Cantorin joukon suoristuvuus tasossa
|
|
- Pauliina Hänninen
- 7 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Cantorin joukon suoristuvuus tasossa LuK-tutkielma Miika Savolainen Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Syksy 2016
2 Sisältö Johdanto 2 1 Cantorin joukon esittely 2 2 Suoristuvuus ja Lipschitz 3 3 Cantorin joukon suoristuvuus 6 Lähdeluettelo 11 1
3 Johdanto Tutkielman ensimmäisessä luvussa esitellään Cantorin joukko ja toisessa luvussa tutustutaan suoristuvuuteen. Kolmannessa luvussa yhdistetään nämä käsitteet ja todistetaan kaksi lausetta Cantorin joukon suoristuvuudesta. Vaikka aihe liittyy vahvasti mittateoriaan, tässä tutkielmassa sitä lähestytään alkeellisemmilla menetelmiltä. Lukijalta vaaditaan siksi vain hyvät perustiedot analyysistä. Esimerkiksi kompaktin joukon ominaisuuksia oletetaan tunnetuksi. Tutkielmassa on käytetty lähteenä teosta [1]. Kirjasta on otettu määritelmiä ja pari huomautusta sekä lemman 2.12 todistus. Muut tulokset olen todistanut itse. Myös kaikki esimerkit ovat minun laatimiani. 1 Cantorin joukon esittely Määritelmä 1.1. Olkoon 0 < λ < 1 2. Merkitään C 0(λ) = I 0,1 = [0, 1]. Poistetaan välin I 0,1 keskeltä avoin väli, jonka pituus on 1 2λ. Jäljelle jäävät välit I 1,1 = [0, λ] ja I 1,2 = [1 λ, 1]. Merkitään C 1 (λ) = I 1,1 I 1,2. Tätä prosessia voidaan jatkaa. Kun on määritelty välit I n 1,1,..., I n 1,2 n 1, poistetaan näiden välien keskeltä avoimet välit, joiden pituudet ovat (1 2λ)λ n 1. Näin saadaan suljetut välit I n,1,..., I n,2 n, joiden pituudet ovat λ n. Merkitään nyt C n (λ) = I n,1... I n,2 n. Tällöin Cantorin joukko on C(λ) = 2 n n=1 k=1 I n,k = C n (λ). Esimerkki 1.2. Kuuluisin erityistapaus on Cantorin kolmasosajoukko, missä λ = 1. Tällöin jokaisessa vaiheessa poistetaan välien keskimmäiset kol- 3 masosat. Kuvassa 1 on seitsemän ensimmäistä vaihetta tästä prosessista. n=1 Kuva 1: C n ( 1 ), n = 0,..., 6 3 Esimerkki 1.3. Tarkastellaan pistettä x C(λ). Nyt x C n (λ) kaikilla n N. Kun Cantorin joukon konstruktiossa poistetaan välin [0, 1] keskeltä osa, piste x jää joko vasemman- tai oikeanpuoleiseen jäljelle jäävään 2
4 väliin. Kun seuraavassa vaiheessa tämän välin keskeltä poistetaan väli, niin piste x jää sen välin jäljelle jäävistä osista joko vasemman- tai oikeanpuoleiseen väliin. Pistettä x vastaa siis yksikäsitteinen esitys a 0 a 1 a 2..., missä a n {vasen, oikea} kertoo, kumpaan jäljelle jäävään osaan x kuuluu, kun välin I n,k x keskeltä poistetaan osa. Tällainen esitys on olemassa jokaiselle joukon C(λ) pisteelle. Jos Cantorin joukko on numeroituva, niin kaikista pisteistä x 1, x 2,... C(λ) voidaan muodostaa lista. Tehdään tämä lista edellä x 1 a 1 0a 1 1a x 2 a 2 0a 2 1a määritellyn esityksen avulla: x 3 a 3 0a 3 1a Olkoon x piste, jolla on sellainen esitys a 0a 1a 2..., missä a n {vasen, oikea}, että a n a n+1 n kaikilla n N. Nyt x x i kaikilla i = 1, 2,..., joten x ei ole yllä olevassa listassa. Piste x kuuluu kuitenkin Cantorin joukkoon, joten lista ei sisällä kaikkia Cantorin joukon pisteitä. Siis Cantorin joukko on ylinumeroituva. Esimerkki 1.4. Korkeammissa ulottuvuuksissa Cantorin joukko määritellään yksiulotteisen tapauksen karteesisena tulona itsensä kanssa. Esimerkiksi kaksiulotteinen Cantorin joukko on C(λ) C(λ). Nyt prosessi aloitetaan yksikköneliöstä [0, 1] [0, 1] ja sen keskeltä poistetaan ristin muotoinen alue, jolloin kulmiin jää neljä neliötä, joiden sivun pituus on λ. Tätä jatketaan ja Cantorin joukko on kaikkien vaiheiden leikkaus kuten yksiulotteisen tapauksenkin kohdalla. Kuvassa 2 on viisi ensimmäistä vaihetta, kun λ = 1 3. Kuinka suuri on kaksiulotteinen Cantorin joukko? Joukon C n (λ) C n (λ) pinta-ala on 4 n λ 2n = (2λ) 2n. Koska lim n (2λ) 2n = 0 kaikilla 0 < λ < 1 2, niin kaksiulotteisen Cantorin joukon pinta-ala on 0. Esimerkissä 1.3 osoitettiin, että Cantorin joukko on ylinumeroituva. Myös janalla ja suoralla on nämä ominaisuudet. Kuitenkin suoran voidaan ajatella olevan suurempi kuin jana, sillä suoran pituus on ääretön, kun taas janalla on äärellinen pituus. Myös Cantorin joukon suurutta voidaan tutkia tästä näkökulmasta. Voidaanko Cantorin joukon pisteet yhdistää käyrällä, jonka pituus on äärellinen? Jotta tähän kysymykseen voidaan vastata, on syytä määritellä, mitä tarkoittaa käyrä ja sen pituus. 2 Suoristuvuus ja Lipschitz Määritelmä 2.1. Käyrä Γ on jatkuvan kuvauksen γ : [a, b] R n, missä [a, b] R on suljettu väli, kuva. Kuvaus γ on käyrän Γ parametrisointi. 3
