4.3 Moniulotteinen Riemannin integraali
|
|
- Anita Halonen
- 7 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 4.3 Moniulotteinen Riemannin integraali Tässä luvussa opitaan miten integroidaan usean muuttujan reaaliarvoista tai vektoriarvoista funktiota, millaisten joukkojen yli jatkuvaa funktiota voi integroida, miten integraalissa tehdään muuttujan vaihto ja kuinka epäoleelliset integraalit (eng. improper integrals) määritellään. Huomautus Tässä luvussa sanalla integrointi tarkoitetaan Riemannin integraalia.toinen erittäin laajasti käytetty integraali on ns. Lebesguen integraali, joka määritellään eri tavoin kuin Riemannin integraali. Riemannin integraali ja Legesgue n integraali antavat saman arvon osalle integroitavista funktioista, mutta Lebesgue n interaalin voi laskea myös eräille funktioille, jotka eivat ole Riemann-integroituvia. Toisaalta Lebesgue n integraalia ei voi määritellä eräille funktioille, joiden epäoleellinen Riemann integraali on olemassa. Tämän vuoksi on syytä tuntea molemmat määritelmät.
2 4.3.1 Riemannin integraalin määritelmä Riittäisikö yhden muuttujan integraalien käyttö myös moniulotteisessa tapauksessa? Esimerkki Yhden muuttujan funktion, kuten f(x) = 4 cos(2x) (4.3.8) integraali yli välin [, 1] on 1 f(x)dx = 1 4 cos(2x)dx = 2 sin(2). Korvataan yhtälössä (4.3.8) luku 2 luvulla y R, luku 4 luvulla y 2 ja asetetaan f(x, y) = y 2 cos(xy) kaikilla x, y R. Samoin kuin yllä 1 f(x, y)dx = 1 y 2 cos(xy)dx = 1/ y sin(xy) = y sin(y). (4.3.9) Nyt voidaan laskea ns. iteroitu eli toistettu integraali, missä ensin lasketaan integraali x- muuttujan suhteen ja sitten integraali y-muuttujan suhteen: 2 ( 1 ) 2 ( 1 ) 2 f(x, y)dx dy = 2y 2 cos(xy)dx dy (4.3.9) = y sin(y)dy
3 Voidaanko nyt tulkita, että olemme laskeneet funktion f(x, y) integraalin yli joukon = {(x, y) R 2 : x [, 1], y [1, 2]}? Itse asiassa kyllä, mutta tarkastellaan kuitenkin toistakin esimerkkiä. Olkoon { 2x, kun y on irrationaalinen g(x, y) = 1, kun y on rationaalinen. Silloin 1 g(x, y)dx = Tällöin iteroitu integraali saa arvon 2 { 1 2xdx = 1, kun y on irrationaalinen 1 1 1dx = 1, kun y on rationaalinen. ( 1 ) g(x, y)dx dy = 1. Jos integroimisjärjestys vaihdetaan, niin ensin tulisi laskea integraali 2 1 2x1 R\ (y) + 1 (y)dy, mikä ei onnistu, sillä integrandi ei ole Riemannin mielessä integroituva! Toisaalta joukko I on sama integroitiinpa ensin muuttujan x tai muuttujan y yli..
4 Päättelemme tästä, että toistettu integraali ei ole ideaalinen moniulotteisen integraalin pohjaksi. Seuraavaksi esitetään tunnettu määritelmä, joka kykenee helposti tekemään selvän eron tapausten f (jonka integraalin saa laskea tällä taktiikalla) ja tapauksen g (jota ei voi integroida tällä taktiikalla) välille. Määritelmä Joukko R m on hypersuorakulmio, jos löytyy sellaiset välit I 1,..., I m R, että = I 1 I m. Hypersuorakulmion tilavuus (pinta-ala, kun m = 2) on välien I i, i = 1,..., m pituuksien tulo Huomautus Hypersuorakulmio = I 1 I m on kompakti, jos välit I 1,... I m R ovat suljettuja ja rajoitettuja. Esimerkki Joukko {(x 1, x 2, x 3, x 4 ) R 4 : x 1 2, 1 x 2 1, 1 x 3 11, x 4 5} on hypersuorakulmio = [, 2] [ 1, 1] [1, 11] [, 5], jonka tilavuus on = (2 ) (1 ( 1)) (11 1) (5 ) = 2.
5 Määritelmä Olkoon = I 1 I m kompakti hypersuorakulmio ja olkoon P i = {t (i) < < t (i) k i } välin I i jako jokaisella i = 1,..., m. Joukko P on hyoersuorakulmion jako, jos P sisältää kaikki hypersuorakulmiot missä 1 j i k i jokaisella i = 1,..., m. Esimerkki R j1,...,j m = [t (1) j 1 1, t(1) j 1 ] [t (m) j m 1, t(m) j m ], Kuva 4.5: Suorakulmion jako kahden muuttujan tapauksessa. Erityisesti j 1,j 2 R j1,j 2 =.
6 Määritelmä Olkoon R m hypersuorakulmio ja P, P sen kaksi jakoa. Jako P on jaon P hienonnus, jos jokainen jaon P hypersuorakulmio on jaon P jonkin hypersuorakulmion osajoukko. Määritelmä Olkoon R m kompakti hypersuorakulmio ja P hypersuorakulmion jako, joka koostuu hypersuorakulmioista R j1,...,j m, missä 1 j i k i jokaisella i = 1,..., m. Olkoon f : R rajoitettu funktio. Tällöin funktion f Riemannin alasumma joan P suhteen on L(f, P ) = inf f(x) R j1,...,j m x R j1,...,jm j 1,...j m ja funktion f Riemannin yläsumma jaon P suhteen on U(f, P ) = sup f(x) R j1,...,j m x R j1,...,jm j 1,...j m Kun pisteet p (j 1,...,j m ) R j1,...,j m, niin L(f, P ) j 1,...j m f(p (j1,...,jm) ) R j1,...,j m U(f, P ). Jos P ja P ovat kaksi hypersuorakulmion jakoa, niin löytyy jakojen P ja P yhteinen hienonnus P. Silloin L(f, P ) L(f, P ) U(f, P ) U(f, P ) eli alasumma minkä tahansa jaon suhteen on erityisesti aina pienenpi kuin yläsumma minkä tahansa muun jaon suhteen.
