Analyysi III S

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Analyysi III S"

Transkriptio

1 Anlyysi III S

2

3 Sisältö sitietoj 5 Riemnn integroinnin rjt 6 Luku 1. Mittteori 7 1. Algebr j σ-lgebr 7 2. Mitt 8 3. Ulkomitt j mitlliset joukot Ulkomitn konstruointi Lebesguen ulkomitt j mitt 16 Luku 2. Integroimisteori Topologisi peruskäsitteitä Mitlliset funktiot Lebesguen integrli yksinkertiselle funktiolle Integrli ei-negtiiviselle mitlliselle funktiolle Keskeiset rj-rvotulokset ei-negtiiviselle mitlliselle funktiolle Mitllisen funktion integrli Riemnnin integrli Integrlilskennn pääluse 38 Luku 3. Hilbertin vruudet Funktiovruudet Hilbert vruuden sovellus Sisätulovruudet Hilbertvruudet Projektioluse j Fréchet n Rieszin luse Hilbertin vruuden operttoreist Lebesgue vruuden L 2 ortonormli knt 67 Liite A. Metriset vruudet Metristen vruuksien perusominisuudet 72 3

4 Alkusnt Tämä luentomoniste ktt suurelt osin ne sit, joit Anlyyis III kurssill käydään läpi lken kevätlukukudest Sitten ensimmäisen pinoksen, vuonn 1999, kurssin sisältöön on joiltin osin tullut suurikin muutoksi. rityisesti Bnch vruuksien teori on suosioll jätetty erikoiskurssien, kuten Funktionli nlyysin, läpikäytäväksi. Sen sijn on linerist teori Hilbert vruudess käsittelevää os ljennettu j konkretisoitu, sisällyttämällä m.m. Fourier dekomposition teori. Tämä luentomoniste on jtkuvn kehittämisen tilss, j kikki plute siitä, miten esitys j sisältö olisi prnneltviss ovt tervetulleit. Oulu, Tmmikuu 2007, Peter Hästö Alkusnt, vuoden 1999 pinos Käsillä olev moniste on syntynyt kurssin Anlyysi III kevätlukukudell 1999 pidettyjen luentojen pohjlt. Viiden viime vuoden ikn kurssi on hkeutunut oheiseen muotoons sisältäen nlyysin perusteet metrisessä vruudess, normivruudess j Hilbertin vruudess sekä Lebesguen mitn j integrlin. Näin se pyrkii trjomn pohjtiedot mtemtiikn, sovelletun mtemtiikn, tilstotieteen j fysiklisten tieteiden syventäville opinnoille, mutt smll ntmn mhdollisimmn ljn ktsuksen nlyysin eri os-lueist ineenopettjiksi ikoville. Ansio siitä, että moniste nt luennoistni näinkin selkeän kuvn kuuluu Mrko Rint-holle j Jukk Timistolle, joille lusun prht kiitokseni. Linnnmll Ves Mustonen 4

5 sitietoj Kerrtn joukko-opin peruskäsitteet. Olkoon X perusjoukko. Tällöin P (X) on joukon X kikkien osjoukkojen joukko. Joukkojen A j B yhdiste on A B = {x X x A ti x B}, ja B = {x X x A j x B} on joukkojen A j B leikkus. Joukon A komplementti A = {x X x/ A}, sekä joukkojen A j B erotus A \ B = {x X x A, x / B} = A B. Olkoon I jokin indeksijoukko j {A i i I} perhe joukkoj, jolloin A i = {x i I s.e. x A i } j A i = {x x A i i I}. i I Hrjoitustehtävänä on todist De Morgnin lit: Olkoon {A i i I} perhe X:n osjoukkoj. Tällöin pätee: i I (1) (2) ( ) A i = A i, i I i I ( ) A i = A i. i I i I Olkoot A j B epätyhjiä joukkoj j f : A B kuvus (funktio). Tällöin f on surjektio,: jos f(a) =B, eli jokiselle b B on olemss sellinen A, että f() =b. injektio,: jos kikille 1, 2 A, 1 2,päteef( 1 ) f( 2 ). bijektio,: jos f on sekä surjektio, että injektio. Jos f : A B on bijektio, niin jokist b B kohti on olemss yksikäsitteinen A, jolle f() =b. Tällöin on olemss käänteiskuvus f 1 : B A,f 1 (b) =. Määritelmä. Joukoill A j B on sm mhtvuus, jos on olemss bijektio ψ : A B. Tätä merkitään A B. Helposti nähdään, että on ekvivlenssireltio kikkien joukkojen joukoss. simerkki. Olkoon A = {1, 2,...} = Z + j B = {1, 4, 9,...}, jolloin B A, mutt kuvus ψ(n) =n 2, n A, onbijektioa B. Siis joukot A j B ovt yhtä mhtvi. Määritelmä. Joukko A snotn äärelliseksi, josa {1, 2,..., m} jollkin m Z + = {1, 2, 3,...}. Joukko, jok ei ole äärellinen, on ääretön. Ääretön joukko on numeroituv, josa N = {0, 1, 2,...}, muutoin ylinumeroituv. Huomutus. Jos A on numeroituv, on olemss bijektio ϕ : N A. Tällöin joukon A lkiot voidn numeroid ts. sett jonoon ϕ(n) = n in, kun n =0, 1, 2,... simerkki. Hrjoitustehtävänä on osoitt, että Q on numeroituv. Osoitetn, että voin väli ]0, 1[ R ei ole numeroituv. Tehdään vstoletus: ]0, 1[ on numeroituv, eli välin luvut voidn sett järjestykseen l 1,l 2,... Olkoot l 1 =0, 1 b 1 c 1...,l 2 =0, 2 b 2 c 2...,... lukujen 5

6 l 1,l 2,... desimliesitykset. Vlitn sellinen reliluku y =0,bc..., että { { 1, jos 1 1, 1, jos b 2 1, = b = jne. 2, jos 1 =1, 2, jos b 2 =1, Tällöin y ]0, 1[, mutt y l i,i =1, 2,..., joten vstoletus on väärä. Siis väli ]0, 1[ ei voi oll numeroituv. Kosk ]0, 1[ on ylinumeroituv, on myös relilukujen joukon R oltv ylinumeroituv. Riemnn integroinnin rjt Aloitetn plutettmll mieleen Riemnn integrli määritelmä. Olkoon siis f : I R funktio, missä I =(x, y) on relikselin väli. Nousevlle jonolle x = z 0 <z 1 <...<z n = y määrittelemme l- j yläsummt φ ( ) (z i ) n i=0 = z i z i 1 inf f(z) j z (x i 1,x i ) Φ ( ) (z i ) n i=0 = z i z i 1 sup f(z). z (x i 1,x i ) Funktio f on Riemnn integroituv, jos sup φ ( (z i ) ) =infφ ( (z i ) ) (z i ) (z i ) y j tällöin f(z) dz on määritelmän mukn tämä yhteinen rvo. x Anlyysi I kurssill on todistettu m.m., että jtkuv funktio on Riemnn integroituv. Toislt, funktio voi oll integroituv, vikkei se ole jtkuv, kuten seurv esimerkki osoitt: Määritellään f :(0, 1) R kvll { 0, jos x [0, 1] \ Q f(x) = 1 jos x = n,n Z,m m m Z+, (n, m) =1. Tämä funktio on Riemnn integroituv, j sen integrli on 0. Tässä herää siis kysymys, mitkä funktiot trklleen otten ovt Riemnn integroituvi? Tähän kysymykseen sdn vstus yleisemmän teorin melkeinpä sivutuotteen. Käytetään vielä edellistä funktiot f funktiojonon (f i ) määrittelemiseksi seurvsti. Kun i 2 setetn f i (x) =min{if(x), 1}. Helposti nähdään, että myös 1 f 0 i(x) dx =0. Määritellään lisäksi f (x) = lim i f i (x). Tästä sdn, että { 0, jos x [0, 1] \ Q f(x) = 1 jos x [0, 1] Q. Tälle funktiolle yläsumm on in 1, jlsummin0. Näin ollen se ei ole Riemnn integroituv. rityisesti näemme, että seurv vrsin uskottv kv ei in päde Riemnn integrlille: lim i b f i (x) dx = b lim f i(x) dx, i eli integroinnin j rj-rvon oton järjestystä ei voi viht. Toinen koht päiväjärjestyksessä on siis sellisen integrlin määrittelemisen, jok käyttäytyy premmin rj-rvon ottmisen suhteen. 6

7 LUKU 1 Mittteori 1. Algebr j σ-lgebr Osoittutuu, että hyvä tp prnt integrlin toimivuutt, on ylä- j lsummn termin x i x i 1 yleistäminen. Tämä termi kertoo nnetun välin pituuden. Yleistämiside on, että tässä sllittisiinkin väliä yleisempi joukko. nsimmäinen ide sttisi oll slli välin sijn mielivltinen joukko. Tämä ei kuitenkn osoittudu toimivksi vihtoehdoksi, vn rjoittutuminen n.s. σ- lgebrn osoittutuu premmksi etenemistvksi. Tämä on siis se polku jot nyt lähdetään kulkemn, tvoitteen, prikymmentä sivu myöhemmin, uusi, prempi integrli. Määritelmä 1.1. Olkoon X joukko j P (X) sen kikkien osjoukkojen joukko. Perhe A P (X) on lgebr eli joukkolgebr, jos seurvt ehdot ovt voimss: (A1) A. (A2) Jos A A, niin A A. (A3) Jos A, B A, niin A B A. Huomutus. Jos A, B A j A on lgebr, niin myös A B A, sillä (A B) = (A B ). Vstvsti myös X A, sillä X = A. Jos tiedetään, että A, niin (A1) seur kohdist (A2) j (A3), sillä = A A A in, kun A A. Jos A 1,A 2,...,A n A, niin kohdn (A3) nojll A 1 A 2 A n A. Määritelmä 1.2. Olkoon X joukko. Perhe Γ P (X) on σ-lgebr, jos seurvt ehdot ovt voimss: (SA1) Γ. (SA2) Jos A Γ, niin A Γ. (SA3) Jos A i Γ in, kun i Z +, niin A i Γ. Huomutus. Olkoon Γ σ-lgebr. Jos A 1,A 2 Γ j A k = in, kun k 3, niin A 1 A 2 = A i Γ. Näin ollen jokinen σ-lgebr on lgebr. Jos A i Γ ovt mielivltisi, niin A i Γ, sillä (( ) ) ( ) A i = A i = A i Γ. simerkki. Olkoon X joukko. Joukko Γ={,X} on suppein mhdollinen, ns. trivili σ-lgebr. Joukko Γ=P (X) on ljin mhdollinen σ-lgebr. Jos X = Z + = {1, 2, 3,...}, niin Γ = {, {1, 3,...}, {2, 4,...}, Z + } on σ- lgebr. Olkoon X euklidinen vruus R n. Tällöin joukko A = {A X A voin} ei ole lgebr, eikä σ-lgebr, sillä yleensä A ei ole voin, jos A on voin. 7

8 8 1. MITTATORIAA Luse 1.3. Olkoot Γ i,i I, joukonxσ-lgebroj. Tällöin myös Γ= i I Γ i on σ-lgebr. Todistus. Selvästi Γ i in, kun i I, joten Γ. Jos A Γ, niin A Γ i jokisell i I. Siis A Γ i jokisell i I. Tällöin A Γ. Jos A 1,A 2,... Γ, niin A 1,A 2,... Γ i jokisell i I. Tällöin j=1a j Γ i in, kun i I, joten j=1 A j Γ. Seurus 1.4. Jos Δ P (X) on mielivltinen, niin joukoss P (X) on olemss suppein σ-lgebr, merkitään Γ Δ, johon Δ sisältyy (Γ Δ on joukon Δ virittämä σ-lgebr). Todistus. Joukko Γ Δ = {Γ Γ on σ-lgebr, jolle Δ Γ} P (X) on hluttu σ-lgebr. Määritelmä 1.5. Olkoon X metrinen vruus. Joukon A = {A X A voin} virittämää σ-lgebr snotn Borelin joukkoluokksi j sen joukkoj Borelin joukoiksi. Tätä merkitään B = B(X) =Γ A. simerkki. Olkoon X euklidinen vruus R n j S = {B R n B suljettu}. Tällöin Γ S =Γ A = B, sillä jos A A, niin A S. Kuitenkn kikki vruuden R n osjoukot eivät ole Borelin joukkoj. Trkstelln vielä erikoistpust X = R. Jokinen yksiö on Borelin joukko, sillä {x} =((,x) (x, )) in, kun x R. KoskQ on yksiöiden numeroituv yhdiste, niin Q j Q ovt Borelin joukkoj. 2. Mitt dellä olemme määritelleet sen joukkoperheen (σ-lgebr), joll hluisimme korvt Riemnn integrliss esiintyvät välit. Seurvksi pitää miettiä, miten korvmme tällisill joukoill termin x i x i 1, jok mittsi välin pituutt. Yleisemmin voimme puhu joukon koon mittmisest, j tämä tehdään luonnollisesti mitn vull. Se mitä on järkevältä mitt funktiolt vdittv, selviää tässä luvuss. Määritelmä 2.1. Olkoon Γ σ-lgebr joukoss X. Kuvustμ : Γ [0, ] snotn mitksi joukoss X, jos (M1) μ (A) 0 in, kun A Γ. (M2) μ ( ) =0. (M3) μ on numeroituvsti dditiivinen, eli ( ) μ A i = μ (A i ) in, kun A i Γ j A i A j = in, kun i j.

9 2. MITTA 9 Huomutus. Summ μ (A i) on in määritelty, mutt se voi oll +. htoon (M3) sisältyy ns. äärellinen dditiivisuus: ( p ) p μ A i = μ (A i ), missä A 1,...,A p Γ j A i A j = in, kun i j. Jos μ :Γ [0, ] toteutt ehdot (M1) j (M3) j jos μ (A) < jollekin A Γ, niin μ (A) =μ (A )=μ (A)+μ( ). Näin ollen μ ( ) =0. simerkki. Olkoon Γ={,X}, X. Asetetn μ ( ) =0j μ (X) =1, jolloin μ on mitt. Olkoon X = R n, x 0 R n nnettu piste j Γ=P (R n ). Osoitetn, että kuvus μ :Γ [0, ] μ (A) = { 1, jos x 0 A, 0, jos x 0 / A, on mitt. Selvästi μ (A) 0 in, kun A Γ. Lisäksiμ ( ) =0, sillä x 0 Olkoot nyt A 1,A 2,... R n erillisiä. Jos x 0 A i, niin ( ) μ A i =1= μ (A i ). Jos x 0 / A i, niin ( ) μ A i =0= μ (A i ). Siis μ on mitt. Huom, että μ ({x 0 })=1. Tätä mitt snotn Dircin δ- mitksi, jok on keskittynyt pisteeseen x 0, j sitä merkitään δ x0 := μ. Määritelmä 2.2. Olkoon X joukko, Γ P (X) σ-lgebr j μ :Γ [0, ] mitt. Jos μ (X) <, niin μ on äärellinen mitt. Jos on olemss selliset i Γ, että X = i j μ ( i ) < in, kun i Z +, niin μ on σ-äärellinen mitt. simerkki. Dircin mitt δ x0 on äärellinen, sillä δ(r n )=1. Mitt, jolle μ (X) = 1, snotn todennäköisyysmitksi. Olkoon X = {x i } j (p i) jono positiivisi lukuj. Asettmll 0, jos A =, μ : P (X) [0, ], μ(a) = p i, jos A, x i A /. sdn mitt. Tämä on ns. pinotettu lukumäärämitt, pinoin luvut p i.jos p i =1in, kun i Z +, niin μ on lukumäärämitt: { #A, jos A on äärellinen, μ (A) =, jos A on ääretön. Lemm 2.3. Olkoon Γ σ-lgebr joukoss X j (A k ) Γ jono joukkoj. Tällöin on olemss sellinen jono (B k ) Γ, että B k A k in, kun k Z +. Lisäksi B k B j = in, kun k j, j B k = A k. Todistus. Hrjoitustehtävä.

