Matematiikan peruskurssi. Seppo Hassi

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Matematiikan peruskurssi. Seppo Hassi"

Transkriptio

1 Mtemtiikn peruskurssi Seppo Hssi Syksy 2014

2

3 iii Esipuhe Tämä on 1. versio Mtemtiikn peruskurssin opetusmonisteest, jonk sisältö noudttelee pitkälti Vsn yliopistoss iemmin luennoimni Mtemttiset menetelmät I -nimisen kurssin luentomuistiinpnojeni mukist esitystä. Esitän kiitokseni H.L. Wietsm:lle, jok on suorittnut tekstin puhtksikirjoituksen LTeXmuotoon j piirtänyt monisteess esiintyvät kuvt. Vsss 27. lokkuut 2014 Seppo Hssi

4

5 v Sisältö Esipuhe Sisältö iii v 1 Johdnto Joukko-opilliset merkinnät Logiikn symboleist Reli- j kompleksiluvuist Reliluvuist Kompleksiluvut Relifunktioist Reltiot j funktiot Yhden muuttujn relifunktiot Relifunktion rj-rvo Jtkuvuus Funktion derivtt Tvllisimpien funktioiden derivttoj Derivtn ominisuuksi Funktion äärirvot Implisiitti- j prmetrimuotoisen funktion derivointi Sovelluksi Integrlilskent Integrlifunktio Integroimismenetelmiä Määrätty integrli Epäoleellinen integrli Määrätyn integrlin sovelluksi Relilukusrjoist Relilukujonot j -srjt sekä niiden suppeneminen Potenssisrjt Differentiliyhtälöistä Ensimmäisen kertluvun differentiliyhtälöt Lineriset differentiliyhtälöt Eksponenttifunktio kompleksitsoss

6

7 1 Luku 1: Johdnto 1.1 Joukko-opilliset merkinnät Joukko muodostuu lkioist. Joukkoj merkitään yleensä isoill j lkioit pienillä kirjimill. Esimerkiksi: A, kuuluu joukkoon A j / A, ei kuulu joukkoon A. Seurvt lukujoukot ovt käytössä: N = {0, 1, 2,...} luonnollisten lukujen joukko Z = {0, ±1, ±2,...} kokonislukujen joukko Q = {/b :, b Z, b 0} rtionlilukujen joukko R reliluvut, eli rtionlilukujen joukko täydennettynä irrtionliluvuill, kuten 2, π, e C = { + ib :, b R} kompleksiluvut (missä i 2 = 1) Typpillisiä lukujoukkojen osjoukkoj ovt mm. : Z + = {1, 2, 3,...} positiiviset kokonisluvut Z = { 1, 2, 3,...} negtiiviset kokonisluvut R + = {x R : x > 0} positiiviset reliluvut R = {x R : x < 0} negtiiviset reliluvut Usein esiintyviä joukkoj ovt relikselin välit: [, b] = {x R : x b} suljettu väli ], b[ = {x R : < x < b} voin väli [, b[ = {x R : x < b} puolivoin väli ], b] = {x R : < x b} puolivoin väli Tällöin j b ovt välin päätepisteitä, muut pisteet ovt välin sisäpisteitä (Mhdollisesti =, b = ). Tyypillisiä merkintöjä: merk. sisältö luetn A B jokinen A:n lkio on myös B:n lkio A on B:n osjoukko A = B A B j B A A j B ovt sm joukko A B {x : x A ti x B} A:n j B:n yhdiste A B {x : x A j x B} A:n j B:n leikkus A \ B {x A : x / B} A:n j B:n erotus joukko, joss ei ole yhtään lkiot tyhjä joukko Esimerkki ) {1, 2} = {2, 1} j {1, 2, 3} = {1, 2, 1, 3}; b) R 0 + = R + {0} = {x R : x 0} = [0, ) eli ei-negtiiviset reliluvut; c) A A j A mille thns joukolle A;

8 2 Luku 1. Johdnto d) [, b) {b} = [, b] j [, b) {b} =. Yhdistettä, leikkust j erotust voidn hvinnollist ns. Venn-digrmmeill: A B A B A B A B A B Kuv 1.1: Venn-digrmmej. A\B Järjestetyt joukot: Kun joukko {, b} järjestetään, sdn järjestetty pri (, b). Kksi järjestettyä pri (, b) j (c, d) ovt smt (identtiset), jos = c j b = d. Vstvsti määritellään n-lkioiset järjestetyt joukot ( 1,..., n ) j niiden yhtäsuuruus. Joukkojen A 1,..., A n tulojoukko eli krteesinen tulo on joukko: A 1 A 2... A n = {( 1, 2,..., n ) : 1 A 1, 2 A 2,..., n A n }. Jos A := A 1 = A 2 =... = A n, merkitään lyhyesti A n = A 1 A 2... A n. Esimerkki R 2 = {(x, y) : x, y R} on relilukutso j R 3 = {(x, y, z) : x, y, z R}, 3-ulotteinen relilukuvruus. 1.2 Logiikn symboleist merk. sisältö luetn disjunktio ti konjuktio j. Huom. usein käytetään vin pilkku :n sijst negtio ei/vstkoht olemssolo kvnttori on olemss kikki kvnttori kikill = impliktio jos... niin ekvivlenssi jos j vin jos/joss johtopäätös siis/siten/täten Mtemttiset väittämät ilmistn tyypillisesti lusein, joit seurv kvio ilmentää: merk. sisältö luetn p = q impliktioit jos p on tosi, niin q on tosi p q ekvivlenssej p = q j q = p Tässä p j q sisältävät väittämän, joill on totuusrvo: tosi/epätosi.

9 1.2. Logiikn symboleist 3 Esimerkki ) Luse x = 3 = x 2 = 9 (x R) on tosi. Sen sijn luse x = 3 x 2 = 9 (x R) on epätosi, kosk impliktio = on selvästi epätosi. b) Luse on tosi. ( > b) (b > c) = > c (, b, c R) c) Luse x Z y Z s.e. x + y 0 on tosi. Nimittäin, jos x 0 Z on mielivltisesti vlittu, niin y:ksi kelp esimerkiksi luku y 0 = x 0. (y:n vlint riippuu tässä vlitust x 0 :st.) d) Luse x Z s.e. y Z x + y 0 on epätosi. Nimittäin vlitnp x 0 Z miten thns niin esim. vlint y 0 = x 0 1 nt x 0 + y 0 = 1 < 0. Seurv päättelysääntö esiintyy usein todistustehtävien yhteydessä. Kontrposition perite: (p = q) ( q = p).

10 4 Luku 1. Johdnto

11 5 Luku 2: Reli- j kompleksiluvuist 2.1 Reliluvuist Relilukujen ominisuudet voidn plutt tiettyihin perusominisuuksiin, jotk voidn esittää ksiomein: A) Algebrlliset ominisuudet; kunt-ksiomt B) Järjestysominisuudet; järjestysksiomt C) Täydellisyysominisuus; täydellisyysksiom Koht A) pitää sisällään R:n yhteenlsku - j kertolskusäännöt: A1) x + y = y + x yht. lsk. vihdntlki A2) (x + y) + z = x + (y + z) yht. lsk. liitäntälki A3) 0 R s.e. x R x+0=x on olemss noll-lkio A4) x R y R s.e. x+y = 0 y on x:n vstluku A5) xy = yx kertolskun vihdntlki A6) (xy)z = x(yz) kertolskun liitäntälki A7) x(y + z) = xy + xz osittelulki A8) 1 R s.e. 1 0 j x R 1 x = x on olemss ykköslkio A9) x R \ {0} y R s.e. x y = 1 y = 1/x on x:n käänteisluku Koht B) liittää R:ään järjestysreltion <, jok toteutt seurvt ksiomt: B1) Jokisell x, y R täsmälleen yksi reltioist x = y, x < y j y < x on voimss B2) x < y j y < z x < z (trnsitiivisuus) B3) Jos x < y, niin kikille z R pätee x + z < y + z B4) Jos x > 0 j y > 0, niin xy > 0. Koht C) erott relilukujen joukon olennisesti rtionlilukujen joukost. C) Täydellisyysksiom: Jokisell ylhäältä rjoitetull epätyhjällä R:n osjoukoll on pienin ylärj. (Tähän pltn myöhemmin.) Kikki relilukuj koskevt lskusäännöt j ominisuudet voidn joht edellä olevist ksiomist. Esimerkki x = 0, x R. Todistus: x x + 0 x = (x + 0) x = x x = x x + 0 j vähentämällä molemmill puolill x x sdn väite: x = x = 0.

12 6 Luku 2. Reli- j kompleksiluvuist Relilukujen joukko sdn täydentämällä rtionlilukujen joukko Q irrtionliluvuill (päättymättömät jksottomt desimliluvut). Jokist reliluku voidn pproksimoid mielivltisen trksti rtionliluvuill. Tämä mhdollist relilukujen konstruoinnin rtionliluvuist lähtien ljentmll joukko Q kikkien Q:n ns. perusjonojen eli Cuchy n jonojen rj-rvoill. Tällisi rtionlilukujonoj ovt päättymättömät jonot joill on seurv ominisuus: (x n ) = (x 1, x 2, x 3,...), ɛ > 0 (ɛ Q) n ɛ N s.e. x n x m < ɛ, kun n, m > n ɛ. Emme pneudu kyseiseen konstuktioon tämän yksityiskohtisemmin. Seurv esimerkki osoitt, että Q on R:n ito osjoukko. Esimerkki / Q. Todistus: Teemme vstoletuksen: m/n Q (m, n Z) s.e. (m/n) 2 = 2. Voimme olett, että m/n on supistetuss muodoss. Johdmme ristiriidn. Nyt yhtäpitävästi m 2 = 2n 2. Siten 2 on luvun m 2 tekijä j siis myös luvun m tekijä (muutoin m = 2p + 1, p Z, jolloin m 2 = 4p 2 + 4p + 1 = 2(2p 2 + 2p) + 1 olisi 2:ll joton). Tällöin 4 on luvun m 2 tekijä j yhtälön m 2 = 2n 2 nojll luku 2 on luvun n 2 j edellä olevn nojll siis myös luvun n tekijä. Näin ollen luku 2 on lukujen m j n yhteinen tekijä, mikä on ristiriidss oletuksen knss. Väite on todistettu. Itseisrvo: Relliluvun x itseisrvo x määritellään seurvsti: { x, kun x 0; x = x, kun x < 0. Määritelmästä seur helposti mm. seurvt ominisuudet: 1) x 0 2) x = x 3) xy = x y 4) x y = x (y 0) y 5) x 2 = x 2 x = x 2 6) x < y y < x < y (tässä y > 0) 7) x > y x < y ti x > y Esimerkki Rtkise epäyhtälö x 2 x < 2x. Rtkisu: Kohdn 7) nojll x > 0 j edelleen x 2 x < 2x 2x < x 2 x < 2x x 2 + x > 0 j x 2 3x < 0 (x > 0 x < 1) j 0 < x < 3 0 < x < 3.

13 2.1. Reliluvuist 7 Seurvt itseisrvo koskevt epäyhtälöt ovt tärkeitä. Luse (Kolmioepäyhtälöt) Kikill x, y R pätee Todistus. Hrj. teht. x y x + y x + y. Itseisrvoepäyhtälöiden käsittelyssä voi usein käyttää seurv: x < y x 2 < y 2, x, y R. Ljennettu relilukujoukko: Usein relilukujen joukko ljennetn ääretön-symboleill j, merk. R = R { } { }. Nämä symbolit esiintyvät etenkin rj-rvo trkstelujen yhteydessä j niihin liitetään seurvt lskusäännöt: 1) x + = x ( ) =, x R 2) x + ( ) = x =, x R 3) x/ = x/( ) = 0, x R 4) x > 0: x = j x ( ) = 5) x < 0: x = j x ( ) = 6) + = = ( ) ( ) = 7) ( ) + ( ) = ( ) = ( ) = 8) Järjestys: x R: < x < Huom. Määrittelemättä jäävät mm., / j 0. Esimerkki Kun x, niin f(x) = 1/(x + 2) 0, sillä x + 2 j 1/(x + 2) 1/ = 0. Supremum j infimum: Reliluku M on joukon A R ylärj, jos x A pätee x M. Tällöin snotn, että A on ylhäältä rjoitettu. Vstvsti määritellään joukon lrj j lhlt rjoitettu joukko. Olkoon A R:n osjoukko j merkitään B A = {x R : x on A:n ylärj}. Jos B A, on B A :ssä täydellisyysksiomn nojll pienin lkio, jok on A:n pienin ylärj eli supremum, merk. sup A. Jos joukoll A on suurin lkio mx A (ts. mx A A j x A pätee x mx A), niin se on myös A:n pienin ylärj: mx A = sup A. Esimerkki A = {x R : x < 1}. Tällöin sup A = 1 / A. Rtionlilukujen joukko ei toteut täydellisyysksiom. Esimerkiksi joukko A = {x Q : x 2 < 2} on epätyhjä j ylhäältä rjoitettu Q:ss (2 on eräs A:n ylärj), mutt A:ll ei ole pienintä ylärj Q:ss. Sen sijn R:ssä supremum löytyy: sup A = 2. Seurv luse on yhtäpitävä joukon A pienimmän ylärjn määritelmän knss. Luse Luku g on joukon A supremum jos j vin jos seurvt kksi ehto on täytetty:

14 8 Luku 2. Reli- j kompleksiluvuist i) x A: x g; ii) ɛ > 0 x A s.e. x > g ɛ. Esimerkki A = {x R : x = 2n 3 n, n Z +}. Tällöin sup A = 2. Todistus. i) n Z + pätee 2n 3 n ii) Osoitetn, ettei pienempää A:n ylärj ole: = 2 3 n < 2. Siis 2 on A:n ylärj. ɛ > 0 n Z + s.e. 2n 3 n > 2 ɛ. Tämän todistmiseksi hvitn, että 2n 3 n > 2 ɛ 3 n > ɛ n > 3 ɛ. Joukon A suurin lrj eli infimum, merk. inf A, voidn määritellä joukon C A = {x R : x on A:n lrj} suurimpn lkion, kun C A. Sen olemssolo voidn joht täydellisyysksiomst soveltmll supremumin olemssolo joukkoon E = {x R : x A} j hvitsemll, että inf A = sup E. Jos joukoll A on pienin lkio min A, niin se on myös A:n suurin lrj: min A = inf A. Luseen vstine infimumille s seurvn muodon. Luse Luku g on joukon A infimum jos j vin jos seurvt kksi ehto on täytetty: i) x A: x g; ii) ɛ > 0 x A s.e. x < g + ɛ. Jos joukko A ei ole ylhäältä (lhlt) rjoitettu, voidn käyttää merkintää sup A = (vst. inf A = ). 2.2 Kompleksiluvut Kompleksilukujen joukko C muodostuu luvuist z = x + iy, missä x, y R j i on imginriyksikkö, jolle pätee i 2 = 1. Kompleksiluvut voidn jtell relilukuprein (x, y) j hvinnollist vektorein kompleksitsoss, jolloin erityisesti i = (0, 1). Luvun z = x + iy C relios on x j imginrios on y. Lskutoimitukset. Kompleksiluvuille voidn määritellä yhteen- j kertolsku. Kompleksilukujen z 1 = x 1 + iy 1 j z 2 = x 2 + iy 2 summ on j tulo on Yhteenlskull on seurvt ominisuudet: z 1 + z 2 = (x 1 + x 2 ) + i(y 1 + y 2 ) z 1 z 2 = (x 1 x 2 y 1 y 2 ) + i(x 1 y 2 + x 2 y 1 ).