7 Määritelmä (Moniulotteinen Riemannin integraali). Olkoon R m kompakti hypersuorakulmio ja f : R rajoitettu funktio. Jos sup P L(f, P ) = inf P U(f, P ), (4.3.1) niin f on (Riemannin mielessä) integroituva yli hypersuorakulmion. Tällöin lukua (4.3.1) sanotaan funktion f integraaliksi yli hypersuorakulmion ja lukua (4.3.1) merkitään f(x, y)dxdy tai fda tai f kun m = 2 f(x, y, z)dxdydz tai fdv tai f kun m = 3 f(x)dx tai f(x 1,..., x m )dx 1 x m kun m on mikä tahansa dimensio Esimerkki Olkoon f(x) = 1 jokaisella x R 2. Tutkitaan, onko f integroituva yli joukon = [, 2] [3, 6]: Olkoon P suorakulmion jako. Silloin Riemannin alasumma L(f, P ) = j 1,j 2 inf f(x) R j1,j 2 = x R j1,j }{{ 2 } =1 Samoin U(f, P ) =. Siis (4.3.1) on totta ja f(x 1, x 2 )dx 1 dx 2 = (2 ) (6 3) = 6. [,2] [3,6]
8 Lause Olkoon R m kompakti hypersuorakulmio ja olkoon f : R rajoitettu funktion. Tällöin f on integroituva yli joukon jos ja vain jos jokaisella ε > löytyy sellaiset :n jaot P = P ε ja P = P ε, että U(f, P ) L(f, P ) < ε. Todistus. Seuraa supremumin ja infimumin määritelmistä sekä yhtälöstä (4.3.1). Esimerkki Olkoon f(x 1, x 2 ) = x 1 kaikilla (x 1, x 2 ) = [ 1, ] [ 1, ]. Tutkitaan, onko f integroituva yli joukon. Olkoon ɛ > ja olkoon P neliön sellainen jako, joka sisältää suorakulmiot R j1,j 2 = [a j1 1, a j1 ] [b j2 1, b j2 ] kaikilla 1 j 1 k 1 ja 1 j 2 k 2 ja a j1 a j1 1 < ɛ jokaisella j 1. Silloin L(f, P ) = ( ) inf x 1 R j1,...,j m x R j1,j j 1,j 2 2 = j 1,j 2 a j1 (a j1 a j1 1)(b j2 b j2 1) = j1 a j1 (a j1 a j1 1) b j2 b j2 1 j2 }{{} =1
9 Toisaalta U(f, P ) = j 1,j 2 sup ( x 1 ) R j1,...,j m x R j1,j 2 Lisäksi = j 1,j 2 a j1 1(a j1 a j1 1)(b j2 b j2 1) = j1 a j1 1(a j1 a j1 1) b j2 b j2 1 j2 }{{} =1 U(f, P ) L(f, P ) = j1 (a j1 a j1 1)(a j1 a j1 1) < ɛ Lauseen nojalla f on integroituva :n yli. Huomautus Esimerkin Riemannin summille saadaan myös geometrinen tulkinta tarkastelemalla funktion f kuvaajaa:
10 Kuva 4.6: Funktion f(x 1, x 2 ) = x 1 kuvaaja. Riemannin yläsumma approksimoi kiilan tilavuutta ylhäältä ja Riemannin alasumma approksimoi kiilan tilavuutta alhaalta.
11 Esimerkki Olkoon f(x 1, x 2 ) = { 1 kun x 1, x 2 muulloin. Tutkitaan, onko f integroituva yli joukon = [, 1] [, 1]. Olkoon P suorakulmion vapaasti valittu jako. Tällöin L(f, P ) = inf f(x) R j1,...,j m = x R j1,...,jm j 1,...j m }{{} = ja U(f, P ) = sup f(x) R j1,...,j m =. x R j1,...,jm j 1,...j m } {{ } =1 Tällöin = sup L(f, P ) inf U(f, P ) = = 1, P P joten f ei ole Riemannin mielessä integroituva yli :n.
12 Suuri joukko integroituvia funktioita löytyy seuraavan lauseen avulla. Lause Olkoon R m kompakti hypersuorakulmio ja olkoon f : R jatkuva funktio. Silloin funktio f on integroituva yli joukon. Todistus. Näytetään tulos yksinkertaisuuden vuoksi tapauksessa m = 2. Kompaktissa joukossa jatkuva funktio f on tasaisesti jatkuva. Kun ɛ > on annettu, niin tällöin löytyy sellainen δ >, että f(x) f(y) < ɛ (4.3.11) aina kun x y < δ ja x, y. Olkoon P sellainen suorakulmion jako, että sen jokaisen suorakulmion diagonaalin pituus on pienenpi kuin δ. Koska jatkuva funktio saavuttaa pienimmän ja suurimman arvonsa kompaktissa joukossa, niin U(f, P ) L(f, P ) = j 1,j 2 (( sup x R j1,...,jm f(x)) ( inf x R j1,...,jm f(x)) ) R j1,...,j m (4.3.11) ɛ. Koska ε on vapaasti valittavissa, niin Lauseen nojalla f on integoituva yli joukon.
13 4.3.2 Fubinin lause Seuraavaksi johdetaan tulos, jonka nojalla moniulotteisia Riemannin integraaleja voidaan laskea iteroitujen integraalien avulla. Lause Olkoot R R m ja R R n kompakteja hypersuorakulmioita ja olkoon f : R R R sellainen rajoitettu funktio, että 1. f on integroituva yli joukon R R 2. integraali f(x, y)dy on olemassa jokaisella x R. R R R Silloin funktio x R f(x, y)dy on integroituva yli joukon R ja ( ) f(x 1,... x m,, y 1,... y n )dx 1 dx m dy 1 dy n = f(x, y)dy dx. (4.3.12) Jos lisäksi funktio R f(x, y)dx on olemassa jokaisella y R, niin ( ) ( ) f(x, y)dx dy = f(x, y)dy dx. (4.3.13) R R R R R R
14 Esimerkki Fubinin lauseen nojalla esimerkiksi jatkuvan funktion f : R 3 R integraali yli joukon = [, 3] [ 1, ] [ 3, 4] on 3 ( ( 4 ) ) f(x 1, x 2, x 3 )dx 1 dx 2 dx 3 = f(x 1, x 2, x 3 )dx 3 dx 2 dx 1. Tässä käytetään Fubinia kahdesti joukkoon = [, 3] [ 1, ] [ 3, 4]: i) kun m = 1, n = 2 eli [, 3] ([ 1, ]) [ 3, 4]) }{{}}{{} =R = R ii) vielä erikseen tapaukseen n = 2 eli joukkoon [ 1, ] [ 3, 4]. }{{}}{{} =R = R Esimerkiksi, kun f(x 1, x 2, x 3 ) = x 2 1x 2 + x 3 x 2 2, niin 3 ( ( 4 ) ) x 2 1x 2 + x 3 x 2 2 dx 1 dx 2 dx 3 = x 2 1x 2 + x 3 x 2 2dx 3 dx 2 dx ( ( ) 4 = 7x 2 2 1x ( 3)2 x 22dx ) 2 dx = 7 2 x ( ) ( 3)2 dx ja = ( 3)2 2 = 28
15 Todistus. (Lause 4.3.3) Näytetään tulos tapauksessa m = n = 1. Yleisempi tapaus etenee vastaavasti. Tarkastellaan välejä = [a, b] ja = [c, d]. Koska funktio f on rajoitettu, niin löytyy vakiot e, E R joille e f(x, y) E (4.3.14) kaikilla x [a, b] ja y [c, d]. Karkea arvio (4.3.14) antaa epäyhtälön e(c c) d c f(x, y)dy E(d c) jokaisella x [a, b], mistä nähdään että funktio x d c f(x, y)dy on rajoitettu. Olkoon ɛ >. Oletuksen nojalla f on integroituva yli joukon [a, b] [c, d] ja lisäksi f(x, y)dy on olemassa jokaisella x [a, b]. Lauseen nojalla löytyy sellainen joukon [a, b] [c, d] jako P, että U(f, P ) L(f, P ) < ɛ. Merkitään jaon P muodostavia välien [a, b] ja [c, d] jakoja P 1 = {a = x < < x k = b} ja P 1 = {c = y < < y l = d}. Olkoon p (i) jokin piste joukossa [x i 1, x i ].
