Reaalianalyysi I 1. Ilkka Holopainen 2. March 31, 2010
|
|
- Annikki Aro
- 7 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Relinlyysi I 1 Ilkk Holopinen 2 Mrch 31, Perustuvt pääosin luentomonisteisiin Mrtio: Relinlyysi I (1999), Rickmn: Relinlyysi (1996) j Tylli: Relinlyysi I (2000) 2 Ilmoit pinovirheistä esim. sähköpostitse osoitteeseen ilkk.holopinen@helsinki.fi
2 2 Relinlyysi I 1 L p -vruudet 1.1 Mitt-vruus Määritelmä 1.2. Olkoon X mikä thns joukko j P(X) = {A: A X} X:n potenssijoukko. Perhe Γ P(X) on X:n σ-lgebr ( sigm-lg. ), jos (1) Γ; (2) A Γ X \A Γ; (merk. A c = X \A) (3) A i Γ, i N A i Γ. Määritelmä 1.3. Olkoon Γ X:n σ-lgebr. Funktio µ: Γ [0,+ ] on (positiivinen) mitt X:ssä (ti σ-lgebrss Γ), jos () µ( ) = 0; (b) A i Γ, i N, erillisiä µ ( A ) i = i N µ(a i). täysdditiivisuus Kolmikko (X, Γ, µ) on mitt-vruus (j Γ on µ-mitllisten joukkojen perhe). Esimerkki X = R n, Γ = LebR n = Lebesgue-mitllisten joukkojen perhe j µ = m n = Lebesguen mitt. 2. X = R n, Γ = BorR n = Borel-joukkojen perhe j µ = m n BorR n = Lebesguen mitn rjoittum Borel-joukkojen perheeseen. (Muistutus: BorR n = pienin R n :n σ-lgebr, jok sisältää (R n :n) suljetut joukot.) 3. Olkoon X mikä thns joukko. Kiinnitetään x X j setetn kikill A X { 1, jos x A; µ(a) = 0, jos x A. Silloin µ: P(X) [0,+ ] on mitt (ns. Dirc mitt lkioss x X). Usein merkitään µ = δ x. 1.5 Täydelliset mitt Olkoon (X,Γ,µ) mitt-vruus j F Γ. Olkoon P ( = P(x) ) jokin ominisuus, jok riippuu pisteestä x X. Snomme: P pätee µ-m.k. F:ssä (m.k. =melkein kikkill), jos E Γ s.e. µ(e) = 0, E F, j P pätee F \E:ssä. Hluisimme sno trkemmin: P pätee lukuunottmtt 0-mittist joukko. Ongelmn on tpus: {x F: P(x) ei päde} Γ, =A vikk A E j µ(e) = 0. Huom: Yleisen mitn µ tpuksess on mhdollist: (ts. A ei ole µ-mitllinen). A E, µ(e) = 0, mutt A Γ
3 Kevätlk Esimerkki 1.6. Trkstelln mitt-vruutt (R n,borr n,µ), µ = m n BorR n. Silloin B BorR n, µ(b) = 0, j A B s.e. A BorR n. Todistetn tpus n 2: (n = 1 myöhemmin). Olkoon A R ei-lebesgue-mitllinen (ks. [Ho, Luse 1.68] 1 ) j f: R R n, f(x) = (x,0,...,0). Tällöin f jtkuv j m n(fa) m n( {(x1,...,x n ) R n : x i = 0 i = 2,...,n} ) = 0 fa LebR n. Väite: fa BorR n. VO: fa Borel-joukko. Silloin sen lkukuv f 1 (fa) = A on Borel, sillä f on jtkuv [ks. (1.8)]. RR, sillä A ei ole edes Lebesgue-mitllinen. Olkoon G BorR n. Snomme, että kuvus g: G R m on Borel-kuvus (lyh. Borel), jos U R m voin g 1 U BorR n. Erityisesti, jokinen jtkuv kuvus g: G R m, G BorR n, on Borel, kosk silloin g 1 U on voin G:ssä voimill U R m. Ts. g 1 U = G V, missä V R n on voin, joten g 1 U BorR n. Lemm 1.7. (vrt. [Ho, Luse 2.6]) Olkoon G R n Borel-joukko j g: G R m Borel-kuvus. Silloin (1.8) A BorR m g 1 A BorR n. Tod. Merkitään Γ = {V R m : g 1 V BorR n }. Silloin Γ on σ-lgebr, sillä (1) g 1 = BorR n Γ; (2) V Γ g 1 V c = G \ g 1 V BorR n V c Γ; BorR n BorR n (3) V i Γ, i N g 1( i N V ) i = i N g 1 V i BorR n. BorR n Lisäksi Γ sisältää R m :n voimet joukot, sillä i N V i Γ. U R m voin g 1 U BorR n U Γ. Siis Γ BorR m (= pienin σ-lg., jok sisältää voimet joukot). Esimerkin 1.6 kltist tilnnett (ts. A E, µ(e) = 0, A Γ) ei synny, jos µ on ns. täydellinen mitt. Määritelmä 1.9. Olkoon (X, Γ, µ) mitt-vruus. Mitt µ on täydellinen, jos E Γ, µ(e) = 0, F E F Γ. Huomutus µ monotoninen µ(f) = 0. Täydellisyys = 0-mittisten joukkojen osjoukot ovt mitllisi j 0-mittisi. 1 Mitt j integrli, 2002.
4 4 Relinlyysi I Esimerkki (R n,lebr n,m n ), Lebesguen mitt m n on täydellinen. 2. (R n,borr n,µ), µ = m n BorR n ei ole täydellinen. Tilnne ei iheut hnkluuksi, sillä jos mitt µ ei ole täydellinen, niin siitä voidn in tehdä täydellinen: Luse Olkoon (X,Γ,µ) mitt-vruus. Määritellään Γ P(X) settmll Γ = {A F: A Γ j F E jollkin E Γ, µ(e) = 0}. j määritellään µ: Γ [0,+ ], µ(a F) = µ(a), missä A j F kuten yllä. Tällöin (1) Γ on σ-lgebr X:ssä; (2) µ on täydellinen mitt; (3) µ = µ Γ. µ on nimeltään µ:n täydellistymä (j vstvsti (X, Γ, µ) on mitt-vruuden (X,Γ,µ) täydellistymä). A Γ F E E Γ, µ(e) = 0 Tod. Todistetn hnklimmt, muut (HT). (1) (i): Γ. (ii): Olkoon B Γ, B = A F, missä A Γ, F E Γ j µ(e) = 0. Väite: X \B Γ. Tod: Kosk X \B = X \(A F) = ( ) ( ) X \(A E) E \(A F) Γ E on X \B vdittu muoto eli X \B Γ. E X \(A F) A F
5 Kevätlk (iii): Jos B i Γ, i N, niin selvästi i N B i Γ (HT). (2) (i): µ hyvin määritelty: Olkoon B = A 1 F 1 = A 2 F 2, missä A i Γ, F i E i, µ(e i ) = 0, i = 1,2. Silloin A 1 A 1 F 1 = A 2 F 2 A 2 E 2 µ(a 1 ) µ(a 2 )+µ(e 2 ) = µ(a 2 ). =0 Smoin µ(a 2 ) µ(a 1 ), joten µ(a 1 ) = µ(a 2 ) = µ(b). (ii): µ mitt. (HT) (iii): µ täydellinen. (HT) (3) (HT) Esimerkki (R n,γ,µ), Γ = BorR n, µ = m n BorR n. Väite: Γ = LebR n, µ = m n. (HT) Esimerkki Olkoot f j : R n R, j N, Borel-funktioit, ts. U R voin f 1 j U BorR n, µ = m BorR n j oletetn, että f j f µ-m.k., ts. {x R n : f j (x) f(x)} E BorR n, µ(e) = 0. Tällöin ei void päätellä, että f on Borel-funktio. Sen sijn voidn päätellä, että f on Lebesguemitllinen funktio (ks. [Ho, L j 2.27]). (Syy: m täydellinen.) Huomutus Jos mitt µ on täydellinen, on mielekästä puhu sellisten funktioiden mitllisuudest, jotk ovt määriteltyjä µ-m.k Cntorin joukko R:ssä Olkoon I = [0,1] j p = (p 1,p 2,...) jono relilukuj 0 < p i < 1. Poistetn I:n keskeltä voin väli I 1,1, jonk pituus on p 1. I = J 1,1 I 1,1 J 1,2, missä J 1,1 j J 1,2 suljettuj välejä, joiden pituus on 1 p 1 2. E 1 J 1,1 I 1,1 J 1,2 E 2 J 2,1 J 2,2 J 2,3 I 2,1 J 2,4 I 2,2 E 3..
6 6 Relinlyysi I Poistetn J 1,k :n keskeltä voin väli I 2,k, jonk pituus = p 2 l(j 1,k ) = p 2(1 p 1 ) 2. Jäljelle jää Jtketn prosessi...: Jäljelle jää joukko: I \(I 1,1 I 2,1 I 2,2 ) = J 2,1 J 2,2 J 2,3 J 2,4 J 2,k :n pituus = 1 p 2 1 p 1 (< ). J 2,k :iden yht.lsk. pituus = (1 p 1 )(1 p 2 ). E = I \ E = 2 j 1 j=1 k=1 I j,k = 2 j j=1k=1 E j, missä E j = j=1 E = E(p) = jonon p määräämä Cntorin joukko. 2 j k=1 E 1 E 2, m(e 1 ) < J j,k eli J j,k on kompkti. [Ho, L. 1.60] = m(e) = lim m(e j ) = lim (1 p 1 )(1 p 2 ) (1 p j ) j j = (1 p j ). j=1 Kun p j = 1/3 j, E on ns. Cntorin 1 3-joukko, jolloin (2) j m(e) = lim = 0. j 3 Huomutus Luvut p j voidn vlit niin, että m(e) s minkä thns (ennlt nnetun) rvon välillä [0, 1[. (HT) [Ohje: Ot log m(e):n ntvst tulost, jolloin syntyy päättymätön srj. Vlitse sitten luvut p j niin, että st geometrisen srjn (joiden summt ostn lske). Ti yksinkertisemmin: Olkoon = m(e) ]0,1[. Vlitn 0 < p 1 < 1s.e. < 1 p 1 < +1, p 2 ]0,1[ s.e. < (1 p 1 )(1 p 2 ) < +1/2 jne.] Luse Cntorin joukolle E = E(p) pätee: () E on kompkti j E ei sisällä yhtään väliä. (b) Jos E(p) j E(q) ovt jonojen p j q määräämät Cntorin joukot, niin homeomorfismi f: E(p) E(q). (c) E on ylinumeroituv. Huomutus (i) E on suljettu eikä sisällä yhtään voint joukko E on ei missään tiheä. [Määr. A R n on ei missään tiheä, jos intā =.] (ii) idosti ksvv jtkuv bijektio f: R R s.e. f(e p ) = E q. (iii) Muistutus: f: A B homeomorfismi, jos f on jtkuv bijektio j f 1 myös jtkuv.
7 Kevätlk Tod. (): E j suljettu E suljettu. E I, I kompkti Konstruktio E ei sisällä välejä. (b): Jos x E, niin 1-käsitt. jono J 1,k1 J 2,k2 s.e. } J j,kj = {x}. j=1 Kääntäen: Jos J 1,k1 J 2,k2 on jokin jono, niin j=1 J j,kj kosk m ( J j,kj ) j 0. Määritellään f: E(p) E(q) seurvsti: E kompkti on yksiö, ts. sisältää täsmälleen yhden pisteen, jos {x} = J j,kj (p), niin {f(x)} = J j,kj (q). Huom. x:ää j f(x):ää vstviss jonoiss smt indeksit j,k j. Konstruktio f bijektio. Osoitetn, että f on jtkuv: Merkitään j=1 j=1 δ j (p) = min{m ( I i,k (p) ) : i j}, jolloin δ j (p) j 0. I 3,1 I 2,1 I 1,1 E 3 Jos x,y E(p) j x y < δ j (p), niin x j y kuuluvt smn väliin J j,k (p), joten f(x),f(y) J j,k (q) (smt indeksit) f(x) f(y) m ( J j,k (q) ) < 1 2 j (erill. välejä J j,k on 2 j kpl) f jtkuv. Smnlinen päättely f 1 jtkuv (ti: f jtkuv bijektio j E(p) kompkti f homeo). (c): Jos m(e) > 0, niin E:n on oltv ylinumeroitu. Olkoon E = E(p) s.e. m(e) = 0. Vlitn jono q s.e. m ( E(q) ) > 0. (b) homeo f: E(p) E(q) E(q) ylinumeroituv } E(p) ylinumeroituv.
