Sarjat ja integraalit

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Sarjat ja integraalit"

Transkriptio

1 Srjt j integrlit c Mtemttisten tieteiden litos, Oulun yliopisto Versio: Viimeksi muoknnut: Peter Hästö

2 Sisältö Funktion rj-rvo j jtkuvuus. Peruskäsitteitä Funktion rj-rvo Funktion jtkuvuus Funktion tsinen jtkuvuus Srjt 7. Srjn suppeneminen Suppenemistestejä positiivitermisille srjoille Itseisesti suppenevt srjt Vuorottelevt srjt Riemnnin integrli 4 3. Integrlin perusominisuuksi Anlyysin perusluse Epäoleelliset integrlit 58 5 Funktiojonot j -srjt Pisteittäinen j tsinen suppeneminen Jonon j srjn derivoiminen j integroiminen Potenssisrjt Potenssisrjn suppeneminen Potenssisrjn summfunktion ominisuuksi i

3 A Relilukujen peruskäsitteitä 90 B Lukujonoist 00 B. Lukujonon rj-rvo B. Monotoniset jonot B.3 Osjonot B.4 Cuchyn jono ii

4 Esipuhe Tämä moniste vst sisällöltään ikisemp monistett Anlyysi I. Monisteeseen ilmntunee pieniä korjuksi kurssin kuluess, eli ei välttämättä knnt tulost sitä kokonisuudessn etukäteen, vn sitä mukn kuin mterili trvitsee. Ensimmäinen luku on osittin päällekkäinen Euklidisen topologin kurssin knss. Srjt j integrlit lk funktioiden rj-rvon j jtkuvuuden nopell kertmisell, jost siirrytään käsittelemään ensimmäisenä uuten teemn funktion tsist jtkuvuutt. iii

5 Luku Funktion rj-rvo j jtkuvuus. Peruskäsitteitä Kerrtn luksi peruskäsitteitä kurssist PM I. Funktio f : A B on sääntö, jok liittää jokiseen määritysjoukon eli lähtöjoukon A = D f lkioon x yksikäsitteisesti jonkin mlijoukon B lkion y, merkitään y = f(x). Joukko R f = {y B y = f(x), x A} on funktion f kuv- eli rvojoukko. Tätä merkitään usein myös f(a). Funktiot f : A B snotn () surjektioksi, jos R f = B, () injektioksi, jos on voimss ehto x x = f(x ) f(x ), (3) bijektioksi, jos se on injektio j surjektio. Injektion ehdon voi ilmist myös muodoss Esimerkki... Olkoon f : A B, f(x) = x. f(x ) = f(x ) = x = x. () Jos A = B = R eli f : R R, niin f ei ole injektio (f( x) = f(x)) eikä surjektio ( / R f )). () Jos A = R j B = {x R x 0} eli f : R {x R x 0}, niin f on surjektio, mutt ei ole injektio. (3) Jos A = B = {x R x 0} eli f : {x R x 0} {x R x 0}, niin f on surjektio j injektio (f(x ) = f(x ) = x = x = x = x, sillä x, x 0), joten f on bijektio. Huomutus... Ellei toisin minit, niin tällä kurssill käytetään seurv sopimust: Kun funktio f on nnettu lusekkeen, niin sen määritysjoukko D f on ljin mhdollinen relilukujen osjoukko, joss luseke on mielekäs. Esimerkiksi funktion f(x) = + x 3 x+5 määritysjoukko on D f = {x R x > 5 j x 3}.

6 Olkoon E perusjoukko j A, B E. Tällöin (i) A = {x E x / A} on joukon A komplementti, (ii) A B = {x E x A ti x B} on joukkojen A j B unioni eli yhdiste, (iii) A B = {x E x A j x B} on joukkojen A j B leikkus, (iv) A\B = {x E x A j x / B} on joukkojen A j B (joukko-opillinen) erotus. Unionille, leikkukselle j komplementille pätevät De Morgnin lit: Näiden todistus jätetään hrjoitustehtäväksi. (A B) = A B, (A B) = A B. Määritelmä..3. Pisteen x 0 R (ε-säteiseksi) ympäristöksi snotn väliä ]x 0 ε, x 0 + ε[ (ts. siinä ovt ne x R, joiden etäisyys pisteestä x 0 on (idosti) pienempi kuin ε). Joukko A R snotn voimeksi, jos jokisell joukon A pisteellä on ympäristö, jok sisältyy joukkoon A. Joukko A R snotn suljetuksi, jos sen komplementti on voin. A = R\A = {x R x / A} Esimerkki..4. Väli ]0, [ on voin joukko. Väli A = [0, ] on suljettu, sillä A = {x R x < 0 ti x > } on voin. Jokinen äärellinen pistejoukko A = {x, x,..., x n } on suljettu. Erityisesti yksiö {x } on suljettu. Relilukujen joukko R sekä tyhjä joukko ovt sekä voimi että suljettuj (nämä ovt inot joukon R osjoukot, joill on tämä ominisuus). Määritelmä..5. Pistettä x 0 R snotn joukon A R ksutumispisteeksi, jos jokist ε > 0 kohti on olemss sellinen piste x A, että x x 0 j x x 0 < ε. Määritelmän trkoitus: x 0 on joukon A R ksutumispiste, jos jokinen pisteen x 0 ympäristö ]x 0 ε, x 0 + ε[ sisältää joukon A pisteen, jok ei ole x 0. Esimerkki..6. () Joukon ]0, [ ksutumispisteiden joukko on [0, ]. () Joukon ]0, [ {} ksutumispisteiden joukko on [0, ]. (3) Joukoll {0, } ei ole ksutumispisteitä. (4) Joukon { n n =,,...} ksutumispisteiden joukko on {0}. (5) Joukon Q [0, ] ksutumispisteiden joukko on [0, ]. Vroitus: Ksutumispiste ei välttämättä kuulu joukkoon.

7 Luse..7. Piste x 0 R on joukon A R ksutumispiste jos j vin jos on olemss sellinen jono (x n ), että x n A, x n x 0 kikill n =,,... j lim x n = x 0. Todistus. : Olkoon x 0 R joukon A ksutumispiste. Tällöin jokist n =,,... kohti on olemss sellinen x n A, x n x 0, että Jonolle (x n ) pätee nyt lim x n = x 0. x n x 0 < n. : Oletetn, että x n A, x n x 0 kikill n =,,... j lim x n = x 0 = ε > 0 n ε siten, että x n x 0 < ε, kun n n ε = ε > 0 pätee x nε A, x nε x 0 j x nε x 0 < ε = x 0 on joukon A ksutumispiste. Suljettu joukko voidn luonnehti myös seurvll tvll (tulost ei todistet tällä kurssill). Seurus..8. Joukko A R on suljettu jos j vin jos A sisältää kikkien suppenevien jonojens rj-lkiot. Huomutus..9. () Topologiss seurus..8 on myös suljetun joukon määritelmä. () Luseen..7 nojll seurus..8 sdn seurvn muotoon: Joukko A R on suljettu jos j vin jos A sisältää kikki ksutumispisteensä.. Funktion rj-rvo Määritelmä... Olkoon A R, f : A R funktio j x 0 R joukon A ksutumispiste. Luku R snotn funktion f rj-rvoksi pisteessä x 0, jos jokist ε > 0 kohti on olemss sellinen δ > 0, että f(x) < ε in, kun 0 < x x 0 < δ j x A. Tällöin merkitään f(x), kun x x 0, ti lim f(x) =. x x 0 Huomutus... () Määritelmässä δ riippuu vin luvust ε j pisteestä x 0. () Rj-rvo on lokli ominisuus: vin se, mitä tphtuu pisteen x 0 mielivltisen pienessä ympäristössä vikutt funktion f rj-rvoon pisteessä x 0. (3) Funktion ei trvitse oll määritelty pisteessä x 0 j vikk se olisikin määritelty, niin sen rvo pisteessä x 0 ei vikut rj-rvoon. Tämä on tärkeää myös derivtn määritelmässä (ks. PM I): f : R R on derivoituv pisteessä x 0 R, jos f(x) f(x 0 ) lim x x 0 x x 0 on olemss. Huom, että erotusosmäärää ei ole määritelty pisteessä x = x 0. 3

8 (4) Jos rj-rvo on olemss, se on yksikäsitteinen (todistus hrjoituksen). Esimerkki..3. Olkoon f : R R, f(x) = 5x +. Osoitetn, että lim x f(x) =. Olkoon ε > 0. Tutkitn, miten δ > 0 on vlittv, jott f(x) < ε, kun 0 < x < δ. Nyt f(x) = 5x + = 5x 0 = 5 x < ε, kun 0 < x < ε, joten voidn vlit δ = ε. Täten lim = ε, kun 0 < x < x f(x) =. Esimerkiksi f(x) < Esimerkki..4. Olkoon f : R\{0} R, f(x) = x. Osoitetn, että lim f(x) = 0 (vikk funktiot f ei ole määritelty pisteessä x = x x 0 0). Olkoon ε > 0. Tällöin f(x) 0 = x x 0 = x < ε, kun 0 < x 0 < ε, joten voidn vlit δ = ε määritelmässä... Esimerkki..5. Olkoon f : R R, f(x) = x j x 0 R mielivltinen. Osoitetn, että lim f(x) = x x x 0 0. Olkoon ε > 0 mielivltinen j x 0 R. Selvästi Jos x x 0, niin Tästä seur, että kun f(x) x 0 = x x 0 = x x 0 x + x 0. x + x 0 x x 0 + x 0 x 0 +. x x 0 ( x 0 + ) x x 0 < ε, x x 0 < { ε } Vlitn δ = min,, jolloin x 0 + ε x 0 + j x x 0 <. f(x) f(x 0 ) < ε kun 0 < x x 0 < δ. Jos esimerkiksi x 0 = j ε =, niin f(x) 4 <, kun 0 < x < Luse..6 (funktion rj-rvon jonokrkteristio). Jos f : A R, x 0 on joukon A ksutumispiste j R, niin seurvt väitteet ovt yhtäpitäviä: (i) lim x x0 f(x) =, (ii) Jokiselle jonolle (x n ), jolle x n A, x n x 0 kikill n =,,... j lim x n = x 0, pätee lim f(x n) =. 4

9 Todistus. (i) (ii) : Olkoon lim f(x) =. Olkoot lisäksi x n A, x n x 0 kikill n =,,... j x x0 lim x n = x 0. Osoitetn, että lim f(x n ) =. Olkoon ε > 0. Kosk lim x x0 f(x) =, niin on olemss sellinen δ > 0, että f(x) < ε in, kun 0 < x x 0 < δ j x A. Kosk lim x n = x 0, niin on olemss sellinen n δ, että 0 < x n x 0 < δ, kun n n δ (oletetuksen mukn x n x 0 ). Siten joten lim f(x n ) =. f(x n ) < ε, kikill n n δ, (ii) (i) : Tehdään vstoletus: (i) ei toteudu eli on olemss sellinen ε > 0, että jokist δ > 0 kohti on olemss x A, jolle 0 < x x 0 < δ j f(x) ε. Vlitn δ n = n, n =,,... Tällöin jokist n Z + kohti on olemss sellinen x n A, että 0 < x n x 0 < n j f(x n) ε. Täten lim x n = x 0, mutt jono (f(x n )) ei suppene kohti luku. Tämä on ristiriit. Esimerkki..7. Osoitetn, että funktioll f : R R,, x > 0, f(x) = 0, x = 0,, x < 0. ei ole rj-rvo pisteessä 0. Olkoot x n =, y n n =, n =,,... Silloin n mutt lim x n = lim y n = 0, lim f(x n) = lim = j lim f(y n ) = lim =. Luseen..6 nojll lim x 0 f(x) ei ole olemss. Esimerkki..8. Osoitetn, että funktioll f : ]0, [ R, f(x) = x 0. ei ole rj-rvo pisteessä Olkoon x n =, n =,,... n Silloin lim x n = 0, mutt jono (f(x n )) = (n) hjntuu. Luseen..6 nojll lim x 0 f(x) ei ole olemss. 5

10 Esimerkki..9. Osoitetn, että funktioll f : R \ {0} R, f(x) = sin x pisteessä 0. Olkoot x n = πn, y n = πn + π, n =,,... Silloin ei ole rj-rvo mutt j Luseen..6 nojll lim x 0 f(x) ei ole olemss. lim x n = lim y n = 0, lim f(x n) = lim sin(πn) = lim 0 = 0 ( lim f(y n) = lim sin πn + π ) = lim sin π =. Edelliset esimerkit (joiss rj-rvo ei ole olemss) voidn todist myös muodollisesti rj-rvon määritelmän.. vull tekemällä vstoletus j johtmll ristiriit..3 Funktion jtkuvuus Määritelmä.3.. Olkoon A R, f : A R j x 0 A. Funktiot f snotn jtkuvksi pisteessä x 0, jos jokist ε > 0 kohti on olemss sellinen δ > 0, että f(x) f(x 0 ) < ε, kun x x 0 < δ j x A. Funktiot f snotn jtkuvksi joukoss A, jos se on jtkuv joukon A jokisess pisteessä. Jos funktio ei ole jtkuv, sitä snotn epäjtkuvksi. Huomutus.3.. () Kuten rj-rvo, myös jtkuvuus on lokli ominisuus: vin se, mitä tphtuu pisteen x 0 mielivltisen pienessä ympäristössä vikutt funktion f jtkuvuuteen pisteessä x 0. () Jos f ei ole määritelty pisteessä x 0, niin ei ole mielekästä tutki funktion f jtkuvuutt pisteessä x 0. Esimerkki.3.3. () Olkoon f : R \ {} R, f(x) = x. Usein funktion f snotn olevn epäjtkuv pisteessä, vikk sitä ei ole määritelty pisteessä. () Olkoon g : R \ {0} R, g(x) =. Usein funktion g snotn olevn epäjtkuv pisteessä 0, x vikk sitä ei ole määritelty nollss. (Jos funktiolle määritellään rvo nollss, niin stu funktio on väistämättä epäjtkuv joukoss R.) (3) Olkoon h: ] π, [ π sin x R, h(x) = tn x = cos x. Funktio h on jtkuv välillä ] π, [ π. Jtketn h jksollisesti joukkoon A = {x R x π + kπ, k Z} settmll h(x+π) = h(x). Nyt h : A R on jtkuv (eikä epäjtkuv, kuten sttisi luull). 6

