Metriset avaruudet. Erno Kauranen. 1 Versio: 10. lokakuuta 2016, 00:00

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Metriset avaruudet. Erno Kauranen. 1 Versio: 10. lokakuuta 2016, 00:00"

Transkriptio

1 1 Metriset avaruudet Erno Kauranen 1 Versio: 10. lokakuuta 2016, 00:00

2 1. Sisätulo ja normiavaruus Metrinen avaruus Avoimet joukot Jatkuva kuvaus metrisessä avaruudessa Jatkuva kuvaus normiavaruudessa Suljetut joukot Sisä- ulko ja reunapisteet Jonot metrisissä avaruuksissa Täydellisyys Kompaktius Yhtenäisyys Lineaarikuvaukset Sisältö i

3 Johdanto 1 Kurssilla yleistetään mm. seuraavat avaruuden R n ominaisuudet: Bolzanon lause: Olkoon f : [a, b] R jatkuva funktio, missä [a, b] on suljettu väli. Tällöin (1) Funktio f saavuttaa suurimman ja pienimmän arvonsa välillä [a, b] (2) Jos f(t) 0 kaikilla t [a, b], niin funktio f on joko positiivinen tai negatiivinen välillä [a, b] Lause. Olkoon f : X Y kuvaus ja {B J } kokoelma Y :n osajoukkoja ts B j Y j J kaikilla j J. Tällöin f 1 [ B j ] = f 1 [B j ]. j J j J Todistus. x f 1 [ B j ] f(x) B j f(x) B j jollekin j j J j J x f 1 [B j ] jollekin j J x f 1 [B j ]. j J Yhtenäisyyskäsite käydään läpi kappaleessa 14 mikä on tärkeä käsite mm. kompleksianalyysissä. Seuraava tulos on tunnettu kompleksianalyysistä: Lause. Olkoon D C alue (= avoin yhtenäinen joukko). Olkoot f, g : D C analyyttisiä (= derivoituvia) funktioita. Jos on olemassa pallo B(a, r) siten, että f B(a,r) = g B(a,r), niin f(z) = g(z) kaikilla z C.

4 2 Joukko-opin merkintöjä N = {1, 2, 3...} Z = {0, ±1, ±2. ± 3...} Äärellinen joukko #{a 1,..., a n } = n {a} on yksiö {a, b} = {b, a} on kaksio/järjestämätön pari (a, b) on järjestetty pari on tyhjä joukko A B = {(a, b) : a A, b B} Jos toimitaan perusjoukossa X (esim. metrinen avaruus), joukon A X komplementti on A = X \ A De Morganin lait j J A j = j J A j ja j J A j = j J A j Olkoot X ja Y joukkoja. Kuvaus eli funktio f on sääntö, joka liittää jokaiseen x X täsmälleen yhden alkion f(x) Y. Merkitään f : X Y, x f(x) Jos f : X Y ja A X, niin funktion f rajoittuma joukkoon A on f A : A Y, a f(a). Joukon A X kuva kuvauksessa f : X Y on f(a) = f[a] = {f(a) Y : a A}. Joukon B Y alkukuva on Kuvaus f : X Y on f 1 (B) = f 1 [B] = {x X : f(x) B}. injektio, jos joukon X eri pisteillä on eri kuvat ts. f(a) = f(b) a = b surjektio, jos kaikille y Y löytyy x X jolle f(x) = y bijektio, jos se on sekä injektio, että surjektio. Jos f : X Y on bijektio, niin jokaisella y Y on täsmälleen yksi x X, jolle f(x) = Y. Tällöin voidaan määritellä käänteiskuvaus f 1 : Y X, y = f(x) x = f 1 (y). Jos f ei ole bijektio, käänteiskuvaus ei ole määritelty, mutta joukon alkukuva f 1 [B] on hyvin määritelty.

5 3 1. Sisätulo ja normiavaruus Motivaatio: n-uloitteisessa euklidisessa avaruudessa R n = {(x 1, x 2,..., x n ) : x j R} on määritelty kahden vektorin sisätulo (piste/skalaaritulo) ja vektorin normi (pituus) x y = x 1 y 1 + x 2 y x n y n x = x x x 2 n Tarkastellaan yleisiä avaruuksia, joissa on annettu jokin sisätulo/normi, jotka toteuttavat samoja ominaisuuksia kuin R n. Vektoriavaruus Vektoriavaruus on joukko E, jossa on määritelty (a) Summa: Jos x, y E, on määritelty x + y E (b) Skalaarilla kertominen: Jos a R ja x E, niin on määritelty ax E ja joille pätevät seuraavat ominaisuudet i) (x + y) + z = x + (y + z) ii) x + y = y + x iii) On olemassa 0 E : x + 0 = 0 = x iv) Kaikilla x E on olemassa x E : x + ( x) = 0 v) a(bx) = (ab)x vi) a(x + y) = ax + ay vii) (a + b)x = ax + bx Jos E on vektoriavaruus, niin F E on joukon E aliavaruus jos i) x, y F x + y F ii) x F, a R ax F iii) 0 F

6 4 Esimerkkejä vektoriavaruuksista 1) Avaruus R n on vektoriavaruus: x + y = (x 1 + y 1, x 2 + y 2,..., x n + y n ) ax = (ax 1,..., ax n ) 0 = (0, 0,..., 0) 2) Olkoon D epätyhjä joukko. Tällöin funktioavaruus on vektoriavaruus, koska F (D, R) = {f : f : D R on kuvaus} (f + g)(x) = f(x) + g(x) x D (af)(x) = af(x), x D 0 = nollafunktio 3) Rajoitettujen funktioiden avaruus raj(d, R) = {f F (D, R); on olemassa M 0, jolle f(x) M kaikilla x D} on avaruuden F (D, R) aliavaruus. Sisätuloavaruus Olkoon E vektoriavaruus. Kuvaus E E R, (x, y) x y, on sisätulo vektoriavaruudessa E, jos se toteuttaa seuraavat ominaisuudet kaikilla x, y E, a R (S1) x y = y x (S2) (ax) y = a(x y) (S3) (x + y) z = x z + y z (S4) x x 0 (S5) x x = 0 x = 0 2 Sisätuloavaruus on pari (E, ), missä E on vektoriavaruus ja on sisätulo vektoriavaruudessa E. Jos (E, ) on sisätuloavaruus, vektorin x on normi :n suhteen on x = x x 2 Täydellistä sisätuloavaruutta kutsutaan Hilbertin avaruudeksi

7 5 Esimerkkejä 1) Avaruuden R n tavallinen sisätulo x y = x 1 y 1 + x 2 y x n y n on sisätulo (HT) 2) Avaruuden R n ääretönuloitteinen vastine on jonoavaruus l 2 = {(x 1, x 2, x 3,...); x j R, i=1 x 2 j suppenee} Sisätuloavaruus sisätulolla x y = j=1 x jy j on hyvin määritelty Schwarzin epäyhtälön nojalla. 3) C[a, b] sisätulolla f g = b a f(x)g(x)dx Lause 1.1. Jos (E, ) on sisätuloavaruus, niin x y x y kaikilla x, y E. Todistus. Jos x, y E ja t R, niin (HT) 0 x + ty 2 = (x + ty) (x + ty) = x x + x (ty) + (ty) x + (ty) (ty) = x 2 + 2tx y + t 2 y 2. }{{} =f(t) Tässä f(t) on toisen asteen polynomi ja f(t) 0 kaikilla t R. Erityisesti f(t):llä ei voi olla kahta erillistä nollakohtaa (paitsi jos f(t) 0). Funktion f(t) diskriminantista saadaan (2x y) 2 4 x 2 y 2 0 x y x y. Lause 1.2. (Normin ominaisuuksia). Jos (E, ) on sisätuloavaruus, niin (1) x + y x + y (Kolmioepäyhtälö) (2) ax = a x kaikilla a R, x E (3) x = 0 x = 0

8 6 Määritelmä 1.6. Olkoon E vektoriavaruus. Kuvaus E R +, x x on normi E:ssä, jos kaikilla x, y E, a R (N1) x + y x + y (N2) ax = a x (N3) x = 0 x = 0 3 Normiavaruus on pari (E, ), missä E on vektoriavaruus ja on normi E:ssä. Normia merkitään myös x. Lauseesta 1.2 seuraa, että jokainen sisätuloavaruus on normiavaruus. R n :n tavallinen sisätulo määrää avaruuden R n tavallisen eli euklidisen normin x = x x x 2 n Normiavaruuden aliavaruus on normiavaruus. Esimerkkejä ) Olkoon D joukko. Tällöin raj(d, R) on normiavaruus sup-normilla f = sup f(x) x D (N1) f + g = sup f(x) + g(x) f + g x D (N2) Selvä. (N3) f = 0 sup f(x) = 0 f(x) = 0 x D f(x) = 0 x D x D f on nollafunktio 2) Joukon R n erilaisia normeja: x = x x 2 n sisätulosta jos 1 p < niin p-normi x = sup x j = max x j edellisen nojalla 1 j n 1 j n ( n x p = j=1 x p j ) 1 p on normi 3 Täydellistä normiavaruutta kutsutaan Banachin avaruudeksi

9 7 2. Metrinen avaruus Määritelmä 2.1. Olkoon X joukko ja d : X X [0, [. Nyt d on metriikka, jos kaikilla x, y, z X pätee (M1) d(x, z) d(x, y) + d(y, z) (M2) d(x, y) = d(y, x) (M3) d(x, y) = 0 x = y Metrinen avaruus on pari (X, d). Lause 2.1. Jos (E, ) on normiavaruus, niin d(x, y) = x y on metriikka joukossa E. Todistus. Tarkistetaan metriikan ehdot: Selvästi d(x, y) 0 aina ja lisäksi i) d(x, z) = x z = x y + y z x y + y z = d(x, y) + d(x, z) ii) d(x, y) = x y = ( 1)(y x) = y x = d(y, x) iii) d(x, y) = 0 x y = 0 x y = 0 x = y Esimerkkejä ) Normiavaruudet metriikalla d(x, y) = x y R n, d(x, y) = x y 2 = R n, C[a, b], C[a, b], 2 j=1 (x j y j ) 2 d(x, y) = x y p = ( n j=1 (x j y j ) p) 1 p d(f, g) = sup f(x) g(x) x [a,b] d(f, g) = ( b a f(x) g(x) p dx ) 1 p 2) Manhattan metriikka d((x 1, x 2 ), (y 1, y 2 )) = y 1 x 1 + y 2 x 2 3) SNCF- Metriikka

10 Yllä olevassa kuvassa sininen ympyrä kuvaa yksikköpalloa tavallisessa euklidisessa metriikassa. Punainen neliö puolestaan kuvaa yksikköpallon kuorta kun metriikkana on d(x, y) = x 1 y 1 + x 2 y 2. Jos käytetään metriikkaa joka on saatu normista x eli siis jos d((x 1, x 2, ), (y 1, y 2 )) = max{ x 1 x 2, y 1 y 2 }, niin yksikköpallon kuoreksi saadaan kuvan vihreä neliö. Määritelmä 2.2. (Osajoukon metriikka). Jos (X, d) on metrinen avaruus ja A X, niin joukko A metriikalla d A = d A A on metriikan d indusoima metriikka joukossa A. Huomautus 2.5. Sisätuloavaruus on aina normiavaruus Normiavaruus on aina metrinen avaruus Jokainen normiavaruuden osajoukko on metrinen avaruus Kuratowskin upotuslause: Jokainen metrinen avaruus on jonkin normiavaruuden osajoukko Määritelmä 2.3. (Pallot). Olkoon (X, d) metrinen avaruus ja a X. Määritellään avoin pallo, suljettu pallo ja pallopinta seuraavasti

