HYPERBOLISEN GEOMETRIAN PUOLITASOMALLI
|
|
- Eija Heikkinen
- 7 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 HYPERBOLISEN GEOMETRIAN PUOLITASOMALLI JUKKA SELIN Dte: 9. joulukuut 200.
2 2 JUKKA SELIN Sisältö. Johdnto 3 2. Puolitsomllin peruskäsitteet 3 3. Riemnnin pllo 5 4. Möbius-muunnokset 8 5. Kren pituus tsoss C 2 6. Kren pituus tsoss H 3 7. Metriikk 8 8. Hyperbolinen etäisyys 20 Viitteet 25
3 HYPERBOLISEN GEOMETRIAN PUOLITASOMALLI 3. Johdnto Lähdin tutkimn hyperbolist geometri, kosk ihe on kiehtonut minu. Kirjoitin jo kndidtin tutkielmn smst iheest j tällöin keskityin tutkimn hyperbolist geometri ksiomttisest näkökulmst. Tällä kert tutkielm on tehty nlyysin näkökulmst. Tutkielmss käsitellään hyperbolist geometri puolitsomllin kutt. Mlli on toinen mtemtikko Henri Poincrén (854 92) kehittämistä hyperbolisist mlleist.[3, s.307] Tutkielmn päätulos on osoitt, että pri (H,d H ) on polkumetrinen vruus. Tämän osoittmiseksi käsittelen hyperbolist pituutt j metriikk. Konstruoin lusekkeet hyperboliselle pituudelle j metriiklle. Muit keskeisiä käsitteitä ovt Möbius-muunnokset j Riemnnin kuul. Pyrin rkentmn tutkielmn niin että sit käsitellään oikess järjestyksessä j tärkeät tulokset todistetn. Tutkielmn esitystp rkentuu pljolti kompleksiluvuille. Lisäksi tämän tutkielmn esitietoin trvitn hiemn geometrin ymmärrystä, nlyysin perusteit, tieto polkuintegrleist j topologin perustietoj. Lähteenä olen käyttänyt ennen kikke Jmes W. Andersonin kirj Hyperbolic Geometry []. 2. Puolitsomllin peruskäsitteet Hyperbolisen geometrin puolitsomlliss käsitellään joukko H. 2.. Määritelmä. Määritellään (2.2) H = {z C : Im(z) > 0}. Joukko H on siis kompleksitson relikselin yläpuolinen os Määritelmä. Puolitsomlliss on olemss kksi eri tyyppistä hyperbolist suor: Toinen on joukon H leikkus euklidisen suorn knss, jok on kohtisuorss R-kseli vstn. Toinen on joukon H leikkus euklidisen ympyrän knss, jonk keskipiste on R-kselill Luse. Kikille erillisille pisteille p j q joukoss H, on olemss yksikäsitteinen hyperbolinen suor l jok kulkee pisteiden p j q kutt. Todistus. On kksi tpust. Oletetn ensin että Re(p) = Re(q). Tällöin euklidinen suor L = {z C : Re(z) = Re(p)} on kohtisuorss relilukukseli vstn j kulkee pisteiden p j q kutt. Nyt kysytty hyperbolinen suor l on H L. Toinen tpus on että Re(p) Re(q). Kosk nyt euklidinen suor pisteiden p j q kutt ei ole kohtisuorss relikseli vstn, niin konstruoidn euklidinen ympyrä, jonk keskipiste on relikselill j jok kulkee pisteiden p j q kutt.
4 4 JUKKA SELIN Kuv. Hyperbolisi suori Olkoon L pq euklidinen jn, jok yhdistää pisteet p j q j K tälle kohtisuor suor, jok puolitt jnn L pq. Nyt kikill euklidisill ympyröillä, jotk kulkevt pisteiden p j q kutt on keskipiste suorll K. Kosk Re(p) Re(q), euklidinen suor K ei ole yhdensuuntinen relikselin knss j siis suor K leikk relikselin yksikäsitteisessä pisteessä c. Olkoon A se euklidinen ympyrä, jonk keskipiste on pisteessä c säteellä c p, jolloin A kulkee pisteen p kutt. Leikkus l = H A on kysytty hyperbolinen suor. Hyperbolisten suorien yhdensuuntisuus määräytyy smll tvll kuin euklidisten suorien Määritelmä. Kksi hyperbolist suor ovt yhdensuuntiset jos ne eivät leikk toisin Luse. Olkoon l hyperbolinen suor joukoss H j olkoon p piste, jok ei ole suorll l. Tällöin on olemss äärettömän mont erilist hyperbolist suor, jotk kulkevt pisteen p kutt j ovt yhdensuuntisi suorn l knss. Todistus. Kksi tpust. Oletetn ensin että l sisältyy euklidiseen suorn L. Kosk p ei ole suorll L, on olemss euklidinen suor K, jok kulkee pisteen p kutt j on yhdensuuntinen suorlle L. Kosk L on kohtisuorss relikseli vstn myös suor K on kohtisuorss relikseli vstn. Siis yksi hyperbolinen suor joukoss H, jok kulkee pisteen p kutt j on yhdensuuntinen suorn l knss on leikkus H K. Konstruoidn toinen hyperbolinen suor pisteen p kutt, jok on yhdensuuntinen suorn l knss. Olkoon piste x relikselill suorien K j L välissä, j olkoon A se euklidinen ympyrä, jonk keskipiste on relikselill j jok kulkee pisteiden p j x kutt. Tiedämme että sellinen ympyrä on olemss kosk Re(x) Re(p) (Luseen 2.4 todistus). Kontruktion tki A ei leikk suor L j siis hyperbolinen
5 HYPERBOLISEN GEOMETRIAN PUOLITASOMALLI 5 Kuv 2. Yhdensuuntisi hyperbolisi suori suor H A ei leikk suor l. Nyt H A on toinen suor pisteen p kutt, jok on yhdensuuntinen suorn l knss. Kosk relikselill on ylinumeroituvsti pisteitä suorien K j L välissä, tämä konstruktio nt rjttomsti hyperbolisi suori pisteen p kutt, jotk ovt yhdensuuntisi suorn l knss. Toisess tpuksess oletetn että l sisältyy euklidiseen ympyrään A. Olkoon D se ympyrä, joll on sm keskipiste kuin ympyrällä A j jok kulkee pisteen p kutt. Nyt kosk A j D eivät leikk j niillä on sm keskipiste, yksi hyperbolinen suor pisteen p kutt, jok on yhdensuuntinen suorn l knss on leikkus H D. Konstruoidn toinen yhdensuuntinen hyperbolinen suor pisteen p kutt. Olkoon x mielivltinen piste relikselill ympyröiden A j D välissä. Olkoon E se euklidinen ympyrä, jonk keskipiste on relikselill j jok kulkee pisteiden x j p kutt. Jälleen konstruktion kutt E j A eivät leikk j siis H E on kysytty yhdensuuntinen hyperbolinen suor. Kuten iemmin, kosk relikselill on ylinumeroituvsti pisteitä ympyröiden A j D välissä, pisteen p kutt kulkee äärettömän mont erilist hyperbolist suor, jotk ovt yhdensuuntisi suorn l knss. 3. Riemnnin pllo Seurvksi esitellään ide, jonk vull voidn yhdistää kksi eri tyyppistä hyperbolist suor. Tämä on tärkeää myös myöhemmin kun määritellään muunnokset joukoss H. Ajtus lähtee liikkeelle siitä totemuksest, että euklidisen ympyrän voi sd euklidisest suorst lisäämällä tähän yhden pisteen. Merkitään yksikköympyrää joukosscsymbolill S, tutkitn funktiot (3.) ξ : S \{i} R
6 6 JUKKA SELIN jok määritellään seurvsti: nnetulle pisteelle z S \{i}, olkoonk z euklidinen suor jok kulkee pisteiden i j z kutt j ξ(z) = R K z. Tämä funktio on hyvinmääritelty, kosk K z j R leikkvt yksikäsitteisessä pisteessä kun Im(z). Tätä toimenpidettä kutsutn stereogrfiseksi projektioksi. Krteesisiss koordinteiss relikseli kompleksitsoss vst x-kseli j siis ξ(z) on suorn K z leikkuspiste x-kselin knss. Lskemll huommme, että suorll K z on kulmkerroin m = Im(z) Re(z) j se leikk y-kselin pisteessä. Täten suorn K z yhtälö on y = Im(z) x. Re(z) Erityisesti sen leikkuspiste x-kselin knss on ξ(z) = Re(z) Im(z) Luse. ξ on bijektio joukkojen S \{i} j R välillä. Todistus. Injektiivisyys seur geometrisesti siitä, että pri erillisiä pisteitä joukoss C määrää yksikäsitteisen euklidisen suorn. Jos z j w ovt pisteitä joukoss S \{i}, joille ξ(z) = ξ(w), tällöin suort K z j K w kulkevt molemmt smn relikselin pisteen kutt. Kun suort kulkevt myös pisteen i kutt, suort ovt smoj j siis z = w. Surjektiivisuus seur siitä että kikill x R on olemss euklidinen suor jok kulkee pisteiden x j i kutt. Ehton on kuitenkin, että suor leikk joukon S \ {i}. Lskemll voimme huomt, että tällinen suor leikk in myös joukon S \ {i}. Trkk todistus sivuutetn. Tämä osoitt surjektiivisuuden, sillä jokiselle joukon R pisteelle kuvutuu tällöin inkin yksi joukon S \{i} piste. Siis ξ on bijektio. Yksi mhdollinen vruus, jok sisältää joukon H j joss kksi eri tyyppistä hyperbolist suor yhdistyvät, on vruus jok sdn joukost C lisäämällä yksi piste. Tämä on kompleksinlyysin klssinen konstruktio Riemnnin pllolle C Määritelmä. Riemnnin kuul määritellään kompleksitson unionin pisteen knss, jok ei kuulu kompleksitsoon. Tätä pistettä merkitään symbolill. (3.4) C = C { } Määritelmä. Ympyrä tsoss C on joko euklidinen ympyrä joukoss C ti l { } missä, l on euklidinen suor joukoss C.
7 HYPERBOLISEN GEOMETRIAN PUOLITASOMALLI 7 Joukon C ympyrät voidn esittää myös yhtälöiden rtkisujen joukkoin. Jokinen euklidinen ympyrä joukoss C voidn esittää yhtälön rtkisuin, jok on muoto (3.6) αzz +βz +βz +γ = 0, missä α,γ R j β C. J jokinen euklidinen suor joukoss C voidn esittää yhtälön rtkisuin, jok on muoto (3.7) βz +βz +γ = 0, missä γ R j β C. Yhdistämällä nämä huommme, että jokinen joukon C ympyrä voidn esittää yhtälön rtkisuin joukoss C, jok on muoto (3.8) αzz +βz +βz +γ = 0, missä α,γ R j β C. Tähän liittyen on käsiteltävä yksi hienous. Nimittäin se onko, vi ei, rtkisu ympyrän yhtälöön joukoss C. Kun yhtälö on muoto βz +βz +γ = 0, voimme pitää pistettä rtkisun jtkuvuuden nojll. Eli tällöin on olemss jono {z n } pisteitä joukoss C, jok toteutt tämän yhtälön j suppenee pisteeseen joukoss C. Erityisesti olkoonw 0 jw kksi erillistä rtkisu, siten että jokinen linerikombintio muoto w 0 +t(w w 0 ),t R on myös rtkisu. Tutkitn jono {z n = w 0 +n(w w 0 ),n N}. Tämä jono suppenee pisteeseen joukoss C, j jokiselle n pätee Kuitenkin kun yhtälö on muoto βz n +βz n +γ = 0. αzz +βz +βz +γ = 0, α 0, emme voi pitää pistettä rtkisun jtkuvuuden nojll. Tämä johtuu siitä, että voimme kirjoitt αzz +βz +βz +γ = α z + β 2 α +γ β 2 α. Erityisesti jos {z n } on jokin jono pisteitä jok suppenee pisteeseen joukoss C, niin Täten z n ei voi sisältyä ympyrään lim (αz nz n +βz n +βz n +γ) =. n A = {z C : αzz +βz +βz +γ = 0}, kun n on trpeeksi suuri, j siis piste ei sisälly ympyrään A.
