Kertausta ja täydennystä
|
|
- Pirjo Saarnio
- 6 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 LUKU 1 Kertust j täydennystä 1.1. Merkintöjä N = {k Z k 0} = {0, 1, 2,... }, luonnollisten lukujen joukko. Z + = {k Z k > 0} = {1, 2,... }, positiivisten kokonislukujen joukko. (, b) on relikselin voin väli, jonk päätepisteinä ovt j b; tpukset = j/ti b = sllitn. [, b] on relikselin kompkti väli, jonk päätepisteinä ovt j b; tässä < b <. [, b) on relikselin puolivoin väli ( < < b ); vstvsti (, b] ( < b < ). Joukon E krkteristist funktiot merkitään χ E ; siis χ E (x) = 1, jos x E, j χ E (x) = 0, jos x E. N := T trkoitt, että jo tutulle oliolle T nnetn nimi N. Esimerkiksi f : R R, f(x) := x 2. Tätä merkintää käytetään myös muodoss T =: N. Rjoitettu vs. äärellinen: Joukko A R on rjoitettu, jos on olemss r R siten, että A [ r, r]. Joukko A R on äärellinen, jos joukko A on tyhjä ti joukoss A on äärellisen mont lkiot (A = { 1,..., n } jollekin n Z + j joillekin 1,..., n R). Vnhemmss kirjllisuudess stetn käyttää nimitystä äärellinen väli (, b), mikä trkoitt rjoitettu väliä, jonk päätepisteinä ovt j b. Tällisiss esityksissä merkintä (, b) voi trkoitt voint, suljettu ti puolivoint väliä. Funktio f : A R on rjoitettu, jos on olemss M R siten, että f(x) M kikille x A. Funktio f : A R on äärellinen, jos < f(x) < kikille x A. Lebesguen integrlin yhteydessä trksteltville funktioille sllitn toisinn rvot + j. Ero rjoitetun j äärellisen funktion välillä on syytä pitää mielessä Epäyhtälöiden säilyminen Olkoot ( j ) j=1 j (b j ) j=1 suppenevi relilukujonoj. Jos j b j kikille j Z +, niin lim j j lim j b j. Jos j < b j kikille j Z +, niin lim j j lim j b j. Jos lim j j < lim j b j, niin on olemss j 0 Z + siten, että j < b j kikille j Z +, joille j > j 0. Jos lim j j lim j b j, niin voi oll j > b j kikille j Z Ylä- j lrjt Olkoon A R epätyhjä relilukujoukko. Snotn, että A on ylöspäin rjoitettu, jos on olemss M R siten, että x M kikille x A. Siis joukko A ei ole ylöspäin rjoitettu, jos jokiselle M R on olemss x A siten, että x > M. 1 Viimeksi muutettu vi
2 1.4. RIEMANNIN INTEGRAALI vii Olkoon A epätyhjä, ylöspäin rjoitettu relilukujoukko. (i) Mikä thns luku M R, jolle x M kikille x A, on joukon A ylärj. (ii) Luku R on joukon pienin ylärj, jos () on joukon A ylärj, j (b) jos M on joukon A ylärj, niin M. Luse 1.1. Olkoon A epätyhjä, ylöspäin rjoitettu relilukujoukko. Luku R on joukon A pienin ylärj, jos j vin jos (i) x kikille x A, j (ii) kikille ε > 0 on olemss x A siten, että x > ε. Aksioom 1.2 (Täydellisyysksioom). Jokisell epätyhjällä, ylöspäin rjoitetull relilukujoukoll A on pienin ylärj. Epätyhjän, ylöspäin rjoitetun joukon A pienintä ylärj merkitään sup A. Ljennetn pienimmän ylärjn käsitettä settmll sup A =, kun A on epätyhjä, mutt ei ylöspäin rjoitettu relilukujoukko. Epätyhjälle relilukujoukolle A R käsitteet lspäin rjoitettu, lrj j suurin lrj, inf A, määritellään vstvsti. Suurimmn lrjn olemssolo seur täydellisyysksioomst. Nimittäin, inf A = sup( A), kun A := { x x A}, joukon A vstlukujen joukko. Vstvsti setetn inf A =, kun A on epätyhjä, mutt ei lspäin rjoitettu relilukujoukko. Olkoon ( n ) n=1 suppenev relilukujono j A sen rj-rvo. Asetetn b k := inf{ n n k} j c k := sup{ n n k}. Tällöin ) jono (b k ) on ksvv j sup{b k k Z + } = lim b k = A; k b) jono (c k ) on vähenevä j inf{c k k Z + } = lim c k = A. k Nämä tulokset on hrjoituksen vuoksi syytä todist Riemnnin integrli Olkoon f : [, b] R rjoitettu funktio. Välin [, b] jko on äärellinen joukko P = {[x k 1, x k ] k {1,..., n}}, missä n Z + j x 0 = < x 1 <... < x n = b. Huom: kurssill Anlyysi 2 [17] joksi kutsutn lukujono x 0 = < x 1 <... < x n = b. (Engl. prtition.) Välin [, b] merkitty jko on äärellinen joukko T = {([x k 1, x k ], t k ) k {1,..., n}}, missä n Z +, x 0 = < x 1 <... < x n = b j t k [x k 1, x k ] kikille k {1,..., n}. Merkitty jko on siis jko, missä jokinen osväli [x k 1, x k ] on merkitty ntmll siltä
3 1.4. RIEMANNIN INTEGRAALI viii piste t k. Merkittyyn jkoon T = {([x k 1, x k ], t k ) k {1,..., n}} liittyvä (tvllinen) jko P sdn unohtmll merkit t 1,..., t n, P = {[x k 1, x k ] k {1,..., n}}. (Engl. tgged prtition.) Olkoon δ > 0. Jko P = {[x k 1, x k ] k {1,..., n}} on δ-hieno, jos P := mx{x k x k 1 k {1,..., n}} < δ. Merkitty jko T on δ-hieno, jos siihen liittyvä tvllinen jko P on δ-hieno. Merkitylle jolle T käytetään sm merkintää T = P kuin tvlliselle jolle. Funktion f merkittyyn jkoon T liittyvä Riemnnin summ on R(f, T ) := f(t k )(x k x k 1 ). Riemnnin käyttämä määritelmä on seurv: funktio f on Riemnn-integroituv, jos on olemss I R siten, että jokiselle ε > 0 on olemss δ > 0 siten, että jokiselle δ-hienolle merkitylle jolle T on voimss R(f, T ) I < ε. Kurssill Anlyysi 2 funktion f Riemnn-integroituvuus määritellään l- j yläporrsfunktioiden vull (lporrsfunktio g on porrsfunktio g, jolle g f, j yläporrsfunktio on porrsfunktio h, jolle h f). Perinteisempi tp olisi käyttää Drboux n l- j yläsummi, jotk ovt trkoin vlittujen l- j yläporrsfunktioiden integrlit. Olkoon P = {[x k 1, x k ] k {1,..., n}} välin [, b] jko. Asetetn m k := inf{f(x) x [x k 1, x k ]} j M k := sup{f(x) x [x k 1, x k ]} sekä porrsfunktiot g, h: [, b] R, (1.1) (1.2) j (1.3) (1.4) g(x) = m k, kun x [x k 1, x k ) j 1 k < n, sekä g(x) = m n, kun x [x n 1, x n ], h(x) = M k, kun x [x k 1, x k ) j 1 k < n, sekä h(x) = M n, kun x [x n 1, x n ]. Näiden porrsfunktioiden integrlit ovt funktion f Drboux n l- j yläsumm, s P := g(x) dx = m k (x k x k 1 ), S P := h(x) dx = M k (x k x k 1 ). Funktion f Drboux n (ti Riemnnin) l- j yläintegrli ovt f(x) dx := l- f(x) dx := sup s P, P P f(x) dx := ylä- f(x) dx := inf P P S P, missä P on välin [, b] kikkien jkojen joukko. Snotn, että funktio f on Drboux-integroituv (kurssill Anlyysi 2 Riemnnintegroituv), jos f(x) dx = f(x) dx.
