1+kx 2, x [0, 1] 4. f k (x) = (sin x) k, x R Tehtävä 2. Osoita suoraan määritelmään perustuen, että funktiojono (f k ), missä

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "1+kx 2, x [0, 1] 4. f k (x) = (sin x) k, x R Tehtävä 2. Osoita suoraan määritelmään perustuen, että funktiojono (f k ), missä"

Transkriptio

1 Funtiojonojen j -srjojen tehtävät, 11. syysuut 5, sivu 1 / 19 Perustehtäviä Tehtävä 1. Tuti seurvien funtiojonojen (f (x)) suppenemist. pisteittäistä j tsist 1. f (x) = cos x, x R. f (x) = 1 1+x, x R 3. f (x) = x 1+x, x [, 1] 4. f (x) = (sin x), x R Tehtävä. Osoit suorn määritelmään perustuen, että funtiojono (f ), missä f (x) = x, x [, 1], ei suppene tsisesti ohti rjfuntiotn. Tehtävä 3. Ovto seurvt väittämät tott? 1. Funtiojono voi supet tsisesti, mutt ei pisteittäisesti, jouoss D.. Jos funtiojono (f ) suppenee pisteittäin ohti funtiot f jouoss R j on olemss sellinen luu M >, että f (x) M iille Z + j x R, niin f(x) M iille x R. 3. Jos rjoitetuist funtioist oostuv funtiojono (f ) suppenee pisteittäin ohti funtiot f jouoss R, niin funtio f on rjoitettu. 4. Jos funtiojono (f ), jon joinen funtio on epäjtuv iiss relipisteissä suppenee pisteittäin ohti funtiot f, niin funtio f on epäjtuv iiss relipisteissä. Tehtävä 4. Lse rjfuntiot f seurville jonoille. Tuti myös ono lim d lim f dx (x). 1. f (x) = sin(x) x. f (x) = t dt, x 1 3. f (x) = x + x, x 1 d dx f (x) = Tehtävä 5. Tuti seurvien srjojen suppenemist. Ono sllittu derivoid j integroid termeittäin? 1. f(x) = ( 1) +1 x, un x [ 1, 1]. 1

2 Funtiojonojen j -srjojen tehtävät, 11. syysuut 5, sivu / 19. f(x) = sin( 4 x), un x R Tehtävä 6. Osoit, että funtio f(x) = Tehtävä 7. Lse summfuntio seurvlle funtiosrjlle. (sin x), missä x ] π, π [. sin(π x) π on jtuv iill x R. Tehtävä 8. Tuti funtiosrjojen suppenemist eri rvoill x R. 1. x x +1 (x ) +1 π (sin x) Tehtävä 9. Lse seurvien funtiosrjojen suppenemissäde. (!) 1. ()! x ( ). 1 x 3. 4 x Tehtävä 1. Oloon f(x) = rctn x. Lse potenssisrjehitelmä funtiolle f j sen vull f (99) (). Entä mitä on f (1) ()? Tehtävä 11. Kehitä rvioiv lusee funtiolle f(x) = x e t un x 1. Virhe s oll oreintn.1 ysiöä. Tehtävä 1. Oloon 1 < x < 1. Johd srjehitelmä funtiolle 1 + x f(x) = ln 1 x. Lse derivttfuntio j 1 1 f(x) dx. dt,

3 Funtiojonojen j -srjojen tehtävät, 11. syysuut 5, sivu 3 / 19 Vtivmpi tehtäviä Tehtävä 13. Oletetn, että srj suppenee j että f(x) = x. Osoit, että funtio on hyvin määritelty inin välillä ] 1, 1]. Näytä, että iille x < 1, missä s = välillä ] 1, 1[. f(x) = (1 x) s x j=1 j. Perustele lopusi misi funtio f on jtuv Tehtävä 14. Oletetn, että srj suppenee itseisesti. Osoit, että funtiosrj cos(x) suppenee tsisesti oo reliselill R j lse tr rvo integrlille ( π ) cos(x) dx. Tehtävä 15. Oletetn, että (f ) on jono funtioit, jot ovt jtuvi välillä [, b]. Osoit, että jos jono (f ) suppenee tsisesti välillä [, b] ohti funtiot f, niin funtio f on integroituv välillä [, b] j f(x) dx = lim f (x) dx. Tehtävä 16. Esitä j todist Weierstrssin M-testi. 3

4 Funtiojonojen j -srjojen tehtävät, 11. syysuut 5, sivu 4 / 19 Vinejä perustehtäviin Tehtävä Osoit ensisi, että rj-funtio on f(x) 1. Osoit sitten, että suppeneminen ei ole tsist.. Tuti suppenemist silloin un x = ti x. Tsist suppenemist vrten trstele rjfuntion jtuvuutt. 3. Osoit suorn, että suppeneminen on tsist. Tuti missä pisteessä funtiojonon funtiot svuttvt msimins. 4. Kiinnitä muuttuj x sopivsti j tuti suppeneeo jono tällä rvoll. Tehtävä. Lse lusi rjfuntio f. Osoit, että jos on iinnitetty, niin joist ɛ > ohti on olemss sellinen x [, 1[, että 1 ɛ < x < 1. Käytä tätä punsi pienemmän ylärjn lsemisess. M = sup f (x) f(x) x [,1] Tehtävä 3. Käytä teorin luseit ti esi sopiv vstesimeri. Tehtävä Tuti suppeneeo derivttfuntioiden jono iill reliluvuill.. Käytä pun integrlilsennn päälusett. 3. Voit joo osoitt, että funtiot todell yhtyvät ti voit äyttää punsi teori, jo ertoo milloin rvot yhtyvät. Tehtävä Käytä Weierstrssin M-testiä. Huomioi funtiosrjn muoto.. Käytä Weierstrssin M-testiä. Huom, että nyt yseessä ei ole potenssisrj, joten integoiminen j derivoiminen on perusteltv trsti joo lusein ti suorn lsemll. Tehtävä 6. Käytä Weierstrssin M-testiä j tuti ossummien funtioiden jtuvuutt. Tehtävä 7. Muodost sopiv geometrinen srj. 4

5 Funtiojonojen j -srjojen tehtävät, 11. syysuut 5, sivu 5 / 19 Tehtävä 8. Käytä teorin osmäärä- ti juuritestejä. Muist tuti suppenemist välien päätepisteissä eriseen. Khdess viimeisessä ohdss äytä sopiv sijoitust. Tehtävä Käytä osmäärätestiä.. Käytä juuritestiä. 3. Käytä osmäärätestiä. Tehtävä 1. Muodost geometrinen srj derivttfuntiolle j suorit integrointi. Tehtävä 11. Integroi esponenttifuntion srjehitelmää termeittäin. Suorit rviointi Leibnizin luseen vull. Tehtävä 1. Käytä funtion ln(1 + x) tuttu srjehitelmää. Huomioi funtion prillisuus integoitess. 5

6 Funtiojonojen j -srjojen tehtävät, 11. syysuut 5, sivu 6 / 19 Vinejä vtivmpiin tehtäviin Tehtävä 13. Käytä pun potenssisrjojen suppenemissäteen ominisuusi. Jälimmäisessä osss muotoile sopiv geometrinen srj ossummille ti sievennä luseett sopivsti. Jtuvuuden voit osoitt äyttämällä potenssisrjojen ominisuusi. Vlitse välin mielivltisen pisteen j näytä, että funtio on jtuv siinä. Tehtävä 14. Käytä Weierstrssin M-testiä j suorit integrointi termeittäin. Tehtävä 15. Arvioi erotust f(x) dx f (x) dx sopivsti ylöspäin tsisen jtuvuuden perusteell. Tehtävä 16. Osoit, että n sup f(x) f (x) x D =n+1 rvioimll termiä n+p f (x) n f (x) sopivsti ylöspäin. 6