5 Kuva 2: C n ( 1) C 3 n( 1 ), n = 0,..., 4 3 Huomautus 2.2. Koska kuvaus γ on jatkuva ja väli [a, b] on kompakti, niin myös käyrä Γ = γ([a, b]) on kompakti. Määritelmä 2.3. Käyrän Γ pituus parametrisoinnilla γ on n L(Γ) = sup γ(t i ) γ(t i 1 ), missä a = t 0 < t 1 <... < t n = b ovat välin [a, b] jakopisteitä. Jos L(Γ) < jollakin käyrän Γ parametrisoinnilla, niin käyrä Γ on suoristuva. Huomautus 2.4. Mikäli parametrisoinnista ei ole epäselvyyttä, voidaan puhua yksinkertaisesti käyrän pituudesta. Parametrisoinnin yhtälöä ei välttämättä tarvitse tuntea, sillä esimerkiksi kaikki injektiiviset parametrisoinnit antavat saman pituuden. Käyrän pituus ei kuitenkaan ole yleisesti yksikäsitteinen, vaan riippuu parametrisoinnista. Siksi on usein hyödyllistä keskittyä tarkastelemaan käyriä, jotka on parametrisoitu luonnollisella tavalla. Määritellään seuraavaksi tällainen parametrisointi. Määritelmä 2.5. Olkoon γ : [0, b] R n jatkuva kuvaus ja käyrä Γ sen kuva. Jos b = L(Γ) ja L(γ([0, t])) = t kaikilla t [0, b], niin käyrä Γ on parametrisoitu käyrän pituuden suhteen. 4
6 Huomautus 2.6. Käyrä voidaan parametrisoida käyrän pituuden suhteen jos ja vain jos se on suoristuva. Jos γ : [a, b] R n suoristuvan käyrän Γ eräs parametrisointi, niin voidaan määritellä kuvaus γ : [0, L(Γ)] R n asettamalla γ(t) = γ (u) kaikilla 0 t L(Γ), missä γ (u) on se yksikäsitteinen piste, jolle pätee L(γ [a, u]) = t. Toisaalta käyrän määritelmässä edellytetään, että väli [a, b] on suljettu, joten on oltava b <. Jos käyrä Γ on parametrisoitu käyrän pituuden suhteen, niin b = L(Γ) <. Nyt kysymys "Sisältyykö kaksiulotteinen Cantorin joukko suoristuvaan käyrään?"on määritelty. Vastaamisen helpottamiseksi otamme käyttöön vielä yhden hyödyllisen käsitteen. Määritelmä 2.7. Kuvaus f : A R k, missä A R n, on Lipschitz, jos on olemassa sellainen L 0, että f(a) f(b) L a b kaikilla a, b A. Esimerkki 2.8. Olkoon f : R R, f(x) = x, kuvaus. Tällöin f(a) f(b) = a b kaikilla a, b R. Nyt määritelmässä 2.7 voidaan valita L = 1. Siis kuvaus f on Lipschitz. Esimerkki 2.9. Olkoon ε > 0 ja f : A R k Lipschitz. Tällöin on olemassa sellainen L 0, että f(a) f(b) L a b kaikilla a, b A. Erityisesti f(a) f(b) L a b < ε, kun a b < ε L. Siis valitsemalla jatkuvuuden määritelmässä δ = ε L on jatkuva. nähdään, että kuvaus f Esimerkki Olkoon f : [0, [ R, f(x) = x, kuvaus ja L 0. Nyt on olemassa sellainen n N, että n > L. Tällöin 1/n 2 [0, [ ja f( 1 n 2 ) f(0) = 1 n 2 0 = 1 n = n 1 n 2 > L 1 n 2 0. Siis kuvaus f ei ole Lipschitz, vaikka onkin jatkuva. Miten Lipschitz-kuvaukset sitten liittyvät käyrän suoristumiseen? Siihen vastaavat seuraavat lemmat. Lemma Olkoon kuvaus γ : [a, b] R n Lipschitz. Tällöin käyrä Γ = γ([a, b]) on suoristuva. 5
7 Todistus. Koska kuvaus γ on Lipschitz, niin on olemassa sellainen L 0, että f(x) f(y) L x y kaikilla x, y [a, b]. Tällöin L(Γ) = sup = sup L n γ(t i ) γ(t i 1 ) sup n L t i t i 1 = sup L n t i t i 1 n (t i t i 1 ) = sup L(t n t 0 ) = sup L(b a) = L(b a) < eli käyrä Γ on suoristuva. Lemma Olkoon kuvaus γ : [0, b] R n suoristuvan käyrän Γ parametrisointi käyrän pituuden suhteen. Tällöin γ(t 1 ) γ(t 2 ) t 1 t 2 kaikilla t 1, t 2 [0, b]. Erityisesti kuvaus γ on Lipschitz. Todistus. Olkoon 0 t 2 t 1 b. Määritelmistä 2.3 ja 2.5 saadaan γ(t 1 ) γ(t 2 ) L(γ([t 1, t 2 ])) = L(γ([0, t 1 ])) L(γ([0, t 2 ])) = t 1 t 2. 3 Cantorin joukon suoristuvuus Nyt olemme valmiit vastaamaan kysymykseen Cantorin joukon suoristuvuudesta tasossa. Käy ilmi, että vastaus riippuu vakion λ arvosta. Pienillä arvoilla on olemassa sellainen suoristuva käyrä, johon Cantorin joukko sisältyy, mutta suurilla ei. Kriittinen arvo on λ = 1. Tämä on ymmärrettävä tulos, 4 sillä joukon C( 1 ) konstruktion jokaisessa vaiheessa poistetaan tasan puolet 4 sen pisteissä. Ennen varsinaisen väitteen todistamista tarvitaan vielä yksi lemma. Lemma 3.1. Olkoon Γ 1, Γ 2,..., Γ n, missä n = 2, 3,..., sellaisia suoristuvia käyriä, että Γ 1 Γ i kaikilla i = 1,..., n ja olkoon kuvaukset γ 1 : [0, l 1 ] R n, γ 2 : [0, l 2 ] R n,..., γ n : [0, l n ] R n näiden käyrien parametrisoinnit käyrän pituuden suhteen. Jos γ i (0) = γ i (l i ) kaikilla i = 1,..., n, niin käyrälle Γ = n Γ i on olemassa sellainen käyrän pituuden suhteen tehty parametrisointi γ : [0, n l i] R n, että γ(t) γ 1 (t) n i=2 l i kaikilla t [0, l 1 ] ja γ(0) = γ( n l i). Todistus. Todistetaan väite induktiolla n:n suhteen. Tarkastellaan ensin tapausta n = 2. Konstruoidaan kuvaus, joka kulkee aluksi käyrää Γ 1 pitkin, siirtyy käyrälle Γ 2 jossakin käyrien leikkauspisteessä ja käytyään läpi kaikki käyrän Γ 2 pisteet palaa takaisin käyrälle Γ 1. 6