8 8 JUKKA SELIN 3.9. Määritelmä. Joukko X C on voin jos jokiselle x X on olemss ε > 0 siten että U ε (x) X, missä U ε (x) = {w C : w z < ε} Määritelmä. Joukko X C on suljettu, jos sen komplementti C\X on voin joukoss C. 3.. Määritelmä. Funktio f : C C on jtkuv pisteessä z C jos kikille ε > 0 on olemss δ > 0 siten että jos w U δ (z) niin f(w) U ε (f(z)). Funktio f : C C on jtkuv jos se on jtkuv jokisess joukon C pisteessä. Pienenä huomion huomtn, että funktioiden, jotk ovt joukolt R joukolle R, j funktioiden, jotk ovt joukolt C joukolle C, jtkuvuus käyttäytyy eri tvll, johtuen pisteestä. Tämä nähdään esimerkin vull Esimerkki. Funktio J : C C, jolle J(z) =, kun z C\{0}, z J(0) = j J( ) = 0, on jtkuv joukoss C. Seurvksi määritellään homeomorfismi Määritelmä. Funktio f : C C on homeomorfismi, jos f on bijektio j sekä f, että f ovt jtkuvi. 4. Möbius-muunnokset Trkoitus on sd ikn muunnos joukkoon H, jok kuv hyperboliset suort hyperbolisiksi suoriksi. Kosk jokinen joukon H hyperbolinen suor sisältyy johonkin ympyrään joukoss C, loitetn määrittelemällä joukko homeomorfismej, jotk kuvvt ympyrät ympyröiksi joukoss C. Merkitään kikkien joukon C homeomorfismien joukko Homeo(C) j niiden homeomorfismien joukko, jotk kuvvt ympyrät ympyröiksi joukoss C, Homeo C (C). Homeo(C) on myös ryhmä, kuvusten yhdistämisen j vkioll kertomisen suhteen. Aloitetn tutkimll joukon C homeomorfismej, joit on helppo käsitellä, nimittäin polynomeist muodostuvi. Kosk tutkimme homeomorfismej, rjoitumme tutkimn ensimmäisen steen polynomifunktioit. 4.. Luse. Olkoon joukon Homeo(C) lkio f muoto (4.2) f(z) = z +b, kun z C j f( ) =, missä,b C j 0. Tällöin f Homeo C (C). Todistus. Muistetn että jokinen ympyrä A joukoss C on rtkisujen joukko yhtälöön jok on muoto αzz +βz +βz +γ = 0,
9 HYPERBOLISEN GEOMETRIAN PUOLITASOMALLI 9 missä α,γ R, β C, j α 0 jos j vin jos A on ympyrä joukoss C. Aloitetn tutkimll tpust joss A on euklidinen suor joukoss C. Tällöin A = {z C : βz +βz +γ = 0}, missä γ R j β C. Hlumme näyttää, että jos z toteutt yhtälön, niin myös w = z + b toteutt smn. Kosk w = z + b niin z = (w b). Nyt pätee βz +βz +γ = β (w b)+β (w b)+γ = β w + β w β b β b+γ = 0. Kosk β b + β b = 2Re(β b) on relinen huommme, että myös w toteutt euklidisen suorn yhtälön. Täten f kuv euklidiset suort joukoss C euklidiksi suoriksi. Vstvll tvll voimme osoitt, että f kuv myös euklidiset ympyrät euklidisiksi ympyröiksi. Oletetn, että z toteutt yhtälön αzz +βz +βz +γ = 0, missä α,γ R j β C. J näytetään, että w = z + b toteutt smn. Nyt pätee z = (w b) j αzz +βz +βz +γ = α (w b)α (w b)+ β (w b)+ β (w b)+γ = ( α w α b)(α w α b)+ β w β b+ β w β b+γ. Tämä sdn muotoon αα ww+(β α α b)w +(β α α b)w +(α α bb β b β b+γ) = 0 Tästä huomtn että w toteutt ympyrän yhtälön, iemmn huomion β b+ β b = 2Re(β b), vull. Nyt siis f kuv ympyrät ympyröiksi joukoss C. On myös toisen tyyppinen homeomorfismi, jok kuv ympyrät ympyröiksi Luse. Olkoon joukon Homeo(C) lkio f muoto (4.4) J(z) = z kun z C\{0} j J(0) =, J( ) = 0. Tällöin f Homeo C (C). Todistus. Nytw =, siisz =. Tällöin sijoittmll ympyrän yhtälöön z w α w w +β w +β +γ = 0. w
10 0 JUKKA SELIN Kertomll yhtälö kertoimell ww huommme että w toteutt yhtälön α+βw+βw +γww = 0. Koskα,γ R sekäwjw ovt konjugttej tämä on jälleen ympyrän yhtälö. Nyt meillä on kksi eri tyyppistä homeomorfismi, jotk kuvvt ympyrät ympyröiksi joukoss C. Kummtkin homeomorfismit ovt muoto m(z) = z+b. Tämä joht meidät seurvn määritelmään. cz+d 4.5. Määritelmä. Möbius-muunnos on funktio m : C C, jok on muoto z +b (4.6) m(z) = cz +d, missä,b,c,d C jd bc 0. Merkitään kikkien Möbius-muunnosten joukko Möb Luse. Olkoon m(z) = z+b Möbius-muunnos, missä,b,c,d C cz+d j d bc 0. Nyt pätee: Jos c = 0, niin m(z) = z + b. d d Jos c 0, niin m(z) = f(j(g(z))), missä g(z) = c 2 z +cd, f(z) = (d bc)z + j J(z) =. c z Todistus. Todistus on suor lskutoimitus. Jos c = 0, niin si on selvä. Jos c 0, niin m(z) = Kosk d bc 0, niin cz +bc c 2 z +cd z +b cz +d = cz +d (d bc) c 2 z +cd (z +b) c = (cz +d) c = cz +bc c 2 z +cd. = c d bc c 2 z +cd = f(j(g(z))), missä g(z) = c 2 z +cd, f(z) = (d bc)z + c j J(z) = z. Tällä luseell on mont suor seurust Korollri. Jokinen Möbius-muunnos on homeomorfismi, kosk jokinen Möbius-muunnos voidn esittää homeomorfismien yhdisteenä. Tästä seur että Möb + Homeo(C). Toiseksi, jokinen Möbius-muunnos kuv ympyrät ympyröiksi joukoss C, kosk Möbius-muunnokset on konstruoitu funktioist, jotk kuvvt ympyrät ympyröiksi. Kun yhdistämme tämän edelliseen tulokseen, smme luseen Luse. Möb + Homeo C (C).
11 HYPERBOLISEN GEOMETRIAN PUOLITASOMALLI On olemss ljennus joukkoon Möb +, jok myös sisältyy joukkoon Homeo C (C). Jott voisimme ljent joukon Möb + suuremmksi joukoksi, tutkimme yksinkertisint homeomorfismi joukoss C, jok ei kuulu joukkoon Möb +, nimittäin kompleksikonjugtti. Olkoon (4.0) C(z) = z kun z C j C( ) =. 4.. Luse. Funktio C : C C, jok määritellään on joukon Homeo(C) lkio. C(z) = z kun z C, C( ) =, Todistus. Huomtn että C on itsensä käänteisfunktio, eli C (z) = C(z), j täten C on bijektio. Meidän täytyy vin näyttää, että C on jtkuv. Funktion C jtkuvuus seur siitä, että jokisell z C j ε > 0, pätee C(U ε (z)) = U ε (C(z)) Määritelmä. FunktioC j joukko Möb + generoivt yleisen Möbiusjoukon Möb. Jokinen joukon Möb lkio p voidn kirjoitt muodoss (4.3) p = C m k C m, jollekin k, missä jokinen m k on joukon Möb + lkio j C(z) = z Luse. Möb Homeo C (C). Todistus. Olkoon p Möb. Tällöin p = C m k C m, jollekink, missä jokinen m k on joukon Möb + lkio. Kosk Möb + Homeo C (C), m k Homeo C (C) kikill,k. Riittää siis osoitt, että funktioc : C C sisältyy joukkoon Homeo C (C), ts. että C kuv ympyrät ympyröiksi joukoss C. Oletetn, että z C toteutt yhtälön αzz +βz +βz +γ = 0, missä α,γ R j β C. Olkoon w = z tällöin z = w. Nyt ylempi yhtälö sdn muotoon: αww+βw +βw +γ = 0. Huomtn, että yhtälö on edelleen ympyrän yhtälö, sillä α, γ R j β C. Siis C Homeo C (C). Nyt p on yhdiste funktioist, jotk kuuluvt joukkoon Homeo C (C). Siis p Homeo C (C). Kikki joukon Möb lkiot ovt homeomorfismej, jotk kuvvt ympyrät ympyröiksi joukoss C. Itsesiss nämä ominisuudet määrittelevät joukon Möb Luse. Möb = Homeo C (C). Todistus. Todistus sivuutetn. [, s ]
12 2 JUKKA SELIN 4.6. Luse. Jokinen joukon Möb(H) lkio on muoto (4.7) m(z) = z +b cz +d, missä,b,c,d R j d bc =, ti muoto (4.8) n(z) = z +b cz +d, missä, b, c, d ovt puhtsti imginrisi j d bc =. Todistus. Todistus sivuutetn. [, s. 5 52] 5. Kren pituus tsoss C 5.. Määritelmä. Polku tsoss R 2 on differentioituv funktio f : [,b] R 2, jolle f(t) = (x(t),y(t)) missä x(t) j y(t) ovt muuttujn t suhteen differentioituvi j [,b] jokin relilukuväli Määritelmä. Euklidinen polun f pituus sdn integrlist (5.3) pituus(f) = x (t) 2 +y (t) 2 dt Seurvksi muutetn nottiot j siirrytään trkstelemn polun pituutt tsoss C tson R 2 sijn. Nyt f(t) = x(t) + y(t)i, f (t) = x (t)+y (t)i j f (t) = x (t) 2 +y (t) 2. Tällöin polun pituudelle pätee (5.4) pituus(f) = x (t) 2 +y (t) 2 dt = f (t) dt Voimme siis kirjoitt kren pituuden pituuselementin joukoss C (5.5) dz = f (t) dt Nyt otmme käyttöön uuden merkinnän: (5.6) f (t) dt = dz Luse. Voimme kirjoitt minkä thns polkuintegrlin tällä nottioll. Olkoon ρ jtkuv funktio, ρ : C R. Funktion ρ polkuintegrli pitkin polku f : [, b] C sdn integrlist (5.8) ρ(z) dz = ρ(f(t)) f (t) dt. f Voimme tulkit tämän polkuintegrlin uuten kren pituuden elementtinä ρ(z) dz, jok sdn kun skltn euklidist kren pituuden elementtiä dz jok pisteessä. Funktio ρ määrää skluksen määrän. Tästä smme seurvn määritelmän. f