7 Funtiojonojen j -srjojen tehtävät, 11. syysuut 5, sivu 7 / 19 Perustehtävien rtisut Tehtävä 1. funtion sisälle eli 1. Kos funtio cos x on jtuv, niin rjnäynti voidn viedä lim cos x ( = cos lim x ) = cos = 1 iill x R. Siten funtiojono f suppenee pisteittäin ohti funtiot f(x) 1. Tsisest suppenemist trsteltess huomtn, että sup x R f (x) f(x) = sup cos x x R 1 = 1 1 =, os funtio cos x s rvoj väliltä [ 1, 1] iill Z +. Siten suppeneminen ei ole tsisest. Tässä esimerissä jtuvien funtioden jono suppenee vin pisteittäin ohti jtuv rjfuntiot. Pelä pisteittäinen suppeneminen voi siis säilyttää jtuvuuden, mutt se ei ole vrm.. Selvästi f () = 1 1. Jos x, niin 1, un. 1 + x Siis funtiojono suppenee pisteittäin ohti funtiot 1, un x = f(x) =, un x. Tsn suppeneminen ei ole tsisest, os rjfuntio ei ole jtuv, vi jonon funtiot ovt. 3. Selvästi funtiojono suppenee ohti funtiot f(x) iill reliluvuill x R. Kos funtiot f (x) ovt jtuvi välillä [, 1] ne svuttvt msimins myös tällä välillä. Nyt f (x) = (1 + x ) + x(nx) (1 + x ) = 1 x (1 + x ), jolloin derivtn nolloht svutetn välillä [, 1] pisteessä x = 1. Siten mhdolliset äärirvot ovt f() =, f( 1 ) = 1 n 1 + ( 1 ) = 1 f(1) =

8 Funtiojonojen j -srjojen tehtävät, 11. syysuut 5, sivu 8 / 19 j on helppo nähdä, että msimirvo svutetn pisteessä x = 1. Siis sup x R f (x) f(x) = sup x x R 1 + x = 1, un Täten funtiojono suppenee tsisesti ohti funtiot f(x), joten smll todistettiin pisteittäinenin suppeneminen. 4. Esimerisi, un x = π, niin sin x = 1. Täten funtiojono ei suppene ohti mitään funtiot, os jonoll (( 1) ) ei ole rj-rvo. Tehtävä. Kos x, un j < x < 1, niin rjfuntio on 1, un x = 1 f(x) =, un x < 1. Osoitetn trsti, että M = sup f (x) f(x) = 1 x [,1] iill Z +. Selvästi 1 M eli luu 1 on eräs ylärjoist. Tehdään vstoletus, että M < 1 eräällä Z +. Meritään 1 M = ɛ >. Nyt on olemss sellinen x [, 1[, että 1 ɛ < x < 1. Tämä sisi, että funtio h(x) = x on jtuv funtio j siten se tulee svuttmn ii rvot väliltä [, 1]. Siis miä on ristiriit. Täten M = 1 ɛ < x = f (x ) f(x ) M, M = sup f (x) f(x) = 1 x [,1] iill Z + j suppeneminen ei ole tsist. 8

9 Funtiojonojen j -srjojen tehtävät, 11. syysuut 5, sivu 9 / 19 Tehtävä Väittämä on vlhett, os funtiojono (f ) tsisest suppenemisest seur pisteittäinen suppeneminen.. Väittämä on tott. Oloon x R mielivltinen. Oletusen perusteell f (x) f(x). Kos (f (x)) on luvun M rjoittm suppenev jono, niin myös f(x) M. 3. Väittämä on vlhett. Trstelln funtiojono (f ), joss x, un x f (x) =, un x > iill Z +. Selvästi f (x) x, un iill x R. Nyt joinen funtio f (x) on rjoitettu, mutt rjfuntiot f(x) = x ei ole. 4. Väittämä on vlhett, sillä trsteltess funtiojono (f ), joss 1 f (x) =, un x R \ Q, un x Q, niin huomtn että se suppenee tsisesti ohti funtiot f(x), jo on jtuv iill. Kuitenn ysiään funtioist f (x) ei ole jtuv missään määrityslueens pisteessä. Itsesiss ysiään niistä ei ole edes integroituv millään välillä, vi niiden rjfuntio onin. Tehtävä Kos funtio sin(x) on rjoitettu, niin funtiojonon rjfuntion tulee olemn funtio f(x). Täten myös f (x) =. Kuitenin f (x) = d sin(x) dx = cos x. d lim f dx (x) = Täten jono (f ) ei suppene iill x R. Esimerisi rvoll x = π sdn, että f (π) = ( 1), jo hjntuu un. Siis d lim f d dx (x) lim f dx (x).. Suorn integroimll sdn, että f (x) = x t dt = 9 x/ t = x+1 + 1,

10 Funtiojonojen j -srjojen tehtävät, 11. syysuut 5, sivu 1 / 19 un iill x 1. Siis jonon rjfuntio on f(x). Lisäsi d dx lim f (x) = d f(x). dx Kos funtiot t ovt jtuvi iill Z +, niin integrlilsennn pääluseen nojll f (x) = d x t dt = x dx 1, un x = 1, un x < 1 d un. Täten lim f dx (x) d lim f dx (x). 3. Selvästi un x [, 1], niin f (x) f(x), missä f(x) = x. Lisäsi f (x) = 1 + x 1. Vlitull välillä [, 1 ] derivttfuntioiden jono näyttäisi suppenevn tsisesti ohti funtiot f (x) 1. Todistetn tämä trsti. Nyt sup x [, 1 ] f (x) f (x) = mx x [, 1 ] 1 + x 1 1 = ( ) 1, un. Kos derivttfuntiot olivt lisäsi jtuvi, niin teorin perusteell lim d dx f (x) = d dx lim f (x) välillä [, 1 ]. Tietenin olisi voitu todet tämä tulos suornin lsemll f (x) j f (x) j tutimll yhtyyö rjfuntion derivtt derivttojen rj-rvoon. Tehtävä Käytetään Weierstrssin M-testiä. Oloon 1 < < 1 j Z + mielivltisi. Jos x [, ], niin ( 1) +1 x = x. 1

11 Funtiojonojen j -srjojen tehtävät, 11. syysuut 5, sivu 11 / 19 Geometrinen srj suppenee, j vieläpä tsisesti. Kos funtiosrj suppenee, os < 1. M-Testin nojll srj f(x) = ( 1) +1 x on potenssisrj, niin sitä s derivoid j integroid termeittän suppenemissäteensä sisälle. Kos 1 < < 1 oli mielivltinen j rvoill x = ±1 srj hjntuu, niin srjn suppenemissäde R = 1. Täten väli [ 1, 1] uuluu suppenemissäteen sisälle j derivointi j integrointi termeittäin on luvllist.. Vstvll päättelyllä uin edellä j rvioll sin( 4 x) 1, iill x R sdn, että funtiosrj f(x) = sin( 4 x) suppenee tsisesti oo reliselill. Lisäsi funtiot sin(4 x) ovt jtuvi, niin teorin perusteell integrointi termeittäin on sllittu. Kuitenin os d sin( 4 x) = 4 cos( 4 x) dx = cos( 4 x), niin derivttojen jono hjntuu. Täten termeittäin derivointi ei ole luvllist. Tehtävä 6. Funtiot sin(π x) ovt jtuvi iill Z π +. Kos jtuvien funtioiden äärellinen summ on myös jtuv, niin srjn ossummfuntiot f n (x) = n sin(π x) π ovt myös jtuvi. Osoitetn Weierstrssin M-testin nojll, että funtiosrjn suppeneminen on tsist. Kos sin(π x) π = sin(π x) π 1 π 1 11

12 Funtiojonojen j -srjojen tehtävät, 11. syysuut 5, sivu 1 / 19 iill Z + j x R seä srj 1 suppenee, niin M-testin nojll funtiosrj suppenee tsisesti reliluujen jouoss. Tsinen suppeneminen säilyttää jtuvuuden, joten funtio f(x) = on jtuv. sin(π x) π Tehtävä 7. Kun x ] π, π [, niin (sin x) summn sdn f(x) = (sin x) = 1 cos x. Tehtävä Kos +1 = +1 = 1 + (sin x) + (sin x) = [, 1[, joten geometrisen srjn 1 1 sin x = , un, niin osmäärätestin perusteell suppenemissäde on R = 1. Kun x = 1, niin trsteltvn on srj, jo hjntuu. Kun x = 1, niin srj ( 1), jo myös hjntuu. Teorin perusteell funtiosrj suppenee siis täsmälleen, un 1 < x < 1.. Nyt = 1. Osmäärätestin perusteell suppenemissäde R = 1, os = = = = 1, un. Tutitn vielä suppenemist päätepisteissä x = 1 j x = 1. Kun x = 1, niin = eli hrmoninen srj, jo tunnetusti hjntuu. Eli potenssisrj ei suppene rvoll x = 1. Kuitenin, un x = 1, niin tulosen on ( 1) + 1 = i=1 i=1 1 i, ( 1) i 1 eli lternoiv hrmoninen srj, jo suppenee Leibnizin luseen perusteell. Täten potenssisrj suppenee täsmälleen silloin, un 1 x < 1. 1 i

