Matematiikan tukikurssi

Transkriptio

1 Mtemtiikn tukikurssi Kurssikert 4 Tilvuuden j vipn ln lskeminen Kuten iemmin käsittelimme, määrätyn integrlin vull voi lske pintloj j tilvuuksi. Tyypillisenä sovelluksen tilvuuden lskemisest on tpus, joss jokin käyrä y = f (x) pyörähtää x-kselin ympäri jollkin välillä x b. Tällisen kppleen tilvuus A stiin lskettu kvll A = π ( f (x)) dx. Toislt määrätyn integrlin vull voi lske myös tällisen pyörähtämällä syntyneen kppleen vipn l. Tämä l B sdn lskettu kvll B = π f (x) + ( f (x)) dx. Esimerkki.. Käyrä f (x) = + x pyörähtää x-kselin ympäri välillä x. Syntyneen kppleen tilvuus A sdn lskettu yllä esitetyllä kvll: A = π = π = π = π = π ( f (x)) dx ( + x) dx ( + x + x ) dx (x + x + 3 x3 ) (( ) ( + + )) = π.

2 Vstvsti syntyneen pyörähdyskppleen vipn l B sdn lskettu seurvsti: B = π f (x) + ( f (x)) dx = π + x + dx = π ( + x) dx = π (x + x ) = ( ) 5 π = 5 π. Tässä itseisrvot voitiin poist, kosk + x on positiivinen tutkitull välillä x. Epäoleelliset integrlit Tähän mennessä lsketut integrlit ovt olleet hyvin käyttäytyviä eli muoto f (x)dx, joss j b ovt olleet relilukuj. Tällinen integrli on ollut yleensä kohtuullisen suorviivisesti lskettviss: jos f (x) on jtkuv funktio, niin yllä olev tyyppiä olev integrli on in olemss eli voidn kirjoitt f (x)dx = A, eli integrli f (x)dx on jokin reliluku A. Tässä oleellist siis on, että f on jtkuv funktio välillä [, b] j että j b ovt relilukuj. Tällöin tämä integrli on olemss eli f on integroituv välillä [, b]. Ennen kuin etenemme, on syytä ymmärtää intuitiivisesti miksi yllä olev tyyppiä olev integrli on in olemss. Tämän voi perustell sillä, että integrli voidn ymmärtää käyrän j x-kselin välissä olevn lueen pint-ln. Jos piirrät jtkuvn funktion f jollekin äärelliselle välille [, b], niin tämän funktion j x-kselin välissä on in pkoll äärellinen

3 pint-l. Täten jtkuv funktio on integroituv äärellisellä välillä. Nyt tutkimme tpust, joss f :n jtkuvuus ti :n j b:n äärellisyys eivät enää päde. Tyyppiesimerkki tälläisestä integrlist on x dx. Tässä siis toisen integrointirjn on ääretön. Onko tämä integrli olemss? Tämä riippuu intuitiivisesti siitä, onko käyrän y = /x j x- kselin välissä olevn lueen pint-l ääretön vi äärellinen välillä x [, [. Tätä ei voi kuitenkn päättää ennen kuin tiedetään, miten tällinen integrli lsketn. Määritellään siis epäoleellinen integrli seurvnlisen rj-rvon: f (x)dx f (x)dx. Tässä määritelmässä siis hlutn lske integrli äärettömyydessä. Tämä tphtuu siten, että lsketn luksi integrli f (x)dx, j nnetn tämän jälkeen integroinnin ylärjn ksv rjtt eli otetn rj-rvo lim f (x)dx. Tämä on siis määritelmän mukn sm si kuin integrli äärettömyydessä eli lim f (x)dx = f (x)dx. Nyt voimme lske epäoleellisen integrlin x dx. Merkitään siis integroinnin ylärj kirjimell M j nnetn tämän ylä- 3

