1. Yhtälöiden ratkaisemisesta Olkoon f välillä [a, b] jatkuva funktio, jolle f(a) f(b) < 0. Bolzanon lauseen [A1]

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "1. Yhtälöiden ratkaisemisesta Olkoon f välillä [a, b] jatkuva funktio, jolle f(a) f(b) < 0. Bolzanon lauseen [A1]"

Transkriptio

1 1. Yhtälöiden rtkisemisest Olkoon f välillä [, b] jtkuv funktio, jolle f() f(b) <. Bolznon luseen [A1] nojll pisteiden j b välissä on piste ξ, missä f(ξ) =. Eräs tvnominen todistusmenetelmä käyttää relilukujen supremum-täydellisyysksioom seurvsti: Oletetn, että f() < j f(b) >. Asetetn A := {x [, b] f(x) < }. Tällöin A on epätyhjä (kosk A) j (ylöspäin) rjoitettu joukko, joten sillä on pienin ylärj ξ := sup A. Se, että ξ on yhtälön f(x) = juuri todetn epäsuorsti: Jos olisi f(ξ), niin f(ξ) > ti f(ξ) <. Jos f(ξ) >, niin jtkuvuuden nojll f(x) > josskin pisteen ξ ympäristössä (ξ δ, ξ +δ). Mutt tällöin ξ δ olisi joukon A ylärj. (Luvun ξ vlinnn nojll f(x) kikille x ξ; nyt f(x) kikille x ξ δ.) Jos ts f(ξ) <, niin jtkuvuuden nojll f(x) < josskin pisteen ξ ympäristössä (ξ δ, ξ + δ). Mutt tällöin joukon A ylärj olisi vhintään ξ + δ. Yllä olevn päättelyn vull voidn siis näyttää, että yhtälöllä f(x) = on rtkisu, kunhn f on jtkuv jollkin välillä j välin päätepisteissä se svutt erimerkkiset rvot. Yllä olev todistus ei kuitenkn ole konstruktiivinen; se ei nn minkäänlist pu juuren ξ määräämiseen. Ns. hrukointi eli sisäkkäisten välien perite on tässä suhteess pljon prempi menetelmä. Oletetn, että f() < j f(b) >. Asetetn :=, b := b. (1) Asetetn c := 1 ( + b ). () Jos f(c) =, niin c on yhtälölle hettu juuri. (3) Jos f(c) >, niin setetn 1 :=, b 1 := c. (4) Jos f(c) <, niin setetn 1 := c, b 1 := b. (5) Toistetn edelliset päättelyt kohdst (1) lken niin, että korvtn luvull 1 j b luvull b 1. Näin sdn ksvv lukujono ( j ) j j vähenevä lukujono (b j ) j, joille on voimss j < b j, b j j = j (b ) j f( j ) < sekä f(b j ) >. Näistä ehdoist (jtkuvuuden knss) seur, että jonoill on sm rj-rvo ξ := lim j j = lim j b j j f(ξ) = lim j f( j ) sekä f(ξ) = lim j f(b j ). Siis f(ξ) =, eli hluttu juuri löydetään. Lisäksi tämä menetelmä nt mhdollisuuden määrätä likirvot j j b j juurelle ξ, joten menetelmä on konstruktiivinen Seknttimenetelmä. [5, luku II, ], [4, 6.3.b], [1, 1.1] Myös Regul flsi ( väärä sijinti ; khden virheen menetelmä). Olkoon f välillä [, b] jtkuv funktio j x, x 1 [, b], joille f(x ) f(x 1 ) <. Bolznon luseen nojll pisteiden x j x 1 välissä on piste ξ, missä f(ξ) =. Seknttimenetelmän iden on korvt funktion f kuvj pisteitä (x, f(x )) j (x 1, f(x 1 )) yhdistävällä jnll. Likirvon yhtälön f(x) = juurelle ξ voidn pitää pisteitä (x, f(x )) j (x 1, f(x 1 )) yhdistävän jnn j x-kselin leikkuskoht, joss olkoon x = x. Suorn yhtälö on y f(x ) = f(x 1) f(x ) x 1 x (x x ), 1 Viimeksi muutettu

2 joten leikkuspisteelle (x, ) sdn x 1 x (1.1) x = x f(x 1 ) f(x ) f(x ). Tämän kvn mukisesti voidn edetä (eli sdn lgoritmi): (1) Vlitn pistepri x, x 1 väliltä [, b] niin, että f(x ) f(x 1 ) <. () Määrätään x kvn (1.1) mukisesti. (3) Jos f(x 1 ) f(x ) <, vihdetn prin (x, x 1 ) tillle (x 1, x ). (4) Jos f(x 1 ) f(x ) >, niin f(x ) f(x ) <, jolloin prin (x, x 1 ) tillle otetn (x, x ). (Jos f(x 1 ) f(x ) =, niin x on yhtälön f(x) = juuri.) (5) Toistetn, kunnes mx{ x x, x 1 x } on riittävän pieni. Trkstelln seurvksi juuren ξ likirvon x trkkuutt, t.s. selvitetään kuink iso ξ x on muiden suureiden vull ilmistun. Tässä oletetn, että f on välillä [, b] kksi kert jtkuvsti differentioituv. Pisteet (x, f(x )) j (x 1, f(x 1 )) yhdistävän suorn yhtälö on y = L(x), kun L(x) := (x x ) f(x 1 ) (x x 1 ) f(x ) x 1 x, x [, b]. Osoitetn luksi, että jokiselle x [, b] on olemss η x [, b] (vieläpä niin, että η x on pienimmällä pisteet x, x j x 1 sisältävällä välillä) niin, että f(x) L(x) = 1 f (η x )(x x )(x x 1 ). Oletetn yksinkertisuuden vuoksi, että x on pisteiden x j x 1 välissä. Nimittäin, kun setetn u(z) := f(z) L(z) c (z x )(z x 1 ) j luku c vlitn niin, että u(x) =, niin tällöin on u(x) = u(x ) = u(x 1 ) =. Muist, että L(x ) = f(x ) j L(x 1 ) = f(x 1 ). Rollen luseen nojll pisteiden x j x välissä on η siten, että u (η ) =. Vstvsti pisteiden x j x 1 välissä on η 1 siten, että u (η 1 ) =. Tällöin η η 1. Kun Rollen lusett sovelletn derivttn u j pisteisiin η j η 1, löydetään η x siten, että u (η x ) =. Mutt u (z) = f (z) c, joten c = 1 f (η x ). Luse 1.1. Oletetn, että f on välillä [, b] C -funktio, ξ pisteiden x, x 1 [, b] välissä olev yhtälön f(x) = juuri j x pisteiden x j x 1 välissä olev yhtälön L(x) = juuri. Oletetn lisäksi, että f (x) kikille x [, b]. Tällöin pisteiden x j x 1 välissä on olemss pisteet η j ζ siten, että ξ x = 1 f (η) f (ζ) (x x )(x x 1 ). Erityisesti, jos lisäksi on olemss vkiot m > j M > siten, että f (x) m j f (x) M kikille x [, b], niin ξ x 1 M m x x x x 1. Todistus. Kun edellistä putulost sovelletn pisteeseen x = x, sdn f(x ) = f(x ) L(x ) = 1 f (η x )(x x )(x x 1 ). Toislt välirvoluseen nojll f(x ) = f(x ) f(ξ) = f (ζ)(ξ x )

3 3 jollekin pisteiden x j x 1 välissä olevlle pisteelle ζ. Pisteeksi η käy siis η x. Jälkimmäinen väite seur välittömästi sdust yhtälöstä. 1.. Newtonin menetelmä I. [1, luku II, ] [5, luku II, 4] [4, 6.3.; 6.3.d], [11, 4.7], [1, 1.11] Myös Newtonin j Rphsonin menetelmä. Menetelmän ide on geometrisesti seurv: Olkoon x likirvo yhtälön f(x) = juurelle. Korvtn funktion f kuvj pisteeseen x piirretyllä tngentilln eli suorll, jonk yhtälö on y f(x ) = f (x ) (x x ). Tämän tngentin j x-kselin leikkuskoht, joss olkoon x = x 1, nt uuden likirvon yhtälön f(x) = juurelle, t.s. x 1 = x 1 f (x ) f(x ). Huom, että tähän tulokseen päästään myös seknttimenetelmästä, kun yhtälössä (1.1) nnetn x 1 x. Luse 1.. Oletetn, että f on välillä [, b] C -funktio j että (i) f() f(b) < ; (ii) f (x) kikille x [, b]; (iii) f (x) kikille x [, b] ti f (x) kikille x [, b]; (iv) jos c on välin [, b] päätepiste, joss f (x) s pienemmän rvon, niin Olkoon x [, b] j määritellään jono f(c) f (c) b. (1.) x k+1 = x k 1 f (x k ) f(x k). Tällöin jono (x k ) k=1 suppenee kohti yhtälön f(x) = (inot) juurt. Todistus. Oletetn, että f() <, f(b) > j f (x) (muut tpukset jätetään lukijn tehtäväksi). Tällöin f on idosti ksvv j c = b. Olkoon ξ pisteiden j b välissä olev yhtälön f(x) = ino juuri. Olkoon luksi x [, ξ]. Ksvvuuden nojll on f(x ), joten x 1 = x f(x )/f (x ) x. Osoitetn, että x k ξ j x k+1 x k kikille k N. Kun k =, molemmt väitteet toteutuvt (x ξ on oletus). Jos x k ξ, niin välirvoluseen nojll f(x k ) = f(ξ) f(x k ) = (ξ x k ) f (η) jollekin η (x k, ξ). Oletuksen f (x) nojll derivtt f on vähenevä, joten f (η) f (x k ). Siis f(x k ) (ξ x k ) f (x k ), Menetelmä on peräisin Isc Newtonilt vuodelt 1669, yhtälönä x 3 x 5 =.

