2 Riemann-integraali. 2.1 Porrasfunktion integraali. Aloitetaan integraalin täsmällinen määrittely tutkimalla porrasfunktion integraalia.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "2 Riemann-integraali. 2.1 Porrasfunktion integraali. Aloitetaan integraalin täsmällinen määrittely tutkimalla porrasfunktion integraalia."

Transkriptio

1 2 Riemnn-integrli 2.1 Porrsfunktion integrli Aloitetn integrlin täsmällinen määrittely tutkimll porrsfunktion integrli. Määritelmä 2.1 (Porrsfunktion integrli). Olkoon f : [, b] R porrsfunktio j P = {x 0, x 1,..., x n } sellinen välin [, b] jko, että kun j = 1, 2,..., n. Olkoon lisäksi f(x) = j x ]x j 1, x j [, l(i j ) = x j x j 1 jon P osvälin I j = ]x j 1, x j [ pituus (j = 1, 2,..., n). Tällöin porrsfunktion f integrli yli välin [, b] on f = f(x) dx = j l(i j ). Huomutus. Porrsfunktion integrlin merkinnässä dx trkoitt, että integroitvn porrsfunktion integrli lsketn muuttjn x suhteen. Huomutus 2.1. Porrsfunktion integrli ei riipu vlitust välijost P (hrjoitustehtävä). Huomutus 2.2. Porrsfunktion integrli ei riipu millään tvll funktion rvost välijon jkopisteissä. Esimerkki 2.1. Määritetään porrsfunktion (ks. esimerkki 1.1) f : [ 1, 3] Z, porrsintegrli yli välin [ 1, 3]. f(x) = x = suurin kokonisluku, jok on x, Trkstelln välin [ 1, 3] jko P = { 1, 0, 1, 2, 3}. Tällöin kunkin osvälin pituus on yksi, joten 3 1 f = ( 1) = = 2. 8

2 Esimerkki 2.2. Vkiofunktio f(x) = c (c R) on porrsfunktio millä thns välillä [, b], sillä trvittvksi joksi voidn vlit P = {, b} (eli vin yksi jkoväli). Tällöin f(x) dx = c dx = c (b ). Esimerkki 2.3. Olkoon n Z + j P n välin [0, 1] jko, jonk jkopisteet ovt { } p P n = q Q p = 0, 1,..., n, q = 1, 2,..., n, p q. Määritetään porrsfunktion 1, kun x P n, h n (x) = 1 n, kun x [0, 1] \ P n, porrsintegrli yli välin [0, 1]. Olkoon k jon P n jkovälien lukumäärä, j olkoot l(i 1 ), l(i 2 ),..., l(i k ) jon P n jkovälien pituudet. Tällöin 1 0 h n (x) dx = k 1 n l(i j) = 1 n k l(i j ) = 1 n 1 = 1 n. Esitetään sitten muutmi porrsintegrlien perusominisuuksi. Ominisuudet ovt ilmeisiä porrsfunktioden määrittelyn perusteell. Täsmälliset todistukset jätetään osin hrjoitustehtäväksi. Luse 2.3. Jos g j h ovt porrsfunktioit j g h välillä [, b], niin g h. Todistus. Hrjoitustehtävä. Luse 2.4 (Linerisuus). Jos f j g ovt välin [, b] porrsfunktioit j λ R, niin (λf) = λ f j (f + g) = f + g. Todistus. Hrjoitustehtävä. 9

3 Luse 2.5 (Additiivisuus). Olkoon f välin [, b] porrsfunktio j c ], b[. Tällöin f = c f + c f. Todistus. Kosk f on välin [, b] porrsfunktio j c ], b[, niin f on porrsfunktio 1 myös väleillä [, c] j [c, b] (huomutus 1.10, s. 6). Olkoon nyt P jokin välin [, b] jko, jok sisältää kikki funktion f porrspisteet välillä [, b], j P = {x 0, x 1,..., x n } välin [, b] jko P = P {c}. Oletetn lisäksi, että f(x) = j x ]x j 1, x j [, kun j = 1, 2,..., n. Tällöin c = x k jollkin k {1, 2,..., n 1}. Lisäksi {x 0, x 1,..., x k } on välin [, c] jko, jok sisältää kikki funktion f porrspisteet välillä [, c], j {x k, x k+1,..., x n } on välin [c, b] jko, jok sisältää kikki funktion f porrspisteet välillä [c, b]. Kosk porrsfunktion integrli on riippumton välitust välijost, niin f = = = j (x j x j 1 ) k j (x j x j 1 ) + c f + c f. j=k+1 j (x j x j 1 ) 1 Täsmällisesti otten porrsfunktioit ovt funktion f rjoittumt kyseisille väleille. 10

4 2.2 Al- j yläintegrli Jos funktio f on rjoitettu välillä [, b], niin on olemss selliset vkiot m R j M R, että m f(x) M x [, b]. Jos lisäksi g j h ovt sellisi porrsfunktioit, että g f h välillä [, b], niin g M j h m välillä [, b]. Kosk vkiofunktio on porrsfunktio, niin luseen 2.3 (s. 9) nojll g M = M (b ) j Siis joukko (2.1) A = h m = m (b ). g g on porrsfunktio j g f välillä [, b] on ylhäältä rjoitettu j joukko (2.2) B = h h on porrsfunktio j f h välillä [, b] on lhlt rjoitettu. Lisäksi kumpikn joukoist ei selvästikään ole tyhjä joukko. Täten voidn sett seurv määritelmä. Määritelmä 2.2. Olkoon f välillä [, b] rjoitettu funktio, j olkoot A j B ehdoiss (2.1) j (2.2) määritellyt joukot. Tällöin I L (f, [, b]) = sup A on funktion f lintegrli yli välin [, b] j I U (f, [, b]) = inf B on funktion f yläintegrli yli välin [, b]. 11

5 Esimerkki 2.4. Määritetään Dirichlet n funktion 1, kun x Q, f(x) = 0, kun x R \ Q, l- j yläintegrli yli välin [, b]. Funktio f on selvästi rjoitettu välillä [, b], joten etsittävät l- j yläintegrli ovt olemss. Määritetään ensin lintegrli I L (f, [, b]). 1 : Olkoon g jokin sellinen porrsfunktio, että g f välillä [, b]. Olkoot lisäksi I 1, I 2,..., I n porrsfunktion g jotkin jko vstvt (voimet) jkovälit j 1, 2,..., n funktion g (vkio)rvot jkoväleillä I 1, I 2,..., I n. Tällöin j 0 (j = 1, 2,..., n), sillä jokinen relilukuväli sisältää irrtionlipisteitä. Täten g = j l(i j ) 0 l(i j ) = 0, missä l(i j ) on osvälin I j pituus. Siis I L (f, [, b]) 0. 2 : Trkstelln porrsfunktiot g(x) = 0 kikill x [, b]. Tällöin g f välillä [, b] j g = 0 = 0 (b ) = 0. Siis supremumin perusominisuuksien nojll I L (f, [, b]) 0. Täten kohtien 1 j 2 perusteell I L (f, [, b]) = 0. Määritetään sitten vstvll tvll yläintegrli I U (f, [, b]). 3 : Olkoon h jokin sellinen porrsfunktio, että f h välillä [, b]. Olkoot lisäksi I 1, I 2,..., I n porrsfunktion h jotkin jko vstvt (voimet) jkovälit j 1, 2,..., n funktion h (vkio)rvot jkoväleillä I 1, I 2,..., I n. Tällöin j 1 (j = 1, 2,..., n), sillä jokinen relilukuväli sisältää rtionlipisteitä. Täten h = j l(i j ) 12 1 l(i j ) = b,

6 missä l(i j ) on osvälin I j pituus. Siis I U (f, [, b]) b. 4 : Trkstelln porrsfunktiot h(x) = 1 kikill x [, b]. Tällöin f h välillä [, b] j h = 1 = 1 (b ) = b. Siis infimumin perusominisuuksien nojll I U (f, [, b]) b. Täten kohtien 3 j 4 perusteell I U (f, [, b]) = b. Al- j yläintegrlin määrittelyn sekä porrsfunktioiden j supremumin sekä infimumin perusominisuuksien nojll voidn esittää seurvt huomutukset. Huomutus 2.6. Luseiden 1.5 (s. 2) j 2.3 (s. 9) nojll in I L (f, [, b]) I U (f, [, b]), mutt välttämättä ei päde (ks. esimerkki 2.4) I L (f, [, b]) = I U (f, [, b]). Huomutus 2.7. Jos g j h ovt porrsfunktioit j g f h välillä [, b], niin huomutuksen 2.6 sekä supremumin j infimumin perusominisuuksien nojll g I L (f, [, b]) I U (f, [, b]) h. Huomutus 2.8. Jos f on välin [, b] porrsfunktio, niin huomutuksen 2.7 perusteell I L (f, [, b]) = I U (f, [, b]) = f. 13

7 Luse 2.9 (Additiivisuus). Olkoon f : [, b] R rjoitettu j c ], b[. Tällöin I L (f, [, b]) = I L (f, [, c]) + I L (f, [c, b]) j I U (f, [, b]) = I U (f, [, c]) + I U (f, [c, b]). Todistus. Todistetn lintegrlej koskev tulos. Yläintegrlej koskev tulos todistetn vstvsti (hrjoitustehtävä). Alintegrlin määritelmästä sekä luseist 1.4 (s. 2) j 2.5 (s. 10) seur, että 1 I L (f, [, b]) = sup = sup L2.5 = sup L1.4 c c g g on porrsfunktio j g f välillä [, b] g + + sup c g g on porrsfunktio j g f välillä [, b] g g on porrsfunktio j g f välillä [, c] = I L (f, [, c]) + I L (f, [c, b]). c g g on porrsfunktio j g f välillä [c, b] 1 Täsmällisesti otten väleillä [, c] j [c, b] kyseessä ovt funktioiden f j g rjoittumt kyseisille väleille. 14

8 2.3 Riemnn-integrli j Riemnn-integroituvuus Määritellään sitten Riemnn-integrli l- j yläintegrlin vull. Määritelmä 2.3 (Riemnn-integrli). Rjoitettu funktio f : [, b] R on Riemnn-integroituv välillä [, b], jos I L (f, [, b]) = I U (f, [, b]). Tällöin funktion f Riemnn-integrli yli välin [, b] on f = f(x) dx = I L (f, [, b]) = I U (f, [, b]). Huomutus. Riemnn-integrlin merkinnässä dx trkoitt, että integroitvn funktion integrli lsketn muuttjn x suhteen. Huomutus Huomutuksen 2.8 (s. 13) nojll porrsfunktiot ovt Riemnn-integroituvi j porrsfunktion Riemnn-integrli on sm kuin luvuss 2.1 trksteltu porrsfunktion integrli. Täten porrsfunktion integrlille j Riemnnintegrlille on luontev käyttää sm merkintää. Huomutus Jos funktio f on Riemnn-integroituv välillä [, b], niin huomutuksen 2.7 (s. 13) nojll g f h in, kun g j h ovt sellisi välin [, b] porrsfunktioit, että g f h. Esimerkki 2.5. Esimerkin 2.4 perusteell Dirichlet n funktio 1, kun x Q, f(x) = 0, kun x R \ Q, ei ole Riemnn-integroituv millään relilukuvälillä [, b]. Funktion Riemnn-integroituvuuden tutkiminen l- j yläintegrlej lskemll on yleisesti otten melko hnkl. Seurv yksinkertinen hvinto helpott jonkin verrn si. 15