8 8 Relinlyysi I Esimerkki Todistetn Esimerkki 1.6:n väite tpuksess n = 1. Ts. Lebesgue-mitllinen joukko R:ssä, jok ei ole Borel. 2 Tod. Vlitn Cntorin joukot E j E s.e. m(e) > 0 j m(e ) = 0. Muokkmll hiemn Mitt j integrlin Luseen 1.68 todistust löydetään ei-lebesgue-mitllinen joukko F E. L homeo f: E E ff E m (ff) = 0 ff LebR Oletetn, että f F on Borel-joukko. E BorR f: E R jtkuv ff BorR L. 1.7 = f 1 (ff) = F BorR. Ristiriit, sillä F Leb R. Siis f F on Lebesgue-mitllinen, muttei Borel. Esimerkki Olkoon E Cntorin 1/3-joukko. Määritellään f: I I, I = [0, 1], settmll f(x) = 1 2, x I 1,1, f(x) = 1 4, x I 2,1, f(x) = 1 1 4, x I 2,2,. f(x) =. 1+2(k 1) 2 j, x I j,k, Nyt f: 2 j 1 j=1 k=1 I j,k =A 2 Lisätieto: BorR LebR sdn myös mhtvuustrkstelull : R:n topologill on numeroituv knt (= välit, joiden pituus j keskipiste ovt rtionlilukuj), j tämä knt generoi kikki R:n Borel-joukot. Siten Bor R:n mhtvuus on c (= kontinuumin mhtvuus eli sm kuin reliluvuill). Toislt Cntorin 1/3-joukon E mitt on m(e) = 0, joten kikki sen osjoukot ovt mitllisi, ts. P(E) LebR (m täydellinen mitt). Kosk P(E):n mhtvuus on 2 c > c, niin useimmt E:n osjoukoist eivät ole Borel-joukkoj. I
9 Kevätlk on ksvv j y ]0,1[: lim x y+ x A f(x) = lim x y x A f(x). Määritellään f(y) yo. rj-rvon pisteissä y E \{0, 1} j tois-puoleisen rj-rvon pisteissä y {0,1}. Sdn f: I I, jolle pätee: () f on jtkuv j ksvv surjektio; (b) f (x) = 0 m.k. x I (kosk f (x) = 0 x I j,k j m(e) = 0); (c) fe = I (kosk f:lläon vkiorvo jokisell välillä I j,k jniiden päätepisteet kuuluvte:hen). Funktiot f kutsutn Cntorin 1/3-funktioiksi ( pirun portt ). Tähän pltn myöhemmin Avruus L 1 Olkoon (X, Γ, µ) täydellinen mitt-vruus, ts. µ on täydellinen. Mitt j integrliss kehitetty mitllisten funktioiden teori j integrointiteori toimivt sellisenn j smoin todistuksin tässä yleisessä tpuksess. Kun µ on täydellinen, ei tule ongelmi m.k. käsitteen knss. Myös konvergenssiluseet ovt smt todistuksineen. Sen sijn Fubinin luse vtii eri todistuksen yleisessä tulomitn µ ν (X Y:ssä) tpuksess (ks. esim. [Ru, s ]). Huomutus Käsitteet voin joukko, jtkuv funktio, jne. vtivt topologisen vruuden X, smoin Bor X (= pienin σ-lgebr X:ssä, jok sisältää X:n suljetut joukot). Olkoon A X µ-mitllinen (lyh. mitllinen), ts. A Γ. Huom. µ-mitllisuus on σ-lgebrst Γ riippuvominisuus, ei mitstµ: Γ [0,+ ]. Funktiof: A Ṙonmitllinen (ti µ-mitllinen, Γ-mitllinen), jos Merkitään f 1 ( ) Γ, f 1 (+ ) Γ, j f 1 U Γ U R voin. L 1 (A) = {f: A Ṙ f mitll. j Merkitään myös L 1 (A,µ) j L 1 = L 1 (µ) = L 1 (X). A f dµ < }. Huomutus Jos A X on mitllinen j Γ A = {B A: B Γ}, niin (A,Γ A,µ Γ A ) on myös täydellinen mitt-vruus. Siksi riittää (yleensä) tutki koko mitt-vruutt (X, Γ, µ). Muistutus: Mitllinen funktio f: X Ṙ on integroituv (X:ss), jos X f + dµ < j X f dµ <. Silloin X fdµ = X f + dµ f dµ j X Siis: f L 1 f: X Ṙ on integroituv. X f dµ = X f + dµ+ f dµ. X
10 10 Relinlyysi I Huomutus Jos f: X Ṙ on integroituv, niin f(x) R µ-m.k. Määritellään f : X R, Tällöin f on integroituv j f (x) = { f(x), jos f(x) R, 0, jos f(x) {,+ }. X f dµ = X fdµ. Tästä syystä voimme (usein) rjoittu relirvoisiin funktioihin. Jos f,g L 1,,b R, niin f +bg L 1. Siis L 1 on (R-kertoiminen) vektorivruus. Merkitään f 1 = f 1,X = f dµ = f dµ. Luse toteutt: (1) f 1 0, (2) λf 1 = λ f 1, λ R, (3) f +g 1 f 1 + g 1, (4) f 1 = 0 f = 0 m.k. Tod. Selvä. Luse 1.26 f f 1 on seminormi. Ei ole normi, sillä: f 1 = 0 f = 0. Esim. X = R, µ = m, f = χ Q, f 1 = 0, mutt f 0. Määritelmä f,g L 1 ovt ekvivlentit, merkitään f g, jos f = g m.k. Merkitään [f] = f = {g L 1 : g f} = f:n ekvivlenssiluokk L 1 = { f: f L 1 }. X L 1 on vektorivruus: [f +bg] = [f]+b[g]. Asetetn f 1 = f 1 (hyvin määritelty eli ei riipu edustjst f). L 1 on normivruus, sillä L. 1.26:n kohtien (1) (3) lisäksi pätee: (4 ) f 1 = 0 f = 0, missä 0 = 0 = {f L 1 : f = 0 m.k.}. Jtkoss luovumme merkinnästä L 1 j snomme: normivruus L 1. Smoin puhumme (L 1 -)funktioist eikä ekvivlenssiluokist, ts. smistmme funktiot, jotk yhtyvät m.k.
11 Kevätlk Avruus L Olkoon (X,Γ,µ) täydellinen mitt-vruus, j f: X Ṙ mitllinen. Merkitään f = inf{α 0: µ ( {x X: f(x) > α} ) = 0}. merk. =S Jos S =, setetn f =. α R {x X: f(x) > α} f X α Jos f < eli S, niin pätee: {x X: f(x) > f } j N{x X: f(x) > f +1/j} µ ( {x X: f(x) > f } ) µ ( {x X: f(x) > f +1/j} ) = 0 j N =0 f S j siten f f m.k. Siksi merkitään usein f = esssup f ( oleellinen supremum [engl. essentil supremum]). Merkitään L (X) = L = L (µ) = {f: X Ṙ f mitll. j f < }. Smistetn f,g L, jos f = g m.k. Ei erotet merkinnällä: L = ekvivlenssiluokkien joukko, puhumme kuitenkin funktiost. Luse L on normivruus normin. Tod. Selvästi: (i) L on vektorivruus (ks. (iv)-koht). (ii) f 0 j f = 0 f = 0 m.k. (huom. ekvivlenssiluokk). (iii) λf = λ f λ R. Lisäksi: (iv) Kolmioepäyhtälö: f f m.k. g g m.k. } f +g f + g f + g m.k. Siis µ ( {x X: f(x)+g(x) > f + g } ) = 0, joten f +g f + g j näin ollen f +g L.
12 12 Relinlyysi I Esimerkki Olkoon X = R, µ = m j f: R R jtkuv. Väite: f L f rjoitettu. Tod. selvä. : VO: f ei ole rjoitettu, jolloin M > 0 x 0 R s.e. f(x 0 ) > M. Kosk f jtkuv, niin f(x) > M x ]x 0 δ,x 0 +δ[= J jollkin δ > 0. m(j) > 0 f M. M > 0 mv. f =. RR 1.31 Avruus L p, 1 p < Olkoon (X,Γ,µ) mitt-vruus, µ täydellinen j 1 p <. Määritellään L p (X) = L p = L p (µ) = {f: X Ṙ f mitllinen j f p dµ < }. Merkitään ( 1/p f p = f dµ) p. X Smistukset kuten iemmin. Eksponentti p vikutt suuresti siihen, mitkä funktiot kuuluvt L p :hen. Esimerkki Olkoon X =]0,1[, µ = m ]0,1[ Lebesguen mitt. Jos f on mitllinen j rjoitettu, niin f L p p 1. (Syy: f p mitllinen j rjoitettu, µ(x) < f p integroituv eli f L p ). Olkoon f(x) = 1. x X Silloin X f p dµ = lim 0+ 1 x p/2 dx = lim 0+ lim p p 2 / 1 / 1 x 1 p/2 = 1 1 p 2 <, jos p < 2, x 1 p/2 =, jos p > 2, / 1 lim 0+ logx =, jos p = 2. Siis f L p 1 p < 2. Luse Jos µ(x) < j 1 q p, niin L p (µ) L q (µ). Tod. (HT) Osoitmme seurvksi: L p on normivruus. Trvitn työkluj. Lemm 1.34 (Youngin epäyhtälö). Jos,b 0, α,β > 0 j α+β = 1, niin α b β α+βb.
13 Kevätlk Tod. Tpus = 0 ti b = 0 selvä. Voidn siis olett,b > 0. x logx, x > 0, ylöspäin kuper log ksvv väite. log ( α b β) = αlog+βlogb log(α+βb). logb log(α+βb) αlog+βlogb log log α+βb b Seurvksi tärkeä epäyhtälö. Luse 1.35 (Hölderin epäyhtälö). Jos p,q > 1, 1 p + 1 q = 1, f Lp, g L q, niin X fg L 1 j fg 1 f p g q, ts. ( ) 1/p ( 1/q fg dµ f p dµ g dµ) q. X X Tod. Jos f p = 0, niin f = 0 m.k., joten fg 1 = 0 j si selvä. Smoin, jos g q = 0. Voidn siis olett, että f p, g q > 0. Smoin voidn olett, että f(x), g(x) R x (ks. Huom. 1.25). Sovelletn Youngin epäyhtälöä tpukseen jolloin sdn ( α b β α+βb) = f(x) p f p p, b = g(x) q g q q, α = 1 p, β = 1 q, f(x) g(x) 1 f(x) p f p g q p f p + 1 g(x) q p q g q. q Integroidn yli X:n (esiintyvät funktiot mitllisi) fg 1 1 f p p f p g q p f p + 1 g q q p q g q q = 1 p + 1 q = 1. Huomutus Lukuj p,q > 1, joille 1 p + 1 q = 1 snotn (toistens) Hölder konjugteiksi. Usein merkitään q = p = p p 1. Vin luku 2 konjugtti itselleen.
14 14 Relinlyysi I Seurus 1.37 (Schwrzin epäyhtälö). fg 1 f 2 g 2. Esimerkki Olkoon X = {1,2,...,n}, µ: P(X) [0, [, µ(a) = crda = A:n lkioiden lukumäärä (µ = lukumäärä mitt). Jos 1 p + 1 q = 1 j 1,b 1, 2,b 2,..., n,b n R, niin ( n n p)1/p( n ) 1/q i b i i b i q. Tod. Vlitn f = i i χ {i}, g = i b i χ {i}. Yleisemmin: X = {x i : i = 1,2,...}, Γ = P(X), j µ(a) = crda. Jos f: X R, niin (Huom. jokinen f mitllinen.) Merkitään ( ( 1/p ) 1/p f p = f dµ) p = f(x i ) p. X L p (X) = l p (X). Jos f l p (X), g l q (X), 1 p + 1 q = 1, j i = f(x i ), b i = g(x i ), niin Hölder-ey. s muodon ( ) ( 1/p ) 1/q i b i i p b i q. Luse 1.39 (Minkowskin epäyhtälö). Jos f,g L p, niin f +g L p j f +g p f p + g p. Tod. Tpus p = 1 jo edellä. Olkoon p > 1 j q = p p 1, jolloin 1 p + 1 q Jos,b 0, niin = 1 (Hölder konjugttej). (+b) p ( 2mx(,b) ) p = 2 p ( mx(,b) ) p 2 p ( p +b p ). Voidn olett, että f(x),g(x) R x (Huom. 1.25), jolloin f +g p ( f + g ) p 2 p( f p + g p) f +g L p. Toislt j f +g p = f +g f +g p 1 f f +g p 1 + g f +g p 1 ( f +g p 1 ) q = f +g p f+g Lp = f +g p 1 L q.
15 Kevätlk Hölderin ey. f +g p p = f +g p p 1 p 1 f f +g + g f +g L p L q L p L q ( ( f f p +g p 1 ) ) 1/q ( q ( f + g p +g p 1 ) 1/q q) = f p ( f +g p ) 1/q + g p ( = ( f p + g p ) f +g p/q p f +g p ) 1/q Olemme todistneet: p/q=p 1 = f +g p f p + g p. Luse L p on normivruus normin p. Esimerkki Kun µ(x) =, voi oll L p L q, q < p: Vlitn X = R, µ = m. f(x) = 1 1+ x f L p, kun p > 1, f L Yleensä L p L q, p q. Yllä tpus q < p. Aiemmin: X =]0,1[, µ = m j f(x) = 1 x f L p, kun 1 p < 2 f L q, kun q L p :n täydellisyys Tässä luvuss todistmme, että normivruudet L p, 1 p, ovt Bnch-vruuksi, ts. täydellisiä normivruuksi. Terminologi: Olkoon (Y,d) metrinen vruus. Snomme, että jono (x j ), x j Y, on Cuchyjono Y:ssä, jos ε > 0 kohti on olemss i ε N s.e. d(x i,x j ) < ε kikill i,j i ε. Metrinen vruus (Y, d) on täydellinen, jos sen jokinen Cuchy-jono suppenee kohti Y:n lkiot. Jono (x j ) suppenee kohti pist. x Y, jos d(x j,x) 0, kun i. Olkoon (V, ) normivruus. Se on smll myös metrinen vruus, metriikkn d(x,y) = x y. Siis (V, ) on Bnch-vruus, jos jokiselle V:n Cuchy-jonolle (x j ) on olemss x V s.e. x j x j 0. Olkoon (X, Γ, µ) täydellinen mitt-vruus. Snomme: f j f L p :ssä, jos f j,f L p j f j f p 0, kun j.
16 16 Relinlyysi I Luse Jos (f j ) on Cuchy-jono L p :ssä, 1 p <, niin on olemss osjono (f jk ), jok suppenee m.k. Tod. Jokisell k N vlitn j k s.e. (1) f i f j p < 1 2 k, kun i,j j k, (2) j 1 < j 2 <. Huom voidn olett, että kikki esiintyvät funktiot ovt relirvoisi. Määritellään g k = f j1 + f j2 f j1 + + f jk+1 f jk. (g k ) ksvv jono g = lim k g k. Minkowskin ey. g k p = fj1 + Minkowski f j1 p + f j1 p + k f jν+1 f jν p ν=1 k f jν+1 f jν p ν=1 k ν=1 1 2 ν f j 1 p +1 k MKL g p MKL = lim k g(x) < m.k. g p k = lim k g k p p ( f j1 p +1 ) p < srj ( f j1 (x)+ fjν+1 (x) f jν (x) ) ν=1 suppenee m.k. x. Merkitään summ f(x):llä. Stiin f jk+1 = f j1 + k ( ) fjν+1 f jν f m.k. ν=1 Huomutus Ehdost f j f L p :ssä ei välttämättä seur, että f j f m.k. (koko jonolle). Esim. Olkoon I k suljettu välin I = [0,1] osväli kuten kuvss.
