VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE Ratkaisut ja arvostelu

Transkriptio

1 VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE Rtkisut j rvostelu. Koululisen todistuksen keskirvo x on lskettu ) b) c) d) kymmenen ineen perusteell. Jos koululinen nostisi neljän ineen rvosn yhden numeron verrn, niin keskirvoksi tulisi 8.. Todistuksen keskirvo x on ) 7.4 b) 7.6 c) 7.7 d) 7.8 ( x + 4) = 8. x +.4 = 8. x = Keskihjonnn neliötä kutsutn ) vritiokertoimeksi b) vrinssiksi c) kovrinssiksi d) vinoudeksi.3 Lukujen, 4, 7,, 3 vrinssi on ).8 b). c) 3.7 d) 4. s = (x i x) = 4 = (3 ) 4 = 4 = 74 = 3.7. ( x i ) = 4 ( 3 44 ) x i 44 = Ltikoss on must j punist pllo. Siitä nostetn pllo pluttmtt. Mikä on todennäköisyys, että inkin yksi nostetuist plloist on puninen? ) 7/38 b) 6/39 c) 8/4 d) /4

2 P("Ainkin yksi puninen") = P("Ei yhtään punist") ( ) 4 = ( ) = = 9 = = = = Nopp heitetään kert. Odotusrvo kuutosten lukumäärälle on ) b) c) 4 d) 8 Kuutosten lukumäärä noudtt Bin(, /6)-jkum, joten kuutosten lukumäärän odotusrvo on (/6) =..6 Stunnismuuttuj X noudtt normlijkum ) b) c) d) N(, ). Tällöin P ( X 4 > ) on likimin ).84 b).79 c).74 d).69 P ( X 4 > ) = P ( X 4 ) = P ( X 4 ) = P ( + 4 X ) = P ( X 6) = P ( X 6 ) = P (/ (X )/ 6/) = P ( (X )/ 3) = (Φ(3) Φ()) ( ) =.74 =.846.

3 . Diskreetin stunnismuuttujn X jkum on x i 3 4 p i p 4p p 3p ) Määritä p. (p i on pistetodennäköisyys) b) Lske odotusrvo E(X) j vrinssi Vr(X). c) Määritä stunnismuuttujn X medini. ) Diskreetillä jkumll pistetodennäköisyyksien summ on yksi, joten sdn p + + 4p + p + 3p = 9p = 9p = 9 p =. b) Stunnismuuttujn X odotusrvo on E(X) = x i p i = ( ) = 3 Stunnismuuttujn X vrinssi voidn lske kvll joss E(X ) = V r(x) = E((X E(X)) ) = E(X ) (E(X)), x i p i = = 33. Vrinssiksi sdn nyt V r(x) = 33 ( 3 ) = = =. c) Stunnismuuttujn X medini Med( X ) on luku, jok täyttää ehdot P (X Med(X )) j P (X Med(X )). Stunnismuuttujn X jkumtulukon perusteell sdn (< /), kun x <, / (< /), kun x <, 3/ (< /), kun x < 3, P (X x) = 7/ ( /), kun 3 x < 4, 8/ ( /), kun 4 x <, ( /), kun x. 3

4 j ( /), kun x, / ( /), kun < x, 8/ ( /), kun < x 3, P (X x) = 4/ (< /), kun 3 < x 4, 3/ (< /), kun 4 < x, (< /), kun x >. Huomtn, että inostn x = 3 toteutt nnetut ehdot, joten stunnismuuttujn X medini on 3. PISTEYTYS: ) mx piste, b) mx pistettä (odotusrvost piste j vrinssist piste), c) mx pistettä. Oikest vstuksest (Med=3) ilmn mitään perusteluj s inostn yhden pisteen. Jos rtkisuun on päästy täysin virheellisten lskujen perusteell, niin osiost on tullut noll pistettä (esim. sekoittmll stunnismuuttujn medinin lskemisen otosmedinin lskemiseen luvuist,, 3, 4 j. 3. Kolme kvriohrrstj vertili smn klljin pituuksi kolmess eri kvrioss A, B j C. Mittut tulokset ovt ll. Akvrio A: Akvrio B: Akvrio C: Oletetn, että keskihjonnt ovt tiedoss j ne ovt likimin seurvt: Akvrio A: Akvrio B: 3/ Akvrio C: 4/3. ) Määritä 9 %:n luottmusväliä muodostettess käytettävä kriittinen rvo, kun oletmme, että voimme sovelt normlijkum. b) Lske 9 %:n luottmusvälit kvrioiden A, B j C klojen pituuksien odotusrvoille j vert smisi tuloksi. (Lskuiss kriittisen rvon voi pyöristää lähimpään kokonislukuun.) Piirrä myös kuv. ) Luottmusväli klljin pituuden odotusrvolle on s x ± z., n joss x on hvintojen keskirvo j s hvintojen keskihjont. Olkoon Z stunnismuuttuj, jok noudtt N(, )-jkum. Kriittinen rvo 4