9 Luse 2.12 (Riemnnin ehto). Välillä [, b] rjoitettu funktio f on Riemnnintegroituv välillä [, b] täsmälleen silloin, kun jokist luku ε > 0 kohti on olemss selliset välin [, b] porrsfunktiot g j h, että g f h välillä [, b] j h g < ε. Todistus. Väite seur suorn Riemnn-integrlin määritelmästä j luseest 1.6 (s. 3), kun tutkitn l- j yläintegrlin määrittelyssä esiintyneitä joukkoj A = g g on porrsfunktio j g f välillä [, b] j B = h h on porrsfunktio j f h välillä [, b]. Esimerkki 2.6. Kurssill Anlyysi 1 trksteltiin Thomen funktiot 1 0, kun x R \ Q, f(x) = 1, kun x = 0, 1 q, kun x Q j x = p (p 0, q > 0) on supistetuss muodoss, q jok on jtkuv kikill x R \ Q j epäjtkuv kikill x Q. Osoitetn Riemnnin ehto käyttäen, että f on Riemnn-integroituv välillä [0, 1]. Vlitn mielivltinen ε > 0. Olkoon n jokin sellinen kokonisluku, että n > 1 ε. Olkoon lisäksi g sellinen porrsfunktio, että g(x) = 0 kikill x [0, 1], j h esimerkin 2.3 (s. 9) porrsfunktio h n. Tällöin 1 0 g = 0 j 1 0 h = 1 n. Täten on olemss selliset porrsfunktiot g j h, että g f h välillä [0, 1] (hrjoitustehtävä) j 1 0 h 1 0 g = 1 n 0 = 1 n < ε. Siis f on välillä [0, 1] Riemnn-integroituv Riemnnin ehdon nojll. 1 Funktiot kutsutn myös popcorn-, sdepisr- ti viivotinfunktioksi. 16

10 Seurv luse helpott joskus Riemnnin ehdon käyttöä tutkittess funktion Riemnn-integroituvuutt. Luse nt myös tvn määrittää integrlin rvo. Luse Olkoon f : [, b] R. Jos on olemss selliset porrsfunktiot g n j h n (n = 1, 2,... ), että g n f h n välillä [, b] j lim g n = lim n n h n, niin f on Riemnn-integroituv välillä [, b] j f = lim g n = lim h n. n n Todistus. Väite seur suorn Riemnn-integrlin määritelmästä j seuruksest 1.7 (s. 3), kun tutkitn l- j yläintegrlin määrittelyssä esiintyneitä joukkoj j A = B = g g on porrsfunktio j g f välillä [, b] h h on porrsfunktio j f h välillä [, b]. Esimerkki 2.7. Luseen 2.13 nojll esimerkin 2.6 Thomen funktion f Riemnnintegrliksi yli välin [0, 1] sdn 1 0 f = 1 n lim h n = 1 n lim n = 0. 0 Lusett 2.13 käytettäessä vdittvt porrsfunktiot g n j h n muodostetn usein vlitsemll porrsfunktion g n rvoiksi välin [, b] jotkin jko vstvill (voimill) jkoväleillä I 1, I 2,..., I n rvot m 1, m 2,..., m n, missä m j = inf { f(x) x Ij }, j = 1, 2,..., n. Vstvsti porrsfunktion h n rvoiksi (voimill) jkoväleillä I 1, I 2,..., I n vlitn M 1, M 2,..., M n, missä M j = sup { f(x) x Ij }, j = 1, 2,..., n. 17

11 Trvittvt porrsfunktioiden jonot muodostuvt tällöin jkovälien määrän lisääntyessä. Porrsfunktioiden rvoiksi kunkin jon jkopisteissä voidn vlit esimerkiksi funktion f rvo kyseisissä pisteissä. Jos funktio on jtkuv välillä [, b], voidn infimumin j supremumin sijst käyttää funktion pienintä j suurint rvo kullkin jkovälillä. Tämä tietysti helpott porrsfunktioiden muodostmist oleellisesti. Käytännössä trkstelln usein tsvälistä jko. Jos porrsfunktioit g n j h n vstvss tsvälisessä joss on n osväliä, kunkin jkovälin pituudeksi t sdn Tällöin g n f h n sekä t = b n. g n = t m j = b n m j j Jos nyt h n = t M j = b n M j. lim g n = lim h n = S, n n niin f on Riemnn-integroituv välillä [, b] j f(x) dx = S. Esimerkki 2.8. Osoitetn, että funktio f(x) = kx (k > 0) on Riemnn-integroituv välillä [, b], j määritetään kx dx. Trkstelln välin [, b] tsvälistä jko {, + t, + 2t,..., + nt} (n Z + ), missä t = b n. Olkoon lisäksi g n (x) = k ( + (j 1)t) j h n (x) = k ( + jt), 18

12 kun x [ + (j 1)t, + jt[ (j = 1, 2,..., n), j g n (b) = h n (b) = f(b) = kb. Tällöin g n j h n ovt porrsfunktioit j g n ksvv). Edelleen f h n välillä [, b] (sillä f on g n = t k ( + (j 1)t) = tk 1 + t 2 k (j 1) = tk n + t 2 k = b n n(n 1) 2 ( ) b 2 k n + n(n 1) k n 2 = (b )k + (b )2 2 k n 1 n }{{} 1 j (b )k + (b )2 2 k, kun n, h n = t k ( + jt) = tk 1 + t 2 k j = tk n + t 2 k = b n n(n + 1) 2 ( ) b 2 k n + n(n + 1) k n 2 = (b )k + (b )2 2 k n + 1 n }{{} 1 (b )k + (b )2 2 k, kun n. 19

13 Täten f on luseen 2.13 nojll Riemnn-integroituv välillä [, b] j kx dx = (b )k + (b )2 2 k = k(b ) ( + b 2 ) b 2 2 = k. 2 Seurv esimerkkiä 2.8 koskev huomio vähentää joskus trvittvi lskutoimituksi. Huomutus. Jos esimerkissä 2.8 riittää vin osoitt Riemnn-integroituvuus, selvitään vähemmillä lskutoimituksill. Tällöin ei trvitse lske rj-rvoj, vn riittää osoitt, että jokist luku ε > 0 kohti on olemss sellinen n Z +, että h n g n = t k ( + jt) t k ( + (j 1)t) = t k ( + nt) }{{} =f(b) = t (kb k) = b n = < ε. k(b )2 n k (b ) Vdittu luku n Z + löytyy nyt vlitsemll t k }{{} =f() n > k(b )2. ε Huomutus. Edellinen huomutus koskee muitkin vstvi tpuksi. 20

14 2.4 Integroituvi funktioit Luse Välillä [, b] monotoninen funktio on Riemnn-integroituv välillä [, b]. Todistus. Todistetn tpus, joss funktio f on ksvv välillä [, b]. Tpus, joss funktio on vähenevä, todistetn vstvsti (hrjoitustehtävä). Olkoon siis f ksvv välillä [, b]. Jos f() = f(b), niin f on vkiofunktion porrsfunktio j siten Riemnn-integroituv välillä [, b]. Täten voidn olett, että f() < f(b). Vlitn mielivltinen ε > 0. Olkoon nyt {, + t, + 2t,..., + nt} sellinen välin [, b] tsvälinen jko, että jkovälin pituus Olkoon lisäksi t = b n < ε f(b) f(). g(x) = f( + (j 1)t) j h(x) = f( + jt), kun x [ + (j 1)t, + jt[ (j = 1, 2,..., n), sekä g(b) = h(b) = f(b). Tällöin g j h ovt porrsfunktioit j g f h välillä [, b] (sillä f on ksvv). Täten h g = t f( + jt) t f( + (j 1)t) = t f( + nt) t f() }{{} = f(b) = t (f(b) f()) < ε (f(b) f()) f(b) f() = ε. Siis f on Riemnnin ehdon nojll Riemnn-integroituv välillä [, b]. Esimerkki 2.9. Olkoon > 0 j n Z +. Tällöin f(x) = 1 x n on idosti vähenevänä funktion Riemnn-integroituv välillä [, b]. 21

15 Huomutus Tutkimll luseen 2.14 todistuksen porrsfunktioit hvitn (hrjoitustehtävä), että jos {x 0, x 1,..., x n } on jokin välin [, b] jko j funktio f on ksvv välillä [, b], niin f(x j 1 )(x j x j 1 ) Jos vstvsti f on vähenevä, niin f(x) dx f(x j )(x j x j 1 ). f(x j )(x j x j 1 ) f(x) dx f(x j 1 )(x j x j 1 ). Luse Välillä [, b] jtkuv funktio on Riemnn-integroituv välillä [, b]. Todistus. Vlitn mielivltinen ε > 0. Kosk suljetull välillä [, b] jtkuv funktio on tällä välillä myös tsisesti jtkuv, on olemss sellinen δ > 0, että (2.3) f(x) f(y) < ε b in, kun x, y [, b] j x y < δ. Olkoon nyt {x 0, x 1,..., x n } sellinen välin [, b] tsvälinen jko, että jkovälin pituus t = b < δ. n Tällöin siis x j x j 1 < δ, kun j = 1, 2,..., n. Olkoon edelleen g(x j ) = h(x j ) = f(x j ), kun j = 0, 1,..., n, j g(x) = m j = min { f(x) x [xj 1, x j ] }, kun x ]x j 1, x j [, j h(x) = M j = mx { f(x) x [xj 1, x j ] }, kun x ]x j 1, x j [, kun j = 1, 2,..., n. Tällöin g j h ovt porrsfunktioit j g f h välillä [, b]. Kosk f on suljetull välillä jtkuv funktio, trvittvt minimi- j mksimirvot ovt olemss kullkin osvälillä j lisäksi f svutt kyseiset rvot josskin osvälin pisteessä. Täten kullkin osvälillä [x j 1, x j ] (j = 1, 2,..., n) on olemss selliset pisteet x j, x j [x j 1, x j ], että m j = f(x j ) j M j = f(x j ). Kosk x j x j < δ j M j m j, niin ehdon (2.3) nojll M j m j < ε b 22 j = 1, 2,..., n.

