ANALYYSI II A Matemaattisten tieteiden laitos Luentomoniste työn alla: viimeksi muutettu

Transkriptio

1

2 ANALYYSI II A Mtemttisten tieteiden litos Luentomoniste työn ll: viimeksi muutettu

3

4 Sisältö Alkusnt Suosituksi opiskelutvoist iii iii Luku 1. Usen muuttujn funktioist: jtkuvuus 1 1. Merkinnät y.m Rj-rvoist 2 3. Kuvuksen jtkuvuus 5 4. Funktiot F : R R p, p Käyrä, yksinkertinen kri j polku 8 Luku 2. Funktioiden j kuvusten differentililskent Funktion differentioituvuus Osittisderivtt C 1 -funktiot Ketjusääntö Grdientti j suunnttu derivtt Grdienttivektorin geometrinen tulkint Kuvukset F : R n R p, n, p Korkemmn kertluvun osittisderivtt 26 Luku 3. Differentililskennn sovelluksi Virheen rviointi Käänteisfunktioist Implisiittifunktioist Piklliset äärirvot Relirvoisen funktion optimointi kompktiss joukoss Relifunktion optimointi epäkompktiss joukoss Sidotut äärirvot 39 Luku 4. Kksinkertinen integrli tsoss R Funktion integrli yli suorkulmion Nolljoukko Funktion integrli yli R 2 :n rjoitetun osjoukon Muuttujn vihto kksinkertisess integrliss 51 Luku 5. Polkuintegrli j kri-integrli Relifunktion polkuintegrli Vektorikentän polkuintegrli Integrlilskennn perusluse Kri-integrli eli viivintegrli Greenin luse 63 Liite A. Kertust 69 i

5 1. Euklidinen vruus R n Funktiot j kuvukset R n R p, n,p 1 73 Hrjoitustehtävät 77 ii

6 Alkusnt Tämä luentomoniste on trkoitettu käytettäväksi Oulun yliopiston Mtemttisten tieteiden litoksen kurssill Anlyysi 2. Monisteen lkuperä on Ves Mustosen luennoiss, j lkuperäisestä kirjoitustyöstä vstsi Jnne Oins. Syksyllä 2006 kurssin rkenne muuttui sen verrn pljon, että oli mielekästä ruvet kokomn mterilin uudell tvll, smll kun os käsitellyistä sioist vihdettiin. Tämä uusimis prosessi jtkuu edelleen, j kikki (konstruktiiviset) kommentit ovt tervetulleit. Uudistmistyössä on inkin seurvt tvoitteet: Lisätä luseiden j esimerkkejen ympärille vähän enemmän kokov tekstiä. Kytkeä differentioituvuuden määritelmä tiiviimmin yhteen pproksimtion knss. Selkeyttää integrlilskennn oslt työnjko tämän kurssin j Anlyysi 3:n välillä. Suosituksi opiskelutvoist Kurssill yleistetään mont differentili- j integrlilskun, Perusmetodit I j Anlyysi I kursseilt tuttu, työklui yhdestä ulottuvuudest usempn ulottuvuuteen. Kosk nämä sit, erityisesti integrlit käydään syvällisellä j modernill tvll läpi kurssill Anlyysi III, ei tällä kurssill ole smnlist pinotust todistuksiin kuin kursseill Anlyysi I j III. Tärkeätä on sen sijn käsitteellisen ymmärryksen kehittäminen j ongelmn rtkisutidot. Luennoll esitetään usein uuteen käsitteeseen liittyen vin yksi ti muutm esimerkki: mikäli tämä ei ole riittävää knntt omtoimisesti generoid yksinkertisi tehtäviä joiss test käsitteen ti määritelmän toimivuutt. Esimerkiksi jokisen kuvuksi koskevn käsitteen kohdll knntt selvittää itselleen, mitä se trkoitt linerikuvuksen tpuksess. Kurssin hrjoitustehtävät knntt ehdottomsti yrittää rtkist itsenäisesti ti ryhmässä. Pidä mielessä, että ongelm on määritelmän mukn tehtävä jolle ei ole heti nähtävissä rtkisu. Kosk tvoitteen on hrjoitell ongelmn rtkisu, on os tehtävistäkin sellisi, että niitä joutuu mitettimään. Tätä ei voi välttää, sillä mtemttisi ongelmi oppii rtkomn inostn rtkomll niitä. Kurssin oheislukemistoksi sopii melkein mikä thns kirj jonk nimi on Clculus of Severl Vribles, tms. Esimerkiksi seurvt kirjt löytyvät Oulun yliopiston kirjstoist: R. Ellis: Clculus one nd severl vribles C. Goffmn: Clculus of severl vribles S. Lng: Clculus of severl vribles A. Persson & L.-C. Böiers: Anlys i fler vribler V. Purmonen: Differentili- j integrlilskent usen relimuuttujn funktioille iii

7 S. Sls: Clculus one nd severl vribles with nlytic geometry iv

8 LUKU 1 Usen muuttujn funktioist: jtkuvuus 1. Merkinnät y.m. ) Lämpötil T kolmiulotteisess tilss riippuu pikst eli koordinteist x, y j z. Siis T = T (x, y, z). Lämpötil voi riippu myös jst t, jolloin T = T (x, y, z, t). Mlliongelmi: missä tiln pisteessä lämpötil on suurin ti pienin j mihin suuntn lämpötil muuttuu voimkkimmin? b) Annettun mterilikppleen tiheys ρ riippuu koordinteist x, y j z. Siis ρ = ρ(x, y, z). Mlliongelm: miten kppleen mss, pinopiste j hitusmomentti voidn määrätä ti lske kppleen tiheyden vull? c) Sähköinen voimkenttä (mgneettikenttä, vetovoimkenttä). Kuhunkin til-vruuden (x, y, z) pisteeseen liittyy vektori U = U(x, y, z), jok ilmisee voimn suunnn j suuruuden. Siis U(x, y, z) = ( u 1 (x, y, z),u 2 (x, y, z),u 3 (x, y, z) ). Mlliongelmi: mikä työ on tehtävä, jott nnettu pistemäinen vrus siirtyisi pisteestä P 1 pisteeseen P 2 käyrää C pitkin? k P 2 C U U j P 1 i Seurvksi esitetään muutmi tässä luentorungoss käytettäviä merkintäsopimuksi, joist yritetään pitää kiinni. Relimuuttuji merkitään pienillä kirjimill, joill ei ole ksenttin symboli. Esimerkiksi x, y, z, x 1,x 2,x 3,..., t, s ovt relimuuttuji. Vektorimuuttuji merkitään pienillä lihvoiduill kirjimill. Esimerkiksi x, y, z, u, w,...

9 2 Luku 1. Usen muuttujn funktioist: jtkuvuus ovt vektorimuuttuji. Yhden ti usen relimuuttujn relirvoisi funktioit merkitään pienillä ksentoimttomill kirjimill. Esimerkiksi yhtälöillä f(x, y, z) =x +sin(yz), f : R 3 R j g(x 1,x 2 )= x 1 x 2 (määritysjoukko?) määritellyt kuvukset f j g ovt relirvoisi kuvuksi. Jott relirvoiset kuvukset erottuisivt selvästi vektorirvoisist kuvuksist, niin vektorirvoisi kuvuksi merkitään isoill kirjimill. Siis F, G, H, U,... ovt vektorirvoisi funktioit. Toislt myös joukkoj j eräitä muit mtemttisi objektej merkitään isoill kirjimill. Tämän ei kuitenkn pitäisi iheutt hnkluuksi. Esimerkkinä vektorirvoisist kuvuksist nnetn kuvus F : R 3 D R 2,jok määritellään kvll ) F (x 1,x 2,x 3 )= ( 1 x 23,x 1 x 2 x 3 := ( f 1 (x 1,x 2,x 3 ),f 2 (x 1,x 2,x 3 ) ). Reltioill f 1 (x 1,x 2,x 3 )= 1 x 2 3 j f 2 (x 1,x 2,x 3 )=x 1 x 2 x 3 määriteltyjä kuvuksi kutsutn funktion F koordinttifunktioiksi. Mikä on F :n määrityslue? Funktioit F : R n D R n (n 2) snotn fysiikss vektorikentiksi (vector field) (vrsinisesti, kun n =3). Tämänlisi kuvuksi ovt esimerkiksi koordintiston vihtokuvukset R 2 R 2 j R 3 R 3.KuvuksiR n R snotn sklrikentiksi (sclr field). 2. Rj-rvoist 2.1. Pistejonojen rj-rvoist. Plut mieleen lukujonon ( k ) k=1 R rjrvon käsite. Tässä losioss trkstelln vruuden R p (p 2) pistejonoj ( k ) k=1, missä k = ( (1) ) k,(2) k,...,(p) k R p kikill k Z +. Määritelmä 2.1. Pistejonon ( k ) k=1 snotn suppenevn eli konvergoivn kohti pistettä R p, jos jokist positiivist luku ε kohti on olemss sellinen n 0 (ε) =n 0 N, että k <ε kikill k n 0 eli k B(,ε), kunk n 0. Tällöin merkitään lim k = ti k, kunk,j k lkiot kutsutn jonon ( k ) k=1 rj-rvoksi (rj-lkioksi). Esimerkki 2.1. Asetetn jokist luku k Z + vstmn vruuden R 3 piste k = ( k 1,, 1 k+1 k).kosk lim 1=1, lim k 1 =1 j lim =0, k k k+1 k k niin ilmeisesti lim k =(1, 1, 0) R 3. Todistetn tämä luennoll. k Luse 2.1. Olkoon ( k ) k=1 Rp pistejono, jolle k = ( (1) k k N, jolkoon =( 1, 2,..., p ) R p.tällöin lim lim k (i) k = i jokisell i =1, 2,...p. ),(2) k,...,(p) k jokisell k = trklleen silloin, kun k

