Matematiikan perusteet taloustieteilijöille P

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Matematiikan perusteet taloustieteilijöille 2 800118P"

Transkriptio

1 Mtemtiikn perusteet tloustieteilijöille P Luentomoniste Kri Myllylä Niin Korteslhti Oulun yliopisto Mtemttisten tieteiden litos Kevät 2014

2 Sisältö 1 Mtriisilgebr j optimointi 4 11 Määritelmä 4 12 Mtriisien lskutoimituksi Mtriisien yhteen- j vähennyslsku Sklrill kertominen Mtriisien kertolsku: 6 13 Erikoistyyppisiä mtriisej Digonlimtriisi Identtinen mtriisi (Yksikkömtriisi) Nollmtriisi 8 14 Trnsponoitu mtriisi 8 15 Mtriisin determinntti Determinntin määrääminen: Determinntin ominisuuksi: Käänteismtriisi Menetelmiä käänteismtriisin rtkisemiseksi: Käänteismtriisin ominisuuksi: Linerisen yhtälöryhmän mtriisimuoto j sen rtkiseminen Linerinen riippuvuus j mtriisin ste Linerinen riippuvuus Mtriisin ste Mtriisin steen ominisuudet Mtriisin ominisrvot j ominisvektorit Ominisrvojen määrääminen Ominisrvojen ominisuuksi Ominisvektoreiden määrittäminen Optimointi j mtriisit Normlit äärirvot (ei sidotut) Sidotut äärirvot Pnos-tuotos mlli Derivointi vektorimuodoss Linerisen vektorin derivointi Vektorirvoisen funktion derivointi Kvdrttisenmuodon derivointi Bilinerinen derivointi 37 1

3 113 Mtriisien sovellutus regressionlyysissä Linerinen optimointi Geometrinen rtkisu Kntrtkisu menetelmä SIMPLEX menetelmä 44 2 Integrlilskent Johdnto Integrlifunktio Integrointi osmurtokehitelmän vull Integrointi sijoitusmenetelmää käyttäen Määräämätön integrli tloustieteessä Kustnnusfunktiot Tulofunktiot Knsntulo, kulutus j säästäminen Pääomn muodostus Määrätty integrli Määrätty integrli j pint-l Määrätyn integrlin ominisuuksist Pint-ln määritys integrlin vull Osittisintegrointi, osmurtokehitelmä j sijoitus määrätyssä integrliss Määrätyn integrlin tloustieteellisiä sovelluksi Kuluttjn ylijäämä Tuottjn ylijäämä Kokonisvoitto Määrätyn integrlin numeerinen rviointi Puolisuunnikssääntö Simpsonin sääntö Tylorin kehitelmä 85 3 Kompleksiluvuist j trigonometrisist funktioist Kompleksiluvut Trigonometriset funktiot 89 4 Differentiliyhtälöt Ensimmäisen kertluvun differentiliyhtälö Seproituvt differentiliyhtälöt 95 2

4 412 Ensimmäisen kertluvun linerinen differentiliyhtälö Linerisen differentiliyhtälön erikoistpus Homogeeniset differentiliyhtälöt Eksktit differentiliyhtälöt Toisen kertluvun differentiliyhtälöt Toisen kertluvun linerinen differentiliyhtälö Differenssiyhtälöt Ensimmäisen kertluvun differenssiyhtälöt Homogeenisen muodon rtkiseminen: Täydellisen muodon rtkiseminen: Toisen kertluvun differenssiyhtälöt Homogeenisen muodon rtkiseminen: Täydellisen muodon rtkiseminen: 110 3

5 1 Mtriisilgebr j optimointi Mtriisien vull voidn - käsitellä yhtälöitä tehokksti - rtkist yhtälöryhmiä - rtkist optimointitehtäviä - regressionlyysi - lti erilisi mllej esim pnos-tuotos mlli 11 Määritelmä Mtriisi on tulukko n n A = m1 m2 mn m n = A m n = ( ij ) = ( ij ) m n, missä luvut ij ovt relilukuj Lukuj ij snotn mtriisin A lkioiksi Alkio ij on mtriisin A i:nnellä vkrivillä j j:nnellä pystyrivillä olev lkio Mtriisi, joss on m vkriviä j n pystyriviä, on m n mtriisi; merkitään A m n Jos m = n, niin A on neliömtriisi Kksi mtriisi 11 1n A = m1 mn ovt smt eli A = B, jos j vin jos (i) m = r j n = s (ii) ij = b ij i, j m n b 11 b 1s j B = b r1 b rs r s Jos mtriisiss n = ( 1 eli se on m 1-mtriisi, niin kysymyksessä on m ulotteinen u1 ), missä u i on vektorin ū i komponentti pystyvektori ū = u m Vstvsti v = (v 1,, v n ) on n-ulotteinen vkvektori (1 n mtriisi) j v i on vektorin v i komponentti 4

6 12 Mtriisien lskutoimituksi 121 Mtriisien yhteen- j vähennyslsku Mtriisit A j B voidn lske yhteen (vähentää toisistn) jos j vin jos ne ovt molemmt m n mtriisej Olkoot A j B m n mtriisej, ts 11 1n A = m1 mn m n b 11 b 1n B = b m1 b mn m n Tällöin Vstvsti Mtriisien yhteenlsku on 11 + b 11 1n + b 1n A + B = m1 + b m1 mn + b mn 11 b 11 1n b 1n A B = m1 b m1 mn b mn 1 vihdnninen: A + B = B + A 2 liitännäinen: A + (B + C) = (A + B) + C Esimerkki 11 ( ) ( ) ( ) = m n m n 122 Sklrill kertominen Mtriisilskennss reliluku kutsutn sklriksi Olkoon nyt A = ( ij ) m n j k R Tällöin 11 1n k 11 k 1n ka = k = m1 mn k m1 k mn m n m n = (k ij ) m n = Ak 5

7 Esimerkki 12 3 ( ) = Huomutus A B = A + ( B) = A + ( 1) B 123 Mtriisien kertolsku: Mtriisien A = ( ij ) m n j B = (b ij ) r s tulo AB on mhdollinen jos j vin jos n = r Siis mtriisin A pystyrivien lukumäärä = mtriisin B vkrivien lukumäärä Mtriisi A on tulon AB edellinen tekijä j B jälkimmäinen tekijä Olkoon A = ( ij ) m n j B = (b ij ) n s Tällöin A m n B n s = (AB) m s = (c ij ) m s, missä c ij = n ik b kj eli lkio c ij sdn mtriisin A i:nnen vkrivin j mtriisin B j:nnen pystyrivin pistetulon Siis k=1 11 1n b 11 b 1s AB = m1 mn b m n n1 b ns n n 1k b k1 1k b ks k=1 k=1 = n n mk b k1 mk b ks k=1 k=1 Esimerkki 13 ( ) A =, B = Lske AB, BA j AC Mtriisien kertolsku on liitännäinen: A(BC) = (AB)C 2 ei vihdnninen: siis yleensä AB BA m s j C = n s ( )

8 Esimerkki 14 0 (2, 1, 0) 1 = 2 ( ) ( ) 0 1 = (2, 1, 0) = 2 ( ) ( ) 1 1 = 0 1 Flk-kvio: (ks Esim 13) ( ) A = B = AB = 13 Erikoistyyppisiä mtriisej 131 Digonlimtriisi Olkoon A = ( ij ) n n neliömtriisi Mtriisin A päälävistäjän muodostvt lkiot 11, 22,, nn Mtriisi A on digonlimtriisi, jos mtriisin A muut lkiot pitsi mhdollisesti päälävistäjän lkiot ovt nolli Eli 11 1n A = n1 nn on digonlimtriisi, jos ij = 0, kun i j n n 7

9 132 Identtinen mtriisi (Yksikkömtriisi) Identtinen mtriisi on digonlimtriisi, jonk kikki päälävistäjän lkiot ovt ykkösiä Siis A = ( ij ) n n on identtinen mtriisi, jos { ij = 0, i j ii = 1, i = 1, 2,, n Identtistä mtriisi merkitään symbolill I n (= I n n ) Siis I 1 =, I 2 =, I 3 = jne Olkoon A m n mtriisi Tällöin A m n I n = A m n j I m A m n = A m n 133 Nollmtriisi Mtriisi A = ( ij ) m n on nollmtriisi, jos ij = 0 i, j Nollmtriisi merkitään Ōm n Siis esimerkiksi Ō 2 3 = Selvästi A m n + Ōm n = Ōm n + A m n = A m n B k m Ō m n = Ōk n sekä Ō m n B n s = Ōm s j 14 Trnsponoitu mtriisi Olkoon A m n mtriisi Mtriisin A trnsponoitu mtriisi A T on n m mtriisi, jonk i vkrivi on mtriisin A i pystyrivi (j j pystyrivi on mtriisin A j vkrivi) Jos n n A = m1 m2 mn m n m1, niin A T m2 = 1n 2n mn n m 8

10 Huomutus (u 1,, u n ) T = u 1 j v 1 T = (v 1,, v n ) u n v n Digonlimtriisin D trnsponoitu mtriisi D T on in lkuperäinen digonlimtriisi, eli D T = D Esimerkki A = A T = Neliömtriisi A = ( ij ) n n on symmetrinen, jos ij = ji i, j Tällöin A = A T Symmetrinen mtriisi A on idempotentti, jos lisäksi A A = A Esimerkki 16 Onko mtriisi idempotentti mtriisi? A = ( ) Huomutus Olkoot A = ( ij ) m n, B = (b ij ) m n j C = (c ij ) n r Tällöin (A + B) T = A T + B T j (BC) T = C T B T 15 Mtriisin determinntti Determinntti on reliluku j määritellään vin neliömtriiseille Mtriisin A determinntti merkitään det A j A 151 Determinntin määrääminen: 2 2 mtriisin determinntti ( ) 11 Kun A = , niin det A = A =

11 1 1 mtriisin determinntti Kun A = ( 11 )1 1, niin det A = A = 11 Esimerkki = Determinntin määrittäminen yleisesti: Jos n > 2, niin mtriisin A n n determinntti plutuu 2 2 mtriisin tpukseen seurvsti: M ij on sellinen (n 1) (n 1) mtriisi, jok sdn mtriisist A poistmll siitä i vkrivi j j pystyrivi M ij on mtriisin A (lkioon ij liittyvä) limtriisi = M ij on mtriisin A (lkioon ij liittyvä) lidetermi- Determinntti det M ij nntti Sklri A ij = ( 1) i+j M ij on mtriisin A (lkioon ij liittyvä) kofktori Tällöin mtriisin A determinntti n det A = A = ij ( 1) (i+j) M ij j=1 i {1,, n} Tällöin det A on kehitetty i vkrivin mukn Smoin n det A = A = ij ( 1) (i+j) M ij i=1 jolloin det A on kehitetty j pystyrivin mukn j {1,, n}, Siis n n mtriisin determinntti määrätään sen tiettyjen (n 1) (n 1) limtriisien determinnttien vull Toistmll yo menettelyä jokisen n n mtriisin A determinntti voidn plutt sen tiettyjen 2 2 limtriisien determinnteiksi 10

12 Esimerkki 18 Olkoon Määrää A A = Srruksen menetelmä: - Käy vin 3 3-mtriiseille Esimerkki 19 Olkoon Määrää A Srruksen menetelmällä A = Determinntin ominisuuksi: Olkoon A n n-mtriisi 1) Jos mtriisin A kksi smnsuuntist riviä vihdetn keskenään, determinntin merkki vihtuu Esimerkki = 2) Jos mtriisin A jokin vkrivi (ti pystyrivi) kerrotn vkioll c R, determinntti muuttuu c kertiseksi Esimerkki = 3) Jos mtriisin A johonkin riviin lisätään jokin muu smnsuuntinen rivi vkioll kerrottun, determinntin rvo ei muutu Tvoite: Pljon 0:i riville, jonk suhteen determinntti kehitetään 11

13 Esimerkki = 4) Jos A = ( ij ) on yläkolmiomtriisi (tällöin kikki lkiot päälävistäjän lpuolell nolli) ti lkolmiomtriisi (kikki lkiot päälävistäjän yläpuolell nolli), niin det A = A = nn Ominisuuksien 1) 3) vull sdn jokisen neliömtriisin determinntti muutettu ylä- ti lkolmiomtriisin determinntiksi, jok on helppo määrittää 5) A = A T 6) Jos mtriisin A jokin vkrivi (ti pystyrivi) koostuu pelkästään nollist, niin A = 0 (Kehitetään determinntti ko rivin suhteen) 7) Jos mtriisin A kksi smnsuuntist riviä ovt smt, niin A = 0 8) Olkoot A j B n n mtriisej Tällöin AB = BA = A B 9) Jos A = ( ij ) on digonlimtriisi, niin A = nn Esimerkki 113 Olkoon A = Määritetään A käyttämällä ominisuutt 3) 16 Käänteismtriisi Olkoon A n n neliömtriisi Sellist n n mtriisi B, jok toteutt ehdon AB = BA = I n snotn mtriisin A käänteismtriisiksi j merkitään B = A 1 Kikill neliömtriiseill ei ole käänteismtriisi Mtriisi, joll on käänteismtriisi, on säännöllinen Luse 11 Mtriisill A on käänteismtriisi olemss jos j vin jos det A 0 Huomutus Käänteismtriisi on yksikäsitteinen 12

14 Todistus Jos B 1 j B 2 ovt sellisi mtriisej, että AB 1 = B 1 A = I n j AB 2 = B 2 A = I n, niin Siis B 1 = B 1 I n = B 1 (AB 2 ) = (B 1 A)B 2 = I n B 2 = B 2 B 1 = B 2 Huomutus Jos AB = I n, niin myös BA = I n 161 Menetelmiä käänteismtriisin rtkisemiseksi: 1) Rtkistn mtriisin A käänteismtriisi A 1 = B yhtälöstä AB = I n (Siis B tuntemton mtriisi) AB = I n n b 11 b 12 b 1n n b 21 b 22 2n = n1 n2 nn b n1 b n2 b nn Kysymyksessä on n 2 :n tuntemttomn b ij j n 2 :n yhtälön ryhmä, jok on vike rtkist pitsi tpuksess n = 2 Esimerkki 114 Olkoon A = Määritä A 1 mikäli se on olemss ( ) ) Käänteismtriisi kofktorien j determinntin vull Olkoon A n n mtriisi, jolle det A 0 Olkoon K seurv mtriisin A kofktorien A ij muodostm mtriisi: A 11 A 12 A 1n A 21 A 22 A 2n K = A n1 A n2 A nn 13

15 missä A ij = ( 1) i+j M ij (lkion ij kofktori) Tällöin A 1 = 1 det A KT Esimerkki 115 Määritä mtriisin A = käänteismtriisi 3) Gussin eliminoimismenetelmä Olkoon 11 1n A = n1 nn n n Muodostetn mtriisi n ( ) n A In = n1 n2 nn n 2n Tässä mtriisiss voidn i) vkrivi kerto millä thns vkioll, ii) jokin vkrivi lisätä vkioll kerrottun toiseen vkriviin, iii) viht vkrivit keskenään Näillä opertioill pyritään muuttmn mtriisi ( A ( ) I B, jolloin mtriisi B = A 1 I ) muotoon Esimerkki 116 Määritä mtriisin A = käänteismtriisi 162 Käänteismtriisin ominisuuksi: Olkoon A n n mtriisi, jolle det A 0 eli A 1 Tällöin 14