16 Kerrotaan inf f(x, y)(y j y j 1 ) (x,y) [x i 1,x i ] [y j 1,y j ] puolittain luvulla (x i x i 1 ). Silloin yj y j 1 f(p (i), y)dy inf f(x, y)(y j y j 1 )(x i x i 1 ) (x i x i 1 ) (x,y) [x i 1,x i ] [y j 1,y j ] sup (x,y) [x i 1,x i ] [y j 1,y j ] Summaamalla yli indeksien i ja j saadaan k L(f, P ) (x i x i 1 ) i=1 d c sup f(x, y)(y j y j 1 ) (x,y) [x i 1,x i ] [y j 1,y j ] yj f(p (i), y)dy y j 1 f(x, y)(y j y j 1 )(x i x i 1 ) f(p (i), y)dy U(f, P ). Koska p (i) on vapaasti valittavissa, nähdään 1 että ( ) ( d ) d L(f, P ) L f(, y)dy, P 2 U f(, y)dy, P 2 U(f, P ). (4.3.15) c Epähtälöiden (4.3.15), (4.3.15) ja Lauseen nojalla x [c,d] f(, y)dy on integroituva yli välin [a, b] ja integraalin arvo on vaadittua muotoa. 1 valitsemalla sellainen jono p (i) k, jolla d c f(p(i) k, y)dy suppenee kohti lukua sup d c c f(p(i) k, y)dy (vast. infimum).
17 4.3.3 Nollajoukko Samaan tapaan kuin paloittain jatkuvia funktioita voi integroida yksiulotteisessa tapauksessa, niin myös moniulotteinen integroituva funktio voi olla tietyllä tapaa paloittain jatkuva. On kuitenkin epäjatkuvuuksia, joita ei voi sallia. Esimerkki kehnosta epäjatkuvuudesta on fraktaalin, kuten Kochin lumihiutaleen, rajaama joukko. Hyvien ja huonojen epäjatkuvuuksien tunnistamisessa on avuksi ns. nollajoukon käsite. Koko avaruuden R m jako muodostetaan samoin kuin kompaktin hypersuorakulmion jako, paitsi että osa jaon hypersuorakulmioista saa olla rajoittamattomia suorakulmioita. Määritelmä Olkoon A R m ja P jokin avaruuden R m jako. Joukon A ja jaon P kontaktijoukko muodustuu sellaisista jaon P hypersuorakulmioista, R j1,...j m, joille A R j1,...j m. Kontaktijoukon tilavuutta (pinta-alaa, kun m = 2) merkitään κ(a, P ). Huomautus Jos A R m on rajoitettu joukko, niin löytyy aina sellainen jako, että κ(a, P ) <. Määritelmä Joukko A R m on nollajoukko, jos jokaisella ɛ > löytyy sellainen jako P, että kontaktijoukon tilavuus (pinta-ala, kun m = 2) κ(a, P ) < ɛ.
18 Esimerkki Neliön [, 1] [, 1] reuna on nollajoukko. Kuva 4.7: Neliön reunapisteiden kontaktijoukko punaisella. Huomautus Äärellisen monen nollajoukon yhdiste on nollajoukko. Myös nollajoukon osajoukko on nollajoukko.
19 Lause Olkoon R m kompakti hypersuorakulmio. Jos g : R on jatkuva funktio, niin sen kuvaaja {(x, g(x)) : x } on nollajoukko. Todistus. Todistetaan väite yksinkertaisuuden vuoksi tapauksessa m = 2. Olkoon ɛ > Jatkuva funktio g on määritelty kompaktilla joukolla, joten se on tasaisesti jatkuva. Tällöin löytyy sellainen δ >, että g(x) g(y) < ɛ aina, kun x y < δ ja x, y. Muodostetaan välin :n sellainen jako P jonka suorakulmioiden R ij halkaisija on pienempi kuin δ. Kuvaajan osajoukko {(x, g(x)) : x R ij } voidaan peittää suorakulmaisella särmiöllä, jonka tilavuus on korkeintaan ɛ R ij. Tällaisten suorakulmioiden yhteenlaskettu tilavuus on korkeintaan ɛ R ij = ɛ. i,j
peitteestä voidaan valita äärellinen osapeite). Äärellisen monen nollajoukon yhdiste on nollajoukko.
