Suorat, käyrät ja kaarevuus

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Suorat, käyrät ja kaarevuus"

Transkriptio

1 Suort, käyrät j krevuus Jukk Tuomel Professori Mtemtiikn litos, Joensuun yliopisto Suor? Tämä kirjoitus on eräänlinen jtko Timo Tossvisen suorn määritelmää koskevn kirjoitukseen Solmun numeross 2/2002. Tossvinen oli löytänyt moni erilisi yrityksiä selittää suorn syvintä olemust. Ehkäpä eräs syy suorn määrittelemisen vikeuteen on ollut jtus, että on vin yksi oike tp määritellä suor. Historillisesti tämä on ymmärrettävää: pitkäänhän pidettiin selvänä, että Eukleideen geometri kuv trksti fysiklist vruutt, joten tuntui kenties luonnolliselt, että pitäisi oll olemss yksikäsitteinen fysiklisesti oike määritelmä. Kun sitten 1800-luvull keksittiin/löydettiin vihtoehtoisi geometrioit, 1 niin luonnollisesti suorn käsite näissä eri geometrioiss oli erilinen, eivätkä suorien ominisuudet in vstnneet tvllisen intuition odotuksi. Tämä on nykyisin tuttu mtemtikoille, jotk ovt tottuneet määrittelemään sioit ksiomien vull. On kuitenkin vhinko, jos kouluiss ti tietosnkirjoiss ei void ymmärrettävästi selittää mikä on suor. Lähestyn seurvss si differentililskennn vull. Kirjoituksen loppuun olen kerännyt muutmi lisäselityksiä tietyistä sioist. Nämä kuitenkin vin täydentävät tekstiä, eivätkä ole välttämättömiä kirjoituksen yleisiden ymmärtämisen knnlt. Kirjoituksen toisess osss sitten ktsotn mihin päädytään, kun trkstelln suori kreviss (epäeuklidisiss) vruuksiss. Hilbert j Eukleides Selvitetään luksi muutm si, jotk voivt iheutt seknnust. Eukleideen kirjn [3] luss on määritelmiä (definitions), oletuksi (postultes) j ksiomi (xioms). Tämä jko on jossin mielessä mielivltinen eikä in vst nykyistä kielenkäyttöä. Esimerkiksi määritelmässä 12 todetn, että jos kulm on pienempi kuin suor kulm, niin sitä snotn teräväksi kulmksi. Kyseessä on siis vin erään termin käyttöönotto. Suor kuvilln 4. määritelmässä [3, s. 3]: 2 1 Tosin Desrgues ennkoi projektiivisen geometrin tulo jo 1600-luvull: history/mthemticins/desrgues.html 2 Verkost löytyy erilisi versioit Eukleideen kirjst:

2 (m) A stright line is tht which lies evenly between its extreme points. 3 Mutt tämä määritelmä on itse siss turh: tähän ei koskn vedot myöhemmin kirjss. Toisin snoen sen voisi poist trpeettomn. 4 Todellinen suorn määritelmä on esitetty oletuksiss [3, s. 5]: (e1) Let it be grnted, 1. Tht stright line my be drwn from ny one point to ny other point. Kriittinen lukij huom, että tässä oikestn puhutn jnst. Eukleideen ikn ei käsitelty äärettömän pitkiä suori, vn jokisell suorll/jnll oli lkuj loppupiste (tämä käy ilmi jo määritelmästä (m)). Suori/jnoj pystyttiin kuitenkin jtkmn mielivltisen pitkiksi. Tästä piti huolen toinen oletus: (e2) [Let it be grnted,] 2. Tht terminted stright line my be produced to ny length in stright line. Näihin sitten vedotn kun myöhemmin todistetn luseit. Hilbertin kuvus Eukleideen geometrist lähtee siitä, että tso on eräs joukko, pisteet ovt tämän joukon lkioit j suort tämän joukon eräitä osjoukkoj. Tämän jälkeen Hilbert nt listn ksiomi, jotk pisteet, suort j tso toteuttvt. Hyvä ( = luettv) esitys tästä lähestymistvst löytyy Hrtshornen kirjst [1]. Eräs Hilbertin ksiomist on [1, s. 66]: (h) For ny two distinct points A, B, there exists unique line l contining A, B. Voitisiin siis sno, että (e1) (ti (e1) j (e2) yhdessä) vst määritelmää (h). Kosk (m) on trpeeton, ei Hilbertin trvitse yrittääkään sel(v)ittää mitä se trkoitt. Luonnollisesti Hilbert ei pyrkinytkään suurelle yleisölle trkoitettuun esitykseen, vn tvoitteen oli esittää Eukleideen geometri siten, että otetn vin ne ksiomt jotk ovt todell välttämättömiä, j lisäksi pyritään osoittmn, että ksiomt eivät johd ristiriitn. Toislt, jos otetn vin os Hilbertin ksiomist, niin sdn Eukleideen geometrist poikkevi geometrioit, esimerkiksi äärellisiä geometrioit, joiss tsoss on vin äärellinen määrä pisteitä. Myös tätä on selvitetty edellä minituss Hrtshornen kirjss. Vikk Hilbertin ksiomttinen lähestymistp geometrin oli omll tvlln tärkeä, niin si voisi lähestyä toisinkin. Lähtökohtn on, ettei trvitse yrittää löytää määritelmää, jonk Eukleides peritteess olisi voinut keksiä, vn voidn vpsti käyttää mitä thns sopivi työkluj. Toisin snoen yritetään mllitt intuitiivisi käsitteitä piste, suor j tso jollin tvll, eikä murehdit (inkn liik!) sitä vstko tämä Eukleideen geometri vi ei. Tämä lienee järkevää myös mtemtiikn opetuksen knnlt. Lukij voi esimerkiksi todet, että Eukleideen toisen kirjn 7. luse todist, että ( + b) 2 + b 2 = 2 + 2( + b)b Myös monet 5. luvun luseet ovt helppoj kun ne ensin lgebrllist, mutt jo geometrisen muotoilun ymmärtäminen (sti sitten pitkän todistuksen läpikhlminen) on vivlloist. Ktsotn seurvss mihin päädytään, kun otetn differentililskent käyttöön. Piste, käyrä j tso Käyrä on (sileä) kuvus c : R R 2 Joukko-opist ei pääse mihinkään: tso on jokin joukko, j pisteet kyseisen joukon lkioit. Ensin siis pitää päättää, mikä on se joukko missä pisteet sustvt, eli missä joukoss kikki toimint tphtuu. Vlitn perusvruudeksi krteesinen tso R 2. Jokinen piste voidn siis esittää khden koordintin vull: merkitään p = (p x, p y ). Määritellään seurvksi yleinen käyrän käsite, j tämän jälkeen pyritään määrittelemään suor käyränä, joll on tiettyjä erikoisominisuuksi. Asetetn: Siis hetkellä t olln pisteessä c(t) = ( c 1 (t), c 2 (t) ), j sileys trkoitt, että koordinttifunktiot c 1 j c 2 ovt riittävän mont kert jtkuvsti derivoituvi. 5 Tämähän on oleellisesti Tossvisen siteerm Neovius- Nevnlinnn määritelmä: djoyce/jv/elements/elements.html 3 Vnhoiss englnninkielisissä geometrin kirjoiss line trkoitti käyrää (nykyisin curve ). Suor/jn oli sitten stright line. 4 Muistelen, että on kiistelty siitä, onko tämä määritelmä todell Eukleideelt, vi onko se lisätty siihen myöhemmin. 5 Luonnollisesti usein riittää vikkp yksi jtkuv derivtt, mutt tämän kirjoituksen knnlt ei ole oleellist ruvet lskemn kuink mont jtkuv derivtt trvitn.