16 1) (A 1 ) 1 = A 2) (A 1 ) T = (A T ) 1 EI: (A T ) 1 = A 1 3) (AB) 1 = B 1 A 1, jos B 1 4) det (A 1 ) = 1 det A 17 Linerisen yhtälöryhmän mtriisimuoto j sen rtkiseminen 1) Trkstelln yhtälöryhmää, joss muuttujien lukumäärä on sm kuin yhtälöiden lukumäärä 11 x x n x n = c 1 21 x x n x n = c 2 (1) n1 x 1 + n2 x nn x n = c n, missä kertoimet ij j vkiot c i ovt tunnettuj Tämä on n:n muuttujn x 1,, x n vkiokertoiminen linerinen n:n yhtälön ryhmä (Siis muuttujien lkm = yhtälöiden lkm) Yhtälöryhmä (1) voidn esittää mtriisimuodoss: eli muodoss n n n1 n2 nn n n x 1 x 2 x n n 1 c 1 c 2 = c n n 1 (2) A X = C (3) Jos kerroinmtriisill A on käänteismtriisi, kerrotn yhtälö (3) puolittin vsemmlt käänteismtriisill A 1 j sdn: A 1 (A X) = A 1 C (A 1 A) X = A 1 C I X = A 1 C X = A 1 C (4) 15

17 Luse 12 Jos mtriisi A on säännöllinen eli A 1 on olemss (det A 0), niin yhtälöryhmän (1) yksikäsitteinen rtkisu on X = A 1 C (Yhtälöryhmällä yksikäsitteinen rtkisu A säännöllinen) Esimerkki 117 Rtkise yhtälöryhmä 2y 3z = 1 x + 3y + 3z = 2 x 2y 2z = 1 Luse 13 (Crmerin sääntö) Oletetn, että yhtälöryhmässä (1) on n tuntemtont j n yhtälöä sekä det A 0 eli yhtälöryhmällä on yksikäsitteinen rtkisu X = A 1 C Crmerin sääntö yhtälöryhmän rtkisemiseksi ilmn käänteismtriisin A 1 lskemist on seurv: c n 11 c n x 1 = 1 c n A, x 2 = 1 21 c n A, c n n2 2n n1 c n n3 2n 11 1(n 1) c 1, x n = (n 1) c 2 A n1 n(n 1) c n Esimerkki 118 Rtkise yhtälöryhmä 3x + y z = 2 x 2y + z = 9 4x + 3y + 2z = 1 2) Trkstelln yhtälöryhmää 11 x x n x n = c 1 21 x x n x n = c 2 m1 x 1 + m2 x mn x n = c m, (5) 16

18 eli n:n muuttujn x 1,, x n j m:n yhtälön ryhmä, jok voidn esittää mtriisimuodoss n x 1 c n x 2 c 2 = (6) m1 m2 mn Mtriisiesitys on tällöin muoto: m n x n n 1 c m m 1 A X = C, missä A = ( ij ) m n (7) Tpuksess m n A 1 ei ole olemss j det A ei ole olemss, joten menetelmät X = A 1 C j Crmer eivät toimi Smoin, jos m = n, mutt A = 0, niin menetelmät X = A 1 C j Crmer eivät toimi Luse 14 (Gussin eliminoimismenetelmä) Gussin eliminoimismenetelmää voidn sovelt myös tpuksiss, joiss kerroinmtriisill A ei ole käänteismtriisi, det A = 0, j silloinkin, kun yhtälöryhmän yhtälöiden j tuntemttomien muuttujien lukumäärä ei ole sm Menetelmä perustuu siihen, että yhtälöryhmään (5) voidn sovelt seurvi lkeismuunnoksi sen rtkisun muuttumtt () yhtälöiden järjestyksen vihto (b) yhden ti usemmn yhtälön kertominen vkioll ( 0) (c) yhden ti usemmn yhtälön kerrnnisen lisääminen muihin yhtälöihin Yhtälöryhmän semst trkstelemme täydennettyä kerroinmtriisi n c 1 (A C) n c 2 = (8) m1 m2 mn c m m (n+1) Nyt yhtälöryhmän (5) lkeismuunnoksi (), (b) j (c) vst täydennettyyn kerroinmtriisiin (8) kohdistuvt muunnokset: () vkrivien järjestyksen vihto (b) yhden ti usemmn vkrivin kertominen nollst erovll vkioll (c) vkrivin kertominen vkioll j sen lisääminen toiseen vkriviin 17

19 Huomutus Vin vkrivimuunnoksi Näillä muunnoksill mtriisi (8) pyritään smn muotoon X = ( ) ( ) I A 1 C = I X, (9) jost sdn rtkisu X (Tpus m = n j yksikäsitteinen rtkisu) Ti muotoon B, (10) jok vtn tkisin yhtälöryhmäksi (Tpukset m n ti ei yksikäsitteistä rtkisu) Esimerkki 119 Esimerkki 120 Esimerkki 121 x + 3y z = 1 x 2y + z = 2 2x y + z = 3 x + 2y z = 10 2x + 4y 2z = 20 x + y + z = 6 x + 2y z = 10 2x + 4y 2z = 5 x + y + z = 6 18

20 18 Linerinen riippuvuus j mtriisin ste 181 Linerinen riippuvuus Olkoot v 1, v 2,, v m n komponenttisi vektoreit (vk- ti pystyvektoreit) Vektorit v 1, v 2,, v m ovt linerisesti riippuvi, jos on olemss selliset reliluvut r 1, r 2,, r m, jotk eivät kikki ole nolli, että r 1 v 1 + r 2 v r m v m = 0 Tällöin jotkut vektorit voidn esittää toisten linerisen yhdisteenä Jos ehdost r 1 v 1 + r 2 v r m v m = 0 seur, että r 1 = r 2 = = r m = 0, niin vektorit v 1, v 2,, v m ovt linerisesti riippumttomi Tällöin mitään vektori ei void esittää toisten linerisen yhdisteenä Esimerkki 122 Tutki, ovtko seurvt vektorit linerisesti riippumttomt ) (1, 2, 1), (0, 1, 2) j (1, 3, 3) b) (1, 2) j (2, 0) 182 Mtriisin ste Mtriisi A = ( ij ) m n on muodostunut m:stä vkvektorist j n:stä pystyvektorist Jokisell mtriisill linerisesti riippumttomien vkrivien lukumäärä on linerisesti riippumttomien pystyrivien lukumäärä Tätä lukumäärää snotn mtriisin A steeksi j merkitään r(a) Tietysti 1 r(a) min(m, n) Esimerkki 123 Määritä mtriisin A ste, kun 1 4 ) A = b) A =

21 Mtriisin A = ( ij ) m n limtriisi on mtriisi, jok sdn poistmll mtriisist A noll ti usempi pysty- j/ti vkrivejä Luse 15 Olkoon A mtriisi j m suurin sellinen kokonisluku, että mtriisill A on olemss m m limtriisi, jonk determinntti 0 Tällöin r(a) = m Esimerkki 124 (Toisell tvll) Määritä mtriisin A ste, kun 1 4 ) A = b) A = c) A = Mtriisin steen ominisuudet Olkoot A j B n n mtriisej 1) Digonlimtriisin ste = mtriisin nollst eriävien lkioiden lukumäärä (Miksi?) Erityisesti r(i n ) = n 2) r(a) = r(a T ) 3) r(ab) min{r(a), r(b)} Luse 16 r(a n n ) = n jos j vin jos A on säännöllinen eli det A 0 eli A 1 Siis A on säännöllinen jos j vin jos sen kikki pystyrivit (vst vkrivit) ovt linerisesti riippumttomt Mtriisiss voidn sen stett muuttmtt: ) Viht smnsuuntisten rivien järjestystä b) Kerto mikä thns vk- ti pystyrivi nollst erovll vkioll c) Lisätä mihin thns riviin jokin toinen smnsuuntinen rivi vkioll kerrottun 20

22 Tvoite: Yläkolmio/lkolmiomtriisin ste on helppo lske Luseen 15 menettelyllä Esimerkki 125 Määrää mtriisin A = ste 19 Mtriisin ominisrvot j ominisvektorit Mtriisien sovelluksiss joudutn joskus tilnteeseen, joss on rtkistv n n mtriisi A koskev yhtälö A m n Xn 1 = λ X, (11) missä X = (x 1,, x n ) T j λ R ovt tuntemttomi 2x + 3y + 5z = λx Esimerkiksi x + 2y + 2z = λy, x, y, z j λ tuntemttomi x + 3y + 3z = λz Yhtälö (11) pätee in, kun X = 0 Jos on olemss nollvektorist erov vektori X R n j reliluku λ, joille A X = λ X, niin luku λ on mtriisin A ominisrvo j X on ominisrvo λ vstv ominisvektori X 0 Huomutus Olkoon X mtriisin A ominisvektori j λ vstv ominisrvo Jos 0, niin myös X on mtriisin A ominisrvo λ vstv ominisvektori Todistus A( X) = (A) X = (A) X = (A X) = λ X = λ( X) 21

23 191 Ominisrvojen määrääminen Trkstelln yhtälöä (11) A X = λ X A X λ X = 0 A X λi X = 0 (A λi) X = 0 Tällä yhtälöllä on yksikäsitteinen rtkisu, kun (A λi) on säännöllinen, eli A λi 0 eli (A λi) 1 on olemss Tämä rtkisu on X = (A λi) 1 0 = 0 Siten rtkisu X = 0 on yksikäsitteinen (eli ino) rtkisu, kun (A λi) on säännöllinen, eli A λi 0 Täten yhtälöllä (A λi) X = 0 on (ei-trivili) rtkisu X 0 täsmälleen silloin, kun A λi ei ole säännöllinen eli täsmälleen silloin, kun det (A λi) = A λi = 0 Siten mtriisin A ominisrvot sdn yhtälön A λi n = 0 relijuurin Luseke A λi on λ:n suhteen stett n olev polynomi Sitä snotn mtriisin A krkteristiseksi polynomiksi j yhtälöä A λi = 0 mtriisin A krkteristiseksi yhtälöksi Huomutus Krkteristisen polynomin nollkohdt eivät välttämättä ole relisi (siis eivät ominisrvoj) j jokin nollkoht voi oll moninkertinen Esimerkki 126 Määritä mtriisin ( ) 10 3 A = 3 2 ominisrvot 22

24 192 Ominisrvojen ominisuuksi Olkoon mtriisin A krkteristisen yhtälön A λi = 0 juuret λ 1,, λ n (kikki eivät ehkä eri lukuj eivätkä relisi) Tällöin n λ 1 λ 2 λ 3 λ n = λ i = A = det A i=1 λ 1 + λ 2 + λ λ n = n n λ i = nn = ii i=1 i=1 Summ nn on mtriisin A jälki, merkitään tr(a) Huomutus Al- j yläkolmiomtriisin ominisrvot ovt päälävistäjän lkiot 193 Ominisvektoreiden määrittäminen Olkoon λ mtriisin A = ( ij ) n n ominisrvo Ominisrvoon λ liittyvät ominisvektorit sdn yhtälön (A λi n ) X = 0 rtkisun X, missä X 0 Esimerkki 127 Määritä mtriisin ominisrvot j ominisvektorit A = ( 1 ) Pystyvektorien X = x 1 j Ȳ = y 1 pistetulo on X Ȳ = x 1y 1 + x 2 y x n y n Vstvsti vkvektorien x n y n X = (x 1,, x n ) j Ȳ = (y 1,, y n ) pistetulo on X Ȳ = x 1y 1 + x 2 y x n y n Pystyvektorit X = x 1 j Ȳ = y 1 x n y n 23

25 ovt kohtisuorss toisin vstn eli ortogonliset, jos X T Ȳ = 0 eli X Ȳ = x 1 y 1 + x 2 y x n y n = 0 Vstvsti vkvektorit X = (x 1,, x n ) j Ȳ = (y 1,, y n ) ovt ortogonliset, jos X Ȳ = 0 eli XȲ T = 0 Huomutus Symmetrisen mtriisin A eri ominisrvoihin liittyvät ominisvektorit ovt ortogonliset Siis jos X i on symmetrisen mtriisin A ominisrvoon λ i liittyvä ominisvektori j λ 1 λ 2, niin X 1 X 2 = Optimointi j mtriisit Olkoon y = f( X) = f(x 1,, x n ), eli f on n:n muuttujn funktio Funktion f grdientti f( X) pisteessä X on f( X) = (f 1 ( X), f 2 ( X),, f n ( X)), missä f i on funktion f osittisderivtt muuttujn x i suhteen Hessin mtriisi muodostetn seurvsti: f 11 f 12 f 1n f 21 f 22 f 2n H = f xx = f n1 f n2 f nn n n, missä f ij = ( ) f x j x i g 1 ( X) Olkoon ḡ( X) g 2 ( X) =, missä X = (x 1,, x n ) (vektorirvoinen n:n muuttujn g m ( X) funktio) Jcobin mtriisi g 1 g 1 x 1 x 2 J = ḡ g X = 2 g 2 x 1 x 2 g m g m x 1 x 2 g 1 x n g 2 x n g m x n m n 24

26 Esimerkki 128 Olkoon f( X) = f(x, y, z) = 3xy + yz + 5z, määrää f( X) j H Esimerkki 129 f( X) = f(x, y, z) = (2x + y 2, 2x 2 + z 2 + y, 8z 3 ) Määrää f X Olkoon 11 1n A = n1 nn Mtriisi A on positiividefiniitti, jos sen lideterminntit A1 = 11, A2 = , A3 = , 33 An = A ovt kikki positiivi n n Vstvsti mtriisi A on negtiividefiniitti, jos A1 < 0, A2 > 0, A3 < 0, eli ( 1) i A i > Normlit äärirvot (ei sidotut) Minimoi/mksimoi f(x 1,, x n ), missä f on derivoituv funktio, n 2 1 o Äärirvon mhdollinen olemssolo: (KRP) Luse 17 Jos funktio f( X) = f(x 1,, x n ) on derivoituv pisteessä X 0, niin piste X 0 on funktion f( X) mhdollinen pikllinen äärirvokoht jos j vin jos X 0 on kriittinen piste eli eli eli grdientti f( X 0 ) = 0 f x i ( X 0 ) = 0 i (osittisderivtt = 0) f x1 = 0 f x2 = 0 f xn = 0 25

