Newtonin, Riemannin ja Henstock-Kurzweilin integraalit

Transkriptio

1 TAMPEREEN YLIOPISTO Pro grdu -tutkielm Annik Heinonen Newtonin, Riemnnin j Henstock-Kurzweilin integrlit Informtiotieteiden yksikkö Mtemtiikk Helmikuu 2013

2 Sisältö 1 Johdnto 1 2 Newtonin integrli Klssinen Newtonin integrli Newton-integroituvt funktiot Jtkuvuus j Newton-integroituvuus Newtonin integrlin vritiot Riemnnin integrli Riemnnin summ Riemnnin integrli Henstock-Kurzweilin integrli Henstock-Kurzweilin integrli Kontrolloitu Newtonin integrli j Henstock-Kurzweilin integrli Viitteet 27 i

3 Tmpereen yliopisto Informtiotieteiden yksikkö HEINONEN, ANNIKA: Newtonin, Riemnnin j Henstock-Kurzweilin integrlit Pro grdu -tutkielm, 27 s. Mtemtiikk Helmikuu 2013 Tiivistelmä Tutkielmn trkoituksen on perehdyttää lukij Newtonin, Riemnnin j Henstock-Kurzweilin integrleihin. Erityisesti trkstelln Newtonin integrlin ominisuuksi sekä yhtäläisyyttä Riemnnin j Henstock-Kurzweilin integrleihin. Luvuss 2 esitellään Newtonin integrlin määritelmä sekä Newton-integroituvien funktioiden ominisuuksi. Lisäksi esitellään Newtonin integrlin erilisi vritioit, joit ovt klssinen, niivi, elementrinen, muunneltu sekä kontrolloitu versio. Luvuss 3 perehdytään Riemnnin summn j integrliin sekä esitellään pproksimtiomenetelmä, joll Riemnnin summ j Newtonin integrli ovt likimin smt. Luvuss 4 esitellään Henstock-Kurzweilin integrli, jok on kytkettävissä luvuss 3 esiteltyyn Riemnnin integrlin määritelmään. Lopuksi osoitetn, että Newtonin integrlin kontrolloitu versio j Henstock-Kurzweilin integrli ovt ekvivlenttej. ii

4 1 Johdnto Tutkielmss perehdytään Newtonin, Riemnnin j Henstock-Kurzweilin integrleihin loittmll luvuss 2.1 klssisen Newtonin integrlin määritelmästä. Luvuss 2.2 trkstelln erilisi Newton-integroituvi funktioit sekä ntiderivttojen F funktioit. Kun trkstelln rjoitettuj integroituvi funktioit, niin ntiderivtt F on Lipschitzin funktio j Lipschitzin funktiot muodostvt funktioluokn. Luvuss 2.3 keskitytään jtkuviin Newton-integroituviin funktioihin esittelemällä yläfunktiomenetelmä. Yläfunktiot muodostvt funktioluokn, jonk vull voidn rvioid funktion ntiderivtt. Luvuss 2.4 esitellään Newtonin integrlin erilisi vritioit. Tällöin funktion f sllitn käyttäytyvän poikkevsti joisskin pisteissä eikä se täten ole integroituv tvllisess mielessä. Tällisi Newtonin integrlin vritioit klssisen version lisäksi ovt niivi, elementrinen, muunneltu sekä kontrolloitu. Luvuss 3 perehdytään Riemnnin integrliin esittelemällä määritelmä luvuss 3.1 Riemnnin summlle. Lisäksi trkstelln Newtonin integrlin j Riemnnin summn yhteyttä. Sopivll pproksimtioll näiden rvot ovt likimin smt. Luvuss 3.2 esitellään määritelmä Riemnnin integrlille. Luvuss 4 perehdytään Henstock-Kurzweilin integrliin. Luvuss 4.1 esitellään Henstock-Kurzweilin integrlin määritelmä, jok pohjutuu luvuss 3.2 esiteltyyn Riemnnin integrlin määritelmään. Lopuksi luvuss 4.2 trkstelln Newtonin j Henstock-Kurzweilin integrlin yhteyttä todistmll, että Newtonin integrlin kontrolloitu versio on ekvivlentti Henstock-Kurzweilin integrlin knss. Tutkielmss lukijlt edellytetään hyvää integrlilskennn hllitsemist esimerkiksi yliopiston nlyysin kurssien pohjlt. Tutkielmn päälähteenä käytetään verkkojulkisu Thomson, B., Theory of the integrl. Lisäksi lähteinä käytetään Tom Apostolin teost Mthemticl Anlysis, Kurtz Douglsin j Swrtz Chrlesin teost Theories of Integrtion sekä Brin Thomsonin, Judith Brucknerin j Andrew Brucknerin teost Rel Anlysis. 1

5 2 Newtonin integrli Isc Newton ( ) oli englntilinen mtemtikko, fyysikko j tähtitieteilijä. Yliopistoss hän opiskeli mtemtiikk, fysiikk, kreikk j ltin. Jo ensimmäisenä neljänä yliopistovuoten hän kehitti hyvin pitkälle dierentili- j integrlilskent. Sen nsioist hän pystyi määrittämään säännöllisen käyrän tngentin j krevuuden käyrän mielivltisess pisteessä. Häntä voidn pitää yhtenä integrlilskennn kehittäjänä. Newton osoitti 1600-luvun lopull, että pint-lojen ongelmt ovt rtkistviss ntiderivtn vull. Näin hän kehitti pohjn integrlilskennlle, jonk kehittämistä uset henkilöt ovt jtkneet. Mtemtiikn lisäksi hän on kehittänyt tärkeää pohj myös fysiikn eri os-lueill. (Ks. [3, s ].) 2.1 Klssinen Newtonin integrli Esitellään luksi Newtonin integrlin klssinen määritelmä (ks. [4, s. 2]). Määritelmä 2.1. Olkoon funktio f : [, b] R määritelty suljetull välillä [, b]. Tällöin funktio f on Newton-integroituv välillä [, b], jos on olemss funktio F : [, b] R siten, että F (x) = f(x) jokisell x [, b]. 1 Tällöin voidn kirjoitt f(t) dt = F (b) F (). Yleensä funktiot F snotn funktion f ntiderivtksi. Funktioll f on olemss useit mhdollisi ntiderivttoj F, joten määritelmä 1 edellyttää, että määrätty integrli F (b) F () ei ole riippuvinen vlitust funktiost F. Tämä voidn osoitt yksinkertisimmin käyttämällä välirvolusett. Määritelmä 2.1 on deskriptiivinen, kosk sen vull ei void rkent ti etsiä integrli. Ainostn jos funktioll f tiedetään olevn ntiderivtt, niin integrlin rvo voidn määrittää. 2.2 Newton-integroituvt funktiot Trkstelln luksi funktion f ntiderivttojen funktioit F. Oletetn, että funktio f on määritelty välillä [, b]. Tällöin voidn kirjoitt F (x) = x f(t) dt ( x b), 1 Täsmällisesti otten F () = f() on vsemmnpuoleinen j F (b) = f(b) oikenpuoleinen derivtt. 2