3 Liikkeessä olevn pisteen muodostm ur snotn viivksi. 6 Luonnollisesti usein käyrää jtelln kyseisen kuvuksen kuvjoukkon eli kuvuksen muodostmn urn, mutt nykyisin on tpn määritellä käyrä nimenomn kuvuksen. Kuvuksen määrittelyjoukko voi myös oll jokin sopiv relikselin osjoukko, esimerkiksi väli [0, 1]. Huomttkoon, että Eukleideen geometrin ti Hilbertin systeemin yhteydessä ei void puhu yleisen käyrän käsitteestä. Nyt voidnkin jo nt ensimmäinen suorn määritelmä (i) Olkoon nnettu kksi tson pistettä p j q. Näitten kutt kulkev suor on c(t) = (1 t)p + t q Siis khden mielivltisen pisteen kutt voidn piirtää suor. (ii) Olkoon nnettu tson piste p j vektori v. Pisteen p kutt kulkev vektorin v suuntinen suor on c(t) = p + t v Siis nnetust pisteestä voidn piirtää suor mielivltiseen suuntn. y lkurvotehtävä: on nnettu lkupiste j lkusuunt. Eukleideen muotoilu (e1) ei ole selkeästi kumpikn näistä. Nyt voitisiin jn määritellä suorn, jonk määrittelyjoukko olisi jokin suljettu väli [, b]. Jtkoss en kuitenkn jää pohtimn, olisiko jossin koht jn prempi termi kuin suor, vn käytän vin sn suor. Määritelmissä (i) j (ii) identifioidn tvlliseen tpn trpeen mukn pisteet j vektorit. 7 Selvästi siis määritelmä ei ole Eukleideen geometrin hengen mukinen, vn tässä vedotn vektorien yhteenlskuun j sklrill kertomiseen, siis vektorivruuden rkenteeseen. Huomttkoon, että Neovius-Nevnlinnn määritelmä suorksi snotn semmoist viiv, jok ei muut semns pyöriessään siten, että sen kksi pistettä pysyy piklln veto myös vektorilskentn: tässähän suor on vruuden kierron (siis linerikuvuksen) pyörähdyskseli (kuvuksen invrintti livruus)! Trkempi muotoilu löytyy Lemmst 1. Määritelmät (i) j (ii) yleistyvät sellisenn usempiulotteisiin vruuksiin: R 2 vin korvtn vruudell R n. Suort voidn kuitenkin krkterisoid toisellkin tvll. Tätä krkterisointi voidn käyttää pljon muisskin tpuksiss kuin vruudess R n. x Suorin tie Kuv 1. Suor voidn määritellä joko khden pisteen ti pisteen j suunnn vull. Selvästi molemmt versiot määrittelevät smn kuvusjoukon. Eron on vin, mikä dt kiinnittää yhden kuvuksen tässä joukoss. Määritelmä (i) on luonteeltn reun-rvotehtävä: on nnettu kksi pistettä, j hlutn suor näiden välille. Määritelmä (ii) on ts Jos kksi käyrää/polku lähtee pisteestä p, niin miten voidn sno kumpi niistä on suorempi? Jott tähän voisi vstt, pitäisi void mitt käyrän kreutumist jollin tvll. Tähän on (inkin) kksi erilist lähestymistp. Ensinnäkin ympyrä kreutuu sitä jyrkemmin mitä pienempi sen säde on. Voitisiin siis nnetun käyrän tietyn pisteen ympäristössä etsiä sellinen ympyrä, jok mhdollisimmn trksti yhtyisi kyseiseen käyrään. Näin stu ympyrää kutsutn oskuloivksi ympyräksi, jok Spivkin [2, s. 7] mukn trkoitt suutelev ympyrää, ktso Lemm 3. Suutelevn ympyrän säde puolestn nt sitten tieto käyrän kreutumisest. 6 Ennen käytettiin sn viiv eikä käyrä. 7 Jätän lukijn pohdittvksi, olisiko tämän kksoistulkinnn eliminoiminen opetuksen knnlt toivottv, järkevää ti mhdollist.

4 siten, että ne toteuttvt ylläolevn ehdon, ktso Lemm 2. Merkitään edelleen t(s) = c (s): tämä on siis käyrän (yksikkö)tngentti. Käyrän (yksikkö)normliksi vlitn n(s) = ( c 2(s), c 1(s) ) Nyt on sekä tngentti että normli normlisoitu: t(s) = n(s) = 1 kikill s. Tngentti j normli muodostvt ortonormlin koordintiston, jok liikkuu käyrän mukn: tällist liikkuv koordintisto snotn joskus kehykseksi (engl. frme ti moving frme) y 0.6 n t Kuv 2. Eräs käyrä j sen kksi suutelev ympyrää. Ktkoviivll on merkitty suutelevien ympyröitten keskipisteitten muodostm käyrää eli evoluutt. n t x Toinen tp on trkstell tngenttivektorin suunnn muuttumist. Molemmt johtvt smn lopputulokseen; seurtn tässä jälkimmäistä strtegi. Trvitn siis tngentin käsitettä. Jos käyrää jtelln Neovius Nevnlinnn mukisesti liikkeessä olevn pisteenä, niin tngentti(vektori) on silloin pisteen nopeus(vektori). Tämä nt iheen usko, että käyrän tngentti voidn määritellä derivtn vull. Tässä trvitn kuitenkin sileyden lisäksi seurv oletus: Käyrä on säännöllinen, jos c (t) 0 kikill t. Tällöin c (t) on käyrän tngentti(vektori) 8 pisteessä c(t). Plutetn tässä välissä mieliin muutmi merkintöjä. Khden vektorin u = (u 1, u 2 ) j v = (v 1, v 2 ) pistetulo on u v = u 1 v 1 + u 2 v 2 Muistetn edelleen, että vektorit ovt kohtisuorss (ortogonlisi), jos niitten välinen pistetulo on noll. Vektorin v = (v 1, v 2 ) pituus on v = v v = v v2 2. Seurv tekninen oletus on usein hyödyllinen: Käyrä on prmetrisoitu krenpituudell, jos c (s) = 1 kikill s. Voidn osoitt, ettei tämä rjoit yleisyyttä: kikki säännölliset käyrät voidn prmetrisoid uudelleen Kuv 3. Käyrän mukn liikkuv koordintisto eli kehys. Tvoitteen on siis trkstell tngentin suunnn muutoksi, j sitä kutt mitt käyrän kreutumist. Kosk derivtt kuv muutost, niin derivoidn yhtälö t(s) 2 = t(s) t(s) = 1 puolittin: d ds t(s) t(s) = t (s) t(s)+t(s) t (s) = 2 t (s) t(s) = 0 Kosk t (s) j t(s) ovt kohtisuorss, niin vektorin t (s) täytyy oll normlin suuntinen. On siis olemss jokin funktio κ siten, että t (s) = κ(s)n(s) Yllä määriteltyä funktiot κ snotn käyrän c krevuudeksi. Hrjoitustehtäväksi lukijlle jätän sen osoittmisen, että n (s) = κ(s)t(s). Huom, että krevuus voi oll sekä positiivinen että negtiivinen. Merkki kuv sitä kääntyykö käyrä vsemmlle vi oikelle. Lskemll pituudet sdn c (s) = t (s) = κ(s)n(s) = κ(s) n(s) = κ(s) 8 Luonnollisesti tngentist puhuttiin jo kun ennen differentililskennn keksimistä, joten tässä voisi pohti, onko vektorin c (t) kutsuminen tngentiksi määritelmä vi luse.

5 Käyrän krevuus määriteltiin käyttämällä tson koordinttej. Lopputulos on kuitenkin riippumton koordinteist siinä mielessä, että tson siirrot j kierrot 9 eivät muut krevuutt. Toiseenkin suuntn voidn mennä: jos on nnettu jokin funktio κ, lkupiste p (siirto), lkusuunt v (kierto), niin tätä vst yksikäsitteinen (krenpituudell prmetrisoitu) käyrä, jonk krevuus on κ. p q Jok tpuksess nyt voidn määritellä: (iii) suor on käyrä, jonk krevuus on noll Kuv 4. Polkuj pisteestä p pisteeseen q. Antko tämä smn suorjoukon kuin määritelmät (i) j (ii)? Yhtälön () mukn κ(s) = c 1 (s)2 + c 2 (s)2 = 0 c 1(s) = c 2(s) = 0 Stiin siis kksi linerist toisen kertluvun differentiliyhtälöä. Näitten rtkisut sdn integroimll yhtälöitä c i (s) = 0 kksi kert: c 1 (s) = 1 + b 1 s j c 2 (s) = 2 + b 2 s Tässä i j b i ovt mielivltisi vkioit. Merkitsemällä = ( 1, 2 ) j b = (b 1, b 2 ) voidn rtkisu esittää vektorimuodoss c(s) = + bs. Rtkisu on siis sm muoto kuin määritelmässä (ii), joten on luonnollist kiinnittää jokin tietty rtkisu vlitsemll lkupiste j lkusuunt b. Aivn smoin voidn tutki käyriä myös vruudess R n : tässäkin tpuksess krevuuden häviämisestä seur, että käyrä onkin suor. Suort voidn kuitenkin määritellä vielä eräällä tvll. Lyhin tie Olkoon nnettu kksi tson pistettä p j q. Selvästi on äärettömän mont polku pisteestä p pisteeseen q, toisin snoen käyrää, jonk lkupiste on p j loppupiste on q. Rjoitutn seurvss yksinkertisuuden vuoksi käyriin, jotk voidn esittää yhtälönä y = f(x), siis käyriin jotk ovt muoto c(t) = ( t, f(t) ). Olkoon edelleen p = (, y 0 ) j q = (b, y 1 ), missä < b. Merkitään edelleen V pq :llä kikkien välillä [, b] määriteltyjen sileitten funktioitten joukko, joille pätee f() = y 0 j f(b) = y 1. Hlutn löytää lyhin polku p:n j q:n välillä. Olkoon f V pq ; tällöin siis j c() = (, f()) = (, y 0 ) = p c(b) = (b, f(b)) = (b, y 1 ) = q Käyrän pituus sdn kvll J(f) = (x) 2 dx, J : V pq R Huom, että J on kuvus funktiojoukolt V pq reliluvuille; tässä mielessä f on joukon V pq piste. Hlutn löytää f joll J s minimirvon. Differentililskennst tiedämme, että kun tutkitn mksimij minimitehtäviä, niin knntt etsiä derivtn nollkohdt. Kirjoituksen lopuss on trkemmin johdettu tämä, mutt lopputuloksen on, että dj df = 0 f (x) = 0 Merkintä dj df ei ole stndrdi, vn on trkoitettu ilmisemn sitä, että tässä todellkin on kyse tvllisen derivoinnin yleistyksestä. 10 Jok tpuksess lopputulos on toisen kertluvun differentiliyhtälö. Yllä jo nähtiin, että yhtälön f (x) = 0 rtkisut ovt muoto f(x) = d 1 + d 2 x, missä d 1 9 siis tson isometrit. 10 Kriittinen lukij muist, että derivtn nollkoht voi nt myös mksimej j stulpisteitä. Äärirvon ltu sdn selville vst kun trkstelln toist derivtt.

