ANALYYSI II A Matemaattisten tieteiden laitos Luentomoniste työn alla: viimeksi muutettu

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "ANALYYSI II A Matemaattisten tieteiden laitos Luentomoniste työn alla: viimeksi muutettu"

Transkriptio

1

2 ANALYYSI II A Mtemttisten tieteiden litos Luentomoniste työn ll: viimeksi muutettu

3

4 Sisältö Alkusnt Suosituksi opiskelutvoist iii iii Luku 1. Usen muuttujn funktioist: jtkuvuus 1 1. Merkinnät y.m Rj-rvoist 2 3. Kuvuksen jtkuvuus 5 4. Funktiot F : R R p, p Käyrä, yksinkertinen kri j polku 8 Luku 2. Funktioiden j kuvusten differentililskent Funktion differentioituvuus Osittisderivtt C 1 -funktiot Ketjusääntö Grdientti j suunnttu derivtt Grdienttivektorin geometrinen tulkint Kuvukset F : R n R p, n, p Korkemmn kertluvun osittisderivtt 26 Luku 3. Differentililskennn sovelluksi Virheen rviointi Käänteisfunktioist Implisiittifunktioist Piklliset äärirvot Relirvoisen funktion optimointi kompktiss joukoss Relifunktion optimointi epäkompktiss joukoss Sidotut äärirvot 39 Luku 4. Kksinkertinen integrli tsoss R Funktion integrli yli suorkulmion Nolljoukko Funktion integrli yli R 2 :n rjoitetun osjoukon Muuttujn vihto kksinkertisess integrliss 51 Luku 5. Polkuintegrli j kri-integrli Relifunktion polkuintegrli Vektorikentän polkuintegrli Integrlilskennn perusluse Kri-integrli eli viivintegrli Greenin luse 63 Liite A. Kertust 69 i

5 1. Euklidinen vruus R n Funktiot j kuvukset R n R p, n,p 1 73 Hrjoitustehtävät 77 ii

6 Alkusnt Tämä luentomoniste on trkoitettu käytettäväksi Oulun yliopiston Mtemttisten tieteiden litoksen kurssill Anlyysi 2. Monisteen lkuperä on Ves Mustosen luennoiss, j lkuperäisestä kirjoitustyöstä vstsi Jnne Oins. Syksyllä 2006 kurssin rkenne muuttui sen verrn pljon, että oli mielekästä ruvet kokomn mterilin uudell tvll, smll kun os käsitellyistä sioist vihdettiin. Tämä uusimis prosessi jtkuu edelleen, j kikki (konstruktiiviset) kommentit ovt tervetulleit. Uudistmistyössä on inkin seurvt tvoitteet: Lisätä luseiden j esimerkkejen ympärille vähän enemmän kokov tekstiä. Kytkeä differentioituvuuden määritelmä tiiviimmin yhteen pproksimtion knss. Selkeyttää integrlilskennn oslt työnjko tämän kurssin j Anlyysi 3:n välillä. Suosituksi opiskelutvoist Kurssill yleistetään mont differentili- j integrlilskun, Perusmetodit I j Anlyysi I kursseilt tuttu, työklui yhdestä ulottuvuudest usempn ulottuvuuteen. Kosk nämä sit, erityisesti integrlit käydään syvällisellä j modernill tvll läpi kurssill Anlyysi III, ei tällä kurssill ole smnlist pinotust todistuksiin kuin kursseill Anlyysi I j III. Tärkeätä on sen sijn käsitteellisen ymmärryksen kehittäminen j ongelmn rtkisutidot. Luennoll esitetään usein uuteen käsitteeseen liittyen vin yksi ti muutm esimerkki: mikäli tämä ei ole riittävää knntt omtoimisesti generoid yksinkertisi tehtäviä joiss test käsitteen ti määritelmän toimivuutt. Esimerkiksi jokisen kuvuksi koskevn käsitteen kohdll knntt selvittää itselleen, mitä se trkoitt linerikuvuksen tpuksess. Kurssin hrjoitustehtävät knntt ehdottomsti yrittää rtkist itsenäisesti ti ryhmässä. Pidä mielessä, että ongelm on määritelmän mukn tehtävä jolle ei ole heti nähtävissä rtkisu. Kosk tvoitteen on hrjoitell ongelmn rtkisu, on os tehtävistäkin sellisi, että niitä joutuu mitettimään. Tätä ei voi välttää, sillä mtemttisi ongelmi oppii rtkomn inostn rtkomll niitä. Kurssin oheislukemistoksi sopii melkein mikä thns kirj jonk nimi on Clculus of Severl Vribles, tms. Esimerkiksi seurvt kirjt löytyvät Oulun yliopiston kirjstoist: R. Ellis: Clculus one nd severl vribles C. Goffmn: Clculus of severl vribles S. Lng: Clculus of severl vribles A. Persson & L.-C. Böiers: Anlys i fler vribler V. Purmonen: Differentili- j integrlilskent usen relimuuttujn funktioille iii

7 S. Sls: Clculus one nd severl vribles with nlytic geometry iv

8 LUKU 1 Usen muuttujn funktioist: jtkuvuus 1. Merkinnät y.m. ) Lämpötil T kolmiulotteisess tilss riippuu pikst eli koordinteist x, y j z. Siis T = T (x, y, z). Lämpötil voi riippu myös jst t, jolloin T = T (x, y, z, t). Mlliongelmi: missä tiln pisteessä lämpötil on suurin ti pienin j mihin suuntn lämpötil muuttuu voimkkimmin? b) Annettun mterilikppleen tiheys ρ riippuu koordinteist x, y j z. Siis ρ = ρ(x, y, z). Mlliongelm: miten kppleen mss, pinopiste j hitusmomentti voidn määrätä ti lske kppleen tiheyden vull? c) Sähköinen voimkenttä (mgneettikenttä, vetovoimkenttä). Kuhunkin til-vruuden (x, y, z) pisteeseen liittyy vektori U = U(x, y, z), jok ilmisee voimn suunnn j suuruuden. Siis U(x, y, z) = ( u 1 (x, y, z),u 2 (x, y, z),u 3 (x, y, z) ). Mlliongelmi: mikä työ on tehtävä, jott nnettu pistemäinen vrus siirtyisi pisteestä P 1 pisteeseen P 2 käyrää C pitkin? k P 2 C U U j P 1 i Seurvksi esitetään muutmi tässä luentorungoss käytettäviä merkintäsopimuksi, joist yritetään pitää kiinni. Relimuuttuji merkitään pienillä kirjimill, joill ei ole ksenttin symboli. Esimerkiksi x, y, z, x 1,x 2,x 3,..., t, s ovt relimuuttuji. Vektorimuuttuji merkitään pienillä lihvoiduill kirjimill. Esimerkiksi x, y, z, u, w,...

9 2 Luku 1. Usen muuttujn funktioist: jtkuvuus ovt vektorimuuttuji. Yhden ti usen relimuuttujn relirvoisi funktioit merkitään pienillä ksentoimttomill kirjimill. Esimerkiksi yhtälöillä f(x, y, z) =x +sin(yz), f : R 3 R j g(x 1,x 2 )= x 1 x 2 (määritysjoukko?) määritellyt kuvukset f j g ovt relirvoisi kuvuksi. Jott relirvoiset kuvukset erottuisivt selvästi vektorirvoisist kuvuksist, niin vektorirvoisi kuvuksi merkitään isoill kirjimill. Siis F, G, H, U,... ovt vektorirvoisi funktioit. Toislt myös joukkoj j eräitä muit mtemttisi objektej merkitään isoill kirjimill. Tämän ei kuitenkn pitäisi iheutt hnkluuksi. Esimerkkinä vektorirvoisist kuvuksist nnetn kuvus F : R 3 D R 2,jok määritellään kvll ) F (x 1,x 2,x 3 )= ( 1 x 23,x 1 x 2 x 3 := ( f 1 (x 1,x 2,x 3 ),f 2 (x 1,x 2,x 3 ) ). Reltioill f 1 (x 1,x 2,x 3 )= 1 x 2 3 j f 2 (x 1,x 2,x 3 )=x 1 x 2 x 3 määriteltyjä kuvuksi kutsutn funktion F koordinttifunktioiksi. Mikä on F :n määrityslue? Funktioit F : R n D R n (n 2) snotn fysiikss vektorikentiksi (vector field) (vrsinisesti, kun n =3). Tämänlisi kuvuksi ovt esimerkiksi koordintiston vihtokuvukset R 2 R 2 j R 3 R 3.KuvuksiR n R snotn sklrikentiksi (sclr field). 2. Rj-rvoist 2.1. Pistejonojen rj-rvoist. Plut mieleen lukujonon ( k ) k=1 R rjrvon käsite. Tässä losioss trkstelln vruuden R p (p 2) pistejonoj ( k ) k=1, missä k = ( (1) ) k,(2) k,...,(p) k R p kikill k Z +. Määritelmä 2.1. Pistejonon ( k ) k=1 snotn suppenevn eli konvergoivn kohti pistettä R p, jos jokist positiivist luku ε kohti on olemss sellinen n 0 (ε) =n 0 N, että k <ε kikill k n 0 eli k B(,ε), kunk n 0. Tällöin merkitään lim k = ti k, kunk,j k lkiot kutsutn jonon ( k ) k=1 rj-rvoksi (rj-lkioksi). Esimerkki 2.1. Asetetn jokist luku k Z + vstmn vruuden R 3 piste k = ( k 1,, 1 k+1 k).kosk lim 1=1, lim k 1 =1 j lim =0, k k k+1 k k niin ilmeisesti lim k =(1, 1, 0) R 3. Todistetn tämä luennoll. k Luse 2.1. Olkoon ( k ) k=1 Rp pistejono, jolle k = ( (1) k k N, jolkoon =( 1, 2,..., p ) R p.tällöin lim lim k (i) k = i jokisell i =1, 2,...p. ),(2) k,...,(p) k jokisell k = trklleen silloin, kun k

10 2. Rj-rvoist 3 Todistus. Väite seur välittömästi ll olevst yhtäpitävyydestä. k 2 =( (1) k 1 ) ( (p) k p ) 2 k 0 ( (i) k i) 2 k 0 jokisell i =1, 2, 3,..., p. Kurssiss Anlyysi 1 relilukujono ( k ) k=1 kutsuttiin Cuchyn jonoksi, kunsetoteutti seurvn ehdon: jokist positiivist luku ε kohti on olemss sellinen luku n 0 (ε) =n 0 N, että k m <εin, kun k, m n 0. Anlyysi 1:n kurssill todistettiin, että relilukujen joukko on siinä mielessä täydellinen, että sen jokinen Cuchyn jono suppenee. Anloginen tulos pätee myös vruuden R p (p< ) pistejonoille. Luse 2.2. Olkoon ( k ) k=1 Rp pistejono. Tällöin välttämätön j riittävä ehto jonon ( k ) k=1 suppenemiselle on se, että ( k) k=1 on Cuchyn jono. Todistus. Jos jono ( k ) k=1 suppenee kohti pistettä, niin jokist ε>0 kohti on olemss sellinen n 0 (ε) =n 0 Z +, että k <ε/2, kun k n 0. Tällöin k m m + k <ε, kun k, m n 0. Siis ( k ) k=1 on Cuchyn jono. Osoitetn käänteinen väite. Olkoon siis ( k ) k=1 Cuchyn jono, missä k = ( (1) ) k,(2) k,...,(p) k. Tällöin jonon ( k ) k=1 mikä thns koordinttijono ((i) k ) k=1 on Cuchy-jono R:ssä, joten jono ( (i) k ) k=1 suppenee. Kosk tämä pätee kikille koordinttijonoille, niin väite seur Funktioiden rj-rvoist. Seurvksi trkstelln funktioiden rj-rvoj. Ensiksi esitetään eräs määritelmä. Määritelmä 2.2. Olkoot D R p j R p.piste on joukon D ksutumispiste (ccumultion point), jos jokinen pisteen ympäristö sisältää :st eriäviä joukon D pisteitä eli jokisell δ>0 pätee ( B(,δ) \{} ) D. Huomutus 2.1. on joukon D ksutumispiste trklleen silloin, kun on olemss sellinen pistejono ( k ) k=1 D, että k jokisell k j lim k =. k Määritelmä 2.3. Olkoon F : R n D R p j olkoon jokin D:n ksutumispiste. Snotn, että funktioll F on rj-rvo b R p pisteessä, jos jokist luku ε>0 kohti on olemss sellinen luku δ(ε) =δ>0, että ehdoist x D j 0 < x <δ seur F (x) b <ε. Tällöin merkitään lim F (x) =b ti F (x) b, kun x. x Luse 2.3. Oletetn, että F : R n D R p j b R p. Merkitään F =(f 1,f 2,...,f p ) j b =(b 1,b 2,...,b p ). Tällöin ehdot lim F (x) =b x j lim f i(x) =b i jokisell i =1, 2,...,p x ovt yhtäpitäviä

11 4 Luku 1. Usen muuttujn funktioist: jtkuvuus Todistus. Oletetn, että lim F (x) =b, jolkoonε>0 mielivltinen. Nyt millä x thns i =1, 2,...,p f i (x) b i F (x) b <ε, kun x <δj x D. Siis luseen ensimmäinen os on todistettu. Osoitetn luseen toinen os. Oletetn, että lim f i(x) =b i jokisell i =1, 2,...,p, x j olkoon ε>0mielivltinen. Nyt voidn vlit δ>0sillä tvll, että f i (x) b i 2 < ε2 p jokisell i =1,...,p,kun0 < x <δj x D. Tällöin F (x) b 2 = f 1 (x) b f p (x) b p 2 < ε2 p mistä väite seur ε2 p = ε2, Luse 2.4. Olkoot F : R n D R p j jokin joukon D ksutumispiste. Tällöin seurvt väittämät ovt yhtäpitäviä: ) lim F (x) =b x b) lim F ( k )=b jokiselle pistejonolle ( k ) k=1 k in, kun k Z +. D, jolle lim k k = j k Todistus. Selvästi väittämästä ) seur väittämä b), joten riittää osoitt, että väittämästä b) seur väittämä ). Oletetn siis, että väittämä b) on tosi. Tehdään vstoletus: väittämä ) ei ole tosi. Tällöin on olemss sellinen ε>0, että pisteen jokisest ympäristöstä B(, 1), k k Z +, löytyy sellinen piste x k, että x k D j F (x k ) b ε On siis stu sellinen jono (x k ) k=1 D, että x k j F (x k ) b ε jokisell k Z +. Tämä on ristiriidss oletuksen knss, joten vstoletus on väärä j väite tosi. Esimerkki 2.2. Olkoon D = {(x, y) R 2 (x, y) (0, 0)}. Määritellään kuvus f : R 2 D R kvll f(x, y) = x2 y 2.Lske f(x, y). x 2 +y 2 lim (x,y) (0,0) Jos F : R n D R p j joukko D ei ole rjoitettu, niin voidn tutki kuvuksen F käyttäytymistä, kun x j x D. Määritelmä 2.4. Oletetn, että D R n on rjoittmton joukko j F : R n D R p. Tällöin kuvuksell F on rj-rvo äärettömässä mikäli jokist luku ε>0 kohti on olemss sellinen vkio M > 0, että F (x) b < ε in, kun x M j x D. lim x Esimerkki 2.3. Olkoon D = R 2 j olkoon f(x, y) = Rj-rvon lskusääntöjä. x+y.lske lim f(x, y). 1+x 2 +y 2 (x,y) Luse 2.5. Oletetn, että F j G ovt kuvuksi R n D R p j että rj-rvot F (x) j lim G(x) ovt olemss. Tällöin rj-rvolle pätevät seurvt lskusäännöt. x ( ) (1) lim F (x) ± G(x) = lim F (x) ± lim G(x). x x x ( ) ( ) ( ) (2) lim F (x) G(x) = lim F (x) lim G(x). x x x Jos f,g,h : R n D R j rj-rvot lim f(x), lim g(x) j lim h(x) ovt olemss, x x x niin seurvt väittämät ovt voimss:

12 3. Kuvuksen jtkuvuus 5 ( )( ) (3) lim f(x)g(x) = lim f(x) lim g(x). x x x f(x) lim f(x) (4) lim x g(x) = x, jos lim g(x) lim g(x) 0. x x (5) Jos lim f(x) = lim h(x) =b j f(x) g(x) h(x) jokisell x D B(,δ) x x (δ >0), niin silloin myös lim g(x) =b. x Todistus. Hrjoitustehtävä 3. Kuvuksen jtkuvuus Määritelmä 3.1. Oletetn, että on joukon D ksutumispiste. Kuvus F : R n D R p on jtkuv pisteessä D, joslim F (x) = F (). Toisin snoen jokist x positiiviluku ε kohti on olemss positiiviluku δ niin, että ehdoist x <δj x D seur epäyhtälö F (x) F () <ε.josf on jtkuv joukon D jokisess pisteessä, niin snotn, että F on jtkuv joukoss D. Esimerkki 3.1. Tutki funktion { xy kun (x, y) (0, 0) x f(x, y) = 2 +y 2 0 kun (x, y) =(0, 0) jtkuvuutt origoss. Huomutus 3.1. Olkoot F : R m D R n, G : R n E R p j F (D) E. Jos kuvus G on jtkuv, limf (x) =b j lim G(y) =c, niin lim(g F )(x) =c. x y b x Huomutus 3.2. Luseen 2.4 nojll F on jtkuv pisteessä D, jos j vin jos F ( k ) F () jokiselle pistejonolle ( k ) k=1 D, jok toteut ehdon lim k =. k Luse 3.1. Funktio F =(f 1,f 2,...,f p ):R n D R p on jtkuv pisteessä D, jos j vin jos kuvuksen F kikki koordinttifunktiot f i : R n D R (i =1, 2,...,p) ovt jtkuvi pisteessä D. Todistus. Luseen 2.3 nojll väite seur välittömästi. Seurvksi todistetn optimointi- j äärirvotehtävien knnlt merkittävä tulos. Trvitn seurv puluse eli lemm. Lemm 3.1. Avruuden R n osjoukko S on kompkti, jos j vin jos jokisell joukon S pistejonoll on joukoss S suppenev osjono. Todistus. Oletetn, että S R n on kompkti j että ( k ) k=1 on mikä thns joukon S jono. Merkitään k = ( (1) ) k,(2) k,...,(n) k. Kosk S on rjoitettu joukko, niin on olemss luku M > 0, jolle pätee k M jokisell k Z +. Näin ollen jokinen koordinttijono ( (i) k ) k=1 on rjoitettu relilukujono j siksi jonost ( (1) k ) k=1 voidn vlit suppenev osjono ((1) k j1 ) j 1 =1. Tällöin jonon ( kj1 ) j 1 =1 ensimmäinen koordinttijono suppenee, j lisäksi ( kj1 ) j 1 =1 on rjoitetun jonon osjonon rjoitettu, joten sen toisell koordinttijonoll ( (2) k j1 ) j 1 =1 on suppenev

13 6 Luku 1. Usen muuttujn funktioist: jtkuvuus osjono ( (2) k j2 ) j 2 =1. Nyt siis jonon ( kj2 ) j 2 =1 ensimmäinen j toinen koordinttijono suppenevt. Jtkmll edellistä päättelyä edelleen sdn lopult jonon ( k ) k=1 osjono, jonk kikki koordinttijonot suppenevt. Oletetn, että joukon S jokisell jonoll on S:ssä suppenev osjono. Helposti päätellään, että S on välttämättä rjoitettu. Osoitetn, että S on suljettu. Olkoon S. Kosk jokinen pisteen ympäristö sisältää joukon S pisteitä, niin jokisest -keskisestä voimest 1-säteisestä pllost (k =1, 2, 3,...) voidn vlit piste k k siten, että k S. Sdn joukon S jono ( k ) k=1, jok suppenee kohti pistettä. Kosk oletuksen nojll tämän jonon erään osjonon rj-rvo kuuluu joukkoon S, niin S. Luse 3.2. Olkoon S R n kompkti osjoukko j F : S R p jtkuv kuvus. Tällöin kuvjoukko F (S) on vruuden R p kompkti osjoukko. Todistus. Lemmn 3.1 nojll riittää osoitt, että jokisell joukon F (S) jonoll on suppenev osjono. Olkoon (b k ) k=1 jokin jono joukoss F (S). Siis jokisell k Z + pätee b k = F ( k ) jollkin k S. KoskS on kompkti, niin jonoll ( k ) k=1 on osjono ( kj ) j=1, jolle k j S, kunj. Funktion F jtkuvuuden nojll lim b kj = j lim F ( k j )=F() F (S). j Seurus 3.1. Olkoon S R n kompkti j f : S R jtkuv kuvus. Tällöin f svutt pienimmän j suurimmn rvons joukoss S: on olemss selliset pisteet x m j x M joukoss S, että f(x m ) f(x) f(x M ) kikill x S. Todistus. Edellisen luseen nojll f(s) R on suljettu j rjoitettu osjoukko, joten siinä on olemss suurin j pienin lkio. Trkstelln seurvksi funktioit R R p, missä p 2. Funktioll F on in esitys koordinttifunktioiden f 1,f 2,...,f n vull muodoss F (t) = ( f 1 (t),f 2 (t),...,f p (t) ) jokisell t. 4. Funktiot F : R R p, p 2 Trkstelln funktiot F, joill on esitys F (t) =(f 1 (t),f 2 (t),...,f p (t)) t D R. Nyt F on jtkuv pisteessä t 0, jos j vin jos lim F (t) =F (t 0 ) t t 0 eli lim f i (t) =f i (t 0 ) t t0 jokisell i =1, 2,...,p. Esimerkki 4.1. Olkoon F (t) = (t 2 +1,t+2), kun t 0. { (3, 1), kun t =0 Tutki F :n jtkuvuutt. Rtkisu. Selvästi F on jtkuv missä thns pisteessä t 0.Nyt lim F (t) = ( lim(t +1), lim(t +2) ) =(1, 2) (3, 1) = F (0), t 0 t 0 t 0 joten F on epäjtkuv pisteessä 0.

14 4. Funktiot F : R R p, p 2 7 Määritelmä 4.1. Olkoon F : R D R p, missä D on jokin R:n väli. F on differentioituv pisteessä Int D, jos rj-rvo F ( + h) F () lim = F () h 0 h on olemss. Vektori F () kutsutn F :n derivtksi pisteessä. Luse 4.1. Funktio F : R D R p on differentioituv pisteessä Int D, josj vin jos F :n jokinen koordinttifunktio on derivoituv pisteessä. Lisäksi Todistus. Nyt F ( + h) F () lim h 0 h F () =(f 1 (),f 2 (),...,f p ()). = ( lim h 0 ) f 1 ( + h) f 1 () f p ( + h) f p (),...,lim h h 0 h = ( f 1(),...,f p() ). Esimerkki 4.2. Olkoon F (t) =(t 2 +1,t+2), t [ 2, 2]. Piirrä F :n kuvjoukko, lske F :n derivtt mielivltisess pisteessä j piirrä vektorit F (0) j F (1) smn kuvn F :n kuvjoukon knss. Esimerkki 4.3. Olkoon F (t) =(cost, sin t). Piirrä F :n kuvjoukko, lske F :n derivtt mielivltisess pisteessä j piirrä vektorit F (0), F (π) j F (± π ) smn kuvn 2 F :n kuvjoukon knss. Määritelmä 4.2. Olkoon F : R D R p differentioituv pisteessä D. Vektori F () kutsutn F :n tngenttivektoriksi pisteessä, jsuorx = F ()+sf (), s R, snotn F :n tngentiksi pisteessä F (), josf () 0. Luse 4.2. Olkoot funktiot F, G : R D R p j ϕ : R D R differentioituvi funktioit. Tällöin (1) (F + G) = F + G ; (2) (F G) = F G + G F ; (3) (ϕf ) = ϕ F + ϕf j (4) (F G) = F G + F G (p =3). Todistus. Merkintöjen yksinkertistmiseksi muuttuj t jätetään merkitsemättä. Nyt (F + G) =((f 1 + g 1 ),...,(f p + g p ) )=(f 1 + g 1,...,f p + g p ) =(f 1,...,f p)+(g 1,...,g p)=f + G. j ( p ) p p (F G) = f i g i = (f i g i ) = (f i g i + g if i ) = i=1 p f i g i + i=1 i=1 i=1 i=1 p g i f i = F G + G F.

15 8 Luku 1. Usen muuttujn funktioist: jtkuvuus Kolms väite todistetn kuten toinen väite. Neljäs väite todistetn seurvsti (muutm välivihe on jätetty pois) (F G) =(f 2 g 3 f 3 g 2,f 3 g 1 f 1 g 3,f 1 g 2 f 2 g 1 ) =(f 2 g 3 f 3 g 2,f 3 g 1 f 1 g 3,f 1 g 2 f 2 g 1) +(g 3 f 2 g 2f 3,g 1f 3 g 3f 1,g 2f 1 g 1f 2 ) = F G + F G. Huomutus 4.1. Funktion (käyrän) kuvjoukko voi joht hrhn. Tämä selviää esimerkiksi tutkimll yhtälöillä { F (t) =(t, t 2 ), G(t) =(t 3,t 6 (t, t 2 ), kun t 0 ) j H(t) = (t 3,t 6 ), kun t<0. määriteltyjä funktioit F, G j H sekä niiden derivttoj. Luse 4.3 (Ketjusääntö). Jos ϕ : R E R j F : R D R p ovt differentioituvi funktioit j ϕ(e) D, niin F ϕ : E R p on differentioituv j (F ϕ) (t) =F (ϕ(t))ϕ (t). Todistus. Nyt (F ϕ)(t) = ( f 1 (ϕ(t)),...,f p (ϕ(t) ) ),joten (F ϕ) (t) = ( f 1 (ϕ(t))ϕ (t),...,f p (ϕ(t))ϕ (t) ) = ϕ (t) ( f 1 (ϕ(t)),...,f p (ϕ(t))) = F (ϕ(t)) ϕ (t). Merkintä 4.1. Olkoon F : R D R p.josf (k) on olemss jtkuvn joukoss D jollkin k 1, niin merkitään F C k (D). 5. Käyrä, yksinkertinen kri j polku Määritelmä 5.1. Avruuden R p osjoukko C on käyrä (curve), jos on olemss R:n väli D j sellinen funktio F : D R p, että F C 1 (D) j F (D) =C. Funktiot F snotn käyrän C prmetriesitykseksi (prmetric representtion). Huomutus 5.1. Jos p =2, niin käyrää kutsutn myös tsokäyräksi (plne curve), j jos p 3, niin käyrää kutsutn usein vruuskäyräksi (spce curve). Määritelmä 5.2. Olkoot F : R D R p j H : R E R p kksi prmetriesitystä käyrälle C. Silloin prmetriesitykset F j H ovt ekvivlentit, jos on olemss sellinen differentioituv surjektio ϕ : E D, että H = F ϕ j joko ϕ (u) < 0 jokisell u E ti ϕ (u) > 0 jokisell u E.

16 5. Käyrä, yksinkertinen kri j polku 9 F D ϕ E H = F ϕ Esimerkki 5.1. Olkoon C = {(x, y) R 2 (y 2) 2 = x 1}. NytC on käyrä, sillä kuvus F voidn määritellä seurvsti F (t) =(t 2 +1,t+2)(t R). Esimerkki 5.2. Olkoon C = {(x, y) R 2 x 2 + y 2 =1}. Prmetriesitys voidn vlit muun muss khdell seurvll tvll: F 1 (t) =(cost, sin t) t [0, 2π[ j F 2 (t) =(sint, cos t) t [π, 3π[. Esimerkki 5.3. Funktion F (t) =(t, cos t, sin t) kuvjoukko on vruuden R 3 eräs käyrä ns. circulr helix. Hhmot F pperille. Esimerkki 5.4. Funktion F (t) =(sint, sin(2t)), 0 t 4π, kuvjoukko on vruuden R 2 käyrä. Piirrä tämä käyrä. Määritelmä 5.3. Funktio F : R D R p on sileä (smooth), jos sekä F C 1 (D) että F (t) 0 jokisell t D. Funktio F on ploittin sileä (piecewise smooth) välillä [, b] D mikäli on olemss sellinen välin [, b] jko = p 0 <p 1 <...<p r = b, että F on sileä jokisell osvälillä [p i 1,p i ]. Vstvll tvll määritellään ploittin C 1. Määritelmä 5.4. Käyrä C R p on (sileä) yksinkertinen kri (simple rc), jos C:llä on injektiivinen (sileä) prmetriesitys F : R [, b] R p. Tällöin pisteitä F () j F (b) kutsutn C:n päätepisteiksi j funktiot FC:n yksinkertiseksi prmetriesitykseksi. Esimerkki 5.5. Jos g :[, b] R on C 1 -funktio, niin F (t) =(t, g(t)), t [, b] on funktion g kuvjn prmetriesitys. Lisäksi F (t) =(1,g (t)) 0, jotenf ([, b]) on yksinkertinen sileä kri. Määritelmä 5.5. Jtkuv funktiot F : R [, b] R p snotn poluksi (pth) pisteestä F () pisteeseen F (b). Polku on differentioituv, C 1 ti sileä mikäli funktioll F on vstv ominisuus. Jos F on differentioituv, niin F (t +Δt) F (t) = F (t)δt + Δt ρ(t, Δt), missä ρ(t, Δt) 0, kunδt 0. Siten F (t +Δt) F (t) F (t) Δt.