Esimerkki 4.3.9. a) Piste on nollajoukko. Suoran rajoitetut osajoukot ovat avaruuden R m, m 2, nollajoukkoja. Samoin suorakaiteiden reunat koostuvat suoran kompakteista osajoukoista. b) Joukko = Q m [0,
Lisätiedot1 sup- ja inf-esimerkkejä
Alla olevat kohdat (erityisesti todistukset) ovat lähinnä oheislukemista reaaliluvuista, mutta joihinkin niistä palataan myöhemmin kurssilla. 1 sup- ja inf-esimerkkejä Kaarenpituus. Olkoon r: [a, b] R
Lisätiedot1 sup- ja inf-esimerkkejä
Alla olevat kohdat (erityisesti todistukset) ovat lähinnä oheislukemista reaaliluvuista, mutta joihinkin niistä palataan myöhemmin kurssilla. 1 sup- ja inf-esimerkkejä Nollakohdan olemassaolo. Kaikki tuntevat
LisätiedotVektorilaskenta. Luennot / 54
Luennot 22.09.-27.09.2017 1 / 54 Välin mitta Alasumma 1 Alasumma 2 Yläsumma 1 Yläsumma 2 Tihennys 1 Tihennys 2 Integroituvuus Jatkuva 1 Jatkuva 2 Jatkuva 3 Jatkuva 4 Jatkuva 5 Jatkuva 6 2 / 54 Välin mitta
Lisätiedot1 Määrittelyjä ja aputuloksia
1 Määrittelyjä ja aputuloksia 1.1 Supremum ja infimum Aluksi kerrataan pienimmän ylärajan (supremum) ja suurimman alarajan (infimum) perusominaisuuksia ja esitetään muutamia myöhemmissä todistuksissa tarvittavia
Lisätiedot4.3.7 Epäoleellinen integraali
Esimerkki 4.3.16. (Lineaarinen muuttujien vaihto) Olkoot A R m sellainen kompakti joukko, että A on nollajoukko. Olkoon M R m m säännöllinen matriisi (eli det(m) 0) ja f : R m R jatkuva funktio. Tehdään
Lisätiedot1 Supremum ja infimum
Pekka Alestalo, 2018 Tämä moniste täydentää reaalilukuja ja jatkuvia reaalifunktioita koskevaa kalvosarjaa lähinnä perustelujen ja todistusten osalta. Suurin osa määritelmistä jms. on esitetty jo kalvoissa,
LisätiedotMS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 1: Moniulotteiset integraalit
MS-A35 ifferentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento : Moniulotteiset integraalit Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Syksy 26 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A35 Syksy
LisätiedotJordanin sisältö ja Lebesguen ulkomitta
Jordanin sisältö ja Lebesguen ulkomitta Jennika Ojalehto Matematiikan pro gradu Jyväskylän yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Kevät 2016 Tiivistelmä: Jennika Ojalehto, Jordanin sisältö ja
LisätiedotVektorilaskenta Luennot / 42. Vektorilaskenta Napakoordinaatit
Luennot 19.09.-21.09. 1 / 42 Määritelmä (1/3) Määritelmä (2/3) Määritelmä (3/3) 2 / 42 Määritelmä (1/3) Määritelmä (1/3) Määritelmä (2/3) Määritelmä (3/3) Tason pisteen P sijainti voidaan karteesisten
LisätiedotFunktiojonon tasainen suppeneminen
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Taina Saari Funktiojonon tasainen suppeneminen Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka Elokuu 2009 Tampereen yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen
LisätiedotMatematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus Malliratkaisut (Sauli Lindberg)
Matematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus 4 9.4.-23.4.200 Malliratkaisut (Sauli Lindberg). Näytä, että Lusinin lauseessa voidaan luopua oletuksesta m(a)
LisätiedotMäärätty integraali. Markus Helén. Mäntän lukio
Määrätty integraali Markus Helén Pinta-ala Monikulmio on tasokuvio, jota rajoittaa suljettu, itseään leikkaamaton murtoviiva. Monikulmio voidaan aina jakaa kolmioiksi. Alueen pinta-ala on näiden kolmioiden
LisätiedotSarjat ja integraalit
Sarjat ja integraalit Peter Hästö 1. huhtikuuta 2015 Matemaattisten tieteiden laitos Eteneminen pvm luku v 11 2.1, 2.2 v 12 2.3, 2.4 v 13 3.0, 3.1 v 14 3.2 v 15 4 v 16 5.1 v 17 5.2 v 18 6.1 v 19 6.2 Peter
Lisätiedoty = 3x2 y 2 + sin(2x). x = ex y + e y2 y = ex y + 2xye y2
Matematiikan ja tilastotieteen osasto/hy Differentiaaliyhtälöt I Laskuharjoitus 2 mallit Kevät 219 Tehtävä 1. Laske osittaisderivaatat f x = f/x ja f y = f/, kun f = f(x, y) on funktio a) x 2 y 3 + y sin(2x),
LisätiedotAnalyysi 1. Harjoituksia lukuihin 1 3 / Syksy Osoita täsmällisesti perustellen, että joukko A = x 4 ei ole ylhäältä rajoitettu.
Analyysi Harjoituksia lukuihin 3 / Syksy 204. Osoita täsmällisesti perustellen, että joukko { 2x A = x ]4, [. x 4 ei ole ylhäältä rajoitettu. 2. Anna jokin ylä- ja alaraja joukoille { x( x) A = x ], [,
Lisätiedotf(tx + (1 t)y) tf(x) + (1 t)f(y) jokaisella x, y A ja t [0, 1].
Tässä luvussa näytetään divergenssilause konveksin joukon tapauksessa. Määritelmä 4.5.1. 1. Joukko R m on konveksi, jos kaikilla x, y pisteet tx + (1 t)y jokaisella t [0, 1]. 2. Olkoon R m konveksi. Funktio
LisätiedotMS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 1: Moniulotteiset integraalit
MS-A35 ifferentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 1: Moniulotteiset integraalit Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 215 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A35 Syksy 215 1 / 24 Skalaarikenttä Olkoon R
LisätiedotMS-A0202 Di erentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 8: Taso- ja avaruusintegraalit
MS-A22 i erentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 8: Taso- ja avaruusintegraalit Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 25 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A22 Syksy 25 / 8 Tasointegraali Olkoon R
LisätiedotTäydellisyysaksiooman kertaus
Täydellisyysaksiooman kertaus Luku M R on joukon A R yläraja, jos a M kaikille a A. Luku M R on joukon A R alaraja, jos a M kaikille a A. A on ylhäältä (vast. alhaalta) rajoitettu, jos sillä on jokin yläraja
LisätiedotKonvergenssilauseita
LUKU 4 Konvergenssilauseita Lause 4.1 (Monotonisen konvergenssin lause). Olkoon (f n ) kasvava jono Lebesgueintegroituvia funktioita. Asetetaan f(x) := f n (x). Jos f n
LisätiedotSinin jatkuvuus. Lemma. Seuraus. Seuraus. Kaikilla x, y R, sin x sin y x y. Sini on jatkuva funktio.