11 Esimerkki.3.4. Osoitetn, että funktio f : ]0, [ R, f(x) = on jtkuv välillä ]0, [. x Olkoon x 0 > 0 kiinteä j ε > 0. Olkoon lisäksi x > 0. Selvästi f(x) f(x 0 ) = x x 0 = x x 0 = x x 0. xx 0 xx 0 Jos x x 0 < x 0, niin x > x 0 j edelleen Tästä seur, että <. xx 0 x 0 f(x) f(x 0 ) < x x x 0, kun x x 0 < 0 x 0. Toislt x x 0 < ε, kun x x 0 < x 0ε. x 0 Vlitn δ = min { x 0, x 0ε }, jolloin Siten f on jtkuv pisteessä x 0. f(x) f(x 0 ) < ε, kun x x 0 < δ. Luse.3.5 (jtkuvuuden jonokrkteristio). Funktio f : A R on jtkuv pisteessä x 0 A jos j vin jos lim f(x n) = f(x 0 ) kikill jonoill (x n ), joille pätee x n A, n =,,... j lim x n = x 0. Todistus. Kuten luse..6 rj-rvolle. Huomutus.3.6. () Luseen.3.5 väitteessä on pieniä eroj vstvn luseeseen..6 verrttun: lukujonon (x n ) termi voi oll myös x 0 eikä pisteen x 0 trvitse oll ksutumispiste. () Luseen ehto voidn myös kirjoitt muodoss: lim x x 0 f(x) = f(x 0 ), jolloin yhtälön vsemmn puolen täytyy oll olemss j oiken puolen täytyy oll määritelty. Tämä on kurssill PM I esiintynyt määritelmä jtkuvuudelle. (3) Jos x 0 A ei ole joukon A ksutumispiste, niin on olemss sellinen ε > 0, että ]x 0 ε, x 0 + ε[ A = {x 0 }. Tällisiss, ns. eristetyissä, pisteissä f on utomttisesti jtkuv määritelmän.3. nojll. Esimerkki.3.7. Esimerkkejä erityyppisistä epäjtkuvuuksist: () hyppäysepäjtkuvuus pisteessä 0: f(x) = {, x 0,, x < 0; 7

12 () krkminen äärettömyyteen pisteessä 0: (3) heilhteluepäjtkuvuus pisteessä 0: f(x) = f(x) = Esimerkki.3.8. Osoitetn, että funktio f(x) = on epäjtkuv jokisess pisteessä x 0 R. { x x 0, 0, x = 0; { sin x, x 0, 0, x = 0. {, x Q, 0, x R \ Q. Jetn trkstelu khteen os sen mukn, onko x 0 rtionlinen vi irrtionlinen. () Olkoon ensin x 0 Q. Kosk irrtionliluvut ovt tiheässä joukoss R, niin on olemss jono x n R \ Q, n =,,..., jolle pätee lim x n = x 0. Silloin lim f(x n) = lim 0 = 0 = f(x 0 ), joten f ei ole jtkuv pisteessä x 0 luseen.3.5 nojll. () Olkoon seurvksi x 0 R\Q. Kosk rtionliluvut ovt tiheässä joukoss R, niin on olemss jono x n Q, n =,,..., jolle pätee Silloin lim x n = x 0. lim f(x n) = lim = 0 = f(x 0 ), joten f ei ole jtkuv pisteessä x 0 luseen.3.5 nojll. Esimerkki.3.9. Osoitetn, että funktio, x = jollkin k =,,..., f(x) = k 0 muulloin. on epäjtkuv joukoss E = {0,,, } 3,... j jtkuv joukoss R \ E. Jos x 0 R \ E, niin on olemss sellinen r > 0, että ]x 0 r, x 0 + r[ E =. Nyt f(x) = 0 kikill x ]x 0 r, x 0 + r[, joten vkiofunktion f on jtkuv pisteessä x 0. Jos x 0 E, niin on kksi vihtoehto: joko x 0 = 0 ti x 0 = k jollkin k =,,... 8

13 Oletetn ensin, että x 0 = 0. Olkoon x n =, n =,,... Silloin n lim x n = 0 j lim f(x n) = lim = 0 = f(0), joten f ei ole jtkuv pisteessä 0. Oletetn sitten, että x 0 = k jollkin k =,,... Olkoon x n = k +, n =,,... Silloin n j lim x n = k lim f(x n) = 0 = f ( ) = f(x 0 ), k joten f ei ole jtkuv pisteessä x 0 = k. Esimerkki.3.0 (vrsin ptologinen tpus). Olkoon f : ]0, [ R, f(x) = {, n jos x = m, n > 0, syt(n, m) = (supistettu muoto), n 0, jos x ]0, [ \ Q. Seurvss on muutmi funktion f rvoj: ( f = n) ( n, f ) ( n ) = f = n n n, ( ) ( 3 f = 0, f = 7) ( 4 ( f = f = 7 6) 3) 3. Lisäksi jos f( m n ) = n, niin f( m n ) = f(n m n ) = n. Huom, että jos n Z +, niin lukuj x ]0, [, joille f(x), on vin äärellinen määrä. Näin on, n sillä jos f(x), niin n x = p q, missä q n. Tästä seur, että q n j p n, joten lukuj 0 < x <, joille pätee f(x) on korkeintn n n(n ) kpplett. Osoitetn, että tämä ns. Dirichlet n funktio f on jtkuv jokisess irrtionlipisteessä j epäjtkuv jokisess rtionlipisteessä. Väite sdn, kun todistetn, että lim f(x) = 0 kikill x 0 ]0, [. x x 0 Olkoon ε > 0. Silloin on olemss sellinen n, että n < ε. Kosk f(x) vin äärellisen monell (korkeintn n(n )) muuttujn x rvoll, niin on olemss n sellinen δ > 0, että ]x 0 δ, x 0 + δ[ ei sisällä pisteitä x ]0, [ Q, x x 0, joille f(x). Tästä n seur, että f(x) 0 = f(x) < n < ε, kun 0 < x x 0 < δ, 9

14 sillä tällisille x joko f(x) = 0 ti f(x) = jollkin q > n. Siten lim f(x) = 0 kikill x q 0 ]0, [. x x 0 Näin ollen f on jtkuv täsmälleen niissä pisteissä x 0, joiss f(x 0 ) = 0. Voidn todist, että ei ole olemss funktiot, jok olisi jtkuv jokisess rtionlipisteessä j epäjtkuv jokisess irrtionlipisteessä. Tätä ei todistet tällä kurssill. Seurvss on lueteltu muutmi jtkuvien funktioiden perusominisuuksi. () Alkeisfunktiot ovt jtkuvi määrittelyjoukossn. Alkeisfunktioit ovt polynomit, rtionli-, eksponentti-, logritmi-, potenssi-, trigonometriset j ns. lgebrlliset funktiot sekä näistä äärellisellä määrällä funktioiden peruslskutoimituksi, kääntämisiä j yhdistämisiä sdut funktiot. Alkeisfunktioit ovt siis esimerkiksi x x 3,, x 3 + ex, log 3 (4x + ), x, cos(3x), x j rcsin ( tn x+ln x ) ( 3 )x + 5 x 4 +sin x. () Jos funktiot f j g ovt jtkuvi pisteessä x 0, niin myös funktiot ovt jtkuvi pisteessä x 0. f f ± g, cf (c R), fg, g (g(x 0) 0), f, min{f, g}, mx{f, g} (3) Jos f on jtkuv pisteessä x 0 j g on jtkuv pisteessä f(x 0 ), niin yhdistetty funktio g f on jtkuv pisteessä x 0. Esimerkiksi funktio f(x) = on jtkuv pisteessä x x 0 0 j funktio g(x) = sin x on jtkuv pisteessä f(x 0 ) = x 0, joten funktio (g f)(x) = sin on jtkuv pisteessä x x 0 0. (4) Suppiloperite funktioille: Jos f, g, h: A R ovt sellisi funktioit, että f j g ovt jtkuvi pisteessä x 0 A, f(x) h(x) g(x) kikill x A j f(x 0 ) = h(x 0 ) = g(x 0 ), niin myös h on jtkuv pisteessä x 0. Tämä tulos seur suorn luseist B..7 j.3.5. Määritelmä.3.. Funktiot f : A R snotn rjoitetuksi, jos sen kuvjoukko R f = f(a) = {y R y = f(x) jollkin x A} on rjoitettu eli on olemss sellinen vkio M 0, että f(x) M kikill x A. Luse.3.. Suljetull j rjoitetull välillä [, b] määritelty jtkuv funktio f : [, b] R on rjoitettu. Todistus. Tehdään vstoletus: f ei ole rjoitettu. Tällöin jokist n Z + kohti on olemss sellinen x n [, b], että f(x n ) > n. Kosk x n [, b] kikill n =,,..., niin jono (x n ) on rjoitettu. Bolznon Weierstrssin luseen nojll sillä on suppenev osjono (x nk ), eli lim k x n k = x 0 0

15 jollkin x 0 R. Kosk x nk b kikill k =,,..., niin epäyhtälön säilymisen peritteen nojll x 0 b, ts. x 0 [, b] (tässä on olennist, että väli on suljettu). Edelleen, kosk lim x n k = x 0, x 0 [, b] j f on jtkuv välillä [, b], k niin jtkuvuuden jonokrkteristion nojll lim f(x n k ) = f(x 0 ). k Tästä seur, että (f(x nk )) on suppenevn jonon rjoitettu. Tämä on ristiriit, sillä missä n k, kun k. f(x nk ) > n k, k =,,..., Huomutus.3.3. Edellisessä luseess on olennist, että väli on suljettu: funktio f : ]0, [ R, f(x) = on jtkuv välillä ]0, [, mutt ei ole rjoitettu. Toislt on olennist, että funktio on x jtkuv: funktio { x f : [0, ] R, f(x) =, 0 < x,, x = 0 ei ole rjoitettu suljetull välillä [0, ]. Kertus: Funktio f : A R svutt suurimmn rvons joukoss A R, jos mx f(a) on olemss eli on olemss sellinen x 0 A, että Silloin f(x) f(x 0 ) kikill x A. f(x 0 ) = mx x A f(x) = sup f(x). x A Vstvsti f svutt pienimmän rvons joukoss A, jos min f(a) on olemss eli on olemss sellinen x 0 A, että f(x) f(x 0 ) kikill x A. Silloin f(x 0 ) = min f(x) = inf f(x). x A x A Luse.3.4 (Weierstrssin mx-min-luse). Suljetull j rjoitetull välillä [, b] määritelty jtkuv funktio f : [, b] R svutt suurimmn j pienimmän rvons. Todistus. Luseen.3. nojll funktio f on rjoitettu. Täydellisyysksioomn nojll sup f(x) = M R x [,b] on olemss. Osoitetn seurvksi, että on olemss sellinen x 0 [, b], että f(x 0 ) = M (jolloin M = mx f(x)). x [,b] Luseen A.0.35 nojll jokist n Z + kohti on olemss sellinen x n [, b], että M n < f(x n) M.

16 Kosk x n b kikill n =,,..., niin (x n ) on rjoitettu jono. Bolznon Weierstrssin luseen nojll tällä on suppenev osjono (x nk ), joten rj-rvo lim x n k = x 0 R k on olemss. Kosk x nk b kikill k =,,..., niin epäyhtälön säilymisen peritteen nojll x 0 b, joten x 0 [, b] (tässä on olennist, että väli on suljettu, vrt. luseen.3. todistukseen). Kosk niin suppiloperitteen nojll M n k < f(x nk ) M kikill k =,,..., lim f(x n k ) = M. k Kosk f jtkuv pisteessä x 0, niin jtkuvuuden jonokrkteristion nojll f(x 0 ) = lim k f(x nk ) = M. Minimiä koskev väite todistetn vstvll tvll (hrjoitustehtävä). Huomutus.3.5. Edellisessä luseess on olennist, että väli on suljettu: funktio f : ]0, [ R, f(x) = x on jtkuv, mutt ei svut suurint eikä pienintä rvo välillä ]0, [. Huom, että mutt minimiä ti mksimi ei ole olemss. inf f(x) = 0 j sup f(x) =, x ]0,[ x ]0,[ On myös olennist, että väli on rjoitettu: funktio f : [, [ R, f(x) = x svut pienintä rvo välillä [, [. Huom, että on jtkuv, mutt ei inf f(x) = 0. x [, [ Luse.3.6. Oletetn, että f : [, b] R on jtkuv. Jos f() < 0 < f(b) ti f() > 0 > f(b), niin on olemss sellinen x 0 ], b[, että f(x 0 ) = 0. Todistus. Oletetn, että f() < 0 < f(b) (tpuksen f() > 0 > f(b) voi tämän jälkeen hoit trkstelemll funktiot g = f, jok on jtkuv j jolle g() < 0 < g(b)). Väitteen voi todist khdell eri tvll: käyttämällä täydellisyysksioom suorn ti jonojen j suljettujen välien peritteen vull. Olkoon A = {x [, b] f(x) < 0}. Kosk A, niin A. Lisäksi A [, b] on (ylhäältä) rjoitettu, joten x 0 = sup A on olemss. Osoitetn, että f(x 0 ) = 0. Jos f(x 0 ) < 0, niin on olemss sellinen δ > 0, että f(x) < 0 kikill x x 0 < δ (ks. hrjoituksen 6 tehtävä ). Erityisesti f(x 0 + δ ) < 0, ts. x 0 + δ A eikä x 0 ole joukon A ylärj. Jos f(x 0 ) > 0, niin on olemss sellinen δ > 0, että f(x) > 0 kikill x x 0 < δ. Lisäksi x 0 on joukon A ylärj, joten x / A kikill x ]x 0 δ, b]. Tällöin kuitenkin x 0 δ on joukon A ylärj eikä x 0 voi oll pienin ylärj. Näin ollen on oltv f(x 0 ) = 0.

