Johdatus reaalifunktioihin P, 5op
|
|
- Riitta-Liisa Ahola
- 5 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Johdtus relifunktioihin P, 5op Os 3 Pekk Slmi 19. lokkuut 2015 Pekk Slmi FUNK 19. lokkuut / 48
2 Integrlit 1 Määrätty integrli = oike integrli: esim. 1 0 x 2 dx = reliluku 2 Määräämätön integrli = derivtn käänteisopertio: esim. x 2 dx = joukko funktioit Pekk Slmi FUNK 19. lokkuut / 48
3 Anti-derivtt eli määräämätön integrli Määräämätön integrointi on dierentiliyhtälön rtkisu. Esimerkiksi funktion f (x) = x 3 integrli x 3 dx on dierentiliyhtälön g (x) = x 3 rtkisu g(x). Toisin snoen mitkä ovt kikki funktiot g(x), joiden derivtt on x 3. Rtkisu on 1 4 x 4 + C, missä C R on vkio. Pekk Slmi FUNK 19. lokkuut / 48
4 Perustelu edelliseen Välirvoluseen seuruksen stiin että g (x) = h (x) jollin välillä jos j vin jos g(x) = h(x) + C jollin C R. Integroinniss on siis tehtävänä keksiä jokin rtkisu g(x) yhtälölle g (x) = f (x) jolloin f (x) dx := g(x) + C nt kikki rtkisut, kun integroimisvkio C käy läpi kikki reliluvut. Pekk Slmi FUNK 19. lokkuut / 48
5 Esimerkki Esimerkki Lske sin x dx. Pekk Slmi FUNK 19. lokkuut / 48
6 Integrlej Derivoimissäännöistä sdn integroimissääntöjä. Seurvt kvt pätevät väleillä, joill funtiot ovt hyvin määriteltyjä. 1 x r dx = x r+1 r C kun r R, r 1 2 e x dx = e x + C 3 1 x dx = log x + C 4 sin x dx = cos x + C 5 cos x dx = sin x + C 6 1 dx = rcsin x + C 1 x dx = rctn x + C 1 + x 2 Pekk Slmi FUNK 19. lokkuut / 48
7 Integrlin linerisuus Derivtn ominisuuksist (f + g) = f + g j (cf ) = cf seur, että (f ) (x) + g(x) dx = f (x) dx + g(x) dx j cf (x) dx = c f (x) dx. Pekk Slmi FUNK 19. lokkuut / 48
8 Sisäfunktion huomiointi Ketjusäännön nojll (f g) (x) = f ( g(x) ) g (x), joten f ( g(x) ) g (x) dx = (f g)(x) + C. Huom että esimerkiksi integrlin e x 2 dx lskeminen ei onnistu, kosk sisäfunktion x 2 derivtt puuttuu. Pekk Slmi FUNK 19. lokkuut / 48
9 Esimerkkejä Esimerkki Integroi xe x 2 dx. Esimerkki Integroi f (x) = x x Esimerkki Integroi sin x cos x dx. Pekk Slmi FUNK 19. lokkuut / 48
10 Trigonometrisi integrlej Trigonometriset kvt ovt hyödyllisiä integrlej lskettess. Erityisesti cos 2x = cos 2 x sin 2 x = 2 cos 2 x 1 = 1 2 sin 2 x. Esimerkki Lske sin 2 x dx. Esimerkki Lske sin 2 x cos 2 x dx. Pekk Slmi FUNK 19. lokkuut / 48
11 Osittisintegrointi Tulon derivoimiskvn mukn (fg) (x) = f (x)g(x) + f (x)g (x). Rtkisemll f (x)g(x) j integroimll sdn f (x)g(x) dx = f (x)g(x) f (x)g (x) dx. Esimerkki Lsketn xe x dx. Vlitn f (x) = e x kvn nojll j g(x) = x, jolloin f (x) = e x, g (x) = 1 j yllä olevn xe x dx = xe x 1 e x dx = xe x e x + C. Tätä tekniikk kutsutn osittisintegroinniksi. Pekk Slmi FUNK 19. lokkuut / 48
12 Lisää osittisintegrointi Esimerkki Lske x 2 sin x dx. Esimerkki Lske x 3 e x 2 dx. Pekk Slmi FUNK 19. lokkuut / 48
13 Rtionlifunktion integrointi Esimerkki Lske 1 x 2 dx kun 1 < x < 1. 1 Ei void suorn integroid logritmiksi kosk sisäfunktion derivtt puuttuu. Kirjoitetn 1 x 2 1 = 1 (x + 1)(x 1) = 1/2 x /2 x 1. Nyt 1 1/2 1/2 x 2 1 dx = x + 1 dx + x 1 dx = 1 2 log x log x 1 + C. 2 Pekk Slmi FUNK 19. lokkuut / 48
14 Yleisempiä osmurtohjotelmi Osmurtohjotelm sdn rtkisemll tuntemttomt A j B yhtälöstä cx + d (x x 1 )(x x 2 ) = A + B. x x 1 x x 2 Jos nimittäjässä on kksinkertinen nollkoht, käytetään hjotelm P(x) (x x 1 ) 2 (x x 2 ) = A B + x x 1 (x x 1 ) + C. 2 x x 2 (missä P(x):n ste 2). Jos nimittäjässä on toisen steen joton tekijä, käytetään hjotelm P(x) (x 2 + cx + d)(x x 1 ) = Ax + B x 2 + cx + d + C. x x 1 (missä P(x):n ste 2). Nämä esimerkit yleistyvät luonnollisell tvll. Pekk Slmi FUNK 19. lokkuut / 48
15 Integrli (määrätty) eli merkillä vrustettu pint-l Funktion f (x) integrli välin [, b] yli on funktion f (x) grn j x-kselin välin [, b] väliin jäävä pint-l missä x-kselin yläpuoliset osiot svt merkin + j lpuoliset merkin. f (x) dx = vihreä l ornssi l Pekk Slmi FUNK 19. lokkuut / 48
16 Positiivisen funktion integrlin määritelmän ide Funktion f (x) 0 kuvjn j x-kselin väliin jäävä pint-l määritellään pproksimoimll suorkulmioiden vull (nk. Riemnnin integrli). f (x) f (x) b b Ornssin lueen l nt lrjn integrlille; ornssin j vihreän lueen yhteisl nt ylärjn. Tihentämällä jko sdn trkemmt l- j ylärjt, j jos näillä on yhteinen rj-rvo, niin snotn, että f on integroituv (välillä [, b]). Yhteistä rj-rvo kutsutn f :n integrliksi yli välin [, b] j merkitään f (x) dx. Pekk Slmi FUNK 19. lokkuut / 48
17 Funktion jko positiiviseen j negtiiviseen osn Olkoon f : [, b] R. Määritellään kikill x [, b] jolloin f + f (x) + f (x) (x) = mx{f (x), 0} = 2 f f (x) f (x) (x) = mx{ f (x), 0} = 2 f (x) = f + (x) f (x) j f (x) = f + (x) + f (x). f (x) f (x) f + (x) f (x) Pekk Slmi FUNK 19. lokkuut / 48
18 Integrli kun f ei välttämättä positiivinen Olkoon f : [, b] R. Nyt f (x) = f + (x) f (x) kikill x [, b]. Huom että f + (x) 0 j f (x) 0 kikill x [, b]. Jos f + j f ovt integroituvi, niin snotn että myös f on integroituv j setetn f (x) dx := f + (x) dx f (x) dx. Pekk Slmi FUNK 19. lokkuut / 48
19 Huomutuksi Integrli voi merkitä myös lyhemmin Kun > b, niin määritellään f. f = b f. Tällöin pätee sääntö kikill, b R. f = b f Pekk Slmi FUNK 19. lokkuut / 48