17 10 Luku 1. Usen muuttujn funktioist: jtkuvuus F (b) F (t) F () F (t +Δt) t t +Δt b Määritelmä 5.6. Olkoon F : [, b] R p C 1 -polku. Tällöin polun pituus (pth length) määritellään kvll b b l(f )= F (t) dt = (f 1 (t)) (f p (t))2 dt. Esimerkki 5.6. Olkoon F (t) =(t 2,t 3 ), t [ 1, 1]. Tällöin l(f )= =2 1 =2 = F (t) dt (2t)2 +(3t 2 ) 2 dt t 4+9t 2 dt 3 (4 + 9t2 ) 3/2 = 2 27 ( ). Huomutus 5.2. Jos F :[, b] R p j H :[c, d] R p ovt käyrän C ekvivlenttej prmetriesityksiä, niin l(f )=l(h). Näin ollen sileän yksinkertisen kren C kren pituus (rc length) voidn määritellä C:n sileän prmetriesityksen polun pituuten. Esimerkki 5.7. Olkoon G(u) =(u, R 2 u 2 ), missä R u R. Olisiko GC 1 - polku? Nyt G (u) =(1, u(r 2 u 2 ) 1/2 ),kun R <u<r. Mitä vektorin G (u) pitäisi oll, kun u = ±R? Määritetään polun G pituus jonkin C 1 -polun vull, joll on sm kuvjoukko kuin G:llä. Vlitn uudeksi poluksi F (t) =( Rcos t, R sin t), t [0,π]. F on selvästi C 1 -polku j F ([0,π]) = G([ R, R]), jotenpolung pituus voidn lske. l(f )= = π 0 π = R 0 π F (t) dt R 2 cos 2 t + R 2 sin 2 tdt 0 dt = Rπ Huomutus 5.3. Olkoon g : R [, b] R jtkuvsti derivoituv funktio. Nyt käyrän C = {(x, g(x)) x [, b]} pituus voidn lske seurvsti. Kvll F (t) = (t, g(t)) määritelty polku on selvästi C 1 j l(c) =l(f )= b 1+(g (t)) 2 dt.

18 LUKU 2 Funktioiden j kuvusten differentililskent Kurssiss mtemtiikn perusmetodit 1 trksteltiin funktioit f : D R, missä joukko D R oli esimerkiksi voin väli. Jos luku kuului välille D j rj-rvo f(x) f() L := lim x x oli olemss äärellisenä, niin funktion f snottiin olevn derivoituv pisteessä j luku L snottiin f:n derivtksi pisteessä sekä merkittiin L = f (). Tämän luvun trkoituksen on yleistää differentililskennn käsitteet funktioille f : R n D R, missä n Funktion differentioituvuus Kurssiss mtemtiikn perusmetodit 1 yhden relimuuttujn relirvoisen funktion f differentioituvuus pisteessä R määriteltiin seurvsti: on olemss luku A R j kuvus ρ : R R niin, että f( + h) f() =Ah + hρ(h) j lim ρ(h) =0. h 0 Lisäksi todettiin, että f:n derivoituvuus j differentioituvuus pisteessä ovt yhtäpitäviä. Yleistetään differentioituvuuden käsite usen relimuuttujn relirvoisille funktioille. Määritelmä 1.1. Olkoot D R n voin joukko, joukon D piste j f kuvus D R.Kuvusf on differentioituv pisteessä, jos on olemss selliset vkiot A 1,A 2,...,A n j sellinen funktio ρ : R n R, että f( + h) f() =A 1 h 1 + A 2 h A n h n + h ρ(h), missä ρ(h) 0, kun h 0. Edellä h =(h 1,h 2,...,h n ).Josf on differentioituv määrityslueens D jokisess pisteessä, snotn että f on differentioituv. Huomutus 1.1. Kosk D on voin j D, niin + h D luvun h olless riittävän pieni. Ylläolev määritelmä ei edellytä funktion ρ olevn määritelty origoss. Voidn kuitenkin sett ρ(0) =0, jolloin ρ tulee jtkuvksi origoss. Luse 1.1. Jos f : R n R on differentioituv pisteessä D, niin f on jtkuv pisteessä. Todistus. Nyt f( + h) f() = A1 h 1 + A 2 h A n h n + h ρ(h) A 1 h A n h n + h ρ(h) A A2 n h h2 n ( + h ρ(h) ) = h A A 2 n + ρ(h) 0 luvun h lähestyessä 0:.

19 12 Luku 2. Funktioiden j kuvusten differentililskent Luse 1.2. Jos f on differentioituv pisteessä, niin f on osittindifferentioituv jokisen muuttujns suhteen pisteessä j A j = j f() jokisell j =1, 2,...,n. Todistus. Nyt f( + h) f() =A 1 h 1 + A 2 h A n h n + h ρ(h), missä ρ(h) 0, kun h 0. Vlitsemll h = te j sdn yhtälö f( + te j ) f() =ta j + t ρ(te j ), missä ρ(te j ) 0, kun t 0. Jost 0, niin edellinen yhtälö voidn kirjoitt muotoon f( + te j ) f() = A j + t t t ρ(te j). Kun t:n nnetn lähestyä noll, sdn yhtälö f( + te j ) f() lim = A j. t 0 t Huomutus 1.2. Jos merkitään A =(A 1,A 2,...,A n ), niin differentioituvlle funktiolle f : R n D R sdn esitys f( + h) f() =A h + h ρ(h). Näin ollen yhden relimuuttujn relirvoisen funktion derivtt vst vektori A =(A 1,A 2,...,A n ). 2. Osittisderivtt Olkoon f : R n D R, missä D on vruuden R n voin osjoukko. Nyt jokinen joukon D piste on D:n sisäpiste. Olkoon =( 1, 2,..., n ) D. Trkstelln yhden muuttujn funktiot x j f( 1, 2,..., j 1,x j, j+1,..., n ) eli trkstelln funktiot f pitkin x j -kselin suuntist suor, jok kulkee pisteen kutt. Tilnnett voidn hvinnollist seurvll kuvll: D R n 1 f x j R Kroneckerin delt -funktio määritellään kvll { 1, kun i = j δ ij = 0, kun i j. Merkitään e j =(δ 1j,δ 2j,...,δ nj )=(0,...,0,}{{} 1, 0,...,0), j:s

20 2. Osittisderivtt 13 jolloin joukko {e 1, e 2,...,e n } on vruuden R n knt j + he j =( 1,..., j 1, j + h, j+1,..., n ). Määritelmä 2.1. Olkoot D, =( 1, 2,..., n ) j f : R n D R. Jos rj-rvo f( + he j ) f() lim h 0 h on olemss äärellisenä, niin snotn, että f on osittindifferentioituv j:nnen muuttujn x j suhteen pisteessä. Tätä rj-rvo kutsutn f:n osittisderivtksi j:nnen muuttujn x j suhteen (prtil derivtive) pisteessä j merkitään symboleill f j f() j (). x j Jos osittisderivtt j f() on olemss jokisess pisteessä D, niin kuvuksen f snotn olevn osittindifferentioituv j:nnen muuttujn suhteen joukoss D. Osittisderivtt voidn merkitä eräillä muillkin tvoill. Esimerkiksi f(), D xj f(), D j f(), f x x j () j f j() j ovt eräitä tpoj merkitä funktion f osittisderivtt j:nnen muuttujn suhteen pisteessä. Tässä kurssiss pyritään käyttämään määritelmässä 2.1 nnettuj merkintätpoj. Jos f on osittindifferentioituv kunkin muuttujn x j suhteen, sdn uusi funktioit D x j f(x) (j =1, 2, 3,...,n). Trkstelln tpust n =2, jolloin funktiot f : R 2 D R voidn hvinnollist kuvjn vull muodoss z = f(x, y), missä (x, y) D. Olkoon(, b) D. Siis 1 f(, b) = f f( + h, b) f(, b) (, b) = lim. x 1 h 0 h j vstvsti 2 f(, b) = f f(, b + k) f(, b) (, b) = lim. x 2 k 0 k z y = b z f(, b) =f x(, b)(x ) z = f(x, b) z = f(x, y) x (, b) x

21 14 Luku 2. Funktioiden j kuvusten differentililskent Esimerkki 2.1. Olkoon f(x, y) =xy 3. Lske funktion f osittisderivtt pisteessä (1, 1). Esimerkki 2.2. Olkoon f(x 1,x 2,x 3 )=x 1 x 2 + x 3 sin(x 2 x 3 ). Lske funktion f osittisderivtt 1 f(x 1,x 2,x 3 ), 2 f(x 1,x 2,x 3 ) j 3 f(x 1,x 2,x 2 ). Esimerkki 2.3. { xy, kun (x, y) (0, 0) x f(x, y) = 2 +y 2 0, kun (x, y) =(0, 0). Lske funktion f osittisderivtt origoss. 3. C 1 -funktiot Määritelmä 3.1. Olkoot D R n voin osjoukko j f : D R.Josf on osittinderivoituv kunkin muuttujns suhteen j jos nämä osittisderivtt j f (j =1, 2,...,n) ovt jtkuvi funktioit, niin funktiot f kutsutn C 1 -funktioksi määrityslueess D ti lyhyesti C 1 (D)-funktioksi j merkitään f C 1 (D). Luse 3.1. Jos f C 1 (D), niin f on differentioituv. Todistus. Todistetn luse hvinnollisuuden vuoksi vin tpuksess n =2(yleinen tpus on nloginen). Olkoot siis D R 2 voin, f C 1 (D) j (, b) D mielivltinen. Vlitn luvut h j k niin pieniksi, että B ( (, b), h + k ) D (mhdollist!). Nyt f( + h, b + k) f(, b) = ( f( + h, b + k) f(, b + k) ) + ( f(, b + k) f(, b) ). Merkitään ϕ(t) =f( + t, b + k), kunt [ h, h ], jolloin ϕ :[ h, h ] R on jtkuv j f( + h, b + k) f(, b) =ϕ(h) ϕ(0) + ( f(, b + k) f(, b) ). Selvennetään seurv trkstelu hiemn ll olevll kuvll. R 2 y (, b + k) ( + θ 1 h, b + k) ( + h, b + k) (, b + θ 2 k) (, b) x Oletuksen mukn f:n 1. osittisderivtt 1. muuttujn suhteen on jtkuv joukoss D j ( + th, b + k) D jokisell t [0, 1], jotenϕ on jtkuvsti derivoituv välillä [0,h] ([h, 0], josh < 0). Siten funktioon ϕ voidn sovelt välirvolusett välillä [0, h] ([h, 0], jos h<0). Siis ϕ(h) ϕ(0) = ϕ (θ 1 h)h, missä 0 <θ 1 < 1, eli ϕ(h) ϕ(0) = 1 f( + θ 1 h, b + k)h.

22 4. Ketjusääntö 15 Kosk 1 f on oletuksen nojll jtkuv, voidn kirjoitt 1 f( + θ 1 h, b + k) = 1 f(, b)+ρ 1 (h, k), missä ρ 1 (h, k) 0, kun(h, k) (0, 0). Vstvll tvll nähdään, että f(, b + k) f(, b) = 2 f(, b + θ 2 k)k = 2 f(, b)k + ρ 2 (h, k)k, missä 0 <θ 2 < 1 j ρ 2 (h, k) 0, kun(h, k) (0, 0). Kokomll tulokset sdn f( + h, b + k) f(, b) = 1 f(, b)h + 2 f(, b)k + hρ 1 (h, k)+kρ 2 (h, k) = 1 f(, b)h + 2 f(, b)k + ( hρ1 (h, k) h 2 + k 2 h2 + k + kρ 2(h, k) ). 2 h2 + k 2 Nyt kuvus ρ(h, k) := hρ 1(h, k) h2 + k 2 + kρ 2(h, k) h2 + k 2 toteutt vtimuksen ρ(h, k) 0, kun(h, k) (0, 0), sillä h2 + k ρ(h, k) 2 h2 + k ρ h2 + k 1(h, k) h2 + k ρ 2(h, k) 2 kun (h, k) (0, 0). = ρ 1 (h, k) + ρ 2 (h, k) 0, Esimerkki 3.1. Oletetn, että f(x, y, z) =xyz+ln(xy 2 z 3 ). f on määritelty joukoss D = {(x, y, z) R 3 x, y, z > 0}. Nytf C 1 (D), sillä 1 f(x, y, z) =yz + y2 z 3 xy 2 z = yz x, 2 f(x, y, z) =xz + 2xz3 y xy 2 z = xz y j ovt jtkuvi joukoss D. 3 f(x, y, z) =xy + 3xy2 z 3 xy 2 z 3 4. Ketjusääntö = xy + 3 z Tässä kppleess johdetn ketjusäännön yleistys usempiulotteisille funktioille, siis säännölle jok snoo, että (g f) (x) =f (g(x)) g (x), kunf,g: C 1 (R). Trkstelln siis kht funktiot, f : R n R m j g : R m R p, n, m, p 1. Heti huomtn, että g f on hyvin määritelty funktio. Miten sen derivtt lusutn funktioiden f j g vull? Olemme iemmin todenneet, että funktion f derivtt nnetuss pisteessä on linerikuvus Df, eli mtriisi, jok kuv vruuden R n vruudelle R m. Vstvsti, funktion g derivtt on mtriisi Dg, jok kuv vruuden R m vruudelle R p. Voimme siis yhdistää nämä linerikuvukset; huom, että tämä on sm kuin että kertoisimme vstvt mtriisit keskenään. Otten huomioon yksiulotteisen ketjusäännön, voimme nyt rvt, että oike kv on D(g f)(x) =Df(g(x))Dg(x), missä oikell on mtriisien tulo.

23 16 Luku 2. Funktioiden j kuvusten differentililskent Tämän tuloksen todistuksess käytämme seurv merkintää: A =mx ij,kun A =( ij ) on mtriisi. Tätä kutsutn mtriisin normiksi. Luse 4.1. Olkoon f : R n R m j g : R m R p, n, m, p 1, differentioituvi funktioit. Tällöin h = g f on myös differentioituv, j Dh(x) =Df(g(x))Dg(x) jokiselle x R n. Todistus. Kiinnitetään piste x R n. Määritellään mtriisit A = Dg(x) j B = Df(g(x)). Luseen väite on, että Dh(x) =BA. Määritelmän mukn meidän pitää siis tutki, kuink nopesti h(x +Δ) h(x) BAδ = f(g(x +Δ)) f(g(x)) BAΔ pienenee kun Δ 0. Kirjoitetn e.m. erotus muotoon, joss voimme hyödyntää tietojmme f:n j g:n derivtoist: h(x +Δ) h(x) BAδ = [ f(g(x +Δ)) f(g(x)) B(f(x +Δ) f(x)) ] + [ B(f(x +Δ) f(x)) BAΔ ]. Ensimmäiselle hksulkutemille smme: f(g(x +Δ)) f(g(x)) B(f(x +Δ) f(x)) = o( f(x +Δ) f(x) ), kosk B on funktion g derivtt. Toiselle hksulkutemille smme: B(f(x +Δ) f(x)) BAΔ =B ( f(x +Δ) f(x)) AΔ ) B f(x +Δ) f(x)) A, missä olemme käyttäneet B:n linerisuutt. Oikell puolell esiintyvät itseisrvot on määritelmän mukn suuruusluokk o( Δ ), koska on funktion f derivtt. Näin ollen olemme todistneet, että h(x +Δ) h(x) BAδ = o( f(x +Δ) f(x) )+ B o( Δ ). Kosk B ei riipu Δ:st, voimme sno, että B o( Δ ) =o( Δ ). Toislt, kosk f on derivoituv, tiedämme, että f(x + Δ) f(x) 2AΔ 2 A Δ kun Δ on trpeeksi pieni. Tästä seur, että f(x +Δ) f(x) = o( Δ ). Näin ollen h(x +Δ) h(x) BAδ = o( Δ ), jotenh on differentioituv pisteessä x j sen derivtt on BA. Koskx oli mielivltinen piste, niin väite on todistettu. Ketjusääntö on helppo muist differentilien kumoutumisen. Tämän ymmärtää helpointen esimerkin vull: olkoon g(u, v, w) =u +2v +3w j (u, v, w) =(x 2 + y 2,x 2 y 2,xy). Huom, että toiselle funktiolle ei ole tässä edes nnettu nimeä. Ketjusäänöllä smme g (x, y) = g (u, v, w) (u, v, w) (x, y) =[123] 2x 2x y 2y 2y =[6x +3y 2y +3x]. x Toislt, g(x, y) =(x 2 + y 2 )+2(x 2 y 2 )+3(xy) =3x 2 +3xy y 2. Suorn lskemss tästä smme Dg(x, y) =[6x +3y 3x 2y]. Esimerkki 4.1. Lske x 1 sin(x 1 x 2 2 ) j x 2 sin(x 1 x 2 2 ). Esimerkki 4.2. Lske x sin(ln(x2 + y 2 )) j y sin(ln(x2 + y 2 )). Esimerkki 4.3. Olkoot f : R 2 R C 1 -funktio j G(t) =(cost, sin t), missä t R. Merkitään h(t) =f(g(t)). Lskeh (t).

