Analyysin perusteet kauppatieteilijöille P

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Analyysin perusteet kauppatieteilijöille 800118P"

Transkriptio

1 Anlyysin perusteet kupptieteilijöille P Luentomoniste Kri Myllylä Niin Korteslhti Topi Törmä Oulun yliopisto Mtemttisten tieteiden litos Kevät 2015

2 Sisältö 1 Derivtt Määritelmä Derivtn geometrinen tulkint Derivoimissääntöjä Eksponentti- j logritmifunktion derivtt Yhdistetyn funktion derivtt Käänteisfunktion derivtt Jtkuvuus j derivoituvuus Logritminen derivointi Korkemmt derivtt L Hospitlin sääntö Implisiittinen derivointi Differentili Differentililskennn välirvoluse Tylorin srjkehitelmä Ensimmäisen derivtn tloustieteellisiä sovellutuksi Kustnnusfunktio Tulofunktio Jousto Knsntulo, kulutus j säästäminen Trigonometriset funktiot 21 3 Usen muuttujn funktiot Yleistä Osittisderivtt Osittisderivttojen määrääminen Kokonisdifferentili Yhdistetyn funktion derivointi Osittisderivtn tloustieteellisiä sovellutuksi Rjkustnnusfunktiot Kysyntäfunktiot Tuotntofunktiot Korkemmist osittisderivtoist Implisiittinen derivointi

3 4 Integrlilskent Johdnto Integrlifunktio Integrointi osmurtokehitelmän vull Integrointi sijoitusmenetelmää käyttäen Määräämätön integrli tloustieteessä Kustnnusfunktiot Tulofunktiot Knsntulo, kulutus j säästäminen Pääomn muodostus Määrätty integrli Määrätty integrli j pint-l Määrätyn integrlin ominisuuksist Pint-ln määritys integrlin vull Osittisintegrointi, osmurtokehitelmä j sijoitus määrätyssä integrliss Määrätyn integrlin tloustieteellisiä sovelluksi Kuluttjn ylijäämä Tuottjn ylijäämä Kokonisvoitto Kompleksiluvut 69 6 Differentiliyhtälöt Ensimmäisen kertluvun differentiliyhtälö Seproituvt differentiliyhtälöt Ensimmäisen kertluvun linerinen differentiliyhtälö Linerisen differentiliyhtälön erikoistpus Homogeeniset differentiliyhtälöt Eksktit differentiliyhtälöt Differenssiyhtälöt Ensimmäisen kertluvun differenssiyhtälöt Homogeenisen muodon rtkiseminen: Täydellisen muodon rtkiseminen: Toisen kertluvun differenssiyhtälöt Homogeenisen muodon rtkiseminen: Täydellisen muodon rtkiseminen:

4 1 Derivtt 1.1 Määritelmä Olkoon funktio f(x) määritelty välillä ], b[ j x 0 ], b[. Lusekett f(x) f(x 0 ) x x 0 snotn funktion f(x) erotusosmääräksi kohdss x 0 j se ilmoitt funktion rvon muutoksen suhteess muuttujn muutokseen eli funktion f muutosnopeuden välillä [x 0, x]. Näin ollen erotusosmäärä kuv keskimääräistä muutosnopeutt välillä [x 0, x]. Jos rj-rvo f(x) f(x 0 ) lim x x 0 x x 0 on olemss äärellisenä, snotn, että funktio f(x) on derivoituv kohdss x 0. Rj-rvo f (x 0 ) = lim x x0 f(x) f(x 0 ) x x 0 on funktion f(x) derivtt kohdss x 0. Derivtt merkitsee funktion f(x) muutosnopeuden rj-rvo, kun muuttujn x muutos lähenee noll. Derivtt kuv siis funktion hetkellistä muutosnopeutt kohdss x 0. Esimerkki 1.1. Määritä funktion f(x) derivtt pisteessä x 0 = 0, kun ) f(x) = c b) f(x) = x c) f(x) = x. Funktio f on derivoituv välillä ], b[, jos sen derivtt on olemss välin jokisess pisteessä. Lisäksi f on derivoituv funktio, jos sillä on derivtt olemss jokisess määrittelyjoukkons pisteessä. Derivttfunktio: Olkoon f(x) derivoituv välillä ], b[ eli f (x 0 ) = lim x x0 f(x) f(x 0 ) x x 0 3

5 on olemss kikill x 0 ], b[. Korvmll sduss derivtss f (x 0 ) muuttuj x 0 muuttujll x (x 0 ], b[ on mielivltinen), sdn funktio f (x), jok on funktion f derivttfunktio. Funktion y = f(x) derivtt merkitään: f (x), Df(x), df(x) dx, y, dy dx. Esimerkki 1.2. Määrää funktion f(x) = 2x 2 + 3x 1 derivttfunktio f (x). Olkoot funktiot f j g derivoituvi pistessä x. Tällöin myös funktiot f + g, f g, cf (c vkio), f g j f (g(x) 0) ovt derivoituvi pisteessä x. g Funktiot, joille esitetään derivoimissäännöt, ovt derivoituvi määrittelylueessn ilmn eri tutkimist. 1.2 Derivtn geometrinen tulkint Suor, jok sivu käyrää y = f(x) pisteessä x 0, kutsutn käyrälle y = f(x) pisteeseen x 0 piirretyksi tngenttisuorksi. Erotusosmäärä f(x) f(x 0 ) x x 0 on pisteiden P = (x 0, f(x 0 )) j Q = (x, f(x)) kutt kulkevn suorn L kulmkerroin. Kun x x 0, niin piste Q liikkuu pitkin käyrää y = f(x) kohti pistettä P. Smll pisteiden P j Q kutt kulkev suor L lähenee käyrän y = f(x) pisteeseen P piirrettyä tngenttisuor T. Vstvsti pisteiden P j Q kutt kulkevn suorn L kulmkerroin lähenee pisteeseen P setetun tngentin T kulmkerroint. Siis f (x 0 ) = lim x x0 f(x) f(x 0 ) x x 0 on käyrän y = f(x) pisteeseen (x 0, f(x 0 )) piirretyn tngentin T kulmkerroin. 4

6 Kosk derivtt on rj-rvon yksikäsitteinen, niin funktioll voi oll kohdss x 0 vin yksi derivtn rvo f (x 0 ). Siten geometrisesti derivtn olemssolo edellyttää, että käyrän pisteeseen (x 0, f(x 0 )) voidn piirtää täsmälleen yksi tngentti. Näin ollen jos funktio on derivoituv välillä ], b[, sen kuvjss ei s oll tällä välillä kulmi (vrt. funktio f(x) = x ). 5

7 1.3 Derivoimissääntöjä D1) Dc = 0, kun c on vkio D2) Dx n = nx n 1, kun n R j n 0 D3) D(f(x)) n = n(f(x)) n 1 f (x), kun n R j n 0 D4) D(f(x) ± g(x)) = Df(x) ± Dg(x) D5) D(cf(x)) = cdf(x) D6) D(f(x) g(x)) = f (x) g(x) + f(x) g (x) ( ) f(x) D7) D = f (x) g(x) f(x) g (x), kun g(x) 0 g(x) (g(x)) 2 Esimerkki 1.3. ) D(4x 7 + 5) b) D(2x 2 + 5x) c) D[(x 2 + 2)(2x + 5)] d) D x x 1 e) D ( x ) 1.4 Eksponentti- j logritmifunktion derivtt Eksponenttifunktion derivtt: D8) D e x = e x D9) D e f(x) = e f(x) f (x) D10) D x = x ln D11) D f(x) = f(x) ln f (x) Logritmifunktion derivtt: D12) D ln x = 1 x D13) D(log x) = 1 x ln D14) D ln f(x) = 1 f(x) f (x) = f (x) f(x) D15) D log f(x) = 1 f(x) ln f (x) = f (x) f(x) ln 6

8 Esimerkki 1.4. ( ) D ln x + ) x b) D 3 5 x 1 ( c) D ) 1 3 x Yhdistetyn funktion derivtt Oletetn, että funktio g(x) on derivoituv kohdss x 0 j funktio f(x) on derivoituv kohdss g(x 0 ) j lisäksi R g D f. Tällöin yhdistetty funktio f g on derivoituv kohdss x 0 j D16) (f g) (x) = [f(g(x))] = f (g(x)) g (x). Tähän perustuen voidn joht derivoimissäännöt D3, D9, D11, D14 j D Käänteisfunktion derivtt Olkoon f(x) relifunktio, joll on olemss käänteisfunktio f 1. Jos f(x) on idosti ksvv (idosti vähenevä), niin myös f 1 on idosti ksvv (idosti vähenevä). Lisäksi, jos f(x) on jtkuv, niin myös f 1 on jtkuv. Smoin, jos f(x) on derivoituv, niin f 1 on derivoituv. Käänteisfunktion f 1 derivttfunktio voidn määrätä seurvsti ilmn käänteisfunktion määräämistä: f 1 (y) = x f(f 1 (y)) = f(x) f(f 1 (y)) = y f (f 1 (y)) (f 1 ) (y) = 1 (f 1 ) (y) = 1 f (f 1 (y)) d dy : f (f 1 (y)) Siis D17) (f 1 ) (y) = 1 f (x), missä x = f 1 (y) eli f(x) = y j f (x) 0. Esimerkki 1.5. Määrää funktion f(x) = 2x + 1 käänteisfunktion derivtt pisteessä y = 2. 7

9 1.7 Jtkuvuus j derivoituvuus Luse 1.1. Jos funktio f(x) on derivoituv kohdss x 0, niin f(x) on myös jtkuv kohdss x 0. Perustelu: Mikäli funktio f(x) ei olisi jtkuv kohdss x 0 eli lim x x0 f(x) f(x 0 ), niin erotusosmäärän f(x) f(x 0 ) x x 0 rj-rvo ei olisi olemss kohdss x 0. Tällöin funktio f(x) ei olisi myöskään derivoituv kohdss x 0. Luse 1.2. Oletetn, että funktio f(x) on jtkuv kohdss x 0 j derivoituv kohdn x 0 ympäristössä. Jos lim f (x) on olemss eli lim f (x) = lim f (x), x x0 x x 0 x x + 0 niin f(x) on derivoituv kohdss x 0 Huomutus. Jos funktio f(x) on jtkuv kohdss x 0, niin f(x) ei välttämättä ole derivoituv kohdss x 0. Jos f(x) ei ole jtkuv kohdss x 0, ei se ole derivoituvkn kohdss x 0. Funktion f(x) derivoituvuuden tutkiminen kohdss x 0 : 1. Onko f(x) jtkuv kohdss x 0? 2. Onko lim x x0 f (x) olemss? Esimerkki 1.6. Tutki funktion f(x) jtkuvuutt j derivoituvuutt, kun f(x) = x = { x, x 0 x, x < 0 8

10 1.8 Logritminen derivointi Kun derivoitv funktio on muoto h(x) g(x), missä h(x) j g(x) eivät ole vkiofunktioit, voidn käyttää logritmist derivointi. Kosk niin Näin ollen jos f(x) = h(x) g(x), niin D ln f(x) = 1 f(x) Df(x), Df(x) = f(x) D ln f(x). D(h(x) g(x) ) = h(x) g(x) D ln h(x) g(x) = h(x) g(x) D(g(x) ln h(x)). Esimerkki 1.7. Derivoi funktio x x. 1.9 Korkemmt derivtt Olkoon f : X Y derivoituv funktio. Tällöin funktion f(x) derivttfunktio on f (x). Jos f (x) on edelleen derivoituv, sen derivtt (f ) (x) snotn funktion f(x) toiseksi derivtksi j merkitään f (x). Siten f (x) = lim x x0 f (x) f (x 0 ) x x 0. Käytetään myös merkintöjä y, D 2 f(x), d2 f(x) dx 2 j d2 y dx 2. Esimerkki 1.8. Olkoon f(x) = 2e x2 + ln x 2. Määrää f (1). Funktion f(x) n. derivtt sdn smoin derivoimll funktio f(x) n kert. Sitä merkitään f (n) (x). Siis f (1) (x) = f (x), f (2) (x) = f (x), f (3) (x) = f (x) jne. Pilkkumerkintää käytetään yleensä, kun n 2. Lisäksi sovitn, että f (0) (x) = f(x). Muut merkintätvt vstvsti kuin f (x):llä. Esimerkki 1.9. Olkoon f(x) = x m, m Z +. Määrää f (k) (x) kikill k Z + 9

11 1.10 L Hospitlin sääntö Trkstelln rj-rvo lim x f(x) g(x). Olkoon ti lim f(x) = 0 x j lim g(x) = 0 x lim f(x) = ± x j lim g(x) = ±. x Tällöin lim x f(x) g(x) = 0 0 Jos nyt lim x f (x) g (x) f(x) ti lim x g(x) = ±, jotk eivät ole määriteltyjä. = A on olemss, niin f(x) lim x g(x) = lim f (x) x g (x) = A. Esimerkki ) lim x 3 x 3 27 x 2 9 ( b) lim ) x x x 1.11 Implisiittinen derivointi Edellä on käsitelty muodoss y = f(x) nnetun funktion derivointi. Joskus funktio y = y(x) voidn kuitenkin esittää ns. implisiittimuodoss F (x, y) = 0 eli muodoss, joss y ei ole muuttujn x suhteen rtkistun. On mhdollist, että muuttuj y ei edes kyetä rtkisemn muuttujn x funktion, mutt kuitenkin y riippuu muuttujst x. Derivtt dy voidn silti usein määrätä implisiittinen dx derivoinnin vull. Edellytyksenä on, että y on muuttujn x suhteen derivoituv. Tällöin derivtt dy sisältää yleensä sekä muuttuj x että funktion rvon y. dx Implisiittisessä derivoinniss luseke F (x, y) = 0 derivoidn puolittin muuttujn x suhteen j muuttuj y käsitellään muuttujn x funktion. Sdust lusekkeest rtkistn dy dx ti y. Esimerkki Määrää dy eli tutki y:n muutosnopeutt x:n suhteen pisteessä dx x = 1, kun x 3 + y 3 9 xy = 0 j y = f(x). 2 Esimerkki Määrää dy dx j d2 y dx 2, kun ey xe x = 0 j y = f(x). 10