17 Toinen tp todist väite on käyttää jonoj j iemmst tuttu puolitusmenetelmää. Olkoon I = [, b ], missä = j b = b j sen keskipiste c = + b. Jos f(c ) = 0, niin hettu piste on löydetty j x 0 = c. Jos f(c ) 0, niin joko f(c ) > 0 ti f(c ) < 0. Jos f(c ) > 0, niin vlitn = j b = c. Jos f(c ) < 0, niin vlitn = c j b = b. Kummsskin tpuksess siis I = [, b ] I j f( ) < 0 < f(b ). Jtketn näin: jos välit I, I,..., I n on vlittu kuten edellä j c n = n + b n on välin I n = [ n, b n ] keskipiste, niin vlitn väli I n+ = [ n+, b n+ ] I n siksi välin I n = [ n, b n ] puolikkksi, jolle f( n+ ) < 0 < f(b n+ ). Jos f(c n ) = 0 jollkin n Z +, niin vlitn x 0 = c n j väite on todistettu. Jos vlintprosessi ei pysähdy vn f(c n ) 0 kikill n Z +, niin smme jonon sisäkkäisiä suljettuj välejä I n = [ n, b n ], joille pätee I I I 3..., f( n ) < 0 < f(b n ), n =,,... Suljettujen välien peritteen nojll on olemss Välien pituudet Kosk n x 0 b n kikill n =,,..., niin x 0 I n. n= b n n = b 0, kun n. n 0 x 0 n b n n = b n j 0 b n x 0 b n n = b n. Tässä b n 0, kun n, joten suppiloperitteen nojll lim n = x 0 = lim b n. Kosk f on jtkuv pisteessä x 0, niin jtkuvuuden jonokrkterition nojll lim f( n) = f(x 0 ) = lim f(b n ). Kosk f( n ) < 0 kikill n =,,..., niin epäyhtälön säilymisen peritteen nojll Toislt f(b n ) > 0 kikill n =,,..., joten f(x 0 ) = lim f( n ) 0. Tästä seur, että f(x 0 ) = 0. f(x 0 ) = lim f(b n ) 0. 3

18 Luse.3.7 (Bolznon luse). Oletetn, että f : [, b] R on jtkuv. Jos y R on sellinen luku, että inf f(x) y sup f(x), x [,b] x [,b] niin on olemss sellinen x 0 [, b], että f(x 0 ) = y. Todistus. Weierstrssin luseen (luse.3.4) mukn on olemss selliset x, x [, b], että Jos x = x, niin joten inf f(x) = min f(x) = f(x ) y f(x ) = mx f(x) = sup f(x). x [,b] x [,b] x [,b] x [,b] f(x ) f(x) f(x ) = f(x ) f(x) = f(x ) kikill x [, b] kikill x [, b], j f on vkiofunktio. Oletetn sitten, että x < x (tpus x > x todistetn smll tvll). Funktio g : [, b] R, g(x) = f(x) y on jtkuv, g(x ) = f(x ) y 0 j g(x ) = f(x ) y 0. Jos g(x k ) = 0 toisell k =,, niin vlitn x 0 = x k. Muutoin g(x ) < 0 j g(x ) > 0. Tällöin luseen.3.6 nojll on olemss sellinen x 0 [x, x ], että g(x 0 ) = 0 eli f(x 0 ) = y. Huomutus.3.8. () Bolznon luse snoo käytännössä sen, että jtkuv funktio svutt inkin kerrn kikki rvot miniminsä j mksimins välillä. () Bolznon luseess j luseess.3.6 on olennist, että funktio f on jtkuv j että relikseliss ei ole reikiä. Esimerkiksi funktio {, kun x < 0, f : [, ] R, f(x) =, kun x 0, on epäjtkuv eikä sillä ole nollkoht välillä [, ] vikk f( ) < 0 < f(). Lisäksi, jos g : Q [0, ] Q, g(x) = x, niin g(0) = j g() =, mutt ei ole olemss sellist luku x 0 Q [0, ], että g(x 0 ) = 0..4 Funktion tsinen jtkuvuus Olkoot A R j f : A R jtkuv joukoss A. Tällöin f on jtkuv jokisess pisteessä t A. Siten jokist ε > 0 kohti on olemss sellinen δ > 0, että f(x) f(t) < ε, kun x t < δ j x A. Kuitenkin δ riippuu yleensä pisteestä t. Siis sm δ ei yleensä kelp kikille pisteille t A. Yleensä δ riippuu luvust ε, funktiost f j pisteestä t. 4

19 Esimerkki.4.. Olkoon f : ]0, ] R, f(x) = cos. Tällöin f on jtkuv joukoss ]0, ], erityisesti x pisteessä t ]0, ]. Oletetn, että jokist ε > 0 kohti on olemss sellinen δ > 0, että f(x) f(t) < ε kikille x, t ]0, ], x t < δ, ts. oletetn ettei δ riipu pisteestä t. Vlitn sellinen n, että Olkoot x = nπ Nyt 0 < t < x < δ, joten x t < δ, mutt δ > nπ. j t = (n + )π. f(x) f(t) = cos(nπ) cos((n + )π) =. Jos vlitn 0 < ε <, niin ei ole olemss sellist luku δ > 0, jolle pätee f(x) f(t) < ε kikille x, t ]0, ], x t < δ. Siis δ riippuu pisteestä t olennisell tvll. Määritelmä.4.. Funktiot f : A R snotn tsisesti jtkuvksi joukoss A, jos jokist ε > 0 kohti on olemss sellinen δ > 0, että f(x) f(t) < ε kikill x, t A j x t < δ. Määritelmän trkoitus: Funktio f : A R on tsisesti jtkuv joukoss A, jos funktion rvot ovt mielivltisen lähellä toisin in, kun muuttujn rvot ovt riittävän lähellä toisin. Siis funktion rvot eivät s muuttu liin nopesti (ti jos ne muuttuvt hyvin nopesti, niin muutoksen on tphduttv riittävän pienellä välillä). Huomutus.4.3. () Tsinen jtkuvuus määritellään joukoss A, ei pisteittäin kuten jtkuvuus. () Jos f on tsisesti jtkuv joukoss A, niin f on jtkuv joukoss A (kiinnitetään t = x 0 määritelmässä.4.). Käänteinen väite ei päde esimerkin.4. vloss. Esimerkki.4.4. Osoitetn, että funktio f(x) = x Olkoon ε > 0 mielivltinen j x, t [, ]. Tällöin f(x) f(t) = x = t x = t tx kun t, x [, ] (nyt t j x Siis f(x) = x on tsisesti jtkuv välillä [, ]. t x t x t x < ε, ). Vlitsemll määritelmässä.4. δ = ε sdn f(x) f(t) < ε kikill x, t A, x t < δ. on tsisesti jtkuv välillä [, ]. Funktio f(x) = ei kuitenkn ole tsisesti jtkuv välillä ]0, ], kuten seurv päättely osoitt. x Tehdään vstoletus, että f on tsisesti jtkuv välillä ]0, ]. Tällöin jokist ε > 0 kohti on olemss sellinen δ > 0, että f(x) f(t) < ε, kun t, x ]0, ] j x t < δ. Vlitn tässä ε =. Vlitn lisäksi sellinen n Z +, että n < δ. Asetetn x = n j t = n+. Tällöin x, t ]0, ] sekä 0 < t < x < δ, joten x t < δ, mutt smll f(x) f(t) = n (n + ) = > = ε, eli sdn ristiriit. Siten f(x) = ei ole tsisesti jtkuv välillä ]0, ] (vikk f on jtkuv x kyseisellä välillä). (Huom, että tässä lusekett ei void rvioid ylöspäin.) t x 5

20 Luse.4.5. Jtkuv funktio f : [, b] R on tsisesti jtkuv suljetull j rjoitetull välillä [, b]. Todistus. Tehdään vstoletus: funktio f ei ole tsisesti jtkuv välillä [, b]. Tästä seur, että on olemss sellinen ε > 0, että jokist δ > 0 kohti on olemss selliset pisteet x, t [, b] (jotk riippuvt luvust δ), että x t < δ j f(x) f(t) ε. Vlitn δ = n, n =,,..., jolloin jokist n kohti on olemss selliset x n, t n [, b], että x n t n < n j f(x n) f(t n ) ε. Jono (x n ) on rjoitettu, joten Bolznon Weierstrssin luseen (luse B.3.8) nojll sillä on suppenev osjono (x nk ). Olkoon x 0 = lim k x nk. Kosk niin epäyhtälön säilymisperitteen nojll Lisäksi x nk b kikill k =,,..., x 0 b eli x 0 [, b]. t nk x 0 t nk x nk + x nk x 0 < n k + x nk x 0 k + x n k x 0 0, kun k (huom, että n k k), joten lim t nk k jonokrkteristion (luse.3.5) nojll lim k f(x n k ) = f(x 0 ) = lim k f(t nk ). Täten on olemss sellinen k ε Z +, että f(x nk ) f(x 0 ) < ε j f(t nk ) f(x 0 ) < ε = x 0. Kosk f on jtkuv, niin jtkuvuuden kikill k k ε. Siten ε f(x nk ) f(t nk ) f(x nk ) f(x 0 ) + f(x 0 ) f(t nk ) < ε + ε = ε, kikill k k ε. Ristiriit. Esimerkki.4.6. Olkoon f : R R, f(x) = x + sin x. Osoitetn, että f on tsisesti jtkuv joukoss R. Rtkisu: Olkoon ε > 0 mielivltinen. Kun x, t R, on voimss f(x) f(t) = x + sin x (t + sin t) x t + sin x sin t = x t + sin x t cos x + t, sillä sin x sin t = sin x t cos x + t kikill x, t R. Edelleen, kosk cos y j sin y y kikill y R, sdn rvio x t f(x) f(t) x t + = x t < ε, kun x t < ε. Voidn siis vlit δ = ε. Siten f on tsisesti jtkuv joukoss R. 6

21 Luku Srjt. Srjn suppeneminen Määritelmä... Olkoon (x k ) relilukujono. Muodostetn uusi jono (s n ), jolle s n = n x k = x + x + + x n, n =,,... Jono (s n ) snotn jonoon (x k ) liittyväksi ossummien jonoksi ti srjksi. Jos jono (s n ) suppenee eli on olemss sellinen S R, että lim s n = S, niin snotn että srj suppenee. Luku S snotn srjn summksi j merkitään x k = lim n x k = lim s n = S. Jos srj ei suppene, niin snotn, että se hjntuu. Summ R n = x k = S s n k=n+ snotn srjn (s n ) (n:nneksi) jäännöstermiksi. Huomutus... () Srj merkitään x k riippumtt siitä, suppeneeko se. () Jos srj x k suppenee, niin sen ossummien jono (s n ) suppenee, ts. rj-rvo lim s n = S on olemss. Tällöin jokist ε > 0 kohti on olemss sellinen n ε, että s n S = x k < ε kikill n nε. k=n+ Tästä nähdään, että srj suppenee, jos j vin jos sen jäännöstermien jono suppenee kohti luku 0. Esimerkki..3. () Osoitetn, että =. Todistetn ensin induktioll, että k n s n = = k = n n 7

22 kikill n =,,...: Väite pätee rvoll n =, sillä s = =. Jos sitten s k = k jollkin k Z + (induktio-oletus), niin s k+ = s k + k+ = k + k+ = k+. Induktio-peritteen nojll väite pätee kikill n Z +. Siten () Srj ( lim s n = lim ) =. n ( ) k hjntuu: Nyt s =, s = 0, s 3 =, s 4 = 0,... Induktioll nähdään, että s n = 0, kun n on prillinen, j s n =, kun n on priton. Siten jono (s n ) hjntuu. (3) Osoitetn, että srj niin sdn rvio k k + s n = hjntuu. Kosk k k + = + /k n n + n = n, n =,,... Siten jono (s n ) ei ole rjoitettu j (s n ) hjntuu lemmn B..0 nojll. kikill k =,,..., Lemm..4. Jos srj x k suppenee, niin lim k x k = 0. Todistus. Srj, 3,..., niin x k suppenee, joten on olemss lim s n = S R. Kosk x n = s n s n, n = lim x n = lim (s n s n ) = lim s n lim s n = S S = 0. Huom, että tässä myös rj-rvo lim s n on olemss j on S. x k suppeneminen! Esimer- Huomutus..5. () Ominisuudest lim x k = 0 ei seur srjn k kiksi hrmoninen srj hjntuu vikk lim k = 0. k k () Yleisesti srjn suppeneminen riippuu siitä, että kuink nopesti x k menee nolln luvun k ksvess. Seurus..6. Jos lim x k 0 (ti rj-rvo ei ole olemss), niin x k hjntuu. k Esimerkki..7. () Srj k k + hjntuu, sillä lim k k k + = 0. 8

23 () Toislt srjt ( ) k j eivät ole olemss. ( cos k π ) hjntuvt, sillä rj-rvot ( lim k ( )k j lim cos k π ). k Luse..8 (Cuchyn kriteeri srjoille). Srj suppenee, jos j vin jos sen ossummien jono (s n ) on Cuchyn jono eli jokist ε > 0 kohti on olemss sellinen n ε, että s n s m < ε, kun n, m n ε. Todistus. Seur suorn Cuchyn kriteeristä jonoille. Huomutus..9. () Ossummien jono (s n ) on Cuchyn jono, jos j vin jos jokist ε > 0 kohti on olemss sellinen n ε Z +, että s n s m = m k=n+ x k < ε, kun m > n nε. () Tämän kriteerin vull on jo osoitettu kppleess B.4, että k j ( ) k+ k suppenevt j että hjntuu. k Joskus srjn suppeneminen voidn osoitt lskemll ns. teleskooppinen summ. Esimerkki..0. Osoitetn, että srj k(k + ) suppenee. Kosk k(k + ) = (k + ) k k(k + ) = k, k =,,..., k + niin n:s ossumm voidn esittää muodoss ( s n = ) ( + ) ( n ) = n + n +, kikill n =,,... Siten joten srj suppenee j sen summ on. k(k + ) = lim s n = lim n + =, Trkstelln seurvksi eräitä keskeisiä srjoj. Todistetn sitä ennen yksi trpeellinen lemm. 9