13 Funtiojonojen j -srjojen tehtävät, 11. syysuut 5, sivu 13 / Sijoittmll y = x sdn termi smn muotoon uin edellisessä ohdss. Potenssisrj suppenee silloin j vin silloin, un 1 y < 1 eli 1 x < Tehdään sijoitus t = sin x, joilloin summ muuttuu normlisi potenssisrjsi j testejä voidn sovelt. Tällöin π = = π π. Täten suppenemissäde R = π. Kos t = sin x [ 1, 1] ] π, π [, niin srj suppenee iill t R. Siten srj suppenee iill x R. Tehtävä Nyt = (!) ()!. Täten +1 = = (( + 1)!) ()! ( + )! (!) ( + 1) ( + 1)( + ) = = , un. Täten suppenemissäde on R = 4.. Nyt ( = ) 1 = =, un. Täten juuritestin perusteell suppenemissäde R = j siten srj suppenee iill x R. 3. Kos +1 = = , niin osmäärätestin perusteell suppenemissäde on R = 4. 13

14 Funtiojonojen j -srjojen tehtävät, 11. syysuut 5, sivu 14 / 19 Tehtävä 1. Huomtn, että derivttfuntio f (x) muodost geometrisen srjn summn f (x) = x = ( x ), missä x < 1 eli 1 < x < 1. Kos yseessä on potenssisrj, niin integrointi voidn suoritt termeittäin j sdn rctn x = x dt x 1 + t = ( t ) dt = un 1 < x < 1. Täten rctn x = x, missä ( 1) i, un = i + 1 j i+1 =, un = i. ( 1) x+1 + 1, Derivoidn stu potenssisrj ert j sijoitetn siihen noll, jolloin f () () =!. Nyt = 99 = i + 1, un i = 49, j sdn f (99) () = 99! 99 = 99! ( 1)49 99 = 98! Vstvsti os 1 =, niin f (1) () =. Tehtävä 11. Käyttämällä funtion e t srjehitelmää sdn, että e t = 1 + t + t4! t6 3! Integroidn srj termeittäin j päädytään muotoon x e t dt = x/ t 1 3 t ! t ! t = x 1 3 x ! x ! x

15 Funtiojonojen j -srjojen tehtävät, 11. syysuut 5, sivu 15 / 19 Kyseessä on lternoiv srj, joten Leibnizin luseen nojll virhe on pienempi uin rvion ensimmäinen pois jätetty termi. Kos ! = 1 13 < 1 1 j x 1, un x 1, niin mun trvitsee ott vin 5 ensimmäistä termiä. Siis x e t dt x 1 3 x ! x ! x ! x9. Tehtävä 1. Nyt 1 + x f(x) = ln 1 x = 1 ln 1 + x 1 x = 1 (ln(1 + x) ln(1 x)). Kos funtioll ln(1 + x) on srjehitelmä un 1 < x 1, niin ln(1 + x) = x x + x3 3..., ln(1 x) = x x x Siis ln(1 + x) ln(1 x) = (x + x3 + x5 3 5 toisens. Siis f(x) = +...), os os termeistä umo x Kos ysymys on potenssisrjst, niin termeittäin derivointi on sllittu. Siis f (x) = x. Sm tulos stisiin myös derivoimll suorn funtiot f. Srjehitelmän perusteell f(x) = f( x) eli funtio on priton. Siten 1 1 f(x) dx =. 15

16 Funtiojonojen j -srjojen tehtävät, 11. syysuut 5, sivu 16 / 19 Vtivmpien tehtävien rtisut Tehtävä 13. Oletetn, että x = 1. Tällöin f(1) = 1 =, jo suppenee oletusen perusteell. Täten suppenemissäteen määritelmän perusteell potenssisrjn f(x) = x suppenemissäde R 1. Täten funtio f on määritelty äärellisenä inin rvoill x ] 1, 1]. Pisteessä x = 1 suppeneminen ei ole enää vrm. Esimerisi jos = ( 1)+1, niin f( 1) on hrmoninen srj, jo hjntuu. Oletetn nyt, että x < 1 j meritään s = j. Tällöin geometrisen summn perusteell j=1 n s x = 1 x + ( 1 + )x ( n )x n = 1 (x + x x n ) + (x + x x n ) n x n = 1 x 1 xn 1 x + x 1 xn 1 1 x nx n 1 x 1 x eli n (1 x) s x = 1 x(1 x n ) + x (1 x n 1 ) n x n n x n+1 Luvun n nnettess sv rjtt, niin (1 x ) muotoiset termit suppenevt ohti luu 1 j n x n+1, joten sdn väite (1 x) s x = 1 x + x +... = x = f(x). 16

17 Funtiojonojen j -srjojen tehtävät, 11. syysuut 5, sivu 17 / 19 Toinen tp osoitt tämä on lse suorn, että un n. (1 x) n s x = = n s x n s x +1 n+1 n s x s 1 x = s 1 x + = 1 x + = = n (s s 1 )x s n x n+1 = n x s n x n+1 = n x s n x n+1 f(x) = f(x), Osoittsemme, että funtio f on jtuv välillä ] 1, 1[, niin vlitn mielivltinen x < 1. Meritään ɛ = 1 x >. Nyt x ]x ɛ, x + ɛ[ ] 1, 1[ eli väli ]x ɛ, x+ɛ[ on suljettu j rjoitettu väli suppenemissäteen sisällä. Tällöin funtio f on jtuv tällä välillä j erityisesti pisteessä x. Kos luu x < 1 oli vlittu mielivltisesi, niin funtio f on potenssisrjn jtuv oo välillä ] 1, 1[. Tehtävä 14. Oletusen perusteell srj suppenee. Kos cos(x) = cos(x) in, un x R j Z +, niin funtiosrj cos(x) suppenee tsisesti jouoss R Weierstrssin M-testin nojll. Täten integrointi 17

18 Funtiojonojen j -srjojen tehtävät, 11. syysuut 5, sivu 18 / 19 voidn viedä summn sisään j os on vio unin integrlin sisällä, niin ( π ) π cos(x) dx = cos(x) dx = = = π cos(x) dx π/ sin(x) 1 (sin(π) ) =. Tehtävä 15. Kos jonon (f ) funtiot ovt jtuvi välillä [, b] j tsinen suppeneminen säilyttää jtuvuuden, niin myös rjfuntio f on jtuv välillä [, b]. Funtion jtuvuudesthn seursi integroituvuus, joten integrlit f(x) dx ovt olemss. Kos suppeneminen on tsist, niin un. Täten f(x) dx j f (x) dx b f (x) dx = (f(x) f (x)) dx sup f(x) f (x), x [,b] f(x) f (x) dx sup f(x) f (x) (b ) x [,b], un j näin ollen sdn jälimmäinen väite f(x) dx = lim f (x) dx. Tehtävä 16. Oloon f : D R jono funtioit. Oletetn, että srj suppenee j että f (x) iill x D j Z +. 18

19 Funtiojonojen j -srjojen tehtävät, 11. syysuut 5, sivu 19 / 19 Kun x D on iinnitetty, niin (f (x )) on normli relinen luujono, jo suppenee mjornttiperitteen nojll. Oloon funtio f : D R sellinen funtio, että n mielivltisi. Tällöin n+p f (x) f (x) f(x) iill x D j n. Oloon n, p Z + Kos srj suppeni, niin n f (x) = n+p =n+1 n+p =n+1 n+p =n+1 f (x) f (x). n+p =n+1 =n+1 un p iill n Z +. Täten jouo rjoitettu eli R n+p f (x) n f (x) n sup f(x) f (x) x D on ylhäältä on olemss j n sup f(x) f (x) x D =n+1, =n+1 un n, sillä on suppenevn srjn jäännöstermi. Näin ollen suppeneminen on tsist j väite on todistettu. 19

7 Funktiosarjoista. 7.1 Funktiosarjojen suppeneminen

7 Funktiosarjoista. 7.1 Funktiosarjojen suppeneminen 7 Funktiosrjoist 7. Funktiosrjojen suppeneminen Seurvksi trkstelln srjoj, joiden termit ovt (lukujen sijst) jollkin välillä I määriteltyjä funktioit. Täsmällisemmin funktiosrjll (ti lyhyemmin srjll) trkoitetn

