Määritelmä Olkoon C R m yksinkertainen kaari ja γ : [a, b] R m sen yksinkertainen parametriesitys, joka on paloittain C 1 -polku.
|
|
|
- Ilmari Parviainen
- 6 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Muodostetn vektorikentän kri-integrli yksinkertisen kren tpuksess. Plutetn mieleen, että joukko C R m on yksinkertinen kri, jos löytyy sellinen jtkuv bijektio γ : [, b] C, jok on ploittin C 1 -funktio (=yksinkertinen prmetriesitys). Huomutus Emme ole näyttäneet, miksi kren sileydestä luopuminen on sllittu. Tämä seur smn tpn kuin Luseen yhteydessä. Trkempi todistus sivuutetn. Määritelmä Olkoon C R m yksinkertinen kri j γ : [, b] R m sen yksinkertinen prmetriesitys, jok on ploittin C 1 -polku. (i) Yksinkertinen kri C on suunnistettu pisteestä γ() pisteeseen γ(b), kun sille sllitn vin yksinkertisi prmetriesityksiä γ, joiden lkupiste on γ() j loppupiste on γ(b). Suunnistettu yksinkertist krt merkitään C +. (ii) Jtkuvn vektorikentän f : D R m R m integrli yli yksinkertisen suunnistetun kren C + on f ds = f(γ(t)) γ (t)dt C + missä γ on C + :n jokin yksinkertinen prmetriesitys j Riemnn-integrli lsketn vstvsti ploittin.
2 Esimerkki Olkoot I 1 jn pisteestä (0, 1) pisteeseen (1, 1), I 2 jn pisteestä (1, 1) pisteeseen (1, 1) j C = I 1 I 2. Tällöin C on yksinkertinen kri, sillä sen eräs yksinkertinen prmetriesitys on { (t, 1) kun 0 t 1 γ(t) =. (1, t 2) kun 1 t 3 γ on injektiivinen. γ on ploittin C 1 j sen derivtt välillä [0, 1] on γ (t) = (1, 0) (0, 0) j derivtt välillä [1, 3] on γ (t) = (0, 1) (0, 0). (Huom! derivtt pisteessä t = 1 ei ole, vn inostn toispuoliset derivtt). Suunnistetn C + pisteestä (0, 1) pisteeseen (1, 1). Funktion f(x 1, x 2 ) = 1 2 ( x 1x 2, x 2 ), missä x 1, x 2 R, kri-integrli yli suunnistetun yksinkertisen kren C + on 3 1 f ds = f(γ(t)) γ (t)dt = (t, 1) (1, 0)dt+ C ( t+2, t 2) (0, 1)dt = 1 4
3 4.2 Suljetut käyrät j polut Ljennetn kri-integrlin käsite sellisille käyrille, joiden päätepisteet yhtyvät. Toisin snoen käyrän päätepisteet rikkovt käyrän prmetriesityksen injektiivisyyden, jolloin kysessä ei ole yksinkertinen kri. Määritelmä (i) Jtkuv funktio γ : [, b] R m on suljettu yksinkertinen polku, jos γ() = γ(b) j kuvus γ : [, b) R m on injektiivinen. (i) Joukko C R m on yksinkertinen suljettu käyrä, jos löytyy sellinen suljettu yksinkertinen ploittin C 1 -polku γ : [, b] R m, että C = γ([, b]). Tällöin snotn, että γ on suljetun yksinkertisen käyrän C yksinkertinen prmetriesitys. (iii) Yksinkertinen suljettu käyrä C R m on suunnistettu yksinkertisen prmetriesityksen γ suuntn, jos sille sllitn vin sellisi yksinkertisi prmetriesityksiä γ, jotk kiertävät käyrää C smn suuntn kuin γ.
4 Esimerkki ) Neliön kehä j ympyrän kehä ovt yksinkertisi suljettuj käyriä. b) Kun piirrät numeron 8, niin tällöin muodostunut tsokäyrä ei ole yksinkertinen suljettu käyrä, sillä käyrän prmetriesityksen injektiivisyyys rikkoutuu khteen kertn. (Mielikuv: muurhinen juoksee pitkin käyrää j pysähtyy, kun ensimmäisen kerrn kulkee smn pisteen yli. Jos muurhisen kulkem reitti peittää koko käyrän, niin käyrä on yksinkertinen j suljettu).
5 c) Olkoon C = {(x 1, x 2 ) R 2 : x 2/3 1 +x 2/3 2 = 1}. Tällöin C on yksinkertinen suljettu käyrä, sillä funktio γ(t) = (cos 3 (t), sin 3 (t)), missä t [0, 2π] on sellinen, että γ([0, 2π]) = C γ : [0, 2π) R 2 on injektiivinen γ on C 1 -funktio (mutt ei sileä).
6 Määritelmä (i) Olkoon C yksinkertinen suljettu käyrä j olkoon γ : [, b] R m sen yksinkertinen prmetriesitys. Olkoon f : D R m R sellinen jtkuv funktio, että C D. Funktion f kri-integrli yli C:n on fds = f(γ(t)) γ (t) dt, (4.2.4) missä γ on jokin C:n yksinkertinen prmetriesitys. C (ii) Olkoon C + yksinkertinen suljettu käyrä j olkoon γ : [, b] R m sen yksinkertinen prmetriesitys. Olkoon f : D R m R m sellinen jtkuv funktio, että C D. Funktion f kri-integrli yli C + :n on f ds = f(γ(t)) γ (t)dt, (4.2.5) C + missä γ on jokin C + :n yksinkertinen prmetriesitys. Seurv luse näyttää, että yhtälön (4.2.4) oiken puolen rvo ei riipu prmetriesityksen vlinnst (yhtälö (4.2.5) sivuutetn). Tämä osoitt, että (4.2.4) on hyvin setettu määritelmä. Luse Olkoon C R m yksinkertinen suljettu käyrä j olkoon γ : [, b] R m j γ : [c, d] R m sen yksinkertisi prmetriesityksiä. Olkoon f : D R sellinen jtkuv funktio, että C D. Silloin d f(γ(t)) γ (t) dt = f( γ(t)) γ (t) dt c
7 Todistus. Trkstelln vin tpus joss molemmt polut kiertävät käyrää C smn suuntn. Vstkkiset kiertosuunnt käsitellään smn tpn. Olkoon ensin γ() = γ(c) Jtkuvn funktion integrlifunktio on jtkuv, joten ε f(γ(t)) γ (t) dt = lim f(γ(t)) γ (t) dt ε 0 Kun 0 < ε < b, niin C ε = γ([, b ε]) on yksinkertinen kri, jonk yksinkertinen prmetriesitys on γ [,b ε. Merkitään [c, d ε ] = γ 1 (C ε ), missä d ε = γ 1 (γ(ε)). Tällöin γ : [c, d ε ] C ε on bijektio (j C 1 -polku). Kosk d ε riippuu jtkuvsti luvust ε, on lim ε 0 dε c f( γ(t)) γ (t) dt = d c f( γ(t)) γ (t) dt. (4.2.6) Lisäksi funktion f integrlit pitkin injektiivisiä polkuj γ [,b ε] j γ [c,dε ] ovt smt (Luse 4.1.3). Tällöin ε f(γ(t)) γ (t) dt = lim f(γ(t)) γ (t) dt ε 0 dε = lim f( γ(t)) γ (t) dt = ε 0 c Täten luseen väite pätee, kun γ() = γ(c). d c f( γ(t)) γ (t) dt.