20 Jtkuvt funktiot ovt integroituvi Luse Jos funktio f : [, b] R on rjoitettu j sillä on äärellinen määrä epäjtkuvuuskohti, niin f on integroituv. Seurus Jokinen jtkuv funktio f : [, b] R on integroituv. Pekk Slmi FUNK 19. lokkuut / 48
21 Integrlin linerisuus Integrlin määritelmästä seur, että j ( f (x) + g(x) ) dx = cf (x) dx = c f (x) dx + f (x) dx, kun f j g ovt integroituvi funktioit j c R vkio. g(x) dx Pekk Slmi FUNK 19. lokkuut / 48
22 Integrlifunktion j määrätyn integrlin yhteys 1 Luse (Anlyysin perusluse, versio 1) Olkoon f : [, b] R jtkuv funktio. Funktion f kertymäfunktio on F (x) = x f (t) dt, x [, b]. Tällöin funktio F on jtkuv j F (x) = f (x) kikill x ], b[. F (x) f (x) x x + h F (x + h) F (x) = ornssi l f (x)h (f jtkuv) F (x + h) F (x) = f (x) h = F (x) = f (x) Pekk Slmi FUNK 19. lokkuut / 48
23 Anlyysin perusluseen sovellus Määritellään funktio F : R R settmll F (x) = x 0 e t2 dt, x R. Anlyysin perusluseen nojll F on derivoituv j F (x) = e x 2. Siis funktioll e x 2 on olemss integrlifunktio F, vikk emme oskn esittää sitä lkeisfunktioiden vull. Huomutus Usein logritmifunktio määritellään settmll log x = x 1 1 dt, x > 0, t j sitten eksponenttifunktio määritellään logritmin käänteisfunktion. Pekk Slmi FUNK 19. lokkuut / 48
24 Integrlifunktion j määrätyn integrlin yhteys 2 Luse (Anlyysin perusluse, versio 2) Olkoot f, F : [, b] R sellisi jtkuvi funktioit, että f (x) = F (x) kikill x ], b[. Tällöin f (x) dx = F (b) F (). Jos siis F on funktion f jokin integrlifunktio, niin määrätty integrli voidn lske sijoituksell funktioon F : f = / b F. Pekk Slmi FUNK 19. lokkuut / 48
25 Esimerkkejä Esimerkki Lske 5π/6 sin x 1 π/6 2 dx. Esimerkki Lske 0 1 x x 2 + x 2 dx. Pekk Slmi FUNK 19. lokkuut / 48
26 Positiivisuus Määritelmän mukn f (x) 0 kikill x [, b] = f (x) dx 0. (oletten että f on integroituv). Tästä seur että jos f j g ovt integroituvi, niin f (x) g(x) kikill x [, b] = f (x) dx g(x) dx. Erityisesti jos m f (x) M kikill x [, b], niin m(b ) f (x) dx M(b ). Pekk Slmi FUNK 19. lokkuut / 48
27 Arviointi Lisäksi f (x) dx f (x) dx kosk f (x) f (x) f (x) kikill x [, b] = f (x) dx f (x) dx f (x) dx. Pekk Slmi FUNK 19. lokkuut / 48
28 Arviointiesimerkki Arvioidn integrli 1 e x 2 dx. 0 Nyt x 2 2x 1 (kosk (x 1) 2 0), joten 1 e x 2 dx e 2x 1 dx Toislt 1 e x 2 dx Todellinen rvo on noin e x dx Pekk Slmi FUNK 19. lokkuut / 48
29 Osittisintegrointi määrätylle integrlille Anlyysin perusluseen nojll / b f (x)g(x) = (fg) (x) dx = ( f (x)g(x) + f (x)g (x) ) dx. Tästä sdn osittisintegrointikv määrätylle integrlille: f (x)g(x) dx = / b f (x)g(x) f (x)g (x) dx. Esimerkki Lske π x cos 2 x dx. 0 Pekk Slmi FUNK 19. lokkuut / 48
30 Muuttujnvihto Luse Olkoot g : [, b] R jtkuv funktio, jonk derivtt g : ], b[ R on jtkuv, j f jtkuv funktio, jonk määrityslue sisältää g :n kuvjoukon. Tällöin f ( g(x) ) g (x) dx = g(b) f (u) du. g() Tämä kv on helpoint muist tulkitsemll se muuttujnvihdoksi: u = g(x) du = du dx dx = g (x) dx x : b u : g() g(b) Menetelmä toimii myös määräämättömässä integrliss, jolloin integroimisrjojen uudelleen lskemisen j sijoittmisen sijn tehdään tkisinsijoitus (u x). Pekk Slmi FUNK 19. lokkuut / 48
31 Integrointi sijoittmll Esimerkki Lsketn sin x x dx j π 2 0 sin x x dx. Esimerkki Lsketn 1 sijoituksell x = cos t. 1 1 x 2 dx y x Pekk Slmi FUNK 19. lokkuut / 48
32 Epäoleelliset integrlit Olkoon f : ], b] R sellinen, että f ei ole rjoitettu (pisteen lähellä) mutt c f (x) dx on olemss kikill c >. Esimerkiksi f (x) = 1/ x, = 0. Tällöin määritellään mikäli rj-rvo on olemss. f (x) dx = lim c + c f (x) dx Vstvsti määritellään f (x) dx = lim c b jos b on ongelmkoht (singulriteetti). c f (x) dx Pekk Slmi FUNK 19. lokkuut / 48
33 Esimerkkejä Esimerkki Määrää 1 Esimerkki 0 1 x dx. Määrää x 2 dx. 1 x 1 x 2 1 Pekk Slmi FUNK 19. lokkuut / 48 1
34 Integrli äärettömyyteen Olkoon f : [, [ R sellinen funktio, että R f (x) dx on olemss kikill R >. Tällöin määritellään R f (x) dx = lim f (x) dx R mikäli rj-rvo on olemss. Vstvsti määritellään f = lim R R f j f = lim lim R1 R2 R 2 R1 f. Pekk Slmi FUNK 19. lokkuut / 48
35 Esimerkki Esimerkki Lske e x dx. 0 Pekk Slmi FUNK 19. lokkuut / 48
36 Kompleksiluvut Määritellään imginriyksikkö i settmll i = 1. Toisin snoen päätämme, että meillä on luku i, jok ei ole reliluku mutt on rtkisu yhtälölle x = 0. Kompleksilukujen joukko on C = {x + iy x, y R}. Jokinen kompleksiluku voidn esittää yksikäsitteisesti muodoss x + iy (jos siis z C niin on olemss yksikäsitteiset x j y, joille z = x + iy ). Pekk Slmi FUNK 19. lokkuut / 48
37 Geometrinen tulkint Geometrisesti kompleksiluvut tulkitn tsoksi. Kompleksiluku z = x + iy vst tson piste (x, y). y (x, y) x + iy i 1 i 1 x 2 i Pekk Slmi FUNK 19. lokkuut / 48
38 Kompleksilukujen lskusäännöt Kompleksiluvulle pätevät smt yhteen-, vähennys-, kerto- j jkolskusäännöt kuin reliluvuille, sillä lisäyksellä että i 2 = 1 (mikä seur suorn i:n määritelmästä). Esimerkki (3 2i)( 5 + i) = i Pekk Slmi FUNK 19. lokkuut / 48
39 Reli- j imginriost Olkoon z = x + iy kompleksiluku missä x, y R. Reliluku x kutsutn luvun z reliosksi j merkitään Re z j reliluku y kutsutn luvun z imginriosksi j merkitään Im z. Esimerkki Re(3 + 2i) = 3 j Im(3 + 2i) = 2. Huom että Re z j Im z ovt relilukuj kikill z C. Pekk Slmi FUNK 19. lokkuut / 48