4 4 t.s. x k+1 = x k f(x k )/f (x k ) x k + (ξ x k ) = ξ. Kosk f(x) välillä [x, ξ], on f(x k+1 ) j x k+ = x k+1 f(x k+1 )/f (x k+1 ) x k+1. Molemmt väitteet toteutuvt siis myös indeksille k + 1. Ksvvll j rjoitetull jonoll (x k ) k= [x, ξ] on rj-rvo ξ [x, ξ]. Kun yhtälössä (1.) nnetn k, sdn ξ = ξ f(ξ )/f (ξ ), jost seur f(ξ ) =. Kosk ξ on yhtälön f(x) = ino välillä [, b] olev juuri, on ξ = ξ. Jos x [ξ, b], sdn välirvoluseen nojll f(x ) = f (η)(x ξ) jollekin η (ξ, x ). Kosk f on vähenevä, on f (η) f (x ), joten f(x ) f (x )(x ξ) j x 1 = x f(x )/f (x ) x (x ξ) = ξ. Toislt f(x ) f(b) = f (η )(x b) jollekin η (x, b), joten Oletuksen (iv) nojll sdn f(x ) f(b) f (b)(b x ). x 1 = x f(x ) f (x ) x f(x ) f (b) x f(b) f (b)(b x ) f (b) x (b )+(b x ) =. Siis x 1 [, ξ]. Se, mitä edellä todistettin tpuksess x [, ξ] pätee nyt jonolle (x k ) k=1. Esimerkki 1.3. Yhtälön x = rtkisulle Newtonin menetelmä nt likirvot, kun vlitn x = (lskut Mximll, liukulukulikirvot 4 numeron trkkuudell), =.b 3 = 1.5b 17 = b = b = b = b = b Huom lleviivtut desimlit; oikeiden desimlien lukumäärä näyttäisi likimin kksinkertistuvn jokisess viheess. Hrukointi yhtä monell itertioll lähtien liikkeelle välistä [1, ] nt rtkisuksi välin < < Newtonin menetelmä on siis selvästi nopempi.

5 Esimerkki 1.4. Luseen ehdoist viimeisen merkitys selvinnee prhiten esimerkillä. Olkoon f(x) = sin x j x = 5/ Newtonin menetelmällä sdn x j f(x j ) f (x j ) x = , sin x = , cos x =.957 x 1 = , sin x 1 = , cos x 1 =.8771, x = , sin x = , cos x =.9989 x 3 = , sin x 3 = , cos x = Pisteessä x derivtt f (x ) = cos x on itseisrvoltn pieni, j osmäärä f(x )/f (x ) = x 1 x iso, joten piste x 1 on kukn pisteestä x. Viimeisen ehdon trkoitus on siis vrmist, että likirvo x k+1 ei krk kus sin(x) cos(5/3)*(x-5/3)+sin(5/3) Edeltä ilmenee, että Newtonin menetelmä on vrsin tehoks menetelmä neliöjuurien lskemiseen (inkin ; HT: kikki juuret n onnistuvt). Muinisill bbylonilisill oli jo lähes 4 vuott sitten käytössään jokin kohtlisen hyvä lgoritmi neliöjuurien lskemiseen, luultvsti erikoistpus Newtonin menetelmästä. Bbylonilisist svituluist käy ilmi, että he tunsivt luvulle likirvon 1; 4, 51, 1 esitettynä 6-kntisen lukun eli seksgesimlilukun 3. Smisess svituluss kerrotn, että neliön, jonk sivun pituu on 3, hlkisijn pituus on 4; 5, 35 smoin 6-kntisen lukun. Ks. [1, I.] 1.3. Peräkkäiset itertiot. [17, luku XVIII, 1, Shrinking lemm], [4, 6.3.c], [11, ], [1, 1.11] Kun Newtonin menetelmällä etsitään yhtälön F (x) = juuri, peräkkäisten itertioiden menetelmällä etsitään funktion f kiintopisteitä, t.s. yhtälön f(x) = x rtkisuj. Peräkkäisten itertioiden menetelmää voidn siis käyttää yhtälön F (x) = juurien määräämiseen, kun F esitetään muodoss F (x) = f(x) x. 3 Siis Virhe on pieni, lle Seksgesimlilukujen käyttö on 3 jtkunut mtemtiikss pitkään. Esimerkiksi Euler nt funktion x x sin x lokliksi äärirvoksi (viimeisten seksgesimlien pitäisi oll 3 38 ; vrt. [1, s. 97, HT.4]). Seksgesimlilukujen käyttö on vieläkin vrsin rkipäiväistä x

6 Peräkkäisten itertioiden menetelmä toimii vrsin yleisessä muodoss j sellisen se on esitetty ll olevss luseess. Metrinen vruus on joukko X, jonk pisteille x, y X on määritelty metriikk d, jolle (ks. [EA, 1.5]) (1) d(x, y), d(x, x) = j d(x, y) >, kun x y; () d(x, y) = d(y, x), j (3) d(x, y) d(x, z) + d(z, y). Metrisen vruuden X jono (x k ) k=1 on Cuchyn jono, jos jokiselle ε > on olemss k ε Z + siten, että d(x j, x k ) < ε, kun j, k k ε. Metrinen vruus X on täydellinen 4, jos sen jokinen Cuchyn jono suppenee, t.s. jokisell Cuchyn jonoll on rj-rvo joukoss X. Yksinkertisin esimerkki täydellisestä metrisestä vruudest on euklidinen vruus R n vrustettun tvllisell euklidisell metriikll ([EA, 4.7]). Smoin jokinen euklidisen vruuden R n suljettu osjoukko X on täydellinen. Seurv luse (j sen todistus) knntt luksi käydä läpi tpuksess, missä X on euklidisen vruuden R n suljettu osjoukko j d euklidisen vruuden R n tvllinen euklidinen metriikk. Luse 1.5 (Bnchin kiintopisteluse). Olkoon (X, d) täydellinen metrinen vruus j f : X X kutistv kuvus, t.s. on olemss k (, 1) siten, että d(f(x), f(y)) k d(x, y) kikille x, y X. Tällöin kuvuksell f on täsmälleen yksi kiintopiste, t.s. piste z X, jolle f(z) = z. j Todistus. Olkoon x X. Määritellään jono (x n ) n=1 rekursiivisesti Kun n = m + r > m, on x n := f(x n 1 ), n Z +. d(x n, x m ) = d(f(x n 1 ), f(x m 1 )) k d(x n 1, x m 1 ) k m d(x r, x ) d(x r, x ) d(x r, x r 1 ) + d(x r 1, x r ) + + d(x 1, x ) (k r 1 + k r + + 1) d(x 1, x ) 1 1 k d(x 1, x ). Näistä epäyhtälöistä seur, että jono (x n ) n=1 on Cuchyn jono. Kosk X on täydellinen, on jonoll rj-rvo z = lim n x n X. Kosk kutistv kuvus on jtkuv, on z = lim x n+1 = lim f(x n ) = f( lim x n ) = f(z). n n n Siis z on kiintopiste. Jos myös z olisi kiintopiste, olisi Kosk k < 1, on oltv d(z, z ) =. d(z, z ) = d(f(z), f(z )) k d(z, z ). 4 Metrinen vruus on korrektimmin ilmistun pri (X, d), kosk smiseen joukkoon X voidn määritellä useit metriikoit d, joiden määräämät topologit sttvt poiket toisistn hyvinkin oleellisesti. 6

7 Luseen oletuksist on tärkeä huomt (esimerkiksi tpuksess X R n suljettu), että kuvuksen f kuvjoukko f(x) on joukon X osjoukko, j että luku k on (pisteistä x j y riippumton) vkio. Lisäksi pelkkä ehto d(f(x), f(y)) < d(x, y) kikille x, y X, ei riitä. Peräkkäisten itertioiden menetelmä on iemmin ollut esillä (Picrdin j Lindelöfin menetelmän nimellä) differentiliyhtälöiden kurssill [DY,.7] olemssoloj yksikäsitteisyysluseen yhteydessä. Seurvss on lyhyt hhmotelm differentiliyhtälöiden olemssololuseelle käyttäen kiintopistelusett. Olkoot D R voin j f : D R jtkuv funktio. Olkoon (x, y ) D. Differentiliyhtälöiden kurssill [DY,.7] on osoitettu, että lkurvotehtävä { y = f(x, y) (1.3) on yhtäpitävä integrliyhtälön y(x ) = y (1.4) y(x) = y + f(t, y(t)) dt x knss (tämä on helppo todet suorn). Vlitn > j b > siten, että I := [x, x + ] B(y ; b) D, missä B(y ; b) on suljettu y -keskinen, b-säteinen pllo (yksiulotteisess tpuksess B(y ; b) on suljettu väli; yleisesti D R n+1 = R x R n y on voin, f : D R n on jtkuv j B(y ; b) R n ). Oletetn, että (i) f on rjoitettu joukoss I, f(x, y) M kikille (x, y) I; j (ii) f toteutt Lipschitz-ehdon muuttujn y suhteen, f(x, y 1 ) f(x, y ) L y 1 y kikille (x, y 1 ), (x, y ) I. Olkoon I δ := [x δ, x + δ], kun < δ. Olkoon E kikkien välillä I δ määriteltyjen jtkuvien funktioiden muodostm vektorivruus (yhteenlsku j luvull kertominen määritellään tvnomiseen tpn pisteittäin). Vektorivruudest E sdn normivruus, kun funktiolle y : I δ R setetn y := sup x I δ y(x). Kosk jonon suppeneminen normin suhteen trkoitt sm kuin tsinen suppeneminen, suppenee vruuden E jokinen Cuchyn jono normin suhteen. Ks. [A3, luseet 3.3, 3.4 j 3.5]. Joukko E vrustettun metriikll d(y 1, y ) := y 1 y on tällöin täydellinen metrinen vruus. Olkoon K := {y E y(x ) = y j y(x) B(y ; b) kikille x I δ }. Tällöin K on vruuden E suljettu osjoukko. Määritellään kuvus S : K E settmll 5 (Sy)(x) := y + x f(t, y(t)) dt. 5 Tällist kuvust S, jonk muuttujn on funktio y, j jonk rvo Sy on funktio, kutsutn usein operttoriksi, tässä tilnteess integrlioperttoriksi. 7