6 jos j vin jos funktio F on derivoituv välillä [, b] j F (x) = f(x) kikill x [, b]. Tällöin F on funktion f ntiderivtt välillä [, b]. Kun rjtn edellistä trkstelu olettmll funktion f olevn rjoitettu välillä [, b], niin päästään seurvn tärkeään funktioluokkn, Lipschitzin funktioihin (ks. [4, s. 3]). Määritelmä 2.2. Funktiot F : [, b] R snotn Lipschitzin funktioksi, jos on olemss ei-negtiivinen luku M siten, että kikill x, y [, b]. F (y) F (x) M y x Esitellään seurvksi luse koskien Lipschitzin funktioit. Jos luseen ehdot toteutuvt, niin ntiderivtt F on Lipschitzin funktio. Luse 2.1. Jos funktio f : [, b] R on rjoitettu j integroituv, niin sen ntiderivtt on Lipschitzin funktio. Todistus. (Vrt. [4, s. 3, Luse 1.3].) Olkoon funktio F funktion f ntiderivtt. Olkoon lisäksi funktio f rjoitettu jollkin ei-negtiivisell luvull M siten, että f(x) M kikill x [, b]. Oletetn, että y [, b]. Välirvoluseest seur, että on olemss jokin piste ξ siten, että ξ [x, y]. Tällöin F (y) F (x) = F (ξ) M (x y) y x kikill x, y [, b]. Kosk F on funktion f ntiderivtt, niin sdn jost oletuksen perusteell edelleen kun ξ [, b]. F (ξ) = f(ξ), F (y) F (x) = f(ξ) M, y x Ennen itseisesti integroituvien funktioiden luseen esittämistä määritellään jon käsite. 3

7 Määritelmä 2.3. (Ks. [1, s. 128, Määritelmä 6.3].) Jos väli [, b] on suljettu j joukon P = {x 0, x 1,..., x n } pisteiden joukko noudtt ehto = x 0 < x 1 < < x n 1 < x n = b, niin joukon P snotn olevn välin [, b] jko. Väliä [x i 1, x i ] snotn jon P osväliksi, jok voidn kirjoitt muotoon x i = x i x i 1 siten, että x i = b. Merkintä P[, b] trkoitt välin [, b] kikkien mhdollisten jkojen kokoelm. Määritellään myös myöhemmin trvittv hienompi-jon käsite (ks. [4, s. 11]). Olkoon δ positiviinen luku. Tällöin jon, jot merkitään {([ i, b i ], ξ i ): i = 1, 2, 3,..., n}, snotn olevn hienompi kuin δ, jos jokisell b i i < δ. Yleisemmin, jos δ on jokin positiivinen funktio, niin käytetään vstvsti edellistä lusekett vtien, että jokisell b i i < δ(ξ i ). Funktio f : [, b] R on itseisesti integroituv, jos molemmt funktiot f j f ovt integroituvi. Vstvsti funktio on ehdollisesti integroituv, jos funktio f on integroituv, mutt funktio f ei ole integroituv. Esitellään seurvksi itseisesti integroituvn funktion luse (ks. [4, s. 4]). Luse 2.2. Jos funktio f : [, b] R on itseisesti integroituv, niin sen ntiderivtll F on seurv ominisuus: kikill välin [, b] joill = x 0 < x 1 < x 2 < < x n = b on voimss F (x i ) F (x i 1 ) f(t) dt <. 4

8 Todistus. Sivuutetn, ks. [4, s. 4, Luse 1.4]. Huomutus 2.1. Luseen 2.2 ominisuus ei ole yksinomn voimss klssiselle Newtonin integrlille vn vstvll todistuksell ominisuus on johdettviss myös muille myöhemmin esitettäville integrleille. Millä thns funktioll F, jok noudtt lusett 2.2, on rjoitettu vritio välillä [, b]. Määritellään seurvksi rjoitetun vrition käsite. Määritelmä 2.4. (Ks. [1, s. 128, Määritelmä 6.4] j [5, s ].) Olkoon funktio F määritelty välillä [, b]. Jos joukko P = {x 0, x 1,..., x n } on välin [, b] jko, niin voidn kirjoitt F i = F (x i ) F (x i 1 ), kun i = 1, 2,..., n. Olkoon Vr(F, P ) = F i. Tällöin funktion F vritiot välillä [, b] merkitään Vr(F, [, b]) = sup{vr(f, P ): P on välin [, b] jko}. Jos Vr(F, [, b]) on äärellinen, niin funktioll F on rjoitettu vritio välillä [, b]. Seurv esimerkki trkstelee rjoitetun vrition ominisuutt. Esimerkki 2.1. Osoitetn, että funktioll F : [, b] R, jok on Lipschitzin funktio, on rjoitettu vritio välillä [, b]. Todistus. (Vrt. [4, s. 319, Hrjoitus 1].) Kosk funktio F : [, b] R on Lipschitzin funktio, niin määritelmän 2.2 perusteell on olemss ei-negtiivinen luku M siten, että F (y) F (x) M y x kikill x, y [, b]. Olkoon joukko P = {x 0, x 1,..., x n } välin [, b] jko. Tällöin määritelmän 2.4 nojll Vr(F, [, b]) = sup{vr(f, P ): P on välin [, b] jko} = F (x k ) F (x k 1 ) = F (b) F () M b. k=1 Kosk M b on äärellinen, niin määritelmän 2.4 nojll funktioll F on rjoitettu vritio välillä [, b]. 5

9 Huomutus 2.2. Newton-integroituvt funktiot on kytketty tähän mennessä itseisesti integroituviin funktiohin, mutt on olemss myös funktioit, jotk ovt ehdollisesti Newton-integroituvi. Käydään seurvksi läpi esimerkki (ks. [4, s. 5]) ehdollisesti Newtonintegroituvst funktiost. Esimerkki 2.2. Trkstelln funktiot F (x) = x 2 sin(x 2 ) välillä [0, 1]. Voidn tehdä johtopäätös, kun F (0) = 0, niin funktio F on jtkuv. Itse siss funktio F on jtkuv j derivoituv jokisess välin [0, 1] pisteessä. Erotusosmäärän rj-rvon sdn, että F (0) = 0. Derivoidn funktio j sdn F (x) = 2x sin 1 x 2 2 x cos 1, (kun x 0). x2 Määritelmän 2.1 nojll F on integroituv välillä [0, 1]. Trkstelln seurvksi funktion F integroituvuutt. Jos funktio F on integroituv, niin luseen 2.2 nojll funktioll F on rjoitettu vritio välillä [0, 1]. Vlitn pisteet y k = 1 kπ j x k = kun k = 1, 2,.... Tällöin funktion F rvoiksi sdn 2 [2k + 1]π, 2 F (y k ) = 0 j F (x k ) = ± [2k + 1]π, kun k = 1, 2,.... Nyt millä thns positiivisell kokonisluvull N sdn epäyhtälö N F (y k ) F (x k ) k=1 N k=1 2 [2k + 1]π. Oikenpuoleisen summn rvo ksv rjtt, kun N ksv. Tällöin Vr(F, [0, 1]) = eikä funktioll F ole rjoitettu vritiot. Siis F ei ole integroituv. 2.3 Jtkuvuus j Newton-integroituvuus Newton-integroituvist funktioist on olemss lukuisi esimerkkejä niin jtkuvi kuin epäjtkuvi funktioit. Rjtn trkstelu keskittymällä jtkuviin funktioihin. Esitellään seurvksi yläfunktion käsite (ks. [4, s. 6]). 6