Sinin jatkuvuus Lemma Kaikilla x, y R, sin x sin y x y. Seuraus Sini on jatkuva funktio. Seuraus Kosini, tangentti ja kotangentti ovat jatkuvia funktioita. Pekka Salmi FUNK 19. syyskuuta 2016 22 / 53 Yhdistetyn
LisätiedotSelvästi. F (a) F (y) < r x d aina, kun a y < δ. Kolmioepäyhtälön nojalla x F (y) x F (a) + F (a) F (y) < d + r x d = r x
Seuraavaksi tarkastellaan C 1 -sileiden pintojen eräitä ominaisuuksia. Lemma 2.7.1. Olkoon S R m sellainen C 1 -sileä pinta, että S on C 1 -funktion F : R m R eräs tasa-arvojoukko. Tällöin S on avaruuden
Lisätiedot5 Funktion jatkuvuus ANALYYSI A, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT Määritelmä ja perustuloksia. 1. Tarkastellaan väitettä
ANALYYSI A, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT 2019 5 Funktion jatkuvuus 5.1 Määritelmä ja perustuloksia 1. Tarkastellaan väitettä a > 0: b > 0: c > 0: d U c (a): f(d) / U b (f(a)), missä a, b, c, d R. Mitä funktion
LisätiedotIV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n
IV. TASAINEN SUPPENEMINEN IV.. Funktiojonon tasainen suppeneminen Olkoon A R joukko ja f n : A R funktio, n =, 2, 3,..., jolloin jokaisella x A muodostuu lukujono f x, f 2 x,.... Jos tämä jono suppenee
LisätiedotMS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 8: Newtonin iteraatio. Taso- ja avaruusintegraalit
MS-A25/MS-A26 ifferentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 8: Newtonin iteraatio. Taso- ja avaruusintegraalit Jarmo Malinen Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 1 Aalto-yliopisto Kevät 216 1 Perustuu
LisätiedotLebesguen mitta ja integraali
Lebesguen mitta ja integraali Olkoon m Lebesguen mitta R n :ssä. R 1 :ssä vastaa pituutta, R 2 :ssa pinta-alaa, R 3 :ssa tilavuutta. Mitallinen joukko E R n = joukko jolla on järkevästi määrätty mitta
LisätiedotReaaliluvut. tapauksessa metrisen avaruuden täydellisyyden kohdalla. 1 fi.wikipedia.org/wiki/reaaliluku 1 / 13
Reaaliluvut Reaalilukujen joukko R. Täsmällinen konstruointi palautuu rationaalilukuihin, jossa eri mahdollisuuksia: - Dedekindin leikkaukset - rationaaliset Cauchy-jonot - desimaaliapproksimaatiot. Reaalilukujen
Lisätiedot0 3 y4 dy = 3 y. 15x 2 ydx = 15. f Y (y) = 5y 4 1{0 y 1}.
HY, MTL / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIb, syksy 18 Harjoitus Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsar I 1. Satunnaismuuttujilla X Y on tkuva yhteiskauma yhteistiheysfunktiolla f
LisätiedotMS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus
MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 19.9.2016 Pekka Alestalo, Jarmo
Lisätiedota) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. 8 3 + 4 2 0 = 16 3 = 3 1 3.
Integraalilaskenta. a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. b) Mitä määrätty integraali tietyllä välillä x tarkoittaa? Vihje: * Integraali * Määrätyn integraalin
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 2. viikolle /
MS-A008 Differentiaali- ja integraalilaskenta, V/207 Differentiaali- ja integraalilaskenta Ratkaisut 2. viikolle / 8. 2.4. Jatkuvuus ja raja-arvo Tehtävä : Määritä raja-arvot a) 3 + x, x Vihje: c)-kohdassa
LisätiedotPolkuintegraali yleistyy helposti paloitain C 1 -poluille. Määritelmä Olkoot γ : [a, b] R m paloittain C 1 -polku välin [a, b] jaon
Polkuintegraali yleistyy helposti paloitain C 1 -poluille. Määritelmä 4.1.3. Olkoot : [a, b] R m paloittain C 1 -polku välin [a, b] jaon P = {a = t 1 < < t k = b} ja joukko D R m sellainen, että ([a, b])
LisätiedotCantorin joukon suoristuvuus tasossa
Cantorin joukon suoristuvuus tasossa LuK-tutkielma Miika Savolainen 2380207 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Syksy 2016 Sisältö Johdanto 2 1 Cantorin joukon esittely 2 2 Suoristuvuus ja
Lisätiedot5 Funktion jatkuvuus ANALYYSI A, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT Määritelmä ja perustuloksia
ANALYYSI A, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT 2018 5 Funktion jatkuvuus 5.1 Määritelmä ja perustuloksia 1. Tarkastellaan väitettä a > 0: b > 0: c > 0: d U c (a): f(d) / U b (f(a)), missä a, b, c, d R. Mitä funktion
LisätiedotDIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1. Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS
DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1 Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS Huomautus. Analyysin yksi keskeisimmistä käsitteistä on jatkuvuus! Olkoon A R mielivaltainen joukko
LisätiedotLuku 2. Jatkuvien funktioiden ominaisuuksia.
1 MAT-1343 Laaja matematiikka 3 TTY 21 Risto Silvennoinen Luku 2. Jatkuvien funktioiden ominaisuuksia. Jatkossa väli I tarkoittaa jotakin seuraavista reaalilukuväleistä: ( ab, ) = { x a< x< b} = { x a
Lisätiedot1.1. Joukon Jordanin sisältö. Reaaliakselin kompaktin välin [t 0, t m ] jako on
1. Jordan-joukot Yksinkertaisuuden (ja havainnollisuuden vuoksi) seuraavassa tarkastellaan vain tason osajoukkoja, vaikka päättelyt voitaisiin helposti siirtää yleiseen n-ulotteiseen euklidiseen avaruuteen
Lisätiedotsaadaan kvanttorien järjestystä vaihtamalla ehto Tarkoittaako tämä ehto mitään järkevää ja jos, niin mitä?
ANALYYSI A, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT 208 4 Funktion raja-arvo 4 Määritelmä Funktion raja-arvon määritelmän ehdosta ε > 0: δ > 0: fx) A < ε aina, kun 0 < x a < δ, saadaan kvanttorien järjestystä vaihtamalla
LisätiedotFunktiot. funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina.
Funktiot Tässä luvussa käsitellään reaaliakselin osajoukoissa määriteltyjä funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina. Avoin väli: ]a, b[ tai ]a, [ tai ],
LisätiedotToispuoleiset raja-arvot
Toispuoleiset raja-arvot Määritelmä Funktiolla f on oikeanpuoleinen raja-arvo a R pisteessä x 0 mikäli kaikilla ɛ > 0 löytyy sellainen δ > 0 että f (x) a < ɛ aina kun x 0 < x < x 0 + δ; ja vasemmanpuoleinen
LisätiedotFunktion raja-arvo ja jatkuvuus Reaali- ja kompleksifunktiot
3. Funktion raja-arvo ja jatkuvuus 3.1. Reaali- ja kompleksifunktiot 43. Olkoon f monotoninen ja rajoitettu välillä ]a,b[. Todista, että raja-arvot lim + f (x) ja lim x b f (x) ovat olemassa. Todista myös,
LisätiedotMS-C1350 Osittaisdifferentiaaliyhtälöt Harjoitukset 5, syksy Mallivastaukset
MS-C350 Osittaisdifferentiaaliyhtälöt Haroitukset 5, syksy 207. Oletetaan, että a > 0 a funktio u on yhtälön u a u = 0 ratkaisu. a Osoita, että funktio vx, t = u x, t toteuttaa yhtälön a v = 0. b Osoita,
LisätiedotStokesin lause LUKU 5
LUU 5 Stokesin lause 5.1. Integrointi monistolla Olkoot W R k alue, W kompakti Jordan-joukko ja ω jatkuva k-muoto alueessa W, ω f dx 1 dx k. Asetetaan ω : f, t.s. f dx 1 dx k : f(x dx f(x 1,, x k dx 1
LisätiedotTilavuus puolestaan voidaan esittää funktiona V : (0, ) (0, ) R,
Vektorianalyysi Harjoitus 9, Ratkaisuehdotuksia Anssi Mirka Tehtävä 1. ([Martio, 3.4:1]) Millä suoralla sylinterillä, jonka tilavuus on V > on pienin vaipan ja pohjan yhteenlaskettu pinta-ala? Ratkaisu
Lisätiedotmissä on myös käytetty monisteen kaavaa 12. Pistä perustelut kohdilleen!