8 Kosk f on jtkuv, on Sy jtkuv, jos se ylipäätään on hyvinmääritelty. Tätä vrten tulee oll (t, y(t)) D kikille t I δ. Tämä puolestn seur ehdost y K, kosk tällöin y on välillä I δ I määritelty jtkuv funktio, jolle y(t) B(y ; b) kikille t I δ. Siis (t, y(t)) I B(y ; b) D. Osoitetn, että Sy K, kun δ vlitn sopivsti (oletetn, että x > x ): (Sy)(x) y = f(t, y(t)) dt f(t, y(t)) dt M dt = M x x. x x x Siis (Sy)(x) y M δ b kikille x I δ, kun δ b/m. Selvästi Sy on jtkuv j (Sy)(x ) = y, joten Sy K. Osoitetn, että S on kutistv: ( (Sy 1 )(x) (Sy )(x) = f(t, y1 (t)) f(t, y (t)) ) dt x x f(t, y 1 (t)) f(t, y (t)) dt x L y 1 (t) y (t) dt L δ y 1 y. Kutistvuusehto Sy 1 Sy k y 1 y toteutuu, kun k := L δ < 1. Siis, kun δ b/m j k = L δ < 1, voidn Bnchin kiintopistelusett 1.5 sovelt kutistvn kuvukseen S : K K Kuvuksen S kiintopiste y toteutt integrliyhtälön (1.4), joten se on lkurvotehtävän (1.3) rtkisu Newtonin menetelmä II. [17, luku XVIII, 1, HT 6] Olkoon U R n voin joukko j f = (f 1,..., f m ): U R m differentioituv kuvus. Muist, että kuvuksen f derivtt Df(x) pisteessä x U on linerikuvus Df(x): R n R m j että sitä vstv mtriisi (stndrdikntojen suhteen) on Jcobin mtriisi 1 f 1 (x)... n f 1 (x) mt Df(x) = f m (x)... n f m (x) Linerikuvuksen L: R n R m normi määritellään settmll L L := sup{ Lu u 1}. (Kurssill Differentililskent 1 tälle normille on käytetty merkintää L.) Linerikuvuksen normille tärkeä ominisuus on Lx L L x kikille x R n. Trkstelln seurvksi yhtälön f(x) = likimääräistä rtkisemist, kun f on voimess joukoss U R n määritelty C 1 -kuvus f = (f 1,..., f n ): U R n. Jos f on linerikuvus, on yhtälön f(x) = y rtkevuutt j rtkisemist trksteltu linerilgebrn kurssill [LAG1]. Tässä tpuksess yhtälöllä f(x) = y on yksi j vin yksi rtkisu jokiselle y R n, jos j vin jos f on bijektio. Muist, että linerikuvukselle f on Df(x) = f kikille x R n. Jos f ei ole linerikuvus, käytetään derivtn määritelmän mukist linerisointi-ide: korvtn f(x) pisteen x lähellä kuvuksell x f(x ) + Df(x )(x x ) (käänteiskuvusluse [IL1, luse 8.4] knntt myös pitää mielessä). 8

9 Derivtn määritelmän nojll f(x) f(x ) + Df(x )(x x ), kun x x. Jos tässä f(x) j derivtt Df(x ) on bijektio (t.s. det Df(x ) = J f (x ) ), niin x x (Df(x )) 1 f(x ). Seurvn luseen todistuksess trvitn pun nlyysin peruslusett vektorirvoiselle jtkuvsti differentioituvlle kuvukselle g : [, b] R m : g(b) g() = b g (t) dt. Tässä jtkuvn kuvuksen g = (g 1,..., g m ): [, b] R m integrli määritellään komponenteittin b ( b b ) g(t) dt := g 1 (t) dt,..., g m (t) dt. Lisäksi trvitn epäyhtälö b g(t) dt b g(t) dt. Lyhyt todistus: Olkoon I := b g(t) dt. Tällöin Cuchyn, Bunjkovskin j Schwrzin epäyhtälön nojll on ( b ) b b I = (I I) = I g(t) dt = (I g(t)) dt I g(t) dt. Yleistys välirvoluseelle: Olkoot G R n voin, f : G R m C 1 -kuvus j x, x G siten, että niitä yhdistävä jn J(x, x ) G. Soveltmll nlyysin peruslusett kuvukseen g : [, 1] R m, g(t) := f(x + t (x x)) t Df(x)(x x), sdn (vrt. [DL1, luse 6.4] j siitä kuvukseen z f(z) Df(x)(z x) soveltmll stv seurust) f(x ) f(x) Df(x)(x x) = g(1) g() = g (t) dt (1.5) = ( Df(x + t (x x)) Df(x) ) (x x) dt Df(x + t (x x)) Df(x) L x x dt. Luse 1.6. Olkoot x R n, r > j f : B(x ; r) R n C 1 -kuvus. Oletetn, että on olemss luvut c > j C > siten, että (i) Df(x) Df(x ) L C x x kikille x, x B(x ; δ); (ii) derivttkuvus Df(x) on bijektio j (Df(x)) 1 L c kikille x B(x ; δ). Tällöin on olemss vin luvuist c j C riippuv luku δ > siten, että jos f(x ) δ, niin on voimss: kun määritellään jono (x k ) k= settmll (1.6) x k+1 = x k (Df(x k )) 1 f(x k ), 1 on x k B(x ; r) kikille k N; jono (x k ) k= suppenee kohti pistettä ξ B(x ; r); 9

10 3 f(ξ) =. Jos lisäksi c C < 1, niin piste ξ on yhtälön f(x) = ino juuri plloss B(x ; c δ). Luseen oletukset trkoittvt seurv: Oletus f(x ) δ trkoitt, että x on yhtälön f(x) = juuren likirvo. Oletus (i) merkitsee, että derivtt Df(x) ei heilu voimkksti. Relikselill derivttkuvus Df(x): R R on luvull f (x) kertolsku j (Df(x)) 1 L = 1/f (x), joten oletus (ii) trkoitt, että derivtt f (x) pysyy kukn nollst. Vert myös kurssin [IL1] käänteiskuvuslusett koskeviin trksteluihin. Jos f on kksi kert differentioituv j n = 1, voidn oletust (i) yksinkertist välirvoluseen vull: Df(x) Df(x ) L = f (x) f (x ) = f (x ) x x jollekin luvulle x lukujen x j x välissä. Jos nyt toinen derivtt f on rjoitettu, f (t) C kikille t B(x ; r) = (x r, x + r), niin ehto (ii) toteutuu. Luseen todistus. Osoitetn luksi, että kun x k, x k+1 B(x ; r), niin (1.7) x k+1 x k c f(x k ) j f(x k ) C x k+1 x k. Määritelmästä (1.6) j oletuksest (ii) sdn x k+1 x k = Df(x k ) 1 f(x k ) Df(x k ) 1 L f(x k ) c f(x k ) Kosk f(x k ) = Df(x k )(x k+1 x k ), sdn nlyysin perusluseen vull (merkitään h := x k+1 x k ; vrt. (1.5)) f(x k+1 ) = f(x k ) + = f(x k ) + Df(x k )h + = joten oletuksen (i) nojll sdn f(x k+1 ) Df(x k + t h)h dt (Df(x k + t h) Df(x k ))h dt, Df(x k +t h) Df(x k ) L h dt Epäyhtälöt (1.7) ovt siis voimss. (Df(x k + t h) Df(x k ))h dt 1 Ct h dt = C x k+1 x k. Ongelmllisemp on osoitt, että rekursiivisesti kvll (1.6) määritellyt x k B(x ; r) kikille k N, kun δ on riittävän pieni j f(x ) δ. Kun epäyhtälöistä (1.7) ensimmäisessä setetn k =, on x 1 x c f(x ) c δ. Siis pitää oll c δ < r. Epäyhtälöistä (1.7) sdn x k+1 x k c f(x k ) c C x k x k 1... c C ( c C ) ( c C ) k 1... x 1 x k ( c C ) k 1 ( c C = x 1 x k = ) k 1 x1 x k.