27 2 o Äärirvon olemssolo j ltu: Luse 18 Olkoon löydetty kriittinen piste X 0 j H( X 0 ) funktion f( X) Hessin mtriisi kriittisessä pisteessä X 0 Tällöin 1) Kriittinen piste X 0 on funktion f( X) pikllinen mksimikoht, jos funktion Hessin mtriisin lideterminntit ( 1) i H i ( X 0 ) > 0, kikill i = 1,, n (H negtiividefiniitti) 2) Kriittinen piste X 0 on funktion f( X) pikllinen minimikoht, jos funktion Hessin mtriisin lideterminntit H i ( X 0 ) > 0, kikill i = 1,, n (H positiividefiniitti) 3) Kriittinen piste X 0 ei ole pikllinen äärirvokoht, jos mutt 1) ti 2) ei toteudu H i ( X 0 ) 0, kikill i = 1,, n 4) Jos H i ( X 0 ) = 0, jollkin i = 1,, n Testi ei kerro mitään, joten tutki trkemmin Esimerkki 130 Etsi piklliset äärirvot funktiolle f(x, y) = x 2 y + y 3 y 1102 Sidotut äärirvot Khden muuttujn j yhden yhtälörjoitteen tpus Äärirvot funktiolle f(x, y) ehdoll g(x, y) = 0 Muodostetn Lgrnge funktio L(x, y, λ) = f(x, y) λg(x, y) 1 o Äärirvon mhdollinen olemssolo: (KRP) L x = f x λg x = 0 L y = f y λg y = 0 eli L λ = g(x, y) = 0 L x = 0 L y = 0 L λ = 0 26

28 2 o Äärirvon olemssolo j ltu: Lsketn ljennetun Hessin mtriisin H determinntti j sen rvo kriittisessä pisteessä H 0 g x g y = g x L xx L xy g y L yx L yy KRP on sidottu pikllinen mksimikoht, jos H > 0 KRP on sidottu pikllinen minimikoht, jos H < 0 Jos H = 0, tutki trkemmin Esimerkki 131 Etsi äärirvot funktiolle f(x, y) = 5x 2 + 6y 2 xy ehdoll x + 2y = 24 n:n muuttujn j m:n yhtälörjoitteen tpus, missä m < n Mksimoi (vst minimoi) funktio f(x 1,, x n ) ehdoill g i (x 1,, x n ) = 0, missä i = 1,, m Lgrnge funktio: L(x 1,, x n, λ 1,, λ m ) = f(x 1,, x n ) missä λ j :t ovt Lgrnge-kertoimi 1 o Äärirvon mhdollinen olemssolo: (KRP) m λ j g j (x 1,, x n ), j=1 { L x i = 0 L λ j = 0 eli { Lxi = 0, kikill i = 1,, n g j = 0, kikill j = 1,, m Näin sdn mhdollinen pikllinen äärirvokoht X 0 2 o Äärirvon olemssolo j ltu: Määritellään ljennettu Hessin mtriisi H ) ( 0 H = m m J m n Jn m T H n n (n+m) (n+m) 27

29 eli H = g 1 g m x 1 x 1 g 1 x n g m x n g 1 g 1 x n x 1 g m x 1 g m x n L x1 x 1 L x1 x n L xnx1 L xnxn (m+n) (m+n) Ljennetun Hessin mtriisin trvittvt lideterminntit H i ovt H i ( X 0 ) = missä i = m + 1,, n g 1 g m x 1 x 1 g 1 x i g m x i g 1 g 1 x i x 1 g m x 1 g m x i L x1 x 1 L x1 x i L xi x 1 L xi x i, Eli H i on vsemmst yläkulmst i:nteen muuttujn sti otettu lideterminntti Siis nollmtriisin lisäksi otetn mukn i kpplett pysty- j vkrivejä Nyt äärirvon ltu mhdollisess pikllisess äärirvokohdss X 0 määräytyy seurvsti: 1) Jos ( 1) i H i > 0, kikill i = m + 1,, n, niin KRP on pikllinen sidottu mksimikoht 2) Jos ( 1) m H i > 0, kikill i = m + 1,, n, niin KRP on pikllinen sidottu minimikoht 3) Jos kumpikn ei toteudu, testi ei kerro mitään, joten tutki trkemmin Esimerkki 132 Määritä funktion f(x, y, z) = x 2 7y 10z 3 piklliset äärirvot ehdoill x + y + z = 0 j x + 2y + 3z = 0 28

30 Lgrngen kertoimen tulkint Tehtävä lunperin muoto: Mximoi/minimoi funktio f( X) ehdoill g j ( X) = b j, missä X = (x 1,, x n ) j j = 1,, m Voidn osoitt, että optimikohdss X λ j = f( X) b j Eli kerroin λ j osoitt kuink pljon optimirvo muuttuu, jos lkuperäisen tehtävän rjoitett g j muutetn Eli jos rjoitteess olev vkio b j muuttuu yhden yksikön, niin optimirvo muuttuu λ j yksikköä Usein b j kuv jonkin resurssin määrää (työt, luonnonvrt), jolloin λ j ilmoitt resurssin vrjohinnn Eli pljonko knntt mks, jos s yhden yksikön lisää resurssi? Esimerkki 133 Ann rvio funktion f(x, y) = 5x 2 +6y 2 xy äärirvoille ehdoll x + 2y = 25 Esimerkki 134 Ann rvio funktion f(x, y) = 5x 2 +6y 2 xy äärirvoille ehdoll x + 2y = 23 Huomutus Ehtojen kertoimien on oltv positiivisi j L = f λ j g j n:n muuttujn j yhden epäyhtälörjoitteen tpus Äärirvot funktiolle f(x 1,, x n ) ehdoll g(x 1,, x n ) 0 Menetelmä on seurv: 1) Äärirvotetn funktio f(x 1,, x n ) ilmn epäyhtälöehto g(x 1,, x n ) 0 Mhdollinen pikllinen äärirvokoht X 0 löytyy siis funktion f( X) osittisderivttojen nollkohtn Suoritetn normli ltutrkstelu kriittiselle pisteelle X 0 Hessin mtriisin vull Jos kriittinen piste toteutt ehdon g(x 1,, x n ) 0, niin se on myös epäyhtälöehdon mukinen sidottu pikllinen äärirvokoht (Äärirvokoht löytyy siis ehtolueen sisältä, g(x 1,, x n ) 0) 29

31 2) Trkstelln epäyhtälörjoitteen g(x 1,, x n ) 0 sijn yhtälörjoitett g(x 1,, x n ) = 0 Rtkistn kuten normli sidottu äärirvotehtävä, missä Lgrnge-funktio on nyt muoto L(x 1,, x n, λ) = f(x 1,, x n ) λg(x 1,, x n ) Olkoon rtkisun stu kriittinen piste X 0 Suoritetn Lgrngen mukinen ltutrkstelu kriittiselle pisteelle X 0 ljennetun Hessin mtriisin vull (Äärirvokoht löytyy siis ehtolueen reunlt, g(x 1,, x n ) = 0) 3) Kohtiin 1) j 2) perustuv päättely Esimerkki 135 Mksimoi/minimoi f(x, y) = 5x 2 + 6y 2 xy ehdoll x + 2y 24 Esimerkki 136 Mksimoi/minimoi f(x, y) = 5x 2 + 6y 2 xy ehdoll x + 2y 24 n:n muuttujn j yhden epäyhtälörjoitteen tpus (Lmbd päättely) Äärirvot funktiolle f(x 1,, x n ) ehdoll g(x 1,, x n ) 0 Menetelmä on seurv: 1) Oletetn epäyhtälörjoitteen sijn yhtälörjoite g(x 1,, x n ) = 0 Rtkistn kuten normli sidottu äärirvotehtävä, missä Lgrnge-funktio on nyt muoto L(x 1,, x n, λ) = f(x 1,, x n ) λg(x 1,, x n ) Olkoon rtkisun stu kriittinen piste X 0 j λ = λ 0 (Trkist, että löydetty KRP toteutt lkuperäisen ehdon) 2) Jos stu λ 0 > 0, niin X 0 on funktion f(x 1,, x n ) mhdollinen sidottu äärirvokoht ehdoll g(x 1,, x n ) 0 Ltu määräytyy ljennetun Hessin mtriisin vull Jos stu λ 0 0, niin funktion f(x 1,, x n ) sidottu äärirvokoht ehdoll g(x 1,, x n ) 0 sdn funktion normlist äärirvokohdst eli funktion osittisderivttojen nollkohdst Smoin äärirvon ltu Hessin mtriisin vull Esimerkki 137 Mksimoi/minimoi f(x, y, z) = xy + xz + yz ehdoll xyz

32 n:n muuttujn j yhden epäyhtälörjoitteen tpus (Kuhn-Tuckerin menetelmä) Olkoon f(x 1, x 2,, x n ) n:n muuttujn funktio epäyhtälörjoitteell g(x 1, x 2,, x n ) 0 Piste x = (x 1, x 2,, x n) on funktion f pikllinen mksimikoht vin, jos on olemss ei-negtiivinen luku λ siten, että λ j piste (x 1, x 2,, x n) toteuttvt Kuhn-Tuckerin ehdot: h i = f λ g = 0 x i x i λg(x 1, x 2,, x n ) = 0 g(x 1, x 2,, x n ) 0 i = 1, 2,, n Nämä ehdot ovt riittävät, jos funktio f(x 1, x 2,, x n ) on ylöspäin kuper j g(x 1, x 2,, x n ) on lspäin kuper Kosk funktion f(x 1, x 2,, x n ) mksimikoht on funktion f(x 1, x 2,, x n ) minimikoht, niin tulos on käytettävissä myös silloin, kun lspäin kuper funktio minimoidn lspäin kupern ehtojoukon yli Huomutus Funktio f(x 1, x 2,, x n ) on lspäin kuper lueess, jos mitkä thns kksi pistettä ( x 1, x 2,, x n ) j ( x 1, x 2,, x n ) toteuttvt epäyhtälöehdon f[(1 t) x 1 + t x 1,,(1 t) x n + t x n ] (1 t)f( x 1, x 2,, x n ) + tf( x 1, x 2,, x n ) Funktio on idosti lspäin kuper, jos voidn korvt merkillä < ; funktio on ylöspäin kuper, jos voidn korvt merkillä, j idosti ylöspäin kuper, jos voidn korvt merkillä > 111 Pnos-tuotos mlli Tunnetn eräs pnos-tuotos tulu: x i1 x i2 x i3 x in y i x 1 x 11 x 12 x 13 x 1n y 1 x 2 x 21 x 22 x 23 x 2n y 2 x 3 x 31 x 32 x 33 x 3n y 2 x n x n1 x n2 x n3 x nn y n 31

33 Vkrivillä toimiln i kokonistuotnnon x i käyttö välituottein x ij toimiloill j j lopputuotteen y i Muodostetn mlli, jok kertoo yleisesti lopputuotteiden kysynnän perusteell toimilojen kokonistuotnnon Mllin muodostminen tphtuu vkrivien perusteell: n x i = x ij + y i, missä n on toimilojen lukumäärä (12) j=1 Mllin kiinteät kertoimet lsketn eräästä tunnetust pnos-tuotos tulust seurvsti: ij = x ij x j x ij = ij x j, missä 0 ij 1 (13) Pnoskerroin ij ilmisee kuink pljon toimilll j trvitn toimiln i tuotnto yhden tuoteyksikön tuottmiseen Sijoittmll yhtälö (13) yhtälöön (12) sdn: n x i = ij x j + y i, missä i = 1,, n j=1 Eli x 1 = 11 x x n x n + y 1, x 2 = 21 x x n x n + y 2, x n = n1 x 1 + n2 x nn x n + y n Yleinen muoto: X = A X + Ȳ, missä Ȳ = loppukysyntä X = kokonistuotnto A = nk teknillinen mtriisi Eli x 1 x 2 x n n n n = n1 n2 nn n n x 1 x 2 y 1 y 2 + x n y n 1 n n 1 32

34 Tästä sdn rtkistu toimilojen tuotnnot x i, kun tunnetn kertoimet ij j lopputuotteiden kysynnät y i, eli tiedetään hlutut lopputuotemäärät j suhde kuink pljon toimil trvitsee toisten toimilojen tuotnto välituottein Siis X = A X + Ȳ X A X = Ȳ I X A X = Ȳ (I A) X = Ȳ (I A) 1 X = (I A) 1 Ȳ Näin johdettu yhtälö X = (I A) 1 Ȳ on pnos-tuotos mlli, jok ilmisee toimilojen kokonistuotnnon riippuvuuden lopputuotteiden kysynnästä Käänteismtriisi (I A) 1 on Leontief:n käänteismtriisi Merkitään sen lkioit b ij : x 1 x 2 x n n 1 Siis x i = b i1 y 1 + b i2 y b in y n b 11 b 12 b 1n b 21 b 22 b 2n = b n1 b n2 b nn n n y 1 y 2 Leontief:n käänteismtriisi ilmisee toimilojen kokonistuotnnon j lopputuotteiden kysynnän välisen riippuvuuden Eli lkio b ij ilmisee, kuink pljon tuotnto trvitn toimilll i, jott toimilll j voitisiin tuott yksi lopputuoteyksikkö Esimerkki 138 Khden teollisuudenln tuotnto kuv seurv tulukko Muodost sen vull pnos-tuotos mlli (luvut milj euro) y n n 1 kokonis- välikäyttö lopputuotnto A B kysyntä tuottj A B Derivointi vektorimuodoss Äärirvotehtävissä joudutn joskus derivoimn lusekkeit, jotk sisältävät mtriisej j vektoreit 33

35 1121 Linerisen vektorin derivointi Funktio f : R n R on linerinen, jos se on muoto f( X) = f(x 1, x 2,, x n ) = 1 x x n x n, missä i R vkioit Asettmll x 1 x 2 1 X = j ā = 2 funktio f sdn muotoon x n f( X) = ā T X = (1,, n ) = X T ā = (x 1,, x n ) x 1 n 1 x n n Osittisderivoimll funktiot f sdn f = āt X = 1, x 1 x 1 f = āt X = 2,, x 2 x 2 f = āt X = n x n x n Osittisderivtoist voidn muokt vektori ā T X f X = āt X X = x 1 ā T X = x n 1 n = ā Smoin X T ā X = X T ā x 1 X T ā x n 1 = n = ā 34

36 Esimerkki 139 Jos 2 1 ā = 3 j X = 5 niin f( X) = ā T X = 2x1 x 2 + 3x 3 + 5x 4 j ā T X x 1 = 2, ā T X x 2 = 1, ā T X x 3 = 3, ā T X x 4 x 1 x 2 x 3 x 4, = 5, eli 2 ā T X X = 1 3 = ā Vektorirvoisen funktion derivointi Funktio F : R m R n on m:n muuttujn vektorirvoinen funktio Funktion rvot ovt n-komponenttisi pystyvektoreit, joiden jokinen komponentti on m:n muuttujn relirvoinen funktio F = f 1 (x 1,, x m ) f n (x 1,, x m ) Kukin f i voidn derivoid jokisen muuttujn x j suhteen f 1 f 2 f n F X = x 1 x 1 x 1 = J T f 1 f 2 f n x m x m x m m n Esimerkki 140 Olkoon ( ) F ( X) = F x 2 (x 1, x 2, x 3 ) = 1 + x 2 2 2x 2 x 3 4x 1 x 2 3 x x 2 x 2 3 Tällöin F 2x 1 4x 2 3 X = 2x 2 2x 3 2x 2 + 5x 2 3 2x 2 8x 1 x x 2 x