24 Lemm... Jos <, niin lim n = 0. Jos =, niin lim n =. Muulloin jono ( n ) hjntuu. Todistus. Olkoon ensin <. Tällöin n = n < n =, joten jonot ( n ) j ( n ) ovt rjoitettuj. Lisäksi jono ( n ) on vähenevä, sillä n+ = n < n. Siten jono ( n ) suppenee j lim n = inf{ n n =,,...}. Merkitään tätä infimumi (j rj-rvo) m j osoitetn, että on m = 0. Selvästi 0 on lrjn lkioille n, j infimumin määritelmän ehto (i) toteutuu. Oletetn, että m > 0. Kosk m > m = inf{ n n =,,...}, niin on olemss sellinen n Z +, että n < m. Tällöin n+ < m = m, mikä on ristiriidss luvun m määrittelyn knss. Näin ollen m = 0 j hrjoituksen tehtävän 5c nojll myös lim n = 0. Jos =, niin ( n ) =,,... ti ( n ) =,,,,... eikä jono ( n ) suppene. Jos >, niin = + x jollkin x > 0. Tällöin n ( ) n n ( ) n ( + x) n = x k n k = + nx + x k > + nx, k k kikill n Z +, joten n > nx kikill n Z +. Tässä x > 0, joten jono ( n ) ei ole rjoitettu. Myöskään jonot ( n ) j ( n ) eivät siten voi oll rjoitettuj. Luse... Geometrinen srj k= x k = + x + x +..., x R, suppenee, jos j vin jos x <. Jos x <, niin srjn summ on x k = x. Todistus. : Oletetn, että x < j osoitetn, että x k = x. Nyt s n = + x + x + + x n xs n = x + x + + x n + x n+. j Vähentämällä nämä puolittin toisistn sdn s n xs n = x n+, joten s n = xn+, n = 0,,... x Huom, että nyt x 0. Kosk x <, niin lemmn.. mukn lim x n+ = 0, j x k x n+ = lim s n = lim x =, x <, x 0

25 Siten srj (s n ) suppenee. : Oletetn, että x. Tällöin jono (x k ) ei suppene nolln, kun k, j srj xk hjntuu seuruksen..6 nojll. Huomutus..3. Geometrinen srj on lähtökoht monelle muulle suppenevlle srjlle: () () (3) x k = x x k = ( ) k x k = 3 k x k = x, kun x <, x ( x ) k = ( x ) =, kun x <, + x (3x) k = 3x, kun x < 3. Seurvn srjn suppenemist koskev tulos on tärkeässä rooliss myöhemmin suppenemistestien yhteydessä. Luse..4. Olkoon p R. Srj suppenee, jos j vin jos p >. k p Todistus. : Tp (Hiemn epätrkk, ennen kuin integrlit on käsitelty trksti): Olkoon p >. Ossumm s n voidn rvioid ylöspäin määrätyn integrlin vull seurvsti: s n = n k + p = + p n ( n p x dx = + p p ) < + p = / n p p x p = + ( n p ) p (p > ). Siten jono (s n ) on ksvv (s n+ s n ) j rjoitettu, joten se suppenee monotonisen suppenemisen luseen nojll j k = lim s p n p <, kun p >. p Siis srj suppenee, kun p >. (Tällä menetelmällä sdn myös rvio virheen S s n suuruudelle.) Tp (Trkk perustelu): Olkoon p >. Kosk jono (s n ) on ksvv, niin monotonisen suppenemisen luseen nojll se suppenee, jos se on rjoitettu. Riittää siis osoitt, että jono (s n ) on rjoitettu.

26 Kun n Z +, vlitn sellinen t Z +, että n < t. Tällöin Tässä p s n s t = = + t k p ( + ) ( + p 3 p 4 + p 5 + p 6 + ) + p 7 ( p ) + ( t ) + + p ( t ) p t p p p ( t ) p = + + p ( p ) + ( p ) ( p ) t ( p ) k = <. p on vkio, jok ei riipu luvust n, joten jono (s n ) on rjoitettu. : Olkoon sitten p. Tällöin kikill k =,,... pätee rvio k p k, jost sdn. k k p Siten ossummille sdn rvio n k n, n =,,... (.) kp Ossummien jono n, n =,,..., ei ole ylhäältä rjoitettu, Epäyhtälön (.) nojll myöskään k srjn ossummien jono ei ole ylhäältä rjoitettu, joten se hjntuu. k p Sen, että srj k tpuksen p > yhteydessä): s n = hjntuu, voi nähdä myös seurvsti (tässä on sm epätrkkuus kuin n k = n+ n > dx = ln (n + ). x Kosk lim ln(n + ) =, niin myös lim s n =, joten (s n ) hjntuu. Tpus p 0 voidn perustell myös seurvsti. Kosk p 0, niin k p = k p kikill k =,,... Siten jono ( ) k ei suppene luku 0 kohti, kun k, j srj p hjntuu seuruksen..6 k p nojll. Suppenevt srjt toteuttvt yleisesti seurvn linerisuusominisuuden. Luse..5. Olkoot, b R. Jos x k = S j y k = T ovt suppenevi srjoj, niin myös srj (x k + by k ) suppenee j sen summ on S + bt. Todistus. Kosk lim n x k = S j lim n y k = T, niin lukujonon rj-rvon lskusääntöjen (huomutus B..4) nojll n n n lim (x k + by k ) = lim x k + b lim y k = S + bt.

27 Huomutus..6. Srjn (x k + y k ) suppenemisest ei seur, että x k ti y k suppenisi. Esimerkiksi (( ) k + ( ) k+ ) = 0 = 0 suppenee, mutt ( ) k j ( ) k+ hjntuvt.. Suppenemistestejä positiivitermisille srjoille Jonojen tpuksess osoitettiin, että relilukujono suppenee, jos j vin jos se on Cuchyn jono. Tällöin sen suppeneminen pääteltiin rj-rvo lskemtt. Vstvsti srjojen tpuksess on tärkeää pystyä päättelemään srjn suppeneminen lskemtt sen summ summn lskeminen on usein hyvin vike, jop mhdotont j myös turh, jos srj osoittutuukin hjntuvn. Srjn suppenemisen trkstelu summ lskemtt on usein mhdollist niin snottujen suppenemistestien vull. Määritelmä... Srj x k snotn positiivitermiseksi, jos x k 0 in, kun k =,,... Seurv luse nt monotonisen suppenemisen lusett vstvn tuloksen srjoille. Luse... Positiiviterminen srj suppenee, jos j vin jos sen ossummien jono (s n ) on ylhäältä rjoitettu. Tällöin x k = lim s n = sup{s n n =,,...}. Todistus. : Oletetn, että srj x k suppenee j x k 0, k =,,... Tällöin ossummien jono (s n ) suppenee, joten jono (s n ) on rjoitettu. : Oletetn, että (s n ) on ylhäältä rjoitettu. Jono s n on lisäksi ksvv, sillä n+ s n+ s n = x k n x k = x n+ 0, n =,,... Siis (s n ) on ksvv j ylhäältä rjoitettu, joten monotonisen suppenemisen luseen (luse B..3) nojll (s n ) suppenee. Siten srj suppenee. Lisäksi monotonisen suppenemisen luseen nojll x k = sup{s n n =,,...}. Huomutus..3. Luse ei päde, jos termit vihtvt merkkiä. Esimerkiksi ( ) k hjntuu, vikk sen ossummien jono on rjoitettu. 3

28 Seurv luse on yksinkertinen, mutt äärimmäisen tärkeä. Luse..4 (mjorntti- j minornttiperite). Oletetn, että jonoille (x k ) j (y k ) on voimss 0 x k y k kikill k =,,... (i) Jos (ii) Jos y k suppenee, niin x k suppenee. (mjornttiperite) x k hjntuu, niin y k hjntuu. (minornttiperite) Todistus. Osoitetn ensin koht (i). Merkitään s n = n x k j s n = n y k, n =,,... Kosk srj y k suppenee, niin jono (s n) suppenee j se on rjoitettu. Täten on olemss sellinen M R, että s n M kikill n =,,... Edelleen 0 s n M kikill n =,,..., sillä y k 0 kikill k Z +. Kosk kikill k pätee 0 x k y k, niin 0 s n s n M, n =,,... Srj x k on positiiviterminen j sen ossummien jono (s n ) on rjoitettu. Luseen.. nojll jono (s n ) j siten myös srj x k suppenee. Koht (ii) seur vstoletuksell kohdst (i). Huomutus..5. () Yleensä tehtävänä on tutki, suppeneeko nnettu srj. Tällöin on pääteltävä, kump peritett tehtävässä knntt käyttää; hjntuv mjornttisrj ti suppenev minornttisrj ei ut tehtävän rtkisuss. () Edellä srjn on oltv positiiviterminen. Esimerkiksi ( ) k hjntuu, vikk 0 kikill k =,,... j 0 = 0 suppenee. k Esimerkki..6. Tutki, suppeneeko srj 6k k Rtkisu: Aluksi voidn tehdä epämuodollinen päättely srjn suppenemisest. Srjn suppeneminen riippuu sen häntäosn käyttäytymisestä. Indeksin k suurill rvoill voidn rvioid j luseen..4 nojll k 3 6k k k k = 6 4 k 3 luss, mutt se nt vin vihjeitä srjn käyttäytymisestä. suppenee. Tällisen likimääräisen trkstelun voi tehdä tehtävän Osoitetn, että srj suppenee j käytetään mjornttiperitett. Nyt 0 6k k k k = 6, k =,,... 4 k3 4

29 Lisäksi luseen..4 nojll 6 k = 6 3 k 3 suppenee, joten lkuperäinen srj suppenee mjornttiperitteen nojll. Esimerkki..7. Tutki, millä rvoill x 0 srj suppenee. Rtkisu: Olkoon 0 x <. Tällöin x k k = x + x + x xk k xk, k =,,... Tässä x k on geometrinen srj, jok suppenee, kun 0 x <. Siten mjornttiperitteen nojll srj x k k suppenee, kun 0 x <. Olkoon sitten x. Tällöin Tässä hjntuu, kun x. 0 < k xk, k =,,... k on hrmoninen srj, jok hjntuu. Siten minornttiperitteen nojll k Esimerkki..8. Tutki, suppeneeko srj k +. x k k Rtkisu: Osoitetn, että srj hjntuu j käytetään minornttiperitett. Kosk k + k + k = k, niin k > 0. k + Luseen..4 nojll nojll k + hjntuu. Esimerkki..9. Tutki, suppeneeko srj hjntuu, joten myös hjntuu j minornttiperitteen k k k + 5 k 3 + k + k +. Rtkisu: Hnkitn ensin rvus suppenemisest. Suurill indeksin k rvoill k k = 3 k. Kosk srj k Käytetään mjornttiperitett. Nyt 0 k + 5 k 3 + k + k + suppenee, yritetään osoitt myös nnettu srj suppenevksi. k + 5 k 3 + k + k + = + 5/k k ( + /k + /k + /k 3 ) 6 k 5

30 kikill k =,,..., j suppenee. Siten lkuperäinen srj suppenee mjornttipe- k ritteen nojll. 6 k = 6 Esimerkki..0. Tutki, suppeneeko srj k + 5 k + k +. k+5 Rtkisu: Hnkitn ensin rvus suppenemisest. Suurill indeksin k rvoill k +k+ Kosk srj k hjntuu, yritetään osoitt myös nnettu srj hjntuvksi. Käytetään minornttiperitett. Alspäin rvioimll sdn Lisäksi srj k + 5 k + k + = + 5/k k( + /k + /k ) 4k 4k = k 0, k =,,... hjntuu, joten minornttiperitteen nojll nnettu srj hjntuu. k = k k. Huomutus... Mjorntti- j minornttiperitteess srj knntt yrittää verrt srjn ti geometriseen srjn, joiden suppeneminen hllitn täysin. Luse.. (suhdetesti). Oletetn, että x k > 0 kikill k =,,... k p (i) Jos on olemss selliset k 0 Z + j 0 M <, että niin x k suppenee. (ii) Jos on olemss sellinen k 0 Z +, että x k+ x k M kikill k k 0, niin Todistus. x k hjntuu. (i) Oletusten nojll x k+ x k kikill k k 0, x k0 + Mx k0, x k0 + Mx k0 + M x k0,. x k0 +(k k 0 ) Mx k M x k M k k 0 x k0, 6

31 joten (trkk perustelu induktioll). Lisäksi x k x k0 M k k 0 kikill k k 0 k=k 0 x k0 M k k0 = x k0 M k0 k=k 0 M k, missä k=k 0 M k on suppenev geometrinen srj, sillä 0 M <. Siten lkuperäinen srj suppenee mjornttiperitteen nojll. (ii) Oletusten mukn x k x k0 > 0 kikill k k 0. Tästä seur, että jono (x k ) ei suppene luku 0 kohti. Siten x k hjntuu seuruksen..6 nojll. Seurus..3. Oletetn, että x k > 0 kikill k =,,... (i) Jos lim k x k+ x k (ii) Jos lim k x k+ x k <, niin srj >, niin srj x k suppenee. x k hjntuu. Todistus. (i) Olkoon lim k x k+ x k = c, missä 0 c <. Tällöin on olemss sellinen k 0 Z +, että x k+ x k c < c kikill k k 0. Tästä seur, että x k+ < c + c = c + x k joten srj suppenee luseen.. nojll. < kikill k k 0, (ii) Olkoon lim k x k+ x k = c, missä c >. Tällöin on olemss sellinen k 0 Z +, että x k+ x k c < c kikill k k 0. Tästä seur, että x k+ > c c x k joten srj hjntuu luseen.. nojll. = c + > kikill k k 0, 7