13 HYPERBOLISEN GEOMETRIAN PUOLITASOMALLI Määritelmä. Differentioituvlle polulle f : [, b] C määritellään polun pituus, käyttäen kren pituuden elementtiä ρ(z) dz, polkuintegrlin (5.0) pituus ρ (f) = f ρ(z) dz = ρ(f(t)) f (t) dt. 5.. Määritelmä. Polku f : [, b] C on ploittin differentioituv jos f on jtkuv j jos on olemss välin [,b] ositus osväleiksi [ = 0, ],[, 2 ],...,[ n, n+ = b] siten että f on differentioituv, jokisell osvälillä [ k, k+ ] Määritelmä. Olkoon f : [, b] C ploittin differentioituv polku j h : [α,β] [,b] differentioituv, sekä h(t) 0 kikill t [α, β] ti h(t) 0 kikill t [α, β]. Oletn lisäksi että pätee (5.3) pituus ρ (f) = pituus ρ (f h). Tällöin kutsumme funktiot f h funktion f uudelleen prmetristioksi. Tässä yksi tulos, jok on hyödyllinen myöhemmin Luse. Olkoon f : [, b] C ploittin differentioituv polku, olkoon [α,β] toinen relilukuväli j olkoon h : [α,β] [,b] surjektiivinen differentioituv funktio. Olkoon ρ(z) dz kren pituuden elementti joukoss C. Tällöin (5.5) pituus ρ (f h) pituus ρ (f), missä on yhtäsuuruus jos j vin jos h f on funktion f uudelleen prmetristio. 6. Kren pituus tsoss H Tvoitteen on kehittää keino mitt hyperbolist pituutt j etäisyyttä joukoss H. Jott voisimme mitt hyperbolist pituutt, on löydettävä sopiv hyperbolinen elementti kren pituudelle. Kosk hlumme mitt hyperbolist pituutt j kosk meillä on käytössä ryhmä siististi käyttäytyviä muunnoksi joukoss H, nimittäin Möbius-muunnokset, on trkoitus tutki niitä kren pituuden elementtejä joukoss H, jotk säilyvät muuttumttomin Möbius-muunnoksiss. Olkoon ρ(z) dz kren pituuselementti joukoss H. Tällöin ploittin differentioituvn polun f : [, b] H pituus sdn integrlist pituus ρ (f) = ρ(z) dz = ρ(f(t)) f (t) dt. f Se että pituus säilyy muuttumttomn Möb(H) muunnoksiss, trkoitt, että jokiselle ploittin differentioituvlle polulle f : [, b] H j
14 4 JUKKA SELIN jokiselle joukon Möb(H) lkiolle γ pätee (6.) pituus ρ (f) = pituus ρ (γ f). Tutkitn mitä ehtoj tämä sett funktiolleρ. Olkoonγ Möb + (H). Nyt pätee j Siis nyt pätee pituus ρ (f) = pituus ρ (γ f) = ρ(f(t)) f (t) dt = ρ(f(t)) f (t) dt ρ(γ f(t)) (γ f) (t) dt. ρ(γ f(t)) (γ f) (t) dt, jokiselle ploittin differentioituvlle polulle f : [, b] H j jokiselle joukon Möb + (H) lkiolle γ. Käytetään derivoinnin ketjusääntöä j sdn(γ f) (t) = γ (f(t))f (t) j sdn pituuden integrliksi (6.2) ρ(f(t)) f (t) dt = ρ(γ f(t)) γ (f(t)) f (t) dt Huomutus. Möbius-muunnosten differentioituvuutt voidn käsitellä khdell tp. Ensimmäinen tp on kompleksinlyysin keino. Tällöin pidetään Möbius-muunnost m funktion joukolt C joukolle C j määrittelemme sen derivtn m (z) tutull määritelmällä (6.4) m m(w) m(z) (z) = lim. w z w z Tällä määritelmällä kikki yleiset derivointisäännöt pätevät j (6.5) m (z) = (cd+d) 2. Tätä määritelmää käytetään yleisesti. Ensimmäisessä tvss on kuitenkin yksi heikkous. Funktion, jok on joukon Möb lkio mutt ei joukon Möb + derivtt ei ole määritelty. Erityisesti funktion C(z) = z derivtt ei ole olemss. On olemss toinen tp määritellä joukon Möb lkion derivtt. Tämä tp hyödyntää monen muuttujn differentili- j integrlilskent. Tällöin unohdmme, että joukon Möb lkio m on kompleksitson funktio. Sen sijn trkstelemme sitä tsoss R 2. Nyt derivtt ei ole enää yksi funktio, vn 2 x 2 mtriisi osittisderivttoj. Kirjoitmme siis funktion m muodoss m(x,y) = (f(x,y),g(x,y)), missä f j g ovt reelirvoisi funktioit. Nyt funktion m derivtt on ) (6.6) Dm = ( δf δx δg δx δf δy δg δy.
15 HYPERBOLISEN GEOMETRIAN PUOLITASOMALLI 5 Pltn tutkimn funktiolle ρ setettvi ehtoj. Nyt pätee siis ρ(f(t)) f (t) dt = ρ(γ f(t)) γ (f(t)) f (t) dt. jokiselle ploittin määritellylle polulle f : [, b] H j jokiselle γ Möb + (H). Tämä voidn kirjoitt myös (ρ(f(t)) ρ((γ f)(t)) γ (f(t)) ) f (t) dt = 0 jokiselle ploittin määritellylle polulle f : [, b] H j jokiselle γ Möb + (H). Asetetn joukon Möb + (H) lkiolle γ (6.7) µ γ (z) = ρ(z) ρ(γ(z)) γ (z), jolloin funktion ρ ehdost tulee funktion µ γ (z) ehto: (6.8) µ γ (z) dz = µ γ (f(t)) f (t) dt = 0, f jokiselle ploittin määritellylle polulle f : [, b] H j jokiselle γ Möb + (H). Kosk ρ(z) on jtkuv j differentioituv, myös µ γ (z) jtkuv jokisell γ Möb + (H) Lemm. Olkoon D voin joukon C osjoukko. Olkoon µ : D R jtkuv funktio j oletetn, että µ(z) dz = 0 jokiselle ploittin f differentioituvlle polulle f : [, b] D. Tällöin µ 0. Todistus. Tehdään vstoletus. Oletetn että on olemss piste z D, jolle µ(z) 0. Riittää trkstell tpust µ(z) > 0 (µ(z) < 0 on symmetrinen). Se että µ on jtkuv trkoitt että jokisell ε > 0, on olemss δ > 0 siten että jos U δ (z) D j w U δ (z) niin µ(w) U ε (µ(z)), missä U δ (z) = {u C : u z < δ} j U ε (t) = {s R : s t < ε}. Vlitn ε = µ(z). Näemme että on olemss δ > 0 siten että 3 jos w U δ (z) niin µ(w) U ε (µ(z)). Käyttämällä kolmioepäyhtälöä j tieto että µ(z) > 0 smme µ(w) > 0 kikille w U δ (z). Vlitn ploittin differentioituv polku, jok ei ole vkiofunktio, f : [0,] U δ (z), f(t) = z + 3 δt. Huomtn, että µ(f(t)) > 0 kikille t [0,]. Kosk f(t) U δ (z) kikille t [0,]. Erityisesti µ(z) dz > 0, mistä sdn ristiriit. f
16 6 JUKKA SELIN Muistetn, että oletmme että pituus ei muutu joukon Möb + (H) muunnoksiss, jok on yhtäpitävää sen knss, että f µ γ(z) dz = 0, jokiselle ploittin differentioituvlle polulle f : [, b] H j jokiselle γ Möb + (H). Käyttämällä edellistä lemm funktioon µ γ (z) tulemme tulokseen (6.0) µ γ (z) = ρ(z) ρ(γ(z)) γ (z) = 0 jokiselle z H j jokiselle γ Möb + (H). Jott voisimme yksinkertist nlyysiä, tutkimme kuink µ γ käyttäytyy joukon Möb + (H) muunnoksiss. Olkoon γ j ϕ kksi lkiot joukost Möb + (H). Lskemll huommme että µ γ ϕ = ρ(z) ρ(γ ϕ)(z)) (γ ϕ) (z) = ρ(z) ρ(γ ϕ)(z)) (γ (ϕ(z)) ϕ (z) = ρ(z) ρ(ϕ(z)) ϕ (z) +ρ(ϕ(z)) ϕ (z) ρ((γ ϕ)(z)) γ (ϕ(z)) ϕ (z) = µ ϕ (z)+µ γ (ϕ(z)) ϕ (z). Erityisesti, jos µ γ 0 jokiselle γ jok kuuluu joukon Möb + (H) generoivn joukkoon, niin µ γ 0 myös jokiselle joukon Möb + (H) lkiolle. Joukon Möb + (H) generoiv joukko koostuu muunnoksist m(z) = +b,,b R, > 0 j J(z) =. Riittää että tutkimme vtimuksi, z jotk setetn funktiolle µ γ j täten funktiolle ρ, tämän generoivn joukon lkioille. Tutkitn ensin funktiot γ(z) = z +b,b R. Kosk γ (z) = kikille z H, funktiolle ρ setettv ehto on 0 µ γ (z) = ρ(z) ρ(γ(z)) γ (z) = ρ(z) ρ(z +b), kikille z H j b R. Siis ρ(z) = ρ(z +b), jokiselle z H j b R. Erityisesti ρ(z) riippuu vin lkion z = x+yi imginrisest osst y = Im(z). Jos siis lkioill z = x +iy j z 2 = x 2 +iy on sm imginrinen os, voidn kirjoittz 2 = z +(x 2 x ). Kosk x 2 x on relinen, pätee ρ(z 2 ) = ρ(z ). Täten voimme tutki funktiot ρ relirvoisen yhden muuttujn y = Im(z) funktion. Erityisesti olkoon relirvoinen funktio r : (0, ) (0, ), joller(y) = ρ(iy) j siisρ(z) = r(im(z)), jokiselle z H. Tutkitn seurvksi generttori γ(z) = z, kikille > 0. Kosk γ (z) = kikille z H, funktiolle ρ(z) setettv ehto on 0 µ γ (z) = ρ(z) ρ(γ(z)) γ (z) = ρ(z) ρ(z), jokiselle z H j > 0. Siis ρ(z) = ρ(z),
17 HYPERBOLISEN GEOMETRIAN PUOLITASOMALLI 7 jokiselle z H j > 0. Erityisesti smme r(y) = r(y), jokiselle y > 0 j > 0. Vihtmll roolej näemme, että r() = yr(y). Jkmll rvoll y smme Asettmll =, smme r(y) = y r(). r(y) = y r(), j siis funktio r määräytyy täysin sen rvost pisteessä. Kun muistmme funktion r määritelmän, smme, että pituuden säilyminen joukon Möb + (H) muunnoksiss sett funktiolleρ(z) muodon ρ(z) = r(im(z)) = c Im(z), missä c on mielivltinen positiivinen vkio. 6.. Luse. Jokiselle positiiviselle vkiolle c, joukon H kren pituuden elementti c (6.2) Im(z) dz säilyy muuttumttomn joukon Möb(H) muunnoksiss. Mukvuuden vuoksi vkiolle c nnetn rvo. Tästä pääsemme määritelmään Määritelmä. Ploittin differentioituvlle polulle f : [, b] H määritellään hyperbolinen pituus b (6.4) pituus H (f) = Im(z) dz = Im(f(t)) f (t) dt. f Hyperbolisen pituuden konstruktion ehton oli, että pituus säilyy joukon Möb(H) muunnoksiss. Tästä seur seurv luse Luse. Kikille ploittin differentioituville poluille f : [, b] H j kikille γ Möb(H) pätee että (6.6) pituus H (f) = pituus H (γ f). On olemss polkuj, joiden hyperbolinen pituus on helppo lske Esimerkki. Olkoon 0 < < b j olkoon polku f : [,b] H määritelty f(t) = it. Kuv f([, b]) on positiivisen imginrikselin os, jok on pisteiden i j bi välissä. Kosk Im(f(t)) = t j f (t) =, näemme että pituus H (f) = f b Im(z) dz = dt = ln t [ ] b.