15 2.2. Kompleksiluvut 9 (i) (liitännäisyys) (z 1 + z 2 ) + z 3 = z 1 + (z 2 + z 3 ); (ii) (vihdnnisuus) z 1 + z 2 = z 2 + z 1 ; (iii) on olemss noll-lkio 0 = 0 + i0 C, jolle pätee: z + 0 = z, z C; (iv) jokisell z = x+iy C on olemss vst-lkio z = x+i( y) = x iy ts. z+( z) = 0. Kertolskull on ominisuudet: (i) (liitännäisyys) (z 1 z 2 ) z 3 = z 1 (z 2 z 3 ); (ii) (vihdnnisuus) z 1 z 2 = z 2 z 1 ; (iii) (osittelulki) z 1 (z 2 + z 3 ) = z 1 z 2 + z 1 z 3 ; (iv) on olemss ykköslkio 1 = 1 + i0 C, jolle pätee: 1 z = z, z C; (v) jokiselle z 0 on olemss käänteisluku z 1 = 1 z, jolle pätee z 1 z = 1. Itse siss, jos z = x + iy C, niin 1 z = x x 2 + y 2 i y x 2 + y 2. Kompleksiluvun z = x + iy liittoluku eli kompleksikonjugtti on z = x iy. Liittoluvull on ominisuudet (i) (z) = z; (ii) z 1 + z 2 = z 1 + z 2 ; (iii) z 1 z 2 = z 1 z 2 ; ( ) z1 (iv) = z 2. z 2 z 2 Liittoluvun vull z = x + iy:n reli- j imginrios sdn seurvsti x = Re z = 1 2 (z + z) j y = Im z = 1 (z z). 2i Npkoordinttiesitys. Kompleksiluku voidn esittää npkoorinttien vull muodoss z = x + iy = r(cos φ + i sin φ). Pituutt r = z snotn kompleksiluvun z moduliksi j kulm φ = rg z sen rgumentiksi. Näille pätee z = x 2 + y 2 = zz ; { rctn y φ = rg z = x, Re x 0; ±π + rctn y x, Re x < 0.

16 10 Luku 2. Reli- j kompleksiluvuist Vihtoehtoisesti cos φ = x x 2 + y, sin φ = y 2 x 2 + y. 2 Moduli on ei-negtiivinen reliluku j rgumentti puolestn on 2π:n monikerrn trkkuudell määritelty reliluku, kun z 0. Usein rgumentti rjtn välille 0 rg z < 2π ti välille π < rg z π. Esimerkki Liittoluku npkoordinteiss: z = x iy = r cos φ ir sin φ = r (cos( φ) + i sin( φ)). Erityisesti z = r = z j rg(z) = φ = rg(z). Kompleksilukujen summ z 1 + z 2 vst kompleksitsoss vektoriyhteenlsku. Kompleksilukujen tulo z 1 z 2 voi puolestn hvinnollist kompleksitsoss npkoordinttiesityksen vull. Asin selvittämiseksi trkstelln tulon z 1 z 2 npkoordinttiesitystä. Tulo j osmäärä npkoordinteiss: Sinin j kosinin yhteenlskukvt: sin(φ 1 + φ 2 ) = sin(φ 1 ) cos(φ 2 ) + cos(φ 1 ) sin(φ 2 ); cos(φ 1 + φ 2 ) = cos(φ 1 ) cos(φ 2 ) sin(φ 1 ) sin(φ 2 ). Esitetään kompleksiluvut z 1 j z 2 npkoordinteiss: z 1 = r 1 (cos φ 1 + i sin φ 1 ) z 2 = r 2 (cos φ 2 + i sin φ 2 ). Tällöin tulolle z 1 z 2 sdn npkoordinttiesitys Niinpä z 1 z 2 = r 1 (cos φ 1 + i sin φ 1 ) r 2 (cos φ 2 + i sin φ 2 ) = r 1 r 2 ( cos(φ1 ) cos(φ 2 ) sin(φ 1 ) sin(φ 2 ) + i (cos(φ 1 ) sin(φ 2 ) + sin(φ 1 ) cos(φ 2 )) ) = r 1 r 2 ( cos(φ1 + φ 2 ) + i sin(φ 1 + φ 2 ) ). z 1 z 2 = r 1 r 2 = z 1 z 2 rg(z 2 z 2 ) = φ 1 + φ 2 = rg z 1 + rg z 2. Vstvsti johdetn osmäärän npkoordinttiesitys: Kun z 2 0, sdn Niinpä z 1 = z 1z 2 = r 1(cos(φ 1 ) + i sin(φ 1 )) r 2 (cos( φ 2 ) + i sin( φ 2 )) z 2 z 2 z 2 r2 2 = r 1 (cos(φ 1 φ 2 ) + i sin(φ 1 φ 2 )). r 2 z 1 z 2 = r 1 = z 1 r 2 z 2 j rg ( z1 z 2 ) = rg(z 1 ) rg(z 2 ).

17 2.2. Kompleksiluvut 11 i 1+i 3 Esimerkki Lsketn luvun z 0 = reli- j imginrios sekä moduli j rgumentti. i i + i 3 = i(1 i 3) (1 + i 3)(1 i 3) = i = i. Siten Re z 0 = 3/4 j Im z 0 = 1/4. Toislt z 0 :n moduli on z 0 = i 1 + i 3 = i 1 + i 3 = ( = 1 3) 2 2 j rgumentti on ( ) i rg z 0 = rg 1 + i = rg(i) rg(1 + i 3) = π 3 2 rctn 3 = π 2 π 3 = π 6. Siis z 0 = i = 1 ( cos π i sin π ). 6 Esimerkki Olkoot z 1 = 2 + 2i j z 2 = 3i. Tällöin z 1 z 2 = ( 2 + 2i)(3i) = 6 6i, z i ( 2 + 2i)( 3i) = = = 2 + 2i = 2 z 2 3i 3i ( 3i) i2 3, z 1 z 2 = ( 6) 2 + ( 6) 2 = 6 2 = 8 3 = ( 2) ( 3) 2 = z 1 z 2, rg(z 1 ) = 3π 4, rg(z 2) = π 2, rg(z 1 z 2 ) = 3π 4 = 5π 4 2π = rg(z 1) + rg(z 2 ) 2π, ( ) z1 rg = π 4 = rg(z 1) rg(z 2 ). z 2 Tulon modulin j rgumentin kvt yleistyvät n:n luvun tulolle. Jos z = z 1 z 2... z n, niin z = z 1 z 2 z n j rg(z) = n rg(z i ). i=1 Jos tässä vlitn z 1 = z 2 =... = z n, sdn ns. de Moivre n kv: Jos erityisesti z = 1, sdn edellisestä z n = z n (cos(nφ) + i sin(nφ)). z n = cos(nφ) + i sin(nφ). Nämä kvt voidn kirjoitt lyhyesti koko kompleksitsosss määritellyn exponenttifunktion vull: ktso Kpple 6.3.

18 12 Luku 2. Reli- j kompleksiluvuist Npkoordinttiesitys on hyödyllinen myös rtkistess polynomiyhtälöitä. Trkstelln erikoistpust z n = w, jolloin z = n w; ts. on etsittävä luvun w C kikki n-juuret kompleksitsoss. Olkoot r, ρ 0. Tällöin joten w = r(cos(φ) + i sin(φ)) j z = ρ(cos(θ) + i sin(θ)), z n = ρ n (cos(nθ) + i sin(nθ)) = r(cos(φ + i sin(φ)) = w, ρ = n r j nθ = φ + 2kπ, (k Z) eli ρ = n r j θ = φ n + 2kπ n, (k Z). Erisuuret juuret sdn rvoill k = 0, 1,..., n 1 j rtkisuksi sdn n kpplett luvun w n-juuri: ( ( ) ( )) z = n φ + 2kπ φ + 2kπ r cos + i sin, k = 0, 1,..., n 1. n n Kun w = 1, nähdään, että juuret n w sijitsevt kompleksitson yksikköympyrän kehällä j määräävät tssivuisen n-monikulmion, jonk kärjet ovt pisteissä ( ) ( ) n 2kπ 2kπ 1 = cos + i sin, k = 0, 1,..., n 1. n n Kompleksilukujen eräänä tärkeänä ominisuuten on, että jokisell (reli- ti kompleksikertoimisell) n:n steen (n > 0) polynomill on täsmälleen n kpplett juuri kompleksilukujen joukoss monikerrt huomioiden. [Algebrn perusluse.]

19 13 Luku 3: Relifunktioist 3.1 Reltiot j funktiot Reltiot: Olkoot A j B epätyhjiä joukkoj. Jokinen tulojoukon A B osjoukko R on reltio joukost A joukkoon B. Jos A = B snotn, että R A A on reltio A:ss. Esimerkki R = {(x, y) R 2 : x 2 + y 2 = 1} on R R:n osjoukkon reltio R:ssä. Reltiolle R A B voidn määritellä käänteisreltio R 1 seurvsti: R 1 = {(y, x) : (x, y) R}. Esimerkki R = {(x, y) : y = x 2, x R} on reltio R R 0 +:ss (R 0 + = R + {0}). Sen käänteisreltio R 1 = {(y, x) : y = x 2, x R} = {(y, x) : y R 0 + j x = ± y} on reltio R 0 + R:ssä. Tässä R vst neliöön korotust, R 1 neliöjuuren otto. Funktiot: Reltio f joukost A joukkoon B on funktio eli kuvus, jos se toteutt seurvt kksi ehto: i) x A y B s.e. (x, y) f; ii) x A, y, z B pätee: (x, y) f j (x, z) f = y = z. Siis jokist A:n lkiot x vst reltioss f yksikäsitteinen joukon B lkio. Snotn, että f on funktio/kuvus joukost A joukkoon B j merk. f : A B. Jos (x, y) f, merkitään y = f(x) j snotn, että x on (vp) muuttuj j y funktion f rvo pisteessä x. Usein funktio määritellään ntmll kuvussääntö f : x y. Nimityksiä: Olkoon f : A B. Tällöin: 1) A(= M f ) on f:n määrittelyjoukko eli lähtöjoukko; 2) f(a) = {y B : y = f(x), x A} on f:n kuvjoukko eli rvojoukko; 3) Reltiot {(x, y) : x A, y = f(x)} snotn f:n kuvjksi; 4) f on injektio, jos x, y A pätee: f(x) = f(y) = x = y; 5) f on surjektio, jos f(a) = B, ts. y B x A: y = f(x);

20 14 Luku 3. Relifunktioist 6) f on bijektio, jos se on sekä injektio että surjektio. Huomioit: ) Funktiot f j g ovt smoj eli identtiset jos niillä on sm määrittelyjoukko, ts. M f = M g j f(x) = g(x) x M f. b) Jokisell funktioll f : A B on olemss käänteisreltio f 1 B A. Se määrittelee kuvuksen B A, jos j vin jos f on bijektio. Tällöin snotn, että f 1 : B A on f:n käänteiskuvus. Siten käänteiskuvus f 1 on olemss, jos j vin jos yhtälöllä y = f(x) on yksikäsitteinen rtkisu x A jokisell y B. Esimerkki f : R R 0 +, y = x 2. Tällöin f:llä ei ole käänteikuvust R 0 + R. Kuvus f : A A, f(x) = x, x A, on A:n identtinen kuvus, jot merk. usein f = Id A. Yhdistetty kuvus: Olkoot f : A B j g : B C kuvuksi. Niiden yhdistetty kuvus g f määritellään kvll g f : A C, (g f)(x) = g(f(x)), x A. Snotn, että f on sisäfunktio j g ulkofunktio. A B C f g x f(x) (g f)(x) Kuv 3.1: f:n j g:n yhdistetty kuvus. Esimerkki (x 1) 2, 2 x + 1, sin 2 (x 3 ) j log(x 2 + 1). Seurvt tulokset ovt tyypillisiä: i) Jos f : A B j g : B C ovt bijektioit, niin myös g f : A C on bijektio. Niiden käänteiskuvuksille pätee: (g f) 1 = f 1 g 1. ii) Jos f : A B on bijektio, niin f f 1 = Id B j f 1 f = Id A. iii) Jos kuvuksille f : A B j g : B A pätee g f = Id A j f g = Id B, niin f j g ovt bijektioit j f 1 = g, g 1 = f.

21 3.2. Yhden muuttujn relifunktiot Yhden muuttujn relifunktiot Olkoon f : A B funktio. Jos A j B ovt R:n osjoukkoj snotn, että f on yhden relisen muuttujn relirvoinen funktio, lyhyesti relifunktio. Esimerkki f : R R +, f(x) = e x j g : R + R, g(x) = ln(x). (g = f 1 ) Usein relifunktiot määritellään muuttujien x j y välisillä yhtälöillä. Erotetn kolme eri tpust. A) Eksplisiittinen esitys: y = f(x). Tässä x:n j y:n väliset yhtälöt on nnettu ti rtkistu y:n suhteen. B) Implisiittinen esitys: F (x, y) = 0. Muuttujien x j y väliset yhtälöt ovt rtkisemttomss muodoss. Prit (x, y), jotk toteuttvt yhtälön F (x, y) = 0 muodostvt in reltion. Erikseen on vrmistettv esim. lähtö- ti kuvjoukko sopivsti rjoittmll, että ehto F (x, y) = 0 todell määrittelee funktion. C) Prmetriesitys: x = u(t) j y = v(t). Tässä x j y riippuvt relisest prmetrist t. Jälleen on erikseen vrmistettv, että prit (x, y) = (u(t), v(t)) määrittelevät funktion. Jos prmetrin t eliminointi onnistuu, sdn funktiolle ekplisiittinen ti implisiittinen esitys. Esimerkki Yhtälö 2x+3y = 6 määrittelee funktion f : R R. Vstvt esitykset ovt: ) y = 2 3x + 2 (eksplisiittinen esitys); b) 2x + 3y 6 = 0 (implisiittinen esitys); c) x = 3t 1 j y = 2t (t R) (eräs prmetriesitys). 3.3 Relifunktion rj-rvo Rj-rvon määrittelemiseksi otetn käyttöön pisteen ɛ-ympäristö, jok määritellään pisteessä x 0 R joukkon U ɛ (x 0 ) = {x R : x x 0 < ɛ}. Tässä ɛ > 0 on yleensä pieni positiivinen luku. Pisteen x 0 ito ɛ-ympäristö sdn poistmll piste x 0 sen ɛ-ympäristöstä: U ɛ(x 0 ) = {x R : 0 < x x 0 < ɛ} = U ɛ (x 0 ) \ {x 0 }. Olkoon funktio f määritelty josskin pisteen x 0 idoss ympäristössä U (x 0 ). Funktioll f on rj-rvo pisteessä x 0, jos jokist ɛ > 0 kohti on olemss δ = (δ ɛ ) > 0 siten, että 0 < x x 0 < δ = f(x) < ɛ. Määritelmän voi kirjoitt yhtäpitävästi muotoon ɛ > 0 δ > 0 s.e. f(u δ (x 0)) U ɛ ().