8 Koska Γ 1 Γ 2, niin on olemassa sellaiset pisteet x [0, l 1 ] ja y [0, l 2 ], että γ 1 (x) = γ 2 (y). Nyt kuvaus γ : [0, l 1 + l 2 ] R n, γ 1 (t), kun t [0, x] γ 2 (t x + y), kun t [x, x + l 2 y] γ(t) =, γ 2 ( x + y l 2 ), kun t [x + l 2 y, x + l 2 ] γ 1 (t l 2 ), kun t [x + l 2, l 1 + l 2 ] on alussa kuvaillun käyrän kaltainen. Koska kuvaukset γ 1 ja γ 2 ovat parametrisointeja käyrän pituuden suhteen, niin myös kuvaus γ on parametrisointi käyrän pituuden suhteen. Nyt γ(t) γ 1 (t) = γ 1 (t) γ 1 (t) = 0 l 2, kun t [0, x] ja γ(t) γ 1 (t) = γ(t) γ(t + l 2 ) t (t + l 2 ) = l 2, kun t [x, l 1 ]. Lisäksi γ(0) = γ 1 (0) = γ 1 (l 1 ) = γ(l 1 + l 2 ). Oletetaan sitten, että väite pätee, kun n = k. Tällöin on olemassa sellainen käyrän Γ = k Γ i pituuden suhteen tehty parametrisointi γ : [0, k l i] R n, että γ (t) γ 1 (t) k i=2 l i kaikilla t [0, l 1 ] ja γ (0) = γ ( k l i). Soveltamalla tapausta n = 2 käyriin Γ ja Γ k+1 nähdään, että on olemassa sellainen käyrän Γ = Γ Γ k+1 = k+1 Γ i pituuden suhteen tehty parametrisointi γ : [0, k+1 l i] R n, että γ(t) γ (t) l k+1 kaikilla t [0, k l i] ja γ(0) = γ( k+1 l i). Siis γ(t) γ 1 (t) = γ(t) γ (t) + γ (t) γ 1 (t) γ(t) γ (t) + γ (t) γ 1 (t) k k+1 l k+1 + l i = l i kaikilla t [0, l 1 ]. i=2 i=2 Näin ollen väite pätee myös, kun n = k +1. Induktioperiaatteen nojalla väite pätee kaikilla n = 2, 3,.... Lause 3.2. Olkoon 0 < λ < 1. Tällöin on olemassa sellainen suoristuva 4 käyrä Γ R 2, että C(λ) C(λ) Γ. Todistus. Todistetaan väite konstruoimalla sellainen jono käyriä, että jonon raja-arvona saadaan käyrä, joka toteuttaa lauseen ehdot. Muodostetaan käyräjono kaksiulotteisen Cantorin joukon konstruktion avulla. Olkoon välit I n,k kuten määritelmässä 1.1. Kaksiulotteisen Cantorin joukon konstruktiossa olevat neliöt ovat välien karteesisia tuloja. Olkoon käyrät Γ n,k n,l näiden neliöiden reunat. Tässä käyrän indeksi vastaa neliön määräävien välien indeksejä. 7
9 Olkoon vielä kuvaukset γ n,k n,l edellä määriteltyjen käyrien parametrisoinnit käyrän pituuden suhteen. Olkoon sitten käyrä Γ 0 neliön C 0 (λ) C 0 (λ) reuna ja kuvaus γ sen parametrisointi käyrän pituuden suhteen. Olkoon nyt Γ 1 = Γ 0 Γ 1,1 1,1 Γ 1,1 1,2 Γ 1,2 1,1 Γ 1,2 1,2. Yleisesti asetetaan Γ n = Γ n 1 2 n 2 n j=1 Γ n,i n,j. Näin saadaan jono käyriä, joille pätee L(Γ n ) L(Γ n 1 ) = 2 n 2 n j=1 L(Γ n,i n,j ) = 2 n 2 n 4λ n = 4 (4λ) n. Osoitetaan sitten, että jono (γ n (t)) n N suppenee pisteittäin. Lemman 3.1 nojalla käyrälle Γ 1 on olemassa sellainen käyrän pituuden suhteen tehty parametrisointi γ 1, että γ 1 (t) γ 0 (t) 4 4λ kaikilla t [0, L(Γ 0 )]. Yleisesti nähdään, että käyrälle Γ n on olemassa sellainen käyrän pituuden suhteen tehty parametrisointi γ n, että γ n (t) γ n 1 (t) 4 (4λ) n kaikilla t [0, L(Γn 1)]. Koska lim n 4 (4λ) n = 0, kun 0 < λ < 1 4, niin jono (γ n(t)) n N on Cauchyjono. Koska [0, 1] [0, 1] on kompakti joukko, niin jono (γ n (t)) n N suppenee. Siis raja-arvo lim n γ n = γ on olemassa. Osoitetaan seuraavaksi, että kuvauksen γ kuva Γ on suoristuva käyrä. Koska kuvaukset γ n ovat käyrän pituuden suhteen parametrisoituja, niin lemman 2.12 nojalla γ n (x) γ n (y) x y kaikilla x, y [0, L(Γ n )]. Siis γ(x) γ(y) = lim n γ n (x) γ n (y) lim n x y = x y. Näin ollen kuvaus γ on Lipschitz. Lemman 2.11 nojalla Γ on suoristuva käyrä. Lemmaa 2.11 voidaan käyttää, koska n lim L(Γ n) = lim 4 (4λ) k = 4 (4λ) k <, n n k=0 kun 0 < λ < 1 4. Osoitetaan lopuksi, että kaksiulotteinen Cantorin joukko sisältyy käyrään Γ. Olkoon x C(λ) C(λ). Nyt x C n (λ) C n (λ) kaikilla n N. Tällöin kaikilla n N on olemassa sellainen neliö I n,a I n,b, että x I n,a I n,b. Tämän neliön reunalla on sellainen piste y n Γ n Γ, että x y n λ n. Koska tämä pätee kaikille n N, niin saadaan jono (y n ) n N. Koska lim n λ n = 0, niin jonon (y n ) n N raja-arvo on lim n y n = x. Koska käyrä Γ on kompakti, niin jonon raja-arvo kuuluu käyrään Γ. Siis x Γ. Näin ollen C(λ) C(λ) Γ. k=0 Yllä oleva todistus toimii vain, kun λ < 1 4. Jos λ 1 4, niin lim L(Γ n) = 4 (4λ) k =. n 8 k=0
10 Siis todistuksessa konstruoidun käyräjonon raja-arvo ei tällöin voi olla suoristuva käyrä. Osoitetaan seuraavaksi, ettei ole olemassa suoristuvaa käyrää, johon kaksiulotteinen Cantorin joukko sisältyy, kun λ 1 4. Lemma 3.3. Olkoon 1 4 λ < 1 2 ja välit I n,k C n (λ) kuten määritelmässä 1.1. Jos Γ on sellainen käyrä, että Γ I n,k I n,l kaikilla I n,k I n,l C n (λ) C n (λ), niin L(Γ) 3(1 2λ)n. Todistus. Olkoon käyrä Γ sellainen, että se leikkaa jokaista joukon C n (λ) C n (λ) neliötä ja kuvaus γ sen parametrisointi. Nyt on olemassa pisteet γ(t n,k n,l ) Γ I n,k I n,l. Indeksoidaan ne uudestaan valitsemalla indekseiksi luvut 1, 2,..., 4 n siten, että t i < t j kaikilla i < j. Siis käyrä Γ kulkee näiden pisteiden kuvien kautta indeksin määräämässä järjestyksessä. Tällöin käyrän Γ pituudelle saadaan alaraja L(Γ) 4 n 1 γ(t i+1 ) γ(t i ) Tarkastellaan tämän summan termejä. Jos γ(t i ) I 1,i I 1,j C 1 (λ) C 1 (λ) ja γ(t j ) I 1,k I 1,l C 1 (λ) C 1 (λ), missä I 1,i I 1,j I 1,k I 1,l, niin γ(t i ) γ(t j ) 1 2λ. Koska jokainen neliö I 1,k I 1,l C 1 (λ) C 1 (λ) sisältää pisteitä γ(t i ), niin summa 4 n 1 γ(t i+1 ) γ(t i ) sisältää ainakin 4 1 = 3 termiä, jotka ovat vähintään 1 2λ. Yleisesti jos γ(t i ) I m,i I m,j C m (λ) C m (λ) ja γ(t j ) I m,k I m,l C m (λ) C m (λ), missä I m,i I m,j I m,k I m,l, niin γ(t i ) γ(t j ) (1 2λ)λ m 1. Kun m n, niin jokainen neliö I m,k I m,l C m (λ) C m (λ) sisältää pisteitä γ(t i ), joten summa 4 n 1 γ(t i+1 ) γ(t i ) sisältää ainakin 4 m 1 termiä, jotka ovat vähintään (1 2λ)λ m 1. Näin ollen L(Γ) 4 n 1 γ(t i+1 ) γ(t i ) (4 1)(1 2λ) + ((4 2 1) (4 1))(1 2λ)λ ((4 n 1) (4 n 1 1))(1 2λ)λ n 1 = 3((1 2λ) + (4 2 4)(1 2λ)λ (4 n 4 n 1 )(1 2λ)λ n 1 = 3((1 2λ) + 3 4(1 2λ)λ n 1 (1 2λ)λ n 1 n 1 n 1 = 3(1 2λ)4 k λ k = 3(1 2λ) (4λ) k k=0 n 1 3(1 2λ) 1 = 3(1 2λ)n k=0 k=0 9
