1+kx 2, x [0, 1] 4. f k (x) = (sin x) k, x R Tehtävä 2. Osoita suoraan määritelmään perustuen, että funktiojono (f k ), missä

Transkriptio

1 Funtiojonojen j -srjojen tehtävät, 11. syysuut 5, sivu 1 / 19 Perustehtäviä Tehtävä 1. Tuti seurvien funtiojonojen (f (x)) suppenemist. pisteittäistä j tsist 1. f (x) = cos x, x R. f (x) = 1 1+x, x R 3. f (x) = x 1+x, x [, 1] 4. f (x) = (sin x), x R Tehtävä. Osoit suorn määritelmään perustuen, että funtiojono (f ), missä f (x) = x, x [, 1], ei suppene tsisesti ohti rjfuntiotn. Tehtävä 3. Ovto seurvt väittämät tott? 1. Funtiojono voi supet tsisesti, mutt ei pisteittäisesti, jouoss D.. Jos funtiojono (f ) suppenee pisteittäin ohti funtiot f jouoss R j on olemss sellinen luu M >, että f (x) M iille Z + j x R, niin f(x) M iille x R. 3. Jos rjoitetuist funtioist oostuv funtiojono (f ) suppenee pisteittäin ohti funtiot f jouoss R, niin funtio f on rjoitettu. 4. Jos funtiojono (f ), jon joinen funtio on epäjtuv iiss relipisteissä suppenee pisteittäin ohti funtiot f, niin funtio f on epäjtuv iiss relipisteissä. Tehtävä 4. Lse rjfuntiot f seurville jonoille. Tuti myös ono lim d lim f dx (x). 1. f (x) = sin(x) x. f (x) = t dt, x 1 3. f (x) = x + x, x 1 d dx f (x) = Tehtävä 5. Tuti seurvien srjojen suppenemist. Ono sllittu derivoid j integroid termeittäin? 1. f(x) = ( 1) +1 x, un x [ 1, 1]. 1

2 Funtiojonojen j -srjojen tehtävät, 11. syysuut 5, sivu / 19. f(x) = sin( 4 x), un x R Tehtävä 6. Osoit, että funtio f(x) = Tehtävä 7. Lse summfuntio seurvlle funtiosrjlle. (sin x), missä x ] π, π [. sin(π x) π on jtuv iill x R. Tehtävä 8. Tuti funtiosrjojen suppenemist eri rvoill x R. 1. x x +1 (x ) +1 π (sin x) Tehtävä 9. Lse seurvien funtiosrjojen suppenemissäde. (!) 1. ()! x ( ). 1 x 3. 4 x Tehtävä 1. Oloon f(x) = rctn x. Lse potenssisrjehitelmä funtiolle f j sen vull f (99) (). Entä mitä on f (1) ()? Tehtävä 11. Kehitä rvioiv lusee funtiolle f(x) = x e t un x 1. Virhe s oll oreintn.1 ysiöä. Tehtävä 1. Oloon 1 < x < 1. Johd srjehitelmä funtiolle 1 + x f(x) = ln 1 x. Lse derivttfuntio j 1 1 f(x) dx. dt,

3 Funtiojonojen j -srjojen tehtävät, 11. syysuut 5, sivu 3 / 19 Vtivmpi tehtäviä Tehtävä 13. Oletetn, että srj suppenee j että f(x) = x. Osoit, että funtio on hyvin määritelty inin välillä ] 1, 1]. Näytä, että iille x < 1, missä s = välillä ] 1, 1[. f(x) = (1 x) s x j=1 j. Perustele lopusi misi funtio f on jtuv Tehtävä 14. Oletetn, että srj suppenee itseisesti. Osoit, että funtiosrj cos(x) suppenee tsisesti oo reliselill R j lse tr rvo integrlille ( π ) cos(x) dx. Tehtävä 15. Oletetn, että (f ) on jono funtioit, jot ovt jtuvi välillä [, b]. Osoit, että jos jono (f ) suppenee tsisesti välillä [, b] ohti funtiot f, niin funtio f on integroituv välillä [, b] j f(x) dx = lim f (x) dx. Tehtävä 16. Esitä j todist Weierstrssin M-testi. 3