10 2. Rj-rvoist 3 Todistus. Väite seur välittömästi ll olevst yhtäpitävyydestä. k 2 =( (1) k 1 ) ( (p) k p ) 2 k 0 ( (i) k i) 2 k 0 jokisell i =1, 2, 3,..., p. Kurssiss Anlyysi 1 relilukujono ( k ) k=1 kutsuttiin Cuchyn jonoksi, kunsetoteutti seurvn ehdon: jokist positiivist luku ε kohti on olemss sellinen luku n 0 (ε) =n 0 N, että k m <εin, kun k, m n 0. Anlyysi 1:n kurssill todistettiin, että relilukujen joukko on siinä mielessä täydellinen, että sen jokinen Cuchyn jono suppenee. Anloginen tulos pätee myös vruuden R p (p< ) pistejonoille. Luse 2.2. Olkoon ( k ) k=1 Rp pistejono. Tällöin välttämätön j riittävä ehto jonon ( k ) k=1 suppenemiselle on se, että ( k) k=1 on Cuchyn jono. Todistus. Jos jono ( k ) k=1 suppenee kohti pistettä, niin jokist ε>0 kohti on olemss sellinen n 0 (ε) =n 0 Z +, että k <ε/2, kun k n 0. Tällöin k m m + k <ε, kun k, m n 0. Siis ( k ) k=1 on Cuchyn jono. Osoitetn käänteinen väite. Olkoon siis ( k ) k=1 Cuchyn jono, missä k = ( (1) ) k,(2) k,...,(p) k. Tällöin jonon ( k ) k=1 mikä thns koordinttijono ((i) k ) k=1 on Cuchy-jono R:ssä, joten jono ( (i) k ) k=1 suppenee. Kosk tämä pätee kikille koordinttijonoille, niin väite seur Funktioiden rj-rvoist. Seurvksi trkstelln funktioiden rj-rvoj. Ensiksi esitetään eräs määritelmä. Määritelmä 2.2. Olkoot D R p j R p.piste on joukon D ksutumispiste (ccumultion point), jos jokinen pisteen ympäristö sisältää :st eriäviä joukon D pisteitä eli jokisell δ>0 pätee ( B(,δ) \{} ) D. Huomutus 2.1. on joukon D ksutumispiste trklleen silloin, kun on olemss sellinen pistejono ( k ) k=1 D, että k jokisell k j lim k =. k Määritelmä 2.3. Olkoon F : R n D R p j olkoon jokin D:n ksutumispiste. Snotn, että funktioll F on rj-rvo b R p pisteessä, jos jokist luku ε>0 kohti on olemss sellinen luku δ(ε) =δ>0, että ehdoist x D j 0 < x <δ seur F (x) b <ε. Tällöin merkitään lim F (x) =b ti F (x) b, kun x. x Luse 2.3. Oletetn, että F : R n D R p j b R p. Merkitään F =(f 1,f 2,...,f p ) j b =(b 1,b 2,...,b p ). Tällöin ehdot lim F (x) =b x j lim f i(x) =b i jokisell i =1, 2,...,p x ovt yhtäpitäviä

11 4 Luku 1. Usen muuttujn funktioist: jtkuvuus Todistus. Oletetn, että lim F (x) =b, jolkoonε>0 mielivltinen. Nyt millä x thns i =1, 2,...,p f i (x) b i F (x) b <ε, kun x <δj x D. Siis luseen ensimmäinen os on todistettu. Osoitetn luseen toinen os. Oletetn, että lim f i(x) =b i jokisell i =1, 2,...,p, x j olkoon ε>0mielivltinen. Nyt voidn vlit δ>0sillä tvll, että f i (x) b i 2 < ε2 p jokisell i =1,...,p,kun0 < x <δj x D. Tällöin F (x) b 2 = f 1 (x) b f p (x) b p 2 < ε2 p mistä väite seur ε2 p = ε2, Luse 2.4. Olkoot F : R n D R p j jokin joukon D ksutumispiste. Tällöin seurvt väittämät ovt yhtäpitäviä: ) lim F (x) =b x b) lim F ( k )=b jokiselle pistejonolle ( k ) k=1 k in, kun k Z +. D, jolle lim k k = j k Todistus. Selvästi väittämästä ) seur väittämä b), joten riittää osoitt, että väittämästä b) seur väittämä ). Oletetn siis, että väittämä b) on tosi. Tehdään vstoletus: väittämä ) ei ole tosi. Tällöin on olemss sellinen ε>0, että pisteen jokisest ympäristöstä B(, 1), k k Z +, löytyy sellinen piste x k, että x k D j F (x k ) b ε On siis stu sellinen jono (x k ) k=1 D, että x k j F (x k ) b ε jokisell k Z +. Tämä on ristiriidss oletuksen knss, joten vstoletus on väärä j väite tosi. Esimerkki 2.2. Olkoon D = {(x, y) R 2 (x, y) (0, 0)}. Määritellään kuvus f : R 2 D R kvll f(x, y) = x2 y 2.Lske f(x, y). x 2 +y 2 lim (x,y) (0,0) Jos F : R n D R p j joukko D ei ole rjoitettu, niin voidn tutki kuvuksen F käyttäytymistä, kun x j x D. Määritelmä 2.4. Oletetn, että D R n on rjoittmton joukko j F : R n D R p. Tällöin kuvuksell F on rj-rvo äärettömässä mikäli jokist luku ε>0 kohti on olemss sellinen vkio M > 0, että F (x) b < ε in, kun x M j x D. lim x Esimerkki 2.3. Olkoon D = R 2 j olkoon f(x, y) = Rj-rvon lskusääntöjä. x+y.lske lim f(x, y). 1+x 2 +y 2 (x,y) Luse 2.5. Oletetn, että F j G ovt kuvuksi R n D R p j että rj-rvot F (x) j lim G(x) ovt olemss. Tällöin rj-rvolle pätevät seurvt lskusäännöt. x ( ) (1) lim F (x) ± G(x) = lim F (x) ± lim G(x). x x x ( ) ( ) ( ) (2) lim F (x) G(x) = lim F (x) lim G(x). x x x Jos f,g,h : R n D R j rj-rvot lim f(x), lim g(x) j lim h(x) ovt olemss, x x x niin seurvt väittämät ovt voimss:

12 3. Kuvuksen jtkuvuus 5 ( )( ) (3) lim f(x)g(x) = lim f(x) lim g(x). x x x f(x) lim f(x) (4) lim x g(x) = x, jos lim g(x) lim g(x) 0. x x (5) Jos lim f(x) = lim h(x) =b j f(x) g(x) h(x) jokisell x D B(,δ) x x (δ >0), niin silloin myös lim g(x) =b. x Todistus. Hrjoitustehtävä 3. Kuvuksen jtkuvuus Määritelmä 3.1. Oletetn, että on joukon D ksutumispiste. Kuvus F : R n D R p on jtkuv pisteessä D, joslim F (x) = F (). Toisin snoen jokist x positiiviluku ε kohti on olemss positiiviluku δ niin, että ehdoist x <δj x D seur epäyhtälö F (x) F () <ε.josf on jtkuv joukon D jokisess pisteessä, niin snotn, että F on jtkuv joukoss D. Esimerkki 3.1. Tutki funktion { xy kun (x, y) (0, 0) x f(x, y) = 2 +y 2 0 kun (x, y) =(0, 0) jtkuvuutt origoss. Huomutus 3.1. Olkoot F : R m D R n, G : R n E R p j F (D) E. Jos kuvus G on jtkuv, limf (x) =b j lim G(y) =c, niin lim(g F )(x) =c. x y b x Huomutus 3.2. Luseen 2.4 nojll F on jtkuv pisteessä D, jos j vin jos F ( k ) F () jokiselle pistejonolle ( k ) k=1 D, jok toteut ehdon lim k =. k Luse 3.1. Funktio F =(f 1,f 2,...,f p ):R n D R p on jtkuv pisteessä D, jos j vin jos kuvuksen F kikki koordinttifunktiot f i : R n D R (i =1, 2,...,p) ovt jtkuvi pisteessä D. Todistus. Luseen 2.3 nojll väite seur välittömästi. Seurvksi todistetn optimointi- j äärirvotehtävien knnlt merkittävä tulos. Trvitn seurv puluse eli lemm. Lemm 3.1. Avruuden R n osjoukko S on kompkti, jos j vin jos jokisell joukon S pistejonoll on joukoss S suppenev osjono. Todistus. Oletetn, että S R n on kompkti j että ( k ) k=1 on mikä thns joukon S jono. Merkitään k = ( (1) ) k,(2) k,...,(n) k. Kosk S on rjoitettu joukko, niin on olemss luku M > 0, jolle pätee k M jokisell k Z +. Näin ollen jokinen koordinttijono ( (i) k ) k=1 on rjoitettu relilukujono j siksi jonost ( (1) k ) k=1 voidn vlit suppenev osjono ((1) k j1 ) j 1 =1. Tällöin jonon ( kj1 ) j 1 =1 ensimmäinen koordinttijono suppenee, j lisäksi ( kj1 ) j 1 =1 on rjoitetun jonon osjonon rjoitettu, joten sen toisell koordinttijonoll ( (2) k j1 ) j 1 =1 on suppenev

