelemll funktioit f n = f n f voidn olett, että f 0. Ellei konvergenssi ole tsist, löydämme luvut ε > 0 j x n [, b], joille f n (x n ) ε. Osjonoon siirtymällä voimme Bolzno-Weierstrssin luseen (Anlyysi 1) nojll olett, että on olemss x 0 [, b], jolle lim x n = x 0. n Kosk jono f n on vähenevä pätee kikill j n: joten jtkuvuudest seur, että f j (x n ) f n (x n )) ε, f j (x 0 ) = lim n f j (x n ) ε kikill j, joten f j (x 0 ) 0, kun j, mikä on vstoin pisteittäisen konvergenssin oletust.

28 Anlyysi Lukusrjt Olkoot j relilukuj, j N. Äärellisen monen reliluvun 1, 2,..., n yhteenlsku on tuttu puuh j niiden summ on n j = n. Tässä luvuss trkstelln, mitä äärettömällä summll eli srjll j trkoitetn (vi trkoitetnko mitään). Krken iden on lske jonon ( j ) lust yhä usempi j usempi termejä yhteen j toivo, että näin sdut summt tulevt lähestymään jotin luku. Toisin snoen muodostetn summt 1, 1 + 2, , ,..., n j,... ; nämä summt muodostvt uuden relilukujonon, jok joko suppenee (jolloin niiden rj-rvo snotn srjksi j ti srjn summksi) ti hjntuu (jolloin snotn, että srj j hjntuu) Srjn suppeneminen j itseinen suppeneminen 4.1. Määritelmä. Olkoot j relilukuj, j N. Muodollist summ j = snotn (luku)srjksi. Sen j. termi on luku x j j (äärellinen) summ S n = n j = n, n N,

29 Anlyysi 3 27 on srjn j n. ossumm. Jos näiden ossummien (S n ) n N muodostm jono suppenee kohti reliluku S, snotn että srj rj-rvo on sen summ; merkitään S = lim n S n j = S = lim n n j. Ellei srj suppene, niin snotn että se hjntuu (eli divergoi). j suppenee (eli konvergoi) j 4.2. Huomutus. () Srj siis hjntuu, jos sen ossummien jonoll ei ole rj-rvo (ti jos mhdollinen rj-rvo on ± ). (b) Usein srjss summtn indeksejä 0:stä ti jostin muust luvust äärettömään. Ilmeinen pieni muokkus määritelmään kertoo, mitä silloin trkoitetn. (c) Jos srjt j j b j, suppenevt, niin termien summien j vkioll kerrottujen termien muodostmt srjt suppenevt myös j ( j + b j ) = j + b j sekä (c j ) = c j, kun c R. (d) Huom, että termien summusjärjestys vikutt srjn suppenemiseen; tästä esimerkkejä myöhemmin (ks 4.18 j 4.19) Luse. Jos srj j suppenee, niin lim j = 0. j

30 Anlyysi 3 28 Todistus: Termit sdn helposti ossummist, joten n = S n S n 1 = n n 1 j j j j = 0. Termien suppeneminen nolln on välttämätön, vn ei riittävä ehto srjn suppenemiselle, kuten esimerkiksi hrmonisest srjst (Esim. 4.5) opimme Huomutus. Lukujono suppenee, jos se täyttää Cuchyn kriteerion; srjoihin sovellettun se kertoo, että srj suppenee, jos j vin, jos sen ossummien jono on Cuchy-jono, minkä knss on edelleen yhtäpitävää, että kikill ε > 0 on N N, jolle n m n S n S m = j j = j < ε kunhn n > m N. j=m Esimerkki. (hrmoninen srj) Srj snotn hrmoniseksi srjksi. Se hjntuu (tosin hyvin hitsti), vikk termit suppenevt nolln, 1 0. Hjntuminen nähdään helposti: jos n N, niin n S n S 2n = 2n j=n+1 1 j 1 j = 1 n n n 1 n + n + 1 n + n n + n = n 1 2n = 1 2, joten ossummien jono ei ole Cuchy eikä näin ollen suppene. Suoremmin hjntuminen nähdään seurvsti: S 2 n = 1 + n (S 2 j S 2 j 1) 1 + n 1 2,

31 Anlyysi 3 29 kun n, joten hrmoninen srj ei suppene.. Induktioll on (melko) helppo nähdä (ks 4.15), että log(n + 1) n 1 j 1 + log n, joten hjntuminen on hidst (HT). Esimerkki. Vuorottelev hrmoninen srj ( 1) j+1 1 j suppenee, kosk ossummien jono on Cuchy-jono: hvitn, että kikill k joten kikill n, m 2k S 2k 1 S 2k 1 1 2k + 1 2k + 1 = S 2k+1 S 2k+1 1 2k + 2 = S 2k+2 = S 2k + 1 2k k + 2 S 2k, S n S m S 2k 1 S 2k = 1 2k. Siis (S n ) on Cuchy-jono j siten suppenee. Esimerkki. (ritmeettinen srj) Srj j on ritmeettinen, jos khden peräkkäisen termin erotus on vkio, ts. kikill j j+1 j = d, ts. ritmeettinen srj on muoto ( 1 + (j 1)d).

32 Anlyysi 3 30 Aritmeettinen srj hjntuu (ellei sen kikki termit ole = 0), kosk n j = ellei 1 = 0 = d. n 1 + (j 1)d = n 1 + n2 d 2 = n 1 + ( 1 + nd), 2 Esimerkki. (geometrinen srj) Srj j on geometrinen, jos jokisen khden peräkkäisen termin suhde on vkio, ts. on sellinen luku q, jolle kikill j j+1 = q j. Ts. geometrinen srj on muoto q j 1. Vihdetn summusindeksiä, jolloin summ on helpompi muist: q j 1 = q k. k=0 Induktioll totemme, että n. ossumm on n q k = k=0 n q k 1 qn+1, jos q 1 = 1 q (n + 1), jos q = 1. k=0 Tästä näemme, että geometrinen srj suppenee, jos j vin, jos sen suhdeluvulle q pätee q < 1. Tällöin srjn summ on n q k = k=0 n q k = k=0 1 q, jos q 1.

33 Anlyysi Määritelmä. Olkoot j R, j = 1, 2,.... Snotn, että srj j suppenee itseisesti (ti bsoluuttisesti), jos termien itseisrvojen muodostm srj suppenee. j Suppenev srj ei välttämättä suppene itseisesti, sillä esimerkiksi vuorottelev hrmoninen srj ( 1) j 1 j suppenee, mutt ei itseisesti. Käänteinen kuitenkin pätee: 4.7. Luse. Itseisesti suppenev srj suppenee j j j. Todistus: Kolmioepäyhtälön nojll kikille b j R j n N (4.1) n b j n b j, joten ossummien jonolle pätee (kun n > m) S n = n j S n S m = n j=m+1 j n j=m+1 j = n j m j < ε, kun n j m trpeeksi suuri, kosk itseisrvojen ossummien jono on suppenevn jonon Cuchy-jono. Siis (S n ) on myös Cuchy-jono, siis suppenev. Väiteen epäyhtälö seur kolmioepäyhtälöstä (4.1), kosk kikill n N n j n j j.

34 Anlyysi 3 32 Seurvst luseest sdn riiittävä j välttämätön ehto itseiselle suppenemiselle Luse. Jos b j 0 kikill j, niin srj b j suppenee, jos j vin, jos sen ossummien jono muodost rjoitetun jonon, ts. on olemss M R, jolle n b j M kikill n. Todistus: Ossummien jono on nousev; nousev jono suppenee täsmälleen silloin kun se on rjoitettu Suppenemistestejä Seurvss esitetään kokoelm testejä srjojen (itseisen) supenemisen totemiseksi Luse. (Vertilutesti) Olkoot j R, j N. () Jos on olemss luvut b j 0, joille j b j kikill j N j srj b j suppenee, niin srj j suppenee (itseisesti). (b) Jos on olemss luvut c j 0, joille j c j 0 kikill j N j srj c j hjntuu, niin srj j hjntuu. Todistus: Tämä seur lähes välittömästi luseest 4.8 (HT).

35 Anlyysi 3 33 Vertilutestiä on joskus kätevä käyttää seurvss rjmuodoss: Luse. (Vertilutesti 2) Olkoot j 0 j b j 0, j N. () Jos (b) Jos j lim = ]0, [, j b j niin srj j suppenee, jos j vin, jos srj b j suppenee. j lim = 0 j b j j jos srj b j suppenee, niin myös srj j suppenee. (c) Jos j lim j b j = j jos srj b j hjntuu, niin myös srj j hjntuu. Todistus: Seur Luseest 4.9, kosk äärellisen monen termin muuttminen ei vikut srjn suppenemiseen (HT). Esimerkki. Srj hjntuu, kosk j hrmoninen srj lim j j j 2 + j + 1 j j 2 +j+1 1 j 1 j = 1 hjntuu.

36 Anlyysi Luse. (Suhdetesti) Olkoot j R, j 0 kikill j N. () Jos on olemss luvut ρ < 1 j N N, joille j+1 j ρ kikill j N,, niin srj j suppenee (itseisesti). (b) Jos on olemss luvut η > 1 j N N, joille j+1 j η kikill j N, niin srj j hjntuu. Todistus: ) Kosk j ρ j 1 ρ 2 j 2 ρ j N N, srj j j=n mjoroi suppenev geometrinen srj N ρ j N, j=n joten väite ) seur vertilutestistä 4.9. b) Nyt j η j 1 η 2 j 2 η j N N, kun j, joten srj j hjntuu (Luse 4.3).