10 10 1. MITTATORIAA Luse 2.4. Olkoon μ :Γ [0, ] mitt joukoss X j olkoot A, B Γ. Tällöin seurvt ominisuudet ovt voimss: () Jos A B, niin μ (A) μ (B). (b) Jos A B j μ (A) <, niin μ (B \ A) =μ (B) μ (A). (c) Jos A i Γ kikill i Z +, niin μ ( A i) μ (A i) (ns. numeroituv subdditiivisuus). (d) Jos A 1 A 2... j A i Γ in, kun i Z +, niin μ ( A i) = lim μ (A i ). i (e) Jos A 1 A 2..., A i Γ in, kun i Z +,jμ(a k ) < eräällä k, niin μ ( A i ) = lim μ (A i ). i Todistus. () Jos A B, niin B = A (B A ), missä A Γ j B A Γ ovt erillisiä joukkoj. Tällöin mitn ominisuuksien (M3) j (M1) nojll ) μ (B) =μ (A)+μ (B A μ (A). (b) Jos A B j μ (A) <, niin edelläolevn nojll ) μ (B \ A) =μ (B A = μ (B) μ (A). (c) Olkoon (A i ) Γ. Lemmn 2.3 nojll on olemss jono sellisi erillisiä joukkoj (B i ) Γ, että B i A i in, kun i Z +,j A i = B i. Ominisuuden (M3) j luseen kohdn () nojll ( ) ( ) μ A i = μ B i = μ (B i ) μ (A i ). (d) Olkoon A 0 = j olkoot A 1 A 2..., missä A i Γ in, kun i Z +. Merkitään A = A i, jolloin A = (A i A i 1 ). Merkitään B i = A i A i 1. Tällöin joukot B i ovt erillisiä, joten μ (A) = ( j ) μ (B i ) = lim μ (B i ) j = lim μ (A j ). j (e) Olkoot A 1 A 2... (ks. kuv 1) j A i Γ in, kun i Z +. Olkoon lisäksi A... k+1 A k... A i Kuv 1. Joukot A i

11 3. ULKOMITTA JA MITALLIST JOUKOT 11 μ (A k ) < jollin k. Merkitään B i = A k A i kikill i k. Siis A i = A k Bi, j ( ) ( ) A i = A i = A k Bi = A k Bi i=k i=k ( ). = A k B i i=k Kosk B i B i+1 in, kun i k, on kohdn (d) nojll μ ( i=k B i) = lim μ (B i). delleen kohdn (b) nojll i ( ) ( ) μ A i = μ (A k ) μ B i i=k = μ (A k ) lim μ (B i )=μ(a k ) lim (μ (A k ) μ (A i )) i i = lim μ (A i ). i Huomutus. hto μ (A k ) < jollin k on oleellinen ylläolevss päättelyssä. 3. Ulkomitt j mitlliset joukot dellä olemme määritelleet joukot joit hluisimme integroinniss käyttää, sekä tp joll niiden koko hluisimme mitt. Ongelm on, että meillä ei toistiseksi ole käytössämme yhtään epätrivili mitt, joll voisi mitt esimerkiksi kikki Borel joukkoj. Sellisen konstruoimiseksi noudtmme seurv strtegi: määrittelemme heikommn tyypin mitn, niin snotun ulkomitn, j osoitmme, että siihen liittyy luonnollisell tvll σ-lgebr joll se on itse siss mitt. Määritelmä 3.1. Olkoon X joukko. Kuvust μ : P (X) [0, ] snotn ulkomitksi joukoss X, jos seurvt ehdot ovt voimss: (UM1) μ ( ) =0. (UM2) μ on monotoninen ts. μ (A) μ (B) in, kun A B. (UM3) μ on numeroituvsti subdditiivinen, eli ( ) μ A i μ (A i ). Jokinen mitt on myös ulkomitt, mutt ei kääntäen. Määritelmä 3.2. Olkoon μ ulkomitt joukoss X. Joukko X snotn mitlliseksi ulkomitn μ suhteen, eliμ -mitlliseksi, jos seurv, ns. Crthéodoryn ehto, on voimss: ( ) (3) μ (A) =μ (A )+μ A, in, kun A X. Joukko on siis mitllinen, jos se ei j mitään joukko niin huonoll tvll, että osien mittojen summ ei ole joukon mitt. Huomutus. Kosk μ on subdditiivinen j A =(A ) (A ), niin ( ) μ (A) μ (A )+μ A. i=k

12 12 1. MITTATORIAA Siis (3) on voimss, jos epäyhtälö (4) μ (A) μ (A )+μ ( A ) pätee. Jos A X j X ovt mielivltisi, niin μ (A )+μ ( A ) μ ()+μ (A). Jos lisäksi μ () =0, niin ehto (4) on voimss j on mitllinen. Näin ollen kikki joukot, joiden ulkomitt on noll, ovt mitllisi. simerkki. Joukot j X ovt μ -mitllisi, sillä ( ) ( ) μ (A) =μ (A )+μ A = μ (A X)+μ A X in, kun A X. Olkoon X epätyhjä joukko j μ (A) = { 0, jos A =, 1, jos A. Nyt X j ovt μ -mitllisi, joten olkoon X. Tällöin on μ -mitllinen, jos ehto (3) pätee, eli jos μ (A) =μ (A )+μ ( A ) in, kun A X. Sijoittmll A = X sdn ylläolev yhtälö muotoon 1=1+1, mikä on mhdotont. Siis ei ole μ -mitllinen. Olkoon X kuten edellä j määritellään ulkomitt μ seurvsti: { μ #A, jos A on äärellinen pistejoukko, (A) =, jos A on ääretön. Hrjoitustehtävänä on osoitt, että μ : P (X) [0, ] on ulkomitt j että kikki joukot X ovt μ -mitllisi. Seurvn lemmn voi todist induktioll. Todistus jätetään hrjoitukseksi. Lemm 3.3. Olkoot 1, 2,..., n erillisiä μ -mitllisi joukkoj. Tällöin ( μ A ( n )) ( i = μ A i ). kikille joukoille A X. Lemm 3.4. Olkoon μ ulkomitt joukoss X. Jos joukot 1,..., n X ovt μ -mitllisi, niin myös n i on μ -mitllinen. Todistus. Induktioperitteen nojll riittää osoitt väite, kun n =2. Olkoot siis 1, 2 Xμ -mitllisi j A X mielivltinen. Jos μ (A) =, niin ehto (4) on voimss joukolle 1 2 j väite pätee. Olkoon siis μ (A) <. Kosk A ( 1 2 )=(A 1 ) ((A 2 ) 1 j A ( 1 2 ) = A 1 2,

13 3. ULKOMITTA JA MITALLIST JOUKOT 13 niin ( ) μ (A ( 1 2 )) + μ A ( 1 2 ) ( ) ) μ (A 1 )+μ (A 1) 2 + μ ((A 1) 2 ) =μ (A 1 )+μ (A 1 = μ (A). Luse 3.5. Olkoon μ ulkomitt joukoss X j olkoon Γ={ P (X) on μ -mitllinen }. Tällöin Γ on σ-lgebr j ulkomitn μ rjoittum μ = μ Γ :Γ [0, ] on mitt. Todistus. Osoitetn ensin, että Γ on σ-lgebr. Kosk on in mitllinen, niin ehto (SA1) on voimss. Jos Γ j A X ovt mielivltisi, niin ( ) ( ) μ A + μ A ( ) ( ) = μ (A )+μ A = μ (A). Näin ollen Γ j ehto (SA2) on voimss. Lemmn 2.3 nojll riittää, että ehto (SA3) osoitetn erillisille joukoille. Olkoot 1, 2, Γ j A X. Merkitään n S n = i, in, kun n Z +. Lemmn 3.4 nojll S n Γ in, kun n Z +, j Lemmn 3.3 nojll ( μ (A S n )=μ A ( n )) i = μ (A i ). Kosk S n Γ, niin in, kun n Z +. Siis μ (A) =μ (A S n )+μ ( A (S n ) ) μ (A) = ( n ) ) μ (A i )+μ (A i ( ) ) μ (A i )+μ (A i ( ) ) μ (A i )+μ (A i ( ) ( ( ) ) μ (A i ) + μ A i ( )) ( ) = μ (A i + μ (A i ). Näin ollen ehto (4) on voimss joukolle i,eli i Γ.

14 14 1. MITTATORIAA Osoitetn vielä, että μ = μ Γ : Γ [0, ] on mitt. Riittää osoitt, että ehto (M3) on voimss, eli että μ on numeroituvsti dditiivinen. Olkoot 1, 2,... Γ erillisiä joukkoj. Kosk Lemmn 3.3 nojll ( n )) μ (A i = μ (A i ) in, kun A X, n Z +, niin vlitsemll A = n i sdn ( ) ( n ) μ i μ i = μ ( i ) in, kun n Z +. Siis ( ) μ i μ ( i ). Toislt μ on numeroituvsti subdditiivinen, joten myös epäyhtälö onedellisellä rivillä voimss, jost seur, että oikesti siinä pätee yhtäsuuruus, j näin ollen μ on mitt. 4. Ulkomitn konstruointi Tässä viheess stt jo tuntu itsensä toistmiselt sno, että osisimme mitt joukkoj hyvin mitll, jonk sisimme ulkomitst, jot meillä ei kuitenkn ole. Tässä kppleess näytämme, miten ulkomitn voi konstruoid vieläkin heikommst mittusvälineestä, esimitst. Määritelmä 4.1. Olkoon X joukko j K P (X) perhe joukon X osjoukkoj. Perhettä K snotn joukon X peiteluokksi, jos (P1) K. (P2) Jokiselle A X on olemss sellinen jono ( i ) K, että A i (ts. A voidn peittää perheen K joukoill). Kuvust λ : K [0, ], jolle λ ( ) =0, snotn esimitksi. simerkki. Olkoon X = R j K = { (, b) b}. Nyt =(, ) K j R = ] i, i[. Siis K on peiteluokk. Määritellään λ : K [0, ] settmll λ ((, b)) = b (välin pituus). Tällöin λ on esimitt. Olkoon X = R n, n 2, j määritellään { n K = ( i,b i )=( 1,b 1 ) ( 2,b 2 ) ( n,b n ) i b i }. Nyt K koostuu R n :n voimist väleistä n ( i,b i ). Lisäksi K on joukon R n peiteluokk, sillä R n = I j, missä I j =( j, j) ( j, j) =( j, j) n. j=1 Määritellään esimitt λ : K [0, ] geometrisen mittn: ( n ) n λ ( j,b j ) = (b i i ). j=1

15 4. ULKOMITAN KONSTRUOINTI 15 Kuv 2. Avruuden R 2 voin väli b b 1 Luse 4.2. Olkoon X joukko, K sen peiteluokk j λ : K [0, ] esimitt. Tällöin kuvus μ : P (X) [0, ], jolle { (5) μ } (A) =inf λ ( i ) A i j i K i, on ulkomitt. Todistus. Osoitetn ulkomitn määritelmän kohdt (UM1) (UM3). Nyt μ ( ) =0, sillä K j λ ( ) =0. Siis (UM1) pätee. Olkoot A B X. JosB i, missä i K jokisell i, niin selvästi myös A i. Tällöin μ (A) μ (B) j (UM2) pätee. Olkoot nyt A 1,A 2,... X j ε>0 mielivltinen. Infiniumin määritelmästä seur, että jos A X, niin jokist ε>0 kohti on olemss sellinen { i } K, että μ (A) λ ( i ) <μ (A)+ε. Nyt jokist i Z + kohti on olemss sellinen kokoelm ( (i) k ) A i (i) k j Kosk A i i, (i) k, niin ( ) μ A i = = i, ( λ (i) k ( λ ) <μ (A i )+ ε 2. i (i) k ( λ ) (i) k ) < (μ (A i )+ ε ) 2 i μ 1 (A i )+ε 2 = μ (A i i )+ε. K, että

16 16 1. MITTATORIAA Kosk ε oli mielivltinen, sdn ( ) μ A i Siis (UM3) pätee, joten μ on ulkomitt. μ (A i ). simerkki. Olkoon X = R j K = {, R, {x} x R} peiteluokk. Määritellään esimitt λ : K [0, ] seurvsti: λ ( ) =0,λ(R) = j λ ({x}) =1kikill x R. Hrjoituksen on osoitt, että näin sdn ulkomitt μ : P (X) [0, ], μ (A) =#A in, kun A R. 5. Lebesguen ulkomitt j mitt Nyt tulemme kurssin ensimmäisen osn loppuun, j voimme poimi hedelmät, joit tähänstinen työmme on tuottnut. Konstruoimme Lebesgue:in ulkomitn jok toimii uklidisess vruudess R n, n 1, kikille Borel joukoille j muillekin. Joukko I = {x =(x 1,x 2,...,x n ) R n x k ( k,b k ) k =1,...,n} snotn vruuden R n voimeksi väliksi. OlkoonK kikkien vruuden R n voimien välien muodostm joukko. Tällöin K on vruuden R n peiteluokk. Määritellään kuvus λ = λ n : K [0, ] seurvsti: λ n ( ) =0, λ n (I) =(b 1 1 ) (b n n ) I K. Tällöin λ n on esimitt (geometrinen mitt). Huomutus. Geometrinen mitt on sm myös suljetuille j puolivoimille väleille. Määritelmä 5.1. uklidisen vruuden R n ylläolevst peiteluokst K j geometrisest esimitst λ = λ m lähtien konstruoitu ulkomitt { m (A) =m n (A) =inf } λ (I j ) I j K,A I j j=1 snotn Lebesguen ulkomitksi j m n-mitllisi joukkoj Lebesgue-mitllisiksi. Vstv σ-lgebr merkitään M = M(R n ). Stu mitt m=m M snotn Lebesguen mitksi. Jtkoss puhutn mitst m j ulkomitst m trkoitten nimenomn Lebesguen mitt j ulkomitt. Seurvksi pyritään krkterisoimn σ-lgebr M. Yleisten tulosten perusteell tiedetään, että Mj R n M. Lisäksi, jos R n j m () =0, niin M. simerkki. Olkoon {x} R n, jolloin m ({x}) inf λ (I) =0. {x} I Siis {x} M in, kun x R n. Tällöin {x (i) } = {x (1),x (2),...} M j=1