32 Huomutus..4. Jos lim k x k+ x k =, niin srj voi supet ti hjntu. Esimerkiksi srj suppenee, kun p >, j hjntuu, kun 0 < p. Tässä tpuksess ( ) x k+ /(k + ) p p k lim = lim = lim = k x k k /k p k k + kikill 0 < p <. Huom, että tässä x k+ x k < kikill k =,,... Esimerkki..5. Tutki, suppeneeko srj Rtkisu: Merkitään x k = k k. Tällöin x k+ x k = (k + ) / k+ k / k = joten srj suppenee seuruksen..3 nojll. Esimerkki..6. Tutki, suppeneeko srj Rtkisu: Merkitään x k = (k!) (k)!. Tällöin k p k k. ( ) ( k + k k + k = k+ k (k!) (k)!. ), kun k, x k+ x k = ((k + )!) (k)! (k + )!(k!) = (k + ) (k + )(k + ), kun k, 4 joten srj suppenee seuruksen..3 nojll. Luse..7 (juuritesti). Oletetn, että x k 0 kikill k =,,... (i) Jos on olemss selliset k 0 Z + j 0 M <, että k xk M kikill k k 0, niin x k suppenee. (ii) Jos on olemss sellinen k 0 Z +, että k xk kikill k k 0, niin x k hjntuu. 8

33 Todistus. (i) Oletusten nojll on olemss sellinen k 0 Z +, että k xk M kikill k k 0, joten x k M k kikill k k 0. Tässä M k on geometrinen srj, jok suppenee, sillä 0 M <, joten lkuperäinen srj k=k 0 suppenee mjornttiperitteen nojll. (ii) Oletusten nojll on olemss sellinen k 0 Z +, että k xk kikill k k 0, joten x k k = kikill k k 0. Täten jono (x k ) ei suppene luku 0 kohti, joten srj x k hjntuu seuruksen..6 nojll. Seurus..8. Oletetn, että x k > 0 kikill k =,,... (i) Jos lim k k x k <, niin srj (ii) Jos lim k k x k >, niin srj x k suppenee. x k hjntuu. Todistus. Vstvsti kuin seuruksen..3 todistus (hrjoitustehtävä). Huomutus..9. () Juuritestiä käyttäessä knntt muist rj-rvo lim n n =. Todistus. Huom, että n n, kikill n =,,... Johdetn seurvksi luvulle n n ylärj, jonk rj-rvo on. Kun n, niin binomikvst ( + b) n = n ( n k) n k b k sdn rvio ( ( ) ( ) n n n ( ) ( + = + n) n + ) n + + n n ( ) n ( ) n(n ) + = + n n = n. Siis ( + n n =. lim n ) n n, mistä sdn + n n n. Siten suppiloperitteen mukn () Jos lim k k x k =, niin srj voi supet ti hjntu. Esimerkiksi srj suppenee, kun p >, j hjntuu, kun 0 < p. Tässä tpuksess kohdn () mukn k p, kikill 0 < p <. lim k k k = lim p k ( k k) = p 9

34 (3) Srjn suppenemist trksteltess voidn in jättää pois äärellisen mont termiä srjn lust. Ne eivät vikut srjn suppenemiseen, mutt vikuttvt kyllä srjn summn. Tällä tulkinnll positiivitermisten srjojen suppenemistestejä voidn sovelt myös srjoihin, joiden termit ovt positiivisi jostkin indeksin rvost lähtien. Esimerkki..0. () Tutki, suppeneeko srj Rtkisu: Merkitään x k = joten srj suppenee seuruksen..8 nojll. ( k + 3 ) k. () Tutki, suppeneeko srj 4k + 5 ( k + 3 ) k. Rtkisu: Merkitään x k = Tällöin 4k + 5 k= (log k) k., kun k =, 3,... Tällöin (log k) k k xk = k (log k) = 0, kun k, k log k (k k + 3 ) k k + 3 xk = k = 4k + 5 4k + 5 = + 3/k 4 + 5/k, kun k, joten srj suppenee seuruksen..8 nojll. (3) Millä rvoill x 0 srj kx k = x + x + 3x suppenee? Rtkisu: lim k k kxk = lim k x k k = x. Seuruksen..8 nojll srj suppenee, kun 0 x <, j hjntuu, kun x >. Kun x =, niin jono (k) ei suppene luku 0 kohti j srj hjntuu seuruksen..6 nojll. Luse.. (vertiluperite). Oletetn, että x k > 0 j y k > 0 kikill k =,,... j että on olemss. x k K = lim k y k (i) Jos 0 < K <, niin x k suppenee, jos j vin jos y k suppenee. (ii) Jos K = 0 j y k suppenee, niin x k suppenee. (iii) Jos K = j y k hjntuu, niin x k hjntuu. Todistus. (i) Oletetn, että 0 < K <. Tällöin on olemss sellinen k 0 Z +, että x k K < K kikill k k 0, y k 30

35 jost sdn epäyhtälö Ky k < x k < 3 Ky k kikill k k 0. Jos 3 y k suppenee, niin myös Ky k suppenee. Mjornttiperitteen nojll x k suppenee j siten myös x k k=k 0 k=k 0 suppenee. Jos x k suppenee, niin myös x k suppenee. Mjornttiperitteen nojll Ky k suppenee j siten myös y k k=k 0 k=k 0 suppenee. (ii) Oletetn, että K = 0 j y k suppenee. Jono ( x k y k ) on suppenevn jonon rjoitettu, joten on olemss sellinen M > 0, että x k M kikill k =,,... y k Siten 0 < x k My k kikill k =,,... Nyt y k suppenee, joten My k suppenee j mjornttiperitteen nojll myös x k suppenee. (iii) Oletetn, että K = j että y k hjntuu. Tällöin on olemss sellinen k Z +, että Siten x k y k kikill k k. x k y k kikill k k. Kosk y k hjntuu, niin minornttiperitteen nojll myös x k hjntuu. Huomutus... Edellinen luse snoo myös sen, että x k hjntuu, jos j vin jos hjntuu. Tämän s todistettu suornkin käyttämällä minornttiperitett. Jos K = 0 luseess.., niin srjn x k suppenemisest ei välttämättä seur srjn suppeneminen. Jos esimerkiksi x k = k j y k = k, niin j x k suppenee, mutt y k hjntuu. x k lim = lim k y k k k = 0 y k y k 3

36 Esimerkki..3. Tutki, suppeneeko srj Rtkisu: Suurill indeksin k rvoill pätee Kosk srj k 3 k k + 7 k 5 + 5k 4 3k + k. k k + 7 k 5 + 5k 4 3k + k k k 5 = k 3. suppenee, yritetään osoitt lkuperäinen srj suppenevksi. k k + 7 Vlitn x k = k 5 + 5k 4 3k + k j y k = k luseess.. (nyt x 3 k > 0 j y k > 0, k =,,... ). Tällöin x k y k = = = k k + 7 k 5 + 5k 4 3k + k k3 k 5 k 4 + 7k 3 k 5 + 5k 4 3k + k k ( 5 + ) 7 k k k ( ), kun k. 3 + k k 3 k 4 k 5 Srj k 3 suppenee, joten luseen.. nojll srj x k suppenee..3 Itseisesti suppenevt srjt Määritelmä.3.. Srjn x k snotn suppenevn itseisesti, jos x k suppenee. Jos srj suppenee, mutt ei suppene itseisesti, niin snotn, että se suppenee ehdollisesti. Esimerkki.3.. Alternoiv hrmoninen srj hjntuu, mutt ( )k+ = k ( ) k+ suppenee ehdollisesti, sillä k ( ) k+ suppenee. Tämä osoitettiin jo esimerkissä B.4.0, mutt sen näkee myös seurvll tvll: Kosk ( s n = ) ( + 3 ) ( n ) n k k j s n = ( ) 3 ( 4 ) ( 5 n ), n 3

37 niin s n = s n n < s n. Jono (s n ) on ksvv j rjoitettu j jono (s n ) on vähenevä j rjoitettu, joten monotonisen suppenemisen luseen nojll ne suppenevt eli rj-rvot lim s n j lim s n ovt olemss. Yllä olevn nojll s n s n =, joten n lim (s n s n ) = lim ( n ) = 0. Täten jonot (s n ) j (s n ) suppenevt kohti sm luku S R. Hrjoituksen 4 tehtävän nojll myös lim s n = S. Esimerkki.3.3. Tutki srjn Rtkisu: Kosk niin 0 sin k = sin + k 3 8 sin + sin itseistä suppenemist. 7 sin k k 3 k 3 j sin k k 3 k 3 suppenee, suppenee mjornttiperitteen nojll. Siis srj suppenee itseisesti. Itse srjn sin k suppenemisen tutkiminen on kuitenkin ongelmllist, sillä sen termit vihtvt k 3 merkkiä! Tähän trvitn seurv lusett. Luse.3.4. Itseisesti suppenev srj suppenee j x k x k. Todistus. Olkoon y k = x k + x k, k =,,... Kosk x k x k x k, niin 0 y k x k, k =,,... Kosk x k suppenee, niin mjornttiperitteen nojll y k suppenee. Edelleen x k = lim n (y k x k ) = lim joten x k suppenee. Lisäksi kolmioepäyhtälön nojll x k = lim n n x k = lim n x k lim y k lim n x k, n x k = x k. 33

38 Huomutus.3.5. () Edellinen luse nt keinon tutki sellisten srjojen suppenemist, joiden termit vihtvt merkkiään. Ottmll itseisrvot sdn positiiviterminen srj, jonk suppenemist voidn tutki edellä olleiden suppenemistestien vull. Huom kuitenkin, että itseisrvojen muodostmn srjn x k hjntuminen ei kerro mitään srjn x k suppenemisest (hjntumisest). () Yleensä Esimerkiksi jos (x k ) =,, 0, 0,..., niin x k x k. x k = 0, j x k =. Määritelmä.3.6. Olkoon,,..., niin srj x k srj. Jos ϕ: Z + Z + on bijektio j y k = x ϕ(k) kikill k = snotn lkuperäisen srjn uudelleenjärjestelyksi. y k Esimerkki.3.7. Olkoon x k = k = j kuvus ϕ: Z + Z + bijektio ϕ(k) = { k +, k, kun k on priton, kun k on prillinen. Tällöin srj x ϕ(k) = , on hrmonisen srjn uudelleenjärjestely. Luse.3.8. Jos srj x k suppenee itseisesti, niin jokinen uudelleenjärjestely y k suppenee j y k = x k. Todistus. Luseen.3.4 nojll srj x k suppenee. Merkitään S = x k j s n = ε > 0. Silloin on olemss sellinen N, että n x k. Olkoon s n S < ε kikill n N 34

39 j N x k N+p x k = N+p k=n+ x k < ε kikill p Z +. Jälkimmäinen väite sdn Cuchyn kriteeristä (luse B.4.6), sillä srjn x k ossummien jono on Cuchyn jono. Merkitään t n = n x ϕ(k) = n y k. Vlitn M niin, että termit x,..., x N esiintyvät ossummss t M. Jos m M, niin t m s N on äärellinen summ termeistä x k, k > N. Tällöin yllä olevn nojll on olemss sellinen p Z +, että t m s N N+p k=n+ x k < ε. Siten t m S t m s N + s N S < ε + ε = ε, kun m M, joten y k = lim m t m = S. Huomutus.3.9. () Erityisesti suppenevt positiivitermiset srjt voidn järjestellä uudelleen ilmn, että summ muuttuu. () Ellei srj suppene itseisesti, niin uudelleenjärjestely voi vikutt suppenemiseen j summn. Olkoon ( ) k+ S = = k Aikisemmin todistettiin, että S. Järjestelemällä srj uudelleen sdn ( ) ( ) ( ) 0 + = = ( ) 6 + = S. Luse.3.0. Jos srjn jokinen uudelleenjärjestely suppenee, niin srj suppenee itseisesti. Todistus. Tehdään vstoletus: x k hjntuu. Olkoot x +, x +,... srjn x k ei-negtiivisten termien jono (x + i 0) j x, x,... negtiivisten termien jono (x i < 0). Kosk srj x k suppenee ehdollisesti, niin sekä hjntuu eli x + k että x k hjntuvt (hrjoitustehtävä). Siten erityisesti x + k = (x+ k 0). x + k 35

40 Srj x + k hjntuu, mutt se ei ole srjn x k uudelleenjärjestely (termit x k siten vielä nn ristiriit. Korjtn tilnne settmll termit x k väleihin. puuttuvt) eikä riittävän hrvsti termien x+ k Termin x settmiseksi vlitn sellinen luku k Z +, että jolloin x x + k + x. x + + x x + k x + = x +, Seurvksi termin x settmiseksi vlitn sellinen k > k, että x x + k + x + x + k x+ k x +, jolloin x x + k + x + x + k x+ k + x. Jtketn näin sijoittmll x n termin x + k n jälkeen siten, että ossumm termiin x n sti on suurempi ti yhtäsuuri kuin n. Näin sdn hluttu hjntuv srj, jok on lkuperäisen srjn uudelleenjärjestely. Huomutus.3.. Siis itseisesti suppenevt srjt ovt sellisi srjoj, joiden kikki uudelleenjärjestelyt suppenevt. Tämän tki itseisesti suppenevt srjt ovt tärkeitä. Luse.3. (Riemnnin uudelleenjärjestelyluse). Jos srj suppenee ehdollisesti, niin se sdn suppenemn kohti mitä thns luku järjestelemällä sen termit uudelleen. Todistus. Oletetn, että x k suppenee ehdollisesti. Olkoot x +, x +,... srjn ei-negtiivisten termien jono j x, x,... negtiivisten termien jono. Kosk srj täytyy oll voimss x k suppenee ehdollisesti, niin x + k = j x k = (hrjoitustehtävä). Jos molemmt olisivt äärellisiä, niin srj suppenisi itseisesti j jos vin toinen olisi äärellinen, niin srj itse hjntuisi. Lisäksi srjn x k suppenemisest seur, että lim x k k = 0. Siten myös lim k x+ k = 0 j lim k x k = 0. Olkoon S R. Osoitetn, että srjn summksi sdn S järjestelemällä se uudelleen. Olkoon k pienin luku, jolle Olkoon seurvksi k pienin luku, jolle Edelleen olkoon k 3 > k pienin luku, jolle x + + x x + k > S. (x x + k ) + (x + + x k ) < S. (x x + k ) + (x + + x k ) + (x + k x+ k 3 ) > S. 36

ANALYYSI I, kevät 2009

ANALYYSI I, kevät 2009 5 Riemnnin integrli 7 ANALYYSI I, kevät 9 5. Integrlin perusominisuuksi................. 76 5. Anlyysin perusluse....................... 8 Sisältö Relilukujen peruskäsitteitä Lukujonoist 3. Lukujonon rj-rvo.......................