16 Täten h g = M j (x j x j 1 ) m j (x j x j 1 ) = < (M j m j ) (x j x j 1 ) }{{} > 0 ε b (x j x j 1 ) = = = ε. ε b (x j x j 1 ) ε (b ) b Siis f on Riemnnin ehdon nojll Riemnn-integroituv välillä [, b]. Esimerkki Polynomifunktiot ovt jtkuvin funktioin Riemnn-integroituvi millä thns suljetull välillä [, b]. Huomutus Jos f on välillä [, b] Riemnn-integroituv funktio j g on sellinen välillä [, b] määritelty funktio, että f(x) = g(x) välillä [, b] lukuun ottmtt pisteitä x 1, x 2,..., x n [, b], niin myös g on Riemnn-integroituv välillä [, b] j f(x) dx = g(x) dx (hrjoitustehtävä). Siis funktion rvot äärellisessä pistejoukoss eivät ole oleellisi integrlin rvon ti integroituvuuden knnlt. Määritelmä 2.4. Funktio f : [, b] R on ploittin jtkuv välillä [, b], jos funktioll f on välillä [, b] korkeintn äärellinen määrä epäjtkuvuuskohti j kusskin epäjtkuvuuskohdss funktioll on vsemmnpuoleinen j oikenpuoleinen rj-rvo. Luse Välillä [, b] ploittin jtkuv funktio on Riemnn-integroituv välillä [, b]. Todistus. Hrjoitustehtävä. 23

17 2.5 Riemnnin summ Olkoon funktio f rjoitettu välillä [, b] j P = {x 0, x 1,..., x n } jokin välin [, b] jko. Luvuss 1.2 (huomutus 1.8, s. 5) minittiin jo jkoon P liittyvä Riemnnin summ S P (f, ξ) = f(ξ j )(x j x j 1 ), missä ξ j [x j 1, x j ] on mielivltinen välin [x j 1, x j ] piste. Huomutus. Jos g(x) = f(ξ j ) kikill x ]x j 1, x j [ (j kikill j = 1, 2,..., n), niin Riemnnin summ S P (f, ξ) on porrsfunktion g integrli. Porrsfunktion g rvoiksi jkopisteissä voidn vlit esimerkiksi g(x j ) = f(x j ), kun j = 0, 1,..., n. Merkitään P = mx{x j x j 1 1 j n}, eli P on jon P pisimmän osvälin pituus. Tihennetään sitten jko siten, että P 0, j tutkitn rj-rvo Tällöin lim S P (f, ξ). P 0 lim S P (f, ξ) = L, P 0 jos jokist luku ε > 0 kohti on olemss sellinen δ > 0, että jokiselle jolle P < δ pätee S P (f, ξ) L < ε, vlittiinp pisteet ξ j miten thns. Riemnnin summ käyttämällä sdn vihtoehtoinen tp määritellä Riemnn-integrli. Luse Rjoitettu funktio f : [, b] R on Riemnn-integroituv, jos j vin jos Riemnnin summill on rj-rvo lim S P (f, ξ), P 0 missä S P (f, ξ) on funktion f välin [, b] jkoon P liittyvä Riemnnin summ. Tällöin f = lim S P (f, ξ). P 0 24

18 Todistus. 1 : Todistetn ensin suunt. Oletetn siis, että f on rjoitettu j Riemnn-integroituv välillä [, b], j osoitetn, että lim S P (f, ξ) = P 0 f, missä S P (f, ξ) on funktion f välin [, b] jkoon P liittyvä Riemnnin summ. Vlitn mielivltinen ε > 0. Kosk f on rjoitettu, on olemss sellinen M > 0, että (2.4) f(x) M kikill x [, b], j kosk f on Riemnn-integroituv, niin Riemnnin ehdon nojll on olemss selliset välin [, b] porrsfunktiot g j h, että g f h j (2.5) h g < ε 2. Olkoon edelleen P 0 = {z 0, z 1,..., z m0 } jokin sellinen välin [, b] jko, että P 0 sisältää kikki sekä porrsfunktion g että porrsfunktion h porrspisteet. Merkitään δ = ε 8m 0 M. Olkoon nyt P = {x 0, x 1,..., x n } jokin sellinen välin [, b] jko, että P < δ. Tällöin jokist Riemnnin summ S P (f, ξ) kohti on olemss sellinen porrsfunktio s, että (2.6) S P (f, ξ) = s. Kosk g f h, niin tällöin (2.7) g s = f(ξ k ) h kikill jon P osväleillä I k = [x k 1, x k ], jotk eivät sisällä jon P 0 pisteitä. Trkstelln sitten jon P osvälejä I k = [x k 1, x k ], jotk sisältävät jon P 0 pisteitä. Välin [, b] päätepisteitä lukuun ottmtt kukin jon P 0 piste sisältyy yhteen ti khteen jon P (suljettuun) osväliin. Täten jon P 0 pisteitä sisältäviä jon P osvälejä on korkeintn 2m 0 kpplett. Olkoon nyt g(x) = { g(x), jos x I k j j {0, 1,..., m 0 } s.e. z j I k, M, jos x I k j j {0, 1,..., m 0 } s.e. z j I k, 25

19 j h(x) = { h(x), jos x I k j j {0, 1,..., m 0 } s.e. z j I k, M, jos x I k j j {0, 1,..., m 0 } s.e. z j I k, missä I k = ]x k 1, x k [ j I k = [x k 1, x k ] (k = 1, 2,..., n). Jon P jkopisteissä setetn g(x k ) = M j h(x k ) = M (k = 0, 1, 2,..., n). Tällöin g j h ovt välillä [, b] porrsfunktioit j ominisuuden g f h sekä epäyhtälöiden (2.4) j (2.7) perusteell g f h j g s h. Täten Riemnn-integrlin määrittelyn j luseen 2.3 (s. 9) nojll g f h j g s h j edelleen (2.8) s f h g. Kosk g h välillä [, b], niin luseen 2.3 (s. 9) nojll x k x k 1 g x k x k 1 h jokisell jon P osvälillä [x k 1, x k ] (k = 1, 2,..., n). Lisäksi jon P 0 pisteitä sisältäviä jon P osvälejä on korkeintn 2m 0 kpplett j porrsfunktion rvoll jkopisteessä ei ole vikutust porrsintegrlin rvoon. Täten (2.9) Siis h g h S P (f, ξ) f g + 2m 0 P 2M (2.5) < ε 2 + 4m 0 P M. (2.6) = s f (2.8) h (2.9) < ε 2 + 4m 0 P M g < ε 2 + 4m 0 26 ε 8m 0 M M

20 = ε 2 + ε 2 = ε. Siis lim S P (f, ξ) = P 0 f. j 2 : Todistetn sitten suunt. Oletetn siis, että f on rjoitettu välillä [, b] lim S P (f, ξ) = L, P 0 missä S P (f, ξ) on funktion f välin [, b] jkoon P liittyvä Riemnnin summ, j osoitetn, että f on Riemnn-integroituv välillä [, b] j f = L. Vlitn mielivltinen ε > 0. Rj-rvon määritelmän nojll on olemss sellinen δ > 0, että jos P < δ, niin (2.10) S P (f, ξ) L < ε. Olkoon nyt P = {x 0, x 1,..., x n } sellinen välin [, b] jko, että P < δ. Vlitn selliset pisteet ξ k, ξ k [x k 1, x k ] (k = 1, 2,..., n), että f(ξ k ) inf f + ε [x k 1, x k ] b j Olkoon edelleen j g(x) = f(ξ k ) h(x) = f(ξ k ) + f(ξ k ) sup f [x k 1, x k ] ε b. ε b, kun x [x k 1, x k [ (k = 1, 2,..., n), ε b, kun x [x k 1, x k [ (k = 1, 2,..., n), 27

21 sekä g(b) = h(b) = f(b). Tällöin g j h ovt porrsfunktioit j g f h välillä [, b] sekä h g = = ( f(ξ k ) + ε ) (x k x k 1 ) k=1 b ( f(ξ k ) k=1 ε f(ξ k )(x k x k 1 ) + k=1 k=1 b (x k x k 1 ) }{{} Merk. S P (f,ξ) ε f(ξ k )(x k x k 1 ) + k=1 k=1 b (x k x k 1 ) }{{} Merk. S P (f,ξ) ε ) (x k x k 1 ) b = S P (f, ξ) + k=1 = S P (f, ξ) + ε b = S P (f, ξ) + ε S P (f, ξ) + ε ε b (x k x k 1 ) S P (f, ξ) + (x k x k 1 ) S P (f, ξ) + k=1 } {{ } = b = S P (f, ξ) L + ε + L S P (f, ξ) + ε S P (f, ξ) L + ε + L S P (f, ξ) + ε (2.10) < ε + ε + ε + ε = 4ε. k=1 ε b ε b (x k x k 1 ) (x k x k 1 ) k=1 } {{ } = b Siis f on Riemnnin ehdon nojll Riemnn-integroituv välillä [, b] (luss olisi voitu vlit pumuuttuj ε = ε 4 ). Huomutus Lusett 2.19 käytettäessä riittää trkstell tsvälisiä jkoj (hrjoitustehtävä). Funktion f : [, b] R Riemnn-integroituvuuden osoittmiseksi riittää siis osoitt, että lim P 0 S P (f, ξ) = L, missä P on tsvälinen jko j S P (f, ξ) on funktion f välin [, b] jkoon P liittyvä Riemnnin summ. 28

22 Pisteen ξ pitää kuitenkin oll mielivltinen välin piste. Funktion Riemnn-integroituvuutt osoitettess ξ ei voi oll kiinteästi esimerkiksi osvälin päätepiste (toisin kuin esimerkiksi määritettäessä jo integroituvksi tiedetyn funktion integrlin rvo) ilmn, että smll suoritetn myös mhdollisen virhetermin trkstelu. Huomutus. Funktion f : [, b] R Riemnnin summ voitisiin muodost, vikk f ei ole rjoitettu välillä [, b]. Voidn kuitenkin osoitt, että jos f ei ole rjoitettu välillä [, b], niin lim P 0 S P (f, ξ) ei ole olemss (hrjoitustehtävä). 29

23 2.6 Perusominisuuksi Esitetään luksi kksi määritelmää ti sopimust, joill helpotetn käytännön lskutoimituksi. Määritelmä 2.5. Olkoon f välillä [, b] Riemnn-integroituv funktio. Tällöin b f(x) dx = f(x) dx. Määritelmä 2.6. Olkoon f pisteessä R määritelty funktio. Tällöin f(x) dx = 0. Riemnn-integrlin dditiivisuus on helppo todist hyödyntämällä l- j yläintegrlin dditiivisuutt. Luse 2.21 (Additiivisuus). Olkoon f : [, b] R rjoitettu j c ], b[. Tällöin f on Riemnn-integroituv välillä [, b], jos j vin jos f on Riemnn-integroituv väleillä [, c] j [c, b]. Tällöin f = c f + c f. Todistus. 1 : Todistuksen suunt on ilmeinen. Jos f on Riemnn-integroituv väleillä [, c] j [c, b], niin I L (f, [, c]) = I U (f, [, c]) = c f j I L (f, [c, b]) = I U (f, [c, b]) = c f, joten l- j yläintegrlin dditiivisuuden (luse 2.9, s. 14) nojll I L (f, [, b]) = I U (f, [, b]) ( = f ). Täten f on Riemnn-integroituv välillä [, b] j luseen 2.9 nojll f = c f + c f. 30

24 2 : Trkstelln sitten suunt. Olkoon f Riemnn-integroituv välillä [, b]. Tällöin ( ) I L (f, [, b]) = I U (f, [, b]) = f, joten l- j yläintegrlin dditiivisuuden (luse 2.9, s. 14) nojll I L (f, [, c]) + I L (f, [c, b]) = I U (f, [, c]) + I U (f, [c, b]). Kosk huomutuksen 2.6 (s. 13) nojll I L (f, [, c]) I U (f, [, c]) j I L (f, [c, b]) I U (f, [c, b]), niin 1 I L (f, [, c]) = I U (f, [, c]) j I L (f, [c, b]) = I U (f, [c, b]). Siis f on Riemnn-integroituv väleillä [, c] j [c, b] j luseen 2.9 nojll c f + c f = f. Huomutus Luseen 2.21 kv pätee kikill, b, c R (olivtp luvut missä thns järjestyksessä), jos f on Riemnn-integroituv kyseisillä väleillä (hrjoitustehtävä). Luse 2.23 (Linerisuus). Olkoot f j g Riemnn-integroituvi välillä [, b] j λ R. Tällöin myös λf j f + g ovt Riemnn-integroituvi välillä [, b] j (λf) = λ f j (f + g) = f + g. Todistus. Todistetn väite summfunktiolle f + g hyödyntämällä Riemnnin summi. Vkioll kertomisen todistus jätetään hrjoitustehtäväksi. Kosk (f + g)(ξ j )(x j x j 1 ) = f(ξ j )(x j x j 1 ) + g(ξ j )(x j x j 1 ), 1 Jos s 1 t 1, s 2 t 2 j s 1 + s 2 = t 1 + t 2, niin s 1 = t 1 j s 2 = t 2 (s 1, s 2, t 1, t 2 R). 31