11 9 B(a, r) = {x X : d(x, a) < r} B(a, r) = {x X : d(x, a) r} S(a, r) = {x X : d(x, a) = r} (Avoin pallo) (Suljettu pallo) (Pallopinta) Esimerkkejä ) Jos X = R 2 ja d(x, y) = x 1 y 1 + x 2 y 2, niin tällöin origokeskinen r-säteinen pallopinta on S(0, r) = {x R 2 : x 1 + x 2 = r} 2) Jos joukko X on varustettu {0, 1}- metriikalla, niin a-keskinen avoin pallo joukossa X on B(a, r) = { {a}, jos r 1 X, jos r > 1 Määritelmä 2.9 (Joukkojen välinen etäisyys). Olkoon (X, d) metrinen avaruus ja A X, B X. Tällöin joukkojen A ja B välinen etäisyys on d(a, B) = inf{d(a, b) : a A, b B}. Esimerkiksi siis d([0, 1], [2, 3]) = 1. Jos A B, niin d(a, B) = 0. Lause 2.4. Olkoon (X, d) metrinen avaruus, A X. Jos x, y X, niin Erityisesti d(x, A) d(y, A) < d(x, y).. d(x, z) d(y, z) d(x, y) kaikilla y, z X Määritelmä (Joukon läpimitta, halkaisija eng. diameter). Jos A X, niin joukon A läpimitta on Lause Jos d on metriikka, niin d(a) = sup{d(x, y) : x A, y A}. d(b(a, r)) d( B(a, r)) 2r

12 10 jos lisäksi X on normiavaruus, niin d(b(a, r)) = d( B(a, r)) = 2r. Todistus. Jos x, y B(a, r) d(x, y) d(x, a) + d(a, y) r + r = 2r. Jos X on normiavaruus ja v X, v 0 niin merkitään e = v ja asetetaan x = a + te, missä v a < t < r. Jos y = a te, niin x, y B(a, r) ja d(x, y) = x y = 2t e = 2t, joten Aiemmilla kursseilla: R:n avoin väli ]a, b[ sup{d(x, y) : x, y B(a, r)} = 2r. 3. Avoimet joukot Joukko A R n on avoin joukko jos ja vain jos se ei sisällä yhtään reunapistettään Määritelmä 3.1. Joukko U X on avoin avaruudessa (X, d) jos kaikilla x U on olemassa r > 0 siten, että B(x, r) U. Merkitään avointa osajoukkoa symbolilla (o=open). Tyhjä joukko on aina avoin joukko. Lause 3.2. Avoin pallo B(a, r) on aina avoin joukko. Todistus. Olkoon x B(a, r). Merkitään s = d(a, x) < r ja t = r s > 0. Nyt y B(x, t) d(y, a) d(y, x) + d(x, a) < t + s = r joten B(x, t) B(a, r). Esimerkkejä ) Aina X ja X X 2) Avoimet pallot joukossa R n ja avoimet välit joukossa R 3) Suljetut välit [a, b] tai puoliavoimet välit [a, b[ eivät ole avoimia R:ssä Lause 3.4. Avoimien joukkojen mielivaltainen yhdiste on avoin. Todistus. Olkoon { j } j J perhe X:n avoimia joukkoja ja olkoon V = Nyt koska x V niin x U j jollekin j J. Siispä on olemassa B(x, r) siten, että B(X, d) U j jollekin j. Avoimien joukkojen mielivaltainen leikkaus ei ole välttämättä avoin: ] 1, [ 1 j j = {0}. j=1 j J U j.

13 Lause 3.5. Avoimien joukkojen äärellinen leikkaus on avoin. Todistus. Olkoon 1,..., k avoimia joukkoja X:ssä. Merkitään V = k U j. Nyt jos x V, niin x U j kaikilla j = 1,..., k. Merkitään r = min{r 1,..., r k }. Tällöin B(x, r) B(x, r j ) U j kaikilla j = 1,..., k eli B(x, r) V. Määritelmä 3.6. Metrisen avaruuden (X, d) avoimien joukkojen kokoelmaa merkitään T = {U X : U on avoin} T d on avaruuden (X, d) topologia. Se toteuttaa seuraavat ehdot: (T1) Sisältää jäsentensä mielivaltaiset yhdisteet (T2) Sisältää jäsentensä äärelliset leikkaukset j=1 11 (T3) T d ja X T d Määritelmä 3.8. Pisteen a X ympäristö on mikä tahansa avoin joukko U X, joka sisältää pisteen a. Lause Metrisen avaruuden erillisillä pisteillä on eri ympäristöt. Todistus. Olkoot a, b X a b. Merkitään r = d(a, b) > 0. Tällöin B( r, a) ja B( r, b) 3 3 ovat erilliset ympäristöt, sillä jos x B( r, a) B( r 2r, b) d(x, a)+d(x, b) <, mikä on ristiriita. Määritelmä 3.3. Olkoon A X. Piste x A on joukon erakkopiste jos löytyy x- ympäristö V jolle V A = {x}. Joukko A on diskreetti, jos kaikki sen pisteet ovat erakkopisteitä.

14 12 4. Jatkuva kuvaus metrisessä avaruudessa Määritelmä 4.1. Kuvaus f : X Y on pisteessä a X, jos kaikilla ε > 0 on olemassa δ > 0, x X siten, että d(x, a) < δ d(f(x), f(a)) < ε. Huomautus 4.3. Jos A X ja f : A Y, niin funktion f jatkuvuus määritellään kuvauksen f : (A, d) (Y, d ) jatkuvuutena. Lause 4.4. Olkoot (X, d) ja (Y, d ) metrisiä avaruuksia. Kuvaus f : X Y on Lipschitz (M-Lipschitz) jatkuva, jos on olemassa M 0 siten, että kaikilla x, y X pätee d (f(x), f(y)) Md(x, y). Esimerkiksi vakiokuvaus on 0-Lipschitz, inkluusiokuvaus 1-Lipschitz jatkuva.

15 13 5. Jatkuva kuvaus normiavaruudessa Määritelmä 5.1. Olkoot f, g : X E kuvauksia. Määritellään summakuvaus ja tulokuvaus seuraavasti f + g : X E, (f + g)(x) = f(x) + g(x) αf : X E, (αf)(x) = α(x)f(x) Lause 5.2. Jos f ja g ovat jatkuvia funktioita niin summakuvaus f + g on jatkuva. Todistus. Helppo. Lause 5.3. Jos α ja f ovat jatkuvia funktioita niin tulokuvaus αf on jatkuva. Todistus. Helppo. Lause 5.4. Kuvaus f : X R n on jatkuva jos ja vain jos sen komponenttifunktiot f j ovat jatkuvia. Todistus. Olkoon ε > 0. Tällöin on olemassa δ > 0 siten, että Toisaalta, koska x x 0 < δ f(x) f(x 0 ) < ε kaikilla x 0 X f j (x) f j (x 0 ) f(x) f(x 0 ) < ε kun valitaan sama δ > 0. Siispä jokainen komponenttifunktio f j (x) on jatkuva. = Jos jokainen komponenttifunktio jatkuva, jokaiselle f j (x) on olemassa δ j siten, että x x 0 < δ j f j (x) f j (x 0 ) < Valitaan δ =min{δ 1,..., δ k }. Tällöin jos x x 0 < δ, niin j=1 j=1 ε k ( k ) 1 ( f(x) f(x 0 ) = (f j (x) f j (x 0 )) 2 2 k ( ) 2 ) 1 ε 2 = ε. k Huomautus. f j = f e j, missä {e 1,.., e n } on avaruuden R n standardikanta. Vastaava jatkuvuustulos ei päde yleisessä sisätuloavaruudessa.

16 14 Suljettu väli [a, b] R 6. Suljetut joukot Joukko A R n on suljettu A A Määritelmä 6.1. Joukko F X on suljettu joukossa X jos joukko F = X \ F on avoin. Huomautus. Käsitteet avoin ja suljettu eivät ole toistensa vastakohtia. Esimerkiksi puoliavoin väli ja rationaalilukujen joukko R:ssä ovat esimerkkejä joukoista, jotka eivät ole suljettuja eikä avoimia. Esimerkkejä ) Jos X on varustettu {0, 1}- metriikalla, niin kaikki pisteet ovat avoimia joukkoja. jokainen A X on avoin jokainen A X on suljettu 2) Suljettu pallo on aina suljettu joukko B(a, r) = {x X : d(x, a) > r} = d { 1}[ ]r, [ ] 3) Erityisesti [a, b] on suljettu joukko, sekä ], a] ja [b, [ ovat suljettuja joukkoja. 4) Joukko { 1 n : n N} ei ole suljettu, mutta joukko { 1 n : n N} {0} on suljettu. Lause 6.9 (Sulkeuman perusominaisuuksia). Olkoot A, B X. Tällöin i) A Ā ii) Ā on aina suljettu joukko iii) A B X, B suljettu Ā B iv) Ā on pienin suljettu joukko, joka sisältää joukon A v) A B Ā B vi) A on suljettu Ā = A vii) Ā = Ā viii) A B = Ā B ix) A B Ā B Lause 6.1. Olkoon A R, A ylhäältä rajoitettu joukko. Tällöin sup A Ā. Jos A on suljettu, niin sup A A ts. sup A = max A. Todistus. Sivuutetaan. Lause 6.2. Jos A X epätyhjä joukko, niin Ā = {x X : d(x, A) = 0}.

17 15 Todistus. Sivuutetaan. Lause 6.3. Kuvaus f : X Y on jatkuva jos ja vain jos jokaisen suljetun joukon F Y alkukuva on suljettu. Todistus. Sivuutetaan. Lause 6.4. Olkoot A, B X suljettuja erillisiä joukkoja. Tällöin on olemassa jatkuva kuvaus f : X [0, 1]. jolle f(x) = 1 kaikilla x A ja f(x) = 0 kaikilla x B. Todistus. Sivuutetaan. Lause 6.5. Joukko A on suljettu jos ja vain jos joukko A sisältää kaikki kasaantumispisteensä. Todistus. Sivuutetaan.

18 16 8. Sisä- ulko ja reunapisteet Määritelmä 8.1. Olkoon (M, d) metrinen avaruus ja A X. Jaetaan joukon X pisteet kolmeen erilliseen joukkoon: piste x X on joukon A (1) Sisäpiste, jos pisteellä x on ympäristö U A (2) Ulkopiste, jos pisteellä x on ympäristö U A (3) Reunapiste, jos piste x ei ole sisäpiste eikä ulkopiste Huomautus. Piste x on joukon A reunapiste jos ja vain jos jokainen pisteen x ympäristö leikkaa joukkoa A sekä joukkoa A. Merkitään (1) inta = {x X : x on joukon A sisäpiste} (interior point) (2) exta = {x X : x on joukon A ulkopiste} (exterior point) (3) A = {x X : x on joukon A reunapiste} (boundary point) Lause 8.3. i) Aina inta A ja exta A ii) A on avoin A = inta, ext A = A ja inta = exta \ A iii) exta = Ā ja Ā = A A iv) Ā Ā = Ā \ inta, ja A on suljettu joukko v) A = A vi) A on avoin A = Ā \ A vii) inta on joukon X suurin avoin osajoukko, joka sisältyy joukkoon A Esimerkki 8.4 (Tulossa..)