8 Oletetn seurvksi, että γ() γ(c). Silloin löytyy sellinen t 0 (, b), että γ(t 0 ) = γ(c). Määritellään polun γ periodinen jtke γ kikille reliluvuille settmll γ(t + m(b )) := γ(t) kikill t [, b] j m Z. Trkestelln jtkeen rjoittum γ : [t 0, t 0 + (b )]. Tällöin γ(t 0 ) = γ(c), jolloin funktion f integrlit pitkin polkuj γ [t0,t 0 +(b )] j γ yhtyvät yllä olevn nojll. Lisäksi funktion f polkuintegrli pitkin polku γ : [t 0, t 0 + (b )] on t0 +b t0 fds = f(γ(t)) γ (t) dt = f(γ(t)) γ +b (t) dt + f(γ(t)) γ (t) dt t 0 t 0 b γ [t0,t 0 +b ] = = = t 0 f(γ(t)) γ (t) dt + t 0 f(γ(t)) γ (t) dt + f(γ(t)) γ (t) dt. t0 t0 f(γ(t + b )) γ (t + b ) dt f(γ(t)) γ (t) dt
9 Esimerkki Olkoon f(x 1, x 2, x 3 ) = ( x 2, x 2 1, 2x 2 3) kikill x 1, x 2, x 3 R. Olkoon C = {(x 1, x 2, x 3 ) R 3 : x x 2 2 = 1 j x 3 = 1}. Silloin C on yksinkertinen suljettu käyrä, sillä sen yksinkertinen prmetriesitys on γ(t) = (cos(t), sin(t), 1), t [0, 2π]. (Selvästi γ : [0, 2π] C on surjektio, γ : [0, 2π) C on injektio j γ on C 1 -funktio). Suunnistetn C + prmetriesityksen γ suuntn. Silloin 2π f ds = f(γ(t)) γ (t)dt C + = = 0 2π 0 2π 0 ( sin(t), cos 2 (t), 2) ( sin(t), cos(t), 0)dt sin 2 (t) + cos 3 (t)dt = π.
10 4.2.1 Anlyysin perusluseen yleistys Anlyysin perusluse kertoo, että f (t)dt = f() f(b) kikille C 1 -funktioille f : [, b] R. Osoitetn seurvksi nlyysin perusluseen moniulotteinen vstine. Luse Olkoon D R m voin j f : D R C 1 -funktio. Jos γ : [, b] R m on sellinen ploittin C 1 -polku, että γ([, b]) D, niin f(γ(b)) f(γ()) = f dγ. (4.2.7) Todistus. Riittää näyttää tpus, joss γ on C 1 -polku, sillä väite seur silloin summmll yhteen integrlej yli osvälien. Lsketn yhdistetyn funktio f γ derivtt: Luseen nojll funktioll γ : [, b] R m löytyy C 1 -ljennus johonkin voimeen joukkoon (, b ) jok sisältää suljetun välin [, b]. Voidn olett, että ljunnuksen kuvjoukko sisältyy joukkoon D. (Trvittess ljennus voidn rjoitt vointen joukkojen (, b ) j γ 1 (D) leikkukseen). γ
11 Nyt f j γ on määritelty voimiss joukoiss, jolloin derivoinnin ketjusäännön nojll (f γ) (t) = m j=1 f (γ(t)) dγ i(t) x i dt erityisesti jokisell t [, b]. Anlyysin perusluseen nojll = f(γ(t)) γ (t), Toislt, f(γ(b)) f(γ()) = (f γ) (t)dt = (f γ) (t)dt. f(γ(t)) γ (t)dt = γ fdγ.
12 Korollri Olkoot D R m voin j f : D R C 1 -funktio. (i) Jos γ, γ ovt sellisi C 1 -polkuj pisteestä p D pisteesen q D joiden kuvjoukot sisältyvät joukkon D, niin f dγ = f d γ. (ii) Jos γ : [, b] R m on sellinen C 1 -polku, että γ() = γ(b), niin f dγ = 0. Todistus. Seur Luseest γ γ Esimerkki Olkoon g(x) = 1 x kun (0, 0, 0) x R3. Lske työ, jonk vektorikenttä G = g tekee, kun hiukkseen vikutt voim G [yksikkö=newton] j hiukknen liikkuu pitkin polku γ(t) = (t, t 2, exp(t 2 )), [yksikkö=metri] missä t [1, 2]. Rtkisu: 1 G dγ = g(γ(2)) g(γ(1)) = e [ yksikkö=joule] e 2 γ γ
13 4.2.2 Konservtiivinen vektorikenttä Määritelmä Olkoon D R m voin j G : D R m jtkuv. Vektorikenttä G on konservtiivinen, jos löytyy sellinen C 1 -funktio g : D R, että G = g. Kuvust g nimitetään tällöin vektorikentän G potentilifunktioksi. Esimerkki )Vektorikentän G(x) = (0, 0, 1) missä x R 3, potentilifunktio on g(x 1, x 2, x 3 ) = x 3. b) Vektorikentän G(x) = x x, missä 0 x Rm potentilifunktio on log( x ). Opetelln seurvksi tunnistmn konservtiivisi vektorikenttiä o luseen vull. Luse Olkoon D R m voin j G : D R m jtkuv vektorikenttä. Seurvt väitteet ovt yhtäpitäviä: 1. On olemss sellinen C 1 -funktio g : D R, että G = g. 2. Jos γ, γ ovt ploittin C 1 -polkuj pisteestä p pisteeseen q, joiden kuvjoukot sisältyvät joukkoon D, niin γ G dγ = γ G d γ. 3. Löytyy sellinen C 1 -funktio g : D R, että γ G dγ = g(q) g(p), missä γ on sellinen vpsti vlittu ploittin C 1 -polku pisteestä p pisteeseen q, että sen kuvjoukko sisältyy joukkoon D. 4. Jokisell p D j jokisell selliselle ploittin C 1 -polulle γ pisteestä p pisteeseen p pätee γ G dγ = 0.