6 j d 2 ovt vkioit. Vkiot kiinnittyvät reunehtojen f() = y 0 j f(b) = y 1 vull. Pienen lskun jälkeen smme siis vstukseksi, että lyhin polku pisteitten p j q välillä voidn esittää yhtälönä y = y 1 y 0 b x + by 0 y 1 b Siis jälleen päädyttiin suoriin, joten smme uuden määritelmän: (iv) suor on lyhin polku khden pisteen välillä Tossvinen linsi tietosnkirj-rtikkeli vuodelt 1910, jonk kirjoittj, Uno Sxén, väitti, että Epätyydyttävä on esim. määritelmä: suor on khden pisteen lyhin väli, kosk suorn mittminen edellyttää, että käsite suor on edeltäpäin selvitetty. Tässä Sxén kuitenkin on hkoteillä: oleellist on, että käyrän j käyrän pituuden käsite on selvitetty. Tämän jälkeen sitten määritellään suor lyhimpänä käyränä/polkun. Alustv tilinpäätös Olemme nähneet, että inkin tsoss, j myös vruudess R n, suorimmt polut j lyhimmät polut ovt smoj, eli lyhyesti suori. Kikki määritelmät (i) (iv) johtvt siis oleellisesti smn lopputulokseen. Tilnne ei kuitenkn ole enää niin yksinkertinen, kun (tsinen) Eukleideen geometri yleistetään (krevksi) Riemnnin geometriksi. Tällöin määritelmät (i) j (ii) eivät enää ole mielekkäitä, mutt määritelmät (iii) j (iv) ovt edelleen käyttökelpoisi. Kirjoituksen toisess osss perehdytään hiukn Riemnnin geometrin, j pohditn ovtko (iii) j (iv) edelleen ekvivlenttej. Muutmi lisähuomioit Käyriä j mtriisej Avruuden R 3 kierrot voidn esittää ortogonlisten mtriisien vull. Kikille ortogonlisille mtriiseille pätee: det(a) = 1. Lemm 1. Olkoon A ortogonlinen 3 3 mtriisi j olkoon det(a) = 1. Tällöin sillä on ominisrvo λ = 1. Ominisrvo λ = 1 vstv ominisvruutt voidn kutsu A:n pyörähdyskseliksi. Tämä ominisvruus on siis Neovius-Nevnlinnn määritelmän mukinen suor. Todistus. Tämän jätän hrjoitustehtäväksi. Trvittvt sit löytyvät mistä thns mtriisilskun oppikirjst. Lemm 2. Jokinen säänöllinen käyrä voidn prmetrisoid krenpituudell. Todistus. Olkoon c : [, b] R 2 säännöllinen. Olkoon edelleen g(t) = t c (u) du j merkitään g(b) = L. Siis g on kuvus [, b] [0, L]. Edelleen g on bijektio kosk g (t) = c (t) > 0. Siis on olemss käänteiskuvus g 1. Asetetn c = c g 1. Nyt on helppo trkist, että c (t) = 1 kikill t. Kuvust g 1 ei useinkn tunnet eksplisiittisesti, mutt osoittutuu, ettei sitä trvitkn: riittää tieto, että se on olemss. Lemm 3. Olkoon c krenpituudell prmetrisoitu käyrä j p = c(s 0 ). Käyrän suutelev ympyrä tässä pisteessä p on y(t) = + r ( cos(t/r), sin(t/r) ) missä y(t 0 ) = p, r = 1/ κ(s 0 ) j = p + 1 κ(s 0) n(s 0) Käyrän suutelevien ympyröitten keskipisteistä muodostuu uusi käyrä, lkuperäisen käyrän evoluutt. Todistus. Trkstelln yhtälöitä c(s 0 ) = p = y(t 0 ) c (s 0 ) = y (t 0 ) c (s 0 ) = y (t 0 ) Viimeinen yhtälö nt: y ( (t 0 ) = 1 r cos(t0 /r), sin(t 0 /r) ) ( = 1 r 2 y(t0 ) ) ( ) = 1 r p = c (s 2 0 ) Kosk r = p, niin tästä jo sdn, että r = 1/ c (s 0 ) = 1/ κ(s 0 ). Pitää vielä lske. Toist yhtälöä ei ole vielä käytetty: ( c 1 (s 0 ), c 2(s 0 ) ) = ( sin(t 0 /r), cos(t 0 /r) ) Tämän vull siis = p r ( cos(t 0 /r), sin(t 0 /r) ) = p + r ( c 2(s 0 ), c 1(s 0 ) ) = p + 1 κ(s 0) n(s 0)

7 Hiukn vritiolsku Olkoon V kikkien välillä [, b] määriteltyjen sileitten funktioitten joukko j setetn V pq = { f V f() = y 0 j f(b) = y 1 } j V 0 = { f V f() = f(b) = 0 } Etsitään sellist funktiot f V pq, joll seurv kuvus J : V pq R svutt minimirvon: J(f) = (x) 2 dx Lsketn J:n suunnttu derivtt. Olkoon g(s) = f(t) + s h(t), missä f V pq j h V 0. g on siis kuvus g : R V pq, j pikinen vilkisu suorn määritelmään (ii) osoitt, että g on suor vruudess V pq (j myös vruudess V, kosk V pq on vruuden V osjoukko). Kiinnitetään piste f j suunt h, j olkoon J f (s) = (J g)(s) = J(f + sh) Tällöin siis J f : R R. Jos f minimoi J:n, niin J f :llä on minimi, kun s = 0. Tällöin pitää päteä J f (0) = 0. Lsketn tämä derivtt. d dsj(f + sh) = d ds = (x) 2 + 2sf (x)h (x) + s 2 h (x) 2 dx f (x)h (x) + sh (x) 2 (x) 2 + 2sf (x)h (x) + s 2 h (x) 2 dx mistä edelleen osittisintegroimll J f (0) = = / b f (x)h (x) (x) 2 dx f (x)h(x) (x) 2 f (x)h(x) = dx ( (x) 2 ) 3/2 b f (x)h(x) dx ( (x) 2 ) 3/2 Nyt pitää oll voimss, että J f (0) = 0 kikill h V 0, mikä on mhdollist vin, jos f (x) = 0. Tätä toisen kertluvun differentiliyhtälöä kutsutn tehtävän Eulerin (ti Eulerin j Lgrngen) yhtälöksi. Tässä tpuksess rtkisut ovt siis suori, kuten iemmin on jo nähty. Viitteet [1] R. Hrtshorne, Geometry: Euclid nd beyond, Undergrdute Texts in Mthemtics, Springer, [2] M. Spivk, A comprehensive introduction to differentil geometry, vol 2, 2nd ed., Publish or Perish, [3] I. Todhunter (ed.), The elements of Euclid, J. M. Dent & Sons Ltd, London, 1862, uusi pinos: Everymn s Librry, Dutton, New York, 1933.

Riemannin integraalista

Riemannin integraalista Lebesguen integrliin sl. 2007 Ari Lehtonen Riemnnin integrlist Johdnto Tämän luentomonisteen trkoituksen on tutustutt lukij Lebesgue n integrliin j sen perusominisuuksiin mhdollisimmn yksinkertisess tpuksess:

Lisätiedot

Kuvausta f sanotaan tällöin isomorfismiksi.

Kuvausta f sanotaan tällöin isomorfismiksi. Määritelmä..12. Oletetn, että 1 =(V 1,E 1 ) j 2 =(V 2,E 2 ) ovt yksinkertisi verkkoj. Verkot 1 j 2 ovt isomorfiset, jos seurvt ehdot toteutuvt: (1) on olemss bijektio f : V 1 V 2 (2) kikill, b V 1 pätee,

Lisätiedot

Ristitulo ja skalaarikolmitulo

Ristitulo ja skalaarikolmitulo Ristitulo j sklrikolmitulo Opetussuunnitelmn 00 mukinen kurssi Vektorit (MAA) sisältää vektoreiden lskutoimituksist keskeisenä ineksen yhteenlskun, vähennyslskun, vektorin kertomisen luvull j vektoreiden

Lisätiedot

Määritelmä Olkoon C R m yksinkertainen kaari ja γ : [a, b] R m sen yksinkertainen parametriesitys, joka on paloittain C 1 -polku.