4 1.4. RIEMANNIN INTEGRAALI ix Drboux n l- j yläsummien s P j S P käytöstä kätevän tekee se, että jos jko tihennetään (eli jkopisteitä x j lisätään), niin lsummt ksvvt j yläsummt pienenevät, t.s. jos P P, niin s P s P j S P S P. Jos jkoon P liitetään porrsfunktiot (1.1) (1.4) j jkoon P vstvll tvll porrsfunktiot g j h, niin g g j h h. Drboux n l- j yläsummt ovt peräisin J. G. Drboux lt vuodelt Drboux n esitys jtkuvn funktion Riemnn-integroituvuudelle lienee ensimmäinen kunnollinen todistus väitteelle. Usein nsio ensimmäisestä todistuksest nnetn Augustin Cuchylle (1823), mutt Cuchyll ei ollut vielä käytössään tulost, että suljetull välillä jtkuv funktio on tsisesti jtkuv. Cuchy kuitenkin käytti todistuksessn nimenomn tsist jtkuvuutt. Tämän tärkeän tuloksen todisti Heinrich Heine vuonn Bernhrd Riemnn käytti nimeään kntvi Riemnnin summi integrlins määrittelyyn vuonn Cuchyn käyttämä määritelmä, jok ensimmäisenä perustui äärellisten summien rj-rvojen eikä epämääräisten infinitesimlien käyttöön, oli muuten sm kuin Riemnnill, mutt merkit eli pisteet t k vlittiin jkopisteistä, f(x k 1 )(x k x k 1 ). Kurssilt Anlyysi 2 knntt kerrt (ti todist suorn): Luse 1.3. Olkoon f : [, b] R rjoitettu funktio. Tällöin funktio f on Riemnnintegroituv, jos j vin jos f on Drboux-integroituv. Yksi muoto Riemnn-integroituvuudelle on seurv porrsfunktiojonojen vull ilmistu luse. Tämä on hyvä todist kertuksen vuoksi, sillä Lebesguen integrli tulln käsittelemään juuri porrsfunktiojonojen vull. Luse 1.4. Olkoot f : [, b] R rjoitettu funktio j (P j ) j=1 jono välin [, b] jkoj siten, että P j 0, kun j. Olkoot g j j h j jko P j vstvt, kvojen (1.1) (1.4) vull määritellyt l- j yläporrsfunktio. ) Jos f on Riemnn-integroituv välillä [, b], niin b) Jos lim j g j = lim lim j j g j = lim h j = j h j =: I, niin f Riemnn-integroituv välillä [, b] j f(x) dx. f(x) dx = I. Seurv tulos on yksi muoto Anlyysin perusluseest, ehkä se tvllisin: Luse 1.5. Olkoon f : [, b] R Riemnn-integroituv. Kikille x [, b] setetn Tällöin ) F on jtkuv; F (x) = x f(t) dt.
5 1.4. RIEMANNIN INTEGRAALI x b) jos f on jtkuv pisteessä x, niin F on derivoituv pisteessä x j F (x) = f(x). Seurv derivtn j integrlin välistä yhteyttä selvittävä tulos lienee vähemmän tunnettu, vikk sen todistus onkin vrsin helppo. Tuloksen kuneutt lisää se, että siinä ei tehdä mitään turhi oletuksi: jott derivtt voitisiin integroid, pitää sen oll integroituv! Luse 1.6. Olkoon F : [, b] R derivoituv funktio siten, että derivtt F on Riemnn-integroituv välillä [, b]. Tällöin F (x) dx = F (b) F (). Todistus knntt käydä läpi hrjoitustehtävänä. Muist Riemnn-integroituvuus Riemnnin summien vull j differentililskennn välirvoluse: F (x k ) F (x k 1 ) = F (t k )(x k x k 1 ). Näin vlitulle merkitylle jolle Riemnnin summ on R(F, T ) = F (b) F (). Riemnnin integrlin määritelmästä seur, että jos f on Riemnn-integroituv, niin integrlin pproksimoimiseen voidn käyttää mitä thns riittävän tiheää jko j mitä thns jkoväleiltä vlittuj pisteitä t k. Erityisesti voidn käyttää tsvälistä jko x k = + k (b )/n, 0 k n, j pisteitä t k = x k 1, 1 k n. Siis, jos f on Riemnn-integroituv, niin ( f + (k 1) b n ) b n f(x) dx, kun n. Integrlikäsitteen helpottmiseksi sttisi houkutukseksi muodostu seurv määritelmä (siis Riemnnin integrlin sijst, ei sen rinnll): Rjoitettu funktio f : [, b] R on N-integroituv välillä [, b] (N = niivi?), jos seurv rj-rvo on olemss: lim n ( f + (k 1) b n ) b k. Jos f on N-integroituv, niin yllä olev luku merkitään N- f(x) dx j kutsutn funktion f N-integrliksi. Jott integrlist olisi jotin hyötyä, pitäisi sillä oll hyödyllisiä ominisuuksi. Esimerkiksi: jos c (, b) j f on N-integroituv kummllkin osvälillä [, c] j [c, b], niin tällöin f on N-integroituv välillä [, b] j N- f(x) dx = N- c f(x) dx + N- c f(x) dx. Pitääkö tämä väite pikkns? Entä miten muut tutut tulokset (linerisuus yms) ovt voimss N-integrlille? Ehkä luonnollisempi vihtoehto integrlikäsitteeksi olisi Anlyysin perusluseest mieleen johtuv Integrlifunktio-integrli: Olkoon f : [, b] R nnettu funktio. Snotn, että f on IF-integroituv, jos on olemss derivoituv funktio F : [, b] R