37 1123 Kvdrttisenmuodon derivointi Olkoon A symmetrinen n n mtriisi j X = (x 1, x 2,, x n ) T Luseke 11 1n x 1 X T A X = (x 1,, x n ) = f( X) n1 nn on kvdrttinen muoto Ottmll osittisderivtt muuttujien x 1, x 2, x n suhteen, sdn X ( X T A X) x 1 ( X T A X) = = 2A X x n ( X T A X) Ti X ( X T A X) = ( x 1 ( X T A X), x n ) ( x X T A X),, ( 2 x X T A X) = 2 X T A n Esimerkki 141 Olkoon x X = x 2 j A = x Tällöin x 1 X T A X = (x 1, x 2, x 3 ) x x 3 = (3x 1 + x 2 2x 3, x 1 + 3x 3, 2x 1 + 3x 2 + 2x 3 ) x 2 x 3 = 3x x 2 x 1 2x 3 x 1 + x 1 x 2 + 3x 3 x 2 2x 1 x 3 + 3x 2 x 3 + 2x 2 3 = 3x x 1 x 2 4x 1 x 3 + 6x 2 x 3 + 2x 2 3 = f( X) x 1 Siten x 1 XT A X = 6x 1 + 2x 2 4x 3, x 2 XT A X = 2x 1 + 6x 3 36

38 Siis j x 3 XT A X = 4x 1 + 6x 2 + 4x 3 6x 1 + 2x 2 4x 3 3x 1 + x 2 2x 3 X X T A X = 2x 1 + 6x 3 = 2 x 1 + 3x 3 4x 1 + 6x 2 + 4x 3 2x 1 + 3x 2 + 2x x 1 = x 2 = 2A X x Bilinerinen derivointi Olkoon X = x 1, Z = z 1 j B m n mtriisi x m z n Luseke b 11 b 1n z 1 X T B Z = (x 1,, x m ) = f( X, Z) b m1 b mn z n on bilinerimuoto Tällöin X ( X T B Z) x 1 ( X T B Z) = = B Z x m ( X T B Z) j Z ( X T B Z) z 1 ( X T B Z) = = B T X z n ( X T B Z) 37

39 Esimerkki 142 Olkoon x X = x 2 B = 3 3 x ( ) z1 Z = z 2 Tällöin 2 2 ( ) X T B Z = (x 1, x 2, x 3 ) 3 3 z1 z = (2x 1 + 3x 2 + 2x 3, 2x 1 + 3x 2 + 4x 3 ) ( z1 = 2x 1 z 1 + 3x 2 z 1 + 2x 3 z 1 + 2x 1 z 2 + 3x 2 z 2 + 4x 3 z 2 = f( X, Z) z 2 ) Nyt Eli x 1 ( X T B Z) = 2z 1 + 2z 2, j x 2 ( X T B Z) = 3z 1 + 3z 2 x 3 ( X T B Z) = 2z 1 + 4z 2 2z 1 + 2z ( ) X ( X T B Z) = 3z 1 + 3z 2 = 3 3 z1 = B z Z 2 2z 1 + 4z Edelleen z 1 ( X T B Z) = 2x 1 + 3x 2 + 2x 3 j z 2 ( X T B Z) = 2x 1 + 3x 2 + 4x 3 Siis Z ( X T B Z) = ( ) 2x1 + 3x 2 + 2x 3 = 2x 1 + 3x 2 + 4x 3 ( ) x x 2 = 3 3 x T x 1 x 2 x 3 = B T X 38

40 113 Mtriisien sovellutus regressionlyysissä Usen muuttujn Pienimmän neliösummn regressionlyysissä jtelln, että (selitettävä) muuttuj y riippuu (selittävistä) muuttujist x 1, x 2,, x k j häiriötekijästä u yhtälön mukisesti y = β 0 + β 1 x 1 + β 2 x 2 + β k x k + u Vkioit β 0, β 1,, β k ei tunnet j käytettävissä on n:n kppleen otos muuttujn y j muuttujien x 1, x 2,, x k rvoj Siis n kpl y:n rvoj j niitä vstvt x i :n rvot ovt tiedoss: y i = β 0 + β 1 x 1i + β 2 x 2i + β k x ki + u i, i = 1, 2,, n (14) Tehtävänä on löytää estimtit (rviot) vkioille β 0, β 1,, β k eli löytää (prs) linerinen funktio, jonk kutt y riippuu muuttujist x i Merkitään: y 1 1 x 11 x 21 x k1 β 0 u 1 y 2 Ȳ =, X = 1 x 12 x 22 x k2, β β 1 = j ū = u 2 1 x 1n x 2n x kn β k u n y n n k+1 Yhtälöryhmä (14) sdn nyt mtriisimuotoon Ȳ = X β + ū (15) Vkioiden β 0, β 1,, β k estimttien löytämiseksi käytetään ns pienimmän neliösummn menetelmää Merkitään vektorin β estimtti ˆβ 0 ˆβ 1 ˆβ = ˆβ k Tällöin Ȳ = X ˆβ + ē, 39

41 missä ē = Ȳ X ˆβ = (e 1, e 2,, e n ) T on n:n ns jäännöstermin muodostm pystyvektori Siis e i = y i ( ˆβ 0 + ˆβ 1 x 1i + + ˆβ k x ki ) Pienimmän neliösummn menetelmässä summ n e 2 i = ē T ē i=1 minimoidn (Virheen minimointi) Siis etsitään ˆβ, joll virhe minimoituu Nyt n e 2 i = ē T ē = (Ȳ X ˆβ) T (Ȳ X ˆβ) i=1 = (Ȳ T (X ˆβ) T ) (Ȳ X ˆβ) = (Ȳ T ˆβ T X T ) (Ȳ X ˆβ) = Ȳ T Ȳ Ȳ T X ˆβ ˆβ T X T Ȳ + ˆβ T X T X ˆβ Vektorin ˆβ määrittämiseksi etsitään lusekkeen ē T ē pienin rvo kuten normliss äärirvotehtävässä Etsitään ensin KRP derivoimll luseke tuntemttomn ˆβ suhteen j settmll se nollksi: mikäli X T X säännöllinen ˆβ (ēt ē) = X T (Ȳ T ) T X T Ȳ + 2X T X ˆβ = 2X T Ȳ + 2X T X ˆβ = 0 X T X ˆβ = X T Ȳ ˆβ = (X T X) 1 X T Ȳ, Jott voidn osoitt, että ˆβ = (X T X) 1 X T Ȳ on minimirtkisu, on tutkittv toist derivtt 2 ē T ē ˆβ 2 = ˆβ ( 2XT Ȳ + 2X T X ˆβ) = 2X T X 40

42 Jos mtriisi X T X on positiividefiniitti, niin kyseessä on minimirtkisu Käytännön tilnteiss X T X on in positiividefiniitti Esimerkki 143 Estimoi yhtälön y = β 0 +β 1 x 1 kertoimi β pienimmän neliösummn menetelmällä, kun hvintoineisto on seurv: y 1 = 5 x 11 = 1 y 2 = 3 x 12 = 0 y 3 = 2 x 13 = 1 y 4 = 8 x 14 = Linerinen optimointi Mksimoitess voitto ti minimoitess kustnnuksi tulee usein eteen resurssien rjllisuus Tehtävä Mksimoi/minimoi kohdefunktio z = f(x 1, x 2,, x n ) = c 1 x 1 + c 2 x c n x n + c 0 (Linerinen!!!) rjoitteill 11 x x n x n b 1 21 x x n x n b 2 (Lineriset!!!) m1 x 1 + m2 x mn x n b m x j 0 j = 1,, n 1141 Geometrinen rtkisu Khden päämuuttujn tpus: Mx/min f(x 1, x 2 ) = c 1 x 1 + c 2 x 2 + c 0 rjoitteill 11 x x 2 b 1 21 x x 2 b 2 m1 x 1 + m2 x 2 b m x 1, x 2 0, ei pkollinen 41

43 Muodostetn rtkisumonikulmio eli etsitään ehtolue, joss rjoitteet toteutuvt Luse 19 Jos rtkisumonikulmio on suljettu, niin optimointitehtävän yksikäsitteinen rtkisu löytyy rtkisumonikulmion kärjistä Jos rtkisuj on useit, niin inkin kksi niistä löytyy rtkisumonikulmion kärkipisteistä Jos rtkisumonikulmio on voin lue, tutki trkemmin Esimerkki 144 Mx/min f(x 1, x 2 ) = 2x x 2 rjoitteill 2x 1 + x 2 6 5x 1 + 4x 2 20 x 1, x 2 0 Huomutus Rtkisumonikulmio ei välttämättä ole suljettu rjoitteill Esimerkiksi: { 2x1 + x 2 6 5x 1 + 4x 2 40 { 2x1 + x 2 6 5x 1 + 4x 2 40 Esimerkki 145 Min/mx f(x, y) = 2x + 10y rjoitteill 2x + y 6 5x + 4y 20 x, y 0 42

44 Esimerkki 146 Min/mx f(x, y) = 2x + 10y rjoitteill 2x + y 6 5x + 4y 20 x, y Kntrtkisu menetelmä Tehtävä Mksimoi/minimoi kohdefunktio z = f(x 1, x 2,, x n ) = c 1 x 1 + c 2 x c n x n + c 0 rjoitteill 11 x x n x n b 1 21 x x n x n b 2 m1 x 1 + m2 x mn x n b m x j 0 j = 1,, n Rjoite-epäyhtälöt muutetn lisämuuttujien (x n+1,, x n+m ) vull yhtälöiksi: 11 x x n x n + x n+1 = b 1 21 x x n x n x n+2 = b 2 m1 x 1 + m2 x mn x n + x n+m = b m x j 0 j = 1,, n + m Kntrtkisu on eo yhtälöryhmän sellinen rtkisu, joss tuntemttomist x 1,, x n+m on n kpplett nolli j lisäksi positiivisuusehto ei huomioid Kntmuuttujt ovt ne m muuttuj, joit ei setet nolliksi Hyväksyttävä kntrtkisu on kntrtkisu, jok toteutt myös positiivisuusehdon Optimlinen kntrtkisu on hyväksyttävä kntrtkisu, jok nt kohdefunktion optimirvon 43

45 Luse 110 Jos kohdefunktioll on äärellinen optimi, niin inkin yksi optimlinen rtkisu löytyy hyväksyttävänä kntrtkisun Optimointi: 1) hetn kntrtkisut 2) vlitn hyväksyttävät kntrtkisut 3) lsketn funktion rvot kohdn 2) pisteissä 4) vlitn näistä hettu optimirvo Esimerkki 147 Min/mx f(x 1, x 2 ) = 2x x 2 rjoitteill 2x 1 + x 2 6 5x 1 + 4x 2 20 x 1, x 2 0 Huomutus Kntrtkisu menetelmä ei toimi voimess lueess Pienellä vrovisuudell kylläkin 1143 SIMPLEX menetelmä Tehtävä Mksimoi/minimoi kohdefunktio z = f( X) = c 1 x 1 + c 2 x c n x n rjoitteill 11 x x n x n b 1 21 x x n x n b 2 m1 x 1 + m2 x mn x n b m x j 0 j = 1,, n Rjoite-epäyhtälöt muutetn lisämuuttujien vull yhtälöiksi: Esimerkiksi rjt {11x1 + 12x nxn b1 21 x x n x n b 2 { 11 x x n x n + x n+1 = b 1 21 x x n x n x n+2 + x n+3 = b 2 44

46 Lisämuuttujt: x n+1 ei kohdefunktioon, kylläkin rvotulukkoon x n+3 kohdefuntioon j rvotulukkoon { minimointi Mxn+3 M suuri positiivinen luku mksimointi Mx n+3, x n+2 ei kohdefunktioon eikä rvotulukkoon lisämuuttujn Esimerkki 148 Minimoi z = f(x 1, x 2 ) = 2x x 2 rjoitteill 2x 1 + x 2 6 5x 1 + 4x 2 20 x 1, x 2 0 Rjoite-epäyhtälöt muutetn lisämuuttujien vull yhtälöiksi: 2x 1 + x 2 + x 3 = 6 5x 1 + 4x 2 x 4 + x 5 = 20 x 1, x 2, x 3, x 4 0 minimoi z = f(x 1, x 2 ) = 2x x 2 + Mx 5 edellä olleill rjoitteill Muodostetn rvotulukko seurvsti: c j M c j lisämuuttujt rvot x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 0 x M x z j 20M 5M 4M 0 M M c j z j 2 5M 10 4M 0 M 0 (Kun x 3 = 6 j x 5 = 20, niin x 1 = x 2 = 0 z = 20M) z j :n rvot sdn lskemll lisämuuttujien rvoiksi srkkeen luvut j kertoimiksi c 3 j c 5 c j z j edust lisäystä funktion rvoon, jok svutetn muuttujn j yhden yksikön lisäyksellä (ko rvoist) 45

47 Optimlisuuden trkistus: Mksimointitehtävä: Jos rivin c j z j kikki rvot ovt negtiivisi ( 0), niin tulost ei void prnt j on löydetty mksimikoht Minimointitehtävä: Jos rivin c j z j kikki rvot ovt positiivisi ( 0), niin tulost ei void prnt j on siten löydetty minimikoht Nyt 2 5M < 0 j 10 4M < 0 ei minimikoht Korvvn j väistyvän muuttujn vlint: Suurin prnnus eli tässä tpuksess pienennys funktion rvoon sdn muuttujn x 1 lisäyksestä (2 5M < 10 4M, M suuri positiivinen luku) x 1 korvv muuttuj j x 1 :n srke optimisrke Jetn lisämuuttujien rvot vstvill optimisrkkeen rvoill: x 3 : 6 2 = 3 x 5 : 20 5 = 4 Se, joll on pienempi positiivinen rvo, vlitn väistyväksi muuttujksi x 3 väistyvä muuttuj Muodostetn uusi rvotulu: Korvvn muuttujn x 1 rivi sdn väistyvän muuttujn x 3 rivin lkioist jkmll ne optimisrkkeen x 1 muuttujn x 3 rvoll c j M c j lisämuuttujt rvot x 1 x 2 x 3 x 4 x x M x

48 Muut rivit: uuden vnhn vnhn rivin vstv rivin = rivin lkio optimi-srkkeessvll lkio korv- lkio lkio rivillä c j M c j lisämuuttujt rvot x 1 x 2 x 3 x 4 x x M x z j 6 + 5M M 1 5M M M 2 2 c j z j 0 9 3M 1 + 5M M Ei minimirtkisu, sillä M < 0 Nyt x 2 on korvv muuttuj j x 2 :n srke on optimisrke Lisäksi x 1 : = 6 j x 5 : = 10 3 x 5 väistyvä muuttuj Muodostetn uusi rvotulu: c j M c j lisämuuttujt rvot x 1 x 2 x 3 x 4 x x x c j M c j lisämuuttujt rvot x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 2 x = x z j = = 14 = 6 = c j z j M 6 47