Määritelmä Olkoon C R m yksinkertainen kaari ja γ : [a, b] R m sen yksinkertainen parametriesitys, joka on paloittain C 1 -polku. Muodostetn vektorikentän kri-integrli yksinkertisen kren tpuksess. Plutetn mieleen, että joukko C R m on yksinkertinen kri, jos löytyy sellinen jtkuv bijektio γ : [, b] C, jok on ploittin C 1 -funktio

Lisätiedot

4 Taso- ja avaruuskäyrät

4 Taso- ja avaruuskäyrät P2-luentoj kevät 2008, Pekk Alestlo 4 Tso- j vruuskäyrät Tässä luvuss tutustutn tso- j vruuskäyriin, niiden krenpituuteen j krevuuteen. Konkreettisin sovelluksin trkstelln nnettu rt pitkin liikkuvn hiukksen

Lisätiedot

2.4 Pienimmän neliösumman menetelmä

2.4 Pienimmän neliösumman menetelmä 2.4 Pienimmän neliösummn menetelmä Optimointimenetelmiä trvitn usein kokeellisen dtn nlysoinniss. Mittuksiin liittyy virhettä, joten mittus on toistettv useit kertoj. Oletetn, että mittn suurett c j toistetn

Lisätiedot

Pythagoraan lause. Pythagoras Samoslainen. Pythagoraan lause

Pythagoraan lause. Pythagoras Samoslainen. Pythagoraan lause Pythgorn luse Pythgors Smoslinen Pythgors on legendrinen kreikklinen mtemtiikko j filosofi. Tiedot hänen elämästään ovt epävrmoj j ristiriitisi. Tärkein Pythgorst j pythgorlisi koskev lähde on Lmlihosin

Lisätiedot

LINSSI- JA PEILITYÖ TEORIAA. I Geometrisen optiikan perusaksioomat

LINSSI- JA PEILITYÖ TEORIAA. I Geometrisen optiikan perusaksioomat (0) LINSSI- JA PEILITYÖ MOTIVOINTI Tutustutn linsseihin j peileihin geometrisen optiikn mittuksiss Tutkitn vlon käyttäytymistä linsseissä j peileissä Määritetään linssien j peilien polttopisteet Optiset

Lisätiedot

Näytä tai jätä tarkistettavaksi tämän jakson tehtävät viimeistään tiistaina 18.6. ylimääräisessä tapaamisessa.

Näytä tai jätä tarkistettavaksi tämän jakson tehtävät viimeistään tiistaina 18.6. ylimääräisessä tapaamisessa. Jkso 12. Sähkömgneettinen induktio Tässä jksoss käsitellään sähkömgneettist induktiot, jok on tärkeimpiä sioit sähkömgnetismiss. Tätä tphtuu koko jn rkisess ympäristössämme, vikk emme sitä välttämättä

Lisätiedot

sin θ θ θ r 2 sin 2 θ φ 2 = 0.

sin θ θ θ r 2 sin 2 θ φ 2 = 0. Mtemtiikn j tilstotieteen litos Osittisdifferentiliyhtälöt Kevät 21 Hrjoitus 9 Rtkisuj Jussi Mrtin 1. Osoit, että Lplce-yhtälö pllokoordinteiss on 2 u 1 r 2 2 u r r 1 r 2 sin θ u 1 2 u sin θ θ θ r 2 sin

Lisätiedot

SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT Funktiojonot 1

SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT Funktiojonot 1 SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 JOUNI PARKKONEN Sisältö 0. Tästä tekstistä. Funktiojonot 0. Tästä tekstistä Tämä moniste on trkoitettu käytettäväksi kurssin Srjt j differentiliyhtälöt luentomterilin.

Lisätiedot

OSA 1: POLYNOMILASKENNAN KERTAUSTA, BINOMIN LASKUSÄÄNTÖJÄ JA YHTÄLÖNRATKAISUA

OSA 1: POLYNOMILASKENNAN KERTAUSTA, BINOMIN LASKUSÄÄNTÖJÄ JA YHTÄLÖNRATKAISUA OSA 1: POLYNOMILASKENNAN KERTAUSTA, BINOMIN LASKUSÄÄNTÖJÄ JA YHTÄLÖNRATKAISUA Tekijät: Ari Heimonen, Hellevi Kupil, Ktj Leinonen, Tuomo Tll, Hnn Tuhknen, Pekk Vrniemi Alkupl Tiedekeskus Tietomn torninvrtij

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Mtemtiikn tukikurssi Kurssikert 4 Tilvuuden j vipn ln lskeminen Kuten iemmin käsittelimme, määrätyn integrlin vull voi lske pintloj j tilvuuksi. Tyypillisenä sovelluksen tilvuuden lskemisest on tpus, joss

Lisätiedot

TEHTÄVÄ 1. Olkoon (f n ) jono jatkuvia funktioita f n : [a, b] R, joka suppenee välillä [a, b] tasaisesti kohti funktiota f : [a, b] R.

TEHTÄVÄ 1. Olkoon (f n ) jono jatkuvia funktioita f n : [a, b] R, joka suppenee välillä [a, b] tasaisesti kohti funktiota f : [a, b] R. Topologi I Hrjoitus 10, rtkisuj AP TEHTÄVÄ 1. Olkoon (f n ) jono jtkuvi funktioit f n : [, b] R, jok suppenee välillä [, b] tsisesti kohti funktiot f : [, b] R. Osoit, että tällöin f n (x) dx f(x) dx.

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali MS-A1{3,4} (ELEC*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 8: Integrlifunktio j epäoleellinen integrli Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos 5.1.216 Pekk Alestlo,

Lisätiedot

Syksyn 2015 Pitkän matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut

Syksyn 2015 Pitkän matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut Sksn 0 Pitkän mtemtiikn YO-kokeen TI-Nspire CAS -rtkisut Tekijät: Olli Krkkulinen Rtkisut on ldittu TI-Nspire CAS -tietokoneohjelmll kättäen Muistiinpnot -sovellust. Kvt j lskut on kirjoitettu Mth -ruutuihin.

Lisätiedot

MS-A010{2,3,4,5} (SCI, ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali

MS-A010{2,3,4,5} (SCI, ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali MS-A1{2,3,4,5} (SC, ELEC*, ENG*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 8: ntegrlifunktio j epäoleellinen integrli Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos November

Lisätiedot

x k 1 Riemannin summien käyttö integraalin approksimointiin ei ole erityisen tehokasta; jatkuvasti derivoituvalle funktiolle f virhe b

x k 1 Riemannin summien käyttö integraalin approksimointiin ei ole erityisen tehokasta; jatkuvasti derivoituvalle funktiolle f virhe b 5 Integrlien lskemisest 51 Riemnnin summt [A2], [4, 61] Rjoitetun funktion f : [, b] R Riemnn-integroituvuudelle ytäpitäväksi on kurssill Anlyysi 2 osoitettu, että Riemnnin summill S P := f(ξ k ) ( ),

Lisätiedot

6 Integraalilaskentaa

6 Integraalilaskentaa 6 Integrlilskent 6. Integrlifunktio Funktion f integrlifunktioksi snotn funktiot F, jonk derivtt on f. Siis F (x) = f (x) määrittelyjoukon jokisell muuttujn rvoll x. Merkitään F(x) = f (x) dx. Integrlifunktion

Lisätiedot

( ) Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 321 Päivitetty 19.2.2006. Saadaan yhtälö. 801 Paraabeli on niiden pisteiden ( x,

( ) Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 321 Päivitetty 19.2.2006. Saadaan yhtälö. 801 Paraabeli on niiden pisteiden ( x, Pyrmidi Anlyyttinen geometri tehtävien rtkisut sivu Päivitetty 9..6 8 Prbeli on niiden pisteiden (, y) joukko, jotk ovt yhtä kukn johtosuorst j polttopisteestä. Pisteen (, y ) etäisyys suorst y = on d

Lisätiedot

Paraabelikin on sellainen pistejoukko, joka määritellään urakäsitteen avulla. Paraabelin jokainen piste toteuttaa erään etäisyysehdon.