37 Anlyysi Huomutus. Luseest 4.11 sdn helposti rj-rvoversio ( j 0): () Jos j+1 lim j j niin srj j suppenee (itseisesti). < 1, (b) Jos niin srj j hjntuu. j+1 lim j j > 1, Huom, että jos suhdetestissä ρ = 1 ti η = 1 ti jos suhteen rj-rvo on itseisrvoltn 1, niin suppenemisest ei void päätellä mitään, esimerkiksi hrmoninen srj hjntuu j vuorottelev hrmoninen srj suppenee, vikk molemmille j+1 j = j j + 1 < 1 kikill j. Esimerkki. Srj suppenee kosk 1 (n+1)! 1 n! 1 n! = 1 n < 1. Seurv juuritestiä on usein hiemn vikempi käyttää kuin edellisiä testejä, mutt se on kuitenkin tärkeä suppenemistesti Luse. (Juuritesti) Olkoot n R, n N. () Jos on olemss luvut ρ < 1 j N N, joille niin srj n suppenee (itseisesti). n n ρ kikill n N,

38 Anlyysi 3 36 (b) Jos on olemss luvut η > 1 j N N, joille niin srj n hjntuu. Erityisesti, jos on olemss rj-rvo n n η kikill n N, lim n n n = L, niin srj n suppenee (itseisesti), jos L < 1 j hjntuu, jos L > 1. Todistus: () Kosk n ρ n, niin srjll srj n=n n=n ρ n, joten väite seur vertilutestistä 4.9. n on mjornttin suppenev (b) Tällöin n η n 1 äärettömän monell n, joten termit n eivät suppene nolln eikä srj siten voi supet (Luse 4.3). Esimerkki. Srj suppenee, kosk 1 n2 n lim n n 1 n2 = 1 n 2 lim n 1 n n = = 1 2 < 1. Seurvst 2 m -testistä on joskus hyötyä: Luse. (2 m -testi) Olkoot n R lskev jono ei-negtiivisi lukuj (ts ), joille lim n n = 0. Tällöin srj n suppenee, jos j vin, jos srj 2 m 2 m suppenee. m=0

39 Anlyysi 3 37 Todistus: Jos : Olkoon N N j vlitn se kokonisluku M, jolle Tällöin N n 2 M 1 n 2 M 1 N < 2 M. = 1 + ( ) + ( ) + + ( 2 M M 1) M 1 2 M 1 = M 1 m=0 2 m 2 m 2 m 2 m <, m=0 joten ossummien jono on rjoitettu j srj n siten suppenee. Vin jos : Smn tpn, sillä 1 2 M 2 m 2 m = m=1 Yksityiskohdt HT. M 2 m 1 2 m m=1 ( ) + ( ) + ( ) ( 2 M M M ) n <. Esimerkki. (Yli- j lihrmoniset srjt) Trkstelln srj Käytetään 2 m -testiä 4.14, missä n = n p : 2 m 2 m = m=0 1 n p, missä p > 0. m=0 2 m (2 m ) = p m=0 ( 1 2 p 1 ) m,

40 Anlyysi 3 38 mikä on geometrinen srj, jok suppenee jos j vin, jos 1/2 p 1 < 1 eli p > 1. Siis ylihrmoninen srj 1 n, p > 1, suppenee p j lihrmoninen (j hrmoninen) srj 1 n p, 0 < p 1, hjntuu Luse. (Integrlitesti) Olkoon f : [1, ) [0, ) jtkuv j vähenevä funktio j n = f(n). Tällöin srj n suppenee jos j vin, jos epäoleellinen integrli suppenee. 1 f(x) dx y = f(x) Todistus: 1 5

41 Anlyysi 3 39 Väite seur, kosk kikill N (ks. kuv) N n = n=2 = N f(n) = n=2 N 1 f(x) dx N 1 = n. N n n=2 n 1 N 1 f(n) dx n+1 n f(n) dx N n n=2 n 1 f(x) dx Yksityiskohdt jätetään hrjoitustehtäväksi. Esimerkki. Srj hjntuu, kosk määrittelemällä f(x) = 1 (n + 2) log(n + 2) 1 (x + 2) log(x + 2), x 1, voidn sovelt integrlitestiä j lskemme: 1 kun. f(x) dx = = 1 / 1, 1 (x+2) log(x + 2) dx log(log(x + 2)) = log(log( + 2)) log(log(3)) Huomutus. Yksi suppenemistesti ei sovellu jok srjn, vn usein pitää kokeill usempi testejä ennen kuin onnistuu. Huom myös, että esimerkiksi vertilutestin käytössä riittää löytää krke epäyhtälö (j vin häntäpään termeille), esimerkiksi ehto n n 2, kun n > 10 55

42 Anlyysi 3 40 on ihn riittävä tkmn srjn n itseisen suppenemisen. Muist myös erott oleelliset ost epäoleellisist, esimerkiksi luvuss 2 n n 7 os 2 n on määräävä isoill n Srjn ehdollinen suppeneminen Kun srjn termit eivät kikki ole smnmerkkisiä, niin suppenev srj ei välttämättä suppene itseisesti. Tällisist esimerkkinä on vuorottelev hrmoninen srj ( 1) n 1 n, jok suppenee, mutt ei itseisesti. Joskus hlutn korost, ei-itseistä (eibsoluuttist) konvergenssiä j snotn, että srj suppenee ehdollisesti. Tässä jksoss trkstelln tähän liittyviä ilmiöitä Luse. (Leibnitzin testi vuorotteleville srjoille) Olkoon n vähenevä jono ei-negtiivisi relilukuj, ts. 1 2 n 0. Jos niin vuorottelev srj ( 1) n 1 n jonolle pätee Todistus: Kun niin S 2n lim n = 0, n suppenee. Edelleen, srjn ossummien S n ( 1) j 1 j S 2n 1 kikill n. S n = n ( 1) j 1 j, 2n 1 S 2n 1 = ( 1) j 1 j = S 2n+1 + ( 2n 2n+1 ) S 2n+1, kosk jono j on vähenevä. Siten jono (S 2n 1 ) n on vähenevä. Smoin nähdään, että jono (S 2n ) n on ksvv: S 2n = 2n ( 1) j 1 j = S 2n+2 ( 2n+1 2n+2 ) S 2n+2.

43 Anlyysi 3 41 Kosk lisäksi S 1 S 2n 1 = S 2n + 2n S 2n S 2, ovt molemmt jonot (S 2n 1 ) n j (S 2n ) n rjoitettuj, joten niillä on reliset rjrvot: lim S 2n 1 = S j n Kosk on S = S j väite seur. lim S 2n = S. n 0 S 2n 1 S 2n = 2n 0, Esimerkki. Kuten tiedämme vuorottelev hrmoninen srj ( 1) n 1 1 n, suppenee, mutt ei itseisesti. Vihdetn seurvss sen termien n = ( 1) n 1 1 n summusjärjestystä: olkoon b 1 = n j vlitn summtn prittomien indeksien termejä kunnes termien summ on 2. Sitten otetn seurvksi b-termiksi ensimmäinen negtiivinen termi 2 = 1 j sitten ts summtn prittomi indeksejä, 2 posiitivisi termejä, kunnes kokonissumm ylittää rvon 3. Nyt lisätään 4 = 1 j 4 jtketn positiivitermien summmist. Näin jtkmll sdn termit helposti järjestetyksi niin, että uudess järjestyksessä summttu srj hjntuu (ks. yksityiskohdt trkemmin ll 4.19). Ei-itseisesti suppenevn srjn suppenemist snotn joskus ehdolliseksi juuri sen tähden, että summusjärjestystä vihtmll suppeneminen voidn kdott. Itseisesti suppenevlle srjlle on ihn sm, missä järjestyksessä termit lsketn yhteen: Snotn, että srj b n on stu srjst n summusjärjestystä vihtmll, jos on olemss bijektio j : N N, jolle b j(n) = n kikill n.

44 Anlyysi Luse. Olkoon srj b n stu srjst n summusjärjestystä viht- mll. Jos srj n suppenee itseisesti, niin srj b n suppenee myös itseisesti j n = b n. Todistus: Olkoon S j srjn n ossummien jono j S sen rj-rvo. Olkoon T j uudelleen järjestetyn srjn b n ossummien jono. Jos ε > 0, niin voidn vlit sellinen M, jolle jolloin myös n=m+1 S j S < ε 2 n < ε 2, kikill j M. Vlitn N niin suureksi, että kikki M ensimmäistä n -termiä ovt N ensimmäisen b n -termin joukoss, ts. Tällöin kikill n N joten { 1, 2,..., M } {b 1, b 2,..., b N }. S M T n n=m+1 n < ε 2, T n S S S M + S M T n < ε 2 + ε 2 = ε. Ei-itseisesti suppenevn srjn voi uudelleen järjestäminen sekoitt phoin: Luse. (Riemnnin uudelleenjärjestysluse) Olkoon srj n suppenev, mutt ei itseisesti suppenev. Jokisell s R voidn srjst n summusjär- jestystä vihtmll muodost srj b n, jok suppenee kohti luku s.

45 Anlyysi 3 43 Todistus: Olkoot p 1, p 2,... srjn n ei-negtiiviset termit lkuperäisessä järjestyksessään lueteltuin. Smoin q 1, q 2,... on negtiivisten termien jono. Nyt srjt p n j q n hjntuvt, kosk jos ne molemmt suppenesivt, niin srj n suppenesi itseisesti. Jos ts toinen em. srjoist suppenisi j toinen hjntuisi, niin srjn ossummien jono lähestyisi joko postiivist ti negtiivist äärettömyyttä. Kosk lkuperäinen srj suppenee, sen termit suppenevt nolln; siten n lim p n = 0 n j lim n q n = 0. Näiden lkuvlmistelujen jälkeen voimme järjestää srjn termit uudelleen: Vlitn ensin positiivitermit p 1, p 2,..., p k1, missä k 1 on ensimmäinen indeksi, jolle k 1 p n > s. Tällinen k 1 on mhdollist vlit kosk positiivitermien srj hjntuu. Sitten summtn negtiivisi termejä q 1, q 2,..., q l1 missä l 1 on ensimmäinen indeksi, jolle k 1 p n + l 1 q n < s. Jtketn summmll positiivitermejä, kunnes päästään kokonissummss ts yli luvun s; sitten negtiivisi, kunnes ts s:n lpuolelle jne. Positiivisi termejä summttess ((n + 1). kert) ossummien rvo on lukujen s + q ln j s + p kn+1 välissä. Negtiivisi termejä summttess (n. kert) ossummien rvo on lukujen s + q ln j s + p kn välissä. Kosk lim p n = 0 n j lim n q n = 0, ossummt väkisin suppenevt kohti hluttu luku s.