40 Kompleksikonjugtti eli liittoluku Kompleksiluvun z = x + iy kompleksikonjugtti on z = x iy. Toisin snoen Re z = Re z j Im z = Im z. Geometrisesti kompleksikonjugointi z z on peilus x-kselin suhteen. y 1 i2 = 1 + i2 z = x + iy x z = x iy 1 i2 Pekk Slmi FUNK 19. lokkuut / 48
41 Lskusääntöjä Yhtälöiden z = Re z + i Im z z = Re z i Im z nojll Re z = z + z 2 Im z = z z 2 Lisäksi kompleksiluvuille z j w pätee lskusäännöt z + w = z + w z w = z w z = z. Pekk Slmi FUNK 19. lokkuut / 48
42 Polynomin juuret Luse (Algebrn perusluse) Olkoon P(x) = n x n + n 1x n x + 0 n-steinen kompleksikertoiminen polynomi eli 0, 1,..., n C j n 0. Tällöin polynomill P(x) on tekijöihin jko P(x) = n (x z 1 )(x z 2 )... (x z n ) missä z 1, z 2,..., z n ovt P:n juuret (sm luku voi mhdollisesti esiintyä usesti). Huom että erityisesti tämä koskee myös relikertoimisi polynomej. Pekk Slmi FUNK 19. lokkuut / 48
43 Esimerkki Esimerkki x = (x i)(x + i) Esimerkki x 2 2x + 3 = (x 1 + i 2)(x 1 i 2) Pekk Slmi FUNK 19. lokkuut / 48
44 Modulus eli itseisrvo Kompleksiluvun itseisrvo on z = x 2 + y 2, z = x + iy (x, y R). Huom että z on vektorin (x, y) Euklidinen pituus. z = x + iy θ z x y On helppo todet että z 2 = z z. Pekk Slmi FUNK 19. lokkuut / 48
45 Eksponenttifunktio Kompleksiselle eksponenttifunktiolle z e z e iθ = cos θ + i sin θ pätee Eulerin kv: (θ R). Tämän voi tässä ott osksi kompleksisen eksponenttifunktion määritelmää: e z = e x+iy := e x (cos y + i sin y) (z = x + iy C). Kompleksiselle eksponentifunktiolle pätee e z+w = e z e w e z = e z Pekk Slmi FUNK 19. lokkuut / 48
46 Yksikköympyrä kompleksiluvuill i = e iπ/2 e iθ = cos θ + i sin θ 1 = e iπ sin θ 0 θ cos θ 1 = e 0 i = e i3π/2 Pekk Slmi FUNK 19. lokkuut / 48
47 Npkoordintit Kompleksiluvut on usein kätevää esittää npkoordinteiss: Huom, että jos z 0, niin löydetään θ. z = x + iy = z cos θ + i z sin θ = z e iθ z z on yksikköympyrän piste j siten z = x + iy = z e iθ θ z x y Npkoordinttiesitys nt kompleksilukujen tulolle geometrisen tulkinnn: z w = z e iθz w e iθw = ( z w )e i(θz +θw ). Pekk Slmi FUNK 19. lokkuut / 48
48 Trigonometriset kvt Eulerin kvn nojll cos(x + y) + i sin(x + y) = e i(x+y) = e ix e iy = (cos(x) + i sin(x)) (cos(y) + i sin(y)) = cos(x) cos(y) sin(x) sin(y) + i(sin(x) cos(y) + cos(x) sin(y)) jost sdn cos(x + y) = cos(x) cos(y) sin(x) sin(y) sin(x + y) = sin(x) cos(y) + cos(x) sin(y). Vstvsti yhtälöstä e i2x = ( e ix) 2 voi joht kksinkertisten kulmien kvt. Pekk Slmi FUNK 19. lokkuut / 48
6 Integraalilaskentaa
6 Integrlilskent 6. Integrlifunktio Funktion f integrlifunktioksi snotn funktiot F, jonk derivtt on f. Siis F (x) = f (x) määrittelyjoukon jokisell muuttujn rvoll x. Merkitään F(x) = f (x) dx. Integrlifunktion
LisätiedotMS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali
MS-A1{3,4} (ELEC*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 8: Integrlifunktio j epäoleellinen integrli Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos 5.1.216 Pekk Alestlo,
LisätiedotMS-A010{2,3,4,5} (SCI, ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali
MS-A1{2,3,4,5} (SC, ELEC*, ENG*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 8: ntegrlifunktio j epäoleellinen integrli Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos November
Lisätiedota = x 0 < x 1 < x 2 < < x n = b f(x) dx = I. lim f(x k ) x k=1
5 Integrli 5.1 Määritelmä j ominisuudet Olkoon f : [, b] R jtkuv. Muodostetn välin [, b] jko = x 0 < x 1 < x 2 < < x n = b j siihen liittyvä yläsumm S = n M k (x k x k 1 ), M k = mx{f(x) x k 1 x x k },
Lisätiedot1. Derivaatan Testi. Jos funktio f on jatkuva avoimella välillä ]a, b[ ja x 0 ]a, b[ on kriit. tai singul. piste niin. { f (x) > 0, x ]a, x 0 [
1. Derivtn Testi Jos funktio f on jtkuv voimell välillä ], b[ j x 0 ], b[ on kriit. ti singul. piste niin { f (x) < 0, x ], x 0 [ f x (x) > 0, x ]x 0, b[ 0 on lokli minimipiste (1) { f (x) > 0, x ], x
LisätiedotMS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 9: Integroimismenetelmät
MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 9: Integroimismenetelmät Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos 10.10.2016 Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen (Alto-yliopisto,
LisätiedotMS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 9: Integroimismenetelmät
MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 9: Integroimismenetelmät Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos November 27, 2017 Pekk Alestlo,
Lisätiedot5 Epäoleellinen integraali
5 Epäoleellinen integrli 5. Integrlin suppeneminen Olkoon f sellinen välillä [, b[ (ei siis välttämättä pisteessä b) määritelty funktio, että f on Riemnn-integroituv välillä [, ] kikill ], b[ eli on olemss
LisätiedotII.1. Suppeneminen., kun x > 0. Tavallinen lasku
II. EPÄOLEELLISET INTEGRAALIT nt II.. Suppeneminen Esim. Olkoon f() =, kun >. Tvllinen lsku = / =. Kuitenkn tätä integrli ei ole ikisemmss mielessä määritelty, kosk f ei ole rjoitettu välillä [, ] (eikä
LisätiedotKäydään läpi: ääriarvo tarkastelua, L Hospital, integraalia ja sarjoja.
