Cantorin joukon suoristuvuus tasossa

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Cantorin joukon suoristuvuus tasossa"

Transkriptio

1 Cantorin joukon suoristuvuus tasossa LuK-tutkielma Miika Savolainen Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Syksy 2016

2 Sisältö Johdanto 2 1 Cantorin joukon esittely 2 2 Suoristuvuus ja Lipschitz 3 3 Cantorin joukon suoristuvuus 6 Lähdeluettelo 11 1

3 Johdanto Tutkielman ensimmäisessä luvussa esitellään Cantorin joukko ja toisessa luvussa tutustutaan suoristuvuuteen. Kolmannessa luvussa yhdistetään nämä käsitteet ja todistetaan kaksi lausetta Cantorin joukon suoristuvuudesta. Vaikka aihe liittyy vahvasti mittateoriaan, tässä tutkielmassa sitä lähestytään alkeellisemmilla menetelmiltä. Lukijalta vaaditaan siksi vain hyvät perustiedot analyysistä. Esimerkiksi kompaktin joukon ominaisuuksia oletetaan tunnetuksi. Tutkielmassa on käytetty lähteenä teosta [1]. Kirjasta on otettu määritelmiä ja pari huomautusta sekä lemman 2.12 todistus. Muut tulokset olen todistanut itse. Myös kaikki esimerkit ovat minun laatimiani. 1 Cantorin joukon esittely Määritelmä 1.1. Olkoon 0 < λ < 1 2. Merkitään C 0(λ) = I 0,1 = [0, 1]. Poistetaan välin I 0,1 keskeltä avoin väli, jonka pituus on 1 2λ. Jäljelle jäävät välit I 1,1 = [0, λ] ja I 1,2 = [1 λ, 1]. Merkitään C 1 (λ) = I 1,1 I 1,2. Tätä prosessia voidaan jatkaa. Kun on määritelty välit I n 1,1,..., I n 1,2 n 1, poistetaan näiden välien keskeltä avoimet välit, joiden pituudet ovat (1 2λ)λ n 1. Näin saadaan suljetut välit I n,1,..., I n,2 n, joiden pituudet ovat λ n. Merkitään nyt C n (λ) = I n,1... I n,2 n. Tällöin Cantorin joukko on C(λ) = 2 n n=1 k=1 I n,k = C n (λ). Esimerkki 1.2. Kuuluisin erityistapaus on Cantorin kolmasosajoukko, missä λ = 1. Tällöin jokaisessa vaiheessa poistetaan välien keskimmäiset kol- 3 masosat. Kuvassa 1 on seitsemän ensimmäistä vaihetta tästä prosessista. n=1 Kuva 1: C n ( 1 ), n = 0,..., 6 3 Esimerkki 1.3. Tarkastellaan pistettä x C(λ). Nyt x C n (λ) kaikilla n N. Kun Cantorin joukon konstruktiossa poistetaan välin [0, 1] keskeltä osa, piste x jää joko vasemman- tai oikeanpuoleiseen jäljelle jäävään 2

4 väliin. Kun seuraavassa vaiheessa tämän välin keskeltä poistetaan väli, niin piste x jää sen välin jäljelle jäävistä osista joko vasemman- tai oikeanpuoleiseen väliin. Pistettä x vastaa siis yksikäsitteinen esitys a 0 a 1 a 2..., missä a n {vasen, oikea} kertoo, kumpaan jäljelle jäävään osaan x kuuluu, kun välin I n,k x keskeltä poistetaan osa. Tällainen esitys on olemassa jokaiselle joukon C(λ) pisteelle. Jos Cantorin joukko on numeroituva, niin kaikista pisteistä x 1, x 2,... C(λ) voidaan muodostaa lista. Tehdään tämä lista edellä x 1 a 1 0a 1 1a x 2 a 2 0a 2 1a määritellyn esityksen avulla: x 3 a 3 0a 3 1a Olkoon x piste, jolla on sellainen esitys a 0a 1a 2..., missä a n {vasen, oikea}, että a n a n+1 n kaikilla n N. Nyt x x i kaikilla i = 1, 2,..., joten x ei ole yllä olevassa listassa. Piste x kuuluu kuitenkin Cantorin joukkoon, joten lista ei sisällä kaikkia Cantorin joukon pisteitä. Siis Cantorin joukko on ylinumeroituva. Esimerkki 1.4. Korkeammissa ulottuvuuksissa Cantorin joukko määritellään yksiulotteisen tapauksen karteesisena tulona itsensä kanssa. Esimerkiksi kaksiulotteinen Cantorin joukko on C(λ) C(λ). Nyt prosessi aloitetaan yksikköneliöstä [0, 1] [0, 1] ja sen keskeltä poistetaan ristin muotoinen alue, jolloin kulmiin jää neljä neliötä, joiden sivun pituus on λ. Tätä jatketaan ja Cantorin joukko on kaikkien vaiheiden leikkaus kuten yksiulotteisen tapauksenkin kohdalla. Kuvassa 2 on viisi ensimmäistä vaihetta, kun λ = 1 3. Kuinka suuri on kaksiulotteinen Cantorin joukko? Joukon C n (λ) C n (λ) pinta-ala on 4 n λ 2n = (2λ) 2n. Koska lim n (2λ) 2n = 0 kaikilla 0 < λ < 1 2, niin kaksiulotteisen Cantorin joukon pinta-ala on 0. Esimerkissä 1.3 osoitettiin, että Cantorin joukko on ylinumeroituva. Myös janalla ja suoralla on nämä ominaisuudet. Kuitenkin suoran voidaan ajatella olevan suurempi kuin jana, sillä suoran pituus on ääretön, kun taas janalla on äärellinen pituus. Myös Cantorin joukon suurutta voidaan tutkia tästä näkökulmasta. Voidaanko Cantorin joukon pisteet yhdistää käyrällä, jonka pituus on äärellinen? Jotta tähän kysymykseen voidaan vastata, on syytä määritellä, mitä tarkoittaa käyrä ja sen pituus. 2 Suoristuvuus ja Lipschitz Määritelmä 2.1. Käyrä Γ on jatkuvan kuvauksen γ : [a, b] R n, missä [a, b] R on suljettu väli, kuva. Kuvaus γ on käyrän Γ parametrisointi. 3

5 Kuva 2: C n ( 1) C 3 n( 1 ), n = 0,..., 4 3 Huomautus 2.2. Koska kuvaus γ on jatkuva ja väli [a, b] on kompakti, niin myös käyrä Γ = γ([a, b]) on kompakti. Määritelmä 2.3. Käyrän Γ pituus parametrisoinnilla γ on n L(Γ) = sup γ(t i ) γ(t i 1 ), missä a = t 0 < t 1 <... < t n = b ovat välin [a, b] jakopisteitä. Jos L(Γ) < jollakin käyrän Γ parametrisoinnilla, niin käyrä Γ on suoristuva. Huomautus 2.4. Mikäli parametrisoinnista ei ole epäselvyyttä, voidaan puhua yksinkertaisesti käyrän pituudesta. Parametrisoinnin yhtälöä ei välttämättä tarvitse tuntea, sillä esimerkiksi kaikki injektiiviset parametrisoinnit antavat saman pituuden. Käyrän pituus ei kuitenkaan ole yleisesti yksikäsitteinen, vaan riippuu parametrisoinnista. Siksi on usein hyödyllistä keskittyä tarkastelemaan käyriä, jotka on parametrisoitu luonnollisella tavalla. Määritellään seuraavaksi tällainen parametrisointi. Määritelmä 2.5. Olkoon γ : [0, b] R n jatkuva kuvaus ja käyrä Γ sen kuva. Jos b = L(Γ) ja L(γ([0, t])) = t kaikilla t [0, b], niin käyrä Γ on parametrisoitu käyrän pituuden suhteen. 4

