ANALYYSI I, kevät 2009

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "ANALYYSI I, kevät 2009"

Transkriptio

1 ANALYYSI I, kevät 2009 Sisältö Relilukujen peruskäsitteitä 2 Lukujonoist 3 2. Lukujonon rj-rvo Monotoniset jonot Osjonot Cuchyn jono Funktion rj-rvo j jtkuvuus Peruskäsitteitä Funktion rj-rvo Funktion jtkuvuus Funktion tsinen jtkuvuus Srjt Srjn suppeneminen Suppenemistestejä positiivitermisille srjoille Itseisesti suppenevt srjt Vuorottelevt srjt

2 5 Riemnnin integrli 7 5. Integrlin perusominisuuksi Anlyysin perusluse Epäoleelliset integrlit 89 7 Funktiojonot j -srjt Pisteittäinen j tsinen suppeneminen Jonon j srjn derivoiminen j integroiminen Potenssisrjt Potenssisrjn suppeneminen Potenssisrjn summfunktion ominisuuksi

3 Relilukujen peruskäsitteitä Usein trkstelun kohteen ovt nnetun joukon A R, A, mksimi j minimi sekä ylä- j lrjt, erityisesti pienin ylärj (supremum) j suurin lrj (infimum). Määritelmä.. Olkoon A R, A. Reliluku M R snotn joukon A mksimiksi (eli suurimmksi rvoksi), jos (i) x M kikill x A j (ii) M A. Merkitään M = mx A. Vstvsti reliluku m R snotn joukon A minimiksi (eli pienimmäksi rvoksi), jos (i) x m kikill x A j (ii) m A. Merkitään m = min A. Huomutus.2. Mksimi j minimi ovt yksikäsitteisiä, mikäli ne ovt olemss. Perustelu: Olkoot M = mx A j M = mx A. Nyt x M kikill x A. Tällöin M M, sillä M A. Toislt x M kikill x A j siten M M, kosk M A. Siis M = M. Minimi todistetn smll tvll (hrjoitustehtävä). Määritelmä.3. Olkoon A R, A. (i) Joukko A snotn ylhäältä rjoitetuksi, jos on olemss sellinen M R, että x M kikill x A. Tällist luku M snotn joukon A ylärjksi.

4 (ii) Joukko A snotn lhlt rjoitetuksi, jos on olemss sellinen m R, että x m kikill x A. Tällist luku m snotn joukon A lrjksi. (iii) Joukko A snotn rjoitetuksi, jos se on sekä ylhäältä että lhlt rjoitettu. Huomutus.4. () Jos joukoll on mksimi ti minimi, niin se on vstvsti joukon ylä- ti lrj. (2) Toisin kuin mksimi j minimi, joukon ylä- j lrjt eivät ole yksikäsitteisiä. Esimerkki.5. Määritellään joukko A = {x n } induktiivisesti n= x =, x n+ = x2 n + 2 2x n, n =, 2,... Tutkitn joukon A rjoittuneisuutt. Rtkisu: Nyt x = j siten x 2 = = 3 2 =,5 x 3 =, ,5,47 x 4 =, ,47,442. Väite : x n 2, n = 2, 3,... (x = ) Todistus: Selvästi x n+ = xn + 2 x n x n+ = x2 n + 2 = x2 n + ( 2) 2 2x n 2x n > 0 kikill n =, 2,... (x = ). Lisäksi 2x n 2 = 2 2x n sillä x n 0, kun n =, 2,... Edellä on käytetty ekvivlenssiin 2 + b 2 2b ( b) 2 0 perustuv rviot x 2 n + ( 2) 2 2 2x n. Siten x n 2, kun n = 2, 3,... Siis x n = x kikill n =, 2,..., joten A on lhlt rjoitettu j min A =. 2

5 Väite 2: x n+ x n, n = 2, 3,... Todistus: Väite voidn yhtäpitävästi muutt seurvn muotoon: x n+ x n x2 n + 2 x n 2x n x 2 n + 2 2x 2 n (x n > 0) x 2 n 2 x n 2 (x n > 0). Kosk x n 2 > 0, kun n = 2, 3,..., niin myös x n+ x n, n = 2, 3,... Tästä seur, että x n x 2 = 3 kikill n =, 2,..., joten A on ylhäältä 2 rjoitettu j mx A = 3. 2 Siis x x n x 2 kikill n =, 2,..., joten A on rjoitettu. Vroitus: Ei ole olemss yleistä menetelmää todist, että nnettu joukko on rjoitettu. Ain sitä ei ole helppo nähdä. Huomutus: Käytännössä joukon rjoittuneisuus knntt usein todist seurvn kriteerin vull: Joukko A R, A, on rjoitettu jos j vin jos on olemss sellinen K 0, että x K kikill x A. Perustelu: : Oletetn, että m x M kikill x A. Kosk m mx{ m, M }, niin x m m mx{ m, M } kikill x A j Siten x M M mx{ m, M } kikill x A. mx{ m, M } x mx{ m, M } kikill x A, eli x mx{ m, M }. Täten esimerkiksi vlint K = mx{ m, M } kelp. : Jos x K jokisell x A (K 0), niin K x K jokisell x A. Siten K on joukon A lrj j K sen ylärj. Siis A on rjoitettu. Määritelmä.6. Olkoon A R, A. Luku M R snotn joukon A pienimmäksi ylärjksi eli supremumiksi, jos 3

6 (i) x M kikill x A j (ii) jos x M kikill x A, niin M M. (Koht (i) kertoo sen, että M on ylärj j (ii) sen, että M on ylärjoist pienin.) Merkitään M = sup A. Vstvsti luku m R snotn joukon A suurimmksi lrjksi eli infimumiksi, jos (i) x m kikill x A j (ii) jos x m kikill x A, niin m m. (Koht (i) kertoo sen, että m on lrj j (ii) sen, että m on lrjoist suurin.) Merkitään m = inf A. Määritelmän merkitys: Kosk ylä- j lrjt eivät ole yksikäsitteisiä, pyritään vlitsemn niille prs mhdollinen edustj. Huomutus.7. () Jos joukoll A on mksimi, niin mx A = sup A. Vstvsti jos joukoll A on minimi, niin min A = inf A. Supremun j infimum ovt mksimin j minimin korvikkeit. Perustelu: Olkoon M = mx A. Silloin x M kikill x A, joten M on ylärj. Oletetn, että x M kikill x A. Kosk M A, niin M M, joten M on pienin ylärj. Infimum todistetn smn tpn (hrjoitustehtävä). (2) Mikäli supremum ti infimum on olemss, niin se on yksikäsitteinen. Perustelu: Olkoot M = sup A j M = sup A. Nyt M M, kosk M on ylärj j M on pienin ylärj. Toislt M M, kosk M on ylärj j M on pienin ylärj. Siis M = M. Infimum todistetn smn tpn (hrjoitustehtävä). Esimerkki.8. Olkoon A = ]0, [. Määrätään sup A j inf A. Rtkisu: Olkoon M =. Osoitetn, että sup A = M =. (i) x M kikill x A, joten M on joukon A ylärj. 4

7 (ii) Olkoon M R sellinen, että x M kikill x A. Kosk 2 A, niin M 2 > 0. Osoitetn, että M M. Vstoletus: M < M. Tällöin 0 < M <, joten M + < 2 j 2M = M + M < M +, ts. M < M + 2 <. Siis M + M 2 A j M + M 2 joten M ei voi oll joukon A ylärj. Ristiriit. Siis vstoletus on väärä j M M. > M, Kohtien (i) j (ii) nojll M = sup A. Olkoon m = 0. Osoitetn, että inf A = m =. (i) x m kikill x A, joten m on joukon A lrj. (ii) Olkoon m R sellinen, että x m kikill x A. Kosk A, niin 2 m. 2 Osoitetn, että m m. Vstoletus: m > m. Nyt 0 = m < m, 2 joten m 2 A j m 2 < m, joten m ei voi oll joukon A lrj. Ristiriit. Siis vstoletus on väärä j m m. Kohtien (i) j (ii) nojll m = inf A. Yleensä sup A ei kuulu joukkoon A. Seurvn luseen nojll se kuuluu joukkoon A täsmälleen silloin kun se on joukon A mksimi. Vstvt väitteet pätevät myös infimumille j minimille. Luse.9. Olkoon A R, A j M = sup A. Silloin joukoll A on mksimi (jok on M) jos j vin jos M A. Olkoon m = inf A. Silloin joukoll A on minimi (jok on m) jos j vin jos m A. Todistus. : Oletn, että Q = mx A on olemss. Tällöin x Q in, kun x A (ts. Q toteutt supremumin ehdon (i)), j Q A. Olkoon M joukon A mikä thns ylärj, jolloin x M in, kun x A. Kosk 5

8 Q A, niin erityisesti Q M j Q toteutt supremumin ehdon (ii). Siis Q on joukon A pienin ylärj eli Q = M = sup A. : Oletetn, että M A. Tällöin lisäksi x M kikill x A, joten M on joukon A mksimi. Infimumi j minimiä koskev väite todistetn vstvsti. Täydellisyysksioom. Olkoon A R, A. Jos A on ylhäältä rjoitettu, niin joukoll A on pienin ylärj (eli sup A on olemss). Jos A on lhlt rjoitettu, niin joukoll A on suurin lrj (eli inf A on olemss). Täydellisyysksioomn merkitys: Vikk rjoitetull joukoll ei yleensä ole mksimi eikä minimiä, niin sillä kuitenkin on pienin ylärj j suurin lrj. Huomutus.0. Täydellisyysksioom on erittäin tärkeä relilukujen ominisuus, jot esimerkiksi rtionliluvuill ei ole: Joukoll A = {x Q x 0, x 2 < 2} ei ole supremumi joukoss Q. Todistuksen ide: Kosk A j A on ylhäältä rjoitettu, niin täydellisyysksioomn nojll on olemss M = sup A R. Lisäksi M 2 = 2 (hrjoitustehtävä). Kosk M / Q j supremum on yksikäsitteinen, niin joukoll A ei ole pienintä ylärj joukoss Q. Siten Q ei toteut täydellisyysksioom. Intuitio: Täydellisyysksioom tk, ettei relikseliss ole reikiä. Reliluvut R voidn määritellä järjestettynä kuntn, jok sisältää rtionliluvut Q j toteutt täydellisyysksioomn. Krkesti snottun kikki relilukujen ominisuudet, jotk liittyvät täydellisyysksioomn ovt nlyysiä, muut lgebr. Ongelm: Täydellisyysksioom ei nn mitään keino löytää supremumi ti infimumi. Käytännössä ensin on tehtävä (hyvä) rvus j sitten todistettv se oikeksi. Merkintöjä: sup A = A ei ole ylhäältä rjoitettu. inf A = A ei ole lhlt rjoitettu. sup = inf = 6

9 (mikä thns luku on tyhjän joukon ylä- j lrj). Käytännössä supremum knntt yrittää määrittää seurvn luseen vull. Luse.. Oletetn, että A R, A, A on ylhäältä rjoitettu j että M on joukon A ylärj. Silloin M = sup A jos j vin jos jokist ε > 0 kohti on olemss sellinen x A, että x > M ε. Todistus. : Oletetn, että M = sup A j tehdään vstoletus: On olemss sellinen ε > 0, että x M ε kikill x A = M ε on joukon A ylärj j M ε < M = M ei ole pienin ylärj. Ristiriit. : Oletetn, että M on joukon A ylärj, jolle luseen ehto pätee. Jos M < M, niin vlitn ε = M M > 0. Nyt on olemss sellinen x A, että x > M ε = M (M M ) = M. Siis M ei ole joukon A ylärj, joten M on joukon A pienin ylärj. Vstv tulos pätee myös infimumille: Luse.2. Oletetn, että A R, A, A on lhlt rjoitettu j että m on joukon A lrj. Silloin m = inf A, jos j vin jos jokist ε > 0 kohti on olemss sellinen x A, että x < m + ε. Esimerkki.3. Olkoon A = { 2 n =, 2,... }. Osoit, että sup A = 2. n Rtkisu: Merkitään M = 2. Nyt 2 n joukon A ylärj. 2, n =, 2,..., joten M = 2 on Olkoon ε > 0. Vlitn n niin, että 2 n > 2 ε n > ε. Silloin 2 n A j 2 n > M ε. Siten M = sup A. 7

10 Huom: Esimerkissä ei käytetä vstoletust (toisin kuin edellä). Vstoletus sisältyy luseeseen.. Seurvksi todistetn ilmeiseltä tuntuv väite, että luonnollisten lukujen joukko N ei ole rjoitettu. Tätä ominisuutt on jo käytetty esimerkeissä. Väite ei seur joukon R lgebrllisist (ts. sen lskutoimitusten) ominisuuksist vn todistuksess käytetään täydellisyysksioom. Luse.4 (Arkhimedeen ominisuus). Jokist x R kohti on olemss sellinen n N, että x < n. Todistus. Vstoletus: On olemss sellinen x R, että n x kikill n N. Selvästi voidn olett, että x 2. = x on joukon N ylärj, joten N on ylhäältä rjoitettu = on olemss M = sup N R (täydellisyysksioom) = M ei ole joukon N ylärj, kosk M on pienin ylärj = on olemss sellinen m N, että m > M (M ei ole ylärj) = m + > M j m + N = M ei voi oll joukon N ylärj. Ristiriit. Kolmnnen j neljännen viheen voi perustell myös vlitsemll A = N j ε = luseess.. Huomutus.5. Arkhimedeen ominisuudest seur, että jokist x > 0 kohti on olemss sellinen n N että n < x (eli n > x ). Arkhimedeen ominisuutt käyttämällä voidn todist seurv luse. Luse.6. Khden erisuuren reliluvun välissä on in rtionliluku, ts. rtionliluvut ovt tiheässä joukoss R. Todistus. Olkoot x, y R sellisi, että y x > 0. Osoitetn, että on olemss sellnen m n Q, että x < m n < y. (Ide: Etsitään riittävän suuri luku n N, jott väli ]nx, ny[ sisältää inkin yhden kokonisluvun m.) 8

11 Nyt y x > 0, joten Arkhimedeen ominisuuden nojll löytyy sellinen n N, että n > y x. Kosk y x > 0, niin n < y x. Olkoon A = {k Z k > x} = {k Z k > xn} (n > 0). Arkhimedeen ominisuuden nojll A. Nyt n( x) R, joten Arkhimedeen n ominisuuden nojll löytyy sellinen p N, että p > n( x) = p n < x = p, (p + ), (p + 2),... / A. Siten A on lhlt rjoitettu kokonislukujen joukko, joten inf A on olemss. Vlitn ε = luseess.2. Tällöin on olemss sellinen m A, että m < inf A + eli m < inf A. Siis m A j m / A, eli m > x j n (m ) x. Näin ollen n joten x < m n < y. m n = m + n n x + n < x + (y x) = y, Seurus.7. Khden erisuuren reliluvun välissä on in irrtionliluku. Todistus. Olkoot luvut x j y sekä y > x. Luseen.6 nojll välillä ]x 2, y 2[ on rtionliluku m n, ts. x 2 < m n < y 2 = x < m n + 2 < y. Lisäksi m n + 2 R\Q, sillä 2 R\Q. Seurus.8. Khden erisuuren reliluvun välissä on äärettömän mont rtionli- j irrtionliluku. Todistus. Olkoot luvut x j y, y > x. Tehdään vstoletus: Lukujen x j y välissä on n kpplett rtionlilukuj. Väli ]x, y[ voidn jk osväleihin, joit on (n + ) kpplett. Luseen.6 nojll jokisell osvälillä on inkin yksi rtionliluku, joten väliltä ]x, y[ löytyy n + rtionliluku. Tämä on ristiriidss vstoletuksen knss, joten lukujen x j y välissä on ääretön määrä rtionlilukuj. Irrtionlilukuj koskev väite todistetn smll tvll käyttämällä seurust.7. 9

12 Luse.9 (sisäkkäisten välien perite). Jos [, b ] [ 2, b 2 ] ovt sisäkkäisiä suljettuj välejä ( n, b n R, n =, 2,...), niin [ n, b n ] n= (eli on olemss sellinen x R, että x [ n, b n ] kikill n =, 2,...) Huomutus.20. () Sisäkkäisten välien perite kertoo smn kuin täydellisyysksioomkin eli ettei relikselill ole reikiä. Voidn todist, että sisäkkäisten välien perite on yhtäpitävä täydellisyysksioomn knss. (2) Luseen knnlt on olennist, että välit ovt suljettuj, esimerkiksi ] [ 0, =. n n= Perustelu: Vstoletus: ] n= 0, n[. Tällöin on olemss sellinen x R, että x ] 0, n[ in, kun n =, 2,... Tälle luvulle x pätee siis 0 < x < eli n < in, kun n =, 2,... Tämä on ristiriidss n x Arkhimedeen ominisuuden knss. Huom, että n= [0, ] = {0} (hrjoitustehtävä). n (3) Luseen knnlt on olennist, että välit ovt rjoitettuj: (hrjoitustehtävä). [n, [ = n= Luseen.9 todistus. Merkitään I n = [ n, b n ]. Tällöin I n I kikill n =, 2,... = n b n b n =, 2,... = A = { n n =, 2,...} on ylhäältä rjoitettu j A = on olemss M = sup A R (täydellisyysksioom) Kosk M = sup A on joukon A ylärj, niin n M kikill n =, 2,... Väite: M b n kikill n =, 2,... 0

13 Perustelu: Todistetn, että jokinen b n, n =, 2,..., on joukon A ylärj. Oletetn, että n on kiinnitetty. Siten k b n jokisell k =, 2,... k n = I k I n = k b k b n k < n = I n I k = k n b n. = b n on joukon A ylärj = M b n, kosk M on pienin ylärj = n M b n kikill n =, 2,... = M [ n, b n ]. n= Esimerkki.2. Olkoon x R. Vlitn, b Q, < b niin, että x [, b ]. Jetn väli [, b ] khteen osn keskipisteestä + b 2 j vlitn näistä väli [ 2, b 2 ] niin, että 2, b 2 Q, 2 < b 2 j x [ 2, b 2 ]. Jtketn näin. Kun [ n, b n ] on vlittu, niin jetn se khteen osn keskipisteestä n + b n 2 j vlitn näistä seurv väli [ n+, b n+ ], n+, b n+ Q, n+ < b n+ niin, että x [ n+, b n+ ]. Siis 2 n+ x b n+ b 2 b. Näin sdn jono suljettuj sisäkkäisiä välejä [, b ] [ 2, b 2 ],

14 joiden pituudet b n n = b n n 2 = = b 2 n 0, kun n. Lisäksi {x} = [ n, b n ]. n= Näin jokinen reliluku sdn määriteltyä rtionlipäätepisteisten välien vull. 2

15 2 Lukujonoist 2. Lukujonon rj-rvo Määritelmä 2.. Relilukujono (x n ) = x, x 2, x 3,... on kuvus x: Z + R, missä x(n) = x n. Määritelmän trkoitus: Jokist luku n =, 2,... setetn vstmn reliluku x n. Määritelmää käytetään myös joukon Z + äärettömille osjoukoille numeroimll niiden lkiot uudelleen. Vroitus: Jono (x n ) ei s smist joukkoon Esimerkiksi ovt eri jonoj vikk {x n n =, 2,...}. (x n ) = 0,, 0,,... (y n ) =, 0,, 0,... {x n n =, 2,...} = {y n n =, 2,...} = {0, }. Jonoiss esimerkiksi termien järjestystä ei s muutt! Määritelmä 2.2. Jonon (x n ) snotn suppenevn kohti luku R, jos jokist ε > 0 kohti on olemss sellinen n ε Z +, että x n < ε in, kun n n ε. Tällöin snotn, että on jonon (x n ) rj-rvo j merkitään lim x n = ti x n, kun n. Jos jono ei suppene kohti mitään luku, niin snotn, että se hjntuu. Määritelmän trkoitus: Kikki termit x n ovt mielivltisen lähellä pistettä, kun n on riittävän suuri. 3

16 Huomutus 2.3. Suppenevn jonon rj-rvo on yksikäsitteinen luku. Jono ei siis voi supet kohti kht eri luku. Perustelu: Vstoletus: Olkoot = lim x n j b = lim x n sekä b. Vlitn ε = b. Tällöin määritelmän 2.2 nojll on olemss selliset n 2 ε, n ε Z +, että x n < ε, kun n n ε, j x n b < ε, kun n n ε. Kolmioepäyhtälön nojll on voimss rvio b = b x n + x n b x n + x n < ε + ε = 2ε = b, kun n mx{n ε, n ε}. Tämä on ristiriit, joten = b. Huomutus 2.4. Rj-rvon määritelmä ei nn keino määrittää rjrvo. Käytännössä ensin on tehtävä vlistunut rvus siitä, mikä rj-rvo on j sitten on todistettv, että se on rj-rvo. Tässä on sm vikeus kuin täydellisyysksioomn käytössä. Lemm 2.5. Suppenev jono (x n ) on rjoitettu, eli on olemss sellinen reliluku M > 0, että x n M kikill n =, 2,... Todistus. Olkoon = lim x n. Tällöin ε > 0 n ε Z + siten, että x n < ε, kun n n ε. Vlitn ε =, jolloin Toislt Siis n Z + siten, että x n <, kun n n = x n x n + x n + < +, kun n n. x n mx{ x, x 2,..., x n }, kun n n. x n mx{ +, x,..., x n } kikill n =, 2,..., j väite pätee, kun vlitn siinä M = mx{ +, x,..., x n }. 4

17 Huomutus 2.6. Käänteinen väite ei päde. Siitä, että jono on rjoitettu, ei seur, että se suppenee. Esimerkiksi jono (x n ) = 0,, 0,,... hjntuu vikk se on rjoitettu. Lemm 2.5 voidn kuitenkin käyttää jonon hjntumisen näyttämiseen. Esimerkiksi jono (x n ), x n = n, n =, 2,..., ei ole rjoitettu, joten se ei suppene. Huomutus 2.7. Rj-rvoille pätevät seurvt lgebrlliset ominisuudet (hrjoitustehtävä): Jos jonot (x n ) j (y n ) suppenevt sekä lim x n = j lim y n = b, niin (i) lim (x n + y n ) = + b, (ii) lim (x n y n ) = b, (iii) lim (x n y n ) = b, x n (iv) lim = y n b, kun y n 0, n =, 2,..., j b 0. Vroitus: Siitä, että summjono (x n + y n ) suppenee, ei voi päätellä, että lkuperäiset jonot (x n ) j (y n ) suppenevt. Jos esimerkiksi x n = ( ) n j y n = ( ) n+, n =, 2,..., niin x n + y n = 0 kikill n =, 2,... Näin ollen lim (x n + y n ) = 0, mutt jonot (x n ) j (y n ) eivät suppene. Luse 2.8 (epäyhtälön säilymisen perite). Olkoot (x n ) j (y n ) sellisi suppenevi jonoj, että x n y n kikill n =, 2,.... Silloin lim x n lim y n. Vroitus: Aito epäyhtälö ei välttämättä säily rjnkäynnissä: x n < y n = / lim x n < lim y n. Esimerkiksi x n = 0, y n =, n =, 2,... Tällöin n x n < y n, n =, 2,..., mutt lim x n = 0 = lim y n. 5

18 Todistus. Merkitään = lim x n j b = lim y n. Olkoon ε > 0, jolloin on olemss selliset n ε j n ε, että x n < ε 2, kun n n ε, j y n b < ε, kun n n 2 ε. Kosk x n x n j y n b y n b, niin x n < ε 2 j y n b < ε 2, kun n mx{n ε, n ε} = n ε = b = ( x n ) + (y n b) + (x n y n ) < ε }{{} 2 + ε 2 = ε, kun n n ε 0 = b < ε kikill ε > 0. Täten b 0, eli lim x n = b = lim y n. Luse 2.9 (suppiloperite). Oletetn, että (x n ), (y n ) j (z n ) ovt sellisi jonoj, että x n y n z n kikill n =, 2,... Jos (x n ) j (z n ) suppenevt kohti sm luku eli niin myös (y n ) suppenee j lim x n = = lim z n, lim y n =. Todistus. Olkoon ε > 0 mielivltinen, jolloin on olemss selliset n ε j n ε, että Kosk niin Siis x n < ε, kun n n ε, j z n < ε, kun n n ε. x n x n < ε, kun n n ε, j z n z n < ε, kun n n ε, ε < x n y n z n < + ε, kun n mx{n ε, n ε} = n ε. joten lim y n =. y n < ε, kun n n ε, 6

19 Huomutus 2.0. Suppiloperittess on tärkeää, että jonot (x n ) j (z n ) suppenevt kohti sm luku. Esimerkiksi jonoille x n =, y n = ( ) n j z n =, kun n =, 2,..., on voimss lim x n = = lim z n j x n y n z n, mutt (y n ) hjntuu. 2.2 Monotoniset jonot Määritelmä 2.. Jono (x n ) snotn (i) ksvvksi, jos x n+ x n kikill n =, 2,..., idosti ksvvksi, jos x n+ > x n kikill n =, 2,..., (ii) väheneväksi, jos x n+ x n kikill n =, 2,..., idosti väheneväksi, jos x n+ < x n kikill n =, 2,..., (iii) monotoniseksi, jos se on ksvv ti vähenevä, idosti monotoniseksi, jos se on idosti ksvv ti idosti vähenevä. Luse 2.2 (monotonisen konvergenssin luse). Monotoninen jono suppenee jos j vin jos se on rjoitettu. Lisäksi pätee: (i) Jos (x n ) on ksvv j rjoitettu, niin lim x n = sup{x n n =, 2,...}. (ii) Jos (x n ) on vähenevä j rjoitettu, niin lim x n = inf{x n n =, 2,...}. Todistus. : Jos jono (x n ) suppenee, niin lemmn 2.5 nojll se on rjoitettu. : Todistetn koht (i). Olkoon (x n ) ksvv j rjoitettu. = M R siten, että x n M n =, 2,... = sup{x n n =, 2,...} = R (täydellisyysksioom) 7

20 Osoitetn, että = lim x n. Olkoon ε > 0 mielivltinen. Luseen. nojll on olemss sellinen n ε, että x nε > ε. Kosk jono (x n ) on ksvv, niin x n x nε > ε kikill n n ε = ε < x n < + ε kikill n n ε ( on ylärj) = ε < x n < ε kikill n n ε = x n < ε n n ε = = lim x n. Koht (ii) todistetn vstvll tvll (hrjoitustehtävä). Huomutus 2.3. () Edellä monotonisuusoletus on olenninen. Esimerkiksi jono x n = ( ) n, n =, 2,..., on rjoitettu, mutt se ei suppene. (2) Voidn osoitt, että monotonisen konvergenssin luse on yhtäpitävä täydellisyysksioomn knss (hrjoitustehtävä). 2.3 Osjonot Määritelmä 2.4. Jono (y k ) snotn jonon (x n ) osjonoksi, jos on olemss selliset luvut n < n 2 <..., että y k = x nk kikill k =, 2,... Määritelmän trkoitus: Osjono sdn lkuperäisestä jättämällä pois sen lkioit j numeroimll sdun jonon lkiot uudelleen smss järjestyksessä. Huomutus 2.5. () Jono (x n ) on sellinen kuvus x: Z + R, että x(n) = x n. Olkoot n k Z + sellisi, että n < n 2 <... Tällöin on olemss kuvus σ : Z + {n, n 2,...}, σ(k) = n k. 8

21 Osjono (x nk ) on yhdistetty kuvus x σ : Z + R, (x σ)(k) = x(σ(k)) = x(n k ) = x nk. (2) Huom, että in n k k. Esimerkki 2.6. Olkoot x n =, n =, 2,... Seurvss on eräitä jonon n (x n ) osjonoj: ( ) (y k ) = (x 2k ) = = 2k 2, 4, 6,... ( ) (y k ) = (x 2k ) = =, 2k 3, 5, 7,... ( ) (y k ) = (x 2 k) = = 2 k 2, 4, 8, 6,... ( (y k ) = (x k! ) = =, k!) 2!, 3!,... Seurvt jonot eivät ole jonon (x n ) osjonoj: 2,, 4, 3, 6, 5,..., 0, 3, 0, 5, 0,...,, 2, 2, 3, 3,... Luse 2.7. Jos jono (x n ) suppenee kohti luku, niin sen jokinen osjono suppenee kohti luku. Kääntäen jos jonon (x n ) jokinen osjono suppenee, niin myös (x n ) suppenee. Todistus. Oletetn, että lim x n =. Olkoon (y k ) jonon (x n ) osjono j y k = x nk, n k k. Kosk lim x n =, niin jokist ε > 0 kohti on olemss sellinen n ε, että x n < ε kikill n n ε. 9

22 Jos k n ε, niin n k k n ε j Siten lim k y k =. y k = x nk < ε, kun k n ε. Käänteinen väite on selvä, sillä (x n ) on itsensä osjono. Huomutus 2.8. Luse 2.7 nt keinon todist, että jono hjntuu. Riittää löytää osjono, jok ei suppene, ti kksi osjnono, jotk suppenevt eri lukuj kohti. Vroitus: Kuitenkn siitä, että jokin osjono suppenee ei voi päätellä, että lkuperäinen jono suppenee. Luse 2.9 (Bolznon Weierstrssin luse). Rjoitetull jonoll on suppenev osjono. Todistus. Olkoon jono (x n ) rjoitettu. Tällöin on olemss selliset m, M R, että m x n M kikill n =, 2,... Merkitään = m j b = M. Silloin x n [, b ] kikill n =, 2,... Jetn väli [, b ] khteen osn keskipisteestään c = + b. 2 Tällöin inkin toinen väleistä [, c ], [c, b ] sisältää äärettömän mont jonon (x n ) lkiot, sillä jos molemmt sisältäisivät vin äärellisen mont jonon lkiot, niin koko jonoss olisi vin äärellisen mont lkiot. (Huom, että {x n n =, 2,...} voi oll äärellinen joukko, mutt sitä ei s smist jonoon (x n ). Esimerkiksi jonon (x n ) =, 2,, 2,... lkiot muodostvt joukon {x n n =, 2,... } = {, 2}.) Vlitn näistä väli, joss on äärettömän mont jonon lkiot j merkitään sitä [ 2, b 2 ]. Jtketn näin. Olkoon c k = k + b k 2 välin [ k, b k ] keskipiste j vlitn väleistä [ k, c k ], [c k, b k ] se, jok sisältää äärettömän mont jonon lkiot. Merkitään vlittu väliä [ k+, b k+ ]. 20

23 Kosk välit [ k, b k ], k =, 2,..., ovt sisäkkäisiä suljettuj välejä, niin sisäkkäisten välien peritteen (luse.9) nojll on olemss sellinen x 0 R, että x 0 [ k, b k ]. Toislt, kosk välien [ k, b k ] pituus niin b k k = b k k 2 = = b 2 k 0, kun k, [ k, b k ] = {x 0 }. Konstruoidn sitten suppenev osjono. Vlitn n =, jolloin x n [, b ]. Vlitn sitten luvut n k+ induktiivisesti niin, että n k+ > n k j x nk+ [ k+, b k+ ]. Tämä on mhdollist, sillä jokinen väli [ k+, b k+ ] sisältää äärettömän mont jonon (x n ) lkiot. Nyt x nk, x 0 [ k, b k ], joten Siis x nk x 0 b k k = b 2 k 0, kun k. x 0 = lim k x nk j (x nk ) kelp suppenevksi osjonoksi. Huomutus () Suppenev osjono ei ole yksikäsitteinen. Esimerkiksi jonoll x n = ( ) n, n =, 2,... on suppenevt osjonot (x 2k ) =,,... j (x 2k ) =,,... (2) Bolznon Weierstrssin luse yleistää monotonisen konvergenssin luseen. Bolznon Weierstrssin luseen nojll erityisesti jokisell rjoitetull monotonisell jonoll on suppenev osjono j monotonisuudest seur, että lkuperäinenkin jono suppenee. (3) Bolznon Weierstrssin luse voidn todist myös monotonisen konvergenssin luseen vull, sillä jokisell jonoll (ilmn mitään ehtoj!) on in monotoninen osjono (hrjoitustehtävä). (4) Voidn todist, että Bolznon Weierstrssin luse on yhtäpitävä täydellisyysksioomn knss (hrjoitustehtävä). 2

24 Esimerkki 2.2. Osoitetn, että jokist [0, ] kohti on olemss sellinen jonon (x n ) = 2, 3, 2 3, 4, 2 4, 3 4, 5, 2 5, 3 5, 4 5,... osjono, jok suppenee kohti luku. Jonon (x n ) lkiot ovt muoto m, missä k =, 2,... j m =, 2,..., k, k + olevi rtionlilukuj. Nämä luvut on järjestetty ryhmiin, joill on sm nimittäjä k +, kun k =, 2,... Selvästi jono (x n ) käy lävitse (numeroi) kikki välin ]0, [ rtionlipisteet, toisin snoen {x n n =, 2,...} = Q ]0, [. Olkoon [0, ]. Hluttu, luku kohti suppenev, osjono löytyy, kun todistetn seurv väite: Jokist k =, 2,... kohti on olemss sellinen x nk Q ]0, [, että x nk < k j n k > n k. Todistus: Vlitn n =, jolloin x n = 2 j x n <. Oletetn sitten, että indeksit n < n 2 < < n k on vlittu niin, että x nj <, j =, 2,..., k. j Väli ] k +, + [ ]0, [ k + on epätyhjä, joten seuruksen.8 nojll se sisältää äärettömän mont rtionliluku. Siten on olemss sellinen n k+ > n k, että x nk+ < k +. Näin jono (x nk ) sdn määriteltyä induktiivisesti. Jokist k =, 2,... kohti on siis olemss sellinen x nk, että x nk < k. 22

25 Tästä seur, että lim x n k =. k Seurvt käsitteet ovt tärkeitä nlyysin jtkokursseill. Olkoon (x n ) rjoitettu jono, ts. on olemss sellinen M > 0, että x n M kikill n N. (i) Määritellään uusi jono ( n ) settmll Tällöin n = sup{x k k n} = sup x k. k n n+ = sup{x k k n + } = sup x k n k n+ (jos A B, niin sup A sup B), joten jono ( n ) on vähenevä. Lisäksi M x k M kikill k = M n = sup x k M k n = n M kikill n, kikill n joten jono ( n ) on rjoitettu. Luseen 2.2 nojll ( n ) suppenee j lim n = inf{ n n =, 2,... }. Tälle rj-rvolle (ns. limes superior) käytetään merkintää lim n = lim sup k n x k = lim sup (ii) Muodostetn vstvsti jono (b n ), jolle b n = inf k n x k, n =, 2,... Jono (b n ) on ksvv j kuten edellä nähdään, että b n M kikill n. Siten luseen 2.2 nojll (b n ) suppenee j lim b n = sup{b n n =, 2,... }. Tälle rj-rvolle (ns. limes inferior) käytetään merkintää lim b n = lim inf x k = lim inf x n. k n Huomutus Olkoon (x n ) rjoitettu jono sekä U = lim sup x n j L = lim inf x n. Todistukset sivuutten minitn, että tällöin (i) L U, x n. 23

26 (ii) on olemss sellinen osjono (x nk ), että lim k x nk = U, (iii) on olemss sellinen osjono (x nl ), että lim l x nl = L, (iv) Jono (x n ) suppenee jos j vin jos L = U. Esimerkki Merkitään U = lim sup x n j L = lim inf x n. () Olkoon x n = ( ) n, n =, 2,... Tällöin U = j L =. j jono (x n ) hjntuu (vert huomutuksen 2.22 kohtn (iv)). (2) Olkoon x n = n, n =, 2,... Tällöin U = L =, joten huomutuksen n kohdn (iv) mukn myös lim x n = (hrjoitustehtävä). (3) Olkoon x n = n(+( ) n ), n =, 2,... Tällöin L = 0 j U ei ole olemss (hrjoitustehtävä). Lisäksi seurvt rj-rvo koskevt sit ovt keskeisiä. Näitä on jo epäsuorsti sovellettu esimerkeissä j lskuhrjoituksiss. Määritelmä. Jonon (x n ) snotn hjntuvn kohti ääretöntä, merkitään lim x n = +, jos j vin jos jokist M R kohti on olemss sellinen N Z +, että x n > M, kun n N. Merkintä lim x n = määritellään muuten smll tvll, mutt ehto x n > M korvtn ehdoll x n < M. Luse (Vertiluperite). Jos jono ( n ) hjntuu j lim n = + sekä on olemss sellinen N, että n b n kikill n N, niin myös jono (b n ) hjntuu j lim b n = Cuchyn jono Määritelmä Jono (x n ) snotn Cuchyn jonoksi, jos jokist ε > 0 kohti on olemss sellinen n ε Z +, että x n x m < ε in, kun n, m n ε. Määritelmän trkoitus: Kikki jonon termit x n toisin, kun n on riittävän suuri. ovt mielivltisen lähellä 24

27 Huomutus () Vikk Cuchyn jonon määritelmä näyttää melkein smlt kuin jonon rj-rvon määritelmä, siinä on vin jonon termejä eikä mhdollist rj-rvo. (2) Ehto voidn kirjoitt muodoss: x n x n+p < ε in, kun n n ε j p Z +. Vroitus: Cuchyn ehto ei voi kirjoitt seurvsti: jokist ε > 0 kohti on olemss sellinen n ε Z +, että x n x n+ < ε in, kun n n ε eli Esimerkiksi käy jono lim (x n x n+ ) = 0. (x n ) =, 2, 2, 2 3, 22 3, 3, 3 4, 32 4, 33 4,... Silloin lim (x n x n+ ) = 0, mutt (x n ) ei ole Cuchyn jono (jono (x n ) ei myöskään suppene). Esimerkki Osoitetn, että (x n ), x n = n+2, n =, 2,..., on Cuchyn n jono. Olkoon ε > 0 mielivltinen. Tällöin kolmioepäyhtälön nojll x n x m = n + 2 n m + 2 m = mn + 2m (mn + 2n) nm = 2m 2n nm 2 n + 2 m < ε 2 + ε 2 = ε, kun n, m > 4 ε. Siten n ε voidn vlit (esimerkiksi) pienimmäksi kokonisluvuksi, jok on suurempi kuin 4 ε. Luse 2.27 (Cuchyn suppenemiskriteeri). Relilukujono (x n ) suppenee jos j vin jos se on Cuchyn jono. Todistus. : Oletetn, että jono (x n ) suppenee j = lim x n. Olkoon ε > 0 mielivltinen. Tällöin on olemss sellinen n ε, että 2 x n < ε 2 kikill n n ε 2. 25

28 Siten x n x m x n + x m < ε 2 + ε 2 = ε kikill n, m n ε 2, eli (x n ) on Cuchyn jono. : Olkoon (x n ) Cuchyn jono. Osoitetn ensin, että jono (x n ) on rjoitettu. Kosk (x n ) on Cuchyn jono, niin luku ε = kohti on olemss sellinen n, että x n x m <, kun n, m n = x n x n + x n x n x n +, kun n n. Lisäksi x n mx{ x,..., x n }, kun n < n. Täten x n mx{ x,..., x n, x n + } = M kikill n =, 2,... eli jono (x n ) on rjoitettu. Bolznon Weierstrssin luseen (luse 2.9) nojll jonoll (x n ) on suppenev osjono (x nk ). Merkitään = lim k x nk j osoitetn, että tämä on myös jonon (x n ) rj-rvo. Kolmioepäyhtälön nojll x n x n x nk + x nk. jokisell n, k Z. Olkoon ε > 0 mielivltinen. Kosk (x n ) on Cuchyn jono, niin on olemss sellinen n ε, että x n x nk < ε 2, kun n, n k n ε. Kosk jono (x nk ) suppenee, niin on olemss sellinen n ε, että x nk < ε 2, kun n k n ε. Vlitn kiinteä n k mx{n ε, n ε}. Silloin eli = lim x n. x n < ε 2 + ε 2 = ε, kikill n n ε, 26

29 Huomutus () Todistuksest nähdään, että Cuchyn jono suppenee jos j vin jos sillä on yksikin suppenev osjono. Sm ominisuus pätee monotonisille rjoitetuille jonoille, mutt ei mielivltisille (rjoitetuille) jonoille. (2) Cuchyn suppenemiskriteeri on yhtäpitävä täydellisyysksioomn knss (hrjoitustehtävä). Esimerkki Osoitetn, että jono (s n ), s n = n ( ) k+ k = ( )n+, n =, 2,..., n suppenee, toisin snoen lim s n = ( )k+ k on olemss. Tehdään tämä osoittmll, että (s n ) on Cuchyn jono. Olkoon ε > 0. Olkoon luksi m > n j osoitetn, että s m s n < kikill n =, 2,... n+ Trkstelu on prs jk khteen osn sen mukn, onko m n prillinen vi priton:. Jos m = n + 2p (eli m n on prillinen luonnollinen luku), niin n+2p s m s n = s n+2p s n = ( ) k+ k k=n+ = n + n m m = n + n m m = ( n + n + 2 ) n + 3 < n + kikill n =, 2,... ( m 2 ) m m 2. Jos m = n + 2p + (eli m n on priton luonnollinen luku), niin n+2p+ s m s n = s n+2p+ s n = ( ) k+ k k=n+ = n + n m 2 m + m 27

30 = n + = n + < n + n m 2 m + ( m n + 2 ) n + 3 kikill n =, 2,... ( m m ) Näiden khden kohdn nojll s m s n < n + < n < ε, kun n > ε. Jos toislt n m, niin vihtmll edellä lukujen n j m roolit nähdään, että s n s m < m + < m < ε, kun m > ε. Tästä seur, että s n s m < ε, kun n, m > ε, joten (s n ) on Cuchyn jono j suppenee Cuchyn kriteerin nojll. Lisätieto: Jonon (s n ) rj-rvo on ns. lternoiv hrmoninen srj, johon pltn myöhemmin srjoj trkstelevss luvuss. Voidn osoitt, että tämä rj-rvo on ( ) k+ = ln 2. k Huomutus () Kurssill Anlyysi III tutkitn täydellisiä vruuksi, jotk määritelmänsä nojll ovt sellisi, että jokinen Cuchyn jono suppenee. (2) Reliluvut voidn konstruoid käyttämällä rtionlilukujen Cuchyn jonoj: Olkoot (x n ), (y n ) Cuchyn jonoj, missä x n, y n Q, n =, 2,... Määritellään ekvivlenssireltio Cuchyn jonoille settmll (x n ) (y n ) lim (x n y n ) = 0. Reliluvut voidn nyt määritellä tämän ekvivlenssin ekvivlenssiluokkin. 28

31 3 Funktion rj-rvo j jtkuvuus 3. Peruskäsitteitä Kerrtn luksi peruskäsitteitä kurssist PM I. Funktio f : A B on sääntö, jok liittää jokiseen määritysjoukon eli lähtöjoukon A = D f lkioon x yksikäsitteisesti jonkin mlijoukon B lkion y, merkitään y = f(x). Joukko R f = {y B y = f(x), x A} on funktion f kuv- eli rvojoukko. Tätä merkitään usein myös f(a). Funktiot f : A B snotn () surjektioksi, jos R f = B, (2) injektioksi, jos on voimss ehto x x 2 = f(x ) f(x 2 ), (3) bijektioksi, jos se on injektio j surjektio. Injektion ehdon voi ilmist myös muodoss f(x ) = f(x 2 ) = x = x 2. Huomutus 3.. Ellei toisin minit, niin tällä kurssill käytetään seurv sopimust: Kun funktio f on nnettu lusekkeen, niin sen määritysjoukko D f on ljin mhdollinen relilukujen osjoukko, joss luseke on mielekäs. Esimerkiksi funktion f(x) = + x 3 x+5 määritysjoukko on D f = {x R x > 5 j x 3}. Olkoon E perusjoukko j A, B E. Tällöin (i) A = {x E x / A} on joukon A komplementti, (ii) A B = {x E x A ti x B} on joukkojen A j B unioni eli yhdiste, (iii) A B = {x E x A j x B} on joukkojen A j B leikkus, 29

32 (iv) A\B = {x E x A j x / B} on joukkojen A j B (joukkoopillinen) erotus. Unionille, leikkukselle j komplementille pätevät De Morgnin lit: (A B) = A B, (A B) = A B. Näiden todistus jätetään hrjoitustehtäväksi. Määritelmä 3.2. Pisteen x 0 R (ε-säteiseksi) ympäristöksi snotn väliä ]x 0 ε, x 0 + ε[ (ts. siinä ovt ne x R, joiden etäisyys pisteestä x 0 on (idosti) pienempi kuin ε). Joukko A R snotn voimeksi, jos jokisell joukon A pisteellä on ympäristö, jok sisältyy joukkoon A. Joukko A R snotn suljetuksi, jos sen komplementti on voin. A = R\A = {x R x / A} Määritelmä 3.3. Pistettä x 0 R snotn joukon A R ksutumispisteeksi, jos jokist ε > 0 kohti on olemss sellinen piste x A, että x x 0 j x x 0 < ε. Määritelmän trkoitus: x 0 on joukon A R ksutumispiste, jos jokinen pisteen x 0 ympäristö ]x 0 ε, x 0 + ε[ sisältää joukon A pisteen, jok ei ole x 0. Luse 3.4. Piste x 0 R on joukon A R ksutumispiste jos j vin jos on olemss sellinen jono (x n ), että x n A, x n x 0 kikill n =, 2,... j lim x n = x 0. Todistus. : Olkoon x 0 R joukon A ksutumispiste. Tällöin jokist n =, 2,... kohti on olemss sellinen x n A, x n x 0, että Jonolle (x n ) pätee nyt lim x n = x 0. x n x 0 < n. 30

33 : Oletetn, että x n A, x n x 0 kikill n =, 2,... j lim x n = x 0 = ε > 0 n ε siten, että x n x 0 < ε, kun n n ε = ε > 0 pätee x nε A, x nε x 0 j x nε x 0 < ε = x 0 on joukon A ksutumispiste. Suljettu joukko voidn luonnehti myös seurvll tvll (tulost ei todistet tällä kurssill). Seurus 3.5. Joukko A R on suljettu jos j vin jos A sisältää kikkien suppenevien jonojens rj-lkiot. Huomutus 3.6. Luseen 3.4 nojll seurus 3.5 sdn seurvn muotoon: Joukko A R on suljettu jos j vin jos A sisältää kikki ksutumispisteensä. 3.2 Funktion rj-rvo Määritelmä 3.7. Olkoon A R, f : A R funktio j x 0 R joukon A ksutumispiste. Luku R snotn funktion f rj-rvoksi pisteessä x 0, jos jokist ε > 0 kohti on olemss sellinen δ > 0, että f(x) < ε in, kun 0 < x x 0 < δ j x A. Tällöin merkitään f(x), kun x x 0, ti lim x x 0 f(x) =. Huomutus 3.8. () Määritelmässä δ riippuu vin luvust ε j pisteestä x 0. (2) Funktion ei trvitse oll määritelty pisteessä x 0 j vikk se olisikin määritelty, niin sen rvo pisteessä x 0 ei vikut rj-rvoon. Tämä on tärkeää myös derivtn määritelmässä (ks. PM I): f : R R on derivoituv pisteessä x 0 R, jos f(x) f(x 0 ) lim x x 0 x x 0 on olemss. Huom, että erotusosmäärää ei ole määritelty pisteessä x = x 0. 3

34 (3) Jos rj-rvo on olemss, se on yksikäsitteinen (todistus hrjoituksen). Luse 3.9 (funktion rj-rvon jonokrkteristio). Jos f : A R, x 0 on joukon A ksutumispiste j R, niin seurvt väitteet ovt yhtäpitäviä: (i) lim x x0 f(x) =, (ii) Jokiselle jonolle (x n ), jolle x n A, x n x 0 kikill n =, 2,... j lim x n = x 0, pätee lim f(x n) =. Todistus. (i) (ii) : Olkoon lim f(x) =. Olkoot lisäksi x n A, x n x 0 x x0 kikill n =, 2,... j lim x n = x 0. Osoitetn, että lim f(x n ) =. Olkoon ε > 0. Kosk lim x x0 f(x) =, niin on olemss sellinen δ > 0, että f(x) < ε in, kun 0 < x x 0 < δ j x A. Kosk lim x n = x 0, niin on olemss sellinen n δ, että Siten 0 < x n x 0 < δ, kun n n δ (oletetuksen mukn x n x 0 ). joten lim f(x n ) =. f(x n ) < ε, kikill n n δ, (ii) (i) : Tehdään vstoletus: (i) ei toteudu eli on olemss sellinen ε > 0, että jokist δ > 0 kohti on olemss x A, jolle 0 < x x 0 < δ j f(x) ε. Vlitn δ n = n, n =, 2,... Tällöin jokist n Z + kohti on olemss sellinen x n A, että 0 < x n x 0 < n j f(x n) ε. Täten lim x n = x 0, mutt jono (f(x n )) ei suppene kohti luku. Tämä on ristiriit. 32

35 3.3 Funktion jtkuvuus Määritelmä 3.0. Olkoon A R, f : A R j x 0 A. Funktiot f snotn jtkuvksi pisteessä x 0, jos jokist ε > 0 kohti on olemss sellinen δ > 0, että f(x) f(x 0 ) < ε, kun x x 0 < δ j x A. Funktiot f snotn jtkuvksi joukoss A, jos se on jtkuv joukon A jokisess pisteessä. Jos funktio ei ole jtkuv, sitä snotn epäjtkuvksi. Huomutus 3.. () Jtkuvuus on lokli ominisuus: vin se, mitä tphtuu pisteen x 0 mielivltisen pienessä ympäristössä vikutt funktion f jtkuvuuteen pisteessä x 0. (2) Jos f ei ole määritelty pisteessä x 0, niin ei ole mielekästä tutki funktion f jtkuvuutt pisteessä x 0. Esimerkki 3.2. () Olkoon f : R \ {} R, f(x) = x. Usein funktion f snotn olevn epäjtkuv pisteessä, vikk sitä ei ole määritelty pisteessä. (2) Olkoon g : R \ {0} R, g(x) =. Usein funktion g snotn olevn epäjtkuv pisteessä 0, vikk sitä ei ole määritelty nollss. (Jos x funktiolle määritellään rvo nollss, niin stu funktio on väistämättä epäjtkuv joukoss R.) (3) Olkoon h: ] π, [ π sin x 2 2 R, h(x) = tn x =. Funktio h on jtkuv cos x välillä ] π, [ π 2 2. Jtketn h jksollisesti joukkoon A = {x R x π 2 + kπ, k Z} settmll h(x+π) = h(x). Nyt h : A R on jtkuv (eikä epäjtkuv, kuten sttisi luull). Luse 3.3 (jtkuvuuden jonokrkteristio). Funktio f : A R on jtkuv pisteessä x 0 A jos j vin jos lim f(x n) = f(x 0 ) kikill jonoill (x n ), joille pätee x n A, n =, 2,... j lim x n = x 0. 33

36 Todistus. Kuten luse 3.9 rj-rvolle. Huomutus 3.4. () Luseen 3.3 väitteessä on pieniä eroj vstvn luseeseen 3.9 verrttun: lukujonon (x n ) termi voi oll myös x 0 eikä pisteen x 0 trvitse oll ksutumispiste. (2) Luseen ehto voidn myös kirjoitt muodoss: lim f(x) = f(x 0 ), x x 0 jolloin yhtälön vsemmn puolen täytyy oll olemss j oiken puolen täytyy oll määritelty. Tämä on kurssill PM I esiintynyt määritelmä jtkuvuudelle. (3) Jos x 0 A ei ole joukon A ksutumispiste, niin on olemss sellinen ε > 0, että ]x 0 ε, x 0 + ε[ A = {x 0 }. Tällisiss, ns. eristetyissä, pisteissä f on utomttisesti jtkuv määritelmän 3.0 nojll. Esimerkki 3.5. Esimerkkejä erityyppisistä epäjtkuvuuksist: () hyppäysepäjtkuvuus pisteessä 0: {, x 0, f(x) =, x < 0; (2) krkminen äärettömyyteen pisteessä 0: { x f(x) =, x 0, 0, x = 0; (3) heilhteluepäjtkuvuus pisteessä 0: { sin x f(x) =, x 0, 0, x = 0. Esimerkki 3.6 (vrsin ptologinen tpus). Olkoon f : ]0, [ R, f(x) = {, n jos x = m, n > 0, syt(n, m) = (supistettu muoto), n 0, jos x ]0, [ \ Q. 34

37 Seurvss on muutmi funktion f rvoj: ( f = n) ( n, f ) ( n ) = f = n n n, ( 2 ) ( 3 f = 0, f = 2 7) ( 4 ( 2 f = f = 7 6) 3) 3. Lisäksi jos f( m n ) = n, niin f( m n ) = f(n m n ) = n. Huom, että jos n Z +, niin lukuj x ]0, [, joille f(x), on vin n äärellinen määrä. Näin on, sillä jos f(x), niin n x = p q, missä q n. Tästä seur, että q n j p n, joten lukuj 0 < x <, joille pätee f(x) on korkeintn n(n ) kpplett. n Osoitetn, että tämä ns. Dirichlet n funktio f on jtkuv jokisess irrtionlipisteessä j epäjtkuv jokisess rtionlipisteessä. Väite sdn, kun todistetn, että lim x x 0 f(x) = 0 kikill x 0 ]0, [. Olkoon ε > 0. Silloin on olemss sellinen n, että n < ε. Kosk f(x) vin äärellisen monell (korkeintn n(n )) muuttujn n x rvoll, niin on olemss sellinen δ > 0, että ]x 0 δ, x 0 + δ[ ei sisällä pisteitä x ]0, [ Q, x x 0, joille f(x). Tästä seur, että n f(x) 0 = f(x) < n < ε, kun 0 < x x 0 < δ, sillä tällisille x joko f(x) = 0 ti f(x) = jollkin q > n. Siten lim f(x) = 0 q x x 0 kikill x 0 ]0, [. Näin ollen f on jtkuv täsmälleen niissä pisteissä x 0, joiss f(x 0 ) = 0. Voidn todist, että ei ole olemss funktiot, jok olisi jtkuv jokisess rtionlipisteessä j epäjtkuv jokisess irrtionlipisteessä. Tätä ei todistet tällä kurssill. Seurvss on lueteltu muutmi jtkuvien funktioiden perusominisuuksi. 35

38 () Alkeisfunktiot ovt jtkuvi määrittelyjoukossn. Alkeisfunktioit ovt polynomit, rtionli-, eksponentti-, logritmi-, potenssi-, trigonometriset j ns. lgebrlliset funktiot sekä näistä äärellisellä määrällä funktioiden peruslskutoimituksi, kääntämisiä j yhdistämisiä sdut funktiot. Alkeisfunktioit ovt siis esimerkiksi x 2 x 3,, x 3 +2 ex, log 3 (4x + ), x 2, cos(3x), x j rcsin ( tn x+ln x 2 ) ( 2 3 )x + 5 x 4 +sin x. (2) Jos funktiot f j g ovt jtkuvi pisteessä x 0, niin myös funktiot f f ± g, cf (c R), fg, g (g(x 0) 0), f, min{f, g}, mx{f, g} ovt jtkuvi pisteessä x 0. (3) Jos f on jtkuv pisteessä x 0 j g on jtkuv pisteessä f(x 0 ), niin yhdistetty funktio g f on jtkuv pisteessä x 0. Esimerkiksi funktio f(x) = x on jtkuv pisteessä x 0 0 j funktio g(x) = sin x on jtkuv pisteessä f(x 0 ) = x 0, joten funktio (g f)(x) = sin x on jtkuv pisteessä x 0 0. (4) Suppiloperite funktioille: Jos f, g, h: A R ovt sellisi funktioit, että f j g ovt jtkuvi pisteessä x 0 A, j f(x) h(x) g(x) kikill x A f(x 0 ) = h(x 0 ) = g(x 0 ), niin myös h on jtkuv pisteessä x 0. Tämä tulos seur suorn luseist 2.9 j 3.3. Määritelmä 3.7. Funktiot f : A R snotn rjoitetuksi, jos sen kuvjoukko R f = f(a) = {y R y = f(x) jollkin x A} on rjoitettu eli on olemss sellinen vkio M 0, että f(x) M kikill x A. Luse 3.8. Suljetull j rjoitetull välillä [, b] määritelty jtkuv funktio f : [, b] R on rjoitettu. 36

39 Todistus. Tehdään vstoletus: f ei ole rjoitettu. Tällöin jokist n Z + kohti on olemss sellinen x n [, b], että f(x n ) > n. Kosk x n [, b] kikill n =, 2,..., niin jono (x n ) on rjoitettu. Bolznon Weierstrssin luseen nojll sillä on suppenev osjono (x nk ), eli lim k x n k = x 0 jollkin x 0 R. Kosk x nk b kikill k =, 2,..., niin epäyhtälön säilymisen peritteen nojll x 0 b, ts. x 0 [, b] (tässä on olennist, että väli on suljettu). Edelleen, kosk lim x n k = x 0, x 0 [, b] j f on jtkuv välillä [, b], k niin jtkuvuuden jonokrkteristion nojll lim f(x n k ) = f(x 0 ). k Tästä seur, että (f(x nk )) on suppenevn jonon rjoitettu. Tämä on ristiriit, sillä f(x nk ) > n k, k =, 2,..., missä n k, kun k. Huomutus 3.9. Edellisessä luseess on olennist, että väli on suljettu: funktio f : ]0, [ R, f(x) = on jtkuv välillä ]0, [, mutt ei ole x rjoitettu. Toislt on olennist, että funktio on jtkuv: funktio { x f : [0, ] R, f(x) =, 0 < x,, x = 0 ei ole rjoitettu suljetull välillä [0, ]. Kertus: Funktio f : A R svutt suurimmn rvons joukoss A R, jos mx f(a) on olemss eli on olemss sellinen x 0 A, että f(x) f(x 0 ) kikill x A. Silloin f(x 0 ) = mx x A f(x) = sup f(x). x A 37

40 Vstvsti f svutt pienimmän rvons joukoss A, jos min f(a) on olemss eli on olemss sellinen x 0 A, että Silloin f(x) f(x 0 ) kikill x A. f(x 0 ) = min f(x) = inf f(x). x A x A Luse 3.20 (Weierstrssin mx-min-luse). Suljetull j rjoitetull välillä [, b] määritelty jtkuv funktio f : [, b] R svutt suurimmn j pienimmän rvons. Todistus. Luseen 3.8 nojll funktio f on rjoitettu. Täydellisyysksioomn nojll sup f(x) = M R x [,b] on olemss. Osoitetn seurvksi, että on olemss sellinen x 0 [, b], että f(x 0 ) = M (jolloin M = mx x [,b] f(x)). Luseen. nojll jokist n Z + kohti on olemss sellinen x n [, b], että M n < f(x n) M. Kosk x n b kikill n =, 2,..., niin (x n ) on rjoitettu jono. Bolznon Weierstrssin luseen nojll tällä on suppenev osjono (x nk ), joten rjrvo lim x n k = x 0 R k on olemss. Kosk x nk b kikill k =, 2,..., niin epäyhtälön säilymisen peritteen nojll x 0 b, joten x 0 [, b] (tässä on olennist, että väli on suljettu, vrt. luseen 3.8 todistukseen). Kosk M n k < f(x nk ) M kikill k =, 2,..., niin suppiloperitteen nojll lim f(x n k ) = M. k Kosk f jtkuv pisteessä x 0, niin jtkuvuuden jonokrkteristion nojll f(x 0 ) = lim k f(x nk ) = M. Minimiä koskev väite todistetn vstvll tvll (hrjoitustehtävä). 38

41 Huomutus 3.2. Edellisessä luseess on olennist, että väli on suljettu: funktio f : ]0, [ R, f(x) = x on jtkuv, mutt ei svut suurint eikä pienintä rvo välillä ]0, [. Huom, että inf f(x) = 0 j sup f(x) =, x ]0,[ x ]0,[ mutt minimiä ti mksimi ei ole olemss. On myös olennist, että väli on rjoitettu: funktio f : [, [ R, f(x) = x on jtkuv, mutt ei svut pienintä rvo välillä [, [. Huom, että inf f(x) = 0. x [, [ Luse Oletetn, että f : [, b] R on jtkuv. Jos f() < 0 < f(b) ti f() > 0 > f(b), niin on olemss sellinen x 0 ], b[, että f(x 0 ) = 0. Todistus. Oletetn, että f() < 0 < f(b) (tpuksen f() > 0 > f(b) voi tämän jälkeen hoit trkstelemll funktiot g = f, jok on jtkuv j jolle g() < 0 < g(b)). Väitteen voi todist khdell eri tvll: käyttämällä täydellisyysksioom suorn ti jonojen j suljettujen välien peritteen vull. Olkoon A = {x [, b] f(x) < 0}. Kosk A, niin A. Lisäksi A [, b] on (ylhäältä) rjoitettu, joten x 0 = sup A on olemss. Osoitetn, että f(x 0 ) = 0. Jos f(x 0 ) < 0, niin on olemss sellinen δ > 0, että f(x) < 0 kikill x x 0 < δ (ks. hrjoituksen 6 tehtävä 2). Erityisesti f(x 0 + δ ) < 0, ts. 2 x 0 + δ A eikä x 2 0 ole joukon A ylärj. Jos f(x 0 ) > 0, niin on olemss sellinen δ > 0, että f(x) > 0 kikill x x 0 < δ. Lisäksi x 0 on joukon A ylärj, joten x / A kikill x ]x 0 δ, b]. Tällöin kuitenkin x 0 δ 2 on joukon A ylärj eikä x 0 voi oll pienin ylärj. Näin ollen on oltv f(x 0 ) = 0. Toinen tp todist väite on käyttää jonoj j iemmst tuttu puolitusmenetelmää. Olkoon I = [, b ], missä = j b = b j sen keskipiste c = + b. 2 39

42 Jos f(c ) = 0, niin hettu piste on löydetty j x 0 = c. Jos f(c ) 0, niin joko f(c ) > 0 ti f(c ) < 0. Jos f(c ) > 0, niin vlitn 2 = j b 2 = c. Jos f(c ) < 0, niin vlitn 2 = c j b 2 = b. Kummsskin tpuksess siis I 2 = [ 2, b 2 ] I j f( 2 ) < 0 < f(b 2 ). Jtketn näin: jos välit I, I 2,..., I n on vlittu kuten edellä j c n = n + b n 2 on välin I n = [ n, b n ] keskipiste, niin vlitn väli I n+ = [ n+, b n+ ] I n siksi välin I n = [ n, b n ] puolikkksi, jolle f( n+ ) < 0 < f(b n+ ). Jos f(c n ) = 0 jollkin n Z +, niin vlitn x 0 = c n j väite on todistettu. Jos vlintprosessi ei pysähdy vn f(c n ) 0 kikill n Z +, niin smme jonon sisäkkäisiä suljettuj välejä I n = [ n, b n ], joille pätee I I 2 I 3..., f( n ) < 0 < f(b n ), n =, 2,... Suljettujen välien peritteen nojll on olemss Välien pituudet x 0 I n. n= b n n = b 0, kun n. 2n Kosk n x 0 b n kikill n =, 2,..., niin 0 x 0 n b n n = b 2 n j 0 b n x 0 b n n = b 2 n. Tässä b 2 n 0, kun n, joten suppiloperitteen nojll lim n = x 0 = lim b n. Kosk f on jtkuv pisteessä x 0, niin jtkuvuuden jonokrkterition nojll lim f( n) = f(x 0 ) = lim f(b n ). 40

43 Kosk f( n ) < 0 kikill n =, 2,..., niin epäyhtälön säilymisen peritteen nojll f(x 0 ) = lim f( n ) 0. Toislt f(b n ) > 0 kikill n =, 2,..., joten Tästä seur, että f(x 0 ) = 0. f(x 0 ) = lim f(b n ) 0. Luse 3.23 (Bolznon luse). Oletetn, että f : [, b] R on jtkuv. Jos y R on sellinen luku, että inf f(x) y sup f(x), x [,b] x [,b] niin on olemss sellinen x 0 [, b], että f(x 0 ) = y. Todistus. Weierstrssin luseen (luse 3.20) mukn on olemss selliset x, x 2 [, b], että inf f(x) = min f(x) = f(x ) y f(x 2 ) = mx f(x) = sup f(x). x [,b] x [,b] x [,b] x [,b] Jos x = x 2, niin f(x ) f(x) f(x 2 ) = f(x ) kikill x [, b], joten f(x) = f(x ) kikill x [, b] j f on vkiofunktio. Oletetn sitten, että x < x 2 (tpus x > x 2 todistetn smll tvll). Funktio on jtkuv, g : [, b] R, g(x) = f(x) y g(x ) = f(x ) y 0 j g(x 2 ) = f(x 2 ) y 0. Jos g(x k ) = 0 toisell k =, 2, niin vlitn x 0 = x k. Muutoin g(x ) < 0 j g(x 2 ) > 0. Tällöin luseen 3.22 nojll on olemss sellinen x 0 [x, x 2 ], että g(x 0 ) = 0 eli f(x 0 ) = y. 4

44 Huomutus () Bolznon luse snoo käytännössä sen, että jtkuv funktio svutt inkin kerrn kikki rvot miniminsä j mksimins välillä. (2) Bolznon luseess on olennist, että funktio f on jtkuv j se että relikseliss ei ole reikiä. Esimerkiksi rtionliluvuill ei ole edellisten khden luseen ominisuutt: Jos f : Q [0, 2] Q, f(x) = x 2 2, niin f(0) = 2 j f(2) = 2, mutt ei ole olemss sellist luku x 0 Q [0, 2], että f(x 0 ) = Funktion tsinen jtkuvuus Olkoot A R j f : A R jtkuv joukoss A. Tällöin f on jtkuv jokisess pisteessä t A. Siten jokist ε > 0 kohti on olemss sellinen δ > 0, että f(x) f(t) < ε, kun x t < δ j x A. Kuitenkin δ riippuu yleensä pisteestä t. Siis sm δ ei yleensä kelp kikille pisteille t A. Yleensä δ riippuu luvust ε, funktiost f j pisteestä t. Esimerkki Olkoon f : ]0, ] R, f(x) = cos. Tällöin f on jtkuv x joukoss ]0, ], erityisesti pisteessä t ]0, ]. Oletetn, että jokist ε > 0 kohti on olemss sellinen δ > 0, että f(x) f(t) < ε kikille x, t ]0, ], x t < δ, ts. oletetn ettei δ riipu pisteestä t. Vlitn sellinen n, että Olkoot x = 2nπ δ > 2nπ. j t = Nyt 0 < t < x < δ, joten x t < δ, mutt (2n + )π. f(x) f(t) = cos(2nπ) cos((2n + )π) = 2. Jos vlitn 0 < ε < 2, niin ei ole olemss sellist luku δ > 0, jolle pätee f(x) f(t) < ε kikille x, t ]0, ], x t < δ. Siis δ riippuu pisteestä t olennisell tvll. 42

45 Määritelmä Funktiot f : A R snotn tsisesti jtkuvksi joukoss A, jos jokist ε > 0 kohti on olemss sellinen δ > 0, että f(x) f(t) < ε kikill x, t A j x t < δ. Määritelmän trkoitus: Funktio f : A R on tsisesti jtkuv joukoss A, jos funktion rvot ovt mielivltisen lähellä toisin in, kun muuttujn rvot ovt riittävän lähellä toisin. Siis funktion rvot eivät s muuttu liin nopesti (ti jos ne muuttuvt hyvin nopesti, niin muutoksen on tphduttv riittävän pienellä välillä). Huomutus () Tsinen jtkuvuus määritellään joukoss A, ei pisteittäin kuten jtkuvuus. (2) Jos f on tsisesti jtkuv joukoss A, niin f on jtkuv joukoss A (kiinnitetään t = x 0 määritelmässä 3.26). Käänteinen väite ei päde esimerkin 3.25 vloss. Luse Jtkuv funktio f : [, b] R on tsisesti jtkuv suljetull j rjoitetull välillä [, b]. Todistus. Tehdään vstoletus: funktio f ei ole tsisesti jtkuv välillä [, b]. Tästä seur, että on olemss sellinen ε > 0, että jokist δ > 0 kohti on olemss selliset pisteet x, t [, b] (jotk riippuvt luvust δ), että x t < δ j f(x) f(t) ε. Vlitn δ = n, n =, 2,..., jolloin jokist n kohti on olemss selliset x n, t n [, b], että x n t n < n j f(x n) f(t n ) ε. Jono (x n ) on rjoitettu, joten Bolznon Weierstrssin luseen (luse 2.9) nojll sillä on suppenev osjono (x nk ). Olkoon x 0 = lim k x nk. Kosk x nk b kikill k =, 2,..., niin epäyhtälön säilymisperitteen nojll x 0 b eli x 0 [, b]. 43

46 Lisäksi t nk x 0 t nk x nk + x nk x 0 < n k + x nk x 0 k + x n k x 0 0, kun k (huom, että n k k), joten lim k t nk = x 0. Kosk f on jtkuv, niin jtkuvuuden jonokrkteristion (luse 3.3) nojll lim f(x n k ) = f(x 0 ) = lim f(t nk ). k k Täten on olemss sellinen k ε Z +, että f(x nk ) f(x 0 ) < ε 2 j f(t nk ) f(x 0 ) < ε 2 kikill k k ε. Siten ε f(x nk ) f(t nk ) f(x nk ) f(x 0 ) + f(x 0 ) f(t nk ) < ε 2 + ε 2 = ε, kikill k k ε. Ristiriit. 44

47 4 Srjt 4. Srjn suppeneminen Määritelmä 4.. Olkoon (x k ) relilukujono. Muodostetn uusi jono (s n ), jolle n s n = x k = x + x x n, n =, 2,... Jono (s n ) snotn jonoon (x k ) liittyväksi ossummien jonoksi ti srjksi. Jos jono (s n ) suppenee eli on olemss sellinen S R, että lim s n = S, niin snotn että srj suppenee. Tällöin luku S snotn srjn summksi j merkitään n x k = lim x k = lim s n = S. Jos srj ei suppene, niin snotn, että se hjntuu. Huomutus 4.2. () Srj merkitään x k riippumtt siitä, suppeneeko se. (2) Jos srj x k suppenee, niin sen ossummien jono (s n ) suppenee, ts. rj-rvo lim s n = S on olemss. Tällöin jokist ε > 0 kohti on olemss sellinen n ε, että s n S = k=n+ x k < ε kikill n nε. Tästä nähdään, että srj suppenee, jos j vin jos sen häntäos voidn stt mielivltisen pieneksi. Lemm 4.3. Jos srj x k suppenee, niin lim x k = 0. k Todistus. Srj x n = s n s n, n = 2, 3,..., niin x k suppenee, joten on olemss lim s n = S R. Kosk lim x n = lim (s n s n ) = lim s n lim s n = S S = 0. 45

ANALYYSI I, kevät 2009

ANALYYSI I, kevät 2009 5 Riemnnin integrli 7 ANALYYSI I, kevät 9 5. Integrlin perusominisuuksi................. 76 5. Anlyysin perusluse....................... 8 Sisältö Relilukujen peruskäsitteitä Lukujonoist 3. Lukujonon rj-rvo.......................

Lisätiedot

ANALYYSI I, kevät 2009

ANALYYSI I, kevät 2009 ANALYYSI I, kevät 009 Sisältö Relilukujen peruskäsitteitä Lukujonoist 4. Lukujonon rj-rvo....................... 4. Monotoniset jonot..........................3 Osjonot.............................. 7.4

Lisätiedot

Sarjat ja integraalit

Sarjat ja integraalit Srjt j integrlit c Mtemttisten tieteiden litos, Oulun yliopisto Versio: 9.3.0 Viimeksi muoknnut: Peter Hästö Sisältö Funktion rj-rvo j jtkuvuus. Peruskäsitteitä........................................

Lisätiedot

5 Epäoleellinen integraali

5 Epäoleellinen integraali 5 Epäoleellinen integrli 5. Integrlin suppeneminen Olkoon f sellinen välillä [, b[ (ei siis välttämättä pisteessä b) määritelty funktio, että f on Riemnn-integroituv välillä [, ] kikill ], b[ eli on olemss

Lisätiedot

7 Funktiosarjoista. 7.1 Funktiosarjojen suppeneminen

7 Funktiosarjoista. 7.1 Funktiosarjojen suppeneminen 7 Funktiosrjoist 7. Funktiosrjojen suppeneminen Seurvksi trkstelln srjoj, joiden termit ovt (lukujen sijst) jollkin välillä I määriteltyjä funktioit. Täsmällisemmin funktiosrjll (ti lyhyemmin srjll) trkoitetn

Lisätiedot

II.1. Suppeneminen., kun x > 0. Tavallinen lasku

II.1. Suppeneminen., kun x > 0. Tavallinen lasku II. EPÄOLEELLISET INTEGRAALIT nt II.. Suppeneminen Esim. Olkoon f() =, kun >. Tvllinen lsku = / =. Kuitenkn tätä integrli ei ole ikisemmss mielessä määritelty, kosk f ei ole rjoitettu välillä [, ] (eikä

Lisätiedot

SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT Funktiojonot 1

SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT Funktiojonot 1 SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 JOUNI PARKKONEN Sisältö 0. Tästä tekstistä. Funktiojonot 0. Tästä tekstistä Tämä moniste on trkoitettu käytettäväksi kurssin Srjt j differentiliyhtälöt luentomterilin.

Lisätiedot

ANALYYSIN TEORIA A JA B

ANALYYSIN TEORIA A JA B ANALYYSIN TEORIA A JA B Kikki luseit ei ole muotoiltu smll tvll kuin luennoill. Ilmoit virheistä yms osoitteeseen mikko.kngsmki@ut. (jos et ole vrm, onko kyseessä virhe, niin ilmoit mieluummin). 1. Yleistä,

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Mtemtiikn tukikurssi Kurssikert 5 1 Jtkuvuus Trkstelln funktiot fx) josskin tietyssä pisteessä x 0. Tämä funktio on tässä pisteessä joko jtkuv ti epäjtkuv. Jtkuvuuden ymmärtää prhiten trkstelemll epäjtkuv

Lisätiedot

Kertausta ja täydennystä

Kertausta ja täydennystä LUKU 1 Kertust j täydennystä 1.1. Merkintöjä N = {k Z k 0} = {0, 1, 2,... }, luonnollisten lukujen joukko. Z + = {k Z k > 0} = {1, 2,... }, positiivisten kokonislukujen joukko. (, b) on relikselin voin

Lisätiedot

Sisältö. Funktiojonot ja -sarjat 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 15

Sisältö. Funktiojonot ja -sarjat 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 15 Funktiojonot j -srjt 10. syyskuut 2005 sivu 1 / 15 Sisältö 1 Funktiojonoist 2 2 Funktiosrjoist 5 3 Funktiojonojen j -srjojen derivointi j integrointi 7 4 Potenssisrjt 9 5 Tylorin polynomit j srjt 12 5.1

Lisätiedot

TEHTÄVÄ 1. Olkoon (f n ) jono jatkuvia funktioita f n : [a, b] R, joka suppenee välillä [a, b] tasaisesti kohti funktiota f : [a, b] R.

TEHTÄVÄ 1. Olkoon (f n ) jono jatkuvia funktioita f n : [a, b] R, joka suppenee välillä [a, b] tasaisesti kohti funktiota f : [a, b] R. Topologi I Hrjoitus 10, rtkisuj AP TEHTÄVÄ 1. Olkoon (f n ) jono jtkuvi funktioit f n : [, b] R, jok suppenee välillä [, b] tsisesti kohti funktiot f : [, b] R. Osoit, että tällöin f n (x) dx f(x) dx.

Lisätiedot

3 Integraali ja derivaatta

3 Integraali ja derivaatta 3 Integrli j erivtt 3.1 Integrli ylärjns funktion Olkoon funktio f Riemnn-integroituv välin I jokisell suljetull osvälillä j välin I jokin kiinteä luku. Tällöin integrli määrittelee funktion G(): I R,

Lisätiedot

Analyysi 2. Harjoituksia lukuihin 1 3 / Kevät Anna sellainen välillä ] 2, 2[ jatkuva ja rajoitettu funktio f, että

Analyysi 2. Harjoituksia lukuihin 1 3 / Kevät Anna sellainen välillä ] 2, 2[ jatkuva ja rajoitettu funktio f, että Anlyysi Hrjoituksi lukuihin 3 / Kevät 5. Ann sellinen välillä ], [ jtkuv j rjoitettu funktio f, että () sup A m A j inf A min A, (b) sup A m A j inf A = min A, (c) sup A = m A j inf A min A, (d) sup A

Lisätiedot

Analyysi B. Derivaatta ja integraali. Pertti Koivisto

Analyysi B. Derivaatta ja integraali. Pertti Koivisto Anlyysi B Derivtt j integrli Pertti Koivisto Kevät 7 Alkusnt Tämä moniste on trkoitettu oheislukemistoksi Tmpereen yliopistoss pidettävälle kurssille Anlyysi B. Monisteen tvoitteen on tuke luentojen seurmist,

Lisätiedot

2 Riemann-integraali. 2.1 Porrasfunktion integraali. Aloitetaan integraalin täsmällinen määrittely tutkimalla porrasfunktion integraalia.

2 Riemann-integraali. 2.1 Porrasfunktion integraali. Aloitetaan integraalin täsmällinen määrittely tutkimalla porrasfunktion integraalia. 2 Riemnn-integrli 2.1 Porrsfunktion integrli Aloitetn integrlin täsmällinen määrittely tutkimll porrsfunktion integrli. Määritelmä 2.1 (Porrsfunktion integrli). Olkoon f : [, b] R porrsfunktio j P = {x

Lisätiedot

Riemannin integraalista

Riemannin integraalista Lebesguen integrliin sl. 2007 Ari Lehtonen Riemnnin integrlist Johdnto Tämän luentomonisteen trkoituksen on tutustutt lukij Lebesgue n integrliin j sen perusominisuuksiin mhdollisimmn yksinkertisess tpuksess:

Lisätiedot

Lebesguen integraali - Rieszin määritelmä

Lebesguen integraali - Rieszin määritelmä Lebesguen integrli - Rieszin määritelmä Tru Lehtonen Mtemtiikn pro grdu-tutkielm Jyväskylän yliopisto Mtemtiikn j tilstotieteen litos Kevät 216 Tiivistelmä Jyväskylän Yliopisto Lehtonen, Tru Puliin: Lebesguen

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Mtemtiikn tukikurssi Kurssikert 4 Tilvuuden j vipn ln lskeminen Kuten iemmin käsittelimme, määrätyn integrlin vull voi lske pintloj j tilvuuksi. Tyypillisenä sovelluksen tilvuuden lskemisest on tpus, joss

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 7: Integraali ja analyysin peruslause

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 7: Integraali ja analyysin peruslause MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 7: Integrli j nlyysin perusluse Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos 3.10.2016 Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen

Lisätiedot

i 2 n 3 ( (n 1)a (i + 1) 3 = 1 +

i 2 n 3 ( (n 1)a (i + 1) 3 = 1 + I. INTEGRAALILASKENTA Arkhimedes (287 22 e.kr.) prbelin segmentin pint-l Newton (642 727) j Leibniz (646 76) keksivät diff.- j int.-lskennn Cuhy (789 857) ε, δ Riemnn (826 866) Riemnnin integrli Lebesgue

Lisätiedot

Kuvausta f sanotaan tällöin isomorfismiksi.

Kuvausta f sanotaan tällöin isomorfismiksi. Määritelmä..12. Oletetn, että 1 =(V 1,E 1 ) j 2 =(V 2,E 2 ) ovt yksinkertisi verkkoj. Verkot 1 j 2 ovt isomorfiset, jos seurvt ehdot toteutuvt: (1) on olemss bijektio f : V 1 V 2 (2) kikill, b V 1 pätee,

Lisätiedot

Sisältö. Integraali 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 20

Sisältö. Integraali 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 20 Integrli 10. syyskuut 2005 sivu 1 / 20 Sisältö 1 Määrätty integrli j integrlifunktio 2 1.1 Integroituvist funktioit 3 1.2 Määrätyn integrlin ominisuuksi 4 1.3 Integrlifunktio 5 1.4 Integrlilskennn tärkeimmät

Lisätiedot

Riemannin integraalista

Riemannin integraalista TAMPEREEN YLIOPISTO Pro grdu -tutkielm Aij Stenberg Riemnnin integrlist Mtemtiikn j tilstotieteen litos Mtemtiikk Syyskuu 2010 2 Tmpereen yliopisto Mtemtiikn j tilstotieteen litos STENBERG, AIJA: Riemnnin

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali MS-A1{3,4} (ELEC*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 8: Integrlifunktio j epäoleellinen integrli Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos 5.1.216 Pekk Alestlo,

Lisätiedot

MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 7: Integraali ja analyysin peruslause

MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 7: Integraali ja analyysin peruslause MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 7: Integrli j nlyysin perusluse Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos November 20, 2017

Lisätiedot

Määritelmä Olkoon C R m yksinkertainen kaari ja γ : [a, b] R m sen yksinkertainen parametriesitys, joka on paloittain C 1 -polku.

Määritelmä Olkoon C R m yksinkertainen kaari ja γ : [a, b] R m sen yksinkertainen parametriesitys, joka on paloittain C 1 -polku. Muodostetn vektorikentän kri-integrli yksinkertisen kren tpuksess. Plutetn mieleen, että joukko C R m on yksinkertinen kri, jos löytyy sellinen jtkuv bijektio γ : [, b] C, jok on ploittin C 1 -funktio

Lisätiedot

Integroimistehtävät, 10. syyskuuta 2005, sivu 1 / 29. Perustehtäviä. Tehtävä 1. Osoita, että vakiofunktio f(x) c on Riemann-integroituva välillä

Integroimistehtävät, 10. syyskuuta 2005, sivu 1 / 29. Perustehtäviä. Tehtävä 1. Osoita, että vakiofunktio f(x) c on Riemann-integroituva välillä Integroimistehtävät,. syyskuut 5, sivu / 9 Perustehtäviä Tehtävä. Osoit, että vkiofunktio f(x) c on Riemnn-integroituv välillä [, b] j lske suorn määritelmän perusteell b f(x). Tehtävä. Osoit, että funktio,

Lisätiedot

1. Derivaatan Testi. Jos funktio f on jatkuva avoimella välillä ]a, b[ ja x 0 ]a, b[ on kriit. tai singul. piste niin. { f (x) > 0, x ]a, x 0 [

1. Derivaatan Testi. Jos funktio f on jatkuva avoimella välillä ]a, b[ ja x 0 ]a, b[ on kriit. tai singul. piste niin. { f (x) > 0, x ]a, x 0 [ 1. Derivtn Testi Jos funktio f on jtkuv voimell välillä ], b[ j x 0 ], b[ on kriit. ti singul. piste niin { f (x) < 0, x ], x 0 [ f x (x) > 0, x ]x 0, b[ 0 on lokli minimipiste (1) { f (x) > 0, x ], x

Lisätiedot

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2017 Harjoitus 6, ratkaisuista. 1. Onko jokin demojen 5 tehtävän 3 relaatioista

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2017 Harjoitus 6, ratkaisuista. 1. Onko jokin demojen 5 tehtävän 3 relaatioista Mtemtiikn johntokurssi, syksy 07 Hrjoitus 6, rtkisuist. Onko jokin emojen 5 tehtävän reltioist ) R := {(, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, )}, ) S := {(, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ),

Lisätiedot

MS-A010{2,3,4,5} (SCI, ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali

MS-A010{2,3,4,5} (SCI, ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali MS-A1{2,3,4,5} (SC, ELEC*, ENG*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 8: ntegrlifunktio j epäoleellinen integrli Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos November

Lisätiedot

a = x 0 < x 1 < x 2 < < x n = b f(x) dx = I. lim f(x k ) x k=1

a = x 0 < x 1 < x 2 < < x n = b f(x) dx = I. lim f(x k ) x k=1 5 Integrli 5.1 Määritelmä j ominisuudet Olkoon f : [, b] R jtkuv. Muodostetn välin [, b] jko = x 0 < x 1 < x 2 < < x n = b j siihen liittyvä yläsumm S = n M k (x k x k 1 ), M k = mx{f(x) x k 1 x x k },

Lisätiedot

ANALYYSI 3. Tero Kilpeläinen

ANALYYSI 3. Tero Kilpeläinen ANALYYSI 3 Tero Kilpeläinen Luentomuistiinpnoj syksyltä 2005 20. lokkuut 2005 Sisältö 1. Esitietoj 2 1.1. Riemnn-integrli............................ 2 1.2. Derivtt................................. 4 1.3.

Lisätiedot

10. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA

10. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA MAA0 0. Määrätyn integrlin käyttö eräiden pint-lojen lskemisess 0. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA Edellä on todettu, että f (x)dx nt x-kselin j suorien x =, x = sekä funktion

Lisätiedot

Matematiikan peruskurssi. Seppo Hassi

Matematiikan peruskurssi. Seppo Hassi Mtemtiikn peruskurssi Seppo Hssi Syksy 2014 iii Esipuhe Tämä on 1. versio Mtemtiikn peruskurssin opetusmonisteest, jonk sisältö noudttelee pitkälti Vsn yliopistoss iemmin luennoimni Mtemttiset menetelmät

Lisätiedot

Reaalinen lukualue. Millainen on luku, jossa on päättymätön ja jaksoton desimaalikehitelmä?

Reaalinen lukualue. Millainen on luku, jossa on päättymätön ja jaksoton desimaalikehitelmä? Relinen lukulue POLYNOMIFUNKTIOT JA -YHTÄLÖT, MAA Millinen on luku, joss on päättymätön j jksoton desimlikehitelmä? Onko sellisi? Trkstelln Pythgorn luseest stv yksikköneliön lävistäjää, luku + = x x =.

Lisätiedot

Matemaattiset menetelmät I. Seppo Hassi

Matemaattiset menetelmät I. Seppo Hassi Mtemttiset menetelmät I Seppo Hssi Syksy 2011 iii Esipuhe Tämä on 1. versio Mtemttiset menetelmät I-kurssin opetusmonisteest, jok perustuu Vsn yliopistoss luennoimni vstvn nimiseen kurssiin. Sisältö noudtt

Lisätiedot

Viikon aiheet. Pinta-ala

Viikon aiheet. Pinta-ala info Viikon iheet Mpu I:sen voit suoritt: Kurssin loppukokeess 23.10. Arvosn: koe + lskrit Mikäli yo. ik ei sovi, voit suoritt loppukokeen yleistenttitilisuudess 24.11. Arvosn: koe + lskrit. Ilmoittudu

Lisätiedot

Kertymäfunktio. Kertymäfunktio. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 2/2. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 1/2. Kertymäfunktio: Esitiedot

Kertymäfunktio. Kertymäfunktio. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 2/2. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 1/2. Kertymäfunktio: Esitiedot TKK (c) Ilkk Mellin (24) 1 Johdtus todennäköisyyslskentn TKK (c) Ilkk Mellin (24) 2 : Mitä opimme? 1/2 Jos stunnisilmiötä hlutn mllint mtemttisesti, on ilmiön tulosvihtoehdot kuvttv numeerisess muodoss.

Lisätiedot

6 Integraalilaskentaa

6 Integraalilaskentaa 6 Integrlilskent 6. Integrlifunktio Funktion f integrlifunktioksi snotn funktiot F, jonk derivtt on f. Siis F (x) = f (x) määrittelyjoukon jokisell muuttujn rvoll x. Merkitään F(x) = f (x) dx. Integrlifunktion

Lisätiedot

Sarjojen tasainen suppeneminen

Sarjojen tasainen suppeneminen Srjojen tsinen suppeneminen Pro grdu -tutkielm Krist Mikkonen 165274 Itä-Suomen yliopisto Fysiikn j mtemtiikn litos 19. mrrskuut 2013 Sisältö 1 Johdnto 1 2 Lukujonoist j srjoist 2 2.1 Lukujoukoist...........................

Lisätiedot

IV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n

IV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n IV. TASAINEN SUPPENEMINEN IV.. Funktiojonon tasainen suppeneminen Olkoon A R joukko ja f n : A R funktio, n =, 2, 3,..., jolloin jokaisella x A muodostuu lukujono f x, f 2 x,.... Jos tämä jono suppenee

Lisätiedot

Ville Turunen: Mat Matematiikan peruskurssi P1 3. välikokeen alueen teoriatiivistelmä 2007

Ville Turunen: Mat Matematiikan peruskurssi P1 3. välikokeen alueen teoriatiivistelmä 2007 Ville Turunen: Mt-.4 Mtemtiikn peruskurssi P 3. välikokeen lueen teoritiivistelmä 27 Mterili: kirjt [Adms] R. A. Adms: Clculus, complete course (6th edition), [Ly] D. C. Ly: Liner lgebr nd its pplictions

Lisätiedot

Mika Hirvensalo. Insinöörimatematiikka B 2014

Mika Hirvensalo. Insinöörimatematiikka B 2014 Mik Hirvenslo Insinöörimtemtiikk B 4 Sisältö Rj-rvo j jtkuvuus....................................................... 5. Differentili- j integrlilskennn kehityksestä............................. 5. Relilukujen

Lisätiedot

2.4 Pienimmän neliösumman menetelmä

2.4 Pienimmän neliösumman menetelmä 2.4 Pienimmän neliösummn menetelmä Optimointimenetelmiä trvitn usein kokeellisen dtn nlysoinniss. Mittuksiin liittyy virhettä, joten mittus on toistettv useit kertoj. Oletetn, että mittn suurett c j toistetn

Lisätiedot

x > y : y < x x y : x < y tai x = y x y : x > y tai x = y.

x > y : y < x x y : x < y tai x = y x y : x > y tai x = y. ANALYYSIN TEORIA A Kaikki lauseet eivät ole muotoiltu samalla tavalla kuin luennolla. Ilmoita virheistä yms osoitteeseen mikko.kangasmaki@uta. (jos et ole varma, onko kyseessä virhe, niin ilmoita mieluummin).

Lisätiedot

1 Jonot. 2 Sarjat. 3 Jatkuvuus. 4 Derivaatta. 5 Taylor-polynomit ja -sarjat. 1.2 Jonot. jossa

1 Jonot. 2 Sarjat. 3 Jatkuvuus. 4 Derivaatta. 5 Taylor-polynomit ja -sarjat. 1.2 Jonot. jossa Sisältö MS-AX Differentili- j integrlilskent Nämä klvot sisältävät otsikoss minitun kurssin keskeisen mterilin, mutt myös pljon oheislukemist. Luennoill voidn käsitellä myös täydentäviä esimerkkejä, kosk

Lisätiedot

1 Reaaliset lukujonot

1 Reaaliset lukujonot Jonot 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 5 1 Reaaliset lukujonot Reaaliset lukujonot ovat funktioita f : Z + R. Lukujonosta käytetään merkintää (a k ) k=1 tai lyhyemmin vain (a k). missä a k = f(k). Täten lukujonot

Lisätiedot

Newtonin, Riemannin ja Henstock-Kurzweilin integraalit

Newtonin, Riemannin ja Henstock-Kurzweilin integraalit TAMPEREEN YLIOPISTO Pro grdu -tutkielm Annik Heinonen Newtonin, Riemnnin j Henstock-Kurzweilin integrlit Informtiotieteiden yksikkö Mtemtiikk Helmikuu 2013 Sisältö 1 Johdnto 1 2 Newtonin integrli 2 2.1

Lisätiedot

1 sup- ja inf-esimerkkejä

1 sup- ja inf-esimerkkejä Alla olevat kohdat (erityisesti todistukset) ovat lähinnä oheislukemista reaaliluvuista, mutta joihinkin niistä palataan myöhemmin kurssilla. 1 sup- ja inf-esimerkkejä Nollakohdan olemassaolo. Kaikki tuntevat

Lisätiedot

x k 1 Riemannin summien käyttö integraalin approksimointiin ei ole erityisen tehokasta; jatkuvasti derivoituvalle funktiolle f virhe b

x k 1 Riemannin summien käyttö integraalin approksimointiin ei ole erityisen tehokasta; jatkuvasti derivoituvalle funktiolle f virhe b 5 Integrlien lskemisest 51 Riemnnin summt [A2], [4, 61] Rjoitetun funktion f : [, b] R Riemnn-integroituvuudelle ytäpitäväksi on kurssill Anlyysi 2 osoitettu, että Riemnnin summill S P := f(ξ k ) ( ),

Lisätiedot

Analyysi 1. Harjoituksia lukuihin 1 3 / Syksy Osoita täsmällisesti perustellen, että joukko A = x 4 ei ole ylhäältä rajoitettu.

Analyysi 1. Harjoituksia lukuihin 1 3 / Syksy Osoita täsmällisesti perustellen, että joukko A = x 4 ei ole ylhäältä rajoitettu. Analyysi Harjoituksia lukuihin 3 / Syksy 204. Osoita täsmällisesti perustellen, että joukko { 2x A = x ]4, [. x 4 ei ole ylhäältä rajoitettu. 2. Anna jokin ylä- ja alaraja joukoille { x( x) A = x ], [,

Lisätiedot

Analyysi III S

Analyysi III S Anlyysi III 800624S Sisältö sitietoj 5 Riemnn integroinnin rjt 6 Luku 1. Mittteori 7 1. Algebr j σ-lgebr 7 2. Mitt 8 3. Ulkomitt j mitlliset joukot 11 4. Ulkomitn konstruointi 14 5. Lebesguen ulkomitt

Lisätiedot

Todista raja-arvon määritelmään perustuen seuraava lause: Jos lukujonolle a n pätee lima n = a ja lima n = b, niin a = b.

Todista raja-arvon määritelmään perustuen seuraava lause: Jos lukujonolle a n pätee lima n = a ja lima n = b, niin a = b. 2 Lukujonot 21 Lukujonon määritelmä 16 Fibonacci n luvut määritellään ehdoilla Osoita: 17 a 1 = a 2 = 1; a n+2 = a n+1 + a n, n N a n = 1 [( 1 + ) n ( 2 1 ) n ] 2 Olkoon a 1 = 3, a 2 = 6, a n+1 = 1 n (na

Lisätiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1: tiivistelmä ja oheislukemista

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1: tiivistelmä ja oheislukemista Differentili- j integrlilskent 1: tiivistelmä j oheislukemist Pekk Alestlo 4. syyskuut 2014 Tähdellä merkityt kohdt on trkoitettu lähinnä oheislukemistoksi. Lisäksi mukn on joitkin lukiot kertvi kohti,

Lisätiedot

2.2 Monotoniset jonot

2.2 Monotoniset jonot Mtemtiik tito 9, RATKAISUT Mootoiset joot ) Kosk,,,, ii 0 Lukujoo ( ) o siis lhlt rjoitettu Toislt 0 Lukujoo (

Lisätiedot

4. Reaalifunktioiden määrätty integraali

4. Reaalifunktioiden määrätty integraali 6 4. Relifunktioiden määrätt integrli Vrsinisesti termi "integrli" tulee seurvss esitettävästä määrätstä integrlist, jok on läheistä suku summmiselle. Yhtes derivttn on sitten perustv ltu olev tulos, jot

Lisätiedot

Syksyn 2015 Pitkän matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut

Syksyn 2015 Pitkän matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut Sksn 0 Pitkän mtemtiikn YO-kokeen TI-Nspire CAS -rtkisut Tekijät: Olli Krkkulinen Rtkisut on ldittu TI-Nspire CAS -tietokoneohjelmll kättäen Muistiinpnot -sovellust. Kvt j lskut on kirjoitettu Mth -ruutuihin.

Lisätiedot

11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS

11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS 11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS Tilvuus on sen verrn rkielämässä viljelty käsite, että useimmiten sen syvemmin edes miettimättä ymmärretään, mitä juomlsin ti pikkuvuvn kylpymmeen tilvuudell trkoitetn.

Lisätiedot

3.3 KIELIOPPIEN JÄSENNYSONGELMA Ratkaistava tehtävä: Annettu yhteydetön kielioppi G ja merkkijono x. Onko

3.3 KIELIOPPIEN JÄSENNYSONGELMA Ratkaistava tehtävä: Annettu yhteydetön kielioppi G ja merkkijono x. Onko 3.3 KILIOPPIN JÄSNNYSONGLMA Rtkistv tehtävä: Annettu yhteydetön kielioppi G j merkkijono x. Onko x L(G)? Rtkisumenetelmä = jäsennyslgoritmi. Useit vihtoehtoisi menetelmiä, erityisesti kun G on jotin rjoitettu

Lisätiedot

1+kx 2, x [0, 1] 4. f k (x) = (sin x) k, x R Tehtävä 2. Osoita suoraan määritelmään perustuen, että funktiojono (f k ), missä

1+kx 2, x [0, 1] 4. f k (x) = (sin x) k, x R Tehtävä 2. Osoita suoraan määritelmään perustuen, että funktiojono (f k ), missä Funtiojonojen j -srjojen tehtävät, 11. syysuut 5, sivu 1 / 19 Perustehtäviä Tehtävä 1. Tuti seurvien funtiojonojen (f (x)) suppenemist. pisteittäistä j tsist 1. f (x) = cos x, x R. f (x) = 1 1+x, x R 3.

Lisätiedot

OSA 1: POLYNOMILASKENNAN KERTAUSTA, BINOMIN LASKUSÄÄNTÖJÄ JA YHTÄLÖNRATKAISUA

OSA 1: POLYNOMILASKENNAN KERTAUSTA, BINOMIN LASKUSÄÄNTÖJÄ JA YHTÄLÖNRATKAISUA OSA 1: POLYNOMILASKENNAN KERTAUSTA, BINOMIN LASKUSÄÄNTÖJÄ JA YHTÄLÖNRATKAISUA Tekijät: Ari Heimonen, Hellevi Kupil, Ktj Leinonen, Tuomo Tll, Hnn Tuhknen, Pekk Vrniemi Alkupl Tiedekeskus Tietomn torninvrtij

Lisätiedot

1.3 Toispuoleiset ja epäoleelliset raja-arvot

1.3 Toispuoleiset ja epäoleelliset raja-arvot . Toisuoleiset j eäoleelliset rj-rvot Rj-rvo lim f () A olemssolo edellyttää että muuttuj täytyy void lähestyä rvo kummst suust hyväsä. Jos > ii sot että lähestyy rvo oikelt ositiivisest suust. Jos ts

Lisätiedot

Integraalilaskentaa. 1. Mihin integraalilaskentaa tarvitaan? MÄNTÄN LUKIO

Integraalilaskentaa. 1. Mihin integraalilaskentaa tarvitaan? MÄNTÄN LUKIO Integrlilskent Tämä on lukion oppimterileist hiemn poikkev yksinkertistettu selvitys määrätyn integrlin lskemisest. Kerromme miksi integroidn, mitä integroiminen trkoitt, miten integrli lsketn j miten

Lisätiedot

1 Jonot. 2 Sarjat. 3 Jatkuvuus. 4 Derivaatta. 5 Taylor-polynomit ja -sarjat. 1.2 Jonot. jossa

1 Jonot. 2 Sarjat. 3 Jatkuvuus. 4 Derivaatta. 5 Taylor-polynomit ja -sarjat. 1.2 Jonot. jossa Sisältö MS-AX Differentili- j integrlilskent Pekk Alestlo Alto-yliopisto.9.26 Nämä klvot sisältävät otsikoss minitun kurssin keskeisen mterilin, mutt myös pljon oheislukemist. Luennoill voidn käsitellä

Lisätiedot

Säännöllisten operaattoreiden täydentäviä muistiinpanoja

Säännöllisten operaattoreiden täydentäviä muistiinpanoja Säännöllisten operttoreiden täydentäviä muistiinpnoj Antti-Juhni Kijnho 1. huhtikuut 2011 Vnht määritelmät Määritelmä 1. Äärellinen epätyhjä joukko on merkistö, j sen lkioit kutsutn merkeiksi. Määritelmä

Lisätiedot

1 Jonot. 2 Sarjat. 3 Jatkuvuus. 4 Derivaatta. 5 Taylor-polynomit ja -sarjat / Jonot / 200. jossa / 200

1 Jonot. 2 Sarjat. 3 Jatkuvuus. 4 Derivaatta. 5 Taylor-polynomit ja -sarjat / Jonot / 200. jossa / 200 MS-AX Differentili- j integrlilskent Pekk Alestlo Alto-yliopisto 24..26 Kiitokset Riikk Kortteelle, Jrmo Mliselle j kurssien opiskelijoille pinovirheiden korjuksist. 24..26 Kiitokset Riikk Kortteelle,