DI mtemtiikn opettjksi: Täydennyskurssi, kevät Luentorunko j hrjoituksi viikolle : ti 9.. klo :-5:, to.. klo 9:5-: j klo 4:5-6: Käydään läpi: äärirvo trkstelu, L Hospitl, integrli j srjoj.. Kerrtn äärirvojen
LisätiedotSisältö. Integraali 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 20
Integrli 10. syyskuut 2005 sivu 1 / 20 Sisältö 1 Määrätty integrli j integrlifunktio 2 1.1 Integroituvist funktioit 3 1.2 Määrätyn integrlin ominisuuksi 4 1.3 Integrlifunktio 5 1.4 Integrlilskennn tärkeimmät
LisätiedotMääritelmä Olkoon C R m yksinkertainen kaari ja γ : [a, b] R m sen yksinkertainen parametriesitys, joka on paloittain C 1 -polku.
Muodostetn vektorikentän kri-integrli yksinkertisen kren tpuksess. Plutetn mieleen, että joukko C R m on yksinkertinen kri, jos löytyy sellinen jtkuv bijektio γ : [, b] C, jok on ploittin C 1 -funktio
LisätiedotMS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 7: Integraali ja analyysin peruslause
MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 7: Integrli j nlyysin perusluse Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos 3.10.2016 Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen
LisätiedotAnalyysin perusteet kauppatieteilijöille 800118P
Anlyysin perusteet kupptieteilijöille 800118P Luentomoniste Kri Myllylä Niin Korteslhti Topi Törmä Oulun yliopisto Mtemttisten tieteiden litos Kevät 2015 Sisältö 1 Derivtt 3 1.1 Määritelmä..............................
LisätiedotNumeeriset menetelmät TIEA381. Luento 9. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 9 () Numeeriset menetelmät / 29
Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 9 Kirsi Vljus Jyväskylän yliopisto Luento 9 () Numeeriset menetelmät 17.4.2013 1 / 29 Luennon 9 sisältö Numeerisest integroinnist Newtonin j Cotesin kvt Luento 9 ()
LisätiedotMS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 7: Integraali ja analyysin peruslause
MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 7: Integrli j nlyysin perusluse Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos November 20, 2017
Lisätiedot4. Reaalifunktioiden määrätty integraali
6 4. Relifunktioiden määrätt integrli Vrsinisesti termi "integrli" tulee seurvss esitettävästä määrätstä integrlist, jok on läheistä suku summmiselle. Yhtes derivttn on sitten perustv ltu olev tulos, jot
LisätiedotVille Turunen: Mat Matematiikan peruskurssi P1 3. välikokeen alueen teoriatiivistelmä 2007
Ville Turunen: Mt-.4 Mtemtiikn peruskurssi P 3. välikokeen lueen teoritiivistelmä 27 Mterili: kirjt [Adms] R. A. Adms: Clculus, complete course (6th edition), [Ly] D. C. Ly: Liner lgebr nd its pplictions
LisätiedotIntegroimistehtävät, 10. syyskuuta 2005, sivu 1 / 29. Perustehtäviä. Tehtävä 1. Osoita, että vakiofunktio f(x) c on Riemann-integroituva välillä
Integroimistehtävät,. syyskuut 5, sivu / 9 Perustehtäviä Tehtävä. Osoit, että vkiofunktio f(x) c on Riemnn-integroituv välillä [, b] j lske suorn määritelmän perusteell b f(x). Tehtävä. Osoit, että funktio,
LisätiedotAnalyysi 2. Harjoituksia lukuihin 1 3 / Kevät Anna sellainen välillä ] 2, 2[ jatkuva ja rajoitettu funktio f, että
Anlyysi Hrjoituksi lukuihin 3 / Kevät 5. Ann sellinen välillä ], [ jtkuv j rjoitettu funktio f, että () sup A m A j inf A min A, (b) sup A m A j inf A = min A, (c) sup A = m A j inf A min A, (d) sup A
LisätiedotViikon aiheet. Pinta-ala
info Viikon iheet Mpu I:sen voit suoritt: Kurssin loppukokeess 23.10. Arvosn: koe + lskrit Mikäli yo. ik ei sovi, voit suoritt loppukokeen yleistenttitilisuudess 24.11. Arvosn: koe + lskrit. Ilmoittudu
Lisätiedot2.4 Pienimmän neliösumman menetelmä
2.4 Pienimmän neliösummn menetelmä Optimointimenetelmiä trvitn usein kokeellisen dtn nlysoinniss. Mittuksiin liittyy virhettä, joten mittus on toistettv useit kertoj. Oletetn, että mittn suurett c j toistetn
Lisätiedot3 Integraali ja derivaatta
3 Integrli j erivtt 3.1 Integrli ylärjns funktion Olkoon funktio f Riemnn-integroituv välin I jokisell suljetull osvälillä j välin I jokin kiinteä luku. Tällöin integrli määrittelee funktion G(): I R,
LisätiedotRiemannin integraali
LUKU 5 iemnnin integrli Tässä luvuss funktion f iemnnin integrli merkitään - b f = - b f() d. Vstvsti funktion f Lebesgue in integrli merkitään f = f() dm(). [,b] [,b] Luse 5.1. Olkoon f : [, b] rjoitettu
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 1 (CHEM) Laskuharjoitus 4 / vko 47, mallivastaukset
Differentili- j integrlilskent (CHEM) Lskuhrjoitus / vko 7, mllivstukset Johdntotehtävä x dx = ln.693, joten rvo ln voidn pproksimoid integroimll numeerisesti funktiot x välillä [,]. Jetn väli [,] khteen
Lisätiedot5 Riemann-integraali ANALYYSI B, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT Ala- ja yläintegraali
ANALYYSI B, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT 9 5 Riemnn-integrli 5. Al- j yläintegrli Voit olett tunnetuksi ll esitetyt supremumin j infimumin ominisuudet (joukot A j B ovt rjoitettuj sekä epätyhjiä j λ R). Jos
LisätiedotMS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1
MS-A0102 Differentili- j integrlilskent 1 Riikk Korte (Pekk Alestlon klvojen pohjlt) Alto-yliopisto 22.11.2016 Sisältö Pint-l Integrli 1.1 Pint-l: Suorkulmio Seurvss trkstelln umpinisten tsokäyrien rjmi
Lisätiedotx k 1 Riemannin summien käyttö integraalin approksimointiin ei ole erityisen tehokasta; jatkuvasti derivoituvalle funktiolle f virhe b
5 Integrlien lskemisest 51 Riemnnin summt [A2], [4, 61] Rjoitetun funktion f : [, b] R Riemnn-integroituvuudelle ytäpitäväksi on kurssill Anlyysi 2 osoitettu, että Riemnnin summill S P := f(ξ k ) ( ),
LisätiedotRiemannin integraalista
Lebesguen integrliin sl. 2007 Ari Lehtonen Riemnnin integrlist Johdnto Tämän luentomonisteen trkoituksen on tutustutt lukij Lebesgue n integrliin j sen perusominisuuksiin mhdollisimmn yksinkertisess tpuksess:
LisätiedotNumeerinen integrointi.