18 8 JUKKA SELIN 6.8. Luse. Olkoon f : [, b] H ploittin differentioituv polku. Tällöin polun hyperbolinen pituus pituus H (f) on äärellinen. Todistus. Todistus pohjutuu tietoon, että on olemss vkio B > 0, siten että välin [, b] kuv f([, b]) sisältyy joukon H osjoukkoon K B = {z H : Im(z) B}. Tämä seur siitä, että väli [,b] on kompkti j täten myös kuv f([,b]) on kompkti. Kosk f([,b]) sisältyy joukkoon K B, voimme rvioid integrli, jok nt polun f hyperbolisen pituuden. Huommme ensin, että ploittin differentioituvn määritelmästä seur, että on olemss välin [,b] ositus P, jok jk välin pienemmiksi väleiksi P = {[ = 0, ],[, 2 ],...,[ n, n+ = b]}, siten että f on differentioituv jokisell välillä [ k, k+ ]. Erityisesti derivtt f on jtkuv jokisell osituksen välillä. Äärirvoluseen nojll on olemss, jtkuvlle funktiolle, suljetull välillä, jokiselle k, luku A k siten että f (t) A k kikille t [ k, k+ ]. Olkoon A mksimi luvuist A 0,...,A n. Tällöin pätee pituus H (f) = jok on äärellinen. Im(f(t)) f (t) dt 7. Metriikk B Adt = A B (b ), Tiedämme nyt kuink lske hyperbolist pituutt, pitkin ploittin differentioituv polku joukoss H. Tämä tehdään integroimll hyperbolist kren pituuden elementtiä dz, pitkin polku. Seurvksi pyrimme kohti hyperbolist etäisyyttä j metriikk. Im(z) Aloitmme käsittelemällä metriikk. Plutetn mieleen metriikn määritelmä. 7.. Määritelmä. Kuvus d : X X R on metriikk joukoss X, jos seurvt ehdot ovt voimss kikill x,y,z X: () d(x,y) 0 j d(x,y) = 0 jos j vin jos x = y. (2) d(x,y) = d(y,x) (3) d(x,z) d(x,y)+d(y,z), Luku d(x, y) snotn pisteen x etäisyydeksi (trkemmin d-etäisyydeksi) pisteestä y Määritelmä. Jos d on metriikk joukoss X, kutsumme pri (X, d) metriseksi vruudeksi.
19 HYPERBOLISEN GEOMETRIAN PUOLITASOMALLI Esimerkki. [2,s.2] Euklidinen metriikk vruudessr n määritellään ( n ) /2 (7.4) d(x, y) = x i y i 2. Erityisesti kun n = 2 i= (7.5) d(x,y) = (x y ) 2 +(x 2 y 2 ) Esimerkki. Yksi esimerkki on joukkojen R j C tvllinen metriikk. Joukoss C tämä metriikk määritellään (7.7) n : C C R, missä n(z,w) = z w Esimerkki. Monimutkisempi tpus on Riemnnin pllon C metriikk s : C C R, missä (7.9) s(z, w) = kikille z,w C j (7.0) s(z, ) = s(,z) = kikille z C. 2 z w (+ z 2 )(+ w 2 ), 2 + z 2, On vielä yksi esimerkki metrisestä vruudest, jok on tärkeä hyperbolisen etäisyyden knnlt. Olkoon X joukko, joss tiedämme miten mitt polkujen pituuksi. Erityisesti jokiselle prille pisteitä x, y joukoss X, olkoon Γ[x,y] epätyhjä kokoelm polkuj f : [,b] X, joille päteef() = x jf(b) = y j oletetn että jokiselle polullef Γ[x,y] on olemss ei-negtiivinen relinen pituus(f), jot kutsumme polun f pituudeksi. Olkoon d : X X R jok määritellään (7.) d(x,y) = inf{pituus(f) : f Γ[x,y]}. Tämän funktion konstruktio herättää kksi kysymystä. Ensimmäinen on mitä ehtoj setetn pituuden määritelmälle, jott d määrittäisi metriikn joukolle X. Toinen kysymys on, että jos oletetn että d määrittää metriikn joukolle X, onko joukoss välttämättä polkuj, jot pitkin voidn mitt etäisyyttä. Eli jos x j y ovt pistepri joukoss X, onko välttämättä olemss polku f Γ[x, y], jolle pituus(f) = d(x, y). Seurvksi määrittelemme vruuden, joss pystytään mittmn polkujen pituuksi Määritelmä. Olkoon X joukko, joss voidn mitt polkujen pituuksi, j jokiselle pisteprille x, y X on olemss epätyhjä kokoelm Γ[x,y] polkuj f : [,b] X, jotk toteuttvt f() = x j
20 20 JUKKA SELIN f(b) = y, j polkujen pituuksi merkitään pituus(f). Oletetn lisäksi, että X on metrinen vruus metriikll d. Snomme että (X,d) on polkumetrinen vruus, jos kikille pistepreille x, y X määritellään (7.3) d(x,y) = inf{pituus(f) : f Γ[x,y]}, j jokiselle pisteprille x,y X on olemss polku f Γ[x,y], jok nt infimumin. Tälle polulle siis pätee (7.4) d(x, y) = pituus(f). Huommme että polkumetrisen vruuden määritelmä on vhvempi kuin tvllisen metrisen vruuden, kosk se vtii etäisyyden ntvn polun olemssolo. 8. Hyperbolinen etäisyys Olemme nyt vlmiit todistmn, että H on polkumetrinen vruus. Jokiselle pisteprille x,y H, olkoon Γ[x,y] kikkien ploittin differentioituvien polkujen f : [,b] H joukko, joille f() = x j f(b) = y. Kosk pystymme kirjoittmn sen hyperbolisen suorn osn, jok yhdistää pisteprin x, y H, ploittin differentioituvll polull, näemme että Γ[x, y] ei ole tyhjä. Tiedämme myös, että jokisell polull f Γ[x,y] on äärellinen hyperbolinen pituus pituus H (f). 8.. Määritelmä. Tutkitn funktiot jok määritellään d H : H H R, (8.2) d H (x,y) = inf{pituus H (f) : f Γ[x,y]}. Kutsumme funktiot d H (x,y) hyperboliseksi etäisyydeksi pisteiden x j y välillä. Luseen 6.5 nojll hyperbolinen pituus säilyy joukon Möb(H) muunnoksiss Luse. Jokiselle γ Möb(H) j jokiselle pisteprille x,y H pätee (8.4) d H (x,y) = d H (γ(x),γ(y)). Todistus. Aloitmme huomioll {γ f : f Γ[x,y]} Γ[γ(x),γ(y)]. Tämä nähdään vlitsemll polku f : [,b] H joukost Γ[x,y] siten että f() = x j f(b) = y. Kosk γ f() = γ(x) j γ f(b) = γ(y) pätee että γ f Γ[γ(x),γ(y)]. Kosk pituus ei muutu joukon Möb(H) muunnoksiss, pätee pituus H (γ f) = pituus H (f),
21 HYPERBOLISEN GEOMETRIAN PUOLITASOMALLI 2 jokiselle polulle f Γ[x, y] j siis d H (γ(x),γ(y)) = inf{pituus H (g) : g Γ[γ(x),γ(y)]} inf{pituus H (γ f) : f Γ[x,y]} inf{pituus H (f) : f Γ[x,y]} = d H (x,y). Kosk γ on kääntyvä funktio j γ on joukon Möb(H) lkio, voimme toist iemmn rgumentin j nähdä että {γ g : g Γ[γ(x),γ(y)]} Γ[x,y], j siis d H (x,y) = inf{pituus H (f) : f Γ[x,y]} inf{pituus H (γ g) : g Γ[γ(x),γ(y)]} inf{pituus H (g) : g Γ[γ(x),γ(y)]} = d H (γ(x),γ(y)). Erityisesti tästä seur että d H (x,y) = d H (γ(x),γ(y)) Luse. Pri (H,d H ) on polkumetrinen vruus. Polku f Γ[x,y], jok nt hyperbolisen etäisyyden, on hyperbolisen suorn os jok yhdistää pisteet x j y. Todistus. Jott voimme todist, että d H määrittää metriikn, täytyy näyttää että d H toteutt kolme metriikn ksioom. Olkoon f : [, b] H polku joukoss Γ[x, y] j muistetn pituuden määritelmä: pituus H (f) = f b Im(z) dz = Im(f(t)) f (t) dt. Kosk integroituv os on in ei-negtiivinen, myös integrli on ei-negtiivinen. Kosk pituus H (f) on ei-negtiivinen jokiselle polulle f Γ[x,y], infimum d H näistä integrleist on ei-negtiivinen. Tämä näyttää, että d H toteutt ehdon d(x,y) 0, jok on ensimmäinen os ensimmäistä metriikn ksioom. Käsittelemme ensimmäisen ksioomn toisen osn myöhemmin. Seurvksi näytämme, että d H toteutt toisen ksioomn. Trkoitus on verrt polkujen Γ[x, y] j Γ[y, x] pituuksi. Olkoon f : [, b] H polku joukoss Γ[x, y] j tutkitn funktion f yhdistettä funktion h : [b,] [,b] knss, jolle pätee h(t) = +b t. Huomtn, että h (t) =.
22 22 JUKKA SELIN On selvää, että f h sisältyy joukkoon Γ[y,x], sillä (f h)() = f(b) = y j (f h)(b) = f() = x. Lisäksi suorll lskull smme pituus H (f h) = Im(z) dz = = f h = = b Im((f h)(t)) (f h) (t) dt Im((f(h(t))) (f(h(t)) h (t) dt Im(f(s)) f (s) ds Im(f(s)) f (s) ds = pituus H (f). Siis jokinen polku joukoss Γ[x, y] nt polun joukoss Γ[y, x], joll on sm pituus, kun käytetään sopiv funktiot h. Vstvll päättelyllä jokinen polku joukoss Γ[y, x] nt smnpituisen polun joukoss Γ[x, y]. Erityisesti nähdään, että kksi hyperbolisten pituuksien joukko {pituus H (f) : f Γ[x,y]} j {pituus H (g) : g Γ[y,x]} ovt smt. Tällöin niillä on sm infimum, eli d H (x,y) = d H (y,x). Tämä näyttää, että d H toteutt toisen ksioomn. Näytetään seurvksi, että d H toteutt kolmnnen ksioomn, eli kolmioepäyhtälön. Olkoot x, y, z H. Yksinkertisint olisi vlit polku f : [,b] H joukostγ[x,y] pituudell pituus H (f) = d H (x,y) j polku g : [b,c] H joukost Γ[y,z] pituudell pituus H (g) = d H (y,z). Yhdiste f g = h : [,c] H sisältyisi tällöin joukkoonγ[x,z]. Tällöin sisimme hlutun epäyhtälön d H (x,z) pituus H (h) = pituus H (f)+pituus H (g) = d H (x,y)+d H (y,z). Huommme, että ploittin differentioituvien polkujen yhdiste on ploittin differentioituv, mutt differentioituvien polkujen yhdiste ei ole välttämättä differentioituv. Tässä on yksi syy tutki ploittin differentioituvi polkuj. Vlitettvsti emme tiedä vielä onko in olemss polku, jok nt hyperbolisen etäisyyden pisteprin välillä. Tutkimme kysymystä myöhemmin. Joudumme siis todistmn kolmnnen ksioomn nojutumll vstoletukseen. Oletetn, että kolmioepäyhtälö ei päde funktiolle d H. Tällöin on olemss erilliset pisteet x, y, z H siten että Olkoon d H (x,z) > d H (x,y)+d H (y,z) ε = d H (x,z) (d H (x,y)+d H (y,z)).