10 Olkoon f rjoitettu j määritelty suljetull välillä [, b]. Olkoon välin [, b] jko = x 0 < x 1 < < x n 1 < x n = b. Oletetn, että funktio F on jtkuv välillä [, b] j linerinen jokisell välillä [x i 1, x i ] siten, että (2.1) F (x i ) F (x i i ) x i x i 1 f(ξ) kikill pisteillä ξ, joille x i 1 ξ x i (i = 1, 2,..., n). Tällöin snotn, että funktio F on funktion f yläfunktio välillä [, b]. Yläfunktiomenetelmällä voidn rvioid funktion f ntiderivtt. Kutkin rvioitv funktiot vrten trvitn omt yläfunktiot, jotk muodostvt funktioluokn. Seurv esimerkki trkstelee trkemmin yläfunktion käsitettä. Esimerkki 2.3. (Vrt. [4, s. 319, Hrjoitus 2].) Olkoon funktio f(x) = x 2 määritelty välillä [0, 1]. Määritellään funktiolle f yläfunktio käyttämällä pisteitä 0, 1 4, 1 2, 3 4, 1. Todistus. Funktio f(x) = x 2 on määritelty välillä [0, 1]. Tällöin funktion mksimirvoiksi väleillä [0, 1], [ 1, 1], [ 1, 3] j [ 3, 1] sdn ( 1 f = 4) 1 ( 1 ) 16, f = 1 ( 3 ) 2 4, f = 9 j f(1) = Käytetään seurvksi yläfunktiomenetelmää (2.1) rvioimn jokisen välin ntiderivtt F. Välin [0, 1 4 ] ntiderivtksi F (x 1) sdn F (x i ) F (x i i ) f(ξ)(x i x i 1 ), jost edelleen ( 1 F (x 1 ) F (x 0 ) f (x 1 x 0 ), 4) jolloin F (x 1 ) x Välin [ 1, 1] ntiderivtksi F (x 4 2 2) sdn ( 1 F (x 2 ) F (x 1 ) f (x 2 x 1 ), 2) jost edelleen F (x 2 ) 1 64 f ( 1 16 ) (x ), 7

11 jolloin F (x 2 ) (x ). Vstvll tvll välin [ 1 2, 3 4 ] ntiderivtksi F (x 3) sdn F (x 3 ) (x ) j välin [ 3 4, 1] ntiderivtksi F (x 4) sdn F (x 4 ) (x ) Kun yhdistetään sdut osvälit, niin sdn ploittin jtkuv funktio, jonk käyrä jokisess segmentissä ylittää funktion f rvon. Muodostunut funktio 1, kun 0 x 1, F (x), kun 1 x 1, , kun 1 x 3, , kun 3 x 1, 32 4 on funktion f eräs yläfunktio. Jtkuville funktioille voidn in määrittää ntiderivtt F. Seurv luse käsittelee tätä ominisuutt trkemmin. Luse 2.3. Olkoon funktio f : [, b] R rjoitettu. Tällöin on olemss sellinen Lipschitzin funktio F : [, b] R, että F (x) = f(x) jokisess pisteessä x b, joss funktio f on jtkuv. Todistus. (Ks. [4, s. 7-9, Luse 1.5].) Trkstelln luksi tpust olettmll, että funktio f : [0, 1] R on ei-negtiivinen j rjoitettu. Käytetään yläfunktiomenetelmää, j siksi oletetn, että funktio F 0 on jtkuv välillä [0, 1]. Olkoon F 0 (0) = 0 j funktioll on suor, jonk kulmkerroin on supremum seurvsti c 01 = sup{f(t): 0 t 1}. Jetn väli [0, 1] väleihin [0, 1] j [ 1, 1]. Olkoon funktio F jtkuv välillä [0, 1] j F 0 (0) = 0 sekä funktioll F 1 on välillä [0, 1 ] suor, jonk kulmkerroin on supremum 2 seurvsti c 11 = sup{f(t): 0 t 1 2 } 8

12 j funktioll on välillä [ 1, 1] suor, jonk supremum on 2 c 12 = sup{f(t): 1 2 t 1}. Väli [0, 1] voidn jk usempiin osväleihin (ks. [4, s. 8]). Sduist ntiderivtoist voidn muodost funktiojono {F n }. Tällöin jokinen funktio F n on jtkuv j ksvv. Yläfunktioiden määrittelystä seur, että F n (x) F n+1 (x) kikill 0 x 1 j n = 0, 1, 2,.... Tällöin {F n (x)} on vähenevä jono ei-negtiivisi lukuj j F (x) = lim n F n (x) on olemss kikill 0 x 1. Osoitetn, että ehto F (x) = f(x) on voimss kikill pisteillä x [0, 1], jolloin funktion f on oltv jtkuv. Kiinnitetään jokin piste x [0, 1] j olkoon ε > 0. Tällöin rgumentti viitt tpukseen, joss 0 < x < 1. Jos x = 0 ti x = 1, niin toispuoleinen rgumentointi tulee käsitellä vikk yksityiskohdt eivät erityisesti poikke toisistn. Vlitn jokin δ > 0 siten, että funktion f oskilltio on ω f ([x 2δ, x + 2δ]) välillä [x 2δ, x + 2δ] [0, 1] j se ei ylitä luku ε. Olkoon h vkio siten, että 0 < h < δ. Vlitn jokin kokonisluku N riittävän suureksi siten, että F N (x) F (x) < εh j F N (x + h) F (x + h) < εh. Nyt yläfunktion määrittelystä seur, että sdn epäyhtälö F N (x + h) F N (x) f(x)h hω f ([x 2h, x + 2h]), jok toteutuu riittävän suurell kokonisluvull N. Yhdistetään epäyhtälöt j sdn F (x + h) F (x) f(x)h F N (x + h) F N (x) f(x)h + F N (x) F (x) + F N (x + h) F (x + h) < 3εh. Tästä seur, että funktion F oikenpuoleinen derivtt pisteessä x on trklleen f(x). Vstvnlinen rgumentti osoitt vsemmnpuoleisen derivtn olemssolon. Tällöin funktioll f on ntiderivtt F välillä [, b]. 9