22 16 Luku 3. Relifunktioist y + ɛ y = f(x) U ɛ () f(x 0 ) = f(u δ (x 0 )) ɛ x 0 δ x 0 x0 + δ x U δ (x 0 ) Kuv 3.2: Rj-rvo; luvun δ = (δ ɛ ) > 0 vlint. Kun f:llä on x 0 :ss rj-rvo merkitään lim x x 0 f(x) =. Rj-rvoehdon todistmiseksi pyritään epäyhtälöstä f(x) < ɛ johtmn ehto δ = δ ɛ :lle. Esimerkki ) Jos f(x) = c (vkio) x R, niin lim x x0 f(x) = c, x 0 R. Nimittäin ɛ > 0: f(u δ (x 0)) = {c} U ɛ (c), olip δ > 0 vlittu miten thns. b) f(x) = x + b, x R j 0. Todistetn, että lim x x0 f(x) = x 0 + b. Nyt f(x) (x 0 + b) = x x 0 = x x 0, joten vlitsemll δ = ɛ/ (> 0) sdn ɛ > 0: 0 < x x 0 < δ = f(x) (x 0 + b) < ɛ = ɛ; c) Funktio f(x) = x 2 sin(1/x) ei ole määritelty pisteessä x = 0. Kuitenkin lim x 0 f(x) = 0. Olkoon ɛ > 0 mielivltinen. Tällöin f(x) 0 = x 2 sin(1/x) = x 2 sin(1/x) x 2 1 < ɛ, kun x < ɛ. Siis voidn vlit δ = ɛ. Jos funktioll f on rj-rvo pisteessä x 0, niin se on yksikäsitteisesti määrätty.

23 3.3. Relifunktion rj-rvo 17 Luse Jos lim x x0 f(x) = j lim x x0 f(x) = b, niin = b. Todistus. Olkoon ɛ > 0 mielivltinen. Oletuksen nojll δ > 0 s.e. f(x) < ɛ j f(x) b < ɛ, kun 0 < x x 0 < δ. Tällöin kolmioepäyhtälön (Luse 2.1.4) nojll b = (f(x) ) (f(x) b) f(x) + f(x) b < ɛ + ɛ = 2ɛ. Kosk ɛ > 0 oli mielivltinen, on oltv b = 0 eli b =. Funktioille voidn määritellä myös toispuoleiset rj-rvot. Funktioll f on oikenpuoleinen rj-rvo pisteessä x 0, merk. lim x x0 + f(x) =, jos ɛ > 0 δ > 0 s.e. 0 < x x 0 < δ = f(x) < ɛ. Vstvsti määritellään vsemmnpuoleinen rj-rvo: lim x x0 f(x) =, jos ɛ > 0 δ > 0 s.e. 0 < x 0 x < δ = f(x) < ɛ. Määritelmistä seur välittömästi: lim x x0 f(x) = lim x x0 + f(x) = = lim x x0 f(x). Rj-rvoj määritettäessä seurvt lskusäännöt ovt hyödyllisiä. Luse Olkoot funktioill f j g rj-rvot pisteessä x 0. Tällöin: i) lim x x0 (cf(x) + b) = c lim x x0 f(x) + b (tässä c, b R); ii) lim x x0 (f(x) + g(x)) = lim x x0 f(x) + lim x x0 g(x); iii) lim x x0 f(x)g(x) = (lim x x0 f(x)) (lim x x0 g(x)); iv) lim x x0 f(x) g(x) = lim x x 0 f(x) lim x x0 g(x), kun lim x x 0 g(x) 0. Todistus. Todistukset voidn perust suorn määritelmään. Rj-rvon määritelmä voidn ljent myös tpuksiin x 0 = ± j = ±. Esimerkiksi: lim f(x) =, jos ɛ > 0 M > 0 x s.e. x > M = f(x) < ɛ; lim f(x) =, jos M > 0 δ > 0 x x 0 s.e. 0 < x x 0 < δ = f(x) > M. Vstvsti voidn määritellä toispuoleiset rj-rvot: lim f(x) =, jos M > 0 δ > 0 s.e. 0 < x x 0 < δ = f(x) > M; x x 0 + lim f(x) =, jos M > 0 δ > 0 s.e. 0 < x 0 x < δ = f(x) < M; x x 0 jne., kuten myös rj-rvot lim x ± f(x) = ±.

24 18 Luku 3. Relifunktioist Esimerkki lim (x + x 1)3 =, 1 lim x 0+ x =, { lim 1 x 0 x =, f(x) = 1 0, kun x 0+; 3 1 x + 1 1, kun x 0. Huom! Luseen tulokset (lskusäännöt) ovt voimss myös toispuoleisille j epäolennisille rj-rvoille. Tällöin rj-rvolskuiss on huomioitv symboleit j koskevt rjoitukset niillä lskettess. 3.4 Jtkuvuus Olkoon funktio f määritelty pisteen x 0 eräässä ympäristössä U(x 0 ). Tällöin f on jtkuv pisteessä x 0, jos lim x x 0 f(x) = f(x 0 ). Jos f ei ole jtkuv pisteessä x 0 snotn, että f on epäjtkuv pisteessä x 0. Tällöin f:llä ei ole rj-rvo pisteesä x 0 ti ko. rj-rvo on olemss, mutt erisuuri kuin f(x 0 ). Rj-rvo koskevst Luseest seur välittömästi Luse Jos f j g ovt jtkuvi pisteessä x 0, niin myös funktiot c f + b (c, b R), f + g, f g j f/g (kun g(x 0 ) 0) ovt jtkuvi pisteessä x 0. Voidn määritellä myös funktion toispuoleinen jtkuvuus. Funktio f on oikelt jtkuv pisteessä x 0, jos lim x x 0 + f(x) = f(x 0) j vsemmlt jtkuv pisteessä x 0, jos lim f(x) = f(x 0). x x 0 Vstvst rj-rvo koskevst tuloksest seur: f on jtkuv x 0 :ssä f on sekä oikelt että vsemmlt jtkuv x 0 :ssä. Jtkuvuuden j rj-rvon määritelmät yhdistämällä sdn f:n jtkuvuudelle pisteessä x 0 seurv krkteristio: ɛ > 0 δ > 0 s.e. x x 0 < δ = f(x) f(x 0 ) < ɛ eli ɛ > 0 δ > 0 s.e. f(u δ (x 0 )) U ɛ (f(x 0 )). Esimerkki ) Itseisrvofunktio f(x) = x on jtkuv x R. b) Funktio f(x) = (2x+ x )/(x 3) on jtkuv pisteissä x R\{3} eli määrittelyjoukossn. Funktiot f snotn jtkuvksi voimell välillä ], b[, jos f on jtkuv välin ], b[ jokisess pisteessä. Vstvsti f on jtkuv suljetull välillä [, b], jos se on jtkuv välillä ], b[ j lisäksi toispuoleisesti jtkuv välin [, b] päätepisteissä.

25 3.4. Jtkuvuus 19 Esimerkki Polynomit P (x), sin x, cos x j e x ovt jtkuvi R:ssä, ln x on jtkuv R + :ss. Rtionlifunktiot P (x)/q(x) ovt jtkuvi väleillä/pisteissä, joiss Q(x) 0. Smoin tn x on jtkuv väleillä/pisteissä, joiss x π/2+nπ, n Z, j cot x on jtkuv väleillä/pisteissä, joiss x nπ, n Z. Luse Jos f on jtkuv pisteessä x 0 j g on jtkuv pisteessä y 0 = f(x 0 ), niin yhdistetty funktio g f on jtkuv pisteessä x 0 : lim (g f)(x) = lim g(f(x)) = g( lim f(x)) = g(f(x 0 )) = (g f)(x 0 ). x x 0 x x 0 x x 0 Todistus. Olkoon ɛ > 0. Funktion g jtkuvuuden nojll δ > 0 s.e. (3.1) y y 0 < δ = g(y) g(y 0 ) < ɛ. Toislt f:n jtkuvuuden nojll luku δ > 0 kohti on olemss δ > 0 s.e. (3.2) x x 0 < δ = f(x) f(x 0 ) < δ. Tässä f(x 0 ) = y 0, joten voimme sovelt impliktiot (3.1) rvoll y = f(x). Siten yhdistämällä (3.2) j (3.1) sdn väite: ɛ > 0 δ > 0 s.e. x x 0 < δ (3.2) {}}{ = f(x) f(x 0 ) } {{ } =y 0 < δ Seurv jtkuvi funktioit koskev tulos on tärkeä. (3.1) {}}{ = g(f(x)) g(y 0 ) < ɛ. } {{ } =g(f(x 0 )) Luse (Bolznon luse) Jos f on jtkuv suljetull välillä [, b] j s välin päätepisteissä erimerkkiset rvot (ts. f() f(b) < 0), niin on olemss inkin yksi piste ξ, < ξ < b, siten että f(ξ) = 0. Todistus. Geometrisesti ilmeinen; yksityiskohdt käsitellään luennoill (todistus perustuu täydellisyysksiomn). Bolznon luseest voidn helposti joht seurv jtkuvn funktion rvoj koskev tulos. Luse Jos f on jtkuv suljetull välillä [, b] j luku c on rvojen f() j f(b) välissä, niin on olemss inkin yksi piste ξ, < ξ < b, s.e. f(ξ) = c. Todistus. Sovelletn Bolznon lusett funktioon g(x) = f(x) c. Yksityiskohdt jätetään hrj. tehtäväksi. Luse Suljetull välillä [, b] jtkuv funktio f on sekä ylhäältä että lhlt rjoitettu. Lisäksi f svutt suurimmn j pienimmän rvons välillä [, b], ts. x 1, x 2 [, b] siten, että f(x 1 ) f(x) f(x 2 ), x [, b]. Todistus. Tämäkin tulos voidn todist supremum-trksteluill, ts. relilukujen täydellisyysksiomst käsin (yksityiskohdt käsitellään luennoill). Esimerkki Funktioll f(x) = 1/(sin 2 x + 2) on suurin rvo välillä [ 1, 1]. Nimittäin sin x j siten myös sin 2 x + 2 j edelleen f(x) on jtkuv välillä [ 1, 1], kosk nimittäjällä ei ole nollkohti. Luse = väite. Itse siss: sin 2 x eli f(x) 1/2 j f(0) = 1/2.

26 20 Luku 3. Relifunktioist 3.5 Funktion derivtt Derivtn määritelmä perustuu rj-rvon käsitteeseen. Olkoon funktio f määritelty pisteen x 0 R eräässä ympäristössä. Tällöin f on derivoituv pisteessä x 0, jos erotusosmäärällä f(x 0 + h) f(x 0 ), h 0 h on äärellinen rj-rvo, kun h 0. Tätä rj-rvo snotn f:n derivtksi pisteessä x 0 j merk. f f(x 0 + h) f(x 0 ) (x 0 ) = lim. h 0 h Oheinen kuv hvinnollist derivtn määritelmää. Kuvioss suorn S kulmkerroin on f(x) f(x 0 ) x x 0. Kun x x 0 suorn kulmkerroin lähestyy pisteeseen (x 0, f(x 0 )) piirretyn tngentin kulmkerroint, mikä nt derivtlle geometrisen tulkinnn: f (x 0 ) = lim x x 0 f(x) f(x 0 ) x x 0. y y = f(x) f(x) S f(x 0 ) x 0 x x h = x x 0 Esimerkki f(x) = x 2. Tällöin h 0: f(x 0 + h) f(x 0 ) h = (x 0 + h) 2 x 2 0 h = x hx 0 + h 2 x 2 0 h = 2x 0 + h, joten f (x 0 ) = lim h 0 (2x 0 + h) = 2x 0. Funktion y = f(x) derivtlle käytetään myös merkintöjä df(x) dx dx, Df(x), y (x). Jos funktio f on derivoituv esim. välin ], b[ jokisess pisteessä, derivtt määrittelee uuden funktion f :], b[ R, x f (x). Tätä derivttfunktiot f merk. usein myös df dx, dy dx, Df, y., dy(x)

27 3.5. Funktion derivtt 21 Derivtn määritelmästä nähdään, että jos f on derivoituv pisteessä x 0, niin kikill h 0: lim f(x 0 + h) f(x 0 ) = lim h lim f(x 0 + h) f(x) h 0 h 0 h 0 h = 0 f (x 0 ) = 0. Siten, jos f on derivoituv pisteessä x 0, niin se on myös jtkuv pisteessä x 0. Käänteinen väite ei päde, ts. funktion jtkuvuus ei tk sen derivoituvuutt. Esimerkki Itseisrvofunktio f(x) = x on jtkuv x R. Kun x 0 = 0, sdn f(x 0 + h) f(x 0 ) h = h h = { 1, kun h < 0; 1, kun h > 0. Siten erotusosmäärällä ei ole rj-rvo pisteessä x 0 = 0. Esimerkin tpuksess funktioll f(x) = x on erisuuret toispuoleiset derivtt pisteessä x 0 = 0. Yleisesti funktion f oikenpuoleinen derivtt pisteessä x 0 määritellään erotusosmäärän oikenpuoleisen rj-rvon: f (x 0 +) = lim h 0+ f(x 0 + h) f(x 0 ). h Vstvsti f:n vsemmnpuoleinen derivtt pisteessä x 0 on rj-rvo f (x 0 ) = lim h 0 f(x 0 + h) f(x 0 ). h Siten f on derivoituv pisteessä x 0, jos j vin jos sillä on olemss toispuoleiset derivtt pisteessä x 0 j ne ovt keskenään yhtäsuuret. Kuten jtkuvuuden yhteydessä voidn määritellä funktion derivoituvuus voimell j suljetull välillä. Derivoimissääntöjä: Seurvt derivoimissäännöt voidn joht suorn määritelmästä. Luse Olkoot f j g derivoituvi pisteessä x. Tällöin: i) (c f(x)) = c f (x), c R vkio; ii) (f(x) + g(x)) = f (x) + g (x); iii) (f(x)g(x)) = f (x)g(x) + f(x)g (x); iv) ( f(x) g(x) ) = f (x)g(x) f(x)g (x) (g(x)) 2, g(x) 0. Luseen kohdt i) j ii) merkitsevät, että derivointi on linerinen opertio; ts. D(f + bg) = Df + b Dg. Yhdistetyn funktion derivoituvuutt koskee seurv tulos. Luse Jos f on derivoituv pisteessä x 0 j g on derivoituv pisteessä y 0, missä y 0 = f(x 0 ), niin yhdistetty funktio g f on derivoituv pisteessä x 0 j D((g f)(x 0 )) = g (f(x 0 )) f (x 0 ) (Ketjusääntö).