6 IF RIEMANNIN INTEGRAALI xi siten, että F (x) = f(x) kikille x [, b] (päätepisteissä toispuoleiset derivtt). Jos f on IF-integroituv, setetn funktion f IF-integrliksi f(x) dx := x=b x= F (x) := F (b) F (), Kosk derivointi on tvllisesti helpomp kuin integrlifunktion etsiminen, on derivoimll helppo määrätä iso tulukko IF-integroituvi funktioit j niiden integrlej (näinhän tehdään kurssill Anlyysi 2). Anlyysin perusluseen nojll jokinen jtkuv funktio f : [, b] R on IF-integroituv. Mutt Anlyysin perusluse todistetn tvllisesti Riemnnin integrlin vull. Entä jos integrlilskent hluttisiin yksinkertist korvmll Riemnnin integrli IF-integrlill? Miten tällöin (ilmn Riemnnin integrlin käsitettä) osoitetn, että jokinen jtkuv funktio on IF-integroituv? Luse 1.7 (Jtkuvien funktioiden välirvoluse). Olkoon f : [, b] R jtkuv funktio. Tällöin f svutt jokisen suurimmn rvons M := sup f([, b]) j pienimmän rvons m := inf f([, b]) välisen rvon, t.s. f([, b]) = [m, M]. Luse 1.8 (Differentililskennn välirvoluse). Olkoon f : [, b] R jtkuv funktio, jok on derivoituv voimell välillä (, b). Tällöin on olemss ξ (, b) siten, että f(b) f() = f (ξ) (b ). Luse 1.9 (Derivttojen välirvoluse). Olkoon f : [, b] R jtkuv funktio, jok on derivoituv voimell välillä (, b), j joll on äärelliset toispuoliset derivtt f (+) j f (b ) välin päätepisteissä, f f(x) f() (+) := lim, f f(x) f(b) (b ) := lim. x + x x b x b Oletetn, että f (+) f (b ). Olkoon c vlittu lukujen f (+) j f (b ) välistä. Tällöin on olemss ξ (, b) siten, että f (ξ) = c. Todistuside. Olkoon g : [, b] R, f(x) f() g(x) =, kun < x b, j g() = f (+). x Funktio g on jtkuv, joten jtkuvien funktioiden välirvoluseen nojll se svutt jokisen päätepisteissä smiens rvojen f (+) j (f(b) f())/(b ) välisen rvon josskin välin [, b] pisteessä. Olkoon y lukujen f (+) j (f(b) f())/(b ) välissä j x [, b] siten, että g(x) = y. Oletetn, että x > (tpus x = jää hrjoitustehtäväksi). Differentililskennn välirvoluseen nojll on olemss ξ (, x) siten, että g(x) = (f(x) f())/(x ) = f (ξ). Siis f svutt kikki lukujen f (+) j (f(b) f())/(b ) väliset rvot välillä (, b). Vstvll tvll, trkstelemll funktiot : [, b] R, f(x) f(b) h(x) =, kun x < b, j g(b) = f (b ), x b nähdään, että f svutt jokisen lukujen (f(b) f())/(b ) j f (b ) välisen rvon josskin välin (, b) pisteessä.
7 1.5. JOUKKO- JA FUNKTIO-OPPIA xii Luse Olkoon f : [, b] R jtkuv funktio, jok on derivoituv voimell välillä (, b). Oletetn, että derivtll f on oikenpuolinen rj-rvo d pisteessä x =, d = lim x + f (x). Tällöin funktioll f on oikenpuolinen derivtt pisteessä x = j f (+) = d. Muistettkoon, että funktio f : [, b] R on derivoituv pisteessä c (, b), jos j vin jos funktioll f on pisteessä x = c molemmt toispuoliset derivtt f (c+) j f (c ) j f (c+) = f (c ). Edellisestä luseest seur, että jos funktio f on derivoituv välillä (, b), mutt f ei ole jtkuv pisteessä x = c, niin derivtll f ei ole jompkump (ti kumpkn) toispuoleist rj-rvo f (c+) ti f (c ). Derivtn epäjtkuvuudet eivät siis voi oll hyppäysepäjtkuvuuksi. Luse 1.11 (Integrlilskennn välirvoluse). Olkoon f : [, b] R jtkuv funktio. Tällöin on olemss ξ [, b] siten, että f(x) dx = f(ξ) (b ) Joukko- j funktio-oppi Joukkojen äärellisille yhdisteille j leikkuksille pätee: (i) (A 1 A 2 ) B = (A 1 B) (A 2 B) (ii) (A 1 A 2 ) B = (A 1 B) (A 2 B) (iii) B \ (A 1 A 2 ) = (B \ A 1 ) (B \ A 2 ) (iv) B \ (A 1 A 2 ) = (B \ A 1 ) (B \ A 2 ) (v) B \ (B \ A 1 ) = A 1, jos A 1 B Numeroituvsti äärettömät j yleiset yhdisteet j leikkukset: Olkoot I indeksijoukko j jokiselle i I A i nnettu joukko. Tällöin A i := {x on olemss i I siten, että x A i }, i I A i := {x x A i kikille i I}. i I Näille on voimss (i) ( i I A ) i B = i I (A i B) (ii) ( i I A ) i B = i I (A i B) (iii) B \ ( i I A ) i = i I (B \ A i) (iv) B\ ( i I A ) i = i I (B \ A i) Olkoon A j, j Z +, nnettu jono joukkoj. Asetetn B 1 := A 1 j B k := A k \ k 1 j=1 Tällöin joukot B k ovt preittin pistevierit j n n B k = kikille n Z +, sekä A k A j, kun k > 1. B k = A k.