19 Jonot metrisissä avaruuksissa Määritelmä 11.1 Olkoon D joukko. Jono on kuvaus x : N D, merkitään x(n) = x n. Jonoa x merkitään (x n ) n=1, (x n ), tai (x 1, x 2, x 3...). Huomautus. Jono x n on eri asia kuin joukon D osajoukko. Määritelmä Olkoon (X, d) metrinen avaruus ja x n jono joukossa X. Jono (x n ) suppenee kohti pistettä a X, jos jokaiselle pisteen a ympäristölle U on olemassa n 0 N jolle x n U kun n n 0. Merkitään x n a (kun n ) tai lim n x n = a, missä a on jonon (x n ) raja-arvo. Lause Olkoon (X, d) metrinen avaruus ja (x n ) joukon X jono. Tällöin seuraavat ovat yhtäpitäviä: (1) x n a (2) Jos U on pisteen a ympäristö niin x n U vain äärellisen monella n N (3) Kaikilla ε > 0 on olemassa n 0 N siten, että d(x n, a) < ε kun n n 0 (4) d(x n, a) a Todistus. Sivuutetaan. Lause Metrisen avaruuden jonolla on korkeintaan yksi raja-arvo. Todistus. Olkoon (x n ) jono, x n a, x n b. Jos a b, niin Lauseen nojalla pisteillä a ja b on olemassa erilliset ympäristöt U ja V. Koska x n a ja x n b, on olemassa n 1, n 2 N joille x n U kun n n 1 ja x n V kun n n 2. Jos k = max{n 1, n 2 }, niin x k U V =. Tämä on ristiriita, joten a = b. Lause Olkoon A X, a X. Tällöin a Ā jos ja vain jos on olemassa joukon A jono (x n ), jolle x n a. Seuraus Joukko A X on suljettu jos ja vain jos A sisältää kaikkien suppenevien jonojensa raja-arvot. Todistus Olkoon a Ā. Tällöin kaikilla n N on olemassa x n A B(a, 1 n ). Nyt d(x m, a) < 1 n joten d(x n, a) 0. Siis (x n ) on joukon A jono ja x n a. = Olkoon (x n ) joukon A jono, x n a. Jos U on pisteen a ympäristö, on olemassa n 0 N siten, että x n U kun n n 0. Jokainen pisteen a ympäristö leikkaa siis joukkoa A joten a Ā. Lause Olkoon f : X Y kuvaus, a X. Tällöin funktio f on jatkuva pisteessä a jos ja vain jos f(x n ) f(a) kaikille joukon X jonoille, joille x n 0. Todistus. Sivuutetaan.

20 18 Määritelmä Piste a X on jonon (x n ) kasautumisarvo (accumulation point); jos kaikille pisteen a ympäristöille U, x n U äärettömän monella indeksillä n N. Huomautus Jonolla x n = (2, 3, 4, 5... ) ei ole yhtään kasautumisarvoa. Jos x n a, niin a on ainoa kasautumisarvo. Jos x n = (2, 1/2, 3, 1/3... ) niin kasautumisarvo on 0. Jos (x n ) on joukon X jono ja A = {x n : n N}, joukon A kasautumispisteet ovat jonon (x n ) kasautumisarvoja mutta kasautumisarvot eivät välttämättä ole kasautumispisteitä. Lause Piste a on jonon (x n ) kasautumisarvo jos ja vain jos jonolla (x n ) on osajono (y k ), jolle y k a. Todistus. Jos a on kasautumisarvo, valitaan x n1, x n2.. siten, että x n1 B(a, 1) x n2 B(a, 1 2 ),..., x n k B(a, 1 k ). Nyt osajono (x nk ) suppenee pisteeseen a = Jos (y k ) on osajono jolle y k a. Nyt y k = x nk, n 1 < n 2 < n 3 <.. joten y k = x nk U äärettömän monella k N kaikille pisteen a ympäristöille U. Siispä a on kasautumisarvo. Määritelmä Olkoon D joukko, f j : D X kuvauksia j N, ja (X, d) metrinen avaruus. Jono (f j ) suppenee kohti funktiota f pisteittäin, jos kaikilla x D lim f j(x) = f(x). j Jono (f j ) suppenee kohti funktiota f tasaisesti, jos lim sup d(f j (x), f(x)) = 0. j x D Lause Olkoot (X, d) ja (Y, d ) metrisiä avaruuksia ja f n : X Y jatkuvia funktioita. Tällöin jos f n f tasaisesti niin f on jatkuva. Todistus. Osoitetaan, että f on jatkuva. Valitaan a X ja ε > 0. Halutaan pisteen a ympäristö U jolle d (f(x), f(a)) < ε aina kun x U. Koska f n f tasaisesti niin on olemassa n 0 N siten, että kun n n 0. Koska f n0 U jolle kun x U. Nyt jos x U, niin sup d (f n (x), f(x)) < ε x X 3 on jatkuva pisteessä a, niin on olemassa pisteen a ympäristö d (f n0 (x), f n0 (a)) < ε 3

21 19 d (f(x), f(a)) d (f(x), f n0 (x)) + d (f n0 (x), f(a)) d (f(x), f n0 (x)) + d (f n0 (x), f n0 (a)) + d (f n0 (a), f(a)) < ε 3 + ε 3 + ε 3 = ε. Määritelmä Olkoot (X, d) ja (Y, d ) metrisiä avaruuksia, A X, f : A Y kuvaus. Jos a Ā, niin kuvauksella f on pisteessä a raja-arvo, merkitään b = lim f(x) = lim f(x) x a,x A x a jos kaikille pisteen b ympäristöille V on olemassa pisteen a ympäristö U, jolle f[u A] V. Huomautus lim f(x) = b x a ε > 0 δ > 0 : f(x) b < ε, kun 0 < x a < δ. Lause Olkoon f : X Y kuvaus, a X. Tällöin seuraavat ovat yhtäpitäviä (1) Funktio f on jatkuva pisteessä a (2) lim f(x) = f(a) x a,x X (3) lim f(x) on olemassa x a,x X Todistus. Todistetaan, että (3) (2). Olkoon B = lim x a,x X f(x). Nyt kaikille pisteen b ympäristöille V on olemassa ympäristö U jolle f[u] V. Siis f(a) V kaikille pisteen b ympäristöille V. Nyt f(a) = b, sillä jos olisi f(a) b, niin pisteellä f(a) ja b olisi erilliset ympäristöt. 12. Täydellisyys Täydellisyysaksiooma Jos A R on ylhäältä rajoitettu joukko niin on olemassa sup A R Määritelmä Metrisen avaruuden (X, d) jono (x n ) on Cauchy-jono, jos kaikilla ε > 0 on olemassa n 0 N, siten, että d(x n, x k ) < ε aina kun n, k 0. Lause Olkoon (x n ) jono joukossa X ja A n = {x j : j n} jonon häntää vastaava joukko. Tällöin jono (x n ) on Cauchy-jono jos ja vain jos d(a n ) 0, kun n. Todistus. HT Lause Suppeneva jono on Cauchy-jono. Todistus. Olkoon (x n ) jono jonka raja-arvo on a. Jos ε > 0, on olemassa n 0 jolle d(x n, a) < ε 2 kun n n 0. Nyt jos n, k n 0, niin d(x n, x k ) d(x n, a) + d(a, x k ) < ε 2 + ε 2 = ε.

22 20 Cauchy-jono ei välttämättä suppene: Jos X = R\{0} ja x n = (1/n), niin x n 0 joukossa R, joten jono (x n ) on Cauchy-jono joukossa R ja myös joukossa X. Kuitenkaan (x n ) ei suppene joukossa X. Määritelmä Metrinen avaruus (X, d) on täydellinen, jos kaikki sen Cauchyjonot suppenevat. Lause Joukko R n on täydellinen. Todistus. Olkoon (x (k) ) k=1 joukon Rn Cauchy-jono. Kirjoitetaan x (k) = (x (k) 1,..., x n (k) ), missä (x (k) j ovat jonoja joukossa R ja 1 j n. Kiinnitetään j {1,..., n}. Nyt ) k=1 x (k) j x (l) j x (k) x (l). Nyt kaikille ε > 0 on olemassa n 0 N jolle x (k) x (l) < ε, kun l, k n 0. Siispä (x (k) j ) k=1 on Cauchy-jono joukossa R eli x(k) j a j kun k. Siispä x (k) (a 1,..., a n ). Lause Olkoon (X, d) täydellinen metrinen avaruus. Tällöin A X on täydellinen jos ja vain jos A on suljettu joukossa X. Todistus. = HT = Jos A on suljettu joukko ja olkoon (x n ) Cauchy-jono joukossa A. Koska X on täydellinen niin on olemassa x X jolle x n x. Tällöin Lauseen nojalla x Ā eli erityisesti x A. Siispä joukon A Cauchy-jonot suppenevat joukossa A. Määritelmä Olkoot (X, d) ja (Y, d ) metrisiä avaruuksia. Kuvaus f : X Y on kontraktio (kutistus), jos on olemassa q [0, 1[ siten, että d (f(x), f(y)) qd(x, y), kaikilla x, y X. Esimerkki. Funktio f : R R, f(x) = x 2 on kontraktio. Lause (Banachin kiintopistelause). Jos (X, d) on täydellinen metrinen avaruus ja f : X X on kontraktio, niin tällöin funktiolla f on yksikäsitteinen kiintopiste. Todistus. Olkoon x 0 X ja x 1 = f(x 0 ), x 2 = f(x 1 ) = f(f(x 0 )),..., x n+1 = f(x n ). Osoitetaan, että (x n ) on Cauchy-jono. Nyt d(x n, x n+1 ) = d(f(x n 1, f(x n )) qd(x n 1, x n ) q 2 d(x n 2, x n 1 ) q n d(x 0, x 1 ) Jos k > n 1, niin d(x n, x k ) d(x n, x n+1 )+d(x n+1, x k )... d(x n, x n+1 )+d(x n+1, x n+2 )+...+d(x k 1, x k )

23 ( k ) ( k n ) q n q j d(x 0, x 1 ) q n q j d(x 0, x 1 ) q n 1 1 q d(x 0, x 1 ). j=n j=1 Koska q < 1, niin kaikilla ε > 0 on olemassa n 0 N siten, että d(x n, x k ) < ε kun n, k n 0. Koska jono (x n ) on Cauchy-jono, niin täydellisyydestä seuraa, että x n a jollekin a X. Toisaalta koska f on jatkuva kuvaus niin f(x n ) f(a). Koska f(x n ) = x n+1 a niin raja-arvon yksikäsitteisyydestä seuraa, että f(a) = a. Esimerkki. Ratkaistaan yhtälö cos x = x, x [0, 1]. Väliarvolauseen nojalla 21 f(x) f(y) = f (c)(x y) sin c x y q x y, kaikilla x, y [0, 1] missä q = sin c < 1. Nyt X = [0, 1] on täydellinen, joten f : X X, f(x) = cos x on kontraktio. Tällöin Banachin kiintopistelauseen nojalla on olemassa yksikäsitteinen kiintopiste x [0, 1], jolle cos x = x. 2. y = x y = cos x Huomautus. Banachin kiintopistelausetta käytetään mm. implisiittifunktiolauseessa, käänteiskuvaus- lauseessa ja differentiaaliyhtälöiden OY-lauseessa. Lause Jokaisella reaalilukujonolla on monotoninen (nouseva/laskeva) osajono. Todistus. Olkoon (x n ) jono joukossa R. Olkoon A = {n N : x j x n kaikilla j n + 1} Jos A sisältää äärettömän monta pistettä, niin kirjoitetaan A = {n 1, n 2, n 3,..} missä n 1 < n 2 <... Nyt x n1, x n2 x n3... ja (x nk ) on nouseva osajono. Jos joukko A on äärellinen, valitaan m N, jolle A [1, m], Nyt kaikilla n > m on olemassa n > n jolle x n < x n. Valitaan n 1 = m + 1, n 2 = n 1, n 3 = n 2,..., n k+1 = n k. Nyt (x n k ) on laskeva osajono.