Lisätiedot

ANALYYSI I, kevät 2009

ANALYYSI I, kevät 2009 ANALYYSI I, kevät 2009 Sisältö Relilukujen peruskäsitteitä 2 Lukujonoist 3 2. Lukujonon rj-rvo....................... 3 2.2 Monotoniset jonot......................... 7 2.3 Osjonot..............................

Lisätiedot

7 Funktiosarjoista. 7.1 Funktiosarjojen suppeneminen

7 Funktiosarjoista. 7.1 Funktiosarjojen suppeneminen 7 Funktiosrjoist 7. Funktiosrjojen suppeneminen Seurvksi trkstelln srjoj, joiden termit ovt (lukujen sijst) jollkin välillä I määriteltyjä funktioit. Täsmällisemmin funktiosrjll (ti lyhyemmin srjll) trkoitetn

Lisätiedot

II.1. Suppeneminen., kun x > 0. Tavallinen lasku

II.1. Suppeneminen., kun x > 0. Tavallinen lasku II. EPÄOLEELLISET INTEGRAALIT nt II.. Suppeneminen Esim. Olkoon f() =, kun >. Tvllinen lsku = / =. Kuitenkn tätä integrli ei ole ikisemmss mielessä määritelty, kosk f ei ole rjoitettu välillä [, ] (eikä

Lisätiedot

ANALYYSI I, kevät 2009

ANALYYSI I, kevät 2009 ANALYYSI I, kevät 009 Sisältö Relilukujen peruskäsitteitä Lukujonoist 4. Lukujonon rj-rvo....................... 4. Monotoniset jonot..........................3 Osjonot.............................. 7.4

Lisätiedot

5 Epäoleellinen integraali

5 Epäoleellinen integraali 5 Epäoleellinen integrli 5. Integrlin suppeneminen Olkoon f sellinen välillä [, b[ (ei siis välttämättä pisteessä b) määritelty funktio, että f on Riemnn-integroituv välillä [, ] kikill ], b[ eli on olemss

Lisätiedot

Sisältö. Funktiojonot ja -sarjat 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 15

Sisältö. Funktiojonot ja -sarjat 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 15 Funktiojonot j -srjt 10. syyskuut 2005 sivu 1 / 15 Sisältö 1 Funktiojonoist 2 2 Funktiosrjoist 5 3 Funktiojonojen j -srjojen derivointi j integrointi 7 4 Potenssisrjt 9 5 Tylorin polynomit j srjt 12 5.1

Lisätiedot

SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT Funktiojonot 1

SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT Funktiojonot 1 SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 JOUNI PARKKONEN Sisältö 0. Tästä tekstistä. Funktiojonot 0. Tästä tekstistä Tämä moniste on trkoitettu käytettäväksi kurssin Srjt j differentiliyhtälöt luentomterilin.

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Mtemtiikn tukikurssi Kurssikert 5 1 Jtkuvuus Trkstelln funktiot fx) josskin tietyssä pisteessä x 0. Tämä funktio on tässä pisteessä joko jtkuv ti epäjtkuv. Jtkuvuuden ymmärtää prhiten trkstelemll epäjtkuv

Lisätiedot

TEHTÄVÄ 1. Olkoon (f n ) jono jatkuvia funktioita f n : [a, b] R, joka suppenee välillä [a, b] tasaisesti kohti funktiota f : [a, b] R.

TEHTÄVÄ 1. Olkoon (f n ) jono jatkuvia funktioita f n : [a, b] R, joka suppenee välillä [a, b] tasaisesti kohti funktiota f : [a, b] R. Topologi I Hrjoitus 10, rtkisuj AP TEHTÄVÄ 1. Olkoon (f n ) jono jtkuvi funktioit f n : [, b] R, jok suppenee välillä [, b] tsisesti kohti funktiot f : [, b] R. Osoit, että tällöin f n (x) dx f(x) dx.

Lisätiedot

ANALYYSIN TEORIA A JA B

ANALYYSIN TEORIA A JA B ANALYYSIN TEORIA A JA B Kikki luseit ei ole muotoiltu smll tvll kuin luennoill. Ilmoit virheistä yms osoitteeseen mikko.kngsmki@ut. (jos et ole vrm, onko kyseessä virhe, niin ilmoit mieluummin). 1. Yleistä,

Lisätiedot

3 Integraali ja derivaatta

3 Integraali ja derivaatta 3 Integrli j erivtt 3.1 Integrli ylärjns funktion Olkoon funktio f Riemnn-integroituv välin I jokisell suljetull osvälillä j välin I jokin kiinteä luku. Tällöin integrli määrittelee funktion G(): I R,

Lisätiedot

Analyysi 2. Harjoituksia lukuihin 1 3 / Kevät Anna sellainen välillä ] 2, 2[ jatkuva ja rajoitettu funktio f, että

Analyysi 2. Harjoituksia lukuihin 1 3 / Kevät Anna sellainen välillä ] 2, 2[ jatkuva ja rajoitettu funktio f, että Anlyysi Hrjoituksi lukuihin 3 / Kevät 5. Ann sellinen välillä ], [ jtkuv j rjoitettu funktio f, että () sup A m A j inf A min A, (b) sup A m A j inf A = min A, (c) sup A = m A j inf A min A, (d) sup A

Lisätiedot

Riemannin integraalista

Riemannin integraalista Lebesguen integrliin sl. 2007 Ari Lehtonen Riemnnin integrlist Johdnto Tämän luentomonisteen trkoituksen on tutustutt lukij Lebesgue n integrliin j sen perusominisuuksiin mhdollisimmn yksinkertisess tpuksess:

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali MS-A1{3,4} (ELEC*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 8: Integrlifunktio j epäoleellinen integrli Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos 5.1.216 Pekk Alestlo,

Lisätiedot

Sisältö. Integraali 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 20

Sisältö. Integraali 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 20 Integrli 10. syyskuut 2005 sivu 1 / 20 Sisältö 1 Määrätty integrli j integrlifunktio 2 1.1 Integroituvist funktioit 3 1.2 Määrätyn integrlin ominisuuksi 4 1.3 Integrlifunktio 5 1.4 Integrlilskennn tärkeimmät

Lisätiedot

Kertausta ja täydennystä

Kertausta ja täydennystä LUKU 1 Kertust j täydennystä 1.1. Merkintöjä N = {k Z k 0} = {0, 1, 2,... }, luonnollisten lukujen joukko. Z + = {k Z k > 0} = {1, 2,... }, positiivisten kokonislukujen joukko. (, b) on relikselin voin

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 7: Integraali ja analyysin peruslause

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 7: Integraali ja analyysin peruslause MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 7: Integrli j nlyysin perusluse Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos 3.10.2016 Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen

Lisätiedot

Analyysi B. Derivaatta ja integraali. Pertti Koivisto

Analyysi B. Derivaatta ja integraali. Pertti Koivisto Anlyysi B Derivtt j integrli Pertti Koivisto Kevät 7 Alkusnt Tämä moniste on trkoitettu oheislukemistoksi Tmpereen yliopistoss pidettävälle kurssille Anlyysi B. Monisteen tvoitteen on tuke luentojen seurmist,

Lisätiedot

MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 7: Integraali ja analyysin peruslause

MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 7: Integraali ja analyysin peruslause MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 7: Integrli j nlyysin perusluse Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos November 20, 2017

Lisätiedot

MS-A010{2,3,4,5} (SCI, ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali

MS-A010{2,3,4,5} (SCI, ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali MS-A1{2,3,4,5} (SC, ELEC*, ENG*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 8: ntegrlifunktio j epäoleellinen integrli Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos November

Lisätiedot

Viikon aiheet. Pinta-ala

Viikon aiheet. Pinta-ala info Viikon iheet Mpu I:sen voit suoritt: Kurssin loppukokeess 23.10. Arvosn: koe + lskrit Mikäli yo. ik ei sovi, voit suoritt loppukokeen yleistenttitilisuudess 24.11. Arvosn: koe + lskrit. Ilmoittudu

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Mtemtiikn tukikurssi Kurssikert 4 Tilvuuden j vipn ln lskeminen Kuten iemmin käsittelimme, määrätyn integrlin vull voi lske pintloj j tilvuuksi. Tyypillisenä sovelluksen tilvuuden lskemisest on tpus, joss

Lisätiedot

2 Riemann-integraali. 2.1 Porrasfunktion integraali. Aloitetaan integraalin täsmällinen määrittely tutkimalla porrasfunktion integraalia.

2 Riemann-integraali. 2.1 Porrasfunktion integraali. Aloitetaan integraalin täsmällinen määrittely tutkimalla porrasfunktion integraalia. 2 Riemnn-integrli 2.1 Porrsfunktion integrli Aloitetn integrlin täsmällinen määrittely tutkimll porrsfunktion integrli. Määritelmä 2.1 (Porrsfunktion integrli). Olkoon f : [, b] R porrsfunktio j P = {x

Lisätiedot

ANALYYSI 3. Tero Kilpeläinen

ANALYYSI 3. Tero Kilpeläinen ANALYYSI 3 Tero Kilpeläinen Luentomuistiinpnoj syksyltä 2005 20. lokkuut 2005 Sisältö 1. Esitietoj 2 1.1. Riemnn-integrli............................ 2 1.2. Derivtt................................. 4 1.3.

Lisätiedot

Lebesguen integraali - Rieszin määritelmä

Lebesguen integraali - Rieszin määritelmä Lebesguen integrli - Rieszin määritelmä Tru Lehtonen Mtemtiikn pro grdu-tutkielm Jyväskylän yliopisto Mtemtiikn j tilstotieteen litos Kevät 216 Tiivistelmä Jyväskylän Yliopisto Lehtonen, Tru Puliin: Lebesguen

Lisätiedot

1. Derivaatan Testi. Jos funktio f on jatkuva avoimella välillä ]a, b[ ja x 0 ]a, b[ on kriit. tai singul. piste niin. { f (x) > 0, x ]a, x 0 [

1. Derivaatan Testi. Jos funktio f on jatkuva avoimella välillä ]a, b[ ja x 0 ]a, b[ on kriit. tai singul. piste niin. { f (x) > 0, x ]a, x 0 [ 1. Derivtn Testi Jos funktio f on jtkuv voimell välillä ], b[ j x 0 ], b[ on kriit. ti singul. piste niin { f (x) < 0, x ], x 0 [ f x (x) > 0, x ]x 0, b[ 0 on lokli minimipiste (1) { f (x) > 0, x ], x

Lisätiedot

i 2 n 3 ( (n 1)a (i + 1) 3 = 1 +

i 2 n 3 ( (n 1)a (i + 1) 3 = 1 + I. INTEGRAALILASKENTA Arkhimedes (287 22 e.kr.) prbelin segmentin pint-l Newton (642 727) j Leibniz (646 76) keksivät diff.- j int.-lskennn Cuhy (789 857) ε, δ Riemnn (826 866) Riemnnin integrli Lebesgue

Lisätiedot

Integroimistehtävät, 10. syyskuuta 2005, sivu 1 / 29. Perustehtäviä. Tehtävä 1. Osoita, että vakiofunktio f(x) c on Riemann-integroituva välillä

Integroimistehtävät, 10. syyskuuta 2005, sivu 1 / 29. Perustehtäviä. Tehtävä 1. Osoita, että vakiofunktio f(x) c on Riemann-integroituva välillä Integroimistehtävät,. syyskuut 5, sivu / 9 Perustehtäviä Tehtävä. Osoit, että vkiofunktio f(x) c on Riemnn-integroituv välillä [, b] j lske suorn määritelmän perusteell b f(x). Tehtävä. Osoit, että funktio,

Lisätiedot

IV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n

IV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n IV. TASAINEN SUPPENEMINEN IV.. Funktiojonon tasainen suppeneminen Olkoon A R joukko ja f n : A R funktio, n =, 2, 3,..., jolloin jokaisella x A muodostuu lukujono f x, f 2 x,.... Jos tämä jono suppenee

Lisätiedot

a = x 0 < x 1 < x 2 < < x n = b f(x) dx = I. lim f(x k ) x k=1

a = x 0 < x 1 < x 2 < < x n = b f(x) dx = I. lim f(x k ) x k=1 5 Integrli 5.1 Määritelmä j ominisuudet Olkoon f : [, b] R jtkuv. Muodostetn välin [, b] jko = x 0 < x 1 < x 2 < < x n = b j siihen liittyvä yläsumm S = n M k (x k x k 1 ), M k = mx{f(x) x k 1 x x k },

Lisätiedot

Riemannin integraalista

Riemannin integraalista TAMPEREEN YLIOPISTO Pro grdu -tutkielm Aij Stenberg Riemnnin integrlist Mtemtiikn j tilstotieteen litos Mtemtiikk Syyskuu 2010 2 Tmpereen yliopisto Mtemtiikn j tilstotieteen litos STENBERG, AIJA: Riemnnin

Lisätiedot

Sarjojen tasainen suppeneminen

Sarjojen tasainen suppeneminen Srjojen tsinen suppeneminen Pro grdu -tutkielm Krist Mikkonen 165274 Itä-Suomen yliopisto Fysiikn j mtemtiikn litos 19. mrrskuut 2013 Sisältö 1 Johdnto 1 2 Lukujonoist j srjoist 2 2.1 Lukujoukoist...........................

Lisätiedot

Kuvausta f sanotaan tällöin isomorfismiksi.

Kuvausta f sanotaan tällöin isomorfismiksi. Määritelmä..12. Oletetn, että 1 =(V 1,E 1 ) j 2 =(V 2,E 2 ) ovt yksinkertisi verkkoj. Verkot 1 j 2 ovt isomorfiset, jos seurvt ehdot toteutuvt: (1) on olemss bijektio f : V 1 V 2 (2) kikill, b V 1 pätee,

Lisätiedot

Määritelmä Olkoon C R m yksinkertainen kaari ja γ : [a, b] R m sen yksinkertainen parametriesitys, joka on paloittain C 1 -polku.