46 Olkoot seurvss n j Anlyysi 3 44 b n kksi itseisesti suppenev srj. Pyritään muodostmn termeistä tuloj, joiden muodostm srj suppenisi kohti luku ( )( ) n b n. Lsketn muodollisesti: ( )(b 1 + b 2 + b 3 + b ) = 1 b 1 + ( 2 b b 2 ) + ( 3 b b b 3 ) + ( 4 b b 4 ) +... = c 1 + c 2 + c , missä n c n = j b n j+1. Srj c n snotn srjojen n j b n Cuchyn tuloksi Luse. Olkoot n j b n kksi itseisesti suppenev srj. Tällöin niiden Cuchyn tulo suppenee itseisesti j ( )( ) n b n = c n, missä siis Todistus: Trkstelln srj c n = n j b n j+1. (4.2) 1 b b b b b b b b b n b 1 + n b 2 + n b n b n + n 1 b n b n Tämän k 2. ossumm on tulo ( k )( k ) n b n.

47 Anlyysi 3 45 Kosk lkuperäiset srjt suppenevt itseisesti, niin srjn (4.2) termien itseisrvojen ossummill on ylärjn tulo ( n )( b n ) <, joten srj (4.2) suppenee itseisesti. Näin ollen sen termien summusjärjestystä voidn viht eikä suppeneminen eikä srjn summ tästä muutu (Luse 4.18). Kosk Cuchyn tulo sdn selvästi srjst (4.2) summusjärjestystä vihtmll, väite seur kosk, jos S k on srjn (4.2) k. ossumm, niin lim S ( k )( k ) ( )( ) k = lim S k 2 = lim n b n = n b n. k k k Esimerkki. Geometrisestä srjst tiedämme, että kikill x ] 1, 1[ 1 1 x = x n = n=0 k=1 x k 1 j srj suppenee itseisesti, kun x ] 1, 1[. Siten sen Cuchyn tulo itsensä knss nt 1 (1 x) = 2 k=1 k x j 1 x k j+1 1 = k x k 1 = k=1 kx k 1 = (n + 1)x n, k=1 n=0 mikä Luseen 4.20 nojll suppenee itseisesti kikill x ] 1, 1[.

48 Anlyysi Potenssisrjt Tässä luvuss trkstelln funktioiden f j : A R muodostmi srjoj f j ; lähinnä muoto olevi potenssisrjoj. j (x x 0 ) j j= Funktiosrjt j niiden suppeneminen Aluksi yleistetään srjn käsite funktioiden summille ivn smoin kuin luvuss 3 yleistimme lukujonon suppenemisen funktioiden jonoille: 5.1. Määritelmä. (Funktiosrjt) Olkoon f n : A R, n = 1, 2,.... Muodollist summ f n = f 1 + f snotn funktiosrjksi. Snotn, että funktiosrj f n suppenee (pisteittäin) joukoss A, jos srjt f n (x) suppenevt jokisell x A. Funktiosrj f n suppenee itseisesti, jos itseisrvofunktioiden srj f n suppenee. Edelleen snotn, että funktiosrj ossummien S k, S k (x) = f n k f n (x), suppenee tsisesti joukoss A, jos

49 Anlyysi 3 47 jono suppenee tsisesti joukoss A. Toisin snoen on olemss funktio f : A R, jolle kikill ε > 0 on N N, jolle S k (x) f(x) < ε kikill x A, kun k N Huomutus. ) Suppenev funktiosrj f n määrää siis funktion f : A R, jonk rvo pisteessä x on lukusrjn f n (x) summ, Tällöin siis ossummfunktiot S k, f(x) = S k (x) = f n (x). k f n (x), suppenevt kohti funktiot f joko pisteittäin ti tsisesti rippuen siitä kummll lill srj suppenee. Luvun 3 funktiojonojen suppenemist j luvun 4 srjojen suppenemist koskevt tulokset ovt nyt käytettävissä. b) Tsisen suppenemisen Cuchyn kriteerio 3.4 tulkittun funktiosrjoille kertoo, että funktiosrj f n suppenee tsisesti (kohti jotin funktiot f : A R) jos j vin jos kikill ε > 0 on N = N(ε) N, jolle sup x A k n=m+1 f n (x) = sup S k (z) S m (z) < ε, kun k > m N. x A c) Jos srj f n suppenee tsisesti joukoss A, niin funktiojono f n suppenee tsisesti kohti nollfunktiot, kosk f n = n n 1 f k f k, k=1 k=1 (vrt. Luse 4.3).

50 Anlyysi 3 48 Funktiojonoj koskevist tuloksist smme heti seurvn Luse. Olkoot f n : I R funktioit, joille funktiosrj f n suppenee tsisesti välillä I. () Jos funktiot f n ovt jtkuvi, niin summfunktio f n on jtkuv. (b) Jos funktiot f n ovt Riemnn-integroituvi välillä [, b] I, niin summfunktio f n on Riemnn-integroituv j b f n (x) dx = b f n (x) dx. (c) Jos funktiot f n ovt jtkuvsti derivoituvi j jos myös derivttfunktioiden srj f n suppenee tsisesti (voimell) välillä I, niin summfunktio on jtkuvsti derivoituv j d dx f n (x) = f n(x) kikill x I. Todistus: ) on Luse 3.5, b) Luse 3.6 j c) Luse 3.7. f n Seurv Weierstrssin M-testi on erittäin tärkeä pukeino funktiosrjoj käsitellessä: funktiosrj suppenee tsisesti, jos funktioiden itseisrvojen supremumien muodostm lukusrj suppenee Luse (Weierstrssin M-testi). Olkoon f n : A R jono funktioit, joille kikill n N on sellinen M n <, että f n (x) M n kikill x A. Jos srj M n suppenee, niin funktiosrj f n suppenee itseisesti j tsisesti joukoss A.

51 Anlyysi 3 49 Todistus: Itseinen suppeneminen seur vertilutestistä 4.9. Olkoon S m (z) = Nyt kun k > m, niin kikill x A S m (x) S k (x) = ( k kun k > m N ε, sillä ) M n k = m f n (x). k n=m+1 k n=m+1 k M n f n (x) f n (x) k n=m+1 m M n < ε, M n on Cuchy-jono, kosk se suppenee. Siten f n toteutt tsisen suppenemisen Cuchyn kriteerion j suppenee siten tsisesti A:ss Potenssisrjt Olkoon j R j x 0 R Muoto j (x x 0 ) j j=0 olev funktiosrj (muuttujn on luku x) snotn potenssisrjksi ti Tylorsrjksi. Luvut j ovt potenssisrjn j (x x 0 ) j kertoimet j piste x 0 sen keskus. j=0 Vertmll potenssisrj geometriseen srjn sdn seurv tulos: 5.5. Luse. Jos potenssisrj j (x x 0 ) j suppenee, kun x = x 1, niin se suppenee j=0 itseisesti kikill x, joille x x 0 < x 1 x 0. Jos potenssisrj j (x x 0 ) j hjntuu, kun x = x 2, niin se hjntuu kikill j=0 x, joille x x 0 > x 2 x 0.

52 Anlyysi 3 50 Todistus: Olkoon x x 0 < x 1 x 0 (voidn olett, että x x 0 ). Kosk srj j (x 1 x 0 ) j suppenee, sen termit suppenevt nolln (Luse 4.3) j siis on luvut j=0 M R j N N, joille Näin ollen j (x 1 x 0 ) j M kikill j N. j (x x 0 ) j = j (x 1 x 0 ) j x x ( ) 0 j j x x 1 x 0 M x0 kikill j N, j x 1 x 0 joten kosk x x 0 x 1 x 0 < 1, srj j (x x 0 ) j mjoroi suppenev geometrinen srj j=0 M j=0 j siten se suppenee itsesesti (Luse 4.9). ( ) j x x0, x 1 x 0 Srjn j (x x 0 ) j hjntuminen, kun x x 0 > x 2 x 0, nähdään smn j=0 tpn vertmll sitä geometriseen srjn (HT). Esimerkki. Trkstelln potenssisrj Kun x = 1, kyseessä on hrmoninen srj, jok hjntuu. Siten luseen 5.5 mukn ko. potenssisrj hjntuu in, kun x > 1. Kun ts x = 1, kyseesä on vuorottelev hrmoninen srj, jok suppenee. Luseen 5.5 nojll potenssisrj suppenee itseisesti, kun x < 1. Näin ollen esimerkin potenssisrj suppenee täsmälleen välillä [ 1, 1[, itseisesti voimell välillä ] 1, 1[. x j j.