24 4. Ketjusääntö 17 Esimerkki 4.4. Olkoon funktio G : R 2 R 2 määritelty kvll G(s, t) =( 1(s + t), 1 (s t)) 2 2 (s, t) R2 j olkoon f : R 2 R jokin C 1 -funktio. Lske yhdistetyn funktion h = f G osittisderivtt. Rtkisu. h s (s, t) = 1h(s, t) = 1 f( s+t, s t) f( s+t, s t) h t (s, t) = 2h(s, t) = 1 f( s+t, s t ) f( s+t, s t )( 1 ) Olkoon erityisesti f(x, y) =x 2 + y 2. Tällöin j siten j 1 f(x, y) =2x, 2 f(x, y) =2y h s h t 1 s + t (s, t) = s + t (s, t) = s t = s s t 2 2 Esimerkki 4.5. Olkoon f C 1 (R 2 ).Lusuluseke ( f x = t ) 2 + ( f y) 2 npkoordinteiss. Rtkisu. Jos (x, y) (0, 0), niin on voimss seurvt muunnoskvt { x = r cos ϕ y = r sin ϕ r>0, ϕ [0, 2π[. x j y voidn siis tulkit r:n j ϕ:n funktioiksi. Trkstelln kuvust h(r, ϕ) = f(r cos ϕ, r sin ϕ) =f(x, y). Nyt j Kosk j niin h r (r, ϕ) =cosϕ 1f(x, y)+sinϕ 2 f(x, y) h ϕ (r, ϕ) =( r sin ϕ) 1f(x, y)+r cos ϕ 2 f(x, y). r cos(ϕ) h h (r, ϕ) sin(ϕ) r ϕ (r, ϕ) =r 1f(x, y) r sin(ϕ) h h (r, ϕ)+cos(ϕ) r ϕ (r, ϕ) =r 2f(x, y), ( f x (x, y) ) 2 + ( f y (x, y) ) 2 = ( h r (r, ϕ) ) r 2 ( h ϕ (r, ϕ) ) 2.

25 18 Luku 2. Funktioiden j kuvusten differentililskent 5. Grdientti j suunnttu derivtt Määritelmä 5.1. Olkoon f : R n D R differentioituv funktio. Vektori grd f(x) = ( 1 f(x), 2 f(x),..., n f(x) ) snotn funktion f grdientiksi (grdient) pisteessä x D. Usein merkitään grd f(x) = f(x). Huomutus 5.1. Kuvus on siis n-ulotteinen vektorikenttä. D x grd f(x) Esimerkki 5.1. Olkoon f(x, y) =x 2 y +6y 2.Nyt grd f(x, y) =(2xy, x 2 +12y). Esimerkki 5.2. Kun x 0, on joten f(x) = x = x x2 n. 1 f(x) = x 1 x,..., nf(x) = x n x, grd f(x) = x x. Huomutus 5.2. Käyttäen grdienttimerkintää differentioituvlle funktiolle f sdn esitys f(x + h) =f(x) + grd f(x) h + h ρ(h), missä ρ(h) 0, kunh 0. Määritelmä 5.2. Olkoon D R n voin osjoukko. Snotn, että D on käyräyhtenäinen, josjokistd:n pistepri, b kohti on olemss sellinen C 1 -käyrä F :[α, β] R n, että F (α) =, F (β) =b j F (t) D jokisell t [α, β]. Luse 5.1. Olkoon D R n voin, käyräyhtenäinen joukko j olkoon g C 1 (D). Jos grd g(x) =0 jokisell x D, niin g on vkiofunktio joukoss D. Todistus. Olkoon D eräs kiinteä piste j y D mielivltinen. Riittää osoitt, että g() = g(y). KoskD on käyräyhtenäinen, niin on olemss sellinen C 1 -käyrä F :[α, β] R D, että F (α) = j F (β) =y. OlkootF (t) =(f 1 (t),...,f n (t)). Nyt funktio h = g F :[α, β] R on differentioituv välillä [α, β] j h (t) = grd g(f (t)) F (t) =0 F (t) =0 jokisell t [α, β], jotenh(t) =c, missä c on t:stä riippumton vkio. Näin ollen g() =g(f (α)) = h(α) =h(β) =g(f (β)) = g(y). Määritelmä 5.3. Olkoot f : R n D R, D j v R n jokin yksikkövektori. Jos rj-rvo f( + tv) f() v f() = lim t 0 t on äärellisenä olemss, sitä kutsutn funktion f suunntuksi derivtksi (directionl derivtive) suuntn v pisteestä.

26 5. Grdientti j suunnttu derivtt 19 Suunntulle derivtlle v f() käytetään myös merkintöjä f v () j f v (). Huomutus 5.3. Jos setmme yllä v = e j (j =1, 2,...,n) sdn osittisderivtt. Esimerkki 5.3. { y, kun y x f(x, y) = x, kun x y. f:n kuvj näyttää lähellä origo tältä: y~ Kuvn perusteell voidn rvill, että f:llä ei ole suunnttu derivtt inkn kikkiin suuntiin. Perustellnp tämä rvus kunnoll. Kosk f(tx, ty) f(tx, ty) lim = lim t 0 t t 0+ t j f(x, y) =0,kunx =0ti y =0, niin suunnttu derivtt on olemss vin suuntiin e 1 =(1, 0), e 1, e 2 =(0, 1) j e 2. Luse 5.2. Jos f : R n D R on differentioituv pisteessä, niin f:n suunnttu derivtt pisteessä on olemss kikkiin suuntiin v j lisäksi v f() = grd f() v. Todistus. Olkoon D j v R n nnetut. Trkstelln yhtälöllä ϕ(t) =f(+tv), missä t R, määriteltyä kuvust ϕ. Nyt ϕ(t) ϕ(0) t 0 = f( + tv) f() t x~ t 0 v f(), joten ϕ (0) = v f() mikäli yhtälön jompikumpi puoli on olemss. Osoitetn, että ϕ (0) on olemss. Merkitään G(t) = + tv =( 1 + tv 1,..., n + tv n ), missä =( 1,..., n ) j v =(v 1,...,v n ). Tällöin G (t) =(v 1,...,v n ). Toislt, kosk ϕ(t) =f(g(t)), niin ketjusäännön nojll Erityisesti ϕ (t) = grd f(g(t)) G (t). ϕ (0) = grd f() v = v f().

27 20 Luku 2. Funktioiden j kuvusten differentililskent Esimerkki 5.4. Olkoot f(x, y) =x 2 y 3 j v =( 1, 3 ). Tällöin 2 2 vf(1, 1) sdn seurvll tvll. Nyt grd f(x, y) =(2xy 3, 3x 2 y 2 ), joten v f(1, 1) = grd f(1, 1) v =(2, 3) ( 1, )= Huomutus 5.4. Käyttämällä vruuden R n Cuchy-Schwrzin epäyhtälöä sdn suunntulle derivtlle rvio v f() = grd f() v grd f() v = grd f(), missä yhtäsuuruus on voimss trklleen silloin, kun v j grd f() ovt yhdensuuntiset. Tämä merkitsee sitä, että v f() on suurimmilln, kun vektori v on smnsuuntinen vektorin grd f() knss, j pienimmillään, kun v on vstkkissuuntinen vektorin grd f() knss. Lisäksi nähdään, että f:n rvojen muutos on pienimmillään, kun v on kohtisuorss f:n grdientti vstn. Esimerkki 5.5. Funktio f(x, y, z) = z2 kuv lämpötil eräässä huonetilss. x 2 +y 2 Siis esimerkiksi f(1, 1, 4) = 8 (stett). Mihin suuntn lämpötil nousee voimkkimmin pisteessä (1, 1, 4). Rtkisu. Nyt ( 2xz 2 grd f(x, y, z) = (x 2 + y 2 ), 2yz 2 2 (x 2 + y 2 ), 2z ) 2 x 2 + y 2 j grd f(1, 1, 4) = ( 8, 8, 4) = 4( 2, 2, 1). Kosk ( 2, 2, 1) 2 = = 9, niin lämpötil nousee voimkkimmin suuntn v =( 2, 2, 1 ) Grdienttivektorin geometrinen tulkint Olkoon f : R 2 D R eräs C 1 -funktio. Trkstelln funktion z = f(x, y) tsrvokäyrää f(x, y) =c. Oletetn, että (, b) on tämän käyrän eräs piste eli f(, b) =c. Olkoon G(t) =(x(t),y(t)), missä t [α, β], (derivoituv) prmetriesitys (ktso sivu 8) tälle smlle käyrälle, j olkoon G(t 0 )=(x(t 0 ),y(t 0 )) = (, b). Erityisesti f(g(t)) = f(x(t),y(t)) = c jokisell t [α, β], missä c on t:stä riippumton vkio. Käyttämällä ketjusääntöä sdn yhtälö d dt f(g(t)) = 1f(x(t),y(t))x (t)+ 2 f(x(t),y(t))y (t) =0, jok pätee jokisell t [α, β]. Siis grd f(x(t),y(t)) G (t) =0 jokisell t [α, β]. Erityisesti grd f(x(t 0 ),y(t 0 )) G (t 0 )=0eli kyseiset vektorit ovt kohtisuorss toisin vstn. Toislt G (t 0 ) on käyrän G tngenttivektori pisteessä G(t 0 ),jotenvektori grd f(, b) on käyrän f(x, y) =c pisteeseen (, b) setetun normlin suuntvektori (ktso sivu 7).

28 6. Grdienttivektorin geometrinen tulkint 21 y f(x, y) =c R 2 (, b) grd f(, b) Vstvll tvll nähdään, että funktiolle f : R 3 D R pisteeseen (, b, c) D liittyvä grdienttivektori grd f(, b, c) on kohtisuorss jokist pinnn d = f(x, y, z) pisteen (, b, c) kutt kulkev käyrää G vstn. Toisin snoen, ehdost f(g(t)) = f(x(t),y(t),z(t)) = d seur grd f(g(t)) G (t) =0. Siis grd f nt ts-rvopinnn normlin suunnn. Tilnnett hvinnollistetn seurvll kuvioll. R 3 z x grdf(g(t)) G f(x, y, z) =c G (t) y x Kuvioon on piirretty funktion f ts-rvopint, ts-rvopinnn erääseen pisteeseen setettu tngenttitso, ts-rvopinnn eräs käyrä G, G:n tngentti pisteessä t j tngenttitson normli, jok on sm kuin f:n grdientti kyseisessä pisteessä. Kokomll edellisen päättelyn tulokset sdn seurv luse. Luse 6.1. Olkoot D R 2, f C 1 (D) j grd f(, b) 0. Tällöin vektori grd f(, b) on pisteen (, b) kutt kulkevn f:n ts-rvokäyrän normli. Jos vstvsti D R 3, f C 1 (D) j grd f(, b, c) 0, niin grd f(, b, c) on pisteen (, b, c) kutt kulkevn f:n ts-rvopinnn normli. Sovelluksi:

29 22 Luku 2. Funktioiden j kuvusten differentililskent 1) Oletetn, että D R 2, f C 1 (D), (, b) D j f(, b) = c. Tällöin luku c vstvn ts-rvokäyrän pisteeseen (, b) setetun normlin suuntvektori on grd f(, b) =( 1 f(, b), 2 f(, b)), joten smn pisteeseen setetun tngentin yhtälö on 1 f(, b)(x )+ 2 f(, b)(y b) =0. grd f(, b) (, b) f(x, y) =c 2) Oletetn, että D R 3, f C 1 (D), (, b, c) D j f(, b, c) =d. Tällöin luku d vstvn ts-rvopinnn f(x, y, z) =d pisteeseen (, b, c) setetun normlin suuntvektori on grd f(, b, c) = ( 1 f(, b, c), 2 f(, b, c), 3 f(, b, c) ), joten smn pisteeseen setetun tngenttitson yhtälö on 1 f(, b, c)(x )+ 2 f(, b, c)(y b)+ 3 f(, b, c)(z c) =0. n x (x ) n n (x ) =0 n =( 1 f(), 2 f(), 3 f()). Esimerkki 6.1. Oletetn, että vruuden R 3 pint on määritelty yhtälöllä x 2 +y 2 z 2 = 1. Nyt(1, 1, 3) on pinnn piste. Muodost kyseisen pinnn pisteeseen (1, 1, 3) setetun tngenttitson yhtälö. Rtkisu. Nyt grd f(x, y, z) =(2x, 2y, 2z) j grd f(1, 1, 3) = (2, 2, 2 3). Nyt sdn kyseessä olevn pinnn pisteeseen (1, 1, 3) setetun tngenttitson yhtälö 2(x 1) + 2(y 1) 2 3(z 3) = 0. Huomutus 6.1. Aikisemmin trksteltiin pinnn z = f(x, y) nnetun pisteen kutt kulkevn tngenttitson määräämistä. Olkoon c = f(, b). Tällöin pisteeseen (, b, c) setettu pinnn z = f(x, y) tngenttitson yhtälö on z c =(x ) 1 f(, b)+(y b) 2 f(, b) Toislt, jos setetn g(x, y, z) =z f(x, y) =0, niin sdn 0 = grd g(, b, c) ((x ), (y b), (z c) ) =(x ) 1 g(, b, c)+(y b) 2 g(, b, c) (z c) 3 g(, b, c) =(x ) 1 f(, b)+(y b) 2 f(, b) (z c) 1, mikä on sm yhtälö kuin edellä stu yhtälö.