12 1.12 Differentili Olkoon f(x) derivoituv funktio kohdss x 0. Asetetn Tällöin u(x) = f(x) f(x 0) x x 0 f (x 0 ), kun x D f j x x 0. (1) [ ] f(x) f(x0 ) lim u(x) = lim f (x 0 ) = f (x 0 ) f (x 0 ) = 0. x x 0 x x0 x x 0 Kun kerrotn yhtälö (1) puolittin lusekkeell x x 0, sdn funktion f(x) differentilikehitelmä. Differentilikehitelmä: f(x) = f(x) f(x 0 ) = f (x 0 )(x x 0 ) + u(x)(x x 0 ), (2) missä, u(x) 0, kun x x 0. Kun merkitään x = x x 0 j y = f(x) f(x 0 ), sdn yhtälö (2) muotoon missä u(x) 0, kun x 0. y = f(x) = f (x 0 ) x + u(x) x, (3) Differentilikehitelmä (3) kuv muuttujn x muutost x vstv todellist funktion f rvon muutost f. Nyt termi f (x 0 ) x on funktion y = f(x) muuttujn lisäystä x vstv differentili kohdss x 0 j sitä merkitään dy = df(x 0 ) = f (x 0 ) x. (4) Kosk u(x) 0, kun x 0, niin differentili df rvioi hyvin funktion f(x) rvon muutost f (= f(x) f(x 0 )) kohdn x 0 läheisyydessä. 11

13 Geometrisesti funktion rvon todellisen muutoksen f(x) korvmist differentilill df(x) vst käyrän y = f(x) korvminen sen pisteeseen (x 0, f(x 0 )) piirretyllä tngentill. Huomutus. Mitä voimkkmmin funktio y = f(x) muuttuu kohdn x 0 ympäristössä, sitä huonommin differentili df kuv funktion todellist muutost f. Jos f(x) = x, niin f (x) = 1 in, kun x R. Täten dx = df = f (x) x = 1 x eli dx = x. Näin sdn differentilille luseke dy = df(x) = f (x)dx. (5) Esimerkki Mikä on funktion f(x) = x 2 muuttujn lisäystä 1 10 vstv differentili df kohdss x 0 = 2. Mikä on tällöin f? Esimerkki Olkoon kulutusfunktio C(x) = x x, missä x on kokonistulo. Jos x = 25 j muuttujn x mksimlinen virhemhdollisuus 0.3, niin rvioi kulutuksen mksimlist j suhteellist virhettä. Rtkisu: Kulutuksen mksimlist virhettä voidn rvioid kulutusfunktion C(x) differentilill dc = C (x)dx = ( x )dx. Kun x = 25 j dx = 0.3, sdn kulutuksen mksimliseksi virheeksi dc = ( ) 0.3 = =

14 Suhteellinen virhe on tällöin dc C(25) = = = = , 9% Differentililskennn välirvoluse Trkstelln luksi seurv kuviot: Pisteiden A = (, f()) j B = (b, f(b)) kutt kulkevn suorn kulmkerroin on f(b) f() b Kuvion mukn käyrällä y = f(x) on olemss piste C, johon setettu tngenttisuor on pisteiden A j B kutt kulkevn suorn suuntinen. Tngentin kulmkerroin pisteessä C on f (c). Siten. f (c) = f(b) f() b. 13

15 Luse 1.3 (Differentililskennn välirvoluse). Olkoon funktio f jtkuv välillä [, b] j derivoituv välillä ], b[. Silloin on olemss inkin yksi sellinen piste c ], b[, että f f(b) f() (c) =. b Esimerkki Olkoon f(x) = x 3 1. Määrää c ] 2, 2[ se. f (c) = f(2) f( 2) 2 ( 2). Seurus 1.4. Olkoon y = f(x) derivoituv funktio j olkoot x 1 j x 2 (x 1 < x 2 ) funktion f nollkohti. Tällöin välirvoluseen nojll on olemss sellinen x 0 ]x 1, x 2 [, jolle f (x 0 ) = f(x 2) f(x 1 ) x 2 x 1 = 0 0 x 2 x 1 = 0. Siis jtkuvn j derivoituvn funktion f(x) khden nollkohdn välillä on funktion derivtll nollkoht Tylorin srjkehitelmä Olkoon n Z +. Luku n! = n snotn n-kertomksi. Lisäksi setetn, että 0! = 1. Olkoon f (k) () funktion f(x) k. derivtt kohdss x =. Luse 1.5 (Tylorin luse). Oletetn, että funktioll f(x) on kikkien kertlukujen derivtt määrittelyjoukossn j D f. Tällöin f(x) = k=0 f (k) () (x ) k k! = f() + f ()(x ) + f () 2! = f() + f ()(x ) + f () 2! + R n (x), missä R n (x) 0, kun n. (x ) 2 + f (3) () (x ) ! (x ) f (n 1) () (x )n 1 (n 1)! Yo. srj kutsutn funktion f(x) Tylorin srjkehitelmäksi kohdss x =. 14

16 Kun funktion f(x) Tylorin srjkehitelmä ktkistn sopivn termin kohdlt, sdn polynomi, jok pproksimoi funktiot f(x). Huomutus. R n (x) = k=n f (k) () (x ) k k! Esimerkki Lske funktion x2 x+1 k = 4. Rtkisu: Vlitn = 1 4. Tällöin f(x) = f (x) = x2 x + 1 2x(x + 1) x2 (x + 1) 2 = x2 + 2x (x + 1) 2 f f (x) = (2x + 2)(x + 1)2 (x 2 + 2x)2(x + 1) (x + 1) 4 f (3) (x) = f (4) (x) = = 2x + 2 2(x + 1) = (x + 1) 4 (x + 1) = 2 f 4 (x + 1) 3 Tylorin srjkehitelmä trkkuudell 2 3(x + 1)2 (x + 1) 6 = 6 (x + 1) 4 f (3) ( 6) ( 4) (x + 1)3 (x + 1) 8 = 24 (x + 1) 5 f (4) f (n) (x) = ( 1)n n! (x + 1) n+1 f (n) ( ) 1 f = 4 ( ) 1 = = ( 5 4 )2 = 9 25 ( ) 1 = ( 5 = ) ( ) 1 4 ) ( 1 4 = 6 ( 5 = 1536 ) = ( 5 = ) ( ) 1 = ( 1)n n! 4 ( 5 4 )n+1 Siten x 2 x ! ! ( x 1 ) ! ( x 1 4 ) ! ( x 1 ) 2 4 ( x 1 )

17 1.15 Ensimmäisen derivtn tloustieteellisiä sovellutuksi Keskimääräinenmuutos(-nopeus) ilmisee funktion y = f(x) muutoksen suhteess muuttujn x muutokseen, kun x muuttuu jonkin välin verrn. Rjmuutos merkitsee funktion y = f(x) muutosnopeuden rj-rvo, kun muuttujn x muutos lähenee noll eli rjmuutos on funktion f(x) muutosnopeus jollin hetkellä ts. funktion f(x) derivtt f (x) Kustnnusfunktio Oletetn, että tvrmäärän x tuottmisest j mrkkinoinnist iheutuvt kokoniskustnnukset C(x) voidn ilmist funktion C = C(x). Tällöin keskimääräiset yksikkökustnnukset AC(x) (ts. kustnnukset/tuote) ovt AC(x) = C(x) x. Rjkustnnusfunktio M C(x) on kokoniskustnnusfunktion C(x) derivtt C (x) j se ilmisee kokoniskustnnusten hetkellisen muutosnopeuden suhteess tuotntomäärän x muutokseen. Keskimääräiset kustnnukset j rjkustnnukset riippuvt yleensä in tuotnnon tsost joll olln. Keskimääräiset kustnnukset ovt minimissään, kun funktion AC(x) derivtt on noll (ks. äärirvot). Tällöin ( ) C(x) (AC) (x) = D = C (x) x C(x) = 0 x x 2 C (x) x C(x) = 0 C (x) x = C(x) : x C (x) = C(x) x MC(x) = AC(x). Keskimääräiset kustnnukset AC(x) ovt siis minimissään, kun ne ovt yhtäsuuret kuin rjkustnnukset M C(x). Esimerkki Olkoot kokoniskustnnukset C(x) = 2x 2 + 3x + 1, missä x on tuotnnon määrä yksikkönä miljoon kpplett. Määrää keskimääräiset kustnnukset j rjkustnnukset. Milloin keskimääräiset kustnnukset ovt minimissään? 16

18 Rtkisu: Nyt j AC(x) = C(x) x = 2x2 + 3x + 1 x MC(x) = C (x) = 4x + 3. = 2x x Keskimääräiset kustnnukset ovt minimissään, kun AC(x) = M C(x) eli 2x x = 4x + 3 x 0 2x 2 + 3x + 1 = 4x 2 + 3x 2x 2 = 1 x = ± 1 2 ±0, 707. Kosk x > 0, rtkisu on x = 1 2 0, 707. Siispä keskimääräiset kustnnukset ovt minimissään, kun tuotnnon määrä on kpplett Tulofunktio Olkoon kysyntäfunktio y = f(x), missä y on tvrn yksikköhint j x on kysynnän suuruus (tvrmäärä). Kokonistulo R(x) on tällöin R(x) = xy = x f(x). Rjtulo on MR(x) = dr(x) = R (x), dx jok on siis kokonistulon muutosnopeus kysynnänmäärän x suhteen. Huomutus. Keskimääräinen tulo R(x) x kysyntäfunktio. = f(x), joten se on sm funktio kuin Funktion R(x) rvo on in positiivinen, sillä x j f(x) = y ovt positiivisi. Rjtulo M R(x) voi oll myös negtiivinen, sillä kokonistulo voi sekä lisääntyä että vähentyä kysynnän ksvess. Kokonistulofunktio on suurimmilln kohdss, joss rjtulofunktio s rvon 0 (ks. äärirvot). 17

19 Esimerkki Olkoon kysyntäfunktio y = x + 3, missä y on yksikköhint j x on kysynnän määrä. Määrää kokonistulo, rjtulo j keskimääräinen tulo. Milloin kokonistulo on suurimmilln? Rtkisu: Nyt kokonistulo on rjtulo R(x) = x y = x( x + 3) = x 2 + 3x, MR(x) = R (x) = 2x + 3 j keskimääräinen tulo R(x) = y = x + 3. x Kokonistulo on suurimmilln, kun MR(x) = 2x + 3 = 0 eli x = Jousto Funktion y = f(x) jousto Ef(x) kohdss x on Ef(x) = f(x) f(x) x x = x f(x) f(x) x = x f(x) f (x) Jousto on funktion f(x) suhteellisen muutoksen muutosnopeus muuttujn x suhteellisen muutoksen suhteen. Jousto mitt, kuink herkästi funkto f(x) regoi muuttujn x muutoksiin. Jousto kertoo, kuink mont prosentti funktion rvo muuttuu, kun muuttujn rvo muuttuu yhden prosentin verrn. Funktion rvo muuttuu suhteess hitmmin, kun Ef(x) < 1. Jousto käytetään tutkittess kysyntää, trjont, kustnnuksi j tuottvuutt. 18

20 Huomutus. Joustoll ei ole yksikköä! Esimerkki Trkstelln kustnnusfunktiot C(x) = 2x 2 + 3x + 1. Lske funktion C(x) jousto EC(x). Rtkisu: Nyt EC(x) = x C(x) C (x) = x (4x + 3) = 4x2 2x 2 + 3x x 2x 2 + 3x Knsntulo, kulutus j säästäminen Kulutusfunktio C(x) ilmisee käytettävissä olevn (kokonis)knsntulon x j knsllisen (kokonis)kulutuksen välisen suhteen. Yksinkertisiss mlleiss kulutusfunktion C(x) oletetn ksvvn, kun knsntulo ksv, j vähenevän, kun knsntulo vähenee, kuitenkin siten, että knsntulon muuttuess kulutus ei muutu yhtä pljon. Rjkulutuslttius trkoitt kulutusfunktion muutosnopeutt, kun knsntulo muuttuu. Rjkulutuslttius on suurempi kuin noll, mutt pienempi kuin yksi. Olkoon kulutusfunktio C = C(x), missä C(x) on knsllinen kulutus, x on knsntulo sekä C j x sm yksikköä. Rjkulutuslttius on dc(x) dx = C (x). Yksinkertisiss mlleiss käytettävissä olev tulo = kulutus + säästäminen. Siis x = C(x) + S(x), missä S(x) on säästöt, kun knsntulo on x. Siten säästämisfunktio j rjsäästämislttius S(x) = x C(x) S (x) = ds(x) dx = 1 C (x) = 1 dc(x) dx. 19

21 Knsntulonlyysissä investoinnit käsitetään pääomn muodostukseksi, eli I = I(x) = S(x) = x C(x), j ne edustvt lisäystä relipääomn. Investoinnin j kulutuksen oletetn olevn suhteess toisiins siten, että tietty (rhmääräinen) lisäys investointeihin voi tuott rhmäärältään moninkertisen lisäyksen knsntuloon. Täsmällinen ilmisu tälle riippuvuudelle nnetn kertoimen k vull. Tämä kerroin kuv suurimmn mhdollisen tulonlisäyksen suhdett sen iheuttneeseen investointilisäykseen. Merkitään k I = x. Siis k = x I = dx di = 1 di dx = 1 d(x C(x)) dx = 1 1 C (x) = 1 S (x) Esimerkki Olkoon kulutusfunktio C(x) = , 8x + 0, 5 x, missä x on knsntulo. Määrää S(x), dc ds j sekä kerroin k. dx dx Rtkisu: Nyt säästämisfunktio on S(x) = x C(x) = x (10 + 0, 8x + 0, 5 x) = , 2x 0, 5 x, rjkulutuslttius rjsäästämislttius dc dx = 1 C (x) = 0, 8 + 0, 5 2 x = 0, 8 + 0, 25 x, ds dx = S (x) = 1 C (x) = 1 (0, , 25 ) = 0, 2 x x j kerroin k k = 1 S (x) = 1 0, 2 0,25. x 20

22 2 Trigonometriset funktiot Huomutus. Asteiden sijst käytetään yleensä rdinej: 360 o = 2π (rd) 180 o = π (rd) 1 o = 2π 360o (rd) 1 (rd) = 360 2π α o = α 360 2π (rd), eli π = 180o, π 2 = 90o, 2π = 360 o jne. Yksikköympyrä: Kulmn α = AOB suuruus rdineiss on kulm vstvn yksikköympyrän kren AB pituus. Kulm lsketn positiiviseksi x-kselist vstpäivään eli positiiviseen kiertosuuntn j negtiiviseksi myötäpäivään eli negtiiviseen kiertosuuntn. Yksikköympyrässä ei trvitse rjoitt kulmn α suuruutt, vn se voi oll mikä thns reliluku, myös negtiivinen. Olkoon piste (x, y) kulm α vstv yksikköympyrän kehäpiste. Tällöin trigonometriset funktiot määritellään seurvsti: 21

23 Trigonometriset funktiot sin α = y ( 1 sin α 1), cos α = x ( 1 cos α 1), tn α = y x = sin α cos α, α π + nπ, missä n Z, 2 Siten cot α = x y = cos α sin α = 1, α nπ, missä n Z. tn α cos 0 =, cos π 2 =, cos π =, cos 3π 2 =, cos 2π = sin 0 =, sin π 2 =, sin π =, sin 3π 2 =, sin 2π = 22