Paraabelikin on sellainen pistejoukko, joka määritellään urakäsitteen avulla. Paraabelin jokainen piste toteuttaa erään etäisyysehdon. 5. Prbeli Prbelikin on sellinen pistejoukko, jok määritellään urkäsitteen vull. Prbelin jokinen piste toteutt erään etäissehdon. ********************************************** MÄÄRITELMÄ : Prbeli on tson

Lisätiedot

3.3 KIELIOPPIEN JÄSENNYSONGELMA Ratkaistava tehtävä: Annettu yhteydetön kielioppi G ja merkkijono x. Onko

3.3 KIELIOPPIEN JÄSENNYSONGELMA Ratkaistava tehtävä: Annettu yhteydetön kielioppi G ja merkkijono x. Onko 3.3 KILIOPPIN JÄSNNYSONGLMA Rtkistv tehtävä: Annettu yhteydetön kielioppi G j merkkijono x. Onko x L(G)? Rtkisumenetelmä = jäsennyslgoritmi. Useit vihtoehtoisi menetelmiä, erityisesti kun G on jotin rjoitettu

Lisätiedot

10. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA

10. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA MAA0 0. Määrätyn integrlin käyttö eräiden pint-lojen lskemisess 0. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA Edellä on todettu, että f (x)dx nt x-kselin j suorien x =, x = sekä funktion

Lisätiedot

II.1. Suppeneminen., kun x > 0. Tavallinen lasku

II.1. Suppeneminen., kun x > 0. Tavallinen lasku II. EPÄOLEELLISET INTEGRAALIT nt II.. Suppeneminen Esim. Olkoon f() =, kun >. Tvllinen lsku = / =. Kuitenkn tätä integrli ei ole ikisemmss mielessä määritelty, kosk f ei ole rjoitettu välillä [, ] (eikä

Lisätiedot

5 Epäoleellinen integraali

5 Epäoleellinen integraali 5 Epäoleellinen integrli 5. Integrlin suppeneminen Olkoon f sellinen välillä [, b[ (ei siis välttämättä pisteessä b) määritelty funktio, että f on Riemnn-integroituv välillä [, ] kikill ], b[ eli on olemss

Lisätiedot

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 5.2.2013

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 5.2.2013 Preliminäärikoe Pitkä Mtemtiikk 5..0 Kokeess s vstt enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä ( * ) merkittyjen tehtävien mksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien mksimipistemäärä on 6.. ) Rtkise yhtälö b)

Lisätiedot

Esimerkki 8.1 Määritellään operaattori A = x + d/dx. Laske Af, kun f = asin(bx). Tässä a ja b ovat vakioita.

Esimerkki 8.1 Määritellään operaattori A = x + d/dx. Laske Af, kun f = asin(bx). Tässä a ja b ovat vakioita. 8. Operttorit, mtriisit j ryhmäteori Mtemttinen operttori määrittelee opertion, jonk mukn sille nnettu funktiot muoktn. Operttorit ovt erityisen tärkeitä kvnttimekniikss, kosk siinä jokist suurett vst

Lisätiedot

Integraalilaskentaa. 1. Mihin integraalilaskentaa tarvitaan? MÄNTÄN LUKIO

Integraalilaskentaa. 1. Mihin integraalilaskentaa tarvitaan? MÄNTÄN LUKIO Integrlilskent Tämä on lukion oppimterileist hiemn poikkev yksinkertistettu selvitys määrätyn integrlin lskemisest. Kerromme miksi integroidn, mitä integroiminen trkoitt, miten integrli lsketn j miten

Lisätiedot

11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS

11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS 11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS Tilvuus on sen verrn rkielämässä viljelty käsite, että useimmiten sen syvemmin edes miettimättä ymmärretään, mitä juomlsin ti pikkuvuvn kylpymmeen tilvuudell trkoitetn.

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 7: Integraali ja analyysin peruslause

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 7: Integraali ja analyysin peruslause MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 7: Integrli j nlyysin perusluse Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos 3.10.2016 Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 9: Integroimismenetelmät

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 9: Integroimismenetelmät MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 9: Integroimismenetelmät Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos 10.10.2016 Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen (Alto-yliopisto,

Lisätiedot

Sähkömagneettinen induktio

Sähkömagneettinen induktio ähkömgneettinen inuktio Kun johinsilmukn läpi menevä mgneettikentän vuo muuttuu, silmukkn inusoituu jännite j silmukss lk kulke sähkövit. Mgneettikentässä liikkuvn johtimeen syntyy myös jännite. Näitä

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Mtemtiikn tukikurssi Kurssikert 5 1 Jtkuvuus Trkstelln funktiot fx) josskin tietyssä pisteessä x 0. Tämä funktio on tässä pisteessä joko jtkuv ti epäjtkuv. Jtkuvuuden ymmärtää prhiten trkstelemll epäjtkuv

Lisätiedot

MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 9: Integroimismenetelmät

MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 9: Integroimismenetelmät MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 9: Integroimismenetelmät Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos November 27, 2017 Pekk Alestlo,

Lisätiedot

MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 7: Integraali ja analyysin peruslause

MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 7: Integraali ja analyysin peruslause MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 7: Integrli j nlyysin perusluse Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos November 20, 2017

Lisätiedot

T Syksy 2002 Tietojenkäsittelyteorian perusteet Harjoitus 5 Demonstraatiotehtävien ratkaisut. ja kaikki a Σ ovat säännöllisiä lausekkeita.

T Syksy 2002 Tietojenkäsittelyteorian perusteet Harjoitus 5 Demonstraatiotehtävien ratkaisut. ja kaikki a Σ ovat säännöllisiä lausekkeita. T-79.8 Syksy 22 Tietojenkäsittelyteorin perusteet Hrjoitus 5 Demonstrtiotehtävien rtkisut Säännölliset lusekkeet määritellään induktiivisesti: j kikki Σ ovt säännöllisiä lusekkeit. Mikäli α j β ovt säännöllisiä

Lisätiedot

θ 1 θ 2 γ γ = β ( n 2 α + n 2 β = l R α l s γ l s 22 LINSSIT JA LINSSIJÄRJESTELMÄT 22.1 Linssien kuvausyhtälö

θ 1 θ 2 γ γ = β ( n 2 α + n 2 β = l R α l s γ l s 22 LINSSIT JA LINSSIJÄRJESTELMÄT 22.1 Linssien kuvausyhtälö 22 LINSSIT JA LINSSIJÄRJSTLMÄT 22. Linssien kuvusyhtälö Trkstelln luksi vlon tittumist pllopinnll (krevuussäde R j krevuuskeskipiste C) kuvn mukisess geometriss. Tässä vlo siis tulee ineest ineeseen 2

Lisätiedot

Riemannin integraalista

Riemannin integraalista TAMPEREEN YLIOPISTO Pro grdu -tutkielm Aij Stenberg Riemnnin integrlist Mtemtiikn j tilstotieteen litos Mtemtiikk Syyskuu 2010 2 Tmpereen yliopisto Mtemtiikn j tilstotieteen litos STENBERG, AIJA: Riemnnin

Lisätiedot

VEKTOREILLA LASKEMINEN

VEKTOREILLA LASKEMINEN 3..07 VEKTOREILLA LASKEMINEN YHTEENLASKU VEKTORIT, MAA Vektoreiden j summ on vektori +. Tämän summvektorin + lkupiste on vektorin lkupiste j loppupiste vektorin loppupiste, kun vektorin lkupisteenä on

Lisätiedot

VEKTOREILLA LASKEMINEN

VEKTOREILLA LASKEMINEN ..07 VEKTOREILL LSKEMINEN YHTEENLSKU VEKTORIT, M4 Vektoreiden j summ on vektori +. Tämän summvektorin + lkupiste on vektorin lkupiste j loppupiste vektorin loppupiste, kun vektorin lkupisteenä on vektorin

Lisätiedot

Sisältö. Integraali 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 20

Sisältö. Integraali 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 20 Integrli 10. syyskuut 2005 sivu 1 / 20 Sisältö 1 Määrätty integrli j integrlifunktio 2 1.1 Integroituvist funktioit 3 1.2 Määrätyn integrlin ominisuuksi 4 1.3 Integrlifunktio 5 1.4 Integrlilskennn tärkeimmät

Lisätiedot

1. Derivaatan Testi. Jos funktio f on jatkuva avoimella välillä ]a, b[ ja x 0 ]a, b[ on kriit. tai singul. piste niin. { f (x) > 0, x ]a, x 0 [

1. Derivaatan Testi. Jos funktio f on jatkuva avoimella välillä ]a, b[ ja x 0 ]a, b[ on kriit. tai singul. piste niin. { f (x) > 0, x ]a, x 0 [ 1. Derivtn Testi Jos funktio f on jtkuv voimell välillä ], b[ j x 0 ], b[ on kriit. ti singul. piste niin { f (x) < 0, x ], x 0 [ f x (x) > 0, x ]x 0, b[ 0 on lokli minimipiste (1) { f (x) > 0, x ], x

Lisätiedot

Kertymäfunktio. Kertymäfunktio. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 2/2. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 1/2. Kertymäfunktio: Esitiedot

Kertymäfunktio. Kertymäfunktio. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 2/2. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 1/2. Kertymäfunktio: Esitiedot TKK (c) Ilkk Mellin (24) 1 Johdtus todennäköisyyslskentn TKK (c) Ilkk Mellin (24) 2 : Mitä opimme? 1/2 Jos stunnisilmiötä hlutn mllint mtemttisesti, on ilmiön tulosvihtoehdot kuvttv numeerisess muodoss.

