1. Yhtälöiden ratkaisemisesta Olkoon f välillä [a, b] jatkuva funktio, jolle f(a) f(b) < 0. Bolzanon lauseen [A1]
|
|
- Risto Hänninen
- 7 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 1. Yhtälöiden rtkisemisest Olkoon f välillä [, b] jtkuv funktio, jolle f() f(b) <. Bolznon luseen [A1] nojll pisteiden j b välissä on piste ξ, missä f(ξ) =. Eräs tvnominen todistusmenetelmä käyttää relilukujen supremum-täydellisyysksioom seurvsti: Oletetn, että f() < j f(b) >. Asetetn A := {x [, b] f(x) < }. Tällöin A on epätyhjä (kosk A) j (ylöspäin) rjoitettu joukko, joten sillä on pienin ylärj ξ := sup A. Se, että ξ on yhtälön f(x) = juuri todetn epäsuorsti: Jos olisi f(ξ), niin f(ξ) > ti f(ξ) <. Jos f(ξ) >, niin jtkuvuuden nojll f(x) > josskin pisteen ξ ympäristössä (ξ δ, ξ +δ). Mutt tällöin ξ δ olisi joukon A ylärj. (Luvun ξ vlinnn nojll f(x) kikille x ξ; nyt f(x) kikille x ξ δ.) Jos ts f(ξ) <, niin jtkuvuuden nojll f(x) < josskin pisteen ξ ympäristössä (ξ δ, ξ + δ). Mutt tällöin joukon A ylärj olisi vhintään ξ + δ. Yllä olevn päättelyn vull voidn siis näyttää, että yhtälöllä f(x) = on rtkisu, kunhn f on jtkuv jollkin välillä j välin päätepisteissä se svutt erimerkkiset rvot. Yllä olev todistus ei kuitenkn ole konstruktiivinen; se ei nn minkäänlist pu juuren ξ määräämiseen. Ns. hrukointi eli sisäkkäisten välien perite on tässä suhteess pljon prempi menetelmä. Oletetn, että f() < j f(b) >. Asetetn :=, b := b. (1) Asetetn c := 1 ( + b ). () Jos f(c) =, niin c on yhtälölle hettu juuri. (3) Jos f(c) >, niin setetn 1 :=, b 1 := c. (4) Jos f(c) <, niin setetn 1 := c, b 1 := b. (5) Toistetn edelliset päättelyt kohdst (1) lken niin, että korvtn luvull 1 j b luvull b 1. Näin sdn ksvv lukujono ( j ) j j vähenevä lukujono (b j ) j, joille on voimss j < b j, b j j = j (b ) j f( j ) < sekä f(b j ) >. Näistä ehdoist (jtkuvuuden knss) seur, että jonoill on sm rj-rvo ξ := lim j j = lim j b j j f(ξ) = lim j f( j ) sekä f(ξ) = lim j f(b j ). Siis f(ξ) =, eli hluttu juuri löydetään. Lisäksi tämä menetelmä nt mhdollisuuden määrätä likirvot j j b j juurelle ξ, joten menetelmä on konstruktiivinen Seknttimenetelmä. [5, luku II, ], [4, 6.3.b], [1, 1.1] Myös Regul flsi ( väärä sijinti ; khden virheen menetelmä). Olkoon f välillä [, b] jtkuv funktio j x, x 1 [, b], joille f(x ) f(x 1 ) <. Bolznon luseen nojll pisteiden x j x 1 välissä on piste ξ, missä f(ξ) =. Seknttimenetelmän iden on korvt funktion f kuvj pisteitä (x, f(x )) j (x 1, f(x 1 )) yhdistävällä jnll. Likirvon yhtälön f(x) = juurelle ξ voidn pitää pisteitä (x, f(x )) j (x 1, f(x 1 )) yhdistävän jnn j x-kselin leikkuskoht, joss olkoon x = x. Suorn yhtälö on y f(x ) = f(x 1) f(x ) x 1 x (x x ), 1 Viimeksi muutettu
2 joten leikkuspisteelle (x, ) sdn x 1 x (1.1) x = x f(x 1 ) f(x ) f(x ). Tämän kvn mukisesti voidn edetä (eli sdn lgoritmi): (1) Vlitn pistepri x, x 1 väliltä [, b] niin, että f(x ) f(x 1 ) <. () Määrätään x kvn (1.1) mukisesti. (3) Jos f(x 1 ) f(x ) <, vihdetn prin (x, x 1 ) tillle (x 1, x ). (4) Jos f(x 1 ) f(x ) >, niin f(x ) f(x ) <, jolloin prin (x, x 1 ) tillle otetn (x, x ). (Jos f(x 1 ) f(x ) =, niin x on yhtälön f(x) = juuri.) (5) Toistetn, kunnes mx{ x x, x 1 x } on riittävän pieni. Trkstelln seurvksi juuren ξ likirvon x trkkuutt, t.s. selvitetään kuink iso ξ x on muiden suureiden vull ilmistun. Tässä oletetn, että f on välillä [, b] kksi kert jtkuvsti differentioituv. Pisteet (x, f(x )) j (x 1, f(x 1 )) yhdistävän suorn yhtälö on y = L(x), kun L(x) := (x x ) f(x 1 ) (x x 1 ) f(x ) x 1 x, x [, b]. Osoitetn luksi, että jokiselle x [, b] on olemss η x [, b] (vieläpä niin, että η x on pienimmällä pisteet x, x j x 1 sisältävällä välillä) niin, että f(x) L(x) = 1 f (η x )(x x )(x x 1 ). Oletetn yksinkertisuuden vuoksi, että x on pisteiden x j x 1 välissä. Nimittäin, kun setetn u(z) := f(z) L(z) c (z x )(z x 1 ) j luku c vlitn niin, että u(x) =, niin tällöin on u(x) = u(x ) = u(x 1 ) =. Muist, että L(x ) = f(x ) j L(x 1 ) = f(x 1 ). Rollen luseen nojll pisteiden x j x välissä on η siten, että u (η ) =. Vstvsti pisteiden x j x 1 välissä on η 1 siten, että u (η 1 ) =. Tällöin η η 1. Kun Rollen lusett sovelletn derivttn u j pisteisiin η j η 1, löydetään η x siten, että u (η x ) =. Mutt u (z) = f (z) c, joten c = 1 f (η x ). Luse 1.1. Oletetn, että f on välillä [, b] C -funktio, ξ pisteiden x, x 1 [, b] välissä olev yhtälön f(x) = juuri j x pisteiden x j x 1 välissä olev yhtälön L(x) = juuri. Oletetn lisäksi, että f (x) kikille x [, b]. Tällöin pisteiden x j x 1 välissä on olemss pisteet η j ζ siten, että ξ x = 1 f (η) f (ζ) (x x )(x x 1 ). Erityisesti, jos lisäksi on olemss vkiot m > j M > siten, että f (x) m j f (x) M kikille x [, b], niin ξ x 1 M m x x x x 1. Todistus. Kun edellistä putulost sovelletn pisteeseen x = x, sdn f(x ) = f(x ) L(x ) = 1 f (η x )(x x )(x x 1 ). Toislt välirvoluseen nojll f(x ) = f(x ) f(ξ) = f (ζ)(ξ x )
3 3 jollekin pisteiden x j x 1 välissä olevlle pisteelle ζ. Pisteeksi η käy siis η x. Jälkimmäinen väite seur välittömästi sdust yhtälöstä. 1.. Newtonin menetelmä I. [1, luku II, ] [5, luku II, 4] [4, 6.3.; 6.3.d], [11, 4.7], [1, 1.11] Myös Newtonin j Rphsonin menetelmä. Menetelmän ide on geometrisesti seurv: Olkoon x likirvo yhtälön f(x) = juurelle. Korvtn funktion f kuvj pisteeseen x piirretyllä tngentilln eli suorll, jonk yhtälö on y f(x ) = f (x ) (x x ). Tämän tngentin j x-kselin leikkuskoht, joss olkoon x = x 1, nt uuden likirvon yhtälön f(x) = juurelle, t.s. x 1 = x 1 f (x ) f(x ). Huom, että tähän tulokseen päästään myös seknttimenetelmästä, kun yhtälössä (1.1) nnetn x 1 x. Luse 1.. Oletetn, että f on välillä [, b] C -funktio j että (i) f() f(b) < ; (ii) f (x) kikille x [, b]; (iii) f (x) kikille x [, b] ti f (x) kikille x [, b]; (iv) jos c on välin [, b] päätepiste, joss f (x) s pienemmän rvon, niin Olkoon x [, b] j määritellään jono f(c) f (c) b. (1.) x k+1 = x k 1 f (x k ) f(x k). Tällöin jono (x k ) k=1 suppenee kohti yhtälön f(x) = (inot) juurt. Todistus. Oletetn, että f() <, f(b) > j f (x) (muut tpukset jätetään lukijn tehtäväksi). Tällöin f on idosti ksvv j c = b. Olkoon ξ pisteiden j b välissä olev yhtälön f(x) = ino juuri. Olkoon luksi x [, ξ]. Ksvvuuden nojll on f(x ), joten x 1 = x f(x )/f (x ) x. Osoitetn, että x k ξ j x k+1 x k kikille k N. Kun k =, molemmt väitteet toteutuvt (x ξ on oletus). Jos x k ξ, niin välirvoluseen nojll f(x k ) = f(ξ) f(x k ) = (ξ x k ) f (η) jollekin η (x k, ξ). Oletuksen f (x) nojll derivtt f on vähenevä, joten f (η) f (x k ). Siis f(x k ) (ξ x k ) f (x k ), Menetelmä on peräisin Isc Newtonilt vuodelt 1669, yhtälönä x 3 x 5 =.