6 Huomautus 2.6. Käyrä voidaan parametrisoida käyrän pituuden suhteen jos ja vain jos se on suoristuva. Jos γ : [a, b] R n suoristuvan käyrän Γ eräs parametrisointi, niin voidaan määritellä kuvaus γ : [0, L(Γ)] R n asettamalla γ(t) = γ (u) kaikilla 0 t L(Γ), missä γ (u) on se yksikäsitteinen piste, jolle pätee L(γ [a, u]) = t. Toisaalta käyrän määritelmässä edellytetään, että väli [a, b] on suljettu, joten on oltava b <. Jos käyrä Γ on parametrisoitu käyrän pituuden suhteen, niin b = L(Γ) <. Nyt kysymys "Sisältyykö kaksiulotteinen Cantorin joukko suoristuvaan käyrään?"on määritelty. Vastaamisen helpottamiseksi otamme käyttöön vielä yhden hyödyllisen käsitteen. Määritelmä 2.7. Kuvaus f : A R k, missä A R n, on Lipschitz, jos on olemassa sellainen L 0, että f(a) f(b) L a b kaikilla a, b A. Esimerkki 2.8. Olkoon f : R R, f(x) = x, kuvaus. Tällöin f(a) f(b) = a b kaikilla a, b R. Nyt määritelmässä 2.7 voidaan valita L = 1. Siis kuvaus f on Lipschitz. Esimerkki 2.9. Olkoon ε > 0 ja f : A R k Lipschitz. Tällöin on olemassa sellainen L 0, että f(a) f(b) L a b kaikilla a, b A. Erityisesti f(a) f(b) L a b < ε, kun a b < ε L. Siis valitsemalla jatkuvuuden määritelmässä δ = ε L on jatkuva. nähdään, että kuvaus f Esimerkki Olkoon f : [0, [ R, f(x) = x, kuvaus ja L 0. Nyt on olemassa sellainen n N, että n > L. Tällöin 1/n 2 [0, [ ja f( 1 n 2 ) f(0) = 1 n 2 0 = 1 n = n 1 n 2 > L 1 n 2 0. Siis kuvaus f ei ole Lipschitz, vaikka onkin jatkuva. Miten Lipschitz-kuvaukset sitten liittyvät käyrän suoristumiseen? Siihen vastaavat seuraavat lemmat. Lemma Olkoon kuvaus γ : [a, b] R n Lipschitz. Tällöin käyrä Γ = γ([a, b]) on suoristuva. 5

7 Todistus. Koska kuvaus γ on Lipschitz, niin on olemassa sellainen L 0, että f(x) f(y) L x y kaikilla x, y [a, b]. Tällöin L(Γ) = sup = sup L n γ(t i ) γ(t i 1 ) sup n L t i t i 1 = sup L n t i t i 1 n (t i t i 1 ) = sup L(t n t 0 ) = sup L(b a) = L(b a) < eli käyrä Γ on suoristuva. Lemma Olkoon kuvaus γ : [0, b] R n suoristuvan käyrän Γ parametrisointi käyrän pituuden suhteen. Tällöin γ(t 1 ) γ(t 2 ) t 1 t 2 kaikilla t 1, t 2 [0, b]. Erityisesti kuvaus γ on Lipschitz. Todistus. Olkoon 0 t 2 t 1 b. Määritelmistä 2.3 ja 2.5 saadaan γ(t 1 ) γ(t 2 ) L(γ([t 1, t 2 ])) = L(γ([0, t 1 ])) L(γ([0, t 2 ])) = t 1 t 2. 3 Cantorin joukon suoristuvuus Nyt olemme valmiit vastaamaan kysymykseen Cantorin joukon suoristuvuudesta tasossa. Käy ilmi, että vastaus riippuu vakion λ arvosta. Pienillä arvoilla on olemassa sellainen suoristuva käyrä, johon Cantorin joukko sisältyy, mutta suurilla ei. Kriittinen arvo on λ = 1. Tämä on ymmärrettävä tulos, 4 sillä joukon C( 1 ) konstruktion jokaisessa vaiheessa poistetaan tasan puolet 4 sen pisteissä. Ennen varsinaisen väitteen todistamista tarvitaan vielä yksi lemma. Lemma 3.1. Olkoon Γ 1, Γ 2,..., Γ n, missä n = 2, 3,..., sellaisia suoristuvia käyriä, että Γ 1 Γ i kaikilla i = 1,..., n ja olkoon kuvaukset γ 1 : [0, l 1 ] R n, γ 2 : [0, l 2 ] R n,..., γ n : [0, l n ] R n näiden käyrien parametrisoinnit käyrän pituuden suhteen. Jos γ i (0) = γ i (l i ) kaikilla i = 1,..., n, niin käyrälle Γ = n Γ i on olemassa sellainen käyrän pituuden suhteen tehty parametrisointi γ : [0, n l i] R n, että γ(t) γ 1 (t) n i=2 l i kaikilla t [0, l 1 ] ja γ(0) = γ( n l i). Todistus. Todistetaan väite induktiolla n:n suhteen. Tarkastellaan ensin tapausta n = 2. Konstruoidaan kuvaus, joka kulkee aluksi käyrää Γ 1 pitkin, siirtyy käyrälle Γ 2 jossakin käyrien leikkauspisteessä ja käytyään läpi kaikki käyrän Γ 2 pisteet palaa takaisin käyrälle Γ 1. 6

8 Koska Γ 1 Γ 2, niin on olemassa sellaiset pisteet x [0, l 1 ] ja y [0, l 2 ], että γ 1 (x) = γ 2 (y). Nyt kuvaus γ : [0, l 1 + l 2 ] R n, γ 1 (t), kun t [0, x] γ 2 (t x + y), kun t [x, x + l 2 y] γ(t) =, γ 2 ( x + y l 2 ), kun t [x + l 2 y, x + l 2 ] γ 1 (t l 2 ), kun t [x + l 2, l 1 + l 2 ] on alussa kuvaillun käyrän kaltainen. Koska kuvaukset γ 1 ja γ 2 ovat parametrisointeja käyrän pituuden suhteen, niin myös kuvaus γ on parametrisointi käyrän pituuden suhteen. Nyt γ(t) γ 1 (t) = γ 1 (t) γ 1 (t) = 0 l 2, kun t [0, x] ja γ(t) γ 1 (t) = γ(t) γ(t + l 2 ) t (t + l 2 ) = l 2, kun t [x, l 1 ]. Lisäksi γ(0) = γ 1 (0) = γ 1 (l 1 ) = γ(l 1 + l 2 ). Oletetaan sitten, että väite pätee, kun n = k. Tällöin on olemassa sellainen käyrän Γ = k Γ i pituuden suhteen tehty parametrisointi γ : [0, k l i] R n, että γ (t) γ 1 (t) k i=2 l i kaikilla t [0, l 1 ] ja γ (0) = γ ( k l i). Soveltamalla tapausta n = 2 käyriin Γ ja Γ k+1 nähdään, että on olemassa sellainen käyrän Γ = Γ Γ k+1 = k+1 Γ i pituuden suhteen tehty parametrisointi γ : [0, k+1 l i] R n, että γ(t) γ (t) l k+1 kaikilla t [0, k l i] ja γ(0) = γ( k+1 l i). Siis γ(t) γ 1 (t) = γ(t) γ (t) + γ (t) γ 1 (t) γ(t) γ (t) + γ (t) γ 1 (t) k k+1 l k+1 + l i = l i kaikilla t [0, l 1 ]. i=2 i=2 Näin ollen väite pätee myös, kun n = k +1. Induktioperiaatteen nojalla väite pätee kaikilla n = 2, 3,.... Lause 3.2. Olkoon 0 < λ < 1. Tällöin on olemassa sellainen suoristuva 4 käyrä Γ R 2, että C(λ) C(λ) Γ. Todistus. Todistetaan väite konstruoimalla sellainen jono käyriä, että jonon raja-arvona saadaan käyrä, joka toteuttaa lauseen ehdot. Muodostetaan käyräjono kaksiulotteisen Cantorin joukon konstruktion avulla. Olkoon välit I n,k kuten määritelmässä 1.1. Kaksiulotteisen Cantorin joukon konstruktiossa olevat neliöt ovat välien karteesisia tuloja. Olkoon käyrät Γ n,k n,l näiden neliöiden reunat. Tässä käyrän indeksi vastaa neliön määräävien välien indeksejä. 7