24 Suorkulminen kolmio: sin α = b c, cos α = c, tn α = b, α = sin 1 b c = cos 1 c 2 + b 2 = c 2 (Pythgorn luse) Muistikolmiot: Huomutus. Trigonometristen funktioiden potensseille käytetään merkintöjä: (sin x) n = sin n x, (cos x) n = cos n x, (tn x) n = tn n x. 23

25 Kvoj: sin 2 x + cos 2 x = 1 (Pythgorn luseest) { sin (π x) = sin x cos (π x) = cos x { sin ( π x) = cos x 2 cos ( π x) = sin x 2 { cos x = cos (x + n 2π), n Z sin x = sin (x + n 2π), n Z { cos ( x) = cos x sin ( x) = sin x sin (x ± y) = sin x cos y ± cos x sin y cos (x ± y) = cos x cos y sin x sin y sin 2x = 2 sin x cos x cos 2x = cos 2 x sin 2 x = 1 2 sin 2 x = 2 cos 2 x 1 sin x lim x 0 x = 1 24

26 Trigonometristen funktioiden kuvjt: Kuvjist nähdään, että sin x on bijektio [ π, π ] [ 1, 1], 2 2 cos x on bijektio [0, π] [ 1, 1], tn x on bijektio [ π, π] R, 2 2 cot x on bijektio [0, π] R. Trigonometristen funktioiden käänteisfunktiot: rcsin : [ 1, 1] [ π 2, π 2 ], y = sin x x = rcsin y = sin 1 y rccos : [ 1, 1] [0, π], y = cos x x = rccos y = cos 1 y, rctn : R [ π 2, π 2 ], y = tn x x = rctn y = tn 1 y rccot : R [0, π], y = cot x x = rccot y = cot 1 y Esimerkki 2.1. Määritä rctn 1 j rcsin 3 2. Kosk tn π = 1, niin rctn 1 = π. 4 4 Kosk sin π = 3, niin rcsin 3 = π Esimerkki 2.2. Rtkise yhtälö sin 2x = cos x. 25

27 Derivoimiskvt: D sin x = cos x D sin f(x) = cos f(x) f (x) D cos x = sin x D cos f(x) = sin f(x) f (x) D tn x = 1 cos 2 x = 1 + tn2 x D tn f(x) = 1 cos 2 f(x) f (x) = [1 + tn 2 f(x)] f (x) D cot x = 1 sin 2 x = (1 + cot2 x) 1 D cot f(x) = sin 2 f(x) f (x) = [1 + cot 2 f(x)] f (x) D rcsin x = D rcsin f(x) = 1 1 x 2, x ±1 1 1 f(x) 2 f (x), f(x) ±1 1 D rccos x =, x ±1 1 x 2 1 D rccos f(x) = f (x), f(x) ±1 1 f(x) 2 D rctn x = x 2 D rctn f(x) = Drccot x = Drccot f(x) = x f(x) 2 f (x) f(x) 2 f (x) 26

28 Esimerkki 2.3. Määrää seurvt derivtt ) D sin (2x 2 ) b) D rctn (2x 2 ) c) D rcsin (2x 2 ) d) D tn (x 2 ) e) D tn 2 x 27

29 3 Usen muuttujn funktiot 3.1 Yleistä Joukko R n, missä n N, määritellään seurvsti: R 1 = R, R 2 = {(x 1, x 2 ) x 1, x 2 R},..., R n = {(x 1,..., x n ) x 1,..., x n R}, kun n 2. Siis esimerkiksi R 2 = {(x, y) x, y R} j R 3 = {(x, y, z) x, y, z R} R 4 = {(x 1, x 2, x 3, x 4 ) x 1, x 2, x 3, x 4 R}. Olkoon D f R n j f : D f R funktio. Funktio f on n muuttujn relirvoinen funktio. Merkintä y = f(x 1,..., x n ) trkoitt, että y on funktion f rvo pisteessä (x 1,..., x n ) D f. Esimerkki 3.1. ) z = f(x, y) = x 2 + y 2 b) f(x, y, z) = x + y z Khden muuttujn relirvoist funktiot f : D f R, D f R 2, voidn hvinnollist pinnn z = f(x, y) vull xyz koordintistoss. Tämä pint on funktion f kuvj. Esimerkki 3.2. Olkoon f : X R funktio, missä määrittelyjoukko X = {(x, y) R 2 x 2 + y 2 1}, j f(x, y) = 3 kikill (x, y) X. Tällöin määrittelyehto x 2 + y 2 1 nt 1 säteisen ympyrän sisältämän lueen. Kosk f(x, y) = 3 kikill (x, y) X, niin funktion kuvj xyz-koordintistoss on xy-tson suuntinen ympyrä, jonk säde on 1 j keskipiste (0, 0, 3). 28

30 Huomutus. Joskus funktion y = f(x 1,..., x n ) kukin muuttuj x i jollkin välillä I i. s rvoj Esimerkki 3.3. f(x, y, z) = x 2 2y + z, 0 x 1, 1 y < 2, 0 z < 3. Siis D f = {(x, y, z) R 3 x [0, 1], y [1, 2[, z [0, 3[}. Jos funktion määrittelyjoukko ei ole nnettu, määrittelyjoukoksi jtelln kikki ne pisteet, joiss funktion rvo voidn määritellä. Rj-rvo Funktion f : R n R rj-rvoll pisteessä ( 1, 2,..., n ) trkoitetn sitä luku b, jot funktion f rvot f(x 1, x 2,..., x n ) lähestyvät, kun piste (x 1, x 2,..., x n ) lähestyy pistettä ( 1, 2,..., n ). Tällöin merkitään mikäli tämä rj-rvo on olemss. lim f(x 1,..., x n ) = b, (x 1,...,x n) ( 1,..., n) Rj-rvo voi oll myös, mikä trkoitt sitä, että funktion f rvot ksvvt rjtt, kun piste (x 1, x 2,..., x n ) lähestyy pistettä ( 1, 2,..., n ). Vstvsti rjrvo on, jos funktion f rvot pienenevät rjtt, kun piste (x 1, x 2,..., x n ) 29

31 lähestyy pistettä ( 1, 2,..., n ). Tällöin käytetään merkintöjä lim f(x 1,..., x n ) = j lim f(x 1,..., x n ) =. (x 1,...,x n) ( 1,..., n) (x 1,...,x n) ( 1,..., n) Rj-rvoss lähestyttävä piste ( 1, 2,..., n ) on yleensä sellinen, että funktion f rvo ei void määrittää pisteessä ( 1, 2,..., n ). On myös mhdollist, että jotkin muuttujist x i lähestyvät ääretöntä ti miinus ääretöntä. Jtkuvuus Funktio f(x 1,..., x n ) on jtkuv pisteessä ( 1,..., n ), jos lim f(x 1,..., x n ) = f( 1,..., n ). (x 1,...,x n) ( 1,..., n) Kksiulotteisess tpuksess funktion f(x, y) jtkuvuus pisteessä (, b) merkitsee geometrisesti sitä, että pint z = f(x, y) on jtkuv eikä sisällä hyppäystä pisteessä (, b). Esimerkki 3.4. y ) Määrää lim (x,y) (0,1) x 2 b) Onko funktio f(x, y) = x 2 + y 2 jtkuv pisteessä (1, 1)? c) Onko funktio f(x, y) = x + y 2 jtkuv? 3.2 Osittisderivtt Olkoon y = f(x 1,..., x n ) n muuttujn funktio. Tutkitn funktion f derivtt muuttujn x i suhteen pisteessä ( 1, 2,..., n ). Asettmll x 1 = 1, x 2 = 2,..., x i 1 = i 1, x i+1 = i+1,..., x n = n sdn yhden muuttujn x i funktio y = f( 1, 2,..., i 1, x i, i+1,..., n ). Jos tämä funktio f( 1, 2,..., i 1, x i, i+1,..., n ) on derivoituv kohdss x i = i, eli rj-rvo f( 1, 2,..., i 1, x i, i+1,..., n ) f( 1, 2,..., i 1, i, i+1,..., n ) lim x i i x i i 30

32 on olemss j äärellinen, niin sitä snotn funktion y = f(x 1,..., x n ) osittisderivtksi muuttujn x i suhteen pisteessä ( 1,..., n ). Tällöin merkitään f f( 1,..., x i,..., n ) f( 1,..., i,..., n ) ( 1,..., n ) = lim. x i x i i x i i Joskus käytetään myös merkintää f 1 ( 1,..., n ). Huomutus. Funktion osittisderivtt muuttujn x i hetkellistä muutosnopeutt muuttujn x i suhteen. suhteen kuv funktion Esimerkki 3.5. Määrää funktion f(x, y) = x 2 + xy + 1 osittisderivtt muuttujien x j y suhteen pisteessä (1, 3). Osittisderivttfunktio: Olkoon f(x 1,..., x n ) derivoituv muuttujn x i suhteen mielivltisess pisteessä f ( 1,..., n ) eli x i ( 1,..., n ) on olemss. Korvmll sduss derivtss f x i ( 1,..., n ) mielivltinen piste ( 1,..., n ) muuttujll (x 1,..., x n ) sdn funktio f x i (x 1,..., x n ), jok on funktion f osittisderivttfunktio muuttujn x i suhteen. Funktion f(x 1,..., x n ) osittisderivttfunktiot muuttujn x i suhteen merkitään: f x i, f xi, f i Osittisderivttojen määrääminen Jos funktion y = f(x 1,..., x n ) osittisderivtt muuttujn x i suhteen on olemss funktion määrittelyjoukon jokisess pisteessä, funktion kyseinen osittisderivttfunktio sdn derivoimll funktiot y = f(x 1,..., x n ) muuttujn x i suhteen j pitämällä muut muuttujt vkion. Huomutus. Funktiot, joille on nnettu derivoimissäännöt, ovt derivoituvi määrittelyjoukossn D f. Jos funktio ei ole jtkuv, ei se ole derivoituvkn. 31

33 Luse 3.1. Olkoon funktio f jtkuv pisteessä ( 1,..., n ). Tällöin funktio f f on derivoituv muuttujn x i suhteen pisteessä ( 1,..., n ) eli x i ( 1,..., n ) on olemss, jos f lim (x 1, x 2,..., x n ) (x 1,...,x n) ( 1,..., n) x i on olemss. Esimerkki 3.6. Onko funktio f(x, y) = x + y 2 derivoituv? Funktion y = f(x 1,..., x n ) osittisderivtt muuttujn x i suhteen pisteessä ( 1,..., n ) sdn sijoittmll funktion f osittisderivttfunktioon f x i piste ( 1,..., n ). Esimerkki 3.7. Määrää funtion f(x, y, z) = xe x+y + z 2 x + xyz osittisderivttfunktiot muuttujien x, y j z suhteen. Lske näiden rvo pisteessä (1, 0, 2). 3.3 Kokonisdifferentili Olkoon funktion z = f(x, y) osittisderivtt f x D f. Tällöin j f y jtkuvi j olkoon (, b) f = f(x, y) f(, b) (6) = f f (, b) (x ) + x y (, b) (y b) + u 1(x, y)(x ) + u 2 (x, y)(y b), missä u 1 0 j u 2 0, kun x j y b. Tämä on funktion f differentilikehitelmä. Funktion f(x, y) differentili kohdss (, b) on missä dx = x j dy = y. dz = df(, b) = f f (, b) dx + (, b) dy, x y Differentili dz = df(, b) rvioi funktion z = f(x, y) todellist muutost z = f = f(x, y) f(, b) hyvin pisteen (, b) läheisyydessä. 32

34 Geometrisesti suureen z korvminen suureell dz vst pinnn z = f(x, y) korvmist pisteeseen (, b, f(, b)) piirretyllä tngenttitsoll z t (x, y), jok sdn yhtälöstä z t f(, b) = f f (, b) (x ) + (, b) (y b). x y Huomutus. Jokinen muoto x + by + cz + d = 0, missä, b, c, d R, olev yhtälö on vruuden R 3 jonkin tson yhtälö. Jos d = 0, niin tso kulkee origon kutt. Luse 3.2. Kokonisdiffentili n muuttujn funktiolle y = f(x 1,..., x n ) on df = f x 1 dx 1 + f x 2 dx f x n dx n. Esimerkki 3.8. Olkoon f(x, y) = x 3 + 3y 2. Määrää funktion f muuttujn x muutost 1 j muuttujn y muutost 1 vstv kokonisdifferentili j todellinen 2 3 muutos kohdss (2, 3). 3.4 Yhdistetyn funktion derivointi Oletetn, että funktion y = f(x 1,..., x n ) osittisderivtt f x 1,..., f x n ovt olemss eli funktio on derivoituv muuttujien suhteen. Oletetn lisäksi, että kukin x 1, x 2,..., x n on edelleen muuttujn t funktio, ts. x 1 = x 1 (t),..., x n = x n (t). Tällöin myös funktio f on muuttujn t funktio j funktion f (kokonis)derivtt muuttujn t suhteen sdn lusekkeest df dt = f dx 1 x 1 dt f dx n x n dt, kun muuttujt x i ovt derivoituvi muuttujns t suhteen. Funktion f (kokonis)derivtt voidn lske myös sijoittmll muuttujien x i lusekkeet muuttujn t suhteen funktion f lusekkeeseen j derivoimll stu luseke muuttujn t suhteen. Esimerkki 3.9. f(x, y) = x 2 3xy 2, missä x = 2t j y = t 2. Määrää df dt. 33

35 Jos funktio y = f(x 1,..., x n ) on derivoituv muuttujien x i suhteen j kukin muuttuj x i on muuttujien t 1,..., t m funktio (ts. x 1 = x 1 (t 1,..., t m ),..., x n = x n (t 1,..., t m )) j lisäksi kukin x i on derivoituv muuttujiens t j suhteen, siis osittisderivtt x 1,..., x n,..., x 1,..., x n t 1 t 1 t m t m ovt olemss. Tällöin sdn f = f x f x n t 1 x 1 t 1 x n t 1. f = f x f x n t m x 1 t m x n t m Myös nämä osittisderivtt voidn lske suorn sijoittmll ensin muuttujien x i lusekkeet muuttujien t j suhteen funktion lusekkeeseen j sen jälkeen derivoimll funktion luseke muuttujien t j suhteen. Esimerkki Olkoon f(x, y) = x 2 3xy 2, missä x = u v j y = u 2 + v 2. Määrää f f j. u v 3.5 Osittisderivtn tloustieteellisiä sovellutuksi Rjkustnnusfunktiot Oletetn, että khden hyödykkeen A j B tuottmisest koituvi kokoniskustnnuksi kuv funktio C = C(x, y), missä Tällöin rjkustnnusfunktiot ovt x = hyödykkeen A tuotntomäärä, y = hyödykkeen B tuotntomäärä. C = rjkustnnus tuotntomäärän x suhteen, x C = rjkustnnus tuotntomäärän y suhteen. y 34