4 Funtiojonojen j -srjojen tehtävät, 11. syysuut 5, sivu 4 / 19 Vinejä perustehtäviin Tehtävä Osoit ensisi, että rj-funtio on f(x) 1. Osoit sitten, että suppeneminen ei ole tsist.. Tuti suppenemist silloin un x = ti x. Tsist suppenemist vrten trstele rjfuntion jtuvuutt. 3. Osoit suorn, että suppeneminen on tsist. Tuti missä pisteessä funtiojonon funtiot svuttvt msimins. 4. Kiinnitä muuttuj x sopivsti j tuti suppeneeo jono tällä rvoll. Tehtävä. Lse lusi rjfuntio f. Osoit, että jos on iinnitetty, niin joist ɛ > ohti on olemss sellinen x [, 1[, että 1 ɛ < x < 1. Käytä tätä punsi pienemmän ylärjn lsemisess. M = sup f (x) f(x) x [,1] Tehtävä 3. Käytä teorin luseit ti esi sopiv vstesimeri. Tehtävä Tuti suppeneeo derivttfuntioiden jono iill reliluvuill.. Käytä pun integrlilsennn päälusett. 3. Voit joo osoitt, että funtiot todell yhtyvät ti voit äyttää punsi teori, jo ertoo milloin rvot yhtyvät. Tehtävä Käytä Weierstrssin M-testiä. Huomioi funtiosrjn muoto.. Käytä Weierstrssin M-testiä. Huom, että nyt yseessä ei ole potenssisrj, joten integoiminen j derivoiminen on perusteltv trsti joo lusein ti suorn lsemll. Tehtävä 6. Käytä Weierstrssin M-testiä j tuti ossummien funtioiden jtuvuutt. Tehtävä 7. Muodost sopiv geometrinen srj. 4

5 Funtiojonojen j -srjojen tehtävät, 11. syysuut 5, sivu 5 / 19 Tehtävä 8. Käytä teorin osmäärä- ti juuritestejä. Muist tuti suppenemist välien päätepisteissä eriseen. Khdess viimeisessä ohdss äytä sopiv sijoitust. Tehtävä Käytä osmäärätestiä.. Käytä juuritestiä. 3. Käytä osmäärätestiä. Tehtävä 1. Muodost geometrinen srj derivttfuntiolle j suorit integrointi. Tehtävä 11. Integroi esponenttifuntion srjehitelmää termeittäin. Suorit rviointi Leibnizin luseen vull. Tehtävä 1. Käytä funtion ln(1 + x) tuttu srjehitelmää. Huomioi funtion prillisuus integoitess. 5

6 Funtiojonojen j -srjojen tehtävät, 11. syysuut 5, sivu 6 / 19 Vinejä vtivmpiin tehtäviin Tehtävä 13. Käytä pun potenssisrjojen suppenemissäteen ominisuusi. Jälimmäisessä osss muotoile sopiv geometrinen srj ossummille ti sievennä luseett sopivsti. Jtuvuuden voit osoitt äyttämällä potenssisrjojen ominisuusi. Vlitse välin mielivltisen pisteen j näytä, että funtio on jtuv siinä. Tehtävä 14. Käytä Weierstrssin M-testiä j suorit integrointi termeittäin. Tehtävä 15. Arvioi erotust f(x) dx f (x) dx sopivsti ylöspäin tsisen jtuvuuden perusteell. Tehtävä 16. Osoit, että n sup f(x) f (x) x D =n+1 rvioimll termiä n+p f (x) n f (x) sopivsti ylöspäin. 6