Lisätiedot

Teoriaa tähän jaksoon on talvikurssin luentomonisteessa luvussa 10. Siihen on linkki sivulta

Teoriaa tähän jaksoon on talvikurssin luentomonisteessa luvussa 10. Siihen on linkki sivulta Jkso 10. Sähkömgneettinen induktio Näytä ti plut tämän jkson tehtävät viimeistään tiistin 13.6.2017. Ekstr-tehtävät vstvt kolme tvllist tehtävää, kun lsketn lskuhrjoituspisteitä. Teori tähän jksoon on

Lisätiedot

5.4 Ellipsi ja hyperbeli (ei kuulu kurssivaatimuksiin, lisätietoa)

5.4 Ellipsi ja hyperbeli (ei kuulu kurssivaatimuksiin, lisätietoa) 5.4 Ellipsi j hypereli (ei kuulu kurssivtimuksiin, lisätieto) Aurinkokuntmme plneett kiertävät Aurinko ellipsin (=litistyneen ympyrän) muotoist rt, jonk toisess polttopisteessä Aurinko on. Smoin Mt kiertävät

Lisätiedot

Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 6 / vko 13

Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 6 / vko 13 MS-A040 Diskreetin mtemtiikn perusteet, IV/07 Kngslmpi / Jkosson Diskreetin mtemtiikn perusteet Lskuhrjoitus / vko Tuntitehtävät 4-4 lsketn lkuviikon hrjoituksiss j tuntitehtävät 45-4 loppuviikon hrjoituksiss.

Lisätiedot

Säännöllisten operaattoreiden täydentäviä muistiinpanoja

Säännöllisten operaattoreiden täydentäviä muistiinpanoja Säännöllisten operttoreiden täydentäviä muistiinpnoj Antti-Juhni Kijnho 1. huhtikuut 2011 Vnht määritelmät Määritelmä 1. Äärellinen epätyhjä joukko on merkistö, j sen lkioit kutsutn merkeiksi. Määritelmä

Lisätiedot

ICS-C2000 Tietojenkäsittelyteoria Kevät 2016

ICS-C2000 Tietojenkäsittelyteoria Kevät 2016 ICS-C2 Tietojenkäsittelyteori Kevät 2 Kierros,. 5. helmikuut Demonstrtiotehtävien rtkisut D: Sievennä seurvi säännöllisiä lusekkeit (so. konstruoi yksinkertisemmt lusekkeet smojen kielten kuvmiseen): ()

Lisätiedot

7.lk matematiikka. Geometria 1

7.lk matematiikka. Geometria 1 7.lk mtemtiikk 1 Htnpään koulu 7B j 7C Kevät 2017 2 Sisällys 1. Koordintisto... 4 2. Kulmien nimeäminen j luokittelu... 8 3. Kulmien mittminen j piirtäminen... 10 4. Ristikulmt j vieruskulmt... 14 5. Suort,

Lisätiedot

7 Funktiosarjoista. 7.1 Funktiosarjojen suppeneminen

7 Funktiosarjoista. 7.1 Funktiosarjojen suppeneminen 7 Funktiosrjoist 7. Funktiosrjojen suppeneminen Seurvksi trkstelln srjoj, joiden termit ovt (lukujen sijst) jollkin välillä I määriteltyjä funktioit. Täsmällisemmin funktiosrjll (ti lyhyemmin srjll) trkoitetn

Lisätiedot

Digitaalinen videonkäsittely Harjoitus 5, vastaukset tehtäviin 25-30

Digitaalinen videonkäsittely Harjoitus 5, vastaukset tehtäviin 25-30 Digitlinen videonkäsittely Hrjoitus 5, vstukset tehtäviin 5-30 Tehtävä 5. ) D DCT sdn tekemällä ensin D DCT kullekin riville, j toistmll D DCT tuloksen sdun kuvn srkkeill. -D N-pisteen DCT:, k 0 N ( k),

Lisätiedot

Matematiikan perusteet taloustieteilijöille 2 800118P

Matematiikan perusteet taloustieteilijöille 2 800118P Mtemtiikn perusteet tloustieteilijöille 2 800118P Luentomoniste Kri Myllylä Niin Korteslhti Oulun yliopisto Mtemttisten tieteiden litos Kevät 2014 Sisältö 1 Mtriisilgebr j optimointi 4 11 Määritelmä 4

Lisätiedot

8.4 Gaussin lause Edellä laskettiin vektorikentän v = rf(r) vuo R-säteisen pallon pinnan läpi, tuloksella

8.4 Gaussin lause Edellä laskettiin vektorikentän v = rf(r) vuo R-säteisen pallon pinnan läpi, tuloksella H 8.3.2 uontegrlt: vektoreden pntntegrlt Tvllsn tpus pntntegrlest on lske vektorkentän vuo pnnn läp: Trkstelln pnt j sllä psteessä P (x, y, z olev pnt-lkot d. Määrtellään vektorlnen pnt-lko d sten, että

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Mtemtiikn tukikurssi Kurssikert 3 Määrätyn integrlin lskeminen Aiemmin määrittelimme määrätyn integrlin f (x)dx funktion f (x) l- j yläsummien rj-rvon. Määrätyllä integrlill on kksi intuitiivist tulkint:.

Lisätiedot

Numeerinen integrointi

Numeerinen integrointi Pitkärnt: Lj mtemtiikk IX9 Numeerinen integrointi IX9 Numeerinen integrointi Numeerisell integroinnill trkoitetn määrätyn integrlin, eli reliluvun I(f,,b) = f(x)dx lskemist numeerisin keinoin (likimäärin)

Lisätiedot

Polynomien laskutoimitukset

Polynomien laskutoimitukset Polyomie lskutoimitukset Polyomi o summluseke, joss jokie yhteelskettv (termi) sisältää vi vkio j muuttuj välisiä kertolskuj. Esimerkki 0. Mm., 6 j ovt polyomej. Polyomist, joss o vi yksi termi, käytetää

Lisätiedot

Analyysin perusteet kauppatieteilijöille 800118P

Analyysin perusteet kauppatieteilijöille 800118P Anlyysin perusteet kupptieteilijöille 800118P Luentomoniste Kri Myllylä Niin Korteslhti Topi Törmä Oulun yliopisto Mtemttisten tieteiden litos Kevät 2015 Sisältö 1 Derivtt 3 1.1 Määritelmä..............................

Lisätiedot

3 Integraali ja derivaatta

3 Integraali ja derivaatta 3 Integrli j erivtt 3.1 Integrli ylärjns funktion Olkoon funktio f Riemnn-integroituv välin I jokisell suljetull osvälillä j välin I jokin kiinteä luku. Tällöin integrli määrittelee funktion G(): I R,

Lisätiedot

Olkoon. M = (Q, Σ, δ, q 0, F)

Olkoon. M = (Q, Σ, δ, q 0, F) T 79.148 Tietojenkäsittelyteorin perusteet 2.4 Äärellisten utomttien minimointi Voidn osoitt, että jokisell äärellisellä utomtill on yksikäsitteinen ekvivlentti (so. smn kielen tunnistv) tilmäärältään

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ PISTEYTYSKOKOUS

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ PISTEYTYSKOKOUS 0 MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 30 PISTEYTYSKOKOUS 0 ) Sijoitetn x 0 Rtkistn = 0/04,0000 b) Jos neliön sivu on s, niin lävistäjä on s Ehto: s 6 s + s = 6, s 6 3 4s 6,70, joten piiri ) Suorn yhtälö

Lisätiedot

Automaattimalleista poikkeava tapa kuvata yksinkertaisia kieliä. Olkoot A ja B aakkoston Σ kieliä. Perusoperaatioita:

Automaattimalleista poikkeava tapa kuvata yksinkertaisia kieliä. Olkoot A ja B aakkoston Σ kieliä. Perusoperaatioita: 2.6 SÄÄNNÖLLISET LAUSEKKEET Automttimlleist poikkev tp kuvt yksinkertisi kieliä. Olkoot A j B kkoston Σ kieliä. Perusopertioit: Yhdiste: A B = {x Σ x A ti x B}; Ktentio: AB = {xy Σ x A, y B}; Potenssit:

Lisätiedot

Analyysi 2. Harjoituksia lukuihin 1 3 / Kevät Anna sellainen välillä ] 2, 2[ jatkuva ja rajoitettu funktio f, että

Analyysi 2. Harjoituksia lukuihin 1 3 / Kevät Anna sellainen välillä ] 2, 2[ jatkuva ja rajoitettu funktio f, että Anlyysi Hrjoituksi lukuihin 3 / Kevät 5. Ann sellinen välillä ], [ jtkuv j rjoitettu funktio f, että () sup A m A j inf A min A, (b) sup A m A j inf A = min A, (c) sup A = m A j inf A min A, (d) sup A

Lisätiedot

2.6 SÄÄNNÖLLISET LAUSEKKEET Automaattimalleista poikkeava tapa kuvata yksinkertaisia kieliä. Olkoot A ja B aakkoston Σ kieliä. Perusoperaatioita:

2.6 SÄÄNNÖLLISET LAUSEKKEET Automaattimalleista poikkeava tapa kuvata yksinkertaisia kieliä. Olkoot A ja B aakkoston Σ kieliä. Perusoperaatioita: 2.6 SÄÄNNÖLLISET LAUSEKKEET Automttimlleist poikkev tp kuvt yksinkertisi kieliä. Olkoot A j B kkoston Σ kieliä. Perusopertioit: Yhdiste: A B = {x Σ x A ti x B}; Ktentio: AB = {xy Σ x A, y B}; Potenssit:

Lisätiedot

Olkoon. äärellinen automaatti. Laajennetaan M:n siirtymäfunktio yksittäisistä syötemerkeistä merkkijonoihin: jos q Q, x Σ, merkitään

Olkoon. äärellinen automaatti. Laajennetaan M:n siirtymäfunktio yksittäisistä syötemerkeistä merkkijonoihin: jos q Q, x Σ, merkitään T 79.00/002 Tietojenkäsittelyteorin perusteet 2. Äärellisten utomttien minimointi Voidn osoitt, että jokisell äärellisellä utomtill on yksikäsitteinen ekvivlentti (so. smn kielen tunnistv) tilmäärältään

Lisätiedot

Reaalinen lukualue. Millainen on luku, jossa on päättymätön ja jaksoton desimaalikehitelmä?