36 Esimerkki Olkoon kustnnusfunktio C(x, y) = x ln (5 + y). Tällöin rjkustnnukset ovt C C = ln (5 + y) j = x. x y 5+y Kysyntäfunktiot Oletetn, että khden hyödykkeen kysynnän määrät ovt x j y j vstvt hinnt p j q j että x = f(p, q) j y = g(p, q). (Siis kysynnät x j y riippuvt vin hinnoist p j q.) Sdut funktiot ovt kysyntäfunktioit. x = f(p, q) j y = g(p, q) Kysyntäfunktioill x = f(p, q) j y = g(p, q) on seurvt ominisuudet 1. x, y, p, q, 0 2. Jos hint q on vkio, niin kysyntä x on hinnn p suhteen vähenevä funktio. Smoin, jos p on vkio, kysyntä y on hinnn q suhteen vähenevä funktio. { x = f(p, q) 3. Yhtälöryhmä voidn yksikäsitteisesti rtkist hintojen y = g(p, q) p j q suhteen eli on mhdollist määrätä käänteisfunktiot p = F (x, y) j q = G(x, y). Kun kysyntäfunktiot ovt x = f(p, q) j y = g(p, q), niin x p x q y p y q on kysynnän x rjkysyntä hinnn p suhteen on kysynnän x rjkysyntä hinnn q suhteen on kysynnän y rjkysyntä hinnn p suhteen on kysynnän y rjkysyntä hinnn q suhteen Esimerkki Olkoon kysyntäfunktiot x = 2e q p j y = 3e p q. Tällöin rjkysyntäfunktiot ovt x p = 2eq p, x q = 2eq p, y p = 3ep q, y q = 3ep q. 35

37 Määritellään nyt kysyntäfunktioiden x = f(p, q) j y = g(p, q) osittisjoustot: E p x (q=c1 ) = p x x p E q x (p=c2 ) = q x x q E p y (q=c3 ) = p y y p E q y (p=c4 ) = q y y q Kysynnän x osittisjousto hinnn p suhteen, kun q = c 1 Kysynnän x osittisjousto hinnn q suhteen, kun p = c 2 Kysynnän y osittisjousto hinnn p suhteen, kun q = c 3 Kysynnän y osittisjousto hinnn q suhteen, kun p = c Tuotntofunktiot Olkoon hyödykkeen tuotntofunktio z = f(x, y), missä z = hyödykkeen tuotntomäärä x j y = khden tuotnnontekijän käyttömäärät (työ, m, pääom, mterili, koneet). Tällöin z x z y on tuotnnontekijän x rjtuottvuus on tuotnnontekijän y rjtuottvuus. Esimerkki Olkoon tuotntofunktio z = 4x 3 4 y 1 4, missä x on työ j y on pääom. Tällöin z x = 4 3 z y = 4x x 4 y 4 = 3x y y 4 = x 4 (työn rjtuottvuus) 4 y 3 4 (po:n rjtuottvuus) 36

38 3.6 Korkemmist osittisderivtoist Jos funktion y = f(x 1,..., x n ) osittisderivtt f x 1,..., f x n ovt edelleen derivoituvi, sdn funktion f toisen kertluvun osittisderivtt: f x1 x 1 = ( ) f x 1 x 1 f x1 x 2 = ( ) f x 1 x 2..., f xi x j = x i ( ) f x j = 2 f, x 2 1 = 2 f x 1 x 2, = 2 f x i x j. Vstvsti määritellään vielä korkemmtkin osittisderivtt. Esimerkki Määrää funktion f(x, y) = x 3 e 3y toisen kertluvun osittisderivtt. 3.7 Implisiittinen derivointi Vstvsti kuin yhden muuttujn tpuksess funktio y = f(x 1,..., x n ) stetn joskus esittää ns. implisiittimuodoss F (x 1,..., x n, y) = 0 eli muodoss, joss y ei ole muuttujien x 1,..., x n suhteen rtkistun. On mhdollist, että muuttuj y ei edes kyetä rtkisemn muuttujien x 1,..., x n funktion, mutt kuitenkin y riippuu muuttujist x 1,..., x n. Osittisderivtt y x i voidn silti usein määrätä implisiittinen derivoinnin vull. Edellytyksenä on, että y on muuttujn x i suhteen derivoituv. Tällöin osittisderivtt y x i sisältää yleensä sekä muuttuji x 1,..., x n että funktion rvon y. Implisiittisessä derivoinniss luseke F (x 1,..., x n, y) = 0 derivoidn puolittin muuttujn x i suhteen j muuttuj y käsitellään muuttujien x 1,..., x n funktion. Sdust lusekkeest rtkistn y x i. Esimerkki Olkoon z 2 x 2xyz + y = 0, missä z = f(x, y). Määrää z x (1, 1). j z y (1, 1) 37

39 4 Integrlilskent 4.1 Johdnto Integrointi on derivoimisen käänteistoimitus. Siis f(x) dx = F (x) D F (x) = f(x). On siis määritettävä funktio F (x), kun sen derivttfunktio f(x) tiedetään. Tloustieteessä integrointi voidn käyttää esimerkiksi seurviss tpuksiss: Hyötyfunktion selvittäminen, kun rjhyötyfunktio tunnetn. Kustnnusfunktion selvittäminen, kun rjkustnnusfunktio tunnetn. Tulofunktion selvittäminen, kun rjtulofunktio tunnetn. Määrätty integrli trkoitt integrointi yli jonkin välin j sitä merkitään b f(x) dx. Määrätyn integrlin vull voidn lske käyrän rjoittmn pinnn l. Tloustieteessä määrättyä integrli voidn käyttää esimerkiksi seurviss tpuksiss: Kokonistulo on rjtulofunktion rjoittmn pinnn l. Kuluttjn ylijäämä on kysyntäkäyrän lpuolell jäävä pint-l. Tuottjn ylijäämä on trjontkäyrän lpuolell jäävä pint-l. 4.2 Integrlifunktio Pyritään määräämään funktio F (x), kun sen derivttfunktio f(x) on nnettu. Funktio F on funktion f integrlifunktio, jos F (x) = f(x) x D f. Merkitään f(x) dx = F (x). 38

40 Kosk funktio F (x) on derivoituv on se myös jtkuv. Olkoon F (x) funktion f(x) eräs integrlifunktio. Siis F (x) = f(x). Toislt kun c on vkio, niin D(F (x) + c) = DF (x) + Dc = F (x) + 0 = F (x) = f(x). Siis jokinen funktio F (x) + c, missä c on vkio, on myös funktion f(x) integrlifunktio. Luse 4.1. (Integrlilskennn perusluse). Olkoon funktio f(x) jtkuv j derivoituv välillä ], b[. Jos lisäksi f (x) = 0 x ], b[, niin f(x) on vkiofunktio tällä välillä. Todistus. Vert f(x):n ksvunopeus. Olkoon D f =], b[ j olkoot F (x) j G(x) molemmt funktion f(x) integrlifunktioit, eli F (x) = f(x) j G (x) = f(x). Tällöin D(G(x) F (x)) = DG(x) DF (x) = G (x) F (x) = f(x) f(x) = 0. Integrlilskennn perusluseen nojll G(x) F (x) on vkiofunktio, eli on olemss c R siten, että G(x) F (x) = c x ], b[ G(x) = F (x) + c. 39

41 Luse 4.2. Olkoon f(x) funktio, jolle D f =], b[ j F (x) on eräs funktion f(x) integrlifunktio. Tällöin {F (x) + c c R} on funktion f(x) kikkien integrlifunktioiden joukko. Kun nnetn yksi piste (x 0, y 0 ), jonk kutt integrlifunktio kulkee, niin integrlifunktio sdn täysin määrättyä: F (x 0 ) + c = y 0 c = y 0 F (x 0 ). Luse 4.3. Olkoot f(x) j g(x) funktioit, joill D f = D g =], b[. Oletetn, että F (x) on eräs funktion f(x) j G(x) eräs funktion g(x) integrlifunktio. Tällöin (i) F (x) + G(x) on funktion f(x) + g(x) integrlifunktio (ii) F (x) on funktion f(x) integrlifunktio ( R vkio) Todistus. (i) D(F (x) + G(x)) = F (x) + G (x) = f(x) + g(x) (ii) D(F (x)) = D(F (x)) = F (x) = f(x). Funktion f(x) integrlifunktiot merkitään: f(x) dx = F (x) + c, missä F (x) on funktion f(x) eräs integrlifunktio j c on integroimisvkio. Luse 4.3 sdn nyt muotoon (i) (f(x) + g(x)) dx = f(x) dx + g(x) dx (ii) f(x) dx = f(x) dx. Derivoimiskvoist sdn seurvt integroimiskvt: (1) dx = x + c, missä R on vkio. (2) x dx = x+1 x+1 + c, 1, R, sillä D = ( + 1)x + 1 = x. Jos Z, niin oltv x 0. (juuren ll posit.) 40

42 (3) (4) (5) 1 dx = ln x + c, x 0, x D ln x = 1 sillä D ln x = x, kun x > 0 D ln ( x) = 1 x ( 1) = 1, kun x < 0. x e x dx = e x + c, sillä De x = e x. x dx = x x + c, sillä D ln ln = x ln ln = x. Olkoot funktiot g(x), f(x) j f (x) jtkuvi j G(x) eräs funktion g(x) integrlifunktio. Tällöin D G(f(x)) = G (f(x)) f (x) = g(f(x)) f (x). Siis (6) g(f(x)) f (x) dx = G(f(x)) + c. Tämän vull sdn seurvt integroimiskvt: (7) (f(x)) f (x) dx = (f(x))+1 + c, 1, + 1 sillä D (f(x)) = ( + 1)(f(x)) + 1 f (x) = f(x) f (x). Olkoon nyt 1 j f(x) 0. Tällöin (8) (9) f (x) dx = ln f(x) + c, f(x) 0, sillä f(x) D ln f(x) = 1 f(x) f (x) = f (x), kun f(x) > 0 f(x) D ln f(x) = D ln ( f(x)) = 1 f(x) f (x) = f (x), kun f(x) < 0. f(x) e f(x) f (x) dx = e f(x) + c, sillä De f(x) = e f(x) f (x) 41

43 (10) sillä f(x) f (x) dx = f(x) ln + c, D f(x) ln = ln f(x) f (x) ln = f(x) f (x) Funktiot f(x) snotn integroituvksi, jos sillä on olemss integrlifunktio. Jokinen jtkuv funktio on integroituv. Tällöin f derivoituv f jtkuv f integroituv. Huom, että päättelyketju ei päde toiseen suuntn. Olkoot funktiot f j g derivttoineen jtkuvi. Tällöin D(f(x) g(x)) = f (x) g(x) + f(x) g (x) (f (x) g(x) + f(x) g (x)) dx = f(x) g(x) + c f (x) g(x) dx + f(x) g (x) dx = f(x) g(x) + c Tästä sdn ns. osittisintegroinnin kv: (11) Vlitn: f (x) g(x) dx = f(x) g(x) f(x) g (x) dx + c. f : voidn (ostn) integroid g : yksinkertistuu enemmän derivoimll Esimerkki 4.1. (x 4 + 1x 3 ) dx Esimerkki 4.2. Määritä funktion f(x) = 8x 3 2x ) Kikki integrlifunktiot b) Se integrlifunktio F (x), jolle F (1) = 9. Esimerkki 4.3. x + 3 x + 1 dx x 42

44 Esimerkki x + 2 2x 2 x dx Esimerkki x x2 + 1 dx Esimerkki 4.6. e x2 x dx Esimerkki 4.7. Esimerkki 4.8. x 2 x dx x ln x dx Trigonometristen funktioiden integroimiskvt: sin x dx = cos x + C sin f(x) f (x) dx = cos f(x) + C cos x dx = sin x + C cos f(x) f (x) dx = sin f(x) + C 1 dx = rcsin x + C 1 x f(x) 2 f (x) dx = rcsin f(x) + C 1 dx = rctn x + C 1 + x f(x) f (x) dx = rctn f(x) + C 2 43

45 Esimerkki 4.9. Määrää seurvt integrlit ) cos (5x) dx 1 b) dx 2 x 2 1 c) 2 + x dx Integrointi osmurtokehitelmän vull On määrättävä P (x), missä P (x) j Q(x) ovt polynomej. Q(x) Jos polynomi P (x) on jollinen polynomill Q(x), niin tehtävä plutuu polynomin integrointiin. Jos polynomi P (x) = Q (x), niin tehtävä plutuu integroimiskvn (7). Oletetn nyt, että P (x) ei ole jollinen polynomill Q(x) eikä se ole sen derivttfunktio. Olkoon lisäksi polynomi P (x) lemp stett kuin Q(x), muutoin suoritetn ensin jkminen (ktso esim jälkeinen teksti). Tällöin rtionlifunktio P (x) Q(x) jotk kyetään integroimn. Menetelmä on seurv: voidn esittää osmurtolusekkeiden summn, 1) Jetn nimittäjä Q(x) jottomiin tekijöihin rtkisemll sen nollkohdt. Tekijät ovt muoto x + b (vst polynomin Q(x) relist nollkoht) ti x 2 + bx + c (tpus, joss nollkoht ei ole reliluku eli 2. steen tekijä ei jknnu). 2) Kutkin polynomin Q(x) tekijää vst osmurtoluseke seurvsti: ) yksinkertinen linerinen tekijä x + b A x + b b) n kertinen linerinen tekijä (x + b) n A 1 x + b + A 2 (x + b) + + A n 2 (x + b) n c) yksinkertinen toisen steen joton tekijä x 2 + bx + c Ax + B x 2 + bx + c 44

46 d) n kertinen toisen steen joton tekijä (x 2 + bx + c) n A 1x + B 1 x 2 + bx + c + A 2x + B 2 (x 2 + bx + c) + + A nx + B n 2 (x 2 + bx + c) n missä A, B, A 1,..., A n, B 1,..., B n ovt vkioit, jotk pitää määrätä. 3) Vkiot määrätään seurvsti: Luseke P (x) esitetään osmurtolusekkeiden summn. Kerrotn puolittin nimittäjällä Q(x), jolloin vsemmlle puolelle jää P (x) j oikel- Q(x) le puolelle osmurtolusekkeiden vkioit sisältävä polynomi. Vertmll kyseisen polynomin j polynomin P (x) termien kertoimi, sdn vkiot määrättyä. 4) Integrli P (x) Q(x) sdn osmurtolusekkeiden integrlien summn. Esimerkki x + 3 x 2 + 3x + 2 dx Jos P (x) on korkemp ti yhtä suurt stett kuin Q(x), niin jetn: P (x) Q(x) = R(x) + P 1(x) Q(x), missä jkojäännös P 1 (x) on lemp stett kuin Q(x). Siten P (x) Q(x) dx = R(x) dx + P1 (x) Q(x) dx. Esimerkki x 3 2x 6 x 2 2x + 1 dx Esimerkki x x 4 + 6x dx 4.4 Integrointi sijoitusmenetelmää käyttäen Integrli f(x) dx voidn muutt yksinkertisempn muotoon sopivll sijoituksell x = g(t), missä t on pumuuttuj j funktio g(t) on derivoituv bijektio (muuttujn t suhteen). Derivoimll luseke x = g(t) puolittin muuttujn t suhteen sdn dx dt = g (t) eli dx = g (t)dt. 45