53 Anlyysi Määritelmä. Potenssisrjn j (x x 0 ) j suppenemissäde on luku j=0 R = sup{ x x 0 : srj j (x x 0 ) j suppenee }. j=0 Tällöin 0 R j voin väli ]x 0 R, x 0 + R[ on potenssisrjn j (x x 0 ) j suppenemisväli. j=0 Huom, että jos R = 0, on suppenemisväli tyhjä j potenssisrj suppenee tällöin vin keskuksessn x = x 0. Jos ts R =, potenssisrj suppenee koko R:ssä Luse. Olkoon R potenssisrjn j (x x 0 ) j suppenemissäde j 0 < r < j=0 j=0 R. Tällöin potenssisrj j (x x 0 ) j suppenenee itseisesti suppenemisvälillään ]x 0 R, x 0 + R[ j tsisesti välillä [x 0 r, x 0 + r]. Edelleen potenssisrj j (x x 0 ) j hjntuu jokisell x / ]x 0 R, x 0 + R[. j=0 Todistus: Itseistä suppenemist j hjntumist koskevt väitteet seurvt luseest 5.5. Tsinen konvergenssi seur Weierstrssin M-testistä 5.4, sillä kun x [x 0 r, x 0 + r], niin j (x x 0 ) j j r j j srj j r j suppenee sillä sen termit ovt potenssisrjn j (x x 0 ) j termien j=0 itseisrvoj pisteessä x = x 0 + r, jok kuuluu suppenemisvälille. j=0 Esimerkki. Millä x:n rvoill srj ( 1) n (x 1) n 2 n n 2

54 Anlyysi 3 52 suppenee? Sovelletn (tällä kerrll) suhdetestiä 4.11: peräkkäisten termien suhde on itseisrvoltn ( 1) n+1 (x 1) n+1 2 n+1 (n+1) 2 ( 1) n (x 1) n 2 n n 2 = 1 2 x 1 n 2 (n + 1) 1 x 1, 2 2 joten suhdetestin mukn srj suppenee, jos 1 x 1 < 1 eli jos 1 < x < 3 j 2 hjntuu, jos 1 x 1 > 1 eli jos x / [ 1, 3]. Näin ollen srjn suppenemissäde on 2 2 j suppenemisväli ] 1, 3[. Kun x = 1 ( 1) n (x 1) n 2 n n 2 = 1 n 2 <, j kun x = 3, niin ( 1) n (x 1) n 2 n n 2 = 1 n, 2 joten srj suppenee itseisesti suljetull välillä [ 1, 3] j hjntuu sen ulkopuolell. Ennenkuin oikein voimme hyödyntää potenssisrjojen suppenemist koskev tulost, osoitmme, että suppenemissäde riippuu vin kertoimist (j niiden vull voimme myös määrätä suppenemissäteen) Lemm. Olkoon R potenssisrjn n (x x 0 ) n suppenemissäde. n=0 Jos luvulle R 1 > 0 löytyy sellinen N N, jolle n n 1, kun n N, R 1 niin R 1 R. Jos n n 1 äärettömän monell n, R 2 niin R 2 R.

55 Anlyysi 3 53 Todistus: Jos x x 0 < R 1, niin ( ) n x n (x x 0 ) n x0, kun n N. R 1 n=0 Siten srj n (x x 0 ) n suppenee vertilutestin 4.9 nojll, kosk mjoroiv geometrinen srj ( x x0 ) n suppenee, sillä n=n R 1 0 x x 0 R 1 < 1. Siten R 1 R Luseen 5.7 nojll. Potenssisrjn n (x x 0 ) n hjntuminen, kun x x 0 R 2 seur, kosk n=0 tällöin srjn termit eivät lähesty noll, kosk äärettömän monell n Siis R 2 R. ( ) n x n (x x 0 ) n x0 R 2 ( R2 R 2 ) n = 1. Lemmn 5.8 vull sdn suppenemissäde määritetyksi (HT): 5.9. Luse. Olkoon R potenssisrjn n (x x 0 ) n suppenemissäde. Tällöin n=0 1 R = lim k (sup{ n n : n k}). Erityisesti, R = lim n 1 n n ti R = lim n n n+1, mikäli em. rj-rvot ovt olemss.

56 Anlyysi 3 54 Huom, että kosk { n n : n k + 1} { n n : n k} on jono (sup{ n n : n k}) lskev, joten rj-rvo lim (sup{ n n : n k}) = lim (sup{ k k, k+1 k+1, k+2 k+2,... }) k k on in olemss (mhdollisesti = jolloin suppenemissäde on = 0). Luseen 5.9 lkuos seur heti Lemmst 5.8. Loppuos jätetään hrjoitustehtäväksi. Esimerkki. Potenssisrjn suppenemissäde on 1, kosk lim n x n n 1 n 1 n+1 = 1 ti kosk lim n n 1 n = 1. Luseen 5.13 ll j Tylorin polynomien vull on helppo nähdä, että log(1 x) = x n n kikill x ] 1, 1[ Lemm. Potenssisrjll n (x x 0 ) n j derivttojen srjll on sm suppenemissäde. n=0 n n (x x 0 ) n 1

57 Anlyysi 3 55 Todistus: Kosk (x x 0 ) n n (x x 0 ) n 1 = n n (x x 0 ) n, derivttsrjn suppenemissäde sdn Luseen 5.9 mukn luvuist n n n = n 1/n n n. Kosk lim n n 1/n = 1, seur tästä, että lim (sup{ n n n : n k}) = lim (sup{ n n n n : n k}) k k mistä väite seur (Luse 5.9). = lim k (sup{ n n : n k}), Seurv luse selittää, miksi potenssisrjoj kutsutn myös Tylor-srjoiksi (ks. Luse 2.3) Luse. Olkoon R potenssisrjn n (x x 0 ) n suppenemissäde. Tällöin funktioll f(x) = n=0 n (x x 0 ) n n=0 on kikkien kertlukujen jtkuvt derivtt suppenemisvälillä ]x 0 R, x 0 + R[. Edelleen derivtt sdn derivoimll srjn termit, f (x) = n n (x x 0 ) n 1 kikill x ]x 0 R, x 0 + R[. Erityisesti, f (n) (x 0 ) = n! n kikill n N.

58 Anlyysi 3 56 Todistus: Funktion f k. ossummn derivtt on S k(x) = k n n (x x 0 ) n 1. Lemmn 5.10 nojll nämä suppenevt tsisesti jokisell suljetull välillä [, b] ]x 0 R, x 0 + R[ kohti väitteen derivttsrj. Siten Luse 3.7 kertoo, että f on derivoituv j f (x) = n n (x x 0 ) n 1 kikill x ]x 0 R, x 0 + R[. Sijoittmll x = x 0 smme tästä Loppuos väitteestä induktioll (HT). f (x 0 ) = 1. Luse 5.11 näyttää, että smn keskuksen x 0 ympärille kehitetyn potenssisrjn kertoimet määräytyvät yksikäsitteisesti srjn rvoist: Seurus. Jos n (x x 0 ) n = b n (x x 0 ) n kikill x ]x 0 R, x 0 + R[, n=0 n=0 niin n = b n kikill n N. Esimerkki. Lsketn srj Tutkitn potenssisrj n 2 2 n. n 2 x n,

7 Funktiosarjoista. 7.1 Funktiosarjojen suppeneminen

7 Funktiosarjoista. 7.1 Funktiosarjojen suppeneminen 7 Funktiosrjoist 7. Funktiosrjojen suppeneminen Seurvksi trkstelln srjoj, joiden termit ovt (lukujen sijst) jollkin välillä I määriteltyjä funktioit. Täsmällisemmin funktiosrjll (ti lyhyemmin srjll) trkoitetn

Lisätiedot

Sisältö. Funktiojonot ja -sarjat 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 15

Sisältö. Funktiojonot ja -sarjat 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 15 Funktiojonot j -srjt 10. syyskuut 2005 sivu 1 / 15 Sisältö 1 Funktiojonoist 2 2 Funktiosrjoist 5 3 Funktiojonojen j -srjojen derivointi j integrointi 7 4 Potenssisrjt 9 5 Tylorin polynomit j srjt 12 5.1

Lisätiedot

SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT Funktiojonot 1

SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT Funktiojonot 1 SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 JOUNI PARKKONEN Sisältö 0. Tästä tekstistä. Funktiojonot 0. Tästä tekstistä Tämä moniste on trkoitettu käytettäväksi kurssin Srjt j differentiliyhtälöt luentomterilin.

Lisätiedot

II.1. Suppeneminen., kun x > 0. Tavallinen lasku

II.1. Suppeneminen., kun x > 0. Tavallinen lasku II. EPÄOLEELLISET INTEGRAALIT nt II.. Suppeneminen Esim. Olkoon f() =, kun >. Tvllinen lsku = / =. Kuitenkn tätä integrli ei ole ikisemmss mielessä määritelty, kosk f ei ole rjoitettu välillä [, ] (eikä

Lisätiedot

5 Epäoleellinen integraali

5 Epäoleellinen integraali 5 Epäoleellinen integrli 5. Integrlin suppeneminen Olkoon f sellinen välillä [, b[ (ei siis välttämättä pisteessä b) määritelty funktio, että f on Riemnn-integroituv välillä [, ] kikill ], b[ eli on olemss

Lisätiedot

TEHTÄVÄ 1. Olkoon (f n ) jono jatkuvia funktioita f n : [a, b] R, joka suppenee välillä [a, b] tasaisesti kohti funktiota f : [a, b] R.

TEHTÄVÄ 1. Olkoon (f n ) jono jatkuvia funktioita f n : [a, b] R, joka suppenee välillä [a, b] tasaisesti kohti funktiota f : [a, b] R. Topologi I Hrjoitus 10, rtkisuj AP TEHTÄVÄ 1. Olkoon (f n ) jono jtkuvi funktioit f n : [, b] R, jok suppenee välillä [, b] tsisesti kohti funktiot f : [, b] R. Osoit, että tällöin f n (x) dx f(x) dx.

Lisätiedot

3 Integraali ja derivaatta

3 Integraali ja derivaatta 3 Integrli j erivtt 3.1 Integrli ylärjns funktion Olkoon funktio f Riemnn-integroituv välin I jokisell suljetull osvälillä j välin I jokin kiinteä luku. Tällöin integrli määrittelee funktion G(): I R,

Lisätiedot

Sarjat ja integraalit

Sarjat ja integraalit Srjt j integrlit c Mtemttisten tieteiden litos, Oulun yliopisto Versio: 9.3.0 Viimeksi muoknnut: Peter Hästö Sisältö Funktion rj-rvo j jtkuvuus. Peruskäsitteitä........................................