13 6 Luku 1. Usen muuttujn funktioist: jtkuvuus osjono ( (2) k j2 ) j 2 =1. Nyt siis jonon ( kj2 ) j 2 =1 ensimmäinen j toinen koordinttijono suppenevt. Jtkmll edellistä päättelyä edelleen sdn lopult jonon ( k ) k=1 osjono, jonk kikki koordinttijonot suppenevt. Oletetn, että joukon S jokisell jonoll on S:ssä suppenev osjono. Helposti päätellään, että S on välttämättä rjoitettu. Osoitetn, että S on suljettu. Olkoon S. Kosk jokinen pisteen ympäristö sisältää joukon S pisteitä, niin jokisest -keskisestä voimest 1-säteisestä pllost (k =1, 2, 3,...) voidn vlit piste k k siten, että k S. Sdn joukon S jono ( k ) k=1, jok suppenee kohti pistettä. Kosk oletuksen nojll tämän jonon erään osjonon rj-rvo kuuluu joukkoon S, niin S. Luse 3.2. Olkoon S R n kompkti osjoukko j F : S R p jtkuv kuvus. Tällöin kuvjoukko F (S) on vruuden R p kompkti osjoukko. Todistus. Lemmn 3.1 nojll riittää osoitt, että jokisell joukon F (S) jonoll on suppenev osjono. Olkoon (b k ) k=1 jokin jono joukoss F (S). Siis jokisell k Z + pätee b k = F ( k ) jollkin k S. KoskS on kompkti, niin jonoll ( k ) k=1 on osjono ( kj ) j=1, jolle k j S, kunj. Funktion F jtkuvuuden nojll lim b kj = j lim F ( k j )=F() F (S). j Seurus 3.1. Olkoon S R n kompkti j f : S R jtkuv kuvus. Tällöin f svutt pienimmän j suurimmn rvons joukoss S: on olemss selliset pisteet x m j x M joukoss S, että f(x m ) f(x) f(x M ) kikill x S. Todistus. Edellisen luseen nojll f(s) R on suljettu j rjoitettu osjoukko, joten siinä on olemss suurin j pienin lkio. Trkstelln seurvksi funktioit R R p, missä p 2. Funktioll F on in esitys koordinttifunktioiden f 1,f 2,...,f n vull muodoss F (t) = ( f 1 (t),f 2 (t),...,f p (t) ) jokisell t. 4. Funktiot F : R R p, p 2 Trkstelln funktiot F, joill on esitys F (t) =(f 1 (t),f 2 (t),...,f p (t)) t D R. Nyt F on jtkuv pisteessä t 0, jos j vin jos lim F (t) =F (t 0 ) t t 0 eli lim f i (t) =f i (t 0 ) t t0 jokisell i =1, 2,...,p. Esimerkki 4.1. Olkoon F (t) = (t 2 +1,t+2), kun t 0. { (3, 1), kun t =0 Tutki F :n jtkuvuutt. Rtkisu. Selvästi F on jtkuv missä thns pisteessä t 0.Nyt lim F (t) = ( lim(t +1), lim(t +2) ) =(1, 2) (3, 1) = F (0), t 0 t 0 t 0 joten F on epäjtkuv pisteessä 0.

14 4. Funktiot F : R R p, p 2 7 Määritelmä 4.1. Olkoon F : R D R p, missä D on jokin R:n väli. F on differentioituv pisteessä Int D, jos rj-rvo F ( + h) F () lim = F () h 0 h on olemss. Vektori F () kutsutn F :n derivtksi pisteessä. Luse 4.1. Funktio F : R D R p on differentioituv pisteessä Int D, josj vin jos F :n jokinen koordinttifunktio on derivoituv pisteessä. Lisäksi Todistus. Nyt F ( + h) F () lim h 0 h F () =(f 1 (),f 2 (),...,f p ()). = ( lim h 0 ) f 1 ( + h) f 1 () f p ( + h) f p (),...,lim h h 0 h = ( f 1(),...,f p() ). Esimerkki 4.2. Olkoon F (t) =(t 2 +1,t+2), t [ 2, 2]. Piirrä F :n kuvjoukko, lske F :n derivtt mielivltisess pisteessä j piirrä vektorit F (0) j F (1) smn kuvn F :n kuvjoukon knss. Esimerkki 4.3. Olkoon F (t) =(cost, sin t). Piirrä F :n kuvjoukko, lske F :n derivtt mielivltisess pisteessä j piirrä vektorit F (0), F (π) j F (± π ) smn kuvn 2 F :n kuvjoukon knss. Määritelmä 4.2. Olkoon F : R D R p differentioituv pisteessä D. Vektori F () kutsutn F :n tngenttivektoriksi pisteessä, jsuorx = F ()+sf (), s R, snotn F :n tngentiksi pisteessä F (), josf () 0. Luse 4.2. Olkoot funktiot F, G : R D R p j ϕ : R D R differentioituvi funktioit. Tällöin (1) (F + G) = F + G ; (2) (F G) = F G + G F ; (3) (ϕf ) = ϕ F + ϕf j (4) (F G) = F G + F G (p =3). Todistus. Merkintöjen yksinkertistmiseksi muuttuj t jätetään merkitsemättä. Nyt (F + G) =((f 1 + g 1 ),...,(f p + g p ) )=(f 1 + g 1,...,f p + g p ) =(f 1,...,f p)+(g 1,...,g p)=f + G. j ( p ) p p (F G) = f i g i = (f i g i ) = (f i g i + g if i ) = i=1 p f i g i + i=1 i=1 i=1 i=1 p g i f i = F G + G F.

15 8 Luku 1. Usen muuttujn funktioist: jtkuvuus Kolms väite todistetn kuten toinen väite. Neljäs väite todistetn seurvsti (muutm välivihe on jätetty pois) (F G) =(f 2 g 3 f 3 g 2,f 3 g 1 f 1 g 3,f 1 g 2 f 2 g 1 ) =(f 2 g 3 f 3 g 2,f 3 g 1 f 1 g 3,f 1 g 2 f 2 g 1) +(g 3 f 2 g 2f 3,g 1f 3 g 3f 1,g 2f 1 g 1f 2 ) = F G + F G. Huomutus 4.1. Funktion (käyrän) kuvjoukko voi joht hrhn. Tämä selviää esimerkiksi tutkimll yhtälöillä { F (t) =(t, t 2 ), G(t) =(t 3,t 6 (t, t 2 ), kun t 0 ) j H(t) = (t 3,t 6 ), kun t<0. määriteltyjä funktioit F, G j H sekä niiden derivttoj. Luse 4.3 (Ketjusääntö). Jos ϕ : R E R j F : R D R p ovt differentioituvi funktioit j ϕ(e) D, niin F ϕ : E R p on differentioituv j (F ϕ) (t) =F (ϕ(t))ϕ (t). Todistus. Nyt (F ϕ)(t) = ( f 1 (ϕ(t)),...,f p (ϕ(t) ) ),joten (F ϕ) (t) = ( f 1 (ϕ(t))ϕ (t),...,f p (ϕ(t))ϕ (t) ) = ϕ (t) ( f 1 (ϕ(t)),...,f p (ϕ(t))) = F (ϕ(t)) ϕ (t). Merkintä 4.1. Olkoon F : R D R p.josf (k) on olemss jtkuvn joukoss D jollkin k 1, niin merkitään F C k (D). 5. Käyrä, yksinkertinen kri j polku Määritelmä 5.1. Avruuden R p osjoukko C on käyrä (curve), jos on olemss R:n väli D j sellinen funktio F : D R p, että F C 1 (D) j F (D) =C. Funktiot F snotn käyrän C prmetriesitykseksi (prmetric representtion). Huomutus 5.1. Jos p =2, niin käyrää kutsutn myös tsokäyräksi (plne curve), j jos p 3, niin käyrää kutsutn usein vruuskäyräksi (spce curve). Määritelmä 5.2. Olkoot F : R D R p j H : R E R p kksi prmetriesitystä käyrälle C. Silloin prmetriesitykset F j H ovt ekvivlentit, jos on olemss sellinen differentioituv surjektio ϕ : E D, että H = F ϕ j joko ϕ (u) < 0 jokisell u E ti ϕ (u) > 0 jokisell u E.

16 5. Käyrä, yksinkertinen kri j polku 9 F D ϕ E H = F ϕ Esimerkki 5.1. Olkoon C = {(x, y) R 2 (y 2) 2 = x 1}. NytC on käyrä, sillä kuvus F voidn määritellä seurvsti F (t) =(t 2 +1,t+2)(t R). Esimerkki 5.2. Olkoon C = {(x, y) R 2 x 2 + y 2 =1}. Prmetriesitys voidn vlit muun muss khdell seurvll tvll: F 1 (t) =(cost, sin t) t [0, 2π[ j F 2 (t) =(sint, cos t) t [π, 3π[. Esimerkki 5.3. Funktion F (t) =(t, cos t, sin t) kuvjoukko on vruuden R 3 eräs käyrä ns. circulr helix. Hhmot F pperille. Esimerkki 5.4. Funktion F (t) =(sint, sin(2t)), 0 t 4π, kuvjoukko on vruuden R 2 käyrä. Piirrä tämä käyrä. Määritelmä 5.3. Funktio F : R D R p on sileä (smooth), jos sekä F C 1 (D) että F (t) 0 jokisell t D. Funktio F on ploittin sileä (piecewise smooth) välillä [, b] D mikäli on olemss sellinen välin [, b] jko = p 0 <p 1 <...<p r = b, että F on sileä jokisell osvälillä [p i 1,p i ]. Vstvll tvll määritellään ploittin C 1. Määritelmä 5.4. Käyrä C R p on (sileä) yksinkertinen kri (simple rc), jos C:llä on injektiivinen (sileä) prmetriesitys F : R [, b] R p. Tällöin pisteitä F () j F (b) kutsutn C:n päätepisteiksi j funktiot FC:n yksinkertiseksi prmetriesitykseksi. Esimerkki 5.5. Jos g :[, b] R on C 1 -funktio, niin F (t) =(t, g(t)), t [, b] on funktion g kuvjn prmetriesitys. Lisäksi F (t) =(1,g (t)) 0, jotenf ([, b]) on yksinkertinen sileä kri. Määritelmä 5.5. Jtkuv funktiot F : R [, b] R p snotn poluksi (pth) pisteestä F () pisteeseen F (b). Polku on differentioituv, C 1 ti sileä mikäli funktioll F on vstv ominisuus. Jos F on differentioituv, niin F (t +Δt) F (t) = F (t)δt + Δt ρ(t, Δt), missä ρ(t, Δt) 0, kunδt 0. Siten F (t +Δt) F (t) F (t) Δt.