49 Tämä on minimirtkisu, sillä 14 > 0, 6 > 0 j M 6 > 0 Siis minimirtkisu on x 1 = 4 j x 3 1 = 10, jolloin minimirvo on 36 3 Esimerkki 149 Mksimoi z = f(x 1, x 2 ) = 2x x 2 rjoitteill 2x 1 + x 2 6 5x 1 + 4x 2 20 x 1, x 2 0 Muutetn epäyhtälörjoitteet yhtälöiksi: 2x 1 + x 2 + x 3 = 6 5x 1 + 4x 2 x 4 + x 5 = 20 x 1, x 2, x 3, x 4 0 mksimoi z = f(x 1, x 2 ) = 2x x 2 Mx 5 edellä olleill rjoitteill Muodostetn rvotulukko seurvsti: c j M c j lisämuuttujt rvot x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 0 x M x z j 20M 5M 4M 0 M M c j z j 2 + 5M M 0 M 0 (Kun x 3 = 6 j x 5 = 20, niin x 1 = x 2 = 0 z = 20M) Optimlisuuden trkistus: Nyt 2 + 5M > 0 j M > 0 ei mksimikoht Korvvn j väistyvän muuttujn vlint: Suurin prnnus funktion rvoon sdn muuttujn x 1 lisäyksestä (2 + 5M > M, M suuri positiivinen luku) x 1 korvv muuttuj j x 1 :n srke optimisrke Jetn lisämuuttujien rvot vstvill optimisrkkeen rvoill: x 3 : 6 2 = 3 x 5 : 20 5 = 4 48

50 Se, joll on pienempi positiivinen rvo, vlitn väistyväksi muuttujksi x 3 väistyvä muuttuj Muodostetn uusi rvotulu: Korvvn muuttujn x 1 rivi sdn väistyvän muuttujn x 3 rivin lkioist jkmll ne optimisrkkeen x 1 muuttujn x 3 rvoll c j M c j lisämuuttujt rvot x 1 x 2 x 3 x 4 x x M x c j M c j lisämuuttujt rvot x 1 x 2 x 3 x 4 x x M x z j 6 5M 2 1 3M 1 + 5M M M 2 2 c j z j M 1 5M M Ei mksimirtkisu, sillä M > 0 Nyt x 2 on korvv muuttuj j x 2 :n srke optimisrke Lisäksi x 1 : = 6 j x 5 : = 10 3 x 5 väistyvä muuttuj Muodostetn uusi rvotulu: c j M c j lisämuuttujt rvot x 1 x 2 x 3 x 4 x x x

51 c j M c j lisämuuttujt rvot x 1 x 2 x 3 x 4 x x x z j c j z j M 6 Tämä ei ole mksimirtkisu, sillä 14 > 0 j 6 > 0 Kosk 14 > 6, niin x 3 on korvj muuttuj j x 3 :n srke on optimisrke Lisäksi x 1 : = 1 j x 2 : x 1 väistyvä muuttuj = 2 Muodostetn uusi rvotulu: c j M c j lisämuuttujt rvot x 1 x 2 x 3 x 4 x x x c j M c j lisämuuttujt rvot x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 0 x x z j c j z j M 10 4 Ei mksimirtkisu, sillä 10 4 optimisrke Lisäksi > 0 Nyt x 4 on korvv muuttuj j x 4 :n srke x 3 : = 4 j x 2 : x 3 väistyvä muuttuj = 20 50

52 Muodostetn uusi rvotulu: c j M c j lisämuuttujt rvot x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 0 x x c j M c j lisämuuttujt rvot x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 0 x x z j c j z j M Selvästi kyseessä on mksimirtkisu Nyt { x2 = 6 x 4 = 4 5x x 5 = 20 x 1 = x 5 = 0 Optimikoht on siis x 1 = 0, x 2 = 6 z = M 0 = 60 51

53 2 Integrlilskent 21 Johdnto Integrointi on derivoimisen käänteistoimitus Siis f(x) dx = F (x) D F (x) = f(x) On siis määritettävä funktio F (x), kun sen derivttfunktio f(x) tiedetään Tloustieteessä voidn käyttää seurviss tpuksiss: rjhyötyfunktio hyötyfunktio rjkustnnusfunktio kustnnusfunktio rjtulofunktio tulofunktio Määrätty integrli: integrointi yli jonkin välin b f(x) dx Menetelmä, joll voidn lske käyrän rjoittmn pinnn l Kokonistulo on rjtulofunktion rjoittmn pinnn l Kuluttjn ylijäämä on kysyntäkäyrän lpuolell jäävä pint-l Vstvsti tuottjn ylijäämä on trjontkäyrän lpuolell jäävä pint-l 22 Integrlifunktio Pyritään määräämään funktio F (x), kun sen derivttfunktio f(x) on nnettu Funktio F on funktion f integrlifunktio, jos F (x) = f(x) x D f Merkitään f(x) dx = F (x) 52

54 Kosk funktio F (x) on derivoituv on se myös jtkuv Olkoon F (x) funktion f(x) eräs integrlifunktio Siis F (x) = f(x) Toislt kun c on vkio, niin D(F (x) + c) = DF (x) + Dc = F (x) + 0 = F (x) = f(x) Siis jokinen funktio F (x) + c, missä c on vkio, on myös funktion f(x) integrlifunktio Luse 21 (Integrlilskennn perusluse) Olkoon funktio f(x) jtkuv j derivoituv välillä ], b[ Jos lisäksi f (x) = 0 x ], b[, niin f(x) on vkiofunktio tällä välillä Todistus Vert f(x):n ksvunopeus Olkoon D f =], b[ j olkoot F (x) j G(x) molemmt funktion f(x) integrlifunktioit, eli F (x) = f(x) j G (x) = f(x) Tällöin D(G(x) F (x)) = DG(x) DF (x) = G (x) F (x) = f(x) f(x) = 0 Integrlilskennn perusluseen nojll G(x) F (x) on vkiofunktio, eli on olemss c R siten, että G(x) F (x) = c x ], b[ G(x) = F (x) + c 53

55 Luse 22 Olkoon f(x) funktio, jolle D f =], b[ j F (x) on eräs funktion f(x) integrlifunktio Tällöin {F (x) + c c R} on funktion f(x) kikkien integrlifunktioiden joukko Kun nnetn yksi piste (x 0, y 0 ), jonk kutt integrlifunktio kulkee, niin integrlifunktio sdn täysin määrättyä: F (x 0 ) + c = y 0 c = y 0 F (x 0 ) Luse 23 Olkoot f(x) j g(x) funktioit, joill D f = D g =], b[ Oletetn, että F (x) on eräs funktion f(x) j G(x) eräs funktion g(x) integrlifunktio Tällöin (i) F (x) + G(x) on funktion f(x) + g(x) integrlifunktio (ii) F (x) on funktion f(x) integrlifunktio ( R vkio) Todistus (i) D(F (x) + G(x)) = F (x) + G (x) = f(x) + g(x) (ii) D(F (x)) = D(F (x)) = F (x) = f(x) Funktion f(x) integrlifunktiot merkitään: f(x) dx = F (x) + c, missä F (x) on funktion f(x) eräs integrlifunkto j c on integroimisvkio Luse 23 sdn nyt muotoon (i) (f(x) + g(x)) dx = f(x) dx + g(x) dx (ii) f(x) dx = f(x) dx Derivoimiskvoist sdn seurvt integroimiskvt: (1) dx = x + c, missä R on vkio (2) x dx = x+1 x+1 + c, 1, R, sillä D = ( + 1)x + 1 = x Jos Z, niin oltv x 0 (juuren ll posit) 54

56 (3) (4) (5) 1 dx = ln x + c, x 0, x D ln x = 1 sillä D ln x = x, kun x > 0 D ln ( x) = 1 x ( 1) = 1, kun x < 0 x e x dx = e x + c, sillä De x = e x x dx = x x + c, sillä D ln ln = x ln ln = x Olkoot funktiot g(x), f(x) j f (x) jtkuvi j G(x) eräs funktion g(x) integrlifunktio Tällöin D G(f(x)) = G (f(x)) f (x) = g(f(x)) f (x) Siis (6) g(f(x)) f (x) dx = G(f(x)) + c Tämän vull sdn seurvt integroimiskvt: (7) (f(x)) f (x) dx = (f(x))+1 + c, 1, + 1 sillä D (f(x)) = ( + 1)(f(x)) + 1 f (x) = f(x) f (x) Olkoon nyt 1 j f(x) 0 Tällöin (8) (9) f (x) dx = ln f(x) + c, f(x) 0, sillä f(x) D ln f(x) = 1 f(x) f (x) = f (x), kun f(x) > 0 f(x) D ln f(x) = D ln ( f(x)) = 1 f(x) f (x) = f (x), kun f(x) < 0 f(x) e f(x) f (x) dx = e f(x) + c, sillä De f(x) = e f(x) f (x) 55

57 (10) sillä f(x) f (x) dx = f(x) ln + c, D f(x) ln = ln f(x) f (x) ln = f(x) f (x) Funktiot f(x) snotn integroituvksi, jos sillä on olemss integrlifunktio Jokinen jtkuv funktio on integroituv Sdn suhde f derivoituv f jtkuv f integroituv Olkoot funktiot f j g derivttoineen jtkuvi Tällöin D(f(x) g(x)) = f (x) g(x) + f(x) g (x) (f (x) g(x) + f(x) g (x)) dx = f(x) g(x) + c f (x) g(x) dx + f(x) g (x) dx = f(x) g(x) + c Tästä sdn ns osittisintegroinnin kv: (11) Vlitn: f (x) g(x) dx = f(x) g(x) f(x) g (x) dx + c f : voidn (ostn) integroid g : yksinkertistuu enemmän derivoimll Esimerkki 21 (x 4 + 1x 3 ) dx Esimerkki 22 Määritä funktion f(x) = 8x 3 2x ) Kikki integrlifunktiot b) Se integrlifunktio F (x), jolle F (1) = 9 Esimerkki 23 x + 3 x + 1 dx x 56

58 Esimerkki x + 2 2x 2 x dx Esimerkki 25 3x x2 + 1 dx Esimerkki 26 e x2 x dx Esimerkki 27 Esimerkki 28 x 2 x dx x ln x dx 23 Integrointi osmurtokehitelmän vull On määrättävä P (x), missä P (x) j Q(x) ovt polynomej Q(x) Jos polynomi P (x) on jollinen polynomill Q(x), niin tehtävä plutuu polynomin integrointiin Jos polynomi P (x) = Q (x), niin tehtävä plutuu integroimiskvn (7) Oletetn nyt, että P (x) ei ole jollinen polynomill Q(x) eikä se ole sen derivttfunktio Olkoon lisäksi polynomi P (x) lemp stett kuin Q(x), muutoin suoritetn ensin jkminen (ktso esim 29 jälkeinen teksti) Tällöin rtionlifunktio P (x) Q(x) jotk kyetään integroimn Menetelmä on seurv: voidn esittää osmurtolusekkeiden summn, 1) Jetn nimittäjä Q(x) jottomiin tekijöihin rtkisemll sen nollkohdt Tekijät ovt muoto x + b (vst polynomin Q(x) relist nollkoht) ti x 2 + bx + c (tpus, joss nollkoht ei ole reliluku eli 2 steen tekijä ei jknnu) 2) Kutkin polynomin Q(x) tekijää vst osmurtoluseke seurvsti: 57

59 ) yksinkertinen linerinen tekijä x + b A x + b b) n kertinen linerinen tekijä (x + b) n A 1 x + b + A 2 (x + b) + + A n 2 (x + b) n c) yksinkertinen toisen steen joton tekijä x 2 + bx + c Ax + B x 2 + bx + c d) n kertinen toisen steen joton tekijä (x 2 + bx + c) n A 1x + B 1 x 2 + bx + c + A 2x + B 2 (x 2 + bx + c) + + A nx + B n 2 (x 2 + bx + c) n missä A, B, A 1,, A n, B 1,, B n ovt vkioit, jotk pitää määrätä 3) Vkiot määrätään seurvsti: Luseke P (x) esitetään osmurtolusekkeiden summn Kerrotn puolittin nimittäjällä Q(x), jolloin vsemmlle puolelle jää P (x) j oikel- Q(x) le puolelle osmurtolusekkeiden vkioit sisältävä polynomi Vertmll kyseisen polynomin j polynomin P (x) termien kertoimi, sdn vkiot määrättyä 4) Integrli P (x) Q(x) Esimerkki 29 sdn osmurtolusekkeiden integrlien summn x + 3 x 2 + 3x + 2 dx Jos P (x) on korkemp ti yhtä suurt stett kuin Q(x), niin jetn: P (x) Q(x) = R(x) + P 1(x) Q(x) missä jkojäännös P 1 (x) on lemp stett kuin Q(x) Siten P (x) Q(x) dx = R(x) dx + P1 (x) Q(x) dx 58

Analyysin perusteet kauppatieteilijöille 800118P

Analyysin perusteet kauppatieteilijöille 800118P Anlyysin perusteet kupptieteilijöille 800118P Luentomoniste Kri Myllylä Niin Korteslhti Topi Törmä Oulun yliopisto Mtemttisten tieteiden litos Kevät 2015 Sisältö 1 Derivtt 3 1.1 Määritelmä..............................

Lisätiedot

2.4 Pienimmän neliösumman menetelmä

2.4 Pienimmän neliösumman menetelmä 2.4 Pienimmän neliösummn menetelmä Optimointimenetelmiä trvitn usein kokeellisen dtn nlysoinniss. Mittuksiin liittyy virhettä, joten mittus on toistettv useit kertoj. Oletetn, että mittn suurett c j toistetn

Lisätiedot

Esimerkki 8.1 Määritellään operaattori A = x + d/dx. Laske Af, kun f = asin(bx). Tässä a ja b ovat vakioita.

Esimerkki 8.1 Määritellään operaattori A = x + d/dx. Laske Af, kun f = asin(bx). Tässä a ja b ovat vakioita. 8. Operttorit, mtriisit j ryhmäteori Mtemttinen operttori määrittelee opertion, jonk mukn sille nnettu funktiot muoktn. Operttorit ovt erityisen tärkeitä kvnttimekniikss, kosk siinä jokist suurett vst

Lisätiedot

OSA 1: POLYNOMILASKENNAN KERTAUSTA, BINOMIN LASKUSÄÄNTÖJÄ JA YHTÄLÖNRATKAISUA

OSA 1: POLYNOMILASKENNAN KERTAUSTA, BINOMIN LASKUSÄÄNTÖJÄ JA YHTÄLÖNRATKAISUA OSA 1: POLYNOMILASKENNAN KERTAUSTA, BINOMIN LASKUSÄÄNTÖJÄ JA YHTÄLÖNRATKAISUA Tekijät: Ari Heimonen, Hellevi Kupil, Ktj Leinonen, Tuomo Tll, Hnn Tuhknen, Pekk Vrniemi Alkupl Tiedekeskus Tietomn torninvrtij

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Mtemtiikn tukikurssi Kurssikert 4 Tilvuuden j vipn ln lskeminen Kuten iemmin käsittelimme, määrätyn integrlin vull voi lske pintloj j tilvuuksi. Tyypillisenä sovelluksen tilvuuden lskemisest on tpus, joss

Lisätiedot

Riemannin integraalista

Riemannin integraalista Lebesguen integrliin sl. 2007 Ari Lehtonen Riemnnin integrlist Johdnto Tämän luentomonisteen trkoituksen on tutustutt lukij Lebesgue n integrliin j sen perusominisuuksiin mhdollisimmn yksinkertisess tpuksess:

Lisätiedot

10. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA

10. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA MAA0 0. Määrätyn integrlin käyttö eräiden pint-lojen lskemisess 0. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA Edellä on todettu, että f (x)dx nt x-kselin j suorien x =, x = sekä funktion

Lisätiedot

Sisältö. Integraali 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 20

Sisältö. Integraali 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 20 Integrli 10. syyskuut 2005 sivu 1 / 20 Sisältö 1 Määrätty integrli j integrlifunktio 2 1.1 Integroituvist funktioit 3 1.2 Määrätyn integrlin ominisuuksi 4 1.3 Integrlifunktio 5 1.4 Integrlilskennn tärkeimmät

Lisätiedot

Syksyn 2015 Pitkän matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut

Syksyn 2015 Pitkän matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut Sksn 0 Pitkän mtemtiikn YO-kokeen TI-Nspire CAS -rtkisut Tekijät: Olli Krkkulinen Rtkisut on ldittu TI-Nspire CAS -tietokoneohjelmll kättäen Muistiinpnot -sovellust. Kvt j lskut on kirjoitettu Mth -ruutuihin.