4 4 t.s. x k+1 = x k f(x k )/f (x k ) x k + (ξ x k ) = ξ. Kosk f(x) välillä [x, ξ], on f(x k+1 ) j x k+ = x k+1 f(x k+1 )/f (x k+1 ) x k+1. Molemmt väitteet toteutuvt siis myös indeksille k + 1. Ksvvll j rjoitetull jonoll (x k ) k= [x, ξ] on rj-rvo ξ [x, ξ]. Kun yhtälössä (1.) nnetn k, sdn ξ = ξ f(ξ )/f (ξ ), jost seur f(ξ ) =. Kosk ξ on yhtälön f(x) = ino välillä [, b] olev juuri, on ξ = ξ. Jos x [ξ, b], sdn välirvoluseen nojll f(x ) = f (η)(x ξ) jollekin η (ξ, x ). Kosk f on vähenevä, on f (η) f (x ), joten f(x ) f (x )(x ξ) j x 1 = x f(x )/f (x ) x (x ξ) = ξ. Toislt f(x ) f(b) = f (η )(x b) jollekin η (x, b), joten Oletuksen (iv) nojll sdn f(x ) f(b) f (b)(b x ). x 1 = x f(x ) f (x ) x f(x ) f (b) x f(b) f (b)(b x ) f (b) x (b )+(b x ) =. Siis x 1 [, ξ]. Se, mitä edellä todistettin tpuksess x [, ξ] pätee nyt jonolle (x k ) k=1. Esimerkki 1.3. Yhtälön x = rtkisulle Newtonin menetelmä nt likirvot, kun vlitn x = (lskut Mximll, liukulukulikirvot 4 numeron trkkuudell), =.b 3 = 1.5b 17 = b = b = b = b = b Huom lleviivtut desimlit; oikeiden desimlien lukumäärä näyttäisi likimin kksinkertistuvn jokisess viheess. Hrukointi yhtä monell itertioll lähtien liikkeelle välistä [1, ] nt rtkisuksi välin < < Newtonin menetelmä on siis selvästi nopempi.
5 Esimerkki 1.4. Luseen ehdoist viimeisen merkitys selvinnee prhiten esimerkillä. Olkoon f(x) = sin x j x = 5/ Newtonin menetelmällä sdn x j f(x j ) f (x j ) x = , sin x = , cos x =.957 x 1 = , sin x 1 = , cos x 1 =.8771, x = , sin x = , cos x =.9989 x 3 = , sin x 3 = , cos x = Pisteessä x derivtt f (x ) = cos x on itseisrvoltn pieni, j osmäärä f(x )/f (x ) = x 1 x iso, joten piste x 1 on kukn pisteestä x. Viimeisen ehdon trkoitus on siis vrmist, että likirvo x k+1 ei krk kus sin(x) cos(5/3)*(x-5/3)+sin(5/3) Edeltä ilmenee, että Newtonin menetelmä on vrsin tehoks menetelmä neliöjuurien lskemiseen (inkin ; HT: kikki juuret n onnistuvt). Muinisill bbylonilisill oli jo lähes 4 vuott sitten käytössään jokin kohtlisen hyvä lgoritmi neliöjuurien lskemiseen, luultvsti erikoistpus Newtonin menetelmästä. Bbylonilisist svituluist käy ilmi, että he tunsivt luvulle likirvon 1; 4, 51, 1 esitettynä 6-kntisen lukun eli seksgesimlilukun 3. Smisess svituluss kerrotn, että neliön, jonk sivun pituu on 3, hlkisijn pituus on 4; 5, 35 smoin 6-kntisen lukun. Ks. [1, I.] 1.3. Peräkkäiset itertiot. [17, luku XVIII, 1, Shrinking lemm], [4, 6.3.c], [11, ], [1, 1.11] Kun Newtonin menetelmällä etsitään yhtälön F (x) = juuri, peräkkäisten itertioiden menetelmällä etsitään funktion f kiintopisteitä, t.s. yhtälön f(x) = x rtkisuj. Peräkkäisten itertioiden menetelmää voidn siis käyttää yhtälön F (x) = juurien määräämiseen, kun F esitetään muodoss F (x) = f(x) x. 3 Siis Virhe on pieni, lle Seksgesimlilukujen käyttö on 3 jtkunut mtemtiikss pitkään. Esimerkiksi Euler nt funktion x x sin x lokliksi äärirvoksi (viimeisten seksgesimlien pitäisi oll 3 38 ; vrt. [1, s. 97, HT.4]). Seksgesimlilukujen käyttö on vieläkin vrsin rkipäiväistä x
6 Peräkkäisten itertioiden menetelmä toimii vrsin yleisessä muodoss j sellisen se on esitetty ll olevss luseess. Metrinen vruus on joukko X, jonk pisteille x, y X on määritelty metriikk d, jolle (ks. [EA, 1.5]) (1) d(x, y), d(x, x) = j d(x, y) >, kun x y; () d(x, y) = d(y, x), j (3) d(x, y) d(x, z) + d(z, y). Metrisen vruuden X jono (x k ) k=1 on Cuchyn jono, jos jokiselle ε > on olemss k ε Z + siten, että d(x j, x k ) < ε, kun j, k k ε. Metrinen vruus X on täydellinen 4, jos sen jokinen Cuchyn jono suppenee, t.s. jokisell Cuchyn jonoll on rj-rvo joukoss X. Yksinkertisin esimerkki täydellisestä metrisestä vruudest on euklidinen vruus R n vrustettun tvllisell euklidisell metriikll ([EA, 4.7]). Smoin jokinen euklidisen vruuden R n suljettu osjoukko X on täydellinen. Seurv luse (j sen todistus) knntt luksi käydä läpi tpuksess, missä X on euklidisen vruuden R n suljettu osjoukko j d euklidisen vruuden R n tvllinen euklidinen metriikk. Luse 1.5 (Bnchin kiintopisteluse). Olkoon (X, d) täydellinen metrinen vruus j f : X X kutistv kuvus, t.s. on olemss k (, 1) siten, että d(f(x), f(y)) k d(x, y) kikille x, y X. Tällöin kuvuksell f on täsmälleen yksi kiintopiste, t.s. piste z X, jolle f(z) = z. j Todistus. Olkoon x X. Määritellään jono (x n ) n=1 rekursiivisesti Kun n = m + r > m, on x n := f(x n 1 ), n Z +. d(x n, x m ) = d(f(x n 1 ), f(x m 1 )) k d(x n 1, x m 1 ) k m d(x r, x ) d(x r, x ) d(x r, x r 1 ) + d(x r 1, x r ) + + d(x 1, x ) (k r 1 + k r + + 1) d(x 1, x ) 1 1 k d(x 1, x ). Näistä epäyhtälöistä seur, että jono (x n ) n=1 on Cuchyn jono. Kosk X on täydellinen, on jonoll rj-rvo z = lim n x n X. Kosk kutistv kuvus on jtkuv, on z = lim x n+1 = lim f(x n ) = f( lim x n ) = f(z). n n n Siis z on kiintopiste. Jos myös z olisi kiintopiste, olisi Kosk k < 1, on oltv d(z, z ) =. d(z, z ) = d(f(z), f(z )) k d(z, z ). 4 Metrinen vruus on korrektimmin ilmistun pri (X, d), kosk smiseen joukkoon X voidn määritellä useit metriikoit d, joiden määräämät topologit sttvt poiket toisistn hyvinkin oleellisesti. 6
7 Luseen oletuksist on tärkeä huomt (esimerkiksi tpuksess X R n suljettu), että kuvuksen f kuvjoukko f(x) on joukon X osjoukko, j että luku k on (pisteistä x j y riippumton) vkio. Lisäksi pelkkä ehto d(f(x), f(y)) < d(x, y) kikille x, y X, ei riitä. Peräkkäisten itertioiden menetelmä on iemmin ollut esillä (Picrdin j Lindelöfin menetelmän nimellä) differentiliyhtälöiden kurssill [DY,.7] olemssoloj yksikäsitteisyysluseen yhteydessä. Seurvss on lyhyt hhmotelm differentiliyhtälöiden olemssololuseelle käyttäen kiintopistelusett. Olkoot D R voin j f : D R jtkuv funktio. Olkoon (x, y ) D. Differentiliyhtälöiden kurssill [DY,.7] on osoitettu, että lkurvotehtävä { y = f(x, y) (1.3) on yhtäpitävä integrliyhtälön y(x ) = y (1.4) y(x) = y + f(t, y(t)) dt x knss (tämä on helppo todet suorn). Vlitn > j b > siten, että I := [x, x + ] B(y ; b) D, missä B(y ; b) on suljettu y -keskinen, b-säteinen pllo (yksiulotteisess tpuksess B(y ; b) on suljettu väli; yleisesti D R n+1 = R x R n y on voin, f : D R n on jtkuv j B(y ; b) R n ). Oletetn, että (i) f on rjoitettu joukoss I, f(x, y) M kikille (x, y) I; j (ii) f toteutt Lipschitz-ehdon muuttujn y suhteen, f(x, y 1 ) f(x, y ) L y 1 y kikille (x, y 1 ), (x, y ) I. Olkoon I δ := [x δ, x + δ], kun < δ. Olkoon E kikkien välillä I δ määriteltyjen jtkuvien funktioiden muodostm vektorivruus (yhteenlsku j luvull kertominen määritellään tvnomiseen tpn pisteittäin). Vektorivruudest E sdn normivruus, kun funktiolle y : I δ R setetn y := sup x I δ y(x). Kosk jonon suppeneminen normin suhteen trkoitt sm kuin tsinen suppeneminen, suppenee vruuden E jokinen Cuchyn jono normin suhteen. Ks. [A3, luseet 3.3, 3.4 j 3.5]. Joukko E vrustettun metriikll d(y 1, y ) := y 1 y on tällöin täydellinen metrinen vruus. Olkoon K := {y E y(x ) = y j y(x) B(y ; b) kikille x I δ }. Tällöin K on vruuden E suljettu osjoukko. Määritellään kuvus S : K E settmll 5 (Sy)(x) := y + x f(t, y(t)) dt. 5 Tällist kuvust S, jonk muuttujn on funktio y, j jonk rvo Sy on funktio, kutsutn usein operttoriksi, tässä tilnteess integrlioperttoriksi. 7