28 22 Luku 3. Relifunktioist Todistus. Merk. u(y, y 0 ) = (g(y) g(y 0 ))/(y y 0 ) g (y 0 ), jolloin u(y, y 0 ) 0 kun y y 0. Kun y = f(x), sdn (g f)(x) (g f)(x 0 ) g(y) g(y 0 ) lim = lim x 0 x x 0 x 0 x x 0 = lim(g f(x) f(x 0 ) (y 0 ) + u(y, y 0 ) ) lim = g (y x 0 } {{ } 0 ) f (x 0 ), x 0 x x 0 0, kun y y 0 sillä, kun x x 0, niin myös y = f(x) f(x 0 ) = y 0, kosk f derivoituvn on myös jtkuv pisteessä x 0. Seurv tulos liittyy käänteisfunktion derivoituvuuteen. Olkoon f määritelty pisteen x 0 eräässä ympäristössä j oletetn, että f:llä on käänteisfunktio f 1, jok on määritelty eräässä pisteen y 0 = f(x 0 ) ympäristössä. Luse Olkoot f j f 1 kuten yllä j oletetn, että f 1 on jtkuv pisteessä y 0 = f(x 0 ) j että f:llä on pisteessä x 0 derivtt f (x 0 ) 0. Tällöin f 1 on derivoituv pisteessä y 0 j Todistus. Merk. y = f(x) j y 0 = f(x 0 ). Tällöin D(f 1 (y 0 )) = 1 f (x 0 ) = 1 f (f 1 (y 0 )). f 1 (y) f 1 (y 0 ) x x 0 lim = lim y y 0 y y 0 y y 0 f(x) f(x 0 ) = lim 1 x x 0 f(x) f(x 0 ) = 1 f (x 0 ), x x 0 sillä f 1 :n jtkuvuuden nojll pisteessä y 0 pätee y y 0 = x = f 1 (y) f 1 (y 0 ) = x 0. Huom. 1. Jos f 1 :n derivoituvuus pisteessä y 0 tiedetään jo etukäteen, sdn käänteisfunktion derivoimissääntö suorn Luseen vull: Määritelmän mukn joten derivointi puolittin nt (f 1 f)(x) = x, (f 1 ) (f(x 0 )) f (x 0 ) = 1 eli (f 1 ) (y 0 ) = 1 f (x 0 ), f (x 0 ) 0. Huom. 2. Käänteisfunktion f 1 jtkuvuutt pisteessä y 0 = f(x 0 ) ei priori trvitse olett; se seur myös suorn oletuksest f (x 0 ) 0.

29 3.6. Tvllisimpien funktioiden derivttoj Tvllisimpien funktioiden derivttoj Trigonometristen funktioiden derivtt: Eksponenttifunktio: e x : R R +. D sin x = cos x, D tn x = 1 cos 2 x = 1 + tn2 x, D cos x = sin x, D cot x = 1 sin 2 x = 1 cot2 x. e x+h e x lim h 0 h = e x e h 1 lim = h 0 h }{{} e x 1 = e x. vtii toki perustelun! Siis De x = e x. Tässä kntluku e on ns. Neperin luku, jok voidn määritellä rj-rvon ( e = lim n, n Z +. n n) Itse siss e = ( lim x x R \ {0}. x ± x) Kun kntlukun on > 0, sdn x = e x ln, joten missä käytettiin ketjusääntöä (Luse 3.5.4). D x = e x ln ln = x ln, Logritmifunktio: ln x : R + R. ln x on e x :n käänteisfunktio. Luse = D ln x = Logritmifunkio kntlukun > 0 ( 1): log x = log e ln x, 1 (De y = 1 ) y=ln x e ln x = 1 x. Yhdistetyn funktion derivointisääntö nt edelleen: Yleinen potenssifunktio: x, R. Esimerkki D(log x) = log e x. D(ln x ) = 1 x j D(log x ) = log e x, x 0. x = e ln x, Dx = e ln x ( 1 x ) = x x = x 1. ) f(x) = x x, x > 0. Kirjoitetn x x = e x ln x. Tällöin Df(x) = D(e x ln x ) = e x ln x D(x ln x) = x x (1 ln x + x 1 x ) = xx (ln x + 1).

30 24 Luku 3. Relifunktioist b) D(ln(ln(x 2 + 1))) = 1 ln(x 2 +1) 1 x x. Arkusfunktiot: Trigonometriset funktiot eivät ole jksollisin kääntyviä koko R:ssä. Sopivill R:n osväleillä käänteisfunktiot sdn kuitenkin määriteltyä j niitä kutsutn rkusfunktioiksi. 1) rcsinx (l. rcsin x:n päähr) y = rcsinx x = sin y j y [ π/2, π/2] ts. kyseessä on sin y:n käänteisfunktio välillä y [ π/2, π/2]. Derivtt sdn käänteisfunktion derivointisäännöllä: y (x) = Siis D(rcsinx) = 1 1 x 2 ; 2) rccosx (l. rccos x:n päähr) 1 d dy sin y = 1 cos y = 1 1 sin 2 y = 1. 1 x 2 y = rccosx x = cos y j y [0, π]. Derivtt sdn käänteisfunktion derivointisäännöllä: Vstvsti sdn: D(rccosx) = 3) rctnx (l. rctn x:n päähr) 1 sin y = cos 2 y = 1. 1 x 2 y = rctnx x = tn y j y ] π/2, π/2[, D(rctnx) = x 2 ; 4) rccotx (l. rccot x:n päähr) y = rccotx x = cot y j y ]0, π[, D(rccotx) = x Derivtn ominisuuksi Derivtt kertoo funktion loklist käyttäytymisestä. Luse Olkoon f derivoituv pisteessä x 0. Tällöin: i) Jos f (x 0 ) > 0, niin on olemss ɛ > 0 siten, että { f(x) < f(x0 ), kun x 0 ɛ < x < x 0 ; f(x) > f(x 0 ), kun x 0 < x < x 0 + ɛ;

31 3.7. Derivtn ominisuuksi 25 ii) Jos f (x 0 ) < 0, niin on olemss ɛ > 0 siten, että { f(x) > f(x0 ), kun x 0 ɛ < x < x 0 ; f(x) < f(x 0 ), kun x 0 < x < x 0 + ɛ; iii) Jos f:llä on lokli minimi ti mksimi pisteessä x 0, niin f (x 0 ) = 0. Todistus. i) Kosk f (x 0 ) = lim x x0 f(x) f(x 0 ) x x 0 j f (x 0 ) > 0 on olemss ɛ > 0 siten, että f(x) f(x 0 ) x x 0 > 0, kun 0 < x x 0 < ɛ. Tämä nt kohdn i). Vstvsti todistetn koht ii). Koht iii) seur kontrpositioll kohdist i) j ii). Luse (Rollen luse) Oletetn, että funktio f on i) jtkuv suljetull välillä [, b]; ii) derivoituv voimell välillä ], b[; iii) f() = f(b). Tällöin on olemss inkin yksi piste ξ ], b[ siten, että f (ξ) = 0. Todistus. Jos f on vkio välillä [, b], on f (x) = 0, x [, b], j väite on selvästi voimss. Muuss tpuksess f s välillä ], b[ rvoj, jotk ovt esim. suurempi (pienempiä) kuin f() = f(b). Tällöin Luseen nojll f jtkuvn funktion s mksimin (minimin) pisteessä ξ [, b] j nyt välttämättä ξ, b; ts. < ξ < b. Nyt Luse 3.7.1, koht iii):n mukn f (ξ) = 0. Luse (Välirvoluse) Oletetn, että f on i) jtkuv suljetull välillä [, b]; ii) derivoituv voimell välillä ], b[. Tällöin on olemss inkin yksi piste ξ ], b[ s.e. f (ξ) = Todistus. Sovelletn Rollen Lusett funktioon h(x) = f(x) f() f(b) f(). b f(b) f() (x ). b Tällöin h (ξ) = 0 jollekin ξ ], b[ j väite seur derivoimll h(x):n luseke. (Yksityiskohdt: Hrj. teht.)

32 26 Luku 3. Relifunktioist Välirvoluse on tärkeä väline mtemttisess nlyysissä. Sillä on useit tärkeitä sovelluksi j seuruksi. Luse (Integrlilskennn perusluse). Oletetn, että i) f on jtkuv suljetull välillä [, b]; ii) f on derivoituv voimell välillä ], b[; iii) f (x) = 0 kikill x ], b[. Tällöin f on vkio koko välillä [, b]. Todistus. Olkoon x ], b[ mielivltinen. Soveltmll välirvolusett välillä [, x] sdn f(x) f() = f (ξ)(x ), ξ ], x[. Oletuksen iii) mukn f (ξ) = 0, joten f(x) = f(). Rj-rvolskuiss seurv tulos on hyödyllinen. Luse (l Hospitlin sääntö) Olkoot f j g jtkuvsti derivoituvi pisteen josskin ympäristössä U δ () =] δ, + δ[. Jos f() = g() = 0, niin f(x) lim x g(x) = lim f (x) x g (x) ( R). Todistus. Kosk f() = g() = 0, sdn f(x) lim x g(x) = lim x f(x) f() x g(x) g() x = f () g (). Huom.! Derivtn jtkuvuudest voidn luopu soveltmll välirvolusett. Esimerkki b) lim x 0 sin x x c) lim x 0 x 2 1 cos x ) lim x 0 e x 1 x l H. {}}{ = lim x 0 cos x 1 = cos(0) = 1; l H. {}}{ = lim x 0 2x sin x = 2 lim x 0 l H. {}}{ = lim x 0 D(e x 1) Dx = lim x 0 e x 1 = 1; 1 sin x x Välirvoluse voidn yleistää seurvn muotoon. b) {}}{ = 2 1 = 2. Luse (Yleistetty välirvoluse) Oletetn, että f j g ovt i) jtkuvi suljetull välillä [, b]; ii) derivoituvi voimell välillä ], b[;

33 3.8. Funktion äärirvot 27 iii) g (x) 0 kikill x ], b[. Tällöin on olemss inkin yksi piste ξ ], b[ s.e. Todistus. Hrj. teht. f(b) f() g(b) g() = f (ξ) g (ξ). Yleistetyn välirvoluseen vull sdn l Hospitlin säännölle seurv yleisempi versio. Luse (l Hospitlin sääntö) Olkoot f j g jtkuvi välillä [, b] j derivoituvi välillä ], b[, j olkoot f() = g() = 0 sekä g (x) 0 kikill x ], b[. Tällöin f (x) f(x) lim x + g = c ( R) = lim (x) x + g(x) = c. Todistus. Olkoon x ], b[ mielivltinen. Sovelletn Lusett välillä [, x]: f(x) g(x) = f(x) f() g(x) g() = f (ξ) g (ξ), ξ ], x[. Kun x +, niin myös ξ +, mistä väite seur. Tässä g(x) g() = 0, kosk g (x) 0 x ], b[. Luse Olkoon funktio f(x) jtkuv pisteessä x 0 j lisäksi derivoituv pisteen x 0 josskin idoss ympäristössä 0 < x x 0 < δ (δ > 0). Jos derivtn oikenpuoleinen rj-rvo lim x x0 + f (x) on olemss, niin f(x):llä on oikenpuoleinen derivtt pisteessä x 0 j f (x 0 +) = lim f (x). x x 0 + Todistus. Sovelletn välirvolusett; yksityiskohdt esitetään luennoill. Huom. Vstv tulos pätee myös vsemmnpuoleiselle rj-rvolle/derivtlle j siten erityisesti: jos f(x) on jtkuv pisteessä x 0, niin lim x x 0 f (x) f (x 0 ) j f (x 0 ) = lim x x 0 f (x). Tällöin f on jtkuvsti derivoituv pisteessä x 0. Huom, että f:n jtkuvuutt koskevst oletuksest Luseess ei void luopu. 3.8 Funktion äärirvot Funktioll f on lokli mksimi (vst. minimi) pisteessä x 0, jos f(x 0 ) on f:n suurin (vst. pienin) rvo josskin x 0 :n ympäristössä U δ (x 0 ) =]x 0 δ, x 0 + δ[. Luseen 3.7.1, kohdn iii) mukn, jos f on derivoituv pisteessä x 0, niin välttämätön ehto f:n loklille äärirvolle on, että f (x 0 ) = 0. Käänteinen väite ei ole voimss. Esimerkki f(x) = x 3, f (x) = 3x 2, joten f (0) = 0, mutt 0 ei ole f:n äärirvokoht.

34 28 Luku 3. Relifunktioist Luse Olkoon f derivoituv (rjoitetull ti rjoittmttomll) välillä I (I R). Jos f (x) 0 (vstvsti f (x) > 0) kikiss I:n sisäpisteissä, niin f on ksvv (vstvsti idosti ksvv) välillä I. Todistus. Olkoot x, y I j x < y. Välirvoluseen nojll f(y) f(x) = f (ξ)(y x), x < ξ < y. Siten f (ξ) 0 = f(y) f(x) j vstvsti f (ξ) > 0 = f(y) > f(x). Vstvsti: f (x) 0 x I = f vähenevä välillä I; f (x) < 0 x I = f idosti vähenevä välillä I. Luseest sdn f:lle seurv äärirvotesti. Luse Jos f on jtkuv pisteessä x 0 j derivoituv pisteen x 0 josskin idoss ympäristössä U δ (x 0 ) j f (x) viht merkkiään pisteessä x 0, niin f:llä on lokli äärirvo pisteessä x 0 : + = lokli mx, + = lokli min. Todistus. Luse sovellettun väleillä ]x 0 δ, x 0 ] j [x 0, x 0 + δ[. Käänteinen tulos ei tskn ole voimss. Itse siss f:n j f :n käyttäytyminen loklin äärirvokohdn x 0 ympäristössä stt oll vrsin epäsäännöllistä. Myös funktion f toist derivtt f, jok liittyy käyrän kuperuuteen, voidn käyttää pun loklien äärirvojen määrityksessä. Käyrä y = f(x) on välillä I kuper lspäin (vst. kuper ylöspäin), jos käyrä ei missään välin I pisteessä ole minkään tngenttins lpuolell (yläpuolell). Luse Jos f:n derivtt f on välillä I idosti ksvv (vst. vähenevä), niin käyrä y = f(x) on kuper lspäin (vst. kuper ylöspäin). Todistus. Pisteessä x 1 I olevn tngentin yhtälö on y = t(x) = f(x 1 ) + f (x 1 )(x x 1 ). Olkoon x 2 I (x 2 x 1 ). Välirvoluseen nojll f(x 2 ) f(x 1 ) = f (ξ)(x 2 x 1 ), missä ξ on pisteiden x 1 j x 2 välissä. Nyt f idosti ksvv = f(x 2 ) f(x 1 ) = f (ξ) (x 2 x 1 ) > f (x 1 ) (x 2 x 1 ), eli f(x 2 ) > f(x 1 ) + f (x 1 ) (x 2 x 1 ) = t(x 2 ). Siis y = f(x) on kuper lspäin. Vstvsti todistetn väitteen toinen os.