25 niin luseen 2.19 (s. 24) nojll (f + g) = lim P 0 S P (f + g, ξ) ( = lim SP (f, ξ) + S P (g, ξ) ) P 0 = lim P 0 S P (f, ξ) + lim P 0 S P (g, ξ) = f + g, missä S P (f, ξ) on funktion f välin [, b] jkoon P liittyvä Riemnnin summ. Seurus Jos f j g ovt Riemnn-integroituvi välillä [, b] j λ 1, λ 2 R, myös λ 1 f + λ 2 g on Riemnn-integroituv välillä [, b] j (λ 1 f + λ 2 g) = λ 1 f + λ 2 g. Huomutus Seurus 2.24 voidn induktioll yleistää muotoon i=1 λ i f i = i=1 λ i f i, missä f 1, f 2,..., f n ovt Riemnn-integroituvi välillä [, b] j λ 1, λ 2,..., λ n R. 32

26 2.7 Integrlien rviointi Integrlej ei useinkn pystytä lskemn trksti. Siksi on tärkeää pystyä rvioimn integrlej esimerkiksi sopivien epäyhtälöiden vull. Luse Olkoon f Riemnn-integroituv välillä [, b] sekä Tällöin m = inf f(x) j M = sup f(x). x [,b] x [,b] m(b ) f(x) dx M(b ). Todistus. Kosk g(x) = m j h(x) = M ovt porrsfunktioit j m f M välillä [, b], niin m(b ) = m dx f(x) dx M dx = M(b ). Seurus Jos f jtkuv välillä [, b] j m = min f(x) sekä M = mx f(x), x [,b] x [,b] niin m(b ) f(x) dx M(b ). Seurus Olkoon f Riemnn-integroituv j ei-negtiivinen välillä [, b]. Tällöin f(x) dx 0. Seurus Olkoot f j g Riemnn-integroituvi välillä [, b] j f(x) g(x) kikill x [, b]. Tällöin f(x) dx g(x) dx. Esimerkki Olkoon b > 1. Osoitetn, että (b 1) e 1 e x x dx b 1 e b. b 33

27 Trkstelln funktiot f(x) = ex x j väliä [1, b]. Jtkuvn funktion f on Riemnn-integroituv välillä [1, b]. Lisäksi f (x) = ex x e x x 2 = ex (x 1) x 2 0 x [1, b], joten f on ksvv funktio välillä [1, b]. Siis j 1 1 e x x dx e x x dx 1 1 e b b e 1 1 dx = dx = eb b 1 e dx = e (b 1) (b 1) = b 1 b e b. Luse Olkoon f jtkuv j ei-negtiivinen välillä [, b]. Jos niin f(x) = 0 kikill x [, b]. f(x) dx = 0, Todistus. Tehdään vstoletus, että on olemss sellinen c [, b], että f(c) > 0. Oletetn, että c ], b[ (tpukset c = j c = b vstvsti). Kosk f on jtkuv, on olemss sellinen δ > 0, että [c δ, c + δ] [, b] j Täten f(x) f(c) 2 f(x) dx = c δ > 0 x [c δ, c + δ]. f(x) dx + c+δ c δ f(x) dx + c+δ f(x) dx c δ 0 dx + c+δ c δ = 0 + f(c) 2 2δ + 0 = f(c) δ, f(c) 2 dx + c+δ 0 dx missä on ristiriit, sillä f(c) > 0 j δ > 0. 34

28 2.8 Itseisrvo- j tulofunktio Tutkitn seurvksi itseisrvofunktion j khden funktion tulofunktion Riemnnintegroituvuutt. Määritelmä 2.7. Olkoon f : A R. Tällöin f + : A R, f(x), kun f(x) 0, f + (x) = mx{f(x), 0} = 0, kun f(x) < 0, on funktion f positiivios j f : A R, f (x) = mx{ f(x), 0} = f(x), kun f(x) 0, 0, kun f(x) > 0, on funktion f negtiivios. Huomutus. Määrittelystä seur suorn, että funktion f määrittelylueell. f + (x) 0 j f (x) 0 Huomutus. Poistiivi- j negtiiviosn määrittelyn perusteell f(x) = f + (x) f (x) j f(x) = f + (x) + f (x) funktion f määrittelylueell. Luse Funktio f on Riemnn-integroituv välillä [, b], jos j vin jos sekä f + että f ovt Riemnn-integroituvi välillä [, b]. Tällöin f = f + f. Todistus. Todetn jo luksi ennen Riemnn-integroituvuuden trkstelu, että kosk f = f + f, niin integrlin lskusääntöjen (luse 2.23, s. 31) nojll f = f + f, jos kikki kyseiset funktiot ovt Riemnn-integroituvi. 35

29 : Kosk f = f + f, niin integrlin lskusääntöjen (luse 2.23, s. 31) nojll f on Riemnn-integroituv, jos f + j f ovt Riemnn-integroituvi. : Osoitetn ensin, että f + on Riemnn-integroituv välillä [, b]. Vlitn mielivltinen ε > 0. Jos f on Riemnn-integroituv välillä [, b], niin Riemnnin ehdon nojll on olemss selliset välin [, b] porrsfunktiot g j h, että g f h j (2.11) h g < ε. Funktioiden positiiviosi muodostettess ino muutos on, että funktioiden negtiiviset rvot korvtn nollill. Ei-negtiiviset rvot pysyvät ennlln. Täten myös g + j h + ovt välin [, b] porrsfunktioit j g + f + h + välillä [, b]. Lisäksi porrsfunktioiden g j h porrspisteet sisältävän jon osväleillä positiiviosiin siirryttäessä erotus h g pysyy ennlln, jos kyseisellä välillä g (j siis myös h) on ei-negtiivinen ti g = h. Jos ts g on negtiivinen j g < h, niin erotus h g vähenee. Siis (2.12) h + g + h g. välillä [, b]. Täten porrsintegrlin perusominisuuksien nojll h + g + = (2.12) = ( h + g +) (h g) h g (2.11) < ε, joten f + on Riemnnin ehdon nojll Riemnn-integroituv välillä [, b]. Kosk f = f + f, niin integrlin lskusääntöjen (luse 2.23, s. 31) nojll myös negtiivios f on Riemnn-integroituv välillä [, b]. 36

30 Seurus Jos f on Riemnn-integroituv välillä [, b], myös f on Riemnnintegroituv välillä [, b] j f = f + + f. Todistus. Kosk f = f + + f, väite seur suorn luseest 2.31 j integrlin lskusäännöistä (luse 2.23, s. 31). Luse Olkoon funktio f Riemnn-integroituv välillä [, b]. Tällöin f(x) dx f(x) dx. Todistus. Jos f on Riemnn-integroituv välillä [, b], niin seuruksen 2.32 perusteell myös f on Riemnn-integroituv välillä [, b]. Lisäksi itseisrvon perusominisuuksist seur, että f(x) f(x) f(x) kikill x [, b]. Täten seuruksen 2.29 (s. 33) nojll j edelleen (luse 2.23, s. 31) f(x) dx f(x) dx f(x) dx f(x) dx f(x) dx Siis itseisrvon perusominisuuksien perusteell f(x) dx f(x) dx. f(x) dx. Huomutus. Kosk luseess 2.33 oletetn integroituvuus välillä [, b], niin < b. Luseen tulos pätee tietysti myös, jos = b, mutt jos b <, niin luseen 2.33 epäyhtälö on muutettv muotoon (hrjoitustehtävä) f(x) dx f(x) dx. 37

31 Huomutus () Luseen 2.33 epäyhtälö voi oll myös ito. Esimerkiksi (esimerkin 2.8 (s. 18) nojll) 1 1 x dx = 12 ( 1) 2 2 = 0, mutt toislt luseiden 2.21 (s. 30) j 2.23 (s. 31) sekä esimerkin 2.8 (s. 18) perusteell 1 1 x dx = 0 1 x dx x dx = 0 1 x dx x dx 0 = 1 x dx x dx Siis 1 1 = 0 ( 1)2 2 = 1. x dx < 1 1 x dx (b) Funktion f : [, b] R kuvjn j x-kselin väliin välillä [, b] jäävän lueen pint-l on f = f + + Luse Jos funktiot f j g ovt Riemnn-integroituvi välillä [, b], myös tulo f g on Riemnn-integroituv välillä [, b]. Todistus. 1 : Oletetn ensiksi, että f, g 0. Vlitn mielivltinen ε > 0. Riemnn-integroituvin funktioin f j g ovt rjoitettuj välillä [, b], joten on olemss sellinen M > 0, että f, g M. Lisäksi Riemnnin ehdon nojll on olemss selliset välin [, b] porrsfunktiot g f, h f j g g, h g, että g f f h f j g g g h g sekä (2.13) h f g f < ε 2M j 38 f. h g g g < ε 2M.

32 Kosk 0 f, g M, niin todistuksen yleisyyttä rjoittmtt voidn olett (luse 1.11, s. 7), että 0 g f f h f M j 0 g g g h g M. Tällöin g f g g j h f h g ovt porrsfunktiot (huomutus 1.9, s. 6) j g f g g fg h f h g. Lisäksi huomutuksen 1.9 (s. 6) j muiden porrsfunktioiden perusominisuuksien sekä luseen 2.23 (s. 31) j seuruksen 2.29 (s. 33) nojll h f h g g f g g = h f h g g f h g + g f h g g f g g = (h f g f ) h g + (h f g f ) M + g f (h g g g ) M (h g g g ) = M (2.13) (h f g f ) + M ε < M 2M + M ε 2M = ε, (h g g g ) joten f g on Riemnnin ehdon nojll Riemnn-integroituv välillä [, b]. 2 : Olkoot sitten f j g mielivltisi välillä [, b] Riemnn-integroituvi funktioit. Kosk f = f + f j g = g + g, niin fg = ( f + f ) ( g + g ) = f + g + f + g f g + + f g, jok on kohdn 1 nojll välillä [, b] Riemnn-integroituvien funktioiden summn Riemnn-integroituv välillä [, b] (luse 2.23, s. 31). Huomutus Yleensä (fg) f g. 39

33 Huomutus 2.37 (Cuchy-Schwrzin epäyhtälö). Jos funktiot f j g ovt Riemnnintegroituvi välillä [, b], niin 2 fg f 2 g 2. Todistus. Hrjoitustehtävä (vrt. vstvn tuloksen todistus summlusekkeille). 40