8 1.5. JOUKKO- JA FUNKTIO-OPPIA xiii Huom, että jos joukot A j muodostvt ksvvn jonon (eli A 1 A 2 A 3... ), niin B k = A k \ A k 1, kun k > Olkoot X j Y epätyhjiä joukkoj j f : X Y nnettu kuvus sekä A, A 1, A 2 X j B, B 1, B 2 Y nnettuj osjoukkoj. Tällöin (i) f(a 1 A 2 ) = f(a 1 ) f(a 2 ) (ii) f(a 1 A 2 ) f(a 1 ) f(a 2 ) (iii) A f 1 (f(a)) (iv) f(f 1 (B)) B (v) f 1 (B 1 B 2 ) = f 1 (B 1 ) f 1 (B 2 ) (vi) f 1 (B 1 B 2 ) = f 1 (B 1 ) f 1 (B 2 ) (vii) f 1 (Y \ B) = X \ f 1 (B) Olkoot X j Y epätyhjiä joukkoj j f : X Y nnettu kuvus. Tällöin f(f 1 (B)) = B kikille osjoukoille B Y, jos j vin jos f on surjektio Olkoot X j Y epätyhjiä joukkoj j f : X Y nnettu kuvus. Tällöin seurvt ehdot ovt yhtäpitäviä: (i) f on injektio; (ii) f(a 1 A 2 ) = f(a 1 ) f(a 2 ) kikille osjoukoill A 1, A 2 X; (iii) A = f 1 (f(a)) kikille osjoukoill A X; (iv) f(a 1 \ A 2 ) = f(a 1 ) \ f(a 2 ) kikille osjoukoill A 1, A 2 X, joille A 2 A Olkoot A j, j N, numeroituvi joukkoj. Tällöin niiden yhdiste on numeroituv. j N A j
Riemannin integraali
LUKU 5 iemnnin integrli Tässä luvuss funktion f iemnnin integrli merkitään - b f = - b f() d. Vstvsti funktion f Lebesgue in integrli merkitään f = f() dm(). [,b] [,b] Luse 5.1. Olkoon f : [, b] rjoitettu
Lisätiedot3 Integraali ja derivaatta
3 Integrli j erivtt 3.1 Integrli ylärjns funktion Olkoon funktio f Riemnn-integroituv välin I jokisell suljetull osvälillä j välin I jokin kiinteä luku. Tällöin integrli määrittelee funktion G(): I R,
Lisätiedot5 Riemann-integraali ANALYYSI B, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT Ala- ja yläintegraali
ANALYYSI B, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT 9 5 Riemnn-integrli 5. Al- j yläintegrli Voit olett tunnetuksi ll esitetyt supremumin j infimumin ominisuudet (joukot A j B ovt rjoitettuj sekä epätyhjiä j λ R). Jos
LisätiedotRiemannin integraalista
Lebesguen integrliin sl. 2007 Ari Lehtonen Riemnnin integrlist Johdnto Tämän luentomonisteen trkoituksen on tutustutt lukij Lebesgue n integrliin j sen perusominisuuksiin mhdollisimmn yksinkertisess tpuksess:
Lisätiedot2 Riemann-integraali. 2.1 Porrasfunktion integraali. Aloitetaan integraalin täsmällinen määrittely tutkimalla porrasfunktion integraalia.
2 Riemnn-integrli 2.1 Porrsfunktion integrli Aloitetn integrlin täsmällinen määrittely tutkimll porrsfunktion integrli. Määritelmä 2.1 (Porrsfunktion integrli). Olkoon f : [, b] R porrsfunktio j P = {x
LisätiedotII.1. Suppeneminen., kun x > 0. Tavallinen lasku
II. EPÄOLEELLISET INTEGRAALIT nt II.. Suppeneminen Esim. Olkoon f() =, kun >. Tvllinen lsku = / =. Kuitenkn tätä integrli ei ole ikisemmss mielessä määritelty, kosk f ei ole rjoitettu välillä [, ] (eikä
LisätiedotMS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 7: Integraali ja analyysin peruslause
MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 7: Integrli j nlyysin perusluse Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos 3.10.2016 Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen
LisätiedotKäydään läpi: ääriarvo tarkastelua, L Hospital, integraalia ja sarjoja.
DI mtemtiikn opettjksi: Täydennyskurssi, kevät Luentorunko j hrjoituksi viikolle : ti 9.. klo :-5:, to.. klo 9:5-: j klo 4:5-6: Käydään läpi: äärirvo trkstelu, L Hospitl, integrli j srjoj.. Kerrtn äärirvojen
LisätiedotAnalyysi 2. Harjoituksia lukuihin 1 3 / Kevät Anna sellainen välillä ] 2, 2[ jatkuva ja rajoitettu funktio f, että
Anlyysi Hrjoituksi lukuihin 3 / Kevät 5. Ann sellinen välillä ], [ jtkuv j rjoitettu funktio f, että () sup A m A j inf A min A, (b) sup A m A j inf A = min A, (c) sup A = m A j inf A min A, (d) sup A
Lisätiedot5 Epäoleellinen integraali
5 Epäoleellinen integrli 5. Integrlin suppeneminen Olkoon f sellinen välillä [, b[ (ei siis välttämättä pisteessä b) määritelty funktio, että f on Riemnn-integroituv välillä [, ] kikill ], b[ eli on olemss
Lisätiedoti 2 n 3 ( (n 1)a (i + 1) 3 = 1 +
I. INTEGRAALILASKENTA Arkhimedes (287 22 e.kr.) prbelin segmentin pint-l Newton (642 727) j Leibniz (646 76) keksivät diff.- j int.-lskennn Cuhy (789 857) ε, δ Riemnn (826 866) Riemnnin integrli Lebesgue
LisätiedotMS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 7: Integraali ja analyysin peruslause
MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 7: Integrli j nlyysin perusluse Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos November 20, 2017
Lisätiedot7 Funktiosarjoista. 7.1 Funktiosarjojen suppeneminen
7 Funktiosrjoist 7. Funktiosrjojen suppeneminen Seurvksi trkstelln srjoj, joiden termit ovt (lukujen sijst) jollkin välillä I määriteltyjä funktioit. Täsmällisemmin funktiosrjll (ti lyhyemmin srjll) trkoitetn
Lisätiedotx k 1 Riemannin summien käyttö integraalin approksimointiin ei ole erityisen tehokasta; jatkuvasti derivoituvalle funktiolle f virhe b
5 Integrlien lskemisest 51 Riemnnin summt [A2], [4, 61] Rjoitetun funktion f : [, b] R Riemnn-integroituvuudelle ytäpitäväksi on kurssill Anlyysi 2 osoitettu, että Riemnnin summill S P := f(ξ k ) ( ),
LisätiedotLebesguen integraali - Rieszin määritelmä
Lebesguen integrli - Rieszin määritelmä Tru Lehtonen Mtemtiikn pro grdu-tutkielm Jyväskylän yliopisto Mtemtiikn j tilstotieteen litos Kevät 216 Tiivistelmä Jyväskylän Yliopisto Lehtonen, Tru Puliin: Lebesguen
LisätiedotSARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT Funktiojonot 1
SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 JOUNI PARKKONEN Sisältö 0. Tästä tekstistä. Funktiojonot 0. Tästä tekstistä Tämä moniste on trkoitettu käytettäväksi kurssin Srjt j differentiliyhtälöt luentomterilin.
LisätiedotMääritelmä Olkoon C R m yksinkertainen kaari ja γ : [a, b] R m sen yksinkertainen parametriesitys, joka on paloittain C 1 -polku.
Muodostetn vektorikentän kri-integrli yksinkertisen kren tpuksess. Plutetn mieleen, että joukko C R m on yksinkertinen kri, jos löytyy sellinen jtkuv bijektio γ : [, b] C, jok on ploittin C 1 -funktio
LisätiedotIntegraalilaskenta. Määrätty integraali
9..08 Integrlilskent Määräämätön Etsitään funktiot Derivoinnille käänteistoimenpide integroiminen Integrlifunktio F(x), jolle F x = f x, lisäksi integrlifunktioille G x = F x + C. Vkion C lisäys (merkitys),
Lisätiedot4. Reaalifunktioiden määrätty integraali
6 4. Relifunktioiden määrätt integrli Vrsinisesti termi "integrli" tulee seurvss esitettävästä määrätstä integrlist, jok on läheistä suku summmiselle. Yhtes derivttn on sitten perustv ltu olev tulos, jot
LisätiedotMS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali
MS-A1{3,4} (ELEC*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 8: Integrlifunktio j epäoleellinen integrli Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos 5.1.216 Pekk Alestlo,
LisätiedotSisältö. Integraali 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 20
Integrli 10. syyskuut 2005 sivu 1 / 20 Sisältö 1 Määrätty integrli j integrlifunktio 2 1.1 Integroituvist funktioit 3 1.2 Määrätyn integrlin ominisuuksi 4 1.3 Integrlifunktio 5 1.4 Integrlilskennn tärkeimmät
LisätiedotANALYYSI I, kevät 2009
ANALYYSI I, kevät 2009 Sisältö Relilukujen peruskäsitteitä 2 Lukujonoist 3 2. Lukujonon rj-rvo....................... 3 2.2 Monotoniset jonot......................... 7 2.3 Osjonot..............................