4 rjn ksv rjtt: dx x x dx M ( ) x ( M ) ( ) ( M ) =. Täten tämä integrli on siis olemss j täten käyrän y = /x j x- kselin välissä olevn lueen pint-l välillä [, [ on yksi. Epäoleellinen integrli lsketn täsmälleen smll tekniikll kuin yllä, jos integroitv on funktio jok on epäjtkuv integroimisvälillä. Esimerkki tälläisestä integrlist on Nyt funktio /x on epäjtkuv nollss, joten tämä integrli määritellään jälleen rj-rvon: x. x dx x dx. 3 Integrlien suppeneminen Yllä lskettiin esimerkkinä integrli dx =. x Tässä siis epäoleellinen integrli oli olemss. Näin ei kuitenkn in käy. Tämä huomtn lskemll esimerkiksi funktion /x integrli vä- 4

5 lillä [, ] dx x M x dx ln x (ln M ln ) =, eli kyseinen integrli on ääretön. Toisin snottun siis funktion /x j x-kselin välissä olev pint-l on ääretön välillä [, [. Jos integrli f (x)dx on rvoltn jokin reliluku, snotn että se suppenee. Jos tämä epäoleellinen integrli puolestn ei ole reliluku (vn esimerkiksi ääretön ti miinus ääretön), niin kyseinen integrli hjntuu. Usein hjntumisen ti suppenemisen voi päättää yksinkertisesti lskemll epäoleellisen integrlin, kuten ll olevss esimerkissä. Esimerkki 3.. Tutki suppeneeko vi hjntuuko xe x dx. Rtkisu. Integrli näyttää lkuun siltä, että siinä trvitsisi käyttää osittisintegrointi, mutt tämä itse siss sujuu helpommin, sillä integroitv luseke xe x on itse siss melkein muoto f (x) f (x), joss f (x) = e x : xe x dx M xe x dx ( ) e x ( e M ( e ) = ( /) = /. ) 5

6 Usein integroitv funktiot ei kuitenkn voi suorn lske. Tällinen on esimerkiksi integrli e x dx, jot ei voi suorn lske siitä yksinkertisest syystä, että tähän lskuun trvittv määräämätöntä integrli e x dx ei ole olemss. Tämän j monet muut ei-negtiivisten funktioiden integrlit voi kuitenkin osoitt suppeneviksi mjornttiperitteen vull. Tätä peritett käytetään, kun hlutn osoitt että integrli f (x)dx. on olemss. Muistetn luksi, että integrli on pint-l. Hlumme siis osoitt, että jokin pint-l on äärellinen. Oletetn nyt, että löydetään jokin integrli g(x)dx jok on suurempi kuin f :n integrli: f (x)dx g(x)dx. Jos tämä integrli g(x)dx on nyt olemss äärellisenä, niin integrli f (x)dx on myös pkoll olemss: pint-l f (x)dx on äärellisenä olemss, kosk se on pienempi kuin pint-l g(x)dx, jok on myös äärellisenä olemss. Oletetn siis että seurvt seikt pätevät:.. f (x) f (x) g(x) kun x [, b] 3. Integrli on äärellisenä olemss. Tässä b voi oll myös j voi oll. g(x)dx 6

7 Tällöin pätee f (x)dx g(x)dx j integrli f (x) suppenee mjornttiperitteen nojll. Mjornttiperitteess siis etsitään suurempirvoinen integrli, jok suppenee. Esimerkki 3.. Osoit, että suppenee. e x dx Rtkisu. Nyt f (x) = e x. Tämä funktio on in positiivinen, joten siihen voi mhdollisesti sovelt mjornttiperitett. Hlutn löytää tätä suurempirvoinen funktio g(x), jonk integrli suppenee. Välillä [, ] pätee e x = e x e x e x. Täten funktioksi g voidn vlit g(x) = e x. Tämän integrli on helppo lske: Eli e x dx M e x dx ( e x ) ( e M ( e )) = e. e x dx e x dx = e, joten esimerkin integrli suppenee mjornttiperitteen nojll. Nyt kun mjornttiperite on käsitelty, on helppo rvt mistä on kyse minornttiperitteess. Tässä trkstelln jälleen kht funktiot f j g, jotk ovt kumpikin ei-negtiivisi j joille pätee g(x)dx f (x)dx 7