Määritelmä Olkoon C R m yksinkertainen kaari ja γ : [a, b] R m sen yksinkertainen parametriesitys, joka on paloittain C 1 -polku. Muodostetn vektorikentän kri-integrli yksinkertisen kren tpuksess. Plutetn mieleen, että joukko C R m on yksinkertinen kri, jos löytyy sellinen jtkuv bijektio γ : [, b] C, jok on ploittin C 1 -funktio

Lisätiedot

1 Jonot. 2 Sarjat. 3 Jatkuvuus. 4 Derivaatta. 5 Taylor-polynomit ja -sarjat. 1.2 Jonot. jossa

1 Jonot. 2 Sarjat. 3 Jatkuvuus. 4 Derivaatta. 5 Taylor-polynomit ja -sarjat. 1.2 Jonot. jossa Sisältö MS-AX Differentili- j integrlilskent Nämä klvot sisältävät otsikoss minitun kurssin keskeisen mterilin, mutt myös pljon oheislukemist. Luennoill voidn käsitellä myös täydentäviä esimerkkejä, kosk

Lisätiedot

2.4 Pienimmän neliösumman menetelmä

2.4 Pienimmän neliösumman menetelmä 2.4 Pienimmän neliösummn menetelmä Optimointimenetelmiä trvitn usein kokeellisen dtn nlysoinniss. Mittuksiin liittyy virhettä, joten mittus on toistettv useit kertoj. Oletetn, että mittn suurett c j toistetn

Lisätiedot

10. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA

10. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA MAA0 0. Määrätyn integrlin käyttö eräiden pint-lojen lskemisess 0. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA Edellä on todettu, että f (x)dx nt x-kselin j suorien x =, x = sekä funktion

Lisätiedot

x k 1 Riemannin summien käyttö integraalin approksimointiin ei ole erityisen tehokasta; jatkuvasti derivoituvalle funktiolle f virhe b

x k 1 Riemannin summien käyttö integraalin approksimointiin ei ole erityisen tehokasta; jatkuvasti derivoituvalle funktiolle f virhe b 5 Integrlien lskemisest 51 Riemnnin summt [A2], [4, 61] Rjoitetun funktion f : [, b] R Riemnn-integroituvuudelle ytäpitäväksi on kurssill Anlyysi 2 osoitettu, että Riemnnin summill S P := f(ξ k ) ( ),

Lisätiedot

1+kx 2, x [0, 1] 4. f k (x) = (sin x) k, x R Tehtävä 2. Osoita suoraan määritelmään perustuen, että funktiojono (f k ), missä

1+kx 2, x [0, 1] 4. f k (x) = (sin x) k, x R Tehtävä 2. Osoita suoraan määritelmään perustuen, että funktiojono (f k ), missä Funtiojonojen j -srjojen tehtävät, 11. syysuut 5, sivu 1 / 19 Perustehtäviä Tehtävä 1. Tuti seurvien funtiojonojen (f (x)) suppenemist. pisteittäistä j tsist 1. f (x) = cos x, x R. f (x) = 1 1+x, x R 3.

Lisätiedot

Ville Turunen: Mat Matematiikan peruskurssi P1 3. välikokeen alueen teoriatiivistelmä 2007

Ville Turunen: Mat Matematiikan peruskurssi P1 3. välikokeen alueen teoriatiivistelmä 2007 Ville Turunen: Mt-.4 Mtemtiikn peruskurssi P 3. välikokeen lueen teoritiivistelmä 27 Mterili: kirjt [Adms] R. A. Adms: Clculus, complete course (6th edition), [Ly] D. C. Ly: Liner lgebr nd its pplictions

Lisätiedot

6 Integraalilaskentaa

6 Integraalilaskentaa 6 Integrlilskent 6. Integrlifunktio Funktion f integrlifunktioksi snotn funktiot F, jonk derivtt on f. Siis F (x) = f (x) määrittelyjoukon jokisell muuttujn rvoll x. Merkitään F(x) = f (x) dx. Integrlifunktion

Lisätiedot

Kertymäfunktio. Kertymäfunktio. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 2/2. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 1/2. Kertymäfunktio: Esitiedot

Kertymäfunktio. Kertymäfunktio. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 2/2. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 1/2. Kertymäfunktio: Esitiedot TKK (c) Ilkk Mellin (24) 1 Johdtus todennäköisyyslskentn TKK (c) Ilkk Mellin (24) 2 : Mitä opimme? 1/2 Jos stunnisilmiötä hlutn mllint mtemttisesti, on ilmiön tulosvihtoehdot kuvttv numeerisess muodoss.

Lisätiedot

Matematiikan peruskurssi. Seppo Hassi

Matematiikan peruskurssi. Seppo Hassi Mtemtiikn peruskurssi Seppo Hssi Syksy 2014 iii Esipuhe Tämä on 1. versio Mtemtiikn peruskurssin opetusmonisteest, jonk sisältö noudttelee pitkälti Vsn yliopistoss iemmin luennoimni Mtemttiset menetelmät

Lisätiedot

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2017 Harjoitus 6, ratkaisuista. 1. Onko jokin demojen 5 tehtävän 3 relaatioista

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2017 Harjoitus 6, ratkaisuista. 1. Onko jokin demojen 5 tehtävän 3 relaatioista Mtemtiikn johntokurssi, syksy 07 Hrjoitus 6, rtkisuist. Onko jokin emojen 5 tehtävän reltioist ) R := {(, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, )}, ) S := {(, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ),

Lisätiedot

1 Jonot. 2 Sarjat. 3 Jatkuvuus. 4 Derivaatta. 5 Taylor-polynomit ja -sarjat. 1.2 Jonot. jossa

1 Jonot. 2 Sarjat. 3 Jatkuvuus. 4 Derivaatta. 5 Taylor-polynomit ja -sarjat. 1.2 Jonot. jossa Sisältö MS-AX Differentili- j integrlilskent Pekk Alestlo Alto-yliopisto.9.26 Nämä klvot sisältävät otsikoss minitun kurssin keskeisen mterilin, mutt myös pljon oheislukemist. Luennoill voidn käsitellä

Lisätiedot

Reaalinen lukualue. Millainen on luku, jossa on päättymätön ja jaksoton desimaalikehitelmä?

Reaalinen lukualue. Millainen on luku, jossa on päättymätön ja jaksoton desimaalikehitelmä? Relinen lukulue POLYNOMIFUNKTIOT JA -YHTÄLÖT, MAA Millinen on luku, joss on päättymätön j jksoton desimlikehitelmä? Onko sellisi? Trkstelln Pythgorn luseest stv yksikköneliön lävistäjää, luku + = x x =.

Lisätiedot

Matemaattiset menetelmät I. Seppo Hassi

Matemaattiset menetelmät I. Seppo Hassi Mtemttiset menetelmät I Seppo Hssi Syksy 2011 iii Esipuhe Tämä on 1. versio Mtemttiset menetelmät I-kurssin opetusmonisteest, jok perustuu Vsn yliopistoss luennoimni vstvn nimiseen kurssiin. Sisältö noudtt

Lisätiedot

1 Jonot. 2 Sarjat. 3 Jatkuvuus. 4 Derivaatta. 5 Taylor-polynomit ja -sarjat / Jonot / 200. jossa / 200

1 Jonot. 2 Sarjat. 3 Jatkuvuus. 4 Derivaatta. 5 Taylor-polynomit ja -sarjat / Jonot / 200. jossa / 200 MS-AX Differentili- j integrlilskent Pekk Alestlo Alto-yliopisto 24..26 Kiitokset Riikk Kortteelle, Jrmo Mliselle j kurssien opiskelijoille pinovirheiden korjuksist. 24..26 Kiitokset Riikk Kortteelle,

Lisätiedot

2.2 Monotoniset jonot

2.2 Monotoniset jonot Mtemtiik tito 9, RATKAISUT Mootoiset joot ) Kosk,,,, ii 0 Lukujoo ( ) o siis lhlt rjoitettu Toislt 0 Lukujoo (

Lisätiedot

8 Potenssisarjoista. 8.1 Määritelmä. Olkoot a 0, a 1, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.1. Muotoa

8 Potenssisarjoista. 8.1 Määritelmä. Olkoot a 0, a 1, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.1. Muotoa 8 Potenssisarjoista 8. Määritelmä Olkoot a 0, a, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.. Muotoa a 0 + a (x c) + a 2 (x c) 2 + olevaa sarjaa sanotaan c-keskiseksi potenssisarjaksi. Selvästi jokainen

Lisätiedot

sin θ θ θ r 2 sin 2 θ φ 2 = 0.

sin θ θ θ r 2 sin 2 θ φ 2 = 0. Mtemtiikn j tilstotieteen litos Osittisdifferentiliyhtälöt Kevät 21 Hrjoitus 9 Rtkisuj Jussi Mrtin 1. Osoit, että Lplce-yhtälö pllokoordinteiss on 2 u 1 r 2 2 u r r 1 r 2 sin θ u 1 2 u sin θ θ θ r 2 sin

Lisätiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1: tiivistelmä ja oheislukemista

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1: tiivistelmä ja oheislukemista Differentili- j integrlilskent 1: tiivistelmä j oheislukemist Pekk Alestlo 4. syyskuut 2014 Tähdellä merkityt kohdt on trkoitettu lähinnä oheislukemistoksi. Lisäksi mukn on joitkin lukiot kertvi kohti,

Lisätiedot

Syksyn 2015 Pitkän matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut

Syksyn 2015 Pitkän matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut Sksn 0 Pitkän mtemtiikn YO-kokeen TI-Nspire CAS -rtkisut Tekijät: Olli Krkkulinen Rtkisut on ldittu TI-Nspire CAS -tietokoneohjelmll kättäen Muistiinpnot -sovellust. Kvt j lskut on kirjoitettu Mth -ruutuihin.

Lisätiedot

Mika Hirvensalo. Insinöörimatematiikka B 2014

Mika Hirvensalo. Insinöörimatematiikka B 2014 Mik Hirvenslo Insinöörimtemtiikk B 4 Sisältö Rj-rvo j jtkuvuus....................................................... 5. Differentili- j integrlilskennn kehityksestä............................. 5. Relilukujen

Lisätiedot

521. 522. 523. 524. 525. 526. 527. 12. Lisää määrätystä integraalista. 12.1. Integraalin arvioimisesta. Osoita: VASTAUS: Osoita: Osoita:

521. 522. 523. 524. 525. 526. 527. 12. Lisää määrätystä integraalista. 12.1. Integraalin arvioimisesta. Osoita: VASTAUS: Osoita: Osoita: 12. Lisää määrätystä integrlist 12.1. Integrlin rvioimisest 521. Osoit: 1 + x 2 22 1 < < 1 + x21 21. 522. Osoit: x 3 < 5 x 6 + 8x + 9 < 15 1 5. 523. Osoit: 2 2 < e x2 x < 2e 2. e 524. Olkoon k >. Osoit:

Lisätiedot

Integraalilaskentaa. 1. Mihin integraalilaskentaa tarvitaan? MÄNTÄN LUKIO

Integraalilaskentaa. 1. Mihin integraalilaskentaa tarvitaan? MÄNTÄN LUKIO Integrlilskent Tämä on lukion oppimterileist hiemn poikkev yksinkertistettu selvitys määrätyn integrlin lskemisest. Kerromme miksi integroidn, mitä integroiminen trkoitt, miten integrli lsketn j miten

Lisätiedot

Sinilause ja kosinilause

Sinilause ja kosinilause Siniluse j kosiniluse GEOMETRI M3 Mikäli kolmion korkeus j knt tiedetään, voidn pint-l lske. Esimerkki: Lske kolmion l, kun 38 kulmn viereiset sivut ovt 8, j 6,8. Nyt knt tiedetään, korkeutt ei! 38 8,

Lisätiedot

Newtonin, Riemannin ja Henstock-Kurzweilin integraalit

Newtonin, Riemannin ja Henstock-Kurzweilin integraalit TAMPEREEN YLIOPISTO Pro grdu -tutkielm Annik Heinonen Newtonin, Riemnnin j Henstock-Kurzweilin integrlit Informtiotieteiden yksikkö Mtemtiikk Helmikuu 2013 Sisältö 1 Johdnto 1 2 Newtonin integrli 2 2.1

Lisätiedot

Säännöllisten operaattoreiden täydentäviä muistiinpanoja

Säännöllisten operaattoreiden täydentäviä muistiinpanoja Säännöllisten operttoreiden täydentäviä muistiinpnoj Antti-Juhni Kijnho 1. huhtikuut 2011 Vnht määritelmät Määritelmä 1. Äärellinen epätyhjä joukko on merkistö, j sen lkioit kutsutn merkeiksi. Määritelmä

Lisätiedot

Analyysi III S

Analyysi III S Anlyysi III 800624S Sisältö sitietoj 5 Riemnn integroinnin rjt 6 Luku 1. Mittteori 7 1. Algebr j σ-lgebr 7 2. Mitt 8 3. Ulkomitt j mitlliset joukot 11 4. Ulkomitn konstruointi 14 5. Lebesguen ulkomitt

Lisätiedot

OSA 1: POLYNOMILASKENNAN KERTAUSTA, BINOMIN LASKUSÄÄNTÖJÄ JA YHTÄLÖNRATKAISUA

OSA 1: POLYNOMILASKENNAN KERTAUSTA, BINOMIN LASKUSÄÄNTÖJÄ JA YHTÄLÖNRATKAISUA OSA 1: POLYNOMILASKENNAN KERTAUSTA, BINOMIN LASKUSÄÄNTÖJÄ JA YHTÄLÖNRATKAISUA Tekijät: Ari Heimonen, Hellevi Kupil, Ktj Leinonen, Tuomo Tll, Hnn Tuhknen, Pekk Vrniemi Alkupl Tiedekeskus Tietomn torninvrtij

Lisätiedot

MS-A010X Di erentiaali- ja integraalilaskenta Lukujoukot. 1.2 Jonot. 1.2 Perusongelmat. 1.3 Suppeneminen I. 1.2 Jonojen ominaisuuksia

MS-A010X Di erentiaali- ja integraalilaskenta Lukujoukot. 1.2 Jonot. 1.2 Perusongelmat. 1.3 Suppeneminen I. 1.2 Jonojen ominaisuuksia MS-AX Di erentili- j integrlilskent Pekk Alestlo Alto-yliopisto 24..26 Kiitokset Riikk Kortteelle, Jrmo Mliselle j kurssien opiskelijoille pinovirheiden korjuksist. Sisältö Nämä klvot sisältävät otsikoss

Lisätiedot

Numeerinen integrointi.