9 Olkoon vielä kuvaukset γ n,k n,l edellä määriteltyjen käyrien parametrisoinnit käyrän pituuden suhteen. Olkoon sitten käyrä Γ 0 neliön C 0 (λ) C 0 (λ) reuna ja kuvaus γ sen parametrisointi käyrän pituuden suhteen. Olkoon nyt Γ 1 = Γ 0 Γ 1,1 1,1 Γ 1,1 1,2 Γ 1,2 1,1 Γ 1,2 1,2. Yleisesti asetetaan Γ n = Γ n 1 2 n 2 n j=1 Γ n,i n,j. Näin saadaan jono käyriä, joille pätee L(Γ n ) L(Γ n 1 ) = 2 n 2 n j=1 L(Γ n,i n,j ) = 2 n 2 n 4λ n = 4 (4λ) n. Osoitetaan sitten, että jono (γ n (t)) n N suppenee pisteittäin. Lemman 3.1 nojalla käyrälle Γ 1 on olemassa sellainen käyrän pituuden suhteen tehty parametrisointi γ 1, että γ 1 (t) γ 0 (t) 4 4λ kaikilla t [0, L(Γ 0 )]. Yleisesti nähdään, että käyrälle Γ n on olemassa sellainen käyrän pituuden suhteen tehty parametrisointi γ n, että γ n (t) γ n 1 (t) 4 (4λ) n kaikilla t [0, L(Γn 1)]. Koska lim n 4 (4λ) n = 0, kun 0 < λ < 1 4, niin jono (γ n(t)) n N on Cauchyjono. Koska [0, 1] [0, 1] on kompakti joukko, niin jono (γ n (t)) n N suppenee. Siis raja-arvo lim n γ n = γ on olemassa. Osoitetaan seuraavaksi, että kuvauksen γ kuva Γ on suoristuva käyrä. Koska kuvaukset γ n ovat käyrän pituuden suhteen parametrisoituja, niin lemman 2.12 nojalla γ n (x) γ n (y) x y kaikilla x, y [0, L(Γ n )]. Siis γ(x) γ(y) = lim n γ n (x) γ n (y) lim n x y = x y. Näin ollen kuvaus γ on Lipschitz. Lemman 2.11 nojalla Γ on suoristuva käyrä. Lemmaa 2.11 voidaan käyttää, koska n lim L(Γ n) = lim 4 (4λ) k = 4 (4λ) k <, n n k=0 kun 0 < λ < 1 4. Osoitetaan lopuksi, että kaksiulotteinen Cantorin joukko sisältyy käyrään Γ. Olkoon x C(λ) C(λ). Nyt x C n (λ) C n (λ) kaikilla n N. Tällöin kaikilla n N on olemassa sellainen neliö I n,a I n,b, että x I n,a I n,b. Tämän neliön reunalla on sellainen piste y n Γ n Γ, että x y n λ n. Koska tämä pätee kaikille n N, niin saadaan jono (y n ) n N. Koska lim n λ n = 0, niin jonon (y n ) n N raja-arvo on lim n y n = x. Koska käyrä Γ on kompakti, niin jonon raja-arvo kuuluu käyrään Γ. Siis x Γ. Näin ollen C(λ) C(λ) Γ. k=0 Yllä oleva todistus toimii vain, kun λ < 1 4. Jos λ 1 4, niin lim L(Γ n) = 4 (4λ) k =. n 8 k=0

10 Siis todistuksessa konstruoidun käyräjonon raja-arvo ei tällöin voi olla suoristuva käyrä. Osoitetaan seuraavaksi, ettei ole olemassa suoristuvaa käyrää, johon kaksiulotteinen Cantorin joukko sisältyy, kun λ 1 4. Lemma 3.3. Olkoon 1 4 λ < 1 2 ja välit I n,k C n (λ) kuten määritelmässä 1.1. Jos Γ on sellainen käyrä, että Γ I n,k I n,l kaikilla I n,k I n,l C n (λ) C n (λ), niin L(Γ) 3(1 2λ)n. Todistus. Olkoon käyrä Γ sellainen, että se leikkaa jokaista joukon C n (λ) C n (λ) neliötä ja kuvaus γ sen parametrisointi. Nyt on olemassa pisteet γ(t n,k n,l ) Γ I n,k I n,l. Indeksoidaan ne uudestaan valitsemalla indekseiksi luvut 1, 2,..., 4 n siten, että t i < t j kaikilla i < j. Siis käyrä Γ kulkee näiden pisteiden kuvien kautta indeksin määräämässä järjestyksessä. Tällöin käyrän Γ pituudelle saadaan alaraja L(Γ) 4 n 1 γ(t i+1 ) γ(t i ) Tarkastellaan tämän summan termejä. Jos γ(t i ) I 1,i I 1,j C 1 (λ) C 1 (λ) ja γ(t j ) I 1,k I 1,l C 1 (λ) C 1 (λ), missä I 1,i I 1,j I 1,k I 1,l, niin γ(t i ) γ(t j ) 1 2λ. Koska jokainen neliö I 1,k I 1,l C 1 (λ) C 1 (λ) sisältää pisteitä γ(t i ), niin summa 4 n 1 γ(t i+1 ) γ(t i ) sisältää ainakin 4 1 = 3 termiä, jotka ovat vähintään 1 2λ. Yleisesti jos γ(t i ) I m,i I m,j C m (λ) C m (λ) ja γ(t j ) I m,k I m,l C m (λ) C m (λ), missä I m,i I m,j I m,k I m,l, niin γ(t i ) γ(t j ) (1 2λ)λ m 1. Kun m n, niin jokainen neliö I m,k I m,l C m (λ) C m (λ) sisältää pisteitä γ(t i ), joten summa 4 n 1 γ(t i+1 ) γ(t i ) sisältää ainakin 4 m 1 termiä, jotka ovat vähintään (1 2λ)λ m 1. Näin ollen L(Γ) 4 n 1 γ(t i+1 ) γ(t i ) (4 1)(1 2λ) + ((4 2 1) (4 1))(1 2λ)λ ((4 n 1) (4 n 1 1))(1 2λ)λ n 1 = 3((1 2λ) + (4 2 4)(1 2λ)λ (4 n 4 n 1 )(1 2λ)λ n 1 = 3((1 2λ) + 3 4(1 2λ)λ n 1 (1 2λ)λ n 1 n 1 n 1 = 3(1 2λ)4 k λ k = 3(1 2λ) (4λ) k k=0 n 1 3(1 2λ) 1 = 3(1 2λ)n k=0 k=0 9

11 Lause 3.4. Olkoon 1 λ < 1. Tällöin ei ole olemassa sellaista suoristuvaa 4 2 käyrää Γ R 2, että C(λ) C(λ) Γ. Todistus. Olkoon 1 λ < 1 ja Γ sellainen käyrä, että C(λ) C(λ) 4 2 Γ. Joukolla C(λ) C(λ) on yhteisiä pisteitä jokaisen neliön I n,k I n,l C n (λ) C n (λ) kanssa kaikilla n N. Esimerkiksi jokaisen neliön kulmapisteet kuuluvat joukkoon C(λ) C(λ). Siis käyrä Γ toteuttaa lemman 3.3 ehdot. Näin ollen L(Γ) 3(1 2λ)n kaikilla n N. Koska lim n 3(1 2λ)n =, niin L(Γ) = eli käyrä Γ ei ole suoristuva. 10

12 Lähdeluettelo [1] K. J. Falconer: The Geometry of Fractal Sets. Cambridge University Press. 11

1 sup- ja inf-esimerkkejä

1 sup- ja inf-esimerkkejä Alla olevat kohdat (erityisesti todistukset) ovat lähinnä oheislukemista reaaliluvuista, mutta joihinkin niistä palataan myöhemmin kurssilla. 1 sup- ja inf-esimerkkejä Nollakohdan olemassaolo. Kaikki tuntevat

Lisätiedot

1 sup- ja inf-esimerkkejä

1 sup- ja inf-esimerkkejä Alla olevat kohdat (erityisesti todistukset) ovat lähinnä oheislukemista reaaliluvuista, mutta joihinkin niistä palataan myöhemmin kurssilla. 1 sup- ja inf-esimerkkejä Kaarenpituus. Olkoon r: [a, b] R