Lisätiedot

1. Derivaatan Testi. Jos funktio f on jatkuva avoimella välillä ]a, b[ ja x 0 ]a, b[ on kriit. tai singul. piste niin. { f (x) > 0, x ]a, x 0 [

1. Derivaatan Testi. Jos funktio f on jatkuva avoimella välillä ]a, b[ ja x 0 ]a, b[ on kriit. tai singul. piste niin. { f (x) > 0, x ]a, x 0 [ 1. Derivtn Testi Jos funktio f on jtkuv voimell välillä ], b[ j x 0 ], b[ on kriit. ti singul. piste niin { f (x) < 0, x ], x 0 [ f x (x) > 0, x ]x 0, b[ 0 on lokli minimipiste (1) { f (x) > 0, x ], x

Lisätiedot

Riemannin integraalista

Riemannin integraalista Lebesguen integrliin sl. 2007 Ari Lehtonen Riemnnin integrlist Johdnto Tämän luentomonisteen trkoituksen on tutustutt lukij Lebesgue n integrliin j sen perusominisuuksiin mhdollisimmn yksinkertisess tpuksess:

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Mtemtiikn tukikurssi Kurssikert 5 1 Jtkuvuus Trkstelln funktiot fx) josskin tietyssä pisteessä x 0. Tämä funktio on tässä pisteessä joko jtkuv ti epäjtkuv. Jtkuvuuden ymmärtää prhiten trkstelemll epäjtkuv

Lisätiedot

ANALYYSIN TEORIA A JA B

ANALYYSIN TEORIA A JA B ANALYYSIN TEORIA A JA B Kikki luseit ei ole muotoiltu smll tvll kuin luennoill. Ilmoit virheistä yms osoitteeseen mikko.kngsmki@ut. (jos et ole vrm, onko kyseessä virhe, niin ilmoit mieluummin). 1. Yleistä,

Lisätiedot

Sisältö. Integraali 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 20

Sisältö. Integraali 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 20 Integrli 10. syyskuut 2005 sivu 1 / 20 Sisältö 1 Määrätty integrli j integrlifunktio 2 1.1 Integroituvist funktioit 3 1.2 Määrätyn integrlin ominisuuksi 4 1.3 Integrlifunktio 5 1.4 Integrlilskennn tärkeimmät

Lisätiedot

IV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n

IV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n IV. TASAINEN SUPPENEMINEN IV.. Funktiojonon tasainen suppeneminen Olkoon A R joukko ja f n : A R funktio, n =, 2, 3,..., jolloin jokaisella x A muodostuu lukujono f x, f 2 x,.... Jos tämä jono suppenee

Lisätiedot

ANALYYSI 3. Tero Kilpeläinen

ANALYYSI 3. Tero Kilpeläinen ANALYYSI 3 Tero Kilpeläinen Luentomuistiinpanoja syksyltä 2005 14. helmikuuta 2014 Sisältö 1. Esitietoja 2 1.1. Riemann-integraali............................ 2 1.2. Derivaatta.................................

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali MS-A1{3,4} (ELEC*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 8: Integrlifunktio j epäoleellinen integrli Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos 5.1.216 Pekk Alestlo,

Lisätiedot

Analyysi 2. Harjoituksia lukuihin 1 3 / Kevät Anna sellainen välillä ] 2, 2[ jatkuva ja rajoitettu funktio f, että

Analyysi 2. Harjoituksia lukuihin 1 3 / Kevät Anna sellainen välillä ] 2, 2[ jatkuva ja rajoitettu funktio f, että Anlyysi Hrjoituksi lukuihin 3 / Kevät 5. Ann sellinen välillä ], [ jtkuv j rjoitettu funktio f, että () sup A m A j inf A min A, (b) sup A m A j inf A = min A, (c) sup A = m A j inf A min A, (d) sup A

Lisätiedot

x k 1 Riemannin summien käyttö integraalin approksimointiin ei ole erityisen tehokasta; jatkuvasti derivoituvalle funktiolle f virhe b

x k 1 Riemannin summien käyttö integraalin approksimointiin ei ole erityisen tehokasta; jatkuvasti derivoituvalle funktiolle f virhe b 5 Integrlien lskemisest 51 Riemnnin summt [A2], [4, 61] Rjoitetun funktion f : [, b] R Riemnn-integroituvuudelle ytäpitäväksi on kurssill Anlyysi 2 osoitettu, että Riemnnin summill S P := f(ξ k ) ( ),

Lisätiedot

ANALYYSI I, kevät 2009

ANALYYSI I, kevät 2009 5 Riemnnin integrli 7 ANALYYSI I, kevät 9 5. Integrlin perusominisuuksi................. 76 5. Anlyysin perusluse....................... 8 Sisältö Relilukujen peruskäsitteitä Lukujonoist 3. Lukujonon rj-rvo.......................

Lisätiedot

ANALYYSI I, kevät 2009

ANALYYSI I, kevät 2009 ANALYYSI I, kevät 009 Sisältö Relilukujen peruskäsitteitä Lukujonoist 4. Lukujonon rj-rvo....................... 4. Monotoniset jonot..........................3 Osjonot.............................. 7.4

Lisätiedot

MS-A010{2,3,4,5} (SCI, ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali

MS-A010{2,3,4,5} (SCI, ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali MS-A1{2,3,4,5} (SC, ELEC*, ENG*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 8: ntegrlifunktio j epäoleellinen integrli Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos November

Lisätiedot

Viikon aiheet. Pinta-ala

Viikon aiheet. Pinta-ala info Viikon iheet Mpu I:sen voit suoritt: Kurssin loppukokeess 23.10. Arvosn: koe + lskrit Mikäli yo. ik ei sovi, voit suoritt loppukokeen yleistenttitilisuudess 24.11. Arvosn: koe + lskrit. Ilmoittudu

Lisätiedot

ANALYYSI I, kevät 2009

ANALYYSI I, kevät 2009 ANALYYSI I, kevät 2009 Sisältö Relilukujen peruskäsitteitä 2 Lukujonoist 3 2. Lukujonon rj-rvo....................... 3 2.2 Monotoniset jonot......................... 7 2.3 Osjonot..............................

Lisätiedot

i 2 n 3 ( (n 1)a (i + 1) 3 = 1 +

i 2 n 3 ( (n 1)a (i + 1) 3 = 1 + I. INTEGRAALILASKENTA Arkhimedes (287 22 e.kr.) prbelin segmentin pint-l Newton (642 727) j Leibniz (646 76) keksivät diff.- j int.-lskennn Cuhy (789 857) ε, δ Riemnn (826 866) Riemnnin integrli Lebesgue

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Mtemtiikn tukikurssi Kurssikert 4 Tilvuuden j vipn ln lskeminen Kuten iemmin käsittelimme, määrätyn integrlin vull voi lske pintloj j tilvuuksi. Tyypillisenä sovelluksen tilvuuden lskemisest on tpus, joss

Lisätiedot

2 Riemann-integraali. 2.1 Porrasfunktion integraali. Aloitetaan integraalin täsmällinen määrittely tutkimalla porrasfunktion integraalia.

2 Riemann-integraali. 2.1 Porrasfunktion integraali. Aloitetaan integraalin täsmällinen määrittely tutkimalla porrasfunktion integraalia. 2 Riemnn-integrli 2.1 Porrsfunktion integrli Aloitetn integrlin täsmällinen määrittely tutkimll porrsfunktion integrli. Määritelmä 2.1 (Porrsfunktion integrli). Olkoon f : [, b] R porrsfunktio j P = {x

Lisätiedot

a = x 0 < x 1 < x 2 < < x n = b f(x) dx = I. lim f(x k ) x k=1

a = x 0 < x 1 < x 2 < < x n = b f(x) dx = I. lim f(x k ) x k=1 5 Integrli 5.1 Määritelmä j ominisuudet Olkoon f : [, b] R jtkuv. Muodostetn välin [, b] jko = x 0 < x 1 < x 2 < < x n = b j siihen liittyvä yläsumm S = n M k (x k x k 1 ), M k = mx{f(x) x k 1 x x k },

Lisätiedot

Lebesguen integraali - Rieszin määritelmä

Lebesguen integraali - Rieszin määritelmä Lebesguen integrli - Rieszin määritelmä Tru Lehtonen Mtemtiikn pro grdu-tutkielm Jyväskylän yliopisto Mtemtiikn j tilstotieteen litos Kevät 216 Tiivistelmä Jyväskylän Yliopisto Lehtonen, Tru Puliin: Lebesguen

Lisätiedot

Ville Turunen: Mat Matematiikan peruskurssi P1 3. välikokeen alueen teoriatiivistelmä 2007

Ville Turunen: Mat Matematiikan peruskurssi P1 3. välikokeen alueen teoriatiivistelmä 2007 Ville Turunen: Mt-.4 Mtemtiikn peruskurssi P 3. välikokeen lueen teoritiivistelmä 27 Mterili: kirjt [Adms] R. A. Adms: Clculus, complete course (6th edition), [Ly] D. C. Ly: Liner lgebr nd its pplictions

Lisätiedot

Sarjojen tasainen suppeneminen

Sarjojen tasainen suppeneminen Srjojen tsinen suppeneminen Pro grdu -tutkielm Krist Mikkonen 165274 Itä-Suomen yliopisto Fysiikn j mtemtiikn litos 19. mrrskuut 2013 Sisältö 1 Johdnto 1 2 Lukujonoist j srjoist 2 2.1 Lukujoukoist...........................