30 7. Kuvukset F : R n R p, n, p Kuvukset F : R n R p, n, p 2 Kuvus F : R n D R p voidn kirjoitt muodoss F (x) =(f 1 (x),f 2 (x),...,f p (x)), missä x =(x 1,x 2,...,x n ) D j f i : R n D R jokisell i =1, 2,...,p. Plutetn mieleen iemmin esitettyä si. Olkoot f : R n D R j D. f on differentioituv pisteessä, jos f(h + ) f() = grd f() h + h ρ(h), missä ρ(h) 0, kunh 0. Trkstelln kuvust h grd f() h. Jos merkitään L f, h =grdf() h kikill h R n, niin ilmeisesti L f, : R n R on linerinen kuvus. Tätä kuvust snotn myös f:n differentiliksi pisteessä j joskus siitä käytetään myös merkintää df (). KuvuksenL f, mtriisi vruuden R n luonnollisen knnn suhteen on 1 n- mtriisi ( 1 f(), 2 f(),..., n f() ). Siis L f, h = ( 1 f(), 2 f(),..., n f() ) h 2. h n h 1 = 1 f()h f()h n f()h n =grdf() h. Jos vstvsti F : R D R p j D, niin F on differentioituv pisteessä, jos F ( + h) F () =F ()h + h ρ(h), missä vektori ρ(h) 0, kunh 0. Tässä F () =(f 1(),f 2(),...,f p()), kun funktiot f 1,f 2,...,f p : R D R p ovt F :n koordinttifunktiot. Merkitsemällä L F, h = F ()h (h R) sdn kuvus L F, : R R p, mikä on jälleen linerinen. Sen mtriisi luonnollisten kntojen suhteen on p 1-mtriisi f 1() f 2 (). f p () Siis f 1() hf 1() f L F, h = 2 (). h = hf 2 ().. f p () hf p () Olkoon F : R n D R p, missä n, p 2 j D on vruuden R n voin osjoukko. Siis F :llä on koordinttifunktiot f 1,f 2,...,f p : D R, joille pätee F (x) = ( f 1 (x 1,x 2,...,x n ),f 2 (x 1,x 2,...x n ),...,f p (x 1,x 2,...,x n ) ).

31 24 Luku 2. Funktioiden j kuvusten differentililskent jokisell x =(x 1,x 2,...,x n ) D. Jos D j h R n ovt selliset, että + h D, niin F ( + h) F () = ( f 1 ( + h) f 1 (),...,f p ( + h) f p () ). Jos oletmme, että funktiot f 1,...,f p ovt differentioituvi pisteessä, on voimss f j ( + h) f j () =L j h + h ρ j (h), missä ρ j (h) 0, kunh 0, jl j on linerinen kuvus R n R, jolle L j h = L fj,h =grdf j () h = 1 f j ()h n f j ()h n jokisell h R, jolle h + D. Kosk tämä pätee jokisell j =1, 2,...,p, niin F ( + h) F () =(L 1 h,l 2 h,...,l p h)+ h (ρ 1 (h),ρ 2 (h),...,ρ p (h)) = Lh + h ρ(h), missä ρ(h) 0, kunh 0, jl on linerinen kuvus R n R p, jolle L = L F, j 1 f 1 () 2 f 1 ()... n f 1 () h 1 Lh = 1 f 2 () 2 f 2 ()... n f 2 () h f p () 2 f p ()... n f p () h n Siis L:n mtriisi vruuksien R n j R p luonnollisten kntojen suhteen on koordinttifunktioiden osittisderivttojen muodostm p n-mtriisi, jot snotn F :n Jcobin mtriisiksi pistessä (Jcobin mtrix, derivtive mtrix) j merkitään seurvsti J F, = ( i f j () ), i =1, 2,...,n j =1, 2,...,p. Määritelmä 7.1. Olkoot F : R n D R p j D. F on differentioituv pisteessä, josf :n kikki koordinttifunktiot f 1,f 2,...,f p ovt differentioituvi pisteessä. Linerist kuvust L = L F, : R n R p, jonk mtriisi luonnollisten kntojen suhteen on F :n Jcobin mtriisi, snotn F :n differentiliksi pisteessä. Usein merkitään L F, = df () =F (). Huomutus 7.1. Funktion F : R n D R p differentioituvuus voitisiin määritellä myös seurvll yhtäpitävällä tvll: F on differentioituv pisteessä D, jos on olemss sellinen linerinen kuvus A : R n R p, että F ( + h) F () =Ah + h ρ(h), missä ρ(h) 0, kunh 0. Tämä määritelmä nt A:n mtriisiksi F :n Jcobin mtriisin. Helposti hvitn, että kikki edellä olevt differentioituvuuden määritelmät sdn erikoistpuksen tässä huomutuksess nnetust määritelmästä. Luse 7.1. Olkoon F : R n D R p differentioituv pisteessä D. Silloin F on jtkuv pisteessä. Todistus. Nyt F (h + ) F () L F, h + h ρ(h) 0, kun h 0. (Miksi L F, h 0, kunh 0, ts.miksil F, on jtkuv origoss?)

32 7. Kuvukset F : R n R p, n, p 2 25 Huomutus 7.2. F :n koordinttifunktioiden osittisderivttojen olemssolo ei ole riittävä ehto F :n differentioituvuudelle; funktiolle F voidn muodost Jcobin mtriisi sellisess pisteessä, joss F ei ole differentioituv. Ehkä helpoin esimerkki tämänlisest tilnteest on seurv. Esimerkki 7.1. Olkoon funktio f : R 2 R määritelty kvll { xy, kun (x, y) (0, 0) x f(x, y) = 2 +y 2 0, kun (x, y) =(0, 0) Tällöin f(0, 0) = f(0, 0) = 0. Kuitenkn f ei ole differentioituv origoss, sillä x y esimerkin 3.1 mukn f ei ole edes jtkuv origoss Esimerkki 7.2. Olkoon F (x 1,x 2,x 3 )=(2x 1 +2x 2 + x 3,x 1 x 2 ). Muodost F :n Jcobin mtriisi. Esimerkki 7.3. Olkoon F (x 1,x 2,x 3 )=(x 2 1 +x2 2 +x2 3,x 1+x 2 +x 3 ). Muodost funktion F Jcobin mtriisi. Määritelmä 7.2. Olkoon F : R n D R n differentioituv pisteessä D. F :n Jcobin mtriisin determinntti snotn F :n Jcobin determinntiksi (Jcobin) pisteessä j merkitään det J F, = (f 1,f 2,...,f n ) (x 1,x 2,...,x n ) (). Huomutus 7.3. Kosk determinntti on määritelty vin neliömtriiseille, niin Jcobin determinntti voidn lske vin kuvuksille R n R n. Huomutus 7.4. Luokt C k (D) määritellään koordinttifunktioiden vstvien ominisuuksien vull. Siis F C k (D) mikäli F :n koordinttifunktioiden kikki osittisderivtt ovt olemss jtkuvin joukoss D kertlukuun k sti. Huomutus 7.5. Olkoon D polkuyhtenäinen. Jos jokisell x D kuvus df (x) = L F,x on nollkuvus, niin F on vkiofunktio joukoss D. Tämä perustuu siihen, että F :n kikki koordinttifunktiot ovt luseen 5.1 perusteell vkiofunktioit joukoss D. Luse 7.2 (Yleinen ketjusääntö). Oletetn, että G : R m E R n j F : R n D R p ovt funktioit, joille pätee G(E) D. JosG on differentioituv pisteessä E j F on differentioituv pisteessä G() D, niin yhdistetty funktio H = F G on differentioituv pisteessä j H:n differentili on L H, = L F,G() L G, j H:n Jcobin mtriisi sdn G:n j F :n Jcobin mtriisien tulon J H, = J F,G() J G,. Todistus. Hiemn tekninen joskin selväpiirteinen. Ktso Bxndll j Liebeck s. 197.

33 26 Luku 2. Funktioiden j kuvusten differentililskent Siis 1 f 1 (G()) 2 f 1 (G())... n f 1 (G()) 1 g 1 ()... m g 1 () 1 f 2 (G()) 2 f 2 (G())... n f 2 (G()). 1 g 2 ()... m g 2 () f p (G()) 2 f p (G())... n f p (G()) 1 g n ()... m g n () 1 h 1 () 2 h 1 ()... m h 1 () = 1 h 2 () 2 h 2 ()... m h 2 ()......, 1 h p () 2 h p ()... m h p () missä j h i () = 1 f i (G()) j g 1 ()+ + n f i (G()) j g n (). Esimerkki 7.4. Olkoot F (s 1,s 2 )=(2s 1 + s 2 2, 3s 2 1 s 2 ), G(x 1,x 2,x 3 )=(x 1 x 2,x 2 x 3 ) j H = F G. LskeJ H, suorn lskemll j sitten ketjusääntöä käyttäen. 8. Korkemmn kertluvun osittisderivtt Olkoon f : R n D R. Merkitään f(x) =f(x 1,x 2,...,x n ). Osittindifferentioituvn funktion f osittisderivtt j f(x) ovt myös funktioit D R. Jos nämä ovt edelleen osittindifferentioituvi, voidn muodost uusi, toisen kertluvun osittisderivttoj k ( j f(x) ) j =1, 2,...,n k =1, 2,...,n. Näille toisen kertluvun osittisderivtoille käytetään myös merkintöjä ( f ), x k x j Huom, että merkinnöissä f x j x k j f jk 2 f x k x j (x), f x j x k (x) j f jk (x). lindeksit ilmisevt osittisderivoinnin järjestyksen ensin derivoidn j:nnen muuttujn suhteen j sitten k:nnen muuttujn suhteen. Jos erikoisesti k = j, niin käytetään merkintöjä j j f(x), 2 j f(x), 2 f x 2 j (x), f jj (x) j f x j x j (x). Jtkmll edellistä menettelyä sdn (mhdollisesti) yhä korkemmn kertluvun osittisderivttoj. Lisäksi edellisillä merkinnöillä on nlogiset vstineet. Osittisderivtn kertluvull trkoitetn tietysti osittisderivointikertojen lukumäärää. Esimerkki 8.1. Jos f(x, y) =xy +ln(xy 2 )=xy +lnx +2lny (x, y > 0), niin f:n ensimmäisen kertluvun derivtt ovt f x (x, y) =y + 1 f j x y (x, y) =x + 2 y. Näin ollen f:n toinen osittisderivtt x:n suhteen j f:n toinen osittisderivtt y:n suhteen on määritelty lusekkeill f x x (x, y) = 1 x 2 j f y y (x, y) = 2 y 2 sekä toisen kertluvun sekderivtt (mixed prtils) lusekkeill f y x (x, y) =1 j f (x, y) =1. x y

34 8. Korkemmn kertluvun osittisderivtt 27 Esimerkissä 8.1 hvittiin, että sekderivtt ovt smt. Yleisessä tpuksess sekderivtt eivät välttämättä ole smt. Kuitenkin meillä on seurv luse. Otetn käyttöön merkintä C k (D) ={f : R n D R D =IntD, f : n kikki osittisderivtt kertlukuun k skk ovt olemss j jtkuvi D:ssä} Luse 8.1. Olkoon D R n voin j f C 2 (D). Tällöin k ( j f(x)) = j ( k f(x)) kikill j, k =1, 2,...,n. Todistus. Trkstelemme tpust n =2. Siis f : R 2 D R j lisäksi f C 2 (D). On osoitettv, että 1 ( 2 f(x, y)) = 2 ( 1 f(x, y)). Todistus perustuu relifunktion välirvoluseen toistettuun käyttöön. Olkoon (x, y) D j luvut h j k itseisrvoltn niin pieniä, että B ( (x, y), h + k ) D. Trkstelln lusekett g(h, k) =f(x + h, y + k) f(x, y + k) f(x + h, y)+f(x, y). Merkitään ϕ(t) =f(x + h, t) f(x, t) jokisell t [y k,y+ k ] j ψ(s) =f(s, y + k) f(s, y) jokisell s [x h,x+ h ]. Tällöin g(h, k) =ϕ(y + k) ϕ(y) j g(h, k) =ψ(x + h) ψ(x). Sovelletn välirvolusett funktioon ϕ välillä [y, y + k], josk>0, j välillä [y + k, y], jos k<0 (sllittu!). Sdn g(h, k) =ϕ(y + k) ϕ(y) = ϕ (y + θk)k = ( 2 f(x + h, y + θk) 2 f(x, y + θk) ) k, missä θ ]0, 1[. Yllä olev esitys voidn tulkit funktion (1) s 2 f(s, y + θk) rvojen erotukseksi välillä [x, x+h], josh>0, j välillä [x+h, x], josh<0. Soveltmll vstvuuden (1) määrittelemään funktioon välirvolusett (sllittu!) sdn g(h, k) = 1 ( 2 f(x + ηh, y + θk))kh, missä 0 <η<1. (x, y + k) (x + h, y + k) (x + ηh, y + θk) (x, y) (x + h, y)

35 28 Luku 2. Funktioiden j kuvusten differentililskent Olkoon nyt hk 0.Kosk 1 2 f on jtkuv, niin hvitn, että g(h, k) = 1 ( 2 f(x + ηh, y + θk)) (h,k) (0,0) 1 2 f(x, y). hk Vstv päättely funktiolle ψ nt g(h, k) =ψ(x + h) ψ(x) = ( 1 f(x + ηh, y + k) 1 f(x + ηh, y) ) h = 2 ( 1 f(x + ηh, y + θh))hk, mistä funktion 2 1 f jtkuvuuden nojll sdn (jos hk 0) Kosk rj-rvo g(h, k) hk on yksikäsitteinen, väite seur. = 2 ( 1 f(x + ηh, y + θk)) (h,k) (0,0) 2 1 f(x, y). g(h, k) lim (h,k) (0,0) hk Huomutus 8.1. Luseen 8.1 nojll on voimss muun muss seurv yhtälö 4 f x 2 3 x 2 x 1 = edellyttäen, että f C 4. 4 f x 3 x 2 x 3 x 1 = 4 f x 2 x 2 3 x 1 =...= 4 f x 1 x 2 x 2 3