11 Lause 3.4. Olkoon 1 λ < 1. Tällöin ei ole olemassa sellaista suoristuvaa 4 2 käyrää Γ R 2, että C(λ) C(λ) Γ. Todistus. Olkoon 1 λ < 1 ja Γ sellainen käyrä, että C(λ) C(λ) 4 2 Γ. Joukolla C(λ) C(λ) on yhteisiä pisteitä jokaisen neliön I n,k I n,l C n (λ) C n (λ) kanssa kaikilla n N. Esimerkiksi jokaisen neliön kulmapisteet kuuluvat joukkoon C(λ) C(λ). Siis käyrä Γ toteuttaa lemman 3.3 ehdot. Näin ollen L(Γ) 3(1 2λ)n kaikilla n N. Koska lim n 3(1 2λ)n =, niin L(Γ) = eli käyrä Γ ei ole suoristuva. 10
12 Lähdeluettelo [1] K. J. Falconer: The Geometry of Fractal Sets. Cambridge University Press. 11
1 sup- ja inf-esimerkkejä
Alla olevat kohdat (erityisesti todistukset) ovat lähinnä oheislukemista reaaliluvuista, mutta joihinkin niistä palataan myöhemmin kurssilla. 1 sup- ja inf-esimerkkejä Nollakohdan olemassaolo. Kaikki tuntevat
Lisätiedot1 Supremum ja infimum
Pekka Alestalo, 2018 Tämä moniste täydentää reaalilukuja ja jatkuvia reaalifunktioita koskevaa kalvosarjaa lähinnä perustelujen ja todistusten osalta. Suurin osa määritelmistä jms. on esitetty jo kalvoissa,
Lisätiedot1 sup- ja inf-esimerkkejä
Alla olevat kohdat (erityisesti todistukset) ovat lähinnä oheislukemista reaaliluvuista, mutta joihinkin niistä palataan myöhemmin kurssilla. 1 sup- ja inf-esimerkkejä Kaarenpituus. Olkoon r: [a, b] R
LisätiedotDerivaattaluvut ja Dini derivaatat
Derivaattaluvut Dini derivaatat LuK-tutkielma Helmi Glumo 2434483 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Syksy 2016 Sisältö Johdanto 2 1 Taustaa 2 2 Määritelmät 4 3 Esimerkkejä lauseita 7 Lähdeluettelo
LisätiedotMATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS
f ( n JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS n Harjoitusten 8 ratkaisut Topologiset vektoriavaruudet 2010 8.1. Olkoon P n = {f : K K p on enintään asteen n 1 polynomi} varustettuna
LisätiedotKonvergenssilauseita
LUKU 4 Konvergenssilauseita Lause 4.1 (Monotonisen konvergenssin lause). Olkoon (f n ) kasvava jono Lebesgueintegroituvia funktioita. Asetetaan f(x) := f n (x). Jos f n
LisätiedotMatematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus Malliratkaisut (Sauli Lindberg)
Matematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus 4 9.4.-23.4.200 Malliratkaisut (Sauli Lindberg). Näytä, että Lusinin lauseessa voidaan luopua oletuksesta m(a)
LisätiedotIV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n
IV. TASAINEN SUPPENEMINEN IV.. Funktiojonon tasainen suppeneminen Olkoon A R joukko ja f n : A R funktio, n =, 2, 3,..., jolloin jokaisella x A muodostuu lukujono f x, f 2 x,.... Jos tämä jono suppenee
Lisätiedot1 Määrittelyjä ja aputuloksia
1 Määrittelyjä ja aputuloksia 1.1 Supremum ja infimum Aluksi kerrataan pienimmän ylärajan (supremum) ja suurimman alarajan (infimum) perusominaisuuksia ja esitetään muutamia myöhemmissä todistuksissa tarvittavia
LisätiedotCantorin joukko LUKU 8
LUKU 8 Cantorin joukko 8.. Cantorin 3 -joukko Merkitään J = J 0, = [0, ]. Poistetaan välin J keskeltä avoin väli I,, jonka pituus on /3; siis I, = (, 2). Olkoot jäljelle jäävät suljetut välit J 3 3, ja
LisätiedotDIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1. Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS
DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1 Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS Huomautus. Analyysin yksi keskeisimmistä käsitteistä on jatkuvuus! Olkoon A R mielivaltainen joukko
Lisätiedot(iv) Ratkaisu 1. Sovelletaan Eukleideen algoritmia osoittajaan ja nimittäjään. (i) 7 = , 7 6 = = =
JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 07) HARJOITUS 7, MALLIRATKAISUT Tehtävä Etsi seuraavien rationaalilukujen ketjumurtokehitelmät: (i) 7 6 (ii) 4 7 (iii) 65 74 (iv) 63 74 Ratkaisu Sovelletaan Eukleideen algoritmia
Lisätiedot1. Esitä rekursiivinen määritelmä lukujonolle
Matematiikan laitos Johdatus Diskrettiin Matematiikkaan Harjoitus 4 24.11.2011 Ratkaisuehdotuksia Aleksandr Pasharin 1. Esitä rekursiivinen määritelmä lukujonolle (a) f(n) = (2 0, 2 1, 2 2, 2 3, 2 4,...)
LisätiedotInjektio. Funktiota sanotaan injektioksi, mikäli lähtöjoukon eri alkiot kuvautuvat maalijoukon eri alkioille. Esim.
Injektio Funktiota sanotaan injektioksi, mikäli lähtöjoukon eri alkiot kuvautuvat maalijoukon eri alkioille. Esim. Funktio f on siis injektio mikäli ehdosta f (x 1 ) = f (x 2 ) seuraa, että x 1 = x 2.
LisätiedotKaikki kurssin laskuharjoitukset pidetään Exactumin salissa C123. Malliratkaisut tulevat nettiin kurssisivulle.