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 7: Integraali ja analyysin peruslause

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 7: Integraali ja analyysin peruslause MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 7: Integrli j nlyysin perusluse Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos 3.10.2016 Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen

Lisätiedot

2.4 Pienimmän neliösumman menetelmä

2.4 Pienimmän neliösumman menetelmä 2.4 Pienimmän neliösummn menetelmä Optimointimenetelmiä trvitn usein kokeellisen dtn nlysoinniss. Mittuksiin liittyy virhettä, joten mittus on toistettv useit kertoj. Oletetn, että mittn suurett c j toistetn

Lisätiedot

MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 7: Integraali ja analyysin peruslause

MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 7: Integraali ja analyysin peruslause MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 7: Integrli j nlyysin perusluse Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos November 20, 2017

Lisätiedot

Integroimistehtävät, 10. syyskuuta 2005, sivu 1 / 29. Perustehtäviä. Tehtävä 1. Osoita, että vakiofunktio f(x) c on Riemann-integroituva välillä

Integroimistehtävät, 10. syyskuuta 2005, sivu 1 / 29. Perustehtäviä. Tehtävä 1. Osoita, että vakiofunktio f(x) c on Riemann-integroituva välillä Integroimistehtävät,. syyskuut 5, sivu / 9 Perustehtäviä Tehtävä. Osoit, että vkiofunktio f(x) c on Riemnn-integroituv välillä [, b] j lske suorn määritelmän perusteell b f(x). Tehtävä. Osoit, että funktio,

Lisätiedot

6 Integraalilaskentaa

6 Integraalilaskentaa 6 Integrlilskent 6. Integrlifunktio Funktion f integrlifunktioksi snotn funktiot F, jonk derivtt on f. Siis F (x) = f (x) määrittelyjoukon jokisell muuttujn rvoll x. Merkitään F(x) = f (x) dx. Integrlifunktion

Lisätiedot

Kertymäfunktio. Kertymäfunktio. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 2/2. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 1/2. Kertymäfunktio: Esitiedot

Kertymäfunktio. Kertymäfunktio. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 2/2. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 1/2. Kertymäfunktio: Esitiedot TKK (c) Ilkk Mellin (24) 1 Johdtus todennäköisyyslskentn TKK (c) Ilkk Mellin (24) 2 : Mitä opimme? 1/2 Jos stunnisilmiötä hlutn mllint mtemttisesti, on ilmiön tulosvihtoehdot kuvttv numeerisess muodoss.

Lisätiedot

Numeerinen integrointi.

Numeerinen integrointi. Numeerinen integrointi. Differentili- j integrlilskent 1, syksy 2015 Hrri Vrpnen Mtemtiikn j systeeminlyysin litos Alto-yliopisto Tiisti 6.10.2015 Sisältö Tylor-menetelmä. Käyttökelpoinen silloin, kun

Lisätiedot

8 Potenssisarjoista. 8.1 Määritelmä. Olkoot a 0, a 1, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.1. Muotoa

8 Potenssisarjoista. 8.1 Määritelmä. Olkoot a 0, a 1, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.1. Muotoa 8 Potenssisarjoista 8. Määritelmä Olkoot a 0, a, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.. Muotoa a 0 + a (x c) + a 2 (x c) 2 + olevaa sarjaa sanotaan c-keskiseksi potenssisarjaksi. Selvästi jokainen

Lisätiedot

1 Jonot. 2 Sarjat. 3 Jatkuvuus. 4 Derivaatta. 5 Taylor-polynomit ja -sarjat. 1.2 Jonot. jossa

1 Jonot. 2 Sarjat. 3 Jatkuvuus. 4 Derivaatta. 5 Taylor-polynomit ja -sarjat. 1.2 Jonot. jossa Sisältö MS-AX Differentili- j integrlilskent Nämä klvot sisältävät otsikoss minitun kurssin keskeisen mterilin, mutt myös pljon oheislukemist. Luennoill voidn käsitellä myös täydentäviä esimerkkejä, kosk

Lisätiedot

ANALYYSI 2. Tero Kilpeläinen

ANALYYSI 2. Tero Kilpeläinen ANALYYSI Tero Kilpeläinen 3 Teksti sisältää muistiinpnoj vuosin j 3 pidetystä kurssist. Tämän pketin trkoitus on tuke omien muistiinpnojen teko, ei korvt niitä. Mtemtiikk oppii prhiten itse kirjoitten

Lisätiedot

Määritelmä Olkoon C R m yksinkertainen kaari ja γ : [a, b] R m sen yksinkertainen parametriesitys, joka on paloittain C 1 -polku.

Määritelmä Olkoon C R m yksinkertainen kaari ja γ : [a, b] R m sen yksinkertainen parametriesitys, joka on paloittain C 1 -polku. Muodostetn vektorikentän kri-integrli yksinkertisen kren tpuksess. Plutetn mieleen, että joukko C R m on yksinkertinen kri, jos löytyy sellinen jtkuv bijektio γ : [, b] C, jok on ploittin C 1 -funktio

Lisätiedot

Riemannin integraalista

Riemannin integraalista TAMPEREEN YLIOPISTO Pro grdu -tutkielm Aij Stenberg Riemnnin integrlist Mtemtiikn j tilstotieteen litos Mtemtiikk Syyskuu 2010 2 Tmpereen yliopisto Mtemtiikn j tilstotieteen litos STENBERG, AIJA: Riemnnin

Lisätiedot

Reaalinen lukualue. Millainen on luku, jossa on päättymätön ja jaksoton desimaalikehitelmä?

Reaalinen lukualue. Millainen on luku, jossa on päättymätön ja jaksoton desimaalikehitelmä? Relinen lukulue POLYNOMIFUNKTIOT JA -YHTÄLÖT, MAA Millinen on luku, joss on päättymätön j jksoton desimlikehitelmä? Onko sellisi? Trkstelln Pythgorn luseest stv yksikköneliön lävistäjää, luku + = x x =.

Lisätiedot

Analyysi B. Derivaatta ja integraali. Pertti Koivisto

Analyysi B. Derivaatta ja integraali. Pertti Koivisto Anlyysi B Derivtt j integrli Pertti Koivisto Kevät 7 Alkusnt Tämä moniste on trkoitettu oheislukemistoksi Tmpereen yliopistoss pidettävälle kurssille Anlyysi B. Monisteen tvoitteen on tuke luentojen seurmist,

Lisätiedot

10. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA

10. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA MAA0 0. Määrätyn integrlin käyttö eräiden pint-lojen lskemisess 0. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA Edellä on todettu, että f (x)dx nt x-kselin j suorien x =, x = sekä funktion

Lisätiedot

4. Reaalifunktioiden määrätty integraali

4. Reaalifunktioiden määrätty integraali 6 4. Relifunktioiden määrätt integrli Vrsinisesti termi "integrli" tulee seurvss esitettävästä määrätstä integrlist, jok on läheistä suku summmiselle. Yhtes derivttn on sitten perustv ltu olev tulos, jot

Lisätiedot

1+kx 2, x [0, 1] 4. f k (x) = (sin x) k, x R Tehtävä 2. Osoita suoraan määritelmään perustuen, että funktiojono (f k ), missä

1+kx 2, x [0, 1] 4. f k (x) = (sin x) k, x R Tehtävä 2. Osoita suoraan määritelmään perustuen, että funktiojono (f k ), missä Funtiojonojen j -srjojen tehtävät, 11. syysuut 5, sivu 1 / 19 Perustehtäviä Tehtävä 1. Tuti seurvien funtiojonojen (f (x)) suppenemist. pisteittäistä j tsist 1. f (x) = cos x, x R. f (x) = 1 1+x, x R 3.

Lisätiedot

Analyysin perusteet kauppatieteilijöille 800118P

Analyysin perusteet kauppatieteilijöille 800118P Anlyysin perusteet kupptieteilijöille 800118P Luentomoniste Kri Myllylä Niin Korteslhti Topi Törmä Oulun yliopisto Mtemttisten tieteiden litos Kevät 2015 Sisältö 1 Derivtt 3 1.1 Määritelmä..............................

Lisätiedot

Kuvausta f sanotaan tällöin isomorfismiksi.

Kuvausta f sanotaan tällöin isomorfismiksi. Määritelmä..12. Oletetn, että 1 =(V 1,E 1 ) j 2 =(V 2,E 2 ) ovt yksinkertisi verkkoj. Verkot 1 j 2 ovt isomorfiset, jos seurvt ehdot toteutuvt: (1) on olemss bijektio f : V 1 V 2 (2) kikill, b V 1 pätee,

Lisätiedot

Matematiikan peruskurssi. Seppo Hassi

Matematiikan peruskurssi. Seppo Hassi Mtemtiikn peruskurssi Seppo Hssi Syksy 2014 iii Esipuhe Tämä on 1. versio Mtemtiikn peruskurssin opetusmonisteest, jonk sisältö noudttelee pitkälti Vsn yliopistoss iemmin luennoimni Mtemttiset menetelmät

Lisätiedot

521. 522. 523. 524. 525. 526. 527. 12. Lisää määrätystä integraalista. 12.1. Integraalin arvioimisesta. Osoita: VASTAUS: Osoita: Osoita:

521. 522. 523. 524. 525. 526. 527. 12. Lisää määrätystä integraalista. 12.1. Integraalin arvioimisesta. Osoita: VASTAUS: Osoita: Osoita: 12. Lisää määrätystä integrlist 12.1. Integrlin rvioimisest 521. Osoit: 1 + x 2 22 1 < < 1 + x21 21. 522. Osoit: x 3 < 5 x 6 + 8x + 9 < 15 1 5. 523. Osoit: 2 2 < e x2 x < 2e 2. e 524. Olkoon k >. Osoit:

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 9: Integroimismenetelmät

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 9: Integroimismenetelmät MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 9: Integroimismenetelmät Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos 10.10.2016 Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen (Alto-yliopisto,

Lisätiedot

sin θ θ θ r 2 sin 2 θ φ 2 = 0.