Matematiikan johdantokurssi Kertausharjoitustehtävien ratkaisuja/vastauksia/vihjeitä. Osoita todeksi logiikan lauseille seuraava: P Q (P Q). Ratkaisuohje. Väite tarkoittaa, että johdetut lauseet P Q ja
LisätiedotTodista raja-arvon määritelmään perustuen seuraava lause: Jos lukujonolle a n pätee lima n = a ja lima n = b, niin a = b.
2 Lukujonot 21 Lukujonon määritelmä 16 Fibonacci n luvut määritellään ehdoilla Osoita: 17 a 1 = a 2 = 1; a n+2 = a n+1 + a n, n N a n = 1 [( 1 + ) n ( 2 1 ) n ] 2 Olkoon a 1 = 3, a 2 = 6, a n+1 = 1 n (na
LisätiedotPerusidea: Jaetaan väli [a, b] osaväleihin ja muodostetaan osavälejä vastaavat suorakulmiot/palkit, joiden korkeus funktion arvot kyseisellä välillä.
Lähtötilanne Lähtötilanne Tavoite: Määritellään funktion f : [a, b] R integraali siten, että integraalin arvo yhtyy funktion f kuvaajan ja x-akselin väliin jäävän alueen pinta-alaan. Perusidea: Jaetaan
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 5 Tasointegraalin laskeminen iemmin tutkimme ylä- ja alasummien antamia arvioita tasointegraalille f (x, ydxdy. Tässä siis funktio f (x, y integroidaan muuttujien x
LisätiedotJohdantoa INTEGRAALILASKENTA, MAA9
Lyhyehkö johdanto integraalilaskentaan. Johdantoa INTEGRAALILASKENTA, MAA9 Integraalilaskennan lähtökohta 1: Laskutoimitukset + ja ovat keskenään käänteisiä, samoin ja ovat käänteisiä, kunhan ei jaeta
LisätiedotAnalyysin peruslause
LUKU 10 Analyysin peruslause 10.1. Peruslause I Aiemmin Cantorin funktion ψ kohdalla todettiin, että analyysin peruslause II ei päde: [0,1] ψ (x) dm(x) < ψ(1) ψ(0). Kasvavalle funktiolle analyysin peruslauseesta
LisätiedotTodista suoraan integraalin määritelmään perustuen tasointegraalin ominaisuus. λ f = λ f,
7. Taso- ja avaruusintegraali 7.1. Tasointegraalin määrittely 205. Tarkastellaan funktiota f (x,y) = x+y neliössä {(x,y) 0 x 1, 0 y 1}. Neliö jaetaan suorilla x = a ja y = b neljään osasuorakulmioon; 0
Lisätiedot2. Todista Lause 1.2 : Jos I on ylinumeroituva indeksijoukko ja a i > 0kaikillai 2 I, niin P i2i a i = 1.
Harjoitus 1, 11.9.2015 1. Näytä, että joukossax on äärettömän monta alkiota jos ja vain jos on joukko X, 6= X, jokaonyhtämahtavakuinx. 2. Todista Lause 1.2 : Jos I on ylinumeroituva indeksijoukko ja a
LisätiedotTopologia I Harjoitus 6, kevät 2010 Ratkaisuehdotus
Topologia I Harjoitus 6, kevät 2010 Ratkaisuehdotus 1. (5:7) Olkoon E normiavaruus, I = [0, 1] ja f, g : I E jatkuvia. Osoita, että yhtälön h(s, t) = (1 t)f(s) + tg(s) määrittelemä kuvaus h : I 2 E on
LisätiedotPositiivitermisten sarjojen suppeneminen
Positiivitermisten sarjojen suppeneminen Jono (b n ) n= on kasvava, jos b n+ b n kaikilla n =, 2,... Lemma Jokainen ylhäältä rajoitettu kasvava jono (b n ) n= raja-arvo on lim n b n = sup n Z+ b n. suppenee
LisätiedotTilastolliset inversio-ongelmat
Luku 4 Tilastolliset inversio-ongelmat Tilastollisen inversio-ongelman ratkaisu ei niinkään vastaa kysymykseen "mikä tuntematon vektori x 0 on"vaan pikemminkin kysymykseen "mitä tiedämme tuntemattomasta
LisätiedotMääritelmä 17. Olkoon Ω joukko ja Σ sen jokin σ-algebra. Kuvaus P : Σ [0, 1] on todennäköisyysmitta (eng. probability measure), jos
0.02 0.04 0.06 0.08 f 0 5 0 5 0 Temperature Kuva 5.2: Tntf:n f kuvaaja: Lämpötilat välillä [5, 0] näyttävät epätodennäköisiltä. Lämpötila -2 näyttäisi todennäköisimmältä, mutta jakauma on leveä. Tämä heijastaa
LisätiedotAnalyysi 1. Harjoituksia lukuihin 4 7 / Syksy Tutki funktion f(x) = x 2 + x 2 jatkuvuutta pisteissä x = 0 ja x = 1.
Analyysi 1 Harjoituksia lukuihin 4 7 / Syksy 014 1. Tutki funktion x + x jatkuvuutta pisteissä x = 0 ja x = 1.. Määritä vakiot a ja b siten, että funktio a x cos x + b x + b sin x, kun x 0, x 4, kun x
LisätiedotJoukot metrisissä avaruuksissa
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Saara Lahtinen Joukot metrisissä avaruuksissa Informaatiotieteiden yksikkö Matematiikka Elokuu 2013 Sisältö 1 Johdanto 1 2 Metriset avaruudet 1 2.1 Tarvittavia
LisätiedotMATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS
f ( n JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS n Harjoitusten 8 ratkaisut Topologiset vektoriavaruudet 2010 8.1. Olkoon P n = {f : K K p on enintään asteen n 1 polynomi} varustettuna
Lisätiedotsaadaan kvanttorien järjestystä vaihtamalla ehto Tarkoittaako tämä ehto mitään järkevää ja jos, niin mitä?
ANALYYSI A, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT 209 4 Funktion raja-arvo 4. Määritelmä. Funktion raja-arvon määritelmän ehdosta ε > 0: δ > 0: f) A < ε aina, kun 0 < a < δ, saadaan kvanttorien järjestystä vaihtamalla
Lisätiedot4.0.2 Kuinka hyvä ennuste on?