8 Kosk f on jtkuv, on Sy jtkuv, jos se ylipäätään on hyvinmääritelty. Tätä vrten tulee oll (t, y(t)) D kikille t I δ. Tämä puolestn seur ehdost y K, kosk tällöin y on välillä I δ I määritelty jtkuv funktio, jolle y(t) B(y ; b) kikille t I δ. Siis (t, y(t)) I B(y ; b) D. Osoitetn, että Sy K, kun δ vlitn sopivsti (oletetn, että x > x ): (Sy)(x) y = f(t, y(t)) dt f(t, y(t)) dt M dt = M x x. x x x Siis (Sy)(x) y M δ b kikille x I δ, kun δ b/m. Selvästi Sy on jtkuv j (Sy)(x ) = y, joten Sy K. Osoitetn, että S on kutistv: ( (Sy 1 )(x) (Sy )(x) = f(t, y1 (t)) f(t, y (t)) ) dt x x f(t, y 1 (t)) f(t, y (t)) dt x L y 1 (t) y (t) dt L δ y 1 y. Kutistvuusehto Sy 1 Sy k y 1 y toteutuu, kun k := L δ < 1. Siis, kun δ b/m j k = L δ < 1, voidn Bnchin kiintopistelusett 1.5 sovelt kutistvn kuvukseen S : K K Kuvuksen S kiintopiste y toteutt integrliyhtälön (1.4), joten se on lkurvotehtävän (1.3) rtkisu Newtonin menetelmä II. [17, luku XVIII, 1, HT 6] Olkoon U R n voin joukko j f = (f 1,..., f m ): U R m differentioituv kuvus. Muist, että kuvuksen f derivtt Df(x) pisteessä x U on linerikuvus Df(x): R n R m j että sitä vstv mtriisi (stndrdikntojen suhteen) on Jcobin mtriisi 1 f 1 (x)... n f 1 (x) mt Df(x) = f m (x)... n f m (x) Linerikuvuksen L: R n R m normi määritellään settmll L L := sup{ Lu u 1}. (Kurssill Differentililskent 1 tälle normille on käytetty merkintää L.) Linerikuvuksen normille tärkeä ominisuus on Lx L L x kikille x R n. Trkstelln seurvksi yhtälön f(x) = likimääräistä rtkisemist, kun f on voimess joukoss U R n määritelty C 1 -kuvus f = (f 1,..., f n ): U R n. Jos f on linerikuvus, on yhtälön f(x) = y rtkevuutt j rtkisemist trksteltu linerilgebrn kurssill [LAG1]. Tässä tpuksess yhtälöllä f(x) = y on yksi j vin yksi rtkisu jokiselle y R n, jos j vin jos f on bijektio. Muist, että linerikuvukselle f on Df(x) = f kikille x R n. Jos f ei ole linerikuvus, käytetään derivtn määritelmän mukist linerisointi-ide: korvtn f(x) pisteen x lähellä kuvuksell x f(x ) + Df(x )(x x ) (käänteiskuvusluse [IL1, luse 8.4] knntt myös pitää mielessä). 8
9 Derivtn määritelmän nojll f(x) f(x ) + Df(x )(x x ), kun x x. Jos tässä f(x) j derivtt Df(x ) on bijektio (t.s. det Df(x ) = J f (x ) ), niin x x (Df(x )) 1 f(x ). Seurvn luseen todistuksess trvitn pun nlyysin peruslusett vektorirvoiselle jtkuvsti differentioituvlle kuvukselle g : [, b] R m : g(b) g() = b g (t) dt. Tässä jtkuvn kuvuksen g = (g 1,..., g m ): [, b] R m integrli määritellään komponenteittin b ( b b ) g(t) dt := g 1 (t) dt,..., g m (t) dt. Lisäksi trvitn epäyhtälö b g(t) dt b g(t) dt. Lyhyt todistus: Olkoon I := b g(t) dt. Tällöin Cuchyn, Bunjkovskin j Schwrzin epäyhtälön nojll on ( b ) b b I = (I I) = I g(t) dt = (I g(t)) dt I g(t) dt. Yleistys välirvoluseelle: Olkoot G R n voin, f : G R m C 1 -kuvus j x, x G siten, että niitä yhdistävä jn J(x, x ) G. Soveltmll nlyysin peruslusett kuvukseen g : [, 1] R m, g(t) := f(x + t (x x)) t Df(x)(x x), sdn (vrt. [DL1, luse 6.4] j siitä kuvukseen z f(z) Df(x)(z x) soveltmll stv seurust) f(x ) f(x) Df(x)(x x) = g(1) g() = g (t) dt (1.5) = ( Df(x + t (x x)) Df(x) ) (x x) dt Df(x + t (x x)) Df(x) L x x dt. Luse 1.6. Olkoot x R n, r > j f : B(x ; r) R n C 1 -kuvus. Oletetn, että on olemss luvut c > j C > siten, että (i) Df(x) Df(x ) L C x x kikille x, x B(x ; δ); (ii) derivttkuvus Df(x) on bijektio j (Df(x)) 1 L c kikille x B(x ; δ). Tällöin on olemss vin luvuist c j C riippuv luku δ > siten, että jos f(x ) δ, niin on voimss: kun määritellään jono (x k ) k= settmll (1.6) x k+1 = x k (Df(x k )) 1 f(x k ), 1 on x k B(x ; r) kikille k N; jono (x k ) k= suppenee kohti pistettä ξ B(x ; r); 9
10 3 f(ξ) =. Jos lisäksi c C < 1, niin piste ξ on yhtälön f(x) = ino juuri plloss B(x ; c δ). Luseen oletukset trkoittvt seurv: Oletus f(x ) δ trkoitt, että x on yhtälön f(x) = juuren likirvo. Oletus (i) merkitsee, että derivtt Df(x) ei heilu voimkksti. Relikselill derivttkuvus Df(x): R R on luvull f (x) kertolsku j (Df(x)) 1 L = 1/f (x), joten oletus (ii) trkoitt, että derivtt f (x) pysyy kukn nollst. Vert myös kurssin [IL1] käänteiskuvuslusett koskeviin trksteluihin. Jos f on kksi kert differentioituv j n = 1, voidn oletust (i) yksinkertist välirvoluseen vull: Df(x) Df(x ) L = f (x) f (x ) = f (x ) x x jollekin luvulle x lukujen x j x välissä. Jos nyt toinen derivtt f on rjoitettu, f (t) C kikille t B(x ; r) = (x r, x + r), niin ehto (ii) toteutuu. Luseen todistus. Osoitetn luksi, että kun x k, x k+1 B(x ; r), niin (1.7) x k+1 x k c f(x k ) j f(x k ) C x k+1 x k. Määritelmästä (1.6) j oletuksest (ii) sdn x k+1 x k = Df(x k ) 1 f(x k ) Df(x k ) 1 L f(x k ) c f(x k ) Kosk f(x k ) = Df(x k )(x k+1 x k ), sdn nlyysin perusluseen vull (merkitään h := x k+1 x k ; vrt. (1.5)) f(x k+1 ) = f(x k ) + = f(x k ) + Df(x k )h + = joten oletuksen (i) nojll sdn f(x k+1 ) Df(x k + t h)h dt (Df(x k + t h) Df(x k ))h dt, Df(x k +t h) Df(x k ) L h dt Epäyhtälöt (1.7) ovt siis voimss. (Df(x k + t h) Df(x k ))h dt 1 Ct h dt = C x k+1 x k. Ongelmllisemp on osoitt, että rekursiivisesti kvll (1.6) määritellyt x k B(x ; r) kikille k N, kun δ on riittävän pieni j f(x ) δ. Kun epäyhtälöistä (1.7) ensimmäisessä setetn k =, on x 1 x c f(x ) c δ. Siis pitää oll c δ < r. Epäyhtälöistä (1.7) sdn x k+1 x k c f(x k ) c C x k x k 1... c C ( c C ) ( c C ) k 1... x 1 x k ( c C ) k 1 ( c C = x 1 x k = ) k 1 x1 x k.