sin θ θ θ r 2 sin 2 θ φ 2 = 0. Mtemtiikn j tilstotieteen litos Osittisdifferentiliyhtälöt Kevät 21 Hrjoitus 9 Rtkisuj Jussi Mrtin 1. Osoit, että Lplce-yhtälö pllokoordinteiss on 2 u 1 r 2 2 u r r 1 r 2 sin θ u 1 2 u sin θ θ θ r 2 sin

Lisätiedot

OSA 1: POLYNOMILASKENNAN KERTAUSTA, BINOMIN LASKUSÄÄNTÖJÄ JA YHTÄLÖNRATKAISUA

OSA 1: POLYNOMILASKENNAN KERTAUSTA, BINOMIN LASKUSÄÄNTÖJÄ JA YHTÄLÖNRATKAISUA OSA 1: POLYNOMILASKENNAN KERTAUSTA, BINOMIN LASKUSÄÄNTÖJÄ JA YHTÄLÖNRATKAISUA Tekijät: Ari Heimonen, Hellevi Kupil, Ktj Leinonen, Tuomo Tll, Hnn Tuhknen, Pekk Vrniemi Alkupl Tiedekeskus Tietomn torninvrtij

Lisätiedot

Matemaattiset menetelmät I. Seppo Hassi

Matemaattiset menetelmät I. Seppo Hassi Mtemttiset menetelmät I Seppo Hssi Syksy 2011 iii Esipuhe Tämä on 1. versio Mtemttiset menetelmät I-kurssin opetusmonisteest, jok perustuu Vsn yliopistoss luennoimni vstvn nimiseen kurssiin. Sisältö noudtt

Lisätiedot

Konvergenssilauseita

Konvergenssilauseita LUKU 4 Konvergenssilauseita Lause 4.1 (Monotonisen konvergenssin lause). Olkoon (f n ) kasvava jono Lebesgueintegroituvia funktioita. Asetetaan f(x) := f n (x). Jos f n

Lisätiedot

1 Jonot. 2 Sarjat. 3 Jatkuvuus. 4 Derivaatta. 5 Taylor-polynomit ja -sarjat. 1.2 Jonot. jossa

1 Jonot. 2 Sarjat. 3 Jatkuvuus. 4 Derivaatta. 5 Taylor-polynomit ja -sarjat. 1.2 Jonot. jossa Sisältö MS-AX Differentili- j integrlilskent Pekk Alestlo Alto-yliopisto.9.26 Nämä klvot sisältävät otsikoss minitun kurssin keskeisen mterilin, mutt myös pljon oheislukemist. Luennoill voidn käsitellä

Lisätiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1: tiivistelmä ja oheislukemista

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1: tiivistelmä ja oheislukemista Differentili- j integrlilskent 1: tiivistelmä j oheislukemist Pekk Alestlo 4. syyskuut 2014 Tähdellä merkityt kohdt on trkoitettu lähinnä oheislukemistoksi. Lisäksi mukn on joitkin lukiot kertvi kohti,

Lisätiedot

Syksyn 2015 Pitkän matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut

Syksyn 2015 Pitkän matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut Sksn 0 Pitkän mtemtiikn YO-kokeen TI-Nspire CAS -rtkisut Tekijät: Olli Krkkulinen Rtkisut on ldittu TI-Nspire CAS -tietokoneohjelmll kättäen Muistiinpnot -sovellust. Kvt j lskut on kirjoitettu Mth -ruutuihin.

Lisätiedot

MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 9: Integroimismenetelmät

MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 9: Integroimismenetelmät MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 9: Integroimismenetelmät Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos November 27, 2017 Pekk Alestlo,

Lisätiedot

Newtonin, Riemannin ja Henstock-Kurzweilin integraalit

Newtonin, Riemannin ja Henstock-Kurzweilin integraalit TAMPEREEN YLIOPISTO Pro grdu -tutkielm Annik Heinonen Newtonin, Riemnnin j Henstock-Kurzweilin integrlit Informtiotieteiden yksikkö Mtemtiikk Helmikuu 2013 Sisältö 1 Johdnto 1 2 Newtonin integrli 2 2.1

Lisätiedot

1 Jonot. 2 Sarjat. 3 Jatkuvuus. 4 Derivaatta. 5 Taylor-polynomit ja -sarjat / Jonot / 200. jossa / 200

1 Jonot. 2 Sarjat. 3 Jatkuvuus. 4 Derivaatta. 5 Taylor-polynomit ja -sarjat / Jonot / 200. jossa / 200 MS-AX Differentili- j integrlilskent Pekk Alestlo Alto-yliopisto 24..26 Kiitokset Riikk Kortteelle, Jrmo Mliselle j kurssien opiskelijoille pinovirheiden korjuksist. 24..26 Kiitokset Riikk Kortteelle,

Lisätiedot

Mika Hirvensalo. Insinöörimatematiikka B 2014

Mika Hirvensalo. Insinöörimatematiikka B 2014 Mik Hirvenslo Insinöörimtemtiikk B 4 Sisältö Rj-rvo j jtkuvuus....................................................... 5. Differentili- j integrlilskennn kehityksestä............................. 5. Relilukujen

Lisätiedot

Riemann-integraalin ja mittaintegraalin vertailua

Riemann-integraalin ja mittaintegraalin vertailua Riemnn-integrlin j mittintegrlin vertilu Pro grdu -tutkielm Pii Tskinen Mtemttisten tieteiden litos Oulun yliopisto Kevät 216 Sisältö Johdnto 3 1 Esitietoj 5 1.1 Välijost............................. 5

Lisätiedot

MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1

MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 MS-A0102 Differentili- j integrlilskent 1 Riikk Korte (Pekk Alestlon klvojen pohjlt) Alto-yliopisto 22.11.2016 Sisältö Pint-l Integrli 1.1 Pint-l: Suorkulmio Seurvss trkstelln umpinisten tsokäyrien rjmi

Lisätiedot

Esimerkki 8.1 Määritellään operaattori A = x + d/dx. Laske Af, kun f = asin(bx). Tässä a ja b ovat vakioita.

Esimerkki 8.1 Määritellään operaattori A = x + d/dx. Laske Af, kun f = asin(bx). Tässä a ja b ovat vakioita. 8. Operttorit, mtriisit j ryhmäteori Mtemttinen operttori määrittelee opertion, jonk mukn sille nnettu funktiot muoktn. Operttorit ovt erityisen tärkeitä kvnttimekniikss, kosk siinä jokist suurett vst

Lisätiedot

Numeerinen integrointi

Numeerinen integrointi Pitkärnt: Lj mtemtiikk IX9 Numeerinen integrointi IX9 Numeerinen integrointi Numeerisell integroinnill trkoitetn määrätyn integrlin, eli reliluvun I(f,,b) = f(x)dx lskemist numeerisin keinoin (likimäärin)

Lisätiedot

4 Taso- ja avaruuskäyrät

4 Taso- ja avaruuskäyrät P2-luentoj kevät 2008, Pekk Alestlo 4 Tso- j vruuskäyrät Tässä luvuss tutustutn tso- j vruuskäyriin, niiden krenpituuteen j krevuuteen. Konkreettisin sovelluksin trkstelln nnettu rt pitkin liikkuvn hiukksen

Lisätiedot

MS-A010X Di erentiaali- ja integraalilaskenta Lukujoukot. 1.2 Jonot. 1.2 Perusongelmat. 1.3 Suppeneminen I. 1.2 Jonojen ominaisuuksia

MS-A010X Di erentiaali- ja integraalilaskenta Lukujoukot. 1.2 Jonot. 1.2 Perusongelmat. 1.3 Suppeneminen I. 1.2 Jonojen ominaisuuksia MS-AX Di erentili- j integrlilskent Pekk Alestlo Alto-yliopisto 24..26 Kiitokset Riikk Kortteelle, Jrmo Mliselle j kurssien opiskelijoille pinovirheiden korjuksist. Sisältö Nämä klvot sisältävät otsikoss

Lisätiedot

ANALYYSI 2. Camilla Hollanti. Tampereen yliopisto x 3. a x 1. x 4 x 11. x 2

ANALYYSI 2. Camilla Hollanti. Tampereen yliopisto x 3. a x 1. x 4 x 11. x 2 ANALYYSI 2 Cmill Hollnti _ M M x x 2 x 3 x 4 x b Tmpereen yliopisto 200 2 Sisältö. Preliminäärejä 3 2. Riemnn-integrli 5 2.. Pint-lt j porrsfunktiot....................... 5 2... Pint-l rj-rvon.......................

Lisätiedot

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 5.2.2013

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 5.2.2013 Preliminäärikoe Pitkä Mtemtiikk 5..0 Kokeess s vstt enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä ( * ) merkittyjen tehtävien mksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien mksimipistemäärä on 6.. ) Rtkise yhtälö b)

Lisätiedot

1.3 Toispuoleiset ja epäoleelliset raja-arvot

1.3 Toispuoleiset ja epäoleelliset raja-arvot . Toisuoleiset j eäoleelliset rj-rvot Rj-rvo lim f () A olemssolo edellyttää että muuttuj täytyy void lähestyä rvo kummst suust hyväsä. Jos > ii sot että lähestyy rvo oikelt ositiivisest suust. Jos ts

Lisätiedot

MS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 2: Sarjat

MS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 2: Sarjat MS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 2: Sarjat Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos September 13, 2017 Pekka Alestalo,

Lisätiedot

Sarjaratkaisun etsiminen Maplella

Sarjaratkaisun etsiminen Maplella Srjrtkisun etsiminen Mplell Olkoon trksteltvn ensimmäisen kertluvun differentiliyhtälö: > diffyht:= diff(y(x, x=1y(x^; d diffyht := = dx y( x 1 y( x Tälle pyritään etsimään srjrtkisu origokeskisenä potenssisrjn.