Lisätiedot

II.1. Suppeneminen., kun x > 0. Tavallinen lasku

II.1. Suppeneminen., kun x > 0. Tavallinen lasku II. EPÄOLEELLISET INTEGRAALIT nt II.. Suppeneminen Esim. Olkoon f() =, kun >. Tvllinen lsku = / =. Kuitenkn tätä integrli ei ole ikisemmss mielessä määritelty, kosk f ei ole rjoitettu välillä [, ] (eikä

Lisätiedot

Sisältö. Funktiojonot ja -sarjat 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 15

Sisältö. Funktiojonot ja -sarjat 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 15 Funktiojonot j -srjt 10. syyskuut 2005 sivu 1 / 15 Sisältö 1 Funktiojonoist 2 2 Funktiosrjoist 5 3 Funktiojonojen j -srjojen derivointi j integrointi 7 4 Potenssisrjt 9 5 Tylorin polynomit j srjt 12 5.1

Lisätiedot

73035 Insinöörimatematiikka 2

73035 Insinöörimatematiikka 2 7335 Insinöörimtemtii Kesä 5 Tmpereen tenillinen yliopisto Risto Silvennoinen. Luusrjt. Funtiosrjt 8 3. Relifuntioiden määräämätön integrli 5 4. Relifuntioiden määrätty integrli 6 5. Integrointi n-ulotteisess

Lisätiedot

funktiojono. Funktiosarja f k a k (x x 0 ) k

funktiojono. Funktiosarja f k a k (x x 0 ) k SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 3 4. Funtiosarjat Tässä luvussa esitettävissä funtiosarjojen tulosissa yhdistämme luujen 3 teoriaa. Esimeri 4.. Geometrinen sarja x suppenee aiilla x ], [ ja hajaantuu

Lisätiedot

5 Epäoleellinen integraali

5 Epäoleellinen integraali 5 Epäoleellinen integrli 5. Integrlin suppeneminen Olkoon f sellinen välillä [, b[ (ei siis välttämättä pisteessä b) määritelty funktio, että f on Riemnn-integroituv välillä [, ] kikill ], b[ eli on olemss

Lisätiedot

TEHTÄVÄ 1. Olkoon (f n ) jono jatkuvia funktioita f n : [a, b] R, joka suppenee välillä [a, b] tasaisesti kohti funktiota f : [a, b] R.

TEHTÄVÄ 1. Olkoon (f n ) jono jatkuvia funktioita f n : [a, b] R, joka suppenee välillä [a, b] tasaisesti kohti funktiota f : [a, b] R. Topologi I Hrjoitus 10, rtkisuj AP TEHTÄVÄ 1. Olkoon (f n ) jono jtkuvi funktioit f n : [, b] R, jok suppenee välillä [, b] tsisesti kohti funktiot f : [, b] R. Osoit, että tällöin f n (x) dx f(x) dx.

Lisätiedot

Tehtävä 3. Määrää seuraavien jonojen raja-arvot 1.

Tehtävä 3. Määrää seuraavien jonojen raja-arvot 1. Jonotehtävät, 0/9/005, sivu / 5 Perustehtävät Tehtävä. Muotoile matemaattiset vastineet seuraavien väitteiden negaatioille (ts. vastaohdat).. Jono (a n ) suppenee ohti luua a.. Jono (a n ) on asvava. 3.

Lisätiedot

Sarjat ja integraalit

Sarjat ja integraalit Srjt j integrlit c Mtemttisten tieteiden litos, Oulun yliopisto Versio: 9.3.0 Viimeksi muoknnut: Peter Hästö Sisältö Funktion rj-rvo j jtkuvuus. Peruskäsitteitä........................................

Lisätiedot

SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT Funktiojonot 1

SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT Funktiojonot 1 SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 JOUNI PARKKONEN Sisältö 0. Tästä tekstistä. Funktiojonot 0. Tästä tekstistä Tämä moniste on trkoitettu käytettäväksi kurssin Srjt j differentiliyhtälöt luentomterilin.

Lisätiedot

1. Derivaatan Testi. Jos funktio f on jatkuva avoimella välillä ]a, b[ ja x 0 ]a, b[ on kriit. tai singul. piste niin. { f (x) > 0, x ]a, x 0 [

1. Derivaatan Testi. Jos funktio f on jatkuva avoimella välillä ]a, b[ ja x 0 ]a, b[ on kriit. tai singul. piste niin. { f (x) > 0, x ]a, x 0 [ 1. Derivtn Testi Jos funktio f on jtkuv voimell välillä ], b[ j x 0 ], b[ on kriit. ti singul. piste niin { f (x) < 0, x ], x 0 [ f x (x) > 0, x ]x 0, b[ 0 on lokli minimipiste (1) { f (x) > 0, x ], x

Lisätiedot

IV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n

IV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n IV. TASAINEN SUPPENEMINEN IV.. Funktiojonon tasainen suppeneminen Olkoon A R joukko ja f n : A R funktio, n =, 2, 3,..., jolloin jokaisella x A muodostuu lukujono f x, f 2 x,.... Jos tämä jono suppenee

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali MS-A1{3,4} (ELEC*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 8: Integrlifunktio j epäoleellinen integrli Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos 5.1.216 Pekk Alestlo,

Lisätiedot

8 Potenssisarjoista. 8.1 Määritelmä. Olkoot a 0, a 1, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.1. Muotoa

8 Potenssisarjoista. 8.1 Määritelmä. Olkoot a 0, a 1, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.1. Muotoa 8 Potenssisarjoista 8. Määritelmä Olkoot a 0, a, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.. Muotoa a 0 + a (x c) + a 2 (x c) 2 + olevaa sarjaa sanotaan c-keskiseksi potenssisarjaksi. Selvästi jokainen

Lisätiedot

Integroimistehtävät, 10. syyskuuta 2005, sivu 1 / 29. Perustehtäviä. Tehtävä 1. Osoita, että vakiofunktio f(x) c on Riemann-integroituva välillä

Integroimistehtävät, 10. syyskuuta 2005, sivu 1 / 29. Perustehtäviä. Tehtävä 1. Osoita, että vakiofunktio f(x) c on Riemann-integroituva välillä Integroimistehtävät,. syyskuut 5, sivu / 9 Perustehtäviä Tehtävä. Osoit, että vkiofunktio f(x) c on Riemnn-integroituv välillä [, b] j lske suorn määritelmän perusteell b f(x). Tehtävä. Osoit, että funktio,

Lisätiedot

Sisältö. Integraali 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 20

Sisältö. Integraali 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 20 Integrli 10. syyskuut 2005 sivu 1 / 20 Sisältö 1 Määrätty integrli j integrlifunktio 2 1.1 Integroituvist funktioit 3 1.2 Määrätyn integrlin ominisuuksi 4 1.3 Integrlifunktio 5 1.4 Integrlilskennn tärkeimmät

Lisätiedot

ANALYYSI I, kevät 2009

ANALYYSI I, kevät 2009 ANALYYSI I, kevät 009 Sisältö Relilukujen peruskäsitteitä Lukujonoist 4. Lukujonon rj-rvo....................... 4. Monotoniset jonot..........................3 Osjonot.............................. 7.4

Lisätiedot

MS-A010{2,3,4,5} (SCI, ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali

MS-A010{2,3,4,5} (SCI, ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali MS-A1{2,3,4,5} (SC, ELEC*, ENG*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 8: ntegrlifunktio j epäoleellinen integrli Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos November

Lisätiedot

ANALYYSI I, kevät 2009

ANALYYSI I, kevät 2009 5 Riemnnin integrli 7 ANALYYSI I, kevät 9 5. Integrlin perusominisuuksi................. 76 5. Anlyysin perusluse....................... 8 Sisältö Relilukujen peruskäsitteitä Lukujonoist 3. Lukujonon rj-rvo.......................

Lisätiedot

2 Taylor-polynomit ja -sarjat

2 Taylor-polynomit ja -sarjat 2 Taylor-polynomit ja -sarjat 2. Taylor-polynomi Taylor-polynomi P n (x; x 0 ) funtion paras n-asteinen polynomiapprosimaatio (derivoinnin annalta) pisteen x 0 lähellä. Maclaurin-polynomi: tapaus x 0 0.

Lisätiedot

ANALYYSI I, kevät 2009

ANALYYSI I, kevät 2009 ANALYYSI I, kevät 2009 Sisältö Relilukujen peruskäsitteitä 2 Lukujonoist 3 2. Lukujonon rj-rvo....................... 3 2.2 Monotoniset jonot......................... 7 2.3 Osjonot..............................