24 22 Lause (Bolzano-Weierstrass). Rajoitetulla joukon R jonolla on olemassa suppeneva osajono. Todistus. Olkoon (x n ) rajoitettu jono joukossa R. Tällöin Lauseen nojalla on olemassa monotoninen osajono (x nk ). Jos (x nk ) on nouseva, niin x n1 x n2 x n3... x nk M kaikilla k N. Jos A = {x n1, x n2,...}, niin A on ylhäältä rajoitettu, joten täydellisyysaksiooman nojalla on olemassa x = sup A. Siispä kaikilla ε > 0 on olemassa x nk A, jolle x ε < x nk x Nyt x nk x, kun k. Jos (x nk ) on laskeva, niin tehdään sama tarkastelu jonolle ( x nk ) Lause Jokainen Cauchy-jono joukossa R suppenee. Todistus. Olkoon (x n ) Cauchy-jono. Tällöin se on rajoitettu jono joten Lauseen nojalla sillä on olemassa suppeneva osajono (x nk ), jolle x nk x. Olkoon ε > 0. Nyt on olemassa N 1 N siten, että Toisaalta on olemassa N 2 N siten että x nk x < ε 2 kun n k N 1 x n x m < ε 2 kun n, m N 2 Olkoon N = max {N 1, N 2 } ja k 0 siten, että n k0 N. Nyt jos n N, niin x n x x n x nk0 + x nk0 x < ε 2 + ε 2 = ε. Siis x n x.

25 23 Aiemmilla kursseilla 13. Kompaktius Joukko A R n on kompakti, jos se on suljettu ja rajoitettu Jos K R n on kompakti ja f : K R jatkuva, niin f saavuttaa suurimman ja pienimmän arvonsa joukossa K ja f on tasaisesti jatkuva Metrisen avaruuden (X, d) osajoukko A on kompakti, jos se on täydellinen ja täysin rajoitettu. Yhtäpitävästi joukko A on kompakti jos ja vain jos jokaisella joukon A jonolla on suppeneva osajono. Edelleen yhtäpitävästi A on kompakti jos ja vain jos jokaisella joukon A avoimella peitteellä on äärellinen osapeite. Määritelmä Metrinen avaruus (X, d) on kompakti jos jokaisella joukon X jonolla on jokin suppeneva osajono. Joukko A X on kompakti jos (A, d A ) on kompakti ts. jokaisella joukon A jonolla on suppeneva osajono joukossa A. Esimerkki ) Äärellinen joukko {a 1,..., a n } on aina kompakti, sillä jokaisella jonolla on osajono muotoa (a j, a j, a j,...) joka suppenee. Joukko R ei ole kompakti, sillä jonolla (1, 2, 3, 4...) ei ole kasautumisarvoa eikä siis suppenevaa osajonoa. 3) Avoin väli ]0, 1[ ei ole kompakti, sillä jonolla ( 1, 1, 1...) ei ole kasautumisarvoa joukossa ]0, 1[. 4) Suljettu väli [a, b] on kompakti Lauseen nojalla Lause Olkoon (X, d) metrinen avaruus ja A X kompakti. Tällöin A on suljettu. Todistus. Olkoon A X kompakti ja b Ā. Lauseesta seuraa, että on olemassa joukon A jono (x n ), jolle x n b joukossa X. Koska A on kompakti niin on olemassa osajono (x nk ) jolle x nk a, joukossa A. Toisaalta x nk b, joten b = a A Lause Olkoon X kompakti joukko ja A X suljettu joukko. Tällöin A on kompakti. Todistus. Olkoon (x n ) mielivaltainen jono joukossa A. Koska X on kompakti niin on olemassa osajono (x nk ) jolle x nk x. Nyt (x nk ) on joukon A jono. Nyt Lauseen nojalla x A = Ā. Siis jono (x n k ) suppenee joukossa A. Lause Olkoon X kompakti joukko. Tällöin A X on kompakti jos ja vain jos A on suljettu. Todistus. Sivuutetaan. Huomautus Suljettuus on relatiivinen käsite (A on suljettu joukossa X), kompaktius on absoluuttinen käsite (ei riipu ulkoavaruudesta).

26 24 Lause Joukko A R n on kompakti jos ja vain jos A on suljettu ja rajoitettu. Todistus. Sivuutetaan. Esimerkki Suljettu pallo ja pallopinta ovat kompakteja joukkoja joukossa R n. Lause Jos X on kompakti joukko ja A X on ääretön niin tällöin joukolla A on kasautumispiste. Todistus. Sivuutetaan. Lause Olkoon f : X Y jatkuva ja A X kompakti. Tällöin f[a] on kompakti. Todistus. Olkoon (y n ) jono joukossa f[a]. Nyt y n = f(x n ) jollekin x n A. Koska joukko A on kompakti, niin on olemassa suppeneva osajono x nk x A. Nyt funktion f jatkuvuuden nojalla f(x nk ) f(x). Siis (y nk ) = (f(x nk )) on jonon (y n ) suppeneva osajono. Lause Olkoon f : X R jatkuva, A X kompakti ja epätyhjä. Tällöin f A saavuttaa suurimman ja pienimmän arvonsa joukossa A. Todistus. Sivuutetaan. Lause Olkoot A, B X erillisiä joukkoja, A kompakti, B suljettu. Tällöin jollakin a A pätee d(a, B) = d(a, B). Lisäksi d(a, B) > 0. Todistus. Sivuutetaan. Lause Olkoon f : X Y jatkuva bijektio ja X kompakti joukko. Tällöin f 1 on jatkuva. Todistus. Sivuutetaan. Huomautus. Oletus joukon X kompaktisuudesta Lauseessa on oleellinen: Olkoon f : R R, f(x) = x ja avaruus X = R varustettuna {0, 1}-metriikalla. Tällöin f on selvästi jatkuva ja jokainen sen alkukuva on avoin. Toisaalta käänteisfunktion yksiöiden alkukuvat ovat yksiöitä, jotka ovat avoimia {0, 1}-metriikan suhteen, joten käänteisfunktio f 1 ei ole jatkuva. Lause Kompakti metrinen avaruus on täydellinen. Todistus. Sama kuin joukossa R.

27 Yhtenäisyys Määritelmä Metrinen avaruus (X, d) on epäyhtenäinen, jos on olemassa joukot A, B X joille (1) A, B (2) Joukot A ja B ovat avoimia joukossa X (3) A B = (4) A B = X Muuten (X, d) on yhtenäinen. Metrinen avaruus (X, d) on siis yhtenäinen, jos sitä ei voida esittää kahden erillisen epätyhjän avoimen joukon yhdisteenä. Jos A X, niin A on yhtenäinen jos (X, d) on yhtenäinen. Esimerkki Yhden alkion joukot ovat yhtenäisiä. 2. Joukon R 2 osajoukko X = B(a, 1) B(b, 1) on epäyhtenäinen, kun a b > Joukko X = R\{0} on epäyhtenäinen, sillä A =], 0[, B =]0, [ ja X = A B. 4. Reaaliakselin välit ovat yhtenäisiä Lauseen nojalla. 5. Diskreetti avaruus (X, d {0,1} ) on epäyhtenäinen kun #X 2. Lause Olkoon X joukko. Tällöin seuraavat ovat yhtäpitäviä 1. X on epäyhtenäinen 2. X = A B, A, B X erillisiä epätyhjiä suljettuja joukkoja joukossa X. 3. On olemassa A X, A X, siten että A on sekä avoin, että suljettu joukossa X. 4. On olemassa jatkuva surjektio f : X {0, 1}. Todistus. Ekvivalenssi kohtien 1 ja 2 välillä saadaan ottamalla komplementit. Kohtien 1 ja 3 yhtäpitävyys on selvä. Todistetaan (1) (4): Jos X = A B kuten määritelmässä. Määritellään f : X {0, 1} f(x) = { 0, jos x A 1, jos x B Nyt koska A B f on surjektio. Lisäksi f 1 [{0}] = A ja f 1 [{1}] = B ovat avoimia, joten f on jatkuva. (4) (1): Olkoon f : X {0, 1} jatkuva surjektio. Määritellään A = f 1 [{0}] ja B = f 1 [{1}]. Nyt joukot A ja B ovat epätyhjiä, koska f on surjektio, avoimia koska f on jatkuva ja lisäksi myös erillisiä, joten X = A B. Lause Epätyhjä joukko E R on yhtenäinen jos ja vain jos #E = 1 tai E on väli.

28 26 Todistus. Olkoon E R yhtenäinen, #E 2. Merkitään a = inf E ja b = sup E (mahdollisesti ± ). Nyt #E 2m joten b. Osoitetaan, että ]a, b[ E, jolloin E on väli. Tehdään antiteesi: On olemassa x ]a, b[ siten, että x E. Merkitään A =], x[ E ja B =]x, [ E. Nyt A ja B ovat erillisiä ja epätyhjiä sekä avoimia joukossa E. Siispä kaikilla x 0 on olemassa ε > 0 jolle ]x 0 ε, x 0 + ε[ E A. ja E = A B. Nyt E on epäyhtenäinen mikä on ristiriita. Kääntäen, jos #E = 1 niin E on yhtenäinen. Olkoon esimerkiksi E = ]0, 1[ väli. (Sama idea voidaan yleistää). Antiteesi: E ei ole yhtenäinen. Nyt on olemassa erilliset epätyhjät joukot A ja B joukossa E siten, että A, B E ja E = A B. Valitaan a A, b B joille a < b. Merkitään S = {x A : x < b} Olkoon c = sup S [a, b] ]0, 1[. Nyt c A tai c B. Jos c A, niin c < b. (Jos c = b, niin c A B = ). Lisäksi A on avoin, joten on on olemassa ε > 0 jolle B(c, ε) A. Siis on olemassa joukon A piste d, jolle c < d < b mikä on ristiriita, sillä c = sup S. Jos taas c B, mutta koska B on avoin niin c = sup S ei voi olla joukon B sisäpiste. Lause Yhtenäisen joukon kuva jatkuvassa kuvauksessa on yhtenäinen. Todistus. Olkoon X on yhtenäinen joukko ja f : X Y. Tehdään antiteesi eli että f[x] on epäyhtenäinen, jolloin on olemassa jatkuva surjektio g : f[x] {0, 1}. Tällöin g f 1 : X {0, 1} on jatkuva surjektio, missä f 1 : X f[x], missä f 1 (x) = f(x) on jatkuva (HT). Siis joukko X on epäyhtenäinen mikä on ristiriita. Lause Olkoon X yhtenäinen joukko ja f : X R jatkuva. Jos f saa arvot s ja t joille s < t, niin f saa kaikki arvot väliltä [s, t]. Erityisesti jos f(a) 0 ja f(b) 0, joillekin a, b X, niin f(c) = 0 jollekin c X. Todistus. Lauseesta XXX seuraa, että f[x] R on yhtenäinen. Lisäksi Lauseesta seuraa, että f[x] on väli kaikilla s, t f[x] joten [s, t] f[x]. Määritelmä Metrinen avaruus (X, d) on polkuyhtenäinen, jos jokainen a, b X voidaan yhdistää polulla ts. on olemassa jatkuva kuvaus γ : [0, 1] X jolle γ(0) = a ja γ(1) = b. Esimerkki Jokainen väli [a, b] R on polkuyhtenäinen, sillä poluksi voidaan valita α(t) = a + t(b a). Sen sijaan esimerkiksi joukko [0, 1] [2, 3] ei ole polkuyhtenäinen. Lause Polkuyhtenäinen avaruus on yhtenäinen. Todistus. Antiteesi: Avaruus on epäyhtenäinen. Tällöin on olemassa jatkuva surjektio f : X {0, 1}. Olkoot a, b X siten, että f(a) = 0 ja f(b) = 1. Koska joukko X on polkuyhtenäinen, niin on olemassa polku α : [0, 1] X, jolle α(0) = a ja α(1) = b. Nyt β = f α : [0, 1] {0, 1}