17 j 5. LBSGUN ULKOMITTA JA MITTA 17 m ( {x (1),x (2),...} ) m ( {x (i) } ) =0. Siis m (Q n )=0,jotenQ n M. Lemm 5.2. Avruuden R n jokisen välin ulkomitt on sm kuin sen geometrinen mitt. Todistus. Olkoon luksi I = {x R n i x i b i } = n [ i,b i ] (suljettu väli). Nyt I voidn peittää voimell välillä, jonk geometrinen mitt ero välin I geometrisest mitst vähemmän kuin ε. Yhtälön (5) nojll m (I) λ (I)+ε, joten m (I) λ (I). Olkoon I k I k peite voimill väleillä. Tällöin λ (I) k λ (I k), joten λ (I) inf k λ (I k)=m (I). Siis välttämättä m (I) =λ (I). Vstv päättely pätee kikille väleille I R n. Huomutus. Tulos m (I) = λ (I) pätee myös surkstuneille väleille I, missä k = b k jollkin k. Tällöin m (I) =0. Luse 5.3. Avruuden R n jokinen väli I on mitllinen j m(i) =m (I) =λ (I). Todistus. Lemmn 5.2 nojll riittää todist, että jokinen väli I on mitllinen. Olkoon I väli j olkoon A R n mielivltinen osjoukko, jolle m (A) <. Mitllisuuden tkmiseksi on osoitettv, että ( ) m (A) m (A I)+m A I. Jott voidn käyttää hyväksi sitä, että I on väli, pproksimoidn testijoukko A väleillä seurvsti: Jos ε>0 on nnettu, peitetään A sellisill voimill väleillä {I k }, että (6) m (A) > k λ (I k ) ε. Joukko I k = I k I on joko tiväli(ks.kuv3).joukkoi k = I k I ei I k 1100 I 1100 k I I k Kuv 3. Joukot I,I k,i k j I k.

18 18 1. MITTATORIAA välttämättä ole väli, mutt se voidn jk äärelliseen määrään välejä I kj.selvästi λ (I k )=λ(i k )+ j λ ( I kj). Lemmn 5.2 nojll λ (I k )=m (I k )+ m (I kj ). j Summmll muuttujn k yli j käyttämällä ulkomitn subdditiivisuutt sdn λ (I k )= m (I k )+ m ( ) I kj k k k,j ( ) ( ) m I k +m I kj. Mutt k I k =( ki k ) I A I j k,j I kj =( ki k ) I A I,joten ( ) λ (I k ) m (A I)+m A I. k Tällöin epäyhtälön (6) nojll ( ) m (A)+ε m (A I)+m A I, k mikä on voimss in, kun ε>0, joten ehto (4) on voimss. Lemm 5.4. Avruuden R n voin joukko A voidn esittää yhdisteenä numeroituvst määrästä erillisiä välejä. Todistus. Hrjoitustehtävä. Seurus 5.5. Avruuden R n kikki voimet j suljetut joukot ovt mitllisi. Lisäksi kikki Borelin joukot ovt mitllisi. Todistus. Avoimille joukoille tulos seur Lemmst 5.4 j Luseest 5.3. Olkoon B R n suljettu. Tällöin B on voin, siis B M, jotenb =(B ) M. Vstvsti Borelin joukkoluokk B M, sillä B on pienin σ-lgebr, jok sisältää voimet joukot. ssee tehtävä 1. nsimmäisessä essee tehtävässä osoitetn, että on olemss joukkoj F M, että F / B, sekäjoukkoja R, jotk eivät ole (Lebesgue- )mitllisi. Näin on stu konstruoitu vruuden R n joukoist mitlliset joukot M P (R n ) j mitt m:m [0, ]. Kolmikko (R n, M, m) snotn mitt-vruudeksi. k,j Luse 5.6. Olkoon T : R n R n siirto, ts. Tx = x + b in, kun x R n,j b R n kiinteä. Tällöin on voimss: () m (T (A)) = m (A) in, kun A R n. (b) Jos M, niin T () M. (c) m(t ()) = m () in, kun M. Todistus. Aloitetn kohdst (). Olkoon I R n väli. Tällöin myös T (I) on väli j λ (T (I)) = λ (I). OlkoonnytA R n j A k I k, missä jokinen I k on voin väli. Tällöin T (A) k T (I k ) j m (T (A)) k λ (T (I k )) = k λ (I k ).

19 5. LBSGUN ULKOMITTA JA MITTA 19 Siis m (T (A)) inf λ (I k )=m (A). A k I k k Toislt myös kuvuksen T käänteiskuvus T 1 : x x b on siirto, joten m (A) =m (T 1 (T (A))) m (T (A)). Siis m (T (A)) = m (A). Todistetn seurvksi koht (b). Olkoon M. KoskT on bijektio, niin jokiselle A R n on m (A) =m ( T (T 1 (A)) ) =m ( T 1 (A) ) =m ( T 1 (A) ) ( ) +m T 1 (A) =m ( T (T 1 (A) ) ) )) +m (T (T 1 (A) ) =m (A T ()) + m (A T ( ). Näin ollen T () M, kosk yhtälö (3) on voimss in, kun A R n.myös = T 1 (T ()) on mitllinen, jos T () on mitllinen. Koht (c) seur kohdist () j (b).

20 LUKU 2 Integroimisteori 1. Topologisi peruskäsitteitä Topologin peruskäsite on voin joukko. Metrisess vruudess X (esim. X = R n ) meillä on käytössä etäisyysmitt d jok kertoo khden pisteen välisen etäisyyden. Tällöin voin pllo on joukko B(x, r) ={y X d(x, y) <r}. Yleinen joukko A X on voin, jos jokiselle x A löytyy r>0 siten, että B(x, r) A. Tässä meitä kiinnostvt kksi topologist vruutt, R j R. dellinen on entuudestn tuttu, j siinä meillä on d(x, y) = x y. Jälkimmäinen joukko on relikselin khden pisteen kompktifiktio, R = R {, }. Tässä tpuksess sovitn, että pllo B(,r) on puoliääretön väli (r 1, ] j pllo B(,r) on puoliääretön väli [, r 1 ). Joukko A on pisteen x ympäristö jos se on voin j sisältää pisteen x. Metrisessä vruudeess voimme määritellä ylä- j lrjrvot seurvsti lim sup f(x) =inf x sup A x A f(x) j lim inf x f(x) =supinf f(x), A x A missä ensimmäinen inf j sup on otettu yli pisteen ympäristöjen. rityisesti vruudess N pätee lim sup x i = lim i sup i k i x k j lim inf i x i = lim i inf k i x k. Jos X j Y ovt metrisiä vruuksi niin snomme kuvust f : X Y jtkuvksi jos lkukuv f 1 (A) ={x X f(x) A} on voin jokisell voimell joukoll A Y. Hrjoitustehtävänä on osoitt, että tämä määritelmä on ekvivlentti Anlyysi I kurssin ɛ-δ määritelmän knss. Jos f : X R on funktio, niin riittää sen jtkuvuuden osoittmiseksi trkist, että joukkojen (, ] j [,) lkukuvt ovt voimi kikill R (hrjoitustehtävä). Jos funktio toteutt inostn ehdon, että f 1( (, ] ) on voin kikill R, niin sitä snotn lhlt puolivoimeksi. Jos f 1( [,) ) on voin kikill R, niin funktiot snotn ylhäältä puolivoimeksi. Joukon X krkteristinen funktio χ : X R s määritelmän mukn rvon 1 joukoss, j0 muuten. Funktio χ on lhlt puolijtkuv jos j vin jos on voin; vstvsti, se on ylhäältä puolijtkuv jos j vin jos on suljettu. Jos X = R n, niin on voin j suljettu inostn jos = R n ti =. Nämä ovt siis myös inot tpukset joiss χ on jtkuv. 2. Mitlliset funktiot Seurvksi määrittelemme jtkuv funktiot yleisemmän funktion, jok kuitenkin osoittutuu erittäin toimivksi integroinnin knnlt. Iden on korvt edellisen kppleen jtkuvuuden määritelmässä vtimuksen, että lkukuv on voin pljon väljemällä vtimuksell, että se on mitllinen (jokinen voin joukkohn on mitllinen). 20

21 2. MITALLIST FUNKTIOT 21 Seurvss R n on in mitllinen joukko. (Väittämien knnlt ei usein ole oleellist, että kyse on nimenomn vruudest R n.) Määritelmä 2.1. Funktiot f : R snotnmitlliseksi,jos on mitllinen joukko j joukko {x f(x) >} on mitllinen in, kun R. dellinen määritelmä näyttää vstvn lhlt puolijtkuvn funktion määritelmää. Voisi siis jtell, että sisimme toisen funktioluokn muuttmll oletust niin, että {x f(x) <} onkin voin. Seurvn lemmn nojll näin ei ole. Lemm 2.2. Olkoon R n mitllinen osjoukko, f : R j R mielivltinen. Tällöin seurvt ehdot ovt yhtäpitävät: (i) Joukko {x f(x) >} M. (ii) Joukko {x f(x) } M. (iii) Joukko {x f(x) <} M. (iv) Joukko {x f(x) } M. Todistus. Selvästi kohdt (i) j (iv), sekä (ii) j (iii) ovt keskenään yhtäpitävät, sillä kyseiset joukot ovt toistens komplementtej in, kun R. delleen (i) (ii), sillä {x f(x) } = {x f(x) > 1 k }, j vstvsti (ii) (i), sillä on {x f(x) >} = {x f(x) + 1 k }. Jos f : R on mitllinen, niin jokisen voimen välin I =(, b) lkukuv f 1 ((, b)) = {x <f(x) <b} = {x f(x) >} {x f(x) <b}. Siis voimen välin lkukuv on khden mitllisen joukon leikkuksen mitllinen. Jos A R on voin joukko, niin A = k I k, missä joukot I k ovt erillisiä voimi välejä. Tällöin f 1 (A) =f 1 ( k I k )= k f 1 (I k ),jotenf 1 (A) on mitllinen. Siis voimen joukon lkukuv on mitllinen. Osoitetn, että jos f : R on jtkuv j M, niin f on mitllinen funktio. Jos R on mielivltinen, niin joukko A =(, ) on voin. Kosk f on jtkuv, niin joukko f 1 (A) ={x f(x) >} on voin joukoss. Tällöin f 1 (A) =U, missä U R n on voin joukko, joten U on mitllinen. Näin ollen f 1 (A) ={x f(x) >} on mitllinen j f on mitllinen funktio. Jos f : R n R on mitllinen funktio j D on mitllinen osjoukko, niin funktion f rjoittum joukkoon D, f D : D R, on mitllinen, sillä {x D f D (x) >} = D {x f(x) >}. simerkki. Määritellään funktio f : R R seurvsti: { 1, jos x R \ Q, f(x) = 0, jos x Q.

22 22 2. INTGROIMISTORIAA Olkoon nyt R, jolloin, jos 1, {x R f(x) >} = R \ Q, jos 1 > 0, R, jos <0. Kosk m (Q) =0, niin Q on mitllinen joukko, smoin R \ Q = Q. Siis joukko {x R f(x) >} on mitllinen, joten funktio f on mitllinen. Jos R, niin, jos 1, {x R χ A (x) >} = A, jos 1 > 0, R, jos <0. Siis χ A on mitllinen jos j vin jos A on mitllinen joukko. Luse 2.3. Olkoot f j g mitllisi funktioit R n R j olkoon c R. Tällöin () f ± g j fg (mikäli määritellyt) ovt mitllisi funktioit. (b) f, f + := mx{f,0} j f := min{f,0} ovt mitllisi funktioit. Tässä edellytetään, ettei esimerkiksi f(x)+g(x) =+ +( ). Todistus. Hrjoituksiss osoitetn funktiot f + g j fg mitllisiksi. Trkstelln tässä yksinkertisemp tpust, nimittäin funktiot f + c. Kosk {x f(x)+c>} = {x f(x) > c}, on f + c mitllinen. Vstvsti funktiolle cf sdn {x f(x) > }, jos c>0, c {x cf(x) >} = {x f(x) < }, jos c<0, c ti, jos c =0. Siis funktio cf on mitllinen. Itseisrvon määritelmän nojll pätee { f(x), jos f(x) 0, f(x) = f(x), jos f(x) < 0. Jos <0, niin j jos 0, niin {x f(x) } = {x f(x) } = {x f(x) } {x f(x) }. Näin ollen f on mitllinen in, kun f on mitllinen. Kikill x on f(x) = f + (x)+f (x) j f(x) =f + (x) f (x) j vstvsti f + (x) = 1( f(x) + f(x)) j f (x) = 1( f(x) f(x)). Siis f + (x) j f (x) 2 2 ovt mitllisi edellisten kohtien nojll, jos f(x) on mitllinen. Luse 2.4. Olkoon (f n ) jono mitllisi funktioit: Rn R. Tällöin funktiot sup f k, inf f k, lim sup f k j lim inf f k ovt mitllisi. k k

23 2. MITALLIST FUNKTIOT 23 funktio f 1 funktio f^+ 1 funktio f^ x x x Kuv 1. Funktiot f =sin(x), f + j f Todistus. Merkitään g(x) :=supf k (x), x. Jos R, niin n {x g(x) >} = {x f k (x) >}. Siis g on mitlllinen, jos f n on mitllinen in, kun n Z +. Vstvsti funktiolle h(x) :=inf f k(x), x, on k {x h(x) <} = {x f k (x) <} in, kun R. Tätenh on mitllinen, jos f k on mitllinen in, kun k Z +. Hrjoituksen on osoitt, että lim sup f k (x) =inf i {sup k i f k (x)} j lim inf f k(x) =sup{inf f k(x)} i k i in, kun x. Tällöin rjfunktiot ovt mitllisi edelläolevn päättelyn nojll. Määritelmä 2.5. Olkoon R n mitllinen joukko. Jos P on jokin ominisuus, jok on voimss kikiss joukon pisteissä lukuunottmtt joukko A, jolle m (A) = 0, niin snotn, että P on voimss melkein kikkill (m.k.) joukoss. simerkki. f = g m.k. joukoss, josf(x) =g(x) m.k. joukoss, ts.jos m ({x f(x) g(x)}) =0. Olkoot g(x) =0in, kun x R, j { 1, jos x Q, f(x) = 0, jos x R \ Q. Tällöin f = g m.k. joukoss R.