11 11 Kosk x 1 x c f(x ) c δ, sdn ( c C ) k 1 ( c C ) k 1 ( x k+1 x k x1 x k (c δ) c C δ ) k k 1 = c δ. Kun merkitään q := c C δ, on x n+1 x x k+1 x k k= = c δ 1 qn 1 q. Jos nyt c C δ 1, on q 1 j c δ q k 1 c δ k= n 1 x n+1 x c δ 1 qn 1 q c δ (1 qn 1 ) c δ, joten x n+1 B(x ; c δ). Riittää siis vlit δ > niin, että c δ < r. Epäyhtälöstä x n+1 x m x k+1 x k k=m = c δ qm 1 q n 1 q c δ q k 1 c δ k=m c δ q m 1 j= n 1 q j j= m 1 seur, että jono (x n ) n= on Cuchyn jono. Siis jono (x n ) n= suppenee j se rjpisteelle ξ on voimss ξ B(x ; c δ). Kun epäyhtälöprin (1.7) jälkimmäisessä epäyhtälössä nnetn k, sdn f(ξ) =. Osoitetn, että piste ξ on yhtälön f(x) = ino juuri η plloss B(x ; c δ), kun c C < 1. Oletetn, että myös η B(x ; c δ) on yhtälön f(x) = juuri. Kosk f(η) =, sdn jonon (x k ) k= vlinnn (1.6), välirvoepäyhtälön (1.5) j oletuksen (i) nojll Df(x k )(η x k+1 ) = f(η) f(x k ) Df(x k )(η x k ) Toislt, oletuksen (ii) nojll sup Df(z) Df(x) L η x k z J(x k,η) C η x k. η x k+1 = (Df(x k )) 1 Df(x k )(η x k+1 ) c Df(x k )(η x k+1 ). Näistä khdest epäyhtälöstä sdn η x k+1 c Df(x k )(η x k+1 ) c C η x k. Kun k, sdn η ξ c C η ξ. Kosk nyt c C < 1, on tämä mhdollist vin, kun η ξ =, t.s. η = ξ. q j

12 Huomutus 1.7. Jos f on kksi kert differentioituv, seur oletus (i) toisen kertluvun derivtn rjoittuneisuudest seurvsti. Olkoot luksi G R n voin j f : G R m kksi kert differentioituv kuvus, t.s. f on jtkuvsti differentioituv j osittisderivtt j f, 1 j n, ovt differentioituvi joukoss G. Kun setetn g : [, 1] R m, g(t) := Df(x + t v)u = n j jf(x + t v) u j, niin g(1) g() = Df(x + v)u Df(x)u j g (t) = k j f(x + t v) u j v k. joten Välirvoepäyhtälön [DL1, luse 6.4] nojll g(1) g() sup g (t), t [,1] t [,1] j,k=1. Df(x + v)u Df(x)u sup k j f(x + t v) u j v k j,k=1 Jos oletetn, että j k f(x) µ kikille x G, sdn krkesti rvioiden k j f(x + t v) u j v k k j f(x + t v) u j v k n µ u v. j,k=1 j,k=1 Siis Df(x+v)u Df(x)u n µ u v, mistä sdn linerikuvuksen normin määritelmän nojll Df(x + v) Df(x) L n µ v. Luseen oletus (i) siis on voimss vkiolle C = n µ. Luonnollisempi ehto stisiin käyttämällä toisen kertluvun derivtt, jok on läheistä suku toisen kertluvun differentilille [DL1, määr. 8.]: 6 d xf(u) := k j f(x) u j u k. j,k=1 Kun setetn (vrt. [17, luku XVII, 5]) (D f(x))(v, u) := k j f(x) u j v k, niin edellä ollut epäyhtälö s muodon j,k=1 Df(x + v)u Df(x)u sup (D f(x + t v))(v, u). t [,1] Tässä esiintyvä kuvuksen f toinen derivtt B := D f(x) pisteessä x on bilinerikuvus R n R n R m. Kikkien bilinerikuvusten R n R n R m joukko merkitään L (R n ; R m ) j se on normivruus, kun bilinerikuvukselle B määritellään B L := sup{ B(v, u) v 1, u 1}. 6 Kurssill Differentililskent 1 korkemmn kertluvun derivttojen sijn on määritelty vin korkemmn kertluvun differentilit, kosk ne riittävät (j vin niitä trvitn) Tylorin kvn. Kosk Tylorin kv puolestn trvitn vin relirvoisten funktioiden äärirvoteorin, on korkemmn kertluvun differentilitkin määritelty vin relirvoisille funktioille. 1

13 Bilinerikuvuksen normin perusominisuus on (vstv kuin linerikuvuksen normill) B(v, u) B L v u. Siis Df(x + v)u Df(x)u sup D f(x + t v) L v u, t [,1] joten linerikuvuksen normin määritelmän nojll Df(x + v) Df(x) L sup D f(x + t v) L v. t [,1] Oletukseen (i) liittyen sdn riittävä ehto: jos D f(x) L C kikille x B(x ; r), niin ehto (i) toteutuu. Seurus 1.8. Jos f : U E on C -kuvus, jolle f(x ) = j Df(x ) on kääntyvä, niin on olemss η > j δ > siten, että kun y δ, niin yhtälöllä f(x) = y on rtkisu x B(x ; η). Todistus. Sovelletn Newtonin menetelmää kuvukseen g(x) := f(x) y. Oletuksien nojll g (x) 1 j g (x) ovt rjoitettuj josskin pisteen x ympäristössä. Kun g(x ) = f(x ) y = y δ j δ on kuten edellä, on yhtälöllä g(ξ) = rtkisu ξ B(x ; c δ). Vlitn η := c δ. 13

TEHTÄVÄ 1. Olkoon (f n ) jono jatkuvia funktioita f n : [a, b] R, joka suppenee välillä [a, b] tasaisesti kohti funktiota f : [a, b] R.

TEHTÄVÄ 1. Olkoon (f n ) jono jatkuvia funktioita f n : [a, b] R, joka suppenee välillä [a, b] tasaisesti kohti funktiota f : [a, b] R. Topologi I Hrjoitus 10, rtkisuj AP TEHTÄVÄ 1. Olkoon (f n ) jono jtkuvi funktioit f n : [, b] R, jok suppenee välillä [, b] tsisesti kohti funktiot f : [, b] R. Osoit, että tällöin f n (x) dx f(x) dx.

Lisätiedot

SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT Funktiojonot 1

SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT Funktiojonot 1 SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 JOUNI PARKKONEN Sisältö 0. Tästä tekstistä. Funktiojonot 0. Tästä tekstistä Tämä moniste on trkoitettu käytettäväksi kurssin Srjt j differentiliyhtälöt luentomterilin.

Lisätiedot

x k 1 Riemannin summien käyttö integraalin approksimointiin ei ole erityisen tehokasta; jatkuvasti derivoituvalle funktiolle f virhe b

x k 1 Riemannin summien käyttö integraalin approksimointiin ei ole erityisen tehokasta; jatkuvasti derivoituvalle funktiolle f virhe b 5 Integrlien lskemisest 51 Riemnnin summt [A2], [4, 61] Rjoitetun funktion f : [, b] R Riemnn-integroituvuudelle ytäpitäväksi on kurssill Anlyysi 2 osoitettu, että Riemnnin summill S P := f(ξ k ) ( ),

Lisätiedot

Riemannin integraalista

Riemannin integraalista Lebesguen integrliin sl. 2007 Ari Lehtonen Riemnnin integrlist Johdnto Tämän luentomonisteen trkoituksen on tutustutt lukij Lebesgue n integrliin j sen perusominisuuksiin mhdollisimmn yksinkertisess tpuksess:

Lisätiedot

II.1. Suppeneminen., kun x > 0. Tavallinen lasku

II.1. Suppeneminen., kun x > 0. Tavallinen lasku II. EPÄOLEELLISET INTEGRAALIT nt II.. Suppeneminen Esim. Olkoon f() =, kun >. Tvllinen lsku = / =. Kuitenkn tätä integrli ei ole ikisemmss mielessä määritelty, kosk f ei ole rjoitettu välillä [, ] (eikä

Lisätiedot

5 Epäoleellinen integraali

5 Epäoleellinen integraali 5 Epäoleellinen integrli 5. Integrlin suppeneminen Olkoon f sellinen välillä [, b[ (ei siis välttämättä pisteessä b) määritelty funktio, että f on Riemnn-integroituv välillä [, ] kikill ], b[ eli on olemss

Lisätiedot

Korkeamman kertaluvut derivaatat

Korkeamman kertaluvut derivaatat LUKU 4 Korkemmn kertluvut derivtt Derivtn määritelmän mukn differentioituv kuvust f : U F voidn pproksimoid ffiinill kuvuksell, f(x + u f(x + Df(xu. Jos f on khdesti differentioituv, voidn derivtt pproksimoid

Lisätiedot

7 Funktiosarjoista. 7.1 Funktiosarjojen suppeneminen

7 Funktiosarjoista. 7.1 Funktiosarjojen suppeneminen 7 Funktiosrjoist 7. Funktiosrjojen suppeneminen Seurvksi trkstelln srjoj, joiden termit ovt (lukujen sijst) jollkin välillä I määriteltyjä funktioit. Täsmällisemmin funktiosrjll (ti lyhyemmin srjll) trkoitetn

Lisätiedot

1. Derivaatan Testi. Jos funktio f on jatkuva avoimella välillä ]a, b[ ja x 0 ]a, b[ on kriit. tai singul. piste niin. { f (x) > 0, x ]a, x 0 [

1. Derivaatan Testi. Jos funktio f on jatkuva avoimella välillä ]a, b[ ja x 0 ]a, b[ on kriit. tai singul. piste niin. { f (x) > 0, x ]a, x 0 [ 1. Derivtn Testi Jos funktio f on jtkuv voimell välillä ], b[ j x 0 ], b[ on kriit. ti singul. piste niin { f (x) < 0, x ], x 0 [ f x (x) > 0, x ]x 0, b[ 0 on lokli minimipiste (1) { f (x) > 0, x ], x

Lisätiedot

Kuvausta f sanotaan tällöin isomorfismiksi.