13 Osoitetn seurvksi, että funktio F, jok on määritelty välillä [0, 1], on Lipschitzin funktio. Olkoon luku M ei-negtiivinen j funktion f ylärj. Yläfunktion määritelmästä seur, että 0 F n (y) F n (x) M(y x) kikill x < y j x, y [0, 1]. Tästä voidn suorn päätellä, että funktio F on Lipschitzin funktio välillä [0, 1]. Tähän mennessä on osoitettu väite pikkns pitäväksi välillä [0, 1]. Nyt luovutn ei-negtiivisuudest j osoitetn, että väite on yleisesti voimss välillä [, b]. Olkoon funktio f : [, b] R j funktio g(t) = f( + t(b )) kikill 0 t 1. Olkoon G funktion g ntiderivtt välillä [0, 1]. Osoitetn, että funktioll f on olemss ntiderivtt. Muodostetn funktio ( ) x H(x) = (b )G, b jonk derivtksi sdn ( ) x H (x) = G. b Sijoitetn x = ( + t(b )) j sdn H (x) = G ( t(b ) b Kosk oletuksen perusteell G = g, niin ) = G (t) H (x) = G (t) = g(t) = f( + t(b )) = f(x). Siis funktioll f on olemss ntiderivtt H. Oletetn, että f : [, b] R on rjoitettu funktio j K = inf{f(x): x b}. Olkoon g(t) = f(t) K kikill < t < b. Tällöin g on rjoitettu j einegtiivinen välillä [, b]. Oletetn, että G on funktion g ntiderivtt välillä [, b]. Osoitetn, että funktioll f on ntiderivtt välillä [, b]. Muodostetn funktio H(t) = G(t) + Kt. 10

14 Kosk oletuksen perusteell G (t) = g(t), niin H (t) = G (t) + K = g(t) + K = f(t). Siis funktioll f on ntiderivtt H. Kosk funktio on rjoitettu, niin ntiderivtt H on Lipschitzin funktio siten, että H (t) = f(t) kikill pisteillä t b, joiss funktio f on jtkuv. Luse 2.4. Oletetn, että funktio f : [, b] R on jtkuv. Tällöin funktio f on Newton-integroituv kikill välin [, b] suljetuill osväleillä. Todistus. Jos funktio f on jtkuv, niin sen Newton-integroituvuus seur luseest Newtonin integrlin vritiot Tässä luvuss esitellään Newtonin integrlin erilisi vritioit. Luvuss 2.1 esitetty määritelmä Newtonin integrlille on hyvin vtiv, kosk ehdon F (x) = f(x) on oltv voimss kikiss välin [, b] pisteissä. Usein on kuitenkin hyödyllistä slli funktiolle f poikkeuksi, kuten pieniä pistejoukkoj, joiss funktio ei ole määritelty ti pisteitä, joiss F (x) = f(x) ei ole voimss. Ennen vritioiden esittämistä määritellään numeroituvn joukon käsite (ks. [1, s. 39]). Joukko S on äärettömästi numeroituv, jos se on yhtä mhtv kikkien positiivisten kokonislukujen knss. Tällöin voidn merkitä S {1, 2, 3,... }. Määritelmä 2.5. (Ks. [1, s. 39, Määritelmä 2.15].) Joukko S on numeroituv, jos se on äärellinen ti äärettömästi numeroituv joukko. Jos joukko ei ole numeroituv, niin sitä snotn ylinumeroituvksi. Kun tehdään funktiolle F joitkin väljennyksiä, niin sdn seurvnlisi vritioit Newtonin integrlille (ks. [4, s. 33]). Lisäksi jokisess seurvss tpuksess funktion f olless integroituv kyseisellä tvll voidn kirjoitt f(t) dt = F (b) F (). Klssinen. Funktio f on määritelty välillä [, b] j F (x) = f(x) jokisess välin [, b] pisteessä. Niivi. Funktio f on määritelty vähintään välillä (, b), F on jtkuv välillä [, b] j F (x) = f(x) jokisess välin (, b) pisteessä. 11

15 Elementrinen. Funktio f on määritelty vähintään välillä (, b) pitsi mhdollisesti äärellisen moness pisteessä. Funktio F on jtkuv välillä (, b) j F (x) = f(x) jokisess välin (, b) pisteessä lukuun ottmtt äärellisessä määrässä välin (, b) pisteitä. Muunneltu. Funktio f on määritelty vähintään välillä (, b) pitsi mhdollisesti numeroituvss joukoss N. Funktio F on jtkuv välillä [, b] j F (x) = f(x) jokisess välin (, b) pisteessä pitsi mhdollisen joukon N pisteissä. Klssisell tvll Newton-integroituv funktio on oltv määritelty jokisess pisteessä välillä [, b]. Käydään läpi esimerkki tällisest funktiost. Esimerkki 2.4. Trkstelln funktiot f(x) = x 2, jok on määritelty millä thns välillä [, b]. Tällöin funktio on Newtonintegroituv klssisesti, kosk funktiolle f on olemss ntiderivtt F (x) = 1 3 x3 siten, että F (x) = f(x) millä thns välillä [, b]. Esimerkin 2.4 funktio on myös Newton-integroituv niivisti välillä (, b). Klssisen j niivin version ero on pieni, sillä versiot erovt toisistn niiden määrittelyväleillä siten, että ehto F (x) = f(x) on voimss klssisess versioss välin [, b] pisteissä j niiviss versioss välin (, b) pisteissä. Kumpikn versioist ei slli määrittelyvälillä poikkeuksi vn funktioiden tulee oll määritelty jokisess välin pisteessä. Niiviss versioss funktio on määritelty voimell välillä, jok mhdollist sen, että jotkut funktiot ovt niivisti Newton-integroituvi, mutt eivät klssisesti Newton-integroituvi. Käydään seurvksi esimerkki läpi tällisest funktiost. Esimerkki 2.5. Olkoon funktio f(x) = 1 x. Trkstelln erikseen väliä [0, 1]. Tällöin funktio on Newton-integroituv niivisti, kosk funktio F (x) = 2 x on jtkuv välillä [0, 1] j ehto F (x) = f(x) on voimss jokisess välin (0, 1) pisteessä. Funktio ei kuitenkn ole Newton-integroituv klssisesti, kosk funktio f ei ole määritelty pisteessä 0 eikä täten ehto F (x) = f(x) ole voimss jokisess välin [0, 1] pisteessä. Elementrisen j niivin version ero on merkittävämpi, kosk elementrisess versioss ehdon F (x) = f(x) ei trvitse oll voimss jokisess välin (, b) pisteessä. Käydään läpi tällisest funktiost esimerkki. 12