34 2.9 Integrlilskennn välirvoluse Seurvksi trkstelln integrlilskennn välirvolusett. Luse 2.38 (Integrlilskennn välirvoluse). Olkoon funktio f jtkuv välillä [, b]. Tällöin on olemss sellinen ξ ], b[, että (2.14) f(x) dx = f(ξ)(b ). Todistus. Kosk f on jtkuv suljetull välillä [, b], on olemss selliset pisteet x 1, x 2 [, b], että m = f(x 1 ) = min {f(x) x [, b]} j M = f(x 2 ) = mx {f(x) x [, b]}. Lisäksi seuruksen 2.27 (s. 33) nojll (2.15) m(b ) f(x) dx M(b ). Kosk f on jtkuv, niin integrlin lskusääntöjen j luseen 2.30 (s. 34) perusteell yhtäsuuruus epäyhtälöissä (2.15) on voimss vin silloin, kun f on vkiofunktio välillä [, b]. Jos f on vkiofunktio, niin mikä thns välin ], b[ piste kelp pisteeksi ξ. Jos ts f ei ole vkio, niin m(b ) < f(x) dx < M(b ). Kosk b > 0 (ts. [, b] on väli), niin tällöin m < 1 f(x) dx < M. b Lisäksi x 1 x 2. Todistuksen yleisyyttä rjoittmtt voidn olett, että x 1 < x 2. Funktio f on nyt jtkuv suljetull välillä [x 1, x 2 ], joten se svutt tällä välillä kikki suurimmn j pienimmän rvons väliset rvot. Kosk f(x 1 ) = m j f(x 2 ) = M, on täten olemss sellinen ξ ]x 1, x 2 [ (jolloin myös ξ ], b[ ), että f(ξ) = 1 f(x) dx b 41

35 eli f(x) dx = f(ξ)(b ). Huomutus. Integrlilskennn välirvoluseest käytetään usein lyhennettä IVAL. Huomutus Integrlilskennn välirvoluseess oletettiin, että < b (eli [, b] on väli). Luseen tulos eli kv (2.14) pätee myös, kun b <, mutt tällöin on tietysti oletettv, että ξ ]b, [. 1 Todistus. Olkoon f jtkuv välillä [b, ], missä b <. Integrlilskennn välirvoluseen nojll on tällöin olemss sellinen ξ ]b, [, että f(x) dx = b f(x) dx IVAL = f(ξ)( b) = f(ξ)(b ). Luse 2.40 (Yleistetty integrlilskennn välirvoluse). Olkoon funktio f jtkuv j funktio g ei-negtiivinen j Riemnn-integroituv välillä [, b]. Tällöin on olemss sellinen ξ [, b], että (2.16) f(x)g(x) dx = f(ξ) g(x) dx. Todistus. Kosk f on jtkuv suljetull välillä [, b], on olemss selliset pisteet x 1, x 2 [, b], että m = f(x 1 ) = min {f(x) x [, b]} j M = f(x 2 ) = mx {f(x) x [, b]}. Lisäksi g 0, joten mg fg Mg. Siis seuruksen 2.29 (s. 33) nojll (2.17) m I g = missä mg(x) dx I g = f(x)g(x) dx g(x) dx. M g(x) dx = M I g 1 Usein tiedoll, onko ξ ], b[ vi ξ ]b, [, ei ole merkitystä, mutt joskus tietysti on. 42

36 Jos nyt I g = 0, niin epäyhtälöketjun (2.17) nojll myös f(x)g(x) dx = 0. Täten molemmt integrlit kvss (2.16) ovt nolli j mikä thns välin ], b[ piste kelp pisteeksi ξ. Jos ts I g 0, niin I g > 0, sillä g 0. Täten epäyhtälöketjun (2.17) nojll m 1 I g f(x)g(x) dx M. Jtkuvn funktion f svutt suljetull välillä [, b] kikki suurimmn j pienimmän rvons väliset rvot. Täten on olemss sellinen ξ [, b], että f(ξ) = 1 I g f(x)g(x) dx eli f(x)g(x) dx = f(ξ) g(x) dx. Huomutus. Vstvsti kuin huomutuksess 2.39 voidn osoitt, että yleistetyn integrlilskennn välirvoluseen tulos eli kv (2.16) pätee myös, kun b <. Tällöin on tietysti oletettv, että ξ [, b]. 43

Analyysi 2. Harjoituksia lukuihin 1 3 / Kevät Anna sellainen välillä ] 2, 2[ jatkuva ja rajoitettu funktio f, että

Analyysi 2. Harjoituksia lukuihin 1 3 / Kevät Anna sellainen välillä ] 2, 2[ jatkuva ja rajoitettu funktio f, että Anlyysi Hrjoituksi lukuihin 3 / Kevät 5. Ann sellinen välillä ], [ jtkuv j rjoitettu funktio f, että () sup A m A j inf A min A, (b) sup A m A j inf A = min A, (c) sup A = m A j inf A min A, (d) sup A

Lisätiedot

5 Epäoleellinen integraali

5 Epäoleellinen integraali 5 Epäoleellinen integrli 5. Integrlin suppeneminen Olkoon f sellinen välillä [, b[ (ei siis välttämättä pisteessä b) määritelty funktio, että f on Riemnn-integroituv välillä [, ] kikill ], b[ eli on olemss

Lisätiedot

3 Integraali ja derivaatta

3 Integraali ja derivaatta 3 Integrli j erivtt 3.1 Integrli ylärjns funktion Olkoon funktio f Riemnn-integroituv välin I jokisell suljetull osvälillä j välin I jokin kiinteä luku. Tällöin integrli määrittelee funktion G(): I R,

Lisätiedot

i 2 n 3 ( (n 1)a (i + 1) 3 = 1 +

i 2 n 3 ( (n 1)a (i + 1) 3 = 1 + I. INTEGRAALILASKENTA Arkhimedes (287 22 e.kr.) prbelin segmentin pint-l Newton (642 727) j Leibniz (646 76) keksivät diff.- j int.-lskennn Cuhy (789 857) ε, δ Riemnn (826 866) Riemnnin integrli Lebesgue

Lisätiedot

7 Funktiosarjoista. 7.1 Funktiosarjojen suppeneminen

7 Funktiosarjoista. 7.1 Funktiosarjojen suppeneminen 7 Funktiosrjoist 7. Funktiosrjojen suppeneminen Seurvksi trkstelln srjoj, joiden termit ovt (lukujen sijst) jollkin välillä I määriteltyjä funktioit. Täsmällisemmin funktiosrjll (ti lyhyemmin srjll) trkoitetn

Lisätiedot

II.1. Suppeneminen., kun x > 0. Tavallinen lasku

II.1. Suppeneminen., kun x > 0. Tavallinen lasku II. EPÄOLEELLISET INTEGRAALIT nt II.. Suppeneminen Esim. Olkoon f() =, kun >. Tvllinen lsku = / =. Kuitenkn tätä integrli ei ole ikisemmss mielessä määritelty, kosk f ei ole rjoitettu välillä [, ] (eikä

Lisätiedot

Kertausta ja täydennystä

Kertausta ja täydennystä LUKU 1 Kertust j täydennystä 1.1. Merkintöjä N = {k Z k 0} = {0, 1, 2,... }, luonnollisten lukujen joukko. Z + = {k Z k > 0} = {1, 2,... }, positiivisten kokonislukujen joukko. (, b) on relikselin voin

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 7: Integraali ja analyysin peruslause

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 7: Integraali ja analyysin peruslause MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 7: Integrli j nlyysin perusluse Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos 3.10.2016 Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen

Lisätiedot

MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 7: Integraali ja analyysin peruslause

MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 7: Integraali ja analyysin peruslause MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 7: Integrli j nlyysin perusluse Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos November 20, 2017

Lisätiedot

Analyysi B. Derivaatta ja integraali. Pertti Koivisto

Analyysi B. Derivaatta ja integraali. Pertti Koivisto Anlyysi B Derivtt j integrli Pertti Koivisto Kevät 7 Alkusnt Tämä moniste on trkoitettu oheislukemistoksi Tmpereen yliopistoss pidettävälle kurssille Anlyysi B. Monisteen tvoitteen on tuke luentojen seurmist,

Lisätiedot

Riemannin integraalista

Riemannin integraalista Lebesguen integrliin sl. 2007 Ari Lehtonen Riemnnin integrlist Johdnto Tämän luentomonisteen trkoituksen on tutustutt lukij Lebesgue n integrliin j sen perusominisuuksiin mhdollisimmn yksinkertisess tpuksess:

Lisätiedot

SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT Funktiojonot 1

SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT Funktiojonot 1 SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 JOUNI PARKKONEN Sisältö 0. Tästä tekstistä. Funktiojonot 0. Tästä tekstistä Tämä moniste on trkoitettu käytettäväksi kurssin Srjt j differentiliyhtälöt luentomterilin.

Lisätiedot

a = x 0 < x 1 < x 2 < < x n = b f(x) dx = I. lim f(x k ) x k=1

a = x 0 < x 1 < x 2 < < x n = b f(x) dx = I. lim f(x k ) x k=1 5 Integrli 5.1 Määritelmä j ominisuudet Olkoon f : [, b] R jtkuv. Muodostetn välin [, b] jko = x 0 < x 1 < x 2 < < x n = b j siihen liittyvä yläsumm S = n M k (x k x k 1 ), M k = mx{f(x) x k 1 x x k },

Lisätiedot

Riemannin integraalista

Riemannin integraalista TAMPEREEN YLIOPISTO Pro grdu -tutkielm Aij Stenberg Riemnnin integrlist Mtemtiikn j tilstotieteen litos Mtemtiikk Syyskuu 2010 2 Tmpereen yliopisto Mtemtiikn j tilstotieteen litos STENBERG, AIJA: Riemnnin

Lisätiedot

Lebesguen integraali - Rieszin määritelmä

Lebesguen integraali - Rieszin määritelmä Lebesguen integrli - Rieszin määritelmä Tru Lehtonen Mtemtiikn pro grdu-tutkielm Jyväskylän yliopisto Mtemtiikn j tilstotieteen litos Kevät 216 Tiivistelmä Jyväskylän Yliopisto Lehtonen, Tru Puliin: Lebesguen

Lisätiedot

ANALYYSI I, kevät 2009

ANALYYSI I, kevät 2009 ANALYYSI I, kevät 2009 Sisältö Relilukujen peruskäsitteitä 2 Lukujonoist 3 2. Lukujonon rj-rvo....................... 3 2.2 Monotoniset jonot......................... 7 2.3 Osjonot..............................

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali MS-A1{3,4} (ELEC*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 8: Integrlifunktio j epäoleellinen integrli Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos 5.1.216 Pekk Alestlo,

Lisätiedot

Sisältö. Integraali 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 20

Sisältö. Integraali 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 20 Integrli 10. syyskuut 2005 sivu 1 / 20 Sisältö 1 Määrätty integrli j integrlifunktio 2 1.1 Integroituvist funktioit 3 1.2 Määrätyn integrlin ominisuuksi 4 1.3 Integrlifunktio 5 1.4 Integrlilskennn tärkeimmät

Lisätiedot

ANALYYSI I, kevät 2009

ANALYYSI I, kevät 2009 5 Riemnnin integrli 7 ANALYYSI I, kevät 9 5. Integrlin perusominisuuksi................. 76 5. Anlyysin perusluse....................... 8 Sisältö Relilukujen peruskäsitteitä Lukujonoist 3. Lukujonon rj-rvo.......................

Lisätiedot

x k 1 Riemannin summien käyttö integraalin approksimointiin ei ole erityisen tehokasta; jatkuvasti derivoituvalle funktiolle f virhe b

x k 1 Riemannin summien käyttö integraalin approksimointiin ei ole erityisen tehokasta; jatkuvasti derivoituvalle funktiolle f virhe b 5 Integrlien lskemisest 51 Riemnnin summt [A2], [4, 61] Rjoitetun funktion f : [, b] R Riemnn-integroituvuudelle ytäpitäväksi on kurssill Anlyysi 2 osoitettu, että Riemnnin summill S P := f(ξ k ) ( ),

Lisätiedot

Sarjat ja integraalit

Sarjat ja integraalit Srjt j integrlit c Mtemttisten tieteiden litos, Oulun yliopisto Versio: 9.3.0 Viimeksi muoknnut: Peter Hästö Sisältö Funktion rj-rvo j jtkuvuus. Peruskäsitteitä........................................