47 Täten sdn sijoitusmenetelmän sääntö: f(x) dx = f(g(t)) g (t) dt = F (t) + C Siis sijoituksess x = g(t) integrliss korvtn x lusekkeell g(t) j dx lusekkeell g (t)dt. Integroinnin jälkeen pltn lkuperäiseen muuttujn x sijoituksell t = g 1 (x). Huomutus. Sijoitusmenetelmästä on hyötyä vin, jos se joht yksinkertisempn integrliin! Yleensä korvtn jokin muuttuj x sisältävä termi pumuuttujll t. Käyttökelpoisi sijoituksi: 1) Jos integroitvn funktion osn esiintyy termi x + b ti x+b, voidn cx+d sijoitt t = x + b ti t = x+b. cx+d Esimerkki x 2x + 1 dx 2) Jos integroitvn funktion osn esiintyy termi n x + b, (x + b) n, n x + b cx + d ti ( ) n x + b, cx + d voidn sijoitt t = n x + b, t = (x + b) n, t = n x + b cx + d ti t = ( ) n x + b. cx + d Esimerkki x x dx 3) Jos integroitv funktio f on rtionlinen muuttujn x murtolukupotenssien suhteen, sdn integroitvst rtionlinen muuttujn t suhteen sijoituksell x = t d, missä d on muuttujn x murtopotenssien nimittäjien pienin yhteinen jettv. Esimerkki x x 3 4 dx 46

48 4) Jos integroitv on rtionlinen termin (x + b) murtolukupotenssien suhteen, käytetään sijoitust x + b = t d, missä d on termin (x + b) murtolukupotenssien nimittäjien pienin yhteinen jettv. Esimerkki x (1 + 2x) 3 2 Huomutus. Pienin yhteinen jettv trkoitt pienintä sellist luku, jonk jotkut tietyt luvut jkvt tsn. Esimerkiksi lukujen 2 j 3 pienin yhteinen jettv on luku 6. 5) Jos integroitvss funktioss f esiintyy voidn sijoitt e x ti x t = e x x = ln t ti t = x x = log t. dx 6) Tietyissä erikoistpuksiss sijoitus x = 1 t on tehoks. Esimerkki (x x 3 ) 1 3 x 4 dx 4.5 Määräämätön integrli tloustieteessä Tloustieteessä kuvtn jonkin muuttujn y vihtelu toisen muuttujn x suhteen käyttäen keskimääräisen muutoksen j rjmuutoksen käsitteitä. Rjmuutosfunktio sdn lkuperäisestä funktiost derivoimll, joten lkuperäinen funktio sdn rjfunktiost (vkiot ville) integroimll Kustnnusfunktiot Olkoon C = C(x) kokoniskustnnusfunktio, missä x on tuotnnon määrä. Tällöin AC(x) = C(x) on keskimääräisten kustnnusten funktio j MC(x) = C (x) x on rjkustnnusfunktio. Kokoniskustnnusfunktio C(x) sdn siten integroimll rjkustnnusfunktio M C(x) eli C(x) = MC(x) dx. 47

49 Integroimisvkio c sdn määrättyä jonkin lkuehdon vull. Usein nnetn kiinteät kustnnukset, eli kustnnukset tuotnnon määrän x olless noll. Esimerkki Olkoon rjkustnnusfunktio MC(x) = x 5x 2. Määrää kokoniskustnnusfunktio C(x) j keskimääräiskustnnusfunktio AC(x), kun kiinteät kustnnukset ovt 65. Rtkisu: C(x) = MC(x) dx = x 5x 2 dx = 2x + 30x x3 + c C(0) = c = 65 c = 65 C(x) = 2x + 30x x AC(x) = C(x) x = 2x + 30x2 5 3 x x = x 5 3 x x Tulofunktiot Kun y = f(x) on kysyntäfunktio, missä y on tvrn yksikköhint j x kysynnän suuruus (määrä), niin kokonistulofunktio R(x) = xy = x f(x) j rjtulofunktio MR(x) = dr(x) dx = f(x) + x f (x). Siten kokonistulofunktio on rjtulon integrlifunktio, eli R(x) = MR(x) dx. Integroimisvkio c määräytyy usein ehdost, että kokonistulo on noll, kun kysyntä x on noll eli R(0) = 0. Keskimääräisten tulojen funktio AR(x) = R(x) x = xf(x) x = f(x) = kysyntäfunktio. 48

50 Esimerkki Olkoon rjtulofunktio MR(x) = 8 6x 2x 2. Määrää kokonistulofunktio R(x) j kysyntäfunktio f(x), kun kysynnän määrällä noll kokonistulo on noll. Rtkisu: R(x) = MR(x) dx = 8 6x 2x 2 dx = 8x 3x x3 + c R(0) = c = 0 c = 0 R(x) = 8x 3x x3 f(x) = R(x) x = 8x 3x2 2 3 x3 x = 8 3x 2 3 x Knsntulo, kulutus j säästäminen Olkoon C = C(x) kulutusfunktio, missä C on knsllinen kokoniskulutus j x kokonisknsntulo. Rjkulutuslttius sdn seurvsti: dc dx = C (x). Olettmll, että x = C(x) + S(x), missä S(x) on säästöfunktio, sdn rjsäästämislttius seurvsti: S(x) = x C(x) ds(x) dx = 1 dc(x) dx Kosk knsllinen kokoniskulutus on rjkulutuslttiuden integrlifunktio, niin C(x) on muoto C(x) = C (x) dx. Esimerkki Olkoon rjkulutuslttius dc = dx x (milj. euro). Kun knsntulo on noll, on kulutus 640 milj. euro. Määrää kokoniskulutusfunktio. Rtkisu: C (x) dx = x dx = 56x + 32 x + c C(0) = c = 640 c = 640 C(x) = 56x + 32 x

51 4.5.4 Pääomn muodostus Olkoon K(t) pääomn kokonismäärä jn hetkellä t j K(t) on derivoituv muuttujn t suhteen. Pääomn muodostuksen ste (nopeus) on tällöin dk dt = K (t). Nyt pääomn muodostuksen ste K (t) on yhtä suuri nettoinvestointivirrn I(t) knss. Sdn yhtälöt K (t) = I(t) K (t) dt = I(t) dt K(t) = I(t) dt Siten pääomn kokonismäärä on pääomn muodostuksen steen ti nettoinvestointivirrn integrlifunktio. K(t) sdn, kun em. integrleiss määrätään integroitumisvkio. Esimerkki Nettoinvestointivirt I(t) = 5t 3 7. Määritä pääomn kokonismäärä jnhetkellä t, kun pääomn kokonismäärä jnhetkellä t = 0 on 30. Rtkisu: K(t) = I(t) dt = K(0) = K(t) = 7 2 t t 3 7 dt = 5t c = + c = 30 c = 30 7t c 50

52 4.6 Määrätty integrli Olkoon y = f(x) välillä [, b] jtkuv funktio j F (x) sen jokin integrlifunktio. Luku F (b) F () on funktion f(x) määrätty integrli yli välin [,b]. Merkitään: b f(x) dx = b/ F (x) = F (b) F (). Esimerkki (2x 3 + 5x) dx Määrätty integrli j pint-l Oletetn, että f(x) on jtkuv funktio j f(x) 0 x D f. Tehtävänä on määrittää käyrän y = f(x), x kselin, y kselin j suorn x = x 0 rjoittmn lueen pint-l A(x 0 ). 51

53 Alueen B 2 B 1 B 6 B 5 pint-l on A = A(x) A(x 0 ). Suorkulmion B 2 B 1 B 4 B 5 pint-l on (x x 0 ) f(x). Suorkulmion B 2 B 3 B 6 B 5 pint-l on (x x 0 ) f(x 0 ). Vertmll lueen B 2 B 1 B 6 B 5 pint-l suorkulmioiden B 2 B 1 B 4 B 5 j B 2 B 3 B 6 B 5 pint-loihin sdn (x x 0 ) f(x 0 ) A (x x 0 ) f(x) : (x x 0 ) f(x 0 ) A(x) A(x 0) x x 0 f(x). (7) Kun x x 0, sdn lim f(x 0 ) = f(x 0 ) j lim f(x) = f(x 0 ). x x 0 x x0 Siten ottmll rj-rvo puolittin yhtälöstä (7) sdn: f(x 0 ) lim x x0 A(x) A(x 0 ) x x 0 f(x 0 ) A (x 0 ) = f(x 0 ). Kosk x 0 on mielivltinen, sdn A (x) = f(x). Siten A(x) on funktion f(x) eräs integrlifunktio. 52

54 Lsketn seurvksi yllä olevn kuvn pint-l A = A(b) A(). Olkoon F (x) mielivltinen funktion f(x) integrlifunktio. Tällöin F (x) = A(x) + c, c vkio. Siis F (b) F () = (A(b) + c) (A() + c) = A(b) A() = A. Luse 4.4. Jos funktio f(x) on välillä [, b] jtkuv j f(x) 0 x [, b], niin määrätty integrli b f(x) dx on käyrän y = f(x), x kselin sekä suorien x = j x = b rjoittmn lueen pint-l. 4.7 Määrätyn integrlin ominisuuksist Luse 4.5. Olkoot funktiot f(x) j g(x) jtkuvi välillä [, b] j olkoon c R vkio. Tällöin (i) (ii) b b cf(x) dx = c b f(x) dx (f(x) + g(x)) dx = b f(x) dx + b g(x) dx Todistus. Olkoot F (x) j G(x) funktioiden f(x) j g(x) eräät integrlifunktiot. 53

55 (i) (ii) b cf(x) dx = b/ cf (x) = cf (b) cf () = c(f (b) F ()) = c b/ b F (x) = c f(x) dx b (f(x) + g(x)) dx = b/ (F (x) + G(x)) = (F (b) + G(b)) (F () + G()) b/ b/ = F (b) F () + G(b) G() = F (x) + (G(x) b b = f(x) dx + g(x) dx Esimerkki (x 3 + 3x 2 + 2) dx 1 Luse 4.6. Jos funktio f(x) on jtkuv välillä [, b] j < c < b, niin b c b f(x) dx = f(x) dx + f(x) dx. c Todistus. Olkoon F (x) eräs funktion f(x) integrlifunktio. b f(x) dx = F (b) F () = (F (b) F (c)) + (F (c) F ()) = b/ F (x) + c/ F (x) = b c f(x) dx + f(x) dx. c c 54

56 { x 2 1, x 0 2 Esimerkki Olkoon f(x) = x 3 x 1, x > 0. Määrää f(x) dx 2 Luse 4.7. Myös tilnteess b b f(x) dx = b/ F (x) = F (b) F (). Nyt j b f(x) dx = / F (x) = F () F () = 0 f(x) dx = F (b) F () = (F () F (b)) = f(x) dx. b Luse 4.8. Olkoot f(x) j g(x) jtkuvi funktioit välillä [, b]. (i) Jos f(x) 0 välillä [, b], niin (ii) Jos f(x) g(x) välillä [, b], niin (iii) Jos f(x) 0 välillä [, b], niin b b f(x) dx 0. b f(x) dx f(x) dx 0. b g(x) dx. Todistus. Olkoon F (x) funktion f(x) integrlifunktio j G(x) funktion g(x) integrlifunktio. (i) F (x) = f(x) 0 välillä [, b] F (x) on ksvv välillä [, b] F (b) F (). Näin ollen b f(x) dx = F (b) F () 0. (ii) Kosk f(x) g(x) välillä [, b], niin g(x) f(x) 0 välillä [, b] j kohdn 55

57 (i) nojll b b b (g(x) f(x)) dx 0 g(x) dx f(x) dx 0 b b f(x) dx g(x) dx. (iii) F (x) = f(x) 0 välillä [, b] F (x) on vähenevä välillä [, b] F (b) F (). Näin ollen b f(x) dx = F (b) F () 0. Luse 4.9 (Integrlilskennn välirvoluse). Olkoon f(x) suljetull välillä [, b] jtkuv funktio. Tällöin on olemss inkin yksi x 0 ], b[, jolle b f(x) dx = f(x 0 )(b ). Todistus. Olkoon f(x) suljetull välillä [, b] jtkuv funktio. Siten f(x) svutt tällä välillä suurimmn rvon (= M) j pienimmän rvon (= m). Siis välillä [, b] on voimss m f(x) M. Luseen 4.8 kohdn (ii) nojll b m dx b/ mx b b m(b ) f(x) dx f(x) dx b b b/ Mx m 1 b f(x) dx M. b M dx f(x) dx M(b ) : (b ) (b > ) 56

58 Jtkuv funktio s rvokseen jokisen rvon minimin j mksimin väliltä, joten on olemss sellinen x 0 ], b[, että f(x 0 ) = 1 b b f(x) dx. Geometrisesti: Välillä ], b[ on sellinen koht x 0, että pisteiden (, 0), (, f(x 0 )), (b, f(x 0 )) j (b, 0) määräämän suorkulmion pint-l on yhtä suuri kuin käyrän y = f(x), x kselin sekä suorien x = j x = b rjoittmn lueen A pint-l. 57

59 4.8 Pint-ln määritys integrlin vull 1 o f(x) 0 välillä [, b] j jtkuv tällä välillä. Nyt käyrän y = f(x), x kselin sekä suorien x = j x = b rjoittmn lueen pint-l b A = f(x) dx Esimerkki Määritä sen lueen pint-l, jot rjoittvt käyrä y = 1 x 2, x kseli sekä suort x = 1 j x = 3. 2 o f(x) 0 välillä [, b] j jtkuv tällä välillä. Määritetään käyrän y = f(x), x kselin sekä suorien x = j x = b väliin jäävän lueen pint-l A. Käyrät y = f(x) j y = f(x) ovt symmetriset x kselin suhteen. 58