16 Esimerkki 2.6. Olkoon funktio f(x) = 1 x. Trkstelln erikseen väliä [ 1, 1]. Funktio ei ole tällöin Newton-integroituv niivisti (eikä klssisesti), kosk funktio f ei ole määritelty pisteessä 0 eikä tällöin ehto F (x) = f(x) ole voimss jokisess välin ( 1, 1) pisteessä. Funktio on Newton-integroituv elementrisesti, kosk versio sllii äärellisen määrän pisteitä, joiss se ei ole määritelty. Tällöin funktio { 2 x, kun x>0, F (x) = 2 x, kun x<0, on jtkuv välillä ( 1, 1) j ehto F (x) = f(x) on voimss jokisess välin ( 1, 1) pisteessä lukuun ottmtt pistettä 0. Elementrisen j muunnellun version ero trkstelln trkemmin seurvn esimerkin vull. Esimerkki 2.7. Osoitetn, että popcorn funktio 1, jos x on rtionlinen j x = p supistetuss muodoss, q q P (x) = 1, jos x on rtionlinen j x = p, kun q = 0, q 0, jos x on irrtionlinen, on välillä [0, 1] Newton-integroituv muunnellusti, mutt ei elementrisesti. Todistus. (Vrt. [4, s. 328, Hrjoitus 31].) Olkoon funktio F : [0, 1] R mikä thns vkiofunktio. Tällöin sen derivtt on F (x) = 0. Kosk funktio P (x) = 0 kikill irrtionliluvuill x, niin sen ntiderivtt on funktio F, jok toteutt ehdon F (x) = 0 = P (x) kikill irrtionliluvuill x [0, 1]. Jos vlitn mikä thns rtionliluku x [0, 1], niin ehto F (x) = 0 1 q = P (x), (kun q 0) ei ole voimss j funktioll P (x) ei ole ntiderivtt F, jok toteuttisi vditun ehdon. Tällöin kikki rtionliluvut muodostvt numeroituvn joukon Q, jok sisältää äärettömän määrän rtionlilukuj. Popcorn funktio on Newton-integroituv muunnellusti, kosk funktioll P (x) on ntiderivtt F, jok on jtkuv välillä [0, 1] j ehto F (x) = P (x) on voimss 13

17 jokisess välin (0, 1) pisteessä pitsi numeroituvss joukoss Q. Popcorn funktio ei ole Newton-integroituv elementrisesti, kosk ehto F (x) = P (x) vtii äärettömän määrän pisteitä välillä (0, 1), jott se olisi voimss. Esitellään vielä yksi vritio Newtonin integrlist, jok on kontrolloitu Newtonin integrli. Trkstelln ennen version määrittämistä niivi versiot, jot soveltmll sdn Newtonin integrlin kontrolloitu versio. Olkoon funktio f : (, b) R niivisti Newton-integroituv. Tällöin on olemss jtkuv funktio F : [, b] R siten, että eli F (y) F (x) lim y x y x = f(x) F (y) F (x) f(x)(y x) lim y x y x kikill x (, b). Tällöin integrlin rvo on f(x) dx = F (b) F (). = 0, Esitellään seurvksi Newtonin integrlin kontrolloitu versio (ks. [4, s. 36]). Määritelmä 2.6. Funktion f : (, b) R snotn olevn kontrolloidusti Newton-integroituv, mikäli on olemss jtkuv funktio F : [, b] R j idosti ksvv funktio φ: (, b) R, jot snotn kontrolliksi, kun jokisell x (, b) on voimss rj-rvo F (y) F (x) f(x)(y x) lim y x φ(y) φ(x) Tällöin integrlin rvo voidn merkitä f(x) dx = F (b) F (). = 0. Kontrolloidun Newtonin integrlin versiot voidn pitää yhtenä vihtoehton Newtonin integrlille. Version hyvänä puolen on se, että sen olemssolo ei vdi funktion olevn derivoituv. Kontrolloidun Newtonin integrlin määritelmää hyödynnetään luvuss 4.2, kosk se on ekvivlentti luvuss 4.1 esitettävän Henstock-Kurzweilin integrlin knss. Määritellään seurvksi tsisesti suppenevn jonon käsite, jot trvitn trksteltess Newton-integroituvien funktioiden yleisiä ominisuuksi. 14

18 Määritelmä 2.7. (Ks. [1, s. 221 Määritelmä 9.1].) Funktioiden jonon {f n } snotn suppenevn tsisesti kohti funktiot f, jos jokist ε > 0 kohti on olemss jokin N (riippuen inostn ε) siten, että n > N edellyttäen kikill x S. Tällöin merkitään f n (x) f(x) < ε f n f tsisesti joukoss S. Esitellään seurvksi Newton-integroituvien funktioiden kolme ominisuutt (ks. [4, s. 39]). Monotonisuus. Jos f, g : [, b] R ovt integroituvi j f(x) g(x) kikill x [, b], niin f(t) dt g(t) dt. Linerisuus. Jos f 1, f 2,..., f n : [, b] R ovt integroituvi j h(x) = c i f i (x) on näiden funktioiden linerinen kombintio, niin h on vstvss mielessä integroituv j ( b ) b h(x) dx = c i f i (x) dx. Jtkuvuus. Jos f 1, f 2,... ovt integroituvien funktioiden tsisesti suppenev jono välillä [, b] j f(x) = lim n f n (x), niin funktio f on vstvss mielessä integroituv j f(x) dx = lim n f n (x) dx. Todistus. Sivuutetn, ks. [4, s , Hrjoitukset 38-40]. 3 Riemnnin integrli Bernhrd Riemnn ( ) oli skslinen mtemtikko j fyysikko. Hänen merkitystään erityisesti osoittvt Riemnnin geometri, Riemnnin 15

19 pinnt, Riemnnin summ sekä Riemnnin integrli. Hän erotti integroinnin derivoinnist j lähestyi sitä summn vull. Uset muut mtemtikot ovt jtkneet hänen tutkimuksin, joist on syntynyt useit erilisi integrliteorioit. Lisäksi hän käsitteli fysiikk, lukuteori, geometri j funktioteori ljoin kokonisuuksin ntmtt pienten yksityiskohtien rjoitt jtuksiens liikkuvuutt. Hänen vhvuuksinn voitiin pitää kykyä nähdä sioit uusilt näkökulmilt sekä käyttää erilisi menetelmiä tutkimuksissn. (Ks. [3, s ]) 3.1 Riemnnin summ Luvuss 2.1 määritelty Newtonin integrli edellyttää ntiderivtn F olemssolon. Tässä luvuss esitellään menetelmä, joll integrlin rvo kytketään funktion f vrsiniseen rvoon. Tähän päästään, kun trkstelln Newtonin integrlin j Riemnnin summn yhteyttä (ks. [4. s. 9-15]). Määritellään seurvksi Riemnnin summn käsite. Määritelmä 3.1. (Ks. [2, s. 11, Määritelmä 2.1].) Olkoon väli [, b] R j funktio f : [, b] R. Olkoon välin [, b] jko P = {x 0, x 1,..., x n } siten, että x 0 =, x n = b j x i 1 < x i, kun i = 1, 2,..., n. Olkoon lisäksi t i [x i 1, x i ] kikill i = 1, 2,..., n. Tällöin summ f(t i )(x i x i 1 ) välillä [, b] snotn funktion f Riemnnin summksi. Välirvoluseen vull Newtonin integrli voidn esittää Riemnnin summn. Jos funktio F : R R on derivoituv jokisess välin [, b] pisteessä, niin tällöin F = f on Newton-integroituv j välirvolusett voidn sovelt lusumll integrli muodoss f(x) dx = F (b) F () = f(ξ)(b ) jollin ξ (, b). Tällöin integrlin rvo on ilmistu yksinkertisimpn Riemnnin summn j pisteet ovt x 0 = j x 1 = b. Jos vlitn kolme erillistä pistettä niin sdn = x 0, x 1, x 2 = b, f(x) dx = F (b) F () = [ F (b) F (x 1 ) ] + [ F (x 1 ) F () ] 16