23 HYPERBOLISEN GEOMETRIAN PUOLITASOMALLI 23 Kosk d H (x,y) = inf{pituus H (f) : f Γ[x,y]}, on olemss polku f : [,b] H joukoss Γ[x,y], jolle pätee pituus H (f) d H (x,y) < 2 ε. Vstvsti on olemss polku g : [b,c] H joukoss Γ[y,z] jolle pätee pituus H (g) d H (y,z) < 2 ε. Olkoon nyt h : [,c] H, h = f g. Kosk khden ploittin differentioituvn polun yhdiste on ploittin differentioituv, pätee että h Γ[x, z]. Lskemll huommme että pituus H (h) = pituus H (f)+pituus H (g) < d H (x,y)+d H (y,z)+ε. Kosk d H (x,z) pituus H (h) funktion d H määritelmän nojll, pätee d H (x,z) < d H (x,y)+d H (y,z)+ε, mistä sdn ristiriit luvun ε konstruktion knss. Tämä todist kolmnnen ksioomn. Vielä on jäljellä näyttää kksi si, ennen kuin voimme todet, että (H,d H ) on polkumetrinen vruus. Meidän täytyy näyttää että d H toteutt ensimmäisen ksioomn toisen osn, eli että d H (x,y) = 0 jos j vin jos x = y. Lisäksi meidän täytyy näyttää, että on olemss polku, jok nt hyperbolisen pituuden jokisell pisteprill x,y H. Lähdemme liikkeelle huomiost, että jos joukoss H on olemss polku, jok nt hyperbolisen etäisyyden minkä thns pisteprin välille, joukoss H, tällöin pätee d H (x,y) > 0 kun x y, kosk polkujen, jotk eivät ole vkiopolkuj, pituudet ovt positiivisi. Smme siis ensimmäisen ksioomn toisen osn, kun todistmme että on olemss polku, jok nt hyperbolisen pituuden jokisell pisteprill x,y H. Olkoot x j y pri erillisiä pisteitä joukoss H j olkoon l hyperbolinen suor, jok kulkee pisteiden x j y kutt. Aloitmme yksinkertistmll tilnnett. Käytämme tieto, että on olemss γ Möb(H) siten että γ(l) on positiivinen imginrikseli joukoss H. Merkitään γ(x) = µi j γ(y) = λi. Jos λ < µ, niin käytetään kuvust K γ kuvuksen γ sijn, missä K(z) =, jolloin µ < λ. z Kosk hyperboliset polkujen pituudet joukoss H, jotk lsketn käyttämällä hyperbolist kren pituuden elementtiä dz, säilyvät Im(z) joukon Möb(H) muunnoksiss, pätee että d H (x,y) = d H (γ(x),γ(y)) (Luse 8.3). Riittää siis osoitt, että on olemss hyperbolisen etäisyyden ntv polku pisteiden µi j λi välillä, kun µ < λ. Aloitmme lskun lskemll tietyn polun hyperbolisen pituuden. Olkoon polku f 0 : [µ,λ] H jok määritellään f 0 (t) = ti. Polun f 0 kuv on hyperbolinen jn jok yhdistää pisteet µi j λi. Kosk odotmme että lyhyin hyperbolinen etäisyys khden pisteen välillä sdn pitkin
24 24 JUKKA SELIN hyperbolist suor, tämä polku vikutt hyvältä vlinnlt olemn lyhyin polku joukoss Γ[µi,λi]. Jott voisimme lske polunf 0 pituuden, huommme ettäim(f 0 (t)) = t j f 0 (t) =, j siis pituus H (f 0 ) = λ µ dt = ln t [ ] λ. µ Nyt olkoon f : [,b] H mielivltinen polku joukoss Γ[µi,γi]. Näytämme, että pituus H (f 0 ) = d H (µi,λi) näyttämällä, että pituus H (f 0 ) pituus H (f). Teemme tämän usess viheess. Jok viheess muutmme polku f pienentääksemme sen hyperbolist pituutt, j näytämme, että siitä ei tule lyhyempi kuin polust f 0, näiden muutosten jälkeen. Merkitään f(t) = x(t) + y(t)i. Ensimmäinen muutos polulle f on jättää pois sen relios. Tällöin olkoon g : [,b] H määritelty g(t) = Im(f(t))i = y(t)i. Kosk g() = f() = µi j g(b) = f(b) = λi, näemme että g Γ[µi,λi]. Käytämme tieto (x (t)) 2 0 kikille t j että Im(g(t)) = Im(f(t)) = y(t) j smme että pituus H (g) = = Im(g(t)) g (t) dt (y (t)) y(t) 2 dt (x (t)) y(t) 2 +(y (t)) 2 dt Im(f(t)) f (t) dt = pituus H (f). Siis jokiselle polulle f Γ[µi, i], voimme konstruoid lyhyemmän polun g Γ[µi,λi], settmll g(t) = Im(f(t))i. Meidän täytyy vielä näyttää että jos g : [,b] H on mikä thns polku joukoss Γ[µi,λi] muoto g(t) = y(t)i, niin tällöin pituus H (f 0 ) pituus H (g). Tämä seur suorn Luseest 5.4. Kuv g([, b]) on hyperbolinen jn jok yhdistää pisteet αi j βi, missä α µ < λ β. Määritellään f : [α,β] H siten että f (t) = it j huomtn että pituus H (f 0 ) = ln [ λ µ ] ln [ β α ] = pituus H (f ). Seurvksi voimme kirjoitt g = f (f g), missä f g : [,b] [α,β] on konstruktion nojll surjektio. Luseest 5.4 seur että pituus H (f ) pituus H (g).
25 HYPERBOLISEN GEOMETRIAN PUOLITASOMALLI 25 Tämä päättää todistuksen, että pituus H (f 0 ) pituus H (f), jokiselle polulle f Γ[µi,λi]. Olemme siis näyttäneet että [ ] λ d H (µi,λi) = pituus H (f 0 ) = ln. µ Huomtn, että kosk olemme kirjoittneet g(t) = y(t)i j kosk f (t) = it, niin pätee f g(t) = y(t) j siis pituus H (g) = pituus H (f ) jos j vin jos joko y (t) 0 kikille t [,b] ti y (t) 0 kikille t [,b]. Siis inot etäisyyden ntmt polut joukoss Γ[µi,λi] ovt ne jotk ovt prmetristioit hyperbolisest jnst jok yhdistää pisteet µi j λi. Joukon Möb(H) muunnokset hyperbolisten suorien joukolle, joukoss H, j se että hyperboliset pituudet j etäisyydet säilyvät Möbmuunnoksiss svt ikn että jokiselle erilliselle pisteprille x, y H on olemss etäisyyden ntm polku joukoss Γ[x, y], nimittäin prmetristio hyperbolisest jnst, jok yhdistää pisteet x j y. Olkoon nyt l hyperbolinen suor, jok kulkee pisteiden x j y kutt, j olkoon γ joukon Möb(H) muunnos, jok kuv suorn l positiiviseksi imginrikseliksi I. Kirjoitetn γ(x) = µi j γ(y) = λi. Huomtn ts, että voimme vlit funktion γ siten että µ < λ. Jos µ > λ, korvtn γ funktioll K γ, missä K(z) = z. Olemme juuri näyttäneet että polku f 0 : [µ,λ] H, jok määritellään f 0 (t) = ti on etäisyyden ntm polku joukoss Γ[µi,λi]. Kosk Möb(H) säilyttää hyperboliset polkujen pituudet, pätee että pituus H (γ f 0 ) = pituus H (f 0 ) Kosk Möb(H) säilyttää hyperbolisen etäisyyden, pätee että d H (x,y) = d H (γ (µi),γ (λi)) = d H (µi,λi) = pituus H (f 0 ). Yhdistämällä nämä smme että pituus H (γ f 0 ) = d H (x,y), j siis γ f 0 on etäisyyden ntm polku joukoss Γ[x,y]. Kuten iemmin minittiin tämä päättää myös metriikn ensimmäisen ksioomn toisen osn todistuksen. Siis(H,d H ) on polkumetrinen vruus. Viitteet [] Jmes W. Anderson: Hyperbolic Geometry, 2nd printing 200, Springer-Verlg London Limited, Gret Britin [2] Jussi Väisälä: Topologi I, 4 pinos 2007, Limes, Helsinki [3] Mrvin Jy Greenberg: Eucliden nd Non-eucliden Geometries, Development nd history, Fourth Edition 2008, W. H. Freemn nd Compny, USA
Kuvausta f sanotaan tällöin isomorfismiksi.
Määritelmä..12. Oletetn, että 1 =(V 1,E 1 ) j 2 =(V 2,E 2 ) ovt yksinkertisi verkkoj. Verkot 1 j 2 ovt isomorfiset, jos seurvt ehdot toteutuvt: (1) on olemss bijektio f : V 1 V 2 (2) kikill, b V 1 pätee,
LisätiedotII.1. Suppeneminen., kun x > 0. Tavallinen lasku
II. EPÄOLEELLISET INTEGRAALIT nt II.. Suppeneminen Esim. Olkoon f() =, kun >. Tvllinen lsku = / =. Kuitenkn tätä integrli ei ole ikisemmss mielessä määritelty, kosk f ei ole rjoitettu välillä [, ] (eikä
LisätiedotMääritelmä Olkoon C R m yksinkertainen kaari ja γ : [a, b] R m sen yksinkertainen parametriesitys, joka on paloittain C 1 -polku.
Muodostetn vektorikentän kri-integrli yksinkertisen kren tpuksess. Plutetn mieleen, että joukko C R m on yksinkertinen kri, jos löytyy sellinen jtkuv bijektio γ : [, b] C, jok on ploittin C 1 -funktio
LisätiedotRiemannin integraali
LUKU 5 iemnnin integrli Tässä luvuss funktion f iemnnin integrli merkitään - b f = - b f() d. Vstvsti funktion f Lebesgue in integrli merkitään f = f() dm(). [,b] [,b] Luse 5.1. Olkoon f : [, b] rjoitettu
LisätiedotTEHTÄVÄ 1. Olkoon (f n ) jono jatkuvia funktioita f n : [a, b] R, joka suppenee välillä [a, b] tasaisesti kohti funktiota f : [a, b] R.
Topologi I Hrjoitus 10, rtkisuj AP TEHTÄVÄ 1. Olkoon (f n ) jono jtkuvi funktioit f n : [, b] R, jok suppenee välillä [, b] tsisesti kohti funktiot f : [, b] R. Osoit, että tällöin f n (x) dx f(x) dx.