14 Todistus. L j Kor seur, että (1) (2), (3), (4). Sivuutetn muiden impliktioiden näyttö. Esimerkki (Tp 1: Eri poluill eri integrli). Tutki, onko vektorikenttä G(x 1, x 2 ) = ( x 2, x 1 ), missä x 1, x 2 R, konservtiivinen. Rtkisu: Näytetään, että Väite 2 ei ole tott. Olkoon missä t [0, π/2] j γ(t) = (cos(t), sin(t)), γ(t) = (cos( t), sin( t)) = (cos(t), sin(t)), missä t [0, 3π/2]. Silloin kummnkin polun lkupiste on (1, 0) j loppupiste on (0, 1). (Polut kulkevt eri reittejä). Silloin π/2 G dγ = ( sin(t), cos(t)) ( sin(t), cos(t))dt = π 2 j γ γ G d γ = 0 3π/2 0 (sin(t), cos(t)) ( sin(t), cos(t))dt = 3π 2. Nähdään, että Väite 2 ei päde, jolloin G ei ole konservtiivinen. (Oikeiden polkujen löytäminen on joskus hnkl).
15 Esimerkki (Tp 2: Pyörteettömyys). Olkoon G(x 1, x 2, x 3 ) = (e 1+x 2 1 +sin(x 3 ) 2, x 2, x 3 ) kikill x 1, x 2, x 3 R. Silloin G toteutt jtkuvuutt tiukemmn ehdon G C 1 (R 3 ; R 3 ). Jos G 0, niin Väite 1 ei ole tott, sillä muutoin tulisi oll g 0. Lsketn e 1 e 2 e 3 G(x 1, x 2, x 3 ) = x 1 x 2 x 3 e 1+x 2 1 +sin(x 3 ) 2 x 2 x 3 ( ) = 0,, 0 + sin(x 3) cos(x 3 ) 1+x x sin(x 3 ) 2e 1 +sin(x 3 ) 2, 0 (0, 0, 0). Täten vektorikenttä G ei ole konservtiivinen. (Tämän strtegin onnistuminen riippuu G:n muodost j jtkuvst differentioituvuudest. Tulos G = 0 ei trkoit, että G olisi konservtiivinen!).
16 Esimerkki (Tp 3: Etsi g osittisdifferentiliyhtälöiden vull). Olkoon G(x 1, x 2, x 3 ) = (2x 1 x 2 x 3 + x 3, x 2 1x 3 + 1, x 2 1x 2 + x 1 ) kikill x 1, x 2, x 3 R. Kirjoitetn osittisdifferentiliyhtälöt (jotk rtkistn nlyysin perusluseen vull integroimll yhden muuttujn suhteen) g x 1 (x 1, x 2, x 3 ) = 2x 1 x 2 x 3 + x 3 g (x 1, x 2, x 3 ) = x 2 x 1x g (x 1, x 2, x 3 ) = x 2 x 1x 2 + x 1 3 Vertmll g:n lusekkeit sdn selville vlint x1 0 dx 1 g(x 1, x 2, x 3 ) = x 2 1x 2 x 3 + x 3 x 1 + C(x 2, x 3 ) }{{} =g(0,x 2,x 3 ) x2 0 dx 2 g(x 1, x 2, x 3 ) = x 2 1x 2 x 3 + x 2 + C(x 1, x 3 ) x3 0 dx 3 g(x 1, x 2, x 3 ) = x 2 1x 2 x 3 + x 1 x 3 + C(x 1, x 2 ) g(x 1, x 2, x 3 ) = x 2 1x 2 x 3 + x 2 + x 1 x 3 Täten vektorikenttä G on konservtiivinen, kosk se toteutt Väitteen 1. (Joskus päädytään hnkliin osittisdifferentiliyhtälöihin).
17 4.2.3 Yhteenveto polkuintegrleist Kun f : D R m R on jtkuv, γ : [, b] R m on C 1 (ti ploittin C 1 ) j γ([, b]) D, niin polkuintegrli fds = f(γ(t)) γ (t) dt. Mitä trkoitt ploittin C 1? γ : [, b] R m on jtkuv γ väli [, b] voidn jk osväleihin, joill γ on C 1 -funktio. (Tämä sllii, että eri osvälien yhteisissä päätepisteissä γ:n toispuoliset derivtt voivt oll erisuuret.) Kun f : D R m R m on jtkuv, γ : [, b] R m on C 1 (ti ploittin C 1 ) j γ([, b]) D, niin polkuintegrli f dγ = f(γ(t)) γ (t)dt. Kun f = g, niin polkuintegrlin lskeminen on helppo g dγ = g(b) g(). γ γ
18 4.2.4 Yhteenveto kri-integrleist Kri-integrlist käytetään myös nimitystä viivintegrli. Kun C R m on yksinkertinen kri j f : C R on jtkuv, niin fds = f(γ(t)) γ (t) dt, C missä γ : [, b] R m on kren C yksinkertinen prmetriesitys. Käytännössä täytyy ensin etsiä kren yksinkertinen prmetriesitys! γ : [, b] C surjektio j injektio γ : [, b] R m (ploittin) C 1 -polku Kun C R m on yksinkertinen kri j f : C R m on jtkuv, niin kren C suunnisus (=polkujen kulkusuunt) on vlittv ennen funktion f kri-integrlin lskemist. (Muutoin kri-intgrlin merkki vihtuisi eri poluill). Kun suunnistus on C +, niin funktion f kri-integrli fds = f(γ(t)) γ (t)dt, C + missä γ : [, b] R m on kren C + yksinkertinen prmetriesitys.
19 Yksinkertisen kren yleistys sdn liimmll kren päätepisteet yhteen, jolloin päädytään yksinkertiseen suljettuun käyrään. Jtkuvn funktion f : C R kriintegrli yli yksinkertisen suljetun käyrän C on fds = f(γ(t)) γ (t) dt, C missä γ : [, b] R m on suljetun käyrän C yksinkertinen prmetriesitys (γ([, b]) = C, injektio välillä [, b) ploittin C 1 ). Jtkuvn funktion f : C R m integrli yli suunnistetun yksinkertisen suljetun käyrän C + on f ds = f(γ(t)) γ (t)dt, C + missä γ : [, b] R m on C + :n yksinkertinen prmetriesitys (surjektio, injektio välillä [, b), ploittin C 1, suunnistus).
5 Epäoleellinen integraali
5 Epäoleellinen integrli 5. Integrlin suppeneminen Olkoon f sellinen välillä [, b[ (ei siis välttämättä pisteessä b) määritelty funktio, että f on Riemnn-integroituv välillä [, ] kikill ], b[ eli on olemss
II.1. Suppeneminen., kun x > 0. Tavallinen lasku
II. EPÄOLEELLISET INTEGRAALIT nt II.. Suppeneminen Esim. Olkoon f() =, kun >. Tvllinen lsku = / =. Kuitenkn tätä integrli ei ole ikisemmss mielessä määritelty, kosk f ei ole rjoitettu välillä [, ] (eikä
3 Integraali ja derivaatta
3 Integrli j erivtt 3.1 Integrli ylärjns funktion Olkoon funktio f Riemnn-integroituv välin I jokisell suljetull osvälillä j välin I jokin kiinteä luku. Tällöin integrli määrittelee funktion G(): I R,
Kuvausta f sanotaan tällöin isomorfismiksi.