35 3.8. Funktion äärirvot 29 y y = f(x) d y = t(x) x 1 x 2 x Oheinen kuv hvinnollist Luseen tulost j sen todistust. Yhdistämällä Luseet j sdn Seurus Jos f (x) > 0 (vst. f (x) < 0) x I, niin käyrä y = f(x) on kuper lspäin (vst. ylöspäin). Toisen derivtn vull sdn seurv äärirvotesti. Luse Olkoon f derivoituv pisteen x 0 josskin ympäristössä j khdesti derivoituv pisteessä x 0. Tällöin: i) Jos f (x 0 ) = 0 j f (x 0 ) < 0, niin f:llä on lokli mksimi x 0 :ss; ii) Jos f (x 0 ) = 0 j f (x 0 ) > 0, niin f:llä on lokli minimi x 0 :ss. Todistus. Luse = f (x) viht merkkiään pisteessä x 0, joten väite seur Luseest Huom. Pistettä x 0, joss f (x 0 ) = 0 j joss f (x) viht merkiään snotn f:n käännepisteeksi. Yhteenveton voidn todet, että suljetull välillä jtkuvll funktioll f on suurin j pienin rvo (Luse 3.4.7). Se svutetn joko f:n lokliss äärirvokohdss ti välin päätepisteessä. Loklej äärirvokohti välillä I voivt oll: (1) pisteet, joiss f (x 0 ) = 0; (2) pisteet x 0, joiss f ei ole derivoituv; (3) pisteet x 0, joiss f on epäjtkuv.

36 30 Luku 3. Relifunktioist 3.9 Implisiitti- j prmetrimuotoisen funktion derivointi Implisiittifunktion derivointi: Jos yhtälö F (x, y) = 0 määrittelee jonkin funktion y = f(x), voidn f:n derivtt f (x) usein sd derivoimll suorn lusekett F (x, f(x)). Esimerkki nt ) F (x, y) = y 2 x = 0. Merkitään y = y(x), jolloin derivointi puolittin 2y(x) y (x) 1 = 0 y (x) = 1 2y. Tässä y 2 = x, joten y = ± x j sijoitus nt y (x) = 1 ±2 x. b) F (x, y) = y e xy = 0. Määrätään käyrän y = e xy pisteeseen (0, 1) piirretyn tngentin yhtälö. Nyt y (x) = e xy(x) (1 y(x) + xy (x)) = e xy(x) (y(x) + xy (x)). Siten y(0) = 1 = y (0) = e 0 (1 + 0 y (0)) = 1. Tngentin yhtälö on: y 1 = 1 (x 0) y = x + 1. Kuten esimerkit osoittvt derivtn lusekkeeseen jää F (x, y):n derivoinnin jälkeen y, jonk rvo on erikseen selvitettävä. Prmetrimuotoisen funktion derivointi: Olkoot x = x(t) j y = y(t). Jos funktioll x(t) on käänteisfunktio φ = x 1, φ(x) = t jollkin sopivll prmetrin t sisältävällä välillä, niin pri (x(t), y(t)) määrittelee funktion y = f(x): y(t) = y(φ(x)) = (y φ) (x). } {{ } =f Johdetn luseke y:n derivtlle y = f (x). Yhdistetyn funktion j käänteisfunktion derivointisääntöjen mukn y (x) = f (x) = y (φ(x)) φ (x) = y 1 (t) x (t). Siis y (x) = f (x) = y (t) x (t). Yhtäpitävästi: dy dy dx = dt. (Mikä osoitt, että differentileill voidn lske kuten luvuill.) Tulos osoitt, että funktion y = f(x) derivtt voidn lske selvittämättä itse funktion f(x) lusekett! Esimerkki Olkoot x(t) = t 3 t j y(t) = 2 t 2. Määritetään käyrän (x(t), y(t)) pisteeseen (x(2), y(2)) piirretyn tngentin yhtälö. Nyt dx dt { x (t) = 3t 2 1; y (t) = 2t,

37 3.10. Sovelluksi 31 joten dy dx = y (2) t=2 x (2) = 4 11 on tngentin kulmkerroin ko. pisteessä. Lisäksi x(2) = 6 j y(2) = 2, j tngentin yhtälöksi sdn: y ( 2) = 4 (x 6) 11y + 4x = Sovelluksi Differentilikehitelmä: Funktion derivoituvuus pisteessä x voidn esittää yhtäpitävästi ns. differentilikehitelmän vull: (3.3) f(x + h) f(x) = h + h ɛ(h), missä on vkio, jok ei riipu h:st, j ɛ(h) on josskin pisteen h = 0 ympäristössä määritelty funktio, jok toteutt ehdot: lim h 0 ɛ(h) = ɛ(0) = 0. Nimittäin jkmll (3.3) puolittin h sdn f(x + h) f(x) = + ɛ(h), kun h 0, h joten f on derivoituv pisteessä x j f (x) =. Kääntäen f:n derivoituvuus pisteessä x = (3.3): vrt. Luseen todistus. Differentilikehitelmä (3.3) osx y oitt, että funktiot f voidn pproksimoid pisteen x lähellä linerisell kuvuksell (f:n pisteessä x ole- y = f(x) f(x + h) vll tngentill). ɛ(h) h f(x) Lisäksi pproksimtio prnee, f (x) h f(x) kun h = x 0. Termiä f (x)h kutsutn f:n differentiliksi pisteessä x (lisäyksen h suhteen) j merk- x x + h h = x itään df. Se kirjoitetn usein muodoss df = f dx. Ko. pproksimtiot voidn käyttää rvioitess esim. mittusvirheiden vikutust. Olkoon x rgumentin x virhe. Tällöin funktion f:n bsoluuttinen virhe on f(x) f (x) x j suhteellinen virhe on f(x) f(x) f (x) f(x) x. Esimerkki Jos r = 0.1 cm on ympyrän säteen r = 10 cm mittusvirhe, niin ln A = πr 2 virhe A = 2πr r = 2π cm 6.3cm 2 j suhteellinen virhe A A = 2πr r = πr 2 2 r r = = Välirvoluse mhdollist virherviointien tekemisen myös väleillä, jos käytettävissä on rvio funktion derivtlle. Nimittäin, jos f täyttää välirvoluseen ehdot, niin f(x) = f (ξ) x, ξ ], b[,

38 32 Luku 3. Relifunktioist missä f(x) = f(b) f() j x = b. Siten f (x) < M x ], b[ = f(x) M x. Esimerkki Määrätään virhe, jok syntyy lskettess funktion f(x) = 1 x rvo pisteessä x = π (= ), kun käytetään likirvo π Rtkisu: Nyt f (x) = 1. Välillä x < x < 3.142, johon π kuuluu, sdn derivtlle rvio f (x) 1 0, 102. (3.14) 2 Siten f 0, 102 (π 3.14) < 0, 102 0, 002 (< ). Kiintopisteiterointi: Luse Olkoon f : [0, 1] [0, 1] jtkuv j derivoituv. Tällöin: i) ξ [0, 1] siten, että f(ξ) = ξ. Jos lisäksi f (x) K < 1 x ]0, 1[, niin ii) f:n kiintopiste ξ on yksikäsitteisesti määrätty j iii) jos x 0 [0, 1] j määritellään jono x n+1 = f(x n ), n = 0, 1, 2,..., niin lim x n = ξ. n Todistus. i) Merkitään h(x) = f(x) x. Tällöin h(x) on jtkuv x [0, 1]. Jos f(0) = 0 ti f(1) = 1, niin kohdn i) väite pätee selvästi. Muuss tpuksess f(0) > 0 j f(1) < 1. Yhtäpitävästi: { h(0) = f(0) 0 > 0; h(1) = f(1) 1 < 0. Bolznon luse = ξ ]0, 1[ siten, että h(ξ) = 0 eli f(ξ) ξ = 0 f(ξ) = ξ. Siis jok tpuksess ξ [0, 1] sitten, että f(ξ) = ξ. ii) Tehdään vstoletus: ξ 1, ξ 2, ξ 1 < ξ 2, siten, että f(ξ 1 ) = ξ 1 j f(ξ 2 ) = ξ 2. Välirvoluseest sdn nyt: η, ξ 1 < η < ξ 2 siten, että f (η) = f(ξ 2) f(ξ 1 ) ξ 2 ξ 1 = ξ 2 ξ 1 ξ 2 ξ 1 = 1. Ristiriit, kosk oletuksen mukn f (x) < 1, x ]0, 1[. Siis ξ on yksikäsitteisesti määrätty. iii) Jos x n = ξ jollkin n N, niin väite on selvä. Jos ts x n ξ, n N, niin välirvoluseest seur η n (x n 1 :n j ξ:n välissä) siten, että: x n ξ = f(x n 1 ) f(ξ) = f (η n )(x n 1 ξ) = f (η n ) x n 1 ξ K x n 1 ξ, n = 1, 2,... Siten x n ξ K x n 1 ξ K K x n 2 ξ K 3 x n 3 ξ K n x 0 ξ, n N. Tässä K < 1, joten K n 0, kun n. Niinpä Ts. lim n x n = ξ. lim x n ξ lim n n Kn x 0 ξ = 0.

39 3.10. Sovelluksi 33 Huom! Vstv tulos pätee myös, kun f : [, b] [, b]. Luse Olkoon f jtkuvsti derivoituv välillä [, b] j olkoon ξ ], b[ piste, joss f(ξ) = ξ nd f (ξ) < 1. Tällöin on olemss väli [c, d] ], b[ siten, että ξ ]c, d[ j jono x n+1 = f(x n ), n = 0, 1, 2,... suppenee kohti pistettä ξ, ts. lim n x n = ξ, kun x 0 [c, d]. Todistus. Kosk f (ξ) < 1 j f on jtkuv on olemss väli [c, d] = [ξ δ, ξ + δ] ], b[ siten, että ξ ]c, d[ j f (x) < 1, x [c, d]. Osoitetn, että f([c, d]) [c, d]. Olkoon v [c, d] mielivltinen. Jos v = ξ, niin f(v) = v [c, d]. Jos ts v ξ, niin välirvoluseen nojll f(v) f(ξ) v ξ = f (η), η v:n j ξ:n välissä. Tällöin f(v) f(ξ) = f (η) v ξ < v ξ }{{} =ξ eli f(v) ξ < v ξ. Näin ollen f(v) [c, d], ts. f([c, d]) [c, d]. Kosk f j f ovt jtkuvi suljetull välillä [c, d], f svutt mksimins K < 1 josskin välin [c, d] pisteessä, ts. f (x) K < 1, x [c, d]. Nyt Luse = väite. Yhtälön rtkiseminen Newtonin menetelmällä: Tehtävänä on yhtälön f(x) = 0 rtkiseminen numeerisesti muodostmll rtkisulle mielivltisen trkkoj likirvoj tilnteess, joss yhtälöä ei void rtkist eksplisiittisesti. Trkstelln ns. Newtonin menetelmää. Olkoon f khdesti derivoituv välillä [, b] j f (x) > 0 sekä f (x) > 0 x ], b[, jolloin f on idosti ksvv j käyrä y = f(x) on kuper lspäin. Jos f() < 0 j f(b) > 0, niin yhtälöllä f(x) = 0 on täsmälleen yksi juuri välillä ], b[. Olkoon x 0 ], b[ mielivltinen piste, joss f(x 0 ) 0. Pisteessä (x 0, f(x 0 )) käyrän y = f(x) tngentin yhtälö on y f(x 0 ) = f (x 0 )(x x 0 ). Kosk käyrä y = f(x) on kuper lspäin, ko. tngentti on käyrän lpuolell j leikk x- kselin lähempänä yhtälön f(x) = 0 rtkisu kuin x 0 (vrt. Kuv 3.3): y = 0 x = x 1 := x 0 f(x 0) f (x 0 ). Toistetn sm päätely pisteessä (x 1, f(x 1 )), jolloin päädytään ko. pisteessä olevn tngentin j x-kselin leikkuspisteeseen x 2, jok on jälleen lähempänä yhtälön f(x) = 0 rtkisu kuin rvo x 1. Näin jtken muodostuu jono (3.4) x n+1 = x n f(x n) f, n = 0, 1, 2,..., (x n ) jok on lskev j lhlt rjoitettu luvull, jok on yhtälön y = f(x) rtkisu (y = f(x) kuper lspäin). Olkoon X R := inf n N {x n } ts. x R = lim n x n ( ], b[).

40 34 Luku 3. Relifunktioist Kosk f j f ovt jtkuvi j f (x) > 0 x ], b[, seur plutuskvst (3.4): x R = lim x n+1 = lim x f(x n ) n lim n n n f (x n ) = x R f(x R) f (x R ) f(x R ) = 0. Siis: Jonon (x n ) n=0 rj-rvon on yhtälön y = f(x) yksikäsitteinen juuri x R: f(x R ) = 0. y y = f(x) x2 x1 x0 x Kuv 3.3: Newtonin menetelmän itertioskel. Funktiot f koskevi oletuksi voidn lieventää soveltmll kiintopisteitertiot; vrt. Luseet j Esimerkiksi Luseest sdn seurv tulos: Olkoon f jtkuv yhtälön f(x) = 0 juuren x = x R josskin ympäristössä j olkoon f (x R ) 0. Tällöin jonolle (3.4) pätee lim n x n = x R, kun lkurvo x 0 vlitn riittävän läheltä luku x R. Perustelu: Merkitään g(x) = x f(x) f (x). Tällöin: i) g(x) on hyvinmääritelty j jtkuvsti derivoituv, sillä f (x) 0, kun x x R < δ j ( f g (x) (x) = 1 f (x) f(x)f ) (x) (f (x)) 2 = f(x)f (x) (f (x)) 2, missä f (x) on jtkuv; ii) g(x R ) = x R f(x R) f (x R ) = x R 0 f (x R ) = x R; iii) g (x R ) = f(x R)f (x R ) (f (x R )) = 0 < 1. 2 Luse = jono x n+1 = g(x n ) (= x n f(x n) f (x n) ) suppenee kohti g:n kiintopistettä x R = g(x R ) ts. yhtälön f(x) = 0 rtkisu x = x R.