Lisätiedot

Viikon aiheet. Pinta-ala

Viikon aiheet. Pinta-ala info Viikon iheet Mpu I:sen voit suoritt: Kurssin loppukokeess 23.10. Arvosn: koe + lskrit Mikäli yo. ik ei sovi, voit suoritt loppukokeen yleistenttitilisuudess 24.11. Arvosn: koe + lskrit. Ilmoittudu

Lisätiedot

Koska sarjat ovat summien jonoja, kertaamme ensin jonojen teoriasta joitakin kohtia syksyltä.

Koska sarjat ovat summien jonoja, kertaamme ensin jonojen teoriasta joitakin kohtia syksyltä. 29 Luusrjt Kos srjt ovt summien jonoj, ertmme ensin jonojen teorist joitin ohti sysyltä. Jonot Jono on mtemtiin iein perustvimpi äsitteitä j sen vull ohdtn äärettömyys ensimmäistä ert. Luulueit muodostettess

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Mtemtiikn tukikurssi Kurssikert 4 Tilvuuden j vipn ln lskeminen Kuten iemmin käsittelimme, määrätyn integrlin vull voi lske pintloj j tilvuuksi. Tyypillisenä sovelluksen tilvuuden lskemisest on tpus, joss

Lisätiedot

ANALYYSI 3. Tero Kilpeläinen

ANALYYSI 3. Tero Kilpeläinen ANALYYSI 3 Tero Kilpeläinen Luentomuistiinpnoj syksyltä 2005 20. lokkuut 2005 Sisältö 1. Esitietoj 2 1.1. Riemnn-integrli............................ 2 1.2. Derivtt................................. 4 1.3.

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Mtemtiikn tukikurssi Kurssikert 5 1 Jtkuvuus Trkstelln funktiot fx) josskin tietyssä pisteessä x 0. Tämä funktio on tässä pisteessä joko jtkuv ti epäjtkuv. Jtkuvuuden ymmärtää prhiten trkstelemll epäjtkuv

Lisätiedot

Funktiojonot ja funktiotermiset sarjat Funktiojono ja funktioterminen sarja Pisteittäinen ja tasainen suppeneminen

Funktiojonot ja funktiotermiset sarjat Funktiojono ja funktioterminen sarja Pisteittäinen ja tasainen suppeneminen 4. Funktiojonot ja funktiotermiset sarjat 4.1. Funktiojono ja funktioterminen sarja 60. Tutki, millä muuttujan R arvoilla funktiojono f k suppenee, kun Mikä on rajafunktio? a) f k () = 2k 2k + 1, b) f

Lisätiedot

7303045 Laaja matematiikka 2 Kevät 2005 Risto Silvennoinen

7303045 Laaja matematiikka 2 Kevät 2005 Risto Silvennoinen 7303045 Lj mtemtii 2 Kevät 2005 Risto Silveoie. Luusrjt Kos srjt ovt summie jooj, ertmme esi jooje teori. Joot Joo o mtemtii iei perustvimpi äsitteitä j se vull ohdt äärettömyys esimmäistä ert. Luulueit

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiian tuiurssi Kurssierta 5 Sarjojen suppeneminen Kiinnostusen ohteena on edelleen sarja a n = a + a 2 + a 3 + a 4 + n= Tämä summa on mahdollisesti äärellisenä olemassa, jolloin sanotaan että sarja

Lisätiedot

a = x 0 < x 1 < x 2 < < x n = b f(x) dx = I. lim f(x k ) x k=1

a = x 0 < x 1 < x 2 < < x n = b f(x) dx = I. lim f(x k ) x k=1 5 Integrli 5.1 Määritelmä j ominisuudet Olkoon f : [, b] R jtkuv. Muodostetn välin [, b] jko = x 0 < x 1 < x 2 < < x n = b j siihen liittyvä yläsumm S = n M k (x k x k 1 ), M k = mx{f(x) x k 1 x x k },

Lisätiedot

Perustehtäviä. Sarjateorian tehtävät 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 24

Perustehtäviä. Sarjateorian tehtävät 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 24 Sarjateorian tehtävät 0. syysuuta 2005 sivu / 24 Perustehtäviä. Muunna sarja telesooppimuotoon ja osoita, että se suppenee. Lase myös sarjan summa. ( + ) = 2 + 6 + 2 +... 2. Osoita suoraan määritelmään

Lisätiedot

Riemannin integraalista

Riemannin integraalista Lebesguen integrliin sl. 2007 Ari Lehtonen Riemnnin integrlist Johdnto Tämän luentomonisteen trkoituksen on tutustutt lukij Lebesgue n integrliin j sen perusominisuuksiin mhdollisimmn yksinkertisess tpuksess:

Lisätiedot

2.4 Pienimmän neliösumman menetelmä

2.4 Pienimmän neliösumman menetelmä 2.4 Pienimmän neliösummn menetelmä Optimointimenetelmiä trvitn usein kokeellisen dtn nlysoinniss. Mittuksiin liittyy virhettä, joten mittus on toistettv useit kertoj. Oletetn, että mittn suurett c j toistetn

Lisätiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 1. viikolle /

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 1. viikolle / MS-A8 Differentiaali- ja integraalilasenta, V/27 Differentiaali- ja integraalilasenta Rataisut. viiolle /. 3.4. Luujonot Tehtävä : Mitä ovat luujonon viisi ensimmäistä termiä, un luujono on a) (a n ) n=,

Lisätiedot

Sarjojen tasainen suppeneminen

Sarjojen tasainen suppeneminen Srjojen tsinen suppeneminen Pro grdu -tutkielm Krist Mikkonen 165274 Itä-Suomen yliopisto Fysiikn j mtemtiikn litos 19. mrrskuut 2013 Sisältö 1 Johdnto 1 2 Lukujonoist j srjoist 2 2.1 Lukujoukoist...........................

Lisätiedot

III. SARJATEORIAN ALKEITA. III.1. Sarjan suppeneminen. x k = x 1 + x 2 + x ,

III. SARJATEORIAN ALKEITA. III.1. Sarjan suppeneminen. x k = x 1 + x 2 + x , III. SARJATEORIAN ALKEITA Sarja on formaali summa III.. Sarjan suppeneminen = x + x 2 + x 3 +..., missä R aiilla N (merintä ei välttämättä taroita mitään reaaliluua). Luvut x, x 2,... ovat sarjan yhteenlasettavat

Lisätiedot

Ville Turunen: Mat Matematiikan peruskurssi P1 3. välikokeen alueen teoriatiivistelmä 2007

Ville Turunen: Mat Matematiikan peruskurssi P1 3. välikokeen alueen teoriatiivistelmä 2007 Ville Turunen: Mt-.4 Mtemtiikn peruskurssi P 3. välikokeen lueen teoritiivistelmä 27 Mterili: kirjt [Adms] R. A. Adms: Clculus, complete course (6th edition), [Ly] D. C. Ly: Liner lgebr nd its pplictions

Lisätiedot

lim + 3 = lim = lim (1p.) (3p.) b) Lausekkeen täytyy supistua (x-2):lla, joten osoittajan nollakohta on 2.

lim + 3 = lim = lim (1p.) (3p.) b) Lausekkeen täytyy supistua (x-2):lla, joten osoittajan nollakohta on 2. Mtemtiikk III 0600 Kurssi / Differetili- j itegrlilske jtkokurssi Tee 7 tehtävää ) Määritä lim ( ) ) + b) Määritä vkio site, että luseke ( ) + + ( )( ) ( + + ) + + + + + lim + lim lim (p) o jtkuv myös

Lisätiedot

3 Integraali ja derivaatta

3 Integraali ja derivaatta 3 Integrli j erivtt 3.1 Integrli ylärjns funktion Olkoon funktio f Riemnn-integroituv välin I jokisell suljetull osvälillä j välin I jokin kiinteä luku. Tällöin integrli määrittelee funktion G(): I R,

Lisätiedot

Analyysi 2. Harjoituksia lukuihin 1 3 / Kevät Anna sellainen välillä ] 2, 2[ jatkuva ja rajoitettu funktio f, että

Analyysi 2. Harjoituksia lukuihin 1 3 / Kevät Anna sellainen välillä ] 2, 2[ jatkuva ja rajoitettu funktio f, että Anlyysi Hrjoituksi lukuihin 3 / Kevät 5. Ann sellinen välillä ], [ jtkuv j rjoitettu funktio f, että () sup A m A j inf A min A, (b) sup A m A j inf A = min A, (c) sup A = m A j inf A min A, (d) sup A