Kuvausta f sanotaan tällöin isomorfismiksi. Määritelmä..12. Oletetn, että 1 =(V 1,E 1 ) j 2 =(V 2,E 2 ) ovt yksinkertisi verkkoj. Verkot 1 j 2 ovt isomorfiset, jos seurvt ehdot toteutuvt: (1) on olemss bijektio f : V 1 V 2 (2) kikill, b V 1 pätee,

Lisätiedot

3 Integraali ja derivaatta

3 Integraali ja derivaatta 3 Integrli j erivtt 3.1 Integrli ylärjns funktion Olkoon funktio f Riemnn-integroituv välin I jokisell suljetull osvälillä j välin I jokin kiinteä luku. Tällöin integrli määrittelee funktion G(): I R,

Lisätiedot

Analyysi 2. Harjoituksia lukuihin 1 3 / Kevät Anna sellainen välillä ] 2, 2[ jatkuva ja rajoitettu funktio f, että

Analyysi 2. Harjoituksia lukuihin 1 3 / Kevät Anna sellainen välillä ] 2, 2[ jatkuva ja rajoitettu funktio f, että Anlyysi Hrjoituksi lukuihin 3 / Kevät 5. Ann sellinen välillä ], [ jtkuv j rjoitettu funktio f, että () sup A m A j inf A min A, (b) sup A m A j inf A = min A, (c) sup A = m A j inf A min A, (d) sup A

Lisätiedot

Kertausta ja täydennystä

Kertausta ja täydennystä LUKU 1 Kertust j täydennystä 1.1. Merkintöjä N = {k Z k 0} = {0, 1, 2,... }, luonnollisten lukujen joukko. Z + = {k Z k > 0} = {1, 2,... }, positiivisten kokonislukujen joukko. (, b) on relikselin voin

Lisätiedot

ANALYYSI I, kevät 2009

ANALYYSI I, kevät 2009 ANALYYSI I, kevät 2009 Sisältö Relilukujen peruskäsitteitä 2 Lukujonoist 3 2. Lukujonon rj-rvo....................... 3 2.2 Monotoniset jonot......................... 7 2.3 Osjonot..............................

Lisätiedot

ANALYYSI I, kevät 2009

ANALYYSI I, kevät 2009 ANALYYSI I, kevät 009 Sisältö Relilukujen peruskäsitteitä Lukujonoist 4. Lukujonon rj-rvo....................... 4. Monotoniset jonot..........................3 Osjonot.............................. 7.4

Lisätiedot

Matematiikan peruskurssi. Seppo Hassi

Matematiikan peruskurssi. Seppo Hassi Mtemtiikn peruskurssi Seppo Hssi Syksy 2014 iii Esipuhe Tämä on 1. versio Mtemtiikn peruskurssin opetusmonisteest, jonk sisältö noudttelee pitkälti Vsn yliopistoss iemmin luennoimni Mtemttiset menetelmät

Lisätiedot

ANALYYSI I, kevät 2009

ANALYYSI I, kevät 2009 5 Riemnnin integrli 7 ANALYYSI I, kevät 9 5. Integrlin perusominisuuksi................. 76 5. Anlyysin perusluse....................... 8 Sisältö Relilukujen peruskäsitteitä Lukujonoist 3. Lukujonon rj-rvo.......................

Lisätiedot

2.4 Pienimmän neliösumman menetelmä

2.4 Pienimmän neliösumman menetelmä 2.4 Pienimmän neliösummn menetelmä Optimointimenetelmiä trvitn usein kokeellisen dtn nlysoinniss. Mittuksiin liittyy virhettä, joten mittus on toistettv useit kertoj. Oletetn, että mittn suurett c j toistetn

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali MS-A1{3,4} (ELEC*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 8: Integrlifunktio j epäoleellinen integrli Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos 5.1.216 Pekk Alestlo,

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Mtemtiikn tukikurssi Kurssikert 5 1 Jtkuvuus Trkstelln funktiot fx) josskin tietyssä pisteessä x 0. Tämä funktio on tässä pisteessä joko jtkuv ti epäjtkuv. Jtkuvuuden ymmärtää prhiten trkstelemll epäjtkuv

Lisätiedot

Määritelmä Olkoon C R m yksinkertainen kaari ja γ : [a, b] R m sen yksinkertainen parametriesitys, joka on paloittain C 1 -polku.

Määritelmä Olkoon C R m yksinkertainen kaari ja γ : [a, b] R m sen yksinkertainen parametriesitys, joka on paloittain C 1 -polku. Muodostetn vektorikentän kri-integrli yksinkertisen kren tpuksess. Plutetn mieleen, että joukko C R m on yksinkertinen kri, jos löytyy sellinen jtkuv bijektio γ : [, b] C, jok on ploittin C 1 -funktio

Lisätiedot

Matemaattiset menetelmät I. Seppo Hassi

Matemaattiset menetelmät I. Seppo Hassi Mtemttiset menetelmät I Seppo Hssi Syksy 2011 iii Esipuhe Tämä on 1. versio Mtemttiset menetelmät I-kurssin opetusmonisteest, jok perustuu Vsn yliopistoss luennoimni vstvn nimiseen kurssiin. Sisältö noudtt

Lisätiedot

Vektoriarvoisten funktioiden analyysiä

Vektoriarvoisten funktioiden analyysiä Vektorirvoisten funktioiden nlyysiä LuK-tutkielm Arttu Hrtikk 2330325 Mtemttisten tieteiden litos Oulun yliopisto Syksy 2016 Sisältö Johdnto 2 1 Vektorivruus 3 1.1 Normi j normivruus......................

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Mtemtiikn tukikurssi Kurssikert 4 Tilvuuden j vipn ln lskeminen Kuten iemmin käsittelimme, määrätyn integrlin vull voi lske pintloj j tilvuuksi. Tyypillisenä sovelluksen tilvuuden lskemisest on tpus, joss

Lisätiedot

Sarjat ja integraalit

Sarjat ja integraalit Srjt j integrlit c Mtemttisten tieteiden litos, Oulun yliopisto Versio: 9.3.0 Viimeksi muoknnut: Peter Hästö Sisältö Funktion rj-rvo j jtkuvuus. Peruskäsitteitä........................................

Lisätiedot

MS-A010{2,3,4,5} (SCI, ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali

MS-A010{2,3,4,5} (SCI, ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali MS-A1{2,3,4,5} (SC, ELEC*, ENG*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 8: ntegrlifunktio j epäoleellinen integrli Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos November

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 7: Integraali ja analyysin peruslause

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 7: Integraali ja analyysin peruslause MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 7: Integrli j nlyysin perusluse Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos 3.10.2016 Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen

Lisätiedot

Analyysin perusteet kauppatieteilijöille 800118P

Analyysin perusteet kauppatieteilijöille 800118P Anlyysin perusteet kupptieteilijöille 800118P Luentomoniste Kri Myllylä Niin Korteslhti Topi Törmä Oulun yliopisto Mtemttisten tieteiden litos Kevät 2015 Sisältö 1 Derivtt 3 1.1 Määritelmä..............................

Lisätiedot

Analyysi B. Derivaatta ja integraali. Pertti Koivisto

Analyysi B. Derivaatta ja integraali. Pertti Koivisto Anlyysi B Derivtt j integrli Pertti Koivisto Kevät 7 Alkusnt Tämä moniste on trkoitettu oheislukemistoksi Tmpereen yliopistoss pidettävälle kurssille Anlyysi B. Monisteen tvoitteen on tuke luentojen seurmist,

Lisätiedot

MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 7: Integraali ja analyysin peruslause

MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 7: Integraali ja analyysin peruslause MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 7: Integrli j nlyysin perusluse Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos November 20, 2017

Lisätiedot

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 5.2.2013

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 5.2.2013 Preliminäärikoe Pitkä Mtemtiikk 5..0 Kokeess s vstt enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä ( * ) merkittyjen tehtävien mksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien mksimipistemäärä on 6.. ) Rtkise yhtälö b)

Lisätiedot

VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 3.6.2014 Ratkaisut ja arvostelu

VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 3.6.2014 Ratkaisut ja arvostelu VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 3.6.4 Rtkisut j rvostelu. Koululisen todistuksen keskirvo x on lskettu ) b) c) d) kymmenen ineen perusteell. Jos koululinen nostisi neljän ineen

Lisätiedot

Sisältö. Funktiojonot ja -sarjat 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 15

Sisältö. Funktiojonot ja -sarjat 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 15 Funktiojonot j -srjt 10. syyskuut 2005 sivu 1 / 15 Sisältö 1 Funktiojonoist 2 2 Funktiosrjoist 5 3 Funktiojonojen j -srjojen derivointi j integrointi 7 4 Potenssisrjt 9 5 Tylorin polynomit j srjt 12 5.1

Lisätiedot

Lebesguen integraali - Rieszin määritelmä

Lebesguen integraali - Rieszin määritelmä Lebesguen integrli - Rieszin määritelmä Tru Lehtonen Mtemtiikn pro grdu-tutkielm Jyväskylän yliopisto Mtemtiikn j tilstotieteen litos Kevät 216 Tiivistelmä Jyväskylän Yliopisto Lehtonen, Tru Puliin: Lebesguen

Lisätiedot

i 2 n 3 ( (n 1)a (i + 1) 3 = 1 +

i 2 n 3 ( (n 1)a (i + 1) 3 = 1 + I. INTEGRAALILASKENTA Arkhimedes (287 22 e.kr.) prbelin segmentin pint-l Newton (642 727) j Leibniz (646 76) keksivät diff.- j int.-lskennn Cuhy (789 857) ε, δ Riemnn (826 866) Riemnnin integrli Lebesgue

Lisätiedot

2 Riemann-integraali. 2.1 Porrasfunktion integraali. Aloitetaan integraalin täsmällinen määrittely tutkimalla porrasfunktion integraalia.