60 Nyt f(x) 0 j siten käyrän f(x), x kselin sekä suorien x = j x = b väliin jäävä pint-l A 1 = b f(x) dx. Symmetrin perusteell tämä on myös x kselin, käyrän y = f(x) sekä suorien x = j x = b väliin jäävän lueen pint-l. Siten kun f(x) 0 välillä [, b], niin käyrän y = f(x), x kselin sekä suorien x = j x = b väliin jäävän lueen pint-l A = b f(x) dx. Esimerkki ) Määrää välillä [0, 1] käyrän f(x) = x 3 x j x kselin väliin jäävän lueen pint-l. b) Määrää käyrän f(x) = x 3 x j x kselin rjoittmn lueen pint-l. 59

61 3 o Khden käyrän väliin jäävä pint-l. Oletetn, että f(x) g(x) välillä [, b]. On määritettävä sen lueen pint-l, jot rjoittvt käyrät y = f(x) j y = g(x) sekä suort x = j x = b. Nyt funktiot f(x) j g(x) voivt sd myös negtiivisi rvoj välillä [, b]. Olkoon c niin suuri vkio, että g(x)+c 0 välillä [, b]. Tällöin myös f(x)+c 0. 60

1. Derivaatan Testi. Jos funktio f on jatkuva avoimella välillä ]a, b[ ja x 0 ]a, b[ on kriit. tai singul. piste niin. { f (x) > 0, x ]a, x 0 [

1. Derivaatan Testi. Jos funktio f on jatkuva avoimella välillä ]a, b[ ja x 0 ]a, b[ on kriit. tai singul. piste niin. { f (x) > 0, x ]a, x 0 [ 1. Derivtn Testi Jos funktio f on jtkuv voimell välillä ], b[ j x 0 ], b[ on kriit. ti singul. piste niin { f (x) < 0, x ], x 0 [ f x (x) > 0, x ]x 0, b[ 0 on lokli minimipiste (1) { f (x) > 0, x ], x

Lisätiedot

6 Integraalilaskentaa

6 Integraalilaskentaa 6 Integrlilskent 6. Integrlifunktio Funktion f integrlifunktioksi snotn funktiot F, jonk derivtt on f. Siis F (x) = f (x) määrittelyjoukon jokisell muuttujn rvoll x. Merkitään F(x) = f (x) dx. Integrlifunktion

Lisätiedot

2.4 Pienimmän neliösumman menetelmä

2.4 Pienimmän neliösumman menetelmä 2.4 Pienimmän neliösummn menetelmä Optimointimenetelmiä trvitn usein kokeellisen dtn nlysoinniss. Mittuksiin liittyy virhettä, joten mittus on toistettv useit kertoj. Oletetn, että mittn suurett c j toistetn

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali MS-A1{3,4} (ELEC*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 8: Integrlifunktio j epäoleellinen integrli Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos 5.1.216 Pekk Alestlo,

Lisätiedot

Riemannin integraalista

Riemannin integraalista Lebesguen integrliin sl. 2007 Ari Lehtonen Riemnnin integrlist Johdnto Tämän luentomonisteen trkoituksen on tutustutt lukij Lebesgue n integrliin j sen perusominisuuksiin mhdollisimmn yksinkertisess tpuksess:

Lisätiedot

Sisältö. Integraali 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 20

Sisältö. Integraali 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 20 Integrli 10. syyskuut 2005 sivu 1 / 20 Sisältö 1 Määrätty integrli j integrlifunktio 2 1.1 Integroituvist funktioit 3 1.2 Määrätyn integrlin ominisuuksi 4 1.3 Integrlifunktio 5 1.4 Integrlilskennn tärkeimmät

Lisätiedot

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 5.2.2013

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 5.2.2013 Preliminäärikoe Pitkä Mtemtiikk 5..0 Kokeess s vstt enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä ( * ) merkittyjen tehtävien mksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien mksimipistemäärä on 6.. ) Rtkise yhtälö b)

Lisätiedot

10. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA

10. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA MAA0 0. Määrätyn integrlin käyttö eräiden pint-lojen lskemisess 0. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA Edellä on todettu, että f (x)dx nt x-kselin j suorien x =, x = sekä funktion

Lisätiedot

Analyysin perusteet kauppatieteilijöille P

Analyysin perusteet kauppatieteilijöille P Anlyysin perusteet kupptieteilijöille 800118P Luentomoniste Kri Myllylä Niin Korteslhti Topi Törmä Oulun yliopisto Mtemttisten tieteiden litos Kevät 2017 Sisältö 1 Derivtt 3 1.1 Määritelmä..............................

Lisätiedot

MS-A010{2,3,4,5} (SCI, ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali

MS-A010{2,3,4,5} (SCI, ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali MS-A1{2,3,4,5} (SC, ELEC*, ENG*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 8: ntegrlifunktio j epäoleellinen integrli Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos November

Lisätiedot

Matematiikan perusteet taloustieteilijöille 2 800118P

Matematiikan perusteet taloustieteilijöille 2 800118P Mtemtiikn perusteet tloustieteilijöille 2 800118P Luentomoniste Kri Myllylä Niin Korteslhti Oulun yliopisto Mtemttisten tieteiden litos Kevät 2014 Sisältö 1 Mtriisilgebr j optimointi 4 11 Määritelmä 4

Lisätiedot

a = x 0 < x 1 < x 2 < < x n = b f(x) dx = I. lim f(x k ) x k=1

a = x 0 < x 1 < x 2 < < x n = b f(x) dx = I. lim f(x k ) x k=1 5 Integrli 5.1 Määritelmä j ominisuudet Olkoon f : [, b] R jtkuv. Muodostetn välin [, b] jko = x 0 < x 1 < x 2 < < x n = b j siihen liittyvä yläsumm S = n M k (x k x k 1 ), M k = mx{f(x) x k 1 x x k },

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Mtemtiikn tukikurssi Kurssikert 4 Tilvuuden j vipn ln lskeminen Kuten iemmin käsittelimme, määrätyn integrlin vull voi lske pintloj j tilvuuksi. Tyypillisenä sovelluksen tilvuuden lskemisest on tpus, joss

Lisätiedot

Laudatur 10 MAA10 ratkaisut kertausharjoituksiin

Laudatur 10 MAA10 ratkaisut kertausharjoituksiin Ludtur MAA rtkisut kertushrjoituksiin Integrlifunktio. ) Jokin integrli funktio on esimerkiksi F( ) b) Kikki integrlifunktiot F( ) + C, missä C on vkio Vstus: ) F( ) b) F( ) + C, C on vkio. Kikki integrlifunktiot

Lisätiedot

II.1. Suppeneminen., kun x > 0. Tavallinen lasku

II.1. Suppeneminen., kun x > 0. Tavallinen lasku II. EPÄOLEELLISET INTEGRAALIT nt II.. Suppeneminen Esim. Olkoon f() =, kun >. Tvllinen lsku = / =. Kuitenkn tätä integrli ei ole ikisemmss mielessä määritelty, kosk f ei ole rjoitettu välillä [, ] (eikä

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 9: Integroimismenetelmät

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 9: Integroimismenetelmät MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 9: Integroimismenetelmät Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos 10.10.2016 Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen (Alto-yliopisto,

Lisätiedot

Matemaattiset menetelmät I. Seppo Hassi

Matemaattiset menetelmät I. Seppo Hassi Mtemttiset menetelmät I Seppo Hssi Syksy 2011 iii Esipuhe Tämä on 1. versio Mtemttiset menetelmät I-kurssin opetusmonisteest, jok perustuu Vsn yliopistoss luennoimni vstvn nimiseen kurssiin. Sisältö noudtt

Lisätiedot

5 Epäoleellinen integraali

5 Epäoleellinen integraali 5 Epäoleellinen integrli 5. Integrlin suppeneminen Olkoon f sellinen välillä [, b[ (ei siis välttämättä pisteessä b) määritelty funktio, että f on Riemnn-integroituv välillä [, ] kikill ], b[ eli on olemss

Lisätiedot

MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 9: Integroimismenetelmät

MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 9: Integroimismenetelmät MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 9: Integroimismenetelmät Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos November 27, 2017 Pekk Alestlo,

Lisätiedot

Matematiikan peruskurssi. Seppo Hassi

Matematiikan peruskurssi. Seppo Hassi Mtemtiikn peruskurssi Seppo Hssi Syksy 2014 iii Esipuhe Tämä on 1. versio Mtemtiikn peruskurssin opetusmonisteest, jonk sisältö noudttelee pitkälti Vsn yliopistoss iemmin luennoimni Mtemttiset menetelmät

Lisätiedot

Mikrotalousteoria 2, 2008, osa III

Mikrotalousteoria 2, 2008, osa III Sisältö Mikrotlousteori 2, 2008, os III Yrityksen tuotntofunktiost 2 Pnosten substituoitvuus 2 3 Yrityksen teori 3 4 Mittkvedut tuotnnoss 5 5 Yksikkökustnnusten j skltuottojen steen välinen yhteys 5 6

Lisätiedot

OSA 1: POLYNOMILASKENNAN KERTAUSTA, BINOMIN LASKUSÄÄNTÖJÄ JA YHTÄLÖNRATKAISUA

OSA 1: POLYNOMILASKENNAN KERTAUSTA, BINOMIN LASKUSÄÄNTÖJÄ JA YHTÄLÖNRATKAISUA OSA 1: POLYNOMILASKENNAN KERTAUSTA, BINOMIN LASKUSÄÄNTÖJÄ JA YHTÄLÖNRATKAISUA Tekijät: Ari Heimonen, Hellevi Kupil, Ktj Leinonen, Tuomo Tll, Hnn Tuhknen, Pekk Vrniemi Alkupl Tiedekeskus Tietomn torninvrtij

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi. Hannu Kivimäki

Matematiikan tukikurssi. Hannu Kivimäki Mtemtiikn tukikurssi Hnnu Kivimäki Sisältö I Ensimmäinen välikoe Integrointi 2 Osittisintegrointi 5 3 Osmurtohjotelm 4 Lisää osmurtoj 4 5 Sijoituskeino 9 6 Määrätty integrli 2 7 Ylä- j lsumm 22 8 Määrätyn

Lisätiedot

Syksyn 2015 Pitkän matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut

Syksyn 2015 Pitkän matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut Sksn 0 Pitkän mtemtiikn YO-kokeen TI-Nspire CAS -rtkisut Tekijät: Olli Krkkulinen Rtkisut on ldittu TI-Nspire CAS -tietokoneohjelmll kättäen Muistiinpnot -sovellust. Kvt j lskut on kirjoitettu Mth -ruutuihin.

Lisätiedot

Analyysi 2. Harjoituksia lukuihin 1 3 / Kevät Anna sellainen välillä ] 2, 2[ jatkuva ja rajoitettu funktio f, että

Analyysi 2. Harjoituksia lukuihin 1 3 / Kevät Anna sellainen välillä ] 2, 2[ jatkuva ja rajoitettu funktio f, että Anlyysi Hrjoituksi lukuihin 3 / Kevät 5. Ann sellinen välillä ], [ jtkuv j rjoitettu funktio f, että () sup A m A j inf A min A, (b) sup A m A j inf A = min A, (c) sup A = m A j inf A min A, (d) sup A

Lisätiedot

11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS

11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS 11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS Tilvuus on sen verrn rkielämässä viljelty käsite, että useimmiten sen syvemmin edes miettimättä ymmärretään, mitä juomlsin ti pikkuvuvn kylpymmeen tilvuudell trkoitetn.

Lisätiedot

Ville Turunen: Mat Matematiikan peruskurssi P1 3. välikokeen alueen teoriatiivistelmä 2007

Ville Turunen: Mat Matematiikan peruskurssi P1 3. välikokeen alueen teoriatiivistelmä 2007 Ville Turunen: Mt-.4 Mtemtiikn peruskurssi P 3. välikokeen lueen teoritiivistelmä 27 Mterili: kirjt [Adms] R. A. Adms: Clculus, complete course (6th edition), [Ly] D. C. Ly: Liner lgebr nd its pplictions

Lisätiedot

( ) Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 321 Päivitetty 19.2.2006. Saadaan yhtälö. 801 Paraabeli on niiden pisteiden ( x,

( ) Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 321 Päivitetty 19.2.2006. Saadaan yhtälö. 801 Paraabeli on niiden pisteiden ( x, Pyrmidi Anlyyttinen geometri tehtävien rtkisut sivu Päivitetty 9..6 8 Prbeli on niiden pisteiden (, y) joukko, jotk ovt yhtä kukn johtosuorst j polttopisteestä. Pisteen (, y ) etäisyys suorst y = on d

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Mtemtiikn tukikurssi Kurssikert 5 1 Jtkuvuus Trkstelln funktiot fx) josskin tietyssä pisteessä x 0. Tämä funktio on tässä pisteessä joko jtkuv ti epäjtkuv. Jtkuvuuden ymmärtää prhiten trkstelemll epäjtkuv

Lisätiedot

3 Integraali ja derivaatta

3 Integraali ja derivaatta 3 Integrli j erivtt 3.1 Integrli ylärjns funktion Olkoon funktio f Riemnn-integroituv välin I jokisell suljetull osvälillä j välin I jokin kiinteä luku. Tällöin integrli määrittelee funktion G(): I R,

Lisätiedot

Ristitulo ja skalaarikolmitulo

Ristitulo ja skalaarikolmitulo Ristitulo j sklrikolmitulo Opetussuunnitelmn 00 mukinen kurssi Vektorit (MAA) sisältää vektoreiden lskutoimituksist keskeisenä ineksen yhteenlskun, vähennyslskun, vektorin kertomisen luvull j vektoreiden

Lisätiedot

x k 1 Riemannin summien käyttö integraalin approksimointiin ei ole erityisen tehokasta; jatkuvasti derivoituvalle funktiolle f virhe b

x k 1 Riemannin summien käyttö integraalin approksimointiin ei ole erityisen tehokasta; jatkuvasti derivoituvalle funktiolle f virhe b 5 Integrlien lskemisest 51 Riemnnin summt [A2], [4, 61] Rjoitetun funktion f : [, b] R Riemnn-integroituvuudelle ytäpitäväksi on kurssill Anlyysi 2 osoitettu, että Riemnnin summill S P := f(ξ k ) ( ),

Lisätiedot

5 ( 1 3 )k, c) AB 3AC ja AB AC sekä vektoreiden AB ja

5 ( 1 3 )k, c) AB 3AC ja AB AC sekä vektoreiden AB ja MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Hrjoitustehtäviä syksy 4. Millä reliluvun rvoill ) 9 =, b) + +, e) 5?. Kirjoit Σ-merkkiä käyttäen summt 4, ) + 4 + 6 + +, b) 8 + 4 6 + + n n, c) + + + 4 + + 99, d)

Lisätiedot

7 Funktiosarjoista. 7.1 Funktiosarjojen suppeneminen

7 Funktiosarjoista. 7.1 Funktiosarjojen suppeneminen 7 Funktiosrjoist 7. Funktiosrjojen suppeneminen Seurvksi trkstelln srjoj, joiden termit ovt (lukujen sijst) jollkin välillä I määriteltyjä funktioit. Täsmällisemmin funktiosrjll (ti lyhyemmin srjll) trkoitetn

Lisätiedot

521. 522. 523. 524. 525. 526. 527. 12. Lisää määrätystä integraalista. 12.1. Integraalin arvioimisesta. Osoita: VASTAUS: Osoita: Osoita:

521. 522. 523. 524. 525. 526. 527. 12. Lisää määrätystä integraalista. 12.1. Integraalin arvioimisesta. Osoita: VASTAUS: Osoita: Osoita: 12. Lisää määrätystä integrlist 12.1. Integrlin rvioimisest 521. Osoit: 1 + x 2 22 1 < < 1 + x21 21. 522. Osoit: x 3 < 5 x 6 + 8x + 9 < 15 1 5. 523. Osoit: 2 2 < e x2 x < 2e 2. e 524. Olkoon k >. Osoit:

Lisätiedot

Integraalilaskentaa. 1. Mihin integraalilaskentaa tarvitaan? MÄNTÄN LUKIO

Integraalilaskentaa. 1. Mihin integraalilaskentaa tarvitaan? MÄNTÄN LUKIO Integrlilskent Tämä on lukion oppimterileist hiemn poikkev yksinkertistettu selvitys määrätyn integrlin lskemisest. Kerromme miksi integroidn, mitä integroiminen trkoitt, miten integrli lsketn j miten

Lisätiedot

Määritelmä Olkoon C R m yksinkertainen kaari ja γ : [a, b] R m sen yksinkertainen parametriesitys, joka on paloittain C 1 -polku.