11 11 Kosk x 1 x c f(x ) c δ, sdn ( c C ) k 1 ( c C ) k 1 ( x k+1 x k x1 x k (c δ) c C δ ) k k 1 = c δ. Kun merkitään q := c C δ, on x n+1 x x k+1 x k k= = c δ 1 qn 1 q. Jos nyt c C δ 1, on q 1 j c δ q k 1 c δ k= n 1 x n+1 x c δ 1 qn 1 q c δ (1 qn 1 ) c δ, joten x n+1 B(x ; c δ). Riittää siis vlit δ > niin, että c δ < r. Epäyhtälöstä x n+1 x m x k+1 x k k=m = c δ qm 1 q n 1 q c δ q k 1 c δ k=m c δ q m 1 j= n 1 q j j= m 1 seur, että jono (x n ) n= on Cuchyn jono. Siis jono (x n ) n= suppenee j se rjpisteelle ξ on voimss ξ B(x ; c δ). Kun epäyhtälöprin (1.7) jälkimmäisessä epäyhtälössä nnetn k, sdn f(ξ) =. Osoitetn, että piste ξ on yhtälön f(x) = ino juuri η plloss B(x ; c δ), kun c C < 1. Oletetn, että myös η B(x ; c δ) on yhtälön f(x) = juuri. Kosk f(η) =, sdn jonon (x k ) k= vlinnn (1.6), välirvoepäyhtälön (1.5) j oletuksen (i) nojll Df(x k )(η x k+1 ) = f(η) f(x k ) Df(x k )(η x k ) Toislt, oletuksen (ii) nojll sup Df(z) Df(x) L η x k z J(x k,η) C η x k. η x k+1 = (Df(x k )) 1 Df(x k )(η x k+1 ) c Df(x k )(η x k+1 ). Näistä khdest epäyhtälöstä sdn η x k+1 c Df(x k )(η x k+1 ) c C η x k. Kun k, sdn η ξ c C η ξ. Kosk nyt c C < 1, on tämä mhdollist vin, kun η ξ =, t.s. η = ξ. q j
12 Huomutus 1.7. Jos f on kksi kert differentioituv, seur oletus (i) toisen kertluvun derivtn rjoittuneisuudest seurvsti. Olkoot luksi G R n voin j f : G R m kksi kert differentioituv kuvus, t.s. f on jtkuvsti differentioituv j osittisderivtt j f, 1 j n, ovt differentioituvi joukoss G. Kun setetn g : [, 1] R m, g(t) := Df(x + t v)u = n j jf(x + t v) u j, niin g(1) g() = Df(x + v)u Df(x)u j g (t) = k j f(x + t v) u j v k. joten Välirvoepäyhtälön [DL1, luse 6.4] nojll g(1) g() sup g (t), t [,1] t [,1] j,k=1. Df(x + v)u Df(x)u sup k j f(x + t v) u j v k j,k=1 Jos oletetn, että j k f(x) µ kikille x G, sdn krkesti rvioiden k j f(x + t v) u j v k k j f(x + t v) u j v k n µ u v. j,k=1 j,k=1 Siis Df(x+v)u Df(x)u n µ u v, mistä sdn linerikuvuksen normin määritelmän nojll Df(x + v) Df(x) L n µ v. Luseen oletus (i) siis on voimss vkiolle C = n µ. Luonnollisempi ehto stisiin käyttämällä toisen kertluvun derivtt, jok on läheistä suku toisen kertluvun differentilille [DL1, määr. 8.]: 6 d xf(u) := k j f(x) u j u k. j,k=1 Kun setetn (vrt. [17, luku XVII, 5]) (D f(x))(v, u) := k j f(x) u j v k, niin edellä ollut epäyhtälö s muodon j,k=1 Df(x + v)u Df(x)u sup (D f(x + t v))(v, u). t [,1] Tässä esiintyvä kuvuksen f toinen derivtt B := D f(x) pisteessä x on bilinerikuvus R n R n R m. Kikkien bilinerikuvusten R n R n R m joukko merkitään L (R n ; R m ) j se on normivruus, kun bilinerikuvukselle B määritellään B L := sup{ B(v, u) v 1, u 1}. 6 Kurssill Differentililskent 1 korkemmn kertluvun derivttojen sijn on määritelty vin korkemmn kertluvun differentilit, kosk ne riittävät (j vin niitä trvitn) Tylorin kvn. Kosk Tylorin kv puolestn trvitn vin relirvoisten funktioiden äärirvoteorin, on korkemmn kertluvun differentilitkin määritelty vin relirvoisille funktioille. 1
13 Bilinerikuvuksen normin perusominisuus on (vstv kuin linerikuvuksen normill) B(v, u) B L v u. Siis Df(x + v)u Df(x)u sup D f(x + t v) L v u, t [,1] joten linerikuvuksen normin määritelmän nojll Df(x + v) Df(x) L sup D f(x + t v) L v. t [,1] Oletukseen (i) liittyen sdn riittävä ehto: jos D f(x) L C kikille x B(x ; r), niin ehto (i) toteutuu. Seurus 1.8. Jos f : U E on C -kuvus, jolle f(x ) = j Df(x ) on kääntyvä, niin on olemss η > j δ > siten, että kun y δ, niin yhtälöllä f(x) = y on rtkisu x B(x ; η). Todistus. Sovelletn Newtonin menetelmää kuvukseen g(x) := f(x) y. Oletuksien nojll g (x) 1 j g (x) ovt rjoitettuj josskin pisteen x ympäristössä. Kun g(x ) = f(x ) y = y δ j δ on kuten edellä, on yhtälöllä g(ξ) = rtkisu ξ B(x ; c δ). Vlitn η := c δ. 13
TEHTÄVÄ 1. Olkoon (f n ) jono jatkuvia funktioita f n : [a, b] R, joka suppenee välillä [a, b] tasaisesti kohti funktiota f : [a, b] R.
Topologi I Hrjoitus 10, rtkisuj AP TEHTÄVÄ 1. Olkoon (f n ) jono jtkuvi funktioit f n : [, b] R, jok suppenee välillä [, b] tsisesti kohti funktiot f : [, b] R. Osoit, että tällöin f n (x) dx f(x) dx.
Lisätiedotx k 1 Riemannin summien käyttö integraalin approksimointiin ei ole erityisen tehokasta; jatkuvasti derivoituvalle funktiolle f virhe b
5 Integrlien lskemisest 51 Riemnnin summt [A2], [4, 61] Rjoitetun funktion f : [, b] R Riemnn-integroituvuudelle ytäpitäväksi on kurssill Anlyysi 2 osoitettu, että Riemnnin summill S P := f(ξ k ) ( ),
LisätiedotSARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT Funktiojonot 1
SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 JOUNI PARKKONEN Sisältö 0. Tästä tekstistä. Funktiojonot 0. Tästä tekstistä Tämä moniste on trkoitettu käytettäväksi kurssin Srjt j differentiliyhtälöt luentomterilin.