Määritelmä..12. Oletetn, että 1 =(V 1,E 1 ) j 2 =(V 2,E 2 ) ovt yksinkertisi verkkoj. Verkot 1 j 2 ovt isomorfiset, jos seurvt ehdot toteutuvt: (1) on olemss bijektio f : V 1 V 2 (2) kikill, b V 1 pätee,
1. Derivaatan Testi. Jos funktio f on jatkuva avoimella välillä ]a, b[ ja x 0 ]a, b[ on kriit. tai singul. piste niin. { f (x) > 0, x ]a, x 0 [
![1. Derivaatan Testi. Jos funktio f on jatkuva avoimella välillä ]a, b[ ja x 0 ]a, b[ on kriit. tai singul. piste niin. { f (x) > 0, x ]a, x 0 [](/thumbs/58/42571602.jpg "1. Derivaatan Testi. Jos funktio f on jatkuva avoimella välillä ]a, b[ ja x 0 ]a, b[ on kriit. tai singul. piste niin. { f (x) > 0, x ]a, x 0 [")
1. Derivtn Testi Jos funktio f on jtkuv voimell välillä ], b[ j x 0 ], b[ on kriit. ti singul. piste niin { f (x) < 0, x ], x 0 [ f x (x) > 0, x ]x 0, b[ 0 on lokli minimipiste (1) { f (x) > 0, x ], x
Johdatus reaalifunktioihin P, 5op
Johdtus relifunktioihin 802161P, 5op Os 3 Pekk Slmi 19. lokkuut 2015 Pekk Slmi FUNK 19. lokkuut 2015 1 / 48 Integrlit 1 Määrätty integrli = oike integrli: esim. 1 0 x 2 dx = reliluku 2 Määräämätön integrli
MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 7: Integraali ja analyysin peruslause
MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 7: Integrli j nlyysin perusluse Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos 3.10.2016 Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen
Riemannin integraali
LUKU 5 iemnnin integrli Tässä luvuss funktion f iemnnin integrli merkitään - b f = - b f() d. Vstvsti funktion f Lebesgue in integrli merkitään f = f() dm(). [,b] [,b] Luse 5.1. Olkoon f : [, b] rjoitettu
MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali
MS-A1{3,4} (ELEC*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 8: Integrlifunktio j epäoleellinen integrli Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos 5.1.216 Pekk Alestlo,
MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 7: Integraali ja analyysin peruslause
MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 7: Integrli j nlyysin perusluse Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos November 20, 2017
6 Integraalilaskentaa
6 Integrlilskent 6. Integrlifunktio Funktion f integrlifunktioksi snotn funktiot F, jonk derivtt on f. Siis F (x) = f (x) määrittelyjoukon jokisell muuttujn rvoll x. Merkitään F(x) = f (x) dx. Integrlifunktion
Polkuintegraali yleistyy helposti paloitain C 1 -poluille. Määritelmä Olkoot γ : [a, b] R m paloittain C 1 -polku välin [a, b] jaon
![Polkuintegraali yleistyy helposti paloitain C 1 -poluille. Määritelmä Olkoot γ : [a, b] R m paloittain C 1 -polku välin [a, b] jaon](/thumbs/71/65388066.jpg "Polkuintegraali yleistyy helposti paloitain C 1 -poluille. Määritelmä Olkoot γ : [a, b] R m paloittain C 1 -polku välin [a, b] jaon")
Polkuintegraali yleistyy helposti paloitain C 1 -poluille. Määritelmä 4.1.3. Olkoot : [a, b] R m paloittain C 1 -polku välin [a, b] jaon P = {a = t 1 < < t k = b} ja joukko D R m sellainen, että ([a, b])
2 Epäoleellinen integraali
ANALYYSI C, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, SYKSY 8 Epäoleellinen integrli Integrointivihje: Hyödynnä yhdistetyn funktion integrointisääntöä.. Määritä 9 9 (c) ( ). Tutki, millä vkion p rvoill epäoleellinen integrli
MS-A010{2,3,4,5} (SCI, ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali
MS-A1{2,3,4,5} (SC, ELEC*, ENG*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 8: ntegrlifunktio j epäoleellinen integrli Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos November
Kertausta ja täydennystä
LUKU 1 Kertust j täydennystä 1.1. Merkintöjä N = {k Z k 0} = {0, 1, 2,... }, luonnollisten lukujen joukko. Z + = {k Z k > 0} = {1, 2,... }, positiivisten kokonislukujen joukko. (, b) on relikselin voin
Sisältö. Integraali 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 20
Integrli 10. syyskuut 2005 sivu 1 / 20 Sisältö 1 Määrätty integrli j integrlifunktio 2 1.1 Integroituvist funktioit 3 1.2 Määrätyn integrlin ominisuuksi 4 1.3 Integrlifunktio 5 1.4 Integrlilskennn tärkeimmät
2.4 Pienimmän neliösumman menetelmä
2.4 Pienimmän neliösummn menetelmä Optimointimenetelmiä trvitn usein kokeellisen dtn nlysoinniss. Mittuksiin liittyy virhettä, joten mittus on toistettv useit kertoj. Oletetn, että mittn suurett c j toistetn
Käydään läpi: ääriarvo tarkastelua, L Hospital, integraalia ja sarjoja.
DI mtemtiikn opettjksi: Täydennyskurssi, kevät Luentorunko j hrjoituksi viikolle : ti 9.. klo :-5:, to.. klo 9:5-: j klo 4:5-6: Käydään läpi: äärirvo trkstelu, L Hospitl, integrli j srjoj.. Kerrtn äärirvojen
Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 9. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 9 () Numeeriset menetelmät / 29
Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 9 Kirsi Vljus Jyväskylän yliopisto Luento 9 () Numeeriset menetelmät 17.4.2013 1 / 29 Luennon 9 sisältö Numeerisest integroinnist Newtonin j Cotesin kvt Luento 9 ()
Riemannin integraalista
Lebesguen integrliin sl. 2007 Ari Lehtonen Riemnnin integrlist Johdnto Tämän luentomonisteen trkoituksen on tutustutt lukij Lebesgue n integrliin j sen perusominisuuksiin mhdollisimmn yksinkertisess tpuksess:
x k 1 Riemannin summien käyttö integraalin approksimointiin ei ole erityisen tehokasta; jatkuvasti derivoituvalle funktiolle f virhe b
5 Integrlien lskemisest 51 Riemnnin summt [A2], [4, 61] Rjoitetun funktion f : [, b] R Riemnn-integroituvuudelle ytäpitäväksi on kurssill Anlyysi 2 osoitettu, että Riemnnin summill S P := f(ξ k ) ( ),
5 Riemann-integraali ANALYYSI B, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT Ala- ja yläintegraali
ANALYYSI B, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT 9 5 Riemnn-integrli 5. Al- j yläintegrli Voit olett tunnetuksi ll esitetyt supremumin j infimumin ominisuudet (joukot A j B ovt rjoitettuj sekä epätyhjiä j λ R). Jos
Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (CHEM) Laskuharjoitus 4 / vko 47, mallivastaukset
Differentili- j integrlilskent (CHEM) Lskuhrjoitus / vko 7, mllivstukset Johdntotehtävä x dx = ln.693, joten rvo ln voidn pproksimoid integroimll numeerisesti funktiot x välillä [,]. Jetn väli [,] khteen
TEHTÄVÄ 1. Olkoon (f n ) jono jatkuvia funktioita f n : [a, b] R, joka suppenee välillä [a, b] tasaisesti kohti funktiota f : [a, b] R.