Lisätiedot

MS-A010{2,3,4,5} (SCI, ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali

MS-A010{2,3,4,5} (SCI, ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali MS-A1{2,3,4,5} (SC, ELEC*, ENG*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 8: ntegrlifunktio j epäoleellinen integrli Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos November

Lisätiedot

2.4 Pienimmän neliösumman menetelmä

2.4 Pienimmän neliösumman menetelmä 2.4 Pienimmän neliösummn menetelmä Optimointimenetelmiä trvitn usein kokeellisen dtn nlysoinniss. Mittuksiin liittyy virhettä, joten mittus on toistettv useit kertoj. Oletetn, että mittn suurett c j toistetn

Lisätiedot

4. Reaalifunktioiden määrätty integraali

4. Reaalifunktioiden määrätty integraali 6 4. Relifunktioiden määrätt integrli Vrsinisesti termi "integrli" tulee seurvss esitettävästä määrätstä integrlist, jok on läheistä suku summmiselle. Yhtes derivttn on sitten perustv ltu olev tulos, jot

Lisätiedot

Integroimistehtävät, 10. syyskuuta 2005, sivu 1 / 29. Perustehtäviä. Tehtävä 1. Osoita, että vakiofunktio f(x) c on Riemann-integroituva välillä

Integroimistehtävät, 10. syyskuuta 2005, sivu 1 / 29. Perustehtäviä. Tehtävä 1. Osoita, että vakiofunktio f(x) c on Riemann-integroituva välillä Integroimistehtävät,. syyskuut 5, sivu / 9 Perustehtäviä Tehtävä. Osoit, että vkiofunktio f(x) c on Riemnn-integroituv välillä [, b] j lske suorn määritelmän perusteell b f(x). Tehtävä. Osoit, että funktio,

Lisätiedot

ANALYYSI I, kevät 2009

ANALYYSI I, kevät 2009 ANALYYSI I, kevät 009 Sisältö Relilukujen peruskäsitteitä Lukujonoist 4. Lukujonon rj-rvo....................... 4. Monotoniset jonot..........................3 Osjonot.............................. 7.4

Lisätiedot

ANALYYSI 2. Tero Kilpeläinen

ANALYYSI 2. Tero Kilpeläinen ANALYYSI Tero Kilpeläinen 3 Teksti sisältää muistiinpnoj vuosin j 3 pidetystä kurssist. Tämän pketin trkoitus on tuke omien muistiinpnojen teko, ei korvt niitä. Mtemtiikk oppii prhiten itse kirjoitten

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Mtemtiikn tukikurssi Kurssikert 4 Tilvuuden j vipn ln lskeminen Kuten iemmin käsittelimme, määrätyn integrlin vull voi lske pintloj j tilvuuksi. Tyypillisenä sovelluksen tilvuuden lskemisest on tpus, joss

Lisätiedot

Analyyttinen lukuteoria

Analyyttinen lukuteoria Anlyyttinen lukuteori Johdnto Kuten yltä näkyy, tämän luentomonisteen kttm luentosrj on nimeltään Anlyyttinen lukuteori, vikkkin opintorekisteribyrokrttisist syistä opintojkso knt nimeä Lukuteori 3. Näin

Lisätiedot

Newtonin, Riemannin ja Henstock-Kurzweilin integraalit

Newtonin, Riemannin ja Henstock-Kurzweilin integraalit TAMPEREEN YLIOPISTO Pro grdu -tutkielm Annik Heinonen Newtonin, Riemnnin j Henstock-Kurzweilin integrlit Informtiotieteiden yksikkö Mtemtiikk Helmikuu 2013 Sisältö 1 Johdnto 1 2 Newtonin integrli 2 2.1

Lisätiedot

TEHTÄVÄ 1. Olkoon (f n ) jono jatkuvia funktioita f n : [a, b] R, joka suppenee välillä [a, b] tasaisesti kohti funktiota f : [a, b] R.

TEHTÄVÄ 1. Olkoon (f n ) jono jatkuvia funktioita f n : [a, b] R, joka suppenee välillä [a, b] tasaisesti kohti funktiota f : [a, b] R. Topologi I Hrjoitus 10, rtkisuj AP TEHTÄVÄ 1. Olkoon (f n ) jono jtkuvi funktioit f n : [, b] R, jok suppenee välillä [, b] tsisesti kohti funktiot f : [, b] R. Osoit, että tällöin f n (x) dx f(x) dx.

Lisätiedot

Kertymäfunktio. Kertymäfunktio. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 2/2. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 1/2. Kertymäfunktio: Esitiedot

Kertymäfunktio. Kertymäfunktio. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 2/2. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 1/2. Kertymäfunktio: Esitiedot TKK (c) Ilkk Mellin (24) 1 Johdtus todennäköisyyslskentn TKK (c) Ilkk Mellin (24) 2 : Mitä opimme? 1/2 Jos stunnisilmiötä hlutn mllint mtemttisesti, on ilmiön tulosvihtoehdot kuvttv numeerisess muodoss.

Lisätiedot

1. Derivaatan Testi. Jos funktio f on jatkuva avoimella välillä ]a, b[ ja x 0 ]a, b[ on kriit. tai singul. piste niin. { f (x) > 0, x ]a, x 0 [

1. Derivaatan Testi. Jos funktio f on jatkuva avoimella välillä ]a, b[ ja x 0 ]a, b[ on kriit. tai singul. piste niin. { f (x) > 0, x ]a, x 0 [ 1. Derivtn Testi Jos funktio f on jtkuv voimell välillä ], b[ j x 0 ], b[ on kriit. ti singul. piste niin { f (x) < 0, x ], x 0 [ f x (x) > 0, x ]x 0, b[ 0 on lokli minimipiste (1) { f (x) > 0, x ], x

Lisätiedot

6 Integraalilaskentaa

6 Integraalilaskentaa 6 Integrlilskent 6. Integrlifunktio Funktion f integrlifunktioksi snotn funktiot F, jonk derivtt on f. Siis F (x) = f (x) määrittelyjoukon jokisell muuttujn rvoll x. Merkitään F(x) = f (x) dx. Integrlifunktion

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Mtemtiikn tukikurssi Kurssikert 5 1 Jtkuvuus Trkstelln funktiot fx) josskin tietyssä pisteessä x 0. Tämä funktio on tässä pisteessä joko jtkuv ti epäjtkuv. Jtkuvuuden ymmärtää prhiten trkstelemll epäjtkuv

Lisätiedot

Määritelmä Olkoon C R m yksinkertainen kaari ja γ : [a, b] R m sen yksinkertainen parametriesitys, joka on paloittain C 1 -polku.

Määritelmä Olkoon C R m yksinkertainen kaari ja γ : [a, b] R m sen yksinkertainen parametriesitys, joka on paloittain C 1 -polku. Muodostetn vektorikentän kri-integrli yksinkertisen kren tpuksess. Plutetn mieleen, että joukko C R m on yksinkertinen kri, jos löytyy sellinen jtkuv bijektio γ : [, b] C, jok on ploittin C 1 -funktio

Lisätiedot

Sisältö. Funktiojonot ja -sarjat 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 15

Sisältö. Funktiojonot ja -sarjat 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 15 Funktiojonot j -srjt 10. syyskuut 2005 sivu 1 / 15 Sisältö 1 Funktiojonoist 2 2 Funktiosrjoist 5 3 Funktiojonojen j -srjojen derivointi j integrointi 7 4 Potenssisrjt 9 5 Tylorin polynomit j srjt 12 5.1

Lisätiedot

Kuvausta f sanotaan tällöin isomorfismiksi.

Kuvausta f sanotaan tällöin isomorfismiksi. Määritelmä..12. Oletetn, että 1 =(V 1,E 1 ) j 2 =(V 2,E 2 ) ovt yksinkertisi verkkoj. Verkot 1 j 2 ovt isomorfiset, jos seurvt ehdot toteutuvt: (1) on olemss bijektio f : V 1 V 2 (2) kikill, b V 1 pätee,

Lisätiedot

10. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA

10. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA MAA0 0. Määrätyn integrlin käyttö eräiden pint-lojen lskemisess 0. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA Edellä on todettu, että f (x)dx nt x-kselin j suorien x =, x = sekä funktion

Lisätiedot

Analyysi III S

Analyysi III S Anlyysi III 800624S Sisältö sitietoj 5 Riemnn integroinnin rjt 6 Luku 1. Mittteori 7 1. Algebr j σ-lgebr 7 2. Mitt 8 3. Ulkomitt j mitlliset joukot 11 4. Ulkomitn konstruointi 14 5. Lebesguen ulkomitt

Lisätiedot

1 Määrittelyjä ja aputuloksia

1 Määrittelyjä ja aputuloksia 1 Määrittelyjä ja aputuloksia 1.1 Supremum ja infimum Aluksi kerrataan pienimmän ylärajan (supremum) ja suurimman alarajan (infimum) perusominaisuuksia ja esitetään muutamia myöhemmissä todistuksissa tarvittavia

Lisätiedot

HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY OF HELSINKI

HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY OF HELSINKI HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY OF HELSINKI Tiedekunt/Ossto Fkultet/Sektion Fculty Litos Institution Deprtment Mtemttis-luonnontieteellinen Tekijä Förfttre Author Antti Khri Työn

Lisätiedot

ANALYYSI 2. Camilla Hollanti. Tampereen yliopisto x 3. a x 1. x 4 x 11. x 2

ANALYYSI 2. Camilla Hollanti. Tampereen yliopisto x 3. a x 1. x 4 x 11. x 2 ANALYYSI 2 Cmill Hollnti _ M M x x 2 x 3 x 4 x b Tmpereen yliopisto 200 2 Sisältö. Preliminäärejä 3 2. Riemnn-integrli 5 2.. Pint-lt j porrsfunktiot....................... 5 2... Pint-l rj-rvon.......................

Lisätiedot

Integraalilaskentaa. 1. Mihin integraalilaskentaa tarvitaan? MÄNTÄN LUKIO

Integraalilaskentaa. 1. Mihin integraalilaskentaa tarvitaan? MÄNTÄN LUKIO Integrlilskent Tämä on lukion oppimterileist hiemn poikkev yksinkertistettu selvitys määrätyn integrlin lskemisest. Kerromme miksi integroidn, mitä integroiminen trkoitt, miten integrli lsketn j miten

Lisätiedot

Reaalinen lukualue. Millainen on luku, jossa on päättymätön ja jaksoton desimaalikehitelmä?

Reaalinen lukualue. Millainen on luku, jossa on päättymätön ja jaksoton desimaalikehitelmä? Relinen lukulue POLYNOMIFUNKTIOT JA -YHTÄLÖT, MAA Millinen on luku, joss on päättymätön j jksoton desimlikehitelmä? Onko sellisi? Trkstelln Pythgorn luseest stv yksikköneliön lävistäjää, luku + = x x =.