20 = f(ξ 2 )(b x 1 ) + f(ξ 1 )(x 1 ) 2 = f(ξ i )(x i x i 1 ) jollin pisteillä ξ 1 (, x 1 ) j ξ 2 (x 1, b). Integrlin rvo voidn lske Riemnnin summn vull myös äärellisellä määrällä pisteitä, jolloin määritelmää 3.1 voidn ljent määrittelemällä jon käsite uudell tvll. Tällöin vlitn välin [, b] mikä thns kokoelm pisteitä siten, että = x 0, x 1,..., x n = b on järjestettynä johonkin järjestykseen (ei välttämättä ksvvn). Vlitn jokin tietty piste ξ i (x i 1, x i ), kun i = 1, 2,..., n siten, että f(x) dx = [ F (xi ) F (x i 1 ) ] = f(ξ i )(x i x i 1 ). Nyt on osoitettu Newtonin integrlin j Riemnnin summn yhteys, jot vielä trkstelln seurvn esimerkkin vull. Esimerkki 3.1. (Ks. [1, s. 320, Hrjoitus 4].) Osoitetn, että integrlin x dx trkk rvo voidn lske Riemnnin summn vull, kun x dx = x i + x i 1 (x i x i 1 ) = (x 2 i x 2 i 1). Todistus. Olkoon x i + x i 1 = ξ i. 2 Tällöin Riemnnin summ nt välin [, b] mielivltisell joll summn rvoksi x i + x i 1 (x i x i 1 ) = = x 0, x 1,..., x n 1, x n = b (x 2 i x 2 i 1) = 1 2 [b2 x 2 n 1+x 2 n 1 x 2 n 2+ 2 ] = b

21 Sm rvo sdn käyttämällä funktion f(x) ntiderivtt F (x) = 1 2 x2. Tällöin integrlin rvoksi sdn x dx = F (b) F () = b2 2 2 = x 2 i x 2 i 1. 2 Tällöin on osoitettu, että Newtonin integrlin j Riemnnin summn rvot ovt smt funktioll f(x) = x. Newtonin integrlin lskeminen Riemnnin summn vull on mhdollist, jos pystytään vlitsemn jokin oike piste ξ i, jok tekee rvost trkn. Teoriss välirvoluseen vull sdn tällinen piste, mutt käytännössä tällöinkään ei ole in mhdollist löytää konkreettisesti sellist pistettä, jok nt riittävän trkn rvon. Trkstelln tilnnett olettmll funktion f : [, b] R olevn derivoituv j joukon P = { = x 0 < x 1 < < x n = b} olevn välin [, b] jko. Tällöin jokiselt osväliltä [x i 1, x i ] etsitään sellinen piste ξ i, että termi f(ξ i )(x i x i 1 ) nt trkn rvon termille F (x i ) F (x i 1 ). Jos pisteiden vlint on mhdollinen jokisess osvälissä, niin Riemnnin summ f(ξ i )(x i x i 1 ) nt hlutun rvon välille [, b], sillä (F (x i ) F (x i 1 )) = F (b) F (). Trkn rvon sijn on hyödyllisempää käyttää seurvnlist pproksimtiot (ks. [4, s ]) tuloksen rvioimisess f(x) dx f(ξ i )(x i x i 1 ). Tämän lähtökohtn on slli mielivltinen määrä pisteitä ξ i, joill pprosimtio nt riittävän hyvän likirvon. Kuitenkin in on mhdollist löytää sellinen piste ξ i, jok tekee tuloksest liin virheellisen. Virhettä voidn 18

22 kontrolloid vlitsemll välin [x i, x i 1 ] pisteet riittävän lähelle toisin. Yksi menetelmä vlit pisteet on käyttää tsist pproksimtiot. Menetelmässä vlitn jonkin yksittäisen pienen luvun δ pienuus j pisteet x i j x i 1 siten, että x i x i 1 < δ kikill i = 1, 2,..., n. Lisäksi jokinen termi voi lisätä virhettä, joten vlittu jono = x 0, x 1,..., x n = b pitää rjoitt siten, että kokonisvirhe ei muodostu liin suureksi. Helpoin tp tämän toteuttmiseksi on olett pisteiden olevn ksvvss järjestyksessä = x 0 < x 1 < < x n = b. Toinen tp on rjt pistejonon vrition koko rjmll summn x i x i 1 koko. Näistä tvoist ensimmäistä käytetään Cuchyn luseess j toist tp myös Robbinsin luseess. Augustin Lousin Cuchy ( ) oli rnsklinen mtemtikko, jok ntoi ensimmäisenä hyvin täsmällisiä todistuksi nlyysin tuloksille. Hän julkisi vuonn 1821 teoksen, jok esitti dierentili- j integrlilskennn peruskäsitteinä olevien rj-rvon j jtkuvuuden määritelmät smss muodoss kuin ne nykyäänkin esitetään. Hän pystyi todistmn, että dierentili- j integrlilskent lepäävät täsmällisellä pohjll. Tämä oli käänteentekevää, sillä Newtonin joist lken elettiin sellisess käsityksessä, että ne ntvt vin likimääräisiä tuloksi. (Ks. [3, s. 92]) Cuchy tutki erityisesti jtkuvi funktioit j oli ensimmäinen, jok trksteli jtkuvien funktioiden integroituvuutt. Esitellään seurvksi Cuchyn luse (ks. [4, s. 16]). Luse 3.1. Olkoon funktio f : [, b] R jtkuv. Tällöin funktio f on Newton-integroituv välillä [, b] j integrlill on tsinen pproksimtio Riemnnin summn vull, eli jokist ε > 0 kohti on olemss jokin δ > 0 siten, että xi f(x) dx f(ξ i )(x i x i 1 ) x i 1 < ε j f(x) dx f(ξ i )(x i x i 1 ) < ε 19