Kombinatoriikka, kesä 2010 Harjoitus 1 Ratkaisuehdotuksia (RT (5 sivua Kaikki kurssin laskuharjoitukset pidetään Exactumin salissa C123. Malliratkaisut tulevat nettiin kurssisivulle. 1. Osoita, että vuoden
LisätiedotPolkuintegraali yleistyy helposti paloitain C 1 -poluille. Määritelmä Olkoot γ : [a, b] R m paloittain C 1 -polku välin [a, b] jaon
Polkuintegraali yleistyy helposti paloitain C 1 -poluille. Määritelmä 4.1.3. Olkoot : [a, b] R m paloittain C 1 -polku välin [a, b] jaon P = {a = t 1 < < t k = b} ja joukko D R m sellainen, että ([a, b])
LisätiedotTäydellisyysaksiooman kertaus
Täydellisyysaksiooman kertaus Luku M R on joukon A R yläraja, jos a M kaikille a A. Luku M R on joukon A R alaraja, jos a M kaikille a A. A on ylhäältä (vast. alhaalta) rajoitettu, jos sillä on jokin yläraja
Lisätiedot4.3 Moniulotteinen Riemannin integraali
4.3 Moniulotteinen Riemannin integraali Tässä luvussa opitaan miten integroidaan usean muuttujan reaaliarvoista tai vektoriarvoista funktiota, millaisten joukkojen yli jatkuvaa funktiota voi integroida,
LisätiedotSelvästi. F (a) F (y) < r x d aina, kun a y < δ. Kolmioepäyhtälön nojalla x F (y) x F (a) + F (a) F (y) < d + r x d = r x
Seuraavaksi tarkastellaan C 1 -sileiden pintojen eräitä ominaisuuksia. Lemma 2.7.1. Olkoon S R m sellainen C 1 -sileä pinta, että S on C 1 -funktion F : R m R eräs tasa-arvojoukko. Tällöin S on avaruuden
Lisätiedot7. Tasaisen rajoituksen periaate
18 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 7. Tasaisen rajoituksen periaate Täydellisyydestä puristetaan maksimaalinen hyöty seuraavan Bairen lauseen avulla. Bairen lause on keskeinen todistettaessa kahta funktionaalianalyysin
LisätiedotJohdatus diskreettiin matematiikkaan (syksy 2009) Harjoitus 3, ratkaisuja Janne Korhonen
Johdatus diskreettiin matematiikkaan (syksy 009) Harjoitus 3, ratkaisuja Janne Korhonen 1. Väite: Funktio f : [, ) [1, ), missä on bijektio. f(x) = x + 4x + 5, Todistus: Luentomateriaalissa todistettujen
LisätiedotFunktiot. funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina.
Funktiot Tässä luvussa käsitellään reaaliakselin osajoukoissa määriteltyjä funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina. Avoin väli: ]a, b[ tai ]a, [ tai ],
LisätiedotRiemannin sarjateoreema
Riemannin sarjateoreema LuK-tutielma Sami Määttä 2368326 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Sysy 206 Sisältö Johdanto 2 Luujonot 3 2 Sarjat 4 2. Vuorottelevat sarjat........................
LisätiedotReaaliluvut. tapauksessa metrisen avaruuden täydellisyyden kohdalla. 1 fi.wikipedia.org/wiki/reaaliluku 1 / 13
Reaaliluvut Reaalilukujen joukko R. Täsmällinen konstruointi palautuu rationaalilukuihin, jossa eri mahdollisuuksia: - Dedekindin leikkaukset - rationaaliset Cauchy-jonot - desimaaliapproksimaatiot. Reaalilukujen
LisätiedotLuonnollisten lukujen ja kokonaislukujen määritteleminen
Luonnollisten lukujen ja kokonaislukujen määritteleminen LuK-tutkielma Jussi Piippo Matemaattisten tieteiden yksikkö Oulun yliopisto Kevät 2017 Sisältö 1 Johdanto 2 2 Esitietoja 3 2.1 Joukko-opin perusaksioomat...................
LisätiedotAnalyysin peruslause
LUKU 10 Analyysin peruslause 10.1. Peruslause I Aiemmin Cantorin funktion ψ kohdalla todettiin, että analyysin peruslause II ei päde: [0,1] ψ (x) dm(x) < ψ(1) ψ(0). Kasvavalle funktiolle analyysin peruslauseesta
LisätiedotMääritelmä 2.5. Lause 2.6.
Määritelmä 2.5. Olkoon X joukko ja F joukko funktioita f : X R. Joukkoa F sanotaan pisteittäin rajoitetuksi, jos jokaiselle x X on olemassa sellainen C x R, että f x C x jokaiselle f F. Joukkoa F sanotaan
LisätiedotKOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012
KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 RITVA HURRI-SYRJÄNEN 7. Integaalilauseita 7.1. Gousatin lemma. (Edouad Jean-Baptiste Gousat, 1858-1936, anskalainen matemaatikko) Olkoon R tason suljettu suoakaide,
Lisätiedotisomeerejä yhteensä yhdeksän kappaletta.
Tehtävä 2 : 1 Esitetään aluksi eräitä havaintoja. Jokaisella n Z + symbolilla H (n) merkitään kaikkien niiden verkkojen joukkoa, jotka vastaavat jotakin tehtävänannon ehtojen mukaista alkaanin hiiliketjua
LisätiedotToispuoleiset raja-arvot
Toispuoleiset raja-arvot Määritelmä Funktiolla f on oikeanpuoleinen raja-arvo a R pisteessä x 0 mikäli kaikilla ɛ > 0 löytyy sellainen δ > 0 että f (x) a < ɛ aina kun x 0 < x < x 0 + δ; ja vasemmanpuoleinen
LisätiedotOletetaan ensin, että tangenttitaso on olemassa. Nyt pinnalla S on koordinaattiesitys ψ, jolle pätee että kaikilla x V U
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi II, syksy 018 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotukset Tehtävä 1. Olkoon U R avoin joukko ja ϕ = (ϕ 1, ϕ, ϕ 3 ) : U R 3 kaksiulotteisen C 1 -alkeispinnan
LisätiedotMiten osoitetaan joukot samoiksi?
Miten osoitetaan joukot samoiksi? Määritelmä 1 Joukot A ja B ovat samat, jos A B ja B A. Tällöin merkitään A = B. Kun todistetaan, että A = B, on päättelyssä kaksi vaihetta: (i) osoitetaan, että A B, ts.
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 6 Sarjojen suppeneminen Kiinnostuksen kohteena on edelleen sarja a k = a + a 2 + a 3 + a 4 +... k= Tämä summa on mahdollisesti äärellisenä olemassa, jolloin sanotaan
LisätiedotJohdatus matemaattiseen päättelyyn
Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä 2 Todistamisesta 2 3 Joukko-oppia Tässä luvussa tarkastellaan joukko-opin
LisätiedotInduktiota käyttäen voidaan todistaa luonnollisia lukuja koskevia väitteitä, jotka ovat muotoa. väite P(n) on totta kaikille n = 0,1,2,...
Induktiotodistus Induktiota käyttäen voidaan todistaa luonnollisia lukuja koskevia väitteitä, jotka ovat muotoa väite P(n) on totta kaikille n = 0,1,2,.... Tässä väite P(n) riippuu n:n arvosta. Todistuksessa
LisätiedotAlkulukujen harmoninen sarja
Alkulukujen harmoninen sarja LuK-tutkielma Markus Horneman Oiskelijanumero:2434548 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun ylioisto Syksy 207 Sisältö Johdanto 2 Hyödyllisiä tuloksia ja määritelmiä 3. Alkuluvuista............................
LisätiedotTenttiin valmentavia harjoituksia
Tenttiin valmentavia harjoituksia Alla olevissa harjoituksissa suluissa oleva sivunumero viittaa Juha Partasen kurssimonisteen siihen sivuun, jolta löytyy apua tehtävän ratkaisuun. Funktiot Harjoitus.
Lisätiedotsaadaan kvanttorien järjestystä vaihtamalla ehto Tarkoittaako tämä ehto mitään järkevää ja jos, niin mitä?
ANALYYSI A, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT 209 4 Funktion raja-arvo 4. Määritelmä. Funktion raja-arvon määritelmän ehdosta ε > 0: δ > 0: f) A < ε aina, kun 0 < a < δ, saadaan kvanttorien järjestystä vaihtamalla
LisätiedotSarjat ja integraalit
Sarjat ja integraalit Peter Hästö 1. huhtikuuta 2015 Matemaattisten tieteiden laitos Eteneminen pvm luku v 11 2.1, 2.2 v 12 2.3, 2.4 v 13 3.0, 3.1 v 14 3.2 v 15 4 v 16 5.1 v 17 5.2 v 18 6.1 v 19 6.2 Peter
LisätiedotFUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. 0. Johdanto
FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. Johdanto Funktionaalianalyysissa tutkitaan muun muassa ääretönulotteisten vektoriavaruuksien, ja erityisesti täydellisten normiavaruuksien eli Banach avaruuksien ominaisuuksia.
Lisätiedotr > y x z x = z y + y x z y + y x = r y x + y x = r
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi I, syksy 018 Harjoitus Ratkaisuehdotukset Tehtävä 1. Osoita, että avoin kuula on avoin joukko ja suljettu kuula on suljettu joukko. Ratkaisu.
LisätiedotInduktio, jonot ja summat
Induktio, jonot ja summat Matemaattinen induktio on erittäin hyödyllinen todistusmenetelmä, jota sovelletaan laajasti. Sitä verrataan usein dominoefektiin eli ketjureaktioon, jossa ensimmäisen dominopalikka
Lisätiedotpeitteestä voidaan valita äärellinen osapeite). Äärellisen monen nollajoukon yhdiste on nollajoukko.
Esimerkki 4.3.9. a) Piste on nollajoukko. Suoran rajoitetut osajoukot ovat avaruuden R m, m 2, nollajoukkoja. Samoin suorakaiteiden reunat koostuvat suoran kompakteista osajoukoista. b) Joukko = Q m [0,
LisätiedotTopologisten avaruuksien metristyvyys. Toni Annala
Topologisten avaruuksien metristyvyys Toni Annala Sisältö 1 Johdanto 2 2 Topologiset avaruudet 3 3 Erotteluaksioomat 8 4 Metristyvät avaruudet 13 5 Metristyvyys 17 1 Luku 1 Johdanto Topologia on matematiikan
LisätiedotTopologia I Harjoitus 6, kevät 2010 Ratkaisuehdotus
Topologia I Harjoitus 6, kevät 2010 Ratkaisuehdotus 1. (5:7) Olkoon E normiavaruus, I = [0, 1] ja f, g : I E jatkuvia. Osoita, että yhtälön h(s, t) = (1 t)f(s) + tg(s) määrittelemä kuvaus h : I 2 E on
LisätiedotKÄYRÄN PITUUS METRISESSÄ AVARUUDESSA
KÄYRÄN PITUUS METRISESSÄ AVARUUDESSA Hanna Männistö Matematiikan pro gradu Jyväskylän yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Kevät 2014 Sisältö Johdanto 1 Luku 1. Metrisistä avaruuksista 4 Luku
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 4 Jatkuvuus Jatkuvan funktion määritelmä Tarkastellaan funktiota f x) jossakin tietyssä pisteessä x 0. Tämä funktio on tässä pisteessä joko jatkuva tai epäjatkuva. Jatkuvuuden
Lisätiedot1 + b t (i, j). Olkoon b t (i, j) todennäköisyys, että B t (i, j) = 1. Siis operaation access(j) odotusarvoinen kustannus ajanhetkellä t olisi.
Algoritmien DP ja MF vertaileminen tapahtuu suoraviivaisesti kirjoittamalla kummankin leskimääräinen kustannus eksplisiittisesti todennäköisyyksien avulla. Lause T MF ave = 1 + 2 1 i
LisätiedotAlgebra I, Harjoitus 6, , Ratkaisut
Algebra I Harjoitus 6 9. 13.3.2009 Ratkaisut Algebra I Harjoitus 6 9. 13.3.2009 Ratkaisut (MV 6 sivua 1. Olkoot M ja M multiplikatiivisia monoideja. Kuvaus f : M M on monoidihomomorfismi jos 1 f(ab = f(af(b
LisätiedotLuuppien ryhmistä Seminaariesitelmä Miikka Rytty Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2006
Luuppien ryhmistä Seminaariesitelmä Miikka Rytty Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2006 Sisältö 1 Luupeista 2 1.1 Luupit ja niiden kertolaskuryhmät................. 2 2 Transversaalit 5 3
Lisätiedotreaalifunktioiden ominaisuutta, joiden perusteleminen on muita perustuloksia hankalampaa. Kalvoja täydentää erillinen moniste,
Reaaliluvuista Pekka Alestalo Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Nämä kalvot sisältävät tiivistelmän reaaliluvuista ja niihin liittyvistä käsitteistä.
Lisätiedot(2n 1) = n 2
3.5 Induktiotodistus Induktiota käyttäen voidaan todistaa luonnollisia lukuja koskevia väitteitä, jotka ovat muotoa väite P (n) on totta kaikille n =0, 1, 2,... Tässä väite P (n) riippuu n:n arvosta. Todistuksessa
Lisätiedot5 Funktion jatkuvuus ANALYYSI A, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT Määritelmä ja perustuloksia. 1. Tarkastellaan väitettä
ANALYYSI A, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT 2019 5 Funktion jatkuvuus 5.1 Määritelmä ja perustuloksia 1. Tarkastellaan väitettä a > 0: b > 0: c > 0: d U c (a): f(d) / U b (f(a)), missä a, b, c, d R. Mitä funktion
LisätiedotSekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä
Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 005, sivu 1 / 13 Tehtäviä Tehtävä 1. Johda toiseen asteen yhtälön ax + bx + c = 0, a 0 ratkaisukaava. Tehtävä. Määrittele joukon A R pienin yläraja sup A ja suurin alaraja
LisätiedotMatematiikan johdantokurssi, syksy 2016 Harjoitus 11, ratkaisuista
Matematiikan johdantokurssi, syksy 06 Harjoitus, ratkaisuista. Valitse seuraaville säännöille mahdollisimman laajat lähtöjoukot ja sopivat maalijoukot niin, että syntyy kahden muuttujan funktiot (ks. monisteen
LisätiedotDihedraalinen ryhmä Pro gradu Elisa Sonntag Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2013
Dihedraalinen ryhmä Pro gradu Elisa Sonntag Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2013 Sisältö Johdanto 2 1 Ryhmä 3 2 Symmetrinen ryhmä 6 3 Symmetriaryhmä 10 4 Dihedraalinen ryhmä 19 Lähdeluettelo
LisätiedotKuinka määritellään 2 3?