7 Funtiojonojen j -srjojen tehtävät, 11. syysuut 5, sivu 7 / 19 Perustehtävien rtisut Tehtävä 1. funtion sisälle eli 1. Kos funtio cos x on jtuv, niin rjnäynti voidn viedä lim cos x ( = cos lim x ) = cos = 1 iill x R. Siten funtiojono f suppenee pisteittäin ohti funtiot f(x) 1. Tsisest suppenemist trsteltess huomtn, että sup x R f (x) f(x) = sup cos x x R 1 = 1 1 =, os funtio cos x s rvoj väliltä [ 1, 1] iill Z +. Siten suppeneminen ei ole tsisest. Tässä esimerissä jtuvien funtioden jono suppenee vin pisteittäin ohti jtuv rjfuntiot. Pelä pisteittäinen suppeneminen voi siis säilyttää jtuvuuden, mutt se ei ole vrm.. Selvästi f () = 1 1. Jos x, niin 1, un. 1 + x Siis funtiojono suppenee pisteittäin ohti funtiot 1, un x = f(x) =, un x. Tsn suppeneminen ei ole tsisest, os rjfuntio ei ole jtuv, vi jonon funtiot ovt. 3. Selvästi funtiojono suppenee ohti funtiot f(x) iill reliluvuill x R. Kos funtiot f (x) ovt jtuvi välillä [, 1] ne svuttvt msimins myös tällä välillä. Nyt f (x) = (1 + x ) + x(nx) (1 + x ) = 1 x (1 + x ), jolloin derivtn nolloht svutetn välillä [, 1] pisteessä x = 1. Siten mhdolliset äärirvot ovt f() =, f( 1 ) = 1 n 1 + ( 1 ) = 1 f(1) =

8 Funtiojonojen j -srjojen tehtävät, 11. syysuut 5, sivu 8 / 19 j on helppo nähdä, että msimirvo svutetn pisteessä x = 1. Siis sup x R f (x) f(x) = sup x x R 1 + x = 1, un Täten funtiojono suppenee tsisesti ohti funtiot f(x), joten smll todistettiin pisteittäinenin suppeneminen. 4. Esimerisi, un x = π, niin sin x = 1. Täten funtiojono ei suppene ohti mitään funtiot, os jonoll (( 1) ) ei ole rj-rvo. Tehtävä. Kos x, un j < x < 1, niin rjfuntio on 1, un x = 1 f(x) =, un x < 1. Osoitetn trsti, että M = sup f (x) f(x) = 1 x [,1] iill Z +. Selvästi 1 M eli luu 1 on eräs ylärjoist. Tehdään vstoletus, että M < 1 eräällä Z +. Meritään 1 M = ɛ >. Nyt on olemss sellinen x [, 1[, että 1 ɛ < x < 1. Tämä sisi, että funtio h(x) = x on jtuv funtio j siten se tulee svuttmn ii rvot väliltä [, 1]. Siis miä on ristiriit. Täten M = 1 ɛ < x = f (x ) f(x ) M, M = sup f (x) f(x) = 1 x [,1] iill Z + j suppeneminen ei ole tsist. 8

9 Funtiojonojen j -srjojen tehtävät, 11. syysuut 5, sivu 9 / 19 Tehtävä Väittämä on vlhett, os funtiojono (f ) tsisest suppenemisest seur pisteittäinen suppeneminen.. Väittämä on tott. Oloon x R mielivltinen. Oletusen perusteell f (x) f(x). Kos (f (x)) on luvun M rjoittm suppenev jono, niin myös f(x) M. 3. Väittämä on vlhett. Trstelln funtiojono (f ), joss x, un x f (x) =, un x > iill Z +. Selvästi f (x) x, un iill x R. Nyt joinen funtio f (x) on rjoitettu, mutt rjfuntiot f(x) = x ei ole. 4. Väittämä on vlhett, sillä trsteltess funtiojono (f ), joss 1 f (x) =, un x R \ Q, un x Q, niin huomtn että se suppenee tsisesti ohti funtiot f(x), jo on jtuv iill. Kuitenn ysiään funtioist f (x) ei ole jtuv missään määrityslueens pisteessä. Itsesiss ysiään niistä ei ole edes integroituv millään välillä, vi niiden rjfuntio onin. Tehtävä Kos funtio sin(x) on rjoitettu, niin funtiojonon rjfuntion tulee olemn funtio f(x). Täten myös f (x) =. Kuitenin f (x) = d sin(x) dx = cos x. d lim f dx (x) = Täten jono (f ) ei suppene iill x R. Esimerisi rvoll x = π sdn, että f (π) = ( 1), jo hjntuu un. Siis d lim f d dx (x) lim f dx (x).. Suorn integroimll sdn, että f (x) = x t dt = 9 x/ t = x+1 + 1,