Lisätiedot1. Derivaatan Testi. Jos funktio f on jatkuva avoimella välillä ]a, b[ ja x 0 ]a, b[ on kriit. tai singul. piste niin. { f (x) > 0, x ]a, x 0 [
1. Derivtn Testi Jos funktio f on jtkuv voimell välillä ], b[ j x 0 ], b[ on kriit. ti singul. piste niin { f (x) < 0, x ], x 0 [ f x (x) > 0, x ]x 0, b[ 0 on lokli minimipiste (1) { f (x) > 0, x ], x
LisätiedotANALYYSI I, kevät 2009
5 Riemnnin integrli 7 ANALYYSI I, kevät 9 5. Integrlin perusominisuuksi................. 76 5. Anlyysin perusluse....................... 8 Sisältö Relilukujen peruskäsitteitä Lukujonoist 3. Lukujonon rj-rvo.......................
LisätiedotMS-A010{2,3,4,5} (SCI, ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali
MS-A1{2,3,4,5} (SC, ELEC*, ENG*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 8: ntegrlifunktio j epäoleellinen integrli Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos November
LisätiedotRiemannin integraalista
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro grdu -tutkielm Aij Stenberg Riemnnin integrlist Mtemtiikn j tilstotieteen litos Mtemtiikk Syyskuu 2010 2 Tmpereen yliopisto Mtemtiikn j tilstotieteen litos STENBERG, AIJA: Riemnnin
LisätiedotANALYYSI I, kevät 2009
ANALYYSI I, kevät 009 Sisältö Relilukujen peruskäsitteitä Lukujonoist 4. Lukujonon rj-rvo....................... 4. Monotoniset jonot..........................3 Osjonot.............................. 7.4
LisätiedotPertti Koivisto. Analyysi B
Pertti Koivisto Anlyysi B TAMPEREEN YLIOPISTO INFORMAATIOTIETEIDEN YKSIKÖN RAPORTTEJA 67/8 TAMPERE 8 TAMPEREEN YLIOPISTO INFORMAATIOTIETEIDEN YKSIKÖN RAPORTTEJA 67/8 JOULUKUU 8 Pertti Koivisto Anlyysi
Lisätiedot6 Integraalilaskentaa
6 Integrlilskent 6. Integrlifunktio Funktion f integrlifunktioksi snotn funktiot F, jonk derivtt on f. Siis F (x) = f (x) määrittelyjoukon jokisell muuttujn rvoll x. Merkitään F(x) = f (x) dx. Integrlifunktion
LisätiedotAnalyysi B. Derivaatta ja integraali. Pertti Koivisto
Anlyysi B Derivtt j integrli Pertti Koivisto Kevät 7 Alkusnt Tämä moniste on trkoitettu oheislukemistoksi Tmpereen yliopistoss pidettävälle kurssille Anlyysi B. Monisteen tvoitteen on tuke luentojen seurmist,
Lisätiedota = x 0 < x 1 < x 2 < < x n = b f(x) dx = I. lim f(x k ) x k=1
5 Integrli 5.1 Määritelmä j ominisuudet Olkoon f : [, b] R jtkuv. Muodostetn välin [, b] jko = x 0 < x 1 < x 2 < < x n = b j siihen liittyvä yläsumm S = n M k (x k x k 1 ), M k = mx{f(x) x k 1 x x k },
LisätiedotLebesguen integraali
LUKU 3 Lebesguen integrli Seurvss esitettävä määritelmä Lebesguen integrlille ei ole Lebesguen lkuperäinen. Vuoden 1904 luennoissn [23] hän kuitenkin setti tvoitteeksi, että integrlill olisi ominisuus:
LisätiedotSarjat ja integraalit
Srjt j integrlit c Mtemttisten tieteiden litos, Oulun yliopisto Versio: 9.3.0 Viimeksi muoknnut: Peter Hästö Sisältö Funktion rj-rvo j jtkuvuus. Peruskäsitteitä........................................
LisätiedotIntegroimistehtävät, 10. syyskuuta 2005, sivu 1 / 29. Perustehtäviä. Tehtävä 1. Osoita, että vakiofunktio f(x) c on Riemann-integroituva välillä
Integroimistehtävät,. syyskuut 5, sivu / 9 Perustehtäviä Tehtävä. Osoit, että vkiofunktio f(x) c on Riemnn-integroituv välillä [, b] j lske suorn määritelmän perusteell b f(x). Tehtävä. Osoit, että funktio,
LisätiedotR(f, T ) := f(t k )(x k x k 1 ).
Lebesguen tp määritellä mitt j integrli Lebesguen 1 itsensä lunperin käyttämä määritelmä mitlle j ennenkikke mitllisuuden käsitteelle poikke jonkinverrn nykyisin tvnomisest määrittelytvst. Ensinnäkin,
LisätiedotNumeeriset menetelmät TIEA381. Luento 9. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 9 () Numeeriset menetelmät / 29
Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 9 Kirsi Vljus Jyväskylän yliopisto Luento 9 () Numeeriset menetelmät 17.4.2013 1 / 29 Luennon 9 sisältö Numeerisest integroinnist Newtonin j Cotesin kvt Luento 9 ()
Lisätiedot2 Epäoleellinen integraali
ANALYYSI C, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, SYKSY 8 Epäoleellinen integrli Integrointivihje: Hyödynnä yhdistetyn funktion integrointisääntöä.. Määritä 9 9 (c) ( ). Tutki, millä vkion p rvoill epäoleellinen integrli
LisätiedotNewtonin, Riemannin ja Henstock-Kurzweilin integraalit
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro grdu -tutkielm Annik Heinonen Newtonin, Riemnnin j Henstock-Kurzweilin integrlit Informtiotieteiden yksikkö Mtemtiikk Helmikuu 2013 Sisältö 1 Johdnto 1 2 Newtonin integrli 2 2.1
LisätiedotTEHTÄVÄ 1. Olkoon (f n ) jono jatkuvia funktioita f n : [a, b] R, joka suppenee välillä [a, b] tasaisesti kohti funktiota f : [a, b] R.
Topologi I Hrjoitus 10, rtkisuj AP TEHTÄVÄ 1. Olkoon (f n ) jono jtkuvi funktioit f n : [, b] R, jok suppenee välillä [, b] tsisesti kohti funktiot f : [, b] R. Osoit, että tällöin f n (x) dx f(x) dx.