41 35 Luku 4: Integrlilskent 4.1 Integrlifunktio Olkoot f j F välillä I määriteltyjä funktioit. Jos F (x) = f(x), x I, snotn, että F on funktion f integrlifunktio välillä I. Merkintä: F (x) = f(x)dx. Esimerkki F (x) = ln x on fuktion f(x) = 1 x (x > 0) integrlifunktio, kosk F (x) = 1 x, x > 0. Luse Olkoon F (x) = f(x) x I. Tällöin välillä I derivoituv funktio G on f:n integrlifunktio välillä I, jos j vin jos C R s.e. G(x) = F (x) + C, x I. Todistus. Jos G(x) = F (x) + C, x I, niin G (x) = F (x) + 0 = f(x), x I. Siis G = F + C on f:n integrlifunktio C R. Kääntäen, jos G (x) = f(x), x I, niin D[G(x) F (x)] = G (x) F (x) = f(x) f(x) = 0, x I. Nyt Luseen (integr. lskennn perusluse) nojll G(x) F (x) = C (vkio) eli G(x) = F (x) + C. Integrlifunktio on siis yksikäsitteisesti määrätty integroimisvkiot C R ville. Integrlifunktio on välillä I derivoituv j siten myös jtkuv funktio. Usein integrlifunktio joudutn määrittelemään osväleillä. Esimerkki Olkoon Tällöin esimerkiksi funktio f(x) = F (x) = { 0, kun x 0; 1, kun x > 0. { 0, kun x 0; x, kun x > 0, toteutt ehdot { F (x) = 0, kun x < 0; F (x) = 1, kun x > 0, mutt { F (0 ) = 0; F (0+) = 1. Ts. F on jtkuv, mutt ei derivoituv pisteessä x = 0. Määritelmän mukn F on f:n integrlifunktio väleillä I, jotk eivät sisällä pistettä x = 0. Luse (Integroinnin linerisuus) Integrlifunktioille pätee:

Matemaattiset menetelmät I. Seppo Hassi

Matemaattiset menetelmät I. Seppo Hassi Mtemttiset menetelmät I Seppo Hssi Syksy 2011 iii Esipuhe Tämä on 1. versio Mtemttiset menetelmät I-kurssin opetusmonisteest, jok perustuu Vsn yliopistoss luennoimni vstvn nimiseen kurssiin. Sisältö noudtt

Lisätiedot

Analyysin perusteet kauppatieteilijöille 800118P

Analyysin perusteet kauppatieteilijöille 800118P Anlyysin perusteet kupptieteilijöille 800118P Luentomoniste Kri Myllylä Niin Korteslhti Topi Törmä Oulun yliopisto Mtemttisten tieteiden litos Kevät 2015 Sisältö 1 Derivtt 3 1.1 Määritelmä..............................

Lisätiedot

6 Integraalilaskentaa

6 Integraalilaskentaa 6 Integrlilskent 6. Integrlifunktio Funktion f integrlifunktioksi snotn funktiot F, jonk derivtt on f. Siis F (x) = f (x) määrittelyjoukon jokisell muuttujn rvoll x. Merkitään F(x) = f (x) dx. Integrlifunktion

Lisätiedot

5 Epäoleellinen integraali

5 Epäoleellinen integraali 5 Epäoleellinen integrli 5. Integrlin suppeneminen Olkoon f sellinen välillä [, b[ (ei siis välttämättä pisteessä b) määritelty funktio, että f on Riemnn-integroituv välillä [, ] kikill ], b[ eli on olemss

Lisätiedot

1. Derivaatan Testi. Jos funktio f on jatkuva avoimella välillä ]a, b[ ja x 0 ]a, b[ on kriit. tai singul. piste niin. { f (x) > 0, x ]a, x 0 [

1. Derivaatan Testi. Jos funktio f on jatkuva avoimella välillä ]a, b[ ja x 0 ]a, b[ on kriit. tai singul. piste niin. { f (x) > 0, x ]a, x 0 [ 1. Derivtn Testi Jos funktio f on jtkuv voimell välillä ], b[ j x 0 ], b[ on kriit. ti singul. piste niin { f (x) < 0, x ], x 0 [ f x (x) > 0, x ]x 0, b[ 0 on lokli minimipiste (1) { f (x) > 0, x ], x

Lisätiedot

II.1. Suppeneminen., kun x > 0. Tavallinen lasku

II.1. Suppeneminen., kun x > 0. Tavallinen lasku II. EPÄOLEELLISET INTEGRAALIT nt II.. Suppeneminen Esim. Olkoon f() =, kun >. Tvllinen lsku = / =. Kuitenkn tätä integrli ei ole ikisemmss mielessä määritelty, kosk f ei ole rjoitettu välillä [, ] (eikä

Lisätiedot

Riemannin integraalista

Riemannin integraalista Lebesguen integrliin sl. 2007 Ari Lehtonen Riemnnin integrlist Johdnto Tämän luentomonisteen trkoituksen on tutustutt lukij Lebesgue n integrliin j sen perusominisuuksiin mhdollisimmn yksinkertisess tpuksess:

Lisätiedot

Analyysi 2. Harjoituksia lukuihin 1 3 / Kevät Anna sellainen välillä ] 2, 2[ jatkuva ja rajoitettu funktio f, että

Analyysi 2. Harjoituksia lukuihin 1 3 / Kevät Anna sellainen välillä ] 2, 2[ jatkuva ja rajoitettu funktio f, että Anlyysi Hrjoituksi lukuihin 3 / Kevät 5. Ann sellinen välillä ], [ jtkuv j rjoitettu funktio f, että () sup A m A j inf A min A, (b) sup A m A j inf A = min A, (c) sup A = m A j inf A min A, (d) sup A

Lisätiedot

Sisältö. Integraali 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 20

Sisältö. Integraali 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 20 Integrli 10. syyskuut 2005 sivu 1 / 20 Sisältö 1 Määrätty integrli j integrlifunktio 2 1.1 Integroituvist funktioit 3 1.2 Määrätyn integrlin ominisuuksi 4 1.3 Integrlifunktio 5 1.4 Integrlilskennn tärkeimmät

Lisätiedot

2.4 Pienimmän neliösumman menetelmä

2.4 Pienimmän neliösumman menetelmä 2.4 Pienimmän neliösummn menetelmä Optimointimenetelmiä trvitn usein kokeellisen dtn nlysoinniss. Mittuksiin liittyy virhettä, joten mittus on toistettv useit kertoj. Oletetn, että mittn suurett c j toistetn

Lisätiedot

TEHTÄVÄ 1. Olkoon (f n ) jono jatkuvia funktioita f n : [a, b] R, joka suppenee välillä [a, b] tasaisesti kohti funktiota f : [a, b] R.

TEHTÄVÄ 1. Olkoon (f n ) jono jatkuvia funktioita f n : [a, b] R, joka suppenee välillä [a, b] tasaisesti kohti funktiota f : [a, b] R. Topologi I Hrjoitus 10, rtkisuj AP TEHTÄVÄ 1. Olkoon (f n ) jono jtkuvi funktioit f n : [, b] R, jok suppenee välillä [, b] tsisesti kohti funktiot f : [, b] R. Osoit, että tällöin f n (x) dx f(x) dx.

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Mtemtiikn tukikurssi Kurssikert 5 1 Jtkuvuus Trkstelln funktiot fx) josskin tietyssä pisteessä x 0. Tämä funktio on tässä pisteessä joko jtkuv ti epäjtkuv. Jtkuvuuden ymmärtää prhiten trkstelemll epäjtkuv

Lisätiedot

SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT Funktiojonot 1

SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT Funktiojonot 1 SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 JOUNI PARKKONEN Sisältö 0. Tästä tekstistä. Funktiojonot 0. Tästä tekstistä Tämä moniste on trkoitettu käytettäväksi kurssin Srjt j differentiliyhtälöt luentomterilin.

Lisätiedot

3 Integraali ja derivaatta

3 Integraali ja derivaatta 3 Integrli j erivtt 3.1 Integrli ylärjns funktion Olkoon funktio f Riemnn-integroituv välin I jokisell suljetull osvälillä j välin I jokin kiinteä luku. Tällöin integrli määrittelee funktion G(): I R,

Lisätiedot

Analyysi B. Derivaatta ja integraali. Pertti Koivisto

Analyysi B. Derivaatta ja integraali. Pertti Koivisto Anlyysi B Derivtt j integrli Pertti Koivisto Kevät 7 Alkusnt Tämä moniste on trkoitettu oheislukemistoksi Tmpereen yliopistoss pidettävälle kurssille Anlyysi B. Monisteen tvoitteen on tuke luentojen seurmist,

Lisätiedot

Mika Hirvensalo. Insinöörimatematiikka B 2014

Mika Hirvensalo. Insinöörimatematiikka B 2014 Mik Hirvenslo Insinöörimtemtiikk B 4 Sisältö Rj-rvo j jtkuvuus....................................................... 5. Differentili- j integrlilskennn kehityksestä............................. 5. Relilukujen

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Mtemtiikn tukikurssi Kurssikert 4 Tilvuuden j vipn ln lskeminen Kuten iemmin käsittelimme, määrätyn integrlin vull voi lske pintloj j tilvuuksi. Tyypillisenä sovelluksen tilvuuden lskemisest on tpus, joss

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali MS-A1{3,4} (ELEC*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 8: Integrlifunktio j epäoleellinen integrli Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos 5.1.216 Pekk Alestlo,

Lisätiedot

10. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA

10. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA MAA0 0. Määrätyn integrlin käyttö eräiden pint-lojen lskemisess 0. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA Edellä on todettu, että f (x)dx nt x-kselin j suorien x =, x = sekä funktion

Lisätiedot

Riemannin integraalista

Riemannin integraalista TAMPEREEN YLIOPISTO Pro grdu -tutkielm Aij Stenberg Riemnnin integrlist Mtemtiikn j tilstotieteen litos Mtemtiikk Syyskuu 2010 2 Tmpereen yliopisto Mtemtiikn j tilstotieteen litos STENBERG, AIJA: Riemnnin

Lisätiedot

i 2 n 3 ( (n 1)a (i + 1) 3 = 1 +

i 2 n 3 ( (n 1)a (i + 1) 3 = 1 + I. INTEGRAALILASKENTA Arkhimedes (287 22 e.kr.) prbelin segmentin pint-l Newton (642 727) j Leibniz (646 76) keksivät diff.- j int.-lskennn Cuhy (789 857) ε, δ Riemnn (826 866) Riemnnin integrli Lebesgue

Lisätiedot

Syksyn 2015 Pitkän matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut

Syksyn 2015 Pitkän matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut Sksn 0 Pitkän mtemtiikn YO-kokeen TI-Nspire CAS -rtkisut Tekijät: Olli Krkkulinen Rtkisut on ldittu TI-Nspire CAS -tietokoneohjelmll kättäen Muistiinpnot -sovellust. Kvt j lskut on kirjoitettu Mth -ruutuihin.

Lisätiedot

521. 522. 523. 524. 525. 526. 527. 12. Lisää määrätystä integraalista. 12.1. Integraalin arvioimisesta. Osoita: VASTAUS: Osoita: Osoita:

521. 522. 523. 524. 525. 526. 527. 12. Lisää määrätystä integraalista. 12.1. Integraalin arvioimisesta. Osoita: VASTAUS: Osoita: Osoita: 12. Lisää määrätystä integrlist 12.1. Integrlin rvioimisest 521. Osoit: 1 + x 2 22 1 < < 1 + x21 21. 522. Osoit: x 3 < 5 x 6 + 8x + 9 < 15 1 5. 523. Osoit: 2 2 < e x2 x < 2e 2. e 524. Olkoon k >. Osoit:

Lisätiedot

7 Funktiosarjoista. 7.1 Funktiosarjojen suppeneminen

7 Funktiosarjoista. 7.1 Funktiosarjojen suppeneminen 7 Funktiosrjoist 7. Funktiosrjojen suppeneminen Seurvksi trkstelln srjoj, joiden termit ovt (lukujen sijst) jollkin välillä I määriteltyjä funktioit. Täsmällisemmin funktiosrjll (ti lyhyemmin srjll) trkoitetn

Lisätiedot

ANALYYSI I, kevät 2009

ANALYYSI I, kevät 2009 ANALYYSI I, kevät 009 Sisältö Relilukujen peruskäsitteitä Lukujonoist 4. Lukujonon rj-rvo....................... 4. Monotoniset jonot..........................3 Osjonot.............................. 7.4

Lisätiedot

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 5.2.2013

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 5.2.2013 Preliminäärikoe Pitkä Mtemtiikk 5..0 Kokeess s vstt enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä ( * ) merkittyjen tehtävien mksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien mksimipistemäärä on 6.. ) Rtkise yhtälö b)

Lisätiedot

Matematiikan perusteet taloustieteilijöille 2 800118P

Matematiikan perusteet taloustieteilijöille 2 800118P Mtemtiikn perusteet tloustieteilijöille 2 800118P Luentomoniste Kri Myllylä Niin Korteslhti Oulun yliopisto Mtemttisten tieteiden litos Kevät 2014 Sisältö 1 Mtriisilgebr j optimointi 4 11 Määritelmä 4

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 7: Integraali ja analyysin peruslause

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 7: Integraali ja analyysin peruslause MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 7: Integrli j nlyysin perusluse Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos 3.10.2016 Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen

Lisätiedot

a = x 0 < x 1 < x 2 < < x n = b f(x) dx = I. lim f(x k ) x k=1

a = x 0 < x 1 < x 2 < < x n = b f(x) dx = I. lim f(x k ) x k=1 5 Integrli 5.1 Määritelmä j ominisuudet Olkoon f : [, b] R jtkuv. Muodostetn välin [, b] jko = x 0 < x 1 < x 2 < < x n = b j siihen liittyvä yläsumm S = n M k (x k x k 1 ), M k = mx{f(x) x k 1 x x k },

Lisätiedot

ANALYYSI I, kevät 2009

ANALYYSI I, kevät 2009 ANALYYSI I, kevät 2009 Sisältö Relilukujen peruskäsitteitä 2 Lukujonoist 3 2. Lukujonon rj-rvo....................... 3 2.2 Monotoniset jonot......................... 7 2.3 Osjonot..............................

Lisätiedot

Määritelmä Olkoon C R m yksinkertainen kaari ja γ : [a, b] R m sen yksinkertainen parametriesitys, joka on paloittain C 1 -polku.

Määritelmä Olkoon C R m yksinkertainen kaari ja γ : [a, b] R m sen yksinkertainen parametriesitys, joka on paloittain C 1 -polku. Muodostetn vektorikentän kri-integrli yksinkertisen kren tpuksess. Plutetn mieleen, että joukko C R m on yksinkertinen kri, jos löytyy sellinen jtkuv bijektio γ : [, b] C, jok on ploittin C 1 -funktio

Lisätiedot

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2017 Harjoitus 6, ratkaisuista. 1. Onko jokin demojen 5 tehtävän 3 relaatioista

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2017 Harjoitus 6, ratkaisuista. 1. Onko jokin demojen 5 tehtävän 3 relaatioista Mtemtiikn johntokurssi, syksy 07 Hrjoitus 6, rtkisuist. Onko jokin emojen 5 tehtävän reltioist ) R := {(, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, )}, ) S := {(, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ),

Lisätiedot

ANALYYSI I, kevät 2009

ANALYYSI I, kevät 2009 5 Riemnnin integrli 7 ANALYYSI I, kevät 9 5. Integrlin perusominisuuksi................. 76 5. Anlyysin perusluse....................... 8 Sisältö Relilukujen peruskäsitteitä Lukujonoist 3. Lukujonon rj-rvo.......................