Lisätiedot

Matemaattinen Analyysi

Matemaattinen Analyysi Vaasan yliopisto, evät 05 / ORMS00 Matemaattinen Analyysi 6. harjoitus. Approsimoi toisen asteen polynomilla P(x) = b 0 +b x+b x oheisen tauluon muaisia havaintoja. (Teorian löydät opetusmonisteen sivuilta

Lisätiedot

1 Jonot. 2 Sarjat. 3 Jatkuvuus. 4 Derivaatta. 5 Taylor-polynomit ja -sarjat. 1.2 Jonot. jossa

1 Jonot. 2 Sarjat. 3 Jatkuvuus. 4 Derivaatta. 5 Taylor-polynomit ja -sarjat. 1.2 Jonot. jossa Sisältö MS-AX Differentili- j integrlilskent Nämä klvot sisältävät otsikoss minitun kurssin keskeisen mterilin, mutt myös pljon oheislukemist. Luennoill voidn käsitellä myös täydentäviä esimerkkejä, kosk

Lisätiedot

ANALYYSIN TEORIA A JA B

ANALYYSIN TEORIA A JA B ANALYYSIN TEORIA A JA B Kikki luseit ei ole muotoiltu smll tvll kuin luennoill. Ilmoit virheistä yms osoitteeseen mikko.kngsmki@ut. (jos et ole vrm, onko kyseessä virhe, niin ilmoit mieluummin). 1. Yleistä,

Lisätiedot

termit on luontevaa kirjoittaa summamuodossa. Tällöin päädymme lukusarjojen teoriaan: a k = s.

termit on luontevaa kirjoittaa summamuodossa. Tällöin päädymme lukusarjojen teoriaan: a k = s. SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 7 3. Luusarjat Josus luujonon (b ) termit on luontevairjoittaa summamuodossa. Tällöin päädymme luusarjojen teoriaan: Määritelmä 3.. Oloon ( ), R luujono. Symboli (3.)

Lisätiedot

4. Reaalifunktioiden määrätty integraali

4. Reaalifunktioiden määrätty integraali 6 4. Relifunktioiden määrätt integrli Vrsinisesti termi "integrli" tulee seurvss esitettävästä määrätstä integrlist, jok on läheistä suku summmiselle. Yhtes derivttn on sitten perustv ltu olev tulos, jot

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ PISTEYTYSKOKOUS

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ PISTEYTYSKOKOUS 0 MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 30 PISTEYTYSKOKOUS 0 ) Sijoitetn x 0 Rtkistn = 0/04,0000 b) Jos neliön sivu on s, niin lävistäjä on s Ehto: s 6 s + s = 6, s 6 3 4s 6,70, joten piiri ) Suorn yhtälö

Lisätiedot

521. 522. 523. 524. 525. 526. 527. 12. Lisää määrätystä integraalista. 12.1. Integraalin arvioimisesta. Osoita: VASTAUS: Osoita: Osoita:

521. 522. 523. 524. 525. 526. 527. 12. Lisää määrätystä integraalista. 12.1. Integraalin arvioimisesta. Osoita: VASTAUS: Osoita: Osoita: 12. Lisää määrätystä integrlist 12.1. Integrlin rvioimisest 521. Osoit: 1 + x 2 22 1 < < 1 + x21 21. 522. Osoit: x 3 < 5 x 6 + 8x + 9 < 15 1 5. 523. Osoit: 2 2 < e x2 x < 2e 2. e 524. Olkoon k >. Osoit:

Lisätiedot

6 Integraalilaskentaa

6 Integraalilaskentaa 6 Integrlilskent 6. Integrlifunktio Funktion f integrlifunktioksi snotn funktiot F, jonk derivtt on f. Siis F (x) = f (x) määrittelyjoukon jokisell muuttujn rvoll x. Merkitään F(x) = f (x) dx. Integrlifunktion

Lisätiedot

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 005, sivu 1 / 13 Tehtäviä Tehtävä 1. Johda toiseen asteen yhtälön ax + bx + c = 0, a 0 ratkaisukaava. Tehtävä. Määrittele joukon A R pienin yläraja sup A ja suurin alaraja

Lisätiedot

2 INTEGRAALILASKENTAA 2.1 MÄÄRÄTTY INTEGRAALI

2 INTEGRAALILASKENTAA 2.1 MÄÄRÄTTY INTEGRAALI 37 INTEGRAALILASKENTAA.1 MÄÄRÄTTY INTEGRAALI Trstell ploitti jtuv j rjoitettu (siis ei ääretötä) futiot f ( ) välillä [, ] (s. uv) Jet väli [, ] :ää h-levyisee os h j meritää h, missä 0,1,,..., Joo liittyvä

Lisätiedot

i 2 n 3 ( (n 1)a (i + 1) 3 = 1 +

i 2 n 3 ( (n 1)a (i + 1) 3 = 1 + I. INTEGRAALILASKENTA Arkhimedes (287 22 e.kr.) prbelin segmentin pint-l Newton (642 727) j Leibniz (646 76) keksivät diff.- j int.-lskennn Cuhy (789 857) ε, δ Riemnn (826 866) Riemnnin integrli Lebesgue

Lisätiedot

Sarja on "summa, jossa on äärettömän monta yhteenlaskettavaa". Täsmällisempi määritelmä on seuraava: Tarkastellaan lukujonoa ( a n)

Sarja on summa, jossa on äärettömän monta yhteenlaskettavaa. Täsmällisempi määritelmä on seuraava: Tarkastellaan lukujonoa ( a n) MAT-3430 Lj mtemtii 3 TTY 200 Risto Silveoie Luu 7. Luusrjt Seurvss o lyhyt esitys srjteorist. Puuttuvt todistuset äydää suurimmlt osi läpi lueoll j e löytyvät myös Fitzptrici ti Trechi irjst. Srj o "summ,

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 7: Integraali ja analyysin peruslause

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 7: Integraali ja analyysin peruslause MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 7: Integrli j nlyysin perusluse Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos 3.10.2016 Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen

Lisätiedot

x k 1 Riemannin summien käyttö integraalin approksimointiin ei ole erityisen tehokasta; jatkuvasti derivoituvalle funktiolle f virhe b

x k 1 Riemannin summien käyttö integraalin approksimointiin ei ole erityisen tehokasta; jatkuvasti derivoituvalle funktiolle f virhe b 5 Integrlien lskemisest 51 Riemnnin summt [A2], [4, 61] Rjoitetun funktion f : [, b] R Riemnn-integroituvuudelle ytäpitäväksi on kurssill Anlyysi 2 osoitettu, että Riemnnin summill S P := f(ξ k ) ( ),

Lisätiedot

11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS

11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS 11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS Tilvuus on sen verrn rkielämässä viljelty käsite, että useimmiten sen syvemmin edes miettimättä ymmärretään, mitä juomlsin ti pikkuvuvn kylpymmeen tilvuudell trkoitetn.

Lisätiedot

10. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA

10. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA MAA0 0. Määrätyn integrlin käyttö eräiden pint-lojen lskemisess 0. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA Edellä on todettu, että f (x)dx nt x-kselin j suorien x =, x = sekä funktion

Lisätiedot

Määritelmä Olkoon C R m yksinkertainen kaari ja γ : [a, b] R m sen yksinkertainen parametriesitys, joka on paloittain C 1 -polku.

Määritelmä Olkoon C R m yksinkertainen kaari ja γ : [a, b] R m sen yksinkertainen parametriesitys, joka on paloittain C 1 -polku. Muodostetn vektorikentän kri-integrli yksinkertisen kren tpuksess. Plutetn mieleen, että joukko C R m on yksinkertinen kri, jos löytyy sellinen jtkuv bijektio γ : [, b] C, jok on ploittin C 1 -funktio

Lisätiedot

1.3 Toispuoleiset ja epäoleelliset raja-arvot

1.3 Toispuoleiset ja epäoleelliset raja-arvot . Toisuoleiset j eäoleelliset rj-rvot Rj-rvo lim f () A olemssolo edellyttää että muuttuj täytyy void lähestyä rvo kummst suust hyväsä. Jos > ii sot että lähestyy rvo oikelt ositiivisest suust. Jos ts

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kertausluento 2. välikokeeseen Toisessa välikokeessa on syytä osata ainakin seuraavat asiat:. Potenssisarjojen suppenemissäde, suppenemisväli ja suppenemisjoukko. 2. Derivaatan

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Mtemtiikn tukikurssi Kurssikert 3 Määrätyn integrlin lskeminen Aiemmin määrittelimme määrätyn integrlin f (x)dx funktion f (x) l- j yläsummien rj-rvon. Määrätyllä integrlill on kksi intuitiivist tulkint:.