![TEHTÄVÄ 1. Olkoon (f n ) jono jatkuvia funktioita f n : [a, b] R, joka suppenee välillä [a, b] tasaisesti kohti funktiota f : [a, b] R.](/thumbs/61/45986920.jpg "TEHTÄVÄ 1. Olkoon (f n ) jono jatkuvia funktioita f n : [a, b] R, joka suppenee välillä [a, b] tasaisesti kohti funktiota f : [a, b] R.")
Topologi I Hrjoitus 10, rtkisuj AP TEHTÄVÄ 1. Olkoon (f n ) jono jtkuvi funktioit f n : [, b] R, jok suppenee välillä [, b] tsisesti kohti funktiot f : [, b] R. Osoit, että tällöin f n (x) dx f(x) dx.
7 Funktiosarjoista. 7.1 Funktiosarjojen suppeneminen
7 Funktiosrjoist 7. Funktiosrjojen suppeneminen Seurvksi trkstelln srjoj, joiden termit ovt (lukujen sijst) jollkin välillä I määriteltyjä funktioit. Täsmällisemmin funktiosrjll (ti lyhyemmin srjll) trkoitetn
Integraalilaskentaa. 1. Mihin integraalilaskentaa tarvitaan? MÄNTÄN LUKIO
Integrlilskent Tämä on lukion oppimterileist hiemn poikkev yksinkertistettu selvitys määrätyn integrlin lskemisest. Kerromme miksi integroidn, mitä integroiminen trkoitt, miten integrli lsketn j miten
Matematiikan tukikurssi
Mtemtiikn tukikurssi Kurssikert 4 Tilvuuden j vipn ln lskeminen Kuten iemmin käsittelimme, määrätyn integrlin vull voi lske pintloj j tilvuuksi. Tyypillisenä sovelluksen tilvuuden lskemisest on tpus, joss
Integraalilaskenta. Määrätty integraali
9..08 Integrlilskent Määräämätön Etsitään funktiot Derivoinnille käänteistoimenpide integroiminen Integrlifunktio F(x), jolle F x = f x, lisäksi integrlifunktioille G x = F x + C. Vkion C lisäys (merkitys),
Matematiikan tukikurssi
Mtemtiikn tukikurssi Kurssikert 5 1 Jtkuvuus Trkstelln funktiot fx) josskin tietyssä pisteessä x 0. Tämä funktio on tässä pisteessä joko jtkuv ti epäjtkuv. Jtkuvuuden ymmärtää prhiten trkstelemll epäjtkuv
Viikon aiheet. Pinta-ala
info Viikon iheet Mpu I:sen voit suoritt: Kurssin loppukokeess 23.10. Arvosn: koe + lskrit Mikäli yo. ik ei sovi, voit suoritt loppukokeen yleistenttitilisuudess 24.11. Arvosn: koe + lskrit. Ilmoittudu
a = x 0 < x 1 < x 2 < < x n = b f(x) dx = I. lim f(x k ) x k=1
5 Integrli 5.1 Määritelmä j ominisuudet Olkoon f : [, b] R jtkuv. Muodostetn välin [, b] jko = x 0 < x 1 < x 2 < < x n = b j siihen liittyvä yläsumm S = n M k (x k x k 1 ), M k = mx{f(x) x k 1 x x k },
i 2 n 3 ( (n 1)a (i + 1) 3 = 1 +
I. INTEGRAALILASKENTA Arkhimedes (287 22 e.kr.) prbelin segmentin pint-l Newton (642 727) j Leibniz (646 76) keksivät diff.- j int.-lskennn Cuhy (789 857) ε, δ Riemnn (826 866) Riemnnin integrli Lebesgue
SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT Funktiojonot 1
SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 JOUNI PARKKONEN Sisältö 0. Tästä tekstistä. Funktiojonot 0. Tästä tekstistä Tämä moniste on trkoitettu käytettäväksi kurssin Srjt j differentiliyhtälöt luentomterilin.
10. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA
MAA0 0. Määrätyn integrlin käyttö eräiden pint-lojen lskemisess 0. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA Edellä on todettu, että f (x)dx nt x-kselin j suorien x =, x = sekä funktion
Analyysin perusteet kauppatieteilijöille 800118P
Anlyysin perusteet kupptieteilijöille 800118P Luentomoniste Kri Myllylä Niin Korteslhti Topi Törmä Oulun yliopisto Mtemttisten tieteiden litos Kevät 2015 Sisältö 1 Derivtt 3 1.1 Määritelmä..............................
Pertti Koivisto. Analyysi C
Pertti Koivisto Anlyysi C TAMPEREEN YLIOPISTO INFORMAATIOTIETEIDEN YKSIKÖN RAPORTTEJA 68/28 TAMPERE 28 TAMPEREEN YLIOPISTO INFORMAATIOTIETEIDEN YKSIKÖN RAPORTTEJA 68/28 JOULUKUU 28 Pertti Koivisto Anlyysi
Riemannin integraalista
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro grdu -tutkielm Aij Stenberg Riemnnin integrlist Mtemtiikn j tilstotieteen litos Mtemtiikk Syyskuu 2010 2 Tmpereen yliopisto Mtemtiikn j tilstotieteen litos STENBERG, AIJA: Riemnnin
2 Riemann-integraali. 2.1 Porrasfunktion integraali. Aloitetaan integraalin täsmällinen määrittely tutkimalla porrasfunktion integraalia.
2 Riemnn-integrli 2.1 Porrsfunktion integrli Aloitetn integrlin täsmällinen määrittely tutkimll porrsfunktion integrli. Määritelmä 2.1 (Porrsfunktion integrli). Olkoon f : [, b] R porrsfunktio j P = {x
Analyyttiset funktiot ja integrointiteorian alkeita
Anlyyttiset funktiot j integrointiteorin lkeit 6. helmikuut 2006 isältö 1 Kertust 1 2 Anlyyttiset funktiot 2 2.1 Anlyyttiset funktiot tsoll................... 2 2.2 Monogeeniset funktiot vruudess R n.............