23 in, kun on sellinen välin [, b] jko, että j = x 0 < x 1 < < x n 1 < x n = b, x i x i 1 < δ, ξ i [x i 1, x i ]. Todistus. Sivuutetn, ks. [4, s. 321, Hrjoitus 11]. Esitellään seurvksi Robbinsin luse, jok on toinen mhdollinen versio Cuchyn luseelle. Robbinsin lusett voidn pitää teknisesti prempn version Riemnnin summn ilmisemisess jtkuville integroituville funktioille. Merkittävin ero luseiden välillä on se, että Cuchyn luseess jon pisteet = x 0, x 1,..., x n = b ovt ksvvss järjestyksessä. Kun ts Robbinsin luseess Riemnnin summn pisteet ovt mielivltisess järjestyksessä eikä funktion trvitse tällöin välttämättä oll jtkuv, j tämän vuoksi Robbinsin luse sllii Newtonin integrlin luonnehdinnn jtkuville funktioille täysin Riemnnin summn vull. Esitellään seurvksi Robbinsin luse (ks. [4, s. 17]). Luse 3.2. Relirvoinen funktio f on jtkuv välillä [, b], jos j vin jos on olemss luku I siten, että jokist ε > 0 j C > 0 kohti on olemss jokin δ > 0 siten, että I f(ξ i )(x i x i 1 ) < ε millä thns pisteiden x 0, x 1,..., x n j ξ 1, ξ 2,..., ξ n vlinnll, jotk noudtt ehto x i x i 1 C, missä = x 0, b = x n, 0 < x i x i 1 < δ j jokinen ξ i kuuluu päätepisteiden x i 1 j x i väliin, kun i = 1, 2,..., n. Tällöin funktio f on Newton-integroituv välillä [, b] j I = f(x) dx. Todistus. Sivuutetn, ks. [4, s , Todistus 1.9]. Luse 3.2 nt Newtonin integrlin jtkuville funktioille kksi ekvivlentti muoto, joko käyttämällä ntiderivtt ti Riemnnin summ integrlin trksteluss. 20

24 3.2 Riemnnin integrli Esitellään seurvksi Riemnnin integrlin määritelmä (ks. [4, s. 44]). Määritelmä 3.2. Olkoon funktio f määritelty jokisess välin [, b] pisteessä. Tällöin funktio f on Riemnn-integroituv välillä [, b], jos seurv kriteeri on voimss: on olemss luku I siten, että jokist ε > 0 kohti on olemss jokin δ > 0 siten, että I f(ξ i )(x i x i 1 ) < ε in, kun on sellinen välin [, b] jko, että = x 0 < x 1 < < x n 1 < x n = b, x i x i 1 < δ, j ξ i [x i 1, x i ]. Määritelmässä 3.2 luku I voidn myös ilmoitt muodoss I = (R) f(x) dx. Riemnnin integrli on yhteensopiv useiden Newtonin integrlin vritioiden knss, mutt integrlin yhteys ei ole yksiselitteinen. Luvuss 2 todettiin, että kikki jtkuvt funktiot ovt Newton-integroituvi j sm pätee myös Riemnnin integrlille. Riemnnin integrli määritellään rjoitetuille funktioille f : [, b] R; jos ehto ei ole voimss joudutn trkstelemn epäoleellisi integrlej. Kikki jtkuvt funktiot ovt Riemnn-integroituvi sekä Newton-integroituvi. Kikki Riemnn-integroituvt funktiot eivät ole Newton-integroituvi. Esimerkiksi seurvn hrjoitustehtävän funktio ei ole Riemnn-integroituv. Hrjoitus 3.1. Dirichlet'n funktio f : [0, 1] R, jok määritellään seurvsti { 1, jos x on rtionlinen, f(x) = 0, jos x on irrtionlinen, ei ole Riemnn-integroituv. 21

25 4 Henstock-Kurzweilin integrli Tässä luvuss trkstelln Henstock-Kurzweilin integrli, jok ei ole yhtä tunnettu integrli kuin Newtonin j Riemnnin integrlit. Henstock- Kurzweilin integrli on historillisesti tunnettu lukuisist nimistään riippuen määritelmän luonteest j kehittäjästä. Integrli on kutsuttu mm. Denjoyn rjoitetuksi integrliksi, Perronin integrliksi, Denjoy-Perronin integrliksi, j Kurzweilin integrliksi (ks. [4, s. 121]). Henstock-Kurzweilin integrlin monipuolisuudest seur, että se ktt edellisessä luvuss esille tulleen Newtonin integrlin eri vritiot. Tätä seikk trkstelln trkemmin vielä myöhemmin. 4.1 Henstock-Kurzweilin integrli Tässä luvuss esitellään Henstock-Kurzweilin integrli, jok yleistää Riemnnin integrlin määritelmää. Riemnnin integrlin heikkouten on se, ettei välttämättä ole olemss yhtä positiivist vkiot δ, jok toteutt määritelmän 3.2 kikill välin [, b] pisteillä. Riemnnin integrliss ei otet huomioon funktion integroituvuuden pikllist käyttäytymistä eikä tämän vuoksi funktio f ole välttämättä Riemnn-integroituv. Kun trkstelln positiivisen vkion δ korvmist positiivisell funktioll δ(ξ), niin jokist ξ [, b] kohti on olemss jokin δ(ξ) > 0 siten, että määritelmä 3.2 toteutuu. Tällöin sdn Henstock-Kurzweilin integrli, joss Riemnnin integrlin määritelmän vkio δ korvtn positiivisell funktioll δ(ξ) > 0. Esitellään seurvksi Henstock-Kurzweilin integrlin määritelmä (ks. [4, s. 51]). Määritelmä 4.1. Olkoon funktio f määritelty jokisess suljetun välin [, b] pisteessä. Funktio f on Henstock-Kurzweil-integroituv välillä [, b], jos seurv pisteittäinen määritelty integroituvuuden kriteeri on voimss: on olemss luku I siten, että jokist ε > 0 kohti on olemss sellinen positiivinen funktio δ : [, b] R +, että I f(ξ i )(x i x i 1 ) < ε in, kun on sellinen välin [, b] jko, että = x 0 < x 1 < x 2 <... < x n 1 < x n = b, x i x i 1 < δ(ξ i ), 22