Lisätiedot

Mikrotalousteoria 2, 2008, osa III

Mikrotalousteoria 2, 2008, osa III Sisältö Mikrotlousteori 2, 2008, os III Yrityksen tuotntofunktiost 2 Pnosten substituoitvuus 2 3 Yrityksen teori 3 4 Mittkvedut tuotnnoss 5 5 Yksikkökustnnusten j skltuottojen steen välinen yhteys 5 6

Lisätiedot

Neliömatriisin A determinantti on luku, jota merkitään det(a) tai A. Se lasketaan seuraavasti: determinantti on

Neliömatriisin A determinantti on luku, jota merkitään det(a) tai A. Se lasketaan seuraavasti: determinantti on 4. DETERINANTTI JA KÄÄNTEISATRIISI 6 4. Neliömtriisi determitti Neliömtriisi A determitti o luku, jot merkitää det(a) ti A. Se lsket seurvsti: -mtriisi A determitti o det(a) () -mtriisi A determitti void

Lisätiedot

Ristitulo ja skalaarikolmitulo

Ristitulo ja skalaarikolmitulo Ristitulo j sklrikolmitulo Opetussuunnitelmn 00 mukinen kurssi Vektorit (MAA) sisältää vektoreiden lskutoimituksist keskeisenä ineksen yhteenlskun, vähennyslskun, vektorin kertomisen luvull j vektoreiden

Lisätiedot

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 5.2.2013

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 5.2.2013 Preliminäärikoe Pitkä Mtemtiikk 5..0 Kokeess s vstt enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä ( * ) merkittyjen tehtävien mksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien mksimipistemäärä on 6.. ) Rtkise yhtälö b)

Lisätiedot

Riemannin integraalista

Riemannin integraalista TAMPEREEN YLIOPISTO Pro grdu -tutkielm Aij Stenberg Riemnnin integrlist Mtemtiikn j tilstotieteen litos Mtemtiikk Syyskuu 2010 2 Tmpereen yliopisto Mtemtiikn j tilstotieteen litos STENBERG, AIJA: Riemnnin

Lisätiedot

Laudatur 10 MAA10 ratkaisut kertausharjoituksiin

Laudatur 10 MAA10 ratkaisut kertausharjoituksiin Ludtur MAA rtkisut kertushrjoituksiin Integrlifunktio. ) Jokin integrli funktio on esimerkiksi F( ) b) Kikki integrlifunktiot F( ) + C, missä C on vkio Vstus: ) F( ) b) F( ) + C, C on vkio. Kikki integrlifunktiot

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi. Hannu Kivimäki

Matematiikan tukikurssi. Hannu Kivimäki Mtemtiikn tukikurssi Hnnu Kivimäki Sisältö I Ensimmäinen välikoe Integrointi 2 Osittisintegrointi 5 3 Osmurtohjotelm 4 Lisää osmurtoj 4 5 Sijoituskeino 9 6 Määrätty integrli 2 7 Ylä- j lsumm 22 8 Määrätyn

Lisätiedot

Integraalilaskentaa. 1. Mihin integraalilaskentaa tarvitaan? MÄNTÄN LUKIO

Integraalilaskentaa. 1. Mihin integraalilaskentaa tarvitaan? MÄNTÄN LUKIO Integrlilskent Tämä on lukion oppimterileist hiemn poikkev yksinkertistettu selvitys määrätyn integrlin lskemisest. Kerromme miksi integroidn, mitä integroiminen trkoitt, miten integrli lsketn j miten

Lisätiedot

Numeerinen integrointi

Numeerinen integrointi Pitkärnt: Lj mtemtiikk IX9 Numeerinen integrointi IX9 Numeerinen integrointi Numeerisell integroinnill trkoitetn määrätyn integrlin, eli reliluvun I(f,,b) = f(x)dx lskemist numeerisin keinoin (likimäärin)

Lisätiedot

Matemaattiset menetelmät I. Seppo Hassi

Matemaattiset menetelmät I. Seppo Hassi Mtemttiset menetelmät I Seppo Hssi Syksy 2011 iii Esipuhe Tämä on 1. versio Mtemttiset menetelmät I-kurssin opetusmonisteest, jok perustuu Vsn yliopistoss luennoimni vstvn nimiseen kurssiin. Sisältö noudtt

Lisätiedot

Matematiikan peruskurssi. Seppo Hassi

Matematiikan peruskurssi. Seppo Hassi Mtemtiikn peruskurssi Seppo Hssi Syksy 2014 iii Esipuhe Tämä on 1. versio Mtemtiikn peruskurssin opetusmonisteest, jonk sisältö noudttelee pitkälti Vsn yliopistoss iemmin luennoimni Mtemttiset menetelmät

Lisätiedot

11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS

11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS 11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS Tilvuus on sen verrn rkielämässä viljelty käsite, että useimmiten sen syvemmin edes miettimättä ymmärretään, mitä juomlsin ti pikkuvuvn kylpymmeen tilvuudell trkoitetn.

Lisätiedot

4 Taso- ja avaruuskäyrät

4 Taso- ja avaruuskäyrät P2-luentoj kevät 2008, Pekk Alestlo 4 Tso- j vruuskäyrät Tässä luvuss tutustutn tso- j vruuskäyriin, niiden krenpituuteen j krevuuteen. Konkreettisin sovelluksin trkstelln nnettu rt pitkin liikkuvn hiukksen

Lisätiedot

VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 3.6.2014 Ratkaisut ja arvostelu

VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 3.6.2014 Ratkaisut ja arvostelu VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 3.6.4 Rtkisut j rvostelu. Koululisen todistuksen keskirvo x on lskettu ) b) c) d) kymmenen ineen perusteell. Jos koululinen nostisi neljän ineen

Lisätiedot

LINSSI- JA PEILITYÖ TEORIAA. I Geometrisen optiikan perusaksioomat

LINSSI- JA PEILITYÖ TEORIAA. I Geometrisen optiikan perusaksioomat (0) LINSSI- JA PEILITYÖ MOTIVOINTI Tutustutn linsseihin j peileihin geometrisen optiikn mittuksiss Tutkitn vlon käyttäytymistä linsseissä j peileissä Määritetään linssien j peilien polttopisteet Optiset

Lisätiedot

3.3 KIELIOPPIEN JÄSENNYSONGELMA Ratkaistava tehtävä: Annettu yhteydetön kielioppi G ja merkkijono x. Onko

3.3 KIELIOPPIEN JÄSENNYSONGELMA Ratkaistava tehtävä: Annettu yhteydetön kielioppi G ja merkkijono x. Onko 3.3 KILIOPPIN JÄSNNYSONGLMA Rtkistv tehtävä: Annettu yhteydetön kielioppi G j merkkijono x. Onko x L(G)? Rtkisumenetelmä = jäsennyslgoritmi. Useit vihtoehtoisi menetelmiä, erityisesti kun G on jotin rjoitettu

Lisätiedot

521. 522. 523. 524. 525. 526. 527. 12. Lisää määrätystä integraalista. 12.1. Integraalin arvioimisesta. Osoita: VASTAUS: Osoita: Osoita:

521. 522. 523. 524. 525. 526. 527. 12. Lisää määrätystä integraalista. 12.1. Integraalin arvioimisesta. Osoita: VASTAUS: Osoita: Osoita: 12. Lisää määrätystä integrlist 12.1. Integrlin rvioimisest 521. Osoit: 1 + x 2 22 1 < < 1 + x21 21. 522. Osoit: x 3 < 5 x 6 + 8x + 9 < 15 1 5. 523. Osoit: 2 2 < e x2 x < 2e 2. e 524. Olkoon k >. Osoit:

Lisätiedot

Painopiste. josta edelleen. x i m i. (1) m L A TEX 1 ( ) x 1... x k µ x k+1... x n. m 1 g... m n g. Kuva 1. i=1. i=k+1. i=1

Painopiste. josta edelleen. x i m i. (1) m L A TEX 1 ( ) x 1... x k µ x k+1... x n. m 1 g... m n g. Kuva 1. i=1. i=k+1. i=1 Pinopiste Snomme ts-ineiseksi kpplett, jonk mteriliss ei ole sisäisiä tiheyden vihteluj. Tällisen kppleen pinopisteen sijinti voidn joskus päätellä kppleen muodon perusteell. Esimerkiksi ts-ineisen pllon

Lisätiedot

Suorat, käyrät ja kaarevuus

Suorat, käyrät ja kaarevuus Suort, käyrät j krevuus Jukk Tuomel Professori Mtemtiikn litos, Joensuun yliopisto Suor? Tämä kirjoitus on eräänlinen jtko Timo Tossvisen suorn määritelmää koskevn kirjoitukseen Solmun numeross 2/2002.

Lisätiedot

AUTOMAATTIEN SYNKRONISAATIOSTA

AUTOMAATTIEN SYNKRONISAATIOSTA AUTOMAATTIEN SYNKRONISAATIOSTA John Kopr Pro grdu -tutkielm Huhtikuu 015 MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS TURUN YLIOPISTO TURUN YLIOPISTO Mtemtiikn j tilstotieteen litos KOPRA, JOHAN: Automttien synkronistiost

Lisätiedot

( ) Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 321 Päivitetty 19.2.2006. Saadaan yhtälö. 801 Paraabeli on niiden pisteiden ( x,

( ) Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 321 Päivitetty 19.2.2006. Saadaan yhtälö. 801 Paraabeli on niiden pisteiden ( x, Pyrmidi Anlyyttinen geometri tehtävien rtkisut sivu Päivitetty 9..6 8 Prbeli on niiden pisteiden (, y) joukko, jotk ovt yhtä kukn johtosuorst j polttopisteestä. Pisteen (, y ) etäisyys suorst y = on d

Lisätiedot

Mika Hirvensalo. Insinöörimatematiikka B 2014

Mika Hirvensalo. Insinöörimatematiikka B 2014 Mik Hirvenslo Insinöörimtemtiikk B 4 Sisältö Rj-rvo j jtkuvuus....................................................... 5. Differentili- j integrlilskennn kehityksestä............................. 5. Relilukujen

Lisätiedot

θ 1 θ 2 γ γ = β ( n 2 α + n 2 β = l R α l s γ l s 22 LINSSIT JA LINSSIJÄRJESTELMÄT 22.1 Linssien kuvausyhtälö

θ 1 θ 2 γ γ = β ( n 2 α + n 2 β = l R α l s γ l s 22 LINSSIT JA LINSSIJÄRJESTELMÄT 22.1 Linssien kuvausyhtälö 22 LINSSIT JA LINSSIJÄRJSTLMÄT 22. Linssien kuvusyhtälö Trkstelln luksi vlon tittumist pllopinnll (krevuussäde R j krevuuskeskipiste C) kuvn mukisess geometriss. Tässä vlo siis tulee ineest ineeseen 2

Lisätiedot

5.4 Ellipsi ja hyperbeli (ei kuulu kurssivaatimuksiin, lisätietoa)

5.4 Ellipsi ja hyperbeli (ei kuulu kurssivaatimuksiin, lisätietoa) 5.4 Ellipsi j hypereli (ei kuulu kurssivtimuksiin, lisätieto) Aurinkokuntmme plneett kiertävät Aurinko ellipsin (=litistyneen ympyrän) muotoist rt, jonk toisess polttopisteessä Aurinko on. Smoin Mt kiertävät

Lisätiedot

9 A I N. Alkuperäinen piiri. Nortonin ekvivalentti R T = R N + - U T = I N R N. Théveninin ekvivalentti DEE-11110 SÄHKÖTEKNIIKAN PERUSTEET

9 A I N. Alkuperäinen piiri. Nortonin ekvivalentti R T = R N + - U T = I N R N. Théveninin ekvivalentti DEE-11110 SÄHKÖTEKNIIKAN PERUSTEET DEE11110 SÄHKÖTEKNIIKAN PERUSTEET http://www.tut.fi/smg/course.php?id=57 Rtkisut Hrjoitukset 3, 2014 Tehtävä 1. Pyydetään muodostmn nnetun piirin Nortonin ekvivlentti. Nortonin, smoin kuin Theveninin,

Lisätiedot

8.4 Gaussin lause Edellä laskettiin vektorikentän v = rf(r) vuo R-säteisen pallon pinnan läpi, tuloksella

8.4 Gaussin lause Edellä laskettiin vektorikentän v = rf(r) vuo R-säteisen pallon pinnan läpi, tuloksella H 8.3.2 uontegrlt: vektoreden pntntegrlt Tvllsn tpus pntntegrlest on lske vektorkentän vuo pnnn läp: Trkstelln pnt j sllä psteessä P (x, y, z olev pnt-lkot d. Määrtellään vektorlnen pnt-lko d sten, että

Lisätiedot

Polynomien laskutoimitukset

Polynomien laskutoimitukset Polyomie lskutoimitukset Polyomi o summluseke, joss jokie yhteelskettv (termi) sisältää vi vkio j muuttuj välisiä kertolskuj. Esimerkki 0. Mm., 6 j ovt polyomej. Polyomist, joss o vi yksi termi, käytetää

Lisätiedot

Jouni Sampo. 28. marraskuuta 2012

Jouni Sampo. 28. marraskuuta 2012 A2 Jouni Smpo 28. mrrskuut 2012 Sisältö 1 Integrointitekniikoit 2 1.1 Osittisintegrointi (Integrtion by prts)...................... 2 1.2 Sijoitus (Method of Substitution).......................... 2 1.3

Lisätiedot

1.1. Laske taskulaskimella seuraavan lausekkeen arvo ja anna tulos kolmen numeron tarkkuudella: tan 60,0 = 2,950... 2,95

1.1. Laske taskulaskimella seuraavan lausekkeen arvo ja anna tulos kolmen numeron tarkkuudella: tan 60,0 = 2,950... 2,95 9..008 (9). Lskime käyttö.. Lske tskulskimell seurv lusekkee rvo j tulos kolme umero trkkuudell: 4 + 7 t 60,0 + Rtkisu: 4 + 7 =,950...,95 t 60,0 + Huom: Lskimiss o yleesä kolme eri kulmyksikköjärjestelmää:

Lisätiedot

1.3 Toispuoleiset ja epäoleelliset raja-arvot

1.3 Toispuoleiset ja epäoleelliset raja-arvot . Toisuoleiset j eäoleelliset rj-rvot Rj-rvo lim f () A olemssolo edellyttää että muuttuj täytyy void lähestyä rvo kummst suust hyväsä. Jos > ii sot että lähestyy rvo oikelt ositiivisest suust. Jos ts

Lisätiedot

Vastaa tehtäviin 1-4 ja valitse toinen tehtävistä 5 ja 6. Vastaat siis enintään viiteen tehtävään.