10 Funtiojonojen j -srjojen tehtävät, 11. syysuut 5, sivu 1 / 19 un iill x 1. Siis jonon rjfuntio on f(x). Lisäsi d dx lim f (x) = d f(x). dx Kos funtiot t ovt jtuvi iill Z +, niin integrlilsennn pääluseen nojll f (x) = d x t dt = x dx 1, un x = 1, un x < 1 d un. Täten lim f dx (x) d lim f dx (x). 3. Selvästi un x [, 1], niin f (x) f(x), missä f(x) = x. Lisäsi f (x) = 1 + x 1. Vlitull välillä [, 1 ] derivttfuntioiden jono näyttäisi suppenevn tsisesti ohti funtiot f (x) 1. Todistetn tämä trsti. Nyt sup x [, 1 ] f (x) f (x) = mx x [, 1 ] 1 + x 1 1 = ( ) 1, un. Kos derivttfuntiot olivt lisäsi jtuvi, niin teorin perusteell lim d dx f (x) = d dx lim f (x) välillä [, 1 ]. Tietenin olisi voitu todet tämä tulos suornin lsemll f (x) j f (x) j tutimll yhtyyö rjfuntion derivtt derivttojen rj-rvoon. Tehtävä Käytetään Weierstrssin M-testiä. Oloon 1 < < 1 j Z + mielivltisi. Jos x [, ], niin ( 1) +1 x = x. 1

11 Funtiojonojen j -srjojen tehtävät, 11. syysuut 5, sivu 11 / 19 Geometrinen srj suppenee, j vieläpä tsisesti. Kos funtiosrj suppenee, os < 1. M-Testin nojll srj f(x) = ( 1) +1 x on potenssisrj, niin sitä s derivoid j integroid termeittän suppenemissäteensä sisälle. Kos 1 < < 1 oli mielivltinen j rvoill x = ±1 srj hjntuu, niin srjn suppenemissäde R = 1. Täten väli [ 1, 1] uuluu suppenemissäteen sisälle j derivointi j integrointi termeittäin on luvllist.. Vstvll päättelyllä uin edellä j rvioll sin( 4 x) 1, iill x R sdn, että funtiosrj f(x) = sin( 4 x) suppenee tsisesti oo reliselill. Lisäsi funtiot sin(4 x) ovt jtuvi, niin teorin perusteell integrointi termeittäin on sllittu. Kuitenin os d sin( 4 x) = 4 cos( 4 x) dx = cos( 4 x), niin derivttojen jono hjntuu. Täten termeittäin derivointi ei ole luvllist. Tehtävä 6. Funtiot sin(π x) ovt jtuvi iill Z π +. Kos jtuvien funtioiden äärellinen summ on myös jtuv, niin srjn ossummfuntiot f n (x) = n sin(π x) π ovt myös jtuvi. Osoitetn Weierstrssin M-testin nojll, että funtiosrjn suppeneminen on tsist. Kos sin(π x) π = sin(π x) π 1 π 1 11

12 Funtiojonojen j -srjojen tehtävät, 11. syysuut 5, sivu 1 / 19 iill Z + j x R seä srj 1 suppenee, niin M-testin nojll funtiosrj suppenee tsisesti reliluujen jouoss. Tsinen suppeneminen säilyttää jtuvuuden, joten funtio f(x) = on jtuv. sin(π x) π Tehtävä 7. Kun x ] π, π [, niin (sin x) summn sdn f(x) = (sin x) = 1 cos x. Tehtävä Kos +1 = +1 = 1 + (sin x) + (sin x) = [, 1[, joten geometrisen srjn 1 1 sin x = , un, niin osmäärätestin perusteell suppenemissäde on R = 1. Kun x = 1, niin trsteltvn on srj, jo hjntuu. Kun x = 1, niin srj ( 1), jo myös hjntuu. Teorin perusteell funtiosrj suppenee siis täsmälleen, un 1 < x < 1.. Nyt = 1. Osmäärätestin perusteell suppenemissäde R = 1, os = = = = 1, un. Tutitn vielä suppenemist päätepisteissä x = 1 j x = 1. Kun x = 1, niin = eli hrmoninen srj, jo tunnetusti hjntuu. Eli potenssisrj ei suppene rvoll x = 1. Kuitenin, un x = 1, niin tulosen on ( 1) + 1 = i=1 i=1 1 i, ( 1) i 1 eli lternoiv hrmoninen srj, jo suppenee Leibnizin luseen perusteell. Täten potenssisrj suppenee täsmälleen silloin, un 1 x < 1. 1 i