Lisätiedot

Sarjaratkaisun etsiminen Maplella

Sarjaratkaisun etsiminen Maplella Srjrtkisun etsiminen Mplell Olkoon trksteltvn ensimmäisen kertluvun differentiliyhtälö: > diffyht:= diff(y(x, x=1y(x^; d diffyht := = dx y( x 1 y( x Tälle pyritään etsimään srjrtkisu origokeskisenä potenssisrjn.

Lisätiedot

Lebesguen integraali - Rieszin määritelmä

Lebesguen integraali - Rieszin määritelmä Lebesguen integrli - Rieszin määritelmä Tru Lehtonen Mtemtiikn pro grdu-tutkielm Jyväskylän yliopisto Mtemtiikn j tilstotieteen litos Kevät 216 Tiivistelmä Jyväskylän Yliopisto Lehtonen, Tru Puliin: Lebesguen

Lisätiedot

MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 7: Integraali ja analyysin peruslause

MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 7: Integraali ja analyysin peruslause MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 7: Integrli j nlyysin perusluse Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos November 20, 2017

Lisätiedot

Riemannin integraalista

Riemannin integraalista TAMPEREEN YLIOPISTO Pro grdu -tutkielm Aij Stenberg Riemnnin integrlist Mtemtiikn j tilstotieteen litos Mtemtiikk Syyskuu 2010 2 Tmpereen yliopisto Mtemtiikn j tilstotieteen litos STENBERG, AIJA: Riemnnin

Lisätiedot

Kertausta ja täydennystä

Kertausta ja täydennystä LUKU 1 Kertust j täydennystä 1.1. Merkintöjä N = {k Z k 0} = {0, 1, 2,... }, luonnollisten lukujen joukko. Z + = {k Z k > 0} = {1, 2,... }, positiivisten kokonislukujen joukko. (, b) on relikselin voin

Lisätiedot

H7 Malliratkaisut - Tehtävä 1

H7 Malliratkaisut - Tehtävä 1 H7 Malliratkaisut - Tehtävä Eelis Mielonen 7. lokakuuta 07 a) Palautellaan muistiin Maclaurin sarjan määritelmä (Taylorin sarja origon ympäristössä): f n (0) f(x) = (x) n Nyt jos f(x) = ln( + x) saadaan

Lisätiedot

Kertymäfunktio. Kertymäfunktio. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 2/2. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 1/2. Kertymäfunktio: Esitiedot

Kertymäfunktio. Kertymäfunktio. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 2/2. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 1/2. Kertymäfunktio: Esitiedot TKK (c) Ilkk Mellin (24) 1 Johdtus todennäköisyyslskentn TKK (c) Ilkk Mellin (24) 2 : Mitä opimme? 1/2 Jos stunnisilmiötä hlutn mllint mtemttisesti, on ilmiön tulosvihtoehdot kuvttv numeerisess muodoss.

Lisätiedot

2.2 Monotoniset jonot

2.2 Monotoniset jonot Mtemtiik tito 9, RATKAISUT Mootoiset joot ) Kosk,,,, ii 0 Lukujoo ( ) o siis lhlt rjoitettu Toislt 0 Lukujoo (

Lisätiedot

1 Jonot. 2 Sarjat. 3 Jatkuvuus. 4 Derivaatta. 5 Taylor-polynomit ja -sarjat. 1.2 Jonot. jossa

1 Jonot. 2 Sarjat. 3 Jatkuvuus. 4 Derivaatta. 5 Taylor-polynomit ja -sarjat. 1.2 Jonot. jossa Sisältö MS-AX Differentili- j integrlilskent Pekk Alestlo Alto-yliopisto.9.26 Nämä klvot sisältävät otsikoss minitun kurssin keskeisen mterilin, mutt myös pljon oheislukemist. Luennoill voidn käsitellä

Lisätiedot

1 Jonot. 2 Sarjat. 3 Jatkuvuus. 4 Derivaatta. 5 Taylor-polynomit ja -sarjat / Jonot / 200. jossa / 200

1 Jonot. 2 Sarjat. 3 Jatkuvuus. 4 Derivaatta. 5 Taylor-polynomit ja -sarjat / Jonot / 200. jossa / 200 MS-AX Differentili- j integrlilskent Pekk Alestlo Alto-yliopisto 24..26 Kiitokset Riikk Kortteelle, Jrmo Mliselle j kurssien opiskelijoille pinovirheiden korjuksist. 24..26 Kiitokset Riikk Kortteelle,

Lisätiedot

infoa Viikon aiheet Potenssisarja a n = c n (x x 0 ) n < 1

infoa Viikon aiheet Potenssisarja a n = c n (x x 0 ) n < 1 infoa Viikon aiheet Tentti ensi viikolla ma 23.0. klo 9.00-3.00 Huomaa, alkaa tasalta! D0 (Sukunimet A-) E204 (Sukunimet S-Ö) Mukaan kynä ja kumi. Ei muuta materiaalia. Tentissä kaavakokoelma valmiina.

Lisätiedot

2 Riemann-integraali. 2.1 Porrasfunktion integraali. Aloitetaan integraalin täsmällinen määrittely tutkimalla porrasfunktion integraalia.

2 Riemann-integraali. 2.1 Porrasfunktion integraali. Aloitetaan integraalin täsmällinen määrittely tutkimalla porrasfunktion integraalia. 2 Riemnn-integrli 2.1 Porrsfunktion integrli Aloitetn integrlin täsmällinen määrittely tutkimll porrsfunktion integrli. Määritelmä 2.1 (Porrsfunktion integrli). Olkoon f : [, b] R porrsfunktio j P = {x

Lisätiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1: tiivistelmä ja oheislukemista

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1: tiivistelmä ja oheislukemista Differentili- j integrlilskent 1: tiivistelmä j oheislukemist Pekk Alestlo 4. syyskuut 2014 Tähdellä merkityt kohdt on trkoitettu lähinnä oheislukemistoksi. Lisäksi mukn on joitkin lukiot kertvi kohti,

Lisätiedot

a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. 8 3 + 4 2 0 = 16 3 = 3 1 3.

a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. 8 3 + 4 2 0 = 16 3 = 3 1 3. Integraalilaskenta. a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. b) Mitä määrätty integraali tietyllä välillä x tarkoittaa? Vihje: * Integraali * Määrätyn integraalin

Lisätiedot

S Fysiikka III (EST), Tentti

S Fysiikka III (EST), Tentti S-114.137 Fysiikk III (ES), entti 30.8.006 1. Lämpövoimkone toteutt oheisen kuvn Crnotin prosessi. Koneess on työineen yksi mooli ideliksu. Lske yksitomisen ksun kierroksen ikn tekemän työn suhde kksitomisen

Lisätiedot

VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 3.6.2014 Ratkaisut ja arvostelu

VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 3.6.2014 Ratkaisut ja arvostelu VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 3.6.4 Rtkisut j rvostelu. Koululisen todistuksen keskirvo x on lskettu ) b) c) d) kymmenen ineen perusteell. Jos koululinen nostisi neljän ineen

Lisätiedot

Sisältö. Sarjat 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 17

Sisältö. Sarjat 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 17 Sarjat 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 17 Sisältö 1 Peruskäsitteistöä 2 1.1 Määritelmiä 2 1.2 Perustuloksia 4 2 Suppenemistestejä positiivitermisille sarjoille 5 3 Itseinen ja ehdollinen suppeneminen 8 4 Alternoivat

Lisätiedot

MITEN MÄÄRITÄN ASYMPTOOTIT?