17 10 Luku 1. Usen muuttujn funktioist: jtkuvuus F (b) F (t) F () F (t +Δt) t t +Δt b Määritelmä 5.6. Olkoon F : [, b] R p C 1 -polku. Tällöin polun pituus (pth length) määritellään kvll b b l(f )= F (t) dt = (f 1 (t)) (f p (t))2 dt. Esimerkki 5.6. Olkoon F (t) =(t 2,t 3 ), t [ 1, 1]. Tällöin l(f )= =2 1 =2 = F (t) dt (2t)2 +(3t 2 ) 2 dt t 4+9t 2 dt 3 (4 + 9t2 ) 3/2 = 2 27 ( ). Huomutus 5.2. Jos F :[, b] R p j H :[c, d] R p ovt käyrän C ekvivlenttej prmetriesityksiä, niin l(f )=l(h). Näin ollen sileän yksinkertisen kren C kren pituus (rc length) voidn määritellä C:n sileän prmetriesityksen polun pituuten. Esimerkki 5.7. Olkoon G(u) =(u, R 2 u 2 ), missä R u R. Olisiko GC 1 - polku? Nyt G (u) =(1, u(r 2 u 2 ) 1/2 ),kun R <u<r. Mitä vektorin G (u) pitäisi oll, kun u = ±R? Määritetään polun G pituus jonkin C 1 -polun vull, joll on sm kuvjoukko kuin G:llä. Vlitn uudeksi poluksi F (t) =( Rcos t, R sin t), t [0,π]. F on selvästi C 1 -polku j F ([0,π]) = G([ R, R]), jotenpolung pituus voidn lske. l(f )= = π 0 π = R 0 π F (t) dt R 2 cos 2 t + R 2 sin 2 tdt 0 dt = Rπ Huomutus 5.3. Olkoon g : R [, b] R jtkuvsti derivoituv funktio. Nyt käyrän C = {(x, g(x)) x [, b]} pituus voidn lske seurvsti. Kvll F (t) = (t, g(t)) määritelty polku on selvästi C 1 j l(c) =l(f )= b 1+(g (t)) 2 dt.

18 LUKU 2 Funktioiden j kuvusten differentililskent Kurssiss mtemtiikn perusmetodit 1 trksteltiin funktioit f : D R, missä joukko D R oli esimerkiksi voin väli. Jos luku kuului välille D j rj-rvo f(x) f() L := lim x x oli olemss äärellisenä, niin funktion f snottiin olevn derivoituv pisteessä j luku L snottiin f:n derivtksi pisteessä sekä merkittiin L = f (). Tämän luvun trkoituksen on yleistää differentililskennn käsitteet funktioille f : R n D R, missä n Funktion differentioituvuus Kurssiss mtemtiikn perusmetodit 1 yhden relimuuttujn relirvoisen funktion f differentioituvuus pisteessä R määriteltiin seurvsti: on olemss luku A R j kuvus ρ : R R niin, että f( + h) f() =Ah + hρ(h) j lim ρ(h) =0. h 0 Lisäksi todettiin, että f:n derivoituvuus j differentioituvuus pisteessä ovt yhtäpitäviä. Yleistetään differentioituvuuden käsite usen relimuuttujn relirvoisille funktioille. Määritelmä 1.1. Olkoot D R n voin joukko, joukon D piste j f kuvus D R.Kuvusf on differentioituv pisteessä, jos on olemss selliset vkiot A 1,A 2,...,A n j sellinen funktio ρ : R n R, että f( + h) f() =A 1 h 1 + A 2 h A n h n + h ρ(h), missä ρ(h) 0, kun h 0. Edellä h =(h 1,h 2,...,h n ).Josf on differentioituv määrityslueens D jokisess pisteessä, snotn että f on differentioituv. Huomutus 1.1. Kosk D on voin j D, niin + h D luvun h olless riittävän pieni. Ylläolev määritelmä ei edellytä funktion ρ olevn määritelty origoss. Voidn kuitenkin sett ρ(0) =0, jolloin ρ tulee jtkuvksi origoss. Luse 1.1. Jos f : R n R on differentioituv pisteessä D, niin f on jtkuv pisteessä. Todistus. Nyt f( + h) f() = A1 h 1 + A 2 h A n h n + h ρ(h) A 1 h A n h n + h ρ(h) A A2 n h h2 n ( + h ρ(h) ) = h A A 2 n + ρ(h) 0 luvun h lähestyessä 0:.

19 12 Luku 2. Funktioiden j kuvusten differentililskent Luse 1.2. Jos f on differentioituv pisteessä, niin f on osittindifferentioituv jokisen muuttujns suhteen pisteessä j A j = j f() jokisell j =1, 2,...,n. Todistus. Nyt f( + h) f() =A 1 h 1 + A 2 h A n h n + h ρ(h), missä ρ(h) 0, kun h 0. Vlitsemll h = te j sdn yhtälö f( + te j ) f() =ta j + t ρ(te j ), missä ρ(te j ) 0, kun t 0. Jost 0, niin edellinen yhtälö voidn kirjoitt muotoon f( + te j ) f() = A j + t t t ρ(te j). Kun t:n nnetn lähestyä noll, sdn yhtälö f( + te j ) f() lim = A j. t 0 t Huomutus 1.2. Jos merkitään A =(A 1,A 2,...,A n ), niin differentioituvlle funktiolle f : R n D R sdn esitys f( + h) f() =A h + h ρ(h). Näin ollen yhden relimuuttujn relirvoisen funktion derivtt vst vektori A =(A 1,A 2,...,A n ). 2. Osittisderivtt Olkoon f : R n D R, missä D on vruuden R n voin osjoukko. Nyt jokinen joukon D piste on D:n sisäpiste. Olkoon =( 1, 2,..., n ) D. Trkstelln yhden muuttujn funktiot x j f( 1, 2,..., j 1,x j, j+1,..., n ) eli trkstelln funktiot f pitkin x j -kselin suuntist suor, jok kulkee pisteen kutt. Tilnnett voidn hvinnollist seurvll kuvll: D R n 1 f x j R Kroneckerin delt -funktio määritellään kvll { 1, kun i = j δ ij = 0, kun i j. Merkitään e j =(δ 1j,δ 2j,...,δ nj )=(0,...,0,}{{} 1, 0,...,0), j:s

20 2. Osittisderivtt 13 jolloin joukko {e 1, e 2,...,e n } on vruuden R n knt j + he j =( 1,..., j 1, j + h, j+1,..., n ). Määritelmä 2.1. Olkoot D, =( 1, 2,..., n ) j f : R n D R. Jos rj-rvo f( + he j ) f() lim h 0 h on olemss äärellisenä, niin snotn, että f on osittindifferentioituv j:nnen muuttujn x j suhteen pisteessä. Tätä rj-rvo kutsutn f:n osittisderivtksi j:nnen muuttujn x j suhteen (prtil derivtive) pisteessä j merkitään symboleill f j f() j (). x j Jos osittisderivtt j f() on olemss jokisess pisteessä D, niin kuvuksen f snotn olevn osittindifferentioituv j:nnen muuttujn suhteen joukoss D. Osittisderivtt voidn merkitä eräillä muillkin tvoill. Esimerkiksi f(), D xj f(), D j f(), f x x j () j f j() j ovt eräitä tpoj merkitä funktion f osittisderivtt j:nnen muuttujn suhteen pisteessä. Tässä kurssiss pyritään käyttämään määritelmässä 2.1 nnettuj merkintätpoj. Jos f on osittindifferentioituv kunkin muuttujn x j suhteen, sdn uusi funktioit D x j f(x) (j =1, 2, 3,...,n). Trkstelln tpust n =2, jolloin funktiot f : R 2 D R voidn hvinnollist kuvjn vull muodoss z = f(x, y), missä (x, y) D. Olkoon(, b) D. Siis 1 f(, b) = f f( + h, b) f(, b) (, b) = lim. x 1 h 0 h j vstvsti 2 f(, b) = f f(, b + k) f(, b) (, b) = lim. x 2 k 0 k z y = b z f(, b) =f x(, b)(x ) z = f(x, b) z = f(x, y) x (, b) x