Lisätiedot5 Epäoleellinen integraali
5 Epäoleellinen integrli 5. Integrlin suppeneminen Olkoon f sellinen välillä [, b[ (ei siis välttämättä pisteessä b) määritelty funktio, että f on Riemnn-integroituv välillä [, ] kikill ], b[ eli on olemss
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Mtemtiikn tukikurssi Kurssikert 4 Tilvuuden j vipn ln lskeminen Kuten iemmin käsittelimme, määrätyn integrlin vull voi lske pintloj j tilvuuksi. Tyypillisenä sovelluksen tilvuuden lskemisest on tpus, joss
LisätiedotRiemannin integraalista
Lebesguen integrliin sl. 2007 Ari Lehtonen Riemnnin integrlist Johdnto Tämän luentomonisteen trkoituksen on tutustutt lukij Lebesgue n integrliin j sen perusominisuuksiin mhdollisimmn yksinkertisess tpuksess:
Lisätiedot3 Integraali ja derivaatta
3 Integrli j erivtt 3.1 Integrli ylärjns funktion Olkoon funktio f Riemnn-integroituv välin I jokisell suljetull osvälillä j välin I jokin kiinteä luku. Tällöin integrli määrittelee funktion G(): I R,
LisätiedotMS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali
MS-A1{3,4} (ELEC*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 8: Integrlifunktio j epäoleellinen integrli Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos 5.1.216 Pekk Alestlo,
Lisätiedot7 Funktiosarjoista. 7.1 Funktiosarjojen suppeneminen
7 Funktiosrjoist 7. Funktiosrjojen suppeneminen Seurvksi trkstelln srjoj, joiden termit ovt (lukujen sijst) jollkin välillä I määriteltyjä funktioit. Täsmällisemmin funktiosrjll (ti lyhyemmin srjll) trkoitetn
Lisätiedot2.4 Pienimmän neliösumman menetelmä
2.4 Pienimmän neliösummn menetelmä Optimointimenetelmiä trvitn usein kokeellisen dtn nlysoinniss. Mittuksiin liittyy virhettä, joten mittus on toistettv useit kertoj. Oletetn, että mittn suurett c j toistetn
LisätiedotMS-A010{2,3,4,5} (SCI, ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali
MS-A1{2,3,4,5} (SC, ELEC*, ENG*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 8: ntegrlifunktio j epäoleellinen integrli Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos November
Lisätiedot5 Riemann-integraali ANALYYSI B, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT Ala- ja yläintegraali
ANALYYSI B, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT 9 5 Riemnn-integrli 5. Al- j yläintegrli Voit olett tunnetuksi ll esitetyt supremumin j infimumin ominisuudet (joukot A j B ovt rjoitettuj sekä epätyhjiä j λ R). Jos
LisätiedotSARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT Funktiojonot 1
SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 JOUNI PARKKONEN Sisältö 0. Tästä tekstistä. Funktiojonot 0. Tästä tekstistä Tämä moniste on trkoitettu käytettäväksi kurssin Srjt j differentiliyhtälöt luentomterilin.
LisätiedotMatematiikan johdantokurssi, syksy 2017 Harjoitus 6, ratkaisuista. 1. Onko jokin demojen 5 tehtävän 3 relaatioista
Mtemtiikn johntokurssi, syksy 07 Hrjoitus 6, rtkisuist. Onko jokin emojen 5 tehtävän reltioist ) R := {(, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, )}, ) S := {(, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ),
Lisätiedot1. Derivaatan Testi. Jos funktio f on jatkuva avoimella välillä ]a, b[ ja x 0 ]a, b[ on kriit. tai singul. piste niin. { f (x) > 0, x ]a, x 0 [
1. Derivtn Testi Jos funktio f on jtkuv voimell välillä ], b[ j x 0 ], b[ on kriit. ti singul. piste niin { f (x) < 0, x ], x 0 [ f x (x) > 0, x ]x 0, b[ 0 on lokli minimipiste (1) { f (x) > 0, x ], x
Lisätiedot1. Yhtälöiden ratkaisemisesta Olkoon f välillä [a, b] jatkuva funktio, jolle f(a) f(b) < 0. Bolzanon lauseen [A1]
1. Yhtälöiden rtkisemisest Olkoon f välillä [, b] jtkuv funktio, jolle f() f(b)
LisätiedotT Syksy 2002 Tietojenkäsittelyteorian perusteet Harjoitus 5 Demonstraatiotehtävien ratkaisut. ja kaikki a Σ ovat säännöllisiä lausekkeita.
T-79.8 Syksy 22 Tietojenkäsittelyteorin perusteet Hrjoitus 5 Demonstrtiotehtävien rtkisut Säännölliset lusekkeet määritellään induktiivisesti: j kikki Σ ovt säännöllisiä lusekkeit. Mikäli α j β ovt säännöllisiä
Lisätiedotx k 1 Riemannin summien käyttö integraalin approksimointiin ei ole erityisen tehokasta; jatkuvasti derivoituvalle funktiolle f virhe b
5 Integrlien lskemisest 51 Riemnnin summt [A2], [4, 61] Rjoitetun funktion f : [, b] R Riemnn-integroituvuudelle ytäpitäväksi on kurssill Anlyysi 2 osoitettu, että Riemnnin summill S P := f(ξ k ) ( ),
LisätiedotIntegraalilaskentaa. 1. Mihin integraalilaskentaa tarvitaan? MÄNTÄN LUKIO
Integrlilskent Tämä on lukion oppimterileist hiemn poikkev yksinkertistettu selvitys määrätyn integrlin lskemisest. Kerromme miksi integroidn, mitä integroiminen trkoitt, miten integrli lsketn j miten
LisätiedotRistitulo ja skalaarikolmitulo
Ristitulo j sklrikolmitulo Opetussuunnitelmn 00 mukinen kurssi Vektorit (MAA) sisältää vektoreiden lskutoimituksist keskeisenä ineksen yhteenlskun, vähennyslskun, vektorin kertomisen luvull j vektoreiden
LisätiedotSyksyn 2015 Pitkän matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut
Sksn 0 Pitkän mtemtiikn YO-kokeen TI-Nspire CAS -rtkisut Tekijät: Olli Krkkulinen Rtkisut on ldittu TI-Nspire CAS -tietokoneohjelmll kättäen Muistiinpnot -sovellust. Kvt j lskut on kirjoitettu Mth -ruutuihin.
LisätiedotSäännöllisten operaattoreiden täydentäviä muistiinpanoja
Säännöllisten operttoreiden täydentäviä muistiinpnoj Antti-Juhni Kijnho 1. huhtikuut 2011 Vnht määritelmät Määritelmä 1. Äärellinen epätyhjä joukko on merkistö, j sen lkioit kutsutn merkeiksi. Määritelmä
LisätiedotAnalyysi 2. Harjoituksia lukuihin 1 3 / Kevät Anna sellainen välillä ] 2, 2[ jatkuva ja rajoitettu funktio f, että
Anlyysi Hrjoituksi lukuihin 3 / Kevät 5. Ann sellinen välillä ], [ jtkuv j rjoitettu funktio f, että () sup A m A j inf A min A, (b) sup A m A j inf A = min A, (c) sup A = m A j inf A min A, (d) sup A
LisätiedotReaalinen lukualue. Millainen on luku, jossa on päättymätön ja jaksoton desimaalikehitelmä?
Relinen lukulue POLYNOMIFUNKTIOT JA -YHTÄLÖT, MAA Millinen on luku, joss on päättymätön j jksoton desimlikehitelmä? Onko sellisi? Trkstelln Pythgorn luseest stv yksikköneliön lävistäjää, luku + = x x =.
LisätiedotNumeeriset menetelmät TIEA381. Luento 9. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 9 () Numeeriset menetelmät / 29
Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 9 Kirsi Vljus Jyväskylän yliopisto Luento 9 () Numeeriset menetelmät 17.4.2013 1 / 29 Luennon 9 sisältö Numeerisest integroinnist Newtonin j Cotesin kvt Luento 9 ()
Lisätiedotsin θ θ θ r 2 sin 2 θ φ 2 = 0.
Mtemtiikn j tilstotieteen litos Osittisdifferentiliyhtälöt Kevät 21 Hrjoitus 9 Rtkisuj Jussi Mrtin 1. Osoit, että Lplce-yhtälö pllokoordinteiss on 2 u 1 r 2 2 u r r 1 r 2 sin θ u 1 2 u sin θ θ θ r 2 sin
LisätiedotKertausta ja täydennystä
LUKU 1 Kertust j täydennystä 1.1. Merkintöjä N = {k Z k 0} = {0, 1, 2,... }, luonnollisten lukujen joukko. Z + = {k Z k > 0} = {1, 2,... }, positiivisten kokonislukujen joukko. (, b) on relikselin voin
LisätiedotSuorat, käyrät ja kaarevuus
Suort, käyrät j krevuus Jukk Tuomel Professori Mtemtiikn litos, Joensuun yliopisto Suor? Tämä kirjoitus on eräänlinen jtko Timo Tossvisen suorn määritelmää koskevn kirjoitukseen Solmun numeross 2/2002.
LisätiedotJohdatus reaalifunktioihin P, 5op
Johdtus relifunktioihin 802161P, 5op Os 3 Pekk Slmi 19. lokkuut 2015 Pekk Slmi FUNK 19. lokkuut 2015 1 / 48 Integrlit 1 Määrätty integrli = oike integrli: esim. 1 0 x 2 dx = reliluku 2 Määräämätön integrli
Lisätiedot6 Integraalilaskentaa
6 Integrlilskent 6. Integrlifunktio Funktion f integrlifunktioksi snotn funktiot F, jonk derivtt on f. Siis F (x) = f (x) määrittelyjoukon jokisell muuttujn rvoll x. Merkitään F(x) = f (x) dx. Integrlifunktion
Lisätiedot2 Epäoleellinen integraali
ANALYYSI C, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, SYKSY 8 Epäoleellinen integrli Integrointivihje: Hyödynnä yhdistetyn funktion integrointisääntöä.. Määritä 9 9 (c) ( ). Tutki, millä vkion p rvoill epäoleellinen integrli
Lisätiedot5 ( 1 3 )k, c) AB 3AC ja AB AC sekä vektoreiden AB ja
MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Hrjoitustehtäviä syksy 4. Millä reliluvun rvoill ) 9 =, b) + +, e) 5?. Kirjoit Σ-merkkiä käyttäen summt 4, ) + 4 + 6 + +, b) 8 + 4 6 + + n n, c) + + + 4 + + 99, d)
LisätiedotPainopiste. josta edelleen. x i m i. (1) m L A TEX 1 ( ) x 1... x k µ x k+1... x n. m 1 g... m n g. Kuva 1. i=1. i=k+1. i=1
Pinopiste Snomme ts-ineiseksi kpplett, jonk mteriliss ei ole sisäisiä tiheyden vihteluj. Tällisen kppleen pinopisteen sijinti voidn joskus päätellä kppleen muodon perusteell. Esimerkiksi ts-ineisen pllon
LisätiedotRiemannin integraalista
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro grdu -tutkielm Aij Stenberg Riemnnin integrlist Mtemtiikn j tilstotieteen litos Mtemtiikk Syyskuu 2010 2 Tmpereen yliopisto Mtemtiikn j tilstotieteen litos STENBERG, AIJA: Riemnnin
LisätiedotKäydään läpi: ääriarvo tarkastelua, L Hospital, integraalia ja sarjoja.