Numeerinen integrointi. Numeerinen integrointi. Differentili- j integrlilskent 1, syksy 2015 Hrri Vrpnen Mtemtiikn j systeeminlyysin litos Alto-yliopisto Tiisti 6.10.2015 Sisältö Tylor-menetelmä. Käyttökelpoinen silloin, kun

Lisätiedot

Sisältö. Sarjat 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 17

Sisältö. Sarjat 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 17 Sarjat 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 17 Sisältö 1 Peruskäsitteistöä 2 1.1 Määritelmiä 2 1.2 Perustuloksia 4 2 Suppenemistestejä positiivitermisille sarjoille 5 3 Itseinen ja ehdollinen suppeneminen 8 4 Alternoivat

Lisätiedot

4. Reaalifunktioiden määrätty integraali

4. Reaalifunktioiden määrätty integraali 6 4. Relifunktioiden määrätt integrli Vrsinisesti termi "integrli" tulee seurvss esitettävästä määrätstä integrlist, jok on läheistä suku summmiselle. Yhtes derivttn on sitten perustv ltu olev tulos, jot

Lisätiedot

Konvergenssilauseita

Konvergenssilauseita LUKU 4 Konvergenssilauseita Lause 4.1 (Monotonisen konvergenssin lause). Olkoon (f n ) kasvava jono Lebesgueintegroituvia funktioita. Asetetaan f(x) := f n (x). Jos f n

Lisätiedot

Riemann-integraalin ja mittaintegraalin vertailua

Riemann-integraalin ja mittaintegraalin vertailua Riemnn-integrlin j mittintegrlin vertilu Pro grdu -tutkielm Pii Tskinen Mtemttisten tieteiden litos Oulun yliopisto Kevät 216 Sisältö Johdnto 3 1 Esitietoj 5 1.1 Välijost............................. 5

Lisätiedot

Analyysi III. Jari Taskinen. 28. syyskuuta Luku 1

Analyysi III. Jari Taskinen. 28. syyskuuta Luku 1 Analyysi III Jari Taskinen 28. syyskuuta 2002 Luku Sisältö Sarjat 2. Lukujonoista........................... 2.2 Rekursiivisesti määritellyt lukujonot.............. 8.3 Sarja ja sen suppenminen....................

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ PISTEYTYSKOKOUS

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ PISTEYTYSKOKOUS 0 MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 30 PISTEYTYSKOKOUS 0 ) Sijoitetn x 0 Rtkistn = 0/04,0000 b) Jos neliön sivu on s, niin lävistäjä on s Ehto: s 6 s + s = 6, s 6 3 4s 6,70, joten piiri ) Suorn yhtälö

Lisätiedot

Ristitulo ja skalaarikolmitulo

Ristitulo ja skalaarikolmitulo Ristitulo j sklrikolmitulo Opetussuunnitelmn 00 mukinen kurssi Vektorit (MAA) sisältää vektoreiden lskutoimituksist keskeisenä ineksen yhteenlskun, vähennyslskun, vektorin kertomisen luvull j vektoreiden

Lisätiedot

11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS

11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS 11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS Tilvuus on sen verrn rkielämässä viljelty käsite, että useimmiten sen syvemmin edes miettimättä ymmärretään, mitä juomlsin ti pikkuvuvn kylpymmeen tilvuudell trkoitetn.

Lisätiedot

HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY OF HELSINKI

HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY OF HELSINKI HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY OF HELSINKI Tiedekunt/Ossto Fkultet/Sektion Fculty Litos Institution Deprtment Mtemttis-luonnontieteellinen Tekijä Förfttre Author Antti Khri Työn

Lisätiedot

4 Taso- ja avaruuskäyrät

4 Taso- ja avaruuskäyrät P2-luentoj kevät 2008, Pekk Alestlo 4 Tso- j vruuskäyrät Tässä luvuss tutustutn tso- j vruuskäyriin, niiden krenpituuteen j krevuuteen. Konkreettisin sovelluksin trkstelln nnettu rt pitkin liikkuvn hiukksen

Lisätiedot

Analyysin perusteet kauppatieteilijöille 800118P

Analyysin perusteet kauppatieteilijöille 800118P Anlyysin perusteet kupptieteilijöille 800118P Luentomoniste Kri Myllylä Niin Korteslhti Topi Törmä Oulun yliopisto Mtemttisten tieteiden litos Kevät 2015 Sisältö 1 Derivtt 3 1.1 Määritelmä..............................

Lisätiedot

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 5.2.2013

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 5.2.2013 Preliminäärikoe Pitkä Mtemtiikk 5..0 Kokeess s vstt enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä ( * ) merkittyjen tehtävien mksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien mksimipistemäärä on 6.. ) Rtkise yhtälö b)

Lisätiedot

MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1

MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 MS-A0102 Differentili- j integrlilskent 1 Riikk Korte (Pekk Alestlon klvojen pohjlt) Alto-yliopisto 22.11.2016 Sisältö Pint-l Integrli 1.1 Pint-l: Suorkulmio Seurvss trkstelln umpinisten tsokäyrien rjmi

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 9: Integroimismenetelmät

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 9: Integroimismenetelmät MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 9: Integroimismenetelmät Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos 10.10.2016 Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen (Alto-yliopisto,

Lisätiedot

3.3 KIELIOPPIEN JÄSENNYSONGELMA Ratkaistava tehtävä: Annettu yhteydetön kielioppi G ja merkkijono x. Onko

3.3 KIELIOPPIEN JÄSENNYSONGELMA Ratkaistava tehtävä: Annettu yhteydetön kielioppi G ja merkkijono x. Onko 3.3 KILIOPPIN JÄSNNYSONGLMA Rtkistv tehtävä: Annettu yhteydetön kielioppi G j merkkijono x. Onko x L(G)? Rtkisumenetelmä = jäsennyslgoritmi. Useit vihtoehtoisi menetelmiä, erityisesti kun G on jotin rjoitettu

Lisätiedot

1.3 Toispuoleiset ja epäoleelliset raja-arvot

1.3 Toispuoleiset ja epäoleelliset raja-arvot . Toisuoleiset j eäoleelliset rj-rvot Rj-rvo lim f () A olemssolo edellyttää että muuttuj täytyy void lähestyä rvo kummst suust hyväsä. Jos > ii sot että lähestyy rvo oikelt ositiivisest suust. Jos ts

Lisätiedot

1 sup- ja inf-esimerkkejä

1 sup- ja inf-esimerkkejä Alla olevat kohdat (erityisesti todistukset) ovat lähinnä oheislukemista reaaliluvuista, mutta joihinkin niistä palataan myöhemmin kurssilla. 1 sup- ja inf-esimerkkejä Nollakohdan olemassaolo. Kaikki tuntevat

Lisätiedot

Laskennan mallit (syksy 2010) 1. kurssikoe, ratkaisuja

Laskennan mallit (syksy 2010) 1. kurssikoe, ratkaisuja 582206 Lskennn mllit (syksy 2010) 1. kurssikoe, rtkisuj 1. [2+2+2 pistettä] Säännöllisissä lusekkeiss on käytetty tuttu lyhennysmerkintää Σ = ( ). () merkkijonot, joiden kksi ensimmäistä merkkiä ovt joko

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi. Hannu Kivimäki

Matematiikan tukikurssi. Hannu Kivimäki Mtemtiikn tukikurssi Hnnu Kivimäki Sisältö I Ensimmäinen välikoe Integrointi 2 Osittisintegrointi 5 3 Osmurtohjotelm 4 Lisää osmurtoj 4 5 Sijoituskeino 9 6 Määrätty integrli 2 7 Ylä- j lsumm 22 8 Määrätyn

Lisätiedot

Sarjojen suppenemisesta

Sarjojen suppenemisesta TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Terhi Mattila Sarjojen suppenemisesta Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka Huhtikuu 008 Tampereen yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos

Lisätiedot

VEKTOREILLA LASKEMINEN

VEKTOREILLA LASKEMINEN ..07 VEKTOREILL LSKEMINEN YHTEENLSKU VEKTORIT, M4 Vektoreiden j summ on vektori +. Tämän summvektorin + lkupiste on vektorin lkupiste j loppupiste vektorin loppupiste, kun vektorin lkupisteenä on vektorin

Lisätiedot

lim + 3 = lim = lim (1p.) (3p.) b) Lausekkeen täytyy supistua (x-2):lla, joten osoittajan nollakohta on 2.

lim + 3 = lim = lim (1p.) (3p.) b) Lausekkeen täytyy supistua (x-2):lla, joten osoittajan nollakohta on 2. Mtemtiikk III 0600 Kurssi / Differetili- j itegrlilske jtkokurssi Tee 7 tehtävää ) Määritä lim ( ) ) + b) Määritä vkio site, että luseke ( ) + + ( )( ) ( + + ) + + + + + lim + lim lim (p) o jtkuv myös

Lisätiedot

MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 9: Integroimismenetelmät

MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 9: Integroimismenetelmät MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 9: Integroimismenetelmät Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos November 27, 2017 Pekk Alestlo,

Lisätiedot

Koska sarjat ovat summien jonoja, kertaamme ensin jonojen teoriasta joitakin kohtia syksyltä.

Koska sarjat ovat summien jonoja, kertaamme ensin jonojen teoriasta joitakin kohtia syksyltä. 29 Luusrjt Kos srjt ovt summien jonoj, ertmme ensin jonojen teorist joitin ohti sysyltä. Jonot Jono on mtemtiin iein perustvimpi äsitteitä j sen vull ohdtn äärettömyys ensimmäistä ert. Luulueit muodostettess

Lisätiedot

Funktiot. funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina.

Funktiot. funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina. Funktiot Tässä luvussa käsitellään reaaliakselin osajoukoissa määriteltyjä funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina. Avoin väli: ]a, b[ tai ]a, [ tai ],

Lisätiedot

Numeerinen integrointi

Numeerinen integrointi Pitkärnt: Lj mtemtiikk IX9 Numeerinen integrointi IX9 Numeerinen integrointi Numeerisell integroinnill trkoitetn määrätyn integrlin, eli reliluvun I(f,,b) = f(x)dx lskemist numeerisin keinoin (likimäärin)

Lisätiedot

Paraabelikin on sellainen pistejoukko, joka määritellään urakäsitteen avulla. Paraabelin jokainen piste toteuttaa erään etäisyysehdon.

Paraabelikin on sellainen pistejoukko, joka määritellään urakäsitteen avulla. Paraabelin jokainen piste toteuttaa erään etäisyysehdon. 5. Prbeli Prbelikin on sellinen pistejoukko, jok määritellään urkäsitteen vull. Prbelin jokinen piste toteutt erään etäissehdon. ********************************************** MÄÄRITELMÄ : Prbeli on tson

Lisätiedot

Todista raja-arvon määritelmään perustuen seuraava lause: Jos lukujonolle a n pätee lima n = a ja lima n = b, niin a = b.

Todista raja-arvon määritelmään perustuen seuraava lause: Jos lukujonolle a n pätee lima n = a ja lima n = b, niin a = b. 2 Lukujonot 21 Lukujonon määritelmä 16 Fibonacci n luvut määritellään ehdoilla Osoita: 17 a 1 = a 2 = 1; a n+2 = a n+1 + a n, n N a n = 1 [( 1 + ) n ( 2 1 ) n ] 2 Olkoon a 1 = 3, a 2 = 6, a n+1 = 1 n (na

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 19.9.2016 Pekka Alestalo, Jarmo

Lisätiedot

ANALYYSI 2. Tero Kilpeläinen

ANALYYSI 2. Tero Kilpeläinen ANALYYSI Tero Kilpeläinen 3 Teksti sisältää muistiinpnoj vuosin j 3 pidetystä kurssist. Tämän pketin trkoitus on tuke omien muistiinpnojen teko, ei korvt niitä. Mtemtiikk oppii prhiten itse kirjoitten

Lisätiedot

DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1. Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS

DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1. Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1 Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS Huomautus. Analyysin yksi keskeisimmistä käsitteistä on jatkuvuus! Olkoon A R mielivaltainen joukko

Lisätiedot

Matematiikan perusteet taloustieteilijöille 2 800118P

Matematiikan perusteet taloustieteilijöille 2 800118P Mtemtiikn perusteet tloustieteilijöille 2 800118P Luentomoniste Kri Myllylä Niin Korteslhti Oulun yliopisto Mtemttisten tieteiden litos Kevät 2014 Sisältö 1 Mtriisilgebr j optimointi 4 11 Määritelmä 4

Lisätiedot

S Fysiikka III (EST), Tentti

S Fysiikka III (EST), Tentti S-114.137 Fysiikk III (ES), entti 30.8.006 1. Lämpövoimkone toteutt oheisen kuvn Crnotin prosessi. Koneess on työineen yksi mooli ideliksu. Lske yksitomisen ksun kierroksen ikn tekemän työn suhde kksitomisen

Lisätiedot

Lebesguen integraali

Lebesguen integraali LUKU 3 Lebesguen integrli Seurvss esitettävä määritelmä Lebesguen integrlille ei ole Lebesguen lkuperäinen. Vuoden 1904 luennoissn [23] hän kuitenkin setti tvoitteeksi, että integrlill olisi ominisuus:

Lisätiedot

Vektoriarvoisten funktioiden analyysiä

Vektoriarvoisten funktioiden analyysiä Vektorirvoisten funktioiden nlyysiä LuK-tutkielm Arttu Hrtikk 2330325 Mtemttisten tieteiden litos Oulun yliopisto Syksy 2016 Sisältö Johdnto 2 1 Vektorivruus 3 1.1 Normi j normivruus......................

Lisätiedot