LisätiedotRiemannin integraali
LUKU 5 iemnnin integrli Tässä luvuss funktion f iemnnin integrli merkitään - b f = - b f() d. Vstvsti funktion f Lebesgue in integrli merkitään f = f() dm(). [,b] [,b] Luse 5.1. Olkoon f : [, b] rjoitettu
LisätiedotRiemannin integraalista
Lebesguen integrliin sl. 2007 Ari Lehtonen Riemnnin integrlist Johdnto Tämän luentomonisteen trkoituksen on tutustutt lukij Lebesgue n integrliin j sen perusominisuuksiin mhdollisimmn yksinkertisess tpuksess:
LisätiedotII.1. Suppeneminen., kun x > 0. Tavallinen lasku
II. EPÄOLEELLISET INTEGRAALIT nt II.. Suppeneminen Esim. Olkoon f() =, kun >. Tvllinen lsku = / =. Kuitenkn tätä integrli ei ole ikisemmss mielessä määritelty, kosk f ei ole rjoitettu välillä [, ] (eikä
Lisätiedot5 Epäoleellinen integraali
5 Epäoleellinen integrli 5. Integrlin suppeneminen Olkoon f sellinen välillä [, b[ (ei siis välttämättä pisteessä b) määritelty funktio, että f on Riemnn-integroituv välillä [, ] kikill ], b[ eli on olemss
Lisätiedot1. Derivaatan Testi. Jos funktio f on jatkuva avoimella välillä ]a, b[ ja x 0 ]a, b[ on kriit. tai singul. piste niin. { f (x) > 0, x ]a, x 0 [
1. Derivtn Testi Jos funktio f on jtkuv voimell välillä ], b[ j x 0 ], b[ on kriit. ti singul. piste niin { f (x) < 0, x ], x 0 [ f x (x) > 0, x ]x 0, b[ 0 on lokli minimipiste (1) { f (x) > 0, x ], x
Lisätiedot7 Funktiosarjoista. 7.1 Funktiosarjojen suppeneminen
7 Funktiosrjoist 7. Funktiosrjojen suppeneminen Seurvksi trkstelln srjoj, joiden termit ovt (lukujen sijst) jollkin välillä I määriteltyjä funktioit. Täsmällisemmin funktiosrjll (ti lyhyemmin srjll) trkoitetn
LisätiedotKorkeamman kertaluvut derivaatat
LUKU 4 Korkemmn kertluvut derivtt Derivtn määritelmän mukn differentioituv kuvust f : U F voidn pproksimoid ffiinill kuvuksell, f(x + u f(x + Df(xu. Jos f on khdesti differentioituv, voidn derivtt pproksimoid
LisätiedotKuvausta f sanotaan tällöin isomorfismiksi.
Määritelmä..12. Oletetn, että 1 =(V 1,E 1 ) j 2 =(V 2,E 2 ) ovt yksinkertisi verkkoj. Verkot 1 j 2 ovt isomorfiset, jos seurvt ehdot toteutuvt: (1) on olemss bijektio f : V 1 V 2 (2) kikill, b V 1 pätee,
Lisätiedot3 Integraali ja derivaatta
3 Integrli j erivtt 3.1 Integrli ylärjns funktion Olkoon funktio f Riemnn-integroituv välin I jokisell suljetull osvälillä j välin I jokin kiinteä luku. Tällöin integrli määrittelee funktion G(): I R,
LisätiedotAnalyysi 2. Harjoituksia lukuihin 1 3 / Kevät Anna sellainen välillä ] 2, 2[ jatkuva ja rajoitettu funktio f, että
Anlyysi Hrjoituksi lukuihin 3 / Kevät 5. Ann sellinen välillä ], [ jtkuv j rjoitettu funktio f, että () sup A m A j inf A min A, (b) sup A m A j inf A = min A, (c) sup A = m A j inf A min A, (d) sup A
Lisätiedot5 Riemann-integraali ANALYYSI B, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT Ala- ja yläintegraali
ANALYYSI B, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT 9 5 Riemnn-integrli 5. Al- j yläintegrli Voit olett tunnetuksi ll esitetyt supremumin j infimumin ominisuudet (joukot A j B ovt rjoitettuj sekä epätyhjiä j λ R). Jos
LisätiedotKertausta ja täydennystä
LUKU 1 Kertust j täydennystä 1.1. Merkintöjä N = {k Z k 0} = {0, 1, 2,... }, luonnollisten lukujen joukko. Z + = {k Z k > 0} = {1, 2,... }, positiivisten kokonislukujen joukko. (, b) on relikselin voin
LisätiedotANALYYSI I, kevät 2009
ANALYYSI I, kevät 2009 Sisältö Relilukujen peruskäsitteitä 2 Lukujonoist 3 2. Lukujonon rj-rvo....................... 3 2.2 Monotoniset jonot......................... 7 2.3 Osjonot..............................
LisätiedotKäydään läpi: ääriarvo tarkastelua, L Hospital, integraalia ja sarjoja.
DI mtemtiikn opettjksi: Täydennyskurssi, kevät Luentorunko j hrjoituksi viikolle : ti 9.. klo :-5:, to.. klo 9:5-: j klo 4:5-6: Käydään läpi: äärirvo trkstelu, L Hospitl, integrli j srjoj.. Kerrtn äärirvojen
LisätiedotMatematiikan peruskurssi. Seppo Hassi
Mtemtiikn peruskurssi Seppo Hssi Syksy 2014 iii Esipuhe Tämä on 1. versio Mtemtiikn peruskurssin opetusmonisteest, jonk sisältö noudttelee pitkälti Vsn yliopistoss iemmin luennoimni Mtemttiset menetelmät
LisätiedotANALYYSI I, kevät 2009
ANALYYSI I, kevät 009 Sisältö Relilukujen peruskäsitteitä Lukujonoist 4. Lukujonon rj-rvo....................... 4. Monotoniset jonot..........................3 Osjonot.............................. 7.4
LisätiedotMS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali
MS-A1{3,4} (ELEC*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 8: Integrlifunktio j epäoleellinen integrli Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos 5.1.216 Pekk Alestlo,
LisätiedotANALYYSI I, kevät 2009
5 Riemnnin integrli 7 ANALYYSI I, kevät 9 5. Integrlin perusominisuuksi................. 76 5. Anlyysin perusluse....................... 8 Sisältö Relilukujen peruskäsitteitä Lukujonoist 3. Lukujonon rj-rvo.......................
Lisätiedot2.4 Pienimmän neliösumman menetelmä
2.4 Pienimmän neliösummn menetelmä Optimointimenetelmiä trvitn usein kokeellisen dtn nlysoinniss. Mittuksiin liittyy virhettä, joten mittus on toistettv useit kertoj. Oletetn, että mittn suurett c j toistetn
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Mtemtiikn tukikurssi Kurssikert 5 1 Jtkuvuus Trkstelln funktiot fx) josskin tietyssä pisteessä x 0. Tämä funktio on tässä pisteessä joko jtkuv ti epäjtkuv. Jtkuvuuden ymmärtää prhiten trkstelemll epäjtkuv
LisätiedotMatemaattiset menetelmät I. Seppo Hassi
Mtemttiset menetelmät I Seppo Hssi Syksy 2011 iii Esipuhe Tämä on 1. versio Mtemttiset menetelmät I-kurssin opetusmonisteest, jok perustuu Vsn yliopistoss luennoimni vstvn nimiseen kurssiin. Sisältö noudtt
LisätiedotMääritelmä Olkoon C R m yksinkertainen kaari ja γ : [a, b] R m sen yksinkertainen parametriesitys, joka on paloittain C 1 -polku.
Muodostetn vektorikentän kri-integrli yksinkertisen kren tpuksess. Plutetn mieleen, että joukko C R m on yksinkertinen kri, jos löytyy sellinen jtkuv bijektio γ : [, b] C, jok on ploittin C 1 -funktio
LisätiedotVektoriarvoisten funktioiden analyysiä
Vektorirvoisten funktioiden nlyysiä LuK-tutkielm Arttu Hrtikk 2330325 Mtemttisten tieteiden litos Oulun yliopisto Syksy 2016 Sisältö Johdnto 2 1 Vektorivruus 3 1.1 Normi j normivruus......................
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Mtemtiikn tukikurssi Kurssikert 4 Tilvuuden j vipn ln lskeminen Kuten iemmin käsittelimme, määrätyn integrlin vull voi lske pintloj j tilvuuksi. Tyypillisenä sovelluksen tilvuuden lskemisest on tpus, joss
LisätiedotMS-A010{2,3,4,5} (SCI, ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali
MS-A1{2,3,4,5} (SC, ELEC*, ENG*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 8: ntegrlifunktio j epäoleellinen integrli Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos November
LisätiedotSarjat ja integraalit
Srjt j integrlit c Mtemttisten tieteiden litos, Oulun yliopisto Versio: 9.3.0 Viimeksi muoknnut: Peter Hästö Sisältö Funktion rj-rvo j jtkuvuus. Peruskäsitteitä........................................