17 Kevätlk I 1 I 2 I 3 I 4 I 5 I 6 I 7 jne Olkoon f k = χ Ik : I R. Silloin f k L p, p [1, ) j ( f k 0 p = Siis f k 0 L p :ssä. Väite: f k (x) 0 kun k millään x I. Tod. Olkoon x I j k 0 N mielivltisi. I ) 1/p χ Ik dm = m(i k ) 1/p k 0. k>k 0 I k = I k 1 > k 0 s.e. x I k1 j f k1 (x) = 1. Luse L p on Bnch vruus, kun 1 p. Huomutus Tpus 1 p < on ns. Riesz-Fischerin luse (v. 1906). Tod. () 1 p < : Olkoon (f j ) Cuchy-jono L p :ssä. L osjono (f jk ), s.e. f jk f m.k. Väite: f L p. Tod. Olkoon ε > 0. Tällöin j 0 N s.e. f i f j p < ε, kun i,j j 0. Jos j j 0, niin f j f p dµ = lim f j f jk p dµ Ftou lim inf k k = liminf k f j f jk p p εp f j f jk p dµ f j f L p f j f p j 0 f = f j (f j f) L p f j f L p :ssä (b) p = : Olkoon (f j ) Cuchy-jono L :ssä. Merkitään A j = {x: f j (x) > f j } A j,k = {x: f j (x) f k (x) > f j f k }.
18 18 Relinlyysi I Silloin µ(a j ) = 0 = µ(a j,k ) (seur :n määritelmästä). Merkitään A = j A j j,k A j,k, jolloin µ(a) = 0. Jos x A c, niin (1.47) f j (x) f k (x) f j f k. Siis ( f j (x) ) on Cuchy-jono R:ssä, joten jono ( f j (x) ) suppenee (Diff I). Merkitään f(x) = lim j f j (x). Cuchyn kriterio tsiselle suppenemiselle j (1.47) f j f tsisesti A c :ssä. Kun x A, setetn f(x) = 0. [Ho, L. 2.29] f mitllinen. Väite: f L j f j f 0. Tod. Olkoon j 0 s.e. f j f k < 1, kun j,k j 0. Kosk on normi, niin pätee kun j j 0. Jos x A c, niin f j f j0 + f j f j0 f j0 +1 merk. = M, f j (x) f j, joten f(x) = lim j f j (x) M f M, sillä µ(a) = 0. f L. (Itse siss f(x) M x.) Kosk f j f tsisesti A c :ssä j µ(a) = 0, niin f j f 0. Huomutus L p -teori yleistyy kuvuksille f: X R m, f = (f 1,...,f m ). Normin ( 1/p f p = f dµ) p, X missä f(x) = ( f 1 (x) 2 + +f m (x) 2) 1/2 on euklidinen normi. Smoin funktioille f: X C Lisätietoj vruudest L p [Huom. Tämä on suor kopio luentomonisteest [Mr] (Mrtio: Relinlyysi I (1999), luku 1.7.)] Jos (X, ) on (relikertoiminen) normivruus, niin tähän vruuteen liittyy in sen dulivruus X, jok koostuu kikist jtkuvist linerikuvuksist L: X R (jtkuvuus linerikuvuksen L tpuksess voidn pelkistää ehtoon sup{ L(x) : x 1, x X} < ).
19 Kevätlk Trkstelln normivruuttl p, 1 p. Josg L q, missäq onp:nkonjugoitueksponentti (q = 1, jos p = j q =, jos p = 1), niin kuvus f gfdµ X määrittelee Hölderin epäyhtälön nojll jtkuvn linerikuvuksen L: L p R, sillä L on selvästi linerinen j L(f) = gfdµ gf dµ g q f p g q <, X X jos f p 1. Osoittutuu, että kun 1 p <, niin kikki jtkuvt linerikuvukset sdn tällä tvoin (tämä on kuuluis Rieszin esitysluse, jok merkitsi modernin funktionlinlyysin lku). Sen sijn tämä ei yleensä päde L :ssä. Todistus ei ole kovin vike, ks. [Ru], [HS]. 3 Käyttäen hyväksi dulivruutt L q voidn vruudess L p määritellä ns. heikko konvergenssi: Snotn, että jono funktioit u i L p, 1 < p <, suppenee heikosti kohti funktiot u L p, jos jokisell g L q pätee gu i dµ gudµ. Osoittutuu, että u on yksikäsitteisesti määrätty j että X X u p liminf i u i p. Heikko konvergenssi on todell heikko: Siitä ei seur, että u i u p 0, ti että u i u m.k. (ei edes osjonoon siirtymällä). Sen sijn pätee tärkeä kompktisuuskriteerio : Jos (u i ) on rjoitettu jono L p :ssä, 1 < p <, so. u i p M, niin on olemss osjono (u ij ) j u L p s.e. u i u heikosti L p :ssä. Viitteestä [HS] löytyy näiden tulosten trkempi nlyysi. 2 Approksimointi L p :ssä 2.1 Mittojen bsoluuttinen jtkuvuus Olkoon (X,Γ,µ) mitt-vruus j σ: Γ [0,+ ] toinen mitt. Määritelmä 2.2. Mitt σ on bsoluuttisesti jtkuv µ:n suhteen (merk. σ µ), jos σ(e) = 0 in kun E Γ j µ(e) = 0. Esimerkki Olkoon f: X [0, + ] Γ-mitllinen. Asetetn σ(a) = fdµ, A Γ. Integrlin ominisuudet ([Ho, Luse 3.32]) σ on mitt j A µ(a) = 0 σ(a) = 0, siis σ µ. (Käänteinen suunt: Ks. seurv Huomutus.) 2. Olkoon X = R j σ: LebR [0,+ ] lukumäärämitt. Silloin Lebesguen mitt m({0}) = 0, mutt σ({0}) = 1, joten σ m. 3 [Ru] Rudin: Rel nd complex nlysis; [HS] Hewitt, Stromberg: Rel nd bstrct nlysis.
20 20 Relinlyysi I 3. Olkoon X = R, x R, j δ x : LebR [0,+ ] Dircin mitt pisteessä x (ti, itse siss, Dircin mitn rjoittum LebR:ään). Silloin m({x}) = 0, mutt δ({x}) = 1, joten δ m. Huomutus 2.4. Olkoon (X,Γ,µ) mitt-vruus j ϕ: Γ Ṙ. Snomme, että: () ϕ on täysdditiivinen, jos (i) ϕ( ) = 0, (ii) jos A 1,A 2,... Γ ovt erillisiä, niin i ϕ(a i) on määritelty j ϕ(a i ) = ϕ ( ) i A i. i (b) ϕ on bsoluuttisesti jtkuv µ:n suhteen, jos µ(a) = 0 ϕ(a) = 0. Tällöin merkitään ϕ µ. (c) ϕ on σ-äärellinen, jos X = j A j, A j Γ, ϕ(a j ) <. Vlitettvsti emme todist seurv Rdon-Nikodymin lusett tällä kurssill: Jos (X, Γ, µ) on σ-äärellinen mitt-vruus j jos ϕ: Γ Ṙ on täysdditiivinen, σ-äärellinen j ϕ µ, niin on olemss mitllinen funktio f: X R s.e. ϕ(e) = fdµ, E Γ E Jos lisäksi g on toinen funktio, jolle yo. yhtälö pätee, niin f = g m.k. Luse 2.5. Olkoon (X,Γ,µ) mitt-vruus j σ: Γ [0,+ ) mitt s.e. σ(x) <. Tällöin (2.6) σ µ ε > 0 δ > 0 s.e. µ(a) < δ σ(a) < ε. Tod. Oletetn σ µ. VO: ε > 0 j jono E 1,E 2,... Γ s.e. σ(e i ) ε j µ(e i ) < 2 i. Merkitään A k = i ke i, A = A k. k=1 A k E k σ(a k ) σ(e k ) ε k. A 1 A 2 σ(a 1 ) σ(x) < } σ(a) = lim k σ(a k) ε. µ(a) µ(a k ) i=k 1 2 i = 1 2 k 1 k µ(a) = 0 σ µ = σ(a) = 0. RR Jos ehto (2.6) pätee, niin σ µ trivilisti (µ(a) = 0 σ(a) < ε ε > 0 σ(a) = 0).
21 Kevätlk Seurus 2.7. Olkoon f L 1. Tällöin ε > 0 δ > 0 s.e. µ(e) < δ f dµ < ε. Tod. Sovelletn Lusett 2.5 mittn σ(e) = jolloin σ µ j σ(x) < (kosk f L 1 ). E E f dµ E Γ, 2.8 Egorovin j Lusinin luseet Olkoon (X, Γ, µ) mitt-vruus. Mitt j integrli -kurssill todistettiin ([Ho, Luse 3.14]): Luse 2.9. Jos f: X [0, ] on mitllinen, niin ksvv jono 1-kertisi funktioit 0 f 1 f 2 s.e. f = lim j f j. Huomutus g: X [0, ) on yksinkertinen, jos g = k i χ Ai, i 0, A i Γ erillisiä. 2. Luseen 2.9 todistus sm kuin (R n,lebr n,m):n tpuksess. 3. Jos Luseess 2.9 f on rjoitettu, niin f j f tsisesti X:ssä, ts. ε > 0 i ε N s.e. f j (x) f(x) < ε kikill x X (indeksi i ε ei riipu x:stä). 4. f: X [0, ]mitllinen f = lim j f j,missä(f j )nousevjono1-kertisi funktioit f j : X [0, ). Yleisesti: Suppeneminen m.k. on tsist suuress osss X:ää, kuten seurv luse osoitt. Luse 2.11 (Egorovin luse). Olkoon µ täydellinen, µ(x) < j funktiot f k : X R, k = 1,2,... mitllisi s.e. f k f m.k., missä f: X R. Tällöin 1. ε > 0 mitllinen F X s.e. µ(x \F) < ε j f k F f F tsisesti; 2. jos X R n j µ = m = Lebesguen mitt, voidn F vlit kompktiksi. Lemm Olkoon A R n mitllinen j ε > 0. Tällöin 1. voin G A s.e. m(g\a) < ε; 2. suljettu F A s.e. m(a\f) < ε. 3. Jos lisäksi m(a) <, niin kompkti F A s.e. m(a\f) < ε.
22 22 Relinlyysi I Tod. (ylim.) HT Egorovin luseen tod. 1. µ täydellinen f mitllinen ([Ho, Luse 2.29]). Merkitään E k,l = {x X: f m (x) f(x) < 1 k }, k,l N, m=l mitll. H = {x X: lim m f m(x) = f(x)}. Jos x H j k N, niin l k N s.e. f m (x) f(x) < 1 k m l k x E k,lk. Siten H E k,l k. Joukot H j E k,l mitllisi j µ(h) = µ(x), sillä f m f m.k. (2.13) l=1 E k,l E k,l+1 µ(x) lim µ(e k,l ) = µ ( ) E k,l µ(h) = µ(x) l l=1 µ(x) <, (2.13) lim µ(x \E k,l) = µ(x) lim µ(e k,l ) = 0 k. l l Olkoon ε > 0. Silloin k l k N s.e. Väite: Joukko toteutt vditut ehdot. Tod. F mitllinen j Lisäksi F E k,lk k j µ(x \E k,lk ) < ε 2 k. F = k=1 µ(x \F) = µ ( (X \E k,lk ) ) k=1 E k,lk µ(x \E k,lk ) < k=1 f m (x) f(x) < 1 k, kun x E k,l k j m l k. k=1 ε 2 k = ε. f m (x) f(x) < 1 k, kun x F j m l k. f m F f F tsisesti (indeksi l k ei riipu pisteestä x F). 2. Olkoon lisäksi µ = m = Lebesguen mitt. Lemm 2.12 kompkti F 0 F s.e. µ(f \F 0 ) < ε. Siis µ(x \F 0 ) µ(x \F)+µ(F \F 0 ) < 2ε. Mitllinen funktio on suuress osss jtkuv:
23 Kevätlk Luse 2.14 (Lusinin luse). Olkoon A R n mitllinen, m(a) < j f: A R mitllinen. Tällöin ε > 0 kompkti F A s.e. m(a\f) < ε j f F on jtkuv. Tod. Olkoon ε > 0. (): Oletetn, että f on yksinkertinen. f = k i χ Ai. Lemm 2.12 kompktit F i A i s.e. m(a i \F i ) < ε/k. Tällöin F = F 1 F k kompkti j F i :t erillisiä. Jos x F, niin r > 0 s.e. B(x,r) F i vin yhdellä i. Siis (Syy: x F i dist(x,f j ) = inf x y F j kokti = min x y > 0 j i.) y F j y F j f(y) = f(x) = i y B(x,r) F, joten f F on loklisti vkio j siten f F jtkuv. Myös m(a\f) = m ( k (A i \F i ) ) erill. = k m(a i \F i ) < ε. (b): Oletetn, että f 0 on mitllinen. L. 2.9 yksinkertiset funktiot f j s.e. f j f. Todistuksen ()-koht kompktit F j A s.e. f j F j jtkuv j m(a\f j ) < ε 2 j. Olkoon F 0 = j F j, jolloin Egorovin luse m(a\f 0 ) = m ( (A\F j ) ) j j m(a\f j ) < j ε 2 j = ε. kompkti F F 0 s.e. f j F f F tsisesti j m(f 0 \F) < ε. Nyt f j F jtkuv f j F f F tsisesti } f F jtkuv, lisäksi m(a\f) = m(a\f 0 )+m(f 0 \F) < 2ε. (c): Oletetn, että f on mitllinen j kirjoitetn f = f + f. Todistuksen (b)-koht kompktit F 1,F 2 A s.e. f + F 1, f F 2 jtkuvi j m(a\f i ) < ε/2, i = 1,2. Joukko F = F 1 F 2 toteutt ehdot. Huomutus ± ei sllit. 1. Egorovin j Lusinin luseiss on f:n relirvoisuus oleellist, ts. rvoj
24 24 Relinlyysi I 2. Oletus µ(x) < Egorovin luseess on oleellinen: Esim: X = R, f j = χ [j, [. Silloin f j (x) 0 x R. Merkitään f = 0. Jos F R s.e. f j F f F tsisesti, niin j 0 s.e. f j (x) f(x) = f j (x) < 1 2, kun j j 0,x F F [j, [= j j 0 [j, [ R\F m(r\f) =. 3. Lusinin luse pätee myös tpuksess m(a) =, jos vditn vin, että F on suljettu. (HT) 2.16 Konvoluutio R n :ssä Tässä luvuss mitt-vruuten on (R n,lebr n,m). Olkoon f,g L 1 (R n ). Kuvus ϕ: R n R n, ϕ(y) = x y, missä x R n on vkio, toteutt: Siten ϕ(a) mitllinen A mitllinen. y f(x y) on mitllinen y f(x y)g(y) on mitllinen. Näin ollen integrli h(x) = f(x y)g(y)dm(y) R n on määritelty, jos f,g 0. Kysymyksiä: Milloin h(x) <? Voidnko h määritellä, jos ei oletet f,g 0? Luse Oletetn, että f,g L 1 (R n ). Tällöin (2.18) f(x y) g(y) dm(y) < m.k. x R n. R n Näillä x merkitään (2.19) h(x) = f(x y)g(y)dm(y). R n Tällöin h L 1 (R n ) j (2.20) h 1 f 1 g 1. Funktiot h kutsutn f:n j g:n konvoluutioksi j merkitään h = f g. Tod. Käytämme Fubini funktioon F: R n R n R, (x,y) f(x y)g(y), jok on siksi osoitettv mitlliseksi. 4 Tätä ennen: Väite: Borel-funktiot f 0,g 0 : R n R s.e. 4 Itsesiss näytämme, että F on Borel. f 0 = f m.k. g 0 = g m.k.