Luonteva ennuste on käyttää yhtälöä (4.0.1), jolloin estimaattori on muotoa X t = c + φ 1 X t 1 + + φ p X t p ja estimointivirheen varianssi on σ 2. X t }{{} todellinen arvo Xt }{{} esimaattori = ε t Esimerkki
Lisätiedot3 Lukujonon raja-arvo
ANALYYSI A, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT 209 3 Lukujonon raja-arvo 3 Määritelmä Osoita, että 6n + 2n + 3 3 < 4 n ja määritä jokin sellainen n 0 Z +, että 6n + 2n + 3 3 < 0 87 aina, kun n > n 0 2 Olkoon x n
LisätiedotIntegrointi ja sovellukset
Integrointi ja sovellukset Tehtävät:. Muodosta ja laske yläsumma funktiolle fx) x 5 välillä [, 4], kun väli on jaettu neljään yhtä suureen osaan.. Määritä integraalin x + ) dx likiarvo laskemalla alasumma,
Lisätiedot3 Lukujonon raja-arvo
ANALYYSI A, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT 208 3 Lukujonon raja-arvo 3 Määritelmä Osoita, että 6n + 2n + 3 3 < 4 n ja määritä jokin sellainen n 0 Z +, että 6n + 2n + 3 3 < 0 87 aina, kun n > n 0 2 Olkoon x n
LisätiedotVille Suomala INTEGRAALI
Ville Suomala INTEGRAALI Luentotiivistelmä kevät 2018 Aluksi Tämä on kurssin Integraali alustava luentomoniste/tiivistelmä. Klassisessa mielessä integroinnilla tarkoitetaan usein funktion kuvaajan alapuolelle
Lisätiedot8 Potenssisarjoista. 8.1 Määritelmä. Olkoot a 0, a 1, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.1. Muotoa
8 Potenssisarjoista 8. Määritelmä Olkoot a 0, a, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.. Muotoa a 0 + a (x c) + a 2 (x c) 2 + olevaa sarjaa sanotaan c-keskiseksi potenssisarjaksi. Selvästi jokainen
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 2 Lisää osamurtoja Tutkitaan jälleen rationaalifunktion P(x)/Q(x) integrointia. Aiemmin käsittelimme tapauksen, jossa nimittäjä voidaan esittää muodossa Q(x) = a(x x
Lisätiedot3.4 Käänteiskuvauslause ja implisiittifunktiolause
3.4 Käänteiskuvauslause ja implisiittifunktiolause Tässä luvussa käsitellään kahta keskeistä vektorianalyysin lausetta. Esitellään aluksi kyseiset lauseet ja tutustutaan niiden käyttötapoihin. Lause 3.4.1
Lisätiedotreaalifunktioiden ominaisuutta, joiden perusteleminen on muita perustuloksia hankalampaa. Kalvoja täydentää erillinen moniste,
Reaaliluvuista Pekka Alestalo Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Nämä kalvot sisältävät tiivistelmän reaaliluvuista ja niihin liittyvistä käsitteistä.
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 6 varuusintegraali iemmin laskimme yksiulotteisia integraaleja b a f (x)dx, jossa integrointialue on x-akselin väli [a, b]. Lisäksi laskimme kaksiulotteisia integraaleja
Lisätiedot13. Taylorin polynomi; funktioiden approksimoinnista. Muodosta viidennen asteen Taylorin polynomi kehityskeskuksena origo funktiolle
13. Taylorin polynomi; funktioiden approksimoinnista 13.1. Taylorin polynomi 552. Muodosta funktion f (x) = x 4 + 3x 3 + x 2 + 2x + 8 kaikki Taylorin polynomit T k (x, 2), k = 0,1,2,... (jolloin siis potenssien
LisätiedotMS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 9: Greenin lause
MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 9: Greenin lause Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2015 1 / 19 Esimerkki Olkoon F : R 3 R 3 vakiofunktio
LisätiedotLUKU 6. Mitalliset funktiot
LUKU 6 Mitalliset funktiot Määritelmistä 3. ja 3.0 seuraa, että jokainen Lebesgue-integroituva funktio on porrasfunktiojonon raja-arvo melkein kaikkialla. Kuitenkin moni tuttu funktio ei ole Lebesgue-integroituva.
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 2 (CHEM) MS-A0207 Hakula/Vuojamo Kurssitentti, 12.2, 2018, arvosteluperusteet
ifferentiaali- ja integraalilaskenta 2 (CHEM) MS-A27 Hakula/Vuojamo Kurssitentti, 2.2, 28, arvosteluperusteet T Moniosaisten tehtävien osien painoarvo on sama ellei muuta ole erikseen osoitettu. Kokeessa
LisätiedotSekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä
Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 005, sivu 1 / 13 Tehtäviä Tehtävä 1. Johda toiseen asteen yhtälön ax + bx + c = 0, a 0 ratkaisukaava. Tehtävä. Määrittele joukon A R pienin yläraja sup A ja suurin alaraja
LisätiedotReaalifunktioista 1 / 17. Reaalifunktioista
säilyy 1 / 17 säilyy Jos A, B R, niin funktiota f : A B sanotaan (yhden muuttujan) reaalifunktioksi. Tällöin karteesinen tulo A B on (aiempia esimerkkejä luonnollisemmalla tavalla) xy-tason osajoukko,
Lisätiedot7. Tasaisen rajoituksen periaate
18 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 7. Tasaisen rajoituksen periaate Täydellisyydestä puristetaan maksimaalinen hyöty seuraavan Bairen lauseen avulla. Bairen lause on keskeinen todistettaessa kahta funktionaalianalyysin
LisätiedotPoistumislause Kandidaatintutkielma
Poistumislause Kandidaatintutkielma Mikko Nikkilä 013618832 26. helmikuuta 2011 Sisältö 1 Johdanto................................... 2 2 Olemassaolon ja yksikäsitteisyyden historiaa............ 3 3 Esitietoja..................................
