MS-A010{2,3,4,5} (SCI, ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali

Transkriptio

1 MS-A1{2,3,4,5} (SC, ELEC*, ENG*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 8: ntegrlifunktio j epäoleellinen integrli Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos November 22, 217 Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen (Alto-yliopisto, MS-A1{2,3,4,5} Mtemtiikn j (SC, systeeminlyysin ELEC*, ENG*) litos) Differentili- jnovember integrlilskent 22, 2171 Luento 1 / 238:

2 ntegrlifunktio Määritelmä Jos G (x) = f (x) jollkin voimell välillä, niin G on funktion f integrlifunktio eli määräämätön integrli eli ntiderivtt. Funktiot f kutsutn integrndiksi. ntegrlilskennon perusluseen mukn kikill jtkuvill funktioill f : [, b] R on eräs integrlifunktio F : [, b] R F (x) = kosk F (x) = f (x) kun x ], b[. x f (t) dt Mikä menee rikki jos f on vin ploittin jtkuv? Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen (Alto-yliopisto, MS-A1{2,3,4,5} Mtemtiikn j (SC, systeeminlyysin ELEC*, ENG*) litos) Differentili- jnovember integrlilskent 22, 2171 Luento 2 / 238:

3 ntegrlifunktio ntegrlifunktiot ei useinkn void esittää lkeisfunktioiden vull ilmn integrointimerkkiä ti srjkehitelmää, vikk f itse olisikin lkeisfunktio. Mm. tällisi integrlin kutt esitettyjä funktioit F kutsutn erikoisfunktioiksi. Esim. tpus f (x) = e x2, jok liittyy normlijkumn. ntegrlifunktio ei koskn ole yksikäsitteinen, mutt välillä [, b] määritellyt eri integrlifunktiot poikkevt toisistn vin vkioll; merkitään f (x) dx = F (x) + C, C R vkio, joss F (x) = f (x). Perustelu: Jos F 1 (x) = F 2 (x) = f (x) kikill x, niin funktion F 1 (x) F 2 (x) derivtt on identtisesti noll, joten se on vkio. Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen (Alto-yliopisto, MS-A1{2,3,4,5} Mtemtiikn j (SC, systeeminlyysin ELEC*, ENG*) litos) Differentili- jnovember integrlilskent 22, 2171 Luento 3 / 238:

4 ntegrlifunktio Jtkuvn funktion f : [ 1, [ ], 1] R, f (x) = 1 x integrlifunktiot ovt muoto { ln ( x) + C 1 kun x [ 1, [, F (x) = ln x + C 2 kun x ], 1], missä C 1, C 2 R ovt mielivltisi integroimisvkioit. Määrittelyjoukon epäyhtenäisyys joht vkviin ongelmiin integrlifunktion käytössä jop jtkuvll integrndill f. Tämän esimerkin funktio ei ole edes ploittin jtkuv. (Se ei itse siss ole edes Riemnn-integroituv. Ei edes epäolennisen integrlin integroituv, niinkuin si määritellään myöhemmin tällä luennoll.) Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen (Alto-yliopisto, MS-A1{2,3,4,5} Mtemtiikn j (SC, systeeminlyysin ELEC*, ENG*) litos) Differentili- jnovember integrlilskent 22, 2171 Luento 4 / 238:

5 ntegrlifunktio V Luse Jos f : [, b] R on jtkuv, niin sen määrätty integrli voidn lske (päätepisteissäkin jtkuvn) integrlifunktion G vull: Perustelu: Tulull. f (x) dx = / b G(x) = G(x) x=b x= = G(b) G(). Määrätty integrli voidn siis lske integrlifunktion tekemästä hypystä integroimisrjojen välillä. Tämä edellyttää sitä, että f on tosinkin määritelty (j jtkuv) koko integroimisvälillä [, b]. ntegroiminen on (usein) siis derivoimist tkperin. Mitä voi tphtu, jos integroimislue ei ole yhtenäinen? Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen (Alto-yliopisto, MS-A1{2,3,4,5} Mtemtiikn j (SC, systeeminlyysin ELEC*, ENG*) litos) Differentili- jnovember integrlilskent 22, 2171 Luento 5 / 238:

6 ntegrlifunktio V Monet integrlifunktiot sdn suorn derivoimissäännöistä: x r 1 dx = r + 1 x r+1 + C, r 1 x 1 dx = ln x + C e x dx = e x + C sin x dx = cos x + C cos x dx = sin x + C dx 1 + x 2 = rctn x + C Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen (Alto-yliopisto, MS-A1{2,3,4,5} Mtemtiikn j (SC, systeeminlyysin ELEC*, ENG*) litos) Differentili- jnovember integrlilskent 22, 2171 Luento 6 / 238:

7 ntegrlifunktio V Esimerkki Lske integrlit 1 1 e x dx j 1 sin(πx) dx. Rtkisu: Ensimmäinen integrlifunktio on e x, joten integrlin rvo on 1 e x dx = e 1 + e 1 = 2 sinh 1. 1 Toinen integrlifunktio on 1 π cos(πx), joten integrlin rvo on 1 sin(πx) dx = 1 π (cos π cos ) = 2 π. Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen (Alto-yliopisto, MS-A1{2,3,4,5} Mtemtiikn j (SC, systeeminlyysin ELEC*, ENG*) litos) Differentili- jnovember integrlilskent 22, 2171 Luento 7 / 238:

8 ntegrlifunktio V Esimerkki Lske integrli 1 x 25 9x 2 dx. Rtkisu: ntegrlifunktion oike muoto voisi oll F (x) = (25 9x 2 ) 1/2 ; trkistetn kerroin derivoimll: D ( (25 9x 2 ) 1/2) = 1 2 ( 18x)(25 9x 2 ) 1/2 = 9x 25 9x 2, joten vlinnll = 1/9 sdn oike integrlifunktio. Näin ollen 1 x dx = 1 1 / 9x 25 9x 2 9 (25 2 ) 1/2 = 1 ( ) = 9 9. Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen (Alto-yliopisto, MS-A1{2,3,4,5} Mtemtiikn j (SC, systeeminlyysin ELEC*, ENG*) litos) Differentili- jnovember integrlilskent 22, 2171 Luento 8 / 238:

9 ntegrlifunktio V Perusluseen vull sdn seurv yleisempi derivoimiskv: Luse Jos f on jtkuv j funktiot j b ovt derivoituvi, niin d dx (x) (x) f (t) dt = f ( b(x) ) b (x) f ( (x) ) (x). Perustelu: Olkoon F funktion f integrlifunktio. Tällöin (x) (x) f (t) dt = F ( b(x) ) F ( (x) ). Väite seur tästä käyttämällä yhdistetyn funktion derivoimissääntöä, kosk F = f. Tämä on erinominen esimerkki kvst, jot ei knnt opiskell ulko. Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen (Alto-yliopisto, MS-A1{2,3,4,5} Mtemtiikn j (SC, systeeminlyysin ELEC*, ENG*) litos) Differentili- jnovember integrlilskent 22, 2171 Luento 9 / 238:

10 Geometrisi sovelluksi Jos f (x), niin f (x) dx on funktion kuvjn j x-kselin rjoittmn tsolueen pint-l välillä [, b]. Yleisemmin: f (x) g(x) dx on kuvjien y = f (x) j y = g(x) väliin jäävän lueen pint-l välillä [, b]. Funktion kuvjn y = f (x) krenpituus välillä [, b] on Miksi? l = 1 + f (x) 2 dx. Kun funktion f kuvj y = f (x) pyörähtää x-kselin ympäri välillä [, b], niin syntyvän pyörähdyspinnn pint-l on A = 2π f (x) 1 + f (x) 2 dx. Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen (Alto-yliopisto, MS-A1{2,3,4,5} Mtemtiikn j (SC, systeeminlyysin ELEC*, ENG*) litos) Differentili-November j integrlilskent 22, Luento 1 / 238:

11 Geometrisi sovelluksi Jos kpplett leiktn yz-tson suuntisell tsoll kohdss x j poikkileikkuksen pint-l on A(x), kun x [, b], niin kppleen tilvuus on V = A(x) dx. Kun funktion f kuvj y = f (x) pyörähtää x-kselin ympäri välillä [, b], niin se rj pyörähdyskppleen, jonk tilvuus on V = π f (x) 2 dx Syy: Poikkileikkus kohdss x on f (x)-säteinen ympyrä, joten A(x) = πf (x) 2. Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen (Alto-yliopisto, MS-A1{2,3,4,5} Mtemtiikn j (SC, systeeminlyysin ELEC*, ENG*) litos) Differentili-November j integrlilskent 22, Luento 11 / 238:

12 Geometrisi sovelluksi Yleisemmin: Jos g(x) f (x) j kuvjien y = g(x) j y = f (x) välinen lue pyörähtää x-kselin ympäri välillä [, b], niin sdun kppleen tilvuus on V = π Huom: Tulos ei ole sm kuin π ( f (x) 2 g(x) 2) dx. ( f (x) g(x) ) 2 dx. Kun käyrä y = f (x), x b, pyörähtää y-kselin ympäri, niin vstvn pyörähdyskppleen tilvuus on V = 2π xf (x) dx. Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen (Alto-yliopisto, MS-A1{2,3,4,5} Mtemtiikn j (SC, systeeminlyysin ELEC*, ENG*) litos) Differentili-November j integrlilskent 22, Luento 12 / 238:

13 Epäoleellinen integrli Riemnn-integrli määriteltiin vin rjoitetuille funktioille f äärellisellä välillä [, b]. Käyttäen rj-rvoj, määritelmää voidn ljent rjoittmttomiin funktioihin ti rjoittmttomiin integroimisväleihin. Kksi eri perustyyppiä j lisäksi sektyypit : Tyyppi : ntegroimisvälinä [, [ ti ], b] ti koko R. Tyyppi : Funktio f : ], b[ R ei ole rjoitettu ti sillä ei ole toispuoleisi rj-rvoj päätepisteissä. Sektyyppi: Sisältää sekä Tyypin j piirteitä. Sektyyppien käsittely: Jos ongelmi on molemmiss päätepisteissä ti integroimisvälin sisällä, niin integroimisväli jetn niin moneen osn, että kusskin osss vin yksi ongelmkoht joko tyyppiä ti tyyppiä. Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen (Alto-yliopisto, MS-A1{2,3,4,5} Mtemtiikn j (SC, systeeminlyysin ELEC*, ENG*) litos) Differentili-November j integrlilskent 22, Luento 13 / 238:

14 Epäoleellinen integrli Esimerkki Sektyyppinen epäoleellinen integrli tulkitn dx 1 = x(1 + x) dx + x(1 + x) 1 dx x(1 + x), joss oikell puolell on Tyypin j epäoleelliset integrlit tässä järjestyksessä. Ovtko nämä integrlit jotenkin turhi, jos niitä kerrn kutsutn epäoleellisiksi? Nyt pitäisi vielä selvittää, että kuink Tyypin j integrlit lsketn. Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen (Alto-yliopisto, MS-A1{2,3,4,5} Mtemtiikn j (SC, systeeminlyysin ELEC*, ENG*) litos) Differentili-November j integrlilskent 22, Luento 14 / 238:

15 Tyyppi Määritelmä Olkoon f : [, [ R ploittin jtkuv. Tällöin R f (x) dx = lim f (x) dx, R jos rj-rvo olemss j äärellinen. Snotn: Funktion f epäoleellinen integrli suppenee välillä [, [. Vstvsti funktiolle f : ], b] R määritellään jos rj-rvo olemss j äärellinen. f (x) dx = lim f (x) dx, R R Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen (Alto-yliopisto, MS-A1{2,3,4,5} Mtemtiikn j (SC, systeeminlyysin ELEC*, ENG*) litos) Differentili-November j integrlilskent 22, Luento 15 / 238:

16 Tyyppi Esimerkki Lske epäoleellinen integrli e x dx. Rtkisu: Kosk R e x dx = / R e x = 1 e R 1, kun R, niin epäoleellinen integrli suppenee j e x dx = 1. Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen (Alto-yliopisto, MS-A1{2,3,4,5} Mtemtiikn j (SC, systeeminlyysin ELEC*, ENG*) litos) Differentili-November j integrlilskent 22, Luento 16 / 238:

17 Tyyppi Määritellään Tyypin perustpus näin: Määritelmä Olkoon f : ], b] R jtkuv, mutt ilmn äärellistä rj-rvo, kun x +. Tällöin f (x) dx = lim f (x) dx, ε + +ε jos rj-rvo on olemss j äärellinen. Snotn: Funktion f epäoleellinen integrli suppenee välillä ], b]. Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen (Alto-yliopisto, MS-A1{2,3,4,5} Mtemtiikn j (SC, systeeminlyysin ELEC*, ENG*) litos) Differentili-November j integrlilskent 22, Luento 17 / 238:

18 Tyyppi Esimerkki Lske epäoleellinen integrli 1 dx x. Rtkisu: Kosk 1 ε dx 1 = 2/ x = 2 2 ε 2, x kun ε +, niin integrli suppenee j sen rvo on 2. ε Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen (Alto-yliopisto, MS-A1{2,3,4,5} Mtemtiikn j (SC, systeeminlyysin ELEC*, ENG*) litos) Differentili-November j integrlilskent 22, Luento 18 / 238:

19 ntegrli koko relikselin yli Esimerkki Funktiolle f (x) = x pätee R lim f (x) dx =, R R kosk kikki integrlit ovt nolli. Yleisemmin sm pätee kikille prittomille funktioille f (x). Epäoleellinen integrli päästä hvitn. x dx ei kuitenkn suppene, kuten hetken Joskus on kuitenkin trvett nt epäoleelliselle divergoivlle integrlille tulkint ylläolevn esimerkin mukisesti. Silloin käytetään nimitystä Cuchyn päärvointegrli. Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen (Alto-yliopisto, MS-A1{2,3,4,5} Mtemtiikn j (SC, systeeminlyysin ELEC*, ENG*) litos) Differentili-November j integrlilskent 22, Luento 19 / 238:

20 ntegrli koko relikselin yli Määritelmä Jos f : R R ploittin jtkuv, niin f (x) dx = f (x) dx + f (x) dx. Vsemmn puolen integrli snotn suppenevksi jos j vin jos molemmt oiken puolen integrlit suppenevt. Kuitenkin pätee: Jos f (x) kikill x R, niin R f (x) dx = lim f (x) dx R R Syy: Positiivisen funktion tpuksess ei voi tphtu esimerkin tpist ± kumoutumist, jok voi muuten sekoitt si. Tämä kv ei siis päde yleisesti, vrt. tpus f (x) = x. Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen (Alto-yliopisto, MS-A1{2,3,4,5} Mtemtiikn j (SC, systeeminlyysin ELEC*, ENG*) litos) Differentili-November j integrlilskent 22, Luento 2 / 238:

21 Mjornttiperite Epäoleellisen integrlin suppenemist voidn tutki mjornttiperitteen vull, jost seurvss eräs versio. Luse Olkoon f (x) g(x) välillä < x b. Jos epäoleellinen integrli suppenee, niin myös = g(x) dx f (x) dx suppenee j sen itseisrvo on korkeintn. Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen (Alto-yliopisto, MS-A1{2,3,4,5} Mtemtiikn j (SC, systeeminlyysin ELEC*, ENG*) litos) Differentili-November j integrlilskent 22, Luento 21 / 238:

22 Mjornttiperite Esimerkki Kosk 1 x(1 + x) 1 x välillä < x 1 j 1 dx x = 2 suppenee, niin mjornttiperitteen mukn suppenee j sen rvo on < 2. 1 dx x(1 + x) Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen (Alto-yliopisto, MS-A1{2,3,4,5} Mtemtiikn j (SC, systeeminlyysin ELEC*, ENG*) litos) Differentili-November j integrlilskent 22, Luento 22 / 238:

23 Mjornttiperite Esimerkki Vstvsti Kosk 1 1 x(1 + x) < 1 = 1, kun x 1. x( + x) x 3/2 x 3/2 dx = 2 suppenee, niin mjornttiperitteen mukn suppenee j sen rvo on < 2. 1 dx x(1 + x) Huomtn: Sopivn mjorntin vlint riippuu sekä funktiost että integroimisvälistä! Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen (Alto-yliopisto, MS-A1{2,3,4,5} Mtemtiikn j (SC, systeeminlyysin ELEC*, ENG*) litos) Differentili-November j integrlilskent 22, Luento 23 / 238: