Newtonin, Riemannin ja Henstock-Kurzweilin integraalit

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Newtonin, Riemannin ja Henstock-Kurzweilin integraalit"

Transkriptio

1 TAMPEREEN YLIOPISTO Pro grdu -tutkielm Annik Heinonen Newtonin, Riemnnin j Henstock-Kurzweilin integrlit Informtiotieteiden yksikkö Mtemtiikk Helmikuu 2013

2 Sisältö 1 Johdnto 1 2 Newtonin integrli Klssinen Newtonin integrli Newton-integroituvt funktiot Jtkuvuus j Newton-integroituvuus Newtonin integrlin vritiot Riemnnin integrli Riemnnin summ Riemnnin integrli Henstock-Kurzweilin integrli Henstock-Kurzweilin integrli Kontrolloitu Newtonin integrli j Henstock-Kurzweilin integrli Viitteet 27 i

3 Tmpereen yliopisto Informtiotieteiden yksikkö HEINONEN, ANNIKA: Newtonin, Riemnnin j Henstock-Kurzweilin integrlit Pro grdu -tutkielm, 27 s. Mtemtiikk Helmikuu 2013 Tiivistelmä Tutkielmn trkoituksen on perehdyttää lukij Newtonin, Riemnnin j Henstock-Kurzweilin integrleihin. Erityisesti trkstelln Newtonin integrlin ominisuuksi sekä yhtäläisyyttä Riemnnin j Henstock-Kurzweilin integrleihin. Luvuss 2 esitellään Newtonin integrlin määritelmä sekä Newton-integroituvien funktioiden ominisuuksi. Lisäksi esitellään Newtonin integrlin erilisi vritioit, joit ovt klssinen, niivi, elementrinen, muunneltu sekä kontrolloitu versio. Luvuss 3 perehdytään Riemnnin summn j integrliin sekä esitellään pproksimtiomenetelmä, joll Riemnnin summ j Newtonin integrli ovt likimin smt. Luvuss 4 esitellään Henstock-Kurzweilin integrli, jok on kytkettävissä luvuss 3 esiteltyyn Riemnnin integrlin määritelmään. Lopuksi osoitetn, että Newtonin integrlin kontrolloitu versio j Henstock-Kurzweilin integrli ovt ekvivlenttej. ii

4 1 Johdnto Tutkielmss perehdytään Newtonin, Riemnnin j Henstock-Kurzweilin integrleihin loittmll luvuss 2.1 klssisen Newtonin integrlin määritelmästä. Luvuss 2.2 trkstelln erilisi Newton-integroituvi funktioit sekä ntiderivttojen F funktioit. Kun trkstelln rjoitettuj integroituvi funktioit, niin ntiderivtt F on Lipschitzin funktio j Lipschitzin funktiot muodostvt funktioluokn. Luvuss 2.3 keskitytään jtkuviin Newton-integroituviin funktioihin esittelemällä yläfunktiomenetelmä. Yläfunktiot muodostvt funktioluokn, jonk vull voidn rvioid funktion ntiderivtt. Luvuss 2.4 esitellään Newtonin integrlin erilisi vritioit. Tällöin funktion f sllitn käyttäytyvän poikkevsti joisskin pisteissä eikä se täten ole integroituv tvllisess mielessä. Tällisi Newtonin integrlin vritioit klssisen version lisäksi ovt niivi, elementrinen, muunneltu sekä kontrolloitu. Luvuss 3 perehdytään Riemnnin integrliin esittelemällä määritelmä luvuss 3.1 Riemnnin summlle. Lisäksi trkstelln Newtonin integrlin j Riemnnin summn yhteyttä. Sopivll pproksimtioll näiden rvot ovt likimin smt. Luvuss 3.2 esitellään määritelmä Riemnnin integrlille. Luvuss 4 perehdytään Henstock-Kurzweilin integrliin. Luvuss 4.1 esitellään Henstock-Kurzweilin integrlin määritelmä, jok pohjutuu luvuss 3.2 esiteltyyn Riemnnin integrlin määritelmään. Lopuksi luvuss 4.2 trkstelln Newtonin j Henstock-Kurzweilin integrlin yhteyttä todistmll, että Newtonin integrlin kontrolloitu versio on ekvivlentti Henstock-Kurzweilin integrlin knss. Tutkielmss lukijlt edellytetään hyvää integrlilskennn hllitsemist esimerkiksi yliopiston nlyysin kurssien pohjlt. Tutkielmn päälähteenä käytetään verkkojulkisu Thomson, B., Theory of the integrl. Lisäksi lähteinä käytetään Tom Apostolin teost Mthemticl Anlysis, Kurtz Douglsin j Swrtz Chrlesin teost Theories of Integrtion sekä Brin Thomsonin, Judith Brucknerin j Andrew Brucknerin teost Rel Anlysis. 1

5 2 Newtonin integrli Isc Newton ( ) oli englntilinen mtemtikko, fyysikko j tähtitieteilijä. Yliopistoss hän opiskeli mtemtiikk, fysiikk, kreikk j ltin. Jo ensimmäisenä neljänä yliopistovuoten hän kehitti hyvin pitkälle dierentili- j integrlilskent. Sen nsioist hän pystyi määrittämään säännöllisen käyrän tngentin j krevuuden käyrän mielivltisess pisteessä. Häntä voidn pitää yhtenä integrlilskennn kehittäjänä. Newton osoitti 1600-luvun lopull, että pint-lojen ongelmt ovt rtkistviss ntiderivtn vull. Näin hän kehitti pohjn integrlilskennlle, jonk kehittämistä uset henkilöt ovt jtkneet. Mtemtiikn lisäksi hän on kehittänyt tärkeää pohj myös fysiikn eri os-lueill. (Ks. [3, s ].) 2.1 Klssinen Newtonin integrli Esitellään luksi Newtonin integrlin klssinen määritelmä (ks. [4, s. 2]). Määritelmä 2.1. Olkoon funktio f : [, b] R määritelty suljetull välillä [, b]. Tällöin funktio f on Newton-integroituv välillä [, b], jos on olemss funktio F : [, b] R siten, että F (x) = f(x) jokisell x [, b]. 1 Tällöin voidn kirjoitt f(t) dt = F (b) F (). Yleensä funktiot F snotn funktion f ntiderivtksi. Funktioll f on olemss useit mhdollisi ntiderivttoj F, joten määritelmä 1 edellyttää, että määrätty integrli F (b) F () ei ole riippuvinen vlitust funktiost F. Tämä voidn osoitt yksinkertisimmin käyttämällä välirvolusett. Määritelmä 2.1 on deskriptiivinen, kosk sen vull ei void rkent ti etsiä integrli. Ainostn jos funktioll f tiedetään olevn ntiderivtt, niin integrlin rvo voidn määrittää. 2.2 Newton-integroituvt funktiot Trkstelln luksi funktion f ntiderivttojen funktioit F. Oletetn, että funktio f on määritelty välillä [, b]. Tällöin voidn kirjoitt F (x) = x f(t) dt ( x b), 1 Täsmällisesti otten F () = f() on vsemmnpuoleinen j F (b) = f(b) oikenpuoleinen derivtt. 2

6 jos j vin jos funktio F on derivoituv välillä [, b] j F (x) = f(x) kikill x [, b]. Tällöin F on funktion f ntiderivtt välillä [, b]. Kun rjtn edellistä trkstelu olettmll funktion f olevn rjoitettu välillä [, b], niin päästään seurvn tärkeään funktioluokkn, Lipschitzin funktioihin (ks. [4, s. 3]). Määritelmä 2.2. Funktiot F : [, b] R snotn Lipschitzin funktioksi, jos on olemss ei-negtiivinen luku M siten, että kikill x, y [, b]. F (y) F (x) M y x Esitellään seurvksi luse koskien Lipschitzin funktioit. Jos luseen ehdot toteutuvt, niin ntiderivtt F on Lipschitzin funktio. Luse 2.1. Jos funktio f : [, b] R on rjoitettu j integroituv, niin sen ntiderivtt on Lipschitzin funktio. Todistus. (Vrt. [4, s. 3, Luse 1.3].) Olkoon funktio F funktion f ntiderivtt. Olkoon lisäksi funktio f rjoitettu jollkin ei-negtiivisell luvull M siten, että f(x) M kikill x [, b]. Oletetn, että y [, b]. Välirvoluseest seur, että on olemss jokin piste ξ siten, että ξ [x, y]. Tällöin F (y) F (x) = F (ξ) M (x y) y x kikill x, y [, b]. Kosk F on funktion f ntiderivtt, niin sdn jost oletuksen perusteell edelleen kun ξ [, b]. F (ξ) = f(ξ), F (y) F (x) = f(ξ) M, y x Ennen itseisesti integroituvien funktioiden luseen esittämistä määritellään jon käsite. 3

7 Määritelmä 2.3. (Ks. [1, s. 128, Määritelmä 6.3].) Jos väli [, b] on suljettu j joukon P = {x 0, x 1,..., x n } pisteiden joukko noudtt ehto = x 0 < x 1 < < x n 1 < x n = b, niin joukon P snotn olevn välin [, b] jko. Väliä [x i 1, x i ] snotn jon P osväliksi, jok voidn kirjoitt muotoon x i = x i x i 1 siten, että x i = b. Merkintä P[, b] trkoitt välin [, b] kikkien mhdollisten jkojen kokoelm. Määritellään myös myöhemmin trvittv hienompi-jon käsite (ks. [4, s. 11]). Olkoon δ positiviinen luku. Tällöin jon, jot merkitään {([ i, b i ], ξ i ): i = 1, 2, 3,..., n}, snotn olevn hienompi kuin δ, jos jokisell b i i < δ. Yleisemmin, jos δ on jokin positiivinen funktio, niin käytetään vstvsti edellistä lusekett vtien, että jokisell b i i < δ(ξ i ). Funktio f : [, b] R on itseisesti integroituv, jos molemmt funktiot f j f ovt integroituvi. Vstvsti funktio on ehdollisesti integroituv, jos funktio f on integroituv, mutt funktio f ei ole integroituv. Esitellään seurvksi itseisesti integroituvn funktion luse (ks. [4, s. 4]). Luse 2.2. Jos funktio f : [, b] R on itseisesti integroituv, niin sen ntiderivtll F on seurv ominisuus: kikill välin [, b] joill = x 0 < x 1 < x 2 < < x n = b on voimss F (x i ) F (x i 1 ) f(t) dt <. 4

8 Todistus. Sivuutetn, ks. [4, s. 4, Luse 1.4]. Huomutus 2.1. Luseen 2.2 ominisuus ei ole yksinomn voimss klssiselle Newtonin integrlille vn vstvll todistuksell ominisuus on johdettviss myös muille myöhemmin esitettäville integrleille. Millä thns funktioll F, jok noudtt lusett 2.2, on rjoitettu vritio välillä [, b]. Määritellään seurvksi rjoitetun vrition käsite. Määritelmä 2.4. (Ks. [1, s. 128, Määritelmä 6.4] j [5, s ].) Olkoon funktio F määritelty välillä [, b]. Jos joukko P = {x 0, x 1,..., x n } on välin [, b] jko, niin voidn kirjoitt F i = F (x i ) F (x i 1 ), kun i = 1, 2,..., n. Olkoon Vr(F, P ) = F i. Tällöin funktion F vritiot välillä [, b] merkitään Vr(F, [, b]) = sup{vr(f, P ): P on välin [, b] jko}. Jos Vr(F, [, b]) on äärellinen, niin funktioll F on rjoitettu vritio välillä [, b]. Seurv esimerkki trkstelee rjoitetun vrition ominisuutt. Esimerkki 2.1. Osoitetn, että funktioll F : [, b] R, jok on Lipschitzin funktio, on rjoitettu vritio välillä [, b]. Todistus. (Vrt. [4, s. 319, Hrjoitus 1].) Kosk funktio F : [, b] R on Lipschitzin funktio, niin määritelmän 2.2 perusteell on olemss ei-negtiivinen luku M siten, että F (y) F (x) M y x kikill x, y [, b]. Olkoon joukko P = {x 0, x 1,..., x n } välin [, b] jko. Tällöin määritelmän 2.4 nojll Vr(F, [, b]) = sup{vr(f, P ): P on välin [, b] jko} = F (x k ) F (x k 1 ) = F (b) F () M b. k=1 Kosk M b on äärellinen, niin määritelmän 2.4 nojll funktioll F on rjoitettu vritio välillä [, b]. 5

9 Huomutus 2.2. Newton-integroituvt funktiot on kytketty tähän mennessä itseisesti integroituviin funktiohin, mutt on olemss myös funktioit, jotk ovt ehdollisesti Newton-integroituvi. Käydään seurvksi läpi esimerkki (ks. [4, s. 5]) ehdollisesti Newtonintegroituvst funktiost. Esimerkki 2.2. Trkstelln funktiot F (x) = x 2 sin(x 2 ) välillä [0, 1]. Voidn tehdä johtopäätös, kun F (0) = 0, niin funktio F on jtkuv. Itse siss funktio F on jtkuv j derivoituv jokisess välin [0, 1] pisteessä. Erotusosmäärän rj-rvon sdn, että F (0) = 0. Derivoidn funktio j sdn F (x) = 2x sin 1 x 2 2 x cos 1, (kun x 0). x2 Määritelmän 2.1 nojll F on integroituv välillä [0, 1]. Trkstelln seurvksi funktion F integroituvuutt. Jos funktio F on integroituv, niin luseen 2.2 nojll funktioll F on rjoitettu vritio välillä [0, 1]. Vlitn pisteet y k = 1 kπ j x k = kun k = 1, 2,.... Tällöin funktion F rvoiksi sdn 2 [2k + 1]π, 2 F (y k ) = 0 j F (x k ) = ± [2k + 1]π, kun k = 1, 2,.... Nyt millä thns positiivisell kokonisluvull N sdn epäyhtälö N F (y k ) F (x k ) k=1 N k=1 2 [2k + 1]π. Oikenpuoleisen summn rvo ksv rjtt, kun N ksv. Tällöin Vr(F, [0, 1]) = eikä funktioll F ole rjoitettu vritiot. Siis F ei ole integroituv. 2.3 Jtkuvuus j Newton-integroituvuus Newton-integroituvist funktioist on olemss lukuisi esimerkkejä niin jtkuvi kuin epäjtkuvi funktioit. Rjtn trkstelu keskittymällä jtkuviin funktioihin. Esitellään seurvksi yläfunktion käsite (ks. [4, s. 6]). 6

10 Olkoon f rjoitettu j määritelty suljetull välillä [, b]. Olkoon välin [, b] jko = x 0 < x 1 < < x n 1 < x n = b. Oletetn, että funktio F on jtkuv välillä [, b] j linerinen jokisell välillä [x i 1, x i ] siten, että (2.1) F (x i ) F (x i i ) x i x i 1 f(ξ) kikill pisteillä ξ, joille x i 1 ξ x i (i = 1, 2,..., n). Tällöin snotn, että funktio F on funktion f yläfunktio välillä [, b]. Yläfunktiomenetelmällä voidn rvioid funktion f ntiderivtt. Kutkin rvioitv funktiot vrten trvitn omt yläfunktiot, jotk muodostvt funktioluokn. Seurv esimerkki trkstelee trkemmin yläfunktion käsitettä. Esimerkki 2.3. (Vrt. [4, s. 319, Hrjoitus 2].) Olkoon funktio f(x) = x 2 määritelty välillä [0, 1]. Määritellään funktiolle f yläfunktio käyttämällä pisteitä 0, 1 4, 1 2, 3 4, 1. Todistus. Funktio f(x) = x 2 on määritelty välillä [0, 1]. Tällöin funktion mksimirvoiksi väleillä [0, 1], [ 1, 1], [ 1, 3] j [ 3, 1] sdn ( 1 f = 4) 1 ( 1 ) 16, f = 1 ( 3 ) 2 4, f = 9 j f(1) = Käytetään seurvksi yläfunktiomenetelmää (2.1) rvioimn jokisen välin ntiderivtt F. Välin [0, 1 4 ] ntiderivtksi F (x 1) sdn F (x i ) F (x i i ) f(ξ)(x i x i 1 ), jost edelleen ( 1 F (x 1 ) F (x 0 ) f (x 1 x 0 ), 4) jolloin F (x 1 ) x Välin [ 1, 1] ntiderivtksi F (x 4 2 2) sdn ( 1 F (x 2 ) F (x 1 ) f (x 2 x 1 ), 2) jost edelleen F (x 2 ) 1 64 f ( 1 16 ) (x ), 7

11 jolloin F (x 2 ) (x ). Vstvll tvll välin [ 1 2, 3 4 ] ntiderivtksi F (x 3) sdn F (x 3 ) (x ) j välin [ 3 4, 1] ntiderivtksi F (x 4) sdn F (x 4 ) (x ) Kun yhdistetään sdut osvälit, niin sdn ploittin jtkuv funktio, jonk käyrä jokisess segmentissä ylittää funktion f rvon. Muodostunut funktio 1, kun 0 x 1, F (x), kun 1 x 1, , kun 1 x 3, , kun 3 x 1, 32 4 on funktion f eräs yläfunktio. Jtkuville funktioille voidn in määrittää ntiderivtt F. Seurv luse käsittelee tätä ominisuutt trkemmin. Luse 2.3. Olkoon funktio f : [, b] R rjoitettu. Tällöin on olemss sellinen Lipschitzin funktio F : [, b] R, että F (x) = f(x) jokisess pisteessä x b, joss funktio f on jtkuv. Todistus. (Ks. [4, s. 7-9, Luse 1.5].) Trkstelln luksi tpust olettmll, että funktio f : [0, 1] R on ei-negtiivinen j rjoitettu. Käytetään yläfunktiomenetelmää, j siksi oletetn, että funktio F 0 on jtkuv välillä [0, 1]. Olkoon F 0 (0) = 0 j funktioll on suor, jonk kulmkerroin on supremum seurvsti c 01 = sup{f(t): 0 t 1}. Jetn väli [0, 1] väleihin [0, 1] j [ 1, 1]. Olkoon funktio F jtkuv välillä [0, 1] j F 0 (0) = 0 sekä funktioll F 1 on välillä [0, 1 ] suor, jonk kulmkerroin on supremum 2 seurvsti c 11 = sup{f(t): 0 t 1 2 } 8

12 j funktioll on välillä [ 1, 1] suor, jonk supremum on 2 c 12 = sup{f(t): 1 2 t 1}. Väli [0, 1] voidn jk usempiin osväleihin (ks. [4, s. 8]). Sduist ntiderivtoist voidn muodost funktiojono {F n }. Tällöin jokinen funktio F n on jtkuv j ksvv. Yläfunktioiden määrittelystä seur, että F n (x) F n+1 (x) kikill 0 x 1 j n = 0, 1, 2,.... Tällöin {F n (x)} on vähenevä jono ei-negtiivisi lukuj j F (x) = lim n F n (x) on olemss kikill 0 x 1. Osoitetn, että ehto F (x) = f(x) on voimss kikill pisteillä x [0, 1], jolloin funktion f on oltv jtkuv. Kiinnitetään jokin piste x [0, 1] j olkoon ε > 0. Tällöin rgumentti viitt tpukseen, joss 0 < x < 1. Jos x = 0 ti x = 1, niin toispuoleinen rgumentointi tulee käsitellä vikk yksityiskohdt eivät erityisesti poikke toisistn. Vlitn jokin δ > 0 siten, että funktion f oskilltio on ω f ([x 2δ, x + 2δ]) välillä [x 2δ, x + 2δ] [0, 1] j se ei ylitä luku ε. Olkoon h vkio siten, että 0 < h < δ. Vlitn jokin kokonisluku N riittävän suureksi siten, että F N (x) F (x) < εh j F N (x + h) F (x + h) < εh. Nyt yläfunktion määrittelystä seur, että sdn epäyhtälö F N (x + h) F N (x) f(x)h hω f ([x 2h, x + 2h]), jok toteutuu riittävän suurell kokonisluvull N. Yhdistetään epäyhtälöt j sdn F (x + h) F (x) f(x)h F N (x + h) F N (x) f(x)h + F N (x) F (x) + F N (x + h) F (x + h) < 3εh. Tästä seur, että funktion F oikenpuoleinen derivtt pisteessä x on trklleen f(x). Vstvnlinen rgumentti osoitt vsemmnpuoleisen derivtn olemssolon. Tällöin funktioll f on ntiderivtt F välillä [, b]. 9

13 Osoitetn seurvksi, että funktio F, jok on määritelty välillä [0, 1], on Lipschitzin funktio. Olkoon luku M ei-negtiivinen j funktion f ylärj. Yläfunktion määritelmästä seur, että 0 F n (y) F n (x) M(y x) kikill x < y j x, y [0, 1]. Tästä voidn suorn päätellä, että funktio F on Lipschitzin funktio välillä [0, 1]. Tähän mennessä on osoitettu väite pikkns pitäväksi välillä [0, 1]. Nyt luovutn ei-negtiivisuudest j osoitetn, että väite on yleisesti voimss välillä [, b]. Olkoon funktio f : [, b] R j funktio g(t) = f( + t(b )) kikill 0 t 1. Olkoon G funktion g ntiderivtt välillä [0, 1]. Osoitetn, että funktioll f on olemss ntiderivtt. Muodostetn funktio ( ) x H(x) = (b )G, b jonk derivtksi sdn ( ) x H (x) = G. b Sijoitetn x = ( + t(b )) j sdn H (x) = G ( t(b ) b Kosk oletuksen perusteell G = g, niin ) = G (t) H (x) = G (t) = g(t) = f( + t(b )) = f(x). Siis funktioll f on olemss ntiderivtt H. Oletetn, että f : [, b] R on rjoitettu funktio j K = inf{f(x): x b}. Olkoon g(t) = f(t) K kikill < t < b. Tällöin g on rjoitettu j einegtiivinen välillä [, b]. Oletetn, että G on funktion g ntiderivtt välillä [, b]. Osoitetn, että funktioll f on ntiderivtt välillä [, b]. Muodostetn funktio H(t) = G(t) + Kt. 10

14 Kosk oletuksen perusteell G (t) = g(t), niin H (t) = G (t) + K = g(t) + K = f(t). Siis funktioll f on ntiderivtt H. Kosk funktio on rjoitettu, niin ntiderivtt H on Lipschitzin funktio siten, että H (t) = f(t) kikill pisteillä t b, joiss funktio f on jtkuv. Luse 2.4. Oletetn, että funktio f : [, b] R on jtkuv. Tällöin funktio f on Newton-integroituv kikill välin [, b] suljetuill osväleillä. Todistus. Jos funktio f on jtkuv, niin sen Newton-integroituvuus seur luseest Newtonin integrlin vritiot Tässä luvuss esitellään Newtonin integrlin erilisi vritioit. Luvuss 2.1 esitetty määritelmä Newtonin integrlille on hyvin vtiv, kosk ehdon F (x) = f(x) on oltv voimss kikiss välin [, b] pisteissä. Usein on kuitenkin hyödyllistä slli funktiolle f poikkeuksi, kuten pieniä pistejoukkoj, joiss funktio ei ole määritelty ti pisteitä, joiss F (x) = f(x) ei ole voimss. Ennen vritioiden esittämistä määritellään numeroituvn joukon käsite (ks. [1, s. 39]). Joukko S on äärettömästi numeroituv, jos se on yhtä mhtv kikkien positiivisten kokonislukujen knss. Tällöin voidn merkitä S {1, 2, 3,... }. Määritelmä 2.5. (Ks. [1, s. 39, Määritelmä 2.15].) Joukko S on numeroituv, jos se on äärellinen ti äärettömästi numeroituv joukko. Jos joukko ei ole numeroituv, niin sitä snotn ylinumeroituvksi. Kun tehdään funktiolle F joitkin väljennyksiä, niin sdn seurvnlisi vritioit Newtonin integrlille (ks. [4, s. 33]). Lisäksi jokisess seurvss tpuksess funktion f olless integroituv kyseisellä tvll voidn kirjoitt f(t) dt = F (b) F (). Klssinen. Funktio f on määritelty välillä [, b] j F (x) = f(x) jokisess välin [, b] pisteessä. Niivi. Funktio f on määritelty vähintään välillä (, b), F on jtkuv välillä [, b] j F (x) = f(x) jokisess välin (, b) pisteessä. 11

15 Elementrinen. Funktio f on määritelty vähintään välillä (, b) pitsi mhdollisesti äärellisen moness pisteessä. Funktio F on jtkuv välillä (, b) j F (x) = f(x) jokisess välin (, b) pisteessä lukuun ottmtt äärellisessä määrässä välin (, b) pisteitä. Muunneltu. Funktio f on määritelty vähintään välillä (, b) pitsi mhdollisesti numeroituvss joukoss N. Funktio F on jtkuv välillä [, b] j F (x) = f(x) jokisess välin (, b) pisteessä pitsi mhdollisen joukon N pisteissä. Klssisell tvll Newton-integroituv funktio on oltv määritelty jokisess pisteessä välillä [, b]. Käydään läpi esimerkki tällisest funktiost. Esimerkki 2.4. Trkstelln funktiot f(x) = x 2, jok on määritelty millä thns välillä [, b]. Tällöin funktio on Newtonintegroituv klssisesti, kosk funktiolle f on olemss ntiderivtt F (x) = 1 3 x3 siten, että F (x) = f(x) millä thns välillä [, b]. Esimerkin 2.4 funktio on myös Newton-integroituv niivisti välillä (, b). Klssisen j niivin version ero on pieni, sillä versiot erovt toisistn niiden määrittelyväleillä siten, että ehto F (x) = f(x) on voimss klssisess versioss välin [, b] pisteissä j niiviss versioss välin (, b) pisteissä. Kumpikn versioist ei slli määrittelyvälillä poikkeuksi vn funktioiden tulee oll määritelty jokisess välin pisteessä. Niiviss versioss funktio on määritelty voimell välillä, jok mhdollist sen, että jotkut funktiot ovt niivisti Newton-integroituvi, mutt eivät klssisesti Newton-integroituvi. Käydään seurvksi esimerkki läpi tällisest funktiost. Esimerkki 2.5. Olkoon funktio f(x) = 1 x. Trkstelln erikseen väliä [0, 1]. Tällöin funktio on Newton-integroituv niivisti, kosk funktio F (x) = 2 x on jtkuv välillä [0, 1] j ehto F (x) = f(x) on voimss jokisess välin (0, 1) pisteessä. Funktio ei kuitenkn ole Newton-integroituv klssisesti, kosk funktio f ei ole määritelty pisteessä 0 eikä täten ehto F (x) = f(x) ole voimss jokisess välin [0, 1] pisteessä. Elementrisen j niivin version ero on merkittävämpi, kosk elementrisess versioss ehdon F (x) = f(x) ei trvitse oll voimss jokisess välin (, b) pisteessä. Käydään läpi tällisest funktiost esimerkki. 12

16 Esimerkki 2.6. Olkoon funktio f(x) = 1 x. Trkstelln erikseen väliä [ 1, 1]. Funktio ei ole tällöin Newton-integroituv niivisti (eikä klssisesti), kosk funktio f ei ole määritelty pisteessä 0 eikä tällöin ehto F (x) = f(x) ole voimss jokisess välin ( 1, 1) pisteessä. Funktio on Newton-integroituv elementrisesti, kosk versio sllii äärellisen määrän pisteitä, joiss se ei ole määritelty. Tällöin funktio { 2 x, kun x>0, F (x) = 2 x, kun x<0, on jtkuv välillä ( 1, 1) j ehto F (x) = f(x) on voimss jokisess välin ( 1, 1) pisteessä lukuun ottmtt pistettä 0. Elementrisen j muunnellun version ero trkstelln trkemmin seurvn esimerkin vull. Esimerkki 2.7. Osoitetn, että popcorn funktio 1, jos x on rtionlinen j x = p supistetuss muodoss, q q P (x) = 1, jos x on rtionlinen j x = p, kun q = 0, q 0, jos x on irrtionlinen, on välillä [0, 1] Newton-integroituv muunnellusti, mutt ei elementrisesti. Todistus. (Vrt. [4, s. 328, Hrjoitus 31].) Olkoon funktio F : [0, 1] R mikä thns vkiofunktio. Tällöin sen derivtt on F (x) = 0. Kosk funktio P (x) = 0 kikill irrtionliluvuill x, niin sen ntiderivtt on funktio F, jok toteutt ehdon F (x) = 0 = P (x) kikill irrtionliluvuill x [0, 1]. Jos vlitn mikä thns rtionliluku x [0, 1], niin ehto F (x) = 0 1 q = P (x), (kun q 0) ei ole voimss j funktioll P (x) ei ole ntiderivtt F, jok toteuttisi vditun ehdon. Tällöin kikki rtionliluvut muodostvt numeroituvn joukon Q, jok sisältää äärettömän määrän rtionlilukuj. Popcorn funktio on Newton-integroituv muunnellusti, kosk funktioll P (x) on ntiderivtt F, jok on jtkuv välillä [0, 1] j ehto F (x) = P (x) on voimss 13

17 jokisess välin (0, 1) pisteessä pitsi numeroituvss joukoss Q. Popcorn funktio ei ole Newton-integroituv elementrisesti, kosk ehto F (x) = P (x) vtii äärettömän määrän pisteitä välillä (0, 1), jott se olisi voimss. Esitellään vielä yksi vritio Newtonin integrlist, jok on kontrolloitu Newtonin integrli. Trkstelln ennen version määrittämistä niivi versiot, jot soveltmll sdn Newtonin integrlin kontrolloitu versio. Olkoon funktio f : (, b) R niivisti Newton-integroituv. Tällöin on olemss jtkuv funktio F : [, b] R siten, että eli F (y) F (x) lim y x y x = f(x) F (y) F (x) f(x)(y x) lim y x y x kikill x (, b). Tällöin integrlin rvo on f(x) dx = F (b) F (). = 0, Esitellään seurvksi Newtonin integrlin kontrolloitu versio (ks. [4, s. 36]). Määritelmä 2.6. Funktion f : (, b) R snotn olevn kontrolloidusti Newton-integroituv, mikäli on olemss jtkuv funktio F : [, b] R j idosti ksvv funktio φ: (, b) R, jot snotn kontrolliksi, kun jokisell x (, b) on voimss rj-rvo F (y) F (x) f(x)(y x) lim y x φ(y) φ(x) Tällöin integrlin rvo voidn merkitä f(x) dx = F (b) F (). = 0. Kontrolloidun Newtonin integrlin versiot voidn pitää yhtenä vihtoehton Newtonin integrlille. Version hyvänä puolen on se, että sen olemssolo ei vdi funktion olevn derivoituv. Kontrolloidun Newtonin integrlin määritelmää hyödynnetään luvuss 4.2, kosk se on ekvivlentti luvuss 4.1 esitettävän Henstock-Kurzweilin integrlin knss. Määritellään seurvksi tsisesti suppenevn jonon käsite, jot trvitn trksteltess Newton-integroituvien funktioiden yleisiä ominisuuksi. 14

18 Määritelmä 2.7. (Ks. [1, s. 221 Määritelmä 9.1].) Funktioiden jonon {f n } snotn suppenevn tsisesti kohti funktiot f, jos jokist ε > 0 kohti on olemss jokin N (riippuen inostn ε) siten, että n > N edellyttäen kikill x S. Tällöin merkitään f n (x) f(x) < ε f n f tsisesti joukoss S. Esitellään seurvksi Newton-integroituvien funktioiden kolme ominisuutt (ks. [4, s. 39]). Monotonisuus. Jos f, g : [, b] R ovt integroituvi j f(x) g(x) kikill x [, b], niin f(t) dt g(t) dt. Linerisuus. Jos f 1, f 2,..., f n : [, b] R ovt integroituvi j h(x) = c i f i (x) on näiden funktioiden linerinen kombintio, niin h on vstvss mielessä integroituv j ( b ) b h(x) dx = c i f i (x) dx. Jtkuvuus. Jos f 1, f 2,... ovt integroituvien funktioiden tsisesti suppenev jono välillä [, b] j f(x) = lim n f n (x), niin funktio f on vstvss mielessä integroituv j f(x) dx = lim n f n (x) dx. Todistus. Sivuutetn, ks. [4, s , Hrjoitukset 38-40]. 3 Riemnnin integrli Bernhrd Riemnn ( ) oli skslinen mtemtikko j fyysikko. Hänen merkitystään erityisesti osoittvt Riemnnin geometri, Riemnnin 15

19 pinnt, Riemnnin summ sekä Riemnnin integrli. Hän erotti integroinnin derivoinnist j lähestyi sitä summn vull. Uset muut mtemtikot ovt jtkneet hänen tutkimuksin, joist on syntynyt useit erilisi integrliteorioit. Lisäksi hän käsitteli fysiikk, lukuteori, geometri j funktioteori ljoin kokonisuuksin ntmtt pienten yksityiskohtien rjoitt jtuksiens liikkuvuutt. Hänen vhvuuksinn voitiin pitää kykyä nähdä sioit uusilt näkökulmilt sekä käyttää erilisi menetelmiä tutkimuksissn. (Ks. [3, s ]) 3.1 Riemnnin summ Luvuss 2.1 määritelty Newtonin integrli edellyttää ntiderivtn F olemssolon. Tässä luvuss esitellään menetelmä, joll integrlin rvo kytketään funktion f vrsiniseen rvoon. Tähän päästään, kun trkstelln Newtonin integrlin j Riemnnin summn yhteyttä (ks. [4. s. 9-15]). Määritellään seurvksi Riemnnin summn käsite. Määritelmä 3.1. (Ks. [2, s. 11, Määritelmä 2.1].) Olkoon väli [, b] R j funktio f : [, b] R. Olkoon välin [, b] jko P = {x 0, x 1,..., x n } siten, että x 0 =, x n = b j x i 1 < x i, kun i = 1, 2,..., n. Olkoon lisäksi t i [x i 1, x i ] kikill i = 1, 2,..., n. Tällöin summ f(t i )(x i x i 1 ) välillä [, b] snotn funktion f Riemnnin summksi. Välirvoluseen vull Newtonin integrli voidn esittää Riemnnin summn. Jos funktio F : R R on derivoituv jokisess välin [, b] pisteessä, niin tällöin F = f on Newton-integroituv j välirvolusett voidn sovelt lusumll integrli muodoss f(x) dx = F (b) F () = f(ξ)(b ) jollin ξ (, b). Tällöin integrlin rvo on ilmistu yksinkertisimpn Riemnnin summn j pisteet ovt x 0 = j x 1 = b. Jos vlitn kolme erillistä pistettä niin sdn = x 0, x 1, x 2 = b, f(x) dx = F (b) F () = [ F (b) F (x 1 ) ] + [ F (x 1 ) F () ] 16

20 = f(ξ 2 )(b x 1 ) + f(ξ 1 )(x 1 ) 2 = f(ξ i )(x i x i 1 ) jollin pisteillä ξ 1 (, x 1 ) j ξ 2 (x 1, b). Integrlin rvo voidn lske Riemnnin summn vull myös äärellisellä määrällä pisteitä, jolloin määritelmää 3.1 voidn ljent määrittelemällä jon käsite uudell tvll. Tällöin vlitn välin [, b] mikä thns kokoelm pisteitä siten, että = x 0, x 1,..., x n = b on järjestettynä johonkin järjestykseen (ei välttämättä ksvvn). Vlitn jokin tietty piste ξ i (x i 1, x i ), kun i = 1, 2,..., n siten, että f(x) dx = [ F (xi ) F (x i 1 ) ] = f(ξ i )(x i x i 1 ). Nyt on osoitettu Newtonin integrlin j Riemnnin summn yhteys, jot vielä trkstelln seurvn esimerkkin vull. Esimerkki 3.1. (Ks. [1, s. 320, Hrjoitus 4].) Osoitetn, että integrlin x dx trkk rvo voidn lske Riemnnin summn vull, kun x dx = x i + x i 1 (x i x i 1 ) = (x 2 i x 2 i 1). Todistus. Olkoon x i + x i 1 = ξ i. 2 Tällöin Riemnnin summ nt välin [, b] mielivltisell joll summn rvoksi x i + x i 1 (x i x i 1 ) = = x 0, x 1,..., x n 1, x n = b (x 2 i x 2 i 1) = 1 2 [b2 x 2 n 1+x 2 n 1 x 2 n 2+ 2 ] = b

21 Sm rvo sdn käyttämällä funktion f(x) ntiderivtt F (x) = 1 2 x2. Tällöin integrlin rvoksi sdn x dx = F (b) F () = b2 2 2 = x 2 i x 2 i 1. 2 Tällöin on osoitettu, että Newtonin integrlin j Riemnnin summn rvot ovt smt funktioll f(x) = x. Newtonin integrlin lskeminen Riemnnin summn vull on mhdollist, jos pystytään vlitsemn jokin oike piste ξ i, jok tekee rvost trkn. Teoriss välirvoluseen vull sdn tällinen piste, mutt käytännössä tällöinkään ei ole in mhdollist löytää konkreettisesti sellist pistettä, jok nt riittävän trkn rvon. Trkstelln tilnnett olettmll funktion f : [, b] R olevn derivoituv j joukon P = { = x 0 < x 1 < < x n = b} olevn välin [, b] jko. Tällöin jokiselt osväliltä [x i 1, x i ] etsitään sellinen piste ξ i, että termi f(ξ i )(x i x i 1 ) nt trkn rvon termille F (x i ) F (x i 1 ). Jos pisteiden vlint on mhdollinen jokisess osvälissä, niin Riemnnin summ f(ξ i )(x i x i 1 ) nt hlutun rvon välille [, b], sillä (F (x i ) F (x i 1 )) = F (b) F (). Trkn rvon sijn on hyödyllisempää käyttää seurvnlist pproksimtiot (ks. [4, s ]) tuloksen rvioimisess f(x) dx f(ξ i )(x i x i 1 ). Tämän lähtökohtn on slli mielivltinen määrä pisteitä ξ i, joill pprosimtio nt riittävän hyvän likirvon. Kuitenkin in on mhdollist löytää sellinen piste ξ i, jok tekee tuloksest liin virheellisen. Virhettä voidn 18

22 kontrolloid vlitsemll välin [x i, x i 1 ] pisteet riittävän lähelle toisin. Yksi menetelmä vlit pisteet on käyttää tsist pproksimtiot. Menetelmässä vlitn jonkin yksittäisen pienen luvun δ pienuus j pisteet x i j x i 1 siten, että x i x i 1 < δ kikill i = 1, 2,..., n. Lisäksi jokinen termi voi lisätä virhettä, joten vlittu jono = x 0, x 1,..., x n = b pitää rjoitt siten, että kokonisvirhe ei muodostu liin suureksi. Helpoin tp tämän toteuttmiseksi on olett pisteiden olevn ksvvss järjestyksessä = x 0 < x 1 < < x n = b. Toinen tp on rjt pistejonon vrition koko rjmll summn x i x i 1 koko. Näistä tvoist ensimmäistä käytetään Cuchyn luseess j toist tp myös Robbinsin luseess. Augustin Lousin Cuchy ( ) oli rnsklinen mtemtikko, jok ntoi ensimmäisenä hyvin täsmällisiä todistuksi nlyysin tuloksille. Hän julkisi vuonn 1821 teoksen, jok esitti dierentili- j integrlilskennn peruskäsitteinä olevien rj-rvon j jtkuvuuden määritelmät smss muodoss kuin ne nykyäänkin esitetään. Hän pystyi todistmn, että dierentili- j integrlilskent lepäävät täsmällisellä pohjll. Tämä oli käänteentekevää, sillä Newtonin joist lken elettiin sellisess käsityksessä, että ne ntvt vin likimääräisiä tuloksi. (Ks. [3, s. 92]) Cuchy tutki erityisesti jtkuvi funktioit j oli ensimmäinen, jok trksteli jtkuvien funktioiden integroituvuutt. Esitellään seurvksi Cuchyn luse (ks. [4, s. 16]). Luse 3.1. Olkoon funktio f : [, b] R jtkuv. Tällöin funktio f on Newton-integroituv välillä [, b] j integrlill on tsinen pproksimtio Riemnnin summn vull, eli jokist ε > 0 kohti on olemss jokin δ > 0 siten, että xi f(x) dx f(ξ i )(x i x i 1 ) x i 1 < ε j f(x) dx f(ξ i )(x i x i 1 ) < ε 19

23 in, kun on sellinen välin [, b] jko, että j = x 0 < x 1 < < x n 1 < x n = b, x i x i 1 < δ, ξ i [x i 1, x i ]. Todistus. Sivuutetn, ks. [4, s. 321, Hrjoitus 11]. Esitellään seurvksi Robbinsin luse, jok on toinen mhdollinen versio Cuchyn luseelle. Robbinsin lusett voidn pitää teknisesti prempn version Riemnnin summn ilmisemisess jtkuville integroituville funktioille. Merkittävin ero luseiden välillä on se, että Cuchyn luseess jon pisteet = x 0, x 1,..., x n = b ovt ksvvss järjestyksessä. Kun ts Robbinsin luseess Riemnnin summn pisteet ovt mielivltisess järjestyksessä eikä funktion trvitse tällöin välttämättä oll jtkuv, j tämän vuoksi Robbinsin luse sllii Newtonin integrlin luonnehdinnn jtkuville funktioille täysin Riemnnin summn vull. Esitellään seurvksi Robbinsin luse (ks. [4, s. 17]). Luse 3.2. Relirvoinen funktio f on jtkuv välillä [, b], jos j vin jos on olemss luku I siten, että jokist ε > 0 j C > 0 kohti on olemss jokin δ > 0 siten, että I f(ξ i )(x i x i 1 ) < ε millä thns pisteiden x 0, x 1,..., x n j ξ 1, ξ 2,..., ξ n vlinnll, jotk noudtt ehto x i x i 1 C, missä = x 0, b = x n, 0 < x i x i 1 < δ j jokinen ξ i kuuluu päätepisteiden x i 1 j x i väliin, kun i = 1, 2,..., n. Tällöin funktio f on Newton-integroituv välillä [, b] j I = f(x) dx. Todistus. Sivuutetn, ks. [4, s , Todistus 1.9]. Luse 3.2 nt Newtonin integrlin jtkuville funktioille kksi ekvivlentti muoto, joko käyttämällä ntiderivtt ti Riemnnin summ integrlin trksteluss. 20

24 3.2 Riemnnin integrli Esitellään seurvksi Riemnnin integrlin määritelmä (ks. [4, s. 44]). Määritelmä 3.2. Olkoon funktio f määritelty jokisess välin [, b] pisteessä. Tällöin funktio f on Riemnn-integroituv välillä [, b], jos seurv kriteeri on voimss: on olemss luku I siten, että jokist ε > 0 kohti on olemss jokin δ > 0 siten, että I f(ξ i )(x i x i 1 ) < ε in, kun on sellinen välin [, b] jko, että = x 0 < x 1 < < x n 1 < x n = b, x i x i 1 < δ, j ξ i [x i 1, x i ]. Määritelmässä 3.2 luku I voidn myös ilmoitt muodoss I = (R) f(x) dx. Riemnnin integrli on yhteensopiv useiden Newtonin integrlin vritioiden knss, mutt integrlin yhteys ei ole yksiselitteinen. Luvuss 2 todettiin, että kikki jtkuvt funktiot ovt Newton-integroituvi j sm pätee myös Riemnnin integrlille. Riemnnin integrli määritellään rjoitetuille funktioille f : [, b] R; jos ehto ei ole voimss joudutn trkstelemn epäoleellisi integrlej. Kikki jtkuvt funktiot ovt Riemnn-integroituvi sekä Newton-integroituvi. Kikki Riemnn-integroituvt funktiot eivät ole Newton-integroituvi. Esimerkiksi seurvn hrjoitustehtävän funktio ei ole Riemnn-integroituv. Hrjoitus 3.1. Dirichlet'n funktio f : [0, 1] R, jok määritellään seurvsti { 1, jos x on rtionlinen, f(x) = 0, jos x on irrtionlinen, ei ole Riemnn-integroituv. 21

25 4 Henstock-Kurzweilin integrli Tässä luvuss trkstelln Henstock-Kurzweilin integrli, jok ei ole yhtä tunnettu integrli kuin Newtonin j Riemnnin integrlit. Henstock- Kurzweilin integrli on historillisesti tunnettu lukuisist nimistään riippuen määritelmän luonteest j kehittäjästä. Integrli on kutsuttu mm. Denjoyn rjoitetuksi integrliksi, Perronin integrliksi, Denjoy-Perronin integrliksi, j Kurzweilin integrliksi (ks. [4, s. 121]). Henstock-Kurzweilin integrlin monipuolisuudest seur, että se ktt edellisessä luvuss esille tulleen Newtonin integrlin eri vritiot. Tätä seikk trkstelln trkemmin vielä myöhemmin. 4.1 Henstock-Kurzweilin integrli Tässä luvuss esitellään Henstock-Kurzweilin integrli, jok yleistää Riemnnin integrlin määritelmää. Riemnnin integrlin heikkouten on se, ettei välttämättä ole olemss yhtä positiivist vkiot δ, jok toteutt määritelmän 3.2 kikill välin [, b] pisteillä. Riemnnin integrliss ei otet huomioon funktion integroituvuuden pikllist käyttäytymistä eikä tämän vuoksi funktio f ole välttämättä Riemnn-integroituv. Kun trkstelln positiivisen vkion δ korvmist positiivisell funktioll δ(ξ), niin jokist ξ [, b] kohti on olemss jokin δ(ξ) > 0 siten, että määritelmä 3.2 toteutuu. Tällöin sdn Henstock-Kurzweilin integrli, joss Riemnnin integrlin määritelmän vkio δ korvtn positiivisell funktioll δ(ξ) > 0. Esitellään seurvksi Henstock-Kurzweilin integrlin määritelmä (ks. [4, s. 51]). Määritelmä 4.1. Olkoon funktio f määritelty jokisess suljetun välin [, b] pisteessä. Funktio f on Henstock-Kurzweil-integroituv välillä [, b], jos seurv pisteittäinen määritelty integroituvuuden kriteeri on voimss: on olemss luku I siten, että jokist ε > 0 kohti on olemss sellinen positiivinen funktio δ : [, b] R +, että I f(ξ i )(x i x i 1 ) < ε in, kun on sellinen välin [, b] jko, että = x 0 < x 1 < x 2 <... < x n 1 < x n = b, x i x i 1 < δ(ξ i ), 22

26 j ξ i [x i 1, x i ]. Määritelmästä 4.1 seur, että Henstock-Kurzweilin integrli sisältää sekä Newtonin integrlin että Riemnnin integrlin. Määritelmässä 4.1 funktio f on määritelty jokisess välin [, b] pisteessä. Yleensä ei vdit funktiolle näin nkri ehtoj, kuten luvuss 2 funktion ehtoj lievennettiin trksteltess erilisi vritioit Newtonin integrlille. Määritelmässä 4.1 voidn myös sopi funktion olevn määritelty melkein kikkill (ks. [4, s ]) välin (, b) pisteissä ilmn, että se muuttisi integrlin käsitettä. Tällöin sovitn, että funktio g on määritelty siten, että g(x) = f(x), kun funktio on määritelty j muulloin g(x) = 0. Esitellään seurvksi luse Cuchyn kriteeristä (ks. [4, s. 52]). Merkintä λ(i) trkoitt välin I pituutt, j jos väli I on yksittäinen piste ti tyhjä, niin λ(i) on noll. Luse 4.1. Välttämätön j riittävä edellytys funktiolle f : [, b] R, jott se on Henstock-Kurzweil-integroituv välillä [, b], on se että jokist ε > 0 kohti on olemss jokin positiivinen funktio δ : [, b] R + siten, että [f(w) f(w )]λ(i I ) < ε (I,w) π (I,w ) π kikill välin [, b] joill π, π, jotk ovt hienompi kuin δ. Todistus. Sivuutetn, ks. [4, s. 52, Luse 1.24]. Esitellään seurvksi hyödyllinen Henstock-Sksin luse (ks. [4, s. 53]), jok koskee funktion f j sen ntiderivtn F yhteyttä. Lusett voidn pitää yleistyksenä Newtonin integrlin klssiselle versiolle funktion f j sen ntiderivtn yhteydestä, joss ehto F (x) = f(x) on voimss kikill välin [, b] pisteillä. Luse 4.2. Olkoon funktio f Henstock-Kurzweil-integroituv j määritelty jokisess suljetun välin [, b] pisteessä. Tällöin f on Henstock-Kurzweilintegroituv jokisell suljetull osvälillä [, b]. Lisäksi jokist ε > 0 kohti on olemss sellinen positiivinen funktio δ : [, b] R +, että F (v) F (u) f(w)(v u) < ε, ([u,v],w) π milloin thns π on välin [, b] hienompi jko kuin δ. Tällöin voidn kirjoitt F (x) = x 23 f(t) dt

27 on funktion f ntiderivtt. Todistus. Sivuutetn, ks. [4, s. 53, Luse 1.25]. 4.2 Kontrolloitu Newtonin integrli j Henstock-Kurzweilin integrli Tässä luvuss trkstelln Henstock-Kurzweilin integrlin j luvuss 2 esitetyn Newtonin integrlin yhteyttä trkemmin. Henstock-Kurzweilin integrli sisältää luvuss 2.3 esitetyt Newtonin integrlin vritiot, kuten luvuss 4.1 todettiin, että funktion voidn sopi olevn määritelty melkein kikill välin pisteillä ilmn, että se vikutt integrlin määritelmään. Lisäksi Henstock-Kurzweilin integrli on ekvivlentti Newtonin integrlin kontrolloidun version knss. Trkstelln Henstock-Kurzweilin integrlin j kontrolloidun Newtonin integrlin yhteyttä seurvn luseen vull. Luse 4.3. Funktio f on kontrolloidusti Newton-integroituv, jos j vin jos se on Henstock-Kurzweil-integroituv. Todistus. [4, s , Luse 1.26] Todistetn ensin, että jos funktio f on kontrolloidusti Newton-integroituv, niin funktio on Henstock-Kurzweil-integroituv. Olkoon funktio Newton-integroituv kontrolloidusti. Tällöin määritelmän 2.6 nojll on voimss seurvt oletukset: funktio f : (, b) R, jtkuv funktio F : [, b] R j kontrolli funktio φ: (, b) R. Kiinnitetään väli [c, d] (, b). Olkoon ε > 0. Merkitään ε η = φ(d) φ(c). Jokist x (, b) kohti on olemss jokin δ(x) > 0 siten, että F (y) F (x) f(x)(y x) φ(y) φ(x) < η, jos 0 < y x < δ(x). Tällöin luseen funktio f on Henstock-Kurzweilintegroituv välillä [c, d] j voidn kirjoitt d c f(x) dx = F (d) F (c). Oletetn, että jko π = {([u, v], w)} on äärellinen. Jos π = {([u, v], w)} on välin [c, d] hienompi jko kuin δ, niin sdn F (d) F (c) f(w)(v u) F (v) F (u) f(w)(v u) ([u,v],w) π 24 ([u,v],w) π

28 ([u,v],w) π η[φ(v) φ(u)] = η[φ(d) φ(c)] = ε. Tällöin f on Henstock-Kurzweil-integroituv välillä [c, d] j funktio F on sen ntiderivtt. Funktio F on jtkuv välillä [, b], niin ljennus välille [, b] seur Cuchyn ominisuudest (ks. [4, s. 60]). Todistetn seurvksi, että jos funktio f on Henstock-Kurzweil-integroituv, niin funktio on kontrolloidusti Newton-integroituv. Oletetn, että f : [, b] R on Henstock-Kurzweil-integroituv välillä [, b] j olkoon sen ntiderivtt funktio F. Tällöin funktio F on jtkuv. Muodostetn sopiv kontrolloitu funktio määritelmän 2.6 mukisesti. Vlitn luseen 4.2 nojll sellinen vähenevä jono positiivisi funktioit δ n : [, b] R +, että F (v) F (u) f(w)(v u) < 2 n, ([u,v],w) π missä π on välin [, b] hienompi jko kuin δ n. Olkoon jokist kokonisluku n = 1, 2, 3,... kohti olemss sellinen funktio G n (x), jok on määritelty jokisess pisteessä < x < b. Vditn lisäksi, että funktio G n (x) on summien supremum F (v) F (u) f(w)(v u) ([u,v],w) π kikkill välin [, x] joill π, jotk ovt hienompi kuin δ n. Tällöin funktio G: [, b] R on ksvv, G n () = 0 j G n (b) < 2 n. Nyt millä thns positiivisell kokoniluvull n j kikill k = 1, 2, 3..., n, jos 0 < y x < δ n (x), niin jko ([x, y], x) on hienompi kuin δ k. Siten G k (y) G k (x) F (y) F (x) f(x)(y x). Vstvsti jos 0 < x y < δ n (x), niin jko ([y, x], x) on hienompi kuin δ k j siten G k (x) G k (y) F (x) F (y) f(x)(x y). Nyt voidn määrittää kontrolloitu funktio seurvsti φ(x) = x + G k (x). Tällöin summ on äärellinen j funktio on idosti ksvv välillä (, b). Jos 0 < y x < δ n (x), niin k=1 φ(y) φ(x) n F (y) F (x) f(x)(y x) 25

29 j jos 0 < x y < δ n (x), niin φ(x) φ(y) n F (x) F (y) f(x)(x y). Täten jokist x (, b) kohti on olemss rj-rvo F (y) F (x) f(x)(y x) lim y x φ(y) φ(x) = 0. Tällöin luse on osoitettu päteväksi, kosk on löydetty vdittu kontrolli funktio. 26

30 Viitteet [1] Apostol Tom M., Mthemticl Anlysis. Cliforni Institute of Technology, Second Edition, [2] Dougls Kurtz S., Chrles Swrtz W., Theories of Integrtion. Volume 9, New Mexico Stte University, [3] Korhonen Hnnu, Mtemtiikn historin henkilöhhmoj. 1. pinos, MFKA-kustnnus Oy, [4] Thomson Brin S., Theory of the integrl. Simon Frser University, URL: [ Viitttu [5] Thomson Brin S., Bruckner Judith B., Bruckner Andrew M., Rel Anlysis. Second Edition, URL: [ Lndscpe.pdf]. Viitttu

5 Epäoleellinen integraali

5 Epäoleellinen integraali 5 Epäoleellinen integrli 5. Integrlin suppeneminen Olkoon f sellinen välillä [, b[ (ei siis välttämättä pisteessä b) määritelty funktio, että f on Riemnn-integroituv välillä [, ] kikill ], b[ eli on olemss

Lisätiedot

II.1. Suppeneminen., kun x > 0. Tavallinen lasku

II.1. Suppeneminen., kun x > 0. Tavallinen lasku II. EPÄOLEELLISET INTEGRAALIT nt II.. Suppeneminen Esim. Olkoon f() =, kun >. Tvllinen lsku = / =. Kuitenkn tätä integrli ei ole ikisemmss mielessä määritelty, kosk f ei ole rjoitettu välillä [, ] (eikä

Lisätiedot

2 Riemann-integraali. 2.1 Porrasfunktion integraali. Aloitetaan integraalin täsmällinen määrittely tutkimalla porrasfunktion integraalia.

2 Riemann-integraali. 2.1 Porrasfunktion integraali. Aloitetaan integraalin täsmällinen määrittely tutkimalla porrasfunktion integraalia. 2 Riemnn-integrli 2.1 Porrsfunktion integrli Aloitetn integrlin täsmällinen määrittely tutkimll porrsfunktion integrli. Määritelmä 2.1 (Porrsfunktion integrli). Olkoon f : [, b] R porrsfunktio j P = {x

Lisätiedot

Kertausta ja täydennystä

Kertausta ja täydennystä LUKU 1 Kertust j täydennystä 1.1. Merkintöjä N = {k Z k 0} = {0, 1, 2,... }, luonnollisten lukujen joukko. Z + = {k Z k > 0} = {1, 2,... }, positiivisten kokonislukujen joukko. (, b) on relikselin voin

Lisätiedot

3 Integraali ja derivaatta

3 Integraali ja derivaatta 3 Integrli j erivtt 3.1 Integrli ylärjns funktion Olkoon funktio f Riemnn-integroituv välin I jokisell suljetull osvälillä j välin I jokin kiinteä luku. Tällöin integrli määrittelee funktion G(): I R,

Lisätiedot

Analyysi 2. Harjoituksia lukuihin 1 3 / Kevät Anna sellainen välillä ] 2, 2[ jatkuva ja rajoitettu funktio f, että

Analyysi 2. Harjoituksia lukuihin 1 3 / Kevät Anna sellainen välillä ] 2, 2[ jatkuva ja rajoitettu funktio f, että Anlyysi Hrjoituksi lukuihin 3 / Kevät 5. Ann sellinen välillä ], [ jtkuv j rjoitettu funktio f, että () sup A m A j inf A min A, (b) sup A m A j inf A = min A, (c) sup A = m A j inf A min A, (d) sup A

Lisätiedot

Riemannin integraalista

Riemannin integraalista Lebesguen integrliin sl. 2007 Ari Lehtonen Riemnnin integrlist Johdnto Tämän luentomonisteen trkoituksen on tutustutt lukij Lebesgue n integrliin j sen perusominisuuksiin mhdollisimmn yksinkertisess tpuksess:

Lisätiedot

SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT Funktiojonot 1

SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT Funktiojonot 1 SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 JOUNI PARKKONEN Sisältö 0. Tästä tekstistä. Funktiojonot 0. Tästä tekstistä Tämä moniste on trkoitettu käytettäväksi kurssin Srjt j differentiliyhtälöt luentomterilin.

Lisätiedot

7 Funktiosarjoista. 7.1 Funktiosarjojen suppeneminen

7 Funktiosarjoista. 7.1 Funktiosarjojen suppeneminen 7 Funktiosrjoist 7. Funktiosrjojen suppeneminen Seurvksi trkstelln srjoj, joiden termit ovt (lukujen sijst) jollkin välillä I määriteltyjä funktioit. Täsmällisemmin funktiosrjll (ti lyhyemmin srjll) trkoitetn

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 7: Integraali ja analyysin peruslause

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 7: Integraali ja analyysin peruslause MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 7: Integrli j nlyysin perusluse Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos 3.10.2016 Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen

Lisätiedot

Riemannin integraalista

Riemannin integraalista TAMPEREEN YLIOPISTO Pro grdu -tutkielm Aij Stenberg Riemnnin integrlist Mtemtiikn j tilstotieteen litos Mtemtiikk Syyskuu 2010 2 Tmpereen yliopisto Mtemtiikn j tilstotieteen litos STENBERG, AIJA: Riemnnin

Lisätiedot

MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 7: Integraali ja analyysin peruslause

MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 7: Integraali ja analyysin peruslause MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 7: Integrli j nlyysin perusluse Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos November 20, 2017

Lisätiedot

x k 1 Riemannin summien käyttö integraalin approksimointiin ei ole erityisen tehokasta; jatkuvasti derivoituvalle funktiolle f virhe b

x k 1 Riemannin summien käyttö integraalin approksimointiin ei ole erityisen tehokasta; jatkuvasti derivoituvalle funktiolle f virhe b 5 Integrlien lskemisest 51 Riemnnin summt [A2], [4, 61] Rjoitetun funktion f : [, b] R Riemnn-integroituvuudelle ytäpitäväksi on kurssill Anlyysi 2 osoitettu, että Riemnnin summill S P := f(ξ k ) ( ),

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Mtemtiikn tukikurssi Kurssikert 4 Tilvuuden j vipn ln lskeminen Kuten iemmin käsittelimme, määrätyn integrlin vull voi lske pintloj j tilvuuksi. Tyypillisenä sovelluksen tilvuuden lskemisest on tpus, joss

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali MS-A1{3,4} (ELEC*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 8: Integrlifunktio j epäoleellinen integrli Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos 5.1.216 Pekk Alestlo,

Lisätiedot

MS-A010{2,3,4,5} (SCI, ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali

MS-A010{2,3,4,5} (SCI, ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali MS-A1{2,3,4,5} (SC, ELEC*, ENG*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 8: ntegrlifunktio j epäoleellinen integrli Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos November

Lisätiedot

2.4 Pienimmän neliösumman menetelmä

2.4 Pienimmän neliösumman menetelmä 2.4 Pienimmän neliösummn menetelmä Optimointimenetelmiä trvitn usein kokeellisen dtn nlysoinniss. Mittuksiin liittyy virhettä, joten mittus on toistettv useit kertoj. Oletetn, että mittn suurett c j toistetn

Lisätiedot

i 2 n 3 ( (n 1)a (i + 1) 3 = 1 +

i 2 n 3 ( (n 1)a (i + 1) 3 = 1 + I. INTEGRAALILASKENTA Arkhimedes (287 22 e.kr.) prbelin segmentin pint-l Newton (642 727) j Leibniz (646 76) keksivät diff.- j int.-lskennn Cuhy (789 857) ε, δ Riemnn (826 866) Riemnnin integrli Lebesgue

Lisätiedot

Lebesguen integraali - Rieszin määritelmä

Lebesguen integraali - Rieszin määritelmä Lebesguen integrli - Rieszin määritelmä Tru Lehtonen Mtemtiikn pro grdu-tutkielm Jyväskylän yliopisto Mtemtiikn j tilstotieteen litos Kevät 216 Tiivistelmä Jyväskylän Yliopisto Lehtonen, Tru Puliin: Lebesguen

Lisätiedot

Sisältö. Funktiojonot ja -sarjat 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 15

Sisältö. Funktiojonot ja -sarjat 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 15 Funktiojonot j -srjt 10. syyskuut 2005 sivu 1 / 15 Sisältö 1 Funktiojonoist 2 2 Funktiosrjoist 5 3 Funktiojonojen j -srjojen derivointi j integrointi 7 4 Potenssisrjt 9 5 Tylorin polynomit j srjt 12 5.1

Lisätiedot

1. Derivaatan Testi. Jos funktio f on jatkuva avoimella välillä ]a, b[ ja x 0 ]a, b[ on kriit. tai singul. piste niin. { f (x) > 0, x ]a, x 0 [

1. Derivaatan Testi. Jos funktio f on jatkuva avoimella välillä ]a, b[ ja x 0 ]a, b[ on kriit. tai singul. piste niin. { f (x) > 0, x ]a, x 0 [ 1. Derivtn Testi Jos funktio f on jtkuv voimell välillä ], b[ j x 0 ], b[ on kriit. ti singul. piste niin { f (x) < 0, x ], x 0 [ f x (x) > 0, x ]x 0, b[ 0 on lokli minimipiste (1) { f (x) > 0, x ], x

Lisätiedot

Sisältö. Integraali 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 20

Sisältö. Integraali 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 20 Integrli 10. syyskuut 2005 sivu 1 / 20 Sisältö 1 Määrätty integrli j integrlifunktio 2 1.1 Integroituvist funktioit 3 1.2 Määrätyn integrlin ominisuuksi 4 1.3 Integrlifunktio 5 1.4 Integrlilskennn tärkeimmät

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Mtemtiikn tukikurssi Kurssikert 5 1 Jtkuvuus Trkstelln funktiot fx) josskin tietyssä pisteessä x 0. Tämä funktio on tässä pisteessä joko jtkuv ti epäjtkuv. Jtkuvuuden ymmärtää prhiten trkstelemll epäjtkuv

Lisätiedot

Määritelmä Olkoon C R m yksinkertainen kaari ja γ : [a, b] R m sen yksinkertainen parametriesitys, joka on paloittain C 1 -polku.

Määritelmä Olkoon C R m yksinkertainen kaari ja γ : [a, b] R m sen yksinkertainen parametriesitys, joka on paloittain C 1 -polku. Muodostetn vektorikentän kri-integrli yksinkertisen kren tpuksess. Plutetn mieleen, että joukko C R m on yksinkertinen kri, jos löytyy sellinen jtkuv bijektio γ : [, b] C, jok on ploittin C 1 -funktio

Lisätiedot

ANALYYSI I, kevät 2009

ANALYYSI I, kevät 2009 ANALYYSI I, kevät 2009 Sisältö Relilukujen peruskäsitteitä 2 Lukujonoist 3 2. Lukujonon rj-rvo....................... 3 2.2 Monotoniset jonot......................... 7 2.3 Osjonot..............................

Lisätiedot

4. Reaalifunktioiden määrätty integraali

4. Reaalifunktioiden määrätty integraali 6 4. Relifunktioiden määrätt integrli Vrsinisesti termi "integrli" tulee seurvss esitettävästä määrätstä integrlist, jok on läheistä suku summmiselle. Yhtes derivttn on sitten perustv ltu olev tulos, jot

Lisätiedot

HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY OF HELSINKI

HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY OF HELSINKI HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY OF HELSINKI Tiedekunt/Ossto Fkultet/Sektion Fculty Litos Institution Deprtment Mtemttis-luonnontieteellinen Tekijä Förfttre Author Antti Khri Työn

Lisätiedot

Analyysi B. Derivaatta ja integraali. Pertti Koivisto

Analyysi B. Derivaatta ja integraali. Pertti Koivisto Anlyysi B Derivtt j integrli Pertti Koivisto Kevät 7 Alkusnt Tämä moniste on trkoitettu oheislukemistoksi Tmpereen yliopistoss pidettävälle kurssille Anlyysi B. Monisteen tvoitteen on tuke luentojen seurmist,

Lisätiedot

Sarjat ja integraalit

Sarjat ja integraalit Srjt j integrlit c Mtemttisten tieteiden litos, Oulun yliopisto Versio: 9.3.0 Viimeksi muoknnut: Peter Hästö Sisältö Funktion rj-rvo j jtkuvuus. Peruskäsitteitä........................................

Lisätiedot

ANALYYSI I, kevät 2009

ANALYYSI I, kevät 2009 5 Riemnnin integrli 7 ANALYYSI I, kevät 9 5. Integrlin perusominisuuksi................. 76 5. Anlyysin perusluse....................... 8 Sisältö Relilukujen peruskäsitteitä Lukujonoist 3. Lukujonon rj-rvo.......................

Lisätiedot

6 Integraalilaskentaa

6 Integraalilaskentaa 6 Integrlilskent 6. Integrlifunktio Funktion f integrlifunktioksi snotn funktiot F, jonk derivtt on f. Siis F (x) = f (x) määrittelyjoukon jokisell muuttujn rvoll x. Merkitään F(x) = f (x) dx. Integrlifunktion

Lisätiedot

ANALYYSI I, kevät 2009

ANALYYSI I, kevät 2009 ANALYYSI I, kevät 009 Sisältö Relilukujen peruskäsitteitä Lukujonoist 4. Lukujonon rj-rvo....................... 4. Monotoniset jonot..........................3 Osjonot.............................. 7.4

Lisätiedot

10. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA

10. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA MAA0 0. Määrätyn integrlin käyttö eräiden pint-lojen lskemisess 0. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA Edellä on todettu, että f (x)dx nt x-kselin j suorien x =, x = sekä funktion

Lisätiedot

a = x 0 < x 1 < x 2 < < x n = b f(x) dx = I. lim f(x k ) x k=1

a = x 0 < x 1 < x 2 < < x n = b f(x) dx = I. lim f(x k ) x k=1 5 Integrli 5.1 Määritelmä j ominisuudet Olkoon f : [, b] R jtkuv. Muodostetn välin [, b] jko = x 0 < x 1 < x 2 < < x n = b j siihen liittyvä yläsumm S = n M k (x k x k 1 ), M k = mx{f(x) x k 1 x x k },

Lisätiedot

Kuvausta f sanotaan tällöin isomorfismiksi.

Kuvausta f sanotaan tällöin isomorfismiksi. Määritelmä..12. Oletetn, että 1 =(V 1,E 1 ) j 2 =(V 2,E 2 ) ovt yksinkertisi verkkoj. Verkot 1 j 2 ovt isomorfiset, jos seurvt ehdot toteutuvt: (1) on olemss bijektio f : V 1 V 2 (2) kikill, b V 1 pätee,

Lisätiedot

TEHTÄVÄ 1. Olkoon (f n ) jono jatkuvia funktioita f n : [a, b] R, joka suppenee välillä [a, b] tasaisesti kohti funktiota f : [a, b] R.

TEHTÄVÄ 1. Olkoon (f n ) jono jatkuvia funktioita f n : [a, b] R, joka suppenee välillä [a, b] tasaisesti kohti funktiota f : [a, b] R. Topologi I Hrjoitus 10, rtkisuj AP TEHTÄVÄ 1. Olkoon (f n ) jono jtkuvi funktioit f n : [, b] R, jok suppenee välillä [, b] tsisesti kohti funktiot f : [, b] R. Osoit, että tällöin f n (x) dx f(x) dx.

Lisätiedot

Integroimistehtävät, 10. syyskuuta 2005, sivu 1 / 29. Perustehtäviä. Tehtävä 1. Osoita, että vakiofunktio f(x) c on Riemann-integroituva välillä

Integroimistehtävät, 10. syyskuuta 2005, sivu 1 / 29. Perustehtäviä. Tehtävä 1. Osoita, että vakiofunktio f(x) c on Riemann-integroituva välillä Integroimistehtävät,. syyskuut 5, sivu / 9 Perustehtäviä Tehtävä. Osoit, että vkiofunktio f(x) c on Riemnn-integroituv välillä [, b] j lske suorn määritelmän perusteell b f(x). Tehtävä. Osoit, että funktio,

Lisätiedot

Kertymäfunktio. Kertymäfunktio. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 2/2. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 1/2. Kertymäfunktio: Esitiedot

Kertymäfunktio. Kertymäfunktio. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 2/2. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 1/2. Kertymäfunktio: Esitiedot TKK (c) Ilkk Mellin (24) 1 Johdtus todennäköisyyslskentn TKK (c) Ilkk Mellin (24) 2 : Mitä opimme? 1/2 Jos stunnisilmiötä hlutn mllint mtemttisesti, on ilmiön tulosvihtoehdot kuvttv numeerisess muodoss.

Lisätiedot

Matematiikan peruskurssi. Seppo Hassi

Matematiikan peruskurssi. Seppo Hassi Mtemtiikn peruskurssi Seppo Hssi Syksy 2014 iii Esipuhe Tämä on 1. versio Mtemtiikn peruskurssin opetusmonisteest, jonk sisältö noudttelee pitkälti Vsn yliopistoss iemmin luennoimni Mtemttiset menetelmät

Lisätiedot

ANALYYSI 2. Tero Kilpeläinen

ANALYYSI 2. Tero Kilpeläinen ANALYYSI Tero Kilpeläinen 3 Teksti sisältää muistiinpnoj vuosin j 3 pidetystä kurssist. Tämän pketin trkoitus on tuke omien muistiinpnojen teko, ei korvt niitä. Mtemtiikk oppii prhiten itse kirjoitten

Lisätiedot

Mika Hirvensalo. Insinöörimatematiikka B 2014

Mika Hirvensalo. Insinöörimatematiikka B 2014 Mik Hirvenslo Insinöörimtemtiikk B 4 Sisältö Rj-rvo j jtkuvuus....................................................... 5. Differentili- j integrlilskennn kehityksestä............................. 5. Relilukujen

Lisätiedot

Riemann-integraalin ja mittaintegraalin vertailua

Riemann-integraalin ja mittaintegraalin vertailua Riemnn-integrlin j mittintegrlin vertilu Pro grdu -tutkielm Pii Tskinen Mtemttisten tieteiden litos Oulun yliopisto Kevät 216 Sisältö Johdnto 3 1 Esitietoj 5 1.1 Välijost............................. 5

Lisätiedot

Integraalilaskentaa. 1. Mihin integraalilaskentaa tarvitaan? MÄNTÄN LUKIO

Integraalilaskentaa. 1. Mihin integraalilaskentaa tarvitaan? MÄNTÄN LUKIO Integrlilskent Tämä on lukion oppimterileist hiemn poikkev yksinkertistettu selvitys määrätyn integrlin lskemisest. Kerromme miksi integroidn, mitä integroiminen trkoitt, miten integrli lsketn j miten

Lisätiedot

Syksyn 2015 Pitkän matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut

Syksyn 2015 Pitkän matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut Sksn 0 Pitkän mtemtiikn YO-kokeen TI-Nspire CAS -rtkisut Tekijät: Olli Krkkulinen Rtkisut on ldittu TI-Nspire CAS -tietokoneohjelmll kättäen Muistiinpnot -sovellust. Kvt j lskut on kirjoitettu Mth -ruutuihin.

Lisätiedot

Matemaattiset menetelmät I. Seppo Hassi

Matemaattiset menetelmät I. Seppo Hassi Mtemttiset menetelmät I Seppo Hssi Syksy 2011 iii Esipuhe Tämä on 1. versio Mtemttiset menetelmät I-kurssin opetusmonisteest, jok perustuu Vsn yliopistoss luennoimni vstvn nimiseen kurssiin. Sisältö noudtt

Lisätiedot

ANALYYSI 3. Tero Kilpeläinen

ANALYYSI 3. Tero Kilpeläinen ANALYYSI 3 Tero Kilpeläinen Luentomuistiinpnoj syksyltä 2005 20. lokkuut 2005 Sisältö 1. Esitietoj 2 1.1. Riemnn-integrli............................ 2 1.2. Derivtt................................. 4 1.3.

Lisätiedot

ANALYYSIN TEORIA A JA B

ANALYYSIN TEORIA A JA B ANALYYSIN TEORIA A JA B Kikki luseit ei ole muotoiltu smll tvll kuin luennoill. Ilmoit virheistä yms osoitteeseen mikko.kngsmki@ut. (jos et ole vrm, onko kyseessä virhe, niin ilmoit mieluummin). 1. Yleistä,

Lisätiedot

Numeerinen integrointi

Numeerinen integrointi Pitkärnt: Lj mtemtiikk IX9 Numeerinen integrointi IX9 Numeerinen integrointi Numeerisell integroinnill trkoitetn määrätyn integrlin, eli reliluvun I(f,,b) = f(x)dx lskemist numeerisin keinoin (likimäärin)

Lisätiedot

Ville Turunen: Mat Matematiikan peruskurssi P1 3. välikokeen alueen teoriatiivistelmä 2007

Ville Turunen: Mat Matematiikan peruskurssi P1 3. välikokeen alueen teoriatiivistelmä 2007 Ville Turunen: Mt-.4 Mtemtiikn peruskurssi P 3. välikokeen lueen teoritiivistelmä 27 Mterili: kirjt [Adms] R. A. Adms: Clculus, complete course (6th edition), [Ly] D. C. Ly: Liner lgebr nd its pplictions

Lisätiedot

Sarjojen tasainen suppeneminen

Sarjojen tasainen suppeneminen Srjojen tsinen suppeneminen Pro grdu -tutkielm Krist Mikkonen 165274 Itä-Suomen yliopisto Fysiikn j mtemtiikn litos 19. mrrskuut 2013 Sisältö 1 Johdnto 1 2 Lukujonoist j srjoist 2 2.1 Lukujoukoist...........................

Lisätiedot

521. 522. 523. 524. 525. 526. 527. 12. Lisää määrätystä integraalista. 12.1. Integraalin arvioimisesta. Osoita: VASTAUS: Osoita: Osoita:

521. 522. 523. 524. 525. 526. 527. 12. Lisää määrätystä integraalista. 12.1. Integraalin arvioimisesta. Osoita: VASTAUS: Osoita: Osoita: 12. Lisää määrätystä integrlist 12.1. Integrlin rvioimisest 521. Osoit: 1 + x 2 22 1 < < 1 + x21 21. 522. Osoit: x 3 < 5 x 6 + 8x + 9 < 15 1 5. 523. Osoit: 2 2 < e x2 x < 2e 2. e 524. Olkoon k >. Osoit:

Lisätiedot

MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1

MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 MS-A0102 Differentili- j integrlilskent 1 Riikk Korte (Pekk Alestlon klvojen pohjlt) Alto-yliopisto 22.11.2016 Sisältö Pint-l Integrli 1.1 Pint-l: Suorkulmio Seurvss trkstelln umpinisten tsokäyrien rjmi

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Mtemtiikn tukikurssi Kurssikert 3 Määrätyn integrlin lskeminen Aiemmin määrittelimme määrätyn integrlin f (x)dx funktion f (x) l- j yläsummien rj-rvon. Määrätyllä integrlill on kksi intuitiivist tulkint:.

Lisätiedot

Lebesguen integraali

Lebesguen integraali LUKU 3 Lebesguen integrli Seurvss esitettävä määritelmä Lebesguen integrlille ei ole Lebesguen lkuperäinen. Vuoden 1904 luennoissn [23] hän kuitenkin setti tvoitteeksi, että integrlill olisi ominisuus:

Lisätiedot

Numeerinen integrointi.

Numeerinen integrointi. Numeerinen integrointi. Differentili- j integrlilskent 1, syksy 2015 Hrri Vrpnen Mtemtiikn j systeeminlyysin litos Alto-yliopisto Tiisti 6.10.2015 Sisältö Tylor-menetelmä. Käyttökelpoinen silloin, kun

Lisätiedot

Analyysin perusteet kauppatieteilijöille 800118P

Analyysin perusteet kauppatieteilijöille 800118P Anlyysin perusteet kupptieteilijöille 800118P Luentomoniste Kri Myllylä Niin Korteslhti Topi Törmä Oulun yliopisto Mtemttisten tieteiden litos Kevät 2015 Sisältö 1 Derivtt 3 1.1 Määritelmä..............................

Lisätiedot

Johdatus fraktaaliderivaattoihin ja niiden sovelluksiin

Johdatus fraktaaliderivaattoihin ja niiden sovelluksiin Jodtus frktliderivttoiin j niiden sovelluksiin Hnn Hlinen Mtemtiikn pro grdu Jyväskylän yliopisto Mtemtiikn j tilstotieteen litos Kesä 4 Tiivistelmä: Hnn Hlinen, Jodtus frktliderivttoiin j niiden sovelluksiin

Lisätiedot

Viikon aiheet. Pinta-ala

Viikon aiheet. Pinta-ala info Viikon iheet Mpu I:sen voit suoritt: Kurssin loppukokeess 23.10. Arvosn: koe + lskrit Mikäli yo. ik ei sovi, voit suoritt loppukokeen yleistenttitilisuudess 24.11. Arvosn: koe + lskrit. Ilmoittudu

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 9: Integroimismenetelmät

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 9: Integroimismenetelmät MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 9: Integroimismenetelmät Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos 10.10.2016 Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen (Alto-yliopisto,

Lisätiedot

4 Taso- ja avaruuskäyrät

4 Taso- ja avaruuskäyrät P2-luentoj kevät 2008, Pekk Alestlo 4 Tso- j vruuskäyrät Tässä luvuss tutustutn tso- j vruuskäyriin, niiden krenpituuteen j krevuuteen. Konkreettisin sovelluksin trkstelln nnettu rt pitkin liikkuvn hiukksen

Lisätiedot

Sinilause ja kosinilause

Sinilause ja kosinilause Siniluse j kosiniluse GEOMETRI M3 Mikäli kolmion korkeus j knt tiedetään, voidn pint-l lske. Esimerkki: Lske kolmion l, kun 38 kulmn viereiset sivut ovt 8, j 6,8. Nyt knt tiedetään, korkeutt ei! 38 8,

Lisätiedot

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2017 Harjoitus 6, ratkaisuista. 1. Onko jokin demojen 5 tehtävän 3 relaatioista

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2017 Harjoitus 6, ratkaisuista. 1. Onko jokin demojen 5 tehtävän 3 relaatioista Mtemtiikn johntokurssi, syksy 07 Hrjoitus 6, rtkisuist. Onko jokin emojen 5 tehtävän reltioist ) R := {(, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, )}, ) S := {(, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ),

Lisätiedot

Analyyttiset funktiot ja integrointiteorian alkeita

Analyyttiset funktiot ja integrointiteorian alkeita Anlyyttiset funktiot j integrointiteorin lkeit 6. helmikuut 2006 isältö 1 Kertust 1 2 Anlyyttiset funktiot 2 2.1 Anlyyttiset funktiot tsoll................... 2 2.2 Monogeeniset funktiot vruudess R n.............

Lisätiedot

MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 9: Integroimismenetelmät

MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 9: Integroimismenetelmät MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 9: Integroimismenetelmät Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos November 27, 2017 Pekk Alestlo,

Lisätiedot

Reaalinen lukualue. Millainen on luku, jossa on päättymätön ja jaksoton desimaalikehitelmä?

Reaalinen lukualue. Millainen on luku, jossa on päättymätön ja jaksoton desimaalikehitelmä? Relinen lukulue POLYNOMIFUNKTIOT JA -YHTÄLÖT, MAA Millinen on luku, joss on päättymätön j jksoton desimlikehitelmä? Onko sellisi? Trkstelln Pythgorn luseest stv yksikköneliön lävistäjää, luku + = x x =.

Lisätiedot

3.3 KIELIOPPIEN JÄSENNYSONGELMA Ratkaistava tehtävä: Annettu yhteydetön kielioppi G ja merkkijono x. Onko

3.3 KIELIOPPIEN JÄSENNYSONGELMA Ratkaistava tehtävä: Annettu yhteydetön kielioppi G ja merkkijono x. Onko 3.3 KILIOPPIN JÄSNNYSONGLMA Rtkistv tehtävä: Annettu yhteydetön kielioppi G j merkkijono x. Onko x L(G)? Rtkisumenetelmä = jäsennyslgoritmi. Useit vihtoehtoisi menetelmiä, erityisesti kun G on jotin rjoitettu

Lisätiedot

Analyyttinen lukuteoria

Analyyttinen lukuteoria Anlyyttinen lukuteori Johdnto Kuten yltä näkyy, tämän luentomonisteen kttm luentosrj on nimeltään Anlyyttinen lukuteori, vikkkin opintorekisteribyrokrttisist syistä opintojkso knt nimeä Lukuteori 3. Näin

Lisätiedot

Säännöllisten operaattoreiden täydentäviä muistiinpanoja

Säännöllisten operaattoreiden täydentäviä muistiinpanoja Säännöllisten operttoreiden täydentäviä muistiinpnoj Antti-Juhni Kijnho 1. huhtikuut 2011 Vnht määritelmät Määritelmä 1. Äärellinen epätyhjä joukko on merkistö, j sen lkioit kutsutn merkeiksi. Määritelmä

Lisätiedot

Analyysi III S

Analyysi III S Anlyysi III 800624S Sisältö sitietoj 5 Riemnn integroinnin rjt 6 Luku 1. Mittteori 7 1. Algebr j σ-lgebr 7 2. Mitt 8 3. Ulkomitt j mitlliset joukot 11 4. Ulkomitn konstruointi 14 5. Lebesguen ulkomitt

Lisätiedot

Pythagoraan lause. Pythagoras Samoslainen. Pythagoraan lause

Pythagoraan lause. Pythagoras Samoslainen. Pythagoraan lause Pythgorn luse Pythgors Smoslinen Pythgors on legendrinen kreikklinen mtemtiikko j filosofi. Tiedot hänen elämästään ovt epävrmoj j ristiriitisi. Tärkein Pythgorst j pythgorlisi koskev lähde on Lmlihosin

Lisätiedot

TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma. Harri Lehtinen. Kongruenssista

TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma. Harri Lehtinen. Kongruenssista TAMPEREEN YLIOPISTO Pro grdu -tutkielm Hrri Lehtinen Kongruenssist Mtemtiikn, tilstotieteen j filosofin litos Mtemtiikk Helmikuu 006 Tmpereen yliopisto Mtemtiikn, tilstotieteen j filosofin litos LEHTINEN,

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi. Hannu Kivimäki

Matematiikan tukikurssi. Hannu Kivimäki Mtemtiikn tukikurssi Hnnu Kivimäki Sisältö I Ensimmäinen välikoe Integrointi 2 Osittisintegrointi 5 3 Osmurtohjotelm 4 Lisää osmurtoj 4 5 Sijoituskeino 9 6 Määrätty integrli 2 7 Ylä- j lsumm 22 8 Määrätyn

Lisätiedot

ANALYYSI 2. Camilla Hollanti. Tampereen yliopisto x 3. a x 1. x 4 x 11. x 2

ANALYYSI 2. Camilla Hollanti. Tampereen yliopisto x 3. a x 1. x 4 x 11. x 2 ANALYYSI 2 Cmill Hollnti _ M M x x 2 x 3 x 4 x b Tmpereen yliopisto 200 2 Sisältö. Preliminäärejä 3 2. Riemnn-integrli 5 2.. Pint-lt j porrsfunktiot....................... 5 2... Pint-l rj-rvon.......................

Lisätiedot

T Kevät 2009 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 7 (Predikaattilogiikka )

T Kevät 2009 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 7 (Predikaattilogiikka ) T-79.3001 Kevät 2009 Logiikk tietotekniikss: perusteet Lskuhrjoitus 7 (Predikttilogiikk 9.1 10.2) 19.3. 23.3. 2009 Rtkisuj demotehtäviin Tehtävä 9.1 Rtkisuss on käytetty usen otteeseen rjoitettuj universli-

Lisätiedot

1 Jonot. 2 Sarjat. 3 Jatkuvuus. 4 Derivaatta. 5 Taylor-polynomit ja -sarjat. 1.2 Jonot. jossa

1 Jonot. 2 Sarjat. 3 Jatkuvuus. 4 Derivaatta. 5 Taylor-polynomit ja -sarjat. 1.2 Jonot. jossa Sisältö MS-AX Differentili- j integrlilskent Nämä klvot sisältävät otsikoss minitun kurssin keskeisen mterilin, mutt myös pljon oheislukemist. Luennoill voidn käsitellä myös täydentäviä esimerkkejä, kosk

Lisätiedot

Newton-Cotesin ja Gaussin integrointimenetelmistä

Newton-Cotesin ja Gaussin integrointimenetelmistä TAMPEREEN YLIOPISTO Pro grdu -tutkielm Anniin Julku Newton-Cotesin j Gussin integrointimenetelmistä Informtiotieteiden yksikkö Mtemtiikk Toukokuu 215 Tmpereen yliopisto Informtiotieteiden yksikkö JULKU,

Lisätiedot

Esimerkki 8.1 Määritellään operaattori A = x + d/dx. Laske Af, kun f = asin(bx). Tässä a ja b ovat vakioita.

Esimerkki 8.1 Määritellään operaattori A = x + d/dx. Laske Af, kun f = asin(bx). Tässä a ja b ovat vakioita. 8. Operttorit, mtriisit j ryhmäteori Mtemttinen operttori määrittelee opertion, jonk mukn sille nnettu funktiot muoktn. Operttorit ovt erityisen tärkeitä kvnttimekniikss, kosk siinä jokist suurett vst

Lisätiedot

IV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n

IV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n IV. TASAINEN SUPPENEMINEN IV.. Funktiojonon tasainen suppeneminen Olkoon A R joukko ja f n : A R funktio, n =, 2, 3,..., jolloin jokaisella x A muodostuu lukujono f x, f 2 x,.... Jos tämä jono suppenee

Lisätiedot

11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS

11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS 11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS Tilvuus on sen verrn rkielämässä viljelty käsite, että useimmiten sen syvemmin edes miettimättä ymmärretään, mitä juomlsin ti pikkuvuvn kylpymmeen tilvuudell trkoitetn.

Lisätiedot

Matematiikan perusteet taloustieteilijöille 2 800118P

Matematiikan perusteet taloustieteilijöille 2 800118P Mtemtiikn perusteet tloustieteilijöille 2 800118P Luentomoniste Kri Myllylä Niin Korteslhti Oulun yliopisto Mtemttisten tieteiden litos Kevät 2014 Sisältö 1 Mtriisilgebr j optimointi 4 11 Määritelmä 4

Lisätiedot

Vektoriarvoisten funktioiden analyysiä

Vektoriarvoisten funktioiden analyysiä Vektorirvoisten funktioiden nlyysiä LuK-tutkielm Arttu Hrtikk 2330325 Mtemttisten tieteiden litos Oulun yliopisto Syksy 2016 Sisältö Johdnto 2 1 Vektorivruus 3 1.1 Normi j normivruus......................

Lisätiedot

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 5.2.2013

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 5.2.2013 Preliminäärikoe Pitkä Mtemtiikk 5..0 Kokeess s vstt enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä ( * ) merkittyjen tehtävien mksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien mksimipistemäärä on 6.. ) Rtkise yhtälö b)

Lisätiedot

Ristitulo ja skalaarikolmitulo

Ristitulo ja skalaarikolmitulo Ristitulo j sklrikolmitulo Opetussuunnitelmn 00 mukinen kurssi Vektorit (MAA) sisältää vektoreiden lskutoimituksist keskeisenä ineksen yhteenlskun, vähennyslskun, vektorin kertomisen luvull j vektoreiden

Lisätiedot

sin θ θ θ r 2 sin 2 θ φ 2 = 0.

sin θ θ θ r 2 sin 2 θ φ 2 = 0. Mtemtiikn j tilstotieteen litos Osittisdifferentiliyhtälöt Kevät 21 Hrjoitus 9 Rtkisuj Jussi Mrtin 1. Osoit, että Lplce-yhtälö pllokoordinteiss on 2 u 1 r 2 2 u r r 1 r 2 sin θ u 1 2 u sin θ θ θ r 2 sin

Lisätiedot

2.2 Monotoniset jonot

2.2 Monotoniset jonot Mtemtiik tito 9, RATKAISUT Mootoiset joot ) Kosk,,,, ii 0 Lukujoo ( ) o siis lhlt rjoitettu Toislt 0 Lukujoo (

Lisätiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1: tiivistelmä ja oheislukemista

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1: tiivistelmä ja oheislukemista Differentili- j integrlilskent 1: tiivistelmä j oheislukemist Pekk Alestlo 4. syyskuut 2014 Tähdellä merkityt kohdt on trkoitettu lähinnä oheislukemistoksi. Lisäksi mukn on joitkin lukiot kertvi kohti,

Lisätiedot

Painopiste. josta edelleen. x i m i. (1) m L A TEX 1 ( ) x 1... x k µ x k+1... x n. m 1 g... m n g. Kuva 1. i=1. i=k+1. i=1

Painopiste. josta edelleen. x i m i. (1) m L A TEX 1 ( ) x 1... x k µ x k+1... x n. m 1 g... m n g. Kuva 1. i=1. i=k+1. i=1 Pinopiste Snomme ts-ineiseksi kpplett, jonk mteriliss ei ole sisäisiä tiheyden vihteluj. Tällisen kppleen pinopisteen sijinti voidn joskus päätellä kppleen muodon perusteell. Esimerkiksi ts-ineisen pllon

Lisätiedot

Olkoon. M = (Q, Σ, δ, q 0, F)

Olkoon. M = (Q, Σ, δ, q 0, F) T 79.148 Tietojenkäsittelyteorin perusteet 2.4 Äärellisten utomttien minimointi Voidn osoitt, että jokisell äärellisellä utomtill on yksikäsitteinen ekvivlentti (so. smn kielen tunnistv) tilmäärältään

Lisätiedot

2.1 Vaillinaiset yhtälöt

2.1 Vaillinaiset yhtälöt .1 Villiniset yhtälöt Yhtälö, jok sievenee muotoon x + bx + c = 0 (*) on yleistä normlimuoto olev toisen steen yhtälö. Tämän rtkiseminen ei olekn enää yhtä meknist kuin normlimuotoisen ensisteen yhtälön

Lisätiedot

Olkoon. äärellinen automaatti. Laajennetaan M:n siirtymäfunktio yksittäisistä syötemerkeistä merkkijonoihin: jos q Q, x Σ, merkitään

Olkoon. äärellinen automaatti. Laajennetaan M:n siirtymäfunktio yksittäisistä syötemerkeistä merkkijonoihin: jos q Q, x Σ, merkitään T 79.00/002 Tietojenkäsittelyteorin perusteet 2. Äärellisten utomttien minimointi Voidn osoitt, että jokisell äärellisellä utomtill on yksikäsitteinen ekvivlentti (so. smn kielen tunnistv) tilmäärältään

Lisätiedot

Korkeamman kertaluvut derivaatat

Korkeamman kertaluvut derivaatat LUKU 4 Korkemmn kertluvut derivtt Derivtn määritelmän mukn differentioituv kuvust f : U F voidn pproksimoid ffiinill kuvuksell, f(x + u f(x + Df(xu. Jos f on khdesti differentioituv, voidn derivtt pproksimoid

Lisätiedot

Laskennan mallit (syksy 2010) 1. kurssikoe, ratkaisuja

Laskennan mallit (syksy 2010) 1. kurssikoe, ratkaisuja 582206 Lskennn mllit (syksy 2010) 1. kurssikoe, rtkisuj 1. [2+2+2 pistettä] Säännöllisissä lusekkeiss on käytetty tuttu lyhennysmerkintää Σ = ( ). () merkkijonot, joiden kksi ensimmäistä merkkiä ovt joko

Lisätiedot

lim + 3 = lim = lim (1p.) (3p.) b) Lausekkeen täytyy supistua (x-2):lla, joten osoittajan nollakohta on 2.

lim + 3 = lim = lim (1p.) (3p.) b) Lausekkeen täytyy supistua (x-2):lla, joten osoittajan nollakohta on 2. Mtemtiikk III 0600 Kurssi / Differetili- j itegrlilske jtkokurssi Tee 7 tehtävää ) Määritä lim ( ) ) + b) Määritä vkio site, että luseke ( ) + + ( )( ) ( + + ) + + + + + lim + lim lim (p) o jtkuv myös

Lisätiedot

funktion voi tarkistaa derivoimalla. Sijoitusmenettely perustuu ketjusääntöön.

funktion voi tarkistaa derivoimalla. Sijoitusmenettely perustuu ketjusääntöön. I.6. Sijoitusmenettely A. Integrlifunktiot Integrlifunktiot etsittäessä on sopiv derivoimissääntö luettv tkperin. funktion voi trkist derivoimll. Sijoitusmenettely perustuu ketjusääntöön. Löydetyn 6..

Lisätiedot

2.6 SÄÄNNÖLLISET LAUSEKKEET Automaattimalleista poikkeava tapa kuvata yksinkertaisia kieliä. Olkoot A ja B aakkoston Σ kieliä. Perusoperaatioita:

2.6 SÄÄNNÖLLISET LAUSEKKEET Automaattimalleista poikkeava tapa kuvata yksinkertaisia kieliä. Olkoot A ja B aakkoston Σ kieliä. Perusoperaatioita: 2.6 SÄÄNNÖLLISET LAUSEKKEET Automttimlleist poikkev tp kuvt yksinkertisi kieliä. Olkoot A j B kkoston Σ kieliä. Perusopertioit: Yhdiste: A B = {x Σ x A ti x B}; Ktentio: AB = {xy Σ x A, y B}; Potenssit:

Lisätiedot

VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 3.6.2014 Ratkaisut ja arvostelu

VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 3.6.2014 Ratkaisut ja arvostelu VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 3.6.4 Rtkisut j rvostelu. Koululisen todistuksen keskirvo x on lskettu ) b) c) d) kymmenen ineen perusteell. Jos koululinen nostisi neljän ineen

Lisätiedot

( ) Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 321 Päivitetty 19.2.2006. Saadaan yhtälö. 801 Paraabeli on niiden pisteiden ( x,

( ) Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 321 Päivitetty 19.2.2006. Saadaan yhtälö. 801 Paraabeli on niiden pisteiden ( x, Pyrmidi Anlyyttinen geometri tehtävien rtkisut sivu Päivitetty 9..6 8 Prbeli on niiden pisteiden (, y) joukko, jotk ovt yhtä kukn johtosuorst j polttopisteestä. Pisteen (, y ) etäisyys suorst y = on d

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ PISTEYTYSKOKOUS

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ PISTEYTYSKOKOUS 0 MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 30 PISTEYTYSKOKOUS 0 ) Sijoitetn x 0 Rtkistn = 0/04,0000 b) Jos neliön sivu on s, niin lävistäjä on s Ehto: s 6 s + s = 6, s 6 3 4s 6,70, joten piiri ) Suorn yhtälö

Lisätiedot

Laudatur 10 MAA10 ratkaisut kertausharjoituksiin

Laudatur 10 MAA10 ratkaisut kertausharjoituksiin Ludtur MAA rtkisut kertushrjoituksiin Integrlifunktio. ) Jokin integrli funktio on esimerkiksi F( ) b) Kikki integrlifunktiot F( ) + C, missä C on vkio Vstus: ) F( ) b) F( ) + C, C on vkio. Kikki integrlifunktiot

Lisätiedot