Lisätiedot

Lebesguen integraali

Lebesguen integraali LUKU 3 Lebesguen integrli Seurvss esitettävä määritelmä Lebesguen integrlille ei ole Lebesguen lkuperäinen. Vuoden 1904 luennoissn [23] hän kuitenkin setti tvoitteeksi, että integrlill olisi ominisuus:

Lisätiedot

Matematiikan peruskurssi. Seppo Hassi

Matematiikan peruskurssi. Seppo Hassi Mtemtiikn peruskurssi Seppo Hssi Syksy 2014 iii Esipuhe Tämä on 1. versio Mtemtiikn peruskurssin opetusmonisteest, jonk sisältö noudttelee pitkälti Vsn yliopistoss iemmin luennoimni Mtemttiset menetelmät

Lisätiedot

ANALYYSIN TEORIA A JA B

ANALYYSIN TEORIA A JA B ANALYYSIN TEORIA A JA B Kikki luseit ei ole muotoiltu smll tvll kuin luennoill. Ilmoit virheistä yms osoitteeseen mikko.kngsmki@ut. (jos et ole vrm, onko kyseessä virhe, niin ilmoit mieluummin). 1. Yleistä,

Lisätiedot

Numeerinen integrointi

Numeerinen integrointi Pitkärnt: Lj mtemtiikk IX9 Numeerinen integrointi IX9 Numeerinen integrointi Numeerisell integroinnill trkoitetn määrätyn integrlin, eli reliluvun I(f,,b) = f(x)dx lskemist numeerisin keinoin (likimäärin)

Lisätiedot

Viikon aiheet. Pinta-ala

Viikon aiheet. Pinta-ala info Viikon iheet Mpu I:sen voit suoritt: Kurssin loppukokeess 23.10. Arvosn: koe + lskrit Mikäli yo. ik ei sovi, voit suoritt loppukokeen yleistenttitilisuudess 24.11. Arvosn: koe + lskrit. Ilmoittudu

Lisätiedot

Riemann-integraalin ja mittaintegraalin vertailua

Riemann-integraalin ja mittaintegraalin vertailua Riemnn-integrlin j mittintegrlin vertilu Pro grdu -tutkielm Pii Tskinen Mtemttisten tieteiden litos Oulun yliopisto Kevät 216 Sisältö Johdnto 3 1 Esitietoj 5 1.1 Välijost............................. 5

Lisätiedot

Matemaattiset menetelmät I. Seppo Hassi

Matemaattiset menetelmät I. Seppo Hassi Mtemttiset menetelmät I Seppo Hssi Syksy 2011 iii Esipuhe Tämä on 1. versio Mtemttiset menetelmät I-kurssin opetusmonisteest, jok perustuu Vsn yliopistoss luennoimni vstvn nimiseen kurssiin. Sisältö noudtt

Lisätiedot

ANALYYSI 3. Tero Kilpeläinen

ANALYYSI 3. Tero Kilpeläinen ANALYYSI 3 Tero Kilpeläinen Luentomuistiinpnoj syksyltä 2005 20. lokkuut 2005 Sisältö 1. Esitietoj 2 1.1. Riemnn-integrli............................ 2 1.2. Derivtt................................. 4 1.3.

Lisätiedot

MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1

MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 MS-A0102 Differentili- j integrlilskent 1 Riikk Korte (Pekk Alestlon klvojen pohjlt) Alto-yliopisto 22.11.2016 Sisältö Pint-l Integrli 1.1 Pint-l: Suorkulmio Seurvss trkstelln umpinisten tsokäyrien rjmi

Lisätiedot

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2017 Harjoitus 6, ratkaisuista. 1. Onko jokin demojen 5 tehtävän 3 relaatioista

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2017 Harjoitus 6, ratkaisuista. 1. Onko jokin demojen 5 tehtävän 3 relaatioista Mtemtiikn johntokurssi, syksy 07 Hrjoitus 6, rtkisuist. Onko jokin emojen 5 tehtävän reltioist ) R := {(, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, )}, ) S := {(, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ),

Lisätiedot

11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS

11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS 11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS Tilvuus on sen verrn rkielämässä viljelty käsite, että useimmiten sen syvemmin edes miettimättä ymmärretään, mitä juomlsin ti pikkuvuvn kylpymmeen tilvuudell trkoitetn.

Lisätiedot

4 Taso- ja avaruuskäyrät

4 Taso- ja avaruuskäyrät P2-luentoj kevät 2008, Pekk Alestlo 4 Tso- j vruuskäyrät Tässä luvuss tutustutn tso- j vruuskäyriin, niiden krenpituuteen j krevuuteen. Konkreettisin sovelluksin trkstelln nnettu rt pitkin liikkuvn hiukksen

Lisätiedot

Ville Turunen: Mat Matematiikan peruskurssi P1 3. välikokeen alueen teoriatiivistelmä 2007

Ville Turunen: Mat Matematiikan peruskurssi P1 3. välikokeen alueen teoriatiivistelmä 2007 Ville Turunen: Mt-.4 Mtemtiikn peruskurssi P 3. välikokeen lueen teoritiivistelmä 27 Mterili: kirjt [Adms] R. A. Adms: Clculus, complete course (6th edition), [Ly] D. C. Ly: Liner lgebr nd its pplictions

Lisätiedot

521. 522. 523. 524. 525. 526. 527. 12. Lisää määrätystä integraalista. 12.1. Integraalin arvioimisesta. Osoita: VASTAUS: Osoita: Osoita:

521. 522. 523. 524. 525. 526. 527. 12. Lisää määrätystä integraalista. 12.1. Integraalin arvioimisesta. Osoita: VASTAUS: Osoita: Osoita: 12. Lisää määrätystä integrlist 12.1. Integrlin rvioimisest 521. Osoit: 1 + x 2 22 1 < < 1 + x21 21. 522. Osoit: x 3 < 5 x 6 + 8x + 9 < 15 1 5. 523. Osoit: 2 2 < e x2 x < 2e 2. e 524. Olkoon k >. Osoit:

Lisätiedot

Sinilause ja kosinilause

Sinilause ja kosinilause Siniluse j kosiniluse GEOMETRI M3 Mikäli kolmion korkeus j knt tiedetään, voidn pint-l lske. Esimerkki: Lske kolmion l, kun 38 kulmn viereiset sivut ovt 8, j 6,8. Nyt knt tiedetään, korkeutt ei! 38 8,

Lisätiedot

2.2 Monotoniset jonot

2.2 Monotoniset jonot Mtemtiik tito 9, RATKAISUT Mootoiset joot ) Kosk,,,, ii 0 Lukujoo ( ) o siis lhlt rjoitettu Toislt 0 Lukujoo (

Lisätiedot

Säännöllisten operaattoreiden täydentäviä muistiinpanoja

Säännöllisten operaattoreiden täydentäviä muistiinpanoja Säännöllisten operttoreiden täydentäviä muistiinpnoj Antti-Juhni Kijnho 1. huhtikuut 2011 Vnht määritelmät Määritelmä 1. Äärellinen epätyhjä joukko on merkistö, j sen lkioit kutsutn merkeiksi. Määritelmä

Lisätiedot

Laskennan mallit (syksy 2010) 1. kurssikoe, ratkaisuja

Laskennan mallit (syksy 2010) 1. kurssikoe, ratkaisuja 582206 Lskennn mllit (syksy 2010) 1. kurssikoe, rtkisuj 1. [2+2+2 pistettä] Säännöllisissä lusekkeiss on käytetty tuttu lyhennysmerkintää Σ = ( ). () merkkijonot, joiden kksi ensimmäistä merkkiä ovt joko

Lisätiedot

Vektoriarvoisten funktioiden analyysiä

Vektoriarvoisten funktioiden analyysiä Vektorirvoisten funktioiden nlyysiä LuK-tutkielm Arttu Hrtikk 2330325 Mtemttisten tieteiden litos Oulun yliopisto Syksy 2016 Sisältö Johdnto 2 1 Vektorivruus 3 1.1 Normi j normivruus......................

Lisätiedot

Syksyn 2015 Pitkän matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut

Syksyn 2015 Pitkän matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut Sksn 0 Pitkän mtemtiikn YO-kokeen TI-Nspire CAS -rtkisut Tekijät: Olli Krkkulinen Rtkisut on ldittu TI-Nspire CAS -tietokoneohjelmll kättäen Muistiinpnot -sovellust. Kvt j lskut on kirjoitettu Mth -ruutuihin.

Lisätiedot

VEKTOREILLA LASKEMINEN

VEKTOREILLA LASKEMINEN ..07 VEKTOREILL LSKEMINEN YHTEENLSKU VEKTORIT, M4 Vektoreiden j summ on vektori +. Tämän summvektorin + lkupiste on vektorin lkupiste j loppupiste vektorin loppupiste, kun vektorin lkupisteenä on vektorin

Lisätiedot

Mika Hirvensalo. Insinöörimatematiikka B 2014

Mika Hirvensalo. Insinöörimatematiikka B 2014 Mik Hirvenslo Insinöörimtemtiikk B 4 Sisältö Rj-rvo j jtkuvuus....................................................... 5. Differentili- j integrlilskennn kehityksestä............................. 5. Relilukujen

Lisätiedot

Analyysin perusteet kauppatieteilijöille 800118P

Analyysin perusteet kauppatieteilijöille 800118P Anlyysin perusteet kupptieteilijöille 800118P Luentomoniste Kri Myllylä Niin Korteslhti Topi Törmä Oulun yliopisto Mtemttisten tieteiden litos Kevät 2015 Sisältö 1 Derivtt 3 1.1 Määritelmä..............................

Lisätiedot

3.3 KIELIOPPIEN JÄSENNYSONGELMA Ratkaistava tehtävä: Annettu yhteydetön kielioppi G ja merkkijono x. Onko

3.3 KIELIOPPIEN JÄSENNYSONGELMA Ratkaistava tehtävä: Annettu yhteydetön kielioppi G ja merkkijono x. Onko 3.3 KILIOPPIN JÄSNNYSONGLMA Rtkistv tehtävä: Annettu yhteydetön kielioppi G j merkkijono x. Onko x L(G)? Rtkisumenetelmä = jäsennyslgoritmi. Useit vihtoehtoisi menetelmiä, erityisesti kun G on jotin rjoitettu

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Mtemtiikn tukikurssi Kurssikert 3 Määrätyn integrlin lskeminen Aiemmin määrittelimme määrätyn integrlin f (x)dx funktion f (x) l- j yläsummien rj-rvon. Määrätyllä integrlill on kksi intuitiivist tulkint:.

Lisätiedot

Integraalilaskennasta lukiossa ja lukion oppikirjasarjoissa

Integraalilaskennasta lukiossa ja lukion oppikirjasarjoissa Integrlilskennst lukioss j lukion oppikirjsrjoiss Mtemtiikn pro grdu -tutkielm Mikko Huttunen Helsingin yliopisto 14. mliskuut 2013 HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY OF HELSINKI Tiedekunt/Ossto

Lisätiedot

Numeerinen integrointi.