24 24 2. INTGROIMISTORIAA f n f m.k. joukoss jos j vin jos m ( \{x f n (x) f(x)}) =0. Luse 2.6. Olkoon f : R mitllinen funktio j olkoon f = g m.k. joukoss. Tällöin myös g on mitllinen funktio. Todistus. Merkitään A = {x f(x) g(x)}. Siis m (A) =0,jotenA on mitllinen. Tällöin joukko {x g(x) <} = {x A f(x) <} {x A g(x) <} on mitllinen in, kun R. Näin ollen g on mitllinen funktio. Huomutus. Yleensä sllitn edellisen luseen tpisiss väitteissä myös tilnne joss g ei ole edes määritelty joukoss A. Luse 2.7 (goroffin Luse). Olkoon R n mitllinen joukko, jolle m() < j olkoon (f k ) jono sellisi mitllisi funktioit R, että f n(x) f(x) m.k. joukoss. Tällöin jokist luku δ>0kohti on olemss sellinen mitllinen joukko 0, että m( 0 ) <δj f n f tsisesti joukoss \ 0 = 0. Todistus. Olkoot δ>0 j k Z + mielivltisi. Merkitään G k m = { x f m (x) f(x) k} 1. Selvästi G k m on mitllinen joukko in, kun m, k Z +. Merkitään p k := G k m = { x i p s.e. f i (x) f(x) k} 1. m=p Jos f n (x) f(x), niin on olemss sellinen p, että x/ p k. Siis p k \{x f n (x) f(x)}. p=1 Kosk f n f m.k. joukoss j p k k p+1...,niin m ( ) p=1 k p =0. Luseen 2.4 (e) nojll ( ) 0=m p k = lim m ( ) p k. p p=1 On siis olemss sellinen p k Z +, että m ( ) p k δ < in, kun p p 2 k k. Merkitään 0 := k p k, jolloin 0 on mitllinen joukko j m( 0 ) m ( ) p k k < δ 2 k = δ. On enää osoitettv, että f n f tsisesti joukoss \ 0.Olkootε>0j x \ 0 mielivltisi. Vlitn luksi sellinen s Z +, että 1 < ε. Siis s x { k p k } = { (k p k ) } (p s s ). Toisin snoen x/ p s s,joten f i (x) f(x) < 1 s <ε in, kun i p s. Siis f i f tsisesti joukoss \ 0.

25 3. YKSINKRTAISN FUNKTION LBSGUN INTGRAALI 25 simerkki. Olkoon =[0, 1] j f : R, f i (x) =x i in, kun i Z +. Tällöin { 0, jos x [0, 1[, lim i xi = 1, jos x =1. Siis f i (x) 0 m.k. välillä [0, 1]. Olkoonδ>0j merkitään 0 =]1 δ, 1]. Nyt \ 0 =[0, 1 δ] j x i 0 tsisesti tällä välillä, sillä x i 0 = x i (1 δ) i 0 in, kun x [0, 1 δ]. 3. Lebesguen integrli yksinkertiselle funktiolle Määritelmä 3.1. Funktiot ϕ : R n R snotn yksinkertiseksi, jos p (7) ϕ(x) = i χ i (x) in, kun x R n, missä 1,..., p R n ovt mitllisi joukkoj j i R, i 0 in, kun i = 1,...,p. Merkitään Y = {ϕ : R n R ϕ yksinkertinen}. sitys (7) ei ole yksikäsitteinen, sillä ei oletet, että joukot i olisivt erillisiä. Jos ϕ Y, niin selvästi ϕ on mitllinen j sen rvojoukko {c 1,c 2,...,c n } on äärellinen. Yksinkertisell funktioll on in ns. normliesitys p ϕ(x) = c i χ Ai (x) in, kun x R n, missä A i = {x R n ϕ(x) =c i }, i = 1,...,p, R n = p A i sekä c i c j j A i A j = in, kun i j. Normliesitys on yksikäsitteinen. simerkki. Määritellään ϕ : R R seurvsti: ϕ(x) =1 χ [0,1] (x)+2 χ [0,2] (x)+3 χ [2,4] (x). Tällöin funktion ϕ rvojoukko on {2, 3, 5, 0} j sen normliesitys on ϕ(x) =0 χ (,0) (4, ) (x)+2 χ (1,2) (x)+3 χ [0,1] ]2,4] (x)+5 χ {2} (x). Määritelmä 3.2. Olkoon f Y j f = p c iχ Ai sen normliesitys. Jos R n on mitllinen joukko, niin funktion f (Lebesguen) integrli yli joukon on: 1 p I(f,) = c i m(a i ). Jos erityisesti = R n, niin merkitään I(f,R n )=:I(f). simerkki. Olkoon A R n mitllinen joukko j f(x) =χ A (x) =0 χ R n \A(x)+1 χ A (x). Tällöin I(f) =0 m(r n \ A)+1 m(a) =m(a).jos on mielivltinen mitllinen joukko, niin I(f,) =0 m(r n \ (A )) + 1 m(a ) =m(a ). Olkoon ϕ(x) kuten edellisessä esimerkissä, tällöin I(f) =2 m ((1, 2)) + 3 m([0, 1] ]2, 4]) + 5 m({2}) = =2+9=11. 1 Sopimus: 0 =0.

26 26 2. INTGROIMISTORIAA Luse 3.3. Jos f Y j f = q j=1 jχ Bj, missä B j B i = in, kun i j, niin q I(f,) = j m(b j ) in, kun M. j=1 Todistus. Hrjoitustehtävä. Luse 3.4. Olkoon f Y j { k } k korkeintn numeroituv perhe erillisiä mitllisi joukkoj. Tällöin ( I f, ) k = I(f, k ). k k Todistus. Olkoon f = ( I f, k p c i χ Ai funktion f normliesitys. Tällöin k ) = = p ( )) c i m (A i k k p ( ) c i m(a i k ) = k = k k p c i m(a i k ) I(f, k ). Luse 3.5. Olkoon f Y j,f R n mitllisi. Tällöin () I(f,) I(f,F), jos F. (b) I(f,) =0,josm() =0. Todistus. Jos F, niin F = (F ). Luseen 3.4 nojll I(f,F) =I(f,)+I(f,F ) I(f,). Jos m() =0, niin m( A) =0in, kun A M. Josf = p c iχ Ai on funktion f normliesitys, niin p I(f,) = c i m( A i )=0. Luse 3.6. Olkoot f, g Y, M j α, β [0, [. Tällöin () αf + βg Y j I(αf + βg,)=αi(f,)+βi(g, ). (b) I(f,) I(g, ), josf g joukoss. Todistus. Kosk selvästi αf + βg 0 on mitllinen j se s äärellisen määrän eri rvoj, niin se on yksinkertinen funktio. Olkoot f = p c iχ Ai, g = q j=1 d jχ Bj funktioiden normliesitykset. Tällöin jokisell x A i B j on αf(x)+βg(x) =αc i + βd j j siis αf + βg = (αc i + βd j )χ Ai B j, i,j

27 4. I-NGATIIVISN MITALLISN FUNKTION INTGRAALI 27 missä perhe {A i B j } i,j koostuu erillisistä joukoist. Luseen 3.3 perusteell I(αf + βg,)= (αc i + βd j )m((a i B j ) ). i,j Kosk nyt p A i = R n = q j=1 B j j R n =( A i ) ( B j )= i,j (A i B j ), niin sdn p q q p I(αf + βg,)=α m((a i B j ) )+β m((a i B j ) ) = α c i j=1 p c i m((a i R n ) )+β j=1 d j q d j m((r n B j ) ) = αi(f,)+βi(g, ). Todistetn seurvksi toinen väite. Jos f g joukoss, niin p p ( ( q )) I(f,) = c i m(a i ) = c i m (A i ) B j = p i,j c i q j=1 j=1 m(a i B j )= i,j d j m(a i B j ) = = I(g, ). j=1 c i m(a i B j ) 4. Integrli ei-negtiiviselle mitlliselle funktiolle Integrlin määrittely perustuu pproksimointi-iden, kun osmme integroid yksinkertist funktiot, niin mielivltisen (mitllisen) funktion integrli sdn ottmll yksinkertinen funktio jok on mhdollisimmn iso, mutt nnettu funktiot pienempi, j integroidn sit. Määritelmä 4.1. Olkoon f : A R n [0, ] μ-mitllinen funktio. Asetetn fdμ:= sup I(ϕ, ), ϕ Y ϕ f missä A on mitllinen joukko j ϕ f joukoss. Huomutus. Määritelmän mukn f [0, ]. (1) Jokist mitllist funktiot f 0 kohti on olemss yksinkertisi funktioit ϕ, joille 0 ϕ f (esimerkiksi ϕ =0ti Luse 5.1). (2) Jos f itse on yksinkertinen funktio, niin määritelmä ntn tuloksen fdμ=supi(ϕ, ) =I(f,). ϕ f simerkki. Olkoon { 1, jos x [0, 1] Q, f(x) = 0, jos x [0, 1] \ Q. Nyt f on mitllinen j yksinkertinen funktio. Lsketn fdμ: [0,1] fdμ=1 m([0, 1] Q)+0 m([0, 1] \ Q) =0. [0,1]

28 28 2. INTGROIMISTORIAA Tämä funktio ei ole Riemnnin mielessä integroituv. Seurvss luseess todistetn integrlin perusominisuudet ei-negtiivisille mitllisille funktioille. Luse 4.2. Olkoot,F R n mitllisi joukkoj, sekä f j g ei-negtiivisi mitllisi funktioit. Tällöin on voimss: () Jos f g joukoss, niin fdμ gdμ. (b) Jos F, niin fdμ fdμ. F (c) Jos f(x) =0in, kun x dμ, niin fdμ=0. (d) Jos m() =0, niin fdμ=0. (e) Jos 0 α<, niin αf dμ = α fdμ. Todistus. () Olkoon f g joukoss. Tällöin fdμ=supi(ϕ, ) sup I(ϕ, ) = ϕ f ϕ Y ϕ g ϕ Y g dμ. (b) Hrjoitustehtävä. (c) Olkoon f(x) =0in, kun x. Tällöin 0 ϕ f =0joukoss, eli ϕ =0. Näin ollen I(ϕ, ) =0,,in,kun0 ϕ f, joten fdμ=0. (d) Olkoon m() = 0 j f : [0, ] mitllinen. Luseen 3.5 (b) nojll I(ϕ, ) =0in, kun ϕ Y. Tällöin fdμ=supi(ϕ, ) =0. ϕ f ϕ Y (e) Olkoon 0 α< j f : [0, ] mitllinen. Jos α =0, niin väite seur kohdst (c). Olkoon siis α>0. Josϕ Y j ϕ f joukoss, niin αϕ Y j αϕ αf joukoss. Luseen 3.6 nojll αi(ϕ, ) =I(αϕ, ) αf dμ, joten α fdμ= α sup ϕ f ϕ Y I(ϕ, ) =supi(αϕ, ) ϕ f ϕ Y = sup I(αϕ, ) = supi(ψ, ) αϕ αf ψ αf αϕ Y ψ Y = αf dμ. Luse 4.3. Olkoon f : [0, ] mitllinen funktio, jolle fdμ<. Tällöin 0 f(x) < m.k. joukoss. Todistus. Merkitään A = {x f(x) =+ }. NytA on mitllinen, sillä A = f 1 ({+ }) = n=1 {x f(x) >n}. Lisäksikχ A on yksinkertinen funktio in, kun k Z +. delleen kχ A f joukoss, j > fdμ I(kχ A,)=km(A) in, kun k Z +. Siis välttämättä m(a) =0.

29 5. KSKIST RAJA-ARVOTULOKST 29 Luse 4.4. Olkoot f j g : [0, ] mitllisi funktioit. Jos f = g m.k. joukoss, niin fdμ= g dμ. Todistus. Olkoon A j m(a) =0. Olkoot lisäksi f,g : [0, ] sellisi mitllisi funktioit, että f(x) =g(x) in, kun x A. Tällöin fdμ= fdμ+ fdμ= gdμ= g dμ. A A A Luse 4.5. Olkoon f : [0, ] mitllinen funktio. Jos fdμ=0, niin f =0 m.k. joukoss. Todistus. Merkitään A := {x f(x) > 0} j oletetn, että m(a) > 0. Jos jokisell k Z + setetn k := { x f(x) > 1 k}, niin k k+1 in, kun k Z +,ja = k. Siis Luseen 2.4 nojll lim m( k)=m(a) > 0, joten 1 0= fdμ fdμ k k k dμ = 1 k m( k) > 0, kun k on riittävän suuri. Tästä seur ristiriit, joten m(a) =0. 5. Keskeiset rj-rvotulokset ei-negtiiviselle mitlliselle funktiolle Tässä kppleess todistmme muutmn keskeisen tulosksen Lebesgue integrlin hyvästä käyttäytymisestä rj-rvon oton suhteen. Luse 5.1. Olkoon A R n mitllinen joukko j f : A [0, ] nnettu funktio. Tällöin f on mitllinen jos j vin jos on olemss sellinen funktiojono (f i ) Y, että f i (x) f i+1 (x) in, kun x A j i Z +, sekä lim f i (x) =f(x) in, i kun x A. Todistus. Jos edellä minittu jono (f i ) on olemss, niin Luseen 2.4 nojll rjfunktio f on mitllinen. Olkoon siis f : A [0, ] mitllinen funktio. Konstruoidn funktiojono (f i ) Y seurvsti: f 1 :Väli[0, 1] jetn väleihin (ks. kuv 2) V 1j =[ j 1 2, j [, 1 j 2, 2 j setetn { j 1 f 1 (x) =, jos x f 1 (V 2 1j ),j =1, 2, 1, jos x f 1 ([1, ]). f i,i 2: Väli[0,i] jetn erillisiin osiin V ij =[ j 1 2 i, j 2 i [, 1 j i2i,