Määritelmä Olkoon C R m yksinkertainen kaari ja γ : [a, b] R m sen yksinkertainen parametriesitys, joka on paloittain C 1 -polku. Muodostetn vektorikentän kri-integrli yksinkertisen kren tpuksess. Plutetn mieleen, että joukko C R m on yksinkertinen kri, jos löytyy sellinen jtkuv bijektio γ : [, b] C, jok on ploittin C 1 -funktio

Lisätiedot

Tee B-osion konseptiin etusivulle pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Välivaiheet perustelevat vastauksesi!

Tee B-osion konseptiin etusivulle pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Välivaiheet perustelevat vastauksesi! MAA8 Koe 4.4.016 Jussi Tyni Tee B-osion konseptiin etusivulle pisteytysruudukko! Muist kirjt nimesi j ryhmäsi. Väliviheet perustelevt vstuksesi! A-osio. Ilmn lskint. MAOLi s käyttää. Mksimissn 1h ik. Lske

Lisätiedot

SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT Funktiojonot 1

SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT Funktiojonot 1 SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 JOUNI PARKKONEN Sisältö 0. Tästä tekstistä. Funktiojonot 0. Tästä tekstistä Tämä moniste on trkoitettu käytettäväksi kurssin Srjt j differentiliyhtälöt luentomterilin.

Lisätiedot

MITEN MÄÄRITÄN ASYMPTOOTIT?

MITEN MÄÄRITÄN ASYMPTOOTIT? MITEN MÄÄRITÄN ASYMPTOOTIT? Asmptootti Asmptootti on suor ti muu kärä, jot funktion kuvj f() rjtt lähest, kun muuttujn rvot lähestvät tiettä luku ti ääretöntä. Rjoitutn luksi niihin tpuksiin, joiss smptootti

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Mtemtiikn tukikurssi Kurssikert 3 Määrätyn integrlin lskeminen Aiemmin määrittelimme määrätyn integrlin f (x)dx funktion f (x) l- j yläsummien rj-rvon. Määrätyllä integrlill on kksi intuitiivist tulkint:.

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ PISTEYTYSKOKOUS

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ PISTEYTYSKOKOUS 0 MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 30 PISTEYTYSKOKOUS 0 ) Sijoitetn x 0 Rtkistn = 0/04,0000 b) Jos neliön sivu on s, niin lävistäjä on s Ehto: s 6 s + s = 6, s 6 3 4s 6,70, joten piiri ) Suorn yhtälö

Lisätiedot

TEHTÄVÄ 1. Olkoon (f n ) jono jatkuvia funktioita f n : [a, b] R, joka suppenee välillä [a, b] tasaisesti kohti funktiota f : [a, b] R.

TEHTÄVÄ 1. Olkoon (f n ) jono jatkuvia funktioita f n : [a, b] R, joka suppenee välillä [a, b] tasaisesti kohti funktiota f : [a, b] R. Topologi I Hrjoitus 10, rtkisuj AP TEHTÄVÄ 1. Olkoon (f n ) jono jtkuvi funktioit f n : [, b] R, jok suppenee välillä [, b] tsisesti kohti funktiot f : [, b] R. Osoit, että tällöin f n (x) dx f(x) dx.

Lisätiedot

Viikon aiheet. Pinta-ala

Viikon aiheet. Pinta-ala info Viikon iheet Mpu I:sen voit suoritt: Kurssin loppukokeess 23.10. Arvosn: koe + lskrit Mikäli yo. ik ei sovi, voit suoritt loppukokeen yleistenttitilisuudess 24.11. Arvosn: koe + lskrit. Ilmoittudu

Lisätiedot

4 Taso- ja avaruuskäyrät

4 Taso- ja avaruuskäyrät P2-luentoj kevät 2008, Pekk Alestlo 4 Tso- j vruuskäyrät Tässä luvuss tutustutn tso- j vruuskäyriin, niiden krenpituuteen j krevuuteen. Konkreettisin sovelluksin trkstelln nnettu rt pitkin liikkuvn hiukksen

Lisätiedot

Numeerinen integrointi

Numeerinen integrointi Pitkärnt: Lj mtemtiikk IX9 Numeerinen integrointi IX9 Numeerinen integrointi Numeerisell integroinnill trkoitetn määrätyn integrlin, eli reliluvun I(f,,b) = f(x)dx lskemist numeerisin keinoin (likimäärin)

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 7: Integraali ja analyysin peruslause

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 7: Integraali ja analyysin peruslause MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 7: Integrli j nlyysin perusluse Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos 3.10.2016 Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen

Lisätiedot

Sinilause ja kosinilause

Sinilause ja kosinilause Siniluse j kosiniluse GEOMETRI M3 Mikäli kolmion korkeus j knt tiedetään, voidn pint-l lske. Esimerkki: Lske kolmion l, kun 38 kulmn viereiset sivut ovt 8, j 6,8. Nyt knt tiedetään, korkeutt ei! 38 8,

Lisätiedot

Reaalinen lukualue. Millainen on luku, jossa on päättymätön ja jaksoton desimaalikehitelmä?

Reaalinen lukualue. Millainen on luku, jossa on päättymätön ja jaksoton desimaalikehitelmä? Relinen lukulue POLYNOMIFUNKTIOT JA -YHTÄLÖT, MAA Millinen on luku, joss on päättymätön j jksoton desimlikehitelmä? Onko sellisi? Trkstelln Pythgorn luseest stv yksikköneliön lävistäjää, luku + = x x =.

Lisätiedot

Riemannin integraalista

Riemannin integraalista TAMPEREEN YLIOPISTO Pro grdu -tutkielm Aij Stenberg Riemnnin integrlist Mtemtiikn j tilstotieteen litos Mtemtiikk Syyskuu 2010 2 Tmpereen yliopisto Mtemtiikn j tilstotieteen litos STENBERG, AIJA: Riemnnin

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta Eksponenttifuntio Palautetaan mieliin, että Neperin luvulle e pätee: e ) n n n ) n n n n n ) n. Tästä määritelmästä seuraa, että eksponenttifunktio e x voidaan määrittää

Lisätiedot

Sisältö. Funktiojonot ja -sarjat 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 15

Sisältö. Funktiojonot ja -sarjat 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 15 Funktiojonot j -srjt 10. syyskuut 2005 sivu 1 / 15 Sisältö 1 Funktiojonoist 2 2 Funktiosrjoist 5 3 Funktiojonojen j -srjojen derivointi j integrointi 7 4 Potenssisrjt 9 5 Tylorin polynomit j srjt 12 5.1

Lisätiedot

lim + 3 = lim = lim (1p.) (3p.) b) Lausekkeen täytyy supistua (x-2):lla, joten osoittajan nollakohta on 2.

lim + 3 = lim = lim (1p.) (3p.) b) Lausekkeen täytyy supistua (x-2):lla, joten osoittajan nollakohta on 2. Mtemtiikk III 0600 Kurssi / Differetili- j itegrlilske jtkokurssi Tee 7 tehtävää ) Määritä lim ( ) ) + b) Määritä vkio site, että luseke ( ) + + ( )( ) ( + + ) + + + + + lim + lim lim (p) o jtkuv myös

Lisätiedot

MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 7: Integraali ja analyysin peruslause

MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 7: Integraali ja analyysin peruslause MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 7: Integrli j nlyysin perusluse Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos November 20, 2017

Lisätiedot

Kertymäfunktio. Kertymäfunktio. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 2/2. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 1/2. Kertymäfunktio: Esitiedot

Kertymäfunktio. Kertymäfunktio. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 2/2. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 1/2. Kertymäfunktio: Esitiedot TKK (c) Ilkk Mellin (24) 1 Johdtus todennäköisyyslskentn TKK (c) Ilkk Mellin (24) 2 : Mitä opimme? 1/2 Jos stunnisilmiötä hlutn mllint mtemttisesti, on ilmiön tulosvihtoehdot kuvttv numeerisess muodoss.

Lisätiedot

Numeerinen integrointi.

Numeerinen integrointi. Numeerinen integrointi. Differentili- j integrlilskent 1, syksy 2015 Hrri Vrpnen Mtemtiikn j systeeminlyysin litos Alto-yliopisto Tiisti 6.10.2015 Sisältö Tylor-menetelmä. Käyttökelpoinen silloin, kun

Lisätiedot

Analyysi B. Derivaatta ja integraali. Pertti Koivisto

Analyysi B. Derivaatta ja integraali. Pertti Koivisto Anlyysi B Derivtt j integrli Pertti Koivisto Kevät 7 Alkusnt Tämä moniste on trkoitettu oheislukemistoksi Tmpereen yliopistoss pidettävälle kurssille Anlyysi B. Monisteen tvoitteen on tuke luentojen seurmist,

Lisätiedot

Mika Hirvensalo. Insinöörimatematiikka B 2014

Mika Hirvensalo. Insinöörimatematiikka B 2014 Mik Hirvenslo Insinöörimtemtiikk B 4 Sisältö Rj-rvo j jtkuvuus....................................................... 5. Differentili- j integrlilskennn kehityksestä............................. 5. Relilukujen

Lisätiedot

VEKTOREILLA LASKEMINEN

VEKTOREILLA LASKEMINEN ..07 VEKTOREILL LSKEMINEN YHTEENLSKU VEKTORIT, M4 Vektoreiden j summ on vektori +. Tämän summvektorin + lkupiste on vektorin lkupiste j loppupiste vektorin loppupiste, kun vektorin lkupisteenä on vektorin

Lisätiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1: tiivistelmä ja oheislukemista

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1: tiivistelmä ja oheislukemista Differentili- j integrlilskent 1: tiivistelmä j oheislukemist Pekk Alestlo 4. syyskuut 2014 Tähdellä merkityt kohdt on trkoitettu lähinnä oheislukemistoksi. Lisäksi mukn on joitkin lukiot kertvi kohti,

Lisätiedot

4. Reaalifunktioiden määrätty integraali

4. Reaalifunktioiden määrätty integraali 6 4. Relifunktioiden määrätt integrli Vrsinisesti termi "integrli" tulee seurvss esitettävästä määrätstä integrlist, jok on läheistä suku summmiselle. Yhtes derivttn on sitten perustv ltu olev tulos, jot

Lisätiedot

LINSSI- JA PEILITYÖ TEORIAA. I Geometrisen optiikan perusaksioomat

LINSSI- JA PEILITYÖ TEORIAA. I Geometrisen optiikan perusaksioomat (0) LINSSI- JA PEILITYÖ MOTIVOINTI Tutustutn linsseihin j peileihin geometrisen optiikn mittuksiss Tutkitn vlon käyttäytymistä linsseissä j peileissä Määritetään linssien j peilien polttopisteet Optiset

Lisätiedot

VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 3.6.2014 Ratkaisut ja arvostelu

VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 3.6.2014 Ratkaisut ja arvostelu VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 3.6.4 Rtkisut j rvostelu. Koululisen todistuksen keskirvo x on lskettu ) b) c) d) kymmenen ineen perusteell. Jos koululinen nostisi neljän ineen

Lisätiedot

1.3 Toispuoleiset ja epäoleelliset raja-arvot

1.3 Toispuoleiset ja epäoleelliset raja-arvot . Toisuoleiset j eäoleelliset rj-rvot Rj-rvo lim f () A olemssolo edellyttää että muuttuj täytyy void lähestyä rvo kummst suust hyväsä. Jos > ii sot että lähestyy rvo oikelt ositiivisest suust. Jos ts

Lisätiedot

Esimerkki 8.1 Määritellään operaattori A = x + d/dx. Laske Af, kun f = asin(bx). Tässä a ja b ovat vakioita.

Esimerkki 8.1 Määritellään operaattori A = x + d/dx. Laske Af, kun f = asin(bx). Tässä a ja b ovat vakioita. 8. Operttorit, mtriisit j ryhmäteori Mtemttinen operttori määrittelee opertion, jonk mukn sille nnettu funktiot muoktn. Operttorit ovt erityisen tärkeitä kvnttimekniikss, kosk siinä jokist suurett vst

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 12 1 Eksponenttifuntio Palautetaan mieliin, että Neperin luvulle e pätee: e ) n n n ) n n n n n ) n. Tästä määritelmästä seuraa, että eksponenttifunktio e x voidaan

Lisätiedot

VEKTOREILLA LASKEMINEN

VEKTOREILLA LASKEMINEN 3..07 VEKTOREILLA LASKEMINEN YHTEENLASKU VEKTORIT, MAA Vektoreiden j summ on vektori +. Tämän summvektorin + lkupiste on vektorin lkupiste j loppupiste vektorin loppupiste, kun vektorin lkupisteenä on

Lisätiedot

A-Osio. Valitse seuraavista kolmesta tehtävästä kaksi, joihin vastaat. A-osiossa ei saa käyttää laskinta.