36 LUKU 3 Differentililskennn sovelluksi 1. Virheen rviointi Oletetn, että fysiklinen suure y riippuu muuttujist x 1,x 2,...,x n kvn y = f(x 1,x 2,...,x n ) ilmoittmll tvll. Koetilnteess suure y määritetään mittmll rvot x 1,x 2,...,x n. Nämä mittukset eivät kuitenkn ole milloinkn trkkoj, vn kunkin oslt tehdään jokin virhe. Merkitään x =(x 1,x 2,...,x n ) j Δx =(Δx 1,...,Δx n ). Suureen y = f(x) määrityksessä käytetään siis todellisuudess rvo x+δx j päädytään tulokseen f(x + Δx). Syntyyvirhe Δy = f(x + Δx) f(x). Oletetn nyt, että f : R n R on differentioituv (f C 1 ). Silloin luseen 1.2 nojll (2) Δy = 1 f(x)δx f(x)δx n f(x)δx n + Δx ρ(δx), missä ρ(δx) 0,kun Δx 0. Näin ollen pienillä luvun Δx rvoill voidn rvioid (3) Δy 1 f(x)δx n f(x)δx n. Käyttämällä kolmioepäyhtälöä sdn virheelle ylärj (4) Δy 1 f(x) Δx n f(x) Δx n, kun Δx on riittävän pieni. Kosk yhtälössä (2) termi ρ(δx) voi oll positiivinen, stt yhtälön (3) oike puoli oll sen verrn pienempi kuin vsen puoli, ettei kolmioepäyhtälönkään käyttö yhtälön (3) oikell puolell korj tilnnett toivotuksi: epäyhtälön (4) oiken puolen luseke ei välttämättä ole todellinen ylärj virheelle vn se on vin ylärjn rvio tietyllä trkkuudell. Edellä merkintä onkin niin snottu likimäärin pienempi kuin -merkintä. Niin snottu mksimlinen virhe suureelle y sdn lskemll yllä olevn epäyhtälön (4) oike puoli. Muist kuitenkin, että todellinen virhe voi oll suurempi kuin mksimlinen virhe. Trkt virherjt suureelle y sdn tutkimll erotuksen f(x + Δx) f(x) vihteluväli, kun suureen Δx vihtelurjt tunnetn. Esimerkki 1.1. Kiihtyvyys lsketn kvst = v2.mtkns mittus nt 2s 300, 0mtrkkuudell ±3, 0mj nopeuden mittus nt 30, 00 m/s trkkuudell ±1, 00 m/s 2. Lske kiihtyvyys j sen virherjt. Rtkisu. Siis = f(s, v) = v2,joten 2s = f(300, 30) = m/s2 =1, 50 m/s 2. Lsketn seurvksi virherjt. Kosk Δ f f v2 (s, v)δs + (s, v)δv = s v 2s Δs + v 2 s Δv,

ANALYYSI II A Matemaattisten tieteiden laitos Luentomoniste työn alla: viimeksi muutettu

ANALYYSI II A Matemaattisten tieteiden laitos Luentomoniste työn alla: viimeksi muutettu ANALYYI II 800322A Mtemttisten tieteiden litos Luentomoniste työn ll: viimeksi muutettu 13.11.2006 Alkusnt isältö Luku 1. Usen muuttujn funktioist: jtkuvuus 1 1. Merkinnät y.m. 1 2. j-rvoist 2 3. Kuvuksen

Lisätiedot

SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT Funktiojonot 1

SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT Funktiojonot 1 SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 JOUNI PARKKONEN Sisältö 0. Tästä tekstistä. Funktiojonot 0. Tästä tekstistä Tämä moniste on trkoitettu käytettäväksi kurssin Srjt j differentiliyhtälöt luentomterilin.

Lisätiedot

Määritelmä Olkoon C R m yksinkertainen kaari ja γ : [a, b] R m sen yksinkertainen parametriesitys, joka on paloittain C 1 -polku.

Määritelmä Olkoon C R m yksinkertainen kaari ja γ : [a, b] R m sen yksinkertainen parametriesitys, joka on paloittain C 1 -polku. Muodostetn vektorikentän kri-integrli yksinkertisen kren tpuksess. Plutetn mieleen, että joukko C R m on yksinkertinen kri, jos löytyy sellinen jtkuv bijektio γ : [, b] C, jok on ploittin C 1 -funktio

Lisätiedot

TEHTÄVÄ 1. Olkoon (f n ) jono jatkuvia funktioita f n : [a, b] R, joka suppenee välillä [a, b] tasaisesti kohti funktiota f : [a, b] R.

TEHTÄVÄ 1. Olkoon (f n ) jono jatkuvia funktioita f n : [a, b] R, joka suppenee välillä [a, b] tasaisesti kohti funktiota f : [a, b] R. Topologi I Hrjoitus 10, rtkisuj AP TEHTÄVÄ 1. Olkoon (f n ) jono jtkuvi funktioit f n : [, b] R, jok suppenee välillä [, b] tsisesti kohti funktiot f : [, b] R. Osoit, että tällöin f n (x) dx f(x) dx.

Lisätiedot

II.1. Suppeneminen., kun x > 0. Tavallinen lasku

II.1. Suppeneminen., kun x > 0. Tavallinen lasku II. EPÄOLEELLISET INTEGRAALIT nt II.. Suppeneminen Esim. Olkoon f() =, kun >. Tvllinen lsku = / =. Kuitenkn tätä integrli ei ole ikisemmss mielessä määritelty, kosk f ei ole rjoitettu välillä [, ] (eikä

Lisätiedot

5 Epäoleellinen integraali

5 Epäoleellinen integraali 5 Epäoleellinen integrli 5. Integrlin suppeneminen Olkoon f sellinen välillä [, b[ (ei siis välttämättä pisteessä b) määritelty funktio, että f on Riemnn-integroituv välillä [, ] kikill ], b[ eli on olemss

Lisätiedot

3 Integraali ja derivaatta

3 Integraali ja derivaatta 3 Integrli j erivtt 3.1 Integrli ylärjns funktion Olkoon funktio f Riemnn-integroituv välin I jokisell suljetull osvälillä j välin I jokin kiinteä luku. Tällöin integrli määrittelee funktion G(): I R,

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali MS-A1{3,4} (ELEC*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 8: Integrlifunktio j epäoleellinen integrli Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos 5.1.216 Pekk Alestlo,

Lisätiedot

2.4 Pienimmän neliösumman menetelmä

2.4 Pienimmän neliösumman menetelmä 2.4 Pienimmän neliösummn menetelmä Optimointimenetelmiä trvitn usein kokeellisen dtn nlysoinniss. Mittuksiin liittyy virhettä, joten mittus on toistettv useit kertoj. Oletetn, että mittn suurett c j toistetn

Lisätiedot

7 Funktiosarjoista. 7.1 Funktiosarjojen suppeneminen

7 Funktiosarjoista. 7.1 Funktiosarjojen suppeneminen 7 Funktiosrjoist 7. Funktiosrjojen suppeneminen Seurvksi trkstelln srjoj, joiden termit ovt (lukujen sijst) jollkin välillä I määriteltyjä funktioit. Täsmällisemmin funktiosrjll (ti lyhyemmin srjll) trkoitetn

Lisätiedot

MS-A010{2,3,4,5} (SCI, ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali

MS-A010{2,3,4,5} (SCI, ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali MS-A1{2,3,4,5} (SC, ELEC*, ENG*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 8: ntegrlifunktio j epäoleellinen integrli Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos November

Lisätiedot

Riemannin integraalista

Riemannin integraalista Lebesguen integrliin sl. 2007 Ari Lehtonen Riemnnin integrlist Johdnto Tämän luentomonisteen trkoituksen on tutustutt lukij Lebesgue n integrliin j sen perusominisuuksiin mhdollisimmn yksinkertisess tpuksess:

Lisätiedot

Kuvausta f sanotaan tällöin isomorfismiksi.

Kuvausta f sanotaan tällöin isomorfismiksi. Määritelmä..12. Oletetn, että 1 =(V 1,E 1 ) j 2 =(V 2,E 2 ) ovt yksinkertisi verkkoj. Verkot 1 j 2 ovt isomorfiset, jos seurvt ehdot toteutuvt: (1) on olemss bijektio f : V 1 V 2 (2) kikill, b V 1 pätee,

Lisätiedot

Analyysi 2. Harjoituksia lukuihin 1 3 / Kevät Anna sellainen välillä ] 2, 2[ jatkuva ja rajoitettu funktio f, että

Analyysi 2. Harjoituksia lukuihin 1 3 / Kevät Anna sellainen välillä ] 2, 2[ jatkuva ja rajoitettu funktio f, että Anlyysi Hrjoituksi lukuihin 3 / Kevät 5. Ann sellinen välillä ], [ jtkuv j rjoitettu funktio f, että () sup A m A j inf A min A, (b) sup A m A j inf A = min A, (c) sup A = m A j inf A min A, (d) sup A

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Mtemtiikn tukikurssi Kurssikert 5 1 Jtkuvuus Trkstelln funktiot fx) josskin tietyssä pisteessä x 0. Tämä funktio on tässä pisteessä joko jtkuv ti epäjtkuv. Jtkuvuuden ymmärtää prhiten trkstelemll epäjtkuv

Lisätiedot

1. Derivaatan Testi. Jos funktio f on jatkuva avoimella välillä ]a, b[ ja x 0 ]a, b[ on kriit. tai singul. piste niin. { f (x) > 0, x ]a, x 0 [

1. Derivaatan Testi. Jos funktio f on jatkuva avoimella välillä ]a, b[ ja x 0 ]a, b[ on kriit. tai singul. piste niin. { f (x) > 0, x ]a, x 0 [ 1. Derivtn Testi Jos funktio f on jtkuv voimell välillä ], b[ j x 0 ], b[ on kriit. ti singul. piste niin { f (x) < 0, x ], x 0 [ f x (x) > 0, x ]x 0, b[ 0 on lokli minimipiste (1) { f (x) > 0, x ], x

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Mtemtiikn tukikurssi Kurssikert 4 Tilvuuden j vipn ln lskeminen Kuten iemmin käsittelimme, määrätyn integrlin vull voi lske pintloj j tilvuuksi. Tyypillisenä sovelluksen tilvuuden lskemisest on tpus, joss

Lisätiedot

x k 1 Riemannin summien käyttö integraalin approksimointiin ei ole erityisen tehokasta; jatkuvasti derivoituvalle funktiolle f virhe b

x k 1 Riemannin summien käyttö integraalin approksimointiin ei ole erityisen tehokasta; jatkuvasti derivoituvalle funktiolle f virhe b 5 Integrlien lskemisest 51 Riemnnin summt [A2], [4, 61] Rjoitetun funktion f : [, b] R Riemnn-integroituvuudelle ytäpitäväksi on kurssill Anlyysi 2 osoitettu, että Riemnnin summill S P := f(ξ k ) ( ),

Lisätiedot

ANALYYSI I, kevät 2009

ANALYYSI I, kevät 2009 ANALYYSI I, kevät 009 Sisältö Relilukujen peruskäsitteitä Lukujonoist 4. Lukujonon rj-rvo....................... 4. Monotoniset jonot..........................3 Osjonot.............................. 7.4

Lisätiedot

5 ( 1 3 )k, c) AB 3AC ja AB AC sekä vektoreiden AB ja

5 ( 1 3 )k, c) AB 3AC ja AB AC sekä vektoreiden AB ja MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Hrjoitustehtäviä syksy 4. Millä reliluvun rvoill ) 9 =, b) + +, e) 5?. Kirjoit Σ-merkkiä käyttäen summt 4, ) + 4 + 6 + +, b) 8 + 4 6 + + n n, c) + + + 4 + + 99, d)

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 7: Integraali ja analyysin peruslause

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 7: Integraali ja analyysin peruslause MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 7: Integrli j nlyysin perusluse Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos 3.10.2016 Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen

Lisätiedot

ANALYYSI I, kevät 2009

ANALYYSI I, kevät 2009 ANALYYSI I, kevät 2009 Sisältö Relilukujen peruskäsitteitä 2 Lukujonoist 3 2. Lukujonon rj-rvo....................... 3 2.2 Monotoniset jonot......................... 7 2.3 Osjonot..............................

Lisätiedot

ANALYYSI I, kevät 2009

ANALYYSI I, kevät 2009 5 Riemnnin integrli 7 ANALYYSI I, kevät 9 5. Integrlin perusominisuuksi................. 76 5. Anlyysin perusluse....................... 8 Sisältö Relilukujen peruskäsitteitä Lukujonoist 3. Lukujonon rj-rvo.......................

Lisätiedot

MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 7: Integraali ja analyysin peruslause

MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 7: Integraali ja analyysin peruslause MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 7: Integrli j nlyysin perusluse Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos November 20, 2017

Lisätiedot

Sarjat ja integraalit

Sarjat ja integraalit Srjt j integrlit c Mtemttisten tieteiden litos, Oulun yliopisto Versio: 9.3.0 Viimeksi muoknnut: Peter Hästö Sisältö Funktion rj-rvo j jtkuvuus. Peruskäsitteitä........................................

Lisätiedot

Kertymäfunktio. Kertymäfunktio. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 2/2. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 1/2. Kertymäfunktio: Esitiedot

Kertymäfunktio. Kertymäfunktio. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 2/2. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 1/2. Kertymäfunktio: Esitiedot TKK (c) Ilkk Mellin (24) 1 Johdtus todennäköisyyslskentn TKK (c) Ilkk Mellin (24) 2 : Mitä opimme? 1/2 Jos stunnisilmiötä hlutn mllint mtemttisesti, on ilmiön tulosvihtoehdot kuvttv numeerisess muodoss.

Lisätiedot

4 Taso- ja avaruuskäyrät

4 Taso- ja avaruuskäyrät P2-luentoj kevät 2008, Pekk Alestlo 4 Tso- j vruuskäyrät Tässä luvuss tutustutn tso- j vruuskäyriin, niiden krenpituuteen j krevuuteen. Konkreettisin sovelluksin trkstelln nnettu rt pitkin liikkuvn hiukksen

Lisätiedot

sin θ θ θ r 2 sin 2 θ φ 2 = 0.

sin θ θ θ r 2 sin 2 θ φ 2 = 0. Mtemtiikn j tilstotieteen litos Osittisdifferentiliyhtälöt Kevät 21 Hrjoitus 9 Rtkisuj Jussi Mrtin 1. Osoit, että Lplce-yhtälö pllokoordinteiss on 2 u 1 r 2 2 u r r 1 r 2 sin θ u 1 2 u sin θ θ θ r 2 sin

Lisätiedot

Kertausta ja täydennystä

Kertausta ja täydennystä LUKU 1 Kertust j täydennystä 1.1. Merkintöjä N = {k Z k 0} = {0, 1, 2,... }, luonnollisten lukujen joukko. Z + = {k Z k > 0} = {1, 2,... }, positiivisten kokonislukujen joukko. (, b) on relikselin voin

Lisätiedot

Analyysi B. Derivaatta ja integraali. Pertti Koivisto

Analyysi B. Derivaatta ja integraali. Pertti Koivisto Anlyysi B Derivtt j integrli Pertti Koivisto Kevät 7 Alkusnt Tämä moniste on trkoitettu oheislukemistoksi Tmpereen yliopistoss pidettävälle kurssille Anlyysi B. Monisteen tvoitteen on tuke luentojen seurmist,

Lisätiedot

10. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA

10. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA MAA0 0. Määrätyn integrlin käyttö eräiden pint-lojen lskemisess 0. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA Edellä on todettu, että f (x)dx nt x-kselin j suorien x =, x = sekä funktion

Lisätiedot

Numeerinen integrointi.

Numeerinen integrointi. Numeerinen integrointi. Differentili- j integrlilskent 1, syksy 2015 Hrri Vrpnen Mtemtiikn j systeeminlyysin litos Alto-yliopisto Tiisti 6.10.2015 Sisältö Tylor-menetelmä. Käyttökelpoinen silloin, kun

Lisätiedot

2 Riemann-integraali. 2.1 Porrasfunktion integraali. Aloitetaan integraalin täsmällinen määrittely tutkimalla porrasfunktion integraalia.