LisätiedotANALYYSIN TEORIA A JA B
ANALYYSIN TEORIA A JA B Kikki luseit ei ole muotoiltu smll tvll kuin luennoill. Ilmoit virheistä yms osoitteeseen mikko.kngsmki@ut. (jos et ole vrm, onko kyseessä virhe, niin ilmoit mieluummin). 1. Yleistä,
LisätiedotMatemaattiset menetelmät I. Seppo Hassi
Mtemttiset menetelmät I Seppo Hssi Syksy 2011 iii Esipuhe Tämä on 1. versio Mtemttiset menetelmät I-kurssin opetusmonisteest, jok perustuu Vsn yliopistoss luennoimni vstvn nimiseen kurssiin. Sisältö noudtt
LisätiedotANALYYSI 2. Tero Kilpeläinen
ANALYYSI Tero Kilpeläinen 3 Teksti sisältää muistiinpnoj vuosin j 3 pidetystä kurssist. Tämän pketin trkoitus on tuke omien muistiinpnojen teko, ei korvt niitä. Mtemtiikk oppii prhiten itse kirjoitten
LisätiedotMatematiikan peruskurssi. Seppo Hassi
Mtemtiikn peruskurssi Seppo Hssi Syksy 2014 iii Esipuhe Tämä on 1. versio Mtemtiikn peruskurssin opetusmonisteest, jonk sisältö noudttelee pitkälti Vsn yliopistoss iemmin luennoimni Mtemttiset menetelmät
LisätiedotLuku I on funktion f Riemannin integraali välillä [a, b] ja sitä merkitään b
1. Lebesguen tp määritellä mitt j integrli Lebesguen 1 itsensä lunperin käyttämä määritelmä mitlle j ennenkikke mitllisuuden käsitteelle poikke jonkinverrn nykyisin tvnomisest määrittelytvst. Ensinnäkin,
LisätiedotVille Turunen: Mat Matematiikan peruskurssi P1 3. välikokeen alueen teoriatiivistelmä 2007
Ville Turunen: Mt-.4 Mtemtiikn peruskurssi P 3. välikokeen lueen teoritiivistelmä 27 Mterili: kirjt [Adms] R. A. Adms: Clculus, complete course (6th edition), [Ly] D. C. Ly: Liner lgebr nd its pplictions
Lisätiedot2.4 Pienimmän neliösumman menetelmä
2.4 Pienimmän neliösummn menetelmä Optimointimenetelmiä trvitn usein kokeellisen dtn nlysoinniss. Mittuksiin liittyy virhettä, joten mittus on toistettv useit kertoj. Oletetn, että mittn suurett c j toistetn
LisätiedotPertti Koivisto. Analyysi C
Pertti Koivisto Anlyysi C TAMPEREEN YLIOPISTO INFORMAATIOTIETEIDEN YKSIKÖN RAPORTTEJA 68/28 TAMPERE 28 TAMPEREEN YLIOPISTO INFORMAATIOTIETEIDEN YKSIKÖN RAPORTTEJA 68/28 JOULUKUU 28 Pertti Koivisto Anlyysi
LisätiedotMS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1
MS-A0102 Differentili- j integrlilskent 1 Riikk Korte (Pekk Alestlon klvojen pohjlt) Alto-yliopisto 22.11.2016 Sisältö Pint-l Integrli 1.1 Pint-l: Suorkulmio Seurvss trkstelln umpinisten tsokäyrien rjmi
LisätiedotKuvausta f sanotaan tällöin isomorfismiksi.
Määritelmä..12. Oletetn, että 1 =(V 1,E 1 ) j 2 =(V 2,E 2 ) ovt yksinkertisi verkkoj. Verkot 1 j 2 ovt isomorfiset, jos seurvt ehdot toteutuvt: (1) on olemss bijektio f : V 1 V 2 (2) kikill, b V 1 pätee,
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Mtemtiikn tukikurssi Kurssikert 5 1 Jtkuvuus Trkstelln funktiot fx) josskin tietyssä pisteessä x 0. Tämä funktio on tässä pisteessä joko jtkuv ti epäjtkuv. Jtkuvuuden ymmärtää prhiten trkstelemll epäjtkuv
LisätiedotRiemann-integraalin ja mittaintegraalin vertailua
Riemnn-integrlin j mittintegrlin vertilu Pro grdu -tutkielm Pii Tskinen Mtemttisten tieteiden litos Oulun yliopisto Kevät 216 Sisältö Johdnto 3 1 Esitietoj 5 1.1 Välijost............................. 5
LisätiedotSisältö. Funktiojonot ja -sarjat 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 15
Funktiojonot j -srjt 10. syyskuut 2005 sivu 1 / 15 Sisältö 1 Funktiojonoist 2 2 Funktiosrjoist 5 3 Funktiojonojen j -srjojen derivointi j integrointi 7 4 Potenssisrjt 9 5 Tylorin polynomit j srjt 12 5.1
LisätiedotJohdatus reaalifunktioihin P, 5op
Johdtus relifunktioihin 802161P, 5op Os 3 Pekk Slmi 19. lokkuut 2015 Pekk Slmi FUNK 19. lokkuut 2015 1 / 48 Integrlit 1 Määrätty integrli = oike integrli: esim. 1 0 x 2 dx = reliluku 2 Määräämätön integrli
LisätiedotMatematiikan johdantokurssi, syksy 2017 Harjoitus 6, ratkaisuista. 1. Onko jokin demojen 5 tehtävän 3 relaatioista
Mtemtiikn johntokurssi, syksy 07 Hrjoitus 6, rtkisuist. Onko jokin emojen 5 tehtävän reltioist ) R := {(, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, )}, ) S := {(, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ),
Lisätiedot1 Supremum ja infimum
Pekka Alestalo, 2018 Tämä moniste täydentää reaalilukuja ja jatkuvia reaalifunktioita koskevaa kalvosarjaa lähinnä perustelujen ja todistusten osalta. Suurin osa määritelmistä jms. on esitetty jo kalvoissa,
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Mtemtiikn tukikurssi Kurssikert 4 Tilvuuden j vipn ln lskeminen Kuten iemmin käsittelimme, määrätyn integrlin vull voi lske pintloj j tilvuuksi. Tyypillisenä sovelluksen tilvuuden lskemisest on tpus, joss
LisätiedotKertymäfunktio. Kertymäfunktio. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 2/2. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 1/2. Kertymäfunktio: Esitiedot
TKK (c) Ilkk Mellin (24) 1 Johdtus todennäköisyyslskentn TKK (c) Ilkk Mellin (24) 2 : Mitä opimme? 1/2 Jos stunnisilmiötä hlutn mllint mtemttisesti, on ilmiön tulosvihtoehdot kuvttv numeerisess muodoss.