A-Osio. Valitse seuraavista kolmesta tehtävästä kaksi, joihin vastaat. A-osiossa ei saa käyttää laskinta. MAA Loppukoe 5.. Jussi Tyni Tee pisteytysruudukko konseptin yläreunn! Vstuksiin väliviheet, jotk perustelevt vstuksesi! Lue ohjeet huolellisesti! A-Osio. Vlitse seurvist kolmest tehtävästä kksi, joihin

Lisätiedot

a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. 8 3 + 4 2 0 = 16 3 = 3 1 3.

a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. 8 3 + 4 2 0 = 16 3 = 3 1 3. Integraalilaskenta. a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. b) Mitä määrätty integraali tietyllä välillä x tarkoittaa? Vihje: * Integraali * Määrätyn integraalin

Lisätiedot

Sarjaratkaisun etsiminen Maplella

Sarjaratkaisun etsiminen Maplella Srjrtkisun etsiminen Mplell Olkoon trksteltvn ensimmäisen kertluvun differentiliyhtälö: > diffyht:= diff(y(x, x=1y(x^; d diffyht := = dx y( x 1 y( x Tälle pyritään etsimään srjrtkisu origokeskisenä potenssisrjn.

Lisätiedot

funktion voi tarkistaa derivoimalla. Sijoitusmenettely perustuu ketjusääntöön.

funktion voi tarkistaa derivoimalla. Sijoitusmenettely perustuu ketjusääntöön. I.6. Sijoitusmenettely A. Integrlifunktiot Integrlifunktiot etsittäessä on sopiv derivoimissääntö luettv tkperin. funktion voi trkist derivoimll. Sijoitusmenettely perustuu ketjusääntöön. Löydetyn 6..

Lisätiedot

Luku 15. Integraali. Esimerkki Suoraan edellisen luvun derivointikaavojen perusteella on voimassa

Luku 15. Integraali. Esimerkki Suoraan edellisen luvun derivointikaavojen perusteella on voimassa Luku 5. Integrli Merkitsemme seurvss [, b]:llä lukusuorn suljettu väliä { R : b}. Olkoon f välillä [, b] määritelty funktio. Snomme, että välillä [, b] määritelty funktio g on funktion f integrlifunktio

Lisätiedot

Sähkömagneettinen induktio

Sähkömagneettinen induktio ähkömgneettinen inuktio Kun johinsilmukn läpi menevä mgneettikentän vuo muuttuu, silmukkn inusoituu jännite j silmukss lk kulke sähkövit. Mgneettikentässä liikkuvn johtimeen syntyy myös jännite. Näitä

Lisätiedot

Jouni Sampo. 28. marraskuuta 2012

Jouni Sampo. 28. marraskuuta 2012 A2 Jouni Smpo 28. mrrskuut 2012 Sisältö 1 Integrointitekniikoit 2 1.1 Osittisintegrointi (Integrtion by prts)...................... 2 1.2 Sijoitus (Method of Substitution).......................... 2 1.3

Lisätiedot

Kuvausta f sanotaan tällöin isomorfismiksi.

Kuvausta f sanotaan tällöin isomorfismiksi. Määritelmä..12. Oletetn, että 1 =(V 1,E 1 ) j 2 =(V 2,E 2 ) ovt yksinkertisi verkkoj. Verkot 1 j 2 ovt isomorfiset, jos seurvt ehdot toteutuvt: (1) on olemss bijektio f : V 1 V 2 (2) kikill, b V 1 pätee,

Lisätiedot

.) (b) Vertaa p :tä vastaavaa kineettistä energiaa perustilan kokonaisenergiaan. ( ) ( ) = = Ek

.) (b) Vertaa p :tä vastaavaa kineettistä energiaa perustilan kokonaisenergiaan. ( ) ( ) = = Ek S-446, FYSIIKKA IV (Sf) Kevät 5, HSf Rtkisut HSf- Kvnttimekninen hrmoninen värähtelijä on perustillln (mss m) Värähtelyn mplitudi on A () ske p (Värähtelijä sijitsee välillä A ) (b) Vert p :tä vstv kineettistä

Lisätiedot

R4 Harjoitustehtävien ratkaisut

R4 Harjoitustehtävien ratkaisut . Mitkä seurvist lusekkeist eivät ole polynomej? Miksi eivät? Polynomin termine eksponentti on luonnollinen luku, ne lusekkeet, joiss eksponentti ei ole luonnollinen luku ei ole myöskään polynomi.. x x

Lisätiedot

Painopiste. josta edelleen. x i m i. (1) m L A TEX 1 ( ) x 1... x k µ x k+1... x n. m 1 g... m n g. Kuva 1. i=1. i=k+1. i=1

Painopiste. josta edelleen. x i m i. (1) m L A TEX 1 ( ) x 1... x k µ x k+1... x n. m 1 g... m n g. Kuva 1. i=1. i=k+1. i=1 Pinopiste Snomme ts-ineiseksi kpplett, jonk mteriliss ei ole sisäisiä tiheyden vihteluj. Tällisen kppleen pinopisteen sijinti voidn joskus päätellä kppleen muodon perusteell. Esimerkiksi ts-ineisen pllon

Lisätiedot

Matematiikan perusteet taloustieteilij oille I

Matematiikan perusteet taloustieteilij oille I Matematiikan perusteet taloustieteilijöille I Harjoitukset syksy 2006 1. Laskeskele ja sieventele a) 3 27 b) 27 2 3 c) 27 1 3 d) x 2 4 (x 8 3 ) 3 y 8 e) (x 3) 2 f) (x 3)(x +3) g) 3 3 (2x i + 1) kun, x

Lisätiedot

Olkoon funktion f määrittelyjoukkona reaalilukuväli (erityistapauksena R). Jos kaikilla määrittelyjoukon luvuilla x 1 ja x 2 on voimassa ehto:

Olkoon funktion f määrittelyjoukkona reaalilukuväli (erityistapauksena R). Jos kaikilla määrittelyjoukon luvuilla x 1 ja x 2 on voimassa ehto: 4 Reaalifunktiot 4. Funktion monotonisuus Olkoon funktion f määrittelyjoukkona reaalilukuväli (erityistapauksena R). Jos kaikilla määrittelyjoukon luvuilla x ja x on voimassa ehto: "jos x < x, niin f (x

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kertausluento 2. välikokeeseen Toisessa välikokeessa on syytä osata ainakin seuraavat asiat:. Potenssisarjojen suppenemissäde, suppenemisväli ja suppenemisjoukko. 2. Derivaatan

Lisätiedot

sin θ θ θ r 2 sin 2 θ φ 2 = 0.

sin θ θ θ r 2 sin 2 θ φ 2 = 0. Mtemtiikn j tilstotieteen litos Osittisdifferentiliyhtälöt Kevät 21 Hrjoitus 9 Rtkisuj Jussi Mrtin 1. Osoit, että Lplce-yhtälö pllokoordinteiss on 2 u 1 r 2 2 u r r 1 r 2 sin θ u 1 2 u sin θ θ θ r 2 sin

Lisätiedot

IV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n

IV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n IV. TASAINEN SUPPENEMINEN IV.. Funktiojonon tasainen suppeneminen Olkoon A R joukko ja f n : A R funktio, n =, 2, 3,..., jolloin jokaisella x A muodostuu lukujono f x, f 2 x,.... Jos tämä jono suppenee

Lisätiedot

Paraabelikin on sellainen pistejoukko, joka määritellään urakäsitteen avulla. Paraabelin jokainen piste toteuttaa erään etäisyysehdon.

Paraabelikin on sellainen pistejoukko, joka määritellään urakäsitteen avulla. Paraabelin jokainen piste toteuttaa erään etäisyysehdon. 5. Prbeli Prbelikin on sellinen pistejoukko, jok määritellään urkäsitteen vull. Prbelin jokinen piste toteutt erään etäissehdon. ********************************************** MÄÄRITELMÄ : Prbeli on tson

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 2 Lisää osamurtoja Tutkitaan jälleen rationaalifunktion P(x)/Q(x) integrointia. Aiemmin käsittelimme tapauksen, jossa nimittäjä voidaan esittää muodossa Q(x) = a(x x

Lisätiedot

5.4 Ellipsi ja hyperbeli (ei kuulu kurssivaatimuksiin, lisätietoa)

5.4 Ellipsi ja hyperbeli (ei kuulu kurssivaatimuksiin, lisätietoa) 5.4 Ellipsi j hypereli (ei kuulu kurssivtimuksiin, lisätieto) Aurinkokuntmme plneett kiertävät Aurinko ellipsin (=litistyneen ympyrän) muotoist rt, jonk toisess polttopisteessä Aurinko on. Smoin Mt kiertävät

Lisätiedot

8.4 Gaussin lause Edellä laskettiin vektorikentän v = rf(r) vuo R-säteisen pallon pinnan läpi, tuloksella

8.4 Gaussin lause Edellä laskettiin vektorikentän v = rf(r) vuo R-säteisen pallon pinnan läpi, tuloksella H 8.3.2 uontegrlt: vektoreden pntntegrlt Tvllsn tpus pntntegrlest on lske vektorkentän vuo pnnn läp: Trkstelln pnt j sllä psteessä P (x, y, z olev pnt-lkot d. Määrtellään vektorlnen pnt-lko d sten, että

Lisätiedot

SUORAKULMAINEN KOLMIO

SUORAKULMAINEN KOLMIO Clulus Lukion Täydentävä ineisto 45 0 45 60 ( - ) + SUORKULMINEN KOLMIO Pvo Jäppinen lpo Kupiinen Mtti Räsänen Suorkulminen kolmio Suorkulminen kolmio Käsillä olev Lukion Clulus -srjn täydennysmterili

Lisätiedot

i 2 n 3 ( (n 1)a (i + 1) 3 = 1 +

i 2 n 3 ( (n 1)a (i + 1) 3 = 1 + I. INTEGRAALILASKENTA Arkhimedes (287 22 e.kr.) prbelin segmentin pint-l Newton (642 727) j Leibniz (646 76) keksivät diff.- j int.-lskennn Cuhy (789 857) ε, δ Riemnn (826 866) Riemnnin integrli Lebesgue

Lisätiedot

Ratkaisu: Tutkitaan derivoituvuutta Cauchy-Riemannin yhtälöillä: f(x, y) = u(x, y) + iv(x, y) = 2x + ixy 2. 2 = 2xy xy = 1

Ratkaisu: Tutkitaan derivoituvuutta Cauchy-Riemannin yhtälöillä: f(x, y) = u(x, y) + iv(x, y) = 2x + ixy 2. 2 = 2xy xy = 1 1. Selvitä missä tason pisteissä annetut funktiot ovat derivoituvia/analyyttisiä. Määrää funktion derivaatta niissä pisteissä, joissa se on olemassa. (a) (x, y) 2x + ixy 2 (b) (x, y) cos x cosh y i sin

Lisätiedot

H7 Malliratkaisut - Tehtävä 1

H7 Malliratkaisut - Tehtävä 1 H7 Malliratkaisut - Tehtävä Eelis Mielonen 7. lokakuuta 07 a) Palautellaan muistiin Maclaurin sarjan määritelmä (Taylorin sarja origon ympäristössä): f n (0) f(x) = (x) n Nyt jos f(x) = ln( + x) saadaan

Lisätiedot

Johdatus fraktaaliderivaattoihin ja niiden sovelluksiin

Johdatus fraktaaliderivaattoihin ja niiden sovelluksiin Jodtus frktliderivttoiin j niiden sovelluksiin Hnn Hlinen Mtemtiikn pro grdu Jyväskylän yliopisto Mtemtiikn j tilstotieteen litos Kesä 4 Tiivistelmä: Hnn Hlinen, Jodtus frktliderivttoiin j niiden sovelluksiin

Lisätiedot

JATKUVUUS. Funktio on jatkuva jos sen kuvaaja voidaan piirtää nostamatta kynää paperista.

JATKUVUUS. Funktio on jatkuva jos sen kuvaaja voidaan piirtää nostamatta kynää paperista. JATKUVAT FUNKTIOT JATKUVUUS Jatkuva funktio Epäjatkuva funktio Funktio on jatkuva jos sen kuvaaja voidaan piirtää nostamatta kynää paperista., suomennos Matti Pauna JATKUVUUS Jatkuva funktio Epäjatkuva

Lisätiedot

Matematiikan peruskurssi 2

Matematiikan peruskurssi 2 Matematiikan peruskurssi Tentti, 9..06 Tentin kesto: h. Sallitut apuvälineet: kaavakokoelma ja laskin, joka ei kykene graaseen/symboliseen laskentaan Vastaa seuraavista viidestä tehtävästä neljään. Saat

Lisätiedot

MATEMATIIKAN HARJOITTELUMATERIAALI

MATEMATIIKAN HARJOITTELUMATERIAALI SAVONIA-AMMATTIKORKEAKOULU Tekniikk Infrrkentmisen j kivnnisln työnjohdon koulutus (ESR) MATEMATIIKAN HARJOITTELUMATERIAALI Ari Tuomenlehto - 0 - Lusekkeen käsittelyä Luseke j lusekkeen rvo Näkyviin merkittyä

Lisätiedot

Lebesguen integraali - Rieszin määritelmä

Lebesguen integraali - Rieszin määritelmä Lebesguen integrli - Rieszin määritelmä Tru Lehtonen Mtemtiikn pro grdu-tutkielm Jyväskylän yliopisto Mtemtiikn j tilstotieteen litos Kevät 216 Tiivistelmä Jyväskylän Yliopisto Lehtonen, Tru Puliin: Lebesguen

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Mtemtiikn tukikurssi Integrointi Integrointi on derivoinnin käänteistoimitus: jos funktion F(x) derivtt on f (x), niin funktion f (x) integrli on F(x). Täten, kosk esimerkiksi funktion x + e x derivtt

Lisätiedot

l 1 2l + 1, c) 100 l=0

l 1 2l + 1, c) 100 l=0 MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 5. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) 5 + 5 +, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + + 5 + + 99, b) 5 + 4 65 + + n 5 n, c)

Lisätiedot

l 1 2l + 1, c) 100 l=0 AB 3AC ja AB AC sekä vektoreiden AB ja

l 1 2l + 1, c) 100 l=0 AB 3AC ja AB AC sekä vektoreiden AB ja MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 7. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) + 5 + +, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + + 5 + + 99, b) 5 + 4 65 + + n 5 n, c) +

Lisätiedot

Integroimistehtävät, 10. syyskuuta 2005, sivu 1 / 29. Perustehtäviä. Tehtävä 1. Osoita, että vakiofunktio f(x) c on Riemann-integroituva välillä

Integroimistehtävät, 10. syyskuuta 2005, sivu 1 / 29. Perustehtäviä. Tehtävä 1. Osoita, että vakiofunktio f(x) c on Riemann-integroituva välillä Integroimistehtävät,. syyskuut 5, sivu / 9 Perustehtäviä Tehtävä. Osoit, että vkiofunktio f(x) c on Riemnn-integroituv välillä [, b] j lske suorn määritelmän perusteell b f(x). Tehtävä. Osoit, että funktio,

Lisätiedot