29 27 on jatkuva, joten kuvajoukko β[[0, 1]] = {0, 1} on yhtenäinen mikä on ristiriita. Esimerkki Yhtenäinen joukko ei välttämättä ole polkuyhtenäinen. Olkoon A = {(x, sin 1 ) : x ]0, 1]} x Tällöin X = A {(0, t) R 2 : 1 t 1} (topologin sinikäyrä) on yhtenäinen, mutta ei polkuyhtenäinen. y = sin 1 x Todistus. Todistetaan, että joukko X ei ole polkuyhtenäinen. Antiteesi: Joukko X on polkuyhtenäinen. On siis olemassa jatkuva polku f(t) = (α(t), β(t)), jolle f(0) = (0, 0) ja f(1) = ( 1, 0). Väliarvolauseen nojalla on olemassa t π 1 ]0, 1[ siten, että α(t 1 ) = (2/3π). Edelleen on olemassa t 2 ]0, t 1 [ siten, että α(t 2 ) = (2/5π). Näin jatkamalla saadaan laskeva jono, jolle α(t n ) = (2/(2n + 1)π). Tästä seuraa, että β(t n ) = ( 1) n. Jono (t n ) on alhaalta rajoitettu ja laskeva, joten sillä on olemassa raja-arvo lim n (t n ). Toisaalta funktio f on jatkuva, joten raja-arvo lim n (t n ) on olemassa. Tämä on kuitenkin ristiriita, sillä raja-arvoa ei ole olemassa (koska rajaarvoa lim n ( 1) n ei ole olemassa). Siispä joukko X ei ole polkuyhtenäinen.

30 Lineaarikuvaukset Lause Joukon R n kaikki normit ovat ekvivalentteja. Jos (1) ja (2) ovat normeja joukossa R n, niin on olemassa c 1, c 2 > 0 siten, että c 1 x (1) x (2) c 2 x (1) kaikilla x R n. Todistus. Riittää osoittaa, että jos on euklidinen normi joukossa R n ja (1) on mielivaltainen normi, niin on olemassa c 1, c 2 > 0 joille c 1 x (1) x (2) c 2 x (1) kaikilla x R n eli c 1 x (1) c 2 kaikilla x S n 1 = {x R n : x = 1} Osoitetaan, että f : S n 1 R, f(x) = x (1), on jatkuva. Tällöin S n 1 on kompakti joten Lauseen nojalla on olemassa c 1, c 2 joille Tässä c 1, c 2 > 0, koska c 1 f(x) c 2 kaikilla x S n 1. A = id, (R n, ) (R n, ) niin f(x) = Ax (1). Riittää osoittaa, että A on jatkuva. Jos x (k) x normiavaruudessa (R n, ), niin Ax (k) Ax (1) = x (k) x (1) = n j=1 (x (k) j x j )e j (1) n j=1 x (k) k x j e j (1) 0.

31 Viitteet 29 [1] Jussi Väisälä Topologia I

MS-C1540 Euklidiset avaruudet

MS-C1540 Euklidiset avaruudet MS-C1540 Euklidiset avaruudet MS-C1540 Euklidiset avaruudet III-periodi, kevät 2016 Pekka Alestalo Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu 1 / 30 Euklidiset

Lisätiedot

Metriset avaruudet 2017

Metriset avaruudet 2017 Metriset avaruudet 2017 Jouni Parkkonen Merkintöjä N = {0, 1, 2,... } luonnolliset luvut #(A) N { } joukon A alkioiden lukumäärä A B = {a A : a / B} joukkojen A ja B erotus. A B on joukkojen A ja B erillinen

Lisätiedot

Joukot metrisissä avaruuksissa

Joukot metrisissä avaruuksissa TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Saara Lahtinen Joukot metrisissä avaruuksissa Informaatiotieteiden yksikkö Matematiikka Elokuu 2013 Sisältö 1 Johdanto 1 2 Metriset avaruudet 1 2.1 Tarvittavia

Lisätiedot

8. Avoimen kuvauksen lause

8. Avoimen kuvauksen lause 116 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 8. Avoimen kuvauksen lause Palautamme aluksi mieleen Topologian kursseilta ehkä tutut perusasiat yleisestä avoimen kuvauksen käsitteestä. Määrittelemme ensin avoimen

Lisätiedot

x > y : y < x x y : x < y tai x = y x y : x > y tai x = y.

x > y : y < x x y : x < y tai x = y x y : x > y tai x = y. ANALYYSIN TEORIA A Kaikki lauseet eivät ole muotoiltu samalla tavalla kuin luennolla. Ilmoita virheistä yms osoitteeseen mikko.kangasmaki@uta. (jos et ole varma, onko kyseessä virhe, niin ilmoita mieluummin).

Lisätiedot

Ratkaisu: (i) Joukko A X on avoin jos kaikilla x A on olemassa r > 0 siten että B(x, r) A. Joukko B X on suljettu jos komplementti B c on avoin.

Ratkaisu: (i) Joukko A X on avoin jos kaikilla x A on olemassa r > 0 siten että B(x, r) A. Joukko B X on suljettu jos komplementti B c on avoin. Matematiikan ja tilastotieteen laitos Topologia I 1. kurssikoe 26.2.2013 Malliratkaisut ja tehtävien tarkastamiset Tehtävät 1 ja 2 Henrik Wirzenius Tehtävät 3 ja 4 Teemu Saksala Jos sinulla on kysyttävää

Lisätiedot

April 29, Huom. Laskariryhmä 1 peruuntuu myös ma 15.2.

April 29, Huom. Laskariryhmä 1 peruuntuu myös ma 15.2. Topo I, kevään 2010 luentopäiväkirja April 29, 2010 Tähän luentopäiväkirjaan kirjataan lyhyesti jälkikäteen kullakin luennolla käsitellyt asiat ja vastaava kohta kirjassa Jussi Väisälä: Topologia I, 4.

Lisätiedot

KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012

KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 RITVA HURRI-SYRJÄNEN 2. Kompleksitason topologiaa Kompleksianalyysi on kompleksiarvoisten kompleksimuuttujien funktioiden teoriaa. Tällä kurssilla käsittelemme vain

Lisätiedot

Topologia I Harjoitus 6, kevät 2010 Ratkaisuehdotus

Topologia I Harjoitus 6, kevät 2010 Ratkaisuehdotus Topologia I Harjoitus 6, kevät 2010 Ratkaisuehdotus 1. (5:7) Olkoon E normiavaruus, I = [0, 1] ja f, g : I E jatkuvia. Osoita, että yhtälön h(s, t) = (1 t)f(s) + tg(s) määrittelemä kuvaus h : I 2 E on

Lisätiedot

Vektorianalyysi I MAT Luennoitsija: Ritva Hurri-Syrjänen Luentoajat: ti: 14:15-16:00, to: 12:15-14:00 Helsingin yliopisto 21.

Vektorianalyysi I MAT Luennoitsija: Ritva Hurri-Syrjänen Luentoajat: ti: 14:15-16:00, to: 12:15-14:00 Helsingin yliopisto 21. Vektorianalyysi I MAT21003 Luennoitsija: Ritva Hurri-Syrjänen Luentoajat: ti: 14:15-16:00, to: 12:15-14:00 Helsingin yliopisto 21. syyskuuta 2017 1 Sisältö 1 Euklidinen avaruus 3 1.1 Euklidinen avaruus

Lisätiedot

Tasainen suppeneminen ja sen sovellukset

Tasainen suppeneminen ja sen sovellukset Tasainen suppeneminen ja sen sovellukset Tuomas Hentunen Matematiikan pro gradu tutkielma Kesäkuu 2014 Tiivistelmä: Tuomas Hentunen, Tasainen suppeneminen ja sen sovellukset (engl. Uniform convergence

Lisätiedot

U β T. (1) U β T. (2) {,X} T. (3)

U β T. (1) U β T. (2) {,X} T. (3) 1.1 a) Joukkoperhe T = α I T α P(X) on topologia. Todistus. Osoitetaan, että topologian määritelmän 1.1 ehdot (1), (2) ja (3) toteutuvat. Ehtoa (1) varten olkoon {U β β J} T. Pitää osoittaa, että U β T.

Lisätiedot

Määritelmä 2.5. Lause 2.6.

Määritelmä 2.5. Lause 2.6. Määritelmä 2.5. Olkoon X joukko ja F joukko funktioita f : X R. Joukkoa F sanotaan pisteittäin rajoitetuksi, jos jokaiselle x X on olemassa sellainen C x R, että f x C x jokaiselle f F. Joukkoa F sanotaan

Lisätiedot

8. Avoimen kuvauksen lause

8. Avoimen kuvauksen lause FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 125 8. Avoimen kuvauksen lause Palautamme aluksi mieleen Topologian kursseilta ehkä tutut perusasiat yleisestä avoimen kuvauksen käsitteestä. Määrittelemme ensin avoimen

Lisätiedot

Euklidiset avaruudet. MS-C1540 Euklidiset avaruudet. Tavoitteet. Perusongelma. Esimerkki. Solmussa vai ei? Linkissä vai ei?

Euklidiset avaruudet. MS-C1540 Euklidiset avaruudet. Tavoitteet. Perusongelma. Esimerkki. Solmussa vai ei? Linkissä vai ei? MS-C1540 Euklidiset avaruudet Euklidiset avaruudet MS-C1540 Euklidiset avaruudet III-periodi, kevät 2017 Pekka Alestalo Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu

Lisätiedot

MS-C1540 Euklidiset avaruudet

MS-C1540 Euklidiset avaruudet MS-C1540 Euklidiset avaruudet MS-C1540 Euklidiset avaruudet III-periodi, kevät 2017 Pekka Alestalo Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Nämä kalvot sisältävät

Lisätiedot

7. Tasaisen rajoituksen periaate

7. Tasaisen rajoituksen periaate 18 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 7. Tasaisen rajoituksen periaate Täydellisyydestä puristetaan maksimaalinen hyöty seuraavan Bairen lauseen avulla. Bairen lause on keskeinen todistettaessa kahta funktionaalianalyysin

Lisätiedot

Johdatus topologiaan (4 op)

Johdatus topologiaan (4 op) 180305 Johdatus topologiaan (4 op) Kevät 2009 1. Alkusanat Sana topologia on johdettu kreikan kielen sanoista topos ja logos, jotka merkitsevät paikkaa ja tietoa. Jo 1700-luvun alussa käytettiin latinan

Lisätiedot

Funktiot. funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina.