25 Kevätlk (ts. f0 1 U, g 1 0 U BorRn voimill U R.) Tod. f + mitll. jono 1-kert. funktioit 0 f 1 f 2 s.e. f j f +, k f j = i χ Ai. Vlitn 5 Borel-joukot B i A i s.e. m(a i \B i ) = 0. Tällöin ϕ j = k i χ Bi on Borel-funktio, 0 ϕ j f j j ϕ j = f j m.k.; ϕ + = liminf j ϕ j Borel-funktio j ϕ + = f + m.k. (Huom. (ϕ j ) ei vältt. ksvv jono lim j ϕ j ei vältt. olemss.) Smoin Borel-funktio ϕ = f m.k. Nyt f 0 = ϕ + ϕ Borel-funktio j f 0 = f m.k. Smoin g:lle. Integrlit (2.18) j (2.19) eivät muutu, jos f j g korvtn f 0 :ll j g 0 :ll. Voi olett: f, g Borel-funktioit. Väite: F: R n R n R, F(x,y) = f(x y)g(y), on Borel-funktio. Tod. Kuvukset u: R n R n R n, u(x,y) = x y, j v: R n R n R n, v(x,y) = y, jtkuvi. Nyt F(x,y) = f ( u(x,y) ) g ( v(x,y) ), eli F = (f u)(g v). Olkoon V R voin. Kosk f on Borel-funktio, on f 1 V BorR n. Edelleen (f u) 1 V = u 1 (f 1 V BorR n ) BorR 2n, sillä u: R 2n R n on jtkuv (ks. L. 1.7). Siis f u on Borel-funktio. Smoin nähdään, että g v on Borel-funktio, joten F on khden Borel-funktion tulon Borel-funktio (erit. mitll.). Fubini 1. ( ) ( ) F(x,y) dy dx = F(x,y) dx dy R n R n R n R ( n ) = g(y) f(x y) dx dy R n R n = f 1 g 1 <, sillä (2.21) R n f(x y) dx = f 1. Siis (2.18) pätee. 5 Lemm 2.12, 2-koht F σ-joukko B i A i s.e. m(a i \B i) = 0.
26 26 Relinlyysi I Fubini 2. h L 1 (R n ) j h 1 = h(x) dx = f(x y)g(y)dy dx R n R n R ( ) n F(x,y) dy dx = f 1 g 1. R n R n Huomutus Yhtäsuuruus (2.21) pätee Lebesguen mitn siirto-invrinssin perusteell: Jos k f = j χ Aj j=1 on 1-kertinen j ϕ(x) = x y siirto, niin ϕ 1 (x) = x+y, k f ϕ = j χ ϕ 1 A j j m(ϕ 1 A j ) = m(a j ) j=1 k k f ϕ = j m(ϕ 1 A j ) = j m(a j ) = j=1 j=1 f. Ts. (2.21) pätee 1-kertisille funktioille. Tämän jälkeen yleinen tpus seur integrlin määritelmästä. Kysymys: Miksi käytettiin Borel-joukkoj/funktioit, eikä pelkästään mitllisi joukkoj/funktioit? Syy: g: R n R m mitllinen j E LebR m g 1 E LebR n Approksimointi C -funktioill Merkintöjä: Olkoon A R n, f: A R. Merkitään sptf = A {x A: f(x) 0} (f:n kntj), f C(A) = C 0 (A) f jtkuv. Olkoon U R n voin, k N, f: U R. f C k (U) f:llä jtkuvt k:nnen kertluvun osittisderivtt ( f on k kert jtkuvsti differentioituv), f C (U) f C k (U) k, f C0 k (U) f Ck (U) j sptf U kompkti, f C0 (U) f C (U) j sptf U kompkti. Merkitään myös f C k jne. Luse Jos f L 1 (R n ) j g C 0 (R n ), niin f g C(R n ).
27 Kevätlk Tod. Suoritetn muuttujn vihto x y y. Integrli ei muutu (vrt. Huom. 2.22), joten f g(x) = f(y)g(x y)dy, R n jok on määritelty x, sillä f(y)g(x y) dy M f(y) dy = M f 1 < x. R n R n Tässä M = mx g ( mksimi, sillä g on jtkuv j kompktikntjinen). f g(x+h) f g(x) = f(y) ( g(x y +h) g(x y) ) dy R n ε > 0 δ > 0 s.e. g tsisesti jtkuv R n :ssä f g(x+h) f g(x) f(y) g(x y +h) g(x y) dy R n < ε f 1, kun h < δ j x R n < f g jtkuv x:ssä. <ε Huomutus Yo. todistus f g tsisesti jtkuv R n :ssä. Luse Jos f L 1 (R n ) j g C k 0 (Rn ), niin f g C k (R n ). Tod. Kun (z,t) R n (R\{0}), setetn Välirvoluse ϕ(z,t) = g(z +te i) g(z) t D i g(z), missä e 1,...,e n on R n :n stnd. knt. (2.27) ϕ(z,t) = D i g(z +ϑte i ) D i g(z), jollkin 0 < ϑ < 1. g C k 0 (Rn ) D i g tsisesti jtkuv R n :ssä (2.27) = ϕ(z,t) 0 tsisesti R n :ssä, kun t 0, eli σ(t) = sup ϕ(z,t) t 0 0. z R n Olkoon x R n. Silloin lim f g(x+te i) f g(x) f D i g(x) t 0 t ( ) g(x+tei y) g(x y) = lim f(y) D i g(x y) dy t 0 R n t lim f(y) ϕ(x y,t) dy t 0 R n lim t 0 σ(t) f 1 = 0, σ(t)
28 28 Relinlyysi I joten D i ( f g ) (x) = f Di g(x). D i g C 0 (R n ) 2.24 = D i (f g) C(R n ). Toistmll sdn D ( f g ) = f Dg, missä D on mikä thns kertluku p k olev osittisderivtt. Huomutus Luseet 2.24 j 2.26 pätevät myös funktioille f L p (R n ), 1 p. Syy: todistuksiss ei trvitse integroid yli koko R n :n, vn riittää integroiminen yli riittävän ison kompktin joukon K, sillä g on kompktikntjinen. Nimittäin Hölderin ey. jos p > 1 (tulkintn yllä: K ( f m(k) p 1 p K p 1 p = 1, jos p = ). f p) 1/p m(k) p 1 p f p, Tvoitteen käyttääkonvoluutiotpproksimoitessl p -funktioit(1 p < )C 0 -funktioill. Tätä vrten: Luse Jos f L p (R n ), 1 p <, niin lim h 0 R n f(x+h) f(x) p dx = 0. Tod. Olkoon ε > 0. Näytettävä: η > 0 s.e. h < η f(x+h) f(x) p dx < ε. R n Merkitään I h (A) = A f(x+h) f(x) p dx, A LebR n, B k = B(0,k) = {x R n : x < k}, k > 1. Olkoon h B(0,1). (Tällöin x k x+h k 1. ) Nyt f(x+h) f(x) p dx 2 p( f(x+h) p + f(x) p) dx R n \B k R n \B ( k ) 2 p f p + f p DKL 0, kun k. R n \B k 1 R n \B k k s.e. (2.30) I h (R n \B k ) < ε/4. Smoin I h (A) 2 p ( A+h ) f p + f p, kun A LebR n j A+h = {+h: A}. A
29 Kevätlk Integrli bsoluuttisesti jtkuv Lebesguen mitn suhteen, joten L. 2.5 δ > 0 s.e. (2.31) I h (A) < ε/4, kun m(a) < δ. Lusinin luse kompkti F B k+1 s.e. F kompkti η ]0,1[ s.e. (2.32) f(x+h) f(x) p < Olkoon h B(0, η) mielivltinen. Merkitään m(b k+1 \F) < δ j f F jtkuv. f F tsisesti jtkuv. ε, kun h < η j x,x+h F. 4m(F) A 1 = {x F : x+h F}, A 2 = {x: x+h B k+1 \F}, A 3 = B k+1 \F. (Hvitn: A 2 = A 3 h, joten m(a 2 ) = m(a 3 ) = m(b k+1 \F) < δ.) Tällöin x B k x+h B k+1, joten B k F {x F: x+h B k+1 } {x F : x+h F} {x F: x+h B k+1 \F} =A 1 A 1 A 2 A 2 B k = (B k \F) (B k F) A 1 A 2 A 3 A 3 A 1 A 2 Siis R n = A 1 A 2 A 3 (R n \B k ) j I h (R n ) I h (A 1 )+I h (A 2 )+I h (A 3 )+I h (R n \B k ). Arvioidn oiken puolen termejä: (2.32) I h (A 1 ) = f(x+h) f(x) p A 1 (2.31) I h (A 2 ) < ε/4 (2.31) I h (A 3 ) < ε/4 (2.30) : I h (R n \B k ) < ε/4 < ε 4m(F) dx < A1 F ε/4 I h (R n ) = f(x+h) f(x) p dx < ε. R n
30 30 Relinlyysi I Määritellään η: R [0, [, Olkoon t < 1. Tällöin η(t) = {e 1 t 2 1, kun t < 1, 0, kun t 1. η (k) (t) = e 1 t 2 1 P3k (t) (t 2 1) 2k ; P 3k = 3k:n steen polynomi, η (k) (t) 0, kun t 1 ti t 1. η C 0 (R). Hlutn funktio ϕ k : R n [0, [, k N, s.e. () ϕ k C 0 (Rn ), (b) sptϕ k B 1/k = B(0,1/k), (c) ϕ k = 1. R n Voidn vlit (2.33) ϕ k (x) = k η(k x ), missä vkio k vlitn s.e. (c) toteutuu. Todetn seurvksi: Jos f L p (R n ) j g C 0 (R n ) (ts. g jtkuv j sptg kompkti), niin y f(x y)g(y) on integroituv x, sillä f(x y) g(y) dy M f(x y) dy = M f(y) dy <, R n sptg A M< missä A = x sptg = {x z: z sptg}, j pätee: Siis konvoluutio f g(x) on määritelty x R n. Sovelletn tätä tpukseen: f L p (A), m(a) < f L 1 (A). g k : R n [0, [ jtkuv, sptg k B 1/k, R n g k = 1. Luse Olkoot f L p (R n ), 1 p <, j g k kuten edellä. Tällöin lim f f g k p = 0. k
31 Kevätlk Tod. Jos p > 1, Siis p 1: f(x) f g k (x) = f(x) g k (y)dy f(x y)g k (y)dy R n R n = (f(x) f(x y))g k (y)dy R n f(x) f g k (x) f(x) f(x y) g k (y)dy. R n ( ) p f(x) f g k (x) p f(x) f(x y) g k (y)dy R ( n ) p = f(x) f(x y) g k (y) 1/p g k (y) 1/q dy (missä q = p R n p 1 ) =g k (y) ( ( f(x) f(x y) p g k (y)dy g k (y) 1/q) q dy Hölder R n R } n {{} =1 = f(x) f(x y) p g k (y)dy. R n f f g k p p = f(x) f g k (x) p dx R n ( ) f(x) f(x y) p g k (y)dy dx R n R n ( ) Fubini 1. = g k (y) f(x) f(x y) p dx dy. R n R n sptg k B 1/k voidn olett y 1/k sisimmässä integroinniss. L R n f(x) f(x y) p dx 0, kun k j y 1/k R n g k = 1 väite. Selvästi vruudet C 0 (R n ) j C k 0 (Rn ), k = 1,2,...,, ovt L p (R n ):n vektorilivruuksi, j jos ne vrustetn normill p, ne ovt myös normivruuksin L p (R n ):n livruuksi. Määritelmä Jos W on normivruuden (V, ) livruus, snomme, että W on tiheä V:ssä, jos v V jono w 1,w 2,... W s.e. w i v 0, kun i. (Eli W = V.) Luse C 0 (Rn ) on L p (R n ):n tiheä livruus, kun 1 p <. Tod. Olkoon f L p (R n ). On osoitettv: ψ 1,ψ 2,... C 0 (Rn ) s.e. f ψ k p 0, kun k. ) p/q
32 32 Relinlyysi I (): Oletetn, että sptf on kompkti. Silloin f L 1. Vlitn funktiot ϕ k kuten (2.33):ssä. L f ϕ k C (R n ). Jos d(x,sptf) > 1/k j y sptϕ k ( B(0,1/k)), niin x y sptf f ϕ k (x) = f(x y)ϕ k (y)dy = 0 spt(f ϕ k ) kompkti. R n L f f ϕ k p k 0, joten vlitn ψ k = f ϕ k. (Huom.: Yllä spt(f ϕ k ) on kompkti, kosk se on sekä suljettu että rjoitettu.) (b): Yleinen tpus: spt f ei ole välttämättä kompkti. Olkoon ε > 0. Merkitään f j = fχ Bj, B j = B(0,j). Tällöin f j L p (R n ), sptf j kompkti. Lisäksi on olemss j 0 s.e. ()-koht ψ j 1,ψj 2,... C 0 (Rn ) s.e. f f j p < ε/2 j j 0. f j ψ j k p < ε/2, kun k k j. Tällöin f ψ j k j p < ε j j 0. 3 Derivointi Tässä luvuss tutkimme mm. integrlien määräämien funktioiden derivoitumist sekä kysymystä, milloin funktio f: [,b] R sdn tkisin integroimll sen derivtt f? Esimerkki (Diff I:) Olkoon g: [,b] R jtkuv j G(x) = x Silloin G on derivoituv j G (x) = g(x), x [,b]. g(t)dt, x [,b]. 2. Pätee 1-koht yleisempi tulos (Lebesguen luse): Olkoon g: [, b] R integroituv. Silloin funktio G: [,b] R, G(x) = x g(t)dt, on derivoituv m.k. j G (x) = g(x) m.k. x [,b] koht toisin päin (lähtien funktiost): f C 1 ([,b]) x f (t)dt = f(x) f().