VEKTOREILLA LASKEMINEN
..07 VEKTOREILL LSKEMINEN YHTEENLSKU VEKTORIT, M4 Vektoreiden j summ on vektori +. Tämän summvektorin + lkupiste on vektorin lkupiste j loppupiste vektorin loppupiste, kun vektorin lkupisteenä on vektorin
Integroimistehtävät, 10. syyskuuta 2005, sivu 1 / 29. Perustehtäviä. Tehtävä 1. Osoita, että vakiofunktio f(x) c on Riemann-integroituva välillä
Integroimistehtävät,. syyskuut 5, sivu / 9 Perustehtäviä Tehtävä. Osoit, että vkiofunktio f(x) c on Riemnn-integroituv välillä [, b] j lske suorn määritelmän perusteell b f(x). Tehtävä. Osoit, että funktio,
Matematiikan tukikurssi
Mtemtiikn tukikurssi Kurssikert 3 Määrätyn integrlin lskeminen Aiemmin määrittelimme määrätyn integrlin f (x)dx funktion f (x) l- j yläsummien rj-rvon. Määrätyllä integrlill on kksi intuitiivist tulkint:.
Ville Turunen: Mat Matematiikan peruskurssi P1 3. välikokeen alueen teoriatiivistelmä 2007
Ville Turunen: Mt-.4 Mtemtiikn peruskurssi P 3. välikokeen lueen teoritiivistelmä 27 Mterili: kirjt [Adms] R. A. Adms: Clculus, complete course (6th edition), [Ly] D. C. Ly: Liner lgebr nd its pplictions
ANALYYSI I, kevät 2009
ANALYYSI I, kevät 009 Sisältö Relilukujen peruskäsitteitä Lukujonoist 4. Lukujonon rj-rvo....................... 4. Monotoniset jonot..........................3 Osjonot.............................. 7.4
Analyysi 2. Harjoituksia lukuihin 1 3 / Kevät Anna sellainen välillä ] 2, 2[ jatkuva ja rajoitettu funktio f, että
![Analyysi 2. Harjoituksia lukuihin 1 3 / Kevät Anna sellainen välillä ] 2, 2[ jatkuva ja rajoitettu funktio f, että](/thumbs/58/42210707.jpg "Analyysi 2. Harjoituksia lukuihin 1 3 / Kevät Anna sellainen välillä ] 2, 2[ jatkuva ja rajoitettu funktio f, että")
Anlyysi Hrjoituksi lukuihin 3 / Kevät 5. Ann sellinen välillä ], [ jtkuv j rjoitettu funktio f, että () sup A m A j inf A min A, (b) sup A m A j inf A = min A, (c) sup A = m A j inf A min A, (d) sup A
Syksyn 2015 Pitkän matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut
Sksn 0 Pitkän mtemtiikn YO-kokeen TI-Nspire CAS -rtkisut Tekijät: Olli Krkkulinen Rtkisut on ldittu TI-Nspire CAS -tietokoneohjelmll kättäen Muistiinpnot -sovellust. Kvt j lskut on kirjoitettu Mth -ruutuihin.
Lebesguen integraali - Rieszin määritelmä
Lebesguen integrli - Rieszin määritelmä Tru Lehtonen Mtemtiikn pro grdu-tutkielm Jyväskylän yliopisto Mtemtiikn j tilstotieteen litos Kevät 216 Tiivistelmä Jyväskylän Yliopisto Lehtonen, Tru Puliin: Lebesguen
Matematiikan peruskurssi. Seppo Hassi
Mtemtiikn peruskurssi Seppo Hssi Syksy 2014 iii Esipuhe Tämä on 1. versio Mtemtiikn peruskurssin opetusmonisteest, jonk sisältö noudttelee pitkälti Vsn yliopistoss iemmin luennoimni Mtemttiset menetelmät
Greenin ja Stokesin lauseet
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro Grdu -tutkielm Niin Oksmn Greenin j Stokesin luseet Informtiotieteiden yksikkö Mtemtiikk Toukokuu 212 Tmpereen yliopisto Informtiotieteiden yksikkö OKSMAN, NIINA: Greenin j Stokesin
ANALYYSI I, kevät 2009
ANALYYSI I, kevät 2009 Sisältö Relilukujen peruskäsitteitä 2 Lukujonoist 3 2. Lukujonon rj-rvo....................... 3 2.2 Monotoniset jonot......................... 7 2.3 Osjonot..............................
Monikulmion pinta-ala ylioppilaille
Solmu 3/9 Monikulmion pint-l lioppilille Mik Koskenoj Mtemtiikn j tilstotieteen litos Helsingin liopisto Tehtävä. Kuusikulmion M kärjet ovt tson pisteissä (, ), (3, ), (, ), (4, 3), (, ) j (, ). Lske M:n
Matemaattiset menetelmät I. Seppo Hassi
Mtemttiset menetelmät I Seppo Hssi Syksy 2011 iii Esipuhe Tämä on 1. versio Mtemttiset menetelmät I-kurssin opetusmonisteest, jok perustuu Vsn yliopistoss luennoimni vstvn nimiseen kurssiin. Sisältö noudtt
Matematiikan tukikurssi. Hannu Kivimäki
Mtemtiikn tukikurssi Hnnu Kivimäki Sisältö I Ensimmäinen välikoe Integrointi 2 Osittisintegrointi 5 3 Osmurtohjotelm 4 Lisää osmurtoj 4 5 Sijoituskeino 9 6 Määrätty integrli 2 7 Ylä- j lsumm 22 8 Määrätyn
MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1
MS-A0102 Differentili- j integrlilskent 1 Riikk Korte (Pekk Alestlon klvojen pohjlt) Alto-yliopisto 22.11.2016 Sisältö Pint-l Integrli 1.1 Pint-l: Suorkulmio Seurvss trkstelln umpinisten tsokäyrien rjmi
MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 9: Integroimismenetelmät
MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 9: Integroimismenetelmät Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos 10.10.2016 Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen (Alto-yliopisto,
MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Yhteenveto, osa II
MS-A7 ifferentili- j integrlilskent (Chem Yhteenveto, os II G. Gripenberg Alto-yliopisto 9. helmikuut 16 G. Gripenberg (Alto-yliopisto MS-A7 ifferentili- j integrlilskent (Chem Yhteenveto, 9. helmikuut
ANALYYSI I, kevät 2009
5 Riemnnin integrli 7 ANALYYSI I, kevät 9 5. Integrlin perusominisuuksi................. 76 5. Anlyysin perusluse....................... 8 Sisältö Relilukujen peruskäsitteitä Lukujonoist 3. Lukujonon rj-rvo.......................
5 ( 1 3 )k, c) AB 3AC ja AB AC sekä vektoreiden AB ja
MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Hrjoitustehtäviä syksy 4. Millä reliluvun rvoill ) 9 =, b) + +, e) 5?. Kirjoit Σ-merkkiä käyttäen summt 4, ) + 4 + 6 + +, b) 8 + 4 6 + + n n, c) + + + 4 + + 99, d)
MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 9: Integroimismenetelmät
MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 9: Integroimismenetelmät Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos November 27, 2017 Pekk Alestlo,
.) (b) Vertaa p :tä vastaavaa kineettistä energiaa perustilan kokonaisenergiaan. ( ) ( ) = = Ek
S-446, FYSIIKKA IV (Sf) Kevät 5, HSf Rtkisut HSf- Kvnttimekninen hrmoninen värähtelijä on perustillln (mss m) Värähtelyn mplitudi on A () ske p (Värähtelijä sijitsee välillä A ) (b) Vert p :tä vstv kineettistä
Johdatus fraktaaliderivaattoihin ja niiden sovelluksiin
Jodtus frktliderivttoiin j niiden sovelluksiin Hnn Hlinen Mtemtiikn pro grdu Jyväskylän yliopisto Mtemtiikn j tilstotieteen litos Kesä 4 Tiivistelmä: Hnn Hlinen, Jodtus frktliderivttoiin j niiden sovelluksiin
Reaalinen lukualue. Millainen on luku, jossa on päättymätön ja jaksoton desimaalikehitelmä?