30 30 2. INTGROIMISTORIAA 2 1 f 1 Kuv 2. Funktio f 1. j setetn f i (x) = { j 1 2 i, jos j 1 2 i f(x) < j 2 i,j=1,...,i2 i, i, jos f(x) i. Selvästi f i (x) Y j f i (x) f i+1 (x) f(x) in, kun x A j i Z +.Jos f(x) <, niin vlitsemll i 0 f(x) sdn f(x) 1 f 2 i i (x) f(x) in, kun i i 0.Tätenf i (x) f(x). Jos ts f(x) =+, niin f i (x) =i in, kun i Z +, j f i (x) +, kuni. Siis lim i f i (x) =f(x), in, kun x A, j (f i ) täyttää luseen ehdot. Luse 5.1 nojll olisi ollut mhdollist määritellä ei-negtiivisen mitllisen funktion f : A [0, ] integrlin yli joukon A rj-rvon fdμ= lim I(f i,). i Tällöin olisi kuitenkin pitänyt osoitt, että rj-rvo on hyvin määritelty, eli, että se ei riipu pproksimoivst funktiojonost. Luse 5.2 (Lebesguen MS-luse). Olkoon (f k ) : [0, ] jono sellisi mitllisi funktioit, että f k (x) f k+1 (x) in, kun x j k Z +.Tällöin lim f k dμ = lim f k dμ. Todistus. Todetn luksi, että yhtälön molemmt puolet ovt määritellyt. Kosk f k (x) f k+1 (x) in, kun x, niin Luseen 4.2 () nojll 0 f k dμ f k+1 dμ. Täten ( f k) on ksvv relilukujono, joll on rj-rvo α := lim f k dμ [0, ]. Toislt lukujono (f k (x)) on ksvv j rjfunktio f(x) := lim f k (x) =supf k (x) f k (x) 0 k on myös mitllinen j integrli on siis määritelty. Täten yhtälön molemmt puolet ovt määritellyt. delläolevn nojll f k (x) f(x) in, kun x j k Z +, joten f k dμ fdμ in, kun k Z +,

31 j siis 5. KSKIST RAJA-ARVOTULOKST 31 α = lim Riittää enää osoitt, että α ϕ Y sellinen, että ϕ f joukoss. Merkitään f k dμ =sup f k dμ f dμ. k fdμ.olkoon0 β<1mielivltinen j olkoon k := {x f k (x) βϕ(x)}, in, kun k =1, 2,... Selvästi joukot k ovt mitllisi j , sekä k =. Näin ollen sdn f k dμ f k dμ βϕdμ = β ϕ dμ. k k k Hrjoitustehtävänä on osoitt, että jos ϕ Y j (A k ) on jono sellisi mitllisi joukkoj, että A 1 A 2..., niin ( ) I ϕ, A k = lim I(ϕ, A k ). Siis α =sup f k dμ β lim ϕdμ= β ϕdμ= βi(ϕ, ) k k in, kun ϕ Y j ϕ f, joten α β sup I(ϕ, ) =β f dμ. ϕ Y ϕ f Kun β 1, niin sdn lopult α fdμj luse on todistettu. Lemm 5.3. Olkoot f,g : [0, ] mitllisi funktioit. Tällöin f + gdμ= fdμ+ g dμ. Todistus. Olkoot (ϕ k ) j (ψ k ) Luseen 5.1 jonot funktioille f j g. Tällöin jono (ϕ k + ψ k ) on ksvv j lim (ϕ k(x)+ψ k (x)) = f(x)+g(x). Lebesguen MS-luseen nojll ( f + gdμ= lim ϕ k + ψ k dμ = lim ) ϕ k dμ + ψ k dμ = lim ϕ k dμ + lim ψ k dμ = fdμ+ g dμ. Induktioll tulos yleistyy m:lle funktiolle m m f k dμ = f k dμ. Induktioll sdn kuitenkin in vin äärellisiä joukkoj koskevi tuloksi. Induktiopäättely voidn kuitenkin usein yhdistää sopivll tvllrj-rvopäättelyyn j näin joht vstv numeroituv tulos. Näin menetellään seurvksi e.m. yhtälölle.

32 32 2. INTGROIMISTORIAA Luse 5.4. Olkoon (f k ) : [0, ] jono mitllisi funktioit. Tällöin f k dμ = f k dμ. Todistus. Jos n Z + on mielivltinen, niin funktio g n = n f k on mitllinen, 0 g 1 g 2... j f k (x) = lim g n (x) n on olemss j on mitllinen funktio. Lebesguen MS-luseen j edellisen huomutuksen nojll f k (x) dμ = lim g n = lim g n dμ n = lim f k dμ = f k dμ. n Luse 5.5 (Ftoun Lemm). Olkoon (f k ) : [0, ] jono mitllisi funktioit. Tällöin lim inf f k dμ lim inf f k dμ. Todistus. Asetetn g n (x) :=inf k n f k (x) in, kun x. Tällöin g n (x) g n+1 (x) in, kun x j n Z +,joten lim g n(x) =supg n (x) =supinf f k(x) = lim inf f k(x). n n n k n Lebesguen MS-lusett voidn sovelt jonoon g n, jolloin lim inf f k dμ = lim g n dμ = lim g n dμ. n n Kosk g n g n+1 in, kun n Z +, niin ( g n) n=1 on ksvv lukujono j rj-rvo on olemss. Lisäksi lim n g n dμ = lim inf n sup n inf k n g n dμ =sup n inf k n f k dμ = lim inf g k dμ f k dμ, sillä g k (x) =inf f j(x) f k (x) in, kun k. Näin ollen j k lim inf f k dμ = lim g k lim inf f k dμ. simerkki. Olkoon f k (x) =kχ 1 (0, k) (x) = { 0, jos x 0 ti x 1, k k, jos 0 <x< 1. k Tällöin f k (x) 0 in, kun x [0, 1], mutt f k (x) dx = k m (( )) 0, 1 1 k = k k =1 in, kun k Z +. [0,1]

33 Siis 6. MITALLISN FUNKTION INTGRAALI 33 [0,1] lim f k dx =0< 1 = lim [0,1] f k dx. Luse 5.6. () Olkoon { k } perhe erillisiä joukkoj j f : k k [0, ] mitllinen funktio. Tällöin k k fdμ= k k f dμ. (b) Olkoon { k } M ksvv ti vähenevä jono j f mitllinen joukoss k. Jos k on vähenevä, oletetn lisäksi, että k fdμ< jollin k. Tällöin fdμ= lim f dμ. lim k k Todistus. Hrjoitustehtävä. missä Funktioll f : R on in esitys 6. Mitllisen funktion integrli f(x) =f + (x) f (x) in, kun x, f + (x) =mx{0,f(x)}, f (x) =mx{0, f(x)} = min{0,f(x)}. Lisäksi f(x) = f + (x)+f (x) in, kun x. Funktio f : R on mitllinen, jos j vin jos f + j f ovt mitllisi (miten tämä todistetn?). Näin ollen mitlliselle funktionlle f : R integrlit f + dμ j f dμ ovt määritellyt j ovt välin [0, ] lukuj. Näin sdn funktion f integrlille yli joukon luonnollinen määritelmä fdμ:= f + dμ f dμ. Tässä kuitenkn tpust + (+ ) ei ole määritelty, joten rjoitetn trksteltujen funktioiden joukko seurvsti: Määritelmä 6.1. Jos f : R on mitllinen j f + dμ < TAI f dμ < niin määrittelemme funktion integrlin kvll f := f + dμ f dμ. Funnktiot snotn integroituvksi (ti Lebesgue-integroituvksi)jos f + dμ < JA f dμ <

34 34 2. INTGROIMISTORIAA Luse 6.2. Funktio f : R on integroituv yli joukon jos j vin jos f on mitllinen j f <. Tällöin lisäksi fdμ f dμ. Todistus. Funktio f on integroituv yli joukon jos j vin jos se on mitllinen j f + dμ < j f dμ <. Mutt f = f + + f f + j f 0, joten Luseen 5.3 nojll f dμ <. Josf on mitllinen j f dμ <, niin (f + + f ) dμ < j siten f + dμ + f dμ < j f + dμ < j f dμ <. Näin ollen f on integroituv. Lisäksi fdμ = f + dμ f dμ f + dμ + f dμ = f + dμ + f dμ = f + + f dμ = f dμ. Kosk integroitvt funktiot muodostvt niin yleisesti käytetyn luokn, nnetn sille nimi: Snomme, että f L 1 (,μ) jos f : R on mitllinen funktio jolle f dμ <. Jos on yhteydestä selvä, käytetään lyhyempää merkintää L 1 (μ). Josμ on Lebesgue:in mitt, käytetään merkintää L 1 () to L 1. Integrlin perusominisuudet ovt jälleen helposti todistettviss tässä yleisessä tpuksess. Luse 6.3. Oletetn, että f,g L 1 (,μ). () m({x f(x) =+ ti f(x) = }) =0. (b) Jos f g m.k. joukoss, niin fdμ gdμ. (c) funktio f + g on määritelty m.k. joukoss, f + g L 1 (,μ) on integroituv yli joukon j f + gdμ= fdμ+ g dμ. (d) Jos α R, niin αf L 1 (,μ) j αf dμ = α fdμ. Todistus. Kohdt () (c) jätetään lukijlle. Kohdn (d) voi todist vikk seurvsti: Jos α 0, niin (αf) + = αf + j (αf) = αf, joten väite seur Luseest 4.2 (e). Jos α<0, niin (αf) + =( α)f j (αf) =( α)f +,joten αf dμ = (αf) + dμ (αf) dμ = ( α)f dμ ( α)f + dμ =( α) f dμ ( α) = α f dμ. ( f + dμ = α f + dμ ) f dμ dellisestä luseest seur erityisesti, että jos f : R on mitllinen funktio jolle f(x) g(x) m.k. joukoss jollekin g L 1 (,μ), niin myös f L 1 (,μ) j f dμ g dμ.

35 6. MITALLISN FUNKTION INTGRAALI 35 Kolms keskeinen Lebesgue:in teorin rj-rvoluse ei vdi funktiolt einegtiivisuutt, vn että itseisrvo on sopivsti ylhäältä rjoitettu. Tästä syystä sitä kutsutn dominoidun suppenemisen luseeksi. Luse 6.4 (Lebesguen DS-luse). Olkoon f : R mitllinen funktio j (f k ) jono sellisi mitllisi funktioit R, että f k (x) f(x) m.k. joukoss. Jos on olemss sellinen integroituv funktio g : [0, ], että f k (x) g(x) m.k. joukoss in, kun k Z +, niin funktio f on integroituv yli joukon j lim f k dμ = fdμ= lim f k dμ. Todistus. Merkitään { } 0 = x lim f k (x) =f(x) j f k (x) g(x) k Z +. Selvästi m( \ 0 )=0.Lisäksi f(x) g(x) in, kun x 0, sillä f k (x) g(x) in, kun k Z + j x 0. dellisen luseen nojll kikki funktiot f k j myös funktio f ovt integroituvi yli joukon. Merkitään A := {x 0 f k (x) < k Z + j f(x) < }. Luseen 4.3 nojll myös m( \ A) =0. Nyt funktiot g ± f k : A [0, [ j g ± f : A [0, [ ovt integroituvi joukon A yli j g(x) ± f k (x) g(x) ± f(x) joukoss A. Ftoun Lemmn nojll gdμ+ fdμ= g + fdμ= lim g + f k dμ A A ( ) lim inf g + f k dμ = lim inf gdμ+ f k dμ A A A = gdμ+ lim inf f k dμ, joten Vstvsti gdμ j sdn Tällöin fdμ lim inf f k dμ. fdμ= g fdμ lim inf g f k dμ A A ( ) = lim inf gdμ f k dμ = A A = gdμ lim sup f k dμ fdμ lim sup f k dμ. gdμ+ lim inf lim sup f k dμ fdμ lim inf f k dμ. ( ) f k dμ

36 36 2. INTGROIMISTORIAA Kosk in lim inf k lim sup k, on välttämättä lim inf f k dμ = lim sup f k dμ = f dμ. Jos m() < j f k (x) C m.k. joukoss in, kun k Z +,jf k f m.k., niin g = C on integroituv mjorntti j siis DS-luse pätee j fdμ C m() <. Seurvn luseen todistminen jätetään hrjoitukseksi. Luse 6.5. Olkoon { k } k R n korkeintn numeroituv perhe erillisiä mitllisi joukkoj j f : k k R mitllinen funktio. () Jos f on integroituv joukon k k yli, niin f on integroituv jokisen joukon k yli j (8) fdμ= f dμ. k k k k (b) Jos f on integroituv jokisen joukon k yli j jos f dμ <, k k niin f on integroituv joukon k k yli j kv (8) on voimss. 7. Riemnnin integrli Mikä on Lebesguen j Riemnnin integrlien välinen yhteys? b Tässä luvuss käytämme symbooli f(x) dx Riemnnin integrlille. Tämä symbooli yleensä trkoitt jotin muut; Riemnnin integrlille ei ole eri- tyistä symbooli, kosk, kuten seurvksi osoitmme, siinä, että Riemnnin j Lebesgue:in integrleille käytetään sm symbooli ei oikesti ole seknnuksen vr. Seurv tulos pätee yleisemminkin, mutt todistetn se tässä yksinkertisuuden vuoksi tpuksess n =1j =[, b]. Lemm 7.1. Olkoon f :[, b] [0, ] Riemnnin mielessä integroituv. Tällöin f on mitllinen j b fdx= f(x) dx, ts. integrlit ovt smt. [,b] Todistus. Kosk f on Riemnnin mielessä integroituv, on olemss selliset porrsfunktiot {ϕ n } j {ψ n } (l- j yläsummt), että ϕ n (x) f(x) ψ n (x) in, kun x [, b] j n Z +,sekä 0 ϕ n ϕ n+1 f ψ n+1 ψ n. Integrlin määritelmän nojll b ψ n dx b ϕ n dx 1 n,

37 joten b f(x) dx := lim 7. RIMANNIN INTGRAALI 37 n b ϕ n (x) dx = lim n b ψ n dx. Toislt jokinen tällinen porrsfunktio on myös yksinkertinen funktio j b b ϕ n dx = ϕ n dx j ψ n dx = ψ n dx. [,b] Rjfunktiot ϕ(x) := lim n ϕ n (x) j ψ(x) := lim n ψ n (x) ovt myös mitllisi, joten Lebesguen MS-luseen j Ftoun Lemmn nojll ϕdx= lim ϕ n dx = lim ψ n dx ( lim ψ n ) dx = ψdx. [,b] n [,b] n [,b] [,b] n [,b] Toislt ϕ(x) f(x) ψ(x), joten ϕ ψ. Siis [,b] [,b] ψ ϕdx=0, [,b] missä ψ ϕ 0. Luseen 4.5 nojll ψ(x) =ϕ(x) m.k. välillä [, b], jotenf(x) = ϕ(x) =ψ(x) m.k. välillä [, b]. Siis f on mitllinen. Lopuksi sdn b fdx= ϕdx= lim ϕ n dx = f(x) dx. [,b] [,b] b n Luse 7.2. Olkoon f : R Riemnn-integroituv. Tällöin funktio f on integroituv yli joukon j fdx= f(x) dx. Todistus. Trkstelln tpust n =1. Jos funktio f on Riemnn-integroituv, niin f + j f ovt Riemnn-integroituvi. Lemmn 7.1 nojll f + dx = f + (x) dx j f = f (x) dx. Siis fdx= = [,b] f + dx f dx = f + (x) dx (f + (x) f (x)) dx = f(x) dx. f (x) dx Huomutus. Luseen 6.2 nojll funktio f voi oll mitllinen vikk se ei ole integroituv ( f + dx =+, ti f dx =+ ). Tämä joht eroon epäoleellisiss integrleiss. simerkki. Olkoon f :[π, [ R, f(x) = sin x. Funktio f on jtkuv, joten se on mitllinen. Nyt f dx = [π, [ = 2 π n=1 (n+1)π n=1 nπ sin x x 1 n +1 =+. dx x n=1 1 (n+1)π sin x dx (n +1)π nπ

Riemannin integraalista

Riemannin integraalista Lebesguen integrliin sl. 2007 Ari Lehtonen Riemnnin integrlist Johdnto Tämän luentomonisteen trkoituksen on tutustutt lukij Lebesgue n integrliin j sen perusominisuuksiin mhdollisimmn yksinkertisess tpuksess:

Lisätiedot

TEHTÄVÄ 1. Olkoon (f n ) jono jatkuvia funktioita f n : [a, b] R, joka suppenee välillä [a, b] tasaisesti kohti funktiota f : [a, b] R.