33 Kevätlk Olkoon f: [0,1] [0,1] Cntorin 1/3-funktio. Silloin f on jtkuv ksvv surjektio j f (t) = 0 m.k. t [0,1] (f mitllinen), mutt 1 0 f (t)dt = 1 0 0dt = 0 1 = f(1) f(0). Tutkimme näitä kysymyksiä käyttäen työkluin peiteluseit. Niissä nnettu R n :n joukko pyritään melkein peittämään esim. suljetuill erillisillä kuulill. Erillisyys vditn, jott voidn käyttää mitn täysdditiivisuutt. 3.2 Peiteluseit Merkitään kb = B(x,kr), jos B = B(x,r) j k > 0 (ti vstvsti kb = B(x,kr), jos B = B(x, r)). Huom: tämä merkintä poikke iemmst (esim. [Ho, L. 1.9]). Muistutus: Oletmme in, että suljetuss kuulss B(x,r) säde r on positiivinen (r > 0). ({y R n : x y < 0} =, {y R n : x y 0} = {x}) Luse 3.3 (Peruspeiteluse). Olkoon F mielivltinen perhe R n :n kuuli s.e. D = sup{d(b): B F} <, missä d(b) = B:n hlkisij. Tällöin numeroituv (mhdollisesti äärellinen) perhe G F s.e. Tod. 1. Merkitään B i B j = B i,b j G, B i B j, ts. G:n kuult erillisiä; j B FB 5B. B G jolloin F = j=1 Fj. Määritellään perheet G j F j induktiivisesti: F j = {B F: D/2 j < d(b) D/2 j 1 }, j N, () Olkoon G 1 mikä thns mksimlinen perhe F 1 :n erillisiä kuuli, ts. B F 1 B G 1 s.e. B B. (Eli: Jos G 1 :een lisätään mikä thns F 1 :n kuul, niin erillisyysvtimus rikkoontuu.) (b) Oletetn, että G 1,...,G k 1 on vlittu. Olkoon G k mikä thns mksimlinen kokoelm F k :n erillisiä kuuli B s.e. B B = B k 1 j=1 G j. Merkitään G = G j, j=1
34 34 Relinlyysi I jolloin G ( F) on perhe erillisiä kuuli. 2. Väite: G on numeroituv. Tod. Riittää osoitt: G j numeroituv j. Kirjoitetn G j = G j,i, missä G j,i = {B G j : B B(0,i)}, j osoitetn, että G j,i on äärellinen (mhd. = ), jolloin G j :t j siten G ovt numeroituvi. B G j,i d(b) > D/2 j j B B(0,i) B(0, i) kompkti } ( ) G j,i äärellinen. [ ( ):n perustelu: VO: Gj,i :ssä äärettömän mont erillistä kuul jono x k B(0,i), k N, s.e. (3.4) x k x l D/2 j k l. (Esim. x k on jonkun G j,i :n kuuln keskipiste.) B(0,i) kompkti (xk ):n osjono, jok suppenee, mutt tämä on RR (3.4):n knss. ] 3. Väite: B F kohti B G s.e. B B j B 5B. Erityisesti: B FB B G Tod. Jos B F, niin B F k jollkin k N. G k mksimlinen B k j=1 G j s.e. B B. Toislt 5B. d(b ) > D/2 k j d(b) D/2 k 1 d(b) < 2d(B ) B B } B 5B. B B 5B Huomutus Todistuksen 2. koht sdn myös suorn perheen G kuulien erillisyydestä käyttämällä hyväksi R n :n seproituvuutt (Q n on numeroituv tiheä R n :n osjoukko). 2. Peruspeiteluse(yo. muodossn) pätee myös metrisille vruuksille(x, d) tiettyjen lisäoletusten vllitess. Lue todistus läpi uudelleen j mieti, mitä vtimuksi (X, d):n on toteutettv, että todistus menisi läpi. Määritelmä 3.6. Olkoon V perhe R n :n kuuli. Snomme, että V on joukon E R n Vitlin peite, jos x E j ε > 0 kohti B V s.e. x B j d(b) < ε. Perhe V on suljettu Vitlin peite (vstvsti voin), jos jokinen B V on suljettu (vstvsti voin) kuul.
35 Kevätlk Huomutus 3.7. Jos V on joukon E Vitlin peite j R > 0, niin on myös E:n Vitlin peite. Luseest 3.3 sdn: {B V: d(b) < R} Seurus 3.8. Olkoon V joukon E R n suljettu Vitlin peite s.e. d(b) < R B V, j olkoon G V kuten Luseess Silloin jokisell äärellisellä G G pätee: E \ B B G B G\G 5B. Tod. Olkoon G V kuten Luseess 3.3 j olkoon G = {B 1,B 2,...,B m } G mielivltinen. Jos m E B i, si on selvä. Muusstpuksessolkoonx E\ m B i.tällöin m B i onkompkti (äärellisen monensuljetun kuuln yhdiste), joten d ( m ) m m x, B i = inf{ x y : y B i } = min{ x y : y B i } > 0. Kosk V on E:n Vitlin peite, niin B V s.e. x B j B ( m B i) = (d(b) trpeeksi pieni). E B i B V x Luseen 3.3 todistuksen 3.-osst seur, että B G s.e. B B j B 5B. Erityisesti x 5B. Nyt B G, sillä B ( m B i) =. Siis B G \G, joten E \ B B G B G\G 5B. Luse 3.9 (Vitlin peiteluse). Olkoon E R n (ei välttämättä mitllinen) j V E:n suljettu Vitlin peite. Silloin on olemss numeroituv osperhe G V erillisiä kuuli s.e. m ( E \ B GB ) = 0. 6 Ts. G on numeroituv perhe V:n erillisiä kuuli s.e. B VB B G 5B.
36 36 Relinlyysi I Tod. 1. Oletetn ensin, että E on rjoitettu. Nyt voidn, että rjoitettu, voin H R n s.e. B H B V. Olkoon G kuten L. 3.3 (j Seur. 3.8). Olkoon ε > 0. Osoitmme: m ( E \ B GB ) < ε, jost väite seur (sillä ε > 0 mielivltinen). G:n kuult erillisiä j H äärellinen G G s.e. Seurus 3.8 m(b) = m ( B ) m(h) <. B G B G B G\G m(b) < ε/5 n. m ( E \ B GB ) m ( E \ E\ B G B B G B B G\G 5B B G\G m(5b) = 5 n ) m ( B G\G 5B ) B G\G m(b) < ε. ε > 0 mielivltinen m ( E \ B GB ) = Yleinen tpus: E ei rjoitettu. Merkitään Silloin A i :t ovt voimi j erillisiä, j (3.10) m ( R n \ A 1 = B(0,1) j A i = B(0,i)\ B(0,i 1), i 2. ) ( A i = m S(0,i) ) = 0, S(0,i) = {x R n : x = i}. 7 Ide: Sovelletn 1.-os joukkoihin E A i, jolloin sdn osperheet G i V. Pidettävä huolt, etteivät G i :n j G j :n kuult leikk toisin. Tämä hoidetn seurvsti: A i voin, x A i r x > 0 s.e. B(x,r) A i r r x V i = {B V: B A i } on E A i :n Vitlin peite. A i :t erillisiä (3.11) jos B V i j B V j,i j, niin B B =. 1.-os numeroituv perhe G i V i erillisiä kuuli s.e. (3.12) m ( (E A i )\ 7 Keksi yksinkert. perustelu, miksi m n ( S(0,i) ) = 0. B G i B ) = 0.
37 Kevätlk Tällöin G = G i toteutt ehdot. Selvästi G numeroituv j G:n kuult erillisiä (ks. (3.11)). Lisäksi E \ B GB ( (E = \ B ) ) ( (E \ A i \ B G } {{ } 0-mittinen (ks. (3.10)) B G B ) ( ) ) A i } ( {{ ) } = (E A i )\ B G i B m ( E \ B GB ) m ( (E A i )\ B G i B ) (3.12) = 0. Huomutus Myös Vitlin peiteluse pätee tietyille metrisille mitt-vruuksille (X, d, Γ, µ). Käy läpi yo. todistust j mieti mitä ominisuuksi (X, d):ltä j mitlt µ kusskin viheess vditn Mksimlifunktio Aloitetn seurvll hyödyllisellä tuloksell: Olkoon (X,Γ,µ) mitt-vruus j g: X [0,+ ] mitllinen. Funktiot [0,+ ) [0,+ ], t µ ( {x: g(x) > t} ), snotn g:n distribuutiofunktioksi. Se on vähenevä j siten mitllinen (HT). Lemm Olkoon f: X [0,+ ] mitllinen j 0 < p <. Silloin (3.16) f p dµ = p t p 1 µ ( {x: f(x) > t} ) dt. X 0 Tod. (HT) Ohjeet: (i) Oletetn ensin, että f on 1-kertinen j osoitetn (suorll lskull), että (3.16) pätee. (ii) Yleisessä tpuksess vlitn jono 1-kertisi funktioit f k f j käytetään monotonisen konvergenssin lusett. R t A f {x X: f(x) > t} X Yo. kuvss X fdµ = 0 µ ( {x X: f(x) > t} ) dt voidn tulkit vrjostetun joukon A tulomitksi (µ m 1 )(A). Merkitään f L 1 loc (Rn ), jos f: R n Ṙ on mitllinen j f < kompktill K R n. Snomme: f loklisti integroituv (ti loklisti L 1 :ssä). K
38 38 Relinlyysi I Huomutus f C(R n ) f L 1 loc (Rn ). 2. f L 1 (R n ) f L 1 loc (Rn ). Käänteinen ei päde: esim. f(x) 1. Tvoitteen todist: f L 1 1 loc (Rn ) lim r 0+ m ( B(x,r) ) f(y)dy = f(x) m.k. x R n. B(x,r) Kun A LebR n j m(a) > 0, merk. f:n integrlikeskirvo yli A:n. A f(y)dy = 1 f(y)dy, m(a) A Määritelmä Kun f L 1 loc (Rn ) j x R n, setetn Mf(x) = sup f(y) dy, B x B missä B on (mikä thns) voin kuul, jok sisältää x:n. Funktio Mf: R n [0, ] on f:n (Hrdy-Littlewood) mksimlifunktio. Huom. Kirjllisuudess esiintyy eri tyyppisiä mksimlifunktioit. Usein esim. otetn supremum yli x-keskisten kuulien B(x,r) (ks. esim. Tyllin luentomuistiinpnot). Tällöin sdn funktion f L 1 loc (Rn ) keskitetty mksimlifunktio, jot merkitsemme Mf:ll, Mf(x) = sup r>0 B(x,r) f(y) dy. Pätee: Mf(x) Mf(x) 2 n Mf(x) x R n (HT 5/2). Tästä syystä on usein smntekevää kump mksimlifunktiot käytetään. Lemm Mksimlifunktio Mf: R n [0, ] on mitllinen. Tod. Merkitään E t = {x: Mf(x) > t}. Osoitetn vhvempi tulos, että E t on voin 8 t R (j siten erityisesti mitllinen). Olkoon x E t. Silloin voin kuul B x s.e. f(y) dy > t. Tällöin y B pätee: Siis B E t j siten E t on voin. Mf(y) sup B B f(y) dy > t y E t. 8 Topologisen vruuden X funktio u: X Ṙ on lhlt puolijtkuv, jos {x X: u(x) > t} on voin t R. Vst. tvll määr. ylhäältä puolijtkuvuus. Siten u on jtkuv u on sekä lhlt että ylhäältä puolijtkuv. Siis: Lemmn 3.19 todistus Mf lh. puolijtkuv.
39 Kevätlk Huomutus Mitä voidn sno M f:n integroituvuudest? Vstus: Mf on hyvin hrvoin integroituv. Trkemmin: Mf L 1 (R n ) f = 0 m.k. Syy: Ensin muistutus: m ( B(x,r) ) = c n r n, missä c n on n:stä riippuv vkio. Tehdään vstoletus: f = 0 m.k. ei päde. Silloin R f > 0, joten R > 0 s.e. n f(y) dy > 0. B(0,R) merk. = I 0 R x 2 x Jos x R n \B(0,R), niin B(0,R) B(x,2 x ) (ks. kuv) j 1 Mf(x) m ( B(x,2 x ) ) f(y) dy B(x,2 x ) 1 c n (2 x ) n B(0,R) f(y) dy. } {{ } =I>0 Mf(x)dx R n R n \B(0,R) Mf(x)dx I R n \B(0,R) c 1 n (2 x ) n dx =, sillä = R n \B(0,R) c 1 n (2 x ) n dx = i=0 m ( B(0,2 i+1 R)\B(0,2 i R) ) i=0 =c n((2 i+1 R) n (2 i R) n ) i=0 2 n 1 4 n =c>0 = i=0 c =. c 1 n (2 x ) n dx B(0,2 i+1 R)\B(0,2 i R) c 1 n (2 i+2 R) n c 1 n (2i+2 R) n 2. Chebyshevin epäyhtälö (HT 4/1): f L 1 (R n ) rvio (3.21) m ( {x R n : f(x) > t} ) c t t > 0 pätee vkioll c = f 1. Käänteinen ei päde: Mitllinen funktio f, jolle (3.21) on voimss t > 0 jollkin vkioll c, ei ole välttämättä integroituv. (HT 5/1) 3. Snomme, että mitllinen funktio f: R n Ṙ kuuluu heikkoon L1 -vruuteen, wek-l 1 (R n ), josonolemssvkioc=c f < siten, että(3.21) pätee t > 0.Siis: L 1 (R n ) wek-l 1 (R n ), mutt wek-l 1 (R n ) L 1 (R n ).