8 j lisäksi oletetn, että integrli g(x)dx hjntuu. Tällöin minornttiperitteen nojll myös integrli f (x)dx hjntuu. Eli intuitiivisesti jteltun funktion f j x-kselin välinen pint-l on ääretön, kosk tämä l on suurempi kuin funktion g j x-kselin välinen pint-l, jok on ääretön. Minornttiperitett käytetään seurvsti:. Hlutn todist, että jokin integrli f (x)dx hjntuu.. Etsitään funktio g, jok on pienempi kuin f eli g(x) f (x) j jonk integrli g(x)dx hjntuu. 3. Tällöin integrli f (x)dx hjntuu. Esimerkki 3.3. Osoit minornttiperitteen vull, että integrli hjntuu. x dx Rtkisu. Nyt f (x) = x. Pitäisi löytää tätä funktiot pienempi funktio g, jonk integrli hjntuu välillä [, ]. Helppo tp löytää pienempi funktio on ksvtt osoittj yhdellä: x > x. Eli nyt etsimämme funktio on g(x) = / x. Tämän integrli voidn lske jälleen suorviivisesti: x dx M x dx x ( M ) =. Tämä perite seur itse siss suorn mjornttiperitteest: jos f suppenisi, niin silloin mjornttiperitett voisi sovelt j myös g suppenisi. 8

9 Täten kosk = x < x, niin integrli x hjntuu. 4 Tiheysfunktiot Kuten jo usen kertn on todettu, integrlill voi lske loj j tilvuuksi. Yksi määrätyn integrlin tärkeimpiä sovelluksi on lisäksi se, että sillä voi lske tphtumien todennäköisyyksiä. Tämän sovelluksen käyttäminen vtii kuitenkin tiheysfunktion käsitettä. Tiheysfunktio on mtemttisesti jteltun mikä thns ei-negtiivisi rvoj sv funktio, jok integroituu relikselill lukuun yksi eli jolle pätee f (x)dx = j f (x). Grfisesti tulkittun tiheysfunktio on siis funktio, jok on jtkuvsti x- kselin yläpuolell (ti x-kselill) j jonk ll olevn lueen pint-l on yksi. Tiheysfunktion ide on seurv: jos stunnismuuttujll X on tiheysfunktio f (x), niin tätä tiheysfunktiot integroimll voi lske todennäköisyyksiä. Jos merkitään P( X b) todennäköisyyttä, että stunnismuuttuj X s rvon välillä [, b], niin tämän todennäköisyyden voi lske integroimll stunnismuuttujn tiheysfunktion f (x) tällä välillä: P( X b) = f (x)dx. All oleviss esimerkeissä käytetään lisäksi seurv integrointisääntöä : jos funktio f (x) on jollkin välillä [i, j] noll eli pätee f (x) =, x [i, j], niin myös tämän funktion integrli välillä [i, j] on noll eli j f (x) =. Trkstelln nyt funktiot f (x), jok on määritelty ploittin: { e x, kun x [, b] f (x) = muulloin. i 9

10 Eli funktio f s positiivisen rvon e x joukoss [, b] j on noll muull. Kun tätä funktiot nyt integroi välillä [, ], niin se lue joss funktio on noll voidn sivutt: f (x)dx = e x dx. Eli kosk funktion integrli on noll sillä lueell joss funktio on noll, niin integroitess tämä noll-lue voidn poist eli integroinnit rjt voidn muutt siten, että noll-lue poistuu. Trkstelln nyt esimerkkien vull tiheysfunktioit j niiden integrointi. Esimerkki 4.. Stunnismuuttuj X on tsjkutunut, jos todennäköisyys että X s rvon tietyssä joukoss riippuu inostn tämän joukon koost (eikä tämän joukon sijinnist x-kselill). Jos X on esimerkiksi tsjkutunut välillä [, ], sen tiheysfunktio on {, jos x f (x) = muulloin. Tämä on tiheysfunktio, kosk se on in ei-negtiivinen j sen integrli relikselill on yksi: f (x)dx = = x =. dx Nyt tätä tiheysfunktiot integroimll voi siis lske todennäköisyyksiä. Lsketn todennäköisyys, että X s rvon välillä [, /6]: P( X /6) = = /6 /6 dx x = /. Esimerkki 4.. Toinen esimerkki stunnismuuttujn tiheysfunktiost on { e x, jos x f (x) = muulloin.