Vastaa tehtäviin 1-4 ja valitse toinen tehtävistä 5 ja 6. Vastaat siis enintään viiteen tehtävään. S-8. Sähkönsiirtoärstlmät Tntti 8..7 Vst thtäviin -4 vlits toinn thtävistä 5 6. Vstt siis nintään viitn thtävään.. Tutkitn ll piirrttyä PV-käyrää, ok kuv sllist vrkko, oss on tuotntolu kuormituslu niidn

Lisätiedot

MATEMATIIKAN HARJOITTELUMATERIAALI

MATEMATIIKAN HARJOITTELUMATERIAALI SAVONIA-AMMATTIKORKEAKOULU Tekniikk Infrrkentmisen j kivnnisln työnjohdon koulutus (ESR) MATEMATIIKAN HARJOITTELUMATERIAALI Ari Tuomenlehto - 0 - Lusekkeen käsittelyä Luseke j lusekkeen rvo Näkyviin merkittyä

Lisätiedot

Sähkömagneettinen induktio

Sähkömagneettinen induktio ähkömgneettinen inuktio Kun johinsilmukn läpi menevä mgneettikentän vuo muuttuu, silmukkn inusoituu jännite j silmukss lk kulke sähkövit. Mgneettikentässä liikkuvn johtimeen syntyy myös jännite. Näitä

Lisätiedot

Johdatus fraktaaliderivaattoihin ja niiden sovelluksiin

Johdatus fraktaaliderivaattoihin ja niiden sovelluksiin Jodtus frktliderivttoiin j niiden sovelluksiin Hnn Hlinen Mtemtiikn pro grdu Jyväskylän yliopisto Mtemtiikn j tilstotieteen litos Kesä 4 Tiivistelmä: Hnn Hlinen, Jodtus frktliderivttoiin j niiden sovelluksiin

Lisätiedot

Matematiikkaolympialaiset 2008 kuusi vaikeaa tehtävää

Matematiikkaolympialaiset 2008 kuusi vaikeaa tehtävää Solmu 3/2008 Mtemtiikkolympiliset 2008 kuusi vike tehtävää Mtti Lehtinen Mnpuolustuskorkekoulu 49. Knsinväliset mtemtiikkolympiliset pidettiin Mdridiss 4. 22. heinäkuut 2008. Kilpilijoit oli 535 j he edustivt

Lisätiedot

SUORAKULMAINEN KOLMIO

SUORAKULMAINEN KOLMIO Clulus Lukion Täydentävä ineisto 45 0 45 60 ( - ) + SUORKULMINEN KOLMIO Pvo Jäppinen lpo Kupiinen Mtti Räsänen Suorkulminen kolmio Suorkulminen kolmio Käsillä olev Lukion Clulus -srjn täydennysmterili

Lisätiedot

VEKTORILASKENTA. Timo Mäkelä SISÄLTÖ: 1 VEKTORIN KÄSITE...1

VEKTORILASKENTA. Timo Mäkelä SISÄLTÖ: 1 VEKTORIN KÄSITE...1 VEKTORILASKENTA Timo Mäkelä SISÄLTÖ: VEKTORIN KÄSITE VEKTOREIDEN ERUSLASKUTOIMITUKSET VEKTOREIDEN YHTEENLASKU VEKTOREIDEN VÄHENNYSLASKU 4 VEKTORIN KERTOMINEN LUVULLA6 4 VEKTORILAUSEKKEIDEN KÄSITTELY7 TASON

Lisätiedot

TYÖ 30. JÄÄN TIHEYDEN MÄÄRITYS. Tehtävänä on määrittää jään tiheys.

TYÖ 30. JÄÄN TIHEYDEN MÄÄRITYS. Tehtävänä on määrittää jään tiheys. TYÖ 30 JÄÄN TIHEYDEN MÄÄRITYS Tehtävä älineet Tusttietoj Tehtävänä on äärittää jään tiheys Byretti (51010) ti esi 100 l ittlsi (50016) j siihen sopivi jääploj, lkoholi (sopii jäähdytinneste lsol), nlyysivk

Lisätiedot

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1.

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Kotitehtävät, tammikuu 2011 Vaikeampi sarja 1. Ratkaise yhtälöryhmä w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Ratkaisu. Yhtälöryhmän ratkaisut (w, x, y, z)

Lisätiedot

Kertaustehtävien ratkaisut

Kertaustehtävien ratkaisut Rtkisuist Nämä Trigoometriset fuktiot j lukujoot kurssi kertustehtävie j -srjoje rtkisut perustuvt oppikirj tietoihi j meetelmii. Kustki tehtävästä o yleesä vi yksi rtkisu, mikä ei kuitek trkoit sitä,

Lisätiedot

Monikulmio on suljettu, yhtenäinen tasokuvio, jonka muodostavat pisteet ja näitä yhdistävät janat

Monikulmio on suljettu, yhtenäinen tasokuvio, jonka muodostavat pisteet ja näitä yhdistävät janat MAB: Monikulmiot Aluksi Tässä luvuss käsitellään pljon monikulmioit sekä muutmi tärkeimpiä esimerkkejä monikulmioiin liittyvistä leist. Näistä leist edottomsti tärkein ti inkin kuskntoisin on Pytgorn luse.

Lisätiedot

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä 3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä Lineaarinen m:n yhtälön yhtälöryhmä, jossa on n tuntematonta x 1,, x n on joukko yhtälöitä, jotka ovat muotoa a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a 21

Lisätiedot

Pythagoraan lause. Pythagoras Samoslainen. Pythagoraan lause

Pythagoraan lause. Pythagoras Samoslainen. Pythagoraan lause Pythgorn luse Pythgors Smoslinen Pythgors on legendrinen kreikklinen mtemtiikko j filosofi. Tiedot hänen elämästään ovt epävrmoj j ristiriitisi. Tärkein Pythgorst j pythgorlisi koskev lähde on Lmlihosin

Lisätiedot

6 Kertausosa. 6 Kertausosa

6 Kertausosa. 6 Kertausosa Kertusos Kertusos. ) b). ) b). ) ( ( ) : ) ( : ) b) { : [ ( ) ]} { :[ - ]} { : } -{ - } -{} c) ( ) : - ( ) ( ) ( ) ( 9) 9 9 Kertusos. ) ( ) b) ( ). ) ) ) b) / / c) : 7 7. ) ) ) b) Kertusos c) : 7 ( 9)

Lisätiedot

Tehtävä 1. Jatka loogisesti oheisia jonoja kahdella seuraavaksi tulevalla termillä. Perustele vastauksesi

Tehtävä 1. Jatka loogisesti oheisia jonoja kahdella seuraavaksi tulevalla termillä. Perustele vastauksesi Tehtävä. Jtk loogisesti oheisi jonoj khdell seurvksi tulevll termillä. Perustele vstuksesi lyhyesti. ), c, e, g, b),,, 7,, Rtkisut: ) i j k - oike perustelu j oiket kirjimet, nnetn p - oike perustelu,

Lisätiedot

ICS-C2000 Tietojenkäsittelyteoria Kevät 2015

ICS-C2000 Tietojenkäsittelyteoria Kevät 2015 ICS-C2 Tietojenkäsittelyteori Kevät 25 Kierros 3, 26. 3. tmmikuut Demonstrtiotehtävien rtkisut D: Ldi epädeterministinen äärellinen utomtti, jok test onko nnetun inäärijonon kolmnneksi viimeinen merkki,

Lisätiedot

Näytä tai jätä tarkistettavaksi tämän jakson tehtävät viimeistään tiistaina 18.6. ylimääräisessä tapaamisessa.

Näytä tai jätä tarkistettavaksi tämän jakson tehtävät viimeistään tiistaina 18.6. ylimääräisessä tapaamisessa. Jkso 12. Sähkömgneettinen induktio Tässä jksoss käsitellään sähkömgneettist induktiot, jok on tärkeimpiä sioit sähkömgnetismiss. Tätä tphtuu koko jn rkisess ympäristössämme, vikk emme sitä välttämättä

Lisätiedot

Tutkimusasetelmien tilastollisista menetelmistä

Tutkimusasetelmien tilastollisista menetelmistä Tutkimussetelmien tilstollisist menetelmistä Jnne Pitkäniemi VTM, MS (iometry HY, Knsnterveystieteen litos 1 Kohorttitutkimuksen siruen j ltisteen välinen ssositio Tpusverrokki tutkimus Poikkileikkustutkimus

Lisätiedot

5 Jatkuvan funktion integraali

5 Jatkuvan funktion integraali 5 Jkuvn funkion inegrli Derivlle kääneisä käsieä kusun inegrliksi. Aloien inegrliin uusuminen esimerkillä. Esimerkki 5.. Tuonolioksess on phunu kemiklivuoo. Määriellään funkio V sien, eä V () on vuoneen

Lisätiedot

6.2 Algoritmin määritelmä

6.2 Algoritmin määritelmä 6.2 Algoritmin määritelmä Mitä lgoritmill yleensä trkoitetn? Peritteess: Yksiselitteisesti kuvttu jono (tietojenkäsittely)opertioit, jotk voidn toteutt meknisesti. Käytännössä: luonnollist kieltä, pseudokoodi

Lisätiedot

AVOIN MATEMATIIKKA 7 lk. Osio 3: Potensseja ja polynomeja

AVOIN MATEMATIIKKA 7 lk. Osio 3: Potensseja ja polynomeja Mrik Toivol j Tiin Härkönen AVOIN MATEMATIIKKA lk. Osio : Potenssej j polynomej Sisältö on lisensoitu voimell CC BY.0 -lisenssillä. Osio : Potenssej j polynomej. Smnkntisten potenssien tulo.... Smnkntisten

Lisätiedot

Viivaintegraali: "Pac- Man" - tulkinta. Viivaintegraali: "Pac- Man" - tulkinta. "Perinteisempi" tulkinta: 1D 3/19/13

Viivaintegraali: Pac- Man - tulkinta. Viivaintegraali: Pac- Man - tulkinta. Perinteisempi tulkinta: 1D 3/19/13 Viivintegrli: "Pc- Mn" - tulkint Otetn funk:o f(,), jok riippuu muudujist j. Jokiselle, tson pisteellä funk:oll on siis joku rvo. Tpillisiä fsiklis- kemillisi esimerkkejä voisivt oll esimerkiksi mss:hes

Lisätiedot

ja differenssi jokin d. Merkitään tämän jonon n:n ensimmäisen jäsenen summaa kirjaimella S

ja differenssi jokin d. Merkitään tämän jonon n:n ensimmäisen jäsenen summaa kirjaimella S 3.3. Aritmeettie summ 3.3. Aritmeettie summ Mikä olisi helpoi tp lske 0 esimmäistä luoollist luku yhtee? Olisiko r voim käyttö 0 + + + 3 + + 00 hyvä jtus? Tekiik vull se iki toimii. Fiksumpiki tp kuiteki

Lisätiedot

Yläkoulun geometriaa. Yläkoulun geometriaa

Yläkoulun geometriaa. Yläkoulun geometriaa Yläkoulun geometri Tämä tehtäväkokoelm nt yläkoulun oppillle mhdollisuuden syventää kouluss opittv geometrin oppimäärää. Se on erityisen hyödyllinen niille, jotk ikovt lukioss vlit pitkän mtemtiikn. Kokoelmn

Lisätiedot

3 Mallipohjainen testaus ja samoilutestaus

3 Mallipohjainen testaus ja samoilutestaus Tietojenkäsittelytiede 24 Joulukuu 2005 sivut 8 21 Toimittj: Jorm Trhio c kirjoittj(t) Historiljennus mllipohjisess testuksess Timo Kellomäki Tmpereen teknillinen yliopisto Ohjelmistotekniikn litos 1 Johdnto

Lisätiedot

3 LINEAARISET YHTÄLÖRYHMÄT JA GAUSSIN ELIMINOINTIMENETELMÄ. Lineaarinen yhtälöryhmä jossa on m yhtälöä ja n tuntematonta x 1,,x n :

3 LINEAARISET YHTÄLÖRYHMÄT JA GAUSSIN ELIMINOINTIMENETELMÄ. Lineaarinen yhtälöryhmä jossa on m yhtälöä ja n tuntematonta x 1,,x n : 3 LINEAARISET YHTÄLÖRYHMÄT JA GAUSSIN ELIMINOINTIMENETELMÄ Linerinen yhtälöryhmä joss on m yhtälöä j n tuntemtont x,,x n : = + + = + + = + + m n mn m n n n n b x x b x x b x x K M K K Mtriisiyhtälönä:

Lisätiedot

Geometrinen algebra: kun vektorien maailma ei riitä

Geometrinen algebra: kun vektorien maailma ei riitä Geometrinen lgebr: kun vektorien milm ei riitä Risto A. Pju 4. huhtikuut 2003 Tiivistelmä Geometrinen lgebr on viime vuosin ksvttnut suosiotn luonnontieteiden mtemttisen menetelmänä. Sen juuret ovt vektori-

Lisätiedot

Laskennan perusmallit (LAP)

Laskennan perusmallit (LAP) Lskennn perusmllit (LAP) Kimmo Fredrikssonin j Mtti Nykäsen mterileist muoknnut Pekk Kilpeläinen Tietojenkäsittelytieteen litos, Itä-Suomen yliopisto sähköposti: pekk.t.kilpelinen@uef.fi Lukuvuoden 2014

Lisätiedot

Matematiikka B2 - Avoin yliopisto

Matematiikka B2 - Avoin yliopisto 6. elokuuta 2012 Opetusjärjestelyt Luennot 9:15-11:30 Harjoitukset 12:30-15:00 Tentti Kurssin sisältö (1/2) Matriisit Laskutoimitukset Lineaariset yhtälöryhmät Gaussin eliminointi Lineaarinen riippumattomuus

Lisätiedot

Kuva 1. n i n v. (2 p.) b) Laske avaimiesi etäisyys x altaan seinämästä. (4 p.) c) Kuinka paljon lunta voi sulaa enintään Lassen suksien alla?

Kuva 1. n i n v. (2 p.) b) Laske avaimiesi etäisyys x altaan seinämästä. (4 p.) c) Kuinka paljon lunta voi sulaa enintään Lassen suksien alla? TKK, TTY, LTY, OY, ÅA, TY j VY insinööriosstojen vlintkuulustelujen fysiikn koe 26.5.2004 Merkitse jokiseen koepperiin nimesi, hkijnumerosi j tehtäväsrjn kirjin. Lske jokinen tehtävä siististi omlle sivulleen.

Lisätiedot

MATRIISILASKENNAN PERUSTEET. Timo Mäkelä

MATRIISILASKENNAN PERUSTEET. Timo Mäkelä MTRIISILSKENNN PERUSTEET Tmo Mäkelä Mtrslske perusteet SISÄLLYS:. PERUSSIOIT.... MÄÄRITELMIÄ.... MTRIISITYYPPEJÄ.... LSKUTOIMITUKSET.... MTRIISIN KERTOMINEN LUVULL.... YHTEEN- J VÄHENNYSLSKU.... KERTOLSKU....