40 40 Relinlyysi I Osoittutuu, ettäintegroituvnfunktionf L 1 (R n )mksimlifunktiomf toteuttepäyhtälön (3.21). Tämä on M f:n tärkeimpiä ominisuuksi. Todistus noj Peruspeiteluseeseen 3.3. Luse 3.22 (Hrdy-Littlewood). Jos f L 1 (R n ), niin (3.23) m ( {x R n : Mf(x) > t} ) 5n f 1 t t > 0. Tod. Kiinnitetään t > 0 j merkitään M t = {x R n : Mf(x) > t}. Tällöin x M t voin kuul B x x (ei välttämättä x-keskinen) s.e. B x f(y) dy > t. Toisin snoen, (3.24) m(b x ) 1 t Olkoon F = {B x : x M t }, jolloin (trivilisti) Kosk m(b x ) = c n (d(b x )/2) n, niin f(y) dy ( f 1 B x t M t B F B. (3.24) sup{d(b x ): B x F} 2 ). ( ) 1/n f 1 <. c n t Voimme siis käyttää Peruspeitelusett 3.3 numeroituv osperhe G = {B 1,B 2,...} F erillisiä voimi kuuli s.e. M t B 5B i. Siten B F m(m t ) m ( i 5B i ) numer. yhd. B i G m(5b i ) = 5 n i i m(b i ) (3.24) 5 n i 1 f(y) dy B i:t erill. = t B i 5 n t i B i f(y) dy 5n t R n f(y) dy. Huomutus 3.20:n mukn Mf L 1 (R n ) f = 0 m.k. Tilnne on täysin toinen, jos p > 1. Luse Olkoon 1 < p < j f L p (R n ). Silloin Mf L p (R n ) j on olemss vkio c = c(p,n) s.e. Mf p c f p. Tod. Todistuksess käytetään mm. Lemm 3.9:ää, Hrdy-Littlewood lusett j Fubini. (HT 5/5)
41 Kevätlk Lebesguen differentioituvuusluse Olkoon A R n, h: A Ṙ j x 0 A:n ksutumispiste (ts. B(x 0,r) (A\{x 0 }) r > 0). Määritellään lim suph(x) = lim sup{h(x): x B(x 0,r) (A\{x 0 })}. x x 0 r 0+ A x 0 x A x x 0 B(x 0,r) (A\{x 0 }) Hvinto: 0 < r 1 < r 2 sup{h(x): x B(x 0,r 1 ) (A\{x 0 })} sup{h(x): x B(x 0,r 2 ) (A\{x 0 })}, joten rj-rvo on olemsss (± sllittu). Vstvll tvll voidn määritellä lim inf. Motivtio: Jos f: R n R on jtkuv, niin (3.27) lim f(y) f(x) dy = 0 r 0+ B(x,r) x R n (ks. llolevn todistuksen3-koht). Toislt Lusininluse snoo, että mitllinen funktio on melkein jtkuv (f mitllinen, ε > 0 suljettu F R n s.e. m(r n \F) < εjf F jtkuv), joten herää kysymys, missä muodoss (3.27) pätee loklisti integroituville funktiolle. Luse 3.28 (Lebesguen differentioituvuusluse). Olkoon f L 1 loc (Rn ) loklisti integroituv funktio. Tällöin (3.29) lim f(y) f(x) dy = 0 m.k. x R n. Erityisesti: r 0+ B(x,r) (3.30) lim r 0+ B(x,r) Tod. Kun f L 1 loc (Rn ) j x R n, merk. Λf(x) = limsup r 0 f(y)dy = f(x) m.k. x R n. B(x,r) f(y) f(x) dy. (Huom.: Λf(x) on määritelty x R n j rvo riippuu f(x) :stä eli erityisesti ekvivlenssiluokn edustjn vlinnst.) Tällöin Λf:lle pätee: 1. Λf(x) 0 x R n (selvä).
42 42 Relinlyysi I 2. Λ on sublinerinen, ts. Perustelu: Λ(f +g)(x) = limsup r 0 -ey. Λ(f +g) Λf +Λg, f,g L 1 loc (Rn ). B(x,r) ( limsup r 0 limsup r 0 B(x,r) f(y)+g(y) f(x) g(x) dy B(x,r) f(y) f(x) dy + B(x,r) f(y) f(x) dy +limsup = Λf(x)+Λg(x), x R n. r 0 ) g(y) g(x) dy B(x,r) g(y) g(x) dy 3. g C(R n ) Λg(x) = 0 x R n. Perustelu: Kiinnitetään x R n j olkoon ε > 0 mielivltinen. g jtkuv x:ssä δ > 0 s.e. g(y) g(x) < ε y B(x,δ). Siten 0 < s δ pätee: 1 g(y) g(x) dy < m ( B(x,s) ) εdy = εm( B(x,s) ) B(x,s) m ( B(x,s) ) = ε B(x,s) <ε ( ) Λg(x) = lim sup g(y) g(x) dy ε r 0 0<s<r B(x,s) Λg(x) = 0, sillä ε > 0 mv. } {{ } <ε, kun 0<s δ 4. Λf Mf + f. Perustelu: f(y) f(x) dy -ey. f(y) dy+ f(x) dy Mf(x)+ f(x). B(x,r) B(x,r) } {{ } Mf(x) B(x,r) } {{ } = f(x) (Huom. f(x) on vkio jälkimmäisessä integrliss.) Olkoon sitten f L 1 loc (Rn ) nnettu j t > 0 mielivltinen. Riittää osoitt: k N (3.29) pätee m.k. x B(0, k). Ehdon (3.29) voimssoloon B(0, k):ss ei vikut f:n rvot R n \B(0,2k):ss, joten voimme olett, että f = 0 R n \B(0,2k):ss j siten f L 1 (R n ). Jos g C(R n ), niin Λf = Λ(f g +g) 2. Λ(f g)+λg 3. = Λ(f g) 4. M(f g)+ f g. Siten inkin toinen luvuist M(f g)(x) ti f(x) g(x) on vähintään Λf(x)/2, joten {x R n : Λf(x) > t} {x R n : M(f g)(x) > t/2} {x R n : f(x) g(x) > t/2}.
43 Kevätlk Näin ollen m ( {x: Λf(x) > t} ) m ( {x: M(f g)(x) > t/2} ) +m ( {x: f(x) g(x) > t/2} ) H.-L. 2 5 n f g 1 /t Cheb. 2 f g 1 /t 2(5n +1) f g 1. t Luse 2.36 jtkuvt funktiot tiheässä L 1 :ssä ε > 0 g C(R n ) s.e. f g 1 < ε Lopuksi, ε>0 mv. = m ( {x R n : Λf(x) > t} ) = 0 t > 0 m ( {x R n ) : Λf(x) > 0} m ( {x R n : Λf(x) > 1/k} ) = 0 k=1 k {x: Λf(x)>1/k} =0 Λf(x) = 0 m.k. x R n 0 liminf f(y) f(x) dy limsup f(y) f(x) dy = 0 m.k. x R n r 0 lim r 0+ B(x,r) B(x,r) B(x,r) B(x,r) r 0 B(x,r) f(y) f(x) dy = 0 m.k. x R n. f(y)dy f(x) = B(x,r) f(y)dy B(x,r) f(y) f(x) dy r 0+ 0 m.k. x R n. f(x)dy = } {{ } =f(x) B(x,r) Määritelmä Piste x R n on joukon E LebR n tiheyspiste, jos m ( E B(x,r) ) lim r 0+ m ( B(x,r) ) = 1. ( f(y) f(x) ) dy Huomutus x R n joukon E tiheyspiste x E. Esimerkiksi 0 on joukon R n \ {0} tiheyspiste. Seurus Olkoon E LebR n mielivltinen. Tällöin melkein jokinen x E on E:n tiheyspiste, ts. m ( E B(x,r) ) lim r 0+ m ( ) = 1 m.k. x E. B(x,r) Lisäksi m ( E B(x,r) ) lim r 0+ m ( B(x,r) ) = 0 m.k. x Rn \E.
TEHTÄVÄ 1. Olkoon (f n ) jono jatkuvia funktioita f n : [a, b] R, joka suppenee välillä [a, b] tasaisesti kohti funktiota f : [a, b] R.
Topologi I Hrjoitus 10, rtkisuj AP TEHTÄVÄ 1. Olkoon (f n ) jono jtkuvi funktioit f n : [, b] R, jok suppenee välillä [, b] tsisesti kohti funktiot f : [, b] R. Osoit, että tällöin f n (x) dx f(x) dx.
LisätiedotRiemannin integraali
LUKU 5 iemnnin integrli Tässä luvuss funktion f iemnnin integrli merkitään - b f = - b f() d. Vstvsti funktion f Lebesgue in integrli merkitään f = f() dm(). [,b] [,b] Luse 5.1. Olkoon f : [, b] rjoitettu
LisätiedotII.1. Suppeneminen., kun x > 0. Tavallinen lasku
II. EPÄOLEELLISET INTEGRAALIT nt II.. Suppeneminen Esim. Olkoon f() =, kun >. Tvllinen lsku = / =. Kuitenkn tätä integrli ei ole ikisemmss mielessä määritelty, kosk f ei ole rjoitettu välillä [, ] (eikä
Lisätiedot7 Funktiosarjoista. 7.1 Funktiosarjojen suppeneminen
7 Funktiosrjoist 7. Funktiosrjojen suppeneminen Seurvksi trkstelln srjoj, joiden termit ovt (lukujen sijst) jollkin välillä I määriteltyjä funktioit. Täsmällisemmin funktiosrjll (ti lyhyemmin srjll) trkoitetn
Lisätiedot5 Epäoleellinen integraali
5 Epäoleellinen integrli 5. Integrlin suppeneminen Olkoon f sellinen välillä [, b[ (ei siis välttämättä pisteessä b) määritelty funktio, että f on Riemnn-integroituv välillä [, ] kikill ], b[ eli on olemss
LisätiedotMatematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus Malliratkaisut (Sauli Lindberg)
Matematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus 4 9.4.-23.4.200 Malliratkaisut (Sauli Lindberg). Näytä, että Lusinin lauseessa voidaan luopua oletuksesta m(a)
LisätiedotSARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT Funktiojonot 1
SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 JOUNI PARKKONEN Sisältö 0. Tästä tekstistä. Funktiojonot 0. Tästä tekstistä Tämä moniste on trkoitettu käytettäväksi kurssin Srjt j differentiliyhtälöt luentomterilin.
Lisätiedot5 Riemann-integraali ANALYYSI B, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT Ala- ja yläintegraali
ANALYYSI B, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT 9 5 Riemnn-integrli 5. Al- j yläintegrli Voit olett tunnetuksi ll esitetyt supremumin j infimumin ominisuudet (joukot A j B ovt rjoitettuj sekä epätyhjiä j λ R). Jos
LisätiedotRiemannin integraalista
Lebesguen integrliin sl. 2007 Ari Lehtonen Riemnnin integrlist Johdnto Tämän luentomonisteen trkoituksen on tutustutt lukij Lebesgue n integrliin j sen perusominisuuksiin mhdollisimmn yksinkertisess tpuksess:
Lisätiedoti 2 n 3 ( (n 1)a (i + 1) 3 = 1 +
I. INTEGRAALILASKENTA Arkhimedes (287 22 e.kr.) prbelin segmentin pint-l Newton (642 727) j Leibniz (646 76) keksivät diff.- j int.-lskennn Cuhy (789 857) ε, δ Riemnn (826 866) Riemnnin integrli Lebesgue
LisätiedotAnalyysi III S
Anlyysi III 800624S Sisältö sitietoj 5 Riemnn integroinnin rjt 6 Luku 1. Mittteori 7 1. Algebr j σ-lgebr 7 2. Mitt 8 3. Ulkomitt j mitlliset joukot 11 4. Ulkomitn konstruointi 14 5. Lebesguen ulkomitt
LisätiedotKäydään läpi: ääriarvo tarkastelua, L Hospital, integraalia ja sarjoja.
DI mtemtiikn opettjksi: Täydennyskurssi, kevät Luentorunko j hrjoituksi viikolle : ti 9.. klo :-5:, to.. klo 9:5-: j klo 4:5-6: Käydään läpi: äärirvo trkstelu, L Hospitl, integrli j srjoj.. Kerrtn äärirvojen
LisätiedotAnalyysi 2. Harjoituksia lukuihin 1 3 / Kevät Anna sellainen välillä ] 2, 2[ jatkuva ja rajoitettu funktio f, että
Anlyysi Hrjoituksi lukuihin 3 / Kevät 5. Ann sellinen välillä ], [ jtkuv j rjoitettu funktio f, että () sup A m A j inf A min A, (b) sup A m A j inf A = min A, (c) sup A = m A j inf A min A, (d) sup A
Lisätiedot3 Integraali ja derivaatta
3 Integrli j erivtt 3.1 Integrli ylärjns funktion Olkoon funktio f Riemnn-integroituv välin I jokisell suljetull osvälillä j välin I jokin kiinteä luku. Tällöin integrli määrittelee funktion G(): I R,
LisätiedotANALYYSI I, kevät 2009
ANALYYSI I, kevät 2009 Sisältö Relilukujen peruskäsitteitä 2 Lukujonoist 3 2. Lukujonon rj-rvo....................... 3 2.2 Monotoniset jonot......................... 7 2.3 Osjonot..............................
LisätiedotRiemannin integraalista
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro grdu -tutkielm Aij Stenberg Riemnnin integrlist Mtemtiikn j tilstotieteen litos Mtemtiikk Syyskuu 2010 2 Tmpereen yliopisto Mtemtiikn j tilstotieteen litos STENBERG, AIJA: Riemnnin
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Mtemtiikn tukikurssi Kurssikert 5 1 Jtkuvuus Trkstelln funktiot fx) josskin tietyssä pisteessä x 0. Tämä funktio on tässä pisteessä joko jtkuv ti epäjtkuv. Jtkuvuuden ymmärtää prhiten trkstelemll epäjtkuv
LisätiedotANALYYSI I, kevät 2009
5 Riemnnin integrli 7 ANALYYSI I, kevät 9 5. Integrlin perusominisuuksi................. 76 5. Anlyysin perusluse....................... 8 Sisältö Relilukujen peruskäsitteitä Lukujonoist 3. Lukujonon rj-rvo.......................