Lisätiedot

x k 1 Riemannin summien käyttö integraalin approksimointiin ei ole erityisen tehokasta; jatkuvasti derivoituvalle funktiolle f virhe b

x k 1 Riemannin summien käyttö integraalin approksimointiin ei ole erityisen tehokasta; jatkuvasti derivoituvalle funktiolle f virhe b 5 Integrlien lskemisest 51 Riemnnin summt [A2], [4, 61] Rjoitetun funktion f : [, b] R Riemnn-integroituvuudelle ytäpitäväksi on kurssill Anlyysi 2 osoitettu, että Riemnnin summill S P := f(ξ k ) ( ),

Lisätiedot

OSA 1: POLYNOMILASKENNAN KERTAUSTA, BINOMIN LASKUSÄÄNTÖJÄ JA YHTÄLÖNRATKAISUA

OSA 1: POLYNOMILASKENNAN KERTAUSTA, BINOMIN LASKUSÄÄNTÖJÄ JA YHTÄLÖNRATKAISUA OSA 1: POLYNOMILASKENNAN KERTAUSTA, BINOMIN LASKUSÄÄNTÖJÄ JA YHTÄLÖNRATKAISUA Tekijät: Ari Heimonen, Hellevi Kupil, Ktj Leinonen, Tuomo Tll, Hnn Tuhknen, Pekk Vrniemi Alkupl Tiedekeskus Tietomn torninvrtij

Lisätiedot

Reaalinen lukualue. Millainen on luku, jossa on päättymätön ja jaksoton desimaalikehitelmä?

Reaalinen lukualue. Millainen on luku, jossa on päättymätön ja jaksoton desimaalikehitelmä? Relinen lukulue POLYNOMIFUNKTIOT JA -YHTÄLÖT, MAA Millinen on luku, joss on päättymätön j jksoton desimlikehitelmä? Onko sellisi? Trkstelln Pythgorn luseest stv yksikköneliön lävistäjää, luku + = x x =.

Lisätiedot

4 Taso- ja avaruuskäyrät

4 Taso- ja avaruuskäyrät P2-luentoj kevät 2008, Pekk Alestlo 4 Tso- j vruuskäyrät Tässä luvuss tutustutn tso- j vruuskäyriin, niiden krenpituuteen j krevuuteen. Konkreettisin sovelluksin trkstelln nnettu rt pitkin liikkuvn hiukksen

Lisätiedot

Kuvausta f sanotaan tällöin isomorfismiksi.

Kuvausta f sanotaan tällöin isomorfismiksi. Määritelmä..12. Oletetn, että 1 =(V 1,E 1 ) j 2 =(V 2,E 2 ) ovt yksinkertisi verkkoj. Verkot 1 j 2 ovt isomorfiset, jos seurvt ehdot toteutuvt: (1) on olemss bijektio f : V 1 V 2 (2) kikill, b V 1 pätee,

Lisätiedot

Integraalilaskentaa. 1. Mihin integraalilaskentaa tarvitaan? MÄNTÄN LUKIO

Integraalilaskentaa. 1. Mihin integraalilaskentaa tarvitaan? MÄNTÄN LUKIO Integrlilskent Tämä on lukion oppimterileist hiemn poikkev yksinkertistettu selvitys määrätyn integrlin lskemisest. Kerromme miksi integroidn, mitä integroiminen trkoitt, miten integrli lsketn j miten

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi. Hannu Kivimäki

Matematiikan tukikurssi. Hannu Kivimäki Mtemtiikn tukikurssi Hnnu Kivimäki Sisältö I Ensimmäinen välikoe Integrointi 2 Osittisintegrointi 5 3 Osmurtohjotelm 4 Lisää osmurtoj 4 5 Sijoituskeino 9 6 Määrätty integrli 2 7 Ylä- j lsumm 22 8 Määrätyn

Lisätiedot

x > y : y < x x y : x < y tai x = y x y : x > y tai x = y.

x > y : y < x x y : x < y tai x = y x y : x > y tai x = y. ANALYYSIN TEORIA A Kaikki lauseet eivät ole muotoiltu samalla tavalla kuin luennolla. Ilmoita virheistä yms osoitteeseen mikko.kangasmaki@uta. (jos et ole varma, onko kyseessä virhe, niin ilmoita mieluummin).

Lisätiedot

Laudatur 10 MAA10 ratkaisut kertausharjoituksiin

Laudatur 10 MAA10 ratkaisut kertausharjoituksiin Ludtur MAA rtkisut kertushrjoituksiin Integrlifunktio. ) Jokin integrli funktio on esimerkiksi F( ) b) Kikki integrlifunktiot F( ) + C, missä C on vkio Vstus: ) F( ) b) F( ) + C, C on vkio. Kikki integrlifunktiot

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 9: Integroimismenetelmät

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 9: Integroimismenetelmät MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 9: Integroimismenetelmät Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos 10.10.2016 Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen (Alto-yliopisto,

Lisätiedot

DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1. Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS

DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1. Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1 Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS Huomautus. Analyysin yksi keskeisimmistä käsitteistä on jatkuvuus! Olkoon A R mielivaltainen joukko

Lisätiedot

Ville Turunen: Mat Matematiikan peruskurssi P1 3. välikokeen alueen teoriatiivistelmä 2007

Ville Turunen: Mat Matematiikan peruskurssi P1 3. välikokeen alueen teoriatiivistelmä 2007 Ville Turunen: Mt-.4 Mtemtiikn peruskurssi P 3. välikokeen lueen teoritiivistelmä 27 Mterili: kirjt [Adms] R. A. Adms: Clculus, complete course (6th edition), [Ly] D. C. Ly: Liner lgebr nd its pplictions

Lisätiedot

Kertymäfunktio. Kertymäfunktio. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 2/2. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 1/2. Kertymäfunktio: Esitiedot

Kertymäfunktio. Kertymäfunktio. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 2/2. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 1/2. Kertymäfunktio: Esitiedot TKK (c) Ilkk Mellin (24) 1 Johdtus todennäköisyyslskentn TKK (c) Ilkk Mellin (24) 2 : Mitä opimme? 1/2 Jos stunnisilmiötä hlutn mllint mtemttisesti, on ilmiön tulosvihtoehdot kuvttv numeerisess muodoss.

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ PISTEYTYSKOKOUS

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ PISTEYTYSKOKOUS 0 MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 30 PISTEYTYSKOKOUS 0 ) Sijoitetn x 0 Rtkistn = 0/04,0000 b) Jos neliön sivu on s, niin lävistäjä on s Ehto: s 6 s + s = 6, s 6 3 4s 6,70, joten piiri ) Suorn yhtälö

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Mtemtiikn tukikurssi Kurssikert 3 Määrätyn integrlin lskeminen Aiemmin määrittelimme määrätyn integrlin f (x)dx funktion f (x) l- j yläsummien rj-rvon. Määrätyllä integrlill on kksi intuitiivist tulkint:.

Lisätiedot

ANALYYSI 2. Tero Kilpeläinen

ANALYYSI 2. Tero Kilpeläinen ANALYYSI Tero Kilpeläinen 3 Teksti sisältää muistiinpnoj vuosin j 3 pidetystä kurssist. Tämän pketin trkoitus on tuke omien muistiinpnojen teko, ei korvt niitä. Mtemtiikk oppii prhiten itse kirjoitten

Lisätiedot

4. Reaalifunktioiden määrätty integraali

4. Reaalifunktioiden määrätty integraali 6 4. Relifunktioiden määrätt integrli Vrsinisesti termi "integrli" tulee seurvss esitettävästä määrätstä integrlist, jok on läheistä suku summmiselle. Yhtes derivttn on sitten perustv ltu olev tulos, jot

Lisätiedot

Sisältö. Funktiojonot ja -sarjat 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 15

Sisältö. Funktiojonot ja -sarjat 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 15 Funktiojonot j -srjt 10. syyskuut 2005 sivu 1 / 15 Sisältö 1 Funktiojonoist 2 2 Funktiosrjoist 5 3 Funktiojonojen j -srjojen derivointi j integrointi 7 4 Potenssisrjt 9 5 Tylorin polynomit j srjt 12 5.1

Lisätiedot

MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1

MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Riikka Korte (Pekka Alestalon kalvojen pohjalta) Aalto-yliopisto 24.10.2016 Sisältö Derivaatta 1.1 Derivaatta Erilaisia lähestymistapoja: I geometrinen

Lisätiedot

lim + 3 = lim = lim (1p.) (3p.) b) Lausekkeen täytyy supistua (x-2):lla, joten osoittajan nollakohta on 2.

lim + 3 = lim = lim (1p.) (3p.) b) Lausekkeen täytyy supistua (x-2):lla, joten osoittajan nollakohta on 2. Mtemtiikk III 0600 Kurssi / Differetili- j itegrlilske jtkokurssi Tee 7 tehtävää ) Määritä lim ( ) ) + b) Määritä vkio site, että luseke ( ) + + ( )( ) ( + + ) + + + + + lim + lim lim (p) o jtkuv myös

Lisätiedot

2.2 Monotoniset jonot

2.2 Monotoniset jonot Mtemtiik tito 9, RATKAISUT Mootoiset joot ) Kosk,,,, ii 0 Lukujoo ( ) o siis lhlt rjoitettu Toislt 0 Lukujoo (

Lisätiedot

MAT-13510 Laaja Matematiikka 1U. Hyviä tenttikysymyksiä T3 Matemaattinen induktio

MAT-13510 Laaja Matematiikka 1U. Hyviä tenttikysymyksiä T3 Matemaattinen induktio MAT-13510 Laaja Matematiikka 1U. Hyviä tenttikysymyksiä T3 Matemaattinen induktio Olkoon a 1 = a 2 = 5 ja a n+1 = a n + 6a n 1 kun n 2. Todista induktiolla, että a n = 3 n ( 2) n, kun n on positiivinen

Lisätiedot

IV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n

IV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n IV. TASAINEN SUPPENEMINEN IV.. Funktiojonon tasainen suppeneminen Olkoon A R joukko ja f n : A R funktio, n =, 2, 3,..., jolloin jokaisella x A muodostuu lukujono f x, f 2 x,.... Jos tämä jono suppenee

Lisätiedot

Funktiot. funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina.

Funktiot. funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina. Funktiot Tässä luvussa käsitellään reaaliakselin osajoukoissa määriteltyjä funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina. Avoin väli: ]a, b[ tai ]a, [ tai ],

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kertausluento 2. välikokeeseen Toisessa välikokeessa on syytä osata ainakin seuraavat asiat:. Potenssisarjojen suppenemissäde, suppenemisväli ja suppenemisjoukko. 2. Derivaatan

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 4: Derivaatta

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 4: Derivaatta MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 4: Derivaatta Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 21.9.2016 Pekka Alestalo, Jarmo

Lisätiedot

Matematiikan peruskurssi 2

Matematiikan peruskurssi 2 Matematiikan peruskurssi Tentti, 9..06 Tentin kesto: h. Sallitut apuvälineet: kaavakokoelma ja laskin, joka ei kykene graaseen/symboliseen laskentaan Vastaa seuraavista viidestä tehtävästä neljään. Saat

Lisätiedot

Oletetaan, että funktio f on määritelty jollakin välillä ]x 0 δ, x 0 + δ[. Sen derivaatta pisteessä x 0 on

Oletetaan, että funktio f on määritelty jollakin välillä ]x 0 δ, x 0 + δ[. Sen derivaatta pisteessä x 0 on Derivaatta Erilaisia lähestymistapoja: geometrinen (käyrän tangentti sekanttien raja-asentona) fysikaalinen (ajasta riippuvan funktion hetkellinen muutosnopeus) 1 / 19 Derivaatan määritelmä Määritelmä

Lisätiedot

Sarjat ja integraalit

Sarjat ja integraalit Srjt j integrlit c Mtemttisten tieteiden litos, Oulun yliopisto Versio: 9.3.0 Viimeksi muoknnut: Peter Hästö Sisältö Funktion rj-rvo j jtkuvuus. Peruskäsitteitä........................................

Lisätiedot

2 Riemann-integraali. 2.1 Porrasfunktion integraali. Aloitetaan integraalin täsmällinen määrittely tutkimalla porrasfunktion integraalia.

2 Riemann-integraali. 2.1 Porrasfunktion integraali. Aloitetaan integraalin täsmällinen määrittely tutkimalla porrasfunktion integraalia. 2 Riemnn-integrli 2.1 Porrsfunktion integrli Aloitetn integrlin täsmällinen määrittely tutkimll porrsfunktion integrli. Määritelmä 2.1 (Porrsfunktion integrli). Olkoon f : [, b] R porrsfunktio j P = {x

Lisätiedot

Johdatus fraktaaliderivaattoihin ja niiden sovelluksiin

Johdatus fraktaaliderivaattoihin ja niiden sovelluksiin Jodtus frktliderivttoiin j niiden sovelluksiin Hnn Hlinen Mtemtiikn pro grdu Jyväskylän yliopisto Mtemtiikn j tilstotieteen litos Kesä 4 Tiivistelmä: Hnn Hlinen, Jodtus frktliderivttoiin j niiden sovelluksiin

Lisätiedot

Esimerkki 8.1 Määritellään operaattori A = x + d/dx. Laske Af, kun f = asin(bx). Tässä a ja b ovat vakioita.

Esimerkki 8.1 Määritellään operaattori A = x + d/dx. Laske Af, kun f = asin(bx). Tässä a ja b ovat vakioita. 8. Operttorit, mtriisit j ryhmäteori Mtemttinen operttori määrittelee opertion, jonk mukn sille nnettu funktiot muoktn. Operttorit ovt erityisen tärkeitä kvnttimekniikss, kosk siinä jokist suurett vst

Lisätiedot

5 ( 1 3 )k, c) AB 3AC ja AB AC sekä vektoreiden AB ja

5 ( 1 3 )k, c) AB 3AC ja AB AC sekä vektoreiden AB ja MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Hrjoitustehtäviä syksy 4. Millä reliluvun rvoill ) 9 =, b) + +, e) 5?. Kirjoit Σ-merkkiä käyttäen summt 4, ) + 4 + 6 + +, b) 8 + 4 6 + + n n, c) + + + 4 + + 99, d)

Lisätiedot

Kaikkia alla olevia kohtia ei käsitellä luennoilla kokonaan, koska osa on ennestään lukiosta tuttua.