13 Funtiojonojen j -srjojen tehtävät, 11. syysuut 5, sivu 13 / Sijoittmll y = x sdn termi smn muotoon uin edellisessä ohdss. Potenssisrj suppenee silloin j vin silloin, un 1 y < 1 eli 1 x < Tehdään sijoitus t = sin x, joilloin summ muuttuu normlisi potenssisrjsi j testejä voidn sovelt. Tällöin π = = π π. Täten suppenemissäde R = π. Kos t = sin x [ 1, 1] ] π, π [, niin srj suppenee iill t R. Siten srj suppenee iill x R. Tehtävä Nyt = (!) ()!. Täten +1 = = (( + 1)!) ()! ( + )! (!) ( + 1) ( + 1)( + ) = = , un. Täten suppenemissäde on R = 4.. Nyt ( = ) 1 = =, un. Täten juuritestin perusteell suppenemissäde R = j siten srj suppenee iill x R. 3. Kos +1 = = , niin osmäärätestin perusteell suppenemissäde on R = 4. 13

14 Funtiojonojen j -srjojen tehtävät, 11. syysuut 5, sivu 14 / 19 Tehtävä 1. Huomtn, että derivttfuntio f (x) muodost geometrisen srjn summn f (x) = x = ( x ), missä x < 1 eli 1 < x < 1. Kos yseessä on potenssisrj, niin integrointi voidn suoritt termeittäin j sdn rctn x = x dt x 1 + t = ( t ) dt = un 1 < x < 1. Täten rctn x = x, missä ( 1) i, un = i + 1 j i+1 =, un = i. ( 1) x+1 + 1, Derivoidn stu potenssisrj ert j sijoitetn siihen noll, jolloin f () () =!. Nyt = 99 = i + 1, un i = 49, j sdn f (99) () = 99! 99 = 99! ( 1)49 99 = 98! Vstvsti os 1 =, niin f (1) () =. Tehtävä 11. Käyttämällä funtion e t srjehitelmää sdn, että e t = 1 + t + t4! t6 3! Integroidn srj termeittäin j päädytään muotoon x e t dt = x/ t 1 3 t ! t ! t = x 1 3 x ! x ! x

15 Funtiojonojen j -srjojen tehtävät, 11. syysuut 5, sivu 15 / 19 Kyseessä on lternoiv srj, joten Leibnizin luseen nojll virhe on pienempi uin rvion ensimmäinen pois jätetty termi. Kos ! = 1 13 < 1 1 j x 1, un x 1, niin mun trvitsee ott vin 5 ensimmäistä termiä. Siis x e t dt x 1 3 x ! x ! x ! x9. Tehtävä 1. Nyt 1 + x f(x) = ln 1 x = 1 ln 1 + x 1 x = 1 (ln(1 + x) ln(1 x)). Kos funtioll ln(1 + x) on srjehitelmä un 1 < x 1, niin ln(1 + x) = x x + x3 3..., ln(1 x) = x x x Siis ln(1 + x) ln(1 x) = (x + x3 + x5 3 5 toisens. Siis f(x) = +...), os os termeistä umo x Kos ysymys on potenssisrjst, niin termeittäin derivointi on sllittu. Siis f (x) = x. Sm tulos stisiin myös derivoimll suorn funtiot f. Srjehitelmän perusteell f(x) = f( x) eli funtio on priton. Siten 1 1 f(x) dx =. 15