5 z. (> ) on rvo, joll P ( z. Z z. ) =.9. Kosk stndrdoitu normlijkum on symmetrinen nolln suhteen, niin P (Z z. ) =.97. Normlijkumn tulukost sdn kriittiseksi rvoksi z. =.96. b) Käytetään lskuiss kriittisen rvon pyöristettyä rvo z.. = 6 9 Akvrion A klojen pituuksien keskirvo on x A, joten pituuden odotusrvon likimääräiseksi 9% luottmusväliksi sdn 6 9 ± 9 = 6 ±. 9 Luottmusvälin lrj on 3/9.9 j ylärj 77/ = 84 9 Akvrion B klojen pituuksien keskirvo on x B, joten pituuden odotusrvon likimääräiseksi 9% luottmusväliksi sdn 84 9 ± 3/ = 84 ± Luottmusvälin lrj on 7/9 8.3 j ylärj 93/9.3. = 8 9 Akvrion C klojen pituuksien keskirvo on x C, joten pituuden odotusrvon likimääräiseksi 9% luottmusväliksi sdn 8 9 ± 4/3 = 8 ± Luottmusvälin lrj on /9.6 j ylärj 66/ Vertilln luottmusvälejä kuvion vull. Akvrion B klojen pituuksien odotusrvo näyttäisi poikkevn khden muun kvrion odotusrvoist. Akvrioiden A j B luottmusvälit ovt selkeästi päällekkäin. A B C Kuv : Tehtävä 3b

6 PISTEYTYS: ) mx piste, b) mx 4 pistettä. 4. Olkoon > kiinteä reliluku. Stunnismuuttuj X on tsisesti jkutunut välillä (, ), jos sen tiheysfunktio on {, kun x (, ) f X (x) =, muulloin. ) Piirrä tiheysfunktion kuvj. b) Määritä X :n kertymäfunktio j P (X b), kun < b <. c) Määritä X :n medini. d) Miten määritellään jtkuvn stunnismuuttujn odotusrvo? Määritä X :n odotusrvo. ) f(x) / x b) Kun x (, ), niin F X (x) = P (X x) = Kertymäfunktioksi sdn siis Kuv : Tehtävä 4 x f X (t)dt = x x dt = F X (x) = P (X x) = f X (t)dt, kun x, x =, kun < x <,, kun x. Kun < b < j >, niin < b < j näin ollen P (X b) = F X (b) = b = b. x t = x. 6

7 c) Jtkuvll jkumll medini sdn lskettu ehdost F X (Med) =. Käyttämällä kohdss b) johdettu kertymäfunktiot, niin rtkistvksi yhtälöksi sdn F X (Med) = Med = Med =. Medini löytyy symmetrisillä jkumill symmetripisteestä. Tässä tpuksess jkumn tiheysfunktio on symmetrinen pisteen / suhteen. d) Jtkuvn stunnismuuttujn X odotusrvo on E(X) = + xf X (x)dx, joss f X (x) on stunnismuuttujn X jkumn tiheysfunktio. Odotusrvoksi sdn nyt E(X) = + xf X (x)dx = x dx = x = =. Odotusrvo löytyy symmetrisillä jkumill (jos jkumll on olemss odotusrvo) symmetripisteestä eli odotusrvo on siinä tpuksess sm kuin medini. PISTEYTYS: ) mx. pistettä, b) mx pistettä, c) mx piste, d) mx. pistettä. 7