Relinen lukulue POLYNOMIFUNKTIOT JA -YHTÄLÖT, MAA Millinen on luku, joss on päättymätön j jksoton desimlikehitelmä? Onko sellisi? Trkstelln Pythgorn luseest stv yksikköneliön lävistäjää, luku + = x x =.
Vastaa kaikkiin kysymyksiin (kokeessa ei saa käyttää laskinta)
Helsingin yliopisto, Matematiikan ja tilastotieteen osasto Vektorianalyysi II (MAT22, syksy 28 Kurssitentti, Ma 7228 (RATKAISUEHDOTUKSET Tentaattori: Ville Tengvall (villetengvall@helsinkifi Vastaa kaikkiin
4. Reaalifunktioiden määrätty integraali
6 4. Relifunktioiden määrätt integrli Vrsinisesti termi "integrli" tulee seurvss esitettävästä määrätstä integrlist, jok on läheistä suku summmiselle. Yhtes derivttn on sitten perustv ltu olev tulos, jot
Numeerinen integrointi.
Numeerinen integrointi. Differentili- j integrlilskent 1, syksy 2015 Hrri Vrpnen Mtemtiikn j systeeminlyysin litos Alto-yliopisto Tiisti 6.10.2015 Sisältö Tylor-menetelmä. Käyttökelpoinen silloin, kun
Suorat, käyrät ja kaarevuus
Suort, käyrät j krevuus Jukk Tuomel Professori Mtemtiikn litos, Joensuun yliopisto Suor? Tämä kirjoitus on eräänlinen jtko Timo Tossvisen suorn määritelmää koskevn kirjoitukseen Solmun numeross 2/2002.
4 Taso- ja avaruuskäyrät
P2-luentoj kevät 2008, Pekk Alestlo 4 Tso- j vruuskäyrät Tässä luvuss tutustutn tso- j vruuskäyriin, niiden krenpituuteen j krevuuteen. Konkreettisin sovelluksin trkstelln nnettu rt pitkin liikkuvn hiukksen
Sinilause ja kosinilause
Siniluse j kosiniluse GEOMETRI M3 Mikäli kolmion korkeus j knt tiedetään, voidn pint-l lske. Esimerkki: Lske kolmion l, kun 38 kulmn viereiset sivut ovt 8, j 6,8. Nyt knt tiedetään, korkeutt ei! 38 8,
Sarjat ja integraalit
Srjt j integrlit c Mtemttisten tieteiden litos, Oulun yliopisto Versio: 9.3.0 Viimeksi muoknnut: Peter Hästö Sisältö Funktion rj-rvo j jtkuvuus. Peruskäsitteitä........................................
VEKTOREILLA LASKEMINEN
3..07 VEKTOREILLA LASKEMINEN YHTEENLASKU VEKTORIT, MAA Vektoreiden j summ on vektori +. Tämän summvektorin + lkupiste on vektorin lkupiste j loppupiste vektorin loppupiste, kun vektorin lkupisteenä on
11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS
11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS Tilvuus on sen verrn rkielämässä viljelty käsite, että useimmiten sen syvemmin edes miettimättä ymmärretään, mitä juomlsin ti pikkuvuvn kylpymmeen tilvuudell trkoitetn.
Säännöllisten operaattoreiden täydentäviä muistiinpanoja
Säännöllisten operttoreiden täydentäviä muistiinpnoj Antti-Juhni Kijnho 1. huhtikuut 2011 Vnht määritelmät Määritelmä 1. Äärellinen epätyhjä joukko on merkistö, j sen lkioit kutsutn merkeiksi. Määritelmä
Analyysi B. Derivaatta ja integraali. Pertti Koivisto
Anlyysi B Derivtt j integrli Pertti Koivisto Kevät 7 Alkusnt Tämä moniste on trkoitettu oheislukemistoksi Tmpereen yliopistoss pidettävälle kurssille Anlyysi B. Monisteen tvoitteen on tuke luentojen seurmist,
Pertti Koivisto. Analyysi B
Pertti Koivisto Anlyysi B TAMPEREEN YLIOPISTO INFORMAATIOTIETEIDEN YKSIKÖN RAPORTTEJA 67/8 TAMPERE 8 TAMPEREEN YLIOPISTO INFORMAATIOTIETEIDEN YKSIKÖN RAPORTTEJA 67/8 JOULUKUU 8 Pertti Koivisto Anlyysi
VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 3.6.2014 Ratkaisut ja arvostelu
VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 3.6.4 Rtkisut j rvostelu. Koululisen todistuksen keskirvo x on lskettu ) b) c) d) kymmenen ineen perusteell. Jos koululinen nostisi neljän ineen
HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY OF HELSINKI
HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY OF HELSINKI Tiedekunt/Ossto Fkultet/Sektion Fculty Litos Institution Deprtment Mtemttis-luonnontieteellinen Tekijä Förfttre Author Antti Khri Työn
Esimerkki 8.1 Määritellään operaattori A = x + d/dx. Laske Af, kun f = asin(bx). Tässä a ja b ovat vakioita.
8. Operttorit, mtriisit j ryhmäteori Mtemttinen operttori määrittelee opertion, jonk mukn sille nnettu funktiot muoktn. Operttorit ovt erityisen tärkeitä kvnttimekniikss, kosk siinä jokist suurett vst
521. 522. 523. 524. 525. 526. 527. 12. Lisää määrätystä integraalista. 12.1. Integraalin arvioimisesta. Osoita: VASTAUS: Osoita: Osoita:
12. Lisää määrätystä integrlist 12.1. Integrlin rvioimisest 521. Osoit: 1 + x 2 22 1 < < 1 + x21 21. 522. Osoit: x 3 < 5 x 6 + 8x + 9 < 15 1 5. 523. Osoit: 2 2 < e x2 x < 2e 2. e 524. Olkoon k >. Osoit:
Riemann-integraalin ja mittaintegraalin vertailua
Riemnn-integrlin j mittintegrlin vertilu Pro grdu -tutkielm Pii Tskinen Mtemttisten tieteiden litos Oulun yliopisto Kevät 216 Sisältö Johdnto 3 1 Esitietoj 5 1.1 Välijost............................. 5
Oletetaan sitten, että γ(i) = η(j). Koska γ ja η ovat Jordan-polku, ne ovat jatkuvia injektiivisiä kuvauksia kompaktilta joukolta, ja määrittävät
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi II, syksy 18 Harjoitus 6 Ratkaisuehdotukset Tehtävä 1. Osoita, että sileille Jordan-poluille on voimassa : I R n ja : J R n (I) = (J) jos ja vain
Funktion raja-arvo ja jatkuvuus Reaali- ja kompleksifunktiot
3. Funktion raja-arvo ja jatkuvuus 3.1. Reaali- ja kompleksifunktiot 43. Olkoon f monotoninen ja rajoitettu välillä ]a,b[. Todista, että raja-arvot lim + f (x) ja lim x b f (x) ovat olemassa. Todista myös,
a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. 8 3 + 4 2 0 = 16 3 = 3 1 3.