Lisätiedot

Derivaattaluvut ja Dini derivaatat

Derivaattaluvut ja Dini derivaatat Derivaattaluvut Dini derivaatat LuK-tutkielma Helmi Glumo 2434483 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Syksy 2016 Sisältö Johdanto 2 1 Taustaa 2 2 Määritelmät 4 3 Esimerkkejä lauseita 7 Lähdeluettelo

Lisätiedot

Konvergenssilauseita

Konvergenssilauseita LUKU 4 Konvergenssilauseita Lause 4.1 (Monotonisen konvergenssin lause). Olkoon (f n ) kasvava jono Lebesgueintegroituvia funktioita. Asetetaan f(x) := f n (x). Jos f n

Lisätiedot

Matematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus Malliratkaisut (Sauli Lindberg)

Matematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus Malliratkaisut (Sauli Lindberg) Matematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus 4 9.4.-23.4.200 Malliratkaisut (Sauli Lindberg). Näytä, että Lusinin lauseessa voidaan luopua oletuksesta m(a)

Lisätiedot

IV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n

IV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n IV. TASAINEN SUPPENEMINEN IV.. Funktiojonon tasainen suppeneminen Olkoon A R joukko ja f n : A R funktio, n =, 2, 3,..., jolloin jokaisella x A muodostuu lukujono f x, f 2 x,.... Jos tämä jono suppenee

Lisätiedot

DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1. Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS

DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1. Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1 Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS Huomautus. Analyysin yksi keskeisimmistä käsitteistä on jatkuvuus! Olkoon A R mielivaltainen joukko

Lisätiedot

1 Määrittelyjä ja aputuloksia

1 Määrittelyjä ja aputuloksia 1 Määrittelyjä ja aputuloksia 1.1 Supremum ja infimum Aluksi kerrataan pienimmän ylärajan (supremum) ja suurimman alarajan (infimum) perusominaisuuksia ja esitetään muutamia myöhemmissä todistuksissa tarvittavia

Lisätiedot

Cantorin joukko LUKU 8

Cantorin joukko LUKU 8 LUKU 8 Cantorin joukko 8.. Cantorin 3 -joukko Merkitään J = J 0, = [0, ]. Poistetaan välin J keskeltä avoin väli I,, jonka pituus on /3; siis I, = (, 2). Olkoot jäljelle jäävät suljetut välit J 3 3, ja

Lisätiedot

1. Esitä rekursiivinen määritelmä lukujonolle

1. Esitä rekursiivinen määritelmä lukujonolle Matematiikan laitos Johdatus Diskrettiin Matematiikkaan Harjoitus 4 24.11.2011 Ratkaisuehdotuksia Aleksandr Pasharin 1. Esitä rekursiivinen määritelmä lukujonolle (a) f(n) = (2 0, 2 1, 2 2, 2 3, 2 4,...)

Lisätiedot

Kaikki kurssin laskuharjoitukset pidetään Exactumin salissa C123. Malliratkaisut tulevat nettiin kurssisivulle.

Kaikki kurssin laskuharjoitukset pidetään Exactumin salissa C123. Malliratkaisut tulevat nettiin kurssisivulle. Kombinatoriikka, kesä 2010 Harjoitus 1 Ratkaisuehdotuksia (RT (5 sivua Kaikki kurssin laskuharjoitukset pidetään Exactumin salissa C123. Malliratkaisut tulevat nettiin kurssisivulle. 1. Osoita, että vuoden

Lisätiedot

Injektio. Funktiota sanotaan injektioksi, mikäli lähtöjoukon eri alkiot kuvautuvat maalijoukon eri alkioille. Esim.

Injektio. Funktiota sanotaan injektioksi, mikäli lähtöjoukon eri alkiot kuvautuvat maalijoukon eri alkioille. Esim. Injektio Funktiota sanotaan injektioksi, mikäli lähtöjoukon eri alkiot kuvautuvat maalijoukon eri alkioille. Esim. Funktio f on siis injektio mikäli ehdosta f (x 1 ) = f (x 2 ) seuraa, että x 1 = x 2.

Lisätiedot

Selvästi. F (a) F (y) < r x d aina, kun a y < δ. Kolmioepäyhtälön nojalla x F (y) x F (a) + F (a) F (y) < d + r x d = r x

Selvästi. F (a) F (y) < r x d aina, kun a y < δ. Kolmioepäyhtälön nojalla x F (y) x F (a) + F (a) F (y) < d + r x d = r x Seuraavaksi tarkastellaan C 1 -sileiden pintojen eräitä ominaisuuksia. Lemma 2.7.1. Olkoon S R m sellainen C 1 -sileä pinta, että S on C 1 -funktion F : R m R eräs tasa-arvojoukko. Tällöin S on avaruuden

Lisätiedot

7. Tasaisen rajoituksen periaate

7. Tasaisen rajoituksen periaate 18 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 7. Tasaisen rajoituksen periaate Täydellisyydestä puristetaan maksimaalinen hyöty seuraavan Bairen lauseen avulla. Bairen lause on keskeinen todistettaessa kahta funktionaalianalyysin

Lisätiedot

Johdatus diskreettiin matematiikkaan (syksy 2009) Harjoitus 3, ratkaisuja Janne Korhonen

Johdatus diskreettiin matematiikkaan (syksy 2009) Harjoitus 3, ratkaisuja Janne Korhonen Johdatus diskreettiin matematiikkaan (syksy 009) Harjoitus 3, ratkaisuja Janne Korhonen 1. Väite: Funktio f : [, ) [1, ), missä on bijektio. f(x) = x + 4x + 5, Todistus: Luentomateriaalissa todistettujen

Lisätiedot

4.3 Moniulotteinen Riemannin integraali

4.3 Moniulotteinen Riemannin integraali 4.3 Moniulotteinen Riemannin integraali Tässä luvussa opitaan miten integroidaan usean muuttujan reaaliarvoista tai vektoriarvoista funktiota, millaisten joukkojen yli jatkuvaa funktiota voi integroida,

Lisätiedot

Funktiot. funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina.

Funktiot. funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina. Funktiot Tässä luvussa käsitellään reaaliakselin osajoukoissa määriteltyjä funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina. Avoin väli: ]a, b[ tai ]a, [ tai ],

Lisätiedot

Analyysin peruslause

Analyysin peruslause LUKU 10 Analyysin peruslause 10.1. Peruslause I Aiemmin Cantorin funktion ψ kohdalla todettiin, että analyysin peruslause II ei päde: [0,1] ψ (x) dm(x) < ψ(1) ψ(0). Kasvavalle funktiolle analyysin peruslauseesta

Lisätiedot

isomeerejä yhteensä yhdeksän kappaletta.

isomeerejä yhteensä yhdeksän kappaletta. Tehtävä 2 : 1 Esitetään aluksi eräitä havaintoja. Jokaisella n Z + symbolilla H (n) merkitään kaikkien niiden verkkojen joukkoa, jotka vastaavat jotakin tehtävänannon ehtojen mukaista alkaanin hiiliketjua

Lisätiedot

Luonnollisten lukujen ja kokonaislukujen määritteleminen

Luonnollisten lukujen ja kokonaislukujen määritteleminen Luonnollisten lukujen ja kokonaislukujen määritteleminen LuK-tutkielma Jussi Piippo Matemaattisten tieteiden yksikkö Oulun yliopisto Kevät 2017 Sisältö 1 Johdanto 2 2 Esitietoja 3 2.1 Joukko-opin perusaksioomat...................