LisätiedotANALYYSI I, kevät 2009
ANALYYSI I, kevät 009 Sisältö Relilukujen peruskäsitteitä Lukujonoist 4. Lukujonon rj-rvo....................... 4. Monotoniset jonot..........................3 Osjonot.............................. 7.4
Lisätiedot1. Derivaatan Testi. Jos funktio f on jatkuva avoimella välillä ]a, b[ ja x 0 ]a, b[ on kriit. tai singul. piste niin. { f (x) > 0, x ]a, x 0 [
1. Derivtn Testi Jos funktio f on jtkuv voimell välillä ], b[ j x 0 ], b[ on kriit. ti singul. piste niin { f (x) < 0, x ], x 0 [ f x (x) > 0, x ]x 0, b[ 0 on lokli minimipiste (1) { f (x) > 0, x ], x
LisätiedotLebesguen integraali - Rieszin määritelmä
Lebesguen integrli - Rieszin määritelmä Tru Lehtonen Mtemtiikn pro grdu-tutkielm Jyväskylän yliopisto Mtemtiikn j tilstotieteen litos Kevät 216 Tiivistelmä Jyväskylän Yliopisto Lehtonen, Tru Puliin: Lebesguen
LisätiedotAnalyysin peruslause
LUKU 10 Analyysin peruslause 10.1. Peruslause I Aiemmin Cantorin funktion ψ kohdalla todettiin, että analyysin peruslause II ei päde: [0,1] ψ (x) dm(x) < ψ(1) ψ(0). Kasvavalle funktiolle analyysin peruslauseesta
Lisätiedot2.4 Pienimmän neliösumman menetelmä
2.4 Pienimmän neliösummn menetelmä Optimointimenetelmiä trvitn usein kokeellisen dtn nlysoinniss. Mittuksiin liittyy virhettä, joten mittus on toistettv useit kertoj. Oletetn, että mittn suurett c j toistetn
Lisätiedotx k 1 Riemannin summien käyttö integraalin approksimointiin ei ole erityisen tehokasta; jatkuvasti derivoituvalle funktiolle f virhe b
5 Integrlien lskemisest 51 Riemnnin summt [A2], [4, 61] Rjoitetun funktion f : [, b] R Riemnn-integroituvuudelle ytäpitäväksi on kurssill Anlyysi 2 osoitettu, että Riemnnin summill S P := f(ξ k ) ( ),
Lisätiedot2 Riemann-integraali. 2.1 Porrasfunktion integraali. Aloitetaan integraalin täsmällinen määrittely tutkimalla porrasfunktion integraalia.
2 Riemnn-integrli 2.1 Porrsfunktion integrli Aloitetn integrlin täsmällinen määrittely tutkimll porrsfunktion integrli. Määritelmä 2.1 (Porrsfunktion integrli). Olkoon f : [, b] R porrsfunktio j P = {x
LisätiedotKuvausta f sanotaan tällöin isomorfismiksi.
Määritelmä..12. Oletetn, että 1 =(V 1,E 1 ) j 2 =(V 2,E 2 ) ovt yksinkertisi verkkoj. Verkot 1 j 2 ovt isomorfiset, jos seurvt ehdot toteutuvt: (1) on olemss bijektio f : V 1 V 2 (2) kikill, b V 1 pätee,
LisätiedotMääritelmä Olkoon C R m yksinkertainen kaari ja γ : [a, b] R m sen yksinkertainen parametriesitys, joka on paloittain C 1 -polku.
Muodostetn vektorikentän kri-integrli yksinkertisen kren tpuksess. Plutetn mieleen, että joukko C R m on yksinkertinen kri, jos löytyy sellinen jtkuv bijektio γ : [, b] C, jok on ploittin C 1 -funktio
LisätiedotNumeeriset menetelmät TIEA381. Luento 9. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 9 () Numeeriset menetelmät / 29
Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 9 Kirsi Vljus Jyväskylän yliopisto Luento 9 () Numeeriset menetelmät 17.4.2013 1 / 29 Luennon 9 sisältö Numeerisest integroinnist Newtonin j Cotesin kvt Luento 9 ()
LisätiedotMS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 7: Integraali ja analyysin peruslause
MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 7: Integrli j nlyysin perusluse Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos 3.10.2016 Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen
LisätiedotKertausta ja täydennystä
LUKU 1 Kertust j täydennystä 1.1. Merkintöjä N = {k Z k 0} = {0, 1, 2,... }, luonnollisten lukujen joukko. Z + = {k Z k > 0} = {1, 2,... }, positiivisten kokonislukujen joukko. (, b) on relikselin voin
LisätiedotVille Turunen: Mat Matematiikan peruskurssi P1 3. välikokeen alueen teoriatiivistelmä 2007
Ville Turunen: Mt-.4 Mtemtiikn peruskurssi P 3. välikokeen lueen teoritiivistelmä 27 Mterili: kirjt [Adms] R. A. Adms: Clculus, complete course (6th edition), [Ly] D. C. Ly: Liner lgebr nd its pplictions
LisätiedotSarjat ja integraalit
Srjt j integrlit c Mtemttisten tieteiden litos, Oulun yliopisto Versio: 9.3.0 Viimeksi muoknnut: Peter Hästö Sisältö Funktion rj-rvo j jtkuvuus. Peruskäsitteitä........................................
LisätiedotSisältö. Integraali 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 20
Integrli 10. syyskuut 2005 sivu 1 / 20 Sisältö 1 Määrätty integrli j integrlifunktio 2 1.1 Integroituvist funktioit 3 1.2 Määrätyn integrlin ominisuuksi 4 1.3 Integrlifunktio 5 1.4 Integrlilskennn tärkeimmät
LisätiedotIV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n
IV. TASAINEN SUPPENEMINEN IV.. Funktiojonon tasainen suppeneminen Olkoon A R joukko ja f n : A R funktio, n =, 2, 3,..., jolloin jokaisella x A muodostuu lukujono f x, f 2 x,.... Jos tämä jono suppenee
LisätiedotReaalianalyysin perusteita
Reaalianalyysin perusteita Heikki Orelma 16. marraskuuta 2008 Sisältö 1 Johdanto 3 2 Mitallisuus 3 3 Yksinkertaiset funktiot 6 4 Mitat ja integrointi 7 5 Kompleksisten funktioiden integrointi 10 6 Nolla-mittaisten
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Mtemtiikn tukikurssi Kurssikert 4 Tilvuuden j vipn ln lskeminen Kuten iemmin käsittelimme, määrätyn integrlin vull voi lske pintloj j tilvuuksi. Tyypillisenä sovelluksen tilvuuden lskemisest on tpus, joss
LisätiedotMS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali
MS-A1{3,4} (ELEC*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 8: Integrlifunktio j epäoleellinen integrli Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos 5.1.216 Pekk Alestlo,
LisätiedotMS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 7: Integraali ja analyysin peruslause
MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 7: Integrli j nlyysin perusluse Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos November 20, 2017
Lisätiedota = x 0 < x 1 < x 2 < < x n = b f(x) dx = I. lim f(x k ) x k=1
5 Integrli 5.1 Määritelmä j ominisuudet Olkoon f : [, b] R jtkuv. Muodostetn välin [, b] jko = x 0 < x 1 < x 2 < < x n = b j siihen liittyvä yläsumm S = n M k (x k x k 1 ), M k = mx{f(x) x k 1 x x k },
LisätiedotMitta- ja integraaliteoria 2 Harjoitus 1, Olkoon f : A! [0, 1] mitallinen ja m(a) < 1. Näytä, että josonp>1javakio M<1, joille
Harjoitus 1, 30.10.2015 1. Olkoon f : A! [0, 1] mitallinen ja ma) < 1. Näytä, että josonp>1javakio Mt} apple M 2. Olkoon f 2 L 1 A). Näytä, että 2 kaikilla
LisätiedotKorkeamman kertaluvut derivaatat
LUKU 4 Korkemmn kertluvut derivtt Derivtn määritelmän mukn differentioituv kuvust f : U F voidn pproksimoid ffiinill kuvuksell, f(x + u f(x + Df(xu. Jos f on khdesti differentioituv, voidn derivtt pproksimoid
LisätiedotMatemaattiset menetelmät I. Seppo Hassi
Mtemttiset menetelmät I Seppo Hssi Syksy 2011 iii Esipuhe Tämä on 1. versio Mtemttiset menetelmät I-kurssin opetusmonisteest, jok perustuu Vsn yliopistoss luennoimni vstvn nimiseen kurssiin. Sisältö noudtt
LisätiedotMS-A010{2,3,4,5} (SCI, ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali
MS-A1{2,3,4,5} (SC, ELEC*, ENG*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 8: ntegrlifunktio j epäoleellinen integrli Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos November
LisätiedotSisältö. Funktiojonot ja -sarjat 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 15
Funktiojonot j -srjt 10. syyskuut 2005 sivu 1 / 15 Sisältö 1 Funktiojonoist 2 2 Funktiosrjoist 5 3 Funktiojonojen j -srjojen derivointi j integrointi 7 4 Potenssisrjt 9 5 Tylorin polynomit j srjt 12 5.1
LisätiedotMS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Yhteenveto, osa II
MS-A7 ifferentili- j integrlilskent (Chem Yhteenveto, os II G. Gripenberg Alto-yliopisto 9. helmikuut 16 G. Gripenberg (Alto-yliopisto MS-A7 ifferentili- j integrlilskent (Chem Yhteenveto, 9. helmikuut
LisätiedotANALYYSIN TEORIA A JA B
ANALYYSIN TEORIA A JA B Kikki luseit ei ole muotoiltu smll tvll kuin luennoill. Ilmoit virheistä yms osoitteeseen mikko.kngsmki@ut. (jos et ole vrm, onko kyseessä virhe, niin ilmoit mieluummin). 1. Yleistä,
LisätiedotREAALIANALYYSI. Pekka Koskela. Syksy 2015
REAALIANALYYSI Pekka Koskela Syksy 2015 Luennot: Ti 1012, To 1416, MaD 380. Demot: To 1012, MaD 355, Changyu Guo.. Demohyvitys: 80%6 p., 70%5, 60%4, 50%3, 30%2, 20%1. Pertti Mattila: Geometry of sets and
LisätiedotMatematiikan peruskurssi. Seppo Hassi
Mtemtiikn peruskurssi Seppo Hssi Syksy 2014 iii Esipuhe Tämä on 1. versio Mtemtiikn peruskurssin opetusmonisteest, jonk sisältö noudttelee pitkälti Vsn yliopistoss iemmin luennoimni Mtemttiset menetelmät
Lisätiedot6 Integraalilaskentaa
6 Integrlilskent 6. Integrlifunktio Funktion f integrlifunktioksi snotn funktiot F, jonk derivtt on f. Siis F (x) = f (x) määrittelyjoukon jokisell muuttujn rvoll x. Merkitään F(x) = f (x) dx. Integrlifunktion
LisätiedotAnalyyttiset funktiot ja integrointiteorian alkeita
Anlyyttiset funktiot j integrointiteorin lkeit 6. helmikuut 2006 isältö 1 Kertust 1 2 Anlyyttiset funktiot 2 2.1 Anlyyttiset funktiot tsoll................... 2 2.2 Monogeeniset funktiot vruudess R n.............
Lisätiedot1. Yhtälöiden ratkaisemisesta Olkoon f välillä [a, b] jatkuva funktio, jolle f(a) f(b) < 0. Bolzanon lauseen [A1]
1. Yhtälöiden rtkisemisest Olkoon f välillä [, b] jtkuv funktio, jolle f() f(b)
LisätiedotModerni reaalianalyysi
JUHA KINNUNEN Moderni reaalianalyysi F ( ) := f (ξ)e i ξ dξ 2π Juha Kinnusen laatiman luentomateriaalin pohjalta toimittaneet Mikael Lindström, Olli Hyvärinen ja Tuomas Pöyhtäri Sisältö LEBESGUEN ULKOMITTA
Lisätiedot2 Epäoleellinen integraali
ANALYYSI C, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, SYKSY 8 Epäoleellinen integrli Integrointivihje: Hyödynnä yhdistetyn funktion integrointisääntöä.. Määritä 9 9 (c) ( ). Tutki, millä vkion p rvoill epäoleellinen integrli
LisätiedotNewtonin, Riemannin ja Henstock-Kurzweilin integraalit
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro grdu -tutkielm Annik Heinonen Newtonin, Riemnnin j Henstock-Kurzweilin integrlit Informtiotieteiden yksikkö Mtemtiikk Helmikuu 2013 Sisältö 1 Johdnto 1 2 Newtonin integrli 2 2.1
LisätiedotJYVÄSKYLÄN YLIOPISTO. 5. Olkoon f : [0, 1] R kasvava. Osoita, että joukko. {x [0, 1] f ei ole jatkuva pisteessä x} on numeroituva. [Vihje: Lause 1.2.
Harjoitukset 1 16.9.25 1. Merkitään Z + = {x Z x > }. Osoita, että f : Z + Z + Z +, f(x, y) = 2 x 1 (2y 1), on bijektio. Piirrä kuva. Perinteisempi kuvaus Z + Z + Z + on (x, y) (x + y 1)(x + y)/2 (x 1).
LisätiedotJohdatus reaalifunktioihin P, 5op
Johdtus relifunktioihin 802161P, 5op Os 3 Pekk Slmi 19. lokkuut 2015 Pekk Slmi FUNK 19. lokkuut 2015 1 / 48 Integrlit 1 Määrätty integrli = oike integrli: esim. 1 0 x 2 dx = reliluku 2 Määräämätön integrli
LisätiedotT Syksy 2002 Tietojenkäsittelyteorian perusteet Harjoitus 5 Demonstraatiotehtävien ratkaisut. ja kaikki a Σ ovat säännöllisiä lausekkeita.
T-79.8 Syksy 22 Tietojenkäsittelyteorin perusteet Hrjoitus 5 Demonstrtiotehtävien rtkisut Säännölliset lusekkeet määritellään induktiivisesti: j kikki Σ ovt säännöllisiä lusekkeit. Mikäli α j β ovt säännöllisiä
LisätiedotSäännöllisten operaattoreiden täydentäviä muistiinpanoja
Säännöllisten operttoreiden täydentäviä muistiinpnoj Antti-Juhni Kijnho 1. huhtikuut 2011 Vnht määritelmät Määritelmä 1. Äärellinen epätyhjä joukko on merkistö, j sen lkioit kutsutn merkeiksi. Määritelmä
LisätiedotAnalyysi B. Derivaatta ja integraali. Pertti Koivisto
Anlyysi B Derivtt j integrli Pertti Koivisto Kevät 7 Alkusnt Tämä moniste on trkoitettu oheislukemistoksi Tmpereen yliopistoss pidettävälle kurssille Anlyysi B. Monisteen tvoitteen on tuke luentojen seurmist,
LisätiedotPertti Koivisto. Analyysi B
Pertti Koivisto Anlyysi B TAMPEREEN YLIOPISTO INFORMAATIOTIETEIDEN YKSIKÖN RAPORTTEJA 67/8 TAMPERE 8 TAMPEREEN YLIOPISTO INFORMAATIOTIETEIDEN YKSIKÖN RAPORTTEJA 67/8 JOULUKUU 8 Pertti Koivisto Anlyysi
Lisätiedot10. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA
MAA0 0. Määrätyn integrlin käyttö eräiden pint-lojen lskemisess 0. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA Edellä on todettu, että f (x)dx nt x-kselin j suorien x =, x = sekä funktion
LisätiedotIntegraalilaskentaa. 1. Mihin integraalilaskentaa tarvitaan? MÄNTÄN LUKIO
Integrlilskent Tämä on lukion oppimterileist hiemn poikkev yksinkertistettu selvitys määrätyn integrlin lskemisest. Kerromme miksi integroidn, mitä integroiminen trkoitt, miten integrli lsketn j miten
Lisätiedotlim + 3 = lim = lim (1p.) (3p.) b) Lausekkeen täytyy supistua (x-2):lla, joten osoittajan nollakohta on 2.