LisätiedotMS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 7: Integraali ja analyysin peruslause
MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 7: Integrli j nlyysin perusluse Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos 3.10.2016 Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen
Lisätiedot2 Riemann-integraali. 2.1 Porrasfunktion integraali. Aloitetaan integraalin täsmällinen määrittely tutkimalla porrasfunktion integraalia.
2 Riemnn-integrli 2.1 Porrsfunktion integrli Aloitetn integrlin täsmällinen määrittely tutkimll porrsfunktion integrli. Määritelmä 2.1 (Porrsfunktion integrli). Olkoon f : [, b] R porrsfunktio j P = {x
LisätiedotAnalyysin perusteet kauppatieteilijöille 800118P
Anlyysin perusteet kupptieteilijöille 800118P Luentomoniste Kri Myllylä Niin Korteslhti Topi Törmä Oulun yliopisto Mtemttisten tieteiden litos Kevät 2015 Sisältö 1 Derivtt 3 1.1 Määritelmä..............................
LisätiedotLebesguen integraali - Rieszin määritelmä
Lebesguen integrli - Rieszin määritelmä Tru Lehtonen Mtemtiikn pro grdu-tutkielm Jyväskylän yliopisto Mtemtiikn j tilstotieteen litos Kevät 216 Tiivistelmä Jyväskylän Yliopisto Lehtonen, Tru Puliin: Lebesguen
LisätiedotAnalyysi B. Derivaatta ja integraali. Pertti Koivisto
Anlyysi B Derivtt j integrli Pertti Koivisto Kevät 7 Alkusnt Tämä moniste on trkoitettu oheislukemistoksi Tmpereen yliopistoss pidettävälle kurssille Anlyysi B. Monisteen tvoitteen on tuke luentojen seurmist,
LisätiedotPreliminäärikoe Pitkä Matematiikka 5.2.2013
Preliminäärikoe Pitkä Mtemtiikk 5..0 Kokeess s vstt enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä ( * ) merkittyjen tehtävien mksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien mksimipistemäärä on 6.. ) Rtkise yhtälö b)
LisätiedotMS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 7: Integraali ja analyysin peruslause
MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 7: Integrli j nlyysin perusluse Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos November 20, 2017
LisätiedotVALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 3.6.2014 Ratkaisut ja arvostelu
VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 3.6.4 Rtkisut j rvostelu. Koululisen todistuksen keskirvo x on lskettu ) b) c) d) kymmenen ineen perusteell. Jos koululinen nostisi neljän ineen
LisätiedotPertti Koivisto. Analyysi B
Pertti Koivisto Anlyysi B TAMPEREEN YLIOPISTO INFORMAATIOTIETEIDEN YKSIKÖN RAPORTTEJA 67/8 TAMPERE 8 TAMPEREEN YLIOPISTO INFORMAATIOTIETEIDEN YKSIKÖN RAPORTTEJA 67/8 JOULUKUU 8 Pertti Koivisto Anlyysi
Lisätiedoti 2 n 3 ( (n 1)a (i + 1) 3 = 1 +
I. INTEGRAALILASKENTA Arkhimedes (287 22 e.kr.) prbelin segmentin pint-l Newton (642 727) j Leibniz (646 76) keksivät diff.- j int.-lskennn Cuhy (789 857) ε, δ Riemnn (826 866) Riemnnin integrli Lebesgue
LisätiedotNumeeriset menetelmät TIEA381. Luento 9. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 9 () Numeeriset menetelmät / 29
Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 9 Kirsi Vljus Jyväskylän yliopisto Luento 9 () Numeeriset menetelmät 17.4.2013 1 / 29 Luennon 9 sisältö Numeerisest integroinnist Newtonin j Cotesin kvt Luento 9 ()
Lisätiedotsin θ θ θ r 2 sin 2 θ φ 2 = 0.
Mtemtiikn j tilstotieteen litos Osittisdifferentiliyhtälöt Kevät 21 Hrjoitus 9 Rtkisuj Jussi Mrtin 1. Osoit, että Lplce-yhtälö pllokoordinteiss on 2 u 1 r 2 2 u r r 1 r 2 sin θ u 1 2 u sin θ θ θ r 2 sin
LisätiedotSisältö. Funktiojonot ja -sarjat 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 15
Funktiojonot j -srjt 10. syyskuut 2005 sivu 1 / 15 Sisältö 1 Funktiojonoist 2 2 Funktiosrjoist 5 3 Funktiojonojen j -srjojen derivointi j integrointi 7 4 Potenssisrjt 9 5 Tylorin polynomit j srjt 12 5.1
Lisätiedot6 Integraalilaskentaa
6 Integrlilskent 6. Integrlifunktio Funktion f integrlifunktioksi snotn funktiot F, jonk derivtt on f. Siis F (x) = f (x) määrittelyjoukon jokisell muuttujn rvoll x. Merkitään F(x) = f (x) dx. Integrlifunktion
LisätiedotRiemannin integraalista
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro grdu -tutkielm Aij Stenberg Riemnnin integrlist Mtemtiikn j tilstotieteen litos Mtemtiikk Syyskuu 2010 2 Tmpereen yliopisto Mtemtiikn j tilstotieteen litos STENBERG, AIJA: Riemnnin
LisätiedotSyksyn 2015 Pitkän matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut
Sksn 0 Pitkän mtemtiikn YO-kokeen TI-Nspire CAS -rtkisut Tekijät: Olli Krkkulinen Rtkisut on ldittu TI-Nspire CAS -tietokoneohjelmll kättäen Muistiinpnot -sovellust. Kvt j lskut on kirjoitettu Mth -ruutuihin.
LisätiedotKertymäfunktio. Kertymäfunktio. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 2/2. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 1/2. Kertymäfunktio: Esitiedot
TKK (c) Ilkk Mellin (24) 1 Johdtus todennäköisyyslskentn TKK (c) Ilkk Mellin (24) 2 : Mitä opimme? 1/2 Jos stunnisilmiötä hlutn mllint mtemttisesti, on ilmiön tulosvihtoehdot kuvttv numeerisess muodoss.
Lisätiedot10. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA
MAA0 0. Määrätyn integrlin käyttö eräiden pint-lojen lskemisess 0. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA Edellä on todettu, että f (x)dx nt x-kselin j suorien x =, x = sekä funktion
Lisätiedot2.1 Vaillinaiset yhtälöt
.1 Villiniset yhtälöt Yhtälö, jok sievenee muotoon x + bx + c = 0 (*) on yleistä normlimuoto olev toisen steen yhtälö. Tämän rtkiseminen ei olekn enää yhtä meknist kuin normlimuotoisen ensisteen yhtälön
LisätiedotReaalinen lukualue. Millainen on luku, jossa on päättymätön ja jaksoton desimaalikehitelmä?
Relinen lukulue POLYNOMIFUNKTIOT JA -YHTÄLÖT, MAA Millinen on luku, joss on päättymätön j jksoton desimlikehitelmä? Onko sellisi? Trkstelln Pythgorn luseest stv yksikköneliön lävistäjää, luku + = x x =.