26 j ξ i [x i 1, x i ]. Määritelmästä 4.1 seur, että Henstock-Kurzweilin integrli sisältää sekä Newtonin integrlin että Riemnnin integrlin. Määritelmässä 4.1 funktio f on määritelty jokisess välin [, b] pisteessä. Yleensä ei vdit funktiolle näin nkri ehtoj, kuten luvuss 2 funktion ehtoj lievennettiin trksteltess erilisi vritioit Newtonin integrlille. Määritelmässä 4.1 voidn myös sopi funktion olevn määritelty melkein kikkill (ks. [4, s ]) välin (, b) pisteissä ilmn, että se muuttisi integrlin käsitettä. Tällöin sovitn, että funktio g on määritelty siten, että g(x) = f(x), kun funktio on määritelty j muulloin g(x) = 0. Esitellään seurvksi luse Cuchyn kriteeristä (ks. [4, s. 52]). Merkintä λ(i) trkoitt välin I pituutt, j jos väli I on yksittäinen piste ti tyhjä, niin λ(i) on noll. Luse 4.1. Välttämätön j riittävä edellytys funktiolle f : [, b] R, jott se on Henstock-Kurzweil-integroituv välillä [, b], on se että jokist ε > 0 kohti on olemss jokin positiivinen funktio δ : [, b] R + siten, että [f(w) f(w )]λ(i I ) < ε (I,w) π (I,w ) π kikill välin [, b] joill π, π, jotk ovt hienompi kuin δ. Todistus. Sivuutetn, ks. [4, s. 52, Luse 1.24]. Esitellään seurvksi hyödyllinen Henstock-Sksin luse (ks. [4, s. 53]), jok koskee funktion f j sen ntiderivtn F yhteyttä. Lusett voidn pitää yleistyksenä Newtonin integrlin klssiselle versiolle funktion f j sen ntiderivtn yhteydestä, joss ehto F (x) = f(x) on voimss kikill välin [, b] pisteillä. Luse 4.2. Olkoon funktio f Henstock-Kurzweil-integroituv j määritelty jokisess suljetun välin [, b] pisteessä. Tällöin f on Henstock-Kurzweilintegroituv jokisell suljetull osvälillä [, b]. Lisäksi jokist ε > 0 kohti on olemss sellinen positiivinen funktio δ : [, b] R +, että F (v) F (u) f(w)(v u) < ε, ([u,v],w) π milloin thns π on välin [, b] hienompi jko kuin δ. Tällöin voidn kirjoitt F (x) = x 23 f(t) dt

27 on funktion f ntiderivtt. Todistus. Sivuutetn, ks. [4, s. 53, Luse 1.25]. 4.2 Kontrolloitu Newtonin integrli j Henstock-Kurzweilin integrli Tässä luvuss trkstelln Henstock-Kurzweilin integrlin j luvuss 2 esitetyn Newtonin integrlin yhteyttä trkemmin. Henstock-Kurzweilin integrli sisältää luvuss 2.3 esitetyt Newtonin integrlin vritiot, kuten luvuss 4.1 todettiin, että funktion voidn sopi olevn määritelty melkein kikill välin pisteillä ilmn, että se vikutt integrlin määritelmään. Lisäksi Henstock-Kurzweilin integrli on ekvivlentti Newtonin integrlin kontrolloidun version knss. Trkstelln Henstock-Kurzweilin integrlin j kontrolloidun Newtonin integrlin yhteyttä seurvn luseen vull. Luse 4.3. Funktio f on kontrolloidusti Newton-integroituv, jos j vin jos se on Henstock-Kurzweil-integroituv. Todistus. [4, s , Luse 1.26] Todistetn ensin, että jos funktio f on kontrolloidusti Newton-integroituv, niin funktio on Henstock-Kurzweil-integroituv. Olkoon funktio Newton-integroituv kontrolloidusti. Tällöin määritelmän 2.6 nojll on voimss seurvt oletukset: funktio f : (, b) R, jtkuv funktio F : [, b] R j kontrolli funktio φ: (, b) R. Kiinnitetään väli [c, d] (, b). Olkoon ε > 0. Merkitään ε η = φ(d) φ(c). Jokist x (, b) kohti on olemss jokin δ(x) > 0 siten, että F (y) F (x) f(x)(y x) φ(y) φ(x) < η, jos 0 < y x < δ(x). Tällöin luseen funktio f on Henstock-Kurzweilintegroituv välillä [c, d] j voidn kirjoitt d c f(x) dx = F (d) F (c). Oletetn, että jko π = {([u, v], w)} on äärellinen. Jos π = {([u, v], w)} on välin [c, d] hienompi jko kuin δ, niin sdn F (d) F (c) f(w)(v u) F (v) F (u) f(w)(v u) ([u,v],w) π 24 ([u,v],w) π

28 ([u,v],w) π η[φ(v) φ(u)] = η[φ(d) φ(c)] = ε. Tällöin f on Henstock-Kurzweil-integroituv välillä [c, d] j funktio F on sen ntiderivtt. Funktio F on jtkuv välillä [, b], niin ljennus välille [, b] seur Cuchyn ominisuudest (ks. [4, s. 60]). Todistetn seurvksi, että jos funktio f on Henstock-Kurzweil-integroituv, niin funktio on kontrolloidusti Newton-integroituv. Oletetn, että f : [, b] R on Henstock-Kurzweil-integroituv välillä [, b] j olkoon sen ntiderivtt funktio F. Tällöin funktio F on jtkuv. Muodostetn sopiv kontrolloitu funktio määritelmän 2.6 mukisesti. Vlitn luseen 4.2 nojll sellinen vähenevä jono positiivisi funktioit δ n : [, b] R +, että F (v) F (u) f(w)(v u) < 2 n, ([u,v],w) π missä π on välin [, b] hienompi jko kuin δ n. Olkoon jokist kokonisluku n = 1, 2, 3,... kohti olemss sellinen funktio G n (x), jok on määritelty jokisess pisteessä < x < b. Vditn lisäksi, että funktio G n (x) on summien supremum F (v) F (u) f(w)(v u) ([u,v],w) π kikkill välin [, x] joill π, jotk ovt hienompi kuin δ n. Tällöin funktio G: [, b] R on ksvv, G n () = 0 j G n (b) < 2 n. Nyt millä thns positiivisell kokoniluvull n j kikill k = 1, 2, 3..., n, jos 0 < y x < δ n (x), niin jko ([x, y], x) on hienompi kuin δ k. Siten G k (y) G k (x) F (y) F (x) f(x)(y x). Vstvsti jos 0 < x y < δ n (x), niin jko ([y, x], x) on hienompi kuin δ k j siten G k (x) G k (y) F (x) F (y) f(x)(x y). Nyt voidn määrittää kontrolloitu funktio seurvsti φ(x) = x + G k (x). Tällöin summ on äärellinen j funktio on idosti ksvv välillä (, b). Jos 0 < y x < δ n (x), niin k=1 φ(y) φ(x) n F (y) F (x) f(x)(y x) 25

29 j jos 0 < x y < δ n (x), niin φ(x) φ(y) n F (x) F (y) f(x)(x y). Täten jokist x (, b) kohti on olemss rj-rvo F (y) F (x) f(x)(y x) lim y x φ(y) φ(x) = 0. Tällöin luse on osoitettu päteväksi, kosk on löydetty vdittu kontrolli funktio. 26

30 Viitteet [1] Apostol Tom M., Mthemticl Anlysis. Cliforni Institute of Technology, Second Edition, [2] Dougls Kurtz S., Chrles Swrtz W., Theories of Integrtion. Volume 9, New Mexico Stte University, [3] Korhonen Hnnu, Mtemtiikn historin henkilöhhmoj. 1. pinos, MFKA-kustnnus Oy, [4] Thomson Brin S., Theory of the integrl. Simon Frser University, URL: [ Viitttu [5] Thomson Brin S., Bruckner Judith B., Bruckner Andrew M., Rel Anlysis. Second Edition, URL: [ Lndscpe.pdf]. Viitttu