Numeerinen integrointi. Differentili- j integrlilskent 1, syksy 2015 Hrri Vrpnen Mtemtiikn j systeeminlyysin litos Alto-yliopisto Tiisti 6.10.2015 Sisältö Tylor-menetelmä. Käyttökelpoinen silloin, kun
Lisätiedoti 2 n 3 ( (n 1)a (i + 1) 3 = 1 +
I. INTEGRAALILASKENTA Arkhimedes (287 22 e.kr.) prbelin segmentin pint-l Newton (642 727) j Leibniz (646 76) keksivät diff.- j int.-lskennn Cuhy (789 857) ε, δ Riemnn (826 866) Riemnnin integrli Lebesgue
Lisätiedot2 Epäoleellinen integraali
ANALYYSI C, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, SYKSY 8 Epäoleellinen integrli Integrointivihje: Hyödynnä yhdistetyn funktion integrointisääntöä.. Määritä 9 9 (c) ( ). Tutki, millä vkion p rvoill epäoleellinen integrli
Lisätiedot4 Pinta-alasovelluksia
Pint-lsovelluksi. Kuvjn lle jäävä pint-l voidn määrittää, jos kuvj on -kselin yläpuolell. Välillä [, 5] funktion f kuvj on -kselin lpuolell. Peiltn funktion f kuvj -kselin suhteen, jolloin sdn funktion
LisätiedotSARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT Funktiojonot 1
SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 JOUNI PARKKONEN Sisältö 0. Tästä tekstistä. Funktiojonot 0. Tästä tekstistä Tämä moniste on trkoitettu käytettäväksi kurssin Srjt j differentiliyhtälöt luentomterilin.
LisätiedotPinta-alan laskeminen
Pint-ln lskeminen Esimerkki Välillä, jtkuvn, einegtiivisen funktion f määrätt integrli nt suorn pint-ln, eli f = A. INTEGRAALILASKENTA, MAA9 A = f Toislt, jos f on välillä,, eipositiivinen, eli f R, niin
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Mtemtiikn tukikurssi Kurssikert 3 Määrätyn integrlin lskeminen Aiemmin määrittelimme määrätyn integrlin f (x)dx funktion f (x) l- j yläsummien rj-rvon. Määrätyllä integrlill on kksi intuitiivist tulkint:.
LisätiedotIntegraalilaskenta. Määrätty integraali
9..08 Integrlilskent Määräämätön Etsitään funktiot Derivoinnille käänteistoimenpide integroiminen Integrlifunktio F(x), jolle F x = f x, lisäksi integrlifunktioille G x = F x + C. Vkion C lisäys (merkitys),
Lisätiedot7 Funktiosarjoista. 7.1 Funktiosarjojen suppeneminen
7 Funktiosrjoist 7. Funktiosrjojen suppeneminen Seurvksi trkstelln srjoj, joiden termit ovt (lukujen sijst) jollkin välillä I määriteltyjä funktioit. Täsmällisemmin funktiosrjll (ti lyhyemmin srjll) trkoitetn
Lisätiedot2 Riemann-integraali. 2.1 Porrasfunktion integraali. Aloitetaan integraalin täsmällinen määrittely tutkimalla porrasfunktion integraalia.
2 Riemnn-integrli 2.1 Porrsfunktion integrli Aloitetn integrlin täsmällinen määrittely tutkimll porrsfunktion integrli. Määritelmä 2.1 (Porrsfunktion integrli). Olkoon f : [, b] R porrsfunktio j P = {x
LisätiedotMatematiikan tukikurssi. Hannu Kivimäki
Mtemtiikn tukikurssi Hnnu Kivimäki Sisältö I Ensimmäinen välikoe Integrointi 2 Osittisintegrointi 5 3 Osmurtohjotelm 4 Lisää osmurtoj 4 5 Sijoituskeino 9 6 Määrätty integrli 2 7 Ylä- j lsumm 22 8 Määrätyn
Lisätiedot521. 522. 523. 524. 525. 526. 527. 12. Lisää määrätystä integraalista. 12.1. Integraalin arvioimisesta. Osoita: VASTAUS: Osoita: Osoita:
12. Lisää määrätystä integrlist 12.1. Integrlin rvioimisest 521. Osoit: 1 + x 2 22 1 < < 1 + x21 21. 522. Osoit: x 3 < 5 x 6 + 8x + 9 < 15 1 5. 523. Osoit: 2 2 < e x2 x < 2e 2. e 524. Olkoon k >. Osoit:
LisätiedotSyksyn 2015 Pitkän matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut
Sksn 0 Pitkän mtemtiikn YO-kokeen TI-Nspire CAS -rtkisut Tekijät: Olli Krkkulinen Rtkisut on ldittu TI-Nspire CAS -tietokoneohjelmll kättäen Muistiinpnot -sovellust. Kvt j lskut on kirjoitettu Mth -ruutuihin.