2 Riemann-integraali. 2.1 Porrasfunktion integraali. Aloitetaan integraalin täsmällinen määrittely tutkimalla porrasfunktion integraalia. 2 Riemnn-integrli 2.1 Porrsfunktion integrli Aloitetn integrlin täsmällinen määrittely tutkimll porrsfunktion integrli. Määritelmä 2.1 (Porrsfunktion integrli). Olkoon f : [, b] R porrsfunktio j P = {x

Lisätiedot

sin θ θ θ r 2 sin 2 θ φ 2 = 0.

sin θ θ θ r 2 sin 2 θ φ 2 = 0. Mtemtiikn j tilstotieteen litos Osittisdifferentiliyhtälöt Kevät 21 Hrjoitus 9 Rtkisuj Jussi Mrtin 1. Osoit, että Lplce-yhtälö pllokoordinteiss on 2 u 1 r 2 2 u r r 1 r 2 sin θ u 1 2 u sin θ θ θ r 2 sin

Lisätiedot

10. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA

10. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA MAA0 0. Määrätyn integrlin käyttö eräiden pint-lojen lskemisess 0. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA Edellä on todettu, että f (x)dx nt x-kselin j suorien x =, x = sekä funktion

Lisätiedot

6 Integraalilaskentaa

6 Integraalilaskentaa 6 Integrlilskent 6. Integrlifunktio Funktion f integrlifunktioksi snotn funktiot F, jonk derivtt on f. Siis F (x) = f (x) määrittelyjoukon jokisell muuttujn rvoll x. Merkitään F(x) = f (x) dx. Integrlifunktion

Lisätiedot

Syksyn 2015 Pitkän matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut

Syksyn 2015 Pitkän matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut Sksn 0 Pitkän mtemtiikn YO-kokeen TI-Nspire CAS -rtkisut Tekijät: Olli Krkkulinen Rtkisut on ldittu TI-Nspire CAS -tietokoneohjelmll kättäen Muistiinpnot -sovellust. Kvt j lskut on kirjoitettu Mth -ruutuihin.

Lisätiedot

Kertymäfunktio. Kertymäfunktio. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 2/2. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 1/2. Kertymäfunktio: Esitiedot

Kertymäfunktio. Kertymäfunktio. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 2/2. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 1/2. Kertymäfunktio: Esitiedot TKK (c) Ilkk Mellin (24) 1 Johdtus todennäköisyyslskentn TKK (c) Ilkk Mellin (24) 2 : Mitä opimme? 1/2 Jos stunnisilmiötä hlutn mllint mtemttisesti, on ilmiön tulosvihtoehdot kuvttv numeerisess muodoss.

Lisätiedot

Riemannin integraalista

Riemannin integraalista TAMPEREEN YLIOPISTO Pro grdu -tutkielm Aij Stenberg Riemnnin integrlist Mtemtiikn j tilstotieteen litos Mtemtiikk Syyskuu 2010 2 Tmpereen yliopisto Mtemtiikn j tilstotieteen litos STENBERG, AIJA: Riemnnin

Lisätiedot

2.1 Vaillinaiset yhtälöt

2.1 Vaillinaiset yhtälöt .1 Villiniset yhtälöt Yhtälö, jok sievenee muotoon x + bx + c = 0 (*) on yleistä normlimuoto olev toisen steen yhtälö. Tämän rtkiseminen ei olekn enää yhtä meknist kuin normlimuotoisen ensisteen yhtälön

Lisätiedot

Säännöllisten operaattoreiden täydentäviä muistiinpanoja

Säännöllisten operaattoreiden täydentäviä muistiinpanoja Säännöllisten operttoreiden täydentäviä muistiinpnoj Antti-Juhni Kijnho 1. huhtikuut 2011 Vnht määritelmät Määritelmä 1. Äärellinen epätyhjä joukko on merkistö, j sen lkioit kutsutn merkeiksi. Määritelmä

Lisätiedot

Reaalinen lukualue. Millainen on luku, jossa on päättymätön ja jaksoton desimaalikehitelmä?

Reaalinen lukualue. Millainen on luku, jossa on päättymätön ja jaksoton desimaalikehitelmä? Relinen lukulue POLYNOMIFUNKTIOT JA -YHTÄLÖT, MAA Millinen on luku, joss on päättymätön j jksoton desimlikehitelmä? Onko sellisi? Trkstelln Pythgorn luseest stv yksikköneliön lävistäjää, luku + = x x =.

Lisätiedot

ANALYYSIN TEORIA A JA B

ANALYYSIN TEORIA A JA B ANALYYSIN TEORIA A JA B Kikki luseit ei ole muotoiltu smll tvll kuin luennoill. Ilmoit virheistä yms osoitteeseen mikko.kngsmki@ut. (jos et ole vrm, onko kyseessä virhe, niin ilmoit mieluummin). 1. Yleistä,

Lisätiedot

Numeerinen integrointi

Numeerinen integrointi Pitkärnt: Lj mtemtiikk IX9 Numeerinen integrointi IX9 Numeerinen integrointi Numeerisell integroinnill trkoitetn määrätyn integrlin, eli reliluvun I(f,,b) = f(x)dx lskemist numeerisin keinoin (likimäärin)

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ PISTEYTYSKOKOUS

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ PISTEYTYSKOKOUS 0 MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 30 PISTEYTYSKOKOUS 0 ) Sijoitetn x 0 Rtkistn = 0/04,0000 b) Jos neliön sivu on s, niin lävistäjä on s Ehto: s 6 s + s = 6, s 6 3 4s 6,70, joten piiri ) Suorn yhtälö

Lisätiedot

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2017 Harjoitus 6, ratkaisuista. 1. Onko jokin demojen 5 tehtävän 3 relaatioista

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2017 Harjoitus 6, ratkaisuista. 1. Onko jokin demojen 5 tehtävän 3 relaatioista Mtemtiikn johntokurssi, syksy 07 Hrjoitus 6, rtkisuist. Onko jokin emojen 5 tehtävän reltioist ) R := {(, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, )}, ) S := {(, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ),

Lisätiedot

Johdatusta variaatiolaskentaan

Johdatusta variaatiolaskentaan LUKU 6 Johdtust vritiolskentn 6.1. Prmetrist riippuvt integrlit [4, Ch. XIII, 8], [2, Ch. 1. Lemm 2.12.2], [3, Ch. VIII, 11], [15, Ch. XI, 7], [8, Ch. II, 3] Luse 6.1. Olkoot E normivruus, F Bnchin vruus,

Lisätiedot

Ville Turunen: Mat Matematiikan peruskurssi P1 3. välikokeen alueen teoriatiivistelmä 2007

Ville Turunen: Mat Matematiikan peruskurssi P1 3. välikokeen alueen teoriatiivistelmä 2007 Ville Turunen: Mt-.4 Mtemtiikn peruskurssi P 3. välikokeen lueen teoritiivistelmä 27 Mterili: kirjt [Adms] R. A. Adms: Clculus, complete course (6th edition), [Ly] D. C. Ly: Liner lgebr nd its pplictions

Lisätiedot

1.3 Toispuoleiset ja epäoleelliset raja-arvot

1.3 Toispuoleiset ja epäoleelliset raja-arvot . Toisuoleiset j eäoleelliset rj-rvot Rj-rvo lim f () A olemssolo edellyttää että muuttuj täytyy void lähestyä rvo kummst suust hyväsä. Jos > ii sot että lähestyy rvo oikelt ositiivisest suust. Jos ts

Lisätiedot

Mika Hirvensalo. Insinöörimatematiikka B 2014

Mika Hirvensalo. Insinöörimatematiikka B 2014 Mik Hirvenslo Insinöörimtemtiikk B 4 Sisältö Rj-rvo j jtkuvuus....................................................... 5. Differentili- j integrlilskennn kehityksestä............................. 5. Relilukujen

Lisätiedot

11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS

11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS 11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS Tilvuus on sen verrn rkielämässä viljelty käsite, että useimmiten sen syvemmin edes miettimättä ymmärretään, mitä juomlsin ti pikkuvuvn kylpymmeen tilvuudell trkoitetn.

Lisätiedot

Sisältö. Integraali 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 20

Sisältö. Integraali 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 20 Integrli 10. syyskuut 2005 sivu 1 / 20 Sisältö 1 Määrätty integrli j integrlifunktio 2 1.1 Integroituvist funktioit 3 1.2 Määrätyn integrlin ominisuuksi 4 1.3 Integrlifunktio 5 1.4 Integrlilskennn tärkeimmät

Lisätiedot

ANALYYSI 3. Tero Kilpeläinen

ANALYYSI 3. Tero Kilpeläinen ANALYYSI 3 Tero Kilpeläinen Luentomuistiinpnoj syksyltä 2005 20. lokkuut 2005 Sisältö 1. Esitietoj 2 1.1. Riemnn-integrli............................ 2 1.2. Derivtt................................. 4 1.3.

Lisätiedot

a = x 0 < x 1 < x 2 < < x n = b f(x) dx = I. lim f(x k ) x k=1

a = x 0 < x 1 < x 2 < < x n = b f(x) dx = I. lim f(x k ) x k=1 5 Integrli 5.1 Määritelmä j ominisuudet Olkoon f : [, b] R jtkuv. Muodostetn välin [, b] jko = x 0 < x 1 < x 2 < < x n = b j siihen liittyvä yläsumm S = n M k (x k x k 1 ), M k = mx{f(x) x k 1 x x k },

Lisätiedot

Esimerkki 8.1 Määritellään operaattori A = x + d/dx. Laske Af, kun f = asin(bx). Tässä a ja b ovat vakioita.