Reaalinen lukualue. Millainen on luku, jossa on päättymätön ja jaksoton desimaalikehitelmä? Relinen lukulue POLYNOMIFUNKTIOT JA -YHTÄLÖT, MAA Millinen on luku, joss on päättymätön j jksoton desimlikehitelmä? Onko sellisi? Trkstelln Pythgorn luseest stv yksikköneliön lävistäjää, luku + = x x =.

Lisätiedot

VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 3.6.2014 Ratkaisut ja arvostelu

VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 3.6.2014 Ratkaisut ja arvostelu VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 3.6.4 Rtkisut j rvostelu. Koululisen todistuksen keskirvo x on lskettu ) b) c) d) kymmenen ineen perusteell. Jos koululinen nostisi neljän ineen

Lisätiedot

Monikulmio on suljettu, yhtenäinen tasokuvio, jonka muodostavat pisteet ja näitä yhdistävät janat

Monikulmio on suljettu, yhtenäinen tasokuvio, jonka muodostavat pisteet ja näitä yhdistävät janat MAB: Monikulmiot Aluksi Tässä luvuss käsitellään pljon monikulmioit sekä muutmi tärkeimpiä esimerkkejä monikulmioiin liittyvistä leist. Näistä leist edottomsti tärkein ti inkin kuskntoisin on Pytgorn luse.

Lisätiedot

Tehtävä 1. Jatka loogisesti oheisia jonoja kahdella seuraavaksi tulevalla termillä. Perustele vastauksesi

Tehtävä 1. Jatka loogisesti oheisia jonoja kahdella seuraavaksi tulevalla termillä. Perustele vastauksesi Tehtävä. Jtk loogisesti oheisi jonoj khdell seurvksi tulevll termillä. Perustele vstuksesi lyhyesti. ), c, e, g, b),,, 7,, Rtkisut: ) i j k - oike perustelu j oiket kirjimet, nnetn p - oike perustelu,

Lisätiedot

Vastaa tehtäviin 1-4 ja valitse toinen tehtävistä 5 ja 6. Vastaat siis enintään viiteen tehtävään.

Vastaa tehtäviin 1-4 ja valitse toinen tehtävistä 5 ja 6. Vastaat siis enintään viiteen tehtävään. S-8. Sähkönsiirtoärstlmät Tntti 8..7 Vst thtäviin -4 vlits toinn thtävistä 5 6. Vstt siis nintään viitn thtävään.. Tutkitn ll piirrttyä PV-käyrää, ok kuv sllist vrkko, oss on tuotntolu kuormituslu niidn

Lisätiedot

AUTOMAATTIEN SYNKRONISAATIOSTA

AUTOMAATTIEN SYNKRONISAATIOSTA AUTOMAATTIEN SYNKRONISAATIOSTA John Kopr Pro grdu -tutkielm Huhtikuu 015 MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS TURUN YLIOPISTO TURUN YLIOPISTO Mtemtiikn j tilstotieteen litos KOPRA, JOHAN: Automttien synkronistiost

Lisätiedot

Sinilause ja kosinilause

Sinilause ja kosinilause Siniluse j kosiniluse GEOMETRI M3 Mikäli kolmion korkeus j knt tiedetään, voidn pint-l lske. Esimerkki: Lske kolmion l, kun 38 kulmn viereiset sivut ovt 8, j 6,8. Nyt knt tiedetään, korkeutt ei! 38 8,

Lisätiedot

Neliömatriisin A determinantti on luku, jota merkitään det(a) tai A. Se lasketaan seuraavasti: determinantti on

Neliömatriisin A determinantti on luku, jota merkitään det(a) tai A. Se lasketaan seuraavasti: determinantti on 4. DETERINANTTI JA KÄÄNTEISATRIISI 6 4. Neliömtriisi determitti Neliömtriisi A determitti o luku, jot merkitää det(a) ti A. Se lsket seurvsti: -mtriisi A determitti o det(a) () -mtriisi A determitti void

Lisätiedot

2.1 Vaillinaiset yhtälöt

2.1 Vaillinaiset yhtälöt .1 Villiniset yhtälöt Yhtälö, jok sievenee muotoon x + bx + c = 0 (*) on yleistä normlimuoto olev toisen steen yhtälö. Tämän rtkiseminen ei olekn enää yhtä meknist kuin normlimuotoisen ensisteen yhtälön

Lisätiedot

Tee B-osion konseptiin etusivulle pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Välivaiheet perustelevat vastauksesi!

Tee B-osion konseptiin etusivulle pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Välivaiheet perustelevat vastauksesi! MAA8 Koe 4.4.016 Jussi Tyni Tee B-osion konseptiin etusivulle pisteytysruudukko! Muist kirjt nimesi j ryhmäsi. Väliviheet perustelevt vstuksesi! A-osio. Ilmn lskint. MAOLi s käyttää. Mksimissn 1h ik. Lske

Lisätiedot

ICS-C2000 Tietojenkäsittelyteoria Kevät 2015

ICS-C2000 Tietojenkäsittelyteoria Kevät 2015 ICS-C2 Tietojenkäsittelyteori Kevät 25 Kierros 3, 26. 3. tmmikuut Demonstrtiotehtävien rtkisut D: Ldi epädeterministinen äärellinen utomtti, jok test onko nnetun inäärijonon kolmnneksi viimeinen merkki,

Lisätiedot

MITEN MÄÄRITÄN ASYMPTOOTIT?

MITEN MÄÄRITÄN ASYMPTOOTIT? MITEN MÄÄRITÄN ASYMPTOOTIT? Asmptootti Asmptootti on suor ti muu kärä, jot funktion kuvj f() rjtt lähest, kun muuttujn rvot lähestvät tiettä luku ti ääretöntä. Rjoitutn luksi niihin tpuksiin, joiss smptootti

Lisätiedot

9 A I N. Alkuperäinen piiri. Nortonin ekvivalentti R T = R N + - U T = I N R N. Théveninin ekvivalentti DEE-11110 SÄHKÖTEKNIIKAN PERUSTEET

9 A I N. Alkuperäinen piiri. Nortonin ekvivalentti R T = R N + - U T = I N R N. Théveninin ekvivalentti DEE-11110 SÄHKÖTEKNIIKAN PERUSTEET DEE11110 SÄHKÖTEKNIIKAN PERUSTEET http://www.tut.fi/smg/course.php?id=57 Rtkisut Hrjoitukset 3, 2014 Tehtävä 1. Pyydetään muodostmn nnetun piirin Nortonin ekvivlentti. Nortonin, smoin kuin Theveninin,

Lisätiedot

Matematiikkaolympialaiset 2008 kuusi vaikeaa tehtävää

Matematiikkaolympialaiset 2008 kuusi vaikeaa tehtävää Solmu 3/2008 Mtemtiikkolympiliset 2008 kuusi vike tehtävää Mtti Lehtinen Mnpuolustuskorkekoulu 49. Knsinväliset mtemtiikkolympiliset pidettiin Mdridiss 4. 22. heinäkuut 2008. Kilpilijoit oli 535 j he edustivt

Lisätiedot

Viivaintegraali: "Pac- Man" - tulkinta. Viivaintegraali: "Pac- Man" - tulkinta. "Perinteisempi" tulkinta: 1D 3/19/13

Viivaintegraali: Pac- Man - tulkinta. Viivaintegraali: Pac- Man - tulkinta. Perinteisempi tulkinta: 1D 3/19/13 Viivintegrli: "Pc- Mn" - tulkint Otetn funk:o f(,), jok riippuu muudujist j. Jokiselle, tson pisteellä funk:oll on siis joku rvo. Tpillisiä fsiklis- kemillisi esimerkkejä voisivt oll esimerkiksi mss:hes

Lisätiedot

a = x 0 < x 1 < x 2 < < x n = b f(x) dx = I. lim f(x k ) x k=1

a = x 0 < x 1 < x 2 < < x n = b f(x) dx = I. lim f(x k ) x k=1 5 Integrli 5.1 Määritelmä j ominisuudet Olkoon f : [, b] R jtkuv. Muodostetn välin [, b] jko = x 0 < x 1 < x 2 < < x n = b j siihen liittyvä yläsumm S = n M k (x k x k 1 ), M k = mx{f(x) x k 1 x x k },

Lisätiedot

Painopiste. josta edelleen. x i m i. (1) m L A TEX 1 ( ) x 1... x k µ x k+1... x n. m 1 g... m n g. Kuva 1. i=1. i=k+1. i=1