LisätiedotIntegraalilaskentaa. 1. Mihin integraalilaskentaa tarvitaan? MÄNTÄN LUKIO
Integrlilskent Tämä on lukion oppimterileist hiemn poikkev yksinkertistettu selvitys määrätyn integrlin lskemisest. Kerromme miksi integroidn, mitä integroiminen trkoitt, miten integrli lsketn j miten
LisätiedotHELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY OF HELSINKI
HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY OF HELSINKI Tiedekunt/Ossto Fkultet/Sektion Fculty Litos Institution Deprtment Mtemttis-luonnontieteellinen Tekijä Förfttre Author Antti Khri Työn
Lisätiedot1. Yhtälöiden ratkaisemisesta Olkoon f välillä [a, b] jatkuva funktio, jolle f(a) f(b) < 0. Bolzanon lauseen [A1]
1. Yhtälöiden rtkisemisest Olkoon f välillä [, b] jtkuv funktio, jolle f() f(b)
Lisätiedot1 sup- ja inf-esimerkkejä
Alla olevat kohdat (erityisesti todistukset) ovat lähinnä oheislukemista reaaliluvuista, mutta joihinkin niistä palataan myöhemmin kurssilla. 1 sup- ja inf-esimerkkejä Nollakohdan olemassaolo. Kaikki tuntevat
LisätiedotANALYYSI 3. Tero Kilpeläinen
ANALYYSI 3 Tero Kilpeläinen Luentomuistiinpnoj syksyltä 2005 20. lokkuut 2005 Sisältö 1. Esitietoj 2 1.1. Riemnn-integrli............................ 2 1.2. Derivtt................................. 4 1.3.
LisätiedotAnalyyttinen lukuteoria
Anlyyttinen lukuteori Johdnto Kuten yltä näkyy, tämän luentomonisteen kttm luentosrj on nimeltään Anlyyttinen lukuteori, vikkkin opintorekisteribyrokrttisist syistä opintojkso knt nimeä Lukuteori 3. Näin
LisätiedotANALYYSI 2. Camilla Hollanti. Tampereen yliopisto x 3. a x 1. x 4 x 11. x 2
ANALYYSI 2 Cmill Hollnti _ M M x x 2 x 3 x 4 x b Tmpereen yliopisto 200 2 Sisältö. Preliminäärejä 3 2. Riemnn-integrli 5 2.. Pint-lt j porrsfunktiot....................... 5 2... Pint-l rj-rvon.......................
LisätiedotAnalyysi III S
Anlyysi III 800624S Sisältö sitietoj 5 Riemnn integroinnin rjt 6 Luku 1. Mittteori 7 1. Algebr j σ-lgebr 7 2. Mitt 8 3. Ulkomitt j mitlliset joukot 11 4. Ulkomitn konstruointi 14 5. Lebesguen ulkomitt
Lisätiedot10. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA
MAA0 0. Määrätyn integrlin käyttö eräiden pint-lojen lskemisess 0. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA Edellä on todettu, että f (x)dx nt x-kselin j suorien x =, x = sekä funktion
LisätiedotKonvergenssilauseita
LUKU 4 Konvergenssilauseita Lause 4.1 (Monotonisen konvergenssin lause). Olkoon (f n ) kasvava jono Lebesgueintegroituvia funktioita. Asetetaan f(x) := f n (x). Jos f n
Lisätiedot1 Määrittelyjä ja aputuloksia
1 Määrittelyjä ja aputuloksia 1.1 Supremum ja infimum Aluksi kerrataan pienimmän ylärajan (supremum) ja suurimman alarajan (infimum) perusominaisuuksia ja esitetään muutamia myöhemmissä todistuksissa tarvittavia
Lisätiedot1 sup- ja inf-esimerkkejä
Alla olevat kohdat (erityisesti todistukset) ovat lähinnä oheislukemista reaaliluvuista, mutta joihinkin niistä palataan myöhemmin kurssilla. 1 sup- ja inf-esimerkkejä Kaarenpituus. Olkoon r: [a, b] R
LisätiedotSarjojen tasainen suppeneminen
Srjojen tsinen suppeneminen Pro grdu -tutkielm Krist Mikkonen 165274 Itä-Suomen yliopisto Fysiikn j mtemtiikn litos 19. mrrskuut 2013 Sisältö 1 Johdnto 1 2 Lukujonoist j srjoist 2 2.1 Lukujoukoist...........................
LisätiedotMika Hirvensalo. Insinöörimatematiikka B 2014
Mik Hirvenslo Insinöörimtemtiikk B 4 Sisältö Rj-rvo j jtkuvuus....................................................... 5. Differentili- j integrlilskennn kehityksestä............................. 5. Relilukujen
Lisätiedot11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS
11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS Tilvuus on sen verrn rkielämässä viljelty käsite, että useimmiten sen syvemmin edes miettimättä ymmärretään, mitä juomlsin ti pikkuvuvn kylpymmeen tilvuudell trkoitetn.
LisätiedotMatematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus Malliratkaisut (Sauli Lindberg)
Matematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus 4 9.4.-23.4.200 Malliratkaisut (Sauli Lindberg). Näytä, että Lusinin lauseessa voidaan luopua oletuksesta m(a)
LisätiedotViikon aiheet. Pinta-ala
info Viikon iheet Mpu I:sen voit suoritt: Kurssin loppukokeess 23.10. Arvosn: koe + lskrit Mikäli yo. ik ei sovi, voit suoritt loppukokeen yleistenttitilisuudess 24.11. Arvosn: koe + lskrit. Ilmoittudu
LisätiedotNumeerinen integrointi
Pitkärnt: Lj mtemtiikk IX9 Numeerinen integrointi IX9 Numeerinen integrointi Numeerisell integroinnill trkoitetn määrätyn integrlin, eli reliluvun I(f,,b) = f(x)dx lskemist numeerisin keinoin (likimäärin)
LisätiedotMS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 9: Integroimismenetelmät
MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 9: Integroimismenetelmät Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos 10.10.2016 Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen (Alto-yliopisto,
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 1 (CHEM) Laskuharjoitus 4 / vko 47, mallivastaukset
Differentili- j integrlilskent (CHEM) Lskuhrjoitus / vko 7, mllivstukset Johdntotehtävä x dx = ln.693, joten rvo ln voidn pproksimoid integroimll numeerisesti funktiot x välillä [,]. Jetn väli [,] khteen
LisätiedotNumeerinen integrointi.
Numeerinen integrointi. Differentili- j integrlilskent 1, syksy 2015 Hrri Vrpnen Mtemtiikn j systeeminlyysin litos Alto-yliopisto Tiisti 6.10.2015 Sisältö Tylor-menetelmä. Käyttökelpoinen silloin, kun
LisätiedotMS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 9: Integroimismenetelmät
MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 9: Integroimismenetelmät Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos November 27, 2017 Pekk Alestlo,
LisätiedotAnalyysin perusteet kauppatieteilijöille 800118P
Anlyysin perusteet kupptieteilijöille 800118P Luentomoniste Kri Myllylä Niin Korteslhti Topi Törmä Oulun yliopisto Mtemttisten tieteiden litos Kevät 2015 Sisältö 1 Derivtt 3 1.1 Määritelmä..............................