Kuinka määritellään 2 3? y Nyt 3 = 1,7320508.... Luvut 3 2 x x 3 2 x 2 1 = 2, 2 1,7 3,2490, 2 1,73 3,3173, 2 1,732 3,3219,... ovat hyvin määriteltyjä koska näihin tarvitaan vain rationaalilukupotenssin
LisätiedotOrtogonaaliprojektio äärellisulotteiselle aliavaruudelle
Ortogonaaliprojektio äärellisulotteiselle aliavaruudelle Olkoon X sisätuloavaruus ja Y X äärellisulotteinen aliavaruus. Tällöin on olemassa lineaarisesti riippumattomat vektorit y 1, y 2,..., yn, jotka
LisätiedotKantavektorien kuvavektorit määräävät lineaarikuvauksen
Kantavektorien kuvavektorit määräävät lineaarikuvauksen Lause 18 Oletetaan, että V ja W ovat vektoriavaruuksia. Oletetaan lisäksi, että ( v 1,..., v n ) on avaruuden V kanta ja w 1,..., w n W. Tällöin
LisätiedotMatematiikan tukikurssi, kurssikerta 5
Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 5 1 Jonoista Matematiikassa jono (x n ) on yksinkertaisesti järjestetty, päättymätön sarja numeroita Esimerkiksi (1,, 3, 4, 5 ) on jono Jonon i:ttä jäsentä merkitään
LisätiedotAnalyysi 1. Harjoituksia lukuihin 1 3 / Syksy Osoita täsmällisesti perustellen, että joukko A = x 4 ei ole ylhäältä rajoitettu.
Analyysi Harjoituksia lukuihin 3 / Syksy 204. Osoita täsmällisesti perustellen, että joukko { 2x A = x ]4, [. x 4 ei ole ylhäältä rajoitettu. 2. Anna jokin ylä- ja alaraja joukoille { x( x) A = x ], [,
Lisätiedot[a] ={b 2 A : a b}. Ekvivalenssiluokkien joukko
3. Tekijälaskutoimitus, kokonaisluvut ja rationaaliluvut Tässä luvussa tutustumme kolmanteen tapaan muodostaa laskutoimitus joukkoon tunnettujen laskutoimitusten avulla. Tätä varten määrittelemme ensin
LisätiedotEpälineaaristen yhtälöiden ratkaisumenetelmät
Epälineaaristen yhtälöiden ratkaisumenetelmät Keijo Ruotsalainen Division of Mathematics Perusoletus Lause 3.1 Olkoon f : [a, b] R jatkuva funktio siten, että f(a)f(b) < 0. Tällöin funktiolla on ainakin
Lisätiedot5 Funktion jatkuvuus ANALYYSI A, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT Määritelmä ja perustuloksia
ANALYYSI A, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT 2018 5 Funktion jatkuvuus 5.1 Määritelmä ja perustuloksia 1. Tarkastellaan väitettä a > 0: b > 0: c > 0: d U c (a): f(d) / U b (f(a)), missä a, b, c, d R. Mitä funktion
LisätiedotMS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus
MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 19.9.2016 Pekka Alestalo, Jarmo
LisätiedotLineaarialgebra ja matriisilaskenta II. LM2, Kesä /141
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II LM2, Kesä 2012 1/141 Kertausta: avaruuden R n vektorit Määritelmä Oletetaan, että n {1, 2, 3,...}. Avaruuden R n alkiot ovat jonoja, joissa on n kappaletta reaalilukuja.
LisätiedotMatemaattisen analyysin tukikurssi
Matemaattisen analyysin tukikurssi 5. Kurssikerta Petrus Mikkola 10.10.2016 Tämän kerran asiat Raja-arvo ja toispuolinen raja-arvo Funktion suurin ja pienin arvo Lukujono Lukujonon suppeneminen Kasvava
LisätiedotAnalyysi I (mat & til) Demonstraatio IX
Analyysi I (mat & til) Demonstraatio IX 16.11. 2018 II välikoe 19.11. klo 9 salissa IX. Ilmoittaudu NettiOpsussa 12.11. mennessä. Koealue: Funktion raja-arvo, jatkuvuus ja Bolzanon lause, ts. kirjan luku
LisätiedotMS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 1: Parametrisoidut käyrät ja kaarenpituus
MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 1: Parametrisoidut käyrät ja kaarenpituus Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0202 Syksy 2015 1 / 18
LisätiedotPositiivitermisten sarjojen suppeneminen
Positiivitermisten sarjojen suppeneminen Jono (b n ) n= on kasvava, jos b n+ b n kaikilla n =, 2,... Lemma Jokainen ylhäältä rajoitettu kasvava jono (b n ) n= raja-arvo on lim n b n = sup n Z+ b n. suppenee
Lisätiedot8. Avoimen kuvauksen lause
116 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 8. Avoimen kuvauksen lause Palautamme aluksi mieleen Topologian kursseilta ehkä tutut perusasiat yleisestä avoimen kuvauksen käsitteestä. Määrittelemme ensin avoimen
LisätiedotAlgebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 3 (9 sivua) OT
Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 3 (9 sivua) 31.1.-4.2.2011 OT 1. Määritellään kokonaisluvuille laskutoimitus n m = n + m + 5. Osoita, että (Z, ) on ryhmä.
Lisätiedot33. pohjoismainen matematiikkakilpailu 2019 Ratkaisut
33. pohjoismainen matematiikkakilpailu 2019 Ratkaisut 1. Kutsutaan (eri) positiivisten kokonaislukujen joukkoa merkitykselliseksi, jos sen jokaisen äärellisen epätyhjän osajoukon aritmeettinen ja geometrinen
LisätiedotSeuraava topologisluonteinen lause on nk. Bairen lause tai Bairen kategorialause, n=1
FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 115 7. Tasaisen rajoituksen periaate Täydellisyydestä puristetaan maksimaalinen hyöty seuraavan Bairen lauseen avulla. Bairen lause on keskeinen todistettaessa kahta funktionaalianalyysin
LisätiedotKompaktisuus ja filtterit
Kompaktisuus ja filtterit Joukkoperheellä L on äärellinen leikkausominaisuus, mikäli jokaisella äärellisellä L L on voimassa L. Nähdään helposti, että perheellä L on äärellinen leikkausominaisuus ja L
Lisätiedot1 Reaaliset lukujonot
Jonot 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 5 1 Reaaliset lukujonot Reaaliset lukujonot ovat funktioita f : Z + R. Lukujonosta käytetään merkintää (a k ) k=1 tai lyhyemmin vain (a k). missä a k = f(k). Täten lukujonot
LisätiedotLuku 2. Jatkuvien funktioiden ominaisuuksia.
1 MAT-1343 Laaja matematiikka 3 TTY 21 Risto Silvennoinen Luku 2. Jatkuvien funktioiden ominaisuuksia. Jatkossa väli I tarkoittaa jotakin seuraavista reaalilukuväleistä: ( ab, ) = { x a< x< b} = { x a
LisätiedotLuento 8: Epälineaarinen optimointi
Luento 8: Epälineaarinen optimointi Vektoriavaruus R n R n on kaikkien n-jonojen x := (x,..., x n ) joukko. Siis R n := Määritellään nollavektori = (,..., ). Reaalisten m n-matriisien joukkoa merkitään
LisätiedotReaaliarvoisen yhden muuttujan funktion raja arvo LaMa 1U syksyllä 2011
Neljännen viikon luennot Reaaliarvoisen yhden muuttujan funktion raja arvo LaMa 1U syksyllä 2011 Perustuu Trench in verkkokirjan lukuun 2.1. Esko Turunen esko.turunen@tut.fi Funktion y = f (x) on intuitiivisesti
LisätiedotLineaarikuvauksen R n R m matriisi
Lineaarikuvauksen R n R m matriisi Lauseessa 21 osoitettiin, että jokaista m n -matriisia A vastaa lineaarikuvaus L A : R n R m, jolla L A ( v) = A v kaikilla v R n. Osoitetaan seuraavaksi käänteinen tulos:
LisätiedotLUKU 6. Mitalliset funktiot
LUKU 6 Mitalliset funktiot Määritelmistä 3. ja 3.0 seuraa, että jokainen Lebesgue-integroituva funktio on porrasfunktiojonon raja-arvo melkein kaikkialla. Kuitenkin moni tuttu funktio ei ole Lebesgue-integroituva.