MITEN MÄÄRITÄN ASYMPTOOTIT? MITEN MÄÄRITÄN ASYMPTOOTIT? Asmptootti Asmptootti on suor ti muu kärä, jot funktion kuvj f() rjtt lähest, kun muuttujn rvot lähestvät tiettä luku ti ääretöntä. Rjoitutn luksi niihin tpuksiin, joiss smptootti

Lisätiedot

Analyysi B. Derivaatta ja integraali. Pertti Koivisto

Analyysi B. Derivaatta ja integraali. Pertti Koivisto Anlyysi B Derivtt j integrli Pertti Koivisto Kevät 7 Alkusnt Tämä moniste on trkoitettu oheislukemistoksi Tmpereen yliopistoss pidettävälle kurssille Anlyysi B. Monisteen tvoitteen on tuke luentojen seurmist,

Lisätiedot

Laudatur 10 MAA10 ratkaisut kertausharjoituksiin

Laudatur 10 MAA10 ratkaisut kertausharjoituksiin Ludtur MAA rtkisut kertushrjoituksiin Integrlifunktio. ) Jokin integrli funktio on esimerkiksi F( ) b) Kikki integrlifunktiot F( ) + C, missä C on vkio Vstus: ) F( ) b) F( ) + C, C on vkio. Kikki integrlifunktiot

Lisätiedot

Syksyn 2015 Pitkän matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut

Syksyn 2015 Pitkän matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut Sksn 0 Pitkän mtemtiikn YO-kokeen TI-Nspire CAS -rtkisut Tekijät: Olli Krkkulinen Rtkisut on ldittu TI-Nspire CAS -tietokoneohjelmll kättäen Muistiinpnot -sovellust. Kvt j lskut on kirjoitettu Mth -ruutuihin.

Lisätiedot

Reaalinen lukualue. Millainen on luku, jossa on päättymätön ja jaksoton desimaalikehitelmä?

Reaalinen lukualue. Millainen on luku, jossa on päättymätön ja jaksoton desimaalikehitelmä? Relinen lukulue POLYNOMIFUNKTIOT JA -YHTÄLÖT, MAA Millinen on luku, joss on päättymätön j jksoton desimlikehitelmä? Onko sellisi? Trkstelln Pythgorn luseest stv yksikköneliön lävistäjää, luku + = x x =.

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi. Hannu Kivimäki

Matematiikan tukikurssi. Hannu Kivimäki Mtemtiikn tukikurssi Hnnu Kivimäki Sisältö I Ensimmäinen välikoe Integrointi 2 Osittisintegrointi 5 3 Osmurtohjotelm 4 Lisää osmurtoj 4 5 Sijoituskeino 9 6 Määrätty integrli 2 7 Ylä- j lsumm 22 8 Määrätyn

Lisätiedot

Kompleksianalyysi, viikko 5

Kompleksianalyysi, viikko 5 Kompleksianalyysi, viikko 5 Jukka Kemppainen Mathematics Division Kompleksiset jonot Aloitetaan jonon suppenemisesta. Määr. 1 Kompleksiluvuista z 1,z 2,...,z n,... koostuva jono suppenee kohti raja-arvoa

Lisätiedot

Mika Hirvensalo. Insinöörimatematiikka B 2014

Mika Hirvensalo. Insinöörimatematiikka B 2014 Mik Hirvenslo Insinöörimtemtiikk B 4 Sisältö Rj-rvo j jtkuvuus....................................................... 5. Differentili- j integrlilskennn kehityksestä............................. 5. Relilukujen

Lisätiedot

Analyysin perusteet kauppatieteilijöille 800118P

Analyysin perusteet kauppatieteilijöille 800118P Anlyysin perusteet kupptieteilijöille 800118P Luentomoniste Kri Myllylä Niin Korteslhti Topi Törmä Oulun yliopisto Mtemttisten tieteiden litos Kevät 2015 Sisältö 1 Derivtt 3 1.1 Määritelmä..............................

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 5

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 5 Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 5 1 Jonoista Matematiikassa jono (x n ) on yksinkertaisesti järjestetty, päättymätön sarja numeroita Esimerkiksi (1,, 3, 4, 5 ) on jono Jonon i:ttä jäsentä merkitään

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 9: Integroimismenetelmät

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 9: Integroimismenetelmät MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 9: Integroimismenetelmät Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos 10.10.2016 Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen (Alto-yliopisto,

Lisätiedot

(b) = x cos x 1 ( cos x)dx. = x cos x + cos xdx. = sin x x cos x + C, C R.

(b) = x cos x 1 ( cos x)dx. = x cos x + cos xdx. = sin x x cos x + C, C R. Calculus Kurssikoe..7. Laske (a) x sin x, (b) x x + x. (a) Merkitään u(x) = x ja v (x) = sin x, jolloin u (x) =, v(x) = cos x ja osittaisintegroimalla saadaan x sin x = u(x)v (x) = u(x)v(x) u (x)v(x) =

Lisätiedot

MS-A010X Di erentiaali- ja integraalilaskenta Lukujoukot. 1.2 Jonot. 1.2 Perusongelmat. 1.3 Suppeneminen I. 1.2 Jonojen ominaisuuksia

MS-A010X Di erentiaali- ja integraalilaskenta Lukujoukot. 1.2 Jonot. 1.2 Perusongelmat. 1.3 Suppeneminen I. 1.2 Jonojen ominaisuuksia MS-AX Di erentili- j integrlilskent Pekk Alestlo Alto-yliopisto 24..26 Kiitokset Riikk Kortteelle, Jrmo Mliselle j kurssien opiskelijoille pinovirheiden korjuksist. Sisältö Nämä klvot sisältävät otsikoss

Lisätiedot

Jouni Sampo. 28. marraskuuta 2012

Jouni Sampo. 28. marraskuuta 2012 A2 Jouni Smpo 28. mrrskuut 2012 Sisältö 1 Integrointitekniikoit 2 1.1 Osittisintegrointi (Integrtion by prts)...................... 2 1.2 Sijoitus (Method of Substitution).......................... 2 1.3

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 6 Sarjojen suppeneminen Kiinnostuksen kohteena on edelleen sarja a k = a + a 2 + a 3 + a 4 +... k= Tämä summa on mahdollisesti äärellisenä olemassa, jolloin sanotaan

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 5: Taylor-polynomi ja sarja

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 5: Taylor-polynomi ja sarja MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 5: Taylor-polynomi ja sarja Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 26.9.2016 Pekka Alestalo,

Lisätiedot

MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1

MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 MS-A0102 Differentili- j integrlilskent 1 Riikk Korte (Pekk Alestlon klvojen pohjlt) Alto-yliopisto 22.11.2016 Sisältö Pint-l Integrli 1.1 Pint-l: Suorkulmio Seurvss trkstelln umpinisten tsokäyrien rjmi

Lisätiedot

MATEMATIIKAN PERUSKURSSI II kevät 2018 Ratkaisut 1. välikokeen preppaustehtäviin. 1. a) Muodostetaan osasummien jono. S n =

MATEMATIIKAN PERUSKURSSI II kevät 2018 Ratkaisut 1. välikokeen preppaustehtäviin. 1. a) Muodostetaan osasummien jono. S n = MATEMATIIKAN PERUSKURSSI II kevät 208 Ratkaisut. välikokeen preppaustehtäviin. a) Muodostetaan osasummien jono S n = n ( k k) k= josta saadaan = ( 0 ) + ( 2) + ( 2 3) + ( n 2 n ) + ( n n) = n, n =, 2,...,

Lisätiedot

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 5.2.2013

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 5.2.2013 Preliminäärikoe Pitkä Mtemtiikk 5..0 Kokeess s vstt enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä ( * ) merkittyjen tehtävien mksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien mksimipistemäärä on 6.. ) Rtkise yhtälö b)

Lisätiedot

Taylorin sarja ja Taylorin polynomi

Taylorin sarja ja Taylorin polynomi Taylorin sarja ja 1 Potenssisarja c k (x a) k = f (x) määrittelee x:n funktion. Seuraavaksi toteamme mikä yhteys potenssisarjalla on sen määrittelemän funktion derivaattoihin f (a),f (a),f (a),f (3) (a),...

Lisätiedot

Sarjojen suppenemisesta

Sarjojen suppenemisesta TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Terhi Mattila Sarjojen suppenemisesta Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka Huhtikuu 008 Tampereen yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos

Lisätiedot

MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 9: Integroimismenetelmät

MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 9: Integroimismenetelmät MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 9: Integroimismenetelmät Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos November 27, 2017 Pekk Alestlo,

Lisätiedot

VEKTOREILLA LASKEMINEN

VEKTOREILLA LASKEMINEN ..07 VEKTOREILL LSKEMINEN YHTEENLSKU VEKTORIT, M4 Vektoreiden j summ on vektori +. Tämän summvektorin + lkupiste on vektorin lkupiste j loppupiste vektorin loppupiste, kun vektorin lkupisteenä on vektorin

Lisätiedot