LisätiedotSäännöllisten operaattoreiden täydentäviä muistiinpanoja
Säännöllisten operttoreiden täydentäviä muistiinpnoj Antti-Juhni Kijnho 1. huhtikuut 2011 Vnht määritelmät Määritelmä 1. Äärellinen epätyhjä joukko on merkistö, j sen lkioit kutsutn merkeiksi. Määritelmä
LisätiedotAnalyysin peruslause
LUKU 10 Analyysin peruslause 10.1. Peruslause I Aiemmin Cantorin funktion ψ kohdalla todettiin, että analyysin peruslause II ei päde: [0,1] ψ (x) dm(x) < ψ(1) ψ(0). Kasvavalle funktiolle analyysin peruslauseesta
LisätiedotIntegraalilaskennasta lukiossa ja lukion oppikirjasarjoissa
Integrlilskennst lukioss j lukion oppikirjsrjoiss Mtemtiikn pro grdu -tutkielm Mikko Huttunen Helsingin yliopisto 14. mliskuut 2013 HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY OF HELSINKI Tiedekunt/Ossto
LisätiedotMS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Yhteenveto, osa II
MS-A7 ifferentili- j integrlilskent (Chem Yhteenveto, os II G. Gripenberg Alto-yliopisto 9. helmikuut 16 G. Gripenberg (Alto-yliopisto MS-A7 ifferentili- j integrlilskent (Chem Yhteenveto, 9. helmikuut
LisätiedotKorkeamman kertaluvut derivaatat
LUKU 4 Korkemmn kertluvut derivtt Derivtn määritelmän mukn differentioituv kuvust f : U F voidn pproksimoid ffiinill kuvuksell, f(x + u f(x + Df(xu. Jos f on khdesti differentioituv, voidn derivtt pproksimoid
Lisätiedot1 Jonot. 2 Sarjat. 3 Jatkuvuus. 4 Derivaatta. 5 Taylor-polynomit ja -sarjat. 1.2 Jonot. jossa
Sisältö MS-AX Differentili- j integrlilskent Nämä klvot sisältävät otsikoss minitun kurssin keskeisen mterilin, mutt myös pljon oheislukemist. Luennoill voidn käsitellä myös täydentäviä esimerkkejä, kosk
LisätiedotSyksyn 2015 Pitkän matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut
Sksn 0 Pitkän mtemtiikn YO-kokeen TI-Nspire CAS -rtkisut Tekijät: Olli Krkkulinen Rtkisut on ldittu TI-Nspire CAS -tietokoneohjelmll kättäen Muistiinpnot -sovellust. Kvt j lskut on kirjoitettu Mth -ruutuihin.
Lisätiedot1.3 Toispuoleiset ja epäoleelliset raja-arvot
. Toisuoleiset j eäoleelliset rj-rvot Rj-rvo lim f () A olemssolo edellyttää että muuttuj täytyy void lähestyä rvo kummst suust hyväsä. Jos > ii sot että lähestyy rvo oikelt ositiivisest suust. Jos ts
LisätiedotFunktiot. funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina.
Funktiot Tässä luvussa käsitellään reaaliakselin osajoukoissa määriteltyjä funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina. Avoin väli: ]a, b[ tai ]a, [ tai ],
LisätiedotMS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus
MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 19.9.2016 Pekka Alestalo, Jarmo
Lisätiedot1 Jonot. 2 Sarjat. 3 Jatkuvuus. 4 Derivaatta. 5 Taylor-polynomit ja -sarjat. 1.2 Jonot. jossa
Sisältö MS-AX Differentili- j integrlilskent Nämä klvot sisältävät otsikoss minitun kurssin keskeisen mterilin, mutt myös pljon oheislukemist. Luennoill voidn käsitellä myös täydentäviä esimerkkejä, kosk
LisätiedotJordanin sisältö ja Lebesguen ulkomitta
Jordanin sisältö ja Lebesguen ulkomitta Jennika Ojalehto Matematiikan pro gradu Jyväskylän yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Kevät 2016 Tiivistelmä: Jennika Ojalehto, Jordanin sisältö ja
LisätiedotAnalyyttiset funktiot ja integrointiteorian alkeita
Anlyyttiset funktiot j integrointiteorin lkeit 6. helmikuut 2006 isältö 1 Kertust 1 2 Anlyyttiset funktiot 2 2.1 Anlyyttiset funktiot tsoll................... 2 2.2 Monogeeniset funktiot vruudess R n.............
LisätiedotVALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 3.6.2014 Ratkaisut ja arvostelu
VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 3.6.4 Rtkisut j rvostelu. Koululisen todistuksen keskirvo x on lskettu ) b) c) d) kymmenen ineen perusteell. Jos koululinen nostisi neljän ineen
Lisätiedot1 Jonot. 2 Sarjat. 3 Jatkuvuus. 4 Derivaatta. 5 Taylor-polynomit ja -sarjat. 1.2 Jonot. jossa
Sisältö MS-AX Differentili- j integrlilskent Nämä klvot sisältävät otsikoss minitun kurssin keskeisen mterilin, mutt myös pljon oeislukemist. Luennoill voidn käsitellä myös täydentäviä esimerkkejä, kosk
LisätiedotTasaväli-integraali. Mikko Rautiainen. matematiikan Pro Gradu-tutkielma
Tsväli-itegrli Mikko Rutiie mtemtiik Pro Grdu-tutkielm Jyväskylä yliopisto Mtemtiik j tilstotietee litos Kesä 2006 Sisältö Johdto 2 I Tsväli-itegrli: teori 3 1 Peruskäsitteitä 3 2 Tsväliporrsfuktio määrätty
LisätiedotIV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n
IV. TASAINEN SUPPENEMINEN IV.. Funktiojonon tasainen suppeneminen Olkoon A R joukko ja f n : A R funktio, n =, 2, 3,..., jolloin jokaisella x A muodostuu lukujono f x, f 2 x,.... Jos tämä jono suppenee
LisätiedotReaalinen lukualue. Millainen on luku, jossa on päättymätön ja jaksoton desimaalikehitelmä?
Relinen lukulue POLYNOMIFUNKTIOT JA -YHTÄLÖT, MAA Millinen on luku, joss on päättymätön j jksoton desimlikehitelmä? Onko sellisi? Trkstelln Pythgorn luseest stv yksikköneliön lävistäjää, luku + = x x =.
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Mtemtiikn tukikurssi Kurssikert 3 Määrätyn integrlin lskeminen Aiemmin määrittelimme määrätyn integrlin f (x)dx funktion f (x) l- j yläsummien rj-rvon. Määrätyllä integrlill on kksi intuitiivist tulkint:.
LisätiedotDIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1. Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS
DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1 Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS Huomautus. Analyysin yksi keskeisimmistä käsitteistä on jatkuvuus! Olkoon A R mielivaltainen joukko
Lisätiedot