LisätiedotPreliminäärikoe Pitkä Matematiikka 5.2.2013
Preliminäärikoe Pitkä Mtemtiikk 5..0 Kokeess s vstt enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä ( * ) merkittyjen tehtävien mksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien mksimipistemäärä on 6.. ) Rtkise yhtälö b)
LisätiedotTEHTÄVÄ 1. Olkoon (f n ) jono jatkuvia funktioita f n : [a, b] R, joka suppenee välillä [a, b] tasaisesti kohti funktiota f : [a, b] R.
Topologi I Hrjoitus 10, rtkisuj AP TEHTÄVÄ 1. Olkoon (f n ) jono jtkuvi funktioit f n : [, b] R, jok suppenee välillä [, b] tsisesti kohti funktiot f : [, b] R. Osoit, että tällöin f n (x) dx f(x) dx.
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Mtemtiikn tukikurssi Kurssikert 4 Tilvuuden j vipn ln lskeminen Kuten iemmin käsittelimme, määrätyn integrlin vull voi lske pintloj j tilvuuksi. Tyypillisenä sovelluksen tilvuuden lskemisest on tpus, joss
LisätiedotReaalinen lukualue. Millainen on luku, jossa on päättymätön ja jaksoton desimaalikehitelmä?
Relinen lukulue POLYNOMIFUNKTIOT JA -YHTÄLÖT, MAA Millinen on luku, joss on päättymätön j jksoton desimlikehitelmä? Onko sellisi? Trkstelln Pythgorn luseest stv yksikköneliön lävistäjää, luku + = x x =.
LisätiedotMatematiikan peruskurssi. Seppo Hassi
Mtemtiikn peruskurssi Seppo Hssi Syksy 2014 iii Esipuhe Tämä on 1. versio Mtemtiikn peruskurssin opetusmonisteest, jonk sisältö noudttelee pitkälti Vsn yliopistoss iemmin luennoimni Mtemttiset menetelmät
Lisätiedot10. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA
MAA0 0. Määrätyn integrlin käyttö eräiden pint-lojen lskemisess 0. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA Edellä on todettu, että f (x)dx nt x-kselin j suorien x =, x = sekä funktion
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Mtemtiikn tukikurssi Kurssikert 5 1 Jtkuvuus Trkstelln funktiot fx) josskin tietyssä pisteessä x 0. Tämä funktio on tässä pisteessä joko jtkuv ti epäjtkuv. Jtkuvuuden ymmärtää prhiten trkstelemll epäjtkuv
LisätiedotKertausta ja täydennystä
LUKU 1 Kertust j täydennystä 1.1. Merkintöjä N = {k Z k 0} = {0, 1, 2,... }, luonnollisten lukujen joukko. Z + = {k Z k > 0} = {1, 2,... }, positiivisten kokonislukujen joukko. (, b) on relikselin voin
LisätiedotKertymäfunktio. Kertymäfunktio. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 2/2. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 1/2. Kertymäfunktio: Esitiedot
TKK (c) Ilkk Mellin (24) 1 Johdtus todennäköisyyslskentn TKK (c) Ilkk Mellin (24) 2 : Mitä opimme? 1/2 Jos stunnisilmiötä hlutn mllint mtemttisesti, on ilmiön tulosvihtoehdot kuvttv numeerisess muodoss.
Lisätiedot5 ( 1 3 )k, c) AB 3AC ja AB AC sekä vektoreiden AB ja
MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Hrjoitustehtäviä syksy 4. Millä reliluvun rvoill ) 9 =, b) + +, e) 5?. Kirjoit Σ-merkkiä käyttäen summt 4, ) + 4 + 6 + +, b) 8 + 4 6 + + n n, c) + + + 4 + + 99, d)
LisätiedotSinin jatkuvuus. Lemma. Seuraus. Seuraus. Kaikilla x, y R, sin x sin y x y. Sini on jatkuva funktio.
Sinin jatkuvuus Lemma Kaikilla x, y R, sin x sin y x y. Seuraus Sini on jatkuva funktio. Seuraus Kosini, tangentti ja kotangentti ovat jatkuvia funktioita. Pekka Salmi FUNK 19. syyskuuta 2016 22 / 53 Yhdistetyn
LisätiedotAnalyysi B. Derivaatta ja integraali. Pertti Koivisto
Anlyysi B Derivtt j integrli Pertti Koivisto Kevät 7 Alkusnt Tämä moniste on trkoitettu oheislukemistoksi Tmpereen yliopistoss pidettävälle kurssille Anlyysi B. Monisteen tvoitteen on tuke luentojen seurmist,
LisätiedotPertti Koivisto. Analyysi B
Pertti Koivisto Anlyysi B TAMPEREEN YLIOPISTO INFORMAATIOTIETEIDEN YKSIKÖN RAPORTTEJA 67/8 TAMPERE 8 TAMPEREEN YLIOPISTO INFORMAATIOTIETEIDEN YKSIKÖN RAPORTTEJA 67/8 JOULUKUU 8 Pertti Koivisto Anlyysi
LisätiedotIntegraalilaskentaa. 1. Mihin integraalilaskentaa tarvitaan? MÄNTÄN LUKIO
Integrlilskent Tämä on lukion oppimterileist hiemn poikkev yksinkertistettu selvitys määrätyn integrlin lskemisest. Kerromme miksi integroidn, mitä integroiminen trkoitt, miten integrli lsketn j miten
LisätiedotJohdatus reaalifunktioihin P, 5op
Johdatus reaalifunktioihin 802161P, 5op Osa 2 Pekka Salmi 1. lokakuuta 2015 Pekka Salmi FUNK 1. lokakuuta 2015 1 / 55 Jatkuvuus ja raja-arvo Tavoitteet: ymmärtää raja-arvon ja jatkuvuuden määritelmät intuitiivisesti
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Mtemtiikn tukikurssi Integrointi Integrointi on derivoinnin käänteistoimitus: jos funktion F(x) derivtt on f (x), niin funktion f (x) integrli on F(x). Täten, kosk esimerkiksi funktion x + e x derivtt
LisätiedotMika Hirvensalo. Insinöörimatematiikka B 2014
Mik Hirvenslo Insinöörimtemtiikk B 4 Sisältö Rj-rvo j jtkuvuus....................................................... 5. Differentili- j integrlilskennn kehityksestä............................. 5. Relilukujen
LisätiedotMS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Yhteenveto, osa II
MS-A7 ifferentili- j integrlilskent (Chem Yhteenveto, os II G. Gripenberg Alto-yliopisto 9. helmikuut 16 G. Gripenberg (Alto-yliopisto MS-A7 ifferentili- j integrlilskent (Chem Yhteenveto, 9. helmikuut