LisätiedotSäännöllisten operaattoreiden täydentäviä muistiinpanoja
Säännöllisten operttoreiden täydentäviä muistiinpnoj Antti-Juhni Kijnho 1. huhtikuut 2011 Vnht määritelmät Määritelmä 1. Äärellinen epätyhjä joukko on merkistö, j sen lkioit kutsutn merkeiksi. Määritelmä
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 1 (CHEM) Laskuharjoitus 4 / vko 47, mallivastaukset
Differentili- j integrlilskent (CHEM) Lskuhrjoitus / vko 7, mllivstukset Johdntotehtävä x dx = ln.693, joten rvo ln voidn pproksimoid integroimll numeerisesti funktiot x välillä [,]. Jetn väli [,] khteen
LisätiedotANALYYSIN TEORIA A JA B
ANALYYSIN TEORIA A JA B Kikki luseit ei ole muotoiltu smll tvll kuin luennoill. Ilmoit virheistä yms osoitteeseen mikko.kngsmki@ut. (jos et ole vrm, onko kyseessä virhe, niin ilmoit mieluummin). 1. Yleistä,
Lisätiedot4 Pinta-alasovelluksia
Pint-lsovelluksi. Kuvjn lle jäävä pint-l voidn määrittää, jos kuvj on -kselin yläpuolell. Välillä [, 5] funktion f kuvj on -kselin lpuolell. Peiltn funktion f kuvj -kselin suhteen, jolloin sdn funktion
LisätiedotMATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ PISTEYTYSKOKOUS
0 MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 30 PISTEYTYSKOKOUS 0 ) Sijoitetn x 0 Rtkistn = 0/04,0000 b) Jos neliön sivu on s, niin lävistäjä on s Ehto: s 6 s + s = 6, s 6 3 4s 6,70, joten piiri ) Suorn yhtälö
LisätiedotNumeerinen integrointi
Pitkärnt: Lj mtemtiikk IX9 Numeerinen integrointi IX9 Numeerinen integrointi Numeerisell integroinnill trkoitetn määrätyn integrlin, eli reliluvun I(f,,b) = f(x)dx lskemist numeerisin keinoin (likimäärin)
LisätiedotMatematiikan johdantokurssi, syksy 2017 Harjoitus 6, ratkaisuista. 1. Onko jokin demojen 5 tehtävän 3 relaatioista
Mtemtiikn johntokurssi, syksy 07 Hrjoitus 6, rtkisuist. Onko jokin emojen 5 tehtävän reltioist ) R := {(, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, )}, ) S := {(, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ),
LisätiedotJohdatus reaalifunktioihin P, 5op
Johdtus relifunktioihin 802161P, 5op Os 3 Pekk Slmi 19. lokkuut 2015 Pekk Slmi FUNK 19. lokkuut 2015 1 / 48 Integrlit 1 Määrätty integrli = oike integrli: esim. 1 0 x 2 dx = reliluku 2 Määräämätön integrli
LisätiedotJohdatusta variaatiolaskentaan
LUKU 6 Johdtust vritiolskentn 6.1. Prmetrist riippuvt integrlit [4, Ch. XIII, 8], [2, Ch. 1. Lemm 2.12.2], [3, Ch. VIII, 11], [15, Ch. XI, 7], [8, Ch. II, 3] Luse 6.1. Olkoot E normivruus, F Bnchin vruus,
LisätiedotVille Turunen: Mat Matematiikan peruskurssi P1 3. välikokeen alueen teoriatiivistelmä 2007
Ville Turunen: Mt-.4 Mtemtiikn peruskurssi P 3. välikokeen lueen teoritiivistelmä 27 Mterili: kirjt [Adms] R. A. Adms: Clculus, complete course (6th edition), [Ly] D. C. Ly: Liner lgebr nd its pplictions
LisätiedotMika Hirvensalo. Insinöörimatematiikka B 2014
Mik Hirvenslo Insinöörimtemtiikk B 4 Sisältö Rj-rvo j jtkuvuus....................................................... 5. Differentili- j integrlilskennn kehityksestä............................. 5. Relilukujen
Lisätiedota = x 0 < x 1 < x 2 < < x n = b f(x) dx = I. lim f(x k ) x k=1
5 Integrli 5.1 Määritelmä j ominisuudet Olkoon f : [, b] R jtkuv. Muodostetn välin [, b] jko = x 0 < x 1 < x 2 < < x n = b j siihen liittyvä yläsumm S = n M k (x k x k 1 ), M k = mx{f(x) x k 1 x x k },
LisätiedotANALYYSI 3. Tero Kilpeläinen
ANALYYSI 3 Tero Kilpeläinen Luentomuistiinpnoj syksyltä 2005 20. lokkuut 2005 Sisältö 1. Esitietoj 2 1.1. Riemnn-integrli............................ 2 1.2. Derivtt................................. 4 1.3.
Lisätiedot1.3 Toispuoleiset ja epäoleelliset raja-arvot
. Toisuoleiset j eäoleelliset rj-rvot Rj-rvo lim f () A olemssolo edellyttää että muuttuj täytyy void lähestyä rvo kummst suust hyväsä. Jos > ii sot että lähestyy rvo oikelt ositiivisest suust. Jos ts
Lisätiedot11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS
11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS Tilvuus on sen verrn rkielämässä viljelty käsite, että useimmiten sen syvemmin edes miettimättä ymmärretään, mitä juomlsin ti pikkuvuvn kylpymmeen tilvuudell trkoitetn.
LisätiedotSisältö. Integraali 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 20
Integrli 10. syyskuut 2005 sivu 1 / 20 Sisältö 1 Määrätty integrli j integrlifunktio 2 1.1 Integroituvist funktioit 3 1.2 Määrätyn integrlin ominisuuksi 4 1.3 Integrlifunktio 5 1.4 Integrlilskennn tärkeimmät
Lisätiedot( ) Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 321 Päivitetty 19.2.2006. Saadaan yhtälö. 801 Paraabeli on niiden pisteiden ( x,
Pyrmidi Anlyyttinen geometri tehtävien rtkisut sivu Päivitetty 9..6 8 Prbeli on niiden pisteiden (, y) joukko, jotk ovt yhtä kukn johtosuorst j polttopisteestä. Pisteen (, y ) etäisyys suorst y = on d
LisätiedotEsimerkki 8.1 Määritellään operaattori A = x + d/dx. Laske Af, kun f = asin(bx). Tässä a ja b ovat vakioita.
8. Operttorit, mtriisit j ryhmäteori Mtemttinen operttori määrittelee opertion, jonk mukn sille nnettu funktiot muoktn. Operttorit ovt erityisen tärkeitä kvnttimekniikss, kosk siinä jokist suurett vst
LisätiedotVEKTOREILLA LASKEMINEN
..07 VEKTOREILL LSKEMINEN YHTEENLSKU VEKTORIT, M4 Vektoreiden j summ on vektori +. Tämän summvektorin + lkupiste on vektorin lkupiste j loppupiste vektorin loppupiste, kun vektorin lkupisteenä on vektorin
Lisätiedot4. Reaalifunktioiden määrätty integraali
6 4. Relifunktioiden määrätt integrli Vrsinisesti termi "integrli" tulee seurvss esitettävästä määrätstä integrlist, jok on läheistä suku summmiselle. Yhtes derivttn on sitten perustv ltu olev tulos, jot
Lisätiedot2 Epäoleellinen integraali
ANALYYSI C, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, SYKSY 8 Epäoleellinen integrli Integrointivihje: Hyödynnä yhdistetyn funktion integrointisääntöä.. Määritä 9 9 (c) ( ). Tutki, millä vkion p rvoill epäoleellinen integrli
Lisätiedotθ 1 θ 2 γ γ = β ( n 2 α + n 2 β = l R α l s γ l s 22 LINSSIT JA LINSSIJÄRJESTELMÄT 22.1 Linssien kuvausyhtälö
22 LINSSIT JA LINSSIJÄRJSTLMÄT 22. Linssien kuvusyhtälö Trkstelln luksi vlon tittumist pllopinnll (krevuussäde R j krevuuskeskipiste C) kuvn mukisess geometriss. Tässä vlo siis tulee ineest ineeseen 2
Lisätiedot3.3 KIELIOPPIEN JÄSENNYSONGELMA Ratkaistava tehtävä: Annettu yhteydetön kielioppi G ja merkkijono x. Onko
3.3 KILIOPPIN JÄSNNYSONGLMA Rtkistv tehtävä: Annettu yhteydetön kielioppi G j merkkijono x. Onko x L(G)? Rtkisumenetelmä = jäsennyslgoritmi. Useit vihtoehtoisi menetelmiä, erityisesti kun G on jotin rjoitettu
LisätiedotSuorat, käyrät ja kaarevuus
Suort, käyrät j krevuus Jukk Tuomel Professori Mtemtiikn litos, Joensuun yliopisto Suor? Tämä kirjoitus on eräänlinen jtko Timo Tossvisen suorn määritelmää koskevn kirjoitukseen Solmun numeross 2/2002.
LisätiedotIV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n
IV. TASAINEN SUPPENEMINEN IV.. Funktiojonon tasainen suppeneminen Olkoon A R joukko ja f n : A R funktio, n =, 2, 3,..., jolloin jokaisella x A muodostuu lukujono f x, f 2 x,.... Jos tämä jono suppenee
LisätiedotAnalyyttiset funktiot ja integrointiteorian alkeita
Anlyyttiset funktiot j integrointiteorin lkeit 6. helmikuut 2006 isältö 1 Kertust 1 2 Anlyyttiset funktiot 2 2.1 Anlyyttiset funktiot tsoll................... 2 2.2 Monogeeniset funktiot vruudess R n.............