TEHTÄVÄ 1. Olkoon (f n ) jono jatkuvia funktioita f n : [a, b] R, joka suppenee välillä [a, b] tasaisesti kohti funktiota f : [a, b] R. Topologi I Hrjoitus 10, rtkisuj AP TEHTÄVÄ 1. Olkoon (f n ) jono jtkuvi funktioit f n : [, b] R, jok suppenee välillä [, b] tsisesti kohti funktiot f : [, b] R. Osoit, että tällöin f n (x) dx f(x) dx.

Lisätiedot

II.1. Suppeneminen., kun x > 0. Tavallinen lasku

II.1. Suppeneminen., kun x > 0. Tavallinen lasku II. EPÄOLEELLISET INTEGRAALIT nt II.. Suppeneminen Esim. Olkoon f() =, kun >. Tvllinen lsku = / =. Kuitenkn tätä integrli ei ole ikisemmss mielessä määritelty, kosk f ei ole rjoitettu välillä [, ] (eikä

Lisätiedot

SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT Funktiojonot 1

SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT Funktiojonot 1 SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 JOUNI PARKKONEN Sisältö 0. Tästä tekstistä. Funktiojonot 0. Tästä tekstistä Tämä moniste on trkoitettu käytettäväksi kurssin Srjt j differentiliyhtälöt luentomterilin.

Lisätiedot

5 Epäoleellinen integraali

5 Epäoleellinen integraali 5 Epäoleellinen integrli 5. Integrlin suppeneminen Olkoon f sellinen välillä [, b[ (ei siis välttämättä pisteessä b) määritelty funktio, että f on Riemnn-integroituv välillä [, ] kikill ], b[ eli on olemss

Lisätiedot

3 Integraali ja derivaatta

3 Integraali ja derivaatta 3 Integrli j erivtt 3.1 Integrli ylärjns funktion Olkoon funktio f Riemnn-integroituv välin I jokisell suljetull osvälillä j välin I jokin kiinteä luku. Tällöin integrli määrittelee funktion G(): I R,

Lisätiedot

7 Funktiosarjoista. 7.1 Funktiosarjojen suppeneminen

7 Funktiosarjoista. 7.1 Funktiosarjojen suppeneminen 7 Funktiosrjoist 7. Funktiosrjojen suppeneminen Seurvksi trkstelln srjoj, joiden termit ovt (lukujen sijst) jollkin välillä I määriteltyjä funktioit. Täsmällisemmin funktiosrjll (ti lyhyemmin srjll) trkoitetn

Lisätiedot

Lebesguen integraali - Rieszin määritelmä

Lebesguen integraali - Rieszin määritelmä Lebesguen integrli - Rieszin määritelmä Tru Lehtonen Mtemtiikn pro grdu-tutkielm Jyväskylän yliopisto Mtemtiikn j tilstotieteen litos Kevät 216 Tiivistelmä Jyväskylän Yliopisto Lehtonen, Tru Puliin: Lebesguen

Lisätiedot

Kuvausta f sanotaan tällöin isomorfismiksi.

Kuvausta f sanotaan tällöin isomorfismiksi. Määritelmä..12. Oletetn, että 1 =(V 1,E 1 ) j 2 =(V 2,E 2 ) ovt yksinkertisi verkkoj. Verkot 1 j 2 ovt isomorfiset, jos seurvt ehdot toteutuvt: (1) on olemss bijektio f : V 1 V 2 (2) kikill, b V 1 pätee,

Lisätiedot

Analyysi 2. Harjoituksia lukuihin 1 3 / Kevät Anna sellainen välillä ] 2, 2[ jatkuva ja rajoitettu funktio f, että

Analyysi 2. Harjoituksia lukuihin 1 3 / Kevät Anna sellainen välillä ] 2, 2[ jatkuva ja rajoitettu funktio f, että Anlyysi Hrjoituksi lukuihin 3 / Kevät 5. Ann sellinen välillä ], [ jtkuv j rjoitettu funktio f, että () sup A m A j inf A min A, (b) sup A m A j inf A = min A, (c) sup A = m A j inf A min A, (d) sup A

Lisätiedot

2 Riemann-integraali. 2.1 Porrasfunktion integraali. Aloitetaan integraalin täsmällinen määrittely tutkimalla porrasfunktion integraalia.

2 Riemann-integraali. 2.1 Porrasfunktion integraali. Aloitetaan integraalin täsmällinen määrittely tutkimalla porrasfunktion integraalia. 2 Riemnn-integrli 2.1 Porrsfunktion integrli Aloitetn integrlin täsmällinen määrittely tutkimll porrsfunktion integrli. Määritelmä 2.1 (Porrsfunktion integrli). Olkoon f : [, b] R porrsfunktio j P = {x

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 7: Integraali ja analyysin peruslause

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 7: Integraali ja analyysin peruslause MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 7: Integrli j nlyysin perusluse Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos 3.10.2016 Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen

Lisätiedot

Kertausta ja täydennystä

Kertausta ja täydennystä LUKU 1 Kertust j täydennystä 1.1. Merkintöjä N = {k Z k 0} = {0, 1, 2,... }, luonnollisten lukujen joukko. Z + = {k Z k > 0} = {1, 2,... }, positiivisten kokonislukujen joukko. (, b) on relikselin voin

Lisätiedot

MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 7: Integraali ja analyysin peruslause

MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 7: Integraali ja analyysin peruslause MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 7: Integrli j nlyysin perusluse Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos November 20, 2017

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Mtemtiikn tukikurssi Kurssikert 4 Tilvuuden j vipn ln lskeminen Kuten iemmin käsittelimme, määrätyn integrlin vull voi lske pintloj j tilvuuksi. Tyypillisenä sovelluksen tilvuuden lskemisest on tpus, joss

Lisätiedot

ANALYYSI I, kevät 2009

ANALYYSI I, kevät 2009 ANALYYSI I, kevät 009 Sisältö Relilukujen peruskäsitteitä Lukujonoist 4. Lukujonon rj-rvo....................... 4. Monotoniset jonot..........................3 Osjonot.............................. 7.4

Lisätiedot

Riemannin integraalista

Riemannin integraalista TAMPEREEN YLIOPISTO Pro grdu -tutkielm Aij Stenberg Riemnnin integrlist Mtemtiikn j tilstotieteen litos Mtemtiikk Syyskuu 2010 2 Tmpereen yliopisto Mtemtiikn j tilstotieteen litos STENBERG, AIJA: Riemnnin

Lisätiedot

Määritelmä Olkoon C R m yksinkertainen kaari ja γ : [a, b] R m sen yksinkertainen parametriesitys, joka on paloittain C 1 -polku.

Määritelmä Olkoon C R m yksinkertainen kaari ja γ : [a, b] R m sen yksinkertainen parametriesitys, joka on paloittain C 1 -polku. Muodostetn vektorikentän kri-integrli yksinkertisen kren tpuksess. Plutetn mieleen, että joukko C R m on yksinkertinen kri, jos löytyy sellinen jtkuv bijektio γ : [, b] C, jok on ploittin C 1 -funktio

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Mtemtiikn tukikurssi Kurssikert 5 1 Jtkuvuus Trkstelln funktiot fx) josskin tietyssä pisteessä x 0. Tämä funktio on tässä pisteessä joko jtkuv ti epäjtkuv. Jtkuvuuden ymmärtää prhiten trkstelemll epäjtkuv

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali MS-A1{3,4} (ELEC*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 8: Integrlifunktio j epäoleellinen integrli Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos 5.1.216 Pekk Alestlo,

Lisätiedot

ANALYYSI I, kevät 2009

ANALYYSI I, kevät 2009 ANALYYSI I, kevät 2009 Sisältö Relilukujen peruskäsitteitä 2 Lukujonoist 3 2. Lukujonon rj-rvo....................... 3 2.2 Monotoniset jonot......................... 7 2.3 Osjonot..............................

Lisätiedot

i 2 n 3 ( (n 1)a (i + 1) 3 = 1 +

i 2 n 3 ( (n 1)a (i + 1) 3 = 1 + I. INTEGRAALILASKENTA Arkhimedes (287 22 e.kr.) prbelin segmentin pint-l Newton (642 727) j Leibniz (646 76) keksivät diff.- j int.-lskennn Cuhy (789 857) ε, δ Riemnn (826 866) Riemnnin integrli Lebesgue

Lisätiedot

ANALYYSI I, kevät 2009

ANALYYSI I, kevät 2009 5 Riemnnin integrli 7 ANALYYSI I, kevät 9 5. Integrlin perusominisuuksi................. 76 5. Anlyysin perusluse....................... 8 Sisältö Relilukujen peruskäsitteitä Lukujonoist 3. Lukujonon rj-rvo.......................

Lisätiedot

Matematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus Malliratkaisut (Sauli Lindberg)

Matematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus Malliratkaisut (Sauli Lindberg) Matematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus 4 9.4.-23.4.200 Malliratkaisut (Sauli Lindberg). Näytä, että Lusinin lauseessa voidaan luopua oletuksesta m(a)

Lisätiedot

MS-A010{2,3,4,5} (SCI, ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali

MS-A010{2,3,4,5} (SCI, ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali MS-A1{2,3,4,5} (SC, ELEC*, ENG*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 8: ntegrlifunktio j epäoleellinen integrli Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos November

Lisätiedot

Lebesguen integraali

Lebesguen integraali LUKU 3 Lebesguen integrli Seurvss esitettävä määritelmä Lebesguen integrlille ei ole Lebesguen lkuperäinen. Vuoden 1904 luennoissn [23] hän kuitenkin setti tvoitteeksi, että integrlill olisi ominisuus:

Lisätiedot

Sarjat ja integraalit

Sarjat ja integraalit Srjt j integrlit c Mtemttisten tieteiden litos, Oulun yliopisto Versio: 9.3.0 Viimeksi muoknnut: Peter Hästö Sisältö Funktion rj-rvo j jtkuvuus. Peruskäsitteitä........................................

Lisätiedot

1. Derivaatan Testi. Jos funktio f on jatkuva avoimella välillä ]a, b[ ja x 0 ]a, b[ on kriit. tai singul. piste niin. { f (x) > 0, x ]a, x 0 [

1. Derivaatan Testi. Jos funktio f on jatkuva avoimella välillä ]a, b[ ja x 0 ]a, b[ on kriit. tai singul. piste niin. { f (x) > 0, x ]a, x 0 [ 1. Derivtn Testi Jos funktio f on jtkuv voimell välillä ], b[ j x 0 ], b[ on kriit. ti singul. piste niin { f (x) < 0, x ], x 0 [ f x (x) > 0, x ]x 0, b[ 0 on lokli minimipiste (1) { f (x) > 0, x ], x

Lisätiedot

Sisältö. Integraali 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 20

Sisältö. Integraali 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 20 Integrli 10. syyskuut 2005 sivu 1 / 20 Sisältö 1 Määrätty integrli j integrlifunktio 2 1.1 Integroituvist funktioit 3 1.2 Määrätyn integrlin ominisuuksi 4 1.3 Integrlifunktio 5 1.4 Integrlilskennn tärkeimmät

Lisätiedot

Reaalianalyysin perusteita

Reaalianalyysin perusteita Reaalianalyysin perusteita Heikki Orelma 16. marraskuuta 2008 Sisältö 1 Johdanto 3 2 Mitallisuus 3 3 Yksinkertaiset funktiot 6 4 Mitat ja integrointi 7 5 Kompleksisten funktioiden integrointi 10 6 Nolla-mittaisten

Lisätiedot

2.4 Pienimmän neliösumman menetelmä

2.4 Pienimmän neliösumman menetelmä 2.4 Pienimmän neliösummn menetelmä Optimointimenetelmiä trvitn usein kokeellisen dtn nlysoinniss. Mittuksiin liittyy virhettä, joten mittus on toistettv useit kertoj. Oletetn, että mittn suurett c j toistetn

Lisätiedot

x k 1 Riemannin summien käyttö integraalin approksimointiin ei ole erityisen tehokasta; jatkuvasti derivoituvalle funktiolle f virhe b

x k 1 Riemannin summien käyttö integraalin approksimointiin ei ole erityisen tehokasta; jatkuvasti derivoituvalle funktiolle f virhe b 5 Integrlien lskemisest 51 Riemnnin summt [A2], [4, 61] Rjoitetun funktion f : [, b] R Riemnn-integroituvuudelle ytäpitäväksi on kurssill Anlyysi 2 osoitettu, että Riemnnin summill S P := f(ξ k ) ( ),

Lisätiedot

a = x 0 < x 1 < x 2 < < x n = b f(x) dx = I. lim f(x k ) x k=1

a = x 0 < x 1 < x 2 < < x n = b f(x) dx = I. lim f(x k ) x k=1 5 Integrli 5.1 Määritelmä j ominisuudet Olkoon f : [, b] R jtkuv. Muodostetn välin [, b] jko = x 0 < x 1 < x 2 < < x n = b j siihen liittyvä yläsumm S = n M k (x k x k 1 ), M k = mx{f(x) x k 1 x x k },

Lisätiedot

10. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA

10. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA MAA0 0. Määrätyn integrlin käyttö eräiden pint-lojen lskemisess 0. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA Edellä on todettu, että f (x)dx nt x-kselin j suorien x =, x = sekä funktion

Lisätiedot

Kertymäfunktio. Kertymäfunktio. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 2/2. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 1/2. Kertymäfunktio: Esitiedot

Kertymäfunktio. Kertymäfunktio. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 2/2. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 1/2. Kertymäfunktio: Esitiedot TKK (c) Ilkk Mellin (24) 1 Johdtus todennäköisyyslskentn TKK (c) Ilkk Mellin (24) 2 : Mitä opimme? 1/2 Jos stunnisilmiötä hlutn mllint mtemttisesti, on ilmiön tulosvihtoehdot kuvttv numeerisess muodoss.