Integraalilaskenta. a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. b) Mitä määrätty integraali tietyllä välillä x tarkoittaa? Vihje: * Integraali * Määrätyn integraalin
Vektorianalyysi II (MAT21020), syksy 2018
Vektorianalyysi II (MAT21020), syksy 2018 Ylimääräisiä harjoitustehtäviä 1. Osoita, että normin neliö f : R n R, f(x) = x 2 on differentioituva pisteessä a R n ja, että sen derivaatalle on voimassa 2.
Matematiikan peruskurssi 2
Matematiikan peruskurssi Demonstraatiot III, 4.5..06. Mikä on funktion f suurin mahdollinen määrittelyjoukko, kun f(x) x? Mikä on silloin f:n arvojoukko? Etsi f:n käänteisfunktio f ja tarkista, että löytämäsi
Matematiikan johdantokurssi, syksy 2017 Harjoitus 6, ratkaisuista. 1. Onko jokin demojen 5 tehtävän 3 relaatioista
Mtemtiikn johntokurssi, syksy 07 Hrjoitus 6, rtkisuist. Onko jokin emojen 5 tehtävän reltioist ) R := {(, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, )}, ) S := {(, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ),
Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 5.2.2013
Preliminäärikoe Pitkä Mtemtiikk 5..0 Kokeess s vstt enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä ( * ) merkittyjen tehtävien mksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien mksimipistemäärä on 6.. ) Rtkise yhtälö b)
MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ PISTEYTYSKOKOUS
0 MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 30 PISTEYTYSKOKOUS 0 ) Sijoitetn x 0 Rtkistn = 0/04,0000 b) Jos neliön sivu on s, niin lävistäjä on s Ehto: s 6 s + s = 6, s 6 3 4s 6,70, joten piiri ) Suorn yhtälö
3.3 KIELIOPPIEN JÄSENNYSONGELMA Ratkaistava tehtävä: Annettu yhteydetön kielioppi G ja merkkijono x. Onko
3.3 KILIOPPIN JÄSNNYSONGLMA Rtkistv tehtävä: Annettu yhteydetön kielioppi G j merkkijono x. Onko x L(G)? Rtkisumenetelmä = jäsennyslgoritmi. Useit vihtoehtoisi menetelmiä, erityisesti kun G on jotin rjoitettu
peitteestä voidaan valita äärellinen osapeite). Äärellisen monen nollajoukon yhdiste on nollajoukko.
Esimerkki 4.3.9. a) Piste on nollajoukko. Suoran rajoitetut osajoukot ovat avaruuden R m, m 2, nollajoukkoja. Samoin suorakaiteiden reunat koostuvat suoran kompakteista osajoukoista. b) Joukko = Q m [0,
saadaan kvanttorien järjestystä vaihtamalla ehto Tarkoittaako tämä ehto mitään järkevää ja jos, niin mitä?
ANALYYSI A, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT 208 4 Funktion raja-arvo 4 Määritelmä Funktion raja-arvon määritelmän ehdosta ε > 0: δ > 0: fx) A < ε aina, kun 0 < x a < δ, saadaan kvanttorien järjestystä vaihtamalla
Matematiikan tukikurssi
Mtemtiikn tukikurssi Integrointi Integrointi on derivoinnin käänteistoimitus: jos funktion F(x) derivtt on f (x), niin funktion f (x) integrli on F(x). Täten, kosk esimerkiksi funktion x + e x derivtt
1 Taso- ja avaruuskäyrät
c Pekk Alestlo 214 1 Tso- j vruuskäyrät Tässä luvuss tutustutn tso- j vruuskäyriin, niiden krenpituuteen j krevuuteen. Lopuksi käsitellään sklri- j vektorikenttien viivintegrlej. Tähdellä merkityt kohdt
Sisältö. Funktiojonot ja -sarjat 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 15
Funktiojonot j -srjt 10. syyskuut 2005 sivu 1 / 15 Sisältö 1 Funktiojonoist 2 2 Funktiosrjoist 5 3 Funktiojonojen j -srjojen derivointi j integrointi 7 4 Potenssisrjt 9 5 Tylorin polynomit j srjt 12 5.1
Analyysi III S
Anlyysi III 800624S Sisältö sitietoj 5 Riemnn integroinnin rjt 6 Luku 1. Mittteori 7 1. Algebr j σ-lgebr 7 2. Mitt 8 3. Ulkomitt j mitlliset joukot 11 4. Ulkomitn konstruointi 14 5. Lebesguen ulkomitt
Johdatus matemaattiseen päättelyyn
Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä 2 Todistamisesta 3 Joukko-oppia 4 Funktioista Funktio eli kuvaus on matematiikan
Toispuoleiset raja-arvot
Toispuoleiset raja-arvot Määritelmä Funktiolla f on oikeanpuoleinen raja-arvo a R pisteessä x 0 mikäli kaikilla ɛ > 0 löytyy sellainen δ > 0 että f (x) a < ɛ aina kun x 0 < x < x 0 + δ; ja vasemmanpuoleinen
sin θ θ θ r 2 sin 2 θ φ 2 = 0.
Mtemtiikn j tilstotieteen litos Osittisdifferentiliyhtälöt Kevät 21 Hrjoitus 9 Rtkisuj Jussi Mrtin 1. Osoit, että Lplce-yhtälö pllokoordinteiss on 2 u 1 r 2 2 u r r 1 r 2 sin θ u 1 2 u sin θ θ θ r 2 sin
Automaattimalleista poikkeava tapa kuvata yksinkertaisia kieliä. Olkoot A ja B aakkoston Σ kieliä. Perusoperaatioita:
2.6 SÄÄNNÖLLISET LAUSEKKEET Automttimlleist poikkev tp kuvt yksinkertisi kieliä. Olkoot A j B kkoston Σ kieliä. Perusopertioit: Yhdiste: A B = {x Σ x A ti x B}; Ktentio: AB = {xy Σ x A, y B}; Potenssit:
Numeerinen integrointi
Pitkärnt: Lj mtemtiikk IX9 Numeerinen integrointi IX9 Numeerinen integrointi Numeerisell integroinnill trkoitetn määrätyn integrlin, eli reliluvun I(f,,b) = f(x)dx lskemist numeerisin keinoin (likimäärin)