Funktiot. funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina. Funktiot Tässä luvussa käsitellään reaaliakselin osajoukoissa määriteltyjä funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina. Avoin väli: ]a, b[ tai ]a, [ tai ],

Lisätiedot

Seuraava topologisluonteinen lause on nk. Bairen lause tai Bairen kategorialause, n=1

Seuraava topologisluonteinen lause on nk. Bairen lause tai Bairen kategorialause, n=1 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 115 7. Tasaisen rajoituksen periaate Täydellisyydestä puristetaan maksimaalinen hyöty seuraavan Bairen lauseen avulla. Bairen lause on keskeinen todistettaessa kahta funktionaalianalyysin

Lisätiedot

1 Sisätulo- ja normiavaruudet

1 Sisätulo- ja normiavaruudet 1 Sisätulo- ja normiavaruudet 1.1 Sisätuloavaruus Määritelmä 1. Olkoon V reaalinen vektoriavaruus. Kuvaus : V V R on reaalinen sisätulo eli pistetulo, jos (a) v w = w v (symmetrisyys); (b) v + u w = v

Lisätiedot

FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. 0. Johdanto

FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. 0. Johdanto FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. Johdanto Funktionaalianalyysissa tutkitaan muun muassa ääretönulotteisten vektoriavaruuksien, ja erityisesti täydellisten normiavaruuksien eli Banach avaruuksien ominaisuuksia.

Lisätiedot

Selvästi. F (a) F (y) < r x d aina, kun a y < δ. Kolmioepäyhtälön nojalla x F (y) x F (a) + F (a) F (y) < d + r x d = r x

Selvästi. F (a) F (y) < r x d aina, kun a y < δ. Kolmioepäyhtälön nojalla x F (y) x F (a) + F (a) F (y) < d + r x d = r x Seuraavaksi tarkastellaan C 1 -sileiden pintojen eräitä ominaisuuksia. Lemma 2.7.1. Olkoon S R m sellainen C 1 -sileä pinta, että S on C 1 -funktion F : R m R eräs tasa-arvojoukko. Tällöin S on avaruuden

Lisätiedot

Topologia Syksy 2010 Harjoitus 9

Topologia Syksy 2010 Harjoitus 9 Topologia Syksy 2010 Harjoitus 9 (1) Avaruuden X osajoukko A on G δ -joukko, jos se on numeroituva leikkaus avoimista joukoista ja F σ -joukko, jos se on numeroituva yhdiste suljetuista joukoista. Osoita,

Lisätiedot

3.3 Funktion raja-arvo

3.3 Funktion raja-arvo 3.3 Funktion raja-arvo Olkoot A ja B kompleksitason joukkoja ja f : A B kuvaus. Kuvauksella f on pisteessä z 0 A raja-arvo c, jos jokaista ε > 0 vastaa δ > 0 siten, että 0 < z z 0 < δ ja z A f(z) c < ε.

Lisätiedot

Lebesguen mitta ja integraali

Lebesguen mitta ja integraali Lebesguen mitta ja integraali Olkoon m Lebesguen mitta R n :ssä. R 1 :ssä vastaa pituutta, R 2 :ssa pinta-alaa, R 3 :ssa tilavuutta. Mitallinen joukko E R n = joukko jolla on järkevästi määrätty mitta

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 19.9.2016 Pekka Alestalo, Jarmo

Lisätiedot

MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS

MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS f ( n) JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS n Funktionaalianalyysi Ei harjoituksia 1.4.2015 Funktionaalista viihdettä pääsiäistauolle: viikolla 14 (ma 30.3., ti 31.3. ja ke 1.4.)

Lisätiedot

DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1. Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS

DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1. Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1 Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS Huomautus. Analyysin yksi keskeisimmistä käsitteistä on jatkuvuus! Olkoon A R mielivaltainen joukko

Lisätiedot

peitteestä voidaan valita äärellinen osapeite). Äärellisen monen nollajoukon yhdiste on nollajoukko.

peitteestä voidaan valita äärellinen osapeite). Äärellisen monen nollajoukon yhdiste on nollajoukko. Esimerkki 4.3.9. a) Piste on nollajoukko. Suoran rajoitetut osajoukot ovat avaruuden R m, m 2, nollajoukkoja. Samoin suorakaiteiden reunat koostuvat suoran kompakteista osajoukoista. b) Joukko = Q m [0,

Lisätiedot

TAMPEREEN YLIOPISTO Informaatiotieteiden yksikkö TOPOLOGIA

TAMPEREEN YLIOPISTO Informaatiotieteiden yksikkö TOPOLOGIA TAMPEREEN YLIOPISTO Informaatiotieteiden yksikkö TOPOLOGIA Arttu Ojanperä (Eero Hyryn luentojen mukaan) 2013 Sisältö 1 Johdanto 4 1 Jatkuvat kuvaukset........................ 4 2 Avoimet joukot..........................

Lisätiedot

FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 7

FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 7 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 7 2. Normi ja normiavaruus Olkoon E vektoriavaruus (eli lineaariavaruus) skalaarikuntana K = R tai K = C. Kurssilla Lineaarialgebra I määriteltiin vain R-kertoimiset vektoriavaruudet,

Lisätiedot

1 sup- ja inf-esimerkkejä

1 sup- ja inf-esimerkkejä Alla olevat kohdat (erityisesti todistukset) ovat lähinnä oheislukemista reaaliluvuista, mutta joihinkin niistä palataan myöhemmin kurssilla. 1 sup- ja inf-esimerkkejä Nollakohdan olemassaolo. Kaikki tuntevat

Lisätiedot

Johdanto Lassi Kurittu

Johdanto Lassi Kurittu Johdanto Tämä luentomoniste on kirjoitettu syksyn 2012 topologian kurssin jälkimmäisen osan luentomateriaaliksi. Kurssin ensimmäisellä puoliskolla käsiteltiin metrisiä avaruuksia, mutta nyt siirrytään

Lisätiedot

Reaaliluvut. tapauksessa metrisen avaruuden täydellisyyden kohdalla. 1 fi.wikipedia.org/wiki/reaaliluku 1 / 13

Reaaliluvut. tapauksessa metrisen avaruuden täydellisyyden kohdalla. 1 fi.wikipedia.org/wiki/reaaliluku 1 / 13 Reaaliluvut Reaalilukujen joukko R. Täsmällinen konstruointi palautuu rationaalilukuihin, jossa eri mahdollisuuksia: - Dedekindin leikkaukset - rationaaliset Cauchy-jonot - desimaaliapproksimaatiot. Reaalilukujen

Lisätiedot

6. Lineaariset operaattorit

6. Lineaariset operaattorit 96 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 6. Lineaariset operaattorit Luvussa 5 osoitimme, että Fourier-sarjat suppenevat L 2 -normissa (kts. Seuraus 5.8 sivulla 80). Osoitimme myös, että kun f on jatkuva ja

Lisätiedot

IV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n

IV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n IV. TASAINEN SUPPENEMINEN IV.. Funktiojonon tasainen suppeneminen Olkoon A R joukko ja f n : A R funktio, n =, 2, 3,..., jolloin jokaisella x A muodostuu lukujono f x, f 2 x,.... Jos tämä jono suppenee

Lisätiedot

Johdatus matemaattiseen päättelyyn

Johdatus matemaattiseen päättelyyn Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä 2 Todistamisesta 2 3 Joukko-oppia Tässä luvussa tarkastellaan joukko-opin

Lisätiedot

2. Normi ja normiavaruus

2. Normi ja normiavaruus 8 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 2. Normi ja normiavaruus Olkoon E vektoriavaruus (eli lineaariavaruus) skalaarikuntana K = R tai K = C. Kurssilla Lineaarialgebra I määriteltiin vain R-kertoimiset vektoriavaruudet,

Lisätiedot

=p(x) + p(y), joten ehto (N1) on voimassa. Jos lisäksi λ on skalaari, niin

=p(x) + p(y), joten ehto (N1) on voimassa. Jos lisäksi λ on skalaari, niin FUNKTIONAALIANALYYSI, RATKAISUT 1 KEVÄT 211, (AP) 1. Ovatko seuraavat reaaliarvoiset funktiot p : R 3 R normeja? Ovatko ne seminormeja? ( x = (x 1, x 2, x 3 ) R 3 ) a) p(x) := x 2 1 + x 2 2 + x 2 3, b)

Lisätiedot

Topologia Syksy 2010 Harjoitus 4. (1) Keksi funktio f ja suljetut välit A i R 1, i = 1, 2,... siten, että f : R 1 R 1, f Ai on jatkuva jokaisella i N,

Topologia Syksy 2010 Harjoitus 4. (1) Keksi funktio f ja suljetut välit A i R 1, i = 1, 2,... siten, että f : R 1 R 1, f Ai on jatkuva jokaisella i N, Topologia Syksy 2010 Harjoitus 4 (1) Keksi funktio f ja suljetut välit A i R 1, i = 1, 2,... siten, että f : R 1 R 1, f Ai on jatkuva jokaisella i N, i=1 A i = R 1, ja f : R 1 R 1 ei ole jatkuva. Lause

Lisätiedot

Analyysi 1. Harjoituksia lukuihin 1 3 / Syksy Osoita täsmällisesti perustellen, että joukko A = x 4 ei ole ylhäältä rajoitettu.

Analyysi 1. Harjoituksia lukuihin 1 3 / Syksy Osoita täsmällisesti perustellen, että joukko A = x 4 ei ole ylhäältä rajoitettu. Analyysi Harjoituksia lukuihin 3 / Syksy 204. Osoita täsmällisesti perustellen, että joukko { 2x A = x ]4, [. x 4 ei ole ylhäältä rajoitettu. 2. Anna jokin ylä- ja alaraja joukoille { x( x) A = x ], [,

Lisätiedot

Luento 8: Epälineaarinen optimointi

Luento 8: Epälineaarinen optimointi Luento 8: Epälineaarinen optimointi Vektoriavaruus R n R n on kaikkien n-jonojen x := (x,..., x n ) joukko. Siis R n := Määritellään nollavektori 0 = (0,..., 0). Reaalisten m n-matriisien joukkoa merkitään

Lisätiedot

1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus

1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1.1 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä V epätyhjä joukko. Oletetaan, että joukossa V on määritelty laskutoimitus

Lisätiedot

Kompaktisuus ja filtterit

Kompaktisuus ja filtterit Kompaktisuus ja filtterit Joukkoperheellä L on äärellinen leikkausominaisuus, mikäli jokaisella äärellisellä L L on voimassa L. Nähdään helposti, että perheellä L on äärellinen leikkausominaisuus ja L

Lisätiedot

Funktion raja-arvo ja jatkuvuus Reaali- ja kompleksifunktiot

Funktion raja-arvo ja jatkuvuus Reaali- ja kompleksifunktiot 3. Funktion raja-arvo ja jatkuvuus 3.1. Reaali- ja kompleksifunktiot 43. Olkoon f monotoninen ja rajoitettu välillä ]a,b[. Todista, että raja-arvot lim + f (x) ja lim x b f (x) ovat olemassa. Todista myös,

Lisätiedot

reaalifunktioiden ominaisuutta, joiden perusteleminen on muita perustuloksia hankalampaa. Kalvoja täydentää erillinen moniste,

reaalifunktioiden ominaisuutta, joiden perusteleminen on muita perustuloksia hankalampaa. Kalvoja täydentää erillinen moniste, Reaaliluvuista Pekka Alestalo Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Nämä kalvot sisältävät tiivistelmän reaaliluvuista ja niihin liittyvistä käsitteistä.