Lisätiedot

Lebesguen integraali

Lebesguen integraali LUKU 3 Lebesguen integrli Seurvss esitettävä määritelmä Lebesguen integrlille ei ole Lebesguen lkuperäinen. Vuoden 1904 luennoissn [23] hän kuitenkin setti tvoitteeksi, että integrlill olisi ominisuus:

Lisätiedot

VEKTOREILLA LASKEMINEN

VEKTOREILLA LASKEMINEN ..07 VEKTOREILL LSKEMINEN YHTEENLSKU VEKTORIT, M4 Vektoreiden j summ on vektori +. Tämän summvektorin + lkupiste on vektorin lkupiste j loppupiste vektorin loppupiste, kun vektorin lkupisteenä on vektorin

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 6 Sarjojen suppeneminen Kiinnostuksen kohteena on edelleen sarja a k = a + a 2 + a 3 + a 4 +... k= Tämä summa on mahdollisesti äärellisenä olemassa, jolloin sanotaan

Lisätiedot

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2017 Harjoitus 6, ratkaisuista. 1. Onko jokin demojen 5 tehtävän 3 relaatioista

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2017 Harjoitus 6, ratkaisuista. 1. Onko jokin demojen 5 tehtävän 3 relaatioista Mtemtiikn johntokurssi, syksy 07 Hrjoitus 6, rtkisuist. Onko jokin emojen 5 tehtävän reltioist ) R := {(, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, )}, ) S := {(, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ),

Lisätiedot

Funktiojonon tasainen suppeneminen

Funktiojonon tasainen suppeneminen TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Taina Saari Funktiojonon tasainen suppeneminen Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka Elokuu 2009 Tampereen yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen

Lisätiedot

Matematiikan perusteet taloustieteilijöille 2 800118P

Matematiikan perusteet taloustieteilijöille 2 800118P Mtemtiikn perusteet tloustieteilijöille 2 800118P Luentomoniste Kri Myllylä Niin Korteslhti Oulun yliopisto Mtemttisten tieteiden litos Kevät 2014 Sisältö 1 Mtriisilgebr j optimointi 4 11 Määritelmä 4

Lisätiedot

11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS

11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS 11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS Tilvuus on sen verrn rkielämässä viljelty käsite, että useimmiten sen syvemmin edes miettimättä ymmärretään, mitä juomlsin ti pikkuvuvn kylpymmeen tilvuudell trkoitetn.

Lisätiedot

HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY OF HELSINKI

HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY OF HELSINKI HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY OF HELSINKI Tiedekunt/Ossto Fkultet/Sektion Fculty Litos Institution Deprtment Mtemttis-luonnontieteellinen Tekijä Förfttre Author Antti Khri Työn

Lisätiedot

Sisältö. Sarjat 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 17

Sisältö. Sarjat 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 17 Sarjat 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 17 Sisältö 1 Peruskäsitteistöä 2 1.1 Määritelmiä 2 1.2 Perustuloksia 4 2 Suppenemistestejä positiivitermisille sarjoille 5 3 Itseinen ja ehdollinen suppeneminen 8 4 Alternoivat

Lisätiedot

Jouni Sampo. 28. marraskuuta 2012

Jouni Sampo. 28. marraskuuta 2012 A2 Jouni Smpo 28. mrrskuut 2012 Sisältö 1 Integrointitekniikoit 2 1.1 Osittisintegrointi (Integrtion by prts)...................... 2 1.2 Sijoitus (Method of Substitution).......................... 2 1.3

Lisätiedot

Integraalilaskentaa. 1. Mihin integraalilaskentaa tarvitaan? MÄNTÄN LUKIO

Integraalilaskentaa. 1. Mihin integraalilaskentaa tarvitaan? MÄNTÄN LUKIO Integrlilskent Tämä on lukion oppimterileist hiemn poikkev yksinkertistettu selvitys määrätyn integrlin lskemisest. Kerromme miksi integroidn, mitä integroiminen trkoitt, miten integrli lsketn j miten

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kertausluento 2. välikokeeseen Toisessa välikokeessa on syytä osata ainakin seuraavat asiat:. Potenssisarjojen suppenemissäde, suppenemisväli ja suppenemisjoukko. 2. Derivaatan

Lisätiedot

2.2 Monotoniset jonot

2.2 Monotoniset jonot Mtemtiik tito 9, RATKAISUT Mootoiset joot ) Kosk,,,, ii 0 Lukujoo ( ) o siis lhlt rjoitettu Toislt 0 Lukujoo (

Lisätiedot

Säännöllisten operaattoreiden täydentäviä muistiinpanoja

Säännöllisten operaattoreiden täydentäviä muistiinpanoja Säännöllisten operttoreiden täydentäviä muistiinpnoj Antti-Juhni Kijnho 1. huhtikuut 2011 Vnht määritelmät Määritelmä 1. Äärellinen epätyhjä joukko on merkistö, j sen lkioit kutsutn merkeiksi. Määritelmä

Lisätiedot

lim + 3 = lim = lim (1p.) (3p.) b) Lausekkeen täytyy supistua (x-2):lla, joten osoittajan nollakohta on 2.

lim + 3 = lim = lim (1p.) (3p.) b) Lausekkeen täytyy supistua (x-2):lla, joten osoittajan nollakohta on 2. Mtemtiikk III 0600 Kurssi / Differetili- j itegrlilske jtkokurssi Tee 7 tehtävää ) Määritä lim ( ) ) + b) Määritä vkio site, että luseke ( ) + + ( )( ) ( + + ) + + + + + lim + lim lim (p) o jtkuv myös

Lisätiedot

Analyyttinen lukuteoria

Analyyttinen lukuteoria Anlyyttinen lukuteori Johdnto Kuten yltä näkyy, tämän luentomonisteen kttm luentosrj on nimeltään Anlyyttinen lukuteori, vikkkin opintorekisteribyrokrttisist syistä opintojkso knt nimeä Lukuteori 3. Näin

Lisätiedot

Painopiste. josta edelleen. x i m i. (1) m L A TEX 1 ( ) x 1... x k µ x k+1... x n. m 1 g... m n g. Kuva 1. i=1. i=k+1. i=1

Painopiste. josta edelleen. x i m i. (1) m L A TEX 1 ( ) x 1... x k µ x k+1... x n. m 1 g... m n g. Kuva 1. i=1. i=k+1. i=1 Pinopiste Snomme ts-ineiseksi kpplett, jonk mteriliss ei ole sisäisiä tiheyden vihteluj. Tällisen kppleen pinopisteen sijinti voidn joskus päätellä kppleen muodon perusteell. Esimerkiksi ts-ineisen pllon

Lisätiedot

Analyysi III S

Analyysi III S Anlyysi III 800624S Sisältö sitietoj 5 Riemnn integroinnin rjt 6 Luku 1. Mittteori 7 1. Algebr j σ-lgebr 7 2. Mitt 8 3. Ulkomitt j mitlliset joukot 11 4. Ulkomitn konstruointi 14 5. Lebesguen ulkomitt

Lisätiedot

VEKTOREILLA LASKEMINEN

VEKTOREILLA LASKEMINEN 3..07 VEKTOREILLA LASKEMINEN YHTEENLASKU VEKTORIT, MAA Vektoreiden j summ on vektori +. Tämän summvektorin + lkupiste on vektorin lkupiste j loppupiste vektorin loppupiste, kun vektorin lkupisteenä on

Lisätiedot

Sinilause ja kosinilause

Sinilause ja kosinilause Siniluse j kosiniluse GEOMETRI M3 Mikäli kolmion korkeus j knt tiedetään, voidn pint-l lske. Esimerkki: Lske kolmion l, kun 38 kulmn viereiset sivut ovt 8, j 6,8. Nyt knt tiedetään, korkeutt ei! 38 8,

Lisätiedot

ICS-C2000 Tietojenkäsittelyteoria Kevät 2016

ICS-C2000 Tietojenkäsittelyteoria Kevät 2016 ICS-C2 Tietojenkäsittelyteori Kevät 2 Kierros,. 5. helmikuut Demonstrtiotehtävien rtkisut D: Sievennä seurvi säännöllisiä lusekkeit (so. konstruoi yksinkertisemmt lusekkeet smojen kielten kuvmiseen): ()

Lisätiedot

2.1 Vaillinaiset yhtälöt

2.1 Vaillinaiset yhtälöt .1 Villiniset yhtälöt Yhtälö, jok sievenee muotoon x + bx + c = 0 (*) on yleistä normlimuoto olev toisen steen yhtälö. Tämän rtkiseminen ei olekn enää yhtä meknist kuin normlimuotoisen ensisteen yhtälön

Lisätiedot

Korkeamman kertaluvut derivaatat

Korkeamman kertaluvut derivaatat LUKU 4 Korkemmn kertluvut derivtt Derivtn määritelmän mukn differentioituv kuvust f : U F voidn pproksimoid ffiinill kuvuksell, f(x + u f(x + Df(xu. Jos f on khdesti differentioituv, voidn derivtt pproksimoid

Lisätiedot

Johdatus fraktaaliderivaattoihin ja niiden sovelluksiin

Johdatus fraktaaliderivaattoihin ja niiden sovelluksiin Jodtus frktliderivttoiin j niiden sovelluksiin Hnn Hlinen Mtemtiikn pro grdu Jyväskylän yliopisto Mtemtiikn j tilstotieteen litos Kesä 4 Tiivistelmä: Hnn Hlinen, Jodtus frktliderivttoiin j niiden sovelluksiin

Lisätiedot

Vektoriarvoisten funktioiden analyysiä

Vektoriarvoisten funktioiden analyysiä Vektorirvoisten funktioiden nlyysiä LuK-tutkielm Arttu Hrtikk 2330325 Mtemttisten tieteiden litos Oulun yliopisto Syksy 2016 Sisältö Johdnto 2 1 Vektorivruus 3 1.1 Normi j normivruus......................

Lisätiedot