Lisätiedot

Johdatus matemaattiseen päättelyyn

Johdatus matemaattiseen päättelyyn Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä 2 Todistamisesta 2 3 Joukko-oppia Tässä luvussa tarkastellaan joukko-opin

Lisätiedot

Reaaliluvut. tapauksessa metrisen avaruuden täydellisyyden kohdalla. 1 fi.wikipedia.org/wiki/reaaliluku 1 / 13

Reaaliluvut. tapauksessa metrisen avaruuden täydellisyyden kohdalla. 1 fi.wikipedia.org/wiki/reaaliluku 1 / 13 Reaaliluvut Reaalilukujen joukko R. Täsmällinen konstruointi palautuu rationaalilukuihin, jossa eri mahdollisuuksia: - Dedekindin leikkaukset - rationaaliset Cauchy-jonot - desimaaliapproksimaatiot. Reaalilukujen

Lisätiedot

Määritelmä 2.5. Lause 2.6.

Määritelmä 2.5. Lause 2.6. Määritelmä 2.5. Olkoon X joukko ja F joukko funktioita f : X R. Joukkoa F sanotaan pisteittäin rajoitetuksi, jos jokaiselle x X on olemassa sellainen C x R, että f x C x jokaiselle f F. Joukkoa F sanotaan

Lisätiedot

Tenttiin valmentavia harjoituksia

Tenttiin valmentavia harjoituksia Tenttiin valmentavia harjoituksia Alla olevissa harjoituksissa suluissa oleva sivunumero viittaa Juha Partasen kurssimonisteen siihen sivuun, jolta löytyy apua tehtävän ratkaisuun. Funktiot Harjoitus.

Lisätiedot

Induktio, jonot ja summat

Induktio, jonot ja summat Induktio, jonot ja summat Matemaattinen induktio on erittäin hyödyllinen todistusmenetelmä, jota sovelletaan laajasti. Sitä verrataan usein dominoefektiin eli ketjureaktioon, jossa ensimmäisen dominopalikka

Lisätiedot

KÄYRÄN PITUUS METRISESSÄ AVARUUDESSA

KÄYRÄN PITUUS METRISESSÄ AVARUUDESSA KÄYRÄN PITUUS METRISESSÄ AVARUUDESSA Hanna Männistö Matematiikan pro gradu Jyväskylän yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Kevät 2014 Sisältö Johdanto 1 Luku 1. Metrisistä avaruuksista 4 Luku

Lisätiedot

Topologia I Harjoitus 6, kevät 2010 Ratkaisuehdotus

Topologia I Harjoitus 6, kevät 2010 Ratkaisuehdotus Topologia I Harjoitus 6, kevät 2010 Ratkaisuehdotus 1. (5:7) Olkoon E normiavaruus, I = [0, 1] ja f, g : I E jatkuvia. Osoita, että yhtälön h(s, t) = (1 t)f(s) + tg(s) määrittelemä kuvaus h : I 2 E on

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 6 Sarjojen suppeneminen Kiinnostuksen kohteena on edelleen sarja a k = a + a 2 + a 3 + a 4 +... k= Tämä summa on mahdollisesti äärellisenä olemassa, jolloin sanotaan

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 4 Jatkuvuus Jatkuvan funktion määritelmä Tarkastellaan funktiota f x) jossakin tietyssä pisteessä x 0. Tämä funktio on tässä pisteessä joko jatkuva tai epäjatkuva. Jatkuvuuden

Lisätiedot

1 + b t (i, j). Olkoon b t (i, j) todennäköisyys, että B t (i, j) = 1. Siis operaation access(j) odotusarvoinen kustannus ajanhetkellä t olisi.

1 + b t (i, j). Olkoon b t (i, j) todennäköisyys, että B t (i, j) = 1. Siis operaation access(j) odotusarvoinen kustannus ajanhetkellä t olisi. Algoritmien DP ja MF vertaileminen tapahtuu suoraviivaisesti kirjoittamalla kummankin leskimääräinen kustannus eksplisiittisesti todennäköisyyksien avulla. Lause T MF ave = 1 + 2 1 i

Lisätiedot

reaalifunktioiden ominaisuutta, joiden perusteleminen on muita perustuloksia hankalampaa. Kalvoja täydentää erillinen moniste,

reaalifunktioiden ominaisuutta, joiden perusteleminen on muita perustuloksia hankalampaa. Kalvoja täydentää erillinen moniste, Reaaliluvuista Pekka Alestalo Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Nämä kalvot sisältävät tiivistelmän reaaliluvuista ja niihin liittyvistä käsitteistä.

Lisätiedot

FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. 0. Johdanto

FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. 0. Johdanto FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. Johdanto Funktionaalianalyysissa tutkitaan muun muassa ääretönulotteisten vektoriavaruuksien, ja erityisesti täydellisten normiavaruuksien eli Banach avaruuksien ominaisuuksia.

Lisätiedot

(2n 1) = n 2

(2n 1) = n 2 3.5 Induktiotodistus Induktiota käyttäen voidaan todistaa luonnollisia lukuja koskevia väitteitä, jotka ovat muotoa väite P (n) on totta kaikille n =0, 1, 2,... Tässä väite P (n) riippuu n:n arvosta. Todistuksessa

Lisätiedot

8. Avoimen kuvauksen lause

8. Avoimen kuvauksen lause 116 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 8. Avoimen kuvauksen lause Palautamme aluksi mieleen Topologian kursseilta ehkä tutut perusasiat yleisestä avoimen kuvauksen käsitteestä. Määrittelemme ensin avoimen

Lisätiedot

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2016 Harjoitus 11, ratkaisuista

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2016 Harjoitus 11, ratkaisuista Matematiikan johdantokurssi, syksy 06 Harjoitus, ratkaisuista. Valitse seuraaville säännöille mahdollisimman laajat lähtöjoukot ja sopivat maalijoukot niin, että syntyy kahden muuttujan funktiot (ks. monisteen

Lisätiedot

Ortogonaaliprojektio äärellisulotteiselle aliavaruudelle

Ortogonaaliprojektio äärellisulotteiselle aliavaruudelle Ortogonaaliprojektio äärellisulotteiselle aliavaruudelle Olkoon X sisätuloavaruus ja Y X äärellisulotteinen aliavaruus. Tällöin on olemassa lineaarisesti riippumattomat vektorit y 1, y 2,..., yn, jotka

Lisätiedot

Algebra I, Harjoitus 6, , Ratkaisut

Algebra I, Harjoitus 6, , Ratkaisut Algebra I Harjoitus 6 9. 13.3.2009 Ratkaisut Algebra I Harjoitus 6 9. 13.3.2009 Ratkaisut (MV 6 sivua 1. Olkoot M ja M multiplikatiivisia monoideja. Kuvaus f : M M on monoidihomomorfismi jos 1 f(ab = f(af(b

Lisätiedot

Analyysi 1. Harjoituksia lukuihin 1 3 / Syksy Osoita täsmällisesti perustellen, että joukko A = x 4 ei ole ylhäältä rajoitettu.

Analyysi 1. Harjoituksia lukuihin 1 3 / Syksy Osoita täsmällisesti perustellen, että joukko A = x 4 ei ole ylhäältä rajoitettu. Analyysi Harjoituksia lukuihin 3 / Syksy 204. Osoita täsmällisesti perustellen, että joukko { 2x A = x ]4, [. x 4 ei ole ylhäältä rajoitettu. 2. Anna jokin ylä- ja alaraja joukoille { x( x) A = x ], [,

Lisätiedot

Kantavektorien kuvavektorit määräävät lineaarikuvauksen

Kantavektorien kuvavektorit määräävät lineaarikuvauksen Kantavektorien kuvavektorit määräävät lineaarikuvauksen Lause 18 Oletetaan, että V ja W ovat vektoriavaruuksia. Oletetaan lisäksi, että ( v 1,..., v n ) on avaruuden V kanta ja w 1,..., w n W. Tällöin

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 5

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 5 Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 5 1 Jonoista Matematiikassa jono (x n ) on yksinkertaisesti järjestetty, päättymätön sarja numeroita Esimerkiksi (1,, 3, 4, 5 ) on jono Jonon i:ttä jäsentä merkitään

Lisätiedot

Epälineaaristen yhtälöiden ratkaisumenetelmät

Epälineaaristen yhtälöiden ratkaisumenetelmät Epälineaaristen yhtälöiden ratkaisumenetelmät Keijo Ruotsalainen Division of Mathematics Perusoletus Lause 3.1 Olkoon f : [a, b] R jatkuva funktio siten, että f(a)f(b) < 0. Tällöin funktiolla on ainakin

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 19.9.2016 Pekka Alestalo, Jarmo

Lisätiedot

Matemaattisen analyysin tukikurssi

Matemaattisen analyysin tukikurssi Matemaattisen analyysin tukikurssi 5. Kurssikerta Petrus Mikkola 10.10.2016 Tämän kerran asiat Raja-arvo ja toispuolinen raja-arvo Funktion suurin ja pienin arvo Lukujono Lukujonon suppeneminen Kasvava

Lisätiedot

7. Olemassaolo ja yksikäsitteisyys Galois n kunta GF(q) = F q, jossa on q alkiota, määriteltiin jäännösluokkarenkaaksi

7. Olemassaolo ja yksikäsitteisyys Galois n kunta GF(q) = F q, jossa on q alkiota, määriteltiin jäännösluokkarenkaaksi 7. Olemassaolo ja yksikäsitteisyys Galois n kunta GF(q) = F q, jossa on q alkiota, määriteltiin jäännösluokkarenkaaksi Z p [x]/(m), missä m on polynomirenkaan Z p [x] jaoton polynomi (ks. määritelmä 3.19).

Lisätiedot

LUKU 6. Mitalliset funktiot

LUKU 6. Mitalliset funktiot LUKU 6 Mitalliset funktiot Määritelmistä 3. ja 3.0 seuraa, että jokainen Lebesgue-integroituva funktio on porrasfunktiojonon raja-arvo melkein kaikkialla. Kuitenkin moni tuttu funktio ei ole Lebesgue-integroituva.

Lisätiedot

Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 3 (9 sivua) OT

Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 3 (9 sivua) OT Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 3 (9 sivua) 31.1.-4.2.2011 OT 1. Määritellään kokonaisluvuille laskutoimitus n m = n + m + 5. Osoita, että (Z, ) on ryhmä.

Lisätiedot

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 1: Parametrisoidut käyrät ja kaarenpituus

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 1: Parametrisoidut käyrät ja kaarenpituus MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 1: Parametrisoidut käyrät ja kaarenpituus Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0202 Syksy 2015 1 / 18

Lisätiedot

Dihedraalinen ryhmä Pro gradu Elisa Sonntag Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2013

Dihedraalinen ryhmä Pro gradu Elisa Sonntag Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2013 Dihedraalinen ryhmä Pro gradu Elisa Sonntag Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2013 Sisältö Johdanto 2 1 Ryhmä 3 2 Symmetrinen ryhmä 6 3 Symmetriaryhmä 10 4 Dihedraalinen ryhmä 19 Lähdeluettelo

Lisätiedot

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 005, sivu 1 / 13 Tehtäviä Tehtävä 1. Johda toiseen asteen yhtälön ax + bx + c = 0, a 0 ratkaisukaava. Tehtävä. Määrittele joukon A R pienin yläraja sup A ja suurin alaraja

Lisätiedot

Seuraava topologisluonteinen lause on nk. Bairen lause tai Bairen kategorialause, n=1

Seuraava topologisluonteinen lause on nk. Bairen lause tai Bairen kategorialause, n=1 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 115 7. Tasaisen rajoituksen periaate Täydellisyydestä puristetaan maksimaalinen hyöty seuraavan Bairen lauseen avulla. Bairen lause on keskeinen todistettaessa kahta funktionaalianalyysin

Lisätiedot

Kompaktisuus ja filtterit

Kompaktisuus ja filtterit Kompaktisuus ja filtterit Joukkoperheellä L on äärellinen leikkausominaisuus, mikäli jokaisella äärellisellä L L on voimassa L. Nähdään helposti, että perheellä L on äärellinen leikkausominaisuus ja L

Lisätiedot

Luuppien ryhmistä Seminaariesitelmä Miikka Rytty Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2006

Luuppien ryhmistä Seminaariesitelmä Miikka Rytty Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2006 Luuppien ryhmistä Seminaariesitelmä Miikka Rytty Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2006 Sisältö 1 Luupeista 2 1.1 Luupit ja niiden kertolaskuryhmät................. 2 2 Transversaalit 5 3

Lisätiedot

Luku 2. Jatkuvien funktioiden ominaisuuksia.

Luku 2. Jatkuvien funktioiden ominaisuuksia. 1 MAT-1343 Laaja matematiikka 3 TTY 21 Risto Silvennoinen Luku 2. Jatkuvien funktioiden ominaisuuksia. Jatkossa väli I tarkoittaa jotakin seuraavista reaalilukuväleistä: ( ab, ) = { x a< x< b} = { x a

Lisätiedot

Luento 8: Epälineaarinen optimointi

Luento 8: Epälineaarinen optimointi Luento 8: Epälineaarinen optimointi Vektoriavaruus R n R n on kaikkien n-jonojen x := (x,..., x n ) joukko. Siis R n := Määritellään nollavektori = (,..., ). Reaalisten m n-matriisien joukkoa merkitään

Lisätiedot

Reaaliarvoisen yhden muuttujan funktion raja arvo LaMa 1U syksyllä 2011

Reaaliarvoisen yhden muuttujan funktion raja arvo LaMa 1U syksyllä 2011 Neljännen viikon luennot Reaaliarvoisen yhden muuttujan funktion raja arvo LaMa 1U syksyllä 2011 Perustuu Trench in verkkokirjan lukuun 2.1. Esko Turunen esko.turunen@tut.fi Funktion y = f (x) on intuitiivisesti

Lisätiedot

Lineaarikuvauksen R n R m matriisi

Lineaarikuvauksen R n R m matriisi Lineaarikuvauksen R n R m matriisi Lauseessa 21 osoitettiin, että jokaista m n -matriisia A vastaa lineaarikuvaus L A : R n R m, jolla L A ( v) = A v kaikilla v R n. Osoitetaan seuraavaksi käänteinen tulos:

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II. LM2, Kesä /141

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II. LM2, Kesä /141 Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II LM2, Kesä 2012 1/141 Kertausta: avaruuden R n vektorit Määritelmä Oletetaan, että n {1, 2, 3,...}. Avaruuden R n alkiot ovat jonoja, joissa on n kappaletta reaalilukuja.

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 2

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 2 Matematiikan tukikurssi kurssikerta 1 Relaatioista Oletetaan kaksi alkiota a ja b. Näistä kumpikin kuuluu johonkin tiettyyn joukkoon mahdollisesti ne kuuluvat eri joukkoihin; merkitään a A ja b B. Voidaan

Lisätiedot

Johdatus matemaattiseen päättelyyn

Johdatus matemaattiseen päättelyyn Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä 2 Todistamisesta 3 Joukko-oppia 4 Funktioista Funktio eli kuvaus on matematiikan

Lisätiedot

1 Sisätulo- ja normiavaruudet

1 Sisätulo- ja normiavaruudet 1 Sisätulo- ja normiavaruudet 1.1 Sisätuloavaruus Määritelmä 1. Olkoon V reaalinen vektoriavaruus. Kuvaus : V V R on reaalinen sisätulo eli pistetulo, jos (a) v w = w v (symmetrisyys); (b) v + u w = v

Lisätiedot

1 Reaaliset lukujonot

1 Reaaliset lukujonot Jonot 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 5 1 Reaaliset lukujonot Reaaliset lukujonot ovat funktioita f : Z + R. Lukujonosta käytetään merkintää (a k ) k=1 tai lyhyemmin vain (a k). missä a k = f(k). Täten lukujonot

Lisätiedot

[a] ={b 2 A : a b}. Ekvivalenssiluokkien joukko

[a] ={b 2 A : a b}. Ekvivalenssiluokkien joukko 3. Tekijälaskutoimitus, kokonaisluvut ja rationaaliluvut Tässä luvussa tutustumme kolmanteen tapaan muodostaa laskutoimitus joukkoon tunnettujen laskutoimitusten avulla. Tätä varten määrittelemme ensin

Lisätiedot

Pysähtymisongelman ratkeavuus [Sipser luku 4.2]

Pysähtymisongelman ratkeavuus [Sipser luku 4.2] Pysähtymisongelman ratkeavuus [Sipser luku 4.2] Osoitamme nyt vihdoin, että jotkin Turing-tunnistettavat kielet ovat ratkeamattomia ja jotkin kielet eivät ole edes Turing-tunnistettavia. Lisäksi toteamme,

Lisätiedot

missä on myös käytetty monisteen kaavaa 12. Pistä perustelut kohdilleen!

missä on myös käytetty monisteen kaavaa 12. Pistä perustelut kohdilleen! Matematiikan johdantokurssi Kertausharjoitustehtävien ratkaisuja/vastauksia/vihjeitä. Osoita todeksi logiikan lauseille seuraava: P Q (P Q). Ratkaisuohje. Väite tarkoittaa, että johdetut lauseet P Q ja

Lisätiedot

Rollen lause polynomeille

Rollen lause polynomeille Rollen lause polynomeille LuK-tutkielma Anna-Helena Hietamäki 7193766 Matemaattisten tieteiden tutkinto-ohjelma Oulun yliopisto Kevät 015 Sisältö 1 Johdanto 1.1 Rollen lause analyysissä.......................

Lisätiedot

GEOMETRIA MAA3 Geometrian perusobjekteja ja suureita

GEOMETRIA MAA3 Geometrian perusobjekteja ja suureita GEOMETRI M3 Geometrian perusobjekteja ja suureita Piste ja suora: Piste, suora ja taso ovat geometrian peruskäsitteitä, joita ei määritellä. Voidaan ajatella, että kaikki geometriset kuviot koostuvat pisteistä.

Lisätiedot

Luento 8: Epälineaarinen optimointi

Luento 8: Epälineaarinen optimointi Luento 8: Epälineaarinen optimointi Vektoriavaruus R n R n on kaikkien n-jonojen x := (x,..., x n ) joukko. Siis R n := Määritellään nollavektori 0 = (0,..., 0). Reaalisten m n-matriisien joukkoa merkitään

Lisätiedot

1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus

1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1.1 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä V epätyhjä joukko. Oletetaan, että joukossa V on määritelty laskutoimitus

Lisätiedot

Joukot metrisissä avaruuksissa

Joukot metrisissä avaruuksissa TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Saara Lahtinen Joukot metrisissä avaruuksissa Informaatiotieteiden yksikkö Matematiikka Elokuu 2013 Sisältö 1 Johdanto 1 2 Metriset avaruudet 1 2.1 Tarvittavia

Lisätiedot

Analyysi 1. Harjoituksia lukuihin 4 7 / Syksy Tutki funktion f(x) = x 2 + x 2 jatkuvuutta pisteissä x = 0 ja x = 1.

Analyysi 1. Harjoituksia lukuihin 4 7 / Syksy Tutki funktion f(x) = x 2 + x 2 jatkuvuutta pisteissä x = 0 ja x = 1. Analyysi 1 Harjoituksia lukuihin 4 7 / Syksy 014 1. Tutki funktion x + x jatkuvuutta pisteissä x = 0 ja x = 1.. Määritä vakiot a ja b siten, että funktio a x cos x + b x + b sin x, kun x 0, x 4, kun x

Lisätiedot

=p(x) + p(y), joten ehto (N1) on voimassa. Jos lisäksi λ on skalaari, niin

=p(x) + p(y), joten ehto (N1) on voimassa. Jos lisäksi λ on skalaari, niin FUNKTIONAALIANALYYSI, RATKAISUT 1 KEVÄT 211, (AP) 1. Ovatko seuraavat reaaliarvoiset funktiot p : R 3 R normeja? Ovatko ne seminormeja? ( x = (x 1, x 2, x 3 ) R 3 ) a) p(x) := x 2 1 + x 2 2 + x 2 3, b)

Lisätiedot

Diofantoksen yhtälön ratkaisut

Diofantoksen yhtälön ratkaisut Diofantoksen yhtälön ratkaisut Matias Mäkelä Matemaattisten tieteiden tutkinto-ohjelma Oulun yliopisto Kevät 2017 Sisältö Johdanto 2 1 Suurin yhteinen tekijä 2 2 Eukleideen algoritmi 4 3 Diofantoksen yhtälön

Lisätiedot

Tehtävä 4 : 2. b a+1 (mod 3)

Tehtävä 4 : 2. b a+1 (mod 3) Tehtävä 4 : 1 Olkoon G sellainen verkko, jonka solmujoukkona on {1,..., 9} ja jonka särmät määräytyvät oheisen kuvan mukaisesti. Merkitään lisäksi kirjaimella A verkon G kaikkien automorfismien joukkoa,

Lisätiedot

5.6 Yhdistetty kuvaus

5.6 Yhdistetty kuvaus 5.6 Yhdistetty kuvaus Määritelmä 5.6.1. Oletetaan, että f : æ Y ja g : Y æ Z ovat kuvauksia. Yhdistetty kuvaus g f : æ Z määritellään asettamalla kaikilla x œ. (g f)(x) =g(f(x)) Huomaa, että yhdistetty

Lisätiedot

Poistumislause Kandidaatintutkielma

Poistumislause Kandidaatintutkielma Poistumislause Kandidaatintutkielma Mikko Nikkilä 013618832 26. helmikuuta 2011 Sisältö 1 Johdanto................................... 2 2 Olemassaolon ja yksikäsitteisyyden historiaa............ 3 3 Esitietoja..................................

Lisätiedot

8 Potenssisarjoista. 8.1 Määritelmä. Olkoot a 0, a 1, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.1. Muotoa

8 Potenssisarjoista. 8.1 Määritelmä. Olkoot a 0, a 1, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.1. Muotoa 8 Potenssisarjoista 8. Määritelmä Olkoot a 0, a, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.. Muotoa a 0 + a (x c) + a 2 (x c) 2 + olevaa sarjaa sanotaan c-keskiseksi potenssisarjaksi. Selvästi jokainen

Lisätiedot

Sarjojen suppenemisesta

Sarjojen suppenemisesta TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Terhi Mattila Sarjojen suppenemisesta Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka Huhtikuu 008 Tampereen yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos

Lisätiedot

KVASIKONVEKSISUUS TASOSSA. 1. Johdanto

KVASIKONVEKSISUUS TASOSSA. 1. Johdanto KVASIKONVEKSISUUS TASOSSA MATTI-PETTERI RAJAHONKA Tiivistelmä. Kvasikonveksit alueet osoitetaan Jordan-käyrä-alueiksi. Kvasikonvekseille alueille, joilla on äärellinen määrä reunan komponentteja, saadaan

Lisätiedot

1.4 Funktion jatkuvuus

1.4 Funktion jatkuvuus 1.4 Funktion jatkuvuus Kun arkikielessä puhutaan jonkin asian jatkuvuudesta, mielletään asiassa olevan jonkinlaista yhtäjaksoisuutta, katkeamattomuutta. Tässä ei kuitenkaan käsitellä työasioita eikä ihmissuhteita,

Lisätiedot

Määritelmä Olkoon T i L (V i, W i ), 1 i m. Yksikäsitteisen lineaarikuvauksen h L (V 1 V 2 V m, W 1 W 2 W m )

Määritelmä Olkoon T i L (V i, W i ), 1 i m. Yksikäsitteisen lineaarikuvauksen h L (V 1 V 2 V m, W 1 W 2 W m ) Määritelmä 519 Olkoon T i L V i, W i, 1 i m Yksikäsitteisen lineaarikuvauksen h L V 1 V 2 V m, W 1 W 2 W m h v 1 v 2 v m T 1 v 1 T 2 v 2 T m v m 514 sanotaan olevan kuvausten T 1,, T m indusoima ja sitä

Lisätiedot

Onko kuvaukset injektioita? Ovatko ne surjektioita? Bijektioita?