DI mtemtiikn opettjksi: Täydennyskurssi, kevät Luentorunko j hrjoituksi viikolle : ti 9.. klo :-5:, to.. klo 9:5-: j klo 4:5-6: Käydään läpi: äärirvo trkstelu, L Hospitl, integrli j srjoj.. Kerrtn äärirvojen
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Mtemtiikn tukikurssi Kurssikert 5 1 Jtkuvuus Trkstelln funktiot fx) josskin tietyssä pisteessä x 0. Tämä funktio on tässä pisteessä joko jtkuv ti epäjtkuv. Jtkuvuuden ymmärtää prhiten trkstelemll epäjtkuv
Lisätiedot( ) Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 321 Päivitetty 19.2.2006. Saadaan yhtälö. 801 Paraabeli on niiden pisteiden ( x,
Pyrmidi Anlyyttinen geometri tehtävien rtkisut sivu Päivitetty 9..6 8 Prbeli on niiden pisteiden (, y) joukko, jotk ovt yhtä kukn johtosuorst j polttopisteestä. Pisteen (, y ) etäisyys suorst y = on d
LisätiedotANALYYSI I, kevät 2009
ANALYYSI I, kevät 009 Sisältö Relilukujen peruskäsitteitä Lukujonoist 4. Lukujonon rj-rvo....................... 4. Monotoniset jonot..........................3 Osjonot.............................. 7.4
Lisätiedot3.3 KIELIOPPIEN JÄSENNYSONGELMA Ratkaistava tehtävä: Annettu yhteydetön kielioppi G ja merkkijono x. Onko
3.3 KILIOPPIN JÄSNNYSONGLMA Rtkistv tehtävä: Annettu yhteydetön kielioppi G j merkkijono x. Onko x L(G)? Rtkisumenetelmä = jäsennyslgoritmi. Useit vihtoehtoisi menetelmiä, erityisesti kun G on jotin rjoitettu
Lisätiedot2 Riemann-integraali. 2.1 Porrasfunktion integraali. Aloitetaan integraalin täsmällinen määrittely tutkimalla porrasfunktion integraalia.
2 Riemnn-integrli 2.1 Porrsfunktion integrli Aloitetn integrlin täsmällinen määrittely tutkimll porrsfunktion integrli. Määritelmä 2.1 (Porrsfunktion integrli). Olkoon f : [, b] R porrsfunktio j P = {x
LisätiedotICS-C2000 Tietojenkäsittelyteoria Kevät 2016
ICS-C2 Tietojenkäsittelyteori Kevät 2 Kierros,. 5. helmikuut Demonstrtiotehtävien rtkisut D: Sievennä seurvi säännöllisiä lusekkeit (so. konstruoi yksinkertisemmt lusekkeet smojen kielten kuvmiseen): ()
LisätiedotSisältö. Integraali 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 20
Integrli 10. syyskuut 2005 sivu 1 / 20 Sisältö 1 Määrätty integrli j integrlifunktio 2 1.1 Integroituvist funktioit 3 1.2 Määrätyn integrlin ominisuuksi 4 1.3 Integrlifunktio 5 1.4 Integrlilskennn tärkeimmät
LisätiedotSinilause ja kosinilause
Siniluse j kosiniluse GEOMETRI M3 Mikäli kolmion korkeus j knt tiedetään, voidn pint-l lske. Esimerkki: Lske kolmion l, kun 38 kulmn viereiset sivut ovt 8, j 6,8. Nyt knt tiedetään, korkeutt ei! 38 8,
LisätiedotLebesguen integraali - Rieszin määritelmä
Lebesguen integrli - Rieszin määritelmä Tru Lehtonen Mtemtiikn pro grdu-tutkielm Jyväskylän yliopisto Mtemtiikn j tilstotieteen litos Kevät 216 Tiivistelmä Jyväskylän Yliopisto Lehtonen, Tru Puliin: Lebesguen
LisätiedotMS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 7: Integraali ja analyysin peruslause
MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 7: Integrli j nlyysin perusluse Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos 3.10.2016 Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen
LisätiedotMATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ PISTEYTYSKOKOUS
0 MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 30 PISTEYTYSKOKOUS 0 ) Sijoitetn x 0 Rtkistn = 0/04,0000 b) Jos neliön sivu on s, niin lävistäjä on s Ehto: s 6 s + s = 6, s 6 3 4s 6,70, joten piiri ) Suorn yhtälö
LisätiedotMatematiikan peruskurssi. Seppo Hassi
Mtemtiikn peruskurssi Seppo Hssi Syksy 2014 iii Esipuhe Tämä on 1. versio Mtemtiikn peruskurssin opetusmonisteest, jonk sisältö noudttelee pitkälti Vsn yliopistoss iemmin luennoimni Mtemttiset menetelmät
LisätiedotMS-C1300 KOMPLEKSIANALYYSI KIRSI PELTONEN
MS-C1300 KOMPLEKSIANALYYSI KIRSI PELTONEN Alto-yliopisto Mtemtiikn j systeeminlyysin litos Syksy 2016 1 2 KIRSI PELTONEN 1.1. Kompleksiluvut (kertust). 1. Anlyyttinen funktio Määritelmä 1.1. Kompleksiluku
LisätiedotOSA 1: POLYNOMILASKENNAN KERTAUSTA, BINOMIN LASKUSÄÄNTÖJÄ JA YHTÄLÖNRATKAISUA
OSA 1: POLYNOMILASKENNAN KERTAUSTA, BINOMIN LASKUSÄÄNTÖJÄ JA YHTÄLÖNRATKAISUA Tekijät: Ari Heimonen, Hellevi Kupil, Ktj Leinonen, Tuomo Tll, Hnn Tuhknen, Pekk Vrniemi Alkupl Tiedekeskus Tietomn torninvrtij
Lisätiedot4. Reaalifunktioiden määrätty integraali
6 4. Relifunktioiden määrätt integrli Vrsinisesti termi "integrli" tulee seurvss esitettävästä määrätstä integrlist, jok on läheistä suku summmiselle. Yhtes derivttn on sitten perustv ltu olev tulos, jot
Lisätiedota = x 0 < x 1 < x 2 < < x n = b f(x) dx = I. lim f(x k ) x k=1
5 Integrli 5.1 Määritelmä j ominisuudet Olkoon f : [, b] R jtkuv. Muodostetn välin [, b] jko = x 0 < x 1 < x 2 < < x n = b j siihen liittyvä yläsumm S = n M k (x k x k 1 ), M k = mx{f(x) x k 1 x x k },
LisätiedotVEKTOREILLA LASKEMINEN
..07 VEKTOREILL LSKEMINEN YHTEENLSKU VEKTORIT, M4 Vektoreiden j summ on vektori +. Tämän summvektorin + lkupiste on vektorin lkupiste j loppupiste vektorin loppupiste, kun vektorin lkupisteenä on vektorin
LisätiedotANALYYSI I, kevät 2009
ANALYYSI I, kevät 2009 Sisältö Relilukujen peruskäsitteitä 2 Lukujonoist 3 2. Lukujonon rj-rvo....................... 3 2.2 Monotoniset jonot......................... 7 2.3 Osjonot..............................
LisätiedotEsimerkki 8.1 Määritellään operaattori A = x + d/dx. Laske Af, kun f = asin(bx). Tässä a ja b ovat vakioita.
8. Operttorit, mtriisit j ryhmäteori Mtemttinen operttori määrittelee opertion, jonk mukn sille nnettu funktiot muoktn. Operttorit ovt erityisen tärkeitä kvnttimekniikss, kosk siinä jokist suurett vst
LisätiedotKertymäfunktio. Kertymäfunktio. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 2/2. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 1/2. Kertymäfunktio: Esitiedot
TKK (c) Ilkk Mellin (24) 1 Johdtus todennäköisyyslskentn TKK (c) Ilkk Mellin (24) 2 : Mitä opimme? 1/2 Jos stunnisilmiötä hlutn mllint mtemttisesti, on ilmiön tulosvihtoehdot kuvttv numeerisess muodoss.
LisätiedotMatemaattiset menetelmät I. Seppo Hassi
Mtemttiset menetelmät I Seppo Hssi Syksy 2011 iii Esipuhe Tämä on 1. versio Mtemttiset menetelmät I-kurssin opetusmonisteest, jok perustuu Vsn yliopistoss luennoimni vstvn nimiseen kurssiin. Sisältö noudtt
Lisätiedot4 Pinta-alasovelluksia
Pint-lsovelluksi. Kuvjn lle jäävä pint-l voidn määrittää, jos kuvj on -kselin yläpuolell. Välillä [, 5] funktion f kuvj on -kselin lpuolell. Peiltn funktion f kuvj -kselin suhteen, jolloin sdn funktion
LisätiedotT Kevät 2009 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 7 (Predikaattilogiikka )
T-79.3001 Kevät 2009 Logiikk tietotekniikss: perusteet Lskuhrjoitus 7 (Predikttilogiikk 9.1 10.2) 19.3. 23.3. 2009 Rtkisuj demotehtäviin Tehtävä 9.1 Rtkisuss on käytetty usen otteeseen rjoitettuj universli-
LisätiedotMS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 7: Integraali ja analyysin peruslause
MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 7: Integrli j nlyysin perusluse Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos November 20, 2017
LisätiedotIntegraalilaskenta. Määrätty integraali
9..08 Integrlilskent Määräämätön Etsitään funktiot Derivoinnille käänteistoimenpide integroiminen Integrlifunktio F(x), jolle F x = f x, lisäksi integrlifunktioille G x = F x + C. Vkion C lisäys (merkitys),
LisätiedotAnalyysin perusteet kauppatieteilijöille 800118P
Anlyysin perusteet kupptieteilijöille 800118P Luentomoniste Kri Myllylä Niin Korteslhti Topi Törmä Oulun yliopisto Mtemttisten tieteiden litos Kevät 2015 Sisältö 1 Derivtt 3 1.1 Määritelmä..............................
LisätiedotANALYYSI I, kevät 2009
5 Riemnnin integrli 7 ANALYYSI I, kevät 9 5. Integrlin perusominisuuksi................. 76 5. Anlyysin perusluse....................... 8 Sisältö Relilukujen peruskäsitteitä Lukujonoist 3. Lukujonon rj-rvo.......................