Lisätiedot

Helsingin Yliopisto, Matematiikan ja tilastotieteen laitos. Luennot, kevät 2006 ja kevät Kari Astala ja Petteri Piiroinen (v.

Helsingin Yliopisto, Matematiikan ja tilastotieteen laitos. Luennot, kevät 2006 ja kevät Kari Astala ja Petteri Piiroinen (v. FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI Helsingin Yliopisto, Matematiikan ja tilastotieteen laitos Luennot, kevät 2006 ja kevät 2008 Kari Astala ja Petteri Piiroinen (v. 2006) Hans-Olav Tylli (v. 2008 hienosäätöä)

Lisätiedot

1 Normiavaruudet 1. 2 Metriikka 8. 4 Jatkuvat kuvaukset Jatkuva kuvaus normiavaruuteen Suljetut joukot ja sulkeuma 35

1 Normiavaruudet 1. 2 Metriikka 8. 4 Jatkuvat kuvaukset Jatkuva kuvaus normiavaruuteen Suljetut joukot ja sulkeuma 35 Sisältö 1 Normiavaruudet 1 2 Metriikka 8 3 Avoimet joukot ja ympäristöt 16 4 Jatkuvat kuvaukset 22 5 Jatkuva kuvaus normiavaruuteen 28 6 Suljetut joukot ja sulkeuma 35 7 Relatiivitopologia 50 8 Sisä- ulko-

Lisätiedot

Luento 8: Epälineaarinen optimointi

Luento 8: Epälineaarinen optimointi Luento 8: Epälineaarinen optimointi Vektoriavaruus R n R n on kaikkien n-jonojen x := (x,..., x n ) joukko. Siis R n := Määritellään nollavektori = (,..., ). Reaalisten m n-matriisien joukkoa merkitään

Lisätiedot

HILBERTIN AVARUUKSISTA

HILBERTIN AVARUUKSISTA HILBERTIN AVARUUKSISTA Pro gradu -tutkielma Hannariikka Lehtiniemi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Jyväskylän yliopisto syksy 2014 TIIVISTELMÄ Ääretönulotteiset avaruudet ovat monilta ominaisuuksiltaan

Lisätiedot

Matematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus Malliratkaisut (Sauli Lindberg)

Matematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus Malliratkaisut (Sauli Lindberg) Matematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus 4 9.4.-23.4.200 Malliratkaisut (Sauli Lindberg). Näytä, että Lusinin lauseessa voidaan luopua oletuksesta m(a)

Lisätiedot

Topologia IA, kesä 2017 Harjoitus 1

Topologia IA, kesä 2017 Harjoitus 1 Topologia IA, kesä 07 Harjoitus Heikki Korpela 5. toukokuuta 07 Tehtävä. Todista ( luonnollisin oletuksin, kirjoita ne!) kaava 0.8., so. että f j J B j = j J f B j, huolellisesti tarkastellen yksittäisiä

Lisätiedot

1. Normi ja sisätulo

1. Normi ja sisätulo Kurssimateriaalia K3/P3-kursille syksyllä 3 83 Heikki Apiola Sisältää otteita Timo Eirolan L3-kurssin lineaarialgebramonisteesta, jonka lähdekoodin Timo on ystävällisesti antanut käyttööni Normi ja sisätulo

Lisätiedot

HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY OF HELSINKI. Matematiikan ja tilastotieteen laitos. Matemaattis-luonnontieteellinen

HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY OF HELSINKI. Matematiikan ja tilastotieteen laitos. Matemaattis-luonnontieteellinen HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY OF HELSINKI Tiedekunta/Osasto Fakultet/Sektion Faculty Laitos Institution Department Matemaattis-luonnontieteellinen Tekijä Författare Author Kalle

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II. LM2, Kesä /141

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II. LM2, Kesä /141 Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II LM2, Kesä 2012 1/141 Kertausta: avaruuden R n vektorit Määritelmä Oletetaan, että n {1, 2, 3,...}. Avaruuden R n alkiot ovat jonoja, joissa on n kappaletta reaalilukuja.

Lisätiedot

KÄYRÄN PITUUS METRISESSÄ AVARUUDESSA

KÄYRÄN PITUUS METRISESSÄ AVARUUDESSA KÄYRÄN PITUUS METRISESSÄ AVARUUDESSA Hanna Männistö Matematiikan pro gradu Jyväskylän yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Kevät 2014 Sisältö Johdanto 1 Luku 1. Metrisistä avaruuksista 4 Luku

Lisätiedot

KVASIKONVEKSISUUS TASOSSA. 1. Johdanto

KVASIKONVEKSISUUS TASOSSA. 1. Johdanto KVASIKONVEKSISUUS TASOSSA MATTI-PETTERI RAJAHONKA Tiivistelmä. Kvasikonveksit alueet osoitetaan Jordan-käyrä-alueiksi. Kvasikonvekseille alueille, joilla on äärellinen määrä reunan komponentteja, saadaan

Lisätiedot

Luku 2. Jatkuvien funktioiden ominaisuuksia.

Luku 2. Jatkuvien funktioiden ominaisuuksia. 1 MAT-1343 Laaja matematiikka 3 TTY 21 Risto Silvennoinen Luku 2. Jatkuvien funktioiden ominaisuuksia. Jatkossa väli I tarkoittaa jotakin seuraavista reaalilukuväleistä: ( ab, ) = { x a< x< b} = { x a

Lisätiedot

DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1 1. ALUKSI. Joukko-oppia

DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1 1. ALUKSI. Joukko-oppia DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1 Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 1. ALUKSI Joukko-oppia Lyhenteitä ja merkintöjä. A = B A:sta seuraa B. Implikaatio. A B A ja B yhtäpitävät. Ekvivalenssi.

Lisätiedot

Derivaattaluvut ja Dini derivaatat

Derivaattaluvut ja Dini derivaatat Derivaattaluvut Dini derivaatat LuK-tutkielma Helmi Glumo 2434483 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Syksy 2016 Sisältö Johdanto 2 1 Taustaa 2 2 Määritelmät 4 3 Esimerkkejä lauseita 7 Lähdeluettelo

Lisätiedot

Johdatus matemaattisen analyysin teoriaan

Johdatus matemaattisen analyysin teoriaan Kirjan Johdatus matemaattisen analyysin teoriaan harjoitustehtävien ratkaisuja 18. maaliskuuta 2005 Ratkaisut ovat laatineet Jukka Ilmonen ja Ismo Korkee. Ratkaisuissa olevista mahdollisista virheistä

Lisätiedot

f(k)e ikx = lim S n (f; x) kaikilla x?

f(k)e ikx = lim S n (f; x) kaikilla x? 102 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 6. Lineaariset operaattorit Luvussa 5 osoitimme, että jos f L 2, niin vastaavan Fourier-sarjan osasummat suppenevat kohti f:ää L 2 -normissa (kts. Seuraus 5.8 sivulla

Lisätiedot

KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012

KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 RITVA HURRI-SYRJÄNEN 8. Integraalilauseiden sovelluksia 1. Analyyttisen funktion sarjaesitys. (eli jokainen analyyttinen funktio on lokaalisti suppenevan potenssisarjan

Lisätiedot

Algebra I, Harjoitus 6, , Ratkaisut

Algebra I, Harjoitus 6, , Ratkaisut Algebra I Harjoitus 6 9. 13.3.2009 Ratkaisut Algebra I Harjoitus 6 9. 13.3.2009 Ratkaisut (MV 6 sivua 1. Olkoot M ja M multiplikatiivisia monoideja. Kuvaus f : M M on monoidihomomorfismi jos 1 f(ab = f(af(b

Lisätiedot

Metristyvät topologiset avaruudet

Metristyvät topologiset avaruudet TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Arttu Ojanperä Metristyvät topologiset avaruudet Informaatiotieteiden yksikkö Matematiikka Tammikuu 2016 Tampereen Yliopisto Informaatiotieteiden yksikkö OJANPERÄ,

Lisätiedot

Konvergenssilauseita

Konvergenssilauseita LUKU 4 Konvergenssilauseita Lause 4.1 (Monotonisen konvergenssin lause). Olkoon (f n ) kasvava jono Lebesgueintegroituvia funktioita. Asetetaan f(x) := f n (x). Jos f n

Lisätiedot

Ortogonaaliprojektio äärellisulotteiselle aliavaruudelle

Ortogonaaliprojektio äärellisulotteiselle aliavaruudelle Ortogonaaliprojektio äärellisulotteiselle aliavaruudelle Olkoon X sisätuloavaruus ja Y X äärellisulotteinen aliavaruus. Tällöin on olemassa lineaarisesti riippumattomat vektorit y 1, y 2,..., yn, jotka

Lisätiedot

YHDEN REAALIMUUTTUJAN ANALYYSIN PERUSTEET. Tero Kilpeläinen

YHDEN REAALIMUUTTUJAN ANALYYSIN PERUSTEET. Tero Kilpeläinen YHDEN REAALIMUUTTUJAN ANALYYSIN PERUSTEET Tero Kilpeläinen Luentomuistiinpanoja keväältä 2014 5. maaliskuuta 2015 Sisältö 1. Johdanto 1 2. Reaalilukujen jatkumo 2 2.1. Merkintöjä.................................

Lisätiedot

Tasa-asteisesti jatkuvien funktioperheiden suppenevista osajonoista

Tasa-asteisesti jatkuvien funktioperheiden suppenevista osajonoista Tasa-asteisesti jatkuvien funktioperheiden suppenevista osajonoista Pro gradu -tutkielma Toni Vesikko 243023 Itä-Suomen yliopisto 7. heinäkuuta 2016 Sisältö 1 Johdanto 1 2 Perusteet ja merkintöjä 2 3 Funktionaalianalyysin

Lisätiedot

Johdatus matemaattiseen päättelyyn

Johdatus matemaattiseen päättelyyn Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä 2 Todistamisesta 3 Joukko-oppia 4 Funktioista Funktio eli kuvaus on matematiikan

Lisätiedot

USEAN MUUTTUJAN FUNKTIOT II. Kari Ylinen

USEAN MUUTTUJAN FUNKTIOT II. Kari Ylinen USEAN MUUTTUJAN FUNKTIOT II Kari Ylinen 21 Sisältö 1 I Avaruuden R n rakenteesta ja kuvauksista 1 I.1 Avaruuden R n lineaarinen ja metrinen rakenne.......... 1 I.2 Jonon suppeneminen.........................