16 Funtiojonojen j -srjojen tehtävät, 11. syysuut 5, sivu 16 / 19 Vtivmpien tehtävien rtisut Tehtävä 13. Oletetn, että x = 1. Tällöin f(1) = 1 =, jo suppenee oletusen perusteell. Täten suppenemissäteen määritelmän perusteell potenssisrjn f(x) = x suppenemissäde R 1. Täten funtio f on määritelty äärellisenä inin rvoill x ] 1, 1]. Pisteessä x = 1 suppeneminen ei ole enää vrm. Esimerisi jos = ( 1)+1, niin f( 1) on hrmoninen srj, jo hjntuu. Oletetn nyt, että x < 1 j meritään s = j. Tällöin geometrisen summn perusteell j=1 n s x = 1 x + ( 1 + )x ( n )x n = 1 (x + x x n ) + (x + x x n ) n x n = 1 x 1 xn 1 x + x 1 xn 1 1 x nx n 1 x 1 x eli n (1 x) s x = 1 x(1 x n ) + x (1 x n 1 ) n x n n x n+1 Luvun n nnettess sv rjtt, niin (1 x ) muotoiset termit suppenevt ohti luu 1 j n x n+1, joten sdn väite (1 x) s x = 1 x + x +... = x = f(x). 16

17 Funtiojonojen j -srjojen tehtävät, 11. syysuut 5, sivu 17 / 19 Toinen tp osoitt tämä on lse suorn, että un n. (1 x) n s x = = n s x n s x +1 n+1 n s x s 1 x = s 1 x + = 1 x + = = n (s s 1 )x s n x n+1 = n x s n x n+1 = n x s n x n+1 f(x) = f(x), Osoittsemme, että funtio f on jtuv välillä ] 1, 1[, niin vlitn mielivltinen x < 1. Meritään ɛ = 1 x >. Nyt x ]x ɛ, x + ɛ[ ] 1, 1[ eli väli ]x ɛ, x+ɛ[ on suljettu j rjoitettu väli suppenemissäteen sisällä. Tällöin funtio f on jtuv tällä välillä j erityisesti pisteessä x. Kos luu x < 1 oli vlittu mielivltisesi, niin funtio f on potenssisrjn jtuv oo välillä ] 1, 1[. Tehtävä 14. Oletusen perusteell srj suppenee. Kos cos(x) = cos(x) in, un x R j Z +, niin funtiosrj cos(x) suppenee tsisesti jouoss R Weierstrssin M-testin nojll. Täten integrointi 17

18 Funtiojonojen j -srjojen tehtävät, 11. syysuut 5, sivu 18 / 19 voidn viedä summn sisään j os on vio unin integrlin sisällä, niin ( π ) π cos(x) dx = cos(x) dx = = = π cos(x) dx π/ sin(x) 1 (sin(π) ) =. Tehtävä 15. Kos jonon (f ) funtiot ovt jtuvi välillä [, b] j tsinen suppeneminen säilyttää jtuvuuden, niin myös rjfuntio f on jtuv välillä [, b]. Funtion jtuvuudesthn seursi integroituvuus, joten integrlit f(x) dx ovt olemss. Kos suppeneminen on tsist, niin un. Täten f(x) dx j f (x) dx b f (x) dx = (f(x) f (x)) dx sup f(x) f (x), x [,b] f(x) f (x) dx sup f(x) f (x) (b ) x [,b], un j näin ollen sdn jälimmäinen väite f(x) dx = lim f (x) dx. Tehtävä 16. Oloon f : D R jono funtioit. Oletetn, että srj suppenee j että f (x) iill x D j Z +. 18

19 Funtiojonojen j -srjojen tehtävät, 11. syysuut 5, sivu 19 / 19 Kun x D on iinnitetty, niin (f (x )) on normli relinen luujono, jo suppenee mjornttiperitteen nojll. Oloon funtio f : D R sellinen funtio, että n mielivltisi. Tällöin n+p f (x) f (x) f(x) iill x D j n. Oloon n, p Z + Kos srj suppeni, niin n f (x) = n+p =n+1 n+p =n+1 n+p =n+1 f (x) f (x). n+p =n+1 =n+1 un p iill n Z +. Täten jouo rjoitettu eli R n+p f (x) n f (x) n sup f(x) f (x) x D on ylhäältä on olemss j n sup f(x) f (x) x D =n+1, =n+1 un n, sillä on suppenevn srjn jäännöstermi. Näin ollen suppeneminen on tsist j väite on todistettu. 19