Mtemtiikk III 0600 Kurssi / Differetili- j itegrlilske jtkokurssi Tee 7 tehtävää ) Määritä lim ( ) ) + b) Määritä vkio site, että luseke ( ) + + ( )( ) ( + + ) + + + + + lim + lim lim (p) o jtkuv myös
LisätiedotVektoriarvoisten funktioiden analyysiä
Vektorirvoisten funktioiden nlyysiä LuK-tutkielm Arttu Hrtikk 2330325 Mtemttisten tieteiden litos Oulun yliopisto Syksy 2016 Sisältö Johdnto 2 1 Vektorivruus 3 1.1 Normi j normivruus......................
LisätiedotKonvergenssilauseita
LUKU 4 Konvergenssilauseita Lause 4.1 (Monotonisen konvergenssin lause). Olkoon (f n ) kasvava jono Lebesgueintegroituvia funktioita. Asetetaan f(x) := f n (x). Jos f n
LisätiedotKertymäfunktio. Kertymäfunktio. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 2/2. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 1/2. Kertymäfunktio: Esitiedot
TKK (c) Ilkk Mellin (24) 1 Johdtus todennäköisyyslskentn TKK (c) Ilkk Mellin (24) 2 : Mitä opimme? 1/2 Jos stunnisilmiötä hlutn mllint mtemttisesti, on ilmiön tulosvihtoehdot kuvttv numeerisess muodoss.
Lisätiedot2.6 SÄÄNNÖLLISET LAUSEKKEET Automaattimalleista poikkeava tapa kuvata yksinkertaisia kieliä. Olkoot A ja B aakkoston Σ kieliä. Perusoperaatioita:
2.6 SÄÄNNÖLLISET LAUSEKKEET Automttimlleist poikkev tp kuvt yksinkertisi kieliä. Olkoot A j B kkoston Σ kieliä. Perusopertioit: Yhdiste: A B = {x Σ x A ti x B}; Ktentio: AB = {xy Σ x A, y B}; Potenssit:
Lisätiedot8. Avoimen kuvauksen lause
116 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 8. Avoimen kuvauksen lause Palautamme aluksi mieleen Topologian kursseilta ehkä tutut perusasiat yleisestä avoimen kuvauksen käsitteestä. Määrittelemme ensin avoimen
Lisätiedot4. Reaalifunktioiden määrätty integraali
6 4. Relifunktioiden määrätt integrli Vrsinisesti termi "integrli" tulee seurvss esitettävästä määrätstä integrlist, jok on läheistä suku summmiselle. Yhtes derivttn on sitten perustv ltu olev tulos, jot
Lisätiedotsin θ θ θ r 2 sin 2 θ φ 2 = 0.
Mtemtiikn j tilstotieteen litos Osittisdifferentiliyhtälöt Kevät 21 Hrjoitus 9 Rtkisuj Jussi Mrtin 1. Osoit, että Lplce-yhtälö pllokoordinteiss on 2 u 1 r 2 2 u r r 1 r 2 sin θ u 1 2 u sin θ θ θ r 2 sin
LisätiedotPertti Koivisto. Analyysi C
Pertti Koivisto Anlyysi C TAMPEREEN YLIOPISTO INFORMAATIOTIETEIDEN YKSIKÖN RAPORTTEJA 68/28 TAMPERE 28 TAMPEREEN YLIOPISTO INFORMAATIOTIETEIDEN YKSIKÖN RAPORTTEJA 68/28 JOULUKUU 28 Pertti Koivisto Anlyysi
LisätiedotMitta ja integraali 1
Mitta ja integraali 1 Ilkka Holopainen 2 March 22, 2004 1 Perustuvat pääosin luentomonisteisiin Tylli: Mitta ja integraali (2000 ja Väisälä: Diff. Int. III (1985 2 Ilmoita painovirheistä esim. sähköpostitse
LisätiedotOSA 1: POLYNOMILASKENNAN KERTAUSTA, BINOMIN LASKUSÄÄNTÖJÄ JA YHTÄLÖNRATKAISUA
OSA 1: POLYNOMILASKENNAN KERTAUSTA, BINOMIN LASKUSÄÄNTÖJÄ JA YHTÄLÖNRATKAISUA Tekijät: Ari Heimonen, Hellevi Kupil, Ktj Leinonen, Tuomo Tll, Hnn Tuhknen, Pekk Vrniemi Alkupl Tiedekeskus Tietomn torninvrtij
LisätiedotCantorin joukon suoristuvuus tasossa
Cantorin joukon suoristuvuus tasossa LuK-tutkielma Miika Savolainen 2380207 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Syksy 2016 Sisältö Johdanto 2 1 Cantorin joukon esittely 2 2 Suoristuvuus ja
LisätiedotNumeerinen integrointi.
Numeerinen integrointi. Differentili- j integrlilskent 1, syksy 2015 Hrri Vrpnen Mtemtiikn j systeeminlyysin litos Alto-yliopisto Tiisti 6.10.2015 Sisältö Tylor-menetelmä. Käyttökelpoinen silloin, kun
LisätiedotMika Hirvensalo. Insinöörimatematiikka B 2014
Mik Hirvenslo Insinöörimtemtiikk B 4 Sisältö Rj-rvo j jtkuvuus....................................................... 5. Differentili- j integrlilskennn kehityksestä............................. 5. Relilukujen
Lisätiedot3.3 KIELIOPPIEN JÄSENNYSONGELMA Ratkaistava tehtävä: Annettu yhteydetön kielioppi G ja merkkijono x. Onko
3.3 KILIOPPIN JÄSNNYSONGLMA Rtkistv tehtävä: Annettu yhteydetön kielioppi G j merkkijono x. Onko x L(G)? Rtkisumenetelmä = jäsennyslgoritmi. Useit vihtoehtoisi menetelmiä, erityisesti kun G on jotin rjoitettu
LisätiedotLebesguen integraali
LUKU 3 Lebesguen integrli Seurvss esitettävä määritelmä Lebesguen integrlille ei ole Lebesguen lkuperäinen. Vuoden 1904 luennoissn [23] hän kuitenkin setti tvoitteeksi, että integrlill olisi ominisuus:
LisätiedotANALYYSI 3. Tero Kilpeläinen
ANALYYSI 3 Tero Kilpeläinen Luentomuistiinpnoj syksyltä 2005 20. lokkuut 2005 Sisältö 1. Esitietoj 2 1.1. Riemnn-integrli............................ 2 1.2. Derivtt................................. 4 1.3.
LisätiedotTiheyspistelauseita. Petteri Salovaara. Pro Gradu tutkielma
Tiheyspistelauseita Petteri Salovaara Pro Gradu tutkielma Jyväskylän yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Kesä 2006 1 2 Sisältö 1. LUKU: Esitietoja 3 2. LUKU: Mittojen derivointia ja tiheyspistelause
LisätiedotOlkoon. M = (Q, Σ, δ, q 0, F)
T 79.148 Tietojenkäsittelyteorin perusteet 2.4 Äärellisten utomttien minimointi Voidn osoitt, että jokisell äärellisellä utomtill on yksikäsitteinen ekvivlentti (so. smn kielen tunnistv) tilmäärältään
LisätiedotICS-C2000 Tietojenkäsittelyteoria Kevät 2016
ICS-C2 Tietojenkäsittelyteori Kevät 2 Kierros,. 5. helmikuut Demonstrtiotehtävien rtkisut D: Sievennä seurvi säännöllisiä lusekkeit (so. konstruoi yksinkertisemmt lusekkeet smojen kielten kuvmiseen): ()
LisätiedotDIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1. Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS
DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1 Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS Huomautus. Analyysin yksi keskeisimmistä käsitteistä on jatkuvuus! Olkoon A R mielivaltainen joukko
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 1 (CHEM) Laskuharjoitus 4 / vko 47, mallivastaukset
Differentili- j integrlilskent (CHEM) Lskuhrjoitus / vko 7, mllivstukset Johdntotehtävä x dx = ln.693, joten rvo ln voidn pproksimoid integroimll numeerisesti funktiot x välillä [,]. Jetn väli [,] khteen
LisätiedotMatematiikan johdantokurssi, syksy 2017 Harjoitus 6, ratkaisuista. 1. Onko jokin demojen 5 tehtävän 3 relaatioista
Mtemtiikn johntokurssi, syksy 07 Hrjoitus 6, rtkisuist. Onko jokin emojen 5 tehtävän reltioist ) R := {(, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, )}, ) S := {(, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ),
LisätiedotLaskennan mallit (syksy 2010) 1. kurssikoe, ratkaisuja
582206 Lskennn mllit (syksy 2010) 1. kurssikoe, rtkisuj 1. [2+2+2 pistettä] Säännöllisissä lusekkeiss on käytetty tuttu lyhennysmerkintää Σ = ( ). () merkkijonot, joiden kksi ensimmäistä merkkiä ovt joko
LisätiedotAnalyysin perusteet kauppatieteilijöille 800118P
Anlyysin perusteet kupptieteilijöille 800118P Luentomoniste Kri Myllylä Niin Korteslhti Topi Törmä Oulun yliopisto Mtemttisten tieteiden litos Kevät 2015 Sisältö 1 Derivtt 3 1.1 Määritelmä..............................
LisätiedotViikon aiheet. Pinta-ala
info Viikon iheet Mpu I:sen voit suoritt: Kurssin loppukokeess 23.10. Arvosn: koe + lskrit Mikäli yo. ik ei sovi, voit suoritt loppukokeen yleistenttitilisuudess 24.11. Arvosn: koe + lskrit. Ilmoittudu
LisätiedotIntegraalilaskenta. Määrätty integraali
9..08 Integrlilskent Määräämätön Etsitään funktiot Derivoinnille käänteistoimenpide integroiminen Integrlifunktio F(x), jolle F x = f x, lisäksi integrlifunktioille G x = F x + C. Vkion C lisäys (merkitys),
LisätiedotNumeerinen integrointi
Pitkärnt: Lj mtemtiikk IX9 Numeerinen integrointi IX9 Numeerinen integrointi Numeerisell integroinnill trkoitetn määrätyn integrlin, eli reliluvun I(f,,b) = f(x)dx lskemist numeerisin keinoin (likimäärin)
LisätiedotHELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY OF HELSINKI
HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY OF HELSINKI Tiedekunt/Ossto Fkultet/Sektion Fculty Litos Institution Deprtment Mtemttis-luonnontieteellinen Tekijä Förfttre Author Antti Khri Työn
LisätiedotOlkoon. äärellinen automaatti. Laajennetaan M:n siirtymäfunktio yksittäisistä syötemerkeistä merkkijonoihin: jos q Q, x Σ, merkitään
T 79.00/002 Tietojenkäsittelyteorin perusteet 2. Äärellisten utomttien minimointi Voidn osoitt, että jokisell äärellisellä utomtill on yksikäsitteinen ekvivlentti (so. smn kielen tunnistv) tilmäärältään
Lisätiedot2. Todista Lause 1.2 : Jos I on ylinumeroituva indeksijoukko ja a i > 0kaikillai 2 I, niin P i2i a i = 1.
Harjoitus 1, 11.9.2015 1. Näytä, että joukossax on äärettömän monta alkiota jos ja vain jos on joukko X, 6= X, jokaonyhtämahtavakuinx. 2. Todista Lause 1.2 : Jos I on ylinumeroituva indeksijoukko ja a
LisätiedotRiemann-integraalin ja mittaintegraalin vertailua
Riemnn-integrlin j mittintegrlin vertilu Pro grdu -tutkielm Pii Tskinen Mtemttisten tieteiden litos Oulun yliopisto Kevät 216 Sisältö Johdnto 3 1 Esitietoj 5 1.1 Välijost............................. 5
Lisätiedot11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS
11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS Tilvuus on sen verrn rkielämässä viljelty käsite, että useimmiten sen syvemmin edes miettimättä ymmärretään, mitä juomlsin ti pikkuvuvn kylpymmeen tilvuudell trkoitetn.
LisätiedotAutomaattimalleista poikkeava tapa kuvata yksinkertaisia kieliä. Olkoot A ja B aakkoston Σ kieliä. Perusoperaatioita:
2.6 SÄÄNNÖLLISET LAUSEKKEET Automttimlleist poikkev tp kuvt yksinkertisi kieliä. Olkoot A j B kkoston Σ kieliä. Perusopertioit: Yhdiste: A B = {x Σ x A ti x B}; Ktentio: AB = {xy Σ x A, y B}; Potenssit:
LisätiedotIntegroimistehtävät, 10. syyskuuta 2005, sivu 1 / 29. Perustehtäviä. Tehtävä 1. Osoita, että vakiofunktio f(x) c on Riemann-integroituva välillä
Integroimistehtävät,. syyskuut 5, sivu / 9 Perustehtäviä Tehtävä. Osoit, että vkiofunktio f(x) c on Riemnn-integroituv välillä [, b] j lske suorn määritelmän perusteell b f(x). Tehtävä. Osoit, että funktio,
Lisätiedot8. Avoimen kuvauksen lause
FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 125 8. Avoimen kuvauksen lause Palautamme aluksi mieleen Topologian kursseilta ehkä tutut perusasiat yleisestä avoimen kuvauksen käsitteestä. Määrittelemme ensin avoimen
LisätiedotJohdatusta variaatiolaskentaan
LUKU 6 Johdtust vritiolskentn 6.1. Prmetrist riippuvt integrlit [4, Ch. XIII, 8], [2, Ch. 1. Lemm 2.12.2], [3, Ch. VIII, 11], [15, Ch. XI, 7], [8, Ch. II, 3] Luse 6.1. Olkoot E normivruus, F Bnchin vruus,
LisätiedotMatematiikan perusteet taloustieteilijöille 2 800118P
Mtemtiikn perusteet tloustieteilijöille 2 800118P Luentomoniste Kri Myllylä Niin Korteslhti Oulun yliopisto Mtemttisten tieteiden litos Kevät 2014 Sisältö 1 Mtriisilgebr j optimointi 4 11 Määritelmä 4
Lisätiedot