LisätiedotIntegroimistekniikkaa 1/5 Sisältö ESITIEDOT: integraalifunktio, määrätty integraali, derivointisäännöt Hakemisto
Integroimistekniikk /5 Sisältö Sijoitsmenettely Annetn fnktion integrlifnktiot lskettess fnktiot pyritään mntmn siten, että tlos voidn tnnist jonkin lkeisfnktion derivtksi. Usein mntminen jodtn tekemään
LisätiedotLebesguen integraali - Rieszin määritelmä
Lebesguen integrli - Rieszin määritelmä Tru Lehtonen Mtemtiikn pro grdu-tutkielm Jyväskylän yliopisto Mtemtiikn j tilstotieteen litos Kevät 216 Tiivistelmä Jyväskylän Yliopisto Lehtonen, Tru Puliin: Lebesguen
LisätiedotMatemaattiset menetelmät I. Seppo Hassi
Mtemttiset menetelmät I Seppo Hssi Syksy 2011 iii Esipuhe Tämä on 1. versio Mtemttiset menetelmät I-kurssin opetusmonisteest, jok perustuu Vsn yliopistoss luennoimni vstvn nimiseen kurssiin. Sisältö noudtt
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 1: tiivistelmä ja oheislukemista
Differentili- j integrlilskent 1: tiivistelmä j oheislukemist Pekk Alestlo 4. syyskuut 2014 Tähdellä merkityt kohdt on trkoitettu lähinnä oheislukemistoksi. Lisäksi mukn on joitkin lukiot kertvi kohti,
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 12 1 Eksponenttifuntio Palautetaan mieliin, että Neperin luvulle e pätee: e ) n n n ) n n n n n ) n. Tästä määritelmästä seuraa, että eksponenttifunktio e x voidaan
LisätiedotRiemannin integraalista
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro grdu -tutkielm Aij Stenberg Riemnnin integrlist Mtemtiikn j tilstotieteen litos Mtemtiikk Syyskuu 2010 2 Tmpereen yliopisto Mtemtiikn j tilstotieteen litos STENBERG, AIJA: Riemnnin
LisätiedotMatriisilaskenta Luento 10: Polaarimuoto ja kompleksilukujen geometriaa
Matriisilaskenta Luento 10: Polaarimuoto ja kompleksilukujen geometriaa Antti Rasila 2016 Polaarimuoto Kuvasta nähdään: { x = r cos θ, y = r sin θ. Siis z = x + iy = r cos θ + ir sin θ. Saadaan kompleksiluvun
LisätiedotVEKTOREILLA LASKEMINEN
..07 VEKTOREILL LSKEMINEN YHTEENLSKU VEKTORIT, M4 Vektoreiden j summ on vektori +. Tämän summvektorin + lkupiste on vektorin lkupiste j loppupiste vektorin loppupiste, kun vektorin lkupisteenä on vektorin
Lisätiedotfunktion voi tarkistaa derivoimalla. Sijoitusmenettely perustuu ketjusääntöön.
I.6. Sijoitusmenettely A. Integrlifunktiot Integrlifunktiot etsittäessä on sopiv derivoimissääntö luettv tkperin. funktion voi trkist derivoimll. Sijoitusmenettely perustuu ketjusääntöön. Löydetyn 6..
LisätiedotSisältö. Funktiojonot ja -sarjat 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 15
Funktiojonot j -srjt 10. syyskuut 2005 sivu 1 / 15 Sisältö 1 Funktiojonoist 2 2 Funktiosrjoist 5 3 Funktiojonojen j -srjojen derivointi j integrointi 7 4 Potenssisrjt 9 5 Tylorin polynomit j srjt 12 5.1
Lisätiedot5.1. Reaalifunktioiden määräämätön integraali
MAT-3430 Lj mtemtiikk 3 TTY 00 Risto Silvennoinen Luku 5. Integrli 5.. Relifunktioien määräämätön integrli Integrlifunktio Derivoinnin käänteistoimituksen on vstt kysymykseen "Mikä on se funktio, jonk
LisätiedotPertti Koivisto. Analyysi C
Pertti Koivisto Anlyysi C TAMPEREEN YLIOPISTO INFORMAATIOTIETEIDEN YKSIKÖN RAPORTTEJA 68/28 TAMPERE 28 TAMPEREEN YLIOPISTO INFORMAATIOTIETEIDEN YKSIKÖN RAPORTTEJA 68/28 JOULUKUU 28 Pertti Koivisto Anlyysi
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta Eksponenttifuntio Palautetaan mieliin, että Neperin luvulle e pätee: e ) n n n ) n n n n n ) n. Tästä määritelmästä seuraa, että eksponenttifunktio e x voidaan määrittää
Lisätiedotsin θ θ θ r 2 sin 2 θ φ 2 = 0.
Mtemtiikn j tilstotieteen litos Osittisdifferentiliyhtälöt Kevät 21 Hrjoitus 9 Rtkisuj Jussi Mrtin 1. Osoit, että Lplce-yhtälö pllokoordinteiss on 2 u 1 r 2 2 u r r 1 r 2 sin θ u 1 2 u sin θ θ θ r 2 sin
LisätiedotS Fysiikka III (EST), Tentti
S-114.137 Fysiikk III (ES), entti 30.8.006 1. Lämpövoimkone toteutt oheisen kuvn Crnotin prosessi. Koneess on työineen yksi mooli ideliksu. Lske yksitomisen ksun kierroksen ikn tekemän työn suhde kksitomisen
LisätiedotANALYYSI 2. Camilla Hollanti. Tampereen yliopisto x 3. a x 1. x 4 x 11. x 2
ANALYYSI 2 Cmill Hollnti _ M M x x 2 x 3 x 4 x b Tmpereen yliopisto 200 2 Sisältö. Preliminäärejä 3 2. Riemnn-integrli 5 2.. Pint-lt j porrsfunktiot....................... 5 2... Pint-l rj-rvon.......................
LisätiedotLuku 15. Integraali. Esimerkki Suoraan edellisen luvun derivointikaavojen perusteella on voimassa
Luku 5. Integrli Merkitsemme seurvss [, b]:llä lukusuorn suljettu väliä { R : b}. Olkoon f välillä [, b] määritelty funktio. Snomme, että välillä [, b] määritelty funktio g on funktion f integrlifunktio
LisätiedotNumeerinen integrointi
Pitkärnt: Lj mtemtiikk IX9 Numeerinen integrointi IX9 Numeerinen integrointi Numeerisell integroinnill trkoitetn määrätyn integrlin, eli reliluvun I(f,,b) = f(x)dx lskemist numeerisin keinoin (likimäärin)
LisätiedotAnalyysin perusteet kauppatieteilijöille P
Anlyysin perusteet kupptieteilijöille 800118P Luentomoniste Kri Myllylä Niin Korteslhti Topi Törmä Oulun yliopisto Mtemttisten tieteiden litos Kevät 2017 Sisältö 1 Derivtt 3 1.1 Määritelmä..............................