Numeerinen integrointi. Numeerinen integrointi. Differentili- j integrlilskent 1, syksy 2015 Hrri Vrpnen Mtemtiikn j systeeminlyysin litos Alto-yliopisto Tiisti 6.10.2015 Sisältö Tylor-menetelmä. Käyttökelpoinen silloin, kun

Lisätiedot

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 5.2.2013

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 5.2.2013 Preliminäärikoe Pitkä Mtemtiikk 5..0 Kokeess s vstt enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä ( * ) merkittyjen tehtävien mksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien mksimipistemäärä on 6.. ) Rtkise yhtälö b)

Lisätiedot

Newton-Cotesin ja Gaussin integrointimenetelmistä

Newton-Cotesin ja Gaussin integrointimenetelmistä TAMPEREEN YLIOPISTO Pro grdu -tutkielm Anniin Julku Newton-Cotesin j Gussin integrointimenetelmistä Informtiotieteiden yksikkö Mtemtiikk Toukokuu 215 Tmpereen yliopisto Informtiotieteiden yksikkö JULKU,

Lisätiedot

VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 3.6.2014 Ratkaisut ja arvostelu

VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 3.6.2014 Ratkaisut ja arvostelu VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 3.6.4 Rtkisut j rvostelu. Koululisen todistuksen keskirvo x on lskettu ) b) c) d) kymmenen ineen perusteell. Jos koululinen nostisi neljän ineen

Lisätiedot

Pythagoraan lause. Pythagoras Samoslainen. Pythagoraan lause

Pythagoraan lause. Pythagoras Samoslainen. Pythagoraan lause Pythgorn luse Pythgors Smoslinen Pythgors on legendrinen kreikklinen mtemtiikko j filosofi. Tiedot hänen elämästään ovt epävrmoj j ristiriitisi. Tärkein Pythgorst j pythgorlisi koskev lähde on Lmlihosin

Lisätiedot

Neliömatriisin A determinantti on luku, jota merkitään det(a) tai A. Se lasketaan seuraavasti: determinantti on

Neliömatriisin A determinantti on luku, jota merkitään det(a) tai A. Se lasketaan seuraavasti: determinantti on 4. DETERINANTTI JA KÄÄNTEISATRIISI 6 4. Neliömtriisi determitti Neliömtriisi A determitti o luku, jot merkitää det(a) ti A. Se lsket seurvsti: -mtriisi A determitti o det(a) () -mtriisi A determitti void

Lisätiedot

Sarjojen tasainen suppeneminen

Sarjojen tasainen suppeneminen Srjojen tsinen suppeneminen Pro grdu -tutkielm Krist Mikkonen 165274 Itä-Suomen yliopisto Fysiikn j mtemtiikn litos 19. mrrskuut 2013 Sisältö 1 Johdnto 1 2 Lukujonoist j srjoist 2 2.1 Lukujoukoist...........................

Lisätiedot

Tasaväli-integraali. Mikko Rautiainen. matematiikan Pro Gradu-tutkielma

Tasaväli-integraali. Mikko Rautiainen. matematiikan Pro Gradu-tutkielma Tsväli-itegrli Mikko Rutiie mtemtiik Pro Grdu-tutkielm Jyväskylä yliopisto Mtemtiik j tilstotietee litos Kesä 2006 Sisältö Johdto 2 I Tsväli-itegrli: teori 3 1 Peruskäsitteitä 3 2 Tsväliporrsfuktio määrätty

Lisätiedot

A-Osio. Valitse seuraavista kolmesta tehtävästä kaksi, joihin vastaat. A-osiossa ei saa käyttää laskinta.

A-Osio. Valitse seuraavista kolmesta tehtävästä kaksi, joihin vastaat. A-osiossa ei saa käyttää laskinta. MAA Loppukoe 5.. Jussi Tyni Tee pisteytysruudukko konseptin yläreunn! Vstuksiin väliviheet, jotk perustelevt vstuksesi! Lue ohjeet huolellisesti! A-Osio. Vlitse seurvist kolmest tehtävästä kksi, joihin

Lisätiedot

Matematiikan perusteet taloustieteilijöille 2 800118P

Matematiikan perusteet taloustieteilijöille 2 800118P Mtemtiikn perusteet tloustieteilijöille 2 800118P Luentomoniste Kri Myllylä Niin Korteslhti Oulun yliopisto Mtemttisten tieteiden litos Kevät 2014 Sisältö 1 Mtriisilgebr j optimointi 4 11 Määritelmä 4

Lisätiedot

VEKTOREILLA LASKEMINEN

VEKTOREILLA LASKEMINEN 3..07 VEKTOREILLA LASKEMINEN YHTEENLASKU VEKTORIT, MAA Vektoreiden j summ on vektori +. Tämän summvektorin + lkupiste on vektorin lkupiste j loppupiste vektorin loppupiste, kun vektorin lkupisteenä on

Lisätiedot

Polynomien laskutoimitukset

Polynomien laskutoimitukset Polyomie lskutoimitukset Polyomi o summluseke, joss jokie yhteelskettv (termi) sisältää vi vkio j muuttuj välisiä kertolskuj. Esimerkki 0. Mm., 6 j ovt polyomej. Polyomist, joss o vi yksi termi, käytetää

Lisätiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1: tiivistelmä ja oheislukemista

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1: tiivistelmä ja oheislukemista Differentili- j integrlilskent 1: tiivistelmä j oheislukemist Pekk Alestlo 4. syyskuut 2014 Tähdellä merkityt kohdt on trkoitettu lähinnä oheislukemistoksi. Lisäksi mukn on joitkin lukiot kertvi kohti,

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 9: Integroimismenetelmät

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 9: Integroimismenetelmät MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 9: Integroimismenetelmät Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos 10.10.2016 Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen (Alto-yliopisto,

Lisätiedot

Paraabelikin on sellainen pistejoukko, joka määritellään urakäsitteen avulla. Paraabelin jokainen piste toteuttaa erään etäisyysehdon.

Paraabelikin on sellainen pistejoukko, joka määritellään urakäsitteen avulla. Paraabelin jokainen piste toteuttaa erään etäisyysehdon. 5. Prbeli Prbelikin on sellinen pistejoukko, jok määritellään urkäsitteen vull. Prbelin jokinen piste toteutt erään etäissehdon. ********************************************** MÄÄRITELMÄ : Prbeli on tson

Lisätiedot

MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 9: Integroimismenetelmät

MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 9: Integroimismenetelmät MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 9: Integroimismenetelmät Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos November 27, 2017 Pekk Alestlo,

Lisätiedot

1.3 Toispuoleiset ja epäoleelliset raja-arvot

1.3 Toispuoleiset ja epäoleelliset raja-arvot . Toisuoleiset j eäoleelliset rj-rvot Rj-rvo lim f () A olemssolo edellyttää että muuttuj täytyy void lähestyä rvo kummst suust hyväsä. Jos > ii sot että lähestyy rvo oikelt ositiivisest suust. Jos ts

Lisätiedot

Johdatus fraktaaliderivaattoihin ja niiden sovelluksiin

Johdatus fraktaaliderivaattoihin ja niiden sovelluksiin Jodtus frktliderivttoiin j niiden sovelluksiin Hnn Hlinen Mtemtiikn pro grdu Jyväskylän yliopisto Mtemtiikn j tilstotieteen litos Kesä 4 Tiivistelmä: Hnn Hlinen, Jodtus frktliderivttoiin j niiden sovelluksiin

Lisätiedot

Ristitulo ja skalaarikolmitulo

Ristitulo ja skalaarikolmitulo Ristitulo j sklrikolmitulo Opetussuunnitelmn 00 mukinen kurssi Vektorit (MAA) sisältää vektoreiden lskutoimituksist keskeisenä ineksen yhteenlskun, vähennyslskun, vektorin kertomisen luvull j vektoreiden

Lisätiedot

Matematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus Malliratkaisut (Sauli Lindberg)

Matematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus Malliratkaisut (Sauli Lindberg) Matematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus 4 9.4.-23.4.200 Malliratkaisut (Sauli Lindberg). Näytä, että Lusinin lauseessa voidaan luopua oletuksesta m(a)

Lisätiedot

TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma. Harri Lehtinen. Kongruenssista

TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma. Harri Lehtinen. Kongruenssista TAMPEREEN YLIOPISTO Pro grdu -tutkielm Hrri Lehtinen Kongruenssist Mtemtiikn, tilstotieteen j filosofin litos Mtemtiikk Helmikuu 006 Tmpereen yliopisto Mtemtiikn, tilstotieteen j filosofin litos LEHTINEN,

Lisätiedot

DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1. Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS

DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1. Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1 Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS Huomautus. Analyysin yksi keskeisimmistä käsitteistä on jatkuvuus! Olkoon A R mielivaltainen joukko

Lisätiedot

8 Potenssisarjoista. 8.1 Määritelmä. Olkoot a 0, a 1, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.1. Muotoa

8 Potenssisarjoista. 8.1 Määritelmä. Olkoot a 0, a 1, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.1. Muotoa 8 Potenssisarjoista 8. Määritelmä Olkoot a 0, a, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.. Muotoa a 0 + a (x c) + a 2 (x c) 2 + olevaa sarjaa sanotaan c-keskiseksi potenssisarjaksi. Selvästi jokainen

Lisätiedot

R(f, T ) := f(t k )(x k x k 1 ).

R(f, T ) := f(t k )(x k x k 1 ). Lebesguen tp määritellä mitt j integrli Lebesguen 1 itsensä lunperin käyttämä määritelmä mitlle j ennenkikke mitllisuuden käsitteelle poikke jonkinverrn nykyisin tvnomisest määrittelytvst. Ensinnäkin,

Lisätiedot

Painopiste. josta edelleen. x i m i. (1) m L A TEX 1 ( ) x 1... x k µ x k+1... x n. m 1 g... m n g. Kuva 1. i=1. i=k+1. i=1

Painopiste. josta edelleen. x i m i. (1) m L A TEX 1 ( ) x 1... x k µ x k+1... x n. m 1 g... m n g. Kuva 1. i=1. i=k+1. i=1 Pinopiste Snomme ts-ineiseksi kpplett, jonk mteriliss ei ole sisäisiä tiheyden vihteluj. Tällisen kppleen pinopisteen sijinti voidn joskus päätellä kppleen muodon perusteell. Esimerkiksi ts-ineisen pllon

Lisätiedot

8.4 Gaussin lause Edellä laskettiin vektorikentän v = rf(r) vuo R-säteisen pallon pinnan läpi, tuloksella

8.4 Gaussin lause Edellä laskettiin vektorikentän v = rf(r) vuo R-säteisen pallon pinnan läpi, tuloksella H 8.3.2 uontegrlt: vektoreden pntntegrlt Tvllsn tpus pntntegrlest on lske vektorkentän vuo pnnn läp: Trkstelln pnt j sllä psteessä P (x, y, z olev pnt-lkot d. Määrtellään vektorlnen pnt-lko d sten, että

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi. Hannu Kivimäki

Matematiikan tukikurssi. Hannu Kivimäki Mtemtiikn tukikurssi Hnnu Kivimäki Sisältö I Ensimmäinen välikoe Integrointi 2 Osittisintegrointi 5 3 Osmurtohjotelm 4 Lisää osmurtoj 4 5 Sijoituskeino 9 6 Määrätty integrli 2 7 Ylä- j lsumm 22 8 Määrätyn

Lisätiedot

Luku 15. Integraali. Esimerkki Suoraan edellisen luvun derivointikaavojen perusteella on voimassa

Luku 15. Integraali. Esimerkki Suoraan edellisen luvun derivointikaavojen perusteella on voimassa Luku 5. Integrli Merkitsemme seurvss [, b]:llä lukusuorn suljettu väliä { R : b}. Olkoon f välillä [, b] määritelty funktio. Snomme, että välillä [, b] määritelty funktio g on funktion f integrlifunktio

Lisätiedot