Lisätiedot

Sisältö. Funktiojonot ja -sarjat 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 15

Sisältö. Funktiojonot ja -sarjat 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 15 Funktiojonot j -srjt 10. syyskuut 2005 sivu 1 / 15 Sisältö 1 Funktiojonoist 2 2 Funktiosrjoist 5 3 Funktiojonojen j -srjojen derivointi j integrointi 7 4 Potenssisrjt 9 5 Tylorin polynomit j srjt 12 5.1

Lisätiedot

Analyyttiset funktiot ja integrointiteorian alkeita

Analyyttiset funktiot ja integrointiteorian alkeita Anlyyttiset funktiot j integrointiteorin lkeit 6. helmikuut 2006 isältö 1 Kertust 1 2 Anlyyttiset funktiot 2 2.1 Anlyyttiset funktiot tsoll................... 2 2.2 Monogeeniset funktiot vruudess R n.............

Lisätiedot

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2017 Harjoitus 6, ratkaisuista. 1. Onko jokin demojen 5 tehtävän 3 relaatioista

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2017 Harjoitus 6, ratkaisuista. 1. Onko jokin demojen 5 tehtävän 3 relaatioista Mtemtiikn johntokurssi, syksy 07 Hrjoitus 6, rtkisuist. Onko jokin emojen 5 tehtävän reltioist ) R := {(, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, )}, ) S := {(, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ),

Lisätiedot

Konvergenssilauseita

Konvergenssilauseita LUKU 4 Konvergenssilauseita Lause 4.1 (Monotonisen konvergenssin lause). Olkoon (f n ) kasvava jono Lebesgueintegroituvia funktioita. Asetetaan f(x) := f n (x). Jos f n

Lisätiedot

Ville Turunen: Mat Matematiikan peruskurssi P1 3. välikokeen alueen teoriatiivistelmä 2007

Ville Turunen: Mat Matematiikan peruskurssi P1 3. välikokeen alueen teoriatiivistelmä 2007 Ville Turunen: Mt-.4 Mtemtiikn peruskurssi P 3. välikokeen lueen teoritiivistelmä 27 Mterili: kirjt [Adms] R. A. Adms: Clculus, complete course (6th edition), [Ly] D. C. Ly: Liner lgebr nd its pplictions

Lisätiedot

Integraalilaskentaa. 1. Mihin integraalilaskentaa tarvitaan? MÄNTÄN LUKIO

Integraalilaskentaa. 1. Mihin integraalilaskentaa tarvitaan? MÄNTÄN LUKIO Integrlilskent Tämä on lukion oppimterileist hiemn poikkev yksinkertistettu selvitys määrätyn integrlin lskemisest. Kerromme miksi integroidn, mitä integroiminen trkoitt, miten integrli lsketn j miten

Lisätiedot

Analyysi B. Derivaatta ja integraali. Pertti Koivisto

Analyysi B. Derivaatta ja integraali. Pertti Koivisto Anlyysi B Derivtt j integrli Pertti Koivisto Kevät 7 Alkusnt Tämä moniste on trkoitettu oheislukemistoksi Tmpereen yliopistoss pidettävälle kurssille Anlyysi B. Monisteen tvoitteen on tuke luentojen seurmist,

Lisätiedot

Säännöllisten operaattoreiden täydentäviä muistiinpanoja

Säännöllisten operaattoreiden täydentäviä muistiinpanoja Säännöllisten operttoreiden täydentäviä muistiinpnoj Antti-Juhni Kijnho 1. huhtikuut 2011 Vnht määritelmät Määritelmä 1. Äärellinen epätyhjä joukko on merkistö, j sen lkioit kutsutn merkeiksi. Määritelmä

Lisätiedot

Analyysin peruslause

Analyysin peruslause LUKU 10 Analyysin peruslause 10.1. Peruslause I Aiemmin Cantorin funktion ψ kohdalla todettiin, että analyysin peruslause II ei päde: [0,1] ψ (x) dm(x) < ψ(1) ψ(0). Kasvavalle funktiolle analyysin peruslauseesta

Lisätiedot

Reaalianalyysi I 1. Ilkka Holopainen 2. March 31, 2010

Reaalianalyysi I 1. Ilkka Holopainen 2. March 31, 2010 Relinlyysi I 1 Ilkk Holopinen 2 Mrch 31, 2010 1 Perustuvt pääosin luentomonisteisiin Mrtio: Relinlyysi I (1999), Rickmn: Relinlyysi (1996) j Tylli: Relinlyysi I (2000) 2 Ilmoit pinovirheistä esim. sähköpostitse

Lisätiedot

6 Integraalilaskentaa

6 Integraalilaskentaa 6 Integrlilskent 6. Integrlifunktio Funktion f integrlifunktioksi snotn funktiot F, jonk derivtt on f. Siis F (x) = f (x) määrittelyjoukon jokisell muuttujn rvoll x. Merkitään F(x) = f (x) dx. Integrlifunktion

Lisätiedot

ANALYYSIN TEORIA A JA B

ANALYYSIN TEORIA A JA B ANALYYSIN TEORIA A JA B Kikki luseit ei ole muotoiltu smll tvll kuin luennoill. Ilmoit virheistä yms osoitteeseen mikko.kngsmki@ut. (jos et ole vrm, onko kyseessä virhe, niin ilmoit mieluummin). 1. Yleistä,

Lisätiedot

Painopiste. josta edelleen. x i m i. (1) m L A TEX 1 ( ) x 1... x k µ x k+1... x n. m 1 g... m n g. Kuva 1. i=1. i=k+1. i=1

Painopiste. josta edelleen. x i m i. (1) m L A TEX 1 ( ) x 1... x k µ x k+1... x n. m 1 g... m n g. Kuva 1. i=1. i=k+1. i=1 Pinopiste Snomme ts-ineiseksi kpplett, jonk mteriliss ei ole sisäisiä tiheyden vihteluj. Tällisen kppleen pinopisteen sijinti voidn joskus päätellä kppleen muodon perusteell. Esimerkiksi ts-ineisen pllon

Lisätiedot

Syksyn 2015 Pitkän matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut

Syksyn 2015 Pitkän matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut Sksn 0 Pitkän mtemtiikn YO-kokeen TI-Nspire CAS -rtkisut Tekijät: Olli Krkkulinen Rtkisut on ldittu TI-Nspire CAS -tietokoneohjelmll kättäen Muistiinpnot -sovellust. Kvt j lskut on kirjoitettu Mth -ruutuihin.

Lisätiedot

Esimerkki 8.1 Määritellään operaattori A = x + d/dx. Laske Af, kun f = asin(bx). Tässä a ja b ovat vakioita.

Esimerkki 8.1 Määritellään operaattori A = x + d/dx. Laske Af, kun f = asin(bx). Tässä a ja b ovat vakioita. 8. Operttorit, mtriisit j ryhmäteori Mtemttinen operttori määrittelee opertion, jonk mukn sille nnettu funktiot muoktn. Operttorit ovt erityisen tärkeitä kvnttimekniikss, kosk siinä jokist suurett vst

Lisätiedot

3.3 KIELIOPPIEN JÄSENNYSONGELMA Ratkaistava tehtävä: Annettu yhteydetön kielioppi G ja merkkijono x. Onko

3.3 KIELIOPPIEN JÄSENNYSONGELMA Ratkaistava tehtävä: Annettu yhteydetön kielioppi G ja merkkijono x. Onko 3.3 KILIOPPIN JÄSNNYSONGLMA Rtkistv tehtävä: Annettu yhteydetön kielioppi G j merkkijono x. Onko x L(G)? Rtkisumenetelmä = jäsennyslgoritmi. Useit vihtoehtoisi menetelmiä, erityisesti kun G on jotin rjoitettu

Lisätiedot

IV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n

IV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n IV. TASAINEN SUPPENEMINEN IV.. Funktiojonon tasainen suppeneminen Olkoon A R joukko ja f n : A R funktio, n =, 2, 3,..., jolloin jokaisella x A muodostuu lukujono f x, f 2 x,.... Jos tämä jono suppenee

Lisätiedot

11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS

11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS 11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS Tilvuus on sen verrn rkielämässä viljelty käsite, että useimmiten sen syvemmin edes miettimättä ymmärretään, mitä juomlsin ti pikkuvuvn kylpymmeen tilvuudell trkoitetn.

Lisätiedot

VEKTOREILLA LASKEMINEN

VEKTOREILLA LASKEMINEN ..07 VEKTOREILL LSKEMINEN YHTEENLSKU VEKTORIT, M4 Vektoreiden j summ on vektori +. Tämän summvektorin + lkupiste on vektorin lkupiste j loppupiste vektorin loppupiste, kun vektorin lkupisteenä on vektorin

Lisätiedot

Cantorin joukon suoristuvuus tasossa

Cantorin joukon suoristuvuus tasossa Cantorin joukon suoristuvuus tasossa LuK-tutkielma Miika Savolainen 2380207 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Syksy 2016 Sisältö Johdanto 2 1 Cantorin joukon esittely 2 2 Suoristuvuus ja

Lisätiedot

HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY OF HELSINKI

HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY OF HELSINKI HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY OF HELSINKI Tiedekunt/Ossto Fkultet/Sektion Fculty Litos Institution Deprtment Mtemttis-luonnontieteellinen Tekijä Förfttre Author Antti Khri Työn

Lisätiedot

Integroimistehtävät, 10. syyskuuta 2005, sivu 1 / 29. Perustehtäviä. Tehtävä 1. Osoita, että vakiofunktio f(x) c on Riemann-integroituva välillä

Integroimistehtävät, 10. syyskuuta 2005, sivu 1 / 29. Perustehtäviä. Tehtävä 1. Osoita, että vakiofunktio f(x) c on Riemann-integroituva välillä Integroimistehtävät,. syyskuut 5, sivu / 9 Perustehtäviä Tehtävä. Osoit, että vkiofunktio f(x) c on Riemnn-integroituv välillä [, b] j lske suorn määritelmän perusteell b f(x). Tehtävä. Osoit, että funktio,

Lisätiedot

TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy Antti-Juhani Kaijanaho. 22. syyskuuta 2016

TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy Antti-Juhani Kaijanaho. 22. syyskuuta 2016 lusekkeet, lusekkeet, TIEA241 Automtit j kieliopit, syksy 2016 Antti-Juhni Kijnho lusekkeet j smuus TIETOTEKNIIKAN LAITOS 22. syyskuut 2016 Sisällys lusekkeet, lusekkeet lusekkeet j smuus j smuus lusekkeet

Lisätiedot

T Syksy 2002 Tietojenkäsittelyteorian perusteet Harjoitus 5 Demonstraatiotehtävien ratkaisut. ja kaikki a Σ ovat säännöllisiä lausekkeita.

T Syksy 2002 Tietojenkäsittelyteorian perusteet Harjoitus 5 Demonstraatiotehtävien ratkaisut. ja kaikki a Σ ovat säännöllisiä lausekkeita. T-79.8 Syksy 22 Tietojenkäsittelyteorin perusteet Hrjoitus 5 Demonstrtiotehtävien rtkisut Säännölliset lusekkeet määritellään induktiivisesti: j kikki Σ ovt säännöllisiä lusekkeit. Mikäli α j β ovt säännöllisiä

Lisätiedot

JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO. 5. Olkoon f : [0, 1] R kasvava. Osoita, että joukko. {x [0, 1] f ei ole jatkuva pisteessä x} on numeroituva. [Vihje: Lause 1.2.

JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO. 5. Olkoon f : [0, 1] R kasvava. Osoita, että joukko. {x [0, 1] f ei ole jatkuva pisteessä x} on numeroituva. [Vihje: Lause 1.2. Harjoitukset 1 16.9.25 1. Merkitään Z + = {x Z x > }. Osoita, että f : Z + Z + Z +, f(x, y) = 2 x 1 (2y 1), on bijektio. Piirrä kuva. Perinteisempi kuvaus Z + Z + Z + on (x, y) (x + y 1)(x + y)/2 (x 1).

Lisätiedot

Reaalinen lukualue. Millainen on luku, jossa on päättymätön ja jaksoton desimaalikehitelmä?

Reaalinen lukualue. Millainen on luku, jossa on päättymätön ja jaksoton desimaalikehitelmä? Relinen lukulue POLYNOMIFUNKTIOT JA -YHTÄLÖT, MAA Millinen on luku, joss on päättymätön j jksoton desimlikehitelmä? Onko sellisi? Trkstelln Pythgorn luseest stv yksikköneliön lävistäjää, luku + = x x =.

Lisätiedot

4. Reaalifunktioiden määrätty integraali

4. Reaalifunktioiden määrätty integraali 6 4. Relifunktioiden määrätt integrli Vrsinisesti termi "integrli" tulee seurvss esitettävästä määrätstä integrlist, jok on läheistä suku summmiselle. Yhtes derivttn on sitten perustv ltu olev tulos, jot

Lisätiedot

Newtonin, Riemannin ja Henstock-Kurzweilin integraalit

Newtonin, Riemannin ja Henstock-Kurzweilin integraalit TAMPEREEN YLIOPISTO Pro grdu -tutkielm Annik Heinonen Newtonin, Riemnnin j Henstock-Kurzweilin integrlit Informtiotieteiden yksikkö Mtemtiikk Helmikuu 2013 Sisältö 1 Johdnto 1 2 Newtonin integrli 2 2.1

Lisätiedot

Riemann-integraalin ja mittaintegraalin vertailua

Riemann-integraalin ja mittaintegraalin vertailua Riemnn-integrlin j mittintegrlin vertilu Pro grdu -tutkielm Pii Tskinen Mtemttisten tieteiden litos Oulun yliopisto Kevät 216 Sisältö Johdnto 3 1 Esitietoj 5 1.1 Välijost............................. 5

Lisätiedot

Olkoon. M = (Q, Σ, δ, q 0, F)

Olkoon. M = (Q, Σ, δ, q 0, F) T 79.148 Tietojenkäsittelyteorin perusteet 2.4 Äärellisten utomttien minimointi Voidn osoitt, että jokisell äärellisellä utomtill on yksikäsitteinen ekvivlentti (so. smn kielen tunnistv) tilmäärältään

Lisätiedot

7. Tasaisen rajoituksen periaate

7. Tasaisen rajoituksen periaate 18 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 7. Tasaisen rajoituksen periaate Täydellisyydestä puristetaan maksimaalinen hyöty seuraavan Bairen lauseen avulla. Bairen lause on keskeinen todistettaessa kahta funktionaalianalyysin

Lisätiedot

Mika Hirvensalo. Insinöörimatematiikka B 2014

Mika Hirvensalo. Insinöörimatematiikka B 2014 Mik Hirvenslo Insinöörimtemtiikk B 4 Sisältö Rj-rvo j jtkuvuus....................................................... 5. Differentili- j integrlilskennn kehityksestä............................. 5. Relilukujen