Esimerkki 8.1 Määritellään operaattori A = x + d/dx. Laske Af, kun f = asin(bx). Tässä a ja b ovat vakioita. 8. Operttorit, mtriisit j ryhmäteori Mtemttinen operttori määrittelee opertion, jonk mukn sille nnettu funktiot muoktn. Operttorit ovt erityisen tärkeitä kvnttimekniikss, kosk siinä jokist suurett vst

Lisätiedot

4. Reaalifunktioiden määrätty integraali

4. Reaalifunktioiden määrätty integraali 6 4. Relifunktioiden määrätt integrli Vrsinisesti termi "integrli" tulee seurvss esitettävästä määrätstä integrlist, jok on läheistä suku summmiselle. Yhtes derivttn on sitten perustv ltu olev tulos, jot

Lisätiedot

VEKTOREILLA LASKEMINEN

VEKTOREILLA LASKEMINEN ..07 VEKTOREILL LSKEMINEN YHTEENLSKU VEKTORIT, M4 Vektoreiden j summ on vektori +. Tämän summvektorin + lkupiste on vektorin lkupiste j loppupiste vektorin loppupiste, kun vektorin lkupisteenä on vektorin

Lisätiedot

θ 1 θ 2 γ γ = β ( n 2 α + n 2 β = l R α l s γ l s 22 LINSSIT JA LINSSIJÄRJESTELMÄT 22.1 Linssien kuvausyhtälö

θ 1 θ 2 γ γ = β ( n 2 α + n 2 β = l R α l s γ l s 22 LINSSIT JA LINSSIJÄRJESTELMÄT 22.1 Linssien kuvausyhtälö 22 LINSSIT JA LINSSIJÄRJSTLMÄT 22. Linssien kuvusyhtälö Trkstelln luksi vlon tittumist pllopinnll (krevuussäde R j krevuuskeskipiste C) kuvn mukisess geometriss. Tässä vlo siis tulee ineest ineeseen 2

Lisätiedot

( ) Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 321 Päivitetty 19.2.2006. Saadaan yhtälö. 801 Paraabeli on niiden pisteiden ( x,

( ) Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 321 Päivitetty 19.2.2006. Saadaan yhtälö. 801 Paraabeli on niiden pisteiden ( x, Pyrmidi Anlyyttinen geometri tehtävien rtkisut sivu Päivitetty 9..6 8 Prbeli on niiden pisteiden (, y) joukko, jotk ovt yhtä kukn johtosuorst j polttopisteestä. Pisteen (, y ) etäisyys suorst y = on d

Lisätiedot

4 Taso- ja avaruuskäyrät

4 Taso- ja avaruuskäyrät P2-luentoj kevät 2008, Pekk Alestlo 4 Tso- j vruuskäyrät Tässä luvuss tutustutn tso- j vruuskäyriin, niiden krenpituuteen j krevuuteen. Konkreettisin sovelluksin trkstelln nnettu rt pitkin liikkuvn hiukksen

Lisätiedot

3.3 KIELIOPPIEN JÄSENNYSONGELMA Ratkaistava tehtävä: Annettu yhteydetön kielioppi G ja merkkijono x. Onko

3.3 KIELIOPPIEN JÄSENNYSONGELMA Ratkaistava tehtävä: Annettu yhteydetön kielioppi G ja merkkijono x. Onko 3.3 KILIOPPIN JÄSNNYSONGLMA Rtkistv tehtävä: Annettu yhteydetön kielioppi G j merkkijono x. Onko x L(G)? Rtkisumenetelmä = jäsennyslgoritmi. Useit vihtoehtoisi menetelmiä, erityisesti kun G on jotin rjoitettu

Lisätiedot

Integraalilaskentaa. 1. Mihin integraalilaskentaa tarvitaan? MÄNTÄN LUKIO

Integraalilaskentaa. 1. Mihin integraalilaskentaa tarvitaan? MÄNTÄN LUKIO Integrlilskent Tämä on lukion oppimterileist hiemn poikkev yksinkertistettu selvitys määrätyn integrlin lskemisest. Kerromme miksi integroidn, mitä integroiminen trkoitt, miten integrli lsketn j miten

Lisätiedot

Analyyttiset funktiot ja integrointiteorian alkeita

Analyyttiset funktiot ja integrointiteorian alkeita Anlyyttiset funktiot j integrointiteorin lkeit 6. helmikuut 2006 isältö 1 Kertust 1 2 Anlyyttiset funktiot 2 2.1 Anlyyttiset funktiot tsoll................... 2 2.2 Monogeeniset funktiot vruudess R n.............

Lisätiedot

Viikon aiheet. Pinta-ala

Viikon aiheet. Pinta-ala info Viikon iheet Mpu I:sen voit suoritt: Kurssin loppukokeess 23.10. Arvosn: koe + lskrit Mikäli yo. ik ei sovi, voit suoritt loppukokeen yleistenttitilisuudess 24.11. Arvosn: koe + lskrit. Ilmoittudu

Lisätiedot

Suorat, käyrät ja kaarevuus

Suorat, käyrät ja kaarevuus Suort, käyrät j krevuus Jukk Tuomel Professori Mtemtiikn litos, Joensuun yliopisto Suor? Tämä kirjoitus on eräänlinen jtko Timo Tossvisen suorn määritelmää koskevn kirjoitukseen Solmun numeross 2/2002.

Lisätiedot

IV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n

IV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n IV. TASAINEN SUPPENEMINEN IV.. Funktiojonon tasainen suppeneminen Olkoon A R joukko ja f n : A R funktio, n =, 2, 3,..., jolloin jokaisella x A muodostuu lukujono f x, f 2 x,.... Jos tämä jono suppenee

Lisätiedot

ANALYYSI 2. Tero Kilpeläinen

ANALYYSI 2. Tero Kilpeläinen ANALYYSI Tero Kilpeläinen 3 Teksti sisältää muistiinpnoj vuosin j 3 pidetystä kurssist. Tämän pketin trkoitus on tuke omien muistiinpnojen teko, ei korvt niitä. Mtemtiikk oppii prhiten itse kirjoitten

Lisätiedot

OSA 1: POLYNOMILASKENNAN KERTAUSTA, BINOMIN LASKUSÄÄNTÖJÄ JA YHTÄLÖNRATKAISUA

OSA 1: POLYNOMILASKENNAN KERTAUSTA, BINOMIN LASKUSÄÄNTÖJÄ JA YHTÄLÖNRATKAISUA OSA 1: POLYNOMILASKENNAN KERTAUSTA, BINOMIN LASKUSÄÄNTÖJÄ JA YHTÄLÖNRATKAISUA Tekijät: Ari Heimonen, Hellevi Kupil, Ktj Leinonen, Tuomo Tll, Hnn Tuhknen, Pekk Vrniemi Alkupl Tiedekeskus Tietomn torninvrtij

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi. Hannu Kivimäki

Matematiikan tukikurssi. Hannu Kivimäki Mtemtiikn tukikurssi Hnnu Kivimäki Sisältö I Ensimmäinen välikoe Integrointi 2 Osittisintegrointi 5 3 Osmurtohjotelm 4 Lisää osmurtoj 4 5 Sijoituskeino 9 6 Määrätty integrli 2 7 Ylä- j lsumm 22 8 Määrätyn

Lisätiedot

Lebesguen integraali

Lebesguen integraali LUKU 3 Lebesguen integrli Seurvss esitettävä määritelmä Lebesguen integrlille ei ole Lebesguen lkuperäinen. Vuoden 1904 luennoissn [23] hän kuitenkin setti tvoitteeksi, että integrlill olisi ominisuus:

Lisätiedot

A-Osio. Valitse seuraavista kolmesta tehtävästä kaksi, joihin vastaat. A-osiossa ei saa käyttää laskinta.

A-Osio. Valitse seuraavista kolmesta tehtävästä kaksi, joihin vastaat. A-osiossa ei saa käyttää laskinta. MAA Loppukoe 5.. Jussi Tyni Tee pisteytysruudukko konseptin yläreunn! Vstuksiin väliviheet, jotk perustelevt vstuksesi! Lue ohjeet huolellisesti! A-Osio. Vlitse seurvist kolmest tehtävästä kksi, joihin

Lisätiedot

Monikulmion pinta-ala ylioppilaille

Monikulmion pinta-ala ylioppilaille Solmu 3/9 Monikulmion pint-l lioppilille Mik Koskenoj Mtemtiikn j tilstotieteen litos Helsingin liopisto Tehtävä. Kuusikulmion M kärjet ovt tson pisteissä (, ), (3, ), (, ), (4, 3), (, ) j (, ). Lske M:n

Lisätiedot

Numeerinen integrointi.

Numeerinen integrointi. Numeerinen integrointi. Differentili- j integrlilskent 1, syksy 2015 Hrri Vrpnen Mtemtiikn j systeeminlyysin litos Alto-yliopisto Tiisti 6.10.2015 Sisältö Tylor-menetelmä. Käyttökelpoinen silloin, kun

Lisätiedot

Neliömatriisin A determinantti on luku, jota merkitään det(a) tai A. Se lasketaan seuraavasti: determinantti on

Neliömatriisin A determinantti on luku, jota merkitään det(a) tai A. Se lasketaan seuraavasti: determinantti on 4. DETERINANTTI JA KÄÄNTEISATRIISI 6 4. Neliömtriisi determitti Neliömtriisi A determitti o luku, jot merkitää det(a) ti A. Se lsket seurvsti: -mtriisi A determitti o det(a) () -mtriisi A determitti void

Lisätiedot

TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma. Harri Lehtinen. Kongruenssista

TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma. Harri Lehtinen. Kongruenssista TAMPEREEN YLIOPISTO Pro grdu -tutkielm Hrri Lehtinen Kongruenssist Mtemtiikn, tilstotieteen j filosofin litos Mtemtiikk Helmikuu 006 Tmpereen yliopisto Mtemtiikn, tilstotieteen j filosofin litos LEHTINEN,

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Mtemtiikn tukikurssi Kurssikert 3 Määrätyn integrlin lskeminen Aiemmin määrittelimme määrätyn integrlin f (x)dx funktion f (x) l- j yläsummien rj-rvon. Määrätyllä integrlill on kksi intuitiivist tulkint:.