LisätiedotANALYYSI 3. Tero Kilpeläinen
ANALYYSI 3 Tero Kilpeläinen Luentomuistiinpnoj syksyltä 2005 20. lokkuut 2005 Sisältö 1. Esitietoj 2 1.1. Riemnn-integrli............................ 2 1.2. Derivtt................................. 4 1.3.
LisätiedotMATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ PISTEYTYSKOKOUS
0 MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 30 PISTEYTYSKOKOUS 0 ) Sijoitetn x 0 Rtkistn = 0/04,0000 b) Jos neliön sivu on s, niin lävistäjä on s Ehto: s 6 s + s = 6, s 6 3 4s 6,70, joten piiri ) Suorn yhtälö
LisätiedotMatematiikan perusteet taloustieteilijöille 2 800118P
Mtemtiikn perusteet tloustieteilijöille 2 800118P Luentomoniste Kri Myllylä Niin Korteslhti Oulun yliopisto Mtemttisten tieteiden litos Kevät 2014 Sisältö 1 Mtriisilgebr j optimointi 4 11 Määritelmä 4
Lisätiedot11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS
11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS Tilvuus on sen verrn rkielämässä viljelty käsite, että useimmiten sen syvemmin edes miettimättä ymmärretään, mitä juomlsin ti pikkuvuvn kylpymmeen tilvuudell trkoitetn.
LisätiedotMonikulmion pinta-ala ylioppilaille
Solmu 3/9 Monikulmion pint-l lioppilille Mik Koskenoj Mtemtiikn j tilstotieteen litos Helsingin liopisto Tehtävä. Kuusikulmion M kärjet ovt tson pisteissä (, ), (3, ), (, ), (4, 3), (, ) j (, ). Lske M:n
LisätiedotSinilause ja kosinilause
Siniluse j kosiniluse GEOMETRI M3 Mikäli kolmion korkeus j knt tiedetään, voidn pint-l lske. Esimerkki: Lske kolmion l, kun 38 kulmn viereiset sivut ovt 8, j 6,8. Nyt knt tiedetään, korkeutt ei! 38 8,
LisätiedotVEKTOREILLA LASKEMINEN
3..07 VEKTOREILLA LASKEMINEN YHTEENLASKU VEKTORIT, MAA Vektoreiden j summ on vektori +. Tämän summvektorin + lkupiste on vektorin lkupiste j loppupiste vektorin loppupiste, kun vektorin lkupisteenä on
Lisätiedoty = 3x2 y 2 + sin(2x). x = ex y + e y2 y = ex y + 2xye y2
Matematiikan ja tilastotieteen osasto/hy Differentiaaliyhtälöt I Laskuharjoitus 2 mallit Kevät 219 Tehtävä 1. Laske osittaisderivaatat f x = f/x ja f y = f/, kun f = f(x, y) on funktio a) x 2 y 3 + y sin(2x),
LisätiedotMS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus
MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 19.9.2016 Pekka Alestalo, Jarmo
LisätiedotHY, MTO / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIa, syksy 2018 Harjoitus 3 Ratkaisuehdotuksia.
HY, MTO / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIa, syksy 8 Harjoitus Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I. Mitkä seuraavista funktioista F, F, F ja F 4 ovat kertymäfunktioita? Mitkä
LisätiedotToispuoleiset raja-arvot
Toispuoleiset raja-arvot Määritelmä Funktiolla f on oikeanpuoleinen raja-arvo a R pisteessä x 0 mikäli kaikilla ɛ > 0 löytyy sellainen δ > 0 että f (x) a < ɛ aina kun x 0 < x < x 0 + δ; ja vasemmanpuoleinen
Lisätiedot1 Kompleksiluvut. Kompleksiluvut 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 7
Kompleksiluvut 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 7 1 Kompleksiluvut Lukualueiden laajennuksia voi lähestyä polynomiyhtälöiden ratkaisemisen kautta. Yhtälön x+1 = 0 ratkaisemiseksi tarvitaan negatiivisia lukuja.
LisätiedotSarjat ja integraalit
Srjt j integrlit c Mtemttisten tieteiden litos, Oulun yliopisto Versio: 9.3.0 Viimeksi muoknnut: Peter Hästö Sisältö Funktion rj-rvo j jtkuvuus. Peruskäsitteitä........................................
LisätiedotMS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1
MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Riikka Korte (Pekka Alestalon kalvojen pohjalta) Aalto-yliopisto 24.10.2016 Sisältö Derivaatta 1.1 Derivaatta Erilaisia lähestymistapoja: I geometrinen
LisätiedotIntegraalilaskennasta lukiossa ja lukion oppikirjasarjoissa
Integrlilskennst lukioss j lukion oppikirjsrjoiss Mtemtiikn pro grdu -tutkielm Mikko Huttunen Helsingin yliopisto 14. mliskuut 2013 HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY OF HELSINKI Tiedekunt/Ossto
Lisätiedota) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. 8 3 + 4 2 0 = 16 3 = 3 1 3.
Integraalilaskenta. a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. b) Mitä määrätty integraali tietyllä välillä x tarkoittaa? Vihje: * Integraali * Määrätyn integraalin
Lisätiedot1 Määritelmä ja perusominaisuuksia. 2 Laskutoimitukset kompleksiluvuilla. 3 Reaaliluvut ja kompleksiluvut. 4 Kompleksilukujen algebraa
1 ja perusominaisuuksia 2 Laskutoimitukset kompleksiluvuilla 3 Reaaliluvut ja kompleksiluvut Matematiikan peruskurssi KP3 I OSA 1: Johdatus kompleksilukuihin 4 Kompleksilukujen algebraa 5 Kompleksitaso
LisätiedotSeurauksia. Seuraus. Seuraus. Jos asteen n polynomilla P on n erisuurta nollakohtaa x 1, x 2,..., x n, niin P on muotoa
Seurauksia Seuraus Jos asteen n polynomilla P on n erisuurta nollakohtaa x 1, x 2,..., x n, niin P on muotoa P(x) = a n (x x 1 )(x x 2 )... (x x n ). Seuraus Astetta n olevalla polynomilla voi olla enintään
LisätiedotJATKUVUUS. Funktio on jatkuva jos sen kuvaaja voidaan piirtää nostamatta kynää paperista.
JATKUVAT FUNKTIOT JATKUVUUS Jatkuva funktio Epäjatkuva funktio Funktio on jatkuva jos sen kuvaaja voidaan piirtää nostamatta kynää paperista., suomennos Matti Pauna JATKUVUUS Jatkuva funktio Epäjatkuva
LisätiedotMatematiikan johdantokurssi, syksy 2017 Harjoitus 6, ratkaisuista. 1. Onko jokin demojen 5 tehtävän 3 relaatioista
Mtemtiikn johntokurssi, syksy 07 Hrjoitus 6, rtkisuist. Onko jokin emojen 5 tehtävän reltioist ) R := {(, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, )}, ) S := {(, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ),
Lisätiedot