11 Tämä on tiheysfunktio, kosk se on in ei-negtiivinen j se integroituu yhteen: f (x)dx = e x dx M e x dx e x ( e M ( e )) = ( ) =. Tämä on erään eksponenttijkumn tiheysfunktio. Integroimll tiheysfunktiot voidn jälleen lske välien todennäköisyyksiä: joss oletetn, että >. P( X b) = e x dx = ( e ( e b ) = e b e, Trkstelln nyt ploittin määriteltyä funktiot { x, jos x f (x) = muulloin. Tässä on jokin vkio. Kysymys kuuluu: millä :n rvoll tämä funktio on tiheysfunktio? Kosk tiheysfunktiolt vditn ensinnäkin ei-negtiiviisuus, niin on pkko oll, että, sillä muuten yllä olev tiheysfunktio sisi negtiivi rvoj. Toislt tiheysfunktiolt vditn, että se integroituu yhteen relikselill eli f (x)dx =. Integroidn nyt funktio f (x) = x j ktsotn millä :n rvoll se

12 integroituu lukuun yksi: f (x)dx = = = x dx x dx 3 x3. = 3. Nyt tämä funktio on siis tiheysfunktio, kun tämä integrli s rvon yksi eli pätee =, 3 eli = 3/. Täten funktio { 3 f (x) = x, jos x muulloin on tiheysfunktio. 5 Tsointegrlit Ennen tsointegrleihin siirtymistä käsitellään hiemn integroinnin nottiot. Trkstelln jälleen tvllist yksiulotteist integrli f (x)dx. Tässä siis integrointi tphtuu välillä x [, b]. Tätä väliä [, b] voidn kuitenkin merkitä [, b] = A, jolloin yllä olev integrli voidn merkitä vstvsti: f (x)dx = f (x)dx. Integrli A f (x)dx ilmisee, että funktio f (x) integroidn joukoss A. Tässä tpuksess kosk A = [, b], niin tämä on sm si kuin integrli f (x)dx. A

13 Tälle uudelle lyhyemmälle nottiolle tulee käyttöä, kun trkstelemme usemmn muuttujn funktion integroimist. Trkstelln khden muuttujn funktiot f : R R R, (x, y) f (x, y). Tämän muuttujn lähtöjoukko on nyt tso eli R R. Sen mlijoukko on puolestn reliluvut eli R. Yksi esimerkki tällisest khden muuttujn funktiost on f (x, y) = x + y, jolle pätee siis esimerkiksi että f (, ) = 3. Nyt tällist funktiot f (x, y) voi integroid tsoss eli khden muuttujn x j y suhteen. Syntynyt integrli on nimeltään tsointegrli. Seurvksi tsointegrli pitäisi määritellä. Plutetn luksi mieliin, että yhden muuttujn tpuksess määrätty integrli f (x)dx määriteltiin l- j yläsummien vull. Esimerkiksi lsumm stiin lskettu jkmll ensin integrointiväli [, b] osiin j lskemll funktion f pienin rvo jokisess näistä osiss. Esimerkissämme väli [, b] jettiin kolmen osn, joiden jokisen pituus oli /3. Lskimme seurvksi funktion f pienimmän rvon jokisess näistä osiss: merkitsimme näitä m, m j m 3. Alsumm stiin tämän jälkeen summn 3 m + 3 m + 3 m 3, joss siis jokisen välin pituus kerrottiin funktion pienemmällä rvoll kyseisellä välillä. Kuten yhden muuttujn tpuksess, määrätty integrli tsoss määritellään ylä- j lsummien vull. Nyt emme kuitenkn voi enää pelkästään ositt väliä, kosk tsointegrli on nimensä mukisesti määritelty tsoss eikä välillä. Vlitn integroitvksi funktioksi f (x, y) = x + y. Tutkitn kuitenkin helppo esimerkkiä, joss integrointi tphtuu joukoss [, 3] [, 3], eli joukoss joss x [, 3] j y [, 3]. Tämä joukko on sikäli helppo, että se määritellään khden välin krteesisen tulon. Kyseinen joukko on siis yksinkertinen suorkulmio, jok näyttää kuvn seurvlt: 3