21 14 Luku 2. Funktioiden j kuvusten differentililskent Esimerkki 2.1. Olkoon f(x, y) =xy 3. Lske funktion f osittisderivtt pisteessä (1, 1). Esimerkki 2.2. Olkoon f(x 1,x 2,x 3 )=x 1 x 2 + x 3 sin(x 2 x 3 ). Lske funktion f osittisderivtt 1 f(x 1,x 2,x 3 ), 2 f(x 1,x 2,x 3 ) j 3 f(x 1,x 2,x 2 ). Esimerkki 2.3. { xy, kun (x, y) (0, 0) x f(x, y) = 2 +y 2 0, kun (x, y) =(0, 0). Lske funktion f osittisderivtt origoss. 3. C 1 -funktiot Määritelmä 3.1. Olkoot D R n voin osjoukko j f : D R.Josf on osittinderivoituv kunkin muuttujns suhteen j jos nämä osittisderivtt j f (j =1, 2,...,n) ovt jtkuvi funktioit, niin funktiot f kutsutn C 1 -funktioksi määrityslueess D ti lyhyesti C 1 (D)-funktioksi j merkitään f C 1 (D). Luse 3.1. Jos f C 1 (D), niin f on differentioituv. Todistus. Todistetn luse hvinnollisuuden vuoksi vin tpuksess n =2(yleinen tpus on nloginen). Olkoot siis D R 2 voin, f C 1 (D) j (, b) D mielivltinen. Vlitn luvut h j k niin pieniksi, että B ( (, b), h + k ) D (mhdollist!). Nyt f( + h, b + k) f(, b) = ( f( + h, b + k) f(, b + k) ) + ( f(, b + k) f(, b) ). Merkitään ϕ(t) =f( + t, b + k), kunt [ h, h ], jolloin ϕ :[ h, h ] R on jtkuv j f( + h, b + k) f(, b) =ϕ(h) ϕ(0) + ( f(, b + k) f(, b) ). Selvennetään seurv trkstelu hiemn ll olevll kuvll. R 2 y (, b + k) ( + θ 1 h, b + k) ( + h, b + k) (, b + θ 2 k) (, b) x Oletuksen mukn f:n 1. osittisderivtt 1. muuttujn suhteen on jtkuv joukoss D j ( + th, b + k) D jokisell t [0, 1], jotenϕ on jtkuvsti derivoituv välillä [0,h] ([h, 0], josh < 0). Siten funktioon ϕ voidn sovelt välirvolusett välillä [0, h] ([h, 0], jos h<0). Siis ϕ(h) ϕ(0) = ϕ (θ 1 h)h, missä 0 <θ 1 < 1, eli ϕ(h) ϕ(0) = 1 f( + θ 1 h, b + k)h.

22 4. Ketjusääntö 15 Kosk 1 f on oletuksen nojll jtkuv, voidn kirjoitt 1 f( + θ 1 h, b + k) = 1 f(, b)+ρ 1 (h, k), missä ρ 1 (h, k) 0, kun(h, k) (0, 0). Vstvll tvll nähdään, että f(, b + k) f(, b) = 2 f(, b + θ 2 k)k = 2 f(, b)k + ρ 2 (h, k)k, missä 0 <θ 2 < 1 j ρ 2 (h, k) 0, kun(h, k) (0, 0). Kokomll tulokset sdn f( + h, b + k) f(, b) = 1 f(, b)h + 2 f(, b)k + hρ 1 (h, k)+kρ 2 (h, k) = 1 f(, b)h + 2 f(, b)k + ( hρ1 (h, k) h 2 + k 2 h2 + k + kρ 2(h, k) ). 2 h2 + k 2 Nyt kuvus ρ(h, k) := hρ 1(h, k) h2 + k 2 + kρ 2(h, k) h2 + k 2 toteutt vtimuksen ρ(h, k) 0, kun(h, k) (0, 0), sillä h2 + k ρ(h, k) 2 h2 + k ρ h2 + k 1(h, k) h2 + k ρ 2(h, k) 2 kun (h, k) (0, 0). = ρ 1 (h, k) + ρ 2 (h, k) 0, Esimerkki 3.1. Oletetn, että f(x, y, z) =xyz+ln(xy 2 z 3 ). f on määritelty joukoss D = {(x, y, z) R 3 x, y, z > 0}. Nytf C 1 (D), sillä 1 f(x, y, z) =yz + y2 z 3 xy 2 z = yz x, 2 f(x, y, z) =xz + 2xz3 y xy 2 z = xz y j ovt jtkuvi joukoss D. 3 f(x, y, z) =xy + 3xy2 z 3 xy 2 z 3 4. Ketjusääntö = xy + 3 z Tässä kppleess johdetn ketjusäännön yleistys usempiulotteisille funktioille, siis säännölle jok snoo, että (g f) (x) =f (g(x)) g (x), kunf,g: C 1 (R). Trkstelln siis kht funktiot, f : R n R m j g : R m R p, n, m, p 1. Heti huomtn, että g f on hyvin määritelty funktio. Miten sen derivtt lusutn funktioiden f j g vull? Olemme iemmin todenneet, että funktion f derivtt nnetuss pisteessä on linerikuvus Df, eli mtriisi, jok kuv vruuden R n vruudelle R m. Vstvsti, funktion g derivtt on mtriisi Dg, jok kuv vruuden R m vruudelle R p. Voimme siis yhdistää nämä linerikuvukset; huom, että tämä on sm kuin että kertoisimme vstvt mtriisit keskenään. Otten huomioon yksiulotteisen ketjusäännön, voimme nyt rvt, että oike kv on D(g f)(x) =Df(g(x))Dg(x), missä oikell on mtriisien tulo.

23 16 Luku 2. Funktioiden j kuvusten differentililskent Tämän tuloksen todistuksess käytämme seurv merkintää: A =mx ij,kun A =( ij ) on mtriisi. Tätä kutsutn mtriisin normiksi. Luse 4.1. Olkoon f : R n R m j g : R m R p, n, m, p 1, differentioituvi funktioit. Tällöin h = g f on myös differentioituv, j Dh(x) =Df(g(x))Dg(x) jokiselle x R n. Todistus. Kiinnitetään piste x R n. Määritellään mtriisit A = Dg(x) j B = Df(g(x)). Luseen väite on, että Dh(x) =BA. Määritelmän mukn meidän pitää siis tutki, kuink nopesti h(x +Δ) h(x) BAδ = f(g(x +Δ)) f(g(x)) BAΔ pienenee kun Δ 0. Kirjoitetn e.m. erotus muotoon, joss voimme hyödyntää tietojmme f:n j g:n derivtoist: h(x +Δ) h(x) BAδ = [ f(g(x +Δ)) f(g(x)) B(f(x +Δ) f(x)) ] + [ B(f(x +Δ) f(x)) BAΔ ]. Ensimmäiselle hksulkutemille smme: f(g(x +Δ)) f(g(x)) B(f(x +Δ) f(x)) = o( f(x +Δ) f(x) ), kosk B on funktion g derivtt. Toiselle hksulkutemille smme: B(f(x +Δ) f(x)) BAΔ =B ( f(x +Δ) f(x)) AΔ ) B f(x +Δ) f(x)) A, missä olemme käyttäneet B:n linerisuutt. Oikell puolell esiintyvät itseisrvot on määritelmän mukn suuruusluokk o( Δ ), koska on funktion f derivtt. Näin ollen olemme todistneet, että h(x +Δ) h(x) BAδ = o( f(x +Δ) f(x) )+ B o( Δ ). Kosk B ei riipu Δ:st, voimme sno, että B o( Δ ) =o( Δ ). Toislt, kosk f on derivoituv, tiedämme, että f(x + Δ) f(x) 2AΔ 2 A Δ kun Δ on trpeeksi pieni. Tästä seur, että f(x +Δ) f(x) = o( Δ ). Näin ollen h(x +Δ) h(x) BAδ = o( Δ ), jotenh on differentioituv pisteessä x j sen derivtt on BA. Koskx oli mielivltinen piste, niin väite on todistettu. Ketjusääntö on helppo muist differentilien kumoutumisen. Tämän ymmärtää helpointen esimerkin vull: olkoon g(u, v, w) =u +2v +3w j (u, v, w) =(x 2 + y 2,x 2 y 2,xy). Huom, että toiselle funktiolle ei ole tässä edes nnettu nimeä. Ketjusäänöllä smme g (x, y) = g (u, v, w) (u, v, w) (x, y) =[123] 2x 2x y 2y 2y =[6x +3y 2y +3x]. x Toislt, g(x, y) =(x 2 + y 2 )+2(x 2 y 2 )+3(xy) =3x 2 +3xy y 2. Suorn lskemss tästä smme Dg(x, y) =[6x +3y 3x 2y]. Esimerkki 4.1. Lske x 1 sin(x 1 x 2 2 ) j x 2 sin(x 1 x 2 2 ). Esimerkki 4.2. Lske x sin(ln(x2 + y 2 )) j y sin(ln(x2 + y 2 )). Esimerkki 4.3. Olkoot f : R 2 R C 1 -funktio j G(t) =(cost, sin t), missä t R. Merkitään h(t) =f(g(t)). Lskeh (t).

24 4. Ketjusääntö 17 Esimerkki 4.4. Olkoon funktio G : R 2 R 2 määritelty kvll G(s, t) =( 1(s + t), 1 (s t)) 2 2 (s, t) R2 j olkoon f : R 2 R jokin C 1 -funktio. Lske yhdistetyn funktion h = f G osittisderivtt. Rtkisu. h s (s, t) = 1h(s, t) = 1 f( s+t, s t) f( s+t, s t) h t (s, t) = 2h(s, t) = 1 f( s+t, s t ) f( s+t, s t )( 1 ) Olkoon erityisesti f(x, y) =x 2 + y 2. Tällöin j siten j 1 f(x, y) =2x, 2 f(x, y) =2y h s h t 1 s + t (s, t) = s + t (s, t) = s t = s s t 2 2 Esimerkki 4.5. Olkoon f C 1 (R 2 ).Lusuluseke ( f x = t ) 2 + ( f y) 2 npkoordinteiss. Rtkisu. Jos (x, y) (0, 0), niin on voimss seurvt muunnoskvt { x = r cos ϕ y = r sin ϕ r>0, ϕ [0, 2π[. x j y voidn siis tulkit r:n j ϕ:n funktioiksi. Trkstelln kuvust h(r, ϕ) = f(r cos ϕ, r sin ϕ) =f(x, y). Nyt j Kosk j niin h r (r, ϕ) =cosϕ 1f(x, y)+sinϕ 2 f(x, y) h ϕ (r, ϕ) =( r sin ϕ) 1f(x, y)+r cos ϕ 2 f(x, y). r cos(ϕ) h h (r, ϕ) sin(ϕ) r ϕ (r, ϕ) =r 1f(x, y) r sin(ϕ) h h (r, ϕ)+cos(ϕ) r ϕ (r, ϕ) =r 2f(x, y), ( f x (x, y) ) 2 + ( f y (x, y) ) 2 = ( h r (r, ϕ) ) r 2 ( h ϕ (r, ϕ) ) 2.