Lisätiedot

Vuokrahuoneistojen välitystä tukeva tietojärjestelmä.

Vuokrahuoneistojen välitystä tukeva tietojärjestelmä. Kertusesimerkki: Vuokrhuoneistojen välitystä tukev tietojärjestelmä. Esimerkin trkoituksen on on hvinnollist mllinnustekniikoiden käyttöä j suunnitteluprosessin etenemistä tietojärjestelmän kehityksessä.

Lisätiedot

Asennus- ja käyttöohje ROBA -liukunavoille Koot 0 12 (B.1.0.FIN)

Asennus- ja käyttöohje ROBA -liukunavoille Koot 0 12 (B.1.0.FIN) Pyydämme lukemn käyttöohjeen huolellisesti läpi j noudttmn sitä! Ohjeiden liminlyönti voi joht kytkimen toiminthäiriöihin j siitä johtuviin vurioihin. Nämä käyttöohjeet (B.1.0.FIN) ovt os kytkintoimitust.

Lisätiedot

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.2012 klo 10 13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.2012 klo 10 13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.01 klo 10 13 t ja pisteytysohjeet 1. Ratkaise seuraavat yhtälöt ja epäyhtälöt. (a) 3 x 3 3 x 1 4, (b)

Lisätiedot

MAT-13510 Laaja Matematiikka 1U. Hyviä tenttikysymyksiä T3 Matemaattinen induktio

MAT-13510 Laaja Matematiikka 1U. Hyviä tenttikysymyksiä T3 Matemaattinen induktio MAT-13510 Laaja Matematiikka 1U. Hyviä tenttikysymyksiä T3 Matemaattinen induktio Olkoon a 1 = a 2 = 5 ja a n+1 = a n + 6a n 1 kun n 2. Todista induktiolla, että a n = 3 n ( 2) n, kun n on positiivinen

Lisätiedot

a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. 8 3 + 4 2 0 = 16 3 = 3 1 3.

a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. 8 3 + 4 2 0 = 16 3 = 3 1 3. Integraalilaskenta. a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. b) Mitä määrätty integraali tietyllä välillä x tarkoittaa? Vihje: * Integraali * Määrätyn integraalin

Lisätiedot

Kertausosa. Kertausosa. 3. Merkitään. Vastaus: 2. a) b) 600 g. 4. a)

Kertausosa. Kertausosa. 3. Merkitään. Vastaus: 2. a) b) 600 g. 4. a) Kertusos Kertusos ). ) : j 7 0 7 ) 0 :( ) c) :( ). Merkitää merirosvorht (kg) sukltrffelit (kg) ) 7, 0 hit: /kg hit: 7 /kg ) 00 g 0,kg 7 0,,0,,0, 0, (kg) :. ) Vstus: ) 7, 0 ( ) ) 00 g. ) 0 7 9 7 0 0 Kertusos

Lisätiedot

http://www.math.helsinki.fi/solmu/

http://www.math.helsinki.fi/solmu/ 1/2000 2001 http://www.mth.helsinki.fi/solmu/ Solmu Solmu Solmu 1/2000 2001 Mtemtiikn litos PL 4 (Yliopistonktu 5) 00014 Helsingin yliopisto http://www.mth.helsinki.fi/solmu/ Päätoimittj Pekk Alestlo Toimitussihteerit

Lisätiedot

OUML7421B3003. Jänniteohjattu venttiilimoottori KÄYTTÖKOHTEET TEKNISET TIEDOT OMINAISUUDET SOPIVAT VENTTIILIT TUOTETIEDOT. i OUV5049 i OUV5050

OUML7421B3003. Jänniteohjattu venttiilimoottori KÄYTTÖKOHTEET TEKNISET TIEDOT OMINAISUUDET SOPIVAT VENTTIILIT TUOTETIEDOT. i OUV5049 i OUV5050 OUML7421B3003 Jänniteohjttu venttiilimoottori TUOTETIEDOT OMINAISUUDET Helppo j nope sent Ei trvitse erillistä sennustelinettä Ei trvitse liikepituuden säätöä Momenttirjkytkimet Käsikäyttömhdollisuus Mikroprosessorin

Lisätiedot

Laskennan perusmallit (LAP)

Laskennan perusmallit (LAP) Lskennn perusmllit (LAP) Kimmo Fredrikssonin j Mtti Nykäsen luentomonisteest krsien muoknnut Pekk Kilpeläinen Tietojenkäsittelytieteen litos, Itä-Suomen yliopisto sähköposti: pekk.t.kilpelinen@uef.fi Lukuvuoden

Lisätiedot

Gillespie A.: Foundations of Economics., 2011, luvut 6-8, 17, 21 ja 29. ISBN 978-0-19-958654-7. Oxford University Press.

Gillespie A.: Foundations of Economics., 2011, luvut 6-8, 17, 21 ja 29. ISBN 978-0-19-958654-7. Oxford University Press. Vltiotieteellinen tiedekunt Tloustieteen vlintkoe Arvosteluperusteet Kesä 0 Vlintkoekirjt Gillespie A.: Foundtions of Economics., 0, luvut 6-8, 7, j 9. ISBN 978-0-9-958654-7. Oxford University Press. sekä

Lisätiedot

Tasogeometriassa käsiteltiin kuvioita vain yhdessä tasossa. Avaruusgeometriassa tasoon tulee kolmas ulottuvuus, jolloin saadaan kappaleen tilavuus.

Tasogeometriassa käsiteltiin kuvioita vain yhdessä tasossa. Avaruusgeometriassa tasoon tulee kolmas ulottuvuus, jolloin saadaan kappaleen tilavuus. KOLMIULOTTEISI KPPLEIT Tsogeometriss käsiteltiin kuvioit vin ydessä tsoss. vruusgeometriss tsoon tulee kolms ulottuvuus, jolloin sdn kppleen tilvuus. SUORKULMINEN SÄRMIÖ Suorkulmisess särmiössä kikki kulmt

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta Eksponenttifuntio Palautetaan mieliin, että Neperin luvulle e pätee: e ) n n n ) n n n n n ) n. Tästä määritelmästä seuraa, että eksponenttifunktio e x voidaan määrittää

Lisätiedot

1.7 Gradientti ja suunnatut derivaatat

1.7 Gradientti ja suunnatut derivaatat 1.7 Gradientti ja suunnatut derivaatat Funktion ensimmäiset osittaisderivaatat voidaan yhdistää yhdeksi vektorifunktioksi seuraavasti: Missä tahansa pisteessä (x, y), jossa funktiolla f(x, y) on ensimmäiset

Lisätiedot

4.7.2 Testerit. Test ok. virhe vast.ota. lähetä τ. virhe. virhe. vast.ota. τ τ. vast.ota. lähetä. lähetä. lähetä ok

4.7.2 Testerit. Test ok. virhe vast.ota. lähetä τ. virhe. virhe. vast.ota. τ τ. vast.ota. lähetä. lähetä. lähetä ok OHJ-2600 Tilkoneet 204 6. Tämän tehtävän tvoite on kuvn LTS:ää vstesimerkkinä käyttäen osoitt, että nnetun LTS:n knss minimlinen CFFD-smnlinen LTS ei in ole yksikäsitteinen. P Q AG(P) = AG(Q) f, {{}} f,

Lisätiedot

kaikille a R. 1 (R, +) on kommutatiivinen ryhmä, 2 a(b + c) = ab + ac ja (b + c)a = ba + ca kaikilla a, b, c R, ja

kaikille a R. 1 (R, +) on kommutatiivinen ryhmä, 2 a(b + c) = ab + ac ja (b + c)a = ba + ca kaikilla a, b, c R, ja Renkaat Tarkastelemme seuraavaksi rakenteita, joissa on määritelty kaksi binääristä assosiatiivista laskutoimitusta, joista toinen on kommutatiivinen. Vaadimme muuten samat ominaisuudet kuin kokonaisluvuilta,

Lisätiedot

33 VALON LUONNE JA ETENEMINEN (The Nature and Propagation of Light)

33 VALON LUONNE JA ETENEMINEN (The Nature and Propagation of Light) 68 33 VALON LUONNE JA ETENEMINEN (The Nture nd Propgtion of Light) Toinen ihmiselle tärkeä luonnon ltoliike, meknisten ääniltojen lisäksi, liittyy näkemiseen j on tietysti vlo. Vlo on sähkömgneettist ltoliikettä

Lisätiedot

Ominaisarvo ja ominaisvektori

Ominaisarvo ja ominaisvektori Määritelmä Ominaisarvo ja ominaisvektori Oletetaan, että A on n n -neliömatriisi. Reaaliluku λ on matriisin ominaisarvo, jos on olemassa sellainen vektori v R n, että v 0 ja A v = λ v. Vektoria v, joka

Lisätiedot

Laudatur. Lukion pitkän matematiikan kertausta ylioppilastehtävien avulla Otava

Laudatur. Lukion pitkän matematiikan kertausta ylioppilastehtävien avulla Otava Ludtur Lukio pitkä mtemtiik kertust ylioppilstehtävie vull Otv Ylioppilstehtävät vuositti Mtemtiik koe 6.. Pitkä oppimäärä Perustitoj. Sieveä lusekkeet ), b) y y + y y. Geometri. Tssivuise kolmio ympäri

Lisätiedot

Valmennuksen ja arvioinnin tukijärjestemä (VAT)

Valmennuksen ja arvioinnin tukijärjestemä (VAT) Vlmennuksen j rvioinnin tukijärjestemä (VAT) Työhön kuntoutuksen trkoitus on utt sikst kuntoutumn siten, että siirtyminen koulutukseen ti työelämään on mhdollist. VAT -järjestelmä on kehitetty kuntoutumisen

Lisätiedot

Kattoeristeet - nyt entistä parempia kokonaisratkaisuja. Entistä suurempi Kuormituskestävyys ja Jatkuva Keymark- Laadunvalvontajärjestelmä

Kattoeristeet - nyt entistä parempia kokonaisratkaisuja. Entistä suurempi Kuormituskestävyys ja Jatkuva Keymark- Laadunvalvontajärjestelmä Kttoeristeet - nyt entistä prempi kokonisrtkisuj Entistä suurempi Kuormituskestävyys j Jtkuv Keymrk- Lunvlvontjärjestelmä Rockwool-ekolvll kttoeristeet seisovt omill jloilln Ekolvoj käytettäessä työ on

Lisätiedot

Integroimistekniikkaa 1/5 Sisältö ESITIEDOT: integraalifunktio, määrätty integraali, derivointisäännöt Hakemisto

Integroimistekniikkaa 1/5 Sisältö ESITIEDOT: integraalifunktio, määrätty integraali, derivointisäännöt Hakemisto Integroimistekniikk /5 Sisältö Sijoitsmenettely Annetn fnktion integrlifnktiot lskettess fnktiot pyritään mntmn siten, että tlos voidn tnnist jonkin lkeisfnktion derivtksi. Usein mntminen jodtn tekemään

Lisätiedot

Runkovesijohtoputket

Runkovesijohtoputket Runkovesijohtoputket PUTKET JA PUTKEN OSAT SSAB:n vlmistmi pinnoitettuj putki j putken osi käytetään lähinnä runkovesijohtolinjoihin, joiden hlkisij on DN 400-1200. Ost vlmistetn teräksisistä pineputkist

Lisätiedot

1. LINEAARISET YHTÄLÖRYHMÄT JA MATRIISIT. 1.1 Lineaariset yhtälöryhmät

1. LINEAARISET YHTÄLÖRYHMÄT JA MATRIISIT. 1.1 Lineaariset yhtälöryhmät 1 1 LINEAARISET YHTÄLÖRYHMÄT JA MATRIISIT Muotoa 11 Lineaariset yhtälöryhmät (1) a 1 x 1 + a x + + a n x n b oleva yhtälö on tuntemattomien x 1,, x n lineaarinen yhtälö, jonka kertoimet ovat luvut a 1,,

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka IA

Insinöörimatematiikka IA Isiöörimatematiikka IA Harjoitustehtäviä. Selvitä oko propositio ( p q r ( p q r kotradiktio. Ratkaisu: Kirjoitetaa totuustaulukko: p q r ( p q r p q r ( p q r ( p q r 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Lisätiedot

HAVAINNOINTI JA TUTKIMINEN

HAVAINNOINTI JA TUTKIMINEN ilumuoto st ksvtu luun ou perusk Tuntikehyksen os-lue: HAVAINNOINTI JA TUTKIMINEN A2 Aivomyrsky j unelmien leikkipuisto Kesto: 1 kksoistunti, 45 min + 45 min Aihe: Syvennetään jtuksi ympäristöstä liittyvästä

Lisätiedot

7303045 Laaja matematiikka 2 Kevät 2005 Risto Silvennoinen

7303045 Laaja matematiikka 2 Kevät 2005 Risto Silvennoinen 7303045 Lj mtemtii 2 Kevät 2005 Risto Silveoie. Luusrjt Kos srjt ovt summie jooj, ertmme esi jooje teori. Joot Joo o mtemtii iei perustvimpi äsitteitä j se vull ohdt äärettömyys esimmäistä ert. Luulueit

Lisätiedot

Malliratkaisut Demo 1

Malliratkaisut Demo 1 Malliratkaisut Demo 1 1. Merkitään x = kuinka monta viikkoa odotetaan ennen kuin perunat nostetaan. Nyt maksimoitavaksi kohdefunktioksi tulee f(x) = (60 5x)(300 + 50x). Funktio f on alaspäin aukeava paraaeli,

Lisätiedot

3.7. Rekursiivisista lukujonoista

3.7. Rekursiivisista lukujonoista .7 Rekursiivisist lukujooist.7. Rekursiivisist lukujooist Kerrt vielä, että lukujoo void määritellä khdell eri tvll, joko käyttämällä lyyttistä säätöä ti rekursiivist säätöä. Joo määrittelemie rekursiivisesti

Lisätiedot

x > y : y < x x y : x < y tai x = y x y : x > y tai x = y.

x > y : y < x x y : x < y tai x = y x y : x > y tai x = y. ANALYYSIN TEORIA A Kaikki lauseet eivät ole muotoiltu samalla tavalla kuin luennolla. Ilmoita virheistä yms osoitteeseen mikko.kangasmaki@uta. (jos et ole varma, onko kyseessä virhe, niin ilmoita mieluummin).

Lisätiedot

OUML6421B3004. 3-tilaohjattu venttiilimoottori KÄYTTÖKOHTEET TEKNISET TIEDOT OMINAISUUDET SOPIVAT VENTTIILIT TUOTETIEDOT

OUML6421B3004. 3-tilaohjattu venttiilimoottori KÄYTTÖKOHTEET TEKNISET TIEDOT OMINAISUUDET SOPIVAT VENTTIILIT TUOTETIEDOT OUML6421B3004 3-tilohjttu venttiilimoottori KÄYTTÖKOHTEET i Lämmityksen säätö i Ilmnvihtojärjestelmät TUOTETIEDOT OMINAISUUDET Helppo j nope sent Ei trvitse erillistä sennustelinettä Ei trvitse liikepituuden

Lisätiedot