LisätiedotF dr = F NdS. VEKTORIANALYYSI Luento Stokesin lause
91 VEKTORIANALYYI Luento 13 9. tokesin lause A 16.5 tokesin lause on kuin Gaussin lause, mutta yhtä dimensiota alempana: se liittää toisiinsa kentän derivaatasta pinnan yli otetun integraalin ja pinnan
LisätiedotTehtävänanto oli ratkaista seuraavat määrätyt integraalit: b) 0 e x + 1
Tehtävä : Tehtävänanto oli ratkaista seuraavat määrätyt integraalit: a) a) x b) e x + Integraali voisi ratketa muuttujanvaihdolla. Integroitava on muotoa (a x ) n joten sopiva muuttujanvaihto voisi olla
Lisätiedotu = 2 u (9.1) x + 2 u
9. Poissonin integraali 9.. Poissonin integraali. Ratkaistaan Diriclet n reuna-arvotehtävä origokeskisessä, R-säteisessä ympyrässä D = {(x, y) R x +y < R }, t.s. kun f : D R on annettu jatkuva funktio,
LisätiedotModerni reaalianalyysi
JUHA KINNUNEN Moderni reaalianalyysi F ( ) := f (ξ)e i ξ dξ 2π Juha Kinnusen laatiman luentomateriaalin pohjalta toimittaneet Mikael Lindström, Olli Hyvärinen ja Tuomas Pöyhtäri Sisältö LEBESGUEN ULKOMITTA
LisätiedotVastaa kaikkiin kysymyksiin (kokeessa ei saa käyttää laskinta)
Helsingin yliopisto, Matematiikan ja tilastotieteen osasto Vektorianalyysi II (MAT22, syksy 28 Kurssitentti, Ma 7228 (RATKAISUEHDOTUKSET Tentaattori: Ville Tengvall (villetengvall@helsinkifi Vastaa kaikkiin
LisätiedotAnna jokaisen kohdan vastaus kolmen merkitsevän numeron tarkkuudella muodossa
Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka / Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään Tähdellä (* merkittyjen tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6 Jos tehtävässä
LisätiedotDerivaattaluvut ja Dini derivaatat
Derivaattaluvut Dini derivaatat LuK-tutkielma Helmi Glumo 2434483 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Syksy 2016 Sisältö Johdanto 2 1 Taustaa 2 2 Määritelmät 4 3 Esimerkkejä lauseita 7 Lähdeluettelo
LisätiedotAnalyysi I (mat & til) Demonstraatio IX
Analyysi I (mat & til) Demonstraatio IX 16.11. 2018 II välikoe 19.11. klo 9 salissa IX. Ilmoittaudu NettiOpsussa 12.11. mennessä. Koealue: Funktion raja-arvo, jatkuvuus ja Bolzanon lause, ts. kirjan luku
Lisätiedot2.6 Funktioiden kuvaajat ja tasa-arvojoukot
2.6 Funktioiden kuvaajat ja tasa-arvojoukot Olkoon I R väli. Yhden muuttujan funktion g : I R kuvaaja eli graafi on avaruuden R 2 osajoukko {(x, y) R 2 : x I, y = g(x)}. 1 0 1 2 3 1 0.5 0 0.5 1 Kuva 2.1:
LisätiedotOletetaan sitten, että γ(i) = η(j). Koska γ ja η ovat Jordan-polku, ne ovat jatkuvia injektiivisiä kuvauksia kompaktilta joukolta, ja määrittävät
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi II, syksy 18 Harjoitus 6 Ratkaisuehdotukset Tehtävä 1. Osoita, että sileille Jordan-poluille on voimassa : I R n ja : J R n (I) = (J) jos ja vain
LisätiedotMatematiikan johdantokurssi, syksy 2016 Harjoitus 11, ratkaisuista
Matematiikan johdantokurssi, syksy 06 Harjoitus, ratkaisuista. Valitse seuraaville säännöille mahdollisimman laajat lähtöjoukot ja sopivat maalijoukot niin, että syntyy kahden muuttujan funktiot (ks. monisteen
LisätiedotMääritelmä 2.5. Lause 2.6.
Määritelmä 2.5. Olkoon X joukko ja F joukko funktioita f : X R. Joukkoa F sanotaan pisteittäin rajoitetuksi, jos jokaiselle x X on olemassa sellainen C x R, että f x C x jokaiselle f F. Joukkoa F sanotaan
LisätiedotU missä U A := {U R n : U avoin ja U A}; intuitiivisesti suurin avoin joukko, joka sisältyy A:han. Määritellään A:n sulkeuma A := F F A
Mitta a integraali Kesä 2 4. tehtävät Malliratkaisut (LS). Olkoon a i R i =, 2,... ono. Sanotaan, että i a i = os kaikille M R on olemassa i, olle kaikille i i pätee a i M. Sanotaan, että i a i = os i
LisätiedotKuinka määritellään 2 3?
Kuinka määritellään 2 3? y Nyt 3 = 1,7320508.... Luvut 3 2 x x 3 2 x 2 1 = 2, 2 1,7 3,2490, 2 1,73 3,3173, 2 1,732 3,3219,... ovat hyvin määriteltyjä koska näihin tarvitaan vain rationaalilukupotenssin
Lisätiedoty x1 σ t 1 = c y x 1 σ t 1 = y x 2 σ t 2 y x 2 x 1 y = σ(t 2 t 1 ) x 2 x 1 y t 2 t 1
1. Tarkastellaan funktiota missä σ C ja y (y 1,..., y n ) R n. u : R n R C, u(x, t) e i(y x σt), (a) Miksi funktiota u(x, t) voidaan kutsua tasoaalloksi, jonka aaltorintama on kohtisuorassa vektorin y
Lisätiedot8. Avoimen kuvauksen lause
116 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 8. Avoimen kuvauksen lause Palautamme aluksi mieleen Topologian kursseilta ehkä tutut perusasiat yleisestä avoimen kuvauksen käsitteestä. Määrittelemme ensin avoimen
Lisätiedotf x da, kun A on tason origokeskinen yksikköympyrä, jonka kehällä funktion f arvot saadaan lausekkeesta f (x, y) = 2x 3y 2.
13. Erityyppisten integraalien väliset yhteydet 13.1. Gaussin lause 364. Laske A f x da, kun A on tason origokeskinen yksikköympyrä, jonka kehällä funktion f arvot saadaan lausekkeesta f (x, y) = 2x 3y
LisätiedotKOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY exp z., k = 1, 2,... Eksponenttifunktion z exp(z) Laurent-sarjan avulla
KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 RITVA HURRI-SYRJÄNEN 11. Integrointi erillisen erikoispisteen ympäri Olkoot f analyyttinen punkteeratussa kiekossa D(z 0.r\{z 0 }. Funktiolla f on erikoispiste z 0.
Lisätiedote int) dt = 1 ( 2π 1 ) (0 ein0 ein2π
Matematiikan ja tilastotieteen laitos Funktionaalianalyysin peruskurssi Kevät 9) Harjoitus 7 Ratkaisuja Jussi Martin). E Hilbert avaruus L [, π]) ja gt) := t, t [, π]. Määrää funktion g Fourier kertoimet
LisätiedotMatematiikan peruskurssi 2
Matematiikan peruskurssi Tentti, 9..06 Tentin kesto: h. Sallitut apuvälineet: kaavakokoelma ja laskin, joka ei kykene graaseen/symboliseen laskentaan Vastaa seuraavista viidestä tehtävästä neljään. Saat
LisätiedotL p -keskiarvoalueista
L p -keskiarvoalueista Jenni Alamehtä Matematiikan pro gradu Helsingin yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Kesäkuu 4 HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFOS UNIVESITET UNIVESITY OF HELSINKI TiedekuntaOsasto
Lisätiedot