Lisätiedot1 Lukujen jaollisuudesta
Matematiikan mestariluokka, syksy 2009 1 1 Lukujen jaollisuudesta Lukujoukoille käytetään seuraavia merkintöjä: N = {1, 2, 3, 4,... } Luonnolliset luvut Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,... } Kokonaisluvut Kun
LisätiedotMatematiikan tukikurssi, kurssikerta 2
Matematiikan tukikurssi kurssikerta 1 Relaatioista Oletetaan kaksi alkiota a ja b. Näistä kumpikin kuuluu johonkin tiettyyn joukkoon mahdollisesti ne kuuluvat eri joukkoihin; merkitään a A ja b B. Voidaan
LisätiedotJohdatus matemaattiseen päättelyyn
Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä 2 Todistamisesta 3 Joukko-oppia 4 Funktioista Funktio eli kuvaus on matematiikan
LisätiedotTehtävä 4 : 2. b a+1 (mod 3)
Tehtävä 4 : 1 Olkoon G sellainen verkko, jonka solmujoukkona on {1,..., 9} ja jonka särmät määräytyvät oheisen kuvan mukaisesti. Merkitään lisäksi kirjaimella A verkon G kaikkien automorfismien joukkoa,
LisätiedotJohdatus lukuteoriaan Harjoitus 11 syksy 2008 Eemeli Blåsten. Ratkaisuehdotelma
Johdatus lukuteoriaan Harjoitus syksy 008 Eemeli Blåsten Ratkaisuehdotelma Tehtävä Todista ketjumurtoluvun peräkkäisille konvergenteille kaava ( ) n induktiolla käyttämällä jonojen ( ) ja ( ) rekursiokaavaa.
Lisätiedot1 Sisätulo- ja normiavaruudet
1 Sisätulo- ja normiavaruudet 1.1 Sisätuloavaruus Määritelmä 1. Olkoon V reaalinen vektoriavaruus. Kuvaus : V V R on reaalinen sisätulo eli pistetulo, jos (a) v w = w v (symmetrisyys); (b) v + u w = v
LisätiedotEnnakkotehtävän ratkaisu
Ennakkotehtävän ratkaisu Ratkaisu [ ] [ ] 1 3 4 3 A = ja B =. 1 4 1 1 [ ] [ ] 4 3 12 12 1 0 a) BA = =. 1 + 1 3 + 4 0 1 [ ] [ ] [ ] 1 0 x1 x1 b) (BA)x = =. 0 1 x 2 x [ ] [ ] [ 2 ] [ ] 4 3 1 4 9 5 c) Bb
Lisätiedot14. Juurikunnat Määritelmä ja olemassaolo.
14. Juurikunnat Mielivaltaisella polynomilla ei välttämättä ole juuria tarkasteltavassa kunnassa. Tässä luvussa tutkitaan sellaisia algebrallisia laajennoksia, jotka saadaan lisäämällä polynomeille juuria.
LisätiedotPysähtymisongelman ratkeavuus [Sipser luku 4.2]
Pysähtymisongelman ratkeavuus [Sipser luku 4.2] Osoitamme nyt vihdoin, että jotkin Turing-tunnistettavat kielet ovat ratkeamattomia ja jotkin kielet eivät ole edes Turing-tunnistettavia. Lisäksi toteamme,
LisätiedotRollen lause polynomeille
Rollen lause polynomeille LuK-tutkielma Anna-Helena Hietamäki 7193766 Matemaattisten tieteiden tutkinto-ohjelma Oulun yliopisto Kevät 015 Sisältö 1 Johdanto 1.1 Rollen lause analyysissä.......................
Lisätiedot1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus
1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1.1 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä V epätyhjä joukko. Oletetaan, että joukossa V on määritelty laskutoimitus
LisätiedotLuento 8: Epälineaarinen optimointi
Luento 8: Epälineaarinen optimointi Vektoriavaruus R n R n on kaikkien n-jonojen x := (x,..., x n ) joukko. Siis R n := Määritellään nollavektori 0 = (0,..., 0). Reaalisten m n-matriisien joukkoa merkitään
Lisätiedot7. Olemassaolo ja yksikäsitteisyys Galois n kunta GF(q) = F q, jossa on q alkiota, määriteltiin jäännösluokkarenkaaksi
7. Olemassaolo ja yksikäsitteisyys Galois n kunta GF(q) = F q, jossa on q alkiota, määriteltiin jäännösluokkarenkaaksi Z p [x]/(m), missä m on polynomirenkaan Z p [x] jaoton polynomi (ks. määritelmä 3.19).
LisätiedotGEOMETRIA MAA3 Geometrian perusobjekteja ja suureita
GEOMETRI M3 Geometrian perusobjekteja ja suureita Piste ja suora: Piste, suora ja taso ovat geometrian peruskäsitteitä, joita ei määritellä. Voidaan ajatella, että kaikki geometriset kuviot koostuvat pisteistä.
LisätiedotJoukot metrisissä avaruuksissa
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Saara Lahtinen Joukot metrisissä avaruuksissa Informaatiotieteiden yksikkö Matematiikka Elokuu 2013 Sisältö 1 Johdanto 1 2 Metriset avaruudet 1 2.1 Tarvittavia
LisätiedotVastaus 1. Lasketaan joukkojen alkiot, ja todetaan, että niitä on 3 molemmissa.
Miten perustella, että joukossa A = {a, b, c} on yhtä monta alkiota kuin joukossa B = {d, e, f }? Vastaus 1. Lasketaan joukkojen alkiot, ja todetaan, että niitä on 3 molemmissa. Vastaus 2. Vertaillaan
Lisätiedot=p(x) + p(y), joten ehto (N1) on voimassa. Jos lisäksi λ on skalaari, niin
FUNKTIONAALIANALYYSI, RATKAISUT 1 KEVÄT 211, (AP) 1. Ovatko seuraavat reaaliarvoiset funktiot p : R 3 R normeja? Ovatko ne seminormeja? ( x = (x 1, x 2, x 3 ) R 3 ) a) p(x) := x 2 1 + x 2 2 + x 2 3, b)
LisätiedotAnalyysi 1. Harjoituksia lukuihin 4 7 / Syksy Tutki funktion f(x) = x 2 + x 2 jatkuvuutta pisteissä x = 0 ja x = 1.
Analyysi 1 Harjoituksia lukuihin 4 7 / Syksy 014 1. Tutki funktion x + x jatkuvuutta pisteissä x = 0 ja x = 1.. Määritä vakiot a ja b siten, että funktio a x cos x + b x + b sin x, kun x 0, x 4, kun x
LisätiedotMiten perustella, että joukossa A = {a, b, c} on yhtä monta alkiota kuin joukossa B = {d, e, f }?
Miten perustella, että joukossa A = {a, b, c} on yhtä monta alkiota kuin joukossa B = {d, e, f }? Miten perustella, että joukossa A = {a, b, c} on yhtä monta alkiota kuin joukossa B = {d, e, f }? Vastaus
Lisätiedot