25 18 Luku 2. Funktioiden j kuvusten differentililskent 5. Grdientti j suunnttu derivtt Määritelmä 5.1. Olkoon f : R n D R differentioituv funktio. Vektori grd f(x) = ( 1 f(x), 2 f(x),..., n f(x) ) snotn funktion f grdientiksi (grdient) pisteessä x D. Usein merkitään grd f(x) = f(x). Huomutus 5.1. Kuvus on siis n-ulotteinen vektorikenttä. D x grd f(x) Esimerkki 5.1. Olkoon f(x, y) =x 2 y +6y 2.Nyt grd f(x, y) =(2xy, x 2 +12y). Esimerkki 5.2. Kun x 0, on joten f(x) = x = x x2 n. 1 f(x) = x 1 x,..., nf(x) = x n x, grd f(x) = x x. Huomutus 5.2. Käyttäen grdienttimerkintää differentioituvlle funktiolle f sdn esitys f(x + h) =f(x) + grd f(x) h + h ρ(h), missä ρ(h) 0, kunh 0. Määritelmä 5.2. Olkoon D R n voin osjoukko. Snotn, että D on käyräyhtenäinen, josjokistd:n pistepri, b kohti on olemss sellinen C 1 -käyrä F :[α, β] R n, että F (α) =, F (β) =b j F (t) D jokisell t [α, β]. Luse 5.1. Olkoon D R n voin, käyräyhtenäinen joukko j olkoon g C 1 (D). Jos grd g(x) =0 jokisell x D, niin g on vkiofunktio joukoss D. Todistus. Olkoon D eräs kiinteä piste j y D mielivltinen. Riittää osoitt, että g() = g(y). KoskD on käyräyhtenäinen, niin on olemss sellinen C 1 -käyrä F :[α, β] R D, että F (α) = j F (β) =y. OlkootF (t) =(f 1 (t),...,f n (t)). Nyt funktio h = g F :[α, β] R on differentioituv välillä [α, β] j h (t) = grd g(f (t)) F (t) =0 F (t) =0 jokisell t [α, β], jotenh(t) =c, missä c on t:stä riippumton vkio. Näin ollen g() =g(f (α)) = h(α) =h(β) =g(f (β)) = g(y). Määritelmä 5.3. Olkoot f : R n D R, D j v R n jokin yksikkövektori. Jos rj-rvo f( + tv) f() v f() = lim t 0 t on äärellisenä olemss, sitä kutsutn funktion f suunntuksi derivtksi (directionl derivtive) suuntn v pisteestä.

26 5. Grdientti j suunnttu derivtt 19 Suunntulle derivtlle v f() käytetään myös merkintöjä f v () j f v (). Huomutus 5.3. Jos setmme yllä v = e j (j =1, 2,...,n) sdn osittisderivtt. Esimerkki 5.3. { y, kun y x f(x, y) = x, kun x y. f:n kuvj näyttää lähellä origo tältä: y~ Kuvn perusteell voidn rvill, että f:llä ei ole suunnttu derivtt inkn kikkiin suuntiin. Perustellnp tämä rvus kunnoll. Kosk f(tx, ty) f(tx, ty) lim = lim t 0 t t 0+ t j f(x, y) =0,kunx =0ti y =0, niin suunnttu derivtt on olemss vin suuntiin e 1 =(1, 0), e 1, e 2 =(0, 1) j e 2. Luse 5.2. Jos f : R n D R on differentioituv pisteessä, niin f:n suunnttu derivtt pisteessä on olemss kikkiin suuntiin v j lisäksi v f() = grd f() v. Todistus. Olkoon D j v R n nnetut. Trkstelln yhtälöllä ϕ(t) =f(+tv), missä t R, määriteltyä kuvust ϕ. Nyt ϕ(t) ϕ(0) t 0 = f( + tv) f() t x~ t 0 v f(), joten ϕ (0) = v f() mikäli yhtälön jompikumpi puoli on olemss. Osoitetn, että ϕ (0) on olemss. Merkitään G(t) = + tv =( 1 + tv 1,..., n + tv n ), missä =( 1,..., n ) j v =(v 1,...,v n ). Tällöin G (t) =(v 1,...,v n ). Toislt, kosk ϕ(t) =f(g(t)), niin ketjusäännön nojll Erityisesti ϕ (t) = grd f(g(t)) G (t). ϕ (0) = grd f() v = v f().

27 20 Luku 2. Funktioiden j kuvusten differentililskent Esimerkki 5.4. Olkoot f(x, y) =x 2 y 3 j v =( 1, 3 ). Tällöin 2 2 vf(1, 1) sdn seurvll tvll. Nyt grd f(x, y) =(2xy 3, 3x 2 y 2 ), joten v f(1, 1) = grd f(1, 1) v =(2, 3) ( 1, )= Huomutus 5.4. Käyttämällä vruuden R n Cuchy-Schwrzin epäyhtälöä sdn suunntulle derivtlle rvio v f() = grd f() v grd f() v = grd f(), missä yhtäsuuruus on voimss trklleen silloin, kun v j grd f() ovt yhdensuuntiset. Tämä merkitsee sitä, että v f() on suurimmilln, kun vektori v on smnsuuntinen vektorin grd f() knss, j pienimmillään, kun v on vstkkissuuntinen vektorin grd f() knss. Lisäksi nähdään, että f:n rvojen muutos on pienimmillään, kun v on kohtisuorss f:n grdientti vstn. Esimerkki 5.5. Funktio f(x, y, z) = z2 kuv lämpötil eräässä huonetilss. x 2 +y 2 Siis esimerkiksi f(1, 1, 4) = 8 (stett). Mihin suuntn lämpötil nousee voimkkimmin pisteessä (1, 1, 4). Rtkisu. Nyt ( 2xz 2 grd f(x, y, z) = (x 2 + y 2 ), 2yz 2 2 (x 2 + y 2 ), 2z ) 2 x 2 + y 2 j grd f(1, 1, 4) = ( 8, 8, 4) = 4( 2, 2, 1). Kosk ( 2, 2, 1) 2 = = 9, niin lämpötil nousee voimkkimmin suuntn v =( 2, 2, 1 ) Grdienttivektorin geometrinen tulkint Olkoon f : R 2 D R eräs C 1 -funktio. Trkstelln funktion z = f(x, y) tsrvokäyrää f(x, y) =c. Oletetn, että (, b) on tämän käyrän eräs piste eli f(, b) =c. Olkoon G(t) =(x(t),y(t)), missä t [α, β], (derivoituv) prmetriesitys (ktso sivu 8) tälle smlle käyrälle, j olkoon G(t 0 )=(x(t 0 ),y(t 0 )) = (, b). Erityisesti f(g(t)) = f(x(t),y(t)) = c jokisell t [α, β], missä c on t:stä riippumton vkio. Käyttämällä ketjusääntöä sdn yhtälö d dt f(g(t)) = 1f(x(t),y(t))x (t)+ 2 f(x(t),y(t))y (t) =0, jok pätee jokisell t [α, β]. Siis grd f(x(t),y(t)) G (t) =0 jokisell t [α, β]. Erityisesti grd f(x(t 0 ),y(t 0 )) G (t 0 )=0eli kyseiset vektorit ovt kohtisuorss toisin vstn. Toislt G (t 0 ) on käyrän G tngenttivektori pisteessä G(t 0 ),jotenvektori grd f(, b) on käyrän f(x, y) =c pisteeseen (, b) setetun normlin suuntvektori (ktso sivu 7).

28 6. Grdienttivektorin geometrinen tulkint 21 y f(x, y) =c R 2 (, b) grd f(, b) Vstvll tvll nähdään, että funktiolle f : R 3 D R pisteeseen (, b, c) D liittyvä grdienttivektori grd f(, b, c) on kohtisuorss jokist pinnn d = f(x, y, z) pisteen (, b, c) kutt kulkev käyrää G vstn. Toisin snoen, ehdost f(g(t)) = f(x(t),y(t),z(t)) = d seur grd f(g(t)) G (t) =0. Siis grd f nt ts-rvopinnn normlin suunnn. Tilnnett hvinnollistetn seurvll kuvioll. R 3 z x grdf(g(t)) G f(x, y, z) =c G (t) y x Kuvioon on piirretty funktion f ts-rvopint, ts-rvopinnn erääseen pisteeseen setettu tngenttitso, ts-rvopinnn eräs käyrä G, G:n tngentti pisteessä t j tngenttitson normli, jok on sm kuin f:n grdientti kyseisessä pisteessä. Kokomll edellisen päättelyn tulokset sdn seurv luse. Luse 6.1. Olkoot D R 2, f C 1 (D) j grd f(, b) 0. Tällöin vektori grd f(, b) on pisteen (, b) kutt kulkevn f:n ts-rvokäyrän normli. Jos vstvsti D R 3, f C 1 (D) j grd f(, b, c) 0, niin grd f(, b, c) on pisteen (, b, c) kutt kulkevn f:n ts-rvopinnn normli. Sovelluksi:

29 22 Luku 2. Funktioiden j kuvusten differentililskent 1) Oletetn, että D R 2, f C 1 (D), (, b) D j f(, b) = c. Tällöin luku c vstvn ts-rvokäyrän pisteeseen (, b) setetun normlin suuntvektori on grd f(, b) =( 1 f(, b), 2 f(, b)), joten smn pisteeseen setetun tngentin yhtälö on 1 f(, b)(x )+ 2 f(, b)(y b) =0. grd f(, b) (, b) f(x, y) =c 2) Oletetn, että D R 3, f C 1 (D), (, b, c) D j f(, b, c) =d. Tällöin luku d vstvn ts-rvopinnn f(x, y, z) =d pisteeseen (, b, c) setetun normlin suuntvektori on grd f(, b, c) = ( 1 f(, b, c), 2 f(, b, c), 3 f(, b, c) ), joten smn pisteeseen setetun tngenttitson yhtälö on 1 f(, b, c)(x )+ 2 f(, b, c)(y b)+ 3 f(, b, c)(z c) =0. n x (x ) n n (x ) =0 n =( 1 f(), 2 f(), 3 f()). Esimerkki 6.1. Oletetn, että vruuden R 3 pint on määritelty yhtälöllä x 2 +y 2 z 2 = 1. Nyt(1, 1, 3) on pinnn piste. Muodost kyseisen pinnn pisteeseen (1, 1, 3) setetun tngenttitson yhtälö. Rtkisu. Nyt grd f(x, y, z) =(2x, 2y, 2z) j grd f(1, 1, 3) = (2, 2, 2 3). Nyt sdn kyseessä olevn pinnn pisteeseen (1, 1, 3) setetun tngenttitson yhtälö 2(x 1) + 2(y 1) 2 3(z 3) = 0. Huomutus 6.1. Aikisemmin trksteltiin pinnn z = f(x, y) nnetun pisteen kutt kulkevn tngenttitson määräämistä. Olkoon c = f(, b). Tällöin pisteeseen (, b, c) setettu pinnn z = f(x, y) tngenttitson yhtälö on z c =(x ) 1 f(, b)+(y b) 2 f(, b) Toislt, jos setetn g(x, y, z) =z f(x, y) =0, niin sdn 0 = grd g(, b, c) ((x ), (y b), (z c) ) =(x ) 1 g(, b, c)+(y b) 2 g(, b, c) (z c) 3 g(, b, c) =(x ) 1 f(, b)+(y b) 2 f(, b) (z c) 1, mikä on sm yhtälö kuin edellä stu yhtälö.

30 7. Kuvukset F : R n R p, n, p Kuvukset F : R n R p, n, p 2 Kuvus F : R n D R p voidn kirjoitt muodoss F (x) =(f 1 (x),f 2 (x),...,f p (x)), missä x =(x 1,x 2,...,x n ) D j f i : R n D R jokisell i =1, 2,...,p. Plutetn mieleen iemmin esitettyä si. Olkoot f : R n D R j D. f on differentioituv pisteessä, jos f(h + ) f() = grd f() h + h ρ(h), missä ρ(h) 0, kunh 0. Trkstelln kuvust h grd f() h. Jos merkitään L f, h =grdf() h kikill h R n, niin ilmeisesti L f, : R n R on linerinen kuvus. Tätä kuvust snotn myös f:n differentiliksi pisteessä j joskus siitä käytetään myös merkintää df (). KuvuksenL f, mtriisi vruuden R n luonnollisen knnn suhteen on 1 n- mtriisi ( 1 f(), 2 f(),..., n f() ). Siis L f, h = ( 1 f(), 2 f(),..., n f() ) h 2. h n h 1 = 1 f()h f()h n f()h n =grdf() h. Jos vstvsti F : R D R p j D, niin F on differentioituv pisteessä, jos F ( + h) F () =F ()h + h ρ(h), missä vektori ρ(h) 0, kunh 0. Tässä F () =(f 1(),f 2(),...,f p()), kun funktiot f 1,f 2,...,f p : R D R p ovt F :n koordinttifunktiot. Merkitsemällä L F, h = F ()h (h R) sdn kuvus L F, : R R p, mikä on jälleen linerinen. Sen mtriisi luonnollisten kntojen suhteen on p 1-mtriisi f 1() f 2 (). f p () Siis f 1() hf 1() f L F, h = 2 (). h = hf 2 ().. f p () hf p () Olkoon F : R n D R p, missä n, p 2 j D on vruuden R n voin osjoukko. Siis F :llä on koordinttifunktiot f 1,f 2,...,f p : D R, joille pätee F (x) = ( f 1 (x 1,x 2,...,x n ),f 2 (x 1,x 2,...x n ),...,f p (x 1,x 2,...,x n ) ).

31 24 Luku 2. Funktioiden j kuvusten differentililskent jokisell x =(x 1,x 2,...,x n ) D. Jos D j h R n ovt selliset, että + h D, niin F ( + h) F () = ( f 1 ( + h) f 1 (),...,f p ( + h) f p () ). Jos oletmme, että funktiot f 1,...,f p ovt differentioituvi pisteessä, on voimss f j ( + h) f j () =L j h + h ρ j (h), missä ρ j (h) 0, kunh 0, jl j on linerinen kuvus R n R, jolle L j h = L fj,h =grdf j () h = 1 f j ()h n f j ()h n jokisell h R, jolle h + D. Kosk tämä pätee jokisell j =1, 2,...,p, niin F ( + h) F () =(L 1 h,l 2 h,...,l p h)+ h (ρ 1 (h),ρ 2 (h),...,ρ p (h)) = Lh + h ρ(h), missä ρ(h) 0, kunh 0, jl on linerinen kuvus R n R p, jolle L = L F, j 1 f 1 () 2 f 1 ()... n f 1 () h 1 Lh = 1 f 2 () 2 f 2 ()... n f 2 () h f p () 2 f p ()... n f p () h n Siis L:n mtriisi vruuksien R n j R p luonnollisten kntojen suhteen on koordinttifunktioiden osittisderivttojen muodostm p n-mtriisi, jot snotn F :n Jcobin mtriisiksi pistessä (Jcobin mtrix, derivtive mtrix) j merkitään seurvsti J F, = ( i f j () ), i =1, 2,...,n j =1, 2,...,p. Määritelmä 7.1. Olkoot F : R n D R p j D. F on differentioituv pisteessä, josf :n kikki koordinttifunktiot f 1,f 2,...,f p ovt differentioituvi pisteessä. Linerist kuvust L = L F, : R n R p, jonk mtriisi luonnollisten kntojen suhteen on F :n Jcobin mtriisi, snotn F :n differentiliksi pisteessä. Usein merkitään L F, = df () =F (). Huomutus 7.1. Funktion F : R n D R p differentioituvuus voitisiin määritellä myös seurvll yhtäpitävällä tvll: F on differentioituv pisteessä D, jos on olemss sellinen linerinen kuvus A : R n R p, että F ( + h) F () =Ah + h ρ(h), missä ρ(h) 0, kunh 0. Tämä määritelmä nt A:n mtriisiksi F :n Jcobin mtriisin. Helposti hvitn, että kikki edellä olevt differentioituvuuden määritelmät sdn erikoistpuksen tässä huomutuksess nnetust määritelmästä. Luse 7.1. Olkoon F : R n D R p differentioituv pisteessä D. Silloin F on jtkuv pisteessä. Todistus. Nyt F (h + ) F () L F, h + h ρ(h) 0, kun h 0. (Miksi L F, h 0, kunh 0, ts.miksil F, on jtkuv origoss?)

32 7. Kuvukset F : R n R p, n, p 2 25 Huomutus 7.2. F :n koordinttifunktioiden osittisderivttojen olemssolo ei ole riittävä ehto F :n differentioituvuudelle; funktiolle F voidn muodost Jcobin mtriisi sellisess pisteessä, joss F ei ole differentioituv. Ehkä helpoin esimerkki tämänlisest tilnteest on seurv. Esimerkki 7.1. Olkoon funktio f : R 2 R määritelty kvll { xy, kun (x, y) (0, 0) x f(x, y) = 2 +y 2 0, kun (x, y) =(0, 0) Tällöin f(0, 0) = f(0, 0) = 0. Kuitenkn f ei ole differentioituv origoss, sillä x y esimerkin 3.1 mukn f ei ole edes jtkuv origoss Esimerkki 7.2. Olkoon F (x 1,x 2,x 3 )=(2x 1 +2x 2 + x 3,x 1 x 2 ). Muodost F :n Jcobin mtriisi. Esimerkki 7.3. Olkoon F (x 1,x 2,x 3 )=(x 2 1 +x2 2 +x2 3,x 1+x 2 +x 3 ). Muodost funktion F Jcobin mtriisi. Määritelmä 7.2. Olkoon F : R n D R n differentioituv pisteessä D. F :n Jcobin mtriisin determinntti snotn F :n Jcobin determinntiksi (Jcobin) pisteessä j merkitään det J F, = (f 1,f 2,...,f n ) (x 1,x 2,...,x n ) (). Huomutus 7.3. Kosk determinntti on määritelty vin neliömtriiseille, niin Jcobin determinntti voidn lske vin kuvuksille R n R n. Huomutus 7.4. Luokt C k (D) määritellään koordinttifunktioiden vstvien ominisuuksien vull. Siis F C k (D) mikäli F :n koordinttifunktioiden kikki osittisderivtt ovt olemss jtkuvin joukoss D kertlukuun k sti. Huomutus 7.5. Olkoon D polkuyhtenäinen. Jos jokisell x D kuvus df (x) = L F,x on nollkuvus, niin F on vkiofunktio joukoss D. Tämä perustuu siihen, että F :n kikki koordinttifunktiot ovt luseen 5.1 perusteell vkiofunktioit joukoss D. Luse 7.2 (Yleinen ketjusääntö). Oletetn, että G : R m E R n j F : R n D R p ovt funktioit, joille pätee G(E) D. JosG on differentioituv pisteessä E j F on differentioituv pisteessä G() D, niin yhdistetty funktio H = F G on differentioituv pisteessä j H:n differentili on L H, = L F,G() L G, j H:n Jcobin mtriisi sdn G:n j F :n Jcobin mtriisien tulon J H, = J F,G() J G,. Todistus. Hiemn tekninen joskin selväpiirteinen. Ktso Bxndll j Liebeck s. 197.