2 Riemann-integraali. 2.1 Porrasfunktion integraali. Aloitetaan integraalin täsmällinen määrittely tutkimalla porrasfunktion integraalia. 2 Riemnn-integrli 2.1 Porrsfunktion integrli Aloitetn integrlin täsmällinen määrittely tutkimll porrsfunktion integrli. Määritelmä 2.1 (Porrsfunktion integrli). Olkoon f : [, b] R porrsfunktio j P = {x

Lisätiedot

Vektoriarvoisten funktioiden analyysiä

Vektoriarvoisten funktioiden analyysiä Vektorirvoisten funktioiden nlyysiä LuK-tutkielm Arttu Hrtikk 2330325 Mtemttisten tieteiden litos Oulun yliopisto Syksy 2016 Sisältö Johdnto 2 1 Vektorivruus 3 1.1 Normi j normivruus......................

Lisätiedot

Integraalilaskentaa. 1. Mihin integraalilaskentaa tarvitaan? MÄNTÄN LUKIO

Integraalilaskentaa. 1. Mihin integraalilaskentaa tarvitaan? MÄNTÄN LUKIO Integrlilskent Tämä on lukion oppimterileist hiemn poikkev yksinkertistettu selvitys määrätyn integrlin lskemisest. Kerromme miksi integroidn, mitä integroiminen trkoitt, miten integrli lsketn j miten

Lisätiedot

Reaalinen lukualue. Millainen on luku, jossa on päättymätön ja jaksoton desimaalikehitelmä?

Reaalinen lukualue. Millainen on luku, jossa on päättymätön ja jaksoton desimaalikehitelmä? Relinen lukulue POLYNOMIFUNKTIOT JA -YHTÄLÖT, MAA Millinen on luku, joss on päättymätön j jksoton desimlikehitelmä? Onko sellisi? Trkstelln Pythgorn luseest stv yksikköneliön lävistäjää, luku + = x x =.

Lisätiedot

Sisältö. Integraali 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 20

Sisältö. Integraali 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 20 Integrli 10. syyskuut 2005 sivu 1 / 20 Sisältö 1 Määrätty integrli j integrlifunktio 2 1.1 Integroituvist funktioit 3 1.2 Määrätyn integrlin ominisuuksi 4 1.3 Integrlifunktio 5 1.4 Integrlilskennn tärkeimmät

Lisätiedot

Ristitulo ja skalaarikolmitulo

Ristitulo ja skalaarikolmitulo Ristitulo j sklrikolmitulo Opetussuunnitelmn 00 mukinen kurssi Vektorit (MAA) sisältää vektoreiden lskutoimituksist keskeisenä ineksen yhteenlskun, vähennyslskun, vektorin kertomisen luvull j vektoreiden

Lisätiedot

i 2 n 3 ( (n 1)a (i + 1) 3 = 1 +

i 2 n 3 ( (n 1)a (i + 1) 3 = 1 + I. INTEGRAALILASKENTA Arkhimedes (287 22 e.kr.) prbelin segmentin pint-l Newton (642 727) j Leibniz (646 76) keksivät diff.- j int.-lskennn Cuhy (789 857) ε, δ Riemnn (826 866) Riemnnin integrli Lebesgue

Lisätiedot

6 Integraalilaskentaa

6 Integraalilaskentaa 6 Integrlilskent 6. Integrlifunktio Funktion f integrlifunktioksi snotn funktiot F, jonk derivtt on f. Siis F (x) = f (x) määrittelyjoukon jokisell muuttujn rvoll x. Merkitään F(x) = f (x) dx. Integrlifunktion

Lisätiedot

Matematiikan peruskurssi. Seppo Hassi

Matematiikan peruskurssi. Seppo Hassi Mtemtiikn peruskurssi Seppo Hssi Syksy 2014 iii Esipuhe Tämä on 1. versio Mtemtiikn peruskurssin opetusmonisteest, jonk sisältö noudttelee pitkälti Vsn yliopistoss iemmin luennoimni Mtemttiset menetelmät

Lisätiedot

Korkeamman kertaluvut derivaatat

Korkeamman kertaluvut derivaatat LUKU 4 Korkemmn kertluvut derivtt Derivtn määritelmän mukn differentioituv kuvust f : U F voidn pproksimoid ffiinill kuvuksell, f(x + u f(x + Df(xu. Jos f on khdesti differentioituv, voidn derivtt pproksimoid

Lisätiedot

Matemaattiset menetelmät I. Seppo Hassi

Matemaattiset menetelmät I. Seppo Hassi Mtemttiset menetelmät I Seppo Hssi Syksy 2011 iii Esipuhe Tämä on 1. versio Mtemttiset menetelmät I-kurssin opetusmonisteest, jok perustuu Vsn yliopistoss luennoimni vstvn nimiseen kurssiin. Sisältö noudtt

Lisätiedot

Sisältö. Funktiojonot ja -sarjat 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 15

Sisältö. Funktiojonot ja -sarjat 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 15 Funktiojonot j -srjt 10. syyskuut 2005 sivu 1 / 15 Sisältö 1 Funktiojonoist 2 2 Funktiosrjoist 5 3 Funktiojonojen j -srjojen derivointi j integrointi 7 4 Potenssisrjt 9 5 Tylorin polynomit j srjt 12 5.1

Lisätiedot

Analyyttiset funktiot ja integrointiteorian alkeita

Analyyttiset funktiot ja integrointiteorian alkeita Anlyyttiset funktiot j integrointiteorin lkeit 6. helmikuut 2006 isältö 1 Kertust 1 2 Anlyyttiset funktiot 2 2.1 Anlyyttiset funktiot tsoll................... 2 2.2 Monogeeniset funktiot vruudess R n.............

Lisätiedot

11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS

11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS 11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS Tilvuus on sen verrn rkielämässä viljelty käsite, että useimmiten sen syvemmin edes miettimättä ymmärretään, mitä juomlsin ti pikkuvuvn kylpymmeen tilvuudell trkoitetn.

Lisätiedot

Syksyn 2015 Pitkän matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut

Syksyn 2015 Pitkän matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut Sksn 0 Pitkän mtemtiikn YO-kokeen TI-Nspire CAS -rtkisut Tekijät: Olli Krkkulinen Rtkisut on ldittu TI-Nspire CAS -tietokoneohjelmll kättäen Muistiinpnot -sovellust. Kvt j lskut on kirjoitettu Mth -ruutuihin.

Lisätiedot

Sinilause ja kosinilause

Sinilause ja kosinilause Siniluse j kosiniluse GEOMETRI M3 Mikäli kolmion korkeus j knt tiedetään, voidn pint-l lske. Esimerkki: Lske kolmion l, kun 38 kulmn viereiset sivut ovt 8, j 6,8. Nyt knt tiedetään, korkeutt ei! 38 8,

Lisätiedot

521. 522. 523. 524. 525. 526. 527. 12. Lisää määrätystä integraalista. 12.1. Integraalin arvioimisesta. Osoita: VASTAUS: Osoita: Osoita:

521. 522. 523. 524. 525. 526. 527. 12. Lisää määrätystä integraalista. 12.1. Integraalin arvioimisesta. Osoita: VASTAUS: Osoita: Osoita: 12. Lisää määrätystä integrlist 12.1. Integrlin rvioimisest 521. Osoit: 1 + x 2 22 1 < < 1 + x21 21. 522. Osoit: x 3 < 5 x 6 + 8x + 9 < 15 1 5. 523. Osoit: 2 2 < e x2 x < 2e 2. e 524. Olkoon k >. Osoit:

Lisätiedot

Analyysin perusteet kauppatieteilijöille 800118P

Analyysin perusteet kauppatieteilijöille 800118P Anlyysin perusteet kupptieteilijöille 800118P Luentomoniste Kri Myllylä Niin Korteslhti Topi Törmä Oulun yliopisto Mtemttisten tieteiden litos Kevät 2015 Sisältö 1 Derivtt 3 1.1 Määritelmä..............................

Lisätiedot

Riemannin integraalista

Riemannin integraalista TAMPEREEN YLIOPISTO Pro grdu -tutkielm Aij Stenberg Riemnnin integrlist Mtemtiikn j tilstotieteen litos Mtemtiikk Syyskuu 2010 2 Tmpereen yliopisto Mtemtiikn j tilstotieteen litos STENBERG, AIJA: Riemnnin

Lisätiedot

Ville Turunen: Mat Matematiikan peruskurssi P1 3. välikokeen alueen teoriatiivistelmä 2007

Ville Turunen: Mat Matematiikan peruskurssi P1 3. välikokeen alueen teoriatiivistelmä 2007 Ville Turunen: Mt-.4 Mtemtiikn peruskurssi P 3. välikokeen lueen teoritiivistelmä 27 Mterili: kirjt [Adms] R. A. Adms: Clculus, complete course (6th edition), [Ly] D. C. Ly: Liner lgebr nd its pplictions

Lisätiedot

VEKTOREILLA LASKEMINEN

VEKTOREILLA LASKEMINEN ..07 VEKTOREILL LSKEMINEN YHTEENLSKU VEKTORIT, M4 Vektoreiden j summ on vektori +. Tämän summvektorin + lkupiste on vektorin lkupiste j loppupiste vektorin loppupiste, kun vektorin lkupisteenä on vektorin

Lisätiedot

Integroimistehtävät, 10. syyskuuta 2005, sivu 1 / 29. Perustehtäviä. Tehtävä 1. Osoita, että vakiofunktio f(x) c on Riemann-integroituva välillä

Integroimistehtävät, 10. syyskuuta 2005, sivu 1 / 29. Perustehtäviä. Tehtävä 1. Osoita, että vakiofunktio f(x) c on Riemann-integroituva välillä Integroimistehtävät,. syyskuut 5, sivu / 9 Perustehtäviä Tehtävä. Osoit, että vkiofunktio f(x) c on Riemnn-integroituv välillä [, b] j lske suorn määritelmän perusteell b f(x). Tehtävä. Osoit, että funktio,

Lisätiedot

a = x 0 < x 1 < x 2 < < x n = b f(x) dx = I. lim f(x k ) x k=1

a = x 0 < x 1 < x 2 < < x n = b f(x) dx = I. lim f(x k ) x k=1 5 Integrli 5.1 Määritelmä j ominisuudet Olkoon f : [, b] R jtkuv. Muodostetn välin [, b] jko = x 0 < x 1 < x 2 < < x n = b j siihen liittyvä yläsumm S = n M k (x k x k 1 ), M k = mx{f(x) x k 1 x x k },

Lisätiedot

Lebesguen integraali - Rieszin määritelmä

Lebesguen integraali - Rieszin määritelmä Lebesguen integrli - Rieszin määritelmä Tru Lehtonen Mtemtiikn pro grdu-tutkielm Jyväskylän yliopisto Mtemtiikn j tilstotieteen litos Kevät 216 Tiivistelmä Jyväskylän Yliopisto Lehtonen, Tru Puliin: Lebesguen

Lisätiedot

3.3 KIELIOPPIEN JÄSENNYSONGELMA Ratkaistava tehtävä: Annettu yhteydetön kielioppi G ja merkkijono x. Onko

3.3 KIELIOPPIEN JÄSENNYSONGELMA Ratkaistava tehtävä: Annettu yhteydetön kielioppi G ja merkkijono x. Onko 3.3 KILIOPPIN JÄSNNYSONGLMA Rtkistv tehtävä: Annettu yhteydetön kielioppi G j merkkijono x. Onko x L(G)? Rtkisumenetelmä = jäsennyslgoritmi. Useit vihtoehtoisi menetelmiä, erityisesti kun G on jotin rjoitettu

Lisätiedot

OSA 1: POLYNOMILASKENNAN KERTAUSTA, BINOMIN LASKUSÄÄNTÖJÄ JA YHTÄLÖNRATKAISUA

OSA 1: POLYNOMILASKENNAN KERTAUSTA, BINOMIN LASKUSÄÄNTÖJÄ JA YHTÄLÖNRATKAISUA OSA 1: POLYNOMILASKENNAN KERTAUSTA, BINOMIN LASKUSÄÄNTÖJÄ JA YHTÄLÖNRATKAISUA Tekijät: Ari Heimonen, Hellevi Kupil, Ktj Leinonen, Tuomo Tll, Hnn Tuhknen, Pekk Vrniemi Alkupl Tiedekeskus Tietomn torninvrtij

Lisätiedot

Monikulmion pinta-ala ylioppilaille

Monikulmion pinta-ala ylioppilaille Solmu 3/9 Monikulmion pint-l lioppilille Mik Koskenoj Mtemtiikn j tilstotieteen litos Helsingin liopisto Tehtävä. Kuusikulmion M kärjet ovt tson pisteissä (, ), (3, ), (, ), (4, 3), (, ) j (, ). Lske M:n

Lisätiedot

4. Reaalifunktioiden määrätty integraali

4. Reaalifunktioiden määrätty integraali 6 4. Relifunktioiden määrätt integrli Vrsinisesti termi "integrli" tulee seurvss esitettävästä määrätstä integrlist, jok on läheistä suku summmiselle. Yhtes derivttn on sitten perustv ltu olev tulos, jot

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Mtemtiikn tukikurssi Kurssikert 3 Määrätyn integrlin lskeminen Aiemmin määrittelimme määrätyn integrlin f (x)dx funktion f (x) l- j yläsummien rj-rvon. Määrätyllä integrlill on kksi intuitiivist tulkint:.

Lisätiedot

Esimerkki 8.1 Määritellään operaattori A = x + d/dx. Laske Af, kun f = asin(bx). Tässä a ja b ovat vakioita.

Esimerkki 8.1 Määritellään operaattori A = x + d/dx. Laske Af, kun f = asin(bx). Tässä a ja b ovat vakioita. 8. Operttorit, mtriisit j ryhmäteori Mtemttinen operttori määrittelee opertion, jonk mukn sille nnettu funktiot muoktn. Operttorit ovt erityisen tärkeitä kvnttimekniikss, kosk siinä jokist suurett vst

Lisätiedot

Mika Hirvensalo. Insinöörimatematiikka B 2014

Mika Hirvensalo. Insinöörimatematiikka B 2014 Mik Hirvenslo Insinöörimtemtiikk B 4 Sisältö Rj-rvo j jtkuvuus....................................................... 5. Differentili- j integrlilskennn kehityksestä............................. 5. Relilukujen

Lisätiedot

T Syksy 2002 Tietojenkäsittelyteorian perusteet Harjoitus 5 Demonstraatiotehtävien ratkaisut. ja kaikki a Σ ovat säännöllisiä lausekkeita.