Lisätiedot

Topologian demotehtäviä

Topologian demotehtäviä Topologian demotehtäviä 31.10.2012 1.1 Olkoon X joukko ja {T α } α I epätyhjä (eli I ) perhe X:n topologioita. Ovatko joukot T α P(X) ja/tai T α P(X) α I välttämättä X:n topologioita? Tässä on ehkä syytä

Lisätiedot

1 sup- ja inf-esimerkkejä

1 sup- ja inf-esimerkkejä Alla olevat kohdat (erityisesti todistukset) ovat lähinnä oheislukemista reaaliluvuista, mutta joihinkin niistä palataan myöhemmin kurssilla. 1 sup- ja inf-esimerkkejä Kaarenpituus. Olkoon r: [a, b] R

Lisätiedot

Tällöin on olemassa reaalilukuja c, jotka kuuluvat jokaiselle välille I n = [a n, b n ]. Toisin sanoen a n c b n kaikilla n.

Tällöin on olemassa reaalilukuja c, jotka kuuluvat jokaiselle välille I n = [a n, b n ]. Toisin sanoen a n c b n kaikilla n. Analyysi I ja II lisämateriaalia HAARUKOINTI Tässä käsitellään kootusti sellaisia differentiaali- ja integraalilaskennan kurssin kysymyksiä, joissa joudutaan syventymään lukusuoran hienovaraisimpiin ominaisuuksiin.

Lisätiedot

Kertausta: avaruuden R n vektoreiden pistetulo

Kertausta: avaruuden R n vektoreiden pistetulo Kertausta: avaruuden R n vektoreiden pistetulo Määritelmä Vektoreiden v R n ja w R n pistetulo on v w = v 1 w 1 + v 2 w 2 + + v n w n. Huom. Pistetulo v w on reaaliluku! LM2, Kesä 2012 227/310 Kertausta:

Lisätiedot

1 Määrittelyjä ja aputuloksia

1 Määrittelyjä ja aputuloksia 1 Määrittelyjä ja aputuloksia 1.1 Supremum ja infimum Aluksi kerrataan pienimmän ylärajan (supremum) ja suurimman alarajan (infimum) perusominaisuuksia ja esitetään muutamia myöhemmissä todistuksissa tarvittavia

Lisätiedot

1 Reaaliset lukujonot

1 Reaaliset lukujonot Jonot 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 5 1 Reaaliset lukujonot Reaaliset lukujonot ovat funktioita f : Z + R. Lukujonosta käytetään merkintää (a k ) k=1 tai lyhyemmin vain (a k). missä a k = f(k). Täten lukujonot

Lisätiedot

Cantorin joukon suoristuvuus tasossa

Cantorin joukon suoristuvuus tasossa Cantorin joukon suoristuvuus tasossa LuK-tutkielma Miika Savolainen 2380207 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Syksy 2016 Sisältö Johdanto 2 1 Cantorin joukon esittely 2 2 Suoristuvuus ja

Lisätiedot

Yleistettyjen jonojen käyttö topologiassa

Yleistettyjen jonojen käyttö topologiassa Yleistettyjen jonojen käyttö topologiassa Antti Karvinen Matematiikan pro gradu Jyväskylän yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Kesä 2016 Tiivistelmä: Antti Karvinen, Yleistettyjen jonojen

Lisätiedot

(a) avoin, yhtenäinen, rajoitettu, alue.

(a) avoin, yhtenäinen, rajoitettu, alue. 1. Hahmottele seuraavat tasojoukot. Mitkä niistä ovat avoimia, suljettuja, kompakteja, rajoitettuja, yhtenäisiä, alueita? (a) {z C 1 < 2z + 1 < 2} (b) {z C z i + z + i = 4} (c) {z C z + Im z < 1} (d) {z

Lisätiedot

2 Konveksisuus ja ratkaisun olemassaolo

2 Konveksisuus ja ratkaisun olemassaolo 2 Konveksisuus ja ratkaisun olemassaolo Ratkaisun olemassaolon tutkimiseen tarvitaan perustietoja konvekseista joukoista ja lineaarialgebrasta. Niitä tarvitaan myös ratkaisualgoritmin ymmärtämiseen. Tutkitaan

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

1 Kompleksitason geometriaa ja topologiaa

1 Kompleksitason geometriaa ja topologiaa 1 Kompleksitason geometriaa ja topologiaa Tavallisessa analyyttisessä geometriassa käyrien yhtälöt esitetään x-koordinaattien ja y-koordinaattien avulla, esimerkiksi y = 1 x esittää tasasivuista hyperbeliä,

Lisätiedot

Matematiikka kaikille, kesä 2017

Matematiikka kaikille, kesä 2017 Matematiikka kaikille, kesä 2017 Luentojen 2,4 ja 6 luentokalvoja (päivittyy kurssin aikana) Henrik Wirzenius, henrik.wirzenius@helsinki.fi, June 21, 2017 1/30 Matematiikan perusteita (joukko-oppi) Kurssin

Lisätiedot

(2n 1) = n 2

(2n 1) = n 2 3.5 Induktiotodistus Induktiota käyttäen voidaan todistaa luonnollisia lukuja koskevia väitteitä, jotka ovat muotoa väite P (n) on totta kaikille n =0, 1, 2,... Tässä väite P (n) riippuu n:n arvosta. Todistuksessa

Lisätiedot

Ville Suomala EUKLIDISET AVARUUDET

Ville Suomala EUKLIDISET AVARUUDET Ville Suomala EUKLIDISET AVARUUDET Luentotiivistelmä syksy 2016 R reaalilukujen joukko [a; b] suljettu väli fx 2 R : a x bg ]a; b[ avoin väli fx 2 R : a < x < bg [a; b[ puoliavoin väli fx 2 R : a x < bg

Lisätiedot

Kuvaus. Määritelmä. LM2, Kesä /160

Kuvaus. Määritelmä. LM2, Kesä /160 Kuvaus Määritelmä Oletetaan, että X ja Y ovat joukkoja. Kuvaus eli funktio joukosta X joukkoon Y on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon X alkioon täsmälleen yhden alkion, joka kuuluu joukkoon Y. Merkintä

Lisätiedot

Helsingin Yliopisto, Matematiikan ja tilastotieteen laitos. Luennot, kevät Kari Astala ja Petteri Piiroinen

Helsingin Yliopisto, Matematiikan ja tilastotieteen laitos. Luennot, kevät Kari Astala ja Petteri Piiroinen FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI Helsingin Yliopisto, Matematiikan ja tilastotieteen laitos Luennot, kevät 26 Kari Astala ja Petteri Piiroinen Sopivaa oheis- ja lisälukemistoa tarjoavat esimerkiksi seuraavat

Lisätiedot

Analyysi 1. Harjoituksia lukuihin 4 7 / Syksy Tutki funktion f(x) = x 2 + x 2 jatkuvuutta pisteissä x = 0 ja x = 1.

Analyysi 1. Harjoituksia lukuihin 4 7 / Syksy Tutki funktion f(x) = x 2 + x 2 jatkuvuutta pisteissä x = 0 ja x = 1. Analyysi 1 Harjoituksia lukuihin 4 7 / Syksy 014 1. Tutki funktion x + x jatkuvuutta pisteissä x = 0 ja x = 1.. Määritä vakiot a ja b siten, että funktio a x cos x + b x + b sin x, kun x 0, x 4, kun x

Lisätiedot

9. Lineaaristen differentiaaliyhtälöiden ratkaisuavaruuksista

9. Lineaaristen differentiaaliyhtälöiden ratkaisuavaruuksista 29 9 Lineaaristen differentiaaliyhtälöiden ratkaisuavaruuksista Tarkastelemme kertalukua n olevia lineaarisia differentiaaliyhtälöitä y ( x) + a ( x) y ( x) + + a ( x) y( x) + a ( x) y= b( x) ( n) ( n

Lisätiedot

4.3 Moniulotteinen Riemannin integraali

4.3 Moniulotteinen Riemannin integraali 4.3 Moniulotteinen Riemannin integraali Tässä luvussa opitaan miten integroidaan usean muuttujan reaaliarvoista tai vektoriarvoista funktiota, millaisten joukkojen yli jatkuvaa funktiota voi integroida,

Lisätiedot

Onko kuvaukset injektioita? Ovatko ne surjektioita? Bijektioita?

Onko kuvaukset injektioita? Ovatko ne surjektioita? Bijektioita? Matematiikkaa kaikille, kesä 2017 Avoin yliopisto Luentojen 2,4 ja 6 tehtäviä Päivittyy kurssin aikana 1. Olkoon A = {0, 1, 2}, B = {1, 2, 3} ja C = {2, 3, 4}. Luettele joukkojen A B, A B, A B ja (A B)

Lisätiedot

Johdatus matematiikkaan

Johdatus matematiikkaan Johdatus matematiikkaan Luento 6 Mikko Salo 6.9.2017 Sisältö 1. Kompleksitaso 2. Joukko-oppia Kompleksiluvut Edellisellä luennolla huomattiin, että toisen asteen yhtälö ratkeaa aina, jos ratkaisujen annetaan

Lisätiedot

Analyysin peruslause

Analyysin peruslause LUKU 10 Analyysin peruslause 10.1. Peruslause I Aiemmin Cantorin funktion ψ kohdalla todettiin, että analyysin peruslause II ei päde: [0,1] ψ (x) dm(x) < ψ(1) ψ(0). Kasvavalle funktiolle analyysin peruslauseesta

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

Todista raja-arvon määritelmään perustuen seuraava lause: Jos lukujonolle a n pätee lima n = a ja lima n = b, niin a = b.

Todista raja-arvon määritelmään perustuen seuraava lause: Jos lukujonolle a n pätee lima n = a ja lima n = b, niin a = b. 2 Lukujonot 21 Lukujonon määritelmä 16 Fibonacci n luvut määritellään ehdoilla Osoita: 17 a 1 = a 2 = 1; a n+2 = a n+1 + a n, n N a n = 1 [( 1 + ) n ( 2 1 ) n ] 2 Olkoon a 1 = 3, a 2 = 6, a n+1 = 1 n (na

Lisätiedot

8 Potenssisarjoista. 8.1 Määritelmä. Olkoot a 0, a 1, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.1. Muotoa

8 Potenssisarjoista. 8.1 Määritelmä. Olkoot a 0, a 1, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.1. Muotoa 8 Potenssisarjoista 8. Määritelmä Olkoot a 0, a, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.. Muotoa a 0 + a (x c) + a 2 (x c) 2 + olevaa sarjaa sanotaan c-keskiseksi potenssisarjaksi. Selvästi jokainen

Lisätiedot

1 Analyyttiset funktiot

1 Analyyttiset funktiot Analyyttiset funktiot. Kompleksimuuttujan kompleksiarvoinen funktio Olkoot A ja B kompleksitason C osajoukkoja. Kuvausta f : A B sanotaan kompleksimuuttujan kompleksiarvoiseksi funktioksi. Usein on B C..Vakiokuvaus.

Lisätiedot

Näin ollen saadaan tulos rad(g) diam(g). Toisaalta huomataan, että verkon G kaikilla solmuilla x ja y pätee kolmioepäyhtälön nojalla havainto

Näin ollen saadaan tulos rad(g) diam(g). Toisaalta huomataan, että verkon G kaikilla solmuilla x ja y pätee kolmioepäyhtälön nojalla havainto Tehtävä 3 : 1 Olkoon G mielivaltainen epätyhjä verkko. Erityisesti siltä ei vaadita äärellisyyttä. Polut ovat verkon G koosta riippumatta määritelmän mukaan aina äärellisiä, joten kahden solmun välisen

Lisätiedot