Lisätiedot

Integroimistehtävät, 10. syyskuuta 2005, sivu 1 / 29. Perustehtäviä. Tehtävä 1. Osoita, että vakiofunktio f(x) c on Riemann-integroituva välillä

Integroimistehtävät, 10. syyskuuta 2005, sivu 1 / 29. Perustehtäviä. Tehtävä 1. Osoita, että vakiofunktio f(x) c on Riemann-integroituva välillä Integroimistehtävät,. syyskuut 5, sivu / 9 Perustehtäviä Tehtävä. Osoit, että vkiofunktio f(x) c on Riemnn-integroituv välillä [, b] j lske suorn määritelmän perusteell b f(x). Tehtävä. Osoit, että funktio,

Lisätiedot

Newtonin, Riemannin ja Henstock-Kurzweilin integraalit

Newtonin, Riemannin ja Henstock-Kurzweilin integraalit TAMPEREEN YLIOPISTO Pro grdu -tutkielm Annik Heinonen Newtonin, Riemnnin j Henstock-Kurzweilin integrlit Informtiotieteiden yksikkö Mtemtiikk Helmikuu 2013 Sisältö 1 Johdnto 1 2 Newtonin integrli 2 2.1

Lisätiedot

lim + 3 = lim = lim (1p.) (3p.) b) Lausekkeen täytyy supistua (x-2):lla, joten osoittajan nollakohta on 2.

lim + 3 = lim = lim (1p.) (3p.) b) Lausekkeen täytyy supistua (x-2):lla, joten osoittajan nollakohta on 2. Mtemtiikk III 0600 Kurssi / Differetili- j itegrlilske jtkokurssi Tee 7 tehtävää ) Määritä lim ( ) ) + b) Määritä vkio site, että luseke ( ) + + ( )( ) ( + + ) + + + + + lim + lim lim (p) o jtkuv myös

Lisätiedot

1 Jonot. 2 Sarjat. 3 Jatkuvuus. 4 Derivaatta. 5 Taylor-polynomit ja -sarjat. 1.2 Jonot. jossa

1 Jonot. 2 Sarjat. 3 Jatkuvuus. 4 Derivaatta. 5 Taylor-polynomit ja -sarjat. 1.2 Jonot. jossa Sisältö MS-AX Differentili- j integrlilskent Nämä klvot sisältävät otsikoss minitun kurssin keskeisen mterilin, mutt myös pljon oheislukemist. Luennoill voidn käsitellä myös täydentäviä esimerkkejä, kosk

Lisätiedot

Analyysi III S

Analyysi III S Anlyysi III 800624S Sisältö sitietoj 5 Riemnn integroinnin rjt 6 Luku 1. Mittteori 7 1. Algebr j σ-lgebr 7 2. Mitt 8 3. Ulkomitt j mitlliset joukot 11 4. Ulkomitn konstruointi 14 5. Lebesguen ulkomitt

Lisätiedot

Sinilause ja kosinilause

Sinilause ja kosinilause Siniluse j kosiniluse GEOMETRI M3 Mikäli kolmion korkeus j knt tiedetään, voidn pint-l lske. Esimerkki: Lske kolmion l, kun 38 kulmn viereiset sivut ovt 8, j 6,8. Nyt knt tiedetään, korkeutt ei! 38 8,

Lisätiedot

Mikrotalousteoria 2, 2008, osa III

Mikrotalousteoria 2, 2008, osa III Sisältö Mikrotlousteori 2, 2008, os III Yrityksen tuotntofunktiost 2 Pnosten substituoitvuus 2 3 Yrityksen teori 3 4 Mittkvedut tuotnnoss 5 5 Yksikkökustnnusten j skltuottojen steen välinen yhteys 5 6

Lisätiedot

HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY OF HELSINKI

HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY OF HELSINKI HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY OF HELSINKI Tiedekunt/Ossto Fkultet/Sektion Fculty Litos Institution Deprtment Mtemttis-luonnontieteellinen Tekijä Förfttre Author Antti Khri Työn

Lisätiedot

Analyyttinen lukuteoria

Analyyttinen lukuteoria Anlyyttinen lukuteori Johdnto Kuten yltä näkyy, tämän luentomonisteen kttm luentosrj on nimeltään Anlyyttinen lukuteori, vikkkin opintorekisteribyrokrttisist syistä opintojkso knt nimeä Lukuteori 3. Näin

Lisätiedot

2.4. Juurifunktio ja -yhtälöt

2.4. Juurifunktio ja -yhtälöt .. Juurifuktio j -yhtälöt.. Juurifuktio j -yhtälöt Juurifuktio lähtökoht void pitää potessifuktiot: f (x) x, missä o luoollie luku;,,,, j yhdistety potessifuktio määrittelee puolest yhtälö f (x) [g(x)],,,,,...

Lisätiedot

ANALYYSI II A Matemaattisten tieteiden laitos Luentomoniste työn alla: viimeksi muutettu

ANALYYSI II A Matemaattisten tieteiden laitos Luentomoniste työn alla: viimeksi muutettu ANALYYSI II 800322A Mtemttisten tieteiden litos Luentomoniste työn ll: viimeksi muutettu 13.11.2006 Sisältö Alkusnt Suosituksi opiskelutvoist iii iii Luku 1. Usen muuttujn funktioist: jtkuvuus 1 1. Merkinnät

Lisätiedot

Variaatiolaskentaa ja sen sovelluksia

Variaatiolaskentaa ja sen sovelluksia TAMPEREEN YLIOPISTO Pro grdu -tutkielm Luri Kumpulinen Vritiolskent j sen sovelluksi Informtiotieteiden yksikkö Mtemtiikk Lokkuu 2016 Tmpereen yliopisto Informtiotieteiden yksikkö KUMPULAINEN, LAURI: Vritiolskent

Lisätiedot

TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy Antti-Juhani Kaijanaho. 22. syyskuuta 2016

TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy Antti-Juhani Kaijanaho. 22. syyskuuta 2016 lusekkeet, lusekkeet, TIEA241 Automtit j kieliopit, syksy 2016 Antti-Juhni Kijnho lusekkeet j smuus TIETOTEKNIIKAN LAITOS 22. syyskuut 2016 Sisällys lusekkeet, lusekkeet lusekkeet j smuus j smuus lusekkeet

Lisätiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1: tiivistelmä ja oheislukemista

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1: tiivistelmä ja oheislukemista Differentili- j integrlilskent 1: tiivistelmä j oheislukemist Pekk Alestlo 4. syyskuut 2014 Tähdellä merkityt kohdt on trkoitettu lähinnä oheislukemistoksi. Lisäksi mukn on joitkin lukiot kertvi kohti,

Lisätiedot

ICS-C2000 Tietojenkäsittelyteoria Kevät 2015

ICS-C2000 Tietojenkäsittelyteoria Kevät 2015 ICS-C2 Tietojenkäsittelyteori Kevät 25 Kierros 3, 26. 3. tmmikuut Demonstrtiotehtävien rtkisut D: Ldi epädeterministinen äärellinen utomtti, jok test onko nnetun inäärijonon kolmnneksi viimeinen merkki,

Lisätiedot

Painopiste. josta edelleen. x i m i. (1) m L A TEX 1 ( ) x 1... x k µ x k+1... x n. m 1 g... m n g. Kuva 1. i=1. i=k+1. i=1

Painopiste. josta edelleen. x i m i. (1) m L A TEX 1 ( ) x 1... x k µ x k+1... x n. m 1 g... m n g. Kuva 1. i=1. i=k+1. i=1 Pinopiste Snomme ts-ineiseksi kpplett, jonk mteriliss ei ole sisäisiä tiheyden vihteluj. Tällisen kppleen pinopisteen sijinti voidn joskus päätellä kppleen muodon perusteell. Esimerkiksi ts-ineisen pllon

Lisätiedot

Konvergenssilauseita

Konvergenssilauseita LUKU 4 Konvergenssilauseita Lause 4.1 (Monotonisen konvergenssin lause). Olkoon (f n ) kasvava jono Lebesgueintegroituvia funktioita. Asetetaan f(x) := f n (x). Jos f n

Lisätiedot

Funktiot. funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina.

Funktiot. funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina. Funktiot Tässä luvussa käsitellään reaaliakselin osajoukoissa määriteltyjä funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina. Avoin väli: ]a, b[ tai ]a, [ tai ],

Lisätiedot

5 ( 1 3 )k, c) AB 3AC ja AB AC sekä vektoreiden AB ja

5 ( 1 3 )k, c) AB 3AC ja AB AC sekä vektoreiden AB ja MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Hrjoitustehtäviä syksy 4. Millä reliluvun rvoill ) 9 =, b) + +, e) 5?. Kirjoit Σ-merkkiä käyttäen summt 4, ) + 4 + 6 + +, b) 8 + 4 6 + + n n, c) + + + 4 + + 99, d)

Lisätiedot

Tee B-osion konseptiin etusivulle pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Välivaiheet perustelevat vastauksesi!

Tee B-osion konseptiin etusivulle pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Välivaiheet perustelevat vastauksesi! MAA8 Koe 4.4.016 Jussi Tyni Tee B-osion konseptiin etusivulle pisteytysruudukko! Muist kirjt nimesi j ryhmäsi. Väliviheet perustelevt vstuksesi! A-osio. Ilmn lskint. MAOLi s käyttää. Mksimissn 1h ik. Lske

Lisätiedot

LINSSI- JA PEILITYÖ TEORIAA. I Geometrisen optiikan perusaksioomat

LINSSI- JA PEILITYÖ TEORIAA. I Geometrisen optiikan perusaksioomat (0) LINSSI- JA PEILITYÖ MOTIVOINTI Tutustutn linsseihin j peileihin geometrisen optiikn mittuksiss Tutkitn vlon käyttäytymistä linsseissä j peileissä Määritetään linssien j peilien polttopisteet Optiset

Lisätiedot