T Syksy 2002 Tietojenkäsittelyteorian perusteet Harjoitus 5 Demonstraatiotehtävien ratkaisut. ja kaikki a Σ ovat säännöllisiä lausekkeita. T-79.8 Syksy 22 Tietojenkäsittelyteorin perusteet Hrjoitus 5 Demonstrtiotehtävien rtkisut Säännölliset lusekkeet määritellään induktiivisesti: j kikki Σ ovt säännöllisiä lusekkeit. Mikäli α j β ovt säännöllisiä

Lisätiedot

ICS-C2000 Tietojenkäsittelyteoria Kevät 2016

ICS-C2000 Tietojenkäsittelyteoria Kevät 2016 ICS-C2 Tietojenkäsittelyteori Kevät 2 Kierros,. 5. helmikuut Demonstrtiotehtävien rtkisut D: Sievennä seurvi säännöllisiä lusekkeit (so. konstruoi yksinkertisemmt lusekkeet smojen kielten kuvmiseen): ()

Lisätiedot

ANALYYSIN TEORIA A JA B

ANALYYSIN TEORIA A JA B ANALYYSIN TEORIA A JA B Kikki luseit ei ole muotoiltu smll tvll kuin luennoill. Ilmoit virheistä yms osoitteeseen mikko.kngsmki@ut. (jos et ole vrm, onko kyseessä virhe, niin ilmoit mieluummin). 1. Yleistä,

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 9: Integroimismenetelmät

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 9: Integroimismenetelmät MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 9: Integroimismenetelmät Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos 10.10.2016 Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen (Alto-yliopisto,

Lisätiedot

R4 Harjoitustehtävien ratkaisut

R4 Harjoitustehtävien ratkaisut . Mitkä seurvist lusekkeist eivät ole polynomej? Miksi eivät? Polynomin termine eksponentti on luonnollinen luku, ne lusekkeet, joiss eksponentti ei ole luonnollinen luku ei ole myöskään polynomi.. x x

Lisätiedot

Matematiikan perusteet taloustieteilijöille 2 800118P

Matematiikan perusteet taloustieteilijöille 2 800118P Mtemtiikn perusteet tloustieteilijöille 2 800118P Luentomoniste Kri Myllylä Niin Korteslhti Oulun yliopisto Mtemttisten tieteiden litos Kevät 2014 Sisältö 1 Mtriisilgebr j optimointi 4 11 Määritelmä 4

Lisätiedot

VEKTOREILLA LASKEMINEN

VEKTOREILLA LASKEMINEN 3..07 VEKTOREILLA LASKEMINEN YHTEENLASKU VEKTORIT, MAA Vektoreiden j summ on vektori +. Tämän summvektorin + lkupiste on vektorin lkupiste j loppupiste vektorin loppupiste, kun vektorin lkupisteenä on

Lisätiedot

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2017 Harjoitus 6, ratkaisuista. 1. Onko jokin demojen 5 tehtävän 3 relaatioista

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2017 Harjoitus 6, ratkaisuista. 1. Onko jokin demojen 5 tehtävän 3 relaatioista Mtemtiikn johntokurssi, syksy 07 Hrjoitus 6, rtkisuist. Onko jokin emojen 5 tehtävän reltioist ) R := {(, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, )}, ) S := {(, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ),

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ PISTEYTYSKOKOUS

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ PISTEYTYSKOKOUS 0 MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 30 PISTEYTYSKOKOUS 0 ) Sijoitetn x 0 Rtkistn = 0/04,0000 b) Jos neliön sivu on s, niin lävistäjä on s Ehto: s 6 s + s = 6, s 6 3 4s 6,70, joten piiri ) Suorn yhtälö

Lisätiedot

MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 9: Integroimismenetelmät

MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 9: Integroimismenetelmät MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 9: Integroimismenetelmät Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos November 27, 2017 Pekk Alestlo,

Lisätiedot

4 DETERMINANTTI JA KÄÄNTEISMATRIISI

4 DETERMINANTTI JA KÄÄNTEISMATRIISI 4 DETERMINANTTI JA KÄÄNTEISMATRIISI Neliömtriisin determinntti Neliömtriisin A determinntti on luku, jot merkitään det(a) ti A. Lskeminen: -mtriisin A determinntti: det(a) -mtriisin A determinntti esim.

Lisätiedot

ANALYYSI 3. Tero Kilpeläinen

ANALYYSI 3. Tero Kilpeläinen ANALYYSI 3 Tero Kilpeläinen Luentomuistiinpnoj syksyltä 2005 20. lokkuut 2005 Sisältö 1. Esitietoj 2 1.1. Riemnn-integrli............................ 2 1.2. Derivtt................................. 4 1.3.

Lisätiedot

Suorat, käyrät ja kaarevuus

Suorat, käyrät ja kaarevuus Suort, käyrät j krevuus Jukk Tuomel Professori Mtemtiikn litos, Joensuun yliopisto Suor? Tämä kirjoitus on eräänlinen jtko Timo Tossvisen suorn määritelmää koskevn kirjoitukseen Solmun numeross 2/2002.

Lisätiedot

Numeerinen integrointi

Numeerinen integrointi Pitkärnt: Lj mtemtiikk IX9 Numeerinen integrointi IX9 Numeerinen integrointi Numeerisell integroinnill trkoitetn määrätyn integrlin, eli reliluvun I(f,,b) = f(x)dx lskemist numeerisin keinoin (likimäärin)

Lisätiedot

lim + 3 = lim = lim (1p.) (3p.) b) Lausekkeen täytyy supistua (x-2):lla, joten osoittajan nollakohta on 2.

lim + 3 = lim = lim (1p.) (3p.) b) Lausekkeen täytyy supistua (x-2):lla, joten osoittajan nollakohta on 2. Mtemtiikk III 0600 Kurssi / Differetili- j itegrlilske jtkokurssi Tee 7 tehtävää ) Määritä lim ( ) ) + b) Määritä vkio site, että luseke ( ) + + ( )( ) ( + + ) + + + + + lim + lim lim (p) o jtkuv myös

Lisätiedot

Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 6 / vko 13

Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 6 / vko 13 MS-A040 Diskreetin mtemtiikn perusteet, IV/07 Kngslmpi / Jkosson Diskreetin mtemtiikn perusteet Lskuhrjoitus / vko Tuntitehtävät 4-4 lsketn lkuviikon hrjoituksiss j tuntitehtävät 45-4 loppuviikon hrjoituksiss.

Lisätiedot

Mat Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros 8

Mat Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros 8 Mt-.148 Dynminen optimointi, mllivstukset, kierros 8 1. Idelisess tsvirtmoottoriss vääntömomentti on suorn verrnnollinen virtn. Moottori pyörittää ikiliikkuj (ei kitk- ti sähkömgneettisi vstusvoimi). Moottorin

Lisätiedot

Analyysi III S

Analyysi III S Anlyysi III 800624S Sisältö sitietoj 5 Riemnn integroinnin rjt 6 Luku 1. Mittteori 7 1. Algebr j σ-lgebr 7 2. Mitt 8 3. Ulkomitt j mitlliset joukot 11 4. Ulkomitn konstruointi 14 5. Lebesguen ulkomitt

Lisätiedot

1 Jonot. 2 Sarjat. 3 Jatkuvuus. 4 Derivaatta. 5 Taylor-polynomit ja -sarjat. 1.2 Jonot. jossa

1 Jonot. 2 Sarjat. 3 Jatkuvuus. 4 Derivaatta. 5 Taylor-polynomit ja -sarjat. 1.2 Jonot. jossa Sisältö MS-AX Differentili- j integrlilskent Nämä klvot sisältävät otsikoss minitun kurssin keskeisen mterilin, mutt myös pljon oheislukemist. Luennoill voidn käsitellä myös täydentäviä esimerkkejä, kosk

Lisätiedot

Newtonin, Riemannin ja Henstock-Kurzweilin integraalit

Newtonin, Riemannin ja Henstock-Kurzweilin integraalit TAMPEREEN YLIOPISTO Pro grdu -tutkielm Annik Heinonen Newtonin, Riemnnin j Henstock-Kurzweilin integrlit Informtiotieteiden yksikkö Mtemtiikk Helmikuu 2013 Sisältö 1 Johdnto 1 2 Newtonin integrli 2 2.1

Lisätiedot

Viikon aiheet. Pinta-ala

Viikon aiheet. Pinta-ala info Viikon iheet Mpu I:sen voit suoritt: Kurssin loppukokeess 23.10. Arvosn: koe + lskrit Mikäli yo. ik ei sovi, voit suoritt loppukokeen yleistenttitilisuudess 24.11. Arvosn: koe + lskrit. Ilmoittudu

Lisätiedot

Johdatusta variaatiolaskentaan

Johdatusta variaatiolaskentaan LUKU 6 Johdtust vritiolskentn 6.1. Prmetrist riippuvt integrlit [4, Ch. XIII, 8], [2, Ch. 1. Lemm 2.12.2], [3, Ch. VIII, 11], [15, Ch. XI, 7], [8, Ch. II, 3] Luse 6.1. Olkoot E normivruus, F Bnchin vruus,

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi. Hannu Kivimäki

Matematiikan tukikurssi. Hannu Kivimäki Mtemtiikn tukikurssi Hnnu Kivimäki Sisältö I Ensimmäinen välikoe Integrointi 2 Osittisintegrointi 5 3 Osmurtohjotelm 4 Lisää osmurtoj 4 5 Sijoituskeino 9 6 Määrätty integrli 2 7 Ylä- j lsumm 22 8 Määrätyn

Lisätiedot

Paraabelikin on sellainen pistejoukko, joka määritellään urakäsitteen avulla. Paraabelin jokainen piste toteuttaa erään etäisyysehdon.

Paraabelikin on sellainen pistejoukko, joka määritellään urakäsitteen avulla. Paraabelin jokainen piste toteuttaa erään etäisyysehdon. 5. Prbeli Prbelikin on sellinen pistejoukko, jok määritellään urkäsitteen vull. Prbelin jokinen piste toteutt erään etäissehdon. ********************************************** MÄÄRITELMÄ : Prbeli on tson

Lisätiedot

Riemann-integraalin ja mittaintegraalin vertailua

Riemann-integraalin ja mittaintegraalin vertailua Riemnn-integrlin j mittintegrlin vertilu Pro grdu -tutkielm Pii Tskinen Mtemttisten tieteiden litos Oulun yliopisto Kevät 216 Sisältö Johdnto 3 1 Esitietoj 5 1.1 Välijost............................. 5

Lisätiedot

VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 3.6.2014 Ratkaisut ja arvostelu

VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 3.6.2014 Ratkaisut ja arvostelu VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 3.6.4 Rtkisut j rvostelu. Koululisen todistuksen keskirvo x on lskettu ) b) c) d) kymmenen ineen perusteell. Jos koululinen nostisi neljän ineen

Lisätiedot

LINSSI- JA PEILITYÖ TEORIAA. I Geometrisen optiikan perusaksioomat

LINSSI- JA PEILITYÖ TEORIAA. I Geometrisen optiikan perusaksioomat (0) LINSSI- JA PEILITYÖ MOTIVOINTI Tutustutn linsseihin j peileihin geometrisen optiikn mittuksiss Tutkitn vlon käyttäytymistä linsseissä j peileissä Määritetään linssien j peilien polttopisteet Optiset

Lisätiedot

1.3 Toispuoleiset ja epäoleelliset raja-arvot

1.3 Toispuoleiset ja epäoleelliset raja-arvot . Toisuoleiset j eäoleelliset rj-rvot Rj-rvo lim f () A olemssolo edellyttää että muuttuj täytyy void lähestyä rvo kummst suust hyväsä. Jos > ii sot että lähestyy rvo oikelt ositiivisest suust. Jos ts

Lisätiedot

funktion voi tarkistaa derivoimalla. Sijoitusmenettely perustuu ketjusääntöön.

funktion voi tarkistaa derivoimalla. Sijoitusmenettely perustuu ketjusääntöön. I.6. Sijoitusmenettely A. Integrlifunktiot Integrlifunktiot etsittäessä on sopiv derivoimissääntö luettv tkperin. funktion voi trkist derivoimll. Sijoitusmenettely perustuu ketjusääntöön. Löydetyn 6..

Lisätiedot

Greenin ja Stokesin lauseet

Greenin ja Stokesin lauseet TAMPEREEN YLIOPISTO Pro Grdu -tutkielm Niin Oksmn Greenin j Stokesin luseet Informtiotieteiden yksikkö Mtemtiikk Toukokuu 212 Tmpereen yliopisto Informtiotieteiden yksikkö OKSMAN, NIINA: Greenin j Stokesin

Lisätiedot

Laudatur 10 MAA10 ratkaisut kertausharjoituksiin

Laudatur 10 MAA10 ratkaisut kertausharjoituksiin Ludtur MAA rtkisut kertushrjoituksiin Integrlifunktio. ) Jokin integrli funktio on esimerkiksi F( ) b) Kikki integrlifunktiot F( ) + C, missä C on vkio Vstus: ) F( ) b) F( ) + C, C on vkio. Kikki integrlifunktiot

Lisätiedot

2.1 Vaillinaiset yhtälöt

2.1 Vaillinaiset yhtälöt .1 Villiniset yhtälöt Yhtälö, jok sievenee muotoon x + bx + c = 0 (*) on yleistä normlimuoto olev toisen steen yhtälö. Tämän rtkiseminen ei olekn enää yhtä meknist kuin normlimuotoisen ensisteen yhtälön

Lisätiedot

Polkuintegraali yleistyy helposti paloitain C 1 -poluille. Määritelmä Olkoot γ : [a, b] R m paloittain C 1 -polku välin [a, b] jaon

Polkuintegraali yleistyy helposti paloitain C 1 -poluille. Määritelmä Olkoot γ : [a, b] R m paloittain C 1 -polku välin [a, b] jaon Polkuintegraali yleistyy helposti paloitain C 1 -poluille. Määritelmä 4.1.3. Olkoot : [a, b] R m paloittain C 1 -polku välin [a, b] jaon P = {a = t 1 < < t k = b} ja joukko D R m sellainen, että ([a, b])

Lisätiedot

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 5.2.2013

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 5.2.2013 Preliminäärikoe Pitkä Mtemtiikk 5..0 Kokeess s vstt enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä ( * ) merkittyjen tehtävien mksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien mksimipistemäärä on 6.. ) Rtkise yhtälö b)

Lisätiedot

Painopiste. josta edelleen. x i m i. (1) m L A TEX 1 ( ) x 1... x k µ x k+1... x n. m 1 g... m n g. Kuva 1. i=1. i=k+1. i=1

Painopiste. josta edelleen. x i m i. (1) m L A TEX 1 ( ) x 1... x k µ x k+1... x n. m 1 g... m n g. Kuva 1. i=1. i=k+1. i=1 Pinopiste Snomme ts-ineiseksi kpplett, jonk mteriliss ei ole sisäisiä tiheyden vihteluj. Tällisen kppleen pinopisteen sijinti voidn joskus päätellä kppleen muodon perusteell. Esimerkiksi ts-ineisen pllon

Lisätiedot

Variaatiolaskentaa ja sen sovelluksia

Variaatiolaskentaa ja sen sovelluksia TAMPEREEN YLIOPISTO Pro grdu -tutkielm Luri Kumpulinen Vritiolskent j sen sovelluksi Informtiotieteiden yksikkö Mtemtiikk Lokkuu 2016 Tmpereen yliopisto Informtiotieteiden yksikkö KUMPULAINEN, LAURI: Vritiolskent

Lisätiedot