33 26 Luku 2. Funktioiden j kuvusten differentililskent Siis 1 f 1 (G()) 2 f 1 (G())... n f 1 (G()) 1 g 1 ()... m g 1 () 1 f 2 (G()) 2 f 2 (G())... n f 2 (G()). 1 g 2 ()... m g 2 () f p (G()) 2 f p (G())... n f p (G()) 1 g n ()... m g n () 1 h 1 () 2 h 1 ()... m h 1 () = 1 h 2 () 2 h 2 ()... m h 2 ()......, 1 h p () 2 h p ()... m h p () missä j h i () = 1 f i (G()) j g 1 ()+ + n f i (G()) j g n (). Esimerkki 7.4. Olkoot F (s 1,s 2 )=(2s 1 + s 2 2, 3s 2 1 s 2 ), G(x 1,x 2,x 3 )=(x 1 x 2,x 2 x 3 ) j H = F G. LskeJ H, suorn lskemll j sitten ketjusääntöä käyttäen. 8. Korkemmn kertluvun osittisderivtt Olkoon f : R n D R. Merkitään f(x) =f(x 1,x 2,...,x n ). Osittindifferentioituvn funktion f osittisderivtt j f(x) ovt myös funktioit D R. Jos nämä ovt edelleen osittindifferentioituvi, voidn muodost uusi, toisen kertluvun osittisderivttoj k ( j f(x) ) j =1, 2,...,n k =1, 2,...,n. Näille toisen kertluvun osittisderivtoille käytetään myös merkintöjä ( f ), x k x j Huom, että merkinnöissä f x j x k j f jk 2 f x k x j (x), f x j x k (x) j f jk (x). lindeksit ilmisevt osittisderivoinnin järjestyksen ensin derivoidn j:nnen muuttujn suhteen j sitten k:nnen muuttujn suhteen. Jos erikoisesti k = j, niin käytetään merkintöjä j j f(x), 2 j f(x), 2 f x 2 j (x), f jj (x) j f x j x j (x). Jtkmll edellistä menettelyä sdn (mhdollisesti) yhä korkemmn kertluvun osittisderivttoj. Lisäksi edellisillä merkinnöillä on nlogiset vstineet. Osittisderivtn kertluvull trkoitetn tietysti osittisderivointikertojen lukumäärää. Esimerkki 8.1. Jos f(x, y) =xy +ln(xy 2 )=xy +lnx +2lny (x, y > 0), niin f:n ensimmäisen kertluvun derivtt ovt f x (x, y) =y + 1 f j x y (x, y) =x + 2 y. Näin ollen f:n toinen osittisderivtt x:n suhteen j f:n toinen osittisderivtt y:n suhteen on määritelty lusekkeill f x x (x, y) = 1 x 2 j f y y (x, y) = 2 y 2 sekä toisen kertluvun sekderivtt (mixed prtils) lusekkeill f y x (x, y) =1 j f (x, y) =1. x y

34 8. Korkemmn kertluvun osittisderivtt 27 Esimerkissä 8.1 hvittiin, että sekderivtt ovt smt. Yleisessä tpuksess sekderivtt eivät välttämättä ole smt. Kuitenkin meillä on seurv luse. Otetn käyttöön merkintä C k (D) ={f : R n D R D =IntD, f : n kikki osittisderivtt kertlukuun k skk ovt olemss j jtkuvi D:ssä} Luse 8.1. Olkoon D R n voin j f C 2 (D). Tällöin k ( j f(x)) = j ( k f(x)) kikill j, k =1, 2,...,n. Todistus. Trkstelemme tpust n =2. Siis f : R 2 D R j lisäksi f C 2 (D). On osoitettv, että 1 ( 2 f(x, y)) = 2 ( 1 f(x, y)). Todistus perustuu relifunktion välirvoluseen toistettuun käyttöön. Olkoon (x, y) D j luvut h j k itseisrvoltn niin pieniä, että B ( (x, y), h + k ) D. Trkstelln lusekett g(h, k) =f(x + h, y + k) f(x, y + k) f(x + h, y)+f(x, y). Merkitään ϕ(t) =f(x + h, t) f(x, t) jokisell t [y k,y+ k ] j ψ(s) =f(s, y + k) f(s, y) jokisell s [x h,x+ h ]. Tällöin g(h, k) =ϕ(y + k) ϕ(y) j g(h, k) =ψ(x + h) ψ(x). Sovelletn välirvolusett funktioon ϕ välillä [y, y + k], josk>0, j välillä [y + k, y], jos k<0 (sllittu!). Sdn g(h, k) =ϕ(y + k) ϕ(y) = ϕ (y + θk)k = ( 2 f(x + h, y + θk) 2 f(x, y + θk) ) k, missä θ ]0, 1[. Yllä olev esitys voidn tulkit funktion (1) s 2 f(s, y + θk) rvojen erotukseksi välillä [x, x+h], josh>0, j välillä [x+h, x], josh<0. Soveltmll vstvuuden (1) määrittelemään funktioon välirvolusett (sllittu!) sdn g(h, k) = 1 ( 2 f(x + ηh, y + θk))kh, missä 0 <η<1. (x, y + k) (x + h, y + k) (x + ηh, y + θk) (x, y) (x + h, y)

35 28 Luku 2. Funktioiden j kuvusten differentililskent Olkoon nyt hk 0.Kosk 1 2 f on jtkuv, niin hvitn, että g(h, k) = 1 ( 2 f(x + ηh, y + θk)) (h,k) (0,0) 1 2 f(x, y). hk Vstv päättely funktiolle ψ nt g(h, k) =ψ(x + h) ψ(x) = ( 1 f(x + ηh, y + k) 1 f(x + ηh, y) ) h = 2 ( 1 f(x + ηh, y + θh))hk, mistä funktion 2 1 f jtkuvuuden nojll sdn (jos hk 0) Kosk rj-rvo g(h, k) hk on yksikäsitteinen, väite seur. = 2 ( 1 f(x + ηh, y + θk)) (h,k) (0,0) 2 1 f(x, y). g(h, k) lim (h,k) (0,0) hk Huomutus 8.1. Luseen 8.1 nojll on voimss muun muss seurv yhtälö 4 f x 2 3 x 2 x 1 = edellyttäen, että f C 4. 4 f x 3 x 2 x 3 x 1 = 4 f x 2 x 2 3 x 1 =...= 4 f x 1 x 2 x 2 3

36 LUKU 3 Differentililskennn sovelluksi 1. Virheen rviointi Oletetn, että fysiklinen suure y riippuu muuttujist x 1,x 2,...,x n kvn y = f(x 1,x 2,...,x n ) ilmoittmll tvll. Koetilnteess suure y määritetään mittmll rvot x 1,x 2,...,x n. Nämä mittukset eivät kuitenkn ole milloinkn trkkoj, vn kunkin oslt tehdään jokin virhe. Merkitään x =(x 1,x 2,...,x n ) j Δx =(Δx 1,...,Δx n ). Suureen y = f(x) määrityksessä käytetään siis todellisuudess rvo x+δx j päädytään tulokseen f(x + Δx). Syntyyvirhe Δy = f(x + Δx) f(x). Oletetn nyt, että f : R n R on differentioituv (f C 1 ). Silloin luseen 1.2 nojll (2) Δy = 1 f(x)δx f(x)δx n f(x)δx n + Δx ρ(δx), missä ρ(δx) 0,kun Δx 0. Näin ollen pienillä luvun Δx rvoill voidn rvioid (3) Δy 1 f(x)δx n f(x)δx n. Käyttämällä kolmioepäyhtälöä sdn virheelle ylärj (4) Δy 1 f(x) Δx n f(x) Δx n, kun Δx on riittävän pieni. Kosk yhtälössä (2) termi ρ(δx) voi oll positiivinen, stt yhtälön (3) oike puoli oll sen verrn pienempi kuin vsen puoli, ettei kolmioepäyhtälönkään käyttö yhtälön (3) oikell puolell korj tilnnett toivotuksi: epäyhtälön (4) oiken puolen luseke ei välttämättä ole todellinen ylärj virheelle vn se on vin ylärjn rvio tietyllä trkkuudell. Edellä merkintä onkin niin snottu likimäärin pienempi kuin -merkintä. Niin snottu mksimlinen virhe suureelle y sdn lskemll yllä olevn epäyhtälön (4) oike puoli. Muist kuitenkin, että todellinen virhe voi oll suurempi kuin mksimlinen virhe. Trkt virherjt suureelle y sdn tutkimll erotuksen f(x + Δx) f(x) vihteluväli, kun suureen Δx vihtelurjt tunnetn. Esimerkki 1.1. Kiihtyvyys lsketn kvst = v2.mtkns mittus nt 2s 300, 0mtrkkuudell ±3, 0mj nopeuden mittus nt 30, 00 m/s trkkuudell ±1, 00 m/s 2. Lske kiihtyvyys j sen virherjt. Rtkisu. Siis = f(s, v) = v2,joten 2s = f(300, 30) = m/s2 =1, 50 m/s 2. Lsketn seurvksi virherjt. Kosk Δ f f v2 (s, v)δs + (s, v)δv = s v 2s Δs + v 2 s Δv,