LisätiedotViikon aiheet. Pinta-ala
info Viikon iheet Mpu I:sen voit suoritt: Kurssin loppukokeess 23.10. Arvosn: koe + lskrit Mikäli yo. ik ei sovi, voit suoritt loppukokeen yleistenttitilisuudess 24.11. Arvosn: koe + lskrit. Ilmoittudu
LisätiedotIntegraalilaskentaa. 1. Mihin integraalilaskentaa tarvitaan? MÄNTÄN LUKIO
Integrlilskent Tämä on lukion oppimterileist hiemn poikkev yksinkertistettu selvitys määrätyn integrlin lskemisest. Kerromme miksi integroidn, mitä integroiminen trkoitt, miten integrli lsketn j miten
Lisätiedot1 Jonot. 2 Sarjat. 3 Jatkuvuus. 4 Derivaatta. 5 Taylor-polynomit ja -sarjat. 1.2 Jonot. jossa
Sisältö MS-AX Differentili- j integrlilskent Nämä klvot sisältävät otsikoss minitun kurssin keskeisen mterilin, mutt myös pljon oheislukemist. Luennoill voidn käsitellä myös täydentäviä esimerkkejä, kosk
LisätiedotMS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Yhteenveto, osa II
MS-A7 ifferentili- j integrlilskent (Chem Yhteenveto, os II G. Gripenberg Alto-yliopisto 9. helmikuut 16 G. Gripenberg (Alto-yliopisto MS-A7 ifferentili- j integrlilskent (Chem Yhteenveto, 9. helmikuut
LisätiedotOSA 1: POLYNOMILASKENNAN KERTAUSTA, BINOMIN LASKUSÄÄNTÖJÄ JA YHTÄLÖNRATKAISUA
OSA 1: POLYNOMILASKENNAN KERTAUSTA, BINOMIN LASKUSÄÄNTÖJÄ JA YHTÄLÖNRATKAISUA Tekijät: Ari Heimonen, Hellevi Kupil, Ktj Leinonen, Tuomo Tll, Hnn Tuhknen, Pekk Vrniemi Alkupl Tiedekeskus Tietomn torninvrtij
Lisätiedot4 Taso- ja avaruuskäyrät
P2-luentoj kevät 2008, Pekk Alestlo 4 Tso- j vruuskäyrät Tässä luvuss tutustutn tso- j vruuskäyriin, niiden krenpituuteen j krevuuteen. Konkreettisin sovelluksin trkstelln nnettu rt pitkin liikkuvn hiukksen
LisätiedotANALYYSI 2. Tero Kilpeläinen
ANALYYSI Tero Kilpeläinen 3 Teksti sisältää muistiinpnoj vuosin j 3 pidetystä kurssist. Tämän pketin trkoitus on tuke omien muistiinpnojen teko, ei korvt niitä. Mtemtiikk oppii prhiten itse kirjoitten
LisätiedotMatematiikan tukikurssi. Hannu Kivimäki
Mtemtiikn tukikurssi Hnnu Kivimäki Sisältö I Ensimmäinen välikoe Integrointi 2 Osittisintegrointi 5 3 Osmurtohjotelm 4 Lisää osmurtoj 4 5 Sijoituskeino 9 6 Määrätty integrli 2 7 Ylä- j lsumm 22 8 Määrätyn
LisätiedotLebesguen integraali
LUKU 3 Lebesguen integrli Seurvss esitettävä määritelmä Lebesguen integrlille ei ole Lebesguen lkuperäinen. Vuoden 1904 luennoissn [23] hän kuitenkin setti tvoitteeksi, että integrlill olisi ominisuus:
LisätiedotMonikulmion pinta-ala ylioppilaille
Solmu 3/9 Monikulmion pint-l lioppilille Mik Koskenoj Mtemtiikn j tilstotieteen litos Helsingin liopisto Tehtävä. Kuusikulmion M kärjet ovt tson pisteissä (, ), (3, ), (, ), (4, 3), (, ) j (, ). Lske M:n
LisätiedotA-Osio. Valitse seuraavista kolmesta tehtävästä kaksi, joihin vastaat. A-osiossa ei saa käyttää laskinta.
MAA Loppukoe 5.. Jussi Tyni Tee pisteytysruudukko konseptin yläreunn! Vstuksiin väliviheet, jotk perustelevt vstuksesi! Lue ohjeet huolellisesti! A-Osio. Vlitse seurvist kolmest tehtävästä kksi, joihin
LisätiedotNewtonin, Riemannin ja Henstock-Kurzweilin integraalit
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro grdu -tutkielm Annik Heinonen Newtonin, Riemnnin j Henstock-Kurzweilin integrlit Informtiotieteiden yksikkö Mtemtiikk Helmikuu 2013 Sisältö 1 Johdnto 1 2 Newtonin integrli 2 2.1
LisätiedotNumeerinen integrointi.
Numeerinen integrointi. Differentili- j integrlilskent 1, syksy 2015 Hrri Vrpnen Mtemtiikn j systeeminlyysin litos Alto-yliopisto Tiisti 6.10.2015 Sisältö Tylor-menetelmä. Käyttökelpoinen silloin, kun
Lisätiedot1 Jonot. 2 Sarjat. 3 Jatkuvuus. 4 Derivaatta. 5 Taylor-polynomit ja -sarjat. 1.2 Jonot. jossa
Sisältö MS-AX Differentili- j integrlilskent Nämä klvot sisältävät otsikoss minitun kurssin keskeisen mterilin, mutt myös pljon oheislukemist. Luennoill voidn käsitellä myös täydentäviä esimerkkejä, kosk
LisätiedotNeliömatriisin A determinantti on luku, jota merkitään det(a) tai A. Se lasketaan seuraavasti: determinantti on
4. DETERINANTTI JA KÄÄNTEISATRIISI 6 4. Neliömtriisi determitti Neliömtriisi A determitti o luku, jot merkitää det(a) ti A. Se lsket seurvsti: -mtriisi A determitti o det(a) () -mtriisi A determitti void
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Mtemtiikn tukikurssi Kurssikert 3 Määrätyn integrlin lskeminen Aiemmin määrittelimme määrätyn integrlin f (x)dx funktion f (x) l- j yläsummien rj-rvon. Määrätyllä integrlill on kksi intuitiivist tulkint:.
LisätiedotTAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma. Harri Lehtinen. Kongruenssista
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro grdu -tutkielm Hrri Lehtinen Kongruenssist Mtemtiikn, tilstotieteen j filosofin litos Mtemtiikk Helmikuu 006 Tmpereen yliopisto Mtemtiikn, tilstotieteen j filosofin litos LEHTINEN,
LisätiedotIntegroimistehtävät, 10. syyskuuta 2005, sivu 1 / 29. Perustehtäviä. Tehtävä 1. Osoita, että vakiofunktio f(x) c on Riemann-integroituva välillä
Integroimistehtävät,. syyskuut 5, sivu / 9 Perustehtäviä Tehtävä. Osoit, että vkiofunktio f(x) c on Riemnn-integroituv välillä [, b] j lske suorn määritelmän perusteell b f(x). Tehtävä. Osoit, että funktio,
Lisätiedotlim + 3 = lim = lim (1p.) (3p.) b) Lausekkeen täytyy supistua (x-2):lla, joten osoittajan nollakohta on 2.
Mtemtiikk III 0600 Kurssi / Differetili- j itegrlilske jtkokurssi Tee 7 tehtävää ) Määritä lim ( ) ) + b) Määritä vkio site, että luseke ( ) + + ( )( ) ( + + ) + + + + + lim + lim lim (p) o jtkuv myös
LisätiedotSinilause ja kosinilause
Siniluse j kosiniluse GEOMETRI M3 Mikäli kolmion korkeus j knt tiedetään, voidn pint-l lske. Esimerkki: Lske kolmion l, kun 38 kulmn viereiset sivut ovt 8, j 6,8. Nyt knt tiedetään, korkeutt ei! 38 8,
LisätiedotAnalyyttinen lukuteoria
Anlyyttinen lukuteori Johdnto Kuten yltä näkyy, tämän luentomonisteen kttm luentosrj on nimeltään Anlyyttinen lukuteori, vikkkin opintorekisteribyrokrttisist syistä opintojkso knt nimeä Lukuteori 3. Näin
LisätiedotHELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY OF HELSINKI
HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY OF HELSINKI Tiedekunt/Ossto Fkultet/Sektion Fculty Litos Institution Deprtment Mtemttis-luonnontieteellinen Tekijä Förfttre Author Antti Khri Työn
LisätiedotMikrotalousteoria 2, 2008, osa III
Sisältö Mikrotlousteori 2, 2008, os III Yrityksen tuotntofunktiost 2 Pnosten substituoitvuus 2 3 Yrityksen teori 3 4 Mittkvedut tuotnnoss 5 5 Yksikkökustnnusten j skltuottojen steen välinen yhteys 5 6
LisätiedotPertti Koivisto. Analyysi C
Pertti Koivisto Anlyysi C TAMPEREEN YLIOPISTO INFORMAATIOTIETEIDEN YKSIKÖN RAPORTTEJA 68/28 TAMPERE 28 TAMPEREEN YLIOPISTO INFORMAATIOTIETEIDEN YKSIKÖN RAPORTTEJA 68/28 JOULUKUU 28 Pertti Koivisto Anlyysi
LisätiedotLaskennan mallit (syksy 2007) Harjoitus 5, ratkaisuja
58226 Lskennn mllit (syksy 27) Hrjoitus 5, rtkisuj. Muodostetn NF kielelle : ε ε Muunnetn DF:ksi: {,,} {,} {,} {,} Luennoll (s. 5) stiin kielelle seurv DF: Poistmll tästä svuttmttomt tilt sdn Tulos on
Lisätiedot