14 Tsointegrlin ylä- j lsummi lskettess tämä suorkulmio jetn osiin. Muodostetn ll olevss kuvss näkyvä mhdollisimmn yksinkertinen jko eli jetn väli [, 3] khti keskeltä: 3 A 3 A 4 A A 3 Tästä näkyy, että suorkulmio [, 3] [, 3] jettiin nyt neljään osn: osiin A, A, A 3 j A 4. Alsumm määritellään vlitsemll funktion f pienin rvo jokisess näistä osist j kertomll se näiden osien pint-lll. Olkoon siis m(a i ) funktion f pienin rvo joukoss A i, joss luonnollisesti i on,, 3 ti 4. Kosk jokisen näiden joukon pint-l on, niin lsumm on tässä tpuksess m(a ) + m(a ) + m(a 3 ) + m(a 4 ). 4

15 Nyt integroitvn on funktio f (x, y) = x + y. Kuv ktsomll huomtn, että tämän pienin rvo joukoss A on yhtä kuin + =. Vstvsti tämän funktion pienin rvo joukoss A on + = 3, joukoss A 3 tämä pienin rvo on smoin + = 3 j joukoss A 4 tämä pienin rvo on + = 4. Täten lsumm s rvon m(a ) + m(a ) + m(a 3 ) + m(a 4 ) = =. Vstvsti yläsumm sdn vlitsemll jokisest joukost A i funktion suurin rvo tässä joukoss. Merkitään tätä suurint rvo joukoss M(A i ), jolloin yläsumm sdn jälleen helposti ktsomll yllä olev kuv: M(A ) + M(A ) + M(A 3 ) + M(A 4 ) = =. Näin krkell osituksell ylä- j lsummt siis erovt toisistn melko pljon. Nämä summt ntvt siis ylä- j lrjn tsointegrlille, jot merkitään khdell integroimismerkillä A f (x, y)dxdy = joss joukko A on suorkulmio [, 3] [, 3]. (x + y)dxdy, A Esimerkki 5.. Lsketn vielä ylä- j lsummien ntmt rviot tsointegrlille (x y)dxdy, A joss A = [ [, ] ] [[, ]. Tehdään nyt jko, joss x-rvojen väli [, ] jetn [ ] väleihin, j, ] j y-rvojen väli [, ] jetn neljään väliin:,, [ [ ] [, ],, j, ]. Nyt tällä joll suorkulmio A = [, ] [, ] sdn jettu khdeksn osn (piirrä kuv, tästä ei ot muuten selvää): [ A =, ] [, ] [ ] [ A =,, ] [ A 3 =, ] [ ], [ ] [ ] A 4 =,, 5 [ A 5 =, ] [, 3 ] [ ] [ A 6 =,, 3 ] [ A 7 =, ] [ ] 3, [ ] [ ] 3 A 8 =,,

16 Näiden jokisen osn l on /4. Kosk integroitv funktio on f (x, y) = x y, niin kyseisen funktion pienin rvo jokisess näistä joukost löytyy vlitsemll mhdollisimmn pieni x-rvo j mhdollisimmn suuri y- rvo. Täten lsummksi sdn 4 (m(a ) + m(a ) + m(a 3 ) + m(a 4 ) + m(a 5 ) + m(a 6 ) + m(a 7 ) + m(a 8 )) = ( ) = 9 4. Vstvsti yläsumm sdn järkeiltyä siten, että vlitn osituksen jokisess joukoss mhdollisimmn suuri x-rvo j mhdollisimmn pieni y-rvo. Täten tämä yläsumm on 4 (M(A ) + M(A ) + M(A 3 ) + M(A 4 ) + M(A 5 ) + M(A 6 ) + MA 7 ) + M(A 8 )) = ( ) =. Jälleen siis ylä- j lintegrli tuottvt huomttvn erilisi tuloksi. Todellisuudess kyseinen integrli on. 6