Onko kuvaukset injektioita? Ovatko ne surjektioita? Bijektioita? Matematiikkaa kaikille, kesä 2017 Avoin yliopisto Luentojen 2,4 ja 6 tehtäviä Päivittyy kurssin aikana 1. Olkoon A = {0, 1, 2}, B = {1, 2, 3} ja C = {2, 3, 4}. Luettele joukkojen A B, A B, A B ja (A B)

Lisätiedot

Topologia Syksy 2010 Harjoitus 9

Topologia Syksy 2010 Harjoitus 9 Topologia Syksy 2010 Harjoitus 9 (1) Avaruuden X osajoukko A on G δ -joukko, jos se on numeroituva leikkaus avoimista joukoista ja F σ -joukko, jos se on numeroituva yhdiste suljetuista joukoista. Osoita,

Lisätiedot

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Osa : Relaatiot ja funktiot Riikka Kangaslampi 017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Relaatiot Relaatio Määritelmä 1 Relaatio joukosta A

Lisätiedot

2 Konveksisuus ja ratkaisun olemassaolo

2 Konveksisuus ja ratkaisun olemassaolo 2 Konveksisuus ja ratkaisun olemassaolo Ratkaisun olemassaolon tutkimiseen tarvitaan perustietoja konvekseista joukoista ja lineaarialgebrasta. Niitä tarvitaan myös ratkaisualgoritmin ymmärtämiseen. Tutkitaan

Lisätiedot

Funktiojonon tasainen suppeneminen

Funktiojonon tasainen suppeneminen TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Taina Saari Funktiojonon tasainen suppeneminen Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka Elokuu 2009 Tampereen yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen

Lisätiedot

Matematiikan peruskurssi 2

Matematiikan peruskurssi 2 Matematiikan peruskurssi Tentti, 9..06 Tentin kesto: h. Sallitut apuvälineet: kaavakokoelma ja laskin, joka ei kykene graaseen/symboliseen laskentaan Vastaa seuraavista viidestä tehtävästä neljään. Saat

Lisätiedot

Vastaus 1. Lasketaan joukkojen alkiot, ja todetaan, että niitä on 3 molemmissa.

Vastaus 1. Lasketaan joukkojen alkiot, ja todetaan, että niitä on 3 molemmissa. Miten perustella, että joukossa A = {a, b, c} on yhtä monta alkiota kuin joukossa B = {d, e, f }? Vastaus 1. Lasketaan joukkojen alkiot, ja todetaan, että niitä on 3 molemmissa. Vastaus 2. Vertaillaan

Lisätiedot

3.3 Funktion raja-arvo

3.3 Funktion raja-arvo 3.3 Funktion raja-arvo Olkoot A ja B kompleksitason joukkoja ja f : A B kuvaus. Kuvauksella f on pisteessä z 0 A raja-arvo c, jos jokaista ε > 0 vastaa δ > 0 siten, että 0 < z z 0 < δ ja z A f(z) c < ε.

Lisätiedot

Kuvauksista ja relaatioista. Jonna Makkonen Ilari Vallivaara

Kuvauksista ja relaatioista. Jonna Makkonen Ilari Vallivaara Kuvauksista ja relaatioista Jonna Makkonen Ilari Vallivaara 20. lokakuuta 2004 Sisältö 1 Esipuhe 2 2 Kuvauksista 3 3 Relaatioista 8 Lähdeluettelo 12 1 1 Esipuhe Joukot ja relaatiot ovat periaatteessa äärimmäisen

Lisätiedot

Ominaisvektoreiden lineaarinen riippumattomuus

Ominaisvektoreiden lineaarinen riippumattomuus Ominaisvektoreiden lineaarinen riippumattomuus Lause 17 Oletetaan, että A on n n -matriisi. Oletetaan, että λ 1,..., λ m ovat matriisin A eri ominaisarvoja, ja oletetaan, että v 1,..., v m ovat jotkin

Lisätiedot

Pistetulo eli skalaaritulo

Pistetulo eli skalaaritulo Pistetulo eli skalaaritulo VEKTORIT, MAA4 Pistetulo on kahden vektorin välinen tulo. Tarkastellaan ensin kahden vektorin välistä kulmaa. Vektorien a ja, kun a 0, välinen kulma on (kuva) kovera kun a vektorit

Lisätiedot

x j x k Tällöin L j (x k ) = 0, kun k j, ja L j (x j ) = 1. Alkuperäiselle interpolaatio-ongelmalle saadaan nyt ratkaisu

x j x k Tällöin L j (x k ) = 0, kun k j, ja L j (x j ) = 1. Alkuperäiselle interpolaatio-ongelmalle saadaan nyt ratkaisu 2 Interpolointi Olkoon annettuna n+1 eri pistettä x 0, x 1, x n R ja n+1 lukua y 0, y 1,, y n Interpoloinnissa etsitään funktiota P, joka annetuissa pisteissä x 0,, x n saa annetut arvot y 0,, y n, (21)

Lisätiedot

Tarkastelemme ensin konkreettista esimerkkiä ja johdamme sitten yleisen säännön, joilla voidaan tietyissä tapauksissa todeta kielen ei-säännöllisyys.

Tarkastelemme ensin konkreettista esimerkkiä ja johdamme sitten yleisen säännön, joilla voidaan tietyissä tapauksissa todeta kielen ei-säännöllisyys. Ei-säännöllisiä kieliä [Sipser luku 1.4] Osoitamme, että joitain kieliä ei voi tunnistaa äärellisellä automaatilla. Tulos ei sinänsä ole erityisen yllättävä, koska äärellinen automaatti on äärimmäisen

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 12. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 12 () Numeeriset menetelmät / 33

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 12. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 12 () Numeeriset menetelmät / 33 Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 12 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 12 () Numeeriset menetelmät 25.4.2013 1 / 33 Luennon 2 sisältö Tavallisten differentiaaliyhtälöiden numeriikasta Rungen

Lisätiedot

4 Matemaattinen induktio

4 Matemaattinen induktio 4 Matemaattinen induktio Joidenkin väitteiden todistamiseksi pitää näyttää, että kaikilla luonnollisilla luvuilla on jokin ominaisuus P. Esimerkkejä tällaisista väitteistä ovat vaikkapa seuraavat: kaikilla

Lisätiedot

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on 13 Pistetulo Avaruuksissa R 2 ja R 3 on totuttu puhumaan vektorien pituuksista ja vektoreiden välisistä kulmista. Kuten tavallista, näiden käsitteiden yleistäminen korkeampiulotteisiin avaruuksiin ei onnistu

Lisätiedot

Tietojenkäsittelyteorian alkeet, osa 2

Tietojenkäsittelyteorian alkeet, osa 2 TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy 2016 Antti-Juhani Kaijanaho TIETOTEKNIIKAN LAITOS 12. syyskuuta 2016 Sisällys vs Ovat eri asioita! Älä sekoita niitä. Funktiot Funktio f luokasta A luokkaan B, merkitään

Lisätiedot

= 5! 2 2!3! = = 10. Edelleen tästä joukosta voidaan valita kolme särmää yhteensä = 10! 3 3!7! = = 120

= 5! 2 2!3! = = 10. Edelleen tästä joukosta voidaan valita kolme särmää yhteensä = 10! 3 3!7! = = 120 Tehtävä 1 : 1 Merkitään jatkossa kirjaimella H kaikkien solmujoukon V sellaisten verkkojen kokoelmaa, joissa on tasan kolme särmää. a) Jokainen verkko G H toteuttaa väitteen E(G) [V]. Toisaalta jokainen

Lisätiedot

Sisältö. Sarjat 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 17

Sisältö. Sarjat 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 17 Sarjat 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 17 Sisältö 1 Peruskäsitteistöä 2 1.1 Määritelmiä 2 1.2 Perustuloksia 4 2 Suppenemistestejä positiivitermisille sarjoille 5 3 Itseinen ja ehdollinen suppeneminen 8 4 Alternoivat

Lisätiedot

Olkoon seuraavaksi G 2 sellainen tasan n solmua sisältävä suunnattu verkko,

Olkoon seuraavaksi G 2 sellainen tasan n solmua sisältävä suunnattu verkko, Tehtävä 1 : 1 a) Olkoon G heikosti yhtenäinen suunnattu verkko, jossa on yhteensä n solmua. Määritelmän nojalla verkko G S on yhtenäinen, jolloin verkoksi T voidaan valita jokin verkon G S virittävä alipuu.

Lisätiedot