Kaikkia alla olevia kohtia ei käsitellä luennoilla kokonaan, koska osa on ennestään lukiosta tuttua. 6 Alkeisfunktiot Kaikkia alla olevia kohtia ei käsitellä luennoilla kokonaan, koska osa on ennestään lukiosta tuttua. 6. Funktion määrittely Funktio f : A B on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon A alkioon

Lisätiedot

Integroimistehtävät, 10. syyskuuta 2005, sivu 1 / 29. Perustehtäviä. Tehtävä 1. Osoita, että vakiofunktio f(x) c on Riemann-integroituva välillä

Integroimistehtävät, 10. syyskuuta 2005, sivu 1 / 29. Perustehtäviä. Tehtävä 1. Osoita, että vakiofunktio f(x) c on Riemann-integroituva välillä Integroimistehtävät,. syyskuut 5, sivu / 9 Perustehtäviä Tehtävä. Osoit, että vkiofunktio f(x) c on Riemnn-integroituv välillä [, b] j lske suorn määritelmän perusteell b f(x). Tehtävä. Osoit, että funktio,

Lisätiedot

Numeerinen integrointi

Numeerinen integrointi Pitkärnt: Lj mtemtiikk IX9 Numeerinen integrointi IX9 Numeerinen integrointi Numeerisell integroinnill trkoitetn määrätyn integrlin, eli reliluvun I(f,,b) = f(x)dx lskemist numeerisin keinoin (likimäärin)

Lisätiedot

1.3 Toispuoleiset ja epäoleelliset raja-arvot

1.3 Toispuoleiset ja epäoleelliset raja-arvot . Toisuoleiset j eäoleelliset rj-rvot Rj-rvo lim f () A olemssolo edellyttää että muuttuj täytyy void lähestyä rvo kummst suust hyväsä. Jos > ii sot että lähestyy rvo oikelt ositiivisest suust. Jos ts

Lisätiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1: tiivistelmä ja oheislukemista

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1: tiivistelmä ja oheislukemista Differentili- j integrlilskent 1: tiivistelmä j oheislukemist Pekk Alestlo 4. syyskuut 2014 Tähdellä merkityt kohdt on trkoitettu lähinnä oheislukemistoksi. Lisäksi mukn on joitkin lukiot kertvi kohti,

Lisätiedot

Johdatus matemaattiseen päättelyyn

Johdatus matemaattiseen päättelyyn Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä 2 Todistamisesta 3 Joukko-oppia 4 Funktioista Funktio eli kuvaus on matematiikan

Lisätiedot

JATKUVUUS. Funktio on jatkuva jos sen kuvaaja voidaan piirtää nostamatta kynää paperista.

JATKUVUUS. Funktio on jatkuva jos sen kuvaaja voidaan piirtää nostamatta kynää paperista. JATKUVAT FUNKTIOT JATKUVUUS Jatkuva funktio Epäjatkuva funktio Funktio on jatkuva jos sen kuvaaja voidaan piirtää nostamatta kynää paperista., suomennos Matti Pauna JATKUVUUS Jatkuva funktio Epäjatkuva

Lisätiedot

Lebesguen integraali - Rieszin määritelmä

Lebesguen integraali - Rieszin määritelmä Lebesguen integrli - Rieszin määritelmä Tru Lehtonen Mtemtiikn pro grdu-tutkielm Jyväskylän yliopisto Mtemtiikn j tilstotieteen litos Kevät 216 Tiivistelmä Jyväskylän Yliopisto Lehtonen, Tru Puliin: Lebesguen

Lisätiedot

ANALYYSIN TEORIA A JA B

ANALYYSIN TEORIA A JA B ANALYYSIN TEORIA A JA B Kikki luseit ei ole muotoiltu smll tvll kuin luennoill. Ilmoit virheistä yms osoitteeseen mikko.kngsmki@ut. (jos et ole vrm, onko kyseessä virhe, niin ilmoit mieluummin). 1. Yleistä,

Lisätiedot

Mikrotalousteoria 2, 2008, osa III

Mikrotalousteoria 2, 2008, osa III Sisältö Mikrotlousteori 2, 2008, os III Yrityksen tuotntofunktiost 2 Pnosten substituoitvuus 2 3 Yrityksen teori 3 4 Mittkvedut tuotnnoss 5 5 Yksikkökustnnusten j skltuottojen steen välinen yhteys 5 6

Lisätiedot

sin θ θ θ r 2 sin 2 θ φ 2 = 0.

sin θ θ θ r 2 sin 2 θ φ 2 = 0. Mtemtiikn j tilstotieteen litos Osittisdifferentiliyhtälöt Kevät 21 Hrjoitus 9 Rtkisuj Jussi Mrtin 1. Osoit, että Lplce-yhtälö pllokoordinteiss on 2 u 1 r 2 2 u r r 1 r 2 sin θ u 1 2 u sin θ θ θ r 2 sin

Lisätiedot

3.3 KIELIOPPIEN JÄSENNYSONGELMA Ratkaistava tehtävä: Annettu yhteydetön kielioppi G ja merkkijono x. Onko

3.3 KIELIOPPIEN JÄSENNYSONGELMA Ratkaistava tehtävä: Annettu yhteydetön kielioppi G ja merkkijono x. Onko 3.3 KILIOPPIN JÄSNNYSONGLMA Rtkistv tehtävä: Annettu yhteydetön kielioppi G j merkkijono x. Onko x L(G)? Rtkisumenetelmä = jäsennyslgoritmi. Useit vihtoehtoisi menetelmiä, erityisesti kun G on jotin rjoitettu

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 19.9.2016 Pekka Alestalo, Jarmo

Lisätiedot

Sinilause ja kosinilause

Sinilause ja kosinilause Siniluse j kosiniluse GEOMETRI M3 Mikäli kolmion korkeus j knt tiedetään, voidn pint-l lske. Esimerkki: Lske kolmion l, kun 38 kulmn viereiset sivut ovt 8, j 6,8. Nyt knt tiedetään, korkeutt ei! 38 8,

Lisätiedot

Painopiste. josta edelleen. x i m i. (1) m L A TEX 1 ( ) x 1... x k µ x k+1... x n. m 1 g... m n g. Kuva 1. i=1. i=k+1. i=1

Painopiste. josta edelleen. x i m i. (1) m L A TEX 1 ( ) x 1... x k µ x k+1... x n. m 1 g... m n g. Kuva 1. i=1. i=k+1. i=1 Pinopiste Snomme ts-ineiseksi kpplett, jonk mteriliss ei ole sisäisiä tiheyden vihteluj. Tällisen kppleen pinopisteen sijinti voidn joskus päätellä kppleen muodon perusteell. Esimerkiksi ts-ineisen pllon

Lisätiedot

MATP153 Approbatur 1B Harjoitus 6 Maanantai

MATP153 Approbatur 1B Harjoitus 6 Maanantai . (Teht. s. 93.) Määrää raja-arvo MATP53 Approbatur B Harjoitus 6 Maanantai 7..5 cos x x. Ratkaisu. Suora sijoitus antaa epämääräisen muodon (ei auta). Laventamalla päädytään muotoon ja päästään käyttämään

Lisätiedot

Karteesinen tulo. Olkoot A = {1, 2, 3, 5} ja B = {a, b, c}. Näiden karteesista tuloa A B voidaan havainnollistaa kuvalla 1 / 21

Karteesinen tulo. Olkoot A = {1, 2, 3, 5} ja B = {a, b, c}. Näiden karteesista tuloa A B voidaan havainnollistaa kuvalla 1 / 21 säilyy Olkoot A = {1, 2, 3, 5} ja B = {a, b, c}. Näiden karteesista tuloa A B voidaan havainnollistaa kuvalla c b a 1 2 3 5 1 / 21 säilyy Esimerkkirelaatio R = {(1, b), (3, a), (5, a), (5, c)} c b a 1

Lisätiedot

Luku 2. Jatkuvien funktioiden ominaisuuksia.

Luku 2. Jatkuvien funktioiden ominaisuuksia. 1 MAT-1343 Laaja matematiikka 3 TTY 21 Risto Silvennoinen Luku 2. Jatkuvien funktioiden ominaisuuksia. Jatkossa väli I tarkoittaa jotakin seuraavista reaalilukuväleistä: ( ab, ) = { x a< x< b} = { x a

Lisätiedot

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 005, sivu 1 / 13 Tehtäviä Tehtävä 1. Johda toiseen asteen yhtälön ax + bx + c = 0, a 0 ratkaisukaava. Tehtävä. Määrittele joukon A R pienin yläraja sup A ja suurin alaraja

Lisätiedot

0. Kertausta. Luvut, lukujoukot (tavalliset) Osajoukot: Yhtälöt ja niiden ratkaisu: N, luonnolliset luvut (1,2,3,... ) Z, kokonaisluvut

0. Kertausta. Luvut, lukujoukot (tavalliset) Osajoukot: Yhtälöt ja niiden ratkaisu: N, luonnolliset luvut (1,2,3,... ) Z, kokonaisluvut 0. Kertausta Luvut, lukujoukot (tavalliset) N, luonnolliset luvut (1,2,3,... ) Z, kokonaisluvut Rationaaliluvut n/m, missä n,m Z Reaaliluvut R muodostavat jatkumon fysiikan lukujoukko Kompleksiluvut C:z

Lisätiedot

1 Kompleksiluvut 1. y z = (x, y) Kuva 1: Euklidinen taso R 2

1 Kompleksiluvut 1. y z = (x, y) Kuva 1: Euklidinen taso R 2 Sisältö 1 Kompleksiluvut 1 1.1 Määritelmä............................ 1 1. Kertolasku suorakulmaisissa koordinaateissa.......... 4 1.3 Käänteisluku ja jakolasku..................... 9 1.4 Esimerkkejä.............................

Lisätiedot

Luku 4. Derivoituvien funktioiden ominaisuuksia.

Luku 4. Derivoituvien funktioiden ominaisuuksia. 1 MAT-1343 Laaja matematiikka 3 TTY 1 Risto Silvennoinen Luku 4 Derivoituvien funktioiden ominaisuuksia Derivaatan olemassaolosta seuraa funktioille eräitä säännöllisyyksiä Näistä on jo edellisessä luvussa

Lisätiedot

11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS

11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS 11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS Tilvuus on sen verrn rkielämässä viljelty käsite, että useimmiten sen syvemmin edes miettimättä ymmärretään, mitä juomlsin ti pikkuvuvn kylpymmeen tilvuudell trkoitetn.

Lisätiedot

Viikon aiheet. Pinta-ala

Viikon aiheet. Pinta-ala info Viikon iheet Mpu I:sen voit suoritt: Kurssin loppukokeess 23.10. Arvosn: koe + lskrit Mikäli yo. ik ei sovi, voit suoritt loppukokeen yleistenttitilisuudess 24.11. Arvosn: koe + lskrit. Ilmoittudu

Lisätiedot

HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY OF HELSINKI

HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY OF HELSINKI HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY OF HELSINKI Tiedekunt/Ossto Fkultet/Sektion Fculty Litos Institution Deprtment Mtemttis-luonnontieteellinen Tekijä Förfttre Author Antti Khri Työn

Lisätiedot

( ) Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 321 Päivitetty 19.2.2006. Saadaan yhtälö. 801 Paraabeli on niiden pisteiden ( x,

( ) Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 321 Päivitetty 19.2.2006. Saadaan yhtälö. 801 Paraabeli on niiden pisteiden ( x, Pyrmidi Anlyyttinen geometri tehtävien rtkisut sivu Päivitetty 9..6 8 Prbeli on niiden pisteiden (, y) joukko, jotk ovt yhtä kukn johtosuorst j polttopisteestä. Pisteen (, y ) etäisyys suorst y = on d

Lisätiedot

VEKTOREILLA LASKEMINEN

VEKTOREILLA LASKEMINEN ..07 VEKTOREILL LSKEMINEN YHTEENLSKU VEKTORIT, M4 Vektoreiden j summ on vektori +. Tämän summvektorin + lkupiste on vektorin lkupiste j loppupiste vektorin loppupiste, kun vektorin lkupisteenä on vektorin

Lisätiedot

MITEN MÄÄRITÄN ASYMPTOOTIT?

MITEN MÄÄRITÄN ASYMPTOOTIT? MITEN MÄÄRITÄN ASYMPTOOTIT? Asmptootti Asmptootti on suor ti muu kärä, jot funktion kuvj f() rjtt lähest, kun muuttujn rvot lähestvät tiettä luku ti ääretöntä. Rjoitutn luksi niihin tpuksiin, joiss smptootti

Lisätiedot

MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1

MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Riikka Korte (Pekka Alestalon kalvojen pohjalta) Aalto-yliopisto 15.11.2016 Sisältö Alkeisfunktiot 1.1 Funktio I Funktio f : A! B on sääntö, joka liittää

Lisätiedot

Newtonin, Riemannin ja Henstock-Kurzweilin integraalit

Newtonin, Riemannin ja Henstock-Kurzweilin integraalit TAMPEREEN YLIOPISTO Pro grdu -tutkielm Annik Heinonen Newtonin, Riemnnin j Henstock-Kurzweilin integrlit Informtiotieteiden yksikkö Mtemtiikk Helmikuu 2013 Sisältö 1 Johdnto 1 2 Newtonin integrli 2 2.1

Lisätiedot

Pintaintegraali. i j k cos(θ) sin(θ) 1. = r cos(θ)i r sin(θ)j + rk, r sin(θ) r cos(θ) 0 joten

Pintaintegraali. i j k cos(θ) sin(θ) 1. = r cos(θ)i r sin(θ)j + rk, r sin(θ) r cos(θ) 0 joten .4.8 intintegrli. He krtion z x + y sylinterin x + y y sisäpuolelle jäävän osn pint-l käyttämällä npkoordinttej x r cosθ j y r sinθ jolloin epäyhtälö x + y y on r sinθ. Rtkisu: Symmetrin nojll voidn trkstell

Lisätiedot

A-Osio. Valitse seuraavista kolmesta tehtävästä kaksi, joihin vastaat. A-osiossa ei saa käyttää laskinta.

A-Osio. Valitse seuraavista kolmesta tehtävästä kaksi, joihin vastaat. A-osiossa ei saa käyttää laskinta. MAA Loppukoe 5.. Jussi Tyni Tee pisteytysruudukko konseptin yläreunn! Vstuksiin väliviheet, jotk perustelevt vstuksesi! Lue ohjeet huolellisesti! A-Osio. Vlitse seurvist kolmest tehtävästä kksi, joihin

Lisätiedot

VEKTOREILLA LASKEMINEN

VEKTOREILLA LASKEMINEN 3..07 VEKTOREILLA LASKEMINEN YHTEENLASKU VEKTORIT, MAA Vektoreiden j summ on vektori +. Tämän summvektorin + lkupiste on vektorin lkupiste j loppupiste vektorin loppupiste, kun vektorin lkupisteenä on

Lisätiedot