Lisätiedot

Riemann-integraalin ja mittaintegraalin vertailua

Riemann-integraalin ja mittaintegraalin vertailua Riemnn-integrlin j mittintegrlin vertilu Pro grdu -tutkielm Pii Tskinen Mtemttisten tieteiden litos Oulun yliopisto Kevät 216 Sisältö Johdnto 3 1 Esitietoj 5 1.1 Välijost............................. 5

Lisätiedot

Konvergenssilauseita

Konvergenssilauseita LUKU 4 Konvergenssilauseita Lause 4.1 (Monotonisen konvergenssin lause). Olkoon (f n ) kasvava jono Lebesgueintegroituvia funktioita. Asetetaan f(x) := f n (x). Jos f n

Lisätiedot

ANALYYSI 2. Tero Kilpeläinen

ANALYYSI 2. Tero Kilpeläinen ANALYYSI Tero Kilpeläinen 3 Teksti sisältää muistiinpnoj vuosin j 3 pidetystä kurssist. Tämän pketin trkoitus on tuke omien muistiinpnojen teko, ei korvt niitä. Mtemtiikk oppii prhiten itse kirjoitten

Lisätiedot

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 5.2.2013

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 5.2.2013 Preliminäärikoe Pitkä Mtemtiikk 5..0 Kokeess s vstt enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä ( * ) merkittyjen tehtävien mksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien mksimipistemäärä on 6.. ) Rtkise yhtälö b)

Lisätiedot

Lebesguen integraali

Lebesguen integraali LUKU 3 Lebesguen integrli Seurvss esitettävä määritelmä Lebesguen integrlille ei ole Lebesguen lkuperäinen. Vuoden 1904 luennoissn [23] hän kuitenkin setti tvoitteeksi, että integrlill olisi ominisuus:

Lisätiedot

Reaaliluvut. tapauksessa metrisen avaruuden täydellisyyden kohdalla. 1 fi.wikipedia.org/wiki/reaaliluku 1 / 13

Reaaliluvut. tapauksessa metrisen avaruuden täydellisyyden kohdalla. 1 fi.wikipedia.org/wiki/reaaliluku 1 / 13 Reaaliluvut Reaalilukujen joukko R. Täsmällinen konstruointi palautuu rationaalilukuihin, jossa eri mahdollisuuksia: - Dedekindin leikkaukset - rationaaliset Cauchy-jonot - desimaaliapproksimaatiot. Reaalilukujen

Lisätiedot

ICS-C2000 Tietojenkäsittelyteoria Kevät 2016

ICS-C2000 Tietojenkäsittelyteoria Kevät 2016 ICS-C2 Tietojenkäsittelyteori Kevät 2 Kierros,. 5. helmikuut Demonstrtiotehtävien rtkisut D: Sievennä seurvi säännöllisiä lusekkeit (so. konstruoi yksinkertisemmt lusekkeet smojen kielten kuvmiseen): ()

Lisätiedot

Matematiikkaolympialaiset 2008 kuusi vaikeaa tehtävää

Matematiikkaolympialaiset 2008 kuusi vaikeaa tehtävää Solmu 3/2008 Mtemtiikkolympiliset 2008 kuusi vike tehtävää Mtti Lehtinen Mnpuolustuskorkekoulu 49. Knsinväliset mtemtiikkolympiliset pidettiin Mdridiss 4. 22. heinäkuut 2008. Kilpilijoit oli 535 j he edustivt

Lisätiedot

sin θ θ θ r 2 sin 2 θ φ 2 = 0.

sin θ θ θ r 2 sin 2 θ φ 2 = 0. Mtemtiikn j tilstotieteen litos Osittisdifferentiliyhtälöt Kevät 21 Hrjoitus 9 Rtkisuj Jussi Mrtin 1. Osoit, että Lplce-yhtälö pllokoordinteiss on 2 u 1 r 2 2 u r r 1 r 2 sin θ u 1 2 u sin θ θ θ r 2 sin

Lisätiedot

Sinilause ja kosinilause

Sinilause ja kosinilause Siniluse j kosiniluse GEOMETRI M3 Mikäli kolmion korkeus j knt tiedetään, voidn pint-l lske. Esimerkki: Lske kolmion l, kun 38 kulmn viereiset sivut ovt 8, j 6,8. Nyt knt tiedetään, korkeutt ei! 38 8,

Lisätiedot

T Syksy 2002 Tietojenkäsittelyteorian perusteet Harjoitus 5 Demonstraatiotehtävien ratkaisut. ja kaikki a Σ ovat säännöllisiä lausekkeita.

T Syksy 2002 Tietojenkäsittelyteorian perusteet Harjoitus 5 Demonstraatiotehtävien ratkaisut. ja kaikki a Σ ovat säännöllisiä lausekkeita. T-79.8 Syksy 22 Tietojenkäsittelyteorin perusteet Hrjoitus 5 Demonstrtiotehtävien rtkisut Säännölliset lusekkeet määritellään induktiivisesti: j kikki Σ ovt säännöllisiä lusekkeit. Mikäli α j β ovt säännöllisiä

Lisätiedot

HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY OF HELSINKI

HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY OF HELSINKI HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY OF HELSINKI Tiedekunt/Ossto Fkultet/Sektion Fculty Litos Institution Deprtment Mtemttis-luonnontieteellinen Tekijä Förfttre Author Antti Khri Työn

Lisätiedot

TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy Antti-Juhani Kaijanaho. 22. syyskuuta 2016

TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy Antti-Juhani Kaijanaho. 22. syyskuuta 2016 lusekkeet, lusekkeet, TIEA241 Automtit j kieliopit, syksy 2016 Antti-Juhni Kijnho lusekkeet j smuus TIETOTEKNIIKAN LAITOS 22. syyskuut 2016 Sisällys lusekkeet, lusekkeet lusekkeet j smuus j smuus lusekkeet

Lisätiedot

Funktiot. funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina.

Funktiot. funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina. Funktiot Tässä luvussa käsitellään reaaliakselin osajoukoissa määriteltyjä funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina. Avoin väli: ]a, b[ tai ]a, [ tai ],

Lisätiedot

MITEN MÄÄRITÄN ASYMPTOOTIT?

MITEN MÄÄRITÄN ASYMPTOOTIT? MITEN MÄÄRITÄN ASYMPTOOTIT? Asmptootti Asmptootti on suor ti muu kärä, jot funktion kuvj f() rjtt lähest, kun muuttujn rvot lähestvät tiettä luku ti ääretöntä. Rjoitutn luksi niihin tpuksiin, joiss smptootti

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 19.9.2016 Pekka Alestalo, Jarmo

Lisätiedot

Analyysin perusteet kauppatieteilijöille 800118P

Analyysin perusteet kauppatieteilijöille 800118P Anlyysin perusteet kupptieteilijöille 800118P Luentomoniste Kri Myllylä Niin Korteslhti Topi Törmä Oulun yliopisto Mtemttisten tieteiden litos Kevät 2015 Sisältö 1 Derivtt 3 1.1 Määritelmä..............................

Lisätiedot

Laskennan mallit (syksy 2010) 1. kurssikoe, ratkaisuja

Laskennan mallit (syksy 2010) 1. kurssikoe, ratkaisuja 582206 Lskennn mllit (syksy 2010) 1. kurssikoe, rtkisuj 1. [2+2+2 pistettä] Säännöllisissä lusekkeiss on käytetty tuttu lyhennysmerkintää Σ = ( ). () merkkijonot, joiden kksi ensimmäistä merkkiä ovt joko

Lisätiedot

1 sup- ja inf-esimerkkejä

1 sup- ja inf-esimerkkejä Alla olevat kohdat (erityisesti todistukset) ovat lähinnä oheislukemista reaaliluvuista, mutta joihinkin niistä palataan myöhemmin kurssilla. 1 sup- ja inf-esimerkkejä Kaarenpituus. Olkoon r: [a, b] R

Lisätiedot

MS-A010X Di erentiaali- ja integraalilaskenta Lukujoukot. 1.2 Jonot. 1.2 Perusongelmat. 1.3 Suppeneminen I. 1.2 Jonojen ominaisuuksia

MS-A010X Di erentiaali- ja integraalilaskenta Lukujoukot. 1.2 Jonot. 1.2 Perusongelmat. 1.3 Suppeneminen I. 1.2 Jonojen ominaisuuksia MS-AX Di erentili- j integrlilskent Pekk Alestlo Alto-yliopisto 24..26 Kiitokset Riikk Kortteelle, Jrmo Mliselle j kurssien opiskelijoille pinovirheiden korjuksist. Sisältö Nämä klvot sisältävät otsikoss

Lisätiedot

VEKTOREILLA LASKEMINEN

VEKTOREILLA LASKEMINEN ..07 VEKTOREILL LSKEMINEN YHTEENLSKU VEKTORIT, M4 Vektoreiden j summ on vektori +. Tämän summvektorin + lkupiste on vektorin lkupiste j loppupiste vektorin loppupiste, kun vektorin lkupisteenä on vektorin

Lisätiedot

Olkoon. M = (Q, Σ, δ, q 0, F)

Olkoon. M = (Q, Σ, δ, q 0, F) T 79.148 Tietojenkäsittelyteorin perusteet 2.4 Äärellisten utomttien minimointi Voidn osoitt, että jokisell äärellisellä utomtill on yksikäsitteinen ekvivlentti (so. smn kielen tunnistv) tilmäärältään

Lisätiedot

521. 522. 523. 524. 525. 526. 527. 12. Lisää määrätystä integraalista. 12.1. Integraalin arvioimisesta. Osoita: VASTAUS: Osoita: Osoita:

521. 522. 523. 524. 525. 526. 527. 12. Lisää määrätystä integraalista. 12.1. Integraalin arvioimisesta. Osoita: VASTAUS: Osoita: Osoita: 12. Lisää määrätystä integrlist 12.1. Integrlin rvioimisest 521. Osoit: 1 + x 2 22 1 < < 1 + x21 21. 522. Osoit: x 3 < 5 x 6 + 8x + 9 < 15 1 5. 523. Osoit: 2 2 < e x2 x < 2e 2. e 524. Olkoon k >. Osoit:

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ PISTEYTYSKOKOUS

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ PISTEYTYSKOKOUS 0 MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 30 PISTEYTYSKOKOUS 0 ) Sijoitetn x 0 Rtkistn = 0/04,0000 b) Jos neliön sivu on s, niin lävistäjä on s Ehto: s 6 s + s = 6, s 6 3 4s 6,70, joten piiri ) Suorn yhtälö

Lisätiedot

8 Potenssisarjoista. 8.1 Määritelmä. Olkoot a 0, a 1, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.1. Muotoa

8 Potenssisarjoista. 8.1 Määritelmä. Olkoot a 0, a 1, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.1. Muotoa 8 Potenssisarjoista 8. Määritelmä Olkoot a 0, a, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.. Muotoa a 0 + a (x c) + a 2 (x c) 2 + olevaa sarjaa sanotaan c-keskiseksi potenssisarjaksi. Selvästi jokainen

Lisätiedot

Paraabelikin on sellainen pistejoukko, joka määritellään urakäsitteen avulla. Paraabelin jokainen piste toteuttaa erään etäisyysehdon.

Paraabelikin on sellainen pistejoukko, joka määritellään urakäsitteen avulla. Paraabelin jokainen piste toteuttaa erään etäisyysehdon. 5. Prbeli Prbelikin on sellinen pistejoukko, jok määritellään urkäsitteen vull. Prbelin jokinen piste toteutt erään etäissehdon. ********************************************** MÄÄRITELMÄ : Prbeli on tson

Lisätiedot

Olkoon. äärellinen automaatti. Laajennetaan M:n siirtymäfunktio yksittäisistä syötemerkeistä merkkijonoihin: jos q Q, x Σ, merkitään

Olkoon. äärellinen automaatti. Laajennetaan M:n siirtymäfunktio yksittäisistä syötemerkeistä merkkijonoihin: jos q Q, x Σ, merkitään T 79.00/002 Tietojenkäsittelyteorin perusteet 2. Äärellisten utomttien minimointi Voidn osoitt, että jokisell äärellisellä utomtill on yksikäsitteinen ekvivlentti (so. smn kielen tunnistv) tilmäärältään

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi. Hannu Kivimäki

Matematiikan tukikurssi. Hannu Kivimäki Mtemtiikn tukikurssi Hnnu Kivimäki Sisältö I Ensimmäinen välikoe Integrointi 2 Osittisintegrointi 5 3 Osmurtohjotelm 4 Lisää osmurtoj 4 5 Sijoituskeino 9 6 Määrätty integrli 2 7 Ylä- j lsumm 22 8 Määrätyn

Lisätiedot

Numeerinen integrointi

Numeerinen integrointi Pitkärnt: Lj mtemtiikk IX9 Numeerinen integrointi IX9 Numeerinen integrointi Numeerisell integroinnill trkoitetn määrätyn integrlin, eli reliluvun I(f,,b) = f(x)dx lskemist numeerisin keinoin (likimäärin)

Lisätiedot

Esimerkki 8.1 Määritellään operaattori A = x + d/dx. Laske Af, kun f = asin(bx). Tässä a ja b ovat vakioita.

Esimerkki 8.1 Määritellään operaattori A = x + d/dx. Laske Af, kun f = asin(bx). Tässä a ja b ovat vakioita. 8. Operttorit, mtriisit j ryhmäteori Mtemttinen operttori määrittelee opertion, jonk mukn sille nnettu funktiot muoktn. Operttorit ovt erityisen tärkeitä kvnttimekniikss, kosk siinä jokist suurett vst

Lisätiedot

Ristitulo ja skalaarikolmitulo

Ristitulo ja skalaarikolmitulo Ristitulo j sklrikolmitulo Opetussuunnitelmn 00 mukinen kurssi Vektorit (MAA) sisältää vektoreiden lskutoimituksist keskeisenä ineksen yhteenlskun, vähennyslskun, vektorin kertomisen luvull j vektoreiden

Lisätiedot

4 Taso- ja avaruuskäyrät

4 Taso- ja avaruuskäyrät P2-luentoj kevät 2008, Pekk Alestlo 4 Tso- j vruuskäyrät Tässä luvuss tutustutn tso- j vruuskäyriin, niiden krenpituuteen j krevuuteen. Konkreettisin sovelluksin trkstelln nnettu rt pitkin liikkuvn hiukksen

Lisätiedot