Painopiste. josta edelleen. x i m i. (1) m L A TEX 1 ( ) x 1... x k µ x k+1... x n. m 1 g... m n g. Kuva 1. i=1. i=k+1. i=1 Pinopiste Snomme ts-ineiseksi kpplett, jonk mteriliss ei ole sisäisiä tiheyden vihteluj. Tällisen kppleen pinopisteen sijinti voidn joskus päätellä kppleen muodon perusteell. Esimerkiksi ts-ineisen pllon

Lisätiedot

Laskennan mallit (syksy 2010) 1. kurssikoe, ratkaisuja

Laskennan mallit (syksy 2010) 1. kurssikoe, ratkaisuja 582206 Lskennn mllit (syksy 2010) 1. kurssikoe, rtkisuj 1. [2+2+2 pistettä] Säännöllisissä lusekkeiss on käytetty tuttu lyhennysmerkintää Σ = ( ). () merkkijonot, joiden kksi ensimmäistä merkkiä ovt joko

Lisätiedot

TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma. Harri Lehtinen. Kongruenssista

TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma. Harri Lehtinen. Kongruenssista TAMPEREEN YLIOPISTO Pro grdu -tutkielm Hrri Lehtinen Kongruenssist Mtemtiikn, tilstotieteen j filosofin litos Mtemtiikk Helmikuu 006 Tmpereen yliopisto Mtemtiikn, tilstotieteen j filosofin litos LEHTINEN,

Lisätiedot

VEKTORILASKENTA. Timo Mäkelä SISÄLTÖ: 1 VEKTORIN KÄSITE...1

VEKTORILASKENTA. Timo Mäkelä SISÄLTÖ: 1 VEKTORIN KÄSITE...1 VEKTORILASKENTA Timo Mäkelä SISÄLTÖ: VEKTORIN KÄSITE VEKTOREIDEN ERUSLASKUTOIMITUKSET VEKTOREIDEN YHTEENLASKU VEKTOREIDEN VÄHENNYSLASKU 4 VEKTORIN KERTOMINEN LUVULLA6 4 VEKTORILAUSEKKEIDEN KÄSITTELY7 TASON

Lisätiedot

Viikon aiheet. Pinta-ala

Viikon aiheet. Pinta-ala info Viikon iheet Mpu I:sen voit suoritt: Kurssin loppukokeess 23.10. Arvosn: koe + lskrit Mikäli yo. ik ei sovi, voit suoritt loppukokeen yleistenttitilisuudess 24.11. Arvosn: koe + lskrit. Ilmoittudu

Lisätiedot

Geometrinen algebra: kun vektorien maailma ei riitä

Geometrinen algebra: kun vektorien maailma ei riitä Geometrinen lgebr: kun vektorien milm ei riitä Risto A. Pju 4. huhtikuut 2003 Tiivistelmä Geometrinen lgebr on viime vuosin ksvttnut suosiotn luonnontieteiden mtemttisen menetelmänä. Sen juuret ovt vektori-

Lisätiedot

5 ( 1 3 )k, c) AB 3AC ja AB AC sekä vektoreiden AB ja

5 ( 1 3 )k, c) AB 3AC ja AB AC sekä vektoreiden AB ja MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Hrjoitustehtäviä syksy 4. Millä reliluvun rvoill ) 9 =, b) + +, e) 5?. Kirjoit Σ-merkkiä käyttäen summt 4, ) + 4 + 6 + +, b) 8 + 4 6 + + n n, c) + + + 4 + + 99, d)

Lisätiedot

Suorakaidekanavat. lindab suorakaidekanavat

Suorakaidekanavat. lindab suorakaidekanavat Suorkideknvt lind suorkideknvt lind suorkideknvt Sisällysluettelo Suorkideknvt Knv LKR... Liitosost Liitoslist LS... Liitoslist LS-... Kulmyhde LBR... Liitoslist LS... S-mutk LBXR... LBSR... Liitoslist

Lisätiedot

Kertausta ja täydennystä

Kertausta ja täydennystä LUKU 1 Kertust j täydennystä 1.1. Merkintöjä N = {k Z k 0} = {0, 1, 2,... }, luonnollisten lukujen joukko. Z + = {k Z k > 0} = {1, 2,... }, positiivisten kokonislukujen joukko. (, b) on relikselin voin

Lisätiedot

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2017 Harjoitus 6, ratkaisuista. 1. Onko jokin demojen 5 tehtävän 3 relaatioista

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2017 Harjoitus 6, ratkaisuista. 1. Onko jokin demojen 5 tehtävän 3 relaatioista Mtemtiikn johntokurssi, syksy 07 Hrjoitus 6, rtkisuist. Onko jokin emojen 5 tehtävän reltioist ) R := {(, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, )}, ) S := {(, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ),

Lisätiedot

Mika Hirvensalo. Insinöörimatematiikka B 2014

Mika Hirvensalo. Insinöörimatematiikka B 2014 Mik Hirvenslo Insinöörimtemtiikk B 4 Sisältö Rj-rvo j jtkuvuus....................................................... 5. Differentili- j integrlilskennn kehityksestä............................. 5. Relilukujen

Lisätiedot

Tampereen teknillinen yliopisto hum Konstruktiotekniikan laitos. MEC-2430 Elementtimenetelmän perusteet. Luento vk 1 Syksy 2012.

Tampereen teknillinen yliopisto hum Konstruktiotekniikan laitos. MEC-2430 Elementtimenetelmän perusteet. Luento vk 1 Syksy 2012. mpereen teknillinen yliopisto hum 3.8. Konstruktiotekniikn litos MEC-430 Elementtimenetelmän perusteet. Luento vk Syksy 0. Mtemtiikn j mtriisilskennn kertust Yleistä Kirjoittelen tänne joitin kurssin keskeisiä

Lisätiedot

Johdatus fraktaaliderivaattoihin ja niiden sovelluksiin

Johdatus fraktaaliderivaattoihin ja niiden sovelluksiin Jodtus frktliderivttoiin j niiden sovelluksiin Hnn Hlinen Mtemtiikn pro grdu Jyväskylän yliopisto Mtemtiikn j tilstotieteen litos Kesä 4 Tiivistelmä: Hnn Hlinen, Jodtus frktliderivttoiin j niiden sovelluksiin

Lisätiedot

Q = {q 1, q 2, q 3, q 4 } Σ = {a, b} F = {q 4 },

Q = {q 1, q 2, q 3, q 4 } Σ = {a, b} F = {q 4 }, T-79.48 Syksy 22 Tietojenkäsittelyteorin perusteet Hrjoitus 4 Demonstrtiotehtävien rtkisut 4. Tehtävä: Ldi epädeterministinen äärellinen utomtti, jok test onko nnetun inäärijonon kolmnneksi viimeinen merkki,

Lisätiedot

Runkovesijohtoputket

Runkovesijohtoputket Runkovesijohtoputket PUTKET JA PUTKEN OSAT SSAB:n vlmistmi pinnoitettuj putki j putken osi käytetään lähinnä runkovesijohtolinjoihin, joiden hlkisij on DN 400-1200. Ost vlmistetn teräksisistä pineputkist

Lisätiedot

Matematiikan peruskurssi. Seppo Hassi

Matematiikan peruskurssi. Seppo Hassi Mtemtiikn peruskurssi Seppo Hssi Syksy 2014 iii Esipuhe Tämä on 1. versio Mtemtiikn peruskurssin opetusmonisteest, jonk sisältö noudttelee pitkälti Vsn yliopistoss iemmin luennoimni Mtemttiset menetelmät

Lisätiedot

Kertaustehtävien ratkaisut

Kertaustehtävien ratkaisut Rtkisuist Nämä Trigoometriset fuktiot j lukujoot kurssi kertustehtävie j -srjoje rtkisut perustuvt oppikirj tietoihi j meetelmii. Kustki tehtävästä o yleesä vi yksi rtkisu, mikä ei kuitek trkoit sitä,

Lisätiedot

.) (b) Vertaa p :tä vastaavaa kineettistä energiaa perustilan kokonaisenergiaan. ( ) ( ) = = Ek

.) (b) Vertaa p :tä vastaavaa kineettistä energiaa perustilan kokonaisenergiaan. ( ) ( ) = = Ek S-446, FYSIIKKA IV (Sf) Kevät 5, HSf Rtkisut HSf- Kvnttimekninen hrmoninen värähtelijä on perustillln (mss m) Värähtelyn mplitudi on A () ske p (Värähtelijä sijitsee välillä A ) (b) Vert p :tä vstv kineettistä

Lisätiedot

3 Mallipohjainen testaus ja samoilutestaus

3 Mallipohjainen testaus ja samoilutestaus Tietojenkäsittelytiede 24 Joulukuu 2005 sivut 8 21 Toimittj: Jorm Trhio c kirjoittj(t) Historiljennus mllipohjisess testuksess Timo Kellomäki Tmpereen teknillinen yliopisto Ohjelmistotekniikn litos 1 Johdnto

Lisätiedot