Lisätiedot

Viikon aiheet. Pinta-ala

Viikon aiheet. Pinta-ala info Viikon iheet Mpu I:sen voit suoritt: Kurssin loppukokeess 23.10. Arvosn: koe + lskrit Mikäli yo. ik ei sovi, voit suoritt loppukokeen yleistenttitilisuudess 24.11. Arvosn: koe + lskrit. Ilmoittudu

Lisätiedot

OSA 1: POLYNOMILASKENNAN KERTAUSTA, BINOMIN LASKUSÄÄNTÖJÄ JA YHTÄLÖNRATKAISUA

OSA 1: POLYNOMILASKENNAN KERTAUSTA, BINOMIN LASKUSÄÄNTÖJÄ JA YHTÄLÖNRATKAISUA OSA 1: POLYNOMILASKENNAN KERTAUSTA, BINOMIN LASKUSÄÄNTÖJÄ JA YHTÄLÖNRATKAISUA Tekijät: Ari Heimonen, Hellevi Kupil, Ktj Leinonen, Tuomo Tll, Hnn Tuhknen, Pekk Vrniemi Alkupl Tiedekeskus Tietomn torninvrtij

Lisätiedot

VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 3.6.2014 Ratkaisut ja arvostelu

VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 3.6.2014 Ratkaisut ja arvostelu VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 3.6.4 Rtkisut j rvostelu. Koululisen todistuksen keskirvo x on lskettu ) b) c) d) kymmenen ineen perusteell. Jos koululinen nostisi neljän ineen

Lisätiedot

2.1 Vaillinaiset yhtälöt

2.1 Vaillinaiset yhtälöt .1 Villiniset yhtälöt Yhtälö, jok sievenee muotoon x + bx + c = 0 (*) on yleistä normlimuoto olev toisen steen yhtälö. Tämän rtkiseminen ei olekn enää yhtä meknist kuin normlimuotoisen ensisteen yhtälön

Lisätiedot

2.6 SÄÄNNÖLLISET LAUSEKKEET Automaattimalleista poikkeava tapa kuvata yksinkertaisia kieliä. Olkoot A ja B aakkoston Σ kieliä. Perusoperaatioita:

2.6 SÄÄNNÖLLISET LAUSEKKEET Automaattimalleista poikkeava tapa kuvata yksinkertaisia kieliä. Olkoot A ja B aakkoston Σ kieliä. Perusoperaatioita: 2.6 SÄÄNNÖLLISET LAUSEKKEET Automttimlleist poikkev tp kuvt yksinkertisi kieliä. Olkoot A j B kkoston Σ kieliä. Perusopertioit: Yhdiste: A B = {x Σ x A ti x B}; Ktentio: AB = {xy Σ x A, y B}; Potenssit:

Lisätiedot

Matematiikan peruskurssi. Seppo Hassi

Matematiikan peruskurssi. Seppo Hassi Mtemtiikn peruskurssi Seppo Hssi Syksy 2014 iii Esipuhe Tämä on 1. versio Mtemtiikn peruskurssin opetusmonisteest, jonk sisältö noudttelee pitkälti Vsn yliopistoss iemmin luennoimni Mtemttiset menetelmät

Lisätiedot

Numeerinen integrointi.

Numeerinen integrointi. Numeerinen integrointi. Differentili- j integrlilskent 1, syksy 2015 Hrri Vrpnen Mtemtiikn j systeeminlyysin litos Alto-yliopisto Tiisti 6.10.2015 Sisältö Tylor-menetelmä. Käyttökelpoinen silloin, kun

Lisätiedot

Olkoon. äärellinen automaatti. Laajennetaan M:n siirtymäfunktio yksittäisistä syötemerkeistä merkkijonoihin: jos q Q, x Σ, merkitään

Olkoon. äärellinen automaatti. Laajennetaan M:n siirtymäfunktio yksittäisistä syötemerkeistä merkkijonoihin: jos q Q, x Σ, merkitään T 79.00/002 Tietojenkäsittelyteorin perusteet 2. Äärellisten utomttien minimointi Voidn osoitt, että jokisell äärellisellä utomtill on yksikäsitteinen ekvivlentti (so. smn kielen tunnistv) tilmäärältään

Lisätiedot

sin θ θ θ r 2 sin 2 θ φ 2 = 0.

sin θ θ θ r 2 sin 2 θ φ 2 = 0. Mtemtiikn j tilstotieteen litos Osittisdifferentiliyhtälöt Kevät 21 Hrjoitus 9 Rtkisuj Jussi Mrtin 1. Osoit, että Lplce-yhtälö pllokoordinteiss on 2 u 1 r 2 2 u r r 1 r 2 sin θ u 1 2 u sin θ θ θ r 2 sin

Lisätiedot

VEKTOREILLA LASKEMINEN

VEKTOREILLA LASKEMINEN 3..07 VEKTOREILLA LASKEMINEN YHTEENLASKU VEKTORIT, MAA Vektoreiden j summ on vektori +. Tämän summvektorin + lkupiste on vektorin lkupiste j loppupiste vektorin loppupiste, kun vektorin lkupisteenä on

Lisätiedot

ANALYYSI 3. Tero Kilpeläinen

ANALYYSI 3. Tero Kilpeläinen ANALYYSI 3 Tero Kilpeläinen Luentomuistiinpnoj syksyltä 2005 20. lokkuut 2005 Sisältö 1. Esitietoj 2 1.1. Riemnn-integrli............................ 2 1.2. Derivtt................................. 4 1.3.

Lisätiedot

Suorat, käyrät ja kaarevuus

Suorat, käyrät ja kaarevuus Suort, käyrät j krevuus Jukk Tuomel Professori Mtemtiikn litos, Joensuun yliopisto Suor? Tämä kirjoitus on eräänlinen jtko Timo Tossvisen suorn määritelmää koskevn kirjoitukseen Solmun numeross 2/2002.

Lisätiedot

Korkeamman kertaluvut derivaatat

Korkeamman kertaluvut derivaatat LUKU 4 Korkemmn kertluvut derivtt Derivtn määritelmän mukn differentioituv kuvust f : U F voidn pproksimoid ffiinill kuvuksell, f(x + u f(x + Df(xu. Jos f on khdesti differentioituv, voidn derivtt pproksimoid

Lisätiedot

Neliömatriisin A determinantti on luku, jota merkitään det(a) tai A. Se lasketaan seuraavasti: determinantti on

Neliömatriisin A determinantti on luku, jota merkitään det(a) tai A. Se lasketaan seuraavasti: determinantti on 4. DETERINANTTI JA KÄÄNTEISATRIISI 6 4. Neliömtriisi determitti Neliömtriisi A determitti o luku, jot merkitää det(a) ti A. Se lsket seurvsti: -mtriisi A determitti o det(a) () -mtriisi A determitti void

Lisätiedot

Seuraava topologisluonteinen lause on nk. Bairen lause tai Bairen kategorialause, n=1

Seuraava topologisluonteinen lause on nk. Bairen lause tai Bairen kategorialause, n=1 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 115 7. Tasaisen rajoituksen periaate Täydellisyydestä puristetaan maksimaalinen hyöty seuraavan Bairen lauseen avulla. Bairen lause on keskeinen todistettaessa kahta funktionaalianalyysin

Lisätiedot

Matemaattiset menetelmät I. Seppo Hassi

Matemaattiset menetelmät I. Seppo Hassi Mtemttiset menetelmät I Seppo Hssi Syksy 2011 iii Esipuhe Tämä on 1. versio Mtemttiset menetelmät I-kurssin opetusmonisteest, jok perustuu Vsn yliopistoss luennoimni vstvn nimiseen kurssiin. Sisältö noudtt

Lisätiedot

ICS-C2000 Tietojenkäsittelyteoria Kevät 2016

ICS-C2000 Tietojenkäsittelyteoria Kevät 2016 ICS-C2 Tietojenkäsittelyteori Kevät 2 Kierros,. 5. helmikuut Demonstrtiotehtävien rtkisut D: Sievennä seurvi säännöllisiä lusekkeit (so. konstruoi yksinkertisemmt lusekkeet smojen kielten kuvmiseen): ()

Lisätiedot

Vektoriarvoisten funktioiden analyysiä

Vektoriarvoisten funktioiden analyysiä Vektorirvoisten funktioiden nlyysiä LuK-tutkielm Arttu Hrtikk 2330325 Mtemttisten tieteiden litos Oulun yliopisto Syksy 2016 Sisältö Johdnto 2 1 Vektorivruus 3 1.1 Normi j normivruus......................

Lisätiedot

Q = {q 1, q 2, q 3, q 4 } Σ = {a, b} F = {q 4 },

Q = {q 1, q 2, q 3, q 4 } Σ = {a, b} F = {q 4 }, T-79.48 Syksy 22 Tietojenkäsittelyteorin perusteet Hrjoitus 4 Demonstrtiotehtävien rtkisut 4. Tehtävä: Ldi epädeterministinen äärellinen utomtti, jok test onko nnetun inäärijonon kolmnneksi viimeinen merkki,

Lisätiedot

Analyysin perusteet kauppatieteilijöille 800118P

Analyysin perusteet kauppatieteilijöille 800118P Anlyysin perusteet kupptieteilijöille 800118P Luentomoniste Kri Myllylä Niin Korteslhti Topi Törmä Oulun yliopisto Mtemttisten tieteiden litos Kevät 2015 Sisältö 1 Derivtt 3 1.1 Määritelmä..............................

Lisätiedot

ICS-C2000 Tietojenkäsittelyteoria Kevät 2015

ICS-C2000 Tietojenkäsittelyteoria Kevät 2015 ICS-C2 Tietojenkäsittelyteori Kevät 25 Kierros 3, 26. 3. tmmikuut Demonstrtiotehtävien rtkisut D: Ldi epädeterministinen äärellinen utomtti, jok test onko nnetun inäärijonon kolmnneksi viimeinen merkki,

Lisätiedot

Ville Suomala MITTA JA INTEGRAALI

Ville Suomala MITTA JA INTEGRAALI Ville Suomala MITT J INTEGRLI Luentotiivistelmä kevät 2017 1 Johdanto bstraktin mittateorian voidaan katsoa syntyneen vuoden 1900 tienoilla, kun Henry Lebesgue esitteli uuden integrointiteorian. Mitta-

Lisätiedot

8. Avoimen kuvauksen lause

8. Avoimen kuvauksen lause 116 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 8. Avoimen kuvauksen lause Palautamme aluksi mieleen Topologian kursseilta ehkä tutut perusasiat yleisestä avoimen kuvauksen käsitteestä. Määrittelemme ensin avoimen

Lisätiedot

AUTOMAATTIEN SYNKRONISAATIOSTA

AUTOMAATTIEN SYNKRONISAATIOSTA AUTOMAATTIEN SYNKRONISAATIOSTA John Kopr Pro grdu -tutkielm Huhtikuu 015 MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS TURUN YLIOPISTO TURUN YLIOPISTO Mtemtiikn j tilstotieteen litos KOPRA, JOHAN: Automttien synkronistiost

Lisätiedot

Analyyttinen lukuteoria

Analyyttinen lukuteoria Anlyyttinen lukuteori Johdnto Kuten yltä näkyy, tämän luentomonisteen kttm luentosrj on nimeltään Anlyyttinen lukuteori, vikkkin opintorekisteribyrokrttisist syistä opintojkso knt nimeä Lukuteori 3. Näin

Lisätiedot

.) (b) Vertaa p :tä vastaavaa kineettistä energiaa perustilan kokonaisenergiaan. ( ) ( ) = = Ek

.) (b) Vertaa p :tä vastaavaa kineettistä energiaa perustilan kokonaisenergiaan. ( ) ( ) = = Ek S-446, FYSIIKKA IV (Sf) Kevät 5, HSf Rtkisut HSf- Kvnttimekninen hrmoninen värähtelijä on perustillln (mss m) Värähtelyn mplitudi on A () ske p (Värähtelijä sijitsee välillä A ) (b) Vert p :tä vstv kineettistä

Lisätiedot

Cantorin joukko LUKU 8

Cantorin joukko LUKU 8 LUKU 8 Cantorin joukko 8.. Cantorin 3 -joukko Merkitään J = J 0, = [0, ]. Poistetaan välin J keskeltä avoin väli I,, jonka pituus on /3; siis I, = (, 2). Olkoot jäljelle jäävät suljetut välit J 3 3, ja

Lisätiedot

Laskennan mallit (syksy 2010) 1. kurssikoe, ratkaisuja

Laskennan mallit (syksy 2010) 1. kurssikoe, ratkaisuja 582206 Lskennn mllit (syksy 2010) 1. kurssikoe, rtkisuj 1. [2+2+2 pistettä] Säännöllisissä lusekkeiss on käytetty tuttu lyhennysmerkintää Σ = ( ). () merkkijonot, joiden kksi ensimmäistä merkkiä ovt joko

Lisätiedot

Automaattimalleista poikkeava tapa kuvata yksinkertaisia kieliä. Olkoot A ja B aakkoston Σ kieliä. Perusoperaatioita:

Automaattimalleista poikkeava tapa kuvata yksinkertaisia kieliä. Olkoot A ja B aakkoston Σ kieliä. Perusoperaatioita: 2.6 SÄÄNNÖLLISET LAUSEKKEET Automttimlleist poikkev tp kuvt yksinkertisi kieliä. Olkoot A j B kkoston Σ kieliä. Perusopertioit: Yhdiste: A B = {x Σ x A ti x B}; Ktentio: AB = {xy Σ x A, y B}; Potenssit:

Lisätiedot

Mitta ja integraali 1

Mitta ja integraali 1 Mitta ja integraali 1 Ilkka Holopainen 2 March 22, 2004 1 Perustuvat pääosin luentomonisteisiin Tylli: Mitta ja integraali (2000 ja Väisälä: Diff. Int. III (1985 2 Ilmoita painovirheistä esim. sähköpostitse

Lisätiedot

Paraabelikin on sellainen pistejoukko, joka määritellään urakäsitteen avulla. Paraabelin jokainen piste toteuttaa erään etäisyysehdon.

Paraabelikin on sellainen pistejoukko, joka määritellään urakäsitteen avulla. Paraabelin jokainen piste toteuttaa erään etäisyysehdon. 5. Prbeli Prbelikin on sellinen pistejoukko, jok määritellään urkäsitteen vull. Prbelin jokinen piste toteutt erään etäissehdon. ********************************************** MÄÄRITELMÄ : Prbeli on tson

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi. Hannu Kivimäki

Matematiikan tukikurssi. Hannu Kivimäki Mtemtiikn tukikurssi Hnnu Kivimäki Sisältö I Ensimmäinen välikoe Integrointi 2 Osittisintegrointi 5 3 Osmurtohjotelm 4 Lisää osmurtoj 4 5 Sijoituskeino 9 6 Määrätty integrli 2 7 Ylä- j lsumm 22 8 Määrätyn

Lisätiedot