LisätiedotSisältö. Funktiojonot ja -sarjat 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 15
Funktiojonot j -srjt 10. syyskuut 2005 sivu 1 / 15 Sisältö 1 Funktiojonoist 2 2 Funktiosrjoist 5 3 Funktiojonojen j -srjojen derivointi j integrointi 7 4 Potenssisrjt 9 5 Tylorin polynomit j srjt 12 5.1
LisätiedotLINSSI- JA PEILITYÖ TEORIAA. I Geometrisen optiikan perusaksioomat
(0) LINSSI- JA PEILITYÖ MOTIVOINTI Tutustutn linsseihin j peileihin geometrisen optiikn mittuksiss Tutkitn vlon käyttäytymistä linsseissä j peileissä Määritetään linssien j peilien polttopisteet Optiset
LisätiedotPythagoraan lause. Pythagoras Samoslainen. Pythagoraan lause
Pythgorn luse Pythgors Smoslinen Pythgors on legendrinen kreikklinen mtemtiikko j filosofi. Tiedot hänen elämästään ovt epävrmoj j ristiriitisi. Tärkein Pythgorst j pythgorlisi koskev lähde on Lmlihosin
LisätiedotNewtonin, Riemannin ja Henstock-Kurzweilin integraalit
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro grdu -tutkielm Annik Heinonen Newtonin, Riemnnin j Henstock-Kurzweilin integrlit Informtiotieteiden yksikkö Mtemtiikk Helmikuu 2013 Sisältö 1 Johdnto 1 2 Newtonin integrli 2 2.1
LisätiedotVille Turunen: Mat Matematiikan peruskurssi P1 3. välikokeen alueen teoriatiivistelmä 2007
Ville Turunen: Mt-.4 Mtemtiikn peruskurssi P 3. välikokeen lueen teoritiivistelmä 27 Mterili: kirjt [Adms] R. A. Adms: Clculus, complete course (6th edition), [Ly] D. C. Ly: Liner lgebr nd its pplictions
Lisätiedot10. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA
MAA0 0. Määrätyn integrlin käyttö eräiden pint-lojen lskemisess 0. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA Edellä on todettu, että f (x)dx nt x-kselin j suorien x =, x = sekä funktion
LisätiedotHYPERBOLINEN JA KVASIHYPERBOLINEN GEOMETRIA
HYPERBOLINEN JA KVASIHYPERBOLINEN GEOMETRIA Markus Glader Pro gradu -tutkielma Syyskuu 2011 MATEMATIIKAN LAITOS TURUN YLIOPISTO TURUN YLIOPISTO Matematiikan laitos GLADER, MARKUS: Hyperbolinen ja kvasihyperbolinen
Lisätiedot4 Taso- ja avaruuskäyrät
P2-luentoj kevät 2008, Pekk Alestlo 4 Tso- j vruuskäyrät Tässä luvuss tutustutn tso- j vruuskäyriin, niiden krenpituuteen j krevuuteen. Konkreettisin sovelluksin trkstelln nnettu rt pitkin liikkuvn hiukksen
Lisätiedoti 2 n 3 ( (n 1)a (i + 1) 3 = 1 +
I. INTEGRAALILASKENTA Arkhimedes (287 22 e.kr.) prbelin segmentin pint-l Newton (642 727) j Leibniz (646 76) keksivät diff.- j int.-lskennn Cuhy (789 857) ε, δ Riemnn (826 866) Riemnnin integrli Lebesgue
LisätiedotVEKTOREILLA LASKEMINEN
3..07 VEKTOREILLA LASKEMINEN YHTEENLASKU VEKTORIT, MAA Vektoreiden j summ on vektori +. Tämän summvektorin + lkupiste on vektorin lkupiste j loppupiste vektorin loppupiste, kun vektorin lkupisteenä on
LisätiedotMS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Yhteenveto, osa II
MS-A7 ifferentili- j integrlilskent (Chem Yhteenveto, os II G. Gripenberg Alto-yliopisto 9. helmikuut 16 G. Gripenberg (Alto-yliopisto MS-A7 ifferentili- j integrlilskent (Chem Yhteenveto, 9. helmikuut
Lisätiedot11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS
11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS Tilvuus on sen verrn rkielämässä viljelty käsite, että useimmiten sen syvemmin edes miettimättä ymmärretään, mitä juomlsin ti pikkuvuvn kylpymmeen tilvuudell trkoitetn.
LisätiedotPreliminäärikoe Pitkä Matematiikka 5.2.2013
Preliminäärikoe Pitkä Mtemtiikk 5..0 Kokeess s vstt enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä ( * ) merkittyjen tehtävien mksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien mksimipistemäärä on 6.. ) Rtkise yhtälö b)
LisätiedotIntegroimistehtävät, 10. syyskuuta 2005, sivu 1 / 29. Perustehtäviä. Tehtävä 1. Osoita, että vakiofunktio f(x) c on Riemann-integroituva välillä
Integroimistehtävät,. syyskuut 5, sivu / 9 Perustehtäviä Tehtävä. Osoit, että vkiofunktio f(x) c on Riemnn-integroituv välillä [, b] j lske suorn määritelmän perusteell b f(x). Tehtävä. Osoit, että funktio,
LisätiedotMS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 9: Integroimismenetelmät
MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 9: Integroimismenetelmät Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos 10.10.2016 Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen (Alto-yliopisto,
LisätiedotMonikulmion pinta-ala ylioppilaille
Solmu 3/9 Monikulmion pint-l lioppilille Mik Koskenoj Mtemtiikn j tilstotieteen litos Helsingin liopisto Tehtävä. Kuusikulmion M kärjet ovt tson pisteissä (, ), (3, ), (, ), (4, 3), (, ) j (, ). Lske M:n
LisätiedotKOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012
KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 RITVA HURRI-SYRJÄNEN 2. Kompleksitason topologiaa Kompleksianalyysi on kompleksiarvoisten kompleksimuuttujien funktioiden teoriaa. Tällä kurssilla käsittelemme vain
LisätiedotCantorin joukon suoristuvuus tasossa
Cantorin joukon suoristuvuus tasossa LuK-tutkielma Miika Savolainen 2380207 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Syksy 2016 Sisältö Johdanto 2 1 Cantorin joukon esittely 2 2 Suoristuvuus ja
LisätiedotKorkeamman kertaluvut derivaatat
LUKU 4 Korkemmn kertluvut derivtt Derivtn määritelmän mukn differentioituv kuvust f : U F voidn pproksimoid ffiinill kuvuksell, f(x + u f(x + Df(xu. Jos f on khdesti differentioituv, voidn derivtt pproksimoid
Lisätiedot7.lk matematiikka. Geometria 1
7.lk mtemtiikk 1 Htnpään koulu 7B j 7C Kevät 2017 2 Sisällys 1. Koordintisto... 4 2. Kulmien nimeäminen j luokittelu... 8 3. Kulmien mittminen j piirtäminen... 10 4. Ristikulmt j vieruskulmt... 14 5. Suort,
LisätiedotDiskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 6 / vko 13
MS-A040 Diskreetin mtemtiikn perusteet, IV/07 Kngslmpi / Jkosson Diskreetin mtemtiikn perusteet Lskuhrjoitus / vko Tuntitehtävät 4-4 lsketn lkuviikon hrjoituksiss j tuntitehtävät 45-4 loppuviikon hrjoituksiss.
LisätiedotMS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 9: Integroimismenetelmät
MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 9: Integroimismenetelmät Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos November 27, 2017 Pekk Alestlo,
LisätiedotHELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY OF HELSINKI
HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY OF HELSINKI Tiedekunt/Ossto Fkultet/Sektion Fculty Litos Institution Deprtment Mtemttis-luonnontieteellinen Tekijä Förfttre Author Antti Khri Työn
Lisätiedot= 5! 2 2!3! = = 10. Edelleen tästä joukosta voidaan valita kolme särmää yhteensä = 10! 3 3!7! = = 120
Tehtävä 1 : 1 Merkitään jatkossa kirjaimella H kaikkien solmujoukon V sellaisten verkkojen kokoelmaa, joissa on tasan kolme särmää. a) Jokainen verkko G H toteuttaa väitteen E(G) [V]. Toisaalta jokainen
Lisätiedot2.6 SÄÄNNÖLLISET LAUSEKKEET Automaattimalleista poikkeava tapa kuvata yksinkertaisia kieliä. Olkoot A ja B aakkoston Σ kieliä. Perusoperaatioita:
2.6 SÄÄNNÖLLISET LAUSEKKEET Automttimlleist poikkev tp kuvt yksinkertisi kieliä. Olkoot A j B kkoston Σ kieliä. Perusopertioit: Yhdiste: A B = {x Σ x A ti x B}; Ktentio: AB = {xy Σ x A, y B}; Potenssit:
LisätiedotNeliömatriisin A determinantti on luku, jota merkitään det(a) tai A. Se lasketaan seuraavasti: determinantti on
4. DETERINANTTI JA KÄÄNTEISATRIISI 6 4. Neliömtriisi determitti Neliömtriisi A determitti o luku, jot merkitää det(a) ti A. Se lsket seurvsti: -mtriisi A determitti o det(a) () -mtriisi A determitti void
LisätiedotVALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 3.6.2014 Ratkaisut ja arvostelu
VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 3.6.4 Rtkisut j rvostelu. Koululisen todistuksen keskirvo x on lskettu ) b) c) d) kymmenen ineen perusteell. Jos koululinen nostisi neljän ineen
LisätiedotSarjat ja integraalit
Srjt j integrlit c Mtemttisten tieteiden litos, Oulun yliopisto Versio: 9.3.0 Viimeksi muoknnut: Peter Hästö Sisältö Funktion rj-rvo j jtkuvuus. Peruskäsitteitä........................................
LisätiedotAnalyysi III S
Anlyysi III 800624S Sisältö sitietoj 5 Riemnn integroinnin rjt 6 Luku 1. Mittteori 7 1. Algebr j σ-lgebr 7 2. Mitt 8 3. Ulkomitt j mitlliset joukot 11 4. Ulkomitn konstruointi 14 5. Lebesguen ulkomitt
LisätiedotAnalyysi B. Derivaatta ja integraali. Pertti Koivisto
Anlyysi B Derivtt j integrli Pertti Koivisto Kevät 7 Alkusnt Tämä moniste on trkoitettu oheislukemistoksi Tmpereen yliopistoss pidettävälle kurssille Anlyysi B. Monisteen tvoitteen on tuke luentojen seurmist,
LisätiedotParaabelikin on sellainen pistejoukko, joka määritellään urakäsitteen avulla. Paraabelin jokainen piste toteuttaa erään etäisyysehdon.
5. Prbeli Prbelikin on sellinen pistejoukko, jok määritellään urkäsitteen vull. Prbelin jokinen piste toteutt erään etäissehdon. ********************************************** MÄÄRITELMÄ : Prbeli on tson
LisätiedotRiemann-integraalin ja mittaintegraalin vertailua
Riemnn-integrlin j mittintegrlin vertilu Pro grdu -tutkielm Pii Tskinen Mtemttisten tieteiden litos Oulun yliopisto Kevät 216 Sisältö Johdnto 3 1 Esitietoj 5 1.1 Välijost............................. 5
LisätiedotTIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy Antti-Juhani Kaijanaho. 22. syyskuuta 2016
lusekkeet, lusekkeet, TIEA241 Automtit j kieliopit, syksy 2016 Antti-Juhni Kijnho lusekkeet j smuus TIETOTEKNIIKAN LAITOS 22. syyskuut 2016 Sisällys lusekkeet, lusekkeet lusekkeet j smuus j smuus lusekkeet
Lisätiedotlim + 3 = lim = lim (1p.) (3p.) b) Lausekkeen täytyy supistua (x-2):lla, joten osoittajan nollakohta on 2.
Mtemtiikk III 0600 Kurssi / Differetili- j itegrlilske jtkokurssi Tee 7 tehtävää ) Määritä lim ( ) ) + b) Määritä vkio site, että luseke ( ) + + ( )( ) ( + + ) + + + + + lim + lim lim (p) o jtkuv myös
LisätiedotPertti Koivisto. Analyysi B
Pertti Koivisto Anlyysi B TAMPEREEN YLIOPISTO INFORMAATIOTIETEIDEN YKSIKÖN RAPORTTEJA 67/8 TAMPERE 8 TAMPEREEN YLIOPISTO INFORMAATIOTIETEIDEN YKSIKÖN RAPORTTEJA 67/8 JOULUKUU 8 Pertti Koivisto Anlyysi
Lisätiedot